Cartografie matematica

UNIVERSITATEA TEHNICĂ A MOLDOVEI

Lector superior ANA VLASENCO

CARTOGRAFIE MATEMATICĂ

APLICAŢII

CHIŞINĂU 2006

UNIVERSITATEA TEHNICĂ A MOLDOVEIFACULTATEA CADASTRU, GEODEZIE ŞI CONSTRUCŢII

CATEDRA GEODEZIE, CADASTRU ŞI GEOTEHNICĂ

Lector superior ANA VLASENCO

Cartografie matematicăAplicaţii

CHIŞINĂU U.T.M.

2006

1

CZUG

Lucrarea oferă cititorilor un material cu aspect aplicativ din domeniul Cartografiei matematice. Acest material se adresează studenţilor de la specializările de geodezie, cadastru, organizarea teritoriului, geoinformatică, precum şi altor persoane, a căror activitate are tangenţă cu proiecţiile cartografice în cadrul unor lucrări de specialitate. De asemenea, îndrumarul poate fi util specialiştilor cu preocupări specifice lucrărilor cartografice. Pe larg sînt analizate principiile efectuării lucrărilor în scopul studiului şi aplicării corecte a proiecţiilor cartografice, în vederea folosirii lor la întocmirea hărţilor. Efectuarea lucrărilor se bazează pe aplicarea software Excel, Autocad Map şi sunt asistate de calculator.

Redactor responsabil: lector superior Vlasenco AnaRecenzent: conf. univ., dr. Grama Vasile

Descrierea CIP a Camerei Naţionale a Cărţii Cartografia matematică /Vlasenco Ana; Univ. Tehnică a Moldovei. – Ch. : S. n., 2006 (Tipogr. UTM). -73 p.

ISBN 50 ex.

ISBN © U.T.M. 2006

2

CUPRINSpag.

PREFAŢĂ 5

1. Aplicaţii de calcul cu ajutorul parametrilor elipsoidului WGS-84 şi unele determinări pe hartă ..................... 6 1.1 Parametrii geometrici ai elipsoidului de rotaţie WGS-

84 ............................................................................... 6

1.2 Determinarea razelor de curbură principale ......... 7 1.3 Determinarea lungimii arcului de meridian .......... 8 1.4 Determinarea lungimii arcului de paralel ............. 10 1.5 Determinarea coordonatelor geografice a punctelor de pe

hartă ..................................................................... 111.6 Determinarea efectivă a scării medii într-un trapez pe

hartă ..................................................................... 13

2. Proiecţii azimutale drepte ...................................... 14 2.1 Principiile proiecţiei azimutale drepte pentru zona

circumpolară ..................................................... 152.2 Principiile proiecţiei azimutale drepte pentru zona

Moldovei ........................................................... 19

3. Proiecţii conice drepte ............................................ 25 3.1 Calculul coordonatelor polare necesare reprezentării

paralelelor şi meridianelor ................................... 25 3.2 Calculul coordonatelor rectangulare plane x, y ale

punctelor de intersecţie a meridianelor cu paralelele .............................................................. 27 3.3 Calculul deformaţiilor ..........................................

28

4. Proiecţiile cilindrice drepte ..................................... 32

3

4.1 Calculul coordonatelor rectangulare plane pentru reprezentarea reţelei de meridiane şi paralele ..... 32

4.2 Calculul deformaţiilor .......................................... 34 5. Transformări de coordonate în proiecţia Transversal Mercator(Gauss) ...................................................... 38

5.1 Transformări de coordonate în proiecţia TMM .. 39 5.2 Transformări de coordonate în proiecţia UTM ....

42

6. Studiul deformaţiilor în proiecţia Transversal Mercator(Gauss) ...................................................... 456.1 Calculul coordonatelor rectangulare plane pentru

nodurile reţelei cartografice în proiecţia UTM ................... 45

6.2 Calculul deformaţiilor în proiecţia TMM ............. 47 6.3 Determinarea izoliniilor deformaţiilor liniare ...... 50

7. Reducerea direcţiilor şi a distanţelor de pe elipsoid la planul de proiecţie TM ............................................. 53 7.1 Reducerea direcţiilor la planul de proiecţie TM... 55 7.2 Reducerea distanţelor la planul de proiecţie TM.. 58

8. Nomenclatura trapezelor, construcţia şi verificarea cadrului unei hărţi topografice ................................ 62 8.1 Nomenclatura trapezelor la scările 1: 100 000, 1: 50 000 şi 1: 25 000 .......................................... 62 8.2 Nomenclatura trapezelor la scările 1: 10 000, 1: 5 000 şi 1: 2 000 .............................................. 65 8.3 Fişa necesară construirii şi verificării cadrului pentru

un trapez la scara 1: 10 000 în proiecţia TMM .... 678.4 Reprezentarea cadrului şi al caroiajului kilometric

trapezului la scara 1: 10 000 în proiecţia TMM .... 69 BIBLIOGRAFIE ........................................................... 71

4

P R E F A Ţ Ă

Prezenta lucrare, elaborată în conformitate cu programa analitică a disciplinei de cartografie matematică de la anul IV geodezie, pune la dispoziţia studenţilor unele lucrări de laborator referitoare la întocmirea hărţilor şi planurilor. Sunt tratate noţiuni referitoare la proiecţiile cartografice şi aplicarea corectă a lor; se studiază elementele elipsoidului pămîntesc, elemente strict necesare pentru calculul proiecţiilor cartografice; elaborarea metodelor şi mijloacelor pentru reprezentarea grafică şi numerică a informaţiilor cartografice, precum şi unele probleme de cartometrie.

Se atrage atenţia asupra organizării procesului de efectuare a lucrărilor de laborator(de calcul şi desen) cu aplicarea software Excel, Autocad Map. În acest scop la începutul lucrării de laborator se prezintă datele necesare pentru efectuarea lucrării, iar în continuare printr-un exemplu de întocmire a sarcinii date. La efectuarea lucrărilor de calcul şi grafice se recomandă a folosi calculatoarele electronice.

Îndrumătorul de cartografie matematică, tratînd într-o formă simplificată metode şi procedee cartografice pentru întocmirea hărţilor, interesează pe studenţii anilor IV şi V ai secţiei de geodezie pentru elaborarea lucrărilor practice, proiectelor de an şi de diplomă, cît şi pe specialiştii care lucrează în domeniul cartografic.

Consider că acest îndrumar se adresează tuturor specialiştilor din producţie care se ocupă cu astfel de probleme, de la care aştept sugestii care să permită completarea şi îmbunătăţirea acestuia.

5

P

P´

P

Ana Vlasenco

1. APLICAŢII DE CALCUL CU AJUTORUL PARAMETRILOR ELIPSOIDULUI WGS-84 ŞI

UNELE DETERMINĂRI PE HARTĂ

Scopul lucrării: Determinarea elementelor elipsoidului pămîntesc, elemente strict necesare pentru calculul proiecţiilor cartografice.

1.1 Parametrii geometrici ai elipsoidului de rotaţie WGS-84

Elipsoidul terestru este considerat ca un elipsoid de rotaţie, suprafaţa lui reprezentînd din rotaţia unei elipse meridiane în jurul axei sale mici care se presupune că este comună cu axa de rotaţie a Pămîntului.

PP´-axa polilor geograficiEE´-diametru ecuatorial

Fig. 1.1 Elipsa meridianăMărimea şi forma unui elipsoid de rotaţie pot fi descrise cu

ajutorul unor parametri geometrici, care sunt aceiaşi cu cei ai elipsei meridiane, şi anume (fig. 1.1):

Semiaxa mare ecuatorială: a =OE = OE´; Semiaxa mică polară: b = OP = OP´;Turtirea geometrică: f = (a-b) / a;

6

O a

b E E´

Prima excentricitate: e2 = (a2-b2) / a2; A doua excentricitate: e´2 = (a2-b2) / b2;Raza polară: c = a2 / b.

Din punct de vedere practic, se foloseşte parametrii a şi f pentru indicarea unui elipsoid de rotaţie şi parametrii b, e2 şi e´2

pentru calcule geodezice şi cartografice. Prin introducerea în geodezie a tehnologiilor GPS(Global

Positioning System), prelucrarea datelor se efectuează într-un sistem unitar pe elipsoidul internaţional WGS-84.

Pentru diferite calcule geodezice şi cartografice de precizie, se utilizează următoarele valori ale parametrilor geometrici ai elipsoidului internaţional WGS-84: Semiaxa mare ecuatorială: a = 6 378 137,000 000 m; Semiaxa mică polară: b = 6 356 752,314 270 m; Turtirea geometrică: f = 0, 003 352 810 66; Prima excentricitate: e2 = 0, 006 694 379 982; A doua excentricitate: e´2 = 0, 006 739 496 734; Raza polară: c = 6 399 593,625 720 m.

