Capitolul 4 REACȚIUNILE NORMALE ALE CĂII DE RULARE ASUPRA ROȚILOR AUTOVEHICULELOR

4.1 REACȚIUNILE NORMALE ÎN PLAN LONGITUDINAL

4.1.1 Autovehicule cu două punți

Determinarea reacțiunilor normale ale căii de rulare asupra roților autovehiculelor este necesară pentru:

Stabilirea condițiilor limită de înaintare definite prin aderențăo Analiza performanțelor de accelerare și frânareo Analiza posibilității de urcare a unor rampeo Analiza capacității de dezvoltare a unei forțe de tracțiune

Studiul stabilității autovehiculelor Proiectarea punților, suspensiei și sistemului de frânare

Se consideră cazul autovehiculului cu două punți, care se deplasează rectiliniu, cu viteză variabilă, pe direcția de cea mai mare pantă a unui drum perfect plan având înclinarea ∝p față de orizontală; viteza vântului Vv = 0 km/h.

Forțele și momentele care acționează asupra autovehiculului sunt de 3 tipuri: direct aplicate : greutatea autovehiculului (Ga), rezistența aerului (Ra) și

forța aerodinamică de portanță (Faz); de legătură cu calea de rulare : reacțiunile normale (Z1, Z2), reacțiunile

tangențiale longitudinale (Fx1, Fx2) și rezistențele la rulare (Rrul1, Rrul2); de inerție : forța de inerție a autovehiculului în mișcare de translație (Rdt) și

momentele generate de inerția roților și altor piese în mișcare de rotație:

Rdt=G a

g∙dvdt

; M i1+M i2=( nr ∙ J r

rr2 +

Jma ∙isv2 ∙ i0

2

rr2 ∙ ηt

±1)∙ dvdt . (4.1)

Unde nr reprezintă numărul roților automobilului.

Ipoteze:

se consideră că acționează forțe de tracțiune sau de frânare la toate roțile; autovehiculul este un rigid, neglijându-se oscilațiile determinate de

suspensie; razele de rulare sunt aceleași pentru toate roțile; toate roțile au același moment de ierție masic Jr; coeficienții de rezistență la rulare sunt aceiași pentru toate roțile; metacentrul (Ca) se află pe normala la sol cu centrul de greutate, la

înălțimea ha; se consideră încărcarea autovehiculului simetrică față de planul

longitudinal de simetrie al autovehiculului; nu se manifestă forțe transversale; se neglijează efectul momentului motor asupra reacțiunilor normale.

Rdt

a V

CgGa sinαp

Ga cosαp

Z1

Z2 Ga αp

L

b

CaRa

Faz

Fx2

Fx1 Rrul1

Rrul2

hahg

A

B

Mi 1

Mi 2

Determinarea reacțiunii Z 1 (∑M )B=0 :Z1 L−Ga ∙cosα p ∙ b+G a∙ sinα p∙ hg+Rdt ∙hg+Ra ∙ ha+Faz ∙ b+M i1+M i2=0 ;

(4.2)Ținând seama de relațiile (4.1), rezultă:

Z1=bL∙Ga ∙cos α p−

hgL∙Ga ∙sin α p−

hg

L∙Ga

g∙dvdt

−haL∙ Ra−

bL∙ Faz−¿

−1L

∙( nr ∙ J r

rr+Jma ∙isv

2 ∙i02

rr2 ∙ ηt

±1)∙ dvdt . (4.3)

Determinarea reacțiunii Z 2 (∑M )A=0:−Z2 ∙ L+G a∙cosα p ∙a+Ga ∙ sinα p ∙ hg+Rdt ∙ hg+Ra ∙ ha−Faz ∙ a+M i1+M i2=0;

(4.4)Ținând seama de relațiile (4.1), rezultă:

Z2=aL∙Ga ∙cos α p+

hg

L∙Ga ∙ sinα p+

hgL∙Ga

g∙dvdt

+ha

L∙ Ra−

aL∙ Faz+¿

+1L

∙( nr ∙ J r

rr+Jma ∙isv

2 ∙i02

rr2 ∙ ηt

±1)∙ dvdt . (4.5)

Deoarece Faz și 1L∙( nr ∙ J r

rr+Jma ∙isv

2 ∙ i02

r r2 ∙ ηt

±1)∙ dvdt au valori mult mai mici decât ceilalți

termeni din relațiile (4.3) și (4.5), ei se pot neglija, astfel încât aceste relații devin:

Z1=bL∙Ga ∙cos α p−

hg

L∙Ga ∙sin α p−

hg

L∙Ga

g∙dvdt

−ha

L∙0,00472 ∙C x ∙ A ∙V x

2 (4.6)

Z2=aL∙Ga ∙cos α p+

hg

L∙Ga ∙ sinα p+

hg

L∙Ga

g∙dvdt

+ha

L∙0,00472∙C x ∙ A ∙V x

2 (4.7)

Factori de influență: Construcția autovehiculului:

greutatea Ga, ampatamentul L, poziția centrului de greutate (a, b, hg),

parametrii aerodinamici (C x, ha, A); Drumul:

unghiul pantei (α p); Regimul de mișcare:

viteza Vx, accelerația dvdt

.

Expresiile (4.6) și (4.7) sunt valabile atât pentru cazul în care FX1 și FX2 sunt forțe de tracțiune, cât și pentru cazul în care sunt forțe de frânare.

Când autovehiculul se află imobilizat pe pantă, reacțiunile normale devin:

Z1 s=( bL ∙cosα p−hg

L∙ sinα p) ∙Ga; (4.8)

Z2 s=( aL ∙cosα p+hg

L∙sinα p)∙Ga. (4.9)

Când autovehiculul se află imobilizat pe drum orizontal,

Z1 so=bL∙Ga=G1, Z2 so=

aL∙Ga=G 2. (4.10)

Se definesc coeficienții de încărcare dinamică:

m1=Z1Z1 so

=Z1G 1

=Z1

bL∙Ga

, m2=Z2Z2 so

=Z2G2

=Z2

aL∙G a

(4.11)

Reacțiunile tangențiale ale solului FX1 și FX2 sunt limitate de aderență, astfel încât reacțiunile normale la punți sunt și ele limitate.

