Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

19
Cap.4. Comportarea SRA în regimuri permanentizate 4.1. Aspecte generale Regimurile permanentizate ale unui sistem (in particular SRA), sunt regimuri particulare de funcţionare pentru care mărimile sau variaţiile în timp ale unor mărimi din sistem iau o valoare constantă. Regimurile permanentizate se pot instura numai in sistemele stabile; ele se stbilesc în raport cu variaţii particulare ale intrării (intrărilor). Prezintă interes următoarele regimuri permanentizate: regimul staţionar constant (RSC), care se stabileşte într-un sistem (la t ) atunci când mărimile de intrare (referinţa sau /şi perturbaţia) care acţionează asupra sistemului iau o valoare constantă (în timp); w(t) = w ∗σ(t) şi v(t)=v ∗σ(t) (4.1-1) şi în sistem s-au anulat regimurile tranzitorii; corespunzător toate mărimile sistemului au o valoare constanta, denumită valoare de regim staţionar constant (VRSC). Acest lucru se întămplă teoretic pentru t , practic după un interval de timp aproximativ de cinci - opt ori "suma constantelor de timp mari” ale sistemului. regimul de viteză constantă (RVC), care se stabileşte într-un sistem (la t ) atunci când una din mărimile de intrare are o variaţie liniară în timp (cealaltă/ celelalte fiind considerate constante sau chiar de valoare nula): w(t) = tw ∗σ(t) şi v(t)=v ∗σ(t) (4.1-2) RVC este specific sistemelor funcţionării şi testării de urmărire (in acest caz a referintei). Regimul de acceleraţie constantă (RAC), care se stabileşte într-un sistem (la t ) atunci când una din mărimile de intrare are o variaţie în timp de tip parabolă (cealaltă / celelalte fiind constante sau chiar nule); de regulă această mărime de intrare este referinţ, w(t): ) ( 2 1 ) ( 2 t w t t w σ = şi v(t)=v ∗σ(t) (4.1-3) Prin punct de funcţionare (p.d.f.) a unui sistem se înţelege ansamblul valorilor tuturor mărimilor caracteristice ale sistemului; acest set de valori descriu şi coordonata p.d.f.; de exemlu A 0 (u 0 ,v 0 , y 0 ,x 0 ) descrie p.d.f. A 0 . Dacă regimul de funcţionare este "staţionar", p.d.f. se va numi punct de funcţionare staţionar (p.d.f.s.). Dacă regimul de funcţionare este "staţionar şi constant" p.d.f.s. se va numi punct de funcţionare staţionar constant (p.d.f.s.c.). Coordonatele p.d.f.s.c. se vor marca cu A 0 (u 0 ,v 0 , y 0 , x 0 ) sau cu A (u ,v , y ,x ). In RSC mărimile caracteristice ale sistemului "nu variază în timp". Caracterizarea sub formă grafică a dependenţelor intre valori de regim staţionar constant (VRSC) ale diferitelor mărimi ale unui sistem poartă denumirea de caracteristici statice (CS). In sensul celor mai sus, caracteristici statice au numai sistemele stabile, in particular cele care nu contin componentă I - pură (necompensată) şi D - pură (necompensată) (a se vedea din par.4.2). Performanţe unui sistem cu reglare automată (SRA), în raport cu diferite tipuri de variaţii ale intrărilor sunt determinate şi pot fi influenţate de proiectarea SRA, prin: - alegerea corespunzătoare a structurii SRA (problema implică însă şi o discuţie ulterioară), - alegerea tipului de RG şi valorile concrete ale parametrilor de acordare (pentru o anumita structura de conducere si tip de regulator). În practica reglării automate prezintă interes cunoaşterea proprietăţilor SRA în următoarele regimuri permanentizate: In raport cu referinţa w(t): - regimul stationar constant (RSC), stabilit in sistem la t , ca urmare variaţiei treaptă a referinţei (rel.(4.1) cu simbolizarea frecventă w şi v =0 (perturbaţie nulă, eventual constantă). - regimul de viteză constantă (RVC) stabilit in sistem, ca urmare variaţiei treaptă a referinţei w(t)=tw ∗σ(t) (simbolizare w ); 1

Transcript of Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

Page 1: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate

41 Aspecte generale

Regimurile permanentizate ale unui sistem (in particular SRA) sunt regimuri particulare de funcţionare pentru care mărimile sau variaţiile icircn timp ale unor mărimi din sistem iau o valoare constantă Regimurile permanentizate se pot instura numai in sistemele stabile ele se stbilesc icircn raport cu variaţii particulare ale intrării (intrărilor) Prezintă interes următoarele regimuri permanentizate bull regimul staţionar constant (RSC) care se stabileşte icircntr-un sistem (la t infin) atunci cacircnd mărimile

de intrare (referinţa sau şi perturbaţia) care acţionează asupra sistemului iau o valoare constantă (icircn timp)

w(t) = winfinlowastσ(t) şi v(t)=vinfinlowastσ(t) (41-1) şi icircn sistem s-au anulat regimurile tranzitorii corespunzător toate mărimile sistemului au o valoare

constanta denumită valoare de regim staţionar constant (VRSC) Acest lucru se icircntămplă teoretic pentru t infin practic după un interval de timp aproximativ de cinci - opt ori suma constantelor de timp marirdquo ale sistemului

bull regimul de viteză constantă (RVC) care se stabileşte icircntr-un sistem (la t infin) atunci cacircnd una din mărimile de intrare are o variaţie liniară icircn timp (cealaltă celelalte fiind considerate constante sau chiar de valoare nula)

w(t) = tlowastwinfinlowastσ(t) şi v(t)=vinfinlowastσ(t) (41-2) RVC este specific sistemelor funcţionării şi testării de urmărire (in acest caz a referintei) bull Regimul de acceleraţie constantă (RAC) care se stabileşte icircntr-un sistem (la t infin) atunci cacircnd

una din mărimile de intrare are o variaţie icircn timp de tip parabolă (cealaltă celelalte fiind constante sau chiar nule) de regulă această mărime de intrare este referinţ w(t)

)(21)( 2 twttw σinfin= şi v(t)=vinfinlowastσ(t) (41-3)

Prin punct de funcţionare (pdf) a unui sistem se icircnţelege ansamblul valorilor tuturor mărimilor caracteristice ale sistemului acest set de valori descriu şi coordonata pdf de exemlu A0(u0 v0 y0 x0 ) descrie pdf A0 Dacă regimul de funcţionare este staţionar pdf se va numi punct de funcţionare staţionar (pdfs) Dacă regimul de funcţionare este staţionar şi constant pdfs se va numi punct de funcţionare staţionar constant (pdfsc) Coordonatele pdfsc se vor marca cu A0(u0v0 y0 x0 ) sau cu Ainfin(uinfin vinfin yinfin xinfin )

In RSC mărimile caracteristice ale sistemului nu variază icircn timp Caracterizarea sub formă grafică a dependenţelor intre valori de regim staţionar constant (VRSC) ale diferitelor mărimi ale unui sistem poartă denumirea de caracteristici statice (CS) In sensul celor mai sus caracteristici statice au numai sistemele stabile in particular cele care nu contin componentă I - pură (necompensată) şi D - pură (necompensată) (a se vedea din par42)

Performanţe unui sistem cu reglare automată (SRA) icircn raport cu diferite tipuri de variaţii ale intrărilor sunt determinate şi pot fi influenţate de proiectarea SRA prin - alegerea corespunzătoare a structurii SRA (problema implică icircnsă şi o discuţie ulterioară) - alegerea tipului de RG şi valorile concrete ale parametrilor de acordare (pentru o anumita structura

de conducere si tip de regulator)

Icircn practica reglării automate prezintă interes cunoaşterea proprietăţilor SRA icircn următoarele regimuri permanentizate

bull In raport cu referinţa w(t) - regimul stationar constant (RSC) stabilit in sistem la t rarr infin ca urmare variaţiei treaptă a

referinţei (rel(41) cu simbolizarea frecventă winfin şi vinfin =0 (perturbaţie nulă eventual constantă)

- regimul de viteză constantă (RVC) stabilit in sistem ca urmare variaţiei treaptă a referinţei w(t)=tlowastwinfinlowastσ(t) (simbolizare winfin )

1

- regimul de acceleraţie constantă (RAC) stabilit in sistem ca urmare variaţiei treaptă a referinţei w(t)=05lowastt2lowastwinfinlowastσ(t) (simbolizare ---- )

bull In raport cu perturbaţia v(t)

- regimul stationar constant (RSC) stabilit in system la t rarr infin ca urmare variaţiei treaptă a perturbaţiei (rel(41) v(t)= vinfinlowastσ(t) cu winfin = w0 =const referinţă constantă)

Observaţie Icircn cazul sistemelor liniare regimurile particulare de functionare icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se pot studia separat şi apoi aplica principiul suprapunerii efectelor

42 Determinarea valorilor de regim staţionar constant (VRSC) ale mărimilor unui sistem (icircn particular SRA)

Dependent de cunoştinţele primare disponibile despre sistem problema determinarii pdfsc a unui sistem (SRA) şi apoi a VRSC aferente pdfsc poate fi pusă icircn mai multe moduri Astfel situaţii frecvente icircn practică sunt cele icircn care determinarea pdfsc se pune icircn una din urmatoarele situaţii

- blocurile sistemului sau sistemul icircn ansamblu se cunosc prin CS relative la dependenţe de RSC intre diferitele marimi ale sistemului se pune problema determinării CS echivalente aferente sistemului şi pe această bază a unui (unor) pdfsc ale sistemului icircn ansamblu

- blocurile sistemului sau sistemul icircn ansamblu se cunosc prin MM analitice aferente diferitelor dependenţe de RSC se pune problema determinării pdfsc a sistemului icircn ansamblu

- sistemul se află icircn funcţiune şi se pune problema determinării experimentale a coordonatelor pdfsc a sistemului si pe aceasta baza determinarea unor CS

Pentru primul caz soluţionarea problematicii determinării CS echivalente (CS-e) aferente sistemului şi pe această bază a unui (unor) pdfsc ale sistemului icircn ansamblu se pune astfel

- se cunoaste structura sistemului si se cunosc CS aferente blocurilor (tuturor blocurilor) component (presupuse liniare sau neliniare dar cu CS continuă)

- se cere determinarea CS-e aferente sistemului şi apoi pe această baza a pdfsc semnificative ale acestuia

Notă Problema este tratată icircn detaliu icircn (Dragomir TL Preitl St Elemente deTteoria Sistemelor si Reglaj Automat volI si II Lito IPTVTimisoara 1979)

Situatie aparte se manifesta in cazul in care unul sau mai multe blocuri ale SRA contin componente integratoare

A Condiţii de stabilire a RSC şi de calcul a VRSC aferente unui sistem Intru-un sistem fizic dinamic (icircn particular SRA) regimul staţionar constant (RSC) se poate stabili

- dacă sistemul este stabil - dacă intrările (cele două intrări convenţionale ale SRA) au valoare constantă icircn timp adică

winfin=ct şi vinfin=ct (indicele infin marchează valori de regim staţionar constant)

- la t rarr infin după anularea regimurilor tranzitorii din sistem

După stabilirea RSC toate mărimile din sistem obţin o valoare constantă Stabilirea RSC presupune deci anularea efectelor de derivare şi de integrare din sistem Aceasta formulare se poate transpune icircn următoarele condiţionări matematice

(a) Cazul sistemelor cu timp continu (SC) In RSC sunt valabile următoarele condiţionări icircn caracterizarea matematică (funcţionarea) a sistemului

- Pentru mărimile de stare

x = 0 echivalent cu xinfin= 0 (42-1)

- Pentru blocurile de tip integrator (I) fig421-a sau cu componentă I distinctă (in relatia generala (42-5) echivalent cu a0=0)

ctyu =rarr= infininfin 0 (42-2)

2

Blocurile cu comportareintegratoare pură nu prezintă caracteristici statice (CS) la valoare nula a intrarii ieşirea de RSC yinfin - poate lua orice valoare constantă din domeniul de valori posibile aceasta valoare este determinată de evoluţia anterioară (istoria) a sistemului

ki kd u y u y (x)

(a) (b) Fig421 explicativă la comportarea icircn RSC a blocurilor I şi D

- Pentru blocurile de tip derivativ (D) fig421-b (cu componentă D distinctă in relatia (42-5) cu b0 =0)

0=rarr=forall infininfin yctu (42-3)

Blocurile cu comportare derivativă pură nu prezintă caracteristici statice

- Pentru blocurile de tip proportional (P) (inclusiv PT1 PT2hellipPTn) (cu componentă P distinctă in relatia (42-5) cu a0 ne 0 şi b0 ne 0)

infininfin lowast= uky (42-4)

Aceste tipuri de blocuri prezintă caracteristici statice

Mai general Dacă sistemul continual este stabil şi este caracterizat printr-o fdt de formă raţională (prezenta unui timp mort nu este insa deranjanta) B(s) bm sm + hellip + b0

H(s) = mdashmdash = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash cu m le n şi b0 ne 0 şi a0 ne 0 (42-5) A(s) an sn + hellip + a0

atunci b0

k = lim H(s) = H(0) = mdashmdash şi corespunzător yinfin = k u infin (42-6) s 0 a0

adică pentru o valoare uinfin=ct ne 0 există o valoare yinfin= ct ne 0

Reprezentarea grafica a dependenţei

yinfin = f(u infin )

poartă denumirea de caracteristică statică (CS) aferentă sistemului (blocului modulului hellip ) Reluand formularile anterioare acum relative la modelul (425) se poate spune

- Dacă a0 = 0 dar b0 ne 0 situaţia se incadrează la sistem cu componentă (modul bloc) de tip integrator şi este valabilă condiţia (42-2)

- Dacă b0 = 0 dar a0 ne 0 situaţia se incadrează la sistem cu componentă (modul bloc) de tip derivativ şi este valabilă condiţia (42-3)

(b) Cazul sistemelor cu timp discret (SD) Principiile expuse pentru sistemele cu timp continuu raman valabile dar unele conditionari icircn caracterizarea matematică a funcţionării sistemului icircn RSC se modifica

- pentru mărimile de stare xk+1 = xk echivalent cu Δxk = xk+1ndash xk = 0

- pentru blocurile de tip I uinfin= 0 şi corespunzător yinfin=ct (42-7)

- pentru blocurile de tip D uinfin= ct şi corespunzător yinfin=0

- pentru blocurile de tip P yinfin=klowastuinfin

In general

bull Dacă SD este este stabil şi este caracterizat printr-o fdt de formă raţională

3

B(z) bm zm + hellip + b0H(z) = mdashmdash = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash cu m le n (42-8)

A(z) an zn + hellip + a0

şi icircn sistem nu există

- componente D pure adică B(1) ne 0

- componente I pure adică A(1) ne 0

atunci icircn baza teoremei valorii finale (TVF) aplicată sistemului (stabil) cu intrarea constantă rezultă

k = lim H(z) = H(1) (42-9) z 1

B Determinarea valorilor de regim staţionar constant ale unui sistem (icircn particular (SRA) Cunoaşterea VRSC ale unui sistem in particular SRA prezintă interes din următoarele motive

- permite determinarea (tuturor) punctelor de funcţionare staţionare din cadrul sistemului - permite construcţia CS aferente diferitelor blocuri ale SRA (de exemplu ale EE EM şa) şi al

SRA icircn ansamblu pe această bază este psibilă apoi cunoaştere a posibilităţilor de funcţionare a SRA si icircn diferite regimuri tranzitorii (datorate unor variaţii mari ale mărimilor de intrare icircn condiţiile limitărilor inerente ale blocurilor SRA) si pe această bază

- permite apoi (re)dimensionarea corectă a elementelor de execuţie de măsură şa

Adeseori VRSC şi corespunzător CS aferente blocurilor SRA (SRA icircn ansamblu) se pot determina doar pentru domenii limitate de variaţie a mărimilor sistemului (domenii determinate de funcţionalitatea acestuia) icircn jurul unor puncte de funcţionare staţionare constante (pdfsc) considerate semnificative (mers in gol mers icircn sarcină şa) Mai mult determinarea VRSC poate fi de tip a-priori sau de tip a-posteriori realizării sistemului

Există diferite situaţii (scenarii) de determinare a VRSC aferente unui sistem Astfel se menţionează ca situaţii caracteristice

(a) Determinarea pe cale experimentală a VRSC din măsurări (de RSC) efectuate asupra mărimilor caracteristice ale sistemului această determinare este de tip a-posteriori realizării sistemului

(b) Calculul analitic al VRSC aferente unui sistem această determinare ndash bazata pe MM aferente sistemului - poate fi de tip a-priori sau de tip a-posteriori realizării sistemului

(a) Determinarea pe cale experimentală a VRSC din măsurări efectuate asupra mărimilor sistemului Situaţia este frecventă icircn practica conducerii automate la punerile in functiune ale acestora Efectuarea măsurărilor este condiţionată de existenţa unei instrumentaţii (aparaturi) de măsurare dedicate adeseori scumpă (traductoare primare convertoare de semnal cuploare de proces echipamente de măsură şi de prelucrare a informaţiei staţii de prelucrare specializate şa Schema de principiu aferentă unei determinări pe calea experimentală a VRSC ale unui SRA este prezentată icircn fig422 Pentru a nu icircncărca figura au fost omise legăturile de măsură după toate mărimile importante ale sistemului GSP (generatorul de semnal de probatest) este o sursă externa de semnal prin care se pot asigura modificări ale valorilor de RSC icircn jurul pdfsc de bază

Fig422 Schema principială pentru determinarea pe cale experimentală a VRSC

(a) cazul sistemului fără reacţie (b) cazul sistemului cu reacţie

Aspecte de detaliu a caror luare in considerare prezinta interes

4

o Lipsa accesului prin măsurări la (unele) mărimi interioare ale (SRA) in particular ale - regulatorului (DC) - procesului (PC)

In astfel de situaţii se măsoară doar acele mărimi care sunt accesibile măsurărilor valorile altor marimi se deduc apoi pe baza de model matematic (dacă este posibil) din calcule sau se estimează (utilizarea estimatoarelor de masura) Caracteristici statice (CS) se vor construi numai pentru blocuri pentru care s-au putut accesa VRSC ale intrarii şi ieşirii

Important pentru aprecierea stabilirii RSC icircn sistem icircl constituie accesul la intrările elementelor de tip integrator (componentă I distinctă) In particular poate fi vorba de accesul la eroarea de reglare e(t) dacă regulatorul va conţine o componentă de tip I atunci icircn RSC se are

einfin = 0 (42-10)

ceea ce va confirma stabilirea RSC

o Adeseori blocurile funcţionale ale SRA (SRA icircn ansamblu) prezintă neliniaritaţi (continue) care fac ca şi CS aferentă blocului (sistemului) să rezulte neliniară fig423 Ataşarea unui MM liniar icircn jurul unui pdfsc va necesita parcurgerea operaţiilor de liniarizare şi de explicitare a MM-liniarizate icircn creşterile variabilalor de intrare şi de ieşire ale blocului

∆u(t) = u(t)ndashu0 ∆y(t) = y(t)ndashy0 respectiv (42-11-a) df |

∆yinfin=kbull∆uinfin k = mdashmdash | ndash coeficientul de transfer al S-Ln (42-11-b) du |A0

cu ltkgt = lt∆yinfin gtlt∆uinfin gt (42-11-c)

o Situatiile icircn care dependenţele de RSC (CS) sunt funcţie de o mărime (parametru funcţional) al blocului sistemului In astfel de cazuri se determină familii de caracteristici statice care au ca parametru mărimea (parametrul funcţional) al blocului icircn cauză

Fig423 CS neliniare şi interpretarea grafică a liniarizării

Exemplu Element de execuţie constacircnd dintr-o sursa de icircncălzire cu rezistor alimentat printr-o punte cu tiristoare fig424 care are ca intrare tensiunea de comandă uc iar ca ieşire puterea pe Elementul de execuţie este caracterizat de o dependenţă analitică neliniară dictată atacirct de comportarea amplificatorului de putere (AP) cacirct şi de procesul de conversie de energie din rezistenţă Astfel pentru blocurile din fig44 se pot scrie următoarele relaţii matematice (de aproximare)

- valoarea unghiului de comandă este dată de relaţia

α(t) = k bull uc(t) (42-12-a)

- valoarea medie a tensiunii redresate ud(t) este

ud(t) = ud0bullsin α (t) (42-13a)

- valoarea medie redresată depinde icircnsă şi de valoarea tensiunii de alimentare ũ(t) care poate fi considerat şi parametru

- icircn procesul de redresare se generează armonici astfel că valoarea efectivă a tensiunii trebuie definită icircn raport cu aceste armonici

5

udef(t) = (ud2(t) + ud1

2(t) + ud22(t) + )12 (42-14-a)

- puterea disipată pe rezistor va fi la racircndul ei caracteterizată de relaţia neliniară

pe(t) = udef2(t)R(t) cu R(t) = R0(1 + α(t)bull∆θ) (42-15-a)

rezistorul modificacircndu-şi rezistenţa funcţie de temperatură şi la racircndul său funcţie de timp

Liniarizarea MM-NL aferent EE (fig44) icircn jurul pdfsc de coordonate A0(uc0 α0 ud0 R0)

(4212-a) liniar rArr ∆α(t) = kbull∆uc(t) (42-12-b)

(4213-a) liniarizare rArr ∆ud(t) = ndash ud0(cos α0)bullkbull∆uc(t) (42-13-b

(4214-a) liniarizare rArr ∆udef(t) = K bull ∆ud(t) (4214-b)

(4215-a) liniarizare rArr ∆pe(t) = ndashkE1∆R(t) + kE2∆udef(t) (42-15-b)

Ca urmare se pot construi - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu o intrare şi o

ieşire pentru rel(42-13) hellip(42-14) - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu cu două intrări

pentru MM liniarizat (42-15) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale tensiunii de alimentare ũ(t) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale rezistenţei R0

Fig424 Element de execuţie ca exemplu de sistem neliniar

(b) Calculul analitic al VRSC aferente unui sistem Există diferite tehnici de calcul a VRSC aferente unui sistem (SRA) Aceste tehnici depind de următoarele

- forma de prezentare a MM aferent sistemului (tipul MM) reprezentarea sub care este cunoscută structura sistemului schema bloc şa)

- liniaritatea neliniaritatea MM - modul de tratare icircn timp a informaţiei (timp continuu timp discret) - informaţiile relative la unele VRSC ale sistemului şa

Situaţiile care apar mai frecvent icircn aplicaţii sunt sintetizate sub forma unor cazuri de studiu remarcabile In cele ce urmează se tratează doar situaţia liniară (liniarizată)

(1) Sistemul este caracterizat prin MM-ISI icircn domeniul timp Există mai multe cazuri remarcabile

bull Cazul sistemului continual (SC) Se consideră sistemul liniar de ordin n cu r intrări şi q ieşiri cu MM-ISI de forma

x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) (42-16)

In RSC se poate scrie x(t) = 0 respectiv (42-17) 0 = A xinfin + B uinfin yinfin = C xinfin (42-18)

(42-18) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute n = număr de stări (x) r = nr de intrări (u) q = număr de ieşiri (y) Prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului

Relativ la VRSC ale iesiri yinfin se obţine acelaşi rezultat daca se calculează (TVF)

yinfin = C (ndashA-1) B uinfin (42-19)

6

Important Dacă cele r VRSC cunoscute sunt tocmai mărimile de intrare atunci sistemul (considerat stabil) este icircntotdeauna compatibil

bull Cazul sistemului cu timp discret (SD) Se consideră sistemul liniar (stabil) de ord n cu r itrări şi q - ieşiri cu MM-ISI de forma

xk+1 = A xk + B uk yk = C xk (42-20)

In RSC se poate scrie xk+1 = xk = xinfin respectiv (42-21) xinfin = A xinfin + B uinfin respectiv (I - A) xinfin = B uinfin (42-22) yinfin = C xinfin sau yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin

(42-22) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute icircn care r este numărul intrărilor (u) n este numărul stărilor (x) q este numărul ieşirilor (y) prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului Acelaşi rezultat se obţine daca se calculează (TVF- in timp discret)

yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin (42-19)

(2) Sistemul este caracterizat de MM-II sau MM-ISI din domeniul operaţional Situaţiile care apar presupun

- explicitarea funcţie de intrări a expresiei operaţionale pentru ieşirea icircn cauză - aplicarea teoremei valorii finale (TVF)

De exemplu in cazul explicitarii generale a fdt in λ cu λ = s (SC) sau z (SD) dacă

y(λ) = H(λ )u(λ) cu H(λ ) = C (λI -A)-1 B (42-20)

atunci dupa caz prin aplicarea TVF se obţin VRSC pentru toate mărimile declarate ca mărimi de ieşire şi pentru care s-au evidenţiat dependenţele operaţionale ce prezintă interes 1 z - 1 z

yinfin = lim s H(s) mdash uinfin = H(0) uinfin sau yinfin = lim mdashmdash H(z) mdashmdash uinfin = H(1) uinfin (42-21) s rarr 0 s z rarr1 z z - 1

(3) Sistemul este caracterizat de schema bloc informaţională icircn care au fost evidenţiate distinct cele două blocuri funcţionale de bază RG şi PT şi pentru fiecare icircn parte au fost evidenţiate blocurile de tip D şi I celelalte blocuri fiind cu componentă P (b0 ne 0 şi a0 ne 0) Pot apare trei situaţii de bază

bull Sistem cu timp continuu cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei In vederea determinării VRSC din sistem se procedează astfel - Pentru fiecare din blocurile tipizate (I D P hellip) se explicitează condiţiile de funcţionare de RSC

şi relaţiile de calcul ale VRSC - ptr blocuri I ptr uinfin=0 rarr yinfin= ct valoare ce depinde de istoria anterioară - ptr blocuri D ptr uinfin=ct rarr yinfin= 0 - ptr blocuri P (PThellip) ptr uinfin=ct rarr yinfin=klowastuinfin

- Se obţine un sistem algebric cu dimensiunea dependentă de complexitatea sistemului icircn principiu (n+q) ecuaţii cu (n+q+r) VRSC

- Daca se cunosc un număr suficient de VRSC icircn raport cu care sistemul algebric este compatibil (de exemplu r - VRSC dar nu oricare) se pot calcula celelalte VRSC din sistem

Observaţie Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc I atunci pe intrarea acestuia se va pune condiţia de RSC intrare nulă uinfin= 0 Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc D pe ieşirea acestuia se va pune condiţia de RSC yinfin= 0 In raport cu aceste condiţii se calculează apoi ieşirea respectiv intrarea constantă a blocului (un calcul derulat icircn sens invers)

Exemplu Fie SRA cu structura dată prin schema bloc din fig425 Se cere

(1) Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(2) Să se traseze CS de prescriere si de sarcina ale SRA yinfin =f(winfin ) vinfin = 0 şi yinfin =f(vinfin) winfin = 5

7

(3) Se schimbă RG icircntr-un RG de tip PDT1 cu fdt 5 (s + 1)

HR(s) = mdashmdashmdashmdash 01s + 1

Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(4) Pentru situaţia de RG tip PI să se calculeze VRSC winfin - necesar astfel ca la vinfin = 200 ieşirea sistemului sa ia valoarea zinfin = 6100 Care sunt VRSC pentru celelalte mărimi ale sistemului