1.2 Determinarea razelor de curbură principale

În cartografia matematică se utilizează frecvent următoarele raze de curbură:

- raza de curbură meridiană M:

(1-1)

- raza de curbură a primului vertical N:

(1-2)

- raza medie de curbură a elipsoidului R: (1-3)

- raza unui paralel r: (1-4)

în care, φ este latitudinea punctului dat.

7

P

A1

A2

dφ

φ

ds

O

Toate cele patru raze de curbură variază pe elipsoid în funcţie de latitudine.

În continuare, vom prezenta calculul acestor raze în jurul latitudinilor de 45°, 46°, 47°, 48°, latitudini ce trec prin zona ţării noastre.

Determinarea razelor de curbură M, N, R şi r pe elips. WGS-84 Tabelul 1.1

1.3 Determinarea lungimii arcului de meridian

Lungimea arcului de meridian este o funcţie de parametrii elipsoidului şi de latitudinea geografică(geodezică) a punctelor considerate la capetele arcului de meridian. În practică, se determină în general, lungimea arcului de meridian dintre două puncte de latitudine cunoscută (fig. 1.2), iar în cazuri particulare, lungimea arcului de meridian plecînd de la ecuator şi lungimea arcului de meridian la o latitudine oarecare cu ajutorul latitudinii medii. În continuare, vom prezenta calculul lungimii arcului de meridian dintre două puncte de latitudine cunoscută, şi anume determinarea arcelor de meridian de 1°, 1´, 1″ pentru latitudinile de mai sus.

8E´

Fig. 1.2 Lungimea arcului de meridian dintre două puncte A1(φ1) şi A2(φ2).

Lungimea arcului de meridian dintre A1(φ1) şi A2(φ2) va fi:ds=M dφ (1-5)

Desfăşurarea acestei formule este dată la curs, în continuare vom prezenta numai relaţia de calcul:

(1-6) unde:

(1-7) Mai întîi vom calcula coeficienţii din relaţia (1-7) în tabelul 1.2.

Calculul coeficienţilor constanţi A,B,C,D,E,F Tabelul 1.2

Lungimea arcului de meridiam de 1°,1´şi 1″dintre două latitudini Tabelul 1.3

9

A1

A2

E´

P

r

λ λ+dλ

dsp

φ

O

dλ

1.4 Determinarea lungimii arcului de paralel

Pentru determinarea lungimii arcului de paralel de pe elipsoidul de rotaţie terestru, se consideră două puncte A1 şi A2

situate pe paralelul de rază r, de latitudine φ şi avînd longitudinile λ respectiv λ+dλ (fig.1.3).

Fig. 1.3 Lungimea arcului de paralel dintre două puncte A1(λ1) şi A2(λ+dλ) situate pe paralelul de latitudine φ.

Lungimea arcului de paralel dsp, la o latitudine φ, dintre cele două puncte situate la diferenţa de longitudine dλ, se obţine cu relaţia:

dsp=r dλ (1-8)Expresia (1-8) poate fi integrată deoarece r =constant pentru

un paralel dat de latitudine φ şi se obţine:Sp=r ∆λ= N cosφ ∆λ, (1-9)

unde: r – raza paralelului de latitudine φ; N – raza de curbură a primului vertical, iar ∆λ = λ2 – λ1.

10

φ1

φ2

λ1 λ2

d1

d2 l1 l2

λ

φ

În continuare, vom prezenta calculul lungimii arcului de paralel de 1°, 1´, 1″ pentru latitudinile de mai sus.

Lungimea arcului de paralel de 1°,1´şi 1″ Tabelul 1.4

1.5 Determinarea coordonatelor geografice a punctelor de pe hartă

Pentru determinarea coordonatelor geografice a unui punct de pe hartă cu ajutorul reţelei cartografice a hărţii se foloseşte următoarea schemă de calcul:

Fig. 1.4 Coordonatele geografice a unui punct de pe hartă

Conform figurii de mai sus putem scrie:

(1-10)

De aici rezultă că, latitudinea punctului se calculează astfel:

, (1-11)

iar pentru longitudinea punctului vom avea:

11

, (1-12)

de unde rezultă:

(1-13)

În cele ce urmează, se prezintă calculul coordonatelor geografice ale unor localităţi de pe harta Moldovei la scara 1: 500 000 dintr-un un trapez delimitat de paralelele φ1= 47°00´ şi φ2= 48°00´, precum şi de meridianele λ1=28°00´ şi λ1=29°00´.

Determinarea coordonatelor geografice ale unor localităţi de pe harta Moldovei la scara 1: 500 000

Tabelul 1.5

12

a1=144mmm

a2=151mm

b 1=

226m

m

b2 =

227mm

Sp=74625,3536mm

Sp=76055,9983m

Sm =

111180,5866m

Sm=

1111

80,5

866m

1.6 Determinarea efectivă a scării medii într-un trapez pe hartă

Pentru determinarea efectivă a scării medii într-un trapez pe hartă, delimitat de două paralele şi două meridiane se măsoară laturile trapezului şi se calculează lungimile arcelor de meridian şi de paralel pentru latitudinile respective (fig. 1.5).

Fig. 1.5 Scara medie efectivă într-un trapez al reţelei cartografice

Scara medie efectivă într-un trapez pe harta Moldovei 1: 500 000 este dată de relaţia:

(1-14)

După datele din figura de mai sus, vom obţine următorul rezultat:

S.m.ef.=0,000001997367 mm=1: 500 658,9507 (1-15)

1: 500 659

13

2. PROIECŢII AZIMUTALE DREPTE

Scopul lucrării: Să se aplice principiile proiecţiei azimutale drepte echidistante pe meridiane în vederea reprezentării reţelei de meridiane şi paralele şi a determina deformaţiile în următoarele două situaţii:

1. Pentru o zonă circumpolară, întinderea fiind de la Polul Nord pînă la paralelul de 400N.

Scara generală fiind 1/n, în care n=50 000 000+N·100 000 (N -numărul de ordine din registru a studentului), fie N=60.

Densitatea reţelei cartografice: ∆φ=∆λ=10°.

2. Pentru zona Moldovei. Scara generală este 1/n, unde n=3 400 000+N·10 000. Densitatea reţelei cartografice: ∆φ=∆λ=1°. Limitele geografice ale Moldovei sunt:

λvest = 26°V φnord = 49°Nλest = 31°E φsud = 45°S

Se cere, ca pentru ambele sisteme să se calculeze: coordonatele polare; coordonatele rectangulare; modulul de deformaţie liniară, areolară şi deformaţiile

unghiulare maxime; elipsele de deformaţie; reprezentarea reţelei cartografice la scară.

Pentru punctul 2 pe reţeaua cartografică se va reprezenta aproximativ linia de hotar a Moldovei, capitala şi cîteva oraşe cunoscute. Se va lucra în ipoteza că Pămîntul este sferă cu R=6 378 209, 040m.

14

A(x,y)

x

yO

δ ρ

x

y

2.1 Principiile proiecţiei azimutale drepte pentru zona circumpolară

A. Calculul coordonatelor polare necesare reprezentării paralelelor şi meridianelor

Coordonatele polare necesare reprezentării paralelelor şi meridianelor sunt: ρ – raza polară(vectoare) δ – unghiul polar.

Fig. 2.1 Coordonatele polare şi rectangulare plane în proiecţiile azimutale.

Relaţiile de calcul a coordonatelor polare în cazul proiecţiei azimutale echidistante pe meridiane sunt:

ρ=ψR (2-1)δ=180° -λ , (2-2)

unde: ψ - colatitudine, ψ = 90°-φ; R - raza sferei, care în cazul nostru R= 6 378 209, 040m; φ,λ – latitudinea şi longitudinea punctului. Pentru reprezentarea paralelelor se foloseşte ρ redus la scară:

ρcm= ρm·102/n, unde n=56 000 000 (2-3)

Calculul razei polare ρ în vederea reprezentării paralelelor Tabelul 2.1

15

Calculul unghiului polar δ în vederea reprezentării meridianelor Tabelul 2.2

B. Calculul coordonatelor rectangulare plane Conform fig. 2.1 de mai sus, coordonatele rectangulare plane x,y se calculează cu relaţiile:

x= ρ·cosδ ; y= ρ·sinδ (2-4) Exprimarea la scară va fi: xcm= xm·100/n, ycm= ym·100/n (2-5)

Calculul coordonatelor rectangulare plane x,y pentru punctele situate pe paralelul de 40°

Tabelul 2.3

C. Calculul valorilor modulelor de deformaţie liniară şi areolară

Deoarece, proiecţia azimutală în cazul dat este echidistantă pe meridiane atunci modulul de deformaţie pe meridiane:

h=1, (2-6)iar modulul de deformaţie liniară pe paralele se calculează cu relaţia:

(2-7)

