Capitolul 3: NO IUNI DE BAZ ALE MODEL RII N ELEMENT FINIT. EXEMPLE DE MODELE N ELEMENT FINIT

3.1. Introducere Cuno tin ele prezentate n acest capitol arat cum se realizeaz trecerea de la modelul diferen ial n studiul diferitelor fenomene specifice sistemelor electrice la modelul n element finit al acestor fenomene, respectiv modul n care se ob ine solu ia numeric n element finit a modelului diferen ial. Se arat dou variante de dezvoltare a modelului numeric n element finit, una care presupune cunoa terea unei formul rii varia ionale echivalent modelului diferen ial al fenomenului, iar cea de a doua prin metoda reziduurilor ponderate. Prezentarea a patru exemple de modele n element finit, dou unidimensionale i alte dou bidimensionale au ca scop familiarizarea cu tehnologia element finit n construirea modelului numeric al unui fenomen bine definit. 3.2. Formularea varia ional echivalent unui model diferen ial i modelul numeric EF Solu ia numeric n element finit a ecua iei sau a setului de ecua ii care caracterizeaz modelul diferen ial al unui fenomen n condi ii de unicitate bine definite, respectiv modelul numeric n element finit al fenomenului, const din ansamblul de valori numerice discrete ale m rimii de stare caracteristice fenomenului n nodurile re elei de discretizare a domeniului de calcul. Se reaminte te c no iunea model diferen ial al unui fenomen include ecua ia satist cut de m rimea de stare, domeniul de calcul Dc n care se dore te evaluarea acestei m rimi i condi iile de unicitate a solu iei cmpului, care regrupeaz sursele cmpului, propriet ile fizice ale diverselor regiuni ale domeniului de calcul, condi iile pe frontiera domeniului de calcul, condi ii de trecere la nivelul suprafe elor care separ regiuni cu propriet i diferite ale domeniului de calcul i condi ii initiale, care, n cazul unui cmp spa io-temporal, precizeaz structura cmpului n momentul de timp ini ial. Formularea varia ional a unui fenomen presupune stabilirea unui principiu varia ional capabil s furnizeze modelul diferen ial al fenomenului prin aplicarea condi iei de sta ionaritate a unei func ionale adecvate. 3.2.1. Formularea varia ional echivalent unui model diferen ial. Fie expresia: f ( x , y, z , V ,Dc

V V V , , , )dxdydz x y z

g ( x , y, z)dS

,

(3.1)

denumit func ional asociat fenomenului descris prin m rimea de stare scalar V(x,y,z). M rimile V / x, V/ y i V / z sunt derivatele m rimii de stare. Pentru un fenomen al c rui model diferen ial este cunoscut, integrandul f al primei integrale este o func ie cunoscut pe domeniul de calcul Dc al m rimii V, iar integrandul g al celei de a doua integrale este o func ie cunoscut pe frontiera a domeniului Dc. Esen a formul rii varia ionale a unui fenomen const n aceea c minimizarea expresiei (3.1) conduce la modelul diferen ial al acestuia, adic ecua ia diferen ial satisf cut de m rimea de stare i condi iile la limit . Pentru o problem unidimensional (1D), n care m rimea de stare V depinde doar de coordonata x, iar al doilea termen al rela iei (3.1) nu exist , se deduc n continuare propriet i ale integrandului f al func ionalei. Fie un fenomen a c rei m rime de stare necunoscut V(x) este

37

definit n domeniul [x1, x2] i satisface condi iile la limit V(x1) = V1 , V(x2) = V2. Func ionala asociat fenomenului se exprim prin integrala:x2

f ( x,V,V' )dxx1

,

(3.2)

unde V este nota ia derivatei dV/dx. Fie V( x ) o solu ie aproximativ , Fig. 3. 1. n raport cu solu ia exact V(x), solu ia aproximativ poate fi scris sub forma: V( x ) V( x ) V( x ) , (3.3)

unde V(x) este varia ia infinitezimal a solu iei V(x). Sta ionarizarea integralei (3.2), respectiv valoarea minim a func ionalei corespunde anul rii varia iei a func ionalei, corespunz toare varia iei V(x) a solu iei, respectiv corespunde rela iilor:x2

x1

f f dx ( V V x1

x2

f V' V'

f x ) dx x

x2

(x1

f V V

f V' ) dx V'

0

(3.4)

V(x) V2 Solu ia exact

V(x)

V1V(x)

Solu ia aproximativ x2 x

x1

Fig. 3.1

M rimea x n (3.4) este nul deoarece se caut varia ia f a integrandului f pentru o valoare dat a variabilei x. Integrnd prin p r i ultimul termen al integrandului expresiei (3.4), se ob ine:x2

x1

f V ' dx V'

x2

x1

f dV ( ) dx ' V dx

x2

x1

f d ( V) dx V ' dx

f V'

x2

x2

Vx1

d f ( ' ) V dx dx V x1

(3.5)

Expresia (3.4) devine:x2

f [ V x1

d f ( ' )] V dx dx V

f V'

x2

Vx1

0

(3.6)

Deoarece varia ia V este arbitrar , fiecare termen al expresiei (3.6) trebuie s fie nul, adic :

f V

d f ( ') 0 dx V38

(3.7)

i

f V'

x2

Vx1

0

(3.8)

Rela ia (3.7) trebuie s corespund ecua iei diferen iale a fenomenului, iar rela ia (3.8) condi iilor la limit ale modelului diferen ial. Dac : V(x1) = 0 i V(x2) = 0 , (3.9) atunci rela ia (3.8) este ndeplinit . Aceasta presupune c valorile m rimii de stare V(x) la cele dou limite ale domeniului de calcul sunt definite, ceea ce corespunde condi iilor la limit de tip Dirichlet, denumite condi ii la limit for ate. Dac m rimea de stare nu satisface condi ii la limit for ate (Dirichlet), varia ia V fiind arbitrar , trebuie ndeplinit condi ia:

(

f ) V ' x1

(

f ) V' x2

0

(3.10)

denumit condi ie la limit natural . Aceast condi ie la limit trebuie s fie implicit ndeplinit de c tre func ia f. Este evident c rela ia (3.8) este satisf cut i n cazul n care la una din cele dou limite modelul diferen ial presupune o condi ie la limit natural , iar la cealalt o condi ie la limit for at . Dac solu ia n element finit se bazeaz pe formularea varia ional al fenomenului, care presupune cunoa terea integranzilor f i g n func ionala (3.1), atunci condi iile la limit naturale sunt n mod automat incorporate n formulare i numai condi iile for ate trebuiesc impuse solu iei. Exemplu: Modelul diferen ial unidimensional Laplace i formularea varia ional echivalent a acestuia . Fie modelul diferen ial descris de ecua ia Laplace: d2V/dx2 = 0 pe domeniul de calcul [x1, x2], cu condi ii la limite : fie de tip Dirichlet V(x1) = V1, V(x2) = V2 , fie de tip Neuman omogen, V (x1) = 0, sau V (x2) = 0, fie de Dirichlet la una dintre limite i de tip Neuman omogen la cealalt limit . Este u or de constatat c integrandul f al func ionalei (3.2) are expresia: f(x, V, V ) = (V )2 / 2 (3.12) (3.11)

i c condi ii la limit de tip Dirichlet sau Neuman omogen satisfac egalitatea (3.8). Prin urmare, solu ia modelului diferen ial unidimensional Laplace corespunde minimiz rii func ionalei avnd expresia:x2

1 dV 2 dx x2

2

dx

(3.13)

3.2.2. Modelul numeric n element finit bazat pe formularea varia ional . Solu ia numeric n element finit a necunoscutei V(x,y,z) m rimea de stare a unui fenomen, bazat pe formularea varia ional , presupune determinarea valorilor V1, V2, ....., Vn ale necunoscutei n nodurile re elei de discretizare a domeniului de calcul. Integranzii f i g n func ionala (3.1) sunt

39

func ii cunoscute de x, y, z, V1, V2, ....., Vn , astfel nct dup efectuarea integralelor n raport cu coordonatele spa iale x, z, y, func ionala (3.1) depinde doar de valorile nodale V1, V2, ....., Vn. Sta ionarizarea func ionalei (3.1) este echivalent cu sistemul de ecua ii:

Vi

0 , i 1, 2, ..., n

(3.14)

Acest sistem conduce de obicei la un sistem algebric liniar de forma:M [V] [R ]

(3.15)

unde elementele matricei M i ale vectorului R sunt complet determinate prin integrale de volum i de suprafa , care nu depind dect de geometria domeniului de calcul. [V] este vectorul valorile nodale necunoscute, respectiv solu ia numeric de determinat. 3.2.3. Func ionalele asociate unor modele diferen iale n studiul sistemelor electrice n aceast sec iune sunt exemplificate formul ri varia ionale ale unor modele de cmp electromagnetic i al conduc iei termice, f r a include i demonstra faptul c sta ionarizarea acestora este echivalent cu modelele diferen iale corespondente. Scopul prezent rii este acela de a veni n sprijinul celor care inten ioneaz s construiasc modele proprii n element finit, pentru a n elege astfel solverul pachetelor de programe profesionale de analiz n element finit. Func ionala cmpului electromagnetic nesta ionar are expresia:E B

DdEDc 0 0

HdB

JA

v

V dxdydz

(3.16)

pe domeniul de cmp spa io-temporal Dc , n afara c ruia cmpul este nul. M rimile D, E, B, H sunt vectorii asocia i cmpurilor electric i magnetic, A poten ialul magnetic vector, definit prin legea fluxului magnetic, V poten ialul electric scalar, definit prin legea induc iei electromagnetice, J vectorul densit ii curentului electric de conduc ie i v densitatea de volum a sarcinii electrice. Prima parantez a integrandului este diferen a dintre densit ile de volum ale co-energiei electrice i energiei magnetice, iar cea de a doua este diferen a dintre densit ile de volum ale energiilor de interac iune dintre curentul de conduc ie i cmpul magnetic, respectiv dintre sarcina electric i cmpul electric. Energia interac iunii cmp - corpuri este egal cu lucrul mecanic efectuat de for ele cmpului pentru a aduce densitatea de curent, respectiv de sarcin electric din exteriorul domeniului Dc, unde se consider originea poten ialelor ( A = 0, V = 0), n starea caracterizat prin valorile A i V. n caz c vectorul densit ii curentului electric de conduc ie J nu poate fi definit n mod explicit, fiind dependent de cmpul electromagnetic, cum este cazul regiunilor de tip conductor masiv (cu curen i indu i), densitatea de volum a energiei de interac iune J A din expresia (3.1)A

se nlocuie te cu0

J dA .

Formularea varia ional presupune particularizarea func ionalei (3.16) n concordan cu regimul de cmp electromagnetic specific problemei i cu propriet ile fizice ale corpurilor i ncorporarea n expresia func ionalei a condi iilor de unicitate a solu iei problemei. 1) Func ionala cmpului electrostatic. Un model de cmp electrostatic n domeniul Dc n care se afl doar corpuri liniare, izotrope, omogene, f r polariza ie permanent , unde D = E, fiind permitivitatea electric - o constant scalar presupune determinarea poten ialului electric scalar V care sta ionarizeaz func ionala avnd expresia n coordonatele carteziene (x, y, z):

40

1

(V)Dc

2

V x

2

V y

2

V z

2 v

V dx dy dzN

g N (x, y, z) V d

N S

S

V dS(3.17)

unde

reprezint partea frontierei domeniului de calcul cu condi ii la limit de tip Neuman V neomogen, respectiv se cunoa te func ia g N , iar S suprafa a de discontinuitate n n NN

domeniul de calcul pe care se cunoa te densitatea superficial de sarcin electric s. n problemele 2D plan-paralele n coordonatele carteziene (x, y) cu s = 0 func ionala are expresia:1

(V)Dc

2

V x

2

V y

2 v

V dx dyN

g N (x, y) V d

N

,

(3.18)

iar n problemele 2D axisimetrice n coordonatele cilindrice (r, z):(V) 2Dc

1

r 2

V z

2

V r

2

r v V dz dr

2N

r g N (z, r) V d

N

(3.19)

2) Func ionalele cmpurilor electrocinetic i magnetostatic. Formul rile varia ionale asociate cmpurilor electrocinetic i magnetostatic (produs de magne i permanen i) se deduc direct din formularea cmpului electrostatic pe baza urm toarelor coresponden e duale:

Erespectiv,

E, D H, D

J, V B, V

V, ,

, Pp , Pp

Ei , Br ,

v

0, 0,

S

0, 0.

