Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

121
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1 http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 1/121  Ciprian Necula Evaluarea op ţ iunilor financiare Volumul I. Modelul Black- Scholes-Merton Bucureşti 2009

Transcript of Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

Page 1: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 1/121

 

Ciprian Necula

Evaluarea opţiunilor financiare

Volumul I. Modelul Black-

Scholes-Merton

Bucureşti2009

Page 2: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 2/121

 

 Domnului profesor Moisă Alt ăr 

Page 3: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 3/121

 

Cuprins

 Introducere....................................................................................................................3 I. No ţ iuni privind teoria probabilit ăţ ilor ......................................................................6

 I.1 No ţ iuni preliminare ..............................................................................................6 I.2 Variabile aleatoare...............................................................................................8 I.3 M ă sur ă  şi probabilitate ......................................................................................10 I.4 Reparti ţ ia  şi func ţ ia de reparti ţ ie a unei variabile aleatoare.............................12 I.5 Media unei variabile aleatoare ..........................................................................13 I.6 Convergen ţ a  şirurilor de variabile aleatoare ....................................................17 I.7 Densitatea de reparti ţ ie a unei variabile aleatoare ...........................................18

 I.8 Vectori aleatori...................................................................................................20 I.9 Func ţ ia caracteristică.........................................................................................21 I.10 No ţ iunea de independen ţă a variabilelor aleatoare.........................................21 I.11 Media condi ţ ionat ă...........................................................................................23

 II. No ţ iuni privind teoria proceselor stocastice..........................................................25

 II.1 No ţ iuni preliminare ...........................................................................................25 II.2 Mi şcarea browniană .........................................................................................27

 III. No ţ iuni privind teoria calculului stocastic ..........................................................34

 III.1 Varia ţ ia pătratică a unui proces stocastic.......................................................34 III.2 Integrala stocastică..........................................................................................38 III.3 Formula de schimbare de variabil ă.................................................................40 III.4 Teorema de reprezentare a martingalelor .......................................................43 III.5 Teorema de schimbare a mă surii.....................................................................44

 IV. No ţ iuni privind teoria proceselor de difuzie ........................................................46

 IV.1 Ecua ţ ii diferen ţ iale stocastice ..........................................................................46 IV.2 Generatorul infinitizimal al unui proces de difuzie .........................................50 IV.3 Teorema de leg ătur ă dintre procesele de difuzie  şi ecua ţ iile diferen ţ iale cu

derivate par  ţ iale.......................................................................................................52

1

Page 4: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 4/121

 

V. Pia ţ a financiar ă de tip Black-Scholes-Merton (BSM)..........................................55

V.1 Ipotezele modelului Black-Scholes-Merton .......................................................55V.2 Arbitrajul  şi mă sura neutr ă la risc ....................................................................57V.3 Trecerea de la probabilitate pie ţ ei la mă sura neutr ă la risc ............................60

V.4 Hedging  şi mă sura neutr ă la risc ......................................................................61V.5 M ă sura neutr ă la risc in cazul unidimensional .................................................63V.6 M ă sura neutr ă la risc in cazul bidimensional ...................................................64V.7 Utilizarea mă surii neutre la risc pentru evaluarea produselor financiare

derivate ....................................................................................................................66

VI. Evaluarea op ţ iunilor europene în contextul pie ţ ei financiare de tip BSM ........69

VI.1 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o ac ţ iune f ăr ă dividend ..................69VI.2 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o ac ţ iune cu dividend ....................72VI.3 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o valut ă..........................................75

VI.4 Op ţ iuni europene care au ca activ suport un contract futures ........................76VII. Evaluarea op ţ iunilor cu barier ă în contextul pie ţ ei financiare de tip BSM .....80

VII.1 Op ţ iuni knock-out  şi knock-in .........................................................................80VII.2 Op ţ iuni "ladder" .............................................................................................93

VIII. Evaluarea op ţ iunilor dependente de drum în contextul pie ţ ei financiare de tip

 BSM .............................................................................................................................96

VIII.1 Op ţ iuni cliquet ...............................................................................................96VIII.2 Op ţ iuni cu maxim discret ...............................................................................99VIII.3 Op ţ iuni asiatice ...........................................................................................102

 IX. Evaluarea op ţ iunilor cu mai multe active suport în contextul pie ţ ei financiare

de tip BSM .................................................................................................................104

 IX.1 Distribu ţ ia normal ă bidimensional ă ..............................................................104 IX.2 Mi şcarea browniană bidimensional ă.............................................................105 IX.3 Proces de difuzie bidimensional  şi lema Ito bidimensional ă .........................105 IX.4 Evolu ţ ia cursului a două active......................................................................106 IX.5 Op ţ iuni curcubeu............................................................................................107 IX.6 Op ţ iuni quanto ...............................................................................................112

 Bibliografie................................................................................................................118

2

Page 5: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 5/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 Introducere

Monografia de faţă se adresează studenţilor care doresc să aprofundezedomeniul evaluării opţiunilor financiare. Parcurgerea acestei lucr ări presupune

cunoaşterea noţiunilor elementare privind utilizarea şi evaluarea derivativelor 

financiare (vezi Altăr - 2008, Hull - 2006). Volumul I reprezintă o abordare ab initio 

în ceea ce priveşte evaluarea opţiunilor în contextul pieţei financiare de tip Black-

Scholes-Merton. Astfel, prima parte (capitolele I-IV) este consacrată aspectelor 

teoretice necesare în cadrul matematicii financiare, iar în partea a doua (capitolele V-

IX) este analizată viabilitatea şi completitudinea pieţei financiare de tip BSM şi suntevaluate diferite tipuri de opţiuni financiare.

In capitolul I sunt prezentate noţiuni elementare de teoria probabilităţilor cum

ar fi conceptul de variabilă aleatoare, repartiţie şi funcţie de repartiţie, funcţie de

densitate, funcţie caracteristică, medie condiţionată ş.a.

Capitolul II este axat pe studiul mişcării browniene, fiind analizate

 principalele proprietăţi ale mişcării browniene: proprietatea de scalare, simetrie şi

inversiune a timpului, nederivabilitatea traiectoriilor, calculul variaţiei pătratice, proprietatea Markov, proprietatea tare Markov, principiul de reflexie, precum şi

3

Page 6: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 6/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

repartiţia comună a proceselor  şi a proceselor ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

≤t  s

t  s

 B B ,sup t  st  s

 B B ,inf ≤

repartiţii care

vor fi utilizate pentru evaluarea opţiunilor cu barier ă.

In capitolul III sunt prezentate noţiuni elementare de calcul stocastic. Pentru

început este analizat conceptul de variaţie pătratică în cazul martingalelor, a

martingalelor locale şi a semimartingalelor  şi este studiat spaţiul martingalelor 

mărginite. In continuare este introdus conceptul de integrală stocastică în raport cu

martingale -mărginite, în raport cu martingale locale şi în raport cu

semimartingalele şi sunt prezentate proprietăţile lor. Tot în cadrul acestui capitol sunt

demonstrate teorema de integrare prin păr ţi şi teorema de schimbare de variabilă 

(i.e. formula lui Ito), teorema de caracterizare a lui Levy, teorema de reprezentare a

martingalelor  şi în final teorema de schimbare a probabilităţii (i.e teorema lui

Girsanov).

2 L -

2 L

Capitolul IV este consacrat analizei ecuaţiilor diferenţiale stocastice şi

 proceselor de difuzie. Pentru început sunt demonstrate teorema de existenţa şi

unicitate a unei soluţii a unei ecuaţii diferenţiale stocastice, precum şi proprietatea

Markov a proceselor de difuzie. De asemenea, este prezentată forma particular ă a

formulei Ito pentru procesele de difuzie. In continuare sunt analizate câteva proprietăţi

ale generatorului infinitizimal şi este calculat generatorul infinitizimal al unui proces

de difuzie omogen. In final este demonstrată teorema de legătură dintre procesele

de difuzie şi ecuaţiile cu derivate parţiale (i.e. teorema Feynman-Kac).

In capitolul V sunt analizate proprietăţilor pieţei financiare de tip Black-

Scholes-Merton (BSM), prin utilizarea conceptului de măsur ă neutr ă la risc. Pentru

început este analizată legătura dintre arbitrajul financiar şi existenţa măsurii neutre la

risc, precum şi dintre existenţa portofoliilor de hedging şi unicitatea măsurii neutre la

risc. Concluzia la care se ajunge este aceea că modelul BSM (unidimensional sau

multidimensional) este viabil şi complet (i.e. măsura neutr ă la risc există  şi este

unică). In continuare este prezentată trecerea la măsura neutr ă la risc in cazul

unidimendsional şi bidimensional. In final este demonstrat principiul evaluării

neutre la risc  şi este determinată  ecuaţia fundamentală de evaluare a unui activ

financiar.

In continuare sunt determinate, prin utilizarea principiului evaluării neutre la

risc, formulele de evaluare pentru diverse tipuri de opţiuni financiare în contextul

4

Page 7: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 7/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 pieţei financiare de tip Black-Scholes-Merton. Astfel, în capitolul VI este analizată 

evaluarea opţiunilor europene în cazul în care activul suport este o acţiune f ăr ă 

dividend, o acţiune cu dividend, o valută sau un contract futures. Tot în cadrul acestui

capitol este demonstrat faptul că, în contextul modelului BSM, preţul futures teoretic

este egal cu preţul forward teoretic, rezultat care se datorează ipotezei privind rata

dobânzii f ăr ă risc. Capitolul VII este dedicat analizei opţiunilor barieră de tip knock-

aut, knock-in şi ladder, iar capitolul VIII analizei opţiunilor dependente de drum de

tip cliquet, cu maxim discret şi asiatice. In capitolul IX sunt obţinute formule de

evaluare pentru o serie de opţiuni care au mai multe active suport.

5

Page 8: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 8/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 I. No ţ iuni privind teoria probabilit ăţ ilor 

 I.1 No ţ iuni preliminare

Fie Ω o mulţime şi mulţimea păr ţilor lui( )Ω Ω . Vom nota cu

complementara mulţimii

 A AC  −Ω=:

 A .

Definiţia 1.1

( )Ω⊂   se numeşte σ - algebr ă dacă sunt îndeplinite condiţiile: 

1.  şi ∈  ∈Ω2.      ∈⇒∈ C 

 A A  3.  ( )     ∈⇒∈ ∪

n

nnn  A A  

Definiţia 1.2

( )Ω⊂ se numeşte algebr ă dacă sunt îndeplinite condiţiile: 

1.  şi∈ ∈Ω2.    ∈⇒∈ C 

 A A  3.  ( )   ∈⇒∈

∈∈ ∪

 I n

n I nn  A A finitI ,  

Definiţia 1.3

Fie ( )Ω⊂ . Vom defini σ - algebra generată de , ( )σ , ca fiind ceamai mică - algebr ă care îl conţine pe , i.e.σ ( ) ∩

ebraa lg 

:

−σ⊂

  

   

Propoziţia 1.4

Fie  şi  două    σ - algebre. Atunci   ∩ este - algebr ă. Dar 

nu este neapărat o σ - algebr ă.

σ

  ∪

 

Vom nota în continuare ( )     ∪σ=∨ : .

6

Page 9: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 9/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Definiţia 1.5

( )Ω⊂   se numeşte topologie pe Ω dacă sunt îndeplinite condiţiile: 

1.   ∈  şi  ∈Ω  2.  ( )     ∈⇒∈

∈∈ ∩

 I n

n I nn  A A finitI ,

3.  ( )     ∈⇒∈ ∪n

nnn  A A  

Definiţia 1.6

Fie      o topologie pe . Vom defini borelianul luiΩ Ω asociat topologiei

  , , ca fiind( )Ω σ - algebra generată de   , i.e. ( ) ( )  σ=Ω :

Exemplul 1.7 (mulţimea borelienelor reale)

Fie şi( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<=⊂= ∪n

nnnn babaGG  , ,|  ( ){ } { } ∪<∈= bababa ,,|,  

Avem că     este o topologie pe (topologia mulţimilor deschise) şi ( ) ( )  σ=σ .

Mulţimea borelienelor reale este borelianul generat de topologia mulţimilor deschise.

Definiţia 1.8 (indicatorul unei mulţimi)

Fie  ( )Ω⊂  A . Indicatorul lui este o funcţie { }1,0: →Ω A definită astfel:

( )⎩⎨⎧

∈ω

∈ω=ω

 A

 A A ,0

,1 .

Propoziţia 1.9 (proprietăţile funcţiei indicator)

1.  0,1 ==Ω  

2.   A AC  −= 1  

3.   A=2

4.   B A B A =∩

5.   B A B A B A −+=∪

6.   B A A B A −=−

7.   B A B A =⇔=  

7

Page 10: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 10/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 I.2 Variabile aleatoare

Definiţia 1.10

Fie ( )Ω⊂    o  - algebr ă.σ ( ) ,Ω  se numeşte spaţiu măsurabil. 

Definiţia 1.11

Fie o funcţie, E  f  →Ω:  E  A ⊂ şi ( ) E  ⊂ . Vom defini preimaginile lui

 A respectiv astfel ( ) ( ){ } E  f  A f  ∈ωΩ∈ω=− |:1 , ( ) ( ){ } ∈= −− A A f  f  |: 11 .

Propoziţia 1.12

Fie o funcţie şi E  f  →Ω: ( ) E  ⊂ . Avem că  ( )( ) ( )( ) σ=σ −− 11  f  f  . In

 particular dacă este o - algebr ă atunci şi σ ( )1− f  este o σ - algebr ă.

Definiţia 1.13

Fie şi două spaţii măsurabile. Funcţia( ) ,Ω (  , E  )  E  f  →Ω: se numeşte

- măsurabilă dacă (   , ) ( )    ⊂−1

 f  ( i.e. ( )    ∈⇒∈∀−

 A f  A1

  ).

Exemplul 1.14

Fie două ( )Ω⊂   , σ - algebre, .   ⊂ ( ) ,Ω   şi ( ) ,Ω sunt spaţii

măsurabile. Fie funcţia identitate Ω→ΩΩ :id  , ( ) ω=ωΩid  . Deoarece

( )     ⊄=−Ω

1id  funcţia nu esteΩid  ( )  , - măsurabilă. Dar este ( ) -

măsurabilă pentru că 

  ,

( )     ⊂=−Ω

1id   

Definiţia 1.15 (variabilă aleatoare)

Fie spaţiu măsurabil. Funcţia(  ,Ω ) →Ω: X    se numeşte variabilă 

aleatoare dacă este - măsurabilă ( i.e.( )(  , ) ( )( )   ⊂−

1 X  ).

Definiţia 1.16

8

Page 11: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 11/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Fie spaţiu măsurabil. Funcţia măsurabilă (  ,Ω ) →Ω: f    se numeşte

simplă (etajată) dacă ,∑=n

 An na f  ∈na ,  ji A A  ji ≠∀=∩   , .Ω=∪

n

n A

 

Propoziţia 1.17 (proprietăţile funcţiilor măsurabile)

1.  Fie funcţii măsurabile şi→Ω:, g  f  ∈α . Atunci ,

,

 g  f  +

 fg f α , ( ) g  f  g  f  ,min:=∨ , ( ) g  f  g  f  ,max:=∧ , , g  f   f  sunt funcţii

măsurabile.

2.  Fie funcţie măsurabilă. Atunci→Ω: f 2

:,2

: f  f 

 f  f  f 

 f −

=+

= −+  

sunt funcţii măsurabile pozitive.

3.  Fie funcţie măsurabilă. Atunci→Ω: f  ( )nn f  ∃ ,  func ţ ii simple,

astfel încât ,

n f 

nn  f  f  ≥+1  f  f n ≤   şi nn

 f  f  lim= (punctual) i.e.

( ) ( ) Ω∈ω∀ω=ω ,lim nn

 f  f  .

Definiţia 1.18 (σ  - algebra generată de o funcţie măsurabilă)

1.  Fie şi(  ,Ω ) ( ) , E  două spaţii măsurabile şi funcţia

 E  f  →Ω: măsurabilă. Vom defini σ - algebra generată de , ,

ca fiind σ - algebra generată de preimaginea lui , i.e.

 f  ( ) f σ

 

( ) ( ) 1: −=σ  f  f  . Evident că datorită măsurabilităţii lui avem că 

.

 f 

( )  ⊂σ  f 

2.  Fie şi( ) ,Ω ( ) I nn E  ∈ , spaţii măsurabile şi funcţii 

măsurabile. Vom defini

nn  E  f  →Ω:

σ - algebra generată de astfel

.

n f 

( )( ) ( )⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ σ=σ

−∈ ∪

 I n

 I n  f  f   1:

  9

Page 12: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 12/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 I.3 M ăsur ă şi probabilitate

Definiţia 1.19 (măsură)

Fie spaţiu măsurabil. O funcţie(  ,Ω ) [ ]∞→μ ,0:  se numeşte masură pe

dacă îndeplineşte condiţiile: 

1.  disjuncte (( )  ∈∀μ=⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ μ ∑ n

n

n

n

n  A A A  ;∪ σ - aditivă)

2.  astfel încât ∈∃  A  ( ) ∞<μ  A .

Propoziţia 1.20 (proprietăţile măsurii)

1.  ( ) 0=μ  

2.  disjuncte( )  ∈∀μ=⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ μ ∑

==i

n

i

n

i

i  A A A  ;1i1

3.  ( ) ( ) B A B A μ≤μ⇒⊆  

4.  ( )  ∈∀μ≤⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ μ ∑ n

n

n

n

n  A A A  ;∪

5.  ( )nn

nn

 A A μ≤μ inf liminf lim  

6.  ( )nn

nn

 A A μ≥⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ μ suplimsuplim

7.  Dacă  ( )nn

nn

nn  A A A A μ=μ⇒⊆ + limlim1  

8.  Dacă  ( )nn

nn

nn  A A A A μ=μ⇒⊇ + limlim1  

9.  Fie 21,μμ două măsuri şi ∈21,aa . Atunci 2211 μ+μ aa este măsur ă.

10.  Fie ( măsuri. Atunci)nnμ ∑μ

n

n este măsur ă 

Definiţia 1.21

Fie μ o măsur ă pe . 

1.  Dacă  ( ) ∞<Ωμ atunci μ se numeşte măsură finită (mărginită) 

10

Page 13: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 13/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

2.  Dacă   ∈∃ n A astfel încât şiΩ=∪n

n A ( ) ∞<μ n A atunci μ se

numeşte măsură  σ - finită 

Exemplul 1.22 (măsura Dirac)

Fie . DefinimΩ∈a ( ) ( )a A  Aa =ε : . Se poate ar ăta că  aε este o măsur ă.

Aceasta se numeşte măsura Dirac concentrată în punctul .a

Fie şi . AtunciΩ∈na 0≥n p ∑ ε=μn

an n p: este o măsur ă. Dacă se

obţine card .

1=n p

 Exemplul 1.23 (măsura Lebesgue)

Fie ( ]{ bababa }≤∈= ,,|, , . Se poate ar ăta că este o algebr ă  şi că 

. Definim măsura Lebesgue pe astfel

( ) ( ) σ= ( ]( ) abba −=λ , . Măsura se

extinde la folosind procedeul lui Caratheodry ( o măsur ă ( ) σ - finită definită pe

o algebr ă poate fi extinsă în mod unic pe ( )σ ).

Măsura Lebesgue mai poate fi extinsă, existând mulţimi neboreliene care sunt

măsurabile Lebesgue. Dar nu poate fi extinsă pe ( ) existând mulţimi care nu sunt

măsurabile Lebesgue.

Dacă   A este cel mult numărabilă atunci ( ) 0=λ  A , dar există mulţimi de

 puterea continuumului care sunt neglijabile Lebesgue ( i.e ( ) 0=λ  A ).

Propoziţia 1.24

Fie spaţiu măsurabil şi(  ,Ω ) νμ, măsuri pe   . Fie şi notăm( )Ω⊂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈=∈

finit ,|:  I  A A i

 I i

id  ∩ . Dacă 

1.  (se spune că este închisă la intersecţii finite) =d 

2.  ( ) ( ) ∈∀=  A A A  ,ν   

Atunci ( ) ( ) ( )σ ν μ  ∈∀=  A A A  , .

Această propoziţie este foarte importantă. Ea arată că dacă trebuie să ar ătăm

egalitate dintre două măsuri pe o σ - algebr ă este de ajuns să ar ătăm egalitatea

acestora pe un sistem de generatori închis la intersecţii finite. Astfel dacă trebuie să 

11

Page 14: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 14/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

demonstr ăm egalitatea a două măsuri pe ( )  de ajuns de ar ătat egalitatea acestora

 pe (vezi exemplul 1.23) deoarece este închis la intersecţii finite şi este un

sistem de generatori pentru ( i.e.

( ) ( ) ( ) σ= ). 

Definiţia 1.25

1.  Fie spaţiu măsurabil şi(  ,Ω ) μ o măsur ă pe . Spunem că  

( )μ Ω  ,,  este spaţiu cu măsură.

2.  Fie spaţiu măsurabil şi o măsur ă pe astfel încât(  ,Ω )  P   

( ) 1=Ω P  . Atunci se numeşte probabilitate, iar se

numeşte câmp de probabilitate.

 P  ( ) P ,, Ω

 

 I.4 Reparti  ţ ia şi func ţ ia de reparti  ţ ie a unei variabile aleatoare

Definiţia 1.26 (repartiţia unei variabile aleatoare)

Fie ( un câmp de probabilitate şi) P ,, Ω →Ω: X  o variabilă aleatoare.

Repartiţia lui  X  notată  1− X  P  sau  X μ este o funcţie definită pe ( ) cu valori în

astfel:+

( ) ( ) A X  P  A X  P 

11

:

−−

= . 

Propoziţia 1.27

Fie ( ) P ,, Ω  un câmp de probabilitate şi →Ω: X  o variabilă aleatoare.

Repartiţia lui  X  este o probabilitate pe ( ) . 

Definiţia 1.28 (funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare)

Fie ( ) P ,, Ω  un câmp de probabilitate şi →Ω: X  o variabilă aleatoare.

Funcţia , →: X  F  ( ) ( ]( ) ( ]( ) ( ]( )( )=∞−=∞−=∞−μ= −−a X  P a X  P aa F   X  X  ,,,: 11  

( ){ }( ) a X  P a X  P not 

≤=≤ωΩ∈ω= | ( ) se numeşte funcţia de repartiţie a lui  X . 

Propoziţia 1.29 (proprietăţile funcţiei de repartiţie)

1.  este crescătoare X  F 

2.  ( ) ( ) 1lim,0lim ==∞→−∞→

a F a F   X 

a

 X 

a

 

12

Page 15: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 15/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

3.  este continuă la dreapta şi are limite la stânga (i.e. X  F 

( ) ( ) ( )0,0 −∃=+ a F a F a F   X  X  X  )

4.  ( ) ( ) ( ]( ) ( )b X a P baa F b F   X  X  X  ≤<=μ=− ,  

5.  ( ) ( ) { }( ) ( )a X  P aa F a F   X  X  X  ==μ=−− 0  

Definiţia 1.28 (variabilă aleatoare discretă)

 X  se numeşte variabilă aleatoare discretă dacă 

astfel încât .

1,0, =≥∈∃ ∑n

nnn  p pa

∑ ε=−

n

an n p X  P  1

Dacă  X  este variabilă aleatoare discretă se observă că:

( ) { }( ) { }( )⎩⎨⎧

=∃

∀≠=ε=== ∑−

nn

n

n

anaan p

naaa pa X  P a X  P 

n  a.i.,

 ,01  

De aici rezultă binecunoscuta notaţie pentru o variabilă aleatoare discretă (mai

exact pentru distribuţia acesteia)

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

.................... 

..................... ~

21

21

n

n

 p p p

aaa X   

Definiţia 1.29 (variabilă aleatoare continuă)

 X  se numeşte variabilă aleatoare continuă dacă este continuă. X  F 

 Se observă că dacă   X  este variabilă aleatoare continuă atunci sau

altfel spus repartiţia unei variabile aleatoare continue „nu vede” punctele.

{ }( ) 0=μ a X 

 

 I.5 Media unei variabile aleatoare

Definiţia 1.30 (integrala)

Fie ( )Ω  ,,  un spaţiu cu măsur ă. Integrala se construieşte în cinci paşi

1.  (integrala funcţiei indicator)( )∫ =Ω 

μ μ   Ad  A :

2.  ( )

∫ ∑∑=

Ω 

μ μ n

nn

n

 A  Aad n

:(integrala funcţiilor simple)

13

Page 16: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 16/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

3.  Fie →Ω : f  măsurabilă şi (integrala funcţiilor pozitive)0≥ f 

∫ ∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤=Ω Ω 

μ μ   f  s s sd  fd   simpla,functieeste|sup:

4.  Fie →Ω : f  măsurabilă şi definite în propoziţia 1.17−+  f  f  ,

∫∫∫ −+ −=Ω Ω Ω 

μ μ μ  d  f d  f  fd  :  

5.  ∫∫ =Ω 

μ μ  d  f  fd   A

 A

:

 

Pentru integrală se mai folosesc şi notaţiile ( ) ( )∫Ω 

ω μ ω  d  f  sau .( ) ( )∫Ω 

ω μ ω  d  f 

Exemplul 1.31

1.  ( )a f  fd  a =∫Ω 

ε 

2.  ( ) 0==∫

λ λ d 

 

Definiţia 1.32 (funcţie - integrabilă)

Fie ( )Ω  ,,  un spaţiu cu măsur ă. O funcţie măsurabilă  →Ω : f  se

numeşte - integrabilă (sau integrabilă când nu există riscul de confuzie) dacă 

.∞<∫  Ω 

μ  fd 

 

Propoziţia 1.33 (legătura dintre integrala Riemman şi integrala Lebesgue)

Fie integrabilă Riemman. Atunci este integrabilă Lebesgue şi[ ] →ba f  ,:

( )[ ]

[ ]∫∫ ∫ ==

, λ λ  d  f  fd dx x f 

b

a ba

 ,

 

Reciproca nu este adevărată aşa cum se vede şi din exemplul 1.32 funcţia

fiind integrabilă Lebesgue, dar nu Riemman.

 

Definiţia 1.34 ( - apt, - as)

14

Page 17: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 17/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Fie ( )Ω  ,,  un spaţiu cu măsur ă. Spune că o proprietate are loc - aproape

peste tot sau - apt sau apt când nu există riscul de confuzie ( - aproape sigur,

- as sau as dacă este o probabilitate) dacă mulţime punctelor pentru care

 proprietatea nu are loc este μ - neglijabilă.

Definiţia 1.35 (proprietăţile integralei)

1.  Dacă  00 ≥⇒≥ ∫Ω 

μ  fd  f 

2.  ∫∫ ≤Ω Ω 

μ μ  d  f  fd   

3.  Dacă  0 0 =⇒−= ∫Ω 

μ μ   fd apt  f 

4.  Dacă  şi0≥ f   0 0 apt  f  fd  −=⇒=∫ μ μ Ω 

5.  Dacă este f  μ - integrabilă atunci apt  f  −∞<  

6.  Dacă  ∈α  atunci ∫∫ =Ω Ω 

μ α μ α   fd  fd 

7.  ∫∫∫ +=+

Ω Ω Ω 

μ μ μ   gd  fd d  g  f   

8.  ( ) ∫∫∫ +=+Ω Ω Ω 

ν μ ν μ   fd  fd  fd   

Propoziţia 1.36 (convergenţă monotonă – Beppo Levi)

Fie →Ω :n f  integrabile şi apt  f  f  nn  1+≤ . Atunci

∫∫ =Ω Ω 

μ μ  d  f d  f  nn

nn

limlim  

Propoziţia 1.37 (convergenţă dominată – Lebesgue)

Fie →Ω :n f  integrabile şi integrabilă astfel încât g  apt  g  f n  ≤ . Atunci

∫∫ =Ω Ω 

μ μ  d  f d  f  nn

nn

limlim  

Propoziţia 1.38 (lema Fatou)

Fie →Ω :n f  integrabile şi . Atunci0≥n f 

  15

Page 18: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 18/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

∫∫ ≤Ω Ω 

μ μ  d  f d  f  nn

nn

inf liminf lim  

Propoziţia 1.39 (formula de transport)

Fie un câmp de probabilitate , o variabilă aleatoare(  P ,, Ω )  X  şi o funcţie

. Atunci . →: f  ∫∫∫ == −

 X d  f  X dP  f dP  X  f  μ Ω 

 1

 

Această propoziţie arată cum putem transforma o integrală pe Ω  într-o

integrală pe care este în general mai uşor de calculat. Propoziţia nu are loc doar 

 pentru probabilităţi, ci pentru orice măsur ă.

 

Definiţia 1.40 (media şi dispersia unei variabile aleatoare)

Fie un câmp de probabilitate şi o variabilă aleatoare(  P ,, Ω )  X . Media lui

 X  este definită astfel . Varianţa 

(sau dispersia) lui

[ ] 1I.39Prop

 : −

ΩΩ∫∫∫ ===  X dP id dP  X id  XdP  X  E 

 X  este ( ) [ ]( )2:  X  E  X  E  X VAR −= , iar abaterea medie pătratică 

este ( ) ( ) X VAR X  =:σ   

Exemplul 1.41 (media unei variabile aleatoare discretă)

Fie  X  variabilă aleatoare discretă, deci conform definiţiei 1.28

. Folosind formula de transport, proprietăţile integralei şi exemplul

1.32 media lui

∑=−

n

an n p X  P  ε 1

 X  este:

[ ] ===== ∫ ∑∫∫∫ −

n

an n pd id  X dP id dP  X id  XdP  X  E  ε 

Ω Ω 

 : 1  

( )∑∑ ∫∑∫ ===n

nn

n

an

n

an aid  pd id  pd id  pnn

ε ε   

∑=n

nna p

  16

Page 19: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 19/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 I.6 Convergen ţ a şirurilor de variabile aleatoare

Definiţia 1.42 (spaţiul ) p L

1.  aintegrabil-este|: μ  p

 f  f =   

2.  Spunem că două funcţii sunt g  f , μ - echivalente, , dacă  g  f  ~

apt  g  f   - = . Mulţimea funcţiilor echivalente cu o funcţie se

numeşte clasa de echivalenţă a lui , iar se numeşte

reprezentantul clasei de echivalenţă. Dacă în 1 luăm doar 

reprezentanţii claselor de echivalenţă se obţine spaţiul . Se mai

spune că 

 f 

 f f 

 p L

~ = p L .

