Capitolul 8 Determinarea Intervalelor de Incredere Word NP

7/23/2019 Capitolul 8 Determinarea Intervalelor de Incredere Word NP

1/27

C A P I T O L U L 8

Determinarea intervalelor de ncredereTabela Laplace. Tabela Hi ptrat. Tabela Student. Tabela olmo!orov

8." Intervalele de ncredere.

8."." #ece$itatea %olo$irii intervalelor de ncredere.La nceput reamintim cteva idei legate de capitolul anterior. Acolo am prezentat metode de

estimare a valorilor numerice pentru:valoarea medie )(XM , dispersia )(2 xD , parametrul din );( xf sau parametrulmultidimensional din );( xf .Algoritmii de estimare se bazeaz, n principal, pe metoda verosimilitii ma!ime sau pe

metoda momentelor (necentrate). "n #inal am notat estimarea lui prin . $aloarea a#ost determinat prin selecia discret Ni xxx ,,,,% , de volum N, asupra lui X. $aloarealui Neste la dispoziia utilizatorului.

&u a'utorul seleciei sa de#init o (singur) statistic ),,( % NN xx , numit #uncie deestimare, care printrun algoritm a generat valoarea estimat .

$aloarea este o estimare punctual, care poate #i a#ectat de erori. $aloarea este numaio apro!imare a valorii e!acte (necunoscut). Algoritmul sau metoda #olosit la a#larea lui ne asigur c este o #oarte bun apro!imare, de e!emplu , are dispersie minim i deci areverosimilitate ma!im, dar totui ea rmne o apro!imare. *e aceea apro!imarea trebuie nsoitde un criteriu (un indiciu) cu privire la precizia lui . Alt#el spus, apare necesitatea de a indica

un interval +, 2% uu (pe a!a real) , despre care s se poat a#irma c acesta acoper, cu oprobabilitate #oarte mare, valoarea necunoscut , adic +, 2% uu . -ntervalul +, 2% uu senumete interval de ncredere.

etoda intervalelor de ncredere este o alt modalitate de a obine in#ormaii despre unparametru necunoscut , care apare ntro repartiie cu #orm cunoscut );( xf . /otmintervalul de ncredere pentru prin +,)( 2% uuIC = . /otm lungimea intervalului +, 2% uu

prin %20)(0 uuIC = . 1entru o bun apro!imare, este de dorit ca lungimea intervalului s #ie ctmai mic.

8.".& Al!oritmul intrevalelor de ncredere.ie Xo variabil aleatoare continu, cu repartiie cunoscut (speci#icat), unde densitatea de

probabilitate f are unul sau mai muli parametri necunoscui. 1entru simpli#icare considermcazul Rxf ),;( , unde este parametru necunoscut. 1arametrul trebuie s #ie estimatprin , aa nct i s #ie #oarte apropiai, adic intervalul de ncredere +,)( 2% uuIC =

s aib lungimea (msura) ct mai mic.1entru detreminarea intervalului )(CI #olosim o selecie discret Ni xxx ,,,,% , de

volum N, asupra lui X.&apetele intervalului de ncredere sunt variabile aleatoare, care depindde selecia #olosit, adic ),,,( 2%%% Nxxxuu = i ),,,( 2%22 Nxxxuu = .


2/27

-ntervalul +,)( 2% uuIC = se de#inete prin condiia de probabilitate = %)+,,,(),,,( 2%22%% NN xxxuxxxuP , )%;3( , unde valoarea lui este

independent de . $aloarea se numete nivel de $emni%ica'ie, iar % nivel de ncredere(nivel de con#iden probabilistic). &ea mai bun situaie este atunci cnd valoarea este#oarte mic, iar probabilitatea Peste #oarte mare, adic valoarea P este apropiat de %.

-ntervalul +,)( 2% uuIc = acoper valoarea lui cu o probabilitate mare.&onstruirea intervalelor de ncredere este o activitate migloas. *e aceea prezentm un

al!oritm de con$truire a intervalelor de ncredere.

1asul %. olosim o selecie discret Nxxx ,,, 2% asupra lui X.1asul 2. *e#inim o #uncie continu, monoton (cresctoare sau descresctoare), notat

);,,,( 2% NxxxU , care depinde de .1asul 4. 5e determin densitatea de probabilitate )(xh a stitisticii U.1asul 6. Alegem un nivel de semni#icaie mic )%;3( i punem condiia

= %)( 2% uUuP .1asul 7. *eterminm capetele %u i 2u , aa nct condiia de la pasul 6 s #ie satis#cut.

*eterminarea acestor capete se poate #ace prin mai multe metode.etoda %. olosim o tabel de valori ale lui )(xh . 1roblema are soluie, dar lungimeaintervalului de ncredere obinut este oarecare.

etoda 2. &onstruim o problem de e(trem condi'ionati rezolvm aceast problem. "nacest caz se obine un interval de ncredere cu lungime minim.

8.".) Al!oritmul intervalelor de ncredere pentru reparti'ia normal.La nceput reamintim cteva aspecte legate de repartiia normal i de tabelarea #unciei

integrale a lui Lalace.8.".)." Propriet'i $peciale ale reparti'iei normale. *unc'ia inte!ral a lui Laplace.8eoretic, algoritmul de mai sus poate #i #olosit pentru orice repartiie continu. /oi aplicm

algoritmul intervalelor de ncredere pentru repartiia normal.&a de obicei, notm );(9 2mNX , cu valoarea medie )(XMm= i dispersia )(22 XD=, iar densitatea de probabilitate i #uncia de repartiie sunt respectiv

=

2

22

2

)(e!p

2

%),;(

mxmxf ; Rx ; dumufxF

x

= ),;()( 2 .

&az particular. *ac :X este variabila redus (variabila normat; variabila centrat) a lui

X, adic

mXX

=: , atunci

)%;3(9: NX ,

=

2e!p

2

%)%,3;(

2x

xf

, Rx ; 3):( =XM , %):(2 =XD

udu

duufxFxx

==

2e!p

2

%)%,3;()(

2

(#uncia de repartiie a lui :X ).