Echilibrul forțelor pe direcția deplasării autovehiculului:

Fx1+Fx2=Ga ∙sinα p+¿G a

g∙dvdt

+Ra+Rrul 1+R rul2 ¿. (4.12)

Deoarece, la viteze mai mari de 60km/h, Rrul 1și Rrul 2 sunt mult mai mici decât celelalte forțe care intră în ecuație (inclusiv Ra ¿, ele pot fi neglijate, ecuația (4.12) devenind:

Fx1+Fx2=Ga ∙sinα p+¿G a

g∙dvdt

+Ra ¿. (4.13)

De aici rezultă:

Ga ∙sin α p+¿Ga

g∙dvdt

=F x1+Fx 2−Ra ¿. (4.14)

Relațiile (4.6) și (4.7) pot fi scrise și sub forma:

Z1=bL∙Ga ∙cos α p−

hgL∙(Ga ∙ sinα p+

G a

g∙dvdt )−ha

L∙Ra, (4.6’)

Z2=aL∙Ga ∙cos α p+

hg

L∙(Ga∙ sinα p+

Ga

g∙dvdt )+ ha

L∙ Ra. (4.7’)

Introducând în aceste ultime relații pe (4.14), rezultă:

Z1=bL∙Ga ∙cos α p−

hg

L∙ (Fx 1+Fx 2−Ra )−

ha

L∙Ra, respectiv (4.15)

Z2=aL∙Ga ∙cos α p+

hg

L∙ (Fx 1+F x2−Ra )+

ha

L∙ Ra. (4.16)

Sau: Z1=bL∙Ga ∙cos α p−

hg

L∙ (Fx 1+Fx 2)−

ha−hg

L∙ Ra, (4.15’)

Z2=aL∙Ga ∙cos α p+

hg

L∙ (Fx 1+F x2 )+

ha−hgL

∙Ra. (4.16’)

Dacă ξ1 și ξ2 sunt forțele tangențiale specifice la roțile punții față, respectiv spate, atunci: Fx1 = ξ1 ∙ Z1 și, respectiv Fx2 = ξ2 ∙ Z2.

(4.17) Înlocuind pe Fx1 și Fx2 în relațiile (4.15’) și (4.16’), rezultă:

(1+ hg

L∙ ξ1)∙ Z1+ hg

L∙ ξ2 ∙ Z2=

bL∙Ga ∙cosα p−

ha−hgL

∙Ra (4.18)

−hg

L∙ξ1 ∙ Z1+(1−hg

L∙ξ2) ∙ Z2=a

L∙Ga ∙cosα p+

ha−hg

L∙ Ra

Soluțiile sistemului sunt:

Z1=

bL∙G a ∙cos α p−

hg

L∙ ξ2 ∙Ga ∙cos α p−

ha−hg

L∙Ra

1+hg

L∙ (ξ1−ξ2 )

,

(4.19)

Z2=

aL∙Ga ∙cos α p+

hg

L∙ξ1 ∙Ga ∙cosα p+

ha−hg

L∙ Ra

1+hg

L∙ (ξ1−ξ2 )

.

(4.20)

Forțele tangențiale specifice sunt limitate de valoarea coeficientului de aderență:- φx ≤ ξ1 ≤ + φx și - φx ≤ ξ2 ≤ + φx (4.21)

17.11.2010a) Autovehicul cu puntea motoare în spate

Roțile punții față sunt conduse. Se neglijează componenta tangențială aferentă inerției (Fi1 ≅ 0). Forța tangențială specifică la această punte este

ξ1 = - f, (4.22)

La roțile motoare de la puntea spate forța tangențială specifică este pozitivă (este o forță de propulsie – vezi subcapitolul 1.4.1 „Autopropulsarea autovehiculelor pe roţi”). Valoarea ei maximă este limitată de valoarea coeficientului de aderență longitudinală

φx=Fx 2max

Z r2

=ξ2max (4.23)

Reacțiunile normale (4.19) și (4.20) devin la limita de aderență:

Z1φ=( bL – φx ∙

hg

L ) ∙G a ∙cos α p−ha−hg

L∙Ra

1−hg

L∙ (f +φx)

(4.24)

Z2φ=( aL – f ∙

hg

L ) ∙G a ∙cosα p+ha−hg

L∙ Ra

1−hgL∙ ( f +φx )

(4.25)

Deoarece

ha−hg

L∙ Ra≪

bL∙Ga ∙cos α p,

ha−hg

L∙ Ra≪

aL∙Ga ∙cos α p, (4.26)

f ∙hgL

≪ aL

și (4.27)

f ≪φx pentru drumurile obișnuite, la limita de aderență, (4.28)expresiile (4.24) și (4.25) se pot scrie sub forma:

Z1φ=

bL– φx ∙

hg

L

1−φx ∙hg

L

∙Ga ∙cos α p, (4.29)

Z2φ=

aL

1−φx ∙hg

L

∙Ga ∙cosα p (4.30)

La limita de aderență, coeficienții de încărcare dinamică, definiți de relațiile (4.11)

devin:

m1φ=Z1φbL∙Ga

=

( bL – φx ∙hgL )

1−φx ∙hg

L

∙Ga ∙cosα p

bL∙Ga

=1−φx ∙

hg

b

1−φx ∙hg

L

∙cosα p

; (4.31)

m2φ=Z2φaL∙Ga

=

aL

1−φx ∙hg

L

∙Ga ∙cosα p

aL∙Ga

= 1

1−φx ∙hg

L

∙cos α p

(4.32)

Din relațiile (4.31) și (4.32) rezultă că m1φ < 1 deoarece hg

b>hgL

și m2φ > 1 deoarece

1−φx ∙hg

L<cosα p. Ei reprezintă valorile limită pentru drumul caracterizat prin α p și φx.

Se definește forța specifică de tracțiune:

γ t=F t

G a , (4.33)

unde F t reprezintă forța de tracțiune totală (de la toate roțile motoare).În cazul punții motoare spate, valoarea maximă a forței specifice de tracțiune este:

γ t2max=F x2max

Ga

=F t2max

Ga

=φx ∙ Z2φGa

=φx ∙

aL

1−φx ∙hg

L

∙cosα p. (4.34)

Calitățile de tracțiune sunt cu atât mai bune cu cât forța specifică de tracțiune

este mai mare: din punct de vedere constructiv aL

și hg

L mai mari (centrul de greutate cât

mai în spate și cât mai sus față de cale) și din punct de vedere al interacțiunii pneului cu drumul φx mai mare (aderență cât mai bună).

