Chap1 Slides Rom

Introducere ın modelarea sistemelor

Paula RaicaDepartmentul de Automatica

Str. Dorobantilor, sala C21, tel: 0264 - 401267Str. Baritiu, sala C14, tel: 0264 - 202368

email: [email protected]

http://rrg.utcluj.ro/ts

Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca



Introducere

Un model matematic este o ecuatie sau un set de ecuatii caredescrie comportamentul unui sistem.Doua abordari pentru determinarea unui model:

◮ Modele cu parametri concentrati: pentru fiecare element alunui sistem se determina un model din legile fizicii.

◮ Identificarea sistemelor: se poate realiza un experiment simodelul se determina din rezultate..

Relatia importanta este ıntre intrarea si iesirea sistemului.

Dynamic System input

u(t)

output

y(t)



Modele cu parametri concentrati

Sistemele studiate ın acest curs sunt:

Liniare - respecta principiul superpozitiei

Stationare (sau invariabile ın timp) - parametrii nuvariaza ın timp

Deterministe - Iesirea sistemului se poate determinadin intrarea sistemului la orice moment de timp

Exemple.

◮ Rezistenta: i(t) = 1Rv(t)

◮ Bobina: i(t) = 1L

∫

v(t)dt or v(t) = Ldi(t)dt

◮ Condensatorul: i(t) = Cdv(t)dt



Exemple

Spring-mass-damper

k

disp

lace

men

t

Friction f

Force

y(t)

r(t)

Mass M

Md2y(t)

dt2+ f

dy(t)

dt+ ky(t) = r(t)

unde: f -coeficientul de frecare, M - masa, k - constanta elastica aresortului.



Sisteme liniare

Un sistem se defineste ca fiind liniar ın termenii intrarii si iesirii.

Principiul superpozitieix1(t) → y1(t)

x2(t) → y2(t)

x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)

Omogenx(t) → y(t)

mx(t) → my(t)



Liniarizare

Sistem neliniar:y = x2

Sistem neliniar !y = mx + b

Liniarizare ın jurul unui punct de functionare x0, y0 pentru variatiimici∆x si ∆y . Daca x = x0 +∆x si y = y0 +∆y :

y0 +∆y = mx0 +m∆x + b

rezulta:∆y = m∆x



Liniarizare

Intrare x(t) si raspuns y(t): y(t) = g(x(t))Seria Taylor ın jurul punctului de functionare x0:

y = g(x) = g(x0) +dg

dx|x=x0

x − x0

1!+

d2g

dx2|x=x0

(x − x0)2

2!+ ...

Panta la punctul de functionare:

m =dg

dx|x=x0,

y = g(x0) +dg

dx|x=x0(x − x0) = y0 +m(x − x0),

Ecuatia poate fi rescrisa ca una liniara:

(y − y0) = m(x − x0) sau ∆y = m∆x



Liniarizare

Daca variabila y depinde de mai multe intrari: x1, x2, ..., xn:

y = g(x1, x2, ..., xn).

seria Taylor ın jurul punctului de functionare x10, x20, ..., xn0 (dupaneglijarea termenilor de ordin mai mare ca 1):

y = g(x10, x20, ..., xn0) +∂g

∂x1|x=x0(x1 − x10) +

+∂g

∂x2|x=x0(x2 − x20) + ...+

∂g

∂xn|x=x0(xn − xn0)



Exemplu - Pendulul

Mass M

Length L

angle x

Cuplul:T = MgLsin(x)Conditia de echilibru pentru masaeste: x0 = 0o .

T − T0∼= MgL

∂sinx

∂x|x=x0(x − x0),

unde T0 = 0.

T = MgL(cos0o )(x − 0o) = MgLx

Aproximarea este suficient de precisa pentru −π/4 ≤ x ≤ π/4.



