Sisfemul cu n $rade de libertate dinamicd supus acliunii seismice

5SISTEMUL CU n GRADE DE LIBERTATE

DINAMICA SUPUS ACTIUNII SEISMICE

5.1 ECUATTA DTFERENTALA DE M|$CARE A STSTEMULUT CU nGLD SUPUSACTTUNil SETSMTCE

Pentru sistemul cu n grade de libertate dinamicd din fig. 5.1 ecualia diferen[iali demigcare poate fi scrisi asemindtor ca la sistemul cu 1GLD aplicAnd principiul lui

d'Alembert:

ltut]. ({i;tt)}* {l}. it1(t))+ [c] {'t0}+ Krl. {rttl} - o

sau:

lul. {iittl}* [c]. {u(0}* K' I {rttl} - -[M]. {t}. ii, ttl

(5.1)

(5.2)

'r1,fi r,r

Fig. 5.1 Sistemul cu nGLD supus acfiuniiseismice

153

In care [M] este matricea de ine(ie (3.59) Si

(3.60), iar [C] este matricea de amortizare:

lnginerie serlsmicd

r.-'IlK'-I este matricea de rigiditate laterali

c1n

Q2n

cnn

cr cn

czl czz

Cn1 Cn2

(5 3)[c]=

Matricea de amortizare este o matrice plind gi poate fi constituitd pe baza unor modele

[inand seama de fractiunea din amortizarea criticd. In paragraful5.2 se prezintd modelulRayleigh cel mai des utilizat la constituirea acestei matrice pentru sistemele structurilorutilizate in domeniul construc[iilor.

Termenii {tittl} gi {tttl} sunt vectorii acceleraliilor relative (3.62) 9i respectiv ai

deplasirilor relative (3.63) corespunzdtoare gradelor de libertate dinamicd alemodelului.

Vectorul {uftl} este vectorul vitezelor relative:

{u(0}- (5 4)

fr, (t)- l\-/

:

ur, (t)

un(t)

iar {} vectorul unitate:

care permite determinarea fo(ei de ine(ie de corp rigid, corespunzitoare termenului

liber din ecualia (5.2), rezultati in sistem prin aplicarealabazd a unei accelera[ii Ut(t),

fig. 5.1.

154

(5 5)

Sisfemul cu n garade de libeftate dinamicd supus acliunii seismice

Pentru gradele de libertate de transla[ie pe direc[ii diferite este necesara indicareadirec[iilor pe care se va aplica acceleralia terenului. Daci accelera[ia aclioneazd pe

toate direc[iile, se va folosi vectorul unitate [] , rela[ia (5.5). In alte situa[ii se utilizeazi

un alt vector {A}, retalia (5.5'), cu valori egale cu 1 sau frac[iuni de 1 pe direcfia ac{iunii

seismice gi 0 pe direcfiile care nu :

1

1

- directie pe care actioneazd ii1(t)cu intreaga intensitate

- direc{ie pe care acfioneazd ii,(t)cu intreaga intensitate

- direc[ie pe care aclioneazd ii,(t)cu 0.5 din intensitate (5.5,)

- Oirectie pe care nu ac[ioneazd i,i,(t)

- direclie pe care ac[ioneazd ii,(t)cu intreaga intensitate

{n}-

5.2 MODELUL RAYLEIGH PENTRU DETERMINAREA MATRICEI DE AMORTIZARE

Modelul Rayleigh considerd matricea de amortizare ortogonald 9i este datd de rela[ia:

[c] - r'e tul (lrurft .tr,- ll e . (- *,+oo)e

:

0.5

T

(5 6)

Inmullind matricea [C] f, stinga cu matricea modald transpusd h]t gi la dreapta cu

matricea modali [Q], rezultd amortizarea generalizati [C]- ,

lcl. - tol tcl tol (5 7)

Aplicind proprietatea de ortogonalitate, vezi pct. 3.5.2, pentru doud moduri succesivergi k:

{o}l [c].{o}n-o urk+t'^rr

astfel cd un termen din matricea generalizata (5.7) devine :

(5.e)

155

(5.8)

ck = {o}l [c] {o}n

lnginerie selsmrcd

Inlocuind (5.6)in (5.9) rezultd:

ck = ?o, toll tvrl (tvrl-' K..ll to)- (5 10)

