CD Cap4_fading Si Diversitate

36
COMUNICAŢII DIGITALE 151 CAPITOLUL IV FADING ŞI DIVERSITATE IV.1 Introducere Canalul de comunicaţie radio este un mediu deschis şi neprotejat, semnalele radio fiind mai expuse perturbaţiilor şi pierderilor de propagare şi necesitând tehnici din ce în ce mai eficiente de prelucrare a semnalelor recepţionate, care să asigure o adaptare optimă la condiţiile de propagare ale canalului radio. Propagarea undei electromagnetice între staţia de bază şi terminalul mobil poate fi divizată în propagare la distanţă mare şi propagare locală. Propagarea locală este complicată, adesea, de vecinătatea terminalului mobil. Întrucât antena terminalului mobil este situată la o înălţime mai mică decât înălţimea obiectelor înconjurătoare, unda directǎ sau line-of-sight (LOS) este blocată, semnalul recepţionat constând în suma unui număr de unde reflectate. Acest fenomen poartă numele de propagare multiplǎ sau multi-cǎi (multipath), care produce fenomenul denumit fading, ce poate fi tratat statistic, contabilizând durata fadingurilor şi frecvenţa lor de apariţie. Prin fading vom înţelege scǎderea aleatoare a nivelului semnalului recepţionat sub o valoare de prag, situaţie ilustratǎ în figura 4.1. Mecanismul de producere al fadingurilor poate fi mai uşor înţeles considerând un model simplu cu 2 componente, una produsă de propagarea cu vizibilitate directă între emiţător şi receptor, iar cealaltă prin reflexie. Dacă cele 2 componente au amplitudini egale dar defazaje diferite, se obţine situaţia reprezentată în figura 4.2. Anvelopa semnalului recepţionat, în cazul general, a L componente de amplitudine i a şi Figura 4.1 Ilustrarea fadingurilor Figura 4.2 Ilustrarea producerii fadingului in cazul a 2 componente multipath

description

fading

Transcript of CD Cap4_fading Si Diversitate

Page 1: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

151

CAPITOLUL IV

FADING ŞI DIVERSITATE

IV.1 Introducere Canalul de comunicaţie radio este un mediu deschis şi neprotejat, semnalele radio fiind

mai expuse perturbaţiilor şi pierderilor de propagare şi necesitând tehnici din ce în ce mai eficiente de prelucrare a semnalelor recepţionate, care să asigure o adaptare optimă la condiţiile de propagare ale canalului radio.

Propagarea undei electromagnetice între staţia de bază şi terminalul mobil poate fi divizată în propagare la distanţă mare şi propagare locală.

Propagarea locală este complicată, adesea, de vecinătatea terminalului mobil.

Întrucât antena terminalului mobil este situată la o înălţime mai mică decât înălţimea obiectelor înconjurătoare, unda directǎ sau line-of-sight (LOS) este blocată, semnalul recepţionat constând în suma unui număr de unde reflectate.

Acest fenomen poartă numele de propagare multiplǎ sau multi-cǎi (multipath), care produce fenomenul denumit fading, ce poate fi tratat statistic, contabilizând durata fadingurilor şi frecvenţa lor de apariţie. Prin fading vom înţelege scǎderea aleatoare a nivelului semnalului recepţionat sub o valoare de prag, situaţie ilustratǎ în figura 4.1.

Mecanismul de producere al fadingurilor poate fi mai uşor înţeles considerând un model simplu cu 2 componente, una produsă de propagarea cu vizibilitate directă între emiţător şi receptor, iar cealaltă prin reflexie. Dacă cele 2 componente au amplitudini egale dar defazaje diferite, se obţine situaţia reprezentată în figura 4.2.

Anvelopa semnalului recepţionat, în cazul general, a L componente de amplitudine ia şi

Figura 4.1 Ilustrarea fadingurilor

Figura 4.2 Ilustrarea producerii fadingului in cazul a 2 componente multipath

Page 2: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

152

fază iϕ se poate scrie ca:

1

( ) iL

ji

ir t a e ϕ

== ∑% (4.1)

Defazajele iϕ rezultă ca urmare a diferenţelor de drumuri parcurse de fiecare replică.

Exemplul IV.1 Fie un semnal radio de comunicaţii mobile cu frecvenţa 1,8 GHz. Lungimea de undă a sa este

8 9/ 3 10 /1,8 10 16,66c fλ = = ⋅ ⋅ = cm. În această stuaţie defazajul dintre 2 componente va varia cu 180 grade la variaţia diferenţei de drum cu 8,33 cm parcurşi sau cu 21,6 grade la o diferenţă de drum de doar un centimetru..

În cazul particular considerat a 2 componente

2

1( ) ij

ii

r t a e ϕ

== ∑% (4.2)

Valoarea instantanee a puterii semnalului rezultat în urma propagării multipath este

2

2

1( ) i

Lj

ii

r t a e ϕ

== ∑%

1 222 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 cos( )j jr t a e a e a a a aϕ ϕ ϕ ϕ= + = + + −% (4.3)

Evident, amplitudinea semnalului rezultant va varia între 1 2a a− şi 1 2a a+ iar puterea sa

instantanee între 21 2( )a a− şi 2

1 2( )a a+ .

În cazul particular când cele doua replici au aceeaşi amplitudine ( 1 2a a= ) şi sunt în

antifază ( 1 2ϕ ϕ π− = ), valoarea minimă a puterii instantanee este zero, corespunzând situaţiei

de fading. Propagarea multiplă genereazǎ o fluctuaţie a câmpului electromagnetic la locul de

recepţie, respectiv a semnalului de la bornele antenei receptorului mobil. Efectele pe scară largă pot fi estimate din analiza datelor referitoare la neregularităţile

solului şi la construcţiile existente în zonă, rezultând prin calcule o medie globală a pierderilor de propagare, ce constitue partea deterministă a pierderilor pe canal radio. Media locală a pierderilor de propagare va prezenta variaţii aleatoare datorate fadingului.

Fadingul apare atunci când la locul de recepţie sosesc semnale ce au parcurs trasee cu lungimi diferite şi ca urmare, au amplitudini şi faze (întârzieri) diferite, iar suma lor poate conduce la anumite momente la scǎderea accentuatǎ a nivelului semnalului rezultat.

Propagarea multiplǎ conduce la dispersarea semnalelor în timp, întârzierea diferenţialǎ a

semnalelor fiind mT şi la fadinguri, care apar numai la anumite frecvenţe, sau în anumite sub-

Figura 4.3 Fading produs de propagǎrile multi-path

Page 3: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

153

benzi de frecvenţǎ, fiind denumite selective în frecvenţǎ. Acestea sunt specifice sistemelor CDMA de bandǎ largǎ.

Fie semnalul recepţionat de forma:

1

0

( ) ( )N

k kk

y t a x t τ−

== −∑ (4.4)

Se defineşte întârzierea diferenţială mT ca diferenţa dintre valorile maxime şi minime ale

întârzierii

( ) ( )max minm k kT τ τ= − (4.5)

şi se presupune mai mică decât durata bitului bT .

Împrǎştierea întârzierilor are valoarea medie

1

01

0

N

k kk

N

kk

a ττ

τ

=−

=

=∑

(4.6)

iar valoarea sa medie pǎtraticǎ este datǎ de

12

2 01

0

N

k kk

N

kk

a ττ

τ

=−

=

=∑

(4.7)

Valoarea eficace a dispersiei întârzierii (RMS

delay spread) poate fi calculatǎ ca:

2 2( )τσ τ τ= − (4.8)

Exemplul IV.2 Fie canalul radio de comunicaţii mobile caracterizat de un profil mediu al întârzierilor introduse prin propagarea multi-path de forma reprezentatǎ în figura 4.4, Sǎ calculǎm valoarea medie, valoarea medie pǎtraticǎ şi dispersia întârzierilor introduse de acest canal.

1 5 0.001 4 0.05 3 0.1 2 0.01 1 0.005 0 5.364

4.601 0.001 0.05 0.1 0.01 0.005 1.166

sτ µ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =+ + + + +

2 2 2 2 2 2

2 21 5 0.001 4 0.05 3 0.1 2 0.01 1 0.005 0 25.87622.192

1 0.001 0.05 0.1 0.01 0.005 1.166sτ µ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

+ + + + +

222.192 (4.6) 1.032 1.0158sτσ µ= − = =

Funcţia de transfer a canalului ( )H f şi dispersia întârzierii τσ sunt legate prin relaţia

{ }2

222 2

( )4 ( )

j fd H f eE E H f

df

π τ

τπ σ− =

(4.9)

Aceasta rezultă în ipoteza când considerăm evoluţia în timp a funcţiei de transfer a

canalului ( )H f ca fiind un proces stohastic, staţionar în sens larg.

Figura 4.4 Profil de propagare multi-path

Page 4: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

154

Se observă că dacă valoarea eficace a dispersiei întârzierii creşte, aceasta conduce la o

fluctuare în limite mai largi a funcţiei de transfer a canalului ( )H f în domeniul frecvenţă şi

de asemenea la creşterea ratei erorilor. Fadingul introdus de propagarea

multiplǎ este de tip plat dacǎ caracteristicile canalului de comunicaţie (atenuare şi fazǎ) rǎmân aceleaşi în întrega bandǎ de frecvenţe alocatǎ transmisiei (figura 4.5).

Dacǎ constanţa caracteristicilor se pǎstreazǎ doar într-o fracţiune din banda transmisiei, avem de a face cu un fading selectiv în frecvenţǎ.

Pentru aprecierea fadingului introdus de propagarea multi-path se introduce noţiunea de bandǎ de coerenţǎ (coherence bandwidth), care reprezintǎ domeniul de frecvenţe în care rǎspunsul canalului este plat, adicǎ funţia de transfer rǎmâne constantǎ.

