Calcul variational

O X

A y

CAPITOLUL VI

CALCULUL VARIAŢIONAL

§ 1. EXTREMELE ŞI VARIAŢIA UNEI FUNCŢIONALE

1. Probleme de extremum clasice

a). Problema brahistocronei. Un punct material porneşte din O(0,0) fără viteză

iniţială şi se mişcă sub acţiunea gravităţii pe un arc de curbă OA cuprins într-un plan

vertical. Se cere arcul de curbă pe care mobilul ajunge din O în A(x1,y1) în timpul

cel mai scurt.

Considerând axa Oy dirijată după

verticală în jos, viteza mobilului în fiecare

punct al arcului OA este

yg2dtdsV ⋅⋅== ,

g fiind acceleraţia gravităţii. Timpul în

care mobilul descrie arcul OA va fi dat de integrala curbilinie

∫∫ ==OA OA gy2

dsVdsT . (1)

Fie

y = y(x), x∈[0,x1] ,

ecuaţia a arcului OA. Integrala (1) se mai poate scrie

∫+

= 1x

0

2

dxgy2

'y1T . (1’)

Avem de determinat arcul OA, cu extremităţile date, pe care integrala (1) este

minimă. Cu alte cuvinte se cere funcţia y(x) care satisface condiţiile

y(0) = 0, y(x1) = y1

138 Calculul variaţional -6

Γ

∆

şi care minimalizează integrala (1’).

b). Problema geodezicelor. Dintre toate arcele de curbă trasate pe o suprafaţă S

care unesc două puncte A şi B de pe suprafaţă, să se determine arcul care are lungimea

minimă.

Fie

F(x,y,z) = 0 (2)

ecuaţia suprafeţei S şi A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2) cele două puncte de pe suprafaţă. Dacă

y = y(x), z = z(x); x ∈[x1,x2]

sunt ecuaţiile unui arc de curbă trasat pe suprafaţă care uneşte cele două puncte A şi B,

funcţiile y(x), z(x) verifică ecuaţia suprafeţei şi satisfac condiţiile

y(x1) = y1 , y(x2) = y2 ; z(x1) = z1 , z(x2) = z2. (3)

Lungimea arcului AB este

∫ ′+′+= 2

1

x

x

22 dxzy1L . (4)

Problema se poate formula astfel: Se cer funcţiile y(x) şi z(x), legate prin relaţia

(2), care satisfac condiţiile la limită (3) şi minimalizează integrala (4).

c). Problema suprafeţelor minime (Plateau). Dată fiind o curbă simplă închisă C,

situată în spaţiul cu trei dimensiuni, se cere să se determine suprafaţa deschisă S

mărginită de această curbă care are aria minimă.

Să presupunem că proiecţia Γ a curbei C pe

planul xOy este tot o curbă simplă de ecuaţie

ϕ(x,y) = 0 şi că domeniul mărginit ∆ din planul xOy,

având frontiera Γ , este proiecţia suprafeţei S pe acest

plan.

Fie

z = z(x,y);

M(x,y) ∈∆ ,

6.1 Extremele şi variaţia unei funcţionale 139 ecuaţia suprafeţei S şi

==ϕ

)y,x(zz,0)y,x(

ecuaţiile curbei C.

Aria suprafeţei S este dată de integrala

∫∫∆

∂∂

+

∂∂

+=

22

dydxyz

xz1A . (5)

Avem deci de determinat funcţia z = z(x,y) care face minimă integrala (5) şi ia

valorile )y,x(zz = pe curba Γ , frontiera domeniului ∆ .

d). Problema izoperimetrică. Se cere curba plană închisă, de lungime dată l ,

care delimitează un domeniu mărginit de arie maximă.

Fie

x = x(t) , y = y(t) ; t ∈[t1,t2] , (6)

ecuaţiile parametrice ale unei curbe C. Curba C fiind închisă avem

x(t1) = x(t2) , y(t1) = y(t2). (7)

Condiţia ca lungimea curbei C să fie l se scrie

l=′+′∫2

1

t

t

22 dtyx . (8)

Aria mărginită de acestă curbă este dată de integrala

( )∫ ′−′= 2

1

t

t dtyxxy

21A , (9)

în ipoteza că pentru t crescător, punctul M[x(t),y(t)] descrie curba C în sens

trigonometric.

Avem deci de determinat funcţiile (6), supuse condiţiilor (7), care verifică

egalitatea (8) şi maximizează integrala (9).


2. Funcţională. Variaţia argumentului, vecinătate

În cele patru exemple s-a pus problema extremelor unei integrale care depinde

de funcţiile care intervin sub semnul de integrare. Astfel, în primul exemplu am avut o

integrală de forma

∫ ′= 2

1

x

x dx)y,y,x(F]y[I , (10)

în al doilea o integrală

∫ ′′= 2

1

x

x dx)z,y,z,y,x(F]z,y[I , (11)

ale cărei valori depind de două funcţii y(x), z(x) legate într-o ecuaţie f(x,y,z) = 0, în al

treilea o integrală

∫∫

∂∂

∂∂

=D

dydxyz,

xz,z,y,xf]z[I , (12)

ale cărei valori depind de o funcţie de două variabile.

