Carti. Culegere.de.Probleme.de.Aritmetica.si.Algebra. Ed.hyperion. TEKKEN

i 10,00

GHEORGHE. ADALBERT SCHNEIDER

CULEGERE

DE PROBLEME

DE ARITNIETICA

$r ALGEBR.{.

PEn-TRU CLASELE V-VIIIEdilie revizuirr ti adtrugilt

EDITURA IryPERION CRAIOVA

Coperta : LUCIAN IRIMESCU

Intemet: http://editurahyperion. go.roTelefon : 0251 1531133,0744 1628656.Comenzi pentru cd(ile editurii noastre se pot face

la urmetoarea adresa de e-mail: [email protected] prin pogta la adresa :200530 Craiova, str.lmparatulTraian nr 30.

Copyright O, Editura Hyperion

tsBN 973-9r57-75-0

PREFATA

Prczenta lucraxe a fost elaboratf, cu scopul de a veni insprijinul elevilor din clasele V - VIll care doresc sa aprofun_deze a tnetica ti algebra, prccum qi in sprijinul candid;tilor laexamenul de capacitate -

Lucrdaea a fost alctrtuittr confom noii prcgrame Scolare,conline peste 2000 de exercitii 9i probleme care acopertrintreaga materie, fiind foarte utiltr pentru lucrul la clasd, pentrupregtrlirea suplimentari a elevilor, iar prin unele proble'me cesolicittr gandirea logicl qi creativititea este utiltr pentruprcgdtirea concusurilor de matematica.

^ Exercit; i le r i problemele sunt grupale pe capilole.con_

tolm programej $colare. Acolo unde a fost posibi l . e^erci l i i le9i problemele au fost sistematizate pe tipud de prcbleme,grupate mai multe sub acelati enun1, reaiizandu-se astfel oacoperirc cat mai complete a capitolelor tratate qi d6nd posibili_tatea elevului ca pdn repetitie $i evaluare str aprofrmdeze prin-cipalele lehnici legate de rezolvarca de probleme.

_ In prima parte a lucrddi sunl prczentate enunturile proble,melor, grupaie in 15 capitole, referindu-se p n tre altele la:numere narurale, numere intregi. numere ratio-nale, numerereale, mul1imi, divizibilitate, prccente, rapoarte, metode derezolvare a problemelor de adtmeticA, calcul algebric, ecualii$i sisteme, inecualii, funcfii, pentru ca in frnalul lucdrii s! fieprczentate probleme rccapitulative Si 25 de teste g lt deevaluare.

In partea a doua a lucrdrii sunt Drezentate rczolvfi aleunora dintre probleme. indicalii penhu alte probleme, precum$i raspunswile la aile categorii di problerrrc .

Autorul

t . , : r ,1. NUMERE.NAiTU,RALE . '.'; . I

' :I.1 OPERATU CU NUI\IERE NATURALE

l. Sa s€ ordoneze sresctrlor numerele:a) 75; 12l lO2; 7522. 875-

' b) 99; 8; 12; 125: 69;2395: 1125;: c) 77; 22; 3; 1915; 293'7 5;. 11L

I

2. Str se ordoneze liescresctrlor numerele: ':'a) 22; ll77;. 279;22799: 218;23;b) .19:' 197\ ''IOOO; il: 99.: 1100; 9999;.c) 66; l l l ; 9; 2222; 555;'3799;.500: i .

I J. Str se delennrne:' a) cel mai Irric nunir nalural dp 2 cifre;

. b) cel mai mic numlr nalural irnpar de doud cifre'c) cel mai mip numtrr nalwal impar de 2 cifre in care o:cifr5'este pard ti una impar{.

l4. Str se delermine: :

a) cel mai qrare numtrr nalural de 2 cifre; r \.b) cel mai mare numtrr nalural par de 2 cifre;c) cel mai mare numtrr natural impar de 2 cifre in ca€ o cifrtresle para si una esle impartr I

5. Str se determine:a) celmai micnumtrrnatural de 3 cifre;b) cel mai mic numdr nalural inrpar dF 3 cifrelc) cel mai mic numlr natural par de J cifre initue cifrele sunldislincle-d) cel mai mic nutntrr nalural impar Qe 3 cifie ir care cifrelesunt distincte; i | '.1e) cel mai mic npartrr par qe 3 cifie in care.to4te cifrele sunt.pare-

6. Sd se determine:a) cel mai mare numdr natural de 3 cifre;b) cel mai mare numer natural par de 3 cifte;c) cel mai mare numdr natural impar de 3 cifte, cu toate cifteledistincte;d) cel mai mare numdr natural par de 3 cifte, cu toate cifieledistincte;e) cel mai mare num& nalural par de 3 cifte, cu toate cifteleegale.

7. Sciefi toale numerele de 3 cifre care se pot forma utilizand

d604 d5c cD9 o8 cl

14. Calculagi:a) 1998 + 9989 - 998 '989;b) 4152 + 12512- 336 - 928:.c) 27339 - 2ll2 - 4328 - 899:'d) 32779 - 1232 - 899 - 648;e) 43997 - 1789 - 2016 - r92.

15. Calcula;i:a) J- 1r2*3+-.+500;b) . t -2+4+6+-.+2000;o) S- l+3+5+..+ 101;c) S- 5 + 10+ 15 +' . +295;d) J-3+6+9+. +1997e),9- 10 + 20+ 30 +. . . .+ 9000;f) . t - 100+ 200 + 300+.. . + 15000.

16. Se se determine numerele naturale de forma a6c qtiind

a) a+ b-31 a+ c=4; b+ c-5;b), a+ r= 5; a+ c=6; b+ c=7;c) a+ b=71; a+c-12; b+c=13.

I7. Sa se delermine cel mai mic numtrr de 3 ciFre abc, astfelincat sA avem rclatia:a) a+b+c=5; b) a+b+c-12; c) a-b+2c-13.

18. Sa se delermine celmaimare numarde J cifre abc, astfelincat sd avem relatia:a) a+ b+ c-8; b) a+ b+ c=75| ' c) a+2b-3c=18.

l3lefacefi adunfile:

a) la1b t b) Zabs +

436 7421

q ?L+234 b

d) ?.7! +5493

cifreleta) l ;2;3; b) 0;2; 4; c) 3; 5; 9.

8. Scieli toate numerele de 3 cifie, cu cifiele distincte, carese pot forma utilizand cifrele:a) 1; 3; 5; b) 0; 3; 6; c) 2; 4; 8.

9. Soie{i loale numerele pare de 4 cifre, cu cifrele dislincte,oiue se pot forma ulilizand ciAele:a) l ;2;5;7; b)0;1; 3;5 c)0;3;5;9.

10. Scieti loate numerele impare de 4 cifre, cu cifreledistincte, care se pot forma utilizand cifrele:a) 0;2; 4; 5; b) 2; 4; 6; 9 c) 1; 3; 6; 8.

11. Calculafi:a) 1 + 2 + 3 + 4 + 96 + 9'1 + 98 + 99:'b) 10+ 20 + 30 + 40 + 960+ 970 + 980+ 990;c) 101 + 102 + 103 + 797 + 798 + 799;d) 121 + 131 +141 + 151 + 549 + 659 +'169 + 879ie) 215 +416 + 618 + 820+ 1180+ 982 + 884+ 985.

12, Calculali:S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4 5 + 5.6 + 6.7 + 7.8;s= 1.3 + 3.5 + 5.7r7'9 +9 11 + l l '13 + 13 15;S -2 '4 + 4 '6 + 6 '8 + 810 + 10 12+12'14+14'16.

a)b)c)

19. Str se deteminecel maimic numtrrde 4 cifre abc-d, astfelincat $ avem relalia:a) a+ b+ c+ d=25;b) a- b+ c+ d-2O;c)a+ 2b + c+ 3d=33.

20. SI se determine cel mai nrarc numlr de 4 cifre abcd ,aslfel incat str avern relafia:a) a+ b+ c+ d-18|,t t1 a+ b-t t d=22.t) a+ 2h+, , Jal=.1q.

21. Sl se delelmine luale numerele naturrle de forma J.aslfel incal str aibl loc relafia:a) a+b=5; b) a-b='7, c) 2a+b:9.

22. Str se calculeze cat mai simPlu:a\ 125 1725 + 375 1725 - 1250 42 - 500'20lb) 113 1250 + 137 1250 + 75 1150 + 25 1150 - 55 500;c) 58 1750 + 42 1750 + 135'175 + 65 175 - 50 200;

23. Dacl 4 4 c sunl numere naturale aslfel incal a + r = 2

5i t , . - . t , sl se calcule/e valoarea exFe\iei:E= (c - a\(3a + 5b+ 2c).

21. Dar.t 4 6, c sunl numere natutale aslfel incal a - b = 3

5i b+ . - 5. ra se . 'alrule2e valoarea exlresiei:E=(c+ a)(3a + b + 4c).

25. Dacl a, b, c sunl numere naturale aslfel incata+b+c:6 $i a+3c=10, str se calculeze valoarea ex-Dresiei:' E- (2a + 3b)(3a+ 4b + c).

26. Dact a,4 c sunt numere natu.dle astfel incat a - 6= 9;

) i b - c - J. sr se calcule/e valodrea exnre\iei:E=(a+ c)(2a+ b- 3c)

I

27. SI se delennine nunerele nalurale djferite de 0;ii main ci decat 75, care impi4ile la 21 dau un rest egal cu lr.iplulcatului.

28. Str se detennine numtrrul de 2 cifre care se imparle exactla 11 $i care inlpl4ir la 10 dtr reslul 3.

29. Suma a douS numere este 370. Daci ilnptrrlim numtrrulmai mare la numtrrul mai mic oblitrem ca1ul4 $: reslul 20. Slse determine cele doutr numere,

30. Diferenl.r a doutr numere esle 390. Dirci ?mplrlimnuntrrul mai mare la numirul mai mic oblinemcetul 7 li restul30. Str se determire cele doutr numel€.

31. se considertr numerele: N1- 21.22.23 -.254 ; iN: = 31.32.33. .315. Sr se demonsheze ctr ,,Vl > 1y'2.

32. Str se precizeze care din numerele:Nt = 2604 :2t ' .22 : .23a l i Nz = 3300 : 31 :32:. . . : -120 este

33. Si se precizeze care din nurnerele:Nt=2t. | . .2120;, i N2=r1 32.. . i100

3:1. Str se precizeze care din numerele:l / r=3r '3r ' - 3s0si , , r , .z:51 .52 . . . .s30

esle mai maie.

35. Si se compare numerele:a) , /r = 2175;i N: = 575;

b) l/t = 3lao ri-l/: = 780;

.) M = +aoo si lD = 35oo;d) M = 7l5o si Nz = :250.

36. Sd se comParc numerele:

u) Nr = 5150 siNz = 6133;

t) Nt = 41a7 t i N: = 5125;

.) Nr - 832 si Nz = 930;

a) N1 = 299 5i N2 = 933

37. Str se detemline nunerele nalut:ile a $i '

$liind ctr:

a) a+ 6=8; iaD= 15;b) a- b:5si ab=24.c:) a+ 2b= 11 Si tD- 15;d) 2a- b- 12si a- b= \4.

38, Str se delermine numerele natumle 4 I) ii c Stiind cd:

a) ab = 12;i bc = 20;b) ac= 2,1 si 6c: 30;c) aDc - 120 ! i aD: 20;d) abc= 12 $i a + D+ c= 8.

39, SI se detennine numlrul natural x astlel incat sl aibl

42. Str se de(ernine nuntrrul nalural de fonira aD Sliind ct:d' a < l , br .r 1: 6 sunl irnpare .,) i + t, , =Or:,.

4J. SJ \e Jelennine lumxrul natural de furma J lr i inJ crt:a) a- b=5 b) ab + ba =71.

41. SI se detennine numtrrul naural de fonna al, \itiind ci:a) el, + 1r.? = 154;b) a + b se imparle exact la a fi la 1,.

45. Not5m N= lal - la + 8.a) SI se arale ctr 11/ se imlarle exact la 9.b) Si se delemline cifra a astfel incel numtrrul N str se impafltexact la 17.

46. Nolim N= leb - la - 1b. Str se delennine cifrele a f iD aslfel incel N= I 16.

47. Se consideri nunlirul nalural, \ /= l l la l l lat +lal -a l .

str se arale ctr nuintrrul ,A/ se divide prir produsul a doulnunere nalurale conseculive.

loc egali l l l i le:

a) x2+x-6=0

cy x l+zl- t6-o

aibl loc egali lqi le;t1) x/+x-5c). \+y-x!e) xy=2(x+y)

aibl loc egalittrlile:

"1 ? + l :sc'1 z x2 + f =zze) rJ +./ = 23

b) x2-x-6=0

d; x4-xr-8=0.

xy+y=12xy+x+y=5xy+2x-Y=10.

t ) i+z. f=rrd) 2. ; +31:35l , l+f=zg.

10

40. Sl se delennine numerele naturale x, y aslfel incal sl 48. Se considertr nu lerele nalurale a rji D . are rn.[epline*!condil i i le:a) 0< 6<.r<9 b) cif iele, gi a sunl colsecutive.

; i N: = al119 - Dl la

41. Si se detennine numerele nalunle x, i astfel incel sd

b)ol0

SI se arale ci numereleNi =lr1t - 1b..,1

nr depind de a $i 6.

rl9. Se considertr numtrrul N= aa66. St se arale ci:a) N se imprrle exact la I l;b) N nu se intpane exact la 111.

50. Sa se detennine numerele 4 b, c€N, a < b < c <g

t l

aslfel incat str aibtr loc relalia: ala + blb + clc = 636'

51. Nollm N= rbl - 1ar. Str se detennine cifiele a

aslfel ircet sl aibi loc relalia N= 180'

52, Notdm N= ala + D16. Si se detennine cifrele a 5i D

asltel incel sl aibtr loc relalia N= 323.

53. Se considertr numltul N=aal +Iaa + bbl +Ibb'

unde ;r < b. Str se detennine cifi€le a $i 6 astfel incal N= 686'

5zl. Se consiclerl numrrul N- atr l +bla+lab'Si se arale ci 333 s N< 2109

55, Se coDsiclerd nurnlrLrl natural N=;rl l + lal t l la'

Sd se arrte ctr N se imPa e exacl la I I l'

Sd se ar.ile ctr N nu se i Parte exacl la 20

Szf se ,letenniue , astfel iitcAt N sl se impartd exacl la l1'

2. Str se delennine mullimea A, $tiind cd :a) A=lxe Nl x=., ( -5, , t€N,, t< l1] ;b) A =l xeNl x=3/:- 10,*€N, k<61;c) A={ xe N | . t= t ' - t , , teN,*.1};11 a ={ x€N I x= 12 - .u. teN., t =+} r

" , a = { , r 'e W I x= -r(2 + I - 5. *€N.,{ '< a} I

| , r={xe ulx=*2- t , reN,*.s} ;s) A =1x€Nl x=3** 19, t eN, n<5J.

I.2 MULTIIII CU NUMERE NATURALE

3. Str se det

a)b)c)

f)

1, Sf, se detennine mull imea A,f l i indctr:A = i x € N I x = 7 - ( * €N | ; .A =1 xcN I x= l0 - 3t , f teNJ ;A=lr€Nlx= 13 - 5r , , teN. l ;A=lx€Nl x=72-9n,*€N1;a={reNl x=30-1,*€N};a={xe Nlx=31 - r - l , I '€N } ;a={xe Nlx=101 - * ' , l€NJ.

a)D)c)

56. Str se deler'irine nunretele de fonna a6 5tiind od:--: ,2ND=D.

5?. SI se ariLle cl nu exisld nulnere naluraLe rle douf, cifre 'Tastfel incarJ=a2

58. Sl ie Jetentrine numrruL,le trei eifre I/ l . ' r t i in' l ia:b- a- c=8'

59. SJ.e Jelenl l ine nunr l ru l L le l re i i i l re r / " a* l fe l j r r 'At :

it" = "3

60. Sl se Llelemine ntrmJrul natural de trei ( i fre F' a*rfel

incet str aibl loc relati at\Gi; = bc '

x€N

4. str se derennine flultimile A n B, A L-J B, A - B, gtiind

xeN

Ine2i'2n3n3n5n,3t3rt

tn

tennrt -_t--t*_t-_| "_

t^=t"_

tuulfimea A, $li ind ctr:n = 2,4,6,8);

- I , a-1,3,5,7i ;+ 1, n-1,2,3,41;+2, n=6,7,8,9J;- 1, n = 3,1,5,61: '+2n, n = 1,2,3 ; nt = 1. ,21 1+ nl , n=l ,Zi In:2.J|-

cl :a) A = [1,2" 3,4] , .b) A = 11,3,5,7, e l ,

B=tt .4,7,8, eJ ;B = l l , 7. 9. 13, 17.2l l ;

l3t2

c)A={2.4.b.8. r0. r2J, . B=l-2.4. 10, . t0.22i ;d) A=10..1.b.e. 12. 151. B={21.2J.271 ; .e) A=fa-b.cd.ef 3 j . g=laJ.g.n. iJt .

b)

5. Str se detennine mulfimea X, sliind cI:a) xn i3, 4, 5, 6] : {1, 6} ;b) xU {3,4,5,6}= {r ,2,3,4,5,6}.

6. Str se determine mullimea X, stiind cI:a) xn {2, 3, 4} = {3} ;b) xU {2, 4, 6} = {1, 2, :, a, s,6} ;c) X are 3 elemente.

7. Si se determine mullimea X, Stiind ct :a) xa {r, 3, 4} = {1, 3J;b) xU {2, 4} = {1, 2, 3,4, 5} ;c) X are numai elernente impare.

8. Str se detennine mullinea X, gtiind ct :a) xn {2,4, sl= o;b) {r , 3}c x; .c) Xc{1,2,3}.

9, Str se delennide mulfimea X, qtiird cI:a) xU {3, 4l = {1, 2, 3,4, 5} ;b) x c l l , 2,51.

10. Str se detennine mull imea X, st i ind ci:a) xn 12,4] = @;b) x - i2, 4] = {r, 3,5} .

l l . Sa \e determine nrul t i inea X, t l i inJ ( i :x-{r .sJ =Fl ;suma elemenlelor lui X este 4.

12. Str se detennine mullimeax-{r .2}={3,4};X are treielemenle.

13. St se delemine mullimea{r ,2, : ,+}-x={r ,+};X are doutr elemenle.

14. Str se delemrine mullimea

X, qtiind ctr :

a) xn {1, 3, 5}= i l , 3} ;b) x-{2,3}-{r l ;c) X are lrei elemenle.

15. SI se delermine mullinilea) XIJ Y - {1,2, 3, a, 5,6} ;b) x - {4, 5,6}: {r, 2, -r} ;c) X,Y au cale lrei elemenle.

16. Sl se delennine mull imile X;i Y,sri indcta) x-Y: i2,71;b) x a Y: l l , 3, s l ;c) x[J Y = {1, 2, 3, 4, s, 6, 7J.

17. Str se detennine nulf imile X qi Y,$l i indcta) xU Y: {1, 2, 3. 4, 5, 6, 7 i ;b) xnY:{3,5,4;c) X - Y: {1,2,6}.

18. SI se delernine rnulfimile X $i Y, $liind cta) xU Y-{1,2,3,4.s} ;b) xn Y-{1,2};c)x.Y={J.41.

19. Si se delermine mulfimile X ti Y,ttiirdcta) xlJ Y = {1, 2, 3,4, 51 ;

a)b)

a)b)

X, $ti ind cI :

X, $tiind cl :

X $i Y, $ti ind cd

l4 t5

b) xnY={1,2};c) suma elementelor lui X este 10.

20. Sa se determine mullimile X 9i Y , qtiind cI :

a) xU Y = {1, 2, 3,4,5} ;b) xn Y = 11,2J;c) 5€X-Y;d) mullimea X arc mai multe elemente decat mullimea Y.

21. Str se detennine mutf imile X $i Y,t l i indcd:a) xu Y = {1, 2, 3,4,5, 6} ib) xnY=q,;c) X-Y={1,2,3}.

22, Fie X $i Y doul mullimi cu cate doutr elemenle :

a) Cale elemente poale avea Xn Y ?

b) Cate elemenle poa{e avea X(-J Y ?

c) Cale elemenle poate avea X-Y'ld) Ctle elemente poate avea Y - X ?

23. Fie X ti Y doutrmulfimi cu cate lrei elemente:a) Cale elemenle poate avea Xa Y ?

b) Cale elemente poate avea XLJ Y ?

c) Cate elemente poate avea X - Y 'ld) Cale elemente poate avea Y-X?.

24. Se considertr multimile: X = {1, 2, 3, 4, x, , $iY = 11,3,5,4.

Si se deterinine x, y, ze -|y' aslfel incat sd aibd loc relilliile:

a) xIY={1,3,s} :b) x u Y =11, 2, 3, 4, 5, 6, 71.

25. Fie A = {( (. J) €.lvx-rr' l l = x2 r" y2 = 100l.Sa !e \ labi leascl cardinalul mull imii A.

1.3 DIVIZIBILITATEA NUMf,RELOR NATUR{LE

1. Str se arate ctr :a) l5ht + 3n+r'5n + 3H2 5nb) 2H23k3 * 2n+33n+2

c1 15o + 3n-5*t + 3o.542

d) 6n + 3k2 2*t + 3Et'2"+2

e1 l5n + 3*\-5o + 3o.5N1

I l5n a Jh2.5Hr * 3n+t.5rt+2gS l4n + 2h2.7n + 2n1*2

h) 63" +'t*1.32o*r - 27n 3o2I 1 52H3 .9m2 * 32*1 .25m1

) 3n+2.22n+1 + 1n+3.4r]+2oricare ar f i z€N*.

este divizibil cu 27,


esle divizibi l cu 31,








2. Str se delermine cel nlai mic ai cel mai mare dintrenumerele de forma 3x,r/, itiind ci ele se divid cu 2 qi sumacifrelor lor este I l.

3. SI se detemine loate nurnerele de 5 cifre de formax)r,x),,{, care se divid cu 2 gtiind ctrsumacifrelor numfuuluieste10.

se arale ctr numtrml,A/= 3l + 32 +...+ 350 se <l ivide

se arale ctr numtrrul r\/= 5l + 52 + -. + 550 ie diui.le

6. Str se delemine toale numerele de forma s2x2 care sedivid prin 3.

7. Si se ardle ca toate numerele de forma aDc in carea, 4 c sunt numere naturale consecutive, a I 0 se divid cu 3.

4. Srprin 2.

5. Sr

16 t7

19. Str se amte cd numlrLrl N= 31 + 33 + ... + 399zibi l cu 5.

esle divi-

20. Str se determine toate numerele de forrna-A/= 1xx8 + 235x cite sunt divizibile cu 10.

2t, Si \e arale cl numlrul N= a6c , 1,,a ,, ; ' se .t ivi , leprin 10 dactr qi num:ri dact a + D + c se divide prin 10.

22. Sl se arate ctr numtrrul ,A/= 21 + 22 + ,. + 2100 estedivizibi l cu 10.

23. SI se arate ctr nunirul i/= 3l + 32 +... + 3100 estedivizibil cu 10.

24, SI se arate ctr numirLrl N= 41 + 42 +... + 4l@ esledivizibi l cu 10.

25. SI se arale ctr nurntr.lrl -A/= 5l + 52 + -. + 5100 esledivizibi l cu 10.

26. Si se arale ctr nurntrrul ,A/:31 + 32 + -.+ 3100 estedivizibil cu 4.

+1xx + xxl caresedividcu5. 27. S tr se delennine cel mai mare numtrr de fu*o l2j, l ,care se divide cu 4.

28. Sl se dete.mine cel mai mic numtrr de1234xx care se divide cu 4-

17. Sl \e ardte Li numrrul

N=abc +bca +cab +ab +bc+ci +3(a+b+c) . .29. Slsearareclnumtr l lN=xyz + yzx +zxy este div i_esle divizibi l cu 5.

zibi lcu9dacrx+J + z este divizibi l cu i .

30. Sl se determine toate numerele naturale de forma

7. Str se arate cl toate numerele de foma aDc in carea, 4 c sunt numere naturale consecutive, a: 0 se divid cu 3.

8. Si se arale ca numerele de forma xt - xlx5 se divid cu

3._9. Sd se arate ca numerele de lortta xyz+yzx+

+ 2ry, xz 0, y, O, z* O se divid cu 3.

10. Sl se arale ia numfnrl N= abc I lrc - c se diuiJe cu .tddca

' i numai dacx . ' + 26 se divide cu 3.

11. Str se aftt1e ctr numlrul ^/=

arc + bca + cab +

+ ub + bc +i te,liride cu 3 dactr 5i numai dacd a + 6+ c sediv ide cu 3.

12. Sd se arate ctr numlrul N= 21 +22+ +2100sediuideprin 3.

13- Str se amte ctr numlrul -|/= 81 +82+ +850sedividep.in 3.

l,l. Sl se delemline cel mai mic numtrr de fonna:

N= lxx + Zxx + 3xx, care str se dividtr prin 5.

15. Sa se detemrine numerele de [rm" N= xlx r

16. Str se arale cd numerele i/= aDc + ,c + c se divid cu 5dacl $i numai dacd c€ {0, 5i.

18. Sd se arare ctr numdrul r\/= 2l + 23 + ' + 299 este divi-zibil cu 5.

l8

forma

1234xx care se divid cu 9.

19

31. str se arate cd numdrul -|y'= 2l + 22 + - + 2120 se divitle

cu 15.

32. Str se alate cd numarul N= 8l + 82 + + 8100 se divide

33. Sd se determine toale numerele nalulale de forma

l23xx care se divid cu 25.

3,1, Sd se detemine toale numerele naturale de fonna

987xx care se divid cu 25.

35. Sl se determine toate numerele naturale de fomra

567x care se divid cu 25-

36. S tr se amle ctr exi sttr un singur nunf,r prim, P astfel incat

p+ 1,p+ 3, p + 5 sd f ie Prime.

37. Sd se delermine toate numerele prime p, astfel incat

p,p+4,P+Ssi i f iePdme.

38. Str se delermine toate numerele prime A astfel incat

p, p + 4, p + 14 si fie Prime-

39. Sl se detennine numerele pnme a, 4 c astfel incat:a+2b+3c'33.

40. Str se arate ci numdrul N= 2l + 22 + + 2120 se divicle

cu 210."" it I sr r" u.ot"

"r nurntrrul N= 3l + 32 + + 3120 serlivide

cu 120.

42. str se arale ctr numtrrul N= 4r +42 +'' + 4120 se divide

ct 42O.

43. S! se arale cd numrrul -A/= 2l + 22 + -' + 21980 te di-

vide atat cu 90 cat ti cu 91.

44. Sl se arale ce numtrrul -A/= 31 + 32 + + 31992 ," divide cu 39, cu 40 ; i cu 41.

45. Sd se arate ca nurnlrul N= 31 + 32 + - + 31983 se divide cu 13.

46, Si se arale ctr numtrul N= 61 + 62 + - + 61990 ,e .ii-vide cu 3l l .

47. Sl se detennine numerele naturale ptrtFte pedecle e $i1, care au c.m.m.d-c. egal cu 4 $tiind cI a + D= 52.

48. Sa se determine numercle naturale a $i D care auc.nl.m.d-c. egal cu 5, suma nu rerelor se divide cu 17' iirrprodusul mrmerelor este 750.

49. SI se delennine numerele nalurale a fi b care auc.rn.m.d.c. egal cu 5, suma numerelor este 65, iar prodlisulnumerelor esle prllal perfect.

50. SI se detennine nunerele naturale a $i b carc auc.n1.m.d,c. egal cn 16, iar suma numereloreste un ptrlrat perfeclde doul cifre.

51. I pI4ind numerele 1216,2325,3364 la un acela;inumlr obl inem reslur i le 36,25,64. Si se determineimpl(itorul.

52. sI se determine cel mai mic numdr naluml pe careimp54indu I la 6, 8 qi 10 sd oblinem acelasi rest 3.

53, Str se delennine cel mai mic numtrr nalural ptrtrat Pefscl,pe care irnpdrtindu-l la 5, 12, 30 obfinem acelasi rcst 4.

5,1. Sa se determine numerele natumle a si ,, gliind cl

I a, r ] - 3600si cd( 4 r) = 10.

2l

2. NUMERE iNrnocr2.1 oPER{TrI cu NUMERE iNTREGI

l. Ordonali crescdtor numerele intregi:-2; 7; -1 ; 12; O; -15; 25; 125; 350;-6: l '1:, -25: -125; 1250; 125; '1550;120; -250, l'7 5; -1240l' -4l' -'7 : 1,2; 29;

2. Calculali cel mai mare qi cel mai mic numtrr intreg dintre:-5; 7; -18;23;75; 1000; -825;500;-14:24; -21O:28; 600; 1250; -900;-461205;325; 1250; 5000;12i -75;

3. Str se calculeze modulele numerelor intrcgi:-7; -25;0; '1000;25; -128;50; -7500; -37.

4. Ordonali cresctrlor modulele numerelor infegi:-12i 751 34; 120; -189;225; -76;-72; 126; -88; 54; I145; -900; 0;-126;300; 625; -75; 1179; -500.

Sh se calculeze:a) a+ b+ c-, b) a+ b- qd) -a+ r+ q e) a-(b+c-) ;

. Str se calculeze:+2+3+5+6+7r8+(-35)=+l+2+l+2+3+(-9)=+3+5+7+C10)+C6)=

8. Se se calculeze:a) I + 3 + (-2) + 5 + (,4) + 7 + (-6) + 9 + (-8) =b) 2 +4+ C5) +6 + 8 +(-9) + l0 + 12 +(-13) =c) 3 + 6 + (- '7) + 9 + 12 +C 13) + 15 + 18 + C19) =

9. St se calculeze:a) 1 + 4 - '7 + 3 + 6 - ( -5) + 12 =b) 3 + 7 + 8 - 12 - (-1) - 6 + 25 =c) 15 r20- 10+25- 15 +30-40=

I0. Se dau numerele: a = 5 + 10+ 15- 12;,=-3+6+ 9- 10+ 12; c=4+8-3+ 12+24-20.

c) a- b+ L1f) a- b- c.

11. Se dau numerele: a = l++2+3+4-5;b= 1+ 3 + 5 +7 19; c:2 + 4+ 6 + 8 - 10;t l= | + 4 +'1 + l0 - 33; e= 2 + 5 + 8 + 1l - 14.a) Si se ordoneze crescdtor numerele int.egi a, b, c, d, e.b) Sd se ordoneze descresc or numerele intregi: l a l , l Zr l ,l . l , | , /1, I '1.c) Str se calculeze cel mai rnic $i cel mai marc dinhe nunere,le a, b, c, d, e.

12. Str se calculeze:a) (- t ) (- t ){- t }(- t ).( t); u) (-:}(-z) (-2).(-z\.(-2)c) 1{ 2}3.(-4}5{_6); d) 1.2{_3X_4).s.6.

13. Se dau numereie: a= 2.3; b= 2.{-3).4; c3.(-4).Sd se calculeze: a.1rc; a b + bc + caSl a + b+ c.

14. Se dau numerele: a = 1.2 + 2.3 + 3.4; b = 1.2 3.4;

7a) lb)1c) l

b)

a)b)c)

D)

c)

5. Se considerl mullimile:,4 = {-127: - to0: 75: -25; - .2: o: 2:40 : 7of :a {- t27: - 80: 75; -25;-12; 0r2; 40;801;C - -l-12'7

i ,-'t0: -7 5t -20; -2; 0; 3; 40 1 601.'Sl se calculeze:t) s ;.aO c ; aO c ;.sU n ; aU c ; AaBa c

a)

tJ)

6, Str se calculeze elementele mullimii:e=lxezl I x l = s] ;A: lxezl l " l=-s l ;a=lxezl : . l . r l<7j :A=lxe z I r . l x l .eJ: .A=lxezl- t<lx l<t01.

c)

c= (1 - 2+ 3 - 4)5; d= ( l + 2 + 3 +'+).5.Str se calculeze:al; I a l ; l " l ; la l ;a+b+c+dl;abt-dl.

15. Sl se calculeze:a) (1+2+3 +4+5*6):3=b) ( l +3+5+7+9- l l ) :7=c) (2-4+6-8+ 10- 12):3-

17. Sl se calouleze:(1.2+23-3.4+45):4-(1 3+24+35+46);5-(14+25+36+47):6-.

18, Si se calculeze:

(- r)r{-2)2(-3)3 (-4)4 =

21. 22.11.24. 25. 26.21 .28 _

2(-2)2 + 3(-3)2 + 4{-4)2 + 5{-5)3 =

19, Si se calculeze:(-1)r + (-1)2 + (- l )3 + (- l )1 + (- l )5 (- l )6 =

2o + 2t +22 + 21 +21 +25 +26 =

(-3)o + (-3)2 + (-3)a + (-3)o -.

20. Str se calculeze:(-lX-z) + (-2X-3) + (-3X-a) + (-aX-5)(-2X-6) + (-12) : 2+ (-25) : 5 + (-7) 12 ; 3

[ ( - l )3+( 2)3 + (-3)3]{-3) : r8.24

^___ 2.2 ECUATrr gr rNEcuATrrIN MULTIMEA NUMERELOR INTRECI

1. .Str se rezolve in mullimea Z ecLraliile2x+10-0 b) 3x+6=0 c) 4x+40=0-?x+12=O e) -5.r+25=0 0 - l0x+20-0-3x-6=0 h) -12x-84=0 i ) -5x-80=0

2. St se rezulve in rnull imea Z e.uali i le:2x+1=5 b) 3x+2=11 c) 4x+l=9-2x+1=7 e) -3x+2=-10 F) -x+2=22x-3- ' l h) 3.r- l -8 i ) 6x-5=13.

b) 3x-12>0 c) 5x-15>0e) -2r+ l0>0 f l -5x-5>0h) -6x-12>0 i ) 3x-9>0

16. Sl se calculeze:a) 100 : 2: ( -5) : ( -2) -c) 150:3 : ( -5) ;2 =e) 1000 :4 : ( -5) : 10 =

b) 120:3: ( -4) : 5 =d) 200; 2;(-4) :5 -e) 1500:3: ( -5) :10-

a)(r)

a)d)

a)a)

a)

c)

d)

b)

c)

3. Str se rezolve h mullimea Z ecuafiile:q 2l-2-o b) l -9=o c) 3x2-. ts-og - i+25-o d ?-625-o g - i+q=os) 3l- ls=o h) 4?-40-o i ) sxz -2s-0.

4. SI se rezolve iD rnullinlea Z inecuatiile:x+ 3 > 0-x+3>04x+8>0

5. Str se deten ne numerele inlregi x care verifictr relafile:3x- I5>05i 2r- 14<0.

6. St^se d€leIm.ne nujnerele inlregi x care veri[ i(areldl; i le:x- / > uslJx-bu<0.

' . Se . 'unsiderr rnul( i rn i le:A=l^ezl -x.12 '0| . B=lxeZl x-2>0i , .C-1. \ezl -2,r r z0 ' b] . D=lre z | 2.r-8,01.

Sa \e calcule.,e nrullir"rn afra. lf)C. a(^tD, bOCBa D. cfiD.

8, Sa se detennine x € Z astfel incit I + x = -30.

D,,

c)

t),

c)

3. NUMERE RATIONALE

3.1 FRACTtr

1. Str se determine numetele naturale .x pentru care exrsti

fracliile:3261512

x-7'x-2 'x+1" x-7 'x- l0 ' x+ 5

2. Sl se determine toate fiacfiile de forma 4 gtiind ca4zv

lx+ se divicle cu 3 si 42y se divide cu 9.

3. Sr se detennine toate fracliile tte forma 4J $dind d atatlx4

9. Cu cat [ebuie sa amplihcam fraclia f;

penrru a obfine o:XJ

ITaClre oe lorTna :--3x

10. Cu caf tuebuie str amplificlm fraclia ]

pentru a obtine o

-lx

rracFe de tonna::::.,ta

I l. Sa se delermine fiacliile de f,rma ?-x care se simolifica

$i dupa simplif icare se obgire f iacgia i .

12. Str se determine fracliile de fonna 3 care se simDlifictr7x

$r oupa $mprtrlcare se oblme trarlra o.

13. Sl se determine cea mai micd Si cea mai mare fractie de

- 12x2 ..lorrna - Sl nd (tr ea se \ inrDli l lct cu 9.

32r4

14. Str se determine toale f.actiile de formo 14 "o."

*

2lx car ti lx4 se Jivid prin l.

4. St \e de(ermine l^ale fiacti ite de forma I ar- yiind cl atdt

l4x cat $l J|ad se olvld Pnn o.

5. Str se detemine toate frdcfiile subunilare de forma:

6.

1.

x435xx3x!/o 1x +r x2 4x

Sd se determine fractiile echiunitarc de forma:3x+l 2x+5 5x+3 '7x+3

x+5'3x+2'2x+9'5x+l l -

Sa se delemine toate fTac{iile supraunitare de forma:

'7x t6 x9 5x x371 ' 58' 56' x4' 6x '

8. Str se determine valorile lui x, astfel incat fracfiileumtrtoare sf, fre echivalente:

I l t 4. lx 7 .^ la) ;Si " . : b) ,$r

'a: c)^Sr: '

b3xtzdtx1

simplificd cu 3.

15. SI s€ detennine cate fiaclii de forma

plific{ cu 4.

16. Str se determine numtrrul de fraclii de

care se simplifictr cu 25.

43Jg

!4,234y

se slln-

17. Sd se determine fracliile de forma 4, care se simpli-

ticr cu 25. l3xy

t1

18. SI se simplifice fracfiile umdtoare: 22. SI se efectueze:123453 3 3 3 3 '357910 ' 10 10 10'

23. Str se efectueze:

. . 2o +4"o,

,1-\ s,,

19. Sd se simplifice fracliile urmtrtoare:

4: ,n +.1,*1 5. jo+i"* | t4.4 '+4" I

' t rn- t - r rnt

b) 5. , . l -?

: ' ' ,n*r - r ' -

20. Sl se simplifice fracliile urmtrtoarc:. 3+6+9+ +150

") i *B+12*. . . ;a.oo;. .5+10+15+ +5000-o) l "* s; 12 _. ;4000

.

.1.3+2'3+33+ + 1003" '14+2.4+-14+ + 1004'

I2+2.3+.1 4+ +7576' ' z4+46+68+ +150 152'

14+25+36+ +1000 1003e) t{ + 4lo + 612; - + 2oootoo6 i

- 124+22.4+ + 502'4t )

72, ] ; + so'1 '2 '135+21.5+ + 1oo3'5

a)

b)

c)

A3tt + 1.tn * O.rn.tn + z

.1.4n+ r.jn + 5.4n1n+ |

l l 8+2r '8+ + loo38'

64o*1-1o - 4".r"t nr'ttn*t

+315'+I '

- 2.280* |

9.Zn + I.5n + j .Zn.5!1+ 1 + 3.10r* I

;7;r'E;;A.t';r;;'t;t

?\ t .3'+9n

a). . | 2 3 4 5D) i+ 4+ 4+ 4+ 4l. . 5 '7 9 l I" ' 12 t2 t2 12'

4

a)

c)

a)

b)

c)

a)

c)

e)

b).111al t+-+; ;.3 5 1

' ' r0 20 40'. ' t 14 9

- ' t5 45 2 'r ' l l

s) 3; + 42; - 5i ;t ' tq

i )a j -3 l l+; j ;

l l l2 4 8 ' ,5 1l 23612 24'379

.. I I I I I Id) t+t+t+ 16 +-+a< t .

h)

,

24. Sl se denonstreze inegalitltile:111i+;+t<r;11lrt+4+8+16<r;11111a+ 4+ s+ 16+ at< | i

25. Str se efectueze:123a5 4;,11_q!.1q.- 2 "4l l '

I 15 "-4t+28 ro-;

10 100 1000 ',1 .12 ,6

^1 ^ l I

21. SI se simplifice fracfiile urmdtoare:

Z.3n + r.5n + g3n.5n+ | + 2.15o * L .

o) ?.6 .1 .3204'^ l ^13 l-2 -35 4 '_ I 1 A,

/ | ) l r 1r - - \ '1O'\ ' -15 r0 15/ -- '

d)

t t

h)

J)1)

26. Sa se demonstreze inegalittrfile:. 123 |a) ta i ,a i

, , 1234 |o) ta 4a, 6l.12345 |. ) aa-4'a '6,7:, , 123456 Iq taia 6i 'B '

27. Sh se demonstreze inegalitatea:

lr - 1\lr _ 1Vr _ -1-\/r _ 1r/, _\ -1/ \ ' 4 i \ - 5 i \ - 6/ \ -

irnprfi;l fi : $

sa fie ptrtralul unui numtrr natural


", (N' (l)'-(j)'.(N'.[)'.(])'', (i)"[i)',(N' (ll- Lrl [")'.,(,')'(3)' (-.-)' G!j' (:i (tl,, j (3)'.3 (i)'.i (i)'" (r) (:)(r) .(i:(;) H" (i)' F-)' (:i. (")' (;)' (-1'

33. Str se demonstreze inegirlitatea:

1r - jyir - jyir - N(' - )t' -)'".34. Str se calculeze valorile expresiilor unntrloare :

/ ,3 2 ,21\ ,\ '4 3 ' - t

-2. i "

t7 t4 2\31115 45 qi i '

I 5 .1. 15.5 l . r .\21 s 28 84120'/ l ls , -4\

'7

17"28 ' ' iJ G'

i)(' *).128, Sl se arale cd fracfiile unndtoare:

b)a)

o)

6n+5

2n+3

4n+33n +26-n+5' |n+6

4n+105z+ 135n+ 3ltll + J

e)

c)

0sunt ireductibile.