3.  p

 p

 pd  f  f 

1

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ = ∫

Ω 

μ   

Propoziţia 1.43 (inegalităţi importante)

1.  (Minkovski) p p p

 g  f  g  f  +≤+  

2.  (Holder) Dacă  111

=+q p

atunciq p

 g  f  fgd  ≤∫Ω 

μ   

3.  (Schwartz)22

 g  f  fgd  ≤∫Ω 

μ   

4.  (Jensen) Fie  X  o variabilă aleatoare şi funcţia convexă .

Atunci

→: f 

( )[ ] [ ]( ) X  E  f  X  f  E  ≥ .

5.  (Cebîsev) Fie  X  o variabilă aleatoare şi . Atunci:0>k 

[ ] ( )( )2

k  X k  X  E  X  P  ≤≥− σ   

Definiţia 1.44 (tipuri de convergenţă)

Fie (  P ,,  )Ω  un câmp de probabilitate şi →Ω :, n X  X  variabile aleatoare.

Definim următoarele tipuri de convergenţă:

17

Page 20: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 20/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

1.  (punctual) ( ) ( ) Ω ∈∀→⇔→   X  X  X  X  nn  

2.  (aproape sigur) ( ) ( ){ }( )  1|..

=→⇔→ ω ω ω   X  X  P  X  X  n

 sa

n

3.  (în ) p

 L 0lim0lim =−⇔=−⇔→ ∫ pnn

 p

nn

 L

n  X  X dP  X  X  X  X 

 p

Ω   

4.  (în probabilitate)

( ) ( ){ }( ) 0|lim 0 =>−>∀⇔→ ε ω ω ω ε   X  X  P  X  X  nn

 P 

n  

5.  (în distribuţie)  X  X n  F  F  X  X n

→⇔→

 

Propoziţia 1.45

Avem următoarele implicaţii:

 X  X 

 X  X  X  X  X  X  X  X 

n

 sa

n

 P 

n

 L

n

 L

n

→⇐→⇒→⇒→

 

..12

 

 I.7 Densitatea de reparti  ţ ie a unei variabile aleatoare

Definiţia 1.46 (absolut continuitatea şi echivalenţa a două măsuri)

Fie ( spaţiu măsurabil şi) ,Ω ν , două măsuri pe . 

1.  ν  se numeşte absolut continuă în raport cu (ν  << ) dacă 

mulţimile neglijabile faţă de μ  sunt neglijabile şi faţă de ν  (i.e.

( ) ( ) 00 =⇒=  A A ν  )

2.  şi ν  se numesc echivalente ( ν ~ ) dacă au aceleaşi mulţimineglijabile (i.e. ( ) ( ) 00 =⇔=  A A ν  )

Propoziţia 1.47 (Radon Nikodym)

Fie spaţiu măsurabil şi(  ,Ω ) ν , două măsuri pe . Dacă   ν  << atunci

o funcţie!∃ →Ω ϕ : - integrabilă astfel încât ( )  ∈∀= ∫  Ad  A A

 ,μ ϕ ν  ( se

18

Page 21: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 21/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

foloseşte notaţia ϕ ν  ⋅= ). Funcţia se numeşte derivata Radon Nikodym a lui ν   

 în raport cu μ  şi se notează cuμ 

ν 

d .

Propoziţia 1.48

Fie ( spaţiu măsurabil şi) ,Ω ν , două măsuri pe . Dacă   ϕ ν  ⋅= atunci

∫∫ =Ω Ω 

μ ϕ ν  d  f  fd   

Definiţia 1.49

Fie (  P ,,  )Ω  un câmp de probabilitate şi  X  o variabilă aleatoare.  X  se

numeşte absolut continuă dacă (i.e. este absolut continuă în raport cu

măsura Lebesgue), iar 

λ <<−1 X  P 

λ  ρ 

 X dP  X 

1

:−

=

se numeşte densitatea de repartiţie a lui 1.

Propoziţia 1.50 (proprietăţile densităţii de repartiţie)

Fie (  P ,,  )Ω  un câmp de probabilitate,  X  o variabilă aleatoare absolut

continuă şi X 

 ρ  densitatea lui  X .

1.  0≥ X  ρ   

2.  Dacă este derivabilă atunci X  F  ' X  X   F = ρ 

 

Exemplul 1.51 (media unei variabile aleatoare absolut continuă)

Fie  X  variabilă aleatoare absolut continuă  şi  X  ρ  densitatea lui  X .Folosind

formula de transport, propoziţia 1.48 şi propoziţia 1.33 media lui  X  este:

[ ] =⋅==== ∫∫∫∫ −

λ  ρ Ω Ω 

 X d id  X dP id dP  X id  XdP  X  E   : 1  

( ) ( )∫∫∞

∞−

== dx xid d id   X  X  ρ λ  ρ  x

  ( )∫∞

∞−

= dx x x  X  ρ 

 

19

Page 22: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 22/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 I.8 Vectori aleatori 

Definiţia 1.52 (spaţiul produs)

Fie ( )111 ,,Ω      şi ( )222 ,,Ω    spaţii cu măsur ă, 21: Ω Ω Ω  ×= ,( ) Ω ∈= 21, . Fie 11 : Ω Ω  → pr  , ( ) 11 = pr    şi 22 : Ω Ω  → pr  , ( ) 21 = pr  .

Definim pe Ω  o σ  - algebr ă  ( )2121 ,:  pr  pr σ =⊗   (vezi definiţia 1.18).

Pe această  σ  - algebr ă se defineşte o măsur ă (măsura produs) astfel:

(se observă că 21     ⊗∈∀  A ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ =⊗

1 2

11222121 ,:Ω Ω 

ω μ ω μ ω ω μ μ  d d  A

( ) ( ) ( 22112121  A A A A )μ =×⊗ )

( 212121 ,, )Ω Ω  ⊗⊗×    se numeşte spaţiul produs. 

Propoziţia 1.53 (Fubini)

Fie ( )111 ,,Ω      şi ( 222 ,, )Ω    spaţii cu măsur ă  şi spaţiul produs 

( )212121 ,,Ω Ω  ⊗⊗×    . Fie o funcţie →× 21: Ω Ω  f  . Avem că:

( ) ( ) ( ) ( ) (

∫ ∫∫ ⎟

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ =⊗

× 1 221

112221212121 ,,,Ω Ω Ω Ω 

ω μ ω μ ω ω ω ω μ μ ω ω  d d  f d  f  )

)

 

( ) ( ) (∫ ∫ ⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ =

2 1

221121,Ω Ω 

ω μ ω μ ω ω  d d  f 

 

Definiţia 1.54 (vectori aleatori)

Fie (  P ,,  )Ω  un câmp de probabilitate. Funcţia ,

se numeşte vector aleator dacă este

d  X  →Ω :

(d 

 X  X  X  X  ,...,,21

= )( )

d  - măsurabilă.

1.  Analog cu cazul unidimensional ( ) 121

1 ,...,: −− == d  X   X  X  X  P  X  P  μ  se

numeşte repartiţia lui  X  şi este o probabilitate pe .d 

2.  Funcţia , →d 

 X  F  : ( ) ( ] ( ] ( ]( )d  X  X  aaaa F  ,...,,: 21 ∞−××∞−×∞−=  

se numeşte funcţia de repartiţie a lui  X .

3.  sunt variabile aleatoare, iar se numeşte

repartiţia marginală a lui fiind o probabilitate pe .

d i X i ...1, = 1: −= i X   X  P i

μ 

i

 X 

4.   X  se numeşte absolut continuu dacă .d  X  P  λ <<−1

  20

Page 23: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 23/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 I.9 Func ţ ia caracteristică 

Definiţia 1.55 (funcţia caracteristică, transformata Fourier)

Fie ( ) P ,, Ω  un câmp de probabilitate.

1.  Fie  X  variabilă aleatoare. Funcţia →: X  , ( ) itX 

 X  e E t  =ϕ  se

numeşte funcţia caracteristică (transformata Fourier) a lui  X .

2.  Dacă   X  este vector aleator, funcţia caracteristică este o funcţie

, . →d 

 X  :ϕ  ( ) ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ ∑

= =

n

nn X t i

 X  e E t  1ϕ 

 

Propoziţia 1.56 (proprietăţile funcţiei caracteristice)

Fie ( ) P ,, Ω  un câmp de probabilitate.

1.  Fie variabile aleatoare.Y  X , Y  X Y  P  X  P  ϕ ϕ  =⇔= −− 11

2.  Fie variabile aleatoare. X  X n ,  X  X n n X  X  ϕ ϕ  →⇔→

3.  ( ) ( ) [ ] ( ) 2''' 0,0,10  X  E  X iE   X  X  X  −=== ϕ ϕ ϕ   

 I.10 No ţ iunea de independen ţă a variabilelor aleatoare

Definiţia 1.57 (independenţa)

Fie ( ) P ,, Ω  un câmp de probabilitate.

1.  Două mulţimi  ∈ B A, se numesc independente dacă 

( ) ( ) ( ) B P  A P  B A P  =∩  

2.       ⊂,1 se numesc independente dacă  2211 , ∈∈∀  A A  

sunt independente.21, A A

3.  Două variabile aleatoare se numesc independente dacă Y  X ,

( )( )1− X    şi ( )( )1−Y  sunt independente ⇔

( ) ( ) ( )bY  P a X  P  BY a X  P  ≤≤=≤≤ ,   ⇔   ( )( ) ( ) (b F a F ba F  Y  X Y  X  )=,,  

21

Page 24: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 24/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Propoziţia 1.58

Fie ( ) P ,, Ω  un câmp de probabilitate şi variabile aleatoare.d  X  X  X  ,..., 21

1.  sunt independented  X  X  X  ,..., 21 ( ) 1

1

11,... −

=− ⊗=⇔ i

id   X  P  X  X  P 

2.  sunt independented  X  X  X  ,..., 21 ( ) ∏=

=⇔d 

i

 X  X  X  id 

1,...1

ϕ ϕ 

 

Exemplul 1.59 (media produsului a două v.a. independente)

Fie (  P ,,  )Ω  un câmp de probabilitate şi variabile aleatoare

independente. Folosind formula de transport, propoziţia 1.58 şi teorema lui Fubini

avem:

Y  X ,

[ ] ( ) ( ) ( ) ( yY  P  x X  xydP  y xY  X  xydP  XYdP  XY  E  111

22

,, −−−

∫∫∫ ⊗=== Ω 

)  

( ) ( ) ( ) ( ) yY  P d  x X  xdP  y yY  P d  x X  xydP  1111 −−−− ∫ ∫∫ ∫ ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ =⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ =

  ( ) ( )  P Yd  XdP  yY  P  yd  x X  xdP  ∫∫∫∫ == −−

Ω Ω 

11

 

[ ] [ ]Y  E  X  E =  

Definiţia 1.60 (variabile aleatoare i.i.d.)

Fie (  P ,,  )Ω  un câmp de probabilitate. Variabile aleatoare se

numesc i.i.d. (independente şi identic repartizate) dacă sunt independente şi

n X  X  X  ,..., 21

112

11 ... −−− ===

n X  P  X  P  X  P 

 

Propoziţia 1.61

Fie ( ) P ,, Ω  un câmp de probabilitate şi ( )nn X  i.i.d. , [ ] [ ] σ σ  == nn  X a X  E  ,  

1.  (teorema numerelor mari)

an

 X  X  X   san

..21 ...

→+++

 

2.  (teorema limită centrală)

( )1,0

...21

Φ σ 

−+++

n

na X  X  X  n

 

22

Page 25: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 25/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

unde ( 1,0 )Φ  este distribuţia normală standard.

3.  (teorema lui Glivenko)

Fien X  X   F  F  F  === ...

1 şi ( )

{ }

n

 x X ni x F 

i

n

≤≤≤=

|1: . Atunci:

( ) ( ) ∈∀→  x x F  x F  sa

n ,..

 

 I.11 Media condi  ţ ionat ă 

Definiţia 1.62 (probabilitatea şi media condiţionată)

Fie ( ) P ,, Ω  un câmp de probabilitate.

1.  Fie , ∈ B A, ( ) 0≠ A P  . Probabilitatea lui  B condiţionată de  A  

este ( )( )

( ) A P 

 B A P  A B P 

∩=:| . Se observă că dacă sunt independente

atunci

 B A,

( ) ( ) B P  A B P  =|

2.  Fie , ∈ A ( ) 0≠ A P  . Putem defini o probabilitate pe Ω  numită 

probabilitatea condiţionată de  A astfel ( ) ( )  ∈∀=  B A B P  B P  A ,|: .

Fie  X  o variabilă aleatoare. Definim media condiţionată a lui  X  de

 A ca fiind media faţă de i.e. A P  [ ] ∫=Ω 

 A XdP  A X  E  :| .

3.  Fie o   ⊂ σ  - algebr ă  şi o variabilă aleatoare  X . Dacă există o

variabilă aleatoare Y  astfel încât:

i.  Y  este - măsurabilă (i.e.  ( )( )   ⊂−

1Y  )

ii.  [ ] [ ]  ∈∀=  AY  E  X  E   A A ,  

atunci Y  se numeşte media condiţionată a lui  X  de şi se notează cu . Se poate defini şi repartiţia lui

 

[ ] | X  E   X  condiţionată de  

( ) ( ) ( )[ ] ( )     ∈∀== −  A X  E  A X  P  A  A X  ,|:|1μ   

Propoziţia 1.63 (proprietăţile mediei condiţionate)

1.  [ ][ ]

( ) A P 

 X  E  A X  E   A| =  

2.  ( )[ ] [ ] c Ac

 A  A X  E  A X  E  A X  E   ||| +=σ   

23

Page 26: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 26/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

3.  Media condiţionată  [ ] | X  E  există şi este unică 

4.  [ ] .. |  sa xd  X  E   X ∫=

   μ 

5.  Dacă  X  este - măsurabilă atunci  [ ]  X  X  E  = |  

6.  [ ][ ]  X  E  X  E  E  = | [ ]  

7.  . Avem ⊂ [ ][ ] [ ]   |||  X  E  X  E  E  =  

8.  Dacă  X  este - măsurabilă atunci  [ ] [    || Y  E  X  XY  E  ]=  

9.  Dacă  Y  X ≤ atunci [ ] [ ]   || Y  E  X  E  ≤  

10. Fie funcţia convexă . Atunci →: f  ( )[ ] [( )   ||  X  E  f  X  f  E  ≥ ]  

11. Dacă  ( ) X σ   şi sunt independente atunci  [ ] [ X  E  X  E  ]= |

12. Fie variabile aleatoare astfel încâtY  X ,  X  este - măsurabilă, iar  

( )Y σ    şi sunt independente. Fie astfel încât

este o variabilă aleatoare şi fie funcţia definită prin

  →2: g  ( )Y  X  g  ,

→: f 

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

∈∀=== ∫∫ − x yY dP  y x g dP Y  x g Y  x g  E  x f  ,,,, 1

Ω 

. Atunci

( )[ ] ( ) X  f Y  X  g  E  = |, .

13. Dacă este absolut continuu atunci există ( Y  X , ) Y  X | ρ    şi  X Y | ρ  astfel

încât şi( ) λ  ρ μ σ  ⋅= Y  X 

 X  |( ) λ  ρ μ σ  ⋅=  X Y 

 X 

Y  | , iar   ( ) ( )( )

( )Y 

Y  x x

Y  X 

Y  X  ρ 

 ρ  ρ 

,,| =   şi

( ) ( )( )

( ) X 

 y X  y

 X 

Y  X 

 X Y  ρ 

 ρ  ρ 

,,| = .

Definiţia 1.64 (regresia)

Fie (  P ,,  )Ω  un câmp de probabilitate şi variabile aleatoare.Y  X ,[ ] ( )[ Y  X  E Y  X  E  ]σ |:| = se numeşte regresia lui  X  faţă de Y . 

24

Page 27: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 27/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 II. No ţ iuni privind teoria proceselor stocastice

 II.1 No ţ iuni preliminare

Fie ( Ω  ,K, P) un câmp de probabilitate. Un şir crescător F(t)  notat şi  Ft, t ≥ 0

de σ-algebre poartă numele de filtrare. Intuitiv F(t)  reprezintă mulţimea

informaţiilor disponibile până la momentul de timp . t 

Un proces stocastic notat X sau X(t,ω  ) sau X t ( ω  ) sau X(t) sau X t  reprezintă o

aplicaţie măsurabilă   X:[0,∞  )× Ω  →  . Aplicaţiile t →  X R t ( ω  ) se numesc traiectoriile

 procesului stocastic. Un proces stocastic se numeşte adaptat la filtrarea F(t)  dacă 

 X(t) sunt F(t)-măsurabile.

O filtrare se numeşte continuă la dreapta dacă . O filtrare

se numeşte completă dacă  F(t) conţine mulţimile neglijabile.

∩0

)F(tF(t)>

+=ε 

ε   

Un proces  X  se numeşte F(t) - martingal dacă X este adaptat şi este

îndeplinită proprietatea că:

[ ] t  s s X  st  X  ≤∀=  , )(|)( )F( .

Dacă în relaţia de mai sus in loc de semnul = consideram semnul ≤ (≥) atunci

 procesul se numeşte supermartingal respectiv submartingal.

Mulţimea informaţiilor generată doar de către procesul stocastic  X , noţiune

cunoscută  şi sub numele de trecutul minimal al procesului stocastic, este definită 

astfel:

FX(t)= σ (X(u),0≤  u≤  t).

Un proces X se numeşte proces Markov dacă 

[ ] [ ])(||  st 

 X 

 st   X  A X  P  A X  P  σ ∈=∈ F  

Să presupunem că există pentru orice s≤  t  probabilităţile de tranziţie  P  s,t (x,⋅  ) 

 boreliene in x astfel încât:

[ ] ( ) .. ,| ,  sa A X  P  A X  P   st  s

 X 

 st  =∈ F pentru A  ⊆  R boreliană.

25

Page 28: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 28/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Pentru orice s≤  t şi f  boreliană şi mărginită definim operatorii de tranziţie:

( ) ),()( ,, dy x P  y f  x f  P  t  st  s ∫=  

Dacă avem că atunci  p(t,s,x,y) se numesc

densităţi de tranziţie. 

( ) dy y x st  p y f  x f  P t  s ),,,()(, ∫=

 

Pentru f  boreliană mărginită avem că pentru orice s≤  t:

( )[ ] ( )( ) .. | ,  sa X  f  P  X  f  P   st  s

 X 

 st  =F  

Probabilităţile de tranziţie P  s,t  se numesc omogene dacă depind doar de t-s şi

in acest caz notăm P  s,t = P t-s

Are loc relaţia Chapman-Kolmogorov:),(),(),(  A x P dy x P  A x P  t  s st  ∫=+ , t,s≥ 0 şi A ⊆  R boreliană.

Avem că:

( ) ( ) )( x f  P  P  x f  P   st  st  =+  

Aceasta inseamnă că  {P t  ,t  ≥  0} formează un semigrup. Conform teoremei

Hille-Yoshida generatorul infinitizimal L  asociat semigrupului conţine in domeniul

său funcţiile boreliene mărginite şi avem că:

loperatoriasensin lim0 t 

 f  f  P  f  t 

−=

↓L  

Avem că:

( ) )()(  x f  P  x f  P dt 

d t t  L=   şi ( ) )()(  x f  P  x f  P 

dt 

d t t  L=  

numite ecuaţia înainte (Fokker-Planck) respectiv ecuaţia înapoi.

Fie Ft  o filtrare continuă la dreapta şi  X t   proces stocastic adaptat la Ft. Se

numeşte timp de stopare o aplicaţie T:Ω  →  [0,∞  ) astfel încât (T < t)∈  Ft 

 Notăm cu:

FT={A∈  F∞ |A∩ (T ≤  t)∈   Ft  pentru orice t>0} şi

 X T ( ω  )=X T( ω  )( ω  )

Dacă  S ≤  T  sunt timpi de stopare mărginiţi şi  M t   este martingal continuu la

dreapta atunci E[ M T | FS ]= M S  

26

Page 29: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 29/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Dacă  M t este martingal notăm cu  st  s

t   M  M ≤

= sup* .

Teoremă  (Inegalităţile Doob): Dacă  M n  este martingal continuu la dreapta

atunci:

[ ] nn  M  E a

a M  P  ⋅≤> 1*  

Dacă  p>1 atunci există c care depinde doar de p astfel incît

( )  p

n

 p

n  M  E c M  E  ⋅≤*  

Rezultatele r ămîn adevărate şi pentru M t martingal continuu la dreapta.

 II.2 Mi şcarea browniană 

Definiţie: Un proces stocastic BBt  se numeşte mişcare browniană (cu valoare iniţială 

0) dacă îndeplineşte următoarele condiţii:

-   B(0)=0 a.s

-   pentru orice 0≤  s≤  t  ,  BBt  - B s este variabilă aleatoare gausiană centrată cu

dispersia t-s 

-   pentru orice 0≤  s < t , BBt - B s este variabilă aleatoare independentă in raport

cu σ (B(u),0≤  u≤  s). 

-  cu probabilitatea 1 traiectoriile sunt continue.

Se poate observa că   st  B B t t  ∧=),cov(   şi a doua condiţie din definiţie este

echivalentă cu următoarea proprietate: pentru orice 0≤  s≤   t  ,  BBt  - B s  este familie

gausiană centrată cu covariaţia t ∧ s.

In mod analog se poate defini mişcarea browniană n-dimensională 

inlocuind a doua condiţie cu : pentru orice 0≤  s≤  t  ,  BB

t  - B s este variabilă aleatoaregausiană centrată cu matricea de covariaţie (t-s)I n.

Pentru a defini mişcarea browniană cu valare iniţială  x∈    se consider ă 

 procesul . Dacă F= σ ( B(t) , t < ∞  ) definim pe ( Ω  ,F ) o probabilitate  P 

R

 x

t   B x B += P

 x 

astfel

, x∈  A∈  F][][  A B x P  A B P   x x ∈+=∈ R

Se numeşte mişcare browniană cu valoare iniţială  x perechea (P  x ,Bt  ).

27

Page 30: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 30/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Teoremă: 

1.  (proprietatea de sclare) Dacă (P  x ,Bt  ) este mişcare browniană cu valoare iniţială  x 

este mişcare browniană cu valoare iniţială  x/a unde a>0  ) Ba(P t a

a x2

1/ , −

2.  (proprietatea de simetrie) Dacă (P  x

 ,Bt  ) este mişcare browniană cu valoare iniţială  x este mişcare browniană cu valoare iniţială -1.  ) B(P  t 

 x −− ,

3.  (proprietatea de inversiune a timpului) Dacă  BBt  este mişcare browniană pe [0,1]

atunci e mişcare browniană pe [1, ∞ ]t t  tB B /1* =

Demonstraţie:

1.  Aplicaţiile sunt continue şi avem că:t a

 Ba 21−

 ( (

 st  sat aa Ba Ba sat a

∧=∧= −−− 2221122 ,cov

2.  Aplicaţia -Bt este continuă şi avem că:

( ) ( )  st  B B B B  st  st  ∧==−− ,cov,cov  

3.  Aplicaţia este continuă şi avem că:*t  B

  ( )  st  st 

ts B B  st  ∧=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ∧=

11,cov ** .

Teoremă: (nederivabilitatea traiectoriilor).Aproape toate traiectoriile mişcării browniene nu sunt nicăieri derivabile,

altfel spus cu probabilitate 1 aplicaţiile t → Bt ( ω  ) nu au derivată in nici un punct t.

Demonstraţie:

E suficient să facem demonstraţia pentru t∈[0,1]. Bacă  BBt  ar fi derivabilă intr-

un punct s∈[0,1] atunci ar exista ε > 0 şi un intreg k ≥ 1 astfel ca:

ε <−<−≤−  st  st k  B B  st  0  pentru 

Atunci pentru n suficient de mare avem că 

( ) [ ] 1unde3,2,1, 4

/1/ +=+++=<− + nsiiii jn

k  B B n jn j  

Fie mulţimea acelor ω  care satisfac inegalitatea de mai sus. Fie ji

nk  A ,,

  ∪∪ ∩ ∪ ∩1 1 0 3

,,

≥ ≥ ≥ ≤< +≤<

=k m mn ni i ji

 ji

nk  A A

  28

Page 31: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 31/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Mulţimea A este evenimentul următor: există un intreg k astfel încât pentru toţi

n suficient de mari inegalitatea de mai sus are loc intr-un punct i/n. Deci A conţine toţi

ω   pentru care BBt este derivabilă intr-un punct t. Este suficient să ar ătăm că  P(A)=0. 

≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ <=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ <≤⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡

∞→∞→≥ ≤< +≤<

3

1

3

/10 3

,, 4inf lim4inf lim

nk  B P n

nk  B P n A P 

nn

nmn ni i ji

 ji

nk ∩ ∪ ∩

  08

2

1lim

3

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤∞→ n

k n

n π  

Cum A este reuniune numărabile de mulţimi de probabilitate nulă rezultă că 

este neglijabilă.

Definiţie: Fie  X  un proces stocastic şi Δ

n

={0=t 0<t 1<…<t n=t} o partiţie aintervalului [0,t]. Se numeşte variaţie pătratică următorul proces (dacă există):

( )∑=

+→Δ

−−=n

i

iit t  X t  X  P  X  X 

n

0

21

0)()(lim,

Teoremă:  t  B Bt 

=,  

Demonstraţie:

E suficient să ar ătăm că ( )( ) t  B B

 P 

k t k kt 

n

nn →−∑=

2

1

2

2/12/

Fie( )

n

nnk nk t k kt nk  k t 

 B B B nn 2,...,1,2

, 2

2/12/=−Δ=−=Δ

− 

Avem de demonstrat că . Pentru orice n, v.a.∑=

→n

 P 

nk  B2

1

0 ( )k nk  B sunt i.i.d cu:

[ ] [ ]nnk nk 

t  B E  B E 

4

2 ,0

22 ==  

Avem că: [ ]1

22

1

212

2

1 24

2−

=

+

=

===⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ∑∑ nk 

n

n

nk 

nk 

t t  B E  B E 

nn

. Cum 02 1

2

→−n

t rezultă că 

şi deci converge şi in probabilitate.∑=

→n

 L

nk  B2

1

2

0

 

Fie Ft 0  corpul borelian generat de Ft 

 B  şi de mulţimile  P P

 x-neglijabile pentru

orice x∈   şi .R ∩0FF

>+=

ε 

ε 0t t 

  29

Page 32: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 32/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Teoremă: Dacă  (P  x ,Bt  ) este mişcare browniană cu valoare iniţială  x,  Y  este

v.a. mărginită şi - măsurabilă, T este - timp de stopare şi θ  este operator de lag, 

atunci avem că:

∞F t F

1. BBt , şi2t  Bt  − C∈∀⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ − α 

α α  ,

2exp

2

t  Bt  sunt - martingale0

tF

2. (proprietatea Markov). [ ] .. |  sa P Y  E Y  E   x B

t t 

 x t  −=Fθ 

3. (proprietatea tare Markov). [ ] ( )∞<−= T  sa P Y  E Y  E   x B

T T 

 x T    pe.. | Fθ   

4. = sau altfel spus este continuă la dreaptat F0

tF0

tF

Demonstraţie:

1.  [ ] [ ] [ ]  s st 

 x

 s s st 

 x

 s st 

 x  B B B E  B B B E  B B E  =−+=−+= 00FF ||  

[ ] ( ) [ ] 2222 |2||  s s st 

 x

 s s st 

 x

 st 

 x  B st  B B E  B B B E  B E  +−=−+−= 000 FFF  

( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ))[ ]t t 

 x

 s st t 

 x

 s st 

 x  B B E  B B B E  B B E  −=−= α α α α α  expexp|expexp|exp 00FF  

( ) ( )⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −=  st  B s 2

expexp2α 

α   

3. Demonstr ăm mai întîi pentru şi Y = f(B0

tF t  ) , f  boreliană mărginită. E suficient să 

ar ătăm pentru . Avem că: st iuBe +

( ) ( ) t 

u

 s s st  x s s

 s st  x s s

 st  x eiuB

e B Biu

e E iuB

e B Biu

e E iuB

eiuB

e E  2

2

||−−+−++ =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 00

FF

u

t t  y eiuy

eiuy

eiuB

e E iuB

e E  20

2

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ . Prin liniaritate şi trecind la limită este

suficient să consider ăm ,  f )(1

∏=

=n

ii

t i  B f Y  i  boreliene mărginite s≤  t 1≤  t 2≤  …≤  t n.Facem

 prin inducţie. Presupunem adevărat pentru n şi fie şi)(1

21∏

+

=−=

n

i

t it i  B f V  V  E  yh y=)(

[ ][ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎤⎢⎣

⎡∏+

=

0000FFFF  st 

t  B x

 st t t 

 x x

 s

n

iii

t i

 x  B f V  E  E  B f V  E  E  B f  E  |)(|)(||)(11

1

1111

1

θ   

( )[ ] ( )[ )(|)(1111  st 

 s B

 st 

 x  Bhf  E  Bhf  E  −== 0F ]. Dar pentru orice y avem că:

30

Page 33: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 33/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

( )[ ] [ ] [ ][ ] ( )[ ])()(|)()(111111111

1

11  st  st 

 y

 st  st  st 

 y y

 st 

 st  B y

 st 

 y  B f V  E  B f V  E  E  B f V  E  E  Bhf  E  −−−−−−−

− ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= θ θ  0

F

Verificăm că mişcarea browniană este proces Markov omogen cu densităţile de

tranziţie t 

 x

et 

 xt  p 2

2

21),(

=π 

.Se observă că dacă  f este mărginită  P t  f(x) e continuă in

1. E suficient să ar ătăm că pentru orice 0 ≤  s < t , A  ⊆  R boreliană şi C ∈  avem că 0

tF

[ ] ( )[ dP  B A B P dP  A B P C 

 st 

 x

 st 

 x ∫∫ ∈=∈ σ || 0F ] . Mulţimea C poate fi luată de forma

 s s s A B A B A B A BC  n s snn

 snn

 s <≤≤≤∈∈∈∈= −−...0cu,,...,, 101111

, A0 ,…An  ⊆  

 boreliene. Avem că:

R

  [ ] ( ) ( )[ ]=∈==∈ ∫∫ ∈ ∩  A BC  P dP dP  A B P  t 

 At 

 B

 st  x 1| 0F  

dxdydxdx x y st  p x x s s p x s p nnnnn

 A A A A

nn

n

111 ...),()...,(),(...1 0

−−−−= −−∫ ∫ ∫ ∫

dxdxdxdy x y st  p x x s s p x x s s p x s p n

 A

nnnn

 A A A

nn

n

11111 ...),(),()...,(),(...1 0 ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−−−= ∫∫ ∫ ∫ −−

Dar integrala dintre acolade reprezintă de fapt [ ] x B A B P   st 

 x =∈ | .