În banda de coerenţǎ va exista o corelaţie puternicǎ între douǎ frecvenţe apropiate, aflate în interiorul benzii de coerenţǎ. Admiţând ca valoarea corelaţiei sǎ fie peste 50 %, banda de coerenţǎ poate fi apreciatǎ ca:

1

5cBτσ

≈ (4.10)

Exemplul IV.3 Fie canalul radio de comunicaţii mobile ilustrat în exemplul IV.2. Sǎ calculǎm valoarea benzii de coerenţǎ,

6

1 1196.874

5 5 1.0158 10cB kHzτσ −≈ = =

⋅ ⋅

Aceastǎ valoare este mai micǎ decât 200 kHz, valoarea minimǎ necesarǎ pentru ca sistemul GSM sǎ poatǎ lucra fǎrǎ egalizor.

În cazul unui fading neselectiv în frecvenţă cB B<< , componentele multiple ale semnalului

emis nu pot fi separate la recepţie, considerându-se o propagare a semnalului pe o singură cale cu fading.

Dacă fadingul este selectiv în frecvenţă cB B>> , componentele multiple ale semnalului

emis pot fi separate la locul de recepţie cu o rezoluţie în timp de 1/ B . Pe un canal nonselectiv în frecvenţă, semnalul echivalent din banda de bază a semnalului

recepţionat poate fi scris ca

( ) exp[ ] ( ) ( ) , 0l lr t j s t z t t Tα ϕ= − + ≤ ≤ (4.11)

unde α pune în evidenţă variaţia amplitudinii semnalului datorată în special propagării multi-

căi, )(tz reprezintă procesul de zgomot considerat aditiv, alb şi gaussian, iar )(tsl este

echivalentul din banda de bază al semnalului modulat considerat. Datoritǎ mişcǎrii relative între emiţǎtor şi receptor, specifică comunicaţiilor mobile, apare

efectul Doppler, care conduce la o dispersare în frecvenţǎ a semnalelor şi la apariţia fadingurilor selective în timp.

Figura 4.5 Ilustrarea fadingului plat

Figura 4.6 Ilustrarea fadingului selectiv

Page 5: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

155

Efectul Doppler poate conduce la fadinguri lente, cu durate cuprinse între 1s şi 1h

(uneori chiar mai mult), sau rapide, de scurtă durată (intervale de timp mai mici de s1 ). În cazul dispersǎrii în frecvenţǎ introduse de efectul Doppler vom caracteriza efectele ei

asupra transmisiei prin timpul de coerenţǎ, care este dualul benzii de coerenţǎ. Timpul de coerenţǎ reprezintǎ separarea minimă în timp între două eşantioane ale

semnalului recepţionat, astfel încât acestea să fie independente statistic. Admiţând ca valoarea corelaţiei sǎ fie peste 50 %, timpul de coerenţǎ poate fi apreciat ca:

9 0.179

16cm m

tf fπ

≈ ≈ (4.12)

unde mf este valoarea maximǎ a împrǎştierii frecvenţei.

În canalele afectate de fading şi efect Doppler, cu deviaţia Doppler de valoare maximă

maxf∆ , semnalul recepţionat este împrăştiat în frecvenţă în banda maxpf f± ∆ , unde pf este

frecvenţa purtătoare a semnalului. În ipoteza folosirii unei antene omnidirecţionale la recepţie, cu un număr mare de replici

reflectate ale semnalului emis şi că puterea recepţionată este distribuită uniform faţă de unghiul de incidenţă, densitatea spectrală de putere a amplitudinii semnalului afectat de fading este

Figura 4.7 Fading produs de împrǎştierea Doppler

Figura 4.8 Ilustrarea propagării într-un canal selectiv în timp

Page 6: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

156

max2 2

max

1( )

( ) 2

0

daca w f fw f f f

in rest

π ≤ ∆= ∆ −

(4.13)

maxf∆ reprezentând şi frecvenţa maximă de apariţie a fadingurilor.

Pentru canalele cu fadinguri corelate

max0 1sf T< ∆ < (4.14)

unde max sf T∆ reprezintă frecvenţa maximă de apariţie a fadingurilor normalizată la viteza de

simbol şi indică faptul că memoria canalului este finită. Funcţia de autocorelaţie a acestui proces cu fadinguri corelate este dată de

0 max( ) (2 )R J fτ π τ= ∆ (4.15)

unde 0J este funcţia Bessel de ordinul 1 şi speţa întâia.

Fadingurile pot fi clasificate, aşa cum se aratǎ în figura 4.7, în funcţie de raportul dintre banda canalului şi banda de coerenţǎ sau timpul de coerenţǎ şi durata unui simbol din transmisia digitalǎ pe canalul respectiv.

Fadingul produs de canal depinde de banda canalului B şi durata de simbol sT a

transmisiei. Dacă cB B>> , semnalul va suferi atenuǎri şi defazaje diferite în banda de

transmisie, canalul fiind caracterizat ca selectiv în frecvenţă.

Dacă cB B<< , canalul se comportǎ plat sau neselectiv în frecvenţă, prezentând doar

dispersie în domeniul timp.

Dacă s cT T>> , canalul este selectiv în timp, atenuarea şi faza semnalului variind pe

durata simbolului de date.

Dacă s cT T<< canalul de transmisie va prezenta o atenuare şi un defazaj lent variabile, de

valoare aproximativ constantǎ pe durata minimǎ a unui interval de simbol sT , canalul

numindu-se neselectiv în timp.

Figura 4.9 Raspunsul la impuls al unui canal cu propagare multi-path

Page 7: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

157

În figura 4.8 este ilustrată propagarea semnalului radio într-un canal afectat de multipath şi atenuare selectivă în timp. Se observă fluctuaţii ale amplitudinii semnalului recepţionat cu distanţa, atât pe scară largă (macro), cât şi pe scară mică (micro sau small-scale).

Microfluctuaţiile amplitudinii sunt produse de fenomenul de selectivitate spaţială, produs de replicile multipath ce sosesc din diverse direcţii, în urma proceselor de reflexie, fenomen ce este mai greu de modelat, întrucât trebuiesc corelate caracteristicile fadingurilor pe scară mică cu geometría spaţială a replicilor multipath.

Fluctuaţiile pe scară micro sunt produse de neregularităţile terenului şi obstacolele ce apar pe traiectul de propagare emiţător-receptor. Acestea produc variaţii aleatoare ale anvelopei semnalului radio, modulaţii de frecvenţă aleatoare dictate de schimbarea condiţiilor de propagare şi dispersarea în timp a semnalului, la recepţie sosind replici ale semnalului emis cu întârzieri diferite. Situaţia este ilustrată în figura 4.9 unde se prezintă răspunsul la impuls al unui canal radio afectat de propagare multipath.

În figura 4.10 sunt ilustrate principalele fenomene care afectează propagarea undelor radio: reflexie, refracţie, difuzie şi difracţie. Ele permit stabilirea unei legături radio şi în situaţia când emiţătorul şi receptorul nu sunt în vizibilitate directă.

Figura 4.10 Fenomene care afectează propagarea undelor radio

Page 8: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

158

IV.2 Efectul fadingului asupra performanţelor transmisiei Recepţia semnalelor modulate digital pe un canal radio ce prezintă fadinguri este afectată

puternic, rata erorilor la recepţie crescând semnificativ. Pentru un fading cvasi-staţionar, ceea ce înseamnă variaţii neglijabile ale amplitudinii

semnalului recepţionat pe durata a L simboluri, circuitele de sincronizare pot asigura o purtătoare cu faza de referinţă la recepţie şi se poate recurge la o demodulare coerentă.

Dacă valoare atenuării α este fixă, probabilitatea de eroare la recepţie pentru o transmisie BPSK cu detecţie coerentă este

( )bb QP γγ 2)(2 = (4.16)

iar pentru FSK binar ortogonal cu detecţie coerentă, probabilitatea de eroare este

( )bb QP γγ =)(2 (4.17)

unde 0

2

N

Ebb

αγ = . (4.18)

Deoarece atenuarea are o variaţie aleatoare, calculul probabilităţii de eroare implică medierea valorilor de mai sus, ponderând cu funcţia de densitate de probabilitate a variabilei

aleatoare bγ , aşa cum s-a arǎtat în exemplul I.36 din capitolul I,

0,)()(0

22 ≥= ∫∞

bbbb dpPP γγγγ (4.19)

Considerând fadingul de tip Rayleigh, distribuţia Rayleigh provenind din cea 2χ prin

aplicarea rădăcinii pătrate, este evident că 2α va avea o distribuţie de tip 2χ , iar

0,exp1

)( ≥

−= b

b

b

bbp γ

γγ

γγ (4.20)

Figura 4.11 Probabilităţi de eroare PSK şi FSK coerente

Page 9: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

159

cu ( )2

0

αγ EN

Ebb = (4.21)

În cazul BPSK cu detecţie coerentă probabilitatea de eroare de bit este dată

+−=

b

bPγ

γ1

12

12 (4.22)

iar pentru FSK binar ortogonal cu detecţie coerentă

+−=

b

bPγ

γ2

12

12 (4.23)

Aplicând diferenţa de 3 dB în privinţa rapoartelor S/Z ce există între BPSK şi QPSK, probabilitatea de eroare pentru transmisiile QPSK cu detecţie coerentă, afectate de fading de

tip Rayleigh, se obţine înlocuind bγ cu / 2bγ în relaţia (4.22) ca

4

11

2 2b

b

γ

= − + (4.24)

Probabilităţile de eroare PSK şi FSK date de formulele (4.16) şi respectiv (4.17) pentru detecţie coerentă neafectată de fading, precum şi de (4.22) şi (4.23) pentru fading de tip Rayleigh, sunt ilustrate în figura 4.11.