Transformata Laplace

F (s) = L[f (t)] =∫

∞

0f (t)e−stdt

Table : Proprietatile transformatei Laplace

1 Liniara f1(t) ± f2(t) F1(s) ± F2(s)

2 Inmultirea cu o constanta af(t) aF(s)

3 Deplasare complexa e±at f (t) F(s±a)

4 Deplasare reala f(t-T) e−TsF (s), T≥0

5 Scalare f( ta) aF(as)

6 Prima derivata ddtf(t) sF(s) - f(0)

7 Integrala∫ t

0 f (t)dt 1sF (s)



Transformata Laplace

Table : Transformata Laplace a unor functii

f(t) F(s)

1 Impuls Dirac δ (t) 12 Treapta unitara u(t)=1 1

s

3 Rampa unitara v(t)=t 1s2

4 eat 1s−a

5 cosωt ss2+ω2

6 sinωt ωs2+ω2



Semnale

1. Treapta unitara:

u(t) =

{

0, t < 01, t ≥ 0

Transformata Laplace a functiei treapta:

L[u(t)] = 1

s



Semnale

2. Rampa unitara

v(t) =

{

0, t < 0t, t ≥ 0

Transformata Laplace a functiei rampa:

L[v(t)] = 1

s2



Semnale

3. Impulsul ideal (Dirac)

δ(t) =

{

0, t < 0 and t > ∆τA, 0 ≤ t ≤ ∆τ

, lim∆τ→0

∫ ∆τ

0δ(t)dt = 1

Transformata Laplace a impulsului:

L[δ(t)] = 1



Functia de transfer

= Raportul dintre transformata Laplace a semnalului de iesire sitransformata Laplace a semnalului de intrare ın conditii initialenule.

a0r(t)+a1dr(t)

dt+...+am

dmr(t)

dtm= b0y(t)+b1

dy(t)

dt+...+bn

dny(t)

dtn

unde r(t) si y(t) sunt semnalele de intrare si iesire.Se aplica transformata Laplace ın conditii initiale nule:

(a0 + a1s + ...+ amsm)R(s) = (b0 + b1s + ...+ bns

n)Y (s)

si functia de transfer este:

H(s) =Y (s)

R(s)=

a0 + a1s + ...+ amsm

b0 + b1s + ...+ bnsn



Exemplu

k

disp

lace

men

t

Friction f

Force

y(t)

r(t)

Mass M

Md2y(t)

dt2+ f

dy(t)

dt+ ky(t) = r(t)

Ms2Y (s) + fsY (s) + kY (s) = R(s)

H(s) =Y (s)

R(s)=

1

Ms2 + fs + k

”iesire = continut x intrare”

O functie de transfer H(s) arata cum intrarea este transferata laiesire.



Exemplu. Sistem electric

L

C R v in v out

i L

i C

i R N

Bobina:diL

dt=

1

LvL

Condensatorul:dvC

dt=

1

CiC

Rezistenta: vR = RiR

Legile lui Kirchhoff:

iL = iC + iR

vin = vL + vC

vC = vR = vout

Se presupun conditii initiale zero,se aplica transformata Laplace, seelimina toate variabilele ın afara de in-trare si iesire.

H(s) =Vout(s)

Vin(s)=

1

LCs2 + LRs + 1

=R

RLCs2 + Ls + R(1)



Functia de transfer

Pentru un sistem fizic realizabil functia de transfer H(s) este unraport de doua polinoame ın s:

H(s) =N(s)

D(s)

ordinul lui D(s) ≥ ordinul lui N(s).

Ecuatia caracteristica

D(s) = 0

Radacinile lui D(s) : poli

Radacinile lui N(s) : zerourile

Ordinul sistemului: gradul polinomului de la numitor, D(s)Polii si zerourile lui H(s) pot fi variabile complexe, s = σ + jω.



Functia de transfer

H(s) =k(s − z1)(s − z2)...(s − zm)

sr (s − p1)(s − p2)...(s − pn)

unde m ≤ n, pi si zi sunt polii si zerourile functiei de transfer, r -numarul polilor la origine, n + r - ordinul sistemului.

H(s) =k

sr

∏m1j=1(Tjs + 1)

∏m2j=1(

1ω2nj

s2 +2ζjωnj

s + 1)

∏n1j=1(Tjs + 1)

∏n2j=1(

1ω2nj

s2 +2ζjωnj

s + 1)

unde k - factorul de proportionalitate (sau de castig), ωnj -frecvente naturale, Tj - constante de timp, ζj - factori deamortizare.



