Calcul Metal Eurocod 3

UNIVERSITATEA “POLITEHNICA”

TIMIŞOARA

FACULTATEA DE CONSTRUC łII DEPARTAMENTUL DE CONSTRUCłII METALICE ŞI

MECANICA CONSTRUCłIILOR Centrul de Excelenta pentru Mecanica Materialelor şi Siguran Ńa Structurilor

CEMSIG Ioan Curea 1, 300224 Timi şoara, ROMÂNIA

Telefon Departament: ++40.256.403911 CEMSIG: ++40.256.403932

e-mail: [email protected]

Fax ++40.256.403917 ++40.256.403932

http://cemsig.ct.upt.ro

Contract nr. 424/08.12.2009

Verificarea la stabilitate a elementelor din o Ńel în conformitate cu SR EN 1993-1.1

Recomand ări de calcul, comentarii şi exemple de aplicare

Redactarea I-a

Timi şoara, august 2010

COLECTIV DE ELABORARE

Şef Proiect Prof. Dr, Ing. Dan DUBINĂ _____________________ Membri: Conf. Dr. Ing. Viorel UNGUREANU _____________________ Conf. Dr. Ing. Raul ZAHARIA _____________________ Asist. Dr. Ing. Adrian DOGARIU _____________________ Drd. Ing. Andrei CRI ŞAN _____________________ Drd. Ing. Iulia łUCA _____________________ Drd. Ing. Călin NEAGU _____________________

CUPRINS 1. INTRODUCERE 2. FENOMENUL DE PIERDERE AL STABILITĂłII. ASPECTE GENERALE

2.1 Pierderea stabilităŃi prin bifurcarea şi prin limitarea echilibrului

2.1.1 Stări de echilibru

2.1.2 Flambajul prin bifurcarea echilibrului

2.1.3 Flambajul prin limitarea echilibrului

2.2 Forme de instabilitate a barelor comprimate centric

2.3 Instabilitatea barelor încovoiate

2.4 Probleme specifice de stabilitate pentru profile cu pereŃi subŃiri 3. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE

3.1 Calculul încărcării critice de flambaj la prin încovoiere la bare ideale comprimate centric. Determinarea lungimilor de flambaj

3.2 Efectul imperfecŃiunilor

3.3 Flambajul prin răsucire. Flambajul prin încovoiere-răsucire

3.4 Determinarea caracteristicilor eficace a secŃiunilor transversale pentru profile cu pereŃi subŃiri

3.5 Verificarea la flambaj a barelor comprimate centric în conformitate cu SR EN 1993-1-1

3.6 Voalarea elementelor realizate din plăci plane

3.7 Flambajul barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centrică

3.7.1 Bare compuse din ramuri puŃin depărtate

3.7.2 Flambajul elementelor componente ale barelor comprimate solidarizate cu zăbrele respectiv cu plăcuŃe

Exemplul E.1. Verificarea stabilităŃii generale a unui stâlp supus la compresiune uniformă (flambaj)

Exemplul E.2. Verificarea de pierdere a stabilităŃii generale a unui element cu secŃiunea de clasa 4 supus la compresiune uniformă

Exemplul E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stâlp cu blocaje laterale

Exemplul E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stâlp dintr-un cadru multietajat

Exemplul E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stâlp in trepte

Exemplul E.6. Determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii a unui element compus supus la compresiune uniformă

Exemplul E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secŃiunii transversale a unui profil cu secŃiune de tip C formată la rece, solicitată la compresiune

Exemplul E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secŃiunii transversale a unui profil cu secŃiune de tip C formată la rece, solicitată la încovoiere

Exemplul E.9. Calculul unui stâlp cu secŃiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune

4. ELEMENTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

4.1. Determinarea momentului critic elastic pentru bare solicitate la încovoiere

4.2 Efectul modului de încărcare şi al condiŃiilor de rezemare

4.3 Efectul imperfecŃiunilor şi efectul plasticizării

4.4 Verificarea la flambaj lateral prin încovoiere – răsucire a barelor încovoiate în conformitate cu SR EN 1993-1-1

4.4.1. Metoda generală de calcul

4.4.2 Metoda alternativă de calcul pentru profile laminate sau secŃiuni sudate echivalente

4.4.3 Metode pentru îmbunătăŃirea capacităŃii elementului structural încovoiat

4.5 Metoda simplificată pentru grinzi cu legături transversale, făcând parte din structuri

Exemplul E.10. Determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire

Exemplul E.11. Determinarea rezistentei la pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire a unui element cu legaturi transversale continue

Exemplul E.12. Calculul unei grinzi cu secŃiune transversală de tip C formată la rece, solicitată la încovoiere

5. BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE ŞI ÎNCOVOIERE

5.1 Aspecte generale. Producerea fenomenelor

5.2 RezistenŃa barelor comprimate şi încovoiate la pierderea stabilităŃii generale

5.2.1 Bazele teoretice

5.2.2 Flambajul prin încovoiere şi flambajul prin încovoiere-răsucire

5.3 Bare supuse la încovoiere şi compresiune cu secŃiune transversală uniformă. Utilizarea factorilor de interacŃiune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1

5.4 Metoda generală de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoiere – răsucire a componentelor structurale

Exemplul E.13. Determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii – interacŃiunea M-N

Exemplul E.14. Determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii a unui cadru portal

Exemplul E.15. Determinarea unei secŃiunii echivalente pentru verificarea elementelor cu secŃiune variabila supuse la M-N

Exemplul E.16. Calculul unui stâlp cu secŃiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune cu încovoiere

ANEXA I: Coeficientul de zvelteŃe transformat pentru barele cu secŃiuni cu o axă de simetrie supusă la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire ANEXA II: Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate

II.1 Baze teoretice II.2 Determinarea lungimilor de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate cu metoda Wood II.3 Metoda Merchant - Rankine

ANEXA III: Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor parter ANEXA IV: Lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zăbrele ANEXA V: Monogramele pentru coeficienŃi C1 şi C2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate ANEXA VI: Clase de secŃiuni ANEXA VII: Calculul prin metoda elementului finit (MEF) conform Anexei C din SR EN 1993-1-5

VII.1 Utilizarea imperfecŃiunilor VII.2 ProprietăŃile materialelor VII.3 Încărcări

ANEXA VIII: ImperfecŃiuni

VIII.1 ImperfecŃiuni pentru analiza globală a cadrelor VIII.2 ImperfecŃiuni pentru calculul sistemului de contravântuiri VIII.3 ImperfecŃiunile elementelor

BIBLIOGRAFIE

1. INTRODUCERE Problemele de stabilitate a structurilor metalice sunt nu numai complicate dar şi cu pondere majoră în asigurarea siguranŃei structurilor. În SUA se elaborează de către SSRC – Structural Stability Research Council, periodic (la 5 ani), Ghidul pentru verificarea la stabilitate a structurilor metalice, care conŃine circa 600 de pagini. În Europa, ConvenŃia Europeana pentru ConstrucŃii Metalice a editat şi publicat în 2008 un Manual explicativ pentru calculul la stabilitate a structurilor metalice, în conformitate cu EN 1993-1-1 cu exemple, având 250 de pagini. În Marea Britanie, Steel Construction Institute a elaborat o serie întreaga de documente dedicate verificărilor şi calculelor de stabilitate a diferitelor tipuri de elemente structurale. La fel, astfel de materiale au fost elaborate în FranŃa, la CTIM şi OTUA, sau în Germania documentaŃiile DASt. Pe plan naŃional nu există documente cu caracter normativ sau ghiduri de proiectare care să abordeze problema verificărilor de stabilitate în format Eurocode (SR EN 1993-1-1), în condiŃiile în care verificările de stabilitate, în format SR EN 1993-1-1, diferă formal de cele cu care proiectanŃii români erau obişnuiŃi in conformitate cu STAS 10108/0-78. În ultimele decade s-au investit eforturi uriaşe în dezvoltarea Eurocodurilor pentru construcŃii, a căror scop este de a dispune de un set de documente care sa formeze o bază comună în Europa pentru proiectarea structurilor realizate din diverse materiale. Versiunea finală a Eurocodurilor se bazează pe cercetări recente şi introduc astfel, formule de calcul noi, care permit o proiectare mai economică. De asemenea, în EN 1993 sunt date metodologii de rezolvare cu ajutorul programelor de calcul structural a unor probleme de stabilitate. Prin urmare, procedurile SR EN 1993 sunt noi nu numai în conŃinut, dar şi ca formă, în comparaŃie cu procedurile din STAS 10108/0-78. Documentul de faŃă este conceput ca un instrument de explicitare şi aplicare a SR EN 1993-1-1. Versiunea finală a SR EN 1993-1-1 are o abordare complexă, uneori confuză a problemelor de stabilitate a structurilor din bare. Pentru elementele care îşi pot pierde stabilitatea prin încovoiere–răsucire, în norma se dau trei metode, din care se alege, de către proiectant, cea care se aplică, existând însă condiŃii impuse şi restricŃii în aplicarea acestora la anumite cazuri sau clase de probleme. În normă nu se dau indicaŃii pentru determinarea momentului încovoietor critic sau a altor formule similare. Nu sunt precizări explicite pentru verificarea la stabilitate generală, a elementelor cu secŃiuni de clasa 4, trebuind combinate prevederile din EN 1993-1-1 cu cele din EN 1993-1-3 şi EN 1993-1-5. Nu sunt prevederi explicite pentru stâlpii cu secŃiune variabilă, liniară sau în trepte şi cu condiŃii de rezemare altele decât cele corespunzătoare cazurilor fundamentale. Toate aceste aspecte (şi nu numai) sunt tratate în cadrul prezentei lucrări, care prezintă baza normativă (SR EN 1993-1-1, SR EN 1993-1-3, SR EN 1993-1-5) pentru verificarea la stabilitate a elementelor structurale din oŃel, cu relaŃiile de calcul şi prevederile de proiectare, respectiv comentarii privind aplicarea acestora, însoŃite de aplicaŃii. Lucrarea tratează verificarea la stabilitate a barelor din oŃel. Lucrarea nu tratează verificarea la stabilitate a structurilor din plăci plane solicitate la încărcări în plan sau în afara planului şi nici verificarea la stabilitate a plăcilor curbe subŃiri. Lucrarea prezintă si informaŃii complementare neconflictuale cu prevederile SR EN 1993. Unele dintre aceste informaŃii sunt strict necesare în calcule, altele sunt prezentate datorită caracterului practic. Ca sursă de documentare s-a folosit şi baza Access Steel (www.access-steel.com, 2006). În cuprinsul lucrării s-au utilizat coeficienŃii de siguranŃa stabiliŃi prin Anexele NaŃionale. În Anexa NaŃionala SR EN 1993-1-1:2006/NA:2008 s-a păstrat valoarea recomandată în cadrul EN 1993-1-1, adică valoarea unitară pentru coeficientul parŃial de siguranŃă γM1 pentru verificarea de stabilitate. În cadrul SR EN 1993-1-3/NB:2008, s-a adoptat coeficientul γM1 =1,10 (faŃă de

valoarea unitară recomandată în EN 1993-1-3) datorită fenomenului de interacŃiune a modurilor de flambaj local şi general, care caracterizează comportarea profilelor cu pereŃi subŃiri. În zona de interacŃiune, influenŃa imperfecŃiunilor creşte, producând eroziunea încărcării critice teoretice. Capitol 2 al lucrării debutează cu prezentarea unor aspecte generale referitoare la fenomenul de pierdere al stabilităŃii. Se prezintă noŃiunea de încărcare critică de flambaj şi problema de bifurcare a echilibrului, după care se prezintă metoda divergenŃei echilibrului cu considerarea imperfecŃiunilor structurale şi a celor geometrice. În acest capitol se prezintă flambajul prin încovoiere, prin răsucire şi prin încovoiere – răsucire a barelor comprimate centric, respectiv pierderea stabilităŃii barelor încovoiate. Tot în acest capitol se prezintă problemele specifice de stabilitate pentru profile cu pereŃi subŃiri. Capitolul 3 este destinat fenomenului de pierdere a stabilităŃii elementelor comprimate centric. Capitolul debutează cu calculul încărcării critice de flambaj prin încovoiere la bare ideale comprimate centric, însoŃit de determinarea lungimilor de flambaj pentru cazurile elementare de rezemare. Sunt date în continuare formulele de calcul pentru încărcarea critică de flambaj prin răsucire şi pentru încărcarea critică de flambaj prin încovoiere-răsucire. Ca informaŃie complementară neconflictuală cu prevederile SR EN1993-1-1, în relaŃie cu acest capitol, Anexa I prezintă calculul coeficientului de zvelteŃe transformat pentru barele cu secŃiuni cu o axă de simetrie supusă la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire. Tot in cadrul acestui capitol se prezintă modul de determinare a caracteristicilor eficace a secŃiunilor transversale pentru profile cu pereŃi subŃiri, pentru a Ńine cont de efectul voalării pereŃilor secŃiunii transversale (flambajul local). Capitolul prezintă în continuare efectul imperfecŃiunilor şi procedura de verificare la flambaj a barelor comprimate centric în conformitate cu SR EN 1993-1-1. Pentru cazul general al unui element într-o structură, pentru stabilirea încărcării critice şi implicit a lungimii de flambaj, în Anexa II se prezintă o metodologie de determinare a lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor în cadre multietajate (metoda Wood), iar în Anexa III se prezintă tabele pentru determinarea lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor parter cu secŃiune constantă sau în trepte. De asemenea, în Anexa II, se prezintă o metodă de determinare a încărcării ultime de cedare (Metoda Merchant-Rankine) pentru structuri multietajate cu noduri rigide. Deşi aceste metodologii de verificare nu apar în norma SR EN 1993-1-1, s-a considerat utilă prezentarea acestora, ca informaŃie complementara neconflictuală, necesară în calculul de verificare la stabilitate, sau având în vedere caracterul practic al acestora (Metoda Merchant-Rankine). Capitolul tratează în final particularităŃile verificării la flambaj a barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centrică (cazul barelor comprimate compuse ale căror ramuri sunt în contact sau sunt puŃin depărtate şi legate cu fururi), respectiv a barelor comprimate solidarizate cu zăbrele respectiv cu plăcuŃe. Exemplele de calcul aferente acestui capitol conŃin verificarea stabilităŃii generale a barelor supuse la compresiune uniformă, inclusiv a celor cu secŃiunea de clasa 4 (cu determinarea caracteristicilor eficace) şi a barelor cu secŃiune compusă solidarizată cu plăcuŃe, influenŃa blocajelor laterale, determinarea lungimii de flambaj a stâlpilor dintr-un cadru multietajat, respectiv determinarea lungimii de flambaj a stâlpilor cu secŃiune variabilă în trepte. Capitol 4 este destinat fenomenului de pierdere a stabilităŃii elementelor încovoiate. Se prezintă instabilitatea în domeniul elastic, urmată de instabilitatea în domeniul inelastic, cu determinarea momentului critic elastic pentru elemente solicitate la încovoiere. Se studiază efectele modului

de încărcare şi a condiŃiilor de rezemare la capetele barei asupra momentului critic elastic, precum şi efectul imperfecŃiunilor şi efectul plasticizării. Se prezintă metodele de verificare la flambaj prin încovoiere – răsucire, conform SR EN 1993-1-1, atât Metoda generală de calcul, cât şi Metoda alternativă de calcul pentru profile laminate sau secŃiuni sudate echivalente. Se prezintă şi metoda simplificată pentru grinzi cu legături transversale, făcând parte din structuri. Ca informaŃie complementară neconflictuală cu prevederile SR EN 1993-1-1, în relaŃie cu acest capitol, Anexa V prezintă o procedură de calcul pentru coeficienŃi C1 şi C2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate. Exemplele de calcul aferente acestui capitol conŃin determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire a barelor încovoiate pentru cazul barei simplu rezemate nefixate lateral (se prezintă de asemenea, determinarea momentului critic pentru diverse situaŃii de încărcare, rezemare, respectiv fixare laterala), respectiv a unei pane de acoperiş solicitată alternant (se verifică condiŃiile în care tabla asigură fixarea tălpii superioare şi se consideră de asemenea ipoteza utilizării unor tiranŃi de fixare laterală). Exemplele de calcul prezintă de asemenea verificarea barelor cu secŃiuni de clasa 4. Capitolul 5 prezintă stabilitatea elementelor solicitate la încovoiere cu compresiune axială. La început se tratează aspecte legate de producerea fenomenului, respectiv bazele metodelor de calcul aplicate în practică. În continuare se prezintă metodele de verificare a elementelor conform SR EN 1993-1-1: (1) Bare supuse la încovoiere şi compresiune cu secŃiune transversală uniformă. Utilizarea factorilor de interacŃiune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1; (2) Metoda generală de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoiere – răsucire: aplicare la componentele structurale şi la cadre parter. Exemplele de calcul aferente acestui capitol conŃin determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii a barelor cu secŃiune constantă, a barelor cu secŃiune variabilă (3 tălpi) şi a barelor cu secŃiune compusă solidarizate cu plăcuŃe. De asemenea, se prezintă determinarea secŃiunii echivalente pentru verificarea barelor cu secŃiune variabilă supuse la interacŃiunea M-N, precum şi verificarea barelor cu secŃiuni de clasa 4. Lucrarea se adresează firmelor de proiectare, experŃilor, verificatorilor, precum şi unităŃilor de învăŃământ de profil.

2. FENOMENUL DE PIERDERE AL STABILIT ĂłII. ASPECTE GENERALE 2.1 Pierderea stabilităŃi prin bifurcarea şi prin limitarea echilibrului 2.1.1 Stări de echilibru Teoria clasică a stabilităŃii stabileşte condiŃiile în care un sistem structural, sau un element structural aflat iniŃial în stare de echilibru, încetează a mai fi stabil. În termeni generali, stabilitatea unui sistem fizic poate fi definită ca abilitatea sistemului respectiv de a se întoarce în starea de echilibru iniŃială, după ce a fost uşor perturbat. Pentru un sistem mecanic (fenomenul de pierdere a stabilităŃii elementelor de rezistenŃă utilizate în construcŃii poate fi descris utilizând noŃiunile de mecanică clasică) poate fi adoptată definiŃia dată de Dirichlet: “Echilibrul unui sistem mecanic este stabil, dacă prin deplasarea punctelor sistemului din poziŃia de echilibru cu o cantitate infinitezimală şi dând fiecărui punct o viteză iniŃială, deplasările diferitelor puncte ale sistemului rămân, în timpul mişcării, conŃinute între anumite limite”. În spiritul definiŃiei date de Dirichlet, dacă se consideră un sistem elastic conservativ aflat iniŃial în stare de echilibru sub acŃiunea unui set de forŃe, sistemul va părăsi starea de echilibru doar dacă va fi acŃionat de o forŃă exterioară sistemului iniŃial în echilibru (în conformitate cu prima lege a Mecanicii Clasice aşa cum a fost enunŃată de Newton – Legea inerŃiei). Considerând energia totală, E, introdusă în sistem de către forŃa perturbatoare, se poate scrie următoarea ecuaŃie de echilibru, în virtutea legii de conservare a energiei:

E = Ec + Ep = constant (2.1) în care Ec este energia cinetică a sistemului, respectiv Ep este energia potenŃială a acestuia. O creştere a energiei cinetice este însoŃită de o scădere a energiei potenŃiale şi invers, în conformitate cu legea conservării energiei. Dacă sistemul este iniŃial într-o configuraŃie de echilibru cu energie potenŃială minimă, atunci energia potenŃială din ecuaŃia de conservare a energiei creşte şi în aceste condiŃii energia cinetică datorată mişcării sistemului, trebuie să scadă. Astfel, deplasarea din starea iniŃială de echilibru în urma perturbării sistemului cu o forŃă exterioară va rămâne mică şi starea de echilibru este una stabilă. Acest fenomen poate fi foarte bine ilustrat pe modelul mecanic binecunoscut din Figura 2.1, cu ajutorul unui corp rigid sferic pe o suprafaŃă curbă. Dacă în starea iniŃială de echilibru sfera se află pe o suprafaŃă concavă (a se vedea Figura 2.1a), atunci echilibrul este stabil; dacă sfera este scoasă din poziŃia iniŃială cu energie potenŃială minimă, aceasta va începe să oscileze şi, în cele din urmă, va reveni la poziŃia de echilibru. Dacă sfera se afla pe o suprafaŃă convexă, într-o poziŃie de energie potenŃială maximă (a se vedea Figura 2.1c), atunci o perturbare a poziŃiei iniŃiale conduce la creşterea energiei cinetice, respectiv la scăderea energiei potenŃiale şi sfera se va îndepărta cu viteză tot mai mare de poziŃia iniŃială de echilibru. În acesta situaŃie se spune că echilibrul este instabil. Starea de echilibru indiferent este ilustrată de modelul mecanic prin sfera pe un plan orizontal (a se vedea Figura 2.1b), în care pentru orice vecinătate a poziŃiei iniŃiale de echilibru, energia potenŃială este aceeaşi. Se poate face mai departe o analogie între comportamentul modelului mecanic cu corp rigid şi comportamentul unui element structural (bara comprimată) pentru definirea stărilor de echilibru ale acestuia. Se presupune bara ideală comprimată (perfect dreaptă, fără imperfecŃiuni, cu un

comportament de material perfect elastic) din Figura 2.1a, aflată iniŃial în stare nedeformată, solicitată la o forŃă axială de compresiune N.

a) echilibru stabil b) echilibru indiferent c) echilibru instabil

Fig. 2.1: Analogia între comportamentul modelului mecanic cu corp rigid şi comportamentul unui element structural pentru definirea stărilor de echilibru

Dacă se perturbă poziŃia de echilibru a acesteia, spre exemplu cu o forŃă concentrată de intensitate redusă aplicată orizontal la mijlocul înălŃimii, bara va suferi o încovoiere. PoziŃia de echilibru stabil, prin analogie cu modelul mecanic, presupune ca după anularea forŃei perturbatoare, bara revine în poziŃia dreaptă sub acŃiunea forŃei N. Dacă se măreşte treptat forŃa N, se constată că bara revine din ce în ce mai greu la poziŃia iniŃială nedeformată după anularea forŃei perturbatoare. Pentru o anumită valoare a forŃei de compresiune N = Ncr, bara nu mai revine în poziŃia iniŃială după anularea forŃei perturbatoare şi va rămâne în poziŃia deformată sub acŃiunea forŃei Ncr. Aceasta este situaŃia de echilibru indiferent pentru bara comprimată, în care, la limită, pot exista sub acŃiunea forŃei de compresiune Ncr, două configuraŃii de echilibru a barei: poziŃia iniŃială dreaptă, în absenŃa forŃei perturbatoare, sau poziŃia deformată, după acŃiunea forŃei perturbatoare cu intensitate redusă. Dacă forŃa de compresiune este mai mare decât valoarea Ncr, bara se deformează accentuat la cea mai mică forŃă perturbatoare. Depăşirea lui Ncr conduce la pierderea stabilităŃii echilibrului (cedarea elementului prin pierdere de stabilitate, sau cedarea elementului prin flambaj). SituaŃia N > Ncr corespunde situaŃiei de echilibru instabil. 2.1.2 Flambajul prin bifurcarea echilibrului Exemplele intuitive prezentate mai sus arată că stabilitatea unui sistem este legată de energia potenŃială a acestuia. Cu toate acestea, stabilitatea unui sistem elastic (a unui element structural sau a unei structuri) poate fi exprimată şi prin conceptul de rigiditate al sistemului. Cu referire la Figura 2.1a, în cazul modelului mecanic, derivata energiei potenŃiale în raport cu deplasarea este rigiditatea sistemului dată de panta suprafeŃei.

În cazul barei comprimate, rigiditatea sistemului este dată de rigiditatea la încovoiere a acesteia, care depinde de secŃiunea transversală, lungimea barei, modulul de elasticitate al materialului din care este alcătuită şi nu în ultimul rând de condiŃiile de rezemare. Toate aceste caracteristici reprezintă, în calculul structurilor pentru construcŃii, parametrii care condiŃionează fenomenul de instabilitate. În consecinŃă, o rigiditate pozitivă a sistemului implică o stare stabilă de echilibru, în timp ce în situaŃia de echilibru indiferent rigiditatea devine nulă. Pentru o structură de rezistenŃă, rigiditatea este dată sub forma matriceală (matrice de rigiditate a structurii), care dacă este pozitiv definită garantează starea de echilibru stabil a structurii. Punctul în care starea unui element sau sistem structural elastic trece din starea de echilibru stabil în cea de echilibru indiferent defineşte “starea limită de stabilitate” a elementului sau a structurii. Comportamentul barei ideale comprimate din Figura 2.1 poate fi definită prin caracteristica forŃă de compresiune – săgeată la mijlocul barei deformate, aşa cum se arată în graficul din Figura 2.2 (ESDEP, 1994). Punctul critic din acest grafic, corespunzător atingerii forŃei Ncr, după care, pentru o forŃa perturbatoare foarte mică deplasările sistemului devin mari şi se produce flambajul barei, se numeşte “punct de bifurcare”. Acest tip de pierdere a stabilităŃii echilibrului unui element structural (sau a unei structuri), în care în punctul de bifurcare sunt posibile două forme de echilibru, aşa cum se arată şi în Figura 2.2, una descrisă de caracteristica forŃa-deplasare primară de echilibru (echilibru instabil în configuraŃia nedeformată), respectiv de caracteristica secundară de echilibru, în configuraŃia deformată (curba post-critică), se numeşte pierdere de stabilitate prin bifurcarea echilibrului, sau flambaj prin bifurcare.

Fig. 2.2: Stabilitatea barei comprimate drepte fără imperfecŃiuni – flambaj

prin bifurcarea echilibrului (ESDEP, 1994) Dacă bara nu este iniŃial dreaptă (există imperfecŃiuni, definite printr-o curbură iniŃială a barei) săgeata creşte odată cu încărcarea N şi nu se mai produce o pierdere de stabilitate bruscă prin bifurcarea echilibrului; în acest caz există o creştere continuă accentuată a deplasărilor, aşa cum se arată în Figura 2.3 (ESDEP, 1994). Acest fenomen este numit “divergenŃă a echilibrului” şi nu mai există, în acest caz, o limită strictă de stabilitate. Dacă materialul rămâne elastic, aşa cum s-a

presupus iniŃial, rigiditatea barei comprimate (dată aici de panta caracteristicii forŃă - deplasare) este întotdeauna pozitivă, dar o creştere mică de forŃă axială implică un spor important de deplasare.

(a) Bara comprimata cu imperfecŃiuni (b) caracteristica forŃă axială - deplasare Fig. 2.3: Stabilitatea barei comprimate drepte cu imperfecŃiuni iniŃiale (ESDEP, 1994)

Reducerea rigidităŃii unui element structural se datorează în general schimbării în geometria acestuia, sau a proprietăŃilor mecanice. Reducerea rigidităŃii datorită doar modificării geometriei elementului în cazul elementelor ideale, cu un comportament de material perfect elastic, nu cauzează întotdeauna pierderea de stabilitate, dar conduce la deplasări mari. Pe de altă parte, reduceri substanŃiale de rigiditate ale elementului pot fi rezultatul schimbării proprietăŃilor mecanice, care conduc la cedarea elementului. Acest aspect important va fi discutat în secŃiunea 3.2. Este de menŃionat aici, totuşi, faptul că modelul fizic cel mai apropiat de realitatea fenomenului de instabilitate este cel al divergenŃei echilibrului, aşa cum a fost definit de către Dutheil (1966), care stă la baza calculului de stabilitate al elementelor structurale din oŃel, în conformitate cu normele de calcul europene. Acest model se aplică la bara reală, afectată de imperfecŃiuni, care pot fi asimilate cu o curbură iniŃială (a se vedea Figura 2.2a). Dacă în acest model se Ńine cont şi de plasticizarea materialului, odată cu creşterea încărcării, gradul de plasticizare a celei mai solicitate secŃiuni transversale (secŃiunea de la mijlocul barei, pentru modelul de bară dublu-articulată la capete cu curbură iniŃială, solicitată la compresiune cu încovoiere), micşorează la un moment dat gradientul de creştere al momentului încovoietor, obŃinut prin reducerea forŃelor interioare. Astfel, creşterea efortului moment încovoietor ajunge în “divergenŃă” cu creşterea momentului exterior (dat de forŃa de compresiune prin săgeata barei) şi echilibrul devine instabil, producându-se astfel cedarea barei (Mateescu ş.a., 1980). Aşa cum s-a menŃionat anterior, aspectele legate de plasticizare vor fi reluate în secŃiunea 3.2. În continuare, în această secŃiune, se vor prezenta doar aspectele legate de cedarea prin flambaj a elementelor care prezintă un comportament al materialului perfect elastic. După punctul de bifurcare, aşa cum a fost definit în Figura 2.2, pentru caracteristica de comportament forŃă – deplasare post-critică pot să apară trei situaŃii, funcŃie de tipul sistemului structural. Figura 2.4 prezintă curbele de echilibru ale sistemului perfect, respectiv a sistemului cu imperfecŃiuni (imperfect) pentru cele trei situaŃii menŃionate. În această figură, N este încărcarea aplicată, δ este o deplasare a unui punct din structură şi ξ este amplitudinea imperfecŃiunii.

Figura 2.4a (ESDEP, 1994) prezintă situaŃia flambajului prin bifurcare simetrică stabilă. În această situaŃie, comportamentul post-critic nu este afectat de semnul imperfecŃiunilor (spre exemplu, la bara comprimată cu imperfecŃiuni din Figura 2.3, nu contează sensul curburii iniŃiale în comportamentul post-critic). ImperfecŃiunile pozitive sau negative au efect similar şi conduc la o curbă post-critică stabilă, în care creşterea deplasărilor se face odată cu creşterea încărcărilor. Acest tip de comportament apare spre exemplu la bara dreaptă comprimată (a se vedea Figura 2.2), la plăci plane, sau la structuri, cum este cazul cadrului dublu-articulat din Figura 2.5 (ESDEP, 1994). Figura 2.4b (ESDEP, 1994) prezintă situaŃia flambajului prin bifurcare simetrică instabilă. În aceasta situaŃie, imperfecŃiunile joacă un rol important în modificarea comportării sistemului structural, acestea introducând o încărcare de cedare mai mică decât încărcarea critică. Acest tip de comportament apare spre exemplu la cilindrul circular comprimat sau la arcul dublu-articulat încărcat radial, aşa cum se arată în Figura 2.6 (ESDEP, 1994).

a) Bifurcare simetrică stabilă

b) Bifurcare simetrică instabilă

c) Bifurcare nesimetrică

Fig. 2.4: Comportamentul post-critic (ESDEP, 1994)

Figura 2.4c (ESDEP, 1994) prezintă situaŃia flambajului prin bifurcare nesimetrică. În această situaŃie, comportamentul post-critic depinde de sensul imperfecŃiunilor. Pentru valori mici ale imperfecŃiunilor negative, spre exemplu, aşa cum se arată în Figura 2.4c, curba post-critică este stabilă. Pentru valori mici ale imperfecŃiunilor pozitive, sistemul îşi poate pierde stabilitatea la o încărcare limită (încărcare ultimă Nu) mult redusă faŃă de încărcarea critică Ncr. Un exemplu tipic de structură cu acest tip de comportament este prezentat în Figura 2.7 (ESDEP, 1994) (bara cotită, pentru care imperfecŃiunea pozitivă sau negativă este dată de punctul de aplicare al forŃei concentrate, spre exteriorul cadrului în cazul comportării post-critice stabile, respectiv spre interiorul cadrului în cazul comportării post-critice instabile).

Fig. 2.5: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetrică stabilă (ESDEP, 1994)

Fig. 2.6: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetrică instabilă (ESDEP, 1994)

Fig. 2.7: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetrică instabilă (ESDEP, 1994)

În concluzie, flambajul prin bifurcarea echilibrului apare în general la structuri ideale, fără imperfecŃiuni, sau la structuri pentru care deformaŃia primară a componentei pre-critice nu cuprinde deformaŃia de instabilitate. În cazul în care deformata primară pre-critică cuprinde deformata de instabilitate, pierderea de stabilitate se produce, la fel ca în exemplul din Figura 2.7 pentru imperfecŃiuni pozitive, prin limitarea echilibrului şi încărcarea limită în această situaŃie se numeşte încărcare ultimă Nu. Nu toate structurile ideale, fără imperfecŃiuni, îşi pierd stabilitatea prin bifurcare; pot să apară situaŃii în care o structură fără imperfecŃiuni îşi pierde stabilitatea prin limitarea echilibrului, aşa cum se arată în continuare. 2.1.3 Flambajul prin limitarea echilibrului Aşa cum s-a menŃionat în 2.1.2, flambajul prin bifurcarea echilibrului nu este singura formă de instabilitate care poate să apară. Pentru anumite structuri elastice, pentru care deformata pre-critică cuprinde deformata de instabilitate, flambajul prin limitarea echilibrului apare atunci când caracteristica încărcare-deplasare iniŃială stabilă devine instabilă la atingerea unui maxim local al încărcării (încărcarea ultimă Nu), denumită punct limită al sistemului structural, aşa cum se arată în Figura 2.8 (ESDEP, 1994). În aceeaşi figură, se arată că pentru astfel de sisteme structurale, răspunsul aceluiaşi sistem cu imperfecŃiuni este similar cu cel al sistemului perfect, diferenŃa constând în valoarea încărcării ultime a sistemului cu imperfecŃiuni, care poate fi superioară sau inferioară încărcării ultime a sistemului perfect, funcŃie de sensul imperfecŃiunilor. Tipic pentru acest mod de pierdere al stabilit ăŃii este că după atingerea încărcării ultime deplasările cresc fără creşterea suplimentară a încărcărilor.

Fig. 2.8: Flambaj prin limitarea echilibrului pentru un sistem fără imperfecŃiuni geometrice,

respectiv pentru un sistem cu imperfecŃiuni (imperfect) (ESDEP, 1994) Există structuri cu o configuraŃie similară care îşi pot pierde stabilitatea în cele două moduri diferite. Acesta este, spre exemplu, cazul arcului pleoştit ideal, fără imperfecŃiuni, care în cazul rezemării articulate îşi poate pierde stabilitatea prin bifurcare (deformata primului mod de flambaj nesimetrică, corespunzătoare încărcării critice minime, aşa cum se arată în Figura 2.6), în acest caz deformata primară fiind diferită de deformata post-critică, respectiv care în cazul rezemării încastrate îşi pierde stabilitatea prin limitarea echilibrului (deformata simetrică după atingerea încărcării ultime), în acest caz deformata primară fiind aceeaşi cu deformata de după atingerea încărcării ultime.

2.2 Forme de instabilitate a barelor comprimate centric Flambajul barelor zvelte comprimate centric se produce, în general, prin încovoiere în jurul axei principale minime de inerŃie a secŃiunii transversale, sub forŃa de compresiune critică, Ncr, aşa cum se arata în Figura 2.9a. În cazul barelor cu secŃiune transversală deschisă, dublu-simetrică (centrul de tăiere coincide cu centrul de greutate), sau chiar cu secŃiune mono-simetrică (T, corniere cu aripi egale), la care rigidităŃile la încovoiere în raport cu axele principale sunt apropiate ca valoare, poate să apară flambajul prin răsucire sau torsiune, sub forŃa de compresiune critică, Ncr,T. Flambajul prin răsucire se produce prin rotirea secŃiunii transversale în jurul axei longitudinale, aşa cum se arată în Figura 2.9b (daSilva ş.a., 2010). Flambajul prin încovoiere–răsucire, sub forŃa critică de compresiune, Ncr,TF, apare la barele cu secŃiune transversală deschisă mono-simetrică sau cu secŃiune oarecare, la care centrul de tăiere nu coincide cu centrul de greutate şi pentru care rigiditatea la încovoiere în raport cu axa de simetrie are valori apropiate de rigiditatea la încovoiere în raport cu axa perpendiculară cu axa de simetrie. Flambajul prin încovoiere – răsucire se produce prin rotirea secŃiunii transversale în jurul axei longitudinale, concomitent cu încovoierea elementului în lungul axei, aşa cum se arată în Figura 2.9c (daSilva ş.a., 2010). Pierderea de stabilitate prin încovoiere – răsucire este caracteristica elementelor comprimate cu secŃiune transversală deschisă, cum ar fi spre exemplu corniere, profile U, sau secŃiuni în T, pentru care rigiditatea la torsiune este redusă. Evident, există întotdeauna posibilitatea pierderii stabilităŃii prin încovoiere în raport cu axa de inerŃie principală minimă şi o astfel de verificare trebuie efectuată. Pentru barele comprimate cu secŃiune I sau H, modul critic de pierdere a stabilităŃii este, în mod normal, flambajul prin încovoiere. Totuşi, în prezenŃa imperfecŃiunilor, inerente, şi aceste bare îşi pot pierde stabilitatea prin răsucire, prin urmare o verificare din acest punct de vedere este necesară. Doar barele comprimate cu secŃiuni tubulare, circulare sau rectangulare, pot fi considerate la adăpost de pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire.

a) Încovoiere b) Răsucire c) Încovoiere-răsucire

Fig. 2.9: Flambaj prin încovoiere, răsucire şi încovoiere – răsucire pentru bare comprimate centric (daSilva ş.a., 2010)

2.3 Instabilitatea barelor încovoiate Dimensionarea barelor sub acŃiunea momentului încovoietor conduce la secŃiuni cu rigiditate la încovoiere mare în planul de acŃiune al momentului încovoietor şi mult mai redusă în plan

perpendicular. Flambajul lateral prin încovoiere – răsucire este caracterizat printr-o translaŃie a zonei comprimate a secŃiunii transversale (talpa comprimată, spre exemplu, în cazul profilelor I sau H), perpendicular pe planul de simetrie al secŃiunii care conŃine axa principală minimă de inerŃie, concomitent cu o răsucire a secŃiunii elementului în jurul axei longitudinale. Această parte a secŃiunii transversale se comportă ca un element comprimat, care îşi pierde stabilitatea prin încovoiere, dar are deplasarea împiedicată de zona întinsă din secŃiune, care nu are iniŃial tendinŃa de a se deplasa lateral. Aşa cum se arată în Figura 2.10, în care flambajul lateral prin încovoiere - răsucire este ilustrat pentru o grindă în consolă, deformarea rezultantă a secŃiunii transversale include atât încovoierea laterală (după axa minimă de inerŃie a profilului) cât şi torsiunea, de unde şi denumirea fenomenului.

Fig. 2.10: Flambajul lateral prin încovoiere - răsucire pentru elemente încovoiate

2.4 Probleme specifice de stabilitate pentru profile cu pereŃi subŃiri Utilizarea profilelor cu grosimi reduse şi a oŃelurilor cu rezistenŃe ridicate implică rezolvarea unor probleme de proiectare deosebite, care nu sunt întâlnite în proiectarea structurilor din oŃel clasice. Instabilitatea structurală se produce mai repede, ca rezultat al voalării pereŃilor secŃiunii transversale, care interacŃionează cu flambajul global al elementului. Utilizarea oŃelurilor cu rezistenŃe ridicate poate face însă ca tensiunea critică corespunzătoare voalării pereŃilor secŃiunii transversale să fie aproximativ egală cu limita de curgere. În analiza comportării barelor cu pereŃi subŃiri trebuie să se Ńină cont de cele trei moduri specifice de pierdere a stabilităŃii care apar, după cum se prezintă în Figura 2.11: 1. Modurile de instabilitate locale, care se produc prin voalarea unuia sau mai multor pereŃi

componenŃi ai profilului. În acest caz nodurile care descriu secŃiunea transversală îşi păstrează poziŃia iniŃială şi, are loc deformarea pereŃilor între aceste noduri.

2. Modurile de instabilitate distorsionale, sunt moduri de instabilitate care se produc atunci când rebordurile secŃiunii transversale nu au suficientă rigiditate şi, astfel, are loc o rotire a ansamblului talpă-rebord în jurul inimii, deci nodurile care descriu secŃiunea transversală nu îşi mai păstrează poziŃia iniŃială ca în cazul voalării.

3. Moduri globale de instabilitate, care au loc prin flambajul barei prin încovoiere, prin încovoiere-răsucire (în cazul elementelor comprimate) sau prin încovoiere laterală cu încovoiere-răsucire (denumit în literatura de specialitate şi „lateral-torsional buckling” sau „deversement”, caracteristic barelor solicitate la încovoiere pură).

Modurile locale şi distorsionale de instabilitate apar cu precădere în cazul zvelteŃilor de bară reduse, şi sunt caracterizate de lungimi de semiundă diferite. Flambajul local şi cel distorsional

pot fi considerate ca fiind moduri de flambaj secŃional şi pot interacŃiona atât între ele cât şi cu moduri globale de flambaj (Dubina, 1996). Din punct de vedere al analizei de stabilitate, o bară cu pereŃi subŃiri se caracterizează prin:

- zvelteŃea redusă de bară ( )λ ;

- zvelteŃea redusă de perete ( pλ ); - forŃa critică elastică (Ncr) sau momentul critic elastic (Mcr) pentru flambajul de bară,

instabilitatea globală; - forŃa critică (NL) pentru voalarea pereŃilor (instabilitatea locală).

FuncŃie de valorile zvelteŃilor reduse ( )λ şi ( pλ ), respectiv de valoarea raportului (Ncr/NL), se disting trei categorii de bare:

- bare scurte, care sunt caracterizate de instabilitatea locală sau distorsională; - bare lungi, care sunt caracterizate de instabilitatea globală; - bare de lungime medie, la care apar şi interacŃionează ambele moduri de instabilitate.

În Figura 2.10 se prezintă câteva moduri de flambaj simple şi cuplate pentru o secŃiune C solicitată la compresiune. Rezultatele au fost obŃinute printr-o analiză de stabilitate cu element finit.

(a) (b) (c) (d) (e)

(f) (g) (h) (i) (j) (k) Fig. 2.11: Moduri de flambaj pentru un profil C format la rece comprimat

Moduri simple: (a) local (L); (b) distorsional (D); (c) încovoiere (F); (d) torsional (T); (e) încovoiere-răsucire (FT). Moduri cuplate (interacŃiune): (f) L + D; (g) F + L; (h) F + D; (i) FT + L; (j) FT + D; (k) F + FT.

Pentru o secŃiune dată se pot obŃine diferite moduri de pierdere a stabilităŃii funcŃie de lungimea de flambaj, aşa cum se arată în Figura 2.12 (Hancock, 1998). Figura 2.12 s-a obŃinut în urma unei analize cu un program bazat pe metoda fâşiilor finite şi descrie modificarea forŃei critice de flambaj funcŃie de lungimea de semiundă. Primul minim (punctul A) apare pe curbă la o lungime de semiundă de 65mm şi reprezintă flambajul local. Flambajul local se produce prin deformarea inimii elementului, fără rotirea ansamblului talpă-rigidizarea în jurul punctului de legătura dintre inimă şi talpă. Al doilea minim pe curbă apare în punctul B, la o lungime de semiundă de 280mm. Acesta este modul de flambaj prin distorsiune, şi se produce prin rotirea ansamblului talpă-rigidizarea faŃă de inima profilului, fără o deplasare de ansamblu a secŃiunii transversale. Efortul corespunzător flambajului distorsional (în punctul B) este uşor mai mare decât efortul corespunzător flambajului local (în punctul A) şi în cazul unui profil lung solicitat la compresiune, împiedicat să flambeze global, este de aşteptat ca acesta să îşi piardă stabilitatea prin flambaj local, mai repede decât printr-un flambaj distorsional. Elementul îşi pierde stabilitatea generală prin încovoiere sau încovoiere-răsucire la lungimi de semiundă mari (punctele C, D şi E). În acest caz particular, pentru secŃiunea considerată în Figura 2.12, pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire apare până la lungimi de semiundă de aproximativ 1800mm. La lungimi de semiundă mai mari se produce flambajul prin încovoiere. Linia punctată din Figura 2.12, adăugată figurii originale a lui Hancock (1998), reprezintă curba modurilor cuplate de flambaj. Efectul interacŃiunii dintre modurile de flambaj secŃionale şi globale constă în creşterea sensibilităŃii elementului la imperfecŃiuni, conducând la eroziunea încărcării critice de flambaj (zonele haşurate în Figura 2.12). De fapt, în realitate, datorită prezenŃei imperfecŃiunilor, interacŃiunea modurilor de flambaj apare întotdeauna în cazul profilelor formate la rece cu pereŃi subŃiri, în special în cazul barelor cu lungimi medii şi lungi.

Incovoiere-rasucire

A B

Rez

iste

nta

la f

lam

baj (

Mp

a)

800

700

600

500

400

300

200

100

010 100 1000 10000

Lungime de semi-unda (mm)

VoalareDistorsiune

Flambaj prinincovoiere-

rasucire

Toate modurile (interactiune)

65mm 280mm

C

D E

Fig. 2.12: Moduri de flambaj funcŃie de lungimea de semiundă pentru un profil C

solicitat la compresiune (Hancock, 1998) Figura 2.13 arată diferenŃa de comportament dintre o bară cu pereŃi groşi şi o bară de aceeaşi lungime cu pereŃi subŃiri. Atât cazul barei ideale cât şi cazul barei cu imperfecŃiuni sunt prezentate. Pentru prima situaŃie (bara cu pereŃi groşi), se poate observa că în punctul B, când fibrele marginale încep să se plasticizeze, bara începe să îşi piardă rigiditatea până la atingerea stării limit ă ultime, Nu, în punctul C, după care tinde asimptotic spre curba teoretică de comportament rigid-plastic. Teoria elastică este capabilă să determine deplasările şi tensiunile

până în punctul în care se atinge limita de curgere. PoziŃia curbei rigid-plastice determină limita absolută a capacităŃii portante. În cazul în care bara este cu pereŃi subŃiri, fenomenul de instabilitate prin voalare locală a pereŃilor apare înaintea începutului plastificării secŃiunii, în punctul L. Prin voalarea pereŃilor apare o pierdere prematură de rigiditate a barei, însă nu se produce cedarea acesteia. Plastificarea începe în punctul B, la colŃurile secŃiunii transversale, cu puŃin înainte de cedarea elementului, când flambajul secŃional se transformă într-un mecanism plastic local, simultan cu apariŃia flambajului general (Dubina, 2000). În acest caz, încărcarea ultimă a barei este mai mică decât cea a unei bare la care nu apare voalarea. De fapt, flambajul secŃional apare înaintea flambajului general, iar în practica proiectării se operează cu caracteristici geometrice reduse ale secŃiunii transversale.

f0

f

N

N

N

Npl Ncr Nu

f0

Initiatiere plastificare

B

C D

Elasto-plastic

Rigid-plastic

Ideal elastic

Elastic cu imperfectiuni

f

N

Npl Ncr Nu NL

f0

Aparitie voalare

L

C D

Elasto-plastic

Rigid-plastic

Ideal elastic

Elastic cu imperfectiuni

f

Initiatiere plastificare

B

Fig. 2.13: Comportarea unui profil comprimat cu (a) secŃiune obişnuită şi (b) pereŃi subŃiri

3. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE 3.1 Calculul încărcării critice de flambaj la prin încovoiere la bare ideale comprimate centric. Determinarea lungimilor de flambaj Aşa cum s-a arătat în 2.1, încărcarea critică elastică de flambaj prin încovoiere, Ncr (încărcarea critică Euler), se defineşte ca fiind valoarea forŃei de compresiune pentru care, o bară ideală, încărcat exclusiv cu forŃa axială, poate să prezinte şi deplasări laterale. Flambajul prin încovoiere a unei bare ideale comprimate centric este ilustrat în Figura 3.1 (daSilva ş.a., 2010). Încărcarea critică corespunde punctului de bifurcare a echilibrului. Pentru calculul încărcării critice elastice a barei comprimate rezemata articulat la ambele capete, cu secŃiune transversală constantă pe toata lungimea elementului, se consideră următoarele ipoteze:

- materialul are un comportament liniar elastic; - nu există imperfecŃiuni geometrice şi nici tensiuni reziduale; - încărcarea se aplică perfect centric; - este valabilă teoria micilor deplasări.

Fig. 3.1: Flambajul prin încovoiere al barei ideale (Euler) (daSilva ş.a., 2010)

Până în momentul atingerii încărcării critice elastice de pierdere a stabilităŃii, bara se deformează doar axial. După pierderea stabilităŃii, bara este încovoiată şi apar deplasări laterale. CondiŃia de echilibru static în poziŃia deformată, luând în considerare şi momentul încovoietor produs de forŃa axială (după axa z) prin deplasările laterale, este dată de următoarea ecuaŃie:

02

2

=+ Nydx

ydEI (3.1)

în care E este modulul de elasticitate al materialului şi I este momentul de inerŃie al secŃiunii transversale după axa perpendiculară pe planul încovoierii (după axa z). EcuaŃia diferenŃială are soluŃia:

( ) ( )kxCkxCy cossin 21 += (3.2)

în care: ( )2 /k N EI= .

Impunând condiŃiile de margine (deplasările laterale sunt nule pe reazeme), rezultă: pentru y(x = 0) = 0 ⇒ C2 = 0; pentru y(x = L) = 0 ⇒ C1 sin (k L) = 0;

⇒ soluŃia C1 = 0, care nu interesează, deoarece înseamnă că bara nu se deformează, sau ⇒ rămâne rezolvarea ecuaŃiei sin (k L) = 0:

⇒ soluŃia k = 0 nu interesează, deoarece înseamnă că P = 0 şi deci nu ar exista forŃa de compresiune, ⇒ soluŃia ecuaŃiei este, în aceste condiŃii kL = nπ.

Încărcarea critică de pierdere a stabilităŃii se obŃine în consecinŃă din:

EI

N

L

nknkL ==⇒=

2

222 ππ (3.3)

Încărcarea critică minimă, corespunzătoare configuraŃiei deformate din Figura 3.1 este dată de formula:

2

2

L

EINcr

π= (3.4)

În concluzie, pentru o bară ideală, încărcarea critică elastică de pierdere a stabilităŃii depinde de rigiditatea la încovoiere, de lungimea acesteia şi de condiŃiile de rezemare. Pentru alte condiŃii de rezemare, ca alternativă la rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale, încărcarea critică poate fi obŃinută direct, înlocuind în formulă lungimea reală L cu lungimea de flambaj Lcr. Lungimea de flambaj Lcr a unui element este definită ca lungimea barei echivalente dublu articulate, pentru care încărcarea critică este egală cu încărcarea critică a barei reale. Lungimea de flambaj mai poate fi definită ca fiind distanŃa dintre două puncte de inflexiune succesive pe deformata de pierdere a stabilităŃii barei, egală cu lungimea unei semiunde. Aceasta interpretare este ilustrată în Figura 3.2 (daSilva ş.a., 2010), în care sunt arătate lungimile de flambaj pentru bara ideală cu diverse condiŃii de rezemare.

Fig. 3.2: Lungimea de flambaj Lcr funcŃie de lungimea reală a barei, pentru

diverse condiŃii de rezemare (daSilva ş.a., 2010)

Tensiunea critică se obŃine împărŃind încărcarea critică la aria secŃiunii transversale a barei:

2

2

2

2

λππσ E

AL

EI

Ecr == (3.5)

în care λ = Lcr / i este zvelteŃea barei şi /i I A= este raza de giraŃie a secŃiunii. Pentru o bară fără imperfecŃiuni, cu un material având un comportament elasto-plastic (aşa cum se poate considera, în mod ideal, pentru oŃelul obişnuit pentru construcŃii), cedarea se produce prin flambaj în domeniul elastic, dacă tensiunea critică este inferioară limitei de curgere fy. Pentru o bară scurtă, cu zvelteŃe redusă, cedarea se produce prin curgerea secŃiunii transversale, când tensiunea aplicată este egală cu limita de curgere, adică atunci când σ = N·A = fy. Limita dintre cele două tipuri de comportament este dată de o valoare a zvelteŃii, notată λ1, care depinde de limita de curgere a materialului, dată de:

2

121

cr yy

E Ef

f

πσ λ πλ

= = ⇒ = (3.6)

FuncŃie de zvelteŃea λ1, zvelteŃea relativă a barei (adimensională) se obŃine cu formula:

cr

y

N

Af==

1λλλ (3.7)

Comportamentul unei bare fără imperfecŃiuni, solicitată la compresiune, funcŃie de zvelteŃea acesteia, este reprezentat în Figura 3.3.

Fig. 3.3: RelaŃia tensiune – zvelteŃe pentru bara comprimată fără imperfecŃiuni

3.2 Efectul imperfecŃiunilor În structurile reale, imperfecŃiunile nu pot fi evitate şi, în general, cedarea se produce înainte de atingerea valorii încărcării critice, aşa cum a fost definită anterior. ImperfecŃiunile pot fi

clasificate în două tipuri: imperfecŃiuni geometrice (curburi ale elementelor, excentricităŃi ale încărcărilor) şi imperfecŃiuni de material (tensiuni reziduale). Pentru a determina efectul imperfecŃiunilor, se consideră bara comprimata din Figura 3.4a (daSilva ş.a., 2010), cu o configuraŃie iniŃial deformată cu o curbură sinusoidală:

=L

xey

πsin00 (3.8)

EcuaŃia diferenŃială a echilibrului barei dublu-articulate cu imperfecŃiuni este:

0)( 02

2

=++ yyNdx

ydEI (3.9)

a) Deformata iniŃială sinusoidală b) relaŃia încărcare – deplasare laterala

Fig. 3.4: Bara cu imperfecŃiune iniŃială (daSilva ş.a., 2010) Introducând expresia (3.8) în ecuaŃia (3.9) şi considerând condiŃiile de margine y(0)=0 şi y(L)=0, se obŃine următoarea soluŃie:

−=

L

x

N

Ne

ycr

πsin

1

0 (3.10)

în care Ncr este încărcarea critica elastică Euler. EcuaŃia deformatei totale a elementului se obŃine funcŃie de încărcarea aplicata N cu formula:

−=+=

L

xe

N

Nyyy

cr

t

πsin

1

100 (3.11)

Valoarea maximă, notată cu e, care se obŃine pentru x=L/2, este dată de formula:

crN

Ne

e−

=1

0 (3.12)

O deformată iniŃială a barei, chiar pentru valori reduse ale forŃei axiale N, produce un moment încovoietor, dat de formula:

−=+=

L

xe

N

NNyyNxM

cr

πsin

1

1)()( 00 (3.13)

care cauzează o creştere progresiva a deplasării laterale. RelaŃia dintre deplasarea laterală maximă şi încărcarea aplicată este reprezentată în Figura 3.4.b. Pentru un element cu un comportament de material perfect elastic, cu o configuraŃie iniŃială deformată, deplasările încep să crească de la valori reduse ale încărcării, în mod asimptotic, pe măsură ce încărcarea aplicată tinde spre încărcarea critică (pentru bara fără imperfecŃiuni). În această situaŃie, nu mai există punct de bifurcare a echilibrului. Referitor la imperfecŃiunile de material, în cazul elementelor din oŃel, tensiunile reziduale apar datorită răcirii diferenŃiate pe secŃiunea transversală, în urma laminării la cald sau a altor procese tehnologice care implică temperaturi înalte (sudare, tăiere cu flacără etc.), sau în urma formării secŃiunilor transversale la rece prin îndoire. Aceste tensiuni schimbă comportamentul secŃiunii transversale pe ansamblu, chiar dacă formează un sistem în echilibru, aşa cum se arată în Figura 3.5 (daSilva ş.a., 2010), în care se exemplifică distribuŃia tensiunilor reziduale care apar pe secŃiunea transversală a unui profil I în urma laminării la cald.

