- 107 -

6. Interferenţa undelor 6.1. Introducere

Prin interferenţă se înţelege suprapunerea unor unde care provin de la un număr finit de surse coerente discrete, prin care se obţine o distribuţie a intensităţii undei rezultante caracterizate printr-o succesiune de maxime şi minime numite franje de interferenţă. Franjele de maxim (luminoase) alternează cu franjele de minim (întunecate). Dacă undele care se suprapun provin de la o distribuţie continuă de surse coerente se obţin franje de difracţie. Astfel, pentru două surse cvasipunctuale coerente se obţin franje de interferenţă, pentru o sursă de dimensiuni finite (mari în comparaţie cu lungimea de undă a radiaţiilor) se obţin franje de difracţie, iar pentru două surse de dimensiuni finite se obţine o combinaţie de franje de interferenţă şi de difracţie.

Pentru ca două sau mai multe unde electromagnetice să poată interfera, este necesar ca ele să posede proprietatea de coerenţă. Prin coerenţă se înţelege corelaţia caracteristicilor oscilaţiilor (de exemplu fazele undelor) considerate în diferite puncte ale spaţiului şi la diferite momente de timp. Uzual se spune că două unde sunt coerente dacă au aceeaşi pulsaţie, iar diferenţa de fază dintre ele este constantă în timp. Interferenţa undelor are loc numai dacă acestea au o componentă de polarizare comună (undele care se suprapun nu trebuie să fie polarizate în plane reciproc perpendiculare).

Studiul interferenţei undelor luminoase emise de sursele termice clasice, a căror fază este nedefinită, este mai dificil decât studiul interferenţei microundelor, deoarece se pot obţine microunde a căror fază să fie bine definită.

Problema principală în studiul interferenţei constă în determinarea intensităţii undei rezultante, deoarece detectoarele de lumnină (ochiul, fotomultiplicatorul) sunt detectoare pătratice (înregistrează intensitatea). Proprietatea de inerţie a detectoarelor face imposibilă detectarea instantanee a intensităţii. Cel mai rapid detector este fotomultiplicatorul, care înregistrează răspunsul pe o durată de ordinul a s 10 10− (durata persistenţei imaginii pe retina ochiului este de ordinul s 10 10 21 −− ÷ ). Deoarece perioada undelor luminoase este de ∼

s 10 15− , rezultă că, în cel mai bun caz, un semnal este mediat pe 510 perioade. Deoarece undele emise de o sursă clasică nu sunt monocromatice (nu există o

coerenţă temporală perfectă) şi întrucât nu există o sursă reală punctuală (coerenţa spaţială nu este perfectă), pentru obţinerea unor unde unde coerente se folosesc sisteme interferenţiale care se bazează pe una din următoarele două metode: divizarea frontului undei primare (dispozitivul Young, oglinzile lui Fresnel), divizarea amplitudinii undei primare (lama cu feţe plan paralele, interferometrul Michelson).

O sursă emite lumină ca urmare a dezexcitării atomilor care au fost în prealabil excitaţi sub acţiunea unui câmp electric exterior. Datorită emisiei discontinue (emisia este întreruptă de ciocnirile dintre atomi), fiecare atom nu emite o undă strict monocromatică, ci trenuri de unde succesive, emise în mod aleator. În timpul emisiei, amplitudinea

0E , faza ϕ

şi orientarea intensităţii câmpului electric ( )ϕ+ω= t cosE E0

rr sunt determinate pe o durată

Cτ care este de ordinul de mărime a duratei medii între două ciocniri succesive ale atomilor

(Cτ ∼ s 10 8− ). În figura de mai jos am reprezentat o emisie de trenuri de unde cu

amplitudinea 0

E constantă şi cu faze aleatorii. Dacă sursele 1

S şi 2

S sunt independente,

diferenţa de fază 21

ϕ−ϕ=ϕ∆ a fazelor aleatorii 1

ϕ şi 2

ϕ este de asemenea o funcţie aleatoare.

- 108 -

O condiţie necesară pentru obţinerea interferenţei constă în neutralizarea caracterului

relativ aleatoriu al emisiei luminoase a celor două surse. În dispozitivul lui Young acest lucru este realizat prin faptul că trenurile de unde emise de sursele

1S şi

2S prezintă în punctul de

interferenţă P aceeaşi stare aleatoare ca şi a sursei primare, iar diferenţa de fază ϕ∆ în P este staţionară.

6.2. Interferenţa a două unde

Considerăm două surse 1

S şi 2

S care emit unde electromagnetice cu pulsaţiile 1

ω şi

2ω . Într-un punct P are loc suprapunerea celor două unde armonice plane:

( )110 11

t cosE E ϕ+ω=rr

(6.1)

( )220 22

t cosE E ϕ+ω=rr

(6.2)

Intensitatea câmpului electric rezultant este egală în P cu suma intensităţilor de câmp electric componente, întrucât acestea trebuie să satisfacă ecuaţiile lui Maxwell care sunt liniare (principiul superpoziţiei se aplică atunci când intensitatea undelor este mică, pentru a putea neglija neliniarităţile mediului):

21E E Errr

+= (6.3) Intensitatea I a undei luminoase este definită ca media pe durata de observare a

mărimii vectorului Poynting 22

0E E

21 S I

rr⋅

µε=⋅

µε== (6.4)

Deoarece I ∼ 2Er

vom putea considera drept măsură a intensităţii mărimea 2Er

(alegem unităţile de măsură astfel încât factorul de proporţionalitate să fie egal cu 1 ).

Intensitatea I a undei rezultante este deci:

( )21

2

0 2

2

0 121

2

2

2

1

2

21

2 EE2 2

E

2E

EE2 E E E E E Irr

rrrrrrrrr

⋅⋅++=⋅⋅++=+==

sau

2 121I I I I ++= (6.5)

unde

2

E E I

2

0 12

11

rr

== (6.6)

este intensitatea care s-ar observa în P dacă ar fi prezentă numai prima undă,

2

E E I

2

0 22

22

rr

== (6.7)

- 109 -

este intensitatea luminii emise de sursa 2

S şi ajunsă în punctul P, în absenţa sursei 1

S , iar

( ) ( ) t cos t cosEE2 EE2 I22110 20 1212 1

ϕ+ωϕ+ω⋅⋅⋅=⋅⋅=rrrr

(6.8)

este termenul de interferenţă. Se spune că cele două unde interferă dacă intensitatea undei rezultante nu este egală

cu suma intensităţilor undelor componente ( 0 I , I I I2 121≠+≠ ). Dacă 0 I

2 1= , atunci

I I I21

+= , adică undele nu interferă (cazul suprapunerii undelor care provin de la două becuri obişnuite).