E

v

S

3) Func ionala cmpului magnetic sta ionar. Func ionala asociat cmpului magnetic sta ionar creat de densitatea de current continuu J1[J1x, J1y, J1z] ntr-un domeniu de calcul cu corpuri fixe, liniare, izotrope, omogene i f r magnetizare permanent , unde reluctivitatea este o constant scalar , cmpuri al c ror model diferen ial utilizeaz poten ialul magnetic vector A [Ax(x,z,y), Ay(x,z,y), Az(x,z,y)] , are expresia:3 ( A) Dc

2 k x,y,z

Ak x

2

Ak y

2

Ak z

2

J1k A k

dxdydz

N

Ax Ax n N

Ay nN

Ay

Az Az d N n N

JS A dSS

(3.20)

Integrala pe suprafa a N a domeniului de calcul n (3.20) ncorporeaz condi iile pe frontier care asigur unicitatea solu iei. Pe aceast suprafa a trebuiesc cunoscute fie componenta tangen ial a intensit ii cmpului magnetic H , fie componenta tangen ial a poten ialului magnetic vector A . Ultimul termen al func ionalei (3.20) include condi ia de trecere rot SH nS x H S J S pe o eventual suprafa de discontinuitate S din domeniul de calcul, pe care se cunoa te densitatea J S a p turii de curent de conduc ie.

41

n probleme 2D plan-paralele n coordonatele carteziene (x,y) cu JS = 0, unde J1[0, 0, J1] i unde poten ialul magnetic vector are structura A[0, 0, A(x,y)], func ionala (3.20) devine:3 (A) Dc

2

A x

2

A y

2

J1A dx dyN

g N (x, y) A d N ,

(3.21)

iar n problemele 2D axisimetrice n coordonate (r, , z), unde J1[0, J1, 0] i unde poten ialul magnetic vector are structura A[0, A(r,z), 0] :3 (A)

2D

2r

(rA) z

2

(rA) r

2

J rA dz dr

2N

r

(rA) (rA)d N , (3.22) n N

4) Func ionala cmpului electromagnetic cvasista ionar de tip magnetic. Aceast func ional se ob ine din rela ia general (3.16) n care se neglijeaz energia electric n raport cu cea magnetic i se admite conform teoremei relaxa iei sarcinii electrice c v = 0. Se consider n continuare c n domeniul de calcul al cmpului se afl numai corpuri liniare din punctul de vedere al conduc iei electrice. Expresia densit ii curentului electric de conduc ie:

J

gradV(r, t )

A t

J1

A t

(3.23)

are doi termeni: componenta densitate a curen ilor de aduc ie J1 datora i surselor externe ale cmpului electromagnetic, m rime specific subdomeniilor de tip conductor bobinat, al c rui model de material consider = 0, i componenta densitate a curen ilor indu i, prezent n subdomenii de tip conductor masiv de conductivitate electric , exprimat n func ie de poten ialul magnetic vector A. Abordarea numeric a formul rii varia ionale a cmpului cvasista ionar magnetic necesit eliminarea derivatei temporale a poten ialului magnetic vector printr-o schem simpl i stabil A de discretizare n timp. Cea mai simpl aproximare a derivatei n rela ia (3.23) este: t A t At Att t

t

(3.24)

unde s-au notat prin t - t i t dou momente de timp succesive. Expresia aproximativ a energiei specifice de interac iune a curen ilor indu i este:A

0

A dA t

A

0

t

(A

A

t

)dA

1 2 A t 2

AA

t

,

(3.25)

n care A este poten ialul vector necunoscut la momentul de timp t, iar A

t

este poten ialul

cunoscut, calculat la momentul de timp anterior t - t. n mod uzual, m rimile ini iale A 0 iA se consider nule. n cazul domeniilor de calcul cu corpuri fixe, liniare, izotrope, omogene t 0 i f r magnetizare permanent , forma func ionalei este asem n toare cu (3.20), m rimile J1x,z,y A x,y,z fiind nlocuite cu J1x,y,z . t

42

n probleme 2D plan-paralele n coordonatele carteziene (x,y) func ionala are forma explicit :

4

(A)D

2

A x

2

A y

2

A

J1 A0

A dA dx dy t

g N ( x , y )A dN

N

,

(3.26)

unde A(x,y) este componenta nenul , dup Oz, a poten ialului magnetic vector, iar n problemele 2D axisimetrice n coordonatele (r,z) :4 (A)

2D

2r

(rA) z

2

(rA) r

2

A

J 1 rA0

A rdA dz dr t

2N

r

(rA) (rA)d N n N

(3.27) unde A(r,z) este componenta nenul , dup Oz, a poten ialului magnetic vector. Dac regimul cvasista ionar este de tipul armonic permanent, func ionalele se transcriu n j 2 complex simplificat. Termenul energiei de interac iune a curen ilor indu i are expresia A 2 j 2 pentru probleme 2D plan-paralele i r A pentru probleme 2D axisimetrice. 2 n regiunile de tip conductor masiv densitatea de curent J este necunoscut ca i poten ialele magnetic vector A i electric scalar V. Dac acestea sunt n mi care cu viteza v, expresia densit ii curentului de conduc ie n este: A J J1 v rot A (3.28) t 5) Formularea varia ional a cmpului temperaturii n conduc ia termic . Modelul diferen ial al conduc iei nesta ionare a c ldurii n corpuri satisface ecua ia:

ci presupune condi ii la limit : fie de tip Dirichlet,

d dt

p div( grad )

(3.29)

(rS1, t) undeS1

S1 (t),

pentru t

0

,

(3.30)

este temperatura local cunoscut a suprafe ei S1, fie de tip Neuman neomogen,

n

ps (t) , pentru t

0

,

(3.31)

unde ps este valoarea local cunoscut a fluxului termic specific la nivelul suprafe ei S2 ; fie de tip transfer termic prin convec ie,

n

(

f ),

pentru t

0,

(3.32)

unde este coeficientul de transfer termic local prin convec ie la nivelul suprafe ei S3 c tre mediul fluid ambiant avnd temperatura f .

