GHID DE PREDARE A MATEMATICII

CU AJUTORUL METODELOR DIGITALE

Clasa a VIII-a

Realizat de Nicoleta Duma, profesor Digitaliada, coordonat de Adina Roșca, expert educațional

Textul și ilustrațiile din acest document începând cu pagina 2 sunt licențiate de Fundația Orange conform termenilor și condițiilor licenței Attribution-NonCommercial-

ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) care poate fi consultată pe pagina web https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/. Ilustrațiile din acest

document reprezintă capturi din aplicațiile recomandate pentru utilizare. Coperta (pagina 1), ilustrațiile, mărcile înregistrate, logo-urile Fundația Orange, Digitaliada

și orice alte elemente de marcă incluse pe copertă sunt protejate prin drepturi de proprietate intelectuală exclusive și nu pot fi utilizate fără consimțământul anterior

expres al titularilor de drepturi.

1

CUPRINS

Algebră MULŢIMI DE NUMERE REALE. INTERVALE

▪ Forme de scriere a unui număr real. Relaţia ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ......................................................................................................... p. 5 ▪ Intervale de numere reale ............................................................................................................................................................... p. 5 ▪ Recapitulare .................................................................................................................................................................................... p. 5

REGULI DE CALCUL ÎN R

▪ Operaţii cu numere reale ................................................................................................................................................................ p. 5 ▪ Recapitulare .................................................................................................................................................................................... p. 5

CALCULE CU NUMERE REALE. REPREZENTATE PRIN LITERE

▪ Calcule cu numere reale reprezentate prin litere…………………………………………………………………………………………… p. 6 ▪ Formule de calcul prescurtat…………………………………………………………………………………………………………………. p. 7 ▪ Descompuneri în factori: factor comun ........................................................................................................................................... p. 8 ▪ Descompuneri în factori: grupare de termeni .................................................................................................................................. p. 9 ▪ Recapitulare .................................................................................................................................................................................... p. 4

RAPOARTE DE NUMERE REALE REPREZENTATE PRIN LITERE

▪ Adunarea și scăderea rapoartelor de numere reale reprezentate prin litere ................................................................................... p. 10 ▪ Operații cu rapoarte.......................................................................................................................................................................... p. 11 ▪ Recapitulare .................................................................................................................................................................................... p. 5

FUNCȚII

▪ Funcţii de tipul 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝑅, 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝜖𝑅, 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝐴 = ℝ...................................................................................................... p. 12 ECUAȚII ȘI INECUAȚII (I)

▪ Ecuaţii de forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎 ş𝑖 𝑏 sunt numere reale.......................................................................................................... p. 17

▪ Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Rezolvarea lor prin metoda grafică............................................................ p. 19 ECUAȚII ȘI INECUAȚII (II)

▪ Ecuații de forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, unde 𝑎, 𝑏, 𝑐 sunt numere reale, 𝑎 ≠ 0........................................................................................ p. 20

Geometrie PUNCTE, DREPTE, PLANE, CORPURI GEOMETRICE

▪ Puncte, drepte, plane: convenţii de desen şi notaţie ...................................................................................................................... p. 22 ▪ Determinarea dreptei; determinarea planului .................................................................................................................................. p. 8 ▪ Piramida: descriere şi reprezentare; tetraedrul ............................................................................................................................... p. 25 ▪ Prisma: descriere şi reprezentare; paralelipipedul dreptunghic; cubul ........................................................................................... p. 28 ▪ Pozițiile relative a două drepte în spațiu; relația de paralelism în spațiu ........................................................................................ p. 32

RELAŢII ÎNTRE PUNCTE, DREPTE ŞI PLANE

▪ Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un plan ............................................................................................................................. p. 34 ▪ Dreaptă perpendiculară pe un plan; distanţa de la un punct la un plan; înălţimea piramidei ......................................................... p. 36 ▪ Poziţiile relative a două plane ........................................................................................................................................................ p. 39 ▪ Plane paralele; distanţa dintre două plane paralele; înălţimea prismei .......................................................................................... p. 41

2

▪ Secţiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate ............................................................................................................ p. 43

PROIECŢII ORTOGONALE PE UN PLAN ▪ Teorema celor trei perpendiculare .................................................................................................................................................. p. 45

PRISMA

▪ Paralelipipedul dreptunghic: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum p. 47 ▪ Cubul: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum p. 48 ▪ Prisma dreaptă cu baza: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum p. 49 ▪ Cub și paralelipiped dreptunghic – arii și volume p. 50

PIRAMIDA ŞI TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ ▪ Piramida triunghiulară regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum p. 51 ▪ Tetraedrul regulat p. 52 ▪ Piramida patrulateră regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum p. 53 ▪ Piramida hexagonală regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum p. 54 ▪ Piramida și prisma – descriere și reprezentare p. 55

CORPURI ROTUNDE ▪ Cilindrul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum p. 56 ▪ Conul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum p. 58 ▪ Sfera: descriere, aria, volumul p. 60 ▪ Trunchiul de con circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi

volum p. 61

▪ Corpuri rotunde – arii și volume p. 63 ▪ Corpuri geometrice - Recapitulare p. 64

ANEXE ▪ Anexa 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… p. 3 ▪ Anexa 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… p. 5 ▪ Anexa 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… p. 65 ▪ Anexa 4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… p. 72

3

Anexa 1

Aplicații/Legendă/Recomandări

Aplicația Recomandări

GeoGebra

1. Determinarea dreptei; determinarea planului 2. Piramida: descriere şi reprezentare; tetraedrul 3. Prisma: descriere şi reprezentare; paralelipipedul dreptunghic; cubul 4. Pozițiile relative a două drepte în spațiu; relația de paralelism în spațiu 5. Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un plan 6. Dreaptă perpendiculară pe un plan; distanţa de la un punct la un plan; înălţimea piramidei 7. Poziţiile relative a două plane 8. Secţiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate 9. Teorema celor trei perpendiculare 10. Funcţii de tipul 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝑅, 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝜖𝑅, 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝐴 = ℝ

11. Ecuaţii de forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎 ş𝑖 𝑏 sunt numere reale 12. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Rezolvarea lor prin metoda grafică

13. Ecuații de forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, unde 𝑎, 𝑏, 𝑐 sunt numere reale, 𝑎 ≠ 0. 14. Paralelipipedul dreptunghic: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum 15. Cubul: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum 16. Prisma dreaptă cu baza: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum 17. Piramida triunghiulară regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum 18. Tetraedrul regulat 19. Piramida patrulateră regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum 20. Piramida hexagonală regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum 21. Trunchiul de piramidă regulată 22. Cilindrul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum 23. Conul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum 24. Trunchiul de con circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum 25. Sfera: descriere, aria, volumul

Factor Trinomial Practice

1. Descompuneri în factori – gruparea termenilor

4

Factoring Practice Binomial

1. Descompuneri în factori – factor comun

Primes numbers & Divisibility

1. Adunarea și scăderea rapoartelor de numere reale reprezentate prin litere – aducerea la același numitor

Math Test 1. Calcule cu numere reale reprezentate prin litere 2. Formule de calcul prescurtat 3. Operaţii cu rapoarte

4. Ecuaţia de forma 𝑎𝑥2

+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, unde 𝑎, 𝑏, 𝑐 sunt numere reale, 𝑎 ≠ 0 5. Cubul, paralelipipedul dreptunghic – arii și volume 6. Piramida, prisma: descriere şi reprezentare 7. Corpuri rotunde – arii și volume 8. Corpuri geometrice - Recapitulare

5

Anexa 2

Instrumente pentru consolidarea și evaluarea cunoștințelor/Recomandări

Aplicația recomadată Titlul lecției

1. Forme de scriere a unui număr real https://quizizz.com/admin/quiz/5b7dc979cd052c0019931cce/forme-de-scriere-a-unui-numr-real 2. Calcule cu numere reale reprezentate prin litere https://quizizz.com/admin/quiz/5b87a0004ab463001976534d/digitaliada-viii-calcule-cu-numere-reale-prin-litere 3. Reguli de calcul în R https://quizizz.com/admin/quiz/5b879fac4117bf0019fe5d86/digitaliada-viii-reguli-de-calcul-in-r 4. Rapoarte de numere reale prin litere https://quizizz.com/admin/quiz/5b87a0574117bf0019fe5df9/digitaliada-viii-rapoarte-de-numere-reale-prin-litere 5. Mulțimi de numere reale intervale https://quizizz.com/admin/quiz/5b879f874117bf0019fe5d61/digitaliada-viii-mulimi-de-numere-reale-intervale 6. Pozițiile relative a două plane https://quizizz.com/admin/quiz/5b7ed23cff3d6500198b95dd/poziiile-relative-a-dou-plane 7. Funcții - Recapitulare https://quizizz.com/admin/quiz/5c2cca3f160af7001be1d885/digitaliada-viii-funcii-recapitulare 8. Ecuații și inecuații - Recapitulare https://quizizz.com/admin/quiz/5c2ce7127e1b32001adf674d/digitaliada-viii-ecuaii-i-inecuaii-i-recapitulare https://quizizz.com/admin/quiz/5c2e1ec4ec12dc001a47b257/digitaliada-viii-ecuaii-i-inecuaii-ii-recapitulare 9. Prisma - Recapitulare https://quizizz.com/admin/quiz/5c2f154086bf00001afdfbfa/digitaliada-viii-prisma-recapitulare 10. Corpuri rotunde - Recapitulare https://quizizz.com/admin/quiz/5c2f5adf86bf00001afe1831/digitaliada-viii-corpuri-rotunde-recapitulare 11. Piramida și trunchiul de piramidă - Recapitulare https://quizizz.com/admin/quiz/5c2f30b559ed78001ac24593/digitaliada-viii-piramida-i-trunchiul-piramidei-recapitulare