Modulul de deformaţie areolară este dată de relaţia: p=k·h=k (2-8)

16

Calculul valorilor modulelor de deformaţie liniară şi areolară pentru cele 6 paralele considerate

Tabelul 2.4

În continuare vom calcula şi deformaţia relativă ce ne prezintă situaţia în teren :

D=(μ-1)· 103= (k-1)·103 (m/km) (2-9)

Calculul deformaţiei relative Tabelul 2.5

D. Calculul valorilor semiaxelor elipselor de deformaţie şi deformaţiile unghiulare maxime

Pentru proiecţia azimutală dreaptă, echidistantă pe meridiane, semiaxele elipsei de deformaţie coincid cu direcţia meridianului, respectiv cu paralelul, ambele trecînd prin punctul considerat. Dacă raza cercului infinit mic de pe elipsoid se consideră egală cu unitatea, atunci semiaxele elipsei de deformaţie, notate, în general, cu literele a - semiaxa mare şi b – semiaxa mică, sunt egale cu valoarea modulului de deformaţie liniară de pe direcţiile respective (fig. 2.2). Deci:

a= max( h, k) b= min(h, k) (2-10)

Conform valorilor lui h şi k de mai sus vom avea: a= k; b= h=1 (2-11)

17

II’ II

I’

cercul unitate de pe elipsoid

Fig. 2.2 Reprezentarea elipsei de deformaţie în plan faţă de cercul infinit mic de pe elipsoid

Semiaxele elipsei de deformaţie sunt utilizate pentru calculul deformaţiilor unghiulare maxime. Deci, relaţia de calcul va fi:

, (2-12)

unde: ω – deformaţia unghiulară maximă.Vom prezenta calculele în tabelul 2.6.

Calculul valorilor semiaxelor elipselor de deformaţie şi deformaţiile unghiulare maxime

Tabelul 2.6

Elipsele de deformaţie pentru cele 6 paralele în cazul zonei circumpolare, vor fi reprezentate în fig.2.3. La reprezentarea

a

belipsa deformaţiilor

din plan

A≡A´

I

18

elipselor s-a considerat că la o deformaţie relativă de 10 m/km în teren corespunde la 1mm pe desen faţă de cercul unitate. La fel, reţeaua cartografică în proiecţia azimutală dreaptă echidistantă pe meridiane pentru zona circumpolară va fi reprezentată în fig.2.4.

2.2 Principiile proiecţiei azimutale drepte pentru zona Moldovei

Pentru cazul dat, se vor utiliza aceleaşi formule de calcul ca şi în punctul 2.1, de aceia, vom trece direct la calculul tabelar.

Calculul razei polare ρ în vederea reprezentării paralelelor Tabelul 2.7

Calculul unghiului polar δ în vederea reprezentării meridianelor Tabelul 2.8

Calculul coordonatelor rectangulare plane x,y Tabelul 2.9

19

Notă: coordonatele rectangulare plane pentru nodurile reţelei au

fost calculate faţă de sistemul de coordonate definite astfel: originea: imaginea P a Polului Nord în această proiecţie; axa Ox: imaginea meridianelor 0° şi 180°; axa Oy: perpendiculara pe axa Ox.

Reducerea coordonatelor rectangulare plane x,y la scara generală a reprezentării reţelei

Tabelul 2.10

Notă: scara generală în cazul dat este 1: 4 000 000 conform datelor lucrării.

20

Calculul valorilor modulelor de deformaţie liniară şi areolară pentru cele 5 paralele considerate

Tabelul 2.11

Calculul valorilor semiaxelor elipselor de deformaţie, deformaţiile unghiulare maxime şi deformaţiile relative

Tabelul 2.12

Elipsele de deformaţie se reprezintă ca în cazul precedent în fig.2.3, dar după valorile din tab.2.12. Reţeaua cartografică în proiecţia azimutală dreaptă echidistantă pe meridiane pentru zona Moldovei va fi reprezentată în fig.2.5.

21

Fig. 2.3 Elipsele de deformaţie în proiecţia azimutală dreaptă echidistantă pe meridiane

49°

ZONA CIRCUMPOLARĂZONA MOLDOVEI

ELIPSELE DE DEFORMAŢIE

scara 1: 56 000 000

ZONA CIRCUMPOLARĂ

scara 1: 56 000 000

Fig. 2.4 Reţeaua cartografică în proiecţia azimutală dreaptăechidistantă pe meridiane pentru zona circumpolară

3

ZONA MOLDOVEIscara 1: 4 000 000Fig. 2.5 Reţeaua cartografică în proiecţia azimutală dreaptă echidistantă pe meridiane pentru zona Moldovei

4

+x S´

3. PROIECŢII CONICE DREPTE

Scopul lucrării: Să se aplice principiile proiecţiei conice drepte echidistante pe meridiane, în vederea reprezentării reţelei cartografice şi studiul deformaţiilor pentru o zonă circumpolară:

întinderea zonei: de la φ=40° pînă la φ=90°;scara generală de reprezentare:1:50 000 000 +N∙500 000 (N

=60);densitatea reţelei: ∆φ=10° şi ∆λ=20°;latitudinea paralelului de tangenţă: φ0=49°N;ca axă Ox se va lua meridianul cu longitudinea: λ0=0°;se va lucra în ipooteza Pămînt-sferă cu raza: R= 6 367 558 m.

Se cere, să se calculeze:coordonatele polare;coordonatele rectangulare;modulul de deformaţie liniară, areolară şi deformaţiile

unghiulare maxime;elipsele de deformaţie;reprezentarea reţelei cartografice la scară.

3.1 Calculul coordonatelor polare necesare reprezentării paralelelor şi meridianelor

Pe imaginile plane ale meridianelor, în proiecţiile conice drepte echidistante pe meridiane, nu se produc deformaţii ale lungimilor. Luînd un con tangent la suprafaţa elipsoidului de rotaţie, după paralelul de latitudine φ0, acesta se va reprezenta şi el nedeformat ca lungime. Prin urmare, condiţiile specifice acestei reprezentări conice sunt:

h=1 (3-1)k0=1 (3-2)

5

λ

φy

xA

+y

ρδρec

ecuatorul

Fig. 3.1 Coordonatele polare şi rectangulare plane

Formulele de calcul pentru reprezentarea reţelei cartografice pentru cazul conului tangent la latitudinea φ0 sunt:

δ=α·λ , (3-3)unde α=const. şi se determină astfel:

α=sinφ0 , (3-4)pentru φ0=49° , α=0,75470958. Dar pentru raza vectoare:

ρ=c-(Sm)0,φ , (3-5)unde c=const=ρec , iar (Sm)0,φ este lungimea arcului de meridian de la ecuator pînă la paralelul de latitudinea φ:

(Sm)0,φ=R·φrad . (3-6)Determinarea constantei c funcţie ρec va fi:

ρec=R·ctgφ0+(Sm)0,φo , (3-7)care în cazul nostru: R·ctgφ0=5 535 233,722, iar (Sm)0,φo ce este lungimea arcului de meridian de la ecuator pînă la latitudinea paralelului de tangenţă: (Sm)0,φo=5 445 607,768 m. Atunci constanta c va fi: c=10 980 841,490 m. Totodată, lungimile se vor exprima la scara 1:80 000 000. În continuare, vom prezenta tabelar calculul necesar pentru reprezentarea reţelei cartografice după datele lucrării.

Calculul unghiurilor polare δ necesare reprezentării meridianelor Tabelul 3.1

6

Calculul razelor vectoare ρ necesare reprezentării paralelelor Tabelul 3.2

3.2 Calculul coordonatelor rectangulare plane x,y ale punctelor de intersecţie a meridianelor cu paralelele

Relaţiile de calcul a coordonatelor rectangulare plane în proiecţiile conice drepte echidistante pe meridiane(cazul conului tangent) sunt:

x=c-ρ·cos δ y= ρ·sin δ (3-8)

În continuare, vom calcula coordonatele rectangulare plane ale punctelor de intersecţie dintre meridiane şi paralelul de latitudine φ=40°.

Calculul coordonatelor rectangulare plane x,y ale punctelor de intersecţie dintre meridiane şi paralelul de latitudine φ=40°

7

Tabelul 3.3

3.3 Calculul deformaţiilor

Deoarece proiecţia este echidistantă pe meridiane, modulul de deformaţie pe direcţia meridianelor h=1, iar pe direcţia paralelelor:

(3-9)

Deformaţia areolară va fi:p=h·k=k (3-10)

Deformaţia unghiulară maximă:

, (3-11)

unde a, b semiaxele elipsei de deformaţie, care se calculează după relaţiile (2-10).

8

80°

Calculul modulelor de deformaţie liniare, areolare, unghiulare maxime, ale semiaxelor elipselor de deformaţie şi al deformaţiei

relativeTabelul 3.4

NOTĂ: Pentru reprezentarea elipselor s-a considerat că o deformaţie relativă de 10 m/km în teren corespunde la 1 mm deformaţie faţă de cercul unitate pe desen.


