Cap III Efect Termic

36
 3. PROCESE ŞI SOLICITĂRI TERMICE ÎN APARATE ELECTRICE În aparatele electrice în func ţiune se dezvoltă necontenit căldur ă ca urmare a transformării unei păr ţi din energia electromagnetic ă în energie termică. Datorită căldurii degajate în aparat, temperaturile p ăr ţilor componente cresc până la temperaturile limită, corespunzătoare regimului staţionar, când întreaga căldur ă degajată este cedat ă mediului ambiant local; altfel spus, în regim stabilizat păr ţile componente ale aparatului s-au încărcat caloric şi întreaga căldur ă produsă de sursele de căldur ă din aparat este cedat ă mediul local. Diferenţa dintre temperatura suprafeţei corpului cald şi temperatura mediului ambiant se numeşte  supratemperatur ă (încălzirea corpului)  şi este independentă de alegerea originii pe scara temperaturilor adoptate. Marea majoritate a normelor indic ă două valori pentru regimul permanent: supratemperatura maximă (limita) admisă ϑ şi temperatura maximă admisă T S , legătura între ele fiind: ϑ=  θ S -θ  a = T s  - T a [grd] Limitele maxim admise pentru temperaturile (supratemperaturile) de regim staţionar sunt impuse de norme, funcţie de materialele utilizate şi de condiţiile de exploatare, pentru a se garanta o funcţionare satisf ăcătoare de lungă durată a aparatelor sub aspectul solicit ărilor termice; practic înc ălzirea aparatelor este cea care limiteaz ă valoarea curentului şi a regimului de funcţionare a aparatului electric. Calculul termic are ca scop determinarea temperaturii diferitelor p ăr ţi componente ale aparatului, în vederea luării de măsuri ca valoarea temperaturii să nu depăşească limitele admise de norme; calculul temperaturii trebuie efectuat atât pentru funcţionarea în regim nominal cât şi pentru regim tranzitoriu, în caz de suprasolicit ări sau scurtcircuite. 79

Transcript of Cap III Efect Termic

Page 1: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 1/36

3.

PROCESE ŞI SOLICITĂRI TERMICE ÎNAPARATE ELECTRICE

În aparatele electrice în funcţiune se dezvoltă necontenit căldur ă caurmare a transformării unei păr ţi din energia electromagnetică în energietermică. Datorită căldurii degajate în aparat, temperaturile păr ţilor componentecresc până la temperaturile limită, corespunzătoare regimului staţionar, cândîntreaga căldur ă degajată este cedată mediului ambiant local; altfel spus, înregim stabilizat păr ţile componente ale aparatului s-au încărcat caloric şi

întreaga căldur ă produsă de sursele de căldur ă din aparat este cedată mediullocal.Diferenţa dintre temperatura suprafeţei corpului cald şi temperatura

mediului ambiant se numeşte supratemperatur ă (încălzirea corpului) şi esteindependentă de alegerea originii pe scara temperaturilor adoptate. Mareamajoritate a normelor indică două valori pentru regimul permanent:supratemperatura maximă (limita) admisă ϑ şi temperatura maximă admisă TS,legătura între ele fiind:

ϑ= θS -θ a = Ts - Ta [grd]

Limitele maxim admise pentru temperaturile (supratemperaturile) deregim staţionar sunt impuse de norme, funcţie de materialele utilizate şi decondiţiile de exploatare, pentru a se garanta o funcţionare satisf ăcătoare de lungă durată a aparatelor sub aspectul solicitărilor termice; practic încălzirea aparateloreste cea care limitează valoarea curentului şi a regimului de funcţionare aaparatului electric.

Calculul termic are ca scop determinarea temperaturii diferitelor păr ţicomponente ale aparatului, în vederea luării de măsuri ca valoarea temperaturiisă nu depăşească limitele admise de norme; calculul temperaturii trebuie efectuat

atât pentru funcţionarea în regim nominal cât şi pentru regim tranzitoriu, în cazde suprasolicitări sau scurtcircuite.

79

Page 2: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 2/36

Este evident că temperaturile limită în regim nominal sunt inferioaretemperaturilor limită pe care le pot suporta materialele păr ţilor componente aleaparatului deoarece, scurtcircuitul apare adesea în timpul funcţionarii în regimnormal (când păr ţile componente sunt deja calde) şi deci trebuie prevăzută

posibilitatea creşterii temperaturii peste temperatura de regim normal.Scopurile principale ale acestui capitol sunt:1. localizarea şi calculul puterii surselor de căldur ă în aparatele electrice;2. nivelul şi distribuţia temperaturilor în păr ţile componente ale

aparatului;3. determinarea solicitării termice inclusiv a stabilităţii termice a

aparatelor electrice.

3.1 SURSE DE CĂLDUR Ă ÎN APARATELE ELECTRICE

Sursele principale de căldur ă în aparatele electrice sunt păr ţile lor active şianume:

• conductoarele parcurse de curent electric;• miezurile de fier str ă bătute de fluxul magnetic variabil în timp.În anumite tipuri de aparate - aparatele de comutaţie cu contacte, siguranţa

fuzibilă, descărcătorul electric - se produce o puternică degajare de căldur ă datorată arcului electric ce însoţeşte funcţionarea normală a acestora.

În anumite condiţii pot deveni surse apreciabile de căldur ă şi elementeanexe (reactive); astfel, pot lua naştere încălziri suplimentare în materialemetalice datorate pierderilor prin curenţii turbionari, induşi de fluxurilemagnetice de dispersie (variabile în timp) şi în materiale izolante, datorită

pierderilor dielectrice produse de acţiunea câmpului electric.Celelalte păr ţi componente ale aparatului care nu sunt surse de căldur ă se

pot încălzi pe calea propagării termice de la un corp la altul.

3.1.1

Pierderi de energie prin conducţie în căile de curent

În căile de curent o parte din energia electromagnetică este transformat ă

în căldur ă prin efect Joule - Lentz. Puterea transformată în căldur ă în unitatea devolum, într-un conductor de rezistivitate ρ parcurs de un curent electric cudensitatea J, este:

p j = ρJ2 [W/m3] (3.1)Într-un conductor de lungime l şi secţiune A, energia va fi:

Vdt J Aldt J W t t 2

0 0

2∫ ∫== ρ ρ (3.2)

Pentru o densitate de curent constantă în aria secţiunii transversale seobţine:

t RI dt I R Aldt J W t t

220 02 === ∫ ∫ ρ [Ws]

80

Page 3: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 3/36

2 I P = [W] (3.3)Relaţia (3.3) este valabilă în curent continuu şi în curent alternativ de

frecvenţă industrială, unde I reprezintă valoarea eficace a curentului.Observa ţ ie:

În studiul proceselor termice se consider ă preponderentă putereadezvoltată de conductoarele parcurse de curent electric şi ca urmare calea decurent va fi singura sursă de căldur ă luată în considerare.

3.1.2 Pierderi prin magnetizarea corpurilor feromagnetice

În corpurile din materiale feromagnetice situate într-un câmp magneticvariabil în timp au loc pierderi prin histerezis, curenţi turbionari şi vâscozitatemagnetică.

Pierderile prin vâscozitate magnetică depind de componenta imaginar ă a permeabilităţii magnetice complexe:µ = Bm/Hm * e-j*δ

fe = Bm/Hm * cosδFe - j * Bm/Hm * sinδFe = µ’ - j µ’’ (3.4)unde: B1 = Bm * sinωt - inducţia magnetică din miez

H = Hm * sin(ωt + δFe) - intensitatea câmpului magnetic din miezδFe - unghi de pierderi în fierµ’ - permeabilitate elastică µ’’ - permeabilitate vâscoasă Cu cât unghiul de pierderi δFe este mai redus, cu atât pierderile prin

vâscozitate magnetică sunt neglijabile.Pierderile prin histerezis (pierderi specifice pe Kg), pentru un volum V alfierului, la o inducţie maximă Bm şi frecvenţă f, pot fi calculate cu relaţiaaproximativă:

V B f p nmh ⋅⋅⋅=η (3.5)

unde η depinde de natura miezului )105,13,1( 2−⋅÷=η

Pierderile prin curenţi turbionari, (pierderi specifice pe Kg), pentru tole degrosimea ∆, din materiale de rezistivitate ρ, se pot calcula cu relaţia:

ρ

222

n F B f p ∆= [W/Kg] (3.6)

Evident, pierderile totale în miez vor fi: F H p p p += . Pierderile prinhisterezis sunt mai importante decât cele prin curenţi turbionari şi reprezintă 2/3din pierderile totale [3].În ipoteză, că materialele folosite în construcţiaaparatului electric au η şi n mici, miezurile sunt lamelate cu grosime ∆ mică şirezistivitate ρ mare, inducţiile maxime alese din considerente tehnico-economice(de exemplu evitarea saturaţiei) şi la frecvenţă industrială vom considera, încontinuare, aceste pierderi neglijabile.

81

Page 4: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 4/36

3.1.3 Pierderi în dielectrici

Pierderile în dielectrici depind, în principal, de valoarea şi pulsaţiacâmpului electric în care se găsesc (mai depind şi de temperatur ă, presiune,

umezeală).La aceste aparate electrice, izolanţii sunt plasaţi între piesele metaliceaflate la tensiuni diferite şi constituie astfel un condensator de capacitate C.Pierderile dielectrice sunt rezultatul curenţilor de conducţie care iau naştere înizolatorii supuşi la o tensiune U şi a curenţilor absorbiţi în cazul unei tensiunialternative pentru polarizarea dielectricilor polari şi a curentului capacitivrezultat al prezentei capacităţii C în circuit.

În curent continuu au loc pierderi numai prin curenţii de conducţie; peunitatea de volum acestea se pot calcula cu relaţia:

ρ

2

E p c = [W/m3] (3.7)

În curent alternativ, pierderile în dielectrici pot fi calculate cu relaţia:

622

810.1

δ ε δ ω

tg f E tg CU pd

⋅== [W/m3] (3.8)

unde: - produsul permitivitate ε tangenta unghiului de prindere tgδ se numeştecoeficient de pierdere [3].