6

Algebră

CALCULE CU NUMERE REALE REPREZENTATE PRIN LITERE

▪ Calcule cu numere reale reprezentate prin litere

Titlul lecţiei: Calcule cu numere reale reprezentate prin litere Aplicația recomandată: Math Tests Tipul lecției: Lecție de consolidare a cunoştinţelor Competențe generale și specifice: CG1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS1. Identificarea în exemple, în exerciţii sau în probleme a formulelor de calcul prescurtat CG5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă CS1. Deducerea şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat pentru optimizarea unor calcule Reguli

➢ Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

➢ „Tests = Teste” ➢ „Algebraic expressions = Expresii

algebrice” ➢ „Adding and subtracting

expressions = Adunarea și scăderea expresiilor”

➢ „Start test = Începe testul”

➢ Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

➢ „Tests = Teste” ➢ „Algebraic expressions = Expresii

algebrice” ➢ „Multiplying out brackets (easy) =

Utilizarea parantezelor (ușor)” ➢ „Start test = Începe testul”

7

▪ Formule de calcul prescurtat

Titlul lecţiei: Formule de calcul prescurtat Aplicația recomandată: Math Tests Tipul lecției: Lecție de consolidare a cunoștințelor Competențe generale și specifice: CG1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS1. Identificarea în exemple, în exerciţii sau în probleme a formulelor de calcul prescurtat CG5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă CS1. Deducerea şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat pentru optimizarea unor calcule Reguli

➢ Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

➢ „Tests = Teste” ➢ „Algebraic expressions = Expresii

algebrice” ➢ „Using formulae (difficult) =

Utilizarea formulelor (dificil)” ➢ „Start test = Începe testul”

8

▪ Descompuneri în factori - factor comun

Titlul lecției: Descompuneri în factori - factor comun Aplicația recomandată: Factoring Practice Binomial Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare Competențe generale și specifice: CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice

CS 2.3. Utilizarea operaţiilor cu numere reale şi a proprietăţilor acestora în rezolvarea unor ecuaţii şi a unor inecuaţii

CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă

CS 5.1. Deducerea şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat pentru optimizarea unor calculi

Utilizatorul trebuie să

introducă, de la tastatură,

forma descompusă a

expresiei date. Dacă

răspunsul este corect se

trece la un alt exercițiu,

dacă răspunsul introdus

este greșit, aplicația nu

trece la un alt exercițiu

până nu se introduce

răspunsul corect.

9

▪ Descompuneri în factori-gruparea termenilor

Titlul lecției: Descompuneri în factori – gruparea termenilor Aplicația recomandată: Factor Trinomial Practice Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare Competențe generale și specifice: CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice

CS 2.3. Utilizarea operaţiilor cu numere reale şi a proprietăţilor acestora în rezolvarea unor ecuaţii şi a unor inecuaţii

CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă

CS 5.1. Deducerea şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat pentru optimizarea unor calcule

Utilizatorul trebuie să

introducă, de la tastatură,

forma descompusă a

expresiei date. Dacă

răspunsul este corect se

trece la un alt exercițiu,

dacă răspunsul introdus

este greșit, aplicația nu

trece la un alt exercițiu

până nu se introduce

răspunsul corect.

10

▪ Adunarea și scăderea rapoartelor de numere reale reprezentate prin litere

Titlul lecției: Adunarea și scăderea rapoartelor de numere reale reprezentate prin litere Aplicația recomandată: Primes numbers & Divisibility Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specific: CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS 3.1. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea de algoritmi pentru optimizarea calculului cu numere reale CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii CS 6.1. Rezolvarea unor situaţii problemă utilizând rapoarte de numere reale reprezentate prin litere; interpretarea rezultatului

Utilizatorul trebuie să selecteze c.m.m.m.c.

pentru două numere naturale generate, din

patru variante posibile.

În colțul din dreapta sus există un cronometru,

fiind generate întrebări până când utilizatorul

oferă 10 răspunsuri corecte, contorizate prin

cerculețele verzi situate în partea de sus a

ferestrei.

La final, utilizatorul poate vizualiza timpul în

care a răspuns, numărul total de întrebări și

numărul de răspunsuri greșite.

Utilizând butonul utilizatorul poate

vizualiza mesajul Congratulations! dacă a

răspuns corect la toate întrebările, respectiv

răspunsul corect pentru fiecare întrebare la care

a oferit un răspuns greșit.

11

▪ Operaţii cu rapoarte

Titlul lecţiei: Operaţii cu rapoarte Aplicația recomandată: Math Tests Tipul lecției: Lecție de consolidare a cunoștințelor Competențe generale și specifice: CG1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS1. Identificarea în exemple, în exerciţii sau în probleme a formulelor de calcul prescurtat CG5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă CS1. Deducerea şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat pentru optimizarea unor calcule Reguli

➢ Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

➢ „Tests = Teste” ➢ „Algebraic expressions = Expresii

algebrice” ➢ „Algebraic fractions (easy) = Fracții

algebrice (ușor)” ➢ „Start test = Începe testul”

12

FUNCŢII

▪ Funcţii de tipul 𝒇 ∶ 𝑨 → ℝ, 𝒇 (𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, unde 𝑨 = ℝ

Titlul lecției: Funcţii de tipul 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝑅, 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, unde 𝐴 = ℝ Aplicația recomandată: GeoGebra Prezentare Algebrică și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS 3.2. Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondenţe şi/sau a unor funcţii în scopul caracterizării acestora CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora CS 4.2. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor noţiuni de geometrie plană

Reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale

Reprezentați într-un sistem de axe ortogonale punctele 𝐴(1; 2), 𝐵(4; 5), 𝐶(−1; −3) și 𝐷(−1.78, 1.42)

Figură: Pași:

1. Introduceți în bara de intrare, de la tastatură, punctele cu coorodonatele corespunzătoare, apoi apăsați tasta Enter.

Reprezentarea geometrică a graficului funcției liniare

Reprezentați grafic funcția 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3.

13

Figură: Pași:

1. Introduceți de la tastatură, în bara de intrare, funcția apoi apăsați tasta Enter.

Determinarea coordonatele punctelor de intersecție ale graficului unei funcții cu axele de coordonate

Determinați punctele de intersecție ale funcției 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 cu axele de coordonate.

Figură: Pași:

1. Reprezentăm grafic funcția.

2.

Intersecție două obiecte Se determină punctele 𝐴(0; 3) și 𝐵(−1,5; 0).

3.

Salvare construcție

14

Determinarea ariei și a perimetrului triunghiului format de graficul unei funcții liniare cu axele de coordonate

Figură: Pași:

1. Reprezentăm grafic funcția.

2.

Intersecție două obiecte Se determină punctele 𝐴 și 𝐵.

3. Reprezentăm grafic punctul 𝑂(0,0).

4.

Poligon Construm triunghiul 𝐴𝑂𝐵.

5.

Distanță sau lungime Determinăm perimetrul triunghiului 𝐴𝑂𝐵.

6.

Arie Determinăm aria triunghiului 𝐴𝑂𝐵.

7.

Salvare construcție

Determinați aria și perimetrul triunghiului 𝐴𝑂𝐵, unde 𝐴 și 𝐵 sunt punctele de intersecție ale graficului

funcției 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) =4

3𝑥 + 4 cu axele de coordonate.

15

Determinarea distanței de la originea sistemului de axe de coordonate la graficul unei funcții

Calculați distanța de la punctul 𝑂(0,0) la dreapta ce reprezintă graficul funcției 𝑓: ℝ → ℝ,

𝑓(𝑥) =4

3𝑥 + 4.

Figură: Pași:

1. Reprezentăm grafic funcția.

2.

Intersecție două obiecte Se determină punctele 𝐴 și 𝐵.

3. Reprezentăm grafic punctul 𝑂(0,0).

4.