Performanţele mult mai slabe ale canalelor afectate de fading se explică prin aceea că atenuarea canalului este aleatoare, iar intervalele de timp când atenuarea este foarte mare cresc rata erorilor foarte mult. Cu creşterea atenuării scade raportul S/Z, ceea ce face ca punctele din constelaţia de fază să fie foarte apropiate (figura 4.12), iar zgomotul să poată erona foarte uşor semnalul, având în vedere că dispersia sa (rădăcina pătrată a varianţei) devine comparabilă sau chiar mai mică cu separarea dintre semnale.

În canalele fără fading şi perturbate de zgomot aditiv, de obicei presupus alb şi gaussian, eroarea apare doar când zgomotul este de valoare mare, efectul fiind combinat cu cel produs de distorsiuni şi interferenţa intersimboluri. În canalele cu fading erorile apar datorită scăderii pronunţate a nivelului semnalului recepţionat, contribuţia zgomotului fiind mai redusă.

IV.3 DPSK şi detecţie diferenţialǎ Dacă fadingul nu este suficient de lent, astfel ca să se poată obţine o purtătoare cu faza de

referinţă stabilă pe toată durată transmisiei, dar este destul de lent ca să avem o referinţă de fază stabilă pe câteva intervale de semnalizare succesive, se poate utiliza modulaţia binară DPSK şi detecţia diferenţialǎ.

Detecţia diferenţialǎ a fost introdusǎ pentru a nu apela la informaţii despre starea canalului – CSI (Channel State Information). Informaţia este codatǎ în aceastǎ tehnicǎ sub forma unei diferenţe între blocuri succesive de date, în mod similar cu modulaţia diferenţialǎ.

Fie semnalul recepţionat de forma:

i i ir x nα= ⋅ + (4.25) unde ix este semnalul codat diferenţial ce se transmite la momentul i, α este atenuarea introdusǎ de fading iar n zgomotul de tip alb, aditiv şi gaussian.

Page 10: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

160

Semnalul ix rezultǎ din codarea diferenţialǎ a simbolului de informaţie (date) id şi se poate scrie ca:

1i i ix d x−= ⋅ (4.26) Demodulatorul DPSK (DMSK) foloseşte douǎ semnale recepţionate consecutiv pentru a

decoda simbolul id conform relaţiei

21 * 1 * 1 * * 1 * 1 *( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i i i ir r x x x n x n n nα α α− − − − −⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅

unde *( ) semnificǎ conjugata complexǎ, iar relaţia anterioarǎ devine

21 * 1 1 * 1 * * 1 *( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i i

ir r d x x x n x nα α α− − − − −⋅ ≅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ (4.27)

şi mai concis

21 *( )i i ir r d Nα−⋅ = + (4.28)

unde N reprezintǎ zgomotul de tip Gaussian. S-a presupus evident cǎ α este constant pe durata intervalelor de simbol i şi i-1.

Regula de demodulare/decodare poate fi scrisǎ ca

21 *arg min ( )

i

i i i i

d

d r r d−= ⋅ −)

(4.29)

şi ca atare nu necesitǎ informaţii despre starea canalului. Formula anterioarǎ nu ţine cont de α, deoarece nu afecteazǎ regiunea de decizie DMPSK.

Întrucât rezultatul decodǎrii depinde doar de douǎ semnale recepţionate consecutiv şi nu de rezultate anterioare ale decodǎrii, fenomenul de propagare a erorii nu mai apare.

Datoritǎ multiplicǎrii a douǎ semnale recepţionate consecutiv, puterea semnalului este

proporţionalǎ cu 4α , în timp ce puterea zgomotului este aproximativ

22 α , raportul S/Z

reducându-se la jumǎtate faţǎ de detecţia coerentǎ. De aici rezultǎ un handicap de circa 3 dB în privinţa raportului S/Z faţǎ de detecţia coerentǎ pentru a obţine aceeaşi probabilitate de eroare.

Figura 4.12 Ilustrarea creşterii ratei erorilor la fading

Page 11: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

161

În cazul DPSK

[ ]bbP γγ −= exp2

1)(2 (fără fading) (4.30)

)1(2

12

b

Pγ+

= (cu fading) (4.31)

În cazul FSK binar ortogonal cu detecţie non-coerentă se obţin pentru probabilitatea de eroare de bit următoarele relaţii

−=2

exp2

1)(2

bbP

γγ (fără fading) (4.32)

b

Pγ+

=2

12 (cu fading) (4.33)

Dacă 1>>bγ , se poate aproxima

noncoerentbinarFSK

DPSK

coerentbinarFSK

coerentBPSK

P

b

b

b

b

,1

,21

,21

,41

2

γ

γ

γ

γ

(4.34)

Probabilităţile de eroare DPSK şi FSK binar cu detecţie necoerentă date de formulele (4.30) şi respectiv (4.31) pentru detecţie necoerentă neafectată de fading, precum şi de (4.32) şi (4.33) pentru fading de tip Rayleigh, sunt ilustrate în figura 4.13.

Figura 4.13 Probabilităţi de eroare DPSK şi FSK necoerent

Page 12: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

162

IV.4 Modelul unui canal cu fading Propagarea multiplǎ cu replici de mǎrimi apropiate conduce la fadinguri care pot fi

modelate cu o distribuţie Rayleigh. Dacǎ celelalte replici sunt minore în raport cu cea principalǎ, sau alături de componentele

dispersate de către mediul de transmisie, la locul de recepţie apare şi unda directă sau o undă reflectată, care prezintă un caracter staţionar, atunci distribuţia amplitudinii semnalului recepţionat va fi de tip Rice.

Fadingul selectiv în frecvenţǎ poate fi modelat cu ajutorul unei linii de întârziere analogice cu prize (figura 4.14), distanţa între prize fiind 1/W, W – banda sistemului, iar coeficienţii de

ponderare ( )nh t , ce are rǎspunsul la impuls de tip trece-jos de forma

( , ) ( )nn

nh t h t

Wτ δ τ

=−∞

= ⋅ −

∑ (4.35)

Numǎrul de prize poate fi limitat la valoarea

1mL W T= ⋅ + (4.36)

având în vedere cǎ replicile semnalului emis sosesc cu întârzieri de maximum mT , iar ecuaţia

(4.35) devine

1

( , ) ( )L

nn

nh t h t

Wτ δ τ

=

= ⋅ −

∑ (4.37)

Parametrii canalului de comunicaţie cu propagare multi-căi ( )nh t reprezintǎ procese

aleatoare staţionare cu valori complexe. La receptor vor exista astfel L replici ale semnalului emis, care într-un sistem de transmisie clasic introduc interferenţǎ inter-simboluri, care poate fi micşoratǎ prin egalizare.

Într-un sistem CDMA interferenţa intersimboluri poate fi contracaratǎ prin alegerea de coduri cu bune proprietǎti de corelaţie încrucişatǎ, componentele multi-cǎi comportându-se ca zgomote necorelate, care sunt înlǎturate prin operaţia de dezîmprǎştiere.

Figura 4.14 Modelul canalului radio afectat de propagare multi-căi

Page 13: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

163

IV.5 Diversitate Pentru combaterea fenomenului de fading se utilizează diversitatea, recurgând la

transmiterea informaţiei de mai multe ori, în ideea că din replicile transmise cel puţin una nu va fi afectată de fading, sau că prin procesarea replicilor chiar afectate de fading se poate reconstitui informaţia originală.

Probabilitatea ca toate replicile semnalului să fie afectate simultan de fading este foarte mică şi descreşte odată cu numărul de canale independente create. Astfel, dacă probabilitatea de apariţie a unui fading într-un canal este p, probabilitatea ca M replici ale semnalului

transmis pe cele M canale indepndente să fie afectate simultan de fading este Np .

Tehnicile cu diversitate se bazează pe proprietatea canalului radio de a putea fi modelat ca suma unui mare număr de canale separate şi independente. Separarea canalelor poate fi făcută:

□ în subbenzi din banda de frecvenţe alocate transmisiei; □ în compartimente de timp din interiorul unui cadru; □ spaţial, adică în traiecte de propagare între emiţător şi receptor; □ utilizând alte metode (în polarizare).

Diversitatea poate fi realizată cu mai multe tehnici: � diversitate în frecvenţă – prin transmiterea unui semnal de informaţie simultan pe

M purtătoare, care sunt separate între ele de un ecart de frecvenţă mai mare sau cel

puţin egal cu banda de coerenţă ( )cf∆ , ceea ce asigură independenţa fadingurilor

pe cele M canale. În mediu urban sau suburban pentru comunicaţii celulare sau personale, separarea în frecvenţă este de circa 300 kHz. Această tehnică asigură redundanţă în domeniul frecvenţă, lucru necesar în cazul în care canalul de transmisie este afectat de fading-uri selective în frecvenţă. Dezavantajul principal este cel de creştere a benzii necesare pentru o viteză de transmisie a informaţiei impusă. Sistemele GSM utilizează tehnici spread spectrum cu salturi de frecvenţă (frequency hopping) pentru a realiza diversitatea în frecvenţă. În sistemele TDMA diversitatea în frecvenţă se obţine utilizând circuite de egalizare, cu condiţia ca dispersia întârzierii replicilor multipath să fie o fracţiune semnificativă din durata de simbol.