(5.11)

(5.12)

Stiind cd pentru sistemul cu nGLD aflat in oscila[ii libere neamortizate avem sistemul

omogen (3.69), care pentru a avea solu[ii diferite de cea banali trebuie impusd condi{ia(3.70), ce conduce la:

Krl: ,? '[M]

Inlocuind (5.1 1) in (5.1 0) rezultd:

din care rezultd expresia (5.13):

ck : r'e .,xfr' .{o}l [v] {o}ne

in care inlocuind masa generalizatd aferenti modului k data

rezultd:

ck:?*. {o}l tnrl (trr,rl-'.ri tMll {oh

(5 13)

de (3.82) in (5.13)

Ck : Ioe .,.^r?t M1e

Stiind cd frac[iunea din amortizarea criticd este dati de rela[ia

ccr = 2.w.m , rezultd pentru formele generalizate expresia:

(5 14)

(3.31) in care

ck I oe . .rrfrt ' Mr,

_e9k- (5 15)

(5.1 6)

Ccrk 2.trt1 .M1

sau:

€r : Icr. .ulfrt-te

156

Sisfemul cu n garade de libertate dinamicd supus acliuniiserlsmice

Particularizind pentru 0 = 0, e = 0 9i 1 9i e = - 1, 0 gi 1 rezulta urmatoarele expresii ale

matricei de amortizare:

a. e=0

sau:

Astfel c6:

Astfel cd:

-1-1l : ,'cto

'trlt

crg = 2'\t'wt

lc]: "o .[wt]

fcl- 2.\t.rr.[u]

1 -t1Z'oo'uJr

' * i'ot'{uJt

1 t1i'oo'uJz

' * 2'ot'uz

(5 17)

(5 18)

(5 1e)

ln aceste condi[ii factorul de amortizare este invers proportional cu frecventa ceea ce

face ca modurile superioare sd fie pulin amortizate.

b. e=09i1

L

ltr-1,,-

[r''l 1

{ -'}:-'

[€zJ 2

(5 20)

sau:

{"'}Lat J

1

,', .u1

1

,, @2

(5.21)

(5.22)[c]- oo .[M]* *, .Krl

157

Inginerie seismicd

Acest model este cel mai des utilizat in programele de calcul in varianta in care cele

doud frac[iuni din amortizarea criticd sunt egale (Er : \z: \), astfel cd cei doi

coeficienli devin:

cto = (5 23)(t)1 * tJ2

0"1:2.\.q.w2

2.t,

(5.24)(t)1 *(t)2

c. e=-1,09i 1

(5 25)

Astfel cd:

[c] = o-, . [M]' K'- ]* c'o . lvt]* ", . [Kr ] (5 26)

ln cazurile (b.) gi (c.) coeficientul de amortizare este direct propo(ional cu frecven[aceea ce face ca modurile superioare sd fie puternic amortizate.

5.3 ANALIZA SPECTRALA

Analiza spectrali a rdspunsului unui sistem cu n grade de libertate dinamici constd inexprimarea rdspunsului prin intermediul unui sistem de n ecua[ii independentecorespunzdtoare fiecirui mod propriu de vibrafie. Acest lucru se poate realiza prin

,,decuplarea" sistemului de ecuatii diferentiale utilizind coordonate independente,denumite coordonate modale.

Prin analiza spectrali se pune in evidenti participarea fiecirui mod propriu devibratie la rispunsul total.

["-'l

lilj

(I)1

w2

uJ3

11uli (l)1

11wi @2

11ul! (l)3

[:,1 1

1;:j=u

158

Srfemul cu n garade de libertate dinamicd supus acliunii seismice

Pentru a se obtine decuplarea sistemului de ecualii se va tine seama de proprietatea de

ortogonalitate (3.80), care din punct de vedere fizic inseamni ci lucrul mecanic al

fo(elor dintr-un mod propriu de oscilatie cu deplasdrile altui mod sunt nule, Pe bazaproprietdlii de ortogonalitate se vor utiliza matricele generalizate ale masei (3.82), ale

rigidita{ii (3,83) 9i amortizirii (5.7).