La tensiuni joase şi la frecvenţe industriale pierderile în dielectrici suntneglijabile şi nu intervin în procesul de încălzire a aparatelor electrice (mai ales

la aparatele de curent continuu).În curentul alternativ şi la valori mari de curenţi în conductoare cu secţiuni

mari şi la frecvenţe mari apar pierderile suplimentare prin efect pelicular şi de proximitate.

3.1.4 Pierderi de energie prin efect pelicular

Pierderile suplimentare prin efect pelicular sunt rezultatul repartiţieiinegale a densităţii de curent în aria secţiunii transversale a conductoarelor.

Fenomenul se prezintă ca şi cum rezistenţa conductorului R ar creşte la o valoareR P.

Factorul: R

R K P

P = denumit - factor de efect pelicular - variază direct

propor ţional cu σ f ; de aici evident, cu cât temperatura conductorului creşte,

K P scade.Pentru conductoare de diverse secţiuni - rotunde sau dreptunghiulare - în

literatura de specialitate se prezintă curbe (fig.3.1) din care se poate obţinefactorul K P funcţie de R /50⋅ - unde: R - rezistenta în curent continuu, evaluată

pentru lungimea de 1m, dată în µΩ/m, iar f - frecventa în Hz.

82

Page 5: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 5/36

Fig. 3.1 Factorul k P la conductoare cu secţiune dreptunghiular ă

3.1.5

Pierderi de energie prin efect de proximitate

Acest efect se manifestă în cazul conductoarelor masive apropiate întreele, parcurse de curenţi variabili în timp; în această situaţie fluxul magnetic alunui conductor va induce în masa celuilalt conductor curenţi turbionari.

Dacă curenţii prin conductoare au acelaşi sens, densitatea de curent estediminuată spre laturile interioare (curenţii turbionari se scad din curenţii deconducţie) şi sporită spre straturile depărtate. Acest efect de proximitate duce lao modificare artificială a rezistenţei conductorului, modificare de care se ţine

cont printr-un factor K P ce se reprezintă [1], [3].în diagrame funcţie de R f / Deoarece la conductoarele în care se manifestă efectul de proximitate se

produce şi efectul pelicular, efect total de modificare a rezistenţei, se defineşte:

pr pt k k k ⋅= (3.9)

3.2 TRANSMISIA CĂLDURII DIN APARATE ELECTRICE

Evacuarea căldurii dezvoltate de sursele de căldur ă, analizate anterior, seface pe calea transmisiei termice, care are loc întotdeauna în baza principiului al

83

Page 6: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 6/36

II-lea al termodinamicii - de la corpurile sau păr ţile unui corp mai cald, la celemai puţin calde. Acest proces termocinetic este cu atât mai intens cu câttemperatura corpurilor este mai mare decât temperatura corpurilor învecinate(sau a mediului ambiant) şi durează până când temperatura acestora devine egală

cu cea a corpului cald.Este evident că oricât de mare este puterea dezvoltată de sursa de căldur ă în material, se ajunge la situaţia când energia sa internă nu mai variază (corpul s-a încărcat caloric) şi cantitatea de căldur ă provenită de la o sursă va fi disipată complet în exterior pe calea transmisiei căldurii; din acest moment se stabileşteregimul termic permanent (staţionar), temperatura corpului r ămânând constantă în timp.

Ca orice proces tranzitoriu şi procesul tranzitoriu termic se încheie după un interval de timp - comparabil cu constanta de timp termică care depinde înmare m

ăsur

ă de intensitatea r

ăcirii, deci de modul în care se realizeaz

ă

transmiterea căldurii.Concluzie:

Pentru a putea încărca cât mai mult un aparat de comuta ţ ie f ăr ă catemperaturile de regim permanent ale păr ţ ilor componente să depăşească limitele admise, este necesar ă o r ăcire cât mai eficient ă a elementelor active (otransmisie termică eficient ă ).

Transmisia căldurii poate avea loc prin următoarele trei moduri:–conduc ţ ie; radia ţ ie; convec ţ ie.

Transmisia căldurii poate avea loc şi simultan, atât la regim termicstaţionar (fluxul termic este constant în timp) cât şi la regim termic nestaţionar(fluxul termic este variabil).

3.2.1 Transmisia prin conducţie termică Conduc ţ ia termică reprezintă fenomenul de propagare al căldurii prin

masa corpurilor solide şi a fluidelor sau între aceste corpuri aflate în contact, încazul când temperatura în masa acestora are o repartiţie neuniformă.

În momentul în care toate punctele corpului au aceeaşi temperatur ă,transmisia căldurii prin conducţie încetează. Este evident că cea mai mare viteză

de transmisie a căldurii prin conducţie o au metalele.

Fig. 3.2 Explicativa privind conducţia termică

Câmpul de temperatur ă reprezintă totalitatea valorilor instantanee de

temperaturi din toate punctele mediului şi este un scalar. Câmpul de temperatur ă

84

Page 7: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 7/36

este un câmp continuu, deoarece fiecare interval infinit mic dintre două punctede observaţie, îi corespunde o variaţie infinit mică a temperaturii.

Prin mijloace matematice, în regim tranzitoriu, câmpul de temperatur ă se poate exprima astfel: ),,,( t z y x M θ θ = unde: θM - temperatura

(supratemperatura) în punctul M; x, y, z - coordonatele spaţiale ale punctuluiM

Totalitatea punctelor câmpului staţionar θM = θ(x,y,z), care au aceeaşitemperatur ă, determină suprafeţe izoterme (de nivel termic). Intersecţiasuprafeţei izoterme cu un plan (deci temperatura nu depinde de nici una dincoordonatele spaţiale) dă naştere la curbe de nivel termic (curbe izoterme).

Viteza maximă de variaţie a temperaturii (de la o suprafaţă la alta) se vaobţine prin deplasarea pe o dreaptă n, perpendicular ă pe izotermă – figura 3.3.Limita raportului n/ ∆θ∆ se numeşte, gradient de temperatur ă.

[ m grad nn

nn

grad 00lim rr

⋅=⋅∆∆=

∂ ∂θ θ θ ] (3.10)

unde: n0 - versorul normalei la suprafaţa izotermă;

Fig. 3.3 Transmisia de căldur ă prin conducţie

Deoarece sensul descreşterii temperaturii este contrar sensului funcţieigradient, rezultă că sensul pozitiv al gradientului de temperatur ă coincide cusensul în care, de la o izotermă la alta, temperatura creşte.

Transmiterea cantităţii de căldur ă dQ, în unitatea de timp, după normală, prin elementul de suprafaţă, de arie dA, determină, fluxul termic P (curenttermic, putere termică ):

[Wdt

dQP = ] (3.11)

Repartizând fluxul termic la unitatea de suprafaţă, obţinem densitatea de flux termic h (flux termic specific, debit de căldur ă):

[ ]2/ mW d

dP h r

r

= (3.12)

Relaţia între căldura termică transmisă prin conducţie şi gradientul detemperatur ă este exprimată prin legea Fourier:

85

Page 8: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 8/36

dt Ad grad dt Ad t

dQ ))( rr

⋅⋅−=⋅∂∂

⋅−= ∫∫∫∫ΣΣ

θ λ θ

λ (3.13)

unde λ- coeficient de conductivitate termică (coeficient de conducţie,termoconductivitate cu unitatea de măsur ă W/mgrad)

Semnul minus indică faptul că sensul transmiterii căldurii este contrarsensului gradientului - deci fluxul termic este dirijat în sensul descreşteriitemperaturii.

Din relaţiile (3.12) şi (3.13), rezultă:

θ λ grad h ⋅−=r

(3.14)

Conductivitatea termică se determină experimental şi caracterizează însu şirea substan ţ elor de a conduce căldura, depinzând de temperatur ă , natura

substan ţ ei, de umiditate şi presiune. Valoarea conductivităţii termice a principalelor materiale conductoare este: 420 W/mgrad - pentru argint, 385W/mgrad – Cu, 203 W/mgrad – Al, 45 W/mgrad - OL, 0,2 W/mgrad - materiale

plastice, 0,055 W/mgrad - sticlă, 0,026 W/mgrad - aer. Variaţia cu temperaturase poate pune, matematic, sub forma: ( ) ( ) βθ λ θ λ += 10

unde: λ0 - conductivitatea la 00Cβ - este negativ pentru majoritatea metalelor, pozitiv pentru aliaje.Practic conductivitatea termică, ca şi cea electrică, este determinată de

concentraţia particulelor libere (electroni liberi) şi de aceea la o anumită temperatur ă, mărimile lor sunt propor ţionale. Rezultă relaţia:

.ct =⋅ ρ λ , la .ct =θ (3.15)Creşterea temperaturii (creşterea agitaţiei termice) duce la creşterea produsului λρ:

T L ⋅=⋅ ρ λ (3.16)reprezintă legea Weidemann-Franz-Lorentz (L =2,4*10-8 (V/K )2 cifra Lorentz).

În corpurile anizotropice, conductivitatea λ depinde de direcţie; încontinuare vom lucra numai cu corpuri izotrope ),,( z yλ λ ≠ . Din relaţia

(3.13), rezultă puterea transmisă local prin suprafaţa închisă ∑ care limitează volumul V:

( )∫ ∫Σ Σ

⋅∆⋅−=⋅−=V

dv Ad grad dt dQ θ λ θ λ

r

(3.17)

Ca urmare, într-un corp solid de volum V, în care există surse de căldur ă şiîn care căldura se transfer ă numai prin conducţie, cantitatea de căldur ă dezvoltată este par ţial înmagazinată şi par ţial transmisă prin conducţie:

dV dV t

cdV pvv

v j ⋅∆⋅−

∂∂

= ∫∫∫ θ λ θ

1 (3.18)

Rezultă ecuaţia diferenţială a transmisiei de căldur ă prin conducţie, în

corpuri cu surse:

86

Page 9: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 9/36

θ λ

∂θ ∆+=

11

1

cc

p

t (3.19)

unde: θ - temperatura corpului, grd p1 - putere specifică volumică dezvoltată de sursă [W/m3]

c1 - căldur ă specifică volumică [Ws/m3grd]∆θ - laplacean-ul temperaturii

λ - conductivitatea termică, [W/m grd]Raportul: a = λ/c1 [m

2/s] (3.20)este numit difuzitate termică şi reprezintă o proprietate a corpului din punct devedere termic şi ofer ă o imagine asupra vitezei de propagare a căldurii (viteză arială).