Definiţie. Fie F o mulţime de funcţii. Dacă fiecărei funcţii f ∈F facem să-i

corespundă un număr real, vom spune că avem o funcţională I[f] definită pe mulţimea

F cu valori în R.

Elementul arbitrar f ∈F se numeşte funcţia argument al funcţionalei, iar

mulţimea F se numeşte domeniul de definiţie al funcţionalei I[f]. Funcţionala I[f] este

ansamblul format din mulţimea F , mulţimea R a numerelor reale şi corespondenţa

]f[If → de la F la R.

Se mai spune că funcţionala I[f] este o aplicaţie a mulţimii F în mulţimea R a

numerelor reale.

Să considerăm o mulţime F de funcţii f(x) definite pe un interval [a,b],

f ∈ Co [a,b].

Definiţie. Se numeşte vecinătate de ordinul zero a funcţiei fo ∈ F, mulţimea

funcţiilor f ∈ F care verifică inegalitatea

6.1 Extremele şi variaţia unei funcţionale 141

ε<− )x(f)x(f 0 , x ∈[a,b] , (13)

ε fiind un număr strict pozitiv dat.

Inegalitatea trebuie să fie satisfăcută pentru toate valorile lui x din intervalul

[a,b].

Evident, dând lui ε diverse valori, se obţin diverse vecinătăţi.

Se numeşte vecinătatea de ordinul n a funcţiei fo ∈ F, mulţimea funcţiilor f ∈ F

care pentru orice x ∈ [a,b] verifică inegalităţile

ε<− )x(f)x(f 0 ,

ε<′−′ )x(f)x(f 0 , (14)

……………………..

ε<− )x(f)x(f )n(0

)n( ,

unde ε este un număr strict pozitiv dat.

Diferenţa

)x(f)x(f)x(f 00 −=δ , x ∈[a,b] ,

se numeşte variaţia argumentului funcţionalei I[f] când se trece de la funcţia fo ∈ F la

funcţia f ∈ F.

Noţiunile de vecinătate şi de variaţie se extind în mod natural şi în cazul când

elementele mulţimii F sunt funcţii de mai multe variabile.

3. Extremele unei funcţionale, funcţii admisibile.

Extreme absolute, extreme relative

Se numesc funcţii admisibile într-o problemă de extremum a unei funcţionale

I[f], f ∈ F, acele funcţii din F care satisfac condiţiile suplimentare impuse de problema

respectivă.

Fie I[f] o funcţională definită pe mulţimea F şi G mulţimea funcţiilor admisibile

într-o problemă de extremum a funcţionalei I[f]. Evident G ⊂ F.


Se spune că I[f] admite un maxim absolut pentru f0 ∈ G dacă pentru orice

funcţie f ∈ G avem

I[f0] ≥ I[f].

Dacă pentru orice funcţie f ∈ G avem

I[f0] ≤ I[f],

atunci se spune că f0 realizează un minim absolut al funcţionalei I[f].

Ca şi pentru extremele unei funcţii, uneori ne interesează nu extremele absolute

ale unei funcţionale, ci extremele relative în care noţiunea de vecinătate joacă un rol

important.

Se spune că funcţionala I[f] admite un maxim relativ tare pentru f0 ∈ G dacă

există o vecinătate de ordinul zero a funcţionalei f0 astfel încât, pentru orice funcţie

f ∈ G conţinută în această vecinătate ,

I[f0] ≥ I[f].

Dacă această inegalitate are loc numai pentru funcţiile f ∈ G situate într-o

vecinătate de ordinul întâi a funcţiei f0, se spune că I[f] admite pentru f0 un maxim

relativ slab.

Analog se definesc minimele relative tari şi slabe ale funcţionalei I[f].

Maximele şi minimele unei funcţionale se numesc extremele acelei funcţionale.

Evident, oricare extremum absolut al unei funcţionale este şi extremum relativ

tare. De asemenea, orice extremum relativ tare îndeplineşte şi condiţiile unui extremum

relativ slab.

În cele ce urmează vom determina condiţiile necesare de extremum relativ slab,

acestea fiind condiţiile necesare şi pentru un extremum relativ tare sau pentru un

extremum absolut.

Prezentăm două leme, care se demonstrează simplu prin reducere la absurd.

Lema 1. Fie f(x) o funcţie continuă pe intervalul [x1, x2]. Dacă

0dx)x()x(f2

1

x

x =η⋅∫

pentru orice funcţie η(x) din clasa C2 [x1,x2] care se anulează la capetele intervalului,


η(x1) = 0 , η (x2) = 0 ,

atunci 0)x(f ≡ pe [x1,x2] .

