5. PLĂCI ORTOTROPE

5.1. ECUAŢIILE PLĂCILOR ORTOTROPE

Plăcile ortotrope reprezintă un caz particular al plăcilor anizotrope, fiind frecvent întâlnite în practică la planşee şi radiere cu nervuri sau pe reţele de grinzi, pereţi cu rigidizări, tabliere de poduri, construcţii pentru corpul navelor şi avioanelor, elemente structurale în construcţii de maşini etc.

Plăcile ortotrope se împart în două grupe: Plăci cu ortotropie de material: plăci de beton armat cu armătură

pe două direcţii şi procente de armare mult diferite, plăci din lemn (placaj, de tip sandviş), plăci din materiale compozite;

Plăci cu ortotropie geometrică sau de structură: plăci cutate sau ondulate, plăci celulare tip fagure, plăci sandviş, plăci cu elemente de rigidizare echidistante, reţele de grinzi etc.

Plăcile cu ortotropie geometrică sunt structuri cu elemente discrete sau cu discontinuităţi ordonate, materialul constitutiv fiind izotrop sau ortotrop. Pentru calcul, ortotropia geometrică se asimilează cu cea de material, realizând netezirea structurii prin distribuirea elementelor discrete pe suprafaţa acesteia, obţinându-se un mediu continuu echivalent.

Se consideră că proprietăţile elastice ale plăcilor ortotrope nu variază pe grosime, fiind definite de patru constante elastice independente. Cele două plane de simetrie elastică (de ortotropie) sunt ortogonale şi definesc direcţii principale elastice. Ipotezele admise în studiul plăcilor izotrope se menţin. Conjectura segmentului normal (un segment rectiliniu normal pe planul median al plăcii înainte de încovoiere, rămâne rectiliniu şi normal la suprafaţa mediană deformată a plăcii), conduce la ecuaţii geometrice identice cu (1.9) de la plăcile izotrope:

(5.1)Considerând axele de coordonate x şi y din planul plăcii dirijate după

direcţiile principale elastice şi întrucât s-a admis ecuaţiile fizice sunt:

(5.2)

74

unde sunt modulele de elasticitate la întindere (compresiune) pe

direcţiile principale elastice x şi y; - modulul de elasticitate transversal

corespunzător lunecării în planul xy; şi - coeficienţi de tip Poisson, primul indice indicând contracţia, iar al doilea direcţia de lungire provocată de acţiune. Din teorema de reciprocitate a lucrului mecanic (Betti) rezultă

(5.3)Tensiunile se pot exprima în raport cu deformaţiile:

(5.4)unde

(5.5)Proprietăţile elastice ale materialului ortotrop sunt caracterizate deci de

patru constante elastice:

Înlocuind deformaţiile specifice din (5.1) în ecuaţiile fizice (5.4) rezultă:

(5.6)Folosind relaţiile de echivalenţă pentru momentele încovoietoare

şi momentul de torsiune se obţine:

75

(5.7)

unde s-au făcut notaţiile:

(5.8)Notând

(5.9)rezultă o altă expresie a momentelor şi .

Întrucât ecuaţiile diferenţiale de echilibru (1.39, 1.41, 1.42) nu depind de material, rămân valabile şi în cazul plăcilor anizotrope.

Pentru plăci ortotrope de grosime constantă, introducând expresiile (5.7) în relaţia (1.44), se obţine ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate:

(5.10)în care,

(5.11)În ecuaţiile diferenţiale de echilibru (1.41, 1.42) introducând

din (5.7) rezultă, de asemenea, expresiile forţelor tăietoare:

(5.12)În particular, cazul plăcilor izotrope se obţine pentru

76

(5.13)Condiţiile de rezemare sunt similare cu cele de la plăcile izotrope.Pe o margine liberă neîncărcată forţa tăietoare generalizată este nulă şi

are expresia:

(5.14)unde n este direcţia normală la contur, iar s direcţia paralelă cu conturul.

5.2. SOLUŢII ALE ECUAŢIEI DIFERENŢIALE A PLĂCILOR ORTOTROPE

Plăcile dreptunghiulare simplu rezemate pe două laturi paralele se pot rezolva cu ajutorul seriilor Fourier simple.

Se consideră pentru w(x,y) o soluţie sub forma unei serii în sinus, care satisface condiţiile la limită pe cele două laturi simplu rezemate (fig. 5.1):

(5.15)

Densitatea încărcării se dezvoltă de asemenea în serie de sinus,

(5.16)

Introducând (5.15) şi (5.16) în ecuaţia diferenţială (5.10) rezultă:

Fig.5.1. Placa dreptunghiulară simplu rezemată pe două laturi paralele

77

(5.17)Ecuaţia caracteristică asociată ecuaţiei diferenţiale omogene (ec. (5.17)

fără membrul doi) este:

(5.18)şi are rădăcinile

(5.19)Soluţia ecuaţiei diferenţiale neomogene (5.17) este de forma:

(5.20) fiind soluţie particulară ce depinde de încărcare prin termenul din

membrul al doilea al ecuaţiei.