Raspunsul sistemelor

H(s) R(s) Y(s)

Figure : Schema bloc a unui sistem

Din definitia funtiei de transfer:

Y (s) = H(s) · R(s)

Aplicand transformata Laplace inversa:

y(t) = L−1[H(s) · R(s)].



Exemplu

H(s) =Y (s)

R(s)=

1

Ms2 + fs + k, R(s) = L[δ(t)], y(t) = L−1[H(s)·1]

M = 1, f = 3, k = 2

Y (s) =1

(s + 1)(s + 2)

y(t) = e−t − e−2t

M = 1, f = 1, k = 3

H(s) =K

1ω2ns2 + 2ζ

ωns + 1

y(t) =2√11

e−t/2sin(

√11

2t)



Exemplu

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6 8 10 12

Figure : Raspunsul sistemului. (Stanga) Raspuns supra-amortizat.(Dreapta) Raspuns subamortizat



Scheme bloc

Schemele bloc sunt formate din blocuri unidirectionale conectatecare reprezinta functii de transfer.Conexiuni de baza: serie, paralel, cu reactie.

Y 2 (s)

Y (s)

Y 1 (s)

R 2 (s)

R 1 (s)

R (s) H 1 (s) H 2 (s)

Y 1 (s)

Y (s)

Y 2 (s)

R (s)

H 1 (s)

H 2 (s)

`

Y (s) H d (s)

H r (s)

R (s) E (s)



Functii de transfer echivalente

Conexiunea serie

H(s) =Y (s)

R(s)=

Y2(s)

R1(s)=

Y2(s) · Y1(s)

R1(s) · R2(s)= H1(s) · H2(s)

Conexiunea paralel

Y (s) = ±Y1(s)± Y2(s), H(s) =Y (s)

R(s)= ±H1(s)± H2(s)

Conexiunea cu reactie

H(s) =Y (s)

R(s)=

Hd (s)

1∓ Hd (s) · Hr (s)



Transformarea schemelor bloc

X 2

X 1 X 3

G X 1

G

X 2

X 3

G

Figure : Sumator ın fata unui bloc

X 2

X 1 X 2

G

X 2

X 1 X 2 G

G

Figure : Mutarea unui punct ın fata unui bloc



Transformarea schemelor bloc

X 1

X 1 X 2

G

X 1

X 1 X 2 G

1/G

Figure : Mutarea unui punct ın spatele unui bloc

X 1 G

X 2

X 3

X 2

X 1 X 3

G

1/G

Figure : Mutarea unui sumator ın fata unui bloc



Suprapunerea semnalelor

R 1 Y R 2

H 1 H 2

H 3

H 01

H 02

Y

R 2

R 1

Y (s) = R1(s) · H01(s)|R2(s)=0 + R2(s) · H02(s)|R1(s)=0

Y (s) =H1H2

1 + H1H2H3· R1(s) +

H2

1 + H1H2H3· R2(s)



Matricea de transfer

...

linear multiple input multiple

output (MIMO) system

...

r 1 (t)

r 2 (t)

r m (t)

y 1 (t)

y 2 (t)

y n (t)

...

...

R 1 (s)

R 2 (s)

R m (s)

Y 1 (s)

Y 2 (s)

Y n (s)

...

H 11

H 22

H nm

H n1 H n2

H 12

Figure : Sistem MIMO




Y1 = H11R1 + H12R2 + . . .H1mRm

Y2 = H21R1 + H22R2 + . . .H2mRm

...Yn = Hn1R1 + Hn2R2 + . . .HnmRm

unde functia de transfer de la intrarea k la iesirea j :

Hjk =Yj

Rk




Forma matriciala:Y = H · R

Vectorii de intrare si iesire:

R = [R1(s) R2(s) ... Rm(s)]T , Y = [Y1(s) Y2(s) ... Yn(s)]

T

Matricea de transfer:

H =

H11 H12 . . . H1m

H21 H22 . . . H2m

. . . . . . . . . . . .Hn1 Hn2 . . . Hnm



Conexiunile sistemelor MIMO

Conexiunea serie

H = H2 ·H1, for n systems H =

1∏

j=n

Hj

Conexiunea paralelaH = ±H1 ±H2

Conexiunea cu reatie

H = (1∓Hd ·Hr )−1 ·Hd



Chap1 Slides Rom

Documents

Transcript of Chap1 Slides Rom