/otm udu

x x

=

2e!p

2

%)(

2

%unc'ia inte!ral a lui Laplace.


3/27

"n multe cri de statistic e!ist tabele cu valori ale #unciei lui Laplace. neori acestea se

numesc +,valori (cnd variabila redus

mXX

=: se noteaz

mXZ

= ) sau tabele cu

probabiliti cumulative normale. 8abelarea se #ace cu pasul 3%,3=h .


4/27

5e tie c )%;3(9 NU i

=

2e!p

2

%)%,3;(

2x

xf

; Rx .

Alegem un nivel de ncredere )%;3( i punem condiia = %)( 2% uUuP din careurmeaz s determinm capetele %u i 2u ale intervalului de ncredere.

*in proprietatea 2 obinem )()()( %22% uuuUuP = ; deci = %)()( %2 uu .

etoda ". *in tabela lui )(x alegem dou valori potrivite E%% uu = i E22 uu = aa

nct= %E)(E)( %2 uu . 5oluia nu este unic. 1entru o soluie aleas rezult

=

%EE 2% u

mXuP ;

=

%EE %2N

uXmN

uXP

= NuXNuXmIC

E,E)( %% .etoda &.&onstruim o problem de e(trem condi'ionat, i anume, o problem de minim.

*e#inim #uncia liniar )(),( %22% uuN

uug =

nsoit de condiia

=

2

%

2

%

%2

e!p2

% u

udx

x

, unde, n integral, pentru calritate am notat %% uu = i

22

uu = .uncia ),( 2% uug reprezint lun!imea intervalului de ncrederepe care urmeaz sl

determinm.

&a s rezolvm problema de minim, construim #uncia multiplicatorilor lui Lagrange

),( 2% uuL = )( %2 uuN

F

+

2

%

2

%2

e!p2

% u

udx

x

, unde coe#icientul R

estemultiplicator Lagrange.

&alculm derivatele pariale%u

L

;2u

L

;

Li rezolvm sistemul

3%

=

u

L; 3

2

=

u

L; 3=

L. *in primele dou ecuaii obinem

N

u

=

2e!p2

2

% ; N

u

=

2e!p2

2

2 . 5e vede c este necesar ca 222% uu = .

Alegem varianta 2% uu = . "n continuare #olosim i ultima ecuaie a sistemului i obinemsuccesiv

=

2

%

2

%

%2

e!p2

% u

udx

x

; = %)()( 22 uu ;


5/27

= 2)(2 2u ;2

%)(2

= u . *in tabela lui )(x alegem valoarea care corespunde lui

2u i o notm E2 uu = . 1entru aceast valoare Eu cu

2%E)(

= u obinem intervalul de

ncredere )(mIC cu lungime minim.

neori valoarea Eu este notat 2G%E =uu sau mai clar

=

2%E uu , cu

2%E)( = u

, ca s se tie de unde privine Eu .*in condiia = %)( 22 uUuP obinem succesiv

= %E)E( uUuP ;

=

%E)E( umX

uP ;

)(mIC =

+N

uXN

uX

E;E , sau

)(mIC =

+

N

uX

N

uX

2

%;

2

% , unde ( )NxxxN

X +++= 2%%

.

8.".).) Intervalul de ncredere )(mIC pentru );(9 2mNX - unde m /i 2 $unt

necuno$cute.

&utm intervalul de ncredere )(mIC . 1entru aceasta aplicm algoritmul intervalelor dencredere. Dezultatul se obine succesiv (din aproape n aproape).

olosim o selecie Nxxx ,,, 2% asuipra lui X : );(9 2mNX sau asupra lui)%;3(9 NX . 5elecia se obine repetnd de N ori e!periena care de#inete problema

caracterizat prin variabila aleatoare X.

&alculm == N

i ix

NX

%

%. &alculm estimarea nedeplasat ( )= =

N

i iX Xx

Ns

%

22

%

%

pentru 2 , care este necunoscut.

*e#inim #uncia descresctoare (n raport cu m) )();,,,(E

2% mXs

NmxxxU

XN = .

5e tie c Ueste o variabil aleatoare 9U 5tudent (sau o variabil cu repartiia t), cu%N grade de libertate, notate %= N . *ensitate de probabilitate a lui Ueste

2

%

2

%

2

2

%

%);(

+

+

+

=

xxf sau

22

%%

2

%

2

)%(

%)%;(

N

N

x

N

N

NNxf

+

=

, Rx ; N este numr natural; f este

#uncie simetric n rapurt cu x.


6/27

1roprieti ale variabilei U (opional). 4,2

)(,3)( 2

==

UDUM ; 3::,3: == ff

genereaz rdcina 3=x ca punct de ma!im i punctul de in#le!iune2+

=

x .

"n cazul particular%

=N

re!zult3

=x

i %%

+

= N

Nx

. Hra#icul densitii deprobabilitate este simetric #a de a!a yO . >l are #orm de clopot.

Alegem un nivel de ncredere )%;3( i punem condiia = %)( 2% uUuP din careurmeaz s determinm capetele %u i 2u ale intervalului de ncredere. Dezult succesiv

=

+

2

%

22

%%

%

2

%

2

)%(

% u

u

N

dxN

x

N

N

N

; n integral am notat %% uu = i

22

uu = .

= %))(( 2E% umXs

NuP

X ;=

+ %%E2E uN

s

XmuN

s

XP XX


7/27

),( 2% uuL = )( %2E uuN

s X F

+

+

2

%

2

%%

%u

udx

N

xA .

&alculm derivatele pariale%u

L

;2

u

L

;

Li rezolvm sistemul

3%=

u

L

; 32=

u

L

; 3=L

. *in primele dou ecuaii obinem

3%

%

2G2%E =

++

NX

N

uA

N

s ; 3

%%

2G22E =

++

NX

N

uA

N

s .