In continuare vom demonstra proprietatea Markov faţă de a mişcării browniene. Este suficient să consider ăm Y = f(B

t F

t  ) , f  continuă. Dacă  A∈  atunci

 A∈   pentru orice ε  >0. Din proprietatea Markov faţă de avem

. Trecînd la limită cînd ε   →  0  şi ţinînd seama de

continuitatea lui f   şi B se obţine relaţia dorită.

 sF

0ε +t F

0ε +t F

( ) ( )  x

 A

 st 

 x

 A

 st  dP  B f  P dP  B f  ∫∫ +++ = ε ε 

3. E suficient să ar ătăm pentru cazul Y = f(Bt  ) , f  continuă şi mărginită.

Definim T n astfel T n( ω  )=k/2n  dacă  T( ω  )∈ [(k-1)/2n , k/2n). T n este un şir 

descrescător de timpi de stopare către T  pe mulţimea (T < ∞  ). Dacă  A∈  atunci

 A∈   şi deci A ∩ (T 

T F

nT F n= k/2n )∈  şi avem că:nk  2/F

( )( )

( )( )

[ ]( )

[ ]( )

 x

k T  A

T  B x

k T  A

t k 

 B

k T  A

 x

t k 

k T  A

 x

t nT  dP  B f  E dP  B f  E dP  B f dP  B f n

n

n

nn

n

nn

n

nn

∫∫∫∫===

+=

+ ===∩∩∩∩ 2/2/

2/

2/2/

2/

)()(

Avem că:

( )( ) ( )( ) == ∑ ∫∫

= =+

∞<+ 1 2/k  k T  A

 x

t nT T  A

 x

t nT n

ndP  B f dP  B f  ∩∩  

31

Page 34: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 34/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

[ ]( )

[ ]( )

 x

T  A

T  B

 x

k T  A

T  B

dP  B f  E dP  B f  E 

n

n

nn

n ∫∑ ∫∞<

= =

==∩∩

)()(1 2/

Din continuitatea lui f şi B cînd facem n→∞ avem că:

( )( )

( )( )∫∫

∞<

+

∞<

+ →∩∩ T  A

 xt T 

T  A

 xt 

nT  dP  B f dP  B f   

Pe de altă parte din continuitatea lui P t  f  rezultă că:

[ ] [ ])()()()( t T  B

T t n

T t t 

T  B

 B f  E  B f  P  B f  P  B f  E  n =→=

4. Fie astfel încât t )(1

∏=

=n

iit i  B f Y  i≤  s < t i+1 şi

{ })(

|1 ∏

= s

it i

it i  B f Y  ,

{ })(

|2 ∏

>

= s

it i

it i  B f Y 

Avem că:

[ ]  | 21 Y  E Y Y  E  t  B

 x =F care este -măsurabilă. Prin liniaritate şi trecind la limită avem

că este -măsurabilă pentru orice . Fie

0

tF

[  | t 

 x Y  E  F ] 0

tF0

F∞∈Y tF∈ A . Luăm şi

rezultă că .

 AY  1=

0

tF∈ A

 

Fie T timp de stopare şi notăm . Definim un nou proces stocastic Y t T 

t   B B ∧= t :

∞<⎩⎨⎧

≥−

≤≤=

∞==

T T t  B B

T t  BY 

T  BY 

t t 

daca,2

0,

daca

Teoremă:(principiul de reflexie al mişcării browniene). Procesul Y t  e mişcare

 browniană.

Demonstraţie:

Consider ăm T<∞  a.s. Notăm { }0, ≥= t  B B t  , { }0, ≥= t Y Y  t  , { 0, ≥= t  B B T 

T  ,

şi consider ăm tripletele{ 0, ≥−= + t  B BC  T t T T  } ( )T 

T  C  BT  ,,  şi ( )T 

T  C  BT  −,, . Avem că 

T  B   şi T  sunt -măsurabile şi sunt deci independente deT F T C ± . Există o aplicaţie

măsurabilă  f  astfel încât ( )T 

T  C  BT  f  B ,,=   şi folosind al doilea triplet avem că 

( )T 

T  C  BT  f Y  −= ,, , deci B şi Y au aceeaşi repartiţie.

Fie BBt   mişcare browniană cu valoare iniţială 0 şi notăm  st  s

t   B M ≤

= sup .

32

Page 35: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 35/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Teoremă: Fie a≥ b, a ≥ 0 atunci:

1. [ ] [ ]ba B P b Ba M  P  t t t  −>=<≥ 2, 00  

3. Densitatea de repartiţie comună a lui M t şi BBt  este( ) ( )

ba

et t 

ba 2

22

2

22 −−−

π  

Demonstraţie:

1. Fie . Avem că { a B sT   s == |inf  } { } ( ) { }T t t T T t t t   B B B X  >< −+= 121 e miscare

 browniană  şi fie { }a X  s R  s == |inf  . Cum ( ) X  R,   şi ( ) BT , au aceeaşi distribuţie

avem că : [ ] [ ]b Bt T  P b X t  R P  t t  <≤=<≤ ,, 00 . Dar avem evident că   RT  ≡ . Din

construcţia lui X avem că { } { }ba Bt T b X t  R t t  −>≤=<≤ 2,, . Deci rezultă că:

[ ] [ ] [ ] [ ] =−>≤=<≤=<≤=<≥ ba Bt T  P b X t  R P b Bt T  P b Ba M  P  t t t t t  2,,,,0000

 

[ ] [ ba B P ba Ba M  P  t t t −>=−>≥= 22, 00 ] deoarece dacă atunci

.

ba Bt  −> 2

a M t  ≥

3. Avem că  [ ] [ ] [ ]b B P b Ba M  P b Ba M  P  t t t t t  <=<≥+<< 000 ,,  şi deci

[ ] [ ] [ ]ba B P ba

b Ba M  P ba

b Ba M  P ba

t t t t t  −>∂∂

∂−=<≥

∂∂∂

−=<<∂∂

∂2,, 000  

( )( )

ba

et t ba 2

22

222

−−

−=π 

.

Teoremă: Fie a≤  b, a ≤  0. Densitatea de repartiţie comună a lui  şi  B st  s B

≤inf  Bt 

este( ) ( )

ba

et t 

ab2

22

2

22 −−−

π .

[( ) ] ( )⎥⎦

⎢⎣

⎡ <<−−=<<=≤≤

b Ba B P b Ba B P ba F  t  st  s

t  st  s

,sup,inf , 00  Demonstraţie:

( )( ) ( )

+⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛  −−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −>−−>−= ∫ ∫

−≤

a

b a

t  st  s

dydxt 

 x y

t t 

 x yb Ba B P 

2

2exp

2

22 ,sup

20

π  

( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫∞

∞ −

−⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −+⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛  +−=⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛  −−

−+

aa x

a

b

dxt 

 x

π t dx

 xa

π t dydx

 x y

t t 

 x y

2exp

2

2

2exp

2

2

2exp

2

22 

222

π  

( )( ) ( )

ba

et t 

abba

ba

 F  2

222

2

22,

−−−

=∂∂

π .

33

Page 36: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 36/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 III. No ţ iuni privind teoria calculului stocastic

 III.1 Varia ţ ia pătratică a unui proces stocastic

Definiţie: Un proces stocastic  A se numeşte cu variaţie mărginită dacă 

traiectoriile procesului au variaţie mărginită. In acest caz, pentru un ω  fixat se poate

defini integrala Riemann-Stieltjes ( .) ( ) ( ) ( )ω ω ω   s

 st  dA X  A X  ∫=⋅0

 

Teoremă: Un martingal continuu M are variaţie mărginită dacă şi numai dacă 

este constant.

Demonstraţie:

Presupunem că  M 0=0. Notăm cu V t  variaţia lui M pe [0,t ]. Definim timpul destopare . Avem că { nV  sS   sn ≥= |inf  } nS  are variaţie mărginită. Este de ajuns să 

demonstr ăm rezultatul cînd  M   şi variaţia sa sunt mărginite de un număr  K . Fie o

diviziune a lui [0,t ] { }t t t t  n =<<<==Δ ...0 10 . Avem că:

[ ] ( ) ( ) ≤⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −≤⎥

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−=

+

=+

=+ ∑∑

it 

it 

it 

n

ii

t i

n

iit it t   M  M V  E  M  M  E  M  M  E  M  E 

1

1

1

2

1

1

1

22

1

2 sup  

⎥⎦

⎢⎣

⎡ −≤+ i

t i

t i

 M  M  KE 1

sup  

Cum M e continuu avem că  02 →t  M  E  şi deci M t =0.

Teoremă: Un martingal continuu şi mărginit M are variaţie pătratică mărginită 

şi  M  M , este unicul proces adaptat, continuu şi crescător cu valoare iniţială 0 astfel

încât  M  M  M  ,2 − este martingal.

34

Page 37: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 37/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Definiţie: Un proces stocastic adaptat  X , continuu la dreapta se numeşte

martingal local dacă există un şir crescător de timpi de stopare astfel încât:1, ≥nT n

i)  .. lim  saT nn

∞=∞→

ii)   procesul ) este martingal uniform integrabil.( 01 >n

T n X 

01 >n

T n X Alegând convenabil avem că  ) este martingal mărginit. nT  (

 

Teoremă: Dacă  M este martingal local continuu atunci există un unic proces

crescător, continuu care incepe din 0 notat  M  M , astfel încât  M  M  M  ,2 − este

martingal local continuu.

Demonstraţie:

Fie şir crescător de timpi de stopare cu1, ≥nT n .. lim  saT nn

∞=∞→

 şi astfel încât

) este martingal mărginit. Deci există un proces adaptat, continuu şi

crescător care începe din 0 astfel încât e martingal. Definim

( 01 >=nT 

nn M  X  n A

nn  A X  −2n A M  M  =, pe

.( )0>nT 

 

Teoremă: Dacă  M şi N sunt martingale locale continue atunci există un unic

 proces crescător, continuu care incepe din 0 notat  N  M , astfel încât  N  M  MN  ,−  

este martingal local continuu şi ( ) N  M  N  M  N  M  N  M  N  M  −−−++= ,,4

1, .

Dacă T e timp de stopare avemT T T T   N  M  N  M  N  M  ,,, == .

Teoremă

(Inegalitatea Kunita-Watanabe): Dacă  M 

şi N sunt martingale locale

continue, H,K sunt măsurabile, p≥1 şi atunci:111 =+ −−q p

 

q

 s s

 p

 s s s s s  N  N d  K  M  M d  H  N  M d  K  H  E 

2/1

0

2

2/1

0

2

0

,,, ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ≤

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∫∫∫∞∞∞

3.1

Demonstraţie:

35

Page 38: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 38/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Fie { t t t t  n }=<<<==Δ ...0 10 o diviziune a lui [0,t ]. Este de ajuns să 

consider ăm  H   şi  K  de forma [ ]  K  H  X  X  X  iit it 

i

i ,marginite, 11, =

+∑ . Notăm cu

 st 

 s N  M  N  M  N  M  ,,, −= . Avem că, aproape sigur :

R∈∀++=++≤ r  N  N r  N  M r  M  M rN  M rN  M t 

 s

 s

 s

 s,,,2,,0 2  

De unde rezultă că: ( ) ( ) 2/12/1,,,

 s

 s

 s N  N  M  M  N  M  = . Ca urmare:

≤⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ≤≤ +++ ∑∑∫

2/11

2/111

0

,,,, it 

it 

it 

it 

i

iii

it 

i

ii

 s s s  N  N  M  M  K  H  N  M  K  H  N  M d  K  H 

2/1

0

2

2/1

0

2

2/1

122/1

12 ,,,, ⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ 

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ =⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ≤ ∫∫∑∑ ++

 s

 s s

 s

i

it 

it i

i

it 

it i  N  N d  K  M  M d  H  N  N  K  M  M  H 

Se aplică inegalitatea lui Holder şi se obţine relaţia dorită.

Definiţie: Un proces  X  se numeşte semimartingal  continuu dacă poate fi

scris sub forma  A X  += unde  M este martingal local continuu şi  A este adaptat,

continuu şi cu variaţie mărginită.

Teoremă: Un semimartingal continuu  A X  += are variaţie pătratică finită 

şi  M  M  X  X  ,, = .

Demonstraţie:

Fie { t t t t  n }=<<<==Δ ...0 10 o diviziune a lui [0,t ]. Avem că:

it it 

iit it 

iit it 

iit it 

iit it 

 A A M  M  A A M  M  X  X  −−+−+−=−+++++ ∑∑∑∑ 11

2

1

2

1

2

12  

Primul termen tinde in probabilitate la  M  M , , al doilea tinde la 0 şi ultimul

tot la 0 deoarece: ( )( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  −≤−−

+++∑i

t i

t i

t i

t i

iit 

it   M  M  AVar  A A M  M 

111sup   şi  M  e

continuu.

Definiţie: Dacă   A X  +=   şi  BY  += sunt semimartingale continui

definim: ( )Y  X Y  X Y  X Y  X  N  M Y  X  −−−++== ,,4

1,,   şi este limita in

 probabilitate a it it i

it it  Y Y  X  X  −− ++∑ 11 .

36

Page 39: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 39/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Definiţie: Definim următoarele mulţimi:

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∞<= 2

t

2 sup|martingal t  M  E  M H - spaţiul martingalelor  - mărginite2 L

continuu|22  M  M  H  H∈=  

{ 0| 022

0 =∈=  M  H  M  H   

Teoremă: 

i)  este spaţiu Hilbert cu norma2H [ ]

2

2/1 22 ∞∞ ==  M  M  E  M 

ii)  Dacă avem că 20 H  M ∈ [ ]

2

2/12/1 2 ,,

∞∞==  M  M  M  M  E  M 

iii) 2

 H  este închis în şi este închis în2

H20 H 

2

 H   

Demonstraţie:

i) Se vede că  [ ]22 ,,  N  M  N  M  E  N  M  == ∞∞H

este produs scalar  şi

222,

HH M  M  M  = . Trebuie să ar ătăm că este spaţiu Banach. Fie2

H { 0≥n

n M  un şir 

Cauchy în . Rezultă că 2H {

0≥∞ n

n M  este şir Cauchy în . Cum este spaţiu Banach

rezultă că 

2 L 2 L

{0≥∞ n

n M  converge la un . Fie2 L M  ∈∞ [ ]t t   M  E  M  F|∞= . Ar ătăm că 

2H∈  şi că { 0≥n

n M  converge la M . Avem că: [ ] [ ]( ) 222 || t t t   M  M  E  M  E  =≥ ∞∞ FF   ⇒ 

⇒  ∞<=≤ ∞∞222 |  M  E  M  E  E  M  E  t t  F   ⇒  2

H∈ . Mai avem că:

022 →−=− ∞∞  M  M  M  M  nn

H.

ii) 0,,0

20

2 =−=−∞∞  M  M  M  E  M  M  M  E   ⇒  [ ] 2/1 

2 ,∞

=  M  M  E  M H

 

iii) Fie { } 0≥n

n M  un şir din 2 H  care converge la un 2H∈ . Din inegalitatea

Doob avem că  22

2

supH

 M  M c M  M  E  nt 

nt 

t −≤⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ ⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  −   şi deci 0sup

2 L

t nt 

 M  M  →− şi

există un subşir { astfel încât}k n 0sup.. sa

t k 

n

t t 

 M  M  →− . Avem că:

 sk 

n

 s s

k n

t k 

n

t t t   M  M  M  M  M  M  −+−≤− ++ sup2ε ε  . Deci 2 H ∈ .

Fie { 0≥n

n M  un şir din care converge la un20 H  2 H ∈ . Avem că:

( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) 2

2222

0 H M  M  M  M  E  M  M  E  M  E  M 

nnn

−=−≤−== ∞∞∞∞∞   ⇒ .00 = M 

  37

Page 40: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 40/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 III.2 Integrala stocastică 

Definiţie: Fie 2 H ∈ , ( ) ∞+ ⊗∈Γ FB R . Definim:

( )⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩

⎪⎨⎧ ∞<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫∞

0

222 ,K |masurabil progresiv s s M 

 M  M d  K  E  K  M L  

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Γ ∫

Γ

0

,,1 ω ω  s M   M  M d  s E  P  o măsur ă pe ( ) ∞+ ⊗ FB R  

( ) ( )~

22  M  M  L L= unde  H  K ~   ⇔   ..   sa P  H  K   M  −=  

Teoremă:(Integrala stocastică in raport cu martingalele - mărginite)2 L

i)  Fie 2 H ∈ . Pentru orice ( ) M  L K  2∈ există şi este unic , notat

şi cu , astfel încât

20 H  M  K  ∈⋅

 s sdM  K ∫•

0

( ) 2,,,  H  N  N  M  K  N  M  K  ∈∀⋅=⋅  

ii)  Aplicaţia  K  K  ⋅→ este o izometrie de la ( ) M  L2 la 20 H 

iii)  Dacă  şi( M  L K  2∈ ) ( ) M  K  L H  ⋅∈ 2 atunci ( ) M  L HK  2∈   şi avem că 

( ) (  M  K  H  M  HK  )⋅⋅=⋅  

iv)  Dacă T e timp de stopare [ ] ( )T 

T  M  K  M  K  M  K  ⋅=⋅=⋅ ,01  

Demonstraţie:

i)  Existenţa. E suficient să ar ătăm pentru . Conform inegalităţii

Kunita-Watanabe pentru avem că: 

20,  H  M  N  ∈

2== q p

( ) 22

2/1

2

2/1

0

2

00

K ,,,,H

 N  N  N  M  M d  K  N  M d  K  E  N  M d  K  E  M  s s s s s s =⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛ ≤

⎡≤⎥

⎤⎢

⎡∞

∞∞∞

∫∫∫

Rezultă că aplicaţia ( )[ ]∞

⋅→  N  M  K  E  N  , este liniar  ă şi continuă pe spaţiul

Hilbert . Deci conform teoremei lui Riesz există astfel încât20 H  2

0 H  M  K  ∈⋅

( )[ ] ( )∞∞∞ ⋅=⋅  N  M  K  E  N  M  K  E  , . Fie T timp de stopare . Avem că:

( )[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )[ ]T T T T T T T   N  M  K  E  N  M  K  E  E  N  M  K  E  E  N  M  K  E  ∞∞∞ ⋅=⋅=⋅=⋅ FF ||  

( )[ ] ( )∞∞∞ ⋅=⋅= T T   N  M  K  E  N  M  K  E  ,  

( )[ ]T 

T  N  M  K  E  N  M  K  E  ,, ⋅=⋅=

∞ 

38

Page 41: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 41/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Avem că  ( )  N  M  K  N  M  K  ,⋅−⋅ e martingal şi deci  N  M  K  N  M  K  ,, ⋅=⋅ .

Unicitatea. Dacă astfel încât20,  H  L L ∈′ ( ) 2,0,  H  N  N  L L ∈∀=′− avem în

 particular că 0, =′−′−  L L L L . Notînd cu  L L R ′−= avem că 

( ) [ ] 0,20 ==−

t t   R R E  R R E    ⇒  00 == R Rt  .

ii)  ( )[ ] ( )[ ] 22222 ,

 M  K  M  M  K  E  M  K  E  M  K  =⋅=⋅=⋅

∞∞H 

iii)  ( ) ( )  M  M  K  H  M  K  H  M  K  H  ,, 22 ⋅=⋅⋅⋅⋅   ⇒ 

( ) ∞<⋅⋅=2

22

H M  K  H  HK 

 M   ⇒  ( ) M  L HK  2∈  

( ) ( ) ( )  N  M  K  H  N  M  K  H  N  M  K  H  N  M  HK  N  M  HK  ,,,,, ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅

  ⇒  ( ) ( ) M  K  H  M  HK  ⋅⋅=⋅  

iv)  [ ] [ ]  N  M  N  M  N  M  N  M  T T 

T T  ,1,1,, ,0,0 ⋅=⋅== . Deci avem că:

[ ]( ) [ ]  M  K  M  K  M  K  T T 

T  ⋅=⋅⋅=⋅ ,0,0 11 şi ( ) [ ] ( ) [ ]  M  K  M  K  M  K  T T 

T  ⋅=⋅⋅=⋅ ,0,0 11  

Definiţie: Fie  M  martingal local continuu. Notăm cu mulţimea

claselor de procese progresiv măsurabile K cu proprietatea că există un şir crescător 

de timpi de stopare cu

( M  Lloc

2 )

1, ≥nT n .. lim  saT nn

∞=∞→

 şi ∞<⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡ ∫nT 

 s s  M  M d  K  E 0

2 , .

Teoremă: (Integrala stocastică in raport cu martingalele local continue)

Fie  M este martingal local continuu. Pentru orice ( ) M  L K  loc

2∈ există şi este

unic  K ⋅ martingal local continuu , notat şi cu , astfel încât orice  N  

martingal local continuu

 s sdM  K ∫•

0

 N  M  K  N  M  K  ,, ⋅=⋅ . R ămân adevărate şi proprietăţile

iii) şi iv) din teorema de mai sus.

Demonstraţie: Se poate alege un şir crescător de timpi de stopare cu

astfel încât

1, ≥nT n

.. lim  saT nn

∞=∞→

2 H nT 

∈  şi nT 

nT 

 M  L K  2∈ . Putem să definim procesul

. Cum coincide cu penT 

nT 

n  M  K  X  ⋅= 1+n X  n X  [ ]nT ,0 putem defini pe

care este evident un martingal local continuu.

n X  M  K  =⋅

[ nT ,0 ]

  39

Page 42: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 42/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Definiţie: Un proces progresiv măsurabil  K  se numeşte local mărginit dacă 

există un şir crescător de timpi de stopare cu1, ≥nT n .. lim  saT nn

∞=∞→

 şi constantele

astfel încâtnC  nn

T C  K  ≤ .

Se vede că procesele continue şi adaptate sunt local mărginite iar procesele

local mărginite sunt in .( ) M  Lloc

2

 

Definiţie: (Integrala stocastică in raport cu semimartingalele continue)

Fie K local mărginit şi  A X  += semimartingal continuu. Definim integrala

stocastică a lui K in raport cu X semimartingalul continuu  A K  K  X  K  ⋅+⋅=⋅ . Se

observă că are proprietăţile iii) şi iv) din teorema de mai sus.

Corolar: (Integrala stocastică in raport cu mişcarea browniană)

i)  Pentru orice ( ) B L K  2∈ există  şi este unic , notat şi cu

, astfel încât

20 H  B K  ∈⋅

 s

 st  dB K  I  ∫=0

( ) 2,,,  H  N  N  B K  N  B K  ∈∀⋅=⋅  

ii)  [ ] 0=t  I  E 

iii)  (izometria Ito) [ ] [ ]ds K  E  I VARt 

 st  ∫=0

2

iv)  este martingal t  I 

v)  Dacă  şi( ) B L K  2∈ ( ) B K  L H  ⋅∈ 2 atunci ( ) B L HK  2∈   şi avem că 

( ) (  B K  H  B HK  )⋅⋅=⋅  

vi)  Dacă T e timp de stopare [ ] ( )T 

T  B K  B K  B K  ⋅=⋅=⋅ ,01  

 III.3 Formula de schimbare de variabil ă 

Teoremă:(de convergenţă dominantă)

Fie  X  += semimartingal continuu. Dacă  ( )n K  este un şir de procese

local mărginite ce tinde punctual la 0 şi există un proces local mărginit K astfel încât

 K  K n ≤ atunci ( ) X  K n ⋅ converge la 0 in probabilitate, uniform pe fiecare interval

compact.

40

Page 43: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 43/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Demonstraţie: Trebuie ar ătat că  ( ) 0suplim =⋅−≤∞→

 s

n

t  sn X  K  P  care este evident

adevărată pentru X cu variaţie finită. Dacă  X martingal local continuu şi T timp de

stopare astfel încât e martingal mărginit şi( 01 >T 

T  X  ) [ ] δ ≤≤ t T  P  . tinde la 0

în

( )T n K 

( )T  X  L2   şi deci converge la 0 în( T n

 X  K  ⋅ ) 2 H  . Cum ( ) X  K n ⋅ coincide cu

 pe [ avem că ( T n X  K  ⋅ ) ]T ,0 ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ >⋅+≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ >⋅

≤≤ε δ ε 

 s

n

t  s s

n

t  s

 X  K  P  X  K  P  supsup   şi

cum ultimul termen tinde la 0 rezultă convergenţa dorită.

Teoremă: Dacă  K este continuu şi ( )nΔ un şi de diviziuni a lui [0,t ] cu

0→Δn atunci: ( )it it 

ni

t it n

 s

 s  X  X  K  P dX  K  −−=+

Δ∈∞→

∑∫ 10

lim .

Demonstraţie: E suficient să facem pentru  K mărginit(dacă nu apelăm la

localizare). Fie ]. Cum[ 1,1+

Δ∈

∑=it 

it 

ni

t it 

n  K  K i

t i

t n

it 

it 

n  X  X  K  X  K  −=⋅+

Δ∈

∑ 1,

şi

 K  K n →

∞≤  K  K n se poate aplica teorema de mai sus.

Teoremă:(integrarea prin păr ţi).Fie Y  X , semimartingale continue. Atunci:

t  s

 s s

 st t  Y  X dX Y dY  X Y  X Y  X  ,00

00 +++= ∫∫ 3.2

Demonstraţie: Avem că:

∑∑∑ −−−−−=−−++++

ii

t i

t i

t it 

it 

ii

t t t i

t i

iit 

it   X  X Y Y Y  X Y  X Y  X Y Y  X  X 

110011 

Trecând la limită se obţine relaţia dorită.

Teoremă: (formula Ito). Fie RR ,2 d C  f  ∈   şi ( )d i

i X  X  ..1== vector de

semimartingale continui. Atunci ( ) X  f  este semimartingal continuu şi:

( ) ( ) ( ) ( ) s

 ji

 s

 ji

 ji

i

 s s

i

i

t   X  X d  X  x x

 f dX  X 

 x

 f  X  f  X  f  ,

2

1

, 0

2

1 0

0 ∑∫∑∫ ∂∂∂

+∂∂

+==

3.3

Demonstraţie: Dacă  f are proprietatea din enunţ conform formulei de integrare

 prin păr ţi şi funcţiile ),...,(),...,( 11 d id i  x x f  x x x g  = au aceeaşi proprietate. Deci

 proprietatea e adevărată pentru funcţii polinomiale. E suficient să ar ătăm cazul in care

41

Page 44: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 44/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 X  ia valori intr-un compact d  K  R∈ . Dar pe  K orice funcţie este limita unui şir de

funcţii polinomiale. Folosind teorema de convergenţă, formula este demonstrată.

Lemă: Fie  M  martingal local continuu şiC

∈λ  . Notăm cu

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=  M  M  M  M  ,2

exp2λ 

λ ξ λ  . Avem că  ( ) M λ ξ  e martingal local continuu.

Demonstraţie: Fie ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=  y x y x f 2

exp,2λ 

λ λ  . Aplicînd formula Ito şi avînd

în vedere că  ( ) (  M  M  M  f  M  ,,λ λ ξ  = ) avem că :

( ) ( ) 0,, 02

2

000

∫∫∫ +∂

+∂

+∂

+=

 s

 s

 st   M  M d  x

 f 

 M  M d  y

 f 

dM  x

 f 

 M  M 

λ λ λ λ λ 

ξ ξ   

( ) ( ) ∫∫∫ ∂∂

+=⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+=t 

 s

 s

 s dM  x

 f  M  M  M d 

 x

 f 

 y

 f dM 

 x

 f  M 

0

0

0

0

2

2

0

0 ,λ 

λ λ λ λ 

λ  ξ ξ 

   

 

Teoremă:(Levy). Fie X un proces d-dimensional, adaptat cu . Dacă  X 

este martingal local continuu şi

00 = X 

d  jit  X  X  ij

ii ≤≤= ,1 , , δ  atunci  X  e mişcare

 browniană.

Demonstraţie: Fie T>0 şi  [ ] d k  f  k k k  ≤≤=∈ ,1 1, 0,Tα α  R . Notăm cu

 s

k t  dX  f  M  ∑∫=0

. Avem că  ds f  M  M k 

k t  ∑∫=0

2, . Aplicând lema de mai sus cu i=λ   

avem că  ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∧+== ∧ T t  X i M  D T t t 

i

2

2

1,exp α α ξ  este martingal local continuu.

Dar fiind mărginit rezultă că este martingal. Pentrut  D  s A F∈  şi T t  s << avem că:

{ }[ ] ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=−  st  A P  X  X i E   st  A 2exp,exp1

2α 

α  . Deci  st   X  X  − este independentă 

de şi este v.a. gaussiană cu maticea de covarianţă  sF ( ) n I  st − . Deci  X este mişcare

 browniană.

42

Page 45: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 45/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 III.4 Teorema de reprezentare a martingalelor 

Fie  B mişcare browniană. In continuare consider ăm filtrarea pe care o

notăm cu .