� diversitate temporală – recurgând la transmiterea simultană a informaţiei în M compartimente de timp din acelaşi cadru, separate între ele de un interval de timp

mai mare sau egal cu timpul de coerenţă ( )ct∆ , condiţie ce asigură independenţa

fadingurilor pe cele M canale. Ea se implementează practic prin utilizarea de codare (coduri convoluţionale) şi circuite de intercalare (random interleaver). Simbolurile de informaţie sunt codate redundant şi sunt împrăştiate în timp, astfel încât biţii ce compun un cuvânt (codeword) să fie afectaţi de fading în mod diferit. Dezavantajul său principal este de scădere a vitezei de transmisie a informaţiei.

Page 14: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

164

Tehnica de codare este eficace în situaţii când fadingurile din canal sunt rapide (viteze mari ale utilizatorilor mobili), dar nu oferă protecţie prea bună la erori dacă fadingurile sunt lente, cu excepţia situaţiilor când se poate tolera o întârziere mai mare produsă de circuitul de intercalare. Această tehnică lucrează bine în situaţia când fadingul este independent de mişcarea receptorului mobil. Poate exista însă situaţia când mobilul staţionează într-o poziţie unde se manifestă un minim local sau este prezent un fading de durată. Atunci, replicile întârziate ale semnalului sunt corelate, iar fadingul nu poate fi combătut prin diversitate temporală.

� diversitate spaţială –utilizând mai multe antene distincte la emisie şi recepţie,

separate între ele de o distanţă destul de mare ( λ4.0>d pentru terminalele mobile

şi ( )20 30d λ> ÷ în cazul staţiilor de bază), λ fiind lungimea de undă.

În general, distanţa d dintre antene depinde de înălţimea antenei h şi de frecvenţă. Dacă se ia în conderare efectul de umbrire, separarea minimă dintre antene trebuie

să fie de circa 10λ .

Această tehnică nu implică nici creşterea benzii necesare nici scăderea vitezei de transmisie a informaţiei. Dezavantajul ei este creşterea complexităţii sistemului, reflectată în costuri şi gabaritul crescut al echipamentului, ce necesită mai multe antene distanţate între ele.

� diversitatea în polarizare –folosind polarizări diferite pentru antenele de recepţie. Practic se folosesc două antene cu polarizare diferită la emisie sau la recepţie, astfel ca fadingurile să rezulte necorelate. Polarizarea diferită face ca fadingurile ce apar pe cele două canale definite de cele două antene să fie independente. Avantajul este că spre deosebire de diversitatea spaţială, antenele nu mai trebui plasate la distanţă mare între ele. Dezavantajul este o scădere cu 3 dB a nivelului de putere la emiţător, având în vedere că puterea de emisie se distribuie pe două antene cu polarizare diferită.

� Diversitate unghiulară – La frecvenţe mai mari de 10 GHz, semnalele recepţionate din diverse direcţii, ca urmare a reflexiilor şi dispersiei devin necorelate. Folosind două sau mai multe antene direcţionale la receptor orientate în diverse direcţii, se pot obţine semnale cu fadinguri necorelate. Diversitatea unghiulară poate fi considerată ca un caz special de diversitate spaţială. Tehnica este mai eficace de utilizat la mobil şi nu la staţia de bază, întrucât dispersarea semnalului şi crearea de replici datorită reflexiilor pe clădiri şi arbori este mai pronunţată la nivelul străzii şi mai puţin evidentă la nivelul acoperişurilor sau turnurilor, unde se află montate staţiile de bază.

� Diversitate de cale (path diversity) – folosită în sistemele CDMA, cu extensia spectrului, semnalul fiind transmis într-o bandă mult mai mare decât banda de

Page 15: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

165

coerenţă. Ea conduce la scăderea puterii de emisie şi la reducerea interferenţelor, rezultând o capacitate crescută a sistemului de transmisie. Tehnica spread spectrum poate decela semnale produse de propagarea multi-căi, cu condiţia ca replicile întârziate să fie separate de mai mult de o perioadă de cip, folosind proprietăţile de corelaţie ale codului utilizat pentru împrăştierea spectrală (în special secvenţe pseudoaleatoare). Separarea replicilor semnalului emis şi combinarea lor aditivă se face cu un receptor Rake.

Avantajul diversităţii este acela de a creşte raportul S/Z la recepţie. Diversitatea la recepţie poate fi realizată în două variante:

1. Cu comutare, folosind o antenă de rezervă, care este folosită în situaţia când semnalul recepţionat de prima antenă este afectat de fading.

2. Cu combinarea liniară a semnalelor recepţionate, sumând ponderat replicile avute la recepţie.

Presupunând cel mai simplu sistem cu diversitate având 2 antene de recepţie, semnalele recepţionate pot fi scrise ca

1

2

1 1 1

2 2 2

j

j

y A e x n

y A e x n

ϕ

ϕ

= +

= + (4.38)

Aici x este simbolul de informaţie transmis, 1n şi 2n sunt zgomote de tip alb, aditiv şi

Gaussian, iar iA şi iϕ , 1,2i = reprezintă amplitudinea, respectiv faza semnalului afectat de

fading. Receptorul utilizează combinaţia

1 1 2 2y y yβ β= ⋅ + ⋅ (4.39)

unde , 1,2i iβ = sunt coeficienţii de ponderare.

Strategiile de combinare ale ieşirilor sunt: � MRC (Maximum Ratio Combining), coeficienţii de ponderare fiind determinaţi ca

sǎ maximizeze raportul S/Z; � SD (Selection Diversity) – care selecteazǎ doar cele mai puternice replici ale

semnalului emis; � AC (Absolute Combining) – sumeazǎ valorile absolute ale tuturor ieşirilor înainte

de introducerea lor în detector; � EGC (Equal Gain Combining) sau cu câştig egal sumeazǎ valorile tuturor

ieşirilor, fǎrǎ a face ponderarea lor. � MMSE (Minimum Mean Squared Error) Combining

În tehnica EGC cele două semnale 1r şi 2r sunt ponderate cu coeficienţii 1je ϕ− şi respectiv

2je ϕ− şi sumate. Prin aceasta se compensează defazejele iϕ , 1,2i = introduse de canalul de

comunicaţie. În cazul combinării replicilor la recepţie prin strategia MRC (Maximum Ratio Combining)

cele două semnale 1y şi 2y sunt ponderate cu coeficienţii 11

jA e ϕ− şi respectiv 22

jA e ϕ− şi

sumate.

Page 16: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

166

Pe lângă compensarea defazejelor iϕ , 1,2i = introduse de canalul de comunicaţie ieşirile

devin proporţionale cu 2iA , adică cu puterea semnalelor de pe cele 2 căi. Astfel, raportul S/Z

în cazul a general a D replici, γD rezultă ca o însumare a rapoartelor S/Z γ a replicilor componente.

D Dγ γ= ⋅ (4.40) Performanţele strategiei EGC sunt inferioare celei MRC şi la limită, când numărul de

antene de recepţie RN tinde spre infinit sunt cu 1,05 dB sub cele MRC.

În tehnica MMSE coeficienţii de ponderare se aleg ca

1 2

2

1 2 1 1 2 2,

( , ) arg minp p

p p y y xβ β= + − (4.41)

şi sunt determinaţi după o fază de antrenare. Exemplul IV.4 Un receptor OFDM poate fi extins cu tehnica MIMO, folosind mai multe rceptoare, cu antene radio separate, circuite RF analogice separate şi canale de procesare a semnalelor separate parţial. Fiecare canal execută independent operaţii de sincronizare de timp, estimarea ofsetului de frecvenţă şi estimarea canalului. În cazul utilizării mai multor receptoare poate apare un cuplaj nedorit între antenele de recepţie, semnalele devenind corelate, iar fadingurile nu mai sunt independente. De obicei se foloseşte un circuit de adaptare, care însă introduce o atenuare suplimentară şi scade performanţele transmisiei. O bună soluţie de compromis pentru terminalele portabile este utilizarea a numai 2 antene reciproc ortogonale (perpendiculare), astfel încât cuplajul mutual să fie neglijabil, cu circuite de defazare şi adaptare separate, soluţie ilustrată în figura 4.15.

Tehnicile cu diversitate au însă dezavantajul de scădere a eficienţei sistemului, deoarece prin introducerea de redundanţă se irosesc resurse ca banda de frecvenţe, timpul, etc.

În general, fenomenul de multipath, care este generat de reflexii multiple şi generează replici întârziate şi atenuate ale semnalului emis este dăunător, deoarece distorsionează semnalul transmis, produce fadinguri şi conduce la creşterea ratei erorilor.

Pe de altă parte, dacă el este exploatat cum trebuie, având în vedere diversitatea introdusă de reflexiile multiple, şi folosind tehnici de codare/decodare inteligente şi de procesare digitală a semnalelor, poate conduce la înlăturarea efectului fadingurilor.

Noile tehnici de codare/decodare şi procesare dezvoltate în ultimul deceniu permit atingerea unor viteze de transmisie foarte ridicate pe canal radio, cu performanţe deosebite la puteri de emisie relativ mici.

Evident, aceste performanţe se obţin numai dacă semnalul este afectat de propagare multipath, sau s-au creat prin anumite tehnici mai multe traiecte de propagare (diversitate spaţială şi sisteme MIMO).

Figura 4.15 Etaj RF de intrare cu 2 canale de recepţie separate

Page 17: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

167

Calitatea transmisiei poate fi crescută şi folosind semnale de bandă ultra largă – UWB (Ultra Wide Band), care prezintă avantajul că au banda mult mai mare decât banda de coerenţă, situaţie în care receptorul poate prelucra fără probleme replicile produse prin multipath şi creşte performanţele transmisiei.

Dacă raportul S/Z este crescut prin utilizarea tehnicilor cu diversitate de D ori, se spune că ordinul diversităţii este D, care nu coincide întotdeauna cu numărul M de canale sau ramuri.

