Calculul simplificat al sectiunilor din beton armat

Calculul simplificat al secliunilor din beton armat

UNTVERSTTATEA TEHNTCA Oe CONSTRUCTil BUCURE$TI

CALCULUL STMPLIFICAT AL SECTTUNTLOR DtN BETON ARMAT

Exemple de calcul -

' Calculul simplificat alsecliunilor din beton armat

Tabli de materii

Ll-lBeend .-.........3

1.3.1 Determinarea inillimii limiti a zonei comprimate (inaltimea de balans)... ............5

2.4 Calculul secliunilor la incovoiere cu forli axia15............................... ........23

1 Generalit5ti

NOTA: in apliczlile de la acest seminar se vor utiliza doar betoane obginuite (f.r ( 50 MPa).

1. 1 Rezistentele materialelor

1.1.1 Betonul

fr4 =rezistenta de calcul a betonului la compresiune.

fry =rezistenta caracteristicd a betonului la compresiune

f, = L,5 coeficient partial de siguranti pentru beton, asociat incdrcirilor permanente, tranzitorii gi

seismice.

Tabelul, 2-rt, Caracteristlci dabelul, 2-4, Caracteristici de re istentfr si de deformatie ale bEtonului EN 1 gS2- 1- 1i

Glasa c]2115 c 1 fi120 C20,'25 c25i 30 c3CIi37 c35145 c40i50 c45i55 tl5si6,0

Ir.(MFa) 12 1S 20 e5 30 35 48 45 50

f.:,l'.rune

ihrlPaix5 a$ g5 3fr 37 45 5* 55 60

[*ih,lPat

TCI E4 28 s3 3S 43 4S 5S, 5S

{Ictrn

{MPa}1,6 1,S ?,2 2.fi [,s 3,2 qfi $',8 4"'!

fczv,*.,QF-

{MPa}n17

'1 ,3 1,5 1,S P,* 3,2 8,5 [,7 e.s

fr.ln,u !5

ihilPat9,CI 2 r.5

p_s 3,3 3,'S 4,2 ,+'S 4.S 5.3

Er',.

{GPa }?v gs 3fi 31 33 34 3S 3S 37

Tabel 1.1 Caracteristicile de rezistenle $i de deformalie ale betonului

L.L.2 Arrniturile

fya =rezistenta de calcul a otelului la curgere.

fyp =rezistenta caracteristicd a betonului la compresiune

ys = 1,L5 coeficient partial de siguranl5 pentru armdtura, asociatincdrcirilor permanente, tranzitorii gi

seismice.

F -frrcJcd -; /c

F -fvrct-

JYCI-Tg

Calcululsimplificot ol sectiunilor din beton ormat

CALCULUL STMpLTF|CAT AL SECTTUNTLOR DtN BETON ARMAT

Harca u{el

!r

6.,_.. l?

Colculul simplificat al secliunilor din beton armat

Ril.

5 430I..-,-.JI

III

i

s 40s isr]3 3$5

5$f]490

I:iF,.v3lgl

Iabel 1.2 Caracteristicile armiturilor flexibile (Kiss, Onet 2008)

1.2 lpoteze de calcul pentru secliuni

1. lpoteza Navier Bernoulli- Sectiunile plane 5i normale pe axa elementului riman plane 5i normale gi

dupd deformatie.

Nu exista lunecare relativa intre armaturisi beton.

Se neglijeaza rezistenta la intindere a betonului.

Legea constitutiva pentru beton:

2,

3.

4.

*lc r Stut {i

Fig.1.1 Relalia simplificatd efort unitar-deformalie specificd pentru beton (SR-EN L992-1,-7)

5. Legea constitutiv5 pentru armituri:

Q

'l .P fy,J

fy,:

t:gfya / Es €*id tFig.1.2 Relatia simplificati efort unitar - deformatie specificd bilinard pentru armdturd {SR-EN 1992-I-1)

5. Cedarea secliunii are loc cdnd deformalia in

corespunzitoa re material u I u i.

1.3 Metoda simplificati pentru secliuni

Calculul simplificat al secliunilar din beton srmat

cel pulin un punct al secliunii atinge valoarea limiti

Fig. 1.3 Diagrame de efort 5i deformalie simplificate pentru sectiuni

Pentru betoane obignuite (f.r ( 50 MPa) coeficienlii blocului rectangular 11

)"= 0,Bsi r7 = 1

( SR-EN leez-L-])

$i l,iau urm;toarele valori:

Convenlie. Deoarece pentru aplicalile urmdtoare se vor utiliza betoane obisnuite, iar pentru aceste

tipuri de betoane q = I,in continuare se va renunla la acest coeficient'

Pentru betoane obi5nuite tc = €cu, = 3,5' 10-3

1.3.1 Determinarea inellimii limitd a zonei comprimate (inallimea de balans)

Limitarea zonei comprimate este necesari pentru asigurarea intririi in curgere a armdturii (er) sy),

astfel oblin6ndu-se o utilizare eficienti a armiturilor. xB reprezinti inSltimea zonei comprimate

corespunzitoare situaliei ?n care deformalia specificd ultimi a betonului in fibra extremd comprimatd e,

se atinge concomitent cu intrarea in curegere a armiturii ( atingerea E).