Lema 2. Fie D un domeniu mărginit, dintr-un spaţiu euclidian cu n dimensiuni,

şi Σ frontiera sa. Fie f(P) o funcţie continuă pe Σ∪=∆ D .

Dacă

0d)P()P(fD

=ωη∫

pentru orice funcţie η(P) din clasa C2 pe Σ∪∆ , nulă în toate punctele frontierei Σ ,

atunci 0)P(f ≡ pe Σ∪∆ .

4. Ecuaţia lui Euler în cazul integralelor simple

Să considerăm funcţionala

∫ ′= 2

1

x

x dx)y,y,x(F]y[I , (15)

definită pe o mulţime F de funcţii y(x), x ∈ [x1,x2]. Vom determina o condiţie

necesară de extremum relativ considerând ca funcţii admisibile funcţiile y(x) ∈ F care

aparţin clasei C2 [x1,x2] şi care verifică în plus condiţiile la limită

y(x1) = y1 , y(x2) = y2 , (16)

y1 şi y2 fiind două numere date.

Fie y(x) funcţia care realizează un extremum relativ al funcţionalei. Considerăm

o funcţie arbitrară η(x) din clasa C2 [x1,x2] , cu proprietatea

0)x(,0)x( 21 =η=η . (17)

Funcţia

Y(x) = y(x) + )x(ηα , (18)

unde α este un parametru mic, este evident o funcţie admisibilă şi aparţine unei

vecinătăţi de ordinul întâi date a funcţiei y(x) pentru α suficient de mic. Înlocuind în

(15) pe y(x) cu Y(x) şi presupunând η(x) fixă, obţinem o integrală funcţie de

144 Calculul variaţional -6 parametrul α ,

[ ]∫ η′α+′ηα+=α 2

1

x

x dx)x()x(y),x()x(y,xF)(J .

Dacă y(x) realizează un extremum relativ al integralei în mulţimea tuturor

funcţiilor admisibile, acesta va trebui să fie un extremum relativ şi în mulţimea

funcţiilor Y(x) obţinute din (18) pentru diversele valori ale lui α . Rezultă că o

condiţie necesară de extremum este

0)0(J =′ .

Ne situăm în ipoteză că F(x,y′, y′ )∈C2 pentru ∈x [x1,x2].

Avem

] [[ ]{ }∫ η′′+η′=′ ′2

1

x

x yy dx)x()x(y),x(y,xF)x()x(y),x(y,xF)0(J ,

unde

yFF,

yFF yy ′∂

∂=

∂∂

= ′ .

Ultimul termen poate fi integrat prin părţi

[ ] ∫∫ ′η−η=η′′ ′2

1

2

1

2

1

x

x y

x

x'y

x

x 'y dx)y,y,x(Fdxd)x( )'y,y,x(F)x(dx)x()y,y,x(F .

Datorită condiţiilor (17), primul termen din membrul drept al acestei inegalităţi

este nul. Deci, condiţia 0)0(J =′ devine

0dx)x()]y,y,x(Fdxd)y,y,x(F[)0(J y

x

x y2

1

=η′−′=′ ∫ . (19)

în care y = y(x) este funcţia care realizează un extremum al integralei (15) , iar

)x(yy ′=′ este derivata sa.

Această egalitate are loc pentru orice η(x) din clasa C2 [x1,x2] supusă condiţiilor

(17). Ţinând seama de prima lemă deducem că funcţia y(x) verifică ecuaţia

0)y,y,x(Fdxd)y,y,x(F yy =′−′ ′ . (20)


Deoarece

( ) yFyFFy,y,xFdxd

yyyyyxy ′′′′+′′′+′′=′ ′′′′′

această ecuaţie, care se numeşte ecuaţia lui Euler corespunzătoare funcţionalei, se mai

poate scrie sub forma

0FFyFyF yyxyyyy =−+′+′′ ′′′′ . (20’)

Am obţinut astfel următorul rezultat :

Teoremă (Euler). Dacă )y,y,x(F ′ aparţine clasei C2 pentru x ∈ [x1,x2] şi

y,y ′ luând valori arbitrare şi dacă y(x) realizează un extremum relativ al integralei

(15) în mulţimea funcţiilor din clasa C2 x ∈ [x1,x2] care satisfac condiţiile la limită

(16), atunci y(x) verifică ecuaţia lui Euler (20), respectiv (20’).

În ipoteza că 0F yy ≠′′ pe intervalul [x1,x2] , soluţia generală a ecuaţiei lui Euler

depinde de două constante arbitrare care se determină folosind condiţiile la limită (16).

De remarcat că forma ecuaţiei lui Euler ataşată integralei (15) nu depinde de

extremităţile intervalului [x1,x2] şi nu depinde de condiţiile la limită (16). Însă, dat fiind

intervalul [x1,x2], ecuaţia lui Euler trebuie considerată numai pe acest interval.