Din relaţia (6.8) se constată că 0 I2 1= dacă

0 20 1EErr⋅ = 0 , caz în care vibraţiile

vectorilor 1

Er

şi 2

Er

au loc după direcţii perpendiculare (21

E Err

⊥ ). Evaluăm termenul de interferenţă folosind relaţiile trigonometrice

( ) ( )[ ]2

vu cos2 vu sin 2 sin v u sin ; b a cos b a cos

21 b cosa cos +⋅−=−++−=⋅

( )[ ] ( )[ ]{ } t cos t cos 21EE2 I

212121210 20 12 1ϕ+ϕ+ω+ω+ϕ−ϕ+ω−ω⋅⋅⋅=

rr ⇒

( )[ ] ( )[ ]dt t cos T1EE dt t cos

T1EE I

T

021210 20 1

T

021210 20 12 1 ∫∫ ϕ+ϕ+ω+ω⋅⋅+ϕ−ϕ+ω−ω⋅⋅=

rrrr

(6.9)

Termenul al doilea se scrie astfel (presupunând că , 21=ϕϕ constant)

( )[ ] =ϕ+ϕ+ω+ω⋅ω+ω

⋅⋅⋅ t sin

1T1EE

T

02121

210 20 1

rr

= ( ) ( )[ ] ( ){ } =ϕ+ϕ−ϕ+ϕ+ω+ωω+ω

⋅⋅ sin T sin T

1EE212121

210 20 1

rr

=

( )( )

( ) ( )2

2 T cos

2T

2T

sinEE 2121

21

21

0 20 1

ϕ+ϕ+ω+ω⋅

ω+ω

ω+ω

⋅⋅rr

(6.10)

Deoarece în domeniul vizibil rad/s 10 15≈ω , T (durata de observare) s 10 10−≈ , rezultă:

( )5

101521 10

210102

2T

=⋅⋅≈ω+ω

=ξ−

>> 1 ⇒ ξξ sin <<< 1 (vezi graficul de mai jos)

Astfel al doilea termen din (6.9) este neglijabil. Acest termen poate fi considerat nul şi datorită faptului că

1ω şi

2ω au valori

foarte mari, cosinusul variază rapid în timp şi în decurs de o perioadă de timp egală cu durata de observare ia toate valorile posibile, atât pozitive, cât şi negative, astfel că valoarea medie este nulă.

- 110 -

Primul termen din relaţia (6.9) diferă de al doilea prin faptul că 22

ω−→ω ,

22 ϕ−→ϕ . Astfel

2 1I se poate scrie direct pe baza relaţiei (6.10) în care modificăm

semnele la 2

ω şi 2

ω .

2 1I =

( )( )

( ) ( )2

2 T cos

2T

2T

sinEE 2121

21

21

0 20 1

ϕ−ϕ+ω−ω⋅

ω−ω

ω−ω

⋅⋅rr

(6.11)

2 1I este maxim când

( )( ) 1

2T

2T

sin

21

21

→ω−ω

ω−ω

adică atunci când 22

ω→ω

Aşadar prima condiţie necesară pentru înalta coerenţă a celor două unde cere ca pulsaţiile lor să fie extrem de apropiate (

21 ω≈ω ). Considerând că această condiţie este

îndeplinită (21

ω=ω ) , din relaţia (6.9) obţinem (al doilea termen a fost neglijat):

( )210 20 12 1

cosEE I ϕ−ϕ⋅⋅=rr

(6.12) Dacă sursele

1S şi

2S sunt independente, diferenţa de fază

21 ϕ−ϕ a fazelor aleatorii

este de asemenea o funcţie aleatoare. În acest caz diferenţa de fază variază mult pe durata de observare şi valoarea medie din relaţia (6.12) se anulează. Astfel a doua condiţie necesară pentru înalta coerenţă a celor două unde cere ca diferenţa de fază să fie constantă pe durata de observare. A treia condiţie pentru înalta coerenţă cere ca pe durata de observare unghiul dintre

0 1Er

şi 0 2

Er

să fie egal cu 00 (pentru acest unghi 2 1

I este maxim). Ultima condiţie (a

patra) necesară pentru înalta coerenţă cere ca oscilaţiile câmpurilor electromagnetice ale celor două unde să se suprapună şi în timp, nu numai în spaţiu. Din (6.5) şi (6.11) , pentru

ω=ω=ω 21

, rezultă:

( )( )( )

( )ϕ∆⋅++=ϕ−ϕ⋅⋅++= cosII 2 I I 6.6

7.6 cosEE I I I

2121210 20 121

rr (6.13)

Valoarea maximă se obţine pentru

π±π±=ϕ∆ 2n , . . . ,2 0, (6.14)

( )2212121

I I II 2 I I maxI +=++= (6.15)

În acest caz diferenţa de drum este un număr întreg de lungimi de undă

δ⋅λπ=ϕ∆ 2 (6.16)

n22

π⋅πλ=δ ⇒ λ=δ n (6.17)

Valoarea minimă se obţine pentru

( )π+±π±π±=ϕ∆ 1 n 2 , . . . ,3 , (6.18)

- 111 -

( )2212121

I I II 2 I I min

I −=−+= (6.19)

În acest caz diferenţa de drum este un număr impar de semiunde

( ) 1 n 22

π+⋅πλ=δ ⇒ ( )

2 1 n 2 λ+=δ (6.20)

Se defineşte vizibilitatea (contrastul) franjelor prin

minI maxImin

I maxI V

+

−= (6.21)

Folosind (6.15) şi (6.19) , rezultă:

( ) 1 I/I 1

I/I 2

I I 2

II 4 V

12

12

21

21 ≤+

=+

= (6.22)

Din această relaţie se constată că dacă 21

I I = atunci V = 1, iar dacă 1

I << 2

I sau

1I >>

2I atunci 0 V → . În practică vizibilitatea franjelor este întotdeauna mai mică decât 1

(chiar pentru 21

I I = ) , datorită dimensiunii finite a surselor şi datorită lărgimii finite a liniilor spectrale.

Dacă 021

I I I == atunci relaţia (6.13) devine

( )ϕ∆+= cos 1 I 2 I0

(6.23)

sau

2cosI 4 I 2

0

ϕ∆⋅= (6.24)

În acest caz graficul lui I în funcţie de ϕ∆ are forma

6.3. Funcţia de coerenţă mutuală. Gradul de coerenţă

Presupunem că printr-un procedeu de divizare a frontului unei unde cvazimonocromatice (lărgimea de bandă δν << ν ) se obţin în două puncte

1S şi

2S două

unde care, la un moment ulterior t , interferă într-un punct P . Dacă neglijăm contribuţia difracţiei, intensitatea câmpului electric în punctul P va fi

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+=

cd

t ,S E cd

t ,S E tP, E tP, E tP, E 22

1121

(6.25)

- 112 -

unde c/d1

este timpul în care lumina se propagă de la 1

S la P pe distanţa 1

d , c/d2

este

timpul de întârziere în care lumina se propagă pe distanţa 2

d .

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−→

cd

t ,S E t,S E 111

( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−→

cd

t ,S E t,S E 222

Datorită caracterului statistic al procesului (fluctuaţiile datorate emisiei spontane (aleatoare), vibraţiile mecanice ale elementelor optice, fluctuaţiile din atmosferă) trebuie să se determine media pe ansamblu

( ) ( ) ( ) tP, E tP, E tP, I ⋅∗= (6.26)

şi apoi se ia media temporală

( ) ( ) td t t P, I T1 tP, I

T

0

′′+⋅= ∫ (6.27)

Am folosit pentru intensitatea undei aceeaşi unitate de măsură ca şi în paragraful

anterior ( 1 21

0

0 =µ

ε) .

