Capitolul 1 -Matematica superioara

8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara

1/53

1. Spaii liniare

1.1. DEFINIII. BAZ

1.1.1. Spaiu liniar.S considerm o mulime de elemente {a, b, c,...} i un corp K, pe care l lumRsau C.

Definiie. Mulimea de elemente {a, b, c, ...} formeaz un spaiuliniarL dac ntre elementele {a, b, c, ...} sunt definite dou operaii:adunare (+) i nmulire cu scalari () cu urmtoarele proprieti:

I. Mulimea {a, b, c, ...} formeaz grup abelian fa de operaia deadunare +, adic satisface urmtoarele axiome:

S1: a + b = c, a, b, cL,S2: a + b=b + a (comutativitate),S3: a + (b + c) = (a + b) + c (asociativitate).S4: exist elementul neutru, 0 L astfel nct a + 0 = 0 + a = 0.S5: la orice aL, exist opusul su ( a) L, astfel nct a + (

a) = 0.

II. Dac ( , , ...) K, este definit operaia () de nmulire cuscalari (elemente dinK) care satisface urmtoarele axiome:

I1: aL,I2: (a) = ()a (asociativitate),I3: (+ ) a = a + b (distributivitate),I4: (a + b) = a + b (distributivitate fa de operaia + nL),I5: exist elementul neutru 1 Kastfel nct

1 a = a, aL.

Exemple. 1. Mulimea matricelormn formeaz un spaiu liniarpeR sau C.

2. Mulimea polinoamelor de grad n cu coeficieni reali formeazun spaiu liniar peR.

Completri. 1) Elementele unui spaiu liniar se numesc vectori.


2/53

2) DacKeste corpulR, spaiul liniar se numete real; dacKestecorpul C, spaiul liniar se numete complex. n cele ce urmeaz vomconsideraK=R.

1.1.2. Vectori liniar independeni. S considerm nL vectorii v1,v2, ..., vp.Definiie. 1. Vectorii v1, v2, ..., vp sunt liniar dependeni dac exist

1, 2, ... pR, cu 01

2 =

p

k

k astfel nct

1v1 + 2v2 + ... + pvp = 0.

Dac un astfel de sistem de numere nu exist, vectorii v1, v2, ..., vpsunt liniar independeni.

Observaii. 1) Vectorii v1, v2, ..., vp L sunt liniar independenidac egalitatea

1v1 + 2v2 + ... + pvp = 0(1)

atrage 1 = 0, 2 = 0, ..., p = 0.2) Dac n relaia (1) cel puin un i este diferit de zero, fie 1 0,

atunci putem scrie

0v...vv1

21

21 =+++ p

p

sau v1 = 2v2 + ... + pvp, k= k/1,

adic vectorul v1 se exprim liniar cu ajutorul lui v2, v3, ..., vp.

Exemple. 1. n plan trei vectori sunt totdeauna liniar dependeni.2. n spaiul R3 vectorii i, j, k sunt liniar independeni. Patru

vectori nR3 sunt totdeauna liniar dependeni.

1.1.3. Baz.Definiii. 1. FieL un spaiu vectorial. Numrul maximde vectori liniar independeni se numete dimensiunea spaiuluiL; se maispune cL este un spaiu vectorial n dimensional, dac numrul maximeste n.

2. ntr-un spaiu n dimensionalL un sistem de vectori v1, v2, ..., vnliniar independeni se numete bazsau formeaz o baz.


3/53

Observaii. Dac numrul de vectori liniar independeni estenemrginit, spaiul este infinit dimensional. Dac numrul este finit,spaiul este finit dimensional.

Exemple. 1. Planul este un spaiu vectorial cu dimensiunea 2; obaz n plan o formeaz doi vectori necoliniari.2. Mulimea polinoamelor de grad p, cu coeficienii n R,

formeaz un spaiu cup + 1 dimensiuni. O baz este format din 1, x, x2,..., xp.

3. Seriile trigonometrice formeaz un spaiu infinit dimensional cubaza 1, sin x, cos x, ..., sin nx, cos nx, ...

FieLn un spaiu n dimensional.

Teorem.

1. ntr-un spaiu n dimensionaln

+ 1 vectori sunttotdeauna liniar dependeni.2. Dac v1, v2, ..., vni v sunt n + 1 vectori din Lni v1, v2, ..., vn

formeaz o baz, atunci exist1, 2, ..., nR nu toate nule astfel nct

v = 1v1 + 2v2 + ... + pvn,

numerele 1, 2, ..., n fiind unice.Demonstraie. 1) Rezult din definiie. 2) Fie v1, v2, ..., vn, v Ln,

din care v1, v2, ..., vn formeaz o baz. Fiind liniar dependeni exist 0,1, ..., nR nu toate nule astfel nct

0v + 1v1 + ... + nvn = 0;

presupunnd 0 0, obinem

nn v

...v

v

v

02

0

21

0

1 =

sau v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn, k= k/0.(1)

S artm c1, 2, ..., n sunt unice. S presupunem c mai existun sistem de numere 1, 2, ..., n astfel nct s avem

v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn.(1)

Dac scdem pe (1) din (1), obinem


4/53

(1 1)v1 + (2 2)v2 + ... + (n n)vn = 0,

ceea ce conduce la 1 = 1, ..., n = n, deoarece v1, v2, ..., vn sunt liniarindependeni.

Observaii. 1) Numerele 1, 2, ..., n se numesc coordonatelevectorului v fa de baza v1, v2, ..., vn; ele sunt unice.

2) Fie v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn, w = 1v1 + 2v2 + ... + nvn. Sumavectorilor

v + w = (1 + 1)v1 + (2 + 2)v2 + ... + (n + n)vn.are coordonate suma coordonatelor lui v i w.

3) Vectorul v, R, este dat de

v = (1) + (2) + ... + (n)vn.1.1.4. Spaii liniare izomorfe. FieLi Ldou spaii vectoriale pe

acelai corpK.Definiie. 1. Spaiile L i L sunt izomorfe dac la orice a L

corespunde un a Li numai unul i reciproc.2. Dac a a i b b, atunci

2) a + b a + b; 2) a a.

Observaie. Dou spaii liniare finiteLn,Lm, de dimensiuni diferitenu sunt izomorfe ntre ele. ntr-adevr, dac ar fi izomorfe, la vectoriiliniar independeni din Ln ar corespunde vectori liniar dependeni din Lmdac m < n.

Teorem. Spaiile vectoriale finit dimensionale, de aceeaidimensiune n sunt izomorfe ntre ele.

Demonstraie. Fie Ln, Ln dou spaii liniare de dimensiune n cu

bazele, respectiv,(v1, v2, ..., vn), (w1, w2, ..., w3).

La elementul

v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn

corespundew = 1w1 + 2w2 + ... + nwn,


5/53

deoarece grupul ordonat (1, 2, ..., n) este unic ca i grupul (1, 2, ...,n); rezult c avem corespondena v w biunivoc.

Dac lui v i corespunde w:

v =

1v1 +

2v2 + ... +

nvn,

w = 1w1 + 2w2 + ... +

nwn,

avem corespondena v + v w + w. n fine, lui

v = (1)v1 + (2)v2 + ... + (n)vn

i corespunde

w = (1)w1 + (2)w2 + ... + (n)wn

din Lni reciproc.


6/53

1.2. SPAIULRn

1.2.1. Structura de spaiu vectorial. Spaiul Rn este o extindere

natural a spaiuluiR (dreapta), a spaiuluiR2 (plan), a spaiuluiR3etc.