Dreaptă prin două puncte Construim dreapta 𝐴𝐵.

5.

Perpendiculară Construim perpendiculara din punctul 𝑂 pe dreapta 𝐴𝐵.

6.

Segment între două puncte Construim segmentul determinat de punctul 𝑂 și piciorul

perpendicularei pe dreapta 𝐴𝐵.

16

7.

Distanță sau lungime Determinăm lungimea segmentului construit.

8.

Salvare construcție

Determinarea coordonatelor punctului de intersecție dintre două grafice

Determinați punctul de intersecție a funcțiilor 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 și g: ℝ → ℝ, g(𝑥) = −2𝑥 + 1.

Figură: Pași:

1. Reprezentăm grafic cele două funcții.

2.

Intersecție două obiecte Se determină punctul 𝐴 care se află la intersecția celor două grafice ale funcțiilor.

3.

Salvare construcție

17

ECUAŢII ŞI INECUAŢII (I)

▪ Ecuaţii de forma 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, unde 𝒂 şi 𝒃 sunt numere reale

Titlul lecției: Ecuaţii de forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, unde 𝑎 şi 𝑏 sunt numere reale Aplicația recomandată: GeoGebra CAS Tipul lecției: Lecție de consolidare a cunoștințelor Competențe generale și specifice: CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă CS 5.1. Determinarea soluţiilor unor ecuaţii, inecuaţii sau sisteme de ecuaţii CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii CS 6.1. Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii, rezolvarea acestora şi interpretarea rezultatului obţinut

Ecuaţii de forma 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, unde 𝒂 şi 𝒃 sunt numere reale

𝑥 + 5

5−

𝑥 − 3

4=

3𝑥

10−

𝑥 − 1

4

Pregătiri:

✓ Deschideți un nou fișier GeoGebra;

✓ Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare și apoi CAS.

Figură:

18

Pași:

1. Introduceți în bara de intrare, de la tastatură, ecuația pe care doriți să o rezolvați.

2.

Păstrare Input Împiedică simplificarea automată.

3. Selectați pasul anterior

5.

Evaluează Se rezolvă ecuația în mod explicit.

6. Selectați pasul anterior

7.

Numeric Fracțiile ordinare se transformă în fracții zecimale.

8.

Rezolvă Se determină soluția ecuației

19

▪ Sisteme de două ecuaţii liniare cu două necunoscute. Rezolvarea lor prin metoda grafică

Titlul lecției: Sisteme de două ecuaţii liniare cu două necunoscute. Rezolvarea lor prin metoda grafică Aplicația recomandată: GeoGebra Prezentare Algebrică și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de consolidare a cunoștințelor Competențe generale și specifice: CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă CS 5.1. Determinarea soluţiilor unor ecuaţii, inecuaţii sau sisteme de ecuaţii CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii CS 6.1. Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii, rezolvarea acestora şi interpretarea rezultatului obţinut

Sisteme de două ecuaţii liniare cu două necunoscute. Rezolvarea lor prin metoda grafică

Rezolvați sistemul {3𝑥 + 2𝑦 = 55𝑥 − 3𝑦 = 2

.

Figură: Pași:

1. Introducem de la tastatură, în Bara de intrare, fiecare ecuație.

2.

Intersecție două obiecte Intersectăm cele două drepte. Coordonatele punctului de intersecție reprezintă soluția sistemului.

3.

Salvare construcție

Observație: Dacă cele două drepte sunt paralele, atunci soluția sistemului este ∅.

20

▪ Ecuaţia de forma 𝒂𝒙2

+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, unde 𝒂, 𝒃, 𝒄 sunt numere reale, 𝒂 ≠ 𝟎

Titlul lecției: Ecuaţia de forma 𝑎𝑥2

+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, unde 𝑎, 𝑏, 𝑐 sunt numere reale, 𝑎 ≠ 0 Aplicația recomandată: GeoGebra CAS & Math Test Tipul lecției: Lecție de consolidare a cunoștințelor Competențe generale și specifice: CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă CS 5.1. Determinarea soluţiilor unor ecuaţii, inecuaţii sau sisteme de ecuaţii CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii CS 6.1. Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii, rezolvarea acestora şi interpretarea rezultatului obţinut

Ecuaţia de forma 𝒂𝒙2

+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, unde 𝒂, 𝒃, 𝒄 sunt numere reale, 𝒂 ≠ 𝟎

𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑𝟎 = 𝟎

Figură:

Pași:

1. Introduceți în bara de intrare, de la tastatură, ecuația pe care doriți să o rezolvați.

2.

Păstrare Input Împiedică simplificarea automată.

3. Selectați pasul anterior

5.

Evaluează Se rezolvă ecuația în mod explicit.

21

6. Selectați pasul anterior

7.

Numeric Fracțiile ordinare se transformă în fracții zecimale.

8.

Rezolvă Se determină soluțiile ecuației.

Math Test

➢ Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

➢ „Tests = Teste” ➢ „Algebraic expressions =

Expresii algebrice” ➢ „Factoring (difficult) =

Descompuneri (dificil)” ➢ „Start test = Începe testul”

22

Geometrie

PUNCTE, DREPTE, PLANE, CORPURI GEOMETRICE

▪ Determinarea dreptei; determinarea planului

Titlul lecției: Determinarea planului Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG. 1. Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora CS 1.3. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date CS 1.2. Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice

1. Trei puncte coliniare determină un plan. Figură:

Pași:

1.

Punct Se construiesc punctele 𝐴, 𝐵 ş𝑖 𝐶 necoliniare.

2.

Plan prin 3 puncte Se constriește planul determinat de cele 3 puncte.

3. Salvare construcție

2. O dreaptă și un punct care nu-i aparține determină un plan. Figură:

23

Pași:

1.

Dreaptă prin două puncte Se construiște dreapta 𝐴𝐵.

2.

Punct Se construiește punctul 𝐶.

3.

Plan Se construiește planul determinat de dreapta 𝐴𝐵

și punctul 𝐶. 4.

Salvare construcție

3. Două drepte concurente determină un plan. Figură:

Pași:

1.

Dreaptă prin două puncte Se construiște dreapta 𝐴𝐵.

2.

Dreaptă prin două puncte Se construiște dreapta 𝐶𝐷.

3.

Intersecție două obiecte Determinăm punctul de intersecție a celor două drepte.

4.

Plan Se construiește planul determinat de dreaptele 𝐴𝐵

și 𝐶𝐷. 5.

Salvare construcție

24

4. Două drepte paralele determină un plan. Figură:

Pași:

1.

Dreaptă prin două puncte Se construiște dreapta 𝐴𝐵.

2.

Paralelă Se construiște o dreaptă paralelă cu dreapta 𝐴𝐵.

3.

Plan Se construiește planul determinat de dreapta 𝐴𝐵 și

dreapta paralelă. 4.

Salvare construcție

25

▪ Piramida: descriere şi reprezentare; tetraedrul

Titlul lecției: Piramida: descriere și reprezentare; tetraedrul Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.4. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS 3.4. Clasificarea corpurilor geometrice după anumite criterii date sau alese CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă CS 5.4. Analizarea şi interpretarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice anumite cerinţe

O piramidă este definită de un poligon plan, numit bază, și un punct exterior planului acestuia, numit vârful piramidei, unind vârful piramidei cu vârfurile poligonului dat. În funcție de natura poligonului de la bază, piramidele pot fi: triunghiulare, patrulatere, hexagonale etc. Figură:

Pași:

1.

Poligon Construim, în plan, un triunghi, un patrulater sau un hexagon în funcție de ce piramidă dorim să obținem.

2.

Punct Construmim un punct, exterior planului, care va fi vârful piramidei.

3.

Piramidă Construim piramida.

4.

Rețea Obținem desfășurarea piramidei.

5.

Salvare construcție.

Tetraedrul este determinat de patru puncte necoplanare, numite vârfuri. Un caz particular îl constituie

tetraedrul regulat, la care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale.

26

Figură:

Pași:

1.

Tetraedru Construim tetraedrul regulat 𝐴𝐵𝐶𝐷.

2.

Rețea Obținem desfășurarea tetraedrului regulat.

3. Salvare construcție

Dacă proiecția vârfului unei piramide pe planul bazei este centrul cercului circumscris bazei (inscriptibile), atunci piramida se numește piramidă dreaptă. O piramidă dreaptă care are la baza poligon regulat se numește piramidă regulată.

Figură:

Pași:

1.

Poligon Construim, în plan, un triunghi echilateral, un pătrat sau un hexagon regulat în funcție de ce piramidă dorim să obținem.

2.

Scoatere în piramidă sau con Se construiește piramida.

3.

Rețea Obținem desfășurarea piramidei.

27

4.

