cap 2 prob stat

7/23/2019 cap 2 prob stat

1/41

CAPITOLULCAPITOLUL 2

NOIUNI FUNDAMENTALE ALE

TEORIEI PROBABILITILOR

2.1 Experien. Prob. Eeni!en"

Orice disciplin folosete pentru obiectul ei de studiu o serie de noiuni

fundamentale. Se vor defini astfel, noiunile de experien, prob i eveniment.

Prin experien, se nelege realizarea practic a unui complex de condiii

corespunztor unui criteriu dat de cercetare a colectivitilor statistice omogene.Realizarea o singur dat a experienei, se numeteprob.

E#EMPLU Se poate considera drept experien, aruncarea unui zar perfect

construit din punct de vedere geometric i omogen din punct de vedere fizic, caz

n care, proba este reprezentat de aruncarea o singur dat a zarului.

Prin intermediul exemplului de mai sus se poate identifica noiunea de

colectivitate statisticprin mulimea punctelor care apar pe feele zarului.

Prin eveniment se nelege rezultatul unei probe. venimentele pot ficlasificate n trei mari categorii! evenimente sigure, evenimente imposibile i

evenimente ntmpltoare.

Prin eveniment sigur, se nelege evenimentul care se produce n mod

obligatoriu la efectuarea unei probe a unei experiene. venimentul imposibil este

acela care nu se produce la efectuarea nici unei probe. Se numete eveniment

nt"mpltor #aleator$ un eveniment care poate fie s se produc, fie s nu se

produc la efectuarea unei singure probe.

E#EMPLE

%. xtragerea unei bile albe dintr&o urn care conine numai bile albe, este

un eveniment sigur.

'. (a aruncarea unui zar, evenimentul care const n apariia oricrei fee

de la 1la 6constituie evenimentul sigur.

). *pariia unui numr de 7puncte la o prob a aruncrii unui zar este un

eveniment imposibil.

+. xtragerea unei bile negre dintr&o urn care conine numai bile albe, este

un eveniment imposibil.

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor )

)


2/41

-. *pariia feei 1la aruncarea unui zar este un eveniment nt"mpltor.

venimentele nt"mpltoare se supun unor legiti, numite legiti statistice.

n acest sens, nu se poate prevedea dac ntr&o singur aruncare a unui zar se

obine faa 1/ dac ns se efectueaz un numr suficient de mare de aruncri se

poate prevedea cu suficient precizie numrul de apariii ale acestei fee.

venimentele nt"mpltoare pot fi compatibilei incompatibile.

0ou evenimente se numesc incompatibile, dac realizarea unuia exclude

realizarea celuilalt.

E#EMPLE

%. venimentele! apariia feei 1la aruncarea unui zar i respectiv apariia

feei 2la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.'. venimentele! apariia feei 1la aruncarea unui zar i respectiv apariia

unei fee cu un numr impar de puncte la aruncarea unui zar, sunt

compatibile

venimentele pot fi dependentesau independente.

0ou evenimente se numesc independente dac realizarea unuia nu

influeneaz probabilitatea realizrii celuilalt i dependente n caz contrar.

E#EMPLE

%. venimentele! apariia feei 1la aruncarea unui zar i respectiv apariia

feei 2la o alt aruncare a zarului, sunt independente.

'. venimentele! obinerea unui numr de 7puncte la aruncarea a dou

zaruri i apariia feei 2pe unul dintre dou zaruri, tiind c acestea au

suma punctelor de pe feele de deasupra 7, sunt dependente.

2.2 Oper$ii %& eeni!en"e

1otaiile folosite sunt cele cunoscute din teoria mulimilor. 2ulimile vor fi

evenimentele aleatoare i vor fi notate cu!A,B, ,3.

4ie evenimentul sigur i evenimentul imposibil. *cestea corespund

mulimii totale considerate i respectiv mulimii vide.

DEFINIIESe spune c evenimentulA implicevenimentulB, dac realizarea lui

A, atrage dup sine realizarea luiB. 1otaia folosit este!

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor )5

)5


3/41

BA

OB'ER(AII a$ 6mplicaia evenimentelor este ec7ivalent cu incluziunea

mulimilor. #vezi fig. nr. %$b$ Orice eveniment aleator, precum i evenimentul imposibil, implic

evenimentul sigur!

A , .

DEFINIIE Se spune c un eveniment este contrar evenimentului A, dac

realizarea sa const n nerealizarea luiA. 1otaia folosit este A .

OB'ER(AII a$ venimentul contrarevenimentului A, este ec7ivalent cu

complementara luiAdin teoria mulimilor .

#vezi fig. nr. '$

b$ venimentele A i A sunt contrarii,

adic, dac se realizeaz A, atunci nu se

realizeaz A i reciproc.

DEFINIIE !euniunea #sau adunarea$ evenimentelor A i B esteevenimentul "care const n realizarea a cel puin unuia dintre evenimentele A

sau B .

1otaia este !

BAS = .

OB'ER(AIIa$ 0ac evenimentele sunt reprezentate prin cercurile A i B din

fig. # i $, reuniunea lor este reprezentat prin interiorul 7aurat al celor dou

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor )8

)8

%ig& 1

%ig& 2

Fig. 3

A

B


4/41

cercuri. Prin urmare, faptul c un punct al evenimentului S se gsete n regiunile

7aurate constituie evenimentul BA .

n cazul prezentat n fig. nr. $ evenimentele A i B sunt incompatibile,

deoarece realizarea evenimentului A exclude realizarea evenimentului B iinvers, pe c"nd evenimentele din fig. nr. #sunt compatibile, cci alegerea unui

punct comun celor dou cercuri atrage dup sine realizarea at"t a evenimentului

A , c"t i a evenimentului B .

b$ 0ac BA , atunci BBA = . 9eometric,

acest lucru nseamn c cercul A este interior lui

B .

c$ Oricare ar fi evenimentul A , au loc relaiile !

AAA = ,

AA = ,

=A ,

= .

DEFINIIE'ntersecia#sauprodusul$ evenimentelor A i B este evenimentul

(care const n realizarea simultan a evenimentelor A i B .

1otaia este !

BAP = .

OB'ER(AIE 9eometric, BA este reprezentat prin regiunea comun celor

dou cercuri prezentate n fig. nr. ).

Prin introducerea noiunii reuniune i intersecie, unele noiuni din teoria

probabilitilor pot fi formulate n mod mai precis. *stfel, pentru evenimentele

opuse se pot formula n acest moment urmtoarele DEFINIII!