Definiie. Mulimea grupurilor ordonate de n numere reale (a1, a2,..., an) se numetespaiulcu ndimensiuniR

n.Observaie. 1) Din definiie rezult cRn este produsul cartezian

RR ... R

nsau

Rn = {(a1, a2, ..., an)|a1R, a2R, ..., anR}.

2) Elementele luiRn se numesc puncte sau vectori. Grupul ordonat{a1, a2, ...,an} reprezint un punct a de coordonate a1, a2, ..., an sau unvector a de proiecii a1, a2, ..., an pe axele Ox1, Ox2, ..., Oxn respectiv.

Cu elementele dinRn sunt permise dou operaii:1) operaia + (adunare) care satisface urmtoarele reguli:

dac a = (a1, a2, ..., an), b = (b1, b2, ..., bn) Rn

, atunci:S1: a + b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn) R

n,S2: a + b = b + a (comutativitate),S3: (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate),S4: exist elementul neutru, vectorul nul 0 = (0, 0, ..., 0)

astfel nct pentru orice a Rn, avem

a + 0 = 0 + a = a;

S5: la orice a Rn

exist opusul a = (a1, a2, ..., an) astfel nct

a + (a) = 0;

2) operaia (nmulire) cu numere Rn (scalari) care satisfaceurmtoarele reguli:

I1: a = a= (a1, a2, ..., an),I2: (a) = ()a, , R,I3: (+ )a = a + a,

I4: (a + b) = a + b, a, b Rn

,I5: 1a = a, 1 R.


7/53

Din proprietile de mai sus rezult urmtoarea teorem.

Teorem. SpaiulRn este un spaiu vectorial peR.

1.2.2. Baz nRn. S considerm vectoriie1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, 0, 0, ..., 1).

Teorem. Orice vector v = (1, 2, ..., n) Rn, se scrie sub forma v

= e11 + e22 + ... + enn.

Demonstraie. Avem

1e1 = (1, 0, 0, ..., 0), 2e2 = (0, 2, 0, ..., 0), ..., nen = (0, 0, 0, ...,n),

din care obinem, aplicnd axiomele adunrii,

v = (1, 2, ..., n) = e11 + e22 + ... + enn.

Observaii. 1) Vectorii e1, e2, ..., en sunt liniar independenideoarece 1e1 + 2e2 + ... +nen = (1, 2, ..., n) = 0, daci numai dac1,2, ..., n sunt toi nuli, prin urmare e1, e2, ..., en formeaz o baz nR

n.2) nR3 avem

e1 = i = (1, 0, 0), e2 = j = (0, 1, 0), e3 = k = (0, 0, 1).

Exerciiu. Un vector n baza e1, e2, ..., en se scrie

v = e11 + e22 + ... + enn,

i n baza

g1 = (1, 1, 0, 0, ..., 0), g2 = (0, 1, 1, 0, ..., 0), gn = (1, 0, 0, 0, ..., 1),

se scrie

v = g1u1 + g2u2 + ... + gnun.

S se determine1, 2, ..., n n funcie de u1, u2, ..., un. Avem

g1 = e1 + e2, g2 = e2 + e3, ..., gk= ek+ ek+1, ..., gn = en + e1,


8/53

deciu1g1 + u2g2 + ... + ungn = u1(e1 + e2) + ... + un(en + e1) = e11 + e22 +

... + enn,

care ne d imediat

u1 + un =1, u1 + u2 = 2, ..., un-1 + un =n.


9/53

1.3. PRODUS SCALAR. NORM

1.3.1. Produs scalar.Definiie. 1. O aplicaie a luiLnLn nR se

numeteprodus scalardac ndeplinete urmtoarele condiii:1) p a, bf = pb, af (simetrie),2) p a, bf = pa, bf = p a, bf , R,3) p a+b, cf = p a, cf + p b, cf (distributiv fa de operaia de

adunare),4) produsul scalar al unui vector cu el nsui este nenegativ px, xf

0 i este nul daci numai dac x = 0.2. Un spaiu liniar n care s-a definit un produs scalar se numete

spaiu euclidian.

Exemplu. Mulimea funciilor continue pe [a, b] formeaz unspaiu vectorial. Produsul scalar n acest spaiu poate fi definit astfel:

p f1, f2f = b

a

21 (x)dx(x)ff

i satisface toate axiomele produsului scalar.

1.3.2. Produsul scalar nRn.Definiii. 1. Fie a = (a1, a2, ..., an) i b

= (b1, b2, ..., bn) doi vectori din Rn. Se numete produsul scalar alvectorilor a i b numrul real

p a, bf = a1b1 + a2b2 + ... + anbn

2. Norma, msura sau lungimea vectorului a este numrul real ipozitiv

|a| = (p a, af )1/2.

3. Unghiul a doi vectori a i b dinRn (a dou direcii dinRn) estedefinit de

1/22n

22

21

1/22n

22

21

nn2211

]b...b[b]a...a[a

ba...baba

|b||a|

ba,cos

++++++

+++=

> |v v0|, deci |v v0| reprezint distana cea mai mic de laun punct Mla un subspaiu. ntr-adevr,|v v1|2 = |v v0 + v0 v1|2 = |v v0|2 + |v0 v1|2 + 2 pv v0, v0 v1f =|v v0|

2 + |v0 v1|2,

din care rezult |v v1| > |v v0|; avem pv v0, v0 v1f = 0, deoarece d= v v0 este perpendicular peLmi v0 v1Lm.

Teorem. Vectorul v0 este dat de

v0 = 1e1 + 2e2 + ... + mem

cu e1, e2, ..., em o baz ortogonal dinLmi coeficienii

1 = pv, e1f , 2 = pv, e2f , ..., m = pv, emf .

Demonstraie. Trebuie s avem pv v0, ekf , k = 1, 2, ..., m,i pentru c baza este ortogonal, obinem

k= pv, ekf ,

deoarece p ei, ejf = 0, p ei, eif = 1.


17/53

Exemplu. S se gseasc distana punctului (4, 5, 9) la planuldefinit de vectorii v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 1, 1).

Determinm o baz ortogonal:

e1 = v1 = (1, 1, 0),

1

11

2122 ee,e

v,eve

fp

fp= = (0, 1, 1) +

2

1(1, 1, 0) =

1,

2

1,

2

1;

deci e*1 = (1/ 2 , 1/ 2 , 0), e*2 =

3

2,

6

1,

6

1formeaz o baz

ortonormal n plan. Punnd v0 = 1e*1 + 2e

*2, calculm:

1 = ( )2

9

2

5

2

40,

2

1,

2

1,9,5,4 =+=

fp ,

2 = ( )6

17

6

18

6

5

6

4

3

2,

6

1,

6

1,9,5,4 =++=

fp ,

v0 =

=

+

6

34,

6

10,

3

46

6

2,

6

1,

6

1

6

170,

2

1,

2

1

2

9

i distana este dat de

d=

2/1222

6

349

6

105

6

464

+

+

.

1.4.3. Metoda celor mai mici ptrate. S considerm un fenomenb ce se exprim ca o funcie de m stri a1, a2, ..., am, anume

b = a11 + a22 + ... + amm,

cu 1, 2, ..., m numere ce trebuie determinate.Fcndu-se n msurri asupra lui b i ai, obinem relaiile

1a11 + 2a12 + ... + ma1m = b1,1a21 + 2a22 + ... + ma2m = b2,

(1)


18/53

................................................1an1 + 2an2 + ... + manm = b1,.