(5) Acceptacircnd că regulatorul se saturează la + 7 V sa se analizeze daca la o suprasarcina de vinfin = 350 unitati iesirea sistemului se poate mentine la valoarea de 6000o unitati

5

m1 v 3 1 10 02 ndash 5 09

w e u 5 m p q z

5 y ndash m2 (RG)

0001

Fig425 Aplicaţie de calcul a VRSC

Soluţie (1) RG este de tip PI ca urmare icircn RSC se are

einfin=0 ceea ce implică einfin = winfin ndash yinfin=0 yinfin=winfin

Relaţiile de RSC aferente diferitelor blocuri ale SRA sunt

Calcul ldquodin aproape icircn aproaperdquo conduce la VRSC

11110

1100~

1000500051~

5000500101

55

==

=+=

=lowast=

=lowast=

=rarr=

infin

infin

infininfininfin

infin

infin

infininfin

um

vpp

p

z

yw

infininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfin

lowast=lowast=

minus=lowast=

+=lowast=lowast=

zypz

vppmp

mmmumum

0010

~5

~10

55

21

2

1

Rezolvarea celorlalte puncte ale exemplului ramane in sarcina cititorului

bull Sistem cu timp discret cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei Procedura de calcul este absolut similară cu cea prezentată pentru cazul continuu Astfel

- Se scriu condiţiile de RSC pentru fiecare bloc al SRA blocurile I şi D se tratează icircn manieră similară cazului continual pentru blocurile cu componentă P H(1) ne0

- Sistemul algebric rezultat se soluţionează icircn condiţiile iniţiale impuse

bull Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei la nivelul PC - prelucrare cu timp continuu la nivelul RG (DC-N) ndash prelucrare cu timp discret Situaţia este specifică conducerii numerice a PC fig426

8

v

uc(t)

w z

y(t)

Fig426 Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei

Calculul de RSC se derulează separat pentru partea cu timp discret (DC-N) şi pentru partea de proces (cu timp continuu) joncţiunea icircntre cele două seturi de relaţii de RSC se realizează prin relaţiile

CNA (uinfin)=(ucinfin) CAN (yinfin)=(yinfin)

Ca urmare bull Icircn cadrul DC-N toate calculele se derulează ca şi cum mărimile ar fi reprezentate ca mărimi

continuale (icircn zecimal) similar se pune şi problema cu parametrii ce caracterizează algoritmii de reglare (kR Ti Td hellip pν qμ hellip )

bull DC-N va trebui să aibă adaptate intrările cu semnalele blocurilor adiacente (din proces) adică DC-N u(t) (ERCNA) rarr uc(t) rarr (EE din PC) PC y(t) (EŞCAN) rarr y(t) rarr (DC-N)

bull Sunt situaţii icircn care mărimile caracteristice ale DC-N w u y nu includ ca punct de funcţionare valoarea 0 De exemplu Dw= (4hellip20) mA Dy= (4hellip20) mA Du= (4hellip20) mA Chiar şi icircn această situaţie icircn RSC eroarea de reglare ia valoarea nulă einfin = 0 ţinacircnd seama de faptul că einfin = winfin ndash yinfin rezulta ca şi că prin aceasta se asigura winfin = yinfin De exemplu pentru winfin=7 mA la einfin= 0 se va asigura yinfin=7 mA

(4) Formulări specifice pentru problemele legate de calcul de VRSC In practica apar situatii de funcţionare icircn care problema determinării (calculul) VRSC trebuie formulata diferit de cele prezentate De exemplu se pot pune urmatoarele situatii bull Sistemul funcţionează cu o valoare zinfin=hellip dată (impusa) şi la o valoare vinfin=hellip impusă Să se

determine valoarea lui winfin cu care se asigura acest pdfsc bull Avacircnd winfin dat şi o limitare (maximă minimă) a valorii unei unor din sistem (dictate de exemplu

de nedepăşirea valorii nominale sau a unei valori maxim admise) să se calculeze VRSC vinfin cu care poate fi icircncărcat icircn RSC sistemul

bull Sistemul funcţionează cu o referinţă dată şi o valoare impusă pentru ieşire să se calculeze icircncărcarea perturbaţia aferentă (problema nu are totdeauna soluţie)

In practica problema determinării VRSC a CS aferente SRA este adeseori ingreunata de faptul că procesul este neliniar Trebuie insa observat si faptul ca la utilizarea unui element de masura (EM) liniar si a unui RG cu componenta I icircn RSC icircntre anumite limite icircn relaţia zinfin = f(winfin) neliniaritatile din proces nu sunt văzute CS aferenta fiind egala cu inversa CS aferente EM

43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate

Tipul de regulator utilizat are influenţă asupra comportarii SRA este vorba atacirct de proprietăţile de regim permanentizat cacirct şi de cele de regim dinamic In cele ce urmeaza se vor discuta numai aspecte legate de proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării icircn regimuri permanentizate ale SRA

In analiza prezentată se pleacă de la structura clasică de SRA din fig431 pentru cere se pot scrie următoarele relaţii (icircn operational λ)

(431) (432)

u

DC-N

y

C PC-C c

uN

AC A N

y

ER

)()(1)()(

λλλλ

PR

Nv HH

HH+

=)()(1

)()()(λλ

λλλPR

PRw HH

HHH+

=

9

Fig431 Schema bloc aferenta unui SRA

unde şi H⎩⎨⎧

=SDzSCs

λ N(λ) reprezintă partea din HP(λ) peste care acţionează perturbaţia

Observaţie Icircn cazul SD cum HN(z) de regulă nu exista ( v(t) este o mărime continua de timp) atunci HN(z) se calculeaza ca o extensie analitică a comportării icircn timp discret a sistemului continuu (cu luarea icircn seamă a ER) Ca urmare fdt a sistemului deschis va fi

B0(λ) H0(λ)=HR(λ)HP(λ) = mdashmdashmdashmdash (433-a) A0(λ)

Prezenţa componentei I icircn structura sistemului se constată prin verificarea condiţiei

(C) A0(0) = 0 adica s = 0 este o radacină (433-b)

(D) A0(1) = 0 adica z = 1 este o radacină (433-c)

(mai multe componente I presupun radacini multiple)

Pentru aplicaţiile practice prezintă interes următoarele comportări de regim permanentizat

A In raport cu referinţa w

- Comportarea de RSC helliphelliphelliphelliphelliptrarrinfin w(t) de tip treaptă

- Comportarea de RVChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin w(t) de tip rampă

B Icircn raport cu perturbaţia v

- Comportarea de RSChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin v(t) de tip treaptă

sistemul se considera aflat in RSC determinat de o referinţă constantă w0 care determina iesirea cu VRSC y0)

Pentru a analiza (SRA-c) proprietăţile induse de RG icircn comportarea de regim permanentizat se va lua icircn considerare cazul continual (λ = s) Cazul discret (λ = z) se tratează icircn manieră absolut identică şi conduce la aceleaşi rezultate diferenţa apare doar la modul de explicitare a teoremei valorii finale (TVF) diferit pentru cele două cazuri

bull Pentru cazul continual TVF ndash C se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( swsHsy w sdot= )()(lim)(lim)(lim00

swsHssystyy wsst rarrrarrinfinrarrinfin === (434-a)

bull Pentru cazul discret TVF ndash D se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( zwzHzy w sdot= )()()1(lim)())1(lim)(lim11

zwzHzzyzztyyzzt

minus=minus==rarrrarrinfinrarrinfin (434-b)

Prezentarile se vor face cu referire la exemplul sistem continual In baza schemei bloc din fig431 şi a rel(431)(432)(433) se pot scrie următoarele dependenţe

)()()(1

)()(

)()(1)()(

)()()()()( svsHsH

sHsw

sHsHsHsH

svsHswsHsyPR

N

PR

PRvw +

++

=+= (435-a)

10

)()()(1

)()()()(1

1)( svsHsH

sHswsHsH

sePR

N

PR +minus

+= (435-b)

in care fdt aferentă sistemului deschis poate fi explicitată sub forma

msTq e

sAsB

sksH minus=

)()()(

0

000 0

si (436) )()( 00

0 sAssA q=

icircn care pentru simplificarea scrierii se va omite evidenţierea modulului ce caracterizeaza timpul mort Tm = 0 generalitatea nu este afectata intru cat in RSC ( ) q0=minus msTe 0rarrs 0=0 1 2 este ordinul de multiplicitate al polului icircn origine (numarul de componente I ale sistemului deschis) si 0)0(

0 neA

Remarca In unele situatii prezinta interes si discutarea lui u(s) = f(w(s) v(s)) acest lucru se justifica prin faptul ca la nivelul EE m2(t) este o masura a puterii energiei introduse in proces (prin intermediul elementului de executie) si ca urmare u2(t) reprezinta o masura a efortului la nivelul comenzii

Icircn analiza prezentată icircn continuare se acceptă că polul icircn origine sqo (q0 = 0 1 2) este adus de RG De asemeni se acceptă că HN(s) nu conţine pol icircn origine Trebuie insa retinut faptul ca orice schimbare a condiţiilor (ipotezelor) in care se efectueaza analiza poate modifica rezultatele ei

Sistemul fiind liniar (in caz contrar nu se pot scrie fdt) comportarea de regim permanentizat poate fi analizată separat

- icircn raport cu referinţa w(t) - icircn raport cu perturbaţia v(t)

Pentru concluzia finală se aplica apoi principiul suprapunerii efectelor

Icircnlocuind (436) icircn (435) se obţin relaţiile generale intrare-ieşire

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00

0

00

00

0

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

sAsB

sk

sy

q

N

NN

q

q

lowast++

lowast+

lowast

= (437-a)

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

1)(

0

00

0

00

00

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

se

q

N

NN

q lowast+minus

lowast+= (437-b)

A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta

)()(1)( twtwws

sw σlowast== infininfin şi (438)

)()(1)( 2 twttwws

sw σlowastlowast== infininfin

icircn condiţiile icircn care v(t) = 0 (v(s) = 0) corespunzător rel(437) conduc la

)(

)()(

)()(

)(

0

00

0

00

0

sw

sAsB

ks

sAsB

ksy

q lowast+

lowast

= si )(

)()(

)(

0

00

0

0

sw

sAsB

ks

sseq

q

lowast+= (439)

Observaţie Explicitarea lui H0(s) icircn forma (436) a fost făcută acceptacircnd că

1)()(

00

0 ==ssAsB

adica coeficientul de transfer k0 a fost scos icircn afara formei raţionale

11

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 2: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

- regimul de acceleraţie constantă (RAC) stabilit in sistem ca urmare variaţiei treaptă a referinţei w(t)=05lowastt2lowastwinfinlowastσ(t) (simbolizare ---- )

bull In raport cu perturbaţia v(t)

- regimul stationar constant (RSC) stabilit in system la t rarr infin ca urmare variaţiei treaptă a perturbaţiei (rel(41) v(t)= vinfinlowastσ(t) cu winfin = w0 =const referinţă constantă)

Observaţie Icircn cazul sistemelor liniare regimurile particulare de functionare icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se pot studia separat şi apoi aplica principiul suprapunerii efectelor

42 Determinarea valorilor de regim staţionar constant (VRSC) ale mărimilor unui sistem (icircn particular SRA)

Dependent de cunoştinţele primare disponibile despre sistem problema determinarii pdfsc a unui sistem (SRA) şi apoi a VRSC aferente pdfsc poate fi pusă icircn mai multe moduri Astfel situaţii frecvente icircn practică sunt cele icircn care determinarea pdfsc se pune icircn una din urmatoarele situaţii

- blocurile sistemului sau sistemul icircn ansamblu se cunosc prin CS relative la dependenţe de RSC intre diferitele marimi ale sistemului se pune problema determinării CS echivalente aferente sistemului şi pe această bază a unui (unor) pdfsc ale sistemului icircn ansamblu

- blocurile sistemului sau sistemul icircn ansamblu se cunosc prin MM analitice aferente diferitelor dependenţe de RSC se pune problema determinării pdfsc a sistemului icircn ansamblu

- sistemul se află icircn funcţiune şi se pune problema determinării experimentale a coordonatelor pdfsc a sistemului si pe aceasta baza determinarea unor CS

Pentru primul caz soluţionarea problematicii determinării CS echivalente (CS-e) aferente sistemului şi pe această bază a unui (unor) pdfsc ale sistemului icircn ansamblu se pune astfel

- se cunoaste structura sistemului si se cunosc CS aferente blocurilor (tuturor blocurilor) component (presupuse liniare sau neliniare dar cu CS continuă)

- se cere determinarea CS-e aferente sistemului şi apoi pe această baza a pdfsc semnificative ale acestuia

Notă Problema este tratată icircn detaliu icircn (Dragomir TL Preitl St Elemente deTteoria Sistemelor si Reglaj Automat volI si II Lito IPTVTimisoara 1979)

Situatie aparte se manifesta in cazul in care unul sau mai multe blocuri ale SRA contin componente integratoare

A Condiţii de stabilire a RSC şi de calcul a VRSC aferente unui sistem Intru-un sistem fizic dinamic (icircn particular SRA) regimul staţionar constant (RSC) se poate stabili

- dacă sistemul este stabil - dacă intrările (cele două intrări convenţionale ale SRA) au valoare constantă icircn timp adică

winfin=ct şi vinfin=ct (indicele infin marchează valori de regim staţionar constant)

- la t rarr infin după anularea regimurilor tranzitorii din sistem

După stabilirea RSC toate mărimile din sistem obţin o valoare constantă Stabilirea RSC presupune deci anularea efectelor de derivare şi de integrare din sistem Aceasta formulare se poate transpune icircn următoarele condiţionări matematice

(a) Cazul sistemelor cu timp continu (SC) In RSC sunt valabile următoarele condiţionări icircn caracterizarea matematică (funcţionarea) a sistemului

- Pentru mărimile de stare

x = 0 echivalent cu xinfin= 0 (42-1)

- Pentru blocurile de tip integrator (I) fig421-a sau cu componentă I distinctă (in relatia generala (42-5) echivalent cu a0=0)

ctyu =rarr= infininfin 0 (42-2)

2

Blocurile cu comportareintegratoare pură nu prezintă caracteristici statice (CS) la valoare nula a intrarii ieşirea de RSC yinfin - poate lua orice valoare constantă din domeniul de valori posibile aceasta valoare este determinată de evoluţia anterioară (istoria) a sistemului

ki kd u y u y (x)

(a) (b) Fig421 explicativă la comportarea icircn RSC a blocurilor I şi D

- Pentru blocurile de tip derivativ (D) fig421-b (cu componentă D distinctă in relatia (42-5) cu b0 =0)

0=rarr=forall infininfin yctu (42-3)

Blocurile cu comportare derivativă pură nu prezintă caracteristici statice

- Pentru blocurile de tip proportional (P) (inclusiv PT1 PT2hellipPTn) (cu componentă P distinctă in relatia (42-5) cu a0 ne 0 şi b0 ne 0)

infininfin lowast= uky (42-4)

Aceste tipuri de blocuri prezintă caracteristici statice

Mai general Dacă sistemul continual este stabil şi este caracterizat printr-o fdt de formă raţională (prezenta unui timp mort nu este insa deranjanta) B(s) bm sm + hellip + b0

H(s) = mdashmdash = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash cu m le n şi b0 ne 0 şi a0 ne 0 (42-5) A(s) an sn + hellip + a0

atunci b0

k = lim H(s) = H(0) = mdashmdash şi corespunzător yinfin = k u infin (42-6) s 0 a0

adică pentru o valoare uinfin=ct ne 0 există o valoare yinfin= ct ne 0

Reprezentarea grafica a dependenţei

yinfin = f(u infin )

poartă denumirea de caracteristică statică (CS) aferentă sistemului (blocului modulului hellip ) Reluand formularile anterioare acum relative la modelul (425) se poate spune

- Dacă a0 = 0 dar b0 ne 0 situaţia se incadrează la sistem cu componentă (modul bloc) de tip integrator şi este valabilă condiţia (42-2)

- Dacă b0 = 0 dar a0 ne 0 situaţia se incadrează la sistem cu componentă (modul bloc) de tip derivativ şi este valabilă condiţia (42-3)

(b) Cazul sistemelor cu timp discret (SD) Principiile expuse pentru sistemele cu timp continuu raman valabile dar unele conditionari icircn caracterizarea matematică a funcţionării sistemului icircn RSC se modifica

- pentru mărimile de stare xk+1 = xk echivalent cu Δxk = xk+1ndash xk = 0

- pentru blocurile de tip I uinfin= 0 şi corespunzător yinfin=ct (42-7)

- pentru blocurile de tip D uinfin= ct şi corespunzător yinfin=0

- pentru blocurile de tip P yinfin=klowastuinfin

In general

bull Dacă SD este este stabil şi este caracterizat printr-o fdt de formă raţională

3

B(z) bm zm + hellip + b0H(z) = mdashmdash = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash cu m le n (42-8)

A(z) an zn + hellip + a0

şi icircn sistem nu există

- componente D pure adică B(1) ne 0

- componente I pure adică A(1) ne 0

atunci icircn baza teoremei valorii finale (TVF) aplicată sistemului (stabil) cu intrarea constantă rezultă

k = lim H(z) = H(1) (42-9) z 1

B Determinarea valorilor de regim staţionar constant ale unui sistem (icircn particular (SRA) Cunoaşterea VRSC ale unui sistem in particular SRA prezintă interes din următoarele motive

- permite determinarea (tuturor) punctelor de funcţionare staţionare din cadrul sistemului - permite construcţia CS aferente diferitelor blocuri ale SRA (de exemplu ale EE EM şa) şi al

SRA icircn ansamblu pe această bază este psibilă apoi cunoaştere a posibilităţilor de funcţionare a SRA si icircn diferite regimuri tranzitorii (datorate unor variaţii mari ale mărimilor de intrare icircn condiţiile limitărilor inerente ale blocurilor SRA) si pe această bază

- permite apoi (re)dimensionarea corectă a elementelor de execuţie de măsură şa

Adeseori VRSC şi corespunzător CS aferente blocurilor SRA (SRA icircn ansamblu) se pot determina doar pentru domenii limitate de variaţie a mărimilor sistemului (domenii determinate de funcţionalitatea acestuia) icircn jurul unor puncte de funcţionare staţionare constante (pdfsc) considerate semnificative (mers in gol mers icircn sarcină şa) Mai mult determinarea VRSC poate fi de tip a-priori sau de tip a-posteriori realizării sistemului

Există diferite situaţii (scenarii) de determinare a VRSC aferente unui sistem Astfel se menţionează ca situaţii caracteristice

(a) Determinarea pe cale experimentală a VRSC din măsurări (de RSC) efectuate asupra mărimilor caracteristice ale sistemului această determinare este de tip a-posteriori realizării sistemului

(b) Calculul analitic al VRSC aferente unui sistem această determinare ndash bazata pe MM aferente sistemului - poate fi de tip a-priori sau de tip a-posteriori realizării sistemului

(a) Determinarea pe cale experimentală a VRSC din măsurări efectuate asupra mărimilor sistemului Situaţia este frecventă icircn practica conducerii automate la punerile in functiune ale acestora Efectuarea măsurărilor este condiţionată de existenţa unei instrumentaţii (aparaturi) de măsurare dedicate adeseori scumpă (traductoare primare convertoare de semnal cuploare de proces echipamente de măsură şi de prelucrare a informaţiei staţii de prelucrare specializate şa Schema de principiu aferentă unei determinări pe calea experimentală a VRSC ale unui SRA este prezentată icircn fig422 Pentru a nu icircncărca figura au fost omise legăturile de măsură după toate mărimile importante ale sistemului GSP (generatorul de semnal de probatest) este o sursă externa de semnal prin care se pot asigura modificări ale valorilor de RSC icircn jurul pdfsc de bază

Fig422 Schema principială pentru determinarea pe cale experimentală a VRSC

(a) cazul sistemului fără reacţie (b) cazul sistemului cu reacţie

Aspecte de detaliu a caror luare in considerare prezinta interes

4

o Lipsa accesului prin măsurări la (unele) mărimi interioare ale (SRA) in particular ale - regulatorului (DC) - procesului (PC)

In astfel de situaţii se măsoară doar acele mărimi care sunt accesibile măsurărilor valorile altor marimi se deduc apoi pe baza de model matematic (dacă este posibil) din calcule sau se estimează (utilizarea estimatoarelor de masura) Caracteristici statice (CS) se vor construi numai pentru blocuri pentru care s-au putut accesa VRSC ale intrarii şi ieşirii

Important pentru aprecierea stabilirii RSC icircn sistem icircl constituie accesul la intrările elementelor de tip integrator (componentă I distinctă) In particular poate fi vorba de accesul la eroarea de reglare e(t) dacă regulatorul va conţine o componentă de tip I atunci icircn RSC se are

einfin = 0 (42-10)

ceea ce va confirma stabilirea RSC

o Adeseori blocurile funcţionale ale SRA (SRA icircn ansamblu) prezintă neliniaritaţi (continue) care fac ca şi CS aferentă blocului (sistemului) să rezulte neliniară fig423 Ataşarea unui MM liniar icircn jurul unui pdfsc va necesita parcurgerea operaţiilor de liniarizare şi de explicitare a MM-liniarizate icircn creşterile variabilalor de intrare şi de ieşire ale blocului

∆u(t) = u(t)ndashu0 ∆y(t) = y(t)ndashy0 respectiv (42-11-a) df |

∆yinfin=kbull∆uinfin k = mdashmdash | ndash coeficientul de transfer al S-Ln (42-11-b) du |A0

cu ltkgt = lt∆yinfin gtlt∆uinfin gt (42-11-c)

o Situatiile icircn care dependenţele de RSC (CS) sunt funcţie de o mărime (parametru funcţional) al blocului sistemului In astfel de cazuri se determină familii de caracteristici statice care au ca parametru mărimea (parametrul funcţional) al blocului icircn cauză

Fig423 CS neliniare şi interpretarea grafică a liniarizării

Exemplu Element de execuţie constacircnd dintr-o sursa de icircncălzire cu rezistor alimentat printr-o punte cu tiristoare fig424 care are ca intrare tensiunea de comandă uc iar ca ieşire puterea pe Elementul de execuţie este caracterizat de o dependenţă analitică neliniară dictată atacirct de comportarea amplificatorului de putere (AP) cacirct şi de procesul de conversie de energie din rezistenţă Astfel pentru blocurile din fig44 se pot scrie următoarele relaţii matematice (de aproximare)

- valoarea unghiului de comandă este dată de relaţia

α(t) = k bull uc(t) (42-12-a)

- valoarea medie a tensiunii redresate ud(t) este

ud(t) = ud0bullsin α (t) (42-13a)

- valoarea medie redresată depinde icircnsă şi de valoarea tensiunii de alimentare ũ(t) care poate fi considerat şi parametru

- icircn procesul de redresare se generează armonici astfel că valoarea efectivă a tensiunii trebuie definită icircn raport cu aceste armonici

5

udef(t) = (ud2(t) + ud1

2(t) + ud22(t) + )12 (42-14-a)

- puterea disipată pe rezistor va fi la racircndul ei caracteterizată de relaţia neliniară

pe(t) = udef2(t)R(t) cu R(t) = R0(1 + α(t)bull∆θ) (42-15-a)

rezistorul modificacircndu-şi rezistenţa funcţie de temperatură şi la racircndul său funcţie de timp

Liniarizarea MM-NL aferent EE (fig44) icircn jurul pdfsc de coordonate A0(uc0 α0 ud0 R0)

(4212-a) liniar rArr ∆α(t) = kbull∆uc(t) (42-12-b)

(4213-a) liniarizare rArr ∆ud(t) = ndash ud0(cos α0)bullkbull∆uc(t) (42-13-b

(4214-a) liniarizare rArr ∆udef(t) = K bull ∆ud(t) (4214-b)

(4215-a) liniarizare rArr ∆pe(t) = ndashkE1∆R(t) + kE2∆udef(t) (42-15-b)

Ca urmare se pot construi - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu o intrare şi o

ieşire pentru rel(42-13) hellip(42-14) - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu cu două intrări

pentru MM liniarizat (42-15) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale tensiunii de alimentare ũ(t) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale rezistenţei R0

Fig424 Element de execuţie ca exemplu de sistem neliniar

(b) Calculul analitic al VRSC aferente unui sistem Există diferite tehnici de calcul a VRSC aferente unui sistem (SRA) Aceste tehnici depind de următoarele

- forma de prezentare a MM aferent sistemului (tipul MM) reprezentarea sub care este cunoscută structura sistemului schema bloc şa)

- liniaritatea neliniaritatea MM - modul de tratare icircn timp a informaţiei (timp continuu timp discret) - informaţiile relative la unele VRSC ale sistemului şa

Situaţiile care apar mai frecvent icircn aplicaţii sunt sintetizate sub forma unor cazuri de studiu remarcabile In cele ce urmează se tratează doar situaţia liniară (liniarizată)

(1) Sistemul este caracterizat prin MM-ISI icircn domeniul timp Există mai multe cazuri remarcabile

bull Cazul sistemului continual (SC) Se consideră sistemul liniar de ordin n cu r intrări şi q ieşiri cu MM-ISI de forma

x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) (42-16)

In RSC se poate scrie x(t) = 0 respectiv (42-17) 0 = A xinfin + B uinfin yinfin = C xinfin (42-18)

(42-18) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute n = număr de stări (x) r = nr de intrări (u) q = număr de ieşiri (y) Prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului

Relativ la VRSC ale iesiri yinfin se obţine acelaşi rezultat daca se calculează (TVF)

yinfin = C (ndashA-1) B uinfin (42-19)

6

Important Dacă cele r VRSC cunoscute sunt tocmai mărimile de intrare atunci sistemul (considerat stabil) este icircntotdeauna compatibil

bull Cazul sistemului cu timp discret (SD) Se consideră sistemul liniar (stabil) de ord n cu r itrări şi q - ieşiri cu MM-ISI de forma

xk+1 = A xk + B uk yk = C xk (42-20)

In RSC se poate scrie xk+1 = xk = xinfin respectiv (42-21) xinfin = A xinfin + B uinfin respectiv (I - A) xinfin = B uinfin (42-22) yinfin = C xinfin sau yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin

(42-22) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute icircn care r este numărul intrărilor (u) n este numărul stărilor (x) q este numărul ieşirilor (y) prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului Acelaşi rezultat se obţine daca se calculează (TVF- in timp discret)

yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin (42-19)

(2) Sistemul este caracterizat de MM-II sau MM-ISI din domeniul operaţional Situaţiile care apar presupun

- explicitarea funcţie de intrări a expresiei operaţionale pentru ieşirea icircn cauză - aplicarea teoremei valorii finale (TVF)

De exemplu in cazul explicitarii generale a fdt in λ cu λ = s (SC) sau z (SD) dacă

y(λ) = H(λ )u(λ) cu H(λ ) = C (λI -A)-1 B (42-20)

atunci dupa caz prin aplicarea TVF se obţin VRSC pentru toate mărimile declarate ca mărimi de ieşire şi pentru care s-au evidenţiat dependenţele operaţionale ce prezintă interes 1 z - 1 z

yinfin = lim s H(s) mdash uinfin = H(0) uinfin sau yinfin = lim mdashmdash H(z) mdashmdash uinfin = H(1) uinfin (42-21) s rarr 0 s z rarr1 z z - 1