I$ evenimentele A i A se numesc opuse dac au loc relaiile!

EAA = i =AA

II$ venimentele A i B sunt incompatibile dac!

=BA .

n caz contrar # BA $, evenimentele se numesc compatibile.

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor ):

):

%ig& $

A

B


5/41

APLICAII1. 4ie A i B dou evenimente din acelai c"mp/ s se arate c!

BABA = ,

BABA = .

*ceste dou relaii reprezint, n teoria mulimilor, relaiile lui )e *organ&

6nterpretarea va fi n limba;ul evenimentelor. Se consider mai nt"i prima relaie.

BA este prin definiie evenimentul a crui realizare nseamn realizarea a cel

puin unuia din evenimentele A sau B .


6/41

dac BA se realizeaz, atunci se realizeaz cel puin unul din evenimentele

A , B , adic se realizeaz evenimentul BA . Prin urmare!

BABA .

6nvers, dac BA s&a realizat, atunci cel puin unul din evenimentele A ,

B nu s&a realizat, deci nu s&a realizat BA / dar aceasta nseamn c s&a

realizat BA . Se poate scrie deci!

BABA ,

i rezult c!

BABA = .

OB'ER(AIE n general, se spune c evenimentele A i B sunt egale #not.

BA= $ dac BA i AB .

2.S se arate c relaiile

BA ,

AB ,

BBA = ,

ABA = .

sunt ec7ivalente.

Se va arta c dac una din cele patru relaii este adevrat, atunci i celelalte

trei sunt adevrate.

4ie BA este adevrat. *ceasta nseamn c dac A se realizeaz,

atunci se realizeaz i B .

Relaia AB arat c dac nu s&a realizat B , atunci nu s&a realizat nici

A , ceea ce este adevrat/ dac nu ar fi aa, ar fi contrazis relaia BA .

Pentru a arta c BBA = #dac BA $, este suficient s se arate c

BBA ( )3 , deoarece relaia BAB este evident, ea nsemn"nd c

dac se realizeaz B , atunci se realizeaz unul din evenimentele A , B .

Pentru a demonstra relaia ( )3 trebuie artat c de c"te ori se realizeaz

BA , se realizeaz i B .

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor +%

+%


7/41

0ac BA s&a realizat, atunci sau s&a realizat B #i relaia este

demonstrat$ sau s&a realizat A i atunci, conform ipotezei BA , s&a realizat

i B .

Pentru a arta c ABA = #n aceeai ipotez BA $, se observ c dac

se realizeaz A , atunci conform ipotezei se realizeaz i B , deci se realizeaz

BA . Se poate scrie BAA .

Relaia ABA este evident, ea nsemn"nd c dac se realizeaz A i

B , atunci se realizeaz A #relaia ABA este adevrat fr ipoteza

BA $. 0eci ABA = .

Prin raionamente asemntoare, se arat c dac se va lua ca ipotez alta din

cele patru relaii din enun, atunci prima relaie va rezulta drept o concluzie.

). Relaiile !

=BA ,

BA ,

AB ,

sunt ec7ivalente.

Se presupune c =BA , adic evenimentele A i B sunt

incompatibile. *ceasta nseamn c dac A se realizeaz, atunci B nu serealizeaz, deci se realizeazB , adic BA .

6nvers, dac BA , atunci dac A se realizeaz, se realizeaz n mod sigur

i B , deci B nu se realizeaz. *ceasta nsemn c evenimentele A i B

sunt incompatibile, adic =BA .

Rezult c primele dou relaii din enun sunt ec7ivalente. videna primei i

a celei de&a treia relaii rezult acum din simetria relaiei =BA .

2.) De*inii$ %+$,i% $ prob$bi+i"ii.

C-!p e eeni!en"e. Axio!e+e +&i /o+!o0oro

(a o societate comercial oarecare s&a constatat c n medie %2 din piesele

produse de o main automat sunt necorespunztoare. *ceasta nsemn c la

fiecare tur de produse nesortate, piesele rebut vor fi n proporie de aproximativ

%2 . 0ac turele sunt formate, de exemplu din 100 de piese, la unele dintre ele

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor +'

+'


8/41

numrul rebuturilor va fi sub %2 # ,..17,16 piese$, la altele peste %2 #

,...23,22 $, dar, n medie, acest numr va fi apropiat de 20.

Se presupune c procesul de fabricaie are loc n aceleai condiii de

producie. n acest caz, operaia de mas const n fabricaia n serie aproduselor, conduc"nd la constituirea unei colectiviti omogene. Procentul unuia

sau al altuia dintre evenimentele care intereseaz #produse necorespunztoare$

va fi & n condiii de producie identice & n general acelai, abt"ndu&se de la o

anumit valoare medie relativ stabil numai n cazuri rare. Se spune c acest

valoare medieeste indicele caracteristic al operaiei de mas sau, mai precis, al

fenomenului de mas, neleg"ndu&se prin aceast din urm noiune realizarea

valorilor unei caracteristici studiate #numrul produselor rebut$ cu aceeai

probabilitate, la orice prob. ste foarte important cunoaterea acestui indice n diferitele domenii de

activitate. l face posibil aprecierea fenomenelor de mas p"n acum

nt"mpltoare i c7iar previziunea evoluiei lor viitoare, n msura n care

condiiile iniiale ale experienei rm"n aceleai.

n exemplul de mai nainte, n care la 100 de piese, produse de o main

automat, 20de piese sunt n medie rebut, se spune c probabilitatea de a

produce rebuturi este, pentru maina dat !

02,01000

20= .

Se va cuta a se lmuri, pe plan teoretic, ce se nelege prin probabilitatea

unui eveniment ntr&o operaie de mas dat, rein"nd n acest scop c unitile

elementare rezultate dintr&un proces de mas & uniti ale colectivitii constituite

& i contopesc caracteristicile lor particulare ntr&o caracteristic a ntregului

ansamblu, ntr&o legitategeneral care caracterizeaz nu un element anumit al

colectivitii studiate, ci un element oarecare al acesteia, legitate care se va

denumi legitate statistic.

0ac ntr&o operaie de mas care are loc n condiii identice, un eveniment

A se produce n medie de mori, adic la mdin nuniti elementare ale

colectivitii studiate, probabilitatea evenimentului A este

( )n

mAP = ( )1 .