9

Fig. 3.2 Elipsele de deformaţie pentru zona circumpolară în proiecţia conică dreaptă echidistantă pe meridiane

70°

60°

50°

40°

10

ZONA CIRCUMPOLARĂ

scara 1: 80 000 000

Fig. 3.3 Reţeaua cartografică în proiecţia conică dreaptă echidistantă pe meridiane

11

4. PROIECŢIILE CILINDRICE DREPTE

Scopul lucrării: Să se aplice principiile proiecţiei cilindrice drepte echidistante pe meridiane, în vederea reprezentării reţelei cartografice şi studiul deformaţiilor pentru zona Moldovei:

limitele geografice ale Moldovei sunt:λvest = 26°V φnord = 49°Nλest = 31°E φsud = 45°S

scara generală de reprezentare: 1:3 400 000 + N·10 000 (N -numărul de ordine), fie N=60;

densitatea reţelei: ∆φ=1° şi ∆λ=1°; latitudinea paralelelor de secţionare: φk=±47°N; ca axă Ox se va lua meridianul cu longitudinea: λ0=28°30´; ca axă Oy se va lua ecuatorul; se va lucra în ipooteza Pămînt-sferă cu raza:

R= 6 371 007,18 m. Se cere, să se calculeze:

coordonatele rectangulare; modulul de deformaţie liniară, areolară şi deformaţiile

unghiulare maxime; elipsele de deformaţie; reprezentarea reţelei cartografice la scară cu trasarea liniei

de hotar al teritoriului Moldovei.

4.1 Calculul coordonatelor rectangulare plane pentru reprezentarea reţelei de meridiane şi paralele

Proiecţia cilindrică dreptă echidistantă pe meridiane, cînd cilindrul este secant, se reprezintă nedeformate ,ca lungime, cele două paralele după care cilindru intersectează sfera. Condiţia de bază pusă acestei proiecţii este ca meridianele să se reprezinte nedeformate ca lungime, adică, în orice punct al proiecţiei să fie satisfăcută condiţia:

h=1 (4-1) Pentru reprezentări la scări mici Pămîntul se consideră sferă, şi raza sferei se determină din condiţia ca suprafaţa sferei să fie egală

12

+y

+x

-x

-y

-x1

-xk

φk

x0

x1

xk

y0 y1 -y1 -y2 -y3 y1

-λ1 -λ2 -λ3-λ4

O

-φk

-φ1

φ1

φ0

ecuatorul

y0 y1 y2 y3

λ0 λ1 λ2 λ3 λ4

cu suprafaţa elipsoidului de referinţă. Sfera cu o suprafaţă egală cu cea a elipsoidului WGS-84, are raza:R=6 371 007,18m. Formulele de calcul , pentru reprezentarea sferei de rază R, sunt:

x=Sm0,φ=R·φy=α·λ, (4-2)

unde, Sm0,φ este lungimea arcului de meridian de la ecuator pînă la paralelul de latitudine φ , iar α este o constantă ce se determină din condiţia pusă reprezentării , care pentru cilindru secant:

α=rk=R·cosφk, (4-3)deci, α=4 345 016,449.

Fig. 4.1 Aspectul general al reţelei normale în proiecţia cilindrică dreaptă echidistantă pe meridiane în cazul cilindrului secant la sfera

terestră.

Calculul coordonatelor rectangulare plane pentru reprezentarea reţelei cartografice

Tabelul 4.1

13

Reducerea coordonatelor rectangulare plane x,y la scara generală a reprezentării reţelei

Tabelul 4.2

4.2 Calculul deformaţiilor Deoarece proiecţia este echidistantă pe meridiane, modulul de deformaţie pe direcţia meridianelor h=1, iar pe direcţia paralelelor în cazul cilindrului secant:

(4-4)

Deformaţia areolară va fi: p=h·k=k (4-5) Deformaţia unghiulară maximă:

14

, (4-6)

unde a, b semiaxele elipsei de deformaţie, care se calculează după relaţiile (2-10).

Calculul modulelor de deformaţie liniare, areolare, unghiulare maxime, ale semiaxelor elipselor de deformaţie şi al deformaţiei

relativeTabelul 4.3

Din tabela 4.3 rezultă că toate paralelele cuprinse între latitudinile ±47° se reprezintă cu deformaţii negative, cele mai mari fiind pe ecuator. Între aceste latitudini, elipsele de deformaţie au axa mare pe direcţia meridianului, unde deformaţia este nulă. Între polii geografici şi paralelele de secţionare, toate deformaţiile, de lungime şi ale ariilor, sunt pozitive şi cresc spre poli. Elipsele de deformaţie au axa mare pe direcţia paralelului care trece prin punctul considerat. În continuare, vom reprezenta elipsele de deformaţie pentru cele cinci paralele , precum şi reţeaua cartografică în proiecţia cilindrică dreaptă echidistantă pe meridiane pentru zona Moldovei.


15

Fig. 4.2 Elipsele de deformaţie pentru zona Moldovei în proiecţia cilindrică dreaptă echidistantă pe meridiane

49°

48°

47°

46°

45°

16

45°

46°

47°

48°

49° 49°

ZONA MOLDOVEI

Fig. 4.3 Reţeaua cartografică în proiecţia cilindrică dreaptă echidistantă pe meridiane pentru zona Moldovei

26° 27° 28° 29° 30° 31°

Chişinău

Bălţi

scara 1: 4 000 000

48°

Căuşeni

Cahul

17

5. TRANSFORMĂRI DE COORDONATE ÎN PROIECŢIA TRANSVERSAL MERCATOR(GAUSS)

Scopul lucrării: Să se aplice principiile proiecţiei Transversal Mercator în vederea calculării coordonatelor rectangulare plane TM(x,y), funcţie de coordonatele geografice(φ,λ) şi invers, în următoarele două situaţii:

1. Transformarea coordonatelor geografice(φ,λ) de pe elipsoidul WGS-84 în coordonate rectangulare plane (x(N),y(E)) şi invers, în proiecţia TMM (Transversal Mercator pentru Moldova) cu următorii parametri:

- longitudinea meridianului axial: λ0=28°24´; - coeficientul de scară pe meridianul axial: k0=0,99994;

- abscisa convenţională: x0= - 5 000 000 m; - ordonata convenţională: y0= 200 000 m;

2. Transformarea coordonatelor geografice (φ,λ) de pe elipsoidul WGS-84 în coordonate rectangulare plane (x(N),y(E)) şi invers, în proiecţia UTM (Universal Transversal Mercator) cu următorii parametri:

- longitudinea meridianului axial: λ0=27°00´; - coeficientul de scară pe meridianul axial: k0=0,9996; - abscisa convenţională: x0= 0 m; - ordonata convenţională: y0= 500 000 m;

Se cere, ca pentru ambele situaţii să se utilizeze în calcul următooarele coordonate geografice ale unui punct de pe elipsoid:

φ=46°19´43″,5797 +N´N″λ=28°57´31″,7391+N´N″

unde N -numărul de ordine din registru al studentului, fie N=0.

18

5.1 Transformări de coordonate în proiecţia TMM

A. Calculul coordonatelor rectangulare plane (x(N),y(E)), funcţie de coordonatele geografice (φ,λ)

Formulele de calcul pentru transformarea coordonatelor geografice(φ,λ) în coordonate rectangulare plane (x(N),y(E)) TMM sunt:

(5-1)

unde: , ce este diferenţa dintre longitudinea punctului dat şi longitudinea meridianului axial;B- lungimea arcului de meridian de la ecuator pînă la latitudinea punctului dat:

(5-2)

– raza de curbură a primului vertical;

; (5-3); (5-4)

; (5-5)

; (5-6)

a, b – semiaxa mare şi semiaxa mică a elipsoidului WGS-84.