 Bt F

t F

Lemă: Mulţimea e

totală in .

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ==Φ

∞∞ ∫ compactsup.cusimpla|0

 f dB s f   s

 f  ξ ξ 

( ) P  L ,2∞Ω F,

Demonstraţie: Ar ătăm că dacă  ( ) P  LY  ,2∞Ω∈ F,   şi Y este ortogonal pe orice

atunci f ∞ξ   P Y  ⋅ e măsura nulă. E de ajuns să ar ătăm că e nulă pe n

t t   B B ,...,1σ  pentru

orice secvenţă finită . Funcţia e

analitică pe . Cum

( nt t  ,...,1 ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −= ∑

=−

Y  B B z  E  z  z n

ii

t i

t in

111 exp,...,ϕ 

nC ( ) ( ) n

n

iit it in Y  B B E  R∈∀=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −= ∑

=−

α α α α ϕ  ,0exp,...,1

11 avem

că  0≡ϕ    şi deci . Deci( ) nn

i

it 

it i Y  B Bi E  R∈∀=⎥

⎤⎢

⎡⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛ ⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ −∑

=

−α α  ,0exp

1

1 P Y  ⋅ e nulă pe

nt t   B B ,...,

1σ  deoarece transformata Fourier e nulă.

Lemă: Fie . Există  şi e unic astfel încât

.

(  P  L F  ,2∞Ω∈ F, ) ( ) B L H  2∈

[ ] ∫∞

+=0

 s sdB H  F  E  F 

Demonstraţie: Notăm cu mulţimea acelor H ( ) P  L F  ,2∞Ω∈ F, cu proprietatea

de mai sus. Dacă atunciH∈ F  [ ] 222

2  B H  F  E  F  += . Dacă  { }n

 F  converge in la

atunci şirul corespunzător 

H

(  P  L F  ,2∞Ω∈ F, ) n H  tinde la . Rezultă că 

. Deci e închisă. Dar folosind formula lui Ito avem

că . Deci

( ) B L H  2∈

[ ]( ) H∈+= ∫∞

0

lim  s s

n

ndB H  F  E  F  H

 s

 f 

 s

 f  dB s f  )(10∫∞

∞ += ξ ξ  H⊆Φ∞ . Rezultă că  { }0=⊥H   şi cum e inchisă H

  43

Page 46: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 46/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

atunci . Dacă avem(  P  L ,2∞Ω= F,H ) ( ) B L H  H  2, ∈′ cu proprietatea de mai sus rezultă 

că  [ ] 222

200

 B H  H  E  ′−+=  şi deci  H  H  ′= .

Teoremă: (teorema de reprezentare a martingalelor). Fie ( ) d i

i B B ..1== o

mişcare browniană d-dimensională. Dacă M este - martingal atunci există şi este

unic

t F

( ) ( ) B L H  H  d i

i 2..1 ∈= = astfel încât .∑∫

=

+=d 

i

i

 s

i

 st  dB H C  M 1 0

Demonstraţie: Facem demonstraţia pentru 1=d    şi  M  martingal -mărginit.

Deci există astfel încât

2 L

(  P  L M  ,2∞∞ Ω∈ F, ) [ ]t t   M  E  M  F|∞= . Aplicând lema de mai

sus avem că :

.[ ] [ ] [ ] ∫∫∫ +=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎤⎢⎣

⎡+= ∞

 s st  s st  s st  dB H  M  E dB H  E  M  E dB H  M  E  E  M 000

|| FF

 

Observaţie Una din proprietăţile fundamentale ale integralei stocastice în

raport cu mişcarea browniană se refer ă la faptul că aceasta este un martingal în raport

cu filtrarea generată de mişcarea browniană. Teorema de reprezentare a martingalelor 

reprezintă o reciprocă a acestei proprietăţi, în sensul orice martingal în raport cu

filtrarea generată de mişcarea browniană se poate scrie sub forma unei integrale

stocastice.

 III.5 Teorema de schimbare a măsurii 

Lemă: Fie L martingal local continuu. Notăm cu ( ) L D ξ = . Avem că 

 s

 st  dD D D L ∫ −+=0

10ln şi  L M  D M  D ,,1 =⋅− cu M martingal local continuu

Demonstraţie: Aplicînd formula lui Ito rezultă că 

 s

 s s

 st   D Dd  DdD D D D ,2

1lnln

0

2

0

10 ∫∫ −− −+=   ⇒   s

 st  dD D D L ∫ −+=0

10ln

   L M  D D D M  D D M  D M  D ,ln,,, 10

11 =⋅+=⋅=⋅ −−−  

44

Page 47: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 47/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Teorema:(Girsanov). Fie L martingal local continuu şi ( )  P  L P  ⋅= ξ ~

. Dacă  B  

este P -mişcare browniană atunci  L B B B ,~

−= este  P ~

-mişcare browniană.

Demonstraţie: Facem demonstraţia pentru 1=d  . Notăm cu ( ) L D ξ = . In

 primul rînd ar ătăm că   B~ este  P ~ - martingal local continuu ar ătînd că   D B~ este  P -

martingal local continuu. Aplicînd formula de integrare prin păr ţi şi lema avem că:

t  s

 s s

 st t   D B Bd  DdD B D B D B ,~~~~~

00

00 +++= ∫∫  

t  s

 s s

 s  D B L B DdB DdD B D B ,~

,~~

00

00 +⋅−++= ∫∫  

 s

 s s

 s dB DdD B D B ∫∫ ++=00

00 ~~

Dar  t  B B B Bt t 

== ,~

,~

. Aplicînd teorema lui Levy rezultă că   B~

este  P ~

-

mişcare browniană.

In general este important cazul in care ( ) Lξ  este martingal şi nu doar 

martingal local continuu. In acest caz avem că probabilitatea ( )  P  L P  ⋅= ξ ~

poate fi

extinsă pe . In această lucrare vom lua în considerare doar cazul∞F T t t   B L ∧= θ  unde

 B este mişcare browniană rezultînd că  ( ) Lξ  e martingal. Pentru cazul general dăm in

continuare f ăr ă demonstraţie două criterii care ne asigur ă că  ( ) Lξ  e martingal.

Teorema:(criteriul Kazamaki). Dacă  L martingal local continuu astfel încât

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  L

2

1exp este submartingal uniform integrabil atunci ( ) Lξ  este martingal uniform

integrabil.

Teorema:(criteriul Novikov). Dacă  L martingal local continuu astfel încât

∞<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

∞ L L E  ,

2

1exp atunci ( ) Lξ  este martingal uniform integrabil.

45

Page 48: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 48/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 IV. No ţ iuni privind teoria proceselor de difuzie

 IV.1 Ecua ţ ii diferen ţ iale stocastice

Fie ( )r i

i B B ..1== o mişcare browniană r-dimensională şi consider ăm funcţiile

 boreliene: ( ) ( )( ) [ ) r d d 

 ji  xt  xt  RRR ⊗→×∞= ,0:,, ,σ σ  , r  jd i ≤≤≤≤ 1,1   şi

( ) ( )( ) [ ) d d 

i  xt b xt b RR →×∞= ,0:,, , 1 d i ≤≤ . Funcţia poartă numele de

drift, iar funcţia

),(  xt b

( ) xt ,σ  poartă numele de difuzie.

Se consider ă următoarea ecuaţie diferenţială stocastică:

( ) d  x X  R∈=0 dat

( ) ( )( ) ( )( ) k 

 s

t  r 

k i

ii

i dB s X  sds s X  sb xt  X  ∫ ∑∫=

++=0 1

,

0

,, σ  , 1 d i ≤≤ 4.1

Ecuaţia stocastică poate fi scrisă şi in formă "diferenţială":

( ) d  x X  R∈=0 dat

( ) ( )( ) ( )( ) k 

 s

k ii

i dBt  X t dt t  X t bt dX  ,,1

,∑=

+= σ  , 1 d i ≤≤ 4.2

Dacă  ( ) ( x xt  )σ σ  =,  şi ( ) ( ) xb xt b =, atunci ecuaţia se numeşte omogenă.

Definiţie: Se numeşte proces de difuzie orice soluţie a ecuaţiei stocastice 4.1 .

Se observă că procesle de difuzie au traiectorii continue. De asemenea, din

teorema de reprezentare a martingalelor rezultă că în cazul în care driftul este egal cu

zero, procesul de difuziune este un martingal. De fapt, în matematica financiar ă, o

modalitate simplă de a ar ăta că un proces stocastic este martingal constă în a ar ăta că 

acesta este un proces de difuziune f ăr ă drift.

46

Page 49: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 49/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Teoremă:(de existentă  şi unicitate a unei soluţii tari). Dacă există 

astfel încât

0> K 

( ) ( ) ( ) ( ) 222,,,,  y x K  yt b xt b yt  xt  −≤−+− σ σ  , ( ) ( ) [ ) d 

 yt  xt  R×∞∈∀ ,0,,,  

( ) ( ) 1,, 222 +≤+  x K  xt b xt σ  , ( ) [ ) d  xt  R×∞∈∀ ,0,  

atunci ecuaţie 4.1 are soluţie unică  ( )t  X  - măsurabilă. B

t F

 

Demonstraţie:

Vom considera doar cazul ecuaţiilor omogene cu 1== r d  .

Existenţa. Fie şi . Construim şirul0>T  [ T t  ,0∈ ] ( )( )nn t  X  definit astfel:

R∈= xt  X  )(0  

( ) ( )( ) ( )( )  sn

n

n dB s X ds s X b xt  X  1

0

1

0

−− ∫∫ ++= σ   

Avem că:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )t  I t  I ds s X b s X bdB s X  s X t  X t  X 

nn s

nnnn 21

0

1

0

11 +=−+−=− ∫∫ −−+ σ σ 

Folosind inegalittea lui Doob avem că:

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ≤⎥⎥

⎤⎢⎢

⎡⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛  −=⎥⎥

⎤⎢⎢

⎡⎟⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛  −≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∫∫ −−

≤ds s X  s X  E dB s X  s X  E  s I  E 

nn s

nnt  s

2

0

1

2

0

1

2

1 44sup σ σ σ σ 

  ( ) ( )[ ]ds s X  s X  E  K 

nn∫ −−≤0

2

1  4

Analog folosind inegalitatea Cauchy-Schwartz avem că:

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ≤⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ −⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ≤

⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∫∫∫ −−

≤ds s X b s X bds E dB s X b s X b E  s I  E 

nn

 s

nnt  s

2

0

1

0

2

0

1

2

2sup

 

( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]ds s X  s X  E TK ds s X b s X bTE 

nn

nn ∫∫ −− −≤⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ −≤

0

2

1

2

0

1  

Rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ds s X  s X  E T  K  s I  E  s I  E  s X  s X  E 

nn

C t  st  s

nnt  s

∫ −≤≤

+≤

−+≤⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

0

2

1

2

2

2

1

2

1  42supsup2sup

Se obţine prin iteraţii succesive că:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2

01

2

1  !

sup t  X t  X  E n

T C  s X  s X  E 

nn

nnt  s

−≤⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

 

47

Page 50: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 50/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Dar 

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( )( )2222222

2

0

2

0

2

01 222 t  xbt  xt  xb B E  xds xbdB x E t  X t  X  E  t 

 s

+=+=⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ≤− ∫∫ σ σ σ 

  ( ) ( ) ) ( ) ∞<+≤+≤22222

144  x K T  xb xT  σ   

Rezultă că  ( ) ( )∑∞

=+

≤∞<−

1 21  sup

n

nnt  s

 s X  s X  . Deci ( ) ( )∑∞

=+

≤−

11sup

n

nnt  s

 s X  s X  converge a.s. şi

ca urmare converge a.s., uniform pe fiecare interval mărginit, către un proces

continuu care e soluţie - măsurabilă a ecuaţiei 4.1.

)(t  X n

( )t  X   B

t F

Unicitatea. Fie ( )t  X    şi două soluţii ale ecuaţiei 4.1 şi fie şirul de timpi de

stopare

( )t Y 

( ) ( ){ } sau|0inf  nt Y nt  X t T n >>>= . Pentru n fixat notăm cu:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

2

sup nT 

 snT 

 st  s

Y  X  E t ϕ   

Folosind aceleaşi argumente ca mai sus rezultă că pentru n fixat pe [ ]T T n ∧,0 avem:

( ) ( )ds sC t 

∫≤0

ϕ ϕ 

Folosind lema Gronwall rezultă că  0≡ şi deci Y  X  =  pe . Cînd

şi

[ ]T T n ∧,0

∞→n ∞→T   ţinînd seama că  ∞→nT  rezultă că  Y  X  =  pe [ )∞,0 .

Teoremă: Procesele de difuzie sunt procese Markov. Mai mult, dacă procesul

de difuzie este soluţie a unei ecuaţii stocastice omogene atunci este proces Markov

omogen.

Demonstraţie:

Vom considera doar cazul 1== r d  .

Fie . Fie soluţia ecuaţiei stocastice 4.1. Notăm cu0>T  t  X   sT  s

 s  B B B −= +

~.

Consider ăm ecuaţia stocastică:

4.3( ) (∫∫ ′++′++=′t 

 s

 s

 sT t  ds X T  sb Bd  X T  s X  X 00

,~

,σ  )

Cum T 

 s B~

e independent de rezultă că  B

T FT  B

~e independent de . Notăm cu

soluţia ecuaţiei 4.3 care există şi e unică.

T  X 

{ 0, >′=′ t  X  X  t  }

Fie  X ′′ definit astfel

48

Page 51: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 51/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

⎩⎨⎧

≥′

<=′′

− T t  X 

T t  X  X 

T t 

t  ,

,

Avem că  X ′′ verifică 4.1 şi din unicitate rezultă că   X  X  =′′ , deci t T t   X  X  ′=+  

 pentru . Rezultă că nu depinde decât de şi de0≥t  T t  X + T  X  T  B~ .

Dar am văzut că  T  B~

este independentă de . Altfel spus avem că legea

condiţionată a lui relativ la depinde decât de t,T  şi de , adică 

 B

T F

T t  X + B

T F T  X X  e proces

Markov.

Dacă procesul de difuzie este soluţie a unei ecuaţii stocastice omogene avem

că  şi 4.3 este omogenă. Se observă că legea condiţionată a lui cunoscînd că 

este aceeaşi cu a lui cunoscînd că 

T t  X +

 x X T  = t  X x X  =0  şi deci  X  e proces Markov

omogen. In acest caz avem că probabilităţile de traniţie sunt omogene şi deci

.( ) [ ] A X  P  A x P  t 

 x

t  ∈=,

 

Teoremă: (formula Ito pentru procesele de difuzie). Fie ( )RR ,2 d C  f  ∈   şi

( ) d i

i X  X  ..1== proces de difuzie. Atunci ( ) X  f  este proces de difuzie şi:

( ) ( ) k  sk i

t  d 

i i

 ji

 ji

 ji

i

i

it  dB x f ds

 x x f c

 x f b X  f  X  f  ,

1 0 10

2

1,,

10 2

1 σ ∑∫ ∑∫ ∑∑ = === ∂∂+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛  ∂∂∂+∂∂+= 4.3

unde .t c σσ =

Demonstraţie:

Calculăm  ji  X  X  ,  şi aplicăm formula lui Ito. Avem că:

=== ∑ ∫∫∫ ∑∫ ∑===

 pk 

 p

 s

 p j

 s

k i

 p

 s

t  r 

 p

 p j

 s

t  r 

k i

 ji dBdBdBdB X  X 1, 0

,

0

,

0 1,

0 1, ,,, σ σ σ σ   

∫∑∫∑∫==

===t 

 ji

k  jk i

 pk 

 p

 s

 s p jk i dscds B Bd 0

,1 0

,,1, 0

,, , σ σ σ σ   

49

Page 52: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 52/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 IV.2 Generatorul infinitizimal al unui proces de difuzie

Fie {P t  ,t  ≥  0} un semigrup de probabilităţi de tranziţie omogene al unui proces Markov omogen cut  X  00 = X  .

Definiţie: Fie (funcţii continue cu limita la infinit zero) şi

generatorul infinitizimal al semigrupului {P 

0C  f ∈

L t  ,t ≥ 0}. Spunem că dacă ( )L Dom f  ∈

00

lim C t 

 f  f  P  f  t 

t ∈

−=

↓L  

Teoremă: Dacă  ( )L Dom f  ∈ atunci

i)  ( )L Dom f  P t  ∈

ii)  ( ) (  f  P  f  P  f  P dt 

d t t t  LL == ) 

iii)  ( ) ( )∫∫ ==−t 

t t  ds f  P ds f  P  f  f  P 00

LL

iv)  este( ) ( ) ( )ds X  f  X  f  X  f  M 

 st 

 f 

t  ∫−−=0

0 L x P  -martingal  x∀  

Demonstraţie: Pentru t fixat avem că:

( )(  f  P 

 s

 f  f  P  P 

 s

 f  P  f  P  P 

 s

 f  P  f  P t 

 st 

 s

t t  s

 s

t  st 

 sL=⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  −=

−=

−↓↓

+

↓ 000limlimlim )   ⇒ 

( )L Dom f  P t  ∈ , ( ) (  f  P  f  P  t t  LL = )  şi are derivată la dreapta egală cu f  P t  t → ( ) f  P t  L

Funcţia e derivabilă şi are derivata egală cu∫→t 

 s  fds P t 0

L ( ) f  P t  L . Rezultă că :

 g  fds P  f  P 

 st  += ∫0

L . Făcând rezultă că 0=t   f  g = . In continuare vom demonstra iv)

[ ] ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+= ∫  s

 s

 s st 

 x f 

 s s

 f 

 x ds X  f  X  f  X  f  E  M  M  E  FLF ||

  ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎢⎣

−−+= ∫

− ds X  f  X  f  X  f  E  M 

 st 

 s st 

 s X  f 

 s0

0L

  50

Page 53: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 53/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Dar  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 000

0 =−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− ∫∫

 st 

u st 

 st 

 s st 

 y du y f  P  y f  y f  P ds X  f  X  f  X  f  E  LL

 

Teoremă: Dacă  şi există 0C  f  ∈ 0C  g ∈ a.i. este( ) ( ) ( )ds X  g  X  f  X  f t 

 st  ∫−−0

0

 x P  -martingal atunci x∀ ( )L Dom f  ∈  şi  g  f  =L .

Demonstraţie: Avem . Deci( ) ( ) ( ) 00

=−− ∫t 

 st  ds x g  P  x f  x f  P 

( ) 011

00

→−≤−=−−

∫∫ ds g  g  P t 

ds g  g  P t 

 g t 

 f  f  P t 

 s

 st   

Definiţie: O funcţie boreliană apar ţine domeniului generatorului

infinitizimal extins notat tot cu

 f 

( )L Dom dacă există o funcţie boreliană a.i.

( ) ∞<∫ ds X  g 

 s

0

  şi este( ) ( ) ( )ds X  g  X  f  X  f 

 st  ∫−−0

0 x P  -martingal şi scriem

.

 x∀

 g  f  =L

 In continuare vom considera că este proces de difuzie omogen.t  X 

 

Teoremă:(generatorul infinitizimal al unui proces de difuzie omogen).

Fie ( d i

i X  X  ..1==  proces de difuzie. Atunci ( )L DomC  K  ⊆∞  şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x

 f  xc x

 x

 f  xb x f 

 ji

 ji

 ji

i

i

i ∂∂∂

+∂∂

= ∑∑==

2

1,,

1 2

1L 4.4

unde t c σσ =

Demonstraţie: Conform formulei Ito pentru ( )RR ,d 

 K C  f  ∞∈ avem:

( ) ( ) k 

 sk i

t  d 

i i

 ji

 ji

 ji

i

i

it  dB x

 f ds

 x x

 f c

 x

 f b X  f  X  f  ,

1 0 10

2

1,,

10 2

1σ ∑∫ ∑∫ ∑∑

= === ∂∂

=⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

∂∂∂

+∂∂

−− care este  x P  -

martingal , fiind martingal local continuu mărginit. x∀

 

51

Page 54: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 54/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Teoremă: Fie e proces de difuzie .Următoarele afirmaţii sunt echivalente:t  X 

i)  ,( )[ ] ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫ ds X  f  E  x f  X  f  E 

 s

 x

 x

0

L  x∀  şi ∞∈∀  K C  f 

ii)   f  este  x P  -martingal  x∀ , ∞∈∀  K C  f 

iii)   f  este  x P  -martingal local  x∀ , 2C  f ∈∀

Demonstraţie:

ii) ⇒ i). Cum ,00 = f  M  ( ) ( ) ( ) [ ] 0

0

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− ∫  f 

 x

 s

 x

t   M  E ds X  f  E  x f  x f  P  L

i) ⇒ ii). Avem că . Rezută deci că:[ ] 0= f 

t  s

 X  M  E 

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]  f 

 s

 f 

 st  s

 X  f 

 s s

 s

 s st 

 x f 

 s s

 f 

 x  M  M  E  M ds X  f  X  f  X  f  E  M  M  E  =+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+= −∫ FLF ||  

iii) ⇒ ii). Dacă   f  este  x P  -martingal local şi e mărginit pe [ ]t ,0 atunci e martingal

ii) ⇒  iii). Fie . Există un compact  H   şi un şir de funcţii2 K C  f ∈ { }k  f  din care

converge uniform către  f   pe  H. Procesul e mărginit pe [ de o

constantă . Avem că:

∞ K C 

 f 

t k 

 f 

t   M  M  − ]t ,0

0→k c

[ ] [ ] [ ] 0||| →−+−≤−  f 

 sk 

 f 

t  sk 

 f 

 x

 s

 f 

 x f 

 s s

 f 

 x  M  M  M  E  M  E  M  M  E  FFF , deci  f  este

martingal. Dacă fie din a.i.2C  f ∈ { }n g  2 K C  n g  f  = pe . Fie şirul de timpi

de stopare

1+⊂ nn  K  K 

{ nt n  K  X t  ∉>= |0inf  }σ  . Cum avem că pînă lan g 

 f 

t   M  M  = nσ    şi cum

e martingal rezultă că e martingal local.n g 

t  M   f 

t  M 

 

 IV.3 Teorema de leg ătur ă dintre procesele de difuzie şi ecua ţ iilediferen ţ iale cu derivate par  ţ iale

Fie g  boreliană şi . Definim :( ) ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −= ∫

 st  ds X  g  N 0

exp

 x

 x

 g   P  N  P  ⋅= pe şit F ( ) ( )[ ]t t 

 x g 

t   X  f  N  E  x f  P  =  

52

Page 55: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 55/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Teoremă: Fie e proces de difuzie cu generatorul infinitizimal . Avem:t  X  L

i)  e proces Markov şi faţă de măsurat  X   x

 g  P 

ii)  Generatorul infinitizimal al semigrupului { }0, >t  P  g 

t  este :

4.5 gf  f  f  g  −= LL

Demonstraţie:

i)  Fie h boreliană şi Y  -măsurabilă. Avem că:t F

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] st  X 

 g 

 x

 g  s st  X 

 x

 st  st 

 x

 st 

 x

 g   X hYE  E  N  X h E YN  E  N  X Yh E  X Yh E  === +++  

ii)  Fie . Avem că ∞∈  K C  f   f  este  x P  -martingal  x∀ . Folosind formula de

integrare prin păr ţi rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )  f 

 s

 s

 s s s s

 st t  dM  N  sd  X  f  N ds X  g  N  X  f  X  f  X  f  N  ∫∫∫ ++−=000

0 L

Se vede că ultimul termen este  x P  -martingal. Integrînd in raport cu  x P  avem că :

( )[ ] ( )[ ] ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= ∫ ds X  gf  f  E  X  f  E  X  f  E 

 s

 x

 g 

 x

 g t 

 x

 g 

0

0 L

Folosind teorema de mai sus rezultă că . gf  f  f  g  −= LL

 

Teoremă:(Feynman-Kac). Fie e proces de difuzie cu generatorul

infinitizimal , şi fie şi  g  boreliane mărginite. Definim funcţia

. Funcţia

t  X 

L 0>T  0 f 

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −= ∫ T 

 s

 yt   X  f ds X  g  E  yt  f  0, exp, ( ) yt  f  , verifică ecuaţia cu

derivate par ţiale:

0=−+∂

∂ gf  f t 

 f 

L  

cu condiţie pe frontier ă 

( ) )(, 0  y f  yT  f  = 4.6

Demonstraţie:

Consider ăm procesul ( care este proces de difuzie care porneşte din

. Generatorul infinitizimal al acestui proces este evident

)

)

t  X t ,

(  x,0 ⋅+∂

⋅∂L

t . Deci cu

notaţiile de mai sus (f ăcând modificările necesare adică in loc de  x consider ăm

53

Page 56: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 56/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 perechea ) rezultă că (  x,0 )  gf  f t 

 f  f  g  −+

∂∂

= LL . Dintr-o teoremă anterioar ă rezultă 

că  ( ) ( ) ( )ds X  gf  f t 

 f  X  f  X t  f 

 st  ∫ ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  −+∂∂

−−0

0,0, L este - martingal. x

 g  P  ,0

Fie . Avem că:t u <

( )[ ] ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −=⎥

⎤⎢⎣

⎡= ∫ uT 

 st  X t 

u

 x

ut 

u

t  x

ut 

 x

 g   X  f ds X  g  E  N 

 E  X t  f  N 

 N  E  X t  f  E  FFF |exp

1|,|, 0

0

,,0,0,0

 

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −= ∫∫ uT 

 s

u

 x

ut T 

 s

 x

u

 x  X  f ds X  g  N 

 E  X  f ds X  g  E  N 

 E  FFF |exp1

||exp1

0

0

,00

0

,0,0

 

( ) ( ) ( uuT 

u

 s

 x  X u f  X  f ds X  g  E  ,|exp 0,0 =

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −= ∫ F )

)Deci este - martingal şi in consecinţă rezultă că ( t  X t  f  ,  x

 g  P  ,0

( )ds X  gf  f t 

 f t 

 s∫ ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  −+∂∂

0

L este - martingal. De aici rezultă că: x

 g  P  ,0

  0=−+∂

∂ gf  f t 

 f 

L .

Observaţie. In matematica financiar ă există două modalităţi de evaluare a activelor 

financiare şi anume principiul arbitrajului şi principiul evaluării neutre la risc. Prin

utilizarea principiului arbitrajului se ajunge la concluzia că preţul activului financiar 

trebuie să verifice o ecuaţie diferenţială cu derivate par ţiale. Pe de altă parte însă prin

utilizarea principiului evaluării neutre la risc preţul activului reprezintă o medie a

cash-flow-urilor viitoare actualizate. Teorema Feynman-Kac este fundamentală înmatematica financiar ă în sensul că arată faptul că cele două principii de evaluare sunt

echivalente.

54

Page 57: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 57/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

V. Pia ţ a financiar ă de tip Black-Scholes-Merton (BSM)

V.1 Ipotezele modelului Black-Scholes-Merton

Fie Ω  spaţiul tuturor evenimentelor care influenţează cursul bursier al unui

activ şi fie P o probabilitate pe aceast spatiu, numită probabilitatea pieţei. Fie B(t  ) o

mişcare browniana relativa la  P  cu  ( ) 00 = B , 0≤t≤T, şi F(t),0≤t≤T , filtrarea

generată de mişcarea browniană.

Modelul Black-Scholes-Merton presupune următoarele ipoteze:

•  tranzacţionarea are loc în mod continuu (model cu timp continuu)

•  rentabilitatea activului suport are o distribuţie normală 

• 

activul suport nu generează dividende pe perioada analizată •  rata dobânzii este constantă 

•  volatilitatea anuală a cursului suport este constantă 

Ipoteza de bază a modelului Black-Scholes este că rentabilitatea activului

suport este distribuită normal. Mai exact, rentabilitatea pe perioada ( are o

distribuţie normală cu medie

)t t t  Δ+,

t Δ⋅   şi dispersie t Δ⋅σ  , unde reprezintă 

rentabilitatea medie anuală, iar σ  este volatilitatea anuală a activului suport:

( )t t  N S 

S S 

t t t  Δ⋅Δ⋅−Δ+ σ μ  ,~  

Folosind proprietăţile mediei şi dispersiei putem scrie că:

ε σ μ  ⋅Δ⋅+Δ⋅=−Δ+ t t 

S S 

t t t   

unde ε  are o distribuţie normală standard (i.e. ( )1,0~ N ε  ).

55

Page 58: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 58/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

O altă ipoteză a modelului este aceea că tranzacţionarea are loc în timp

continuu. De aceea este nevoie de o ecuaţie de evoluţie pe un interval mic de timp

( dt ) a cursului activului suport. Dacă notăm cu modificarea cursului în intervalul

rentabilitatea instantanee pe intervalul dt  se poate scrie sub forma:

t dS 

( )dt t t  +,

t  dBdt S 

dS  σ μ  +=  

Astfel, în cadrul modelul Black-Scholes-Merton, cursul activului reprezintă o

 proces stocastic S(t), 0≤t ≤T, adaptat la filtrarea F(t) si care are următoarea ecuaţie de

dinamică:

)()()()( t dBt S dt t S t dS  ⋅⋅+⋅⋅= σ  , 0>σ  5.1Aplicând lema lui Ito ecuaţie 5.1 pentru funcţia g(t,S)=ln(S) si tinând seama de

faptul că:

0=∂∂

 g  

S S 

 g  1=

∂∂

 22

2 1

S S 

 g −=

∂∂

5.2

obţinem ecuaţia de dinamica a procesului ln(S):

⇒⋅⋅⋅+⋅⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛  ⋅⋅⎟⎟

 ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −⋅+⋅⋅+=  )()(

)(1)(

)(1

21)(

)(10))(ln( 22

2t dBt S 

t S dt t S 

t S t S 

t S t S d  σ σ μ 

 

)(2

))(ln(2

t dBdt t S d  ⋅+⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −= σ 

σ μ  5.3

Integrând ecuaţia 5.3 de la t la t+τ obţinem:

( ) sdBdst S t S 

t ∫∫++

+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛  −=−+

τ τ 

σ σ μ τ 2))(ln())(ln(

2

5.4

Cum μ  şi σ   sunt constante relatia 5.4 devine:

( )()(2

))(ln())(ln(2

t  Bt  Bt S t S  −+⋅+⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −=−+ τ σ τ 

σ μ τ  ) 5.5

Dar  B(t+τ  )-B(t) ∼  N(0, τ  ) , deci

ln(S(t+τ  )) ∼ N( τ σ 

μ  ⋅⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎝ 

⎛ −+

2))(ln(

2

t S  , τ σ  ⋅ ) 5.6

56

Page 59: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 59/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Considerând τ=1 (o unitate de timp) obţinem semnificaţia parametrului σ.