Folosind relaţiile (6.25) şi (6.26) , obţinem:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∗+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

cd

t ,SE cd

t ,SE Re 2 c

d t ,SE

cd

t ,SE tP, I 22

11

2

22

2

11

(6.28) sau

( ) ( ) ( ) c

d t ,S ;

cd

t ,S Re 2 tP, I tP, I tP, I 22

1121 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−Γ++= (6.29)

unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∗=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−Γ

cd

t ,SE c

d t ,SE

cd

t ,S ; c

d t ,S 2

21

12

21

1 (6.30)

este funcţia de coerenţă mutuală, iar

( ) ≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

c

d t ,SE tP, I

2

111

intensitatea măsurată în P în absenţa sursei

2S

( ) ≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

cd

t ,S I c

d t ,SE tP, I 2

2

2

222

intensitatea măsurată în P în absenţa sursei

1S

Pentru un câmp staţionar, funcţia de coerenţă mutuală este independentă de originea timpului (depinde de

1t şi

2t numai prin intermediul diferenţei

12 t t −=τ ). Avem:

- 113 -

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Γ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−Γ

cd d

,S ,S c

d t ,S ;

cd

t ,S 1221

22

11

(6.31)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22221111

SI PI tP,I I ; SI PI tP,I I ; PI tP,I I ======== (6.32)

În acest caz relaţia (6.29) devine

122121d d d ,

cd,S ,S Re2 I I I −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅++= (6.33)

sau

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛γ⋅++=

cd,S ,S ReII 2 I I I

212121 (6.34)

unde

21

21

21 II

cd,S ,S

cd,S ,S

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛γ (6.35)

este gradul de coerenţă. Câmpul monocromatic este un exemplu de câmp staţionar. În acest caz:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ϕ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ω

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ϕ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ω

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

22

0 22

2

11

0 11

1

c

d t i

eE c

d t ,SE ;

cd

t i

eE cd

t ,SE

( )=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∗

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−Γ

cd

t ,SE cd

t ,SE 6.30

c

d t ,S ;

cd

t ,S 22

11

22

11

= =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ϕ−ϕ+

−ω−

⋅=ϕ+ω−ω+ϕ−ω+ω−

⋅

c

d d i

eEE i

cd

i t i i cd

i t i eEE

2112

0 20 1

22

11

0 20 1

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Γ

cd d

,S ,S 1221

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

cd,S ,S

21

2

0 1

2

111

E cd

t ,SE I =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ⇒

10 1I E =

2

0 2

2

222

E c

d t ,SE I =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ⇒

20 2I E =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ∆+ω⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

cd cosEE

cd,S ,S Re

0 20 121 ,

12d d d −= ,

21 ϕ−ϕ=ϕ∆

λ⋅π=νπ=ω c 2 2 ⇒

λπ=ω d 2

cd ⇒

- 114 -

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ∆+

λπ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ d 2 cosII

cd,S ,S Re

2121 (6.36)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ∆+

λπ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛γ d 2 cos

II

cd,S ,S Re

cd,S ,S Re

21

21

21 (6.37)

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ∆+

λπ⋅++= d 2 cos II 2 I I

6.34 I

2121 (6.38)

Dacă d = 0 regăsim relaţia (6.13). Dacă 0 =ϕ∆ , pentru λ= n d obţinem maxI ,

iar pentru ( )2

1 n 2 d λ+= obţinem min

I .

Dacă 0 ≠ϕ∆ , atunci I devine maxim pentru

n 2 d 2 π±=ϕ∆+λπ ⇒

πϕ∆λ+λ=

2 n d (6.39)

deoarece în acest caz cosinusul este egal cu 1 . Valoarea minimă a lui I se obţine dacă:

( ) 1 2n d 2 π+±=ϕ∆+λπ ⇒

πϕ∆λ+λ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2

21 n d (6.40)

Pentru un câmp perfect monocromatic

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ∆+

λπ−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ∆+ω−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛γ

d 2 i e

cd i

e cd,S ,S

21 (6.41)

Pentru 0 =ϕ∆ ,

cd , i e c

d i e

cd,S ,S

21=ττω−=

ω−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛γ (6.42)

Pentru o undă cvazimonocromatică, putem presupune că

( ) ( )cd , i e ,S ,S ,S ,S

2121=ττω−⋅τγ=τγ (6.43)

unde ω este pulsaţia centrală, iar modulul lui γ variază foarte lent cu τ în comparaţie cu τω− i e . În acest caz în locul relaţiei (6.38) obţinem

( )λπ⋅τγ⋅++= d 2 cos ,S ,S II 2 I I I

212121 (6.44)

Pentru o regiune din jurul lui P mult mai mare decât λ , cosinusul din expresia de mai sus variază foarte rapid cu d , între − 1 şi + 1 , în timp ce modulul lui γ rămâne practic neschimbat, deoarece are o variaţie lentă. Astfel în vecinătatea lui P , putem determina

minI , maxI şi V .

II 2 I I maxI2121

γ⋅++= (6.45)

II 2 I I maxI2121

γ⋅−+= (6.46)

( )

I I

II 2

minI maxImin

I maxI

6.21 V

21

21 γ⋅+

=+

−= (6.47)

- 115 -

Se constată că modulul γ al gradului de coerenţă complex este o măsură a

vizibilităţii franjelor de interferenţă. Pentru 21

I I = se constată că V = γ . Dacă

minI maxI = atunci γ = 0 (lumină necoerentă); pentru γ = 1 lumina este total coerentă,

iar pentru 0 < γ < 1 avem o coerenţă parţială. Pentru o undă monocromatică, din (6.42)

rezultă γ = 1. 6.4. Coerenţa temporală

Funcţia de coerenţă mutuală ( )2211

t,r, t,r rrΓ determină coerenţa reciprocă a câmpurilor

în două puncte diferite (1rr şi

2rr ) şi la două momente de timp diferite (

1t şi

2t ). Coerenţa

temporală se referă la coerenţa undelor (corelaţia dintre fazele lor) într-un punct (1rr =

2rr = r

r)

din câmpul de interferenţă la două momente de timp diferite. Coerenţa temporală a unei unde nu este perfectă dacă unda nu este monocromatică. Pentru o undă cvazimonocromatică, fiecare din componentele sale monocromatice va conduce la un sistem propriu de franje de interferenţă. Diferenţa de fază în punctul de observare depinde de frecvenţa componentei monocromatice considerate

c , 2 2 ll =ττνπ=

λπ=ϕ (6.48)

Asimilând distribuţia de intensitate a liniei spectrale (caracteristică sursei primare care emite unda cvazimonocromatică incidentă pe un dispozitiv interferenţial) cu un dreptunghi de lăţime egală cu lărgimea de bandă a liniei spectrale

21

ν∆ , diferenţa de fază în punctul de

observare P este cel mult τν∆⋅π=ϕ∆

21

21

2 (6.49)

Cu cât spectrul de frecvenţă este mai îngust (21

ν∆ este mic), cu atât franjele de

interferenţă care se suprapun contribuie mai puţin la neclaritatea imaginii de interferenţă. Dacă

21

ϕ∆ este neglijabil faţă de π , atunci sistemul de franje de interferenţă corespunzător

fiecărei frecvenţe nu va fi distrus.