Calculul coordonatelor recangulare planeTMM, funcţie de

19

coordonatele geografice Tabelul 5.1

Elipsoid WGS-84

semiaxa mare a 6378137semiaxa mică b 6356752,31427turtirea f 0,003352810660prima excentr. e2 0,006694379982a doua excentr. e´ 2 0,006739496734

Parametrii proiecţiei TMM

long.merid.axial λ0 28°24´ λ0° 28,4coef.de scară k0 0,99994 λ0 rad 0,49567351abscisa conve. x0 -5 000 000 mordonata conv. y0 200 000 m

Transformarea (φ,λ) →(x(N),y(E))

Date iniţiale:

latitudenea φ46°19

´43″,5797φ° 46,32877214

longitudenea λ28°57

´31″,7391λ° 28,95881642

φrad=0,80858961η2 0,003213506 λrad=0,50542669t2 1,097241251n 0,00167922N 6389335,777B 5132630,439

Rezultate: x(N)=132474,2567m

X 5132474,257 y(E)=243028,0508m

Y 43028,05082

B. Calculul coordonatele geografice (φ,λ) , funcţie de coordonatele rectangulare plane(x(N),y(E))

Formulele inverse de calcul sunt:

(5-7)

20

(5-8)

unde:

(5-9)

; (5-10)

; (5-11)

; (5-12)

B0 se calculează după relaţia (5-2) la latitudinea φ0;

; (5-13)

; (5-14)

Calculul coordonatele geografice, funcţie de coordonatele recangulare plane TMM

Tabelul 5.2Transformarea (x(N),y(E))→(φ,λ)

X 5132474,257

Y 43028,05082

e1 0,00167922 φ1-φ 2,38323E-05

21

μ 0,806097089 λ-λ0 0,009753186

φ1 0,808613444 φ 0,808589612

M1 6368870,906 λ 0,505426694

N1 6389336,287

t12 1,097345967

η12 0,003213345 Rezultate: φ° 46,32877214

λ° 28,95881642

φ° ´ ″ 46°19´43″,5797

λ° ´ ″ 28°57´31″,7391

5.2 Transformări de coordonate în proiecţia UTM

Formulele de calcul pentru efectuarea de transformări de coordonate în proiecţia UTM sunt aceleaşi ca şi în proiecţia TMM , numai că, aici se schimbă longitudinea meridianului axial şi coeficientul de scară.

Calculul coordonatelor recangulare planeUTM, funcţie decoordonatele geografice

Tabelul 5.3Elipsoid WGS-84

semiaxa mare a 6378137

semiaxa mică b 6356752,31427

turtirea f 0,003352810660

prima excentr. e2 0,006694379982

a doua excentr. e´2 0,006739496734

Parametrii proiecţiei UTM

long.merid.axial λ0 27 λ0° 27 λ0rad

coef.de scară k0 0,9996 0,471238898 abscisa conven. x0 0m ordonata conve. y0 500 000m

Transformarea (φ,λ) →(x(N),y(E))

22

Date iniţiale:

latitudenea φ 46°19´43″,5797 φ° 46,32877214 φrad=0,808589612

longitudenea λ 28°57´31″,7391 λ° 28,95881642 λrad=0,505426694

η2 0,003213506

t2 1,097241251

n 0,00167922

N 6389335,777

B 5132630,439

Rezultate:

X 5132441,946 x(N) 5132441,946m

Y 150773,5145 y(E) 650773,5145m

Calculul coordonatele geografice, funcţie de coordonatele recangulare plane UTM

Tabelul 5.4Transformarea (x(N),y(E))→(φ,λ)

X 5132441,946

Y 150773,5145

e1 0,00167922 φ1-φ 0,000292878

μ 0,806366196 λ-λ0 0,034187796

φ1 0,80888249 φ 0,808589613

M1 6368888,154 λ 0,505426694

N1 6389342,055

t12 1,098528839

η12 0,003211534

Rezultate: φ° 46,32877216

23

λ° 28,95881642

φ° ´ ″ 46°19´43″,5797

λ° ´ ″ 28°57´31″,7391

6. STUDIUL DEFORMAŢIILOR ÎN PROIECŢIA TRANSVERSAL MERCATOR(GAUSS)

Scopul lucrării: Să se aplice principiile proiecţiei TM în vederea reprezentării reţelei cartografice şi studiul deformaţiilor pentru zona Moldovei:

limitele geografice ale teritoriului Republicii Moldova sunt:

λvest = 26°40É.Gr. φnord = 48°30Ń λest = 30°10É.Gr. φsud = 45°25Ń

scara generală de reprezentare: 1:1 700 000 +N·10 000 (N =30);

densitatea reţelei: ∆φ=30´ şi ∆λ=30´; latitudinea medie a ţării: φ0= 47°N; ca axă Ox se va lua meridianul cu longitudinea: λ0=27°; ca axă Oy se va lua ecuatorul;

Se cere, să se calculeze:

24

coordonatele rectangulare plane în proiecţia UTM (utilizată pentru scări mici) pentru nodurile reţelei cartografice;

modulul de deformaţie liniară, areolară şi deformaţiile relative în proiecţia TMM la latitudinile de 46°,47°48°

izoliniile deformaţiilor liniare; reprezentarea reţelei cartografice la scară cu trasarea liniei

de hotar al teritoriului Moldovei şi al izoliniilor de deformaţie.

6.1 Calculul coordonatelor rectangulare plane pentru nodurile reţelei cartografice în proiecţia UTM

Formulele de calcul al coordonatelor rectangulare plane UTM vor fi aceleaşi ca şi relaţiile (5-1). În continuare, vom prezenta tabelul cordonatelor plane UTM ale nodurilor reţelei cartografice pentru zona Moldovei.

Coordonate pentru nodurile reţelei cartografice în proiecţia UTM. Elipsoidul WGS-84

Tabelul 6.1

49°00´ 0°00´0°30´1°00´1°30´2°00´2°30´3°00´3°30´

5 427 455,7815 427 576,2135 427 937,5235 428 539,7565 429 382,9845 430 467,315 431 792,8655 433 359,809

0,00036 571,198

73 142,01228109 712,057

146 280,9461182 848,2913219 413,7014255 976,7819

271,3727271,3788271,3969271,4270271,4692271,5233271,5896271,6679

0,0001,82863,65715,48567,31409,142410,970712,7988

48°30´ 0°00´0°30´1°00´1°30´2°00´2°30´3°00´3°30´

5 371 875,5775 371 996,2825 372 358,4145 372 962,0175 373 807,1675 374 893,9715 376 222,5635 377 793,111

0,00036 935,868673 871,3979

110 806,2479147 740,0771184 672,5424221 603,2973258 531,9925

268,5938268,5998268,6179268,6481268,6903268,7447268,8111268,8897

0,0001,84683,69365,54037,38709,233611,080212,9266

48°00´ 0°00´0°30´1°00´1°30´2°00´

5 316 300,2245 316 421,1675 316 784,0095 317 388,7995 318 235,614

0,00037 297,702974 595,1125111 891,935149 187,875

265,8150265,8210265,8392265,8694265,9118

0,0001,86493,72985,59467,4594

25

2°30´3°00´3°30´

5 319 324,5645 320 655,7895 322 229,462

186 482,6352223 775,9154261 067,4122

265,9662266,0328266,1114

9,324111,188813,0534

47°30´ 0°00´0°30´1°00´1°30´2°00´2°30´3°00´3°30´

5 260 729,7335 260 850,8755 261 214,3185 261 820,115 262 668,3325 263 759,0965 265 092,5495 266 668,868

0,00037 656,674075 313,1018

112 969,0368150 624,2308188 278,4336225 931,3921263 582,8499

263,0365263,0425263,0607263,0910263,1334263,1879263,2546263,3334

0,0001,88283,76565,64847,53129,413911,296513,1791

47°00´ 0°00´0°30´1°00´1°30´2°00´2°30´3°00´3°30´

5 205 164,115 205 285,4155 205 649,3485 206 255,9575 207 105,3275 208 197,5745 209 532,8485 211 111,332

0,00038 012,755076 025,3121

114 037,4727152 049,0369190 059,8027228 069,5651266 078,1159

260,2582260,2643260,2825260,3128260,3553260,4099260,4766260,5556

0,0001,90063,80135,70197,60259,503011,403513,3039

46°30´ 0°00´0°30´1°00´1°30´2°00´2°30´3°00´3°30´

5 149 603,3625 149 724,7935 150 089,1045 150 696,3465 151 546,6065 152 640,0025 153 976,6915 155 556,86

0,00038 365,919376 731,690

115 097,1626153 462,1864191 826,6087230 190,2737268 553,0224

257,4802257,4862257,5045257,5348257,5773257,6320257,6988257,7778

0,0001,91833,83665,75497,67319,591311,509513,4277

46°00´ 0°00´0°30´1°00´1°30´2°00´2°30´3°00´3°30´

5 094 047,4925 094 169,0125 094 533,5915 095 141,2815 095 992,1715 097 086,3845 098 424,085 100 005,452

0,00038 716,140577 432,1826116 148,027

154 863,5734193 578,719

232 293,3585271 007,383

254,7024254,7085254,7267254,7571254,7996254,8543254,9212255,0003

0,0001,93583,87165,80747,74329,678911,614713,5504

45°30´ 0°00´0°30´1°00´1°30´2°00´2°30´3°00´3°30´

5 038 496,5045 038 618,0775 038 982,8125 039 590,7655 040 442,0265 041 536,7225 042 875,0175 044 457,111

