Capitolul III

7/17/2019 Capitolul III

http://slidepdf.com/reader/full/capitolul-iii-568ca492ea7c5 1/17

CAPITOLUL III

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR PLANE

3.1. Definiţii

În calculele de rezistenţă intervin mărimi care depind de forma şi dimensiunilesecţiunii transversale, denumite caracteristici geometrice.Caracteristicile geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor de

rezistenţă care intervin în calcule, sunt:• aria suprafeţei;• momentul static;• momentul de inerţie:

axial; centrifugal; polar;

• raza de inerţie (giraţie;• modulul de rezistenţă.Consider!nd o suprafaţă plană, de formă oarecare (fig. ".#, av!nd centrul de

greutate în punctul $, se alege un sistem ar%itrar de axe perpendiculare între ele (&'z(în studiul rezistenţei materialelor, axa 'x coincide, de o%icei, cu axa longitudinală acorpului solid. Coordonatele lui $ sunt z$ şi &$. ie un element de arie (d), ladistanţele & şi z faţă de axele de coordonate, respectiv r * faţă de polul '. În acestecondiţii, se pot defini mai multe caracteristici ale suprafeţei, astfel:

ig. ".# * +uprafaţa plană

a Aria suprafeţei ) (fig. ".#, se defineşte ca fiind:

)

), d)∫ -m/ (".#

)ria este totdeauna o mărime strict pozitivă (fiind zero numai dacă suprafaţa sereduce la un punct.

45



% M!en" s"a"i# + al unei suprafeţe plane calculat in raport cu o axa esteegal cu suma produselor dintre elementele de arie d) şi distanţa acestora la axaconsiderata.

♦ faţă de Oz şi Oy:

z

(A)

y

(A)

S = ydA

S = zdA

∫ ∫

-m"/ (".

♦ faţă de dreapta (Δ :

Δ

(A)

S =η dA∫ ("."

0omentul static poate fi pozitiv, negativ sau nul. În practică, o suprafaţă este adesea împărţită în mai multe figuri cu forme

geometrice simple (de ex., dreptung1iuri, cercuri, triung1iuri, ale căror suprafeţe şicentre de greutate sunt cunoscute sau uşor de determinat. Coordonatele centrului degreutate al suprafeţei compuse se calculează cu relaţiile (2. 3arignon, #45:

i i

G

i

i i

G

i

A yy

A

A zz

A

=

=

∑∑

∑∑

(".5

unde &i şi zi sunt coordonatele centrului de greutate al suprafeţei )i (i #, ,..,n .6acă suprafaţa se poate descompune în suprafeţe simple la care se cunosc

poziţiile centrelor de greutate faţă de sistemul de referinţă, expresiile momentelor statice, capătă următoarea formă:

n

z i i G

i 1

n

y i i G

i 1

S y A y A

S z A z A

=

=

= × = ×

= × = ×

∑

∑ (".7

6in relaţiile ".7, rezultă că poziţia centrului de greutate $ a unei suprafeţecompuse, poate fi determinată cu relaţiile:

zG

y

G

Sy

AS

zA

= =

(".8

+istemul de axe rectangulare z#$&# cu originea în centrul de greutate alsuprafeţei poartă denumirea de sistem central, iar axele respective axe centrale.

0omentele statice faţă de axele centrale sunt în mod evident nule, proprietatecare permite verificarea coordonatelor centrului de greutate.