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor +)

+)


9/41

n aceast relaie, nreprezint numrul cazurilor egal posibile, pe c"nd m

reprezint numrul cazurilor favorabile/ ea sintetizeaz definiia clasic a

noiunii de probabilitate! se nume+te probabilitatea unui eveniment A +i se

notea, cu ( )AP - raportul dintre numrul m de re,ultate favorabile

producerii lui A +i numrul total nde re,ultate posibile ale experienei- n

condiia ca toate re,ultatele s fie egal posibile&

Pe baza acestei definiii se vede imediat c probabilitatea de apariie > la o

singur aruncare > a uneia din feele unui zar omogen i perfect construit este

6

1, sau probabilitatea de apariie a uneia din feele monedei este

2

1etc.

0eoarece nm rezult c probabilitatea oricrui eveniment nt"mpltor A

satisface dubla inegalitate !

( ) 1AP0 . ( )2


10/41

?ocmai de aceea, drept msur cantitativ de apreciere a posibilitii obiective

de a se produce evenimentul nt"mpltor A poate fi luat frecvena relativ

Af , rezultat dup un numr mare N de experiene, efectuate n aceleai

condiii.

0up cum se vede, noiunea de probabilitate a unui eveniment este legat

#c7iar la originea formrii ei$ de o noiune experimental, practic & frecvena

evenimentului > re,ultnd din legile obiective ale fenomenelor reale de mas&

*ceasta a condus la constatarea c evenimentele corespunztoare diferitelor

probe experimentale formeaz o anumit structur, cu numeroase proprieti

care pot fi formulate matematic. 2atematicianul rus *. 1. @olmogorov a numit&

o cmp de evenimentei pe aceast baz a formulat cunoscutele axiome privind

teoria probabilitilor.

'CEMA LUI /OLMOORO(

A#IOMA 1..nei experiene i corespunde ntotdeauna un cmp de evenimente&

Obiectele de baz folosite n axiomatizarea teoriei probabilitilor sunt

evenimentele i probabilitile respective. xperiena conduce la constatarea c

evenimentele corespunztoare diferitelor experiene posed unele proprieti ce

pot fi formulate matematic.

E#EMPLUSe consider experiena clasic a arucrii unui zar. *pariia celor ase

fee conduce la evenimentele !

( ) ( ) ( )6,...,2,1 .

n mod analog, apariia uneia din dou fee ne conduce la evenimentele !

( ) ( ) ( )6,5,...,3,1,2,1 .

*pariia uneia din trei fee d natere evenimentelor !

( ) ( ) ( )6,5,4,...,4,2,1,3,2,1 .

*pariia uneia din patru fee va da evenimentele !

( ) ( ),...5,3,2,1,4,3,2,1 .

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor +-

+-


11/41

*pariia uneia din cinci fee va conduce la evenimente de forma !

( ) ( ),...6,4,3,2,1,5,4,3,2,1

n total vor fi!

6261520156CCCCC 5646

36

26

16 =++++=++++

evenimente.

*dug"nd la aceasta evenimentul sigur, care const n faptul c la o aruncare

cu zarul va aprea n mod sigur una din cele ase fee, precum i evenimentul

imposibil, const"nd din faptul imposibil c la aruncarea cu zarul s nu ias nici

una din fee, se obin n total 64 evenimente, care formeaz c"mpul deevenimente generat de experiena aruncrii unui zar.

venimentele ( ) ( ) ( )6,...,2,1 rezultate direct din experien, vor fi numite

evenimente elementare.

Prin urmare, sunt!

656

46

36

26 21CCCC1 =+++++

evenimente elementare. n general numrul evenimentelor unui c"mp finit esteegal cu 2la o putere egal cu numrul evenimentelor elementare.

*stfel, dac se consider un lot de 25de piese de acelai fel i se extrage la

nt"mplare o perec7e de piese, numrul evenimentelor c"mpului generat de

aceast experien va fi egal cu 252 .

Revenind la exemplul cu zarul, se observ c evenimentul ( )2,1 const fie n

apariia feei 1, fie din apariia feei 2. Se spune c evenimentul ( )2,1 este

reuniunea #adunarea$ evenimentelor ( )1 i ( )2 , adic !

( ) ( ) ( )2,121 = .

n mod analog, realizarea simultan a evenimentelor ( )3,2,1 i ( )3,1 este

evenimentul ( )3,1 . Se spune c evenimentul ( )3,1 este intersecia #produsul$

evenimentelor ( )3,2,1 i ( )3,1 , adic !

( ) ( ) ( )3,13,13,2,1 = .

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor +

+


12/41

0ac evenimentele intersectate se exclud reciproc, se obine evenimentul

imposibil, notat cu . 0e exemplu !

( ) ( ) =

6,52,1 .

0in cele artate p"n acum rezult c orice eveniment al c"mpului care nu

este elementar, sau evenimentul nul, este o reuniune de evenimente elementare.

n particular, reuniunea #adunarea$ tuturor evenimentelor elementare conduce

la evenimentul sigur, care va fi notat cu .

Se consider evenimentul ( )1 . venimentul ( )6,5,4,3,2 se bucur de

proprietile!

( ) ( ) = 6,5,4,3,21 /

( ) ( ) = 6,5,4,3,21 .

venimentul ( )1 este complementul evenimentului ( )6,5,4,3,2 .

n general, un c"mp de evenimente este caracterizat prin urmtoarele

proprieti ! dac notm cu kA , hk1 , evenimente ale c"mpului, h

1kkA

=,

h

1kk

A=

sunt de asemenea evenimente / not"nd prin kA complementul lui

kA , kA este de asemenea un eveniment. venimentul sigur i evenimentul

imposibil aparin de asemenea c"mpului.

Pentru un c"mp infinit trebuie s se admit c i

=1kkA ,

=1kkA sunt

evenimente.

A#IOMA 2.%iecrui eveniment A al cmpului i corespunde un numr real-nenegativ- ( )AP - numit probabilitatea lui&

4olosind legtura dintre frecvena relativ i probabilitate, se deduce c

probabilitatea, care este raportul dintre numrul mde c"te ori se verific A n

nexperiene i numrul nde experiene, satisface inegalitile

1n

m0 .

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor +5

+5


13/41

A#IOMA ).(robabilitatea evenimentului sigur este egal cu1&

A#IOMA 3.(robabilitatea reuniunii a dou evenimente incompatibile ntre ele

este egal cu suma probabilitilor evenimentelor&

0up cum se tie evenimentele incompatibile sunt acelea care se exclud

reciproc.