>ste necesar ca 222

% uu = . Alegem varianta 2% uu = . "n continuare #olosim i ultima ecuaiea sistemului i obinem succesiv

=

+

2

%

2G2

%%

%u

u

N

N

xA ,

=

+

2

2

2G2

%%

%u

u

N

dxN

xA

2

%2

)%(

%N

N

N

=

+

2

2

2G2

%%

%u

u

N

dxN

x

2

%

2

)%(

2

N

N

N =

+

2

3

2G2

%%

%u

N

dxN

x

2

%2

)%(

%N

N

N =

+2

3

2G2

22

%

%%

u Ndx

N

x .

/otm cu E2 uu = valoarea care satis#ice egalitatea de mai sus. Aceast valoare este luat

din tabela lui FSa repartiiei 5tudent. neori Eu este notat )%(2G Nt sau )%;2G( Nt . -ntervalul de ncredere are #orma

+=

N

suX

N

suXmI

XXc

EE E,E)( sau

+= )%;2G(,)%;2G()( EE Nt

N

sXNt

N

sXmI XXc .

8.".).0 Intervalul de ncredere )( 2CI pentru );(9

2mNX - unde m /i 2 $untnecuno$cute.


8/27

&a de obicei, notm variabila aleatoare cu X, ea avnd repartiia normal );(9 2mNX ,cu )(XMm= i )(22 XD= necunoscute. &utm intervalul de ncredere relativ la 2 , notat

)( 2CI . Aplicm algoritmul de determinare a intervalelor de ncredere.

a) olosim o selecie Nxxx ,,, 2% asuipra lui X : );(9 2mNX sau asupra lui)%;3(9 NX . 5elecia se obine repetnd de N ori e!periena care de#inete problema

caracterizat prin variabila aleatoare X.

b) &alculm estimrile nedeplasate == N

i ix

NX

%

%i ( ) = =

N

i iX Xx

Ns

%

22

%

%.

*e#inim #uncia descresctoare2

2E2

2% )%();,,,(

s

NxxxU N = ;

( ) 3

%)%(:

22

2E

y .

"n general gra#icul densitii de probabilitate f este nesimetric i depinde #oarte mult devalorile lui Ni 2 . *ac 27N , atunci variabila );(9 NHY se apropie mult de repartiianormal i gra#icul devine simetric.

"n cazul problemei noastre avem c )%;%(9 NHU (parametrul este cu valoarea %), iardensitatea sa de probabilitate este

= 2

e!p

2

%

%

2

%)%,%;( 2G)4(

2G)%(

xx

NNxf N

N .

d) Alegem un nivel de ncredere )%;3( i punem condiia = %)( 2% uUuP dincare urmeaz s determinm capetele %u i 2u ale intervalului de ncredere.

Atragem atenia c n cazurile anterioare #uncia densitate de probabilitate era simetric i deaceea am construit o problem de e!trem condiionat, de tip minimizare. "n cazul de #a #unciaf este asimetric. 1rocedm n #elul care urmeaz.

e) 1entru )%;%(9 NHU #olosim metoda ariilor e!ale(a corzilor egale) din e!tremitateastng i cea dreapt a subgra#icului #unciei f . Ast#el punem condiiile

( )2

2%

2 = uP . 1entru o valoarea cunoscut a lui N #uncia de repartiie a

variabilei 2 este tabelat.#) *in aplicaiile numerice se recomand urmtoarele #orme ale capetelor 2%,uu :

2%;2G%

E%% == Nuu ; (unde

2% este un numr #oarte mare);

2%;2G

E22 == Nuu ; (unde

2

este un numr #oarte mic).

g) *in aceste alegeri rezult


9/27

= %)( E2E% uUuP ;

= %))%(( E22

2EE

% us

NuP

E%

2E2

E2

2E

)%()%(

u

sN

u

sNP = % ; )( 2CI =

E%

2E

E2

2E

)%(,

)%(

u

sN

u

sN.

$alorile numericeE2

E%,uu sunt luate din tabela lui

2

.

8.& Probleme re1olvate. 1roblemele rezolvate se re#er la a#larea intervalelor de ncredere, de #orma

)(mIC = +, 2% uu i )( 2CI = +, 2% uu , n cazul repartiiei normale );(9 2mNX .

*atele numerice ale problemelor au #ost luate din literatura de specialitate, de e!emplu %B+,dar au #ost rezolvate cu algoritmii i metodele prezentate n aceast monogra#ie. La uneleprobleme au #ost date dou metode de rezolvare.

8.&." Probleme re1olvate pentru )(mIC - n ca1ul m necuno$cut /i 2 cuno$cut.Problema ". %B; pag %67+. )(mIC pentru repartiie normal, cu dispersie cunoscut.

1entru o variabil aleatoare normal);(9 2mNX

sa obinut dispersiaAB,%C2 =

.Apoi, din 233 de msurtori sa obinut valoarea medie 2B=X . 1entru 37,3= , s sedetermine un interval de ncredere )(mIC relativ la valoarea medie m.

Solu'ie.5e tie c )(mIC =

+

NuX

NuX

2%;

2% sau

)(mIC =

+N

uXN

uX

E;E ;

=

2%E

uu ;

1entru claritate am notat valoarea indiciat2

%

uprin

=

2%

2%

uu .

*in datele numerice rezult succesiv2B

=X

;22BC,6=

;233

=N

; 2%E)(

= u

BC7,3E)( = u ; din tabela %unc'iei Laplace !$im BC7,3)BC7,3(

2%E uuuu ==

=

=

B@,% .-ntervalul de ncredere este )(mIC = [email protected];6%6.2A , cu probabilitatea BC7.3=P .

Lungimea intervalului de ncredere este %C2,%)( =mIC . *eci, 2B=X este o bunapro!imare a valorii medii m , deoarece +7A@3,2B;6%6,2A2B cu probabilitatea

BC7.3=P . *ac se scIimb valorile de intrare N i atunci se obine alt interval dencredere.