Se definește forța specifică de frânare:γ f=F f

Ga , (4.35)

unde F feste forța de frânare totală (de la toate roțile frânate).Valoarea maximă a forței specifice de frânare este:

γ fmax=F fmax

Ga

=φx ∙ (Z1φ+Z2φ )

Ga

=φx

G a

∙[ ( bL – φx ∙hg

L )1−φx ∙

hg

L

+

aL

1−φx ∙hg

L] ∙Ga ∙cosα p=¿

¿φx ∙

bL– φx ∙

hg

L+ aL

1−φx ∙hg

L

∙cosα p=φx ∙cos α p . (4.36)

Valoarea maximă a forței specifice de frânare este dependentă numai de aderență (φx) și de unghiul pantei ( α p). O aderență prea mică sau o rampă prea abruptă duc la dezvoltarea unor forțe de frânare prea mici din cauza forței de aderență care se reduce odată cu modificarea celor doi parametri în sensul arătat.

Pentru evaluări orientative privind coeficienții maximi de încărcare dinamică și forța specifică maximă de tracțiune, se pot utiliza valorile din următorul tabel [1]:

Tabelul 4.1Parametrul Tipul autovehiculului Autoturism Autobuz Autocamion Tractor pe roți

aL

gol 0,45 … 0,54 0,50 … 0,65 0,46 … 0,550,61 … 0,67 încărcat 0,49 … 0,55 0,50 … 0,68 0,60 … 0,75

hg

L

gol 0,160 … 0,260 - 0,210 … 0,2680,31 … 0,40 încărcat 0,165 … 0,260 0,230 … 0,285 0,300 … 0,380

b) Autovehicul cu puntea motoare în față

În acest caz, roțile punții din spate sunt conduse, deci:ξ1=φx, (4.37)ξ2 = - f. (4.38)

Înlocuind aceste mărimi în (4.19) și (4.20) și operând aceleași neglijări ca în cazul anterior, se obțin expresiile reacțiunilor normale la limita de aderență:

Z1φ=

bL

1+φx ∙hgL

∙Ga ∙cos α p, (4.39)

Z2φ=( aL+φx ∙

hg

L )1+φx ∙

hg

L

∙Ga ∙cosα p. (4.40)

Coeficienții de încărcare dinamică la limita de aderență devin:

m1φ=1

1+φx ∙hg

L

∙cos α p , (4.41)

m2φ=1+φx ∙

hg

a

1+φx ∙hg

L

∙cos α p, (4.42)

iar forța specifică de tracțiune maximă este

γ t1max=F t1max

Ga

=φx ∙ Z1φGa

=φx ∙

bL

1+φx ∙hg

L

∙cosα p. (4.43)

Și în acest caz m1φ < 1 deoarece 1+φx ∙hgL

>cos α p și m2φ > 1 deoarece hg

a>hgL

.

Performanțele de tracțiune sunt cu atât mai bune cu cât centrul de greutate este

mai în față (bL mai mare) și cât mai jos (

hg

L mai mic).

Pentru a compara performanțele de tracțiune ale celor două soluții de amplasare

a punții motoare, se calculează raportul γ t2max

γ t1max :

γ t2max

γ t1max

=φx ∙

aL

1−φx ∙hg

L

∙cos α p ∙1+φx ∙

hg

L

φx ∙bL∙cos α p

=ab∙1+φx ∙

hgL

1−φx ∙hg

L

. (4.44)

Evident, 1+φx ∙

hg

L

1−φx ∙hgL

>1.

În privința raportului ab, din date statistice rezultă [1]:

Tabelul 4.2Autoturisme Autobuze Autocamioane cu

două punțiTotul față Clasic Totul

spateMotor față

Motor între punți

Motor spate

Cabină retrasă

Cabină avansată

ab=G2

G1

~ 1,04 ~ 1,27 ~ 1,441,07 ÷ 2,01

1,56 ÷ 2,00

1,18 ÷ 2,23

2,33÷ 2,70

1,86 ÷ 2,02

Deoarece ambii factori ai expresiei (4.44) sunt supraunitari, rezultă că γ t2max>γ t1max (4.45)

În regimul de deplasare analizat, rezistența la accelerare și rezistența la urcarea rampei care acționează în centrul de greutate și rezistența aerului care acționează în metacentru sunt orientate către puntea din spate, pe care astfel o încarcă. Forța normală fiind mai mare la puntea din spate, rezultă că și forța de propulsie limitată de aderență este mai mare.

c) Autovehicul cu ambele punți motoare (4 x 4)

În acest caz:ξ1=φx, ξ2=φx.

Procedând ca în cazurile anterioare, rezultă:

Z1φ=( bL−φx ∙hg

L ) ∙Ga cos α p, (4.45)

Z2φ=( aL+φx ∙hgL )∙Ga cosα p, (4.46)

m1φ=(1−φx ∙hgb ) ∙cosα p, (4.47)

Xr1

Xr2Rrul2

Rrul3

L

b

a

∝p

v

ha

Mi2

Ra

GaGacos∝p

CMi3

Rrul1

=

CaFaz

Fia

BD

A

m2φ=(1+φx ∙hg

a ) ∙cos α p, (4.48)

γ t 4max=φx ∙cosα p. (4.49)Pentru a compara performanțele de tracțiune ale unui autovehicul cu puntea

motoare spate cu cele ale unuia cu tracțiune integrală, se compară mărimea forțelor de tracțiune specifice:

γ t2max

γ t4max

=φx ∙

aL

1−φx ∙hg

L

∙cosα p ∙1

φx ∙cosα p

=

aL

1−φx ∙hg

L

. (4.50)

Deoarece aL<1−φx ∙

hg

L sau a

L+φx ∙

hg

L<1 pentru toate situațiile definite de valorile

parametrilor aL

și hg

L prezentate în tabelul 4.2 și pentru valorile coeficientului de

aderență longitudinală φx prezentate în tabelul 2.1, rezultă căγ t2max<γ t4max. (4.51)

Autovehiculul cu tracțiune la ambele punți folosește întreaga greutate pentru aderență, nu numai pe cea care revine unei singure punți. Deși la autovehiculele cu o singură punte motoare se poate dezvolta un moment motor mare la roată, acesta nu poate fi folosit integral deoarece aderența este relativ mică.

