Cercurile Apollonius de rangul K

6
1 Cercurile Apollonius de rangul Profesor Ion Pătrașcu, Colegiul Național Frații Buzești, Craiova, România Professor Florentin Smarandache, Universitatea New Mexico, USA Scopul acestui articol este de a introduce noțiunea de cerc Apollonius de rangul și de a generaliza anumite rezultate privind cercurile Apollonius. Definiția 1. Se numește ceviană interioară de rangul k dreapta cu ∈ (), astfel încât =( ) ( ∈ ℝ). Dacă este conjugatul armonic al punctului în raport cu și , despre dreapta spunem că este ceviană exterioară de rang . Definiția 2. Numim cerc Apollonius de rangul în raport cu latura a triunghiului cercul care are ca diametru segmentul . Teorema 1. Cercul lui Apollonius de rang este locul geometric al punctelor din planul triunghiului care satisfac relația: =( ) . Demonstrație. Fie centrul cercului Apollonius de rang relativ la latura a triunghiului (vezi Figura 1) și , punctele de intersecție ale acestui cerc cu cercul circumscris triunghiului . Notăm cu mijlocul arcului , prelungim până intersectează cercul circumscris in . În triunghiul , este bisectoare, rezultă că = =( ) , deci aparține locului geometric. Perpendiculara în pe intersectează pe BC în ′′ , care este piciorul bisectoarei exterioare a triunghiului , deci

description

Scopul acestui articol este de a introduce noțiunea de cerc Apollonius de rangul K și de a generaliza anumite rezultate privind cercurile Apollonius.

Transcript of Cercurile Apollonius de rangul K

Page 1: Cercurile Apollonius de rangul K

1

Cercurile Apollonius de rangul 𝒌

Profesor Ion Pătrașcu, Colegiul Național Frații Buzești, Craiova, România

Professor Florentin Smarandache, Universitatea New Mexico, USA

Scopul acestui articol este de a introduce noțiunea de cerc Apollonius

de rangul 𝒌 și de a generaliza anumite rezultate privind cercurile Apollonius.

Definiția 1. Se numește ceviană interioară de rangul k dreapta 𝐴𝐴𝑘 cu

𝐴𝑘 ∈ (𝐵𝐶), astfel încât 𝐵𝐴

𝐴𝑘𝐶= (

𝐴𝐵

𝐴𝐶)

𝑘 (𝑘 ∈ ℝ).

Dacă 𝐴𝑘′ este conjugatul armonic al punctului 𝐴𝑘 în raport cu 𝐵 și 𝐶,

despre dreapta 𝐴𝐴𝑘′ spunem că este ceviană exterioară de rang 𝒌.

Definiția 2. Numim cerc Apollonius de rangul 𝒌 în raport cu latura

𝐵𝐶 a triunghiului 𝐴𝐵𝐶 cercul care are ca diametru segmentul 𝐴𝑘𝐴𝑘′ .

Teorema 1. Cercul lui Apollonius de rang 𝑘 este locul geometric al

punctelor 𝑀 din planul triunghiului 𝐴𝐵𝐶 care satisfac relația: 𝑀𝐵

𝑀𝐶= (

𝐴𝐵

𝐴𝐶)

𝑘.

Demonstrație. Fie 𝑂𝐴𝑘 centrul cercului Apollonius de rang 𝑘 relativ la

latura 𝐵𝐶 a triunghiului 𝐴𝐵𝐶 (vezi Figura 1) și 𝑈, 𝑉 punctele de intersecție ale

acestui cerc cu cercul circumscris triunghiului 𝐴𝐵𝐶. Notăm cu 𝐷 mijlocul

arcului 𝐵𝐶, prelungim 𝐷𝐴𝑘 până intersectează cercul circumscris in 𝑈′. În

triunghiul 𝐵𝑈′𝐶 , 𝑈′𝐷 este bisectoare, rezultă că 𝐵𝐴𝑘

𝐴𝑘𝐶=

𝑈′𝐵

𝑈′𝐶= (

𝐴𝐵

𝐴𝐶)

𝑘, deci 𝑈′

aparține locului geometric. Perpendiculara în 𝑈′ pe 𝑈′𝐴𝑘 intersectează pe BC

în 𝐴𝑘′′ , care este piciorul bisectoarei exterioare a triunghiului 𝐵𝑈𝐶 , deci

Page 2: Cercurile Apollonius de rangul K

2

conjugatul armonic al lui 𝐴𝑘 în raport cu 𝐵 și 𝐶, deci 𝐴𝑘′′ = 𝐴𝑘

′ . Prin urmare, 𝑈′

este pe cercul Apollonius de rang 𝑘 relativ la latura 𝐵𝐶, deci 𝑈′ = 𝑈.

Figura 1

Fie 𝑀 un punct care satisface relația din enunț, atunci 𝑀𝐵

𝑀𝐶=

𝐵𝐴𝑘

𝐴𝑘𝐶 rezultă

folosind reciproca teoremei bisectoarei că 𝑀𝐴𝑘 este bisectoarea interioară a

unghiului 𝐵𝑀𝐶. Acum procedăm ca mai înainte, adică ducem bisectoarea

exterioară și va rezulta că 𝑀 aparține cercului Apollonius de centru 𝑂𝐴𝑘.