O$ser%aţii46



Orice axă de simetrie conţine centrul de greutate al figurii; La intersecţia a două axe de simetrie se găseşte centrul de greutate; Ariile şi momentele statice ale unor goluri sunt considerate negative.

c M!en"e &e inerţie♦ Moment de inerţie axial al unei suprafeţe plane calculat în raport cu

o axa este egal cu suma produselor dintre elementele de arie d) şi pătratele distanţelor acestora la axa considerata:

2

z

(A)

2

y

(A)

2

Δ

(A)

I = y dA

I = z dA

I =η dA

×

× ×

∫

∫

∫

-m5/ (".4

♦ Moment de inerţie polar al suprafeţei în raport cu un punct (pol ',este definit prin relaţia:

( )2 2 2 2 2

O p y z

(Α) (Α) (Α) (Α)

I =I = r dA = z + y dA= z dA + y dA = I + I× × × ×∫ ∫ ∫ ∫ -m5/ (".9

6e aici rezultă că, pentru un anumit pol, suma momentelor axiale este uninvariant, de valoarea momentului polar, nedepinz!nd de alegerea axelor decoordonate.

0omentul de inerţie polar este totdeauna pozitiv.

♦ Moment de inerţie centrifugal calculat faţă de sistemul de referinţăz'&, este dat de expresia:

zy

(A)

I = z y dA× ×∫ -m5/ (".

0omentul de inerţie centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau nul.O$ser%aţie' pentru o suprafaţă plană care are cel puţin o axă de simetrie,

momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care conţine acea axă de simetrie, este

nul.

d Ra() &e *iraţie sau ra(a &e inerţie este o mărime înt!lnită în calculelede rezistenţă, fiind definită de relaţiile:

zz A

y

y A

Ii

Ii

=

=

-m/ (".#

<ste pozitivă.e M&u+e &e re(is"enţ) a,ia+e se determină pe %aza momentelor de inerţieaxiale, prin relaţiile:

47



z zz,min z,max

max min

y y

y,min y,max

max min

I IW = ; W =

y y

I IW = ; W =

z z

-m"/ (".##

unde:= &max, &min reprezintă distanţa de la axa z la punctele extreme cele mai

depărtate, respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei, de această axă,= zmax, zmin reprezintă distanţa de la axa & la punctele extreme cele mai

depărtate, respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei, de această axă.0odulele de rezistenţă au sens numai pentru valorile pozitive. 6in acest motiv, în

relaţiile (".##, distanţele de la axe la punctele secţiunii cele mai depărtate, respectivcele mat apropiate (&max, &min, zmax, zmin, se iau în valoare a%solută.

O$ser%aţie' - n cazul suprafeţelor compuse, modulul de rezistenţă nu se o%ţineprin însumarea alge%rică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente,ci numai prin intermediul momentului de inerţie axial, pe %aza relaţiilor (".#.

f M&u+ &e re(is"enţ) p+ar se determină pe %aza momentului de inerţiepolar, prin relaţia:

P

max

P

IW =

r -m"/ (".#

În )nexa # sunt redate caracteristicile geometrice, momentele de inerţie axiale,modulele de rezistenţă, momentele statice, etc., ale unor figuri uzuale.

3.. M!en"e &e inerţie /i !&u+e &e re(is"enţ) pen"ru #0"e%a suprafeţesi!p+e

)plicarea relaţiilor (".4 presupune alegerea unui element de suprafaţă d), astfelca integralele să se rezolve c!t mai uşor. 6e aceea aceste relaţii se pot aplica pentrusuprafeţe simple, cum ar fi dreptung1i, triung1i, suprafaţă circulară.

a) Dreptunghi

ie suprafaţa dreptung1iulară din figura ". pe care se ia ca suprafaţă

elementară, de arie d) % d&, paralelă cu axa $z. )plic!nd relaţiile (".4 pentru calculul momentelor de inerţie, se o%ţine:

h

h 22 2 2

z h

h 2(A)

2

! y ! hI = y dA y ! dy

12−−

× ×× = × × = =∫ ∫ (".#"

>u!nd o porţiune paralelă cu axa $&, de arie d) 1 dz, se o%ţine momentul deinerţie faţă de axa centrală $&. 0omentele de inerţie axiale ale dreptung1iului dedimensiuni 1, respectiv %, sunt date de relaţiile:

48



ig. ". * +ecţiune dreptung1iulară

z

y

! hI 12

! hI

12

×=

× =

(".#5

Momentul de inerţie centrifugal

zy

A

I z y dA "= × × =∫ (".#7

pentru că elementul de suprafaţă d) are coordonata z .