Fig. 3.5: Tensiuni reziduale într-un profil I laminat la cald (daSilva ş.a., 2010)

Figura 3.6 (daSilva ş.a., 2010) ilustrează rezultatele unor teste experimentale pe bare comprimate, având zvelteŃi diferite, în comparaŃie cu comportamentul teoretic al elementelor fără imperfecŃiuni (ECCS, 1976). Se observă că pentru valori reduse ale zvelteŃii relative, cedarea barei se produce prin plastificarea secŃiunii transversale (valorile raportului tensiune / limită de curgere mai mari decât unitatea apar datorită ecruisării). Pentru valori mari ale zvelteŃii relative, cedarea se produce prin flambaj în domeniul elastic, imperfecŃiunile neavând o influenŃă importantă. Pentru valori intermediare ale zvelteŃii relative, cedarea se produce prin flambaj elasto-plastic. Acesta este domeniul în care imperfecŃiunile joacă un rol important, în care rezultatele experimentale deviază mult de la curba teoretică.

compresiune

întindere

Calculul rezistenŃei barelor comprimate centric în SR EN 1993-1-1, se bazează pe curbele europene de flambaj (ECCS, 1977), care relaŃionează raportul tensiune şi limita de curgere (dată de factorul de reducere χ = σ / fy) şi zvelteŃea adimensională λ . Ca rezultat al unui important program experimental şi numeric (ECCS, 1976), care a considerat toate imperfecŃiunile posibile ale elementelor reale (curbura iniŃială, excentricitate a încărcării, tensiuni reziduale), au fost stabilite cinci curbe de flambaj, funcŃie de tipul secŃiunii transversale şi axa principală a secŃiunii transversale după care se produce flambajul. ImperfecŃiunile au fost definite statistic în urma unei campanii extinse de măsurători (Strating şi Vos, 1973) care a permis adoptarea unor imperfecŃiuni iniŃiale sinusoidale în simulările numerice.

Fig. 3.6: Rezultate experimentale pe elemente comprimate (daSilva ş.a., 2010)

Formularea analitică a curbelor de flambaj (determinarea factorului de reducere χ), prezentată în continuare, a fost realizată de către Maquoi şi Rondal (1978), fiind bazată pe formula Ayrton-Perry, considerând o deformată iniŃială sinusoidală, în care amplitudinea deformatei a fost calibrată astfel încât să reproducă efectul tuturor imperfecŃiunilor. Pentru a calcula factorul de reducere χ, se consideră elementul comprimat centric, dublu-articulat, cu o configuraŃie a deformatei iniŃiale sinusoidală, dată de formula (3.8). Considerând că elementul nu are tensiuni reziduale, plastificarea fibrelor extreme ale secŃiunii transversale se produce când este îndeplinită următoarea condiŃie:

yel

fW

eN

A

N =+ maxmax (3.14)

în care: Nmax este valoarea maximă a forŃei de compresiune N (limitată de Ncr); e este deplasarea laterală corespunzătoare forŃei Nmax; Wel este modulul de rezistenŃă elastic al secŃiunii transversale. RelaŃia poate fi scrisă într-o forma adimensională înlocuind amplitudinea deformatei cu formula (3.12) şi împărŃind toŃi termenii la fy:

1

1 max

0maxmax =

−

+

plcr

pl

plel

plN

N

N

N

NW

AeN

N

N (3.15)

curba Euler

Dacă se notează plNN /max=χ se obŃine:

1)1(

02

=−

+elW

Ae

λχχχ (3.16)

sau

ηχχλχχ ==−−elW

Ae02)1)(1( (3.17)

care reprezintă forma de bază a ecuaŃiei Ayrton-Perry (Maquoi şi Rondal, 1978). NotaŃia η reprezintă imperfecŃiunea generalizată iniŃială care poate fi utilizată pentru estimarea efectelor tuturor imperfecŃiunilor care apar într-un element real. Deoarece influenŃa unora dintre aceste imperfecŃiuni este legată de lungimea elementului, s-a ales exprimarea termenului η prin următoarea formulă:

)2.0( −= λαη (3.18) în care factorul de imperfecŃiune α depinde de forma secŃiunii transversale, axa principală după care se produce flambajul etc., iar 0.2 defineşte lungimea platoului în lungul căruia factorul de reducere χ are valoare unitara. Formula (3.17) poate fi astfel rescrisă astfel:

)2.0()1)(1(2

−==−− λαχηχχλχ (3.19) iar soluŃia minimă a ecuaŃiei este:

2

22

λλφφχ −−

= (3.20)

în care

])2.0(1[5.02

λλαφ +−+= (3.21) Expresia finală a factorului de reducere, care Ńine cont de riscul de pierdere al stabilităŃii elementului comprimat prin încovoiere, aşa cum se regăseşte şi în SR EN 1993-1-1, este (funcŃie de zvelteŃea adimensională şi de factorul de imperfecŃiune):

22

1

λφφχ

−+= (3.22)

3.3 Flambajul prin r ăsucire. Flambajul prin încovoiere-răsucire Aşa cum s-a arătat în paragraful 2.2, în cazul barelor cu secŃiune transversală deschisă, este posibil ca rezistenŃa barei la flambaj prin răsucire sau prin încovoiere-răsucire să fie inferioară rezistenŃei la flambaj prin încovoiere. Încărcarea critică de flambaj prin răsucire pentru elemente comprimate centric se calculează cu formula:

2

, 2 2

1 wcr T t

o T

EIN GI

i L

π = +

(3.23)

Încărcarea critică de flambaj prin încovoiere-răsucire pentru elemente comprimate centric se calculează cu formula (a se vedea Figura 2.9c):

2, , , , , , ,

1( ) ( ) 4

2cr TF cr y cr T cr y cr T cr y cr TN N N N N N Nββ = + − + −

(3.24)

în care:

io este raza de giraŃie polară, 2 2 ( ) /o o y zi y I I A= + + ;

G It este rigiditatea la torsiune a secŃiunii transversale; It este momentul de inerŃie la răsucire liberă al secŃiunii transversale; E Iw este rigiditatea la răsucire împiedicată a secŃiunii transversale; Iw este momentul de inerŃie la răsucire împiedicată al secŃiunii transversale; LT este o lungime de flambaj echivalentă care depinde de condiŃiile de rezemare din punct de vedere al răsucirii şi deplanării la capetele secŃiunii; Ncr,y este încărcarea critică pentru flambaj prin încovoiere după axa de inerŃie y-y a secŃiunii transversale (axa y-y este axă de simetrie); Atunci când secŃiunea este simetrică după axa z-z, în ecuaŃia (3.24), Ncr,y trebuie înlocuit cu Ncr,z. β este un factor care se calculează cu formula β =1−(yo / io)

2, în care yo este distanŃa în lungul axei y dintre centrul de tăiere şi centrul de greutate al secŃiunii transversale. În Anexa I se prezintă coeficientul de zvelteŃe transformat pentru barele cu secŃiuni cu o axă de simetrie supusă la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire. 3.4 Determinarea caracteristicilor eficace a secŃiunilor transversale pentru profile cu pereŃi subŃiri În secŃiunea 2.4 s-au prezentat problemele specifice de stabilitate pentru profilele din oŃel cu pereŃi subŃiri. Reducerea rigidităŃii barei cu secŃiune transversală de acest tip, ca urmare a voalării, poate fi modelată cu ajutorul unei secŃiuni transversale reduse a profilului în comparaŃie cu secŃiunea sa brută. Această secŃiune se numeşte “secŃiune eficace” şi se obŃine evaluând “ lăŃimile eficace” ale pereŃilor. Pentru definirea lăŃimii eficace de perete, se poate utiliza exemplul unui element comprimat. De exemplu, inima profilului se comportă ca o placă rectangulară lungă, perfect plană iniŃial, articulată după cele două laturi longitudinale şi supusă în sens longitudinal unei solicitări de compresiune uniformă (a se vedea Figura 3.7). Când această compresiune uniformă depăşeşte efortul unitar critic de voalare crσ al plăcii, apar

unde de voalare care se amplifică pe măsură ce creşte tensiunea. Fibrele longitudinale situate în zona undelor, datorită curburii lor, prezintă o rezistenŃă mai mică la compresiune, care se va descărca asupra zonelor mai rigide, către reazeme. Rezultă o diagramă de efort unitar care prezintă o adâncitură la mijlocul lungimii ei, respectiv valori majorate către reazeme. În final, aceste valori majorate pot atinge limita elastică a materialului fy (a se vedea Figura 3.8).

Fig. 3.7: Voalarea pereŃilor comprimaŃi

b b bσ

σ1maxσ2max

fy< σ1max < σcr σ2max = fy

Fig. 3.8: Starea de efort unitar într-un perete plan care voalează

Pornind de la aspectul diagramelor din Figura 3.8, a apărut ideea înlocuirii plăcii în stare voalată prin două fâşii longitudinale, având fiecare lăŃimea beff/2 şi reprezentând zona eficace (activă) a secŃiunii. Astfel, rezultă efortul unitar majorat maxσ considerat uniform pe întreaga lăŃime

eficace, aşa cum se vede din Figura 3.9.

P>Pcrb

a

yx

P>Pcrσmax

σmed

x

P>Pcrb

P>Pcr

a

ybef/2

σx(y)

σmax

bef/2

Fig. 3.9: SecŃiunea eficace a unui perete voalat

Se admite că rezistenŃa ultimă a plăcii se atinge atunci când maxσ devine egal cu fy. Pentru a

determina lăŃimea eficace beff a plăcii în stare limită ultimă, se utilizează ipoteza lui Von Karman (autorul conceptului de lăŃime eficace) conform căreia tensiunea maxσ corespunzând

domeniului post – critic, este egală cu tensiunea critică elastică corespunzând lăŃimii eficace, deci ( )max cr eff

σ σ= .

Ştiind că în general tensiunea critică de voalare a plăcii se scrie:

2

p2

2

cr b

t

)1(12

Ek

−=

υπσ σ (3.25)

rezultă:

2 22

max 2( )

12(1 )

pcr eff cr

eff eff

bE tk

b bσπσ σ σ

υ

= = =

− (3.26)

în care: kσ este coeficient de voalare; E este modul de elasticitate; ν este coeficientul lui Poisson. La starea limită ultimă:

( )2

max . pcr yef

eff

bf

bσ σ

= =

(3.27)

sau:

eff cr

p y

b

b f

σρ= = (3.28)

Deci, conform ultimei relaŃii, lăŃimea eficace, beff, se obŃine înmulŃind lăŃimea plană totală a plăcii, bp, cu un coeficient de reducere 1≤ρ (deci eff pb bρ= ⋅ ), în care:

py

cr 1

f λσρ == (3.29)

iar cr

yp

f

σλ = este zvelteŃea redusă de placă.

Coeficientul de voalare σk ia valori diferite funcŃie de modul cum este rezemată placa şi de tipul

solicitării în planul plăcii (compresiune, încovoiere, forfecare). Astfel, se poate face deosebirea între pereŃii rigidizaŃi (plăci rezemate pe cele două laturi longitudinale) şi pereŃii nerigidizaŃi (plăci rezemate pe o singură latură longitudinală). Pe baza lăŃimilor eficace determinate, se pot obŃine mai departe caracteristicile eficace ale secŃiunii. Procedeul de fabricaŃie influenŃează anumite caracteristici mecanice şi geometrice ale profilelor formate la rece. În primul rând, formarea la rece produce modificarea curbei caracteristice a oŃelului. Prin ecruisare, laminarea la rece conduce la creşterea limitei de curgere, uneori şi a rezistenŃei la rupere, fenomen mai accentuat în colŃurile profilelor şi apreciabil în inimi şi tălpi. Presarea la rece lasă aceste caracteristici aproape neschimbate în inimi şi tălpi. Profilele laminate la cald sunt afectate de tensiuni reziduale de tip membrană, care depind de forma secŃiunii transversale şi au o influenŃă semnificativă asupra comportamentului la stabilitate. De aceea, tensiunile reziduale au constituit factorul cel mai important pentru încadrarea profilelor laminate la cald pe diferite curbe de flambaj în normele de calcul europene. În cazul profilelor formate la rece, tensiunile reziduale sunt în principal de încovoiere, iar influenŃa acestora asupra comportamentului la stabilitate este mai puŃin importantă decât cele de tip membrană. Pe de altă parte, procedeul de formare la rece influenŃează mărimea tensiunilor reziduale; laminarea la rece produce tensiuni reziduale de încovoiere mai mari decât presarea la rece. Datorită faptului că proprietăŃile mecanice ale profilelor formate la rece sunt diferite de cele ale profilelor formate la cald, ar trebui luate în considerare curbe de flambaj distincte, dar pentru

simplitatea procesului de proiectare se utilizează aceleaşi curbe de flambaj ca şi pentru profilele formate la cald. În Figura 3.10 se prezintă comparaŃia dintre curbele de flambaj pentru un profil C solicitat la compresiune, calculate în conformitate SR EN 1993-1-1, considerând caracteristicile brute ale secŃiunii transversale (fără considerarea flambajului local) şi caracteristicile reduse ale secŃiunii (caz în care se produce interacŃiunea dintre modul secŃional şi cel global).

N=N/Npl (Npl=A×fy)

NE (Euler)

Sectiune redusa (Aeff)

1.0 N=Aeff/A<1

0 0.2 1.0 2.0 Zveltete element ( λ )

Sectiune bruta (A)

Eroziune datorita imperfectiunilor

Eroziune datorita imperfectiunilor

+ efectul voalarii

Fig. 3.10: Efectul voalării pereŃilor secŃiunii transversale asupra capacităŃii portante

a unui profil comprimat 3.5 Verificarea la flambaj a barelor comprimate centric în conformitate cu SR EN 1993-1-1 În conformitate cu clauza 6.2.4 (1) din SR EN 1993-1-1, rezistenŃa secŃiunii transversale a unui element încărcat axial centric se verifică cu următoarea formulă:

,1.0Ed

c Rd

N

N≤ (3.29)

în care NEd este valoarea de calcul a efortului de compresiune pe secŃiune şi Nc,Rd este valoarea de calcul a rezistenŃei secŃiunii transversale, dată de 6.2.4(2) din SR EN 1993-1-1, după cum urmează:

- pentru secŃiunile transversale din Clasa1, 2 sau 3

. 0 /c Rd y MN A f γ= (3.30)

- pentru secŃiunile transversale din Clasa 4

. 0/c Rd eff y MN A f γ= (3.31)

în care A este aria brută a secŃiunii transversale, Aeff este aria eficace a secŃiunii transversale pentru o secŃiune de clasa 4, iar γM0 este coeficientul parŃial de siguranŃă pentru rezistenŃa

secŃiunilor transversale. În evaluarea Nc,Rd, găurile pentru şuruburi pot fi neglijate, dacă în acestea se afla şuruburi de prindere, cu excepŃia găurilor ovalizate şi a celor de dimensiuni mari, aşa cum sunt definite în EN 1090. Caracteristicile eficace ale secŃiunilor de clasă 4 se calculează în conformitate cu normele SR EN 1993-1-3 şi SR EN 1993-1-5 şi se prezintă în subcapitolul. În Anexa VI se prezintă clasificarea secŃiunilor transversale în clase de secŃiuni, funcŃie de supleŃea pereŃilor secŃiunii şi de distribuŃia şi semnul tensiunilor σ. Pentru elemente comprimate trebuie verificată de asemenea rezistenŃa la flambaj cu următoarea formula:

,1Ed

b Rd

N

N≤ (3.32)

în care Nb,Rd este rezistenŃa de calcul a elementului comprimat la flambaj, care controlează, de obicei, dimensionarea secŃiunii transversale. RezistenŃa de calcul la flambaj a unei bare comprimate este egală cu:


, 1 /b Rd y MN A fχ γ= (3.33)


, 1 /b Rd eff y MN A fχ γ= (3.34)

în care χ este factorul de reducere pentru modul de flambaj considerat, iar γM1 este coeficientul parŃial de siguranŃă pentru rezistenŃa elementelor la flambaj. Aşa cum s-a arătat în paragraful 3.2, factorul de reducere se calculează cu formula:

,1

22 λφφχ

−+= dar 0.1≤χ (3.35)

În această expresie, ])2.0(1[5.02

λλαφ +−+= , iar zvelteŃea adimensională se calculează cu următoarele formule:


1

1/ cr

y crL

Af Ni

λλ

= = (3.36)


1

//

effcreff y cr

A ALA f N

iλ

λ= = (3.37)

în care: α este factorul de imperfecŃiune; Ncr este efortul axial critic de flambaj elastic, corespunzător modului de flambaj considerat,

calculat pe baza caracteristicilor secŃiunii transversale brute; Lcr este lungimea de flambaj corespunzătoare modului de flambaj considerat;

i este raza de giraŃie a secŃiunii transversale, corespunzătoare modului de flambaj considerat;

επλ 9.93)/(1 == yfE ;

yf/235=ε cu fy în N/mm2.

Efectul imperfecŃiunilor este inclus în factorul de imperfecŃiune α, care are valorile 0.13, 0.21, 0.34, 0.49 şi 0.76, pentru curbele de flambaj a0, a, b, c, şi d, respectiv, în conformitate cu notaŃiile SR EN 1993-1-1 (curbele europene de flambaj) şi prezentate în Tabelul 3.1. Aceste curbe de flambaj, în formularea matematică dată de formula (3.35), sunt ilustrate în Figura 3.11. Factorul de imperfecŃiune α şi curbele de flambaj asociate pentru proiectarea unui element comprimat centric depind de geometria secŃiunii transversale, de calitatea oŃelului, de procesul de fabricaŃie şi de planul de flambaj, aşa cum se arată în Tabelul 3.2.

Tabelul 3.1: Factorii de imperfecŃiune pentru curbele de flambaj

Curba de flambaj a0 a b c d

Factorul de imperfecŃiune α

0.13 0.21 0.34 0.49 0.76

Fig. 3.11: Curbele de flambaj europene în conformitate cu SR EN 1993-1-1

În conformitate cu 6.3.1.2(4) din SR EN 1993-1-1, pentru valori ale zvelteŃii adimensionale mai mici de 0.2, sau dacă NEd/Ncr < 0.04, flambajul poate fi neglijat şi elementele se dimensionează funcŃie de rezistenŃa secŃiunii transversale. Proiectarea elementelor comprimate centric care îşi pot pierde stabilitatea prin răsucire sau prin

încovoiere-răsucire se face în mod similar, prin înlocuirea zvelteŃii adimensionale λ cu zvelteŃea adimensionala Tλ , calculată cu următoarele formule:

− pentru secŃiunile transversale din Clasa 1, 2 sau 3

/T y crAf Nλ = (3.38)

− pentru secŃiunile transversale din Clasa 4

/T eff y crA f Nλ = , (3.39)

în care Ncr este cea mai mică dintre valorile Ncr,T şi Ncr,TF, unde Ncr,T este efortul critic de flambaj elastic prin răsucire, iar Ncr,TF este efortul critic de flambaj elastic prin încovoiere – răsucire (date în 3.2, respectiv, de formulele 3.23 şi 3.24). În Anexa I se prezintă modul de calcul al coeficientului de zvelteŃe transformat pentru barele cu secŃiuni cu o axă de simetrie supuse la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire, pentru diverse tipuri de secŃiuni. Pentru ambele moduri de flambaj, factorul de imperfecŃiune, α, se poate considera corespunzător flambajului prin încovoiere după axa minimă de inerŃie z, aşa cum se arată în Tabelul 6.2 din SR EN 1993-1-1 şi prezentat în Tabelul 3.2 de mai jos.

Tabelul 3.2: Alegerea curbei de flambaj pentru diverse secŃiuni transversale (Tabel 6.2-SREN1993-1-1)

Curbă de flambaj

SecŃiune transversală Limite Flambaj după

axa

S235 S275 S355 S400

S460

tf ≤ 40 mm y-y z-z

a b

a0 a0

h/b

>1

.2

40 mm< tf ≤ 100 mm y-y z-z

b c

a a


b c

a a

Pro

file

lam

inat

e

h/b≤1

.2

tf > 100 mm y-y z-z

d d

c c


b c

b c

SecŃiu

ni I

-su

dat

e

tf >40 mm

y-y z-z

c d

c d

finisate la cald oricare a a0

SecŃiu

ni

tub

ula

re

formate la rece oricare c c

în general oricare b b

Ch

eso

ane

sud

ate

grosime pereŃi: a>0.5tf b/tf<30 h/tf<30

oricare c c

SecŃiu

ni U

, T

şi

secŃi

un

i plin

e

oricare c c

Co

rnie

r

oricare b b

În ceea ce priveşte alegerea lungimii de flambaj a elementelor dintr-o structură, se face precizarea că utilizarea valorilor pentru cazurile de rezemare ideală a barelor prezentate în secŃiunea 3.1, pot fi utilizate doar în cazuri izolate. Pentru cazul general al unui element într-o structură, pentru stabilirea încărcării critice şi implicit a lungimii de flambaj, poate fi utilizată teoria clasică a barelor pe rezeme elastice. În baza acesteia, în Anexa II se prezintă o metodologie de determinare a lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor în cadre multietajate, iar în Anexa III se prezintă tabele pentru determinarea lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor parter cu secŃiune constantă sau în trepte. De asemenea, în Anexa II, se prezintă o metodă de determinare a încărcării ultime de cedare (Metoda Merchant-Rankine) pentru structuri multietajate cu noduri rigide. Deşi această metodă nu apare în norma SR EN 1993-1-1, s-a considerat utilă prezentarea acesteia, având în vedere caracterul practic al acesteia. 3.6 Voalarea elementelor realizate din plăci plane Efectul voalării pereŃilor (flambajul local) se ia în considerare prin utilizarea caracteristicilor geometrice eficace, determinate pe baza conceptului de lăŃime eficace ale pereŃilor componenŃi expuşi fenomenului de voalare, aşa cum se arată în SR EN 1993-1-3 şi SR EN 1993-1-5. Caracteristicile eficace ale secŃiunilor transversale de clasă 4 (Aeff, Ieff, Weff) se utilizează în verificările secŃiunilor transversale sau a elementelor la flambaj, respectiv în determinarea rigidităŃii acestora, conform SR EN 1993-1-1. Acestea se determină pe baza distribuŃiei liniare a tensiunilor în secŃiune, cu atingerea limitei de curgere în planul median al plăcii comprimate. Caracteristicile secŃiunii eficace ale elementelor se bazează pe ariile eficace ale elementelor comprimate şi pe ariile eficace ale elementelor întinse datorită efectului de „shear lag”. Aria efectivă, Aeff, se determinată presupunând că secŃiunea transversală este supusă doar la tensiuni din compresiunea axială uniformă. Pentru secŃiunile nesimetrice, are loc deplasarea, eN, a centrului de greutate al ariei eficace Aeff în raport cu centrul de greutate al secŃiunii brute, aşa cum se arată în Figura 3.12, ceea ce conduce la un moment încovoietor suplimentar, care trebuie luat în considerare la verificarea secŃiunii transversale, aşa cu se va prezenta în 5.3.

SecŃiune transversală brută SecŃiunea transversală eficace

G centrul de greutate al secŃiunii brute

G´ centrul de greutate al secŃiunii eficace

1 axa neutră a secŃiunii brute

2 axa neutră a secŃiunii eficace

3 zonă neeficace Fig. 3.12: SecŃiune transversală de clasă 4 solicitată la compresiune

Modulul de rezistenŃă al secŃiunii eficace Weff se determină presupunând că secŃiunea transversală este solicitată doar la încovoiere, aşa cum se prezintă în Figura 3.13. Pentru încovoiere biaxială module de rezistenŃă eficace trebuie determinate pentru ambele axe principale.

G1

2

3

3

G

G e N

GG´

G´G

1

1

2

2

3

3

SecŃiunea transversală brută SecŃiunea transversală eficace

G centrul de greutate al secŃiunii brute

G´ centrul de greutate al secŃiunii eficace

1 axa neutră a secŃiunii brute 2 axa neutră a secŃiunii eficace 3 zonă neeficace

Fig. 3.13: SecŃiune transversală de clasă 4 solicitată la încovoiere Ariile eficace ale elementelor comprimate plane se vor obŃine folosind Tabelul 4.1 pentru elemente comprimate rezemate pe două laturi şi Tabelul 4.2 pentru elemente comprimate în consolă. Aria eficace a zonei comprimate a unei plăci cu secŃiunea brută Ac se va obŃine din:

Ac,eff = ρ Ac (3.40) unde ρ este factorul de reducere care Ńine cont de voalarea plăcii. Factorul de reducere ρ poate fi considerat după cum urmează:

– pentru elemente interne comprimate:

ρ = 1.0 pentru 0.673pλ ≤ (3.41a)

( )

2

0,055 31.0

p

p

λ ψρ

λ

− += ≤ pentru 0.673pλ > , unde ( ) 03 ≥+ ψ (3.41b)

– pentru elemente comprimate în consolă:

ρ = 1.0 pentru 0.748pλ ≤ (3.42a)

2

0.1881.0

p

p

λρλ−= ≤ pentru 0.748pλ > (3.42b)

unde /

28.4y

p

cr

f b t

kσ

λσ ε

= =

ψ este raportul de tensiuni;

b este lăŃimea peretelui (pentru definiŃii, vezi Tabelul 5.2 din SR EN 1993-1-1) bw pentru inimi; b pentru elemente interne de talpă (exceptând secŃiunile tubulare rectangulare); b - 3 t pentru tălpi ale secŃiunilor tubulare rectangulare (RHS); c pentru tălpi în consolă; h pentru corniere cu aripi egale; h pentru corniere cu aripi inegale; kσ este coeficientul de pierdere a stabilităŃii corespunzător raportului de tensiuni ψ şi condiŃiilor

de margine (kσ se prezintă în Tabelul 3.3 sau Tabelul 3.4, după caz);

t este grosimea; σcr este efortul unitar critic de voalare;

2

235

/yf N mmε =

.

Tabelul 3.3: Elemente comprimate rezemate pe două laturi

DistribuŃia tensiunilor (compresiune pozitivă) LăŃimea eficace beff

ψ = 1: beff = ρb be1 = 0.5 beff be2 = 0.5 beff

1 > ψ ≥ 0: beff = ρb

effe bbψ−

=5

21 be2 = beff - be1

ψ < 0: beff = ρ bc = ρb / (1-ψ) be1 = 0.4 beff be2 = 0.6 beff

ψ = σ2/σ1 1 1 > ψ > 0 0 0 > ψ > -1 -1 -1 > ψ > -3 Factor de voalare kσ

4.0 8.2 / (1.05 + ψ) 7.81 7.81 – 6.29ψ + 9.78ψ2 23.9 5.98 (1 - ψ)2

Tabelul 3.4: Elemente comprimate în consolă

DistribuŃia tensiunilor (compresiune pozitivă) LăŃimea eficace beff

1 > ψ ≥ 0: beff = ρ c

ψ < 0: beff = ρ bc = ρ c / (1-ψ)

ψ = σ2/σ1 1 0 -1 1 ≥ ψ ≥ -3 Factor de voalare kσ 0.43 0.57 0.85 0.57 – 0.21ψ + 0.07ψ2

1 > ψ ≥ 0: beff = ρ c

ψ < 0: beff = ρ bc = ρ c / (1-ψ)

ψ = σ2/σ1 1 1 > ψ > 0 0 0 > ψ > -1 -1 Factor de voalare kσ 0.43 0.578 / (ψ + 0.34) 1.70 1.7 - 5ψ + 17.1ψ2 23.8

b

σ σ 1 2

b b e 2e 1

b

σ σ 1

2 bb e 2 e1

b

σ σ

1 2 b

b

b

b

e 2

t

e1

c

σ σ

2 1

b

c

e f f

σ

σ

2

1

b b

b ef f

t c

σ σ 1

2

b

c

e f f

σ

σ

1

2

b

c b b

e f f

t

Pentru elemente de talpă ale secŃiunilor de tip I şi închise, raportul de tensiuni ψ utilizat în Tabelul 3.3 şi Tabelul 3.4 trebuie să se bazeze pe proprietăŃile secŃiunii transversale brute, datorită faptului că se permite efectul de „shear lag” în tălpi, dacă e cazul. Pentru elemente de inimă raportul tensiunilor ψ folosit în Tabelul 3.3 va fi obŃinut utilizând o distribuŃie a tensiunilor bazată pe aria eficace a tălpii comprimate şi aria brută a inimii. 3.7 Flambajul barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centrică Barele compuse cu secŃiune uniformă se analizează în conformitate cu subcapitolul 6.4 din SR EN 1993-1-1. 3.7.1 Bare compuse din ramuri puŃin depărtate În cazul barelor comprimate compuse ale căror ramuri sunt în contact sau sunt puŃin depărtate şi legate cu fururi, a se vedea Figura 3.14, sau ale căror ramuri sunt corniere dispuse în cruce şi legate prin perechi de plăcuŃe, ele însăşi dispuse în cruce, a se vedea Figura 3.15, pot fi proiectate împotriva pierderii stabilităŃii ca o bară cu secŃiune unitară, omogenă, neglijând efectul rigidităŃii la forfecare (SV = ∞), cu condiŃia respectării distanŃei maxime dintre prinderi. Pentru elemente legate cu şuruburi sau cordoane de sudură, distanŃa maximă este de 15imin, iar pentru elementele legate cu perechi de plăcuŃe, distanŃa maximă este de 70imin, în care imin este raza de giraŃie minimă a secŃiunii transversale a unuia dintre elementele solidarizate.

y

z

z

y y

z

z

y y

z

z

y y

z

z

y

Fig. 3.14: Bare compuse din elemente puŃin depărtate

Fig. 3.15: Bare compuse din corniere dispuse în cruce legate prin perechi de plăcuŃe în cruce

3.7.2 Flambajul elementelor componente ale barelor comprimate solidarizate cu zăbrele respectiv cu plăcuŃe În secŃiunea 3.6.1 s-a prezentat cazul barelor compuse cu secŃiune uniformă, ale căror ramuri sunt în contact sau sunt puŃin depărtate şi legate cu fururi, pentru care se poate neglija efectul rigidităŃii la forfecare (rigiditatea la forfecare se poate considera infinită). Verificarea de stabilitate pentru acest tip de bare se poate face la fel ca şi în cazul barelor uniforme cu secŃiune unitară, încadrând secŃiunea în curbele de flambaj corespunzătoare.

Barele cu secŃiune compusă din elemente îndepărtate pot fi realizate prin solidarizare cu zăbrele sau cu plăcuŃe, aşa cum se arată în Figura 3.16.

(a) (b) Fig. 3.16: Bare cu secŃiune compusă solidarizate cu (a) zăbrele sau (b) plăcuŃe

Problema specifică pentru acest tip de bare compuse este flambajul în raport cu axa care nu taie profilele care compun secŃiunea transversală, deoarece rigiditatea la forfecare nu mai poate fi presupusă a fi infinită. DeformaŃiile din forŃa tăietoare în elementele de solidarizare sunt importante şi nu pot fi neglijate. DeformaŃiile din forŃa tăietoare a elementelor de solidarizare reduc rigiditatea la încovoiere şi forŃa critică “capabilă” a barei compuse. ForŃa critică a barei compuse poate fi determinată cu relaŃia:

v

crcr

vcr

compcr

S

NN

SN

N+

=+

=1

111

1, (3.43)

în care: Ncr este forŃa critică Euler, calculată neglijând forfecarea cu formula

2

2

L

EIN eff

cr

π= (3.44)

Ieff este momentul de inerŃie efectiv a secŃiunii compuse care se poate calcula astfel:

- pentru cazul barelor compuse cu zăbrele:

205.0 hAI cheff = (3.45a)

- pentru cazul barelor compuse cu plăcuŃe

200.5 2eff ch chI A h Iµ= + (3.45b)

unde: Ach este aria secŃiunii transversale a unei ramuri (a se vedea Figura 3.16); h0 este distanŃa între centrele de greutate ale ramurilor;

Ich este momentul de inerŃie la încovoiere al unei ramuri în plan; Sv este rigiditatea la forfecare a sistemului de solidarizare, cu zăbrele sau plăcuŃe:

echv GAS =

unde: G este modulul de elasticitate transversal; Aech este aria inimii pline echivalente a stâlpului,

aşa cum se prezintă în Figura 3.17.

Fig. 3.17: SecŃiune compusă echivalentă (principiu de calcul)

SR EN 1993-1-1 abordează calculul de stabilitate al acestor tipuri de bare printr-un calcul de ordinul II, considerând efectul imperfecŃiunilor de ansamblu conŃinut intr-o deformată echivalentă sinusoidală cu o amplitudine iniŃială L/500, aşa cum se arată în Figura 3.18. Modelul de calcul al barei compuse se aplică dacă zăbrelele sau plăcuŃele de solidarizare alcătuiesc în lungul barei compuse panouri identice cu ramuri paralele şi există minim trei panouri în bara compusă. Aceste condiŃii minimale permit considerarea unei structuri ordonate ale cărei elemente structurale discrete pot fi considerate ca un mediu continuu.

Fig. 3.18: Deformata iniŃială echivalentă

RelaŃia de verificare a ramurilor secŃiunii compuse se face cu expresia (6.4.2.1(1) din SR EN 1993-1-1):

,

,1.0ch Ed

b Rd

N

N≤ (3.46)

în care Nch,Ed este valoarea de calcul a efortului de compresiune în ramură, care acŃionează la jumătatea

lungimii barei compuse; Nb,Rd este valoarea de calcul a rezistenŃei ramurii la flambaj; lungimea de flambaj se consideră

distanŃă între elementele de prindere; pentru cazuri speciale de alcătuire a sistemului de solidarizare se consideră valorile precizate în Figura 6.8 din SR EN 1993-1-1.

Efortul axial de calcul într-o ramură Nch,Ed rezultă prin suprapunerea efortului axial de compresiune al barei compuse care se distribuie pe ramurile secŃiunii transversale, la care se adaugă forŃa axială rezultată din efectul momentului de ordinul II, calculat funcŃie de excentricitatea echivalentă e0 la mijlocul înălŃimii barei (a se vedea Figura 3.18). În calculul efortului Nch,Ed intervine şi este rigiditatea la forfecare Sv a modulelor de zăbrele sau de plăcuŃe de solidarizare, care se calculează diferit pentru cele două cazuri (tabelul din Figura 6.9, respectiv formula (6.73) din SR EN 1993-1-1).

0, 0.5

2Ed ch

ch Ed Edeff

M h AN N

I= + (3.46)

în care

0

1

IEd Ed

EdEd Ed

cr v

N e MM

N N

N S

⋅ += +− −

NEd este valoarea de calcul a efortului de compresiune care acŃionează în bara compusă; MEd este valoarea de calcul a momentului de încovoiere maxim, care acŃionează la jumătatea

lungimii barei compuse, luând în considerare efectele de ordinul doi; IEdM este valoarea de calcul a momentului de încovoiere maxim, care acŃionează la jumătatea

lungimii barei compuse, fără a lua în considerare efectele de ordinul doi. Anexa BB.1 din SR EN 1993-1-1 oferă informaŃii pentru alegerea lungimilor de flambaj în cazul flambajului prin încovoiere a barelor din structurile cu zăbrele. În general, pentru evaluarea rezistenŃei la flambaj a tălpilor grinzilor cu zăbrele, lungimea de flambaj Lcr se poate lua egală cu lungimea efectivă L, în afară de cazul când o valoare inferioară poate fi justificată printr-o analiză. Lungimea de flambaj a unei tălpi cu secŃiune I sau H poate fi luată egală cu 0.9L, pentru flambaj în planul structurii. Lungimea de flambaj a unei tălpi cu secŃiunea tubulară, poate fi luată egală cu 0.9L atât pentru flambajul în plan perpendicular cât şi pentru flambajul în plan, (L este lungimea efectivă în planul considerat). Lungimea efectivă în plan este distanŃa între două noduri consecutive. Lungimea efectivă în plan perpendicular este distanŃa între reazemele laterale, dacă acestea există, în afară de cazul în care o valoare inferioară este justificată printr-o analiză. Zăbrelele pot fi calculate pentru flambajul în plan utilizând o lungime de flambaj inferioară lungimii lor efective, cu condiŃia ca tălpile să realizeze o încastrare adecvată la extremităŃile lor şi ca prinderile la extremităŃi să asigure un grad de fixare corespunzător (cel puŃin două şuruburi în caz de prindere cu şuruburi). În aceste condiŃii, în structurile triunghiulare obişnuite, lungimea de flambaj Lcr a zăbrelelor pentru flambajul în plan poate fi luată egală cu 0.9L, cu excepŃia barelor alcătuite din corniere. În Anexa IV se prezintă lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zăbrele, conform STAS 10108/0-78, respectiv normei belgiene NB51-002.

În continuare se prezintă exemple de calcul ce acoperă partea teoretică a acestui capitol, şi anume:

Exemplul E.1. Verificarea stabilităŃii generale a unui stâlp supus la compresiune uniformă (flambaj);

Exemplul E.2. Verificarea de pierdere a stabilităŃii generale a unui element cu secŃiunea de clasa 4 supus la compresiune uniformă;

Exemplul E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stâlp cu blocaje laterale;

Exemplul E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stâlp dintr-un cadru multietajat;

Exemplul E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stâlp in trepte;

Exemplul E.6. Determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii a unui element compus supus la compresiune uniformă;

Exemplul E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secŃiunii transversale a unui profil cu secŃiune de tip C formată la rece, solicitată la compresiune;

Exemplul E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secŃiunii transversale a unui profil cu secŃiune de tip C formată la rece, solicitată la încovoiere;

Exemplul E.9. Calculul unui stâlp cu secŃiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune. EXEMPLE DE CALCUL

E.1. Verificarea stabilităŃii generale a unui stâlp supus la compresiune uniformă (flambaj)

Descrierea problemei Se consideră o structură parter. Stâlpul cadrului transversal este realizat din profile

laminate I şi are înălŃimea de 6m. Rigla este realizată în soluŃie grindă cu zăbrele rezemată articulat pe stâlp. Cadrele longitudinale sunt contravântuite. Se cere să se facă verificarea stabilităŃii generale a stâlpului cadrului.

Schema statică

N

L

z

y

N

L

zy

Figura E.1.1. Schema statica si lungimea de flambaj după axele zz, respectiv yy

Datele problemei

Pentru verificarea de rezistenŃă şi flambaj a stâlpului sunt necesare următoarele date: ForŃa axială NEd = 900 kN Lungimea elementului L = 6,00 m Marca oŃelului S355 Clasa secŃiunii Clasa 1

Determinarea lungimii de flambaj Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y); fL_y = 2,00 Lungimea de flambaj (y-y); Lcr,y = fL_y × L = 12,00 m Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); fL_z = 1,00 Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z × L = 6,00 m

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale HE 100 B - Marca S355; ÎnălŃimea h = 100,0 mm LăŃimea tălpilor b = 100,0 mm Grosimea inimii tw = 6,0 mm Grosimea tălpilor tf = 10,0 mm Raza de racord r = 12,0 mm Aria secŃiunii transversale A = 26,0 cm2

Momentul de inerŃie / yy Iy = 450 cm4 Momentul de inerŃie / zz Iz = 167 cm4

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z

Figura E.1.2. SecŃiunea transversala

Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca de oŃel S355 Deoarece grosimea maximă a pereŃilor secŃiunii transversale este 10 mm ≤ 40 mm, limita

de curgere este fy = 355 N/mm2 SREN 1993-1-1 Tabel 3.1

CoeficienŃii parŃiali de siguranŃă

γM1 = 1,00 SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

Verificarea de rezistenŃă a secŃiunii transversale a stâlpului

RezistenŃa la compresiune Pentru a determină rezistenŃa de calcul a secŃiunii transversale a stâlpului la compresiune

uniformă se foloseşte relaŃia de definiŃie corespunzătoare clasei de secŃiune 1:

2

,0

26 10 355923000 N 923 kN

1,0y

c RdM

A fN

⋅ ⋅ ⋅= = = =γ

SREN 1993-1-1 (6.10) După determinarea capacităŃii portante se trece la verificarea condiŃiei:

,

9000,975 1,0

923Ed

c Rd

N

N= = ≤ ⇒ SecŃiunea verifică

SREN 1993-1-1 (6.9)

RezistenŃa la flambaj prin încovoiere a elementului supus la compresiune uniformă Pentru a determină rezistenŃa la flambaj a stâlpului Nb,Rd, este necesară determinarea

factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere χ corespunzător curbei de flambaj pentru secŃiunea transversală a stâlpului. Acest factor se determină cu ajutorul zvelteŃii relative λ. λ se calculează în funcŃie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat şi rezistenŃa de calcul a secŃiunii transversale stâlpului la compresiune uniformă. Se calculează folosind proprietăŃile secŃiunii transversale brute. Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr

Efortul critic de flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaŃie de definiŃie:

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 450 1064704 N 64,7 kN

12000y

cr ycr y

E IN

L

π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 167 1096049 N 96 kN

6000z

cr zcr z

E IN

L

π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

Efortul axial critic (3.4)

unde E este modulul de elasticitate longitudinal ,E = 210000 N/mm2 şi Lcr este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat, Lcr,y = 12,00 m şi Lcr,z = 6,00 m

ZvelteŃea relativă ZvelteŃea relativă se calculează cu ajutorul formulei:

2

,

26 10 3553,77

64704y

ycr y

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =

2

,

26 10 3553,10

96049y

zcr z

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

Pentru elemente cu zvelteŃea λ ≤ 0.2 sau cu raportul NEd / Ncr ≤ 0.04 verificarea de pierdere

a stabilităŃii generale a elementului nu este necesară fiind suficientă verificarea de rezistenŃă a secŃiunii transversale.

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (4)

Factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere În cazul elementelor supuse la compresiune uniformă valoarea factorului de reducere χ

depinde de zvelteŃea redusă λ ce trebuie determinată Ńinând seama de curbele de flambaj corespunzătoare:

2 2

1χ =φ + φ − λ

însă 1χ ≤

în care:

20,5 1 ( 0,2) φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ ;

α este factor de imperfecŃiune. SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secŃiunea transversală trebuie să luăm în considerare următoarele condiŃii (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2):

• HEB 100 – profil laminat;

• Raportul 100

1 1,2100

h

b= = ≤ ;

• Grosimea tălpilor 10 mm 100 mmft = ≤

• Marca de oŃel S355

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei y-y Curba de flambaj b, factorul de imperfecŃiune αy = 0,34 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1);

2 20,5 1 ( 0,2) 0.5 1 0,34 (3,77 0,2) 3,77 8,213y y y y φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,0645

8,213 8,213 3,77y

y y y

χ = = =φ + φ − λ + −

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei z-z Curba de flambaj c, factorul de imperfecŃiune αZ = 0.49

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (3,10 0,2) 3,10 6,016z z z z φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,0895

6,016 6,016 3,10z

z z z

χ = = =φ + φ − λ + −

χ = min (1.0, χ y, χ z) = 0.0645 (în cazul în care χ > 1 atunci χ = 1)

RezistenŃa la flambaj RezistenŃa la flambaj se determină cu următoarei relaŃie:

2

,26 10 355

0,0645 59533 N 59,5 kN1,00

yb Rd

A fN

⋅ ⋅ ⋅= χ ⋅ = ⋅ = =γ

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) Verificarea condiŃiei:

,

90015,2 1

59.3Ed

b Rd

N

N= = ≥ ⇒ elementul nu verifică şi trebuie aleasă o altă secŃiune

transversală (profil).

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

ObservaŃie: Cu toate ca elementul satisface cerinŃele de rezistenŃă, rezistenŃa la pierderea stabilităŃii generale este depăşită de peste 15 ori ceea ce subliniază necesitatea efectuării verificărilor de stabilitate în cazul elementelor de oŃel.

În concluzie este nevoie să alegem o altă secŃiune transversală. Vom alege HEB 220. Dimensiuni şi caracteristici geometrice ale secŃiunii transversale

HE 220 B - Marca de oŃel S355; ÎnălŃimea; h = 220,0 mm LăŃimea tălpilor b = 220.,0 mm Grosimea inimii tw = 9,5 mm Grosimea tălpilor tf = 16,0 mm Raza de racord r = 18,0 mm Aria secŃiunii transversale A = 91,0 cm2


Efortul critic de flambaj Ncr Efortul critic de flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaŃie de definiŃie:

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 8091 101163371 N 1163 kN

12000y

cr ycr y

E IN

L

π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 2834 101629956 N 1630 kN

6000z

cr zcr z

E IN

L

π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

Efortul axial critic (3.4)

unde, E este modulul de elasticitate longitudinal E = 210000 N/mm2 şi Lcr este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat, Lcr,y = 12,00 m şi Lcr,z = 6,00 m ZvelteŃea relativă

2

,

91 10 3551,666

1163371y

ycr y

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =

2

,

91 10 3551,408

1629956y

zcr z

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) Factorul de reducere

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secŃiunea transversala trebuie să luam în considerare următoarele condiŃii (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2): • HEB 220 – profil laminat

• Raportul 220

1 1,2220

h

b= = ≤


• Marca de oŃel S355 • Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei y-y:

Curba de flambaj b, factorul de imperfecŃiune αy = 0,34 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1); 2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (1,666 0,2) 1,666 2,137y y y y

φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,288

2,137 2,137 1,666y

y y y

χ = = =φ + φ − λ + −

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei z-z: Curba de flambaj c, factorul de imperfecŃiune αZ = 0.49

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (1,408 0,2) 1,408 1,784z z z z φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10.346

1,748 1,748 1,408z

z z z

χ = = =φ + φ − λ + −

χ = min (1,0, χ y, χ z) = 0,288 (în cazul în care χ > 1 atunci χ = 1) RezistenŃa la flambaj

RezistenŃa la flambaj se determină cu următoarei relaŃie:

2

,91 10 355

0,288 930384 N 930 kN1,00

yb Rd

A fN

⋅ ⋅ ⋅= χ ⋅ = ⋅ = =γ


,

9000,968 1

930Ed

b Rd

N

N= = ≤ ⇒ elementul verifică

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

E.2. Verificarea de pierdere a stabilităŃii generale a unui element cu secŃiunea de clasa 4 supus la compresiune uniformă

Descrierea problemei Se consideră o grinda cu zăbrele cu diagonale în V cu tălpi paralele realizată din Ńeavă

pătrată formata la rece. Tălpile executate din SHS 350 x 350 x 12. Se cere să se efectueze verificarea la flambaj a diagonalei comprimate realizate din SHS 200 x 200 x 5. Schema statică

N

L

Figura E.2.1. Schema statica

Element dublu articulat.

Datele problemei Pentru verificarea de rezistenŃă a stâlpului sunt necesare următoarele date:

ForŃa axială NEd = 1000 kN Lungimea elementului L = 2.75 m Marca oŃelului S355

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale SHS 300 x 300 x 5 – Marca S355; ÎnălŃimea h = 200.0 mm LăŃimea b = 200.0 mm Grosimea t = 5.0 mm Aria secŃiunii transversale A = 39.0 cm2 Clasa secŃiunii Clasa 4 (ex.2) Aria eficace Aeff = 35.22 cm2 Momentul de inerŃie / yy Iy = 2,473 cm4 Momentul de inerŃie / zz Iz = 2,473 cm4

Determinarea clasei de secŃiune Pentru a determină clasa secŃiunii transversale trebuie calculată supleŃea pereŃilor comprimaŃii.

ToŃi pereŃii secŃiunii sunt pereŃi interiori supuşi la compresiune. Parametrul ε depinde de limita de curgere a mărcii de oŃel:

2

235 2350.81

355[ / ]yf N mmε = = =

Perete interior supus la compresiune

2 200 3 5

37 425

c h t

t t

− ⋅ − ⋅= = = > ⋅ ε ⇒ secŃiune de clasa IV

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2(1)

Determinarea secŃiunii efective Întreaga secŃiune este supusa la compresiune deci raportul între tensiunile unitare de la

capetele peretelui 1ψ = ⇒ factorul de flambaj k 4.0σ =

beff1 beff2

beff

1be

ff2

eficace

Figura E.2.2. Aria eficace

0,903 200 181

0.5 0,5 181 90,5

ef

el eff

b b mm

b b mm

= ρ ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

EN 1993-1-5 Tabel 4.1

Factorul de reducere ρ al lăŃimii se calculează pentru pereŃii interiori:

2 2

0,055 (3 ) 0,804 0,055 (3 1)0,903

0,804p

p

λ − ⋅ + ψ − ⋅ +ρ = = =λ

EN 1993-1-5 §4.4 (2)

ZvelteŃea redusă a plăcii se calculează:

/ (200 3 5) /5

0,80428,4 28,4 0,81 4,00

pb t

kσ

− ⋅λ = = =⋅ε ⋅ ⋅ ⋅

Calculul ariei efective

20,903 3900 3522 mmeffA A= ρ ⋅ = ⋅ =

EN 1993-1-5 §4.4 (1)

Alternativ aria efectivă poate fi calculată astfel:

24 ( ) 3900 4 5 (200 181) 3520 mmeff effA A t b b= − ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ − =

RezistenŃa la compresiune Pentru a determină rezistenŃa de calcul a secŃiunii transversale stâlpului la compresiune


2

,0

35,22 10 3551250310 N 1250 kN

1,0net y

c RdM

A fN

⋅ ⋅ ⋅= = = =γ

SREN 1993-1-1 (6.11)

După determinarea capacităŃii portante se trece la verificarea condiŃiei:

,

10000,8 1,0

1250Ed

c Rd

N


SREN 1993-1-1 (6.9)

Determinarea lungimii de flambaj Deoarece grinda cu zăbrele este cu tălpi paralele, cu diagonale în V, şi tălpile executate

din SHS 350 x 350 x 12 se poate consideră că multiplicatorul lungimii de flambaj este 0,75 în ambele planuri.

SREN 1993-1-1 §BB1.3 (2) B

200

0,57 0,6350

diagonala

talpa

h

h= = ≤

Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y); fL_y = 0,75 Lungimea de flambaj (y-y); Lcr,y = fL_y × L = 2,06 m Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); fL_z = 0,75 Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z × L = 2,06 m

RezistenŃa la flambaj prin încovoiere a elementului supus la compresiune uniformă Pentru a determină rezistenŃa la flambaj a diagonalei Nb,Rd, este necesară determinarea

factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere χ corespunzător curbei de flambaj pentru secŃiunea transversală a diagonalei. Acest factor se determină cu ajutorul zvelteŃii relative λ funcŃie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat, bazat pe proprietăŃile secŃiunii transversale brute şi rezistenŃa de calcul a secŃiunii transversale stâlpului la compresiune uniformă.


1

1 2063 1 35220,322

79,63 76,4 3900effcr

y

AL

i Aλ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

λ

1 93,9 76,4y

E

fλ = π ⋅ = ⋅ ε =

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

Pentru determinarea ariei eficace vezi exemplu de calcul 2.8.3. Factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere

În cazul elementelor supuse la compresiune uniformă valoarea factorului de reducere χ depinde de zvelteŃea redusă λ ce trebuie determinată Ńinând seama de curbele de flambaj corespunzătoare:

2 2

1χ =φ + φ − λ

însă 1χ ≤

în care: 20,5 1 ( 0,2) φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ ;

α este factor de imperfecŃiune. SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secŃiunea transversală trebuie să luăm în considerare următoarele condiŃii : (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2): SHS 200 x 5 – secŃiune tubulară formată la rece Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei y-y sau z-z:

Curba de flambaj c, factorul de imperfecŃiune αy = 0,49 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1):

2

2

0,5 1 ( 0,2)

0,5 1 0,49 (0,322 0,2) 0,322 0,582

y z z z z φ = φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ =

= ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,937

0,582 0,582 0,322y z

z z z

χ = χ = = =φ + φ − λ + −

χ = min (1.0, χy, χz) = 0.937 (în cazul în care χ > 1 atunci χ = 1)

RezistenŃa la flambaj RezistenŃa la flambaj se determină cu următoarea relaŃie:

2

,1

35,22 10 3550,937 1171540 N 1172 kN

1,00eff y

b RdM

A fN

⋅ ⋅ ⋅= χ ⋅ = ⋅ = =γ


,

10000,85 1

1172Ed

b Rd

N


SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stâlp cu blocaje laterale

Descrierea problemei Se consideră stâlpul de colŃ al unei hale parter, cu prinderea la bază realizata în soluŃie

articulată pe ambele direcŃii. Atât cadrul longitudinal cât şi cadrul transversal de fronton sunt contravântuite. Rigla cadrului transversal reazemă articulat pe stâlp transmiŃându-i acestuia doar efort axial. Închiderile structurii sunt realizate din tablă cutată ce sprijină pe riglele de perete fixate pe stâlpi cadrului longitudinal din 2.5 m în 2.5m.

Schema statică

L 1

z

y

L 2

L 3

N

L

zy

N

Figura E.3.1. Schema statica si lungimile de flambaj după axa yy, respectiv zz

Datele problemei Pentru verificarea de rezistenŃă şi flambaj a stâlpului sunt necesare următoarele date:

ForŃa axială NEd = 1100 kN Lungimea elementului L = 7,50 m Marca oŃelului S235 Clasa secŃiunii Clasa 1

Determinarea lungimii de flambaj Prezenta riglelor de perete nu modifica comportarea elementului la pierderea stabilităŃii în

planul cadrului: Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y) fL_y = 1.00 Lungimea de flambaj (y-y) Lcr,y = fL_y × L = 7,50 m

În cazul în care se Ńine cont de prezenta riglelor de perete care fixează elementul în afara planului cadrului:

Lungimea de flambaj (z-z) pe cele 3 intervale: Lcr,z,1 = 2,50 m

Lcr,z,2 = 2,50 m Lcr,z,3 = 2,50 m Lcr,z = max(Lcr,z,1; Lcr,z,2; Lcr,z,3) = 2,50 m În cazul în care nu se Ńine cont de prezenta riglelor de perete care fixează elementul în

afara planului cadrului: Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); fL_z = 1,00 Lungimea de flambaj (z-z); Lcr,z = fL_z × L = 7,50 m

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale HE 200 B – Marca de oŃel S235; ÎnălŃimea; h = 200,0 mm LăŃimea tălpilor b = 200,0 mm Grosimea inimii tw = 9,0 mm Grosimea tălpilor; tf = 15,0 mm Raza de racord; r = 18,0 mm Aria; A = 78,1 cm2

Momentul de inerŃie / yy; Iy = 5696 cm4 Momentul de inerŃie / zz Iz = 2003 cm4

Caracteristici mecanice – limita de curgere Marca S235 Deoarece grosimea maximă a pereŃilor secŃiunii transversale este 15,0 mm ≤ 40 mm, limita

de curgere este fy = 235 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1


γM0 = 1,00 γM1 = 1,00

SREN 1993-1-1 §6.1 (1)


factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere χ corespunzător curbei de flambaj pentru secŃiunea transversală a stâlpului. Acest factor se determină cu ajutorul zvelteŃii relative λ funcŃie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat, bazat pe proprietăŃile secŃiunii transversale brute şi rezistenŃa de calcul a secŃiunii transversale stâlpului la compresiune uniformă.

Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr Efortul critic de flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaŃie de definiŃie:

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 5696 102098778 N 2099 kN

7500y

cr ycr y

π EIN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 2003 106642323 N 6642 kN

2500z

cr zcr z

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

(3.4) În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea laterală:

2 2 5 4

0 z, 2 2

,

3,14 2,1 10 2003 10738036 N 738 kN

7500cr z

cr z

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =


2

y,

78,1 10 2350,937

2089778y

cr y

A f λ

N

⋅ ⋅ ⋅= = =

2

,

78,1 10 2350,526

6642323y

zcr z

A f λ

N

⋅ ⋅= = =

În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea laterală:

20

,

78,1 10 2351,577

738036y

zcr z

A f λ

N

⋅ ⋅ ⋅= = =

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) Factorul de reducere

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secŃiunea transversală trebuie să luam în considerare următoarele condiŃii: • HEB 200 - profil laminat

• Raportul 200

1 1,2200

h

b= = ≤


• Marca de oŃel S235

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfecŃiune αy = 0,34

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (0,937 0,2) 0,937 1,064y yy y

φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 22

1 10,638

1,064 1,064 0,937y

yy y

χ = = =+ −φ + φ − λ

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei z-z: Curba de flambaj c, factorul de imperfecŃiune αz = 0.49

2 2z0,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (0,526 0,2) 0,526 0,718zz z

φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 22

1 10,829

0,718 0,718 0,526 - z

zz z

χ = = =+ −φ + φ λ

În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea laterală:

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei z-z in cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea laterală:

Curba de flambaj c, factorul de imperfecŃiune αz = 0.49

20 2z0,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (1,577 0,2) 1,577 2,081zz z

φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

0

0 2 20 0 2 2

1 10,291

2,081 2,081 1,577( ) ( )z

zz z

χ = = =+ −φ + φ − λ

χ = min (1.0, χ y, χ z) = 0,638 (în cazul în care χ > 1 atunci χ = 1)

RezistenŃa la flambaj

2

y,

1

78,1 10 2350,638 1170953 N 1171 kN

1,00b RdM

A fN

⋅ ⋅ ⋅= χ ⋅ = ⋅ = =γ

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3)

Verificarea condiŃiei:

,

11000,94 1.0

1171Ed

b Rd

N


SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1) În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea laterală:

2

0 0,

1

78,1 10 2350,291 534087 N 534 kN

1,00y

b RdM

A fN

⋅ ⋅ ⋅= χ ⋅ = ⋅ = =γ


0,

11002,06 1,0

534Ed

b Rd

N

N= = ≥ ⇒ elementul nu verifică

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stâlp dintr-un cadru multi-etajat

Descrierea problemei Acest exemplu de calcul îşi propune să determine lungimea de flambaj şi rezistenŃa la

pierderea stabilităŃii generale prin încovoiere a unui stâlp dintr-un cadru multietajat cu noduri rigide. Vor fi considerate două situaŃii de comportare globală a cadrului. În prima ipoteza cadrul va fi considerat cu noduri fixe, iar în a doua situaŃie va fi considerat cu noduri deplasabile. Va fi analizat un stâlp interior alcătuit dintr-un profil laminat european HEM.

Determinarea comportării globale a cadrului per ansamblu nu face obiectul acestui exemplu, însă clasificarea se face conform SREN 1993-1-1 paragraful 5.2.1 (3) – analiza globala. Datele problemei

• CoeficienŃii parŃiali de siguranŃă γM0 = 1,00 γM1 = 1,00

SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

• Date geometrice Deschiderea grinzii superioare stânga l11 = 6,00 m Deschiderea grinzii superioare dreapta l12 = 6,00 m Deschiderea grinzii inferioare stânga l21 = 6,00 m Deschiderea grinzii inferioare dreapta l22 = 6,00 m ÎnălŃimea stâlpului studiat lc = 3,50 m ÎnălŃimea stâlpului de la etajul superior l1 = 3,50 m ÎnălŃimea stâlpului de la etajul superior l2 = 3,80 m Marca oŃelului S275 Clasificarea secŃiunii transversale Clasa 1

• Caracteristici geometrice ale secŃiunilor transversale Stâlpul studiat HE 220 M Iy = 14600 cm4; A = 149,4 cm2; Stâlpul superior HE 200 M Iy = 10642 cm4; A = 131,3 cm2; Stâlpul inferior HE 240 M Iy = 24290 cm4; A = 199,6 cm2; Grindă superioară stânga IPE 400 Iy = 23128 cm4; A = 84,5 cm2; Grindă superioară dreapta IPE 400 Iy = 23128 cm4; A = 84,5 cm2; Grindă inferioară stânga IPE 450 Iy = 33743 cm4; A = 98,8 cm2; Grindă inferioară dreapta IPE 400 Iy = 23128 cm4; A = 84,5 cm2;

a) Cadru cu noduri fixe

lc

l1

l11,l21 l12,l22

l2

c

11

21 22

12

1

2

Figura E.4.1. Cadru transversal cu noduri fixe

b) Cadru cu noduri deplasabile

l2

lc

l1

l11,l21

c

11

21 22

12

1

2

l12,l22

Figura E.4.2. Cadru transversal cu noduri deplasabile

• Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca de oŃel S275 Deoarece grosimea maximă a pereŃilor secŃiunii transversale este 26,0 mm ≤ 40 mm, limita

de curgere este : fy = 275 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1

k11

k21

k12

k22

kc

k2

k1

Figura E.4.3. NotaŃiile folosite pentru rigidităŃile elementelor

Cadru cu noduri fixe

k11

k21

k12

k22

kcl

N1

Figura E.4.4. Forma de pierdere a stabilităŃii a unui stâlp parte a unei structuri cu noduri fixe

Determinarea lungimii de flambaj în cele două ipoteze de comportare globală a cadrului Determinarea lungimii de flambaj se face în conformitate cu P100/2006 anexa F paragraful F.5. (vezi anexa II.2)

Factori de distribuŃie a rigidităŃii η1 şi η2 Se consideră că grinzile nu sunt solicitate la eforturi axiale şi rămân în domeniul elastic

sub acŃiunea momentelor de calcul. Rotirea la capătul opus poate fi considerată egală şi de semn opus cu cea de la capătul studiat (simplă curbură). (P100/2006 – Tabel F.3.(1)).

Rigiditatea poate fi calculată astfel:

• Rigiditatea stâlpilor cc

c

Ik

l=

• Rigiditatea grinzilor 0.5 ijij

ij

Ik

l= ⋅ (vezi Tabel II.1)

astfel obŃinem următori factori de distribuŃie:

11

1 11 12

14600 10462350 350 0,652

14600 10462 23128 231280,5 0,5

350 350 600 600

c

c

k k

k k k k

++η = = =+ + + + + ⋅ + ⋅

(vezi II.1)

22

2 21 22

14600 24290350 380 0,690

14600 24290 33743 231280,5 0,5

350 380 600 600

c

c

k k

k k k k

++η = = =+ + + + + ⋅ + ⋅

(vezi II.2)

Raportul între Lcr/L se poate obŃine din diagrama prezentată în Figura F.4. P100/2006

(vezi Fig. II.4) sau aplicând formula (II.3):

2

1 2 1 2

2

0,5 0,14 ( ) 0,055 ( )

0,5 0,14 (0,652 0,690) 0,055 (0,652 0,690) 0,787

crL

L= + ⋅ η + η + ⋅ η + η =

= + ⋅ + + ⋅ + =

Lungimea de flambaj a stâlpului se poate obŃine:

_ 0,787 3500 2755 mmcr cr yL f L= ⋅ = ⋅ =

Anexa F - P100-1/2006 (Fig. II.4)


factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere χ corespunzător curbei de flambaj pentru secŃiunea transversală a stâlpului. Acest factor se determină cu ajutorul zvelteŃii relative λ funcŃie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat, bazat pe proprietăŃile secŃiunii transversale brute şi rezistenŃa de calcul a secŃiunii a transversale stâlpului la compresiune uniformă. Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr


2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 14605 1039842 kN

2755y

cr ycr y

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =


2

y,

149,4 10 2750,321

39841616y

cr y

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =

Printr-o formulare alternativă zvelteŃea relativă poate fi calculată astfel:

y1

27,850,321

86,81y

λλ = = =

λ

, 275527,85

98,94cr y

y

L

iλ = = =

1 93,9 86,81y

E

fλ = π ⋅ = ⋅ ε =

Factorul de reducere Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secŃiunea transversală trebuie să luăm în

considerare următoarele condiŃii: HEM 240 - profil laminat

Raportul 240

1,062 1,2226

h

b= = ≤

Grosimea tălpilor 26 mm 100 mmft = ≤

Marca de oŃel S275

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfecŃiune αy = 0.34;

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (0,321 0,2) 0,321 0,572y yy y

φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 22

1 10,957

0,572 0,572 0,321y

yy y

χ = = =+ −φ + φ − λ

RezistenŃa la flambaj

2

,1

149,4 10 2750,957 3931835 N 3932 kN

1,00y

b RdM

A fN

⋅ ⋅ ⋅=χ ⋅ = ⋅ = =γ

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) Cadru cu noduri deplasabile

k11

k21

k12

k22

kc

N1

N2

Figura E.4.5. Forma de pierdere a stabilităŃii a unui stâlp parte a unei structuri cu noduri

deplasabile

Factori de distribuŃie a rigidităŃii η1 şi η2 Se consideră că grinzile nu sunt solicitate la eforturi axiale şi rămân în domeniul elastic sub

acŃiunea momentelor de calcul. Rotirea la capătul opus poate fi considerată egală cu cea de la capătul studiat (dublă curbură).(P100/2006 - Tabel F.3. (1)).

Rigiditatea poate fi calculată astfel:

• Rigiditatea stâlpilor cc

c

Ik l

l= ⋅

• Rigiditatea grinzilor 1,5 ijij

ij

Ik

l= ⋅ (vezi Tabel II.2)

astfel obŃinem următori factori de distribuŃie:

11

1 11 12

14600 10462350 350 0,384

14600 10462 23128 231281,5 1,5

350 350 600 600

c

c

k k

k k k k

++η = = =+ + + + + ⋅ + ⋅

(vezi II.1)

22

2 21 22

14,600 24,290350 380 0.426

14,600 24,290 33,734 23,1281.5 0.5

350 380 600 600

c

c

k k

k k k k

++η = = =

+ + + + + ⋅ + ⋅ (vezi II.2)

Anexa F - P100/2006 (Fig. II.5)

Raportul între Lcr/L se poate obŃine din diagrama prezentata în Figura F.5. P100/2006 sau aplicând formula:

1 2 1 2

1 2 1 2

1 0,2 ( ) 0,12

1 0,8 ( ) 0,6

1 0,2 (0,384 0,426) 0,12 0,384 0,4260,957

1 0,8 (0,384 0,426) 0,4 0,384 0,426

crL

L

− ⋅ η + η − ⋅η ⋅η= =− ⋅ η + η + ⋅ η ⋅ η

− ⋅ + − ⋅ ⋅= =− ⋅ + + ⋅ ⋅

(vezi formula II.4)

Lungimea de flambaj a stâlpului se poate obŃine:

_ 1,348 3500 4719 mmcr cr yL f L= ⋅ = ⋅ =

RezistenŃa la flambaj prin încovoiere a elementului supus la compresiune uniformă • Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr


2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 14605 1013579 kN

4719y

cr ycr y

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

• ZvelteŃea relativă ZvelteŃea relativă se calculează cu ajutorul formulei:

2

,

149,4 10 2750,55

13579388y

ycr y

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =

• Factorul de reducere Alegerea curbei de flambaj este aceiaşi ca în ipoteza cu noduri fixe.

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfecŃiune αy = 0.34

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (0,55 0,2) 0,55 0,711y yy y

φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 22

1 10,861

0,711 0,711 0,55y

yy y

χ = = =+ −φ + φ − λ

• RezistenŃa la flambaj

2

,1

149,4 10 2750,861 3537419 N 3537 kN

1,00y

b RdM

A fN

⋅ ⋅ ⋅= χ ⋅ = ⋅ = =γ

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3)

E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stâlp in trepte

Descrierea problemei Se consideră o structură parter. Stâlpul cadrului transversal este realizat in trepte.

Ramura superioara este I din table sudate 500x200x6x12mm şi are înălŃimea de 3,50m, iar ramura inferioara I 1000x200x10x12. Se considera ca acoperişul şi sistemul de contravântuiri împiedica deplasarea laterala a capătului superior al stâlpului. Se cere să se determine lungimile de flambaj ale celor doua ramuri stâlpului cadrului.

Schema statică

Figura E.5.1. Schema statica si secŃiunile transversale

Datele problemei

Pentru verificarea de rezistenŃă şi flambaj a stâlpului sunt necesare următoarele date: Raport forŃa axială Efort axial ramura inferioara / ramura superioara P1/P2 = 3 Lungimea elementului Ramura superioara L2 = 3,50 m Ramura inferioara L1 = 7,00 m Marca oŃelului S355 Clasa secŃiunii Clasa 1

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale

Ramura superioara; ÎnălŃimea h = 500,0 mm LăŃimea tălpilor b = 200,0 mm Grosimea inimii tw = 6,0 mm Grosimea tălpilor tf = 12,0 mm Momentul de inerŃie / yy Iy2 = 3398 cm4

Ramura inferioara; ÎnălŃimea h = 1000,0 mm LăŃimea tălpilor b = 200,0 mm

Grosimea inimii tw = 10,0 mm Grosimea tălpilor tf = 12,0 mm Momentul de inerŃie / yy Iy1 = 19460 cm4

Multiplicatorul lungimii de flambaj Pentru alegerea determinarea multiplicatorului lungimii de flambaj pentru un stâlp cu

secŃiune variabila cu o sigura treapta sunt necesare următoarele rapoarte:

2

1

42

41

1

2

35000,5

7000

3398 100,175

19460 10

3

L

L

I

I

P

P

= =

⋅= =⋅

=

RelaŃiile de calcul al coeficienŃilor µ1 si µ2 pentru determinarea lungimii de flambaj in planul cadrului:

( ) ( )2 2 2 211 12

1

12

1

1 4 1 0,945 1,78751,2118

41,2118

2,026 30,598

c

c

c

− µ + µ − +µ = = =

µµ = = = ≤

1 2

2

2 11

1 2

4

1 1 10,5 0,598

4 0,175

N Nc

N

L Ic

L c I

+= =

= ⋅ = ⋅ =

Deoarece capătul superior este cu rotiri libere si deplasări împiedecate pentru determinarea µ11 si µ12 se va folosi Tabelul 22 din STAS 10108/0-78:

12

11

1,7875

0,945

µ =µ =

valorile se obŃin prin interpolare liniara

Lungimii de flambaj:

In planul cadrului:

, 1 1 1

, 2 2 2

1,2118 7000 8483

2,026 3500 7089

cr y

cr y

L L mm

L L mm

= µ = ⋅ =

= µ = ⋅ =

Normal pe planul cadrului:

, 1 1

, 2 2

1 7000 7000

1 3500 3500cr z

cr z

L L mm

L L mm

= µ ⋅ = ⋅ =

= µ ⋅ = ⋅ =

E.6. Determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii a unui element compus supus la compresiune uniformă

Descrierea structurii Se consideră grinda de acoperiş alcătuita in soluŃie ferma metalică a unei hale parter.

Grinda cu zăbrele este simetrică de formă bitrapezoidală cu montanŃi si diagonale alternante. Talpa superioară are o pantă de α = 7o35’. Se consideră ca acoperişul asigură legătura transversală a tălpii superioare la deplasare laterală datorită rigidităŃii suficiente a tablei de acoperiş si a sistemului de contravântuiri din acoperiş. Tălpile grinzii sunt alcătuite din profile U spate in spate depărtate (cu axa maximă de inerŃie perpendiculară pe planul tălpii), solidarizate

cu ajutorul unor plăcuŃe cu lungimea de 100 mm aşezate la distanta de 650mm. Panele rezemă pe talpa superioară tot la al doilea nod asigurând fixarea laterală (in afara planului fermei) pe deschiderea a două panouri). Se cere verificarea tălpii superioare.

Schema statică Grinda cu zăbrele, cu barele articulate in noduri, simplu rezemata cu deschiderea de 21 m.

12 panouri a cate 1,75m.

1750 1750 1750 1750 1750 1750

1400

2600

175017501750175017501750

21000

Figura E.6.1. Grinda cu zăbrele

Datele problemei

Pentru verificarea de rezistenŃă şi flambaj a stâlpului sunt necesare următoarele date:

• Talpa superioara (11-13) ForŃa axială Ipoteze de încărcare

Greutate proprie (G) NEd = -143,22 kN Greutatea zăpezii (Z) NEd = -107,42 kN

CombinaŃia de încărcare 1,35 G + 1,5 Z NEd = -354,5 kN

Lungimea teoretica elementului L = 1513 mm Marca oŃelului S235 Clasa secŃiunii Clasa 1


tftw

yuys ys

z z

y

SECTIUNE TRANSVERSALA

100 650 100

2 UPN 120

Pl. 120x6

Figura E.6.2. SecŃiunea transversala şi poziŃionarea plăcuŃelor de solidarizare

2 UPN 120; ÎnălŃimea h = 120,0 mm LăŃimea tălpilor b = 50,0 mm Grosimea inimii tw = 7,0 mm Grosimea tălpilor tf = 9,0 mm Aria secŃiunii transversale A = Ach = 17,0 cm2

Momentul de inerŃie / yy Iy = 364 cm4 Momentul de inerŃie / zz Iz = 43,2 cm4

Modul de rezistenŃă plastic / zz Wpl,z = 21,2 cm3 PoziŃia centrului de greutate ys = 16,0 mm Distanta intre profile (UPN100) yu = 50,0 mm Distanta intre elementele de solidarizare a = 750 mm

Determinarea lungimii de flambaj Conform Anexei BB (BB1.1), lungimea de flambaj Lcr a unei tălpi cu secŃiunea de forma I

sau H poate fi luată egală cu 0,9L pentru flambajul în plan şi 1,0L pentru flambajul în plan perpendicular. În acest exemplu se va folosi pentru talpa lungimea de flambaj 1,0L pentru flambajul în plan şi în plan perpendicular (STAS 10108/0-78).

y

z

x

x

Figura E.6.3. Lungimile de flambaj

În structurile triunghiulare obişnuite, lungimea de flambaj Lcr a zăbrelelor pentru flambajul în

plan poate fi luată egală cu 0,9L şi 1,0L pentru flambajul în plan perpendicular. Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y); fL_y = 1,00; L = 1765 mm Lungimea de flambaj (y-y); Lcr,y = fL_y ×××× L = 1765 mm Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); fL_z = 1,00; L = 3530 mm Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z ×××× L = 3530 mm

Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca de oŃel S235 Deoarece grosimea maximă a pereŃilor secŃiunii transversale este 9,0 mm ≤ 40 mm, limita



γM1 = 1,00 SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

Verificarea de rezistenŃă a secŃiunii transversale a tălpii superioare

RezistenŃa la compresiune

Pentru a determină rezistenŃa de calcul a secŃiunii transversale a stâlpului la compresiune uniformă se foloseşte relaŃia de definiŃie corespunzătoare clasei de secŃiune 1:

2

2,

0

17 10 235799000 N 799 kN

1,0U y

c RdM

A fN

⋅ ⋅ ⋅= = = =γ

SREN 1993-1-1 (6.10) După determinarea capacităŃii portante se trece la verificarea condiŃiei:

,

354,50,444 1,0

799Ed

c Rd

N


SREN 1993-1-1 (6.9) RezistenŃa la pierderea stabilităŃii

Pentru a determină rezistenŃa la flambaj a stâlpului Nb,Rd, este necesară determinarea factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere χ corespunzător curbei de flambaj pentru secŃiunea transversală a stâlpului. Acest factor se determină cu ajutorul zvelteŃii relative λ . λ se calculează în funcŃie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat şi rezistenŃa de calcul a secŃiunii transversale stâlpului la compresiune uniformă. Se calculează folosind proprietăŃile secŃiunii transversale brute. • In planul grinzii • Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr


2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 2 364 104839 kN

1765

ycr y

cr y

E IN

L

π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

Efortul axial critic Euler (4.3)

unde E este modulul de elasticitate longitudinal, E = 210000 N/mm2 şi Lcr este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat, Lcr,y = 1765 mm


2

,

2 17 10 2350,406 0,2

483900y

ycr y

A f

N

⋅ ⋅ ⋅ ⋅λ = = = ≥

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

• Factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere În cazul elementelor supuse la compresiune uniformă valoarea factorului de reducere χ

depinde de zvelteŃea redusă λ ce trebuie determinată Ńinând seama de curbele de flambaj corespunzătoare:

2 2

1χ =φ + φ − λ

însă 1χ ≤

în care:

20,5 1 ( 0,2) φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ ;

α este factor de imperfecŃiune funcŃie de curba de flambaj SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei y-y Curba de flambaj c (SREN 1993-1-1 Tabel 6.2), factorul de imperfecŃiune αy = 0,49 (SREN

1993-1-1 Tabel 6.1);

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (0,406 0,2) 0,406 0,633y y y y φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,894

0,633 0,633 0,409y

y y y

χ = = =φ + φ − λ + −

RezistenŃa la flambaj in planul cadrului RezistenŃa la flambaj se determină cu următoarei relaŃie:

2

2,

2 17 10 2350,894 714,4 kN

1,00U y

b Rd

A fN

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= χ ⋅ = ⋅ =γ

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) După determinarea capacităŃii portante se trece la verificarea condiŃiei:

,

354,50,496 1,0

714,4Ed

b Rd

N


• In afara planului grinzii

Momentele de inerŃie după axa minima de inerŃie se calculează cu ajutorul formulei lui Steiner:

22 2 4 4 40

,2 0,5 82 17 10 2 43,2 10 657,9 102z ch z chh

I A I mm = ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

0 2 2 16 50 82s uh y y mm= ⋅ + = ⋅ + = Momentele de inerŃie la încovoiere ale barelor compuse cu plăcuŃe de solidarizare pot fi

calculate astfel: 200,5 2eff ch ch I h A I= ⋅ ⋅ + ⋅µ ⋅

SREN 1993-1-1 § 6.4.3.1 (3) (6.74)

unde: µ – = factor de eficacitate ce depinde de zvelteŃea maximă elementului compus (Tabel 6.8);

4

0 2

657,9 1043,99

2 2 17 10z

ch

Ii mm

A

⋅= = =⋅ ⋅ ⋅

0

2 1765 80,2580,25 2 2 0,93

43.99 75 75

L

i

⋅ λλ = = = ⇒ µ = − = − =

2 2 2 4 4 400,5 2 0,5 82 17 10 2 0,93 43,2 10 651,9 10eff ch ch I h A I mm= ⋅ ⋅ + ⋅µ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

• Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr Efortul critic de flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaŃie de definiŃie:

2 2 5 4

,, 2 2

,

3,14 2,1 10 651,9 101083199 N 1083,2 kN

3530

eff zcr z

cr z

E IN

L

π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =


unde Lcr,z este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat, Lcr,z= 3530 mm (distanta intre doua pane)

• Rigiditatea la forfecare Sv Sv trebuie calculată astfel:

2 2 5 4

2 2

2 2 3,14 2,1 10 43,2 103180

750ch

vEI

S kNa

⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

SREN 1993-1-1 § 6.4.3.1 (3) (6.73)

• Eforturile de calcul În general barele compuse cu secŃiune uniformă, solicitate la compresiune concentrică şi

articulate la extremităŃi se considerată ca un stâlp având o imperfecŃiune în arc e0 = L/500 = 7,06

mm. În cazul verificării tălpii superioare se poate aplica modelul barei compuse cu secŃiune constantă supusă la compresiune concentrică deoarece elementele de solidarizare alcătuiesc în lungul barei compuse panouri identice cu ramuri paralele si numărul de panouri în bara compusă este mai mare de trei.

În cazul unei bare compuse alcătuite din două ramuri identice, efortul de calcul Nch,Ed trebuie determinat astfel:

6 230

, 4

4,459 10 82 17 100,5 0,5 354,5 10 224,93

2 2 651,9 10Ed ch

ch Ed Edeff

M h A N N kN

I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + = ⋅ ⋅ + =⋅ ⋅

30

3 3

3 3

354,5 10 7,06 04,459

354,5 10 354,5 101 11083 10 3180 10

IEd Ed

EdEd Ed

cr v

N e MM kNm

N NN S

⋅ + ⋅ ⋅ += = =⋅ ⋅− − − −⋅ ⋅

SREN 1993-1-1 § 6.4.1 (6)

unde: Ncr – este efortul critic eficace în bara compusă; NEd – valoarea de calcul a efortului de compresiune care acŃionează în bara compusă; MEd

I – este valoarea de calcul a momentului de încovoiere maxim, care acŃionează la jumătatea lungimii barei compuse, luând în considerare efectele de ordinul doi; h0 – este distanŃa între centrele de greutate ale ramurilor; Ach – este aria secŃiunii transversale a unei ramuri; Ieff – este momentul de inerŃie efectiv al barei compuse; Sv – este rigiditatea la forfecare a elementelor de solidarizare; Ach – este aria secŃiunii transversale a unei ramuri;

• Pierderea stabilităŃii în afara planului a unei ramuri În cazul verificării unei ramurii in afara planului Lcr,z = a =750 mm. Efortul critic de

flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaŃie de definiŃie:

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 43,2 101590 kN

750z

cr z acr z a

E IN

L−

−

π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =



2

3,

2 17 10 2350,709 0,2

1590 10

yz

cr z a

A f

N −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅λ = = = ≥⋅

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei z-z

Curba de flambaj c (SREN 1993-1-1 Tabel 6.2), factorul de imperfecŃiune αz = 0,49 (SREN 1993-1-1 Tabel 6.1);

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (0,709 0,2) 0709 0,876z z z z φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,719

0,876 0,876 0,709z

z z z

χ = = =φ + φ − λ + −

RezistenŃa la flambaj in planul cadrului RezistenŃa la flambaj se determină cu următoarei relaŃie:

2

, ,17 10 235

0,719 287,2 kN1,00

ch yz b Rd z

A fN

⋅ ⋅ ⋅= χ ⋅ = ⋅ =γ


.

,

224,90,783 1

287,2ch Ed

b Rd

N

N= = ≥ ⇒ elementul verifică

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

De regulă, verificarea zăbrelelor barelor compuse cu zăbrele sau verificarea pentru eforturile care rezultă din efectul de cadru în barele compuse cu plăcuŃe de solidarizare, trebuie făcută în panourile de la extremităŃile barei, pornind de la forŃa tăietoare globală VEd , care acŃionează în bara compusă şi se determină prin:

64,459 103,14 3,967

3530Ed

EdM

V kNL

⋅= π = = ⇒3

,3,967 10 750

0,7444 4

Edch Ed

V aM kNm

⋅ ⋅ ⋅= = =

RezistenŃa la forfecare Valoarea de calcul a rezistenŃei plastice la forfecare în absenŃa răsucirii depinde de aria de

forfecare, care pentru un profil U solicitat paralel cu tălpile se defineşte ca fiind aria celor două tălpi:

22 ( ) 2 (55 7 9) 9 702 mmvy w fA b t r t= ⋅ − − ⋅ = ⋅ − − ⋅ =

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3)

Valoarea de calcul a rezistenŃei plastice la forfecare În absenŃa răsucirii, rezistenŃei plastice la forfecare a secŃiunii compuse este dată de relaŃia:

, ,0

2 ( / 3) 2 702 235190,5 kN

3 1,0vy y

pl y RdM

A fV

⋅ ⋅ ⋅= = =γ ⋅

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2)

Trebuie să fie satisfăcută condiŃia:

,

3,9670,021 0,5

190,5Ed

c Rd

V

V= = ≤ ⇒ nu e necesară nicio reducere a capacităŃii la flambaj a

elementului

Verificarea interacŃiunii M-N In secŃiunea din dreptul elementelor de solidarizare trebuie făcuta verificarea la acŃiunea M-

N. RelaŃia de verificare (6.62) devine simplificat: ,

, ,

1z EdEdzz

b Rd z Rd

MNk

N M+ ⋅ ≤ , unde NEd = Nch,Ed; Nb,Rd = Nz,b,Rd; Mz,Ed = Mch,Ed; Mz,Rd = Mpl,Rd;

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) Pentru o secŃiune de clasa 1 rezistenŃa de calcul a unei secŃiuni transversale supusă la

încovoiere în raport cu axa principală de inerŃie se determină astfel:

3

,, ,

0

21,2 10 2354,982 kNm

1,0pl z y

z Rd pl RdM

W fM M

⋅ ⋅ ⋅= = = =γ

Calculul factorilor de interacŃiune kzz

Factorii de interacŃiune kyy , kyz , kzy , kzz depind de metoda de calcul aleasă. Se pot calcula folosind două metode alternative. În acest exemplu valorile acestor factori au fost determinate conform anexei B (metoda alternativă 2). kzz se determina conform Tabel B.2 (elemente sensibile la deformaŃii prin răsucire), ce face trimitere la Tabel B.1, profilul U putând fi asimilat cu secŃiuni I:

( ) , ,

, ,

1 2 0,6 1 1,4ch Rd ch Rdzz mz z mz

b Rd b Rd

N Nk C C

N N

= + ⋅λ − ≤ +

Calculul factorilor de moment uniform Cmz

Deoarece profilul U intre doua elementele de solidarizare are cu mod de instabilitate cu noduri deplasabile trebuie să se ia ca factor de moment uniform echivalent Cmz = 0,9.

SREN 1993-1-1 Anexa B (Tabel B.3)

( ) ( ),

,

,

,

224,91 2 0,6 0,9 1 2 0,709 0,6

287,3

224,91,476 1 1,4 0,9 1 1,4 1,886

287,3

ch Rdzz mz z

b Rd

ch Rdmz

b Rd

Nk C

N

NC

N

= + ⋅λ − = + ⋅ − =

= ≤ + = + =


3 6,

3 6, ,

224,9 10 0,744 101,476 1,003 1

287,3 10 4,982 10z EdEd

zzb Rd z Rd

MNk

N M

⋅ ⋅+ ⋅ = + ⋅ =⋅ ⋅

elementul nu verifică şi trebuie

aleasă o altă secŃiune transversală

E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secŃiunii transversale a unui profil cu secŃiune de tip C formată la rece, solicitată la compresiune

Descrierea problemei Exemplul prezintă calculul caracteristicilor eficace pentru o secŃiune de tip C, formată

la rece, solicitată la compresiune.

Datele problemei Marca oŃelului S355

Modulul de elasticitate 2210000 N mmE = Coeficientul lui Poisson 0,3ν =

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale ÎnălŃimea totală a inimii 150 mmh = LăŃimea totală a tălpii comprimate 1 47 mmb = LăŃimea totală a tălpii întinse 41mm2b =

LăŃimea totală a rebordului 16mmc = Raza interioară 3 mmr = Grosimea nominală 1mmnomt =

Grosimea miezului de oŃel 0,96 mmt = (calculată conform paragrafului § 3.2.4(3) din EN1993-1-3)

Dimensiunile secŃiunii pe axa mediană (vezi Figura E.x.1):

ÎnălŃimea inimii 150 1 149 mmh h tp nom= − = − =

LăŃimea tălpii comprimate 47 1 46 mm1 1b b tp nom= − = − =

LăŃimea tălpii întinse 41 1 40 mm2 2b b tp nom= − = − =

LăŃimea rebordului 2 16 1 2 15,5mmc c tnomp = − = − =

Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca de oŃel S355 Deoarece grosimea maximă a pereŃilor secŃiunii transversale este 1.0 mm ≤ 40 mm, limita



γM0 = 1,00 SREN 1993-1-3 § 2(3)

Figura E.7.1. SecŃiunea transversală

Verificarea proporŃiilor geometrice Metoda de calcul conform SR EN1993-1-3 poate fi aplicată dacă următoarele condiŃii

sunt satisfăcute: 60b t ≤ 1 47 0,96 48,96 60b t = = < – verifică 50c t ≤ 16 0,96 16,67 50c t = = < – verifică 500h t ≤ 150 0,96 156,25 500h t = = < – verifică

SREN 1993-1-3 §5.2

Pentru a asigura o rigiditate suficientă a elementului de rigidizare sau pentru a evita voalarea prematură a acesteia, dimensiunile rigidizării trebuie să se încadreze între următoarele limite:

0,2 0,6c b≤ ≤ 1 16 47 0,34c b = = 0,2 0,34 0,6< < – verifică 2 16 41 0,39c b = = 0,2 0,39 0,6< < – verifică

InfluenŃa rotunjirii colŃurilor poate fi neglijată dacă: 5r t ≤ 3 0,96 3,125 5r t = = < – verifică

p 0,10r b ≤ p1 3 47 0,06 0.10r b = = < – verifică

p2 3 64 0,05 0,10r b = = < – verifică

SREN 1993-1-3 §5.1(3) Aria secŃiunii transversale brute:

( ) ( ) 2br p p1 p2 p2 0,96 2 15,5 46 40 149 255,36 mmA t c b b h= + + + = × × + + + =

PoziŃia axei neutre în raport cu talpa comprimată:

( ) 2 2p p p p2 p p p

b1br

2 2 272,82 mm

c h c b h h c tz

A

− + + + = =

Determinarea caracteristicilor geometrice eficace ale tălpii şi rebordului în compresiune

În conformitate cu paragraful §5.5.3.2 din SR EN1993-1-3, în calculul caracteristicilor eficace ale tălpii şi rebordului în compresiune, se aplică procedura iterativă. Calculul se conduce în trei paşi, astfel: Pasul 1:

Conform punctului §5.5.3.2(3) din SR EN1993-1-3 se obŃine pentru rigidizarea marginală o arie eficace iniŃială, folosind lăŃimea eficace a tălpii comprimate şi considerând că talpa comprimată este un perete interior, rigidizarea fiind considerată cu rigiditate infinită ( K = ∞ ) şi folosind o rezistenŃă de calcul neredusă ( com,Ed yb 0/ Mfσ = γ ).

• LăŃimea eficace a tălpii comprimate Raportul tensiunilor: 1ψ = (compresiune uniformă), rezultă coeficientul de flambaj este:

σ 4k = pentru pereŃi comprimaŃi interiori (conform § 5.5.2 din SR EN1993-1-3 şi §4.4 din EN1993-1-5).

yb235 fε =

o Pentru talpa superioară:

ZvelteŃea redusă este:

p1p,b1

σ

46 0,961,03

28,4 28,4 235 350 4

b t

kλ = = =

ε × × Factorul de reducere al lăŃimii tălpii este:

( ) ( )p,b12 2

p,b

0,055 3 1,03 0,055 3 10,764

1,03

λ − + ψ − × +ρ = = =

λ

Rezultă lăŃimea eficace a tălpii comprimate:

eff1 1 p1 0,764 46 35,14 mmb b= ρ = × =

e11 e12 eff10,5 0,5 35,14 17,57 mmb b b= = = × = o Pentru talpa inferioară:


p2p,b2

σ

40 0,960,895

28,4 28,4 235 350 4

b t

kλ = = =

ε × ×

Factorul de reducere al lăŃimii tălpii este:

( ) ( )p,b22 2

p,b2

0,055 3 0,895 0,055 3 10,843

0,895

λ − + ψ − × +ρ = = =

λ


eff2 2 p2 0,843 40 33,72 mmb b= ρ = × =

e21 e22 eff20,5 0,5 33,72 16,86 mmb b b= = = × =

• LăŃimea eficace a rebordului comprimat o Pentru rebordul de la partea superioară:

Coeficientul de voalare este: dacă p,c p1 0,35b b ≤ : σ 0,5k =

dacă p,c p10,35 0,6b b< ≤ : ( )23

σ p,c p10,5 0,83 0,35k b b= + −

p,c p1 15,5 46 0,337 0,35b b = = < rezultă σ 0,5k =

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(5a) ZvelteŃea redusă este:

pp,c1

σ1

15,5 0,960,981

28,4 28,4 235 350 0,5

c t

kλ = = =

ε × ×

SREN 1993-1-5 §4.4 Factorul de reducere al lăŃimii rebordului:

p,c11 2 2

p,c1

0,188 0,981 0,1880,824

0,981

λ − −ρ = = =λ

, 1ρ ≤

LăŃimea eficace a rebordului este:

eff p 0,824 15,5 12,77 mmc c= ρ = × =

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(5a) Aria eficace a rigidizării marginale de la partea superioară se calculează astfel:

( ) ( ) 2s e2 eff 0,96 17,57 12,77 29,126mmA t b c= + = × + =

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(6) o Pentru rebordul de la partea inferioară:

Coeficientul de voalare este:

p,c p2 15,5 40 0,388 0,35b b = = > rezultă ( )23σ 0,5 0,83 0,388 0,35 0,594k = + − =


pp,c2

σ2

15,5 0,960,900

28,4 28,4 235 350 0,594

c t

kλ = = =

ε × ×

SREN 1993-1-5 §4.4 Factorul de reducere al lăŃimii rebordului:

p,c22 2 2

p,c2

0,188 0,900 0,1880,879

0,900

λ − −ρ = = =λ

, 1ρ ≤


eff2 p2 0,879 15,5 13,62 mmc c= ρ = × =

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(5a) Aria eficace a rigidizării marginale de la partea superioară se calculează astfel:

( ) ( ) 2s2 e22 eff2 0,96 16,86 13,62 29,26mmA t b c= + = × + =

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(6) Pasul 2:

În conformitate cu §5.5.3.2(3) din EN1993-1-3, se utilizează secŃiunea transversală eficace a rigidizării marginale, pentru determinarea coeficientului de reducere, luându-se în considerare efectele legăturii elastice între:

Tensiunea critică de flambaj elastic pentru rigidizarea marginală este:

,2 s

cr ss

K E I

Aσ =

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(7) unde: K este rigiditatea resortului pe unitatea de lungime; Is este momentul de inerŃie a secŃiunii eficace a rigidizării.

o Pentru rebordul de la partea superioară:

Rigiditatea resortului este: 3

1 2 2 31 p 1 1 2 p f1

1

4(1 ) 0,5

EtK

b h b b b h k= ⋅

− ν + +

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(5) cu:

e2 e21 p1

e2 eff

2 17,57 0,96 17,57 / 246 40,913 mm

( ) (17,57 12,77) 0,96

b t bb b

b c t

× ×= − = − =+ + ×

e22 e222 p2

e22 eff2

2 16,86 0,96 16,86 240 35,34 mm

( ) (16,86 13,62) 0,96

b tbb b

b c t

× ×= − = − =+ + ×

s2f1

s1

29,261,004

29,13

Ak

A= = = pentru un element supus la compresiune axială

21 0,12 N mmK =

Momentul de inerŃie al secŃiunii eficace a rigidizării este:

( ) ( )

223 3 2 2e12 eff1 eff1 eff1 eff1

s1 e12 eff1e12 eff1 e12 eff112 12 2 2 2

b t c t c c cI b t c t

b c b c

= + + + −

+ +

4s1 457,32 mmI =

Rezultă, tensiunea critică de flambaj elastic pentru rigidizarea marginală de la partea

superioară:

2cr,s

2 0,161 210000 457,32270,011 N mm

29,126

× × ×σ = =

o Pentru rebordul de la partea inferioară:

Rigiditatea resortului este: 3

2 2 2 32 p 2 1 2 p f2

1

4(1 ) 0,5

E tK

b h b b b h k= ⋅

− ν + +

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(5) cu:

e2 e21 p1

e2 eff

2 17,57 0,96 17,57 / 246 40,913 mm

( ) (17,57 12,77) 0,96

b t bb b

b c t

× ×= − = − =+ + ×

s1f2

s2

29,130,996

29,26

Ak

A= = = pentru un element supus la compresiune axială

22 0,151 N mmK =


( ) ( )

223 3 2 2e22 eff2 eff2 eff2 eff2

s2 e22 eff2e22 eff2 e22 eff212 12 2 2 2


b c b c

= + + + −

+ +

4s2 538,02 mmI =

Rezultă, tensiunea critică de flambaj elastic pentru rigidizarea marginală de la partea

inferioară:

2cr,s

2 0,151 210000 538,02282,33 N mm

29,26

× × ×σ = =

• Coeficientul de reducere χd al grosimii rigidizării marginale, conform § 5.5.3.2(3), Figura 5.10d din SR EN1993-1-3

o Pentru rebordul de la partea superioară:


d1 yb cr,s1 350 233,1 1,225fλ = σ = =

SREN 1993-1-5 §4.4 Factorul de reducere rezultă:

dacă d 0,65λ ≤ d 1,0χ =

dacă d0,65 1,38< λ < d d1,47 0,723χ = − λ

dacă d 1,38λ ≥ d d0,66χ = λ

d10,65 1,225 1,38< λ = < deci d1 1,47 0,723 1,225 0,584χ = − × = SREN 1993-1-5 § 4.4(2)



d2 yb cr,s2 350 282,33 1,113fλ = σ = =

SREN 1993-1-5 §4.4 Factorul de reducere rezultă:

d10,65 1,113 1,38< λ = < deci d1 1,47 0,723 1,113 0,665χ = − × = Pasul 3:

Conform §5.5.3.2(3), Figura 5.10e şi §5.5.3.2 (10) din EN1993-1-3, dacă factorul de reducere χd < 1, se iterează pentru îmbunătăŃirea valorii factorului de reducere pentru flambajul rigidizării.

com,Ed,i d yb M0fσ = χ γ şi p,red p dλ = λ χ

Procesul iterativ se opreşte când factorul de reducere χ converge. o Pentru rebordul de la partea superioară:

Valori iniŃiale (iteraŃia 1): Valori finale (iteraŃia n):

d1 0,584χ = d1 d1,n 0,622χ = χ =

e12 17,57 mmb = e12 e12,n 20,65mmb b= =

eff1 12,77 mmc = eff1 eff1,n 15,16 mmc c= =



d2 0,665χ = d2 d2,n 0,693χ = χ =

e22 16,57 mmb = e22 e22,n 18,92mmb b= =

eff2 13,62 mmc = eff2 eff2,n 15,49 mmc c= =

Valorile finale ale caracteristicilor eficace pentru talpa şi rebordul solicitate la compresiune

sunt (§5.5.3.2(12) din EN1993-1-3):

o Pentru talpa si rebordul de la partea superioară:

d1 0,622χ = e12 20,65 mmb = eff1 15,16 mmc = şi e11 17,57 mmb = o Pentru talpa si rebordul de la partea superioară:

d2 0,693χ = e22 18,92 mmb = eff2 15,49 mmc = şi e21 16,86 mmb =

Conform (§5.5.3.2(12) din EN1993-1-3, rezultă:

red,1 d1 0,96 0,622 0,597 mmt t= χ = × =

red,2 d2 0,96 0,693 0,665 mmt t= χ = × =

Determinarea caracteristicilor geometrice ale secŃiunii eficace a inimii: Raportul tensiunilor: 1ψ = (compresiune uniformă), astfel încât coeficientul de flambaj, conform §4.4 din EN1993-1-5 esteσ 4k = .

yb235 fε =

ZvelteŃea redusă:

pp,h

σ

149 0,963,335

28,4 28,4 235 350 4

h t

kλ = = =

ε × ×

Factorul de reducere este:

( ) ( )p,h2 2

p,h

0,055 3 3,335 0,055 3 10,280

3,335

λ − + ψ − × +ρ = = =

λ

LăŃimea eficace a inimii este:

eff c 0,280 149 41,72 mmh h= ρ = × =

e1 e2 eff0,5 0,5 41,72 20,86 mmh h h= = = × =

Caracteristicile secŃiunii eficace:

Aria secŃiunii eficace:

( ) ( )eff e11 e21 e1 e2 e12 eff1 d1 e22 eff2 d2A t b b h h b c b c = + + + + + χ + + χ 2

eff 117,37 mmA =

PoziŃia axei neutre în raport cu talpa superioară:

( )2 2

eff2 e2 e1 eff1 d1eff2 d2 p p e22 d2 e21 e2 p

G1eff

2 2 2 2

c h h ct c h h b b h h

zA

χ χ − + χ + + − + + =

G1 74,92 mmz =

PoziŃia axei neutre în raport cu talpa inferioară:

2 p 1 149 74,92 74,08mmG Gz h z= − = − =

E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secŃiunii transversale a unui profil cu secŃiune de tip C formată la rece, solicitată la încovoiere

Descrierea problemei Exemplul prezintă calculul caracteristicilor eficace pentru o secŃiune de tip C, formată

la rece, solicitată la încovoiere după axa maximă de inerŃie.




ÎnălŃimea totală a inimii 150 mmh = LăŃimea totală a tălpii comprimate 1 47 mmb = LăŃimea totală a tălpii întinse 41mm2b =

LăŃimea totală a rebordului 16mmc = Raza interioară 3 mmr = Grosimea nominală 1mmnomt =

Grosimea miezului de oŃel 0,96 mmt = (calculată conform paragrafului § 3.2.4(3) din SR EN1993-1-3)

Dimensiunile secŃiunii pe axa mediană (vezi Figura E.x.1):

ÎnălŃimea inimii 150 1 149 mmh h tp nom= − = − =

LăŃimea tălpii comprimate 47 1 46 mm1 1b b tp nom= − = − =

LăŃimea tălpii întinse 41 1 40 mm2 2b b tp nom= − = − =

LăŃimea rebordului 2 16 1 2 15,5mmc c tnomp = − = − =

Figura E.8.1. SecŃiunea transversală




γM0 = 1,00 SREN 1993-1-3 § 2(3)

Verificarea proporŃiilor geometrice Metoda de calcul conform SR EN1993-1-3 poate fi aplicată dacă următoarele condiŃii

sunt satisfăcute: 60b t ≤ 1 47 0,96 48,96 60b t = = < – verifică 50c t ≤ 16 0,96 16,67 50c t = = < – verifică 500h t ≤ 150 0,96 156,25 500h t = = < – verifică

SREN 1993-1-3 §5.2

Pentru a asigura o rigiditate suficientă a elementului de rigidizare sau pentru a evita voalarea prematură a acesteia, dimensiunile rigidizării trebuie să se încadreze între următoarele limite:

0,2 0,6c b≤ ≤ 1 16 47 0,34c b = = 0,2 0,34 0,6< < – verifică 2 16 41 0,39c b = = 0,2 0,39 0,6< < – verifică

InfluenŃa rotunjirii colŃurilor poate fi neglijată dacă: 5r t ≤ 3 0,96 3,125 5r t = = < – verifică

p 0,10r b ≤ p1 3 47 0,06 0.10r b = = < – verifică

p2 3 64 0,05 0,10r b = = < – verifică

SREN 1993-1-3 §5.1(3) Aria secŃiunii transversale brute:

( ) ( ) 2br p p1 p2 p2 0,96 2 15,5 46 40 149 255,36 mmA t c b b h= + + + = × × + + + =


( ) 2 2p p p p2 p p p

b1br

2 2 272,82 mm

c h c b h h c tz

A

− + + + = =

Determinarea caracteristicilor geometrice eficace ale tălpii şi rebordului în compresiune

În conformitate cu paragraful §5.5.3.2 din SR EN1993-1-3, în calculul caracteristicilor eficace ale tălpii şi rebordului în compresiune, se aplică procedura iterativă. Calculul se conduce în trei paşi, astfel:

Pasul 1: Conform punctului §5.5.3.2(3) din SR EN1993-1-3 se obŃine pentru rigidizarea marginală

o arie eficace iniŃială, folosind lăŃimea eficace a tălpii comprimate şi considerând că talpa comprimată este un perete interior, rigidizarea fiind considerată cu rigiditate infinită ( K = ∞ ) şi folosind o rezistenŃă de calcul neredusă ( com,Ed yb 0/ Mfσ = γ ).

• LăŃimea eficace a tălpii comprimate Raportul tensiunilor: 1ψ = (compresiune uniformă), rezultă coeficientul de flambaj este:

σ 4k = pentru pereŃi comprimaŃi interiori (conform § 5.5.2 din SR EN1993-1-3 şi §4.4 din SR EN1993-1-5).

yb235 fε =


p1p,b

σ

46 0,961,03

28,4 28,4 235 350 4

b t

kλ = = =

ε × ×

Factorul de reducere al lăŃimii tălpii este: ( ) ( )p,b

2 2p,b

0,055 3 1,03 0,055 3 10,764

1,03

λ − + ψ − × +ρ = = =

λ


eff p1 0,764 46 35,14 mmb b= ρ = × =

e1 e2 eff0,5 0,5 35,14 17,57 mmb b b= = = × =

• LăŃimea eficace a rebordului comprimat Coeficientul de voalare este:

dacă p,c p1 0,35b b ≤ : σ 0,5k =

dacă p,c p10,35 0,6b b< ≤ : ( )23

σ p,c p10,5 0,83 0,35k b b= + −

p,c p1 15,5 46 0,337 0,35b b = = < rezultă σ 0,5k =


pp,c

σ

15,5 0,960,981

28,4 28,4 235 350 0,5

c t

kλ = = =

ε × × SREN 1993-1-5 §4.4

Factorul de reducere al lăŃimii rebordului:

p,c2 2

p,c

0,188 0,981 0,1880,824

0,981

λ − −ρ = = =λ

, 1ρ ≤


eff p 0,824 15,5 12,77 mmc c= ρ = × =

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(5a) Aria eficace a rigidizării marginale se calculează astfel:

( ) ( ) 2s e2 eff 0,96 17,57 12,77 29,126mmA t b c= + = × + =

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(6)

Pasul 2: În conformitate cu §5.5.3.2(3) din SR EN1993-1-3, se utilizează secŃiunea transversală

eficace a rigidizării marginale, pentru determinarea coeficientului de reducere, luându-se în considerare efectele legăturii elastice între:

Tensiunea critică de flambaj elastic pentru rigidizarea marginală este:

,2 s

cr ss

K E I

Aσ =

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(7) Unde rigiditatea resortului este:

3

2 2 31 p 1 1 2 p f

1

4(1 ) 0,5

E tK

b h b b b h k= ⋅

− ν + +

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(5) cu:

e2 e21 p1

e2 eff

2 17,57 0,96 17,57 / 246 40,913 mm

( ) (17,57 12,77) 0,96

b t bb b

b c t

× ×= − = − =+ + ×

f 0k = pentru încovoierea după axa y-y 0,161 N mmK =


( ) ( )

2 23 3 2 2e2 eff eff eff eff

s e2 effe2 eff e2 eff12 12 2 2 2


b c b c

= + + + −

+ +

4s 457,32 mmI =

Rezultă, tensiunea critică de flambaj elastic:

2cr,s

2 0,161 210000 457,32270,011 N mm

29,126

× × ×σ = =

• Coeficientul de reducere χd al grosimii rigidizării marginale, conform § 5.5.3.2(3), Figura 5.8d din SR EN1993-1-3


d yb cr,s 350 270,011 1,139fλ = σ = =

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(7) Factorul de reducere rezultă:

dacă d 0,65λ ≤ d 1,0χ =

dacă d0,65 1,38< λ < d d1,47 0,723χ = − λ

dacă d 1,38λ ≥ d d0,66χ = λ

d0,65 0,992 1,38< λ = < deci d 1,47 0,723 1,139 0,646χ = − × = SREN 1993-1-5 § 4.4(2)

Pasul 3:

Conform §5.5.3.2(3), Figura 5.10e şi §5.5.3.2 (10) din SR EN1993-1-3, dacă factorul de reducere χd < 1, se iterează pentru îmbunătăŃirea valorii factorului de reducere pentru flambajul rigidizării.

com,Ed,i d yb M0fσ = χ γ şi p,red p dλ = λ χ

Procesul iterativ se opreşte când factorul de reducere χ converge.


d 0,646χ = d d,n 0,614χ = χ =

e2 17,57 mmb = e2 e2,n 20,736 mmb b= =

eff 12,77 mmc = eff eff,n 12,77 mmc c= =

Valorile finale ale caracteristicilor eficace pentru talpa şi rebordul solicitate la compresiune

sunt (§5.5.3.2(12) din EN1993-1-3):

d 0,614χ = e2 20,736 mmb = eff 12,77 mmc = şi e1 17,57 mmb =

red d 0,96 0,614 0,589 mmt t= χ = × = Determinarea caracteristicilor geometrice eficace a inimii:

PoziŃia axei neutre în raport cu talpa comprimată (a se vedea Figura E.8.2):

( )( )

2 2p p p p2 p p eff d

cp p2 p e1 e2 eff d

2 2 2c h c b h h ch

c b h b b c

− + + + χ=

+ + + + + χ c 79,5 mmh =

Raportul tensiunilor:

c p

c

79,5 1490,874

79,5

h h

h

− −ψ = = = −

Coeficientul de flambaj este: 2

σ 7,81 6,29 9,78k = − ψ + ψ σ 20,76k = SREN 1993-1-5 § 4.4(Tabelul 4.1)

ZvelteŃea redusă:

pp,h

σ

149 0,961,464

28,4 28,4 235 350 20,76

h t

kλ = = =

ε × ×

Factorul de reducere este:

( ) ( )p,h2 2

p,h

0,055 3 1,464 0,055 3 0,8740,629

1,464

λ − + ψ − × −ρ = = =

λ

LăŃimea eficace a zonei comprimate a inimii este:

eff c 0,629 79,5 50 mmh h= ρ = × = PorŃiunea cea mai apropiată de talpa în compresiune:

e1 eff0,4 0,4 50 20 mmh h= = × = PorŃiunea cea mai apropiată de axa neutră:

e2 eff0,6 0,6 50 30 mmh h= = × =

Figura E.8.2

• LăŃimea eficace a inimii: PorŃiunea cea mai apropiată de talpa în compresiune:

1 e1 20 mmh h= = PorŃiunea cea mai apropiată de talpa întinsă:

( ) ( )2 p c e2 149 79,5 30 99,5 mmh h h h= − − = − − =

Caracteristicile secŃiunii eficace (vezi Figura E.8.3):

eff p p2 1 2 e1 e2 eff d[ ( ) ]A t c b h h b b c= + + + + + + χ

( ) 2eff 0,96 15,5 40 20 99,5 17,57 20,736 12,77 0,614 204,62 mmA = × + + + + + + × =

Figura E.8.3


( ) ( ) 2 2p p p p2 p 2 p 2 1 eff d

ceff

2 2 2 2t c h c b h h h h h cz

A

− + + − + + χ =

c 85,75 mmz =

PoziŃia axei neutre în raport cu talpa întinsă:

t p c 149 85,75 63,25mmz h z= − = − =

Momentul de inerŃie al secŃiunii eficace este:

3 3 3 3 33 3p2 p e1 e2 d eff d1 2

eff,y

2 2 2 2p t p p2 t 2 t 2 1 c 1

2 2 2e1 c e2 d c eff d c eff

( ) ( )

12 12 12 12 12 12 12

( 2) ( 2) ( 2)

( ) ( )( 2)

b t c t b t b t c th t h tI

c t z c b tz h t z h h t z h

b t z b t z c t z c

χ χ= + + + + + + +

+ − + + − + − +

+ + χ + χ −

4eff,y 668103 mmI =

Modulul de rezistenŃă al secŃiunii eficace:

- în raport cu talpa comprimată

eff,y 3eff,y,c

c

6681037791 mm

85,75

IW

z= = =

- în raport cu talpa întinsă

eff,y 3eff,y,t

t

66810310563 mm

63,25

IW

z= = =

E.9. Calculul unui stâlp cu secŃiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune

Descrierea structurii Exemplul descrie calculul unui montant de perete dublu-articulat supus la compresiune.

Montantul de perete e realizat dintr-un profil C cu pereŃi subŃiri format la rece, care are ataşate plăci pe ambele tălpi, care previn flambajul pe direcŃia slabă şi flambajul prin răsucire. În Figura E.9.1(a) se prezintă schema statică şi încărcarea ce acŃionează pe montant.