π=τν∆⋅π 2C

21

⇒ ϕ∆ν∆

=τ , 2

1

21

C < π ⇒

21

C 21 ν∆

=τ≤τ (6.50)

Distanţa străbătută de undă în timpul Cτ este

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

λ∆⋅λ

=ν∆⇒λ⋅λ

−=νλ

=ν

ν∆⋅=τ⋅=

c dc d , c

21 c c

212

212

21

CCl

⇒

21

2

2

λ∆λ=l (6.51)

Relaţiile (6.50) şi (6.51) nu pot fi considerate riguroase, datorită aproximaţiei folosite pentru distribuţia de intensitate a liniei spectrale. Dacă se impune condiţia ca

21

ϕ∆ să

fie neglijabil faţă de π2 , atunci în locul relaţiilor (6.50) şi (6.51) se obţine:

- 116 -

, 1

21

C ν∆=τ

21

2

λ∆λ=l (6.52)

Uneori în locul relaţiei (6.50) se defineşte un timp de coerenţă al radiaţiei

cvazimonocromatice de lărgime de bandă 21

ν∆

21

21

coerenta ν∆⋅π=τ (6.53)

iar lungimea de coerenţă (temporală) corespunzătoare este dată de relaţia

coerentac

coerentaτ⋅=l (6.54)

Pentru o lampă cu vapori de mercur ( 5461 0=λ Å) , mm 0,3 , s 10

C

12

C==τ − l , iar

pentru un laser cu heliu-neon ( 3286 0=λ Å) , cm 03 , s 10

C

9

C==τ − l .

Putem obţine relaţia (6.51) considerând că vizibilitatea franjelor este zero în punctul

P pentru o diferenţă de drum C

ll = , astfel ca lungimea de undă 2

1

λ∆+λ=λ să

corespundă unui maxim de interferenţă, iar 2

2

λ∆−λ=λ să corespundă unui minim de

interferenţă (sau invers). Am presupus, pentru simplitate, că intensitatea este constantă pentru

1λ şi

2λ ca în figura de mai sus (intensitatea este presupusă constantă pentru lungimile de

undă cuprinse între 2

λ şi 1

λ ).

neglijabil , 21 n n 2

21C=λ∆λ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=λ=l (6.55)

Rezultă:

( )C

2

CC

21CCC21 2

2

1 2n n

1 2n

2 n1

lll

lll

λ≈⋅

λλ=

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=λ−λ=λ∆ ⇒ ≡

λ∆λ= 2

2

Cl (6.51)

Diferenţa de drum Cl corespunde

situaţiei în care franjele de interferenţă dispar. Această valoare poate fi privită ca distanţa pe care lumina emisă poate fi reprezentată de o singură undă sinusoidală.

- 117 -

Dacă τ << coerentaτ ( l <<

coerental )

trenurile de undă care se întâlnesc în P provin de la acelaşi tren de undă emis de sursa punctiformă S . În acest caz undele care ajung în P interferă, deoarece diferenţa lor de fază este constantă în timp (nu este aleatoare).

Dacă τ > coerentaτ ( l >

coerental ) , în punctul

P nu are loc interferenţa undelor, deoarece diferenţa lor de fază este aleatoare (nu este staţionară). Acest lucru se datorează faptului că trenurile de unde care ajung în P provin de la trenuri succesive emise de S .

Dacă undele care interferă au aceeaşi amplitudine, contribuţia la intensitatea totală de la o bandă de frecvenţă νd a cărei intensitate spectrală este νI , are forma (vezi relaţia

(6.23) ) ( ) τνπ=ϕνϕ+ν 2 , d cos 1 I 2 (6.56)

Rezultă: ( ) ( )[ ]∫∫ ν⋅τνπν−νν+=ντνπ+ν= d 2 cos I 1 I 2 d 2 cos 1 I 2 I

0

n

0 (6.57)

unde

, dI I0

νν= ∫ ( ) ( ) ; real

I I

I0

0

n =νν=ν−νν > 0 (6.58)

( )0

n I ν−νν este intensitatea spectrală normată şi centrată.

Relaţia (6.57) poate fi scrisă sub forma

( ) ( )=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ν

τν−νπ−ν−νν

τπν−+= ∫ d

2 i e I

2 i e Re 1I 2 I 0

0

n00

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ β−

⋅τπν−

γ+=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ τπν−τγ+= t0

t00

t0

i e

2 i e Re 1 I 2

2 i e Re 1I 2 ⇒

( )[ ]00t0t0

2 , cos 1 I 2 I νπ=ωβ+τω⋅γ+= (6.59)

Deoarece cosinusul variază cu τ mult mai rapid decât tγ , atunci

( ) ( ) 1 I 2 min

I , 1 I 2 maxIt0t0γ−=γ+= ⇒ V =

tγ

(6.60) În cazul în care amplitudinile undelor care interferă sunt diferite, rezultă V ≠

tγ

. Relaţia dintre V şi ( )

0

n I ν−νν constituie teorema Wiener-Kintchine. V se determină

experimental pe baza franjelor de interferenţă. Astfel cunoscând vizibilitatea franjelor putem obţine informaţii privind intensitatea spectrală νI . Spectrometrul cu transformare Fourier

permite obţinerea spectrului cu rezoluţie foarte înaltă al unor probe, în vederea determinării structurii şi a interacţiunilor moleculare. Astfel studiul coerenţei nu este o temă pur

- 118 -

academică. O problemă importantă o constituie determinarea fazei lui tγ în prezenţa unor

zgomote ale semnalului analizat. 6.5. Coerenţa spaţială

Coerenţa spaţială se referă la corelaţia dintre fazele undelor în două puncte diferite aflate într-un plan perpendicular pe direcţia de propagare, la acelaşi moment de timp. Pentru surse staţionare, coerenţa spaţială este caracterizată de funcţia de coerenţă mutuală ( )0 ,r ,r

21

rrΓ şi de gradul de coerenţă complex ( )0 ,r ,r

21

rrγ .

Considerăm întâi un dispozitiv Young ideal în care sursa punctiformă S emite o undă monocromatică cu lungimea de undă λ . Această undă ajunge la un paravan prevăzut cu două orificii apropiate

1S şi

2S de dimensiuni foarte mici. Conform principiului lui Huygens, în

momentul în care cele două orificii sunt atinse de o suprafaţă de undă ele devin, la rândul lor, surse secundare coerente (deoarece provin de la aceeaşi sursă primară). Undele secundare emise de sursele

1S şi

2S interferă pe un ecran, aflat la o distanţă D destul de mare de

paravan. Franjele de interferenţă sunt nelocalizate, deoarece ele apar în orice regiune din spaţiu în care cele două unde se suprapun.

Dx tg, sin =αδ=α

l

Pentru unghiuri α foarte mici putem face aproximaţiile α≈α≈α tg sin . Rezultă:

Dx =δ

l (6.61)

În punctul P se obţine un maxim de interferenţă dacă diferenţa de drum este un număr întreg de lungimi de undă

. . . 2, 1, 0, n D n x Dx

n n n

n =λ=⇒=λ⇒λ=δll

(6.62)

Pentru maximul de ordinul n + 1 se obţine:

( )lD 1 n x

1 n

λ+=+

(6.63)

Interfranja este distanţa dintre două maxime sau minime succesive

lD x x i

n1 n

λ=−=+

(6.64)

Se constată că interfranja creşte cu λ şi D , fiind invers proporţională cu l . Din (6.24) şi (6.61) obţinem:

D x

2 2 l

λπ=δ

λπ=ϕ∆⇒δ

λπ=ϕ∆ (6.65)

D x cosI 4 I 2

0 λπ⋅= l (6.66)

Pentru a studia coerenţa spaţială vom urmări mai întâi care este influenţa unei deplasări a sursei S asupra diferenţei de fază în punctul de observare P .Deoarece

1S ,

2S şi P sunt fixe, variaţia fazei în P

la o deplasare a sursei primare este:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =−∆λπ=−∆