Modulele de rezistenţă faţă de axele centrale sunt date de relaţiile:

2

zz,min z,max

max,min

2y

y,min y,max

max,min

! hI ! h12W W

hy #2

! hI ! h12W W

!z #

2

× ×

= = = =

×× = = = =

(".#8

azele de inerţie sunt:

2y

y

2

zz

I ! ! i

A 12 #

I h h i

A 12 #

×= = =

× = = =

(".#4

!) "uprafaţă circulară

6in motive de simetrie, pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă deorice diametru (care reprezintă şi axe centrale, sunt aceleaşi. +e poate scrie atunci:

49



y zI I= (".#9

?elaţia (".4 devine:

p z y zI I I 2I= + = (".#

+e calculează momentul de inerţie polar lu!nd o suprafaţă elementară, coroanăcirculară cu raza r şi grosimea dr (fig. "." cu aria ) @r dr.

$ $ % %2 2

p

" "

$ &I r dA r 2 r dr

2 2

π× π×= × = × π × = =∫ ∫ (".

Ain!nd seama de relaţia (".#4, se o%ţine relaţia pentru momentele de inerţieaxiale:

%

% p

z y

&I &2I I2 2 #%

π×π×= = = = (".#

ig. "." * +ecţiune circulară

Bi modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează curelaţiile:

zz,min z,max y,min y,max I &W W W W & 2

2

π×= = = = = (".

?azele de inerţie sunt date de relaţia:

2

zy z

I & &i i

A 1# %= = = = ("."

0odulul de rezistenţă polar este dat de relaţia:

p

pI &W& 1#2

π×= = (".5

50



c) #riunghi dreptunghic, momentele de inerţie faţă de laturiletriunghiului şi faţă de axele care trec prin centrul de greutate al triunghiului

2entru triung1iul din figura ".5 se alege elementul de arie

1

!dA ! dy (h y) dy

h= × = × − ×

, cu care integrala din (".4 devine integrală simplă. ?ezultă:

h % 2 2

z

A "

h ! ! y y ! hI y dA (h y) y dy (h )

"h h % 12

×= × = × − × × = × × − =∫ ∫ (".7

În mod similar, aleg!nd un element de arie paralel cu axa '& rezultă:

2

y

A

! hI z dA

12

×= × =∫ (".8

aţă de axele $z# şi $&# care trec prin centrul de greutate al triung1iului (vezidemonstraţia la $ariaţia momentelor de inerţie %n raport cu translaţia axelor D, o%ţinem:

1 1

1 1

2

y y y

2

z z z

! h ! ! h ! h ! hI I I

2 12 1' #

! h h ! h ! h ! hI I I

2 12 1' #

× × × = + × ⇒ = − = ÷

× × × × = + × ⇒ = − = ÷

(".4

ig. ".5 * +ecţiune triung1iulară

0omentul de inerţie centrifugal se determină astfel:

h 2 2

yz

A "

1 ! ! ! yI y z dA (h y) y (h y) dy2 h h 2%

×= × × = × × − × × × − × =∫ ∫ (".9

51



0omentul de inerţie polar se determină pe %aza relaţiei (".4:

2 2

p y z

! h ! h ! hI I I (! h )

12 12 12

× × ×= + = + = × + (".

d) &oroană circulară 'secţiune inelară)

ie secţiunea circulară inelară cu d int d şi dext 6 (fig. ".7.2e %aza rezultatelor o%ţinute la secţiunea circulară, momentele de inerţie se

calculează prin EscădereaD cercului interior din cel exterior:

ig. ".5 * +ecţiune inelară

%%% %

p& dI (& d ) 1

2 2 & π π× = × − = × − ÷

("."