Problema &. %B; pag %67+. )(mIC pentru repartiie normal, cu dispersie cunoscut.Dectorul universitii vrea s tie care este media de vrst a studenilor nmatriculai nanul curent. *in anii anteriori se tie c la evaluarea mediei sa produs o abatere standard 2=ani. n sonda' asupra a 73 de studeni a artat c media de vrst este 2,24=X ani. &upesupunerea c vrsta urmeaz o repartiie normal, s se determine un interval de ncredere

)(mIC , pentru nivelul de semni#icaie 37,3= .


10/27

Solu'ie.olosim #ormula )(mIc =

+

NuX

NuX

2%;

2% .

*in datele numerice rezult succesiv 2,24=X ; 2= ; 73=N ;2

%E)(

= u

BC7,3E)( = u ; din tabela #unciei Laplace gsim

= 2%E

uu = BC7,3)BC7,3( uu = =B@,% ;

)(mIC = +C766,24;@67@,22 , adic C766,24@67@,22 m , cu probabilitateaBC7.3=P .

Lungimea intervalului de ncredere este %3AA,%)( =mIC . *eci, 2,24=X este o bunapro!imare a valorii medii m , deoarece +C766,24;@67@,222,24 cu probabilitatea

BC7.3=P . *ac se scIimb valorile de intrare N i atunci se obine alt interval dencredere.

8.&.& Probleme re1olvate pentru )(mIC - n ca1ul m necuno$cut /i 2 necuno$cut.

Problema ". %B; pag %6B+. ie X o variabil aleatoare normal );(9 2

mNX carereprezint grosimea unor plci de oel. 1arametrii 2,m sunt necunoscui.

*intro selecie de volum %3=N sa gsit 42,3=X i 3A,3E =Xs . 5 se gseasc oestimare a valorii medii a grosimii unei plci i intervalul de ncredere corespunztor unui nivelde semni#icaie B7,3 .

Solu'ie.Avem B7,3% = ; 327,32G,37,3 == .*in tabela de valori a reparti'iei Studentgsim

2@2,2)B()%( 327,32G == tNt i apoi

+= 2@2,2

%3

3A,342.3,2@2,2

%3

3A,342.3)(mIC ; [ ]4CC,3;2@4,3)( =mIC ;

%%6,30)(0 =mIC .*eci, valoarea medie a unei plci de oel varriaz ntre 3,2@4 i 3,4CC.Problem propu$.1entru a micora lungimea intervalului de ncredere, s se #oloseasc

nivelul de de semni#icaie 3,B i s se re#ac toate calculele.

8.&.) Probleme re1olvate pentru )( 2

CI - n ca1ul m necuno$cut /i 2 necuno$cut.

Problema ". %B; pag %6B+. ie X o variabil aleatoare normal );(9 2mNX cuparametrii 2,m sunt necunoscui.

*intro selecie de volum 23=N sa gsit 73,3=X i %,3E =Xs . ie 37,3= . 5 segseasc intervalul de ncredere pentru 2 i pentru .

Solu'ie.*atele de intrare sunt37,3= ; B7,3% = ; 327,32G = ; BC7.32G% = ; %B% =N .&utm )( 2CI i )(CI . *in tabela reparti'iei Hi ptrat

2

; N obinem2

%;2G%E%% == Nuu = B3C,A

2%B;BC7.3

= ; 2 %;2GE2% == Nuu = A72,42

2%B;327,3

=

)( 2CI = [ ]2%4.3;37C,3 , [ ]2%4,3;37C,3

2 ; %7A.30)(0 2 =CI

)(CI = [ ]6@%7,3;24AC,3 , [ ]6@%7,3;24AC,3 ; 222A,30)(0 =CI .


11/27

Problem propu$. 1entru a scurta lungimea intervalelor de ncredere s se #oloseascBA7,3% = i s se re#ac toare calculele.

8.) Tabele de valori. *unc'ia lui Laplace. 2eparti'ia Hi ptrat. 2eparti'ia Snedecor. 8.)." Tabel de valori cu %unc'ia lui Laplace.

1rezentm descrierea i utilizarea tabelei cu valorile #unciei lui Laplaceud

ux

x

=

2e!p

2

%)(

2

, dac Rx ; );( x , sau

udu

x x

+=

3

2

2e!p

2

%

2

%)(

, dac );3 x .

.


12/27

7333,3)33,3( = ; 7363,3)3%,3( = ; 73A3,3)32,3( = etc.A6%4,3)33,%( = ; BCC2,3)33,2( = ; BBAC,3)33,2( = etc.

Tabelul ". 3alori pentru %unc'ia lui Laplace.%B; pag %@+.8oate datele din tabel au semni#icaia de numere subunitatre 3,!!!!, cu e!cepia coloanei %

unde numerele subunitare au #orma 3,!!!. (din motiv de spaiu de scriere ).

! % 2 4 6 7 @ C B %3

3,3 3,3% 3,32 3,34 3,36 3,37 3,3@ 3,3C 3,3 3,3B 733 7363 733 7%23 7%@3 7%BB 724B 72CB 74%B 747B

3,% 74B 764 76C 77%C 777C 77B@ 7@4@ 7@C7 7C%6 C7743,2 7CB 742 7C% 7B%3 7B6 7B@ @32@ @3@6 @%34 @%6%3,4 @%C @2%C @277 @2B4 @44% 7BC @63@ @664 @63 @7%C3,6 @77 @7B% @@2 @@@6 @C33 @C4@ @CC2 @3 @66 @CB3,7 @B% @B73 @B7 C3%B C376 C3 C%24 C%7C C%3B C226

3,@ C27 C2B% C426 C47C C4B C622 C676 C6@ C7%C C76B3,C C7 C@%% C@62 C@C4 CC34 CC46 CC@6 CCB6 C24 C723, C CB%3 CB43 CB@C CBB7 324 37% 3C %3@ %443.B %7 %@ 2%2 24 2@6 2B 4%7 463 4@7 4B%,3 6% 64 6@% 67 73 74% 776 7CC 7BB @2%