Schema statică

(a) (b)

Figura E.9.1. Schema statică şi secŃiunea transversală


Modulul de elasticitate 2210000 N mmE =

Coeficientul lui Poisson 0,3ν =

Modulul de elasticitate transversal ( )281000 N mm

2 1

EG = =

+ ν

ÎnălŃimea montantului 3,1 mH = Deschiderea planşeului 5 mL = DistanŃa dintre grinzile de planşeu 0,6 mS= Încărcarea distribuită aplicată pe planşeu:

- încărcarea permanentă – planşeu uşor: 21,2 kN m G 1,2 0,6 0,72 kN mq = × =

- încărcarea utilă: 22,5 kN m Q 2,5 0,6 1,50 kN mq = × =

ForŃa concentrată corespunzătoare stării limit ă ultime, provenită de la nivelul superior şi de la acoperiş:

15,0 kNQ = Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale

ÎnălŃimea totală a inimii 150 mmh = LăŃimea totală a tălpii 40 mmb = LăŃimea totală a rebordului 15 mmc = Raza interioară 3 mmr = Grosimea nominală nom 1mmt = Grosimea miezului de oŃel 0,96 mmt = (conform §3.2.4(3) din SR EN1993-1-3)

Caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale eficace: Conform §5.5.3.1, §5.5.3.2 din SR EN1993-1-3 şi §4.4 din SR EN1993-1-5, respectiv

conform modelului de calcul prezentat în Exemplele E.7 şi E.8.

Aria eficace a secŃiunii transversale solicitate la compresiune rezultă:

2198 mmeffA =

PoziŃia axei z-z a secŃiunii transversale eficace în raport cu inima: c,eff 15,92 mmy =

Modulul de rezistenŃă eficace, din solicitarea de încovoiere după axa minimă de inerŃie rezultă:

3eff,z,com 1274 mmW =

3eff,z,ten 2585 mmW =




γM0 = 1,00 γM1 = 1,00

SREN 1993-1-3 § 2(3)

G 1,35γ = – încărcări permanente

Q 1,50γ = – încărcări variabile

SREN 1990 ForŃa concentrată totală, de compresiune, aplicată montantului, conform EN1990, se

calculează astfel:

( ) ( )Ed G G Q Q 1,35 0,6 1,50 1,50 5 10 25,3 kNN q q L Q= γ + γ + = × + × × + =

Verificarea rezistenŃei secŃiunii transversale: Următorul criteriu trebuie îndeplinit:

y,Ed y,EdEd

c,Rd cy,Rd,com

1M MN

N M

+ ∆+ ≤

SREN 1993-1-3 §6.1.9 unde: c,Rd eff yb M0N A f= γ

SREN 1993-1-3 §6.1.3 cz,Rd,com eff,com yb M0/M W f= γ

SREN 1993-1-3 §6.1.4 iar, conform §6.1.9(2) din SR EN1993-1-3, reprezintă momentele adiŃionale y,Ed Ed NyM N e∆ = ,

datorate deplasării centrului de greutate Nye pe axa y-y. (pentru acest caz particular, datorită

faptului că secŃiunea transversală este dublu simetrică, Ny 0e = ).

Verificarea rezistenŃei:

25300 0 25300 3,040,785 1

118 350 1,0 1274 350 1,0

+ ×+ = <× ×

– verifică

4. ELEMENTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE 4.1. Determinarea momentului critic elastic pentru bare solicitate la încovoiere Proiectarea unei bare solicitate la încovoiere cu forŃă tăietoare presupune verificarea rezistenŃei secŃiunii transversale şi verificarea stabilităŃii elementului. Aşa cum s-a arătat în 2.3, atunci când o bară încovoiată este încărcată după axa maximă de inerŃie, există tendinŃa de a-şi pierde stabilitatea printr-un mod de flambaj care implică atât o deplasare laterală (încovoiere după axa minimă de inerŃie) cât şi o rotire a secŃiunii (răsucire în jurul axei longitudinale a barei). Acest mod de pierdere a stabilităŃii barelor încovoiate este denumit flambaj lateral prin încovoiere-răsucire. Cu referire la Figura 2.10, presupunând grinda în consolă perfect dreaptă şi materialul perfect elastic, capătul consolei s-ar deplasa doar în plan vertical, pană când momentul încovoietor aplicat atinge o valoare critică, pentru care grinda îşi pierde stabilitatea prin încovoiere-răsucire şi apar deplasări în afara planului vertical. O metodă de proiectare pentru bare încovoiate, care îşi pot pierde stabilitatea prin încovoiere – răsucire, trebuie să ia în considerare un număr mare de factori, incluzând forma secŃiunii transversale, prezenŃa reazemelor laterale, modul de încărcare, distribuŃia tensiunilor reziduale şi imperfecŃiunile iniŃiale. În continuare se va prezenta modul de calcul al momentului critic de pierdere a stabilităŃii prin încovoiere – răsucire pentru un caz simplu, care va fi dezvoltat mai departe, pentru a include cazuri mai generale. Se consideră grinda simplu-rezemată din Figura 4.1 (daSilva ş.a., 2010), încărcată cu momente încovoietoare pe capăt, astfel încât bara este încărcată cu moment uniform pe toată lungimea. Reazemele împiedică deplasările laterale şi răsucirea secŃiunilor de capăt, dar permit deplanarea şi rotirea în jurul axelor secŃiunii transversale (y şi z). Acest caz se mai denumeşte în continuare cazul standard. Pentru calcul, se consideră următoarele ipoteze:

- bara este perfect dreaptă, fără nici un tip de imperfecŃiuni (geometrice sau de material); - secŃiunea este dublu-simetrică; - materialul are o comportare liniar elastică; - deplasările sunt mici.

Considerând configuraŃia deformată din Figura 4.1 cu sistemul de axe x’, y’, z’, se pot scrie trei ecuaŃii de echilibru, pentru aflarea deplasărilor necunoscute φ, v şi w. În conformitate cu ipoteza micilor deplasări, pentru secŃiunea transversală, se pot considera caracteristicile din poziŃia nedeformată. Pentru încovoiere după axa y’, considerând My’= My cos φ ≈ My, ecuaŃia de echilibru se poate scrie:

( )2

20y y

d w xEI M

dx+ = (4.1)

Pentru încovoiere după axa z’, considerând Mz’= My sin φ ≈ φ My, ecuaŃia de echilibru este:

( ) ( )2

20z y

d xEI x M

dx

νϕ+ = (4.2)

Pentru răsucire în jurul axei x’, considerând T= My sin (dv/dx) ≈ My (dv/dx), ecuaŃia diferenŃială pentru torsiune neuniformă este:

( ) ( ) ( )3

30w T y

d x d x d xEI GI M

dx dxdx

ϕ ϕ ν− + = (4.3)

Vedere segmentul A-C SecŃiunea C-C

Fig. 4.1: Flambaj prin încovoiere – răsucire pentru o bară cu secŃiune I dublu-simetrică sub acŃiunea unui moment încovoietor constant pe lungimea barei (daSilva ş.a., 2010)

EcuaŃia (4.1) este ecuaŃia diferenŃială utilizată în mod obişnuit pentru încovoierea după axa maximă de inerŃie şi depinde doar de deplasarea verticală a grinzii w(x). EcuaŃiile (4.2) şi (4.3) sunt cuplate. Derivând ecuaŃia (4.3) în raport cu x (poziŃia în lungul axei barei) şi înlocuind expresia d2v(x)/dx2 din ecuaŃia (4.2), se obŃine următoarea ecuaŃie diferenŃială de ordinul patru:

( ) ( ) ( )24 2

4 20

yw T

z

Md x d xEI GI x

EIdx dx

ϕ ϕϕ− − = (4.4)

Impunând condiŃiile de margine (rotirile φ în jurul axei grinzii sunt nule în dreptul reazemelor) se obŃine un sistem de ecuaŃii omogene. Punând condiŃia ca acest sistem să aibă soluŃie diferită de soluŃia banală (adică rotirea în jurul axei grinzii, care reprezintă necunoscuta ecuaŃiei, să nu fie nulă, ceea ce ar presupune că bara încovoiată rămâne nedeformată şi deci nu îşi pierde stabilitatea), se obŃine valoarea momentului My în această situaŃie, adică a momentului critic elastic de flambaj prin încovoiere-răsucire:

2

21E w

cr T zT

EIM GI EI

L L GI

ππ = +

(4.5)

în care: Iz este momentul de inerŃie după axa minimă de inerŃie z; IT este momentul de inerŃie la răsucire liberă; Iw este momentul de inerŃie la răsucire împiedicată; L este distanta între reazemele laterale ale grinzii.

PoziŃie iniŃială

PoziŃie deformată

PrezenŃa concomitentă în ecuaŃia (4.5) a rigidităŃii la încovoiere (EIz) şi a rigidităŃilor la răsucire (GIT, EIw) este o consecinŃă a modului de deformare a barei prin cele două componente: deplasare laterală şi răsucire. ImportanŃa relativă a acestor rigidităŃi în valoarea momentului critic este dată de forma secŃiunii transversale. Figura 4.2 prezintă comparaŃia între momentul critic al unei secŃiuni închise, cu o rigiditate mare la răsucire, cu momentul critic al unor secŃiuni deschise. Se observă că, faŃă de o secŃiune închisă, un profil I obişnuit are o valoare mult redusă a momentului critic. Acesta este motivul pentru care, în anumite situaŃii, pentru a mări momentul capabil al unei grinzi cu secŃiune I laminată sau sudată, predispusă la flambaj prin încovoiere-răsucire, se poate mari substanŃial rigiditatea la răsucire, transformând secŃiunea I într-o secŃiune închisă, prin sudarea a două platbenzi laterale de tălpile profilului, aşa cum se arată în Figura 4.3.

Rap

ort M

cr s

ecŃi

une

cu

rentă /

Mcr s

ecŃi

une

Ńeavă

rect

ang

ula

ră

Raport lungime / înălŃime

Fig. 4.2: Efectul formei secŃiunii transversale asupra momentului critic elastic (SSDATA, 1999)

Fig. 4.3: SecŃiune I cu rigiditate sporită la răsucire

În Figura 4.4 se prezintă comparativ valorile momentului critic elastic de flambaj prin încovoiere – răsucire pentru două grinzi I laminate la cald, de tip IPE, respectiv HEA (cu tălpi late), având

valori aproximativ egale pentru momentul capabil plastic (Mp). Bara încovoiată cu secŃiune I cu tălpi late, care are atât rigiditatea laterală (după axa minimă de inerŃie) cât şi rigiditatea la răsucire mult mai mari, prezintă, pentru aceeaşi deschidere, un raport superior între momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere – răsucire şi momentul capabil plastic al secŃiunii transversale.

Fig. 4.4: ComparaŃie între momentele critice elastice între secŃiuni IPE şi HEB

În paragrafele următoare se vor prezenta efectele: modului de încărcare, al condiŃiilor de rezemare şi al imperfecŃiunilor în verificarea stabilităŃii barelor încovoiate. 4.2 Efectul modului de încărcare şi al condiŃiilor de rezemare Expresia (4.5) este valabilă pentru determinarea momentului critic elastic de flambaj prin încovoiere – răsucire pentru bara simplu rezemată cu secŃiune dublu-simetrică, solicitată la încovoiere cu moment constant, cu rotirea după axa minimă de inerŃie şi deplanarea liberă pe reazeme. În realitate pot să apără şi alte situaŃii, cum ar fi bare cu secŃiune transversală nesimetrică, cu alte condiŃii de rezemare, atât în plan vertical cât şi pentru rotirea după axa minimă de inerŃie, respectiv pentru deplanare, alte încărcări şi în consecinŃă cu altă formă a diagramei de moment încovoietor. Determinarea momentului critic pentru fiecare caz presupune rezolvarea unor ecuaŃii diferenŃiale complexe şi de aceea, în practică, se utilizează expresii aproximative, aplicabile unui set mai larg de situaŃii. Pentru cazul uzual al grinzilor cu secŃiune constantă, dublu-simetrice sau mono-simetrice, în raport cu axa minimă de inerŃie, aşa cum se arată în Figura 4.5, momentul critic elastic poate fi determinat cu expresia (4.6) (Clark & Hill, 1960; Galea, 1981). Această expresie este aplicabilă elementelor structurale încovoiate după axa maximă de inerŃie, pentru diverse rezemări şi tipuri de încărcare.

0.522 22

1 2 3 2 32 2( )

( ) ( )( )

wz z z Tcr g j g j

w zz z

IEI k k L GIM C C z C z C z C z

k Ik L EI

ππ

= + + − − −

(4.6)

În această expresie, coeficienŃii C1, C2 şi C3 depind de modul de încărcare şi de condiŃiile de rezemare la capetele barei. Valorile acestor coeficienŃi sunt prezentate în Tabelele 4.1 şi 4.2 pentru câteva situaŃii uzuale (Boissonade et al, 2006).

Fig. 4.5: SecŃiuni mono-simetrice in raport cu axa minima de inerŃie

Produsul C2zg din expresia (4.6) Ńine cont de poziŃia punctului de aplicare al încărcării pe bara încovoiată, în relaŃie cu poziŃia centrului de tăiere. Aşa cum se arată în Figura 4.6, o încărcare gravitaŃională aplicată sub centrul de tăiere C al secŃiunii transversale (care coincide cu centrul de greutate G al secŃiunii în cazul secŃiunilor dublu-simetrice) are un efect stabilizator, în timp ce aceeaşi încărcare aplicată deasupra centrului de tăiere are un efect destabilizator. Termenul zg se calculează cu formula:

( )g a sz z z= − (4.7)

în care za şi zs sunt coordonatele punctului în care se aplică încărcarea, respectiv a centrului de tăiere C, relativ la centrul de greutate G al secŃiunii transversale. Valorile sunt pozitive când punctul de aplicare al încărcării şi centrul de tăiere se găsesc în zona comprimată, respectiv negative când se găsesc în zona întinsă a secŃiunii transversale a barei încovoiate.

Fig. 4.6: Efectul punctului de aplicare a încărcării

În Tabelul 4.1 se prezintă valorile coeficienŃilor C1-C3 pentru elemente structurale încărcate cu momente pe capăt. În acest tabel, având în vedere modul de încărcare, produsul C2zg este prin definiŃie nul, deci coeficientul C2 nu mai apare în tabel. Coeficientul C3 are valoare unitară atunci când momentele încovoietoare de pe capetele elementului structural produc compresiune pe aceeaşi talpă, pe toata lungimea grinzii. În caz contrar, în Tabelul 4.1, coeficientul C3 se calculează funcŃie de parametrul ψf care se determină cu formula:

fc ftf

fc ft

I I

I Iψ

−=

+ (4.8)

în care Ifc şi Ift reprezintă momentul de inerŃie a tălpii comprimate, respectiv întinse a secŃiunii transversale, calculate în raport cu axa minimă de inerŃie z. În cazul profilelor I mono-simetrice, Tabelele 4.1 şi 4.2 se pot utiliza doar dacă următoarea condiŃie este verificată:

0.9 0.9fψ− ≤ ≤ (4.9)

Mărimea zj din expresia (4.6) Ńine cont de asimetria secŃiunii transversale în raport cu axa maximă de inerŃie y. Formula de calcul al acestei mărimi este:

( )( )2 20.5 /j s y

A

z z y z z I dA

= − + ∫ (4.10)

Mărimea zj este nulă pentru secŃiuni dublu-simetrice (spre exemplu secŃiuni I sau H cu tălpi egale) şi are valori pozitive în cazul în care talpa comprimată a secŃiunii este talpa cu momentul de inerŃie cel mai mare în raport cu axa minimă de inerŃie a secŃiunii, în secŃiunea cu moment încovoietor maxim. În Tabelele 4.1 şi 4.2, condiŃiile de rezemare sunt cele din modelul de calcul pentru cazul simplificat prezentat în subcapitolul 4.1 (rotire liberă după axa minimă de inerŃie z şi deplanare liberă a secŃiunii transversale pe reazeme). Pentru a putea considera şi alte condiŃii de rezemare la capete, în expresia momentului critic elastic (4.6) există coeficienŃii lungimii de flambaj prin încovoiere după axa minimă de inerŃie kz, respectiv prin răsucire kw. În cazul unor situaŃii complexe, elemente cu momente la capete (elemente dublu încastrate sau porŃiuni între două blocaje transversale) încărcate cu sarcini uniform distribuite sau concentrate, se recomandă procedura din www.access-steel.com (SN003a-EN-EU – NCCI: Elastic critical moment for lateral torsional buckling) sau utilizarea unui software specializat (de exemplu: LTBeam versiunea 1.0.8 (2002-2009) – Lateral Torsional Buckling of Beams by Yvan Galea produs de CTICM (www.cticm.com)). În Anexa V se prezintă monogramele pentru coeficienŃi C1 şi C2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate (SN003a-EN-EU – www.access-steel.com), valabile pentru kz = 1 şi kw = 1. Se consideră două cazuri distincte:

Cazul a) momente încovoietoare la capete şi încărcărilor transversale uniform distribuite; Cazul b) momente încovoietoare la capete şi încărcări transversale concentrate la mijlocul deschiderii.

Coeficientul kz se referă la posibilitatea de rotire a secŃiunii transversale pe reazeme, după axa minimă de inerŃie a secŃiunii, iar coeficientul kw se referă la posibilitatea deplanării secŃiunii transversale pe reazeme. Aceşti coeficienŃi variază între 0.5 (fixare perfectă la ambele capete), 0.7 (fixare perfectă la un capăt şi celalalt capăt liber) şi 1.0 (liber la ambele capete). Dacă nu s-au luat măsuri speciale pentru fixarea deplanării secŃiunii transversale în dreptul reazemelor, coeficientul kw poate fi considerat, în mod conservativ, egal cu unitatea. Dealtfel, având în vedere că în multe situaŃii practice fixarea atât din punct de vedere al încovoierii după axa minimă de inerŃie cât şi din punct de vedere al deplanării este doar parŃială, ambii coeficienŃi pot fi consideraŃi în mod conservativ egali cu unitatea. Cu toate acestea, există detalii structurale de îmbinare sau de rezemare a grinzilor pentru care se poate considera o fixare perfectă. Proiectantul trebuie să aibă în vedere relaŃia între modul de alcătuire al detaliilor structurale şi alegerea coeficienŃilor lungimilor de flambaj pentru calculul momentului critic elastic pentru flambaj prin încovoiere – răsucire. În Figura 4.7 sunt prezentate câteva exemple cu detalii

structurale (îmbinare rigidă şi articulată rigla-stâlp, îmbinare articulată grindă secundară – grindă principală, reazem articulat grindă) pentru care sunt precizate condiŃiile de fixare. Tabelul 4.1: CoeficienŃi C1, C3 pentru elemente structurale încovoiate, cu momente pe capete

C3 Încărcare şi condiŃii de rezemare

Diagrama de momente

kz C1 0≤fψ 0>fψ

1.0

0.5

1.00

1.05

1.000

1.019

1.0

0.5

1.14

1.19

1.000

1.017

1.0

0.5

1.31

1.37

1.000

1.000

1.0

0.5

1.52

1.60

1.000

1.000

1.0

0.5

1.77

1.86

1.000

1.000

1.0

0.5

2.06

2.15

1.000

1.000

0.850

0.650

1.0

0.5

2.35

2.42

1.000

0.950

fψ2.13.1 −

fψ77.0

1.0

0.5

2.60

2.45

1.000

0.850

fψ55.0

fψ35.0

1.0

0.5

2.60

2.45

fψ−

0.125 0.7 fψ− −

fψ−

fψ7.0125.0 −−

Tabelul 4.2: CoeficienŃi C1, C2 şi C3 pentru elemente structurale încovoiate cu încărcări direct aplicate

Încărcare şi condiŃii de rezemare

Diagrama de moment încovoietor

kz C1 C2 C3

1.0 0.5

1.127 0.97

0.454 0.36

0.525 0.478

1.0 0.5

1.348 1.05

0.630 0.48

0.411 0.338

1.0 0.5

1.04 0.95

0.42 0.31

0.562 0.539

- Încastrat pentru încovoiere după axa y - ArticulaŃie pentru încovoiere după axa y

- Rotire după axa z împiedicată - Rotire după axa z liberă - Deplanarea împiedicată - Deplanare liberă a) Îmbinare rigidă grindă – stâlp b) Îmbinare articulată grindă – stâlp

- ArticulaŃie pentru încovoiere după axa y - ArticulaŃie pentru încovoiere după axa y - Rotire după axa z liberă - Rotire după axa z parŃial împiedicată - Deplanare liberă - Deplanare liberă c) Îmbinare grindă secundară-principală d) Reazem articulat-secŃiune de capăt liberă

- ArticulaŃie pentru încovoiere după axa y - Rotire după axa z împiedicată - Deplanare împiedicată e) Reazem articulat – secŃiune de capăt rigidizată

Fig. 4.7: Detalii de îmbinări Chiar dacă, aşa cum s-a precizat anterior, în general este conservativ să se considere lungimea de flambaj egală cu lungimea grinzii (prin coeficienŃii k, kw unitari), există situaŃii care conduc la o rezistenŃă redusă la răsucire, pentru care lungimea de flambaj trebuie majorată, cum ar fi cazul grinzilor rezemate la talpa de jos, fără rigidizare în dreptul reazemului (a se vedea Figura 4.7d). În această situaŃie, chiar dacă rotirea în jurul axei minime de inerŃie este parŃial împiedicată, funcŃie de zvelteŃea inimii, în deformata de pierdere a stabilităŃii poate să apără o componentă de distorsiune a secŃiunii transversale (a se vedea Figura 4.8), ceea ce conduce la un moment critic de flambaj lateral prin încovoiere – răsucire redus. În absenŃa unor detalii constructive pentru a preveni acest fenomen (spre exemplu rigidizare pe capătul secŃiunii, ca în Figura 4.7e), Bradford (1989) a propus ca pentru calculul lungimii de flambaj a elementului să se utilizeze următoarele formule:

- pentru momente încovoietore aplicate la capete:

3 1

6 2s w s

ff

b

h t hL L

tα

+ = +

(4.11)

- pentru încărcare concentrată aplicată la mijlocul deschiderii:

3/2 1

106 2s w s

ff

b

h t hL L

t

+ = +

(4.12)

În ambele situaŃii, L reprezintă deschiderea grinzii, hs este distanŃa dintre centrele de greutate ale tălpilor, b este lăŃimea tălpii, tf şi tw sunt grosimile tălpilor, respectiv inimilor, iar α este dat de relaŃia 24 7 4α ψ ψ= + + , unde ψ este raportul momentelor de capăt.

Fig. 4.8: Distorsiunea secŃiunii transversale (vezi Figura 4.7d)

În cazul elementelor structurale încovoiate cu rezemări intermediare cum este de exemplu cazul tiranŃilor pentru pane de acoperiş (a se vedea Figura 4.9), sau al grinzilor secundare pentru grinzile principale (a se vedea Figura 4.10), segmentele de grindă dintre acestea pot fi tratate în mod izolat, dimensionarea barei încovoiate bazându-se pe segmentul critic (cel mai solicitat, sau cu lungimea de flambaj cea mai mare). Lungimile de flambaj considerate în calcul între reazemele intermediare pot fi calculate considerând factorul k unitar, având în vedere alura deformatei de flambaj a grinzii pe toată lungimea. Nu se consideră, în această discuŃie, cazul elementelor structurale încovoiate care au legături transversale discrete, care va fi tratat separat, în paragraful 4.6.

Fig. 4.9: Rezemări intermediare – tiranŃi pentru pane de acoperiş

Fig. 4.10: Rezemări intermediare – grinzi secundare pentru grinzi principale

Grinzile continue pe mai multe reazeme pot fi, de asemenea, tratate ca segmente individuale între reazeme, Ńinând cont de alura diagramei de moment încovoietor, ca rezultat al continuităŃii elementului structural. Verificarea stabilităŃii tălpii libere (doar talpa inferioară, în cazurile uzuale) pentru panele de acoperiş cu tiranŃi se verifică în conformitate cu 10.1.4.2 din SR EN1993-1-3, în care sunt date expresii de calcul cu coeficienŃi care Ńin cont de numărul de tiranŃi de pe deschidere, precum şi de tipul deschiderii (marginală sau intermediară). De asemenea, se face diferenŃa între tipul de solicitare, în cazul panelor realizate ca şi grindă continuă, adică încărcare gravitaŃională (când porŃiunea de talpă liberă comprimată este în apropierea reazemelor) sau sucŃiune (când porŃiunea de talpă liberă comprimată este în câmp). Dacă nu se asigură continuitatea panelor peste reazeme, atunci verificarea de stabilitate este necesară doar pentru sucŃiune, în cazul uzual al panelor cu talpă inferioară liberă. 4.3 Efectul imperfecŃiunilor şi efectul plasticizării În verificarea stabilităŃii barelor încovoiate, este necesar să se Ńină cont de efectul următoarelor imperfecŃiuni:

- deplasări laterale iniŃiale; - răsuciri iniŃiale; - excentricitatea încărcărilor relativ la poziŃia centrului de tăiere al secŃiunii transversale; - tensiuni reziduale.

Datorită prezenŃei imperfecŃiunilor, comportamentul real al barelor încovoiate diferă de cel teoretic şi momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere – răsucire nu este de fapt atins niciodată. Considerând analogia între Ncr şi Mcr, abordarea flambajului prin încovoiere-răsucire a barei încovoiate este similară cu abordarea flambajului barei comprimate. Astfel:

- rezistenŃa barelor scurte depinde de momentul capabil elastic sau plastic al secŃiunii transversale (funcŃie de clasa secŃiunii);

- rezistenŃa barelor cu zvelteŃe mare depinde de valoarea momentului critic Mcr, asociat cu flambajul lateral prin încovoiere – răsucire;

- rezistenŃa barelor cu valori intermediare ale zvelteŃii depinde de interacŃiunea între fenomenul de pierdere a stabilităŃii şi plasticizarea secŃiunii transversale.

Efectul imperfecŃiunilor geometrice poate fi introdus în procedura de verificare a elementului structural încovoiat după axa maximă de inerŃie, în mod similar elementelor solicitate la compresiune axiala. Pentru aceasta, se consideră cazul simplu al barei încovoiate dublu-articulate din Figura 3.1, cu condiŃiile de rezemare precizate în subcapitolul 4.1, cu secŃiune transversală dublu-simetrică I sau H, la care se aplică o imperfecŃiune iniŃială sub forma unei deformate sinusoidale cu amplitudine e0, de forma:

0 0 sinx

y eL

π =

(4.13)

Printr-o analiză elastică de ordinul II (Boissonade et al, 2006) starea limită de pierdere a stabilităŃii poate fi definită prin atingerea limitei de curgere pe secŃiunea transversală prin expresia:

22

,, , ,,

0 2 22, , ,,

2

1 2 1.0

1

cr zy Ed y Ed y Edcr z

y Rd z Rd cr z Rd cry Ed

cr

hNM M MN

eM M M M MM

M

+ + ≤ −

(4.14)

în care: Mcr este momentul critic elastic; My,Rd şi Mz,Rd sunt momentele capabile elastice ale secŃiunii transversale; Ncr,z este încărcarea critică elastică Euler, pentru flambajul în raport cu axa minimă de inerŃie z; h este înălŃimea secŃiunii transversale între centrele de greutate ale tălpilor. În expresia (4.14), al doilea şi al treilea termen reprezintă efectul momentelor încovoietoare de ordinul II (primul termen), respectiv efectul bimomentelor, datorită deformării spaŃiale a barei încovoiate. Impunând ca valoarea de calcul a momentului încovoietor My,Ed să fie egală cu rezistenŃa barei încovoiate la flambaj lateral prin încovoiere –răsucire, dată de produsul χLTMy,Rd, din expresia (4.14) se poate determina valoarea amplitudinii imperfecŃiunii ini Ńiale laterale e0, funcŃie de factorul de reducere pentru flambaj lateral prin încovoiere răsucire, χLT:

( )2

420 4

2

1 11 1

12

zzLTLT

LT LTLT

y z

We

A hAW

λχ λχ λ χ

λ

= − −

+ (4.15)

în care: Wy şi Wz sunt modulele de rezistenŃa ale secŃiunii transversale în raport cu axele y şi z;

zλ este zvelteŃea redusă pentru flambaj prin încovoiere în raport cu axa z;

( )0.5

, /LT y Rk crM Mλ = este zvelteŃea redusă pentru flambajul lateral prin încovoiere răsucire;

My,Rk este valoarea caracteristică a rezistenŃei la încovoiere în raport cu axa y-y. La fel ca în cazul barelor comprimate, tensiunile reziduale şi alte imperfecŃiuni geometrice, menŃionate la începutul acestui capitol, afectează rezistenŃa la flambaj lateral prin încovoiere – răsucire a barelor încovoiate. În mod simplificat, analog cazului barelor comprimate, aceste imperfecŃiuni sunt luate în considerare în proiectarea elementelor structurale solicitate la încovoiere cu ajutorul conceptului de imperfecŃiune echivalentă.

ImperfecŃiunea echivalentă laterală iniŃială dată de expresia (4.14) are o semnificaŃie similară cu cea din expresia (3.17) pentru cazul barelor comprimate centric, chiar dacă parametrii conŃinuŃi în cele două expresii sunt diferiŃi. În consecinŃă, este posibilă definirea unei proceduri similare pentru flambajul lateral prin încovoiere – răsucire al barelor încovoiate. Pentru a putea aplica aceasta procedură, a fost necesară calibrarea imperfecŃiunilor laterale ale barelor reale. În baza unui program extins de simulări numerice şi de teste (Boissonade et al, 2006), s-a concluzionat că proiectarea majorităŃii elementelor structurale din oŃel solicitate la încovoiere (inclusiv a elementelor cu secŃiune I şi H laminate la cald sau sudate) poate fi realizată utilizând curbele de flambaj europene obŃinute anterior pentru proiectarea barelor comprimate axial. Metodologia de verificare a elementelor structurale încovoiate la flambaj prin încovoiere–răsucire în conformitate cu SR EN 1993-1-1 se prezintă în secŃiunea următoare. 4.4 Verificarea la flambaj lateral prin încovoiere – răsucire a barelor încovoiate în conformitate cu SR EN 1993-1-1 RezistenŃa unui element structural solicitat la încovoiere după axa maximă de inerŃie presupune verificarea următoarei condiŃii (a se vedea 6.3.2.1(1) din SR EN1993-1-1):

,

1.0Ed

b Rd

M

M≤ (4.16)

în care: MEd este valoarea de calcul a momentului încovoietor; Mb,Rd este momentul capabil al elementului, Ńinând cont de posibilitatea pierderii stabilităŃii prin încovoiere-răsucire (calculat cu expresia 6.3.2.1(3) din SR EN 1993-1-1):

, 1/b Rd LT y y MM W fχ γ= (4.17)

în care: Wy=Wpl,y este modulul de rezistenŃă plastic pentru secŃiuni de clasă 1 şi 2; Wy=Wel,y este modulul de rezistenŃă elastic pentru secŃiuni de clasă 3; Wy=Weff,y este modulul de rezistenŃă efectiv pentru secŃiuni de clasă 4; χLT este factorul de reducere pentru flambajul lateral prin încovoiere–răsucire. În Anexa VI se prezintă clasificarea secŃiunilor transversale în clase de secŃiuni, funcŃie de supleŃea pereŃilor secŃiunii şi de distribuŃia şi semnul tensiunilor σ. SR EN1993-1-1 oferă două metode de calcul a factorului de reducere χLT pentru bare încovoiate: o metodă generală, mai conservativă, care poate fi aplicată oricărui tip de secŃiune transversală şi o metodă alternativă care poate fi aplicată barelor din profile laminate la cald sau sudate echivalente. 4.4.1. Metoda generală de calcul În conformitate cu metoda generală (a se vedea 6.3.2.2 din SR EN 1993-1-1), factorul de reducere χLT se determină cu expresia:

( )0.522

1LT

LTLT LT

χφ φ λ

=+ −

, dar 1LTχ ≤ (4.18)

în care:

( ) 20.5 1 0.2LT LTLT LTφ α λ λ = + − +

0.5/LT y y crW f Mλ =

LTα este factorul de imperfecŃiune care depinde de curba de flambaj considerată;

Mcr este momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere-răsucire. Curbele de flambaj care se adoptă în calcul depind de geometria secŃiunii transversale a barei încovoiate şi sunt prezentate în Tabelul 4.3 (a se vedea Tabelul 6.4 din SR EN1993-1-1). Pentru factorul de imperfecŃiune αLT asociat diverselor curbe de flambaj se vor considera valorile date în secŃiunea 3.5 pentru factorul de imperfecŃiune α pentru cazul barelor solicitate la compresiune axială.

Tabelul 4.3: Curbe de flambaj prin încovoiere-răsucire pentru metoda generala de calcul SecŃiune Limite Curbe de flambaj

2/ ≤bh a SecŃiuni I or H laminate h/b>2 b

2/ ≤bh c SecŃiuni I or H sudate h/b>2 d

Alte secŃiuni --- d În conformitate cu 6.3.2.2(4) din SR EN 1993-1-1, verificarea rezistenŃei la flambaj prin încovoiere-răsucire a elementelor structurale încovoiate poate fi neglijată daca cel puŃin una

dintre următoarele condiŃii este îndeplinită: ,0LT LTλ λ≤ sau 2

,0/ LTEd crM M λ≤ .

4.4.2 Metoda alternativă de calcul pentru profile laminate sau secŃiuni sudate echivalente În conformitate cu metoda alternativă (a se vedea 6.3.2.3 din SR EN1993-1-1), factorul de reducere χLT pentru profile laminate sau sudate echivalente se determină cu expresia:

( )0.522

1LT

LTLT LT

χφ φ β λ

=+ −

, dar 2/1

0.1

LTLT

LT

λχ

χ

≤

≤ (4.19)

în care:

( ) 2,00.5 1 LT LT LTLT LTφ α λ λ β λ = + − +

;

,0LTλ şi β sunt parametrii definiŃi în Anexa NaŃională; valorile recomandate sunt

,0 0.4LTλ = (valoare maximă), respectiv 0.75β = (valoare minimă);

LTλ este zvelteŃea redusă, calculată la fel ca în metoda generală; Mcr este momentul critic elastic. La fel ca pentru metoda generală, curbele de flambaj care se adoptă în calcul depind de geometria secŃiunii transversale a barei încovoiate şi sunt date, pentru metoda alternativă, în Tabelul 4.4 (a se vedea Tabelul 6.5 din SR EN 1993-1-1). Pentru factorul de imperfecŃiune αLT asociat diverselor curbe de flambaj se vor considera şi în această situaŃie valorile date în secŃiunea 3.5 pentru factorul de imperfecŃiune α pentru cazul barelor solicitate la compresiune axială.

Tabelul 4.4: Curbe de flambaj prin încovoiere-răsucire pentru metoda alternativă de calcul

SecŃiune Limite Curbe de flambaj

SecŃiuni I or H laminate 2/ ≤bh

h/b>2 b c

SecŃiuni I or H sudate 2/ ≤bh

h/b>2 c d

În această metodă, alura diagramei de moment încovoietor între legăturile transversale ale elementului structural verificat este considerată în calcul printr-un factor de reducere modificat χLT,mod:

,modLT

LT f

χχ = , dar ,mod 1.0LTχ ≤ (4.20)

Parametrul f poate fi indicat în Anexa NaŃională, iar valoarea recomandată minimă este dată de expresia:

( ) ( )21 0.5 1 1 0.2 0.8LTcf k λ = − − − −

dar 1.0f ≤ (4.21)

Valoarea factorului de corecŃie kc este dată în Tabelul 4.5 (Tabelul 6.6 din SR EN 1993-1-1).

Tabelul 4.5: Factorul de corecŃie kc

Diagrama de momente încovoietoare kc

1ψ =

1 1ψ− ≤ ≤

1.0

1

1.33 0.33ψ−

0.94

0.90

0.91

0.86

0.77

0.82 ψ este raportul dintre momentele de capăt, cu 1 1ψ− ≤ ≤

În Tabelul 4.5 sunt prezentate trei seturi de diagrame de moment încovoietor. Primul set se referă la bare încovoiate cu momente pe capete. Al doilea set de diagrame poate reprezenta cazul

încărcării uniform distribuite pe lungimea barei, combinate cu momente pe capăt. Pentru cel de al treilea set, diagramele pot reprezenta cazul unei încărcări concentrate aplicate la mijlocul deschiderii barei, combinate cu momente pe capăt. CondiŃiile de rezemare nu sunt relevante, deoarece sunt deja reproduse prin diagramele de moment. Valorile kc prezentate în Tabelul 4.5 corespund unor situaŃii uzuale; unele valori sunt exacte, altele aproximative. 4.4.3 Metode pentru îmbunătăŃirea capacităŃii elementului structural încovoiat RezistenŃa la flambaj prin încovoiere – răsucire a elementelor structurale încovoiate poate fi îmbunătăŃită în proiectare în două moduri:

- prin sporirea rigidităŃii la încovoiere laterală şi/sau răsucire, prin schimbarea profilelor I cu profile H (din profile de tip IPE în profile de tip HEA sau HEB) sau cu profile cu secŃiune închisă (pătrată, rectangulară, circulară); o alternativă este şi sudarea de tălpile profilului a unor platbenzi, aşa cum s-a arătat în Figura 4.3;

- prin introducerea de legături laterale în lungul barei încovoiate, pentru zonele comprimate ale secŃiunii transversale (talpa comprimată în cazul profilelor I sau H).

În mod obişnuit, cea de a doua alternativă este mai economică, chiar dacă în anumite cazuri nu este uşor de realizat, deoarece, pentru aceasta, este necesar ca legăturile transversale să fixeze zona comprimată a secŃiunii transversale de alte puncte din structură, care trebuie să prezinte deplasări transversale neglijabile. SecŃiunea 4.5 prezintă în continuare o metodă simplificată de calcul pentru verificarea rezistenŃei la flambaj prin încovoiere – răsucire pentru grinzi cu legături transversale, făcând parte din structuri (6.3.2.4 din SR EN1993-1-1). 4.5 Metoda simplificată pentru grinzi cu legături transversale, făcând parte din structuri Aşa cum s-a arătat în secŃiunea anterioară, rezistenŃa la flambaj prin încovoiere – răsucire a elementelor structurale solicitate la încovoiere poate fi îmbunătăŃită prin introducerea unor legături transversale discrete în lungul barei încovoiate, care să fixeze zona comprimată a secŃiunii transversale de alte puncte din structură. Un exemplu tipic în acest sens este fixarea tălpii inferioare a unei grinzi de panele de acoperiş, aşa cum se arată în Figura 4.11. În acest caz, fixarea tălpii superioare se realizează direct prin pane, în zonele de rezemare a acestora pe grindă, iar talpa inferioară se fixează de pane prin contrafişe.

Fig. 4.11: Fixarea tălpii inferioare a grinzii de panele de acoperiş (SR EN 1993-1-1)

Barele încovoiate a căror talpă comprimată este prevăzută cu legături transversale discrete nu

trebuie verificate la stabilitate generală dacă lungimea Lc dintre legături sau zvelteŃea fλ tălpii comprimate echivalente, definită mai jos, satisface următoarea condiŃie:

,0

, 1 .

c Rdc cf c

f z y Ed

Mk L

i Mλ λ

λ= ≤ (4.22)

în care: Lc este lungimea barei încovoiate între legături (distanŃa dintre legături); My,Ed este valoarea de calcul maximă a momentului încovoietor între legături;

1,

M

yyRdc

fWM

γ=

Wy este modulul de rezistenŃă în raport cu talpa comprimată; kc este un factorul de corecŃie al zvelteŃii, care Ńine seamă de distribuŃia momentului de

încovoiere între legături (a se vedea Tabelul 4.5 din subcapitolul 4.4); i f,z raza de giraŃie a secŃiunii formate de talpa comprimată a grinzii plus o treime din

partea comprimată a inimii, în raport cu axa minimă de inerŃie a secŃiunii;

,0cλ parametrul de zvelteŃe limită a tălpi comprimate echivalente;

1 93.9y

E

fλ π ε= =

2235 (f in N/mm )y

yfε =

Parametrul de zvelteŃe limită ,0cλ este specificat Anexa NaŃională, valoarea recomandată fiind

,0 ,0 0.1c LTλ λ= + (a se vedea subcapitolul 4.4.2).

Dacă zvelteŃea tălpii comprimate echivalente, fλ , depăşeşte limita dată în relaŃia (4.22), atunci momentul capabil al barei încovoiate pentru flambaj prin încovoiere – răsucire poate fi calculat astfel:

, ,b Rd fl c RdM k Mχ= dar , ,b Rd c RdM M≤ (4.23)

în care: χ este factorul de reducere pentru talpa comprimată echivalentă, determinat funcŃie de

zvelteŃea tălpii comprimate echivalente; kfl este un factor de modificare care ia în considerare faptul că metoda tălpii comprimate

echivalente oferă rezultate conservative; valoarea recomandată pentru acest factor în Anexa NaŃională este 1.10.

Pentru aplicarea relaŃiei (4.23), se consideră următoarele curbe de flambaj:

curba d pentru secŃiunile sudate, cu condiŃia: ε44≤ft

h;

curba c pentru toate celelalte secŃiuni; în care h este înălŃimea secŃiunii transversale, iar tf este grosimea tălpii comprimate. Anexa BB.3 din SR EN 1993-1-1 oferă valori limită ale distanŃelor dintre legăturile transversale pentru diverse situaŃii. În cazul în care se prevăd legături transversale la distanŃe cel puŃin egale cu aceste valori limită, nu mai este necesară efectuarea unui verificări de rezistenŃă la flambaj prin încovoiere – răsucire a elementelor structurale încovoiate respective.

În continuare se prezintă exemple de calcul ce acoperă partea teoretică a acestui capitol, şi anume: Exemplul E.10. Determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire; Exemplul E.11. Determinarea rezistentei la pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire a unui element cu legaturi transversale continue; Exemplul E.12. Calculul unei grinzi cu secŃiune transversală de tip C formată la rece, solicitată la încovoiere. EXEMPLE DE CALCUL

E.10. Determinarea rezisten Ńei la pierderea stabilit ăŃii prin încovoiere-r ăsucire

Descrierea problemei Să se facă toate verificările de rezistenŃă şi stabilitate pentru grinda simplu rezemată,

realizată din profile europene IPE 400 - S420, încărcată cu o sarcină uniform distribuită cu intensitatea de 22,65 kN/m. Grinda nu este fixată lateral decât în dreptul reazemelor. Nu sunt prevăzute dispozitive speciale în rezemări care să prevină deplanarea liberă a secŃiunii, iar secŃiunea este liberă să se rotească în jurul axei minime de inerŃie.

Schema statică şi de încărcare Grinda simplu rezemată încărcată cu o încărcare uniform distribuită:

blocaje laterale

blocaje laterale

L

Figura E.10. Schema statica si modul de încărcare

Rezemările sunt de tip furcă - blocaje lateral ce previn răsturnarea.

Datele problemei Datele geometrice ale elementului sunt prezentate în continuare:

Deschiderea L = 7500 mm Marca oŃelului S420

Caracteristicile dimensionale şi geometrice ale secŃiunii transversale: Profil laminat european IPE 400 - Marca S420 ÎnălŃimea h = 400,0 mm ÎnălŃimea libera a inimii hw = 373,0 mm LăŃimea tălpilor b = 180,0 mm Grosimea inimii tw = 8,6 mm

Grosimea tălpilor tf = 13,5 mm Raza de racord r = 21,0 mm Aria secŃiunii transversale A = 84,5 cm2

Momentul de inerŃie maxim /yy Iy = 23128 cm4

Momentul de inerŃie minim /zz Iz = 1318 cm4

Momentul de inerŃie la torsiune It = 51,08 cm4

Moment de inerŃie sectorial Iw = 490000 cm6 Modulul de rezistenŃă elastic Wel,y = 1156,4 cm3 Modulul de rezistenŃă plastic Wpl,y = 1307,1 cm3 Raza de giraŃie / zz iz = 3,95 cm Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z

Figura E.10.2 SecŃiunea transversală

Determinarea eforturilor de calcul

+-

+

M

V

Vz,Ed

My,Ed

Figura E.10.3. Diagramele de eforturi

2, 0,125 22,65 159,260y EdM L kNm= ⋅ ⋅ =

, 0,5 22,65 84,339z EdV L kN= ⋅ ⋅ =

Caracteristici mecanice Marca oŃelului S420; Grosimea maximă de perete este tf = 13,5 mm < 40 mm, astfel încât limita de curgere este

fy = 420 N/mm2.

Determinarea clasei secŃiunii Parametrul ε depinde de limita de curgere a materialului:

2

235 2350,75

420[N/mm ]yfε = = =

Talpă în consolă supusă la compresiune:

+c

Figura E.10.4. Talpa in consola supusa la compresiune

2 180 8,6 2 21

64,7 mm2 2

wb t rc

− − ⋅ − − ⋅= = =

64,7

4,973 9 9 0,75 6,7513,5f

c

t= = < ⋅ ε = ⋅ = ⇒ talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

Perete interior supus la încovoiere:

+

-

f y

f y

c

Figura E.10.5. Perete interior (inima) supus la încovoiere 2 2 400 2 13,5 2 21 331 mmfc h t r= − − = − ⋅ − ⋅ =

331

38,49 72 72 0,75 548,6w

c

t= = < ⋅ε = ⋅ = ⇒ inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

Clasa unei secŃiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puŃin favorabilă) a pereŃilor săi comprimaŃi: în cazul de faŃă: Clasa 1.

Deoarece avem de-a face cu o secŃiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face bazându-ne pe capacitatea plastică a secŃiunii transversale.

Verificarea la încovoiere Pentru o secŃiune de clasa 1 rezistenŃa de calcul a unei secŃiuni transversale supusă la


3

, ,0

1307,1 10 420548980000 Nmm 548,98 kNm

1,0pl y

c Rd pl RdM

W fM M

⋅ ⋅ ⋅= = = = =γ

SREN 1993-1-1 (6.13)

Valoarea de calcul MEd a momentului încovoietor în fiecare secŃiune transversală trebuie să satisfacă condiŃia:

,

159,30,29 1,0

549Ed

c Rd

M

M= = ≤ ⇒ secŃiunea verifică

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1

ObservaŃie: Pentru elementele supuse la încovoiere este necesară şi verificarea elementului la pierderea stabilităŃii prin încovoiere răsucire.


forfecare, care se defineşte:

22 ( 2 ) 6450 2 180 13,5 13,5 (8,6 2 21) 4273 mmvz f f wA A b t t t r= − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3)

Valoarea de calcul a rezistenŃei plastice la forfecare În absenŃa răsucirii, aceasta este dată de relaŃia:

, ,0

( / 3) 4273 4201036 kN

3 1,0vz y

pl z RdM

A fV

⋅ ⋅= = =γ ⋅

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2)


,

84,940,082 1,0

1036Ed

c Rd

V

V= = ≤

Pentru inimile grinzilor, care nu sunt prevăzute cu rigidizări transversale, rezistenŃa la voalare din forfecare nu este necesară dacă e îndeplinită condiŃia:

400 2 13,5 0.75

72 43,37 72 548,6 1

w

w

h

t

ε − ⋅≤ ⋅ → = ≤ ⋅ =η

η – se consideră acoperitor egal cu 1,0.

RezistenŃa la încovoiere-răsucire

• Determinarea factorului de reducere pentru pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire Pentru a determină momentul de rezistentă de calcul la pierderea stabilităŃii prin încovoiere-

răsucire pentru o grindă nefixată lateral trebuie determinat în prealabil factorul de reducere pentru încovoiere-răsucire. Acest factor depinde de valoarea momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire.

• Momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere-răsucire Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire poate fi calculat folosind

următoarea expresie (4.6): 2 22

21 2 3 2 32 2

( )( ) ( )

( )w tz

cr g j g jw z z

I kL GIEI kM C C z C z C z C z

k IkL EI

⋅π ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ π ⋅

, unde

2 2( )

02

Aj s i

y

z y z dA

z z zI

⋅ + ⋅= ⋅ − =

⋅

∫ (4.10) pentru secŃiuni dublu simetrice si expresia devine:

2 22

21 2 22 2

( )( )

( )w tz

cr g gw z z

I k L G IE I kM C C z C z

k Ik L E I

⋅ ⋅ ⋅π ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅

unde: E – modulul de elasticitate longitudinal E = 210000 N/mm2 G – modulul de elasticitate transversal G = 80770 N/mm2 L – deschiderea grinzii L = 7500 mm k Ńine cont de posibilitatea de rotire în plan – în jurul axei minime de inerŃie zz. kw Ńine cont de posibilitatea deplanării libere din răsucire a secŃiunii transversale.

În calculul Mcr, au fost introduse următoarele valori pentru factori: k = 1 deoarece talpa comprimată e libera să se rotească în jurul axei minime de inerŃie, kw = 1 deoarece nu sunt prevăzute măsuri speciale de împiedecare a deplasării libere a

capetelor grinzii. zg distanŃa de la punctul de aplicare al încărcării la centru de tăiere (zg are valori pozitive când încărcarea este aplicata spre centru de tăiere - efect favorabil). În cazul de faŃă încărcare acŃionează la talpa superioară (situaŃia uzuală în cazul grinzilor):

400

200 mm2 2gh

z = = =

C1 şi C2 – coeficienŃi ce depind de forma diagramei de moment încovoietor, de proprietăŃile secŃiunii transversale şi de condiŃiile de margine (rezemare). Pentru o încărcare uniform distribuită şi k = 1, avem următoarele valori (vezi Tabelul 4.2):

C1 = 1,127 C2 = 0,454

Datorită complexităŃii expresiei, a posibilităŃii inerente a unor erori algebrice este recomandată efectuarea aritmeticilor pe termeni, pentru urmărirea mai facilă a calculelor:

2 2 5 4 130 3,14 2,1 10 1318 10 2,732 10zT E I= π ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

2 13

31 1 2 2

2,732 101,127 547,31 10

( ) (1 7500)zE I

T Ck L

π ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅

2 2 9

32 4

1 490 1037,18 10

1 1318 10w

w z

k IT

k I

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

2 2 4

33 2 13

( ) (1 7500) 80770 51 1084,81 10

2,732 10t

z

k L G I T

E I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅π ⋅ ⋅ ⋅

4 2 0,454 200 90,8gT C z= ⋅ = ⋅ =

2

1 2 3 4 4

3 3 3 2547,13 10 37,18 10 84,81 10 90,8 90,8 147,78 kNm

crM T T T T T = ⋅ + + − =

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + − =

Pentru exemplificarea determinării momentului critic elastic de flambaj prin încovoie-

răsucire, se vor considera mai multe situaŃii de rezemare la capete si de încărcare ale aceluiaşi element IPE400 L=7500m:

− Element simplu rezemat cu încărcare uniform distribuita cu rotirea blocata in jurului axei minime de inerŃie la capete kz = 0.5:

C1 = 0,97; C2 = 0,36 (Tabel 4.2) 220,27kNmcrM ⇒ =

− Element simplu rezemat cu încărcare concentrata si legătura transversala la jumătatea deschiderii cu rotirea libera in jurului axei minime de inerŃie la capete kz = 1,0:

3,75mL = distanta intre doua legăturii transversale C1 = 1,35; C2 = 0,630 395,724kNmcrM =

− Element dublu încastrat cu încărcare uniform distribuita cu rotirea libera in jurului axei minime de inerŃie la capete kz = 1,0:

C1 = 2,578; C2 = 1,554 (vezi Anexa V) 415,026kNmcrM ⇒ =

• ZvelteŃea redusă pentru încovoiere-răsucire ZvelteŃea redusă pentru flambajul prin încovoiere-răsucire se determină cu următoarele

relaŃii:

3

,6

1307,1 10 4201,927

147,78 10pl y y

LTcr

W f

M

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1) Pentru profile laminate λLT,0 = 0,4

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (1)

Deoarece λLT = 1,927 > λLT,0 efectele deversării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilităŃii prin încovoiere - răsucire fiind obligatorie.

• Factorul de reducere Pentru profilele laminate sau secŃiunile sudate echivalente supuse la încovoiere, valorile χLT

pentru zvelteŃea redusă corespunzătoare pot fi determinate astfel:

2 2 2

1.01

1.0darLT

LTLT

LT LT LTLT

χ ≤χ = χ ≤φ + φ − β ⋅λ λ

unde

2,00,5 1 ( )LT LT LT LT LT

φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅λ

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) αLT factorul de imperfecŃiune pentru pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire:

Pentru 400

2,222 2180

h

b= = > ⇒ curba c (αLT = 0,49)

SREN 1993-1-1 Tabel 6.5, Tabel 6.3

Valorile recomandate: λLT,0 = 0,4 şi β = 0,75 SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)

2,0

2

0,5 1 ( )

0,5 1 0,49 (1,927 0,4) 0,75 1,927 2,267

LT LT LTLT LT φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅ λ

= ⋅ + ⋅ − + ⋅ =

2

22 2

1

1 10,263 0,269

2,267 2,267 0,75 1,927

LT

LTLT LT

LT

χ = =φ + φ − β ⋅λ

= = < =+ − ⋅ λ

Pentru a lua în considerare distribuŃia momentelor între legăturile laterale ale barelor se calculează factorul f:

kc = 0,94 - diagramă de moment parabolică – zero la capete. SREN 1993-1-1 Tabel 6.6

2

2

1 0,5 (1 ) 1 2 ( 0,8)

1 0,5 (1 0,94) 1 2 (1,927 0,8) 1,046 1,00 1

LTcf k

f

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ λ −

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ≥ ⇒ =

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2)

Factorul de reducere χLT poate fi definit astfel:

,0,263

0,2631

LTLT mod f

χχ = = =

• Momentul rezistent de calcul la încovoiere-răsucire

3, ,

1

4200,263 1307,1 10 144,37 kNm

1,00y

b Rd LT pl yM

fM W= χ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

γ

• Verificarea la deversare O grindă care nu este fixată lateral şi este supusă la încovoiere după axa maximă de inerŃie,

trebuie verificată astfel:

,

,

159,261,10 1,00

144,37y Ed

b Ed

M

M= = ≥ ⇒ Grinda nu verifică

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1

E.11. Determinarea rezistentei la pierderea stabili tăŃii prin încovoiere-r ăsucire a unui element cu legaturi transversale continue

Descrierea structurii Să se facă toate verificările de rezistenŃă şi stabilitate pentru o pană de acoperiş simplu

rezemată, realizată din profile europene IPE 160 S235 dispuse la distanta de 2,2 m. Pana este încărcată cu o sarcină uniform distribuită, rezultată din combinaŃia 1,35P + 1,5Z (presiune), respectiv 1P + 1,5 V (sucŃiune). Grinda este fixată lateral în dreptul reazemelor si la talpa superioară prin intermediul tablei de acoperiş.

Schema statică şi de încărcare Grinda simplu rezemată încărcată cu o încărcare uniform distribuită:

blocaje laterale

L

Figura E.10.1 Schema statica si modul de încărcare

Talpa superioara este fixata de către tablă cutata LTP20/0.7 S350. Rezemările sunt blocaje lateral ce previn răsturnarea.