La limită, ordinul maxim de diversitate D în cazul utilizării a EN emiţătoare şi RN

receptoare este

E RD N N= ⋅ (4.42)

Utilizarea unei codări eficiente poate creşte valoarea lui D, în timp ce condiţiile de propagare nefavorabile (absenţa reflexiilor) poate duce la scăderea lui D.

IV.6 Strategia de combinare SD Aceasta presupune selectarea căii care prezintă cea mai mare valoare instantanee a

raportului S/Z. Dezavantajul acestei tehnici este preţul de cost ridicat, monitorizarea simultană a M căi fiind complicată şi presupune existenţa a M receptoare.

Acest dezavantaj poate fi înlăturat folosind tehnica Switched Combining sau switch and

stay, cu un singur receptor, care este comutat pe altă cale când raportul S/Z pe calea curentă

este mai mic decât o valoare de prag TS .

Fie cazul unui sistem cu diversitate cu fadinguri independente de tip Rayleigh şi valoare

medie a puterii pe fiecare cale egală cu 0P .

Anvelopa semnalului de pe calea i are f.d.p. de tip Rayleigh

2

0

( )

2

0

( )iy

Pii

yp y e

P

−= (4.43)

unde 2( )iy reprezintă valoarea instantanee a puterii semnalului recepţionat.

Exponentul lui e poate fi pus sub forma raportului a două rapoarte S/Z, împărţind şi

numărătorul şi numitorul fracţiei cu 02N

Figura 4.16 Probabilitatea de eroare pentru combinare SD cu M căi

Page 18: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

168

20

0 0 0

( ) /2

2 /2

0 0

( )i iy N S

P N Si ii

y yp y e e

P P

− −= = (4.44)

unde 2

0

( )

2i

i

yS

N= - valoarea instantanee a lui S/Z pe calea i pentru o bandă de 1 Hz, iar

0 0 0/S P N= - valoarea medie a raportului S/Z pe calea i pentru o bandă de 1 Hz.

F.d.p. pentru iS poate fi scrisă ca

0

0

1( )

iS

Sip S e

S

−= (4.45)

Probabilitatea ca iS să fie mai mic sau egal decât o valoare de prag TS (a se vedea

exemplul I.37 şi relaţiile 11.25-1.127) este

0 0

00

1( ) 1

i TT S SSS S

i T ip S S e dS eS

− − ≤ = = −

∫ (4.46)

iar probabilitatea ca toate cele M căi să aibă simultan i TS S≤ este

0( ) 1T

MS

SM i Tp S S e

− ≤ = −

(4.47)

Probabilitatea ca cel puţin o cale să aibă i TS S≥ este

01 ( ) 1 1T

MS

SM i Tp S S e

− − ≤ = − −

(4.48)

Relaţia (4.44) este reprezentată în figura 4.16. Avantajul diversităţii cu 3 căi asupra celei

cu 2 căi, la o probabilitate de eroare de 610− este de 20 dB, iar de la 3 căi la 4 căi de 10 dB. Exemplul IV.5 Vom exemplifica în MATHCAD obţinerea caracteristicilor de eroare din figura 4.15, obţinute pe baza relaţiei (4.44).

Pentru o probabilitate de eroare de 410− se obţin aproape aceleaşi valori ca mai sus, pentru

o trecere de la o cale (fără diversitate) la 2 căi sau 4 căi.

Page 19: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

169

IV.7 Strategia de combinare MRC Aceasta presupune ponderarea semnalelor de la ieşirile celor M căi cu valorile rapoartelor

S/Z de pe căile respective şi sumarea replicilor astfel ponderate.

1

( )N

N k kk

r r tβ=

=∑ (4.49)

unde kβ este ponderea pentru calea k, proporţională cu raportul S/Z al semnalului ( )kr t de pe

calea k. Valoarea medie pătratică a zgomotului se obţine ca

2

1 1

( ) ( ) ( )M M

k i j i ji j

n t n t n tβ β= =

=∑∑ (4.50)

Datorită faptului că zgomotele sunt necorelate, puterea medie totală de zgomot devine

2 2

1

( )M

M k kk

N n tβ=

=∑

sau 2

1

1

2

M

M k kk

N Nβ=

= ∑ (4.51)

cu 2 ( ) / 2k kn t N= Raportul S/Z la ieşirea sistemului cu M căi şi strategie de combinare MRC rezultă ca

2

1

2

1

1

2

M

k kk

M M

k kk

y

SN

β

β

=

=

=∑

(4.52)

Acesta poate fi maximizat utilizând inegalitatea lui Schwartz

2

22

1 1 1

M M M

k k k kk k k

y yβ β= = =

∑ ∑ ∑ (4.53)

Pentru kk

k

y

Nβ = (4.54)

valoarea maximă a raportul S/Z la ieşirea sistemului devine

Figura 4.17 Probabilitatea de eroare pentru combinare MRC cu M căi

Page 20: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

170

22

1 1max

2

1

1

2

M Mk

kk k k

M M

kk

yy

NS

y

= =

=

=∑ ∑

sau 2

max1 2

Mk

Mk k

yS

N=

=∑

sau max1

M

M ii

S S=

=∑ (4.55)

adică suma rapoartelor S/Z de pe cele M căi. În valoare medie raportul S/Z maxim la ieşirea sistemului este suma valorilor medii de pe

cele M căi, presupuse aceleaşi, de valoare 0S

max 01

M

M i

i

S S M S=

= = ⋅∑ (4.56)

Probabilitatea ca raportul S/Z să fie mai mic sau egal decât o valoare de prag TS este

0

1

1 0

( ) 1 / ( 1)!T

kS MS T

i Tk

Sp S S e k

S

−−

=

≤ = − − ∑

sau 0

1

0

1

( ) 1!

T

k

TS MS

i Tk

Sk

Sp S S e

k

=

⋅ ≤ = −

∑ (4.57)

Relaţia (4.57) este reprezentată în figura 4.17. În figura 4.18 se prezintă comparativ probabilitătile de eroare realizate cu diversitate şi strategiile de combinare MRC şi SD. Se observă superioritatea strategiei MRC.

Figura 4.18 Probabilitatea de eroare pentru combinare MRC şi SD cu M căi

Page 21: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

171

IV.8 Strategia de combinare EGC Particularizând relaţiile de la strategia MRC pentru ponderi egale 1kβ = , se obţine

2

1max

1

1

2

M

kk

M M

k

k

y

SN

=

=

=∑

∑ (4.58)

Admiţând că puterea zgomotului de pe fiecare cale este aceeaşi şi egală cu N,

2

max

1

1

2

M

M kk

S yM N =

= ∑ (4.59)

sau max

1 1

1

2

M M

M i ji j

S y yM N = =

= ∑ ∑

Datorită necorelării semnalelor de pe cele M căi, se poate scrie

i j j i i jy y y y y y⋅ = ⋅ = ⋅ (4.60)

Pentru 202iy P= şi 0 / 2iy Pπ=

0max 0

12 ( 1)

2 2M

PS M P M M

M N

π = + −

(4.61)

sau max 0 1 ( 1)4

MS S Mπ = + −

Pentru M = 2, probabilitatea de eroare este dată de

0 0

2

0 0

( ) 1T TS S

S ST Ti T

S Sp S S e e erf

S Sπ

− − ≤ = − − ⋅ ⋅

(4.62)

şi este reprezentată în figura 4.19.

Pentru 2M > , formulele nu sunt explicite, dar rezultatele se pot obţine prin integrare numerică.

Performanţele tehnicii EGC sunt ceva mai slabe decât cele ale MRC, dar ea are avantajul unei implementări mai simple, nefiind necesară ponderarea cu coeficienţi proporţionali cu rapoartele S/Z de pe căile în cauză.

Figura 4.19 Probabilitatea de eroare pentru combinare EGC

Page 22: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

172

IV.9 Receptorul RAKE Codurile folosite pentru împrăştierea semnalelor în sistemele spread spectrum, gen

secvenţă binară pseudoaleatoare, coduri Gold sau secvenţe Kasami, au proprietăţi de corelaţie

foarte bune, în special la lungimi foarte mari ale codului (de exemplu 2 1rL = − pentru secvenţa binară pseudoaleatoare, unde r este numărul de celule din registrul de deplasare cu reacţie, care o generează).

Proprietăţile de corelaţie foarte bune se referă la faptul că replicile defazate în timp cu mai mult de o perioadă de cip produc o valoare a funcţiei de autocorelaţie aproape zero (-1/L pentru secvenţa binară pseudoaleatoare).

Atunci, în cazul unei propagări multi-căi, se poate separa semnalul recepţionat în replici distincte prin corelarea cu replici decalate în timp ale codului folosit pentru împrăştierea spectrală.

Împrăştierea întârzierii reflectă o dispersare în timp a semnalelor şi produce fadinguri selective în frecvenţă, conducând la o diversitate naturală în frecvenţă. Dacă împrăştierea semnalelor în timp e comparabilă cu durata de simbol, se produc interferenţe intersimbol.

Canalul va prezenta un fading nonselectiv cvasistaţionar dacă 1<<dmBT , produsul acesta

definind factorul de împrăştiere al canalului , unde mT este întârzierea diferenţială. Pentru

eliminarea efectului nedorit al fadingului se utilizează la recepţie tehnica diversităţii. În acest

caz se poate alege un semnal cu banda mult mai mică decât banda de coerenţă cB B<< şi

durata de simbol mult mai mică decât timpul de coerenţă cT t<< .

