Clasa a V-a Matematică Răspunsuria · 5 + b + a · 5 + 1 = 1 · 52 + b · 5 + a ⇔ 9a = 24 + 4b...
Transcript of Clasa a V-a Matematică Răspunsuria · 5 + b + a · 5 + 1 = 1 · 52 + b · 5 + a ⇔ 9a = 24 + 4b...
© 2014
Clasa a V-a ♦ Matematică ♦ RăspunsuriSăptămâna 1Partea I Nr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 235 cincizeci şi nouă
1012, 1013, 1014
0, 1, 2, 3, 4 10
b) 1048 o mie unu 14, 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 999
c) 909000 şase sute mii
7, 9, 11
500, 502, 505, 520, 522, 525, 550, 552,
555111
Partea a II-a
1. a) 0 1 4 5 6 8
b) 0 2 4 6 8
2. a) 102; b) 10 234; c) 102 345;3. a) 1, 32, 99, 204, 1010, 30 402, 523 000; b) 10 018, 9 901, 703, 98, 89, 5, 0; c) 27 > 26, 101 < 110, 2006 = 2006; d) Numerele impare sunt: 3, 205, 2007, 32 459.
Săptămâna 2 Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) termeni sumă 2007 575 377 0
b) scăzătorul, diferenţă 520 2006 1529 înmulţire
c) factori, produs 14 0 884 distributivă, factor
Partea a II-a 1. a) 25 · 10 · 30 = 7 500 ouă; b) (7 500 – 10) · 4 = 29 960 bani = 2 996 lei.
2. a) x · (y + z) = xy + xz = 50 + 26 = 76; b) 95 · (34 + 66) = 95 · 100 = 9 500; c) 0.3. a) 80 – 5 · 1 = 80 – 5 = 75; b) (20 + 20 · 0) · (50 + 50 · 0) = (20 + 0) · (50 + 0) = 20 · 50 = 1 000; c) 10 · [72 – 7 · (6 – 5 · 1) – 2] = 10 · [72 – 7 · (6 – 5) – 2] = 10 · (72 – 7 · 1 – 2) = 10 · (72 – 7 – 2) = 10 · 63 = 630; d) (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 55.
Săptămâna 3Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) deîmpărţit, împărţitor
cu rest 12 în care sunt scrise 20070
b) 0 706 şi 42
0, 1, 2, 3, 4 în care sunt scrise 6280
c) 0 290 falsă înmulţire şi împărţire 0
Partea a II-a1. a) 15 : 15 = 1 leu; b) 210 : 3 = 70 km/oră.2. a) d = 19 · 15 + 18 = 303; b) d = 5 · r + r, 0 ≤ r < 5, deci d = 6r, r Î {0, 1, 2, 3, 4}. Numerele căutate sunt: 0, 6, 12, 18, 24. c) De exemplu: 7 = 35 : 5; 7 = 63 : 9, 7 = 21 : 3, 7 = 56 : 8, 7 = 70 : 10.3. a) 100 – [2 + 5 · (2 + 0)] · 5 = 100 – (2 + 5 · 2) · 5 = = 100 – 12 · 5 = 100 – 60 = 40. b) 20 + 3 – (15 – 3 · 2) = 23 – (15 – 6) = 23 – 9 = 14. c) (450 · 8 420 – 1 520 280) : 720 = (3 789 000 – 1 520 280) : 720 = 2 268 720 : 720 = 3 151. d) 2 + 2 · {2 + 2 · [2 + 2 · (2 + 4)]} = 2 + 2 · [2 + 2 · (2 + 2 · 6)] = = 2 + 2 · (2 + 2 · 14) = 2 + 2 · (2 + 28) = 2 + 2 · 30 = 2 + 60 = 62.
© 2014
Săptămâna 4Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) divide A F divide 0b) nu divide F A divizibil 0, 2, 4, 6, 8c) este divizibil cu A A a | c nu este
Partea a II-a1. a) D30= {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}; b) 0, 6, 12, 18, 24.2. a) 300, 310, 320, 330, 340, 350, 360, 370, 380, 390. b) 750, 755, 760, 765, 770, 775, 780, 785, 790, 795. c) 52, 54, 56, 58, 60, 62.3. a) Notăm cu x numărul paginii de stânga şi cu x + 1 numărul paginii de dreapta. Trebuie să punem condiţia x număr par. Avem x + x + 1 = 49, deci 2x + 1 = 49, adică 2x = 48, de unde x = 24. Prin urmare, cartea este deschisă la paginile 24, 25. b) a = 85, b = 92, deci a < b. c) 256, 526, 562, 652. d) x număr par 3x număr par 64 număr par 3x + 64 număr par
Săptămâna 5Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) 12 1, 2, 3 7, respec-tiv 5 1 am + n
b) 6 1, 2, 3, 4 nu are a an · bn
c) 1 nu are soluţii 64 pătrat an · m
Partea a II-a1. a) x + 8 = 60, deci x = 52; b) 2x = 112, deci x = 56.2. a) x : 2 =19, de unde x = 2 · 19. Sunt 38 de fete. b) i) Un număr de două cifre se poate scrie ab .