29. Str se amte ci fracliile unntrtoae: .=r l -{ j

- [rr t , - ( ' rr to, -r ] i ]1] ' r , ' , ,.=l( ' - r j).o].-ol1 I. ;po- :r, ' , ) ' ,11,.,,_ /s. i 15s\ l ,^ l ^ l \ l ,16"- l : r 's :s ' i+J.zo t (z: i+r :J,) rJ - r35 :

" = lr,l. # - ('#. :f;1p+,1r],+f;1'

' =. (fr . f .3) rc! - rf, 1z! - Q1). n

. n2+n+la) ) r),

n ' -n+Isunt ireductibile.

2n2 + 2n+ | 2n2+6n+5

2t?+4n+2c)

30. Str se dete.mine numtrrul natural r, astfel incatrczultaful\L n2

lnpa(iri i i9 ; i* str f ie culrul unui numlr natural.

31. Sl se detenninenumirul natural n, astfelincat rezultaful

2r] +8n+8

a)

b)

o,,

e)

30 3l

35. Sd se calculeze valorile expresiilor :

58/ .1 l - r .7 . 9\ . J

- ^ | -3\5 ' l t 55/ 2J 20- ' - - 8 a I : s 7 . r l_ _ 1, I _ . r4. \ . 7 l t '

' " -10 ' lb \ "7 -5i 65 .^3 1 2-2 4

999,a(7) - 12,3(8) + 11,2(8)175,14(,1) - 2,11(5)I r '1 s,29(4), | 12,12(3\12,12(13) + 172,15(23)r991,19(11) - 1970,13(13)

3. Sf, se simplifice fractiile urmdtoare:t,(+) + z,(6) -- u,(:)s,(2)+6,(1)-7,(a)L1,z) r 1?l1lt11d:)2,(3)+11,(5)+7,(7)12,(12) +25,(17) - 11,( l l )

21 ,(r3) - 14,(11)n,(r2)+24129)-13,( t ,

r4,(3s) - 7,(12)1t,(L2I- 11,.(162175,(175) + 0,(314)

12.Qej)t2t4t?l31 ,(r'73) - 22,(131)11,1(3) + 12,2(a) 3,3(5)10,1(,1) + I 1,2(5) + 12,3(6)0,1Q) + r,2(3) + 2,3(1)2,1(3)+3,2(4)+4,3(5)0,2(a) +0,3(5) -0J(2)0,1(5) + 0,2(6) - 0,1(7)

I,u(:)rz.i(+!L1Q2,1(1)+3,a(2)- 1,1(3)

h)r))Kl

13-:; ; (2;+

; ) + (11; : 2;+ 3,5)5o) I i -

041

c)E


a nlt-e.zsfio (rr-{) '0, :

o +|.110],0,1frel (rr4,o5 + i,ro) o,oz

3

rJ1 t ft.rclt 'z] r:f , tz! * jr - r

3.2 FRACTII ZECIMALE

a)

c)

0

nJ

r)

J)

D)

c)

b) l2 j :3t + 4, , 4,1251

d) 17.25:2a: - 2.5

^ .1 0.003 0.004 l ^1' 6 0,25 0,2 )-3, 1 l

h) (2.5 - 3;.; + 0.75):1,2s.

2. Str se efectueze:a) 1,(7) + 3,(3) + s,(8) - a,(a)b) 22,(4) + t3s.(7) - s,(7\ + 17,(2)c) 15,(12) + 23,(17) - 7,(31)t) r7 ,(r2) + 2r,(re) - 13,(22)e) 2'1{27 t) - r2,(rr2) r 13,(67l)0 3s,(r7e) - 121373) + 5r,(r23)

4. Sl se calculeze valorile expresiilor urmtrloare:a) f= 0,(a) + l,(s) + l,(la) + 0,(8s)

,= 15,(1) + a,(8) + 3,(rz) + 0,(:+) + ]1

E= r2,(4) + ll,(s) + 5,(13) + 2,(7s) + n

32

o,

0

1s-: ]1 ,e.r : r*s)t ' r l ;= ' - ' - -

(12.(2) + 0.8(31+ u.s) f i

zft . o,z't s, o,zt s : ) - t,r

E= r2,(2).+-r:.,(7)..r4+ 1,( ls) + 3,(as) + 3,(30) + fE= t2,(q.1- s,(D1+ 15,(12) + tr,1z.t7 - !E= 1,(r) + z,(2) + 3,Q) + a,(a) + 5,(5) + 6,(6) + 7,(7)

- 0,(0a):0,(a0)

,F= .-j:

7 + 3(2; - 0,(3) + o,(6D i5

3.3 OPERA.TII CU NUI,IERE RATIONALE

1, Str se calculeze:

") j - ( ; ) . ' ] t r i l=c)

e)

2. Si se calculeze:. 5 I r 5. 7a)

t -4+\- t l+J2=. r_r 11 t5 / 7,cr t +;-1 - t ,2/=

5 3 , 4, 6- 1 14')1t t5

3. Si se cirlculeze:t / 2\ -1 ,4\a) t r -1, t1-s/=

. t i5 8 2\c ' t \ -+ l+ r . ,

=

.5, 2, / t Le) 2t-L5Jl4- l i

=

4. SI se calculeze:

q l : '1 ' r t=

. t /7 2,e) 5: \10

- '

=

/ l l - l .1, / 1\e/ t , t - j -11: \ i ) -

D,)

o)

0

. . l ,1, + 1- lDr s (-10' + 15 +

- lo =

, I I 7 , -1 ,dJ -a+E+20-I-40'=

^ 41 2 t l \ 39'25 5 10' , 50

, 2,6\ t425-1 ' 7', 15 28

, 26 ? -1,16dr 1S - r -a/

- :

b); , ( - ; ) ,q.a)=, r)1r,G +)=t (1. i0-r) ' ( -1)=

J5

I i 1\ 2 , 5,J+\-6l+9+( r2l=I r 3r 7 l5+\- lo/+l-5+24=7 3 r 5t 7a+8+(-Dl+G=.

2 r 1', 3 5J+(-6l+a+12=

I . ' t- ]). {-u!) ' *1 =

5. Sl se calculeze valorile expresiilor umltoare :

") E = lr34 - (14.J;,+] - ft1 1o,oor,,of .. o,osl ;D E = t#t(E - 2#)+3(4,2s4 -t,t34,o.zl)+t,tt4;

- t l t \ / r <\ .c , E = L2; l; 0.s - o.x],lj

-,;,Jl -

- t : [ (z.s - t ' .2) . , ' , + : t , ] ;

d) E=2to 'l1+*.#,Tf -e) E = (5 + n) - t!' tJ- r,r, tu1

p].1roj'0,1.*11 1r.ra0 E=

zjro,zs t . ]- f ir r rs - /r no, - oll\ ' l .r r<

l .u1r - / l )r . , , . .

2'3t \51 - ' , - ' ' ,| | "1 ' 2\5' t t l ) ,0 ' jJ ;

l . '- '+)

. - . t ,5 -3 Lr ) g\ t -J-2r=

. l

I

3.1

.0.16"

c)

e)

b)

5. Sl se calculeze:

l . , t l )2. t l ) '= or '*1. ' { l )2.( i )3:' - |. t-])'. cl)' = or <|t' t!l' t-llo =r-lrzr-lf tjf = n'rft<lt'z<|ta=6. S f, se cornpare numerele rafionale ,4, E , unde:

12.1 qq ^ / l 1.1 9\2

o=2.sq ,OO;D=(2 r '+ r0l

7, Str se calculeze:

8. Str se demonstreze ctr:11 I

-

+- +-: +a*rt<1

9. Si se arale cl:4 l1 l{< tot + ar+

. -+to '+ '

10. Sr se simplif ice fracl i i le:t +r?! t l1u *: . too! l99Q .23+1'6+69+ +20003000'

?:Ir4tQr6 ts. + 20001{! ! .3.4+68+9 12+ +30004000'2. ,1.6+4812+ + 2000 4000 6000

'/ : 5.7 + 6 10 1,1 + + 3000 5000 7000'

3.4 ECUATII IN ]\{ULTIMEA NUI'IERELOR -RATIONALE. PROBLEME CARE SE REZOLVA

CU AJUTORUL ECUATIILOR.

l. Str se rezolve ecualiile urmtrloare :.^ x 3 x "a) Z-

Z= 2 ++l

. .5x 1 2x+1 - . ,t r t

Z t : rx 14;

. x+l x+2 x+- l ^. ) Z

* :

+ 4

=ui

. . x-1 x+2 x-3 ^d) 2

+ 4

+ g =u;

.3, 4 5x+le)

7 + I

=a- i - )x l

^ 5x-2 x-8 )+l I ^' ' I 1 2. x+17 5x- '7

. . x+4 - x+]l l ) - -x+)=: -

:) -1

. . 15x-6 3x+1 .' l t

- . . r -2 l l - r 5r-- t6JJ I + l :

2 +

4 ;

. .4x+3 1lx 81l - l '

, , x-2 Ix-29 x+353

, x+3 2x+3 x+2*, i * - l = z

,2x+l 4x+1 6x+2' ' ' 3 5 4

,^r:1r-l;qr i)(' 3)(' *nX' #)

16

. , i , i l j ( j ' - , ) - ,1-r l - - r o:

" i i l l l (1"-r)-r l - r ) - r=o;

2. Sl se rezolve ecuaJiile :

I I _t . l. r l l l l i ( -^- t ) - l l - l l -1.0;

I JL4\) / II t . t . l

, l ) ,1 ,1 ; ( ,x+2\+2l- .2 1- l - 0:I 1.1,1

. r ,1,1, [ , . r+l)+l l r I l - l ' 0;2 2LZ\2 / )t_ l - t I

0 : l : l : ( l (^-2) +4)r 6 l r 8 l l=0.v / L) \ t / )

3. Maria are cu 20 de pere mai lull decat vasile 5i de 5 orimai nulle pere decal el.

Str se deternine cale pere are fiecare copil.

4. La un numlr rdluglm 20. Dach lutrm jumilate din aceasltrsunri ti adluglm 80 oblinenl numirul inilial.

Si se delerrnine numirul inilial.

5. Tatil are 70 cle ani, iar fiul are 40 rie ani. C ce! ani irlunntr l:rlil avea de 4 ori vArsta fiului'l

6. I a un IurnrralJuirn ' 50. Da.r lu;rm ldh

aiedsl) suml

;i adiugtun 200 oblinem numtrml inifial.Str se determine nunirul inilial.

7. Si se detennine numtrrul care trebuie adunal la numerele20 5i 80 pentru a obline dour nunere, unul de 3 ori mai maredecal celillalt.

8. Mama, t:Lta 5if iul auimpreunI l50 de ani. $l i indcdmama5i tala au aceeali varsitr, egall cu de 2 ori varsta

fiului, sI se delennine vaNta penlfl fiecaremernbru al familiei.

9, lnlr o umtr sunl in blal 23 de bile albe, rogii 5i negre.Sliind cx bile negre sun( de 6 ori mai mulre dec&l albe Si de 9ori mai nruhe decal rosii, si se determine cele bile de fiecareculoarc sunl in uml-

10. Dact adlugim 6la un nulrrir, oblinem acela$i rezullat5

ca alunci cfutd il innrullim cu ;.

Si se detennine numtrrul.

l l . Uncopilsi lal l l stu au inpreuntr 34 de ani. peste 3 ani,varsla laltrlui va fi de 3 ori mai mare decal varsla copilului.

Si se determine vlrsl ir copilului Si varsla tal l lui.

| 2- La un nLrmir adiugln1 50. Dacl lutm; din ace.1sltr sumtr

ji adluglm 200 obtinem nurnlrul inilizrl.Sa se delennine nurnarul inilial.

lJ , Un ele\ r ' r le: le 5

! l t r t , , ' ' . r le f i t 'ot) \ tn| l L a , ] . . .1

ar mai f i cit ir 30 de pagini, i l lunci ar f i ci l i t 1 din carte.

SJ se Lletennine . Jre f;rgirr i are . rrrea.

1,1. Suma dinlre un num?lr,lreinrea sa ti sfenul stru esle I1,1.Sx se delennire nunllrul.

15. Un nrrrni i tur ereiutJ ; L l in l r . , lu( r are ) i co \ ldtJ . .1 , l ( tt

a. mai fi lucral l0 riinule, alunci el ar fi execLrtat ]

din lucrare,

Sl se deiennine in cat tin]p temrint muncitorul lucrurea.

I6. Media arirrt |etr( 'J a r loutr numere naturale esle r00, ialuuul di numere esle cu 150 mai mare decal celtrlalt.

Sd se delennine cele doutr numere.

33 39

l?, Str se detemrine numtrrul care are proprietalea ctr nedla

ari lmelictr inlre jumitalea, lreinea, pf, lr imea $i lesimeanunlrului este 25.

18, Pe ullimul raft al unei biblioteci sunt de doutr ori mai

rnuLre clr t i Je.; l pe f 'r imul raft. $l i inJ cl pe cele dou' rafturi

.ul l t 'b de (Jrl i . sl se.lelermii le (, le cafl i \unl F ul lrrnul ral l

al tlibliolecii.

19. Doi frali au curnplrat impreuntr 15 caiele, pe care le-au

iorptrrlit aslfel: unul din fiali a lual de 2 ori n1ai muhe ciliele

decal celtrlalt.-- St;;;" cr tiecare din cei doi frati a primit cel pulin 5

caiele,

20. Un autolrobil parcurge o trein1e din drum $i se gtrse$le

la 300 km de deslinalie.Sr se alelemine lungimea drumului.

21. lonel depune la CEC de 2 ori mai muLli lei decat Marin

si de 6 ori lIraimullilei decel VioreL. $tiind c tr 'inrpreun tr cei lrei

copii au depus la CEC 10000000 lei, s[ se afle cati lei a depus

fiecare copil la CEC-

22. Mnma:i i tal i l unui coPil au imlreunl80 de ani Sl i indci mirnra zrre de 2 ori vfusla coPilului li lala are de 3 orj versla

copilului, sl se detennine varsla copilulul'

23. De De lrei lerenuri s au cules 175 kg ardei- $t i ind ci de

ne :,1 Jri le:L tererr : ' au le. 'ol 'dl cu 25 tg nrri rn r lr d<' i ' Je 1corlrrul teren. iar de le al l lei lea telen (u 5 k- ' Inai nrLtl l Llec:l Lle

pe al ,loitea ieren, ahali ce carllilrli de ardei s-au recoltat de pe

fiecare teren.

2,1. Sl se delermine trei nunere nalurale a clror sumtr es(e

818.sl i ind cI al doiteanumtrreste cu 94 mai Inare decal prlmul

nuniir. iar al treilea numfu esle cu 105 ntai mare decal al doilea

nLlmtrr.

3.5 INECUATII. $I SISTEME DEINECUATII IN MULTIMEANUMERELOR RATIONALE

l. Si se rczolve inecualiile ufinlloare:2x+3>x-5;4x+7<x-21-x+7>2x+10;10x+3>8r+5;4x 1>7x+2;

a)c)

r )

a)

b) 7x-3>5x+9.d) 5x- 3 < 2x+ 9;f ) 3x+2<-x+6;h) -5x+2<6x+13;j ) -8x+3>3x-5.

2. Str se rezoive inecualiile urmtrtoare:

c)

2x+3 5x+22'3; b.)

2x+3 5x+lz ' : - l ; a)

.., !r; !,?7t *t , o. lx- l _ 2x+5

s) [ - /s

) : h)

-x+2 7x+l -3

t ,

* t ;

5x-2 6x+3 -z ' a ns;

2.x-7 ^ 3x+16 - ' 3 '

6x+3 - 2x- ' l$

- t , ? :

4x+9 2x- 7 ^. . 7x+5 1r )

3 >4,!+-; )

3. Str se rezolve jnecualiile unntrtoarc;. . , ) .1 , \+2 rr . t , 2xrJ . t , r . r 2 bx_5d/ r + , > : l r )

- -o ) i ' 15 :

,7\a. ! r t2 , ( - | 4xr l x \ l l' ' , , - t 2 :d)

5 - ; '4 ,

- .3t- l - r+2 x,5 ^ 4y+J ,r ,5 y_4

' ' lo ' , ' 4 ' t '

rn =

1 - 5 :

" ,3x.7 2r-3-

^r4 , .b^t3 2x+7 3x+9b' 2 4 > g i l r )

5 - 4

= 10,

. ,2x+3 -rJ- xr2 . . 2x+5 3x+l 2x. t 3" J - t ' 12t J) 4 *

8 . -

40t .

l0 4l

4

c)

e)

r)

a)

c)

b)Izxr '7 <5x- | .13x+2>6x-5'

l2x-9.1x+5.\ex + 2>2x - 5 '

t5x+3>2x -9 .[7x-3>6x+5'

l8r+'7 < 3x +' l .lsx-z.zx-s '[3x- 1 <2x + 1

\4x+ 2 <3x- 1

[ '7x+3>2x-5.\3x+432x- l '

l5x- l=l -x13x+2<2-3x'

[3x+9<2x-5.l6x+2<3x-5'

[5x+8<5-3x.l6x+3<2-5x'

l2x+ 70 < 5x - lO

1l3x+2>6x-15'

. 3.6 SISTEME DE ECUATIIIN MULTIMEA NUMEMLOR RATIONALE.

PROBLEME CARE Sf, REZOLVACU AJUTORUL SISTEMELOR

1. SA se rezolve sislemele umtrtoare:

5. Str se rezolve sistemele de inecuatii:Ox+' l 5x-1 r3x+'7 4x- l

-l :

3 4 ' " , 1,

= o- ' ' .1J.r+2 br-5 IJY-2 qr-5

' '| '

I t ' . t - '

r5r+7 Jx. I f jx+7 4x- l .

I r = 4 ' ' , , 1z = 4

1+.r+J - 6r-5 ' " ' l . lx-2 9x-5 , 'I : ' ,= I i ) ' - r - ,t )x-1 4r- l ^ (7,{+2 5n- i ,L, _ , =z l_, n t ) , .

. , 1;r '_r sr* .a , o l :^ '*z , - : ,I z ' s | , ' 3 - '

1x+I y+2 21x-t \l

- -= , =

-r ' i . / ' 4 )

- lx-3 y-3 ^

,

t 4 3 - ' t -^

[ f -6

* l -2 _ r r I lx r2y-3 _2^- y+.514 2 7 j J

' ' 1,1r_ 4 ' y .y-x i 0,1, *-- *-r-

to 2 J [ i 4

f ' l r=, L*: [^ i t - ' : t=^-,' ' 1rr , . - '

n 1: , - . , , l , - r ,I j =*-r" t - :

I S ' - - ] ' .x+2y

lx+ | t+2 x+ y+IO| . +

- =- ' -

ct l - ' -1 o-

l ! ! J+! ! - )=2x+lL+l 't2-r6

2. Sl se re,, olve sistelrele urmfloare.

, \ l (x + t ) (y - l ) = tx- I f (y+ 3).' ' ' [ (x+ 2)(J,- 2) = (x- IJ( /+ 1) '

ht I5(x - /+ l ) = 3(x- y* I )' L4(2.r+ -1.J,, - 5)= {- 2y- 6'

fx-2 v-3 -| 1 + , -=u

") l lv ! -*- t ?-^ '

lx-r, | 2 -Y=)

at1 l -v ;l . (+ , '=6

h)

t^+7 2^- l t 1. lxr I 4.r- | ,l ; < . -* , | '

= t0 "

e) 1.r* '_ z ol., s ' . , t ' t l .r, ' . : 4t - 5 ,.[ : . , :

_, [ -2

, j _,

42

lx+ y- l x+ t+ |d) l 2 3 ;

lzx - 3y= -5

. [xy: (x+ - ] ) (Y- l ) .' ' l *y = t r - : ) t / * t )

- t (x+ l )U + 5) = ( /+ lX. \ + 4) .

- ' l { ' - t1v* l )= x.Y- l ). t (x- lXy+ L) = Lr - l )x

gr { tx* t ) t . r - l )=( . {+4)(J -2) '

3. Mamairnpreuntr cu fiul au 30 de ani Mama are varsld de

4 ori mai mare decXt fiul.-if se detemline vdrsta mamei !i varsla fiului

4. Suna a doux numere este 25, ier diferenla lor este 15'

Str se detennine cele doul numerc'

5. Media arilmeticd a doutr nunere este 5 Unul din numere

esle cu 6 nrai n1lrc decat celilalt'Str se delemine cele doua numere'

6. Suma acloui numete naturale este 100 Unul din numere

e! le (Ll I0 rnai r t r i . de. l l celJ la l l r rumJlStr se delennine cele doutr uflere'

7. Doi fra{i au cufirptrral impreund 15 caiete' Pe care le-au

l'"p;.ltt';tii;i, Lrnul rlii frali a luat de 2 ori mai multe caiete

decel cehlall."' Ji ," J"i.t-i"".are ziare a cumplrat fiecare din cei doi frafi'

8, Ana are cu 35 mere mai nult declt Maria $i de 8 ori nai

nlulle.Sl se deteflrine cale Inere are fiecare fale'

9. Suma a doutr numerc naturale este 45' Dacd adunim de

l.,J p,i , i ,ul uu*a..u r le 2 ori al doi lea nurnJr oblinem 100'

St se delennilre (ele doul numerc'

10, Mama esle mai in varstd decat fiicaei cu 20 de ani. Acum4 ani varsla irarnei era de 3 ori mai mtlre decat a fiicei.

Sd se delermjne varsta marnei si varsta fricei.

11. Diferenta a doul numere naturale esle cu 50 mai mictrdecxt dublul surnei lor, iarsurnaloresle de 3 orjmai maredecatdiferenla 1or. SI se detennine cele doul numele.

!2. Distiulla dintrc doui oraFesle de 360krn. Dincele doudora$e pleactr in acela$i tinp, mergand unul spre altul douaautornobile. Stiindcdun aulonobil parcurgein 4 ore tot atatcalcelilirlt pa.curge in 6 ore fi cd aulonobilele se inlahesc dupd4 ore, sd se afle vitezele dedeplasarc ale celordoutr aulomobile.

13. Intr o gospoclfie sunt 150 de prsirj $i porci, iI lotal 360de picioare.

SI se detemrine clle plstrri ti cati porci sunl in gospodirie.

I4. Doutr caiele si cinci minuale de nalemalictr pentru clasaa-lll-a cosll 220000 lei, iar cinci oaiele $i doutr manuale denatemalictr pentru clasa a-lll a cosltr 110000 iei.

Si se delennine coslul unui caiel i i al unui manual.

15. Mama a curnptrral ieri 3 kg de banane 5i 4 kg de polocalepe cife a plrlit 120000 Iei. Astizi rllrima a cumplrat 5 kg debarane 5i 2 kg cle porrocale pe care a fltrlil surrla de 130000 lei.sl se delennine coslul unui kg de bunarre $i al unui kg deportocaLe.

)16. Str se detennine o ftacjie care devine; daca adlugtun

fi la numtrrtrtor fi la nurnitor I 5i carc Llevine ] dacl adaugdm4-

$i ld nurntrrtrtor li Ia numilor 3.I

t7. Ral nnul d LluuJ nurnere e.rc Dr, a mSrim arnbele

numere cu 7, atunci raportul lor clevine 23

Sd se delermine cele doud numere.

4. N{ETODE DE REZOLVARE A PROBLEMELORDE ARIT\'IETICA

METODA FIGUR{Tryi

1. Suma a doutr numere naturale este 100, iar dife renla loresle 40. Si se delennine numerele.

2. Media aitmelica a doud numere natumle este 150, iardilerenfa nunerelor este 120. Sl se detemine numercle.

3. Su[ra a douh numer€ esle 45. Dacl adunlm de 3 oripri ul numtrr cu de doutr ori al doilea numtrr oblinem 100. Sdse determine cele doutr numeae.

4. Scuarrd din lriplul prinului numlr al doilea numtrroblinem 140. Sliind cI diferenfa celor doutr numere esle 30, strse detem ne cele doud numere.

5. Un numtrr esle cu 9 Drai mare decat alt nu1rllr. Dactrscldem din rriplul primului numlr dublul celui de al doileaoblinen1 33. Sl se detennine cele doud numerc.

6. Un numfu esle de tre.i ori mai nare decit all nunltrr $i cu30 mai mare decal acesta.

Sd se delednine cele doui numere.

7. Un numtrr esle de ,l ori mai mare decal all numilr. S lunaeelor doud nunere esle 60.

Sl se delermine cele doutr numerc.

8, Un numdr natunl este cu 50 mai mare decal all numirnatulal.

a) Este posibil ca primul numtrr sf, fie de 4 ori mai naredecat al doilea nulrltu?

b) Dar de trei oai nlai mare?

9, Maria are cu 20 de pere mai nrult dec0t Ionel ; i Je 5 orimai nrulle pere decat Ionel.

46

Sa se afle carc pere are fiecare copil.

10. Suma dintrc un nurntrr, teimea sa $i sfeflul sau este 114.Sd se deternine numlrul.

q11. Unetevciteftei dintr-o carte ti constata c5 dacd armai

)fi citit 30 de pagini atunci ar fi citit

J dir cafie.

SJ \e delennine lale pagini are caiea.

,)12. Un muncilor executl a dintr-o lucrare fi constattr c5

dacd ar mai fi lucrat l0 minute, atunci el ar fi execu{at ;

din

lucmre. Str se slabileasch in cat fimp tenninl muncitorul Iu-

13. La un numtrr adtrugtrm 20. Dactr lutrm jumrtale dinaceasttr sumtr ti adiugtrm 80 oblinem numlrul inilial.

Se se delennlre numdrul inilial.

1.1. La un numrr adtruglm 50. DacI lutun !

dinaceastisumtr

$i adiugln 200 obfinem num&ll inilial.Si se delennire numlrul inifial.

15. Dactr elevii unei clase ar fr asezafi cate doi in banci armai fi necesdre 5 btrnci, iar dacd ar fi asezali cate 3 in banctr atriniane 3 btrnci libere. Cali elevi $i cete bdnci sunt in clasl'l

16. Dactr elevii unei clase ar fi asezai cale 3 in banci ar maifi necesare 4 btrnci, iar dactr ar fi asezafi cale 4 in banclar rdmane 5 binci libere.

17. S i se determine un numer de t.ei cifre astfel incat cifraa doua str fie de doul ori mai mare decat prima cifrd 9i de treiori lrrai micd decal a treia cifrd.

47

18. Str se detemine un numtu de trei cifre astfel incat primacifitr sd fie de 5 od maimare decat a douacifttr $i cu 3 inaimicddecat a treia cifrtr.

19. Str se determine un numtu de trei cifte $tiind ctr cifra atreia este cu 8 mai mare decat prima cifrtr si de 3 ori mai maredecat suma cifrelor I ii 2.

20. Sd se detennine un numtrr de 1lei cifre astfel incat cifraa doua sI fie cu 6 lnai mare decat prima cifrd 9i de 4 ori maimare decet a treia cifrtr.

21. Tatll ttre cu 25 de ani mai mult decat fiul $ijumtlale dinvarsh bunicului. Sliind ctr inpreuntr cei trei au 175 de irni, sdse afle varsh fiectrruia.

22. Sl se gdseasctr trei nunrere nalurale care indepli nescsimullan unntrtoarele condilii:a) media lor aritmelictr esle un numtrr natural par;b) p rnul numtrr esle par. cuprins intre 30 9i ,10;c) al doilea nundr es(e de trei ori mai miue decal primuljd) al treilea nurntrr esle cu 6 mai mic decat al doilea.

23. Str se afle numtrrul care are proprietatea cd media arit-meticdintre jumllalea, lreinea, ptrtrimea !i $esirnea numtrruluiesle 15.

24, Un cenlru de vinificatie dispune de un acela$i numtrr debuloaie de 100 hl 5i 120 hl. Dacd s-:rr depozita vinul in butoaiede 100 hl, ar dmane 800 hl de vin, iar dactr s-ar depozila inhuloaie de 120 hl ar rtmene un burni tsu..

Sd se delemine cantitatea de vin exislenltr.

25. lntr-o magazie sunt saci cu fdind de trei calitlfi. Sacii cufdintr de calitatea I-a sunt de trei ori mai muld decat sacii cufaind de calitatea a-II-a, iar cu ftrintr de calitatea a-lll-a sunt detrei ori maiputini decat de cele doutr calitati impreuntr. Ca[ sacisunt din fiecare calitale , dace de calitatea a-II'a sunt cu 5 sacimai pulin decat de calilatea a-Ill-a?

48

METODA FALSEI IPOTEZf,

26. Suma a doul numerc este 200. DacI impd4im primulnumdr la 8 9i al doilea la 4 se obtin doutr numere a ctrror sumdeste 38. Sd se determine cele doua numere.

27. lntr-un bloc tum existd numai apartamente cu 3 $i 4camerc. $tiind ctr in total sunt 32 apartamente ce au impreund108 camere, str se determine numdrul apartamentelor cu 3 $i 4camere.

28.lntr-o gospodfie sunt 350 de iepuri qi curci. gtiind cdintotal sunt 1000 de picioarc, sA se detemine numtrlll de iepuri5i de curci din gospodfie.

29. Intr-un bloc sunt apafiamente cu 2 $i 3 camere, in total40 de apartamente, ce au in total 95 de camere. Str se deteminenumtul apartarnentelor cu 2 qi 3 camere.

30. Pentru a cumptrra o haind am plttit 80000 de lei inbiincnote de 10000 lei qi 5000 lei, in total 11 bancnote. Sd sedelennine numilul bancnotelor de 10000 lei qi 5000 lei cu caream pllri l haina.

31. Inlr-un parc auto se glsesc 35 de ma$ini Dacia ti Oltcit,maiini ce au in total 100 de u9i. C6te maqini Dacia $icate Oltcitsunt in parcul aulo?

32, Un palton costd 620000 lei. Un cumpirdtor a pltrtitpaltonul in bancnote de 100000 lei, 50000 lei 9i 10000 lei, intotal 14 bancnote. Bancnotele de 100000 de iei su'lt cu una maimulte decat cele de 50000 lei. Sd se determine mundrul debancnote de 100000 lei, 50000lei ;i 10000Iei cu care s-a pldtitpaltonul.

33. lntr-un bloc cu 4 nivele existd aparlanente cu 2, 3 ti4 camere, in total 29 de apadamente, care au impreund 90 decamere. Apa amentele cu 4 camere sunt cu 2 mai puline decat

49

cele cu 3 camerc. Str se determine numtrrul apartamentelor cu2. 3 si 4 camere din acel bloc.

34. O gospodfie are 200 de porci, glini $i gaqte, avand intotal 600 de picioare. Stiind cI numlrul glillilor este egal cunumtrrul ga$telor, str se determine numarul porcilor, glinilor $iga$telor din acea gospodirie.

35. Suma a 4 nurnere esle 400. $tiind cI primul numtrr estecu 5 mai mic decat al doilea. al treilea este cu 3 mai mic decatal patrulea si al patrulea esle cu 11 lllai mare decat primul, s{se delemine cele 4 numere.

36. Elevii unei clase au economisit la CEC in timpul unuian tcolar 1160000 lei. Din ace$ti bani s au organizat doutrexcursii pe perioada vacantei. Jumalale d;n elevi $iincl 6 aumers in Deltd, pltrtind fiecarc cdte 30000 lei. Reslul elevilorclasei au mels in muntii Apuseni, cu 500001ei fiecare- Ca[i elevierau rn acea c]asal

3?, S-a ameslecat o c:jmlitate de mere cu 2000leilig cu oalti cantitale de mere cu 1500 lei/kg. Cantitatea obfinulr s avtndut cu 1800 lei,&g. Ce canlitate de mere s-a lual din hec ecalitate, dactr din prima s-au luat cu 50 kg mai mult.

. 38. O sumi de bani a fost pltrtitd in bancnole de 100000 delei $i de 50000 lei, aslfel incat bancnote de 50000 lei suntcu 3 mai multe decat cele de 100000 de lei. iar Danea din sumtrexfr imalt in bancnole de 100000 Je lei esle iu 450000 maimare decat partea exprimattr in bancnote de 50000 de lei- Sd sedelermine suma de bani pltrlitd.

39. La un meci de fotbal un bilet penlru tribuna l-a costtr100000 de lei. un bilet Dentru tribuna a-ll-a costd 75000 de lei$i un bilet pentru pelu;I cosu 50000 de lei. $tiind ca int-otcoald s-au cumptrrat 25 de bilete in valoare de 2500000 de lei$i cd numlrul bilelelor pentru tribuna I-a este egal cu numirulbiletelorpentru tribuna a-II-a, str se deiermine numtrrul de biletede f iecare l ip cunrprrate de $coall .

5t,

40. Suma de 800000 de lei esre pladttr cu 55 de ban_ cnolede 5000 lei, de 10000 lei, si de 50000 lei. Sriind ci numtuulbancnotelor de 50000 lei este cu 5 mai mic decAl numdrulbancnotelor de 1 0000 lei, str se determine numdrul bancnotelorde fiecare fel.

41. Pe 10 raftud ale unei biblioreci sunt 130 de ctrli. Rafru_rile^pol.avea cate 10. l5 respectiv 25 de ca{i- Numtrul raflwilorcu z) de ca4t este cu 2 mai mt'c decel numarul rafturilor cu l5cI4i.

. SA se delermine numdml rafturilor ce confin 10, 15 qirespec_liv 25 de clrti.

METODA MERSULUI INVERS

_. 42. Unelevareo suma de bani economisitf Ia CEC. Cu 0,(3)din aceasttr sumtr iti cumpdd pan1ofi, cu 0,3 din rest iqi cumpiiun stilou, cu

t din noul Iest se inscrie intr_o excursie gi ii mai

rlmln 400000 de lei. Ce sumd a avut elevul la CEC?

43. Un lraclor aItr intr-o zi o treime din suprafala uneiparcele $i inctr 5 heclare; a doua zi cu 5 heclare mai pufin decltjumitale d;n ce a mai ramas 5i a treia zi ult imele 20 de hectare-sl se detennine sufrafala parcelei.

44. O bucatl de pAnzd care costtr 44100 lei esle cumptr{attr

1

I

I

de 3 persoane astfel: prima cumpfr: l]

ain panza 9i inca 3 m, adoua 6 m, iar ulrima ptlleste 6300 lei.

Str se determine ct! metri de penztr avea bucala .45, lnt-un siloz se afld o anumittrcantitale de cereale: j este

u,;I ain ,.rr po.u*b. I din noul resr esre ourz. I ain cet ae5 9lreilea rcst este secartr, iar restul de 3,5 tone oz.

tr se determine canlitatea de cereale din siloz.

5t

46. Un elev a.re o suml de bani ln prima zi cheltuieqte

ium5tate din sumtr, a doua zi o teime din rest, a treia zi j umtrtate

iin no,rl r..t, iu a patra zi o teime din suma rtrmasl Dupi

aceste cheltuieli ii mai rdnan 12000 lei.Str se detemine suma pe care elevul a avuFo lainceput'

47. Considertrm un numdr pe care-l adunlm cu 1' Suma

obtinut?i o inmultim cu 2. Prcdusului astfel obtinut ii aduntrm

3. Rezulta o noul sumtr pe care o inmullim cu 4 $tiind cd

jumltatea acestui ultim produs esle 10, se cere numarul con-

siderat.

48. Un biciclist a parcurs in prima zi I

din dru'n siincr4

1 15knr. a doua ri

, ' , Oin re.r. iar a rteia zi resl l t l de

141 din lol

drumul. Sl se afle lungirnea drumului parcurs-

49. O ma$intr a ldsat peine Ia patfl cantine astfel : la prima

cantintr a hsit un sfert din numlrul pdinilor din ma$inr, la a

doua a lf,sat o treime din ceea ce dmasese in malind, iar la a

rreia, jumlitate din ultimul rcst si la ultima a ltrsat ce-i mai

rtrm5s"ese in rirasini. Str se detemine cate paini au fost initial in

nasinl. dacd $iim ctr ta ultjma canlind 4 paini reprczinla un

sferl din zecimeainlregii can{ittrfi pdmittr de aceasta'

50. Un copil pleacl inh-o excursie de 4 zile ti are la el o

suma de bani.-ln prima zi el cheltuiette o cincime din sumd' in

u.louu ri o pl lr ime din (e i a lJmas. in a tteia zi o lreinle din

noul rest. in a patra zi o doime din rest Copilul s-a inlurs acasr

lLr 10000 lei. Sr se delennlre suma cu care a Plecal elevul rn

excursie.

51. Un elev are o sumd de bani. La inceput cheltuielte l

t . -ulrima dara I

din resl si incl 2000 lei Ce suml a avul elevul

dactr i-au mai r&nas 210000 lei?

52, Un elev chelluie$te o sumd de bani dupl cum urmeaztr:in o ma zi iumtrtate din sumtr, a doua zi un sfert din rest, in atreia zi o treime din noul rest, iar in a patra zi jumdtate din noulIESL

Sliind ca elevului i-au mai rlmas 12500 de lei, sd se deter-mine ce sum5 a avut elewl.

53. Sd se determine patru nulnere naturale, stiind cd:

a) al doilea numlr este jumtrtate din Priflul numtrr;bl al lrei lea numf esle cu 50 mai mare decal al doi lea numlr;

ej a I palrulea numlr esle jumalale din al doi lea numtrr 5i cu 100

mai mic decat al tleilea.

54. Mama qi bunica au cumpdrat cire$e. Mama a cumplmtiumatate din cantitatea de cire$e existentl in magazin plus 1 kg,

tunica jumtrtate din cantitatea de cire$e rtunasa plus 1 kg- 1n

mapazin ranA, 5 kq.ia se detennheiantitatea de cirete existenla ini l ial in ma-

gazin.

. METODA COMPARATIET

55. Un elev cumptrrl de la librarie 2 gume qi 3 creioane'platind 4500 de lei. bupd o sSptdmana el cumptua 2 gllme sij creion 9i pllte$te 3100lei. Sd se determine costul unei gume

ti al unui creion.

56. Suma a doutr nuoere natuale este 25. Dacd adun&n<lublul primului numdr cu triplul celui de-al doilea numdrobfinem 65. Str se detemine cele doud numere.

57. Un numtrr este cu 12 mai mare decat alt num5r. Triplulnumtrrului mai mic adunat cu dublul celui mai marc fac 164'Sd se detemine cele doua numere.

. ller. aDot t

Jdin sumtr gi incl 5000 din rcst $i incl 3000lei9i

58. Pertru imptdurirea unui leren doutr echipe de munciloriau plan rr in 8 zite 57b fuiel; , te brJJ. Sl i inJ crr , f , j in nurnrml

puielilor plantafi intr-o zi de prima echiptr plus I

din numlrulpuiefilor plantali lot inlr-o zi de a doua echipd esle egal cu 24,si se afle cati puieli a plantat fiecare echiptin g zile.-

,59. Pentru 2 m de p6llztr s-au plltit doul bancnole de aceea$ivaloarc $i s-au primjt 2300 de lei resl. Allldatl penlru 5 m d;panzl^s-au plftit 4 bancnole de aceirafi valoare ca pri,na daltr Siincl,1250lei. Sl se aflecostul unuimetrlr depanz:f$ice valoareare o b,lncnoltr.

60. Str se afle doui nunere, fliind ctr daci la dublul primuluil

nunlir ildliuginl 4 din numtrrul al doilea, iar din rezultatul

obfinul sclde t 7 obliDern 25. Dace Ia nurn:irul al doilea seadaugl lr iplul primului nunir, iar la rezultal lr l obl inut seadaugi 7 obfinem 60.