3.2.2 Transfer de căldură prin radiaţie

Radiaţia termică este procesul de transformare aenergiei interne a unui corp în energie radiantă şide transmitere a energiei radiante în spaţiulînconjur ător.Căldura cedată prin radiaţie este emisă în liniedreaptă de la suprafeţele corpului cald cătremediul înconjur ător iar razele de căldur ă , înfond unde de natur ă electromagnetică - întâlnind

în drumul lor alte corpuri, sunt absorbite saureflectate, funcţie de starea suprafeţei acestorcorpuri.

Fig.3.4 Explicativă privindradiaţia termică

Practic orice corp aflat la o temperatur ă diferită de zero absolut poate fi osursă de energie radiantă. Radiaţiile transportă cu ele o parte din energia internă a corpului , transformată în energie radiantă, realizând în acest mod r ăcireacorpului.

Energia radiantă emisă de un corp se divide în trei categorii:• Energie absorbit ă. Absorbţia este procesul de transformare al energiei

radiante în energie internă; dacă energia este complet absorbită, corpul estenegru absolut (un mic orificiu într-o sfer ă goală).• Energie reflectat ă . Dacă suprafaţa corpului este netedă, el este lucios iar

dacă suprafaţa este rugoasă (cu asperităţi), corpul este alb.• Energie care traversează corpul Atât mediile transparente în mişcare cât şi

mediile transparente imobile (vacuum) sunt traversate de undeelectromagnetice numai dacă au lungimea de undă cuprinsă în intervalul0.4-340 µm [2]

Rezultă că la nivelul suprafeţei corpului se produc transformări de energie

calorică în energie electromagnetică şi invers. Schimbul de căldur ă între corpuri

87

Page 10: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 10/36

cu temperaturi diferite pe calea energiei radiante se numeşte transmisie termică prin radia ţ ie (sau absorb ţ ie).

Dacă se raportează căldura cedată prin radiaţiei în unitatea de suprafaţă şitimp, mărime numită densitate de flux termic de radia ţ ie hr la supratemperatura

corpului faţă de mediul înconjur ător se obţine mărimea fizică αr , cecaracterizează transmisia termică prin radiaţie denumită - transmisivitate termică prin radia ţ ie.

α r = hr /(T c - T a ) = hr /( θ c - θ ma ) = hr / θ c [W/m2 grd] (3.21)Conform legii Stefan - Boltzmann, acelaşi flux termic specific transferat

prin radiaţie se calculează cu relaţia:

( )act r T T k h 44 −= ε [W/m2] (3.22)unde: k = constanta Stefan - Boltzmann. (coeficientul de absorbţie al corpuluinegru k = 5.6697*10-8 [W/m2grd4] )

εt = coeficient de radiaţie sau constanta de radiaţie (emisivitate totală)dependentă de gradul de prelucrare al suprafe ţ ei (corpurile rugoase absorb şiradiază mai multă energie) şi de modul de acoperire(tratare)( culorile închiseabsorb şi radiază mai bine). Combinând relaţiile (3.21) şi (3.22) rezultă:

ac

act r T T

T T k

−−

⋅⋅=44

ε α [W/m2grd] (3.23)

Transmisivitatea prin radia ţ ie α r depinde de:• aspectul (luciu şi într-o anumită măsur ă culoarea) suprafeţei corpului care

radiază (sau absoarbe) energie.•

gradul de încălzire faţă de mediul ambiant.• condiţiile de iradiere ale mediului ambiant (temperatura mediului ambiant

reprezentând unul din cei mai importanţi factori ce influenţează gradul desolicitare termică a aparatelor electrice).

Prin vopsirea adecvată a păr ţilor aparatelor care se încălzesc seameliorează condiţiile de r ăcire (putându-se obţine o sporire a încărcăriiaparatului) astfel culorile mate şi închise favorizează radiaţia (absorbţia)căldurii, iar cele lucioase şi deschise o împiedică. În construcţia de aparatetermoradiante, coeficientul εtk scoate în evidenţă faptul că avem de-a face cucorpuri cenuşii [1], [2].

Căldura transmisă prin radiaţie de un corp către mediul ambiant secalculează cu relaţia:

Q = α r Ar ( θ c - θ a )t [Ws] (3.24)respectiv puterea transmisă:

P r = α r Ar θ c [W] (3.25)Observa ţ ie: - se va considera că suprafaţa radiantă de arie Ar este numai

suprafaţa care radiază în spaţiul liber (mediu nelimitat) iar toate suprafeţele păr ţilor care radiază reciproc vor trebui excluse din calcul. În marea majoritate aaplicaţiilor la temperaturi până la 100°C, transmisia de căldur ă prin radiaţie este

88

Page 11: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 11/36

de mai mică importanţă în raport cu transmisia căldurii prin convecţie [2]. Există totuşi aplicaţii - firele fuzibile la siguranţele fuzibile, bimetalele - unde pierdereade căldur ă prin radiaţie are importanţă mare şi trebuie luată în considerare.

3.2.3 Transmisia termică prin convecţie

Convecţia este procesul transmisiei căldurii între suprafaţa unui corp şi unmediu fluid cu care se află în contact; convecţia este însoţită totdeauna deconducţie.

Într-un mediu fluid uniformizarea temperaturii se face simultan princonducţie termică şi prin convecţie. Dacă deexemplu, un corp cald este înconjurat de un fluidmai puţin cald atunci căldura lui se transmite în

primul rând prin conducţia particulelor fluidului

care sunt în contact direct cu suprafaţa corpului;astfel, particulele de fluid se încălzesc iar masa defluid ce conţine aceste particule îşi micşorează densitatea şi în câmpul de gravitaţie devine maiuşoar ă. Masa mai rece a peretelui fiind mult maigrea va apare o mişcare a particulelor calde de fluidîn sus; în locul lor vin alte particule mai reci care larândul lor se încălzesc şi sub acţiunea for ţelor

ascensionale se vor deplasa în sus.

Fig. 3.5 Explicativă privindconvecţia

Aceste particule, care fac parte din straturi de fluid (pânze de fluid) paralele cu suprafaţa caldă dau naştere unor curenţi de fluid (fenomenulconvecţiei) care vor transporta o parte din căldura dezvoltată în corp.

Întrucât conductivitatea termică la fluide este foarte redusă în raport cucea a solidelor,cantitatea de căldur ă transmisă prin conducţie este neglijabilă faţă de cantităţilefoarte importante de căldur ă disipate pe calea convecţiei. Dacă mişcareafluidului se datorează numai diferenţei de greutate dintre straturile reci şi celecalde ale fluidului convecţia este natural ă; dacă mişcarea fluidului este

accelerată prin for ţe exterioare cu ajutorul maşinilor hidraulice, convecţia esteartificial ă ( for ţ at ă).

Prin exemplul luat în discuţie, măsurând temperaturile locale în punctul 1 pe perete şi în punctul 2 în masa fluidului la distanţa unde temperatura pereteluinu mai are nici o influenţă asupra temperaturii fluidului - zona de curgereneconvectivă - se obţine distribuţia de temperatur ă Θ =Θ(x),după axa Ox –figura 3.6. prezentând totodată şi câmpul de viteze în zona curgerii convective.

89

Page 12: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 12/36

Fig. 3.6 Câmpul de temperatur ă şi circulaţia fluidului din vecinătatea unei suprafeţe prin carese face schimb de căldur ă prin convecţie

Când prin suprafaţa peretelui avem un schimb de căldur ă între solid şi

fluid (bazat pe convecţie şi conducţie), densitatea fluxului termic hc într-un punct poate fi exprimată prin relaţia:

hc = αc (θc - θf ) [W/m2] (3.26)unde: αc = transmisivitate termică prin convecţie şi conducţie [W/m2grd]

Acest parametru depinde de:• viteza de deplasare a fluidului;• temperatura suprafeţei calde a corpului;• căldura specifică a fluidului;• dimensiunile geometrice ale suprafeţei.

Din acest motiv αc se determină experimental pentru fiecare caz în parte.Pentru calculul cantităţii de căldur ă transmisă prin convecţie de la un corp caldspre mediului înconjur ător se foloseşte relaţia:

Q = αc(θc - θf )Act = αc θc Act [W s] (3.27)respectiv puterea:

Pc = αc θc Ac [W] (3.28)

3.2.4 Transmisivitatea termică combinată

Procesul general real al schimbului de căldur ă dintre un solid şi un fluideste procesul prin care căldura se transmite prin conducţie, convecţie şi radiaţie.Studiul separat al celor trei componente - care practic participă simultan, dar cuintensităţi diferite la transferul general al căldurii - are un scop formalmetodologic. În practică, sunt situaţii când una din componente devine

preponderentă.Considerând transferul de căldur ă de la o suprafaţă caldă aflată în aerul

(practic) imobil, căldura totală se compune din căldura disipată pe calea radiaţieişi prin convecţie. Densitatea fluxului termic global se poate scrie:

hΣ = hr +hc =αr θc +αc θc =θc (αr +αc ) [W/m2

] (3.29)unde: αr +αc =αΣ - transmisivitate termică rezultantă (globală) [W/m2 grd].