Cum b = a : 4, a şi b cifre, deducem că numărul poate fi 41 sau 82. ii) Răsturnatul unui număr ab este numărul ba . Deci putem avea 41 − 14 = 27 sau 82 − 28 = 54.3. a) 6 67 3= +x x + 3 = 7 x = 4.
b) 2 2 23 4 12 7( ) = ≠ . (În membrul stâng s-au adunat exponenţii în loc
să se înmulţească!!!) c) 17 17 1730 26 4: = , afirmaţia este adevărată. d) Puterile lui 3 mai mici decât 17 sunt: 3 3 30 1 2, , . Distingem situaţiile: y xx x= ⇒ + = ⇒ = ⇒ =0 2 3 17 2 16 40 ; y x x= ⇒ + = ⇒ =1 2 3 17 2 141 nu convine;
y xx x= ⇒ + = ⇒ = ⇒ =2 2 3 17 2 8 32 .
Deci (x, y) = (4, 0) sau (x, y) = (3, 2).
Săptămâna 6Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) 4 29 1 > 1b) 9 36 x > 4c) 1 33 xy < 7
Partea a II-a1. 242 = (23)14 = 814, deci 712 < 814 şi 712 < 242.2. a) 9; b) Notăm S = 1 + 2 + 22 + ... + 22006 ⇒ 2S = 2 + 22 + 23 + ... + 22007, 2S – S = 22007 – 1 = S. Aşadar 1 + 22 + 23 + ... + 22006 + 1 = 22007.3. 169 = 236 = 812; 820 = 260 = 3212; 816 = 248 = 1612. Deoarece 812 < 912 < 1612 < 2712 < 3212, obţinem 169 < 912 < 816 < 2712 < 820.
© 2014
Săptămâna 7. APartea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) 0; 1; 4; 5; 6 sau 9 22 15 64 + 8 625
b) cubul 5 8 36 + 36 25c) 1 252 4 (6 · 1002)2 + (8 · 1002)2 75
Partea a II-a1. 925 = (1 + 8) · (98)3 = (98)3 + (2 · 98)3.2. a) 1234321 = 11112; b) Suma cifrelor numărului este 15, deci numărul este divizibil cu
3, dar nu este divizibil cu 9. Aşadar numărul nu este pătrat perfect.3. k - par u(a) = 2 şi u(b) = 8; k - impar u(a) = 7 şi u(b) = 3. Deci,
pentru orice număr natural k, ultima cifră a lui a sau b este 2, 3, 7 sau 8 şi de aici concluzia.
Săptămâna 7. BPartea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) 3 prune 12 12 20b) 3 şi 5 perelor 12 37 9c) 2 şi 3 cireşelor 10 7 3
Partea a II-a1. 0; 1; 2; 3 şi 4.2. Fie a numărul de acţionări ale butonului roşu şi b numărul de
acţionări ale butonului albastru; 30a este suma obţinută prin acţionarea butonului roşu iar 19b este suma care se scade prin acţionarea butonului albastru.
Obţinem: 30a = 19b + 1; de aici u(19b) = 9 şi (19b + 1) 30, iar u(b) = 1. Dacă b = 1, atunci 19b + 1 = 2030. Dacă b = 11, atunci 19b + 1 = 210 30. Deci 7 acţionări ale butonului roşu şi 19 acţionări ale butonului albastru.
3. Dacă înotătorul ar înota pe lac 10 minute într-o direcţie şi 15 minute în sens contrar, atunci, la final s-ar afla la 15 × 5 = 75 m de punctul se start. Pe râu această distanţă este anulată de curgerea apei. În 25 minute apa îl deplasează pe înotător 75 m, deci într-un minut îl deplasează 75 : 25 = 3 m.
Săptămâna 8Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) 101(4) 5 a · 102 + b · 10 + c 8 2b) 19(10) 30 5 19 3c) 132(5)
275 660 7 1
Partea a II-a1. a) 100a + 20b + 3c = 761, u(3c) = 1, c = 7; 10a + 2b = 74 şi de aici
rezultă a = 7 şi b = 2 sau a = 6 şi b = 7.2. a) Transformăm numărul 107 din baza 10 în baza 2 şi apoi din baza
2 din nou în baza 10 şi obţinem: 107(10) = 1101011(2) =
= 1 · 26 + 1· 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 1 + 1 · 20 = = 26 + 25 + 23 + 21 + 20.
b) Transformând în baza 10 obţinem: 2 · x2 + 3 = 35 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4. c) Observăm că a, b < 5. Transformând în baza 10 obţinem: a · 5 + b + a · 5 + 1 = 1 · 52 + b · 5 + a ⇔ 9a = 24 + 4b ⇔ ⇔ 9a = 4(6 + b) ⇒ (9a)4 ⇒ a4 ⇒ a = 4 şi b = 3.3. xyz = 25 (x + y + z), de unde z poate fi 0 sau 5. Dacă z = 0, atunci
xyz = 150, iar dacă z = 5 obţinem xyz = 225 sau 375.