61, Cat cosltr un melru de poliesler 5i un telru de lergal,dacf

i m poliester si i , m lergal cosrl inpreuni 2g400lei, iar4 . . .1a m po[ester Sr _] m teriiat costd lzrol.llll 2.1900 tei.

_ 62. Un eler r iutnl ,JtJ l de l l1 o l ibrJne. l Lreiuat,e.4 LJ4i ) i/ (rrerr. A , loua uarit a . 'ujnlarur Je Id l i l j r : lr ie 7..rer^.rre. . l . l r l i

5r4Ldrere.A l tet-o.r l - i r ru r l \Jt j l4(rein1ne. TL.t l l i t i . t (a iete.) l iukl . ' . l a I IJt l r : l i . dJr l 1{2n0 le i .a, l , ,uJo rr tJ l00 lp i ,rar ii treia oartr 62700 lei $i ctr obiectele de acelagi fel au acelaqilrel. \ l re afle i . , ' (usm un t 'reiu . n (.3r1e )i u|| . .diel.

s. RAPOARTE. PROPORTTI. PROCENTE.

5.1 RAPORTUL

l. Sd se delemine rapoartele urmtrtoarclor nurnerc:a) 20 ri 30d) 120 qi 180 e) 65 ei 200g) 1,25 ;i 1,75 h) 3,2 si 4,8

1.3t$t t7815 $'-

b) 17 $i 340

.7 . l ltD i ; t u

. 12 18t)

75 $t 125

c) 200 ei 8001) 125 qi 1000i) 1s,5 ei 9,s

u)

12.r l

-$ ' -9.2' /so n 5oo

j) 1,(3) $i 6,(6) k) 5,(12) si 7,(18) D 4,(6) f i 5,(2)m)0,1(2);i 2,3(a) n) 3,1(6) si2,2(9) o) 1,0(s) ei5,0(4)p)

s)

2. Mihaela are va$la de 12 ani, iar Oana are vlirsta de 18ani- Str se delellnire raporlul varslelor celor doutr fete.

3, Ma a crmptrrd din pial l6 kg de porlocale;icu 3 kg mzrimulte rnandarjre decAl porlocale.

Str se delemrine raporlul dinlre can(ilatea de portocale $i ceade mandarine curnptrr:rle de nama.

4. Un llran culege din livade lui 300 kg de mere $i 500 kgde pmne ;i face din ele fuicI. Din 3 kg de rnere ltuanul obline1 I de luicl, iar din 5 kg de prune obline I I de tuict.

Str se delemrine raportul dintre cantilatea de luicd oblinuhdin mere ti canlilate de luici obtinuti din prune.

5. La o 5coaltr existtr 8 clase a I-a qi 7 clase a ll-a, fiecareclastr avand cale 30 de elevi.

Str se detemline rapoflul dinlre elevii claselor a I-a 9i eleviiclasel()r a II-a.

6. Un aulobuz pleactr de Ia cap de linie cu 25 de pasageri.Pe parcursul staliilor coboiutr o parte din clltrlori $i urcd alticililo.i, iar la celtrlall cap de liniein autobuz sunl 35 de cilitori.

Si se determine raportul dintre numtrrul de clltlori de la5554

capul de linie inifial ti numtrrul de ctltrtori de la capul de liniefinal.

7. La un magazin se glsesc 125 de clmtsi pentru btubali $icu 75 mai mulle cf,fltrqi pentru femei.

Str se delelmine raportul dintre num{rul de cdmA$i pentrubtrrbai $i numi.rul de cimtr9i pentru femer.

I8. Irnrnul pierJe prin uscare

O dir greuratea lui. iar prinI

liierea lui el pierde l0

din greutalea lui.

Str se delennine raportul dinlre greutatea lenrnului obfinutduptr uscarea Si ltrierca lui $i greulatea initiald a lenuului.

9. Inr un oraS sunt 90000 de locuitori, dintre care 40000sunl de sex blrbitesc.

Str se detemine raportul dinlre numtrrul locuitorilor de sexbtrrbtrlesc si numtrr! locuitorilor de sex femeiesc.

10. Mama cumplrtr din pialtr 5 porlocale 9i 7 man-darine.AjlLnged acalr, Miria, fata ei, scoale din plast la intdmplaie ofructl.

_ Sa se delennine probabilitatea ca fructa scoasd din plastr sdfie porlocaltr.

11. Un copil cumptrrX de la o cofettrrie 7 bomboane deciocolatd $i 12 bombotr.ne cu lapte.

a) Care este probabililatea ca mencand o bomboantr, aceastastr he de ciocolatd?

b) Care este probabilitatea ca mancand o bomboantr, aceastastr fie cu lapte'l

12. lntr-o umd sunt 10 bile albe 5i 20 bile negre. Un copilextrage o biltr din umtr.

a) Care este probabilitatea ca bila extrasi sd fre albi?b) Care este probabilitatea ca bila extrasd st fie neagrtr?

13. Un copil are in buzunar suma de 1000000 lei constinddin 10 bancnote de 50000lei 9i 5 bancnote de 100000 lei. Elbaqtr mana in buzunar ii scoate o bancnottr.-a) Care este Drobabilitatea ca bancnota scoasa sd fie de500001ei?

b) Care este probabilitatea ca bancnota scoasl str fie de100000lei?

14. O gospodinI are inlr-un co$ 20 de ou5 de Sdind 9i 15 oudJe ralr. F$l si se ui le la cor ea scoale un ou din co).

a) Care este probabilitatea ca oul scos din co$ sl fie de gdinX?bi Care estsorobabilitatea ca oul scos din cot sd fie de raffl

1f, .

roqii.a) Care esle probabililatea

aceasta str fie albtr?b) Care este probabilitatea

aceasta si fie neagrdlc) Care este probabilitatea

aceasta str fie ro$ie?d) Un copil extrage o bild din umtr ti aceasta este ro$re pe "

care nu o mai lune ln uma. Care este probabil i latea ca ex-lregand in conlinudre o bi l l din umA aceasta $ fre lot rosie.

16. tntr-un aulobuz se gdsesc 10 bd$afi 9i 15 femei. taprima stalie coboard o femeie, iar la a doua statie coboara opersoana._

Care este probabilitatea ca persoana care coboard la a douastatie sd fie femeie?

17. Intr-un coq sunt sunt l0 mere, 15 pele ti 3 portocale.a) Str se determine probabilitatea ca luand o fructd din cos,

aceash sa fie un mar.b) Sd se determine probabilitatea ca lulnd o fructtr din cos,

aceasta str fie o pard.c) Sd se dete-rmine pmbabilitatea ca luand o fructd din cot,

aceasta sd fie o Portocald.

lntr-o urntr sunt 15 bile albe, l0 bile negre si 20 de bile

ca extrdgand o bild din umI

ca extrdgand o biltr din umtr

ca extrdgand o bill din umd

,5x 15a) a- .7

o) B=a11

" 'x12

,6x 3- '5 t4

lu -{

2. Sti ind ce ̂ - L sa "e

determine valoarea ralronului:yJ

2x+Jr x- l 3t t+5Yu\

^ ly o ' r . iy " '2r*1y

2r2. ^u-

Jr2 ^2

- ^r*

,2 ^

i * y 'd)- ' i ' -a e) - , - , r ) r_ r .

f , ty-Y 2\-+xlr f {12{

(+)v ln3. Sriind ca

,;r 'r" , i si /, 0. sa se derermine valoarea

Iapolrulur -

4. Sliind ct f * 4J = .t si v * 0, si se determhe valoarea' x+ y. .2x+5y

raporlulut; ;_.- 'x+

ty

5. Raportul dintre varsta mamei mele $i a tatalui meu este ].

$tiind c[ mama are 30 de ani, sd se detemine vatsta latllui meu.

6. Tattrl impreund cu fiul au 55 de ani. Raportul dinhe v&sta

tattlui ri vtrsta fiului este !.

5.2 PROPORTTA

1. Sd se determine x, astfel incat sd aibd loc egalitatea:

Sf, se delermine varsta tatllui fi a fiulul

6. Mama merge la pialtr;i cumpdrl portocale 9i mere, in

total30 de buclfi. Stiind cd portocale rcprezinfi; din nunlrul

total de fructe, sd se detemine cate mere a cumPdnt mama'

7. Tata are suma de 1000000 lei pe care o imparte celol doi

copii ai sii, Andrei Ei Violeta, in funclie de nevoile fieclruia'?

Lui Andrei n dI; din sulna totall, iar reslul Violetei Sd se

determine suma primittr de Violeta.

8. Doi ro leei decla\4, lon 9i Mariaaupr imit banj deacasd

nenlru a merge in ercuri ie. Rapoflul dintre banii primil i de Iono

5i de Maria este [. Sri ind cr lon a f 'r imil suma de 900000 lei '

sl se determine ce suml a primit Maria.

9. La un meci cle handbal, rupor{ul dintre numlrul golurilor

marcale in prima ePrizl $i a doua reprizl este {'

Sliind cdin reprizaadoua s_au marcat 24goluri, sd se detemine

numilrul golurilor marcale in Pdma rcpn za_

, .2x 15o) j=B,\2 |

- ' x 3l lt+ I 5

' , ' x - lZ

13: ' - - - |

10.

l l .

| . ,

a l

13.

alSI se demonslreze ct:

; =

ta l

Sd se demonslreze ctr: ;

= a

Se sea+1,b+6 3'

a+ |

a+ 4

Ia'

I=3

SI se determine nLrmercle naturale a $i lt, itiind cI:a+3 I6+ 10 3

determine numerele nahtale a $i 4 ttiind cI:

1

5859

procente :a) 2Vo ;

If | 1so;

5.3. PROCENTE

1. Str se exprime sub folmd de fiactii ordinae ur-mdtoarele

7. Un copil are la CEC o sumd de 3500000Iei. El nu scoatetimp de doi ani nici un leu de la CEC si primeste o dobandlanuald de 60l.. Str se determine:a) Ce suml va avea ele!'ul la sf&$itul pdmului an?b) Ce sumf, va avea elevul la sfdrgitul celui de al doilea an?

8. PenFu confeclionarea unui costum s-au plltit initial20000 lei. Intre timp prclul de cost al costumului s-a redus inprima etapi cu l5%, iar in a doua etaptr cu l07o din valoareainifiald a prclului de cost.

Str se determine preful de cost actual al unui costum.

9. Un taran vinde intr-o zi in piaid zarzavaturi in valoare de10000 de lei. In urmltoarele douf, zile el vinde zarzavaturi invaloare cu 20qo /li'ai

'Ji'arc decat in ziua prece-denttr. Str se

calculeze valoarea vanzrrii din ultirna zi.

10. O fabricl de zahlr prelucreaztr intr-o zi 80 de tone sfecll.$tiind cI sfecla pierde 57o din greutate prin spdlare, 2% dinrestul rtrmas prin stivire, iar din sfecla oblinutd se scoate 12%zahir, sd se calculeze cantitalea de zahdr obfinutd de fabricaidtr-o zi-

11. Griul pierde 77o prin mlcinare, iar cantitatea de paineobtinutl este cu 307o mai mare decat cantitatea de ftrintr intre-buinfatd.

Ce cantitate de paine se obtine din 1200 kg de grau?

12. Lernnul pierde prin uscarc 217, , iar prin tdiere 57o.Sdse determine cantitatea de lemne rtrmasd duptr uscarea qi tiiiereaa 250 tone de lemne.

13. Prin spdlare cartofii pierd 57, din greutatea lor, iar princurlfire pierd 207,. Si se detemine cantitatea de cartofi rezul-tatd dupd spdlar€a ti cudfirca a 1520 kg de ca ofi.

14. lntr-o clas{ sunt 30 de elevi. la sfdrqitul anului lamatematicd situalia este urmltoarca: 10% din elevi au avutmedii de 10 qi 9; 20% din elevi au avut medi7 Si8;50Vo

61

12Vo;

7;9o ::t

b) 5c. ;

c) 3iE";c)

h)

d) 50c.; e) 72Vo;41

i.) 23jEo. i) TeaEo .

2. Sd se detemine :a) 4% din 1.75; b) l2So din 1250; c) 33Vo dn 1200:'d\ I'|E din 145:, e) 21Vo din 950; f) '12V" din 1000;g) 20Vo dir 12,5; h) l5Co dtr' 23,7 i i) Z2qo dilr 115'21

| ztc" di\ roo II) 73,3Vo din 1275 i m)

11n) 221u" dn 1281; p)

3. Sf, se delermine:a) 30Vo dln 20% din 1000c) 127o drn 27Vo din 450e) 12Vo din 25C,, ln 1450g) 35Vo dln 109., din 100

, . , _2_ . . ,^-^k) | l i1o dl t t r t )Ui

slu. din n$;-^5, . . ^^- lEbaTo d rd)t.

b) 157o din 15V. dln 125d) 164o dtLn 32Vo din 272f) l5Vo din'15V. di 1750h) 227o dn llVo din '15

4. Un muncitor produce intr-un an 5500 de piese. ln anulurmtrtor el i$i mlrcite productivitatea cu l4To Cate piese aprodus muncitorul in anul ulm{tor?

5. Un ldran ale l0 ha de pdment, pe care inslnanFaztr grau,porurnb fi orz. $tiind ctr 3 ha le insrmanleazr at gtiu,227a dtn;uprafafa totaltr cu porumb, iar restul cu oz, sd se deterrdnesupralala insarnenlall cu orz.

6. Patru fr4i cultivd o suprafata de 12ha. $tiind cd primulcultiv{ 30%, al doilea 24Vo, al Eerlea zZEo din intreaga su-prafald, iar al patrulea ce a mai rdrnas necultivat, str se determinesuprafala cultivatd de al palrulea ftate.

60

din elevi au avut medii de 5 ti 6. Sd se determine numlrul de

elevi corigenli din aceastd clastr.

15. t a olimpiaclele cle matematicl, fizictr $i chimie PafiicipIS0 de'ete'rl ai,i"ei woli. Stiindcd la matematicd padicipd 50%

ii"-"i, i- la frzic| 12 elevi, sd se determine numdrul de

participanti la olimpiada de chimie'

16. O piesd costd 100000lei. Prepl de cost al acesteia s-a

redus prima datd cu 207o, a doua oar[ cu 1070 ti a treia oard cu

5'lo. Cat costain acest moment presa7

17. t a fabricarea pAinii, in timpul frdmantatului, fdina ab-

\oarbe aDa ral 607. din canli talea ei ' iar Pnn eoacere ea pierde

127o. Cdre pl ini Je cAte 7509 \e vor face din 165 de sacr de

fdinl de 75 kg?

18. lnlr-o clasi sunt 30 de elevi cu note peste 7 ceea ce

reDrezintd 7570 din numtrrul total al elevilor clasei-'Cafi elevi sunt in aceasti clasd?

19. l,emnele pierd prh uscare 20olo din greulatea lor' Din

.at" titug."*" aJt"-"e verzi rhmdn 5000 kg de lemne uscate?

20. Un 1tuan a amt 8 ha' ceea ce repFTjntd 807o din lolul de

pftnant pe care-l posedtr. Sl se detemine suPrafala lolului'

21. Pentm banii depugi la CEC se primegte o dobandl de

57o pe an. Ce surntr a dipus un elev la CEC stiind cI dupl un

an eievul a prirnit o dobenda de 5000 lei

22. Uleiul oblinut din mlsline rcprezintl 12E'o din cantitatea

-ailinelor. I hi de mrsline cantdrette 40 kg $i I hl de ulei

canttu€$te 90 kg. Calihectoliti de mdsline sunt lecesan pentm

a obtine 800 litri de ulei?

23. lntr-un oraq sunt astlzi 48400 de locuitod Populatia

ocestui c,ru; a c.escut in fiecare din ultimii doi anicu 107o SI

se determine cati locuitoi au fost in olas acum doi ani'

24. Pentru a fi conseffat, untului i se adaugl sare 87o dinmasa lui. Ce cantitate de unt s-a putut conserva cr125,96 kgde sare-

25. Cafiofii conlin 157o amidon. Sd se determine canti- tateade cartofi necesard la fabricarea a 24 kg de amidon.

26. Prin curtrtirca de coajd cartofii pierd 20%. Ce cantitatede cartoh trebuie sd cumpere o gospodindcare prcgdtegte masapentru l0 persoane,linand seama cf, fiecare persoantrmtrnancd200 g de cartofr cu.dfafi.

27, La prepararca betonului arnat se iau 3 kg de ciment, 3kg de nisip ri 9 kg de piet $. Sd se determine componenfabetonului amat in procente.

28. Un grup de elevi a strins 25 kg de floare de tei ti 50 kgde floare de mufelel. Cu cat la sutd au stans elevii mai multmufelel decat floarc de tei'l

29, O gospodinlface dulceatd din 20 kg de caise. Sxm- buriicare se aruncl reprezinttr 25'lo din cantitatea total5 de caise. Lafiecare kg de caise firtr semburi se adaugtr cAte 500 g de zahlr-Prh fierbere se pierde 2oo/o din cantitate. Sa se determinecanlitalea de dulcealtr ce se va obtine.

30. lntr-o lunl cu 25 de zile lucrdtoare, un muncitor alucratduptr cum urmeaztr: in prima zi 20 de piese, iar in urmdtoarele24 de zile cu cate o piestr mai mult fafd de ziuaprecedentd. $tiindcd ln fiscire zi avea in plan sd lucreze 20 de piese, sd sedelermine cu cat Ia sutd si-a deptrfit norma muncitorul in acealund.

31. Un copil deschide la intamplare o carte, care are 250 depagini.

a) SI se detemine probabilitatea rcalizdrii urmltoarelorevenimente:

A: ,,numtrrul paginilor este cuprins inhe 1 ti 50";B: ,,numlrut paginii este cuprins intre 51 9i 100";

6362

C: ..numarul pasini iesle cuprins intre l0l si 160"1D: ..numrrul baeini i esle cuprins inlre l6l si 200":b) Scriel i ,(,4I .qB). RO. eA sub forml de rapoarle

Drocentuale si le retrezenlati irlr-un grafic cu bare Sa se

itobileasch care din cele pam'r evenimenle are cea mai nxcdganstr de realizare 9i care are cea mai marc tansd de rcalizare'

32. lntr-o clasa sunt 30 de elevi. Ei dau leza la male- madcl

$i obtin note dupx cum urmeaz{: 5 elevi nota 10,4 elevi nota 9,

6 elevi nota 8, 7 elevi nota 7, 5 elevi nota 6 $i 3-elevi nota 5-a) Str se detemine probabilitatea ealizfii urmtrtoarelor

evenimente:A: ..un elev oarecare din clasl sa ia nota 10";B: ,,un elev oarecarc din clastr s5 ia nota 9";C: ..un elev oarecare din clasa sa ia nota 8":D: ..un elev oarecare din clas) sa ia nola 7' ib) Scrieti 4,4), ,(B), 4q, 4D sub formtr de rapoarte

procentuale $i le reprezentali inlr-un grafic cu bare'

33. lntr-un raft al unei biblioteci se gdsesc 10 manuale de

matematicd de clasa I-a, 8 de ciasa a il-a ti i2 de ciasa a iii-a-

Se se delelmine lrnbabil i talea urmaloarelor evenimenle:A: ..un coDil ia la inlamplare din raft manualul de clasa I"a ;A: ,,un co;i l ia la inlamplare din raft manualul de clasa II-a";a, , ,un

"ni ' i t ;u t, inra.ptare din mft manualulde clasa l l l -a" '

6. MARTNTI DTRECT gr INVERS

- PROPORTIONALE

6.1 MARI]\{] DIRECT PROPORTIONALE

1. Din 3 m de stoft se obline un costum birbtrtesc. Calecoslume se vot obline djn 150 de m stofl?

2. Un automobil Dacia 1310 consumtr 8,5 I de benzintr la100 km. Cali litri de benzinl a consumat auromobilul pe untraseu de 510 krn?

3. Din l0 kg de struguri se obfin 6,2 l i tr i de vin. Cdt vin s aobtinut din 2575 kg de struguri?

4. Din 12li1ri de lapte se oblin 2,5 I de smantand. Calismanleni s a oblinut din 2520 I de lapte?

5. Din 100 kg de sfech se obliD 19 kg de zahtrr. Car z.1hlrse obline din 50 lone de sfecltr?

6. Din 25 kg de prune se oblin 4,5 I de fuici. Cartr Fict seobline din 2 lone de prune?

7. Prin prljirea a 10 kg decafea verde se obljn 8 kg decafea.Cate kiiograne de cafea verde slrnl necesarcpentru aobline 200kg de cafea prtjill?

8. Prin curtrfirea de coajl a 100 kg de cartofi se oblin 91 kgde carlofi curilat. Cate kjlogri,rme de canofi sunt necesarepentru a obline 455 kg de carlofi curtrlafi'l

9. Din l0 m de stofd un croirorrcalizeaztr 3 rcchii 9i 2bluze.De cafi metrj de sloftr are nevoie croilorul pentru a real;a 150de rochii ii 100 de bluze?

10. De pe 100 m2 de ptrrnffnt un agricultor obline 100 kgrte ro$ii ii 75 de kg ardei gras. De cati suprafaftr de plmant ar

64

avea nevoie agricultorul pentru a obfine 4 t de ro$ii 9i 3 t de

ardei gras?

I l . Pe un camp dreptunghiular de 250 m pe 150 m s-au pus

2 lone de ing,ra$amanl. Ce cantjlale de lngrtr$itmanl se valolosl

oentru un teien de aceeati formd ficu dimensi-unile de buu m

ii'jiio ^, iiir"a "l ." pone u"eeuei c-titate de Fgrl$imant la

hectar?

12. O sospodinr a flcul o prajiturl din: I kg fajni' 150 ts,n,.lbo *7ut L si z o"i. Gospoiin; vrea sr factr o cantilale mai

*"i" a"'*tlit"f 9i din acest motiv foloseste l0 oud Ce

""ntitute il"

"ffinx, unt $i zahtrr va folosi gospodina pentru

realizarea prljitLrrii?

13. Dintr-un kilogmm de seminle de floarea soarelui se

"t,in oOO a" srame d-e semirle curalate Din J kg de seminle

."iri* ,..6'ri". un l i lru de ulei De cSte tone de seminle

necurlpte este nevoie pentru a se obline 5200 I de ulei?

14. 12 muncitori 5i-au propus sd termine o lucrale'intr_unti-o irut i l ir. Da.r q dlntre i i nu nin sa lucreze' ceilalt i ar lrebui

;;i1."; ;; 5 ore pesle rermenul hotaral ln cate ore s-ar fi

"*"""int ft"t-"u, dacd s-ar fi prezentat la lucru toli cei 12

muncitori?

15. 10 muncitori $i-au Propus sx termine o lucGre intl-un

timD stabilit. Dacl fiecarc muncitor ar lucra cale 4 ore peste

i""i*"i ft.tata,, atunci lucruea ar fi terminattr numai de 8

muncitori. ln c6te ore poate fi executatd lucrarea?

16. Taltrl imparle o suma de bani celor doi fii ai sdi' direct

propoiional cu { li j . Primul copit constati cd el prime$te

cu 200 de lei mai mult decat dactr aceea$i suml ar fi distribuitlI .1

direcl propo(ionalcu numerele I0 $r j '

Sd se detemine suma imp[rlitd de tald copiilor '

66

17. O sumtr de bani a fost distribuiti la tlei muncitori direclI t l

propo(ional cu numerele :, : : . Primul dinlre mun-ci lorib 4,3

constatl ctr el prime$le astfel cu 10000 de lei mai mult decatdacd aceeasi suml arJi fost distribuita direct propo4ional cu

t t lnumerele

U, ,. j . Sa se determine suma primi- r i de f iecare

muncitor in par1e.

18. Str se detemine numerele rationale x, y ttiind ctr suntdirect propo4ionale cu 2 fi 5 Si cl 2/- 3x = 100.

19. Sf, se deteimine numerele rationale x, y $tiind ctr suntdircct proporlionale cu 3 gi 4 gi cI xy= 70.

20. Se se detemine numercle intregi x, y, z $tiind ctr suntdirect propo4ionale cu 3,4 9i 5 gicd y- x= 50

21. Sd se determine numerele intregi x, y, z $tiind cA suntdirect proporlionale cu 2 , 4 $i 7 $i cI z - x - y = 30.

22. Str se detemine numerele intuegi x, y, z $liind ctr suntdirect proporlionale cu 3 , 5 $i 7 $i cd produsul xyz = 840.

23. Sl se determjne numerele ralionale x, y, z $tiind ci suntdirect proporlionale cu 3 , 5 9i 7 5i cd f - xz= 100.

2,1. $tiind ctr numerele mlionale x fi y sunt propo4io-nalecu 2 $i 3 sl se dete.mine valoarca Bportului:

- Zx+3va)

*- 4v;. . x-y 3x+5vD) ; ; i ; , t -2 r7,

^,2t _ ry.- t l . " ' ^2-,J r f .n t?-^y,zy2.

- ' i * ry*f ' - '

2t2 + ^!ry2" '

i+2xy+2y2 '

25. SA se glseascd doutr numere x, y integi proportionalecu 5 $i 4, $i care au suma pltratelor egald cu 400.

26. Si se q.trseascr doutr numere \' y innegi proporlionale

.u J ii -1. si .it" uu aiferenla pllratelor egah cu 400'

2?. Sd se gtrseascd tlei nurnere x , y , z a circr m€die

aritmetica ese 97. Sti ind ca x ti y-sunl diGct propo(ronale cu

42 5i 25. iar y $i 7 direcl Prolorlronale cu l l sr ro'

28. Pan-u numere \unl dfect propo(ronale cu : 0'0(J)' 0 5'

-l l i I si media lor arirmelici esle egala cu 28'

Sl se afle aces(e numere.

29. Trei numere naturale sunt propo4ionale cu 3' 5' 8; al

doileanumtrr este cu 40 mai mare decat primul'Str se determine cele trer numer€

30. Pentru fabricarea pL,4elanului se iau 25 'le Pa4iJe argilr

"lb;. ) f;r; i i l ; i . ip 5i o'parie de ghips cit rebr'rie 'e

se ia din

it""*" ilrru""s" "ioi";ile,

pentm a prepara 700 g de amestec

din care se labricl Po4elanul?

31. Un premiu de 1600000 de lei a fost irnpd4it intre cinci

ca$tigltori astfel: Primul o optime din premiu' al doilea J din

re:t. iar eeilall i surrre proPoflionalecu nurnente: Zj. S sio S '

Ce sumf, a Primit hecare casdgltor?

32. La un concurs. J concurenli au primit un premiu de

2400000 lei, care s-a impr4it propo4ional cu. rtrspunsu'i le

rr"".. il."o concurenl i s'uu pt'i t0 inlrebari ce suma a

t,; '";, i i".-" tf" lf daca primui a dal g rr\Punsuri bune al

doilea 8. iar al treilea 7'l

6869

6.2 MARIT/tr INVERS PROPORTIONALE

1. O eosnodind a fdcut o cantitate da dulceaftr de vi$ine carcarincrn; in 25 de borcare de 900 grame. Clte borcane de J00grame l-ar f i necesare gospodinei penlru a pune inlreaga cantit-ate de dulcealr? Dar borcane de 150 grame?

2. Folosind 3 m de sloftr la un coslum blrbl lesc. un croi lora confectionat 100 de costume. Dacd croilonrl ar fi folositpentru un costum numai 2,5 m, sd se determine catecoslume ar

f i fol l confecl ionale.

3. O lucrare este terminat{ in 15 zilede 12 muncitori lncttezile ar fi fost terminatd luai?rea de 60 de muncitori?

4. Sucul produs de o fabrictr Poate fi iunbalat in 150000 de

sticle a cate 0.2501 fiecare. Clte sticle de un litru ar fi necesarepentru aimbutelia aceeati cantitate de suc?

5. Folosind cate 1,5 m de panzd la un to4, dintr-o bucattr de

Dand s-au fdcul 24 de soituri. Cate go4uri s-ar fi ftrcut dactr seiol,rseo cu J0 crn nrai mult la un tofl?

6. La sdparea,unei gropi parlicipl 10 muncilo timp de 8

zile. ln cat limp ar lemina de strpat groapa 50 de muncitori?Dar 5 muncitori?

7. 6 muncitori pot lermina o lucrare in 5 zile, lucr€nd cate

8 ore pe zi. 1n cate iile pot lermina aceea$i lucrarc 10 murlcitodcare vor lucra 6 ore pe zi?

8. Un rezewor este golit de o pompl in 12 ore. In cat fmppoate f i gol i l un al l rezervor cu un volum de 5 ori mai mare cu

;jutorul a 6 pompe identice cu Prima?

9. l5 muncilori au realizat in | 5 zl le jumataledintr-o lucrare'

ln conlinuere numrrul muncitori lor s-a tr iplal. In cate zi le vor

termina muncitorii partea a dqua a lucrtrrii?

10. Lucrand cete 8 ore pe zi 9 muncitori au reajl,zat '720 depiese. Cate ore pe zi hebuie sd lucreze 12 muncitori pentru arealiza acelaqi numtrr de piese?

11. Lucrdnd cSte 8 ore pe zi 15 muncitori au realizat 600de piese. Cali muncitori trebuie sd lucrcze cate 6 ore pe zi pentua realiza acela$i numtrr de piese?

12. Un tren personal a pomit cu o viteztr de 40 km/h, urmdndsI parcurgtr un drum in 10 ore. DupI 4 ore de mers, trenul estenevoit str stationeze timp de 2 ore. Cu ce viteztr kebuie str-ficontinue drumul pentru a ajunge la ora fixatd?

13. Lucrand cate 8 ole zilnic l0 tipografi au cules in 8 zile8 volurne a 480 de pagini fiecare, cu 40 de r8nduri la o pagintr$i 30 de litere intu-un rand. In cat dmp 8 tipografi lucr&nd 7,5ore pe zi vor culege 12 volume a 360 de pagini fiecare, cu50 de randuri la o pagind $i 40 de litere intr-un land?

1,1. O sumtr de bani a fost imptr4ittr la doi copii inverspropo4ional cu numerele 4 qi 3. Primul copil constatd ctr elprifie$te aslfel cu 100 de lei mai mult decat daca aceea$i sumtrar fi fost dislribuill invers propo4ional cu numerele 5 $i 2. Slse detennine suma primittr de fiecare copil in parte.

15. Talll ?mpal1e o sumtr debani celortrei copiiai sii inverspropo4ional cu numerele 8,6,ti 4. AI lreilea copil constate ctrel prirne5te cu 1000 de lei mai pulin dactr aceea$i sumtr ar fifosl disl bui ld invers propo(ional cLr numerele 14,7,4.SIsedetermine suma primittr de fiecare copil in pifte.

16. Str se detennine nunercle intregi x,/ $tiind cd suntinvers propo4ionale cu 2 $i 3 $i ci x-y-lO.

17. Str se determine numerele intregi x, / Stiind ctr suntinvers propo4ionale cu 3 ii 5 ii cd x/ - 135.

18. Str se determine nurnerele intregi x, y, z $tiind cd suntinvers propo4ionale cu 3, 4 $i 7 $i ci x + y + z- 61.

70

19. Str se detemine numerele intregi x, /, z itiind cd sunlinve$ propo4ionale c\2,4 $i 6 $l cz x!z= 36.

20. Sd se detemine numerele integi x,.jr', z $tiind cl suntinvers propo4ionale cu 2, 3 9i 4 9i cI x ' z = 25-

21. Sd se determine numercle inlrcgi x, it', z $tiind cd sunt

invers propo4ionale cu 2, 3 $i 4 5i cl *t- f =2.

22. $tiind ctr numerele intregi x$i / sunt invers propo4io-nale cu 3 5i 4, sI se detemine valoarea Gportului:

a)

d) e)

c)

t

x+?Y.x-5y'?*ll * ty '

x-5yZx+ y 'z?+zxy+1.i + *y+ zf '

3x+2y .x+3y'/ -z*y*zjr -xy+Jy

o)

23. SI se gtrseasctr doud numere x, jtl€ ^/

invers pro

porlionale cu 2 fi 3 $i care aLr suma pltratelor egali cu 208.

24. Sa se gdseasctr doud numere x, /e i/ invers propor-

lonale cLr 3 $i 4 $i care au difercnla pltratelor egald cu 175.

t

7l

7. NUMERE REALE

l. Sa se scrie urmxtoarele numere naturale ca ptrtrate per-fecte $i apoi sI se extragd rxdtrcina ptrtraE din ele:a) 25 b) 81 c) 144f) 400 s) 625 h) 729

^ 100') 441

t )# D

D M=l-25,

c) M= 1-18,

-rr, -s, -f,,0,j12, +,s,zol;

-u. -s, -s, -|, o, |,2, 5, 36, 1oo l.

d) 22si) 361

256841529.

tk) 900 D 1225 n) 1600 n) ZO25 o)

.4- '9

2. Se se sc e urmtrtoarele numere rationale ca ptrtrate per_fecte $i apoi sd se extragd radacina pdtratd din ele:

25 b4 .. 4q 169Rr

t ) r2 l

o) o25

t) 16

gbl . . 400 . . 289 . , 324Jo ') 129 ') I9o Jt g

b25 8l t2t 625loo

m'l ro24-

n) 361

ot Io89'

3. Sd se scrie urmtrtoarele nurnere ralionale ca ptrhate per-fecte si apoi str se extragd rdddcina pltrata din ele:a) 0,01 b) 0.04 c) 1,21 d) 4,41 e) 9,610 6,25 s) 0,36 h) 7,29 i) 10.24 j) 1.96k) 0,64 D 10,89 m) 0,25 n) 0,81 o) 1,69

4. Sl se detennine numlrul de elemente al mul[imii, t= l ' l *= ' /u: a€ Ml, :unde

. 11at u=l-rs. t) . -7, -3,- i . j .2. s. .ro i :

b)

5. SI sea) [a€.Arb) lae Na) {a€ ' lr '

detemine numrrul dg elemente al mulfirtur:a=Vl5-x-,- t€nI [ ;a=,{B=Zx, xe lvla = y'50:6x. xe NI.

6. Str se delermine numlrul de elemente al mulfimii:

a) {ae el ,=[1?.2, , " .11,

b) {ae el,=Fa1-o,"-r},a) {aeel , : \$". t1.

Str se detennire multinlile:

ar {xeNl a=

o)

c)

lx€l / l

{ "e,Ml

8. Str se delemrine numerele rafionele x, aslfel incal:- la) ' /x : ;

d) vx+ 2 = a;

_) lb)Vx- l=; c) v,r 2= j0:

_1 _1l . ) V2r+l=, , t ) v5x-+=J.

9. Str se calculeze, aplicand algorihul de exlrageie a radicalului:a) tD5 b) 1q0O c) 1,44 d) 6,25e) 23,04 | 8,41 g) a,8841 h) 1024t 19,8025 j) 729 L) 10.9561 l) 21025.

10. Str se calculeze cu doui zecimale exacte:a) y'3 b) /m c)'/t25 d) /2Je) y'5o I VT55 e) r'I000 t') \/2A\ 'nz5 . | \tT't k) V?45 D 1/33.

l l . Se considertr mulgimea:/ = {0, r . 2, i , 4, 5, 6, 7, s, 9, r0, l r , l2} .

Str se detenn;ne mult;mile:B-{xeQl x- ' /a,aealc: lxeR-Q I x- ' /a,ae Al .

73

12. Se considerl mulfimile:I

a) ,4 = {-45: -J2: - l?: -VJ; -2.3; j ;2 lV5r 3.(2t l 3a};.7_

b) ,4 = { - r2: t.7: -3$)t -2.3: -it5; v7; s.(3): 47 J;, l

c; a = {- : : : - t : r -0.(5);-2.7: ; :1.y '5rb.(J) :y ' I I l } .

Si se determine in fiecare caz in parte multimile ,4n Q siA.R-Q.

D)

c)

13. I - ie M:1. 2. J. . . . . . . . 10001 . ,Sa se derermine:A = lx€M 1y',{ este multiplu de 6l;a =[xeu jr'? este muhiplu de l5];A = lx€M lVx esle mult ip lu de 251.

16. S I se delermine numtrrul de elernente al mulfimii:A=la€.AI l a: ' / 20 - 2x. x e I '41

t;;---:\ lzu-n _ ^)A=lrcQ/ la=\

4 , xE rv i ;

A={a€1\/ la=30-x

4 ,*E 1vl .

14. Str se determine mullimea A, tliind ca:a; A = lx CN lr4i esre divizor al lui 4l;b) A = IxeN l./7 este divizor al lui 6];c) A = ix CN lVr este rJivizur trl lui I2l.

15. Sd se determine mullimea A, stiind ctr:a;n={xanfr&=2n. n=3,5,7,9] t ;b) A=ix€Nl1i /T=2,- 1, n-2,4,6,81,c) A=fx€Nlr&=3r+ 1, n-1,3,5,11.

b)

17. S) se dernonrtreze cl numerele umraloare:a)'/t b) r's c),112 d) -i,toe) -y'TOT 0 12+ 1 g 4-,15 h) 2+y'Tfsunt iralionale-

74/5

18. Str se determine panea inlreagd $i partea fraclionald anumeteior:

. . l td) ---'4

, , 15^)3 b) ?

5?5e) _; f ) ;

o-3"\ 1?

19.reale:

-, 1 b) l ,(4) c) a o)++ h) r,2(3).

20, S d se aproximeze prin adaos pand la o sutime numerelereale:

_td) y'f b,-; cr y' l- t d) -,/2O

e) - 0 r s) . : h) 3.1(6).t -v

21. Str se ordoneze cresctrlor numereLe:r l_ l

r '2: - j ; l2. l (b)r i : 15. i3) : V37: -15j .22. Str se ordoneze descrescSlor numerele:

1 - -7101; -;; 5,12(4); -75,(12); -"/5r;t' lr2o;1.

Str se aproximeze pdn lipsi pantr Ia o zecime numerele

)_e) -; f) -Vl5 c)

a)o,

23. Str se calculeze:.tS1@ q,n444{qlry900 e) r'775TI4

c) '/7K{41D VOT_FIZI.

24. Str se calclrleze:

"){T b){Fo!# ,\#

. .12,56ct \ roo

- | 516

') \ 2-8e'

25. Si se calculeze:4tE"'E +'/7rE + r5.r4 + V5 y'15 + 16 VTF;q O.'In -,/1.fi5 + 2'86 + rO-,,/12 -,,/7.'El;c) (1 + y'7Xr6 + 16) + (rZ + r5)(r'6 + r'TS);il (B .'4X\6 -,/Z) +(1+V3)(r6+rZ);e) (124 - rAX15 - r'ZXr'f * r'I);f) (l4O - V5x'r'm - l1)('/ ld + tD);e) (r'I5 - r6Xr'5 - VTXrS + Vf).

26. Str se calculeze:a) ('/2. + 1)' ;c) (V3 + V15 )' ;e) (V.] - Vl + Vr, ) ' ;

( t +!3 - !2) ' ;

27, Str se c;rlculeze:

v) +2vl - I

" /J - \ ' l

-' trl + | tll ;,,4 't l

- ,/1 1 ,/l +,/4 '

31. Str se calculeze:a) /6. f1+/IO. V5 + lTi . {i +'/1tr . ttT:t:) {lt.{1 +t4t.,/Z +lT.lS +,/4i.,/i;c) l1tr . { l + ' /a0. . /5 +l4I . {7 +196.17.

32. Str se arale cd umtrtoarele numere sunt inlreqi:a) N-tD.tG -{ i . t4 i +{T. lTl - {4.112:"b) N=t/12 + '/75 - tt43- + {Tql -/3ffi;c) N'=ttr rE + tQI .rE +{ns-.rE + rDl6 .16.

33. Sd se ordoneze cresc or numerele:i 2lI ;h6 ; 3ttz ;lT : 1:lT! ; 5 ;,,/7I : 3 ;t6 ; 2{6.

, 3,1. Str se ordolleze descresctrlor numerele:217 ;4'/i;xE ;1{16 ;6;2,,6 ;4tt';4t/7.

ia)b)c)

b) ( /3 - r '2) ' ;d) (,, /2 -,t t t2) ' ;f ) ( r '6 - V2 +V15) ' ;h) (2+V5 -Vl) ' .

- "/Z

+ l. . \2- l-' y'I0 + y'5'

" , I I" , / I+t

' /T+,/Z '. , I In, : + - .

v3 + I y'3 +y'5

28, Str se calculeze:4 ( tE )2 + (',/T )2 +( r4)2 + ( rF)2 + ( 16 )2;b) ( lZ ):r + ( r4 )3 + ( rf )3 + ( y'T6 )3 + ( 167 )3;c) ( Vf )3 + ( VT )3 + (t/n )3 + (.utrI \3 + (,,213 )3

29. Sd se calculeze:a) VOII + 16IT + y'0,0s + '/0J6 + 1475 + V035;hJ y ' t .21 +y' t !4 r y ' t -ov + VT.vrr -y ' l r ' ;c; y'250 r y'2le -V5.7h + 5fo -VTod.

