61

6. TRANSMITEREA CĂLDURII

Transmiterea căldurii între 2 corpuri sau printr-un corp este un proces ireversibil care se

desfăşoară din zone cu temperatură mai mare spre cele cu temperatură mai mică şi nu încetează

decât când temperaturile devin egale.

Transmiterea căldurii se poate realiza în 3 moduri: conducţia, convecţia şi radiaţia. Cele 3

moduri de transmitere a căldurii se manifestă de obicei simultan.

Transmiterea căldurii prin conducţie termică reprezintă transportul direct al căldurii în

interiorul unui corp, lipsit de mişcări aparente (adică macroscopice), în masa căruia există diferenţe

de temperatură. Acest mod de transmitere a căldurii este caracteristic corpurilor solide,

intensitatea conducţiei termice fiind maximă la metale. La lichide şi la gaze intervine numai în

stratul limită sau în straturi de grosime foarte mică.

Convecţia termică este procesul de transmitere a căldurii prin intermediul unui fluid în

mişcare care vehiculează energia termică din zonele de temperatură mai mare în altele de

temperatură mai scăzută.

Radiaţia termică reprezintă procesul de transmitere a căldurii între corpuri aflate la distanţă,

fără contact direct (deci şi prin vid) prin intermediul radiaţiilor termice de natură electromagnetică.

Transferul de căldură între 2 corpuri sau printr-un corp poate avea loc în regim staţionar

(căldura schimbată este constantă în timp) sau în regim tranzitoriu. În cazul regimului staţionar,

temperatura unui punct oarecare din sistem este constantă în timp, adică: 0t

În regim tranzitoriu: 0t

6.1 Conducţia termică

6.1.1 Flux de căldură. Legea lui Fourier. Coeficient de conducţie

Se numeşte flux de căldură cantitatea de căldură transmisă printr-o suprafaţă în unitatea de

timp

WQQ

Se numeşte flux unitar de căldură fluxul de căldură transmis prin unitatea de suprafaţă:

2mW

SQq

Legea fundamentală a transmiterii căldurii prin conducţie, lege stabilită experimental, este

legea lui Fourier:

nttgradq

unde nt

variaţia temperaturii de-a lungul direcţiei (sau direcţiilor) pe care se propagă căldura.

Semnul minus apare deoarece propagarea căldurii are loc în sensul descrescător al

temperaturilor, adică de la suprafaţa ( tt ) la suprafaţa t .

Factorul de proporţionalitate

mKW

, se numeşte coeficient de conducţie termică şi este o

proprietate fizică a materialului care se determină experimental.

62

Valoarea lui depinde în primul rând de material şi, pentru acelaşi material, de temperatură,

starea de agregare, presiune, porozitate, etc.

În funcţie de temperatură: tb10 unde 0 este valoarea lui la 0°C iar b este o

constantă care depinde de material

Domenii de valori pentru :

gaze (0,0060,6) W/mK

lichide (0,10,7) W/mK

302,0 W/mK pentru materiale termoizolante

4142 W/mK pentru metale

exemple: mKW50,

mKW414 otelintarg

6.1.2 Conducţia termică în regim staţionar unidimensional

a) Perete plan

Perete plan omogen

Se consideră un perete plan omogen, de grosime , cu suprafaţa pe direcţia x foarte mare în

comparaţie cu cele din direcţiile y şi z.

Figura 6.1

Neglijând fluxul de căldură pe direcţiile

y şi z, rezultă că putem considera fluxul

de căldură că se transmite

unidirecţional, adică doar în direcţia x.

Trecerea căldurii având loc în regim

staţionar, înseamnă că temperaturile t1 şi

t2 ale celor 2 feţe din direcţia x sunt

constante în timp.

Figura 6.2

Reprezentarea temperaturilor într-o

secţiune prin peretele de grosime :

Din legea lui Fourier: dxdtq

63

Pentru = mediu = cst: dxqdt

Cxqt

Condiţiile la limită: x = 0, t = t1 t1 = C

x = , t = t2 12 tqt

qtt 12

221 mWttq relaţia de calcul pentru fluxul unitar de căldură

c

21

Rttq

unde Rc = rezistenţa la conducţie termică,

cR

Fluxul de căldură prin suprafaţa S este:

WSR

ttSqQc

21

Perete plan neomogen

Se consideră un perete plan neomogen format din două straturi de grosimi 1 şi 2 având

coeficienţii de conducţie 1 şi 2 constanţi. Se cunosc temperaturile suprafeţelor exterioare t1 şi t3.