Cnd m = n, putem aplica regula lui Cramer dac determinantul |aij| 0.

n general n m. Cum msurrile introduc erori, sistemul (1) nu conducela soluii exacte; se caut soluii aproximative i anume valori pentru 1,2, ..., m ct mai aproape de cele exacte.

Definiie. Se numete abaterea ptratica relaiilor (1) expresia

[ ]=

+++n

1k

2

kkmk2k1 ba...aa m21 . (2)

Metoda celor mai mici ptrate const n a determina pe 1, 2, ...,m, astfel nct abaterea ptratic medie s fie minim.S observm ns c dac considerm vectorii

b = (b1, b2, ..., bn), a1 = (a11, a21, ..., an1), a2 = (a12, a22, ..., an2), ......, am = (a1m, a2m, ..., anm),

expresia (2) este ptratul distanei vectorului

b0 = a11 + a22 + ... + amm,

la vectorul b, i problema se reduce la aflarea proieciei b0 a vectorului bpe acest spaiu. Vectorul b b0 este perpendicular pe spaiul determinatde a1, a2, ..., am, deci

pb b0, akf = 0, k = 1, 2, ..., m,

sau, pentru c baza nu este ortogonal,

1p a1, a1f + 2p a2, a1f + ... + mp am, a1f = pb, a1f ,1p a1, a2f + 2p a2, a2f + ... + mp am, a2f = pb, a2f ,

(3)........................................................................................1p a1, anf + 2p a2, anf + ... + mp am, anf = pb, anf ,

unde

p ai, ajf =

=

n

1k jkik

aa , pb, aif =

=

n

1k kik

ab ,


19/53

din sistemul (3) se determin 1, 2, ..., m care sunt parametrii cedetermin pe vectorul b care face abaterea ptratic minim.

Aplicaie. 1) Vectorul b depinde de un parametru . Avem dup n

msurri

b1 = a1, b2 = a2, ..., bn = an,b = a sau pb, af = p a, af , sau

=

== n

1i

2

i

n

1iii

a

ba ;

soluia este dreapta b = a n planul a0b, care trece prin originea 0 icoeficient unghiular. Dreapta n general nu trece prin cele n puncte (ai,bi).

2) n cazul cnd b depinde de doi parametri, avem

b1 = a1 + a*1, b2 = a2 + a

*2, ..., bn = an + a

*n;

punnd a = (a1, a2, ..., an), a* = (a*1, a

*2, ..., a

*n), i b = (b1, b2, ..., bn),

obinem

p a, af + p a, a*f = pb, af , p a, a*f + p a*, a*f = pb, a*f ,p

care determin pe i , deoarece determinantul sistemului este diferit dezero dac a i a* sunt liniar independeni.

1.4.4. Determinanii lui Gram. Fie p vectori e1, e2, ..., ep.Definiie. Se numete determinantul lui Gram al vectorilor e1, e2,

..., ep determinantul

fpfpfp

fpfpfp

fpfpfp

pp2p1p

p22212

p12111

p

e,e...e,ee,e

............

e,e...e,ee,ee,e...e,ee,e

= .

Teorem. Dac vectorii e1, e2, ..., ep sunt liniar dependeni,determinantul lui Gram este nul.

Demonstraie. Dac de exemplu


20/53

ep = 1e1 + 2e2 + ... + p-1ep-1,

atunci se observ c ultima linie este o combinaie liniar a celorlalte linii.

Se poate arta c dac e1, e2, ..., ep sunt liniar independenideterminantul lui Gram este strict pozitiv.

Exerciii. 1. nR2 determinantul lui Gram

222 ba,|b||a|bb,ba,

ba,aa,fp

fpfp

fpfp=

este, evident, strict pozitiv dac a, b nu sunt coliniari; pentru c

|a|2 |b|2 sin2 = |a|2 |b|2(1 cos2) = |a|2 |b|2

22

2

|b||a|

ba,1

fp=

= |a|2 |b|2 p a, bf 2,

rezult c determinantul Gram d ptratul ariei paralelogramului construitpe a, b ca laturi.

2. Avem relaia

2

2

22

321

321

321

|c|cb,ca,

cb,|b|ba,

ca,ba,|a|

ccc

bbb

aaa

fpfp

fpfp

fpfp

= ,

deci determinantul lui Gram pentru 3 vectori din spaiu d ptratulvolumului paralelipipedului construit cu aceti vectori ca laturi.


21/53

1.5. TRANSFORMRI LINIARE

1.5.1. Matricea unei transformri liniare.Definiie. Fie F o

aplicaie a luiLn nLn. AplicaiaFse numete transformare liniare dac

1)F(a + b) =F(a) +F(b), a, b Ln,2)F(a) = F(a), Ln,

Observaii. 1) Dac E(a) = a, aplicaia liniar E se numetetransformarea identic.

2) Dac O(a) = 0 pentru orice a Ln aplicaia O se numetetransformarea nul.

Exemple. 1. Operaia de derivare este aplicaie liniar pentrumulimea polinoamelor de grad n.

2. Operaia de integrare pe [a, b] pentru funciile continue este otransformare liniar.

FieLn un spaiu liniar, e1, e2, ..., en o baz,Fo transformare liniarnLni

a = a1e1 + a2e2 + ... + anen

un vector oarecare nLn. S considerm o nou baz h1, h2, ..., hni

b = a1h1 + a2h2 + ... + anhn

un vector dinLn.

Teorem. Exist o transformareFpentru care

F(e1) = h1,F(e2) = h2, ...,F(en) = hn,Demonstraie. S considerm transformareaFcare duce vectorul a

n b. AvemF(a) = b sau

F(a1e1) + F(a2e2) + ... +F(anen) = a1h1 + a2h2 + ... + anhn

sau

F(e1) = h1,F(e2) = h2, ...,F(en) = hn.


22/53

Reciproc, s ducem vectorii hi n ei; la vectorul arbitrar

a = a1e1 + a2e2 + ... + anen

i corespunde vectorul

b = a1h1 + a2h2 + ... + anhn;

deoarece a1, a2, ..., an sunt date, urmeaz c b este unic, iar din F(a) = brezult hi =F(ej).

Dac scriem

hi =F(ei) = ai1e1 + ai2e2 + ... + ainen,

transformriiFi se asociaz matricea

A = ||aik||

Definiie. Matricea A se numete matricea transformrii Fn bazae1, e2, ..., en.

Dac notm

n

2

1

n

2

1

nnn2n1

2n2221

1n1211

h

h

h

h,

e

e

e

e,

a...aa

............

a...aa

a...aa

AMM

=== ,

avem relaia h = Ae, care justific pentru A unirea de matriceatransformriiF.

Exemple. 1. S se gseasc matricea transformrii care duce bazae1, e2, e3 n baza

h1 = e1 + e2, h2 = e2 e3, h3 = e1 e2 + e3.

Matricea transformrii este

111

110

011

A

=


23/53

i

3

2

1

3

2

1

e

e

e

111

110

011

h

h

h

= .

2. S se gseasc matricea transformrii care duce vectorii e1, e2,..., en n vectorii

h1 = e1 e2, h2 = e2 e3, ..., hn = en e1


1

...

00

0

...

00

...

...

...

...

0001

............