35. Str se calculeze:a) l l +ll2 +tD7 +t1i +tlt l +,/lO.b) r ' I+rE+y'18+V3? +l5o + { j I +199.c) V5 + r2O + V+5 + r/8O + r/r5 + /T8O + fi:+ld) 17 + tQt + r?tl +{ll1 +{175 +,,e52 +,,8l:.

36. Str se verifice egalittrtile:a) y'Z + y'32 = y'8 + r48;b) rE + y'98 : r'17 + y'S0rc\ 121 + 'lWT = rhr +,!rd8-:d) y'TZ + y'75 = V3 + r'I08;e) r2O + y'l25 =.y'45 + y'EO;f) r5 + y'125 = rDd + ruSO;g) l8 +llE =.,/o-I + {T'IT.

37. Sf, se verif i(e egali ta! i le:,,' .2 + y'TF + fts = JS + V3l a,,,f6,

77

r,r y'5 + V45 r y'2+5 = rDO + V5o r y'l2s:cr y'7+l-o: +',13u =,/8 +tttlz * tDiI

",'*.'F,"lffi TlF;iH':f i:'t t r/i +,,/, + ttTI +'/4I +',/57.3Ot.i

'45, t44*r45*V47 I V6f +r'80'30r

. , ,T.T.9,{T.T.ulT-n," ,T-f .T-T.T'T'u 'n f .,ry"f;.f .*.H",, {I.T,{lF-qT-?.{p-u

39. Sd senale:d rE +16;c) ''/T + "/7;e) r5 - y'19;

e) ,'lT +'n3-;

40. Si: 'e (r l( lr leze surnele urmitoare:l 1 I _.

a) .t= , ' -.

.r- , .r, + '.-/illn6-+ vmOT '| +! t ' lz +\ t r111

hr.S= ' -+ ^ ; t + f f i' I+vJ vr +vJ v"" 'y ' I0OT'

c). l l lr= r*y'T' , t t i , tr ' -y ' fooo, y' too] '

111t - vz . , f r . ,q r , rc* *m,,@'

41. SI se arale cl: !rIg%' t r l+"+ lgg' t18

demonstreze cd urmdloatele numere sunl lrallo-

b\ ttT -'/S;d) V3 -Vl l ;f l V7 +Vl l rh) V5 +Vt l .

o,

< 998 .

8. CALCUL ALGEBRTC

1. Aduceli la forma cea mai simpld:a) 2a + 3b +' l c - 2ab + Sac + 7 bc - a - 2b - 5qb) 5a - 2b + l2c + 3ab + 2bc + 5ac - a - ab - 3ac-,c) l2a+25b+20c+ ab+2bc- 5a - '1b - lzqd) 5a+ 3b+ 2c+2ab+ 2a+ 5b- c+ bc- ac+ ab- b<4e) -? -3b-5c+7ab+3a2 + l2b- bc+22c- ac+3bq{) 5ab +'7 a - 2l} + 13t' - bc + 3ac - a + 3l} - 3q

91 za2 + 3t | +3a2b+ a-3b- t ] - ] t , zt r - z. t ] .

2. Aduceli la forma cea mai sinpld:a) (2xy).(2yz\'(2zx\ + tlf ). *+txsya) . if ab) (3x).f + gly).xy + @xfyi;c) (2xyz)2 + (xy) (yz) + Ql4\?y4;

't1 xyil + Qf)3 - (xj3.x - (xy)2.ya;e) (xs) (yz).(zx\ + (2*y42 -tll/;j lzxf ))2 lf + elf )13 + ,af .s)"a.??;g) (xy)2 + (yz)2 + (zxJz * ?.1 * |l , /^2.

3. Aduceli la fonna cea rrrai siinpld:a) 2x'! i 2y + 2y'2 i 22 + 2/x :2x,

Q 8.f y:2xy + 2Ol2 .. 5 z + 242\x:6x,c) 5 x6 f z : 5 x) yz + 8| y5 z : 4*yt + 9 xf za : 3xy?;,t) 16*af]:./Illz++lf z\ : z*f i;e1 6tr*2y)3 :,/Tlf *(3if1a,t^af;1 12i y2 12 ti : 8.,,2 j ) + Qxyz)t : 4xyz - (yz1\ : |z-e) \^lz^t2: f f / tr l l4 ') , ?/).

4. Aduceti Ia forma cea mai simpld:a) (x + y)(2x + 3y) + (x - y)(3x + 1);

79

b) (2x - y)(3x + r) + (3x + 2Y)(2Y - r\:c) (x+ y+2)(2x - y + 3) - (x- 1)(Y- l);d) (x+ 1X/+ r)+(x-2)(y-2) + 4x+ y- 1);e) (3x - l)(y+ 1) + (3x + 1)(Y - r) - 6xY

fl (? + x + l)(x- 1) + (f - Y+ l)(Y+ l);

g) (x- r ) (x+ \ ( /+\+(Y-\ tY+D(f +1')+2:

5. Aduceti la forma cea mai simpld:

a) (2a + b)(2a - O$] + t);

b) (2a2 + 5)(4aa - r0* + 25):c) (a - 1)(a+ r\(a - 4)@ + al;

d) (a2 - t)(a2 + 2) + (] + \(] - 4;g (* + t \a - 2)(a+D - (? - DG + 3)(a - 3) :

j ( i + a+ l ) (a2-a+1)-(a+ r \ (a-D(] +\ ;

g) (a - 6)(a + b1@7 + F) - t\a- tt)(a2 + ab+ t?);

6. Aduceti la forma cea mai simPld:

a) (a + b)2 + (a + 2b)t - (u - b)';

t i Q+ '/1t)2 + (a -tlT b)2 - 5&,

c) (2a- b)2 +(a+2b)2 +(a+ b)(a - b) ;

d) (3a + 2b)z + (2a - 3b)2 - l2(? + t]),

e) (,'/5 a + b)2 + ("/5 b - a12 - 12a + t12 - 1zt - a12;

f7 Q+ b)2(a - t)2 n(] * t)G - i);e) Q+ b)(a - b\G t &\ *G - t)2.

7. Aduceli Ia forma cea mai simPltr:

a\ 2(a + b+ c)2 - (a - t12 - 1t- c12 - 1" - a)2;

b) (a- 6+ c)2+(a+bf +(b+c)2-(u+.12;

c) (a+ b+ c\2 +(a b+c)2+(a+b- c)2;

d) (2a+ b- c)2 +(b+ c)2 -1a+ b)2;

e) (a + 2b + 2c)2 - (a + 2b)(a- 2b) - ( ' t c)2:

UU

f) (a+ b+ c\(a+ b c) - (a+ b)2 + J;g) (a- b- c\2 + (-a+ b+ c\2 - (a+ b+ c)2

8. Str se descompuntr in factori:

{ }+2a+1c) 4a2 + l2a+9e) a2 +8a+ 16g 4; - 2Oa+ 25i) a2+4ab+41k) 4i + I2ab+9Fm14a1+4a2b+ b2

g i+l la+25l) 25a2- 2Oa+4

D g; - 42a+ 19h) 36.2 - 6oa + 25j\ 4a2 + l2ab + 9i

\ el - 6;i.+ tn) a4 -6a2b+gt].

9. Si se descompuntr in factori:a; a2-1

.1 u2 -25

e) 4a2 -25g) 25a2 - |., :l .r ) a -L

k) l6a4 - 81

n1 aa-b+

b) a2 -+d) a2 - lo0

D 9a2 - 169

D 64;-4s1 aa- 16D 8la4- 1n7 l6aa - ba.

10. Sd se descompunf, in factori:a) a3+l b) 8a3+ 1c) 27 a3 + 8 d) 125a3 + 8e) 64a3 +27 f.y 8a3 + 1000

s) r25i +^6 D S . 271 ar-6+ j ) ; - t2sh) 27a3 - lz5 l) t2sS -343m;8a3 - 125 275 -6a.

81

11. Str se descompunl in factori:

a) a-+lc) ao + 125

e; 8a6 - 27g) 27a" - 8i) 8a6 + b6

t) at2 - sqi,rr7 a9 + b9

12. Sl se descompunl in factori:

u\ t + i + J +2ut-2ztc-Zbq

0 ]+&+q]+zab+4ac+4bc,q ] + ql] + J + 4ab- 2ac- 4bc,

d\ a2 + 1,2 +2ab+4a+4b+4: ^

e) i + b2 + ra - zob + 2act - 2bc'.

o oa' ba +. ! *2r2i +2u2J,2b21:

g) ?+4&+"a+4'b+2a]+4#

13. Sd se descompuntrin factori:

b) 125a6 +27

d) 27a18 + I

f) uo -8h) a6+ b6

t u6- ru11 utz - brzn; ao - 840o.

0 ]-sa+qQ *-6a+8

D;-roa+9h) 2J + 3a+ 1

i 4]-3a-rl ) 3a2 +4a+l

f i l2 i+7a+1-

{ I -3a+2c) a--)r+o

e) a2 +7a+ 72

g; a2- l la+30

I 3? +2a- |k) 6?+a-1

$s*-qa-t

, ] -z-5t+4

, Str se descompun5 in factori:14.4a)a

c)a

v1 ua+*-ad) aa+?+l

82

Q ? + 3ab+ 2*g) a Ja-z

1) a3-a2 a+l

k) at +3i+a+3m) a1 - a3 - a+ |

{ } -a+ab-b

. ; "3+ul-zo2-2i

.1 u2"* l|"* ? + Ig) aJ+bc2+a+b

) a#+c2-ab,rk) a3+2a2-a-2

n)a3- 3a2+a- 3

a1 a2+2ab+l- lc) a2 2ab+ t] - rce) 4a2+4ab+ &-Jg) a2t) + 2ab + 1- c1

) a1 -2bc- t] - Jk) a2i++ab+4-im)aa+2bc- l | -Jo1 u2- *-oJ-au

15. Str se descompunt in faclori:

t1 a2 + 2ab- 31|D i3+2]-a-2j1 a3 -z* + a-z11 aa+2i+a+2n) a - a '+ a- \ .

b) a2 - ab- b-1

a) ?c-&.+?- if) abc+ ab+ c+ 1

h) aJ+bi-a-b. . I 2 -J) a -a -a+ |

\ ) i+2a2+2a+1n1 ?b - ab+ 2a- z

b1 i+4ab+l i -zse *+zab+i-Jt1 a2-t+2u-JD a4+2*b+ t j - ; .

) * - b2 +2ttc- Jt1 +a2 - tzao + ot? - Jn) 4a2 - l?.2 - 4a+ |p; aa- l zu-J

16. SJ se de\compunJ in facror;:

17. Str se descompuntr in factori:u; ua + uz|? + b4b) alx! + 3abc + 2abc) (a - b)(az - J) - (a - c11 a2 - &)a1 i i -L?-J-zt

83

0o6-t ] -zt ' " -J1a+t16-(a- l )6;e * ti - EJ - il +uncn.18. Aduceli la forma cea mai simPlf,:

a) (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 - (a+ b + c)2;

b1 Q- bf + @- c)2 + (c- a)2 + (a+ b+ c)2:

c) (a+6)2+(6+ c)2 - (c + a)2 + (a - b + c)2.

19. Aduceli la forma cea mai simpltr:a) (a+ b)(a - b) + (b+ c)(b - cl + (c + a)(c - a\1

b) (a+ b)(a+ b+ c) + (b+ c)(b + c + a) -(a+ b+ c)2;

c) (a + ,+ l j2 + (b+ c+ l \2 + (c+ a+ l )?.

20. Sl se descompune in factori:

a; (za + t)3 - (a - t)3;

b) (a2 + l)3 - (a + 1)3;

c1 (? - a2 - 112 - +ii:zsJ -q] +r2ab-9t?;

.1 it+ u& + i.+ tJ + ]c+ u8 + zat",f abc + alt- 2ac + 2bc- 7a+ 2b- 4c- 4;

E) ;i * lt - ;J - *l - qur"a.

21. Sd se simplifice fracliile ulm[toare :

a)-a . ,u3-u. "r ! ' -4.a)

- : D)

- ;" ' r l

l ' " 'u)*u ' - ' u)*2u'

a'+3ta2+l la+25

- \a + la .

a--4

, a ' -5a+4

a'- I

^ a--4{

a'+2a

a'-3a+2

a'- l] -zs84 85

. , u3 - 3u2 *3u- l , . a3 - 3a- 2r)-- ;K):- ;- , / -1Oa+9 t+5a+4

a -Ll )c] - zu- t '43a - a - a+ La--5a'+4

a +Ja+z

,a +a--bq)L:

2-+3

- a '+ab

b'+ab

lr ' - fb

. a" + 3ab +2b'E./ _r . ,

t r -4t fu4-b4

d,

. . ] t t l t t * tr ) - ' - ;b '+ 3b+ 2

.a +a +lnl ^ ;

a + a+ L

a'+2

p)* + u+ 1

a +a-- t )2^t

a4+2i +u+2v). i -zt ,4aa+4]+1

t ) - '2 "-

. : " ) 2S*n i

a2+3a+222. Sa se simplifice fracfiile urmtrtoare:

i ** t ru&* F'

.^2 - ,A\ LZa -OaD." '

lzu2 - 3h2'

,. a2 + 4ab +4&

n + 2ah

- . i t - f" o6-b6.

h)

J)

?+zat+&-t] + b2 +2ub+ a+ b'

; -8a'- l f + a+ b

ab+l-a-bab- l -a+b'

24u4 - 3ab3

4? - B +2ab'

]+zat+t ] '] + qat+ +4& -25

a-+2aD+>a,-2 ,

l \ - -

" 2ab+b-4a-2'

. a" + t f +(a+ b)-n )

----- ;

^4

z- b4 +2;b-2ai

-b4-2u3b+2a63'sua +6]& + f

s)t i *z] *"* + &

m)

k)

p)

r)

q)

23, Str se simplifice fracliile urmltorre:

- a- ab- b+ &^) ] - ub*

""- b" ac- bc- ab+l '

qa2+qab+*-J2 - ,2 )- a +Lao+D - i

C,-. :d)a+ O+ c+ !-(a + r+ c) 2] + ab+ ac-2a- b- c

e)uJ+b]+a+b ^ a ' - b '+ ac- bc

t + l f - X +2abac+bc+a+b

o5 - bt - u2b3, u'rr2 . 2b2.a2 - lab+ ac- 2r,," 1u- b12.1u2 * ab+ b21 ' zbc. a2 - b2 - c2

24. Str se aducd la forma cea mai sjmpld expresiile:. I I 1 , . a 10 20au'o,

,o* ]n2o* or_4t o ' r* ]b ' r - to-a2-

looi

. 1 1 I - . 4 3a 3]+4"ur_u* or*ut j l ,

o)u.z 'J-o* ui o,

g) , , I a+6 a-3' ' ' , ,_ l 2 ^ )

. . I I I

. . I a+4 a-2' ' a ) a2 _2d a2.111

2. 4a+2, d- t a- . )

2-1 2-)

P) , + ; - - - - - ;i +3a+2 a'+5a+4

. . 111' /

a_l+l t+1 ,2-t*7 '

. . a- a a+l

a ' -4 (a - 2) ' (a + 2) '.1a2

' ' ' ' u2 _3u* 2 a- | a- 2 '

, a+L a+2

a -Ja+z a -44+-t

^ a+ I' ' a- 1

a2+25; - ' - - ;

86 a7

q)3a+2 3a- 2

r)

i -za+l a2- l a2+2a+1'

] . ! .*_r * \ ,a'-a la- l ) ' a '+a (a+l) '

, a- l a+l l -3aa a- l

" t_e.111l) . + .

" ' 3a+2 a'-4a.3 a ' -5at4

25. Str se aducl la forma cea mai simPltr expresiile:ab a-b a+b I a-b a+2b

a) . .+ , :1,) t+ t t t . iat At a+o a-D a-D { a-- ab

b a j ,b2 , . 2a 3b ,) 3b2c) .+ ,+ . . :o) ,+

a-O al O a2, l )L a+D a-o a ' - b '

.1 1 2t-ba a+D . ! , . . , ,

- l1t' ' a-b b ab- bz'l l l lbt

P.) , ' ;n, ,- n : t ' atn a '+ab a' tab b '+ abb2ahl3b

" a- l , 'a h t l - L2 ' 2a-b Oz-Ouz.. 1 | a b" ' , l * l , l : t+ b

"2 o6* 6) '

ab I a-D' ' i - i , -b o2+ab+g'

.1 1t" ' ) t h1 a2_L2 a2- i '

, , , 1- r , r' ' '

u4 _b4 a1 +b2 a-b'

^ ' I

- - I . 5

" ' 2u2 , 2u 2a) + 3a+ 1 2a+ l .

a+ b'

22a+ b'

8r3- 1 2a+lp) ^. + --=---- :2a- | 4a. +4a+7 Za- |

5 2 2a+ 91 2a+3 3-2a 4u2-g'

26. SA se aductr Ia foma cea mai simpltr expresiile:. l5a 5 l la\ la I 2a\a) l .+ ,+, l : l + - - r+-- l :

\a+f a- | *_l) \a+ | a- t az_11

b)

o)

- . lu ' -1. ^ lu2-4\2 lu2 -4) lr ) l " -^+2 . +".l la + 2)' 1a + 21" (a + 2)ot2)

. t a a I a I \6, | 1 | | T . I

la ' - l a '+ l \a+r a '+al

u2-4

(a + 2)-

. __t_ .a- |

( , ' u3 \ tu u2\

\"- , - " ,

.4r , o) t \ '+2- , l 4) l

( 2u 4a2 ) . / 2a , | ) .l - _ ^ l : l - -+-

\2a - | 4u2 - 4a 1, t) lt? - t, t - 2,,)'

( . t , a _ 2 ) . l4{ le, , llzu-3* n-ouz- za+3/ : [4"2- q+r,J:

la r la+J I a+ | | r . l r

| , ._, -a-r+

u2*u*| J( ' " ) '

. , (3a+2r) | .

(3a'+ Irj ) [z{a+

/ 5 ) )qtQ t 9

' ' t2; .J j -2a

4u2 - 9 ) ' 4a2 + t2a + g '

18a3 -a-9 3a-2 \ *+l)a+25- r - - * r l : , ;en-1 ,n-J) e,? ' - l. . (4a'+21 - \ 8 l -27 1 .^I I I ,_. . -61+ ; - l : (2a-2\ ' .

\Ld+L t 4a.+6a+g)

. l4u2- | ( t -8at I ^ . - l li ) l ) ,*r f88 89

. . I1, )L; ; r -(a2 -7

, la+ r*, Fi

I1+

1+- l

{

1ts,2- l l

3u2l l a

) ! a ' -a+l

u * t ) (zu' ,2, . \ zu+. l l - r + l f - r ;

a ' - l t \ 4a' ) )a '+2a+ |

4a2r l2| \nl - . : l , - ,+ r l .

a'- . i ' t a- I [ " ' r )a+ l l - a ' a ' ' 2a+ l )(4a' + 4a - , \ t a 2a'+ 2a . \

o) [ 2, , r - to- ' ) t lzu, t - ,2 . \u* t ) r -

u ' ) '

/ , r+8 , t \ l o2ot | . + . - - |1 .' (a ' -8 a '+2a+o a-z)\a ' -a

. I a 1 3a-t /a+2\-q] r- j * , t * t "* i ' ; i l ; - lJ

a+2 a- l a+2-

- : ; : i ;

at+2.1+l a+\ a-I

8nt t ) l i 5 2 2a+g\

8a- l )a+ 1g 12, . t 2a- - \ 4a2 -q)

4a2+l2a+9' ;

27. Si se aducd la fonna cea mai simpltr exPresiile:

l2: t 4o2 \ t 2a | \a) l - . . t : t ; - Zr- t l .\ t r .+ D 4e, +4., t ,_ b, t l4a. _ E -" 1. ( / -ab 2a' ) ( l -b b , \Dlt- . ' t - - ,+r t ,

\a 'b+ t ' b ' - at , ' a 'b- b ' ) \ a d ' I

b 3 (F+qt . \' '

aL- 3a) i , b- 3ab- 3a\ b+ 4 ) '

i -1,

9. FUNCTTI

a)D,)

c)oJ

f)

1. Se considertr f : .4 t B, unde:

A- 1-2. t ,0,1,21, B= 10. t .2. . r . q l . ( . , ) = l :,4 . 1.0 . r. 2. .r. 4]. 'B = [-i . o. t. z. .t. +. s. oJ.{x) = x+ l ;A=J-] , - ) , . l .0, l .2. . {1. B=(0.+o() , {x) - 2x- l :A 10 .2. 4], B = [0, r , 3, 3, 7, ,]1. { () . 2x - I r/ = {0,1, r ls l , B= {0. 2. 4. 6. s l . 4x) = 2*.a={-.r . -r . r l . r } . . r '= {0. r . z. : . r . s. t ' . z} . r fx) = x + .r iA =11.4. '71. B: 10. 3.6. e l . {x)-x- I ;St se pre(izeze Ja.l f esle bine , lef inita

2. Se considertr funclia f: A + B , un le ',at ,4 = r0.2r. B=(2.5). f (x)=x+2.l ' ) A=l-1. l ,3 l , B=(0,co), . r ' (x)- . r

c; ,4 = (0. -31 . B= (-1. 15), f (x) = r ' Id) ,4 = (-1, r ) , B=(-2,2), f (x)-x-1 '

, r+3e) ,4- l -1.0. l l . A=(0.cc), f (x)=- '

' t+2't ) A =1t,2,3l t , r=(0,co), r ' (x)-x- 5 ;g A=(0,2), B=(r ,2) , f (x)=xa1,

SI se precizeze dacii l esle bine definittr.

3. Str se delermine nrullimea valorilor funcliilor urnrtrtoare :. r+ I

-1. l .3 l - R. 1(r) - ]1 l ; ;

I X+)

3) 'R' t (x) = x"+ 4;tl ' R' t(x) = x';0, l|+ R, 11*1 -

"* , '

,2,31-R, f (4=?+2:

]* R, f (x) = x+ t ;1]-r ' r (*)="- l '

a) r: {-3,b) f: [-3,c) f : [- l ,

d) f : { -1,e) f: {0, I

D f:10,2g) f: [- 1,

9l90

. l5a 5b l0ab\ la b 2ah \- ' \a+b a-b u2-62) \a+b a-b a2 _ b2) '

" , l

- I

-'' a2 - ab+ tr2 ] * ar+ t]

2ab

,4

I a l , a-b a+ b\ I bl ' .+

- f - - - - ; l : l ;

\a ' -b ' a+D a-o) \a-D

l l 1 2a- b\ | b

\a a+b u2 *ob) lo2*ob

la+b 2b\ b-a la '+1I b -b-"1

"r+n.\ ;1

0

h)

a b 1 2bb+1 62*t l - t ta- t 'I u2 o2b I u , \ l bl . ' . ._------- i . l - -=+_i_. | |l r2- i u2*Blot- i uz* '6 l l : t -h '

^ 1- '

|i - t ' ,,.(] -_q'\' _(] - B\'l . t _4 .I tu- t '2

- \ tu" r ' l2 l l to- r12) l ' 1a+ t t f '

l i l - h- c a+ b+ c a- b+ t \ a2t ] i| ,

- ' ADr'

\ oc ac aD )1.+lJ.+Lt

( : t l t _:r-b.a+l \ . ( | _a-b_a-2h\

le2-t t2 , -b a-b) \a-b ,2 i - , r l

( ]+2ab+3t] 1 a+ t ' \ l t l \| . .+ ,| , ' - , ' "

b ] , , t , . b2)\ t , r ) '

]+ ut t . r i u2-ub*t o2-ot t - i t ]o' ' ,b ' b2 ,2 '

D

J)

K)

nt

n)

o)

. a- b-c b+c+a e +a-bDC Ca AD

4. Str se determine domeniul maxim de definitie alfuncliilordefinile prin formulele umdtoare:a) f (x\- |a2y,n5 b)

c) f (x)=)ra11\; d)

ey r(x)=l+; f ; f )

B) f (x l= , , l h)1^t-L

x+ I

" , x+ lr lx l = -_ r ;

r - If(x) = ::- :'

4x+ r ,Ir (x)=

k l + l ;- . Ix- l lr txJ = iJ -- + x;

x+2

x:- lf(x) = lV=I +,lV +7 ;F/-\ - : : - .' '^ ' - vqia - l '1(x)=3ff i ;

J)

n)

i )

K.l

l r - r 'r(x) = r 'x+ T'

m) f(x) =tfi:-f + | '

o) f (x) :2 \+ | ;

c)

o,

f)

6. Str se reprezinte grafic funcyia:a) f : [ -1, 1 l+ R, {x)- x+ 3;b) f : i } ,21+ R,4x) - 2x + l .c) f: i-a,'2t - R, 4x) - x - l.d) fi l-2, +,xl + R, 4x) - 3x - 1;e) r . :R+R,-{x)=5x-1;

S. Sl se reprezinte grafic funcqia:f :1-2, -1, 0, 1,2l* (0, +c.) , {x) = x+ 4;1: l -s. -J.0. t .4 l - (0.rc.) . { r )=l-7;/ : l -4. -1.0.2.51+ (0. I co). , (x) = 2x - l2;r : l -2. - l .0. ,1.3l*(2,+ ' ) . f txt=.1 +e:f: i- 1, 0, I, .t|

- (0. +x'), 4x) = 2x + 1;

r: {0, t, z}* 10, +o;, {, =;lT;

r: {-r, o, r, 2} - (0, + *), 4i = #

93

f tR-R,4x)=2x+4;f :R-&4x)-3x+1.

7, Sd se reprezinte grafic funcliile f: R + R, unde:

") {r={;:,3 ,xE[l,il',b) f ( - { )=l3x+4'x€[ l .oc)' Ix+6 .x€(-€. , 1) '

") (4={:i;; :iE[_';,?,r,o io =

{ 3'z^l--r' ',-rE[?],r rr,d f(4=l:;::, ,iE[1;,ilD 4r-{:;:.,, ,iE[1;]11*r rk)={}**'r ;;:lid\l

8. SIf :R+R

a) (x) =

b) 1(x) =

c) f(x) =

d) f(x) =

e) f(x) =

f) f(x) =

ax+l

se delennine a€R astfel incatstr treactr prin punclul indical:x+a ,x>2

3x+5 ,x<2'x+l ,x<- l;Lt - 5 , -{> -1 '

3x-1 ,x>- la i+a+3 ,x<-I 'tLr+3a-2 ,x>2

-3x+7 ,x<2'

graficul

A(3, 10);

A(1,3);

A( 2, 4);

A(4,5);

A(2,5);

A(2,9):

functiei

, x> Ix+a ,x<1'3x-2 , x> 3

a\-a+l ,x<3'

. l_t . i , \+ l ,xz-tdr / ' r ) =1 j \ - r : ; . - ;

A(2 8)

Pentru ialoarea oblinutl penlru a, sr se reprczinte Sraficfunclia in fiecare caz in Parte.

9. Sl se delennine fLrncl ia de gradul inlai f ; R+R,

l(x) = ax + b, az 0 , al ctrrui grafic trece prin punclele:

a) A(0, l ) , B(1,3); b) A(1'0) 'B(5,4);c) A (2, ,1) , B (-1, -5 ) ; d) A (1,6 ) ' B(-1,8e) A(0,5), B(-1,2); f ) A(1'7) 'B(2' 12

10. Se considerl tuDcti i le f: R + R, (x) = r - I 5i

i :R-R: ' \ )=.1^l l . S) \e calcule/e:f(f lx)), f G G)), s(t (x))' cLs(x)).

I l. Se consirlerr funcfia f: R - {-2} - R, f 6, =

i:;Sr se arate cr l(1(f(x))) = 1(x).

12. Se considertr funclia f: R - l lJ + & f(x) =

Str se rezoLve ecuaiia f(f(f(r))) - 2

x+ 1

13. Fie fur. l ir f : R * R, l(x) - x + 1. Str se delennine

frncli.r g: R .- R ilslfel inc1l :a) l ( ! . ( ; ) ) : 2.{ + 3 b) f (e ' (x)) :3x+ I c) f (g(x))=x-5'

l , l . Fie funclia !a: R -

tR, g(r) = x + 3. Si se detennine

funclia t: R * R aslfel incel :a) /(g(-r)) =.\ + 7 b) rk(x)) = 2x- I c) f(g(x)) : x+ 3'

15. Str se detennire func{i i1de grirdulinlai f : R*R aslfel

incat :a) f(l(x)) : x + 4 b) f(f(.{)) = 4x + 3 c) f(I(x)) = 8x - 7'

16. Fiel:,RtR o tunclie cu proprielalea cd oncare arf i

xe R, f(f(x)) =3x - 2.Sl se calculeze f( l).

9,1

x- l '

17, Fre l : R - R o funclie cu proprieralea :f( l (x)) = ?x - t ( V ) {€ R.

Sl se ari1le ci /(1)= l .

18. Sl se explici leze funcli i le l : R+ R:a) l ( , r ) = min (2x+ I , x - l ) ;b) t(r) : nux (x + l , x 2);c) 1(.r) - max (3.r - l , -x + ?);d) (x) = ni in (-x + -3, 2x + l);e) f(r) = nrin (5r + 7. -x + .1);f l l (-\) - nrax ( l .r + l , { 10);g) / (x) : r in (3x - l , x+ 5).

I9. Se considert fuocl i i le urmloare:

a)

()

J)

c)

f : N- e.{x)=)!) , , , t ' * - O,44-: : : : ,

l: ,v- q, 4'; - 3'* 1 I

S11 se delennine irr f iecare crz in parle vl1lor i le lui r nalurdleaslfel incl l { - \ ) st f ie nul l r t i r nnlurnl .

20. Se consider: l funcl i i le urnr: l loare:

r: N- Q..{x) : ll .', O ',

N- O, (.9:.1. 1,5r- |

r :N--?.4, \ )=;_1.

Sll se dele nine in f iecare cuil t parle valori le lui _t natu|aleaslfel inca{ ,(r) sl tle nurntr inlreg.

21, Se considertr funcl i i le urmtrloare:) r -1

a) f :Z- Q,\x\= ' : r : ;

o f |z-o, fut)=6xl : :

l r + 7t \ ) f t Z- Q, l ( \ ) = -

_\ ;Sv- 1

<\ f :z-Q,f l .4: ' ; ?.Sl :e delemline rn f ie\ 'are i i /

'n ndr le vr l , , r i le lui r . r lLrrJleasl fel in. i l 1( () st f ie numlr inrreg.

95

22. Sl se delermine functia f: R - R astfel hcat f(0) * 0

!i care verifictr relalia:a) f(x) f(y\ = f(Y + xY)b) f(x) f(y\ - f(x + xY)

c) f(x) f(y\ = f(xY+ f)

ii care verifictr relalia: .a) f(x\ f(y) = f(2 - f,)

(V)x, /€R;(Y ) x,ye R;( .V)x, /€R.

23. Sd se detemine tunctia f: R + R astfel incat f(l) = 0

(V)x, /€R;(V)r , /€R;(V)x,yeR.

6) f (x) fly) = f (xy - x - / + 2)

c) f (x) f (y) = f (i - x + r\

24. Str se determine toate funcliile f: R * R care verifictr

relalia:a) t (^) f ( , + f (x) ' t ( ) )+ t=xY:,

b) f(^) t(/) + {tx) - ft)\ + | = f}r Ic) f(x\ f(y) + x f(Y) :2Y f(4

25. Str se delennine toate funcliile /: R - R care verifictr

rclalia:a\ l l - x) t (x) + 2x f l l - x) = -31 +4t+ l ' 'b , t^ + l ) / tx) . (x- l ) f ( l - t )=-2x+ 2;

c) (x+1)1(x)-(x- t ) f (1- 4=4; -3x+ t '

26. Sl se delermine toate funcliile f: R - R ca'e verificl

relatia:a) (x+ l ) f ( l -x)+(x- 1 ' ) f (x+l) :Zx(?- l \ lb) xf( l - x) + (x+ 1) f (x+ 1)-6x+ 2;c) (x + 2) f(I - x) + x f(x + l) = -6x - 2'

27. Sa se detennine loale funcfi i le /: R t R care verif icrrclalia:

a) f ( l -x)+2f(x+ l ) = (x+ 3);

b) 2 f ( l - x) + f (x+ 1)-31 -2x+23 i

c) fal - x) - 3 f(x+ 1) - -2x" - 12x- 6 -96

l .

10. FUNCTIA MODUL SIFUNCTIA P(RTE iNTREAGA

Str se rezolve ecuafiile umaloare:a)c)

. ) lb) lc) ld) le) l0 lgl

a)b)c)o)

0

x+r l + l x-21 :5; b) | x+ 1

l=r

x+21-r- I I

* l t .+xl - l x-al =a; d)x-21 +l x- l l = x+2;x+31- l x-21 =x+3;x+51- l x-1l |=4x-6;

t Sd se rezolve ecualiile uamtrtoare:x+ 1l +l x+21 - l x+31=2x-2;4x+3| - l2x - t l + l2x + 3l= t lx +x- l x+2l l =2;

l .

3x lxt l l l=3;x- l x-1 | l+ l x+lx,1l3x+lx+2l l+ lx-11:3x+l x-2 | | + | 3x- | x- 2

i;1tii :1t"' tt

" se discule ecuatiile urmtrtoare:

2x-71=m+1;x+21 - l x- l l = m;2x- l f +f x+I l=m;x-21 +l x+11= x+ m;3x l l - - l2x- l l=2x-m;x- 1l +l x-21 - l x-31=m1

4. S5 se rezolve $i sA se discute ecualiile urmtrtoar€:a) |x+21+lx+41- l x+81 =m;b) lx- lx- l l l=rz;c) | x+l x+ 2l | =rn:d\ lx- l2x-1l l=x+n:e) lx+lr-1l l=x-rz;f ) lx+lx+l l l+ lx+l l=m;g) | x - | x - I | | + | x - I I - rn .

97

5. Sd sea) f(x) = xt) r(x) = |4 r(x) : In) f6) =2e) f(x) =l

0 1(x) =lc) r(x) -- I

reprezinte grafic func{iile f: R -

R ' untte :

10 l ;

+ l x- 2 l ' ,x- l l+ lx+21;x+31- lx-21:x+3+lx+51- l r l ;x- 1 l + | x+ 3 | - | x-

x-2]r l ;r+5l l ;

6. Sa se rezolve inecualiile urmtrtoareat l r - l l<5; b) lxr l l> l r

ji i,.", i,is =rr ^,-_'rrr : r, no j f ;-' I il il ; I I : x ;7. Sd se rezolve ecuatiile umdtoarc:

") i4l l-^ ' b) [?]="-2;. , i " , '1= , ' , , , d) [6r ;

l ] - 2, - I ,

. , [+]=,-r , D [7*t2]=xt 2r

" t ( { l=", h) [ !44 ]="+ 1;

i r [4t ]1, ]="*z; , , [e i ]=". , r .

8. Str se rezolve ecuadile umtrtoare:

" , i ' i ' l=[- ;o] , o, [ - - - ' ] - [ ' ' ' ]., i-; ' i=i-i ' i , . ' ' 1']-lrl=[r'; z]'

", i+i=i",. '1, n [-i ' ]=lol l,, ' i ,^ i ' l= i - , l , ' l '+ l=[" tu]

t ;

1I. ECUATII, INECUATII $I- SISTEME DE ECUATIIIN MULTIMEA NUMERELOR REALE

1. Sl se rezolve ecualiile urmtrtoare:, x ,+l

" ' , fz - I ' l i ;O = tY r -1 ' / 2 + t l

L. x x xo), /z * t n, / t r , t t + t ; r ' '12 " l :

.r f - o.r:4*-l; - ifi - i) = o,d) x +;(x- 3) - 2 - 0,(3)(5x- 12) = 0;

^. - , r -8 x+14e) u.(J,()x_l)+l= 4

* , :

) ! 4 )O-f l -s - - -4 "+0.(J)((-

r )=o.r tor ;/ - r \

g) 0.8{J) ' y - 0.(J r) * t . t rot l i - l l=+.14;:- \ ' ' i

h) 0,(6)(r - ; )+ r ,s1(r - : ) = r ;.1

i ) [ : . r ]6)x- I55r + J0.21.2.s = 0.1.J03I l8) :l l t . - t \ r I .

r r l [ - s o.r ] )J r ; -3-+.r : r l : r r s- 0.(5)27;k ) O.(3) (x + 2) = 1.(6) 0,(6)(x + I);

t l l (*- . l , t . t t r - , l r , * , . J.5*-r19.4 . t6 0,0 9t' '

,n) 0.r . t ) t0.(r) [0.{3].(0.{ :r .x. : ) l .21_ r = 0:2. Str se rezolve ecuatiile urmtrtoare :

a) { . {+ l ) ( (+2)+ 18= {xr i ) (x+4);b) ;(x+ 3) + 14= (x+ 2)(x+ 5);c) (x + 7)2 + (x + 2)2 - 2? + x + t0;

99

d) * +G-t \2 =z? + x-51e) -r{x - 3) - (x + lXx+ 3) = 5x- 15;0 x(x- 5) + (x- lXx + 5) - 2x- 5;

s) (2x + l)(x + 2\ + x + 3 = 2(x + 2)''

3, Sd se rczolve ecuafiile urmdtoare:114

a\ -+

- .=-- ;x+t x- t { - l

.1 1 2x+Ix x+ | xL_x

. x x+1 5x-15.e) -^--

^= r- 'x+.t x-J x._9

. - I I 5-Jx-DJ'- ^- ;=;

x+Z X'z x ' -4r_ l

ar :=-1- , t ;'x+l x x.+x

^ 4x+l 2x+l . -t l

- -+ ^

=2,'

x t+4x+4 x+z

. . , r+ I - r - I

" x- l x+I

l

x-2I x-4

*-zx+z'2?+x+3

{- l

,x+l x+2" 'x+2 x+7

2?+x+10?+3x+2

4. Str se rezolve ecuafiile unnetoare:J+2x 4?-2 5+2x.,

a) ^ r ' . ; r ' .t+zx 7+l6x+4{ ' - '^

5r-8 2x-5 l9 i -29b) nr: t5

= lOx-4I (2x:- ta5x-6) '

2x+ | 2x- l q?-3x+3. \ - + - - -

- -= | ,

- ' 3x- 2 2x-3 6l-13r*6

100

o)I

? +2x+L f +z] + t

rJx - 2

{- l

.2+3x

-.3-xd)- =4,

f l41 + a+ 1-0.

- a- l a+l n

. .x+a x+l -t \ - , +-=. ', x_l x_a

--x+a x+2 ^

'D x- a+ x-2=z'

101

,1+5rt ' t -5,

.a7. . ,

- .x+a l+a .t ) -+- - .1'x-a l -a

. . 3 2 3x-7a'X-a X+a /-d '

2? +zx

" , r r=r4+ ^ l - ;- 'x '2 I 'x - {+3x-2

- 1+x t-x 8,r-6.t l - -_: - - r ," 4-x 4+x 16- x '

. i ,?***t l l lx- !x- I

5. Str se discule $i sl se rezolve ecualiile:

a) x+l=a(1 -x) ;b) 3x+2-42-3x) ic) .71 -x)-a-x,d) (r-1)(x l )=(a+l)(x+l) ier t*

' r l t * -o j ' t *+ l ) ( ,x- l ) 2{x l ) ( \ -a) :

l ) ( , r ranx-2) I {x a){{-2)=2lx-a)f^ 2)r

g) (x + a)2 = (x- a)(x+ a) + 4;

6. sl se rezolve si sI se discule ecuafiile:

.X+a 2 x-am, . - = ^_. n) :z x+a z 3a+x

-2

--3":;7='unde a e R.

7. Se se reiolve sislemele uam oarc:

[0,(3Xx + l) + 0,(6XJ,+ 2) = so) l?{E _y+z _" ;

| 7 6 - '

I x+y x-v

., lrlr + r'f \/l-\rr-'" , lx+l v+l ;

l , l l+1 \ lT+t '

(x+l- I x-v+4

, : l J' la l !+t _x L4=,6. .1 '|24--

l ;<a + I .5(x-J) : 15d) l , " i r y*r .^ ;

[ 0,2 0.25 - ' -

(?x+3y,x t_1^

" ' I o 'e o '7 - ' " .