• Ipotezele de încărcare / CombinaŃii de încărcări Permanenta p = 0,30 kN/m2 Zăpada z = 0,618 kN/m2 Vânt (sucŃiune) v = -0,73 kN/m2

Presiune 21,35 1,5 1,35 0,3 1,5 0,618 1,332 /P Z kN m+ = ⋅ + ⋅ =

SucŃiune 21,35 1,5 1,35 0,3 1,5 ( 0,73) 0,69 /P V kN m+ = ⋅ + ⋅ − = −

Datele problemei Datele geometrice sunt prezentate în continuare:

Deschiderea L = 6200 mm Distanta intre pane s = 2200 mm Marca oŃelului S235

Caracteristicile dimensionale şi geometrice ale secŃiunii transversale:

Profil laminat european IPE 160 - Marca S235 ÎnălŃimea h = 160,0 mm ÎnălŃimea libera a inimii hw = 145,2 mm LăŃimea tălpilor b = 82,0 mm Grosimea inimii tw = 5,0 mm Grosimea tălpilor tf = 7,4 mm Raza de racord r = 9,0 mm Aria secŃiunii transversale A = 20,09 cm2

Aria de forfecare Avz = 9,66 cm2

Momentul de inerŃie maxim / yy Iy = 869,3 cm4

Momentul de inerŃie minim / zz Iz = 68,31 cm4

Momentul de inerŃie la torsiune It = 3,60 cm4

Moment de inerŃie sectorial Iw = 3960 cm6 Modulul de rezistenŃă elastic Wel,y = 108,7 cm3 Modulul de rezistenŃă plastic Wpl,y = 123,9 cm3 Raza de giraŃie / zz iz = 1,84 cm Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z


Dimensiunile tablei cutate: Tabla cutata LINBAD LTP20/0.7 – S350 ÎnălŃimea h = 17,4 mm Grosimea t = 0,7 mm ÎnălŃimea htw = 18 mm Greutatea G = 7 kg/m2

Determinarea eforturilor de calcul

• Presiune

+-

+

M

V

Vz,Ed

My,Ed

Figura E.11.3. Diagramele de eforturi

2, 0,125 2,2 1,332 14,081y EdM L kNm= ⋅ ⋅ ⋅ =

, 0,5 2,2 1,332 9,084z EdV L kN= ⋅ ⋅ ⋅ =

• SucŃiune

( ) 2, 0,125 2,2 0,69 7,294y EdM L kNm= ⋅ ⋅ − ⋅ =

, 0,5 2,2 0,69 4,706z EdV L kN= ⋅ ⋅ ⋅ =

Caracteristici mecanice

Marca oŃelului S235; Grosimea maximă de perete este tf = 7,4 mm < 40 mm, astfel încât limita de curgere este fy

= 235 N/mm2. Determinarea clasei secŃiunii

Parametrul ε depinde de limita de curgere a materialului:

2

235 2351,0

235[N/mm ]yfε = = =


+c

Figura E.11.4. Talpa in consola supusa la compresiune

2 82 5 2 9

29,5 mm2 2

wb t rc

− − ⋅ − − ⋅= = =

29,5

3,99 9 9 1 97,4f

c

t= = < ⋅ε = ⋅ = ⇒ talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

Perete interior supus la încovoiere:

+

-

f y

f y

c

Figura E.11.5. Perete interior (inima) supus la încovoiere 2 2 160 2 7,4 2 9 127,2 mmfc h t r= − − = − ⋅ − ⋅ =

127,2

25,44 72 72 1 725w

c

t= = < ⋅ ε = ⋅ = ⇒ inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

Clasa unei secŃiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puŃin favorabilă) a pereŃilor săi comprimaŃi: în cazul de faŃă: Clasa 1.

Deoarece avem de-a face cu o secŃiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face bazându-ne pe capacitatea plastică a secŃiunii transversale.

Verificarea la încovoiere Pentru o secŃiune de clasa 1 rezistenŃa de calcul a unei secŃiuni transversale supusă la


3

, ,0

123,9 10 23529116500 Nmm 29,12 kNm

1,0pl y

c Rd pl RdM

W fM M

⋅ ⋅ ⋅= = = = =γ

SREN 1993-1-1 (6.13)


,

14,0810,484 1,0

29,12Ed

c Rd

M


SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1

ObservaŃie: Pentru elementele supuse la încovoiere este necesară şi verificarea elementului la pierderea stabilităŃii prin încovoiere răsucire.



2 22 ( 2 ) 2009 2 82 7,4 7,4 (5 2 9) 965,6 mm 966 mm ( )vz f f wA A b t t t r tabele= − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3)

Valoarea de calcul a rezistenŃei plastice la forfecare În absenŃa răsucirii, aceasta este dată de relaŃia:

, ,0

( / 3) 966 235131,1 kN

3 1,0vz y

pl z RdM

A fV

⋅ ⋅= = =γ ⋅

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2)


,

9,0840,069 1,0

131,1Ed

c Rd

V

V= = ≤

Pentru inimile grinzilor, care nu sunt prevăzute cu rigidizări transversale, rezistenŃa la voalare din forfecare nu este necesară dacă e îndeplinită condiŃia:

160 2 7,4 1

72 29,04 72 725 1

w

w

h

t

ε − ⋅≤ ⋅ → = ≤ ⋅ =η

η – se consideră acoperitor egal cu 1,0.

RezistenŃa la încovoiere-răsucire

• Determinarea legături transversale Dacă o tablă cu profil trapezoidal (LTP20/0.7) este fixată pe o grindă, această grindă poate fi

considerată ca fixată lateral în planul tablei, la nivelul legăturilor, dacă condiŃia este îndeplinită: 2 2

2min 2 2 2

700.25w t zS S EI GI EI h

L L h

π π≥ = + + ⋅

SREN 1993-1-1 BB2.1.(1)B

unde: S - este rigiditatea la forfecare conferită grinzii de către tablă, în raport cu deformaŃia acesteia în planul tablei, considerată fixată în dreptul fiecărei nervuri; Iw - este moment de inerŃie sectorial al grinzii; It - este moment de inerŃie la răsucire al grinzii; Iz - este moment de inerŃie la încovoiere a secŃiunii transversale a grinzii în raport cu axa slabă; L - este lungimea grinzii; h - este înălŃimea grinzii; Dacă tabla este fixată doar în dreptul unei nervuri din două, S se va înlocui cu 0,20S.

2 22

min 2 2 2

700.25 9973000 / 9973 /w t zS EI GI EI h Nmm mm kNm m

L L h

π π= + + ⋅ = =

S, rigiditatea la forfecare în planul tablei se determina conform EN 1993 – 1 – 3 (§ 10.1.1 (10)):

( )

( )

3 3

3 3

1000 50 10

22001000 0.7 50 10 6200 16730000 / 16730 /

18

actw

sS t b

h

Nmm mm kNm m

= + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = =

unde: S - este rigiditatea la forfecare conferită grinzii de către tablă, în raport cu deformaŃia acesteia în planul tablei, considerată fixată în dreptul fiecărei nervuri; bac – lungimea tablei – deschiderea panei; s – deschiderea tablei – distanta intre doua pane consecutive; htw - este înălŃimea tablei cutate.

min 9973 / 16730 /S kNm m S kNm m= < = ⇒ tabla cutată are suficientă rigiditate pentru a fi considerată la deplasare laterală ca o legătura transversală continuă la talpă superioară a panei. • Determinarea factorului de reducere pentru pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire

Pierderea stabilităŃii este posibila doar in cazul in care talpa nefixată – cea inferioară – este supusă la compresiune, adică in situaŃia de încărcare “sucŃiune”.

Pentru a determină momentul de rezistentă de calcul trebuie determinat în prealabil factorul de reducere pentru încovoiere-răsucire. Acest factor depinde de valoarea momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire.

• Momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere-răsucire Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire poate fi calculat folosind un

software specializat si anume LTBeam versiunea 1.0.8 (2002-2009) (Lateral Torsional Buckling of Beams by Yvan Galea) produs de CTICM (www.cticm.com):

22,862 kNmcrM = (fata de 12,136 kNmcrM = in cazul lipsei legăturii transversale). S-a considerat talpa superioara fixata continuu (la 80 mm de centru de taiere) si

încărcarea aplicata in centrul de taiere.


relaŃii:

3

,6

123,9 10 2351,129

22,862 10pl y y

LTcr

W f

M

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1) Pentru profile laminate λLT,0 = 0,4

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (1)

Deoarece λLT = 1,129 > λLT,0 efectele deversării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilităŃii prin încovoiere - răsucire fiind obligatorie.

• Factorul de reducere Pentru profilele laminate sau secŃiunile sudate echivalente supuse la încovoiere, valorile χLT


2 2 2

1.01

1.0darLT

LTLT

LT LT LTLT

χ ≤χ = χ ≤φ + φ − β ⋅λ λ

unde

2,00,5 1 ( )LT LT LT LT LT

φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅λ

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) αLT factorul de imperfecŃiune pentru pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire:

Pentru 160

1,951 282

h

b= = < ⇒ curba b (αLT = 0,34)

SREN 1993-1-1 Tabel 6.5, Tabel 6.3


2,0

2

0,5 1 ( )

0,5 1 0,34 (1,129 0,4) 0,75 1,129 1,101

LT LT LTLT LT φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅λ

= ⋅ + ⋅ − + ⋅ =

2

22 2

1

1 10,621 0,785

1,101 1,101 0,75 1,129

LT

LTLT LT

LT

χ = =φ + φ − β ⋅λ

= = < =+ − ⋅ λ


kc = 0,94 - diagramă de moment parabolică – zero la capete. SREN 1993-1-1 Tabel 6.6

2

2

1 0,5 (1 ) 1 2 ( 0,8)

1 0,5 (1 0,94) 1 2 (1,129 0,8) 0,903

LTcf k = − ⋅ − ⋅ − ⋅ λ −

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2)


,0,621

0,6880,903

LTLT mod f

χχ = = =

• Momentul rezistent de calcul la încovoiere-răsucire

3, ,

1

2350,688 123,9 10 20,042 kNm

1,0y

b Rd LT pl yM

fM W= χ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

γ

• Verificarea la deversare O grindă a cărei tălpii comprimate nu este fixată lateral şi este supusă la încovoiere după axa

maximă de inerŃie, trebuie verificată astfel:

,

,

7,2940,364 1,00

20,042y Ed

b Ed

M

M= = ≥ ⇒ Pana verifică condiŃiile SLU

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1

• Ipoteza dispunerii unui tirant In ipoteza dispunerii unui tirant de legătura la mijlocul deschiderii, acesta va reduce lungimea

elementului intre doua legaturi. Barele a căror talpă comprimată este prevăzută cu legături transversale discrete nu trebuie verificate la stabilitate generală dacă lungimea Lc dintre legături sau zvelteŃea λf a tălpii comprimate:

Rd,y

Rd,c0c

1z,f

ccf M

M

i

Lkλ≤

λ⋅=λ

if,z raza de giraŃie a secŃiunii formate de talpa comprimată a grinzii plus 1/3 din partea comprimată a inimii, în raport cu axa slabă a secŃiunii.

mm62,218,727

340262

A

Ii

f

f,zz,f ===

kc este un factor de corecŃie al zvelteŃi, care Ńine seama de distribuŃia momentului de încovoiere între legături (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.6); kc = 0,94

445,13,9362,21

360094,0f =

⋅⋅=λ

λc0 parametrul de zvelteŃe limită a tălpi comprimate:

5,01,04,01,00,LT0c =+=+λ=λ

Nota (2)B si SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3

,1

29,12yc Rd y

M

fM W kNm

γ= ⋅ =

,0

,

29,120,5 1,603

9,084c Rd

cy Ed

M

Mλ = ⋅ =

Astfel condiŃia (SREN 1993-1-1 (6.59)) devine:

⇒<=λ 603,1445,1f elementul nu trebuie verificate la stabilitate generală

Verificarea săgeŃii SLS

( ) 441

4

5 0,918 2,2 6200521,29 ~ /300

384 384 210000 869,3 10y

p Lv mm L

EI

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅= = =⋅ ⋅ ⋅

presiune

4 42

4

5 5 ( 0,43 2,2) 62009,97 ~ /620

384 384 210000 869,3 10y

p Lv mm L

EI

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= = = −⋅ ⋅ ⋅

suctiune

E.12. Calculul unei grinzi cu sec Ńiune transversal ă de tip C format ă la rece,

solicitat ă la încovoiere

Descrierea problemei Exemplul prezintă calculul unei grinzi de planşeu solicitată la încovoiere. Grinda de

planşeu se consideră că este simplu rezemată la capete, iar secŃiunea transversală este realizată dintr-un profil cu pereŃi subŃiri formate la rece de tip C. Se consideră că atât talpa superioară cât şi cea inferioară a secŃiunii grinzii sunt împiedicate continuu lateral. În Figura E.12.1(a) se prezintă schema statică şi încărcarea ce acŃionează. De asemenea, în exemplu este inclusă şi verificarea la starea limită de serviciu.

Schema statică

(a) (b)





2 1

EG = =

+ ν

Deschiderea grinzii 4 mL = DistanŃa dintre grinzi 0,6 mS= Încărcarea uniform distribuită aplicată pe grindă: Greutatea proprie a grinzii G,grinda 0,06 kN mq =

Planşeu uşor: 20,75 kN m G,planseu 0,75 0,6 0,45 kN mq = × =

Încărcarea permanentă G G,grinda G,planseu 0,51kN mq q q= + =

Încărcarea utilă: 23 kN m Q 3 0,6 1,80 kN mq = × =


ÎnălŃimea totală a inimii 200 mmh = LăŃimea totală a tălpii comprimate 1 74 mmb = LăŃimea totală a tălpii întinse 2 66 mmb = LăŃimea totală a rebordului 20,8 mmc = Raza interioară 3 mmr = Grosimea nominală nom 2 mmt = Grosimea miezului de oŃel 1,96 mmt = (conform §3.2.4(3) din EN1993-1-3)




γM0 = 1,00 γM1 = 1,00

SREN 1993-1-3 § 2(3)



SREN 1990 Verificarea la Starea Limită Ultimă

Caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale eficace: Momentul de inerŃie al secŃiunii transversale eficace în raport cu axa maximă de inerŃie:

4

eff,y 4139861mmI =

PoziŃia axei neutre: - în raport cu talpa comprimată: c 102,3 mmz = - în raport cu talpa întinsă: t 95,7 mmz =

Modulul de rezistenŃă eficace: - în raport cu talpa comprimată:

eff,y 3eff,y,c

c

413986140463 mm

102,3

IW

z= = =

- în raport cu talpa întinsă:

eff,y 3eff,y,t

t

413986143264 mm

95,7

IW

z= = =

( ) 3eff,y eff,y,c eff,y,tmin , 40463 mmW W W= =

Încărcarea care acŃionează pe grindă aferentă stării limit ă ultime(ULS), conform EN1990. d G G Q Q 1,35 0,51 1,50 1,80 3,39 kN mq q q= γ + γ = × + × =

Momentul încovoietor maxim (la mijlocul deschiderii), în raport cu axa maximă de inerŃie y-y, din încărcările de calcul:

2 2Ed d 8 3,39 4 8 6,78 kNmM q L= = × =

• Verificarea rezistenŃei la încovoiere la Starea Limită Ultimă Momentul încovoietor capabil al secŃiunii transversale pentru încovoiere după axa maximă

de inerŃie este: 9 3

c,Rd eff,y yb M0 40463 10 350 10 1,0 14,16 kNmM W f −= γ = × × × =

SREN 1993-1-3 §6.1.4.1(1) Următoarea condiŃie trebuie îndeplinită la încovoiere: Ed

c,Rd

6,780,479 1

14,16

M

M= = < – verifică

SREN 1993-1-1 §6.2.5(1) • Verificarea rezistenŃei la forfecare la Starea Limită Ultimă

Calculul la forŃă tăietoare ForŃa tăietoare maximă din încărcările de calcul este:

Ed d 2 3,39 4 2 6,78 kNV q L= = × = Valoarea de calcul a rezistenŃei plastice la forfecare este:

( ) ( )ybv ybpl,Rd

M0 M0

33 sinwh

t fA fV

ϕ= =γ γ

SREN 1993-1-1 §6.2.6(2) unde:

vA – aria de forfecare

w nomh h t= − – înălŃimea inimii măsurată între axele tălpilor 90ϕ = ° – unghiul de înclinare a inimii faŃă de tălpi.

( ) ( )3

3 3

pl,Rd

200 2 101,96 10 350 10 3

sin90 78,42 kN1,0

V

−−− ×

× × × ×°= =

ForŃa capabilă la forfecare este:

wbv

b,RdM0

sin

htf

Vϕ=

γ

SREN 1993-1-3 §6.1.5 unde:

bvf este rezistenŃa la flambajul prin forfecare Pentru inimi cu rigidizări în secŃiunea de reazem:

bv yb0,58f f= dacă w 0,83λ ≤

bv yb w0,48f f= λ dacă w 0,83λ >

ZvelteŃea redusă wλ pentru inimi fără rigidizări longitudinale:

yb ybw nomw

200 2 3500,346 0,346 0,346 1,427

1,96 210000

f fs h t

t E t E

− −λ = = = × × =

w 1,427 0,83λ = > astfel: 2

bv yb w0,48 0,48 350 1,427 117,73 N mmf f= λ = × =

( ) 33 3

b,Rd

200 2 101,96 10 117,73 10

sin90 45,7 kN1,0

V

−−− ×

× × × ×°= =

Efortul capabil la forfecare:

( ) ( )c,Rd pl,Rd b,Rdmin , min 78,42 ; 45,7 45,7 kNV V V= = =

Valoarea de calcul VEd a forŃei tăietoare în fiecare secŃiune transversală trebuie să satisfacă relaŃia:

Ed

c,Rd

6.780,148 1

45,7

V

V= = < – verifică

SREN 1993-1-1 §6.2.6(1) • Verificarea rezistenŃei la forŃe transversale concentrate la Starea Limită Ultimă

ReacŃiunea: Ed d 2 3,39 4 2 6,68 kNF q L= = × =

Pentru o secŃiune transversală cu o singură inimă nerigidizată, următoarele condiŃii trebuiesc satisfăcute:

w 200h t ≤ 198 1,96 101,02 200= < – verifică 6r t ≤ 3 1,96 1,53 6= < – verifică

45 90° ≤ ϕ ≤ ° unde ϕ este unghiul de înclinare a inimii faŃă de tălpi: 90ϕ = ° – verifică

SREN 1993-1-3 §6.1.7.2(1) RezistenŃa inimii la cedarea prin deformare locală se determină astfel: Lungimea de rezemare: s 80 mms = Pentru s 80 1,96 40,816 60s t = = < rezistenŃa inimii la cedarea prin deformare locală w,RdR

este:

2w s1 2 3 yb

w,RdM1

5,92 1 0,01132

h t sk k k t f

tR

− + =

γ

SREN 1993-1-3 §6.1.7.2(2) unde:

1 1,33 0,33k k= − cu yb 228 350 228 1,535k f= = =

1 1,33 0,33 1,535 0,823k = − × =

2 1,15 0,15 1,15 0,15 3 1,96 0,92k r t= − = − × =

( ) ( )2 23 0,7 0,3 90 0,7 0,3 90 90 1k = + ϕ = + × =

SREN 1993-1-3 §6.1.7.2(3)

2

w,Rd

198 1,96 800,823 0,92 1 5,92 1 0,01 1,96 350

132 1,967396 N

1,0R

× × × − × + × × × = =

sau w,Rd 7,396 kNR =

Pentru cazul verificării la forŃe transversale concentrate trebuie îndeplinită condiŃia:

Ed w,Rd6,68 kN 7,396 kNF R= < = – verifică

SREN 1993-1-3 §6.1.7.1(1) Verificarea la Starea Limită de Serviciu

Încărcarea aplicată grinzii, aferentă stării limit ă de serviciu, conform EN1990 este:

d,ser G Q 0,51 1,80 2,31kN mq q q= + = + =

Momentul încovoietor maxim (la mijlocul deschiderii), în raport cu axa maximă de inerŃie y-y:

2 2Ed,ser d,ser 8 2,31 4 8 4,62 kNmM q L= = × =

• Caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale eficace, corespunzătoare stării limit ă de serviciu (conform §7.1(3) din EN1993-1-3)

Momentul de inerŃie corespunzător stării limit ă de serviciu este:

( )( )grfic gr gr eff

I I I Iσ

= − − σσ

cu: 4

gr 4495921mmI = – momentul de inerŃie al secŃiunii transversale brute

grσ – valoarea maximă negativă a tensiunii din încovoiere corespunzătoare stării limit ă de

serviciu

c,gr 96,88 mmz = – poziŃia axei neutre în raport cu talpa comprimată 6

Ed,ser Ed,ser 2gr

gr gr c,gr

4,62 1099,55 N mm

4495921 96,88

M M

W I z

×σ = = = =

2yb 350 N mmfσ = =

( ) 4eff,yff

4139861mme

I Iσ = =

( ) 4fic

99,554495921 4495921 4139861 4394644 mm

350I = − × − =

• Verificarea săgeŃi 4 4

d,ser

fic

5 5 2.31 40008.34 mm

384 384 210000 4394644

q L

EI

×δ = = × =×

, adică / 480Lδ =

Săgeata admisă / 250 16 mmadm Lδ = = – verifică

5. BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE ŞI ÎNCOVOIERE 5.1 Aspecte generale. Producerea fenomenelor Elementele construcŃiilor metalice solicitate axial prezintă anumite excentricităŃi, conducând la apariŃia unor momente încovoietoare suplimentare. În subcapitolul 3.2 s-a arătat că, în cazul flambajului barelor comprimate centric, Ńinând cont de efectul imperfecŃiunilor, cedarea se produce prin compresiune excentrică. Astfel, comportarea barelor comprimate şi încovoiate apare ca un caz general de comportare, deosebindu-se de comportarea barelor comprimate centric, prin faptul că excentricităŃile sunt mai mari, sau prin faptul că încovoierea poate fi produsă şi de acŃiunea unor momente încovoietoare, sau a unor forŃe transversale care acŃionează asupra barei. Una din limitele de comportare a barelor comprimate şi încovoiate o reprezintă bara comprimată centric (M = 0), iar cealaltă limită o reprezintă bara încovoiată (N = 0), la care, de asemenea, apar fenomenele de pierdere a stabilităŃii (Dalban ş.a., 1997). Cedarea barelor comprimate şi încovoiate se produce fie prin plastificarea secŃiunilor celor mai solicitate, datorate în special solicitării de încovoiere, fie prin pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire, în funcŃie de raportul dintre cele două solicitări (moment încovoietor şi forŃă axială), de forma secŃiunii transversale a barei, de legăturile de la capete sau de pe lungimea barei etc. Fenomenele pot fi iniŃiate în domeniul elastic sau elasto-plastic. În stadiul final de cedare, deformaŃiile barei au un pronunŃat caracter plastic. În Figura 5.1 se prezintă două exemple de elemente solicitate la compresiune şi încovoiere. Comportarea acestor elemente rezultă din combinaŃia celor două efecte şi variază cu zvelteŃea acestora. În domeniul zvelteŃilor mici rezistenŃa secŃiunii transversale domină fenomenul, descrisă prin relaŃia de interacŃiune pentru starea limita elastică sau plastică. Pentru domeniile de zvelteŃe medii şi mari, efectele de ordinul doi devin importante, comportarea fiind influenŃată semnificativ de imperfecŃiunile geometrice şi tensiunile reziduale. În domeniul zvelteŃilor mari, cedare se produce prin flambaj în domeniul elastic. Cedarea se produce fie prin flambajul prin încovoiere (tipic elementelor solicitate la compresiune pură), fie prin flambaj prin încovoiere laterală cu răsucire (tipic elementelor solicitate la încovoiere).

Fig. 5.1: Exemple de elemente solicitate la compresiune şi încovoiere

Comportarea elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere rezultă din interacŃiunea dintre pierderea stabilităŃii şi plasticizarea secŃiunii transversale şi este influenŃată de imperfecŃiunile geometrice şi de material. Comportarea acestor elemente este foarte complexă. O prezentare în detaliu a comportării elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere, precum şi bazele teoretice ale relaŃiilor de interacŃiune în ceea ce priveşte stabilitatea, care sunt prezentate în SR EN 1993-1-1, a fost făcută de Boissonnade ş.a. (2006).

Verificarea elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere se realizează în doi paşi: a) verificarea rezistenŃei secŃiunii transversale; b) verificarea de flambaj a barei.

În continuare se vor prezenta aspectele teoretice în ceea ce priveşte stabilitatea elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere, respectiv relaŃiile de interacŃiune în conformitate cu SR EN 1993-1-1. 5.2 RezistenŃa barelor comprimate şi încovoiate la pierderea stabilităŃii generale 5.2.1 Bazele teoretice În cazul unei bare solicitate la compresiune şi încovoiere, pe lângă momentele încovoietoare de ordinul întâi şi deformaŃiile aferente (obŃinute pe configuraŃia nedeformată), trebuie luate în considerare şi momentele încovoietoare şi deformaŃiile de ordinul doi, adiŃionale (efectele P-δ). În Figura 5.2 se prezintă comportarea unui element solicitat la compresiune şi încovoiere, cu o curbură iniŃială de forma unei sinusoide cu săgeata maximă e0. Diagrama de moment încovoietor include momentele încovoietoare de ordinul întâi şi doi, care rezultă din deformarea laterală.

Fig. 5.2: Comportarea unei bare solicitate la compresiune şi încovoiere (da Silva ş.a., 2010)

Verificarea în secŃiunea transversală a barei nu Ńine cont de distribuŃia momentului încovoietor M, în lungul barei. În Figura 5.3 se prezintă deformata barei ca rezultat al acŃiunii simultane a forŃei axiale de compresiune şi a momentelor încovoietoare aplicate la capete, egale ca mărime (încovoierea în curbură simplă). După cum s-a precizat, momentul încovoietor în fiecare secŃiune în lungul bare poate fi considerat ca fiind compus din doi termeni:

- momentul încovoietor de ordinul întâi M; - momentul încovoietor de ordinul doi N v.

Utilizând teoria de bară, în domeniul elastic, se poate obŃine săgeata maximă la mijlocul barei (Trahair şi Bradford, 1988):

max,

sec 12 cr y

M Nv

N N

π= − (5.1)

unde 2

, 2y

cr yEI

NL

π= este forŃa critică de flambaj după axa maximă, respectiv momentul

încovoietor maxim:

max,

sec2 cr y

NM M

N

π= (5.2)

Fig. 5.3: Momentul încovoietor de ordinul întâi şi doi (SSDATA, 1999)

În ecuaŃiile (5.1) şi (5.2) de mai sus, termenul ce conŃine secanta poate fi înlocuit cu termenul din relaŃia (5.3), observând că ecuaŃiile deformatei şi momentului încovoietor de ordinul întâi M sunt aproximativ egale, aşa cum se prezintă în Figura 5.4.

,

1

1 / cr yN N− (5.3)

Fig. 5.4: Săgeata şi momentul încovoietor maxim pentru bara solicitată la compresiune cu

încovoiere (momente încovoietoare egale aplicate la capetele barei) (SSDATA, 1999)

Aproximare EcuaŃiile (5.4) şi (5.5)

SoluŃia exactă pentru săgeată, ecuaŃia (5.1)

SoluŃia exactă pentru moment, ecuaŃia (5.2)

/

Astfel, relaŃiile (5.1) şi (5.2) devin:

2

max,

1

8 1 /y cr y

MLv

EI N N=

− (5.4)

max,

1

1 / cr yM M

N N=

− (5.5)

Efortul unitar maxim în secŃiunea transversală cea mai solicitată va fi:

maxmax c b

M

Mσ σ σ= + (5.6)

unde, cσ este efortul unitar din compresiune, iar bσ este efortul unitar din încovoiere.

EcuaŃia (6) poate fi rescrisă astfel:

,1.0

(1 / )c b

y y cr yf f N N

σ σ+ =−

(7)

EcuaŃia (5.7) poate fi rezolvată pentru valorile cσ şi bσ care produc plasticizarea secŃiunii,

luând diferite valori ale forŃei critice ,cr yN (care depinde de zvelteŃe). Această ecuaŃie generează

o serie de curbe după cum se prezintă în Figura 5.5, care indică faptul că dacă 0bσ → , atunci

cσ tinde către valoarea limitei de curgere fy. Astfel, ecuaŃia (5.7) nu identifică posibilitatea de

flambaj sub forŃa axială pură, la un nivel dat al efortului unitar critic ,cr yσ , dat de relaŃia:

2 2

,, 2 2

cr y ycr y

y

N EI E

A AL

π πσλ

= = = (5.8)

Fig. 5.5: Reprezentarea grafică a ecuaŃiei (5.14) (SSDATA, 1999)

Utilizarea ambelor ecuaŃii (5.7) şi (5.8), asigură că ambele condiŃii sunt acoperite, după cum se prezintă în Figura 5.6.

Fig. 5.6: Reprezentarea grafică a ecuaŃiilor (5.7) şi (5.8) (SSDATA, 1999) După cum s-a prezentat în subcapitolul 3.2, stabilitatea unei bare cu o imperfecŃiune iniŃială e0 solicitată la compresiune axială NEd, poate fi exprimată prin relaŃia (5.9), astfel:

011

1 /Ed Ed

Rd Ed cr Rd

N N e

N N N M

⋅+ ≤−

(5.9)

unde cu e0 se notează imperfecŃiunea geometrică echivalentă.

2,

0,

(1 )(1 ) el Rd

pl Rd

Me

N

χ χλχ

− −= (5.10)

Când bara este solicitată la momente încovoietoare suplimentare celor de ordinul întâi, atunci ecuaŃia (5.9) poate fi scrisă astfel.

II0, max1

11 /

Ed dEd Ed

Rd Ed cr Rd Rd

N eN M

N N N M M

⋅+ + ≤

− (5.11)

unde II maxEdM reprezintă momentul încovoietor de ordinul doi maxim, indus de momentul

încovoietor de ordinul întâi suplimentar. Deoarece ecuaŃia (5.11) reprezintă relaŃia de verificare în secŃiunea cea mai solicitată, este necesar să se determine poziŃia acestei secŃiuni pentru a putea

evalua momentul încovoietor II maxEdM . Atunci când există un momentul încovoietor de ordinul

întâi EdM , apare şi un braŃ de forŃă suplimentar pentru forŃa axială EdN , ce conduce la o

amplificare a deformatei şi a momentului încovoietor, în acelaşi sens cu imperfecŃiunea iniŃială e0, aşa cum se prezintă în Figura 5.7.

Fig. 5.7: Momentul încovoietor de ordinul doi şi forma sinusoidală

echivalentă (Boissonade ş.a, 2006) Pentru a evita determinarea poziŃiei secŃiunii transversale cea mai solicitată din efectele de ordinul doi, se utilizează conceptul de moment încovoietor echivalent. Acesta constă în înlocuirea sistemului încovoietor de ordinul întâi de pe elementul deja solicitat la acelaşi efort axial, cu un moment încovoietor de ordinul întâi sinusoidal, care produce acelaşi moment încovoietor amplificat. Acesta din urmă se exprimă de regulă prin termenul m EdC M (a se vedea

forma sinusoidală echivalentă din Figura 5.7).

Momentul încovoietor de ordinul doi maxim II maxEdM poate fi exprimat astfel:

II max

max

1 /m Ed

EdEd cr

C MM

N N=

− (5.12)

Astfel, verificarea în secŃiunea cea mai solicitată se va efectua cu formula:

0, 1 11

1 / 1 /Ed dEd m Ed

Rd Ed cr Rd Ed cr Rd

N eN C M

N N N M N N M

⋅+ + ≤

− − (5.13)

momentul încovoietor iniŃial fiind produs de momentele încovoietoare de la capete şi sau forŃele transversale aplicate în lungul barei. EcuaŃia (5.13) reprezintă forma generală şi a fost folosită în majoritatea normelor de proiectare. O exprimare similară a acestei relaŃii este şi:

11

1 /Ed m Ed

Rd Ed cr Rd

N C M

N N N Mµ

χ+ ≤

− (5.14)

unde 1 /

1 /Ed cr

Ed cr

N N

N Nµ

χ−=

− (5.15)

RelaŃia (5.14) este prezentată într-o formă mai convenabilă, permiŃând exprimarea separată a termenului ce conŃine termenul de flambaj. Totuşi, termenul nu este izolat, acesta depinzând de forŃa axială de compresiune NEd. 5.2.2 Flambajul prin încovoiere şi flambajul prin încovoiere-răsucire Cele trei moduri de comportare a barelor solicitate la compresiune cu încovoiere sunt ilustrate în Figura 5.8.

Stâlpul se deformează doar în

planul zx Stâlpul se deformează în planul zx, apoi flambează în planul yx şi se

răsuceşte după axa x

Stâlpul se deformează în planurile zx şi yx şi se răsuceşte după axa x

(a) comportarea în plan (b) comportarea la încovoiere cu răsucire

(c) încovoierea biaxială

Fig. 5.8: Moduri de flambaj ale elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere Dacă un element este încovoiat după axa minimă de inerŃie, sau dacă este împiedicat să se deformeze lateral atunci când este încovoiată după axa maximă de inerŃie, aşa cu se prezintă în Figura 5.8a, atunci comportarea barei va fi limitată la planul de flambaj. Atunci când un element cu secŃiunea transversală deschisă (simplu conexă), este solicitat la încovoiere după axa maximă de inerŃie, aşa cum se arată în Figura 5.8b, atunci acesta poate flamba în afara planului încărcării prin deformare laterală şi răsucire. Acest fenomen este similar cu flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire a grinzilor (a se vedea capitolul 4). Cazul cel mai general este cazul prezentat în Figura 5.8c, atunci când încovoierea este biaxială, iar comportarea elementului este tridimensională, care implică încovoierea biaxială şi răsucirea. Când un element fără legături / rezemări laterale este solicitat la compresiune şi încovoiere în planul de rigiditate maximă (a se vedea Figura 5.8a), acesta îşi pierde stabilitatea, de regulă, prin încovoiere-răsucire, la o forŃă care este semnificativ mai mică decât cea dintr-o analiză în plan. Acest mod de pierdere a stabilităŃii este întâlnit atât la bare încovoiate, cât şi la bare comprimate. Flambajul prin încovoierea laterală cu răsucire poate sa apară în timp ce elementul este încă în domeniul elastic (a se vedea curba 1 din Figura 5.9), sau după ce are loc plastificarea secŃiunii (a se vedea curba 2 din Figura 5.9), datorită compresiunii şi încovoierii în planul de rigiditate maximă.

(1) Flambaj elastic

(2) Flambaj inelastic

Forta

Deformatie in afara planului

(1) Flambaj elastic

(2) Flambaj inelastic

Forta

Deformatie in plan

Prima articulatie plastica

(a) comportare în afara planului (b) comportare în plan

Fig. 5.9: Flambajul prin încovoierea laterală cu răsucire a elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere (SSDATA, 1999)

Legături laterale

Se consideră flambajul prin încovoierea - răsucire a unui element cu secŃiunea transversală dublu T, fără legături / rezemări laterale, încovoiat după axa maximă de inerŃie. Considerând o comportarea elastică şi schema statică şi modul de încărcare aşa cum se prezintă în Figura 5.10, combinaŃia critică N – M se poate obŃine din soluŃia ecuaŃiei de mai jos (Chen şi Atsuta, 1976):

2

2, ,0 , ,

1 1cr z cr Tcr z cr T

M N N

N Ni N N

= − −

(5.16)

unde

• 0y zI I

iA

+= este raza de inerŃie polară;

• 2

, 2z

cr zEI

NL

π= este forŃa critică de flambaj după axa minimă de inerŃie;

• 2

, 2 20

1 wcr T t

T

EIN GI

i l

π = +

este forŃa critică de flambaj prin răsucire.

Fig. 5.10: Flambajul prin încovoierea laterală cu răsucire. Cazul standard: reazemele marginale

împiedică deformarea laterală şi răsucirea, dar nu împiedică deplanarea EcuaŃia (5.16) se reduce la flambajul unei grinzii atunci când N → 0 şi la flambajul unui stâlp prin încovoiere (Ncr,z) sau răsucire (Ncr,T) când M → 0. În primul caz, valoarea momentul critic elastic se calculează cu relaŃia:

2

21 w

cr z tt

EIM EI GI

L L GI

ππ= + (5.17)

unde • EIz este rigiditatea la încovoiere după axa minimă; • GIt este rigiditatea la răsucire • EIw este rigiditatea la deplanare.

În relaŃia (5.16) nu se Ńine cont de amplificarea momentului încovoietor M datorită prezenŃei

forŃei axiale. Aceasta se poate aproxima prin ,1 / cr y

M

N N−. În acest caz ecuaŃia (5.16) devine:

2

2, , ,0 , ,

1 1 1cr y cr z cr Tcr z cr T

M N N N

N N Ni N N

= − − −

(5.18)

łinând cont de importanŃa relativă a forŃelor Ncr,y, Ncr,z şi Ncr,T, şi prin rearanjarea termenilor se obŃine următoarea aproximare:

, , 0 , ,

11

1 /cr z cr y cr z cr T

N M

N N N i N N+ =

− (5.19)

sau

, ,

11

1 /cr z cr y cr

N M

N N N M+ =

− (5.20)

În trecut, au fost propuse diverse formule de interacŃiune pentru a reprezenta această situaŃie pentru întreg domeniul de zvelteŃi. Prezenta abordare din SR EN 1993-1-1 se bazează pe formula de interacŃiune liniară, reprezentată prin ecuaŃia (5.21). În conformitate cu această abordare, efectele forŃei axiale de compresiune şi ale momentelor încovoietoare se adună liniar, iar efectele neliniare produse de forŃa axială de compresiune sunt luate în considerare prin factori de interacŃiune specifici.

, , 1.0y z

u uy uz

M MNf

N M M

≤

(5.21)

unde N, My şi Mz sunt eforturile de calcul şi Nu, Muy şi Muz sunt rezistenŃele de calcul, care iau în considerare fenomenele de pierdere a stabilităŃii asociate. EvoluŃia relaŃiilor de calcul, şi în particular a celor adoptate de norma SR EN 1993-1-1, este complexă, deoarece acestea trebuie să includă, printre alte aspecte, două moduri de pierdere a stabilităŃii, şi anume flambajul prin încovoiere şi flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire, sau o combinaŃie a celor două, diferite forme ale secŃiunii transversale, diferite tipuri de diagrame de moment încovoietor etc. Aceste formule, care se bazează pe teoria de ordinul doi, trebuie să includă mai multe concepte comune, cum ar fi: momentul echivalent, definirea lungimii de flambaj şi conceptul de amplificare. Aceste formule s-au bazat în principal pe secŃiuni dublu-simetrice, deşi studii recente (Kaim, 2004) au arătat că acestea ar putea oferi soluŃii aproximative bune pentru secŃiuni mono-simetrice. Boissonade ş.a (2006), pentru elemente solicitate la compresiune şi încovoiere (NEd + My,Ed + Mz,Ed), a exprimat prin următoarele ecuaŃii stabilitatea elastică la încovoiere în ambele planuri principale (planul x-y şi planul x-z), fără a Ńine cont de modul de cuplare complex dintre modurile de pierdere a stabilităŃii în ambele planuri, astfel:

, ,

,, ,, ,

,,

1.0

11

my y Ed mz z EdEdy

y pl Rd EdEdel z Rdel y Rd

cr zcr y

C M C MN

N NNMM

NN

µχ

+ + ≤ −−

(5.22)

, ,

,, ,, ,

,,

1.0

11

my y Ed mz z EdEdz

z pl Rd EdEdel z Rdel y Rd

cr zcr y

C M C MN

N NNMM

NN

µχ

+ + ≤ −−

(5.23)

unde Cmy şi Cmz sunt factori ai momentului uniform echivalent cu privire la diagramele My şi Mz, respectiv la parametrii yµ şi zµ definiŃii prin următoarele formule:

,

,

1 /

1 /Ed cr y

yy Ed cr y

N N

N Nµ

χ−

=−

(5.24)

,

,

1 /

1 /Ed cr z

zz Ed cr z

N N

N Nµ

χ−

=−

(5.25)

Formulele generale exprimate prin relaŃiile (5.22) şi (5.23) se bazează pe teoria elastică de ordinul doi, astfel că sunt valabile doar pentru secŃiuni de clasă 3. SecŃiunile de clasă 1 şi 2 pot flamba prin încovoiere în domeniul elasto-plastic, conducând la următoarele ecuaŃii modificate:

, ,*

,, ,, ,

,,

1.0

11

my y Ed mz z EdEdy

y pl Rd EdEdyz pl z Rdyy pl y Rd

cr zcr y

C M C MN

N NNC MC M

NN

µ αχ

+ + ≤ −−

(5.26)

, ,*

,, ,, ,

,,

1.0

11

my y Ed mz z EdEdz

z pl Rd EdEdzz el z Rdzy pl y Rd

cr zcr y

C M C MN

N NNC MC M

NN

µ βχ

+ + ≤ −−

(5.27)

unde Cyy, Cyz, Czy şi Czz factori introduşi pentru a simula efectele plasticizării, iar α* şi β* sunt factori ce depind de comportarea neliniară a materialului. Formulele prezentare mai sus reprezintă comportarea elementelor pentru care modul de cedare posibil este flambajul prin încovoiere într-unul din planurile principale. Acesta ar putea fi cazul elementelor cu secŃiune închisă (dublu conexă), sau elementelor cu rezemări laterale. În cazul

elementelor cu secŃiune deschisă, fără rezemări laterale, modul de cedare este flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire. Se consideră o bară cu secŃiune I sau H dublu-simetrică, cu cazul standard de rezemare la capete, solicitat la compresiune axială şi moment încovoietor uniform My,Ed. Considerând o curbură laterală sinusoidală iniŃială şi un prim criteriu de cedare, Kaim (2004) a obŃinut următoarea formulă de flambaj:

,,

,

22 ,, ,,0 2 22 , ,( ) ( ),

,2 ,

1

1 2 1

11

yEd

pl Rd Edy Rd

cr y

cr zy Ed y Edcr zEd

z Rd z Rdcr N cr NEdy Edz Rd

cr zcr

MN

N NM

N

hNM MNN

eM MM MNM

MNM

+ +

−

+ + + ≤ − −

(5.28)

unde Mcr(N) este momentul critic pentru flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire sub efectul suplimentar al forŃei axiale de compresiune (Boissonade ş.a, 2006; da Silva ş.a., 2010), iar My,Rd şi Mz,Rd sunt momentele capabile elastice după axa y, respectiv axa z-z. EcuaŃia (5.28) descrie modul de flambaj prin încovoiere laterală cu răsucire a unui element solicitat la compresiune şi încovoiere în planul xz (My). Totuşi această relaŃie trebuie simplificată într-un format mai adecvat pentru proiectare. EcuaŃiile (5.21) – (5.28) stau la baza celor două metode de proiectare pentru elemente solicitate la compresiune şi încovoiere prezentate în norma SR EN 1993-1-1. Pentru a obŃine relaŃiile actuale din normă, au fost făcute unele simplificări şi câŃiva parametri au fost calibraŃi prin investigaŃii experimentale şi numerice. Cele două metode, denumite Metoda 1 şi Metoda 2, se prezintă în paragraful următor. 5.3 Bare supuse la încovoiere şi compresiune cu secŃiune transversală uniformă. Utilizarea factorilor de interacŃiune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1 Pierderea stabilităŃii unui element cu secŃiunea transversală dublu-simetrică, care nu este sensibilă la deformaŃi de distorsiune, şi solicitată la compresiune şi încovoiere, se poate datora flambajului prin încovoiere sau flambajului prin încovoiere laterală cu răsucire. Astfel, clauza 6.3.3(1) din SR EN 1993-1-1, consideră două situaŃii distincte:

- bare care nu sunt sensibile la deplanarea secŃiunii prin răsucire, de exemplu barele cu secŃiuni tubulare circulare sau alte barele care au secŃiunile prevăzute cu legături împotriva răsucirii. Flambajul prin încovoiere este modul relevant de pierdere a stabilităŃii.

- bare sensibile la deplanarea secŃiunii prin răsucire, de exemplu barele cu secŃiuni transversale deschise (secŃiuni I şi H), care nu sunt prevăzute cu legături împotriva răsucirii. Flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire este modul relevant de pierdere a stabilităŃii.

Se consideră „cazul standard” al unei bare cu o singură deschidere, care la extremităŃi are reazeme simple tip „furcă” (împiedică deplasările laterale şi răsucirea, dar permite deplanarea şi rotirile după axele secŃiunii transversale y şi z) solicitată la compresiune axială şi momente încovoietoare la extremităŃi. Următoarele condiŃii trebuiesc îndeplinite:

, , , ,

1 , 1 , 11.0

/ / /y Ed y Ed z Ed z EdEd

yy yzy Rk M LT y Rk M z Rk M

M M M MNk k

N M Mχ γ χ γ γ+ ∆ + ∆

+ + ≤ (5.29a)

, , , ,

1 , 1 , 11.0

/ / /y Ed y Ed z Ed z EdEd

zy zzz Rk M LT y Rk M z Rk M

M M M MNk k

N M Mχ γ χ γ γ+ ∆ + ∆

+ + ≤ (5.29b)

în care NEd, My,Ed şi Mz,Ed sunt valorile de calcul ale efortului de compresiune şi ale momentelor încovoietoare maxime în element, în raport cu axele y-y respectiv z-z; ∆My,Ed, ∆Mz,Ed sunt momentele încovoietoare datorate deplasării centrului de greutate, în cazul secŃiunilor eficace, de clasă 4 (a se vedea Tabelul 5.1); χy şi χz sunt factori de reducere pentru flambajul prin încovoiere (după axa y-y, respectiv axa z-z), conform 6.3.1 din SR EN 1993-1-1; χLT este factorul de reducere datorat pierderii stabilităŃii prin încovoiere laterală cu răsucire, conform 6.3.2 din SR EN 1993-1-1 (pentru elemente care nu sunt sensibile la deplanarea secŃiunii prin răsucire χLT = 1); kyy, kyz, kzy, kzz sunt factori de interacŃiune care depind de fenomenul de pierdere a stabilităŃii, respectiv plasticizării, obŃinuŃi conform Metodei 1 (a se vedea Anexa A din SR EN 1993-1-1), sau Metodei 2 (a se vedea Anexa B din SR EN 1993-1-1).

iyRk AfN = , iyRki WfM =, şi ,i EdM∆ se calculează conform Tabelului 5.1, în funcŃie de clasa

de secŃiune a elementului. Tabelul 5.1: Valorile pentru calcul NRk, Mi,Rk şi ∆ Mi,Ed

Clasa de secŃiune 1 2 3 4

Ai A A A Aeff

Wy Wpl,y Wpl,y Wel,y Weff,y

Wz Wpl,z Wpl,z Wel,z Weff,z

,y EdM∆ 0 0 0 ,N y Ede N

,z EdM∆ 0 0 0 ,N z Ede N

În SR EN 1993-1-1 sunt oferite două metode pentru calculul factorilor de interacŃiune kyy, kyz, kzy, kzz, şi anume Metoda 1, dezvoltată de grupul de cercetătorii francezi şi belgieni, şi Metoda 2, dezvoltată de grupul de cercetătorii austrieci şi germani (Boissonade ş.a, 2006). În cazul elementelor care nu sunt sensibile la deplanarea secŃiunii prin răsucire, se presupune că nu există riscul flambajului prin încovoiere-răsucire. Verificarea stabilităŃii elementelor se efectuează Ńinând cont de flambajul prin încovoiere după axa y-y şi axa z-z. Această procedură impune aplicarea expresiilor (5.29a) pentru flambajul după axa y-y şi (5.29b) pentru flambajul după axa z-z, considerând χLT = 1 şi calculând factorii de interacŃiune kyy, kyz, kzy, kzz pentru un element care nu este sensibil la deformaŃii de torsiune. În cazul elementelor care sunt sensibile la deplanarea secŃiunii prin răsucire, se presupune că nu există modul critic de flambaj este flambajului prin încovoiere-răsucire. În acest caz se aplică expresiile (5.29a) şi (5.29b), iar coeficientul χLT se determină în conformitate cu procedura din paragraful 6.3.2 din SR EN 1993-1-1 şi calculând factorii de interacŃiune kyy, kyz, kzy, kzz pentru un element care este sensibil la deformaŃii de torsiune.

În conformitate cu Metoda 1, un element nu este sensibil la deformaŃii din torsiune dacă IT ≥ Iy, unde IT este moment de inerŃie la răsucire Saint-Venant, iar Iy este moment de inerŃie la încovoiere în raport cu axa y-y. Dacă IT < Iy, dar există rezemări laterale în lungul elementului, atunci şi această situaŃie poate fi considerată că nu este sensibil la deformaŃii din torsiune, dacă următoarea condiŃie este îndeplinită:

40 1, ,

0.2 1 1Ed Ed

cr z cr T

N NC

N Nλ

≤ − −

(5.30)

unde C1 este un coeficient care depinde forma diagramei de moment încovoietor între punctele de fixare, Ncr,z şi Ncr,T reprezintă forŃa critică elastică pentru flambajul prin încovoiere după axa

z-z, respectiv pentru flambajul prin răsucire, iar 0λ este zvelteŃea redusă pentru flambajul prin

încovoiere laterală cu răsucire, evaluată pentru situaŃia cu moment încovoietor constant. Dacă condiŃia (5.30) nu este satisfăcută, atunci elementul trebuie considerat ca element sensibil la deformaŃii din torsiune. În continuare se prezintă următoarele tabele din Anexa A a SR EN 1993-1-1 pentru calculul factorilor de interacŃiune în conformitate cu Metoda 1. În Tabelul 5.2 se prezintă valorile factorilor de interacŃiune kij în conformitate cu Metoda 1. Tabelul 5.2: Factori de interacŃiune kij în conformitate cu Metoda 1

Factori de interacŃiune Caracteristici elastice ale secŃiunilor

(SecŃiuni de clasă 3 sau 4)

Caracteristici plastice ale secŃiunilor


kyy

ycr

Ed

ymLTmy

N

NCC

,

1−

µ

yy

ycr

Ed

ymLTmy C

N

NCC

1

1,

−

µ

kyz

zcr

Ed

ymz

N

NC

,

1−

µ

y

z

yz

zcr

Ed

ymz w

w

CN

NC 6.0

1

1,

−

µ

kzy

ycr

Ed

zmLTmy

N

NCC

,

1−

µ

z

y

zy

ycr

Ed

zmLTmy w

w

CN

NCC 6.0

1

1,

−

µ

kzz

zcr

Ed

zmz

N

NC

,

1−

µ

zz

zcr

Ed

zmz C

N

NC

1

1,

−

µ

În Tabelul 5.3 se prezintă o serie de termeni auxiliari. De asemenea, sunt furnizate informaŃii şi despre factorii Cyy, Cyz, Czy, şi Czz; aceştia depind de gradul de plasticizare al secŃiunii transversale la cedarea elementului. Aceşti termeni iau valori diferite, în funcŃie de faptul dacă elementul este sensibil sau nu la deformaŃii din torsiune.

Tabelul 5.3: Termeni auxiliari pentru calculul factorilor de interacŃiune kij din Tabelul 5.2 Termeni auxiliari:

,

,

1

1

Ed

cr yy

Edy

cr y

N

N

N

N

µχ

−=

−; ,

,

1

1

Ed

cr zz

Edz

cr z

N

N

N

N

µχ

−=

−; ,

,1.5pl y

yel y

Ww

W= ≤ ; ,

,1.5pl z

zel z

Ww

W= ≤

1/Ed

plRk M

Nn

N γ= ; 1 0T

LTy

I

Iα = − ≥ ;

Cmy and Cmz sunt factori ai momentului uniform echivalent, determinaŃi în Tabelul 5.4.

Pentru secŃiunile de clasă 3 şi 4, se consideră wy=wz=1.0.

( ) 2 ,2 2max max

,

1.6 1.61 1 2

el yyy y my my pl LT

y y pl y

WC w C C n b

w w Wλ λ

= + − − − − ≥

,

unde 2 , ,0

, , , ,0.5 y Ed z Ed

LT LTLT pl y Rd pl z Rd

M Mb a

M Mλ

χ=

( )22max ,

5,

1 1 2 14 0.6 el zmz zyz z pl LT

y pl zz

WC wC w n c

w Ww

λ = + − − − ≥

,

unde 2

,04

, ,10

5

y EdLT LT

my LT pl y Rdz

Mc a

C M

λχλ

=+

( )22max ,

5,

1 1 2 14 0.6my y el y

zy y pl LTz pl yy

C w WC w n d

w Ww

λ = + − − − ≥

,

unde , ,0

4, , , ,

20.1

y Ed z EdLT LT

my LT pl y Rd mz pl z Rdz

M Md a

C M C M

λχλ

= ++

( ) 2 ,2 2max max

,

1.6 1.61 1 2 el z

zz z mz mz LT plz z pl z

WC w C C e n

w w Wλ λ

= + − − − − ≥

, (vezi erata

N1620E/EN1993-1-1)

unde ,0

4, ,

1.70.1

y EdLT LT

my LT pl y Rdz

Me a

C M

λχλ

=+

( )zy λλλ ,maxmax =

=0λ zvelteŃea redusă pentru flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire datorită momentului încovoietor uniform, considerând 1.0yΨ = în Tabelul 5.4;

=LTλ zvelteŃea redusă pentru flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire;

Tabelul 5.3: Termeni auxiliari pentru calculul factorilor de interacŃiune kij (continuare)

Dacă 40 1 ,0 ,0, ,

0.2 1 1 : ; ; 1.0Ed Edmy my mz mz mLT

cr z cr T

N NC C C C C C

N Nλ

≤ − − = = =

;

Dacă ( )40 1 ,0 ,0, ,

0.2 1 1 : 11

y LTEd Edmy my my

cr z cr T y LT

aN NC C C C

N N a

ελ

ε

> − − = + − + ;

2,0

, ,

; 1

1 1

LTmz mz mLT my

Ed Ed

cr z cr T

aC C C C

N N

N N

= = ≥

− −

;

,

,

y Edy

Ed el y

M A

N Wε = pentru secŃiuni de clasa 1, 2 sau 3;

,

,

y Ed effy

Ed eff y

M A

N Wε = pentru secŃiuni de clasa 4;

Ncr,y forŃă critică de flambaj prin încovoiere după axa y, în domeniul elastic;

Ncr,z forŃă critică de flambaj prin încovoiere după axa z, în domeniul elastic;

Ncr,T forŃă critică pentru flambajul prin răsucire;

IT moment de inerŃie la răsucire Saint-Venant;

Iy moment de inerŃie la încovoiere în raport cu axa y; 2

1

1

=

ckC unde kc este factor de corecŃie prezentat în tabelul Table 5.5.

În Tabelul 5.4 se prezintă factorii Cmi,0, care permit obŃinerea factorilor momentului încovoietor uniform echivalent, Cmi, care sunt descrişi în Tabelul 5.3. Aceşti coeficienŃi ar trebui evaluaŃi pe baza diagramelor de moment încovoietor (după axele y-y şi z-z) între punctele de fixare. În Tabelul 4.5 din capitolul 4 se prezintă factorul de corecŃie kc. În conformitate cu Metoda 2, următoarele elemente pot fi considerate că nu sunt sensibile la deformaŃii din torsiune:

- elemente cu secŃiuni tubulare circulare;

- elemente cu secŃiuni tubulare rectangulare (dacă este respectată condiŃia / 10 / zh b λ≤ ,

unde h şi b reprezintă înălŃimea şi lăŃimea secŃiunii, iar zλ reprezintă zvelteŃea redusă în raport cu axa z-z, (Kaim, 2004));

- elemente cu secŃiune deschisă, considerând acestea sunt împiedicate lateral şi la răsucire. Un element cu secŃiune deschisă I sau H, împiedecat continuu, poate fi considerat că nu este sensibil la deformaŃii din torsiune, dacă condiŃiile prescrise în Anexa BB.2 a SR EN1993-1-1 sunt îndeplinite (Boissonade ş.a, 2006).

Elementele cu secŃiune deschisă, de exemplu I sau H, sunt considerate ca fiind sensibile la deformaŃii din torsiune dacă acestea nu sunt împiedecate corespunzător lateral şi la torsiune. Împiedecat lateral înseamnă că secŃiunea transversală este rezemată lateral la nivelul tălpii comprimate.