4.1.2 Autovehicule cu trei punți

În scopul protejării suprafeței de uzare a drumurilor, normele rutiere limitează sarcina maximă pe o punte la valori, ce diferă de la țară la țară, în general situate în jur de 10 … 11t. pentru a se încadra în aceste limite, la autovehiculele grele (autocamioane și autobuze) se folosesc trei punți, ultimele două fiind alăturate și, de regulă, motoare. Aceste punți sunt prevăzute cu arcuri semieliptice care pot oscila în jurul unei axe transversale, solidare cu cadrul (șasiul) autovehiculului, și preiau numai forțele normale. Pentru preluarea forțelor longitudinale și a momentelor de reacțiune este prevăzută câte o bară de reacțiune la fiecare roată a unei punți.

Categoriile de forțe și momente precum și ipotezele de lucru sunt același ca la autovehiculele cu două punți.

M

i1

=

CgGasin∝p

c

= =

Z23

X23

Mi3hb

ho

v

Brr

Ecuația de echilibru al momentelor față de punctul C (mijlocul distanței dintre axele punților tandem) este:

(∑M )C=0 :

Z1 ∙ L+(Z2−Z3 )∙ c2−b ∙Ga ∙cosα p+hg ∙Ga ∙ sinα p+hg∙

G a

g∙dvdt

+ha Ra+b Faz=0

(4.52)Astfel de soluții de punți motoare spate se întâlnesc la autovehiculele grele, la

care viteza de deplasare este în general relativ redusă astfel încât haRa și b Faz sunt mult mai mici decât ceilalți termeni ai ecuației și, în consecință se neglijează.

Echilibrul forțelor pe direcția longitudinală:

(∑ F )x=0 :

Xr1+Xr2+Xr3−G a∙ sinα p−Ga

g∙dvdt

−Ra−Rrul 1−Rrul2−R rul3=0

(4.53)Rezistențele la rulare fiind mult mai mici decât ceilalți termeni ai relației, se

neglijează.Echilibrul forțelor pe direcția normală la sol:

(∑ F )z=0: Z1+Z2+Z3−Ga ∙cosα p+Faz=0. (4.54)În această relație se neglijează termenul Faz.Relațiile (4.52) și (4.54) conțin 3 necunoscute (Z1, Z2, Z3), fiind deci necesară o a

treia ecuație. Aceasta rezultă din analiza echilibrului separat al punților care formează tandemul.

O

hg

Z

2

Z1

Ecuația de echilibru al momentelor în raport cu punctul O este:

(Z2−Z3 ) c2+( Xr2+Xr3 )∙ h0+(R rul2+Rrul 3 )∙ h0−(X '2+X ' 3 )∙ (hb−h0 )+M i2+M i3=0

(4.55)În această relație se neglijează rezistențele la rulare și momentele datorate

inerției pieselor în mișcare de rotație.Pentru fiecare din cele două punți, echilibrul forțelor paralele cu solul este:

Xr2∙ rr = X’2∙ (hb - rr);(4.56)Xr3∙ rr = X’3∙ (hb - rr).(4.57)

Înlocuind pe X’2 și X’3 în (4.55) și ținând seama de neglijările precizate, rezultă:

(Z2−Z3 ) ∙ c2=−( Xr1+Xr2 )∙(h0−r r ∙

hb−h0hb−r r

); (4.58)

Se notează:

h ' 0=h0−rr ∙hb−h0hb−rr

. (4.59)

Deci

(Z2−Z3 ) ∙ c2=−( X1+X2 ) ∙h ' 0. (4.60)

Având în vedere forțele tangențiale specifice, rezultăXr1 = 𝜉1∙ Z1, Xr2 = 𝜉2∙ Z2 și Xr3 = 𝜉3∙ Z3. (4.61)

Relația (4.60) devine:

Z2 ∙( c2+h' 0 ∙ ξ2)−Z3 ∙( c2+h ' 0 ∙ ξ3)=0 (4.62)

Relația (4.52), cu simplificările precizate devine:

Z1 ∙ L+(Z2−Z3 )∙ c2−b ∙Ga ∙cosα p+(G a ∙ sinα p+

Ga

g∙dvdt ) ∙hg=0, (4.63) Iar

ecuația (4.53) devine:

Xr1+Xr2+Xr3=G a∙ sinα p+Ga

g∙dvdt

. (4.64)

Introducând forțele tangențiale specifice în relațiile (4.60) și (4.64) și înlocuind expresiile astfel obținute în (4.63), rezultă ecuația:

(1+ hg

L∙ ξ1)∙ Z1+ hg−h'0

L∙ ξ2∙ Z2+

hg−h'0

L∙ ξ3∙ Z3=

bL∙Ga ∙cos α p (4.65)

M

D

Ecuațiile (4.65), (4.54) şi (4.62) formează un sistem cu trei necunoscute: Z1, Z2 şi Z3.Regim de tracţiune

ξ1 = - f şi ξ2=ξ3=φx.Relaţia (4.65) devine:

Z1φ+φx

hg−h'0L

∙(Z2φ+Z3φ)=bL∙Ga∙cos α p (4.66)

În care s-a ţinut cont că f ∙hg

L≪1, iar relalaţia (4.62) devine:

Z2φ ∙( c2 +h ' 0 ∙ φx)−Z3φ ∙( c2+h '0 ∙ φx )=0 (4.67)

Ţinând cont de (4.54) în care se neglijează rezistenţa aerului, rezultă:

Z1φ=

bL−hg−h '0

L∙φx

1−hg−h ' 0

L∙φx

∙Ga∙cos α p (4.68)

Prin intermediul relațiilor (4.66) și (4.67):

Z2φ=( 12−h ' 0c

∙φx)aL

1−hg−h '0

L∙φx

∙Ga ∙cos α p (4.69)

Z3 φ=( 12+ h '0c∙φx )

aL

1−hg−h' 0

L∙φx

∙G a ∙cos α p (4.70)

Conform (4.59), h ' 0<h0, ceea ce arată că diferența între încărcările celor două punți motoare ale tandemului este relativ mică. Dacă h0 = rr, atunci h ' 0=0, iar Z2φ=Z3φ, ceea ce este avantajos pentru punțile motoare.