Se disting trei cazuri în raport cu semnul expresiei cazuri

care se prezintă în continuare:

a. toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt

reale. Se fac notaţiile: (i = 1,2,3,4) cu Deplasările w(x,y) se exprimă după cum urmează:

(5.21)

b. rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt duble,

(5.22)pentru care soluţia finală devine:

78

(5.23)

c. rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complex

conjugate. Cu notaţiile:

(5.24)rădăcinile ecuaţiei se scriu

(5.25)iar expresia deplasărilor w(x,y) ia forma:

(5.26)Soluţiile obţinute se pot exprima şi cu ajutorul funcţiilor hiperpolice.Soluţia particulară pentru încărcări de intensitate constantă în

direcţia laturilor simplu rezemate (a axei y), poate fi pusă sub forma:

(5.27)în care sunt coeficienţii dezvoltării în serie Fourier a încărcării

(5.28)În cazul în care p = constant, rezultă

.

(5.29) Plăcile simplu rezemate pe întreg conturul, pentru orice încărcare

pot fi soluţionate cu ajutorul seriilor Fourier duble. Utilizând acelaşi sistem de referinţă ca şi la plăcile izotrope (cu axele din planul plăcii dirijate după două dintre marginile simplu rezemate) se adoptă pentru w(x,y) următoarea

79

expresie care satisface condiţiile de rezemare:

(5.30)Încărcarea se dezvoltă, de asemenea, în serii Fourier duble

(5.31)Din condiţia ca (5.30) să satisfacă ecuaţia diferenţială (5.10) se obţine

şi w(x,y) devine:

(5.32)

Metoda diferenţelor finite poate fi cu uşurinţă extinsă la plăcile ortotrope. Operatorul de transcriere a ecuaţiei diferenţiale (5.10) în diferenţe finite, pentru o reţea ortogonală cu pasul constant şi egal pe cele două direcţii (fig. 5.2) are forma:

(5.33)Condiţiile de rezemare pentru

marginea simplu rezemată, respectiv încastrată, sunt identice cu cele de la plăcile izotrope. Condiţiile pe o margine liberă neîncărcată (2.79), sunt similare celor din fig. 2.14 c şi d, în care se fac înlocuirile cu

în fig. 2.14 c şi cu

în fig. 2.14 d.

Consideraţiile privind membrul al

80

doilea al ecuaţiei (5.33) rămân aceleaşi ca la plăcile izotrope.Fig. 5.2. Reţea ortogonală de diferenţe finite

cu pasul egal pe ambele direcţii

5.3. NETEZIREA PLĂCILOR CU ORTOTROPIE GEOMETRICĂ

SAU DE STRUCTURĂ

Pentru diferite cazuri de plăci cu ortotropie geometrică, netezirea se poate realiza înlocuind structura reală cu una netedă echivalentă; se obţin astfel rigidităţi echivalente ale plăcilor netede înlocuitoare.

Plăci cu rigidizări identice, simetrice, din material izotrop, având constantele elastice E şi .

a. Rigidizări sub formă de nervuri într-o singură direcţie, de exemplu y-y, (fig. 5.3).

Fig. 5.3. Placă ortotropă cu nervuri identice simetrice pe o singură direcţie

Rigidităţile la încovoiere ale nervurilor se distribuie uniform pe placă:

(5.34)I – momentul de inerţie al unei nervuri în raport cu planul median al plăcii;b – distanţa dintre axele a două rigidizări consecutive.

b. Rigidizări cu nervuri pe două direcţiiAnalog cu cazul precedent, rigidităţile nervurilor se distribuie uniform

pe placă:

(5.35)unde

81

Ix, Iy - sunt momentele de inerţie ale nervurilor de pe direcţiile x, respectiv y, în raport cu suprafaţa mediană a plăcii;

bx, by - sunt distanţele dintre axele nervurilor în direcţiile x, respectiv y.

Reţele dese de grinzia. Grinzi dese ortogonale, echidistante, care formează ochiuri de formă

dreptunghiulară (fig. 5.4 a)Rigidităţile echivalente corespunzătoare sunt:

(5.36)în care:

- distanţele între axele grinzilor în cele două direcţii;

- momentele de inerţie axiale ale grinzilor;

- momentele de inerţie polare.b. Reţele de grinzi identice cu ochiuri sub formă de triunghiuri

echilaterale cu latura e (fig. 5.4 b)

a) b)Fig. 5.4. Reţele dese de grinzi cu ochiuri dreptunghiulare (a), respectiv triunghiulare (b)

(5.37)I şi fiind momentul de inerţie axial, respectiv polar al secţiunii

transversale a unei nervuri.

82

Plăcile ondulate (fig. 5.5) se pot înlocui echivalent cu plăci ortotrope având următoarele rigidităţi:

(5.38)I – momentul de inerţie al secţiunii ondulate corespunzător unităţii de lungime.

Pentru ondule sinusoidale se pot face aproximările:

(5.39)

Fig. 5.5. Plăci

ondulate

Cazuri mai complexe pot fi găsite în lucrările

83