© 2014
Săptămâna 9Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) falsul adevărul adevărul falsul
„Dunărea nu se varsă în Marea Neagră printr-o
deltă“.b) adevărul adevărul falsul adevărul falsulc) adevărul adevărul adevărul adevărul adevărul
Partea a II-a1. Dacă Ana a mâncat prăjitura atunci Ana şi Maria mint, iar George
şi Radu spun adevărul. Dacă Maria a mâncat prăjitura, atunci ea minte, iar Ana, George şi Radu spun adevărul. Dacă George a mâncat prăjitura, atunci Ana, Maria şi George mint, iar Radu spune adevărul. Dacă Radu a mâncat prăjitura, atunci Ana şi Radu mint, iar Maria şi George spun adevărul. a) Maria; b) George.
2. a) P1: adevărată; P2: adevărată; P3: falsă; b) P1 sau P2: adevărată; P1 şi P2 : falsă; (P1 sau P2) şi P3 : falsă.3. a) 1122 = 33 · 34; adevărul;
b) 111 1222 2 333 3 33 34... ... ... ...n ori n ori n ori n ori
= ⋅ ; adevărul.
Săptămâna 10Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) ∅ {m, a, t, e, i, c} 8 {3, 4, 5};M={x Î | x aa= , 1 ≤ a
≤ 9 }b) {1, 2, 3, 4} 8 2, 3, 4 11; 55 şi 99
c) cardinalul mulţimii 16 4 4,9 şi 16 {11; 66}
Partea a II-a1. 1 ≤ x ≤ 8 ⇒ A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. y y y
y y yB
+ ≤ + ⇒ ≥+ ≤ + ⇒ ≤
⇒ ={ }2 2 1 1
2 1 9 81 2 3 4 5 6 7 8; ; ; ; ; ; ; şi A = B.
2. 1 Î A 2 Î A 4 Î A 8 Î A 16 Î A; 3 · 0 + 1 Î A ⇒0 Î A; 3 · 5 + 1 Î A 5 Î A 10 Î A 20 Î A 40 Î A; 3 · 3 + 1 Î A 3 Î A 6 Î A; 3 · 13 + 1 Î A 13 Î A 26 Î A 52 Î A 17 Î A 34 Î A 11 Î A 22 Î A 7 Î A 14 Î A 28 Î A 9 Î A.
3. Aplicăm proprietatea: numărul numerelor naturale x, cuprinse între a şi b cu a < x ≤ b este b – a şi deci propoziţia este adevărată.
Săptămâna 11Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) 5 F {1} {1; 2; 3} {1; 2}b) 55 A 12 ∅ {0; 1; 2}c) 0 F ∅ {1} 3
Partea a II-a1. a) M = {3; 2; 1}. b) ∅; M; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}.2. a) A = {3; 5; 6}; B = {4; 5; 6; 7}; b) 1; c) 30.3. a) 7; b) 21; c) 13; d) 8.
Săptămâna 12Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) 180 3 254 984 987 Ab) 80 30 10 2 000; 2 005 Ac) 20 070 000 10 001 309 416 F
© 2014
Partea a II-a1. a) 2009; b) 96; 23.2. a) 169; b) 1; c) 251.3. a) 25; b) Dacă n = 4a + 3 şi n = 6b + 4; a, b ∈ , se obţine n impar şi n
par ceea ce este absurd; c) {q, r}; d) x - preţ caiet; y - preţ carte 2 3 63
3 2 633 2 2 3
x y
x yx y x y x y
+ =+ ≤
⇒ + ≤ + ⇒ ≤
Dar x ≥ y, deci x = y = 63 : 5 lei = 12,6 lei.
Săptămâna 13Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) 46 1; 9; 49; 64 F 3 720b) 45 1; 8; 1000; 64; 233 A 14 9c) 4095 1; 64 F 47 2
Partea a II-a1. a) 4; b) x ∈ {0; 1}.2. a) 231; 75; b) (A); c) 231 nu este prim pentru că este divizibil cu 3.3. a) n = 2 · (2007 · 2008) : 2 − 2007 = 20072. b) A ∩ B = {1; 4}; c) u(92n · 93 − 5) = u(1 · 9 − 5) = 4 ultima cifră a numărului este pară.
d) 39 : 38 · 323 = 324 = 3 312 2 8 3( ) = ( ) .
Săptămâna 14Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) 4 {3; 2; 1; 0} 34502 333
b) 32 {0; 1; 2} 8112 9 636c) 6 2 2727 300 535
Partea a II-a1. a) 3; b) 128.2. a) 5 + 6 + 1 = 12 care este divizibil cu 3; b) 10a + a + 60 + a = 12a + 60 = 3 · (4a + 20) ∈ M3; c) 5n · 52 − 5n = 5n · 24 ∈ M3.