(3) Sistemul este caracterizat de schema bloc informaţională icircn care au fost evidenţiate distinct cele două blocuri funcţionale de bază RG şi PT şi pentru fiecare icircn parte au fost evidenţiate blocurile de tip D şi I celelalte blocuri fiind cu componentă P (b0 ne 0 şi a0 ne 0) Pot apare trei situaţii de bază

bull Sistem cu timp continuu cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei In vederea determinării VRSC din sistem se procedează astfel - Pentru fiecare din blocurile tipizate (I D P hellip) se explicitează condiţiile de funcţionare de RSC

şi relaţiile de calcul ale VRSC - ptr blocuri I ptr uinfin=0 rarr yinfin= ct valoare ce depinde de istoria anterioară - ptr blocuri D ptr uinfin=ct rarr yinfin= 0 - ptr blocuri P (PThellip) ptr uinfin=ct rarr yinfin=klowastuinfin

- Se obţine un sistem algebric cu dimensiunea dependentă de complexitatea sistemului icircn principiu (n+q) ecuaţii cu (n+q+r) VRSC

- Daca se cunosc un număr suficient de VRSC icircn raport cu care sistemul algebric este compatibil (de exemplu r - VRSC dar nu oricare) se pot calcula celelalte VRSC din sistem

Observaţie Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc I atunci pe intrarea acestuia se va pune condiţia de RSC intrare nulă uinfin= 0 Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc D pe ieşirea acestuia se va pune condiţia de RSC yinfin= 0 In raport cu aceste condiţii se calculează apoi ieşirea respectiv intrarea constantă a blocului (un calcul derulat icircn sens invers)

Exemplu Fie SRA cu structura dată prin schema bloc din fig425 Se cere

(1) Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(2) Să se traseze CS de prescriere si de sarcina ale SRA yinfin =f(winfin ) vinfin = 0 şi yinfin =f(vinfin) winfin = 5

7

(3) Se schimbă RG icircntr-un RG de tip PDT1 cu fdt 5 (s + 1)

HR(s) = mdashmdashmdashmdash 01s + 1

Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(4) Pentru situaţia de RG tip PI să se calculeze VRSC winfin - necesar astfel ca la vinfin = 200 ieşirea sistemului sa ia valoarea zinfin = 6100 Care sunt VRSC pentru celelalte mărimi ale sistemului

(5) Acceptacircnd că regulatorul se saturează la + 7 V sa se analizeze daca la o suprasarcina de vinfin = 350 unitati iesirea sistemului se poate mentine la valoarea de 6000o unitati

5

m1 v 3 1 10 02 ndash 5 09

w e u 5 m p q z

5 y ndash m2 (RG)

0001

Fig425 Aplicaţie de calcul a VRSC

Soluţie (1) RG este de tip PI ca urmare icircn RSC se are

einfin=0 ceea ce implică einfin = winfin ndash yinfin=0 yinfin=winfin

Relaţiile de RSC aferente diferitelor blocuri ale SRA sunt

Calcul ldquodin aproape icircn aproaperdquo conduce la VRSC

11110

1100~

1000500051~

5000500101

55

==

=+=

=lowast=

=lowast=

=rarr=

infin

infin

infininfininfin

infin

infin

infininfin

um

vpp

p

z

yw

infininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfin

lowast=lowast=

minus=lowast=

+=lowast=lowast=

zypz

vppmp

mmmumum

0010

~5

~10

55

21

2

1

Rezolvarea celorlalte puncte ale exemplului ramane in sarcina cititorului

bull Sistem cu timp discret cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei Procedura de calcul este absolut similară cu cea prezentată pentru cazul continuu Astfel

- Se scriu condiţiile de RSC pentru fiecare bloc al SRA blocurile I şi D se tratează icircn manieră similară cazului continual pentru blocurile cu componentă P H(1) ne0

- Sistemul algebric rezultat se soluţionează icircn condiţiile iniţiale impuse

bull Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei la nivelul PC - prelucrare cu timp continuu la nivelul RG (DC-N) ndash prelucrare cu timp discret Situaţia este specifică conducerii numerice a PC fig426

8

v

uc(t)

w z

y(t)

Fig426 Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei

Calculul de RSC se derulează separat pentru partea cu timp discret (DC-N) şi pentru partea de proces (cu timp continuu) joncţiunea icircntre cele două seturi de relaţii de RSC se realizează prin relaţiile

CNA (uinfin)=(ucinfin) CAN (yinfin)=(yinfin)

Ca urmare bull Icircn cadrul DC-N toate calculele se derulează ca şi cum mărimile ar fi reprezentate ca mărimi

continuale (icircn zecimal) similar se pune şi problema cu parametrii ce caracterizează algoritmii de reglare (kR Ti Td hellip pν qμ hellip )

bull DC-N va trebui să aibă adaptate intrările cu semnalele blocurilor adiacente (din proces) adică DC-N u(t) (ERCNA) rarr uc(t) rarr (EE din PC) PC y(t) (EŞCAN) rarr y(t) rarr (DC-N)

bull Sunt situaţii icircn care mărimile caracteristice ale DC-N w u y nu includ ca punct de funcţionare valoarea 0 De exemplu Dw= (4hellip20) mA Dy= (4hellip20) mA Du= (4hellip20) mA Chiar şi icircn această situaţie icircn RSC eroarea de reglare ia valoarea nulă einfin = 0 ţinacircnd seama de faptul că einfin = winfin ndash yinfin rezulta ca şi că prin aceasta se asigura winfin = yinfin De exemplu pentru winfin=7 mA la einfin= 0 se va asigura yinfin=7 mA

(4) Formulări specifice pentru problemele legate de calcul de VRSC In practica apar situatii de funcţionare icircn care problema determinării (calculul) VRSC trebuie formulata diferit de cele prezentate De exemplu se pot pune urmatoarele situatii bull Sistemul funcţionează cu o valoare zinfin=hellip dată (impusa) şi la o valoare vinfin=hellip impusă Să se

determine valoarea lui winfin cu care se asigura acest pdfsc bull Avacircnd winfin dat şi o limitare (maximă minimă) a valorii unei unor din sistem (dictate de exemplu

de nedepăşirea valorii nominale sau a unei valori maxim admise) să se calculeze VRSC vinfin cu care poate fi icircncărcat icircn RSC sistemul

bull Sistemul funcţionează cu o referinţă dată şi o valoare impusă pentru ieşire să se calculeze icircncărcarea perturbaţia aferentă (problema nu are totdeauna soluţie)

In practica problema determinării VRSC a CS aferente SRA este adeseori ingreunata de faptul că procesul este neliniar Trebuie insa observat si faptul ca la utilizarea unui element de masura (EM) liniar si a unui RG cu componenta I icircn RSC icircntre anumite limite icircn relaţia zinfin = f(winfin) neliniaritatile din proces nu sunt văzute CS aferenta fiind egala cu inversa CS aferente EM

43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate

Tipul de regulator utilizat are influenţă asupra comportarii SRA este vorba atacirct de proprietăţile de regim permanentizat cacirct şi de cele de regim dinamic In cele ce urmeaza se vor discuta numai aspecte legate de proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării icircn regimuri permanentizate ale SRA

In analiza prezentată se pleacă de la structura clasică de SRA din fig431 pentru cere se pot scrie următoarele relaţii (icircn operational λ)

(431) (432)

u

DC-N

y

C PC-C c

uN

AC A N

y

ER

)()(1)()(

λλλλ

PR

Nv HH

HH+

=)()(1

)()()(λλ

λλλPR

PRw HH

HHH+

=

9

Fig431 Schema bloc aferenta unui SRA

unde şi H⎩⎨⎧

=SDzSCs

λ N(λ) reprezintă partea din HP(λ) peste care acţionează perturbaţia

Observaţie Icircn cazul SD cum HN(z) de regulă nu exista ( v(t) este o mărime continua de timp) atunci HN(z) se calculeaza ca o extensie analitică a comportării icircn timp discret a sistemului continuu (cu luarea icircn seamă a ER) Ca urmare fdt a sistemului deschis va fi

B0(λ) H0(λ)=HR(λ)HP(λ) = mdashmdashmdashmdash (433-a) A0(λ)

Prezenţa componentei I icircn structura sistemului se constată prin verificarea condiţiei

(C) A0(0) = 0 adica s = 0 este o radacină (433-b)

(D) A0(1) = 0 adica z = 1 este o radacină (433-c)

(mai multe componente I presupun radacini multiple)

Pentru aplicaţiile practice prezintă interes următoarele comportări de regim permanentizat

A In raport cu referinţa w

- Comportarea de RSC helliphelliphelliphelliphelliptrarrinfin w(t) de tip treaptă

- Comportarea de RVChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin w(t) de tip rampă

B Icircn raport cu perturbaţia v

- Comportarea de RSChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin v(t) de tip treaptă

sistemul se considera aflat in RSC determinat de o referinţă constantă w0 care determina iesirea cu VRSC y0)

Pentru a analiza (SRA-c) proprietăţile induse de RG icircn comportarea de regim permanentizat se va lua icircn considerare cazul continual (λ = s) Cazul discret (λ = z) se tratează icircn manieră absolut identică şi conduce la aceleaşi rezultate diferenţa apare doar la modul de explicitare a teoremei valorii finale (TVF) diferit pentru cele două cazuri

bull Pentru cazul continual TVF ndash C se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( swsHsy w sdot= )()(lim)(lim)(lim00

swsHssystyy wsst rarrrarrinfinrarrinfin === (434-a)

bull Pentru cazul discret TVF ndash D se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( zwzHzy w sdot= )()()1(lim)())1(lim)(lim11

zwzHzzyzztyyzzt

minus=minus==rarrrarrinfinrarrinfin (434-b)

Prezentarile se vor face cu referire la exemplul sistem continual In baza schemei bloc din fig431 şi a rel(431)(432)(433) se pot scrie următoarele dependenţe

)()()(1

)()(

)()(1)()(

)()()()()( svsHsH

sHsw

sHsHsHsH

svsHswsHsyPR

N

PR

PRvw +

++

=+= (435-a)

10

)()()(1

)()()()(1

1)( svsHsH

sHswsHsH

sePR

N

PR +minus

+= (435-b)

in care fdt aferentă sistemului deschis poate fi explicitată sub forma

msTq e

sAsB

sksH minus=

)()()(

0

000 0

si (436) )()( 00

0 sAssA q=

icircn care pentru simplificarea scrierii se va omite evidenţierea modulului ce caracterizeaza timpul mort Tm = 0 generalitatea nu este afectata intru cat in RSC ( ) q0=minus msTe 0rarrs 0=0 1 2 este ordinul de multiplicitate al polului icircn origine (numarul de componente I ale sistemului deschis) si 0)0(

0 neA

Remarca In unele situatii prezinta interes si discutarea lui u(s) = f(w(s) v(s)) acest lucru se justifica prin faptul ca la nivelul EE m2(t) este o masura a puterii energiei introduse in proces (prin intermediul elementului de executie) si ca urmare u2(t) reprezinta o masura a efortului la nivelul comenzii

Icircn analiza prezentată icircn continuare se acceptă că polul icircn origine sqo (q0 = 0 1 2) este adus de RG De asemeni se acceptă că HN(s) nu conţine pol icircn origine Trebuie insa retinut faptul ca orice schimbare a condiţiilor (ipotezelor) in care se efectueaza analiza poate modifica rezultatele ei

Sistemul fiind liniar (in caz contrar nu se pot scrie fdt) comportarea de regim permanentizat poate fi analizată separat

- icircn raport cu referinţa w(t) - icircn raport cu perturbaţia v(t)

Pentru concluzia finală se aplica apoi principiul suprapunerii efectelor

Icircnlocuind (436) icircn (435) se obţin relaţiile generale intrare-ieşire

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00

0

00

00

0

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

sAsB

sk

sy

q

N

NN

q

q

lowast++

lowast+

lowast

= (437-a)

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

1)(

0

00

0

00

00

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

se

q

N

NN

q lowast+minus

lowast+= (437-b)

A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta

)()(1)( twtwws

sw σlowast== infininfin şi (438)

)()(1)( 2 twttwws

sw σlowastlowast== infininfin

icircn condiţiile icircn care v(t) = 0 (v(s) = 0) corespunzător rel(437) conduc la

)(

)()(

)()(

)(

0

00

0

00

0

sw

sAsB

ks

sAsB

ksy

q lowast+

lowast

= si )(

)()(

)(

0

00

0

0

sw

sAsB

ks

sseq

q

lowast+= (439)

Observaţie Explicitarea lui H0(s) icircn forma (436) a fost făcută acceptacircnd că

1)()(

00

0 ==ssAsB

adica coeficientul de transfer k0 a fost scos icircn afara formei raţionale

11

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 3: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

Blocurile cu comportareintegratoare pură nu prezintă caracteristici statice (CS) la valoare nula a intrarii ieşirea de RSC yinfin - poate lua orice valoare constantă din domeniul de valori posibile aceasta valoare este determinată de evoluţia anterioară (istoria) a sistemului

ki kd u y u y (x)

(a) (b) Fig421 explicativă la comportarea icircn RSC a blocurilor I şi D

- Pentru blocurile de tip derivativ (D) fig421-b (cu componentă D distinctă in relatia (42-5) cu b0 =0)

0=rarr=forall infininfin yctu (42-3)

Blocurile cu comportare derivativă pură nu prezintă caracteristici statice

- Pentru blocurile de tip proportional (P) (inclusiv PT1 PT2hellipPTn) (cu componentă P distinctă in relatia (42-5) cu a0 ne 0 şi b0 ne 0)

infininfin lowast= uky (42-4)

Aceste tipuri de blocuri prezintă caracteristici statice

Mai general Dacă sistemul continual este stabil şi este caracterizat printr-o fdt de formă raţională (prezenta unui timp mort nu este insa deranjanta) B(s) bm sm + hellip + b0

H(s) = mdashmdash = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash cu m le n şi b0 ne 0 şi a0 ne 0 (42-5) A(s) an sn + hellip + a0

atunci b0

k = lim H(s) = H(0) = mdashmdash şi corespunzător yinfin = k u infin (42-6) s 0 a0

adică pentru o valoare uinfin=ct ne 0 există o valoare yinfin= ct ne 0

Reprezentarea grafica a dependenţei

yinfin = f(u infin )

poartă denumirea de caracteristică statică (CS) aferentă sistemului (blocului modulului hellip ) Reluand formularile anterioare acum relative la modelul (425) se poate spune

- Dacă a0 = 0 dar b0 ne 0 situaţia se incadrează la sistem cu componentă (modul bloc) de tip integrator şi este valabilă condiţia (42-2)

- Dacă b0 = 0 dar a0 ne 0 situaţia se incadrează la sistem cu componentă (modul bloc) de tip derivativ şi este valabilă condiţia (42-3)

(b) Cazul sistemelor cu timp discret (SD) Principiile expuse pentru sistemele cu timp continuu raman valabile dar unele conditionari icircn caracterizarea matematică a funcţionării sistemului icircn RSC se modifica

- pentru mărimile de stare xk+1 = xk echivalent cu Δxk = xk+1ndash xk = 0

- pentru blocurile de tip I uinfin= 0 şi corespunzător yinfin=ct (42-7)

- pentru blocurile de tip D uinfin= ct şi corespunzător yinfin=0

- pentru blocurile de tip P yinfin=klowastuinfin

In general

bull Dacă SD este este stabil şi este caracterizat printr-o fdt de formă raţională

3

B(z) bm zm + hellip + b0H(z) = mdashmdash = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash cu m le n (42-8)

A(z) an zn + hellip + a0

şi icircn sistem nu există

- componente D pure adică B(1) ne 0

- componente I pure adică A(1) ne 0

atunci icircn baza teoremei valorii finale (TVF) aplicată sistemului (stabil) cu intrarea constantă rezultă

k = lim H(z) = H(1) (42-9) z 1

B Determinarea valorilor de regim staţionar constant ale unui sistem (icircn particular (SRA) Cunoaşterea VRSC ale unui sistem in particular SRA prezintă interes din următoarele motive

- permite determinarea (tuturor) punctelor de funcţionare staţionare din cadrul sistemului - permite construcţia CS aferente diferitelor blocuri ale SRA (de exemplu ale EE EM şa) şi al

SRA icircn ansamblu pe această bază este psibilă apoi cunoaştere a posibilităţilor de funcţionare a SRA si icircn diferite regimuri tranzitorii (datorate unor variaţii mari ale mărimilor de intrare icircn condiţiile limitărilor inerente ale blocurilor SRA) si pe această bază

- permite apoi (re)dimensionarea corectă a elementelor de execuţie de măsură şa

Adeseori VRSC şi corespunzător CS aferente blocurilor SRA (SRA icircn ansamblu) se pot determina doar pentru domenii limitate de variaţie a mărimilor sistemului (domenii determinate de funcţionalitatea acestuia) icircn jurul unor puncte de funcţionare staţionare constante (pdfsc) considerate semnificative (mers in gol mers icircn sarcină şa) Mai mult determinarea VRSC poate fi de tip a-priori sau de tip a-posteriori realizării sistemului

Există diferite situaţii (scenarii) de determinare a VRSC aferente unui sistem Astfel se menţionează ca situaţii caracteristice

(a) Determinarea pe cale experimentală a VRSC din măsurări (de RSC) efectuate asupra mărimilor caracteristice ale sistemului această determinare este de tip a-posteriori realizării sistemului

(b) Calculul analitic al VRSC aferente unui sistem această determinare ndash bazata pe MM aferente sistemului - poate fi de tip a-priori sau de tip a-posteriori realizării sistemului

(a) Determinarea pe cale experimentală a VRSC din măsurări efectuate asupra mărimilor sistemului Situaţia este frecventă icircn practica conducerii automate la punerile in functiune ale acestora Efectuarea măsurărilor este condiţionată de existenţa unei instrumentaţii (aparaturi) de măsurare dedicate adeseori scumpă (traductoare primare convertoare de semnal cuploare de proces echipamente de măsură şi de prelucrare a informaţiei staţii de prelucrare specializate şa Schema de principiu aferentă unei determinări pe calea experimentală a VRSC ale unui SRA este prezentată icircn fig422 Pentru a nu icircncărca figura au fost omise legăturile de măsură după toate mărimile importante ale sistemului GSP (generatorul de semnal de probatest) este o sursă externa de semnal prin care se pot asigura modificări ale valorilor de RSC icircn jurul pdfsc de bază

Fig422 Schema principială pentru determinarea pe cale experimentală a VRSC

(a) cazul sistemului fără reacţie (b) cazul sistemului cu reacţie

Aspecte de detaliu a caror luare in considerare prezinta interes

4

o Lipsa accesului prin măsurări la (unele) mărimi interioare ale (SRA) in particular ale - regulatorului (DC) - procesului (PC)

In astfel de situaţii se măsoară doar acele mărimi care sunt accesibile măsurărilor valorile altor marimi se deduc apoi pe baza de model matematic (dacă este posibil) din calcule sau se estimează (utilizarea estimatoarelor de masura) Caracteristici statice (CS) se vor construi numai pentru blocuri pentru care s-au putut accesa VRSC ale intrarii şi ieşirii

Important pentru aprecierea stabilirii RSC icircn sistem icircl constituie accesul la intrările elementelor de tip integrator (componentă I distinctă) In particular poate fi vorba de accesul la eroarea de reglare e(t) dacă regulatorul va conţine o componentă de tip I atunci icircn RSC se are

einfin = 0 (42-10)

ceea ce va confirma stabilirea RSC

o Adeseori blocurile funcţionale ale SRA (SRA icircn ansamblu) prezintă neliniaritaţi (continue) care fac ca şi CS aferentă blocului (sistemului) să rezulte neliniară fig423 Ataşarea unui MM liniar icircn jurul unui pdfsc va necesita parcurgerea operaţiilor de liniarizare şi de explicitare a MM-liniarizate icircn creşterile variabilalor de intrare şi de ieşire ale blocului

∆u(t) = u(t)ndashu0 ∆y(t) = y(t)ndashy0 respectiv (42-11-a) df |

∆yinfin=kbull∆uinfin k = mdashmdash | ndash coeficientul de transfer al S-Ln (42-11-b) du |A0

cu ltkgt = lt∆yinfin gtlt∆uinfin gt (42-11-c)

o Situatiile icircn care dependenţele de RSC (CS) sunt funcţie de o mărime (parametru funcţional) al blocului sistemului In astfel de cazuri se determină familii de caracteristici statice care au ca parametru mărimea (parametrul funcţional) al blocului icircn cauză

Fig423 CS neliniare şi interpretarea grafică a liniarizării

Exemplu Element de execuţie constacircnd dintr-o sursa de icircncălzire cu rezistor alimentat printr-o punte cu tiristoare fig424 care are ca intrare tensiunea de comandă uc iar ca ieşire puterea pe Elementul de execuţie este caracterizat de o dependenţă analitică neliniară dictată atacirct de comportarea amplificatorului de putere (AP) cacirct şi de procesul de conversie de energie din rezistenţă Astfel pentru blocurile din fig44 se pot scrie următoarele relaţii matematice (de aproximare)

- valoarea unghiului de comandă este dată de relaţia

α(t) = k bull uc(t) (42-12-a)

- valoarea medie a tensiunii redresate ud(t) este

ud(t) = ud0bullsin α (t) (42-13a)

- valoarea medie redresată depinde icircnsă şi de valoarea tensiunii de alimentare ũ(t) care poate fi considerat şi parametru

- icircn procesul de redresare se generează armonici astfel că valoarea efectivă a tensiunii trebuie definită icircn raport cu aceste armonici

5

udef(t) = (ud2(t) + ud1

2(t) + ud22(t) + )12 (42-14-a)

- puterea disipată pe rezistor va fi la racircndul ei caracteterizată de relaţia neliniară

pe(t) = udef2(t)R(t) cu R(t) = R0(1 + α(t)bull∆θ) (42-15-a)

rezistorul modificacircndu-şi rezistenţa funcţie de temperatură şi la racircndul său funcţie de timp

Liniarizarea MM-NL aferent EE (fig44) icircn jurul pdfsc de coordonate A0(uc0 α0 ud0 R0)

(4212-a) liniar rArr ∆α(t) = kbull∆uc(t) (42-12-b)

(4213-a) liniarizare rArr ∆ud(t) = ndash ud0(cos α0)bullkbull∆uc(t) (42-13-b

(4214-a) liniarizare rArr ∆udef(t) = K bull ∆ud(t) (4214-b)

(4215-a) liniarizare rArr ∆pe(t) = ndashkE1∆R(t) + kE2∆udef(t) (42-15-b)

Ca urmare se pot construi - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu o intrare şi o

ieşire pentru rel(42-13) hellip(42-14) - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu cu două intrări

pentru MM liniarizat (42-15) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale tensiunii de alimentare ũ(t) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale rezistenţei R0

Fig424 Element de execuţie ca exemplu de sistem neliniar

(b) Calculul analitic al VRSC aferente unui sistem Există diferite tehnici de calcul a VRSC aferente unui sistem (SRA) Aceste tehnici depind de următoarele

- forma de prezentare a MM aferent sistemului (tipul MM) reprezentarea sub care este cunoscută structura sistemului schema bloc şa)

- liniaritatea neliniaritatea MM - modul de tratare icircn timp a informaţiei (timp continuu timp discret) - informaţiile relative la unele VRSC ale sistemului şa

Situaţiile care apar mai frecvent icircn aplicaţii sunt sintetizate sub forma unor cazuri de studiu remarcabile In cele ce urmează se tratează doar situaţia liniară (liniarizată)

(1) Sistemul este caracterizat prin MM-ISI icircn domeniul timp Există mai multe cazuri remarcabile

bull Cazul sistemului continual (SC) Se consideră sistemul liniar de ordin n cu r intrări şi q ieşiri cu MM-ISI de forma

x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) (42-16)

In RSC se poate scrie x(t) = 0 respectiv (42-17) 0 = A xinfin + B uinfin yinfin = C xinfin (42-18)

(42-18) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute n = număr de stări (x) r = nr de intrări (u) q = număr de ieşiri (y) Prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului

Relativ la VRSC ale iesiri yinfin se obţine acelaşi rezultat daca se calculează (TVF)

yinfin = C (ndashA-1) B uinfin (42-19)

6

Important Dacă cele r VRSC cunoscute sunt tocmai mărimile de intrare atunci sistemul (considerat stabil) este icircntotdeauna compatibil

bull Cazul sistemului cu timp discret (SD) Se consideră sistemul liniar (stabil) de ord n cu r itrări şi q - ieşiri cu MM-ISI de forma

xk+1 = A xk + B uk yk = C xk (42-20)

In RSC se poate scrie xk+1 = xk = xinfin respectiv (42-21) xinfin = A xinfin + B uinfin respectiv (I - A) xinfin = B uinfin (42-22) yinfin = C xinfin sau yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin

(42-22) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute icircn care r este numărul intrărilor (u) n este numărul stărilor (x) q este numărul ieşirilor (y) prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului Acelaşi rezultat se obţine daca se calculează (TVF- in timp discret)

yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin (42-19)

(2) Sistemul este caracterizat de MM-II sau MM-ISI din domeniul operaţional Situaţiile care apar presupun

- explicitarea funcţie de intrări a expresiei operaţionale pentru ieşirea icircn cauză - aplicarea teoremei valorii finale (TVF)

De exemplu in cazul explicitarii generale a fdt in λ cu λ = s (SC) sau z (SD) dacă

y(λ) = H(λ )u(λ) cu H(λ ) = C (λI -A)-1 B (42-20)

atunci dupa caz prin aplicarea TVF se obţin VRSC pentru toate mărimile declarate ca mărimi de ieşire şi pentru care s-au evidenţiat dependenţele operaţionale ce prezintă interes 1 z - 1 z

yinfin = lim s H(s) mdash uinfin = H(0) uinfin sau yinfin = lim mdashmdash H(z) mdashmdash uinfin = H(1) uinfin (42-21) s rarr 0 s z rarr1 z z - 1

(3) Sistemul este caracterizat de schema bloc informaţională icircn care au fost evidenţiate distinct cele două blocuri funcţionale de bază RG şi PT şi pentru fiecare icircn parte au fost evidenţiate blocurile de tip D şi I celelalte blocuri fiind cu componentă P (b0 ne 0 şi a0 ne 0) Pot apare trei situaţii de bază

bull Sistem cu timp continuu cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei In vederea determinării VRSC din sistem se procedează astfel - Pentru fiecare din blocurile tipizate (I D P hellip) se explicitează condiţiile de funcţionare de RSC

şi relaţiile de calcul ale VRSC - ptr blocuri I ptr uinfin=0 rarr yinfin= ct valoare ce depinde de istoria anterioară - ptr blocuri D ptr uinfin=ct rarr yinfin= 0 - ptr blocuri P (PThellip) ptr uinfin=ct rarr yinfin=klowastuinfin

- Se obţine un sistem algebric cu dimensiunea dependentă de complexitatea sistemului icircn principiu (n+q) ecuaţii cu (n+q+r) VRSC

- Daca se cunosc un număr suficient de VRSC icircn raport cu care sistemul algebric este compatibil (de exemplu r - VRSC dar nu oricare) se pot calcula celelalte VRSC din sistem

