3 Modelul unifactorial

3.1 Specificarea i definirea modelului unifactorial

Specificarea unui model econometric se face pe baza teoriei economice a fenomenului observat i const n precizarea variabilei endogene i a variabilei exogene.

Un model unifactorial se prezint astfel:

uxfy += )( (3.1.1) unde:

y = - variabila endogen sau rezultativ; ( nyyy ,,, 21 K )))

x = - variabila exogen sau factorial sau cauzal; ( nxxx ,,, 21 Ku= - variabila rezidual, aleatoare sau eroare. ( nuuu ,,, 21 K

Relaia (3.1.1) reprezint o ipotez construit pe baza teoriei

economice i presupune c fenomenul economic y este rezultatul aciunii unui complex de factori: fenomenul economic x este factorul principal, esenial, ce determin fenomenul y, restul factorilor fiind considerai neeseniali, cu aciune ntmpltoare, ei fiind specificai n modelul econometric cu ajutorul variabilei aleatoare u. Ca orice ipotez teoretic, ea poate fi adevrat sau fals x este sau nu este factorul hotrtor al fenomenului y iar validarea sau invalidarea unei astfel de ipoteze se face n urma unui experiment statistic.

Modele econometrice

Teoria economic a folosit i folosete n numeroase cazuri modelul unifactorial pentru a fundamenta i descrie mecanismul de formare i de manifestare a legilor economice. n acest sens, pot fi menionate:

- legea cererii C = f(P) + u ; f(P) < 0 cererea (C) unui anumit produs crete sau se reduce, dac preul (P) acestuia se micoreaz sau se mrete;

- legea ofertei O = g(P) + u ; g(P) > 0 oferta (O) unui produs crete sau se diminueaz, dac preul (P) acestuia se mrete sau scade;

- funcia de producie a cheltuielilor totale ale unei firme: Ch = f(Q) + u; f(Q) > 0 cheltuielile de producie cresc sau scad, dac volumul produciei crete sau scade (n situaia n care productivitatea rmne constant);

- legile consumului formulate de Engel i descrise de funciile lui Tornqvist consider venitul (V) consumatorului ca principal factor al consumului (C) unui produs sau grupe de produse C = f(V) + u; f(V)>0.

De asemenea, foarte multe analize economice utilizeaz modelul unifactorial pentru a explica i prospecta dependena dintre dou fenomene, cum ar fi:

- corelaia dintre creterea preurilor i creterea salariilor;

- corelaia dintre creterea preurilor i rata omajului curba lui Philips;

- corelaia dintre creterea salariilor i productivitatea muncii etc.

3.2 Identificarea modelului unifactorial

Identificarea modelului const n alegerea unei funcii (sau a unui grup de funcii) matematice, cu ajutorul creia se urmrete s se descrie (s se aproximeze) valorile variabilei endogene y numai n funcie de variaia variabilei exogene x. Funciile matematice care se pot utiliza n acest sens funcii liniare sau neliniare sunt numeroase i de forme diverse, printre acestea figurnd i cele prezentate n continuare.

Modelul unifactorial

1. Funcia liniar 2. Funcia semilogaritmic

- a

a,b >0

a0

a>0, b0

b

Modele econometrice

5. Funcia loginvers 6. Funcia log-loginvers

uxbaylog ++= uxlogc

xbaylog +++=

130262 c

b,cb3026,2

exp (a)

b0b, c >0

x c

b2

a, c < 0, b > 0

a, c > 0, b < 0

a0 b>0

b>0

y y

y

yM

ym

0

7. Parabola de gradul II ucxbxay +++= 2

Modelul unifactorial

y

ym

yM

0 xc

b,e 2

30262

a, c < 0,b > 0

a, c > 0,b < 0

8. Parabola logaritmic ( ) uxcxbay +++= 2loglog

I

x

II

III

Nivel de saturaie

Nivel de saturaie

0

y a II a I C

9. Funciile lui Tornquist

cx;cb;c,a;ubxcxaxy.III

cx;cb;c,a;ubxcxay.II

b,a;ubx

xay.I

>>++=

>>++=

>++=

0

0

0

Modele econometrice

a > 0, b > 0

a > 0, b < 0

y yM x 0

+ab,

e302621

10. Funcia lui Konius ( ) uxlogbaxy ++=

(2)Nivel de saturaie b

Modelul unifactorial

de timp n care s-au nregistrat valorile celor dou fenomene y i x la aceeai unitate statistic.

Dispunnd de o serie statistic privind variaia, n timp sau n spaiu, a celor dou variabile economice (vezi tabelul 3.2.1), problema identificrii const n a alege o funcie matematic, Yt = f(xt), cu ajutorul creia, cunoscnd valorile fenomenului economic xt, s se aproximeze (s se estimeze) ct mai bine (cu erori ct mai mici) valorile empirice ale fenomenului yt = (y1, y2, _ _ _, yn) prin valorile teoretice.

Tabelul 3.2.1 xt yt

1

1

=

tt

tti xx

yycm 1

1

1

1

=

tt

tt

t

ti xx

yyyxce

x1 y1 -- -- x2 y2

212

12 cmxxyy =

12

12

1

12 xx

yyyxce

= M M M M xn yn

nnn

nn cmxxyy =

1

1 1nn

1nn

1n

1nn xx

yyyxce

=

Aceast operaie se poate face, n general, utiliznd urmtoarele

procedee de lucru: a) procedeul grafic; b) procedeul conservrii ariilor; c) procedeul calculelor algebrice.

Modele econometrice

a) Procedeul grafic const n construirea corelogramei dintre cele dou variabile:

ymax

y1

L

y

x 0 L

S

Figura 3.2.1

La construirea corelogramei, scala pe cele dou axe, Oy i Ox, trebuie s se calculeze pe baza urmtoarei reguli:

Lxx

LA

cm 1 :Ox maxx 1=

Lyy

LA

cm 1 :Oy maxy 1=

adic variaia fiecrei variabile, exprimat prin amplitudinea acesteia, Ax i Ay, este reprezentat printr-un un segment de dreapt avnd aceeai lungime, L, pe cele dou axe. n acest mod, intensitatea legturii dintre cele dou variabile, exprimat prin amplitudinea acestora, nu este viciat de grafic prin aplatizarea sau alungirea acestuia.

Prin unirea cu segmente de dreapt a punctelor N(xt, yt) se obine graficul punctelor empirice vezi Figura 3.2.1. n funcie de forma graficului punctelor empirice se alege o funcie matematic al crei grafic aproximeaz cel mai bine graficul punctelor empirice.

Modelul unifactorial

n urma acestei operaii se va alege: - funcia liniar: Yt = a + b xt dac curba empiric poate fi

aproximat cu o dreapt; - funcia putere: Yt = a xtb dac curba empiric poate fi

aproximat cu curba acestei funcii; sau

ln Yt =ln a + b ln xt dac curba empiric poate fi aproximat cu o dreapt pe un grafic dublu logaritmic;

0 ln x

ln y

- funcia exponenial: Yt = ea+bxt - dac curba empiric poate fi aproximat cu graficul acestei funcii,

sau ln Yt = a + b xt dac curba empiric poate fi aproximat cu o dreapt pe un grafic semilogaritmic;

0 x

ln y

e Yt = a b xt Yt = ln a + b ln xt

Modele econometrice

0 ln x

y

b) Procedeul conservrii ariilor continu procedeul grafic i const n a compara suprafaa curbei empirice S vezi figura 3.2.1 cu suprafeele teoretice Sj, ale celor h, hj ,1= , funcii matematice: j = 1 funcia liniar, j = 2 funcia putere etc.

Suprafaa aferent curbei empirice S se va calcula prin nsumarea suprafeelor trapezelor al cror numr, (n-1), depinde de numrul punctelor empirice N(xt, yt), nt ,1= , iar suprafeele teoretice ale funciilor matematice, acceptate n urma vizualizrii curbei empirice, se vor calcula cu ajutorul formulei:

( )= max1

x

xjj dxxfS

n final, alegerea celei mai adecvate funcii de regresie se poate face cu ajutorul urmtoarei reguli:

j

j

j SSS

min

c) Procedeul calculelor algebrice se fundamenteaz pe proprietile pe care le posed funciile matematice y = f(x) privind urmtorii indicatori:

- xyCm = viteza de variaie absolut a funciei sau coeficientul

marginal;

- xxfy )(= viteza medie de variaie a funciei (valoarea medie);

Modelul unifactorial

- xlnyln

xx:

yyCe

== viteza de variaie relativ a funciei sau coeficientul de elasticitate.

n acest sens, vom exemplifica proprietile acestor indicatori pentru cteva categorii de funcii de regresie.

Deoarece x i y descriu fenomene economice valorile lor trebuie s fie pozitive. Deci funciile de regresie sunt definite pe intervalul [0;+] [0;+]. Variabila y reprezint variabila efect, iar variabila x variabila cauz.

1. y = a + bx

n cazul n care parametrul b este pozitiv se spune c exist o dependen direct ntre cauz i efect, iar cnd parametrul b este negativ se spune c exist o dependen invers ntre cauz i efect.

Parametrul a reprezint valoarea efectului atunci cnd cauza este egal cu zero.

Parametrii a i b nu pot fi n acelai timp negativi deoarece s-ar obine pentru y doar valori negative.

n funcie de valorile parametrilor a i b exist trei cazuri: y y

a, b 0

x

a

x

ba

y

x

ba

a0

a>0 b

Modele econometrice

x

b0 Cm

x

n cazul n care b>0, la o cretere cu o unitate a lui x i va corespunde

o cretere cu b uniti a lui y. n cazul n care b>0, la o cretere cu o unitate a lui x i va corespunde o scdere cu b uniti a lui y. y

1. b) xab

xyy +==

bylimx

= ; = ylimx 0 , pentru a> 0 = ylimx 0 , pentru a< 0 b

y

x b

y

a>0, b0, b>0

b

x a0 x

b

y x

a

Modelul unifactorial

1

x

Ce

1. c) bxa

bxyxyCe x +==

; 0Celim0x

= 1Celimx = Coeficientul de elasticitate exprim cu cte procente se modific

efectul atunci cnd cauza se modific cu un procent. Se observ c, la o modificare cu un procent a cauzei, pentru valori mici ale acesteia, tinznd ctre zero, efectul nu se modific cu nici un procent. n cazul valorilor mari ale cauzei, modificarea cu un procent a acesteia implic o modificare cu un procent a efectului. Indiferent de valorile cauzei, unei modificri de un procent a acesteia i vor corespunde modificri ale efectului cuprinse ntre zero i unu.

2. xbay += ; a, b>0

a

x

y +=>

ylim0x0x

aylimx

=

Modele econometrice

2. a) 2x

bCm = Cm

x =>

Cmlim0x0x

; 0Cmlimx

=

( ) ( ) ( )( ) == 322x x2b2xx 1-bCm Cm e cresctor pe (0, +)

Deci, la creteri ale cauzei, efectul scade. Pentru valori mici ale cauzei modificrile efectului sunt foarte mari, tinznd spre infinit, iar pentru valori foarte mari ale cauzei, modificrile efectului, ca urmare a modificrii cauzei, tind spre zero. Cu ct valorile cauzei sunt mai mari, cu att efectul variaz mai puin la variaiile cauzei.