25.11.094.1.3 Autovehicule cu două punți tractând o remorcă cu o punte

Se consideră un automobil tip SUV care tractează o barcă montată pe un cărucior cu o singură punte. Ce înclinare maximă poate avea panta malului pe care SUV-ul va tracta barca la scoaterea ei din apă? Se vor considera cele trei variante posibile: tracțiune pe puntea din față, pe puntea din spate, respectiv tracțiune integrală.

Se cunosc: Pentru SUV: greutatea Ga = 1225 daN, sarcina pe punți pe teren orizontal; Za1 =

525daN, Za2 = 700 daN, înălțimea centrului de greutate hga = 0,62m, înălțimea cârligului hc = 0,35m, ampatamentul L = 3,05m, consola cârligului c = 0,59m.

Pentru remorca cu barcă: greutatea Gb = 550 daN, consola cârligului d + e = 2,8m, înălțimea centrului de greutate hgb = 0,89m, deplasarea spre față a centrului de greutate în raport cu centrul roții e = 0,5m.

Coeficientul de aderență 𝜑 = 0,3.

abcde

hgbhga

GbGa

Zb Za2 Za1

hc

L

ha

hbGbsin∝

Gbcos∝Gb

Gasin∝Gacos∝

Ga Za1

Za2

Zbe

d

cb

a

L∝

Fcz

FczFcx

FcxA

B

C

hc

xX1

Pentru început se consideră cazul în care puntea față este motoare.

Pentru determinarea poziției centrului de greutate pe direcție longitudinală se consideră automobilul pe drum orizontal:

a=Za2

Ga

∙ L= 7001225

∙3,05=1,743m;

b=Za1

Ga

∙ L= 5251225

∙3,05=1,307m .

Trenul rutier pe drum înclinat

Datorită valorilor relativ reduse, se neglijează:- rezistențele la rulare;- rezistența aerului;- rezistența la accelerare.

Se separă cele două vehicule, reprezentându-se forțele de legătură (forțele Fcx și Fcz). Pentru remorcă se determină:

ecuația de echilibru al momentelor față de punctul C:

(∑M b )C=0 :Gb ∙ hb ∙ sinα−Gb ∙ e ∙ cosα+Fcz ∙ (d+e )−Fcx ∙hc=0 (4.71)și ecuația de echilibru al forțelor pe direcția paralelă cu solul:

(∑ Fb )x=0 : F cx=Gb ∙ sinα . (4.72)Înlocuind în (4.71), rezultă:

Gb ∙ hb ∙ sinα−Gb ∙ e ∙ cosα+F cz ∙ (d+e )−Gb ∙ sinα ∙hc=0 (4.71’)Deoarece se așteaptă ca unghiul pantei să fie relativ mic (mai mic de 10o), se fac

aproximările:sin∝ ≅ tg∝ și cos∝ ≅ 1. (4.73)

Din (4.71’), ținând seama de simplificările (4.73), rezultă:

F cz=1

d+e∙ (e+hc ∙tgα−hb ∙tgα ) ∙Gb . (4.74)

Pentru vehiculul tractor ecuația de echilibru al momentelor față de punctul B:

(∑M a)B=0 : Ga ∙ ha ∙ sinα−Ga ∙ b ∙c osα+Z a1 ∙ L+Fcx ∙hc+Fcz ∙ c=0. (4.75)Ținând seama de (4.72), (4.74) și de simplificările (4.73), rezultă:

Ga ∙ ha ∙ tgα−G a∙ b+Za1∙ L+Gb ∙ hc ∙tgα+ cd+e

∙ (e+hc ∙ tgα−hb ∙tgα ) ∙Gb=0

(4.76)Se împarte cu Ga și, notându-se

ζ=G b

G a, (4.77)

se obține:

ha ∙ tgα−b+ 1Ga

Za1

∙ L+ζ ∙ hc ∙ tgα+ cd+e

∙ (e+hc ∙ tgα−hb ∙ tgα )∙ ζ=0. (4.78)

Desfăcându-se paranteza, rezultă:

ha ∙ tgα−b+ LGa

∙ Za1+ζ ∙ hc ∙tgα+ c ∙ ed+e

∙ ζ+c ∙hc

d+e∙ ζ ∙ tgα−

c ∙hb

d+e∙ ζ ∙ tgα=0 , (4.79)

În această relație nu se cunoaște Za1. Acesta rezultă din condiția de aderență maximă care arată că forța maximă de tracțiune este limitată de aderență:

X1max=φ ∙Za1 (4.80)

De unde Za1=X1maxφ

. (4.81)

Dar, pentru vehiculul tractor, ecuația de echilibru al forțelor pe direcția paralelă cu solul este:

(∑ F )x=0 : Ga ∙ sinα +Gb ∙ sinα−X1max=0. (4.82)Înlocuind pe (4.82) în (4.81) și ținând seama de simplificările (4.73), rezultă:

Za1=X1maxφ

=1φ∙ (Ga+Gb ) ∙tgα . (4.83)

Se înlocuiește (4.83) în (4.79):

ha ∙ tgα−b+ LGa

∙1φ∙ (Ga+Gb )∙ tgα+ζ ∙ hc ∙ tgα+ c ∙e

d+e∙ζ+

c ∙hc

d+e∙ ζ ∙ tgα−

c ∙hb

d+e∙ ζ ∙tgα=¿0 ,

(4.85)sau, ținând seama de (4.77):

ha ∙ tgα−b+L∙1φ∙ (1+ζ ) ∙tgα+ζ ∙ hc ∙tgα+ c ∙ e

d+e∙ ζ+

c ∙hc

d+e∙ ζ ∙ tgα−

c ∙hb

d+e∙ ζ ∙ tgα=0 ,

(4.85’)De aici rezultă:

tgα [ha+Lφ∙ (1+ζ )+ζ ∙hc+

c ∙ (hc−hb )d+e

∙ ζ ]=b− c ∙ ed+e

∙ ζ (4.86)

Din această relație se exprimă tgα:

tgα=b− c ∙ e

d+e∙ ζ

ha+Lφ∙ (1+ζ )+ζ ∙ hc+

c ∙ (hc−hb )d+e

∙ ζ (4.87)

Făcând înlocuirile cu valorile din enunț, rezultă:

tgα=1,307−0,59 ∙0,5

2,8∙0,449

0,62+3,050,3

∙ (1+0,449 )+0,449 ∙0,35+0,59∙ (0,35−0,89 )

2,8∙0,449

.

tgα=¿ 0,08149, de unde ∝ = 4,66o.