Ecuaţia lui Euler este o condiţie necesară, dar nu suficientă pentru funcţia y(x)

care realizează un extremum al funcţionalei (15).

Orice curbă integrală a ecuaţiei lui Euler (20) se numeşte extremală a

funcţionalei (15), chiar dacă aceasta nu realizează un extremum al funcţionalei.

5. Generalizări

Rezultatele referitoare la integrala (15) pot fi extinse pentru cazul când F

depinde şi de derivate de ordin superior ale lui y(x) sau pentru cazul când funcţionala

depinde de mai multe argumente.

Teoremă (Poisson). Fie )n(y,...,y,y,y,x(F ′′′ ) o funcţie din clasa Cn+1 pentru

146 Calculul variaţional -6 x ∈ [x1,x2] şi )n(y,...y,y,y ′′′ , luând valori arbitrare.

Dacă y(x) realizează un extremum relativ al funcţionalei

∫ ′′′= 2

1

x

x

)n( dxy,...,y,y,y,x(F]y[I (21)

în mulţimea funcţiilor din clasa C2n [x1,x2] care satisfac condiţiile

=′=′=

=′=′=−−

−−

,y)x(y,...y)x(y,y)x(y

,y)x(y,...y)x(y,y)x(y)1n(

22)1n(

2222

)1n(11

)1n(1111 (22)

unde )1n(222

)1n(111 y,...y,y,y,...y,y −− ′′ sunt 2n constante date, atunci y(x) este soluţia

ecuaţiei diferenţiale

.0dx

Fd)1(...

dxFd

dxdF

F ny

nn

2y

2y

y

)n(

=−+−+− ′′′ (23)

Această ecuaţie este de ordinul 2n şi se numeşte ecuaţia lui Euler–Poisson

corespunzătoare funcţionalei (21).

Mulţimea funcţiilor admisibile în această problemă de extremum este mulţimea

funcţiilor y(x) din clasa C2n [x1,x2] care verifică egalităţile (22).

Demonstraţia ecestei teoreme este analoagă cu cea a teoremei precedente.

Orice soluţie a ecuaţiei (23) se numeşte extremală a funcţionalei (21) chiar dacă

nu realizează un extremum al funcţionalei. O anumită extremală este determinată prin

condiţiile la limită (22).

Să considerăm acum o integrală care depinde de mai multe funcţii de o singură

variabilă t. Fie acestea

x1(t), x2(t), …, xn(t) .

Notăm derivatele lor cu

)t(x,...,)t(x,)t(x n21 &&&

aşa cum se obişnuieşte în mecanică în cazul când t reprezintă timpul.

Teorema lui Lagrange. Fie )x,x,...,x,x,x,x,t( nn2211 &&& o funcţie din clasa C2

pentru t ∈ [t1,t2] şi nn2211 x,x,...,x,x,x,x &&& luând valori arbitrare.


Dacă sistemul de funcţii {x1(t), x2(t), …, xn(t)} realizează un extremum relativ al

funcţionalei

∫=2

1

t

t nn2211n21 dt)x,x,...,x,x,x,x,t(F]x,...,x,x[I &&& (24)

în mulţimea sistemelor de funcţii din clasa C2 t ∈ [t1,t2] care satisfac condiţiile la

limită

2k2k

1k1k x)t(x,x)t(x == ; k = 1, 2, …, n, (25)

unde 2k

1k x,x sunt 2n numere date, atunci sistemul {x1(t), x2(t), …, xn(t)} este o soluţie

a sistemului de ecuaţii diferenţiale

0dt

dFF k

k

xx =− & ; k = 1, 2, …, n. (26)

Acest sistem de ecuaţii se numeşte sistemul lui Euler–Lagrange corespunzător

funcţionalei (24).

În ecuaţiile (26) intervin funcţiile xk împreună cu derivatele lor de primele două

ordine kx& şi kx&& .

Mulţimea sistemelor de funcţii admisibile este mulţimea sistemelor de funcţii

din clasa C2 [t1,t2] care verifică condiţiile (25).

Dacă F )x,x,...,x,x,x,x,t( nn2211 &&& este o funcţie din clasa C2 pentru t ∈ [t1,t2]

şi xk, kx& oarecare şi dacă sistemul de funcţii {x1(t), x2(t), …, xn(t)} realizează un

extremum relativ slab al integralei (24) în mulţimea sistemelor de funcţii admisibile

==

∈2k2n

1k1k

211

k

x)t(x,x)t(x

]t,t[C)t(x ; k = 1, 2, …, n ,

atunci sistemul de funcţii {x1(t), x2(t), …, xn(t)} verifică sistemul lui Euler–Lagrange

(26), iar derivatele secunde kx&& (t) există şi sunt continue în orice punct t ∈ [t1,t2]

pentru care determinantul funcţional

0xx

F

ji

2

≠∂∂

∂=∆

&&.