Considerăm acum un punct 𝑀 pe acest cerc, construim 𝐶′ astfel ca ∢𝐵𝑁𝐴𝑘 ≡

∢𝐴𝑘𝑁𝐶′ (deci (𝑁𝐴𝑘 este bisectoarea interioară a unghiului 𝐵𝑁𝐶′̂ ). Deoarece

𝐴𝑘′ 𝑁 ⊥ 𝑁𝐴𝑘 rezultă că 𝐴𝑘 și 𝐴𝑘

′ sunt conjugate armonic în raport cu 𝐵 și 𝐶′. Pe

de altă parte, aceleași puncte sunt conjugate armonic în raport cu 𝐵 și 𝐶, de

aici rezultă 𝐶′ = 𝐶 și avem 𝑁𝐵

𝑁𝐶=

𝐵𝐴𝑘

𝐴𝑘𝐶= (

𝐴𝐵

𝐴𝐶)

𝑘.

Definiția 3. Se numește patrulater complet figura geometrică

obținută dintr-un patrulater convex prin prelungirea, până când se

intersectează, a laturilor opuse. Un patrulater complet are 6 vârfuri, 4 laturi și

3 diagonale.

Page 3: Cercurile Apollonius de rangul K

3

Teorema 2. (Gauss - 1810) Într-un patrulater complet mijloacele celor

trei diagonale sunt coliniare.

Demonstrație. Fie 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 patrulaterul complet dat (vezi Figura 2).

Notăm cu 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3, 𝐻4 respectiv ortocentrele triunghiurilor 𝐴𝐵𝐹, 𝐴𝐷𝐸, 𝐶𝐵𝐸,

𝐶𝐷𝐹 şi fie 𝐴1, 𝐵1, 𝐹1 picioarele înălţimilor triunghiului 𝐴𝐵𝐹.

Figura 2

După cum s-a mai arătat, au loc relaţiile: 𝐻1𝐴. 𝐻1𝐴1 − 𝐻1𝐵. 𝐻1𝐵1 = 𝐻1𝐹. 𝐻1𝐹1;

acestea exprimă faptul că punctul 𝐻1 are puteri egale faţă de cercurile de

diametri 𝐴𝐶, 𝐵𝐷, 𝐸𝐹 deoarece aceste cercuri conţin respectiv punctele

𝐴1, 𝐵1, 𝐹1, şi 𝐻1 este punct interior lor. Analog se arată că punctele 𝐻2, 𝐻3, 𝐻4 au

puteri egale faţă de aceleaşi cercuri, deci aceste puncte sunt situate pe axa

radicală comună a acestor cercuri, prin urmare cercurile fac parte dintr-un

fascicul şi ca atare centrele lor care sunt mijloacele diagonalelor patrulaterului

complet sunt coliniare. Această dreaptă a mijloacelor diagonalelor unui

patrulater complet se numeşte dreapta lui Gauss sau dreapta lui Gauss-

Newton.

Page 4: Cercurile Apollonius de rangul K

4

Teorema 3. Cercurile lui Apollonius de rang k ale unui triunghi fac

parte dintr-un fascicol.

Demonstraţie. Fie 𝐴𝐴𝑘 , 𝐵𝐵𝑘 , 𝐶𝐶𝑘 ceviene concurente de rangul k şi

𝐴𝐴𝑘′ , 𝐵𝐵𝑘

′ , 𝐶𝐶𝑘′ cevienele exterioare de rangul k (vezi Figura 3). Figura

𝐵𝑘′ 𝐶𝑘𝐵𝑘𝐶𝑘

′ 𝐴𝑘𝐴𝑘′ este un patrulater complet şi se aplică Teorema 2.

Figura 3

Teorema 4. Cercurile Apollonius de rangul k ale unui triunghi sunt

ortogonale cercului circumscris triunghiului.

Demonstraţie. Unim 𝑂 cu 𝐷 şi 𝑈 (vezi Figura 1), 𝑂𝐷 ⊥ 𝐵𝐶 şi

𝑚(𝐴𝑘𝑈𝐴𝑘′̂ ) = 900 rezultă 𝑈𝐴𝑘

′ 𝐴𝑘̂ = 𝑂𝐷𝐴�̂� = 𝑂𝑈𝐴�̂� . Congruenţa 𝑈𝐴𝑘

′ 𝐴𝑘̂ ≡

𝑂𝑈𝐴�̂� arată că OU este tangentă cercului Apollonius de centru 𝑂𝐴𝑘. Analog se

demonstrează pentru celelalte cercuri Apollonius.

Observaţia 1. Din Teorema anterioară rezultă că axa radicală a

cercurilor Apollonius de rang k este perpendiculara dusă din 𝑂 pe dreapta

𝑂𝐴𝑘𝑂𝐵𝑘

.

Page 5: Cercurile Apollonius de rangul K

5

Teorema 5. Centrele cercurilor Apollonius de rang k ale unui triunghi

sunt pe polara triliniară asociată punctului de intersecţie a cevienelor de rang

2k.