Săptămâna 15Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 4; 3; 2; 1; 0
82
72
92
72; supraunitară 2 F
b) 5 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0 echiunitară 14 F
c) 5 7 subunitară {3; 4; 5; 6; 8; 14} A
Partea a II-a
1. a) F =
0
3
1
3
2
3; ; ; b) M = ∅; N = F; P = ∅.
2. a) x ∈ {1; 3; 4; 6; 7}; b) x ∈ {1; 3; 9}; c) x ∈ {2; 5; 7; 8}.3. a) 100; b) 1; c) 3; d) 96.
Săptămâna 16
Partea I
1. a) 132
84; b) 6; c)
11 8
3
88
33
/
.=
2. a) 67
26; b)
12
15; c)
21
10
23
30
27
70
29
90; ; ; .
3. a) 112
113; b)
1
11; c)
30
20
3
2= .
4. a) ab
23; b) 3; c) 2
5.
5. a) 15; b) x = 8; c) x y, , ; , ; , ; , .( )∈ ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 12 12 1 3 4 4 3
© 2014
Partea a II-a
1. abcd a b c d a b c
a b c− + + +( ) = + + = + + ∈
9
999 99 9
9111 11 ,
a, b, c – cifre, a ¹ 0.
2.F
n n n n n
n n n n
n n n
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅− + +
+ +
−36 5 7 2 3 5
6 5 7 2 15
2 3 51 2 1 2 1
1 1
2 2 1 ⋅⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=+ +
+ +7 2 3 5
2 3 5 7 2 3 5
2 1 2 1
1 1
n n n
n n n n n n =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅( )⋅ ⋅ ⋅ +( )
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
− −2 3 5 7 2 3 5
2 3 5 5 7 2
2 3 5 37
2 3
2 2 1 2 2 1n n n
n n n
n n n
n n ⋅⋅ ⋅= ⋅ ⋅
⋅ ⋅=
= ⋅ = ∈
−
∗
5 37
2 3 5
2 3 5
2 3
5
6
5
2 2 1
n
n n n
n n n
n n n
n, ;6
5
216
5
6
5
6
53
3n n
n= ⇒ = ⇒ =.
3. a) 999 999
111 111 111
999
111
99
abc bca cab a b c a b c a b c+ +=
+ +=
+ +( )=
+ +.
b) c b a< < , a, b, c cifre nenule;
9
9 1 3 99a b ca b c a b c
+ +∈ ⇒ + + ⇒ + + ∈ ={ } | , ,D
a b c
a b c
+ + =+ + =
1
3 imposibil pentru că a, b, c sunt cifre nenule diferite
a b c
c b a
a b c
+ + =< <
= + += + += + +
9
9 4 3 2
9 5 3 1
9 6 2 1
, , cifre nenule
⇒ ∈{ }abc 432 531 621, ,
Săptămâna 17Partea I
1. a) 1; b) 1 2 3 24
100
24 252
100
12 25
1003
3
4
+ + + + =
⋅
= ⋅ =...; c)
37
150.
2. a) 3; b) 19; c) A.
3. a) 1; b) 4
75
7
125
3
50< < ; c) 4
11
8
25
6
19
2
7> > > .
4. a) x∈{ }14 15; ; b) 69
30; c)
41
42
48
49< .
5. a) 41
4675; b) 91
24; c) 35
12.
Partea a II-a
1. a) 333
777
3434
7878
555
333
888
999
4
7
22
39
2
9
3
7
34
78
3
+ + −
+ + + =
= + +/ 55
3
8
9
4
7
22
39
2
9
3
7
17
39
7
9
4
7
22
39
2
9
7
7
39
39
9
−
+ + + = + +
+ + + + = + +99
1 1 1 3= + + = .
b) ab
cd
abab
cdcd
ababab
cdcdcd
ab
cd
ab
cd
ab+ + = + ⋅⋅
+ ⋅101
101
10101 1010\ 11
10101cd ⋅=
= + + = ⋅ab
cd
ab
cd
ab
cd
ab
cd
3.
2. a) S
S
=⋅
+⋅+
⋅+ +
⋅
= − + − + − + + −
1
1 2
1
2 3
1
3 4
1
49 50
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
48
1
49
...
... ++ −
= − ⇒ =
1
49
1
50
1
1
1
50
49
50S S .
© 2014
b) 1
1 2
1
2 3
1
1
1
1
89
90
1
1
1
2
1
2
1
3
1
1
1
⋅+
⋅+ +
−( ) ⋅ +⋅ +( )
=
− + − + +−
−
...
...
n n n n
n nn n n
n
n
n
n
nn
+ −+
=
−+
= ⇒ + −+
= ⇒+
= ⇒ =
1 1
1
89
90
1
1
1
1
89
90
1 1
1
89
90 1
89
9089.
Termenii care lipsesc sunt: 1
88 89
1
89 90⋅ ⋅; .