6. Cazul integralelor multiple. Ecuaţia lui Euler–Ostrogradski

Pentru uşurinţa expunerii vom considera funcţionala definită printr-o integrală

dublă

∫∫=D yx dydx)u,u,u,y,x(F]u[I , (27)

unde ux,uy sunt derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei u(x,y).

Se pune problema extremelor acestei funcţionale în mulţimea funcţiilor u(x,y)

care fac parte din clasa C2 pe domeniul D şi iau valori date pe frontiera C a domeniului

D,

)y,x(f)y,x(uC= . (28)

Teorema lui Ostrogradski. Dacă F este o funcţie din clasa C2 pentru (x,y) ∈ D

şi u,ux,uy luând valori arbitrare, iar funcţia u(x,y) realizează un extremum relativ al

funcţionalei (27) în mulţimea funcţiilor din clasa C2 pe domeniul D care verifică

egalitatea (28), atunci u(x,y) este soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale

0FFy

Fx uuu yx

=−∂∂

+∂∂

. (29)

Pentru demonstraţie se consideră mulţimea funcţiilor

U(x,y) = u(x,y) + ηα (x,y) , (30)

unde u(x,y) este funcţia pentru care integrala (27) admite un extremum, η(x,y) este o

funcţie fixă arbitrară din clasa C2 pe domeniul D şi care pe frontiera C verifică condiţia

0)y,x(C=η , (31)

iar α este un parametru care ia valori mici în modul.

Dacă u(x,y) realizează un extremum în mulţimea funcţiilor admisibile, aceeaşi

proprietate o va avea şi în mulţimea funcţiilor (30). Pentru aceasta este necesar ca

integrala

∫∫ αη+αη+αη+=αD yyxx dydx)u,u,u,y,x(F)(J

6.1 Extremele şi variaţia unei funcţionale 149 să admită un extremum pentru α = 0. Condiţia 0)0(J =′ se scrie dezvoltat

( ) 0dydxFFF)0(JD uyuxu yx

=η+η+η=′ ∫∫ .

Integrala referitoare la ultimii doi termeni se mai poate scrie

( )

( ) ( ) .dydxy

F

xF

dydxFy

Fx

dydxFF

D

uu

D uu

D uyux

yx

yx

yx

∫∫∫∫

∫∫

∂

∂+

∂

∂η−

η

∂∂

+η∂∂

=

=η+η

Folosind formula lui Green, prima integrală din membrul drept se poate

transforma într-o integrală pe frontiera C a domeniului D şi avem

( )

( ) .dydxy

F

xF

dxFdyF

dydxFF

D

uu

C uu

D uyux

yx

yx

yx

∫∫∫

∫∫

∂

∂+

∂

∂η−−η=

=η+η

Datorită condiţiei (31), integrala curbilinie este nulă şi condiţia 0)0(J =′ devine

∫∫ =η

∂

∂−

∂

∂−=′

D

uuu 0dydx)y,x(

y

F

xF

F)0(J yx .

De aici rezultă ecuaţia (29) şi teorema este demonstrată.

Ecuaţia (29) se numeşte ecuaţia lui Euler–Ostrogradski corespunzătoare

funcţionalei (27).

Orice soluţie a ecuaţiei (29) se numeşte extremală a funcţionalei (27) chiar dacă

acea funcţie nu realizează efectiv un extremum al funcţionalei. Adăugând la ecuaţia

(29) o condiţie la limită de forma (28) se obţine o extremală particulară.

§ 2. DETERMINAREA EXTREMELOR UNEI FUNCŢIONALE

1. Metode directe

a). Dacă F nu conţine pe y, ecuaţia lui Euler se reduce la


0)y,x(Fdxd

y =′′

şi această integrală admite integrala primă

C)y,x(Fy =′′ .

Exemplu. Să determinăm geodezicele sferei

ϕθ= cossinx , ϕθ= sinsiny , θ= cosz .

Elementul de arc al unei curbe trasate pe sferă este

222 dsindds ϕθ+θ= .

Un arc de curbă de pe sferă

21,)( θ<θ<θθϕ=ϕ

va avea lungimea

∫θ

θθθϕ′+=ϕ 2

1

22 dsin1][L

În acest caz, ),,(F ϕ′ϕθ nu depinde de ϕ şi avem integrala primă

Csin1

sin22

2

=θϕ′+

θϕ′

Pentru C = 0, obţinem 0=ϕ′ . Curbele k=ϕ , unde k este o constantă, sunt

meridianele care trec prin polii π=θ=θ ,0 . Cum poli ai sferei pot fi oarecare două

puncte diametral opuse, rezultă că toate cercurile mari ale sferei sunt geodezice ale

sferei.

b). Dacă F nu conţine pe x, se constată că ecuaţia lui Euler admite integrala

primă

CFyF y =′− ′

Într-adevăr, derivând în raport cu x această egalitate, avem

( ) 0yFyFyFyyFyF yyyyyyy =′′+′′−′′−′′+′ ′′′′′ ,

care se reduce la

6.2 Determinarea extremelor unei funcţionale 151

( ) 0yFyFFy yyyyy =′′−′−′ ′′′ .