Volatilitatea activului reprezintă dispersia repartiţiei logaritmului cursului activului la

momentul t+1 condiţionat de faptul că valoarea cursului la momentul t este S(t),

repartiţie care conform relaţiei 5.6 este normală cu media 2

2

))1(ln(σ 

μ −++t S    şidispersie σ.

Este importanta alegerea unităţii de timp. Daca unitatea de timp este 1 zi

atunci vorbim despre volatilitate zilnică (σz ), iar dacă unitatea de timp este 1 an

atunci vorbim de volatilitate anuală (σa ). Relaţia dintre volatilitatea anuală  şi cea

zilnică este următoarea:

 N  z a ⋅= σ σ  5.7

unde N numărul de zile de tranzacţionare dintr-un an.

V.2 Arbitrajul şi măsura neutr ă la risc

Consideram ca pe piaţă există n active şi notam cu S i(t) cursurile lor  , 1≤i≤n şi

fie Ω spaţiul tuturor evenimentelor care influenţează cursul bursier al celor n active,

fie P o probabilitate pe aceast spatiu (probabilitatea pieţei).

Fie  B(t  )=(B1(t),B2(t),…,BBn(t)) o mişcare browniana relativa la  P  ,0≤t ≤T, şi

F(t),  0≤t≤T , filtrarea generată de miscarea browniană. (F(t)  reprezintă mulţimea

informaţiilor cunoscute la momentul t referitoare la cursurile celor n active).

Cursul activelor urmează următoarele ecuatii de dinamică:

,)()()()(

1

, t dBt S dt t S t dS   j

n

 j

 jiiiii ⋅⋅+⋅⋅= ∑=

σ μ  0, > jiσ  1≤ i≤  n 5.7

Definiţie: O probabilitate  P P*   pe Ω  echivalentă cu probabilitatea pieţei  P  cu

 proprietatea că procesele ,1≤i≤n, sunt martingale relativ la P * )(t S e i

t r  ⋅⋅−P

  se numeşte

măsură (probabilitate) neutră la risc.

Consider ăm un portofoliu format din activele de pe piaţă  şi dintr-o suma de

 bani remunerată cu o rată a dobânzii f ăr ă risc r . Fie Δi(t) numărul de unităţi din activul

57

Page 60: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 60/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

de tip i conţinute in portofoliu la momentul t . Δi(t) sunt F(t)  -  măsurabile. Notam cu

 L(t) cantitatea de bani din portofoliu la momentul t. 

Avem evident că:

5.9)0()(  Let  L

t r 

⋅=⋅

Dacă notăm cu Π  (t) valoarea portofoliului la momentul t , avem că:

5.10)()()()(1

t  Lt S t  Δt  Π  i

n

i

i +⋅= ∑=

 

Definiţie: Un portofoliu se numeşte autofinanţat dacă are proprietatea că 

)()()()(

1

t dLt dS t  Δt d  Π  i

n

i

i +⋅= ∑=

 

Un portofoliu autofinanţat se caracterizează prin faptul că o eventuală 

modificare a structurii nu conduce la modificarea valorii acestuia sau altfel spus nu

există intr ări sau ieşiri de fonduri. 

Teorema: Pentru orice portofoliu autofinanţat procesul este

martingal relativ la probabilitatea P 

)(t  Π e t r  ⋅⋅−

P

 .Demonstratie:

Conform definiţiei măsurii neutre la risc procesele ,1≤i≤n, sunt

martingale martingal relativ la probabilitatea P 

)(t S e i

t r  ⋅⋅−

P

*  . Conform teoremei de reprezentare a

martingalelor există procesele δ  (t) ,1≤  t ≤  n, adaptate la F(t)  astfel încât:i,j  

5.11nit dBt t S ed   j

n

 j

 jii

t r  ≤≤⋅=⋅ ∑=

⋅− 1 )()())(( *

1

,δ 

 

Ecuaţia de dinamica a valorii portofoliului este:

5.12)()()()(1

t dLt dS t  Δt d  Π  i

n

i

i +⋅= ∑=

 

Avem că:

))(()())(()()())(( t d edt t er t d et ed t ed t r t r t r t r t r 

Π⋅+⋅Π⋅⋅−=Π⋅+Π⋅=Π⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−

  58

Page 61: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 61/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅⋅+⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅⋅⋅−= ∑∑

=

⋅−

=

⋅− )()()()()()(11

t dLt dS t  Δedt t  Lt S t  Δer  i

n

i

i

t r 

i

n

i

i

t r 

  ))()()(())()()(()(

1

t dLet  Led t dS et S ed t  Δ t r t r 

i

t r 

i

t r n

i

i ⋅+⋅+⋅+⋅⋅= ⋅−⋅−⋅−⋅−

=

  ))0(())(()(1

 Leed t S ed t  Δ t r t r 

i

t r n

i

i ⋅⋅+⋅⋅= ⋅⋅−⋅−

=∑

  ))0(( )()()( *

1,

1

 Ld t dBt t  Δ  j

n

 j

 ji

n

i

i +⋅⋅= ∑∑==

δ 

  5.12 )()()( *

1,

1

t dBt t  Δ  j

n

 j

 ji

n

i

i ⋅⋅= ∑∑= =

δ 

Deoarece este un proces de difuziune f ăr ă drift, procesul estemartingal relativ la probabilitatea P 

)(t  Π et r 

⋅⋅−

P

*  .

Definiţie: Un portofoliu autofinanţat cu proprietăţile:

i)  Π  (0) = 0

ii)   P ( Π  (T ) ≥ 0 ) = 1 

iii)   P ( Π  (T) > 0 ) > 0, unde P este probabilitatea pieţei

se numeşte portofoliu de arbitraj.

Teorema (Teorema fundamentală a evaluării activelor - partea I):

Dacă există o masur ă neutr ă la risc nu există nici un portofoliu de arbitraj.

Demonstratie:

 Notam cu  P P

* probabilitatea neutr ă la risc, care există conform ipotezei.

Să presupunem prin reducere la absurd că există un portofoliu de arbitraj a

carui valoare o notăm cu Π  (t). Conform teoremei demonstrate mai sus procesuleste martingal relativ la probabilitatea P )(t  Π e

t r  ⋅⋅−P

* . Deci:

[ ] [ ] 0)0(*)(* 0EE =Π⋅=Π⋅ ⋅−⋅− r T r  eT e 5.13

Cum am presupus că Π  (t) valoarea unui portofoliu de arbitraj avem că :

 P ( Π  (T ) ≥ 0 ) = 1 5.14

Dar tinînd seama ca P şi P P* sunt echivalente avem:

 P ( Π  (T ) ≥ 0 ) = 1 ⇒   P ( Π  (T ) < 0 ) = 0 ⇒    P * ( Π  (T ) < 0 )= 0 ⇒  

59

Page 62: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 62/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

⇒    P P

* ( Π  (T ) ≥ 0 ) = 1 5.15

Din relatia 5.13 tinînd cont că iese de sub integrala obţinemT r e ⋅−

5.16[ ] 0)(*E =Π T 

Din 5.15 şi 5.16 avem că:

 P * ( Π  (T ) = 0 ) = 1 ⇒   P P

* ( Π  (T ) > 0 ) = 0 ⇒    P ( Π  (T ) > 0 ) = 0 5.17

S-a ajuns la o contradicţie.

V.3 Trecerea de la probabilitate pie ţ ei la măsura neutr ă la risc

Ţinând seama de relaţia 5.7 avem că:

))(()()())(( t S d et S ed t S ed  i

t t 

i

t r 

i

t r  ⋅+⋅=⋅ ⋅−⋅−⋅−

  ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅−= ∑

=

⋅−⋅− )()()()(1

, t dBt S dt t S et S er   j

n

 j

 jiiii

t r 

i

t r  σ μ 

  ( ) ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛ ⋅+⋅−⋅⋅= ∑

=

⋅− )()(

1

, t dBdt r t S e  j

n

 j

 jiii

t r  σ μ 

5.18( ) ( )⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +⋅⋅+⋅⎥

⎤⎢⎣

⎡⋅−−⋅⋅= ∑∑

==

⋅− )()(1

,1

, t dBdt dt r t S e  j j

n

 j

 ji

n

 j

 j jiii

t r  θ σ θ σ μ 

 

Fie ∫ ∑∫ ∑==

⋅⋅−⋅−=t  n

 j

 j j

t  n

 j

 j ds sdBt  Z 0 1

2

0 1

)2

1)(exp()( θ θ   

şi∫ ⋅= A

d T  Z  A  P  P *  )()(

1≤ j≤  n)()(0

*t  Bdst  B  j

 j j +⋅= ∫θ 

 

Conform teoremei lui Girsanov  B*(t)=(B1*(t),…, Bn

*(t)) este mişcare

 browniană relativ la probabilitatea P P*  .

Relaţia 5.18 devine:

( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛  ⋅+⋅⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ ⋅−−⋅⋅=⋅ ∑∑ ==

⋅−⋅− )()())(( *

1,

1, t dBdt r t S et S ed   j

n

 j

 ji

n

 j

 j jiiit r 

it r  σ θ σ μ   

60

Page 63: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 63/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Pentru ca P P*  să fie măsura neutr ă la risc trebuie ca procesele ,1≤  i≤  n )(t S e i

t r  ⋅⋅−

să fie martingale. Deci trebuie ca θ  j , 1≤  j≤  n să verifice sistemul:

, 1≤  i≤  n 5.19r i

n

 j

 j ji −=⋅∑=

μ θ σ 1

,

 

Acest sistem poate să nu aibă soluţie, poate să aibă soluţie unică sau poate să 

aibă mai multe soluţii. Dacă sistemul nu are soluţie atunci nu există măsura neutr ă la

risc şi deci este posibil să existe un portofoliu de arbitraj. Implicaţiile cazului în care

soluţia este unică le analizăm in secţiunea următoare.

V.4 Hedging şi măsura neutr ă la risc

In această secţiune consider ăm un produs financiar a cărui valoare la

momentul t, 0≤ t ≤T, o notăm cu V(t).

Definiţie: Se numeşte portofoliu de hedging pentru un activ financiar cu

valoare V(t) un portofoliu cu proprietatea că Π  (T)=V(T).

Teorema (Teorema fundamentală a evaluării activelor - partea II):

Dacă măsura neutr ă la risc este unică atunci orice activ financiar are un

 portofoliu de hedging.

Demonstraţie:

 Notăm  A=( σ i,j )i,j∈ {1,..,n}  . Cum măsura neutr ă la risc este unică inseamnă casistemul 5.19 are soluţie unică si deci

det(A) ≠ 0 5.20

Avem că:

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ ⋅⋅⋅=⋅ ∑

=

⋅−⋅− )()())(( *

1

, t dBt S et S ed   j

n

 j

 jii

t r 

i

t r  σ   

61

Page 64: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 64/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

)()( *

1, t dBt S e  j

n

 j

i

t r 

 ji∑=

⋅− ⋅⋅⋅= σ 

5.21)(*

1, t dB j

n

 j

 ji ⋅= ∑=

δ 

unde am notat , 1≤  i,j≤  n)(,, t S e i

t r 

 ji ji ⋅⋅= ⋅−σ δ 

Fie un portofoliu cu valoarea Π  (t). Din 5.12 avem că 

5.22)()()())(( *

1,

1

t dBt t  Δt ed   j

n

 j

 ji

n

i

i

t r  ⋅⋅=Π⋅ ∑∑= =

⋅− δ 

Pentru a fi portofoliul de hedging trebuie să existe Δi(t) , 1≤  i≤  n , astfel încât

Π  (T)=V(T).

Fie 0≤ t≤ T.[ )(|)(*)( E t T V et Y  T r F⋅= ⋅− ]

Evident Y(t) este martingal faţă de probabilitatea  P P*  . Conform teoremei de

reprezentare a martingalelor avem că există procesul γ (t)=( γ  (t),γ  (t),…,γ  (t)) adaptat

la filtrarea F(t)  astfel încât

1 2 n

5.23)()())(( *

1

t dBt t Y d   j

n

 j

 j ⋅= ∑=

γ 

Luăm

[ ])(*)0()0(

ET V eY  T r  ⋅==Π ⋅− 5.24

Dacă există Δi(t) , 1≤  i≤  n , astfel încât

, 1≤  j≤  n 5.25)()()( ,1

t t t  Δ  j ji

n

i

i γ δ  =⋅∑=

atunci portofoliul asociat verifică:

)()()())(( *

1,

1

t dBt t  Δt ed   j

n

 j

 ji

n

i

i

t r  ⋅⋅=Π⋅ ∑∑= =

⋅− δ   

)()( *

1

t dBt   j

n

 j

 j ⋅= ∑=

γ 

5.26))(( t Y d =

Integrând 5.26 de la 0 la t obţinem:

5.27)0()()0()( Y t Y t e t r  −=Π−Π⋅⋅−

Dar ţinând cont de 5.24 avem că 

, 0≤ t≤ T 5.28)()( t Y t et r 

=Π⋅⋅−

  62

Page 65: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 65/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

şi in particular 

)()( T Y T eT r  =Π⋅⋅−

  [ ])(|)(*E T T V e T r F⋅= ⋅−  

)(T V e T r  ⋅= ⋅−

şi deci

Π  (T)=V(T) 5.29

Deci r ămîne să ar ătăm că sistemul 5.25 are soluţie. Sistemul este echivalent cu

, 1≤  j≤  n 5.30)()()( ,1

t et S t  Δ  j

t r 

 jii

n

i

i γ σ  ⋅=⋅⋅ ⋅

=∑

Cum det(AT  ) = det(A) ≠  0 sistemul 5.30 are soluţie unică  şi dacă notăm

inversa lui A cu  A-1= ( σ  i,j )i,j∈ {1,..,n} avem că:

)()(

)(1

, t t S 

et   j

n

 j

i j

i

t r 

i γ σ  ⋅⋅=Δ ∑=

, 1≤  i≤  n 5.31

V.5 M ăsura neutr ă la risc in cazul unidimensional 

Consider ăm cazul unui activ cu ecuaţia de dinamică:)()()()( t dBt S dt t S t dS  ⋅⋅+⋅⋅= σ   

Avem

( )( ))()())(( t dBdt r t S et S ed  t r t r  ⋅+⋅−⋅⋅=⋅ ⋅−⋅−σ μ   

( )[ ] [ ]( ))()( t dBdt dt r t S et r  +⋅⋅+⋅⋅−−⋅⋅= ⋅−

θ σ θ σ μ   

Considerândσ 

θ r −

= , procesul este martingal faţă de

 probabilitatea P 

)(t S et r  ⋅⋅−

P

care este măsura neutr ă la risc, definită astfel:

 P  P * 

d T T  B A A

⋅⋅⋅−⋅−= ∫ )2

1)(exp()( 2θ θ  5.32

In cazul unidimensional măsura neutr ă la risc este unică deci nu există 

 portofoliu de arbitraj (i.e. modelul BSM unidimensional este viabil), iar orice activ

financiar are portofoliu de hedging (i.e. modelul BSM unidimensional este complet).

Să aflăm portofoliul de hedging asociat unui activ financiar care la scadenţă are

valoarea V(T).

63

Page 66: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 66/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Fie . Y(t) fiind martingal faţă de  P [ )(|)(*)( E t T V et Y  T r  F⋅= ⋅− ]P

*  există un

 proces adaptat γ (t) astfel incît

∫⋅+=

 sdB sY t Y 0

)()()0()( γ 

Folosind teorema fundamentală a evaluării activelor obţinem că portofoliul de

hedging indeplineşte următoarele condiţii:

i)  Π  (0) = Y(0) 

ii) )(

)()(

t S 

t et 

t r 

⋅⋅

=Δ⋅

σ 

γ , 0≤  t ≤  T  5.33

Faţă de P P* ecuatia de dinamică a activului este:

5.34)()()())(( * t dBt S dt t S r t S d  ⋅⋅+⋅⋅= σ 

 

V.6 M ăsura neutr ă la risc in cazul bidimensional 

Consider ăm o mişcare browniană bidimensională  B(t)=(BB1(t),B2B (t)) notăm cu

F(t)  filtrarea generată de B(t). 

Consider ăm două active cu următoarea ecuaţie de dinamică:

)()()())(( 111111 t dBt S dt t S t S d  ⋅⋅+⋅⋅= σ   

)()(1)()()())(( 2222

122222 t dBt S t dBt S dt t S t S d  ⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+⋅⋅= σ  ρ σ  ρ μ  5.36

cu ]1,1[−∈ ρ  .

In cazul bidimensional sistemul 5.19 devine:

⎪⎩

−=⋅⋅−+⋅⋅

−=⋅

2222

12

111

1

 

μ θ σ  ρ θ σ  ρ 

μ θ σ 

5.37

Dacă  )1,1(−∈ ρ  sistemul 5.37 are soluţie unică:

1

11

σ 

μ θ 

r −=  

( ) ( )2

21

12212

1 ρ σ σ 

σ  ρ σ θ 

−⋅⋅

−⋅⋅−−⋅=

r r 5.38

Măsura neutr ă la risc P P*  este definită astfel:

64

Page 67: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 67/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 P  P * 

d T t  BT  B A A

⋅⋅+⋅−⋅−⋅−= ∫ ))(2

1)()(exp()( 2

22

12211 θ θ θ θ  5.39

Deci dacă  )1,1(−∈ ρ  măsura neutr ă la risc este unică  şi deci nu există 

 portofoliu de arbitraj (i.e. modelul BSM bidimensional este viabil), iar orice activ

financiar are portofoliu de hedging (i.e. modelul BSM bidimensional este complet).

Concluzia poate fi estinsă  şi pentru cazul în care se consider ă trei sau mai multe

active, iar matricea de varianţă-covarianţă nu este degenerată.

In continuare vom determina portofoliul de hedging asociat unui activ

financiar care la scadenţă are valoarea V(T).

Fie . Y(t) fiind martingal faţă de  P [ )(|)(*)( E t T V et Y  T r F⋅= ⋅− ]

P

*  există un

 proces adaptat γ (t)=( γ  (t),γ  (t)) astfel incît1 2

  ∫∫ ⋅+⋅+=t t 

 sdB s sdB sY t Y 0

22

0

11 )()()()()0()( γ γ 

Folosind teorema fundamentală a evaluării activelor obţinem că portofoliul de

hedging indeplineşte următoarele condiţii:

i)  Π  (0) = Y(0) 

ii) 211

22

11

1)(

)(1)()(

 ρ σ 

 ρ γ  ρ γ 

−⋅⋅

⋅⋅−−⋅⋅=Δ

⋅⋅

t S 

t et et 

t r t r 

 

222

22

1)(

)()(

 ρ σ 

γ 

−⋅⋅

⋅=Δ

t S 

t et 

t r 

5.40

Dacă  ρ  = ± 1 sistemul 5.37 sau nu are soluţie sau are soluţie multiplă. Să 

analizăm cazul  ρ = 1 . Sistemul 5.37 devine:

r −=⋅ 111 μ θ σ   

r −=⋅ 212 θ σ   

Avem 2 situaţii:

-  dacă 2

2

1

1

σ σ 

r r  −≠

−sistemul nu are soluţie neexistând măsur ă 

neutr ă la risc şi deci se poate construi un portofoliu de arbitraj

65

Page 68: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 68/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

-  dacă 2

2

1

1

σ σ 

r r  −=

−sistemul are mai multe soluţii existând mai

multe măsuri neutre la risc şi deci pot exista produse financiare

care să nu aibă portofoliu de hedging

V.7 Utilizarea măsurii neutre la risc pentru evaluarea produselor 

 financiare derivate

Fie  B(t)=(B1(t),B2(t),…,BBn(t)) ,0≤t ≤T, o mişcare browniana relativa la  P,

 probabilitatea pieţei, şi F(t), 0≤t≤T , filtrarea generată de mişcarea browniană.

Cursul activelor urmează următoarele ecuaţii de dinamică:

, 1≤ i≤  n)()()()(1

, t dBt S dt t S t dS   j

n

 j

 jiiiii ⋅⋅+⋅⋅= ∑=

σ μ 

şi notam S(t)=(S 1(t),S 2(t),…,S n(t)).

Definiţie: Se numeşte produs financiar derivat un produs financiar a cărui

valoare la momentul T depinde de S(T), valoare pe care o notăm g(S(T)).

Definiţie: Valoarea unui produs financiar derivat la momentul t, 0≤  t ≤  T, este

egală cu valoarea portofoliului de hedging asociat activului financiar.

Teoremă: (Teorema fundamentală a evaluării activelor - partea III) 

Dacă măsura neutr ă la risc există şi este unică atunci valoarea la momentul t a

unui produs financiar derivat, notată cu V(t,S(t)), a cărui valoare la momentul T 

(payoff) este g(S(T)), este dată de:

( )[ ]))(()(,*))(,( E T S  g et S t 

t S t V  t T r  ⋅= −⋅−   5.41

Demonstraţie:

Deoarece măsura neutr ă la risc există  şi este unică, conform teoremei

fundamentale a evaluării activelor produsul financiar are portofoliu de hedging a carui

valoare o notăm cu Π  (t).

Am demonstrat in cadrul teoremei fundamentale a evaluării activelor – parteaII (relaţia 5.28) că:

66

Page 69: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 69/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

⇒ [ ])(|))((*)( E t T S  g et e T r t r  F⋅=Π⋅ ⋅−⋅−

5.42( )[ )(|))((*)( E t T S  g et  t T r F⋅=Π −⋅− ]

Aplicând proprietatea Markov in relaţia 5.42 obţinem:

( )[ ]))(()(,*)( E T S  g et S t 

t  t T r  ⋅=Π −⋅− 5.43

Ţinând seama de definiţie obţinem relaţia dorită.

Teoremă: (Ecuaţia fundamentală de evaluare a unui activ financiar) 

Dacă măsura neutr ă la risc există şi este unică atunci valoarea la momentul t a

unui produs financiar derivat a cărui valoare la momentul T  este

 g(S 1(T),S 2(T),…,S n(T)) este egală cu V(t, S 1(t),S 2(t),…,S n(t)) , unde funcţia de n+1variabile V(t,S 1 ,S 2 ,…,S n ) este soluţia ecuaţiei cu derivate par ţiale:

02

1

1

2

1,, =⋅−

∂∂

⋅⋅+∂∂

∂⋅⋅+

∂∂ ∑∑

==

V r S 

V S r 

S S 

V c

i

n

i

i

 ji

n

 ji

 ji  

),...,,(),...,,,( 2121 nn S S S  g S S S T V  = 5.44

unde . jk 

n

k i jic ,1

,, σ σ  ⋅= ∑=

Demonstraţie:

Conform teoremei precedente avem că:

( ) ( )[ ]))(),...,(()(),...,(,*

))(),...,(,( 11

1 E T S T S  g et S t S t 

t S t S t V  n

t T r nn ⋅= −⋅−  

 Notînd cu:( ) ( )[ ]),...,(

,...,,*),...,,( 1

11 E n

t T r nn S S  g e

S S t S S t V  ⋅= −⋅−   ⇒ 

5.45( )

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡ ⋅∫=⋅−

),...,(,...,,*),...,,( 11

1 E n

dsr n

n S S  g eS S t 

S S t V 

 

In 5.45 aplicăm teorema Feyman-Kac si obţinem că V(t,S 1 ,…,S n ) este soluţia

ecuaţiei cu derivate par ţiale:

0=⋅−+∂

V r V t 

L  

67

Page 70: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 70/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

5.46),...,(),...,,( 11 nn S S  g S S T V  =

unde L este generatorul infinitizimal al procesului de difuzie S(t) faţă de

 probabilitatea P P* .

Cum:

)()()()( *

1, t dBt S dt t S r t dS   j

n

 j

 jiiii ⋅⋅+⋅⋅= ∑=

σ  , 1≤ i≤  n 

avem că generatorul infinitizimal al lui S(t) este:

i

n

i

i

 ji

n

 ji

 ji

V S r 

S S 

V cV 

∂⋅⋅+

∂∂

∂⋅⋅=

∑∑ == 1

2

1,,

2

1L  

unde . jk 

n

k i jic ,1

,, σ σ  ⋅= ∑=

 

In continuarea lucr ării vom aplica Teorema fundamentală de evaluare a

activelor financiare pentru evaluarea, în contextul pieţei financiare de tip BSM, a

 principalelor tipuri de opţiuni financiare.

68

Page 71: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 71/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

VI. Evaluarea op ţ iunilor europene în contextul pie ţ ei 

 financiare de tip BSM 

VI.1 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o ac ţ iune f ăr ă dividend 

Am văzut că in cazul unidimensional măsura neutr ă la risc există şi este unică.

Vom considera că s-a f ăcut deja trecerea de la măsura pieţei la măsura neutr ă la risc

 pe care o notăm cu P. 

Astfel ecuaţia de dinamică a activului suport este:

)()()()( t dBt S dt t S r t dS  ⋅⋅+⋅⋅= σ  , 0>σ  6.1

Definiţie: O opţiunea europeană cu preţ de exerciţiu  X  şi scadenţă T este un

 produs financiar derivat a cărui valoare la scadenţă este  g(S(T))=max( δ⋅ (S(T)-X),0),

unde δ = 1 pentru opţiunea de tip call şi δ = -1 pentru opţiunea de tip put.

Teoremă: Valoarea la momentul t a unei opţiuni europene cu preţ de exerciţiu

 X   şi scadenţă  T  este egală cu V(t, S(t)), unde funcţia V(t,S) este soluţia ecuaţiei cu

derivate par ţiale:

02

12

222 =⋅−

∂∂

⋅⋅+∂∂

⋅⋅⋅+∂∂

V r S 

V S r 

V S 

V σ   

)0),(max(),(  X S S T V  −⋅= δ  6.2

Demonstraţie:

Având în vedere că modelul BSM unidimensional este viabil şi complet,

teorema este un caz particular al teoremei din capitolul precedent privind ecuaţia de

evaluare a produselor financiare derivate.

Teoremă: Valoarea la momentul t  a unei opţiuni, cu preţ de exerciţiu  X   şi

scadenţă T, este:

)()()())(,( 2)(

1 d  N e X d  N t S t S t V t T r  ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= −⋅−

δ δ δ δ  6.3

69

Page 72: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 72/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

unde

( )

t T 

t T r  X 

t S 

d −⋅

−⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ++⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

=σ 

σ 

2

)(ln

2

1   şi

( )

t T 

t T r  X 

t S 

d −⋅

−⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −+⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 

=σ 

σ 

2

)(ln

2

2  

iar N(•) reprezintă funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare distribuită normal

standard.

Demonstraţie: Pentru a nu complica notaţiile consider ăm cazul δ =1.

Avem că 

( )

( )[ ])0,)(max())(,( E  X T S e

t,S(t)

t S t V 

t T r 

−=

−⋅−

 ( ) ( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>⋅⋅−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>⋅⋅= −⋅−−⋅−

})(})()( EE

 X T S t,S(t)

e X  X T S 

T S et,S(t) t T r t T r 

{{11  

6.421 V V  −=

Vom calcula mai întâi V 3. Avem că:

( ) [ ]})(2  X T S t,S(t)

e X V  t T r  >⋅⋅= −⋅−{P

Ştim că:

( ) ( )()(2

))(ln())(ln(2

t  BT  Bt T r t S T S  −⋅+−⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛  −=− σ σ 

)   ⇒ 

( ) ( )⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −⋅+−⋅⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −⋅= )()(

2exp)()(

2

t  BT  Bt T r t S T S  σ σ 

 

Deci

( ) ( ) ( )[ ]}ln)(ln2  X T S t,S(t)

e X V  t T r  >⋅⋅= −⋅− {P

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ >−⋅+−⋅⎟⎟

 ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛  −+⋅⋅= −⋅− }ln)()(

2)(ln

2 X t  BT  Bt T r t S t,S(t)e X  t T r  σ σ {P  

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−>

−⋅⋅= −⋅− }

)()(2d 

t T 

t  BT  Bt,S(t)e X 

t T r {P  

Ţinând seama de faptul că  B(T)-B(t) este independent de F( t ) avem că:

( )

⎥⎦

⎢⎣

⎡−>

−⋅⋅= −⋅− }

)()(22 d 

t T 

t  BT  Be X V  t T r  {P  

70

Page 73: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 73/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Dar ştim că:

N(0,1)~)()(

t T 

t  BT  B

− 

Ţinând cont de simetria densităţii repartiţiei normale standard obţinem:

( ) )( 22 d  N e X V t T r  ⋅⋅= −⋅− 6.5

Să calculăm acum V 1.

Fie

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅= t t  Bt  Z  2

2

1)(exp)( σ σ    şi

∫=  A d T  Z  A  P  P 

)()(Conform teoremei lui Girsanov avem că   B*(t)=B(t)-σ⋅ t  este mişcare

 browniană faţă de probabilitatea P P*  . Rezultă că:

( ) ( ))()(2

))(ln())(ln( **2

t  BT  Bt T r t S T S  −⋅+−⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +=− σ 

σ   ⇒ 

( ) ( )⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −⋅+−⋅⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +⋅= )()(

2exp)()( **

2

t  BT  Bt T r t S T S  σ σ 

 

Avem că:

( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>⋅⋅= −⋅−

})()(E1  X T S 

T S et,S(t)

V  t T r 

{1

  ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡>⋅⋅⋅= −⋅−

})()(

)(

)(*E X T S 

T S et  Z 

T  Z t,S(t) t T r 

{1  

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>⋅=

})()(*E

 X T S t S 

t,S(t){

1

  ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>⋅=})(

*)( E  X T S t,S(t)t S 

{1

  [ ]})(*)( P  X T S t,S(t)

t S  >⋅= {

  ( ) ( )[ ]}ln)(ln*)(  X T S t,S(t)

t S  >⋅= {P

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡>−⋅+−⋅⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ++⋅= }ln)()(

2)(ln*)( **

2

 X t  BT  Bt T r t S t,S(t)

t S  σ σ 

{P  

71

Page 74: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 74/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−>

−⋅= }

)()(*)( 1

**

d t T 

t  BT  Bt,S(t)t S  {P  

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−>

−⋅= }

)()(*)( 1

**

t T 

t  BT  Bt S  {P   ⇒ 

6.6)()( 11 d  N t S V  ⋅=

Din 6.5 şi 6.6 rezultă formula dorită.