F,,\\!\'.J""'-'n .,./"

:.' Et!"r

Y 1,- ,{\" *tc Xs €c XB

---+,-:-+ty d-xs sy+tc d

I

lur=o+ M:A,fya.(a-+)

Calculul simplificat olsec[iunilor din beton ormot

1.3.2 Procentul minim de armare

?n momentul fisuririi are loc un transfer de eforturi de la betonul intins care fisureazS citre armituri,conducdnd la cregterea efortului in armdturi. Dacd acest efort conduce la ruperea armdturilor, elementuldebeton armat are o comportare fragili, similari comportirii unuielement de beton simplu. Cre5terea de

efiortin armaturi este cu at6t mai mare cu cdt procentulde armare este mai mic. Existi un procent minim

de armare, pentru care comportarea non-n,on,fragili este asigurrati, care corespunde condilie* ca

momentul de fisurare si fie egal cu momentul capahil alsecfiunii.

Pmh: 0,26 ' f';' i Pmtn: o,zu 'ff,t^ ' LooIvk Iyk

Pmtu - coeficient de armare

Pmtn - procent de armare

r*uffi

{}'tid"'$""fctm = rezistenta medie la intindere a betonului

fctm = 0,3 ' far'/= pentru betoane obignuite sau vezi tabel2.4 din SR-EN tggz-t-L

2 Calculul sectiunilor solicitate la moment ?ncovoietor

2.L Secliuni dreptunghiulare simplu armate

Asaao

d = h- dt

I" = 0 + bhxfra ^ Arfva= 0 (1)

lur=o +M (2)

(3)

Calculul simplificot ol secliunilor din beton armot

2.1.1 Probfema de verificare .

Cunoscute: b,h, d"1,A* clasa betonului. , olelul ,M

Necunoscute: )x,Mp4

Mp4 -momentul capabil al secliunii

M = rnomentul de calcul

Etape de calcul

1. Determinarea rezistentelor de calcul ale materialelor

2. Verificarea conditiei de non-fragilitate (pef > p^in)

3. Din ecuatia (1)se determini .2.x + x.4. Se determind xp gi se verifici x 1xn.5. Se determind Mna inlocuind ),xin una din ecuatile (2) sau (3) Si se verifici dacd Mpa > M.

Aplicatia 2.1

Date cunoscute:

Materiale: C z}/ffi; S 500 clasa C

Caracteristici geometrice: b=30 cm ; h=60 cm ; d2 -35 mrn

ArmStura: 3016

Efort efectiv M=100 KNm

Cerinte: M pd, V erificarea secliunii

3 016ooo

^"..-ti**,!i

t

ittt

j

t-JFNU

\o

, 3Acm i;t ,r\t wrtL i,:,

::1*'*****- ***';ii**'r i z'itt

at


Beton C20/25 - fac = 20 N /mmz

. fat 20 N /mm2 .fra='fi=-1fr= 13,33 Nfmmz + fca=t3,33N/mm2

fctm = 2,2 N fmm2 (tabel 2.4 SREN 1992-7-Ll sau frl* = 0,3 . 202/3N /mmz = 2,2L N /mmz

otels 500 -+ fyn = 500 N /mmz

. - fyp - 500 N/mmz

fya=ffi= = 435N/mm2 - fya= 435N/tnm2

Catculul simplificat al secliunilor din beton armat

2. Verificarea coeficientului minim de armare

f"t- 2,2 N /mmzp*in= 0,26 ''ff= 0,26'ffi = 0,001-4

. tf ^ 1162A, = n.7 = 3 ''- 'J mm2 = 3 'ZyLmmz = 603 mmz

As 603 mmzp"f =fr'= ffi= 0,0035 2 Pmin

d = h - dz = 600mm - 35ntm = 565mm

d =diametrul barei

n =numirulde bare

3. Determinare l,x

^ Ar' fya 6o3mmz '435 N /mmzU ='ffi = ffi = 65,6 mm + )x = 65,6 mm

Ax = 65,6 mm I 0,8' x = 65,6 mm + x = 82 ntm

4. Verificarea conditiei de balans

Xp: CIL' sy + tc

fva 435 N fmmzsy =tt - = 2,AT 'l-0-3

e,=3,5'10-3

3,5 .L0-3xs = 565 rnm' ffi

t x, = 355mm ) x = 82mm

5. Determinar ea Mp1Siverificarea secliunii

t .Lxt, 1 ,- -- 55,6mm, ..,Mna = A,fya. (a - ;) = 603 mmz' 435 N /mmz' lSoS mm -

-)

= 1'3959872L Nmm

Mnd = I3g|g872t ' 10-6 KNm + Mnd - t39,6 RNm ) M = 700 KNm

Etape de calcul

L. Determ ina rea

2. Din ecualia (2)

hx: d'(1 -

2.L.2 Problema de dimensionare

Cunoscute : b, h, dr, clasa betdnului" , otelul , M

Necunoscute: ,Lx ,A*

ll4 = momentul de calcul

Calculul simplificat al sec[iunilor din beton armat

3 016oao30 cm i/

n"iI

I

reeistenfelor de calcul ale materialelor

rezolvdnd ecualia de gradul Zin lx rezulti relalia:

calcul ale materialelorL. Determinarea rezistentelor de

Beton C 2A/25 + fcrc = 20 N /mmZ

fcrc 20 N /mm2

2.M4

--\r'

b.d2'frd.)