- l2x - 3v x+3vI o,r - 0,2( l 1l ; (2x + 5)) +; tx + 3y) : 1I

0i; i ;lt(2x + 3),t + rtx - 3).i = s

"\ I2(2x + 3yt + 3(x - 3y) = -tO'' [2(x- JJ4 + 3(2x+ 3y) = -5 '

t02 1fit

tx-y+l 3

, , lx- v- 1 s" '12x+3v-5 l '

lx-zY-6 4

tx_yJ. . f x+J Y" '1 * - t l '

lx-2 ' Y

8. Sd se rezolve sislemele umtrtoare:

, l (x + )) (y - 2 l = lx - IXY+ 1).a ' { {x* atg* 1) = (x+ 2Xl+ 3) '

tx+y- l 2c){x+y+1 3;

lz*-sy--sx+4

y+ |

11 1 3

-, lx t 4." '12 3 1 '

lx v4f t t

. lx 'Y' , 13 I - '

lx v

lx+z xn I v+ I v"

[ , r r t ' *9* l l ]=(x- l )2r tY- l )z - 20

lx+3 x- \ lv+4 v

" ' lL-r l ' . , ty t 212' lx* t )2+Lr" ' t ) ) r 20

9. Str se rezolve sislemele:t36 -

^, lx v" '12 I 5 '

Lxyo134^

. tx vo) 1: -s r 'lx 'y 3

(x+llv+l{" .lX- |t -_-ly- |

10. Si se rczolve $i sd se discute sistemele urmtrloare:

(x+v=Z ^lx+2Y-3u)

l ,u i ty=s' " ' \a l+4Y=6'

. r lax+t= l0 , , fua+2)^+!=3' t l (a+ t1r+21=.zO' o, [ tzu- t )x+3y=5.

er Jax + (a + l ) /= 5 n laz+(a+ t11 =2' ' l2t t 31 =7 ' , l tu* l tx+4!=J.

o\ I (a+ l )x + (a + 2)y= a+ 3' lx+ y=2unde

"€ R.

11. Sd se rezolve ecuatiile urmtrtoare:a) 1-4=o; q 4;_25=o;c) ro0l-36:o; d) 49?-1=o:e) l0x2 - 3x= o; f ) t2?-5x=o;gB;-nx=o; h)22?_3rx=0.

12. Str se rezolve ecuatiile umdtoare:{ } -3x+2=O; b) }-5x+4=O;c) 2;-5x+2=O: d) 6l-5x+l=0; .er 2 l -Jx-5-0: t ) 5.?t t4x-3=0;E) 3.x: . -5x+z=0: h) l_4x+l_0.

13. Sd se rezolve ecuatiile urmtrtoare:a) (x+t)2+(x+Z)2= lOx+ 3;b) (x - 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 - 4x ;c) (x.- 3)2 + 2(x- t )2=4x+3;d) (x - 2)2 + (2x + t)2 = (x + 3)2 + 5x - t 1^,x+2 2-xE./ ;=- ^:x+J x-1 ^

x+1 x-I x+2rJ - f -=

- :

x-1 x+l l -1. {+l x- l 25 r+l ,+?_2xl ! f _n.tsrx- l 'x ; l '12: h)*- l*r- :

x+li ) '1

I * '

- -3 - 9! 18 . i ) x+-1

- -J --qx-3 x+3 l -s ' " 'x-1 x+t ?_l '

1(X 105

,. x-2 2.KJ +

x+ I x- I

, . I I I; l ) , + ^+ ^-u.x+t x+t x+-,i - t

14. Str se rezolve ecualiile urmlloare:.111a)a+.+-+

x'-3x+2 .(-4x+3 1- 5x+ 4

- l -n.'11

5x+ +;( . r2 5x+t,1 " 'I I v_A

b.) , - - , + l =0;x ' -1 x: -2x x '+2x

l l lxc i ) { , + I =u;

{+x xa-x ^ ' -1

, , 1 8 l+10x+5ol , + ,

r ' I ( - l r+ l . r r , \ ' - ( , I

" , I I

- \-

^1 .2*. , I \+2\-r^ ' -2 i*2x'

-. 36 r l t2i + 36x + 2'. ' 7i ) . i *6 * : lz i* : l =t '+x+8:

, { - I t -2 x - lf ) + . -0.x ' 5x+6 -{ . -4-{+3 x ' -3x+2

15. Si se ar.rle ctr ecualiile unn oare au rtrdlciri reale:a7 i -7ax+,2- l=0;

b) 12 - (3a + 2) j + 2a2 + 3a + l :0;,1 t2- l rx+o)- l |=o;

d) i -z(a+ b) x+a2 +2ab,3* -0;et i - t2a- . \ l , t t + a2 . . \at ,+ 2i =0 ,f ) x2-(a+ b) x- c(a+ b+c)=0;

91 x2 - 1a + b+ c) x + ab + ac= 0.

16. Str se rezolve inecuafiile unntrloare:

a)

c)

a)

i )

c)

D

x+ I ^- - t >u

lr- |l - '0

x+6 ^

5x +'1 ^

2x+ 1 .

2x+7 -

6-r+3

'7x+5 .^

e)

h)

x-2 ^

6x+3 ^)x- I-2x+7 ^

, - lx+8 ^K) , <U

. .5x- l ^

. x- l

. .1x+5n) - ; < +

, .5x+7 .

2x+3 ^

2x+5 ^

3x+5

o)

17. Sl se rezolve irecualiile urmtrtoare:

i . ) - j

;<o2x-3

,7x+3 -

^ 2x+ |

. ,7x+|' )x- I

, .6x+1 -' ) i^- 1 ' ' '

18. Str se rezolve inecuatiile unnltoare:

a1 l -3x+2'0c; x2-5x+4<oe1 12-8x+15<0

e) 2l-3x+1>0

. x+1 x- l

.2x+l 2x-51.r- I J l+Z

. 3x+5 3-:(+9) r I ) t+4

b) l -5x+6<0d) x2-9x+ 14>0

f1 |+2x-15>0l l 3?+2x-1>0.

, . x-1 x-5t ) )

-<x+-1 x+ r, ,2x- l 2x+7u) q*rz ' i r -5

^ 4x+2 4x+7I l -<7 -) , r - I l , { - l l

106

19. Sl se rezolve irecualiile unntrtoare:

20. Sr se rez.r lve ineLuafi i l ! urmaloarei2-

. x -- \x+! -a) 7 >u

x' 5x+4 ^c, 1 <u

2,I -2X+Z ^e) ,

" >U

L2

. f +6x-7 ,1) a. >U

, r 2x+: ^t i r

-

:U

h)

f )

j)

( l l

5 ^t 1{ zx +ArDr t =u n)

o) , : .0 t )x-+3xa 2x+)

x'-x+1 ^

x+ I

x- - 9.f',

, { -+)r+) ^1 ^ >u

r: - l l2-

x- +6x1 7 ^

^ +x +)a+x

i J . i - - t>0.

21. Str se demonslreze ci inegali t l t i le de mai jos :a) 2x2-6x+5'0,

b) x4+3x?-2x+2>0,

c),r4-x2+4x+5'0,

, l '1 r l -5r l - t l '0.

e) x6-21+x2+4x+5>0,

f) xa+2x+3>0,

g, * l 2r l*2r2+l '0.

h) xa+,1x3+61+3>0,au loc pentru orice x€ R.

107

22. Sd se rezolve ecuafiile:a)f i :T=3 b)14 -x=5 c) 16-x=0a) r6xl5=1 e) '[ i7:l =4 0 ,tZx+A=5.

23. Str se rczolve ecualiile:a), ' lx+2=x b)VFi5=x c)y 'FT=x-3

24. Si se rezolve ecualiile umtrtoare:

{ tG+1 +'lx+6 = 5 b) ,E=a + lI i-a =5

c) r4xT3+147:5=0 d) ,,/3Vi + tG + q- = 'l

e) ,'/V=a +tlt - x = 12 D ,,/Tx73 +tG +14 ='7.

25. Si se rezolve ecualiile urmitoare:a) \tE 7 -\/x;Z =|

c) lG 5 17-x=3e) \Sill - \qi1 - 3

26. Sf, se rezolve ecuafiile urmitoarc:a t?lJ +,,/x76 =tZx + 9b\ ,/VJ +'/x++ - TEVTTIc) ' ,Dx -7 +l3xn =V5x+mO)' t l x + I +\ X + I =\ l ZX + 2l

e) tG75 +'[i:3 =,/Ii7A

u vx+ / +vl , {+t -v jx+.1u

27. SI se rezolve qi sb se discute ecuaiiile urmtrtoare:

a) t / i : l =a b) VITT=a c),12x+l -al ) rG1 =a e), ' /Vi=a DrDxia=a.

28. Str se rezolve Si sd se discute ecuatiile urmdtoare:

b) '/Zxl1 - 'Ix +1T = 4d) ltr i -"qi=2, \mVIa - '{i +5 = 4.

u1 , ,17. , =r+ |,1 ,,/7i = *- t

rt,,/7i = *- ud)V.Y.- l=x+a108

12. INEGALITATI

1. Str se demonstreze ctr oricare ar fi 4 4 c€R suntadevrrate inegalitltile: 'a1 u2+l i+J+2@+ 6+c) +3>0b1 u2+ l+J-zo 4b-6c+14>o.1 o2 + t + J -2uh- 2c+ 1> 0a) z(? + I + J) .Q+ t t+ c)2

e1 a2+ t |+J>ab+ bc+ca

D (] + i)(u2 , J). G2 + rtc)z

Bt l )a - rht cJ: zta- )b-3dl-3a' bt 2cl

2. Strse demonslreze cldactr ",

,> 0, al unc i sunt adevtrraleumrtrloarele inegal j1trli:

a) a+ b>2, ' /ab ; b)

f )

3. Str se demonstreze cldacd a, D> 0, alunci sunt adevfualeurmltoarele inegaliltrf i:. ab bc ca a+b+c

' ' a+b b+c c+a- 2. r r l t ( t l l \" atb b+, c+a-2\a b c) .

a '+ b ' l f +, ' ( + a 'c) i , + >a|D+.;

a+D D+C a+a. a+b b+c c+a I I I- ' ] , i b2*,z ?*a2 a b c.

411a+ b- a b 'a+b l l l 1 l

ab a+ b

a'+ I f a+ b

ab^

109

i t+b h+. t+a -" l .

* , ,

+ /

>o'

{. Sll se derNnstreze cl dacl z,4 c> 0 , alunci sunladevlrale unrl loareie inegal i l t r l i :

a) ( ; r + 6) vT + (D+ c)- ' ' / a + (c + a) ' , / t t >O'/atc:

l , ; (:rr + 1,r) c+ (62 + ,2) u* (,2 * "2\

b.6 ubr:. i (nr * t r ) ( t r+c}(12*o21r8**J;

l ' , , - c \ /' " ( . ,* . , . ) (o+ ;) ( ' r+ rJ)

> rJ.

5. Si \e demonslreze ctr d!!cl a, b, c>O , atunci sunla(ievXrille umrXIoarele inegalitili:

t , t , t t r l. t ) -1 t ' + r t L + r ' , > a/)c(J+ /r+ r ' l :, , hL rL abr)) _ +

/ )+ L '>a+D+c,

t ' l r tabc. l , t+ t* . > + + l

l ) r ' i1 .aI)

, l ) ; r r + l i + t !>abt(a+b+c).

6. Si se dernonstreze ctr dactr 4 6> 0 aslfel incatr+ r= 1 llulrci \unl adevtrrale unnlloarele inegalillti:

I.+

. .1 ,.1

u) l+l-+;

; . l ) al+ bl .

; f ) a- '+D'>

Il

I8

ab;

2,2

i7, Si se denlonstrcze cl dactr 4r.c€R aslfel incal

:r + /r + c - 0, atunci sunt adevtrale urmitoarele inegalilili:

a)

c)

d)

b\ ab+ bc+ ca < O;( -a+ b+ c)2 > 4(a+ b - c) (a- b+ c\ ;(a - l / ' ) r > (h-ac)(c-al .

0

13. I, l l lLTIl l l DL NtTNIERE REAt-E

l . Si se delef inine nrul l inrea A. t l i ind cl :

o1 4 ={r€RI "^, - : : r - -51:' u. t u.+

a={xeNl ] i ' - 1. ]1 ' -1='1,A=lr€Rl

l .* l -= - t -1,|

^- l x- . \ '

a={xenl-r{x+ l ) = (r + 2) ix +.1)} ;

A={x€Rt1_i : : ; i } ,

c)

f l a={.rezl

g) a.={xenl

,1r+ I l -L+ I . r

^1 a4rr l x+2

2-r- l 2- t+ 11r+l - t+ i r

2. St se delennine nrul l inrea A.5l i i d cl :

4 a={renl . l - r+ 7<)-r+ l - i } r

r,) a ={xenl 7' .*5 -

+.,* l} ,c; .+ ={.reH | ( r - l l r + 5 = (x+4)r l ;

,11 1=lreR|.Y I . I rJ:

et A=i . r€Rl l . r+ t l >x| ;' i ={r 'eRl l . r l + l . r+ l l . lJ :gr ,A=lreRl l r+l l - l r l l <sl .

3. s: se delennine nrul l irnea A, sl i ind cr:

o1 a ={xenl l . - : lx+ 2 = 0l ;l . ) r \ = i . r €R I l ) t - 5x+2:01;c) a ={xen l (x- 3)2 + 2(x- l )2 = 4r+ 3};

dj ^=l- \€Rl(x+

l ) r + (x+ 2)r = 10x + 3] ;

1t1

e)

0

A=lx€R| 1-* ! -* 1^=ol ,' x+ | x+l x+3

, t={xez;x2-?x- t8 = o};

^=lxee-zl2;-7x+3=0].4. Str se determine multinea A, $iind ca :

a)

c)

d)e)0sl

5. Str se delemline mullimea A, ttiind cI;

a) A ={x€R I I - 3x+ 2 = 0} n (1, cc) ;b) A = {x €R l2 l ,5x+ 2 = 0J n (-co, l ) ;

c) A={x€Rlx2-6x+S=O} O { t , l } ,< l ) A=ixeRl3x2-4x+r=o] f ) {0, r , z, : } ;q1 n-{renlx2-5r+o=o} O { : . . r l :g n={xeRlx3+x-z=oJ O { t , : } ;g1 n={xenlx3 + x2+x-3=0} n {0, 1,2}.

6. Str se delermine mullimea A, $tiind cI:

a) A ={xeR lx2 - 3x+ 2 *O} n {x€R l l - 5r+ 4- 0l ;b) A ={xeRl l - sx+ o = 0} f ) {x€R l l - 6x+ s = 01;

.1 4={*cnl*2 7.r+o=0f f l ixeRl : 'a i .4,a) n = {xen l3 l - lox+3-0} O

O{xenl lx+zl + lx- 2 l =41;

x + 2l -'71;x-21 * I l : 'x-31 =x+21:

n = lx eR l lx- 1l +A'= lx €R l lx - 11 -A.= lx€R l l .y + l l +a={xenl l l -3x+21 =2} ;A =1.(€Rl lx- lx+ l l l= l j ;4=lxeRl lx+ir l l=x+l l ;r = l reR l l r , lx r i l l r l . r - lx- t l l =zl .

112

g1 A={.r€R

I l3

f)^={Y€Rl l . \+

r l . tn{ ,en1' ] , L} ;n={ret t l l r r lx- t l=x} Ol- l {.r eR I (.r + 1)l + .1 < (x + 2)l l ;

A-{r . R1'r- : ' - . r -o j f )n{x€Rl l . t+ l . r+ t l l ' lx- t l } ;

7. Si se discule Llul l vulori le parametrului realnrde elernente.r l nrul! irni i A:a) A=f.reRla. , .x+x:11:l , ) A= j { €R l ( r r - 1) . r = rn +c) A = fr €Z l.lrt.r = nr + lJ;(l) A = l.L €N l(1, + L).\ = r? +e) A ={.r€R ] t l r x+lr=0J:

g)

l ) A={xeRg)A={reRl

de elerDenle al

. r1 A={-r€R

t ' ) A={.reR

A = {.r eli

A={xeR

^ = {.r €lt

A={.reR

nLnnirul

t l '

t),

c)

d)

e)

I)

8. Sl l se dis(ule dupi vdlor i le pl l ranretrulLr i fei l l / , numxrul

(zr+ I )x: - r+2:0J;r l -3x.rrr- I -0J.

rnul l i r r r i i A:rr.rr + .r + .,rr = o| O {0, t] ;( l r - l ) . r l + z.r + rr- I :0] l l {1.2} ;

xl + (lrr 'r. l)x + .lrn - I = 0] n {-1, l} ,

2.r l + (- l rn - l ) - r+, lzr+ l :0J a {0,5} ;(ar+ l ) . r l+ (rr- 1)r+ z,+ I = 0]O{-1, 2} I

7x7 + (4rr+ l )x-rr+ 7- 0l n {1,5} ;

.1r ' (ar- I ) ,+7r l+2=01 I l l - . r . l l .

14. PROBLENIE RECAPITULATIVE

" _ l-1

t - al . S5 secalculeze:,4 = 2+ z1 iB-2-

str s€ comparc valorile rezultale.1l

]l

2. FieA=l+ 1L;B=I-SI se arate cd.4 = 28.

1-

3-

' - 2

t2

qi

, It - )

I3. Fie,4=l- , -

:B=l- , I. , ; j

Si se arate ctr .4-B esle numdr nalural.4, Str se precizeze care din numerele:. , t7 11 2\ .3 ,77,2

'11^ '

= l ts * .15 +oJ : . r r - ,_r t \ , ,1 ' '+ i .r, = r : [z (o,ooz: ,ln) * ,l] .o" n'oi "'-".5. Sd se arate ct numtrrul:

esle natural,6, Str se calculeze valoarea exlresieil

^ -^ . . t , t7 I_

z,n)t , , l0

_ , . . ,0 - 20I t l l l( y ' I iqsb + r ,n: , i ) : : io

7. Sd se calculeze:

, , t : ( - 1)1 + (-1)2 + (- l )3 + (- l )a + (-1)5 + (-1)6 + (-1)7

, l

N=13*-( , '1, , ' l ) ; -3;

114 l l5

"l ,ti;:;$'l',"ii;'r0, - (- r.r'00, *,(-l rr00r + {- r }-r0G

{- t t l r (=t) ' ,1-115 r ( - l t 'q. sxse(atcuteze: N=

r_t f * ,_#lr_n\ i_t t*

" f,"jilllTil$frf - 5,(7) + 1 7'(2):Nr = 15,2(3) r 3,4(7) - 1'5(6)'

Str se demonstreze egalittrlile:27,27 .0.0.16) = l:e,(09).0,0(6)=0,(3).

SJ se c! lculeze:"- " - l , i , i , tu. t t . t+ r . r l . t t .3) . - r tJ4

, = y.rr.r i- 'r, .rt.r. pur... , ,1.,,..r,- , . '

4vl j ' * l f f

" , ' . nr ,u.ol .13. St se arate ctr numtrIul = -.-4v-16

_ 4

14. sd se demonstreze egalitalea;y'Tl * r40 + y'?6 + rEO = y'T08 + y'T8d'

15. Sl ie demonstrcze egalitatea:

"lT + fi! + ̂ 17tr + '/T!' r6f + V208'16. Si se demonstreze cd V2 +V6 <4'

17. Str se demonstrcze cl N= V3 + VF - V3 - V8 este

numtra nalural.i8. Sr se aducl la fbrma cea mai simpltr exPresra:

I l I 2 / l ' l \ l ' (at

b l 'un.t ' t= lut*

oz. i t \a- o) l ab

19. SJ.e sin\l l i f ice fracti a:tLt+l) x ' \x+4)-A]- l l

{ r ) = . - - )(x+ l l

20. Sr se simPlifice fraclia:si + qi t+ 2aa+ q]- " - - )

12a" + 6{

10.

l l .a)b)11

521. Slt se simplif i .e frxctia: f i ,{)= I

22. St se si[r0l i f ice fr,rcl i i le:i t+ |

r / r : l r l

lJ. Si se sirntl i f ice frauli t l ' ,ia+

2'1. Si se sinrpl i f i .e fr i1e!i i le:

' - .1e+3

;t- - |

b'-c-+2i1h

. : t - +2ab+ b-,1 . : r1,+I-a-6, : t t )

a-+ l f +2ab+a+b ab 1-; t+b25. Si se sirnpli f ice fracgia:

{+J'+l-)x!+)x )J

.r l - r l l+2r.16. S., .e.r , lLr i t l . ' l . . r r r r l .e. , r , i , i r i r r '1, t : er1.r . . r . :

l . r - l . r - I. . r+t l r / l l \/ t \J= . :1, . . .J

5,- \ - t \ r- - - l. r+.J

2-. S. t .e JJu. J | , r , , I r rJ. rJ l r i r r r i l . r ' lJ cr l r ( . i i l

r . t - \ - ! l l l l

{ - t \_+ |28. Str se calculeze vrloarea expresiei:

, r* l/ i { l r=tr

I le i l t lu A_t-

Il . l -- t l

29. Sl se {rdle ci exl)resid:(a-h I a+/t+c' a-6+c\

\^. ,h)

are vak)are conslirnttr.l l6

.-aDc

30, Si se arale ctr expresia :

- . l l+:" l -a ' l t t+a 1

Etdt- l , - . l :1. -( t -a ' t+a'z) \ t -a r

nu depinde de a.31. Si se atule ci exfresia :

| ' l " _ l l - ) . r ,_, - . t _ / \ ry{ , ' r* . , ' . r ' - r f *}y- lJ \ ' - * -

' r / ** l '

unde ,r,1,, * 0, x '. -1, are valoare constanta.32. Str se arale cX expresia :

I r ' l - l lh.r . - l t ( , ) . I. r { r -J)(r-z) 4() - ?)0/- xt 4tz- ) lz_ ))

nu depirde de x, 1,, z

-1\ .41

( t '' t -

33, Se considertr expresia:

t t.,, r'1 : ['-J' 1r - 111 /tlJ \ r , a4\

nclea,6+0-

^,2+ +ol ,

Si se arale ctr exisli o expresie F(a, ,) astfel incal si aibl Loclatia f (a, D) = Fr(a, 6).3,1. Strseararecxdact4 6€R aslfel incat a + 6= l, atunci

aa + t l + | =2(ab- t )2.

35. Str se arale cI dacJ 4 6€ R asrfelincal a2t 2 = j, ur.,n"l

aa + b1 =1a2 + t| + t)(? + I - t1.36. Strsearalectrdacd4,€R aslfel iDcat a + r= l , alunci

a3 + b3 + 3ab= l.37. Str se demonslreze cd dactr a + i5 + c = 0. alunci:

, l *u2, . "br+

bzc+ 6'=O38. Sl se arate ctr dacd 4 6€ R asrfel incat a. ,- 2, arunci

a2 + i = (4+ b+2)(a+ b-2).39. Fie a, b, c€ R astfel incdt a2 = 6 + 2c+ l.Str se demonstreze rclalia:

oa = ] * l j +qJ +ab.:+ b+zc.

2b tf

tr7

:10. SI se atule cx dacl a € Z astfel incit a2 + a = 0, alunci

+a:0.: l l . SI se denlonstreze cI dactr a! - b/=0,al l lnci:

b2 t2

,2*1' l ^2*r)

!2. Fie a- h..C R a*rfel irr iAt .r l = 1',r I

Sl \e Jerl l ,rr l \ l re,/e relal ia: ,zo - zJ + ")ht

i , i,13. Fie , , b, . € R, ast fe l incal a+l t+L= l '

Str se der )nstreze rcl al ia: a2 + t] +2ab+2c= c? + l ': [ ;1. Str se denx) strezecldactra+ D+c=0,atuDci:

I r2 '2, ( . r ' + l " + ( ' ) +.1/ ' - a ' - l r ( =

i l l l{5. Str se arale cd dactr :o+

n+ " = -o,

i ; " '

otun"t

l l l l.,:r +,rr +

.J =

;i + ;a + (i:,16. Str se delennine valoiirea cea I ai micit a expreslel:

E(a, b, c) = a1 + 2i +,,2 - Lab- 2ltc, utt 'Je a,l ' . ce R{7. SiI se (lern(ttslreze ctr penlru orice;i, 1), (:€ R, are loc

egal l la leu:

, l+2al-16=o49. Str se delermilre.,/ , , , . € Q uslfel incat :

o)i * t),?, Jal = ub.(r + f i+ t) ; i a6='{ '50. Str se rezolve ecualra:

r 8 , t+ l '10J.r i {5\-) l+2= 4 - 2

'+ . r ' l : . [ , i - t l , - . t2] :=[ . ]ntr ' * . r r l r 're,L. lent t i l re un nrr l t r l r i l . t lur ' "1 r . i r \ l le l l l l ' ' l l :f:,1t,

.11i. SI r

10.

3

:1. Str se rezolve ecudlia:

[ {2 ' . - r -o. t : r j : ] - r -+.rrr l , | =-12Sl se rezolve ecualra

i : l * i_1-

I 18 '119

53. Sa se rezolve ecualia:-4

^l"* , . . ''

2_!

5,1. Str se rezolve ecualia:

i , r ) - r ' , 1- i - i+x- l -xt I x

. l l55. Str se arale ctr ecualtu

; | +

;_

rddltcini inlregi.56. Sd se rezolve ecualia:

(x+ l )+(x+2)+ +(x+ 100)- 15050.t13^

57. St se rezolve ecualia :1+ -: 2 - i- :

= 0.

,18. Sd se rezolve e,irualia:'1 45

' - - - +-- ' - ' -

x2+lx+l t ' +2xt+x 2x2+2x59. Str se detennine a€ R astfelincel eljualia:

) - r- =; t ,Xt22+ ) l

str nu aibr nici o solul ie.60. S! se delemrine ae R aslfel incat ecualia:

x+ I-- 'a 'x* |x- |

str i i ihtr solutie unictr Pozil ivd.61. Sl se detennine a € R astfel incat solul ia ecualiei:

l la, + . t , =0

^' t x ' / f - t<-2

str fie slriul negalivtr.62. Si se ditenline numfuul nalural x care verifictr relalia:

rErJ- + '/V76 -s.63, Str se rezolve ecu agia

"/V --16 - '/l - x ' Z.

- l ,5r- 3l= )- , .

l^l+ 2

=unuale

64. Str se arale ctr ecualia:l i-a + \A:Z +{1 x:'1.

65. Sd se ar.rte .i e"uolio Vl{T - ,t + I are nunrai rtrdlcini inlregi.

66. Str s; demonstreze ctr penIru a > 0, ecualia:

l?-i - ^n tare soiulie unictr-67. Str se rezolve ecuat ia: lx- lx+5l l=5.68. Str se delermine numlrul de solulii al ecudliei:

l r+ l , l r - l^ l l l l=r .69. Slse r lerrr , ,n. t rezeia, ' r i iare arf i te [1.

. , )avem:

I r l^- lv t l l l - r . t'0 . SJ \e J(nr.rr{ t re, ,e cJ or i .are ar l i r e [ ] .

. t ) . \errr l

{x- l^ 2 l l :2.71. SI se rezolve ecurl ia:

l lx+ t l - 1 l=-r- l .72. SJ \e re, ,^ l \e ! i .J re J i \ (u le e. uJl ih:

l ' l l r - : l - .?. .unde re R.73. SJ se rezt, lve inecurl ia:

(x I ) (2x+ 3) < (2x- 5){x+'+)74. Sr se demonslreze ctr oricare ar fi x > l, alulrci:

l lx+ t l - lx l l l ' 1.75. Sl se detemrine . t € ( ,1. ,1) ls l fel incel:

r+l l . l l r - l l+r .70. S1 .c . l r rcrrrrr 1. , , i< n.rr lerele r a 0 i r re ver i l i r ine

q.r ] i t l rea: i , r - I | . I + lx+ I l .' .r lx - ,177. Sx se rezolve inecuatia: 1+; > 0.

78. Sl se delennine i € ,iR aslfeliDcal str avem:

- x+5 ^

?9. Stse re. , , , lve f r s l se J i iLute i r re.ur l id:3 DLx> n-3x,neR.

1201r1

) -. t r -2x+2 ^90. SI se rezolve necualra:

*{12_ > U.

81. Sd se derermine x € [-2, 2l astfel incat s[ fie indeplinitesimultan inegalitdtile:

x+1, x+2 ^.x-1 x-22+ 4' t t '2+ 4 ' - ' '

82. Str se demonstreze cd pentru orice x e R avem:

x4+40>16x.83, Sd se determine a € R , aslfel incat sistemul

[ *- Y=t

'lax+y=-Lstr aibtr cel putin doul solulii.

84. Sd ie determine a € X astfel incat solutiile sistemului :| (a+l)x-aY-ll (2a+ l )x- y= a+2

str fie propo ionale cu 2 si 3.85.' Si se determine a€ R, astfel incat sistemul

I x+ Y-3lax+2Y=5

sr aibl snlulie unici.86. Str se detemine a€ R, aslfel ircat sistemul

I x+2Y=3lax + 4Y= 6

87. Sa se rezolve ti str se discute sistemul:lx+ Y= a1y+z=b,\ndea'hceRl "+ ' - "

88. Sa con'iden tunc tia f : R' R.(d = hJrt , ; : ISd se traseze graficul functiei f care trebe prin punctul

A (5,2).- r

589. Fie E(x) -

sl. Sa se determine valori le lui x € Z

penau care -E(x) < 0 siE(x\eZ

90. Se considertr functia

r :n- R,f tx. t=) ^x x3l

. l_2x r 3, x> l .

Sl se delermine valorile lui ,i e R. penrru care /(x) < 0.91. Sa se sludie.,e monoronia funcfier:

lx+ 1 ,x<0f:R-R,f(x\-1 I ,0<x<4.

l2x_t.x>O92. Fie funct ia / : R-[ t . t (^)=2x- a.undereR-

,. ;1: f."*-'n" , e R. asrfet incar / st f ie pozirivr oricare

_ 93. SI se determine funcfia f: R + ,ft , ,tiind ctr are locrelalia f(x):9x - 2 - f(2).

94. Sl se determine doul numere natuiale x,l diEct pro_lorl ionale.cu 5 $i 4 )i care au suma p rarelur ega-la cu 40ti.

vr. )r i ind.uJ numerele x Ji j , sunt in\ers profo(ionale cunumerele - l 5i 4..J Se delermine \aloarea raporlului:

t$ti **r* / '

96. Sa se deremine ,r. y. z€ R . $ri inJ cJ sunr diecllronorl ionale cu 3. 4 i i 5 tt ci x - , . = 24.

97, Craul pierde 7ri prin mJcirare, iarcanli laler de nSineol, lrnulS e.i le cu 30 5 mai mare Jecit canriratea de fr inr inrre-buinlati .

, Str se delennine canlitatea de paine ce se obline din 1220 kg

de grau.98, Str se demonstreze ctr nunidrul:N = fln + l) + 1, ;rCM nu poate fi pitrat perfect.

, q9. Fie a. D Jout numere slr i i l f ' ()zir ive. asriel ircir rtaiL,t

Loc relalra d- D= aD.53 se demonstreze inegali tatea: bi + b2ru2 - u'-lg9. !a ). demon.rre/e ea oricare ar fi ab.c€R_lOJ

asfel incat abc = l. atunci:a-b.c b+c, a ct a-c

b" *

* -*

uh >ab+bc+L-a

15. TESTE GRILA DE EVALUARE

TESTUL 1

2- I 3- |1. Se considera numerele: .4 = 1+- ]; n:1,+ -].

t , ; 2 'aAtunci inlrc,4 si -B esle adevdratl rclafia:

a)A:B; b)A> 8, c)A<B; [ )A=B+l; e)A: l+] .

t Snl , , r i1 c. , ' , r ie i " +" - iesle:23

a) x=0; b) x=1; c) x=3; d) x=5; e) x=7.

"). "3.Dupasimpl i f i .areafracqiei " r ' - . a€R - { . l . l }obt inem:

a a at1 a- | a-1u)r* l t b)

u 1t ' t o- l ; d)r :

1: t ) a* l '( x+ y| '= r- v+2

.1. Sul , r t i . . i . r " rnulr i ] - J esre:

l - ' -x 2v+5LJ

a) x:1,y=1; b) x:) . ,y=1; c) x=-1,y:2:d) x= 5, y:4t e) t=3,y=3.

5. Se consiciertr rnul1irnile ,4 - {x€.lr'lx = 5 - 4, *el/} +i

-A = i4. 5,6,7]. Atunci mull imea,4aB este:a) {1, 2,3}; b) {1, a,5}; c) {3, 4, s}; a) {+, sJ; e) {a, s, o}.

6. Numlrul ab care verifici condiliile:a) a-b=5- b) abt ba=7'7 eslel

a) 72; b) 94; c) 82; d) 6l; e) 50.

7, Solut ia inecuat ie i - _; .0 esle:

a)(2.J) : b)(1.2) i c)(- l . l I d,(-5.3): e)(-)o.2)1) '

TESTUL 2

4\Al . \ a loarea numarului N = 12

5. 3; + 4l

l . 4.125

a) 23: b) 44t c) 66; d) 77; e) l0l

2. Valoarea numdrului

,_ (- I )2 + (- l ta + t - l )6 + (- I l8 + 1-I0t l0

" . , " .1- l l l + (- l )3 + (- l1s + 1-,r ' i * , - , ,o

-" - '

a) -J; b) -1; c) 0; d) 1; e) 2.

3. Se eonsiclerf, mul Snnile A=[xenl] - 4x+ 3:0] 9ia- (1, +cc).

Atunci mull imea,4OB este:a) {1,3}; b) {t}; c) i:}; a) {0, l}; e) 10,:}.

4. Un rnuncitor produce intr-un an 5500 de piese. In anulurmtrlor el i$i mtrrcSte productivitatea cu 157..

Atunci numhul de piese pe care muncitorul Ie va producein anul unn:lti)r este:a) 6000; b) 6200; c) 4300; d) 6325; e) 6425.

n4_b45. Dul, l sirnl l i l icare f iacl ia r ;a: * ro+ ul?,

a+ bz0, a *0, b*0 devine:"_

LJr " , : b) a b, c) t -ah d\ a- b, e)

6, Sisrernut I Ix+Y^=1 ̂ ,aeRla4 + zy= 2nu are sulul ie unici penlru:a) a=0; b) a=1, . ) a=2, d) a=3, e) a=4.

7. Solul ia inecual ie i lx- t l<t+lx+t l esre:/ l \

") l ; . ' l -J, t ' ) ( - l - l ) : c) {0 ' l ) : d) (1.{c ' ) i e) (2.+co).

este:

f '

a+ ba- b-

124

TESTUL 3

1. Valoarea numtrruluiN=(23 ' 3-2 + +a t-3

a) 0; b) 1; i) 2; d) 3; e) 4.

2. Mullimea

+ 5s 5-4 + 4) 2-a e.te:

A-lxaRl i+/+x<6lnl0, 1,2, 3]este egalr cu:a) {0}; u) {t}; c) {0, 1}: a) l0' 2}; e) {0, t'z}.

3. Forma cea mai simple a expresiei

E(al= , l * , l - * , l " . , . ,. f - )a a '+2a a'-4

a) 2^; b)

2- , t . l , l : d)- '3 ; " ) : j

.'a '2 a-2 a ' -4 o ' -4 a,a ' -4)

4. NLrrnerela reale, po zitive x i y carc sunt direct propor-

lionate cu 2 $i 3 $i care verificd rclatia x/= 150, sunt:a) 4 i i 6; b) l0 ei 15; c) 12 5i 15; d) 10 ei 20; e) 7 9i 9'

5. Solulia ecualieifi+7 - V6-t- = I este:a) x=0; b) x=1: c) x=2; d) x=3; e) x=4.

6. Sistemul de inecualii :

[7x+3>2x-713x-4<2x+ I

este verificat de :a) xe(- l ,1) ; b) xe(-z,s1; c) x€(-co, 1) ;d) x€(1, +co); e) . r€(0, 1) :

. I x dactx<l7. Fie tunc1ia f :R-R. t ' (x)={_, , +m dacex> It-.^Valoarea lui rn €rR pentnt care graficul funcfiei trece pnn

punctul M(4, 5) este:i l

-= l ; v) m=91c) m= 11; d) rn= 13; e) m= 15.

125

l .

a) 2;

',

a) 1;

TESIIJL 4

Valoarea numtrrului,1r{

N= 2' / . ' ; + 2a. 4 -50. t0-2 + 0,04 : l0-2 esre:t1 lo

b) 4; c) 6; d) 8; e) 10.

. . . ) t x- l x-2 17)ol t r l ta ecual le l

2+ 4 + g =g esle:

b) 2; c) 3; d) 4; e) 5.

Fonna cea mai simpll a expresieiI l l

Ela)- - + - - - esle:a"- l a- l f+a+l

.a2- l . .a2+3 , i *5 , . a+l , a-2

d- l d- I d- l a ' - l a ' - l

4. Nundrul natural de forma 76 care indepline$te condiliaVb- 8(a + b) este:a) 50; b) 26; c) 72; d) 98; e) 58.

5. lntre looalilatile,4 si -8 distanlaeste de 50 km. Dh,4 siB pleacd sinultan doud masini care merg ln acelasi sens.Magina din,4 pleactr cu viteza de 75 km/h, iar cea din I cuviteza de 50 kmA.

Masina din ,4 ajunge magina dh B dupd:a) 1\ b) 2h; c) 3h; d) 4h; e) 5h.

6. Solu;ia ecualiei VTIT=a,a>0 este:a) a+1; b) a- l ; c) a ' - l ; d) a '+l ; e) a+2.

?. Inecualia, ->0 esle verif icate de:t -x

a) r€(1.2lr b) . {q l .J l ; c) r€(-o.0);d) xqo. +-0.); e) xql, a].

126 t27

TESTIJL 5

I. Valoarea numlruluil+3+5+7+9+l l -35

.) j; tt

este:2+4+6+8+lO+12-40

] ; " ) ] ; or ; oz.

2. Sliind ctr numeEle x $i J,, sunt invers proporjionale cu 3

$i 4, valoarea rapo(ul ", I#

a) r; b) 2; ") *; at 1l:; "lv-1 YL?

3. Solulia inecuatiei ;J -;:j ' O .r'. '

a) (-1, 1); b) (2,5); c) [-e,3) U (i, +oc);d) (0, 1); e) (*1,0).

4. Solulia ecualiei

x+ i(x- 3) - 2 - 0,(3X5x- 12) - 0 este:

a) 0; b) l; c) 2i d) 3; e) 4.

5. Sislemul Ix + /^= I

^Fx+z!=zare mai mulle solulii pentru:a) a=0; b) a: l i c) a-2i d) a-3; e) a-4-

6. Soluliaecualieiy'T= 6 - x esle:a) 0; b) !; c) 2; d) 3; e) 4.

7. Valoarea cea mai micl a expresieiE(a.b,c)=?+2* + & -2ub- 2b"

"r t .a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4.

esle;

18. ; ,

TESTTJL,6

1. Valoarea numdrului

ff= 12,(4) + 11,(s) + 5,(13) + 2,(7s) + j este

a) 30; b) 32; c) 34; d) 36; e) 38.

2, Un copil are la CEC suma de 800.000lei. El nu scoatetimp de 2 ani nici un leu de la CEC fi pdmeite o dobandl anualade 5070. La sfenitul celui de al doilea an copilul avea suma:a) 1.500.000lei; b) 1.600.000lei; c) 1.700.000lei;d) 1.800.000lei; e) 1.900.000lei.

3, Se considertr sistemul:(x+3v-7 -^ f5 lI "- .^, UnOe a er( - {;1.lax + )y= Iz trL

Valoarea lui a penhu care x+.j'l= o este:r r l? lR

a) 0; b) 1; ct 7; at f; e) f.

4. Eiualia I x + | l= m , meR are solufie unica pentru:a) rn=O; b) m=1; c) m=2: d) m=3; e) m=4-

5. Dactr 4be.R+-{0}, ast fe l incat } + i*ad..u+b),atunci intre a $i 6 existtr relatia:a) a-b+l ; b) a=b-3; c) a=b, d)2a=lre) a+ b=2.

6. Solufia ecuafiei ttli -'[li = | este',a) x=0; b) x=1, c) x=2; d) x=3; e) x=4'

7. Forma cea mai sirnpld a funcfieif : F,+o) -p,

1(" ; = lx- lx- lx- I | | | este:a) .c b) 'x- l l : c) x-2; d) x-3; e) x-4.