Vom considera ci rdspunsul sistemului cu nGLD pe directia unui grad de libertate k se

obfine prin suprapunerea rispunsurilor pe fiecare mod propriu de vibralie i, fig.5.2:

Astfel vom considef? r'licoordonata generalizati corespunzdtoare modului i de oscilafie,astfel incAt rdspunsul intr-un mod propriu de oxcilafie i sd fie o funclie de forma moduluipropriu O*, :

uri(t): Qri .ni(t) (5 28)

n

u*(t)-Iun,(t)

ur(t)- ie* .ni(t)i:1

(5.27)

(5 2e)

sau

utt

utz

Fig.5,2 Rdspunsul sistemelor cu 1 GLD componente ale sistemului cu n GLD

159

lnginerie sercmrcd

Pentru simplificare in ecua[ia diferenliald de migcare (5.2)vom inlocui:

{r}= -tMl {t}.ii,ttl

Astfel inncAt ecua[ia (5.2) devine:

[w].{uttl}* [c] {rttl}* K,_1.{'ttl}- {r}

(5 30)

(5 31)

Inlocuind in (5.31)vectorii deplasdrilor, vitezei 9i acceleratieicu notalia (5.29)vom avea:

{,(t)}- [o] {n(t)}

{r(t)}= [o] {n(t)}

{u0}- [o] {n(t)}

in care [Q] este matricea modald:

hl= ltoh{ob {oh {o},1

Inlocuind (5.32), (5,33) 9i (5.3a)in ecuatia (5.31)conduce la:

tMl tol {n(t)}*tcl tol {n(t)}*K,l tol {n(t)}-{r}

Preinmultind ecuatia (5.36)cu traspusa matricei modele rezultd:

tol M tol ffit))+[o]T tcl tol {(t)}+[o]T Kl tol t(t)]-[o]' {r} (5 37)

care datoritd proprietdfii de ortogonalitate conduce la sistemul de ecualii decuplat:

lt tu tl {'i(t)}* [t c t].{n(t)}* [t r t] {n(t)}- {p} (5 38)

in care s-a notat:

tol {r}= {p} (5 3e)

Astfel sistemul de ecua[ii (5.31) s-a transformat intr-un sistem de ecua{ii independente(5.38) care poate fi scris gi sub forma (5.38').

160

(5 32)

(5 33)

(5 34)

(5 35)

(5 36)

Srlsfemul cu n garade de libeftate dinamicd supus acliunii seismice

M, . ri,(t)+ c, . n,(t)* K, . rt,(t) : P,

M, .ij,(t)+ C, .n,(t)+ K, .11,(t)- P,

M, .ri,(t)+c, .n (t)*K, .n,(t)-P(5.38',)

M, .ij.(t)+ C. .rt.(t)+ K. .11.ft)- R.

In aceste condilii rezultd n sisteme de ecualii, care pot fi abordate independent unul de

celdlalt, ca gi sistemul cu un grad de libertate dinamici, vezi cap.3, ale cdror solu[ii sunt

date de integrala Duhamel.

lmpa(ind ecualia corespunzitoare modului i de oscilalie la masa generalizatd Mi ( vezi

rela[ia (3.82)) aferenta modului i rezulti:

ri (t)* 2.\, .0 . t (t)+ uri . n (t) - +/ | rt \ / M

Rdspunsul ecua[iei (5.40) dat de integrala Duhamel (4.13) este:

rti(t) = + + le,trl . s-€i r'ri (t-')sin ur;(t - t)dt

iar:

{p}-tol {r}--Pf Ml {l}.ii,(0--[o]' [M] {l} ii,rtl

gi termenul aferent modului i de oscila[ie este:

Pi(tl - -{o}' tMl {t}.u,ttl

care inlocuit in (5.41) devine:

{o}l [u] ttt .1 . iij, (r).s-€i'oi'(t-t)sino;(t - t)dt(r); o"'

(5 40)

(5 41)

(5.42)

(5 43)

(5.41')Mi

rli (t) :

161

lnginerie sepmrci

Inlocuind masa modali aferentd modului i oblinem rdspunsul de forma:

ti(t) : -eryEl.1.iu,(r).e-6i roi (t-r)sinur;(t-t)dr (5.41,,)''\./ toll lu].tot' t,r; 6

Primul termen din solutia (5.41") il vom denumi factorul de participare modali:

(5.44)

sau:

t-n

I Qs 'm1k=1

(5.44',)

iofr, .'*k=1

Este o valoare subunitard care indicd participarea fiecdrui mod propriu de vibra[ie i la

rdspunsul seismic total al sistemului.