Salvare construcție

Într-o piramidă regulată, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente. Înălțimea corespunzătoare bazei a unei fețe laterale se numește apotema piramidei. Figură:

Pași:

1.

Piramidă Construim o piramidă.

2.

Dreaptă perpendiculară Se trasează perpendiculara din vârful piramidei pe una din laturile bazei.

3.

Intersecție Se construiește punctul de intersecție dintre dreapta perpendiculară și latura bazei.

4.

Segment Construind segmentul cu capetele vârful piramidei și piciorul perpendicularei din vârf pe muchia bazei, obținem apotema piramidei. Ascundem dreapta perpendiculară.

5. Salvare construcție

28

▪ Prisma: descriere şi reprezentare; paralelipipedul dreptunghic; cubul

Titlul lecției: Prisma: descriere și reprezentare; paralelipipedul dreptunghic; cubul Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.3. Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.3. Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice

Prisma este corpul geometric (poliedrul) care se obține dintr-un poligon dat (numit bază) și deplasarea unei copii a acestuia, conectând laturile corespunzător, astfel încât laturile copiei să rămână respectiv paralele cu laturile poligonului dat. În funcție de natura poligonului de la bază, prismele pot fi: triunghiulare, patrulatere, hexagonale etc. Figură: Pași: O prismă ale cărei muchii laterale sunt perpendiculare pe planul bazei se numește prismă dreaptă.

1. Poligon Construim, în plan, un triunghi, un patrulater sau un hexagon în funcție de ce prismă dorim să obținem.

2. Punct Construmim un punct, exterior planului, pentru baza superioară.

3. Prisma Construim prisma.

4. Rețea Obținem desfășurarea prismei.

5. Salvare construcție

29

Figură: Pași:

1.

Punct Construim un punct exterior planului.

2.

Perpendiculară pe plan Din punctul 𝐴 construim o perpendiculară pe planul dat.

3.

Intersecție două obiecte Se determină punctul 𝐵 de intersecție dintre dreapta perpendicular pe plan și planul dat, apoi ascundem perpendiculara.

4.

Poligon În funcție de ce prismă dorim să obținem, construim un triunghi, un patrulater sau un hexagon care să aibă un vârf în punctul 𝐵.

5.

Prisma Construim prisma.

6.

Rețea Obținem desfășurarea prismei drepte.

7. Salvare construcție

O prismă dreaptă a cărei bază este un poligon regulat se numește prismă regulată. Figură:

30

Pași:

1.

Poligon regulat Construim în plan, un triunghi echilateral, un pătrat sau un hexagon regulat în funcție de ce piramidă dorim să obținem.

2.

Scoatere în prismă sau con Se selectează baza. În fereastra nou apărută introducem o valoare pozitivă pentru înălțimea prismei.

3.

Rețea Obținem desfășurarea prismei.

4. Salvare construcție

Paralelipipedul dreptunghic este o prismă patrulateră dreaptă. Figură:

Pași:

1.

Poligon Construim un dreptunghi.

2.

Scoatere din prismă sau cilindru Construim paralelipipedul dreptunghic.

3.

Rețea Obținem desfășurarea paralelipipedului dreptunghic.

4. Salvare construcție

31

Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu toate muchiile egale. Figură:

Pași:

1.

Cub Se construiește cubul.

2.

Rețea Obținem desfășurarea cubului.

3. Salvare construcție

32

▪ Poziţiile relative a două drepte în spaţiu; relaţia de paralelism în spaţiu

Titlul lecției: Pozițiile relative a două drepte în spațiu; relația de paralelism în spațiu Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen

Tipul lecției - Lecție de însușire de noi cunoștințe

Competențe generale și specifice: CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.3. Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice

Definiție: Două drepte care au un singur punct în comun se numesc drepte concurente. Figură: Pași:

1. Dreaptă prin două puncte Se contruiește dreapta 𝑓.

2. Dreaptă prin două puncte Se contruiește dreapta 𝑔, care intersectează

dreapta 𝑓.

3. Interecție două obiecte Se construiește punctul 𝑂, care este punctul de intersecție dintre cele două drepte.

4. Salvare construcție

Definiție: Două drepte din același plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele. Figură:

33

Pași:

1.

Dreaptă prin două puncte Se contruiește dreapta 𝑓.

2.

Punct Se construiește un punct în plan care să nu aparțină dreptei 𝑓.

3.

Paralelă Se construiește dreapta 𝑔 paralelă cu

dreapta 𝑓.

4. Salvare construcție

Definiție: Două drepte situate în același plan se numesc drepte coplanare. Definiție: Două drepte care nu au nici un punct comun și nu sunt paralele se numesc drepte necoplanare. Figură: Pași:

1.

Dreaptă prin două puncte Se contruiește dreapta 𝑓 în plan.

2.

Dreaptă prin două puncte Se contruiește dreapta 𝑔 astfel încât dreptele să nu fie coplanare.

3. Salvare construcție

34

RELAŢII ÎNTRE PUNCTE, DREPTE ŞI PLANE

▪ Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un plan

Titlul lecției: Pozițiile relative ale unei drepte față de un plan

Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen

Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe

Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.3. Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS 3.3. Utilizarea proprietăţilor referitoare la drepte şi unghiuri în spaţiu pentru analizarea poziţiilor relative ale acestora

1. O dreaptă poate avea comun cu un plan două puncte. Dreapta va fi conținută în plan. Figură:

Pași:

1.

Punct Se construiesc punctele 𝐴 și 𝐵 în plan.

2.

Dreaptă prin două puncte Se constriește dreata 𝐴𝐵.

3.

Salvare construcție

2. O dreaptă poate avea un singur punct comun cu un plan. Dreapta intersectează planul. Figură:

35

Pași:

1. Punct Se construiește un punct 𝐴 în plan.

2. Punct Se construiește un punct 𝐵 care să nu aparțină planului.

3. Dreaptă prin două punct Se construiește dreapta 𝐴𝐵.

4. Salvare construcție

3. O dreaptă 𝑑 poate să nu aibă nici un punct comun cu planul. Spunem că dreapta este paralelă cu planul. Ne folosim de teorema: O dreaptă paralelă cu o dreaptă dintr-un plan este paralelă cu planul (sau conținută în el). Figură: Pași:

1.

Dreaptă prin două puncte Se construiește o dreaptă 𝐴𝐵 în plan.

2.

Punct Se construiește un punct 𝐶 care să nu aparțină planului.

3.

Paralelă Se construiește o dreaptă paralelă cu dreapta 𝐴𝐵 care să treacă prin punctul 𝐶.

4.

Salvare construcție

36

▪ Dreaptă perpendiculară pe un plan; distanţa de la un punct la un plan; înălţimea piramidei

Titlul lecției: Dreaptă perpendiculară pe un plan; distanța de la un punct la un plan; înălțimea piramidei Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D

Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe

Competențe generale și specifice:

CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.3. Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS 3.3. Utilizarea proprietăţilor referitoare la drepte şi unghiuri în spaţiu pentru analizarea poziţiilor relative ale acestora CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii CS 6.3. Interpretarea reprezentărilor geometrice şi a unor informaţii conţinute în acestea în corelaţie cu determinarea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri

Definiție: Numim dreaptă perpendiculară pe un plan, o dreaptă perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan. Figură: Pași:

1.

Punct Se construiește punctul 𝐴 exterior planului.

2.

Dreaptă perpendiculară Se construiește perpendiculara din 𝐴 pe plan.

3.

Salvare construcție

Teoremă: O dreaptă perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan este perpendiculară pe plan. Teoremă: Printr-un punct putem duce o unică perpendiculară pe un plan dat. Teoremă: Două drepte distincte perpendiculare pe un același plan sunt paralele între ele.

37

Figură: Pași:

1.

Punct Se construiesc punctele 𝐴 și 𝐵 exteriore planului.

2.

Dreaptă perpendiculară Se construiesc perpendicularele din 𝐴 și 𝐵 pe planul dat.

3.

Paralelă Se verifică dacă cele două drepte sunt paralele.

4.

Salvare construcție

Definiție: Distanța de la un punct la un plan reprezintă lungimea segmentului determinat de acel punct și piciorul perpendicularei din punct pe planul dat. Figură: Pași:

1. Punct Se construiește punctul 𝐴 exterior planului.

2.

Dreaptă perpendiculară Se construiește perpendiculara din 𝐴 pe plan.

3.

Intersecție Se notează cu 𝐵 piciorul pendicularei din 𝐴 pe plan.

4.

Segment Distanța de la punctul 𝐴 la plan este lungimea

segmentului 𝐴𝐵. Se ascunde dreapta perpendiculară

pentru a pune în evidență segmentul 𝐴𝐵.

38

5.

Salvare construcție

Definiție: Segmentul determinat de vârful unei piramide și piciorul perpendicularei din vârf pe planul bazei piramidei se numește înălțimea piramidei. Figură: Pași:

1.