Cum 0y ≠′ , rezultă ecuaţia pentru cazul particular când F nu conţine pe x.

Exemplu. În problema brahistocronei am obţinut funcţionala (1’) în care F nu

conţine pe x. Ecuaţia lui Euler corespunzătoare admite integrala primă

Cy1gy2

yygy2y1

2

2

=′+

′′−

′+.

Aceasta se reduce la

Cy1gy2

12=

′+.

Dacă notăm g2Ck

1= , avem

( ) ky1y 2 =′+ .

Căutăm soluţia acestei ecuaţii diferenţiale sub forma parametrică punând

θ=′ ctgy .

Avem

θθ=θ=′

=θ= dsink2ctgydydx,sinky 22 ,

deci

( )θ−=+

θ−θ= 2cos1

2ky,k2sin

21kx 1 .

Notăm a2k= , k1 = b , t2 =θ şi avem ecuaţiile parametrice

x = a(t – sin t) + b , y = a(1 – cos t),

care reprezintă cicloide. Determinarea parametrilor a şi b se face punând condiţia ca

cicloida să trecă prin punctele date O(0,0), A(x1,y1).

c). Dacă F nu conţine pe 'y , ecuaţia lui Euler se reduce la egalitatea

Fy (x,y) = 0,

152 Calculul variaţional -6 care nu mai este o ecuaţie diferenţială. În general, condiţiile la limită nu vor putea fi

satisfăcute cu funcţiile y(x) determinate de acestă ecuaţie şi problema de extremum

pentru funcţionala (15) nu are soluţii.

d). Cazul cel mai important este cazul singular când

0F yy =′′ , (32)

caz în care ecuaţia lui Euler va fi o ecuaţie de ordinul întâi

0FFyF yyxyy =−+′ ′′ . (33)

Din (32) deducem că funcţia F este liniară în raport cu y′ ,

F = P(x, y) + Q(x, y) 'y .

Introducând în (33), ecuaţia lui Euler devine

0yP

xQ

=∂∂

−∂∂

. (34)

Dacă această egalitate nu se reduce la o identitate, în general nici una din

funcţiile y(x) determinate de această ecuaţie nu va satisface condiţiile la limită şi

problema extremelor funcţionalei (15) nu are soluţii.

Dacă egalitatea (34) este o identitate, funcţionala (15) se poate scrie

[ ] ∫∫ +=′+=AB

x

x dy)y,x(Qdx)y,x(Pdxy)y,x(Q)y,x(P]y[I 2

1

,

cu A(x1,y1), B(x2,y2). Funcţionala I[y] se reduce la o integrală curbilinie independentă

de drum, adică la o constantă.

În acest caz există o funcţie G(x,y) cu proprietatea

)y,x(PxG=

∂∂

, )y,x(QyG=

∂∂

şi funcţia F se poate scrie

dx

)y,x(dG)y,y,x(F =′ . (35)

Reciproc, dacă există o funcţie G(x,y) astfel ca să avem egalitatea (35), ecuaţia

lui Euler se reduce la o identitate şi funcţionala I[y] la o constantă. Astfel avem

6.2 Determinarea extremelor unei funcţionale 153 următorul rezultat:

Teoremă. O condiţie necesară şi suficientă pentru ca ecuaţia lui Euler să se

reducă la o identitate sau ca funcţionala (15) să se reducă la o constantă este ca funcţia

F )y,y,x( ′ să fie de forma (35).

Această proprietate se extinde şi pentru funcţionale de forma (21) sau (27).

Pentru funcţionala (21), condiţia (35) se înlocuieşte prin

)y,...,y,y,x(Gdxd)y,...,y,y,y,x(F )1n()n( −′=′′′ ,

iar pentru funcţionala (27) avem condiţia

)u,y,x(Hy

)u,y,x(Gx

)u,u,u,y,x(F yx ∂∂

+∂∂

= .

Dacă această ultimă egalitate este satisfăcută, se spune că funcţia F este de tip

divergentă.

2. Metode numerice

În cazul unei funcţii y(x), care satisface condiţiile la limită

( ) ( ) β=α= 1y,0y (1)

este avantajos să se efectueze schimbarea de funcţie

( ) ( ) ( )x1xxyxz −α−β−= (2)

care conduce la condiţiile la limită omogene

( ) 00z = , ( ) 01z = .

Dacă condiţiile se referă la abscisele ax = şi bx = este recomandat să se

efectueze schimbarea de variabilă

abaxt

−−

= , (3)

care transformă intervalul [ ]b,a în intervalul [ ]1,0 .