%,% @6 @@7 @@ C3 C2B C6B CC3 CCB CB3 %3%.2 6 @B B3C B27 B66 B@2 B3 BBC B3%7%,4 B34 B36B B3@@ B32 B3BB B%%7 B%4% B%6C B%@2 B%CC%,6 B%B B23C B222 B24@ B27% B2@7 B2CB B2B2 B43@ B4%B%,7 B44 B467 B47C B4C3 B42 B4B6 B63@ B6% B62B B66%

%,@ B67 B6@4 B6C6 B66 B6B7 B737 B7%7 B727 B747 B767%,C B77 B7@6 B7C4 B72 B7B% B7BB B@3 B@%@ B@27 B@44%, B@6 B@6B B@76 B@@6 B@C% B@C B@@ B@B4 B@BB BC3@%,B BC% BC%B BC2@ BC42 BC4 BC66 BC73 BC7@ BC@% BC@C2,3 BCC BCC BC4 BC BCB4 BCB B34 B3 B%2 B%C

2,% B2 B2@ B43 B46 B4 B62 B6@ B73 B76 B7C2,2 B@ B@6 BB@ BC% BC7 BC B% B6 BC BB3

2,4 BB BB@ BB BB3% BB36 BB3@ BB3B BB%% BB%4 BB%@2,6 BB% BB23 BB22 BB27 BB2C BB2B BB4% BB42 BB46 BB4@2,7 BB4 BB63 BB6% BB64 BB67 BB6@ BB6 BB6B BB7% BB72

2,@ BB7 BB77 BB7@ BB7C BB7B BB@3 BB@% BB@2 BB@4 BB@62,C BB@ BB@@ BB@C BB@ BB@B BBC3 BBC% BBC2 BBC4 BBC62, BBC BBC7 BBC@ BBCC BBCC BBC BBCB BBCB BB3 BB%2,B BB BB2 BB2 BB4 BB6 BB6 BB7 BB4 BB@ BB@


13/27

4,3 BBB B3B3 BBB4 BBB7 BBBC BBBC BBB BBBB BBBB %,333

igura %. Departiia normal )%;3(N . *ensitatea de repartiie. 8abel de valori.


14/27

8.).& Tabel de valori cu reparti'ia Hi ptrat.


15/27

Departiia Ki ptrat (cIisuared) are #orma

=);(nxf

xX ; 3x , unde ENn reprezint

numrul gradelor de libertate, iar

);( nxf =

2

%)2G(

2G 2e!p

)2G(2

%

xx

n

n

n ; 3> ; 3>n .

1arametrul n este parametrul de #orm, deoarece #orma gra#icului lui )(xf depinde #oartemult de acest parametru. neori numrul gradelor de libertate este notat prin (niu).

$aloarea medie 2)( nXM = ; dispersia 62 2)( nXD = .*ac toate variabilele aleatoare iX sunt normale, de tip )%,3(N , atunci

( ) == ni iXX % 2 i );( nxf =

2e!p

)2G(2

% %)2G(2G

xxn

nn ; 3>n .

uncia de repartiie );( nxF are e!presia e!primat prin #uncii neelementare.&azul particular 2=n se #olosete n unele aplicaii. Atunci rezult

)2;(xf =

2e!p

)%(2

% x; %)%( = ;

=

2e!p%)2;(

xxF ; 3x .

igura 2. Hra#icul densitii de probabilitate pentru Ki ptrat i aria 1.

Chi-squared distribution table

se numete probabilitate cumulativ."n aplicaii numrul de grade de libertate n i valoarea Pa probabilitii sunt date. 5e caut

valoarea corespunztoare a uantilei 32 > , pentru care se realizeaz valoarea P. $aloarea


16/27

2 este luat din tabele. 1entru a avea toat in#ormaia ataat lui 2 , aceast valoare se

noteaz prin nP;2 , sau );(22 nP = . $alorile lui nse citesc pe vertical, iar valorile

probabilitii Pse citesc pe orizontal.

Tabelul &. 3alori critice pentru reparti'ia Hi ptrat.

P

n 0.995 0.975 0.20 0.10 0.05 0.025 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001

1 0.000039 3 0 .0 009 82 1 .642 2. 70 6 3.841 5. 02 4 5.412 6. 635 7.879 9. 550 10.828

2 0. 0100 0. 0506 3.219 4. 60 5 5.991 7. 37 8 7.824 9. 210 10.597 12 .429 13.816

3 0. 0717 0.216 4.642 6. 25 1 7.815 9. 34 8 9.837 11.345 12.838 14 .796 16.266

4 0.207 0.484 5.989 7. 77 9 9.488 11.143 11.668 1 3.277 1 4.860 16 .924 1 8.467

5 0.412 0.831 7.289 9.236 11.070 12.833 13.388 15.086 16.750 18.907 20.515

6 0.676 1.237 8.558 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.548 20.791 22.458

7 0.989 1.690 9.803 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.278 22.601 24.322

8 1.344 2.180 11.030 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.955 24.352 26.124