14/41

2.3 Teore!e 4i re0&+i *&n$!en"$+e

$+e "eoriei prob$bi+i"i+or

2.3.1 REULA ADUNRII PROBABILITILOR E(ENIMENTELOR

INCOMPATIBILE

Se consider evenimentele 1A , 2A , 3, nA aparin"nd unui acelai c"mp

, incompatibile dou c"te dou, adic! = ji AA , ( ) ji ,

{ }n,...,2,1j,i . *tunci !

( )n21 A...AAP = ( ) ( ) ( )n21 AP...APAP ++

0emonstraia este imediat, prin inducie matematic dup Nn #numrul

de evenimente considerat$, folosind regula de adunare a probabilitii

evenimentelor incompatibile dat de cea de a treia axiom, i anume ! ( )BAP

= ( ) ( )APAP + , unde =BA .

REMARC (entru demonstraie se puteau considera urmtoarele ipote,e /

evenimentul 1A se poate reali,a n 1m ca,uri- evenimentul 2A se

poate reali,a n 2m ca,uri-0- evenimentul nA se poate reali,a n nm

ca,uri- iar evenimentul sigur se poate reali,a n s ca,uri&

*tunci ! ( )s

mAP 11 = , ( )

s

mAP 22 = , 3, ( )

s

mAP nn = .

6ncompatibilitatea evenimentelor 1A , 2A , 3, nA , revine la separarea

complet a cazurilor 1m , 2m , 3, nm , adic, numrul de cazuri n care se

realizeaz evenimentul n21 A...AA este! 1m + 2m + 3+ nm .

Prin urmare !

( )n21 A...AAP =s

m...mm n21 +++

i

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor +:

+:


15/41

( )n21 A...AAP = ( ) ( ) ( )n21 AP...APAP ++ .

2.3.2 PROBABILITATEA E(ENIMENTELOR CONTRARE


16/41

sau

( ) ( ) ( ) 1AP...APAP s21 =+++ ,

adic suma probabilitilor unor evenimente care formeaz un sistem complet de

evenimente este egal cu 1.

venimentele opuse, fiind incompatibile i n fiecare operaie de mas

produc"ndu&se unul dintre ele, acestea formeaz un sistem complet.

2.3.3 E(ENIMENTE INDEPENDENTE 5I DEPENDENTE

0ou sau mai multe evenimente se numesc independente dac probabilitatea

efecturii unuia dintre ele nu este influenat de faptul c celelalte evenimente s&

au produs sau nu.

E#EMPLEa$ 0ac dintr&un lot conin"nd at"t piese standard c"t i piese rebut se

extrage c"te o pies care revine la lot dup fiecare extracie, evenimentele care

constau n extragerea unei piese standard la fiecare extracie sunt independente.

b$ 0ac se arunc o moned de dou ori, probabilitatea apariiei stemei

#evenimentul A$ n a doua aruncare nu depinde de faptul c n prima aruncare

s&a produs sau nu apariia valorii #evenimentul B $.

0ou sau mai multe evenimente se numesc dependentedac probabilitatea

unuia dintre ele este influenat de evenimentele anterioare #depunde de faptul c

evenimentele anterioare s&au produs sau nu$.

E#EMPLUntr&o urn se gsesc a bile albe i bbile negre. Se noteaz cu A

evenimentul de a extrage o bil alb i cu B evenimentul const"nd n extragerea

unei bile negre dup ce a fost extras o bil #care nu se reintroduce n urnnaintea celei de&a doua extrageri$. Se fac, deci dou extrageri succesive. 0ac

prima bil extras a fost alb, adic s&a produs evenimentul A , atunci n urn

au rmas b bile negre i probabilitatea evenimentultui B este1ba

b

+/

dac prima bil extras a fost neagr, realiz"ndu&se evenimentul A , atunci n

urn au rmas 1b bile negre i probabilitatea evenimentului B este

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor -%

-%


17/41

1ba

1b

+

. Se observ c probabilitatea evenimentului B depinde de faptul c

evenimentul A s&a produs sau nu.

E#EMPLUS se calculeze probabilitatea ca un aparat cu o vec7ime de ani s

nu mai funcioneze dup o perioad cuprins ntre m+ i n+ ani # mn> $.

n acest caz apar evenimentele A i B . venimentul A se realizeaz atunci

c"nd aparatul cu o vec7ime de ani funcioneaz dup m+ ani, iar

evenimentul B atunci c"nd aparatul i nceteaz funcionarea n perioada

( )n,m ++ . Se vede din acest exemplu c evenimentul B este dependent

#condiionat$ de evenimentul A , deoarece pentru ca aparatul cu o vec7ime de

ani s i nceteze funcionarea ntre m+ i n+ ani trebuie mai nt"i sfuncioneze dup m+ ani.

2.3.6 TEOREMA 7NMULIRII E(ENIMENTELOR INDEPENDENTE

5I DEPENDENTE

4ie 1A i 2A dou evenimente dependente. Se va determina n continuare

probabilitatea producerii simultane a acestor evenimente, adic ( )21 AAP

. ntr&o operaie de mas se pot nt"mpla urmtoarele !

%$ se produce evenimentul 21 AA n 1m cazuri favorabile /

'$ se produce evenimentul 21 AA n 2m cazuri favorabile /

)$ se produce evenimentul 21 AA n 3m cazuri favorabile /

+$ se produce evenimentul 21 AA n 4m cazuri favorabile.

n total sunt 4321 mmmmn +++= cazuri posibile. Rezult c !

( )n

mAAP 121 = . ( )1

Probabilitatea evenimentului 1A se stabilete astfel! 1umrul cazurilor

favorabile realizrii evenimentului 1A este 21 mm + , deci !

( )n

mmAP 211

+= . ( )2

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor -'

-'


18/41

venimentele 1A i 2A fiind dependente, nsemn c probabilitatea lui

2A va fi influenat de realizarea lui 1A , deci se va calcula ( )2A AP 1 , relaie

care se citete ,,probabilitatea lui 2A condiionat de 1A CC sau ,, probabilitatea

lui 2A dup ce s&a realizat 1A CC .


19/41

APLICAIE 0intr&un lot de 40de becuri sosit la un magazin, dintre care 3

corespund standardului i 3 nu corespund, un cumprtor cumpr dou

buci. S se calculeze probabilitatea ca aceste dou becuri s fiecorespunztoare.