90

Page 13: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 13/36

Cantitatea de căldur ă disipată în mediul ambiant prin suprafaţa de arie A pe calea transmisiei combinate a căldurii se determină, aproximativ, cu relaţia(lui Newton):

Q =αΣ (θc -θa)At =αΣ θc At [W/s] (3.30)

iar puterea P =αc θc A [W] (3.31)Aceste relaţii sunt valabile doar în cazul în care radiaţia şi convecţia se

refer ă la aceeaşi suprafaţă A; în general, suprafaţa radiată este suprafaţa liber ă acorpului, iar suprafaţa de convecţie este întreaga suprafaţă care vine în contactcu fluidul.

Observa ţ ie: Ipotezele general valabile pentru studiul ce urmează vor fi:• mediile (cu şi f ăr ă surse) sunt omogene, izotrope: λ=ct.• transferul de căldur ă se face după o singur ă direcţie.

singura sursă o constituie conductorul parcurs de curent: p1 =ρ J2

.Aşa cum am menţionat, în orice proces termic se urmăreşte determinareacâmpului de temperatur ă al aparatelor electrice, câmp produs de trecereacurentului electric. Caracterizarea câmpului de temperatur ă este posibilă prinmărimea scalar ă numită temperatur ă sau supratemperatur ă. În orice analiză acâmpurilor caracterizarea poate fi f ăcută la nivel global(integral) pe întregdomeniu de analiză sau la nivel local. Analiza locală a temperaturilor este

posibilă numai prin discretizarea domeniului de analiză într-o sumă de domeniiinfinit micii (prin reuniunea lor se obţine întregul) delimitate de elemente finite.

Relaţia ce descrie procesul termic fiind o ecuaţie diferenţială de ordinul I înraport cu temperatura poate fi rezolvată analitic sau prin metode numerice.Rezolvarea analitică este posibilă prin impunerea unor condiţii de tip Dirichletsau Neumann şi a unor ipoteze simplificatoare în privinţa direcţiilor detransmitere a căldurii şi a regimului analizat. În regim permanent (staţionar)temperatura este numai funcţie de coordonatele spaţiale iar ecuaţia căldurii poatefi soluţionată prin similitudine electrică. În acest caz mediul solid analizatreacţionează printr-o rezistenţă termică, trecerii fluxului de căldur ă, determinândo cădere de temperatur ă.

3.3

CÂMPUL DE TEMPERATUR Ă ÎN REGIM PERMANENT

Mediile f ăr ă surse de căldur ă, al căror câmp de temperatur ă îl vom studia,sunt medii solide - izolaţia conductoarelor, izolaţiile termice ale cuptoarelor - încare transferul de căldur ă se realizează numai prin conducţie termică.

Lucrând în ipoteza simplificatoare ca transferul de căldur ă se face după osingur ă direcţie, ecuaţia diferenţială a transmisiei de căldur ă prin conducţiedevine 0=∆θ .

02

2

=dx

d θ - în coordonate carteziene;

91

Page 14: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 14/36

01

2

2

=+dr

d

r dr

d θ θ - în coordonate cilindrice;

deoarece în regim permanent: 0=t ∂

∂θ , iar puterea dezvoltată este nulă ( 0

1

1 =c

p)

în mediile f ăr ă surse.Vom studia două cazuri reprezentative din punct de vedere al configuraţiei

geometrice a mediului solid f ăr ă surse:- medii solide - limitate de plane paralele (pereţi plani);- medii solide - limitate de suprafeţe cilindrice concentrice.

3.3.1 Câmpul de temperatură în medii solide f ără surse limitate deplane paralele

Să consider ăm un perete de grosime δ, din material omogen şi izotrop,limitat de două suprafeţe plane aflate la supratemperaturile ϑ0 şi ϑ1.

În ipoteza că fluxul termic se transmite după o singur ă direcţie - câmp detemperatur ă unidirecţional - această direcţie nu poate fi decât perpendicular ă pesuprafeţele plane, care devin în acest caz suprafeţe izoterme figura 2.5.

Lucrând în coordonate carteziene, avem de rezolvat ecuaţia: 02

2

=dx

d θ ce prin

integrare, conduce la următoarea soluţie:θ(x)=Ax+B (3.32)Constantele de integrare se determină din condiţiile la limită (Dirichlet):

x =0; θ(0) = θ0

x=δ; θ(δ) = θ1; (3.33)

Temperatura în orice punct din domeniul de analiză este descrisă derelaţia:

( ) x x ⋅−

−=δ

θ θ θ θ 10

0 (3.34)

Fig. 3.7 Transmisia căldurii prin perete plan omogen

92

Page 15: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 15/36

Urmărind să determinăm legătura dintre temperatur ă şi fluxul termic transmis prin mediul analizat aplicăm legea Fourier şi obţinem:

hr

= -λ grad ϑ = -λ d ϑ /dx ( 3.35)care prin separarea variabilelor dϑ = - (h/λ)dx şi integrare devine:

∫∫ −=δ θ

θ λ θ

0

1

0

dxhd (3.36)

∆ϑ = ϑ0 - ϑ1 = hδ/λ Fluxul termic transmis prin suprafaţa A finită a pereţilor devine:

P = h rr

= ∆ϑ (λA)/δ (3.37)unde: ∆ϑ = ϑ0 - ϑ1 - căderea de temperatur ă pe grosimea peretelui;

(λA)/δ - conductanţa termică;δ/(λA) - rezistenţa termică.

Se poate face o analogie formală cu rezistenţa electrică a unui conductordrept, omogen, de secţiune constantă: R = l/σA, de unde se observă că rolul lui σ îl joacă, în expresia rezistenţei termice a peretelui omogen ,conductivitateatermică λ. Se poate obţine o concluzie important ă: dacă suprafeţele izotermesunt şi echipotenţiale, atunci:

λ

σ

σ

σ

λ

δ et R

A R == (3.38)

Să generalizăm problema considerând un număr de n medii solide, paralele şi în contact perfect; în regim permanent, fluxul termic se transmite prin

pereţi, nediminuat şi constant (acelaşi) în fiecare strat – figura 2.6.Conform legilor lui Fourier:

( )101

1 θ θ δ

λ −=h ; ( )21

2

2 θ θ δ

λ −=h ; …; ( )nn

n

nh θ θ δ

λ −= −1

sau:1

110

λ

δ θ θ ⋅=− h ;

2

221

λ

δ θ θ ⋅=− h ;

n

nnn h

λ

δ θ θ ⋅=−−1 (3.39)

Însumând egalităţile membru cu membru, rezultă:

∑=

⋅=−n

K K

K

nh

10 λ

δ θ θ

(3.40)Putem echivala stratul format din cele n medii adiacente printr-un singur

stat prin care trece acelaşi flux termic, dar care are grosimea (fizică) egală cusuma grosimilor pereţilor şi o conductivitate echivalent ă (globală): evident pe

peretele echivalent vom avea aceeaşi cădere de temperatur ă:

e

en h

λ

δ θ θ ⋅=−0 = ∑

=⋅

n

K K

K h1λ

δ cu

=

==n

K K

K

n

K K

ll

1

1

λ

δ

δ

λ (3.41)

93

Page 16: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 16/36

Rezistenţa termică totală a peretelui compus din mai multe straturi este egală cusuma rezistenţelor termice par ţiale (analogie cu calculul rezistenţei totale pentrucircuite serie).

∑ ∑=

=== n

K e

n

K K

K

K te A A

R1

1

λ

δ

λ

δ (3.42)

Fig.3.8 Referitor la conductivitatea echivalentă

În cazul în care ultimul mediu solid transforma căldura unui mediu fluid(mediu ambiant), se poate calcula transmisivitatea global ă (echivalentă) a

peretelui echivalent de grosime din egalitatea densităţilor de flux termic

h

∑=

n

K

K

1

δ

c=hr

( ) ( ) ( 1010

1

++

=

−=−=−=

∑nennnn

K k

eh θ θ α θ θ α θ θ

δ

(3.43)

Căderea de temperatur ă dată prin relaţia θ0- θn+1= θ0-θn+θn-θn+1

combinată cu (3.43) conduce la transmisivitatea globală:

∑+

=n

k

k

e

11

1

λ δ

α

α (3.44)

3.3.2 Câmpul de temperatură în medii solide f ără surse limitate desuprafeţe cilindrice

Consider ăm un perete cilindric omogen, cu dimensiunile din figura 3.9 înipoteza că temperatura variază numai în direcţie radială, câmpul de temperatur ă este unidimensional, iar suprafeţele izoterme sunt cilindrice şi coaxiale

(exemplu: izolaţia conductoarelor).Ecuaţia caldurii in medii fara surse în coordonate cilindrice devine:

94

Page 17: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 17/36

01

2

2

=+dr

d

r dr

d θ θ sau 0=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

dr

d r

dr

d θ (3.45)

cu soluţia: 21 ln C r C +=θ (3.46)

Constantele de integrare se obţin din condiţiile de frontier ă (Dirichlet):( ) 111; θ θ == r r r ; ( ) 222; θ θ == r r r (3.47)

obţinând :

2

1

211

lnr

r C

θ θ −= ; 1

2

1

2112 ln

lnr

r

r C

θ θ θ

−−= (3.48)

Câmpul de temperatur ă are ecuaţia finală:

( ) ( )

2

1

1

211

ln

ln

r

r r

r

r θ θ θ θ −−= r 1 < r < r 2 (3.49)

Fig. 3.9 Transmisia căldurii printr-un perete cilindric omogen

Puterea transmisă prin stratul cilindric elementar este aceeaşi pentru totcilindrul (flux termic nedeterminat).

dr

d r

dr

d A P

dt

dQ L

θ π λ

θ λ 2−=−== (3.50)

Prin separarea variabilelor:

∫∫ −=2

1

2

12

r

r r

dr l P d

πλ θ

θ

θ

(3.51)

Căderea de temperatur ă în peretele cilindric (sau puterea transmisă prin

conducţie, după caz) se poate calcula cu relaţia:

95

Page 18: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 18/36

πλ θ θ θ

2

ln1

2

21r

r

l

P =−=∆ (3.52)

unde: - P/l - puterea transmisă pe lungimea l a cilindrului de rază r,-

1

2ln2

1

r

r

λπ - rezistenţa termică pe unitatea de lungime.