%% p

z y

I & dI I 1

2 #% &

π× = = = − ÷

("."#

?azele de inerţie sunt date de relaţiile:

% % 2 2

zz y

2 2

I (& d ) % & di i

A #% (& d ) %

π× − += = = × =

π× − ("."

0odulele de rezistenţă se calculează după relaţiile de definiţie (".8 şi (".4:

% % p p

p

max

I I (& d )W

&r 1# &2

π× −= = =

× (".""

% %

z zz y

max

I I (& d )W W

&y 2 &2

π× −= = = =

× ("."5

e) Momente de inerţie la profile laminate

52



În ta%ele ()nexa se dau caracteristicile geometrice ale profilelor laminate,momente de inerţie axiale, module de rezistenţă, momente statice, etc.

<xemplu:= profil I (figura ".8:

%, 1, t, d, ), Fz, F&, Gz, G&, iz, i&, +& al secţiunii;Hotare profil laminat european I de tipul I< #8 J cu următoarele caracteristici:

ig. ".8 * 2rofil tip I

1 #8 mm, % #8 mm, tK 9 mm, tf #" mm, r #7 mm, ) 75," cm, Gpl "75cm, F& 5 cm5, i& 8,49 cm, Fz 99, cm5, iz 5,7 cm, +& #44 cm";

= profil L, notare L cu 1 mm;= cornier cu aripi egale > 4 M 4 M #;= cornieri cu aripi neegale N # M 7 M 9.

f) Momente de inerţie pentru suprafeţe compuse

2entru o suprafaţă de formă complexă care poate fi descompusă în (n suprafeţeelementare, momentele de inerţie glo%ale se vor calcula (aşa cum se calculează şi ariatotală ca sume alge%rice ale momentelor suprafeţelor componente (lu!nd cu semnnegativ termenii care corespund unor decupări, cu condiţia ca toate momentele dintr=oasemenea relaţie să fie calculate faţă de un acelaşi sistem de axe.

3.3. ariaţia !!en"e+r &e inerţie -n rapr" #u "rans+aţia a,e+r

Considerăm o suprafaţă plană, un sistem de axe &'z, faţă de care cunoaştem

momentele de inerţie Fz , F&, Fz&, Fp, momentele statice, +z şi +&, şi aria suprafeţei, ) şi unaltul &#'#z# translatat faţă de primul cu a şi respectiv b. He propunem să calculăm Fz1 ,F&1 , Fz#&1 cunosc!nd mărimile mai sus amintite (fig. ".4.

53



ig. ".4 * Oranslaţia axelor

În acest caz avem:

1

1

z a

y !

= =

z

y ("."7

iar

( )1

22 2 2 2

z 1

(A) (A) (A) (A) (A)

I y dA y ! dA y dA 2! y dA+! dA= × = × = × × × ×∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ("."8

6in relaţia ("."7 deducem:

1

2

z z zI I 2! S ! A= × + × ("."4

)nalog, se o%ține:

1

2

y y yI I 2! S a A= × + × ("."9

0omentul de inerţie centrifugal se determină cu relaţia

( ) ( )1 1z y 1 1

(A) (A)

(A) (A) (A )

I z y dA z a y ! dA

= z y dA ! z dA a y dA a ! A

= × × = × × =

× × × × × × + ×

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ("."

de unde deducem:

1 1 zy y zI I ! S a S a ! A= × × + × ×

y z (".5

6acă 'z și '& trec prin centrul de greutate al suprafeţei (+ &, +z, din relaţiile("."4, ("."9 şi (".5 vor rezulta:

54



1

1

1 1

2

2

zy

I I ! A

I I a A

I I a ! A

= + × = + × = + × ×

z z

y y

z y

(".5#

?elaţiile (".5# se numesc re+aţii+e +ui S"einer care se enunţă astfel: momentul

de inerţie faţă de o axă oarecare este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea, trec(nd prin centrul de greutate, la care se adaugă produsul dintre ariasuprafeţei şi pătratul distanţei dintre cele două axe.