2. b) 2x

bxay +=

y +=>

ylimxx

00

0ylimx

=

+== xbax12xba)y(

2222x

n cazul

pe unitatea de cafiecare unitate ddeci, cu ct cauz x)(xxDeoarece x>0, a, b>0 0)y( x

Modelul unifactorial

2. c) bax

byxyCe x +==

1Celim

0x0x

=>

0Celimx

=

>+=+= 0

22x b)(axaba

b)(ax1b)()(Ce

Ce este cresctor

-1

Ce

x

Se observ c, la o modificare cu un procent a cauzei, pentru valori

mici ale acesteia, tinznd ctre zero, efectul se modific (scade) cu un procent. n cazul valorilor mari ale cauzei, modificarea cu un procent a acesteia nu implic nici o modificare a efectului. Indiferent de valorile cauzei, la modificri (creteri) cu un procent ale acesteia le corespund modificri (scderi) ale efectului cuprinse ntre zero i unu. Cu ct valorile cauzei sunt mai mari, cu att modificrile relative ale efectului sunt mai mici.

3. y = a + bx + cx2 , a, b i c nu sunt toi egali cu zero. Graficul acestei funcii depinde de parametrii a, b i c. De exemplu,

pentru a>0, b0 se obine urmtorul grafic:

2cbx0b2cxy x ==+=

>= 02cy x x corespunde lui y minim

4c;

2cby min

3. a) b2cxyCm x +==

2cb a x1

x2

4c

y

x

Modele econometrice

Dac c este negativ, atunci Cm este descresctor, deci variaiile efectului ca rspuns la variaia cauzei sunt din ce n ce mai mici. Dac b este pozitiv, nseamn c, pentru o cauz mai mic dect b/2c, efectul crete ca urmare a creterii cauzei. Pentru o cauz mai mare dect b/2c efectul scade ca urmare a creterii cauzei. Dac b este negativ, efectul va scdea ca urmare a creterii cauzei.

n cazul n care c este pozitiv, Cm este cresctor, deci variaiile efectului ca urmare a variaiilor cauzei sunt din ce n ce mai mari. Dac b este negativ, nseamn c, pentru o cauz mai mic dect b/2c efectul scade ca urmare a creterii cauzei. Pentru o cauz mai mare dect b/2c, efectul crete ca urmare a creterii cauzei. Dac b este pozitiv, efectul va crete ca urmare a creterii cauzei.

b0

b

Cm c>0

x

2cb

3. b) x

cxbxay2++=

- pentru a, c>0: += ylimx

+== +> 0

aylim0x0x

c

a

y

ac2b + x

cax

xacx)y( 1,2

0x

2

2

x ==

bac2ca)y( +=

Modelul unifactorial

x 0 ca+ +

x)y( ------------- 0 + + + + + + + y | + ac2b + +

3.c) 2

2

cxbxa2cxbx

yxyCe ++

+==

0 x

2

Ce

2Celimx

=

0Celim0x

=

4. y = axb, a>0 deoarece y trebuie s fie pozitiv, iar fucia putere este

o funcie pozitiv i b1, deoarece altfel s-ar obine o funcie liniar.

4. a) Cm = abxb-1 grafic similar cu cel al funciei iniiale 4. b) == 1bxa

xyy grafic similar cu cel al funciei iniiale

4. c) bxax.xba

yxyCe

b1b ===

Modele econometrice

b

b b0Ce

x

Dac b este cuprins ntre zero i unu, atunci cauza variaz n acelai

sens cu efectul, dar coeficientul marginal fiind descresctor, nseamn c variaiile efectului sunt din ce n ce mai mici. De asemenea, i efectul pe unitatea de cauz este cu att mai mic cu ct cauza este mai mare. Totui, dac exist o variaie de un procent a cauzei, efectul va varia cu b procente, indiferent de mrimea cauzei.

Dac b este mai mic dect unu, atunci cauza variaz n sens invers efectului. Coeficientul marginal fiind descresctor, nseamn c variaiile efectului sunt din ce n ce mai mici. De asemenea, i efectul pe unitatea de cauz este cu att mai mic cu ct cauza este mai mare. Dac exist o variaie de un procent a cauzei, efectul va varia cu b procente, indiferent de mrimea cauzei.

Dac b este mai mare dect unu, atunci cauza variaz n acelai sens cu efectul. Coeficientul marginal fiind cresctor, nseamn c variaiile efectului sunt din ce n ce mai mari. De asemenea, i efectul pe unitatea de cauz este cu att mai mare cu ct cauza este mai mare. Dac exist o variaie de un procent a cauzei, efectul va varia cu b procente, indiferent de mrimea cauzei.

Prin compararea proprietilor indicatorilor teoretici ai funciilor de regresie variaie continu cu indicatorii empirici variaie discret ai celor dou variabile, calculai pe baza seriei statistice

1

1

1

1

1

1 :;

=

=t

tt

t

tti

tt

tti x

xxy

yyce

xxyy

cm se va putea alege acea

funcie de regresie ai crei indicatori au proprieti apropiate cu indicatorii empirici.

Modelul unifactorial

De exemplu, dac coeficienii marginali ai variabilei y n raport de variabila x, calculai pe baza seriei statistice sunt aproximativ egali:

;1

1

23

23

12

12 n1, t ctxxyy

xxyy

xxyy

nn

nn =

K se va alege

funcia liniar - Yt = a + b xt, sau funcia putere - Yt = axtb - n cazul n care coeficienii empirici de elasticitate vor fi aproximativ egali:

1

1

1

1

23

23

2

2

12

12

1

1

nn

nn

n

nxxyy

yx

xxyy

yx

xxyy

yx K

De reinut c, n economia real, datele statistice relev corelaii

diverse i contradictorii, care nu pot fi descrise cu o singur funcie matematic. n astfel de cazuri se recomand ca identificarea modelului econometric s se fac cu ajutorul mai multor funcii de regresie, urmnd ca, n final n etapa de verificare a modelului , s se decid asupra unei singure forme a modelului.

3.3 Estimarea parametrilor unui model econometric unifactorial

Parametrii unui model econometric sunt reprezentai de coeficienii funciei de regresie acceptat n etapa de identificare a acestuia. Aceti parametrii fiind necunoscui, ei vor trebui estimai (aproximai) pe baza datelor experimentale sistematizate n seriile statistice ale celor dou variabile y i x, prin valorile yt, xt, nt ,1= .

Funciile de regresie ale unui model econometric unifactorial pot fi funcii linare, Y= a + bx, sau funcii neliniare, ca de exemplu:

- funcia putere Yt = a xtb ; - funcia exponenial Yt = ea+bxt ; - funcia de gradul doi Yt = a + bxt + cxt2 ;

- funcia logistic tbxat e

cY ++= 1 .

Modele econometrice

Deoarece, n numeroase cazuri, funciile neliniare (curbilinii) pot fi liniarizate, estimarea parametrilor unui model econometric se va axa numai pe cazul modelelor liniare. Liniarizarea unui model neliniar se poate face prin mai multe procedee, cum ar fi: logaritmarea modelului econometric, schimbri de variabil, stabilirea arbitrar a valorii unor parametri etc.

De exemplu:

Liniarizarea prin logaritmare

1) Fie modelul neliniar exprimat prin funcia putere yt = a xtb ut.

Prin transformare logaritmic acesta devine: ln yt = ln a +b ln xt + ln ut,

sau yt

* = A + b xt* + ut

* unde:

yt* = ln yt;

A = ln a; xt

* = ln xt;

ut*= ln ut.

2) Cazul modelului neliniar exponenial yt = ea+bxt ut Prin logaritmare acesta devine: ln yt = a + b xt + ln ut yt* = a + b xt + ut*

Liniarizarea prin schimbare de variabile Fie modelul neliniar yt = b0 + b1x + b2xt

2 + _ _ _ + bkxtk + ut

Notnd cu: x1t = xt; x2t = xt2;, xkt = xt

k, se obine modelul liniar multifactorial:

yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + + bk xkt + ut

Liniarizarea prin fixarea arbitrar a valorii unor parametri Acest model poate fi aplicat atunci cnd, pe baza unei analize

economice a fenomenelor studiate, se poate evalua valoarea unui parametru.

Modelul unifactorial

De exemplu, funcia logistic se preteaz foarte bine la descrierea evoluiei consumului (y) unui anumit produs n funcie de venitul consumatorului (x). Dar, consumul unui anumit produs are anumite limite raionale, respectiv un nivel de saturaie, nivel estimat prin parametrul e al funciei logistice. Stabilind valoarea parametrului prin constanta c acest lucru se poate face, fie prin calcule statistice de specialitate, fie prin preluarea valorii acestuia de la o ar dezvoltat unde consumul acelui produs s-a stabilizat funcia logistic se poate transforma ntr-o funcie liniar:

+=

=

+=+

+ tt

bxa

tbxat

bxayclne

yc

ecy t

t11

1

yt* = a + b xt, unde: y

clnyt

t

= 1

Revenind la problema estimrii parametrilor unui model econometric, acetia pot fi calculai cu ajutorul mai multor metode cum ar fi:

a) metoda punctelor empirice (M.P.E.); b) metoda punctelor medii (M.P.M.); c) metoda celor mai mici ptrate (M.C.M.M.P.); d) metoda celor mai mici ptrate generalizat; e) metoda verosimilitii maxime (M.V.M) cu informaie limitat

sau complet. Metodele a) i b) se folosesc atunci cnd nu se urmrete o rigoare

statistic a calculelor, datorit simplitii i rapiditii calculelor, sau cnd aplicarea M.C.M.M.P. este anevoioas, necesitnd calcule complicate.

Metodele d) i e) au mai mult valoare teoretic deoarece, n economie, ipotezele pe care se fundamenteaz pot fi acceptate cu mult reinere, n plus, calculele complicate pe care le solicit, mresc mult costul estimrii parametrilor, fr a genera o cretere pe msur a preciziei estimaiilor.

Modele econometrice

Estimarea parametrilor unui model liniar unifactorial presupune: - existena seriei statistice a celor dou variabile economice

Tabelul 3.3.1

xt yt xt2 xt yt tt xbay += ttt yyu = 2)( tu

x1 |

||

xn

y1

|

||

yn

x12

|

||

xn2

x1 y1

|

||

xn yn

11 xbay += |

||

nn xbay +=

111 yyu = |

||

| nnn yyu =

21)(u

|

|| 2)( nu

xt yt xt2 xt yt ty 0 = tu 2)( tu

- modelul econometric liniar: yt = a + bxt + ut (3.3.1)

tt xbay += (3.3.2) ttt yyu = (3.3.3)

unde:

yt, xt = valorile empirice ale variabilelor; a, b = parametrii modelului;

b ,a = estimaiile parametrilor modelului;

ut = variabila eroare;

tu = estimaia lui ut.