λπ=ϕ∆ SS SS 2 PSS PSS 2

1212

- 119 -

= ( ) Su u 221

∆⋅−λπ rr

unde 1

ur şi 2

ur sunt versorii din figura de mai sus. Se constată că nu există o variaţie a fazei

dacă sursa S se deplasează perpendicular pe vectorul 21

u u rr− (produsul scalar din (6.67) se

anulează). De aceea nu apare o modificare a coerenţei dacă în locul sursei punctuale S se pune o sursă sub forma unei fante perpendiculare la

21u u rr

− , lucru care se foloseşte în

practică. Dacă însă deplasarea S∆ se face paralel cu 21

u u rr− atunci defazajul ϕ∆ din (6.67)

este maxim:

α⋅∆⋅λπ≈α⋅∆⋅

λπ=ϕ∆ S 2

2sin 2S 2

Fiecare din punctele sursei întinse va conduce la un sistem propriu de franje de interferenţă, independente unele de altele. De aceea intensitatea undei rezultante se exprimă ca suma intensităţilor componente (elementele sursei clasice întinse sunt considerate necoerente):

( )i

ii

cos 1 I 2 I ϕ∆+= ∑

unde:

( ) ( )[ ] PSS PSS 2 1i2ii

−∆λπ=ϕ∆

Asimilând sursa primară cu o fantă dreptunghiulară de lăţime S∆ , diferenţa de fază maximă care corespunde extremităţilor sursei nu contribuie la dispariţia franjelor de interferenţă ca urmare a suprapunerii acestora dacă

ϕ∆ << 2π (6.68) Pe baza figurii de mai sus obţinem:

⇒⋅=∆∆

=⇒∆

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∆=

= 2 ,

DS

DS

DS

SS

SS

S

S

S

δλπϕδ

δ

θ

δθ

l

l

l

sin

sin

D

S 2 S

∆⋅λπ=ϕ∆ l (6.69)

Din (6.68) şi (6.69) rezultă:

θλ=⇒∆≈θ≈θ

∆

λ=⇒π=∆⋅

λπ D

S sin , SD

2 DS 2

SS

SS

S

lll

ϕ∆ << 2π l < θλ=

Sl (6.70)

Sl reprezintă lărgimea de coerenţă spaţială.

Obţinem acelaşi rezultat dacă folosim relaţiile (6.39) , (6.61) , (6.64) şi (6.69)

- 120 -

( )S

DS D D n

6.69 D

2 D n d D D

immax x,

2 n

immaxd ∆+λ

=λ⋅

πϕ∆+λ⋅==δ=

πϕ∆⋅λ+λ=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ lllll

Termenul subliniat exprimă deplasarea sistemului de franje ca urmare a faptului că sursa S’ nu este echidistantă faţă de

1S şi

2S (datorită întinderii sursei primare). Franjele

asociate unei surse punctiforme coincid practic cu franjele unor surse foarte apropiate, dacă termenul subliniat este mai mic decât interfranja:

SD

S D ∆ < 1 ( )

ll

D 64.6

⇒λ= <

sin

SD

SS ≡=

θλ≈

θλ=

∆

λl (6.70)

Dacă se impune condiţia mai restrictivă ϕ∆ << π , echivalentă cu inegalitatea

SD

S D ∆ < 2i , atunci lărgimea de coerenţă spaţială are expresia

θλ= 2

spatiala coerenta

l .

Pentru Soare ( 23 ′≈θ ) , m 106 5

S

−⋅≈l , iar pentru o stea îndepărtată ( 1 ′≈θ )

m 102 3

S

−⋅≈l .

Putem evalua intensitatea totală în punctul de observare P în acelaşi mod ca în paragraful anterior.

( )[ ] ( )[ ]∫∫∫∫ ϕ+ϕ⋅+=ϕ+ϕ+= dS cos I 1 I 2 dS cos 1 I 2 IPS

n

S0PSS (6.71)

unde S este un punct curent în planul sursei primare, P este un punct curent de pe ecranul de observare,

D x 2 ,

D x 2 P

PS

SS

ll⋅

λπ=ϕ⋅

λπ=ϕ , (6.72)

0

Sn

SS0 II

I , dSI I =⋅= ∫∫ (6.73)

iar ( )S I ISS

= este distribuţia spaţială de intensitate în planul sursei primare. Deoarece n

SI

este real şi pozitiv, putem pune I sub forma: ( )[ ]

SPS0 cos 1 I 2 I β+ϕ⋅γ+= (6.74)

unde S

SSn

SS

ie dS

i eI

β−⋅γ=⋅

ϕ−⋅=γ ∫∫ (6.75)

Deoarece cosinusul variază cu P

x (prin intermediul lui P

ϕ ) mult mai rapid decât

Sγ , atunci

( ) ( ) V 1 I 2 min

I , 1 I 2 maxISS0S0γ=⇒γ−=γ+= (6.76)

Sγ se numeşte grad de coerenţă spaţială complex. Relaţia dintre V şi n

SI constituie

teorema lui Van Cittert şi Zernike. Vizibilitatea V se determină experimental pe baza franjelor de interferenţă. Astfel, cunoscând vizibilitatea franjelor putem obţine informaţii privind intensitatea spaţială normată şi centrată n

SI şi deci asupra diametrului aparent al

- 121 -

sursei primare. Această metodă este folosită pentru determinarea diametrului aparent al stelelor. Întrucât faza lui

Sγ nu este accesibilă, se folosesc informaţii suplimentare. Cazul

ideal în care sursa este punctuală corespunde lui Sγ = 1.

În continuare determinăm vizibilitatea franjelor de interferenţă în cazul unei surse liniare, simetrică faţă de axa sistemului.

Presupunem că: imaginea sursei este liniară (dimensiunea imaginii este

0x ) ; intensitatea emisă de

un element al sursei dS este proporţională cu lungimea elementului şi deci cu lungimea imaginii dx’; intensităţile datorate elementelor de aceeaşi mărime sunt egale (sursa este uniformă); putem aduna contribuţiile intensităţilor de la diferite elemente ale sursei în planul de observare (elementele dS ale sursei nu sunt surse coerente, lucru valabil pentru sursele termice, dar nu şi pentru lasere).

În figura de mai sus L este o lentilă convergentă. Pe baza relaţiei (6.66) putem scrie:

( ) xd x x D cosI 4 dI 2

0′⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ′−λπ⋅= l (6.77)

Am considerat că dI este proporţional cu dx’ , iar franjele sunt centrate faţă de punctul de coordonată x’ care este imaginea centrului elementului dS . Integrând peste întreaga sursă (deci peste întreaga imagine) obţinem:

( ) ( ) =′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−

λπ+=′⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ′−λπ⋅== ∫∫∫

−− xd x x

D 2 cos 1

21 I 4 xd x x

D cosI 4 dI I 2

0x

20x

0

20x

20x

2

0

ll

= ( ) ( ) xd x x d , xd x x D 2 cos x I 2 2

0x

20x

00

′−=′−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′′−

λπ+ ∫

−

l

(integrarea se face după variabila x’ ).