43

Solu ia m rimii de stare (x,y,z,t) n domeniul de calcul Dc sta ionarizeaz la orice moment de timp func ionala:2 5 2 2

( )Dc

2

x

y

z

p

c

t

dxdydzS2

ps dS2

1 2 S3

(

f

) 2 dS3(3.33)

3.3. Formularea prin metoda rezidurilor ponderate (Galerkin) echivalent unui model diferen ial Analiza unui fenomen pe baza formul rii sale varia ionale presupune cunoa terea func ionalei asociate, situa ie care nu este ntotdeauna posibil . Metoda reziduurilor ponderate descris n aceast sec iune permite ob inerea solu iei numerice n element finit a unui model diferen ial orict de complex ar fi acesta. Fie forma general urm toare a ecua iei unui model diferen ial:

D( x, y, z, V,

V V V , , x y z

)

0

(3.34)

M rimea de stare necunoscut V(x,y,z) se aproximeaz prin suma:n

V( x, y, z)i 1

C i f i ( x, y, z)

(3.35)

unde Ci sunt m rimi independente de coordonatele de pozi ie, iar fi func ii liniar independente cunoscute, alese astfel nct condi iile pe frontier ale modelului diferen ial s fie satisf cute. ntroducnd aceast aproxima ie n ecua ia (3.33) se ob ine un rezultat diferit de zero, denumit reziduu:

R

D( x , y, z, V,

V V , , ) 0 x y

(3.36)

Fie w F(R) o func ie ponderat a reziduului, unde w este ponderea, iar F(R) o func ie de reziduul R, astfel aleas nct F(R) = 0 atunci cnd reziduul este nul, R = 0, respectiv atunci cnd aproxima ia V este chiar solu ia exact V. Criteriul de minim care determin solu ia modelului diferen ial este reprezentat de integrala :

wF(R) dxdydzDc

0

(3.37)

referitoare la domeniul de calcul al m rimii de stare scalare V(x,y,z). n formularea Galerkin, care n general d cea mai bun aproxima ie a solu iei, ponderile wi sunt alese a fi tocmai func iile cunoscute fi care definesc solu ia aproximativ , iar func ia F este chiar reyiduul, adic F(R) = R. Cele n integrale ale reziduului ponderat pe domeniul de calcul egalate cu zero, respectiv:

f i R dxdydzDc

0, i 1, 2,....., n

(3.38)

reprezint un sistem de n ecua ii avnd m rimile C1, C2, ...., Cn ca necunoscute.

44

3.4. Modele unidimensionale n element finit Avnd n vedere simplitatea unei probleme n care variabila de stare depinde doar de o singur coordonat , se prezint n acest subcapitol dou astfel de exemple 1D. 3.4.1. Exemplul 1: Cmpul electric produs de sarcina electric uniform distribuit ntre arm turile unui separator electrostatic tip condensator plan. Atunci cnd distan a dintre arm turile unui condensator plan este mult mai mic dect extinderea acestora, cmpul electric, respectiv poten ialul electrostatic V n spa iul dintre arm turi exceptnd marginile, depinde depinde doar de coordonata perpendicular pe arm turi. Admi nd c poten ialul celor dou arm turi este nul, intereseaz varia ia 1D a cmpului electric produs de o distribu ie uniform v a sarcini electrice n spa iul dintre arm turi. Modelul diferen ial al aceste probleme fizice este caracterizat de o ecua ie de tip Poisson, d2V/dx2 = - v/ 0 i de condi iile pe frontier care exprim valorile poten ialului celor dou arm turi. Ca aplica ie, fie ecua ia: d2V/dx2 = - 2 (3.39) satisf cut de m rimea de stare V(x) pe domeniul de calcul este [0, 1], cu condi iile la limit de tip Dirichlet V(0) = 0, V(1) = 0. Solu ia exact a acestui modelului diferen ial este: V(x) = - x2 + x (3.40)

Solu ia n element finit. Se consider discretizarea domeniului de calcul [0, 1] n dou elemente finite (e1) i (e2) de tip segment, (e1): 0 x 0,5 i (e2): 0,5 x 1. Se aproximeaz necunoscuta V(x) prin varia ii liniare n raport cu x pe fiecare dintre cele dou elemente finite considerate, de forma : V(1)m = a1. x + b1, pentru x (e1) (3.41) (2) . V m = a2 x + b2 , pentru x (e2) (3.42) Aproxima iile (3.41) i (3.42) care ndeplinesc condi iile la limit V(1)(0) = 0, V(2)(1) = 0 i condi ia de continuitate a variabilei de stare la trecerea de la elementul (e1) la elementul (e2), respectiv condi ia V(1)(0,5) = V(2)(0,5), conduc la b1 = 0, b2 = - a2 i a2 = - a1. Prin urmare, aproxima iile liniare, Fig. 3.2, care satisfac condi iile precizate au expressile: V(1)m = a x , V(2)m = a(1 - x) , pentru x pentru x (e1) (e2) (3.43) (3.44)

VV(x) = - x2 + x

0,25 0,5a

solu ie EF cu a necunoscut

Fig. 3.20 (e1) 0,5 (e2) 1

x

45

n formularea varia ional expresia:

functionala asociat modelului diferen ial de tip Poisson are 1 201

dV dx

2

4V dx

(3.45)

nlocuind aproxima iile (3.43), (3.44) n (3.45) se ob ine expresia: 1 20,5

a 2 4ax dx0

1 a 2 4a 4ax dx 2 0,5

1

1 2 a a 2

(3.46)