Piramidă Se construiește piramida 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷.

2.

Dreaptă perpendiculară Se construiește perpendiculara din 𝑉 pe planul bazei.

3.

Intersecție Se notează cu 𝑂 piciorul pendicularei din 𝑉 pe planul bazei.

4.

Segment Înălțimea piramidei este segmentul 𝑉𝑂. Se ascunde dreapta perpendiculară pe plan pentru a pune în evidență înălțimea piramidei.

5.

Salvare construcție

39

▪ Poziţiile relative a două plane

Titlul lecției: Pozițiile relative a două plane Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D Tipul lecției: Însușire de noi cunoștințe

Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.4. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.3. Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice

Două plane pot avea una din următoarele poziții relative: a) Confundate, dacă au în comun trei puncte necoliniare; Figură: Pași:

1. Punct Se contruiesc punctele 𝐴, 𝐵 și 𝐶 în plan.

2. Plan prin 3 puncte Se construiește planul determinat de cele 3 puncte.

3. Salvare construcție

b) Secante, dacă au în comun o dreaptă și numai una;

Figură:

40

Pași:

1.

Punct Se construiescu punctele 𝐴 și 𝐵 în plan și punctul 𝐶 exterior planului.

2.

Dreaptă Se construiește dreapta 𝐴𝐵.

3.

Plan prin 3 puncte Construim planul determinat de punctele 𝐴, 𝐵

și 𝐶.

4.

Salvare construcție

c) Paralele, dacă nu au niciun punct în comun. Figură:

Pași:

1. Punct Se construiește punctul 𝐴 𝑒xterior planului.

2. Plan paralel Se construiește planul paralel cu planul dat.

3. Salvare construcție

41

▪ Plane paralele; distanţa dintre două plane paralele; înălţimea prismei

Titlul lecției: Plane paralele; distanţa dintre două plane paralele; înălţimea prismei Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D Tipul lecției: Însușire de noi cunoștințe

Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.4. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii CS 6.3. Interpretarea reprezentărilor geometrice şi a unor informaţii conţinute în acestea în corelaţie cu determinarea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri

Definție: Distanța dintre două plane paralele este distanța de la un punct al unuia dintre ele la celălalt plan. Figură: Pași:

1.

Punct Construim punctul 𝐴 care să nu aparțină planului dat.

2.

Plan paralel Se construiește un plan paralel prin punctul 𝐴.

3.

Dreaptă perpendiculară Se construiește perpendiculara din punctul 𝐴 pe planul paralel.

4.

Intersecție două obiecte Se notează cu 𝐵 punctul de intersecție dintre plan și dreapta perpendiculară.

5.

Segment între două puncte Distanța dintre cele două plane este segmental 𝐴𝐵. Se ascunde dreapta perpendiculară.

6.

Salvare construcție

Definiție: Înălțimea prismei reprezintă distanța dintre planele bazelor unei prisme. Figură:

42

Pași:

1.

Prisma Se construiește prisma 𝐵𝐶𝐷𝐴𝐸𝐹.

2.

Punct Se construiește punctul 𝐺 în planul (𝐴𝐸𝐹).

3.

Dreaptă perpendiculară Se construiește dreapta perpendiculară din punctul 𝐺 pe planul (𝐵𝐶𝐷).

4.

Intersecție două obiecte Se notează cu 𝐼 punctul de intersecție dintre plan și dreapta perpendiculară.

5.

Segment între două puncte Înălțimea prismei este segmentul [𝐺𝐼]. Se ascunde dreapta.

6.

Salvare construcție

43

▪ Secţiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate

Titlul lecției: Secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen

Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe

Competențe generale și specifice:

CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.3. Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii CS 6.4. Transpunerea unei situaţii problemă în limbaj geometric, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

Prin secționarea unei prisme cu un plan paralel cu planul bazei obținem două prisme de același tip cu prisma dată. Secțiunea obținută este un poligon congruent cu cele două baze. Figură: Pași:

1.

Prisma Construim prisma.

2.

Plan paralel Se construiește un plan paralel cu planul bazei.

3.

Intersecție două obiecte Se pune în evidență poligonul obținut prin secționare.

4.

Salvare construcție

44

Prin secționarea unei piramide cu un plan paralel cu planul bazei obținem o piramidă asemenea cu piramida dată și un trunchi de piramidă. Secțiunea obținută este un poligon asemenea cu baza piramidei. Figură: Pași:

1.

Piramidă Se construiește o piramidă.

2.

Plan paralel Se construiește un plan paralel cu planul bazei.

3.

Intersecție două suprafețe Se intersectează planul paralel cu piramida pentru a obține baza mică a trunchiului de piramidă.

4.

Arată/Ascunde obiecte Se ascunde planul construit. Se ascunde piramida.

5.

Poligon Se construiesc fețele laterale ale trunchiului.

6. Salvare construcție

45

PROIECŢII ORTOGONALE PE UN PLAN

▪ Teorema celor trei perpendiculare

Titlul lecției: Teorema celor trei perpendiculare Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D

Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe

Competențe generale și specifice:

CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.3. Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.3. Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice

Teoremă: Dacă o dreaptă 𝑑 este perpendiculară pe un plan și prin piciorul ei trece o dreaptă 𝑎, conținută în acel plan, perpendiculară pe o altă dreaptă 𝑏

conținută în plan, atunci o dreaptă 𝑐, care unește orice punct 𝑀 al dreptei 𝑑 cu intersecția 𝑃 a dreptelor 𝑎 și 𝑏, este perpendiculară pe a treia dreaptă 𝑏. Figură: Pași:

1.

Punct Construim punctul 𝑀 exterior planului.

2.

Dreaptă perpendiculară Se construiește dreapta perpendiculară din punctul 𝑀 pe plan.

3.

Intersecție Determinăm punctul de intersecție dintre plan și dreapta perpendiculară.

4.

Dreaptă prin două puncta Construim dreapta 𝑏 în plan.

5.

Dreaptă perpendiculară

46

Construim dreapta 𝑎 perpendiculară din punctul 𝑂

pe dreapta 𝑏. 6.

Intersecție Determinăm punctul 𝑃, la interecția dintre dreptele 𝑎 și 𝑏.

7.

Segment între două puncte Construim segmentul [𝑀𝑃].

8.

Unghi Observăm că măsura unghiului format de dreapta 𝑏 și segmentul [𝑀𝑃] are măsura de 90°.

9.

Salvare construcție

47

PRISMA

▪ Paralelipipedul dreptunghic: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

Titlul lecției: Paralelipipedul dreptunghic: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG. 1. Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora CS 1.4. Identificarea unor elemente de geometrie şi a unor unităţi de măsură în diferite contexte CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS 3.4. Determinarea perimetrelor, a ariilor (pătrat, dreptunghi) şi a volumelor (cub, paralelipiped dreptunghic) şi exprimarea acestora în unităţi de măsură corespunzătoare

Paralelipipedul dreptunghic: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum Figură:

Pași:

1.

Poligon Construim în plan un dreptunghi.

2.

Scoatere din prismă sau cilindru Construim paralelipipedul dreptunghic.

3.

Rețea Obținem desfășurarea paralelipipedului dreptunghic.

4. Salvare construcție

48

▪ Cubul: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

Titlul lecției: Cubul: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG. 1. Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora CS 1.4. Identificarea unor elemente de geometrie şi a unor unităţi de măsură în diferite contexte CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS 3.4. Determinarea perimetrelor, a ariilor (pătrat, dreptunghi) şi a volumelor (cub, paralelipiped dreptunghic) şi exprimarea acestora în unităţi de măsură corespunzătoare

Cubul: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum Figură:

Pași:

1.

Cub Se construiește cubul.

2.

Rețea Obținem desfășurarea cubului.

3. Salvare construcție

49

▪ Prisma dreaptă cu baza: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

Titlul lecției: Prisma dreaptă cu baza: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.4. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.4. Calcularea ariilor şi volumelor corpurilor geometrice studiate

Prisma dreaptă cu baza: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum O prismă dreaptă a cărei bază este un poligon regulat se numește prismă regulată. Figură: Pași:

1.

Poligon regulat Construim în plan, un triunghi echilateral, un pătrat sau un hexagon regulat în funcție de ce piramidă dorim să obținem.

2.

Scoatere în prismă sau con Se selectează baza. În fereastra nou apărută introducem o valoare pozitivă pentru înălțimea prismei.

3.

Rețea Obținem desfășurarea prismei.