01100011

A

=

i h = Ae.FieFo transformare liniar nLn, e1, e2, ..., en o baz nLni A =

||aij|| matricea transformrii F n acea baz. n urma transformrii F

vectorul

x = 1e1 + 2e2 + ... + nen

devine

y = 1e1 + 2e2 + ... + nen

deci y =F(x) = Ax. Putem scrie

F(x) = 1F(e1) + 2F(e2) + ... + nF(en) ==1(a11e1 + a12e2 + ... + a1nen) + 2(a21e1 + a22e2 + ... + a2nen) + ...

... + n(an1e1 + an2e2 + ... + annen) = 1e1 + 2e2 + ... + nen,

cu 1 = a111 + a212 + ... + an1n,2 = a121 + a222 + ... + an2n,..............................................n = a1n1 + a2n2 + ... + annn,


24/53

deci = At , unde

n

2

1

n

2

1

,

MM

== , iar At = ||aji|| este matricea transpus

matricei A = ||aij||.

1.5.2. Operaii cu transformri liniare. Suma a doutransformri liniare.Definiie. Fie dou transformri liniare n Ln, FiG de matrice A = ||aij|| i B = ||bij||.

1. Numimsuma transformrilor Fi G transformareaF + G careface s corespund vectorului x vectorul F(x) + G(x). Matricea

transformriiF+ G este A + B = ||aij + bij||.

2. Numim produs al transformrilor Fi G transformarea Hcarerezult din transformarea Furmat de transformarea G. Se noteazH=G(F) i face s corespund vectorului x vectorul G(F(x)). Matriceatransformrii G(F) este produsul A B al celor dou matrice.

ntr-adevr avem

=

== ==

n

1k

kiki

n

1k

kiki ea))e((,ea)A(e GFG

====

===n

1jij

n

1jjkj

n

1kik

n

1kkik eceba)(ea G ;

unde =

=n

1kkjikij bac , deci ||cij|| = ||aij|| ||bij||

i matricea transformrii compuse este C = A B.

Teorem. Suma i produsul de transformri au proprietile:

1)F+ G = G + F,2) (F + G) + H = F + (G + H),3)F(G(H)) =F(G)(H),4) (F + G)(H) =F(H) + G(H),5)H(F + G) =H(F) +H(G);6) dacIeste o transformare identic, de matrice E, avem

relaia

AE = EA = A.


25/53

Demonstraie. DacFare matriceaA i G matriceaB, operaiile 1)i 2), 3), 4) i 5) sunt operaii ntre matrice. MatriceaEeste

||||

1

...0

0

....000

............

...010

...001

ij==E

i verific pe 6).

1.5.3. Polinom de matrice. S notm

E = A, A = A

1

,A A = A2

, A

n-1

A = An

.Definiie. Se numetepolinom de matricea A pe corpulKmatricea

P(A) = 0E + 1A2 + ... + nA

n.

Observaii. Putem defini i serii de puteri de matrice

0E + 1A + 2A2 + ... + nA

n + ... ;

astfel avem

eA =E + ...!

...!2!1

2

++++n

AAA n,

(E A)-1 =E + A +A2 + ... + An + ... .

1.5.4. Transformare invers. FieF

(x) o transformare care ducevectorul x n vectorul y.

Definiie. TransformareaF-1 care transform vectorul y n vectorulx se numete transformare invers.


26/53

Teorem. Dac transformareaFeste realizat de matricea

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

=A , detA 0, deciF(x) =Ax,

transformarea inversFeste realizat de matriceaA-1 definit de relaia

A-1A = AA

-1= E.

Demonstraie. Avem

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1,a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2,...............................................an1x1 + an2x2 + ... + annxn = yn,,

care poate fi rezolvat cu regula lui Cramer, deoarece det A 0. Putemproceda i matriceal:

A x = y sauA-1

A x =A-1

y .deciE x =A-1 y sau x =A-1 y .

Exemple. 1. Transformarea care duce un vector v din spaiu laproiecia sa v* pe un plan nu se poate inversa. ntr-adevr, la proiecia v*

corespund o infinitate de vectori n spaiu.2. Rotaia unui vector din spaiu este o transformare inversabil.

1.5.5. Matricea unei transformri n baze diferite. n spaiul Lns considerm dou baze e1, e2, ..., eni g1, g2, ..., gn; s notm e = (e1, e2,..., en) i g = (g1, g2, ..., gn). Fie F transformarea care duce de la e la g,deci g =F(e) i Cmatricea care realizeaz aceast transformare:

g = Ce, C= ||cij||.


27/53

Prin urmare, avem

F(e1) = g1 = c11e1 + c12e2 + ... + c1nen,F(e2) = g2 = c21e1 + c22e2 + ... + c2nen,..........................................................F(en) = gn = cn1e1 + cn2e2 + ... + cnnen .

Fie x un vector dinLni y transformatul su prinH:

H(x) = y.

DacA este matricea ce duce vectorul x scris n baza e n vectorul y,avem

=

=n

1iikik ea)(eH ;

dacB este matricea ce duce vectorul x scris n baza g n vectorul y, avem

=

=n

1iikik gb)(gH

S presupunem matriceaB necunoscut. Deoarece gi =F(ei), obinem

=

=n

1jjkjk )(eb)(e FHF ,

care, dac i aplicm transformarea inversF-1, ne d

=

=n

1jjkjk

1 eb)(eHFF ,

sau, revenind la matricele de transformare,

C-1AC = B.

Am demonstrat urmtoareaTeorem. MatriceaB a unei transformriHn baza g1, g2, ..., gn se

obine din matriceaA a transformriiHn baza e1, e2, ..., en dup formula

B = C-1AC,


28/53

unde Ceste matricea transformrii bazei e n baza g.

1.5.6. transformri invariante.Definiie. Fie F o transformareliniar n Ln. Un subspaiu Lm Ln se numete invariant fa de

transformareaFdac pentru orice x Lm avemF(x) Lm.

Exemplu. O rotaieFn spaiulR3 n jurul unei axe fixe pstreazinvariant orice vector situat pe ax. Orice plan perpendicular pe ax esteun subspaiu invariant bidimensional.

Definiie.L1Ln estesubspaiu invariantfa de transformareaFdac pentru orice x L1 avemF(x) = x.

Folosind operatorul matricealA = ||aij|| avem ecuaia

Ax = x sau (A E)x = 0,

care conduce la sistemul

(a11 )x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0,a21x1 + (a22 )x2 + a23x3 + ... + a2nxn = 0,................................................................an1x1 + an2x2 + ... + (ann )xn = 0,

sistem ce nu trebuie s admit numai soluia banal, ceea ce ne d

0

a

...

a

a

...aaa

............

...aaa

...aaa

nn

2n

1n

n3n2n1

232221

131211

=

, (1)

aa-numit ecuaie caracteristic sau ecuaie secular; rdcinile ei senumesc valori proprii sau valori caracteristice. Ecuaia (1) are n rdcinireale sau complexe. Dac 0 este o rdcin a ecuaiei caracteristice,atunci din sistemul (1) rezult valorile (x01, x

02, ..., x

0n) i vectorul

x0 = e1x01 + e2x

02 + ... + enx

0n

este un vector propriu al transformrii F realizate de matricea A. Amdemonstrat urmtoarea


29/53

Teorem. ntr-un spaiu liniarLn, construit pe corpul C, oricetransformare liniar are un vector propriu.n cele ce urmeaz dm rezultate privind vectorii proprii.