Figura 6.3

În regim staţionar, fluxul unitar de căldură q este constant în fiecare strat (nu există surse de

căldură sau puncte de absorbţie a căldurii).

322

221

1

1 ttttq

2

232

1

121

qtt

qtt

adunând relaţiile

2

2

1

131 qtt

ech

31

2

2

1

1

31

Rttttq

unde Rech = rezistenţa echivalentă la conducţie termică a peretelui neomogen.

64

Pentru perete plan neomogen format din n straturi ech

1n1n

1i i

i

1n1

Rttttq

b) Perete cilindric de lungime mare (conducte)

Transmiterea căldurii prin conducţie prin pereţi cilindrici omogeni sau neomogeni este un

caz foarte frecvent întâlnit în transportul fluidelor calde sau reci prin conducte.

Perete cilindric omogen, l >> d (conducte)

Figura 6.4

l = lungimea conductei,

d = diametrul conductei

r = raza curentă

În acest caz temperatura variază numai radial.

Fluxul de căldură transmis prin perete este: drdtSQ

unde S este aria suprafeţei laterale a cilindrului la raza curentă r. lr2S

rdr

l2Qdt

drdtlr2Q

1

221

1

212 d

dlnl2Qtt

rrln

l2Qtt

Wtt

ddln

l2Q 21

1

2

Deoarece suprafeţele interioară şi exterioară sunt diferite, rezultă că şi fluxurile unitare de

căldură vor fi diferite:

2

1

21

211

1 mW

rrlnr

ttlr2

Qq

21

1

22

212

2 mWq

rrlnr

ttlr2

Qq

Din această cauză, în cazul conductelor se introduce noţiunea de flux liniar de căldură:

mWtt

ddln1

2lQq 21

1

2l fluxul de căldură transmis printr-un metru de

conductă

65

Perete cilindric neomogen

Este cazul conductelor care au izolaţie exterioară pentru micşorarea pierderii de căldură.

Figura 6.5

În regim staţionar, fluxul liniar de căldură este egal în cele 2 straturi cilindrice.

32

2

3

2

21

1

2

1

l tt

ddln1

2tt

ddln1

2q

2

2

3l

32

1

1

2l

21

2ddlnq

tt

2ddlnq

tt

Adunând cele două relaţii:

2

2

3

1

1

2

l31ddln

ddln

21qtt

Rezultă

mW

ddln

21

ddln

21

ttq

2

3

21

2

1

31l

Prin generalizare, pentru n straturi:

n

1i i

1i

i

1n1l

ddln

21

ttq

6.2 Convecţia termică

Convecţia termică este procesul de transmitere a căldurii între peretele unui corp solid şi un

fluid în mişcare. Pentru transmiterea căldurii este necesară existenţa unei diferenţe de temperatură

între fluid şi perete.

Transferul de căldură prin convecţie, de exemplu, de la un perete mai cald la un fluid mai

rece, are loc în câteva etape. Iniţial, căldura trece de la perete la particulele de fluid din imediata

apropiere prin conducţie. Energia termică astfel transferată măreşte temperatura şi energia internă a

acestor particule de fluid. Stratul de fluid de lângă perete prin care căldura se transmite prin

conducţie se numeşte strat limită termic.

În continuare, aceste particule cu energie mai mare se deplasează către regiuni cu

temperaturi mai scăzute, unde prin amestec cu alte particule, transmit acestora o parte din energia

lor, mărindu-le temperatura.

Factorii care influenţează convecţia termică:

66

a) Cauza care produce mişcarea fluidului

Dacă mişcarea fluidului este cauzată doar de diferenţa de densitate produsă de diferenţa de

temperatură între particulele de fluid mai apropiate şi mai depărtate de perete, transmisia căldurii se

face prin convecţie liberă.

Dacă mişcarea fluidului este cauzată de un lucru mecanic din exterior (pompă, ventilator)

transmisia căldurii se face prin convecţie forţată.

b) Regimul de curgere al fluidului care este caracterizat prin criteriul Reynolds (Re).