Tabelul 5.4: Factori ai momentului încovoietor uniform echivalent Cmi,0

Diagrama de momente Cmi,0

( )icr

Ediimi N

NC

,0, 33.036.021.079.0 −Ψ+Ψ+=

( )

2

,0 2,,

1 1i x Edmi

cr ii Ed

EI NC

NL M x

π δ = + −

( )xM Edi , este momentul maxim My,Ed sau Mz,Ed

În conformitate cu analizele de ordinul întâi

xδ este săgeata laterală maximă zδ (datorită My,Ed)

sau yδ ( datorită Mz,Ed) în lungul elementului

,0,

1 0.18 Edmi

cr i

NC

N= −

,0,

1 0.03 Edmi

cr i

NC

N= −

Pentru calculul factorilor de interacŃiune în conformitate cu Metoda 2, se prezintă în continuare tabelele din Anexa B a SR EN 1993-1-1. Tabelele 5.5 şi 5.6 prezintă factorii de interacŃiune kij. În Tabelul 5.7 se prezintă factori de moment uniform echivalent Cmi, evaluaŃi pe baza diagramelor de moment încovoietor, între puntele de fixare. Tabelul 5.5: Factori de interacŃiune kij pentru elementele care nu sunt sensibile la deformaŃiile din răsucire în conformitate cu Metoda 2 Factorii de interacŃiune

Tipul de secŃiune

Caracteristici elastice ale secŃiunilor


Caracteristici plastice ale secŃiunilor (SecŃiuni de clasă 1 sau 2)

kyy

SecŃiuni I sau H şi secŃiuni

tubulare rectangulare

1

1

1 0.6/

1 0.6/

Edymy

y Rk M

Edmy

y Rk M

NC

N

NC

N

λχ γ

χ γ

+ ≤

≤ +

( )1

1

1 0.2/

1 0.8/

Edymy

y Rk M

Edmy

y Rk M

NC

N

NC

N

λχ γ

χ γ

+ − ≤

≤ +

kyz



kzz 0.6kzz

kzy



0.8kyy 0.6kyy

( )1

1

1 2 0.6/

1 1.4/

Edzmz

z Rk M

Edmz

z Rk M

NC

N

NC

N

λχ γ

χ γ

+ − ≤

≤ +

kzz

SecŃiuni I sau H

SecŃiuni tubulare

rectangulare

1

1

1 0.6/

1 0.6/

Edzmz

z Rk M

Edmz

z Rk M

NC

N

NC

N

λχ γ

χ γ

+ ≤

≤ +

( )1

1

1 0.2/

1 0.8/

Edzmz

z Rk M

Edmz

z Rk M

NC

N

NC

N

λχ γ

χ γ

+ − ≤

≤ +

Pentru secŃiunile I sau H ca şi pentru secŃiunile tubulare rectangulare supuse la compresiune axială şi încovoiere pe o singură direcŃie (My,Ed), se poate lua kzy = 0.

Pentru a ilustra modul de calcul a factorilor de moment uniform echivalent Cmi (Tabelul 5.8), se consideră un element solicitat la încovoiere biaxială şi compresiune, care la extremităŃi are reazeme simple tip „furcă” (împiedică deplasările laterale şi răsucirea, dar permite deplanarea şi rotirile după axele secŃiunii transversale y şi z) şi este rezemat lateral în câteva secŃiuni intermediare. Se consideră că rezemările intermediare împiedică nu doar deformaŃiile din torsiune, ci şi deformaŃiile transversale ale secŃiunii acolo unde acestea sunt aplicate. În acest caz, factorul Cmy trebuie evaluat pe baza diagramei de moment încovoietor My în lungul elementului. Factorii Cmz şi CmLT trebuie evaluaŃi pe baza diagramelor de moment încovoietor Mz şi My, între punctele de fixare laterale. Tabelul 5.6: Factori de interacŃiune kij pentru elementele care sunt sensibile la deformaŃiile din răsucire în conformitate cu Metoda 2

Factorii de interacŃiune

Caracteristici elastice ale secŃiunilor (SecŃiuni de clasă 3 sau 4)

Caracteristici plastice ale secŃiunilor (SecŃiuni de clasă 1 sau 2)

kyy kyy din tabelul 5.5 kyy din tabelul 5.5

kyz kyz din tabelul 5.5 kyz din tabelul 5.5

kzy ( )

( )

1

1

0.051

0.25 /

0.051

0.25 /

z Ed

mLT z Rk M

Ed

mLT z Rk M

N

C N

N

C N

λχ γ

χ γ

− −

≥ − −

( )

( )

1

1

0.11

0.25 /

0.11

0.25 /

z Ed

mLT z Rk M

Ed

mLT z Rk M

N

C N

N

C N

λχ γ

χ γ

− −

≥ − −

pentru

( ) 1

0.4 : 0.6

0.11

0.25 /

z zzy

z Ed

mLT z Rk M

k

N

C N

λ λ

λχ γ

< = +

≤ −−

kzz kzz din tabelul 5.5 kzz din tabelul 5.5

Tabelul 5.7: Factori de moment uniform echivalent Cmi din tabelele 5.5 şi 5.6 Cmy, Cmz şi CmLT Diagrame de momente Domenii

Încărcare uniformă Încărcare concentrată

11 ≤Ψ≤− 4.04.06.0 ≥Ψ+

10 ≤≤ sα 11 ≤Ψ≤− 4.08.02.0 ≥+ sα 0.2 0.8 0.4sα+ ≥

10 ≤Ψ≤ 4.08.01.0 ≥− sα 4.08.0 ≥− sα

hSh MM /=α 11 <≤− sα

01 <Ψ≤− ( )0.1 1 0.8 0.4sα− Ψ − ≥ ( )0.2 0.8 0.4sα−Ψ − ≥

10 ≤≤ hα 11 ≤Ψ≤− hα05.095.0 + hα10.090.0 +

10 ≤Ψ≤ hα05.095.0 + hα10.090.0 +

/h h sM Mα = 11 <≤− hα

01 <Ψ≤− ( )Ψ++ 2105.095.0 hα ( )Ψ++ 2110.090.0 hα

Pentru calculul parametrilor Sα sau hα , momentele încovoietoare deasupra axei barei se consideră

negative, iar momentele încovoietoare de sub axa barei se consideră pozitive. Pentru elementele cu mod de instabilitate cu noduri deplasabile, factor de moment uniform echivalent trebuie să se ia Cmy = 0.9 sau Cmz = 0.9, după caz. Factorii Cmy, Cmz şi CmLT trebuie calculaŃi conform diagramelor de momente de încovoiere pe distanŃa dintre punctele fixare a secŃiunii, astfel:

factor de moment axa de încovoiere puncte fixate pe direcŃia

Cmy y-y z-z Cmz z-z y-y CmLT y-y y-y

5.5 Metoda generală de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoire-r ăsucire a componentelor structurale şi la cadre parter În Figura 5.11 se prezintă un cadru portal, realizat din grinzi şi stâlpi cu secŃiune variabilă, la care tălpile exterioare ale secŃiunilor transversale sunt împiedecate lateral de pane care, datorită rigidităŃii la încovoiere a acestora, introduc o rigiditate la torsiune elementelor cadrului. Totuşi, grinzile şi stâlpii pot fi solicitate şi la distorsiunea secŃiunii transversale, datorită flexibilit ăŃii inimilor.

Fig. 5.11: Cadru portal realizat din grinzi şi stâlpi cu secŃiune variabilă cu împiedicări la răsucire

şi deplasare elastice introduse de pane

O verificare exactă şi corectă a structurii trebuie să se realizeze pe baza unui model cu elemente finite care să ia în considerare toate efectele suplimentare prezentate mai sus. De asemenea, în modelul cu element finit trebuie considerate şi imperfecŃiunile globale şi locale. În Anexa VII se prezintă câteva principii de modelare cu metoda elementului finit (MEF) conform Anexei C din SR EN 1993-1-5, unde se prezintă aspecte legate de utilizarea imperfecŃiunilor, proprietăŃile materialelor, respectiv introducerea încărcărilor. În anexa VIII sunt prezentate tipurile de imperfecŃiuni şi valorile acestora, şi anume:

− ImperfecŃiuni pentru analiza globală a cadrelor (abatere globală iniŃială de la axa verticală şi imperfecŃiunile iniŃiale locale ale barelor);

− ImperfecŃiuni pentru calculul sistemului de contravântuiri. În continuare se prezintă o procedură de verificare mai simplă pentru elementele structurii, conform metodei generale de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoire-răsucire a componentelor structurale din SR EN 1993-1-1 (a se vedea subcapitolul 6.3.4 din SR EN 1993-1-1). În general, procedura descrisă mai jos necesită programe de calcul performante, capabile să efectueze analize elasto-plastice şi analize de flambaj. Metoda poate fi utilizată atunci când metodele din paragrafele 6.3.1, 6.3.2 şi 6.3.3 din SR EN 1993-1-1 nu pot fi aplicate. Ea permite verificarea rezistenŃei la flambaj prin încovoiere sau încovoiere-răsucire a elementelor structurale precum:

- bare izolate, cu secŃiune compusă sau nu, cu secŃiune uniformă sau nu, cu condiŃii de rezemare complexe sau nu, sau

- structuri în cadre plane sau sub-structuri compuse din astfel de bare, supuse la compresiune şi/sau încovoiere mono-axială în planul lor, dar care nu conŃin articulaŃii plastice. RezistenŃa globală la flambaj în afara planului încărcării a oricărui element structural conform celor enunŃate mai sus poate fi efectuată verificând următoarea condiŃie:

,

11

op ult k

M

χ αγ

≥ (5.31)

în care

,ult kα este factorul minim de amplificare care se aplică încărcărilor de calcul pentru a atinge

rezistenŃa caracteristică în secŃiunea transversală critică a elementului structural, considerând comportarea sa în planul încărcării, fără a lua în considerare flambajul prin încovoiere lateral sau flambajul prin încovoiere-răsucire, dar luând totuşi în considerare când este necesar, toate efectele datorate deformaŃiei geometrice în plan, respectiv imperfecŃiunilor globale şi locale;

opχ este factorul de reducere calculat pentru zvelteŃea redusă opλ , astfel încât să se ia în

considerare flambajul prin încovoiere laterală şi flambajul prin încovoiere-răsucire.

ZvelteŃea globală redusă opλ a elementului structural se poate determina cu ajutorul relaŃiei

următoare:

opcr

kultop

,

,

αα

λ = (5.32)

în care

,cr opα este factorul minim de amplificare, aplicat încărcărilor de calcul acŃionând în plan, pentru

a atinge rezistenŃa critică elastică a elementului structural în ceea ce priveşte flambajul prin încovoiere lateral sau încovoiere-răsucire, fără a Ńine seama de flambajul prin încovoiere în plan. Pentru determinarea factorilor ,cr opα şi ,ult kα se pot utiliza programe de calcul bazate pe

Metoda Elementului Finit. Factorul de reducere opχ poate fi determinat plecând de la una din următoarele metode:

a) valoarea minimă dintre χ pentru flambajul lateral elementului comprimat concentric conform paragrafului 6.3.1 din SR EN 1993-1-1, şi χLT pentru flambajul prin încovoire-răsucire conform paragrafului 6.3.2 din SR EN 1993-1-1

fiecare fiind calculat pentru zvelteŃea redusă globală opλ .

De exemplu, când ,ult kα este determinat prin verificarea secŃiunii transversale cu relaŃia

Rky

Edy

Rk

Ed

kult M

M

N

N

,

,

,

1 +=α

, această metodă conduce la:

opMRky

Edy

MRk

Ed

M

M

N

N χγγ

≤+1,

,

1 // (5.33)

b) o valoare obŃinută prin interpolare între valorile χ şi χLT aşa cum au fost definite la punctul a), utilizând formula care permite determinarea lui ,ult kα în secŃiunea transversală critică

De exemplu, când ,ult kα este determinat prin verificarea secŃiunii transversale cu relaŃia

Rky

Edy

Rk

Ed

kult M

M

N

N

,

,

,

1 +=α

, această metodă conduce la:

1// 1,

,

1

≤+MRkyLT

Edy

MRk

Ed

M

M

N

N

γχγχ (5.34)

O metodă de calcul alternativă, a rezistenŃei critice de flambaj a structurilor în cadre, ce nu necesită un program de calcul se prezintă în Anexa IX (King, 2001) şi are la bază cercetările efectuate de Davies (1990, 1991). Metoda constă în determinarea pentru fiecare combinaŃie de încărcări analizată, a unui coeficient crλ pentru fiecare din substructurile în care este împărŃită

structura, şi apoi, cel mai mic coeficient crλ rezultat se utilizează pentru toată structura, pentru

acea combinaŃie particulară. Eforturile din stâlpi şi grinzi se vor determina printr-o analiză elastică şi pot fi obŃinute prin calcul manual sau automat. În continuare se prezintă exemple de calcul ce acoperă partea teoretică a acestui capitol, şi anume: Exemplul E.13. Determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii – interacŃiunea M-N; Exemplul E.14. Determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii a unui cadru portal;

Exemplul E.15. Determinarea unei secŃiunii echivalente pentru verificarea elementelor cu secŃiune variabila supuse la M-N; Exemplul E.16. Calculul unui stâlp cu secŃiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune cu încovoiere. EXEMPLE DE CALCUL E.13. Determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii – interacŃiunea M-N

Descrierea problemei Se consideră stâlpul unei hale parter cu noduri fixe, cu prinderea la bază realizată în

soluŃie articulată pe ambele direcŃii. Rigla cadrului transversal transmite stâlpului efort axial, forŃa tăietoare şi moment încovoietor. Stâlpul are înălŃimea de 6.5 m şi este realizat din profil laminat I cu tălpi late HEB320 marca S235. Se cere să se facă verificările de rezistenŃă şi stabilitate necesare.

Schema statică

N

L

z

y

N

L

zy

MV

Figura E.13.1. Schema statica si lungimea de flambaj după axele yy, respectiv zz


ForŃa axială NEd = 215 kN ForŃa tăietoare VEd = 50 kN Moment încovoietor MEd = 325 kNm Lungimea elementului L = 6,50 m Marca oŃelului S235


HE 320 B - Marca de oŃel S235; ÎnălŃimea h = 320,0 mm ÎnălŃimea inimii hw = 279,0 mm ÎnălŃimea liberă a inimii dw = 225,0 mm LăŃimea tălpilor b = 300,0 mm Grosimea inimii tw = 11,5 mm Grosimea tălpilor tf = 20,5 mm Raza de racord r = 27,0 mm Aria A = 161,3 cm2

Momentul de inerŃie/yy Iy = 30824 cm4

Momentul de inerŃie/zz Iz = 9239 cm4 Momentul de inerŃie la torsiune It = 230 cm4 Moment de inerŃie sectorial Iw = 2071812 cm6 Modul de rezistenŃă elastic /yy Wel,y = 1926,5 cm3 Modul de rezistenŃă plastic /yy Wpl,y = 2149,2 cm3 Raza de giraŃie /zz iz = 7.57 cm Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z


Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca S235 Deoarece grosimea maximă a pereŃilor secŃiunii transversale este 15 mm ≤ 40 mm, limita

de curgere este fy = 235 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1

CoeficienŃii parŃiali de siguranŃă γM0 = 1.00 γM1 = 1.00

SREN 1993-1-1 §6.1 (1) Determinarea lungimii de flambaj

Stâlpul este dublu articulat pe ambele direcŃii: Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y) fL_y = 1,00 Lungimea de flambaj (y-y) Lcr,y = fL_y × L = 6,50 m Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z) fL_z = 1.00 Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z × L = 6,50 m


2

235 2351

235[N/mm ]yfε = = =

• Talpa în consolă supusă la compresiune

2 300 11,5 2 27

117,25 mm2 2

wb t rc

− − ⋅ − − ⋅= = =

117,25

5,72 9 9 1 920,5f

c

t= = < ⋅ε = ⋅ = ⇒ talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

• Perete interior supus la încovoiere şi compresiune

3215 10

79,56 mm11,5 235

EdN

w y

Nd

t f

⋅= = =⋅ ⋅

79,5 225

0,677 0,52 2 225N w

w

d d

d

+ +α = = = >⋅ ⋅

2 2 320 2 20.5 2 27 225 mmw fd h t r= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ =

225 396 396 1

19.565 50,7611,5 13 1 13 0,677 1

w

w

d

t

⋅ ε ⋅= = < = =⋅ α − ⋅ −

⇒ inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Clasa unei secŃiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puŃin

favorabilă) a pereŃilor săi comprimaŃi: în cazul de faŃă: Clasa 1 Deoarece avem de-a face cu o secŃiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face

bazându-ne pe capacitatea plastică a secŃiunii transversale. Verificările de rezistenŃă

Pentru a respecta condiŃiile de rezistenŃă stâlpul trebuie să îndeplinească toate verificările la: − ForŃă axială N; − ForŃă tăietoare V; − Moment încovoietor M; − InteracŃiunea M-N-V.

SREN 1993-1-1 §6.2.10 Datorită interacŃiunii M-N-V ordinea logică a determinării rezistenŃelor este Vpl,Rd, Npl,Rd şi

Mpl,y,Rd.



2

2 ( 2 )

16130 2 300 20,5 (11,5 2 27) 20,5 5173 mm

vz f w fA A b t t r t= − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3) În absenŃa răsucirii, este dată de relaŃia:

,, ,

0

5173 235701,85 kN

3 3 1,0v z y

pl z RdM

A fV

⋅ ⋅= = =⋅ γ ⋅

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2) Trebuie să fie satisfăcută condiŃia:

,

500,071 0,5

701,85Rd

c Rd

V

V= = ≤ ⇒

secŃiunea verifică, iar forŃa tăietoare nu reduce valoarea

momentului încovoietor capabil

Verificarea la forŃă axială Pentru a determină rezistenŃa de calcul a secŃiunii transversale a stâlpului la compresiune


2

,0

161,3 10 2353791 kN

1,0y

c RdM

A fN

⋅ ⋅ ⋅= = =γ


,

2150,057 1,0

1791Ed

c Rd

N

N= = ≤ ⇒ secŃiunea verifică

Pentru secŃiunile cu doua axe de simetrie I sau H şi alte secŃiuni cu doua axe de simetrie cu tălpi, nu este necesar să se ia în considerare efectul efortului axial asupra momentului rezistent plastic în raport cu axa y-y , atunci când sunt satisfăcute următoarele două criterii:

,215 kN 0,25 0,25 3791 947,75 kNEd pl RdN N= ≤ ⋅ = ⋅ =

0

0,5 0,5 279 11,5 235215 kN 377 kN

1w w y

EdM

h t fN

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ≤ = =γ

SREN 1993-1-1 § 6.2.9.1(4) CondiŃiile fiind îndeplinite efectul efortului axial asupra momentului rezistent poate fi

neglijat. Verificarea la încovoiere

Pentru o secŃiune de clasa 1 rezistenŃa de calcul a unei secŃiuni transversale supusă la încovoiere în raport cu axa principală de inerŃie se determină astfel:

3

, ,0

2149,2 10 235505,06 kNm

1,0pl y

c Rd pl RdM

W fM M

⋅ ⋅ ⋅= = = =γ


,

3250,643 1,0

505Ed

c Rd

M


SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1 Verificările de pierdere a stabilităŃii

Barele supuse la compresiune axială şi încovoiere trebuie să îndeplinească următoarele condiŃii:

, , , ,

, ,

11 1

1y Ed y Ed z Ed z EdEdyy yz

y Rk LT y Rk z Rk

MM M

M M M MNk k

N N M

+ ∆ + ∆+ ⋅ + ⋅ ≤

χ ⋅ χ ⋅γγ γ

, , , ,

, ,

1 11

1y Ed y Ed z Ed z EdEdzy zz

z Rk LT y Rk z Rk

M MM

M M M MNk k

N M M

+ ∆ + ∆+ ⋅ + ⋅ ≤

χ ⋅ χ ⋅γ γγ

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) Deoarece , , 0z Ed z EdM M= ∆ ≤ relaŃiile de interacŃiune se pot scrie:

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdyy

y Rk LT y Rk

M M

M MNk

N N

+ ∆+ ⋅ ≤

χ ⋅ χ ⋅γ γ

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdzy

z Rk LT y Rk

M M

M MNk

N M

+ ∆+ ⋅ ≤

χ ⋅ χ ⋅γ γ

Pentru calculul acestor formule de interacŃiune este necesar calculul factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere după ambele axe principale, factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere - răsucire şi factorii de interacŃiune kzz, kyy, kyz şi kzy.


2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 30824 1015104kN

6500y

cr ycr y

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 9239 104528 kN

6500z

cr zcr z

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =


2

,

161,3 10 2350,501

15104y

ycr y

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =

2

,

161,3 10 2350,915

4528y

zcr z

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secŃiunea transversala trebuie să luam în

considerare următoarele condiŃii: HEB 320 - profil laminat

Raportul 320

1,07 1,2300

h

b= = ≤

Grosimea tălpilor 20.5 mm 100 mmft = ≤

Marca de oŃel S235 • Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei y-y:

Curba de flambaj b, factorul de imperfecŃiune αy = 0.34;

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (0,501 0,2) 0,501 0,676y y y y φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,884

0,676 0,676 0,501y

y y y

χ = = =φ + φ − λ + −

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei z-z

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (0,915 0,2) 0,915 1.093z z z z φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,591

1,093 1,093 0,915z

z z z

χ = = =φ + φ − λ + −

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere-răsucire

• Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire poate fi calculat folosind

următoarea expresie:

2 22

21 2 22 2

( )( )

( )w tz

cr g gw z z


k Ik L E I

⋅ ⋅ ⋅π ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅

În calculul Mcr, au fost introduse următoarele valori pentru factori: k = 1; din moment ce talpa comprimată e liberă să se rotească în jurul axei minime de

inerŃie, kw = 1; din moment ce nu sunt prevăzute măsuri speciale de împiedicare a deplanării

libere a capetelor grinzii. zg distanŃa de la punctul de aplicare al încărcării la centru de tăiere. Deoarece eforturile

sunt transmise prin intermediul rigle – încărcările sunt aplicate în axa neutră a stâlpului: zg = 0.

Coeficientul C1 depinde de forma diagramei de moment încovoietor. Pentru o elemente încărcate doar cu momente la capete – diagrama cu variaŃie lineară – şi pentru raportul între momente ψ = 0, avem: C1 = 1.77

Access Steel NCCI: SN003a-EN-EU Astfel formula momentului critic devine:

22

,1 2 2

,

tcr LTwzcr

z zcr LT

L G IIE IM C

I E IL

⋅ ⋅π ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ +π ⋅ ⋅


2 2 5 4 143,14 2,1 10 9239 10 1,915 10z E Iπ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

2 14

61 2 2

1,915 104,532 10

6500zE I

T L

π ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅

6

42 7

2071812 102,242 10

9239 10w

z

IT

I

⋅= = = ⋅⋅

2 2 4

43 2 14

6500 80770 230 104,099 10

1,915 10t

z

L G I T

E I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅π ⋅ ⋅ ⋅

În continuarea calculelor va fi necesar calculul Mcr,0 , momentul critic corespunzător elementului încărcat cu momente egale la capete – variaŃie constantă – ψ = 1, C1,0 = +1,00.

ψψψψ C1 ψψψψ C1

1.00 1.00 -0.25 2.05 0.75 1.14 -0.50 2.33 0.50 1.31 -0.75 2.57 0.25 1.52 -1.00 2.55 0.00 1.77

Access Steel NCCI: SN003a-EN-EU

6 4 4,0 1 2 3 4,532 10 2,242 10 4,099 10 1141 kNmcrM T T T= ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire

1 ,0 1,77 1141 2020 kNmcr crM C M= ⋅ = ⋅ =


relaŃii:

6

,6

2149.2 10 2350,5

2020 10pl y y

LTcr

W f

M

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1)

Alternativ se poate folosi o metoda simplificata pentru profilele I / H blocate la capete fără forŃă destabilizatoare:

/ 6500 /75.7

0,826104

zLT

s

L i

kλ = = =

unde ks = 104 (S235); 96 (S275); 85 (S355); 78 (S420), respectiv 75 (S460). NCCI – Access Steel (BS)

Deoarece λLT = 0,5 > λLT,0 = 0,4 (profile laminate) efectele deversării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire fiind obligatorie.

• Factorul de reducere Pentru profile laminate sau secŃiunile sudate echivalente supuse la încovoiere, valorile χLT


2 2 2

1.01

1.0darLT

LTLT

LT LT LTLT

χ ≤χ = χ ≤φ + φ − β ⋅λ λ

unde :

2,00,5 1 ( )LT LT LT LT LT

φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅λ

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)

αLT factorul de imperfecŃiune pentru pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire:

Pentru 320

2,222 2300

h

b= = ≤ ⇒ curba b (αLT = 0,34)

SREN 1993-1-1 Tabel 6.5 Tabel 6.3


2,0

2

0,5 1 ( )

0,5 1 0,34 (0,5 0,4) 0,75 0,5 0,618

LT LT LTLT LT φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅λ

= ⋅ + ⋅ − + ⋅ =

2

22 2

1

1 10,944 1; 3,177

0,618 0,618 0,75 0,5

LT

LTLT LT

LT

χ = =φ + φ − β ⋅λ

= = < = + − ⋅ λ


1 10,752

1,33 0,33 1,33 0ck = = =− ⋅ψ −

- diagrama de momente lineară

SREN 1993-1-1 Tabel 6.6

2

2

1 0,5 (1 ) 1 2 ( 0,8)

1 0,5 (1 0,752) 1 2 (0,5 0,8) 0,898 1

LTcf k = − ⋅ − ⋅ − ⋅ λ −

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = <

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2)


, ,0,944

1,051 1 1,000,898

LTLT mod LT modf

χχ = = = > ⇒ χ =

Calculul factorilor de interacŃiune kyy şi kzy Factorii de interacŃiune kyy , kyz , kzy , kzz depind de metoda de calcul aleasă. Se pot calcula

folosind două metode alternative. În acest exemplu valorile acestor factori au fost determinate conform anexei A (metoda alternativă 1).

Se începe cu calculul factorilor auxiliari:

,

,

2151 115104 0,998

2151 1 0,884

15104

Ed

cr yy

Edy

cr y

N

N

N

N

− −µ = = =

− χ ⋅ − ⋅

,

,

2151 14528 0,98

2151 1 0,591

4528

Ed

cr zz

Edz

cr z

N

NN

N

− −µ = = =

− χ ⋅ − ⋅

,

,

2149,21,116 1.5

1926,5pl y

yel y

Ww

W= = = ≤

,

,

939,11,525 1,5 1.5

615,9pl z

z zel z

Ww w

W= = = > ⇒ =

Efortul axial critic de flambaj elastic prin răsucire se determină:

2

, 2 20 ,

2 5 64

3 2

1

1 3,14 2,1 10 2071812 1080770 230 10 11570kN

24,83 10 6500

wcr T t

cr T

E IN G I

i L

π ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅

Pentru o secŃiune dublu simetrica i0 se defineşte ca fiind:

2 2 2 2 2 2 2 3 20 0 0 138,2 75,7 24,83 10 mmy zi i i y z= + + + = + = ⋅

unde: y0, z0 sunt coordonatele centrului de tăiere faŃă de centrul de greutate; Mcr,0 este momentul critic corespunzător elementului încărcat cu momente egale la capete: ,0 1141 kNmcrM = .

6

,0 6,0

2149.2 10 2350,665

1141 10y y

LTcr

W f

M

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

40 1, ,

4

0,2 1 1

215 2150,2 1,77 1 1 0,265

4528 11570

Ed Edlim

cr z cr TF

N N C

N N λ = ⋅ ⋅ − ⋅ − =

= ⋅ ⋅ − ⋅ − =

în care , , 11570 kNcr TF cr TN N= = (secŃiune dublu simetrică).

Deoarece condiŃia ,0 0LT lim λ > λ este îndeplinită, rezultă:

,0 ,0(1 )1

y LTmy my my

y LT

C C Cε ⋅α

= + − ⋅+ ε ⋅ α

2

, ,

1.0

1 1

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

C CN N

N N

α= ⋅ ≥ − ⋅ −

6 2,

3 3,

325 10 161,3 1012,656

215 10 1926.5 10y Ed

yEd el y

M A

N W

⋅ ⋅ε = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅

(secŃiune clasa I).

şi

3

4

230 101 1 0,999 1

30824 10T

LTy

I

I

⋅α = − = − = ≥⋅

Factorul ,0myC se calculează conform tabel A.2, unde 0yψ = :

,0

,

0,79 0,21 0,36 ( 0,33)

2150,79 0,21 0 0,36 (0 0,33) 0,79

15104

Edmy y y

cr y

NC

N= + ⋅ψ + ⋅ ψ + ⋅ =

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Calculul parametrilor myC şi mLTC

,0 ,0(1 )

1

12,656 0.9990,79 (1 0,79) 0.954

1 12,656 0.999

y LTmy my my

y LT

C C Cε ⋅α

= + − ⋅ =+ ε ⋅ α

⋅= + − ⋅ =+ ⋅

2

, ,

2

1 1

0.9990.954 0.94 1 1

215 2151 1

4528 11570

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

mLT

C CN N

N N

C

α= ⋅ = − ⋅ −

= ⋅ = < ⇒ = − ⋅ −

Calculul factorilor yyC şi zyC

max( ; ) 0,915max y z z λ = λ λ = λ =

,2 2 2

,

1.6 1.61 ( 1) 1 el y

yy y my max my max pl LTy y pl y

WC w C C n b

w w W

= + − ⋅ − ⋅ ⋅λ − ⋅ ⋅ λ ⋅ − ≥

3

2

1 1

215 100,0567

161,3 10 2351,0

Ed Edpl

Rk y y

M M

N Nn

N A f⋅= = = =⋅ ⋅ ⋅

γ γ

, ,2,0

, , , ,

1 1

0.5 0 ( 0)y Ed z EdLT LT z Ed

LT pl y Rd pl z Rd

M M

M Mb M

M M= ⋅ α ⋅λ ⋅ ⋅ = =

χ ⋅γ γ

2 2 2

,

,

1,6 1,61 (1,116 1) 1 0,954 0,915 0,958 0,633 0,0567

1,116 1,116

1926,50.9915 0,896

2149,2

yy

el y

pl y

C

W

W

= + − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

= > = =

2 2

,5

,

1 ( 1) 2 14 0.6my max y el yzy y pl LT

z pl yy

C w WC w n d

w Ww

⋅ λ = + − ⋅ − ⋅ ⋅ − ≥ ⋅ ⋅

, ,0,4

, , , ,0

2 0 ( 0)0.1

y Ed z EdLT LT z Ed

my LT pl y Rd mz pl z Rd

M Md M

C M C M

λ= ⋅α ⋅ ⋅ ⋅ = =

⋅χ ⋅ ⋅+ λ

2 2

5

0,984 0,9151 (1,116 1) 2 14 0,0567

1,116

1,116 1926,50,9726 0,6 0,4639

1,5 2149,2

zyC ⋅= + − ⋅ − ⋅ ⋅ =

= ≥ ⋅ ⋅ =

Calculul factorilor de interacŃiune conform Tabel A.1.

,

1 1 0,998 10,954 1 0,9603

215 0,99151 115104

yy my mLTEd yy

cr z

k C CN CN

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =− −

,

10,6

1

yzzy my mLT

Ed zy z

cr y

wk C C

N C wN

µ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

0,98 1 1,116

0,954 1 0,6 0,5047215 0,9726 1,51

15104

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

Verificarea formulelor de interacŃiune

,

,

1 1

3 6

2 3

215 10 325 100,9603 0,682 1

161,3 10 235 2149,2 10 2350,884 1,0

1,0 1,0

y EdEdyy

y Rk y RkLT

M M

MN k

N M+ ⋅ =χ ⋅

χ ⋅γ γ

⋅ ⋅= + ⋅ = ≤⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

,

,

1 1

3 6

2 3

215 10 325 100,5047 0,421 1

161,3 10 235 2149,2 10 2350,591 1,0

1,0 1,0

y EdEdzy

z Rk y RkLT

M M

MN k

N M+ ⋅ =χ ⋅

χ ⋅γ γ

⋅ ⋅= + ⋅ = ≤⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

Stâlpul îndeplineşte condiŃiile de interacŃiune M-N.

E.14. Determinarea rezistenŃei la pierderea stabilităŃii a unui cadru portal

E.14.1 Grinda cu secŃiune variabila – interacŃiunea M-N

Descrierea structurii Se consideră grinda unui cadru transversal al unei hale parter cu deschiderea de 24m

si traveea de 7,20m, cu prinderea la bază a stâlpului realizată în soluŃie articulată pe ambele direcŃii. Grinda este realizata dintr-un profil laminat IPE 400 marca S355. La margine pe distanta de 2,40 m grinda este vutata, realizându-se o secŃiune cu trei tălpi. La începutul vutei si din 4.8m, distanta măsurată orizontal, sunt dispuse legăturile transversale care împiedica torsiunea. Se cere să se facă verificările de rezistenŃă şi stabilitate necesare.

Datele problemei Pentru verificarea de rezistenŃă şi pierdere a stabilităŃii a grinzii sunt necesare eforturile de

calcul in secŃiunea cea mai solicitata: - Pentru secŃiunea constanta

ForŃa axială NEd = 76,59 kN ForŃa tăietoare VEd = 84,19 kN Moment încovoietor MEd = 183,77 kNm

- Pentru secŃiunea vutata Moment încovoietor MEd = 183,77 kNm ForŃa axială NEdV = 78,56 kN ForŃa tăietoare VEdV = 106,74 kN Moment încovoietor MEdV = 413,77 kNm

Schema statică şi încărcări

IPE400 IPE400

IPE

450

IPE

450

zapada = 75 daN/mp

permanenta = 30 daN/mp

Figura E.14.1. Cadru transversal

Legãturi transversale

Figura E.14.2. Detaliu de grinda si dispunerea legaturilor transversale


IPE400 - Marca de oŃel S355; ÎnălŃimea h = 400,0 mm ÎnălŃimea inimii hw = 373,0 mm ÎnălŃimea liberă a inimii dw = 331,0 mm LăŃimea tălpilor b = 180,0 mm Grosimea inimii tw = 8,6 mm Grosimea tălpilor tf = 13,5 mm Raza de racord r = 21,0 mm Aria A = 84,5 cm2


Momentul de inerŃie la torsiune It = 51,08 cm4 Moment de inerŃie sectorial Iw = 490000 cm6 Modul de rezistenŃă elastic / yy Wel,y = 1156 cm3 Modul de rezistenŃă plastic / yy Wpl,y = 1307 cm3

Modul de rezistenŃă elastic /zz Wel,z = 146.4 cm3 Modul de rezistenŃă plastic /zz Wpl,z = 229 cm3

Raza de giraŃie /zz iz = 3,95 cm Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z



Marca de oŃel - S355. Deoarece grosimea maximă a pereŃilor secŃiunii transversale este 13,5 mm ≤ 40 mm,

limita de curgere este fy = 355 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1


SREN 1993-1-1 §6.1 (1) Determinarea clasei secŃiunii

Parametrul ε depinde de limita de curgere a materialului:

2

235 2350.814

355[N/mm ]yfε = = =


2 180 8.6 2 21

64.7 mm2 2

wb t rc

− − ⋅ − − ⋅= = =

64.7

4.793 9 9 0.814 7.32313.5f

c

t= = < ⋅ε = ⋅ = ⇒ talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2


383.961 10

27.501mm8.6 355

EdN

w y

Nd

t f

⋅= = =⋅ ⋅

27.501 331

0,542 0,52 2 331N w

w

d d

d

+ +α = = = >⋅ ⋅

2 2 400 2 13.5 2 21 331mmw fd h t r= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ =

331 396 396 1

38.488 53,3438.6 13 1 13 0,542 1

w

w

d

t

⋅ ε ⋅= = < = =⋅ α − ⋅ −

⇒ inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Clasa unei secŃiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puŃin

favorabilă) a pereŃilor săi comprimaŃi: în cazul de faŃă: Clasa 1 Deoarece avem de-a face cu o secŃiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face

bazându-ne pe capacitatea plastică a secŃiunii transversale. Verificările de rezistenŃă

Pentru a respecta condiŃiile de rezistenŃă grinda trebuie să îndeplinească toate verificările la: − ForŃă axială N; − ForŃă tăietoare V; − Moment încovoietor M; − InteracŃiunea M-N-V.


Mpl,y,Rd. RezistenŃa la forfecare

Valoarea de calcul a rezistenŃei plastice la forfecare în absenŃa răsucirii depinde de aria de forfecare, care se defineşte:

2

2 ( 2 )

8450 2 180 13.5 (8.6 2 21) 13.5 42.73 mm

vz f w fA A b t t r t= − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =


,, ,

0

4273 355875,8 kN

3 3 1,0

v z ypl z Rd

M

A fV

⋅ ⋅= = =⋅ γ ⋅


,

84,190,096 0,5

875.5Rd

c Rd

V

V= = ≤ ⇒



2

,0

84,5 10 3552999,75 kN

1,0y

c RdM

A fN

⋅ ⋅ ⋅= = =γ


,

76,590,026 1,0

2999,75Ed

c Rd

N


Pentru secŃiunile bisimetrice I sau H şi alte secŃiuni bisimetrice cu tălpi, nu este necesar să se ia în considerare efectul efortului axial asupra momentului rezistent plastic în raport cu axa y-y , atunci când sunt satisfăcute următoarele două criterii:

secŃiunea verifică, iar forŃa tăietoare nu reducevaloarea momentului încovoietor capabil

,76,59 kN 0,25 0,25 2999,75 749,9 kNEd pl RdN N= ≤ ⋅ = ⋅ =

0

0,5 0,5 373 8,6 35576,59kN 569,4 kN

1w w y

EdM

h t fN

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ≤ = =γ

CondiŃiile fiind îndeplinite efectul efortului axial asupra momentului rezistent poate fi neglijat. Verificarea la încovoiere


3

, ,0

1307 10 355463,985 kNm

1,0pl y

c Rd pl RdM

W fM M

⋅ ⋅ ⋅= = = =γ

3

, ,0

3430,961 10 3551217,99kNm

1,0plV y

c RdV pl RdM

W fM M

⋅ ⋅ ⋅= = = =γ

Valoarea de calcul MEd a momentului încovoietor în fiecare secŃiune transversală trebuie să

satisfacă condiŃia:

SecŃiunea constantă ,

183,770,396 1,0

463,985Ed

c Rd

M


SecŃiunea vutată ,

413.770,34 1,0

1217,99EdV

c Rd

M



Barele supuse la încovoiere şi compresiune axială trebuie să îndeplinească următoarele condiŃii:

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdyy

y Rk LT y Rk

M M

M MNk

N N

+ ∆+ ⋅ ≤

χ ⋅ χ ⋅γ γ

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdzy

z Rk LT y Rk

M M

M MNk

N M

+ ∆+ ⋅ ≤

χ ⋅ χ ⋅γ γ

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) Pentru calculul acestor formule de interacŃiune este necesar calculul factorul de reducere

pentru flambaj prin încovoiere după ambele axe principale, factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere - răsucire şi factorii de interacŃiune kzz, kyy, kyz şi kzy.

Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr Pentru determinarea lungimii de flambaj a grinzii în planul cadrului, s-a făcut o analiză de

stabilitate în urma căreia s-a determinat factorul de amplificare αcr pentru combinaŃia de încărcări care dă cea mai mare valoare a forŃei verticale. Pentru această analiză, s-a considerat un reazem fictiv la capătul superior al unui stâlp.

Efortul critic de flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaŃie de definiŃie: , 42,404 83,961 3560,28kNcr y cr EdN N= α ⋅ = ⋅ =

Figura E.14.4. Modul de pierdere al stabilităŃii


2

3,

84,5 10 3550,918

3560,28 10

yy

cr y

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)


considerare următoarele condiŃii: IPE 400 - profil laminat

Raportul 400

2,22 1,2180

h

b= = ≥

Grosimea tălpilor 13,5 mm 100 mmft = ≤


Curba de flambaj a, factorul de imperfecŃiune αy = 0,21;

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,21 (0,918 0,2) 0,918 0,997y y y y φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,722

0,997 0,997 0,918y

y y y

χ = = =φ + φ − λ + −

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei z-z Flambaj prin încovoiere

,4,8

4,818cos( )cr zL = =

αm (distanta intre legăturile transversale)

2 2 4

, 2 2,

210000 1318 101177kN

4818z

cr zcr z

E IN

L

π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅= = =

Efortul axial critic (3.4) Flambaj prin răsucire

, , 4,818cr T cr zL L= = m 4 4

0 23130 10 1318 10 24450y zI I I= + = ⋅ + ⋅ = cm4

2 2 2 64

, 2 4 20 ,

84,5 10 210000 490000 1080770 51,08 10 2938kN

24450 10 4818w

cr T tcr T

A E IN G I

I L

π ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ + = ⋅ ⋅ + = ⋅

( ) ( ), ,min ; min 1177;2938 1177kNcr cr z cr TN N N= = =

2

3

84,5 10 3551,597

1177 10

yz

cr

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

Curba de flambaj b, factorul de imperfecŃiune αy = 0,34;

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (1,597 0,2) 0,1,597 2,012z z z z φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,309

2,012 2,012 1,597z

z z z

χ = = =φ + φ − λ + −




2 22

21 2 22 2

( )( )

( )w tz

cr g gw z z


k Ik L E I

⋅ ⋅ ⋅π ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅




sunt transmise prin intermediul rigle – încărcările sunt aplicate în axa neutră a stâlpului: zg = 0. Access Steel NCCI: SN003a-EN-EU

Astfel formula momentului critic devine:

22

,1 2 2

,

tcr LTwzcr

z zcr LT

L G IIE IM C

I E IL

⋅ ⋅π ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ +π ⋅ ⋅


2 2 5 4 132,1 10 1318 10 2,732 10z E Iπ ⋅ ⋅ = π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

2 13

61 2 2

2,732 101,177 10

4818zE I

T L

π ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅

9

42 4

490 103,718 10

1318 10w

z

IT

I

⋅= = = ⋅⋅

2 2 4

43 2 13

4818 80770 51,08 103,506 10

2,732 10t

z

L G I T

E I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅π ⋅ ⋅ ⋅


6 4 4,0 1 2 3 1,177 10 3,718 10 3,506 10 316,3 kNmcrM T T T= ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

Coeficientul C1 depinde de forma diagramei de moment încovoietor. Pentru o elemente încărcate cu momente la capete şi încărcare distribuită, avem:

133.2340,616

183,777 ψ = − = −

( )232

6

9.396 4.818 100,148

8 4 183,777 10

q L

M

⋅ ⋅⋅µ = = − = −⋅ ⋅

C1=2,85 (vezi exemplu 1.5 şi Anexa V) Access Steel NCCI: SN003a-EN-EU

Figura E.14.5. DistribuŃia de momente intre doua legaturi transversale

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire:

1 ,0 2,85 316,3 901,4 kNmcr crM C M= ⋅ = ⋅ =


relaŃii:

6

,6

1,307 10 3550,717

901,4 10

pl y yLT

cr

W f

M

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1)




2 2 2

1.01

1.0darLT

LTLT

LT LT LTLT

χ ≤χ = χ ≤φ + φ − β ⋅λ λ

unde:

2,00,5 1 ( )LT LT LT LT LT

φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅λ

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)


Pentru 400

2,222 2180

h

b= = ≥ ⇒ curba c (αLT = 0,49)



2,0

2

0,5 1 ( )

0,5 1 0,49 (0,717 0,4) 0,75 0,717 0,771

LT LT LTLT LT φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅ λ

= ⋅ + ⋅ − + ⋅ =

2

22 2

1

1 10,815 1; 1,943

0,771 0,771 0,75 0,717

LT

LTLT LT

LT

χ = =φ + φ − β ⋅λ

= = < = + − ⋅ λ


Figura E.14.6. DistribuŃia de momente intre doua legaturi transversale

133.2340,616

183,777 ψ = − = −

1 10,818

1,33 0,33 1,33 0,33 0,616ck = = =− ⋅ ψ + ⋅

SREN 1993-1-1 Tabel 6.6

2

2

1 0,5 (1 ) 1 2 ( 0,8)

1 0,5 (1 0,818) 1 2 (0,717 0,8) 0,944 1

LTcf k = − ⋅ − ⋅ − ⋅ λ −

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = <

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2)


,0,815

0,8630,944

LTLT mod f

χχ = = =




,

,

76,591 13560 1

76,591 0,7221

3560

Ed

cr yy

Edy

cr y

N

N

N

N

− −µ = = =

− ⋅− χ ⋅

,

,

76,591 11177 0.95

76,591 0,3091

1177

Ed

cr zz

Edz

cr z

N

N

N

N

− −µ = = =

− ⋅− χ ⋅

,

,

13071,131 1.5

1156pl y

yel y

Ww

W= = = ≤

,

,

2291,546 1,5 1.5

146,4pl z

z zel z

Ww w

W= = = > ⇒ =

3,

0 6,0

1307 10 3551,211

316,3 10

pl y y

cr

W f

M

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

440 1, ,

76,59 76,590,2 1 1 0,2 2,85 1 1 0,33

1177 2938Ed Ed

limcr z cr TF

N N C

N N λ = ⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ − =

în care , , 2938 kNcr TF cr TN N= = (secŃiune dublu simetrică).


,0 ,0(1 )1

y LTmy my my

y LT

C C Cε ⋅α

= + − ⋅+ ε ⋅ α

2

, ,

1.0

1 1

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

C CN N

N N

α= ⋅ ≥ − ⋅ −

6 2,

3 3,

183,77 10 84,5 1017,54

76,59 10 1156 10

y Edy

Ed el y

M A

N W

⋅ ⋅ε = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅

(secŃiune clasa I). şi

4

4

51,08 101 1 0,998

23130 10T

LTy

I

I

⋅α = − = − =⋅


2

,0 2,max

2 5 4

2 6

1 1

2,1 10 23130 10 164,51 76,591 1 0,986

356024000 413,77 10

y Edmy

cr ytot y

E I NC

NL M

π ⋅ ⋅ ⋅ δ = + − = ⋅

π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + − = ⋅ ⋅

164,51mmδ = deplasarea maximă la SLU


( ) ( ),0 ,017,54 0,998

1 0.986 1 0.986 0.9971 1 17,54 0,998

y LTmy my my

y LT

C C Cε ⋅α ⋅

= + − = + − =+ ε ⋅α + ⋅

2

, ,

2

1 1

0.9980.997 1,04 1

76,59 76,591 1

1177 2938

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

C CN N

N N

α= ⋅ = − ⋅ −

= ⋅ = > − ⋅ −


max ( ; ) max (0,918;1,597) 1,597max y z λ = λ λ = =

,2 2 2

,

1.6 1.61 ( 1) 1 el y


WC w C C n b

w w W

= + − ⋅ − ⋅ ⋅λ − ⋅ ⋅ λ ⋅ − ≥

3

2

1 1

76,59 100,026

84,5 10 3551,0

Ed Edpl

Rk y y

M M

N Nn

N A f⋅= = = =

⋅ ⋅ ⋅γ γ

, ,2,0

, , , ,

1 1


LT pl y Rd pl z Rd

M M

M Mb M

M M= ⋅ α ⋅λ ⋅ ⋅ = =

χ ⋅γ γ

2 2 2

,

,

1,6 1,61 (1,131 1) 2 0.997 1,597 0.997 1,597 0,026

1,131 1,131

11560.986 0,884

1307

yy

el y

pl y

C

W

W

= + − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

= > = =

2 2

,5

,


z pl yy

C w WC w n d

w Ww

⋅ λ = + − ⋅ − ⋅ ⋅ − ≥ ⋅ ⋅

, ,0,4

, , , ,0

2 0 ( 0)0.1

y Ed z EdLT LT z Ed


M Md M

C M C M

λ= ⋅α ⋅ ⋅ ⋅ = =

⋅χ ⋅ ⋅+ λ

2 2

5

1.012 1.5971 (1,131 1) 2 14 0,028

1,131

1,131 11560,936 0,6 0,461

1,5 1307

zyC ⋅= + − ⋅ − ⋅ ⋅ =

= ≥ ⋅ ⋅ =

Calculul factorilor de interacŃiune conform Tabel A.1.

,

1 1 1 10.997 1.04 1,075

76,59 0,986113560

yy my mLTEd yy

cr z

k C CN CN

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =−−

,

10,6

1

yzzy my mLT

Ed zy z

cr y

wk C C

N C wN

µ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

0,95 1 1,1310,997 1,04 0,6 0,545

76,59 0,936 1,513560

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

Verificarea formulelor de interacŃiune 3 6

,2 3

,

1 1

76,59 10 183,77 101,075 0,558 1

84,5 10 355 1307 10 3550,722 0,815

1,0 1,0

y EdEdyy

y Rk y RkLT

M M

MN k

N M⋅ ⋅+ ⋅ = + ⋅ = ≤

χ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅χ ⋅ ⋅ ⋅γ γ

3 6,

2 3,

1 1

76,59 10 183,77 100,545 0,298 1

84,5 10 355 1307 10 3550,309 1,0

1,0 1,0

y EdEdzy

z Rk y RkLT

M M

MN k

N M⋅ ⋅+ ⋅ = + ⋅ = ≤

χ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅χ ⋅ ⋅ ⋅γ γ

Verificarea la SLS

Deplasarea verticala maximă la coama 113,45 / 211mm Lδ = =

SecŃiunea nu verifică condiŃia impusă 24000

96250 250

Lmmδ < = =

Verificarea secŃiunii vutei

Caracteristicile geometrice ale întregii secŃiuni Lungimea vutei: Lv=2.409 m Aria: A=148,26 cm2

Moment de inerŃie /yy: Iy= 114991,25 cm4 Moment de inerŃie /zz: Iz= 2001,4 cm4 Modul de rezistenŃă elastic /yy: Wel,y=2852,67 cm3 Modul de rezistenŃă elastic /zz: Wel,y=222,38 cm3

Caracteristicile geometrice ale părŃii comprimate Talpa comprimata inclusiv 1/6 din înălŃimea inimii:

Aria Av=31,63 cm2 Moment de inerŃie / yy: Iy= 104,91cm4 Moment de inerŃie / zz: Iz= 680,89 cm4

z

y

z

y

IPE400

Figura E.14.7. SecŃiunea transversala si zona comprimată

4

2

680,89 1046,4

31,63 10z

zv

Ii mm

A

⋅= = =⋅

1210000

76,409355y

E

fλ = π = π =

1

24090,679

46,4 76,409v

zz

L

iλ = = =

⋅ λ ⋅

Se alege curba de flambaj d pentru profile I cu h/b>2=> α=0.76

( ) ( )2 20,5 1 0,2 0,5 1 0,76 0,679 0,2 0,679 0,913z z z φ = + α λ − + λ = + − + =

2 2 2 2

1 10,656

0,913 0,913 0,679z

z z z

χ = = =φ + φ − λ + −

• ForŃa axială de calcul în talpa comprimată se obŃine: 6

3 23

31,63 413,77 1076,59 10 31,63 10 475,122

148,26 2852,67 10v Edv

Edf Edv vz

A MN N A kN

A W

⋅= + = ⋅ ⋅ + ⋅ =⋅

Verificarea rezistenŃei la flambaj: 3

2

475,122 100,645 1

0,656 31,63 10 355Edf Edf

z Rk z v y

N N

N A f

⋅= = = < ⇒χ ⋅ χ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

SecŃiunea verifică

E.14.2 Stâlpul cadrului – interacŃiunea M-N


Fara imperfectiuni ForŃa axială NEd = 113.18 kN ForŃa tăietoare VEd = 68.96 kN Moment încovoietor MEd = 413.77 kNm

Cu imperfectiuni ForŃa axială NEd = 113.37 kN ForŃa tăietoare VEd = 69.33 kN Moment încovoietor MEd = 415.97 kNm Lungimea elementului L = 6,00 m Marca oŃelului S355

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale a stâlpului

IPE450 - Marca de oŃel S355; ÎnălŃimea h = 450,0 mm ÎnălŃimea inimii hw = 420,8 mm ÎnălŃimea liberă a inimii dw = 378,8 mm LăŃimea tălpilor b = 190,0 mm Grosimea inimii tw = 9,4 mm Grosimea tălpilor tf = 14,6 mm Raza de racord r = 21,0 mm Aria A = 98,8 cm2

Momentul de inerŃie/yy Iy = 33740 cm4 Momentul de inerŃie/zz Iz = 1676 cm4 Momentul de inerŃie la torsiune It = 66,87 cm4 Moment de inerŃie sectorial Iw = 791000 cm6 Modul de rezistenŃă elastic /yy Wel,y = 1500 cm3 Modul de rezistenŃă plastic /yy Wpl,y = 1702 cm3

Modul de rezistenŃă elastic /zz Wel,z = 176,4 cm3 Modul de rezistenŃă plastic /zz Wpl,z = 276,4 cm3

Raza de giraŃie /yy iy = 18,48 cm Raza de giraŃie /zz iz = 4,12 cm Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2


Marca S355 Deoarece grosimea maximă a pereŃilor secŃiunii transversale este 14,6 mm ≤ 40 mm,

limita de curgere este fy = 355 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1


SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

Efectele imperfecŃiunilor

01

0,753 0,866 0,00326200h mφ = φ ⋅α ⋅ α = ⋅ ⋅ =

unde 0 1/ 200φ =

2 20,753

7.05h

hα = = =

1 10,5 1 0,5 1 0,866

2m m α = + = + =

unde m=2 (numărul stâlpilor)

SREN 1993-1-1 §5.3.2 (3) ImperfecŃiunile pot fi neglijate daca 0,15Ed EdH V≥ În cazul în care 0,15Ed EdH V≤ imperfecŃiunile iniŃiale pot fi înlocuite cu forŃe orizontale

echivalente: Eq EdH V= φ

SREN 1993-1-1 §5.3.2 (4)

0

10,00326 1,35 0,30 1,50 0,80 0,75 7.2 24

cos50.736

Eq EdH V

kN

= φ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

=

Încărcarea astfel determinată va fi aplicată celor 2 stâlpi HEq1= HEq2= HEq/2=0,37 kN

SREN 1993-1-1 §5.3.2 (7) Determinarea lungimilor de flambaj

Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y) fL_y = 1,00 Lungimea de flambaj (y-y) Lcr,y = fL_y × L = 6,00 m Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z) fL_z = 1.00 Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z × L = 6,00 m


2

235 2350,814

355[N/mm ]yfε = = =


2 190 9,4 2 21

69,3 mm2 2

wb t rc

− − ⋅ − − ⋅= = =

69,3

4,75 9 9 0,814 7,32614,6f

c

t= = < ⋅ε = ⋅ = ⇒ talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2


3113,37 10

33,98 mm9,4 355

EdN

w y

Nd

t f

⋅= = =⋅ ⋅

33,98 378,8

0,545 0,52 2 378,8N w

w

d d

d

+ +α = = = >⋅ ⋅

2 2 450 2 14,6 2 21 378,8 mmw fd h t r= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ =

378,8 396 396 0,814

40,3 55,979,4 13 1 13 0,545 1

w

w

d

t

⋅ ε ⋅= = < = =⋅α − ⋅ −

⇒ inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Table 5.2

Clasa unei secŃiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puŃin favorabilă) a pereŃilor săi comprimaŃi: în cazul de faŃă: Clasa 1

Deoarece avem de-a face cu o secŃiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face bazându-ne pe capacitatea plastică a secŃiunii transversale. Verificările de rezistenŃă

Pentru a respecta condiŃiile de rezistenŃă stâlpul trebuie să îndeplinească toate verificările la: − ForŃă axială N; − ForŃă tăietoare V; − Moment încovoietor M; − InteracŃiunea M-N-V.