Sta ionarizarea func ionalei

presupune:

a

0

(3.47)

Rezolvnd ecua ia (3.47) se ob ine a = 0,5 , respectiv solu ia n element finit V = 0,5x , pentru x V = 0,5(1 - x) , pentru x [0 0,5] i [0,5 1]. (3.48) (3.49)

Se observ n figura 3.2 c pentru x = 0,5 solu ia aproximativ EF este aceea i cu solu ia analitic (3.49). De notat c pe m sur ce num rul de elemente finite cre te, solu ia EF se apropie din ce n ce mai mult de solu ia analitic , de i pe fiecare element varia ia m rimii de stare este una liniar , aproximativ . Prin metoda reziduurilor ponderate, formularea Galerkin corespunde formei integrale:1

w0

d2V dx 2

1

2 dx0

w

d dV dx dx

2 dx

0

(3.50)

unde w(x) reprezint setul ponderilor. Integrnd prin p r i se ob ine:w V 1 x 01

0

w V dx x x

1

2w dx0

0

(3.51)

Se nlocuie te n (3.51) func ia V cu aproxima ia (3.43), (3.44) i se consider ponderile w egale cu func iile de form ale celor dou elemente, care au expressile: w = x, pentru x (e1), respectiv w = (1 - x), pentru x (e2) (3.52)

Primul termen din (3.51) se anuleaz ntruct ponderile w se anuleaz n 0 i 1. Ecua ia (3.51) devine:0,5 1 0,5 1

a dx0 0,5

a dx0

2x dx0,5

2(1 x) dx

0 ,

rela ie care conduce la a = 0,5 , rezultat identic cu cel ob inut prin formularea varia ional . 3.4.2. Exemplul 2: Evaluarea nc lzirii unui conductor liniar parcurs de curent. Acest exemplu se refer la modelul n element finit al varia iei temperaturii n lungul unui conductor cilindric de diametru d i de lungime 2L, Fig. 3.3, n care se cunoa te densitatea volumic p = J2 a puterii produs prin efectul Joule al curentului ce parcurge conductorul, m rime ce are aceea i valoare n tot volumul conductorului. Sursa p a nc lzirii este func ie de

46

rezistivitatea a materialului conductorului i de densitatea J a curentului. Se consider transfer termic prin convec ie c tre mediul ambiant de temperatur prin suprafa a a cunoscut conductorului, valoarea a coeficientul de convec ie fiind o m rime cunoscut . Se cunosc de asemenea conductivitatea termic a materialului conductorului i temperatura 0 a capetelor extreme, x = 0 i x = 2L, Fig. 3.3. Diametrul conductorului este suficient de mic i conductivitatea termic suficient de mare pentru ca temperatura s poat fi considerat constant n sec iunea transversal a conductorului. Conform descrierii problemei fizice m rimea de stare - temperatura depinde doar de coordonata x n lungul conductorului, Fig. 3.3, iar func ia (x) este simetric n raport cu coordonata x = L.

0

1

2

x=0

(1) L

(2)

x=L LFig. 3.3

x

Modelul diferen ial al problemei descris mai sus este caracterizat prin ecua ia diferen ial :

d dxpe domeniul de calcul [0 L]

d dx

p 0d dx

(3.53)

i condi iile pe frontiere (0) =

0

(Dirichlet) i

0x L

(Neuman omogen). Func ionala asociat modelului diferen ial al problemei, problem care include i fenomenul de transfer termic c tre mediul ambiant prin suprafa a cilindric de diametru d a firului, are expresia:x L

( )x 0

d 2 dx

2

p

d2 dx 4

1 2x

x L

(0

a

) 2 d dx

(3.54)

Etapele solu iei n element finit n formularea varia ional sunt dup cum urmeaz : Divizarea domeniului de calcul [0 L] n Ne elemente finite; pentru simplitate se consider doar dou elemente. Func ii de form . Se presupune ca aproxima ie a variabilei de stare n fiecare element, dependen a liniar : (e) ( ( x ) a 1e ) a (2e ) x (3.55) Notnd cu xi, xj coordonatele a dou noduri succesive i cu i , j temperaturile corespunz toare, sistemul celor dou ecua ii: (e ) (e ) (e ) (e ) , i = a1 + a 2 x i j = a1 + a 2 x j conduce la expresia:(e)

(x) [

x j - x -x i x ] x j - xi x j - xi

i j

[f1(e) f 2(e) ]

i j

(3.56)

47

Func iile f1(e) , f2(e) , liniar dependente de x , sunt func iile de form ale elementului (e). Pentru cele dou elemente (1) i (2) din figura 3.3, rezult urm toarele expresii ale temperaturii n orice punct din interiorul acestora n func ie de valorile temperaturii la extremit ile elementelor: L/2- x x 0 0 (1) (3.57) ( x ) [f 1(1) f 2(1) ] L/2 L/2 1 1( 2)

(x)

[f 1( 2 ) f 2( 2) ]

1 2

L-x L/2

L/2 x L/2

1 2

(3.58)

Asamblarea elementelor. Expresia derivatei func ionalei (3.54) n raport cu temperatura necunoscut k, pentru elementul unidimensional (e) cuprins ntre xi i xj este:(e) k xj (e) (e) (e)

[xi

x

(k

x

) p

d2 ] dx 4 k

xj

(xi

(e)

(e) a) k

d dx

(3.59)

Sta ionarizarea func ionalei (3.54) presupune rela iile :(1) ( 2) (1) ( 2)

01 1 1

i2 2 2

0 ,

(3.60)

Prin nlocuirea expresiilor func ionalelorL/2

(1)

,

(2)

, aferente celor dou elemente, rezult rela iile:L/2

0 L

f 1(1) f 2(1) x x f 1( 2 ) f 2( 2) x x f( 2) 1 1 2

0 1

f 2(1) x f 1( 2 ) x f( 2) 2

p f

(1) 2

d2 dx 4 d2 dx 4 d dx 42

f 1(1) f 2(1)0 L

0 a 1

f 2(1) d dx

p f

( 2) 1

f 1( 2 ) f 2( 2 )L/2

1 a 2

f 1( 2 ) d dx

0(3.61)