Prin aceste schimbări putem considera condiţiile la limită de forma omogenă

154 Calculul variaţional -6 particulară

( ) 00y = , ( ) 01y = (4)

Metoda lui Ritz constă în a căuta o soluţie aproximativă a problemei variaţionale

de forma

( ) ( )∑=

ϕ=n

1kkkn xC xy (5)

unde

( ) ( ) kk xx1x −=ϕ (6)

sau

( ) ( )x ksinxk π=ϕ , (7)

Se observă că funcţiile ( )xkϕ satisfac condiţiile la limită omogene (4). Relativ

la prima formă a funcţiei ( )xkϕ , ( )xyn primeşte forma

( ) ( )( )1n1-n10n xd...xddx1xxy −+++−= . (8)

Înlocuind ( )xyn dat de relaţia (5) cu ( )xkϕ de forma, de exemplu, (6), în

funcţionala (15), § 1, după integrare, că ea depinde de n constante arbitrare. Aceste

constante se determină rezolvând sistemul derivatelor parţiale în raport cu kC ,

n ..., ,2 ,1k = .

Aplicaţie. Să se determine minimul funcţionalei

( ) ( )dx xy2yyyI1

0

22∫ −−′=

pe mulţimea funcţiilor de clasă 1C care satisfac condiţiile

( ) ( ) 01y0y == .

Vom căuta soluţia aproximativă a acestei probleme variaţionale utilizând metoda

lui Ritz, de ordinul întâi, considerând

( ) ( )x1xCxy 11 −= .

Înlocuind această expresie în funcţională şi efectuând integrarea, rezultă

6.2 Determinarea extremelor unei funcţionale 155

( ) ( ) 1211

*11 C

61C

103CIyI −==

de unde

( )

121C

103

dCC dI

21

11

1*1 −= ,

iar această derivată se anulează pentru 185C1 = . În consecinţă, aproximanta de ordinul

unu este

( ) ( )x1x185xy1 −= .

În continuare rezolvăm aceeaşi problemă, determinând tot aproximanta de

ordinul I. Se caută o soluţie de forma

( ) ( )x1xxy1 −α=

unde α se stabileşte, aproximativ, funcţie de problema tehnologică. Într-un interval

vecin acestei valori a lui α, i se dau lui α o mulţime de valori, echidistante şi se

calculează de fiecare dată integrala. Intervalul care conţine valoarea minimă se împarte

iarăşi şi se calculează integrala în aceste valori, etc.

Procesul se poate opri dacă între limitele intervalului care conţine valoarea

minimă există o eroare, de exemplu, de 1010−=ε . Această valoare a integralei se

afişează.

Specificăm faptul că în Matlab, programul este mai lung pentru că scrierea

funcţiei de integrat este mai complicată.

§ 3. UTILIZAREA CALCULATOARELOR

ÎN CALCULUL VARIAŢIONAL

1. Să se determine minimul expresiei


0

1

xxyd

d

2

y2 2 x. y. d

în mulţimea funcţiilor polinomiale de gradul 2 care se anulează în x = 0 şi x = 1.

Funcţia de pornire yord1 = alfa * x * (1 - x).

Parametrul alfa se determină prin minimalizarea integralei date.

Soluţia analitică de ord I este yord1anal = 5/18 * x * (1 - x).

5/18 = 0.2777777777777

Rezolvare.

Se întocmeşte un program în limbajul MathCAD

Se fixează la 1 toţi indicii

ORIGIN1

Se stabileşte de câte ori se va calcula integrala

n 6

Se apreciază limita inferioară a lui alfa, notată li

li .2

Se apreciază limita superioară a lui alfa, notata ls

ls .3

Lui i i se atribuie valorile 1, 2,,...n

i 1 n..

i

123456

Se stabilesc valorile intermediare ale lui alfa

alfi until i n li ls li

n 1i 1( ).,

6.3 Utilizarea calculatoarelor în calculul variaţional 157

alf

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

=

Se stabilesc valorile intermediare ale lui x

x 0 .001, 1..

Se defineşte funcţia y de variabila x şi parametru alfa

y alf x,( ) alf x. 1 x( ).

Se calculează integrala de n ori, pentru cele n valori ale lui alfa

inti until i n

0

1

xxy alfi x,d

d

2

y alfi x, 2 2 x. y alfi x,. d,

int

0.0213333

0.0221467

0.02272

0.0230533

0.0231467

0.023

=

Se stabileşte valoarea minimă a integralei

min int( ) 0.0231467=

Se afişează alăturat valorile integralelor şi valorile corespunzătoare ale lui alfa

int

0.0213333

0.0221467

0.02272

0.0230533

0.0231467

0.023

=

alf

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

=

Rezultă că valoarea minimă a integralei se atinge în intervalul 0.26 - 0.3.


Se reia programul înlocuind li = .26 şi ls = .3.

Se reia programul de atâtea ori până când se obţine pentru alfa aproximaţia

dorită.

În cazul în care nu se cere afişarea rezultatelor intermediare, lui n i se poate da o

valoare mare.