128

TESTUL 7

- . . l . (4) + 7.(br- 2. f l lr ' varoarea rraclrer s.i:1* r,.t t,y - z1+j tt l" '

l la la1a) j; Ut

i; c) 201; d) ;;

e) ;.

2. solulia ecualiei ?41+ !-=?411 ..r".2x+t 4l- t 2x- l

a) 0; b) l ; c) 2; d) 3; e) 4.

3. Valoarea sumei

s:1*L*. . .*1"- t*a"o* l t*- ' . , /c9 - esle:a) 3; b) 5; c) 7; d) 9; e) 11.

,1. Inecuagi le ' l x + 3 < 3x - 5 ; tL 3x+1>2x- lsunl simullan verificate de odce x din intervalul :d) 10. l l r b) l -5. 2) : cr ,"(- / . l t : , lJ "(1. -d) : e) "(1. 21.

r t I )t ;+: : :

5. Solnl ia s is lenrului . ] ] { " esre:t+ I ,

lxya) x=1,y- l ; b) x:1,y=3; c:) x=2,y=3;

I l11d\ x=j ,y= i ; e) x=t ."v=;.

6. Dactr 4 r€R, aslfel incat a+ 6= l, alunci expresiaE(a, b) = a3 + D3 + 3aD ;:re valoarea:a) 0; b) l ; c) a- la d) a+21 e) a-3b.

7. Mull imea X care indeplinetre condil i i le:i) x ll2, ,1. 5l = OiiD {1,3l cXi i i) XE {1, 2, 3l este :

a) ) ( - { l l ; b) x=[1.2i c) X=i l . ] r d) X- { l .a.5l :e) x= [2. 4ii.

129

TESTUL 8

1. Valoarea numarului

N= 0,004 : t0-3 + V500 + V3O -<n to

6. Se considerd multimile:

e=lxeNlx= F - 1,kend'k<si r iB=lxe=Nl l -ax+t=ol '

Atunci mul$mla /fl-B este:

1ii ' i i tri .) l3I; d) [1,2,1; e) {r'3'5}'?. Solutia ecualieirEJ = a, a€R+^este:

1; b) q c) a+1: d) ?+l ; e) az- l '

130

a)

a)

TESTUL 9

l. Valoarea numdruluil lN= I : [ ) (0.002: sb)* ro] .o",

. . .10 3 . .5 4a, r; D, J;

c) t-;

d) A;

e) i.2. Numf,rul care febuie adunat la numtrrtrtorul 9i numitorul,:)

f.acfiei; pentru ca fracfia sd se dubleze este:

a) 5; b) 10; c) 15; d) 20; e) 25.

3. Mull imea

A - l^eRl l - sx+,t = 0lO1 rcnlr2 - 6t+5 = 0 e,re:ar lo l : u; {r l : cr p}: dr { l . i } ; ei 12.3}.

4. Prin curtrfirea de coajd cartofii pierd 207. dln greutate. Ogospodind pregite$te masa pentr-u l0 persoane, fiecare per-soani avand nevoie de cale 200 g de cafiofi curtlali.

Gospodina are nevoie de urmdtoarea canlilate de cafioficurlfati:a) 1,5kg; b) 2kg; c) 2,5kg; d) 3kg; e) 4kg.

5. Valoarea cea nai simpli a expresiet

esle:

a) 0;

- ( x+2v=26. Slsremul l i*iy=o

admile solulie unicr penrru:

a) a-2; b) a*2; c) a*3; c!) a*4; e) a, ,5.

7. Craficul tuncfiei f: R+R,

f( i= lx+a: +a-+1 ' :a l . a€-fvrrece pr i r ,4 (2. 9)penlru:| -3x+2 .x<t

a) a=0; b) a-1; c) a=2: d) a=3: e) a=4.131

- [1,a2 l -a2] , l+a t -a.E\a).1 . t : t I

\ l -a ' l+a') l t -a t ra l

b) 1; c) a a; -j , "; -i1.

a'+I a '+7

TESTUL 10

l. Valoarea numdrului

N=! , ( .1 - s) ,1,( 2-) ' - 21 , l 5) . " , " '"- fz ' i ro za) 6 r 5t 5 ' \ 2t

a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4.

2. Forma cea mai simPla a expresiei

rtt)=( s ' ':

s - 11' -{:!}?!- "''' '-" lx-5 ^

) l - lof +25tta) r+ l ; b) x-5; c) 2x+l : d) x- ' la e) 3x+9'

J. Ungrupdeelevi aslrans25 kgde f loare de tei $ i 50kB

tlooi. ie ti'ur!f.1. Ct.uii au slrans mai mull muselel de( al floare

de tei cu:i) tOs"; t) 20vo; c) 33'33Vo, MAa%; e) 66'66co'

| 2 ,4, esre:4. Solul ia ecual tet - ,

^*)= f r3rr 2

a) x=0; b) x=l : c) x=2; d) x=3; e) t :4 '

| 3x +2Y+ z=55. Solulia sislemului ),2x+3y+z=l este"

l2x t Y+ 3z= 1la) 1,1, 1; b) 1,-1 ' ,2 ' , c) 2 '2,4; d) 2,-2,3; e)3 '3 ' I '

6. Solufia ecuatiei f i+T+y'x+6:5 este:

a) x= l ; L) x=2; c) x=3: d) x=4; e) x:5 '

?. Se considerr funcliaf : R- R. rrxr= lx- lx- z l l .

Alunci pentru ,r q2, +coj forina cea mai simpld a funcliei

este:a) f (x)=x+ l ; b) f (x)=x-r ; c) f (x) -2;d) f(x) = 3; e) f(xl=4

132

TESTUL 11

t' lY;mi.,B + VrIT - Gr - y'2oF este:

a) 0; b) l; c) 2: d) 3t e) a'

2- Numerele care indeplinesc condiliile:

i) sunl ProPo(ionale cu 3, 5. 8;.

iit "ilolf"o

nu*1, "ue

cu 40 mai mare decit primul numrr;

,r'otdtioo, lbo; b) 25.42,60: c) 75' l0o' 125:d) 150, 120, 1S0; e) 35. 75. 105'

3. Valoarea cea mai simpld a ftacliei

4a2+4ab+b2'c2

2? + ab+ ac-2a- b- c

^, at b. t c.

^r 2J:- ! : r -

, ) , . - .b+, ' r" ' e-1 0-)

d) a+b-q e) a-b+c'

4. Valoarea lui a €R astfel incat graficul funcliei

lax+ | dacl x z Ir , R - R.

^,)=1"; : : i l . l l l i ' " t "u"rpnnpunc* '/ f2.5) esle:

" i l b, ur a ' t ' . c) a;21

zd) a=31 e) a=4

5. solutia inecualiei I-:+<O este:

a) (0, 1); b) (-1' l); c) (-c', 1); d) (1' +");.. e), (3' +oo)'- '

o. sotutlu ".uoti" i

:-2 - V^ - zo) 5-l = * 1 J

"tt t '

a) x=2i b) x=4; c) x=6; d) x=8; e) x- 10'

7- Soful iaecual ie i ' /x- | +t lx- t +v I - x = r csrE'

^) ;=0,-bt x=i : x=a: d) x-- l : e) x=3'

133

l .

E(u) =

u) :3;;

?+2a+

o, i ;a+ |

TESTUL T2

, l 1t- l

l+: l+-'2Valoaret numhrului .^ /= - - -+-)2

-. .1 - _ I- '3 ' ' 3

. .4 5 . .6 . '7o) ;; c) .; o) ;; e) ;.ood6

Forma cea mai simpltr a expresiei

este:

, . )8,t

4a)

3. Pent.u banii depu$i la CEC seprime$te o dobtnd{de 30%pe an. Duptr un an, un elev a primit de la CEC o dobandi de300.000 de lei pentru o sumtr depus5in valoare de:a) 1.000.000Iei; b) 2.000.000lei;c) 3.000.000 lei: Jr 4-000.000lei;e) 5.000.000lei-

4. solut iaecuat ie i O,(3) (Sx-z)+z=f * { f . . t " ,

a) l ; b) 2; .c) 3; d) 4; e) 5.

5. Mullimea.4 = {x€fflx= 13 - s*,,r€.Ar}O10, rSy u."'0 elemente; b) I element; c) 2 elemente;3 elemenle; e) 4 elemente.

, r I6. Numtrul par pentru care-

r, I €nr' esre:

a) r?=0; b) n-2; c) n=4; d) ,=6; e) . ,=8.

7. Solufia, numtrr natural, a ecualiei I - 100 = 0 "rt",a) x=2, b) x=4; c) x-6; d) x=8; e) x=t0.

134

TESTUL 13

")o)

1. Duptr simplifrcare, fractia1,(4) + 7,(6) - ?'(31 are vatoarea:i , (z)*0,(t)-r,(+)

ar ]; u) {; .r $;i . tu', ' ' , i"u A:IxeNii,, -r 11l. ' ' + zl=r| are:3' *, . ,$ ar $: "r fI elemenl; b) 2 elemente; c) 3 elemente;

4 elemente; e) 5 elemente'

3. Numerele reale x, y cale sunt propo4ionale cu 2 5i 3 9i

care indeplinesc condil ia x-J = l0 sunt:

at x=30,Y= 10; b) x= 30,/=20;c; x= 30.y= 301 d) x= 30./= 40;

e) x= 30,7= 50.

4. Valoarea lui a €l{ astfel incat graficul funclieit2x+l ,x>2

r: n- n. f (xt=l l1. . - ; ' : - ; \arreacr pr in puncrul

,4 (1, l2) , este:

" , , , Ol r r l n - l : c)

' ' 2; d) a= ' l : e) a= 4 '

5. Numlrul de valori intregi ale lui x, pentru carc ester - l

indeplinile inegalitalea lJ < 0' este:

h)0;b)1;c)2;d)3;e)4'

x > I , ecual ia lx+ l r - t I l= n , m€R ad-

n- l m+ll ; c) t t ; d) 2 le l 2 '

7. Fiefuncfiaf: R - N. f@ =w]'

[=]Atunci f(1) ia valoarca:

a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) a'135

6. Penlrumile solufia:

a) 0; b)

TESTTJL 14

1. Valoarea numArului

7 + 3(2; - 0,(r) + 0.(6)) .*

a) 60; b)

este:0,(0a) : 0,(a0)70; c) 80; d) 90; e) 100.

a)o)

. tv-A,2. Mult imea ,a = I r €R | . >01[ lNare:

' tz-x )I element; b) 2 elemente; c) 3 elemente;4 elemente; e) 5 elemente.

J. bxlre\la , I I

la valoarea num& nalural. penku:

a) n-7; b) n-6; c) n=3; d) r=2; e) n=0.

4, t icual id l^+l l { lx-21*5 are un numlr de solul i iegal cu:a) 0; b) 1; c) 2; d) 4; e) 5.

{x+l x+4

5. solLr l ia s isternului ] /* | J * ' . . , . ,

lx_ I x| '=- ' ' .ly- t f+r

a) x=l ,y=1; b) x=2,) ,=2; c) x-2, !=3:d) x=3,y=2; e) x= l , y= 4.

6. Numlrul de solutii ale ecualiei VT- x +r&-7= 2este:

a) 0; b) l; c) 2; d) 3; e) 4.

7. Valoarea sunei

^111J=--+-+. . .+-este:r+vJ vJ +v)

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5.

t36

,119 +,'/El

TESTI]L 15

"V2.7 + V0,1este:1, Valoarea numdrului -A/=

n)

0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4.

2. Forma cea mai simpltr a numtrrului. . 1998,1(23) + 1999,&76)/v = - esre:

1998,(4); b) 1998,5(6); c) 1998,8(9);1999; e) 2000.

3. Fonna cea rnai simplt a fracliei F=] t*?*t* t

&+3b+2esle:

"2.r u2rr a2. t 2 , . a2.2 a2+3

ul b, ) t

o) b+ 1: ' ) b+ l to ' b, ) t ' ) b* l '

4. Multimea .l : {r en | | x + I | + | x - I | = 4} are unnumar de elemente egal cu:a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4.

5. Distanla dinlre doul localitili I Si B esle de 1200 km.Din aceste localildli, in acela;i timp, pleactr doua h€nuri accel-erate, unul cltre celtrlalt, unul cu vileza de 70 km/h ii celdlaltcu vileza de 80 knvh.

Trcnudle se intalnesc duptr:a) 2h; b) 4h; c) 6h; d) 8h; e) 10 h.

x- Ix+ I 2o. Jolul fa ecualel

2 - .* |

a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4-

12+)r+17. Solutia inecualiei L- :# . 0 este:

a) (0, l) ; b) (-1,0); c) [-1,+@); d) (--, l) ; e) (3,+*).

137

= 2

este:

".t2;l - "'lo,r

TESTUL 16

1. Valoarea numztrului

n= (5 -14T16) : o,r - + - tfls : fr +fi e'te:a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4.

2. Mulfimea .4 * {x € Rl mx + x - 12}ire un element dacd:a)m,,-2; b)m=-1; c)m,,0; d)m*l ; e)n*2

3. Dacl a 6€R, astfel inctt a+ b- 1, atunci expresia

n1a, t) = aa + ta -z(ab- l)2 iavaloarea:a, -2: br -l; cJ 0: d) l: e) 2

4. Valorile lui x, /€4 care satisfac ecualia

i+f+2=2(x+Y),sunta) x=5,y-1 ' , b) x=1.,y--5; c) x=2'y=21d) x=l ,y- l ; e) x=- l ,Y=2

"4-,25. Solut ia inecual ie i ?=* 4.0 " . t . ,

a) [0. ll; b) [-t, tl: ct [-:. zl;d) II. +'"o): e) '(-co,11.

6. Fie x€R - {-3, -4} $i J'e? - {-2, -3}, astfel incat

I x -y- llx+ 3 -

t+2.lx+ r y

lx+4 Y+3Atunci diferenta x- / ia valoarca:

a) J; b) -l; c) 0; d) 1; e) 2.

. fx+l l f r - i l1. Fie f :R- R.f( t r )= lxr t1+1 , j - i ) IAtunci l'(-2) ia valoarea:

a) l; b) -1; c) 0; d) l; e) 2.

138

Valoarae numlruluiL

7+3(2;-0,(3)+0.(6D.*l l t r

u) 50, b) oo, c) ,o: d) ,o: er no.

2. Multlnea A =[xeRl2] - 5x +2= 0][)(0,+co) esteegald cu:

r I I r t Ia) I I .2 l ; b) l l .3] ; cr {2,3J: ar { r . r } ; er ] ] . .2f .- t

t - t. x+t x- t 2^-+x-6J. lE^ual la

J_I+x+I= --

-

aresolul ia:

a)r=-5; b)x=-4; c)x=-3; d)x:-2; e)x=-1.

4. Valoarea expresiei

- . a- I a+1 1-3atta)= ) esle:

a a- l a--2

a);rr l : br a l ic)-) t J)0; e) t .a--a

5. Fie .?, 4 c€R astfel incat a + ,+ c= l Atunci expresiaD(a, b, Q = ? + i - J + 2ab + 2c are valoarea:a) -2: b) - l ; c) 0; J) l ; e) 2.

6. valoarea numtrrului .v- 6l n6 - f-k- ".t":a) 2; b) 1; c) 6; d) 8; e) 10.

7. Sirremul [: : , ' : . : O.are

o inf ini lare de sojul i i penrru:lzx+ay=6

a) a=0; b) a=l ; c) a=2; d) a=3i e) a=4.

TESTUL 17

139

TESTUL 18

r .Fi .Nr=(,1 * l t*3.) ,13'-r ,1, p] - rJ1 ' rt ' ' l - ' l " ' N,Ab. | : [.2.(0.002: s'o)

* *].etun.i

'AA are valoarea:

r?a) 0; t) i; c) r; d) j1 e)2

2. Valoarea lui m eZ. aslfel incat sa aiba loc egalilalea

{x €Rlmr+ 2x= 7l= @' este:

al m='-3t b i m. -2 ' ' c1 m- - l . d) m= 0; e) m= l '

3. Valorile lui a€rR, astfel incat solulia ecuatiei

1 * t + ;' 4- = 0 sa fie strict negativd' sunt:

x - l x +z 1+3x+2

a , . f ; l l a> 2 ' , c) a>-3; d) a<7; e) a<0'

4. Forma rea mai simpll a exPresiei| ,2 a2 , a

, l _1,1. .u",EA\=l ] - ' r - i i t I "* t* r*u1, u-,

ar , ' , ;

b) n_;

, ) l

i d) - i i a

5. E"uuin V7l7 - x- a arc solulie pentru:

a) a> l ; b) a>21 c) a<0, d) a<3; e) a<7'

6. Valorile x €1{ care verifictr inecualiile:

f2x+ 7<5x- 2 - .unr.

13x+ 2 > 6x- 13"-

ar , \=0si , {= l : b) , i= ls ix=2; c) x=2si ' {= 3;

i ) "=:

s l "=5; e) x=49ix-5 '

1 , Fie x, y aR , x t y,astfel indt 4Y = 2' Atunci raportul

4 iu ualoareu: a) l; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5'v

140

TESTUL 19

r . Fie A=r +! ; B=t -

A-28 ia,ralo^reat a) 0; b) f;

1_f. '3

{-

--.

Atuncr

c) 2; d) 3; e) 4.

t . ]

2. Valoarea numdruluiq e . , - , , . !5)+3{30r*

J, esre:N= t2,(2) - ssl- l t ' (7) 53+I ' ( l ) l+r ' rqa) 4 b) 4i c) 6; d) 8; e) 10'

3. Numfurl natural care trebuie adunat alai Ia numtr_rdtorul

cat li la numitorul {racliei }' astfel incat aceasttr fractie str se

dubleze, este: a) ?; b) 14; c) 21; d) 28; e) 35'

4. Numerele nalurale r' I care "unl invers ptopo(ionale (u

2 5i 3 5i indeplinesc.ondil ia ^ --l=^10' 'unl:

at 20 si l0; b) 30 si 20; c) 4U 5r ru;

d sosi+o e) 6or i 50.

5. Sollrlia ecuatiei:

f + t: + x+ | 2x-4j -

-

esle:

e) x-4.x+l x- l

a) , t .0 i b) x= l : c) x=21 d) x=Ji

6. Solulia inecualiei I*t2 este:

a) (0, 1); b) (1' 3); c) (-l, s); d) (2' ?): e) (2' +co)

] + & u+ t7. Dacf, 4 b€R+ astfel i\cat -

' --

a si b existd relalia:

" ,"r* o=0, bi a+26=0r c) a-6=0:

i ) u-zt=o, d) 2a- b=o'141

, atunci inte

TESTUL 20

1. Valoarea numtrrului

2. Valorile lui x, /€N', care verificd ecualiax + y: xy, slt'rl:

a) ls i l : b) 25i 5: c) 35i l0: d)4$i 5 i e)2si 2.J. rorna cea mar sunpla a expreslei

r r , r=[r i .1 ---- ' l f t ' - - z- ] .1**:r\.{ -8 t '+2x+4 x-2) \*-4 2_x) '

este: a) f (x)=x+ I ; b) E(x)= 4; ; c) E(x)=1;

d\ E(x) =; ; j : e) E(xl=-1.

4. Solulia sistemului12x - 3y 2y - 3x 112l - - -_

- =-

I , , ,^ )J esle:

l(x - 5Y - Q - 9z = (x - )(x + y\ - 48x=l ,y=l ; b) x=2,y=3; c) x=5,y=31x: lO,y=6t e) x=5,y:-2.

5. Solutia comuntr a ecuafiilor5x- l 2x+ 7

2- - j =3x- 14 siVx+7-y ' I IJ= Iesre:

a)d)

a) l; b) 3j c) 5; d) 7; e) 9.6. Solufia strict negativd a ecua(iei

"4-41=0 ""t",a) -5; b) --4; c) -J; d) -9; e) -l7.Dacd.4 b, ceRieit] + hf] + &l= <* + 6c)2, atunci

intre 4 4 cexistd.elafia;a) a= 14 b) b-q c) c=4 d) a+b=q e) a+c=b,

142

TESTUL 21

t l t 5\ |l . inrre numerele Nr =

r j . l ; - ;4J: ; r i

N, = (- ; )J - ( ; ) ' , ( - j ) exi"Lr rerat ia:

a) M<Nz; b) N1 -Nz; c) Nl=N2+l;d) M+1=N2; e)

^/ l >N:.

2. Foma fracl ie i f f

lar * , . a € R - l - 1, -21 duPr s im-

pl i f icae este: a) ? +"1; D ?- l ) ?- 3a+2"

d) a ' +3a+2 ; e) a- - 1

3. Vatorile lui x€ R astfel incat sf, fie indeplini{e inega-

lx- l x-2 ^t i re l i te r . { 2 + 3 'z

lx- 2 ' 8 x,unr : a;(x. l : b) r .2: c) x>5: d) x>2: e) )=3

' ' I I .4*. . t " ,4. Sulul ia ecualrer: x r l

+x_ f l_ f " ' ' '

a)0;b)1;c)2;d)3;e)4.

5. Valoarea lui x € ^/

carc verifici ecuafiile :

2x-3=t+l9iy 'x+5=x-1este: a)0;b) 1;c) 2;d)3;e)4'

"r 16. Fie a, , € R astfel incat a'll =

;. Atunci fbrma cea mar

simpltr a expresiei -44 b)=(] + * + l)(a2+l-t leste:

u) 12*i , t ; u) i+f ; .1 a4+b4:d) i+bs: t ) a6+ b6'

7. Numirele a ctrror sumtr este 16 $i carc lunf Proporllonalecu3si5sunt:a) 5; i1 l ; b) 4$i12; c) 6ei10; d) 7ei9; e) 8ei8 '

143

TESTUL 22

1. Valoarea numtrrului :

^r= 0,(3) + 1,(6) + l,( 17) + 0,(82)

este:a)0;b) l ;c)2;d)3;e)4.

2. Forma cea mai simpltr a expresieiI I I

-p- l - r n r lual= ) + ) - ) " .4e, \ - l - r .v. ,Ja'-a t+a a ' - leste:

.a- l . a+l Ia) , ;o) , ;c j 2 . ;

3. Valoarea lui x € -.y' care verifictr ecualiile I - t - O six+2=2x+leste:a)0;b)1;c)2;d)3;e)4.

4. Valoarea lui x € -4/ care verificd relaliile| + ? + x, 30 9i, 4x- 5 = 3x- 2este:a) 0 ; b) 1 ; c) 2 :, d) 3 i e) 4.

5. Solulia x€ -AI a ecuafiei VIT3 = x+ l este:a)0;b)1;c)2;d)3;e)4.

6. Se considertr m:LJEimi le A- lxe Z lZ<x<5i r iA=lxe Zl xdividepel5). Atunci AnB are un numar deelemente egal cu:a)0;b)1;c)2;d)3:e)4.

7. Vatorile lui a € Z astfel inc6t ecualia I{ - 4

x* I str aibd solutie unica negativd este:a) -2 ; b) -l ; c) 0 ; d) I ; e) 2.

. . a .a-2

144 145

TESTTIL 23

l. valoarea numarului lV= I0-l+ tO-2+ tO-l- -l^l l-

1000esle:a)0;b)1;c)2;d)3;e)4.

2. 30 Vo dm 20 Vo dln 2000 reprezintl :a) 100; b) 110; c) 120; d) 130; e) 140.

- . . i_2"J. forTna cea mar srrnplaa lraclret 4 _ este:

a -4. a a-2 a-) a+J

a'-2 a '+2 a '+2 a ' -2 a" +3

4. Media arilmeticd a numerelor llf - 3 l, lV7 - 5 | ".t.:a)1;b)2;c)3;d)4;e)5.

5. Valorile lui a e R aslfel incal sislemulI zx+ aV= 6

lx+)r=4str aib?l o singuri solul:e surt :a) at I ;

^) at2a a) a-3; a) a*4, a) az5;

6, Solulia comuntr a ecuafiilorxt l=2x- l l i x-+ x- r , r '+,r-30=0

este :a)0;b)1;c)2;d)3;e)4.

7. Numlrul de solutii ale ecualiei

lx+ lx+ lx+ l " l l l l=-zeste ;a)0;b)1;c)2;d)3;e)4.

TESTIJL 24

1. Valoarea numlruluir - -50

N= 0,04 : 10- ' +V600 - G -v16

este :a)0:b) l ;c)2;d)3;e)4.

2. ln ctrrbunele de plunant intd in medie 80 Eo carbon, iarin turbd 64 7o carbon. Atunci in 2 tone de clrbuni de prmantintrd o cantitate de carbon egaltr cu cantitatea de carbon din :a) l,5tturbl; b) 2tturbl; c) 2,5tturbd; d) 3tturbl;e) 3,5 t turbd ;

3. Numerele lV5- 11,115-21' l fs- 3l ' l f5-41 "usuma egal5 cu :a)1;b)2;c)3;d)4;e)5.

4. Valorile lui a $i , penru care abT - Td = 1 B0 sunt:

a) a=4,b=2: b) a '3,b=l ; c) a=2,b=0;[) a= 1, b= - l1 ' e) a-0,b=-2-

5. Solul iaeruatiei

-

= 2esle :

a) -5; b) -3; c) - l ; d) 1; e) 3.

6, Sotulia ecualiei y'FT = x - I este ;

a)0;b)1;c)2id)3;e)4.

7. Penrru x€ Jl. +co) forma funcliett (xJ= lx- l r - lx- r l l I

este :a) x-4; b) x- 3; c) x-21d) x- 1; e) x. .

146

TESTUL 25

1. Valoarea numdruluiI

N= 12,(4) + 11,(5) + 5,(13) + 2,(75) + ;

este :

a) 26; b) 28 ; c) 30; d) 32; e) 34.

2. Se consided numerele natuale r, /astfel incat sa aibd

loc relatia x= 2I4 Atunci raportul ry ia valoarea :x-y

a) l ;b)2;c)3;d)4;e)5.

] -b '?3. Fonna cea mai simpll a fractiei F= esle:

ath . a l , a b ' l a-b a-b" 'a b " 'atb '" ' atb " ' a + b

- l ' - ' a - b + l '

4. La ora 12 pleactr din(r-un pofl cu o vilezl de 16 km,4r obarci. La ora 15 pleacl din acela$i port un vapor cu viteza de25 km / h. Vaporul ajunge barca la ora :a) 20; b) 20si 10' i c) 20$i20' ; d) 20$i30' ; e) 20ei ,+0' .

5. Valoarea lui ,y e rR care verifictr relaliile

Vr+I+V,r+o-5r i f -x> l0esle :a) . r= l ; b) x= 2; c) x= 3; d) x=4; e) x=5.

6, Valoiuea lui x € R care verifictr simultan inecualiile4x+ 1 > 3x+ 2 f i 5x+ 2 < 4x + 3 este ia)0;b)1;c)2;d)3;e)4.

7. Fiea,De R astfel incit a + b = 1 si, ab z | . Atunci ex-

"1 - t -4 - tpresia -Qa. 6) - $ ia valoarea :(ab- t ) '

a)1;b)2;c)3;d)4;e)5.

147

I. NIJMERE NATURALE1.1 OPERATII CU NUMERE NATURALE

1. a) 12: 75; 102,8'75;'7522-2. 6 )2199; 1171;279;278' , 23:22.3. a) l0; b) l1; c) 21-4. a) 99: l , ) 98; c) 89.5. ar 100: bt l0 l ; c, 102; d,) l0Jl et 2006. a) 999: b) 998; c) q87; d; 980: el 888.7- a) t l l : l l2: l l . l : l2 l ; l )2; 123; l . t l : lJ2: l . l l :

2 l l ; 2t2; 2t . r ; Dl . 222- 22.\ : 2{ l i 2.12; 2. l t r J l l : 3 l2 i313; 3211 322. 323: 331l' 332, 333.

t j . a) 135; 153; 315; 351; 513i 531.g. ai 15'72; 1'/52; 51'12: 5ll2:. 7152:'751210. a) 20,15: 2105: 1025. 4205.11. ai 1 +2+3+4+96+97+98+99= I +99+

+ 2 r98 + 3 + 97 + 4 + 96 = 100 + 100 + 100 + 100 ='{00'13. a) a = 2: b= 9: c: - 2. d : 5.14. a) 1998 + 9989 - 998 - 989 = 1998 - 998 +

+ 9989 - 989 = 1000 + 9000 = 10 000.15. a)1+2+ + 499 + 500 = (1 + 500) +

+(2+499)+ +(250+251) =501 +501 + +501 == 250 501 - 125150.

cl) 5+10+15+ + 10000-5{1+2+ +2000) == 5 1000'2001 : 10 005 000

16. a) Adunand membru cu menbru cele trei relaliiolrr i lJern 2ar 2t ,+ ) , = l ) - , a+ h c b Din acea' i l i re-

l " i ie rcvtn. l t r rernbtn iu merlr l ' lJ cele t re i re l ; l i r o l ' l i r lerrr :( . f+ D+ c) (D+ c) = 6 - 5: ' a= I t i analog

'= 2 ' c= 3 '

Atunci a1r= 123.17. a) l0, l ; b) 129; c) 106.18. a) 800; b) 960; c) 993.19. a) 1699; b) 2099; c) 1059.20. a) 9Y00: b) s95q; q99l

21, a) 50; 4l ; J l ; 2.1: , - l : ht 70: 8 l ; 92'22. a\ 125 1725+3751125- 1250'42 - 500 1\)=

= l '125 (lZ5 +375) - 52500 - 10000 = 1725-500 - 62500 =

= 862500 - 62500 = 800000.148

23. b +c = 3i a +b = 2 => (b + c) - (a + b) = 3 - 2 =>

2(b + c\ + 3(.a + b)=2.3+3.2=12=>3a+5b+2c=12.Atunci -g= (c - ax3a + 5b + 2c) = l.12 = 72.24. a- b+ b+ c= 3 + 5 => a+ c=81

3'(a- b) + 4.(b+ c) = 3.3 + 4.5 =29 => 3a+ b+ 4c= 29.AlLrnci E= (a + c)(3a + b + 4c\ = 8.29 = 232.

25, 3.(a+ b + c) - (a +3c) = 36 - 10= 8 =>=>2a+3b=8.(a+ b+ c) + (2a+ 3bJ = 6 + 8 -> 3a+ 4b+ c= 14.Atunci . ' : 8 14 : 112.

27. Aplicand borcma de imptrrlire cu rest peltru numarulx, rezulll cd existtr un cat C $i un rest R * 3C, aslfel incat straibi loc relalia: x= 21.C+ 3 C=> x=24.C<75 => => C< 3.

C- I => x = 24; C= 2 => x = 48 ; C= 3 => x = 72.28. x= 10 C+3. Se studiaztr toare posibil ir lf i le, adicd

9

-

0, 1 1 2,, 9 $i se refine variantain care x se rmpane exacrla 11, adicd C=3=> x=33.

29. Obt inem a + b=3705ia=4b+2O=>a=300,b=70.30. 450 si 60.31. Nt = 2r +2 + - + 50 - 225 51 - 2t275 - 2.4637.

3t16

N2=i l+2+-+35-3- = 3630. Evident l r 'y , N2.32. Nj = 2600. 21 *2+- +30_ 2600. 215.31 _

_ 2600 . 2465 _ 2135 _ g45.

172 = 3300.31 +z+ +20_ 3300.310.21 _ 3300.3210_= 390 = 9a5. Evident ,l/2 > in.

ls. a; ,rr1 = iz7)2s = t2825 ; ,,rr2 = 153;25 = t2525;b) ,vl - (37)20: 218720 ; th= (ta)20 = zlol,20;c) l/1 = (41)100 = 256100; 1,,2 = i3s;100 = 2o,too.d) ,vr = (73)50 = 34350 ; w2- 12s150 = 24350.36. a) rr,r1 - 51s0 = 156;25 - t56ZS25

' t55522s =

- (2.7716)2s = (2.6s)25 - 225.612s - 2.88.612s ,2.68.6125,149

' 2.6113

' 6133 = N:.

b) ^ l l=4117=(47)21

= 1638+21 ; Nr = 5125.5126== 156;21 = 1562521 => lrp itl:.

"; w1 = 832 = 296 = 128112 =256t2 Nz=930 = 360 =

= 13s112 = z+:12 :' N1 '

,A/2.

a) ru1 = zee = izl119 = 20489 ; N2 = 933 = 366 '

363 =

= 1:71e = ztsle =' ,v1 . .v2.31. a) ab= 15=>a=l;6=15 sau a:3;b=5 sau

a= 5; b:3 sau a = 15; , = l . Soluti i le care ' indeplinesc con-dif ia a + 6= 8 sunl: a= 3; D= 5 sau a = 5; 6= 3.

38. a) 12 se poale scrie ca l 12 sau2 6sau 3 4 sau 4l sau6.2 sau l2 l . iar 20 se poate scrie ca l-20 sau 2 10 sau 4 5 sau5.4 sau 102 sau 20 1, Studiind cele doud descompunerioblinem b=,l gi apoi a= 3 9i c- 5.

J9. a, ; I r r -n-0=> qr+l l=h-,=>l ,x+1)=23:>x=2.

40. a) xt+x=5=> 4y+ l )=5=> 4l+ 1)= l 5 sau

-r(y + l ) = 5 l => x:11y+ l :5 sau x= 5; /+ 1 = I . Alunci\=l :J=4.aur '5:y=Q.

42. db :1.5. 13- ab =61.. 14. ab ='1'1.45. N=9: +99=9:(a+ I l ) i i se ' impa(e la lTdactra=6

56. i = t ] =, l }a+ b= i = ' 10a = b(6- l ) . Deci , se

div ide su 5 sau ,- i se div ide cu 5 5i a6 -25sauab -36.58.6-a-c=8:> b= a+ c+8=> a+ c=0saur+c= l .

Dactr a+c:0=>"=c:0, fa ls Dacd a+c=l =>

a=1,,=0r i b='r .Deei ab. = 190

39. abc = cr =, L00a + 106 + c = c-' :' 10{ 10a + 6) =

.{"2 - 1; - ' 10J = c(c- 1Xc + 1).60. \56e =G =, abc = bc2 =, l00a + l}b + c: bcz =>

A- , t h. - 1\- , l00a+ l rc + bct => a-

* 'h ' de un. ie rezulh etr

I.2 MULTIMI CU NUMERE NATURALE

I.3 DIVTZ IBILITATEANUMERELOR NATURALE

t. . , l5 ' r t - . , ,n* t .5n a in+ 2 5n =

15'r15 + 3.3T 5"+ 12.3"5"= 15"(15 + -3 + 9) = 27.15"d) 6u + jn+ ).2n+ 1 + 3n + 1.2n + 1 -

- 6" + * 2.6n + 3.22.6"= e"it + t8 + 12) = 31.6'.2. 3 + x + x + v = l l -> 2x+ v=8.

Ti9 re divide cu 2 daca J, c 10. 2. 4.6. 81.y-C:> x= 4; y=2 => x=3; y= 4 => x-2; y=6 => x= 7iy: 8 => x= 0. Numerele sunt: 3008; 3332; 3224;3116;3440.Cel mai mic dintre ele este 3008 $i cel mai mare este 3440.

1. a) ,a=10, 1.2. 1,4,5.6,7 J;t r ) A=: l t .4.1. r0] i e) .4={5. r4. 2 t . 26. 2e. J0}.

2. a) .4 = 10. lr 2. J. 4. 5. 6.1:L ' ) ,a=J2.51: O ,4=10.J.8. l5 l .

j . " .1 4: [0. .e: r2. ro]r d) A={r .5.e, r r } .5. n=lr , l ,4toj .6. X- l r , 3,51.7. xn{r ,3,-4}=1r, | i=.1,3ex Tinand conr ; i de

ionJi l i i le br ) i ( ) rczulrr 5 € X=> X = t l . J. 5 j .

?: x-: l112'. i jl l . ,4 = i l . J t ,

1s. x= {1, 2i3}; Y.=1'4:5,6]..20. Din J.fl r= {1, 2} rcznltt l,2e X 1, 2 € X Cum

54.X- Y r i 5€-^f l I ' rezul t t 5€Y-X, deci 5G XDeoarece ) . tJ y=].1,2,3,4,51 rezul t i c t r 3,4€X sau3,.1€ ysau3e

- t r t i4 e ysau3€ I '9 i4€XlnsiXzuemainulle elemenle decat, f $i,atunci rezuhl ctr 3, 4 € X Decix= 11. 2. l . a l r i { : 11, ?, s l .

2r . x: {1.2.31; Y=t4.5.6, .

unul din factorii 6c,6c - l trebuie sI se dividtrcu 25-150 l5l

3. Existd ur singur nwl].lr 22222.4. N= 3( l + 3);33(1 + 3) + '+ 3ae( l +:1=

= 4B + 33 + . + 349) care evident se divide cu 2.6. Trebuie inrleplinitd conii l ia x+2+x+2=3k =>

=>2x+4=3k,k€N.-*= l=> 2r+4=3 *> 2r = - l nuconvinei- | - 2=> 2x r 4 - h => )x= 2 -> x= |. , t - .1 => 2x. 4 - 9 => 2x = 5 nu convine:- k = 4 => 2x + 4 = 12 => 2x - 8 => x = 4;-k=5->2x+4=15=>2x- I I nu Lonvirrei- k=6=>2x+ 1= 18->2x=14 => x=7;- k - 7 => 2t + 4 - 2l => 2x= 17 nu convine;- k = 8 => 2x + 4 = 21 -> 2x = 20 -> x = l0 nu convine.

Numerele sunl: 12I2i 4242,'l2'12.7. b= a+ 1; c= a+2=> a+ b+ c= a+ a+ I + a+

+2=3a+3=3(a+l)8, i27 + xffi se divide cu 3 dacd suma cifrelor se divide cu

3,adicdx+2+7 + x+ I + x+ 5 - 3x+ 15 sediv idecu3,ceeaue esle evlcenl

9. Numtrrul se div ide cu 3 dacd x+!+z+y+z++ t+ z+ x+ y '3x + 3/+ 32se div ide ou 3, ceea ce esle evl-dent.

10. Numtrrul N se divide cu 3 daotr $i numai dactra + b+ c + b+ c+.:se div ide cu 3, adic! a+ 26+ 3cse cl iv idecu 3, sau a + 2b se divide cu 3.

tz, N=121 +221+123+2a)+ +1299 +2to01-

=2( l - 2t+ 2l t l +2t . *2uui l +2)=. , . . -1 .99,=Jtz+z + r / l .

13. N- 8(1 + 8) + 83(1 + 8) + + 81e(1 + 8) =

=9(8+83+ +8ae).in. , l= t00+ 10x+x+200+ 10x+x+300+ lOx+x=

= 600 + 33x $i se divide cu 5 dacd -r = 0 sau 'r - 5 AlunclN= 600 sau

^/= 765.

16. N=Vbc+l lc+ c= 100a+ 10r+ c+ lOb+ c+ c:

- I 00a + 206 + 3 g care se divide cu 5 dactr 9i numai dacl

umai dacd 3c se divide cu 5, adicd c € 10, 51.11. N= 125(a + b+ c).18. ,\/= 2(1 + 221 + z51t + 221 + ... + ze11t + 221 =

= 5(2 + 2s + ... + 297\.19. ff= 3(1 +:21+:s11 + 32y + ... + 3e111 + 32y =

=10(3+35+.+397).20.

^/= 3358 + 1 I lx = 3350 + I 10x + x+ 8, care se divide

pr in 10dacl8+x= l0 ->.{= 2 -> r \ / :3580.21. N= ll l(a+ b+ c), care se divide cu 10 daci pi numai

dacd a + l-' + cse divide prin 10.22. N= (2t + 23 +... + 299) + (22 + 2a + -. + 2r0\ =

= 2(1 + 22) + 2s(l + 221 + ... + ze11t + 221 ++ 221t * 227 + 2a1t + 221 + ... + 2981t + z2y ==5(2+25 +.. .+297)+5(22 +26 +-. . i298) s i deci Nse di-vide cu 5. Cum /y'se divide cu 2, rezulttr cd ,^I se divide cu l0_

27. Numtrrul T2341 se divide cu 4 penlru x = 4 \ii ,y = 8.Nunllrul cduli lt este 12348.

28, Nu[llrul esle 123400.29. N=lI l (x+y+z)9i se div ide cu 9 dactrx + Jt'+ "

se divide cu 3.30. Punenrcondi t ia l+2+3 +4+ x+ x = 9k, keN-*= I => 2x = -1, fa ls;- k = 2 => 2x = 8 => x: 4 $i numdrul esle 123444;-k=3=>2x=17,fals;- k > 1 => 2x = 9k - 10> 26 => x> 13, fats.33.. NumereLe sunt: 12300:' 12325]' 12350; 12315.3,1. Numerele sunr: 98700; 98725; 98750; 98775.35. Trebuie ca 7x str se dividd prin 25, de unde rezulrtr.i

,Y = 5. Atunci nuntrrul este 5675.36, Pentru p=2 numerele ?+1,p+3,?+5 devin

3, 5, 7, deci p: 2 este solulie a problemei. Vorn irtta c{p - 2esle singura solulie a problemei.