3. a) 2
4
6
8
10
12
98
100
1
2
3
4
5
6
47
48
2 2 2 2\ \ \ \
... ...+ + + +
− + + + +
=
+ + + + + − − − − − =1
2
3
4
5
6
47
48
49
50
1
2
3
4
5
6
47
48
49
50... ... .
b) x
y
x y
= + + + +
= + + + +
+ = + +
1
2
2
3
3
4
99
100
2
4
2
6
2
8
2
1001
2
1
3
1
2 2 2 2
...
...\ \ \ \
44
99
100
1
2
1
3
1
4
1
1002
3
3
3
4
4
100
100
+ + + + + + +
+ = + + + +
... ...
...x y
x
y
x y
= + + + +
= + + + +
+ = + +
1
2
2
3
3
4
99
100
2
4
2
6
2
8
2
1001
2
1
3
1
2 2 2 2
...
...\ \ \ \
44
99
100
1
2
1
3
1
4
1
1002
3
3
3
4
4
100
100
+ + + + + + +
+ = + + + +
... ...
...x y
x y
x y
+ = + + + ++ =
1 1 1 1
99
...
.
c) 49
5099
49
501
49
5099
49
5099 99
49
50
4901
5050
< ⇒ <
+ = ⇒ = − ⇒ =x x x/
⇒ 99 este mai mare decât 49
50 cu 4901
50.
Săptămâna 18Partea I
1. a) 1
2; b) 11
13; c) 24
13.
2. a) 3
5; b) 5
4; c) A.
3. a) 20; b) 3; c) F.
4. a) 1
2
2
3
3
4
4
5⋅ ⋅ ⋅ ; b) x = 3
8; c)
1
5.
5. a) x x x x x− = − ⇒ = ⇒ =3
418
3
418 24; b)
2
3; c)
97
101.
Partea a II-a
1. x = +
⋅ +
⋅ ⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1
1
21
1
41
1
2002
3
2
5
4
7
6
200... ...
11
2000
2003
2002
11
31
1
51
1
71
1
1
⋅
= +
⋅ +
⋅ +
⋅ ⋅ +y ...
99991
1
2001
4
3
6
5
8
7
2000
1999
2002
2001
⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
y
x
...
yy = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
2000
1999
2001
2000
2002
2001
2003
20...
002
x y⋅ = 2003
2.
2. a) n
n
n n
n n
n n
= ⋅ + ⋅⋅ − ⋅
+( )
= ⋅ + ⋅⋅
+
+
4 2 3 8
6 8 3 22 2 3
4 2 3 2
6 2
3 1
31997 1994
3 1 3
: :
33 33
3
33 22 3
2 4 2 3
2 6 311
11
311
11
3
1
1
n n
n
nn
n n
− ⋅+( )⇒ =
⋅ +( )−( )
⇒ = ⇒ = ⋅
: :
:11
1
3⇒ =n .
© 2014
b) n + = + = = ∈2
3
1
3
2
3
3
31 .
3. a) a = +−
⋅ −
+
= + ⋅
⋅ −1
16
12
16
1
16
12
16
11
6
6
21
11
6
6
4
11
21
1
4
3
2
3
4
9
8
1
12
12
16
⋅
=
= +
⋅ −
= ⋅ =
= +−
;
b
⋅ −
+
= + ⋅
⋅ − ⋅
=1
12
12
16
11
2
6
21
1
2
6
4
== +
⋅ −
= ⋅ =1
3
21
3
4
5
2
1
4
5
8.
a = +−
⋅ −
+
= + ⋅
⋅ −1
16
12
16
1
16
12
16
11
6
6
21
11
6
6
4
11
21
1
4
3
2
3
4
9
8
1
12
12
16
⋅
=
= +
⋅ −
= ⋅ =
= +−
;
b
⋅ −
+
= + ⋅
⋅ − ⋅
=1
12
12
16
11
2
6
21
1
2
6
4
== +
⋅ −
= ⋅ =1
3
21
3
4
5
2
1
4
5
8.
b) 5
8
9
8< ⇒ <b a.
c) a ba b+( ) = −
=
=
=+ +
+ + +14
98
58
14
74
14
29
8
5
8
4
8
1
2
1
4..
Săptămâna 19Partea I
1. a) 5
1
5
2
5
3
5
4; ; ; ; b) x∈{ }0 1 2, , ; c) 35
16.
2. a) 7; b) 3; c) 23
20.
3. a) 336
234
636
264
936
294; ; ; b) 1
6; c) 0.
4. a) 6
5; b) n = 72; c) x = 1
4.
5. a) 4; b) 15
2; c) 7
4
50
28
50
14
25⋅ = = .
Partea a II-a
1. a) a
b
a b
= + + + +
= + + + +
+ = + + +
1
2
2
3
3
4
1992
19931
2
1
3
1
4
1
19932
2
3
3
4
4
...
...
.... ... ;+ = + + + + =1993
19931 1 1 1 1992
b) 3 1992 3| | .⇒ +a b
2. A = −
⋅ −
⋅ −
⋅ ⋅ −
2 3 4 1001
1
21
1
31
1
41
1
100/ / / /...