Observaţie Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc I atunci pe intrarea acestuia se va pune condiţia de RSC intrare nulă uinfin= 0 Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc D pe ieşirea acestuia se va pune condiţia de RSC yinfin= 0 In raport cu aceste condiţii se calculează apoi ieşirea respectiv intrarea constantă a blocului (un calcul derulat icircn sens invers)

Exemplu Fie SRA cu structura dată prin schema bloc din fig425 Se cere

(1) Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(2) Să se traseze CS de prescriere si de sarcina ale SRA yinfin =f(winfin ) vinfin = 0 şi yinfin =f(vinfin) winfin = 5

7

(3) Se schimbă RG icircntr-un RG de tip PDT1 cu fdt 5 (s + 1)

HR(s) = mdashmdashmdashmdash 01s + 1

Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(4) Pentru situaţia de RG tip PI să se calculeze VRSC winfin - necesar astfel ca la vinfin = 200 ieşirea sistemului sa ia valoarea zinfin = 6100 Care sunt VRSC pentru celelalte mărimi ale sistemului

(5) Acceptacircnd că regulatorul se saturează la + 7 V sa se analizeze daca la o suprasarcina de vinfin = 350 unitati iesirea sistemului se poate mentine la valoarea de 6000o unitati

5

m1 v 3 1 10 02 ndash 5 09

w e u 5 m p q z

5 y ndash m2 (RG)

0001

Fig425 Aplicaţie de calcul a VRSC

Soluţie (1) RG este de tip PI ca urmare icircn RSC se are

einfin=0 ceea ce implică einfin = winfin ndash yinfin=0 yinfin=winfin

Relaţiile de RSC aferente diferitelor blocuri ale SRA sunt

Calcul ldquodin aproape icircn aproaperdquo conduce la VRSC

11110

1100~

1000500051~

5000500101

55

==

=+=

=lowast=

=lowast=

=rarr=

infin

infin

infininfininfin

infin

infin

infininfin

um

vpp

p

z

yw

infininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfin

lowast=lowast=

minus=lowast=

+=lowast=lowast=

zypz

vppmp

mmmumum

0010

~5

~10

55

21

2

1

Rezolvarea celorlalte puncte ale exemplului ramane in sarcina cititorului

bull Sistem cu timp discret cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei Procedura de calcul este absolut similară cu cea prezentată pentru cazul continuu Astfel

- Se scriu condiţiile de RSC pentru fiecare bloc al SRA blocurile I şi D se tratează icircn manieră similară cazului continual pentru blocurile cu componentă P H(1) ne0

- Sistemul algebric rezultat se soluţionează icircn condiţiile iniţiale impuse

bull Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei la nivelul PC - prelucrare cu timp continuu la nivelul RG (DC-N) ndash prelucrare cu timp discret Situaţia este specifică conducerii numerice a PC fig426

8

v

uc(t)

w z

y(t)

Fig426 Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei

Calculul de RSC se derulează separat pentru partea cu timp discret (DC-N) şi pentru partea de proces (cu timp continuu) joncţiunea icircntre cele două seturi de relaţii de RSC se realizează prin relaţiile

CNA (uinfin)=(ucinfin) CAN (yinfin)=(yinfin)

Ca urmare bull Icircn cadrul DC-N toate calculele se derulează ca şi cum mărimile ar fi reprezentate ca mărimi

continuale (icircn zecimal) similar se pune şi problema cu parametrii ce caracterizează algoritmii de reglare (kR Ti Td hellip pν qμ hellip )

bull DC-N va trebui să aibă adaptate intrările cu semnalele blocurilor adiacente (din proces) adică DC-N u(t) (ERCNA) rarr uc(t) rarr (EE din PC) PC y(t) (EŞCAN) rarr y(t) rarr (DC-N)

bull Sunt situaţii icircn care mărimile caracteristice ale DC-N w u y nu includ ca punct de funcţionare valoarea 0 De exemplu Dw= (4hellip20) mA Dy= (4hellip20) mA Du= (4hellip20) mA Chiar şi icircn această situaţie icircn RSC eroarea de reglare ia valoarea nulă einfin = 0 ţinacircnd seama de faptul că einfin = winfin ndash yinfin rezulta ca şi că prin aceasta se asigura winfin = yinfin De exemplu pentru winfin=7 mA la einfin= 0 se va asigura yinfin=7 mA

(4) Formulări specifice pentru problemele legate de calcul de VRSC In practica apar situatii de funcţionare icircn care problema determinării (calculul) VRSC trebuie formulata diferit de cele prezentate De exemplu se pot pune urmatoarele situatii bull Sistemul funcţionează cu o valoare zinfin=hellip dată (impusa) şi la o valoare vinfin=hellip impusă Să se

determine valoarea lui winfin cu care se asigura acest pdfsc bull Avacircnd winfin dat şi o limitare (maximă minimă) a valorii unei unor din sistem (dictate de exemplu

de nedepăşirea valorii nominale sau a unei valori maxim admise) să se calculeze VRSC vinfin cu care poate fi icircncărcat icircn RSC sistemul

bull Sistemul funcţionează cu o referinţă dată şi o valoare impusă pentru ieşire să se calculeze icircncărcarea perturbaţia aferentă (problema nu are totdeauna soluţie)

In practica problema determinării VRSC a CS aferente SRA este adeseori ingreunata de faptul că procesul este neliniar Trebuie insa observat si faptul ca la utilizarea unui element de masura (EM) liniar si a unui RG cu componenta I icircn RSC icircntre anumite limite icircn relaţia zinfin = f(winfin) neliniaritatile din proces nu sunt văzute CS aferenta fiind egala cu inversa CS aferente EM

43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate

Tipul de regulator utilizat are influenţă asupra comportarii SRA este vorba atacirct de proprietăţile de regim permanentizat cacirct şi de cele de regim dinamic In cele ce urmeaza se vor discuta numai aspecte legate de proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării icircn regimuri permanentizate ale SRA

In analiza prezentată se pleacă de la structura clasică de SRA din fig431 pentru cere se pot scrie următoarele relaţii (icircn operational λ)

(431) (432)

u

DC-N

y

C PC-C c

uN

AC A N

y

ER

)()(1)()(

λλλλ

PR

Nv HH

HH+

=)()(1

)()()(λλ

λλλPR

PRw HH

HHH+

=

9

Fig431 Schema bloc aferenta unui SRA

unde şi H⎩⎨⎧

=SDzSCs

λ N(λ) reprezintă partea din HP(λ) peste care acţionează perturbaţia

Observaţie Icircn cazul SD cum HN(z) de regulă nu exista ( v(t) este o mărime continua de timp) atunci HN(z) se calculeaza ca o extensie analitică a comportării icircn timp discret a sistemului continuu (cu luarea icircn seamă a ER) Ca urmare fdt a sistemului deschis va fi

B0(λ) H0(λ)=HR(λ)HP(λ) = mdashmdashmdashmdash (433-a) A0(λ)

Prezenţa componentei I icircn structura sistemului se constată prin verificarea condiţiei

(C) A0(0) = 0 adica s = 0 este o radacină (433-b)

(D) A0(1) = 0 adica z = 1 este o radacină (433-c)

(mai multe componente I presupun radacini multiple)

Pentru aplicaţiile practice prezintă interes următoarele comportări de regim permanentizat

A In raport cu referinţa w

- Comportarea de RSC helliphelliphelliphelliphelliptrarrinfin w(t) de tip treaptă

- Comportarea de RVChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin w(t) de tip rampă

B Icircn raport cu perturbaţia v

- Comportarea de RSChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin v(t) de tip treaptă

sistemul se considera aflat in RSC determinat de o referinţă constantă w0 care determina iesirea cu VRSC y0)

Pentru a analiza (SRA-c) proprietăţile induse de RG icircn comportarea de regim permanentizat se va lua icircn considerare cazul continual (λ = s) Cazul discret (λ = z) se tratează icircn manieră absolut identică şi conduce la aceleaşi rezultate diferenţa apare doar la modul de explicitare a teoremei valorii finale (TVF) diferit pentru cele două cazuri

bull Pentru cazul continual TVF ndash C se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( swsHsy w sdot= )()(lim)(lim)(lim00

swsHssystyy wsst rarrrarrinfinrarrinfin === (434-a)

bull Pentru cazul discret TVF ndash D se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( zwzHzy w sdot= )()()1(lim)())1(lim)(lim11

zwzHzzyzztyyzzt

minus=minus==rarrrarrinfinrarrinfin (434-b)

Prezentarile se vor face cu referire la exemplul sistem continual In baza schemei bloc din fig431 şi a rel(431)(432)(433) se pot scrie următoarele dependenţe

)()()(1

)()(

)()(1)()(

)()()()()( svsHsH

sHsw

sHsHsHsH

svsHswsHsyPR

N

PR

PRvw +

++

=+= (435-a)

10

)()()(1

)()()()(1

1)( svsHsH

sHswsHsH

sePR

N

PR +minus

+= (435-b)

in care fdt aferentă sistemului deschis poate fi explicitată sub forma

msTq e

sAsB

sksH minus=

)()()(

0

000 0

si (436) )()( 00

0 sAssA q=

icircn care pentru simplificarea scrierii se va omite evidenţierea modulului ce caracterizeaza timpul mort Tm = 0 generalitatea nu este afectata intru cat in RSC ( ) q0=minus msTe 0rarrs 0=0 1 2 este ordinul de multiplicitate al polului icircn origine (numarul de componente I ale sistemului deschis) si 0)0(

0 neA

Remarca In unele situatii prezinta interes si discutarea lui u(s) = f(w(s) v(s)) acest lucru se justifica prin faptul ca la nivelul EE m2(t) este o masura a puterii energiei introduse in proces (prin intermediul elementului de executie) si ca urmare u2(t) reprezinta o masura a efortului la nivelul comenzii

Icircn analiza prezentată icircn continuare se acceptă că polul icircn origine sqo (q0 = 0 1 2) este adus de RG De asemeni se acceptă că HN(s) nu conţine pol icircn origine Trebuie insa retinut faptul ca orice schimbare a condiţiilor (ipotezelor) in care se efectueaza analiza poate modifica rezultatele ei

Sistemul fiind liniar (in caz contrar nu se pot scrie fdt) comportarea de regim permanentizat poate fi analizată separat

- icircn raport cu referinţa w(t) - icircn raport cu perturbaţia v(t)

Pentru concluzia finală se aplica apoi principiul suprapunerii efectelor

Icircnlocuind (436) icircn (435) se obţin relaţiile generale intrare-ieşire

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00

0

00

00

0

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

sAsB

sk

sy

q

N

NN

q

q

lowast++

lowast+

lowast

= (437-a)

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

1)(

0

00

0

00

00

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

se

q

N

NN

q lowast+minus

lowast+= (437-b)

A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta

)()(1)( twtwws

sw σlowast== infininfin şi (438)

)()(1)( 2 twttwws

sw σlowastlowast== infininfin

icircn condiţiile icircn care v(t) = 0 (v(s) = 0) corespunzător rel(437) conduc la

)(

)()(

)()(

)(

0

00

0

00

0

sw

sAsB

ks

sAsB

ksy

q lowast+

lowast

= si )(

)()(

)(

0

00

0

0

sw

sAsB

ks

sseq

q

lowast+= (439)

Observaţie Explicitarea lui H0(s) icircn forma (436) a fost făcută acceptacircnd că

1)()(

00

0 ==ssAsB

adica coeficientul de transfer k0 a fost scos icircn afara formei raţionale

11

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 4: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

B(z) bm zm + hellip + b0H(z) = mdashmdash = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash cu m le n (42-8)

A(z) an zn + hellip + a0

şi icircn sistem nu există

- componente D pure adică B(1) ne 0

- componente I pure adică A(1) ne 0

atunci icircn baza teoremei valorii finale (TVF) aplicată sistemului (stabil) cu intrarea constantă rezultă

k = lim H(z) = H(1) (42-9) z 1

B Determinarea valorilor de regim staţionar constant ale unui sistem (icircn particular (SRA) Cunoaşterea VRSC ale unui sistem in particular SRA prezintă interes din următoarele motive

- permite determinarea (tuturor) punctelor de funcţionare staţionare din cadrul sistemului - permite construcţia CS aferente diferitelor blocuri ale SRA (de exemplu ale EE EM şa) şi al

SRA icircn ansamblu pe această bază este psibilă apoi cunoaştere a posibilităţilor de funcţionare a SRA si icircn diferite regimuri tranzitorii (datorate unor variaţii mari ale mărimilor de intrare icircn condiţiile limitărilor inerente ale blocurilor SRA) si pe această bază

- permite apoi (re)dimensionarea corectă a elementelor de execuţie de măsură şa

Adeseori VRSC şi corespunzător CS aferente blocurilor SRA (SRA icircn ansamblu) se pot determina doar pentru domenii limitate de variaţie a mărimilor sistemului (domenii determinate de funcţionalitatea acestuia) icircn jurul unor puncte de funcţionare staţionare constante (pdfsc) considerate semnificative (mers in gol mers icircn sarcină şa) Mai mult determinarea VRSC poate fi de tip a-priori sau de tip a-posteriori realizării sistemului

Există diferite situaţii (scenarii) de determinare a VRSC aferente unui sistem Astfel se menţionează ca situaţii caracteristice

(a) Determinarea pe cale experimentală a VRSC din măsurări (de RSC) efectuate asupra mărimilor caracteristice ale sistemului această determinare este de tip a-posteriori realizării sistemului

(b) Calculul analitic al VRSC aferente unui sistem această determinare ndash bazata pe MM aferente sistemului - poate fi de tip a-priori sau de tip a-posteriori realizării sistemului

(a) Determinarea pe cale experimentală a VRSC din măsurări efectuate asupra mărimilor sistemului Situaţia este frecventă icircn practica conducerii automate la punerile in functiune ale acestora Efectuarea măsurărilor este condiţionată de existenţa unei instrumentaţii (aparaturi) de măsurare dedicate adeseori scumpă (traductoare primare convertoare de semnal cuploare de proces echipamente de măsură şi de prelucrare a informaţiei staţii de prelucrare specializate şa Schema de principiu aferentă unei determinări pe calea experimentală a VRSC ale unui SRA este prezentată icircn fig422 Pentru a nu icircncărca figura au fost omise legăturile de măsură după toate mărimile importante ale sistemului GSP (generatorul de semnal de probatest) este o sursă externa de semnal prin care se pot asigura modificări ale valorilor de RSC icircn jurul pdfsc de bază

Fig422 Schema principială pentru determinarea pe cale experimentală a VRSC

(a) cazul sistemului fără reacţie (b) cazul sistemului cu reacţie

Aspecte de detaliu a caror luare in considerare prezinta interes

4

o Lipsa accesului prin măsurări la (unele) mărimi interioare ale (SRA) in particular ale - regulatorului (DC) - procesului (PC)

In astfel de situaţii se măsoară doar acele mărimi care sunt accesibile măsurărilor valorile altor marimi se deduc apoi pe baza de model matematic (dacă este posibil) din calcule sau se estimează (utilizarea estimatoarelor de masura) Caracteristici statice (CS) se vor construi numai pentru blocuri pentru care s-au putut accesa VRSC ale intrarii şi ieşirii

Important pentru aprecierea stabilirii RSC icircn sistem icircl constituie accesul la intrările elementelor de tip integrator (componentă I distinctă) In particular poate fi vorba de accesul la eroarea de reglare e(t) dacă regulatorul va conţine o componentă de tip I atunci icircn RSC se are

einfin = 0 (42-10)

ceea ce va confirma stabilirea RSC

o Adeseori blocurile funcţionale ale SRA (SRA icircn ansamblu) prezintă neliniaritaţi (continue) care fac ca şi CS aferentă blocului (sistemului) să rezulte neliniară fig423 Ataşarea unui MM liniar icircn jurul unui pdfsc va necesita parcurgerea operaţiilor de liniarizare şi de explicitare a MM-liniarizate icircn creşterile variabilalor de intrare şi de ieşire ale blocului

∆u(t) = u(t)ndashu0 ∆y(t) = y(t)ndashy0 respectiv (42-11-a) df |

∆yinfin=kbull∆uinfin k = mdashmdash | ndash coeficientul de transfer al S-Ln (42-11-b) du |A0

cu ltkgt = lt∆yinfin gtlt∆uinfin gt (42-11-c)

o Situatiile icircn care dependenţele de RSC (CS) sunt funcţie de o mărime (parametru funcţional) al blocului sistemului In astfel de cazuri se determină familii de caracteristici statice care au ca parametru mărimea (parametrul funcţional) al blocului icircn cauză

Fig423 CS neliniare şi interpretarea grafică a liniarizării

Exemplu Element de execuţie constacircnd dintr-o sursa de icircncălzire cu rezistor alimentat printr-o punte cu tiristoare fig424 care are ca intrare tensiunea de comandă uc iar ca ieşire puterea pe Elementul de execuţie este caracterizat de o dependenţă analitică neliniară dictată atacirct de comportarea amplificatorului de putere (AP) cacirct şi de procesul de conversie de energie din rezistenţă Astfel pentru blocurile din fig44 se pot scrie următoarele relaţii matematice (de aproximare)

- valoarea unghiului de comandă este dată de relaţia

α(t) = k bull uc(t) (42-12-a)

- valoarea medie a tensiunii redresate ud(t) este

ud(t) = ud0bullsin α (t) (42-13a)

- valoarea medie redresată depinde icircnsă şi de valoarea tensiunii de alimentare ũ(t) care poate fi considerat şi parametru

- icircn procesul de redresare se generează armonici astfel că valoarea efectivă a tensiunii trebuie definită icircn raport cu aceste armonici

5

udef(t) = (ud2(t) + ud1

2(t) + ud22(t) + )12 (42-14-a)

- puterea disipată pe rezistor va fi la racircndul ei caracteterizată de relaţia neliniară

pe(t) = udef2(t)R(t) cu R(t) = R0(1 + α(t)bull∆θ) (42-15-a)

rezistorul modificacircndu-şi rezistenţa funcţie de temperatură şi la racircndul său funcţie de timp

Liniarizarea MM-NL aferent EE (fig44) icircn jurul pdfsc de coordonate A0(uc0 α0 ud0 R0)

(4212-a) liniar rArr ∆α(t) = kbull∆uc(t) (42-12-b)

(4213-a) liniarizare rArr ∆ud(t) = ndash ud0(cos α0)bullkbull∆uc(t) (42-13-b

(4214-a) liniarizare rArr ∆udef(t) = K bull ∆ud(t) (4214-b)

(4215-a) liniarizare rArr ∆pe(t) = ndashkE1∆R(t) + kE2∆udef(t) (42-15-b)

Ca urmare se pot construi - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu o intrare şi o

ieşire pentru rel(42-13) hellip(42-14) - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu cu două intrări

pentru MM liniarizat (42-15) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale tensiunii de alimentare ũ(t) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale rezistenţei R0

Fig424 Element de execuţie ca exemplu de sistem neliniar

(b) Calculul analitic al VRSC aferente unui sistem Există diferite tehnici de calcul a VRSC aferente unui sistem (SRA) Aceste tehnici depind de următoarele

- forma de prezentare a MM aferent sistemului (tipul MM) reprezentarea sub care este cunoscută structura sistemului schema bloc şa)

- liniaritatea neliniaritatea MM - modul de tratare icircn timp a informaţiei (timp continuu timp discret) - informaţiile relative la unele VRSC ale sistemului şa

Situaţiile care apar mai frecvent icircn aplicaţii sunt sintetizate sub forma unor cazuri de studiu remarcabile In cele ce urmează se tratează doar situaţia liniară (liniarizată)

(1) Sistemul este caracterizat prin MM-ISI icircn domeniul timp Există mai multe cazuri remarcabile

bull Cazul sistemului continual (SC) Se consideră sistemul liniar de ordin n cu r intrări şi q ieşiri cu MM-ISI de forma

x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) (42-16)

In RSC se poate scrie x(t) = 0 respectiv (42-17) 0 = A xinfin + B uinfin yinfin = C xinfin (42-18)

(42-18) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute n = număr de stări (x) r = nr de intrări (u) q = număr de ieşiri (y) Prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului

Relativ la VRSC ale iesiri yinfin se obţine acelaşi rezultat daca se calculează (TVF)

yinfin = C (ndashA-1) B uinfin (42-19)

6

Important Dacă cele r VRSC cunoscute sunt tocmai mărimile de intrare atunci sistemul (considerat stabil) este icircntotdeauna compatibil

bull Cazul sistemului cu timp discret (SD) Se consideră sistemul liniar (stabil) de ord n cu r itrări şi q - ieşiri cu MM-ISI de forma

xk+1 = A xk + B uk yk = C xk (42-20)

In RSC se poate scrie xk+1 = xk = xinfin respectiv (42-21) xinfin = A xinfin + B uinfin respectiv (I - A) xinfin = B uinfin (42-22) yinfin = C xinfin sau yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin

(42-22) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute icircn care r este numărul intrărilor (u) n este numărul stărilor (x) q este numărul ieşirilor (y) prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului Acelaşi rezultat se obţine daca se calculează (TVF- in timp discret)

yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin (42-19)

(2) Sistemul este caracterizat de MM-II sau MM-ISI din domeniul operaţional Situaţiile care apar presupun

- explicitarea funcţie de intrări a expresiei operaţionale pentru ieşirea icircn cauză - aplicarea teoremei valorii finale (TVF)

De exemplu in cazul explicitarii generale a fdt in λ cu λ = s (SC) sau z (SD) dacă

y(λ) = H(λ )u(λ) cu H(λ ) = C (λI -A)-1 B (42-20)

atunci dupa caz prin aplicarea TVF se obţin VRSC pentru toate mărimile declarate ca mărimi de ieşire şi pentru care s-au evidenţiat dependenţele operaţionale ce prezintă interes 1 z - 1 z

yinfin = lim s H(s) mdash uinfin = H(0) uinfin sau yinfin = lim mdashmdash H(z) mdashmdash uinfin = H(1) uinfin (42-21) s rarr 0 s z rarr1 z z - 1

(3) Sistemul este caracterizat de schema bloc informaţională icircn care au fost evidenţiate distinct cele două blocuri funcţionale de bază RG şi PT şi pentru fiecare icircn parte au fost evidenţiate blocurile de tip D şi I celelalte blocuri fiind cu componentă P (b0 ne 0 şi a0 ne 0) Pot apare trei situaţii de bază

bull Sistem cu timp continuu cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei In vederea determinării VRSC din sistem se procedează astfel - Pentru fiecare din blocurile tipizate (I D P hellip) se explicitează condiţiile de funcţionare de RSC

şi relaţiile de calcul ale VRSC - ptr blocuri I ptr uinfin=0 rarr yinfin= ct valoare ce depinde de istoria anterioară - ptr blocuri D ptr uinfin=ct rarr yinfin= 0 - ptr blocuri P (PThellip) ptr uinfin=ct rarr yinfin=klowastuinfin

- Se obţine un sistem algebric cu dimensiunea dependentă de complexitatea sistemului icircn principiu (n+q) ecuaţii cu (n+q+r) VRSC

- Daca se cunosc un număr suficient de VRSC icircn raport cu care sistemul algebric este compatibil (de exemplu r - VRSC dar nu oricare) se pot calcula celelalte VRSC din sistem

Observaţie Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc I atunci pe intrarea acestuia se va pune condiţia de RSC intrare nulă uinfin= 0 Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc D pe ieşirea acestuia se va pune condiţia de RSC yinfin= 0 In raport cu aceste condiţii se calculează apoi ieşirea respectiv intrarea constantă a blocului (un calcul derulat icircn sens invers)

Exemplu Fie SRA cu structura dată prin schema bloc din fig425 Se cere

(1) Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(2) Să se traseze CS de prescriere si de sarcina ale SRA yinfin =f(winfin ) vinfin = 0 şi yinfin =f(vinfin) winfin = 5

7

(3) Se schimbă RG icircntr-un RG de tip PDT1 cu fdt 5 (s + 1)

HR(s) = mdashmdashmdashmdash 01s + 1

Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(4) Pentru situaţia de RG tip PI să se calculeze VRSC winfin - necesar astfel ca la vinfin = 200 ieşirea sistemului sa ia valoarea zinfin = 6100 Care sunt VRSC pentru celelalte mărimi ale sistemului

(5) Acceptacircnd că regulatorul se saturează la + 7 V sa se analizeze daca la o suprasarcina de vinfin = 350 unitati iesirea sistemului se poate mentine la valoarea de 6000o unitati

5

m1 v 3 1 10 02 ndash 5 09

w e u 5 m p q z

5 y ndash m2 (RG)

0001

Fig425 Aplicaţie de calcul a VRSC

Soluţie (1) RG este de tip PI ca urmare icircn RSC se are

einfin=0 ceea ce implică einfin = winfin ndash yinfin=0 yinfin=winfin

Relaţiile de RSC aferente diferitelor blocuri ale SRA sunt

Calcul ldquodin aproape icircn aproaperdquo conduce la VRSC

11110

1100~

1000500051~

5000500101

55

==

=+=

=lowast=

=lowast=

=rarr=

infin

infin

infininfininfin

infin

infin

infininfin

um

vpp

p

z

yw

infininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfin

lowast=lowast=

minus=lowast=

+=lowast=lowast=

zypz

vppmp

mmmumum

0010

~5

~10

55

21

2

1

Rezolvarea celorlalte puncte ale exemplului ramane in sarcina cititorului

bull Sistem cu timp discret cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei Procedura de calcul este absolut similară cu cea prezentată pentru cazul continuu Astfel

- Se scriu condiţiile de RSC pentru fiecare bloc al SRA blocurile I şi D se tratează icircn manieră similară cazului continual pentru blocurile cu componentă P H(1) ne0

- Sistemul algebric rezultat se soluţionează icircn condiţiile iniţiale impuse

bull Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei la nivelul PC - prelucrare cu timp continuu la nivelul RG (DC-N) ndash prelucrare cu timp discret Situaţia este specifică conducerii numerice a PC fig426

8

v

uc(t)

w z

y(t)

Fig426 Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei

Calculul de RSC se derulează separat pentru partea cu timp discret (DC-N) şi pentru partea de proces (cu timp continuu) joncţiunea icircntre cele două seturi de relaţii de RSC se realizează prin relaţiile

CNA (uinfin)=(ucinfin) CAN (yinfin)=(yinfin)

Ca urmare bull Icircn cadrul DC-N toate calculele se derulează ca şi cum mărimile ar fi reprezentate ca mărimi

continuale (icircn zecimal) similar se pune şi problema cu parametrii ce caracterizează algoritmii de reglare (kR Ti Td hellip pν qμ hellip )

bull DC-N va trebui să aibă adaptate intrările cu semnalele blocurilor adiacente (din proces) adică DC-N u(t) (ERCNA) rarr uc(t) rarr (EE din PC) PC y(t) (EŞCAN) rarr y(t) rarr (DC-N)

bull Sunt situaţii icircn care mărimile caracteristice ale DC-N w u y nu includ ca punct de funcţionare valoarea 0 De exemplu Dw= (4hellip20) mA Dy= (4hellip20) mA Du= (4hellip20) mA Chiar şi icircn această situaţie icircn RSC eroarea de reglare ia valoarea nulă einfin = 0 ţinacircnd seama de faptul că einfin = winfin ndash yinfin rezulta ca şi că prin aceasta se asigura winfin = yinfin De exemplu pentru winfin=7 mA la einfin= 0 se va asigura yinfin=7 mA