Pentru curgerea fluidelor prin ţevi şi canale închise există următoarele regimuri:

convecţie în regim laminar (particulele de fluid nu se amestecă, liniile de curent fiind paralele):

2300Re

convecţie în regim tranzitoriu: 410Re2300

convecţie în regim turbulent: 410Re

Pentru curgerea fluidului peste corpuri în formă de placă plană, graniţa dintre laminar şi

turbulent este pentru 5105Re .

Deoarece în regim laminar particulele nu se amestecă, intensitatea transferului de căldură

prin convecţie este mai mare în regim turbulent decât în regim laminar.

c) Proprietăţile fizice ale fluidului

Convecţia este influenţată în principal de căldura specifică cp , coeficientul de conducţie al

fluidului (care intervine în stratul limită termic), difuzivitatea termică, densitatea, vâscozitatea

dinamică, proprietăţi care depind de temperatura fluidului şi care pot fi găsite în tabele

termodinamice.

d) Forma şi dimensiunile suprafeţei de schimb de căldură

Geometria suprafeţei de schimb de căldură (plană, cilindrică, nervurată, etc.) şi orientarea

acesteia faţă de direcţia de curgere a fluidului afectează caracteristicile stratului limită, deci şi

transferul de căldură prin convecţie.

Relaţia generală de calcul a fluxului de căldură schimbat prin convecţie este relaţia lui

Newton:

WttSQ fp

unde: tp = temperatura peretelui în contact cu fluidul în mişcare;

tf = temperatura fluidului;

S = aria suprafeţei peretelui [m2];

= coeficientul de convecţie [W/m2K].

Problema transmiterii căldurii prin convecţie se reduce de fapt, la determinarea

coeficientului de convecţie.

Dacă în calculele practice de transmitere a căldurii prin conducţie se poate lucra cu valorile

experimentale ale coeficientului luate din tabele termodinamice, în cazul convecţiei, coeficientul

trebuie determinat pentru fiecare caz în parte şi depinde de cei 4 factori prezentaţi anterior.

Determinarea coeficientului de convecţie se face pornind de la ecuaţiile diferenţiale care

intervin în procesul de transmitere a căldurii prin convecţie, tinând cont de faptul că procesul are loc

datorită mişcării fluidului: ecuaţia de continuitate, ecuaţiile Navier-Stockes (ecuaţiile de mişcare) şi

ecuaţia de contur (vezi cursul de mecanica fluidelor).

67

Ecuaţia de contur ţine cont de faptul că fluxul unitar de căldură transmis prin convecţie este

egal cu fluxul unitar de căldură transmis prin conducţie prin stratul limită de fluid de lângă perete:

ntttq fp

ecuaţia de contur

Rezolvarea teoretică a acestui sistem de ecuaţii diferenţiale nu este posibilă decât pentru

cazuri foarte simple, particulare.

Din această cauză, pentru determinarea coeficientului de convecţie se face apel la teoria

similitudinii. Pe baza ecuaţiilor diferenţiale sus menţionate şi a teoriei similitudinii au fost deduse

mărimile adimensionale numite invarianţi sau criterii de similitudine sau numere. Exemplu:

Reynolds (Re), Grasshof (Gr), Nusselt (Nu), Prandtl (Pr) (vezi laboratorul).

Aceşti invarianţi se pot calcula în funcţie de parametrii fluidului la temperatura respectivă

(ex. vâscozitate, densitate, viteză, etc.)

Toţi aceşti invarianţi au aceeaşi valoare pentru sistemele şi fenomenele asemenea.

Deci fenomenul de convecţie într-o instalaţie industrială este asemenea cu fenomenul de

convecţie dintr-o instalaţie model de laborator dacă aceşti invarianţi au aceeaşi valoare.

Cel mai important invariant este Nu deoarece include coeficientul de convecţie care

trebuie determinat: Nu = l / unde este coeficientul de conducţie termică a fluidului în

stratul limită iar l este lungimea caracteristică (diametrul în cazul conductelor).