VI.2 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o ac ţ iune cu dividend 

Consider ăm un activ care are la momentul t un dividend D(t). 

Ecuaţia de dinamică a activului suport faţă de măsura neutr ă la risc este:

)()()()()( t dBt S dt t S r dt t  Dt dS  ⋅⋅+⋅⋅=⋅+ σ  6.7

Vom considera in continuare că:

)()( t S qt  D ⋅= 6.8

Astfel ecuaţia de dinamică devine:

( ) )()()()( t dBt S dt t S qr t dS  ⋅⋅+⋅⋅−= σ  6.9

Teoremă: Valoarea la momentul t  a unei opţiuni, cu preţ de exerciţiu  X   şi

scadenţă  T, este egală cu V(t, S(t)) , unde funcţia V(t,S) este soluţia ecuaţiei cu

derivate par ţiale:

( ) 02

12

222 =⋅−

∂∂

⋅⋅−+∂∂

⋅⋅⋅+∂∂

V r S 

V S qr 

V S 

V σ   

)0),(max(),(  X S S T V  −⋅= δ  6.10

Demonstraţie:

Ştim că:

( ) ( )[ ])0,)(max())(,( E  X T S et,S(t)

t S t V t T r  −⋅= −⋅−

δ   

Aplicând teorema Feynman-Kac şi ţinând seama de ecuaţia de dinamică dată 

de 6.9 rezultă ecuaţia dorită.

Teoremă: Valoarea la momentul t  a unei opţiuni europene, cu preţ de

exerciţiu

 X  şi scaden

ţă T,

este:

6.11)()()())(,( 2)(

1)( d  N e X d  N et S t S t V  t T r t T q ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= −⋅−−⋅− δ δ δ δ 

  72

Page 75: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 75/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

unde

( )

t T 

t T qr  X 

t S 

d −⋅

−⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +−+⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

=σ 

σ 

2

)(ln

2

1   şi

( )

t T 

t T qr  X 

t S 

d −⋅

−⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −−+⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 

=σ 

σ 

2

)(ln

2

2  

iar N(•) reprezintă funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare distribuită normal

standard.

Demonstraţie: Pentru a nu complica notaţiile consider ăm cazul δ =1.

Avem că 

( )

( )[ ])0,)(max())(,( E  X T S e

t,S(t)

t S t V 

t T r 

−=

−⋅−

 ( ) ( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>⋅⋅−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>⋅⋅= −⋅−−⋅−

})(})()( EE

 X T S t,S(t)

e X  X T S 

T S et,S(t) t T r t T r 

{{11  

6.1221 V V  −=

Vom calcula mai întîi V 6. Avem că:

( ) [ ]})(2  X T S t,S(t)

e X V  t T r  >⋅⋅= −⋅−{P

Aplicînd lema Ito funcţiei ln(S) avem:

( ) ( )()(2

))(ln())(ln(2

t  BT  Bt T qr t S T S  −⋅+−⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛  −−=− σ σ 

)   ⇒ 

( ) ( )⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −⋅+−⋅⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −−⋅= )()(

2exp)()(

2

t  BT  Bt T qr t S T S  σ σ 

 

Deci

( ) ( ) ( )[ ]}ln)(ln2  X T S t,S(t)

e X V  t T r  >⋅⋅= −⋅− {P

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ >−⋅+−⋅⎟⎟

 ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛  −−+⋅⋅= −⋅− }ln)()(

2)(ln

2 X t  BT  Bt T qr t S t,S(t)e X  t T r  σ σ {P  

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−>

−⋅⋅= −⋅− }

)()(2d 

t T 

t  BT  Bt,S(t)e X 

t T r  {P  

Ţinând seama de faptul că  B(T)-B(t) este independent de F( t ) avem că:

( )

⎥⎦

⎢⎣

⎡−>

−⋅⋅= −⋅− }

)()(22 d 

t T 

t  BT  Be X V  t T r  {P  

73

Page 76: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 76/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Dar ştim că:

N(0,1)~)()(

t T 

t  BT  B

− 

Ţinând cont de simetria densităţii repartiţiei normale standard obţinem:

( ) )( 22 d  N e X V t T r  ⋅⋅= −⋅− 6.13

Să calculăm acum V 1.

Fie

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅= t t  Bt  Z  2

2

1)(exp)( σ σ    şi

∫=  A d T  Z  A  P  P 

)()(Conform teoremei lui Girsanov avem că  B*(t)=B(t)-σ⋅ t este mişcare browniană 

faţă de probabilitatea P P*  . Rezultă că:

( ) ( ))()(2

))(ln())(ln( **2

t  BT  Bt T qr t S T S  −⋅+−⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +−=− σ 

σ   ⇒ 

( ) ( )⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −⋅+−⋅⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +−⋅= )()(

2exp)()( **

2

t  BT  Bt T qr t S T S  σ σ 

 

Avem că:

( ) ( ) ( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>⋅⋅⋅= −⋅−−−⋅−

})()(E1  X T S 

T S et,S(t)

eV  t T qr t T q

{1

  ( ) ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡>⋅⋅⋅⋅= −−⋅−−⋅−

})()(

)(

)(*E X T S 

T S et  Z 

T  Z t,S(t)e t T qr t T q

{1  

( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>⋅⋅= −⋅−

})()(*E

 X T S t S 

t,S(t)e t T q

{1

  ( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>⋅⋅= −⋅−

})(*)( E  X T S 

t,S(t)et S  t T q

{1

  ( ) [ ]})(*)( P  X T S t,S(t)

et S  t T q >⋅⋅= −⋅− {

  ( ) ( ) ( )[ ]}ln)(ln*)(  X T S t,S(t)

et S t T q >⋅⋅= −⋅−

{P

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡>−⋅+−⋅⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +−+⋅⋅= −⋅− }ln)()(

2)(ln*)( **

2

 X t  BT  Bt T qr t S t,S(t)

et S  t T q σ σ 

{P

 

74

Page 77: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 77/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−>

−⋅⋅= −⋅− }

)()(*)( 1

**

d t T 

t  BT  Bt,S(t)et S  t T q {P  

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−>

−⋅⋅= −⋅− }

)()(*)( 1

**

t T 

t  BT  Bet S 

t T q {P   ⇒ 

( ) )()( 11 d  N et S V t T q ⋅⋅= −⋅− 6.14

Din 6.13 şi 6.14 rezultă formula dorită.

VI.3 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o valut ă 

 Notăm cu S(t) cursul valutar la momentul t  al valutei care este activ suport

(vforeign) faţă de cealaltă valută (vhome) exprimat astfel:

1 unitate vforeign = ( )t S  unităţi vhome .

 Notăm cu r rata dobînzii f ăr ă risc la valuta vhome şi cu r  f  rata dobânzii f ăr ă 

risc la valuta vforeign.

Teoremă: Valoarea la momentul t  a unei opţiuni europene, cu preţ de

exerciţiu  X   şi scadenţă  T, este egală cu V(t, S(t)) , unde funcţia V(t,S) este soluţia

ecuaţiei cu derivate par ţiale:

( ) 02

12

222 =⋅−

∂∂

⋅⋅−+∂∂

⋅⋅⋅+∂∂

V r S 

V S r r 

V S 

V  f σ   

)0),(max(),(  X S S T V  −⋅= δ  6.15

In mod explicit avem:

6.16)()()())(,( 2)(

1)(

d  N e X d  N et S t S t V  t T r t T r  f  ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= −⋅−−⋅− δ δ δ δ 

unde

( )

t T 

t T r r  X 

t S 

 f 

−⋅

−⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +−+⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

=σ 

σ 

2

)(ln

2

1   şi

( )

t T 

t T r r  X 

t S 

 f 

−⋅

−⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −−+⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

=σ 

σ 

2

)(ln

2

2  

75

Page 78: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 78/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

iar N(•) reprezintă funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare distribuită 

normal standard.

Demonstraţie:

Deţinerea unei unităţi din moneda str ăină  şi plasarea ei intr-un depozit lavedere (i.e. remunerat la rata dobânzii f ăr ă risc) aduce intr-un interval un profit,

măsurat in unităţi monetare interne, de dS(t)+r 

dt 

 f ⋅ S(t)⋅ dt. 

Deci putem considera cursul de schimb ca fiind cursul unui activ cu dividend

la momentul t egal cu r  f ⋅ S(t).

Relaţiile din teoremă se obţin aplicând teoremele de la cazul activului cu

dividend pentru q = r  f  .

VI.4 Op ţ iuni europene care au ca activ suport un contract futures

Consider ăm că ecuaţia de dinamică a activului suport faţă de măsura neutr ă la

risc este:

)()()()( t dBt S dt t S r t dS  ⋅⋅+⋅⋅= σ  6.17

Definiţie:  T-pre ţ ul futures (i.e. preţul futures al contractului futures cu

scadenţă T ) al unui activ este un proces Φ (t) adaptat la F(t)  cu proprietăţile:

i)  Φ (T)= S(T)

ii)   , 0≤  t ≤  T  6.18 0|)(E =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Φ⋅∫ ⋅−

ur ud e F(t)

 

Teoremă: Unicul proces care verifică definiţia de mai sus este:

[ ]F(t)|)()( E T S t  =Φ , 0≤  t ≤  T  6.19

Demonstraţie:

Vom ar ăta mai întâi că ii) se verifică dacă şi numai dacă Φ (t) este martingal.

Intr-adevăr dacă Φ (t) este martingal atunci şi este martingal şi

avem că:

∫ Φ⋅⋅−t 

ur ud e

0

)(

  76

Page 79: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 79/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Φ⋅−⎥

⎤⎢⎣

⎡Φ⋅=⎥

⎤⎢⎣

⎡Φ⋅ ∫∫∫ ⋅−⋅−⋅−

ur 

ur 

ur  ud eud eud e00

|)(|)(|)( EEE F(t)F(t)F(t)

 

∫∫Φ⋅−⎥

⎤⎢⎣

⎡Φ⋅= ⋅−⋅−

ur 

ur  ud eud e00

)(|)(E F(t)

  ∫∫ Φ⋅−Φ⋅= ⋅−⋅−t 

ur 

ur ud eud e

00

)()(

0=

Reciproc dacă  ii) se verifică notăm cu:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Φ⋅= ∫ ⋅−

ur ud et  M 

0

|)()( E F(t)

 M(t) este martingal şi avem că:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Φ⋅+⎥

⎤⎢⎣

⎡Φ⋅ ∫∫= ⋅−⋅−

ur 

ur  ud eud et  M  F(t)F(t) |)(|)()( EE0

, 0≤  t ≤  T ∫ Φ⋅= ⋅−t 

ur  ud e0

)(

Rezultă că:

⇒ )()( t d et dM t r 

Φ⋅=⋅−

)()( t dM et d t r 

⋅=Φ⋅

De unde avem că Φ (t) este martingal.

Fie:

[ ]F(t)|)()( E T S t  =Φ

Evident că Φ (T)=S(T) şi Φ (t) fiind martingal se verifică şi ii).

Să presupunem că mai există un proces Φ '(t) care verifică i) şi ii).

Fie  Z(t)= Φ (t) - Φ '(t). Avem că  Z(T)=0 şi  Z(t) verifică  ii). Deci  Z(t) este

martingal şi avem că:

[ ] [ ] a.s 0|0|)()( EE === F(t)F(t)T  Z t  Z   

De unde rezultă că:

Φ (t) = Φ '(t) a.s

Teoremă: In cazul pieţei financiare de tip BSM T-pre ţ ul futures este dat de relaţia

, 0≤  t ≤  T  6.20 )()( )( t S et  t T r  ⋅=Φ −⋅

Demonstraţie:

77

Page 80: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 80/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Avem că:

[ ] [ ])(|)()( EE T S t,S(t)

T S t  ==Φ F(t)

Deci Φ (t)=V(t,S(t)), conform teoremei Feynman-Kac V(t,S) este soluţia

ecuaţiei cu derivate par ţiale:

02

12

222 =

∂∂

⋅⋅+∂∂

⋅⋅⋅+∂∂

V S r 

V S 

V σ   

6.21S S T V  =),(

 

Soluţia ecuaţiei 6.21 este .S eS t V  t T r  ⋅= −⋅ )(),(

 

Aşa cum se observă preţul futures este egal cu preţul forward. Acest lucru este

o consecinţă a ipotezei modelului BSM privind rata dobânzii f ăr ă risc. In volumul II

al lucr ării această ipoteză va fi relaxată studiindu-se modele de evaluare care presupun

că rata dobânzii este modelată cu ajutorul unui proces stocastic. In acest caz preţul

futures teoretic este diferit de preţul forward teoretic.

Teoremă: Valoarea la momentul t a unei opţiuni pe T' -preţul futures, cu preţ 

de exerciţiu X  şi scadenţă T ≤  T' , este egală cu V(t, Φ (t)) , unde funcţia V(t, Φ  ) este

soluţia ecuaţiei cu derivate par ţiale:

02

12

222 =⋅−

Φ∂∂

⋅Φ⋅⋅+∂∂

V r V 

V σ   

)0),(max(),(  X S T V  −Φ⋅= δ  6.22

In mod explicit avem:

6.23)()()())(,( 2)(

1)( d  N e X d  N et t t V 

t T r t T r  ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅Φ⋅=Φ −⋅−−⋅−δ δ δ δ 

unde( )

t T 

t T  X 

d −⋅

−⋅+⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ Φ

=σ 

σ 

2

)(ln

2

1   şi

( )

t T 

t T 

 X 

d  −⋅

−⋅−⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ Φ

= σ 

σ 

2

)(ln

2

2  

78

Page 81: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 81/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

iar N(•) reprezintă funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare distribuită normal

standard.

Demonstraţie:

Avem că  Φ (t)=G(t,S(t)). Aplicăm lema lui Ito şi obţinem:

)()()()(2

1)(

2

222 t dB

Gt S dt 

Gt S r 

Gt S 

Gt d  ⋅

∂∂

⋅⋅+⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ∂∂

⋅⋅+∂∂

⋅⋅⋅+∂∂

=Φ σ σ   

Folosind 6.20 şi 6.21 obţinem că:

)()()( t dBt t d  ⋅Φ⋅=Φ σ  6.24

Rezultă că:

r-q=0 ⇒  q=r 

Deci se poate considera că preţul futures este cursul unui activ care q=r  şiaplicând teoremele de la activul cu dividend se obţin relaţiile dorite.

79

Page 82: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 82/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

VII. Evaluarea op ţ iunilor cu barier ă în contextul pie ţ ei  financiare de tip BSM 

VII.1 Op ţ iuni knock-out şi knock-in

Vom considera că s-a f ăcut deja trecerea de la măsura pieţei la măsura neutr ă 

la risc pe care o notăm cu P. 

Astfel, ecuaţia de dinamică a activului suport,care are şi dividend, este:

( ) )()()()( t dBt S dt t S qr t dS  ⋅⋅+⋅⋅−= σ  7.1

Fie

şi 7.2)(min)(0

* uS t S t u≤≤

= )(max)(0

* uS t S t u≤≤

=

 Definiţie: Fie  L < S(0). O opţiune down-and-out, cu preţ de exerciţiu  X   şi

scadenţă  T , este un produs financiar derivat cu valoare la scadenţă 

. O opţiune down-and-in, cu preţ de exerciţiu X  

şi scadenţă  T , este un produs financiar derivat cu valoare la scadenţă 

.

( )})(

)0,)(max(*  LT S 

 X T S  >⋅−⋅{

1δ 

( )})(

)0,)(max(*  LT S 

 X T S  <⋅−⋅{

1δ 

Fie L > S(0). O opţiune up-and-out, cu preţ de exerciţiu X  şi scadenţă T , esteun produs financiar derivat cu valoare la scadenţă 

. O opţiune up-and-in, cu preţ de exerciţiu X  şi

scadenţă  T , este un produs financiar derivat cu valoare la scadenţă 

,unde δ  = 1 pentru opţiunea de tip call şi δ = -1 

 pentru opţiunea de tip put.

( )})(

)0,)(max( * LT S 

 X T S <

⋅−⋅{

1δ 

( )})(

)0,)(max( * LT S 

 X T S >

⋅−⋅{

1δ 

  80

Page 83: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 83/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 Notăm cu c şi p valoarea la momentul 0 a unei opţiuni europene call respectiv

 put şi cu cui respectiv pui valoarea la momentul 0 a unei opţiuni up-and-in call

respectiv put. Analog pentru celelalte tipuri de opţiuni.

 Notăm cu S=S(0). 

 Notam cu:

2

2

2σ 

σ 

λ 

+−=

qr 

  T T 

 X S 

 L

 y ⋅⋅+⋅

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅

= σ λ σ 

2

2

ln

 

T T 

 L

 x ⋅⋅+⋅

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

= σ λ σ 

ln

1   T T 

 L

 y ⋅⋅+⋅

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

= σ λ σ 

ln

1  

Teoremă: Fie L > S. Avem următoarele relaţii:

i)  7.3 p p p

ccc

uiuo

uiuo

=+

=+  

ii)  Dacă   X < L avem:

[ ]+−−−⋅⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅=

⋅⋅−⋅−⋅− )()()()( 12

2

11  y N  y N S 

 LeS T  x N e X  x N eS c T qT r T q

ui

λ 

σ 

 

[ ])()( 12

22

T  y N T  y N S 

 Le X  T r  ⋅+−−⋅+−⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅+−⋅

⋅− σ σ 

λ 

 

uiuo ccc −=  

)()( 2

22

2

2

T  y N 

 Le X  y N 

 LeS  p T r T q

ui ⋅+−⋅⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅+−⋅⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−=−⋅

⋅−⋅

⋅− σ 

λ λ 

 

uiuo  p p p −= 7.4

iii) Dacă   X > L avem:

0=uoc  

ccui =  

−−⋅⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅+⋅+−⋅⋅+−⋅⋅−=⋅

⋅−⋅−⋅− )()()( 1

2

11  y N S 

 LeS T  x N e X  x N eS  p T qT r T q

uo

λ 

σ   

81

Page 84: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 84/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

)( 1

22

T  y N S 

 Le X  T r  ⋅+−⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−−⋅

⋅− σ 

λ 

 

uoui  p p p −= 7.5

Demonstraţie:

( ) +⎥⎦

⎤⎢⎣

<⋅−⋅=+ ⋅−

F(0)|})(

)0,)(max(  *E LT S 

 X T S eccT r 

uiuo{

1

  ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

>⋅−⋅+ ⋅−

F(0)|})(

)0,)(max( *E LT S 

 X T S eT r 

{1

  ( )[ ]F(0)|)0,)(max(E  X T S eT r  −⋅= ⋅−  

c=  

Analog pentru opţiunea put.

Luăm cazul X < L 

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

>⋅−⋅= ⋅−

F(0)|})(

)0,)(max( *E LT S 

T S  X e p T r 

ui{

1

7.6( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

><⋅−⋅= ⋅−

})()( *E

 LT S  X S(T)T S  X e T r 

,{1

Avem că:

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅+⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅−−⋅= )(

2

1exp)( 2 T  BT qr S T S  σ σ   

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅−

−⋅⋅= )(

2

1exp T  BT 

qr S  σ 

σ σ   

( ))(exp * T  BS  ⋅⋅= σ   

unde σ σ 

θ  ⋅−−=21qr   

)()(* t  Bt t  B +⋅= θ 

Fie

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅−= t t  Bt  Z  2

2

1)(exp)( θ θ    şi

∫= A

d T  Z  A  P  P *  )()(

  82

Page 85: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 85/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Conform teoremei lui Girsanov avem că   B*(t)=B(t)+θ⋅ t este mişcare browniană faţă 

de probabilitatea P P*  .

Fie

)(max)(*

0

*

u Bt  M  t u≤≤=Rezultă că:

( ))(exp)( ** t  M S t S  ⋅⋅= σ   

 Notăm cu:

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅=S 

 X b ln

1

σ   ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅=S 

 Lm ln

1

σ  

Avem evident că  b < m 

Cu notaţiile de mai sus

( )( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎢⎢⎣

>⋅⋅<⋅⋅⋅⋅⋅−⋅= ⋅−

})(*exp)(*exp)(exp *E

 LT  M S  X T  BS T  BS  X e p T r 

ui

σ σ σ 

,{1

 

( )( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

><⋅⋅⋅−⋅= ⋅−

})(*

)(*

)(exp *EmT  M bT  B

T  BS  X e T r 

,{1σ 

  ( )( )⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡

><⋅⋅⋅−⋅= ⋅−

})(*

)(*

)(exp* *EmT  M bT  B

T  BS  X e T r 

,{1σ 

( )( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

><⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅= ⋅−

})(*

)(*2

1)(exp)(exp* 2*E

mT  M bT  BT T  BT  BS  X e T r 

,{1θ θ σ 

 

( )( )⎥⎥

⎢⎢

><⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅= ⋅−

})(*

)(*2

1)(exp)(exp* 2**E

mT  M bT  BT T  BT  BS  X e T r 

,{1θ θ σ 

 

( )( )( ) ( )

dydxT 

 x y

T T 

 x yT  x xS  X e

b

m

T r 

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅= ∫ ∫

∞−

∞⋅−

2

2exp

2

22

2

1expexp

22

π θ θ σ 

 

( )( )( )

dxT 

 x y

T T  x xS  X e

b

T r   2

2exp

2

1

2

1expexp

y

my

22

∞=

=∞−

⋅−

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−= ∫π 

θ θ σ 

 

83

Page 86: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 86/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

( )( )( )

dxT  xT 

 xm

T  xS  X e

b

T r 

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−⋅= ∫∞−

⋅− 22

2

1

2

2exp

2

1exp θ θ 

π σ   

( )+

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+

−⋅−⋅

⋅⋅

⋅⋅−=

∫∞−

⋅−b

T r  dxT  x x

 xm

eS  22

2

1

2

2exp

2

1θ σ θ 

π 

 

( )dxT  x

 xm

T e X 

b

T r  ∫∞−

⋅−

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⋅+ 22

2

1

2

2exp

2

1θ θ 

π  

21  I  I  += 7.7

Calculăm mai întâi I 3.

Facem schimbarea de variabilă:

T T 

 xm

 z  ⋅−

−⋅

−= θ 

2

  ⇒  dxT dz 

1

= 7.8

Avem că:

( ) σ λ θ  ⋅−= 1 7.9

Rezultă că:

( ) T  yT T 

 X S 

 L

T T 

bm⋅+−=⋅⋅−−

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅

−=⋅−−⋅

− σ σ λ σ 

θ  2

2

1

ln2

 

( )( ) dx

T mT  xm

 xme X  I 

b

T r  1222

2

2

1exp

2

1 22

2 ⋅⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅+⎥

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅−⋅+

−⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅= ∫

∞−

⋅− θ θ θ π 

  ( ) dz  z 

me X 

T  y

T r  ∫⋅+−

∞−

⋅−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

σ 

π θ 

2

2exp

2

12exp

2

 

)(ln2exp 2 T  y N S 

 Le X  T r  ⋅+−⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅⋅⋅⋅= ⋅− σ 

σ 

θ  

)( 2

22

T  y N S 

 Le X  T r  ⋅+−⋅⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅⋅=

−⋅

⋅− σ 

λ 

7.10

Să calculăm acum I 1.

Facem schimbarea de variabilă:

( ) T T 

 xm z  ⋅+−

−⋅−= σ θ 

2  ⇒  dx

T dz 

1= 7.11

( ) ( )∫−

∞−

⋅−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+−⋅

⋅⋅⋅−=

2

22

12

2exp

2

1 22

1

 y

T r dz T m

 z eS  I  σ θ σ σ θ 

π  

84

Page 87: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 87/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

( ) ( ) )(22

12exp 2

2  y N T meS  T r  −⋅⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  ⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅−= ⋅− σ θ σ σ θ   

( ) )(12

expln2exp 22

2

 y N T S 

 LeS  T r  −⋅⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛ ⋅⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛ ⋅−+⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ ⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ ⋅⋅⋅⋅−= ⋅− σ λ σ 

λ   

( ) )( 2

2

 y N eS 

 LeS  T qr T r  −⋅⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−= ⋅−

⋅⋅−

λ 

 

)( 2

2

 y N S 

 LeS  T q −⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−=⋅

⋅−λ 

7.12

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

>⋅−⋅= ⋅−

})()0,)(max( *E

 LT S  X T S ec T r 

ui{

1  

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡>>

⋅−⋅= ⋅−

})()( *E

 LT S  X S(T) X T S e

T r 

,{1

  ( )( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

>>⋅−⋅⋅⋅= ⋅−

})(*

)(*

)(exp *EmT  M bT  B

 X T  BS e T r 

,{1σ 

  ( )( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

>>⋅−⋅⋅⋅= ⋅−

})(*

)(*

)(exp* *EmT  M bT  B

 X T  BS e T r 

,{1σ 

( )( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

>>⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅= ⋅−

})(*

)(*2

1)(exp)(exp* 2*E

mT  M bT  BT T  B X T  BS e T r 

,{1θ θ σ 

 

( )( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

>>⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ⋅−

})(*

)(*2

1)(exp)(exp* 2**E

mT  M bT  BT T  B X T  BS e T r 

,{1θ θ σ 

( )( )( ) ( )

+⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ∫ ∫∞

⋅−  2

2exp

2

22

2

1expexp

22 dydx

 x y

T T 

 x yT  x X  xS e

m

b m

T r 

π θ θ σ   

( )( )( ) ( )

dydxT 

 x y

T T 

 x yT  x X  xS e

m x

T r 

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+ ∫ ∫

∞ ∞⋅−

2

2exp

2

22

2

1expexp

22

π θ θ σ 

( )( )( )

+⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−=

∞=

=

⋅−∫  2

2exp

2

1

2

1expexp

y

my

22 dx

 x y

T T  x X  xS e

m

b

T r 

π θ θ σ   

85

Page 88: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 88/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

( )( )( )

dxT 

 x y

T T  x X  xS e

m

T r   2

2exp

2

1

2

1expexp

y

xy

22

∞=

=

∞⋅−

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−+ ∫

π θ θ σ 

( )( )( )

+

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

−⋅−⋅

⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅=

⋅−  

2

1

2

2exp

2

1exp 2

2

dxT  x

 xm

 X  xS e

m

b

T r θ θ 

π 

σ   

( )( ) dxT  xT 

 x

T  X  xS e

m

T r 

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+ ∫

∞⋅− 2

2

2

1

2exp

2

1exp θ θ 

π σ   

( ) 

2

1

2

2exp

2

1 22

−⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⋅= ∫⋅−m

b

T r  dxT  x xT 

 xm

T eS  θ σ θ 

π  

( )∫ +⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⋅− ⋅−m

b

T r dxT  x

 xm

T e X  2

2

2

1

2

2exp

2

1θ θ 

π  

−⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+

⋅−⋅

⋅⋅⋅⋅+ ∫

∞⋅−

m

T r  dxT  x xT 

 x

T eS  2

2

2

1

2exp

2

1θ σ θ 

π  

∫∞

⋅−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

⋅⋅⋅⋅−

m

T r  dxT  xT 

 x

T e X  2

2

2

1

2exp

2

1θ θ 

π  

4321  I  I  I  I  +++= 7.13

Pentru a calcula I 4 facem schimbarea de variabilă:

T T 

 x z  ⋅−= θ    ⇒  dxT 

dz  ⋅= 1 7.14

Avem că:

( ) T  xT T T 

 L

T T 

m⋅+−=⋅+⋅⋅−

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ 

−=⋅⋅−− σ σ σ λ σ λ  1

ln1

Rezultă că:

∫∞

⋅+−

⋅− ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −⋅⋅⋅⋅−=T  x

T r  dz  z e X  I σ 

π 1

2exp21

2

4  

∫⋅−

∞−

⋅−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −⋅

⋅⋅⋅−=

T  x

T r  dz  z 

e X 

σ 

π 

1

2exp

2

1 2

 

)( 1 T  x N e X  T r  ⋅−⋅⋅−= ⋅− σ   

Pentru a calcula I 3 facem schimbarea de variabilă:

( ) T 

 x z  ⋅+−= σ θ    ⇒  dx

dz  ⋅=1

7.15

86

Page 89: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 89/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Rezultă că:

( )∫∞

⋅−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅⋅+⋅+−⋅

⋅⋅⋅=

1

22

1

2exp

2

1 22

3

 x

T r  dz T  z 

eS  I  σ θ σ π 

 

( ) ∫∞−

⋅−⋅−⎟⎟

 ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −⋅

⋅⋅⋅⋅=

1

2exp

21 2

 x

T qr T r dz  z eeS 

π  

)( 1 x N eS  T q ⋅⋅= ⋅−

Pentru a calcula I 2 folosim schimbarea de variabilă 7.8 şi obţinem:

∫⋅+−

⋅+−

⋅−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅+−⋅

⋅⋅⋅−=

T  y

T  y

T r  dz m z 

e X  I 

σ 

σ 

θ π 

1

2

22

exp2

1 2

2  

( ))()( 21

22

T  y N T  y N S 

 Le X 

T r 

⋅+−−⋅+−⋅⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−=

−⋅⋅−

σ σ 

λ 

 

Pentru a calcula I 1 folosim schimbarea de variabilă 7.11 şi obţinem:

( ) ( )∫−

⋅−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+−⋅

⋅⋅⋅=

1

2

22

12

2exp

2

1 22

1

 y

 y

T r  dz T m z 

eS  I  σ θ σ σ θ π 

 

( ))()( 21

2

 y N  y N S 

 LeS  T q −−⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅=⋅

⋅−λ 

 

Luăm acum cazul

 X > L.Avem c

ă b > m .