- utilizarea unei metode de estimare pentru a calcula estimatorii parametrilor modelului.

n acest sens ne referim la: a) Metoda punctelor empirice (M.P.E.) - const n alegerea unui

numr de puncte empirice, M(xt, yt), egal cu numrul parametrilor modelului. Coordonatele acestor puncte se introduc n funcia de regresie a modelului i va rezulta un sistem de ecuaii egal cu numrul acestora. De

Modelul unifactorial

exemplu, n cazul modelului liniar -vezi relaia (3.3.1) - vor trebui alese dou puncte. Fie acestea, M3(x3, y3) i M8(x8, y8):

8

3

8

3

8

3

88

33

88

33

1111

b ;

11

xxyy

xxxyxy

axbay

xbay ==

+=+=

De regul, alegerea punctelor empirice se face, fie pe baza

reprezentrii grafice a celor dou serii statistice, n sensul c acestea ar trebui s fie foarte aproape de dreapta virtual trasat sau s fie intersectate de aceasta, fie prin aprecierea c aceste puncte sunt reprezentative pentru caracterizarea variaiilor celor dou fenomene i nu sunt rezultatul unor condiii speciale.

b) Metoda punctelor medii (M.P.M.) presupune ca cele dou serii

statistice s fie mprite ntr-un numr de subserii egal cu numrul estimatorilor. Pentru fiecare subserie se vor calcula mediile aritmetice ale celor dou variabile. Aceste valori medii se vor introduce n funcia de regresie i se va continua procedura ca n cazul M.P.E. Dac numrul termenilor seriilor statistice nu este divizibil cu numrul parametrilor, se va renuna la un numr de termeni cei mai ndeprtai n timp sau de media celor dou variabile. De exemplu, n cazul modelului liniar, numrul parametrilor este egal cu doi. Dac seriile de timp ale celor dou variabile se refer la nou perioade, 9,1=t , se va renuna la valorile primei perioade, respectiv la x1 i y1. n acest caz, cele dou serii vor fi:

( )( )54321

54321

5

5

4

4

3

3

2

2

4141

yyyyy

xxxxx

yx

yx

yx

yx

+++=+++=

;

Modele econometrice

( )( )98762

98762

9

9

8

8

7

7

6

6

4141

yyyyy

xxxxx

yx

yx

yx

yx

+++=+++=

Prin introducerea acestor valori n relaia (3.3.2) rezult:

2

1

2

1

2

1

22

11

22

11

1111

;

11

xxyy

b

xxxyxy

ayxba

yxba ==

=+=+

c) Metoda celor mai mici ptrate (M.C.M.M.P.) este tehnica de

lucru cea mai des folosit la estimarea parametrilor unui model econometric. Utilizarea acestei metode pornete de la urmtoarele relaii:

yt = a + bxt + ut

tt xbay += ttttt xbayyyu ==

unde:

yt, xt = valorile reale ale celor dou fenomene economice existente n seriile statistice ale acestora;

ty = valorile teoretice ale variabilei y, obinute numai n funcie de valorile factorului esenial xt i de valorile estimatorilor

parametrilor a i b, respectiv ; ba i

tu = estimaiile valorilor variabile reziduale ut.

Practic, M.C.M.M.P. const n a minimiza funcia:

( ) ( ) ( ) = ===n

ttt

n

ttt xbayminyyminb,aF

1

2

1

2 (3.3.4)

Modelul unifactorial

adic a minimiza suma ptratelor distanelor, fa de axa OY, dintre valorile reale, yt, i valorile teoretice, . ty

Condiia de minim a funciei (3.3.4) rezult din:

( )( ) ( 00120

),(

1

===

=tt

n

ttt xbayxbaya

baF ) (3.3.5) ( )( ) ( ) 0020 ),( 2

1

===

=ttttt

n

ttt xbxaxyxxbayb

baF (3.3.6)

sistem de ecuaii ce devine n final:

=+

=+

=

==n

ttttt

n

tt

n

tt

xyxbxa

yxban

1

2

11 (3.3.7)

din care se vor calcula valorile estimatorilor:

- estimaia parametrului a

xbyany

nxba

n*yxban tttt ==+=+ 1 (3.3.8)

- estimaia parametrului b

( ) 22222 xn

x

y*xn

xy

xxnxyxyn

xxxnxyx

yn

bt

tt

tt

tttt

tt

t

ttt

t

= =

= (3.3.9)

- dispersia variabilei x

( ) ( ) =+= += = 222222 22 xnx

xnx

nxxxx

nxx ttttt

x

Modele econometrice

22

222

2 xnx

xxnx tt =+=

2x

tt y*xn

xy

b

=

- covariana dintre variabilele y i x

( ) ( )( ) ( ) = += =n

yxn

yxyxyxyxn

yyxxx,ycov tttttttt

yxn

yxyxyxxy

nyx

yxny

xnx

y titttt =+=+ ( ) ( )( )

( ) == 22 xx

yyxxx,ycovbt

tt

x

(3.3.10)

- coeficientul de corelaie liniar a celor dou variabile

x

y

y

x

yxxyrbbxyrxyyxrxyr

==== ),(),(),cov(),(),( (3.3.11)

unde: y, x = abaterile medii ptratice ale variabilelor y i x.

Sistemul de ecuaii, format din relaiile (3.3.5) i (3.3.6), rezultat n urma aplicrii M.C.M.M.P., poart numele i de sistem de ecuaii normale. Acest sistem de ecuaii posed cteva proprieti cum ar fi:

Din ecuaia (3.3.5) se deduce c:

1) ( ) 0)(0 === tt

tt

tt uMuxbay variabila aleatoare ut

este de sum nul i, evident, de medie zero;

Modelul unifactorial

2) ( ) ( ) == = t

tt

tt

ttt

tt yyyyxbay 0 suma

valorilor empirice ( ) este egal cu suma informaiilor teoretice ( ) principiul conservrii informaiilor.

tty

tty

Din rezolvarea sistemului de ecuaii rezult c:

3) xbya = dreapta de regresie, tt xbay += , trasat pe baza M.C.M.M.P., trece prin punctul ),( yxM vezi figura 3.3.1;

4) ( )( )

( )( )( )[ ] ( )( )

( ) =

=

=22

xx

xxxx

xxyy

xx

xxyyb

t

t

ttt

t

ttt

( )( )

( )[ ]( )

=

=

tt

ttt

t

tt

t

t

xx

xxb

xx

xxxxyy

2

2

2

2

panta dreptei de regresie,

, este o medie aritmetic a pantelor dreptelor ce pot fi trasate

prin punctele

tt xbay +=),( yxM i , respectiv ),( ttt yxM xx

yyb

t

tt

= , ponderate

cu ptratul abaterilor, 2)( xx t , variabilei factoriale x vezi figura 3.3.1.

Modele econometrice

x

xxyyb

=1

11

xxyyb

=2

22 bxay +=

M

2M

1M

x xn x2 x1

y yn

y

y2 y1

0

Figura 3.3.1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22221

2222

211

xxxxxxxxbxxbxxbb

n

nn

++++++=

KK

Dup estimarea parametrilor a i b prin valorile se vor

putea calcula valorile teoretice ale fenomenului explicat y,

ba i

tt xbay += , i apoi estimaiile variabilei aleatoare u, prin ttt yyu = (vezi tabelul 3.3.1, coloanele 5 i 6).

3.4 Verificarea modelului econometric

ntruct modelul econometric, n etapele de specificare, identificare

i estimare, se fundamenteaz pe acceptarea unor ipoteze de lucru, ct i pe date experimentale de sondaj, este necesar ca, nainte de utilizarea sa ca instrument pertinent scopului urmrit, acesta s fie verificat (testat, filtrat). n aceast etap se pune problema similitudinii dintre modelul economic real, descris de seriile statistice ale fenomenelor analizate, i modelul teoretic, de natur econometric, construit i rezolvat.

Modelul unifactorial

n economie, spre deosebire de domeniul tehnic, de exemplu, nu putem vorbi de o similitudine absolut ntre modelul teoretic i modelul real (cum poate s existe ntre macheta unei cldiri i cldirea construit), ci de o similitudine statistic ntre cele dou modele, n sensul c modelul econometric posed i descrie n mare (n medie) principalele caracteristici ale modelului economic real.

Practic, acceptarea econometric a modelului teoretic ca model similar, ca aproximaie statistic echivalent cu modelul real, presupune:

3.4.1 Verificarea ipotezelor pe care se fundamenteaz estimarea parametrilor unui model econometric

3.4.2 Verificarea semnificaiei estimatorilor pararametrilor modelului econometric

3.4.3 Verificarea similitudinii modelului econometric

3.4.1 Verificarea ipotezelor pe care se fundamenteaz estimarea parametrilor unui model econometric

n general, estimatorul sau estimaia este o aproximaie a unei

dimensiuni privind un anumit fenomen. Aceast dimensiune (volum, suprafa, valoare etc.) exact, stabil i repetabil, adic constant, reprezint parametrul (msura) unei caracteristici, al unei nsuiri a unitilor statistice.

Statistica calculeaz parametrii caracteristicilor unitilor statistice ale unei populaii n urma unei observri totale asupra colectivitii statistice. Dac datele privind valorile caracteristicilor provin dintr-o observare selectiv (sondaj), indicatorii calculai din aceste date reprezint estimaiile statistice ale parametrilor, adic ale indicatorilor care s-ar fi obinut din prelucrarea datelor provenite dintr-o observare total. Dar statistica nu folosete orice fel de aproximaii, de estimaii ale parametrilor, ci numai estimaii de maxim verosimilitate1.

1 Vezi teorema 2 i 3.

Modele econometrice

Din acest motiv, estimarea parametrilor unui model econometric se fundamenteaz pe cteva ipoteze pe care trebuie s le posede modelul econometric yt = a + bxt + ut.

Aceste ipoteze se refer la: I1: Cele dou variabile yt i xt sunt observate fr erori de msur. ut

este o variabil aleatoare, iar variabila xt este un fenomen cu valori predeterminate => variabila explicat yt este la rndul ei o variabil aleatoare;

I2: Variabila aleatoare ut este de medie nul, M(ut) = 0, i de dispersie constant, n1, t ,)()()( 222212 ===== unuDuDuD K . Ipoteza I2 presupune c erorile ut sunt homoscedastice i nu

heteroscedastice ; 2222

12

un )u(D)u(D)u(D KI3: Valorile variabilei reziduale sunt independente (nu sunt corelate),

adic nu exist fenomenul de autocorelare a erorilor:

teautocorela sunt erorile ji 0,teindependen sunt erorile ji 0,

)u,ucov( ji

=

I4: Variabila aleatoare ut urmeaz distribuia normal, de medie zero i de abatere medie ptratic constant i egal cu

ctuu == 2 , respectiv L(ut) = N(0, u) Dac aceste ipoteze pot fi acceptate, iar estimarea parametrilor

modelului liniar unifactorial yt = a + bxt + ut , atunci se pot demonstra urmtoarele:

Se efectueaz o selecie de volum n, adic se observ valorile caracteristicii x i, pentru fiecare valoare observat, valorile caracteristicii

. Se obine astfel selecia: (xt,yt)t=1,.,n. Pe baza acestei selecii

se estimeaz parametrii a i b din modelul de regresie liniar -yt =a+bxt+ut.. txx yy t ==/

Modelul unifactorial

Parametrii a i b pot fi estimai prin: - metoda celor mai mici ptrate prin care se minimizeaz suma

ptratelor erorilor, adic funcia:

( ) ( ) ====n

ttt

n

tt xbayminuminb,aF

1

2

1

2

- metoda verosimilitii maxime prin care se maximizeaz funcia

de verosimilitate, adic:

( ) ( ) ( ) ( ) n1tyfyfyfbayL n21t ,;...,; == , unde f este repartiia caracteristicii y.