4ie 1A evenimentul ca primul bec s fie corespunztor i 2A ca al doilea

bec s fie corespunztor. Probabilitatea evenimentului 1A este ( )40

37AP 1 = .


20/41

evenimente independente l gsim n cazul unei urne cu bile de dou culori, din

care se fac extrageri n urmtoarele condiii ! n urn se gsesc 6 bile albe i 4

negre. 0ac A este evenimentul care const n extragerea unei bile albe,

atunci !

( )10

6AP = .

0up extragere, bila se reintroduce n urn i se face o nou extragere. 4ie

B evenimentul ca s fie extras o bil neagr n aceast a doua extragere.

*tunci ( )10

4BP = , probabilitate care nu depinde de faptul c evenimentul A

s&a produs sau nu.

Se consider, prin urmare, relaia !

( ) ( ) ( )2121 APAPAAP = .

4c"nd nlocuirea corespunztoare n relaiile ( )5 i ( )6 se obine!

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )2121

1

21

2A AP

AP

APAP

AP

AAPAP

1

=

=

=

,

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )1221

2

211A AP

AP

APAP

AP

AAPAP

2=

=

= .

galitile

( ) ( )22A APAP 1 = i ( ) ( )11A APAP 2 =

arat c a condiiona pe 2A de 1A i pe 1A de 2A nu influeneaz

probabilitile ( )1AP i ( )2AP . venimentele A i B sunt independente.

n acest caz, formula ( )7 devine

( ) ( ) ( ) ( )...AP...APAPA...AAP k21k21 = . ( )"

Prin urmare,probabilitatea producerii simultane a unui numr oarecare de

evenimente independente este egal cu produsul probabilitilor acestor

evenimente&

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor --

--


21/41

APLICAIE0ou maini produc aceeai pies. Probabilitile ca piesa s fie

corespunztoare sunt de !6,0 , respectiv de !3,0 . Se ia pentru ncercare c"te

o pies de la fiecare main i se cere s se calculeze probabilitatea ca ambele

piese s fie corespunztoare. *cestea fiind independente, rezult!

( ) ( ) ( ) "!2,0!3,0!6,0APAPAAP 2121 === .

ste important s se precizeze c cele artate mai nainte nu pot fi extinse la

un numr oarecare de evenimente, fr a defini n prealabil ce se nelege prin

evenimente independente n totalitatea lor. 2ai multe evenimente se numesc

evenimente independente n totalitatea lor dac fiecare dintre ele i orice

intersecie a celorlalte #conin"nd fie pe toate, fie o parte a lor$ sunt evenimente

independente. *stfel, evenimentele A ,B i C sunt independente n totalitatea

lor dac sunt

independente evenimentele! A i B , A i C , B i C , A i CB ,

B i CA , C i BA . Se poate vedea c independena n totalitate nu

poate fi asigurat de independena evenimentelor luate dou c"te dou.

2.3.8 TEOREMA ADUNRII PROBABILITILOR

E(ENIMENTELOR COMPATIBILE

4ie 1A i 2A dou evenimente compatibile. S se calculeze ( )21 AAP .venimentele fiind compatibile, evenimentul 21 AA se poate realiza n

urmtoarele moduri!

%. 21 AA , se realizeaz 1A mpreun cu opusul 2A /

'. 21 AA , nu se realizeaz 1A , dar se realizeaz 2A /

). 21 AA , se realizeaz simultan 1A i 2A .

Rezult!

( ) ( ) ( )21212121 AAAAAAAA = .

0eoarece evenimentele interseciei sunt incompatibile dou c"te dou, se

poate scrie !

( ) ( ) ( ) ( )21212121 AAPAAPAAPAAP ++= . ( )1Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor -

-


22/41

Se vor calcula probabilitile evenimentelor 1A i 2A !

( ) ( ) ( )21211

AAPAAPAP += , ( )2

( ) ( ) ( )21212 AAPAAPAP += . ( )3

nsum"nd ultimele dou relaii i in"nd seama de ( )1 , se obine!

( ) ( ) ( ) ( ) ++=+ 212121 AAPAAPAPAP ( ) ( )2121 AAPAAP +

de unde rezult !

( ) ( ) ( ) ( )212121 AAPAPAPAAP += . ( )4

Pentru trei evenimente 1A , 2A i 3A aceast relaie devine !

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++= 21321321 AAPAPAPAPAAAP( ) ( ) ( )3213231 AAAPAAPAAP + . ( )5

n general, pentru s evenimente are loc !

( ) ( ) ( )

++=

=

==

s

1kk

1s

hkh,k

hk

s

1kk

s

1kk AP1...AAPAPAP ( )6


23/41

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++= 21321321 AAPAPAPAPAAAP( ) ( ) ( ) =+ 3213231 AAAPAAPAAP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )++=

3121321

APAPAPAPAPAPAP

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=+ 32132 APAPAPAPAP++= "6,0!0,0!4,0!0,0"6,0!4,0!0,0

!!!1,0"6,0!4,0!0,0"6,0!4,0 =+ .

2.3.9 FORMULA PROBABILITII TOTALE

Se presupune c o operaie dat conduce la rezultatele 1A , 2A , 3, sA ,

care formeaz un sistem complet de evenimente. 4ie un eveniment #care nu se

poate realiza singur, ci mpreun cu unul din evenimentele 1A , 2A ,3, sA .

0eci !

( ) ( ) ( )#A...#A#A# s21 = .

0eoarece evenimentele ( ) ( ) ( )#A,...,#A,#A s21 suntincompatibile dou c"te dou, rezult !

( ) ( ) ( ) ( )#AP...#AP#AP#P s21 +++=

sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )#PAP...#PAP#PAP#Ps21 AsA2A1

+++= , ( )1

rezultat care constituieformula probabilitii totaleexprim"nd urmtoarea !

TEOREM (robabilitatea evenimentului # care poate s se produc

condiionat de unul din evenimentele 1A - 2A -0- sA +i care formea, un

sistem complet de evenimente- este egal cu suma produselor dintre

probabilitile acestor evenimente +i probabilitile condiionate

corespun,toare ale evenimentului #&

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor -8

-8


24/41

?eorema se demonstreaz foarte simplu. n condiiile teoremei, producerea

evenimentului # revine la producerea unuia din urmtoarele evenimente

incompatibile ( ) ( ) ( )#A,...,#A,#A s21 adic !

( ) ( ) ( )#A...#A#A# s21 = .

*plic"nd o consecin a teoremei de adunare a probabilitilor evenimentelor

incompatibile, se obine !