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λπ−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λπ

πλ−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡′−

λπ⋅

λπ−=

−2

x x

D2sin

2x

x D

2sin 2

D xI 2 x x D

2sinD

2 xI2 I 0000

20x

20x

00

lll

ll

Folosind relaţia: 2

cos 2

sin 2 sin sin β+αβ−α=β−α ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λπ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λπ⋅

πλ−=

2x2

D2 cos

2x

D

2sin 22

D x I 2 I 000

lll

⇒

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λπ⋅

λ

πλ

π

+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡λπ

λ

π⋅

πλ+=

Dx2 cos

Dxx

Dx

sin x I 2

Dx2 cos

Dx

sin D x I 2 I

0

0

0

000

00

ll

l

ll

l ⇒

- 122 -

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λπ⋅

λ

πλ

π

+=D

x 2 cos

D x

D x

sin 1 xI 2 I

0

0

00

ll

l

(6.78)

Se constată că dacă dublăm dimensiunea sursei (dublăm dimensiunea imaginii 0

x )

are loc o dublare a intensităţii, în acord cu proporţionalitatea presupusă. Relaţiile (6.77) şi (6.78) nu sunt corecte din punct de vedere dimensional (dI ∼ dx’ ; I ∼

0x ). De aceea vom

“norma” intensitatea astfel:

0

n

xI I = (6.79)

Obţinem:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λπ⋅

λ

πλ

π

+=D

x 2 cos

D x

D x

sin 1 I 2 I

0

0

0

n ll

l

(6.80)

Dacă particularizăm pentru cazul unei surse primare punctiforme (0

x → 0 ) obţinem:

D x cosI 4

D x 2 cos 1 I 2 I 2

00

n ≡λπ⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

λπ+= ll (6.66)

Din relaţia (6.80) rezultă:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λπλπ

+=

D x

D x

sin 1 I 2 maxI

0

0

0

n

l

l

pentru D

x 2 cosλπ l = 1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

πλ

π

−=

D x

D x

sin 1 I 2

minI

0

0

0

n

l

l

pentru D

x 2 cosλπ l = − 1

V =

D x

D x

sin

0

0

λ

πλ

π

l

l

(6.81)

Pentru 0

x → 0 ⇒ V → 1 (cazul ideal)

i D x0

=λ=l

⇒ sin 2π = 0 , V = 0

0x < i ⇒ 0 < V < 1

i < 0

x < 2 I ⇒ V < 0 (contrast invers)

Graficul lui v în funcţie de 0

x are următorul aspect:

- 123 -

6.6. Lama cu feţe plan paralele

Interferenţa în lame transparente cu feţe plan paralele se bazează pe metoda divizării amplitudinii undei incidente. Interferenţa pe o lamă suficient de subţire poate fi observată în lumină reflectată sau în lumină transmisă. Avantajul acestei metode constă în posibilitatea folosirii unor surse de lumină întinse în locul unor surse punctiforme (micşorând dimensiunile unei surse reale se pierde o parte din fluxul luminos emis de suprafaţa întregii surse). Din relaţia (6.67) se constată că 0 =ϕ∆ dacă

21u u rr

= (lama cu feţe plan paralele permite obţinerea a două raze pornind de la o singură rază incidentă).

Considerăm o lamă cu feţe paralele având grosimea e şi indicele de refracţie n . Presupunem că lama se află în aer. În cazul incidenţei normale, coeficienţii de reflexie şi de transmisie în amplitudine, pe prima faţă a lamei, sunt (vezi pagina 74):

n 1n 1 r

EE

11i 0

r 0

+−==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ < 0 ,

n 12 t

EE

11i 0

t0

+==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ > 0

(coeficienţii de reflexie şi de transmisie în intensitate au fost notaţi cu litere mari ( R şi T )).

Deoarece 1

r < 0 rezultă că unda reflectată de prima faţă este defazată cu π faţă de unda incidentă. Pe faţa a doua nu există acest defazaj deoarece:

n 11 n r

EE

22i 0

r 0

+−==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ > 0 ,

n 1n 2 t

EE

22i 0

t0

+==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ > 0

Diferenţa de drum optic dintre razele corespunzătoare undelor care interferă în lumină reflectată este

BC AB , )2

(AD BC) (ABn r

=λ−−+=δ ,

cos r = r cos

e BC AB ABe ==⇒

eQB r tg,

QB 2AD i sin == ⇒

AD = 2 QB sin i = 2 e tg r ⋅ sin i, sin i = n sin r

2 AD ABn 2

r

λ+−⋅=δ devine:

- 124 -

( ) ⇒λ+−=λ+⋅⋅−=δ 2

rsin 1 r cosen 2

2 r sinn

r cosrsin e 2

r cosen 2 2

r

2

r cosen 2 r

λ+⋅=δ (6.82)

Diferenţa de fază corespunzătoare este:

π+⋅⋅λπ=δ⋅

λπ=ϕ r cosen 2 2 2

rr (6.83)

Adăugarea termenului 2λ în (6.82) este necesară deoarece reflexia în A se face cu

o modificare de fază egală cu π (reflexia la suprafaţa de separare dintre aer şi un mediu cu indice de refracţie mai mare).

Deoarece BCG = ABC şi BF = AD , diferenţa de drum optic dintre razele corespunzătoare undelor care interferă în lumina transmisă este:

r cosen 2 t

⋅=δ (6.84)

Franjele de interferenţă obţinute în lumina transmisă sunt complementare cu cele

obţinute în lumina reflectată (apare diferenţa 2λ între ele), primele prezentând un maxim

acolo unde celelalte au un minim şi invers. Deoarece toate razele care cad sub acelaşi unghi de incidenţă i au acelaşi unghi de refracţie r şi deci aceeaşi diferenţă de drum optic, franjele de interferenţă se numesc franje de egală înclinare (grosimea lamei fiind constantă, ansamblul punctelor de egală intensitate

tr2121 sau , cosII 2 I I I ϕ=ϕϕ=ϕϕ⋅++= şi deci de

egală diferenţă de fază este definit de r = constant, adică de i = constant). Toate razele care cad pe lamă sub acelaşi unghi de incidenţă determină o suprafaţă conică având vârful în S . De aceea franjele de interferenţă se prezintă sub forma unor inele luminoase şi întunecoase concentrice. Deoarece undele care interferă au vectorii de undă paraleli, aceste franje sunt localizate la infinit. Pentru a le aduce la o distanţă finită se foloseşte o lentilă convergentă. În practică cele două lentile sunt paralele cu feţele lamei (în cazul interferenţei în lumină reflectată observarea franjelor de interferenţă necesită folosirea unei lame semitransparente).

Pentru o lamă de sticlă ( n = 1,5 ) , coeficienţii de reflexie şi de transmisie pe cele două feţe ale lamei sunt 1,2 t; 0,8 t; 0,2 r ; 0,2 r

2121===−= , astfel că amplitudinile

undelor reflectate sunt aproximativ egale ( 0,19 r t t; 0,2 r 2211== ). Am luat în

considerare numai primele două unde reflectate şi am presupus că amplitudinea undei incidente este egală cu 1 . Amplitudinile primelor două unde transmise sunt foarte diferite ( 0,04 r t t; 0,96 tt 2

22121== ). Astfel, în timp ce fasciculele reflectate au intensităţi

aproximativ egale şi deci vor da naştere la franje de vizibilitate mare, primele două fascicule transmise având intensităţi diferite vor conduce la franje cu un contrast foarte slab. Pentru o lamă argintată pe ambele părţi toate undele reflectate, exceptând-o pe prima, au practic aceeaşi amplitudine; în transmisie toate undele au practic aceeaşi amplitudine.