Teorem. Vectorii proprii corespunztori la valori proprii diferitedou cte dou sunt liniar independeni.

Demonstraie. Presupunem c vectorii v1, v2, ..., vp ai operatoruluiFcorespund valorilor proprii 1, 2, ..., p diferite dou cte dou. Dupinducie, pentru p = 1, teorema este adevrat deoarece v1 = 0, deci =0. Presupunem teorema adevrat pentru p 1 vectori i s artm c esteadevrat i pentru p vectori. Dac v1, v2, ..., vp sunt p vectori propriiliniar dependeni, atunci, lund combinaia

1v1 + 2v2 + ... + pvp = 0, kR,

obinem

F(1v1 + 2v2 + ... + pvp) = 1F(v1) + ... + pF(vp) = 0,

deci

11v1 + 22v2 + ... + ppvp = 0.

Pe de alt parte ns,

p(1v1 + 2v2 + ... + pvp) = 0.

Din aceste dou relaii prin scdere rezult

1(1 p)v1 + 2(2 p)v2 + ... + p-1(p-1 p)vp-1 =0.

Vectorii v1, v2, ..., vp-1 ns sunt liniar independeni, deci

1 = 2 = ... = p-1 = 0.

n multe probleme ne intereseaz s alegem o baz n care matriceaunei transformriFs aib forma diagonal.

Teorem. Dac ntr-un spaiu vectorialLn o transformare liniarF:LnLn are n vectori proprii liniar independeni, atunci, alegnd aceti n

vectori ca baz, matricea transformrii Fva avea n aceast baz formadiagonal.


30/53

Demonstraie. Fie n vectori proprii liniar independeni e1, e2, ..., encare formeaz o baz nLn. Avem

F(e1) = 1e1,F(e2) = 2e2, ...,F(en) = nen,

deci matricea transformriiFeste

n

2

1

...

0

0

...000

............

...00

...00

.

Mulimea format cu rdcinile caracteristice ale transformrii F senumetespectrul transformrii liniare sau al operatorului liniar.

Nu este totdeauna posibil s se determine o baz n care matriceatransformrii s aib forma diagonal.

Numim multiplicitate geometrica valorii propriia transformriiF : Ln Ln dimensiunea subspaiului generat de vectorii propriicorespunztori lui .

Se poate demonstra c pentru o transformareF: LnLn se poate

determina o baz n care matricea s aib forma diagonal dacmultiplicitatea algebric a fiecrei valori proprii este egal cumultiplicitatea ei geometric.

n cazul cnd nu putem determina o baz n care matriceatransformrii s aib forma diagonal, se va putea determina o baz ncare matricea transformrii s aib forma Jordan:


31/53

OLL

LL

LL

2

2

2

1

1

1

0...000

..................

00...10

00...01

0

0

0...000

..................

00...10

00...01

Fie, de exempluF:LnLn o transformare liniar. Presupunem cFaretrei vectori (3 n) proprii liniar independeni e1, e2, e3, corespunztorivalorilor proprii 1, 2, 3. Exist n acest caz o baz format din vectorii

e11, e12, ..., e1m,e21, e22, ..., e2k,e31, e32, ..., e3p,

cu m + k + p = n astfel nct

F(e11) = 1e11, F(e21) = 2e21,F(e12) = 1e12 + e11, F(e22) = 2e21 + e21,............................... ...............................F(e1m) = 1eim + e1, m-1, F(e2k) = 2e2k+ e2, k-1,

F(e31) = 3e31,F(e32) = 3e32 + e31,...................................F(e3p) = 3e3p + e3, p-1,

Aplicaie. S se aduc la forma Jordan matriceaA a transformriiF:R4R4:


32/53

1000

2100

3210

4321

=A ,

Valorile proprii ale matriceiA sunt date de ecuaia

1000

2100

3210

4321

= 0

i sunt 1 = 2 = 3 = 4 = 1. Determinm vectorii proprii. Pentru = 1avem

2x2 + 3x3 + 4x4 = 0, 2x3 + 3x4 = 0, x4 = 0;

obinem vectorul propriu v1 = (1, 0, 0, 0).Cutm s determinm pe v2 = (y1, y2, y3, y4), astfel nctAv2 = v2

+ v1; obinem sistemul

2y2 + 3y3 + 4y4 = 1, 2y3 + 3y4 = 0, y4 = 0,

care ne d soluia v2 = (y1, 1/2, 0, 0).Al treilea vector din baz este v3 = (z1, z2, z3, z4), cuAv3 = v3 + v2.

Componentele z1, z2, z3, z4 se determin din sistemul

2z2 + 3z3 + 4z4 = y1, 2z3 + 3z4 = 1/2, z4 = 0,

obinem soluia

0z,4

1z,

8

3y

2

1z 4312 === ,

i pentru y1 = 0 avem v3 = (z1, 3/8, 1/4, 0).Vectorul v4 = (t1, t2, t3, t4) verific relaia Av4 = v4 + v3, care

conduce la sistemul

2t2 + 3t3 + 4t4 = z1, 2t3 + 3t4 = 3/8, t4 = 1/4,


33/53

cu soluia

+===+=

4

1,

16

9,

32

11

2

z,tvdeci,

4

1t,

16

9t,

32

11

2

zt 11443

12 .

ntruct z1, t1 sunt arbitrari, lum t1 = z1 = 0. Obinem baza

v1 = (1, 0, 0, 0),

= 00,,

2

10,v2 ,

= 9,

4

1,

8

30,v3 ,

=

4

1,

16

9,

32

110,v4 .

Matricea transformrii n aceast baz are forma Jordan i este

1000

1100

0110

0011

.


34/53

1.6. TRANSFORMRI LINIARE PARTICULARE

1.6.1. Transformri hermitiene reale. FieLn un spaiu euclidian

real.Definiie. O transformare F : Ln Ln se numete transformare

hermitianreal(simetric) dac pentru orice vectori x, y dinLn avem

px,F(y)f = pF(x), yf .

Matricea asociat unei asemenea transformri este o matricesimetric. ntr-adevr, dac (e1, e2, ..., en) este o baz n Ln astfel nctp ei, ejf = ij, putem scrie

p ei,F(ej)f = pF(ei), ejf ,

iar dac

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

=A

este matricea asociat transformriiF, avem efectiv

F(ej) = a1je1 + a2je2 + ... + anjen,F(ei) = a1ie1 + a2ie2 + ... + anien,

din care rezult

p ei,F(ej)f = pF(ei), ejf = aji,

deci aij = aji, ceea ce arat c matricea asociat transformrii F estesimetric.

Teorem. Fie v un vector propriu al transformrii hermitiene reale.F : LnLn. Subspaiul format cu vectorii ortogonali pe vectorul v esteun subspaiu invariant pentruF.

Demonstraie. Fie w Ln, cu pw, vf = 0; din


35/53

pF(w), vf = pw,F(v)

iF(v) = v rezult

pF(w), vf = pw, vf = 0,

deci F(w) v, adic transformatul lui w prin F este de asemeneaortogonal pe v.

Teorem. Pentru orice transformare hermitian real exist o bazformat din vectori proprii, ortogonali doi cte doi.