Mpl,y,Rd. RezistenŃa la forfecare

Valoarea de calcul a rezistenŃei plastice la forfecare în absenŃa răsucirii depinde de aria de forfecare, care se defineşte:

2

2 ( 2 )

9880 2 190 14,6 (9,4 2 21) 14,6 5082 mm

vz f w fA A b t t r t= − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =


,, ,

0

5082 3551041,6 kN

3 3 1,0

v z ypl z Rd

M

A fV

⋅ ⋅= = =⋅ γ ⋅


,

69,330,067 0,5

1041,6Rd

c Rd

V

V= = ≤ ⇒

.



0

,9880 355

3507,41

yc Rd

M

A fN kN

γ⋅ ⋅= = =


,

113,370,032 1,0

3507,4Ed

c Rd

N


Pentru secŃiunile bisimetrice I sau H şi alte secŃiuni bisimetrice cu tălpi, nu este necesar să se

ia în considerare efectul efortului axial asupra momentului rezistent plastic în raport cu axa y-y , atunci când sunt satisfăcute următoarele două criterii:

,113,37 kN 0,25 0,25 3507,4 876,85 kNEd pl RdN N= ≤ ⋅ = ⋅ =

0

0,5 0,5 420,8 9,4 355113,37 kN 702,1kN

1w w y

EdM

h t fN

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ≤ = =γ

secŃiunea verifică, iar forŃa tăietoare nu reduce valoarea momentului încovoietor capabil

CondiŃiile fiind îndeplinite efectul efortului axial asupra momentului rezistent poate fi neglijat. Verificarea la încovoiere


3

, ,0

1702 10 355604,21kNm

1,0pl y

c Rd pl RdM

W fM M

⋅ ⋅ ⋅= = = =γ


,

413,770,685 1,0

604,21Ed

c Rd

M



Barele supuse la compresiune axială şi încovoiere trebuie să îndeplinească următoarele condiŃii:

, , , ,

, ,

11 1

1y Ed y Ed z Ed z EdEdyy yz

y Rk LT y Rk z Rk

MM M

M M M MNk k

N N M

+ ∆ + ∆+ ⋅ + ⋅ ≤

χ ⋅ χ ⋅γγ γ

, , , ,

, ,

1 11

1y Ed y Ed z Ed z EdEdzy zz

z Rk LT y Rk z Rk

M MM

M M M MNk k

N M M

+ ∆ + ∆+ ⋅ + ⋅ ≤

χ ⋅ χ ⋅γ γγ

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) Deoarece , , 0z Ed z EdM M= ∆ ≤ relaŃiile de interacŃiune se pot scrie:

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdyy

y Rk LT y Rk

M M

M MNk

N N

+ ∆+ ⋅ ≤

χ ⋅ χ ⋅γ γ

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdzy

z Rk LT y Rk

M M

M MNk

N M

+ ∆+ ⋅ ≤

χ ⋅ χ ⋅γ γ

Pentru calculul acestor formule de interacŃiune este necesar calculul factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere după ambele axe principale, factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere - răsucire şi factorii de interacŃiune kzz, kyy, kyz şi kzy.


2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 33740 1019425kN

6000

ycr y

cr y

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 1676 10964,9 kN

6000z

cr zcr z

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

Efortul axial critic (3.4) ZvelteŃea relativă

ZvelteŃea relativă se calculează cu ajutorul formulei:

2

3,

98,8 10 3550,425

19425 10

yy

cr y

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

2

3,

98,8 10 3551,906

964,9 10

yz

cr z

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)


considerare următoarele condiŃii: IPE450 - profil laminat

Raportul 450

2,37 1,2190

h

b= = ≥

Grosimea tălpilor 14,6 mm 100 mmft = ≤


Curba de flambaj a, factorul de imperfecŃiune αy = 0.21; o cu imperfecŃiuni

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,21 (0,425 0,2) 0,425 0,614y y y y φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,95

0,614 0,614 0,425y

y y y

χ = = =φ + φ − λ + −

• Pierderea stabilităŃii generale în jurul axei z-z Curba de flambaj b, factorul de imperfecŃiune αy = 0.34;

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (1,906 0,2) 1,906 2,606z z z z φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,228

2,606 2,606 1,906z

z z z

χ = = =φ + φ − λ + −




2 22

21 2 22 2

( )( )

( )w tz

cr g gw z z


k Ik L E I

⋅ ⋅ ⋅π ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅




sunt transmise prin intermediul rigle – încărcările sunt aplicate în axa neutră a stâlpului: zg = 0. Coeficientul C1 depinde de forma diagramei de moment încovoietor. Pentru o elemente

încărcate doar cu momente la capete – diagrama cu variaŃie lineară – şi pentru raportul între momente ψ = 0, avem: C1 = 1.77 (vezi Tabelul 4.2 şi Anexa V).

Astfel formula momentului critic devine:

22

,1 2 2

,

tcr LTwzcr

z zcr LT

L G IIE IM C

I E IL

⋅ ⋅π ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ +π ⋅ ⋅


2 2 5 4 133,14 2,1 10 1676 10 3,473 10z E Iπ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

2 13

51 2 2

3,473 109,649 10

6000zE I

T L

π ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅

6

2 4

791000 1047195,7

1676 10w

z

IT

I

⋅= = =⋅

2 2 4

43 2 13

6000 80770 66,87 105,599 10

3,473 10t

z

L G I T

E I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅π ⋅ ⋅ ⋅


5 4,0 1 2 3 9,649 10 47195,7 5,599 10 309,95 kNmcrM T T T= ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ =

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire

1 ,0 1,77 309,95 548,61kNmcr crM C M= ⋅ = ⋅ =


relaŃii:

3

,6

1702 10 3551,049

548,61 10

pl y yLT

cr

W f

M

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1)




2 2 2

1.01

1.0darLT

LTLT

LT LT LTLT

χ ≤χ = χ ≤φ + φ − β ⋅λ λ

unde :

2,00,5 1 ( )LT LT LT LT LT

φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅λ

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)


Pentru 450

2,368 2190

h

b= = ≥ ⇒ curba c (αLT = 0,49)



2 2

,00,5 1 ( ) 0,5 1 0,49 (1,049 0,4) 0,75 1,049 1,072LT LT LTLT LT φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅λ = ⋅ + ⋅ − + ⋅ =

22 2 2

1 1 10,609 1; 0,909

1,072 1,072 0,75 1,049LT

LTLTLT LT

χ = = = < = + − ⋅ λ φ + φ − β ⋅λ


1 10,752

1,33 0,33 1,33 0ck = = =− ⋅ψ −

- diagrama de momente lineară

SREN 1993-1-1 Tabel 6.6

2 21 0,5 (1 ) 1 2 ( 0,8) 1 0,5 (1 0,752) 1 2 (0,5 0,8) 0,898 1LTcf k = − ⋅ − ⋅ − ⋅ λ − = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = <

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2)


, ,0,944

1,051 1 1,000,898

LTLT mod LT modf

χχ = = = > ⇒ χ =




,

,

113,371 119425 0,9997

113,371 0,951

19425

Ed

cr yy

Edy

cr y

N

N

N

N

− −µ = = =

− ⋅− χ ⋅

,

,

113,371 1964,9 0,907

113,371 0,2281

964,9

Ed

cr zz

Edz

cr z

N

N

N

N

− −µ = = =

− ⋅− χ ⋅

,

,

17021,135 1.5

1500pl y

yel y

Ww

W= = = ≤

,

,

276,41,566 1,5 1.5

176,4pl z

z zel z

Ww w

W= = = > ⇒ =


2

, 20 ,

2 5 94

3 2

1

1 2,1 10 791 1080770 66,87 10 2562,44

38,85 10 6000

wcr T t

cr T

E IN G I

i L

kN

π ⋅ ⋅ = ⋅ + =

π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + = ⋅

Pentru o secŃiune dublu simetrica i0 se defineşte ca fiind:

2 2 2 2 2 2 2 3 20 0 0 184,8 41,2 38,85 10 mmy zi i i y z= + + + = + = ⋅

unde: y0, z0 sunt coordonatele centrului de tăiere faŃă de centrul de greutate; Mcr,0 este momentul critic corespunzător elementului încărcat cu momente egale la capete:

,0 309,95 kNmcrM = .

3

.,0 6

,0

1702 10 3551,396

309,95 10

pl y yLT

cr

W f

M

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

440 1, ,

113,37 113,380,2 1 1 0,2 1,77 1 1 0,255

964,9 2562,4Ed Ed

limcr z cr TF

N N C

N N λ = ⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ − =

în care , , 2562,44 kNcr TF cr TN N= = (secŃiune dublu simetrică).


,0 ,0(1 )1

y LTmy my my

y LT

C C Cε ⋅α

= + − ⋅+ ε ⋅ α

2

, ,

1.0

1 1

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

C CN N

N N

α= ⋅ ≥ − ⋅ −

6 2,

3 3,

413,77 10 98,8 1024,08

113,18 10 1500 10

y Edy

Ed el y

M A

N W

⋅ ⋅ε = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅

(secŃiune clasa I).

şi

4

4

66,87 101 1 0,998 1

33740 10T

LTy

I

I

⋅α = − = − = ≤⋅


,0

,

0,79 0,21 0,36 ( 0,33)

113,3870,79 0,21 0 0,36 (0 0,33) 0,791

19425

Edmy y y

cr y

NC

N= + ⋅ ψ + ⋅ ψ + ⋅ =

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ =


( )

( )

,0 ,011

24,08 0,9980,791 1 0,791 0,964

1 24,09 0,998

y LTmy my my

y LT

C C Cε ⋅ α

= + − =+ ε ⋅α

⋅= + − =+ ⋅

2

, ,

2

1 1

0.9980.966 0.955 1 1

113,37 113,371 1

19425 2562,44

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

mLT

C CN N

N N

C

α= ⋅ = − ⋅ −

= ⋅ = < ⇒ = − ⋅ −


max ( ; ) 1,906max y z z λ = λ λ = λ =

,2 2 2

,

1.6 1.61 ( 1) 1 el y


WC w C C n b

w w W

= + − ⋅ − ⋅ ⋅λ − ⋅ ⋅ λ ⋅ − ≥

3

2

1 1

113,37 100,032

98,8 10 3551,0

Ed Edpl

Rk y y

M M

N Nn

N A f⋅= = = =

⋅ ⋅ ⋅γ γ

, ,2,0

, , , ,

1 1


LT pl y Rd pl z Rd

M M

M Mb M

M M= ⋅ α ⋅λ ⋅ ⋅ = =

χ ⋅γ γ

2 2 2

,

,

1,6 1,61 (1,135 1) 1 0,964 1,906 0,964 1,906 0,032

1,135 1,135

15000.973 0,881

1702

yy

el y

pl y

C

W

W

= + − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

= > = =

2 2

,5

,


z pl yy

C w WC w n d

w Ww

⋅ λ = + − ⋅ − ⋅ ⋅ − ≥ ⋅ ⋅

, ,0,4

, , , ,0

2 0 ( 0)0.1

y Ed z EdLT LT z Ed


M Md M

C M C M

λ= ⋅α ⋅ ⋅ ⋅ = =

⋅χ ⋅ ⋅+ λ

2 2

5

0,964 1,9061 (1,135 1) 2 14 0,032

1,135

1,135 15000,9002 0,6 0,49

1,5 1702

zyC ⋅= + − ⋅ − ⋅ ⋅ =

= ≥ ⋅ ⋅ =

Calculul factorilor de interacŃiune conform Tabel A.1 a SR EN 1993-1-1.

,

1 0,9997 10,964 1 0,996

113,34 0,9731119425

yyy my mLT

Ed yy

cr z

k C CN CN

µ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

−−

,

10,6

1

yzzy my mLT

Ed zy z

cr y

wk C C

N C wN

µ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

0,907 1 1,135

0,964 1 0,6 0,5099113,37 0,9002 1,5119427

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

Verificarea formulelor de interacŃiune:

,

,

1 1

3 6

2 3

113,37 10 415,97 100,966 0,739 1

98,8 10 355 1702 10 3550,95 0,944

1,0 1,0

y EdEdyy

y Rk y RkLT

M M

MN k

N M+ ⋅ =χ ⋅

χ ⋅γ γ

⋅ ⋅= + ⋅ = ≤⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

,

,

1 1

3 6

2 3

113,37 10 415,97 100,5099 0,514 1

98,8 10 355 1702 10 3550,228 0,944

1,0 1,0

y EdEdzy

z Rk y RkLT

M M

MN k

N M+ ⋅ =χ ⋅

χ ⋅γ γ

⋅ ⋅= + ⋅ = ≤⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

Stâlpul îndeplineşte condiŃiile de interacŃiune M-N.

E.15. Determinarea unei secŃiunii echivalente pentru verificarea elementelor cu secŃiune variabila supuse la M-N

Descrierea structurii Se consideră grinda simplu rezemata cu secŃiune variabila I, încărcată cu o sarcină

uniform distribuită cu intensitatea de 20 kN/m si supusa la compresiune N = 150 kN. Grinda nu este fixată lateral decât în dreptul reazemelor. Nu sunt prevăzute dispozitive speciale în rezemări care să prezintă deplanarea liberă a secŃiunii, iar secŃiunea este liberă să se rotească în jurul axei minime de inerŃie. Se cere determinarea caracteristicilor geometrice, a eforturilor critice si parametrilor necesari verificării interacŃiunii M-N.

hM

AX hM

IN

NEd NEd

L=6000 mm

q

Figura E.15.1.

Datele problemei

Datele geometrice ale elementului sunt prezentate în continuare: Deschiderea L = 6000 mm Marca oŃelului S355

Caracteristicile dimensionale ale secŃiunii transversale: ÎnălŃimea maxima hMAX = 400,0 mm ÎnălŃimea minima hMIN= 200,0 mm LăŃimea tălpilor b = 180,0 mm Grosimea inimii tw = 6,0 mm Grosimea tălpilor tf = 12,0 mm

Determinarea eforturilor de calcul 2

, 0,125 20 6000 90y EdM kNm= ⋅ ⋅ =

150EdN kN=


2

235 2351

235[N/mm ]yfε = = =


+c

Figura E.15.2.

Vom considera acoperitor c, neglijând cordoanele de sudura (a = 0):

( )1 12 200 6 87 mm

2 22 / 2w

ac b t = ⋅ − − ⋅ = ⋅ − =

87

7,25 9 912f

c

t= = < ⋅ε = ⇒ talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

Perete interior supus la încovoiere si compresiune:

Figura E.15.3.

Variatia inaltimii comprimate

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Deschiderea (mm)

αα αα

Figura E.15.4.

Pentru determinarea clasei secŃiunii se folosesc următorii parametrii:

3150 10106,38 mm

6 235Ed

Nw y

Nd

t f

⋅= = =⋅ ⋅

2w fd h t= − ⋅

0,52N w

w

d d

d

+α = >⋅

- înălŃimea comprimata

înălŃimea inimii se calculează în fiecare secŃiune i, cu relaŃia: , 2w i i fd h t= − ⋅ , unde

[ ]max min,ih h h∈

w

w

d

t= ⇒

inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

In figura următoare sunt prezentate rapoartele maxime intre înălŃime si grosime pentru clasele de secŃiune. Se poate observa variaŃia clasei secŃiunii transversale pe deschiderea grinzii:

Determinarea clasei sectiunii

30

40

50

60

70

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Deschiderea x (mm)

Zve

ltete

a in

imii

/ Rap

oart

ele

latim

e-gr

osim

e

Clasa 4Clasa 3Clasa 2Zveltetea inimii

Figura E.15.5.

FuncŃie de clasa de secŃiune se stabileşte rezistenta elementului identificându-se secŃiunea

periculoasa de raport maxim intre solicitare si capacitate. Elementul este supus la încovoiere cu forŃa axiala.

Capacitatea secŃiunii transversale. Verificarea de rezistenta. Pentru secŃiunii de clasa 1 sau 2 curba de interacŃiune moment încovoietor – forŃa axiala

arata astfel:

My

N

(NEd,MEd)

(Nmax,My,max Ny,RdM= )

Figura E.15.6.

Perechea de eforturi (Nmax, My,max) din figura se determina prin rezolvarea următorului

sistem de ecuaŃii:

max

,max , , , , , ,

max

,max ,

1

; ( 2 ) /1 0.5

ply N y Rd pl y Rd pl y Rd f

Ed

y y Ed

N

NM M M M unde a A bt A

aN N

M M

− = = ≤ = − − ⋅

=

SREN 1993-1-1 § 6.2.9.1(5)

Momentul capabil al sectiunii transversale

9,00E+07

1,10E+08

1,30E+08

1,50E+08

1,70E+08

1,90E+08

2,10E+08

2,30E+08

2,50E+08

2,70E+08

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Deschiderea (mm)

Mom

entu

l cap

abil

(Nm

m) Momentul redus

Momentul capabil plastic

Figura E.15.7

In situaŃia in care forŃa axiala nu influenŃează momentul încovoietor capabil (vezi SREN

1993-1-1 §6.2.9.1 (4)) atunci , , , ,N y Rd pl y RdM M= , cazul de fata.

Gradul de utilizare a secŃiunii transversale se determina astfel:

Pentru xi > 1200 mm (clasa 1 sau 2) 2 2

,

2 2max ,max

1,0Ed y Ed

y

N MR

N M

+= ≤

+

Pentru xi < 1200 mm (clasa 3 sau 4) ,

1,0Ed Ed

y el y y

N MR

A f W f= + ≤

⋅ ⋅

Coeficientul de utilizare a sectiunii

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Deschiderea (mm)

Coe

ficie

ntul

de

utili

zare

a s

ectiu

nii

Figura E.15.8.

SecŃiunea cea mai solicitata se afla la xcr = 3600 mm având gradul de solicitare maxim Rmax

= 0,543.

Determinarea parametrilor necesari verificării de stabilitate Se considera proprietăŃile secŃiunii transversale (la xcr = 3600 mm) in care se face

verificarea si o secŃiune echivalenta pentru determinarea proprietăŃile secŃiunii necesare determinării eforturilor critice. SecŃiunea cea mai solicitata s-a determinat in urma verificărilor de rezistenta. Caracteristicile geometrice ale secŃiunii sunt:

ÎnălŃimea h = 280,0 mm ÎnălŃimea inimii hw = 256,0 mm LăŃimea tălpilor b = 180,0 mm Grosimea inimii tw = 6,0 mm Grosimea tălpilor tf = 12,0 mm Aria A = 58,56 cm2

Momentul de inerŃie / yy Iy = 8601 cm4 Momentul de inerŃie / zz Iz = 1167 cm4 Momentul de inerŃie la torsiune It = 22,9 cm4 Moment de inerŃie sectorial Iw = 209500 cm6 Modul de rezistenŃă elastic / yy Wel,y = 614,4 cm3 Modul de rezistenŃă plastic / yy Wpl,y = 677,2 cm3

Raza de giraŃie /yy iy = 12,12 cm Raza de giraŃie /zz iz = 4,46 cm

Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

Rezistenta caracteristica a secŃiunii transversale 5856 235 1376Rk yN A f kN= ⋅ = ⋅ =

3, 677 10 235 159,14Rk pl y yM W f kNm= ⋅ = ⋅ ⋅ =

Pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire Se calculează un moment de inerŃie echivalent după axa de inerŃie maxima yy, cu ajutorul

următoarelor expresii: 4

,min4

,max

18922 100,465

4095 10y

y

Ir

I

⋅= = =⋅

(0,08 0,92 ) 0,08 0,92 0,465 0,508C r= + = + ⋅ = 4 4 4

, ,max 0,508 18922 10 9612 10y eq yI C I mm= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

• Determinarea efortului axial critic de pierdere a stabilităŃii prin încovoiere si a factorilor de reducere

o După axa maxima de inerŃie yy 2 2 5 4

,, 2 2

,

3,14 2,1 10 9612 105534 kN

6000y eq

cr ycr y

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

3

3,

1376 100,499

5534 10Rk

ycr y

N

N

⋅λ = = =⋅

Curba de flambaj b, factorul de imperfecŃiune αy = 0,34; 2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (0,499 0,2) 0,499 0,675y y y y

φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,885

0,675 0,675 0,499y

y y y

χ = = =φ + φ − λ + −

o După axa minima de inerŃie zz 2 2 5 4

,min, 2 2

,

3,14 2,1 10 1167 10671,74 kN

6000z

cr zcr y

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

3

3,

1376 101,431

671,74 10Rk

ycr y

N

N

⋅λ = = =⋅

Curba de flambaj c, factorul de imperfecŃiune αy = 0,49; 2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (1,431 0,2) 1,431 1,826y y y y

φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2 2

1 10,338

1,826 1,826 1,431y

y y y

χ = = =φ + φ − λ + −


• Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire Pentru calculul momentului critic se folosesc caracteristicile geometrice ale unei secŃiuni

echivalente, pentru care se calculează heq , urmând următoarea procedură:

min

max

2000,5

400

h

hγ = = =

2max

2

0,283 0,434 0,283

400 0,283 0,434 0,5 0,283 0,5 302,2

eqh h

mm

= + γ + γ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Momentul de inerŃie la torsiune se calculează ca media aritmetica a momentelor de inerŃie minim si maxim:

4 4,max ,min 4 4

,23,62 10 22,18 10

22,9 102 2

T TT T eq

I II I mm

+ ⋅ + ⋅= = = = ⋅

Momentul de inerŃie sectorial se calculează cu caracteristicile geometrice ale secŃiunii cu înălŃimea echivalenta heq. secŃiunii cu o axă de simetrie, momentul de inerŃie sectorial poate fi calculat cu următoarea formulă:

( )22 4, 9 6( ) 1166,94 10 302 12

245,68 104 4

z eq eq fw

I h tI mm

⋅ − ⋅ ⋅ −= = = ⋅

22, ,,,min

1 2 2,min ,min,

2 42 5 4 9

2 4 2 5 4

6000 80770 22,9 102,1 10 1167 10 245,68 101,127 167

6000 1167 10 2,1 10 1167 10

w eq t eqcr LTzcr

z zcr LT

I L G IE IM C

I E IL

kNm

⋅ ⋅π ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + =

π ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + =⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

ZvelteŃea redusă pentru flambajul prin încovoiere-răsucire se determină cu următoarele relaŃii:

6

6

159,14 100,976

167 10Rk

LTcr

M

M

⋅λ = = =⋅

In cazul general valorile χLT pentru zvelteŃea redusă corespunzătoare pot fi determinate

astfel:

2 2

1LT

LT LT LT

χ =φ + φ − λ

unde:

20,5 1 ( 0,2)LT LT LT LT φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2(1)


Pentru profile I sudate max 4002,222 2

180

h

b= = ≥ ⇒ curba c (αLT = 0,49)

SREN 1993-1-1 Tabel 6.4

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (0,976 0,2) 0,976 1,167LT LTLT LT

φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =

2 2 2

1 10,553

1,167 1,167 0,976LT

LTLT LT

χ = = =+ −φ + φ − λ


( ) 4 4, 10180 10y eq y eqI I h mm= = ⋅

2,

, , 2, ,min ,

2 2 5 94

4 4 2

59,89 10 2,1 10 245,68 1080770 22,9 10 1722,8

10180 10 1167 10 6000

eq w eqcr T t eq

y eq z cr T

A E IN G I

I I L

kN

π ⋅ ⋅ = ⋅ + = +

⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅

Calculul factorilor de interacŃiune kyy şi kzy

Factorii de interacŃiune kyy , kyz , kzy , kzz se pot calcula folosind una dintre metodele prezentate in SR EN 1993-1-1, Anexa A si Anexa B. E.16. Calculul unui stâlp cu secŃiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune cu încovoiere

Descrierea problemei Exemplul descrie calculul unui montant de perete exterior solicitat la compresiune cu

încovoiere uniaxială. Montantul de perete se consideră că este articulat la capete, iar secŃiunea transversală este realizată din două profile cu pereŃi subŃiri formate la rece de tip C, dispuse spate-în-spate. Pentru acest exemplu, legătura dintre cele două profile, în lungul barei, se consideră rigidă (de exemplu îmbinare realizată prin sudură). În Figura E.16.1(a) se prezintă schema statică şi încărcarea ce acŃionează pe montant.

Schema statică

(a) (b)





2 1

EG = =

+ ν

ÎnălŃimea montantului 3 mH = Deschiderea planşeului 4 mL = DistanŃa dintre grinzile de planşeu 0,6 mS= Încărcarea distribuită aplicată pe planşeu:

- încărcarea permanentă – planşeu uşor: 20,75 kN m G 0,75 0,6 0,45 kN mq = × =

- încărcarea utilă: 23 kN m Q 3 0,6 1,80 kN mq = × =

ForŃa concentrată corespunzătoare stării limit ă ultime, provenită de la nivelul superior şi de

la acoperiş: 5,0 kNQ =

Presiunea uniformă a vântului: 20,42 kN m w 0,42 0,6 0,252 kN mq = × =


ÎnălŃimea totală a inimii 150 mmh = LăŃimea totală a tălpii 40 mmb = LăŃimea totală a rebordului 15 mmc = Raza interioară 3 mmr = Grosimea nominală nom 1,2 mmt = Grosimea miezului de oŃel 1,16 mmt = (conform §3.2.4(3) din EN1993-1-3)

Caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale brute:

Aria secŃiunii transversale brute: 2592 mmA = Razele de giraŃie: y 57,2 mmi = ; z 18 mmi =

Momentul de inerŃie în raport

cu axa maximă de inerŃie y-y: 6 4y 1,936 10 mmI = ×

Momentul de inerŃie în raport

cu axa minimă de inerŃie z-z: 4 4z 19,13 10 mmI = ×

Momentul de inerŃie sectorial: 8 6w 4,931 10 mmI = ×

Momentul de inerŃie la răsucire: 4t 266 mmI =

Caracteristicile geometrice ale secŃiunii transversale eficace: Conform §5.5.3.1, §5.5.3.2 din EN1993-1-3 şi §4.4 din EN1993-1-5, respectiv conform

modelului de calcul prezentat în Exemplul E.x.

Aria eficace a secŃiunii transversale solicitate doar la compresiune rezultă:

2eff,c 322 mmA =

Modulul de rezistenŃă eficace, din solicitarea de încovoiere după axa maximă de inerŃie rezultă:

în raport cu talpa comprimată: 3eff,y,c 22268 mmW =

în raport cu talpa întinsă: 3eff,y,t 25580 mmW =

⇒ ( ) 3eff,y,min eff,y,c eff,y,tmin , 22268 mmW W W= =




γM0 = 1,00 γM1 = 1,00

SREN 1993-1-3 § 2(3)



SREN 1990

ForŃa concentrată totală, de compresiune, aplicată montantului, conform EN1990, se calculează astfel:

( ) ( )Ed G G Q Q 2 1,35 0,45 1,50 1,80 4 2 5 11,62kNN q q L Q= γ + γ + = × + × × + =

Momentul încovoietor maxim, din încărcarea din vânt este: 2 2

Ed Q w 8 1,5 0,252 3 8 0,43 kNmM q H= γ = × × =

Verificarea rezistenŃei secŃiunii transversale: Următorul criteriu trebuie îndeplinit:

y,Ed y,EdEd

c,Rd cy,Rd,com

1M MN

N M

+ ∆+ ≤

SREN 1993-1-3 §6.1.9 unde:

c,Rd eff yb M0N A f= γ

SREN 1993-1-3 §6.1.3 cz,Rd,com eff,com yb M0/M W f= γ

SREN 1993-1-3 §6.1.4 iar, conform §6.1.9(2) din EN1993-1-3, reprezintă momentele adiŃionale y,Ed Ed NyM N e∆ = ,

datorate deplasării centrului de greutate Nye pe axa y-y. (pentru acest caz particular, datorită

faptului că secŃiunea transversală este dublu simetrică, Ny 0e = ).

Verificarea rezistenŃei:

3 611,62 10 0,43 10 00,158 1

322 350 1,0 22268 350 1,0

× × ++ = <× ×

– verifică

Verificarea rezistenŃei barelor la pierderea stabilităŃii generale Elementele solicitate la compresiune cu încovoiere uniaxială trebuie să satisfacă

următoarele condiŃii:

y,Ed y,EdEd

Rk y,Rky LT

M1 M1

∆1yy

M MNk

N M

++ ≤

χ χγ γ

y,Ed y,EdEd

Rk y,Rkz LT

M1 M1

∆1zy

M MNk

N M

++ ≤

χ χγ γ

SREN 1993-1-1 §6.3.3 unde:

3Rk yb eff 350 322 112,7 10 N 112,7 kNN f A= = × = × =

6y,Rk yb eff,y,min 350 22268 7,794 10 Nmm 7,794kNmM f W= = × = × =

y,Ed∆M – momentul adiŃional datorat deplasării centrului de greutate;

y,Ed∆ 0M =

2 2

1χ =ϕ + ϕ − λ

dar 1,0χ ≤

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2

( ) 20,5 1 0,2 ϕ = + α λ − + λ

α – factor de imperfecŃiune


eff yb

cr

A f

Nλ =

crN – efortul critic elastic asociat modului de flambaj relevant

Determinarea factorilor de reducere χy, χz, χT Conform § 6.3.1.3 din EN1993-1-1:

• Flambajul prin încovoiere

eff yb effcrF

cr 1

A f A AL

N iλ = =

λ

Lungimea de flambaj:

cr,y cr,z 3000 mmL L H= = =

1yb

21000076,95

350

E

fλ = π = π× =

Flambajul după axa y-y, conform Tabelului 6.3 din EN1993-1-3 şi Tabelului 6.1 din EN1993-1-1:

cr,y effy

y 1

322 59230000,503

57,2 76,95

L A A

iλ = = × =

λ

y 0,21α = – curba de flambaj a

( ) ( )2 2y y y y0,5 1 0,2 0,5 1 0,21 0,503 0,2 0,503 0,658 ϕ = + α λ − + λ = × + × − + =

y 2 2 2 2y y y

1 10,923

0,658 0,658 0,503χ = = =

ϕ + ϕ − λ + −

Flambajul după axa z-z, conform Tabelului 6.3 din EN1993-1-3 şi Tabelului 6.1 din EN1993-1-1:

cr,z effz

z 1

322 59230001,597

18 76,95

L A A

iλ = = × =

λ

z 0,34α = – curba de flambaj b

( ) ( )2 2z z z z0,5 1 0,2 0,5 1 0,34 1,597 0,2 1,597 1,923 ϕ = + α λ − + λ = × + × − + =

z 2 2 2 2z z z

1 10,334

1,923 1,923 1,597χ = = =

ϕ + ϕ − λ + −

• Flambajul prin răsucire (conform §6.2.3(5) din EN1993-1-3):

2w

cr,T t2 2o T

1 EIN GI

i l

π= +

SREN 1993-1-3 §6.2.3(5) unde:

2 2 2 2 2o y z o oi i i y z= + + +

o o,y z – coordonatele centrului de tăiere în raport cu centrul de greutate al secŃiunii transversale brute: o o 0y z= =

2 2 2 2o 57,2 18 0 0 3594 mmi = + + + =

T 3000 mml H= =

Efortul critic elastic pentru flambajul prin răsucire este: 2 8

3cr,T 2

1 210000 4,931 1081000 266 37,59 10 N

3594 3000N

π × × ×= × × + = ×

• Flambajul prin încovoiere-răsucire (conform §6.2.3(6) din EN1993-1-3) Pentru secŃiuni dublu simetrice: cr,TF cr,TN N=

Efortul critic elastic de flambaj este:

cr cr,T cr,TF 37,59 kNN N N= = =


eff ybT 3

cr

322 3501,732

37,59 10

A f

N

×λ = = =×

T 0,34α = – curba de flambaj b (conform Tabelului 6.3 din EN1993-1-3 şi Tabelului 6.1 din EN1993-1-1).

( ) ( )2 2T T T T0,5 1 0,2 0,5 1 0,34 1,732 0,2 1,732 2,259 ϕ = + α λ − + λ = × + × − + =

Factorul de reducere pentru flambajul prin răsucire, respectiv încovoiere-răsucire este:

T 2 2 2 2T T T

1 10,269

2,259 2,259 1,732χ = = =

ϕ + ϕ − λ + −

Determinarea factorului de reducere χLT, corespunzător flambajului lateral prin încovoiere-răsucire:

• Flambajului lateral prin încovoiere-răsucire

LT 2 2LT LT LT

1χ =ϕ + ϕ − λ

dar LT 1,0χ ≤

SREN 1993-1-1 §6.3.2.2

( ) 2LT LT LT LT0,5 1 0,2 ϕ = + α λ − + λ

LT 0,34α = – curba de flambaj b SREN 1993-1-1 §6.3.2.2 (Tabelul 6.3)


eff,y,min ybLT

cr

W f

Mλ =

crM – momentul critic elastic pentru flambajul lateral prin încovoiere-răsucire 22

w tzcr 1 2 2

z z

I L GIEIM C

IL EI

π= +π

unde, pentru grinzi simplu rezemate, sub încărcări uniform distribuite 1 1,127C = .

2 4 8 2

cr 2 4 2 4

cr

210000 19,13 10 4,932 10 3000 81000 2661,127

3000 19,13 10 210000 19,13 10

2,75 kNm

M

M

π × × × × × ×= × × +× π × × ×

=

eff,y,min ybLT 6

cr

22268 3501,683

2,75 10

W f

M

×λ = = =×

z 0,34α = – curba de flambaj b

( ) ( )2 2LT LT LT LT0,5 1 0,2 0,5 1 0,34 1,683 0,2 1,683 2,169 ϕ = + α λ − + λ = × + × − + =

LT 2 2 2 2LT LT LT

1 10,283

2,169 2,169 1,683χ = = =

ϕ + ϕ − λ + −

Determinarea factorilor de interacŃiune kyy şi kzy – Metoda 1 din EN1993-1-1, Anexa A.

yyy my mLT

Ed

cr,y

1k C C

N

N

µ=

−

zzy my mLT

Ed

cr,y

1k C C

N

N

µ=−

unde: Ed

cr,yy

Edy

cr,y

1

1

N

N

N

N

−µ =

− χ;

Ed

cr,zz

Edz

cr,z

1

1

N

N

N

N

−µ =

− χ

2 2 6y 3

cr,y 2 2cr,y

210000 1,936 10445,8 10 N 445,8 kN

3000

EIN

L

π π × × ×= = = × =

2 2 43z

cr,z 2 2cr,z

210000 19,13 1044 10 N 44 kN

3000

EIN

L

π π × × ×= = = × =

Ed

cr,yy

Edy

cr,y

11,621 1445,8 0,998

11,621 0,9231

445,8

N

N

N

N

− −µ = = =

− ×− χ

Ed

cr,zz

Edz

cr,z

11,621 144 0,807

11,621 0,3341

44

N

N

N

N

− −µ = = =

− ×− χ

( ) y LTmy my,0 my,0

y LT

11

aC C C

a

ε= + −

+ ε

2 LTmLT my

Ed Ed

cr,z cr,T

1 1

aC C

N N

N N

=

− −

Edmy,0

cr,y

11,621 0,03 1 0,03 1,001

445,8

NC

N= + = + × =

6y,Ed eff

y 3Ed eff,y,min

0,43 10 3220,591

1995611,62 10

M A

N W

×ε = = × =×

tLT 6

y

2661 1 1

1,936 10

Ia

I= − = − =

×

( )my0,591 1

1 1 1,001 11 0,591 1

C×

= + − × =+ ×

2mLT

11 1,401

11,62 11,621 1

44 37,59

C = × = − × −

Factorii de interacŃiune sunt:

yyy my mLT

Ed

cr,y

0,9981 1,401 1,435

11,6211

445,8

k C CN

N

µ= = × × =

−−

zzy my mLT

Ed

cr,y

0,8071 1,401 1,161

11,6211

445,8

k C CN

N

µ= = × × =−−

Verificarea la flambaj:

y,Ed y,EdEdyy

Rk y,Rky LT

M1 M1

∆ 11,62 0,43 01,435 0,389 1

112,7 7,7940,923 0,283

1,0 1,0

M MNk

N M

+ ++ = + × = <× ×χ χγ γ

–verifică

y,Ed y,EdEdzy

Rk y,Rkz LT

M1 M1

∆ 11,62 0,43 01,161 0,532 1

112,7 7,7940,334 0,283

1,0 1,0

M MNk

N M

+ ++ = + × = <× ×χ χγ γ

– verifică

ANEXA I

Coeficientul de zvelteŃe transformat pentru barele cu secŃiuni cu o axă de simetrie supusă la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire

Prezentul document descrie modalitatea de determinare a coeficientului de zvelteŃe pentru barele cu secŃiuni cu o axă de simetrie supuse la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire. Coeficientul de zvelteŃe transformat este dat de relaŃia:

crtr N

EAπλ = (I.1)

în care A aria secŃiunii brute a barei: Ncr forŃa critică de flambaj prin încovoiere-răsucire calculată pentru o bară ideală în

domeniul elastic

−−+−+

−

= Tcrzcro

TcrzcrTcrzcr

o

cr NNi

aNNNN

i

aN ,,2

22

,,,,

2

214)(

12

1 (I.2)

în care: Ncr,z forŃa critică de flambaj în raport cu axa z-z, care se calculează cu relaŃia:

2, )( l

EIN y

zcr µπ

= (I.3)

Ncr,T forŃa critică de flambaj prin răsucire, care se calculează cu relaŃia:

2

, 2 2

1

( )w

cr T to

EIN GI

i l

πµ

= +

(I.4)

Astfel se poate obŃine expresia directă pentru trλ , cu relaŃia:

+−+

−++=222

220

222

2

22

)(

])1/(093.0[411

2 o

po

ztr ic

aic

c

ic

i

l µµµλ (I.5)

în care:

z

tw

I

IlllIc

2200

22 )(039.0)/()( µµµ += (I.6)

În relaŃia (I.2) şi (I.5) notaŃiile reprezintă: l lungimea barei;

l0 distanŃa dintre punctele în care este împiedicată constructiv răsucirea barei în jurul axei longitudinale;

µ coeficient acre multiplică lungimea barei în funcŃie de gradul de încastrare la capetele barei;

0µ coeficient care Ńine seama de gradul de împiedicare a deplanării barei; 22zyp iii +=

2220 aiii zy ++=

Iz momentul de inerŃie al secŃiunii în raport cu axa z-z; It momentul de inerŃie la răsucire liberă a barei. Valorile a şi Iw pentru diferitele secŃiuni uzuale sunt prezentate în Tabelul I.1. Valorile µ şi 0µ se aleg astfel:

1.00 în cazul legăturilor articulate la capete, răsucirea fiind împiedicată, deplanarea secŃiunii fiind liberă;

0.50 când bare este încastrată la ambele capete pentru încovoiere şi deplanarea la răsucire este împiedicată;

0.70 când bare este încastrată la un capăt şi articulată la altul pentru încovoiere, respectiv deplanarea este împiedicată la un capăt şi liberă la altul.

Pentru legăturile intermediare se pot lua valori pentru µ şi 0µ între 0.50 şi 1.00. În cazurile

curente, în practică, 0µµ = .

Tabelul I.1: Caracteristicile sectoriale pentru diferite secŃiuni uzuale

Nr. crt.

SecŃiunea SuprafaŃa, centru de

greutate, momente de inerŃie

Centru de răsucire Momentul de inerŃie

sectorial ( )2 2y z

r dAy I y

+= ∫

0 1 2 3 4 5

0=ωI

1

t tz

b bC

G y.zC

btA 2= 24

bz ec = = łinând seama de

grosimea pereŃilor 3 3 3

18 144

b t AIω = =

22

bry = −

2

t

t

z

.

C

G y.zC

.yC

.

b1

b2

( )21 bbtA += ( )32

31

3

36bb

tI +=ω

SecŃiunea contraindicată pentru flambaj prin încovoiere-răsucire

( )2 aA bt at= + ;

aa atA =

3 t

z

b

C

Gy.

e.zC

A

aa .taAa,Ia

31

3a aI a t=

( )22

3 26

ac

z

t baz b a

I= −

( )

2

2

2 a

c z

I b I

z e I

ω = +

+ −

( )

( )

4

2

10

222

2

2

4

2 3

3 2 10

yy

a

y

tbr

I

b e t a b a

Ib e

b a

ab a e

= − ⋅

− −⋅ − ⋅

−

⋅ − +

+ + −

4 t

h G=C y

b

z

22

1

1

( )2A t b h= + 0y zC C= =

3 2

6b h t

Iω =

sau 2

14h

I Iω =

0y zr r= =

b bA t b= ; h hA t h=

2h bA A A= + ; bAe b

A=

5

z

G y

h

C

.tb

thAh,Ih

.zc

eb

2

2b bh

I A =

;3

12h

ht h

I =

2z h bI I I= + ;

3 22

3y bI b t e A= −

0cy =

bc

z

Iz e b

I= +

22 2

3b h b

z

I I IbI

Iω+

=

( )( )

( )

2

44

1

2

2

y y hy

b

b

r e A e II

e b I

te b e

= +

+ − +

+ − −

6

z

A y

C

.th

tiAb,Ib

.zc

eh

.

Ah,Ih

Aa,Ia

Gb.t2

b

.b2

c

h hA t h= ; 1 1 1A t b=

2 2 2A t b=

1 22 2hA A A A= + +

22hA Ae h

A

+=

2

2h hb

I A =

; 3

1 11 12

t bI =

232 2

2 212 2

t b bI A c

= + +

322 2

2 212ht b

I A c= +

2 12 2z hI I I I= + +

3 2 22

22

3y hI h t A h e A= + −

0cy = ; 2

21 24

hc

z z

Ib Az e h

I I

= + −

22

22

2

2 2 22

22 2

4

1 24

2

4

y

hz

h

z

h

z

bI I e A

b Ah I

I

Ibch A b heA

I

Ih

I

ω = + ⋅

⋅ − + −

− + −

−

( )( )

( )( )[

( )

21 1

44

2

22

1

2

22

yy

h

h

r e A e II

e h I

te h e

h e I

A h e

= + +

+ − +

+ − − −

− − +

+ −

a aA t a= ; b bA t b=

h hA t h= ;2 2h b aA A A A= + +

2h aA Ae h

A

+=

7

z

A y

b

C

.th

tbAb,Ib

.zce

h

.

Ah,Ih

Aa,Ia

.ta

G

a

2

2h hb

I A =

;3

12b

bt b

I = ;

3a

aht

I a=

23

12 2a

a at a b a

I A± = +

2 2z h b aI I I I= + +

3 2 222

3y h aI h t A h e A= + −

22

2

2 2

2

4

14

2 2

y

z

ah a

ah

z

bI I e A

b A

I

h I bfh A

Ib e Ah

I

ω = + ⋅

⋅ − +

+ − +

+ +

8

z

A y

b

C

. th

tbAb,Ib

.zc

eh

.

Ah,Ih

Aa,Ia

ta

G

a

.

La calcularea valorii aI ,

semnele se iau astfel: semnul (+) pentru cazul

7 semnul ( − ) pentru cazul

8

0cy = ; cz e= +21

24 ah

z

eAbhI

I

+ ⋅ −

/ 2f a=

/ 2f a= −

9

z

yh

t G=C

b

.

.ti

0cy = ; 0cz = 2

4 zh

I Iω = 0y zr r= =

10

z

yG=C h

t

. bt

Aa,Ia

Ah,Ih

.ba

.

.tt

ta

e

Ab,Ib

( )h tA h t t= − ;

( )b t a tA b t t= − ; a a aA b t= ;

2 4h b aA A A A= + +

( )3

12t

h

t h tI

−= ;

( )3

12b t a

b

t b tI

−= ;

3

12a a

at b

I = ;

2

2 42t

z b ab

I I A = +

( )2

4

2 42

y h a

b a

I I I

hA A

= + +

+ +

0cy = ; 0cz =

2224

2 2z abh

I I Iω = +

0y zr r= =

11

z

yh

ti

G

.t

.

.

ts

CA

. ezc

.bs

bi

Ah,Ih

Ai,Ii

As,Is

1

2h s iA h t t t = − +

;

sss tbA = ; i i iA b t=

h s iA A A A= + + ;2

2h iA A

e hA

+= ;

( )3

12

12

s i

h

t h t t

I

− + = ;

3

12s s

st b

I = ;3

12i i

it b

I = ;

z s iI I I= +

2 24y h iI I A h e A= + −

0cy =

( )1c s i

z

z eI h e II

= − − 2i s

z

I II h

Iω =

( )

( )

3

3 4

4

1

4

y c z sz

i

r z I A eI

tA h e e

h e

= + −

− − + −

− −

12

z

y

.hiG

.ts C

zc=e

.bs

ti. h

.

s s sA b t= : i i iA h t=

s iA A A= + ;2

iAe h

A=

3

12s s

zt b

I = ;3

2

3i i

yt h

I e A= −

0cy = ; cz e=

0Iω = Cu luare în

considerare a grosimii pereŃilor

3 3 3 3

144 36s s i it b t h

Iω = +

( )

3

344

1

4

y z sy

i

r I e A eI

te h e

= + +

+ − −

13

z

yG=C. t2

.t1

h

b

2 21 2

2 1

2r

b h t tI

bt ht=

+ 0c cy z= =

( )( )

( )

22 22 1

22 1

1 2

24

bt htb hI

bt ht

bt ht

ω−

= ⋅+

⋅ −

0y zr r= =

ANEXA II

Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor multi etajate II.1 Baze teoretice Cazurile fundamentale pentru lungimile de flambaj ale barelor comprimate prezentate în capitolul 2 au un caracter teoretic, întâlnindu-se arareori în practică. CondiŃiile reale de rezemare sau legare în structuri a barelor comprimate diferă de cele mai multe ori de cazurile fundamentale. CondiŃiile reale de rezemare se încadrează de regulă între cazurile teoretice fundamentale, aşa cum se arată în Figura II.1.

Fig. II.1: Cazuri teoretice şi reale de rezemare

Pentru determinarea lungimilor de flambaj a stâlpilor structurilor multietajate, trebuie făcută distincŃia între structurile cu noduri fixe, sau cele cu noduri deplasabile. O structură poate fi considerată cu noduri fixe dacă este destul de rigidă la încărcări orizontale, pentru a putea considera orice eforturi suplimentare adiŃionale generate de deplasările orizontale. Astfel, o structură poate fi considerată cu noduri fixe dacă sistemul de contravântuire reduce deplasările orizontale cu cel puŃin 80% faŃă de aceeaşi structură, având aceleaşi elemente structurale de rezistenŃă, dar necontravântuită. În această situaŃie, pentru calculul lungimilor de flambaj ale stâlpilor, se poate considera structura ca fiind împiedicată pentru deplasări laterale, aşa cum se arată în Figura II.2. Orice structură care nu îndeplineşte această condiŃie minimală trebuie considerată în calcul ca fiind cu noduri deplasabile. Aşa cum se arată în Figura II.2, un stâlp dintr-o structură cu noduri fixe nu prezintă deplasări relative ale punctelor de legătură cu restul structurii şi în această situaŃie, valoarea coeficientului lungimii de flambaj va fi întotdeauna maxim 1. Stâlpul va fi astfel tratat ca o bară cu rezemări elastice la rotire, dar cu reazeme rigide pentru deplasarea laterală, rigiditatea la rotire fiind dată de rigiditatea la încovoiere a elementelor cu care se interconectează stâlpul în structură (stâlpii şi grinzile de la nivelul superior şi inferior). Pentru structurile cu noduri deplasabile, aşa cum se arată în Figura II.3, un stâlp din structură prezintă deplasări relative ale punctelor de legătura cu restul structurii şi în această situaŃie valoarea coeficientului de flambaj este întotdeauna mai mare sau la limită egal cu 1 şi are o valoare nelimitată superior. Stâlpul va fi tratat ca o bară cu rezemări elastice atât pentru rotire cât şi pentru deplasarea laterală. O metodă simplificată pentru calculul lungimilor de flambaj a stâlpilor din structurile în cadre multietajate a fost formulată de Wood (1974). Această formulare a fost introdusă în Anexa E a versiunii ENV a EN1993-1-1 (ENV, 1992) şi este prezentată în continuare.

Fig. II.2: CondiŃii de rezemare pentru stâlpi din structuri cu noduri fixe

Fig. II.3: CondiŃii de rezemare pentru stâlpi din structuri cu noduri deplasabile

II.2 Determinarea lungimilor de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate cu metoda Wood Lungimea de flambaj Lcr a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri fixe poate fi obŃinută din diagrama prezentată în Figura II.4. Lungimea de flambaj Lcr a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri deplasabile poate fi obŃinută din diagrama prezentată în Figura II.5. Factorii de distribuŃie a rigidităŃii η1 şi η2 (Figura II.6) sunt obŃinuŃi cu relaŃiile:

12111

11 KKKK

KK

C

C

++++=η (II.1)

22212

22 KKKK

KK

C

C

++++=η (II.2)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,5

0,525

0,55

0,575

0,6250,6

0,65

0,95

0,85

0,9

0,8

0,75

1,0

0,675

0,7

Incastrat Articulatη2

Incastrat

Articulat

η1

Fig. II.4: Raportul Lcr /L dintre lungimea de flambaj şi

lungimea teoretică a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri fixe

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,0

1,05

1,1

1,15

1,251,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,81,9

2,0

2,2

2,42,6

2,83,0

4,0

5,0

Incastrat Articulatη2

Incastrat

Articulat

η1

Fig. II.5: Raportul l f /L dintre lungimea de flambaj şi

lungimea teoretică a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri deplasabile

K11

K21

K12

K22

Factor de distributie η1

K1

K1

KC

Factor de distributie η2

Stalp de verificat

Fig. II.6: Factori de distribuŃie pentru stâlpii continui

Când grinzile nu sunt solicitate la eforturi axiale, rigiditatea lor poate fi determinată în conformitate cu Tabelul II.1, respectiv Tabelul II.2, cu condiŃia rămânerii în domeniul elastic a grinzilor sub acŃiunea momentelor de calcul. Tabel II.1

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe

1

θ θ

0.5I

KL

=

2

θ

0.7

IK

L=

3

θ

1.0I

KL

=

Tabel II.2

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile

1 θ θ

1.5I

KL

=

2

θ

0.75I

KL

=

3

θ

0.75I

KL

=

Pentru structurile clădirilor în cadre rectangulare cu planşee din beton, cu topologia structurii regulată şi încărcare uniformă, se pot adopta, pentru grinzi, rigidităŃile din Tabelul II.3. Tabel II.3

Rigiditatea K a unei grinzi dintr-o structur ă cu planşee din beton armat

CondiŃii de încărcare pentru grindă Structură cu noduri

fixe Structură cu noduri

deplasabile

Grinzi care suportă direct planşeul din beton armat

1.0I

L 1.0

I

L

Alte grinzi încărcate direct 0.75I

L 1.0

I

L

Grinzi solicitate numai la acŃiunea momentelor de la extremităŃi

0.5I

L 1.5

I

L

Dacă momentul de calcul al unei grinzi depăşeşte momentul de rezistenŃă elastic 0/el y MW f γ , se

poate considera grinda articulată în acel punct. Dacă grinzile sunt supuse la eforturi axiale, rigiditatea lor trebuie corectată în consecinŃă. Pentru aceasta se pot utiliza funcŃiile de stabilitate. O alternativă simplă constă în neglijarea surplusului de rigiditate datorat întinderii axiale şi considerarea efectelor compresiunii axiale cu valorilor aproximative prezentate în tabelele II.4 şi II.5. Tabel II.4

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe

1.

θ θ

0.5 1 1.0E

I NK

L N

= −

2.

θ

0.75 1 1.0E

I NK

L N

= −

3.

θ

1.0 1 1.0E

I NK

L N

= −

în care: 22E LEIN π=

Următoarele relaŃii se pot utiliza ca alternativă la valorile date în diagramele din Figurile II.4 şi II.5: (a) cadre cu noduri fixe:

1 2 1 2

1 2 1 2

1 0.145( ) 0.265

2 0.364( ) 0.247fl

L

η η η ηη η η η

+ + −= − + − (II.3)

(b) cadre cu noduri deplasabile:

0.51 2 1 2

1 2 1 2

1 0.2( ) 0.12

1 0.8( ) 0.60fl

L

η η η ηη η η η

− + −= − + + (II.4)

Tabel II.5

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile

1. θ θ

1.5 1 0.2E

I NK

L N

= −

2.

θ

0.75 1 1.0E

I NK

L N

= −

3.

θ

1.0 1 0.4E

I NK

L N

= −

în care: 22E LEIN π=

II.3 Metoda Merchant - Rankine Metoda Merchant-Rankine (Merchant, 1954), este o procedură practică de proiectare care permite determinarea rezistenŃei ultime a unei structuri multietajate cu noduri deplasabile, în ipoteza că toate îmbinările structurii sunt perfect rigide. Încărcarea ultimă a structurii care cedează printr-o formă de instabilitate inelastică se determină funcŃie de încărcarea critică elastică a structurii şi de încărcarea de cedare a structurii prin configuraŃie de mecanism, obŃinută printr-o analiză plastică de ordinul I. Valoarea multiplicatorului încărcării de calcul pentru a provoca cedarea structurii αf (corespunzător încărcării ultime) se calculează cu expresia:

pcrf ααα9.011 += (II.5)

în care: αcr este coeficientul de multiplicare al încărcărilor de calcul pentru a provoca instabilitatea

elastică a structurii; αp este coeficientul de multiplicare al încărcărilor de calcul pentru a provoca cedarea

structurii prin configuraŃie de mecanism (analiza plastica de ordinul I). Limitele de aplicare a acestei metode sunt:

104.0 ≤≤p

cr

αα

(II.6)

Structura este corespunzătoare din punct de vedere al rezistentei şi stabilităŃii dacă valoarea multiplicatorului αf este cel puŃin unitara. Dacă structura este cu noduri fixe, este de aşteptat ca raportul αcr/αp să fie mare. În aceste condiŃii încărcarea ultimă de cedare a structurii va fi apropiată de încărcarea de cedare a structurii prin configuraŃie de mecanism, obŃinută printr-o analiză plastică de ordinul I. Dacă structura este cu noduri deplasabile, este de aşteptat ca raportul αcr/αp să fie mic. În aceste condiŃii încărcarea ultimă de cedare a structurii va fi apropiată de încărcarea critică elastică a structurii (Maquoi şi Jaspart, 2002). Verificarea unei structuri multietajate este relativ uşor de efectuat cu aceasta metodă, în condiŃiile în care există la dispoziŃie un program de calcul numeric adecvat pentru analiza de flambaj şi analiză plastică. Limitările metodei exclud stâlpii cu zvelteŃe foarte mare şi de aceea nu este necesar să se ia în considerare efectele de ordinul II cauzate de imperfecŃiunile elementelor sau de deplasări.

ANEXA III

Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor parte r În cazul barelor cu efort de compresiune constant în lungul lor (a se vedea Figura III.1a), coeficientul de flambaj µ se prezintă în Tabelul III.1.

.

. .lg2 lg1

Ig2

ls

Ig1

Is

P2

P1Is

Is

P1+P1

.

.

ll1

l2

.

.

ll1

l2I2

I1

P2

P1

P1+P1

.