Demonstraţie. Din Teorema anterioară rezultă că 𝑂𝑈 ⊥ 𝑈𝑂𝐴𝑘, deci

𝑈𝑂𝐴𝑘 este ceviana exterioarăde rangul 2 pentru triunghiul 𝐵𝐶𝑈 , deci

simediana exterioară. Prin urmare 𝑂𝐴𝑘

𝐵

𝑂𝐴𝑘𝐶

= (𝐵𝑈

𝐶𝑈)

2= (

𝐴𝐵

𝐴𝐶)

2𝑘 (ultima egalitate are

loc pentru că 𝑈 aparţine cercului Apollonius de rang 𝑘 asociat vârfului 𝐴).

Teorema 6. Cercurile Apollonius de rangul k ale unui triunghi

intersectează cercul circumscris triunghiului în două puncte care aparţin

cevienelor interioară şi exterioară de rangul 𝑘 + 1.

Demonstraţie. Fie 𝑈 şi 𝑉 punctele de intersecţie ale cercului

Apollonius de centru 𝑂𝐴𝑘 cu cercul circumscris triunghiului 𝐴𝐵𝐶 (vezi Figura

1). Ducem din 𝑈 şi 𝑉 perpendicularele 𝑈𝑈1, 𝑈𝑈2 şi 𝑉𝑉1, 𝑉𝑉2 pe 𝐴𝐵 şi respectiv

𝐴𝐶 . Patrulaterele 𝐴𝐵𝑉𝐶 , 𝐴𝐵𝐶𝑈 sunt inscriptibile, rezultă asemănarea

triunghiurilor 𝐵𝑉𝑉1, 𝐶𝑉𝑉2 şi 𝐵𝑈𝑈1, 𝐶𝑈𝑈2, de unde obţinem relaţiile:

𝐵𝑉

𝐶𝑉=

𝑉𝑉1

𝑉𝑉2,

𝑈𝐵

𝑈𝐶=

𝑈𝑈1

𝑈𝑈2.

Însă 𝐵𝑉

𝐶𝑉= (

𝐴𝐵

𝐴𝐶)

𝑘,

𝑈𝐵

𝑈𝐶= (

𝐴𝐵

𝐴𝐶)

𝑘, 𝑉𝑉1

𝑉𝑉2= (

𝐴𝐵𝐴𝐶

)𝑘 şi 𝑈𝑈1

𝑈𝑈2= (

𝐴𝐵𝐴𝐶

)𝑘, relaţii care arată că 𝑉 şi 𝑈

aparţin respectiv cevienei interioară şi cevienei exterioară de rangul 𝑘 + 1.

Definiţia 4. Dacă cercurile Apollonius de rangul k asociate unui

triunghi au două puncte comune, atunci aceste puncte le numim izodinamice

de rangul 𝑘 (le notăm 𝑊𝑘 , 𝑊𝑘′).

Page 6: Cercurile Apollonius de rangul K

6

Proprietatea 1. Dacă 𝑊𝑘 , 𝑊𝑘′ sunt centre izodinamice de rangul k,

atunci: 𝑊𝑘𝐴. 𝐵𝐶𝑘 = 𝑊𝑘𝐵. 𝐴𝐶𝑘 = 𝑊𝑘𝐶. 𝐴𝐵𝑘 ; 𝑊𝑘′𝐴. 𝐵𝐶𝑘 = 𝑊𝑘

′𝐵. 𝐴𝐶𝑘 =

𝑊𝑘′𝐶. 𝐴𝐵𝑘 .

Demonstraţia acestei proprietăţi rezultă imediat din Teorema 1.

Observaţia 2. Cercurile Apollonius de rangul 1 sunt chiar cercurile

Apollonius studiate (ceviene de rangul 1 sunt bisectoarele). Dacă 𝑘 = 2,

cevienele interioare de rangul 2 sunt simedianele, iar cele exterioare de rangul

2 sunt simedianele exterioare, adică tangentele în vârfurile triunghiului la

cercul circumscris acestuia. În acest caz, pentru cercurile Apollonius de rangul

2, Teorema 3 devine:

Teorema 7. Cercurile Apollonius de rangul 2 intersectează cercul

circumscris triunghiului în câte două puncte care aparţin respectiv isogonalei

antibisectoarei şi cevienei exterioară a acesteia.

Demonstraţia rezultă din Demonstraţia Teoremei 6. Facem

precizarea că antibisectoarea este izotomica bisectoarei, iar izogonala

antibisectoarei este ceviana de rangul 3.

Bibliografie.

[1] N. N. Mihăileanu: Lecții complementare de geometrie, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1976.

[2] C. Mihalescu: Geometria elementelor remarcabile, Editura Tehnică, București, 1957.

[3] V. Gh. Vodă: Triunghiul – ringul cu trei colțuri, Editura Albatros, București, 1979.

[4] F. Smarandache, I. Pătrașcu: Geometry of Homological Triangle, The Education Publisher Inc., Columbus, Ohio,

SUA, 2012.