(4) Formulări specifice pentru problemele legate de calcul de VRSC In practica apar situatii de funcţionare icircn care problema determinării (calculul) VRSC trebuie formulata diferit de cele prezentate De exemplu se pot pune urmatoarele situatii bull Sistemul funcţionează cu o valoare zinfin=hellip dată (impusa) şi la o valoare vinfin=hellip impusă Să se

determine valoarea lui winfin cu care se asigura acest pdfsc bull Avacircnd winfin dat şi o limitare (maximă minimă) a valorii unei unor din sistem (dictate de exemplu

de nedepăşirea valorii nominale sau a unei valori maxim admise) să se calculeze VRSC vinfin cu care poate fi icircncărcat icircn RSC sistemul

bull Sistemul funcţionează cu o referinţă dată şi o valoare impusă pentru ieşire să se calculeze icircncărcarea perturbaţia aferentă (problema nu are totdeauna soluţie)

In practica problema determinării VRSC a CS aferente SRA este adeseori ingreunata de faptul că procesul este neliniar Trebuie insa observat si faptul ca la utilizarea unui element de masura (EM) liniar si a unui RG cu componenta I icircn RSC icircntre anumite limite icircn relaţia zinfin = f(winfin) neliniaritatile din proces nu sunt văzute CS aferenta fiind egala cu inversa CS aferente EM

43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate

Tipul de regulator utilizat are influenţă asupra comportarii SRA este vorba atacirct de proprietăţile de regim permanentizat cacirct şi de cele de regim dinamic In cele ce urmeaza se vor discuta numai aspecte legate de proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării icircn regimuri permanentizate ale SRA

In analiza prezentată se pleacă de la structura clasică de SRA din fig431 pentru cere se pot scrie următoarele relaţii (icircn operational λ)

(431) (432)

u

DC-N

y

C PC-C c

uN

AC A N

y

ER

)()(1)()(

λλλλ

PR

Nv HH

HH+

=)()(1

)()()(λλ

λλλPR

PRw HH

HHH+

=

9

Fig431 Schema bloc aferenta unui SRA

unde şi H⎩⎨⎧

=SDzSCs

λ N(λ) reprezintă partea din HP(λ) peste care acţionează perturbaţia

Observaţie Icircn cazul SD cum HN(z) de regulă nu exista ( v(t) este o mărime continua de timp) atunci HN(z) se calculeaza ca o extensie analitică a comportării icircn timp discret a sistemului continuu (cu luarea icircn seamă a ER) Ca urmare fdt a sistemului deschis va fi

B0(λ) H0(λ)=HR(λ)HP(λ) = mdashmdashmdashmdash (433-a) A0(λ)

Prezenţa componentei I icircn structura sistemului se constată prin verificarea condiţiei

(C) A0(0) = 0 adica s = 0 este o radacină (433-b)

(D) A0(1) = 0 adica z = 1 este o radacină (433-c)

(mai multe componente I presupun radacini multiple)

Pentru aplicaţiile practice prezintă interes următoarele comportări de regim permanentizat

A In raport cu referinţa w

- Comportarea de RSC helliphelliphelliphelliphelliptrarrinfin w(t) de tip treaptă

- Comportarea de RVChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin w(t) de tip rampă

B Icircn raport cu perturbaţia v

- Comportarea de RSChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin v(t) de tip treaptă

sistemul se considera aflat in RSC determinat de o referinţă constantă w0 care determina iesirea cu VRSC y0)

Pentru a analiza (SRA-c) proprietăţile induse de RG icircn comportarea de regim permanentizat se va lua icircn considerare cazul continual (λ = s) Cazul discret (λ = z) se tratează icircn manieră absolut identică şi conduce la aceleaşi rezultate diferenţa apare doar la modul de explicitare a teoremei valorii finale (TVF) diferit pentru cele două cazuri

bull Pentru cazul continual TVF ndash C se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( swsHsy w sdot= )()(lim)(lim)(lim00

swsHssystyy wsst rarrrarrinfinrarrinfin === (434-a)

bull Pentru cazul discret TVF ndash D se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( zwzHzy w sdot= )()()1(lim)())1(lim)(lim11

zwzHzzyzztyyzzt

minus=minus==rarrrarrinfinrarrinfin (434-b)

Prezentarile se vor face cu referire la exemplul sistem continual In baza schemei bloc din fig431 şi a rel(431)(432)(433) se pot scrie următoarele dependenţe

)()()(1

)()(

)()(1)()(

)()()()()( svsHsH

sHsw

sHsHsHsH

svsHswsHsyPR

N

PR

PRvw +

++

=+= (435-a)

10

)()()(1

)()()()(1

1)( svsHsH

sHswsHsH

sePR

N

PR +minus

+= (435-b)

in care fdt aferentă sistemului deschis poate fi explicitată sub forma

msTq e

sAsB

sksH minus=

)()()(

0

000 0

si (436) )()( 00

0 sAssA q=

icircn care pentru simplificarea scrierii se va omite evidenţierea modulului ce caracterizeaza timpul mort Tm = 0 generalitatea nu este afectata intru cat in RSC ( ) q0=minus msTe 0rarrs 0=0 1 2 este ordinul de multiplicitate al polului icircn origine (numarul de componente I ale sistemului deschis) si 0)0(

0 neA

Remarca In unele situatii prezinta interes si discutarea lui u(s) = f(w(s) v(s)) acest lucru se justifica prin faptul ca la nivelul EE m2(t) este o masura a puterii energiei introduse in proces (prin intermediul elementului de executie) si ca urmare u2(t) reprezinta o masura a efortului la nivelul comenzii

Icircn analiza prezentată icircn continuare se acceptă că polul icircn origine sqo (q0 = 0 1 2) este adus de RG De asemeni se acceptă că HN(s) nu conţine pol icircn origine Trebuie insa retinut faptul ca orice schimbare a condiţiilor (ipotezelor) in care se efectueaza analiza poate modifica rezultatele ei

Sistemul fiind liniar (in caz contrar nu se pot scrie fdt) comportarea de regim permanentizat poate fi analizată separat

- icircn raport cu referinţa w(t) - icircn raport cu perturbaţia v(t)

Pentru concluzia finală se aplica apoi principiul suprapunerii efectelor

Icircnlocuind (436) icircn (435) se obţin relaţiile generale intrare-ieşire

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00

0

00

00

0

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

sAsB

sk

sy

q

N

NN

q

q

lowast++

lowast+

lowast

= (437-a)

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

1)(

0

00

0

00

00

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

se

q

N

NN

q lowast+minus

lowast+= (437-b)

A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta

)()(1)( twtwws

sw σlowast== infininfin şi (438)

)()(1)( 2 twttwws

sw σlowastlowast== infininfin

icircn condiţiile icircn care v(t) = 0 (v(s) = 0) corespunzător rel(437) conduc la

)(

)()(

)()(

)(

0

00

0

00

0

sw

sAsB

ks

sAsB

ksy

q lowast+

lowast

= si )(

)()(

)(

0

00

0

0

sw

sAsB

ks

sseq

q

lowast+= (439)

Observaţie Explicitarea lui H0(s) icircn forma (436) a fost făcută acceptacircnd că

1)()(

00

0 ==ssAsB

adica coeficientul de transfer k0 a fost scos icircn afara formei raţionale

11

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 5: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

o Lipsa accesului prin măsurări la (unele) mărimi interioare ale (SRA) in particular ale - regulatorului (DC) - procesului (PC)

In astfel de situaţii se măsoară doar acele mărimi care sunt accesibile măsurărilor valorile altor marimi se deduc apoi pe baza de model matematic (dacă este posibil) din calcule sau se estimează (utilizarea estimatoarelor de masura) Caracteristici statice (CS) se vor construi numai pentru blocuri pentru care s-au putut accesa VRSC ale intrarii şi ieşirii

Important pentru aprecierea stabilirii RSC icircn sistem icircl constituie accesul la intrările elementelor de tip integrator (componentă I distinctă) In particular poate fi vorba de accesul la eroarea de reglare e(t) dacă regulatorul va conţine o componentă de tip I atunci icircn RSC se are

einfin = 0 (42-10)

ceea ce va confirma stabilirea RSC

o Adeseori blocurile funcţionale ale SRA (SRA icircn ansamblu) prezintă neliniaritaţi (continue) care fac ca şi CS aferentă blocului (sistemului) să rezulte neliniară fig423 Ataşarea unui MM liniar icircn jurul unui pdfsc va necesita parcurgerea operaţiilor de liniarizare şi de explicitare a MM-liniarizate icircn creşterile variabilalor de intrare şi de ieşire ale blocului

∆u(t) = u(t)ndashu0 ∆y(t) = y(t)ndashy0 respectiv (42-11-a) df |

∆yinfin=kbull∆uinfin k = mdashmdash | ndash coeficientul de transfer al S-Ln (42-11-b) du |A0

cu ltkgt = lt∆yinfin gtlt∆uinfin gt (42-11-c)

o Situatiile icircn care dependenţele de RSC (CS) sunt funcţie de o mărime (parametru funcţional) al blocului sistemului In astfel de cazuri se determină familii de caracteristici statice care au ca parametru mărimea (parametrul funcţional) al blocului icircn cauză

Fig423 CS neliniare şi interpretarea grafică a liniarizării

Exemplu Element de execuţie constacircnd dintr-o sursa de icircncălzire cu rezistor alimentat printr-o punte cu tiristoare fig424 care are ca intrare tensiunea de comandă uc iar ca ieşire puterea pe Elementul de execuţie este caracterizat de o dependenţă analitică neliniară dictată atacirct de comportarea amplificatorului de putere (AP) cacirct şi de procesul de conversie de energie din rezistenţă Astfel pentru blocurile din fig44 se pot scrie următoarele relaţii matematice (de aproximare)

- valoarea unghiului de comandă este dată de relaţia

α(t) = k bull uc(t) (42-12-a)

- valoarea medie a tensiunii redresate ud(t) este

ud(t) = ud0bullsin α (t) (42-13a)

- valoarea medie redresată depinde icircnsă şi de valoarea tensiunii de alimentare ũ(t) care poate fi considerat şi parametru

- icircn procesul de redresare se generează armonici astfel că valoarea efectivă a tensiunii trebuie definită icircn raport cu aceste armonici

5

udef(t) = (ud2(t) + ud1

2(t) + ud22(t) + )12 (42-14-a)

- puterea disipată pe rezistor va fi la racircndul ei caracteterizată de relaţia neliniară

pe(t) = udef2(t)R(t) cu R(t) = R0(1 + α(t)bull∆θ) (42-15-a)

rezistorul modificacircndu-şi rezistenţa funcţie de temperatură şi la racircndul său funcţie de timp

Liniarizarea MM-NL aferent EE (fig44) icircn jurul pdfsc de coordonate A0(uc0 α0 ud0 R0)

(4212-a) liniar rArr ∆α(t) = kbull∆uc(t) (42-12-b)

(4213-a) liniarizare rArr ∆ud(t) = ndash ud0(cos α0)bullkbull∆uc(t) (42-13-b

(4214-a) liniarizare rArr ∆udef(t) = K bull ∆ud(t) (4214-b)

(4215-a) liniarizare rArr ∆pe(t) = ndashkE1∆R(t) + kE2∆udef(t) (42-15-b)

Ca urmare se pot construi - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu o intrare şi o

ieşire pentru rel(42-13) hellip(42-14) - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu cu două intrări

pentru MM liniarizat (42-15) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale tensiunii de alimentare ũ(t) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale rezistenţei R0

Fig424 Element de execuţie ca exemplu de sistem neliniar

(b) Calculul analitic al VRSC aferente unui sistem Există diferite tehnici de calcul a VRSC aferente unui sistem (SRA) Aceste tehnici depind de următoarele

- forma de prezentare a MM aferent sistemului (tipul MM) reprezentarea sub care este cunoscută structura sistemului schema bloc şa)

- liniaritatea neliniaritatea MM - modul de tratare icircn timp a informaţiei (timp continuu timp discret) - informaţiile relative la unele VRSC ale sistemului şa

Situaţiile care apar mai frecvent icircn aplicaţii sunt sintetizate sub forma unor cazuri de studiu remarcabile In cele ce urmează se tratează doar situaţia liniară (liniarizată)

(1) Sistemul este caracterizat prin MM-ISI icircn domeniul timp Există mai multe cazuri remarcabile

bull Cazul sistemului continual (SC) Se consideră sistemul liniar de ordin n cu r intrări şi q ieşiri cu MM-ISI de forma

x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) (42-16)

In RSC se poate scrie x(t) = 0 respectiv (42-17) 0 = A xinfin + B uinfin yinfin = C xinfin (42-18)

(42-18) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute n = număr de stări (x) r = nr de intrări (u) q = număr de ieşiri (y) Prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului

Relativ la VRSC ale iesiri yinfin se obţine acelaşi rezultat daca se calculează (TVF)

yinfin = C (ndashA-1) B uinfin (42-19)

6

Important Dacă cele r VRSC cunoscute sunt tocmai mărimile de intrare atunci sistemul (considerat stabil) este icircntotdeauna compatibil

bull Cazul sistemului cu timp discret (SD) Se consideră sistemul liniar (stabil) de ord n cu r itrări şi q - ieşiri cu MM-ISI de forma

xk+1 = A xk + B uk yk = C xk (42-20)

In RSC se poate scrie xk+1 = xk = xinfin respectiv (42-21) xinfin = A xinfin + B uinfin respectiv (I - A) xinfin = B uinfin (42-22) yinfin = C xinfin sau yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin

(42-22) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute icircn care r este numărul intrărilor (u) n este numărul stărilor (x) q este numărul ieşirilor (y) prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului Acelaşi rezultat se obţine daca se calculează (TVF- in timp discret)

yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin (42-19)

(2) Sistemul este caracterizat de MM-II sau MM-ISI din domeniul operaţional Situaţiile care apar presupun

- explicitarea funcţie de intrări a expresiei operaţionale pentru ieşirea icircn cauză - aplicarea teoremei valorii finale (TVF)

De exemplu in cazul explicitarii generale a fdt in λ cu λ = s (SC) sau z (SD) dacă

y(λ) = H(λ )u(λ) cu H(λ ) = C (λI -A)-1 B (42-20)

atunci dupa caz prin aplicarea TVF se obţin VRSC pentru toate mărimile declarate ca mărimi de ieşire şi pentru care s-au evidenţiat dependenţele operaţionale ce prezintă interes 1 z - 1 z

yinfin = lim s H(s) mdash uinfin = H(0) uinfin sau yinfin = lim mdashmdash H(z) mdashmdash uinfin = H(1) uinfin (42-21) s rarr 0 s z rarr1 z z - 1

(3) Sistemul este caracterizat de schema bloc informaţională icircn care au fost evidenţiate distinct cele două blocuri funcţionale de bază RG şi PT şi pentru fiecare icircn parte au fost evidenţiate blocurile de tip D şi I celelalte blocuri fiind cu componentă P (b0 ne 0 şi a0 ne 0) Pot apare trei situaţii de bază

bull Sistem cu timp continuu cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei In vederea determinării VRSC din sistem se procedează astfel - Pentru fiecare din blocurile tipizate (I D P hellip) se explicitează condiţiile de funcţionare de RSC

şi relaţiile de calcul ale VRSC - ptr blocuri I ptr uinfin=0 rarr yinfin= ct valoare ce depinde de istoria anterioară - ptr blocuri D ptr uinfin=ct rarr yinfin= 0 - ptr blocuri P (PThellip) ptr uinfin=ct rarr yinfin=klowastuinfin

- Se obţine un sistem algebric cu dimensiunea dependentă de complexitatea sistemului icircn principiu (n+q) ecuaţii cu (n+q+r) VRSC

- Daca se cunosc un număr suficient de VRSC icircn raport cu care sistemul algebric este compatibil (de exemplu r - VRSC dar nu oricare) se pot calcula celelalte VRSC din sistem

Observaţie Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc I atunci pe intrarea acestuia se va pune condiţia de RSC intrare nulă uinfin= 0 Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc D pe ieşirea acestuia se va pune condiţia de RSC yinfin= 0 In raport cu aceste condiţii se calculează apoi ieşirea respectiv intrarea constantă a blocului (un calcul derulat icircn sens invers)

Exemplu Fie SRA cu structura dată prin schema bloc din fig425 Se cere

(1) Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(2) Să se traseze CS de prescriere si de sarcina ale SRA yinfin =f(winfin ) vinfin = 0 şi yinfin =f(vinfin) winfin = 5

7

(3) Se schimbă RG icircntr-un RG de tip PDT1 cu fdt 5 (s + 1)

HR(s) = mdashmdashmdashmdash 01s + 1

Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(4) Pentru situaţia de RG tip PI să se calculeze VRSC winfin - necesar astfel ca la vinfin = 200 ieşirea sistemului sa ia valoarea zinfin = 6100 Care sunt VRSC pentru celelalte mărimi ale sistemului

(5) Acceptacircnd că regulatorul se saturează la + 7 V sa se analizeze daca la o suprasarcina de vinfin = 350 unitati iesirea sistemului se poate mentine la valoarea de 6000o unitati

5

m1 v 3 1 10 02 ndash 5 09

w e u 5 m p q z

5 y ndash m2 (RG)

0001

Fig425 Aplicaţie de calcul a VRSC

Soluţie (1) RG este de tip PI ca urmare icircn RSC se are

einfin=0 ceea ce implică einfin = winfin ndash yinfin=0 yinfin=winfin

Relaţiile de RSC aferente diferitelor blocuri ale SRA sunt

Calcul ldquodin aproape icircn aproaperdquo conduce la VRSC

11110

1100~

1000500051~

5000500101

55

==

=+=

=lowast=

=lowast=

=rarr=

infin

infin

infininfininfin

infin

infin

infininfin

um

vpp

p

z

yw

infininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfin

lowast=lowast=

minus=lowast=

+=lowast=lowast=

zypz

vppmp

mmmumum

0010

~5

~10

55

21

2

1

Rezolvarea celorlalte puncte ale exemplului ramane in sarcina cititorului

bull Sistem cu timp discret cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei Procedura de calcul este absolut similară cu cea prezentată pentru cazul continuu Astfel

- Se scriu condiţiile de RSC pentru fiecare bloc al SRA blocurile I şi D se tratează icircn manieră similară cazului continual pentru blocurile cu componentă P H(1) ne0

- Sistemul algebric rezultat se soluţionează icircn condiţiile iniţiale impuse

bull Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei la nivelul PC - prelucrare cu timp continuu la nivelul RG (DC-N) ndash prelucrare cu timp discret Situaţia este specifică conducerii numerice a PC fig426

8

v

uc(t)

w z

y(t)

Fig426 Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei

Calculul de RSC se derulează separat pentru partea cu timp discret (DC-N) şi pentru partea de proces (cu timp continuu) joncţiunea icircntre cele două seturi de relaţii de RSC se realizează prin relaţiile

CNA (uinfin)=(ucinfin) CAN (yinfin)=(yinfin)

Ca urmare bull Icircn cadrul DC-N toate calculele se derulează ca şi cum mărimile ar fi reprezentate ca mărimi

continuale (icircn zecimal) similar se pune şi problema cu parametrii ce caracterizează algoritmii de reglare (kR Ti Td hellip pν qμ hellip )

bull DC-N va trebui să aibă adaptate intrările cu semnalele blocurilor adiacente (din proces) adică DC-N u(t) (ERCNA) rarr uc(t) rarr (EE din PC) PC y(t) (EŞCAN) rarr y(t) rarr (DC-N)

bull Sunt situaţii icircn care mărimile caracteristice ale DC-N w u y nu includ ca punct de funcţionare valoarea 0 De exemplu Dw= (4hellip20) mA Dy= (4hellip20) mA Du= (4hellip20) mA Chiar şi icircn această situaţie icircn RSC eroarea de reglare ia valoarea nulă einfin = 0 ţinacircnd seama de faptul că einfin = winfin ndash yinfin rezulta ca şi că prin aceasta se asigura winfin = yinfin De exemplu pentru winfin=7 mA la einfin= 0 se va asigura yinfin=7 mA

(4) Formulări specifice pentru problemele legate de calcul de VRSC In practica apar situatii de funcţionare icircn care problema determinării (calculul) VRSC trebuie formulata diferit de cele prezentate De exemplu se pot pune urmatoarele situatii bull Sistemul funcţionează cu o valoare zinfin=hellip dată (impusa) şi la o valoare vinfin=hellip impusă Să se

determine valoarea lui winfin cu care se asigura acest pdfsc bull Avacircnd winfin dat şi o limitare (maximă minimă) a valorii unei unor din sistem (dictate de exemplu

de nedepăşirea valorii nominale sau a unei valori maxim admise) să se calculeze VRSC vinfin cu care poate fi icircncărcat icircn RSC sistemul

bull Sistemul funcţionează cu o referinţă dată şi o valoare impusă pentru ieşire să se calculeze icircncărcarea perturbaţia aferentă (problema nu are totdeauna soluţie)

In practica problema determinării VRSC a CS aferente SRA este adeseori ingreunata de faptul că procesul este neliniar Trebuie insa observat si faptul ca la utilizarea unui element de masura (EM) liniar si a unui RG cu componenta I icircn RSC icircntre anumite limite icircn relaţia zinfin = f(winfin) neliniaritatile din proces nu sunt văzute CS aferenta fiind egala cu inversa CS aferente EM

43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate

Tipul de regulator utilizat are influenţă asupra comportarii SRA este vorba atacirct de proprietăţile de regim permanentizat cacirct şi de cele de regim dinamic In cele ce urmeaza se vor discuta numai aspecte legate de proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării icircn regimuri permanentizate ale SRA

In analiza prezentată se pleacă de la structura clasică de SRA din fig431 pentru cere se pot scrie următoarele relaţii (icircn operational λ)

(431) (432)

u

DC-N

y

C PC-C c

uN

AC A N

y

ER

)()(1)()(

λλλλ

PR

Nv HH

HH+

=)()(1

)()()(λλ

λλλPR

PRw HH

HHH+

=

9

Fig431 Schema bloc aferenta unui SRA

unde şi H⎩⎨⎧

=SDzSCs

λ N(λ) reprezintă partea din HP(λ) peste care acţionează perturbaţia

Observaţie Icircn cazul SD cum HN(z) de regulă nu exista ( v(t) este o mărime continua de timp) atunci HN(z) se calculeaza ca o extensie analitică a comportării icircn timp discret a sistemului continuu (cu luarea icircn seamă a ER) Ca urmare fdt a sistemului deschis va fi

B0(λ) H0(λ)=HR(λ)HP(λ) = mdashmdashmdashmdash (433-a) A0(λ)

Prezenţa componentei I icircn structura sistemului se constată prin verificarea condiţiei

(C) A0(0) = 0 adica s = 0 este o radacină (433-b)

(D) A0(1) = 0 adica z = 1 este o radacină (433-c)

(mai multe componente I presupun radacini multiple)

Pentru aplicaţiile practice prezintă interes următoarele comportări de regim permanentizat

A In raport cu referinţa w

- Comportarea de RSC helliphelliphelliphelliphelliptrarrinfin w(t) de tip treaptă

- Comportarea de RVChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin w(t) de tip rampă

B Icircn raport cu perturbaţia v

- Comportarea de RSChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin v(t) de tip treaptă

sistemul se considera aflat in RSC determinat de o referinţă constantă w0 care determina iesirea cu VRSC y0)

Pentru a analiza (SRA-c) proprietăţile induse de RG icircn comportarea de regim permanentizat se va lua icircn considerare cazul continual (λ = s) Cazul discret (λ = z) se tratează icircn manieră absolut identică şi conduce la aceleaşi rezultate diferenţa apare doar la modul de explicitare a teoremei valorii finale (TVF) diferit pentru cele două cazuri

bull Pentru cazul continual TVF ndash C se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( swsHsy w sdot= )()(lim)(lim)(lim00

swsHssystyy wsst rarrrarrinfinrarrinfin === (434-a)

bull Pentru cazul discret TVF ndash D se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( zwzHzy w sdot= )()()1(lim)())1(lim)(lim11

zwzHzzyzztyyzzt

minus=minus==rarrrarrinfinrarrinfin (434-b)

Prezentarile se vor face cu referire la exemplul sistem continual In baza schemei bloc din fig431 şi a rel(431)(432)(433) se pot scrie următoarele dependenţe

)()()(1

)()(

)()(1)()(

)()()()()( svsHsH

sHsw

sHsHsHsH

svsHswsHsyPR

N

PR

PRvw +

++

=+= (435-a)

10

)()()(1

)()()()(1

1)( svsHsH

sHswsHsH

sePR

N

PR +minus

+= (435-b)

in care fdt aferentă sistemului deschis poate fi explicitată sub forma

msTq e

sAsB

sksH minus=

)()()(

0

000 0

si (436) )()( 00

0 sAssA q=

icircn care pentru simplificarea scrierii se va omite evidenţierea modulului ce caracterizeaza timpul mort Tm = 0 generalitatea nu este afectata intru cat in RSC ( ) q0=minus msTe 0rarrs 0=0 1 2 este ordinul de multiplicitate al polului icircn origine (numarul de componente I ale sistemului deschis) si 0)0(

0 neA

Remarca In unele situatii prezinta interes si discutarea lui u(s) = f(w(s) v(s)) acest lucru se justifica prin faptul ca la nivelul EE m2(t) este o masura a puterii energiei introduse in proces (prin intermediul elementului de executie) si ca urmare u2(t) reprezinta o masura a efortului la nivelul comenzii

Icircn analiza prezentată icircn continuare se acceptă că polul icircn origine sqo (q0 = 0 1 2) este adus de RG De asemeni se acceptă că HN(s) nu conţine pol icircn origine Trebuie insa retinut faptul ca orice schimbare a condiţiilor (ipotezelor) in care se efectueaza analiza poate modifica rezultatele ei

Sistemul fiind liniar (in caz contrar nu se pot scrie fdt) comportarea de regim permanentizat poate fi analizată separat

- icircn raport cu referinţa w(t) - icircn raport cu perturbaţia v(t)

Pentru concluzia finală se aplica apoi principiul suprapunerii efectelor

Icircnlocuind (436) icircn (435) se obţin relaţiile generale intrare-ieşire

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00

0

00

00

0

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

sAsB

sk

sy

q

N

NN

q

q

lowast++

lowast+

lowast

= (437-a)

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

1)(

0

00

0

00

00

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

se

q

N

NN

q lowast+minus

lowast+= (437-b)

A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta

)()(1)( twtwws

sw σlowast== infininfin şi (438)

)()(1)( 2 twttwws

sw σlowastlowast== infininfin

icircn condiţiile icircn care v(t) = 0 (v(s) = 0) corespunzător rel(437) conduc la

)(

)()(

)()(

)(

0

00

0

00

0

sw

sAsB

ks

sAsB

ksy

q lowast+

lowast

= si )(

)()(

)(

0

00

0

0

sw

sAsB

ks

sseq

q

lowast+= (439)

Observaţie Explicitarea lui H0(s) icircn forma (436) a fost făcută acceptacircnd că