(Jrice numdr natural p> 2 ia una din formele 3k3k+ l,3k+2,keN.

Dactr p - 3,t, atunci p + 3 = 3(-k+ 1) 9i nu este prim.

r<t

Daca p= Jl(+ l ,aruncip+ 5 = J(k+ 2) s i nue\ le pr im.

Dace p- 3*+2, atunci ln+ I = 3(*+ l )s i nuesle pnm'

39.;=2,b=5,c=' l; ; . ;=,1 .12 , 3r * 3a; * 1. ts * Jo + 37 r 18) +

+ (J 7 + 3l rB + j t 19 * 31201 = t3 l + i2 -

J l + J4).

. , i , .o*. . "

t l lbt- t20{31 +32+- . l l16; ."

42-, N-Gt +aj1.(4J+4a)+ +,ol to -412$=

_ r t + 42\. q2A*42\+. .*+1181+++21=

=i+. o '1t +42' +41t8)= 20t l +42 t ++118t

^I= (4 + 4 '+ 4 ' )+ (4 '+ 4" + 4") + +

f io i , t*oi ' , ,4u01 = 1n*a2-at){ I*4t* *4117) =

:9,4t | +43 +. +4rt7)=1v84.-Aitrnci N= r20 ,/rzS 4 = l|lf'164 ' M42O'

;;. '*- ;= (t ' ;.62 +63 + 6f;i61 + 66 + - --9^':t1== rsr5tot * i j , ] .1 *01e86;=s:t116r+62* * 61e86)=

- M3lt.47. Fie a- 4x, b = 4y'wde x' y € l{ 5i x' yau cel mai mare

d;vizor comun Pe l. lnsa a ' b = 52 =>=>4t+4y=5)=,pltrate p#ecte $i atnnci rczultl x= 4' y=9 sa.u x=9' y= 4'

ceea ce dau numerele 16 $i 36.48. Numerele sunt 10 9i 75.49. Numerele sunt 20 $i 45.50. Numerele sunt 16 ti 48'ii. Fi"

" * O i.prtltorul, iar a,

', c clllrriile impdrlirii nu

*.."toi iu *. Alunci apli. " 'ema I irp'trl ire iu rcst'"'il i"i1",

-l:io = -,

; Jbr ljlS = .rtr ' 25 r"tb4 = xc I 64' de

;;[;;"1'a ",

= l2A0; xb=23A0; xc= 33CC Atunci rezultl

ctr x = c.m.m.d.c ( 1200,2300,3300 ) = 1 00'52. Fie x numtrrul cerut. atuncr avem:

x- 3 = M6, x - 3 = M8, -r- 3 - n{10 ::

=> x- 3 = [6,8, 10] - 120 => '{= 123'53. Nurhlrul esfe 64.54. numercle sunt 40 9i 90'

154

2. NUMERE 1NTREGI

2.1 OPERATII CU NIMERE iNTREGI

1. a) -15: ''1; -2: O; 'l; 12:. 25; 125; 350.2. iel mai mare numf,r intreg este 1000, iar cel mai mic

numtu intres este - 825.3. l -7 1-= r ; l o l = 0: l2s l = 25r l -371 = 37.4. i t 12:34;75; '16;120; 189: 225.s. Anb = {-rzt ; -t \ -23; \ 2; 4ol

AOB.]| c - I-r27 ; -7 s; oi 4ol.6. a) lxl = 5 => x= -5 sau x= 5 =>.4 = l-5' 5I;

c) ,4 = 13,4,5,61.1- ai |

- 2 - '3 - 5 -6+7-8

+C35) = J2- J5 =- l8. c) J +o

- C7) +9 + 12 + (- lJ) ' 15 + 18 + (-19) == 9 - 7 +21 - 13 + 33 - 19 =Z + I + 14 =24.

15. a) ( l +2+3+4 +5 -6):3 =9:3 =3'16. a) 100:2: C5):(-2) = 50: (-5): ( -2) == (- I0) : ( 2)=5.I8. a) (-I)I1-2)2 (-i13'(-4t4 - ( - 1 ) 4 \- 2' l 1 256 =

= 108'256 = 27648.

2.2 ECUA'UI $I INECUATIIiN MULTII,fiA NUMERELOR INTREGI

l, a) 2x + l0 = O -> 2x- -10 -> x= (-10) : 2 = -5'2. a\ 2x+l=5=>2x=5-l=> x ' 4:2 -2 '3. 2; - 2= o =,2* =z=, i = l -> x- I sau ,r= -1 '4. iS x + 3 > O =, x > -3 => x e (-3, +'')aZ5. Jx- 15 > 0=> Jx> 15=' x>5 => xe[5 ' +oo)

2t< - 14 < 0 => 2x < l4 => x < 7 => x€(-oo. 7),+runci .r € [5. +oo)11(--, i)nZ= {5,6}.t . -x + t2)0=> x> -12 => x < 12 ->^e(-6. l2)

A = (-,1,,14a2. Anatog B = p, +6)A2; C - (-d' ro)i Z

D=9,+6\nzt55

3. NUMERE RATIONALE3.1 FRACTII

1. Fracf i i le exist t r pentru x* l ,x/2,x ' - l ,x t7,xt l0,xt-5.

2. 1Z se dividecu3 dacl I + x+ 4= x+ 5 se divide cu 3,adicd x€11,4,71. 4t se div ide cu 9 dactr 4+2+y== y+ 6 se divide cu 9,adrct Y= 3.

- ,4 I0x+4 ,s. ; ;< I => - jn ' . I => l0x+4<76'>

) ) I t'=> t lx < 22 => x <

; ; = '

- .

- i ->x= Isau x=.1.

7. sef .J loserrexCl0. 1.2.3.4.5. b.7. R.91.8. a)Trebuie. 'a]Ysi f iemult ip ludeS.adicax= 2. Seobt ine

^ 123ractra aj

= g.9. Perlru a se obfine 3x, trebuie sd amplificam pe 8 cu 4.

Atunci 84=32si deci x = 2.13. T2E se div ide pr in 9 dacl 1+2+x+2=x+5 se

divide prin 9, atf:,ct x=4.3214 se divit le prin 9 dactr3 + 2 + y + 4 : ! + 9 se divicle prin 9, adicdY= 9.

Cea mai mictr fraclie si cea mai mare fracfie coincid qi sunt1)4,)

esale ru jjnl.

, 2" + 6n 2'(l + 3"\ 2nu)

3\9,= 3;0 . 3\= t4.7n +' |n+| t "1+*t1 7n.11 7'

, . r ' l - , 'z l : ' (n- r ) I l ' l t l l ; '.3+6+" + 150 3(1 +2+ +50) 3

o)4,8*. +200- 4( l+2+ i 50)=4'

13+2.3r" +1003 3( l+2+ +100) 3= 4(i;2 + ... + tooi

= t'1+2+3+4+5 15 -= 3 - =T=) '

156

18.

19.

?n

c)

),

14+2.4+-+1004r )?45

a);+-- :+;+;+i

- - I I I 6+4+3 13zr. a) 1+ 1+ 4= t2

= i l

l l t )<q1 )KS, J^+.t .^-) :E-+-:-----6ZU)d2t))

25'5 + 83.2 - 26.8 125 i 166 * 208 83

u- d: . i . ; t+,+=40.

16+8+4+2+132

40 403l

l .

15 15 ^2)

31 45 31 3l45 3 3 '

27. (1 -l1;1

7

- *lt' - i),' - *t =78

28. a) Prcsupunem prin absurd ctr fracliar, *@

este reduc-

libih ti cI se poate simplifrca prin d Atunci d este divizorpentru 6, + 5 qi pentru 5r + 4, $i deci este divizor pentru5(6r + 5) - 6(5, + 4) = 1. Deci d= 1 9i fracqia esre ireducribiltr.

)n2+2n+l29. b) Presupunem prirL abtutd .t -f iff ieste fraclie

ireduclibild $icd se poate simplificaprin d Atunci deste divizorpentru 2n' + 2n + 7 5i penta 2n' + 4n + 2, Si deci esle divizorpeno. (2nz + 4n + 2) - (2i + 2n + l) = 2a + 1. Avem atunci:d este divizor pentru 2 t? + 2n + | si pentru 2n+ 1, qi deci ester l iv izor pentru (2t?+2n+1)- f l2n+ l )*rr+1. Avem: deste divizor pentru 2r + 1 $i penfu r +1, $i deci este divizorpentru 2(r+1) - (2r+l) = l.Decid= 1 5i fraclia este ireduc-tibih.

. - t ^1 l0 15 33 l0.r5. c) t / ; -d; r l - ; - r 'n=. . ( t 14 2\31 2l+14+lo' \ ls 45 9/3 45

-- . . t23.1 I Iro. D) r '1. t . j=5>6,

\ 4/\ ' 5./\-l1o

157

".#,*=H3='3-# $i devine prhatul unui

numff nalural daca t = 2 ."';; (' - l)i;- l(, - lX' - )t' - )= i i i ; i I'. ", ' =,1 .]i - t'f, t'li,j -'lllltl '''" =

=I.{l llli g,"T - llrll}l'; -=l.fl :('ll:H)l l';:1.(l .1:)i'i

1 \ tg 2\3 1 1-"=t- o^ \1 =1-

?='i r . o,

' ,1 ' rz l * l r+rrr l 'z l ' r 'sr{==.1, (i., . l). (T, +. #) i ==+ #.(?. l l ' t=s*t=.tz,,ol -.r l ' 0,, l i - [ ] . l i ," i) , ' i ==r-l i lt l: (;'l';) I (T i) l:

l f . . \ 7 '208 15 64. 1-,^-4=t2.- l ; . ' jT;rs r3-716='"-etunci E= ti

= 1.

Ik

t

109 t09 toq 40= g ' , to - '= s tog -

Atunci t=i- t=5-1=4.

= 0,4.

I t0 15 I t0 J5 13 l0r . a) r7; 8.2si ;= : -80 i i=;- ; i i=/ r r r r r r9) . 2_ _ 46gr (r r ;; , r.1o1.o.oz = | roo * iolJ rob = roo

2. a) f . r7) + J.(J) I 5.(8)- 4.(4)= ln+ Ji t 5 i -A 1 r Q U 14 5

- 4; = { t - J + 5 - 4) ' ; - ; - ; - e

= s + n = 6i :

d) 17,(12) + 21(le) - rz,1zz1=n*ft*ntf i'1 t1 te D.

t .1 ; ; - 1 . 2 l - 13) + ui * qs - o. ,

=

3.2 FRACTII ZECIMALE

10;

ql=25 + n4=Z5U;

r t - t )a- )gr l2. l ( . t i l l .2{4r- 7.0(5) l2 '90 * l l -90--

-5 o ( tz zz s\ . . . t , )_,90 =,rr+ _ / )+| ,90+ uO_soJ =-,o,rO.

,4 -O ^J- l , (4)+7,(o)-2.(J) ! 9 -qJ' ' ) s.(2)+6.( l ) -7.1+t=.4 -y]

=

. , ( r r -0f1, l=1rr- , ' l f = l i/ , ' ,< ; \

' ) /1 rs g+\ to

l ; - ; ; s l '2 j=\ i+ .x i ) ' i =

) ' . .*. i '=,r+!q-f=r;' , ; C:. i l - ' = '3n,( ' i . l ) - '

158

167 ." - ^ . 4+6-3 - ' l

6 l[ l+/-r)+- ^

o; ;9 "9 9 61

"6 J) r :

' t t1t6

6+a-T+4#

159

1Z-1 -23-2 ^34-390

*t 90

* '90. . 0, I (2) + 1,2(3) + 2,3(a)n) u(3t+J-(a) + aJ5) ^t3- l ^24-2 ,35-3

'90 ' ' 90 90l l .21 ^31 -63

33390 ' '90

* '90 'uo so l.ri t t !

t2 ^22 .32 ^6b 87tr 816 24266 - 8'16 876 292''90 -90 90 '90 90

4. c) E= t2,(4) + r l , (s)+5,(13)+2,(75)+j=

,-4 ""5 -13 ^ '75 1 , . - ,= 126* l l . j t599n 29u + 9=( lz- rUr

/ / < r \ / r1 ?5\+t; +; + ;J + (5+ 2).1; ; . . r j =

aarnI:23+f+7+fr=30+J +i=:z

h) ]j=

199 37 3 374'51 '4 4 '4 lo , l

, -20 15 -45\ 27 =

ts5 27 =

t - ' l '\ "90 - 90 - '90/ 185 9 185

3.3 OPERATII CU NUMERE RATIOI{ALE

311.

1z 1r 4 13 18+3+8+13 42

- ( -10/+i5+i0= J0 =n

('- 5) 'u; . n;, .^2 8l-8 .5\ 27( r r t+ 90 +/ro/ r85

.1. 3 5 16-4+9+10'6"8 12 24^.?" ,3

" ' i' , 5

3. ") +(1\i\-i)- ,.".4r=:5 3 5 515 518.i : i t 18= Dat rc=t i

= '4. a)

160

, l , t2 l ,12s. b)

'+ j+[rJ +t ;J ,

8+4+2+1 i i . ) '8 8 -8 '

_111'248

^t l t r t400". lot* 102*.*500. l0 l+

.* l0 l=l0l .* .

J.4 ECUATII iN MIJLTIMEA NIJMER-ELOR ..RATIONALE. PROBLEME CARE SE REZOLVA

CU AruTORIJL ECUATIILOR

Y l-rl .

^) 2-a-=---+4->4-x- 3-x+8->

z2=> 0 = 7, ceea ce este fals.

- 5r-2 x-8 x+l l ^r t

3 -

4 =

2 -z=>

=> 4(5x - 2\ - 3(x - 8) = 6(x + 1l) - 24 =>

=> 2Ox - 8 - 3x + 24 = 6x + 66 - 24 -> llx = 26 => x = 261l '

. 2x+ I 4x+ I 6x+2n) - t ' I

i '=?-=>20(2x+ l )+ l2(4x+l)-

= l5(6x + 2) => 40x + 20 + 48x+ 12 = 901+ 30 *> x- II f t l t / t \ I I2. d) i l i l . l ,x + : l+ u l+ .zf - l=o=>

-i{j[j(i, - i - 4 - 4 = r =,j[](1,- z). z]. z= : =,=' l l l l l , . :) - : l - r - '1(1,* :) * z =.r ='

J[J\J)JJ\JI1t l \ 1=ri( i ,* : j = I =>.,x+ 2 - 3 +. , = 3.3. Nottrm cu x numtrrul de perc pe care le are Vasile. Maria

are x + 20 pere 9i 5x perc. Atunci avem:)n

5x= x+ 20=>4x=20=, *-- i -5. Deci Maria are 25 de

pere, iar Vasile arc 5 pere.l6 l

5. Nottrm cu x numdrul de ani cu care in urmtr tattrl avea de

4 ori varsh fiului. Atunci cu x ani in ulmtr tattrl avea varsta

70 - x ani, iar fiul avea virsta de 40 - x ani' Atunci avem:

10 - x = 4(40 - x) => 70 - x = 160 - 4x =>=> 3x= 90 => x= 30 ani.

8. Notfun cu x vArsta fiului. Alunci mama $i tata au varsta2x. Alunci avem: 2x+ 2x + x= 150 =>

t<n=>)"{=)u=>x=- = JU.

Avem: mama 5i tata au varsh de 60 de ani, iar fiul arc varsta de

30 de ani.13. Nottrm cu x numf,rul de pagini al cd(ij Atuncl avem:

l . - to 2 ' - .s^*150= lOx=> x=450.)- ,

Cafled are 450 Paginii6. Nnta,ncu r 'ni 'nrrul mai mi Alunci nLlrnlrul mai nldre

est; ;; 150. Media ceior doutr numere este 400 $i atuncl:

x*r r l5o - 4oo. >2r- l5o=8oo=')

=> 2x = 650 => x = 325. Atunci numerele sunl: 325 $i 475'

20. Notim cu ,r lungimea drumului Atunci aven:t - -^1v-J00.x='x i ( )00 = Jx=>2Y 900=>'r=450km'

22. Nottrm cu x varsla copilului Atunci malna are varsta

zrli", i"il-i*" 'a^r" 3r Curir impreund malna cu 1altrl au 80

de ani. avem:2,r - jx= 80 =' 5x= 80=>

^ = lo ani .

3.5 INECUATII SI SISTEI\IE DEINECUATIi iN NIULTIET EANUI\{ERELOR RATIONALE

l. a)2x +3 > x- 5 '>2x- x> -5 -3 => x> -B =>

h) x€ (- l , +co) ; I ) xe (-@ , -z l .)*r- l (v: )

2.a) ' " ) '

. - " r - - =>6x r a< l0tr 4 =>

=> 4x > 5 -> x > i=>

x€ ( ; , +oo) ;

, -5, , -bJ,brx€(.oo.r l ) : e) xc(-d. , , .

- x- l x+2 (+J3.^) :2 ,

, >

o1=>J(x+ l )+2(x- 2)>

> x + 3 => 4x> -4 => x> -l => ,r€ [- l , +cc) ;

. , ,e(1.*) , 0. . ( - i : " . . : i4. a)2x+7.5x. l=>3x>8='

- . !=". [ ! . , - ) ,

'7 'l. l \ i 2>6x- 5=>3x<7=> x<

;=> x€f- ' . j )

o.. i re[ ! . - - ) 11-- , ]1 =, ,ca.,1"

3.6 SISTEME DE ECUATIIiN MULTIMEA NUMERELOR RATIO-NALE.

PROBLEME CARE SE REZOLVACU AJUTORUL SISTEMELOR

1. a) Aducand la acela$i numitor sistemul devine :

lx-1-2y= l0 , r [x- 2Y= l l _-1,a'rr-J =z+=> ] t r - 'y=2J

=> r=5'v-- l :

b) r= l l .1=61 c)r= I0.) -4: d)x=-.r .y=4;e)x=5, y=4; Q x=l ,Y=-1.

. - , [ (x + l ) ( / - 1)= (x- lX/+ 3)z' 4 l{^ * ztr 'y - z) =ir - t t(r+ r r ='t2. \ - v=l=>l ' . =>x=r.Y=J'lx-y=- l

b)x '= -2,y =); c)x=2,Y=3 ; d)x=2,Y =3;e)x=12,y=5; D x=Z'Y=3.

163

=> xe (-8 , +o);b) x€ (-6 , +oo) ;d) xe (-co, -41 ;0 ,{e (-co , 1) ;

c) x€ C-a , -3) ;e) x€ t -e, - l l ;e).{€11,+x);

i

162

3, Notbm cu x valsta mamei $i cu y varsh frului- Atunciavem: x+ Ji,= 30 $i x= 4/, de unde prin rezolvare oblinem:x=24ani{ ty=6ani .

6. Notdm cu x numdrul mai mic qi cu i' numdrul ma1 marc.Atunci avem: x + j,= 100 qi /= x + 10, de unde prin rezolvtfeobtinem: x- 45; /= 55.

8. Notdm cu x numllrul de mer€ pe caxe le are Maria $i cuy numdnrl de mere pe care le are Ana. Atunpi avem:y= x + 35 5i y= 8x. de unde prin rezolvare oblinem: x = 5 $iv ' 40- Atunci Maria are 5 mere. iar Ana are 35 mere.' 10, Nottr-

"., " varsta mamei ;i cu ltl va$ta fiicei. Atunci

ur"1t' a= y+2O Si x-4=3(y- 4), de unde prin rezolvareobtinem: x= 34; /- 14. Alunci mama a€ 34 de ani, iar fiicaare 14 ani.

12. NotIm cu x $iy vilezele celordoud automobile. Atunciaven:4x=6y 9i 4(x+y)=360, de unde prin rezolvateobl inem:,r= 54 si y= 36.

14. Nottrmcu.{ costul unuicaiet $icu/ costul unui manualde matemalica. Atunci avem: 2x+ 5y:220000:'5x + 2/= 130000, de unde prin rezolvare oblinem:x - 10000; y- 40000. Atunci un caiet costa 10000 lei, iar unmanual de matematlcd pentru clasa alll-a 40000 lei.

16. Notlm cu x nirmddtorul'$i cu y numitoml fracliei.. r+l 2.x+3 3

Atunci avem: ;i =

I ui f i= q, de unde prin rezolvare

. oblinem: x = 3, Jr,= 5. Fractia este ;.

17, Notdm cn x,y cele doud numere Atunci avem:'x I x+'7 2 .t"-it; i-1, de unde prin rezolvare obtinem:

i - t , j '= t t .

161

4. METODE DE REZOLVARE APROBLEMELOR

METODA FIGI'RATIVA

1. Numerele sunt: 70 qi 30.2. Numerele sunt:210 9i 90.3. Numerele sunt : 10 ti 35.4. Numerele sunt: 55 $i 25.5. Reprezenttrn numer€le prin segmente astfel :al doilea numtu H

27triplul primului numtrr ffidublul celui de-al 33doilea numlr

primul numdr

Deoarece scazand din triplul primului numdr dublul celui deal doilea obfinem 33, rczulttr cI al doilea numtrr se calculeazdastfel: 33 - 27 =6. Prinul numtrr va fi 6 + 9 = 15..

6. Numerele sunt : 45 9i 15.7. Numerele sunt:48 $i 12.8. a) Nu poate fi, deoarece 50 : 3 f N .

b) Da , dacl numerele sunt 25 fi 75 .9, Ionel are 5 pere , iar Maria are 25 de pere .10. NumIrul este 72 .

II l . Lutrm ca segmenl de baza ;. din numlrul de pagini al

- l l

din carte reprezintd fr din carte ri de.ci 9

din carte eprezinttr ]t din carte li aeci tO

carfii. Atunci

segmente, iar

segmente.

I5?3

Reprezentdfl gmfic duptr cum umeazS:

I a; "*"2,..a Crn cane

ffifitrar

ffiI

Deci un segment reprezintd 30 de pagini, Si atunci cattea arc165.

12. Muncitorul termintr lucrarca in 2 ole '13. Numlrul initial este 1-80 .14. Numarul este 575.ii.

'ilt ;ati* numerul blncilor cu 5 atunci numlrul

Urn.l io. ar reprezenta jumatale din numtrul elevilor' Dacd;;;;;;

"" .i nu*r-i brt'.ilot alunci numarul bmcilor ar

i.p"..r"^iu-. rt"i." din numerul elevilor- Atunci facem

urmAtoarele reprezentfi :numlrulelevilor f---------------j

numf,rul bf,ncilornumdrul elevilor

ISe observa arunci ca

I din numrrul elevilor esle egal cu 8 si

atunci numirul elevilor este 48. Numarul bdncilor este egal cu48t2-5=24-5=19.

16. 108 elevi $i 32 de bincl .i i. R"pt"t""thna p;"tr-un segment Prima cifrJ oblinem:pruna c lrra; doua cifrd FIa treia cifra t-l-i-+-F+-lb".**. iift" a lreia esle de 6 ori mai mare decal Prima

.;fri, i*"irl .l- pti-" cifra este l. a doua e\le 2 $i a treia cifrl

esle 6.Numtrrul este deci 126.18, Numxrul este 518.19. Numirul este 129.20. Numtrrul este 282.ii.

-eiri ^r"

zs a" -i,

tatdl 50 $i bunicul 100 de ani '22. Numerele sunt : 36, 108' 102 '23. Numf,rul este 48.24. Canlilalea de vin esle 5400.ii. i""i as de saci de ft ina cali lalea Inleia l5 cali lelea a

doua $i 20 calitatea a trela.

METODA FALSEI TPOTEZE

26. Presupunem ctr ambele numere se imEart la 4 si ahrncisuma lor imp'adta la 4 ne va da 200 : 4 = 50' In acest caz apare

35lil_IffiI

166 t67

Idifercnta 50 - 38 = 12 provenind de la diferenla dinfe; din

t lprimul numar 5i i din primul numar egaltr cu i din primul

numar.27. 20 de apartarnente cu 3 camere gi 12 cu 4 calnere.28. 150 de lepuri t i 200 de curci.29. 25 apalamente cu 2 canerc rii 15 apartamente cu 3

carnere.30. 5 bancnote de 10000lei si 6 de 5000Iei.31. 15 masini Dacia 1300 si 20 matini Oltcit.32. Presuounem cd toate bancnotele ar fi de 10000 lei.

Atunci pr€lul pallonului ar f i 10000 tei 14 = 140000 lei.Diferenia de 620000- 140000 = 480000 lei provine Je ladifercnta de 40000lei si 90000 lei intr€ bancnotele de 50000lei si l00000lei fala de.ea de 10000 tei.

Presupunem acum ctr bancnote de 50000lei sunt cat cele de100000 lei. Atunci valoarea aceslora oblinuld ca diferenta fallde bancnotele de 10000 lei este: 480000 lei - 90000 lei= =390000 lei. Cum diferenta fatd de bancnotele de 10000lei esle:(100000 - 10000) + (50000 - 10000) =130000 lei, atuncibancnole de 50000 lei sunt 390000 : 130000 = 3. Bancnote de100000 lei sunt 3 + I = 4, iar de 10000lei sunt 14-3-4=7.

33. 7 apa amente cu 2 camere, 12 cu 3 camere $i 10 cu 4

J,l. 50 de srini. 50 de qaJre si 100 de porci.J5. Avemfal doilea nu_mlr e"te cu 5 mai mare decal Primu I.

al patrulea numtrr esle cu 11 mai mare decat primul, al treileanuintrr este cu 3 mai mic decat al Patrulea 9i deci cu 8 mai marcdecat primul.

Preiupunand cd toate numerele sunt egale cu primul afuncisuma numerelor va fi: 400 - 5 - 8 - 1l = 376, iar primul numlrva fi: 376 : 4 = 94. Atunci al doilea numdr va fi 94 + 5= 99, al lreilea numdr 94 + 8 = 102, iar al patnrlea numtrr 94 +l1 - 105.

36. PresuDunem ctr iumdtate din elevi au mers in Delld tiiu'nalale in muntii Aoirseni. Alunci coslul excursiei va fi:irr,ooo0 + o. r50oo0 - 30000) = t t60000 + tz00oo =

= 1280000. ln acest caz pretul mediu al excuNiei penfu un eleveste (30000 + 50000) : 2 = 40000 lei.

Numf,rul elevilor va fi: 1280000 : 40000 = 32.37. 150 kg mere calitatea intaia si 100 kg mere calitatea a

doua.38. 12 bancnote de 100000 lei, 15 bancnote de 50000 lei $i

suma totald Dhdte a fost de 1950000.39- I0 bilere de 100000Iei, l0 de ?5000lei si l5 bilele de

50000 lei.40. 30 bancnoie de 5000Iei, 15 bancnote de 10000lei 9i 10

bancnote de 50000 lei.

METODA MERSULIJI INVERS

42. Elevul a avut la CEC 300000 de lei.43. Reprezentr$ grafic suPrafala parcelei 9i toate operaliile

care se executA asupla el:suprafala parcelei

5in prima zirestul 1

a doua zi

restul 2Deoarece reslul2 este de 20 hectare rezultd cd restul leste

(20 - 5) ' 2 = 30 ha, iar suprafata totaltr a parcelei este de

(30+5);=;=s2.5ha.

44. Bucata avea 35 de m.45. ln siloz se afltr o cantitate de 18 tone de cereale.46. Reprezent|.rn grafic suma de bani a elevului si toate

) \1resl 4. . resr J -> resl J =: rcst 4 .12. l8000lei

- t l lI

re\r t= ; resr 2=> re\r 2-2re\r { = 2 18000=360001ei

resl2= : re\r l ->re<r l - : resr2= - 16000=540001ei

- t l2I

resr I - ; sLtma luldl.r- 'suma rorala 2 re.r I -2 51000 lei= =

108000 lei. Elevul a avut ia inceput 108000 lei.47. Numdrul este 0.,18. Lungirnea drumului parcurs esle 2,10 knr.49. Initial in ma$inl au fost 6,+0 de palnr.50. Elevul a plecat in excursie cu 50000 lei.51. Elevul a avut 425000 de lei.52. Elevul a avut 100000 rle lei.

]\,IETODA COMPA ITATIEI

55. O guml cosld 1200 lei, iar un creion cosli 700 lei.56. Primul numlr esle 10, iar al doilea esle 15.57. Numerele sunt 28 qi 40.58. Prima echipl a planli l l 32 de puiefi , iar a doua echiptr a

plantal .10 de puiel;.59, 2 m panzl . . . . - . .2 bancnole. . . . . . -2300lei

5 mpanZi. . . . . . . ,1 bancnote. . . . - . +4250]eiInmuil int i prirra relal ie cu 2 i i scLand din a doua relal ie

I r l I rarrztr . . . . . . . Olrancnole . . . . . . 8850leiDeci 1 Itr panzi cosltr 81150 lei. Alunci 2 m panzd costl 17700

lei. Curn 17700 = 2 10000 2300 rezultd cd plala s-a ftrcut cu

rcsIul 2a lreia zrrcstul 3a paLfa zt

restul 4

I---l-I

ffiH

12000t-l

i_

5_I

20H

oDeratiile care se execute asupra er:suma lotaltprima zirestul Ia doua zi

l-F.l.--l-IH

168 169

banrnote de 10000 lei-'- t0. F.imul nu.ar.5le l5. iaral doi lea numtrresle 8. i

61. {mpol iester. . . . . jmtergal " 284000 tei

i1

{ m poliester. . . . . jmtergal- 248000lei

lnmultind ambele relalii cu 15 obfinem:-.'"i01" o.ii"tt". . . . . . . 9 m tergal " 4260000 lei

i i ii i"ii..i"i . . . . . . . 5 m rerlal .. - . . J720000leilnmuliinj orima relolie cu 6 ti a doua cu 5 oblinem: ." " tO' .

o l f i .s t" t . . . - . . 54m tergal 25500000leioO

^ [ . r i " . i " i . . . . - .25 m ter la l ' 18b00000 le i

Scazand relalia a doua din prima obllnem:29 rn lersat - ' b9b0000 lei

.t i , leci I tereal iostl 240000 lei. AIunc i: l0mpolieslercoslli);00d0 i; i:n 14000 lei = 4260000 lei - 2!b0000 lei= -j fOOOOO r.i , iar I m poliester costa 2100000 lei : l0 = 2 10000lei.

lei, I

5. RAPOARTE. pROpORTrr. PROCENTE.5.1 RAPORTUL

, " , 20_?.

" ' ' -to - 3'

t5 | s

,1,25 -100 '1 4 5' ' t,75 . 75 .3 7 '1',

' roo ' t tt2-1 1l

. 0,1(2) 90m)

) 1141 =

14-1=

"903. Mama cumpard 6

62KalonulesteO=J.

90 l l2t l '

3 kg = 9 kg de mandarine.

2t190

(4)

9. Numarul locuitorilor de sex femeiesc este:

90 000 - 40 000 = 50 000. Roporrul e.te: 494 = 1.s0000 - 5'15. a) Numtrrul cazurilor egal posibile este 45.15 | t0 2 )o 4 t9

'J 45-- l : o '45-9i

" +s qt o '14

s.2 PROPORTTA

. 5r l .s . - - - 45 9l . a l

- ] =

7 > J)x= 4) = ' * =

- t5 =

7,11 71-a I t ) 1 1

b) " , r t2- ;

= , . i=>

x= ,r ' t2=7.

^x1z. a ,= l=>y=3x 5i in locuind in rapor l obl inem:

2x+3y 2x+3.3x l lx

^-1y x-43x - I Ix

z? + xy-sf 2? + x3x-3.9i -22; 22x'+ty+f x!+x'3x+9x' 13tr

t7l

d)

170

l3

3. '* 2-Y = l9 - ' rsx+:8y= lox.5oy='^+Jy

19

,- x lz Lr=> yx = rzy=, y= g =

1.5. Notdm cu x vArsk tatllur $r avem:

Jo = ] = t2x= 90=' , = q5 un,.xJ

17. Andrei primegte 1000000'i = 750000 lei' iar

orimeste 1000000 lei - 750000 lei = 250000 lei'' 8. Notamcux sumaprimj lade Mariasi avem:

9oooo - l- =' r= loooooox lU

, l,0. 'u= i=, r = 2a. Atunci:

a+l a+l i+ l I

i i1= 2". z: z?ii= z' I a+3 I ^ ^12. " , ,=

) : ; ; ; =. =, b - 2at 7a ' b= t =>

=.3a-2a=l=.a=7=>b=2.

Violeta

5.3 PROCENTE

r. a> zv.= rt=$; o2. a) 4c. n5 =

h'115 = 1:

t) 73,3E.1275 =l$rffi t21s =11J1 =

= Mo!'3 : e34,575.

3. a) 3ova.20oh tloo= !!* rr?9 rooo - eo'

e:l r2v..2s7.1t50 - ft'2!* l.lso = +:,:.

1- Ir - 300'

172113

4, ln irnul urmdtor muncitorul prcduce cu 147' mai mult'l l4

adica I 147,. adi(a I l4q 5500 = i00

5500 =

= 6270 piese.i

- Suprafala insftnanfattr cu porumb esle:22Vo'10 ha=

' ' ' lsamanlali cu orz va fi= ffi

10 ha = 2.2 ha. Atuncr supratalarr

10 ha - 3 ha' 2,2 ha = 4,8 ha-'"i] u, f-u sfl.rsitul primului an elet'ul va avea suma de

l06o/c1500000 lei = 3710000lcib) La sfArqitul celui de-al doilea an elevul va avea

1nKl 0h.zo J7 I 0000 lci - i;;

37 10000 l"i = rql2b00 lei '

10. Dupd sprtare rtrm3n: 957o 80 tone = 761one sfecltr'

Duni { l r iv i re I rmen: 98ao 7b - f f i

lo = 74'88 rone'

Zalrrrul ohlinut din sfecll va fi: l2oi 74.88 - 8.q856 tone'i6. Piesa, o.rl: 807. q0'; u5o/. 100000 = 08400 lei '

lno18. in . la.a sunl 30:75oi -J0 ," t " -40elevi

21. Elevul a depus o suml egall cu 5000 : 57o =

- 5000 1s" = 100000lei.

22. 801 I = 8 hl. Masa a 8 hl ulei esle 90 kg 8 = 720 kg ulei'

Cantitatea rle mrsline din care s-a obtinut uleiul este:rnn

12Ot 12"/ , =120' i ; =h0001'g. Aruni i he(tol i t r i de masl ine

sunl :6000 :40 = 15023. Acum 2 ani in ora$ au fosl:

- - l l0 l l048100: l l0"b I l l0o1 = 4E4Ou: I00r 100

=

rnn rnn= J8400 | og i;

= 40000 locuitoru'

fo. Cete-td n"t.onn. ur mtnca lO 200 g = 2000 g = 2 kg ' lecartofi curllaii. Cantilatea de cartot' i necurtrfatl este:

) kg801o =2,5 kg.

28. ln tot:r l grupul de elevi a slrens 25 kg -

50 kg =so

- 75 ks. Muselelul strans este l i l007o = 66,667o.- t )

) \Roarca de tei sban$ este: *-'100Vo = 33,33Vo.

t)Elevii au strans mai mult mutefel decat tei cu 33,3370.

6. MARIMI DIRECT INVERSPROPORTIONALE

6.1 MARIIII DIRECf PROPORTIONALE

1. 3 m stof t r . . . . . . . . . . . . . . I coslum150mstof l . - . . . . . . . . . . . . xcostume

Deoarece mdrimile sunt di.ect propo4ionale, propo4ia. J I -^scfle: i50

: i

=> .x = )u costume .

10. 100m2 -. - . . . . 100 kg ror i i s i 75 kg ardeix. . . . . . . . 4000 kg rosi i 9 i 3000 kg ardei

+=ffi *' !"0=*4 =>x=4ooom212. 2 oul I kg ftind

2 outr10 oul

to?=@='t=l5ogunt.. . . . .100gzahtu

) 1nn" = '"Y => x = 500 s zahrr .l0 x

14. Da.a palru mun.i lori nu lucreazl. rezuhe ca opl dinlreei luireu a eare 5 ure

"t plus, adica In lulal 40 de ore Aceste 40

de ore ar fi trebuit si fia acoperite de cei 4 muncitori '4 munci lor i . . . - . . . - . . . 40 ore

12 muncitori . . - . . x

!. =19 =, *= y2gor..12x

16. Notdm cu x $i y sumele date de lall cetor doi copii ai.ai, sume nropurl ionate .u I / 8 si I / 5. Alunii avem:

i i= i ' r , ' f , "" ' r "s=,+/ >t- ; ' ; , i i8s8540

Noltrm cu a $i b sumele date de taltr celor doi copii ai sf,i,sune propo{ionale cu I / 10 $i I / 3. Atuncl avem:g tr at l ' J lS lOJ

i= i I l=13- ' " t l n= l . rr0 3 10'3 30

<( 1\ 'Cunr r = a t :oo ='

i ] =

l ] +:OO => r ' I t00

lq. A\em : \= l r ' t ' =, x= l t .1=ar '

Din ry= 1200 => 3.t4k = l2OO => k = lO, x = 30' v = 40'xvz.

23. Ave,n: "r=i . ;= k ' > x= l I -y '5k. t=7t '

Din f - xz= roo =, 2sl? - 2112 = 100 => r= 5 =>=>xa15,y:25,2:35.

x22l .Dinj=Srezul txt=j .

l0 oud

zl10 x

=>x-5kgfain[

2 oud10 oud

150 g untx

2 150l0=;* r= / )ugunl .

. . . . .100gzahlr2 oud10 oud

174 175

t ) t l

lx+'v I - t J lJ

") ̂ -4 i= f ,= z, =-ro=-.r 'v33

27, # =9'1 -> x+ v+ z= 291a-

^ y z x+y+z 291

=> . '^=:-= -^= .^- l - ^^- ^- =l=>

42 2J 3U 4Z+Z)+JV vl=> x=126,y=75,z=90.

6.2 M,f RIMI INVERS PROPORTIONALE

l. 25 borcane , . . . . . . . . . . . . 900 gramer borcane . . . . . . . . - . . - .300grame

Deoarece mtrrimile sunt invers propo4ionale, propo4ia se. 25 100

Scne: =900:>X= /)-Dorcane,

7. 6 muncilori . . . . . . . . . . . . . 40 ore10 muncitod . - . - . . . . . . . . . x orc

Deoarece mtrrimile sunt invers propo4ionale, proporlia se6r

scr ie: I =,1; => a= 24 ore = 4 z i le acAle6 ore.

10. 9 munci lor i . . - . . . . . . . . . . Sore/z iI 2 nruncitori . . . . . - . . . . . . . x

Deoarece mdrimile sunt invers propo4ionale, propo4ia se.9x-

scne: i t= g =>x-oore/ 21.

12. 6 ore . - . . . . . . . . . . . . . . . - . 40 km / h4 ore . . . . , . . . . , . , . . . . . - . x

Deoarece mdrinile sunt invers propoqionale, propo4ia se

scr ie: ; = -1

=.x=60krn/h.

15. Notlm cu x,y,z sumele date de tattr celor trei fii ai stri,sume invers priporlionale cu 8,6 ,4. Aluncl avem:

176

x y : x+y+: sJ=J=t=r I t= tT. unoe: J = x +| +: =>

8 6 4 8 6424. l.s 4s' 6^t: .x =

l l , /=- , : - Lr .Notam cu 4 4 c sumele dale de tatd celor trei fii ai sti, sume

invers propo( ionale cu l4 .7.4. Alunci avem :a b c atb+t J 25 4J iS.t=t- l= t - t l= r i - "= i - t ' '= l i . "= r . l 'A14r4' j '418

6S ?"nstr z= c- 1000 -> i ;

= i ; - t000=> s= t3000=>

=> x = 3000 , y= 4000 , z= 6000.

^ v , k t^ro. Avem

| !1=k=>t^EJy=,(=>x=2.J= j . ( t 'n

tatL

x-r=t0=,;- ' i = l0='r=o0=>x- 30. y = .20

ts. Avem: : = I = : - I=> 2x=\,=bz= A ">l t l

t46kkk=> x= i ,

y= 4,2= 6,

kkk , . r|.ntn )ryz= J(t => ta i=

36=> F = tlZS ->

=, F = tz3 =. * : 12-> x = 6, y- 3, z=2.