Pentru cazul în care puntea spate este motoare, se scrie ecuația de echilibru al momentelor în cazul vehiculului tractor față de punctul A:

(∑M a)A=0 : Ga ∙ ha ∙ sinα '+Ga ∙a ∙ cosα '+Fcx ∙ hc+Fcz ∙(L+c)−Za2 ∙ L=0. (4.88)Pentru remorcă, situația nu se schimbă față de cazul precedent, astfel încât

relațiile (4.72) și (4.74) rămân valabile. Introducând aceste relații în (4.88) și ținând seama de aproximările (4.73), rezultă:

Ga ∙ ha ∙ tgα '+Ga ∙ a+Gb ∙ hc ∙ tgα '+L+cd+e

∙ (e+hc ∙tgα '−hb ∙ tgα ' )Gb−Za2 ∙ L=0

(4.89)Deoarece puntea motoare este cea din spate, ecuația (4.83) devine:

Za2¿X2maxφ

= 1φ∙ (G a+G b )∙ tgα ' (4.90)

Introducând (4.90) în (4.89), ținând seama de notația ζ=G b

G a și împărțind relația

(4.89) cu Ga, rezultă:

tgα '=a+ L+c

d+e∙ e ∙ ζ

Lφ∙ (1+ζ )−h

a

−ζ ∙ hc−L+cd+e

∙ (hc−hb )∙ ζ .

(4.91)Făcând înlocuirile cu valorile din enunț, rezultă:

tg α'=1,743+ 3,05+0,59

2,8∙0,5 ∙0,449

3,050,3

∙1,449−0,62−0,449∙0,35 –3,05+0,592,8

∙ (0,35−0,89 ) ∙0,449=0,1426

∝’ = 8,12o.Soluția cu puntea motoare spate mărește considerabil capacitatea de deplasare

față de prima variantă, dublând practic unghiul rampei pe care trenul rutier o poate urca.

MS2

Md

Z2 st Z2 dr

E

O

Atunci când autovehiculul tractor are tracțiune 4 X 4, ecuația de echilibru al forțelor care acționează asupra lui pe direcție normală la sol este:

Za1+Za2=Fcz+Ga ∙cosα ≅ F cz+Ga. (4.92)Pentru remorcă, situația nu se schimbă față de cazurile precedente, astfel încât

relația (4.74) rămâne valabilă. Se introduce expresia lui Fcz dată de această relație în (4.92), rezultând:

Za1+Za2=1

d+e∙ (e+hc ∙ tgα ' '−hb ∙ tgα ' ' ) ∙G b+G a . (4.93)

Condiția de realizare a propulsării la limita de aderență în cazul întregului tren rutier al cărui vehicul tractor are tracțiune 4 X 4 este:

X1max+X2max=(Za1+Za2 )∙ φ=(Ga+Gb ) ∙ sinα ' ' ≅ (G a+Gb ) ∙tgα ' ' (4.94)Ținând seama de (4.93), rezultă:

1d+e

∙ (e+hc ∙ tgα ' '−hb ∙ tgα ' ' ) ∙G b+G a=1φ∙ (Ga+Gb ) ∙ tgα ' ' , (4.95)

de unde, având în vedere notația (4.77), se determină:

tg∝ ' '=d+e (1+ζ )

(d+e ) ∙ 1+ζφ

+(hb−hc) ∙ ζ

(4.96)Făcând înlocuirile cu valorile din enunț, rezultă:

tg∝ ' '=2,3+0,5 ∙(1+0,449)

2,8 ∙1+0,4490,3

+(0,89−0,35 ) ∙0,449=0,2197.

∝’’ = 12,39o

Soluția de tracțiune 4 X 4 asigură cea mai ridicată capacitate de trecere a trenului rutier, mărind unghiul rampei ce poate fi urcată la limita de aderență cu peste 52% față de cazul tracțiunii pe puntea spate.

4.2 REACȚIUNILE NORMALE ÎN PLAN TRANSVERSAL

4.2.1 Modificarea reacțiunilor datorată momentului de intrare în transmisia principală

În cazul încărcării simetrice și a lipsei forțelor transversale, reacțiunile normale rezultă din condiția de simetrie. În acest caz însă, la deplasarea autovehiculului are loc o redistribuire a reacțiunilor normale din cauza momentului transmis prin arborele cardanic.

Z2 st

Z2 dr

Z1 dr

Z1 stMs2

Ms1

Md

Se consideră o punte motoare spate rigidă, cu diferențial normal (neblocabil).Arborele cardanic acționează asupra transmisiei principale și, implicit, asupra

diferențialului cu momentul Md, moment care se transmite punții prin intermediul carterului diferențialului. Caroseria are o mișcare de ruliu care comprimă, respectiv destinde arcurile suspensiei de pe cele două părți ale punții. Datorită elasticității suspensiei, se va produce un moment Ms2. Diferența dintre aceste două momente va fi preluată de modificarea sarcinilor distribuite roților din cele două extremități ale punții.

Astfel:Z2 st=Z2 st 0+Zm (4.97)

Z2dr=Z2dr 0−Zm , Unde Z2 st 0 și Z2dr 0 reprezintă reacțiunile normale la roata din stânga, respectiv

dreapta când autovehiculul staționează;Zm este încărcarea/descărcarea unei roți sub acțiunea momentului de

intrare în diferențial.Ecuația de echilibru al momentelor în raport cu punctul O este:

(∑M )O=0 : (Z2 st−Z2dr )∙E2

+M s2−M d=0 (4.98)

în care: E este ecartamentul; M s - momentul generat de suspensie; M d - momentul de intrare în transmisia principală.