Teorema 1 Dac variabila rezidual ut este repartizat normal, avnd media

egal cu zero i abaterea medie ptratic u, atunci metoda verosimilitii maxime este echivalent cu metoda celor mai mici ptrate.

Demonstraie n cazul modelului liniar ubxay ++= , u este repartizat N(0, u),

ceea ce este echivalent cu y repartizat N(a+bx, ). Funcia de verosimilitate a caracteristicii y este:

( ) ( ) ( ) ( )nt yf...yfyfb,a;yL = 21

( ) ( ) ( ) = 222112 212121

21 nn xbayxbay

t e...eb,a;yL

( ) ( )= =

n

ttt xbayn

t ebayL 12

2

21

21,;

Modele econometrice

Metoda verosimilitii maxime presupune maximizarea funciei de verosimilitate:

( )

=

=

n

ttt

n

bat

bat

baxbaybayLbayL

1

2

2,,,

21

21lnmax),,(lnmax),,(max

Deoarece este constant, =

nln 2

1 k = constant.

( ) ( )( ) ( )baFkxbayk

xbaykxbay

ba

n

tttba

n

ttt

ba

n

ttt

n

ba

,min2

1min2

1

2

1max2

121lnmax

,21

2

,2

1

2

2,1

2

2,

+=

+=

=

+=

=

==

n concluzie, a determina maximul funciei de verosimilitate este

echivalent cu a determina minimul sumei ptratelor erorilor.

Observaie Se tie c estimatorii de verosimilitate maxim sunt estimatori

nedeplasai, consisteni i eficieni, adic: - b)b(M ,a)a(M == (estimatorii sunt nedeplasai); - (estimatorii sunt consisteni); bb ,aa pp - orice alt estimator pentru a i b are dispersia mai mare dect

dispersia lui a i b (estimatorii sunt eficieni). n cazul repartiiei normale a variabilei reziduale, estimatorii obinui

prin metoda celor mai mici ptrate sunt nedeplasai, consisteni i eficieni. n consecin, aceti estimatori pot fi considerai drept cei mai buni n procesul de decizie sau de modelare econometric.

Modelul unifactorial

Teorema 2 Dac variabila rezidual este repartizat normal, avnd media egal

cu zero i dispersia , atunci b.ctu =2 este repartizat ( )

=n

tt

u

xx,bN

1

2

2.

Demonstraie

( )( )( )

( ) ( )( )

( )( ) =

=

=

=

==

=

=

==

=

= nt

ttn

tt

n

ttt

n

tt

n

tt

n

ttt

n

tt

n

ttt

yxx

xxy

xx

xxyxxy

xx

xxyyb

1

1

21

1

211

1

21

unde:

( ) =

=n

tt

tt

xx

xx

1

2

( ) ( )uttut ,bxaN~y,N~u +0 , t = 1, , n

n concluzie, b fiind combinaie liniar de variabile aleatoare repartizate normal, este i el repartizat normal.

+= +======n

ttt

n

tt

n

ttt

n

ttt xba)bxa()y(M)b(M

1111

====n

ttu

n

ttt )y(D)b(D

1

22

1

222

Se calculeaz:

0)(

)(

1

1

21=

=

==

=

n

tn

tt

tn

tt

xx

xx

Modele econometrice

( )( ) ( ) ( ) 1

2

1

2

2

11

2

1

1

211

2

1

21=

+=

=

==

===

=

==

== n

tt

n

tt

n

ttn

t n

tt

n

tt

n

tt

n

tt

ttt

n

tt

xx

xnxxx

xx

xxx

xx

xxxx

( )( ) ( ) =

==

==

= nt

t

n

t n

tt

tn

tt

xxxx

xx

1

21 2

1

2

2

1

2 1

Deci:

b)b(M =

( ) ==n

tt

u

xx)b(D

1

2

22

Teorema 3 Dac variabila rezidual este repartizat normal, avnd media egal

cu zero i dispersia , atunci a este repartizat .ctu =2

( )

+

=n

tt

uxx

xn

,aN

1

2

22 1 .

Demonstraie

=

=

=====

= nt

ttn

ttt

n

ttt

n

tt

yyxn

yxn

yxbya

111

1 1

unde:

tt xn = 1 , t =1,., n

( ) ( )uttut ,bxaN~y,N~u +0 , t = 1, , n

Modelul unifactorial

n concluzie, a fiind combinaie liniar de variabile aleatoare repartizate normal, este i el repartizat normal.

+= +======n

ttt

n

tt

n

ttt

n

ttt xba)bxa()y(M)a(M

1111

====n

ttu

n

ttt )y(D)a(D

1

22

1

222

Se calculeaz:

111111

==

====n

tt

n

tt

n

tt xxn

011 11

= =

== ==n

t

n

tttttt

n

tt xxxxxnx

( ) += +=

==

= === nt

t

n

t

n

tt

n

ttt

n

tt

xx

xn

xnx

nx

n1

2

2

1 1

22

1

2

1

2 1211

Deci:

( )

+=

=

=n

tt

uxx

xn

)a(D

a)a(M

1

2

222 1

Teorema 4 Dac x0 este fixat, iar variabila rezidual este repartizat normal,

avnd media egal cu zero i dispersia , atunci .ctu =2 0xbay += este

repartizat ( )( )

++

=n

tt

uxx

xxn

,bxaN

1

2

202

01 .

Modele econometrice

Demonstraie

( ) ( )( ) =

+=

=+

=+=+=

==

==

n

ttt

n

ttt

n

ttt

n

tt

yyxxn

yxxn

yxxbyxbay

110

10

100

1

unde:

( ) tt xxn += 01 , t = 1, , n ( ) ( )uttut ,bxaN~y,N~u +0 , t = 1, , n

Deci, fiind combinaie liniar de variabile aleatoare repartizate

normal, este i el repartizat normal. y

+= +======

nt

ttn

tt

n

ttt

n

ttt xba)bxa()y(M)y(M

1111

( ) ( ) ( ) = ===n

ttt

n

ttt xbayminyyminb,aF

1

2

1

2

Se calculeaz:

( ) ( ) 1111

01

01

=+=

+====n

tt

n

tt

n

tt xxxxn

( ) ( ) ( ) 001 1

001

1 xxxxxxxxxxxn

xn

t

n

tttttt

n

tt =+= +=

+=

= ==

( ) ( ) ( ) ( )( ) += ++=

+=

== === n

tt

n

t

n

tt

n

ttt

n

tt

xx

xxn

xxn

xxn

xxn

1

2

20

1 1

220

1

02

01

2 1211

Modelul unifactorial

Deci:

( )( )

+=

+=

=n

tt

uxx

xxn

)y(D

bxa)y(M

1

2

2022

0

1

Teorema 5 Dac variabila rezidual este repartizat normal, avnd media egal

cu zero i dispersia , atunci eroarea previziunii, ,

t = 1, .., n, este repartizat

.ctu =2 ttt yyu =

( )( )

=n

tt

tu

xx

xxn

,N

1

2

22 110 .

Demonstraie

ttttt xbayyyu == unde:

a , b sunt repartizai normal

( ) ( )uttut ,bxaN~y,N~u +0 , t = 1, , n n concluzie, fiind combinaie liniar de variabile aleatoare

repartizate normal, este i ea repartizat normal. tu

0=+=+== ttttttt bxabxa)xba(M)y(M)yy(M)u(M

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2222222 2)( tttttttttt yMyyMyMyyMuMuMuMuD +==== 22222 )()()()( tuttt bxayMyDyM ++=+=

( )21

2

22222 1

tn

tt

tuttt bxa

)xx(

)xx(n

)y(M)y(D)y(M ++

+=+=

=

Modele econometrice

))(()(

))(()))(((()))((()(2

ttt

ttttttttt

xbauMbxa

xbauMxbabxaMxbaubxaMyyM

+++=++++=+++=

=+=+

=n

kkk

tttt

yb

))xbxby(u(M))xba(u(M

1

)uyx(M)uyx(M)yu(M

yxyxyuM))xba(u(M

n

ktkkt

n

ktkkt

n

kkkt

n

kkkttt

+=

=

+=+

==

==

11

11

22

1

111utt

n

kkt n

)u(Mn

)uy(Mn

)yu(M ====

(deoarece erorile sunt necorelate ntre ele)

)()()(111===

==n

ktkk

n

ktkk

n

ktkk uyMxuyMxuyxM

)()()(111===

==n

ktkkt

n

ktkkt

n

ktkkt uyMxuyMxuyxM

2

1

2

111

11

)(

)(

)()()()())((

))(()(

=

===

==

=

++=++=

=++=

n

tt

t

ttt

n

ktkk

n

ktkk

n

ktkk

n

ktkkk

n

ktkk

xx

xx

uuMuMbxauuMubxaM

uubxaMuyM

Deci:

+=+

=n

tt

tutt

)xx(

)xx(n

))xba(u(M

1

2

221

Modelul unifactorial

Din relaiile anterioare rezult c:

=+

+

++

++++=

==

=

n

tt

tutn

tt

tu

tn

tt

tutut

)xx(

)xx(n

)bxa()xx(

)xx(n

)bxa()xx(

)xx(n

)bxa()u(D

1

2

222

1

2

22

2

1

2

22222

11212

1

Teorema 6 Dac variabila rezidual este repartizat normal, avnd media egal

cu zero i dispersia , atunci .ctu =2 =

n

ttu

n 12

21 este un estimator

nedeplasat pentru dispersia variabilei reziduale . 2u

Demonstraie Trebuie demonstrat c:

2

1

2

21

un

ttun

M =

=

Folosind teorema anterioar rezult c:

22

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

12

1112

1

21

21

21

uun

tt

n

tt

un

t n

tt

t

n

tt

n

tt

n

tt

)xx(

)xx(n

n)xx(

)xx(nn

)u(Dn

)u(Mn

un

M

=

=

=

===

=

==

=

===

Modele econometrice

Teorema 7 Dac variabila rezidual este repartizat normal, avnd media egal

cu zero i dispersia , atunci eroarea previziunii .ctu =2 +++ = nnn yyu ,

este repartizat ( )( )

++

=

+n

tt

nu

xx

xxn

,N

1

2

22 110 , pentru orice .

Demonstraie Se reia demonstraia teoremei 5, unde t se nlocuiete cu +n i,

deoarece +n este mai mare ca n, pentru orice k = 1,.., n, , rezult c: i

0)( =+nkuuM0)(

1=

=+

n

knkk uyM 0)( =+ yuM n .

Deci 0=+ ++ ))xba(u(M nn

n final, rezult c:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ++

+++++= +

=

+++

2

1

2

22222 11 nn

tt

nunun bxa

xx

xxn

bxauD

( ) ( )( )

++=+

=

++ n

tt

nun

xx

xxn

bxa

1

2

222 112

Demonstraia pentru normalitate i valoarea medie este identic cu cea de la teorema 5.

Deoarece, cele patru ipoteze, I1, I2, I3 i I4, au fost acceptate a priori n etapa de estimare a parametrilor, n aceast etap urmeaz ca ele s fie testate, iar eventualele abateri de la cerinele lor s fie corectate prin utilizarea unor proceduri econometrice adecvate fiecrei abateri.