Instrumentele optice conţin un număr mare de suprafeţe de separare aer-sticlă. Pentru un obiectiv fotografic de calitate, care conţine opt suprafeţe de separare, are loc o pierdere prin reflexie de 40% din fluxul luminos incident. Reducerea acestor pierderi se realizează prin depunerea pe suprafaţa pieselor de sticlă a unor straturi subţiri (MgF2 , 1,35 n

S= ) din

substanţe dielectrice transparente.

- 125 -

Pentru ca intensitatea reflectată să fie minimă se impune condiţia de minim de interferenţă

( ) . . . 1, 0, m , 2

1 m 2 r cosen 2S

=λ+=⋅

(deoarece 1 < S

n < n pe ambele suprafeţe de trecere

apare un drum suplimentar egal cu 2λ ) şi se cere ca

n n n nn n

n 1n 1

SS

S

S

S =⇒+

−=

+

− < n

(coeficienţii de reflexie în amplitudine sunt egali la cele două suprafeţe de separare). La incidenţă normală (cos r = 1 ) , grosimea minimă a stratului corespunde lui m = 0 :

Sn 4

min

e λ= (6.85)

Se poate arăta că există o echivalenţă geometrică între interferometrul Michelson şi o lamă subţire de aer în care se observă interferenţa în lumină reflectată.

6.7. Interferometrul Michelson

Interferometrul Michelson este format dintr-o lamă semitransparentă LS şi din două oglinzi plane

1O şi

2O perpendiculare una pe cealaltă. Lama semitransparentă LS este

înclinată la 450 faţă de normalele la oglinzile 1

O şi 2

O .

Dacă grosimea lamei semireflectante LS nu este neglijabilă, se foloseşte o a doua lamă LS’ identică, numită compensatoare, care are rolul de a elimina diferenţele dintre drumurile optice datorate lamei LS . Dacă imaginea

1O′ a oglinzii

1O este

paralelă cu 2

O , atunci spaţiul dintre 2

O şi 1

O′ este echivalent cu o lamă subţire de aer, astfel că în planul focal al lentilei L se obţin franje de interferenţă de egală înclinare (inele Haidinger).

6.8. Interferenţa a N unde coerente 6.8.1. Cazul în care amplitudinile complexe succesive formează o serie geometrică

de raţie ϕ− i e

Considerăm că într-un punct P se suprapun N unde coerente ale căror vectori intensitate de câmp electric sunt paraleli:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕ−−=ϕ−=ϕ−==

1 N i e tE E , . . . , 2 i e tE E , i e tE E , tE E

0N030201 (6.86)

Se constată că amplitudinile complexe succesive formează o serie geometrică de raţie ϕ− i e . Intensitatea câmpului electric rezultant din punctul P are expresia:

( )ϕ−−

ϕ−−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕ−−++ϕ−+ϕ−+= i e 1

N i e 1 E 1 N i

e . . . 2 i e i e 1E E00

(6.87)

- 126 -

(în cazul particular al unei serii geometrice infinite se obţine:

ϕ−−= i e 1

1 E E0

(6.88))

Intensitatea undei în P este: 2

0

2

0

2 sin

2 Nsin

I i e 1

N i e 1 I I⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ϕ

ϕ

=ϕ−−

ϕ−−= (6.89)

Am folosit o relaţie de forma

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−=+−−−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=−− ix e ixe 2 1 ixe ix e 1 ix e 1ixe 1 ix e 1

2

= =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+− 2

ix e ixe 12 ( )2xsin 4 xcos 1 2 2=− unde ϕ→ N x sau ϕ→ x .

Pentru . . . , 2 , 1 , 0 m ; 2m =π±=ϕ (6.90)

se obţin maximele principale de interferenţă. Acest lucru poate fi demonstrat alegând un ε suficient de mic şi luând limita raportului din (6.89) în care punem ε+π=ϕ 2 2m .

( )( ) =

πε+εππε+επ

→ε=

ε+πε+π

→ε=

ϕ

ϕ

→ε m cos sin cos msin

Nm cos Nsin N cos Nmsin 0

lim msin m Nsin

0lim

2 sin2 Nsin

0

lim

= 22

N /2sin /2N sin

0lim N

sin Nsin

0lim =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ϕϕ

→ε⇒ε=

εε=

ε±ε±

→ε

Astfel intensitatea maximă a undei rezultante este mult mai mare decât în cazul suprapunerii a numai două unde ( 4

0I ) :

0

2 I N maxI = (6.91)

Acest rezultat constituie unul din avantajele folosirii mai multor unde (amplificarea intensităţii nu se face printr-o creştere a energiei emise de surse, ci printr-o redistribuire spaţială a sa). Funcţia ( )ϕ I din (6.89) este pară, deoarece ( )ϕ I = ( )ϕ− I . Această funcţie este periodică, întrucât ( )π+ϕ 2 I = ( )ϕ I . De aceea este suficient să studiem funcţia ( )ϕ I între 0 şi π2 .

Derivând I în raport cu ϕ şi egalând această derivată cu 0 , obţinem:

⇒=ϕ

ϕ⋅

ϕ−

ϕ⋅

ϕ

⋅ϕ

ϕ

⋅⇒=ϕ

0

2sin

2N sin

2 cos

21

2 sin

2 N cos

2N

2 sin

2 Nsin

2I 0 ddI

20

a) π=ϕ⇒=ϕl

2 N 0

2 N sin

Dacă mN =l atunci reobţinem condiţia de maxim principal (6.90):

2m mN 2

N mN ≡π=ϕ⇒π=ϕ⇒=l (6.90)

Dacă

- 127 -

π=ϕl

2 N ; l = 1 , 2 , 3 , . . . ; mN ≠l (6.92)

atunci intensitatea I se anulează (numărătorul din (6.89) este nul, iar numitorul este diferit de zero).

b) 2

N tg 2

tgN 2

N sin2 cos

2 sin

2 N cos N ϕ=ϕ⋅⇒ϕ⋅ϕ=ϕ⋅ϕ

Această ecuaţie poate fi rezolvată pe cale grafică. Se obţine:

( ) . . . , 2 , 1 ; N

1 2 2N

1 2 2

=π+≈ϕ⇒π⋅+≈ϕll

l (6.93)

În acest caz se obţin maxime secundare. Între maximul principal de ordinul zero (m = 0 în (6.90) ) şi de ordinul unu (m = 1

în (6.90) ) , numărul l din (6.92) poate lua valorile 1 N , . . . , 3 , 2 , 1 −=l , realizându-se astfel N − 1 minime între care se află N − 2 maxime secundare. Lărgimea maximului principal este de N/2 ori mai mică decât în cazul interferenţei a două fascicule coerente.

Reprezentând grafic intensitatea I în funcţie de ϕ pentru N = 5 obţinem figura următoare (N = 5 ⇒ 4 minime nule şi 3 maxime secundare).

6.8.2. Cazul în care amplitudinile complexe succesive formează o serie geometrică

de raţie R ϕ− i e , R < 1 . Interferometrul Fabry-Pérot

Considerăm că într-un punct P se suprapun N unde coerente ale căror vectori intensitate de câmp electric sunt paraleli, dar se deosebesc de cei din relaţia (6.86):

( )ϕ−−=ϕ−=ϕ−== − 1 N i

eRE E , . . . , 2 i e RE E , i e RE E , 0 E 1 N

0N

2

03021 (6.94)

Se constată că amplitudinile complexe succesive formează o serie geometrică de raţie

R ϕ− i e . Presupunând că R < 1 iar N >> 1 , obţinem:

( ) ⇒ϕ−−

ϕ−−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕ−−++ϕ−+ϕ−+= − i e R 1

N i e R 1 E 1 N i

eR . . . 2 i e R i e R 1E EN

0

1 N2

0

ϕ−−=≥≥

≤ i e R 1

1 E 1 N

1 R E

0 (6.95)

(suma unei serii geometrice infinite).