Efectuând experimentări pe instalaţii de laborator, au fost deduse empiric, relaţii de legătură

între invarianţi, numite ecuaţii criteriale de forma: Nu = f ( Re, Pr, Gr, etc. )

În concluzie, teoria similitudinii permite ca pe baza ecuaţiilor diferenţiale ale convecţiei, dar

fără a le integra, să se obţină criterii de similitudine între care să se determine pe cale experimentală

ecuaţii criteriale valabile pentru toate procesele asemenea. Din aceste ecuaţii criteriale se poate

determina coeficientul de convecţie .

Exemple : Convecţia liberă

Ecuaţia criterială este de forma:

Nu = C ( Gr Pr )n

unde C şi n sunt coeficienţi care depind de regimul de curgere

Convecţia forţată

nm PrReCNu

unde C, m şi n sunt coeficienţi care depind de regimul de curgere

Deoarece experimentările au fost efectuate de diverşi autori, există diferite variante ale

acestor ecuaţii criteriale empirice. Forma concretă a ecuaţiilor criteriale şi valoarea coeficienţilor se

pot afla din cărţile de specialitate legate de transmiterea căldurii.

6.3 Radiaţia termică

6.3.1 Noţiuni generale

Radiaţia termică reprezintă procesul de transmitere a căldurii între corpuri aflate la distanţă,

fără contact direct.

Este de natură electromagnetică la fel ca şi celelalte radiaţii (, x, etc.).

68

Radiaţia termică este rezultatul transformării energiei interne a corpurilor în energie a

undelor electromagnetice care se propagă în spaţiu cu lungimi de undă cuprinse între 0,7 - 400

m (microni) ce corespund razelor infraroşii, vizibile şi ultraviolete.

Fenomenul are sens dublu. Astfel, un corp radiază energie dar şi absoarbe energia emisă sau

reflectată de corpurile înconjurătoare.

La corpurile solide şi lichide, transformarea energiei electromagnetice în energie termică şi

invers, are loc în straturile superficiale, iar la corpurile gazoase în volum.

Transferul de căldură prin radiaţie termică devine semnificativ la temperaturi ridicate ale

corpului.

În aplicaţiile tehnice care implică temperaturi apropiate de cele ale mediului ambiant,

radiaţia termică poate fi neglijată în comparaţie cu transferul de căldură prin convecţie.

La fel ca celelalte radiaţii de natură electromagnetică, radiaţia termică se propagă în linie

dreaptă, se reflectă, se refractă şi se absoarbe.

Fluxul de energie radiată Q care întâlneşte un corp oarecare se distribuie astfel:

DQRQAQQ

W (6.1)

unde: AQ

= partea care este absorbită

RQ

= partea care este reflectată

DQ

= partea care străbate corpul (este difuzată)

Împărţind relaţia 6.1 la Q A + R + D = 1

unde: A = coeficientul de absorbţie

R = coeficientul de reflexie

D = coeficientul de difuzie

În funcţie de natura corpului, starea suprafeţei, lungimea de undă a radiaţiei şi

temperatură, coeficienţii A, R, D pot lua valori între 0 şi 1.

Corpul negru A= 1 ; R = D = 0

Corpul negru este un corp ideal, teoretic, care absoarbe complet radiaţia termică, indiferent

de lungimea de undă. Doar câteva corpuri reale se apropie de comportarea corpului negru (ex.

Negrul de fum).

Corpul alb este tot un corp ideal care reflectă toate radiaţiile incidente.

R = 1 ; A =D = 0

Corpul diaterm este perfect transparent pentru toate radiaţiile incidente (căldura trece prin

corp fără să fie reflectată sau absorbită)

D = 1 ; A = R = 0

Corpul cenuşiu absoarbe pe toate lungimile de undă o anumită proporţie din radiaţiile

incidente

0 A 1

În aplicaţiile tehnice, corpurile reale se consideră cenuşii.

Suprafaţa unui corp se numeşte lucie dacă reflectă radiaţia incidentă într-o direcţie

determinată, unghiul de incidenţă fiind egal cu cel de reflexie.

Suprafaţa se numeşte mată dacă reflectă radiaţia incidentă în toate direcţiile.

Radiaţia monocromatică corespunde unei anumite lungimi de undă . Radiaţia integrală

cuprinde întregul spectru de radiaţie cu (0, ).