Ținând seama de relațiile (4.97), rezultă:Zm∙ E + Ms2 – Md =0, (4.98’)

de unde:

Zm=M d−M s2

E. (4.99)

Momentul Md este amplificat de transmisia principală și, apoi, transmis celor două roți motoare ale punții spate:

Md ∙ i0 = X2 ∙ rr , (4.100)Unde X2 = X2 st + X2 dr este forța de propulsie la puntea din spate, (4.101)

rr – raza de rulare a roții.Din (4.100) rezultă:

M d=X2 ∙ rri0

. (4.102)

hg

b a

L

Z1dZ2d

X2

Ga

AB

Se definesc momentele de ruliu ale suspensiilor:Ms 1 = k𝜃1 ∙ θ (4.103)Ms 2 = k𝜃2 ∙ θ ,

(4.104)unde Ms 1 este momentul generat de suspensia din față;

Ms 2 - momentul generat de suspensia din spate;k𝜃1 și k𝜃2 – coeficienții de rigiditate la ruliu ai suspensiei din față/spate

[Nm/rad] sau [Nm/O];θ – unghiul de ruliu al caroseriei.Rigiditatea totală a suspensiei este

k𝜃 = k𝜃1+ k𝜃2 . (4.105)

Unghiul de ruliu este raportul

θ=M d

kθ

=M d

k θ1+kθ2 (4.106)

Această valoare a lui θ se introduce în (4.104):

M s2=kθ2 ∙M d

kθ1+kθ2 (4.107)

Valoarea lui Ms2 astfel obținută se introduce în expresia lui Zm (4.99), ținându-se seama de (4.102):

Zm=1E∙(M d−M d ∙

kθ2kθ1+kθ2 )=

X2 ∙ rri0∙ E

∙(1– kθ2

kθ1+k θ2)= X2 ∙ rr

i0 ∙E∙kθ1+kθ2−kθ2

kθ1+k θ2

Zm=X2∙ rri0 ∙E

∙kθ1

kθ (4.108)

Aceasta este încărcarea/descărcarea unei roți sub acțiunea momentului de intrare în diferențial. Ea depinde de următoarele constante: ecartamentul autovehiculului, raza de rulare a roții, raportul de transmitere al transmisiei principale și rigiditatea suspensiei față și cea globală a suspensiei. Ca mărime variabilă, apare forța de propulsie la roțile din spate.

În cazul în care automobilul aflat pe teren orizontal accelerează, dacă se negli-jează rezistența la rulare și rezistența aerului, forțele care acționează asupra lui sunt cele din figura alăturată.Ecuația de echilibru al momentelor în raport cu punctul A este:

Z2d ∙ L=Ga ∙ a+Ga

g∙dvdt

∙hg. (4.109)

De unde rezultă:

Z2d=Ga ∙( aL+ 1g∙dvdt

∙hg

L ). (4.110)

Echilibrul forțelor care acționează pe direcția de deplasare este dat de relația:

(∑ F )x=0 : X2−Ga

g∙dvdt

=0. (4.111)

De unde rezultă valoarea accelerației:dvdt

=X2gGa

. (4.112)

Înlocuind pe dvdt

din (4.112) în (4.110), rezultă reacțiunea totală la puntea din

spate:

Z2d=Ga ∙( aL+X2Ga

∙hgL ) (4.113)

Pentru roata din dreapta, având în vedere relațiile (4.97), rezultă:

Z2d dr=12∙ Z2d−Zm . (4.114)

Înlocuind pe Z2d cu expresia (4.113) și pe Zm cu expresia (4.108), rezultă:

Z2d dr=Ga

2∙aL

+X22

∙hg

L−X2 ∙ rri0 ∙E

∙kθ1

kθ (4.115)

Valoarea maximă a forței de propulsie X2𝜑 în cazul unui diferențial normal, neblocabil, este egală cu valoarea cea mai mică dintre cele două forțe de la roțile punții motoare:

X2φ=2 ∙ φ ∙Z2ddrφ=2φ ∙(Ga

2∙aL+X2φ2

∙hg

L−X2φ ∙ rri0 ∙ E

∙kθ1

kθ), sau

X2φ=φ∙Ga ∙aL+φ ∙ X2φ ∙

hg

L−2φ ∙

rri0 ∙ E

∙kθ1kθ

∙ X2φ (4.116)

Se ordonează termenii ecuației după X2𝜑:X2φ ∙(1−φ ∙

hg

L+2φ ∙

r ri0 ∙ E

∙kθ1

kθ)=φ ∙Ga ∙

aL,

De unde rezultă:

X2φ=φ ∙G a ∙

aL

1−φ∙hg

L+2φ ∙

rri0 ∙ E

∙kθ1

kθ

. De comentat! (4.117)

În cazul unei punți rigide cu diferențial blocabil, se obține o forță de propulsie suplimentară de la cealaltă roată, până la limita ei maximă, astfel încât ultimul termen de la numitorul fracției (care reprezintă influența lui Zm) dispare deoarece, în acest caz,

Z2d dr=Z2dst=12∙ Z2d. Același lucru se întâmplă și în cazul unei punți spate cu suspensie

GaGacos ∝

Gasin ∝Fiy

Fiycos∝Fiysin∝

Zst

Zdr

Ydr

Yst∝

E= =A

B

R

hg

independentă deoarece momentul transmis de arborele cardanic este preluat de diferențialul al cărui carter este montat pe șasiu și nu mai încarcă/descarcă suspensia. În aceste două cazuri, forța maximă de propulsie este:

X2φ=φ∙Ga ∙

aL

1−φ∙hg

L

. (4.118)

În cazul unei punți motoare rigide, amplasate în față, cu diferențial normal, neblocabil, relația (4.117) devine:

X1φ=φ∙Ga ∙

bL

1+φ ∙hg

L+2φ∙

rri0 ∙ E

∙kθ1

k θ

. De verificat! (4.119)

Dacă diferențialul devine blocabil, sau puntea are suspensie independentă, atunci, în mod similar cazului anterior, rezultă:

X1φ=φ ∙Ga ∙

bL

1+φ ∙hg

L

. (4.120)

4.2.2 Reacțiunile în plan transversal pe cale înclinată și în viraj

Se consideră un autovehicul în viraj traversând o cale înclinată perpendicular pe linia de cea mai mare pantă. Autovehiculul este un rigid, neglijându-se oscilațiile determinate de suspensie.