Dacă consider ăm un perete cilindric format din mai multe straturi(fig.3.10) în regim staţionar, cantitatea de căldur ă care se transmite prin fiecarestrat - după caz - este constantă şi aceeaşi pentru toate straturile:

( )21

1

2

1

ln

2θ θ

πλ −=

r

r l

P ; ( )32

2

3

2

ln

2θ θ

πλ −=

r

r l

P ; … ; ( )nn

n

n

n

r

r l

P θ θ

πλ −= −

1

1

ln

2

sau:

1

2

121 ln

2 r

r l P

πλ θ θ =− ;

2

3

232 ln

2 r

r l P

πλ θ θ =− ; … ;

11 ln

2 −− =−

n

n

nnn r

r l P

πλ θ θ

Prin însumare, rezultă:

∑= −

=−=∆n

K K

K

K n r

r

l

P

1 11 ln

2

1

πλ θ θ θ (3.53)

Conductivitatea termică echivalentă a peretelui cilindric (se poate înlocui peretele real format din mai multe straturi),fiind :

∑= −

=n

K K

K

K

n

e

r

r r

r

1 1

1

ln1

ln

λ

λ (3.54)

iar rezistenţa termică echivalentă:

∑= −

==n

K K

K

K

n

ete

r

r

l r

r

l R

1 11

ln1

2

1ln

2

1

λ π πλ (3.55)

Observa ţ ie: Dacă raportul r 2/r 1 este mic (cazul izolaţiilor depuse în stratsubţire), notând

nr r r

=+

2

21 şi r 2-r 1=δ (3.56)

rezultă:

nn

n

n

n

r r

r

r

r

r

r δ

δ

δ

δ

δ ≈

+=

−+

=

1

1

lnlnln

1

2 (3.57)

96

Page 19: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 19/36

În acest caz, căderea de temperatur ă pe peretele cilindric devine:

l r P

r l

P

nn π λ

δ δ

πλ θ θ θ

22

121 ==−=∆ (3.58)

deci o relaţie asemănătoare ca pentru peretele plan (2.41). Eroarea rezultată prinfolosirea relaţiei (3.58) în locul relaţiei (3.52), nu depăşeşte 4% dacă sunt

îndeplinite condiţiile [3]:6

12

1

2 ≤≤nr

sir

r δ

Fig. 3.10 Transmisia căldurii printr-un perete cilindric format din mai multe straturi

Concluzie Rezultat al celor prezentate definimurmatoarele relaţiile desimilitudine între câmpul electric şi cel termic:

M ărimile câmpului electrocinetic M ărimile câmpului termicPotenţial electric V Potenţial termic θDensitate de curent electric J Densitate de curent termic hCurent electric I Curent termic PTensiune electrică U=V1-V2 Tensiune termică ∆θ= θ1-θ2

Conductivitate electrică σ Conductivitate termică λRezistenţă electrică R Rezistenţă termică R t

3.3.3 Câmpul de temperatură în regim permanent în medii cu surse

(pereţii plani)În calculele ce urmează, se urmăreşte evaluarea căderii de temperatur ă şi

distribuţia acesteia pe un conductor sursă a căldurii, căldura dezvoltată prinefect Joule-Lentz al curentului continuu.

În construcţia de aparate electrice, pereţii plani cu surse interne de căldur ă pot fi considerate elementele: căile de curent sub formă de bare plate, bobinele

de forma plată.

97

Page 20: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 20/36

Un asemenea element, perete plan omogen, cu sursa internă de căldur ă care separ ă două medii fluide cu temperatura Θa, este figurat în figura 3.1. Înacest caz, ecuaţia caldurii devine:

λ

θ 1

2

2 p

dx

d

−= (3.59)

cu soluţia: ( ) 21

21

2C xC

x p x ++−=

λ θ (3.60)

a)condiţii de calcul b)forma conductorului c)câmpul de temperatur ă Fig. 3.11 Conductor sub formă de bandă

Constantele de integrare C1 şi C2 se pot determina din condiţiile de frontier ă;x = 0 , θ=θ0 şi la x = d, θ=θd (3.61)

Transmisia căldurii efectuându-se spre ambele suprafeţe de frontier ă însensuri opuse, trebuie să existe în perete o suprafaţă izotermă cu temperatur ă

maximă, plasată la distanţa [ ];,0 d x x m ∈= , unde

mθ θ = şi 0== m x xdx

d θ (3.62)

Rezolvând ecuaţia (3.60) cu impunerea condiţiilor (3.61, 3.62) rezultă:

21

211

2

λ

α

λ

α

λ

λ ++

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=d

d P

C ;

21

2

1

12

)2

(

λ

α

λ

α

λ

α ++

+=

d

d d P

C (3.63)

Înlocuind constantele C si C1 2, rezultă ecuaţia temperaturii pentru oriceizotermă în intervalul :[ ]d x ,0∈

( )

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

++

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

= 2

1

21

21

2

2 x x

d

d d P

λ

α

λ

α

λ

α

λ

λ θ (3.64)

În ipoteza α1=α2=α rezultă

])([2)(21

x xd

p

x −+= α

λ

λ ϑ (3.65)

98

Page 21: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 21/36

Concluzii• La încălzirea în curent continuu unde pierderile sunt uniform distribuite în

masa conductoarelor căderea de temperatur ă în secţiune transversală seneglijează în calcule. Diferenţa de temperatur ă dintre punctul cel mai cald si

suprafaţa conductorului este de ordinul 0.5-1 grad.• Datorită uniformizării temperaturii în secţiunea căilor de curent, calculul proceselor termice se poate particulariza pentru transmisia căldurii princonducţie după o singur ă direcţie - direc ţ ia de extindere a conductorului -câmpul de temperatur ă devenind unidimensional: θ = θ (x1t).

3.4 CÂMPUL DE TEMPERATUR Ă ÎN REGIM TRANZITORIU

3.4.1 Regimul termic al conductorului drept cu secţiune constantă

Totalitatea elementelor conductoare, cu diverse forme şi dimensiuni, carefac parte din ansamblul constructiv al aparatelor electrice, formează căile decurent; capetele acestora determină uneori bornele de legătur ă ale aparatului, încircuit. Dintre principalele căi de curent prezentăm: bornele conductoare,cuţitele de contact, legăturile flexibile etc. Aceste căi de curent sunt legate întreele prin intermediul diferitelor joncţiuni mecanice.

Solicitările termice ale căilor de curent sunt determinate de caracterul proceselor interne de dezvoltare a căldurii (datorită pierderilor generate în masalor) şi de sursele de căldur ă apropiate. În marea majoritate a cazurilor căile decurent au o lungime mare, comparativ cu dimensiunile lor transversale.

Datorită uniformizării temperaturii în secţiunea căilor de curent, calculul proceselor termice se poate particulariza pentru transmisia căldurii princonducţie după o singur ă direcţie - direcţia de extindere a conductorului -câmpul de temperatur ă devenind unidimensional: θ = θ (x1t).

Această ipoteză a neglijării căderii de temperatur ă în secţiuneatransversală presupune aşadar:• sursă de căldur ă uniform distribuită;• temperatur ă uniformă de-a lungul perimetrului oricărei secţiuni transversale.

Deoarece conductoarele ce compun căile de curent nu sunt parcursenumai de curent continuu, caracterul transmisiei termice în cazul curenţiloralternativi trebuie analizat, fiind mai complicat. În acest caz, datorită efectului

pelicular şi de proximitate, densitatea de curent şi pierderile specifice nu suntuniform distribuite în secţiunea căilor de curent. Întrucât rezolvarea exactă estefoarte dificilă, în calculele practice se fac o serie de aproximări.

În acest sens, se consider ă pierderile specifice uniform distribuite şiconstante:

p j jmed

k p p x x

⋅= (3.66)

99

Page 22: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 22/36

unde: sunt pierderi specifice calculate pentru curent

continuu sau valoarea efectivă a densităţii de curent medii: în

secţiunea considerată de aria A

)1(2 P P p x j J p

k θ α ρ +=

xmed A I J x

/=

x prin care trece curentul efectiv I.

K P - coeficientul pierderilor suplimentareDeci, pentru curent alternativ monofazat, ţinând cont de efect pelicular şiefect de proximitate prin coeficientul K P ,respectiv K pr , avem: K p = K p K pr şirelaţia practică de calcul devine:

( ) ( p p p p x

med k A

I P

xθ α ρ +⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ = 1

2

1 ) [W/m3] (3.67)

Observa ţ ie:În cazul curenţilor de frecvenţe foarte mari şi la procese de scurtă durată,

o asemenea relaţie nu poate fi acceptată, temperatura în secţiunea căii de curentfiind o funcţie bidimensională sau tridimensională în spaţiu θ = θ (x,y,z,t),calculul fiind mult complicat.

Pentru că multe cazuri practice de regiuni termice pot fi reduse la regimulconductorului drept de secţiune constantă (cu r ăcire naturală sau for ţată), încontinuare ne propunem studiul regimului termic al acestui conductor în regimtermic tranzitoriu şi staţionar, f ăr ă şi cu efect de capăt. În figura 3.12 seconsider ă un conductor rectiliniu, omogen de lungime infinită şi cu lungime

periferică suficient de mică pentru a putea aproxima aceeaşi temperatur ă într-osecţiune oarecare (suprafaţă izotermă). Considerând că transmisia de căldur ă spre păr ţile mai puţin calde se face axial în direcţia axei x, iar la suprafaţa

conductorului se produce cedarea căldurii în mediul ambiant, care aretemperatur ă constantă, temperatura conductorului va fi o funcţie de lungimeaxială şi de timp: θ = θ(x1t).