0,00039 063,392478 126,7375

117 189,9875156 253,0928195 316,0023234 378,6615273 441,0129

251,9248251,9309251,9491251,9795252,0221252,0768252,1438252,2229

0,0001,95323,90635,85957,81279,765811,718913,6721

45°00´ 0°00´0°30´1°00´1°30´2°00´2°30´3°00´3°30´

4 982 950,44 983 071,9884 983 436,7684 984 044,7994 984 896,1714 985 991,0174 987 329,5054 988 911,839

0,00039 407,649078 815,3029

118 222,9659157 630,6407197 038,3282236 446,0261275 853,7291

249,1475249,1536249,1718249,2022249,2448249,2996249,3665249,4456

0,0001,97043,94085,91117,88159,851911,822313,7927

6.2 Calculul deformaţiilor în proiecţia TMM26

Deoarece, proiecţia TMM este o proiecţie cilindrică transversală conformă, atunci deformaţia unghiulară este nulă, deci, nu se deformează unghiurile: ω=0, (6-1) Modulul de deformaţie liniară pe direcţia paralelelor şi meridianelor se calculează cu relaţia:

, (6-2)

sau funcţie de ordonata y:

, (6-3)

unde: R –raza medie de curbură la latitudinea punctului dat. Modulul de deformaţie areolară va fi:

p=k·h=k2. (6-4) Deformaţia relativă este dată de relaţia:

D=(μ-1)· 105= (k-1)·105 (cm/km) . (6-5) În continuare, vom calcula deformaţiile la latitudinile de 46°,47°48° în proiecţia TMM , pe un fus nestandart cu scara modificată k0=0,99994, şi cu longitudinea meridianului axial λ0=28°24´(meridian ce trece prin mijlocul teritoriului Moldovei).

Calculul deformaţiilor liniare, areolare şi deformaţiile relative la latitudinea φ=46°

Tabelul 6.2

27


28

Tabelul 6.3


Tabelul 6.4

29

6.3 Determinarea izoliniilor deformaţiilor liniare

Izoliniile deformaţiilor liniare se pot determina, fie în funcţie de ∆λ sau funcţie de y, ce este depărtarea faţă de meridianul axial. În continuare, vom folosi al doilea caz, funcţie de y pe baza relaţiei (6-3).

Izoliniile deformaţiilor liniare, funcţie de y în proiecţia TMM

Tabelul 6.5

30

Proiecţia TMM fus nestandard de 3°30´(λ0=28°24´)

Izoliniile deformaţiilor (cm/km)

scara 1: 2 000 000

Fig. 6.1 Reţeaua cartografică pentru zona Moldovei în proiecţia UTMşi izoliniile deformaţiilor liniare în proiecţia TMM

28°24´ 29° 30°28° 27°

46°

46°

47°

48°

47°

48°

27° 28° 29° 30°

32

+ X

- X

+ Y

O

3

1

2

4

5

I

II

III

7. REDUCEREA DIRECŢIILOR ŞI A DISTANŢELOR DE PE ELIPSOID LA PLANUL DE PROIECŢIE TM

Scopul lucrării: Să se aplice principiile proiecţiei Transversal Mercator în vederea reducerii direcţiilor şi a distanţelor de pe elipsoid la planul de proiecţie TM, precum şi calculul deformaţiilor într-un punct.

1. Reducerea direcţiilor la planul de proiecţie TM. Se dă inventarul de coordonate provizorii cu

aproximaţia de ±1m pentru punctele geodezice din schiţa reţelei:

Punct X (m) Y (m) X+Nm Y+Nm

1 5 104 000 - 191 000 5 104 030 -190 9702 5 134 000 -186 000 5 134 030 -185 9703 5 154 000 -194 000 5 154 030 -193 9704 5 184 000 -184 000 5 184 030 -183 9705 5 204 000 -187 000 5 204 030 -186 970

λ0

-Y +Y

33

1

2

3

4

N

θ1 θ2

θ3

θ4

s2

s1

s3s4

θ3

θ4

3s3

unde: N-numărul de ordine a studentului din registru, fie N=30.Se cere, să se calculeze:

- corecţiile δij de reducere a direcţiilor la planul de proiecţie cu aproximaţia de ±0",01;

- corecţiile Cij de reducere a unghiurilor la planul de proiecţie;- verificarea corecţiilor pe triunghiuri cu ajutorul excesului

sferic, toleranţa fiind T= ±0",03.

2. Reducerea distanţelor la planul de proiecţie TM.

Se dau: distanţele s1, s2, s3, s4 ale unor

laturi din reţeaua geodezică, măsurate din punctul de staţie P şi reduse la elipsoid:

s1 = 4 000 m + Nm = 4 030 m;s2 = 8 000 m + Nm = 8 030 m;

s3 = 14 000 m +Nm = 14 030 m; s4 = 19 000 m +Nm = 19 030 m.

coordonatele punctului de staţie P:Xp = 5 134 000 m + Nm = 5 134 030 m;

Yp = - 114 000 m + Nm = - 113 970m.

P

34

λ0

1

2

3

δ12

δ21

δ23δ32

δ31

δ13

+x

direcţiile orientate în staţie şi reduse la plan pe laturile respective:

θ1 = N° N´ N″,0N = 30°30´30″,030; θ2 = θ1+ 35° = 65°30´30″,030; θ3 = θ1+ 90° = 120°30´30″,030; θ4 = θ1+ 140° = 170°30´30″,030.

Se cere:- calculul coordonatelor provizorii ale punctelor geodezice 1,

2, 3, 4 folosind distanţe nereduse la planul de proiecţie;- reducerea distanţelor la planul de proiecţie şi calculul

deformaţiei totale a fiecărei laturi si;- calculul coordonatelor plane x,y folosind distanţe reduse la

planul de proiecţie şi influienţa reducerii distanţelor asupra coordonatelor plane x,y;

- în punctul P (Xp, Yp) să se calculeze modulul de deformaţie μ, deformaţia liniară relativă D(cm/km) şi unghiul de convergenţă meridiană γ.

7.1 Reducerea direcţiilor la planul de proiecţie TM

A. Calculul corecţiilor de reducere a direcţiilor la planul de proiecţie TM

Fig. 7.1 Corecţiile de reducere a direcţiilor într-un triunghi geodezic

Corecţiile de reducere a direcţiilor se calculează cu relaţiile:

35

(7-1)

, (7-2)

unde: fm este factorul excesului sferic, ce se calculează pentru o latitudine medie, determinată aproximativ(după coordonata Xm

pentru zona dată) şi considerată constantă pentru un număr mai mare de triunghiuri din reţea:

, (7-3)

ρ″=206 265″ – factorul de transformare în secunde. Latitudinea medie a zonei date, conform coordonatei Xm , φm=46°32´ . Raza medie Rm la latitudinea φm se calculează astfel:

, (7-4) unde: raza de curbură a primului vertical la latitudinea φm, N =6 389 412,305 m, iar raza de curbură a elipsei meridiane la φm, M = 6 369 098,232 m. Atunci, raza medie Rm=6 379 247,183 m, iar factorul de scară fm=25,343 ·10 -10. Calculele vor fi prezentate în tabelul 7.1.

B. Calculul corecţiilor de reducere a unghiurilor la planul de proiecţie TM

Corecţiile de reducere a unghiurilor se calculează conform exemplului dat:

pentru triunghiul ∆123: ,

,

. (7-5)

C. Verificarea corecţiilor pe triunghiuri cu ajutorul excesului sferic

36

21

2

3

4

Într-un triunghi geodezic suma corecţiilor de reducere a celor trei unghiuri la planul de proiecţie trebuie să fie egală cu excesul sferic al triunghiului luat cu semn schimbat. De exemplu, pentru triunghiul ∆123 vom avea:

(7-6)

sau (7-6/)

unde: ε – excesul sferic al triunghiului geodezic şi se calculează astfel:

(7-7)

S – aria triunghiului geodezic, ce se calculează din coordonatele vîrfurilor lui:

(7-8)

Diferenţa dintre suma corecţiilor unghiurilor ci şi excesul sferic ε trebuie să se încadreze în toleranţa T=±0",03. Toate calculele se vor introduce în tabelul 7.1.