1)()(

00

0 ==ssAsB

adica coeficientul de transfer k0 a fost scos icircn afara formei raţionale

11

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 6: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

udef(t) = (ud2(t) + ud1

2(t) + ud22(t) + )12 (42-14-a)

- puterea disipată pe rezistor va fi la racircndul ei caracteterizată de relaţia neliniară

pe(t) = udef2(t)R(t) cu R(t) = R0(1 + α(t)bull∆θ) (42-15-a)

rezistorul modificacircndu-şi rezistenţa funcţie de temperatură şi la racircndul său funcţie de timp

Liniarizarea MM-NL aferent EE (fig44) icircn jurul pdfsc de coordonate A0(uc0 α0 ud0 R0)

(4212-a) liniar rArr ∆α(t) = kbull∆uc(t) (42-12-b)

(4213-a) liniarizare rArr ∆ud(t) = ndash ud0(cos α0)bullkbull∆uc(t) (42-13-b

(4214-a) liniarizare rArr ∆udef(t) = K bull ∆ud(t) (4214-b)

(4215-a) liniarizare rArr ∆pe(t) = ndashkE1∆R(t) + kE2∆udef(t) (42-15-b)

Ca urmare se pot construi - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu o intrare şi o

ieşire pentru rel(42-13) hellip(42-14) - un MM neliniar şi o CS neliniară apoi un MM liniarizat şi o CS liniarizaţă cu cu două intrări

pentru MM liniarizat (42-15) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale tensiunii de alimentare ũ(t) - parametrizări ale CS pentru diferite valori ale rezistenţei R0

Fig424 Element de execuţie ca exemplu de sistem neliniar

(b) Calculul analitic al VRSC aferente unui sistem Există diferite tehnici de calcul a VRSC aferente unui sistem (SRA) Aceste tehnici depind de următoarele

- forma de prezentare a MM aferent sistemului (tipul MM) reprezentarea sub care este cunoscută structura sistemului schema bloc şa)

- liniaritatea neliniaritatea MM - modul de tratare icircn timp a informaţiei (timp continuu timp discret) - informaţiile relative la unele VRSC ale sistemului şa

Situaţiile care apar mai frecvent icircn aplicaţii sunt sintetizate sub forma unor cazuri de studiu remarcabile In cele ce urmează se tratează doar situaţia liniară (liniarizată)

(1) Sistemul este caracterizat prin MM-ISI icircn domeniul timp Există mai multe cazuri remarcabile

bull Cazul sistemului continual (SC) Se consideră sistemul liniar de ordin n cu r intrări şi q ieşiri cu MM-ISI de forma

x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) (42-16)

In RSC se poate scrie x(t) = 0 respectiv (42-17) 0 = A xinfin + B uinfin yinfin = C xinfin (42-18)

(42-18) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute n = număr de stări (x) r = nr de intrări (u) q = număr de ieşiri (y) Prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului

Relativ la VRSC ale iesiri yinfin se obţine acelaşi rezultat daca se calculează (TVF)

yinfin = C (ndashA-1) B uinfin (42-19)

6

Important Dacă cele r VRSC cunoscute sunt tocmai mărimile de intrare atunci sistemul (considerat stabil) este icircntotdeauna compatibil

bull Cazul sistemului cu timp discret (SD) Se consideră sistemul liniar (stabil) de ord n cu r itrări şi q - ieşiri cu MM-ISI de forma

xk+1 = A xk + B uk yk = C xk (42-20)

In RSC se poate scrie xk+1 = xk = xinfin respectiv (42-21) xinfin = A xinfin + B uinfin respectiv (I - A) xinfin = B uinfin (42-22) yinfin = C xinfin sau yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin

(42-22) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute icircn care r este numărul intrărilor (u) n este numărul stărilor (x) q este numărul ieşirilor (y) prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului Acelaşi rezultat se obţine daca se calculează (TVF- in timp discret)

yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin (42-19)

(2) Sistemul este caracterizat de MM-II sau MM-ISI din domeniul operaţional Situaţiile care apar presupun

- explicitarea funcţie de intrări a expresiei operaţionale pentru ieşirea icircn cauză - aplicarea teoremei valorii finale (TVF)

De exemplu in cazul explicitarii generale a fdt in λ cu λ = s (SC) sau z (SD) dacă

y(λ) = H(λ )u(λ) cu H(λ ) = C (λI -A)-1 B (42-20)

atunci dupa caz prin aplicarea TVF se obţin VRSC pentru toate mărimile declarate ca mărimi de ieşire şi pentru care s-au evidenţiat dependenţele operaţionale ce prezintă interes 1 z - 1 z

yinfin = lim s H(s) mdash uinfin = H(0) uinfin sau yinfin = lim mdashmdash H(z) mdashmdash uinfin = H(1) uinfin (42-21) s rarr 0 s z rarr1 z z - 1

(3) Sistemul este caracterizat de schema bloc informaţională icircn care au fost evidenţiate distinct cele două blocuri funcţionale de bază RG şi PT şi pentru fiecare icircn parte au fost evidenţiate blocurile de tip D şi I celelalte blocuri fiind cu componentă P (b0 ne 0 şi a0 ne 0) Pot apare trei situaţii de bază

bull Sistem cu timp continuu cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei In vederea determinării VRSC din sistem se procedează astfel - Pentru fiecare din blocurile tipizate (I D P hellip) se explicitează condiţiile de funcţionare de RSC

şi relaţiile de calcul ale VRSC - ptr blocuri I ptr uinfin=0 rarr yinfin= ct valoare ce depinde de istoria anterioară - ptr blocuri D ptr uinfin=ct rarr yinfin= 0 - ptr blocuri P (PThellip) ptr uinfin=ct rarr yinfin=klowastuinfin

- Se obţine un sistem algebric cu dimensiunea dependentă de complexitatea sistemului icircn principiu (n+q) ecuaţii cu (n+q+r) VRSC

- Daca se cunosc un număr suficient de VRSC icircn raport cu care sistemul algebric este compatibil (de exemplu r - VRSC dar nu oricare) se pot calcula celelalte VRSC din sistem

Observaţie Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc I atunci pe intrarea acestuia se va pune condiţia de RSC intrare nulă uinfin= 0 Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc D pe ieşirea acestuia se va pune condiţia de RSC yinfin= 0 In raport cu aceste condiţii se calculează apoi ieşirea respectiv intrarea constantă a blocului (un calcul derulat icircn sens invers)

Exemplu Fie SRA cu structura dată prin schema bloc din fig425 Se cere

(1) Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(2) Să se traseze CS de prescriere si de sarcina ale SRA yinfin =f(winfin ) vinfin = 0 şi yinfin =f(vinfin) winfin = 5

7

(3) Se schimbă RG icircntr-un RG de tip PDT1 cu fdt 5 (s + 1)

HR(s) = mdashmdashmdashmdash 01s + 1

Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(4) Pentru situaţia de RG tip PI să se calculeze VRSC winfin - necesar astfel ca la vinfin = 200 ieşirea sistemului sa ia valoarea zinfin = 6100 Care sunt VRSC pentru celelalte mărimi ale sistemului

(5) Acceptacircnd că regulatorul se saturează la + 7 V sa se analizeze daca la o suprasarcina de vinfin = 350 unitati iesirea sistemului se poate mentine la valoarea de 6000o unitati

5

m1 v 3 1 10 02 ndash 5 09

w e u 5 m p q z

5 y ndash m2 (RG)

0001

Fig425 Aplicaţie de calcul a VRSC

Soluţie (1) RG este de tip PI ca urmare icircn RSC se are

einfin=0 ceea ce implică einfin = winfin ndash yinfin=0 yinfin=winfin

Relaţiile de RSC aferente diferitelor blocuri ale SRA sunt

Calcul ldquodin aproape icircn aproaperdquo conduce la VRSC

11110

1100~

1000500051~

5000500101

55

==

=+=

=lowast=

=lowast=

=rarr=

infin

infin

infininfininfin

infin

infin

infininfin

um

vpp

p

z

yw

infininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfin

lowast=lowast=

minus=lowast=

+=lowast=lowast=

zypz

vppmp

mmmumum

0010

~5

~10

55

21

2

1

Rezolvarea celorlalte puncte ale exemplului ramane in sarcina cititorului

bull Sistem cu timp discret cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei Procedura de calcul este absolut similară cu cea prezentată pentru cazul continuu Astfel

- Se scriu condiţiile de RSC pentru fiecare bloc al SRA blocurile I şi D se tratează icircn manieră similară cazului continual pentru blocurile cu componentă P H(1) ne0

- Sistemul algebric rezultat se soluţionează icircn condiţiile iniţiale impuse

bull Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei la nivelul PC - prelucrare cu timp continuu la nivelul RG (DC-N) ndash prelucrare cu timp discret Situaţia este specifică conducerii numerice a PC fig426

8

v

uc(t)

w z

y(t)

Fig426 Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei

Calculul de RSC se derulează separat pentru partea cu timp discret (DC-N) şi pentru partea de proces (cu timp continuu) joncţiunea icircntre cele două seturi de relaţii de RSC se realizează prin relaţiile

CNA (uinfin)=(ucinfin) CAN (yinfin)=(yinfin)

Ca urmare bull Icircn cadrul DC-N toate calculele se derulează ca şi cum mărimile ar fi reprezentate ca mărimi

continuale (icircn zecimal) similar se pune şi problema cu parametrii ce caracterizează algoritmii de reglare (kR Ti Td hellip pν qμ hellip )

bull DC-N va trebui să aibă adaptate intrările cu semnalele blocurilor adiacente (din proces) adică DC-N u(t) (ERCNA) rarr uc(t) rarr (EE din PC) PC y(t) (EŞCAN) rarr y(t) rarr (DC-N)

bull Sunt situaţii icircn care mărimile caracteristice ale DC-N w u y nu includ ca punct de funcţionare valoarea 0 De exemplu Dw= (4hellip20) mA Dy= (4hellip20) mA Du= (4hellip20) mA Chiar şi icircn această situaţie icircn RSC eroarea de reglare ia valoarea nulă einfin = 0 ţinacircnd seama de faptul că einfin = winfin ndash yinfin rezulta ca şi că prin aceasta se asigura winfin = yinfin De exemplu pentru winfin=7 mA la einfin= 0 se va asigura yinfin=7 mA

(4) Formulări specifice pentru problemele legate de calcul de VRSC In practica apar situatii de funcţionare icircn care problema determinării (calculul) VRSC trebuie formulata diferit de cele prezentate De exemplu se pot pune urmatoarele situatii bull Sistemul funcţionează cu o valoare zinfin=hellip dată (impusa) şi la o valoare vinfin=hellip impusă Să se

determine valoarea lui winfin cu care se asigura acest pdfsc bull Avacircnd winfin dat şi o limitare (maximă minimă) a valorii unei unor din sistem (dictate de exemplu

de nedepăşirea valorii nominale sau a unei valori maxim admise) să se calculeze VRSC vinfin cu care poate fi icircncărcat icircn RSC sistemul

bull Sistemul funcţionează cu o referinţă dată şi o valoare impusă pentru ieşire să se calculeze icircncărcarea perturbaţia aferentă (problema nu are totdeauna soluţie)

In practica problema determinării VRSC a CS aferente SRA este adeseori ingreunata de faptul că procesul este neliniar Trebuie insa observat si faptul ca la utilizarea unui element de masura (EM) liniar si a unui RG cu componenta I icircn RSC icircntre anumite limite icircn relaţia zinfin = f(winfin) neliniaritatile din proces nu sunt văzute CS aferenta fiind egala cu inversa CS aferente EM

43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate

Tipul de regulator utilizat are influenţă asupra comportarii SRA este vorba atacirct de proprietăţile de regim permanentizat cacirct şi de cele de regim dinamic In cele ce urmeaza se vor discuta numai aspecte legate de proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării icircn regimuri permanentizate ale SRA

In analiza prezentată se pleacă de la structura clasică de SRA din fig431 pentru cere se pot scrie următoarele relaţii (icircn operational λ)

(431) (432)

u

DC-N

y

C PC-C c

uN

AC A N

y

ER

)()(1)()(

λλλλ

PR

Nv HH

HH+

=)()(1

)()()(λλ

λλλPR

PRw HH

HHH+

=

9

Fig431 Schema bloc aferenta unui SRA

unde şi H⎩⎨⎧

=SDzSCs

λ N(λ) reprezintă partea din HP(λ) peste care acţionează perturbaţia

Observaţie Icircn cazul SD cum HN(z) de regulă nu exista ( v(t) este o mărime continua de timp) atunci HN(z) se calculeaza ca o extensie analitică a comportării icircn timp discret a sistemului continuu (cu luarea icircn seamă a ER) Ca urmare fdt a sistemului deschis va fi

B0(λ) H0(λ)=HR(λ)HP(λ) = mdashmdashmdashmdash (433-a) A0(λ)

Prezenţa componentei I icircn structura sistemului se constată prin verificarea condiţiei

(C) A0(0) = 0 adica s = 0 este o radacină (433-b)

(D) A0(1) = 0 adica z = 1 este o radacină (433-c)

(mai multe componente I presupun radacini multiple)

Pentru aplicaţiile practice prezintă interes următoarele comportări de regim permanentizat

A In raport cu referinţa w

- Comportarea de RSC helliphelliphelliphelliphelliptrarrinfin w(t) de tip treaptă

- Comportarea de RVChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin w(t) de tip rampă

B Icircn raport cu perturbaţia v

- Comportarea de RSChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin v(t) de tip treaptă

sistemul se considera aflat in RSC determinat de o referinţă constantă w0 care determina iesirea cu VRSC y0)

Pentru a analiza (SRA-c) proprietăţile induse de RG icircn comportarea de regim permanentizat se va lua icircn considerare cazul continual (λ = s) Cazul discret (λ = z) se tratează icircn manieră absolut identică şi conduce la aceleaşi rezultate diferenţa apare doar la modul de explicitare a teoremei valorii finale (TVF) diferit pentru cele două cazuri

bull Pentru cazul continual TVF ndash C se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( swsHsy w sdot= )()(lim)(lim)(lim00

swsHssystyy wsst rarrrarrinfinrarrinfin === (434-a)

bull Pentru cazul discret TVF ndash D se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( zwzHzy w sdot= )()()1(lim)())1(lim)(lim11

zwzHzzyzztyyzzt

minus=minus==rarrrarrinfinrarrinfin (434-b)

Prezentarile se vor face cu referire la exemplul sistem continual In baza schemei bloc din fig431 şi a rel(431)(432)(433) se pot scrie următoarele dependenţe

)()()(1

)()(

)()(1)()(

)()()()()( svsHsH

sHsw

sHsHsHsH

svsHswsHsyPR

N

PR

PRvw +

++

=+= (435-a)

10

)()()(1

)()()()(1

1)( svsHsH

sHswsHsH

sePR

N

PR +minus

+= (435-b)

in care fdt aferentă sistemului deschis poate fi explicitată sub forma

msTq e

sAsB

sksH minus=

)()()(

0

000 0

si (436) )()( 00

0 sAssA q=

icircn care pentru simplificarea scrierii se va omite evidenţierea modulului ce caracterizeaza timpul mort Tm = 0 generalitatea nu este afectata intru cat in RSC ( ) q0=minus msTe 0rarrs 0=0 1 2 este ordinul de multiplicitate al polului icircn origine (numarul de componente I ale sistemului deschis) si 0)0(

0 neA

Remarca In unele situatii prezinta interes si discutarea lui u(s) = f(w(s) v(s)) acest lucru se justifica prin faptul ca la nivelul EE m2(t) este o masura a puterii energiei introduse in proces (prin intermediul elementului de executie) si ca urmare u2(t) reprezinta o masura a efortului la nivelul comenzii

Icircn analiza prezentată icircn continuare se acceptă că polul icircn origine sqo (q0 = 0 1 2) este adus de RG De asemeni se acceptă că HN(s) nu conţine pol icircn origine Trebuie insa retinut faptul ca orice schimbare a condiţiilor (ipotezelor) in care se efectueaza analiza poate modifica rezultatele ei

Sistemul fiind liniar (in caz contrar nu se pot scrie fdt) comportarea de regim permanentizat poate fi analizată separat

- icircn raport cu referinţa w(t) - icircn raport cu perturbaţia v(t)

Pentru concluzia finală se aplica apoi principiul suprapunerii efectelor

Icircnlocuind (436) icircn (435) se obţin relaţiile generale intrare-ieşire

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00

0

00

00

0

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

sAsB

sk

sy

q

N

NN

q

q

lowast++

lowast+

lowast

= (437-a)

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

1)(

0

00

0

00

00

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

se

q

N

NN

q lowast+minus

lowast+= (437-b)

A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta

)()(1)( twtwws

sw σlowast== infininfin şi (438)

)()(1)( 2 twttwws

sw σlowastlowast== infininfin

icircn condiţiile icircn care v(t) = 0 (v(s) = 0) corespunzător rel(437) conduc la

)(

)()(

)()(

)(

0

00

0

00

0

sw

sAsB

ks

sAsB

ksy

q lowast+

lowast

= si )(

)()(

)(

0

00

0

0

sw

sAsB

ks

sseq

q

lowast+= (439)

Observaţie Explicitarea lui H0(s) icircn forma (436) a fost făcută acceptacircnd că

1)()(

00

0 ==ssAsB

adica coeficientul de transfer k0 a fost scos icircn afara formei raţionale

11

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 7: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

Important Dacă cele r VRSC cunoscute sunt tocmai mărimile de intrare atunci sistemul (considerat stabil) este icircntotdeauna compatibil

bull Cazul sistemului cu timp discret (SD) Se consideră sistemul liniar (stabil) de ord n cu r itrări şi q - ieşiri cu MM-ISI de forma

xk+1 = A xk + B uk yk = C xk (42-20)

In RSC se poate scrie xk+1 = xk = xinfin respectiv (42-21) xinfin = A xinfin + B uinfin respectiv (I - A) xinfin = B uinfin (42-22) yinfin = C xinfin sau yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin

(42-22) este un sistem algebric de (n+q) ecuaţii icircn (n+r+q) necunoscute icircn care r este numărul intrărilor (u) n este numărul stărilor (x) q este numărul ieşirilor (y) prin rezolvarea sistemului algebric (42-18) se pot determina n+q VRSC cu condiţia ca cele r VRSC cunoscute să asigure compatibilitatea sistemului Acelaşi rezultat se obţine daca se calculează (TVF- in timp discret)

yinfin = C (I ndash A)ndash1 B uinfin (42-19)

(2) Sistemul este caracterizat de MM-II sau MM-ISI din domeniul operaţional Situaţiile care apar presupun

- explicitarea funcţie de intrări a expresiei operaţionale pentru ieşirea icircn cauză - aplicarea teoremei valorii finale (TVF)

De exemplu in cazul explicitarii generale a fdt in λ cu λ = s (SC) sau z (SD) dacă

y(λ) = H(λ )u(λ) cu H(λ ) = C (λI -A)-1 B (42-20)

atunci dupa caz prin aplicarea TVF se obţin VRSC pentru toate mărimile declarate ca mărimi de ieşire şi pentru care s-au evidenţiat dependenţele operaţionale ce prezintă interes 1 z - 1 z

yinfin = lim s H(s) mdash uinfin = H(0) uinfin sau yinfin = lim mdashmdash H(z) mdashmdash uinfin = H(1) uinfin (42-21) s rarr 0 s z rarr1 z z - 1

(3) Sistemul este caracterizat de schema bloc informaţională icircn care au fost evidenţiate distinct cele două blocuri funcţionale de bază RG şi PT şi pentru fiecare icircn parte au fost evidenţiate blocurile de tip D şi I celelalte blocuri fiind cu componentă P (b0 ne 0 şi a0 ne 0) Pot apare trei situaţii de bază

bull Sistem cu timp continuu cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei In vederea determinării VRSC din sistem se procedează astfel - Pentru fiecare din blocurile tipizate (I D P hellip) se explicitează condiţiile de funcţionare de RSC

şi relaţiile de calcul ale VRSC - ptr blocuri I ptr uinfin=0 rarr yinfin= ct valoare ce depinde de istoria anterioară - ptr blocuri D ptr uinfin=ct rarr yinfin= 0 - ptr blocuri P (PThellip) ptr uinfin=ct rarr yinfin=klowastuinfin

- Se obţine un sistem algebric cu dimensiunea dependentă de complexitatea sistemului icircn principiu (n+q) ecuaţii cu (n+q+r) VRSC

- Daca se cunosc un număr suficient de VRSC icircn raport cu care sistemul algebric este compatibil (de exemplu r - VRSC dar nu oricare) se pot calcula celelalte VRSC din sistem

Observaţie Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc I atunci pe intrarea acestuia se va pune condiţia de RSC intrare nulă uinfin= 0 Ori de cacircte ori icircn schema bloc a SRA (PC) apare un bloc D pe ieşirea acestuia se va pune condiţia de RSC yinfin= 0 In raport cu aceste condiţii se calculează apoi ieşirea respectiv intrarea constantă a blocului (un calcul derulat icircn sens invers)

Exemplu Fie SRA cu structura dată prin schema bloc din fig425 Se cere

(1) Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(2) Să se traseze CS de prescriere si de sarcina ale SRA yinfin =f(winfin ) vinfin = 0 şi yinfin =f(vinfin) winfin = 5

7

(3) Se schimbă RG icircntr-un RG de tip PDT1 cu fdt 5 (s + 1)

HR(s) = mdashmdashmdashmdash 01s + 1

Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(4) Pentru situaţia de RG tip PI să se calculeze VRSC winfin - necesar astfel ca la vinfin = 200 ieşirea sistemului sa ia valoarea zinfin = 6100 Care sunt VRSC pentru celelalte mărimi ale sistemului

(5) Acceptacircnd că regulatorul se saturează la + 7 V sa se analizeze daca la o suprasarcina de vinfin = 350 unitati iesirea sistemului se poate mentine la valoarea de 6000o unitati

5

m1 v 3 1 10 02 ndash 5 09

w e u 5 m p q z

5 y ndash m2 (RG)

0001

Fig425 Aplicaţie de calcul a VRSC

Soluţie (1) RG este de tip PI ca urmare icircn RSC se are

einfin=0 ceea ce implică einfin = winfin ndash yinfin=0 yinfin=winfin

Relaţiile de RSC aferente diferitelor blocuri ale SRA sunt

Calcul ldquodin aproape icircn aproaperdquo conduce la VRSC

11110

1100~

1000500051~

5000500101

55

==

=+=

=lowast=

=lowast=

=rarr=

infin

infin

infininfininfin

infin

infin

infininfin

um

vpp

p

z

yw

infininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfin

lowast=lowast=

minus=lowast=

+=lowast=lowast=

zypz

vppmp

mmmumum

0010

~5

~10

55

21

2

1

Rezolvarea celorlalte puncte ale exemplului ramane in sarcina cititorului

bull Sistem cu timp discret cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei Procedura de calcul este absolut similară cu cea prezentată pentru cazul continuu Astfel

- Se scriu condiţiile de RSC pentru fiecare bloc al SRA blocurile I şi D se tratează icircn manieră similară cazului continual pentru blocurile cu componentă P H(1) ne0

- Sistemul algebric rezultat se soluţionează icircn condiţiile iniţiale impuse

bull Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei la nivelul PC - prelucrare cu timp continuu la nivelul RG (DC-N) ndash prelucrare cu timp discret Situaţia este specifică conducerii numerice a PC fig426

8

v

uc(t)

w z

y(t)

Fig426 Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei

Calculul de RSC se derulează separat pentru partea cu timp discret (DC-N) şi pentru partea de proces (cu timp continuu) joncţiunea icircntre cele două seturi de relaţii de RSC se realizează prin relaţiile

CNA (uinfin)=(ucinfin) CAN (yinfin)=(yinfin)

Ca urmare bull Icircn cadrul DC-N toate calculele se derulează ca şi cum mărimile ar fi reprezentate ca mărimi

continuale (icircn zecimal) similar se pune şi problema cu parametrii ce caracterizează algoritmii de reglare (kR Ti Td hellip pν qμ hellip )

bull DC-N va trebui să aibă adaptate intrările cu semnalele blocurilor adiacente (din proces) adică DC-N u(t) (ERCNA) rarr uc(t) rarr (EE din PC) PC y(t) (EŞCAN) rarr y(t) rarr (DC-N)

bull Sunt situaţii icircn care mărimile caracteristice ale DC-N w u y nu includ ca punct de funcţionare valoarea 0 De exemplu Dw= (4hellip20) mA Dy= (4hellip20) mA Du= (4hellip20) mA Chiar şi icircn această situaţie icircn RSC eroarea de reglare ia valoarea nulă einfin = 0 ţinacircnd seama de faptul că einfin = winfin ndash yinfin rezulta ca şi că prin aceasta se asigura winfin = yinfin De exemplu pentru winfin=7 mA la einfin= 0 se va asigura yinfin=7 mA

(4) Formulări specifice pentru problemele legate de calcul de VRSC In practica apar situatii de funcţionare icircn care problema determinării (calculul) VRSC trebuie formulata diferit de cele prezentate De exemplu se pot pune urmatoarele situatii bull Sistemul funcţionează cu o valoare zinfin=hellip dată (impusa) şi la o valoare vinfin=hellip impusă Să se

determine valoarea lui winfin cu care se asigura acest pdfsc bull Avacircnd winfin dat şi o limitare (maximă minimă) a valorii unei unor din sistem (dictate de exemplu

de nedepăşirea valorii nominale sau a unei valori maxim admise) să se calculeze VRSC vinfin cu care poate fi icircncărcat icircn RSC sistemul

bull Sistemul funcţionează cu o referinţă dată şi o valoare impusă pentru ieşire să se calculeze icircncărcarea perturbaţia aferentă (problema nu are totdeauna soluţie)

In practica problema determinării VRSC a CS aferente SRA este adeseori ingreunata de faptul că procesul este neliniar Trebuie insa observat si faptul ca la utilizarea unui element de masura (EM) liniar si a unui RG cu componenta I icircn RSC icircntre anumite limite icircn relaţia zinfin = f(winfin) neliniaritatile din proces nu sunt văzute CS aferenta fiind egala cu inversa CS aferente EM

43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate

Tipul de regulator utilizat are influenţă asupra comportarii SRA este vorba atacirct de proprietăţile de regim permanentizat cacirct şi de cele de regim dinamic In cele ce urmeaza se vor discuta numai aspecte legate de proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării icircn regimuri permanentizate ale SRA

In analiza prezentată se pleacă de la structura clasică de SRA din fig431 pentru cere se pot scrie următoarele relaţii (icircn operational λ)

(431) (432)

u

DC-N

y

C PC-C c

uN

AC A N

y

ER

)()(1)()(

λλλλ

PR

Nv HH

HH+

=)()(1

)()()(λλ

λλλPR

PRw HH

HHH+

=

9

Fig431 Schema bloc aferenta unui SRA

unde şi H⎩⎨⎧

=SDzSCs

λ N(λ) reprezintă partea din HP(λ) peste care acţionează perturbaţia

Observaţie Icircn cazul SD cum HN(z) de regulă nu exista ( v(t) este o mărime continua de timp) atunci HN(z) se calculeaza ca o extensie analitică a comportării icircn timp discret a sistemului continuu (cu luarea icircn seamă a ER) Ca urmare fdt a sistemului deschis va fi