Fig.3.12 Conductor drept, cu secţiune constantă.

Curentul care trece prin conductor dezvoltă în elementul de volum Adx1 în timpul dt, cantitatea de căldur ă, conform legii Joule - Lenz:

dQ1 = p1 A dxdt = ρ J 2 Adxdt (3.68)Căldura care intr ă prin secţiune, prin punctul a, în elementul dx, pe caleaconducţiei în timpul dt, este:

dt x

AdQ∂

∂θ λ −=2 (3.69)

100

Page 23: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 23/36

Căldura care iese din elementul dx, prin secţiunea din punctul b, pe caleaconducţiei în timpul dt, este:

dt dx x x

AdQ ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−=

∂θ θ

∂ λ 3 (3.70)

Căldura cedată mediului ambiant prin suprafaţa laterală a elementului dx, întimpul dt:

dt dxl dQ p ⋅⋅⋅= θ α 4 (3.71)

Căldura consumată pentru încălzirea elementului dx, în timpul dt, este:

Adxdt t

cdQ∂

∂θ 15 = (3.72)

unde: -V

RI J p

22

1 == ρ - pierderile specifice [W/m3] (3.73)

- A - aria secţiunii transversale,[m2

]- l p - lungimea periferică în [m]- α - transmisivitatea globală prin convecţie şi radiaţie, W/m2 grd- λ - conductivitatea termică, W/m grd- ϑ - supratemperatura, grdConform legii conservării energiei în elementul dx, suma căldurii

dezvoltate, respectiv consumate, trebuie să fie egală cu căldura cedată dinelementul dx plus căldura cheltuită pentru încălzirea acestuia:

54321 dQdQdQdQdQ ++=+ (3.74)

Rezultă, după simplificările necesare:

dt dxl Adxdt x

Adxdt t

c Adxdt p p θ α ∂

θ ∂ λ

∂θ +−=

2

2

11 (3.75)

sau: θ α

θ ∂ λ

∂θ

Ac

l

xcc

p

t p

12

2

11

1 −+= (3.76)

care reprezintă ecua ţ ia diferen ţ ial ă a căldurii, cu referire la conductorul drept,de secţiune constantă, prin care trece un curent electric, cu densitate constantă înaria secţiunii transversale.

Dacă conductorul este lung se poate face abstracţie de efectul de capăt(diminuarea secţiunii, rezistenţa de contact etc) şi deci într-o zonă depărtată decapetele conductorului, se poate admite că temperatura nu depinde de direcţia deextindere a conductorului si putem considera neglijabilă căderea de temperatur ă

în aria secţiunii transversale admitand că: 02

2

=∂

θ ∂ . Am folosit mereu expresia:

θ α ρ θ θ α ρ ρ a pa p R p +=−+= 11 (3.77)

unde: - ρ p - rezistivitatea la temperatura de încălzire, Ωm

- αR - coeficientul de temperatura al rezistivitatii,grd-1

- θP - supratemperatura, faţă de temperatura de preîncălzire, [grd].

101

Page 24: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 24/36

Această expresie este valabilă pentru supratemperaturi moderate, sub 200grd, când rezistivitatea poate fi considerată o funcţie cu variaţie liniar ă în raportcu temperatura.

a. Regim sta ţ ionar

În acest caz: 0=t ∂

∂θ şi temperatura conductorului are o valoare bine

determinată, independentă de x şi t. Ecuaţia caldurii devine:

θ α ρ l

J p p== 2

1 (3.78)

Introducând (3.77) în (3.78), rezultă:

max

max02

2

11

v R R

p p

p p

l

A J

l

A J

θ α

θ

α α ρ

α ρ

θ −

=

= (3.79)

unde:

- p

p l

A J

α ρ θ

2

max0 = - supratemperatura conductorului, în regim stabilizat,

cu rezistivitate constantă ρ p = ct.

-max0

max0max 1 θ α

θ θ θ

R s −

== - supratemperatura conductorului, în regim

stabilizat, cu rezistivitate dependentă de temperatur ă.

b. Regim tranzitoriu

În cazul variaţiei în timp a supratemperaturii, ecuaţia caldurii devine:

θ α θ

Ac

l

c

p

dt

d p

11

1 −=

sau:

1

2

1

2

1 c

J

c

j

Ac

l

dt

d p R p p ρ

θ

α ρ α θ

=⎟⎟

⎜⎜⎝

−+ (3.80)

Ecuaţia (2.87) are soluţii de forma cunoscută:( ) e f t θ θ θ += (3.81)

cu: - θe - soluţia liber ă ce verifică ecuaţia omogenă, are forma: pt

e Ae=θ (3.82)

- θf - de regim stabilizat, ce verifica ecuaţia neomogenă; are forma:θf = C (3.83)

Pentru calculul constantei de integrare se folosesc condiţiile iniţiale:

102

Page 25: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 25/36

b.1. Condi ţ ii ini ţ iale nule:

supratemperatura θ(0) = 0 (conductorul se află la temperatura locală)

( ) ( ) ( ) pt pt eC e At −=−= 11θ (3.84)Efectuând calculele, se obţine:

( )⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

= ⎟

⎜⎜

⎛ −− t

c

J

Ac

l

p R

p p p R p

e

l

A J

l

A J

t 1

2

11

12

2 ρ α α

α ρ α

α ρ

θ (3.85)

Dacă se fac notaţiile:θ0max =ρ pJ

2A/αl p - cu semnificaţia dată la punctul a. (3.86)θmax = θ0max/1-αR θ0max - cu semnificaţia data la punctul a. (3.87)

T0 = c1A/αl p - constantă de timp: reprezintă timpul necesar încălziriiconductorului la temperatura θ0max, în ipoteza că energia disipată la periferiaconductorului este nulă:

∫∫ =max00

01

0

θ ρ d cdt J T

p (3.88)

• 21

1 J

C T

p R ρ α = - constantă de timp: reprezintă timpul necesar încălzirii

conductorului la temperatura 1/αR , în ipoteza că energia disipată la periferiasa este nulă.

∫∫ = R

d cdt J T

p

α

θ ρ

1

01

0

21

(3.89)

01

01

T T

T T T

−= - constantă de timp de încălzire a conductorului (3.90)

Soluţia (3.85) se poate scrie simplu:

( ) ⎟⎟

⎜⎜⎝

−=

−T

t

et 1maxθ θ (3.91)

Studiind soluţia (3.85) se constată că va exista, pentru un conductor dat, odensitate de curent critică, rezultată din condiţiile echivalenţă:

sau 01 max0 =− θ α R (3.92)01 T T = Densitatea de curent critică rezultă cu expresia:

A

l J

R p

pcr

α ρ

α = (3.93)

Ca urmare, soluţia (3.91) este valabilă pentru J<Jcr ( I<Icr ).

103

Page 26: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 26/36

În cazul în care J=Jcr , ceea ce înseamnă de fapt 01 max0 =− θ α R sau T1=T0, ecuaţiacaldurii devine:

1

2

c

J

dt

d t ρ θ = (3.94)

cu soluţia

( ) t c

J t p

1

2 ρ θ = (3.95)

unde:

11

2

T

t t

c

J

R

p

α

ρ = se numeşte intensitate de încălzire (3.96)

Pentru J>Jcr , alura curbei supratemperaturii este foarte rapid crescătoare.

Ecuaţia caldurii se scrie:

( )⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+−−

= ⎟

⎜⎜

⎛ − t

AC

l

C

J

o R

p p R

et 11

2

11max

max0

α ρ α

θ α

θ θ (3.97)

cu: 010

01 ≥−

=T T

T T T şi

1max0

max0max −

=θ α

θ θ

R

sau restrâns

)1(max −= T

t

eθ θ (3.98)

În figura 3.13 s-a trasat, pentru un conductor de Cu, supratemperatura înfuncţie de intensitatea de încălzire având ca parametru valorile lui θ0max [1].

Fig. 3.13 Supratemperatura unui conductor de Cu funcţie de intensitatea de încălzire

b.2. Condi ţ ii ini ţ iale nenule: θ (0)=θ I

Astfel de situaţii se întâlnesc frecvent în practică când curentul a mai

parcurs conductorul şi apoi a urmat o pauză de curent insuficientă pentru r ăcireacompletă a conductorului.În acest caz soluţia ecuaţiei caldurii devine:

104

Page 27: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 27/36

( ) T

t

iT

t

eeC t −

−+⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= θ θ 1 (3.99)

respectiv după calcule simple:

( ) T t i

T t eet −− +⎟

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ −= θ θ θ 1max (3.100)

cu menţiunea: J<Jcr şi reprezentarea grafică din figura 3.14c. Răcirea conductorului

Procesul de r ăcire începe în momentul întreruperii curentului princonductor: punând condiţia J=0 in ecuaţia caldurii rezultă:

θ θ α θ

01

1

T Ac

l

dt

d p −=−= (3.101)

iar după integrare se obţine:

( )⎟⎟

⎜⎜

⎛ =

−0T

t

i et θ θ (3.102)

Observa ţ ie: Dacă se ia în consideraţie variaţia rezistivităţii cu temperaturaconstantele de timp de încălzire T şi r ăcire T0 sunt diferite însă, în calculesimplificatoare cu ρ=ct. cele două constante sunt egale T=T0.

Fig 3.14. Curbele exponenţiale de încălzire şi r ăcire

3.4.2 Regimul periodic intermitent – RPI

În exploatarea aparatelor electrice, adesea funcţionarea lor este

intermitentă ceea ce înseamnă că după o perioadă de încărcare urmează o

105

Page 28: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 28/36

perioadă de pauză, timp în care aparatul se r ăceşte (cu alte cuvinte sarcinaaparatului variază periodic).