Forța centrifugă de inerție este:

F iy=Ga

g∙ R ∙ω2=

Ga

g∙v2

R (4.121)

Ecuația de echilibru al momentelor în raport cu punctul B:

(∑M )B=0 : Z st ∙ E−Gahg ∙ sinα−Ga ∙E2∙ cosα+

G a

g∙v2

R∙hg ∙ cosα−

Ga

g∙v2

RE2∙ sinα=0

(4.122)De unde:

Z st=[ hg

E∙ sinα+ 1

2∙ cosα−1

g∙v2

R∙( hg

E∙cosα−1

2∙ sinα )]∙Ga. (4.123)

In mod similar, din ecuația de echilibru al momentelor în raport cu punctul A rezultă:

Zdr=[−hg

E∙ sinα+ 1

2∙ cosα+ 1

g∙v2

R∙( hg

E∙cosα+1

2∙ sinα )]∙Ga. (4.124)

Limita la deraparePentru ca deraparea să nu se producă este necesar ca suma reacțiunilor

transversale să fie mai mică decât forțele transversale limitate de aderență. Dacă nu se iau în considerare forțele de tracțiune sau de frânare, atunci: De ce?

Yst + Ydr ≤ (Zst + Zdr)∙ 𝜑y. (4.125)Din ecuația de echilibru al forțelor care acționează paralel cu solul rezultă:

Yst + Ydr = Fiy ∙ cos∝ - Ga ∙ sin∝, (4.126)și ținând seama de (4.123), (4.124) și (4.126) condiția (4.125) devine:

Fiy ∙ cos∝ - Ga ∙ sin∝ ≤ 𝜑y ∙ (Ga∙ cos∝ + Fiy ∙ sin∝). (4.127)Sau

Fiy ∙ cos∝ ∙ (1 - 𝜑y ∙ tg∝) ≤ Ga∙ cos∝ (𝜑y + tg∝) : cos∝ (4.128)Ținând seama de (4.121), rezultă:

Ga

g∙v2

R∙ (1 – φy ∙tg∝ )≤Ga ∙ (φy+tgα ). (4.129)

De unde rezultă viteza limită, dincolo de care are loc deraparea:

v lim d=√g ∙R ∙ φ y+tgα1– φy ∙tg∝

. (4.130)

Aceasta nu depinde de dimensiunile autovehiculului și nici de masa lui, ci doar de raza virajului, unghiul pantei și coeficientul de aderență transversală.

Dacă ∝ = 0, atunci viteza limită la derapare devinev lim d0=√g ∙R ∙φ y . (4.131)

Ex.: Un autovehicul efectuează un viraj cu o rază de 10m, pe un drum înclinat cu 10o, având coeficientul de aderență transversală 𝜑y = 0,6. Care este viteza limită la derapare? Dar pe drum orizontal?

v lim d=√g ∙ R∙ φ y+ tgα1– φ y ∙ tg∝

=√9,81∙10 ∙ 0,6+tg10o1– 0,6 ∙ tg10o=9,23m

s=33,22 km

h

În al doilea caz:

v lim d0=√g ∙R ∙φ y = √9,81 ∙10 ∙0,6=7,62ms=27,62 km

h.

Înclinarea drumului permite dezvoltarea unei viteze mai mari fără pericolul derapării.

Limita la răsturnareRăsturnarea se produce atunci când reacțiunea normală la sol la roata din

interiorul virajului devine egală cu 0:

Z st=[ hg

E∙ sinα+ 1

2∙ cosα−1

g∙v2

R∙( hg

E∙cosα−1

2∙ sinα )]∙Ga=0. (4.132)

Această condiție se poate scrie și sub forma:hgE∙sinα+ 1

2∙ cosα−1

g∙v2

R∙( hg

E∙cosα−1

2∙ sinα )=0 : cos∝

hg

E∙tgα+ 1

2−1g∙v2

R∙( hg

E−12∙tgα )=0,

sau

1g∙v2

R=

hg

E∙tgα+ 1

2hg

E−12∙ tgα

.

De unde rezultă viteza limită la care se poate produce răsturnarea:

v lim r=√g ∙R ∙E+2 ∙hg ∙tgα2 ∙ hg−E ∙tgα

. (4.133)

Se observă că, în acest caz, pe lângă raza virajului și unghiul de înclinare a pantei, viteza limită este influențată de ecartamentul autovehiculului și înălțimea centrului de greutate.

Dacă ∝ = 0, atunci viteza limită la răsturnare devine

v lim r0=√g ∙R ∙ E2 ∙ hg

(4.134)

Ex.: Pentru cazul anterior se consideră E = 1,46m și hg = 0,8m. Să se determine viteza limită la răsturnare pe drum înclinat și pe drum orizontal.

v lim r=√g ∙R ∙E+2 ∙hg ∙tgα2 ∙ hg−E ∙tgα

=√9,81 ∙10∙ 1,46+2 ∙0,8 ∙ tg1002∙0,8−1,46∙ tg 100=11,28 m

s=40,62 km

h

După cum se observă, vlim r = 40,62 km/h> vlim d = 33,22 km/h, deci răsturnarea nu este posibilă deoarece autovehiculul mai întâi derapează.

În al doilea caz, când ∝ = 0, viteza limită la răsturnare este:

v lim r0=√g ∙R ∙ E2 ∙ hg

=√9,81 ∙10∙ 1,462∙0,8=9,46 m

s=34,06 km

h.

Nici în acest caz nu are loc răsturnarea deoarece autovehiculul mai întâi derapează: vlim r0 = 34,06 km/h> vlim d0 = 27,62 km/h.

În cazul unui autovehicul care staționează transversal pe o pantă, deraparea se produce atunci când

Ga ∙sin αd≥Y st+Y dr=φ ∙ (Z st+Zdr ). (4.135)

Gacos ∝hg

A

BGa

Gasin ∝

Zst

Zdr

Ydr

Yst ∝E

= =

Deoarece condiția de echilibru al forțelor care acționează pe o direcție perpendiculară pe sol este

Z st+Zdr=Ga ∙cos α d, (4.136)

rezultă că pentru a se produce deraparea este necesar ca:tg αd≥φ y. (4.137)

Răsturnarea se produce atunci când reacțiunea normală la sol la roţile dinspre vârful pantei devine nulă:

Zdr=0.Din ecuația de echilibru al momentelor în raport cu punctul A din figură, rezultă:

Zdr ∙ E=Ga ∙E2cos αr−Ga ∙hg sinαr=0 , (4.138)

Unghiul la care poate avea loc răsturnarea va trebui să îndeplinească inegalitatea:

tg αr≥E2∙ hg

. (4.139)

Pentru ca deraparea să se producă înaintea răsturnării trebuie îndeplinită condiţia:

tg αd<tg αr , adică φ< E2hg

. (4.140)

02.12.09