3. f ntroducdnd lx?n ecuatia (1) rezulti Ar,r"ci

, bfufraAs,nec = f*

4. Se aleg diametre astfelincdt Ar,"f 2 Ar,n",

Diametrele utilizate pentru armitura longitudinali sunt: 12,L4,'J"6,L8,20,22,25. Este recomandabilsd

se utilizeze maxim doud diametre pentru o parte a sectiunii.

5. Verificarea condilieide non-fragilitate ((p", ) p*t,,)6. Se determind x4 introduc6nd Ar,"7in ecuatia (1) gi se verificd x"7 1 xB

bfurf fra- As,"f fya= 0 -+ xef =W

Aplicatia 2.2

i../*" .4**Date cunoscute:

Materiale: C 20lff ; S 500 clasa C

Caracteristici geometric€: b=30 cm ; h=60 cm ; dz -35 mm

Efort efectiv ffi=100 KNm

Cerinte.' Arma rea sectiunii

,r)F.FL)

\o

tt

tIatt

t!

..?}/:r

t

i;fr***---*-/'i

t

fca1,,5 L,5

1,3,33 N /mmz a fca: 1'3,33 N /mmz

Calcululsimplificot al secliunilor din beton ormat

fctm = 2,2 N fmmz (tabel 2.4 SREN Lgg2-L-7) sau frs^ = 0,3 ' 202/3N /mmz = 2,2\ N /mm2

OtelS 500 -+ fyp = 500 N /mmz

fvaSItyk 500 Nfmmz:-:

-

-: 435N/mmz - fya = 435NfmmzL,L5 L,L5

2. Determinarea Ix

/t"x= d..lL-

\s565mm(1 -

?vx = 46,

3.D

Ar,nr, =

5mm

etermin

b\"x fra

fva

area Ar,n*

3A\mrrl'46,5 mm ' 13,33 N fmmz= 42\mm2

435N fmmz

Alegerea Ar,"f - Propun 3014

-l? 7T1,42 ? AAr,rf -n.'": -g""^r' - 3.153mm--As,ef= 462mmZ44

d -diametrul barei

n -numirul de bare

4. Verificarea coeficientului rninim de armare

Pmin: 0,26 'fg - o,zu'ffi:o,o 01.4Ivk

AS 462 mmzPef = b'd 300'565mm = 0,0027 ) p*n

d = h- d, = 6A0mm-35mm: 565mm

5. Verificarea condiliei de balans

b\"xrl fra - Ar,"f fya - 0 +

xg= d"' t'

u sy* tc

fva 435Nfmmz

A, - A','rfva

xef _w= 462mmz.435/V /**'- 62,8rnm

300mm'0,8'L3,33Nfmmz

€y : 2,A7 ' l-0-3 i €c = 3,5 ' 10-3Es 2,I ' 10s N /mmz

3,5 ' 10-3 +xB

10

2-\00'106 N.mm

3oom m-565'**' . !3,33N /mmZ

xs = 565 mm' 2,07'l_0-3+3,5.L0-3

Calcululsimplificat al secliunilor din beton armat

2.2 Sectiuni dreptunghiulare dublu armate

Ecuatile de echilibru static sunt similare ca in cazul sectiunilor simplu armate dar trebuie adiugat gi

ac[iunea armiturilor comprimate.

Conditia ca armiturile Tntinse sd intre ln curgere r 3 xs.

Determinarea condi{iei ca armSturile comprimate si intre in curgere x } x^in

"1 .

tc Xmtn

-:Sy Xmin dI

d i,1,""* ";fi"'*'"^**

r'.tt1

t

II

i xmtnt1

1

1

1",,-,,,,'.;:;T

1

-+ Xmtn: dLtc

tc- ty

tc

' fva

d = h- dt

f "=0+ bbxfra*Arrfya-Arrfya=0 (1)H

rL*, = 0 -> M = Arzfva' h, - bdxfra (+-d')

(a-+)

Z Arzfva' lls Q)

(3)

tst :

I

i,1/..-......... irt -. -.... -

/'i/.t,1'i

t'l

,I

iXt1

tsz

ty

\-L*, - 0 -+ M = Astfva' h, + b4xfra

fi.

t* \h';rrl

/ E-' $:"1.''.,,tr,"^.,1

l -/- l'

Calculul simplificat al sectiunilor din beton ormot

2.2.1 Problema de verificare '

Cunoscute: b,h, d1, d2, Ae, Ar2, clasa betonului, otelul, M

Necunoscute; .Lx , Mpo

M p4 =rrrotrrentul capabil a I secli unii

M = momentul de calcul

Etape de calcul


2. Verificarea condiliei de non-fragilitate (pef > p^rn)

3. Din ecuatia (1) se determinl )x -+ x.

4. Se determind xs gi se verificd x 1xB.5. Se determind x*in.6. Se d$ermind Mnainlocuind )xin una din ecuatile (2) sau (3):

- Daci x ) x*i, atunci se utilizeazd relatia (3) deoarece armdtura comprimatd intrd in curgere,

iar x este prea mare pentru ca momentul dat de forta de compresiune in beton din relatia (2) sd

poatd fi neglijat.

F)Ft$.)

O\o

- Dacd x 3 x^in se utilizeazi relalia (2) deoarece armdtura comprimati nu a ajuns la curifgere, $i

astfel se evite evaluarea efortului unitar in armitura comprimatS.