Dacă cB B>> , în condiţiile unei durate cT t<< , fadingul prezentat de canal va fi selectiv

în frecvenţă, dar poate fi considerat cvasistaţionar. În această situaţie se va utiliza la recepţie un receptor RAKE.

Exemplul IV.6 Fie semnalul recepţionat de forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t c t a x t c tτ τ= ⋅ + ⋅ − ⋅ −

Multiplicând semnalul y(t) cu codul c(t) se obţine 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t c t x t c t a x t c t c tτ τ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ −

Evident 2( ) 1c t = , codul c(t) fiind compus din elemente +1 şi -1 dispuse aproape aleator. Integrând rezultatul multiplicării pe durata T, se obţine

Figura 4.20 Schema bloc simplificată a unui receptor RAKE

Page 23: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

173

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T

y t c t dt x t dt a x t c t c t dtτ τ⋅ = + ⋅ − ⋅ ⋅ −∫ ∫ ∫

Datorită proprietăţilor de corelaţie ale codului c(t) a doua integrală este aproximativ zero, dacă intârzierea τ este mai mare de o perioadă de cip, iar timpul de integrare T este suficient de mare ( cLT ). La ieşirea integratorului se obţine un nivel de tensiune proporţional cu energia semnalului

pe durata de timp T.

Receptorul utilizat pentru a profita de diversitatea în frecvenţǎ oferitǎ de sistemul CDMA, unde replicile întârziate sunt practic necorelate datoritǎ împrǎştierii spectrale, este cunoscut sub denumirea de receptor Rake (figura 4.20). Performanţele sale depind de strategia adoptată de combinare a replicilor semnalului emis.

Ideea pe care se bazeazǎ este nu de suprimare a componentelor multi-path, ci de extragere şi utilizare a lor în vederea creşterii raportului S/Z la recepţie.

Receptorul Rake face o separare în timp a replicilor întârziate ale semnalului emis şi recurge la corelarea fiecǎrei replici întârziate a semnalului produse de propagarea multiplǎ urmatǎ de ponderarea ei cu un coeficient, astfel încât sǎ se obţinǎ o estimare cât mai bunǎ a semnalului emis.

Fiecare ramurǎ (finger) asigurǎ colectarea energiei componentei întârziate respective, calculând corelaţia încrucişatǎ a componentei în cauză cu celelalte componente (figura 4.21).

Receptorul Rake este optim dacǎ interferenţǎ multi-utilizator şi interferenţa intersimboluri pot fi neglijate sau modelate ca zgomot alb aditiv şi gaussian.

Exemplul IV.7 Să considerăm semnalul emis de forma unui sinus atenuat:

sin( )( )

tsa t

t

ππ

⋅=⋅

iar în locul zgomotului ce însoţeşte transmisia să considerăm un semnal sinusoidal de forma sin(2 )k tπ⋅ ⋅ ⋅ .

Fie replica principală a semnalului recepţionat afectat de propagare multipath şi zgomot de forma sin( )

( ) 0.8 0.01 sin(10 )t

s t tt

π ππ

⋅= + ⋅ ⋅ ⋅⋅

însoţită de alte două replici

Figura 4.21 Ilustrarea ideii de finger

Figura 4.22 Trei replici ale semnalului emis însoţite de zgomot

Page 24: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

174

sin( )1( ) 0.1 0.025 sin(12 )

ts t t

t

π ππ

⋅= + ⋅ ⋅ ⋅⋅

sin( )2( ) 0.3 0.025 sin(14 )

ts t t

t

π ππ

⋅= + ⋅ ⋅ ⋅⋅

ce sosesc în avans şi întârziere cu 1 şi sunt reprezentate în figura 4.22.

Tipul fadingului produs în canal depinde de natura semnalului emis (banda de transmisie şi durata de simbol) şi caracteristicile canalului (împrăştierea întârzierii şi împrăştierea Doppler).

Fadingurile selective în timp sunt produse de efectul Doppler, care este o dispersare în frecvenţă a semnalelor. Dacă caracteris-ticile de amplitudine şi fază ale canalului sunt constante în întreaga bandă de transmisie vor rezulta fadinguri plate, în timp ce dacă sunt constante într-o zonă de frecvenţă mai mică decât banda transmisiei rezultă fadinguri selective în frecvenţă. Cele două mecanisme de producere a fadingurilor sunt complet independente unul de celălalt.

În esenţă, receptorul RAKE este o formă de combinare a replicilor semnalului produse prin diversitate, având în vedere că în sistemele spread spectrum codul folosit pentru împrăştiere produce diversitate în timp pentru semnalul emis, astfel că se pot separa şi utiliza componentele multipath independente una de alta, care sunt separate de mai mult de o perioadă de cip (figura 4.23).

Figura 4.23 Prelucrarea replicilor semnalului emis pe ramuri

Figura 4.24 Schema bloc a unui receptor RAKE

Page 25: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

175

Ieşirea receptorului Rake poate fi scrisǎ ca

0

( ) ( )L

H Hi b

i

iR n h y t nT t dt

W=

= + + Φ

∑∫ (4.63)

unde ih sunt coeficienţii canalului de transmisie, ( )tΦ - rǎspunsul filtrului formator al

impulsului, bT - durata bitului, iar W – banda sistemului, iar L numărul de ramuri (fingers).

Replica directǎ a semnalului poate fi şi ea afectatǎ de atenuare, astfel cǎ fǎcând apel la toate replicile întârziate ale semnalului se pot îmbunǎtǎţi performanţele receptorului, care recurge la o adunare cumulativǎ a replicilor, prin alinierea lor prealabilǎ în timp cu o linie de întârziere cu prize.

Receptorul Rake asigurǎ direct conversia semnalului din radiofrecvenţǎ în banda de bazǎ. Separarea replicilor semnalului are loc prin dezîmprǎştierea executatǎ pe fiecare ramurǎ şi corelarea cu codul utilizat pentru împrǎştiere/dezîmprǎştiere (figura 4.23).

Combinarea ieşirilor corelatoarelor se face cu ajutorul unor coeficienţi de ponderare (figura 4.24) astfel aleşi încât sǎ amplifice componentele de nivel mai mare şi sǎ le suprime pe cele de nivel mic.

Pentru alegerea strategiei de ponderare şi combinare trebuie considerate tipul şi complexitatea receptorului, care trebuie sǎ cunoascǎ distribuţia în timp a componentelor multi-path.

În sistemele spread spectrum se preferă strategia EGC, având în vedere că nu necesită informaţii despre starea canalului (amplitudinile replicilor create prin propagare multipath).

EXEMPLUL IV.8 În situaţia descrisă în exemplul IV.3, semnalul recepţionat este de forma

şi este reprezentat în figura 4.25. Receptorul Rake aduce cele 3 componente în fază şi le sumează conform strategiei adoptate. În cazul EGC avem

1( ) ( ) 1( ) 2( )r t s t s t s t= + + În cazul MRCsă considerăm că rapoartele semnal/zgomot sunt de

2 2 2(0.8 / 0.01) 6400 (0.1/ 0.025) 16 (0.2 / 0.025) 144= = = Scalând cu 100, coeficienţii de ponderare vor fi 64, 0.16 şi respectiv 1.44. Semnalul astfel obţinut este

2( ) 64 ( ) 0.16 1( ) 1.44 2( )r t s t s t s t= ⋅ + ⋅ + ⋅

( ) ( ) 1( 1) 2( 1)r t s t s t s t= + − + +

Figura 4.25 Ilustrarea celor 3 replici şi a semnalului recepţionat

Page 26: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

176

În cazul EGC, coeficienţii de ponderare sunt toţi 1. În cazul SD se selectează doar replicile s(t) şi s2(t+1).

3( ) ( ) 2( )r t s t s t= + În figura 4.26 se prezintă spre comparaţie semnalele combinate de la ieşirea receptorului Rake folosind cele 3 strategii, care au fost normalizate la valoarea 1. Se observă că în cazul MRC se obţine un raport S/Z mai bun ca în cazul EGC, unde cele 2 replici mai mici şi cu un raport semnal/zgomot mai mic nefiind ponderate degradează raportul S/Z global.

În sistemele spread spectrum, dacă se neglijează efectele produse de interferenţe şi erorile

de sincronizare şi se consideră un cod cu o lungime 2 1rN = − suficient de mare, astfel încât

să putem aproxima valoarea funcţiei de autocorelaţie 1/ N− pentru coduri care sunt decalate cu mai mult de o perioadă de cip ca fiind zero şi egală cu 1, dacă decalajul e mai mic de o perioadă de cip, performanţele receptorului RAKE cu L ramuri (fingers) sunt egale cu cele produse de alte tehnici cu diversitate cu L ramuri.

În practică aceste ipoteze nu sunt valabile, astfel că tehnica spread spectrum nu e folosită de una singură pentru a realiza diversitate, având în vedere şi implementarea mai dificilă a sistemelor, legate de sincronizarea de cod (sincronizare brută).

IV.9 Să ilustrăm în MATHCAD obţinerea formelor de undă din cadrul exemplului IV.7.

x 5− 4.991−, 5..:=

s x( ) 0.8sin π x⋅( )

π x⋅( )

⋅ 0.01 sin 10π⋅ x⋅( )⋅+:=

s1 x( ) 0.1sin π x⋅( )

π x⋅( )

⋅ 0.025 sin 12π⋅ x⋅( )⋅+:=

s2 x( ) 0.3sin π x⋅( )

π x⋅( )

⋅ 0.025 sin 14π⋅ x⋅( )⋅+:=

r x( ) s x( ) s1 x 1−( )+ s2 x 1+( )+:=

r1 x( ) s x( ) s1 x( )+ s2 x( )+:=

r2 x( ) 64 s x( )⋅ 0.16 s1 x( )⋅+ 1.44 s2 x()⋅+:=

r3 x( ) s x( ) s2 x( )+:=

În sistemele în care s-a adoptat tehnica spread spectrum pentru a asigura accesul multiplu al utilizatorilor (CDMA) sau rezistenţă la bruiaj şi interferenţe (în special sistemele militare), diversitatea cu L ramuri apare ca un avantaj suplimentar.