B0(λ) H0(λ)=HR(λ)HP(λ) = mdashmdashmdashmdash (433-a) A0(λ)

Prezenţa componentei I icircn structura sistemului se constată prin verificarea condiţiei

(C) A0(0) = 0 adica s = 0 este o radacină (433-b)

(D) A0(1) = 0 adica z = 1 este o radacină (433-c)

(mai multe componente I presupun radacini multiple)

Pentru aplicaţiile practice prezintă interes următoarele comportări de regim permanentizat

A In raport cu referinţa w

- Comportarea de RSC helliphelliphelliphelliphelliptrarrinfin w(t) de tip treaptă

- Comportarea de RVChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin w(t) de tip rampă

B Icircn raport cu perturbaţia v

- Comportarea de RSChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin v(t) de tip treaptă

sistemul se considera aflat in RSC determinat de o referinţă constantă w0 care determina iesirea cu VRSC y0)

Pentru a analiza (SRA-c) proprietăţile induse de RG icircn comportarea de regim permanentizat se va lua icircn considerare cazul continual (λ = s) Cazul discret (λ = z) se tratează icircn manieră absolut identică şi conduce la aceleaşi rezultate diferenţa apare doar la modul de explicitare a teoremei valorii finale (TVF) diferit pentru cele două cazuri

bull Pentru cazul continual TVF ndash C se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( swsHsy w sdot= )()(lim)(lim)(lim00

swsHssystyy wsst rarrrarrinfinrarrinfin === (434-a)

bull Pentru cazul discret TVF ndash D se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( zwzHzy w sdot= )()()1(lim)())1(lim)(lim11

zwzHzzyzztyyzzt

minus=minus==rarrrarrinfinrarrinfin (434-b)

Prezentarile se vor face cu referire la exemplul sistem continual In baza schemei bloc din fig431 şi a rel(431)(432)(433) se pot scrie următoarele dependenţe

)()()(1

)()(

)()(1)()(

)()()()()( svsHsH

sHsw

sHsHsHsH

svsHswsHsyPR

N

PR

PRvw +

++

=+= (435-a)

10

)()()(1

)()()()(1

1)( svsHsH

sHswsHsH

sePR

N

PR +minus

+= (435-b)

in care fdt aferentă sistemului deschis poate fi explicitată sub forma

msTq e

sAsB

sksH minus=

)()()(

0

000 0

si (436) )()( 00

0 sAssA q=

icircn care pentru simplificarea scrierii se va omite evidenţierea modulului ce caracterizeaza timpul mort Tm = 0 generalitatea nu este afectata intru cat in RSC ( ) q0=minus msTe 0rarrs 0=0 1 2 este ordinul de multiplicitate al polului icircn origine (numarul de componente I ale sistemului deschis) si 0)0(

0 neA

Remarca In unele situatii prezinta interes si discutarea lui u(s) = f(w(s) v(s)) acest lucru se justifica prin faptul ca la nivelul EE m2(t) este o masura a puterii energiei introduse in proces (prin intermediul elementului de executie) si ca urmare u2(t) reprezinta o masura a efortului la nivelul comenzii

Icircn analiza prezentată icircn continuare se acceptă că polul icircn origine sqo (q0 = 0 1 2) este adus de RG De asemeni se acceptă că HN(s) nu conţine pol icircn origine Trebuie insa retinut faptul ca orice schimbare a condiţiilor (ipotezelor) in care se efectueaza analiza poate modifica rezultatele ei

Sistemul fiind liniar (in caz contrar nu se pot scrie fdt) comportarea de regim permanentizat poate fi analizată separat

- icircn raport cu referinţa w(t) - icircn raport cu perturbaţia v(t)

Pentru concluzia finală se aplica apoi principiul suprapunerii efectelor

Icircnlocuind (436) icircn (435) se obţin relaţiile generale intrare-ieşire

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00

0

00

00

0

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

sAsB

sk

sy

q

N

NN

q

q

lowast++

lowast+

lowast

= (437-a)

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

1)(

0

00

0

00

00

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

se

q

N

NN

q lowast+minus

lowast+= (437-b)

A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta

)()(1)( twtwws

sw σlowast== infininfin şi (438)

)()(1)( 2 twttwws

sw σlowastlowast== infininfin

icircn condiţiile icircn care v(t) = 0 (v(s) = 0) corespunzător rel(437) conduc la

)(

)()(

)()(

)(

0

00

0

00

0

sw

sAsB

ks

sAsB

ksy

q lowast+

lowast

= si )(

)()(

)(

0

00

0

0

sw

sAsB

ks

sseq

q

lowast+= (439)

Observaţie Explicitarea lui H0(s) icircn forma (436) a fost făcută acceptacircnd că

1)()(

00

0 ==ssAsB

adica coeficientul de transfer k0 a fost scos icircn afara formei raţionale

11

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 8: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

(3) Se schimbă RG icircntr-un RG de tip PDT1 cu fdt 5 (s + 1)

HR(s) = mdashmdashmdashmdash 01s + 1

Să se calculeze VRSC din sistem cunoscacircnd VRSC winfin=5 şi vinfin=100

(4) Pentru situaţia de RG tip PI să se calculeze VRSC winfin - necesar astfel ca la vinfin = 200 ieşirea sistemului sa ia valoarea zinfin = 6100 Care sunt VRSC pentru celelalte mărimi ale sistemului

(5) Acceptacircnd că regulatorul se saturează la + 7 V sa se analizeze daca la o suprasarcina de vinfin = 350 unitati iesirea sistemului se poate mentine la valoarea de 6000o unitati

5

m1 v 3 1 10 02 ndash 5 09

w e u 5 m p q z

5 y ndash m2 (RG)

0001

Fig425 Aplicaţie de calcul a VRSC

Soluţie (1) RG este de tip PI ca urmare icircn RSC se are

einfin=0 ceea ce implică einfin = winfin ndash yinfin=0 yinfin=winfin

Relaţiile de RSC aferente diferitelor blocuri ale SRA sunt

Calcul ldquodin aproape icircn aproaperdquo conduce la VRSC

11110

1100~

1000500051~

5000500101

55

==

=+=

=lowast=

=lowast=

=rarr=

infin

infin

infininfininfin

infin

infin

infininfin

um

vpp

p

z

yw

infininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfininfin

infininfin

infininfin

lowast=lowast=

minus=lowast=

+=lowast=lowast=

zypz

vppmp

mmmumum

0010

~5

~10

55

21

2

1

Rezolvarea celorlalte puncte ale exemplului ramane in sarcina cititorului

bull Sistem cu timp discret cu prelucrare omogenă icircn timp a informaţiei Procedura de calcul este absolut similară cu cea prezentată pentru cazul continuu Astfel

- Se scriu condiţiile de RSC pentru fiecare bloc al SRA blocurile I şi D se tratează icircn manieră similară cazului continual pentru blocurile cu componentă P H(1) ne0

- Sistemul algebric rezultat se soluţionează icircn condiţiile iniţiale impuse

bull Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei la nivelul PC - prelucrare cu timp continuu la nivelul RG (DC-N) ndash prelucrare cu timp discret Situaţia este specifică conducerii numerice a PC fig426

8

v

uc(t)

w z

y(t)

Fig426 Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei

Calculul de RSC se derulează separat pentru partea cu timp discret (DC-N) şi pentru partea de proces (cu timp continuu) joncţiunea icircntre cele două seturi de relaţii de RSC se realizează prin relaţiile

CNA (uinfin)=(ucinfin) CAN (yinfin)=(yinfin)

Ca urmare bull Icircn cadrul DC-N toate calculele se derulează ca şi cum mărimile ar fi reprezentate ca mărimi

continuale (icircn zecimal) similar se pune şi problema cu parametrii ce caracterizează algoritmii de reglare (kR Ti Td hellip pν qμ hellip )

bull DC-N va trebui să aibă adaptate intrările cu semnalele blocurilor adiacente (din proces) adică DC-N u(t) (ERCNA) rarr uc(t) rarr (EE din PC) PC y(t) (EŞCAN) rarr y(t) rarr (DC-N)

bull Sunt situaţii icircn care mărimile caracteristice ale DC-N w u y nu includ ca punct de funcţionare valoarea 0 De exemplu Dw= (4hellip20) mA Dy= (4hellip20) mA Du= (4hellip20) mA Chiar şi icircn această situaţie icircn RSC eroarea de reglare ia valoarea nulă einfin = 0 ţinacircnd seama de faptul că einfin = winfin ndash yinfin rezulta ca şi că prin aceasta se asigura winfin = yinfin De exemplu pentru winfin=7 mA la einfin= 0 se va asigura yinfin=7 mA

(4) Formulări specifice pentru problemele legate de calcul de VRSC In practica apar situatii de funcţionare icircn care problema determinării (calculul) VRSC trebuie formulata diferit de cele prezentate De exemplu se pot pune urmatoarele situatii bull Sistemul funcţionează cu o valoare zinfin=hellip dată (impusa) şi la o valoare vinfin=hellip impusă Să se

determine valoarea lui winfin cu care se asigura acest pdfsc bull Avacircnd winfin dat şi o limitare (maximă minimă) a valorii unei unor din sistem (dictate de exemplu

de nedepăşirea valorii nominale sau a unei valori maxim admise) să se calculeze VRSC vinfin cu care poate fi icircncărcat icircn RSC sistemul

bull Sistemul funcţionează cu o referinţă dată şi o valoare impusă pentru ieşire să se calculeze icircncărcarea perturbaţia aferentă (problema nu are totdeauna soluţie)

In practica problema determinării VRSC a CS aferente SRA este adeseori ingreunata de faptul că procesul este neliniar Trebuie insa observat si faptul ca la utilizarea unui element de masura (EM) liniar si a unui RG cu componenta I icircn RSC icircntre anumite limite icircn relaţia zinfin = f(winfin) neliniaritatile din proces nu sunt văzute CS aferenta fiind egala cu inversa CS aferente EM

43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate

Tipul de regulator utilizat are influenţă asupra comportarii SRA este vorba atacirct de proprietăţile de regim permanentizat cacirct şi de cele de regim dinamic In cele ce urmeaza se vor discuta numai aspecte legate de proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării icircn regimuri permanentizate ale SRA

In analiza prezentată se pleacă de la structura clasică de SRA din fig431 pentru cere se pot scrie următoarele relaţii (icircn operational λ)

(431) (432)

u

DC-N

y

C PC-C c

uN

AC A N

y

ER

)()(1)()(

λλλλ

PR

Nv HH

HH+

=)()(1

)()()(λλ

λλλPR

PRw HH

HHH+

=

9

Fig431 Schema bloc aferenta unui SRA

unde şi H⎩⎨⎧

=SDzSCs

λ N(λ) reprezintă partea din HP(λ) peste care acţionează perturbaţia

Observaţie Icircn cazul SD cum HN(z) de regulă nu exista ( v(t) este o mărime continua de timp) atunci HN(z) se calculeaza ca o extensie analitică a comportării icircn timp discret a sistemului continuu (cu luarea icircn seamă a ER) Ca urmare fdt a sistemului deschis va fi

B0(λ) H0(λ)=HR(λ)HP(λ) = mdashmdashmdashmdash (433-a) A0(λ)

Prezenţa componentei I icircn structura sistemului se constată prin verificarea condiţiei

(C) A0(0) = 0 adica s = 0 este o radacină (433-b)

(D) A0(1) = 0 adica z = 1 este o radacină (433-c)

(mai multe componente I presupun radacini multiple)

Pentru aplicaţiile practice prezintă interes următoarele comportări de regim permanentizat

A In raport cu referinţa w

- Comportarea de RSC helliphelliphelliphelliphelliptrarrinfin w(t) de tip treaptă

- Comportarea de RVChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin w(t) de tip rampă

B Icircn raport cu perturbaţia v

- Comportarea de RSChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin v(t) de tip treaptă

sistemul se considera aflat in RSC determinat de o referinţă constantă w0 care determina iesirea cu VRSC y0)

Pentru a analiza (SRA-c) proprietăţile induse de RG icircn comportarea de regim permanentizat se va lua icircn considerare cazul continual (λ = s) Cazul discret (λ = z) se tratează icircn manieră absolut identică şi conduce la aceleaşi rezultate diferenţa apare doar la modul de explicitare a teoremei valorii finale (TVF) diferit pentru cele două cazuri

bull Pentru cazul continual TVF ndash C se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( swsHsy w sdot= )()(lim)(lim)(lim00

swsHssystyy wsst rarrrarrinfinrarrinfin === (434-a)

bull Pentru cazul discret TVF ndash D se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( zwzHzy w sdot= )()()1(lim)())1(lim)(lim11

zwzHzzyzztyyzzt

minus=minus==rarrrarrinfinrarrinfin (434-b)

Prezentarile se vor face cu referire la exemplul sistem continual In baza schemei bloc din fig431 şi a rel(431)(432)(433) se pot scrie următoarele dependenţe

)()()(1

)()(

)()(1)()(

)()()()()( svsHsH

sHsw

sHsHsHsH

svsHswsHsyPR

N

PR

PRvw +

++

=+= (435-a)

10

)()()(1

)()()()(1

1)( svsHsH

sHswsHsH

sePR

N

PR +minus

+= (435-b)

in care fdt aferentă sistemului deschis poate fi explicitată sub forma

msTq e

sAsB

sksH minus=

)()()(

0

000 0

si (436) )()( 00

0 sAssA q=

icircn care pentru simplificarea scrierii se va omite evidenţierea modulului ce caracterizeaza timpul mort Tm = 0 generalitatea nu este afectata intru cat in RSC ( ) q0=minus msTe 0rarrs 0=0 1 2 este ordinul de multiplicitate al polului icircn origine (numarul de componente I ale sistemului deschis) si 0)0(

0 neA

Remarca In unele situatii prezinta interes si discutarea lui u(s) = f(w(s) v(s)) acest lucru se justifica prin faptul ca la nivelul EE m2(t) este o masura a puterii energiei introduse in proces (prin intermediul elementului de executie) si ca urmare u2(t) reprezinta o masura a efortului la nivelul comenzii

Icircn analiza prezentată icircn continuare se acceptă că polul icircn origine sqo (q0 = 0 1 2) este adus de RG De asemeni se acceptă că HN(s) nu conţine pol icircn origine Trebuie insa retinut faptul ca orice schimbare a condiţiilor (ipotezelor) in care se efectueaza analiza poate modifica rezultatele ei

Sistemul fiind liniar (in caz contrar nu se pot scrie fdt) comportarea de regim permanentizat poate fi analizată separat

- icircn raport cu referinţa w(t) - icircn raport cu perturbaţia v(t)

Pentru concluzia finală se aplica apoi principiul suprapunerii efectelor

Icircnlocuind (436) icircn (435) se obţin relaţiile generale intrare-ieşire

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00

0

00

00

0

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

sAsB

sk

sy

q

N

NN

q

q

lowast++

lowast+

lowast

= (437-a)

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

1)(

0

00

0

00

00

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

se

q

N

NN

q lowast+minus

lowast+= (437-b)

A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta

)()(1)( twtwws

sw σlowast== infininfin şi (438)

)()(1)( 2 twttwws

sw σlowastlowast== infininfin

icircn condiţiile icircn care v(t) = 0 (v(s) = 0) corespunzător rel(437) conduc la

)(

)()(

)()(

)(

0

00

0

00

0

sw

sAsB

ks

sAsB

ksy

q lowast+

lowast

= si )(

)()(

)(

0

00

0

0

sw

sAsB

ks

sseq

q

lowast+= (439)

Observaţie Explicitarea lui H0(s) icircn forma (436) a fost făcută acceptacircnd că

1)()(

00

0 ==ssAsB

adica coeficientul de transfer k0 a fost scos icircn afara formei raţionale

11

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 9: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

v

uc(t)

w z

y(t)

Fig426 Sistem cu prelucrare neomogenă icircn timp a informaţiei

Calculul de RSC se derulează separat pentru partea cu timp discret (DC-N) şi pentru partea de proces (cu timp continuu) joncţiunea icircntre cele două seturi de relaţii de RSC se realizează prin relaţiile

CNA (uinfin)=(ucinfin) CAN (yinfin)=(yinfin)

Ca urmare bull Icircn cadrul DC-N toate calculele se derulează ca şi cum mărimile ar fi reprezentate ca mărimi

continuale (icircn zecimal) similar se pune şi problema cu parametrii ce caracterizează algoritmii de reglare (kR Ti Td hellip pν qμ hellip )

bull DC-N va trebui să aibă adaptate intrările cu semnalele blocurilor adiacente (din proces) adică DC-N u(t) (ERCNA) rarr uc(t) rarr (EE din PC) PC y(t) (EŞCAN) rarr y(t) rarr (DC-N)

bull Sunt situaţii icircn care mărimile caracteristice ale DC-N w u y nu includ ca punct de funcţionare valoarea 0 De exemplu Dw= (4hellip20) mA Dy= (4hellip20) mA Du= (4hellip20) mA Chiar şi icircn această situaţie icircn RSC eroarea de reglare ia valoarea nulă einfin = 0 ţinacircnd seama de faptul că einfin = winfin ndash yinfin rezulta ca şi că prin aceasta se asigura winfin = yinfin De exemplu pentru winfin=7 mA la einfin= 0 se va asigura yinfin=7 mA

(4) Formulări specifice pentru problemele legate de calcul de VRSC In practica apar situatii de funcţionare icircn care problema determinării (calculul) VRSC trebuie formulata diferit de cele prezentate De exemplu se pot pune urmatoarele situatii bull Sistemul funcţionează cu o valoare zinfin=hellip dată (impusa) şi la o valoare vinfin=hellip impusă Să se

determine valoarea lui winfin cu care se asigura acest pdfsc bull Avacircnd winfin dat şi o limitare (maximă minimă) a valorii unei unor din sistem (dictate de exemplu

de nedepăşirea valorii nominale sau a unei valori maxim admise) să se calculeze VRSC vinfin cu care poate fi icircncărcat icircn RSC sistemul

bull Sistemul funcţionează cu o referinţă dată şi o valoare impusă pentru ieşire să se calculeze icircncărcarea perturbaţia aferentă (problema nu are totdeauna soluţie)

In practica problema determinării VRSC a CS aferente SRA este adeseori ingreunata de faptul că procesul este neliniar Trebuie insa observat si faptul ca la utilizarea unui element de masura (EM) liniar si a unui RG cu componenta I icircn RSC icircntre anumite limite icircn relaţia zinfin = f(winfin) neliniaritatile din proces nu sunt văzute CS aferenta fiind egala cu inversa CS aferente EM

43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate

Tipul de regulator utilizat are influenţă asupra comportarii SRA este vorba atacirct de proprietăţile de regim permanentizat cacirct şi de cele de regim dinamic In cele ce urmeaza se vor discuta numai aspecte legate de proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării icircn regimuri permanentizate ale SRA

In analiza prezentată se pleacă de la structura clasică de SRA din fig431 pentru cere se pot scrie următoarele relaţii (icircn operational λ)

(431) (432)

u

DC-N

y

C PC-C c

uN

AC A N

y

ER

)()(1)()(

λλλλ

PR

Nv HH

HH+

=)()(1

)()()(λλ

λλλPR

PRw HH

HHH+

=

9

Fig431 Schema bloc aferenta unui SRA

unde şi H⎩⎨⎧

=SDzSCs

λ N(λ) reprezintă partea din HP(λ) peste care acţionează perturbaţia

Observaţie Icircn cazul SD cum HN(z) de regulă nu exista ( v(t) este o mărime continua de timp) atunci HN(z) se calculeaza ca o extensie analitică a comportării icircn timp discret a sistemului continuu (cu luarea icircn seamă a ER) Ca urmare fdt a sistemului deschis va fi

B0(λ) H0(λ)=HR(λ)HP(λ) = mdashmdashmdashmdash (433-a) A0(λ)

Prezenţa componentei I icircn structura sistemului se constată prin verificarea condiţiei

(C) A0(0) = 0 adica s = 0 este o radacină (433-b)

(D) A0(1) = 0 adica z = 1 este o radacină (433-c)

(mai multe componente I presupun radacini multiple)

Pentru aplicaţiile practice prezintă interes următoarele comportări de regim permanentizat

A In raport cu referinţa w

- Comportarea de RSC helliphelliphelliphelliphelliptrarrinfin w(t) de tip treaptă

- Comportarea de RVChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin w(t) de tip rampă

B Icircn raport cu perturbaţia v

- Comportarea de RSChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin v(t) de tip treaptă

sistemul se considera aflat in RSC determinat de o referinţă constantă w0 care determina iesirea cu VRSC y0)

Pentru a analiza (SRA-c) proprietăţile induse de RG icircn comportarea de regim permanentizat se va lua icircn considerare cazul continual (λ = s) Cazul discret (λ = z) se tratează icircn manieră absolut identică şi conduce la aceleaşi rezultate diferenţa apare doar la modul de explicitare a teoremei valorii finale (TVF) diferit pentru cele două cazuri

bull Pentru cazul continual TVF ndash C se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( swsHsy w sdot= )()(lim)(lim)(lim00

swsHssystyy wsst rarrrarrinfinrarrinfin === (434-a)

bull Pentru cazul discret TVF ndash D se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( zwzHzy w sdot= )()()1(lim)())1(lim)(lim11

zwzHzzyzztyyzzt

minus=minus==rarrrarrinfinrarrinfin (434-b)

Prezentarile se vor face cu referire la exemplul sistem continual In baza schemei bloc din fig431 şi a rel(431)(432)(433) se pot scrie următoarele dependenţe

)()()(1

)()(

)()(1)()(

)()()()()( svsHsH

sHsw

sHsHsHsH

svsHswsHsyPR

N

PR

PRvw +

++

=+= (435-a)

10

)()()(1

)()()()(1

1)( svsHsH

sHswsHsH

sePR

N

PR +minus

+= (435-b)

in care fdt aferentă sistemului deschis poate fi explicitată sub forma

msTq e

sAsB

sksH minus=

)()()(

0

000 0

si (436) )()( 00

0 sAssA q=

icircn care pentru simplificarea scrierii se va omite evidenţierea modulului ce caracterizeaza timpul mort Tm = 0 generalitatea nu este afectata intru cat in RSC ( ) q0=minus msTe 0rarrs 0=0 1 2 este ordinul de multiplicitate al polului icircn origine (numarul de componente I ale sistemului deschis) si 0)0(

0 neA

Remarca In unele situatii prezinta interes si discutarea lui u(s) = f(w(s) v(s)) acest lucru se justifica prin faptul ca la nivelul EE m2(t) este o masura a puterii energiei introduse in proces (prin intermediul elementului de executie) si ca urmare u2(t) reprezinta o masura a efortului la nivelul comenzii

Icircn analiza prezentată icircn continuare se acceptă că polul icircn origine sqo (q0 = 0 1 2) este adus de RG De asemeni se acceptă că HN(s) nu conţine pol icircn origine Trebuie insa retinut faptul ca orice schimbare a condiţiilor (ipotezelor) in care se efectueaza analiza poate modifica rezultatele ei

Sistemul fiind liniar (in caz contrar nu se pot scrie fdt) comportarea de regim permanentizat poate fi analizată separat

- icircn raport cu referinţa w(t) - icircn raport cu perturbaţia v(t)

Pentru concluzia finală se aplica apoi principiul suprapunerii efectelor

Icircnlocuind (436) icircn (435) se obţin relaţiile generale intrare-ieşire

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00

0

00

00

0

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

sAsB

sk

sy

q

N

NN

q

q

lowast++

lowast+

lowast

= (437-a)

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

1)(

0

00

0

00

00

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

se

q

N

NN

q lowast+minus

lowast+= (437-b)

A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta

)()(1)( twtwws

sw σlowast== infininfin şi (438)

)()(1)( 2 twttwws

sw σlowastlowast== infininfin

icircn condiţiile icircn care v(t) = 0 (v(s) = 0) corespunzător rel(437) conduc la

)(

)()(

)()(

)(

0

00

0

00

0

sw

sAsB

ks

sAsB

ksy

q lowast+

lowast

= si )(

)()(

)(

0

00

0

0

sw

sAsB

ks

sseq

q

lowast+= (439)

Observaţie Explicitarea lui H0(s) icircn forma (436) a fost făcută acceptacircnd că

1)()(

00

0 ==ssAsB

adica coeficientul de transfer k0 a fost scos icircn afara formei raţionale

11

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 10: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

Fig431 Schema bloc aferenta unui SRA

unde şi H⎩⎨⎧

=SDzSCs

λ N(λ) reprezintă partea din HP(λ) peste care acţionează perturbaţia

Observaţie Icircn cazul SD cum HN(z) de regulă nu exista ( v(t) este o mărime continua de timp) atunci HN(z) se calculeaza ca o extensie analitică a comportării icircn timp discret a sistemului continuu (cu luarea icircn seamă a ER) Ca urmare fdt a sistemului deschis va fi

B0(λ) H0(λ)=HR(λ)HP(λ) = mdashmdashmdashmdash (433-a) A0(λ)

Prezenţa componentei I icircn structura sistemului se constată prin verificarea condiţiei

(C) A0(0) = 0 adica s = 0 este o radacină (433-b)

(D) A0(1) = 0 adica z = 1 este o radacină (433-c)

(mai multe componente I presupun radacini multiple)

Pentru aplicaţiile practice prezintă interes următoarele comportări de regim permanentizat

A In raport cu referinţa w

- Comportarea de RSC helliphelliphelliphelliphelliptrarrinfin w(t) de tip treaptă

- Comportarea de RVChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin w(t) de tip rampă

B Icircn raport cu perturbaţia v

- Comportarea de RSChelliphelliphelliphelliphellip trarrinfin v(t) de tip treaptă

sistemul se considera aflat in RSC determinat de o referinţă constantă w0 care determina iesirea cu VRSC y0)

Pentru a analiza (SRA-c) proprietăţile induse de RG icircn comportarea de regim permanentizat se va lua icircn considerare cazul continual (λ = s) Cazul discret (λ = z) se tratează icircn manieră absolut identică şi conduce la aceleaşi rezultate diferenţa apare doar la modul de explicitare a teoremei valorii finale (TVF) diferit pentru cele două cazuri

bull Pentru cazul continual TVF ndash C se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( swsHsy w sdot= )()(lim)(lim)(lim00

swsHssystyy wsst rarrrarrinfinrarrinfin === (434-a)

bull Pentru cazul discret TVF ndash D se explicitează icircn forma

trarrinfin )()()( zwzHzy w sdot= )()()1(lim)())1(lim)(lim11

zwzHzzyzztyyzzt

minus=minus==rarrrarrinfinrarrinfin (434-b)

Prezentarile se vor face cu referire la exemplul sistem continual In baza schemei bloc din fig431 şi a rel(431)(432)(433) se pot scrie următoarele dependenţe

)()()(1

)()(

)()(1)()(

)()()()()( svsHsH

sHsw

sHsHsHsH

svsHswsHsyPR

N

PR

PRvw +

++

=+= (435-a)

10

)()()(1

)()()()(1

1)( svsHsH

sHswsHsH

sePR

N

PR +minus

+= (435-b)

in care fdt aferentă sistemului deschis poate fi explicitată sub forma

msTq e

sAsB

sksH minus=

)()()(

0

000 0

si (436) )()( 00

0 sAssA q=

icircn care pentru simplificarea scrierii se va omite evidenţierea modulului ce caracterizeaza timpul mort Tm = 0 generalitatea nu este afectata intru cat in RSC ( ) q0=minus msTe 0rarrs 0=0 1 2 este ordinul de multiplicitate al polului icircn origine (numarul de componente I ale sistemului deschis) si 0)0(