Se verifici daci MIna

Aplicatia 2.3

Date cunascute:

Materiale: C 20/fu; S 500 ctasa C

Caracteristici geometrice: b=30 cm ; h=60 cm ; dt = dz =35 mrn

ArmareiArr = 3014;Asz = 3d1,6

Efort efectiv ffi= LzO KN rn

Cerinte: M pa, Verificarea secliu n ii

1. Determinarea rezistenlelor de calcul ale materialelor

Beton C20/25 q fac = 20 N /mmz

^ fcn 20 N /mmzf,a=ffi=-ff=!3,33N/mmz + fca= L3'33 N/mmz

fctm = 2,2 N fmmz {tabel 2.4 SREN tggz-L-L) sau frl^ = 0,3 ' 202/3N /mmz = 2,2'J. N /mmz

L2

oo3 OL6

o

3 d1,4

ooo' 3Acm i';t $\t W"L il

1"?.** ******. a4"!.:r-ilF.

./ i ,'1i',,,

".tt"-''';4"*'.ft

..._....1.1....


otel S 500 -+ fvrc = 500 N f mmz

s fvu 500' N /rnmzfva-ffi=f = $|Nfmm,'fva: 435

2. Verificarea coeficientului minim de armare

pmin= a,26'H-a,zu'ffittrIt ii

n62 n 1,42Ast--TL'T:3' 4 wITT' =3'

ndz n 1,62Asz=n't-3' 4 nnnt:3'

Ast 462mmZ

154mm2:

Prf ,t b.(h-di=6Asz 603 mm2:

201mm2 = 603 mmZ

_ 0,0 427 ) P*tn

n =-=-='ef ,2 b' (h - dr) 300 . 565mm

3. Determ in a rea )"x

0,0035 ) p*tn

4.. Arzf yd- A'f yd _ (603 - 462)mm2 '435N /mmzA,x,= : : J"5,33mm

fus = 1"5,33mm + xef : L9,L7 mm

4. Verificarea conditriei de balans

xg: d" ' tc

u €y + €c

fva +35 N /mmz : 2,07 ' 10-3ty= Es 2,1,. 10s N /mmz

tc = 3,5'10-3

3,5.10-3xs = 565 mrn'

2,A7.1-0-3+3,5.10-3+ xB = 355mm 2 x- I9,L7mm

5. Determinarea xmtn

tc 3,5 . 10-3d1xmin = dL

q9"c "y (3,5 - 2,A7)' l-o-3

13

Colculul simplificat al sec[iunilor din beton ormat

Xs

6. Determinarea Mp4

x = 19,L7mm 1 xîn = 85 mm+echilibrul se scrie fata de armatura comprimata - ecuatia (2)

Mnd.= Arz. fya.h, = 603mm2.435N/mm2'(600 - 35 - 35)mm2 + Mnd= 139 KNm > M

Mna=\39KNmlM=120KNm

2.L2 Probleme de dimensionare

2,2.2.7 Cozul 7: Asl cunoscut

Cunoscute: b, lt, d1, d2, A 11, clas a b etonului, otelul, M

Necunoscut e: ),tc , Ar,

Etape de calcul

1. Determinarea rezistenlelor de calcul ale materialelor

2. Determinarea l.x rezolvdnd ecuatia de gradul 2 (3) pentru l,x:

rrTrI I z-(M - Ast. fro'lr,)\/t"^-ulL- lt--f-\

^l- b'd,'f'a I

3. Determinare? xîn4. Determinarea Arr,n", din ecuatile (1) sa-u {2):

- x 1xîn s? determind din ecuatia (2)

i''"--'4-"-

......^,'t',L...^

,iJ

FF

L)

\o

- x > xn in sE determind din ecualia (1)

5. Se propune Asz,e1 astfel incdt Asz,e1 y'Asz,nec

6. Se determind x"y intodu clnd Ar2,ry in ecua[ia (L) 5i se verifici dacd x I7. Verificarea coeficientilor de armare

Aplicatia 2.4

Dote cunoscute:

Materiale: C 20lS ; S 500 clasa C

Caracteristici geometric€: b=30 cm; h=60 cm ; dt = dz:35 mm

Armare: Ast = 3014

Efort efectiv M=t20 KNm

Cerinte: 7x, Asz

1,4

i,/ 30 cm i,,t,r**** ""***-**-*""";r*"t1

3 OL4

ooo

o o o

I

L. De

Vezi ap

2. De

?rX= d

term

licali

term

inarea rezistenlelor de calc

a 2.3 punctul L

ina rea l"x

Calculul simplificat al secliunilor din beton ormat

ul ale materialelor

('z"(u-Arr,f yd"hr)

b.dz.frd

l,x:565mm

terrn in

('

are

ec

1- (r 20' 106 Nmm- 462mmz'435N /mmz '53 }mm)6mm

3a0mm' 5652 mmz' 13,33N /mmz

3. De d Xmtn

3,5 . 10-3= 2,44. d1 a Xmtn = BS mmxmtn: dL =dL (3,5 - 2,07) 'l"o-3Ec-Ey

4. Determinare Ar,

Mx 1 xmtn a Asz - fyd. trra

As2,rLec:120 '106Nmm _ 52Amm2

5.