( ) ( ) ( ) ( )#AP...#AP#AP#P s21 +++= .

ns, dup regula nmulirii probabilitilor dependente, atunci !

( ) ( ) ( )#PAP#AP1A11

= , ( ) ( ) ( )#PAP#AP2A22

= ,3

3, ( ) ( ) ( )#PAP#APsAss

= .

Prin urmare,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )#PAP...#PAP#PAP#P

s21 AsA2A1 +++=

.

APLICAIEn magazia unei uzine se gsesc piese de acelai fel provenite de la

cele trei secii ale uzinei. Se tie c prima secie produce %25 din totalul pieselor,

a doua %35 i a treia %40 i c rebuturile sunt de %2 , %3 i %1 pentru fiecare

secie. S se calculeze probabilitatea ca lu"nd o pies la nt"mplare din magazie,

aceasta s fie necorespunztoare.

4ie 1A , 2A , 3A evenimentele ca piesa s aparin uneia din cele trei

secii i fie # evenimentul ca piesa s fie necorespunztoare. Piesanecorespunztoare put"nd proveni numai de la una din cele trei secii, nsemn c

evenimentul #nu se poate realiza singur ci mpreun sau cu 1A , sau cu 2A ,

sau cu 3A / adic au loc interseciile ( )#A1 , ( )#A2 , ( )#A3 . Probabilitile evenimentelor 1A , 2A , 3A i a evenimentului #

condiionat de realizarea evenimentelor 1A , 2A , 3A sunt !

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor -:

-:


25/41

( )10

25AP 1 = , ( )

10

35AP 2 = , ( )

10

40AP 3 = ,

( )10

2#P

1A = , ( )

10

3#P

2A = , ( )

10

1#P

3A = .

0eci,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++= #PAP...#PAP#PAP#Ps21 AsA2A1

+=100

2

100

25+

100

3

100

3501!,0

10000

1!5

100

1

100

40== .

Se vede de aici c la fiecare 1000 de piese, n medie 1! sunt

necorespunztoare.

2.3.9 REULA LUI BA:E'

4olosind aceast regul se rezolv problemele cuprinse n urmtoarea sc7em

general! se consider un sistem complet de evenimente 1A , 2A ,3, sA care

reprezint cauzele producerii unui eveniment necunoscut # #acest eveniment

poate s se produc condiionat de unul din evenimentele1

A ,2

A ,3,s

A $.

Se cunosc probabilitile !

( ) ( ) ( ) ,AP,AP,AP 321 3

( )#P1A

( )#P2A

( )#P3A

,3

*ceste probabiliti care se pot calcula naintea efecturii vreunei probe se

numesc probabiliti apriorice.

n urma efecturii probei se produce evenimentul # i trebuie determinateprobabilitile !

( ) ( ) ( ).AP,...,AP,AP s#2#1#

*ceste probabiliti calculate dup efectuarea probei se numesc probabiliti

aposteriori. 4ie evenimentul compus !

iA# , ifixat,

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor =

=


26/41

a crui probabilitate este !

( ) ( ) ( ) ( ) ( )#PAPAP#PA#PiAii#i

== .

0in ultima egalitatate rezult !

( ) ( ) ( )( )#P#PAP

AP iAi

i#

= .

(a numitor ( )#P poate fi exprimat prin formula probabilitii totale, deci !

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )#PAP...#PAP#PAP#PAP

APs21

i

AsA2A1

Ai

i# +++

= ,

relaie ce reprezintformula lui Baes.

APLICAII 1. S se calculeze probabilitatea ca piesa obinut #vezi problema

precedent$ i care nu corespunde condiiilor standard s provin de la secia

nt"i.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++

=#PAP...#PAP#PAP

#PAPAPs21

i

AsA2A1

Aii#

25,0

100

1

100

40

100

3

100

35

100

2

100

25100

2

100

25

=

++

= .

2. Bn magazin se aprovizioneaz zilnic de la trei depozite diferite 1$ , 2$ ,

3$

, cu aceleai cantiti globale de marf, ns n proporii diferite n raport cucele dou caliti ale ei. Situaia se vede din tabelul alturat.

0ac un cumprtor cumpr la nt"mplare o unitate din marfa n cauz i se

constat c ea este de calitatea a doua se pune ntrebarea care este probabilitatea

aposteriori ca unitatea de marf cumprat s fie de la depozitul 3$ . Se

consider evenimentele !

& evenimentul sA , cumprarea unei uniti de marf provenind de la

depozitul s # 3,2,1s= $ /

& evenimentul #, cumprarea unei mrfi de calitatea a doua.

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor %

%


27/41

venimentul #are loc n una din urmtoarele situaii !

( ) ( ) ( )#A%#A%#A s21 .

Prin urmare se poate scrie !

( ) ( ) ( )#A#A#A# s21 = .


28/41

*cest sc7em corespunde modelelor n care fenomenele se repet n condiii

identice.

Se consider o urn care conine bile de dou culori! albe i negre. 1umrul

acestora este cunoscut, aceasta nsemn"nd c dac din urn se extrage o bil secunoate probabilitatea & ca aceasta s fie alb, precum i probabilitatea 'ca

aceasta s fie neagr. vident, 1'& =+ .

0in aceast urn se extrage c"te o bil, aceasta revenind n urn dup fiecare

extragere.

0in urn se fac nextrageri/ dup fiecare extragere, bila revenind n urn,

atrage dup sine nemodificarea probabilitii de a obine o bil alb sau una

neagr.

4ie A evenimentul care const n extragerea unei bile albe i Bevenimentul extragerii unei bile negre. Se consider c la o experien n care au

fost extrase nbile, se obine un eveniment de forma !

BAAABA

unde kdintre acestea sunt A , iar kn sunt B .

venimentele din irul de mai sus sunt independente, probabilitatea lui,

folosind regula de nmulire a probabilitilor,( ) &A& =

,( ) 'B& =

, fiind !

knk '& .

ns, obinerea n extragerea a nbile, kbile albe i kn negre, se poate

realiza n knC moduri.

Prin urmare, probabilitatea ca n nprobe s se obin de kori o bil alb

i de kn ori o bil neagr este

( ) knkknn '&CkP

= .

0eoarece acest termen este unul din termenii dezvoltrii binomului ( ) n'&+ ,

aceast sc7em se mai numete iscema binomial.