22. Avem 4 = 4 =*x = qv-,4 =!1l ' y334

]42l ' ) r+r - ;+l I r l

. x. .+ r . \ r f I 25di , =-, t . xy I x 42 4 16.4 28'

t ) ' t 3 ' - i e 323. Numerele sunt: l2;8. 24. Nurnerele sunt: 15;20.

r77

7. NUMERE REAI,E

1. a) 25-52; h) 72g-n2; 1) $ 2025 = 452'

rnn /10\ ' , | 100 I0, . 0 ; '=| f l = ' \441-t

3. it to.zq ) z.zz =, 'lTtr:z4 -3.2a. aj Muf time",a are 4 elemenle, deoarece mullirnea Mare

4 elemente pozil ive.' - l-. - ut p,ln"ttt.onail ia 15 - x : 0 -> x s I 5 si cum'r e l[

rezultr ctr ,r poate lua l6 valori. de la 0 la l5'i- o -' , = ?r e ,,r1: ,r - | -, a ='{14 dNx=2=,a=' ,1134N x-3->a" lQGN' i

- c =, u=,f i 4N x-5->a- '1104N

^ -o=, u-nry - l x-7 -> a=^lg eN' i = i - , u- tn dt t x '9 '> a ' l6eN

x=10-,a- ' , /5€.N x-11'>a' \ /4 '2*- i i - , u- ' / ! 4N x= 13 => a-^[Z eN'r- t i - ru- ' tT-t .

x-15->a'VO-0Arunci mullimea este 10, 1, 2. 31.

6. a) Punem condi l ia !a- t>O=> x< l2; i 'unx€N'

rezultl ca x poate lua l-3 val|ri. de la 0 la l2 Pr<''ee'l3nrl ca la5. obtinem mullimea 10, l, 21.*

;. :i-i;;;;;;a"J;;la s. dblinen {0, r. 2. 3}.8, c i Punem cond i l ia , r - l :0->x> l RidicenJ la pl l ra l

ambii membri ai egalitdlii obfinem:.4 49

. ' - l=a='x=t+(=s

ro. ; ) !5= 1.73;- c ivT5- 11.18.

12. AaQ = l-45, -32'' -r7' -2, 3,1, z' 3,(2), 36]i;

,4nR -. a= {-r'1:fsl.13. b) A = 122s.9001.,14. b) / = {1,4.9,361.

fia

b) 4 elemente.f) Presupunem prin absud cI lZ + I e Q=>

, !Z + l - l=r , t2 -p-4aO, ceea ce esre tats, deoarece_tt t t

V2 esle iralional.| )1 r ) l r -5r r -5118. a, l ; l=0.1; l=0.{6); er | 1" | - - r . i r : | = 0.s.t r l t r t tzt lz)

19. a) 0.3r c.) 1.4 I l ) -3,8; h) 1,2.20. a) 1,74; c) 3,61 ; g) 0,45.

l l l21. - 35.(J) : - l5 i : - , : - r ; t /Z: , /TT1t2, t6\ .25. a) AtG + '/7,,/E + f:y'9 + rrsy'Is + f6y't-8- -= 2,/T + 4 + 3",/T + 5tE + 6,y'T - rc\ry +4.26. b) ('/i - 1/Z)2 -3-2t/6 +2= 5 - 2,,/6;

e) (11 -,/7 +'/6)2 - 3 + 2 + 6 - hE.2 r 2^/T.6 -- 2,12.6 = 1l - 2,!d + 6\ry - 4'/i.

., ,-. ,/6 -,lZ (,16 -,t211',8 - t1' ' ' " ) l -z+t - 2- t -

- 2y.) - z- \ to +vz:

^1 | a- t \5- , /T,) lrn+ \/-I;6 - t_-r + 3_t *

- ' /7 - | +,8 -A - lT - r .3t. a) rG*E +,,/T6.'/5 +'/1i ttr +,/TJ44 =

- 2rE + 5O + 5t/T + 4,,/5 = 5'/7 +'7,/7 + 4',8.33. 2,/Z =,,/E 2'/l =tM;3lT -'/..t-; a =trl6;

5 = tQi; I =,,9; ZG = y'2{ 9i atunci se ordoneazd cresctrlorastfel:

'/i :rG : NT ; 3 ; 2,,/l ;,,/I5 ; 4 : 3,y'T :t/D : N6 : 5.35. a) lT +,,/12 +tAI +,f15 +t408 +'/T47 =

- ,/3 + 2'/i + 3,'/1 + 5,'/3 + 6,,/T + 1,,/T = 24,/T.36. d) ̂ /17 +,IB = NT + s,,/T = t,/T

r/f + y'fog - Vf + orG = uy'f.31. a) tE +'/18 +,lW =y'F+y'Jz+y'5o.=,

<=>'/7 + .t,i a1,17 = )O + 4{Z + 5,lZ <=><=> r1,/7 = lb,/7.

16.t1

179:,

3s. a) VT+y'f;+VT5 + llA +'/i5 <'14 +"/9 +.*-,#-rff ,f .#.;._,_,.=fud): ; - + ; - * r0- . l r * r ) *-U '

Gr VIT !{OO fiZl {144 '/16. '8 - ; * lo * r l * - rz ] r l

=o'

3"9, u) i.".upun"tn prin absurd cd VZ + € € Q ->

=, (1)P e Q astfelinc1t',l| + '/1 -P =>

=rz*-t*2,/6-P1 -, ,6 = t+ e q ueea ce este rals.,+ 2X

aeoal'e v6 fuo, | \E -\rz \4oor - r'moo

40. '4Js- i i+ 3-2 + +1691 -1gbf l=

-,tZ - | +\6 -'/, + + r'I0Or -r'Id60 -r'm-oL- 1'41. V<rnr fol<rsi inegalilatea: k * I t 2'Ik -' "k'l-+ 3 t 5i

H .Hn'' ,rgq6 ,D ,t5 ^/t t6

: - i ' '^ * ' rsr t i ' 2+ I + 311+ + 1996J=

. ! r ! - . . . *1= l9 ls. 19,96 -998.-2 2 2 Z 2

180 181

8. CALCUL ALGEBRIC

1. c) l2a+ 25b+ z\c + ab + 2ba - 5 a - 7 b - l2c '

-7 a+ l8b+ 8c + ab+ 2bc

z. vt Qxy\'f +6?i xY+@xf\'? -= txf + si f + u1f: ,

i . E zi 'y, 2y t 2l z: 2z- 2)x: )x= ? 1 I r ?a' . i i t r i y+'zyzx-; + 3) - (x - l t (v- l ) =

-2? +zxy+4x- xy- f -2y+3x +3y+ 6 - xy+ y+

+ x - | - zi - f + xy + 8x.+ 2Y+ 5'5. a\ (2a + b)(za - b)(4a' + t) -

- @2 - t)$] + &) = 16aa^- f ;e1 Q2 " 1)(a - 2\ la + 2) + (az - l ) la + 3Xa - 3 l '

= t i + t162 - t7 + Q2 - t)1r2 - 9) =

-'ol * uz' - ouz - o * 1 - u2 -gu2 n 9 - zua - Bi' 5:

Et k- b)(a+ b1(a2 - b2)- d'a- bl(] + ab+-a2)- .i' lz - i1t "2 * tlt - ui - t1\ ' u4 - i - u3 b * bn =

- ;. ; ,;

- o\z . (a + 2b)2 - (a-. b\2 ' a2 + 2ab + & +

, S *'iu. i* - tl - z.uo * t1' zu2 + oat * 5tt2 -- ]+2ab-&=]+iar+c8'-t,

i) (u- t+ ")z

+(a+ b)2 +(b+ c)2 - (a +-c)z -

- ] * &', J - zat, \ac - 2bc + ] + 2ab + & +

+ b2 + 2bc + c2 - az - zac - c2 -"a2 +n3bz + c2.

t t (a+ b+ c\(a+ b- c '1- @+ Q'+ c -= 1a+ t\2 - 8 - (a+ o)2 + ?^- o

'i .l' a" t l2a + 9 = (2a)2 + 2'2t3 + 32 - (2a + 312;

s) 4] - 2oa + 2s - (2u72 - 2 12u1'5 + 52 - 12u - 512;

n1 aa - ai b + sb2 = 1a2y2 - z.o2.lb * 11t 12 - 1i - i t ..2.g, d) a2 - 1OO - a) -102 = (a+ loxa- to);

d 2s; - r = (5a)2 - t2 = (5a - r)(sa + t)ik) l6a1- 8l = (4a2)2 - s2 = 1t? - r)@? + D == (2a - t)(2a + t)g? + \.

10. b) 8a3+ | = (2a\3 +t3 -(2a+ l ) (4a2 -Za+I) iei) 61a3 +27 = (4a)3 +31 =(4a+3)(16a2- t2a+g\;;1 a3 - 6t, = i - +3 = (a - 4)(a2 + 4a+ 16);

d 8S - n5=e43 - s3 - (2a - s)(4a2 + roa+zs).rr . a) a6 +t=1?)3 +t=(! +\@a-J +\ ;

e, 8j - n = t2a2 )\ - 33 = 12a2 - ltt loa -

oi + o1,Itt ab + b6 = t:,2 , b2 t(a4 - ]i . b4);ry ̂

u1.2 - b12 = 1,6 + b6\(a6 - b\ = G2 + i11aa - i B + tl11a2 - L,)yaa + iF + #)=(a+ b)(a- b)(? + i).(ua -'2i + ta11ua + a2t + f1.

12. I i + I + ? + 2ab- 2ac - z.bc: (a + b - c)2;d) a2 + t? + 2ab+ 4a+1b+4= (a+ b+2)2;g) ? + 4P + ca + 1ao + 2ac2 + 4bc? = @+ 2b + J)2.

13. a) a ' -3a+2= a'- a-2a+2= la- l ) --2(a - t) = (a - r)(a - 2)tc) a2 - a + 6 = a2 - 3a - 2a + 6 = la - 3) - 2(a - 3) == (a- 3)(a - 2) ;g1 a2 - I la+ 30 = az - 5a - 6a + 30 = 4a - 5) --6(a - 5) = (a- 5)(a- 6);k) 6a2 + a- | = 2] + a+ 4a2, I = 42a+ t) +- ( 2a+ l t2a- l ) = (2a + IX. la- l ) :

14. a1 a4 + a2 - 2 - ua - l + u2 - l == { al - I )1 ,2 - | ) + a2 - r = | a2 - t)t az + 2):d:1 a4 + a2 + | = u4 + 2a2 + t - a2 - 1* + y2 - J -

142,

=@+l+a)(al+l-a\ ;

| ? +2ab-31 = ] - i +2ab-2bz ==1u* t ' \1u - b)+2t\a- b)=(a- b)(a+3b);

91 i - -3a. . 2= u3 - a-2a-2= laz -- l ) - 2(a+ 1) =

= {a ' 1)(a+ 1) - 2(a+ l ) = (a+ 1)(az - a - 2) =

=(a+ l ) ta2 - a-2a-2)=\a r l t l {a-2);

t5. . r l , u i - zo2 - )b2 = lu2 * b2) -

,2( ] + i \=(e2 + 8)@ - 2);

g; 'u,? + tJ + o + b= J(a+ b) + (a+ b) = (a + 6)(c2 + 1);

ay i t - at+ 2a - 2= a\a- l ) +2(a- l ) =

= (2a+ b+ c)(2a+ b- c) ;

i ) a4 -2bc- i - ,2 =ua -( i *zt ' r* ] ) :

= oa - (b+ ")2

=(.] + b+ c1@2 - b- c);

t1 4a2 - t2ab+9b2 - 11 -12" 'zb12-,?==Qa-3b+ c)(2a - 3b c) ;

,n, ot r o, - o)-.1= '1r- i /, - c)l - (^a2 + b -,.)l a2 - b - cl:

11. at or , u2h) t b) = o4 ,2u2i * ba - oz bz =

:P2 * if - il - 1u2 + & + ut)(i + t? - ub|;ct la - b)(a2 - ] ) - G - . ) \a ' ! - b l l =

:{ . r 6)(a-{J(a-,J-(a . ) ( ; i - , ) {a+')-

- \a- b) la - c) ta ' c- a b) = (a ' ) { ' - '1(c- l ' ) ;

d u6 - I ,zo"- ]=u6 - (b+ ,12 =

=(a1 + b+ dla ' - b- , ) ;

g) i,], b2,? - b2r2 - n2,l , 166sal=1ae- ba2 -

-(bc- all2 ={ac+ bd+ bc- aQ(ac + bd- bc+ aQ;

2

183

18. a) (a+ b)2 + (6+ c)2 + (a + c)2 - (.a + b + c)2 == ] + 2ab+ * + F + zu+ t + ? +zu.+ & - ? - t --? -2ub-2b"-2u"= ] n 8, ] .

lJ9, a) , la+

b)(a- b) + (b+ c){ b- c) + (c + a\ \ . - a) == a'- b '+ b ' - t " + c ' - a '=0.

20. a) (2a+ t13 - 1a- t13 =112a+ r) - (a - r)1.' f l2a r l )2 + t2a+ l ) (a - ) ) + (a- t l2 l =

- (a+ 2)(4a) + 4a+ | + 2] + a - 2a - | + a) - 2a + 1\== (a+ 2).(7 a2 + a+ I \ ;t) zs? , a] + r2ab- 98 = 2s] - (+J - tzao+ o*1== (5c)2 -(2a.-3b)2 =(5c+2a- 3b)(5c- 2a+ 3b);t abc r ab - 2ac + zbc - 2a + 2b - 4c - 4 -=aAc+l)-2a\ca l )+2Acr l ) - 4{c + l ) -= (c + l).(ab -

^2a + 7 b - 4) = (c + r)[ 4 b - 2) + z(t - z)) =

= (c + l ) (b- 2)(a+ 2). .

n.4 ):! * , 4t: t)-, rJ - ( r+- l t ( . r - l )

= a- I

u2*u,a l - l ;

I i - U + z = * - a - 2a + 2 = (a - t).la - z)i - t=1u-r \ . (*+a+r)

(a- t ) . (a- 2)a ' -3a+2

i+3a+2

,at l ;

m7 a1 -5a2 +4= a4 -? - lu2 +l=u21/ - q-- 4G- \ = G- \.(a2- +) - (a + l)(a - l)(a + 2).(a -a2+3a+2=?'+a+2a+2=la+l l la+2Jaa-5?+4

-;- = _\d-t t \a +a+t) a +a+l

2)

=(a- l ) (a-2) , at-1 , a*,2;

O / + * + | = a4 + 2a2 + t - * = 1! + 92 - a2 --( ! + a+ \ . ( i - a+1)

184

,2a+b+c*O;

. l+o2t l \a2,a* ly l i -a+l l ! , .

a '+a+l a '+a+1

I S -27 = (a - r ' ( ; +3a+9)a2 2a-3 = a2+a-3a 3=.da+ l ) -3(a+l)=(at lXa-3)

o'-)1 (a-.{ f ta2- J, ,+9) a2r 1;r .9i+ |la+ l ) la- ' \J

?2.stal ba -1r2 l , i1 1r2+/ ' l r t , r / ' t ta- t ' l. i , t i*, t , t b^ n2\' , - 11 t l ' ) l : ,* t t t t t l t t12 | l '21

; : l : la+ h) l i + t ' -1t ,1 t4 _ , A .

, , ' ,o! l , , oh2- l r '= 1. ,* l , t r r l . i , l r

. a)+4ab+41] z5 Qt+zb) ' - 5), ) , , t*r , i*s"

= . l . i+zi .rs) =

_(a + )b + 5) (41 lb-5) = 412! 5.z+ZD+5:0;=

J,a+2b+5) a

. al+ 1r-l + (a+ 6)l

") i(j + ti(a + rt)(a2 1! 1r'll 1 1, + r,t3 -

2la + b)

("+tt) \a2 - /1t12 + r| yl1!yt,)1 - zi+ab+zrt)

2(a+b) 2a+b*0;

ua4 - -\ah' 3.d8a1 - ti)

' l oi I * iu= ^ot

l i '*t"o=l .Ca - b) (4a1 + 2ab* b2) . , .

, = 4d2a- h) '11 +b'+2ab

lo2+4:Lb+i . )23. d)

2a2 + ab+ ac-2a' b- c

(2a + b)' .-= lz"+ t ' i -12^+ t i O=tza+ b+ c)-(2a + b- c)

- (2a + ,+ cJ(a- l )2t+ b- c

a- |

185

i * t 's-o2t j -u3& u2lu3 - b3l- b2( u3 - b'\

(a- t)2.(* + at+ i)(a- t)2.(* + ao+ &)

r i- ty<?-&>=--r i=(a- bl ' ( { + ab+ tr)(a- bt . r a2 + ab+ b) l la+ b\ ' (a- b)

_ \:- Yt ti

la- b) ' \ f + ab + b ' lr r l l l

24.a1-+--+i=,a--2a a-+2a u- -4 zaa-2) ' 4^+2) '

l3a3+, _ = ,_ . a*0;

\a+ z\a- z) la" _ 4) a ' - 4,1a2laz

'-) a2-3a+ + a-l+ a-2- k-Dl:a-?l+ u- t* *-1=

l+4a-2)+2(a- l )= (a- t ) ("-r)

|+ a2 - 2a +2a- 2(a-1)(a-2)

u2- l (a+l)(a- l ) a+l= (a- l ) (a- 2)

= i r - i t , , - j , =

-2 ' azt :

) ? - 3a+ 2 - i - a- 2a + 2 = (a- l ) (a - 2)u2 - 4a+ 3 = J - a-3a+3 = (a- 1)(a- 3)

] - 5o + = / - u- qa + 4 = (a- 1) (a- 4)

_ l ,_ l -

l _-] -u+z' ] -qa+z ]-5u+q

111- (a - t \ ' (a- 2) ' (a- l ) (a-3) (a-1)(a-4)

( a - . \ ) \a - 4) + (a -2) (a - 4) + (a - 2) (a - 3)- (a - r) (a - 2)'(a - 3)'k - a)

] - Iu+ Lz + ] -6a+I + ] - 5a+ 6

(a - 1).(a - 2) (a - 3|Q - a) -

186

a+ 5

187

- 4a+ b)+ a+ b+; + a

^- I I I I2t.2) +_i+ ,+, ^=a aL a+ o a\a+ D)

az(a + b)o2 + ub+ u+ b+ u2 + a 2] +2a+ ab+ b=-

?@t a, .abl-l ) - - -+

" ' - t l a- o

I- - ' - , +

a- D

Je+ r)a- b ab

7;;;;E=G:uG;;;;6at-( ]+at+t)+G-t \2

3]+r et-r3a+ 2 l8a3 - a-9

3a)+| 1. ta21l l (3a2- l ) .1a2- l l ' 9a4- I: - : +- : -

3a'- 2\ a2 + l }a+25- - l : itu ' - r ) eal- t

ita + z) Q] - t\ - tsl + a+g + Ql- q.Q? + 1.).

9aa - l a+5

(a+ 5)" (a + 5)', az-5,3?- l*0;

- ' . - - - . -/ + ab+ b' (a- b\ ' (a '+ ab+ b-)

ab-a2-ab- i**-zut*o2 -Zab

u3-b3'

^. I )a ) lu. l l l a | 2a Ilo. at | _+ _+ ^ t : t -+-" ' * '

\a* l a- l r2-1, / la+l u- l ] - t )

14 p I s3lll ro" . i - a + a + 1 + 2a] - r i - r

5a' + 10a + 5 5(.r '+ 2a + 1) -a-

- )a+ | a '+ )a+ |

3a+2 l8a'-a 9 3a-2\ t+ lOa-25- + . t :

3a-2\- i - - l3f - t )

, t ,2 l t 2 l \. t - . t :_

" 'ot*uJ*at l l ] . 2a+l t a ' a ' -2: t ' l ) .

=,,* r1i ' r ' , , , ' f , ,- ' , , ' - , ' * ') '" ' ' ' , , J,, ' ) == -ort^

\ . {a* lJ2(r- l )2

- t ' - l )2

.' , ,2. u+l-(a + l) ' '(a'- a+ l) 4{

,a*0,a2- l

I a- 1 a1l [a"2\ ' a+2t l r ' + - i ^ l . l -' t 'u- | - oz. roono a-3\a- l ) a2+2a+ |

r - l a+l I a- l a-3(a+ ) \ )

'a+I a- l - ; - l - @+2f a, J rr- r tz

(a-b- . a+ o*, . r - r+, . ) ut t^ , ' . - ru, . -, ' l 7n d, ' or , ) , lnr l*- - '

=4n L-,), 411!19. "1^ !::). ! ! : ! , - oo,-aDC e'+ If + c-

-i art a9y at, : 9i141* .S-!:::'- . .ot 4L - ur. =abc at+b'+c'

] * i| o,2 ]FJ- abc = abc abc = 0.

188

u2rb2r,2

9. FUNCTII

| ,1r , {01 = - l d Bsi a lunci / nu este bine Jef in i l '

s i , i l i iE "

af - re E [" t t=b€ B) iatLrner l .e ' tebi t te

o"t i l " f i * . ,0.r ,= '0< r<2=' ) ' x+2<1=>

=' i^l a iz, *i- ii ""n(i

funjlia e{re bine 'lefinirr'3- . ) . r€ l -1, 11=' ie lo l l => r l r )€ i0 l l 'i '"i. iri"\ri*.1 "^r"ril ' 'r'tunr'tiei

e-'re 10 11'4. a) R: bi R- l l : ts) n-- - t i l ' r l

.^ ,28. a) / (J)= l0=>a=7=> /{ xt =l . t . r r5.rs2'

f (x\ 8 11 1 l l

b)a=8; c)a-- l ; d)a ' l ' e)a=2; f l ,a-6;

' ' i ] ; , l l l '=, t r r ,1.3=' D- t .at b- . \ ->=,)= 2, r , - l=> / i ,0 - 2r-+ 1 :^r , , i^r- t - l : r )nr) JY-2; d ' / i^r--r+7i

et f (x) = -1,{ + 5: 0 / ix) : J 'Y+ r-

ib. i , r r r r l=r(rrr 1t= rrr l - - l - l r 'i i . i i l i i , r = 2" J => s{ \ r - | 2r + r - '

=> s(r) :2.r + l- - i l . ' i is t r r t = x-1 -> f t^ F l r=x f7- '=, f ! \ l - \ - .1 +7 xr4 '-

iS. l i t ,= ar-b.atO=- f { / { \ ) )= Y+4 ' '

= ' i , " , a t+J=>a{a(+l l } ' b ' t r4=>

=,a2t, ot , - / ,= r . - l=,a2 = ) . . :1. ' : .

h=l-> a= l . l ' - 2-- io l

p"nt ,u i I obl i r rcrn: { t l l - l \ . \ : I l r r l 'xurnla 'unr t t '

, " r" ' r* n" ^ * f , I Iobi ineln / l f { / l l l ) r = J / ( l ) -2 'LIe unJe

41)=11( l ) - l -> I t t )= I -" ' ,0.

" , n ' ,= i ] i : ' ' ̂ l r tn u" ' *1 ' t " ' ' " "x -2 = 21,t2, t3, x6'

lz

189

- - 2t ' 5 2fr- l )+1 |20. a) (x)=--_;=^ ' ,_; '=21- ' 2ez

dacd, x-2*!1=> x= 3 saux- 1.6.r+3 6(r+2)-9 9zr. c) dx)= x+T= x+2

=6_ -rezdacr x + 2 - = I . rJ. =9 => x e {- | l , -5, -3, - l, l , 7}.

22. at Daca / = 0 ftzutra f(.i) . /'(0) = f(0) si sim'plificandcu f(0) obl i rem f(x)=l(V)x€R.

23. b) DacI x = | rc?;ulta f(l). f(y) = {l) 9i simplificSndcu {1) oblinem f(y) = I (V )yeR => f{x) = I ( V) xeR.

24. a) DacI r= /= ,1 obfinem:f2(1) + 2/(1) - O => f(l) = 0 sau 1(1) = -2.

DacI f( I ) = 0 atunci flcind y = I in rela;ia inifiala obtinem:f(x\' f( l) + f(x) + f(l) + | - x => f(x) = x - L

Dacd f(l)=-2 atunci fdcSnd y- 1in relalia inil ialdobfinem: f(x) . f(l) + f(x) + f(1) + 7 - x => f(x) = -y - l.

25. a) PenLru x = ,{ oblinem relalia:l l x) 4^)- 2^ t I - xJ=-3? +4x+ | t l ) .

Pentru x- 1 - x ob$nem relalia:2( l - x) ' \x) + x{ l - x\ =3} +2x+2 (2).

, Imultind relatia. (2) cu -2 ti adunand h prima relafeoDrlnem:

(x- r) . f ( \ = * -1 =>f(x)= x+ I ( V ) , reR-{ l } .Relafia fiind verificattr $i pentru x - 1 rezulttr ctr:f l ,x)=x+1(V)xeR.

26. b) Pentru ,( = x se obline relagia:x. f (1 + x) + (x+ l ) f (x+ 1) =6x+ 2 (1)Pentru i = -x se obline relalia:-x4l + x)+(-x+ I) . \ l - x\=-6x+2 (2)Inmullind prima rclalie cu r - I ti a doua cu r $i adunendu-leobl inem: f (x+l)=2{x+1). Notand x+l=y re^, ] tLf(y) = 2y si ahnci f(x) - 2x, ( V ) r€ R.

27, Se procedeazd ca la 26.

190

Dac[ x€ (-2 , 1] ecuatia devine:

x + 2 - (-x + 1\ = n <-> 2x + | = n <'> x =

10. FUNCTIA M-ODUL $I -FUNCTIA PARTE INTREAGA

m-l

1. a) Dace x€ (-co , -11 atunci ecua$a devine:

-x - l lx +2 = 5 =.27 = -! => x = -2€ (-co , -1] 5i este deci

.ulul ie.Dacd xe F7, 2'l atunci ecualia devine:

(x+ l ) + (-x '+ 2) - '5 => 3 = 5 ceeacee' te fa ls '

DarI r € (2 . I o.) alunci ecualla devme:

,r i l + x- 2=5 - ' => x= 3e(2 +oo) ) iesledeci solul ie '

2. c) lx- lx+ 2l l=)-> x- lx+ 2l =*2'

Da.a x- l r+ 21 - 2 = ' l r '21 = 'x- 2care nu are solul ie '

Daca x- l l+21 =-2=>lx+21 = x + 2 ecudlre ce are (a

solulie orice,{€ [-2. +c')ct Dacr x € (lc! , 2] ecualia devlne:

I x ?i -x+ : ) l +13^- i :xr 2) l =8='2+la ' t -21.=8-->-> 1+ * - .z l =o =' lz^ - l l ' .3 cLr solul i i le r =- l s i x = 2-

DacA x€ (2 , +o.) ecualra devne:

lx+(x- 2) l - lJ^-(x- 211 = 8 -> 2 ' lax-.21 = 8 =>=> l . lx - 2 l r l2x + 21 = 8 =' l . r - l l + lx+ I l = 4carenuaresolul i ipe (2 . +cc)

3, c) - { - 2 -(-^+ \ ) ' m=> -5= m 'Daci m = -3 arunci ( V ) xE (-D , -2) este solutie.

Dacf, m ,. -3 atunci ecuatia nu are solulie'

.n- t m-l- . ^t l"- ' este solul ie dacr " '2 e t 2 . l ] <=>

n- | ,-2< 2

< t<=>mc(-r . r l '

DacI x€ (l , +0.) ecuatia devine:

lx+2)-( , { - l )=m=>3=m.DacI m = 3 alunci ( V ) , {€ (1, lco) este solul ie '

Dactr m t 3 atunci ecuatia nu are solutie'

191

6. Dacax€ (-co, -1] inecuatiq devine:(*r+ l )+ (-x- 1) > 2 -> 2x> 2 -> x < -7 =>=> x€ (- .c,-1).Deci x€ (-co , -1) n (-oc, - l ) = (- .o, - l ) .

DacI x€ (-1, 1l inecualia devine:(-x + 1) i (x + l) )2 =. 2 > 2 ceea ce este fals .

DacI x € (l , +or) inecuafia devine:x I + x+ l>2.=>2x>2=> x> I => x€ (1 ,+co).Del i t€( l . - , ln { l .+a)={1.+r)

Solul ia f inaltr esle deci: x € (-cc , -1) U (l , +oc).I r+l l

7. l , )A\e, I : r -2=[ . r ]ez- r- 2? z=>

=> x € Z Avern de asemenea :f \ r l l ( - l l r+ l l ^ \ t l

I . , i ' r ' l . , l * '=>x-r< . r ' ( - r ->

=> 3x-6 < x+ 1. 3x - 3 =. xe e, : ] ..1

Cutu insd x€ Zrczuli l cr x € (2 , ;] O z:, x = l.

r r - l l r f ,+ l r8. hr Notr r :

I , j= [ . , ] - I . Arunci avem:

- x- l x+lI=

_Z . . { r l1 i k< j < l+l->

2k + t < x <2k + 3 s i3k - | < x < 3k + 2 =>=>-2k-3< x<-2k-1qi 3, t - I < x< 3,{ + 2,9iadunand rnembrll cu membru obliaem:*- 4<0 <t+ I => - l <, t<4$icurn ke Z rezt t l l t rke l0, l ,2,3l .I t Da.t I = 0atunr i rezul l l Juule.ual i i :

[ ' : ' l=o , r l * l r l=o- 'o= ̂l r . t5;o=' ] l . r = 'l2 l t j l z

- 'xC[ l . .1) ] i )€[ 1.2)=>YCl l .2) .21, J,), J) Caiurrle I '= l,* '=2. I = J \e rr; leaza analog.

192

11. ECUATII' INECUATII $ISISTEME DE ECUATII

iN MULTIMEA NUMEREI,OR REALE

t. a) ; , . u: : t*= 2 ' { r - ' ' /7 + | = '

=>Xr/2 + l )+(x ' l r {y ' f -r '7) = 2"8 - ' / I + | =>=> 4y'T + l ) =VT+ I = ' . r = l ;

^ 2v-4 20 -*-J l , - t \=nl6 =,r) 5 - l '0\^ - t -" 90

=,4 a,2o - !, i("- l) - ul =' 5\ *2+t *t I I 2x-4 20-x I

+1r,1=oj + ix=r ' ->10()J

=, l l t ix-4t- 15(20 ^) '

20r- J60=>24r-48-

- J00 r 15r- lOx-. t f ,o=>5u(-708='x= 12:

' l { -R i lb l1x l \ ,8

Br "nO (x-qi+l

e0 lS-, .1 :"0='

- ' l f r ,- l r- ' [ ( ; ; ) ' - j - ''7/

" t | aa.=> i r*- ; r+ul i - i )= a -

- *"- fg - * ' -* =! =, n* =160 => x= 5 ;

rr rzff--- tr?,', :{rl = fr :o:$ ='=.(il, : i,- ': ' l :-,"ri i '='- l:^ l- ': ' = iol ' i i '- ' i l^=@,3'- ' l ' *='#,= \'#-"=t

u. s. "t".L"-r "ut.ulele

i i se obline o ecualie de gradulinlai.

193

3. a) Aducand la acela$i numitor oblinem:x - | + x + | = 4 :> 2x - 4 => x=2 ;m) Se observd ct ? +3x+2=(x+ 1Xx + 2) si aclucSnd laacelagi numitor oblinem:(x + l)2 + (x + 2)2 = 2/ + x + l0 =,

=' x2 + 2x+ | + / + qx+ 4-2i + x+ 10 => x= 1.

4. a) Se observtr cL'. 'l + l6x + 4; = $ + 2x)'('7 + 2x) siaducdnd la acelagi numitor obtinem:(3 + 2x).(1 + 2l + 1? - 2=(5 + 2x) (1 + 2x) +

1+ ( l + 2x)(7 + 2x) => 8x= 7 => x=

Bag ? +2x+l =(x+D2 i +2] + x= x(x+l)2;

?i + 2x = 2.t\x + 1); gi aducAnd la acela$i numitor oblinem:2,r+8=5( r- l l=>Jx=J=>x= l .

, l+xu., , ; _; = a=> | + r= a- a] -> x{a t l ) - a- l .

2- |

Dacl ; r -

l a lunl i x=-.

l+xDacr a- - l e(udl ia det ine:

i _; = - l ' ' I r t= - l +

^ =>

=> I = -1 ceea ce este fals si deci ecualia nu are solulii.i) Aducand la foma cea mai simpld oblinem ecuatitt:

ax=2] - a.DacI a* 0 alunci x= 2a- l .Dactr a- 0 atunci ecuatia devine:

'+ ' l= 2=>2' 2 i i e{ tever i f i (a l t rdeor i .e r :0.

7. a) x=2, y=!, b) x='lT,Y=''/T;c) Dupd efectuarea calculelor sistemul devine:

[)x + Y= ovJ + I

13x+ Y-4Y5 '

1 'si prin rezolvarea lui se obline solutia x = VJ , I -'lT + 1 .

d) x=4,y=2; e) x=3,y=7; f l x-3,Y=2.

194195

8. O DuPd efectuarea calculelor se obfine sistemul:(3x = zYlx+ v= )

5i prin rezolvaLrea luise,obline solulia x = 2' y= 3'

9. a) Notdm 1 = rl I = v$i sistemul devine:

I r - ' , : , 1 , =>u=t 2.v=t 4=>\=2.)--41l lu _ 5v= r /+

l i ' '=r .y-0, c)x-) .y-2r d)x=3 1=' f '

f 0. ,) {1"+,/.= '- . =' t3 - a)s = 5 2a '\u-JJ-J

D^c\ a, 3 utuniy'fr $i inlocuind in prima ecualie

1oblinem: x= t;-

' lx ' v=z -=>b-5' fu ls ' l iDair a= J \ isremul Llevine:{ ; r i - ty=S ' " '

de(i sistemulesle incompatibil ̂- -

o i i " . r r i ; ta pt '*ert rat ie iu 2t iadrrnlnLl laaduuaecualre

ob{inem: (a - 2)x = 0 ?

Dacd a * 2 alxnci x= 0 $iY= ;'Dactra=2sistemul devine: x+ 2y= 3; x + 2y =3 $ieste

a".iiii"i...i""t .u .oluliile /= <r' x= 3 - 2cr' unde <r € R'

i . d ] -+=, ] =4=> x=25ix=-2'

e) 10x2 - 3x= 0 => x(10x- 3) =0 => x= u sau3

10.{-3=0->.t= l0 '

12. a1 ? - 3x t Z=O =' ] - x ' 2r+ 2=O =>

='-nr- t f -2{^- 1}=0='(x- l lx 2) ' 0- '

=> r- 1 *'0 sau x- 2 = 0=>x= 1 sau x= 2'-

i r . " l t " r i t * t " . 2)2 = tox+3* ' ? +2x+L+

t i + 4x, 4 = lox + I => 2? - 4xt 2=0-> xl = ' r2= l :

h) Aducand la acelasi nufiutor oDllnem:

(x + 1)2(r - 2) + (.r + 2Xx2 - l)- (1r + 13)(x - l)

{x*2) =0=>(x2+2r+ l } (x - 2) + ( t + ?}( t2 - l ) -

(Zr + 13Xx' - 3x + 2) = 0 => -5x' + l lf, - 30 = 0 =>.6

=>5x'- l l t r l0= 0=>xr - i . r : - ' .

) 1 x-1l1.b) , - . + i =u=>

1-4 x:-2x x:+2x2 | x-4='

G t;G - r - -.t' - t' *G a) = o ='->2x- (r + 2)r t r -4)(x.2)-0=>:r? - 5x + 6 = 0 => xt - 2 , xz=3.

15. Vom a.ila ctr oric are ar fi a, b, ce Ravem A > 0 .

c; t -4o2-11i- 621-4i zo |v ) b€ RI

0 A = (z+ b)2 + 1t\a + b + c\ = (a+ b)2 + 4/a + b) +

+lJ =Q+ b+2c\2 >0.16. a)

^x-1

x- IAtunci x € (

-, - l) U (1, +c.).

'? . i j : i . '= '3; : | - , 'o ' , l l i ' "Se continul ca ia 16.

18. x2-3r+2'0=>(x- lXx 2) '0.

- x+l , r - I 3x+5l9.ar ' - ^ . .0.

x+ I Y+ J (X+ l \ , r+ JJln continu:lre se face tabelul cu sefiuul fractiei.

196t97

12. INEGALITATI

2. r I b.2tQb<.r , !a -y 'b) ' :0;

r , , "b =or. l ' o tn- b)2. 4ub o1a- b12>0;' : t+ l ) 4

. , 4. .1+

I - lat , . r . r ' b i o(a-ht2>0:

a+D A O2.J ^, t . ^

u' : ' ,0; ' u

; t ' - t ro2*1,rr > (a - , ' ' t r o { , - 6 t r ' 0 :

ht h l / l l \ a ' l ' o+l 'o1o h12

" l* , l = t l , . ; j - oz3= zai

"b a+ h l ' ,3. i1) A\ern , :onfonn 2' b) t

e- -

h= 4 " b+ i

!i = 4+ !: ,i ." u,1untr membru cu membru ;

iJ) Alein !onluf in l . d) : 2 t

' - : ' , ,

. ' - r" \ i se ai luna nrernbru t u tnenrbrrrr

d) Se foloseste inegalilalea 2. e);

e) Avem confonn 2' 9: : ln*9.2; D + f , 'z ;

se adund menbru cu nembru.

1. q a ' hz! lat ' .b+, z2Fhc: ' t a> 2t \1

si imrrutlhLl pe rand cu l[, fi 5i respectiv 16 lj adunlnd

rnernbru cu rnembtu ob[inem i egali{atea dorill;

,* a ,z, l "a

= zt l o ,D.\hcI)

si inrrullind mefilbru cu membru obtinem inegaiitalea doriu'

>0i

b+ c-4

a+ b- 2 '

1n9t25i

5. d r Avern uz uz . 6zrz , 2llj h2E = \ul,

r,2,2 * .7 u2 . )^f i'I77 = zua]J] t u2t,z,,/7773 =zlr,",si adunin<i membru cu membru oblinem inegalitalea dorild;

l ) ua * ta rz i i : b4 + "4 '2&J; 'a

* ua '2J]

si adunand membru cu membru oblnem

ta * ba , "a

, J t] * tc2 + c2a2 9i se aplica inegalitatea a)'

6. a) Avem: | - a+ bz2' /VE -= | > 4ab' ' ab<):

"Lh I

l") l"+ lur 4 ..

o*0" >l o uo= o

care s-a demonstrat la a):

c) o2 , b2 , l r o la + b)2 - 2ab> l" " t =

lo '

d) i + I > ab.- , (a+ b\3 '3ab(a+ b)> ab<=>

.=, t - ru6, u6.=, *=f,;

q ] + & = G+ b)2 -2ab= | - 2ab

)n * f:d * &)2 -zl l =qr -zur12 -z?& =

- t - qat + q] F - z] I = l' - quo, z] L? =

=2- 4ab+2,-br- l ' 2( l - abt2- t 'z ( r - l ; ' ] - r = l ;

r r ,3 -

, r . ' ' ; .=,k. bf - Jaaa+ b)>

, la +b)2 - 2at , . , t_ luu, l

- lnt , .=, . . . .=, ro. t^.

7.a)Din a+r+c=0 rezul t t ra=-b-c $i atuncr:

i . tt".=,1-t- "12 > 4bc '=' - ': '

(b- c)2-' 0;

b\ ab. bc + ca <0 <=>abl bc+ca3la+bt c l2 ' -> :

ci Se efectueaza calculele si se foloselte condit ia: a - - 6 - ci

di Se "fectuenzl "ulculele

si se f6loselte condilia: a = -b- c '

198199

r4. TESTE GRILA DE EVALUARE

TESTUL 1TESTUL 2TESTUL 3TESTUL 4TESTUL 5TESTUL 6TESTUL 7TESTUL 8TESTUL 9TESTUL 10:TESTUL 1I:TESTUL 12:TESTUL I3:TESTUL 14:TESTUL 15:TESTUL 16:TESTUL 17:TESTUL 18:TESTUL 19:TESTUL 20:TESTUL 2I:TESTUL 22:TESTUL 23:TESTUL 24:TESTUL 25:

. ,1. ) r : , i l . : ! r t . t l . : : ,CUPRI NS

Tohnoredarctare iornputeaizatd.

Tiirarui eidcutlt la'TIPOCRAFIA PAPIRUS CRAIOVA

r r $tr FlorilOr'!'lr. 19

!:it I200

+r.'

t r.,i

Carti. Culegere.de.Probleme.de.Aritmetica.si.Algebra. Ed.hyperion. TEKKEN

Documents

Transcript of Carti. Culegere.de.Probleme.de.Aritmetica.si.Algebra. Ed.hyperion. TEKKEN