69

Pe baza legilor radiaţiei termice (legile de la electromagnetism) a fost dedusă relaţia pentru

fluxul de căldură radiat de un corp:

W100TSCQ

4

0

unde: C0 = 5,67 W/m2K

4 coeficientul de radiaţie al corpului negru

T = temperatura suprafeţei radiante K

S = suprafaţa radiantă m2

= factor de emisie

se determină experimental şi depinde de material, starea suprafeţei, temperatură (0,

1)

Exemplu: negru de fum = 0,95

cupru polizat = 0,023

Schimbul de căldură prin radiaţie termică între corpurile solide separate prin medii

transparente reprezintă un proces complex de reflecţii şi absorbţii repetate. Astfel, fiecare corp

emite radiaţii termice care sunt absorbite şi o parte reflectate înapoi de corpurile înconjurătoare. O

parte din radiaţiile care revin sunt absorbite, altă parte reflectate ş.a.m.d., procesul continuând până

la egalizarea temperaturilor.

Intensificarea schimbului de căldură prin radiaţie termică se realizează prin mărirea

temperaturii suprafeţelor radiante şi prin mărirea factorului de emisie al sistemului (ex. colorez în

negru).

Reducerea schimbului de căldură se obţine prin scăderea temperaturii suprafeţelor radiante,

reducerea factorului de emisie (ex. colorez în alb) şi utilizarea ecranelor contra radiaţiei termice.

6.3.2 Cazuri particulare de schimb de căldură prin radiaţie termică

a) Două suprafeţe plane paralele

Figura 6.6

Ţinând cont de reflexiile şi absorbţiile repetate, se poate demonstra că fluxul de căldură

transmis prin radiaţie termică între 2 plăci cenuşii plane paralele cu suprafaţa S este:

42

41

012 100T

100T

SCQ W

70

unde 12 = factorul mutual de emisie al sistemului format de cele două plăci

1111

21

12

b) Suprafaţă închisă înconjurată de altă suprafaţă

Figura 6.7

42

41

1012 100T

100T

SCQ W

Factorul mutual de emisie al sistemului este:

11

SS1

1

22

1

1

12

Observaţie: Dacă S2 S1 ; S1 / S2 0 12 1 (adică o suprafaţă finită S1

înconjurată de o suprafaţă mult mai mare S2)

c) Schimbul de căldură în prezenţa ecranelor de radiaţie

Ecranele contra radiaţiei termice sunt reprezentate de plăci subţiri plasate între 2 suprafeţe

care schimbă între ele căldură prin radiaţie termică.

Figura 6.8

71

42

4e

02e2e

4e

41

0e1e1

100T

100T

SCQQ

100T

100T

SCQQ

1111

e1

e1

;

1111

2e

2e

42

4e

02e

4e

41

0e1

100T

100T

SCQ

100T

100T

SCQ

42

41

2ee10 100T

100T11

SCQ

rezultă

4

24

10

2ee1

100T

100T

SC11

1Q

42

41

02e1 100T

100T

SCQ unde

2ee1

2e1 111

= factorul de emisie redus al

sistemului

Reducerea fluxului de căldură este cu atât mai mare cu cât ecranul are un factor de emisie e

mai mic decât al sistemului de suprafeţe.

Pentru a se obţine o izolare cât mai bună este necesară utilizarea mai multor paravane şi

vidarea spaţiului dintre plăci pentru anihilarea convecţiei.

6.4 Transferul global de căldură

Un perete omogen sau neomogen de orice formă, separă de obicei două fluide cu

temperaturi diferite 1ft şi

2ft . Căldura se transmite de la un fluid la altul prin intermediul peretelui.

De la primul fluid la perete şi de la perete la al doilea fluid, căldura se transmite prin

convecţie eventual prin radiaţie, iar în perete căldura se transmite prin conducţie.

6.4.1 Transferul global de căldură prin pereţi plani

72

Figura 6.9

În regim staţionar, fluxul unitar de căldură:

21 f3232

2

221

1

11f1 ttttttttq

2ff

22

2

1

1

1

ff

2f3

2

232

1

121

11f

mWttK

11tt

qadunând

qtt

qtt

qtt

qtt

21

21

2

1

unde K = coeficientul global de transfer de căldură

Km

W11

1K 2

22

2

1

1

1

g

not

22

2

1

1

1r11

= rezistenţa termică globală K1rg

Fluxul de căldură: SqQ

rezultă 21 ff ttSKQ

6.4.2 Transferul global de căldură prin pereţi cilindrici (conducte)

Figura 6.10

Deoarece Sext Sint, se introduce noţiunea de flux liniar de căldură

73

Fluxul liniar de căldură: lQql

unde l = lungimea conductei

În regim staţionar:

lttld

dd

ln21

tt

dd

ln21

ttl

ttldq 21 f323

2

3

2

32

1

2

1

211f11l

23

lf3

2

3

2

l32

1

2

1

l21

11

l1f

dq

tt

dd

ln21q

tt

dd

ln21q

tt

dq

tt

2

1

adunând relaţiile, rezultă:

mWttK

d1

dd

ln21

dd

ln21

d1

ttq

21

21ffl

322

3

21

2

111

ffl

Kl = coeficientul global liniar de transfer de căldură (specific conductelor) W / mK

Fluxul total de căldură:

212121 ffextff3

3

lffll ttSKttdl

dK

ttlKlqQ

unde: d3l =suprafaţa exterioară totală a conductei

K = K1 / d3 = coeficientul global de transfer de căldură pentru conducte

corespunzător suprafeţei exterioare

22

3

2

3

1

2

1

3

11

33

l

1dd

ln2d

dd

ln2d

dd

1dK

K

6.5 Schimbătoare de căldură

Schimbătoarele de căldură sunt utilaje termice care servesc la încălzirea sau răcirea unui

fluid, vaporizarea sau condensarea lui cu ajutorul unui alt fluid.

Din punct de vedere funcţional, numărul lor este foarte mare (ex.: preîncălzitoare de apă

sau aer, răcitoare de ulei, distilatoare, vaporizatoare, condensatoare, radiatoare, etc.) însă

principiul de funcţionare este acelaşi şi anume transferul de căldură de la un fluid la altul prin

intermediul unui perete despărţitor.

74

Există şi schimbătoare de căldură fără perete despărţitor între fluide, ca de exemplu turnurile

de răcire, camerele de pulverizare etc., dar calculul este mai complicat deşi principiul de lucru este

acelaşi.

Schematizat, un schimbător de căldură constă din două compartimente separate de un perete,

prin fiecare circulând câte un fluid. Prin peretele despărţitor are loc transferul căldurii de la fluidul

cald la cel rece. În timpul circulaţiei fluidelor prin cele două compartimente, temperatura lor

variază, unul încălzindu-se celălalt răcindu-se. Temperaturile la intrarea în schimbătorul de căldură

se notează cu indice prim iar cele la ieşire cu indice secund.

Figura 6.11

Din punct de vedere al modului în care curg cele două fluide prin schimbător există

schimbătoare

a) cu curgere paralelă în echicurent;

b) cu curgere paralelă în contracurent;

c) cu curgere încrucişată;

d) cu curgere mixtă.

Figura 6.12

Din punct de vedere termodinamic, procesele din schimbătoarele de căldură sunt izobare.

În calculul unui schimbător de căldură de obicei se cunoaşte fluxul de căldură Q care

trebuie transmis de la un fluid la altul, debitele celor două fluide

1m şi 2m

, temperaturile de intrare

1t şi 2t , căldurile specifice c1 şi c2, şi trebuie determinată suprafaţa S necesară transmiterii acestui

flux.

75

Presupunând 1 fluidul cald şi 2 fluidul rece, relaţiile de calcul rezultă din egalitatea fluxului

de căldură cedat de fluidul 1 , primit de fluidul 2 şi transmis între cele două fluide:

m22221111 tSKttcmttcmQ

unde tm este diferenţa de temperatură medie între cele două fluide.

Exemple:

Figura 6.13

Variaţia temperaturii fluidelor

în cazul curgerii paralele în

echicurent

Figura 6.14

Variaţia temperaturii fluidelor în

cazul curgerii paralele în

contracurent

Pentru calcule aproximative:

2

tt2

ttttt 2211mmm 21

76

Pentru calcule mai precise:

tttt

ln

tttt

tt

ln

tttt

tttt

ln

tttt

tt

ln

tttt

1

1

2121

min

max

minmaxmCCm

1

21

2121

min

max

minmaxmECm

Pentru echicurent (EC)

Pentru contracurent (CC)

tmEC şi tmCC se numesc diferenţă medie logaritmică de temperaturi.