Suma factorilor de participare modald corespunzdtoare celor n moduri de vibra[ie areproprietatea:

nr[ :1i=1

(5 45)

(5.43)

Deplasarea pe direclia gradului de libertate k in modul i de oscilatie, datd de rela[ia(5.28) in care inlocuim (5.41") devine:

{o}l lul tt} 1 turi(t)- -tD*,

to}I .[rr,r] tol ,, ltj.(').g_€i.(,i.(t_t)sinul;(t _ t)dt (5'46)

astfel cd putem defini aga numitul factorul de formi a rispunsului pe directiagradului de libertate k in modul de vibratie i de forma:

toll lul.ttl

{e}i .[t',t].ttl

{o}l [ttt].tol'

162

qri : Qri 'toll .[u].tot'

Ssfemul cu n garade de libertate dinamicd supus acliunii seismice

Factorul de formi mai poate fi scris 9i sub forma:

n

IQp 'mg'n k=1

Iki = Ari ';' ^ (5.43')

IQf; 'm1k=1

Cu aceste notatii (5.46) devine:

/ \ ' lU,(t).g-€i''i{t-,)sino.(t-r)dtuti(t): -nki ,^l o

(5.46')

(5.47)

Ceea ce este important de relinut este faptul cd rdspunsurile maxime pe fiecare modpropriu de oscilafie nu pot fi adunate, acestea producdndu-se in momente diferite detimp, fig,5.3, astfel cd:

lu*(t),,,, + lI'- ft1'._

utn

n

I u*,i=1

urr

uiz

Fig.5.3 Rdspunsul maxim pe fiecare mod propriu de oscilatie a sistemului

163

Inginerie sercmicd

In aceste conditii stabilirea rdspunsului unui sistem cu nGLD la o ac[iune dati poate fiob[inut prin sumarea rispunsurilor fiecdrui mod propriu de vibralie, fig.5.3, la fiecare pas

de timp, dupd care se poate stabili rdspunsul maxim.

For[a maximd corespunzdtoare fiecdrui mod propriu de oscila[ie i se poate ob{ine pe

baza spectrelor seismice de rdspuns, sistemul de ecualii (5.31) fiind decuplat in n

sisteme cu un grad de libertate dinamicd (5.38) gi respectiv (5,38').

Analizdnd solulia (5.46'), ca rdspuns in deplasdri al sistemului cu nGLD pe direcliagradului de libertate k gi modul i de oscilafie, il putem considen ca produs din doi

termeni, o constantd reprezentatd de factorul de participare modald qri gi solu[ia datd de

integrala Duhamel (4.33).

Valoarea maximd a rdspunsului aferentd gradului de libertate k in deplasdri, vitezesau acceleralii, pentru fiecare mod propriu de oscila{ie i, se poate determinautilizind valorile spectrale (vezi cap. 4). In felul acesta forti maximi Fri, in valoareabsolutd, de pe directia gradului de libertate k gi modul i de oscilatie se poate

calcula astfel:

lFr,i(t)lrr, : Fki : m1 . Int (t)lrr, : ITrk . Iri .Sa,i

este for[a maximd absolutd pe direc[ia gradului de libertate k inmodul ide oscila[ie;

masa aferentd gradului de libertate k;

- coordonata generalizatd in modului i de oscilalie ca accelera[ie

maximi absolutd rezultatd pe durata de timp t;

rli - factorul de formd al raspunsului pe direc[ia gradului de libertate k inmodul de vibra[ie i;

Sa,i - valoarea spectrald a accelera[iei corespunzdtoare modului i de' oscilatie aferentd acliunii seismice considerate.

AplicAnd acest procedeu de calcul pot fi determinate fo(ele seismice maxime ale

unui sistem supus actiunii seismice, pentru fiecare mod propriu de oscila[ie i inparte, pe direc[ia fiecarui grad de libertate dinamicd acordat. Aceste fo(e pot fiaplicate static pe sistem, fig.5.4, rezultAnd starea maximd de eforturi, deplasiri,tensiuni gi deforma[ii, adici se acumuleazd maximul energiei poten[iale aferentemodului respectiv de vibralie.