.

ll1

l2I2

I1

P2

P1

P1+P1

a) b) c)

Fig. III.1: Determinarea lungimii de flambaj a) şi b) stâlpi cu secŃiune constantă; c) stâlpi cu secŃiune variabilă

Tabelul III.1: CoeficienŃi de flambaj µ pentru stâlpii carelor cu un nivel cu secŃiune constantă şi

cu încastrare elastică la partea superioară CoeficienŃi µ pentru stâlpii carelor cu un nivel cu secŃiune constantă şi cu încastrare

elastică la partea superioară

s

s

g

g

g

g

s

g

I

l

l

I

l

I

r

rk

+==

2

2

1

1

Prindere în fundaŃie

0 0.2 0.3 0.5 1.0 2.0 3.0 10.0

încastrată 2.0 1.50 1.40 1.28 1.16 1.08 1.06 1.0 articulată - 3.42 3.0 2.63 2.33 2.17 2.11 2.0

În cazul barelor cu efort de compresiune variabil, discontinuu în lungul lor (a se vedea Figura III.1b), coeficientul de flambaj µ se prezintă în Tabelul III.2.

Tabelul III.2

CoeficienŃi µ pentru stâlpii (conform Fig. III.1b) CondiŃii de rezemare

Capătul interior

Capătul superior 1

2

l

l 3

2

1 ≤P

P 1

2

1 =P

P

cu rotiri şi deplasări libere 0.3 0.6 1.0

1.8 1.5 1.3

2.,0 1,7 1,6

cu rotiri împiedicate şi deplasări libere

0.3 0.6 1.0

1.0 0.9 0.8

1.2 1.0 0.,9

cu rotiri libere şi deplasări împiedicate

0.3 0.6 1.0

0.6 0.5 0.5

0.6 0.6 0.6

Încastrat

cu rotiri şi deplasări împiedicate

0.3 0.6 1.0

0.5 0.4 0.4

0.5 0.4 0.4

În cazul barelor cu secŃiune în trepte, lungimile de flambaj depind de raportul dintre rigidităŃile părŃii superioare şi ale părŃii inferioare ale stâlpului, de felul legăturii la cele două extremităŃi, respectiv de raportul P1/P2. (a se vedea Figura III.1c). Valorile coeficienŃilor 1µ şi 2µ sunt

prezentate în tabele detaliate în STAS 10108/0-78, în funcŃie de tipul de legătură între stâlpi şi riglă şi de posibilitatea de deplasare laterală a capătului superior al stâlpului (a se vedea Figura III.2).

a) b) c) d)

Fig. III.2: Legăturile la capătul superior al stâlpilor halelor a) rotiri şi deplasări libere; b) rotiri împiedicate şi deplasări libere; c) deplasări împiedicate şi

rotiri libere; d) deplasări şi rotiri împiedicate. În cazul în care stâlpii cadrului au o singură treaptă (a se vedea Figura III.1c) şi sunt îndeplinite condiŃiile 2 1/ 0.6l l ≤ şi 1 2/ 3P P ≥ , coeficienŃii de flambaj µ se pot lua din Tabelul III.3.

Tabelul III.3

CondiŃii de fixare ale capetelor CoeficienŃi µ pentru: partea inferioară a

stâlpului ( )1µ când: Capătul interior

Capătul superior 1.03.0

1

2 ≥≥I

I 5.01.01

2 ≥>I

I

partea superioară

( )2µ

cu rotiri şi deplasări libere 2.5 3.0 3.0 cu rotiri împiedicate şi deplasări libere 2.0 2.0 3.0 cu rotiri libere şi deplasări împiedicate 1.6 2.0 2.5

Încastrat

cu rotiri şi deplasări împiedicate 1.2 1.5 2.0

ANEXA IV

Lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zăbrele În Tabelele IV.1, IV.2 şi IV.3 se prezintă, ca alternativă, lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zăbrele, în conformitate cu STAS 10108/0-78 şi NB51-002. În STAS 10108/0-78, pentru tălpi comprimate, lungimea de flambaj în planul grinzii se consideră ca fiind distanŃa dintre nodurile teoretice, iar în plan normal grinzii este distanŃa între nodurile de fixare împotriva deplasărilor în acest plan. În Tabelul IV.1 se prezintă lungimile de flambaj în planul grinzii şi transversal planului grinzii pentru diferite elemente componente comprimate ale grinzii cu zăbrele. În Tabelul IV.2 sunt prezentate lungimile de flambaj în cazul zăbrelelor încrucişate. Tabelul IV.1: Lungimile de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zăbrele conform STAS 10108/0-78

Grinzi cu zăbrele elementul

talpă diagonale şi montanŃi de reazem

celelalte zăbrele DirecŃia de flambaj

l f În planul grinzi l l 0.8l

Transversal planului grinzi

l1 l l

în care: l este lungimea elementului între nodurile teoretice l1 este distanŃa între nodurile fixate împotriva deplasărilor în planul transversal grinzii

Tabelul IV.2: Lungimile de flambaj pentru zăbrele încrucişate şi prinse la intersecŃii conform STAS 10108/0-78

Zăbrele încrucişate şi prinse la intersecŃii Schema grinzi Lungimea de flambaj în planul transversal grinzii

felul solicitărilor în barele care se opun flambajului

caracteristica nodului de intersecŃie a diagonalei

întindere efort nul compresiune ambele diagonale neîntrerupte 0.5l 0.7l l bara care se opune flambajului este întreruptă şi barele sunt

legate între ele cu guseu 0.7l l 1.4l

Lungimea de flambaj în planul grinzii l f=l 1

În Tabelul IV.3 se prezintă lungimile de flambaj, în planul grinzii şi în plan perpendicular pe planul grinzii, conform normei belgiene NB51-002.

Tabelul IV.3: Lungimile de flambaj pentru în planul grinzii şi în plan perpendicular pe planul grinzii conform normei belgiene NB51-002

Caz Elementul considerat Lungime de flambaj 1

talpă ll fl 9.0=

2

diagonală marginală

ll fl 9.0=

3

montant sau diagonală

ll fl 9.0=

Fla

mba

j în

plan

ul g

rinzi

i

4

intersecŃie de două bare prinse în mijlocul lor

ll fl 5.0=

5

talpă cu noduri contravântuite

ll fl =

6

talpă la care un punct nu este contravântuit (F1>F2)

+=

1

225.075.0F

Fll fl

7

montant sau diagonală

0.9 sau fll l l=

0.85 0.35 tfl

c

Fl l

F

= −

0.5fll l≥

8

intersecŃie a unei bare întinse cu una comprimată 0.9 0.85 0.35 t

flc

Fl l

F

= −

ll fl 45.0≥

Fla

mba

j în

plan

per

pend

icul

ar p

e pl

anul

grin

zii

9

montant de zăbrelire în K (F1>F2)

+=

1

225.075.0F

Fll fl

ANEXA V Monogramele pentru coeficienŃi C1 şi C2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate În cazul unor situaŃii complexe, elemente cu momente la capete (elemente dublu încastrate sau porŃiuni între două blocaje transversale) încărcate cu sarcini uniform distribuite sau concentrate, se recomandă procedura din www.access-steel.com (SN003a-EN-EU – NCCI: Elastic critical moment for lateral torsional buckling). Pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate (vezi Figura V.1), coeficienŃi C1 şi C2, se pot obŃine din monogramele prezentate mai jos (V.2-V.5). Se consideră două cazuri distincte:

Cazul a) momente încovoietoare la capete şi încărcărilor transversale uniform distribuite; Cazul b) momente încovoietoare la capete şi încărcări transversale concentrate la mijlocul deschiderii.

M ψψψψ M q

L (a)

M ψψψψ M F

L (b)

Fig. V.1: Momente pe capete şi încărcări transversală DistribuŃia momentului încovoietor poate fi determinat folosind doi parametri: ψ este raportul momentelor de capăt. Prin definiŃie, M este momentul încovoietor de capăt

maxim, şi astfel: -1 ≤ ψ ≤ 1 (ψ = 1 pentru momentul încovoietor uniform) µ este raportul dintre momentul datorat încărcării transversale şi momentul încovoietor de

capăt maxim, M.

Cazul a) M

qL

8

2

=µ

Cazul b) M

FL

4=µ

ConvenŃie de semne pentru µ: µ > 0 dacă M şi încărcarea transversală (q sau F), considerate că acŃionează

individual, deformează grinda în aceeaşi direcŃie (de exemplu ca în Figura V.1);

µ < 0 dacă M şi încărcarea transversală (q sau F), considerate că acŃionează individual, deformează grinda în sensuri diferite.

CoeficienŃi C1 şi C2 au fost determinaŃi pentru kz = 1 şi kw = 1.

2.0

2.5

3.0

C1

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ψ

0

1,2

0,8

0,7

0,4

1

0,5

0,6

0,3 0,10,2

21,5

2

M

ψMM

ψM

µµµµ

µ > 0

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ψ

C1

-0,1

-0,9

-1,1

-1,2

-0,7

-0,6

-0,5

-0,3

-0,4

-0,8

-1,8-1,7

-2

-1,3

-1,4

-1,5

-1

-1,6

-0,2

0

MψM

M ψM

µµµµ

µ < 0

Fig. V.2: Momente pe capete şi încărcare uniform distribuită – Factorul C1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ψ

C2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,50,6

0,7 0,8

0,9 1

1,21,5

2

M

ψMM

ψM

µµµµ

µ > 0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ψ

C2

-0,1-0,2

-0,3

-0,4

-0,5

-0,6

-0,7

-0,8

-0,9

-1

-1,1

-1,2

-1,3

-1,4

-1,5

-1,6

-1,7

-1,8

-1,9

-2

-1,2

MψM

M ψM

µµµµ

µ < 0

Fig. V.3: Momente pe capete şi încărcare uniform distribuită – Factorul C2

1.5

2.0

2.5

3.0

C1

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ψ

C

00,10,20,30,40,50,6

0,7

0,8

1

1,2

1,50,9

2

2

0,20,1

1

M

ψMM

ψM

µµµµ

µ > 0

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ψ

C1

-0,1

-0,9

-1,1-1,2

-0,7

-0,6

-0,5

-0,3

-0,4

-0,8

-1,8

-1,7

-2

-1,3

-1,4

-1,5

-1

-1,6

-0,2

0

MψM

M ψM

µµµµ

µ < 0

Fig. V.4: Momente pe capete şi încărcare concentrată la mijlocul deschiderii – Factorul C1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ψ

C2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,91

1,2

1,5

2

M

ψMM

ψM

µµµµ

µ > 0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ψ

C2

-0,1-0,2

-0,3-0,4

-0,5

-0,6

-0,7

-0,8

-0,9

-1

-1,1

-1,2

-1,3

-1,4

-1,5

-1,6

-1,7

-1,8

-2

MψM

M ψM

µµµµ

µ < 0

Fig. V.5: Momente pe capete şi încărcare concentrată la mijlocul deschiderii – Factorul C2

ANEXA VI

Clase de secŃiuni Clasificarea secŃiunilor transversale se face funcŃie de supleŃea pereŃilor secŃiunii şi de distribuŃia şi semnul tensiunilor σ. Prin supleŃe, se înŃelege raportul dintre lăŃimea şi grosimea peretelui. Această clasificare este necesară pentru a delimita secŃiunile care pot avea incursiuni în domeniul elasto-plastic de celelalte secŃiuni (subcapitolul 5.5 din SR EN 1993-1-1:2006). Sunt definite patru clase de secŃiuni: • Clasa 1 – secŃiuni care permit plastificarea lor şi dezvoltarea articulaŃiilor plastice (rotire sub

efort constant), fără apariŃia voalărilor, până la atingerea unghiurilor de rotire plastică admisibile.

• Clasa 2 – secŃiuni care permit formarea articulaŃiilor plastice, dar care au o capacitate de

rotire plastică redusă şi nu permit redistribuirea plastică a momentelor încovoietoare în structură.

• Clasa 3 – secŃiuni în care se pot dezvolta compresiuni în fibrele extreme până la nivelul

limitei de curgere (rezistenŃa critică de voalare se situează la nivelul limitei de curgere), fără a se putea dezvolta însă articulaŃii plastice.

• Clasa 4 – secŃiuni cu supleŃe mare la care fenomenul de voalare (caracterizat de rezistenŃe

critice cu valori inferioare limitei de curgere) împiedică atingerea limitei de curgere în fibra extremă comprimată.

Tabelul VI.1 prezintă sintetic clasele de secŃiuni în termeni de comportare, moment capabil şi capacitatea de rotire. În ceea ce priveşte calculul de rezistenŃă al secŃiunilor (calculul ariilor, modulelor de rezistenŃă, momentelor de inerŃie), acesta se poate face în domeniul plastic sau în domeniul elastic, pe baza întregii secŃiuni sau secŃiunii eficace, după cum se prezintă în Tabelul VI.2. În tabelul VI.3 sunt date valorile maxime ale supleŃilor pereŃilor barelor funcŃie de forma secŃiunii şi de distribuŃia tensiunilor.

Tabelul VI.1: Clase de secŃiuni în termeni de moment capabil şi capacitatea de rotire

Tabelul VI.2: Metoda de analiză globală şi modul de efectuare al calculului de rezistenŃă în funcŃie de clasa secŃiunii

1 2 3 4 Clasa secŃiunii (distribuŃia tensiunilor pe secŃiune la încovoiere)

Metoda de analiză globală (calcul static)

plastică* elastică elastică elastică

Calculul de rezistenŃă (modul de determinare al tensiunilor)

plastic** plastic** elastic elastic cu

lăŃime eficace

* se poate folosi, de asemenea, şi analiza globală elastică ** se poate folosi, de asemenea, şi calculul de rezistenŃă în domeniul elastic

Tabelul VI.3: Rapoarte lăŃime-grosime maxime pentru pereŃii comprimaŃi

*) ψ ≤ -1 se aplică fie când tensiunea de compresiune σ ≤ fy, fie când deformaŃia specifică de întindere εy > fy/E.

Tabelul VI.3 (continuare)

ANEXA VII

Calculul prin metoda elementului finit (MEF) În Anexa C a normei SR EN 1993–1–5 sunt prezentate recomandări referitoare la modelarea şi calculul pe baza metodei elementului finit pentru starea limită ultimă, starea limită de serviciu sau pentru verificări la oboseală ale structurilor realizate din plăci. În continuare se prezintă câteva aspecte importante referitoare la modelarea cu element finit a structurilor din bare. Alegerea metodei de calcul depinde de problema analizată. Această alegere poate fi bazată pe următoarele ipoteze (vezi Tabelul VII.1):

Tabelul VII.1: Ipoteze referitoare la alegerea metodei bazate pe element finit (Anexa C a normei SR EN 1993–1–5)

Nr. Comportarea materialului

Comportarea geometric

ImperfecŃiuni, vezi VII.1

Exemple de utilizare

1 liniar liniar nu efectul „shear lag”1), rezistenŃa elastică 2 neliniar liniar nu rezistenŃa plastică la SLU 3 liniar neliniar nu încărcarea critică de voalare 4 liniar neliniar da rezistenŃa elastică de voalare 5 neliniar neliniar da rezistenŃa elasto-plastică la SLU

1) influenŃa tensiunilor tangenŃiale asupra tensiunilor normale, din încovoiere. În modelarea cu element finit, trebuie acordată o atenŃie deosebită următoarelor aspecte:

– modelarea componentelor structurale şi a condiŃiilor de margine ale acestora; – alegerea programului de analiză şi a documentaŃiei necesare; – introducerea imperfecŃiunilor; – modelarea proprietăŃilor materialelor; – modelarea încărcărilor; – modelarea criteriilor la starea limită; – coeficienŃii parŃiali care vor fi aplicaŃi.

În ceea ce priveşte modelarea, alegerea modelelor de EF (elemente de bară, suprafaŃă sau de volum) şi a dimensiunilor elementelor finite pentru discretizare, determină acurateŃea rezultatelor. Pentru validare, se poate efectua un studiu de sensibilitate cu rafinare progresivă. Modelarea cu element finit poate fi efectuată:

– pentru structură, în ansamblul ei sau; – pentru o substructură, ca parte componentă a structurii.

CondiŃiile de margine, referitoare la reazeme, legăturile dintre elemente şi detaliile referitoare la introducerea încărcărilor, trebuie alese de o asemenea manieră încât rezultatele obŃinute să fie realiste. ProprietăŃile geometrice trebuie considerate cu valorile nominale. Toate tipurile de imperfecŃiuni trebuie să fie conforme cu formele şi amplitudinile prezentate în Anexa VIII şi subcapitolul VII.1. ProprietăŃile materialelor şi comportarea materialului trebuie să fie conforme cu cele prezentate în Figura VII.1. Programul de calcul trebuie să fie corespunzător analizei dorite, iar fiabilitatea acestuia trebuie demonstrată.

VII.1 Utilizarea imperfec Ńiunilor Atunci când în modelul cu EF trebuie incluse imperfecŃiuni, acestea trebuie să includă atât imperfecŃiunile geometrice cât şi cele structurale. Cu excepŃia cazului când se realizează o măsurare detaliată a imperfecŃiunilor geometrice şi structurale, atunci se pot folosi imperfecŃiuni geometrice echivalente. Aceste tipuri de imperfecŃiuni (globale la nivelul structurii, de bară sau locale la nivelul secŃiunii, cât şi tensiunile de materiale), pentru structurile realizate din bare, se prezintă în Anexa VIII. ImperfecŃiunile geometrice pot fi introduse şi pe modurile critice de flambaj/voalare, cu amplitudini egale cu 80% din toleranŃele de fabricaŃie recomandate. ImperfecŃiunile structurale în termeni de tensiuni reziduale pot fi reprezentate printr-un câmp de eforturi provenite din procesul de fabricaŃie, cu amplitudinile echivalente valorilor medii. Sensul imperfecŃiunii trebuie astfel ales încât să conducă la rezistenŃa cea mai mică. Pentru aplicarea imperfecŃiunilor geometrice echivalente, poate fi folosit Tabelul VII.2 şi datele furnizate în Anexa VIII.

Tabelul VII.2: ImperfecŃiuni geometrice echivalente Tipul

imperfecŃiunii Componenta Forma Amplitudinea

globală pe structură

abatere de la axa verticală înclinare a se vedea Figura VIII.1 din Anexa VIII

locală pe element

elementul cu lungimea l curbură (arc) a se vedea Tabelul VIII.1 şi Figura VIII.2 din Anexa VIII

La nivelul secŃiunii

abatere de la forma secŃiunii deformarea

secŃiunii a se vedea paragraful VIII.3

Pentru combinarea imperfecŃiunilor, trebuie aleasă o imperfecŃiune principală, iar imperfecŃiunile asociate pot avea valori reduse la 70%. Orice tip de imperfecŃiune poate fi considerată ca imperfecŃiune principală, celelalte imperfecŃiuni pot fi considerate ca imperfecŃiuni asociate. ImperfecŃiunile geometrice echivalente pot fi substituite prin intermediul forŃelor echivalente aplicate elementului. VII.2 Propriet ăŃile materialelor ProprietăŃile materialelor trebuie considerate în analiză cu valorile caracteristice. Pentru modulul de elasticitate, E, se va considera valoarea nominală. În funcŃie de cerinŃele de precizie şi de deformaŃiile maxime ce se doresc a se obŃine în cadrul analizei, pot fi utilizate următoarele legi pentru comportarea materialului (a se vedea Figura VII.1): a) elastic-plastic fără ecruisaj; b) elastic-plastic cu pseudo-ecruisaj (din motive de simulare numerică); c) elastic-plastic cu ecruisaj liniar; d) curba reală efort-deformaŃii.

Modelul

cu platou de curgere

1 E/10000 (sau valori mici similare)

cu ecruisare

1 curba reală efort-deformaŃie 2 curba efort-deformaŃie rezultată din teste

Fig. VII.1: Modelarea comportamentului materialelor VII.3 Înc ărcări Încărcările aplicate pe structură trebuie să includă factori relevanŃi ai încărcărilor şi de combinare a acestora. Prin simplificare, se poate utiliza un singur multiplicator unic al încărcării, α. Factorul de amplificare al încărcării αu la starea limită ultimă trebuie să permită obŃinerea fiabilităŃii cerute. Factorul de amplificare αu trebuie să fie compus din 2 factori:

1. α1 pentru a acoperi incertitudinea modelului cu EF folosit. Acesta trebuie obŃinut din evaluarea testelor de calibrare, vezi Anexa D din EN 1990;

2. α2 pentru a acoperi dispersia modelelor de încărcare şi rezistenŃelor. α2 poate fi considerat egal cu γM1 dacă fenomenul de instabilitate este dominant şi egal cu γM2 dacă fenomenul de rupere este dominant.

Trebuie să se verifice că: αu > α1·α2. Anexa NaŃională a SR EN 1993-1-1 oferă informaŃii pentru γM1 şi γM2.

ANEXA VIII

ImperfecŃiuni Efectele imperfecŃiunilor, adică tensiunile reziduale şi imperfecŃiunile geometrice ca abateri de la axa verticală, abateri de la rectiliniaritate, abateri de la planeitate, abateri dimensionale şi orice excentricităŃi minore prezente în îmbinările structurii neîncărcate, trebuie luate în considerare, în mod corespunzător în analiza structurală. În general, se utilizează imperfecŃiunile geometrice echivalente. În analize trebuie luate în considerare următoarele imperfecŃiuni:

a) imperfecŃiuni globale pentru cadre şi sistemele de contravântuiri; b) imperfecŃiuni locale pentru bare.

VIII.1 Imperfec Ńiuni pentru analiza globală a cadrelor Forma presupusă a imperfecŃiunilor globale şi a imperfecŃiunilor locale poate deriva din modul de flambaj elastic al structurii în planul de flambaj considerat. Aceste imperfecŃiuni trebuie luate în considerare în forma şi sensul cel mai defavorabil, a flambajului în plan şi a flambajului în plan perpendicular, incluzând şi flambajul prin răsucire cu modurile simetrice şi antisimetrice. Pentru cadrele sensibile la flambaj într-un mod cu noduri deplasabile, trebuie luat în considerare a efectul imperfecŃiunilor în analiza cadrului, cu ajutorul unei imperfecŃiuni echivalente sub forma unei abateri iniŃiale de la verticală şi a imperfecŃiunilor locale în arc ale barelor. ImperfecŃiunile trebuie determinate astfel: a) abatere globală iniŃială de la axa verticală (a se vedea Figura VIII.1)

0 h mφ φ α α= ⋅ ⋅ (VIII.1)

în care

0φ este valoarea de bază: 0 1/ 200φ = ;

hα este coeficientul de reducere aplicabil pentru înălŃimea h a stâlpilor:

2 2 dar 1.0

3h hh

α α= ≤ ≤

h este înălŃimea structurii în metri;

mα este factor de reducere pentru numărul de stâlpi dintr-un şir:

10.5 1m m

α = +

m este numărul de stâlpi într-un şir, introducând aici numai stâlpii care preiau o încărcare verticală NEd mai mare sau egală cu 50% din valoarea medie pe stâlp în planul vertical considerat.

Figura VIII.1: ImperfecŃiuni echivalente corespunzătoare abaterii de la axa verticală

b) imperfecŃiunile iniŃiale locale în arc e0 ale barelor (curburi iniŃiale), pentru flambajul prin încovoiere, definite prin:

0 /e L (VIII.2)

unde L este lungimea barei. Valorile recomandate pentru 0 /e L de anexa NaŃională a SR EN 1993-1-1 sunt menŃionate în tabelul VIII.2.

Tabelul VIII.1: Valorile de calcul ale imperfecŃiunilor iniŃiale în arc 0 /e L analiză elastică analiză plastică

Curba de flambaj e0/L e0/L

a0 1/350 1/300 a 1/300 1/250 b 1/250 1/200 c 1/200 1/150 d 1/150 1/100

Curburile iniŃiale ale barelor pot fi neglijate în cadrul analizei globale a structurii, pentru determinarea forŃelor şi momentelor de la extremităŃi, necesare verificării barelor la pierderea stabilităŃii. Cu toate acestea, în cazul structurilor sensibile la efectele de ordinul doi, în analiza structurală a cadrelor trebuie introduse, în plus, faŃă de imperfecŃiunile corespunzătoare abaterii de la verticală şi aceste imperfecŃiuni locale (curburi), pentru fiecare bară comprimată pentru care sunt satisfăcute următoarele două condiŃii:

- cel puŃin o legătura de la capătul barei transmite moment

- 0.5 y

Ed

A f

Nλ

⋅> (VIII.3)

unde NEd este valoarea de calcul a forŃei de compresiune λ este zvelteŃea redusă în plan, calculată pentru bara considerată ca articulată la extremităŃile sale. c) imperfecŃiunile de torsiune

Contrar abaterilor de la liniaritate (curburi iniŃiale), majoritatea normelor actuale nu propun valori pentru imperfecŃiunea de torsiune, care să fie luată în considerare în calculul de stabilitate, datorită faptului că în cazul torsiunii iniŃiale, a căror valoare nu depăşeşte 1°/m, sarcina critică a profilelor nu este afectată de această imperfecŃiune. Totuşi, standardul australian AS4100, propune următoarele formule pentru determinare săgeŃii iniŃiale după axa minimă de inerŃie, uo, şi a rotirii iniŃiale a secŃiunii transversale, φo, astfel:

1000 / 1000 ( / ) 1 0.6LTo o cr crf L M N L pentruϕ λ⋅ = ⋅ ⋅ = − ≥ (VIII.4)

1000 / 1000 ( / ) 0.001 0.6LTo o cr crf L M N L pentruϕ λ⋅ = ⋅ ⋅ = − < (VIII.5)

unde: Ncr este forŃa critică pentru flambajul după axa minimă de inerŃie; Mcr este momentul critic al flambajului prin încovoiere laterală-răsucire al grinzilor;

LTλ este zvelteŃea redusă corespunzătoare flambajului prin încovoiere laterală-răsucire. Efectele imperfecŃiunilor iniŃiale datorită abaterii de la axa verticală şi ale imperfecŃiunilor locale (curburi) pot fi înlocuite prin sisteme de forŃe orizontale echivalente, introduse pentru fiecare stâlp (a se vedea Figura VIII.2).

Figura VIII.2: Înlocuirea imperfecŃiunilor iniŃiale prin forŃe orizontale echivalente

Aceste imperfecŃiuni iniŃiale datorate abaterii de la verticală pot fi considerate în toate direcŃiile orizontale, dar simultan, într-o singură direcŃie. Acolo unde este necesar, trebuie luate în considerare şi eventualele efecte de torsiune ce pot rezulta din aplicarea imperfecŃiunilor iniŃiale datorate abaterii de la axa verticală, în sens contrar pe două feŃe opuse ale unei structuri (a se vedea figura VIII.3).

1 deformaŃie din translaŃie; 2 deformaŃie din rotire

Figura VIII.3: Efecte de translaŃie şi torsiune (vedere în plan) VIII.2 Imperfec Ńiuni pentru calculul sistemului de contravântuiri În calculul sistemului de contravântuiri utilizate pentru asigurarea stabilităŃii laterale a grinzilor şi a barelor comprimate, trebuie să se ia în considerare a efectelor imperfecŃiunilor cu ajutorul unei imperfecŃiuni geometrice echivalente a elementelor stabilizate, sub forma unei imperfecŃiuni iniŃiale în arc:

0 / 500me Lα= (VIII.6)

în care L este deschiderea sistemului de contravântuiri şi 1

0.5 1m mα = +

, în care m este

numărul de elemente stabilizate.

e0 – imperfecŃiune; qd – forŃă echivalentă pe unitatea de lungime;

1 – sistem de contravântuiri

Figura VIII.4: ForŃă echivalentă de stabilizare

Pentru simplificare, efectele imperfecŃiunilor iniŃiale în arc (curburile iniŃiale) ale elementelor de stabilizat printr-un sistem de contravântuiri, pot fi înlocuite prin forŃe echivalente de stabilizare, aşa cum se prezintă în Figura VIII.4:

0

28 q

d Ed

eq N

L

δ+= ⋅ ⋅∑ (VIII.7)

unde δq este săgeată sistemului de contravântuiri în planul stabilizat, calculată printr-o analiză de ordinul unu şi provocată de forŃele q plus eventualele forŃe exterioare. Săgeata δq se poate lua egală cu 0 dacă se utilizează o analiză de ordinul doi. VIII.3 Imperfec Ńiunile geometrice locale şi tensiuni reziduale pentru barele cu pereŃi subŃiri În cazul barelor cu pereŃi subŃiri formate la rece, apar două tipuri suplimentare de imperfecŃiuni faŃă de cele prezentate pentru barele obŃinute prin laminate la cald sau sudare. Ca şi imperfecŃiuni geometrice se identifică imperfecŃiunile geometrice locale, iar ca şi imperfecŃiuni structurale se identifică tensiunile reziduale de tip flexural, care au un rol hotărâtor la pierderea stabilităŃii. Un număr mare de cercetători s-au ocupat de investigarea imperfecŃiunilor geometrice locale ale barelor cu pereŃi subŃiri formate la rece şi în ciuda tuturor acestor investigaŃii, nu s-a făcut nici o încercare de unificare a imperfecŃiunilor geometrice locale. Schafer şi Pekoz (1996, 1997) au fost primii cercetători care au încercat o clasificare a tipurilor de imperfecŃiuni locale, şi au pus în evidenŃă două tipuri distincte de imperfecŃiuni pentru elementele solicitate la încovoiere şi / sau compresiune, şi anume:

− imperfecŃiuni locale (tip 1) – în cazul elementelor rigidizate (vezi Figura VIII.5a); − deviaŃia de la poziŃia dreaptă (tip 2) pentru cazul tălpilor slab rigidizate sau

nerigidizate (vezi Figura VIII.5b).

d

(a) Tip 1

d

(b) Tip 2

1 2

Fig. VIII.5: Definirea imperfecŃiunilor geometrice locale

ImperfecŃiunile de tip 1 sunt caracteristice imperfecŃiunilor pentru modul local de flambaj, iar imperfecŃiunile de tip 2 sunt caracteristice imperfecŃiunilor pentru modul distorsional de flambaj. În urma prelucrării pe cale statistică a datelor experimentale culese din literatura de specialitate, Schafer & Pekoz au propus pentru tipul 1 de imperfecŃiuni (imperfecŃiuni corespunzătoare voalării pereŃilor secŃiunii transversale) următoarele relaŃii pentru a modela imperfecŃiunea maximă:

1 0.006d w≈ ⋅ (VIII.8)

sau 2

1 6 td t e−≈ ⋅ ⋅ (d1 şi t se introduc în mm) (VIII.9)

unde w este înălŃimea inimii sau lăŃimea tălpilor rigidizate (în mm), iar t este grosimea peretelui. ImperfecŃiunea de tip 2 (corespunzătoare flambajului prin distorsiune) s-a determinat într-o manieră similară şi se poate folosi una din următoarele relaŃii:

2 0.014 / 0.5d w t= + (VIII.10)

sau

2 1.8d mm= (VIII.11)

În ceea ce priveşte tensiunile reziduale, în cazul profilelor din oŃel formate la rece deformaŃiile plastice apărute ca urmare a procesului de formare la rece generează tensiuni reziduale cu valori mai importante în colŃurile secŃiunii transversale decât pe feŃele plane ale acesteia, atât în cazul profilelor laminate la rece, cât şi în cazul celor formate prin îndoire la rece.

Elementele cu pereŃi subŃiri formate la rece sunt afectate de tensiuni reziduale de încovoiere, variabile pe grosimea elementului, respectiv de tensiunile membranare. În Figura VIII.6 sunt prezentate aceste două tipuri de tensiuni reziduale şi suprapunerea lor.

-

+

-+ =

+

-

gro s

ime

flexural membranarexterior

interior

Fig. VIII.6: VariaŃia tensiunilor reziduale de încovoiere şi membranare

ExperienŃa practică a arătat că procedeul de formare la rece influenŃează direct mărimea tensiunilor reziduale; procedeul de laminarea la rece produce tensiuni reziduale de încovoiere mai mari decât procedeul prin presarea la rece. Rondal (1986, 1992) a arătat că profilele laminate la cald sunt afectate de tensiuni reziduale care rezultă, în principal, datorită răcirii după laminare, iar aceste tensiuni reziduale sunt de tip membranar, iar pentru profilele formate la rece a arătat că prin procesul de formare, acestea sunt afectate de tensiuni reziduale de încovoiere. Considerare în modelele de calcul a tensiunilor reziduale este o problemă dificilă. După cum a fost prezentat, profilele din oŃel cu pereŃi subŃiri formate la rece sunt afectate de tensiuni reziduale de încovoiere, variabile pe grosimea elementului, respectiv de tensiuni membranare. VariaŃia pe grosime a tensiunilor reziduale conduce la o atingerea timpurie a limitei de curgere pe una din feŃele elementului, iar în cazul elementelor scurte sau medii amorsează flambajul local. Schafer şi Pekoz (1996, 1997) au obŃinut, prin prelucrare statistică a încercărilor experimentale obŃinute pe elemente realizate prin presare la rece cât şi prin laminare la rece, o codificare a tensiunilor reziduale. O importanŃă deosebită o are distribuŃia tensiunilor reziduale pe secŃiune (în colŃuri, pe elementele plane, pe reborduri). Din analiza statistică a tensiunilor reziduale

membranare, aceştia au arătat că aceste tensiuni sunt aproape nule. Acestea sunt importante doar în zonele de colŃ şi pentru rebordurile elementelor laminate la rece. De asemenea, au observat că tensiunile reziduale membranare sunt mai semnificative pentru elementele laminate la rece decât pentru cele obŃinute prin presare la rece. Tensiunile reziduale de încovoiere sunt cea mai importantă componentă a tensiunilor reziduale. Valorile medii ale distribuŃiei tensiunilor reziduale de încovoiere pe secŃiune transversală, pentru cele două metode de formare la rece, sunt prezentate în Figura VIII.7. Se poate observa că tensiunile reziduale sunt mai mari pentru elementele formate prin laminare la rece, decât pentru cele formate prin presare la rece.

39%

23% 27% 8%

17%

33%

(a) laminate la rece (b) îndoite la rece Fig. VIII.7: Valorile medii ale tensiunilor reziduale de încovoiere exprimate în %fy

(Schafer şi Pekoz, 1996, 1997) VIII.4 Imperfec Ńiunile elementelor Efectele imperfecŃiunilor barelor sunt cuprinse în formulele de verificare a acestora la flambaj, prin formule din subcapitolul 6.3 din SR EN 1993-1-1, respectiv prin cele prezentate în capitolele 4 şi 5 din prezenta lucrare. Când stabilitatea barelor este justificată cu ajutorul unui calcul de ordinul doi, atunci trebuie să se adopte imperfecŃiunile e0 ale barei comprimate conform celor prezentate în VIII.1. În cazul unui calcul de ordinul doi care Ńine cont de pierderea stabilităŃii prin încovoiere-răsucire a unei bare supuse la încovoiere, se poate considera o imperfecŃiune egală cu ke0,d, în care e0,d este curbura iniŃială echivalentă pentru axa minimă de inerŃie a profilului considerat. În general, nu este necesară includerea unei imperfecŃiuni de torsiune suplimentare. Valoarea coeficientului k se poate defini în Anexa NaŃională, iar adoptată este k = 0.5.

ANEXA IX

Încărcarea critică de flambaj elastic pentru cadre portal În această anexă se prezintă o metodă de calcul a rezistenŃei critice de flambaj a structurilor în cadre, ce nu necesită un program de calcul (King, 2001). Această metodă are la bază cercetările efectuate de Davies (1990, 1991). Pentru calculul manual se introduc următoarele aproximări:

− ForŃa critică de flambaj nu este afectată de distribuŃia forŃei transversale din lungul elementului; doar forŃa axială trebuie luată în considerare;

− ForŃa axială maximă din fiecare element se presupune că acŃionează pe întreaga sa lungime, iar efectul de rigidizare al vutelor este neglijat, ceea ce conduce la ipoteze conservative;

− ForŃele axiale trebuie calculate printr-o analiză elastică, considerând prinderile în fundaŃii ca articulaŃii sau prinderi rigide.

Se recomandă ca structura să fie considerată ca o serie de subdiviziuni (vezi Figura IX.1), care să includă:

− Grinzi pereche de coamă (vezi secŃiunea IX.1); − Stâlp exterior + grindă (vezi secŃiunea IX.2); − Stâlp interior + grindă de fiecare parte (vezi secŃiunea IX.3); − Cadru echivalent pentru cadre cu stâlpi dublu-articulaŃi sau grinzi de dolie (vezi

secŃiunea IX.4).

Fig. IX.1: Sub-structuri ale cadrului pentru analiză manuală

Perechi de rigle

Stâlp exterior + rigla Stâlp interior + rigle laterale

Stâlpi dublu articulaŃi

Grinzi de dolie

Pentru fiecare combinaŃie de încărcări analizată, trebuie determinat coeficientul crλ pentru

fiecare din substructurile mai sus menŃionate, şi apoi cel mai mic crλ trebuie utilizat pentru toată

structura, pentru acea combinaŃie particulară. Valoarea cea mai mică a lui crλ poate fi utilizată şi

pentru toate combinaŃiile de încărcări, dar se poate dovedi neeficientă. Eforturile din stâlpi şi grinzi se vor determina printr-o analiză elastică şi pot fi obŃinute prin calcul manual sau automat. IX.1 Grinzi pereche de coamă Această metodă verifică că “arcul” format de grinzi nu cedează, aşa cum se prezintă în Figura IX.2.

Fig. IX.2: Cedarea grinzilor înclinate

Metoda a fost dezvoltată de Horne (1977) şi modificată de Davies (1991). Pentru pante ale acoperişului în intervalul °≤θ≤ 200 r ,

( )55.7 4 2751 tan 2

1s

cr rr y

L h ID

L I fλ θ

+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ Ω − (IX.1)

unde L = deschiderea cadrului; D = înălŃimea minimă a grinzilor; h = înălŃimea stâlpului; Is = momentul de inerŃie al stâlpului (se ia zero dacă stâlpul nu este legat rigid de grindă); Ir = momentul de inerŃie al grinzii; fy = limita de curgere a materialului grinzii; Ω = raportul de arcuire, adică raportul dintre forŃa verticală de pe grinzi şi forŃa verticală maximă care ar putea produce cedarea grinzii calculată ca o grindă dublu încastrată de deschidere L;

rθ = panta acoperişului dacă este simetric, sau altfel 1 12tan

h

L−

, unde h1 este diferenŃa dintre

înălŃimea la coamă şi înălŃimea stâlpilor. Când 1Ω ≤ , nu este posibilă cedarea în „arc”. IX.2 Stâlp exterior şi grindă Metoda a fost propusă de Davies (1990), şi apoi modificată pentru a putea lua în considerare, în mod explicit, rigiditatea bazei stâlpului.

Considerând astfel: E = modulul de elasticitate al oŃelului = 210 kN/mm2; Ir = momentul de inerŃie al riglei în planul cadrului (Iy în EC3); Is = momentul de inerŃie al stâlpului în planul cadrului (Iy în EC3); l = lungimea grinzii în planul înclinat; h = înălŃimea stâlpului;

R = rigiditatea stalpului

rigiditatea riglei

s

s

r r

II lh

I I hl

= =

;

Ps = forŃa axială din stâlp din analiza elastică; Pr = forŃa axială din riglă din analiza elastică;

Ps,cr = 2

2sEI

h

π = forŃa critică de flambaj Euler a stâlpului;

Pr,cr = 2

2rEI

l

π = forŃa critică de flambaj Euler a riglei;

(a) Pentru baza stâlpului perfect articulată cu rigiditate 0:

3

1.20.3 1

rcr

r s

EI

l P l P hR

λ = + +

(IX.2)

care poate fi exprimat şi în funcŃie de forŃele de flambaj Euler ale riglei şi stâlpului:

( ), ,

1

4 3.3cr

sr

r cr s cr

PPR

P P

λ =

+ +

(IX.3)

(b) Pentru baza stâlpului articulată, dar care poate avea o rigiditate de pana la 10% din rigiditatea stâlpului sau 0.4EIs/h:

( )4.2 0.4

1.20.42 1.16

rcr

r s

R EI

l P l P hR

λ+

= + +

(IX.4)

şi care poate fi exprimat şi în funcŃie de forŃele de flambaj Euler ale riglei şi stâlpului:

( )

( ), ,

1 0.1

2.9 2.7cr

sr

r cr s cr

R

PPR

P P

λ+

=

+ +

(IX.5)

(c) Pentru baza stâlpului rigidă dar care permite o uşoară flexibilitate:

( )

( )22

5 10 0.8

52.6 4

cr

sr

r s

E R

P hPlR

I I

λ+

=

+ +

(IX.6)

care la fel poate fi exprimat şi în funcŃie de forŃele de flambaj Euler ale riglei şi stâlpului:

( )

( ), ,

1 0.08

0.8 0.52cr

sr

r cr s cr

R

PPR

P P

λ+

=

+ +

(IX.7)

IX.3 Stâlp interior şi grindă de fiecare parte Metoda este similară cu cea din secŃiunea IX.1, dar modificată pentru stâlpi interiori: NotaŃiile sunt aceleaşi mai puŃin: Prs = forŃa axială în rigla din stânga din analiza elastică; Prd = forŃa axială în rigla din dreapta din analiza elastică; Prs,cr = forŃa critică de flambaj Euler a riglei din stânga =2 2

rs sEI lπ ;

Prd,cr = forŃa critică de flambaj Euler a riglei din dreapta =2 2rd dEI lπ ;

Rs = ( )rigiditatea riglei din stanga

rigiditatea totala a riglelorrs s

rs s rd d

EI l

EI l EI l=

+;

Rd = ( )rigiditatea riglei din dreapta

rigiditatea totala a riglelorrd d

rs s rd d

EI l

EI l EI l=

+;

R2 = ( )rigiditatea stalpului

rigiditatea totala a riglelors

rs s rd d

EI h

EI l EI l=

+;

Irs = momentul de inerŃie al riglei din stânga; Ird = momentul de inerŃie al riglei din dreapta; ls = lungimea riglei din stânga; ld = lungimea riglei din dreapta. (a) Pentru baza stâlpului perfect articulată cu rigiditate 0:

( )2, , ,

1

4 3.3cr

rs rd cs d

rs cr rd cr c cr

P P PR R R

P P P

λ =

+ + +

(IX.8)

care în cazul forŃelor axiale din grinzi, secŃiunilor şi lungimilor identice devine ecuaŃia (IX.3):

( )2, ,

1

4 3.3cr

sr

r cr s cr

PPR

P P

λ =

+ +

(IX.9)


( )

( )2

2, , ,

1 0.1

2.9 2.7cr

rs rd cs d

rs cr rd cr c cr

R

P P PR R R

P P P

λ+

=

+ + +

(IX.10)

care în cazul forŃelor axiale din grinzi, secŃiunilor şi lungimilor identice devine de forma (IX.5):

( )

( )2

2, ,

1 0.1

2.9 2.7cr

sr

r cr s cr

R

PPR

P P

λ+

=

+ +

(IX.11)


( )

( )2

2, , ,

1 0.08

0.8 0.52cr

rs rd cs d

rs cr rd cr c cr

R

P P PR R R

P P P

λ+

=

+ + +

(IX.12)

care în cazul forŃelor axiale din grinzi, secŃiunilor şi lungimilor identice devine de forma (IX.7):

( )

( )2

2, ,

1 0.08

0.8 0.52cr

sr

r cr s cr

R

PPR

P P

λ+

=

+ +

(IX.13)

IX.4 Cadru parter cu stâlpi dublu articula Ńi sau cu grindă de dolie Metoda a fost propusă de Davies (1990) şi apoi modificată pentru a putea lua în considerare, în mod explicit, rigiditatea bazei stâlpului. Se presupune că toate îmbinările de dolie ale riglelor înclinate sunt susŃinute fie de stâlpi pendulari fie de rigle longitudinale. Se foloseşte un cadru simplu echivalent cu un singur stâlp dublu articulat, reprezentând o deschidere marginală. ContribuŃia riglelor aparŃinând primei deschideri, la stabilitatea laterală a cadrului este mică, aşa că este neglijată. Grinzile longitudinale de dolie, la fel, nu aduc o contribuŃie apreciabilă la stabilitatea portalului şi nu îl destabilizează când sunt rezolvate corect, cu îmbinări rigide, la partea inferioara a două grinzi înclinate. NotaŃiile sunt aceleaşi ca în IX.2, mai puŃin:

Rp = 2 2

rigiditatea stalpului

rigiditatea perechii de riglesEI h

EI l= , unde

pentru rigle de secŃiune şi lungime egală I2 = momentul de inerŃie al riglei în planul cadrului; l2 = lungimea perechii de rigle adiacente coamei;

dar pentru grinzi înclinate nesimetrice, I2/l2 este valoarea care dă raport dintre rigiditatea stâlpului şi rigiditatea perechii de grinzi înclinate. P2,cr = forŃa critică de flambaj Euler a perechii de grinzi adiacente stâlpului exterior.

= ( )

2

2

2

EI

l

π pentru o pereche de grinzi înclinate simetrice.

(a) Pentru baza stâlpului perfect articulată cu rigiditate 0:

( )2 2

3

1.20.3 1 1

rcr

r s

EI

l P l N P hR

λ = + + +

(IX.14)

care poate fi exprimat şi în funcŃie de forŃele de flambaj Euler:

( )( )2 , ,

1

4 3.3 1cr

srp

r cr s cr

PPR N

P P

λ =

+ + +

(IX.15)


( )( )( )

2 , ,

1 0.1

2.9 2.7 1

p

cr

sr

r cr s cr

R

PPR N

P P

λ+

=

+ + +

(IX.16)


( )( )

2 , ,

1 0.08

0.8 0.52

p

cr

srp

r cr s cr

R

PPR

P P

λ+

=

+ +

(IX.17)

BIBLIOGRAFIE Allen H.G. şi Bulson P.S. (1980). Background to Buckling. McGraw-Hill, London. Australian Standard AS4100-1990: Steel Structures, Homebush, Australia. Boissonade N., Greiner R., Jaspart J.P., Lindner J. (2006). New design rules in EN 1993-1-1 for

member stability. ECCS Technical Committee 8 – Structural Stability, P119, ECCS, Brussels.

Bradford M.A. (1989). Buckling of beams supported on seats. Structural Engineer, 69(23), 411–414.

BS 5950: The structural use of steelwork in building, Part 1: Code practice for design in simple and continuous construction: Hot rolled sections. British Standards Institutions-BSI, 1990.

Clark J.W. şi Hill H.N. (1960). Lateral buckling for beams. Proceedings ASCE, Journal of Structural Division, vol. 68, no. ST7.

Chen W.F. şi Atsuta T. (1976). Theory of Beam-Columns. Vol. 1 şi 2, McGraw-Hill. Dalban C., Chesaru E., Dima S., Şerbescu C. (1997). ConstrucŃii cu structură metalică. Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti. Davies J.M. (1990). In-plane stability in portal frames. The Structural Engineer, Vol. 68, No. 8,

April 1990. Davies J.M. (1991). The stability of multibay portal frames. The Structural Engineer, Vol. 69,

No. 12, June 1991. Dogariu A. (2009). Calculul şi proiectarea elementelor metalice. Editura Orizonturi

Universitare, Timisoara. Dowling P.J., Owens G.W., Knowles P. (1988). Structural Steel Design, Butterworths. Dubina D. (1996). Coupled instabilities in bar members-General Report. Coupled Instabilities in

Metal Structures – CISM’96 (Rondal J., Dubina D., Gioncu V., Eds.), Imperial College Press, London, 119-132.

Dubina D., Rondal J. şi Vayas I. (1997). Calculul structurilor metalice. Eurocode 3 – Exemple de calcul. Bridgeman, Timişoara.

Dubina D. (2000). Recent research advances and trends on coupled instability of bar members. General Report – Session 3: Bar Members. Coupled Instabilities in Metal Structures – CIMS’2000 (Camotin D., Dubina D., Rondal J., Eds.), Imperial Colleague Press, Lisbon, London, 131-144.

Dubina D., Ungureanu V., Zaharia R., Nagy Zs. (2004). Calculul şi proiectarea construcŃiilor din profile metalice cu pereŃi subŃiri formate la rece. Editura AMM, ColecŃia Lindab, Bucureşti, 256 p. ISBN 973-86509-4-1.

Dutheil J. (1966). Vérification des pièces comprimées. Principes Fondamentaux. Construction Métallique, 1966/2, 3.

ECCS (1976). Manual on stability of steel structures, Second edition, P022, ECCS Technical Committee 8, Structural Stability, European Convention for Constructional Steelwork, Brussels.

ECCS (1977). European recomendations for steel construction, P023, European Convention for Constructional Steelwork, Brussels.

EN 1090-2 (2008). Execution of steel structures and aluminium structures. Technical requirements for the execution of steel structures. European Committee for Standardization, Brussels.

EN 1993-1-1 (2005). Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. Published by European Committee for Standardization, Brussels.

EN 1993-1-1 (2005). Corrigendum N1620E to EN 1993-1-1. Published by European Committee for Standardization, Brussels.

EN 1993-1-3 (2006). Eurocode 3: Design of steel structures. Part 1-3: General Rules. Supplementary rules for cold-formed thin gauge members and sheeting. Published by European Committee for Standardization, Brussels.

EN 1993-1-5 (2006). Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-5: Plated structural elements. Published by European Committee for Standardization, Brussels.

ENV 1993-1-1 (1992). Eurocode 3: Design of Steel Structures. Part. 1.1: General rules and rules for buildings. Published by European Committee for Standardization, Brussels.

ESDEP (1994). European Steel Design Education Programme, Applied Stability. Lecture 6.1: Concepts of Stable and Unstable Elastic Equilibrium. The ESDEP Society – The Steel Construction Institute, Silwood Park – Ascot – Bekshire, United Kingdom (http://www.fgg.uni-lj.si/kmk/esdep/master/toc.htm).

Galambos T.V. (editor) (1988). Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures. John Wiley and Sons, 4th Edition, New York, 1988.

Galea Y. (1981). Abaques de deversement pour profiles lamines. Construction Metallique, 4, 39-51.

GP078-03: Ghid privind proiectarea halelor uşoare cu structură metalică. Buletinul ConstrucŃiilor, vol.16, 2004.

Hancock G.J. (1998). Design of Cold-formed Steel Structures. 3rd Edition, Australian Institute of Steel Construction, Sydney.

Horne M.R. (1977). Safeguards against frame instability in the plastic design of single storey pitched roof frames. Conference on the Behaviour of Slender Structures, City University, London.

Kaim P. (2004). Spatial buckling behaviour of steel members under bending and compression. PhD Thesis. Graz University of Technology, Austria.

King C.M. (2001). Design of Steel Portal Frames to Eurocode 3. The Steel Construction Institute. Technical Report SCI Publication 164.

Maquoi R. şi Rondal J. (1978). Mise en equation des nouvelles courbes Europeenes de flambement, Construction Metallique, 1, 17-30.

Maquoi R. şi Jaspart J.P. (2002). A simple approach for the design of steel and composite sway building frames. ORBi - Open Repository and Bibliography (Belgium).

Martin L.H., Purkiss J.A. (2008). Structural Design of Steelwork to EN 1993 and EN 1994. Butterworth-Heinemann - imprint of Elsevier, UK. Third edition.

Mateescu D., Appeltauer I. şi Cuteanu E. (1980). Stabilitatea la compresiune a structurilor din bare de oŃel. Editura Academiei Române, Bucureşti.

Mateescu D. şi Caraba I. (1979). Calcului şi proiectarea elementelor din oŃel. Editura Tehnică, Bucureşti.

Merchant W. (1954). The Failure Loads of Rigidly Jointed Frameworks as Influenced by Stability. The Structural Engineer, vol. 32, 7, 185 - 190.

NB51-002: Charpentes en Acier. (Stări limit ă),Belgia, 1998. Nethercot D.A. (1991). Limit State Design of Structural Steelwork. 2nd edition, Chapman and

Hall. Rondal J. şi Maquoi R. (1979). Formulations d'Ayrton-Perry pour le flambement des barres

métalliquées. Construction Métallique, no. 4. Rondal J. şi Maquoi R. (1985). Stub-column strength of thin-walled square and rectangular

hollow sections. Thin-Walled Structures, 3(1985), p. 15-34. Rondal J. (1986). Thin-walled structures - General Report. În: Stability of Steel Structures (Ed.

Ivanyi M.), Akademiai Kiado, Budapest, Vol. 2, p. 849-866. Rondal J. (1992). Determination theoretique des contraintes residuelles dans les elements en acier

profiles a froid. Ce travail a recu le prix N.V. Bekaert S.A. 1992, octroye par le Fonds National de la Recherche Scientifique.

Schafer B. şi Peköz T. (1996). Geometric imperfections and residual stresses members. În: Proc. of the 13th International Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures, St. Louis, Missouri, USA, 17-18 October, p. 649-664.

Schafer B. şi Peköz T. (1997). Geometric imperfections and residual stresses for use in the analytical modeling of cold-formed steel members. În: Experimental Model Research and Testing of Thin-Walled Structures, Prague, Czech Republic, 22-24 September 1997, p. 287-302.

daSilva L.S., Simoes R., Gervasio H. (2010). Design of Steel Structures, Eurocode 3: Design of Steel Structures, Part 1-1: General rules and rules for buildings. Published by ECCS – European Convention for Constructional Steelwork, Eurocode Design Manuals, ISBN (ECCS) 978-92-9147-098-3, Wilhem Ernst & Sohn verlag, GmBH & Co. KG, Berlin.

SN003a-EN-EU NCCI: Elastic critical moment for lateral torsional buckling. Access Steel 2006 (www.access-steel.com).

SR EN 1993-1-1:2006: Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oŃel. Partea 1-1: Reguli generale şi reguli pentru clădiri . AsociaŃia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SR EN 1993-1-1:2006/NA:2008: Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oŃel. Partea 1-1: Reguli generale şi reguli pentru clădiri. Anexa NaŃională. AsociaŃia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SR EN 1993-1-3:2007: Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oŃel. Partea 1-3: Reguli generale. Reguli suplimentare pentru elemente structurale şi table formate la rece. AsociaŃia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SR EN 1993-1-3:2007/NB:2008: Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oŃel. Partea 1-3: Reguli generale . Reguli suplimentare pentru elemente structurale şi table formate la rece. Anexa NaŃională. AsociaŃia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SR EN 1993-1-5:2007: Eurocod 3: Proiectarea structurilor din oŃel. Partea 1-5: Elemente structurale din plăci plane solicitate în planul lor. AsociaŃia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SR EN 1993-1-5:2007/NA:2008: Eurocod 3: Proiectarea structurilor din oŃel. Partea 1-5: Elemente structurale din plăci plane solicitate în planul lor. Anexă NaŃională. AsociaŃia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Member design. Lecture 9: Local Buckling and Section.

SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Member design. Lecture 12: Unrestrained Beams.

SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Lecture 13: Columns

SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Lecture 14: Beam-columns

STAS 10108 0-78: Calculul elementelor din oŃel. ConstrucŃii civile industriale şi agricole. Institutul Român de Standardizare.

Strating J., Vos H. (1973). Simulation sur ordinateur de la courbe CECM de flambement a l’aide de la methode Monte-Carlo, Construction Metallique, 2, 23-29.

Timoshenko S.P. şi Gere J.M. (1961). Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, 2nd Edition, New York.

Thompson J.M.T. şi Hunt G.W. (1973). A General Theory of Elastic Stability, John Wiley and Sons, London.

Trahair N.S. şi Bradford M.A. (1988). Behaviour and design of steel structures, 2nd edition, Chapman and Hall.

Vayas I., Dubina D. (2004). Cold-formed steel structures (in limba greacă). Kleidarithmos Publ., Athena.

Wood R.H. (1974): Effective Lengths of Columns in Multistorey Buildings. The Structural Engineer, vol. 52, (235-244; 295-302; 341-346).

Calcul Metal Eurocod 3

Documents

Transcript of Calcul Metal Eurocod 3