Dacă încărcarea şi repausul se succed în mod periodic după intervale detimp egale ti şi t p regimul termic se numeşte regim periodic intermitent ; curba θ

= θ(t) va avea forma de zig-zag (dacă aparatul nu se r ăceşte până la θma).În general, în exploatare întâlnim regimul neperiodic intermitent; regimulPRI întâlnindu-se în sistemele automate.

Notând cu:ti + t p = Tc (3.103)

durata unui ciclu şi dacă în perioada de repaus conductorul nu atinge θmax, Tc <10 minute, atunci în vederea încărcării aparatului trebuie definit un regim deexploatare regulat, adică regim periodic intermitent.

Conform normelor raportul între timpul de încărcare şi durata ciclului se

numeşte durata relativă de conectare DC[%] = (t i /T c ) (3.104)Valorile standard pentru DC sunt: 10;25;40;60;100 %.Variaţia θ = θ(t) în RPI este prezentată în figura 3.15:

Fig.3.15 Regimul periodic intermitent RPI

În conformitate cu figura 3.15 se poate scrie succesiv (dacă θ(0) = 0)

⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−T

t i

e1max1 θ θ ;⎟⎟

⎜⎜

⎛ =

−T

t p

e12 θ θ ;

T

t

T

t ii

ee −−+⎟

⎞⎜⎜

⎛ −= 2max3 1 θ θ θ ;…; ⎟

⎜⎜

⎛ =

−0

122T

t

nn eθ θ (3.105)

T

t

nT

t

n

i

ee −−

+ +

⎛ −= 2max12 1 θ θ θ (3.106)

106

Page 29: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 29/36

După un număr foarte mare de cicluri de încălzire şi r ăcire, n → ∞ întredouă încălziri succesive nu va mai exista nici o diferenţă de temperatur ă. Deci:

1212 −+ = nn θ θ (3.107)Înlocuind (3.105) şi (3.106) în (3.107) rezultă: temperatura minimă (la

r ăcire) după un număr infinit de cicluri:

max/2

0

0

1

1

θ θ

T

t T

t

T

t T

t

nni p

i p

ee

ee

−−

−−

∞→

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

= (3.108)

Dacă în relaţia (3.106) se introduce (3.107) se obţine supratemperaturamaximă după un număr infinit de cicluri de încălzire şi r ăcire:

∞−−

∞→+ =

⎟⎟

⎞⎜⎜

⎛ −

= θ θ θ max/12

01

1

T

t T

t

T t

nni p

i

ee

e

(3.109)

Observa ţ ie:

1. Dacă nu există timp de pauză t p = 0, regimul RPI se transformă în regimcontinuu de încălzire (regim de lungă durată): t p= 0 ceea ce implica θ∞ = θmax

2. Dacă: ti/T = t p/T0 → θ∞ =2/3 θmax deci, în regim RPI se ajunge doar la66,6% din temperatura finală care se stabileşte la funcţionarea în regim continuu(la acelaşi J).

3. Din relaţia (3.109) se defineşte gradul de supraîncărcare termica aaparatului în regim intermitent pentru a realiza aceeaşi încălzire ca în regimcontinuu de lucru:

0

0

1

1

max

T

t

T

t

T

t

i

pi

e

ee

K −

−−

∞−

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −

==θ θ (3.110)

denumit şi coeficient de suprasarcină termică.Folosind dezvoltarea în serie Taylor a exponenţialei e+x se obţine:

DC t

t t K

i

pi 1max =+

≈=∞θ

θ (3.111)

cu ipoteza T=T0 (în general valabilă la aparatele care nu conţin piese în mişcare

care să influenţeze mult ventilaţia).

107

Page 30: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 30/36

4. Importan ţ a practică a RPICoeficientul de suprasarcină termică poate fi înlocuit prin coeficientul de

suprasarcină în curent k I = I max /I e în baza relaţiilor θmax/ θ∞=I2max/I

2e din care

rezultă K I = ϑ K . Valoarea curentului echivalent ce produce încălzirea θ∞ este

mai mică decât valoarea curentului maxim ce produce încălzirea de regimcontinuu de funcţionare, fiind dat de relaţia Ie=Imax/k I < Imax. Dimensionareacorectă, din punct de vedere termic a aparatului considerat în regim defuncţionare intermitent, permite trecerea un timp tI a unui curent I>In, astfel încâtefectul termic al curentului echivalent Ie=In pe durata T să fie identic cu cel alcurentului I pe durata tI conform relaţiei I 2t i=I 2nT, impusă de obţinerea aceleiaşisolicitări termice θmax= θadm. Dacă se consider ă un motor electric ce lucrează înregim intermitent cu timpi de cuplare tI , în care absoarbe curenţii II astfel încâtsuma timpilor de funcţionare şi a celor de pauză definesc constanta T conform

relaţiei ΣtI+t p=T, atunci curentul echivalent poate fi calculat cu relaţia:

( )∑

=

=

+=

n

i pii

n

iii

e

t t

t I I

1

1

2

(3.112)

Un caz limită al regimului periodic intermitent îl constituie regimul de scurt ă durat ă , caracterizat printr-un timp de conectare tI în care

supratemperatura atinsă de aparat este ( ) ⎟⎟ ⎠

⎜⎜⎝

−=

−T

t

et 1maxθ θ şi un timp de pauză

t p suficient de mare pentru ca temperatura aparatului să revină la temperaturainiţială. În acest caz coeficientul de suprasarcină termică devine:

T

t i

e

k

=

1

1 (3.113)

respectiv de suprasarcină în curent este :

T

t ii

e

k

=

1

1 (3.114)

Dimensionarea corectă, din punct de vedere termic, a aparatului considerat înregim de scurtă durată, permite trecerea un timp tI a unui curent mult mai mare,astfel încât efectul termic al curentului echivalent să fie acelaşi.

108

Page 31: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 31/36

3.5 REGIMUL DE SCURTCIRCUIT

Solicitarea termică a căilor de curent sub acţiunea curenţilor de scurcircuitse caracterizează prin:

densităţi mari de curent care depăşesc de multe ori valorile nominalecorespunzătoare sarcinilor de durată (de 10…20 ori şi mai mult [1]);• procesul de suprasarcină este de scurtă durată curentul de scurtcircuit fiind

întrerupt din acţiunea protecţiei (0.2….2 sec,[1]);• variaţia curentului în timp are o forma complexă;• variaţia mare a temperaturii căii de curent într-un timp relativ scurt

(supratemperatura admisibilă este de 2-3 ori mai mare decâtsupratemperatura de regim normal).

Întrucât regimul de scurtcircuit trebuie întrerupt imediat pentru evitarea

extinderii avariei, durata de funcţionare a aparatului la scurcircuit va fi mairedusă decât durata corespunzătoare constantei de timp termice la încălzirea descurtă durată. La un asemenea raport t/T <<1, aproape întreaga energie calorică care se dezvoltă se acumulează în conductor şi se consumă numai pentruîncălzirea lui f ăr ă să aibă loc nici un fel de cedare a căldurii în mediul ambiant -

proces adiabatic.Oprirea procesului de scurtcircuit se face prin separarea circuitului defect

cu ajutorul unui aparat de comutaţie de putere, momentul deconectăriicorespunzând momentului stingerii arcului electric în aparat; în acest moment

temperatura conductorului atinge valoarea maximă finală de scurtcircuit după carescade progresiv până la temperatura mediului ambiant.Curenţii de scurtcircuit având valori absolute de ordinul 5….50 KA, în

reţelele de înaltă tensiune şi de ordinul 5…100KA în reţelele industriale de joasă tensiune, pentru a evalua corect puterea dezvoltată prin efect Joule - Lentz estenecesar să se ţină cont de efectul pelicular şi variaţia rezistivităţii cutemperatura; de asemenea pentru o abordare mai corectă a regimului termic

produs de curentul de scurtcircuit este necesar să se ţină cont şi de variaţiacăldurii specifice volumice cu temperatura.

Astfel ecuaţia diferenţială (2.83) devine:

1

2

c

J k

dt

d p ρ θ = (3.115)

unde: - k p = factorul de majorare a rezistenţei în c.c.- ( )[ ]θ θ α ρ ρ ++= 20 1 R cu ρ0 rezistivitatea la 0oC

- ( )[ ]θ θ β ++= 2011 1 C cc cu c01 căldura specifică 0oC

ρ = supratemperatura conductorului datorată trecerii curentului descurtcircuit.

θ2 = θmax+θma = temperatura conductorului în regim normal de funcţionareînainte de apariţia scurtcircuitului.

109

Page 32: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 32/36

Raportul ρ/c1 se mai poate scrie:

([ θ θ α )] ρ ρ

++= 201

0

1

~1 Rcc (3.116)

unde: - αR - coeficient de temperatura mediu şi comun pentru ρ şi c1 [1]Prin separarea variabilelor rezultă în final:

( )dt J

c

k d p

R

2

01

0

2~1

ρ

θ θ α

θ =

++ (3.117)

Integrând membrul sting între limitele 0 şi θsc iar membrul drept între 0 şitsc rezultă:

( )dt J

c

k sct p

R

sc R 2

001

0

2

2~1

~1ln ∫=

+++ ρ

θ α

θ θ α (3.118)

de unde se poate obţine expresia încălzirii la scurtcircuit:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += ∫ 1

~exp~

1

0

2

01

02

t R p

R sc dt J

c

k ρ α

α θ θ (3.119)

În relaţia (3.119) intensitatea curentului nu este constantă în timp şi dinaceastă cauză mărimea J2 r ămâne sub semnul integralei.

Pentru un curent variabil în timp se poate defini un curent echivalent Iec şio densitate de curent echivalentă Jec cu relaţia:

f ec

t

t J dt J sc

2

0

2 =∫ (3.120)

sau (3.121) sc p

t

t I dt I sc

2

0

2 =∫în care integrala reprezintă integrala Joule şi caracterizează mă sura solicit ăriitermice a conductorului datorat ă curentului tranzitoriu de scurtcircuit înintervalul de timp t sc.