L/2

L

0L/2

f

( 2) 2

L

1 2

x

x

x

p f 2( 2)

f 1( 2 ) f 2( 2 )L/2

1 a 2

f 2( 2 ) d dx

0

Dup nlocuirea expresiilor celor patru func ii de form f1(1), f2(1), f1(2), f2(2) ale celor dou elemente i efectuarea integralelor, rezult un sistem de dou ecua ii cu necunoscutele 1 i 2. Elemente finite de ordinul 2. Rela ia (3.55) corespunde aproxima iei liniare a temperaturii pe element, respectiv elementelor de ordinul 1. Se poate utiliza n locul rela iei (3.55) aproximarea de form p tratic : (e) ( ( ( x ) a 1e ) a (2e ) x a 3e ) x 2 (3.62) n acest caz, domeniul [0, L] se poate constitui ntr-un singur element de ordinul 2, rezultnd rela ia echivalent expresiei (3.39):0

(x)

(1)

( x ) [f 1 f 2 f 3 ]

1 2

(3.63)

48

Sistemul de dou ecua ii cu necunoscutele rela iilor:(1)

1

i

2

este n acest caz rezultatul prelucr rii(1)

0,1 1 2 2

0

(3.64)

3.5. Modele EF bidimensionale (2D) Se prezint n aceast sec iune dou exemple de modele n element finit n care variabila de stare depinde de dou coordonate. Problemele fizice corespondente sunt caracterizate de cmpuri bidimensionale (2D) plan-paralele n coordonatele (x, y). 3.5.1. Exemplul 3. Evaluarea parametrilor de curent alternativ ai unei c i de curent de tip conductor de tip masiv. O cale de curent are proprietatea de conductor masiv atunci cnd dimensiunile sec iunii sale transversale sunt comparabile sau mai mari dect adncimea de p trundere a cmpului electromagnetic corespunz toare frecven ei curentului alternativ str bate conductorul. Reparti ia curentului alternativ n sec iunea transversal a conductorului este neuniform i dependent de valoarea frecven ei. Parametrii electrici rezisten i reactan ai unui conductor masiv au valori care depind de frecven , de rezistivitatea i permeabilitatea materialului conductorului, de forma sec iunii transversale i de structura electromagnetic a mediului care nconjoar conductorul. C i de curent conductor masiv sunt barele coliviei rotorice ale ma inilor asincrone sau nf ur rile transformatoarelor de medie sau nalt frecven . Evaluarea parametrilor R, X ai unui conductor masiv presupune determinarea cmpului electromagnetic generat de curentul I care parcurge conductorul sau de tensiunea U aplicat la bornele acestuia, apoi calculul m rimilor integrale putere activ P i putere reactiv Q, urmat de aplicarea rela iilor de leg tur cunoscute dintre aceste m rimi. Conductorul bar dreapt de sec iune constant din figura 3.4 are rezistivitatea i permeabilitatea magnetic i este parcurs de un curent alternativ cu frecven a f. Mediul din vecin tatea conductorului este neconductor i nemagnetic. Fiind cunoscut c derea de tensiune pe unitatea de lungime a conductorului, respectiv valoarea gradientului dV/dz al poten ialului electric, se prezint n continuare modelul n element finit bazat pe formularea varia ional destinat determin rii structurii spa iale a cmpului electromagnetic, a cmpul densit ii de curent n sec iunea transversal a conductorului i a curentului I. Modelul diferen ial. In condi iile precizate mai sus, vectorul gradient al imaginii n complex dV a poten ialului electric are orientarea axei Oz, Fig. 3.4, gradV = k . Vectorii densit ii de dz curent J[0, 0, J(x,y)] i poten ialul magnetic vector A[0, 0, A(x,y)] au de asemenea orientarea axei Oz, componenta lor diferit de zero depinznd de coordonatele x i y. Aceste propriet i corespund unui cmp electromagnetic 2D plan-paralel. Densitatea de curent n conductor are expresia: J= grad V - j A (3.65)

iar m rimea de stare A(x, y) a satisface ecua ia: divgradA - j AdV/dz = 0 , (3.66)

Sursa dV/dz a cmpului electromagnetic se reg se te n ultimul termen al ecua iei (3.66). Domeniul de calcul Dc al necunoscutei A (x,y) este m rginit de conturul 1 , Fig. 3.4,

49

suficient de dep rtat de conturul al sec iunii transversale a conductorului pentru ca condi ia pe frontier de tip Dirichlet A = 0 s fie admis pe frontiera 1. I

1

y z x

Fig. 3.4. Conductor bar dreapt n curent alternativ Formularea varia ional . Modelul diferen ial al problemei este echivalent cu sta ionarizarea func ionalei: 1 dV dA 2 2 [grad 2 A A 2 A]dxdy ( ) A ds (3.67) 2 Dc dz dn 1 unde s-a notat 2 = j , iar dA/dn este derivata m rimii de stare n raport cu normala local n puncte ale conturului 1, al c rui element este ds. ntr-adev r, varia ia elementar ( A) a func ionalei, corespunz toare unei varia ii elementare A a necunoscutei, are expresiile succesive: [grad A grad ADc 2

A A (2

dV ) A]dxdy dz

(1

dA ) A ds dn

div( Agrad A)Dc

Adiv( grad A) Dc

A A ( (

dV ) A]dxdy dz1

(

dA ) A ds dn

[div grad A - 2 A

dV )] A dxdy dz

Varia ia A fiind arbitrar , rezult c anularea varia iei a func ionalei, respectiv sta ionarizarea func ionalei, este echivalent cu ecua ia (3.66). Modelul EF, respectiv solu ia numeric n element finit. Domeniul de calcul al cmpului electromagnetic se divizeaz n elemente finite de form triunghiular , Fig. 3.5. Re eaua de elemente con ine noduri, c rora l-i se asociaz valorile necunoscute Ak ale m rimii de stare. Func ionala , rel. (3.67), n care ultimul termen este nul ca urmare a condi iei la limit A = 0, se exprim ca o sum a contribu iilor celor Ne elementelor finite:

50

Ne e 1

(e)

(3.68)

unde este integrala din primul termen al expresiei (3.67) referitoare la suprafa a elementului finit (e). Valorile Ak ale poten ialului n cele N noduri ale re elei de elemente finite rezult n urma construirii i rezolv rii sistemului:

(e)

Ak

0, k

1, 2, ..., N1 - numerotare local 1 D- numerotare

(3.69)

global

y1

3

(e)

2

O

x

3 1

2

Fig. 3.5. Domeniul de calcul i re ea de elemente finite

Se aproximeaz pe fiecare element finit m rimea de stare prin varia ia liniar de forma :A ( x , y) a e b e x c e y(e)

,

(3.70)

Sistemul:

( e) a e be x ce y A1 e1 e1 ( e) a e be x ce y A2 e2 e2 ( e) a e be x c y A e3 e e3 3

(3.71)

ofer expresiile coeficien ilor ae, be , ce n func ie de valorile m rimii de stare n cele trei noduri ale elementului finit (e):

ae be ceS(e) este aria elementului (e), iar elementului (e).j, j, j

1 2S( e )

1 1 1

2 2 2 3 3

3

A1

(e) (e) (e)

A2 A3

(3.72)

, j = 1, 2, 3 depind de coordonatele celor trei noduri ale

51

Rela ia (3.70) poate fi rescris sub forma:

ae A ( x , y)unde:(e)

A1

(e) (e) (e)

be 1 x y ce f 1( e ) ( x, y)T

f ( e ) ( x , y) A 2 A3 ( ( ( x x x

f ( e ) ( x , y) A

(e)

(3.73)

1 2 3

1

1

y) / 2S ( e ) y) / 2S ( e ) y) / 2S ( e )

T

f ( e ) ( x , y)

f 2( e ) ( x, y) f 3( e ) ( x, y)

2 3

2 3

(3.74)

Func iile f 1( e ) ( x , y), f 2( e ) ( x , y), f 1( e ) ( x , y) sunt func iile de form ale elementului finit (e). Derivata func ionalei asociat elementului (e) n raport cu necunoscuta Ak are forma:(e)

Ak

[grad ADe

(e)

grad

A Ak

(e) (e)2

A

(e)

A Ak

(e)

(

(e)

(e)

dV A ) ]dxdy dz Ak

(e)

(3.75)

n conformitate cu rela ia (3.73) rezult urm toarele expresii de calcul pentru componentele integrandului din rela ia (3.75):

A x

(e)

f1 x

(e)

f2 x

(e)

f3 x,

(e)

A

(e)

A y

(e)

f1 y

e

f2 y

e

f3 y

e

A

(e)

A (e) ( ) x AkA ) Ak(e)

(e) fk

x 0 ,(e) fk

dac nodul k apar ine elementului ( e) dac k (e)(3.76)

y

(

y 0 ,

,

dac nodul k apar ine elementului ( e) dac k (e)(e) (e)

Ae Ak

e fk

, dac k dac k

0 ,

Dup efectuarea integralelor, rela ia (3.75) poate fi pus sub forma:(e)

Ak(e)

m ek A 1

(e)

n ek A 2

(e)

p ek A 3

(e)

u ek

(3.77)

Prin urmare, derivata

este o rela ie de dependen liniar ntre valorile necunoscute ale Ak poten ialului vector n cele trei noduri ale elementului finit (e). Derivata func ionalei n raport cu valoarea necunoscut a poten ialului vector ntr-un nod oarecare, notat cu 1 n figura 3.6, este o expresie liniar de forma:

A1

a 1 A1 a 2 A 2 a 3 A 3 a 4 A 4 a 5 A 5 a 6 A 6 a 7 A 7 b

(3.78)

52

care con ine poten ialul A1 i toate celelalte poten iale necunoscute, care caracterizeaz elemente finite adiacente nodului 1. Coeficien ii a1 . a7 i b depind de coordonatele nodurilor 1 ... 7, de propriet ile de material ale elementelor finite (1) ... (6) i de sursa cmpului electromagnetic. Cele N rela ii de forma (3.78 ) formeaz un sistem liniar neomogen, prin a c rui rezolvare rezult solu ia numeric n element finit a problemei. 5 4 (3) (4) 6 (5) (6) 7 2 1 (2) 3 (1)

Fig. 3.6. Explicativ pentru asamblarea elementelor din jurul unui nod

3.5.2. Exemplul 4. Cmpului electromagnetic ntr-o ma in de curent alternativ. Modelul EF plan-paralel n formularea Galerkin. n majoritatea ma inilor electrice rotative, exceptnd zonele frontale din afara miezurilor magnetice statoric i rotoric, cmpul electromagnetic are o structur bidimensional planparalel , depinznd doar de coordonatele x, y n plan perpendicular pe axul ma inii Densitatea de curent n zonele parcurse de curent electric are orientare axial (Oz), iar vectorul cmp magnetic B (Bx, By, 0) este n planul (x,z), Aceea i orientare axial o are i poten ialul magnetic vector A[0, 0, A(x, y)]. Modelul diferen ial. Atunci cnd propriet ile permeabilitate magnetic i conductivitate electric sunt m rimi constante - cazul problemelor liniare i cnd sursele de cmp au varia ie armonic n timp, caracterizat de pulsa ia = 2 f, toate m rimile cmpului variaz armonic n timp i se reprezint prin imaginile lor n complex. Imaginea n complex A(x, y) a componentei nenule a poten ialului magnetic vector A(x, y, t) - m rimea de stare a cmpului, satisface ecua ia:2

A x2

2

A y2

J1

j

A

(3.79)