Reducerea direcţiilor la planul de proiecţie TMTabelul 7.1

Triunghiul Corecţia p/u direcţii δij″

Corecţia p/u unghiuri ci″

SchiţaSuprafaţa S (m2)Exces sferic ε″

I

δ12= 14,392543 c1= -9,932936

S= 170 ∙106

δ13= 24,325479δ23= 9,561238 c2= 23,827066

δ21= -14,265828

δ31= -24,452194 c3= -14,755793δ32= -9,696401

∑c∆123=c1+c2+c3

∑c∆123= -0,86166 ε″=+0,86166

δ24= 23,480712 c2= 13,919474δ23= 9,561238

37

3

4

2

3

34

5

II

S= 220 ∙106

δ32= -9,696401 c3= -24,190316

δ34= 14,493915 δ43= -14,240485 c4= 9,15575

δ42= -23,396235

∑c∆234=c2+c3+c4

∑c∆234= -1,11509 ε″=+1,11509

III

δ34= 14,493915 c3= -9,789325

S= 145 ∙106

δ35= 24,28324

δ45= 9,375389 c4= 23,615874δ43= -14,240485

δ53= -23,987572 c5= -14,561497

δ54= -9,426075

∑c∆345=c3+c4+c5

∑c∆345= -0,73494 ε″=+0,73494

7.2 Reducerea distanţelor la planul de proiecţie TM

A. Calculul coordonatelor provizorii ale punctelor geodezice, folosind distanţe nereduse la planul de

proiecţie Coordonatele provizorii ale punctelor 1, 2, 3, 4(cu precizia ±5m), se calculează după relaţiile cunoscute:

(7-9)

Calculul coordonatelor provizorii ale punctelor geodezice 1, 2, 3, 4funcţie de distanţe nereduse la planul de proiecţie

38

Tabelul 7.2

B. Reducerea distanţelor la planul de proiecţie şi calculul deformaţiei totale ale fiecărei laturi

Distanţa S, redusă la planul de proiecţie TM, se calculează cu formula:

, (7-10)

în care expresia de la numitor se calculează cu opt sau nouă zecimale, iar valorile expresiilor ym şi ∆y se determină astfel:

. (7-11)

În formula (7-10), raza medie de curbură, R, se ia pentru latitudinea medie a laturii respective , dar, pentru cazul dat , vom utiliza latitudinea medie a zonei de lucru, φm=46°20´, la care rezultă: R= 6 379 097,777 m.Reducerea distanţelor la planul de proiecţie şi calculul deformaţiei

totale ale fiecărei laturi S-s Tabelul 7.3

39

C. Calculul coordonatelor plane x,y folosind distanţele reduse la planul de proiecţie şi influienţa reducerii

distanţelor asupra lor Calculul coordonatelor plane x,y folosind distanţe reduse la planul de proiecţie se calculează după relaţiile:

(7-12)

Toate calculele vor fi prezentate în tabelul 7.4.

Calculul coordonatelor plane x,y folosind distanţele reduse la planul de proiecţie şi influienţa reducerii distanţelor asupra lor

Tabelul 7.4

D. Calculul modulului de deformaţie liniară μ, relativă D şi unghiul de convergenţă meridiană γ

Pentru cazul dat vom lua, ca exemplu, punctul de staţie P cu coordonatele:

Xp = 5 134 030 m Yp = - 113 970m.

Modulul de deformaţie liniară μ, în funcţie de ordonata y se calculează astfel:

(7-13)

deci, vom avea: μ= 1,0001596. Deformaţia relativă: D=μ-1=0,0001596,

D(cm/km)=15,96. Unghiul de convergenţă meridiană γ se calculează cu relaţia:

40

(7-14)

în care: t1=tgφm =1,047659811; η1

2=e´ 2cos2φm=0,003212969; N1=a/(1-e2sin2φm)1/2=6 389 337,483; ρ”=206 265. Pentru y vom lua valoarea ordonatei punctului P, atunci unghiul de convergenţă meridiană va fi:

γ°´″= - 1°04´13″,75

41

47°00´

48°00´

28°00´ 29°00´

47°N-28°E/1° Chişinău

8. NOMENCLATURA TRAPEZELOR, CONSTRUCŢIA ŞI VERIFICAREA CADRULUI UNEI HĂRŢI

TOPOGRAFICE

Scopul lucrării: Detrminarea nomenclaturii trapezelor pentru anumite scării, precum şi construcţia, verificarea cadrului unei hărţi topografice pentru un trapez dat de pe harta Moldovei (scara 1: 500 000). Se va rezolva următoarele probleme:

1. Să va reprezinta trapezele la scările 1: 100 000, 1: 50 000 şi 1: 25 000, notînd la cadrul desenului valorile latitudinilor, respectiv longitudinilor, liniilor de coordonate ce delimitează trapezele.

2. Un trapez la scara 1: 25 000 se va împărţi în trapeze la scările 1: 10 000, 1: 5 000 şi 1: 2 000.

3. Se va întocmi o fişă necesară construirii şi verificării cadrului pentru un trapez la scara 1: 10 000, de reprezentat în proiecţia TMM.

4. Să va reprezinta la scară şi se va verifica cadrul, precum şi reprezintarea caroiajului kilometric pentru un trapez la scara 1: 10 000 în proiecţia TMM.

8.1 Nomenclatura trapezelor la scările 1: 100 000, 1: 50 000 şi 1: 25 000

Ca exemplu, se va lua un trapez de pe Harta Moldovei la scara 1: 500 000, cu nomenclatura stabilită pentru scări mici astfel: 47°N-28°E/1° Chişinău(cel mai mare oraş din trapezul dat):

Fig. 8.1 Coordonatele geografice ale trapezului 47°N-28°E/1° Chişinău de pe Harta Moldovei 1: 500 000

Chişinău

42

24°0

0´

24°3

0´

25°0

0´

25°

30´

26°0

0´

26°3

0´

27°0

0´

27°3

0´

28°0

0´

28°3

0´

29°0

0´

29°3

0´

30°0

0´

44°00´

44°20´

44°40´

45°00´

45°20´

45°40

46°00´

46°20´

46°40´

47°00´

47°20´

47°40´

48°00´

45°00´

30°0

0´

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132

133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144

În funcţie de scheletul hărţii internaţionale al foilor de hartă la scara 1: 1 000 000, teritoriul Moldovei este cuprins în cea mai mare parte în foaia L-35(L-zona geografică cu ∆φ= 4°, iar 35- numărul fusului cu ∆λ=6°), şi într-o foarte mică măsură în foile M-35 şi L-36. Foaia de hartă la scara 1: 1 000 000, se consideră ca foaie de bază sau fundamentală pentru determinarea nomenclaturii foilor de hartă şi de plan la scările standard: 1: 500 000; 1: 200 000, 1: 100 000; 1: 50 000; 1: 25 000; 1: 10 000; 1: 5 000 şi 1: 2000. Pentru a obţine foile de hartă la scara 1: 100 000, trapezul la scara 1: 1 000 000 se împarte în 144 părţi(12x12), cu dimensiunile de 20´pe latitudine şi de 30´ pe longitudine, iar fiecare trapez se numerotează cu cifre arabe 1, 2, 3, ...,144 de la vest spre est şi de la nord la sud.

L-35 (scara 1: 1 000 000)

Fig. 8.2 Notarea trapezelor scării 1: 100 000, în cadrul unui trapez al scării 1: 1 000 000

43

Din fig. 8.2, se observă că, trapezul 47°N-28°E/1° Chişinău, conţine 6 trapeze la scara 1: 000 000. Nomenclatura unei foi de hartă la scara 1: 100 000 cuprinde nomenclatura iniţială a trapezului la scara 1: 1 000 000 (L-35), la care se adaugă cifra arabă corespunzătoare zonei, care formează conţinutul hărţii, de exemplu L-35-34-Chişinău. În continuare, vom determina cîte trapeze la scara 1: 50 000 şi 1: 25 000 conţine trapezul 47°N-28°E/1° Chişinău(partea evidenţiată din fig.8.2). Pentru determinarea foilor de hartă la scările 1: 50 000 şi 1: 25 000, se consideră ca foaie de bază , trapezul de la scara 1: 100 000, care se împarte mai întîi în 4 părţi(2x2) la scara 1: 50 000 cu dimensiunile de 10´ pe latitudine şi 15´ pe longitudine. Fiecare trapez al scării 1: 50 000 se numerotează cu literele A, B, C, D de la vest spre est şi de la nord spre sud. În mod asemănător, prin împărţirea foii de hartă la scara 1: 50 000 în 4 părţi(2x2) se obţin trapezele la scara 1: 25 000, cu dimensiunile de 5´ pe latitudine şi 7´30″ pe longitudine, ce se numerotează cu literele a, b, c, d de la vest spre est şi de la nord spre sud, în cadrul foii considerate. Nomenclatura unei foi de hartă la scara 1: 50 000 se compune din nomenclatura foii de bază la scara 1: 100 000 (L-35-33) şi din litera corespunzătoare zonei, de exemplu, L-35-33-A(fig.8.3). Nomenclatura unei foi de hartă la scara 1: 25 000 se compune din nomenclatura foii de hartă la scara 1: 50 000 (L-35-33-A) şi din litera corespunzătoare zonei, de exemplu, L-35-33-A-a(fig.8.3).