2.Schema urnei lui Bernoulli cu mai multe stri

n situaia n care urna conine bile de mai multe culori, problema determinrii

probabilitii evenimentului, care const n obinerea unei anumite combinaii de

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor )

)


29/41

bile de diferite culori, se rezolv similar. *stfel, dac urna conine 1a bile de

culoarea 1, 2a bile de culoarea 2,3, ka bile de culoarea k, atunci

probabilitatea ca n nextrageri s se obin 1 bile de culoarea 1, 2 bile

de culoarea 2,3, k bile de culoarea keste !

( ) k21 k21k21

k1n &&&(((

(n,,&

= ,

unde 1&& k1 =++ i nk1 =+ .

0eoarece ( )k1n ,,& reprezint unul din termenii dezvoltrii unui

polinom la puterea n, aceast sc7em se mai numete i sc7ema polinomial.

).Schema bilei nerepetate

0intr&o urn care conine a bile albe i bbile negre se fac nextrageri

succesive, fr ca bila s revin n urn. Problema este de a determina

probabilitatea ca din cele nbile extrase extrase s fie albe i negre.

1umrul total al cazurilor posibile se determin form"nd cu cele ba+ bile

toate combinrile posibile de c"te n, adic n baC + . Pentru a determina numrul cazurilor favorabile, se asociaz fiecare grup cu

bile albe din cele a #n total aC $ cu fiecare grup de bbile negre # bC $

i se obin ba CC . 0eci probabilitatea cutat este!

nba

ba

C

CC

+

( )ban += .

n general, c"nd n urn se gsesc 1a bile de culoarea 1, 2a bile de

culoarea 2,3, sa bile de culoarea s i se extrag nbile, fr ntoarcerea

bilei n urn, atunci probabilitatea ca 1 bile dintre acestea s fie de culoarea

1, 2 bile s fie de culoarea 2, 3, s bile de culoarea s , este!

s21

s21

s

s

2

2

1

1

aaa

aaa

C

CCC

+++

+++

.

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor +

+


30/41

3.Schema lui Poisson

Se dau urnele n21 ),...,),) , fiecare conin"nd bile albe i bile negre n

proporii cunoscute. 0ac n21 &,...,&,& sunt probabilitile extragerii unei

bile albe din n21 ),...,),) , care este probabilitatea ca lu"nd o bil din

fiecare urn, s obinem kbile albe i kn bile negreF

4ie iA evenimentul extragerii unei bile albe din urna i) ( )n,...,2,1i = i

iA evenimentul extragerii unei bile negre din aceeai urn.

( ) ii &AP = / ( ) iii &1'AP == , n,...,2,1i = .

4ie A evenimentul care const n extragerea a kbile albe i kn bile

negre, c"nd se extrage c"te o bil din fiecare urn.

Prin urmare, A este reuniunea evenimentelor de forma !

n2k1kk21 iiiiii A...AAAAA

++,

unde indicii si , ns1 iau valorile n,...,2,1 i sunt diferii doi c"te doi,adic reprezint o permutare a numerelor n,...,2,1 .

Probabilitatea evenimentului de mai sus este !

n2k1kk21 iiiiii '...''&&&

++,

iar probabilitatea lui A este suma produselor de aceast form. *stfel, n

fiecare produs, litera & apare de k ori, iar litera ' de kn ori.


31/41

4ie 'o mulime arbitrar de indici. *tunci are loc urmtoarea inegalitate

#inegalitatea lui Boole$!

( ) ( )1nAPAP *i i*i i

.

6negalitatea se mai poate scrie i n forma !

( )

*ii

*i

i AP1AP

ntr&adevr, av"nd n vedere c !

*i

i*i

i AA

= ,

rezult!

( ) ( ) ( )1nAPAP1AP1AP*i

i*i

i*i

i*i

i =

=

E#EMPLUntr&o grup de studeni, %75 cunosc limba francez, %!0 cunosc

limba englez i %"2 cunosc limba german.


32/41

1. Se consider o urn care conine patru bile numerotate 4,3,2,1 . Scriei

c"mpul de evenimente corespunztor experienei const"nd ntr&o extragere din

aceast urn.

"oluie. 2ulimea tuturor evenimentelor legate de o experien #inclusivevenimentul sigur i evenimentul imposibil$ formeaz un c"mp de evenimente.

xperiena const"nd ntr&o extragere din aceast urn conduce la c"mpul de

evenimente! , { }1 , { }2 , { }3 , { }4 , { }2,1 , { }3,1 , { }4,1 , { }3,2 , { }4,2 ,

{ }4,3 , { }3,2,1 , { }4,2,1 , { }4,3,2 , { } =4,3,2,1 .

2.


33/41

evenimente. 0ac evenimentele sunt compatibile dou c"te dou nu nseamn c

sunt compatibile n totalitatea lor.

A, sunt compatibile

B, sunt compatibileC, sunt compatibile

B,A sunt compatibile

C,A sunt compatibile

C,B sunt incompatibile

f$ { }24,22,20,1",16,14,12,10,",7,6,4,2BA =

{ }14BA =

{ }25,23,21,1!,17,15,13,11,!,7,5,3,1A =

=CA .

3. Pe raftul unui magazin sunt 5farfurii, 3sunt corespunztoare calitativ

i dou necorespunztoare, se extrag la nt"mplare dou farfurii. Se consider

evenimentele !

& 1F obinerea a dou farfurii necorespunztoare/

& 2F obinerea a cel puin unei farfurii corespunztoare/

& 3F obinerea unei singure farfurii corespunztoare/

& 4F obinerea unei singure farfurii necorespunztoare/

a$ S se precizeze pentru fiecare eveniment dac este aleator, sigur,

imposibil, simplu sau compus.

b$ Precizai perec7ile de evenimente egale, compatibile, incompatibile, contrare,

care se implic unul cu altul.

"oluie.

a$ 1otm 321 ,, farfuriile corespunztoare i 21, cele

necorespunztoare. venimentele elementare ale experienei sunt ( )21, ,

( )31, , ( )32, , ( )11, , ( )21, , ( )12, , ( )22, , ( )13, ,

( )23, , ( )21, , iar numrul lor este 1021

45C25 =

= .

venimentele 4321 F,F,F,F sunt aleatoare deoarece la o efectuare a

experienei, oricare din ele se poate sau nu se poatEe realiza.

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor 8

8


34/41

venimentul ( ){ }211 ,F = este eveniment elementar pentru c se

realizeaz ntr&o singur prob.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ ,,,,,,,,,,,,F 2313221221112 =

( ) ( ) ( )}323121 ,,,,, /

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}{ 2313221221113 ,,,,,,,,,,,F = /

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}{ 3222123121114 ,,,,,,,,,,,F = .