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
=⋅
+⋅
+ +⋅
= ⋅
A
B
B
1
2
2
3
3
4
99
100
1
100
3
2 7
3
7 12
3
47 52
3
1
1
...
...
55
1
2
1
7
1
7
1
12
1
47
1
52⋅ − + − + + −
...
B = ⋅ ⋅ =3
1
1
5
25
52
15
52
5
15 1
100
15
52
15
1500
15
52
/
.⇒ < ⇒ <A B
3. A
Bn
nn
=
= +
∈
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
2
1
3
2
4
3
1
; ; ; ;
; ; ;...; , *.
a) Elementele mulţimii A sunt fracţii subunitare, iar ale mulţimii B sunt fracţii supraunitare ⇒ ∩ =∅A B .
b) n =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
5
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
2
1
3
2
4
3
5
4
6
51.
© 2014
c) n =
+ + + + + + + + + + =
= + + + + + = +
6
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
24
2
6
3
8
4
10
5
12
62 22 2 2 2 2 12+ + + + = .
Săptămâna 20
Partea I1. a) 3,25; 3,6; 157,2; 0,0004. b) 0,8; 0,03125; 0,55; 0,016. c) 0,28; 1,375; 3,25; 0,064.
2. a) 27
10
63
20
1878
25; ; . b)
1
5
3
20
7521
2500; ; . c) F.
3. a) x = 10000; b) F; c) 32,246 > 3,2466 > 3,246 > 3,2246.
4. a) F; b) x = 480; c) 1
7.
5. a) 987,6; b) 6,98; c) 14,56.
Partea a II-a
1. 1 1 1 4 665
11000
11000
11000
4 665
, , , ,
,
abc bca cab
abc bca cab
+ + =
+ + + + + =
331000
4 665
111
10001 665 111 16
+ + + =
+ +( ) = ⇒ + +( ) =
abc bca cab
a b ca b c
,
, 665
15
⇒
⇒ + + =a b c .
2. A =
32
10
25
6
7
3
7
25
44
275
80
212; ; ; ; ;
a) B =
32
10
7
25
44
2752; ; ; b) C =
25
6
7
3
80
21; ; ; c)
44
275
7
25
32
102< < .
3. A abcd bcda cdab dabc= + + +0 0 0 0, , , ,
a) Aabcd bcda cdab dabc a b c d
a b c d
= + + + =+ + +( ) =
=⋅ + + +( )
10
1111
10101 11
4 4
110101
4⇒ | A
b) Dacă a + b + c + d = 14
⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒
⇒ ⋅ =
A A
A
1111 14
1010 10
1111 14
10
10 15554
44 4
4
4 .
Săptămâna 21Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 23 375,1 4 836,21 102 şi 103 >b) 4 egale 4836 102,4 =
c) 234 0,75; 3,4; 4,999; 5,25; 5,7 4840 102,48 <
Partea a II-a1. a) 3,3 > 3 > 2,8 > 2,5 > 2,3 > 2; (5p) b) - alegerea unei unităţi de măsură potrivite; (2p) - reprezentarea corectă a celor şase puncte. (3p)2. a) 1053 < 1053,4927 < 1054; (5p) b) 1053,4 < 1053,4927 < 1053,5; (5p) c) 1053,49 < 1053,4927 < 1053,50. (5p)
3. a) Nab bc ca a b c
= + + =+ +( )
100
11
100 (4p)
Cea mai mică valoare se obţine pentru {a, b, c} = {0, 1, 2} N = 0,33. (3p) Cea mai mare valoare se obţine pentru {a, b, c} = {7, 8, 9} N = 2,64. (3p)
© 2014
b) [0,33] = 0; (3p) {0,33} = 0,33; (2p) [2,64] = 2; (3p) {2,64} = 0,64. (2p)
Săptămâna 22Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 0,68 2,875 437
10001,34(3) {4, 6}
b) 2,8(6) 0,2(87) 124
111 1
c) 62,(90) 0,28(6) 8 1943
49503 {2, 5, 8}
Partea a II-a1. a) 85,(03) < 85,0(3); (5p) b) 0,(127) < 7,201 < 7,2(01) < 10,(27) < 21,0(7); (5p)
c) 137
9900 1 38= ( ), ; (5p)
S = 8052,1(38).