Modelul unifactorial

De regul, n cazul unui numr mare al observaiilor efectuate nt ,1= , n , ipoteza de normalitate a variabilei eroare ut se accept fr

rezerve. Verificarea ipotezelor de fundamentare a M.C.M.M.P. I1 Variabilele x i y nu sunt afectate de erori de msur. Aceast ipotez se poate verifica cu regula celor trei sigma, regul

care const n verificarea urmtoarelor relaii: ( ) xtxxt 3xx3x3xx +

Modele econometrice

ntuMs utu ,1)(,)(222

=== Contrariul homoscedasticitii este heteroscedasticitatea, care

nseamn c erorile nu au dispersiile egale ci diferite: . 2222

21 un )u(M...)u(M)u(M

Dac dispersiile nu mai sunt egale, estimatorii rmn nedeplasai, dar nu mai sunt eficace, M.C.M.M.P. conducnd la o subestimare a parametrilor modelului, influennd sensibil i calitatea diferitelor teste statistice aplicate acestuia.

Depistarea heteroscedasticitii se poate realiza prin mai multe procedee:

I2.1) Procedeul grafic - care const n construirea corelogramei privind valorile variabilei factoriale x i ale variabilei reziduale u. Dac, pe msura creterii (scderii) valorilor variabilei factoriale x, se observ o cretere (scdere) a valorilor variabilei reziduale u, nseamn c cele dou variabile sunt corelate i nu independente.

x

u

x

u

Figura 3.4.1 Corelare pozitiv Figura 3.4.2 Corelare negativ

I2.2) Procedeul dispersiilor variabilei reziduale Acest procedeu se poate aplica atunci cnd se dispune de serii lungi

de date. n acest caz, seria valorilor variabilei reziduale se mparte n dou sau mai multe grupe, pentru fiecare grup calculndu-se dispersiiile corespunztoare ( ). Dac se accept ipoteza c dispersiile acestor

grupe nu difer semnificativ, se accept ipoteza de homoscedasticitate i se utilizeaz testul Fisher-Snedecor.

,...s,s uu22

21

Modelul unifactorial

- dac , atunci se accept ipoteza I2; 22 21 uu ss - dac , atunci se respinge ipoteza I2. 22 21 uu ss

Testul Fisher-Snedecor const n calcularea raportului dintre cele

dou dispersii (dispersia avnd valoarea cea mai mare fiind plasat la numrtor; iar dac numrul de termeni ai seriei este impar se recomand eliminarea termenului din mijlocul seriei, astfel nct s se ajung la subeantioane egale):

+=

=

== n

nt

n

t

u

uc knu

knu

s

sF

12

22

2/

1

21

2

2

21/

21/

2

1 (3.4.1)

- dac

>2

1;

21

;knknc FF

, atunci ipoteza de homoscedasticitate este

infirmat, deci erorile sunt heteroscedastice, eliminarea acestui fenomen fcndu-se cu ajutorul metodei regresiei ponderate; - dac

2

1;

21

;knknc FF

atunci se accept ipoteza de

homoscedasticitate.

I2.3) Calculul coeficientului de corelaie liniar simpl ( ) ( )( ) ( )

xu

tt

xu

tt

xuxu n

xxun

xxuuxur = == ,cov/ (3.4.2)

- dac valoarea coeficientului de corelaie liniar este aproximativ egal cu zero ru/x 0, atunci se accept ipoteza de homoscedasticitate, variabilele u i x fiind independente;

- dac valoarea coeficientului de corelaie liniar este diferit de zero ru/x 0, atunci se respinge ipoteza de homoscedasticitate.

Modele econometrice

I2.4) Acceptarea sau respingerea ipotezei de homoscedasticitate se mai poate realiza i cu ajutorul metodei analizei variaiei.

Cele dou restricii enunate mai sus se realizeaz dac variabila rezidual u i variabila explicativ x sunt independente. Pe aceast premis se fundamenteaz utilizarea metodei analizei variaiei la acceptarea sau respingerea ipotezei de homoscedasticitate.

Metoda analizei variaiei pornete de la relaia:

yyyyyy tttt += ( ) ( )22 yyyyyy tttt +=

[ ] += ==n

tttt

n

tt )yy()yy()yy(

1

2

1

2 (3.4.3)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) (3.4.4) + + = += =====n

tttt

n

ttt

n

tt

n

tttt

n

tt yyyyyyyy)yyyyyy

11

2

1

2

1

2

1

2 2

Dar ttt ubxay ++= ;

xbayxbay tt +=+= ttt yyu =

),cov(2)(2

)(2))((21

tttt

tt

n

tttt

xubnnnuxxb

uxbaxbaYyyY

==

=+=

=

Dac mprim relaia (3.4.4) la n ),cov(22

220 xubux ++=

Pentru ca egalitatea s se verifice este necesar ca: Acceptarea ipotezei I2 pe baza analizei variaiei const

n efectuarea urmtoarelor calcule:

)0(0),cov( = bxu

Modelul unifactorial

- dac A=B+C, atunci variabilele ut i xt sunt

independente i se accept I2; - dac AB+C atunci ut i xt sunt corelate i se respinge I2

= = =

CYy

ByY

Ayy

2tt

2t

2t

)(

)(

)(

Dac se constat existena fenomenului de heteroscedasticitate, acesta trebuie eliminat deoarece prezena lui determin subestimarea parametrilor modelului i obinerea de valori viciate, fiind afectat calitatea estimatorilor, acetia nemaifiind eficieni (dispersie minim).

I2.5) Estimarea unei matrici a covarianelor corespunztoare

estimatorilor parametrilor modelului1 adecvat aplicrii M.C.M.M.P. n cazul unui model coninnd erori heteroscedastice.

Heteroscedasticitatea erorilor implic faptul c dispersiile corespunztoare erorilor nu mai sunt egale, ci diferite, caz n care estimatorii parametrilor modelului rmn nedeplasai, dar nu mai sunt eficace. Astfel, aplicarea M.C.M.M.P. va conduce la o subestimare a parametrilor modelului, influennd sensibil i calitatea diferitelor teste statistice aplicate modelului.

n cazul unui model multifactorial, vectorul estimatorilor parametrilor modelului se calculeaz, matriceal, cu ajutorul relaiei:

( ) ( )YXXXB = 1 . Matricea varianelor i covarianelor corespunztoare acestuia este de forma: ( ) ( ) 12 = XXBV u 2. Acest mod de calcul al matricei varianelor i covarianelor este valabil doar n cazul n care aplicarea M.C.M.M.P. conduce la obinerea de estimatori eficieni, convergeni i nedeplasai, deci ipotezele corespunztoare acestei metode au fost verificate n prealabil. n cazul unor erori heteroscedastice, a cror form este, n general, necunoscut, este posibil, ca prin aplicarea metodei regresiei ponderate n vederea eliminrii heteroscedasticitii erorilor, s nu se obin estimatori consisteni. White a artat c este posibil s se calculeze 1 Conform Wiliam H. Greene, Econometric Analysis, 2d ed., Macmillan, New York, 1993,

p. 384-392

Modele econometrice

un estimator adecvat al matricei covarianelor corespunztoare estimatorilor parametrilor modelului, chiar dac exist o relaie de dependen ntre erorile heteroscedatice i variabilele exogene incluse n model, pe care a denumit-o matricea covarianelor estimatorilor consisteni heteroscedastici (HCCME), de forma:

( ) ( ) ( ) 11

21

=

= XXxxuXXkn nBVn

ttttW (3.4.5)

unde:

n = numrul de observaii; k = numrul regresorilor; ut = variabila rezidual.

Prin aplicarea acestei matrici, estimaiile punctuale ale parametrilor nu vor suferi modificri, ci doar abaterile standard corespunztoare parametrilor. Utilizarea acestei matrici va permite observarea mai rapid a prezenei fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor. Astfel, abaterile standard vor putea fi mai mari sau mai mici comparativ cu cele obinute n cazul modelului iniial, iar valorile mai mici nregistrate de testul Student, t, vor semnaliza faptul c estimatorii parametrilor sunt nesemnificativi, deci posibila prezen a erorilor heteroscedastice.

I2.6) Testul Goldfeld-Quandt3 Acest test se poate aplica atunci cnd se dispune de serii lungi de

date i cnd una dintre variabile reprezint cauza heteroscedasticitii (ntre dispersia variabilei reziduale heteroscedastic i variabila exogen exist o relaie de dependen pozitiv), i presupune parcurgerea urmtoarelor etape:

ordonarea cresctoare a observaiilor n funcie de variabila exogen x;

2 vezi demonstraie op. cit., p.182 3 Conform D. N. Gujarati, Basic Econometrics, 3rd ed., New York, Mc Graw-Hill, 1995,

p 374-375.

Modelul unifactorial

eliminarea a c observaii centrale, c fiind specificat a priori. n privina numrului de observaii omise, c, au fost emise diverse opinii. n cazul unui model unifactorial, Goldfeld i Quandt, n urma efecturii experimentelor Monte-Carlo, au propus ca c s fie aproximativ egal cu 8 n cazul n care mrimea eantionului este de aproximativ 30 de observaii i 16, dac eantionul cuprinde 60 de observaii. Judge i colaboratorii si menioneaz faptul c, n cazul n care c=4 pentru n=30 i c=10 pentru n60, se obin rezultate mai bune. n general, se consider c c trebuie s reprezinte o treime sau un sfert din numrul total de observaii.

efectuarea de regresii aplicnd M.C.M.M.P. asupra celor dou sub-eantioane de dimensiune (n-c)/2 i calcularea sumei ptratelor erorilor pentru fiecare subeantion n parte;

calcularea raportului dintre sumele ptratelor erorilor sau dispersiilor acestora, corespunztoare celor dou subeantioane (suma ptratelor erorilor avnd valoarea cea mai mare fiind plasat la numrtor):

( ) ( )( )

( ) ( )( )

+=

=

+

+== n

cnt

cn

t

u

u

kcnu

kcnu

s

sF

12

22

2/

1

21

2

2*

12

/

12

/

2

1 (3.4.6)

unde: k = numrul variabilelor exogene.

Presupunnd c erorile sunt normal distribuite, atunci raportul F*

urmeaz o distribuie F cu ( ) ( 1221

+ )== kcnvv grade de libertate. - dac ( ) ( ) ( ) ( )

+

+

>1

2;1

2;

*

kcnkcnFF , atunci ipoteza de

homoscedasticitate este infirmat, deci erorile sunt heteroscedastice;

Modele econometrice

- dac ( ) ( ) ( ) ( )

+

+

12

;12

;

*

kcnkcnFF ipoteza de homoscedasticitate

este acceptat.

I2.7) Testul Park4 Testul propus de Park se bazeaz pe existena unei relaii de

dependen ntre dispersia corespunztoare erorilor heteroscedastice i variabila exogen x de forma:

tt

exbtu 22 = (3.4.7)

Acest model neliniar poate fi transformat ntr-un model liniar prin logaritmare:

ttu xbt ++= lnlnln 22 (3.4.8)

unde: t = variabila rezidual, ce verific ipotezele corespunztoare

M.C.M.M.P.