Totuşi, acest avantaj nu poate fi exploatat dacă dispersia întârzierii replicilor multipath este mică în comparaţie cu durata unui simbol de date transmis, practic diversitatea în frecvenţă sau cale neexistând în aceste cazuri.

Figura 4.26 Semnale rezultate din combinarea a 3 sau 3 replici folosind diverse strategii

Page 27: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

177

IV.10 Detalii despre receptorul RAKE Fie W banda ocupată de semnalul modulat real s(t). Semnalul echivalent în banda de bază

al semnalului s(t) este )(tsl şi ocupă banda / 2f W≤ .

Conform teoremei eşantionării, putem reprezenta semnalul )(tsl sub forma

( ) ( )( )

sin /( ) /

/l ln

W t n Ws t s n W

W t n W

ππ

=−∞

− =−∑ (4.64)

având transformata Fourier

= ∑

−∞=rest

WfW

nfj

W

ns

WfSn

ll

,02

1,2exp

1)(

π (4.65)

Semnalul recepţionat pe un canal cu funcţia caracteristică de transfer ( )tfC ; variabilă în

timp este

[ ]( ) ( ; ) ( )exp 2

1;

l l

ln

y t C f t S f j ft df

n ns c t t

W W W

π∞

−∞

=−∞

=

= −

∑ (4.66)

Putem scrie ( )ly t sub forma

Figura 4.27 Schema bloc a unui receptor Rake

Figura 4.28 Ilustrarea extragerii replicii principale din semnalul recepţionat

Page 28: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

178

1

( ) ; ( )l l n ln n

n n ny t s t c t c t s t

W W W W = − = − ∑ ∑ (4.67)

unde ( )1( ) / ;nc t c n W t

W= (4.68)

Se observă că putem modela canalul sub forma unui filtru transversal cu coeficienţii

( ){ }tcn şi o întârziere 1/W , al cărui răspuns echivalent în banda de bază este

( )( ; ) ( ) /nn

c t c t n Wτ δ τ= −∑ (4.69)

sau în frecvenţă [ ]( ; ) ( )exp 2 / , / 2n

n

C f t c t j f n W f Wπ= − ≤∑ (4.70)

Deoarece împrăştierea în timp determinată canalul de transmisie este mT , putem trunchia

modelul de mai sus la 1mL T W= + celule. Astfel,

( )1

( ) ( ) /L

l n ln

y t c t s t n W=

= −∑ (4.71)

Figura 4.29 Ilustrarea formelor de undă din exemplul IV.10

Page 29: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

179

Ponderile ( ){ }tcn reprezintă procese aleatoare staţionare cu valori complexe independente

statistic,

[ ])(exp)()( tjttc nnn φα −= (4.72)

În cazul fadingului Rayleigh, amplitudinea )(tnα prezintă o distribuţie de tip Rayleigh, iar

faza )(tnφ prezintă o distribuţie uniformă pe intervalul [ ]0, 2π .

Modelând canalul sub forma unui filtru transversal cu coeficienţii de mai sus şi întârziere

/ , 1,2,...,n W n Lτ = = , la recepţie se obţin L replici ale aceluiaşi semnal, independente

statistic între ele. EXEMPLUL IV.10 Fie semnalul recepţionat de forma

( ) ( ) 1( 1) 2( 1)r t s t s t s t= + − + +

Prin combinarea a 5 replici decalate în avans şi întârziere ale semnalului recepţionat cu o perioadă de bit şi ponderate adecvat, se obţine semnalul g(t)

( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2)g t r t a r t b r t c r t d r t= − ⋅ − − ⋅ + − ⋅ − − ⋅ + şi situaţia ilustrată în figura 4.27 pentru a = 0.15, b = 0.35, c = -0.01, b = -0.09 . Formele de undă implicate sunt detaliate în figura 4.29.

IV.11 Performanţele tehnicii RAKE În cazul unui semnal modulat digital cu M nivele, semnalul recepţionat este de forma

( )

1

( ) ( ) / ( )

( ) ( )

L

l k lik

i

y t c t s t k W z t

u t z t=

= − +

= +

∑ MiTt ,...,2,1,0 =≤≤ (4.73)

unde z(t) reprezintă procesul de zgomot AWGN de pe canal.

O structură optimă de recepţie va fi constituită din M filtre adaptate la semnalele

Mitui ,...,2,1,)( = , urmate de un circuit care decide care semnal a fost emis, pe baza

eşantioanelor ieşirilor celor M filtre adaptate. Variabila de decizie, pentru detecţie coerentă, va fi de forma

Σ

)(* tsl

)(*1 tc )(*

1 tcL− )(* tcL

W1 W

1 W1

)(*2 tc

( )ly t

mU nTt =

( )∫ ⋅T

dt0

( )⋅Re

Figura 4.30 Demodulator Rake

Page 30: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

180

*

0

* * * *

1 1 10 0

Re ( ) ( )

Re ( ) ( ) ( ) ( )

T

m l m

T TL L L

n k li lm k lmk n k

U y t u t dt

n k kc t c t s t s t dt z t c t s t dt

W W W= = =

=

= − − + −

∑∑ ∑∫ ∫

(4.74)

Deoarece fadingul este considerat cvasistaţionar, se poate considera că pe durata T

nn ctc =)( şi kk ctc =)( . În acelaşi timp este îndeplinită condiţia

nkdtW

kts

W

nts

T

lmli ≠=

−∫ ,00

* (4.75)

Astfel, variabila de decizie

−+

−= ∑ ∫ ∑ ∫= =

L

k

T L

k

T

lmklmlikm dtW

ktstzcdt

W

kts

W

ktscU

1 0 1 0

***2)(Re (4.76)

În cazul semnalului modulat BPSK

+= ∑∑

==

L

kkk

L

kk NEU

11

22Re αα (4.77)

unde

[ ]∫

−=

=

T

lkk

T

ll

dtW

ktstzjN

dttstsE

0

*

0

*

)(exp

)()(

φ (4.78)

Probabilitatea de eroare, pentru o valoare fixă a amplitudinii atenuării canalului kα , este

( )bb QP γγ 2)(2 = (4.79)

unde

∑∑==

==L

kk

L

kkb N

E

11

2

0

γαγ (4.80)

Deoarece kα prezintă o distribuţie Rayleigh, atunci kγ are o distribuţie 2χ , de forma

0,exp1

)( ≥

−= k

k

k

kkp γ

γγ

γγ (4.81)

unde

( )2

0kk E

N

E αγ = (4.82)

Funcţia caracteristică a kγ este

kjv

jvk γ

ψ γ −=

1

1)( (4.83)

de unde rezultă

∏= −

=L

k kjvjv

b1 1

1)(

γψ γ (4.84)

Aplicând transformata Fourier inversă obţinem

Page 31: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

181

0,exp)(1

−Π=∑

=b

k

bL

k k

kbp γ

γγ

γγ (4.85)

unde

∏≠= −

=ΠL

kii ik

kk

1 γγγ

(4.86)

Mediem )(2 bP γ şi obţinem

=

+−Π=

≥=

L

k k

kk

bbbb dpPP

1

0

22

11

2

1

0,)()(

γγ

γγγγ (4.87)

rezultat care pentru 1>>kγ poate fi aproximat

2 2 11

1

4

LLL

k k

P Cγ−

== ∏ (4.88)

care, pentru cazul în care Lkck ,...,2,1)(, =∀= γγ , devine

2 2 11

4

LLL

c

P Cγ−

=

(4.89)

Pentru FSK binar ortogonal cu detecţie coerentă la recepţie obţinem probabilitatea de

eroare, pentru cazul kγ distincte

2 2 11

1

2

LLL

k k

P Cγ−

== ∏ (4.90)

Figura 4.31 Probabilitatea de eroare pentru BPSK cu detecţie coerentă în fading Rayleigh cu receptor Rake cu L replici egale

Page 32: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

182

iar pentru Lkck ,...,2,1)(, =∀= γγ avem

2 2 11

2

LLL

c

P Cγ−

=

(4.91)

Relaţia (4.88) este ilustrată în figura 4.31 pentru detecţie BPSK coerentă afectată de fading Rayleigh folosind un receptor Rake cu L replici egale, L variind de la 1 la 4.

În cazul modulaţiei digitale DPSK binar, pentru cazul kγ distincte avem

1

1

0 1

12

2 1!

2

1+−

= =

= ∑ ∑

m

k

kL

m

L

k k

km

L

bmPγ

γγ

(4.92)

unde

1

2 10

1

!

L mn

m Ln

b Cm

− −

−=

= ∑ (4.93)

iar pentru cazul Lkck ,...,2,1)(, =∀= γγ se obţin un rezultat similar celui determinat anterior

cu utilizarea tehnicii diversităţii.

Pentru FSK ortogonal binar cu detecţie noncoerentă, pentru cazul kγ distincte obţinem

aceeaşi expresie a probabilităţii de eroare ca în cazul DPSK binar, înlocuind kγ cu kγ21

.

Pentru Lkck ,...,2,1)(, =∀= γγ , obţinem aceeaşi expresie ca în cazul anterior cu tehnica

diversităţii.