0omentul de inerţie faţă de o axă centrală (care trece prin centrul de greutate,este cel mai mic din infinitatea de momente de inerţie faţă de axe paralele cu ea.

3.2. ariaţia !!en"e+r &e inerţie -n rapr" #u r"irea a,e+r -n uru+ unuipun#"

Considerăm o suprafaţă oarecare, sistemul &'z şi &#'#z# , rotit faţă de primul cuung1iul P (fig. ".9. Cunosc!nd Fz, l&, Fz& 4 ne propunem să determinăm Fz# , F&# , Fz#&# .

ig. ".9 * ?otirea axelor

2e %aza figurii, coordonatele unui element de arie &A în noul sistem de axe(&#'#z#, se determină în funcţie de coordonatele din vec1iul sistem (&'z astfel:

= în Q2R?:

11

z$* z $P *$P $P

$P $- -P z -P

α = = ⇒ = × α = + = +

(".5

= în Q'H2:

-P -P./ -P y ./

O- yα = = ⇒ = × α (".5"

Înlocuind (".5" în a doua relaţie din (".5 şi apoi în prima relaţie din acelaşi set,

o%ţinem:55



1z = *0 + y in0× (".55

= în Q'0R:

1 1y yO

* OO O *

α = = ⇒ =α (".57

= în Q?0H:

- -./ - z ./

$ zα = = ⇒ = × α (".58

Ain!nd cont că '0'H * 0H, o%ţinem:

1y = y *0 ( z in0× × (".54

+e înlocuiesc expresiile (".55 şi (".54 în relaţiile de definiţie pentru momentelede inerţie axiale şi momentul de inerţie centrifugal, şi o%ţinem:

( )1

22

z 1

(A) (A)

2 2 2 2

(A) (A) (A)

2 2z y zy

I = y dA= y *0z in0 dA =

=*0 y dA2 in0 *0 z y dA+in 0 z dA=

= I *0 +I in 0I in20

× ×

× × × × × ×

× × ×

∫ ∫

∫ ∫ ∫ (".59

( )1

22

y 1

(A) (A)

2 2 2 2

(A) (A) (A)

2 2

z y zy

I = z dA= z *0(y in0 dA=

= *0 z dA+ 2in0 *0 z y dA+in 0 y dA=

= I in0 +I * 0 +I in 20

× ×

× × ×

∫ ∫

∫ ∫ ∫ (".5

( ) ( )1 1z y 1 1

(A) (A)

2 2 2

(A) (A) (A)

2

zy

(A)

I = z y dA= z *0+ y in0 y *0(z in0 dA=

= *0 z ydA(in0 *0 z dA+in0 *0 y dA(

I (I (in0 z ydA= in20 +I *20

2

× × × × × ×

× × ×

× × ×

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ z y

(".7

sau cunosc!nd că:

2 2

1+*20 1 *20*0 = ; in 0 =2 2 (".7#

56



se o%ţine:

1

1

1 1

z y z y

z zy

z y z y

zy

z y

z zy

I +I I (II = + *20 ( I in20

2 2

I +I I (II = ( *20 + I in20

2 2

I (II = in 20 + I * 2 0

2

× ×

× ×

× ×

y

y

(".7

6acă se adună primele doua relaţii din (".7 rezultă:

1 1z y z y pI I I I I *.3+ = + = = (".7"

?ezultă că suma momentelor de inerţie axiale în raport cu orice perec1e de axeortogonale care trec printr=un pol dat este constantă şi egală cu momentul de inerţie

polar indiferent de poziţia pe care aceste axe o ocupă prin rotirea în Surul originii.3.5. M!en"e &e inerţie prin#ipa+e. A,e prin#ipa+e &e inerţie

?evenind la figura ".9, prin rotire, sistemul de axe poate ocupa o infinitate de poziţii,o%ţin!ndu=se deci o infinitate de valori pentru momentele de inerţie. <xistă printreacestea două valori extreme (maxime şi minime care se numesc momente de inerţie principale.