44

48°00´

47°55´

47°50´

47°45´

47°40´

47°35´

47°30´

47°25´

47°20´

47°15´

47°10´

47°05´

47°00´

28°0

0´00

″

28°0

7´30

″

28°1

5´00

″

28°2

2´30

″

28°3

0´00

″

28°3

7´30

″

28°4

5´00

″

28°5

2´30

″

29°0

0´00

″

a b a b a b a b

c d c d c d c d

a b a b a b a b

c d c d c d c d

a b a b a b a b

c d c d c d c d

a b a b a b a b

c d c d c d c d

a b a b a b a b

c d c d c d c d

a b a b a b a b

c d c d c d c d

47°N-28°E/1° Chişinău

Fig. 8.3 Notarea trapezelor scărilor 1: 50 000 şi 1: 25 000, în cadrul trapezelor scării 1: 1 00 000

8.2 Nomenclatura trapezelor la scările 1: 10 000, 1: 5 000 şi 1: 2 000

Pentru planul la scara 1: 10 000 se împarte foaia de hartă la scara 1: 25 000 în 4 părţi(2x2) cu dimensiunile de 2´30″ pe latitudine şi de 3´45″ pe longitudine, iar fiecare trapez se notează cu cifrele arabe 1, 2, 3, 4 de la vest spre est şi de la nord spre sud.

9 10

21 22

33 34

A B

C D

A B

C D

A B

C D

A B

C D

A B

C D

A B

C D

45

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

28°0

0´00

″,0

0

28°0

0´56

″,2

5

28°0

1´52

″,5

0

28°0

2´48

″,7

5

28°0

3´45

″,0

0

28°0

4´41

″,2

5

28°0

5´37

″,5

0

28°0

6´33

″,7

5

28°0

7´30

″,0

0

47°15´00″

47°15´37″,5

47°16´15″

47°16´52″,5

47°17´30″

47°18´07″,5

47°18´45″

47°19´22″,5

47°20´00″

Pentru planul la scara 1: 5 000 se împarte foaia de plan la scara 1: 10 000 în 4 părţi(2x2) cu dimensiunile laturilor de 1´15″ pe latitudine şi de 1´52″,5 pe longitudine, iar fiecare trapez se notează cu cifrele romane I, II, III, IV de la vest spre est şi de la nord spre sud. Pentru planul la scara 1: 2 000 se împarte foaia de plan la scara 1: 5 000 în 4 părţi(2x2) cu dimensiunile laturilor de 37″,5 pe latitudine şi de 56″,25 pe longitudine, iar fiecare trapez se notează cu cifrele arabe 1, 2, 3, 4 de la vest spre est şi de la nord spre sud.

L-35-33-A-a

Fig. 8.4 Notarea trapezelor scărilor 1: 10 000, 1: 5 000, şi 1: 2 000 în cadrul trapezului la scara 1: 25 000

a

1 2

3 4

I II

III IV

I II

III IV

I II

III IV

I II

III IV

46

L-35- 21-C-c-3

L-3

5 -3

2-B

-b-2

L-3

5-33

-A-a

-2

L-35-33-A-a-3

φ=47°20´00″λ=28°03´45″

φ=47°17´30″λ=28°03´45″

φ=47°17´30″λ=28°00´00″

φ=47°20´00″λ=28°00´00″

Nomenclatura planurilor topografice la scara 1: 10 000, se compune din nomenclatura hărţii la scara 1: 25 000(L-35-33-A-a), la care se adaugă cifra arabă corespunzătoare zonei, de exemplu, L-35-33-A-a-1. Nomenclatura planurilor topografice la scara 1: 5 000, se compune din nomenclatura planului la scara 1: 10 000(L-35-33-A-a-1), la care se adaugă cifra romană corespunzătoare conţinutului planului, de exemplu, L-35-33-A-a-1-I. Nomenclatura planurilor topografice la scara 1: 2 000, se compune din nomenclatura planului la scara 1: 5 000(L-35-33-A-a-1-I), la care se adaugă cifra arabă corespunzătoare zonei, de exemplu, L-35-33-A-a-1-I-4.

8.3 Fişa necesară construirii şi verificării cadrului pentru un trapez la scara 1: 10 000 în proiecţia TMM

Pentru construcţia cadrului oricărui trapez se întocmeşte o fişă cu date caracteristice, repartizate conform următoarelor trei scheme:

Schema 1: Coordonate geografice ale colţurilor trapezului şi nomenclatura trapezelor vecine.

L-35-33-A-a-1(Sineşti) (1: 10 000)

47

x=244 067,975y=169 769,158

x=239 435,891y=169 745,387

x=239 413,534y=174 472,666

x=244 045,621y=174 492,722

02 40

41

42

43

02 44

01 70 71 72 73 01 74

aN=47,24 cm

aS=47,27 cm

b=

46,3

2 cm

d=66,17 cm

Schema 2: Coordonate rectangulare plane ale colţurilor trapezului şi caroiajul kilometric.

Schema 3: Dimensiunile trapezului.

S=2188,9046ha

48

8.4 Reprezentarea cadrului şi al caroiajului kilometric trapezului la scara 1: 10 000 în proiecţia TMM

Etapele de construire a foii de plan la scara 1: 10 000 sunt:1. Raportarea cadrului interior:

- raportarea coordonatelor rectangulare plane şi de coordonate grafice ale colţurilor trapezului;

- verificarea şi defenitivarea raportării cadrului interior;

- unirea colţurilor prin linii drepte.2. Trasarea cadrului geografic în funcţie de coordonatele

geografice ale colţurilor trapezului(reţeaua geografică, divizată în secunde se împarte din 10″ în 10″), şi al cadrului ornamental al planului.

3. Trasarea reţelei rectangulare sau kilometrice, funcţie de scară, care, pentru planul 1: 10 000 lungimea laturii reţelei este de 10cm, ce corespunde mărimii de 1km pe teren.

4. Trecerea elementelor şi inscripţiilor din interiorul şi exteriorul cadrului planului.

În fig.8.5 se va prezenta schematic cadrul trapezului la scara 1: 10 000 cu nomenclatura L-35-33-A-a-1(Sineşti).

49

47°17´30″ 47°

17´30″28° 00´ 28° 03´45″

28° 03´45″

L-3

5-33

-A-a

-2

L-35-33-A-a-3

50

BIBLIOGRAFIE

1. Calistru V., Munteanu C. Cartografie matematecă, întocmire şi editare. -Bucureşti.: Editura I.C.B, 1975

2. Moca V., Chirilă C. Cartografia matematecă întocmire şi redactare hărţi. -Iaşi.: Editura U.T.CH.ASACHI, 2002

3. Ghiţău D. Geodezie şi gravimetrie geodezică. –Bucureşti. :Editura Didactică şi pedagogică, 1983

4. Turculeţ M., Grama V. Curs introductiv în topografie. –Chişinău.: Editura U.T.M., 2005

5. Moldoveanu C., Rus T., Ilieş A., Danciu V. Reţele geodezice de sprijin (volumele I şi II). – Bucureşti.: Conspress, 2004

6. Gagea L., Hannig E. Proiecţii cartografice, editarea şi multiplicarea planurilor şi hărţilor. – Bucureşti.: ISBN, 1981

7. Sandulache Al., Sficlea V. Cartografie-Topografie. –Bucureşti, 1996

8. Munteanu C., Ovdii M. Republica Moldova în proiecţia Gauss-Kruger, pe un fus nestandart, cu scara modificată. Conferinţa jubiliară, U.T.M. –Chişinău, 2000

9. Zakatok P. Curs de geodezie superioară. Traducere din l.rusă.–Bucureşti.: Editura M.F.A, 1958

10. Munteanu C., Vasilca D. Studiul şi utilizarea unor proiecţii cartografice pentru reprezentări la scări mari, în România. – Bucureşti.: I.C.B, 1983

51

11. Munteanu C., Vasilca D. Tabele cartografice, pentru elipsoidul WGS 84. Raze şi arce. –Bucureşti.: Editura UTCB, 1998

12. Munteanu C. Cartografie matematică.– Bucureşti.: Ed. Matrix Rom 2003

13. xxx - Îndrumător referitor la scheletul şi nomenclatura hărţilor . – Bucureşti, 1956

14. xxx -Atlas de semne convenţionale pentru planurile topografice şi cadastrale la scările 1: 5 000, 1: 2 000, 1: 1 000 şi 1: 500.: A.N.G.C.C. – Chişinău, 1997

15. xxx - Legea Republicii Moldova „ Cu privire la geodezie şi cartografie”, - Chişinău 2000

16. xxx - Regulamentul cu privire la Reţeaua Geodezică Naţională. Aprobat prin Hotărîrea Guvernului Republicii Moldova, nr. 48 din 29 ianuarie 2001

17. xxx - Regulamentul cu privire la trecere la sistemele de coordonate global şi de referinţă şi proiecţiile cartografice respective: ASRFC, - Chişinău, 2001

18. xxx - Harta Republicii Moldova, scara 1: 500 000 editată de Ministerul Educaţiei şi Ştiinţei, editura IMCO, -Chişinău 1984

52

Cartografie matematica

Documents

Transcript of Cartografie matematica