4. Salvare construcție

50

▪ Cubul, paralelipipedul dreptunghic – arii și volume

Titlul lecţiei: Cubul, paralelipipedul dreptunghic – arii și volume Aplicația recomandată: Math Tests Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS4. Calcularea ariilor şi volumelor corpurilor geometrice studiate CG4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora CS4. Exprimarea proprietăţilor figurilor şi corpurilor geometrice în limbaj matematic CG5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă CS4. Analizarea şi interpretarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice anumite cerinţe Reguli

➢ Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

➢ „Tests = Teste” ➢ „Geometry = Geometrie” ➢ „Volume and surface area of

cubes and rectangular prisms = Volumul și aria cubului şi a paralelipipedului dreptunghic”

➢ „Start test = Începe testul”

51

PIRAMIDA ŞI TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ

▪ Piramida triunghiulară regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

Titlul lecției: Piramida triunghiulară regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.4. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.4. Calcularea ariilor şi volumelor corpurilor geometrice studiate

Piramida triunghiulară regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum Figură:

Pași:

1.

Poligon Construim, în plan, un triunghi echilateral.

2.

Scoatere în piramidă sau con Se construiește piramida.

3.

Rețea Obținem desfășurarea piramidei.

4. Salvare construcție

52

▪Tetraedrul regulat

Titlul lecției: Tetraedrul regulat Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.4. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.4. Calcularea ariilor şi volumelor corpurilor geometrice studiate

Tetraedrul regulat Figură:

Pași:

1.

Tetraedru Construim tetraedrul regulat 𝐴𝐵𝐶𝐷.

2.

Rețea Obținem desfășurarea tetraedrului regulat.

3. Salvare construcție.

53

▪ Piramida patrulateră regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

Titlul lecției: Piramida patrulateră regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.4. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.4. Calcularea ariilor şi volumelor corpurilor geometrice studiate

Piramida patrulateră regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum Figură:

Pași:

1.

Cursor Construim un cursor pentru lungimea laturii pătratului.

2.

Segment cu lungime data Se construiește o latură a pătratului de lungimea data de cursorul construit.

3.

Poligon Construim un pătrat în plan.

4.

Cursor Construim un cursor pentru înălțimea piramidei.

5.

Scoatere în piramidă sau con Se construiește piramida patrulateră regulată.

6.

Rețea Obținem desfășurarea piramidei.

7. Salvare construcție

54

▪ Piramida hexagonală regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

Titlul lecției: Piramida hexagonală regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.4. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.4. Calcularea ariilor şi volumelor corpurilor geometrice studiate

Piramida hexagonală regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum Figură:

Pași:

1.

Cursor Construim un cursor pentru lungimea laturii hexagonului regulat.

2.

Segment cu lungime data Se construiește o latură a hexagonului de lungimea data de cursorul construit.

3.

Poligon Construim, în plan hexagon regulat.

4.

Cursor Construim un cursor pentru înălțimea piramidei.

5.

Scoatere în piramidă sau con Se construiește piramida.

6.

Rețea Obținem desfășurarea piramidei.

7. Salvare construcție

55

▪ Piramida, prisma: descriere şi reprezentare

Titlul lecţiei: Piramida, prisma: descriere şi reprezentare Aplicația recomandată: Math Tests Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS4. Identificare unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii spaţiale date CG3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS4. Clasificarea corpurilor geometrice după anumite criterii date sau alese Reguli

➢ Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

➢ „Tests = Teste” ➢ „Geometry = Geometrie” ➢ „3D shapes – faces, vertices

and edges = Corpuri geometrice - fețe, vârfuri și muchii”

➢ „Start test = Începe testul”

56

CORPURI ROTUNDE

▪ Cilindrul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum

Titlul lecției: Cilindrul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.4. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.4. Calcularea ariilor şi volumelor corpurilor geometrice studiate

Cilindrul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum Figură: Pași:

1.

Cursor Se construiește un cursor.

2.

Cerc cu centru și rază Se construiește un cerc cu raza de lungime egală cu valoarea dată de cursor.

3.

Cursor Se construiește un nou cursor.

4.

Scoatere în prismă sau cilindru Se selectează cercul, iar în căsuța nou apărută introducem eticheta celui de-al doilea cursor.

57

5.

Mijloc sau centru Se determină centrul cercului bazei superioare a cilindrului.

6.

Plan prin 3 puncte Se construiește un plan care să treacă prin centrele bazelor și un punct de pe cercul unei baze.

7.

Intersecție două obiecte Se determină secțiunea axială a cilindrului circular drept.

8.

Arată/Ascunde obiecte Se ascunde planul determinat de cele 3 puncte pentru a pune în evidență secțiunea axială a cilindrului.

9. Salvare construcție

58

▪ Conul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum

Titlul lecției: Conul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.4. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.4. Calcularea ariilor şi volumelor corpurilor geometrice studiate

Conul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum Figură:

Pași:

f

Cursor Se construiește un cursor.

2.

Cerc cu centru și rază Se construiește un cerc cu raza de lungime egală cu valoarea dată de cursor.

3.

Cursor Se construiește un nou cursor.

4.

Scoatere în piramidă sau con Se selectează cercul, iar în căsuța nou apărută se introduce eticheta celui de-al doilea cursor.

5.

Plan prin 3 puncte Se construiește un plan care să treacă prin centrul bazei, un punct de pe cerc și vârful conului.

59

6.

Intersecție două obiecte Se determină secțiunea axială a conului circular drept.

7.

Arată/Ascunde obiecte Se ascunde planul determinat de cele 3 puncte pentru a pune în evidență secțiunea axială a conului.

8.

Salvare construcție

60

▪ Sfera: descriere, aria, volumul

Titlul lecției: Sfera: descriere, aria, volumul Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG. 1. Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora CS 1.4. Identificarea unor elemente de geometrie şi a unor unităţi de măsură în diferite contexte CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS 3.4. Determinarea perimetrelor, a ariilor (pătrat, dreptunghi) şi a volumelor (cub, paralelipiped dreptunghic) şi exprimarea acestora în unităţi de măsură corespunzătoare

Sfera: descriere, aria, volumul Figură: Construcție: Sfera cu Centrul, prin Punctul Pași:

1. Sfera cu Centrul, prin Punctul Selectăm centrul sferei, apoi un punct de pe sferă.

2. Salvare construcție

Construcție: Sfera cu Centrul și raza Pași:

1.

Cursor Se construiește un cursor.

2.

Sfera cu Centru și raza Selectăm centrul sferei, apoi introducem eticheta cursorului construit.

3.

Salvare construcție

61

▪ Trunchiul de con circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum

Titlul lecției: Trunchiul de con circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum Aplicația recomandată: GeoGebra Grafică 3D și Bloc Desen Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG. 1. Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora CS 1.4. Identificarea unor elemente de geometrie şi a unor unităţi de măsură în diferite contexte CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS 3.4. Determinarea perimetrelor, a ariilor (pătrat, dreptunghi) şi a volumelor (cub, paralelipiped dreptunghic) şi exprimarea acestora în unităţi de măsură corespunzătoare

Trunchiul de con circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum Figură: Pași:

1.

Cursor Se construiește un cursor.

2.

Cerc cu centru și rază Se construiește un cerc cu raza de lungime egală cu valoarea dată de cursor.

3.

Cursor Se construiește un nou cursor.

4.

Scoatere în piramidă sau con Se selectează cercul, iar în căsuța nou apărută se introduce eticheta celui de-al doilea cursor.

62

5..

Plan prin 3 puncte Se construiește un plan care să treacă prin centru bazei, un

punct de pe cerc și vârful conului.

6.

Intersecție două obiecte Se determină secțiunea axială a conului circular drept.

7.

Arată/Ascunde obiecte Se ascunde planul determinat de cele 3 puncte pentru a pune în evidență secțiunea axială a conului.

8.

Plan paralel Se construiește un plan paralel cu planul bazei.

9.

Intersecție două suprafețe Se intersectează planul paralel cu piramida pentru a obține baza mică a trunchiului de con.

10. Salvare construcție

63

▪ Corpuri rotunde – arii și volume

Titlul lecţiei: Corpuri rotunde – arii și volume Aplicația recomandată: Math Tests Tipul lecției: Lecție de consolidare a cunoştinţelor Competențe generale și specifice: CG2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS4. Calcularea ariilor şi volumelor corpurilor geometrice studiate CG4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora CS4. Exprimarea proprietăţilor figurilor şi corpurilor geometrice în limbaj matematic CG5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă CS4. Analizarea şi interpretarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice anumite cerinţe Reguli

➢ Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

➢ „Tests = Teste” ➢ „Geometry = Geometrie” ➢ „Volume and surface of cylinders,

spheres, and cones = Volumul și aria cilindrului, sferei și a conului”

➢ „Start test = Începe testul”

64

▪ Corpuri geometrice - Recapitulare

Titlul lecţiei: Corpuri geometrice - Recapitulare Aplicația recomandată: Math Tests Tipul lecției: Lecție de consolidare a cunoștințelor Competențe generale și specifice: CG1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS4. Identificare unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii spaţiale date CG3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS4. Clasificarea corpurilor geometrice după anumite criterii date sau alese Reguli

➢ Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

➢ „Tests = Teste” ➢ „Geometry = Geometrie” ➢ „Basic 3D shapes = Corpuri

geometrice” ➢ „Start test = Începe testul”

65

ANEXA 3

Clasa a VIII -a

PLANIFICARE SEMESTRIALĂ

SEMESTRUL I

ALGEBRĂ

Unitatea de învățare Competențe specifice Conținuturi Nr. ore

Săpt. Aplicații

RECAPITULARE (3 ore)

▪ Recapitulare pentru testarea iniţială 3 S1-S2

MULŢIMI DE NUMERE REALE

INTERVALE (5 ore)

(1.1.), (3.1.), (4.1.), (2.1.)