0 neA

Remarca In unele situatii prezinta interes si discutarea lui u(s) = f(w(s) v(s)) acest lucru se justifica prin faptul ca la nivelul EE m2(t) este o masura a puterii energiei introduse in proces (prin intermediul elementului de executie) si ca urmare u2(t) reprezinta o masura a efortului la nivelul comenzii

Icircn analiza prezentată icircn continuare se acceptă că polul icircn origine sqo (q0 = 0 1 2) este adus de RG De asemeni se acceptă că HN(s) nu conţine pol icircn origine Trebuie insa retinut faptul ca orice schimbare a condiţiilor (ipotezelor) in care se efectueaza analiza poate modifica rezultatele ei

Sistemul fiind liniar (in caz contrar nu se pot scrie fdt) comportarea de regim permanentizat poate fi analizată separat

- icircn raport cu referinţa w(t) - icircn raport cu perturbaţia v(t)

Pentru concluzia finală se aplica apoi principiul suprapunerii efectelor

Icircnlocuind (436) icircn (435) se obţin relaţiile generale intrare-ieşire

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00

0

00

00

0

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

sAsB

sk

sy

q

N

NN

q

q

lowast++

lowast+

lowast

= (437-a)

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

1)(

0

00

0

00

00

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

se

q

N

NN

q lowast+minus

lowast+= (437-b)

A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta

)()(1)( twtwws

sw σlowast== infininfin şi (438)

)()(1)( 2 twttwws

sw σlowastlowast== infininfin

icircn condiţiile icircn care v(t) = 0 (v(s) = 0) corespunzător rel(437) conduc la

)(

)()(

)()(

)(

0

00

0

00

0

sw

sAsB

ks

sAsB

ksy

q lowast+

lowast

= si )(

)()(

)(

0

00

0

0

sw

sAsB

ks

sseq

q

lowast+= (439)

Observaţie Explicitarea lui H0(s) icircn forma (436) a fost făcută acceptacircnd că

1)()(

00

0 ==ssAsB

adica coeficientul de transfer k0 a fost scos icircn afara formei raţionale

11

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 11: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

)()()(1

)()()()(1

1)( svsHsH

sHswsHsH

sePR

N

PR +minus

+= (435-b)

in care fdt aferentă sistemului deschis poate fi explicitată sub forma

msTq e

sAsB

sksH minus=

)()()(

0

000 0

si (436) )()( 00

0 sAssA q=

icircn care pentru simplificarea scrierii se va omite evidenţierea modulului ce caracterizeaza timpul mort Tm = 0 generalitatea nu este afectata intru cat in RSC ( ) q0=minus msTe 0rarrs 0=0 1 2 este ordinul de multiplicitate al polului icircn origine (numarul de componente I ale sistemului deschis) si 0)0(

0 neA

Remarca In unele situatii prezinta interes si discutarea lui u(s) = f(w(s) v(s)) acest lucru se justifica prin faptul ca la nivelul EE m2(t) este o masura a puterii energiei introduse in proces (prin intermediul elementului de executie) si ca urmare u2(t) reprezinta o masura a efortului la nivelul comenzii

Icircn analiza prezentată icircn continuare se acceptă că polul icircn origine sqo (q0 = 0 1 2) este adus de RG De asemeni se acceptă că HN(s) nu conţine pol icircn origine Trebuie insa retinut faptul ca orice schimbare a condiţiilor (ipotezelor) in care se efectueaza analiza poate modifica rezultatele ei

Sistemul fiind liniar (in caz contrar nu se pot scrie fdt) comportarea de regim permanentizat poate fi analizată separat

- icircn raport cu referinţa w(t) - icircn raport cu perturbaţia v(t)

Pentru concluzia finală se aplica apoi principiul suprapunerii efectelor

Icircnlocuind (436) icircn (435) se obţin relaţiile generale intrare-ieşire

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00

0

00

00

0

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

sAsB

sk

sy

q

N

NN

q

q

lowast++

lowast+

lowast

= (437-a)

)(

)()(

1

)()(

)(

)()(

1

1)(

0

00

0

00

00

sv

sAsB

sk

sAsB

ksw

sAsB

sk

se

q

N

NN

q lowast+minus

lowast+= (437-b)

A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta

)()(1)( twtwws

sw σlowast== infininfin şi (438)

)()(1)( 2 twttwws

sw σlowastlowast== infininfin

icircn condiţiile icircn care v(t) = 0 (v(s) = 0) corespunzător rel(437) conduc la

)(

)()(

)()(

)(

0

00

0

00

0

sw

sAsB

ks

sAsB

ksy

q lowast+

lowast

= si )(

)()(

)(

0

00

0

0

sw

sAsB

ks

sseq

q

lowast+= (439)

Observaţie Explicitarea lui H0(s) icircn forma (436) a fost făcută acceptacircnd că

1)()(

00

0 ==ssAsB

adica coeficientul de transfer k0 a fost scos icircn afara formei raţionale

11

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 12: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

Aplicacircnd TVF-C asupra expresiilor lui y(s) şi e(s) icircn care q0 este parametru (0 1 sau 2)se obţin rezultatele sintetizate icircn tabelul 431

Tabelul 431

yinfin einfin

w q0= 0 q0= 1 q0= 2 q0= 0 q0=1 q0=2 Obs

infin= ws

sw 1)( infin+w

kk

0

0

1

infinsdot w1 infinsdot w1 infin+w

k011

infinsdot w0 infinsdot w0 RSC

infin= ws

sw 2

1)( infin infin infin infin infinsdot wk 0

1 infinsdot w0 RVC

Relativ la informatiile sintetizate in tabelul 431 se fac următoarele precizări

(1) Pentru regimul stationar constant RSC - asigurarea condiţiei de reglare - atingerea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin =0) - impune

existenţa componentei I icircn structura RG - sistemele cu RG fără componentă I lucrează cu eroare nenulă (nu asigură la ieşire exact

valoarea mărimii de prescriere) aceasta nu icircnseamnă faptul ca aceste sisteme lucreaza cu greşeală ci doar un mod de comportare specific care icircn anumite situaţii este chiar dorită

- relaţiile scrise icircn tabelul 431 sunt valabile şi pentru cazul sistemului liniarizat icircn jurul unui pdfsc A0(w0 y0 e0 hellip) cacircnd icircn locul scrierii icircn valori absolute se va adopta scrierea icircn cresteri

yinfinrarrΔyinfin winfinrarrΔwinfin einfinrarrΔeinfin helliphellip Pentru astfel de situaţii poate prezenta interes explicitarea valorii absolute a mărimilor a căror cunoaştere prezintă interes Δyinfin = yinfin - y0 yinfin = y0 + Δyinfin cu Δyinfin calculat cu rel din tabel - pe baza tabelului se poate construi dependenţa de RSC yinfin=f(winfin)|vinfin=0 denumită caracteristică de prescriere a SRA fig432 Se constată ca CS cea mai inclinată corespunde situatiei de SRA cu RG cu componentă I Ca şi consecinţă imediată schimbarea tipului de regulator poate avea ca efect schimbarea CS de prescriere a SRA

Fig432 Caracteristica de prescriere a SRA

(2) Pentru regimul de viteza constanta (RVC) - asigurarea condiţiei de eroare de reglare nulă (einfin = 0) impune existenţa a două componente I icircn

structura RG - valorile de infin din tabel trebuie interpretate in sensul ca la cresteri nemarginite ale intrarii

(variatie rampa) se manifesta cresteri nemarginite ale iesirii sau ale erorii de reglare - chiar şi sistemele cu RG cu o componentă I lucrează icircn RVC cu eroare nenulă (nu asigură la

ieşire exact valoarea mărimii de prescriere) altfel zis sistemele de urmărire trebuie să fie caracterizate de q0 gt1 ceea ce ridică probleme legate de stabilizarea sistemului si de sensibilitatea acestuia icircn raport cu modificările parametrilor

B Comportarea SRA icircn raport cu perturbaţia v(s) Proprietati induse de regulator In acest caz icircn calcule se consideră winfin= 0 adică w(s)=0 Icircn acsete conditii in baza rel (436) şi (437) se obţine

12

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 13: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

1

)()(

)(

0

00

0

00 0

0

0

sesv

sAsB

ks

sAsB

kssv

sAsB

sk

sAsB

ksy

q

N

NN

q

q

N

NN

minus=+

=lowast+

= cu (4310)

1)0()0(

=N

N

AB şi 1

)0()0(

0

0 =AB

Observaţii 1 Trebuie remarcat faptul că dependent de locul de acţiune a perturbaţiei HN(s) poate deveni

dacă perturbaţia acţionează pe intrarea procesului (v2) (denumit in l engleza si load disturbance) ⎪

⎧ (Bk

dacă perturbaţia acţionează pe ieşirea procesului (v1) fig433 ⎪⎩ 1⎨= )(

))( sA

ssH P

PP

N

Fig433 Situaţii tipice (extreme) de situare a acţiunii a perturbaţiei

2Functionarea reala a sistemului va avea loc in jurul unui pdsc A0 cu w0 dat care va determina o valoare y0ne0 (in particular y0=0)

Aplicacircnd TVF pentru cazul perturbaţiei constante (dacă interesează celelalte situaţii se analizează similar) se obţin dependenţele de RSC sintetizate icircn tabelul 433

Tabelul 432

yinfin= ndash einfin (einfin= ndash yinfin)

v q0=0 q0=1 q0=2

infin= vs

sv )( 1 infin+

vk

N

01k

infinsdotv0 infinsdotv0

Consecinţe imediate care pot fi deduse pe baza informatiilor din tabel - La utilizarea unui RG cu componentă I (2 I) se asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor de tip

constant (totodată se constată menţinerea condiţiei de eroare nulă) infininfin = sdot vy 0 - La utilizarea unui RG fară componentă I regulator Phellip (cazul sistemelor cu RG-P PDT1

PD2T2 ) pentru care

infininfin += v

ky N

01k (4311)

In baza relatiei (4311) se defineşte statismul natural al sistemului γn ca fiind

)(1 0 infin

infin

infin

infin

ΔΔ

==+

=v

cresteriinsauvk n

Nn γγ yyk

sdot+= vyy

(4312)

Cum cele doua comportări icircn raport cu referinţa şi icircn raport cu perturbaţia se manifestă simultan şi acceptacircnd sistemul ca fiind liniar se poate scrie

infininfin nγ0 (4313) y0 fiind determinat de referinţa w0 prin care se fixează pdfsc al SRA (conform tabelului 432)

- Dependent de valoarea statismului natural γn sistemele se vor categorisii icircn - sisteme cu statism (q0 =0) pentru care

)0(1 0

0

=+

= qk

Nnγ

k (4314)

- sisteme fără statism sau cu statism nul sau astatice (q0 = 1 sau 2)

13

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 14: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

210 0 == qcunγ Se va observa faptul că statismul este o mărime cu dimensiune adică lt γn gt = ltygt ltvgt

- Pe baza rel (4313) şi (4314) se pot construi caracteristicile de sarcină aferente SRA fig434 yinfin=f(vinfin)|winfin=ct

Fig434 Definirea statismului icircn CS de sarcină a SRA (important icircn abscisă se va considera vinfin in locul lui winfin)

Observaţie γn gt 0 (statism pozitiv) sau γn lt 0 (statism negativ) se poate asocia şi la semnul cu care acţionează perturbaţia icircn sensul că γn va fi icircntotdeauna pozitiv dar v poate fi considerat cu + sau ndash

In practică se prefera adeseori ca sa se lucreze cu statismul explicitat icircn valori relative cand marimile y respectiv v se explicitează ndash la randul lor - icircn unităţi raportate de exemplu la valoarea nominală In aceste condiţii se poate scrie

y v y y yn vny = mdash v =mdash si corespunzător γ

n = mdash = mdashmdashmdash = γn mdashmdash (4315) yn vn v v vn yn

γ n

se poate exprima şi icircn procente γn() = γ n100

Acceptand ca valoarea lui kP este constanta rezulta ca modificarea statismului poate fi asigurata prin modificarea lui kR Acest lucru nu este insa totdeauna posibil stiut fiind faptul ca orice modificare a lui k0=kR kp- modifica regimurile tranzitorii din system sau mai rau conditiile de stabilitate ale acestuia

44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial

In practica există numeroase situaţii icircn care un statism de valoare nenulă bine precizată este o proprietate dorită dar

- valoarea statismului natural realizat de sistem nu coincide cu valoarea dorită γn ne γd - RG conţine o componentă I şi ca efect sistemul este astatic γn =0

Icircn astfel de situaţii dacă perturbaţia este acccesibilă măsurărilor sau efectul ei (cel putin de RSC) poate fi estimat (estimatoare de perturbaţie) atunci pentru realizarea statismului dorit impus se pot utiliza SRA ndash mai general SCA - cu statism artificial cu structura din fig441

Conexiunea după perturbatia v(t) este o conexiune de tip feed-forward şi ca urmare nu intra icircn calculele legate de stabilitatea buclei de reglare (chiar si de proiectare interna a buclei) Ea va influenţa valoarea ieşirii zinfin sau yinfin prin schimbarea nivelului referinţei w(t) = w0 plusmn wv semnul plusmn va rezulta apoi din calcule Pentru schema din fig441 sunt valabile următoarele relaţii de RSC

Fig441 Structura unui SRA cu statism artificial

14

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 15: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

infininfininfin

infininfininfin

sdot+sdot==+

++

==

vwyq

vk

kw

kk

yq N

012111

0

0

00

00 (441)

infinminusinfin sdot=+=infininfin

vkwsiwww vBCvv 0 (442)

in care k0 = kR kP (443)

Observaţii privind alegerea tipului blocului BC-v - dacă perturbaţia nu are variaţii prea rapide atunci blocul de compensare după perturbaţie (BC-v)

va fi de regulă de tip P sau de tip PT1 cu coeficientul de transfer vBCk minus

- dacă se impune filtrarea variaţiilor perturbaţiei atunci obligatoriu acest bloc va fi de tip PT1 (cu coeficientul de transfer ) si cu constanta de timp aleasa corespunzator vBCk minus

- dacă prin BC-v se va dori şi o anticipare prin referinţă a rejecţiei perturbaţiilor atunci BC-v se va alege chiar şi de tip PDT1 (cu coeficientul de transfer sicu TvBCk minus d gt Tf

Icircnlocuind (443) icircn (441) şi (442) se pot deduce relaţiile de calcul ale BC-v astfel icircncacirct la ieşire să se asigure un statism artificial de valoare dorită

(a) Cazul SRA de tip 0 (q0=0) In acest caz se obţine

infinminus

infin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

= vk

kk

kkwk

ky NvBC

00

00

0

0

111 (444)

Comparacircnd relaţiile (441) şi (444) se observă că al doilea termen din rel(444) evidenţiază o altă comportare decacirct cea dată de rel(441) Se introduce noţiunea de statism artificial şi se notează γa

0

0

1 kkkk NvBC

a ++

= minusγ (445)

Dacă prin proiectare se impune valoarea statismului

infin

infin=vy

impusaγ

atunci icircn baza rel(445) la o structură de sistem dată cu k0 - fixat din alte considerente (de exemplu din considerente de stabilitate) şi kN - fixat de proces se poate calcula kBCV necesar

( )[ ]0

0

1k

kkk Nimpusa

necvBC

minus+=minus

γ (446)

Dependent de membrul drept kBC-v va rezulta cu semnul + sau - si va coincide cu semnul cu care se aplica wv la sumator

(b) Cazul SRA de tip 1 sau 2 (q0= 1 2) In acest caz icircn baza rel (442) şi (443) se obţine infininfininfin sdot+sdot= vwy 01 respectiv

infininfinminusinfin sdot+sdot+sdot= vvkwy vBC 01 0 sau reordonacircnd (447)

infininfininfin sdot+sdot= vwy aγ1

de unde se obţine

γa=kBC-v (448-a)

Avacircnd valoarea lui γaimpus rezultă imediat că

kBC-v=γaimpus (448-b)

Observaţii (1) Statismul γaimpus poate avea semnul + sau ndash semn care se va include icircn toate relaţiile de calcul Icircn ultimă instanţă modificările aduse icircn statismul natural al sistemului nenul sau nul se vor resimţi icircn semnul cu care se aplică wv pe sumatorul Σ1 din figură

15

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 16: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

(2) Statismul artificial poate fi definit icircn valori normate Modul icircn care se impune statismul icircn unităţi naturale sau icircn unităţi raportate va necesita utilizarea corectă a relaţiilor de bază

(3) Pentru mai multe SRA sunt comparabile numai statismele in unitati normate

45 Funcţionarea SRA cuplate prin ieşire

Situaţia SRA care funcţionează cuplate prin mărimea de ieşire este frecventa in practica si deosebit de importantă ea regăsindu-se icircn numeroase aplicaţii Din cadru acestora se menţioneaza următoarele

- in sistemul energetic toate generatoarele functioneaza cu aceeasi fercvenţă constantă (marime comuna) de asemeni pentru toate generatoarele unei centrale care functioneaza pe aceeasi bara colectoare (a energiei electrice) iesirea comuna este tensiunea la borne

- un sistem de acţionare (electrică de exemplu) cu mai multe motoare cuplate pe acelasi arbore (sarcină) au turaţia viteza unghiulară aceeaşi (ieşire comună)

La funcţionarea SRA cuplate prin ieşire apar două categorii probleme

- funcţionarea de RSC stabilă prin care să se asigure o repartizare bine precizată (in acord cu cererea) a sarcinii comune (perturbaţiei comune) pe sistemele ce funcţionează cuplate prin ieşire aceasta este problema care va fi aici urmărită

- comportarea sistemului cuplat icircn regim dinamic icircn astfel de situaţii datorită proprietăţilor dinamice diferite a subsistemelor ce compun sistemul apar interacţiuni a căror caracterizare matematică este relativ complicată aceasta problema nu va fi aici detaliată

Pentru asigurarea unei comportări de RSC stabile sistemele cuplate trebuie să fie cu statism Sistemele astatice nu pot fi cuplate prin ieşire daca in casul sistemelor astatice s-ar accepta ca există un pdfsc atunci orice mică modificare a referintei unuia sau altuia din sistemele cuplate va determina incarcarea descarcarea unora sau altora dintre sisteme si pierdera funcţionării in pdfsc sau chiar a functionarii stabile Excepţie face icircnsă situaţia icircn care un singur sistem din cele cuplate este astatic (celelalte sunt cu statism) acestuia icirci revine rolul de a prelua (icircn principal) fluctuaţiile de sarcină din sistemul mare

Structura de baza pentru două SRA-c cuplate prin ieşire este dată icircn fig451

Fig451 Schema bloc pentru două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

Perturbaţia comună v trebuie să se repartizeze pe cele două SRA cu ieşire comuna ai v1 +v2 = v vi = mi v i = 1 2 m1 +m2 = 1 (45-1)

m1 m2 - sunt ponderile cu care se incarcă fiecare din cele două SRA

Se considera ca cele două SRA au statismele γ1 respectiv γ2 ansamblul avand un statism rezultant γΣ (pentru simplificare calculele se vor desfăşura presupunacircnd cazul SRA cu statism natural In cazul SRA cu statism artificial calculele se deruleaza icircn manieră similară Ieşirea comună este z = z1 = z2

16

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 17: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

In general numărul de sisteme cuplate poate fi oricacirct de mare (icircn general i) Repartizarea sarcinii comune pe cele i SRA va depinde de statismele γi ale celor i sisteme

Prin analiza care urmează se solutioneaza două probleme - calcul statismului echivalent al celor doua SRA γΣ - calcul modului de repartizare a perturbatiei v comune pe cele două SRA mi

Pentru a nu purta in calcule si coeficienţii de transfer ale elementelor de măsura (KMi) in continuare icircn analiză se va considera ca ele sunt egale şi in consecinţă se pot utiliza ieşirile de măsura considerate comune

y = y1 = y2 = yi (45-2)

Se notează cu γ1 γ2 hellip γi statismele individuale ale sistemelor cuplate şi γΣ statismul echivalent Perturbaţia comună v se repartizează respectacircnd relaţia

v1 +v2 + hellip + vi = v (45-3)

Pentru fiecare din subsistemele componente se pot scrie următoarele relaţii de RSC

yi = y0i + γi vi sau yi - y0i = γi vi yi - y0i y0i - corespunde valorii de RSC fixată prin vi = mdashmdashmdash referinţa proprie w0i icircn absenţa perturbaţiei (45-4)

γi (mers icircn gol) Pentru sistemul rezultat prin cuplarea celor i SRA -i componente se poate scrie

yi - y0i v = Σvi = Σ mdashmdashmdashmdash (45-5) γi

In condiţiile ieşirii comune yi = y şi relatia (45-5) se rescrie succesiv icircn forma 1 y0i 1 y0i v = y Σmdashmdash ndash Σ mdashmdash sau y Σmdashmdash = Σ mdashmdash + v (45-6) γi γi γi γi

rescriind y0i y0i Σmdashmdash Σmdashmdash γi 1 γi corespunde unui pdfsc y = mdashmdashmdash +mdashmdash v icircn care y0 = mdashmdashmdash virtual la care ar (45-7) 1 1 1 funcţiona icircn gol ansamblul Σ mdash Σ mdash Σ mdash de SRA-c cuplate prin ieşire

γi γi γi 1 γe = mdashmdashmdash reprezintă statismul echivalent al SRA cuplat prin ieşire (45-8)

1 Σ mdashmdash

γi

In realitate pdfsc y0 nu va fi atins pentru că punctele de icircnceput y0i fiind diferite pe măsură ce sarcina v scade vor putea exista SRA care sunt deja scoase din funcţiune pe cacircnd altele sunt icircncă icircn funcţiune (icircn sarcină) fig452-a pdfsc Punctul y0 ar avea semnificaţie fizică doar atunci cacircnd toate valorile y0i sunt egale şi egale cu y0 fig452-b

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire statismul echivalent γe se calculeaza icircn baza relaţiei γ1γ2

γe = mdashmdashmdash (45-9) γ1 + γ2

In fig453 (a) este ilustrat modul de re-repartizare a sarcinii comune (v = v1 + v2 ) pentru cazul in care valoarea acesteia se modifica de la v(1) la v(2)

17

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 18: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

Fig452 Realizarea statismului echivalent icircn cazul a două SRA cuplate prin mărimea de ieşire

(a) referinta initiala diferita (b) aceeasi referinta initiala

Pentru calculul coeficientului de repartizare a sarcinii comune pe fiecare din SRA componente se pleacă de la expresia

1 y0i vi = y mdash ndash mdashmdash (45-10) γi γi

icircn care se icircnlocuieşte expresia lui y dată de (45-7) Efectuacircnd calculele se obţine 1 mi = mdashmdash γe (45-11)

γi

Pentru cazul a două sisteme cuplate prin ieşire se obţine

γ1=e

e

γγγγminus2

2 respectiv γ2=e

e

γγγγ

minus1

1 (45-12)

Consecinţa imediată care se desprinde din relaţiile prezentate este că la modificări ale sarcinii (de exemplu de creştere) icircn jurul unui pdfsc SRA cu statism mic (cu CS mai putin inclinata fig453-(b) CS-2) se incarcă icircntotdeauna mai mult decacirct SRA cu statism mare (cu CS mai inclinata fig453-(b) CS-1) fig453 (b)

(a) (b)

Fig453 Modificarea punctului de funcţionare a SRA cuplate prin mărimea de ieşire (a) la modificarea referinţei unuia din SRA (b) la modificarea sarcinii comune

ExempluSe considera două generatoare sincrone (GS) cuplate la aceeaşi bară a unei centrale electrice (sisteme cuplate prin ieşire) Cele două SRA-uri cu care se reglează tensiunea la bornele fiecărui GS sunt cu RG tip PI şi au o structură cu statism artificial Elemetele de măsură ale celor două SRA sunt identice cu kM = 0001 VV Datele nominale ale celor două GS sunt (numai date care interesează aplicaţia)

GS-1 UG1n = 6500o V GS-2 UG2n = 6500o V

(iG1 sinφ)n = 1000o Ar (iG2 sinφ)n = 1200o Ar

18

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial
Page 19: Cap-4-Comportarea SRA În Regimuri Permanentizate

CS liniarizate aferente celor două SRA sunt prezentate in fig454 Pdfsc curent aferent fiecărui SRA este GS-1 UG1o = 6200o V (iG1 sinφ)o = 750o Ar GS-2 UG2o = 6200o V (iG2 sinφ)o = 900o Ar

Se cere (1) Să se determine valoarea referinţei uGo(12) care asigură tensiunea de mers icircn gol comună UG0 = 6500o V

(2) Pe baza CS date icircn fig454 să se determine statismele celor două SRA γ1 γ2 şi să se calculeze statismul echivalent γe valorile statismelor vor fi expliciate atacirct icircn unităţi naturale cacirct şi icircn unităţi raportate (3) Să se determine coeficienţii de icircncărcare m1 şi m2 care caracterizează repartizarea sarcinii comune pe cele două grupuri

Soluţie (1) uGo(12) = kM UGo = 0001500o =65 V

(2) Statismele naturale ale sistemelor se citesc din caracteristicile de sarcina si sunt date de relaţiile

Fig454 Caracteristici statice aferente SRA a tensiunii la bornele celor două GS

(Δ UG)12 (Δ UG) UGn γ12 = mdashmdashmdashmdashmdash respectiv γ12 = mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash lturgt

(Δ iGsinφ)12 (Δ iGsinφ) (iGsinφ)n

inlocuind 6200o - 6500o 6200o-6500o γ1= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 04 VA r respectiv γ2= mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 0333 VAr 750o - 0o 900o - 0o (Δ iGsinφ)n12 1000o γ12

= γ12 mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash γ1= - 0400 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ1 = 615

(Δ UGn)12 6300o 1200o γ2

= - 0333 mdashmdashmdashmdash asymp - 00615 sau γ2 = 615 6300o

Observatie faptul ca cele doua SRA prezinta statism naturale in unitati normate de valoare egala se poate interpreta dupa cum urmeaza cele doua grupuri se vor incarca simetric proportional cu valoarea nominala a fiecaruia

Statismul echivalent al celor doua generatoare este γ1middotγ2 04 0333 γe = - mdashmdashmdashmdash = - mdashmdashmdashmdashmdashmdash = - 01816 VAr si γe

= 003075 γe = 3075 γ1 + γ2 04 + 0333

(3) Calculul coeficientilor de repartizare a sarcinii comune 1

mi = mdash γe icircnlocuind se obţine m1 =0454 şi m2 =0546 (verificare imediata m1 + m2 = 1) γi

19

  • Cap4 Comportarea SRA icircn regimuri permanentizate
  • 43 Proprietăţi induse de tipul de RG asupra comportării SRA icircn regimuri permanentizate
    • A Comportarea SRA icircn raport cu referinţa Proprietati induse de regulator In acest caz interesează in principal comportarea de RSC şi de RVC in raport cu referinta
      • 44 Sisteme cu statism artificial Sisteme de reglare automată (SRA) cu statism artificial