2. Să se determine minimul expresiei

% integrala de la 0 la 1, din

% (y′^2 - y^2 – 2 * x * y) dx,

% în mulţimea funcţiilor polinomiale de gradul 2

% care se anulează în x = 0 şi x = 1.

% Funcţia de pornire yord1 = alfa * x * (1 - x), unde

% alfa se determină prin minimalizarea integralei date

% Soluţia exactă este y = sin(x)/sin(1) - x

% Soluţia analitică de ord I este yord1anal = 5/18 * x * (1 - x)

% 5/18 = 0.27777777777778

% Se întocmeşte un program în Matlab.

clc, % ştergere fereastra de lucru

clear, % ştergere variabile şi funcţii

format compact, % afişare compactă a rezultatelor

format long % format de afişare cu 15 cifre

% xinit = [0 x2 1] % x2 se alege din domeniul tehnologic

% yinit = [0 y2 0] % y2 se alege din domeniul tehnologic

x2 = .5; y2 = .2; % valori aproximative

alfaaprox = y2/x2/(1 - x2) % valoare aproximativă a lui alfa

x = 0 : .0001 : 1; % domeniul de integrare

% xinit = 0, xfin = 1, pas = .0001

limi = alfaaprox - 1; % limita inf. de variaţie a lui alfa

lims = alfaaprox + 1; % limita sup. de variaţie a lui alfa


pas = (lims - limi)/20; % pasul

if limi <= 0,

limi = 10^(-10); % din consideraţii tehnologice alfa > 0

end

while abs(lims - limi) > 10^(-10) % până când

alf = limi : pas : lims;

% alf ia valorile între limi şi lims cu pasul pas

lim_de_var_ale_alfa = [limi,lims] % afişează limitele lui alf

0 for i = 1 : length(alf) % length(alf) = lung. vect. alf

t1 = [1 0]; t2 = [-1 1]; % t1 = 1 * x + 0, t2 = -1 * x + 1

coef = alf(i) * conv(t1,t2); % coef. polin. y = alf * t1 * t2

deriv = polyder(coef); % derivata lui y

fint1 = conv(deriv,deriv); % yprim^2

fi1 = [0 0 fint1(1) fint1(2) fint1(3) ]; % coef. pol. yprim

fi2 = conv(coef,coef); % coef. pol. y^2

fint3 = 2 * conv([1 0], coef); % coef. lui 2 * x * y de grad 3

fi3 = [0 fint3(1) fint3(2) fint3(3) fint3(4)];% coef. lui 2 * x * y de grad 4

fpar = fi1 - fi2 - fi3; % expresia de sub integrală

vfpar = polyval(fpar,x); % calculul pol. în punctele x

intpar(i) = trapz(x,vfpar); % calculul integ. pentru alf(i)

end

[centru,rang] = min(intpar); % calculul valorii minime şi rangul corespunzător

figure,

plot (alf,intpar), % grafic, intpar = intpar(alf)

title ('GRAFICUL INTEGRALEI FUNCŢIE DE ALFA')

xlabel ('alfa'), ylabel ('Valoarea integralei') % precizarea etichetelor axelor

grid on % trasarea unei reţele pe grafic

% se aleg noi limite de variaţie ale lui alf în vecinătatea

% valorii de minim aproximativ, în funcţie de rang


limi = (alf(rang - 1)); % se schimbă limita inferioară

lims = (alf(rang + 1)); % se schimbă limita superioară

pas = (lims - limi)/20; % se schimbă pasul

alf = limi : pas : lims; % se schimbă interv. pentru alf

end

alfafinal = (limi + lims)/2

valoareaintegralei = intpar(length(intpar))

% verificare

coef = alfafinal * conv(t1,t2);

xnod = [0 1/4 1/2 3/4 1]; % abscisele nodurilor

disp ('Valorile funcţiei yord1 şi sin(x)/sin(1) - x') % afişează

[xnod; polyval(coef,xnod); sin(xnod)/sin(1) - xnod]

% afişează valorile nodurilor,

% valorile aproximative şi valorile exacte

figure, plot(x,polyval(coef,x)), grid on,

hold on % suprapune figurile

plot(x,sin(x)/sin(1) - x), grid on

title ('GRAFICUL SOLUŢIEI EXACTE ŞI APROXIMATIVE')

xlabel('X'), ylabel('yexact. şi yord1'), grid on

text(.06,.065, 'y = alfa * x * (1 - x)')

alfaaprox = 0.80000000000000

lim_de_var_ale_alfa = 0.00000000010000 1.80000000000000












alfafinal = 0.27777777171000

valoarea integralei = -0.02314814717078

Valorile functiei yord1 şi sin(x)/sin(1) - x

ans =

Columns 1 through 5

0 0.25000000000000 0.50000000000000 0.75000000000000 1

0 0.05208333219563 0.06944444292750 0.05208333219563 0

0 0.04401365432820 0.06974696366227 0.06005616632040 0

Calcul variational

Documents

Transcript of Calcul variational