I p - valoarea efectivă ce ar produce o solicitare termică echivalentă cu acurentului de scurtcircuit tranzitoriu pe durata reală de trecere a acestuia prin

conductor; curentul I p şi densitatea J p se numesc în acest caz mărimi echivalente(tf - timpul fictiv).Cealaltă integrală din relaţia (3.117):

( )θ θ α

θ

ρ

θ

++∫200

01~1 R p

d

k

c sc

(3.122)

este denumită rigiditate termică la scurtcircuit şi depinde de constantele dematerial a conductorului şi de temperatur ă.

Din aceste relatii încălzirea la scurtcircuit devine:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += 1

~

exp~1 2

01

02 f ech

R p

R sc t J c

k ρ α

α θ θ (3.123)

110

Page 33: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 33/36

Din relatia 3.123 se poate calcula densitatea echivalent ă de curent:

( )

f R

sc R

p R pec t k

c J J

1~1

1ln~

2

2

0

01

θ α

θ θ α

α ρ +++

== (3.124)

respectiv aria secţiunii transversale a conductorului:

( )

2

2

0

01~1

~1ln~ θ α

θ θ α

α ρ R

sc R

p R

ec

k

c

t I A

+++

= (3.125)

Concluzii:1. Capacitatea căilor de curent de a suporta solicitările termice ale curentului

timp oricât de lung f ăr ă ca încălzirea diferitelor păr ţi ale acestuia să depăşească temperaturile maxime admisibile stabilite prin standarde, este exprimată prinvaloarea curentului nominal;

2.

Capacitatea căilor de curent de a suporta solicitările termice ale curenţilorde scurtcircuit pentru o durată dată f ăr ă deterior ări sensibile, se numeşte

stabilitate termică a căilor de curent şi se exprimă prin curentul de stabilitatetermică. Acest curent indică valoarea efectivă cea mai mare a curentului descurtcircuit, exprimat în KA, pe care aparatul conectat o poate suporta un timp

prin norme de 1s, 5s sau 10s f ăr ă ca temperaturile căilor de curent şi alecontactelor să depăşească temperaturile maxim admisibile pentru serviciul descurtă durată la scurtcircuit. Ecuaţia stabilităţii termice a unui aparat electriceste I2 t>I2

sctr unde I-este curentul limită termic (KA) şi reprezintă valoarea

efectivă cea mai mare suportată de aparat timp de 1s (t=1s) inscripţionat peaparat Isc-valoarea efectivă a curentului de scurtcircuit ce parcurge aparatul întimpul tr . Evident, după trecerea curentului de stabilitate termică în intervalul detimp corespunzător, calea de curent trebuie să r ămână intactă şi să permită încontinuare solicitările termice produse de curentul de lungă durată.

3. Pentru determinarea curentului de stabilitate termică pentru durata de timptx se pleacă de la ipoteza că valoarea (I2t) pentru un aparat dat trebuie să r ămână constantă. Ca urmare:

t I t I ec xecx

22

= sau xececx t

t

I I = (3.126)

Aparatele se încearcă de regulă şi la curentul de scurtcircuit de durată notând cu td timpul admis pentru curentul de scurtcircuit de durată, stabilitateatermică a curentului de durată Id trebuie să satisfacă relaţia(ecuaţia stabilităţiitermice):

102

102 t I t I d d ≤ (3.127)

unde: - I10 - curentul de stabilitate termică pentru 10s, exprimat în KA, - t10 =10s

111

Page 34: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 34/36

3.6 REGIMUL TERMIC AL BOBINELOR

3.6.1 Determinarea câmpului de temperatură

Solicitarea termică a unor bobine este un fenomen complex datorită

structurii neomogene a acesteia căldura care ia naştere în spirele conductoaretrebuie să parcurgă un drum lung şi sinuos prin izolaţie de la un strat la altul până la suprafeţele laterale ale bobinei care vin în contact cu mediul ambiant.

Dacă efectuăm o secţiune longitudinală într-o bobină, putem identificaurmătoarele elemente: conductorul activ, izolaţia conductorului, lac deimpregnare, uneori izolaţie între spire, carcasa bobinei; fiecare element estecaracterizat prin conductivitate şi căldur ă specifică proprie.

De aceea pentru determinarea câmpului de temperatur ă în secţiunea unei bobine trebuie să admitem următoarele ipoteze de lucru:

bobina este un corp masiv, omogen, în sursa internă de căldur ă p1 călduracare se dezvoltă uniform în întreaga secţiune a bobinei;• în secţiunea bobinei se admite o conductivitate echivalentă λe care depinde de

secţiunea conductoarelor, grosimea izolaţiei şi aşezarea reciprocă a spirelor;• în bobină transmisia căldurii se face numai în direcţie radială către cele două

suprafeţe concentrice cilindrice care cedează căldura în mediul ambiant;• se neglijează efectul de capăt.

Problema devine în acest caz similar ă cu încălzirea unui conductorcilindric căruia i se schimbă doar condiţiile de frontier ă. Astfel ecuaţia caldurii

în coordonate cilindrice devine:e p

dr

d

r dr

d λ

θ θ /

112

2

−=+

cu: p1= ρJ2 = ]/[ 32

mW V

RI

V

P = (3.128)

Pentru ρ se consider ă o temperatur ă medie a bobinei încălzite. Prinintegrare succesivă se obţine:

21

21 ln

4

)( cr cr p

r

e

+⋅+

⋅−=

λ

θ (3.129)

Constantele de integrare se determină din condiţiile de frontier ă:

⎩⎨⎧

==

==

22

11

;

;

θ θ

θ θ

r r

r r (3.130)

112

Page 35: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 35/36

şi rezultă:

( )

( )⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ +−−

⋅⋅−

⋅⋅+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−⋅

⋅⋅=

212

12

21

1

2

22

2122

212

12

21

1

21

4lnln

4

4ln

1

θ θ λ λ

θ

θ θ λ

r r p

r

r r r pc

r r p

r

r c

ee

e

(3.131)

Reintroduse în ecuaţia (3.129) permite obţinerea soluţiilor complete.Există o rază, r = r M; r 1<r M<r 2, la care supratemperatura bobinei este maximă: r=r M; dθ/dr =0

Derivând ecuaţia (3.129), rezultă:

1

12

p

cr em

λ = şi 21

21 ln

4

cr cr p

m

e

mm ++−=

λ

θ (3.132)

Observa ţ ie: Constantele C1 şi C2 s-au determinat, printre altele, funcţie desupratemperaturile feţelor laterale ale bobinei θ1 şi θ2, care în general nu suntcunoscute; în schimb, temperatura este cunoscută. Pentru determinarea lor se fac

bilanţuri de puteri la frontiere:r =r; θ=θ2; r = r 2; - λe2 πr 2l(dθ/dr)r=r2 = π(r 22-r

21)l p1 (3.133)

În figura 3.16 se prezintă distribuţia radială a temperaturii în bobină pe baza unui calcul numeric conform [2]; în figura 3.16 se prezintă şi distribuţia detemperatur ă pe înălţimea bobinei în cazul în care căldura se pierde şi prin

capetele bobinei (caz real).

Fig. 3.16 Câmpul de temperatur ă într-o bobină cilindrică

În cazul în care bobina se a şează pe un miez feromagnetic, în care pierderile active prin curenţi turbionari şi ciclu de histerezis sunt foarte reduse(astfel încât să nu constituie puterea unei surse de căldur ă semnificative şi să nutransmită un flux termic spre bobină, pentru a putea lucra în ipoteza neglijării

efectului de capăt) în carcasă bobina blochează practic transferul de căldur ă princapetele bobinei şi prin suprafaţa interioar ă, ecuaţia caldurii se va rezolva în

113

Page 36: Cap III Efect Termic

7/23/2019 Cap III Efect Termic

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iii-efect-termic 36/36

aceleaşi ipoteze simplificatoare expuse anterior cu modificarea: în bobină transmiterea căldurii se face numai în direcţie radială şi numai prin suprafaţacilindrică exterioar ă, care vine în contact cu mediul ambiant.Din figura 3.16 se poate scrie bilanţul de putere:

( )2

212

12

2 2r r

e dr d hr pr r

=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −=− θ λ π π (3.134)

Punând condiţia: r = r 2; θ = θ2, se obţine:

( ) 22e

21122

2e

1 θr

r ln

r p)r (r

pr θ ++−= (3.135)

Căderea de temperatur ă pe bobină, după direcţie radială se obţine punândcondiţia:

r = r 1 ; θ = θ1; 2

12

1121

22

121 ln2)(4 r

r r pr r

p

ee λ λ θ θ θ +−=−=∆ (3.136)

Făr ă să cunoaştem supratemperaturile feţelor laterale ale bobinei, putemcalcula temperatura feţei celei mai calde a bobinei; pentru aceasta calculămcăderea de temperatur ă la suprafaţa de separaţie faţă de mediul ambiant.

2πr 2hαθ2 = π(r 22 - r 1

2) p1hα

θ 2

12

12

22 2

)(

r

pr r −= (3.137)

care, combinată cu relaţia (3.136), rezultă:θ1 = maθ θ θ ++∆ 2 (3.138)

3.6.2 Temperatura de regim permanent a bobinelor de ccDimensiunile geometrice ale bobinei rezultă din ecuaţia încălzirii bobinei

conform relaţiilor:1/2 (3.139)222 /4 d L N A RI mr ⋅⋅=⋅⋅= π ρ θ α

cu lg4

2

f d

N =⋅π

unde f factor de umplere, l lungimea bobinei g grosimea acesteia.Înlocuind rezultă temperatura funcţie de solenaţia bobinei şi dimensiunile

geometrice ale acesteia

2

2)(

2 l

NI

g f ⋅⋅=

α

ρ θ (3.140)

Impunerea factorului de supleţe al bobinei l/g = 4-5 în corelare curelaţiile prezentate se poate determina lungimea bobinei respectiv grosimeaacesteia.