- 128 -

Intensitatea undei rezultante în P este:

=ϕ−+ϕ−+

=ϕ−−⋅ϕ−−

=ϕ−−

=

2

i e ie R 2 R 1

1 I i e R 1

1 i e R 1

1 I i e R 1

1 I I2

0020

= ( )

⇒ϕ+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ−−+

=ϕ−+

2sin R 4 R 1

I

2sin 2 1 R 2 R 1

I

cos R 2 R 11 I

22

0

22

020

( )( ) 2

sin R 1

R 4 1

1R 1

I I

22

20

ϕ−

+⋅

−= (6.96)

Pentru . . . , 2 , 1 , 0 m ; m 2 =π=ϕ (6.97)

obţinem valoarea maximă a intensităţii:

( )20

R 1

I maxI

−= (6.98)

Din relaţiile (6.96) şi (6.98) obţinem:

( ) 2sin

R 1R 4 1

maxI I

22

ϕ−

+= (6.99)

Se defineşte funcţia lui Airy ( )ϕA prin relaţia:

( ) =ϕ+

=ϕ

2sin F 1

1 A 2

funcţie pară periodică (6.100)

unde

( )=

−=

R 1R 4 F 2 fineţea franjelor (6.101)

Valoarea minimă a intensităţii se obţine pentru 1 2

sin =ϕ :

F 1maxI

min

I+

= (6.102)

Vizibilitatea franjelor se exprimă în funcţie în funcţie de fineţea lor prin relaţia:

F2 1

1 V 2 F

F

F 1maxI

maxI

F 1maxI

maxI

minI maxImin

I maxI V

+=⇒

+=

++

+−

=+

−= (6.103)

Se constată că V creşte cu F ( 1 V F →⇒∞→ ). Din acest motiv F s-a numit fineţe a franjelor. Din relaţia (6.101) rezultă că franjele sunt cu atât mai clare cu cât R este mai mare.

Pentru 2/maxI I = , obţinem:

- 129 -

⇒π=ϕϕ∆±ϕ=ϕ=ϕ⇒=ϕ+⇒ϕ+

= 2m , , 1 2

sin F 2 2

sin F 1

2sin F 1

maxI

2maxI

00

22

2

( ) ⇒≈ϕ∆

⇒≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ∆

π≤ϕ∆⇒=

ϕ∆⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ∆

±π F

1 2

1 2

F 1 2

sin F 1 2

msin F2

22

F2 ≈ϕ∆ (6.104)

Lărgimea totală la semiînălţime este dublul acestei cantităţi:

( ) ( )R

R 1 2 101.6

F

4 2

2m 21

21 −

==ϕ∆⇒

ϕ∆

±π=ϕ (6.105)

Reprezentarea grafică a intensităţii rezultante ( )ϕ I este următoarea:

Interferometrul Fabry-Pérot este format din două plăci plane (precizia care asigură

planeitatea trebuie să fie de cel puţin 20/λ ), paralele, cu suprafeţe puternic reflectante, care delimitează o lamă de aer de grosime e . Franjele de interferenţă formate sunt asemănătoare celor obţinute într-o lamă cu feţe plan paralele. Datorită fineţii inelelor de interferenţă, acest interferometru se foloseşte pentru analiza distribuţiei spectrale a surselor.

Diferenţa de fază pentru undele care interferă în lumina transmisă se obţine pe baza relaţiei (6.84) în care se pune n = 1 (aer) :

r cosne22 ⋅⋅λπ=ϕ (6.106)

Diferenţiind şi considerând incidenţa normală (cos r = 1) obţinem:

λ⋅⋅λπ=ϕ∆⇒λ⋅⋅

λπ−=ϕ∆ de4 de4 22

Criteriul de rezoluţie al lui Rayleigh consideră că cea mai mică variaţie a lungimii de undă care poate fi detectată corespunde unei diferenţe de fază superioare sau egale cu lărgimea totală la semiînălţime

2/1ϕ∆ .

F e

min

F4 de4

2

221 π

λ=λ∆⇒≥λ⋅⋅λπ⇒ϕ∆≥ϕ∆ (6.107)

Se defineşte puterea de rezoluţie ( )

( )R 1 R 2e F e

6.107

min P

−λ⋅π=

λπ

=λ∆λ= (6.108)

Dacă diferenţa de drum este un număr întreg de λ se obţin maxime de interferenţă:

- 130 -

λ=⇒λ=⇒λ=⋅ e 2 k k e 2 k r cosne2 (6.109)

(ordinul de interferenţă pentru maxime, la centru). Din (6.108) şi (6.109) obţinem:

efNk P ⋅= (6.110)

unde

R 1R

efN

−π= (6.111)

joacă rolul unui număr efectiv de fascicule incidente, iar R este coeficientul de reflexie în intensitate:

21

2

2t t T R, 1 T , r R =−== (vezi pagina 123) (6.112)

Amplitudinile complexe ale undelor transmise sunt: ϕ−=ϕ−=ϕ−=ϕ−=== 2 i eTRE 2 i erttE E , i TReE i erttE E , TE ttE E 2

0

4

221030

2

2210202101

În acest caz: ( ) ⇒

ϕ−−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +ϕ−−

++ϕ−+ϕ−+= − iRe 1

1 TE . . . 1 Ni

eR . . . 2ieR iRe 1 TE E0

1 N2

0

2sin F 1

1maxI I

2 ϕ+= (6.113)

unde:

( )

R 1

TI maxI 2

2

0

−

⋅= (6.114)

Se constată că dacă lipseşte absorbţia ( R + T = 1 ⇒ 1 − R = T ) atunci:

0I maxI =

(în cazul absorbţiei se introduce un coeficient de absorbţie A = 1 − ( R + T ) , astfel că

0I maxI ≤ ).

Un filtru interferenţial este o lamă dielectrică cu feţe paralele parţial reflectante care transmite numai într-o anumită bandă spectrală. Astfel pentru a transmite o radiaţie de lungime de undă

1λ se alege o lamă de o anumită grosime, pentru care se obţin maxime de

interferenţă în lumină transmisă:

1k en 2 λ= (6.115)

Numărul întreg k este luat în general egal cu 1 astfel încât radiaţiile cu lungimile de undă , . . . , ,

32λλ care verifică relaţia

( ) ( ) . . . 2 k 1 k k 321=λ+=λ+=λ (6.116)

să fie mult distanţate în spectru faţă de 1

λ . Astfel pentru n = 1 şi e cuprins între m 102 7−⋅

şi m 106 7−⋅ interferometrul transmite în domeniul vizibil numai un maxim (pentru m 105 e 7−⋅= sunt transmise radiaţiile cu lungimile de undă 1000 nm , 500 nm şi 333,3 nm;

dintre acestea numai cea cu λ = 500 nm se află în regiunea vizibilă a spectrului). Pentru k = 2 şi

1λ = 5461 Å se obţin 10922

2=λ Å şi 16383

3=λ Å .