Domeniul de calcul al cmpului Dc poate con ine con ine regiuni magnetice, neconductoare i f r surse ( = 0, J1 = 0), regiuni surs , nemagnetice i f r curen i indu i (J1 0, = 0, = 0) cum sunt bobinele de tip filiform, sau regiuni f r surse i cu curen i indu i, de regul nemagnetice (J1 = 0, 0, = 0). Condi iile pe frontiera a domeniului de calcul pot i de tip Dirichlet, Neuman omogen. Pot exista condi ii aparte, specifice ma inilor electrice, denumite condi ii de periodicitate. Periodicit ile ciclice sau anticiclice leag ntre ele prin valori egale sau opuse m rimea de stare n puncte pe dou segmente ale frontierei domeniului de calcul. n formularea Galerkin echivalent modelului diferen ial descris mai sus, solu iei aproximative Aa a poten ialului i corespunde reziduul:2

R

Aa x2

2

Aa y2

J1

j

Aa

,

(3.80)

53

iar criteriul de minim care determin solu ia numeric prin metoda reziduurilor ponderate este reprezentat de expresia : w R dxdy 0 , (3.81)Dc

unde w reprezint func ia de ponderare a reziduului R. Prin nlocuire se ob ine expresia:2

wDc

Aa x2

2

Aa dxdy y2

jDc

wA a dxdyDc

w J1dxdy

(3.82)

Integrnd prin p r i, primul termen al rela iei (3.82) devine:2

wDc

Aa x2

2

Aa dxdy y2

Dc

w Aa x x

w Aa dxdy y y

w

Aa ds n

(3.83)

unde n este normala exterioar la conturul , iar ds este elementul de contur. Solu ia n element finit implic discretizarea domeniului de calcul Dc. Integralele de suprafa pe acest domeniu se exprim print-o sum a integralelor pe fiecare element finit De, a a nct expresia (3.82) se scrie sub forma: w e Aa x xe

Ne

De

w e Aa dxdy y y

e

j

e e De

w e A a dxdy

e

A w e ds n

e e 1

J

w e dxdyDe

Ne

(3.84) unde Ne este num rul de elemente finite ale domeniului de calcul. M rimile e , e , J 1 au valori constante pe elementul finit De. Integrala de linie din rela ia (3.84) se evalueaz numai pe elementele care au o latur comun cu conturul al domeniului de calcul. Termenul care con ine aceast integral este n mod implicit nul n cazul unei frontiere cu condi ie la limit natural , adic Neuman omogen , A/ n = 0. Fie un element finit triunghiular (e), Fig.3.7, cu nodurile i, j, k de coordonate (xi, yi), (xj, yj), (xk yk) i valorile necunoscute ale m rimii de stare Aai , Aaj , Aak n aceste noduri.e

y

k (e) x i

j

Fig. 3.7

Se presupune c m rimea de stare variaz liniar pe elementul (e), de forma: Aa(x,y) = C1 + C2x + C3y ceea ce nseamn element finit de ordinul 1. Scriind rela ia (3.85) n cele trei noduri ale elementului finit,54

(3.85)

C1 + C2xi + C3yi = Aai ;

C1 + C2xj + C3yj = Aaj ; C1 + C2xk + C3yk = Aak

(3.86)

se ob in m rimile C1 , C2 , C3 n func ie de coordonatele celor trei noduri i de valorile m rimii de stare n cele trei noduri. Prin nlocuirea acestora n (3.85) se ob ine dependen a m rimii de stare la nivelul elementului finit n func ie de valorile acesteia n cele trei noduri ale elementului: A a (x, y) ai bi x ci y Ai 2 a j b jx c j y 2 Aj ak bk x ck y Ak 2 (3.87)

unde ai = xjyk - xkyj , bi = yj - yk , ci = xk - xj , iar Form matricial a rela iei (3.87) este:

este aria triunghiului element finit.

A aiAa(x,y) = [fi(x,y) fj(x,y) fk(x,y)] A aj (3.88)

A akCoeficien ii fi , fj , fk din expresia (3.87) sunt func iile de form . n formularea Galerkin ponderile sunt identice cu func iile de form , adic :

f i ( x , y)w (x,y) = f j ( x, y)e

(3.89)

f k ( x , y)Considernd derivatele:

Aa x

e

A ai 1 e e e b i b j b k A aj 2 A akb ie

Aa y

e

A ai 1 e e e c i c j c k A aj 2 A akc ie

(3.90)

w x

e

1 b ej 2 be k

w y

e

1 e cj 2 ce k

(3.91)

primul termen al p r ii din stnga a rela iei (3.84),De

w e Aa x x

e

w e Aa dxdy , y ycie ce k

e

devine: w e Aa x xe

De

w e Aa dxdy y y

e

bie2 cie2 bie b ej cie cej bie be k

1 bie bej cie cej be2 ce2 b ej be cej ce j j k k 4 e e e e e e e e e2 e2 b i b k ci c k b j b k c j c k b j c j

A ai A aj A ak (3.92)

S-a inut cont de faptul cDe

dxdy

. Deorece metoda elementului finit a fost dezvoltat n

mecanic , matricea coeficien ilor n rela ia (3.92) este denumit matrice de rigiditate. Al doilea termen al p r ii din stnga a rela iei (3.84) devine:

55

fi (x, y) je e De

A ai f i (x, y) f j (x, y) f k (x, y) 2 11 A ai 1 2 1 A aj 11 2 A ak A aj dxdy A ake e

w A dxdy

e

e a

j

e e De

f j (x, y) f k (x, y) j

(3.93)

12

Matricea coeficien ilor n (3.93) este denumit matrice de mas . a i bi x ci y a i bi x m ci y m Deoarece f i ( x, y)dxdy dxdy , unde xm =(xi + xj + xk)/3 2 2 De De i ym =(yi + yj + yk)/3 sunt coordonatele centrului de greutate al triunghiului element finit, dup nlocuiri rezult f i ( x, y)dxdy f j ( x, y)dxdy f k ( x, y)dxdy / 3 . Prin urmare, termenulDe De De

surs din dreapta al rela iei (3.84) rezult :e e 1

J

w dxdyDe

e

e J1 3

e

1 1 1

(3.94)

Procesul care urmeaz n construirea modelului numeric, respectiv constituirea matricei sistemului valorilor necunoscute ale m rimii de stare n toate nodurile re elei de discretizare a domeniului de calcul, const n asamblarea elementelor i face obiectul modulului solver al softurilor de modelare n element finit.

56

This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.