Demonstraie. n cazul unidimensional orice vector nenul este un

vector propriu. Pentru n = 1 proprietatea este adevrat. Presupunemteorema adevrat pentru orice transformare nLn-1.Fie F o transformare hermitian real n Ln. Deoarece toate

valorile proprii ale unei astfel de transformri sunt reale, exist cel puinun vector propriu e1. Construim subspaiul

1eL format din toi vectorii din

Ln ortogonali pe e1. Spaiul1e

L are dimensiunea n 1 i este un subspaiu

invariant pentruF. Considernd acum transformarea

F:1e

L 1e

L .

Prin inducie rezult c exist baza e1, e2, ..., en care satisface condiiile

F(ei) = iei, p ei, ejf = ij =

=

j.i0,

j,i1,

Exemplu. FieF:R3R3, dat prin

F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y).

Se cere s se determine o baz ortonormal n care matricea transformriiare forma diagonal.


011

101

110

=A .


36/53

Determinm valorile proprii i vectorii proprii:

11

11

11

)det(

= EA = 0.

Obinem 1 = 2 = 1, 3 = 2. Pentru = 1 coordonatele vectoruluipropriu corespunztor verific relaia x + y + z = 0, deci

e1 = (1, 1, 2), e2 = (1, 1, 0)

sunt doi vectori proprii independeni. Pentru 3 = 2 se obine

e3 = (1, 1, 1).

Vectorii e1, e2, e3 sunt ortogonali doi cte doi; matricea transformrii nnoua baz este

1A

200

010

001

= .

1.6.2. Transformri ortogonale. Definiie. Fie Ln un spaiuvectorial real. Transformarea liniarF : Ln Ln este o transformareortogonal dac matriceaA a acestei transformri ntr-o baz ortonormalare proprietatea

A-1 =At.

Sensul geometric al unei asemenea transformri este dat de urmtoarea

Teorem. ntr-un spaiuLn orice transformare ortogonal pstreazprodusul scalar.

Demonstraie. Fie x Ln, x = =

n

1iiiex . Avem

=====

===

=n

1j,i jiji

n

1j iji

n

1i i

n

1i ii

n

1i ii

exaeax)(exex(x) FFF


37/53

n mod asemntor obinem

F(y) = =

n

1ek,keke eya .

Produsul scalar este dat de

===

==n

1ej,i,eiijje

n

1lk,keke

n

1ji,jiji yxaaeya,exa(y)(x), fpfp FF

unde am pus

L=

nnn2n1

2n2221

1n1111

a...aa

............

a...aa

a...aa

,

A fiind matricea transformrii F. Din definiia transformrii ortogonaleavem

=

=== e,i0,e.i1,

aa ien

1jjeji

relaii care ne conduc la

fpfp yx,yx(y)(x),n

1iii ==

=

FF .

Observaii. 1) n cazul particular cnd x = y obinem

fpfp xx,(x)(x), =FF

adic ||F(x)|| = ||x||, deci o transformare ortogonal pstreaz lungimeavectorilor.

2) Deoarece

,||(y)||||(x)||

(y)(x),

||y||||x||

yx,cos

FF

FF

=

=

fpfp

rezult c o transformare ortogonal pstreaz unghiurile.


38/53

Teorem. Modulul valorilor proprii ale unei transformriortogonale este egal cu 1.

Demonstraie. AvemF(x) = x, ns

pF(x),F(x)f = px, xf = 2px, xf ,

de unde rezult2 = 1, || = 1.

Teorem. Dac e este un vector propriu al unei transformriortogonaleF, atunci subspaiul format din vectorii v ortogonali pe e esteinvariant pentruF.

Demonstraie. Se tie cpv, ef = 0, ns

pF(v),F(e)f = pF(v), ef = pF(v), ef = 0 = pv, ef ,

deciF(v) e.

Aplicaie. Transformrile ortogonale n R2. Fie F : R2 R2 otransformare ortogonala dat n baza e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) prin matricea

A =

.

Condiiile

AAt =AtA =E

conduc la relaiile

2 + 2 = 1, + = 0, 2 + 2 = 1.

Avem i

(detA)2 = 1, deci detA = 1.

Cazul I: detA = 1. Obinem

== ,


39/53

deci

= , = , 2 + 2 = 1, 2(2 + 2) = 1, 2 = 1, = 1, = cos , =

sin .

nlocuind aceste valori n condiia detA = 1, obinem = 1; prin urmare,matriceaA a transformrii este

cossin

sincos

=A

i definete mulimea rotaiilor din plan.

Cazul II: detA = 1. n aceast situaie = 1 i ecuaiacaracteristic a transformrii este

= 0, 2 ( + ) 1 = 0,

ecuaie cu rdcini reale deoarece = ( + )2 + 4 > 0. Fie 1i 2 celedou rdcini. Pentru c12 = 1, urmeaz c singurele valori posibilesunt 1 = 1, 2 = 1. Avem i

F(e1),F(e2) = e2,

deci matricea transformrii n baza format de vectorii proprii poate aveadoar urmtoarele dou forme:

10

01,

10

01

,

deci simetrii.


40/53

1.7. FUNCII LINIARE. FUNCII BILINIARE

1.7.1. Funcii liniare. FieL un spaiu liniar pe corpulR.Definiie. O funcieF:L R este liniar dac

1)f(x + y) =f(x) +f(y), x, y L,2)f(x) = f(x), R.

Observaii. 1) Dac e1, e2, ..., en este o baz nLni

x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen,

atunci, conform definiiei, avem

f(x) = x1f(e1) + x2f(e2) + ... + xnf(en),

i dac punemf(e1) = a1,f(e2) = a2, ...,f(en) = an, obinem expresia funcieiliniare nLn

f(x) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,

2) S considerm acum o nou baz g1, g2, ..., gn n Ln care nfuncie de e1, e2, ..., en, se scrie

g =Ae,A = ||ij||,g1 = 11e1 + 12e2 + ... + 1nen,g2 = 21e1 + 22e2 + ... + 2nen,...............................................gn = n1e1 + n2e2 + ... + nnen,.

Teorem. n spaiul Rn

forma liniar f pentru vectorii x = (x1, x2,..., xn) n baza e se scrie

f(x) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,

iar pentru vectorii x = (x*1, x*2, ..., x

*n) scrii n baza g se scrie

f(x) = a1x*

1 + a2x*2 + ... + anx

*n,


41/53

cu b1 = 11a1 + 12a2 + ... + 1nan,b2 = 21a1 + 22a2 + ... + 2nan,...............................................

bn = n1a1 + n2a2 + ... + nnan,

sau b =Aa, unde b = (b1, b2, ..., bn), a = (a1, a2, ..., an).

Demonstraie. Avem

f(x) =f(g1x*1 + g2x

*2 + ... + gnx

*n) = x

*1f(g1) + x

*2f(g2) + ... + x

*nf(gn),

ns

f(g1) =

f(11e1 + 12e2 + ... + 1nen) = 11

f(e1) + 12

f(e2) + ... + 1n

f(en) == 11a1 + 12a2 + ... + 1nan.

1.7.2. Funcii biliniare. FieL un spaiu liniari x, y L.

Definiie. O funcie B: L LR se numete funcie biliniar devectori x i y L dac

1)B(x, y), pentru x fixat, este funcie liniar de y.2)B(x, y), pentru y fixat, este funcie liniar de x.

Observaie. Conform definiiei funcia B are urmtoareleproprieti:

1)B(x, y1 + y2) =B(x, y1) +B(x, y2),1)B(x, y) = B(x, y),

ct i

2)B(x1 + x2, y) =B(x1, y) +B(x2, y),2)B(x, y) = B(x, y).