6.

Se propune 2616 + 101 4 , Asz,ef -

435N /mmz ' 530mm

556mmz

Se determina xr1

)eXef =

xg: d

(Arz,rf - Art) . fya _ (556 - 462)mm2 435N /-mmz = 10,2mm + xef _ 12,Bmmb' fra

,€csy* €c

300mm '13,33N /mmZ

fya 435 N fmmz : 2,07 ' l-0-3ty Es 2,1, ' 10t N /mmz

€c = 3,5'10-3

3,5 . 10-3xs = 565 mm ' + N,B

7. Verificarea coeficienlilor de armare

= 355mm) x,_ 12,Bmm

Pmtn= 0'26 'f'-tn'' -a'26'Ivk

2,,2 N fmmz = 0,0 01,4500 N fmmz

Per,r=#dL)=ffi:o'ooz.Asz

--:556 mmz

= 0,0033Prf,z b ' (h - d) 300 ' 565mm

15

I

Calculul simplificat al secliunilor din beton ormot

2.2.2.2 Cozul2:Ambele arii di armdturd necunoscute

Cunoscute: b,h, d1, d2,,clasa betonului ,otelul ,M

Necunoscute: .Lx, 4.;.., As2

Etape de calcul

L. Determinarea rezistentelor de calculale materialelor

2. Se determind rs 5i se pune conditia )x = lxs3. Se into"duce )xsin ecuatia (3)- ,4"r

4. Se intbduce 4"1 in ecua{ia (1) si se determini.A"2. Nu se determini 1"2 din relalia (2) deoarece

momentul produs de rezultanta fortelor de compresiune pentru )x6 nu poate fi neglijpt.

5. Se determind xrl intoduclnd As"1 Si Asz,ef ?n ecuatia (1) gise verificd x 1xs6. Verificarea coeficientilor de armare

Aplicatia 2.5

Date cunoscute:o c o

ooo

..,.*.,,..;.t-:,,. .

t

tt.:

,,tI

F)|\i\UO\o

= 2,07 . 10-3

3,5 . l-0-3

2,07.10-3+3,5.10-3+ xB = 355mm -+ lxn = 2j4mm

L6

Materiale: C 20ffi; S 500 ctasa C

xg- d' ul

EytEc

fya 435Nfmmzey= E, 2,L ' 10s N /mmz

Ec = 3,5'10-3

xs = 565 mm

Caracteristici geornetrice: b=30 cm; h=60 cm ) dt: dz -35 mm

Efort efectiv M =!2O KNrn

Cerinte: 7x, Ast,Asz

L. Determinare a rezistenlelor de calcul ale materialelor

Vezi aplicalia 2.3 punctul 1

2. Determinarea fu= lxs

llilo o oli1 30 cm i;

t'/T"**- **:,'-",;:

Colculul simplificat al secliunilor din beton armat

3. Deterrn ina rea AsL,nec

65mm

fw'd

,g'l' ''

.f " . .......'ti

x4 - btxBf,a'(a -+)AsL,nec =

tt_ 120.I06Nmm- 300mmZB4mm13,33N /mmz '(565nnsL,nec $S N fmmz. 53Amm

Prin urmare se propune AsL,nec pe b aza procentului minirn *...

"f

As,,nec = p*tn'100' b'd: 0,0 A1'4'30 hmm'56 Smm ffia

Se propune 3012 Asr,ef _ 339 mmz u,

4. Determinare Asz

-1564mm2

f r -.J ^ b'd2'fca

/I2x-dt1-\

Ax - s6smm (, -\

/mm')3 5AI

,,,,3m

TTL ,

N/0m

333

3

5

1mmZ

m'z339

6{r.5

l"06Nmm

300mm'2(120 .

1-

_ 513 mmz339 mmZ +fva

,J ' "LI'

I, I

435 N lmm?

603 mmZ

. . b?"xftaAsz,nec=Ast*--

A

^sZ--:

3AAmm' 1.9 mm' !3,33N /**'

= 0,003 56

L7

Se propune 3bt6 Asz,ef = 603 mmz

5. Determinarea x"1

^ (A,z,"r - A,t,"r)' f ,o =Gos^;_:1, T!l:!,z,sw /T*'z = 28,7 mm + x,1 = 36 mm 1 xsttJ(t1=T

6. Verificarea coeficienlilor de armare ,..tE

p^in= 0,26 .H = 0,26.M=jK",\,4i;t? [ + r

Ast 336 mmzP"f ,t=ffi=ffi= o'ooL98 ) P^in

b ' (lL - dr) 300 ' 565mmP"f,z

I

18

Calculul simplificot al sec[iunilar din beton armat

2.3 Secliuni in forma de T

Secliuni in forma de T solicitate la moment negativ

bef

Datorit5 faptului ci zona tilpii este intinsi aceasta nu are nici o influentd asupra calculului. Prin urmare

calculul secliunilor in forma de T la moment negativ este similar calculului pentru sectiuni dreptunghiulare.

Secliuni in forma de T solicitate la moment pozitiv

Caz t z Axa neutri trece prin talpa

zJilxza".n,Ynl,.