2. S ab
bc
ca
a b ca b c= + + = + +( ) + +
9 9 9 9; (5p)
S este număr natural dacă 9 | (a + b + c); (5p) Smin = 10, pentru a + b + c = 9; (5p) Smax = 30, pentru a + b + c = 27. (5p)
3. ab a c a b a c a c b c− + = + − + = + + +90 9
10 10
90
9 9
90. (5p)
Suma este o fracţie zecimală finită dacă fracţia se poate simplifica prin 9 b + c = 9. (5p)
Săptămâna 23Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 2,758 3070,9 20,0634 5,97 3,045
b) 63,325 2,45 3,7525 47,76 1,5
c) 12,185 90,39 0,0296 106,9227 F
Partea a II-a1. a) 83,2 − 21,76 + 0,49 = 61,93 (5p) b) 14,2415 : 28,483 + 0,8 = 1,3 (5p) c) 30,8(3) – 5 + 50 = 75,8(3) (5p) d) 1,1(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 1,1 · 45 = 49,5. (5p)
2. a b a b= = <3614
6961
1088
35; ; . (15p)
3. a) x · 0,75 = 5,1 (2p) x = 6,8 (2p) b) 0,1 · 1000 = 100 (2p) 1000 − 100 = 900 kg făină (3p)
Săptămâna 24Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a)12
219 6
3
1045 2, 3, 4
b) 5,25 8 20,114
51, 2, 3, 4, 6, 12
c) 506,45
75,75 0,9 2, 3, 4
© 2014
Partea a II-a
1. a) a
a
b
b
a b
= − − −
=
= ⋅=>
51
4
5
93
1
6
5
1817
23 75 1 5 0 56
1 4
, : , ,
,
(2p) (2p) (2p) (2p) (2p)
b) 1
21 4 0 7 din , ,= (5p)
c) a b⋅ = 23 8
12
, . Partea întreagă a produsului este egală 1. (3p)
Partea întreagă a produsului este egală cu 4. (2p)
2. a) a =⋅
+⋅+ +
⋅
⋅ =
= − + − + + −
1
1 2
1
2 3
1
2004 200510
11
2
1
2
1
3
1
2004
...
...11
200510
2004
200510
4008
401
12034008
40112
⋅ =
= ⋅ =
= ⋅
.
a din 003 12024
401 402
2 326867
4008
40126867 268536
=
= ⋅⋅
=
⋅ =
.
; .
.
b b
(5p)
b) (5p)
c)
a =⋅
+⋅+ +
⋅
⋅ =
= − + − + + −
1
1 2
1
2 3
1
2004 200510
11
2
1
2
1
3
1
2004
...
...11
200510
2004
200510
4008
401
12034008
40112
⋅ =
= ⋅ =
= ⋅
.
a din 003 12024
401 402
2 326867
4008
40126867 268536
=
= ⋅⋅
=
⋅ =
.
; .
.
b b (5p)
3. 9 9
90
16
90
x y y x+ − − = . (5p)
x − y = 2 şi xy număr prim xy Î {31, 35, 97}. (5p)
Săptămâna 25Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 13,2 62,48 8,5 1,866 16
b) 4,4 23,96 8 1,2 20,41875
c) 5,1 2,6 8,8 1,533 42
Partea a II-a
1. map =⋅ + ⋅ + ⋅
+ += + + =1 4 3 2 5 5 6 1 5 4 8
1 2 5 1 5
4 3 14 7 2
55 1
, , , , ,
, ,
, ,, .
2. a b+ = +
+ +
+ + +25
1
2524
24
2526
2
2623
24
2649
25
49
24
49...
=
= + + + =
=
50 50 50 1200
600
... .
.de 24 ori
ma
3. a a aa a a
+ + + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =18 2
328 4 18 84 4 66 16 5, .
Numerele sunt: 16,5; 34,5 şi 33.
Săptămâna 26Partea I
1. 18; 2. 2,5; 3. 0,37%; 4. 5
24;
5. 30; 6. 2; 7. 3
7; 8. 120; 9. 7.
Partea a II-a
1. a) 100% x – 36% x = 64% x.
64
100275 176⋅ = km.
2. AC
AD
AE
ED
EF
FD= =
© 2014
3. a) 12
100324000 38880 324000 38880 362880⋅ = + =; lei, preţul
după prima scumpire.
25
100362880 90720 90720 362880 453600⋅ = + = lei; lei, preţul
după cea de-a doua scumpire.
b) 37
100324000 119880 119880 324000 443880⋅ = ⇒ + = lei.
c) x
x100
324000 453600 14⋅ = ⇒ =% %.
Săptămâna 27Partea I1. a) AB, BC, EF, DF, CD. b) AB şi GE; BC şi DF; c) B, C, G; G, E, F; C, D, E;2. 5 şi 24; 3. 14; 4. 10;5. ● ● ● ● ●
6.
A
B C
M
N
P● 7. x
x
xA
B
C8. AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE; total 10 drepte.9. a) O(4; 4) b) AB = 4; BC = 4; CD = 4; AD = 4. Partea a II-a3. a), c), e).
Săptămâna 28
Partea I1. a) 2 750 dm; b) 27,5 dam; c) 275 000 mm.2. a) 370 m; b) 300 m; c) 137,8 m.3. a) 828 dm; b) 326,2 m.4. a) 73 dam > 3700 dm; b) 703 cm < 0,73 dam.5. a) 286 dm; b) 8,962 hm.6. 61 cm. 7. 2004 m.8. 6,3 cm. 9. 1,2 m. Partea a II-a1. 254 cm.
2. l l l l l l l1 2 3 2 2 33
550 100 60 150= = + ⇒ = = =; ; . dm; 1
3. a) l = 12 m; L = 18 m; b) l = 15 m.