▪ Forme de scriere a unui număr real. Relaţia ℕ ⊂ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

1 S2 Quizizz/15 min.

▪ Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări

1 S3

▪ Modulul unui număr real 1 S3

▪ Intervale de numere reale 2 S4

▪ Probă de evaluare 1 S5 Quizizz/30 min.

REGULI DE CALCUL ÎN R

(5 ore)

(3.1.), (1.1.), (5.1.) ▪ Operaţii cu numere reale 2 S5-6

▪ Raţionalizarea numitorului de forma 𝑎√𝑏 𝑠𝑎𝑢 𝑎 ±

√𝑏, 𝑎, 𝑏𝜖ℕ∗

2 S6-7

▪ Probă de evaluare 1 S7

CALCULE CU NUMERE REALE REPREZENTATE

PRIN LITERE (7 ore)

(1.1.), (5.1.) ▪ Calcule cu numere reale reprezentate prin litere 1 S8 Math Test/15 min.

▪ Formule de calcul prescurtat 2 S8-9 Math Test/15 min.

▪ Descompuneri în factori (factor comun, grupare de

termeni, formule de calcul)

3 S9-10 Factor Trinomial Practice/10 min. Factoring Practice Binomial/10 min.

▪ Probă de evaluare 1 S11 Quizizz/30 min.

RAPOARTE DE NUMERE REALE REPREZENTATE

PRIN LITERE (12 ore)

(1.1.), (5.1.), (6.1.)

▪ Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere 1 S11

▪ Amplificarea rapoartelor de numere reale reprezentate prin litere

1 S12 Primes numbers & Divisibility/10 min.

▪ Simplificarea rapoartelor de numere reale reprezentate prin litere

2 S12-14

▪ Adunarea și scăderea rapoartelor de numere reale reprezentate prin litere

2 S14-S15

66

▪ Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Înmulțirea și împărțirea

2 S15-16

▪ Operaţii cu rapoarte 3 S16-S17

Quizizz/ 30 min. Math Test/15 min.

▪ Probă de evaluare 1 S18

LUCRARE SCRISĂ SEMESTRIALĂ

(2 ore)

▪ Pregătirea lucrării scrise 1 S13

▪ Lucrare scrisă 1 S13

RECAPITULAREA ŞI

CONSOLIDAREA CUNOŞTINŢELOR

(3 ore

▪ Intervale 1 S18

▪ Calcule cu numere reale reprezentate prin litere 1 S19

▪ Operaţii cu rapoarte 1 S19

SEMESTRUL II

ALGEBRĂ

Unitatea de învăţare

Competenţe specifice Conţinuturi Nr. ore

Săpt. Aplicații

FUNCŢII ( 10 ore)

(1.2.); (3.2.); (4.2.); (2.2.)

▪ Noţiunea de funcţie 1 S1

▪ Funcţii definite pe mulţimi finite exprimate cu ajutorul unor diagrame, tabele, formule

1 S1

▪ Graficul unei funcţii; reprezentarea geometrică a graficului unei funcţii numerice

1 S2

▪ Funcţii de tipul 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝑅, 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅, unde 𝐴 este o mulţime finită

3 S2-3

▪ Funcţii de tipul 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝑅, 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ℝ, unde 𝐴 = 𝑅

3 S4-5

GeoGebra/30 min.

▪ Probă de evaluare 1 S5 Quizizz/ 30 min.

ECUAŢII ŞI

INECUAŢII (I) (8 ore)

(5.2.); (6.2.) ▪ Ecuaţii de forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, unde 𝑎 şi 𝑏 sunt numere reale

1 S6

GeoGebra/15 min.

▪ Ecuaţii de forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, unde 𝑎, 𝑏, 𝑐 sunt numere reale, 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0

1 S6

▪ Sisteme de două ecuaţii liniare cu două necunoscute

1 S7

▪Rezolvarea lor prin metoda: - grafică - substituţiei - reducerii

4 S7-9

GeoGebra/15 min.

▪ Probă de evaluare 1 S9

67

ECUAŢII ŞI

INECUAŢII (II) (6 ore)

(5.2.); (6.2.) ▪ Inecuaţii de forma 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 (≥, <, ≥), unde 𝑎

şi 𝑏 sunt numere reale

2 S10

▪ Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii

2 S11

▪ Ecuaţia de forma 𝑎𝑥2

+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, unde 𝑎, 𝑏, 𝑐 sunt numere reale, 𝑎 ≠ 0

1 S12

Math Test/15 min. GeoGebra/15 min.

▪ Probă de evaluare 1 S12 Quizizz/ 30 min.

LUCRARE SCRISĂ SEMESTRIALĂ

(2 ore)

▪ Pregătirea lucrării scrise 1 S13

▪ Lucrare scrisă 1 S13

RECAPITULAREA ŞI

CONSOLIDAREA CUNOŞTINŢELOR

(4 ore)

▪ Teste pentru evaluarea naţională 4 S14-15

SEMESTRUL I

GEOMETRIE

Unitatea de învăţare Competenţe specifice Conţinuturi Nr. ore

Săpt. Aplicații

RECAPITULARE (3 ore)

▪ Recapitulare pentru testarea iniţială 2 S1

▪ Test iniţial 1 S2

PUNCTE, DREPTE, PLANE, CORPURI

GEOMETRICE (7 ore)

(1.3.), (2.3.), (3.3.), (4.3.), (5.3.), (6.3.)

▪ Puncte, drepte, plane: convenţii de desen şi notaţie

1 S2

▪ Determinarea dreptei; determinarea planului 1 S3 GeoGebra/15 min.

▪ Piramida: descriere şi reprezentare; tetraedrul 1 S3 GeoGebra/15 min.

▪ Prisma: descriere şi reprezentare; paralelipipedul dreptunghic; cubul

1 S4 GeoGebra/15 min.

▪ Poziţiile relative a două drepte în spaţiu; relaţia de paralelism în spaţiu

1 S4 GeoGebra/15 min.

▪ Unghiuri cu laturile respectiv paralele (fără demonstraţie); unghiul a două drepte în spaţiu; drepte perpendiculare

1 S5 Quizizz/15 min.

▪ Probă de evaluare 1 S5

RELAŢII ÎNTRE PUNCTE, DREPTE

ŞI PLANE (9 ore)

(1.3.), (3.3.), (5.3.), (6.3.)

▪ Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un plan 1 S6 GeoGebra/15 min.

▪ Dreaptă perpendiculară pe un plan; distanţa de la un punct la un plan; înălţimea piramidei

2 S6-7 GeoGebra/15 min.

▪ Poziţiile relative a două plane 1 S7 GeoGebra/15 min.

▪ Plane paralele; distanţa dintre două plane paralele; înălţimea prismei

2 S8

68

▪ Secţiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate

1 S9 GeoGebra/15 min.

▪ Trunchiul de piramidă: descriere şi reprezentare 1 S9

▪ Probă de evaluare 1 S10

PROIECŢII

ORTOGONALE PE UN PLAN (15 ore)

(3.3.), (4.3.), (5.3.), (6.3.)

▪ Proiecţii ortogonale de puncte, de segmente de dreaptă şi de drepte pe un plan

1 S10

▪ Unghiul dintre o dreaptă şi un plan; lungimea proiecţei unui segment

1 S11

▪ Teorema celor trei perpendiculare 3 S11-12 GeoGebra/15 min.

▪ Calculul distanţei de la un punct la o dreaptă; calcululul distanţei dintre două plane paralele

2 S14

▪ Unghi diedru. Unghiul a două plane 2 S15

▪ Plane perpendiculare 2 S16

▪ Calculul unor distanţe şi măsuri de unghiuri pe feţele sau în interiorul corpurilor studiate

3 S17-18

▪ Probă de evaluare 1 S18

LUCRARE SCRISĂ SEMESTRIALĂ

(2 ore)

▪ Pregătirea lucrării scrise 1 S13

▪ Discutarea lucrării scrise 1 S13

RECAPITULAREA ŞI

CONSOLIDAREA CUNOŞTINŢELOR

(2 ore)

▪ Paralelism în spaţiu

1 S19

▪ Perpendicularitate în spaţiu

1 S19

SEMESTRUL II

GEOMETRIE

Unitatea de învăţare

Competenţe specifice Conţinuturi Nr. ore

Săpt. Aplicații

PRISMA (8 ore)

(1.4.); (2.4.); (3.4.); (4.4.); (5.4.); (6.4.)