Observm c 432 F,F,F sunt evenimente compuse pentru c se realizeaz

prin mai multe probe.

1ici unul dintre ele nu este evenimentul sigur pentru c probele fiecrui

eveniment 4321 F,F,F,F , nu acoper mulimea tuturor probelor experienei.

1ici unul dintre evenimentele 4321 F,F,F,F , nu este imposibil, deoarece

fiecare dintre ele se realizeaz n cel puin o prob a experienei.

b$ venimentele 43 F,F sunt egale, deoarece, obinerea unei farfurii

corespunztoare #realizarea lui 3F $ atrage dup sine obinerea unei singure

farfurii necorespunztoare, adic realizarea lui 4F i reciproc, sau dac

analizm mulimea probelor evenimentului 3F i respectiv ale lui 4F

observm c acestea coincid.

venimente compatibile ! 2F cu 3F , 2F cu 4F , 3F cu 4F , pentru c

se pot realiza simultan.

venimente incompatibile ! 1F cu 2F , 1F cu 3F , 1F cu 4F , pentru

c nu se pot realiza simultan.

venimente contrare ! 1F i 2F deoarece obinerea a dou farfurii

necorespunztoare #realizarea lui 1F $ atrage imposibilitatea obinerii cel puin a

unei farfurii corespunztoare #realizarea lui 2F $ i reciproc.

Perec7i de evenimente dintre care primul l implic pe al doilea! 3F 4F ,

4F 3F , 3F 2F , 4F 2F .

6. (a un magazin se v"nd aparate electronice. *legem la nt"mplare patru

dintre ele i notm cu A evenimentul ca toate cele patru aparate s fie bune i

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor :

:


35/41

B evenimentul ca cel puin un aparat s fie defect. Precizai ce fel de

evenimente sunt BA , BA , A .

"oluie. venimentul BA este evenimentul sigur cele patru aparate alese

pot fi n una din situaiile !&toate bune

&trei bune i unul defect

&dou bune i dou defecte

&unul bun i trei defecte

&toate defecte.


36/41

( ) { }5,3,1CBA = .

9. Se arunc dou zaruri identice i omogene i se noteaz cu S i P

respectiv suma i produsul numerelor de pe cele dou zaruri i cu !A& evenimentul ca suma s fie numr impar/

B & evenimentul ca suma s fie un cub perfect/

C & evenimentul ca suma s fie divizibil cu 2/

$ & evenimentul ca produsul s fie divizibil cu 4/

E & evenimentul ca produsul s fie ptrat perfect.

a$ S se scrie evenimentele elementare corespunztoare experimentului.

b$ S se scrie mulimea valorilor lui S i P .

c$ S se scrie evenimentele E,$,C,B,A ca mulimi, specific"nd

evenimentele elementare corespunztoare fiecruia.

d$ Scriei i menionai ce nseamn evenimentele ! E,$,C,B,A , BA ,

CBA , $A , EA , E$CBA , BA , CB ,

CBA , BA , ( )CBA , ( ) CBA , ( )CBA ,

$A , ( ) ( )E$BA .

"oluie. a$ 0eci ( ) 6,1j,6,1ij,i === , corespunztoare tabelului!

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6,65,64,63,62,61,6

6,55,54,53,52,51,5

6,45,44,43,42,41,4

6,35,34,33,32,31,3

6,25,24,23,22,21,26,15,14,13,12,11,1

b$ { }12,11,10,!,",7,6,5,4,3,2S= /

{ }36,30,25,24,20,1",16,15,12,11,10,!,",7,6,5,4,3,2,1P = .

c${ }11,!,7,5,3A=

/ { }"B = /

{ }12,10,",6,4,2C = /

{ }36,24,20,16,12,",4$= /

{ }25,16,!,4E = .

d$ Pentru A , B , C evenimentul sigur este S , deci complementarele se scriu

n raport cu acestea i obinem !

=A { }12,10,",6,4,2 ,

Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor 5%

5%


37/41

{ }12,11,10,!,",7,6,5,4,3,2B = ,

{ }11,!,7,5,3C = , n timp ce pentru $ , E vom folosi ca eveniment sigur P

i obinem !

{ }30,25,1",15,10,!,6,5,4,3,2,1$ = ,

{ }36,30,24,20,1",15,12,10,",6,5,3,2,1E = ,

=BA , = CBA , =$A , { }!EA = ,

= E$CBA , SBA == ,

{ } A11,!,7,5,3CBCB === , == SCBA , ABA = ,

( ) { } A"ACBA == , ( ) === CCCBA ,

( ) == ACBA , { } A11,!,7,5,3$A == ,

( ) ( ) { } { } === 16,416,4E$BA .

;.


38/41

a$ Probele pentru A sunt exprimate prin perec7i de forma ( )j,i , unde

!ji =+ , 6,1i = , 6,1j= .

( ) ( ) ( ) ( ){ }6,3,5,4,4,5,3,6A= .

b$ ( ){ }6,1j,i,jij,iB =. (a aruncarea unui zar s considerm A evenimentul care const n

apariia uneia din feele 6,4,2 i B evenimentul care const n apariia uneia

din feele 5,3,1 .


39/41

5,3,1 sunt impare, rezult c la o realizare a evenimentului A nu se realizeaz

B i reciproc, deci A , B sunt contrare.

11. Bn lot de piese conine i piese cu defect de fabricaie i piese cu defect demonta;. *legem la nt"mplare o pies din lot. S se exprime evenimentele!

a$ o pies luat la nt"mplare s fie respins la control/

b$ o pies s fie acceptat la control /

c$ o pies s aib ambele defecte.

"oluie.


40/41

2.8 Prob+e!e prop&,e

1. O urn conine 7 bile verzi i 10bile roii. Se extrag simultan doubile.


41/41

1>. Bn ;uriu compus din 5 membrii este ales dintr&un grup de 10brbai

i 7 femei. Se cere probabilitatea evenimentelor !

=A ;uriul conine 3brbai i 2femei/

=B ;uriul nu conine femei/=C ;uriul conine femei.

11. O loterie conine !0 de bilete numerotate de la 1 la !0. Diletele

c"tigtoare sunt cele numerotate cu multiplii de 5. O persoan posed 4

bilete.

cap 2 prob stat

Documents

Transcript of cap 2 prob stat