164

(5 48)

In care:

lFri(t)lr.*

II11

Int {t)l,nr*

Sisfemul cu n garade de libeftate dinamicd supus acliunii seismice

a. b.

Fig.5.4 For[ele maxime aplicate pe direc(ia gradelor de libertate dinamicd

acordate unuisistem cu nGLD in modul 1 (a.) 9i un mod i (b.) de oscilatie

5.4 SUPRAPUNEREA RASPUNSURILOR MODALE

Rispunsul maxim al sistemului se poate face 9i prin utilizarea unor metode probabilistice

de suprapunere a efectelor asupra componentelor structurale ale sistemului. In acest

sens in literatura de specialitate sunt date mai multe procedee de suprapunereprobabilistici a rispunsurilor maxime corespunzitoare fiecdrui mod propriu de vibrafie,

unele dintre acestea fiind specifice numai anumitor tipuri de structuri.

Astfel, in mod curent in analizele rispunsului la acliunea seismicd se utilizeazd

ridicina medie pitratici SRSS (Square Root of Square Sum) a rispunsurilor pe un

numdr r de moduri proprii de oscila[ie aplicati eforturilor, deplasdrilor, tensiunilorsau deformaliilor specifice rezultate intr-un sistem:

in care:

trr-E

(5 4e)

trr-E,k

este rdspunsul maxim al sistemului aferent unei sec[iuni E, ca efort,

deplasare, tensiune sau deformalie specifici;

este rdspunsul maxim al sistemului aferent aceleiagi sec[iuni E in modul kde oscilalie, ca efort, deplasare, tensiune sau deforma[ie specifici.

I13-

165

lnginerie serlsmhd

Nu totdeauna este necesara luarea in consideratie a tuturor modurilor proprii de oscilalien ale unui sistem cu nGLD, intrucdt unele dintre aceste pot avea efecte nesemnificative

asupra rispunsului sistemului, sau pot fi moduri locale care din punct de vedere

energetic pentru rdspunsul ansamblu structural sunt nesemnificative.

Limitarea numdrului de moduri luate in calcul r se face prin analiza factorului de

participare modald f, astfel ci vor putea fi luate in consideratie numai acele moduri

pentru care f are valori semnificative 9i a cdror sumd indeplinegte in principi condi[ia:

> 0.90 ... 0.95 (5 50)

Cind perioadele proprii de vibratie a doud moduri proprii succesive succesive se afla inrela[ia:

li*, ( 0.9 .T* (5 51)

adici diferenlS dintre perioadele proprii de vibra[ie este sub 10%, rispunsurile modale

respective se combind prin adunarea valorilor lor absolute pentru fiecare elementcomponent al sistemului (ABSSUM):

k+1' I

EE,k : 4 lEr,.;lJ=K

(5 52)

Dupd sumarea rdspunsurilor care se ,,confundd", sau nu mai sunt independente,

conform condi[iei (5.51) se aplici o relalie de suprapunere probabilisticd, cu includerea

acestora, pentru a se ob[ine rdspunsul maxim.

Un alt procedeu de suprapunere probabilistici este combinarea pitratici completi(COC - Completely Quadrat Combination):

(5 53)

in care pq reprezinta coeficientul de corelalie intre rdspunsurile modale pe modurile k gi

j gi are expresia:

s.(6r +r.€r).ffi.r3t2

r

Il-ii=1

(5 54)

I Ip-,'r,*'E'lk=1 j=1 ,l

166

Pjt =(1-rz)2 * 4. 6; . €x .r .(1+ r)2 + 4 Gl + \?),'

sau:

Sisfemul cu n garade de libeftate dinamicd supus acliunii serbmrce

6 gi €r sunt fracliunile din amortizarea criticd asociate modurilor proprii Tr gi l, iar r esteraportul perioadelor aferente celor doud moduri:

(5 55)

(5 56)

Coeficientul de corelatie p4 are valori cuprinse intre: 0 ( pii < 1 iar pentru k=j:

P* =1 (5 56)

In cazul in care fractiunea din amortizarea criticd se considerd aceeagi pentru toatemodurile proprii de vibratie:

??v

b1 - b2 -...- b

coeficientul de corela[ie pq dat de (5.54) devine:

8.\2.(t+r).r3/2(5 57)Pjr :

(1- r2)2 + 4. \2 ., . (1 + r)2

Varialia coeficientului de corelalie pu funcfie de raportul perioadelor proprii ale

sistemului r, pentru fracliuni din amortizarea criticd de 0.02,0.05 9i 0.10 estereprezentata in fig.5,5.