▪ Paralelipipedul dreptunghic: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

2

S1 GeoGebra/15 min.

▪ Cubul: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

2

S2 GeoGebra/15 min. Math Test/15 min.

▪ Prisma dreaptă cu baza: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

3

S3-4 GeoGebra/15 min.

▪ Probă de evaluare 1 S4 Quizizz/ 30 min.

PIRAMIDA ŞI TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ

(11 ore)

(1.4.); (2.4.); (3.4.); (4.4.); (5.4.)

▪ Piramida triunghiulară regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

1 S5

GeoGebra/15 min.

▪Tetraedrul regulat 2 S5-6

GeoGebra/15 min.

69

▪ Piramida patrulateră regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

2 S6-7 GeoGebra/15 min.

▪ Piramida hexagonală regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

2 S7-8

GeoGebra/15 min.

▪ Piramida. Probleme 1 S8 Math Test/15 min.

▪ Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată 1 S9

▪ Trunchiul de piramidă patrulateră regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

1 S9 Quizizz/ 30 min.

▪ Probă de evaluare 1 S10

CORPURI ROTUNDE

(5 ore)

(1.4.); (2.4.); (3.4.); (4.4.); (5.4.); (6.4.)

▪ Cilindrul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum

1 S10

GeoGebra/15 min.

▪ Conul circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum

1 S11

GeoGebra/15 min.

▪ Trunchiul de con circular drept: descriere şi desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale aria laterală, aria totală şi volum

1 S11

GeoGebra/15 min.

▪ Sfera: descriere, aria, volumul 1 S12 GeoGebra/15 min.

▪ Probă de evaluare 1 S12 Math Test/15 min. Quizizz/ 30 min.

LUCRARE SCRISĂ SEMESTRIALĂ

(2 ore)

▪ Pregătirea lucrării scrise 1 S13

▪ Lucrare scrisă 1 S13

RECAPITULAREA ŞI

CONSOLIDAREA CUNOŞTINŢELOR

(4 ore)

▪ Teste pentru evaluarea naţională 4 S14-15

70

Competențe generale/Competențe specifice

CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite

1.1. Identificarea în exemple, în exerciţii sau în probleme a numerelor reale şi a formulelor de calcul prescurtat

1.2. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt funcţii

1.3. Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora

1.4. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configuraţii geometrice spaţiale date

CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice

2.1. Utilizarea în exerciţii a definiţiei intervalelor de numere reale şi reprezentarea acestora pe axa numerelor

2.2. Utilizarea valorilor unor funcţii în rezolvarea unor ecuaţii şi a unor inecuaţii

2.3. Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice

2.4. Calcularea ariilor şi volumelor corpurilor geometrice studiate

CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete

3.1. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea de algoritmi pentru optimizarea calculului cu numere reale

3.2. Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondenţe şi/sau a unor funcţii în scopul caracterizării acestora

3.3. Utilizarea proprietăţilor referitoare la drepte şi unghiuri în spaţiu pentru analizarea poziţiilor relative ale acestora

3.4. Clasificarea corpurilor geometrice după anumite criterii date sau alese

CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora

4.1. Folosirea terminologiei aferente noţiunii de număr real (semn, modul, opus, invers, parte întreagă, parte fracţionară) în contexte variate

4.1. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor noţiuni de geometrie plană

4.2. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noţiunilor legate de drepte şi unghiuri în plan şi în spaţiu

4.3. Exprimarea proprietăţilor figurilor şi corpurilor geometrice în limbaj matematic (axiome, teoremă directă, teoremă reciprocă, ipoteză, concluzie,

demonstraţie)

71

CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă

5.1. Deducerea şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat pentru optimizarea unor calculi

5.2. Determinarea soluţiilor unor ecuaţii, inecuaţii sau sisteme de ecuaţii

5.3. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării descrierii configuraţiilor spaţiale şi în vederea optimizării calculelor de lungimi

de segmente şi de măsuri de unghiuri

5.4. Analizarea şi interpretarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice anumite cerinţe

CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii

6.1. Rezolvarea unor situaţii problemă utilizând rapoarte de numere reale reprezentate prin litere; interpretarea rezultatului

6.2. Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii, rezolvarea acestora şi interpretarea

rezultatului obţinut

6.3. Interpretarea reprezentărilor geometrice şi a unor informaţii conţinute în acestea în corelaţie cu determinarea unor lungimi de segmente şi a unor

măsuri de unghiuri

6.4. Transpunerea unei situaţii problemă în limbaj geometric, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

72

ANEXA 4

Proiecte didactice recomadate

Cls. a VIII-a

Semestrul I

Nr. Crt.

Titlul lecției Link

1. Formule de calcul prescurtat https://www.digitaliada.ro/Formule-de-calcul-prescurtat-a1558503205865243

2. Poziția relativă a două plane în spațiu http://digitaliada.ro/Pozitii-relative-a-doua-plane-in-spatiu-a1584128192335841

3. Unghiul a două drepte în spațiu. Aplicații http://digitaliada.ro/Unghiul-a-doua-drepte-in-spatiu-a1558505473569538

4. Piramida și trunchiul de piramidă: descriere și reprezentare http://digitaliada.ro/Piramida-descriere-si-reprezentare.-Tetraedrul.-Trunchiul-de-piramida-a1584136042986027

5. Corpuri geometrice. Dreapta perpendiculară pe un plan. Distanța de la un punct la un plan. Înalțimea piramidei

http://digitaliada.ro/Dreapta-perpendiculara-pe-un-plan-a1584123244383728

6. Pozițiile relative a două drepte în spațiu http://digitaliada.ro/Pozitia-relativa-a-doua-drepte-in-spatiu-a1558503677932887

7. Prisma patrulateră regulată, paralelipipedul dreptunghic, cubul - descriere și reprezentare, desfășurări

http://digitaliada.ro/Prisma-patrulatera-regulata-paralelipipedul-dreptunghic-cubul-descriere-si-reprezentare-desfasurari-a1558504766247504

8. Teorema celor trei perpendiculare http://digitaliada.ro/Teorema-celor-trei-perpendiculare-a1584132009617206

9. Pozițiile relative ale unei drepte față de un plan http://digitaliada.ro/Pozitiile-relative-ale-unei-drepte-fata-de-un-plan-a1558505767381893

73

Semestrul II

Nr. Crt.

Titlul lecției Link

1. Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată https://www.digitaliada.ro/Trunchiul-de-piramida-triunghiulara-regulata-a1594382148174199

2. Conul circular drept: desfășurare, aria laterală, aria totală și volumul https://www.digitaliada.ro/Conul-circular-drept-desfasurare-aria-laterala-aria-totala-si-volumul-a1594380747859265

3. Trunchiul de con circular drept: aria laterală, aria totală și volumul https://www.digitaliada.ro/Trunchiul-de-con-circular-drept-aria-laterala-aria-totala-si-volumul-a1594381681889622

4. Sisteme de două ecuații de gradul I, cu două necunoscute https://www.digitaliada.ro/Sisteme-de-doua-ecuatii-de-gradul-I-cu-doua-necunoscute-a1594379351553631

5. Ecuații de gradul I cu o necunoscută

https://www.digitaliada.ro/Ecuatii-de-gradul-I-cu-o-necunoscuta-a1594378850557946

6. Piramida patrulateră regulată. Calcul cu arii, volum, distanțe și unghiuri https://www.digitaliada.ro/Piramida-patrulatera-regulata.-Calcul-de-arii-volum-distante-si-unghiuri-a1594381111305478

7. Funcții de tipul 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 https://www.digitaliada.ro/Functii-de-tipul-f-R%E2%86%92R-f-x-%3D-ax%2Bb-a1584055094429697

8. Ecuații de forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖ℝ, 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0. https://www.digitaliada.ro/Ecuatii-de-forma-ax%2Bby%2Bc%3D0-unde-a-b-c-%E2%88%88R-a%E2%89%A00-b%E2%89%A00-a1545724340926018

9. Graficul funcției de tipul 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, definită pe ℝ. Aplicații. https://www.digitaliada.ro/Graficul-functiei-de-tipul-f-x-%3Dax%2Bb-definita-pe-R.-Aplicatii-a1545724685472519

10. Piramidă triunghiulară regulată, desfășurare, calcul de arii, volum

https://www.digitaliada.ro/Piramida-triunghiulara-regulata-desfasurare-calcul-de-arii-volum-a1594381460877147