Teorem. Pentru x Ln, y Ln, raportat la o baz e1, e2, ..., enastfel nct

x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen,y = y1e1 + y2e2 + ... + ynen,


42/53

avem = =

=n

1i

n

1jjiji )e(eyxy)(x, BB .

Demonstraie. Avem

B(x, y) =B(x1e1 + x2e2 + ... + xnen, y1e1 + y2e2 + ... + ynen) =

= = ==

=+++n

1i

n

1jjiji

n

1jjnn22111 )e,(eyx)e,ex...exe(xy BB .

Dac notmB(ei, ej) = aij, funcia biliniar (sau forma biliniar) sescrie

= ==

n

1i

n

1j jiijyxay)(x,B

iar ||aij|| se numete matricea formei biliniare B.

1.7.3. Schimbarea bazei. n baza e1, e2, ..., en forma biliniarB sescrie

= =

=n

1i

n

1jjiij yxay)(x,B

i este definit de matricea A = ||aij||. Fie g1, g2, ..., gn o nou baz cumatricea de trecere C:

g = Ce, C= ||cij||,

sau g1 = c11e1 + c12e2 + ... + c1nen,g2 = c21e1 + c22e2 + ... + c2nen,..............................................

gn = cn1e1 + cn2e2 + ... + cnnen.

Teorem. DacA este matricea formei biliniare B n baze e i Geste matricea formei biliniareB n baz g, avem relaia

G = CACt.

Demonstraie. Avem n baza g

= i j jiijay)(x,B


43/53

deci

bij =B(gi, gj) = = =

n

1k

n

1l

lkjlik )e(ecc B

sau

bij =

=

=== =

n

k

n

l 1klik

1jl

n

1k

n

1lkljlik accacc ,

deci

bij = ==

=n

l 1

'ljil

n

1liljl cssc

sau

G = CACt.


44/53

1.8. FORME PTRATICE

1.8.1. Forme biliniare simetrice. Fie Ln un spaiu vectorial cu n

dimensiuni construit peRi x, y doi vectori dinLn.

Definiie. Forma biliniarB se numete simetric dac satisfacecondiiaB(x, y) =B(y, x).

Din definiie rezult cB(ei, ej) = B(ej, ei) adic aij = aji, decimatriceaA = ||aij|| este simetric.

1.8.2. Forme ptratice. FieLnun spaiu vectorial peRi x, y doivectori din Ln i fie B(x, y) o form biliniar simetric de matrice A =

||aij||.

Definiie. 1. FormaB(x, x) se numeteformptratic, iarB(x, y)se numeteforma polara formei ptratice.

2. Forma ptratic se numetepozitiv definitdac pentru orice x Ln, x 0,B(x, x) > 0.

Teorem. Form polarB(x, y) simetric este unic determinat deforma ptraticB(x, x).

Demonstraie. Avem

B(x + y; x + y) =B(x, x) +B(x, y) +B(y, x) +B(y, y)

i pentru cB(x, y) =B(y, x) rezult

B(x, y) = [B(x + y, x + y) B(x, x) B(y, y)]/2.

Acest fapt conduce la urmtoareaTeorem. O form ptratic se scrie ntr-o baz dat sub forma

A(x, x) = =

n

i,jjiij

xxa1

, aij = aji, unde aij =B(ei, ej).

Observaii. 1) Definirea formei ptratice pozitiv definite cu ajutorulformelor biliniare simetrice conduce la urmtoarele proprieti:

1)B(x, y) =B(y, x),2)B(x1 + x2, y) =B(x1, y) +B(x2, y),


45/53

3)B(x, y1 + y2) =B(x, y1) +B(x, y2),4)B(x, y) = B(x, y),B(x, y) = B(x, y),5)B(x, x) 0,B(x, x) = 0, x = 0,

care coincid cu proprietile produsului scalar, de unde rezult urmtoarea

Teorem. Forma biliniar care genereaz n Ln forma ptraticpozitiv definit este produsul scalar

B(x, y) = px, yf .

Observaie. Spaiul liniar n care s-a definit o form ptraticB(x,y) pozitiv definit se numetespaiul euclidian.

Forma polar asociat formei ptratice pozitiv definite se numeteprodusul scalarpx, yf al vectorilor x, y.

1.8.3. Reducerea la o sum de ptrate a unei forme ptratice(metoda lui Gauss). Fie o form ptratic nLn

=

=n

jijiij

xxaxxB1,

),( ,

i ne punem problema de a o reduce la forma cea mai simpl pe care oalegem:

22

22

2

11 ...),( nnxbxbxbxxB +++= ,

trecnd de la baza iniial la o baz convenabil.S considerm forma ptraticB(x, x) n care s punem n eviden

toi termenii care conin x1, anume

nn xxaxxaxxaxa 11311321122

111 2...22+++

,

n care formm ptratul perfect (a11 0) obinnd

2

1212111

11

)...(1

nnxaxaxa

a+++

i din care trebuie s scdem pe


46/53

)...(1 22

1

2

313

2

2

2

12

11

nnxaxaxa

a+++ .

DeciB(x, x) se scrie

B(x, x) = )...(1

1212111

11

nnxaxaxa

a+++ +B*(x, x),

undeB* este oform ptratic care nu conine pe x1.Procedeul poate fi continuat i pentruB*; dupn operaii obinem

B(x, x) = 22222

11 ... nnbbb +++

unde b1 = 1/a11, 1 = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn,ceilali coeficieni bi i coordonatele i determinndu-se din aproape naproape. Am demonstrat urmtoarea

Teorem. O form ptratic se poate scrie totdeauna sub forma

22

22

2

11 ... nnbbb +++ ,

printr-o schimbare convenabil a bazei.Observaie. Procedeul folosit nu este unic; am nceput cu x1, dar

putem ncepe cu oricare din xii s le separm.

Exemplu. S se scrie sub forma de sum de ptrate forma ptratic

133221

2

3

2

2

2

1 22),( xxxxxxxxxxxB ++++= .

Avem

32

2

3

2

2

2

3213121

2

1 2)(22 xxxxxxxxxxxx ++=++ ,

B(x, x) = 22

2

2332

2

332

2

3

3

321 8

1

4

122,2)( xxxxxxxxxxxx +

+=++

deci


47/53

B(x, x) = 2322

2

2

2

2

321 )4(8

1

8

1

8

1)( xxxxxxx +++ .

Dac punemx1 + x2 + x3 = 1,x2 = 2,x2 + 4x3 = 3,B(x, x) se transform

nB*

(, ), dat de

B(, ) = 232

2

2

1 8

1

8

1 + .

1.8.4. Metoda bazei triunghiulare. Procedeul expus arat c bazaobinut este de forma

1 = 11x1 + 12x2 + ... + 1nxn,2 = 22x2 + ... + 2nxn,...............................................2 = nnxn,

Vom cuta n cele ce urmeaz s utilizm acest fapt.

Teorema lui Jacobi. Dac n forma ptratic, scris ntr-o baz e1,e2, ..., en,

B(x, x) = = =

n

iji

n

jij

xxa1 1

determinanii urmtori sunt diferii de zero

0 = 1, 1 = a11 0, 2 =2221

1211

aa

aa 0, ...

..., k=

kkkk

k

k

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

0, ..., n =

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

0

atunci exist o baz g1, g2, ..., gn, n careB(x, x) se scrie sub forma

B

*

(, ) =

22

22

2

11 ... nnbbb +++

,


48/53

cu b1 = 0/1, b2 = 1/2, ..., bn = n1/n.