)xele în raport cu care momentele de inerţie axiale au valori extreme se numescaxe principale de inerţie.

2entru a afla poziţia acestor axe, să derivăm Fz# în raport cu 6 şi să punem

condiţia de extrem:

( ) ( )1

z

z y zy

dI= I I in 20 2I * 20 = "

d 20 × g (".75

deci:

zy

z y

2I./ 20 =

I I (".77

<cuaţia (".77 are două soluţii care diferă cu #9T. 6eci există două ung1iuri P

care diferă cu T şi care definesc direcţiile axelor care trec prin punctul O şi faţă decare momentul de inerţie axial are valori extreme. )cestea se numesc direcţii principalede inerţie. 6acă originea axelor este în centrul de greutate al suprafeţei, atunci acestease numesc axe principale de inerţie.

)nul!nd expresia lui Fz#&# se o%ţine aceeaşi relaţie (".77, put!nd astfel trageconcluzia că axele principale de inerţie se o%ţin pentru moment de inerţie centrifugalnul.

2resupun!nd că axele 'z şi '& sunt axe principale de inerţie, să notămmomentele de inerţie principale cu F# şi F. 6eci:

z 1

y 2

yz

I =I

I =I

I ="

(".78

57



Cu aceste notaţii şi cu această condiţie, o%ţinem:

1

1

2 2

z 1 2

2 2

y 1 2

I = I *0+ I in 0

I = I in0+I * 0

× ×

× × (".74

)dun!nd şi apoi scăz!nd relaţiile (".74 se o%ţine:

1 1

1 1

z y 1 2

z y 1 2

I + I = I + I

I I =I * 20I * 20

× ×

(".79

sau:

1 1

1 1

1 2 z y

z y1 2

I + I = I + I

I II I = * 20

(".7

6in sistemul (".7 rezultă:

1 1 1 1

1 1 1 1

z y z y

1

z y z y

2

I +I 1 I II = +

2 2 * 20

I +I 1 I II =

2 2 * 20

×

×

(".8

6acă înlocuim în (".8 expresia cos P

( )1 1

1 1

2 2z y

2z y

1 1* 20 = =

1+./ 20 %I1+

I I

(".8#

o%ţinem:

( )

( )

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

2z y z y z y

1 2z y

2z y z y z y

2 2z y

I +I I I %II = + 1+

2 2 I I

I +I I I %II = 1+

2 2 I I

(".8

Hot!nd1

1

z z

y y

I =I

I =I

(".8"

se o%ţine:

( ) 2z y 2

142 z y zy

I +I 1I = 5 I I +% I2 2 × (".85

58



2entru I1 = Imax se consideră semnul (U, iar pentru I2 = Imin semnul (=.?elaţiile (".77 şi (".85 conduc la aflarea poziţiei axelor principale şi a

momentelor de inerţie principale.

Moment de inerţie centrifugal maxim

+ă considerăm axele 'z şi '& ca fiind axe principale de inerţie. 6eci:

z 1

y 2

yz

I =I

I =I

I ="

(".87

?elaţiile (".8 devin:

1

1

1 1

1 2 1 2

z

1 2 1 2

y

1 2

z y

I +I I (II = + * 20

2 2I +I I (II = ( * 20

2 2

I (II = in 20

2

×

×

×

(".88

6in expresia lui1 1z y

I rezultă că acesta are valoare maximă pentru in 20 #, deciP 57T şi

1 1

1 2

z y max

I I

I = 2±

(".84

6eci momentul de inerţie centrifugal maxim se o%ţine pentru un sistem de axerotit cu 57T faţă de axele principale de inerţie ale suprafeţei respective.