 

Dacă  S(T) > X  ⇒  S(T) > L ⇒  S *(T) > L ⇒  

⇒  0})(

* =<>  LT S  X S(T) ,{

1

⇒  ( ) 00})(

)( ]E[E * ==⎥⎦

⎤⎢⎣

<>⋅−⋅= ⋅−

 LT S  X S(T) X T S ec

T r 

uo,{

1

  ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

<<⋅−⋅= ⋅−

})()( *E

 LT S  X S(T)T S  X e p T r 

uo,{

1

( )( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

<<⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅= ⋅−

})(*

)(*2

1)(exp)(exp* 2**E

mT  M bT  BT T  BT  BS  X e T r 

,{1θ θ σ   

( )( )( ) ( )

+⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅= ∫ ∫

∞−

⋅− dydxT 

 x y

T T 

 x yT  x xS  X e

m

T r 

2

2exp

2

22

2

1expexp

20

0

2

π θ θ σ   

87

Page 90: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 90/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

( )( )( ) ( )

dydxT 

 x y

T T 

 x yT  x xS  X e

m m

 x

T r 

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅+ ∫ ∫ ⋅−

2

2exp

2

22

2

1expexp

2

0

2

π θ θ σ 

( )( )( )

+⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛  ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−=

=

=∞−

⋅−∫ dxT 

 x y

T T  x xS  X e

m

T r   2

2exp

2

1

2

1expexp

y

0y

202

π θ θ σ   

( )( )( )

dxT 

 x y

T T  x xS  X e

mm

T r   2

2exp

2

1

2

1expexp

y

xy

2

0

2

=

=

⋅−

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−+ ∫

π θ θ σ   

−⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

⋅⋅⋅⋅= ∫

∞−

⋅−dxT  x

 x

T  X e

m

T r  22

2

1

2exp

2

1θ θ 

π  

−⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+

⋅−⋅

⋅⋅⋅⋅− ∫

∞−

⋅−dxT  x x

 x

T S e

m

T r  22

2

1

2exp

2

1θ σ θ 

π  

( )+⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⋅− ∫∞−

⋅− dxT  xT 

 xm

T  X e

m

T r  22

2

1

2

2exp

2

1θ θ 

π  

( )dxT  x x

 xm

T S e

m

T r 

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⋅+ ∫∞−

⋅− 22

2

1

2

2exp

2

1θ σ θ 

π  

)()()( 1

22

11 T  y N S 

 Le X  x N eS T  x N e X 

T r T qT r  ⋅+−⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−−⋅⋅−⋅+−⋅⋅=

−⋅⋅−⋅−⋅−

σ σ 

λ 

 

)( 1

2

 y N S 

 LeS  T q −⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅⋅+

⋅⋅−

λ 

 

Teoremă: Fie L < S. Avem următoarele relaţii:

i) 7.16 p p p

ccc

dido

dido

=+

=+  

ii) Dacă   X < L avem:

+⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅=

⋅⋅−⋅−⋅− )()()( 1

2

11  y N S 

 LeS T  x N e X  x N eS c T qT r T q

do

λ 

σ   

)( 1

22

T  y N S 

 Le X  T r  ⋅−⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅+−⋅

⋅− σ 

λ 

 

uiuo ccc −=

  0=do p

7.17 p pdi =

  iii) Dacă   X > L avem:

88

Page 91: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 91/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

)()( 2

22

2

2

T  y N S 

 Le X  y N 

 LeS c T r T q

di ⋅−⋅⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅=−⋅

⋅−⋅

⋅− σ 

λ λ 

 

dido ccc −=

[ ]−−⋅⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⋅⋅+⋅+−⋅⋅+−⋅⋅−=

⋅⋅−⋅−⋅− )()()()( 12

2

11  y N  y N S 

 LeS T  x N e X  x N eS  p T qT r T q

di

λ 

σ 

  [ ])()( 12

22

T  y N T  y N S 

 Le X  T r  ⋅−−⋅−⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−−⋅

⋅− σ σ 

λ 

7.18

Demonstraţie:

Demonstraţia este similar ă cu cea din teorema anterioar ă. Pentru exemplificare

să calculăm cdi in cazul X > L. Păstrând notaţiile din teorema precedentă notăm cu:)(min)( *

0* u Bt  M 

t u≤≤=

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

<⋅−⋅= ⋅−

})()0,)(max(

*

E LT S 

 X T S ec T r 

ui {1  

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

<>⋅−⋅= ⋅−

})()(

*

E LT S  X S(T)

 X T S e T r 

,{1

  ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

<>

⋅−⋅⋅⋅= ⋅−

})()(

)(exp*

**E

mT  M bT  B

 X T  BS eT r 

,{

1σ 

  ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

<>⋅−⋅⋅⋅= ⋅−

})()()(exp*

*

**E

mT  M bT  B X T  BS e

T r 

,{1σ 

( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

<>⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ⋅−

})()(2

1)(exp)(exp*

*

*2**E

mT  M bT  BT T  B X T  BS e

T r 

,{1θ θ σ 

( )( )( ) ( )

dydxT 

 x y

T T 

 y xT  x X  xS e

b

m

T r 

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ∫ ∫∞

∞−

⋅−

2

2exp

2

22

2

1expexp

22

π θ θ σ   

( )( )( )

dxT 

 x y

T T  x X  xS e

m

b

T r   2

2exp

2

1

2

1expexp

y

-y

22

=

∞=

∞⋅−

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ∫

π θ θ σ   

( )( )( )

dxT  xT 

 xm

T  X  xS e

b

T r 

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅= ∫∞

⋅− 22

2

1

2

2exp

2

1exp θ θ 

π σ   

( )−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⋅= ∫∞

⋅−

b

T r dxT  x x

 xm

T eS  2

2

2

1

2

2exp

2

1θ σ θ 

π  

89

Page 92: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 92/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

( )dxT  x

 xm

T e X 

b

T r  ∫∞

⋅−

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⋅− 22

2

1

2

2exp

2

1θ θ 

π  

∫∫

⋅+−

−⋅⋅−

⋅⋅−

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ −⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ −⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅=T  y

T r 

 y

T q dz  z 

 Le X dz 

 z 

 LeS 

σ 

λ λ 

22 2

exp

2

exp22222

 

)()( 2

22

2

2

T  y N S 

 Le X  y N 

 LeS  T r T q ⋅−⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅⋅+⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅⋅=

−⋅⋅−

⋅⋅− σ 

λ λ 

 

De obicei opţiunile cu barier ă nu sunt tranzacţionabile pe piaţă  şi din acest

motiv este importantă doar valoarea la momentul 0. Totuşi se pot calcula şi valorile la

un moment t .

In continuare consider ăm valorile opţiunilor ca funcţie de t,T şi S. Vom nota

cu τ  momentul atingerii barierei. Acesta reprezintă un timp de stopare definit prin:

{ } Lt S t  =≥= )(|0inf τ  .

Teoremă: Fie 0≤  t ≤  T. Avem că:

i)  Dacă  t < τ  

))(,,0())(,,(

))(,,0())(,,(

t S t T vt S T t v

t S t T vt S T t v

kiki

koko

−=

−=

  7.19

ii)  Dacă  t > τ  

))(,,())(,,(

0))(,,(

t S T t vt S T t v

t S T t v

ki

ko

=

=7.20

Demonstraţie:

Dacă la momentul t  încă nu a fost atinsă bariera valoarea la momentul t  se

obţine înlocuind in formulele pentru valoarea la momentul 0 pe T cu T-t  şi pe S cu

S(t). Se obţin astfel formulele 7.19.

Dacă la momentul t  s-a atins bariera valoarea la momentul t a unei opţiuni

knock-out este 0, iar a uneia knock-in este egală cu valoarea la momentul t a unei

opţiuni europene.

90

Page 93: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 93/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Teoremă: 

i)  Valoarea optiunilor knock-in după momentul τ verifică ecuaţia Black-Scholes.

ii)  Valoarea optiunilor knock-out pînă la momentul τ  verifică ecuaţia Black-

Scholes.Demonstraţie:

Primul punct este evident având in vedere teorema precedentă.

Pentru punctul doi facem demonstraţia in cazul opţiunii up-and-out call cu L > 1. 

Fie

, t ≤  T  , S ≤  L ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

<⋅−⋅= ⋅−

})()0,)(max( *E

 LT S  X T S et,S V(t,S)

T r 

{1

V(t,S(t)) este valoarea opţiunii la momentul t < τ .Avem că 

V( T,S ) = max( S-X ,0 ) , 0≤  S ≤  L

V( t,0 ) = 0 , 0≤  t ≤  T 

V( t,L ) = 0 , 0≤  t ≤  T  

Trebuie să mai ar ătăm că verifică ecuaţia:

0

2

12

222 =⋅−

∂⋅⋅+

∂⋅⋅⋅+

∂V r 

V S r 

V S 

V σ   

Avem evident că 

S *(T) < L ⇔   τ > T 

Fie t fixat.

Dacă τ ( ω  )≤  t avem că  S *(T) ≥ L şi rezultă că:

( ) 0)(})(

)0,)(max( |*E =⎥⎦

⎤⎢⎣

<⋅−⋅⋅− ω F(t)

 LT S  X T S e T r 

{1

Avem că:0)),(())),((),(( =∧=∧∧  Lt V t S t V  τ ω τ ω τ   

Si putem scrie că:

( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

<⋅−⋅⋅− )(

})()0,)(max( |*E ω F(t)

 LT S  X T S e T r 

{1  

( ) ))),((),(()( ω ω τ ω τ ω τ  ∧∧⋅= ∧⋅−t S t V e t r 

Dacă τ ( ω  )> t avem că:

91

Page 94: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 94/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

<⋅−⋅⋅− )(

})()0,)(max( |*E ω F(t)

 LT S  X T S e T r 

{1  

( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

<

⋅−⋅= ⋅−

})(

)0,)(max()*E

 LT S 

 X T S et,S(t,ω T r 

{

1

  )),(,( ω t S t V e t r  ⋅= ⋅−

  ( ) ))),((),(()(ω ω τ ω τ 

ω τ  ∧∧⋅= ∧⋅−t S t V e

t r 

Deci in concluzie:

( ) ( ) ))(,(})(

)0,)(max( |*E τ τ τ  ∧∧⋅=⎥

⎤⎢⎣

<⋅−⋅ ∧⋅−⋅−

t S t V e LT S 

 X T S e t r T r  F(t){

1

Fie 0≤  u≤  t ≤  T. 

( ) =∧∧⋅∧⋅− F(u)|))(,(E τ τ τ  t S t V e t r   

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

<⋅−⋅= ⋅− F(u)F(t) ||

})()0,)(max( *EE

 LT S  X T S e

T r 

{1  

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

<⋅−⋅= ⋅− F(u)|

})()0,)(max( *E

 LT S  X T S e T r 

{1  

( ) ))(,( τ τ τ  ∧∧⋅= ∧⋅− uS uV e ur   

Si deci rezultă că este martingal.( ) ))(,( τ τ τ  ∧∧⋅∧⋅− t S t V e t r 

Avem că:

( ) )(2

1)(,(

2

222 t dB

V S edt V r 

V S r 

V S 

V et S t V ed  t r t r t r  ⋅

∂∂

⋅⋅⋅+⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅−

∂∂

⋅⋅+∂∂

⋅⋅⋅+∂∂

⋅=⋅ ⋅−⋅−⋅−σ σ 

Integrînd de la 0 la t ∧τ obţinem:

( ) ∫∧

⋅−∧⋅− ⋅∂∂

⋅⋅⋅+=∧∧⋅τ 

τ  σ τ τ 

ur t r  udBS 

V S eS V t S t V e

0

)())0(,0())(,( +

∫∧

⋅− ⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛  ⋅−∂∂⋅⋅+

∂∂⋅⋅⋅+

∂∂⋅+

τ 

σ t 

ur  duV r S 

V S r 

V S 

V e

02

222

21

 

Cum şi( ) ))(,( τ τ τ  ∧∧⋅∧⋅− t S t V e t r  ∫∧

⋅− ⋅∂∂

⋅⋅⋅τ 

σ 

ur  udBS 

V S e

0

)( sunt martingale

rezultă că şi ∫∧

⋅− ⋅⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅−

∂∂

⋅⋅+∂∂

⋅⋅⋅+∂∂

⋅τ 

σ 

ur  duV r S 

V S r 

V S 

V e

02

222

2

1este martingal şi

conform teoremei de reprezentare a martingalelor (orice martingal are drift zero)

avem că:

92

Page 95: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 95/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

02

12

222 =⋅−

∂∂

⋅⋅+∂∂

⋅⋅⋅+∂∂

V r S 

V S r 

V S 

V σ   

VII.2 Op ţ iuni "ladder"

Definiţie: Fie L > S(0). O opţiune ladder, cu preţ de exerciţiu X  şi scadenţă T ,

este un produs financiar derivat cu valoare la scadenţă dată de

( ) ( ) ( )})(

),)(max(})(

)0,)(max( ** LT S 

 X  L X T S  LT S 

 X T S >

⋅−⋅−⋅<

⋅−⋅ +{{

11 δ δ δ 

unde δ = 1 pentru opţiunea de tip call şi δ = -1 pentru opţiunea de tip put.

 Notăm cu V valoarea la momentul 0 a unei opţiuni europene şi cu V  L valoarea

la momentul 0 a unei opţiuni ladder.

Teoremă:

i)  Dacă   L < X  avem că V  L = V 

ii) Dacă   L > X  avem că:

( ) ( ) −⋅−⋅−⋅⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+=−⋅

⋅− )( 1

22

T  y N S 

 Le X  LV V  T r 

 L σ δ δ 

λ 

 

[ ]+⋅−−⋅−⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−

⋅⋅− )()( 21

2

 y N  y N S 

 LeS  T q δ δ 

λ 

 

( ) ( )[ ])()( 21

22

T  y N T  y N S 

 Le X  T r  ⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅+−⋅

⋅− σ δ σ δ 

λ 

 

Demonstraţie:

Dacă  L < X avem că max( δ⋅ (S(T)-X), δ⋅ (L-X))= max( δ⋅ (S(T)-X),0 ) şi valoarea

la scadenţă devine max( δ⋅ (S(T)-X),0 ) de unde rezultă relaţia din enunţ.

 Notăm cu valoarea opţiunii call up-and-in respectiv up-and-out.

Analog pentru put.

 X 

uo

 X 

ui cc ,

Dacă  L > X demonstr ăm relaţia pentru opţiunea call δ =1.

Avem că:

93

Page 96: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 96/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

⎥⎦

⎤⎢⎣

>⋅−−⋅

<⋅−⋅= ⋅−⋅− +

})(),)(max(

})()0,)(max( **E

 LT S  X  L X T S e

 LT S  X T S ec T r T r 

 L{{

11

  ( ) +⎥⎦

⎤⎢⎣

>⋅−⋅+⎥

⎤⎢⎣

<⋅−⋅= ⋅−⋅−

})(})()0,)(max( ** EE

 LT S  X  Le

 LT S  X T S e

T r T r 

{{11

  ⎥⎦

⎤⎢⎣

>⋅−⋅+ ⋅−

})()0,)(max( *E

 LT S  LT S e

T r 

{1

  ( )  L

ui

T r  X 

uo cmT  M 

 X  Lec +⎥⎦

⎤⎢⎣

>⋅−⋅+= ⋅−

})(*E

{1

  ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

>⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅⋅−⋅++−= ⋅−

})(2

1exp*

*2E

mT  M T (T) Bθ  X  Leccc *T r  L

ui

 X 

ui{

1θ   

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>⋅⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅

})(21exp*

*2E

mT  M T (T) Bθ  *

{1θ   

( ) ( )+⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  ⋅⋅−⋅= ∫ ∫∞−

dydxT 

 x y

T T 

 x yT  x

m

m2

2exp

2

22

2

1exp

22

π θ θ   

( ) ( )dydx

 x y

T T 

 x yT  x

m x⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅+ ∫ ∫

∞ ∞

2

2exp

2

22

2

1exp

22

π θ θ   

( ) +⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅⋅⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅−=

∞=

=∞−∫ dxT 

 x y

T T  x

m

 2

2exp2

1

2

1exp

y

my

2

2π 

θ θ   

( )dx

 x y

T T  x

m

 2

2exp

2

1

2

1exp

y

xy

22

∞=

=

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  ⋅⋅−⋅−+ ∫

π θ θ   

( )+⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

−⋅⋅⋅

= ∫∞−

m

dxT  xT 

 xm

22

2

1

2

2exp

2

1θ θ 

π  

⎟⎟ ⎠

 ⎞

⎜⎜⎝ 

⎛ ⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

⋅⋅+

m

dxT  xT 

 x

22

2

1

2exp

2

1θ θ 

π  

)()( 1

22

1 T  y N S 

 LT  x N  ⋅+−⋅⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅−=−⋅

σ σ 

λ 

 

Înlocuind valoarea opţiunilor knock-in şi valoarea integralei de mi sus se

obţine relaţia dorită.

94

Page 97: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 97/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Teoremă: Fie 0≤  t ≤  T. Avem că:

i) Dacă  t < τ  

))(,,0())(,,( t S t T V t S T t V   L L −=   7.19

ii) Dacă  t > τ  

7.20))(,,())(,,( t S T t V  X  Lt S T t V   L

 L +−=

unde V  L este valoarea opţiunii europene cu preţ de exerciţiu egal cu L

Demonstraţie:

Prima parte este evidentă. Pentru a doua parte avem că:

( ) F(t)|E ),)(max())(,,(  X  L X T S et S T t V  t T r 

 L −−⋅= −⋅−  

( ) F(t)|E )0,)(max(  LT S e X  L t T r  −⋅+−= −⋅−  

))(,,( t S T t V  X  L  L+−=

 

95

Page 98: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 98/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

VIII. Evaluarea op ţ iunilor dependente de drum în

contextul pie ţ ei financiare de tip BSM 

VIII.1 Op ţ iuni cliquet 

Vom considera că s-a f ăcut deja trecerea de la măsura pieţei la măsura neutr ă la risc pe care o notăm cu P. 

Astfel ecuaţia de dinamică a activului suport,care are şi dividend, este:

( ) )()()()( t dBt S dt t S qr t dS  ⋅⋅+⋅⋅−= σ  8.1

Definiţie: Fie 0 < t c < T. Se numeşte opţiune cliquet, cu preţ de exerciţiu X  şi

scadenţă  T, un produs financiar derivat cu valoarea la scadenţă egală cu

,0)−⋅,−⋅ ))(())((max(  X t S  X T S  cδ δ  ,unde δ = 1 pentru opţiunea de tip call şi δ = -1 

 pentru opţiunea de tip put.

 Notăm cu S=S(0). 

Teoremă: Notînd cu V C (t,T,S(t)) valoarea la momentul t  a opţiunii cliquet

avem că:

i) Dacă t ≥  t c 

( ) ( ) ))(,,(0,)(max))(,,( ),(maxt S T t V  X t S t S T t V 

 X t S 

cC 

c+−=   8.2

ii)  Dacă  t < t c 

( ) +⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  −⋅⋅−⋅⋅= −⋅−cc

 X t T r 

C  t T  N t S t t V et S T t V  c

σ 

λ δ  2))(,,())(,,(

−⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

−−

⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+ ⋅−

t T 

t T d t T  N et S  c

c

T q ,,)( 11

2 δ σ 

λ δ δ   

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ 

−⋅−⋅⋅⋅⋅⋅− ⋅−

t T 

t T d t T  N e X  c

c

T r  ,, 22

2 δ 

σ 

λ δ δ  8.3

96

Page 99: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 99/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

unde V  X (t,T,S(t)) reprezintă valoarea opţiunii europene , cu preţ de exerciţiu X  

şi scadenţă T, d 1 şi d 2 sunt cele definite la opţiunile europene şi

2

2

1

σ λ  −−= qr   

2

2

2

σ λ  +−= qr   

Demonstraţie:

Facem demonstraţia pentru δ =1. 

Dacă t > t c şi S(t c ) < X avem că:

( ) ))(,,()0,)(max())(,,( |E t S T t V  X T S et S T t V   X T r 

C  =−⋅= ⋅− F(t)  

Dacă t > t c şi S(t c ) > X avem că:

( ) F(t)|)0,)()(max()())(,,( E c

T r 

cC  t S T S e X t S t S T t V  −⋅+−= ⋅−  

))(,,()( )( t S T t V  X t S  ct S 

c +−=

Vom calcula doar valoarea la momentul 0 in cazul t < t c. 

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>>⋅−⋅= ⋅−

})(),()())((E

 X t S T S t S  X t S eV 

ccc

T r 

C  {1

  ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡><

⋅−⋅+ ⋅−

})(),()())((E

 X T S T S t S  X T S e

c

T r 

{1

  21 V V  +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>>⋅−⋅= ⋅−)(F

ct 

 X t S T S t S  X t S eV 

ccc

T r  |})(),()(

))((EE1 {1  

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>>⋅−⋅= ⋅⋅−)(F

ct 

T S t S  X t S  X t S e

ccc

T r  |)}()(})(

))(( EE{{

11

  ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡>⋅−⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

>= ⋅−

})())((

)}()(EE |

 X t S  X t S e

ct 

T S t S c

c

T r 

c{{

11 )(F

 

( )

⎥⎦

⎢⎣

>⋅⋅=

−⋅−

)(F ct T S t S S t V e cc

 X t T r  c

|)}()(),,0( E {1

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⋅⋅=

−⋅−<−

−−⋅−

)(Fc

t S t V e

ct T 

ct T 

ct  BT  Bc

 X t T r  c |}2

)()(E),,0(

σ 

λ {

1  

97

Page 100: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 100/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−⋅−<

−⋅⋅= −⋅−

}2)()(

),,0( E

ct T 

ct T 

ct  BT  B

S t V e c

 X t T r  c

σ 

λ {

1  

( ) ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  −⋅−⋅⋅= −⋅−cc

 X t T r  t T  N S t V e c

σ 

λ 2),,0(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

><⋅⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

><⋅⋅= ⋅−⋅−

})(),()(})(),()()( EE2  X T S T S t S 

 X e X T S T S t S 

T S eV c

T r 

c

T r 

{{11  

[ ]})(),()(})(),()(

PE  X T S T S t S  X T S T S t S  c

c

><=⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡><

{{

1

 ⎥⎥

⎤⎢⎢

⎡ <−−⋅<−

−= })(,)()(2

2P d T 

T  Bt T 

ct T 

ct  BT  Bc

σ 

λ {-  

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎝ 

⎛  −−⋅=

t T d 

ct T  N  c;,2

22σ 

λ  

deoarece avem că:

⎥⎦

⎢⎣

⎡⋅

−−

⎡⋅

−=

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ −

T  B

ct T 

ct  BT  B

T  B

ct T 

ct  BT  B

T  B

ct T 

ct  BT  B )()()()()()()(

,)()(

cov EEE-

  ( )[ ] 0)()()(1 E −⋅−⋅

−⋅= T  B

ct  BT  B

ct T T 

 

[ ] [ ]( ))()()(1 EE 2

ct  BT  BT  B

ct T T 

⋅−⋅−⋅

=  

( )( )ct T T 

ct T T 

∧−⋅−⋅

=1

 

ct T −

=  

Fie

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  ⋅⋅−⋅= t t  Bt  Z  2

2

1)(exp)( σ σ    şi

∫= A

d T  Z  A  P  P *  )()(

  98

Page 101: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 101/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Conform teoremei lui Girsanov avem că   B*(t)=B(t)-σ⋅ t  este mişcare

 browniană faţă de probabilitatea P P*  . Urmând acelaşi raţionament ca în cazul opţiunile

europene rezultă că:

( ) [ ]})(),()(*})(),()( PE  X T S T S t S eS  X T S T S t S S(T) cT qr 

c><⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ><

⋅− {{1  

( )

⎥⎥

⎢⎢

⎡<−−⋅<

−⋅⋅= ⋅− }

)(,

)()(*1

*1

**

P d T 

T  Bt T 

ct T 

ct  BT  B

eS  c

T qr 

σ 

λ {-  

( )

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛  −−⋅⋅⋅= ⋅−

t T d 

ct T  N eS  cT qr  ;, 1

12

σ 

λ  

deoarece folosind acelaşi raţionament ca mai sus avem că:

t T 

T  B

ct T 

ct  BT  B

c−=

⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ −

− )(,

)()(cov

***

-  

VIII.2 Op ţ iuni cu maxim discret 

Definiţie: Fie 0≤  t 1≤  t 2≤  …≤  t n≤  T. Se numeşte opţiune cu maxim discret, cu

 preţ de exerciţiu X  şi scadenţă T, un produs financiar derivat cu valoarea la scadenţă 

egală cu ( ) ,0)−⋅ ))(),...,(),((maxmax( 21  X t S t S t S  nδ  , unde δ  = 1 pentru opţiunea de

tip call şi δ = -1 pentru opţiunea de tip put.

Teoremă: Valoarea la momentul 0 a opţiunii cu maxim discret, cu preţ de

exerciţiu X  şi scadenţă T, este:

( )

( )( ));,...,(1

1

,1,21,21k  jn

T r T r t qr 

in

n

ii MD C d d  N e X eS  I  H V 

i

⋅−⋅−−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅−⋅−⋅−

−=∑ δ δ δ δ 

 

unde

( )⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  ⋅−⋅⋅−⋅⋅= −3,,11

11

1 ,,,..., k  jiiiiii C d t t t t  N  H  δ σ 

λ δ 

σ 

λ δ   

( )⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  −⋅⋅−−⋅⋅−= +−−2,

21

2 ,,..., k  jiniiinin C t t t t  N  I σ 

λ δ 

σ 

λ δ  8.4

S=S( 0 ),d 1,i şi d 2,i reprezintă d 1 şi d 2 definite la opţiunile europene in care seinlocuieşte T cu t i.

99

Page 102: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 102/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

k  j

k  j

k  jt 

t C 

∧=1, ,1≤  j,k ≤  n ,

ik  ji

ik  ji

k  jt t 

t t C 

−=

∨+

∧+2, ,1≤  j,k ≤  n-i

k  ji

k  jik  j

t t t t C 

−−=3, , j,k ≠ i

i

 ji jii j

t t t C C  −== 3

,3, , j≠ i

Demonstraţie:

 Notăm cu S i=S(t i ).Facem demonstraţia pentru cazul δ =1. 

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡>⋅⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

>⋅⋅= ⋅−⋅−

}),...,max(}),...,max(),...,max(

111 EE

 X S S e X 

 X S S S S eV 

n

T r 

nn

T r 

 MD {{11

  21 V V  +=

Calculăm mai întâi V 3.

[ ] [ ])}),...,max(1}),...,max( 112 PP  X S S -e X  X S S e X V  n

T r 

n

T r  <⋅⋅=>⋅⋅= ⋅−⋅− {{  

[ ])},...,,1 21P  X S  X S  X S -e X  n

T r  <<<⋅⋅= ⋅− {  

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ 

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−<−<⋅⋅= ⋅− }

)(,...,

)(1 ,21,2

1

1P n

n

nT r  d t 

t  Bd 

t  B-e X  {  

( )( ));,...,(1 1,1,21,2 k  jn

T r  C d d  N e X  −−−⋅⋅= ⋅−  

k  j

k  j

 j

 j

k  jt t 

t  B

t  BC ∨

∧=⎟⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ = )(,)(cov1

,  

Avem că:

∑∑==

⋅− =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>>>⋅⋅=

n

i

i

n

i iniii

T r  V  X S S S S S 

S eV 1

,11 1

1 },,...E

{1

Rezultă că:

⎥⎦

⎤⎢⎣

>>>

⋅⋅= ⋅−

},,...1

,1 E X S S S S S 

S eV inii

i

T r 

i

{

1

  ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>>>⋅⋅= ⋅− )(|},,...1

EE iinii

i

T r  t  X S S S S S 

S e F{

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

>>>>>>⋅⋅=+−

⋅− ⋅ )(|},,...},,... 111

EE iiniiiiiii

i

T r  t  X S S S S S  X S S S S S 

S e F{{

11

 

Fie acum:

⎥⎦⎤⎢⎣⎡ >>>=+

− )(|},,...1E iiniii

in t  X S S S S S  I  F{1

  100

Page 103: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 103/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅−<−

−−⋅−<

−= +

+

+ )(|21

2

1

1 )()(,...,

)()(iin

in

inii

ii

ii t t t t t 

t  Bt  Bt t 

t t 

t  Bt  BF

σ 

λ 

σ 

λ P  

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎪⎭

⎪⎩

−⋅−<−

−⋅−<−

= ++

+

inin

in

iiii

ii

t t t t 

t  Bt  B

t t t t 

t  Bt  B

σ 

λ 

σ 

λ  2

1

2

1

1 )()(

,...,

)()(

P  

( )⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  −⋅−−⋅−= +−2,

21

2 ,,..., k  jiniiin C t t t t  N σ 

λ 

σ 

λ  

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−⋅

−=

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ 

−=

+

+

+

+

+

+

+

+

ik i

ik i

i ji

i ji

ik i

ik i

i ji

i ji

k  jt t 

t  Bt  B

t t 

t  Bt  B

t t 

t  Bt  B

t t 

t  Bt  BC 

)()()()()()(,

)()(cov E2

,  

[ ] [ ] [ ] [ ]( )2)()()()()()()(1 EEEE ik iii jik i ji

ik ii ji

t  Bt  Bt  Bt  Bt  Bt  Bt  Bt t t t 

+⋅−⋅−⋅⋅−⋅−

= ++++

++ 

( )( ) =+−−∧⋅−⋅−

= ++

++

iiik i ji

ik ii ji

t t t t t t t t t 

ik  ji

ik  ji

t t 

t t 

−=

∨+

∧+,1≤  j,k ≤  n-i

Făcând schimbarea de măsur ă definită mai sus avem că:( ) [ ]},,... 11,1  X S S S S S eS e I V  iiii

t qr T r 

inii >>>⋅⋅⋅⋅= −

⋅−⋅−− {*P

Avem că:

[ ]},,... 11  X S S S S S  H  iiiii >>>= −{*P

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−−⋅<−

−−−⋅<

−−= −

−i

i

iii

ii

iii

i

i d t 

t  Bt t 

t t 

t  Bt  Bt t 

t t 

t  Bt  B,1

*

11

1

1**

11

1

1** )(

,)()(

,...,)()(

σ 

λ 

σ 

λ *P

 

( )⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  −⋅−⋅= −3,,11

11

1 ,,,..., k  jiiiii C d t t t t  N σ 

λ 

σ 

λ  

( )( )k  jk  ji

k i jik i

k i

 ji

 ji

k  j t t t t t t t t t t t 

t  Bt  B

t t 

t  Bt  BC  ∧+−−⋅

−⋅−=

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ 

−=

1)()(,

)()(cov

****3,

 

k  ji

k  ji

t t 

t t 

−= , j,k ≠ i

101

Page 104: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 104/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

( )i

 ji

 ji

i jii

i

 ji

 ji

i jt 

t t t t 

t t t t 

t  B

t t 

t  Bt  BC 

−=−⋅

⋅−=

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ 

−=

1)(,

)()(cov

***3,  

VIII.3 Op ţ iuni asiatice

Definiţie: Se numeşte opţiune asiatică, cu preţ de exerciţiu X  şi scadenţă T, un

 produs financiar derivat cu valoarea la scadenţă egală cu

,0)−⋅⋅ ∫ ))(1

(max(0

 X dt t S T 

δ  ,unde δ  = 1 pentru opţiunea de tip call şi δ  = -1 pentru

opţiunea de tip put.