Ca urmare a faptului c valoarea dispersiei erorilor heteroscedastice este necunoscut, aceasta a fost nlocuit cu ptratul erorilor, , n cadrul

modelului liniarizat prin logaritmare:

2 iu

ttttt xbxbu ++=++= lnlnlnln 22 (3.4.9)

n situaia n care parametrul b corespunztor variabilei exogene este nesemnificativ ipoteza de homoscedasticitate a erorilor este verificat, cazul contrar indicnd existena heteroscedasticitii.

I2.8) Testul Glejser5 Acest test se bazeaz pe bazeaz pe relaia dintre erorile estimate n

urma aplicrii M.C.M.M.P. asupra modelului iniial i variabila explicativ, presupus a fi cauza heteroscedasticitii. 4 cf. op. cit., p. 369-370 5 cf. op. cit., p. 371-372

Modelul unifactorial

Testul Glejser prezint o serie de puncte comune cu testul precedent, respectiv, dup calcularea erorilor n urma aplicrii M.C.M.M.P., valoarea absolut a acestora este regresat n funcie de valorile variabilei exogene utilizndu-se n acest scop urmtoarele forme de exprimare corespunztoare celor dou variabile:

I. ttt bxau ++=

n aceast situaie heteroscedasticitatea este de tipul: , caz

n care va fi aplicat regresia ponderat asupra datelor iniiale, care vor fi

mprite la , rezultnd astfel un model de forma:

222tu xt =

ixt

t

tt

t

xu

bxa

xy ++= 11

II. ttt xbau ++= n aceast situaie heteroscedasticitatea este de tipul: , caz

n care va fi aplicat regresia ponderat asupra datelor iniiale, care vor fi mprite la

tu xi22 =

tx , rezultnd astfel un model de forma:

.11

t

tt

tt

t

xu

xbx

ax

y ++=

III. tt

t xbau ++= 1

n aceast situaie heteroscedasticitatea este de tipul: . 222 = tu xi

IV. tt

t xbau ++= 1

V. ttt bxau ++=

VI. ttt bxau ++= 2

Modele econometrice

Verificarea homoscedasticitii erorilor presupune, ca i n cazul testului precedent, verificarea semnificaiei parametrului corespunztor variabilei exogene. Aplicarea acestui test conduce la rezultate semnificative n cazul unor eantioane de dimensiuni mari, iar, n cazul celor de dimensiuni mici, este pur teoretic, aa cum menioneaz nsui autorul.

De menionat faptul c ultimele dou modele nu pot fi estimate cu ajutorul M.C.M.M.P.

I2.9) Testul Breusch-Pagan-Godfrey (BPG)6 Acest test are n vedere modelul multifactorial liniar de forma: yi = b0 + b1 x1t + b2 x2t + + bk x kt + ut (3.4.10)

plecnd de la ipoteza potrivit creia dispersia corespunztoare erorilor heteroscedastice este dependent de o serie de variabile factoriale zi. n locul acestor variabile pot fi utilizate cteva sau toate variabilele exogene ce intervin n modelul iniial. Se presupune, de asemenea, c ntre dispersia corespunztoare erorilor heteroscedastice i variabilele factoriale zi exist o relaie de dependen liniar, respectiv:

mtmttu zzzt ++++= K221102 (3.4.11)

Verificarea homoscedasticitii dispersiei presupune verificarea ipotezei nulitii parametrilor corespunztori variabilelor factoriale, caz n care .02 cttu ==

Aplicarea acestui test const n: - calculul valorilor variabilei reziduale prin aplicarea M.C.M.M.P.

asupra modelului iniial; - calculul estimatorului de maxim verosimilitate corespunztor

dispersiei variabilei reziduale homoscedastice: nut

ut= 22 ;

6 cf. op. cit., p. 377-378

Modelul unifactorial

- construirea unei variabile de forma: 22

tu

tt

u = i regresarea

acesteia n funcie de variabilele factoriale zt, ce pot fi nlocuite cu variabilele exogene xi din modelul original, respectiv:

tmtmttt xxx +++++= K22110 (3.4.12) unde:

t = variabila rezidual. - calculul sumei ptratelor explicat de model, notat cu SSR, i

calculul unei variabile H de forma: 2

SSRH = . Presupunnd c erorile sunt normal distribuite, i c ne aflm n

situaia unui eantion de volum mare, variabila H este asimptotic distribuit sub forma unui , pentru care numrul gradelor de libertate este egal cu:

, unde m = numrul parametrilor modelului, respectiv: H~ .

2;v

1= mv 2 ;vDac >H , erorile sunt heteroscedastice, n caz contrar, sunt

homoscedastice.

2;v

I2.10) Testul White7 Aplicarea testului White n cazul modelului unifactorial presupune

parcurgerea urmtoarelor etape: - estimarea parametrilor modelului iniial i calculul valorilor

estimate ale variabilei reziduale, u; - construirea unei regresii auxiliare, bazat pe prespunerea

existenei unei relaii de dependen ntre ptratul valorilor erorii, variabila exogen inclus n modelul iniial i ptratul valorilor acesteia:

tttt xxu +++= 22102 (3.4.13)

7 cf. op. cit., p. 379

Modele econometrice

i calcularea coeficientului de determinare, R2, corespunztor acestei regresii auxiliare;

- verificarea semnificaiei parametrilor modelului nou construit, iar dac unul dintre acetia este semnificativ diferit de zero, atunci ipoteza de heteroscedasticitate a erorilor este acceptat.

Exist dou variante de aplicare a testului White: - utilizarea testului Fisher-Snedecor clasic, bazat pe ipoteza

nulitii parametrilor, respectiv: H0: 0210 === ; Dac ipoteza nul, potrivit creia rezultatele estimrii sunt

nesemnificative ( ), este acceptat, atunci ipoteza de

homoscedasticitate se verific, cazul contrar semnificnd prezena heteroscedasticitii erorilor.

21;; vvc FF

- utilizarea testului LM, calculat ca produs ntre numrul de

observaii corespunztoare modelului, n, i coeficientul de determinare, R2, corespunztor acestei regresii auxiliare. n general, testul LM este asimptotic distribuit sub forma unui , pentru care numrul gradelor de

libertate este egal cu: , unde k = numrul variabilelor exogene, respectiv:

2;v

kv =

2RnLM = ~ (3.4.14) 2 ;v

Dac >LM , erorile sunt heteroscedastice, n caz contrar, sunt

homoscedastice, respectiv ipoteza nulitii parametrilor,

2;v

0210 === , este acceptat.

Eliminarea fenomenului de heteroscedasticitate se poate realiza prin urmtoarele procedee:

a) Construirea modelului pe baza abaterilor centrate ale variabilelor Fie ttt ubxay ++= (3.4.15)

Modelul unifactorial

tt xbay += (3.4.16) uxbay ++= (3.4.17)

________________ (3.4.15) (3.4.17) ttt uxxbyy += )( (3.4.18)

Notnd cu:

=+=

==

**

**

*

*

tt

ttt

tt

tt

xby

uxby

xxxyyy

Estimarea parametrului b presupune minimizarea funciei:

( ) ( ) ( )==

==n

ttt

n

ttt xbyyybF

1

2**

1

2** minmin

i calculul derivatei pariale a funciei: ( ) ( ) ( ) ( ) 0,cov0020)(' *** ==== ttttttt xuxxuxxbybF

b) Metoda regresiei ponderate Fie modelul iniial ttt ubxay ++= Heteroscedasticitatea presupune , ceea ce nseamn: 22)( utuM

21

21 uu

= 2

22

2 uu =

. (3.4.19) 22unun

=

unde: t este un coeficient de ponderare.

Estimarea parametrilor modelului presupune minimizarea funciei:

=

=n

ttt

u

xbaybaF1

22 )(

1min),(min

Modele econometrice

Conform relaiei (3.4.19): =

=n

ttt

t

xbaybaF1

2)(1min),(min (3.4.20) n relaia (3.4.20) cantitile i 2u t sunt, n general, necunoscute.

S-a constatat ns c, n practic, abaterile standard, tu

, sunt aproximativ proporionale cu valorile variabilei exogene x, adic:

11xuu =

22xuu =

(3.4.21)

nuu xn =

Corelnd relaiile (3.4.19) i (3.4.21), rezult c relaia (3.4.20) devine:

==

=

=

=

n

t tt

t

u

n

t t

tt

u

n

ttt

tu

bx

axy

xxbay

xbayx

baF

1

2

21

2

2

222

1min1

min1

)(1min1),(min

(3.4.22)

Dar relaia (3.4.22) este echivalent cu aplicarea M.C.M.M.P.

modelului iniial, dup ce, n prealabil, a fost mprit la xt:

t

t

tt

ttttt x

ub

xa

xy

xubxay ++=++= 1|:

=

===n

t tt

tn

t t

t bx

axy

minxu

min)b,a(Fmin1

2

1

2 1 (3.4.23)

Modelul unifactorial

Calculnd derivatele pariale n raport cu i ale funciilor (3.4.22) i (3.4.23) i anulndu-le se ajunge la acelai sistem de ecuaii pe baza cruia se determin cei doi estimatori:

a b

==

0)('

0)('

bF

aF

=+

=+

t

t

t

t

t

tt

xy

bnx

a

xy

xb

xa

1

1122

(3.4.24)

=

=

22

2

2

2

22

1

1

1

11

11

t

t

t

t

t

tt

t

t

tt

t

t

x

xb

x

xy

a

xxn

xy

xxy

xb

(3.4.25)

Un caz concret de utilizare a acestei metode o constituie situaia n

care se urmrete modelarea investiiilor unor intreprinderi de dimensiuni diferite n funcie de capital, cifra de afaceri i venit: I = f (K, CA, V) + u.

O alt metod const n segmentarea eantionului n subcolectiviti omogene din punct de vedere al nivelelor factorilor, urmat de o respecificare a modelului pentru fiecare segment n parte.

n mod curent, acest procedeu se utilizeaz la estimarea parametrilor unui model econometric privind cererea sau consumul populaiei fa de un produs de folosin curent, deoarece s-a constatat c dispersia corespunztoare consumului crete pe msura creterii nivelului venitului.

I3 Valorile variabilei reziduale u sunt necorelate, respectiv nu exist fenomenul de autocorelare a erorilor.

ktnktuuMuu ktkt

Modele econometrice

Deoarece aplicaiile practice au artat c acest fenomen e frecvent n special n cazul seriilor cronologice interdependente, verificarea acestuia este necesar, mai ales n cazul calculelor de prognoz.

M.C.M.M.P., n cazul existenei fenomenului de autocorelaie, , nu mai permite obinerea de estimatori eficieni, acetia

prezentnd totodat distorsiuni de la valorile reale. Se pstreaz ns calitatea acestora de a fi consisteni, fapt ce impune introducerea n calcul a unor serii de date suficient de lungi (eantion de valori ct mai mare).

0),( kt uuM

Autocorelarea erorilor se datoreaz analizei n timp a legturii dintre variabile, respectiv a unui efect inerial n evoluia variabilelor sau o alt cauz ar constitui o eroare de specificare a modelului, respectiv omiterea unei variabile explicative, xt, cu influen puternic asupra variabilei endogene y.