Page 33: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

183

IV.12 Modelarea matematică a canalelor radio cu fading

Semnalul emis ( )x t este afectat de un proces aleator de zgomot de tip AWGN (Additive

White Gaussian Noise) )(tn , cu distribuţie gaussiană a amplitudinii. Semnalul recepţionat

)(tr este de forma

( ) ( ) ( )r t x t n tα= ⋅ + (4.94) unde α este atenuarea introdusă de canal.

Se consideră canalul de bandă limitată sub forma unui filtru liniar invariant în timp, cu

răspuns la impuls ( )h t . Semnalul recepţionat la ieşirea canalului poate fi scris ca

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t h t x t n t h x t d n tτ τ τ∞

−∞= ∗ + = − +∫ (4.95)

Pentru canalele de radiocomunicaţii mobile, filtrul liniar va fi variabil în timp, cu un

răspuns la impuls ( , )h tτ . Semnalul recepţionat poate fi scris ca

( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )r t h t x t n t h t x t d n tτ τ τ τ∞

−∞= ∗ + = − +∫ (4.96)

Amplitudinile componentelor rezultate din propagarea multi-cǎi sunt considerate necorelate. Dacǎ numărul lor este destul de mare se poate aplica teorema limitei centrale, cu rezultatul că suma amplitudinilor componentelor în fază pe de o parte şi cea a componentelor în cuadratură devin variabile aleatoare cu o distribuţie gaussiană cu media nulă, alcătuind un proces complex aleator gaussian.

Semnalul emis este de forma

0 0( ) Re[ ( )exp( 2 )]x t a t j f tπ= (4.97) unde ( )x t este un semnal real trece-bandă, iar 0( )a t reprezintă anvelopa complexă a acestuia.

Semnalul emis ( )x t este dispersat de un mediu aleator în mişcare, reprezentat simplificat

prin straturi, fiecare strat având o grosime infinitezimală dx.

Fiecare nivel are asociată o întârziere de propagare τ , care se adună la întârzierea de

propagare nominală 0t datorată distanţei dintre emiţător şi receptor.

Semnalul recepţionat în urma dispersiei undei emise de către stratul cu întârzierea de

propagare τ , este dat de

0 0 0 0 0( , ) Re[ ( , ) ( ) exp[ 2 ( )]]r t h t t u t t j f t tτ τ τ π= − ⋅ − − ⋅ − (4.98)

unde ( , )h tτ este un coeficient de transmisie variabil în timp al undei dispersate de stratul

respectiv.

Grosimea dxeste aleasă suficient de mică astfel încât ( , )h tτ să poată fi modelat sub

forma unui coeficient multiplicativ variabil în timp şi nu prin superpoziţia unor răspunsuri.

Natura statistică a coeficientului de transmisie ( , )h tτ este dată sub forma unui proces

complex aleator distribuit gaussian, cu media nulă.

Astfel, amplitudinea |( , )h tτ | va prezenta o distribuţie Rayleigh, iar faza arg[ ( , )]h tτ o

distribuţie uniformă în intervalul ]2,0[ π . Termenul 0exp[ 2 ]j fπ τ poate fi inclus în ( , )h tτ .

Page 34: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

184

Semnalul recepţionat va fi dat de superpoziţia răspunsurilor date de toate nivelele de dispersie

0 0 0 0 0

0 0 0

( ) ( , ) Re[ ( , ) ( )exp[ 2 ( ) ]

Re[ ( )exp[ 2 ( )]]

r t r t d h t t u t t j f t t d

u t t j f t t

τ τ τ τ π τ

π

∞ ∞

−∞ −∞

= = − − − −

= − −

∫ ∫ (4.99)

unde 0( ) ( , ) ( )u t h t u t dτ τ τ∞

−∞= −∫ (4.100)

Dacă, alături de componentele dispersate de către mediul de transmisie, la locul de recepţie apare şi unda directă sau o undă reflectată care prezintă un caracter staţionar, atunci distribuţia amplitudinii semnalului recepţionat va fi de tip Rice, semnalul recepţionat fiind de forma

0 0 0 0 0

0 0 0 0

( ) Re[ ( , ) ( )exp[ 2 ( ) ]

Re[ ( )exp[ 2 ( )]

r t h t t u t t j f t t d

Au t t j f t t

τ τ π τ

π

−∞

= − − − −

+ − −

∫ (4.101)

Datele experimentale confirmă existenţa şi a unui fading de tip lent cu distribuţie de amplitudine log-normală a semnalului recepţionat, datorat efectului de umbrire.

Obstacolele de dimensiuni mult mai mari decât lungimea de undă pot fi modelate ca nişte plane cu mişcare aleatoare faţă de terminalul mobil. Semnalul emis este umbrit de aceste plane, fiind modulat prin multiplicarea coeficienţilor de transmisie aferenţi acestor plane, astfel că logaritmul funcţiei de transmisie totală a canalului este egal cu suma logaritmilor coeficienţilor de transfer a fiecărui plan în parte.

Cazul distribuţiei Rayleigh este cel mai defavorabil caz şi este folosit în analiza performanţelor unei anumite tehnici de transmisie pe un canal afectat de fading, utilizând proprietăţile statistice de ordin doi ale distribuţiei.

Definim funcţia de corelaţie spaţiu – timp a canalului

)],(),([2

1),;,( 22212121 tctcEtt ττττ ∗=Λ (4.102)

şi transformata Fourier spaţială a acesteia

∫ ∫∞

∞−

∞−

−−Λ= 21221121212121 )](2exp[),;,(),;,( τττλτλπττλλ ddjttttRF (4.103)

Pentru a simplifica modelul matematic se fac două ipoteze simplificatoare.

□ În primul rând, deoarece fadingul rapid prezintă durate de maxim 1s, el poate fi

aproximat ca fiind staţionar în timp, iar modelul rezultat poartă numele de canal

staţionar în sens larg (WSS, Wide-Sense Stationary Channel).

□ În al doilea rând, presupunem că 1( , )h tτ este independentă statistic de 2( , )h tτ

dacă 21 ττ ≠ . Acest tip de canal se numeşte canal cu dispersie necorelată (US,

Uncorrelated Scattering Channel). Cu cele două presupuneri de mai sus se obţine un model simplificat de canal, notat WSS-

US, caracterizat de

( )212112121 );(),;,( ττδτρττ −⋅−=Λ tttt (4.104)

Page 35: CD Cap4_fading Si Diversitate

COMUNICAŢII DIGITALE

185

denumit şi canal dublu dispersiv, deoarece semnalul emis cunoaşte o dispersie pe canal atât în domeniul timp cât şi în domeniul frecvenţă.

Pentru caracterizarea acestui canal, se utilizeazǎ transformata Fourier a funcţiei de corelaţie a canalului

( ; ) ( ; )exp[ 2 ]DS f t j f t dtτ ρ τ π∞

−∞= −∫ (4.105)

denumitǎ funcţie de dispersie.

Dacă funcţie de dispersie este concentrată într-o regiune limitată a planului ),( fτ , ea

poate fi caracterizată aproximativ prin intermediul momentelor sale statistice:

□ întârzierea medie în timp (Rm )

2

1( , )

2R Db

m S f d d fτ τ τσ

∞ ∞

−∞ −∞

= ⋅∫ ∫ (4.106)

□ varianţa întârzierii în timp ( mT )

2 22

1( , )

2m D Rb

T S f d d f mτ τ τσ

∞ ∞

−∞ −∞

= ⋅ −∫ ∫ (4.107)

□ deplasarea Doppler medie (Dm )

2

1( , )

2D Db

m f S f d d fτ τσ

∞ ∞

−∞ −∞

= ⋅∫ ∫ (4.108)

□ varianţa deplasării Doppler ( dB )

2 22

1( , )

2d D Db

B f S f d d f mτ τσ

∞ ∞

−∞ −∞

= ⋅ −∫ ∫ (4.109)

unde

22 ( , )b DS f d dfσ τ τ∞ ∞

−∞ −∞= ∫ ∫ (4.110)

IV.13 PROBLEME 1. Fie un sistem CDMA cu secvenţă directă având o bandă de 1,1 MHz şi împrăştierea

întârzierii de 4 µs. Care este numărul de replici create prin diversitate şi care pot fi decelate cu un receptor Rake?

2. Fie un canal de comunicaţii radio afectat de fading de tip Rayleigh. Dacă se foloseşte pentru transmisie o modulaţie de tip QPSK şi nici o tehnică cu diversitate, iar datele sunt organizate pe pachete cu lungimea de 10 biţi, care este probabilitatea de eronare a unui cuvânt

pentru un raport 0/bE N de 23 dB?

3. Cu cât se îmbunătăţesc performanţele unui sistem DBPSK (cu detecţie necoerentă) pe un canal de comunicaţii radio afectat de fading de tip Rayleigh cu diversitate cu L=2. faţă de

cazul L =1, pentru o probabilitate de eroare de bit impusă de 510− ?

Page 36: CD Cap4_fading Si Diversitate

CAPITOLUL IV Fading şi diversitate

186

4. Fie un canal de comunicaţii radio mobile cu modulaţie BPSK coerentă în condiţii de fading de tip Rayleigh, ce utilizează la recepţie diversitate cu L = 2 şi combinarea replicilor prin strategia SD. Dacă raportul mediu S/Z pentru un bit este de 9 dB, care este probabilitatea de eroare de bit?

4. Care este probabilitatea ca raportul S/Z la recepţie să fie mai mic de 0 dB când se utilizează strategia MRC? Dar pentru SD?

5. Cum se modifică durata medie a fadingurilor în cazul utilizării tehnicilor cu diversitate faţă de cazul fără diversitate?

6. Cu cât este afectată legătura radio când puterea instantanee a semnalului recepţionat variază în limitele a 6 dB faţă de valoarea sa medie? A se considera cazurile SD şi MRC.