9 1.735 2.700 12.242 14.684 16.919 19.023 19.679 21.666 23.589 26.056 27.877

10 2.156 3.247 13.442 15.987 18.307 20.483 21.161 23.209 25.188 27.722 29.588

11 2.603 3.816 14.631 17.275 19.675 21.920 22.618 24.725 26.757 29.354 31.264

12 3.074 4.404 15.812 18.549 21.026 23.337 24.054 26.217 28.300 30.957 32.909

13 3.565 5.009 16.985 19.812 22.362 24.736 25.472 27.688 29.819 32.535 34.528

14 4.075 5.629 18.151 21.064 23.685 26.119 26.873 29.141 31.319 34.091 36.123

15 4.601 6.262 19.311 22.307 24.996 27.488 28.259 30.578 32.801 35.628 37.697

16 5.142 6.908 20.465 23.542 26.296 28.845 29.633 32.000 34.267 37.146 39.252

17 5.697 7.564 21.615 24.769 27.587 30.191 30.995 33.409 35.718 38.648 40.790

18 6.265 8.231 22.760 25.989 28.869 31.526 32.346 34.805 37.156 40.136 42.312

19 6.844 8.907 23.900 27.204 30.144 32.852 33.687 36.191 38.582 41.610 43.820

20 7.434 9.591 25.038 28.412 31.410 34.170 35.020 37.566 39.997 43.072 45.315

21 8.034 10.283 26.171 29.615 32.671 35.479 36.343 38.932 41.401 44.522 46.797


17/27

22 8.643 10.982 27.301 30.813 33.924 36.781 37.659 40.289 42.796 45.962 48.268

23 9.260 11.689 28.429 32.007 35.172 38.076 38.968 41.638 44.181 47.391 49.728

24 9.886 12.401 29.553 33.196 36.415 39.364 40.270 42.980 45.559 48.812 51.179

25 10.520 13.120 30.675 34.382 37.652 40.646 41.566 44.314 46.928 50.223 52.620

26 11.160 13.844 31.795 35.563 38.885 41.923 42.856 45.642 48.290 51.627 54.052

27 11.808 14.573 32.912 36.741 40.113 43.195 44.140 46.963 49.645 53.023 55.476

28 12.461 15.308 34.027 37.916 41.337 44.461 45.419 48.278 50.993 54.411 56.892

29 13.121 16.047 35.139 39.087 42.557 45.722 46.693 49.588 52.336 55.792 58.301

30 13.787 16.791 36.250 40.256 43.773 46.979 47.962 50.892 53.672 57.167 59.703

31 14.458 17.539 37.359 41.422 44.985 48.232 49.226 52.191 55.003 58.536 61.098

32 15.134 18.291 38.466 42.585 46.194 49.480 50.487 53.486 56.328 59.899 62.487

33 15.815 19.047 39.572 43.745 47.400 50.725 51.743 54.776 57.648 61.256 63.870

34 16.501 19.806 40.676 44.903 48.602 51.966 52.995 56.061 58.964 62.608 65.247

35 17.192 20.569 41.778 46.059 49.802 53.203 54.244 57.342 60.275 63.955 66.619

36 17.887 21.336 42.879 47.212 50.998 54.437 55.489 58.619 61.581 65.296 67.985

37 18.586 22.106 43.978 48.363 52.192 55.668 56.730 59.893 62.883 66.633 69.346

38 19.289 22.878 45.076 49.513 53.384 56.896 57.969 61.162 64.181 67.966 70.703

39 19.996 23.654 46.173 50.660 54.572 58.120 59.204 62.428 65.476 69.294 72.055

40 20.707 24.433 47.269 51.805 55.758 59.342 60.436 63.691 66.766 70.618 73.402

41 21.421 25.215 48.363 52.949 56.942 60.561 61.665 64.950 68.053 71.938 74.745

42 22.138 25.999 49.456 54.090 58.124 61.777 62.892 66.206 69.336 73.254 76.084

43 22.859 26.785 50.548 55.230 59.304 62.990 64.116 67.459 70.616 74.566 77.419

44 23.584 27.575 51.639 56.369 60.481 64.201 65.337 68.710 71.893 75.874 78.750

45 24.311 28.366 52.729 57.505 61.656 65.410 66.555 69.957 73.166 77.179 80.077

46 25.041 29.160 53.818 58.641 62.830 66.617 67.771 71.201 74.437 78.481 81.400

47 25.775 29.956 54.906 59.774 64.001 67.821 68.985 72.443 75.704 79.780 82.720

48 26.511 30.755 55.993 60.907 65.171 69.023 70.197 73.683 76.969 81.075 84.037


18/27

49 27.249 31.555 57.079 62.038 66.339 70.222 71.406 74.919 78.231 82.367 85.351

50 27.991 32.357 58.164 63.167 67.505 71.420 72.613 76.154 79.490 83.657 86.661

51 28.735 33.162 59.248 64.295 68.669 72.616 73.818 77.386 80.747 84.943 87.968

52 29.481 33.968 60.332 65.422 69.832 73.810 75.021 78.616 82.001 86.227 89.272

53 30.230 34.776 61.414 66.548 70.993 75.002 76.223 79.843 83.253 87.507 90.573

54 30.981 35.586 62.496 67.673 72.153 76.192 77.422 81.069 84.502 88.786 91.872

55 31.735 36.398 63.577 68.796 73.311 77.380 78.619 82.292 85.749 90.061 93.168

56 32.490 37.212 64.658 69.919 74.468 78.567 79.815 83.513 86.994 91.335 94.461

57 33.248 38.027 65.737 71.040 75.624 79.752 81.009 84.733 88.236 92.605 95.751

58 34.008 38.844 66.816 72.160 76.778 80.936 82.201 85.950 89.477 93.874 97.039

59 34.770 39.662 67.894 73.279 77.931 82.117 83.391 87.166 90.715 95.140 98.324

60 35.534 40.482 68.972 74.397 79.082 83.298 84.580 88.379 91.952 96.404 99.607

61 36.301 41.303 70.049 75.514 80.232 84.476 85.767 89.591 93.186 97.665 100.888

62 37.068 42.126 71.125 76.630 81.381 85.654 86.953 90.802 94.419 98.925 102.166

63 37.838 42.950 72.201 77.745 82.529 86.830 88.137 92.010 95.649 100.182 103.442

64 38.610 43.776 73.276 78.860 83.675 88.004 89.320 93.217 96.878 101.437 104.716

65 39.383 44.603 74.351 79.973 84.821 89.177 90.501 94.422 98.105 102.691 105.988

66 40.158 45.431 75.424 81.085 85.965 90.349 91.681 95.626 99.330 103.942 107.258

67 40.935 46.261 76.498 82.197 87.108 91.519 92.860 96.828 100.554105.192 108.526