Depistarea autocorelrii erorilor se poate face utiliznd urmtoarele procedee:

1) Procedeul grafic se realizeaz corelograma ntre valorile estimate ale variabilei endogene i valorile variabilei reziduale . ty tu

tu

ty

Figura 3.4.3

Grafic, autocorelaia erorilor se manifest fie printr-un numr foarte mic sau foarte mare de schimbri ale semnului variabilei aleatoare, fie ca urmare a unor schimbri simetrice (o oscilaie regulat a valorilor variabilei reziduale fa de valorile lui ). y

Modelul unifactorial

2) Calculul coeficientului de autocorelaie de ordinul 1

=

=

=

= =

= n

tt

n

ttt

n

tt

n

ttt

u

uu

u

uur

2

21

21

1

1

2

21

1 (3.4.26)

Acesta este definit n intervalul [ ]11; , avnd urmtoarea

semnificaie:

+

=

vpozitistrictieautocorela,independen,

vnegatistrictieautocorela,r )(

101

1

3) Testul Durbin-Watson const n calcularea valorii:

( )

=

=

= n

tt

n

ttt

u

uud

1

2

2

21

(3.4.27)

Aceast valoare empiric, d, se compar cu dou valori teoretice,

d1 i d2, preluate din tabelul distribuiei Durbin-Watson (vezi Anexa 3) n funcie de un prag de semnificaie , arbitrar ales, ( = 0,05 sau = 0,01), de numrul de variabile exogene (k) i de valorile observate ( )n n, 15 .

Regula de decizie a aplicrii testului se prezint n tabelul urmtor:

0 < d < d1 d1 d d2 d2 < d< 4-d2 4-d2 d 4-d1 4-d1 < d

Modele econometrice

ntre dou distribuii limit, d1 i d2, ale cror mrimi depind de pragul de semnificaie (), de numrul de variabile exogene (k) i de numrul de valori observate (n, n 15).

Dezvoltnd relaia lui d, aceasta devine:

=

=

=

=+

= nt

t

n

ttt

n

tt

n

tt

u

uuuud

1

2

21

2

21

2

2

2

Pentru un n suficient de mare, cele trei sume, , , ,

fiind aproximativ egale, relaia lui d va fi egal cu:

=

n

ttu

2

2 =

n

ttu

2

21

=

n

ttu

1

2

=

=

= 11

2

21

22 n

tt

n

ttt

u

uud

Se noteaz cu:

=

=

= 11

2

21

1

n

tt

n

ttt

u

uur coeficientul de autocorelaie de ordinul

1 a reziduurilor ut.

( )( ) ( ) 2112 11 drrd == (3.4.28) ]4,0[ d

Modelul unifactorial

cu semnificaia:

=

=

0

2

4

1

0

1

1 d

vpoziti

vnegati

strict

strict

reautocorelaindecizie

independenindecizie

reautocorela

r

4) Un alt procedeu de verificare a ipotezei de independen a erorilor const n aplicarea testului Breusch-Godfrey8, acest test fiind utilizat n vederea depistrii unei autocorelaii de ordin superior. Ca urmare a presupunerii existenei unei autocorelaii de ordin superior se construiete urmtorul model:

tptpttt zurururu ++++= K2211 (3.4.29)

unde: zt = variabil rezidual de medie zero i dispersie constant.

Ipoteza nul care st la baza testului este aceea potrivit creia toi coeficienii corespunztori valorilor decalate ale variabilei reziduale sunt simultan egali cu zero, fapt ce implic non-existena fenomenului de autocorelaie a erorilor.

n vederea utilizrii testului sunt estimate valorile variabilei reziduale ut, obinute n urma aplicrii M.C.M.M.P. asupra modelului iniial. Variabila rezidual ut este regresat apoi n funcie de variabilele exogene iniiale ale modelului i de valorile sale decalate, respectiv ut-1, ut-2, , ut-p. n cazul acestei regresii este calculat valoarea coeficientului de determinare R2 i a unei variabile de forma:

BG = (n-p)R2 (3.4.30)

8 cf. op. cit., p. 425

Modele econometrice

Presupunnd c ne aflm n situaia unui eantion de volum mare, variabila BG este asimptotic distribuit sub forma unui , pentru care

numrul gradelor de libertate este egal cu:

2;v

pv = , unde p = mrimea decalajului , respectiv: BG~ . 2 ;v

Dac , ipoteza nul este respins, ceea ce presupune c

exist cel puin un coeficient de autocorelaie nenul.

>BG 2 ;v

n general, autocorelaia erorilor este provocat de dou cauze: fie c variabila endogen y se autocoreleaz n evoluia sa (ca

urmare a unui efect inerial) genernd o autocorelare n timp a erorilor; fie datorit omiterii unei variabile exogene x, cu influen

semnificativ asupra lui y, adic a unei erori de specificare a modelului econometric.

Eliminarea fenomenului de autocorelare a variabilei reziduale ut n cazul depistrii sale se fundamenteaz pe evitarea cauzelor care l genereaz.

O modalitate direct de a evita consecinele statistice pe care le genereaz acest fenomen o constituie utilizarea urmtoarelor procedee:

a) Aplicarea M.C.M.M.P. generalizate n vederea estimrii parametrilor modelului care, n cazul autocorelrii reziduurilor, permite obinerea de estimatori nedeplasai, consisteni i eficieni. Aceast metod este recomandat n situaia n care numrul variabilelor cauzale este superior lui unu (modele multifactoriale). Estimatorii modelului se obin

astfel: unde V = matricea varianelor i covarianelor reziduurilor.

)YV'X()XV'X(B 111 =

b) Un alt procedeu este urmtorul: Fie modelul liniar unifactorial: ttt ubxay ++= . Se estimeaz

parametrii acestuia, a i b, cu ajutorul M.C.M.M.P. Se calculeaz valorile ajustate ale variabilei endogene - tt xbay += i reziduurile -

ttttt xbayyyu == (3.4.31) i se aplic testul d. Dac ipoteza de

Modelul unifactorial

independen a variabilelor reziduale, I3, nu poate fi acceptat ( , 01 r

211

dr = ), aceasta presupune o autocorelare de ordinul nti a erorilor, respectiv:

ttt zuru += 1)1( (3.4.32)

unde: zt este variabila aleatoare ce verific ipotezele I2, I3 i I4.

tiind c:

11111 == ttttt xbayyyu (3.4.33)

nlocuind relaiile (3.4.31)i (3.4.33) n relaia (3.4.32) se obine:

ttttt zxbayrxbay += )( 11)1( ttttt zxrxbrayry ++= )()1( 1)1()1(1)1( (3.4.34)

n ecuaia (3.4.34) variabilele yt i xt sunt cunoscute, iar valoarea coeficientului de autocorelaie se va calcula cu relaia:

=

=

= 11

2

21

)1( n

tt

n

ttt

u

uur

Se introduce valorile acestuia n relaia (3.4.34) i se vor estima parametrii i prin aplicarea din nou a M.C.M.M.P. Fie i a b estimaiile parametrilor a i b, calculate pe baza diferenelor de ordinul nti ale variabilelor y i x.

Se ajunge astfel la modelul:

)()1()( 1)1()1(1)1( += tttt xrxryry (3.4.35)

Modele econometrice

unde: )( 1)1( tt yry reprezint diferenele teoretice (ajustate) de ordinul nti

ale variabilei endogene y, calculate pe baza funciei de regresie (3.4.34).

c) Procedeul prin baleiaj (Hildreth-Lu) Dac exist corelaie se ajunge la relaia:

ttttt zxrxbrayry ++= )()1( 1)1(0)1(01)1( ttt zxbay ++= *11*

Procedeul prin baleiaj const n atribuirea de valori lui r(1) n intervalul [0,1] autocorelare pozitiv, sau n intervalul [-1,0] autocorelare negativ.

De exemplu, n cazul unei autocorelri pozitive, i se atribuie lui r(1)

urmtoarele valori:

r(1) = 0,1 zt2 = 1,75; r(1) = 0,2 zt2 = 2,75; r(1) = 0,3 zt2 = 3,75.

Deci minimul se situeaz n intervalul [0,2; 0,3]. Se dau apoi valori lui r = 0,21; 0,22;0,27, oprindu-ne la

valoarea pentru care se obine min zt2. Pentru aceast valoare se pstreaz estimatorii a i b obinui n acest caz.

d) Procedeul iterativ al lui D. Cochran i C. Orcutt Se consider modelul ttt ubxay ++= . Se estimeaz parametrii

modelului, se aplic testul D-W, se calculeaz coeficientul de autocorelaie de ordinul nti i se nlocuiete valoarea sa n ecuaia iniial, (3.4.34), obinndu-se modelul - . n cazul acestui model se

verific dac s-a eliminat sau nu autocorelaia erorilor. n caz contrar, se continu procedeul pn cnd se atinge acest deziderat.

t*t

* zxbayt

++= 11

Modelul unifactorial

e) Procedeul Durbin

ttttt zxbayrxbay += )( 11)1(

Se calculeaz r(1), se introduce n relaia (3.4.34) i rezult estimatorii parametrilor, . Aceast metod d rezultate bune numai n cazul existenei unei autocorelaii de ordinul nti i este aplicabil n cazul n se lucreaz cu un numr mare de date.

11, ba

f) Uneori, eliminarea autocorelaiei se poate realiza i prin construirea modelului pe baza diferenelor de ordinul nti ale variabilelor:

tttttttt zbxayzxxbayy ++=++= **11 )(

g) Pentru eliminarea autocorelaiei se poate construi un model nou n care se introduce o variabil fictiv suplimentar. Aceast metod pornete de la ideea c variabila rezidual u nu este influenat numai de factori aleatori, ci exist cel puin un factor sistematic care provoac autocorelaia.

I4 Legea de probabilitate a variabilei reziduale ut este legea normal, de medie nul i abatere medie ptratic u, ut (0,u).

Se tie c, dac erorile urmeaz legea normal de medie zero i de abatere medie ptratic (consecina ipotezelor I1, I2, I3), atunci are loc relaia:

su$

( ) = 1 ut stuP

Pe baza acestei relaii, n funcie de diferite praguri de semnificaie , din tabela distribuiei normale sau a distribuiei Student se vor prelua valorile corespunztoare lui . t

Verificarea ipotezei de normalitate se poate face pe baza unui grafic n cadrul cruia pe axa Ox se vor reprezenta valorile ajustate ale variabilei y

Modele econometrice

- , iar pe axa Oy se vor trece valorile variabilei reziduale - . Dac

valorile empirice ale variabilei reziduale se nscriu n banda ty tu

ust , cu un anumit prag de semnificaie , ipoteza de normalitate a variabilei reziduale poate fi acceptat cu acest prag de semnificaie vezi figura 3.4.4:

y

u ust +

ust

0

Figura 3.4.4

O alt modalitate de verificare a ipotezei de normalitate a erorilor o constituie testul Jarque-Berra9, care este i el un test asimptotic (valabil n cazul unui eantion de volum mare), ce urmeaz o distribuie hi ptrat cu un numr al gradelor de libertate egal cu 2, avnd urmtoarea form:

( )

+=

243

6

22 KSnJB ~ 2 (3.4.36) 2;

unde: n = numrul de observaii;

S = coeficientul de asimetrie (skewness), ce msoar simetria distribuiei erorilor n jurul mediei acestora, care este egal cu zero, avnd urmtoarea relaie de calcul:

( )3

1

31

=

=

n

tt yynS (3.4.37)

9 cf. EViews, User Guide, Version 2.0, QMS Quantitative Micro Software, Irvine, California,

1995, p. 140-141

Modelul unifactorial

K = coeficientul de aplatizare calculat de Pearson (kurtosis), ce msoar

boltirea distribuiei (ct de ascuit sau de aplatizat este distribuia comparativ cu distribuia normal), avnd urmtoarea relaie de calcul:

( )4

1

41

=

=

n

tt yynK (3.4.38)

Testul Jarque-Berra se bazeaz pe ipoteza c distribuia normal are

un coeficient de asimetrie egal cu zero, S = 0, i un coeficient de aplatizare egal cu trei, K = 3.