 Notăm cu  , 0≤  t ≤  T ∫=t 

duuS t Y 0

)()(

 

Teoremă: Valoarea la momentul t a unei opţiuni asiatice, cu preţ de exerciţiu

 X  şi scadenţă T, este egală cu V(t, S(t),Y(t)) , unde funcţia V(t,S,Y) este soluţia ecuaţiei

cu derivate par ţiale:

( ) 02

12

222

=⋅−∂∂

⋅+∂∂

⋅⋅−+∂∂

⋅⋅⋅+∂∂

V r Y 

V S S 

V S qr S 

V S t 

V σ   

)0),(max(),,(  X T 

Y Y S T V  −⋅= δ  8.5

Demonstraţie:

Avem că:

( ) )()()()( t dBt S dt t S qr t dS  ⋅⋅+⋅⋅−= σ   

dt t S t dY  ⋅= )()( 8.6

Generatorul infinitizimal al procesului de difuzie 8.6 este:

( )Y 

S S 

S qr S 

S t  ∂

∂⋅+

∂∂

⋅⋅−+∂∂

⋅⋅⋅+∂∂

=2

222

2

1σ L  

Dar:

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅⋅= −⋅− )0),)(

(max())(),(,( E  X T 

T Y e

 )t,S(t),Y(t t Y t S t V  t T r  δ   

Aplicînd teorema Feynman-Kac rezultă ecuaţia cu derivate par ţiale dorită.

102

Page 105: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 105/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Teoremă: Dacă Y(t) > T ⋅  X, valoarea la momentul t a unei opţiuni call asiatice,

cu preţ de exerciţiu X  şi scadenţă T, este:

( ) ( )

( )( ) ⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛  −⋅+⋅−

−⋅= −⋅−

−⋅−−⋅−

 X T 

t Y e

T qr 

eet S t Y t S t V  t T r 

t T r t T q )()())(),(,( 8.7

Demonstraţie:

Avem că:

 X T 

t Y 

T Y >≥

)()( 

Deci:

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅= −⋅−−⋅− )(|)(| )(

)0,)(

max())(),(,( EE t t   X T 

T Y e X 

T Y et Y t S t V  t T r t T r  FF

 

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  −⋅= ∫

−⋅−−⋅− )(|)(

)( E t T 

t T r t T r 

duuS T 

e X 

t Y e F  

( )( )

[ ] duuS T 

e X 

t Y e

t T r t T r  t  ⋅⋅+⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  −⋅= ∫

−⋅−−⋅− )(|)(

)( E F  

( )( )

( ) ( )duet S T 

e X 

t Y e

t uqr t T r 

t T r  ∫ −⋅−−⋅−

−⋅− ⋅⋅+⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  −⋅= )(

)( 

( )( ) ( ) ( )

( )du

qr 

et S 

e X 

t Y e

t T qr t T r t T r 

−−

⋅⋅+⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  −⋅=−⋅−−⋅−

−⋅− 1)(

)( 

( ) ( )

( )( ) ⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  −⋅+

⋅−−

⋅= −⋅−−⋅−−⋅−

 X T 

t Y e

T qr 

eet S  t T r 

t T r t T q )()(  

103

Page 106: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 106/121

 IX. Evaluarea op ţ iunilor cu mai multe active suport în

contextul pie ţ ei financiare de tip BSM 

 IX.1 Distribu ţ ia normal ă bidimensional ă 

Vectorul aleator  ( )′= 21, X  X  X  cu medie şi matrice de

varianţă-covarianţă are o distribuţie

normală bidimensională notată cu

[ ] ( ′== 21,mmm X  E  )

[ ]( ) [ ]( ) ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

σσρσ

σρσσ=Ω=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ′−−

2221

2121XEXXEXE

( )ΩΦ ,2 m dacă are densitatea de repartiţie dată de:

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −Ω′−−

Ωπ= − mt mt t t  f  1

212 2

1exp

det2

1, unde (9.1)( ′= 21,t t t  )

 Se poate ar ăta că dacă  ( )ΩΦ ,~ 2 m X  atunci avem că:

1) ( ) ( 222111 ,~,,~ σΦσΦ m X m X  )

2) (9.2)( ) 212122

22

21

21

222112211 2 ,,~ σσρ+σ+σ=σσ+Φ+ aaaaundemama X a X a

 

Dacă  021 == mm   şi 121 =σ=σ se spune că distribuţia este normală 

bidimensională standard cu coeficient de corelaţie ρ , iar pentru funcţia de

repartiţie a acestei distribuţii există formule de

aproximare (vezi de exemplu Hull - 2006).

( ) ( )∫ ∫∞− ∞−

=ρ x  y

dt dt t t  f  y x N  212122 ,:;,

 

Page 107: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 107/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 IX.2 Mi şcarea browniană bidimensional ă 

( ) ( ) ( )( t  Bt  Bt  B 21 ,= ) este proces Wiener bidimensional (mişcare browniană 

 bidimensională) cu coeficient de corelaţie ρ dacă:

1) ;( ) ( ) 000 21 == B B

2) Variaţia procesului între două momente de timp ( ) ( )t  BT  B − este independentă de

informaţiile acumulate până la momentul t ;

3) ( ) ( )( )

( ) ⎟

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ 

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ 

−−

−−

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ Φ−

t T t T 

t T t T t  BT  B

 ρ 

 ρ ,

0

0~ 2 .

Pentru un interval scurt de timp variaţia procesului are următoare

distribuţie:

dt 

( )( )( ) ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ Φ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ =

dt dt 

dt dt 

t dB

t dBt dB

 ρ 

 ρ ,

0

0~ 2

2

1 (9.3)

Pentru a pune în evidenţă coeficientul de corelaţie ρ se foloseşte notaţia

( ) ( ) dt t dBt dB ρ =21 .

 IX.3 Proces de difuzie bidimensional şi lema Ito bidimensional ă 

Fie ( ) ( ) ( )( )t  xt  xt  x 21 ,= un proces de difuzie bidimensional:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) dt t dBt dBunde

t dBt  xt  xt bdt t  xt  xt at dx

t dBt  xt  xt bdt t  xt  xt at dx ρ =

⎩⎨⎧

+=

+=21

22122122

12112111  ,,,,,

,,,, 

şi fie o funcţie . R R RG →×+2:

 

105

Page 108: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 108/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 Ne interesează variaţia lui ( ) ( )( )t  xt  xt G 21 ,, . Aplicând lema Ito pentru procese

de difuzie bidimensionale rezultă că:

22

211

1

21

2

2122

2222

1

22

12

21

1

 

21

21

dz  x

Gbdz 

 x

Gb

dt  x xGbb

 xGb

 xGb

 xGa

 xGa

t GdG

∂∂

+∂∂

+

+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ 

∂∂∂ρ+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

(9.4)

 IX.4 Evolu ţ ia cursului a două active

Modelul BSM bidimensional presupune că pe piaţă există două active

financiare al căror curs verifică următorul sistem de ecuaţii diferenţiale stocastice:

dt dBdBundedBS dt S dS 

dBS dt S dS  ρ 

σ μ 

σ μ =

⎩⎨⎧

+=

+=21

222222

111111  , (9.5)

In continuare vom determina repartiţiile cursurilor celor două active la

momentul T . Astfel, aplicând lema lui Ito bidimensională pentru funcţiile

respectiv obţinem că:

1ln S 

2ln S 

 

( )

( )⎪⎪

⎪⎪

+−⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −=

+−⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −=

22

22

22

11

21

11

2ln

2ln

dBt T S d 

dBt T S d 

σ σ 

μ 

σ σ 

μ 

(9.6)

Prin integrare de la lat  T  rezultă că :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) (( )⎪⎪

⎪⎪

−+−⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −=−

−+−⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −=−

t  BT  Bt T t S T S 

t  BT  Bt T t S T S 

222

22

222

111

21

111

2lnln

2lnln

σ σ 

μ 

σ σ 

μ 

)

 

106

Page 109: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 109/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Deci

( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

−−

−−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

−−+

−−+⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

t T t T 

t T t T 

t T t S 

t T t S 

T S 

T S 

m

2221

2121

2222

2111

22

1 ,2ln

2ln~

ln

ln

σ σ  ρσ 

σ  ρσ σ 

σ μ 

σ μ Φ 

         

 

Utilizând repartiţia la momentul T  al cursurilor celor două active, se poate

calcula probabilitatea ca la momentul T  să avem că  ( ) ( )T S T S  21 > . Astfel, utilizând

 proprietatea (9.2) rezultă că:

( ) ( ) ⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ −σ−Φ−

μ

      v X 

t T mmT S T S  ,~lnln 2121 unde 2122

21

2 2 σρσ−σ+σ=σ

 

Dar  ( )1,0~ N v

 X −, deci:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  μ

−−=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛  μ

−>μ−

=

>=>=>

v N 

vv

 X  P 

 X  P T S T S  P T S T S  P 

0lnln 2121

(9.7)

 IX.5 Op ţ iuni curcubeu

Opţiunile curcubeu sunt produse financiare al căror payoff la scadenţă (T)

depinde de şi . Deci pot fi considerate derivative care au două active

suport.

( )T S 1 ( )T S 2

Prima la momentul al unui astfel de derivativ va depinde .

Vom nota această primă cu .

T t < ( ) ( )t S t S t 21

,,

( )21,, S S t  D

 

5.1 Ecua ţ ia de evaluare a unei op ţ iuni curcubeu

Vom considera un portofoliu format dintr-o poziţie -1 pe derivativ, pe

 primul activ suport şi pe cel de al doilea activ suport:

1h

2h

 

107

Page 110: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 110/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

2211 S hS h D ++−=Π (9.8)

Variaţia valorii acestui portofoliu este (folosind (9.4) şi (9.5)):

2211 dS hdS hdDd  ++−=Π

 

( ) ( 22222211111122

2211

11

21

2

212122

222

222

1

221

21

222

111

 

2

1

2

1

dBS dt S hdBS dt S hdBS 

 DS dB

 DS 

dt S S 

 DS S 

 DS 

 DS 

 DS 

 DS 

 D

σ μ σ μ σ σ 

σ  ρσ σ σ μ μ 

++++⎥⎦

∂∂

+∂∂

+

⎢⎣

⎡+⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

∂∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

)

 

(9.9) 

2

1

2

1

22

22211

111

21

2

212122

222

222

1

221

21

222

1112212111

dBS 

 DhS dB

 DhS 

dt S S 

 DS S 

 DS 

 DS 

 DS 

 DS 

 DS hS h

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

∂∂

−+⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

∂∂

−+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

∂∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−+=

σ σ 

σ  ρσ σ σ μ μ μ μ 

Pentru ca Π să fie portofoliu f ăr ă risc trebuie ca

11 S 

 D

h ∂∂

=  şi 22 S 

 D

h ∂∂

= (9.10)

Deoarece nu există posibilităţi de arbitraj trebuie ca portofoliul f ăr ă risc să 

aibă rentabilitatea egală cu rata dobânzii f ăr ă risc:

Π

 

dt r d  Π=Π (9.11)

Folosind (9.9),(9.10) şi (9.11) avem că:

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

∂∂

+∂∂

+−=⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

∂∂∂

σρσ+∂∂

σ+∂∂

σ+∂∂

− 22

1121

2

212122

222

222

1

221

21 S

S

DS

S

DDr 

SS

DSS

S

DS

2

1

S

DS

2

1

t

D

 

De aici rezultă ecuaţia de evaluare pentru o opţiune curcubeu:

108

Page 111: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 111/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

rDS S 

 DS S 

 DS 

 DS 

 DrS 

 DrS 

 D=

∂∂∂

σρσ+∂∂

σ+∂∂

σ∂∂

+∂∂

+∂∂

21

2

212122

222

222

1

221

21

22

11 2

1

2

1(9.12)

Ecuaţia (9.12) este verificată de prima oricărei opţiuni curcubeu. Pentru a afla prima pentru o opţiune anume trebuie pusă şi o condiţie la scadenţă (T) şi anume:

( ) optiune Payoff S S T  D =21,, (9.13)

Ecuaţia (9.12) este un caz particular al ecuaţiei fundamentale de evaluare a

activelor financiare obţinută în capitolul V. In acest capitol demonstraţia a fost

realizată prin utilizarea principiului arbitrajului (Altăr - 2008).

5.2 Tipuri op ţ iuni curcubeu

1)  Opţiunea de a schimba cele două active (Spread options)

( ) ( )( )0,max 21 T S T S  Payoff Spread −= (9.14)

Prima acestei opţiuni la momentul T t < va fi:

( ) ( ) ( )221121,, d  N S d  N S S S t Spread  −= (9.15)

unde:

( ) ( )

t T 

t T S S 

d  −σ

−σ

+

= 2

ln2

21

1   t T d d  −σ−= 12   2122

21

2

2 σρσ−σ+σ=σ

 

Demonstraţie

Se observă că putem scrie payoff-ul opţiunii spread astfel:

21,

20,1

21max20,

21max S S T  H S S S S S S  =−=− unde ( ) ( )0,1max:, −=  x xT  H   

109

Page 112: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 112/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Datorită formei payoff-ului vom căuta o soluţie a ecuaţiei de evaluare (9.12)

de forma:

21,

22,

1, S S t  H S S S t  D =

 

Făcând schimbarea de variabilă 21

S S  x = , vom căuta să obţinem o ecuaţie

diferenţială cu derivate par ţiale pentru ( ) xt  H  , (care să semene cu ecuaţia Black-Scholes

a cărei soluţie o ştim) . Avem că:

2xH

2

2

2S

1S

2S

1S

D2

;2xH

2

3

2S

2

1S

22

SD

2;

2xH

2

2S1

21

SD

2;

xH

2S

1S

H

2SD;

xH

1SD;

tH

2S

tD

∂∂−=

∂∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂−=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂  

Înlocuind in ecuaţia (9.12) derivatele par ţiale de mai sus şi folosind

schimbarea de variabilă obţinem următoarea ecuaţie diferenţială cu derivate par ţiale

 pentru ( ) xt  H  , :

0

2

222

2

1=

∂σ+

 x

 H  x

 H   

cu condiţia pe frontier ă  ( ) ( )0,1max:, −=  x xT  H  .

Se observă că aceasta este ecuaţia de evaluare a unei opţiuni call pentru cazul

în care . Deci1,0 ==  K r 

 

( )21

:, d  N d  xN  xt  H  −=  

Dar 21

,22

,1

, S S t  H S S S t Spread  =   şi se obţine (9.15)

2)  Opţiunea de a „livra” activul mai scump

( ) ( )( )T S T S  Payoff Optmax 21 ,max=  

( ) ( ) ( )( ) ( )Spread  Payoff T S T S T S T S  +=−+= 2212 0,max (9.16)

110

Page 113: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 113/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Folosind principiul arbitrajului rezultă că prima acestei opţiuni la momentul

va fi:T t <

  ( ) ( ) ( )21221 ,,,, S S t Spread t S S S t Optmax += (9.17)

3)  Opţiunea de a „livra” activul mai ieftin

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0,min,min 12121 T S T S T S T S T S  Payoff Optmin−+==  

( ) ( ) ( )( ) ( ) Spread  Payoff T S T S T S T S  −=−−= 1211 0,max (9.18)

Folosind principiul arbitrajului avem că prima acestei opţiuni la momentul

va fi:T t <

  ( ) ( ) ( )21121 ,,,, S S t Spread t S S S t Optmin −= (9.19)

4)  Opţiunea de a „livra” activul mai scump sau o sumă de bani

( ) ( )( ) K T S T S  Payoff Optmaxcash ,,max 21= (9.20)

Prima acestei opţiuni este dată de:

( ) ( )ρ−σ+−−σ+−−−

+

+ρδ−−δ+ρδ−−δ=

;22,

12 

2;

2,

22221;

1,

12112,

1,

1 t T d t T d  N t T r 

 Ke

d  N  N S d  N  N S S S t Optmaxcash

 

unde

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

21222

21

2 ,21

2 ,12

1

2

2

1ln

2 ,2

2

1ln

1

2

2

2ln

2 ,2

2

11ln

1

 

22

2

σρσ−σ+σ=σσ

σ−ρσ=ρ

σ

σ−ρσ=ρ

−σ

−σ

+

=δ−σ

−σ

+

−σ

−σ

+

=−σ

−σ

+

=

t T 

t T S S 

t T 

t T S S 

t T 

t T  K S 

t T 

t T  K S 

 

111

Page 114: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 114/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

5)  Opţiuni call şi put pe maximul a două active

( ) ( )( )( )0,,maxmax 21max K T S T S  Payoff c −=  

( ) ( )( )( )0,,maxmax 21max T S T S  K  Payoff  p −= (9.21)

Se poate ar ăta că există următoarele relaţii de paritate:

1) ( ) ( ) ( )t T r  KeS S t OptmaxcashS S t c −−−= 2121max ,,,,  

2) ( ) ( ) ( ) ( )2121max21max ,,,,,, S S t OptmaxS S t  p KeS S t c t T r  +=+ −− (9.22)

6)  Opţiuni call şi put pe maximul a două active

( ) ( )( )( )0,,minmax 21min K T S T S  Payoff c −=  

( ) ( )( )( )0,,minmax 21minT S T S  K  Payoff  p −= (9.24)

Se poate ar ăta că există următoarele relaţii de paritate:1) ( ) ( ) ( ) ( K ,S,tcK ,S,tcS,S,tcS,S,tc 2esBlackSchol1esBlackSchol21min21max )+=+  

2) ( ) ( ) ( ) ( )2121min21min ,,,,,, S S t OptminS S t  p KeS S t c t T r  +=+ −− (9.25)

 IX.6 Op ţ iuni quanto

Quanto-urile sunt derivative tranzacţionate într-o ţar ă (de exemplu SUA) şi

care au ca suport un activ financiar tranzacţionat într-o altă ţar ă (de exemplu indicele

 Nikkei din Japonia). Fiind tranzacţionat în SUA payoff-ul unui quanto este exprimat

în USD.

Vom nota cu:

S - cursul indicelui Nikkei exprimat în JPY

Q - cursul valutar USD/JPY (1 JPY = Q USD)

r  - rata dobânzii în SUA

112

Page 115: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 115/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

f r - rata dobânzii în Japonia

Prima la momentul al unui astfel de derivativ va depinde .

Vom nota această primă cu .

T t < ( ) ( )tQ,tS,t

( )Q,S,tD 

Variaţia în timp a celor doi factori de influenţă este dată de:

(9.26)( ) dt dBdBundeQdBQdt r dQ

SdBSdt dS QS 

QQ f Q

S S S  ρ 

σ μ 

σ μ =

⎩⎨⎧

+−=

+= ,

 

6.1 Ecua ţ ia de evaluare a unui quanto

Vom considera un portofoliu format dintr-o poziţie -1 pe derivativ, yeni şi

unităţi din indicele Nikkei. Valoarea portofoliului (exprimată în USD) este:

Qh

Sh

 

SQhQhD SQ ++−=Π (9.27)

Variaţia valorii acestui portofoliu este (folosind (9.4) şi (9.26)):

( )

in USD exprimata yeniladobinda

f QSQ Qdtr hSQdhdQhdDd +++−=Π  

( )

( )( )

( )[ ]QQS S QS  f QS S 

 f QQQ f QQQQS S 

QS QS  f QS 

SQdBSQdBSQdt r h

Qdt r hQdBQdt r hdBQ

 DQdB

 DS 

dt QS 

 DSQ

Q

 DQ

 DS 

Q

 DQr 

 DS 

 D

σ σ σ  ρσ μ μ 

σ μ σ σ 

σ  ρσ σ σ μ μ 

+++−++

++−+⎥⎦

∂∂

+∂∂

+⎢

⎡+⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛ 

∂∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−+∂∂

+∂∂

−=

 

2

1

2

1 2

2

222

2

222

 

113

Page 116: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 116/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

( ) dtQS

DSQ

Q

DQ

2

1

S

DS

2

1

Q

DQr 

S

DS

t

SQr hQh

2

QS2

222

Q2

222

Sf QS

QSf QSSQQ

⎥⎥⎦

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

∂∂∂

σρσ+∂∂

σ+∂∂

σ+∂∂

−μ+∂∂

μ+∂∂

−σρσ+−μ+μ+μ=

QS QQS S S  dBQ

 DS hhQdBS 

 DQhS  ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛  ∂∂−++⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛  ∂∂−+ σ σ  (9.28)

Pentru ca Π să fie portofoliu f ăr ă risc trebuie ca

S

D

Q

1hS ∂

∂=  şi

S

D

Q

S

Q

DhQ ∂

∂−

∂∂

= (9.29)

Deoarece nu există posibilităţi de arbitraj trebuie ca portofoliul f ăr ă risc să 

aibă rentabilitatea egală cu rata dobânzii f ăr ă risc:

Π

 

dt r d  Π=Π (9.30)

Folosind (9.28),(9.29) şi (9.30) avem că:

( )

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ∂∂

+−=

=⎟⎟ ⎠

 ⎞

⎜⎜⎝ 

⎛ 

∂∂∂

σρσ+∂∂

σ+∂∂

σ+∂∂

−∂∂

σρσ−+∂∂

Q

DQDr  

QS

DSQQ

DQ2

1

S

DS2

1

Q

DQr S

DSr t

D 2

QS2

222

Q2

222

Sf QSf 

 

De aici rezultă ecuaţia de evaluare pentru un quanto:

( ) ( )  rD

QS

DSQ

Q

DQ

2

1

S

DS

2

1

Q

DQr r 

S

DSr 

t

D 2

QS2

222

Q2

222

Sf QSf  =

∂∂

∂σρσ+

∂σ+

∂σ+

∂−+

∂σρσ−+

∂(9.31)

Ecuaţia (9.31) este verificată de prima oricărui quanto. Pentru a afla prima

 pentru o opţiune anume trebuie pusă şi o condiţie la scadenţă (T):

( ) optiunePayoff Q,S,TD = (9.32)

114

Page 117: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 117/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

6.2 Tipuri de quanto

1) Opţiuni quanto cu pretul de exerciţiu (K) fixat în JPY

Payoff-ul în SUA va fi:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0,K TSmaxTQ0,TKQTQTSmaxPayoff Quantocall −=−=  

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0,TSK maxTQ0,TQTSTKQmaxPayoff Quantoput −=−= (9.33)

Prima opţiunii call la momentul T t < va fi:

( ) ( ) ( ) ( )( )2tTr 

1 d NKedSNQQ,S,tQuantocall f  −−−= (9.34)

unde:

( ) ( )

tT

tT2

r K Sln

dS

2S

1−σ

−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛  σ++

= tTdd S12 −σ−=  

Deci în cazul în care preţul de exerciţiu este fixat în JPY (variabil în USD)

 prima call pe piaţa americană va fi egală cu prima call de pe piaţa japoneză (rata

dobânzii din Japonia este ) transformată în USD.f r 

 

Demonstraţie

Se observă că putem scrie payoff-ul opţiunii call astfel:

( ) ( )S,TQH0,K SmaxQ =− unde ( ) ( )0,K Smax:S,TH −=  

Datorită formei payoff-ului vom căuta o soluţie a ecuaţiei de evaluare (9.31)

de forma:

( ) ( )S,tQHQ,S,tD =  

115

Page 118: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 118/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Vom căuta să obţinem o ecuaţie diferenţială cu derivate par ţiale pentru ( )S,tH .

Avem că:

SH

QSD2;0

2Q

D2;2S

H2Q2S

D2;HQD;

SHQ

SD;

tHQ

tD

∂∂=

∂∂∂=

∂=∂

∂=∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂  

Înlocuind in ecuaţia (9.31) derivatele par ţiale de mai sus obţinem următoarea

ecuaţie diferenţială cu derivate par ţiale pentru ( )S,tH :

Hf 

r 2x

H22

S2

2

1

S

HS

f r 

t

H

S=

∂σ+

∂+

∂  

cu condiţia pe frontier ă  ( ) ( )0,K Smax:S,TH −= .

Dar această ecuaţie este chiar ecuaţia de evaluare pentru o opţiune call de tip

european pe indicele Nikkei evaluat pe piaţa japoneză (rata dobânzii din Japonia fiind

)f r 

 

2) Opţiuni quanto cu pretul de exerciţiu (K) fixat în USD

Payoff-ul în SUA va fi:

( ) ( )( )0,K TQTSmaxPayoff Quantocall −=  

( ) ( )( )0,TQTSK maxPayoff Quantoput −= (9.35)

Prima opţiunii call la momentul

T t < va fi:

( ) ( ) ( ) ( )2tTr 

1 d NKedSQNQ,S,tQuantocall −−−= (9.36)

unde:

( ) ( )

tT

tT

2

r K SQln

d

2

1−σ

−⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛  σ++

=   tTdd 12 −σ−=   QS2Q2S2 2 σρσ+σ+σ=σ

  116

Page 119: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 119/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Demonstraţie

Se observă că putem scrie payoff-ul opţiunii call astfel:

( ) ( )SQ,TH0,K SQmax =− unde ( ) ( )0,K xmax:x,TH −=  

Datorită formei payoff-ului vom căuta o soluţie a ecuaţiei de evaluare (9.31)

de forma:

( ) ( )SQ,tHQ,S,tD =  

Facem schimbarea de variabilă  SQ x = . Vom căuta să obţinem o ecuaţie

diferenţială cu derivate par ţiale pentru. Avem că:

 x

 H 

 x

 H SQ

QS 

 D

 x

 H S 

Q

 D

 x

 H Q

 D

 x

 H S 

Q

 D

 x

 H Q

 D

 H 

 D

∂+

∂=

∂∂

∂=

∂=

∂=

∂=

∂=

2

22;

2

22

2

2;

2

22

2

2;;;  

Inlocuind in ecuaţia (9.31) derivatele par ţiale de mai sus şi folosind

schimbarea de variabilă obţinem următoarea ecuaţie diferenţială cu derivate par ţiale

 pentru ( )x,tH :

Hr 2x

H22

x2

2

1

x

Hxr 

t

H=

∂σ+

∂+

∂  

cu condiţia pe frontier ă  ( ) ( )0,K xmax:x,TH −= .

Deci

( ) ( ) ( ) ( )2

d NtTr 

Ke1

dxNx,tH−−

−= .

117

Page 120: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 120/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

 Bibliografie

Altăr, M., (2008), Inginerie financiar ă, Editura ASE

Cuculescu, I., (1998), Teoria probabilit ăţ ilor, Editura All

Cuculescu, I., (1979).  Elemente de teoria proceselor stocastice, Editura Universităţii

Bucureşti

Bjork, T., (1998), Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press.

Black, F., şi M. Scholes, (1973), "The pricing of options and corporate liabilities,"

 Journal of Political Economy 81, 637-659.

Fleming, W., şi R. Rishel, (1975),  Deterministic and Stochastic Optimal Control ,

Springer Verlag.

Hull, J., (2006), Options, Futures, and other Derivatives, Prentice Hall.

Ikeda, N. şi S. Watanabe, (1989), Stochastic differential equations and diffusion processes, North Holland, Amsterdam.

Ito, K. şi H.P. McKean, (1965), Diffusion processes and their sample paths, Springer-

Verlag , Berlin 

Karatzas, I. şi S. E. Shreve, (1991),  Brownian Motion and Stochastic Calculus,

Springer-Verlag, New York 

Licea , G., (1979), Martingale şi aplica ţ ii, Editura Universităţii Bucureşti

Merton, R. C., (1973a), "An Intertemporal Capital Asset Pricing Model,"

 Econometrica 41, 867-888.

Merton, R. C., (1973b), "Theory of Rational Option Pricing,"  Bell Journal of 

 Economics and Management Science 4, 141-184.

Merton, R. C., (1976), "Option Pricing When Underlying Stock Returns Are

Discontinuous," Journal of Financial Economics 3, 125-145.

118

Page 121: Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1

http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 121/121

Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I 

Musiela, M., şi M. Rutkowski, (1997),  Martingale Methods in Financial Modelling ,

Springer Verlag.

Oksendal, B., (2000), Stochastic Differential Equations ( 5th Edition), Springer 

Verlag.

Protter, P., (1992), Stochastic Integration and Differential Equations, Springer 

Verlag.

Revuz, D. şi M. Yor, (1991), Continuous martingales and brownian motion, Springer-

Verlag, Berlin

Shreve, S. (1997), Stochastic Calculus and Finance, lecture notes, Carnegie Mellon

University

Stoica, G., (1999),  Introducere în studiul mi şcării browniene, Editura Universităţii

Bucureşti