68 41.713 47.092 77.571 83.308 88.250 92.689 94.037 98.028 101.776106.440 109.791

69 42.494 47.924 78.643 84.418 89.391 93.856 95.213 99.228 102.996107.685 111.055

70 43.275 48.758 79.715 85.527 90.531 95.023 96.388 100.425 104.215108.929 112.317

71 44.058 49.592 80.786 86.635 91.670 96.189 97.561 101.621 105.432 110.172 113.577

72 44.843 50.428 81.857 87.743 92.808 97.353 98.733 102.816106.648 111.412 114.835

73 45.629 51.265 82.927 88.850 93.945 98.516 99.904 104.010 107.862 112.651 116.092

74 46.417 52.103 83.997 89.956 95.081 99.678 101.074105.202109.074 113.889 117.346

75 47.206 52.942 85.066 91.061 96.217 100.839 102.243106.393 110.286 115.125 118.599


19/27

76 47.997 53.782 86.135 92.166 97.351 101.999 103.410107.583 111.495 116.359 119.850

77 48.788 54.623 87.203 93.270 98.484 103.158 104.576108.771 112.704 117.591 121.100

78 49.582 55.466 88.271 94.374 99.617 104.316 105.742109.958 113.911 118.823 122.348

79 50.376 56.309 89.338 95.476 100.749 105.473 106.906 111.144 115.117 120.052 123.594

80 51.172 57.153 90.405 96.578 101.879 106.629 108.069 112.329 116.321 121.280 124.839

81 51.969 57.998 91.472 97.680 103.010 107.783 109.232 113.512 117.524 122.507 126.083

82 52.767 58.845 92.538 98.780 104.139 108.937 110.393 114.695 118.726 123.733 127.324

83 53.567 59.692 93.604 99.880 105.267 110.090 111.553 115.876 119.927 124.957 128.565

84 54.368 60.540 94.669 100.980 106.395 111.242 112.712 117.057 121.126126.179 129.804

85 55.170 61.389 95.734 102.079 107.522 112.393 113.871 118.236 122.325127.401 131.041

86 55.973 62.239 96.799 103.177 108.648 113.544 115.028 119.414 123.522128.621 132.277

87 56.777 63.089 97.863 104.275 109.773 114.693 116.184 120.591 124.718129.840 133.512

88 57.582 63.941 98.927 105.372 110.898 115.841 117.340 121.767 125.913131.057 134.745

89 58.389 64.793 99.991 106.469 112.022 116.989 118.495 122.942 127.106132.273 135.978

90 59.196 65.647 101.054 107.565 113.145 118.136 119.648 124.116 128.299133.489 137.208

91 60.005 66.501 102.117 108.661 114.268 119.282 120.801125.289 129.491134.702 138.438

92 60.815 67.356 103.179 109.756 115.390 120.427 121.954126.462 130.681135.915 139.666

93 61.625 68.211 104.241 110.850 116.511 121.571 123.105127.633 131.871137.127 140.893

94 62.437 69.068 105.303 111.944 117.632 122.715 124.255128.803 133.059138.337 142.119

95 63.250 69.925 106.364 113.038 118.752 123.858 125.405129.973 134.247139.546 143.344

96 64.063 70.783 107.425 114.131 119.871 125.000 126.554131.141 135.433140.755 144.567

97 64.878 71.642 108.486 115.223 120.990 126.141 127.702132.309 136.619141.962 145.789

98 65.694 72.501 109.547 116.315 122.108 127.282 128.849133.476 137.803143.168 147.010

99 66.510 73.361 110.607 117.407 123.225 128.422 129.996134.642 138.987144.373 148.230

100 67.328 74.222 111.667 118.498 124.342 129.561 131.142135.807 140.169145.577 149.449

n=d# (degrees o# #reedom; grade de libertate).


20/27

1entru n=%, aria subgra#icului este 3,BBB dac uantila este !=%3,21entru n=2, aria subgra#icului este 3,BBB dac uantila este !=%4,%@1entru n=4, aria subgra#icului este 3,BBB dac uantila este !=%,6@C etc

8.).) Tabel de valori cu reparti'ia Student $au reparti'ia t.


21/27

Departiia are #orma

=)(xf

xX ; Rx ; ENn reprezint numrul gradelor de libertate;

)(xf =

+

+

+

2%

M%2

%

)2G(

%% 2

n

n

xn

nn(semni#icaie: )M !a!a = , sau ecIivalent

)(xf =

+

+

2

%M%

2,

2

%

%% 2 n

n

x

n"

; =

2

%.

Hra#icul lui )(xf este simetric i are #orm de clopot. *ac ncrete, atunci gra#icul tinde ctrerepartiia normal.

uncia de repartiie (numit i %unc'ia cumulativ a probabilit'ilor) are de#iniia teoretic

)(xF = x

uduf )( ; Rx . $alorile acestei #uncii sunt tabelate pentru di#erite grade de

libertate.

$aloarea medie 3)( =XM ; dispersia2

)(2

=n

nXD , pentru 4n .

Departiia 5tudent se introduce cu a'utorul a dou variabile aleatoare independente X i Y,unde Xare repartiie normal )%,3(N , iar Y are repartiie Ki ptrat cu ngrade de libertate.

Atunci variabilanY

Xt

G= are repartiia 5tudent.


22/27

)( A#P


23/27

igura 6. Departiia 5tudent. uncia de repartiie )(xF .

De$crierea tabelului ). "n prima coloan sunt trecute gradele de libertate n=%, n=2 etc.
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Student_t_cdf.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Student_t_pdf.svg


24/27

1rimul rnd conine probabilitile pentru 8estul nilateral 8e (one $ided), cu > .Al doilea rnd conine probabilitile pentru 8estul Oilateral 8eO (t4o $ided), cu < .