Săptămâna 29Partea I1. 253 m2 = 2,53 dam2 = 0,0253 hm2.2. 64 m2. 3. 2800 m2. 4. 28 m2.5. 28 cm. 6. 5000 m. 7. = 80 cm; = 195 cm2.8. 280 m. 9. 12.Partea a II-a1. a) placă = 152 = 225 cm2 = 0,0225 m2; 13,5 : 0,0225 = 600 plăci de faianţă. b) 54 · 13,5 = 729 lei.2. a) p = 9 cm Cazul I: L = 8 cm; l = 1 cm; Cazul II: L = 7 cm; l = 2 cm; Cazul III: L = 6 cm; l = 3 cm; Cazul IV: L = 5 cm; l = 4 cm; b) 1 = 8 cm2; 2 = 14 cm2; 3 = 18 cm2; 4 = 20 cm2;3. lp = 5 m; ld = 7 m Ld = 21 m d = 147 m2; d = 56 m.
© 2014
Săptămâna 30
Partea I1. 324 000 000 mm3 = 324 000 cm3 = 324 dm3 = 0,324 m3.2. 157 32 c. 3. 64. 4. 454 m3.5. 96 m3. 6. 216 m3. 7. 6 cuburi.8. a) 1,23 ; b) 78 h; 9. 625 .Partea a II-a
1. 5 3603
44 020⋅ = k vândut în prima zi;
5 360 – 4 020 = 13 400 k cantitatea rămasă; 13 400 – 3 400 = 10 000 h au rămas în bazin. bazin = 10 000 h = 1 000 000 = 1 000 000 dm3 = 1 000 m3; bazei = 20 · 5 = 100 m 1000 : 100 = 10 m înălţimea bazinului.2. 192 : 12 = 16 cm; = 163 = 4 096 cm3.3. paralelipiped = 7 · 9 · 9 = 576 ; cub = 83 = 512 apa se varsă din cub.
Săptămâna 31Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 9 000 0,524 4 2 600 1,2
b) 5 264 5 0,0625 1 550 40 000
c) 72 650 32 700 793 2 500
Partea a II-a1. a) 97 336 ; b) 14,4 ;2. a) 5 t; b) 9 t; c) 6 t;3. 6 240 ;
Săptămâna 32Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 840 10 800 24 30 6
b) 560 220 9360 45 30
c) 180 15 016 1122 625
12 (în 2007) 13 (în 2008) 14 (în 2009)
...
Partea a II-a1. a) 7 şi 29; b) 15 ani;2. a) 2105; b) 2003; c) 2054; 3. a) 20 ani; b) 4 ani; c) 1,4; d) 8 ani.
Săptămâna 33Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a)33
120,052 9 3 1
b) 2007 0,0156 n + 1 1113
12
c) 0 60 000 2n · 9 197
36
Partea a II-a
1. a) A = 11
2; B = 1
10; b) 1;
2. a) x = 0,4; y = 4,6; b) 2,5; c) (A);3. a) 360 cm; b) 0,5184 m2; c) 896 cm2; d) 288 cm.
© 2014
Săptămâna 34Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 22010 512; 516 1; 2 1; 5 1; 2; 4; 8
b) y 45; 90 1 810 1; 2
c) 0 585 3; 2; 1 4 0; 3
Partea a II-a1. a) 98; 99; b) 1; 2. a) 53; b) x = 125; y = 42;3. a) 4 1 1 8 5 1
4 1 8 4 4
1 2 1
a a b
a a b
a a bpar
⋅ +( ) + = + −( )⋅ +( ) = + ( )⋅ + = +
/
/ :
( ) iimpar
fals ( )
b) u(58) = 8 sau 72 < 58 < 82; c) 210 = (25)2 = 322 pentru că 2n + 2n = 2n+1; d) 236 = (218)2 = (212)3.
Săptămâna 35Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 45 100a + 10b + c 3 4 87
b) 4095 2007 6 25 0; 1; 5; 6
c) 4815 a 15 336 49
Partea a II-a1. a) 2005; b) 10032;2. n = 4c + r, r < 4, n ≠ 0; a) c = r2, n = 4r2 + r; n Î {5; 18; 39}; b) r = c2, n = 4c + c2; n = 5; c) c = 961, n Î {3844; 3845; 3846; 3847}.3. a) u.c (5n + 2) Î {2; 7}; b) a < 3 2a < 6; b < 4 3b < 12. Prin adunarea relaţiilor obţinem: 2a + 3b < 18;
c) 2x + 3 = 9 x = 3 3x = 9 3x – 4 = 5; d) x · (x + 1) · (x + 2) 3 (Se va înlocui x, pe rând, cu: 3k; 3k + 1; 3k + 2, k Î )
Săptămâna 36Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a)18
25
1
256 0; 12 2,4
b) 1007
20a + b + c 10 13 32006 + 1
c)8
9216 3200 3 0
Partea a II-a1. a) 17; b) 81 294 cm;2. a) 2006; b) 999; c) u(n) = 0;3. a) 6; b) 45; c) 987.