Demonstraie. Cutm noua baz sub forma

g1 = c11e1,g2 = c21e1 + c22e2,(1)

..................................g2 = c21e1 + c22e2 + ... + cnnen.

Dac n baza e1, e2, ..., en

=i j

jiij xxax)(x,B ,

atunci aij = B(e1, gj); pentru ca n baza g s obinem rezultatul propustrebuie ca

B(gi, gj) = 0, i j = 1, 2, ..., n.

S observm c dacB(gi, ej) = 0, iB(gi, gj) = 0, i j; ntr-adevr,din (1) rezult

B(g1, gj) = c11B(e1, gj), j 1,

deci dacB(e1, gj) = 0, iB(g1, gj) = 0, deoarece c11 0.

Din a doua relaie din (1) se obine

B(g2, gj) = c21B(e1, gj) + c22B(e2, gj) = c22B(e2, gj);

dacB(e2,gj) = 0, iB(g2, gj) = 0, c22 0 etc.Folosind cele scrise rezult imediat pentru coeficienii ck1, ck2, ...,

ckksistemul, dacB(ei, gi) = 1,

ck1B(e1, e1) + ck2B(e1, e2) + ... + ckkB(e1, ek) = 0,ck1B(e2, e1) + ck2B(e2, e2) + ... + ckkB(e2, ek) = 0,

(2)ck1B(ek1, e1) + ck2B(ek1, e2) + ... + ckkB(ek1, ek) = 0,ck1B(ek, e1) + ck2B(ek, e2) + ... + ckkB(ek, ek) = 1,

i pentru c aij =B(ei, ej), rezult c sistemul (2) are determinantul diferitde zero i este determinantul kdin enun. Obinem


49/53

ckk= k1/k.

Coeficientul bkal formei ptratice transformate este

bkk=B(gk, gk) = ckk,

deoarece toiB(gk, ei) = 0, i k.

Observaie. n noua baz forma ptratic se scrie

212

2

2

12

1

1

...1

n

n

n

++

+

,

ns aceast form nu este unic.

Exemplu. Forma ptratic

E(x, y, z, t) = x2 + y2 3z2 + t2 xy + 3yz + 5zt

s se scrie sub forma canonic, folosind metoda lui Jacobi, apoi cea a luiGauss.

Avem

0 = 1, 1 = 1, 2 =1

2

12

11

=

43

, 3 =

32/30

2/312/1

02/11

=29

,

4 =

12/500

2/532/30

02/312/1

002/11

= 16

147

deci forma ptratic n noua baz se scrie

E(, ) = 242

3

2

2

2

1 49

24

6

1

3

4 ++ .


50/53

Cu metoda lui Gauss avem:

2

2

2

4

1

2

1yyxxyx

= ,

...34

3

2

1 22

+++

= yzyyxE

22 32)2(4

33

4

3zzyyzy +=+ ,

deci E= ,56)2(4

3

2

1 2222

tztzzyyx++++

ns 22

2

144

256

12

5656 ttzztz +

=+ ,

E= 22

2

2

72

147

12

56)2(

4

3

2

1ttzzyyx +

++

.

Se observ c prin ambele metode obinem acelai numr deptrate cu coeficieni pozitivi, anume 3.

1.8.5. Consecine ale teoremei lui Jacobi. Teorema lui Jacobi permite s se construiasc o baz pentru reducerea formei ptratice laforma canonic ct i calculul efectiv al coeficienilor formei canonice.Aceti coeficieni arat i numrul termenilor negativi ct i ai celor

pozitivi.

Teorem. 1. Numrul schimbrilor de semn din irul 1, 1, 2, ...,n arat numrul coeficienilor negativi din forma canonic.

2. O form ptratic este pozitiv definit daci numai dac

1 > 0, 2 > 0, ..., n > 0.

Demonstraie. 1) i prima parte din 2) sunt imediate. S artm cdac o form ptratic este pozitiv definit, atunci k > 0, k = 1, 2, ..., n.Avem


51/53

),(...),(),(

............

),(...),(),(

),(...),(),(

21

22212

12111

kkkk

k

k

k

eeBeeBeeB

eeBeeBeeB

eeBeeBeeB

= ;

se tie c k 0, dac e1, e2, ..., ek sunt liniar independeni. Spresupunem ck= 0; avem atunci

1B(e1, ei) + 2B(e2, ei) + ... + kB(ek, ei) = 0,

cu i nu toi nuli; obinem

B(1e1 + 2e2 + ... + kek, e1) = 0,

deci i

B(1e1 + 2e2 + ... + kek, 1e1 + 2e2 + ... + kek) = 0,

ceea ce este n contradicie cu forma ptratic pozitiv definit, deci k >0.

Observaie. Din definiie rezult c determinanii lui Gram sunt pozitivi sau nuli. ntr-adevr, dac lum pentru B(x, y) produsul scalarpx, yf , forma ptraticB(x, x) = px, yf este pozitiv definit, iardeterminanii

k=

fpfpfp

fpfpfp

fpfpfp

kkkk

k

k

eeeeee

eeeeee

eeeeee

,...,,

............

,...,,

,...,,

21

22212

12111

> 0,

dac e1, e2, ..., ek sunt liniar independeni; iark = 0 constituie condiianecesari suficient este ca e1, e2, ..., eks fie liniar dependeni.

1.8.6. Metoda matriceal de reducere a formelor ptratice laforma canonic. Ilustrm metoda printr-un


52/53

Exemplu. S se reduc prin metoda transformrilor ortogonale formaptratic

3121

2

4

2

3

2

2

2

14321 62),,,,( xxxxxxxxxxxxf ++++=

43423241 2644 xxxxxxxx +

la forma canonic.Scriem forma ptratic astfel:

4

3

2

1

43214321

11321123

3211

2311

||||),,,(

xx

x

x

xxxxxxxxf

= .

Determinm valorile proprii ale matricei

1132

1123

3211

2311

=A ,

care este o matrice simetric, deci o matrice hermitian real; prinurmare, matriceaA admite o baz format din vectori proprii ortogonalidoi cte doi cu matricea transformrii de form diagonal. Valorile

proprii sunt date de ecuaia

0

1132

1123

3211

2311

=

i sunt 1 = 1, 2 = 1, 3 = 3, 4 = 7.Vectorii proprii corespunztori sunt

v1 =

4

1,

4

1,

4

1,

4

1, v3 =

4

1,

4

1,

4

1,

4

1,


53/53

v2 =

4

1,

4

1,

4

1,

4

1, v4 =

4

1,

4

1,

4

1,

4

1.

Obinem matricea

=

4

1

4

1

4

1

4

14

1

4

1

4

1

4

14

1

4

1

4

1

4

14

14

14

14

1

,

cu care efectum transformarea

4

3

2

1

x

x

x

x

=

4

3

2

1

y

y

y

y

;

avem i ||x1 x2 x3 x4|| = ||y1 y2 y3 y4||t

. Forma ptratic dat devine

||||),,,( 43214321 yyyyyyyyF = tA

4

3

2

1

y

y

y

y

.

Matricea este ortogonal deci t = 1. Avem i

1A =

7000

0300

0010

0001

astfel nct forma ptratic f(x x x x ) ia forma canonic

Capitolul 1 -Matematica superioara

Documents

Transcript of Capitolul 1 -Matematica superioara