.tj

,.r i7i,FtiILnIi

tl It

i,i.nt.Y.6.?d?'...{i

)'

t x-0-+ beflxfra-Astfya=0 (1)L

\ur= o -) M = bertxf,a'(a -+) Q)

i/- * * --- -h-..*."*-^ -- :t;,,' ,*^***-

-vv*'/"t/t"4i--*'-"**71i""-

ji

Caz 1 : Axa neutri trece prin inima

Calculul simplificat ol sec[iunilor din beton ormat

* b*Axfra

)'

tl

tI

(b"r - b*)huf,a"t::.:.:.:*-*,,,"i

ii4r:;::**7

it

f x - 0 -) b*,Lxfr6+ (brr - b*)hptfca- Astfva: 0 (3)/l

- .rti a J.' AN

(4)

lema de verificare

Cunoscute: b,lL, dr, dr,Ast, clasa betonuluf, , otelul , M

Necunoscute: Ix , Mna

MIna =momentul capabil al sectiunii

IW - momentul de calcul

Etape de calcul

t. Determinarea rezistenlelor materialelor

2. Verificarea coeficientulul minim de armare

3. Determinarea poziliei axei neutre ^prin

presupunerea cd )"x = hpt. Se determina A,

corespunzitoarea acestei situalii din ecufia (1) gi se va compara cu.Ar..

^ bef . hpt. fcadt,pl =

f*

A*1Ar,pr-Ax<h.pt

Art ) As,pt a Xx ) hpt r

4. Se determin dt ).x dinecualile (1) sau (3) in functie de pozilia axei neutre 5i se verificd x"7 I xs

5. 5e determin d Mna din ecualile (2) sau (4) in funclie de pozitia axei neutre 9i se verifice MRd > M

19

Aplicafia 2.6

Dote cunoscutg


Materiale': C hA/W,; S 5O0'clasa C

Caracteristici geometrice: b=30 cm ; h=60 cm

Armare' AsL = 3014


Cerinte: Lx, NIRd, Verifcarea sectiunii

L. Determinare a rezistentelor de calcul ale materialelor

Beton C 20/25 a fcrc = 2A N /mmz

- f,* 20N/mmz .^^^-.. afra=ffi=-#= 13,33 N/mm2 - fca= 13,33 N/mmz

fcun = 2,2 N fmmz (tabel 2.4 SREN 7gg2-L-Ll sau frl^= 0,3 ' 202/3N /mmz = 2,21N /mm2

otel S 500 - fvrc = 500 N f mmz

s - ltr " -"0 y (T*' - 43s N fmmz - fya= 43s N fmmzJvd-1J5- j"15 --l

2. Verificarea coeficientului de armare

- f.rrn A- 2,2NfmmzPmin- 0'26 't# = A'2$ '

-

3lyk 500 Nfmmz

Ast 462 mmzn _ =- =-=0,0027)p*inYer,t b.(h- d) 300'565mm

3. Determinarea pozitiei axei neutre

b,r'hnr' f.a 'J'200mm'1'50mm'L3,33 N fmm2 ?,4 p ?As,pt=T= = JrrJii;';?1-

As,pr = 551,5 mmz ) Art = 462 mmz - ,2"x < het

4. Determinarea lx din ecuatia (L)

A*fya _ 462mm2'435 N fmmz _

brf fra 1200mm '13,33 N fmmz

xs-355mm7 xef = !6,3mm(vezi aplicatia2.5 punctul2)

20

fu6=

$..'$, i ''1 ''*'u t**

-*d*+ xef =

1 -35 mm

I

2L

5. Determinarea

M na = b ef?"x fra '|

Mnadin e

(a-+)

Calcululsimplificat al secliunilor din beton armot

cuatia (2)

= !Z00mm \3mm13,33 N /mmz (SOS mm -W, I

Mna = 116 KNm> M

2.3-.2 Problema de dimensio'nare

Cunoscute : b, h, dr, dz,, clasa betmtului. , otetul , M

Necunoscut e: 2x , Ast

Etape de calcul

1. Determinarea rezistentelor materialelor

2. Determinarea pozitiei axei neutreuprin presupunerea cd M -- lhr. Se determini Mpt

corespunzdtoare acesteisitualii din ecup-a (2) 5i se va compara cu M.

Mpt= befltptf,a.(a -ry)M 1Mpt -) 7x

MlMpt+ lx

3. Determinarea )x rezolvA^nd ecuaJile (2) sau (4) in functie de pozitia axei neutre.

4. Determinarea Ae'", intbLducdnd )xin ecualile (1) sau (3) 5i propunerea As1e7

5. Verificarea coeficientului de arrnare.

6. Determinarea xef gi verificarea condiliei de balans.

Aplicalia 2.7

L20

Date cunoscute:

Materiale: C 20 ffi; S 500 clasa C

Caracteristici geometrice: b=30 cm ; h=60 cm


Cerinte: Ast

L. Determ ina rea rezistentelor

Vezi aplicatia 2.6 punctul 1

de calcul ale materialelor

Calculul simplificat ol sec[iunilor din beton armot

Z. Determinarea pozitiei axei neutre

/ h*\ ^ 150mmMpt = brlhpfca ' (.d - ;) = 'J.200mm L50mm 13,33 N /mmz (565 mm - Z ) = 'J'175 KNm