O$ser%aţii A,e+e &e si!e"rie a+e unei fi*uri sun" a,e prin#ipa+e &e inerţie7 M!en"u+ &e inerţie #en"rifu*a+ Izy es"e nu+ -n rapr" #u a,e+e prin#ipa+e &e

inerţie7 Pen"ru Izy 8 9 a,a prin#ipa+) 1 :faţ) &e #are !!en"u+ &e inerţie es"e !a,i!;

"re#e pin pri!u+ #a&ran4 iar pen"ru Izy < 9 prin #a&ranu+ a+ &i+ea7 Dire#ţii+e prin#ipa+e sun" r"*na+e7 Din pun#" &e %e&ere pra#"i#4 un in"eres &ese$i" pre(in") !!en"e+e &e

inerţie #en"ra+e prin#ipa+e :!!en"e #a+#u+a"e -n rapr" #u a,e+e prin#ipa+e#are "re# prin #en"ru+ &e *reu"a"e a+ se#ţiunii;7

Pen"ru se#ţiuni+e #u sin*ur) a,) &e si!e"rie a#eas"a es"e a,a prin#ipa+)4iar a &ua es"e perpen&i#u+ar) pe a#eas"a -n #en"ru &e *reu"a"e.

59



Ap+i#aţieCunosc!nd dimensiunile elementelor din figura "., să se determine momentele

de inerţie faţă de axele principale de inerţie.

ezolare

<tape de lucru:= se împarte figura în suprafeţe simple pentru care cunoaştem coordonatelecentrului de greutate sau pentru care putem determina coordonatele centrului degreutate (în cazul nostru se împarte în două dreptung1iuri de arii *# şi * la care secunosc centrele de greutate +# şi +;

= se alege un sistem de axe convena%il (în cazul nostru se alege axa '& lamarginea de sus a figurii şi axa 'z la marginea din st!nga;

= se calculează coordonatele centrului de greutate.

1 1 2 2G

1 2

1 1 2 2G

1 2

A y A y %" 1" 6 #" 1" "y 2" mm

A A %" 1" #" 1"A z A z %" 1" " #" 1" 6

z 16 mmA A %" 1" #" 1"

× + × × × + × × = = =+ × + × × + × × × + × × = = =

+ × + ×

(".89

Orasăm axele $&# şi $z# paralel cu axele '& şi 'z.Cu aSutorul relaţiilor (".5# calculăm momentele de inerţie, o%ţin!nd:

1

1

2 2

y

% %

2 2

z

% %

%" 1" #" 1"I %" 1" (2" 6) #" 1" (" 2")

12 12

=2",' 1" mm

%" 1" #" 1"I %" 1" (" 16) #" 1" (16 6)

12 12

=,% 1" mm

× ×= + × × − + + × × −

×

× × = + × × − + + × × −

×

(".8

6in acelaşi set de relaţii (".5# se determină momentul centrifugal:

1 1

% %

y zI %" 1" 16 16 #" 1" 1" 1" 6 1" mm= × × × + × × × = × (".4

6in relaţiile (".85se calculează momentele de inerţie principale:

% %% % 2 2 '

1,2

,% 1" 2",' 1" 1I (,% 1" 2",' 1" ) % 16 1"

2 2

× + ×= ± × × − × + × ×

% %

1,2I (27,"' 1#,26) 1" mm= ± ×

% %

1

% %

2

I %, 1" mm

I 1",' 1" mm

= ×

= ×

(".4#

6in relaţia (".77 o%ţinem:60



%

% %

2 16 1"./2 2,%

,% 1" 2",' 1"

× ×α = − = −

× − ×

1

2

,#8

2 #7,' 6#,1

α = −α = − ⇒ α =

o

o

o (".4

În figura ". s=au trasat axele centrale principale, notate cu #, respectiv cu .

ig. ". * Orasarea axelor principale de inerţie.

61

Capitolul III

Documents

Transcript of Capitolul III