Dac probabilitatea, p(JB), corespunztoare valorii calculate a testului este suficient de sczut, atunci ipoteza de normalitate a erorilor este respins, n timp ce, n caz contrar, pentru un nivel suficient de ridicat al probabilitii ipoteza de normalitate a erorilor este acceptat, sau dac

, atunci ipoteza de normalitate a erorilor este respins. >JB 2 2;

3.4.2. Verificarea semnificaiei estimatorilor parametrilor modelului econometric

Dac cele patru ipoteze pot fi acceptate, se poate demonstra (vezi

Teorema 1) c M.C.M.M.P. este echivalent cu M.V.M. (metoda verosimilitii maxime) i, deci, estimatorii obinui n acest caz sunt nedeplasai, convergeni i eficieni.

De asemenea (vezi Teorema 2 i 3), cei doi estimatori, , sunt variabile aleatoare repartizate normal:

b i a

)s,a(N)a(L a= ; )s,b(N)b(L b=

Modele econometrice

unde:

( )

+=t

tua

xxx

nss

2

22 1 = abaterea medie ptratic a estimatorului a ;

( ) =t

t

ub xx

ss 2

2

= abaterea medie ptratic a estimatorului b ;

== tt

tt

tu n

)yy()u(

ns

221

2

22 = dispersia variabilei reziduale (vezi

teorema 6)

Verificarea semnificaiei estimatorilor const n a accepta, sau a respinge, una din cele dou ipoteze:

==

00

:0 ba

H

00

:1 ba

H

Testul adecvat acestui scop, b i a fiind variabile normale, este

testul t. Prin centrarea i normarea estimaiilor b i a , n cazul ipotezei

H0: L(a )=N(0, ) i L(b as )=N(0, ), se obin valorile calculate: bs

acal s

at 01 = i b

cal sbt 02 = . Aceste valori calculate sau empirice se compar

cu valoarea teoretic: t = variabil normal, dac n,t 1= , n>30, preluat din tabela

distribuiei normale, n funcie de o valoare arbitrar aleas a probabilitii

Modelul unifactorial

p sau a pragului de semnificaie , p+ = 1; aceste valori, de regul fiind: p = 0,9 => = 0,1; p = 0,95 => = 0,05; p = 0,99 => = 0,01;

- t;n-(k+1) = variabil Student, dac n,t 1= , n30, preluat din tabela distribuiei Student, n funcie de valoarea stabilit pentru i de numrul gradelor de libertate, n-(k+1); n = numrul observaiilor; k = numrul variabilelor exogene xj, k,j 1= (k+1 = numrul parametrilor modelului econometric).

Pe baza celor dou valori, tcal i t;v , regula de decizie a testului este:

dac

=

=

vb

cal

va

cal

tsbt

tsat

;

2

;

1

=> se accept H0 => estimatorii nu sunt

semnificativ diferii de zero, se renun la ei i la model => se revine la prima etap cu o nou specificare;

dac

>=

>=

vb

cal

va

cal

tsbt

tsat

;

2

;

1

=> se accept H1 => modelul a fost corect

specificat, identificat i estimat i se continu discuia econometric;

dac

>=

=

vb

cal

va

cal

tsbt

tsat

;

2

;

1

=> se reine modelul y = f(x) + u = bx + u i

se continu discuia econometric.

n practic, deoarece t0,05 > 2, economitii accept ipoteza H1 - estimatorii sunt semnificativi dac:

2

2

2

1

=

=

bcal

acal

sbt

sat

Modele econometrice

n acelai timp, tiind c i sunt repartizai normal, se poate estima intervalul de ncredere al parametrilor acestora:

a b

( ) ==+ 1 ;; pstaastaP avav ( ) ==+ 1 ;; pstbbstbP bvbv

Parametrii a i b vor fi considerai semnificativ diferii de zero dac: ( ) ==>= 10 ; pstaaP av ( ) ==>= 10 ; pstbbP bv

3.4.3 Verificarea similitudinii modelului econometric

Modelul econometric, tt xbay += , este expresia formal a modelului economic real, yt = f(xt) + ut = a + bxt + ut, conceput pe baza teoriei economice i rezultat pe baza unui singur experiment, unui singur sondaj statistic.

Ca atare, n aceast etap se urmrete s se verifice: 1) dac ipoteza de pornire x = principalul factor de influen a

fenomenului y este corect sau nu; 2) dac legitatea economic dintre cele dou variabile este de forma

- y = a + bx; 3) dac rezultatele obinute pot fi considerate sistematice n sensul

c se vor obine aproape aceleai rezultate dac se va repeta experiena cu alte sondaje, de volum i structur (alte uniti statistice) diferite sau ntmpltoare, adic rezultate diferite pentru sondaje diferite.

n general, scopurile urmrite n aceast etap se rezolv cu ajutorul metodei analizei variaiei, cunoscut i sub numele de metoda ANOVA.

Metoda analizei variaiei pornete de la identitatea:

yyyyyy tttt += ( ) ( )22 yyyyyy tttt +=

[==

+=n

tttt

n

tt yyyyyy

1

2

1

2 )()()( ]

(3.4.3)

Modelul unifactorial

unde10: omenului y; y = valorile reale ale fent

= valorile teoretice ale fenomenului y; ty

tt xbay += ( ) xbaxba

ny

ny

ny ttt += +=== 111 Prin ridicarea la ptrat a binomului din partea dreapt a relaiei

(3.4.3) rezult:

====

++==n

tttt

n

ttt

n

tt

n

tt yyyyyyyyyy

11

2

1

2

1

2 ))((2)()()( (3.4.4)

Termenii relaiei (3.4.4) se definesc prin:

( )=

=n

2

tt yyV

1

20 = variaia total a variabilei y provocat de toi

factorii si de influen;

( ) ==n

ttx yyV

1= variaia fenomenului y provocat numai de variaia

factorului x, considerat factorul principal al variabilei y, adic variaia lui y

tttu yyV

1= variaia rezidual, sau variaia fenomenului y

generat de ctre factorii nespecificai n model, aceti factori fiind

22

explicat de modelul econometric; n 22 ( ) ==

considerai n etapa de specificare drept factori cu influen ntmpltoare, neeseniali pentru a explica variaia fenomenului y;

10 Relaia (3.4.3) rmne valabil n toate cazurile de modele liniare sau liniarizabile. n

cazul acestora din urm, se va ine cont de semnificaia simbolurilor. De exemplu: - modelul putere: yt = a xt

b ut => ln yt = ln a +b ln xt + ln ut, n acest caz, semnificaiile simbolurilor vor fi: yt*

= ln yt; = ln ; *ty ty

== tt ylnnylnny11 ;u *t

= ln yt - ln ; ty

- modelul exponenial yt = ea+bxt ut => ln yt = a + b xt + ln ut,=> yt* = ln yt;

= ln ; *ty ty y = media geometric a termenilor.

Modele econometrice

0),cov(2)(2)(2))((21

===+= =

tttttt

n

tttt xubnn

nuxxbuxbaxbayyyy

cov (xt, ut) = 0, adic xt i ut sunt variabile independente. Aceast condiie se realizeaz dac erorile sunt homoscedastice ( vezi ipoteza I2).

De regul, rezultatele aplicrii metodei ANOVA se prezint ntr-un tabel de forma:

Tabelul 3.4.1 Valoarea testului F Sursa de

variaie Msura variaiei

Numrul gradelor de

libertate

Dispersii corectate cF F v v ; ;1 2

Variana explicat de

model ( )

==

n

ttx yyV

1

22 1=k

kVs xxy

22

/ = 2

2/

u

xyc s

sF =

Variana rezidual ( )

==

n

tttu yyV

1

22

1 kn 1

22 = kn

Vs uu

-

Variana total ( )

==

n

tt yyV

1

220

1n

-

-

.

Pe baza datelor din tabel se pot testa urmtoarele ipoteze: 22

0 ux/y ss:H = => cele dou dispersii sunt aproximativ egale, adic influena factorului x nu difer de influena factorilor ntmpltori;

221 ux/y ss:H => influena factorului x i a factorilor ntmpltori

msurat prin cele dou dispersii difer semnificativ i, deci, se poate trece la discuia similitudinii, a verosimilitii modelului teoretic n raport cu modelul real.

Dup cum se tie, testarea semnificaiei dintre dou dispersii se face cu ajutorul distribuiei teoretice Fisher-Snedecor, respectiv cu testul F. Cunoscnd cele dou valori:

1:

22

2

2/

== knV

kV

s

sF ux

u

xycal = valoarea calculat a variabilei F

pe baza rezultatelor modelului econometric; F,v1,v2 = valoarea teoretic a variabilei F, preluat din tabela

repartiiei Fisher Snedecor, n funcie de un prag de semnificaie

Modelul unifactorial

( = 0,1 sau = 0,05 sau = 0,01) i de numrul gradelor de libertate v1 = k; v2 = n-k-1;

Regula de decizie este urmtoarea: - se accept H0 i se respinge H1 dac:

Fcal F,v1,v2

- se accept H1 i se respinge H0 dac:

Fcal >F,v1,v2

Dac se accept H1 i dac variabila u este independent de fenomenul x, cov(x,u)=0, atunci ecuaia analizei variaiei este:

2220 ux VVV += (3.4.39)

ecuaie care, prin mprirea la , se transform n: 20V

10010010012

0

2

20

2

20

2

20

2

+=+=VV

VV

VV

VV uxux (3.4.40)

Termenul 2

0

22

VV

R xx/y = se numete coeficient de determinare i are

urmtoarele semnificaii:

}}

=+=

+=+

=

y. ifenomenulu a influenta defactor singurul este x )(1y; ifenomenulu al esentialfactor un este x )(

0,5esential;factor estenu dar y, i variabilealfactor este x )(

y; ifenomenulu al (cauza)factor estenu x )(0

2/

xfyuxfy

uxfyuxfy

R xy

Modele econometrice

Pe baza afirmaiilor de mai sus, se deduce uor c un model econometric este cu att mai performant cu ct valoarea lui se

apropie mai mult de unu, respectiv cu ct se apropie mai mult de 100(%).

2x/yR

Statistic, intensitatea legturii dintre cele dou variabile se msoar cu ajutorul indicatorului , denumit raport de corelaie: x/yR

20

2

20

22 1

VV

VV

RR uxx/yx/y ===

}}

=

x cu strict corelat este y-tdeterminis corelatie 1puternic corelatie

0,5slab corelatie

teindependen sunt y i x

R x/y

0

n