M = L00KN 1 Mpt = 1175 KNm q-fuc < Iht

3. Deterrninarea )x din ecuatia (2)

/ --_-_-_-_-

|

tx=d..(t- tr@=565 mm(r- lt- 2'\00'106-N'mm---\^ J^ b"r'd'1,0) "l^

'J-200mm'5652mm2'1'3,33Nfmmz

?'x ='J-1,\7 ntm

4. Determinarea Ar1,n", din ecuatia (1)

^ b"f Mfra 1200mm'J.L,17 *W_= orAO,M,Asr,nec=

r* = --T-""""

Propune 3$ !4 As1,sy = 462 mmz

5. Verificarea coeficientului de armare jh

=@*$ft&'tL A{}rf

= 0,26 , J c-tm -

fvrcAst

=-:b'(h- d)

0,26 .2,2 N fmmz

Pmtu

P"f,t

'-v 500 N /m462mmz

m2

3oo'565mr"- o'0a27

6. Determinarea xef gi verificarea conditiei de balans

Ixef =Astfya. 462mm2$5N fmmz nrF'"'''o

= !3mm - xef =-.16;ffim 1xn J 355mm

d';?fitffbrf fra 12A0mm13,33N /mmz

22

Calculul simplificat sl secliunilor din beton armat

axiali2.4 Calculul sectiunilor Ia incovoiere cu forli

Curba Iimita de interacliune

crrmpr* $i tult:: pttrs

g g11}flftl Si rU,Sle'* X {,{jl},I1',1$,fr,

r:rurul II

tr*ni:t de'

halttns

';i.:l l}lpte sii iltt* en,r,*t l tri t:n

*ar-tsl I

'i$tindf f,c,*,1i (:,f l,ltri c'a l:llu,X i:,(1 ril:t f ic i glttil llliif''f

t*tinde rr' fx'L"f,lltt'irfi ctl

il:r'i,i:C n tf iri:i,f.lt1.*, lttiUfl

inti*i$,*,r,c fu.tr,ft

Fig.2. .LCurba limita de interacliune pentru o secliune simetrici (Pascu,2008)

PunctulA-Compresiune puri M =0 stN = (/rr * Asz)fya+b'lL'frd

Punctul B - Punct de balans corespunzator atingerii e. concomitent cu a"

punctul C - Valori ale forlei axiale de intindere IV > Nc toata secliunea este intinsS.

Punctuf D-Tracliune puri M = 0 si N = (1'r * Ar)fva

compresiune excentrica cazul !t: corespunde domeniului A-8. La rupere betonul atinge deformatia limiti

la compresiune firS ca armaturile ?ntinse s5 ajungS la curgere.

compresiun excentrica cazul t giintindere excentricd cu excentricitate mare :corespunde domeniului B-c'

cedarea are loc fie prin betonul comprimat, dupa intrarea in curgere a armdturilor fie prin armdturile

intinse care i5i ating deformalia ultimS.

intindere excentricd cu excentricitate micd:corespunde domeniului C-D. Toata secliunea este intinsd, iar

cedarea se produce prin armdturile intinse'

23

Calculul simplificat ol secliunilor din beton armat

2.4.L

Asr

Compresiune excentrici "cazul I

b,l,x fra Asz' fya

' Xmin<x1Xa

N = bfufra * Asz' fya - Ast' fya

--M * r+ =-b.a.xfca{a - +) * Arz, fvq lrs

h" (lx , \M - r i = -btuf,a(,t - or) * A,t fvah'

. XlXmin

N = b?rxfra * Arz' 6sz - Ast' fya

h" _ rLx , \M - r t = -b )xf,a l; - dz) + A,, fyahs z A,t fyah'

Cazul particular al secliunilor dreptunghiulare cu armare simetrici

N = b?,xfra+ xx = h(1)x ) xmin

h"M+fi=b),xfra

x < Xmin

(a-+)

M - r+ = Asr fvah, (3)

* Arz fyaltt (2)

24

I

Calculul simplificat ol secEiunilor din beton armat

2.4.1.7 Problema de verificare

Cunoscute: b,h, d1, dz,A, = Ast = Asz,clasabetoruilui,otelul,M,N

Necunoscuts lx , Mpa

Etape ds cefctrl

L. Deterrninarea rezistentelor materia lelor

2. Verifrcarea coeficientului de armare

3. De&rntinarea Ax din relatria (1)

4. Determinarea xs Si verifica rea x 1 xB

5. Determinarea xmtn

6. Determinarea Mna gi verificarea M I Mna

hx < xmtn + M nd- AI j + Ast f yah,

x > xmin - Irrnd = -N +. bzxf ,r(o -+) * A,z f yah,

Aplicatia 2.8

Date cunoscute:

, (OiJvi',o r-t \' 'il

':/, *****^'/', ./i'i r

,

o oo o

Materiale: C 201tr ; S 500 clasa C

Caracteristici geornetrice: b=h=50 cm ;dr = dz:35mm

Eforturi efective M=300 KN m ; N=800KN

Armatura As- 4016

Cerinte: IvI p6, V€rifica rea sectiu n ii


Beton C20/25 + fck = 20 N /mmz

^ fc* 20 N /mmzfra ='fr=-ff = 13,33 N /mmz + fca = 13,33 N /mmz

fctm = 2,2 N fmmz (tabel 2.4 SREN tgg2-7-7) sau f"p, = 0,3 ' 202/3N /mmz = 2,27 N /mmz

Otel S 500+ fyn = 500 N /mmz

25

t

--...,..i,/-"..-.r't' t--It1

I1

50

t

t

J

t

t/,'.,..". "."' Jil/"* " ".