25/27

10 0.70

0

0.87

9

1.09

3

1.37

2

1.81

2

2.22

8

2.76

4

3.16

9 3.581

4.14

4 4.587

11 0.69

7

0.87

6

1.08

8

1.36

3

1.79

6

2.20

1

2.71

8

3.10

6 3.497

4.02

5 4.437

12 0.69

5

0.87

3

1.08

3

1.35

6

1.78

2

2.17

9

2.68

1

3.05

5 3.428

3.93

0 4.318

13 0.69

4

0.87

0

1.07

9

1.35

0

1.77

1

2.16

0

2.65

0

3.01

2 3.372

3.85

2 4.221

14 0.69

2

0.86

8

1.07

6

1.34

5

1.76

1

2.14

5

2.62

4

2.97

7 3.326

3.78

7 4.140

15 0.69

1

0.86

6

1.07

4

1.34

1

1.75

3

2.13

1

2.60

2

2.94

7 3.286

3.73

3 4.073

16 0.69

0

0.86

5

1.07

1

1.33

7

1.74

6

2.12

0

2.58

3

2.92

1 3.252

3.68

6 4.015

17 0.68

9

0.86

3

1.06

9

1.33

3

1.74

0

2.11

0

2.56

7

2.89

8 3.222

3.64

6 3.965

18 0.68

8

0.86

2

1.06

7

1.33

0

1.73

4

2.10

1

2.55

2

2.87

8 3.197

3.61

0 3.922

19 0.68

8

0.86

1

1.06

6

1.32

8

1.72

9

2.09

3

2.53

9

2.86

1 3.174

3.57

9 3.883

20 0.68

7

0.86

0

1.06

4

1.32

5

1.72

5

2.08

6

2.52

8

2.84

5 3.153

3.55

2 3.850

21 0.68

6

0.85

9

1.06

3

1.32

3

1.72

1

2.08

0

2.51

8

2.83

1 3.135

3.52

7 3.819

22 0.68

6

0.85

8

1.06

1

1.32

1

1.71

7

2.07

4

2.50

8

2.81

9 3.119

3.50

5 3.792

23 0.68

5

0.85

8

1.06

0

1.31

9

1.71

4

2.06

9

2.50

0

2.80

7 3.104

3.48

5 3.767

24 0.68

5

0.85

7

1.05

9

1.31

8

1.71

1

2.06

4

2.49

2

2.79

7 3.091

3.46

7 3.745

25 0.68

4

0.85

6

1.05

8

1.31

6

1.70

8

2.06

0

2.48

5

2.78

7 3.078

3.45

0 3.725

26 0.68 0.85 1.05 1.31 1.70 2.05 2.47 2.77 3.067 3.43 3.707


26/27

4 6 8 5 6 6 9 9 5

27 0.68

4

0.85

5

1.05

7

1.31

4

1.70

3

2.05

2

2.47

3

2.77

1 3.057

3.42

1 3.690

28

0.68

3

0.85

5

1.05

6

1.31

3

1.70

1

2.04

8

2.46

7

2.76

3 3.047

3.40

8 3.674

29 0.68

3

0.85

4

1.05

5

1.31

1

1.69

9

2.04

5

2.46

2

2.75

6 3.038

3.39

6 3.659

30 0.68

3

0.85

4

1.05

5

1.31

0

1.69

7

2.04

2

2.45

7

2.75

0 3.030

3.38

5 3.646

40 0.68

1

0.85

1

1.05

0

1.30

3

1.68

4

2.02

1

2.42

3

2.70

4 2.971

3.30

7 3.551

50

0.67

9

0.84

9

1.04

7

1.29

9

1.67

6

2.00

9

2.40

3

2.67

8 2.937

3.26

1 3.496

60 0.67

9

0.84

8

1.04

5

1.29

6

1.67

1

2.00

0

2.39

0

2.66

0 2.915

3.23

2 3.460

80 0.67

8

0.84

6

1.04

3

1.29

2

1.66

4

1.99

0

2.37

4

2.63

9 2.887

3.19

5 3.416

100 0.67

7

0.84

5

1.04

2

1.29

0

1.66

0

1.98

4

2.36

4

2.62

6 2.871

3.17

4 3.390

120 0.677

0.845

1.041

1.289

1.658

1.980

2.358

2.617

2.860 3.160

3.373

0.67

4

0.84

2

1.03

6

1.28

2

1.64

5

1.96

0

2.32

6

2.57

6 2.807

3.09

0 3.291

8.).0 Tabel de valori pentru %unc'ia lui olmo!orov.8abelul de mai 'os se #olosete la testul de concordan al lui Polmogorov. Acest test nu

#olosete grade de libertate.*unc'ia lui olmo!orovare #orma %B; pag %@7+

)(c$

=)2(e!p)%(2%

22

%

%c

=

, unde c este variabil real independent.uncia lui Polmogorov provine din repartiia Polmogorov Q%3;)(Rsup = tt"$ ,

care este legat miscarea OroSnian, iar

)( c$P = )2(e!p)%(2% 22%%

c

= .

5cua'ia lui olmo!orovare #orma

)(c$ = % sau )2(e!p)%( 22%

% c

= = 2

( ceste necunoscuta ecuaiei).


27/27

"n aplicaiile statistice 3> este valoare real cunoscut, la dispoziia utilizatorului ireprezint nivelul de semni#icaie la veri#icarea ipotezelor statistice.

*in ecuaia lui Polmogorov se obine soluia )( cc = sau, mai simplu )(cc= .$aloarea lui )(cc= se a#l calculat n tabelul 6.

Tabelul 0. 3alori pentru ecua'ia lui olmo!orov.probabilitatea 3,73 3,%3 3,37 3,327 3,3% 3,33%probabilitatea 73N %3N 7N 2,7N %N 3,%N

)(c 3,2 %,226 %,47 %,6 %,@2C %,B73

*e e!emplu @2C,%)3%,3( =c .

Capitolul 8 Determinarea Intervalelor de Incredere Word NP

Documents

Transcript of Capitolul 8 Determinarea Intervalelor de Incredere Word NP