Pentru o fractiune de amortizarea critica de 5% gi valori ale raportului r al perioadelor

egale cu 0.9 coeficientul de corelafie este egal cu 0.473, iar pentru r = 1.11 rezultd

p=0.477.In aceste condi[ii coeficientul de la corelatia modald devine important. Mai

mult, astfel de moduri proprii de vibra{ie nu mai pot fi considerate independente 9i sesuprapun in valoare absolutd.

Se mentioneazi inci o dati ci toate suprapunerile (SRSS, CQC etc.) se aplicinumai efectelor, adicd asupra rdspunsului sistemului in eforturi, deplasdri, tensiuni 9ideforma[ii specifice 9i nu asupra actiunii.

Pentru un sistem dat semnele eforturilor, deplasdrilor, tensiunilor 9i deformaliilorspecifice, ce au fost ob{inute prin suprapunere modald, pot fi considerate identice cu

cele oblinute pentru modul fundamental de vibratie.

'167

r=II

ID;t-

{D1

lnginerie sercmicd

ffi

\=o'02

€=o'05

€=0'10

tlfi ilriil \ti i\ \t!!i r \

0 0,5 1 1.5 2 2.5 3

I

Fig,5.5 Varialia coeficientului de corelatie in functie de raportul perioadelor

5.s FORTA TATETOARE DE BAZA

lntrucdt analizele seismice ale structurilor cu nGLD se pot realiza prin decuplareasistemului de ecualii dinamice coform pcl5,2 gi pentru a accentua faptul cd rispunsul se

ob[ine independent pe fiecare mod propriu de vibralie, se propune stabilirea unui sistemcu lGLD echivalent pentru care se determind forfa seismici.

Forta seismicd a sistemului cu lGLD echivalent reprezinti fo(i tiietoare de baziaferentd sistemului cu nGLD, dupd care aceasti fo(d poate fi distribuiti pe direcliagradelor de libertate dinamicd acordate,

Analiza unui sistem structural la acliunea seismicd implicd cunoagterea rispunsuluimaxim care induce cea mai mare cantitate de energie, care evident va reprezenta ceamai mare stare de eforturi, deformalii, tensiuni sau deformatii specifice, pe modul

respectiv de oscilafie. In aceste condi[ii, pentru a oblinerea unui sistem echivalent cu

lGLD pentru sistemul cu nGLD, se pune condi[ia ca energie cineticd maximd 9irespectiv potenlialS maxima, dezvoltatd de ambele sisteme, in cadrul aceluiagi modpropriu de oscilalie i, sd fie identicd.

In fig.5.6 este reprezentat sistemul cu nGLD 9i respectiv sistemul cu lGLD echivalent,

care au aceeagi perioadd proprie de vibra[ie Ti gi respectiv aceeagi energie poten[iald 9icineticd.

168

-:<

1

0.9

0,8

0.7

0,6

0,5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

Sisfemul cu n garade de libertate dinamicd supus acliunii seismice

Fig.5.6 Sistemul cu nGLD in modul i de oscila{ie (a.) 9i sistemul cu lGLD echivalent (b.)

Vom considera ci masa sistemului echivalent in modul i de oscila[ie mi'este egald cu

suma maselor sistemului cu nGLD afectatd de un coeficient denumit coeficient de

echivalen[6 e;cofespurzdtor aceluiagi mod propriu de vibra[ie i:

b.a.

mi = ', it*k=1

Energia cinetici a sistemuluicu nGLD pe modul i de oscila[ie:

Ec,i : 1 ir* ..b?, :* ir* .,,r1 .o?i -lri i*n .o?,' lk=1 lk=1 I k=1

Energia cinetici a sistemului cu lGLD echivalent pe modul i de oscila{ie:

E3,i = I^f ,bi'= |rf i.of'

Pundnd condi{ia ca cele doud cantita[i de energie sd fie egale rezultd:

(5 58)

(5 5e)

(5.60)

(5 61)

169

Ec,i : E3,i + ir*.0?i +ni.Ai2k=1

lnginerie ser.smicd

Energia poten[iala maximd a sistemului cu nGLD pe modul ide oscilatie:

(5 62)

unde cu Sa,i s-? notat valoarea spectrala a acceleratiei in condiliile rispunsului liniar

elastic al sistemului pentru modul i de vibralie, corespunzdtor unei anumite fracliuni din

amortizarea critic6.

Energia potenliali a sistemului cu lGLD echivalent:

Ep,i :iAo *- =;oi,,mr.rr*,.sa,i.Q*, :1t,,,4r*.rri .Qri

-4 1,Eep,i -tmi Su,i .Qi

iar din egalitatea celor doud energii date de (5.62) gi (5.63) rezultd:

n

Er-.n6.Qri {ni .0i

(5 63)

[E,'-n-t-')'

itr,oiik=1

(5 64)

(5 65)

(5 66)

i'*o?'k=1

sau inlocuind factorul de distribu[ie a rdspunsului pe direc[ia gradului de libertate k inmodul de vibra[ie i din (5.43') rezulta masa echivalentd aferentd de forma:

FAEp,i = E[,; =

Inlocuind (5.61) in (5.6a) rezulta:

Qi-

Arr]i :

n

ImxrliQr,ik=1

care inlocuit in (5.64) 9i tindnd seama de (5.58) conduce la:

'170

f i'*o*'l'mP _ \l(=1 /

In^ImkQfi

k=1

(5 67)

Sisfemul cu n garade de libeftate dinamicd supus acliuniiseismice

iar coeficientul de echivalenlS este:

(n \2I rmr,Qr,i

I\k:1 )

care are proprietatea:

n

I ti -1i=1

oi

(p.'-X=r,'-*e)(5.68)

(5.6e)

ce indicd cu cdt participd masa totald a sistemului la rispunsul fiecdrui mod propriu de

oscilalie in parte.

Fo(a seismici maximi, corespunzdtor domeniul liniar elastic, in modul i de oscilaliepe sistemul echivalent se ob[ine inmul[ind valoarea spectrald Sa,i cu masa sistemului

echivalent (5,58) corespunzdtoare aceluiagi mod:

Aceastd fo(6 poartd denumirea de forta tiietoare de bazi Fi a sistemului cu nGLD 9ipoate fi distribuitd pe direc[ia gradelor de libertate k astfel:

Fit : Sr,i 'mi : Sa,i ' ti[t*

Fk,i = dr,i 'Fit : dt,i 'I

in care inlocuind Fr,i din (5.48)9i Fi. din (5.70) rezultd:

mf 'rlfi 'Sa,i : dk,i 'Sa,i 'ui i mfk=1

Iri din (5.43') 9i eidin (5.68) rezulti:

n

IQi; 'm1

mr .Qri .51-.Sa,i : dk,i .Su,i

IQf; 'm*k=1

(5.70)

(5.71)

(5.72)

(n \2I ImrQri

I\k=1 )

[-i'-)(a'-q)

n

Imr< (5 73)

k=1

171

sau:

din care rezult6:

n

mpQ1.; = dk,i .E*nQ*'

dk,i =rT]r .(Dt,i

n

)lTlr.Qr,i

lnginerie serbmrcd

(5.73')

(5.72)

9i reprezintd coeficientul de distributie al forfei sismice pe direclia gradelor de

libertate dinamicd k acordate, fig.5.7.

Aceastd modalitate de abordare a calculului poartd denumirea de metoda indirecti decafcuf a fortelor seismice prin care se calculeazd fofia seismici totali sau forfatiietoare de bazi in modul propriu de oscilalie i, prin intermediul masei echivalente m.r,

dupd care se determind for{ele seismice pe direc[ia fiecirui grad de libertate dinamicd kprin distribulie cu relalia (5.72).

a. b.

Fig.5.7 Fo(a tiietoare de bazi determinatd pe sistemul echivalent (a.)

gi distribulia pe sistemul cu nGLD (b.)

172