€ fvn 500 N /mmz 'fya - ffi - ff = $5 N fmmz' fva = 435 N fmmz


r ., ?-.?,N fmmzFmh:0,26 .l&- 0126 -'jnn., ,., ,,, , 3 0,0014u'

fyu 500 N f mmz

As - +'2AImmz = 804 rnmz

prf,r=ffi= :o,oo34 > Pmin

3. Determinarea 1x

N 800'10341fu6 -#= = 120mm+ xef l50mm'erv b f ,a 500mm1,3,33 mml

4. Verificarea condiliei de balans

xg:d" tt

Ey*e,

fva 435 N fmmzEy-f : :2,07'10-3L5

Ec=3,5'10-3

xe=465* '^^= ?:t)to--t= == ^tx"=292mm2xef =!50mmL,vt' 1.0-3+3,5'L0-3

5. DeterminarEd xTnin

, Ec , 3,5' L0-3Xmtn=a',ft-dt.ffi=2,44.dt.Xmin=85mm1xef=t50mm

6. Determinarea Mpa

Mna= -N +. bhf,r(a -+)* A,, fyah,

+sofir# { luomm,Ivlnd. = -800KN +Joo^m L20mm 13,33 N /mmz(465mm - , )

+804 ntm2435 N /mmz 430 mm

Mna= @rcNm) Iw = 3oo KNm

26

I

Calculul simplificot alsecliunilor din beton ormat

2.4.7.2 Problemo de dimensionare

Cunoscute: b,h, d.1, d2, clasa betonului", otelul, M, N

Necunoscutei lx,As = Asr =A"z

Etape de calcul

L. Determinarea rezistenleior materialelor

2. Determinarea )x dinrelatia (1)

3. Determinarea x6 giverificarea x 1 xe

4. Determinare? xlin5. Determinarea As,nec Ai propunereaAr,"T

h

xlx^in+Asr,nec=':\,if uah,

x # xmin a Asy,nec =f vah'

6. Veificarea coeficientului de armare

Aplicatia 2.9

Date _cu noscute;

Materiale: C20/35 ; S 500 clasa C

Caracteristici geometrice: b=h=50 cm ;

dr: dz:35mm

Eforturi efective M=300 KNm ; N=800KN

Cerinte: A"

M + N+-brxf ,o(d-+)

oooo

o o o o

L. Determinarea rezistenlelor de calcul ale materialelor

Beton C 20125 --+ frn = 20 N /mmz

r fcn -2a N /mmz 2 + fca: !3,33 N /mmzfca -';,r= E = 1'3,33 N / mm'

fctm = 2,2 N fmmz (tabel 2.4 SREN tgg}-7-L) sau frl^ = 0,3 ' 202/sN /mmz = 2,2\ N /mm2

Otel S 500 -r fy* = 500 N /mmz

27

Calculul simplificat alsectiunilor din beton armat

, - fy* - 500 N/mmz

fya = ffi= --1ft: = 435 N /mmz - fya = 435 N /ntmz

2. Determinarea lx

u : h=mnffi = rzarnrnm + xef = rsomm

3. Verificarea conditieide balans

xn = d. "iEyiec

f^,n 435 N /mm

"='ff=ffi=2'07 '10-3

e" = 3,5'10-3

xn = 465" ffi- *, = 292mm2 xef = 75omm

4. DeterminarE? xTnin

xmin = dL. L - d.t -, . =

t't='#-t.Ec-Ey (3,5 - 2,07)'1T:T=

2'44'dt+ xmin=85mmlxef = I50mm

5. Deterrn ina rea A,

Asz,nec =M + Nbf - b?,xf,a(a -ry)

fYah'

300 . r06w mm * ,oorr Y -$oo**tz0ntm1.3,33N /mmz (46smm - t o{*)435 N /mmz 430mm

AnsZ,ne

\-/Asz,nec= SOffiz

-/\Se propungl$As,ef = 612mmz

*r S-{&


Pmh: a,26''ff = 0,2U' ffi: h€4

P"f,t=ffi= =o,o0,6

28

Calculul simplificat al secliunilor din beton ormat

3 Bibliografie

[1] Pascu, R. (2008), Comportarea gi colculu! elementelor din beton ormat, Conspress, Bucure5ti.

[2] Postelnicu, T., Munteanu, M. (2006), Beton armo| porteo a ll-a: Calculul elementelor de betonarmot, Matrixrom, Bucuresti.

[3] ASRO (2004b), SR EN 7992-7-7:2004 Eurocad 2: Proiectarea structurilor de beton. Partea 7-7:Reguligenerale si reguli pentru cladiri, Bucuresti.

[4] Kiss,2., One[,T. (2008), Proiectareo structurtlor de beton dupa SR EN 7992-7, Abel, Cluj-Napoca,

29

I

{c;Lub fi"n'i ,/uvver

1n"* k *'k^rl

I' t | /. I- .'/ |Ll t-t U -a,ryty ,,\ Lrv> ru g{ 4l-aA,w tvwvs\)I ll 1 ",- I -

Calculul simplificat al sectiunilor din beton armat

Documents

Transcript of Calculul simplificat al sectiunilor din beton armat