Caiet Vacanta Matematica V

Click here to load reader

  • date post

    15-Sep-2015
  • Category

    Documents

  • view

    671
  • download

    118

Embed Size (px)

description

Caiet Vacanta Matematica V

Transcript of Caiet Vacanta Matematica V

  • caiet de vacanta,

    (

    Matematica(

    DANA IOANA ALEXANDRESCUGABRIELA LAURA FRNCURODICA M|R|CINEANU

    CLASA A V-A

    CORINTEDUCA IONAL

    ANA ELISABETA NAGHIIOLANDA POPESCU

    LILIANA MARIA TODERIUCGABRIEL VRNCEANU

  • Date despre autori:

    Dana Ioana Alexandrescu, prof. grad didactic I, Colegiul de tiine Grigore Antipa, BraovGabriela Laura Frncu, prof. grad didactic I, Colegiul de tiine Grigore Antipa, BraovRodica Mrcineanu, prof. grad didactic I, coala cu clasele I-VIII nr. 4 Mihai Eminescu, GiurgiuAna Elisabeta Naghi, prof. grad didactic I, Liceul Teoretic Ady Endre, BucuretiIolanda Popescu, prof. grad didactic I, Colegiul Naional Spiru Haret, BucuretiLiliana Maria Toderiuc, prof. grad didactic I, coala gimnazial nr. 79, BucuretiGabriel Vrnceanu, prof. grad didactic I, Colegiul Naional Iulia Hasdeu, Bucureti

    Redactare: Alice Raluca Petrescu

    Tehnoredactare computerizat: Alice Raluca Petrescu

    Design copert: Andreea Apostol

    ISBN 978-606-93655-5-7

    Toate drepturile asupra acestei lucrri sunt rezervate Editurii CORINT EDUCAIONAL,

    imprint al GRUPULUI EDITORIAL CORINT.

    Pentru comenzi i informaii, adresai-v la:

    Editura CORINT EDUCAIONAL Departamentul de VnzriCalea Plevnei nr. 145, sector 6, Bucureti, cod potal 060012

    Tel.: 021.319.88.22, 021.319.88.33; 0748.808.083, 0758.225.443

    Fax: 021.319.88.66, 021.310.15.30

    E-mail: [email protected]

    www.grupulcorint.ro

    Pentru comenzi ferme editura acord reduceri semnificative.

    Format 8/54x84; Coli tipo: 12

    Tiparul executat la:

    Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiMatematic. Caiet de vacan: clasa a V-a / Dana Ioana Alexandrescu,

    Gabriela Laura Frncu, Rodica Mrcineanu, Ana Elisabeta Naghi. -

    Bucureti: Corint Educaional, 2014

    ISBN 978-606-93655-5-7

    I. Alexandrescu, Dana Ioana

    II. Frncu, Gabriela Laura

    III. Mrcineanu, Rodica

    IV. Naghi, Ana Elisabeta

    371.671:51:373.3

    ISBN: 978-606-93655-5-7

  • 3CUVNT-NAINTE

    V salutm, dragi elevi!Un caiet de vacan poate fi un paradox (i vacan, i teme!), ns acest caiet de vacan este

    unul care v invit s rmnei n contact ntr-un mod ct mai plcut i efi cient cu noiunile studiate n anul colar pe care l-ai ncheiat.

    Pentru aceasta, am considerat util mprirea recapitulrilor pe 30 de teme, fi ecare tem fi ind introdus printr-un sumar de teorie (defi niii, formule, proprieti), urmat de organizarea proble-melor propuse pe 3 categorii, de la simplu la difi cil. Fiecare tem a fost gndit astfel nct s v ofere cadrul de recapitulare care vi se potrivete, iar rezolvarea unei teme s poat fi realizatpe parcursul unei ore, maximum dou ore dintr-o zi, prin selectarea acelor cerine, conform nive-lului deprinderilor voastre anterior dobndite i avnd n vedere parcurgerea integral a materiei de la clas.

    Problemele propuse sunt prezentate sub diverse forme, pornind de la exerciii cu rspuns de completare, alegerea unui rspuns corect dintr-o serie de rspunsuri, asocieri, rspuns scurt, toa-te acestea putnd fi redactate chiar pe caietul de vacan, mergnd pn la rezolvarea detaliat a acestora.

    Organizarea temelor a avut n vedere s prezinte n mod accesibil elementele de matematic, mbinnd rezolvarea de probleme cu jocul, n acest caz privit ca matematic n context aplicativ, interdisciplinar sau apelnd la elemente de logic i perspicacitate. Astfel, fi ecare dintre teme se fi nalizeaz cu propunerea unor jocuri (puzzle, careuri, curioziti etc.).

    Am considerat util ca modul de prezentare s fi e atractiv i, ntruct culorile fac parte din viaa de zi cu zi, am ncercat s punem un pic de culoare n paginile propuse vou spre lectur. Cu muzi-ca a fost mai greu, dar putei asculta muzica preferat n timpul orelor n care rezolvai problemele.

    Era nevoie de nc o carte care s v spun cum s nvai matematica? Din experien, spu-nem da. Dar principalul scop al acestei cri nu este acela de a v nva matematica, ci acela de a v mpiedica s o uitai, ba mai mult, s descoperii c lucruri care preau neclare n momentul predrii lor la clas, dup un timp, n corelaie cu altele noi afl ate, apar ca fi ind simple i atractive.

    Pentru a fi efi cient caietul propus de noi, ar trebui ca de fi ecare dat cnd l deschidei iniiativa s v aparin, s facei acest lucru cu drag, fr a v simi obligai sau constrni.

    Autorii v mulumesc anticipat pentru faptul c ai nceput prin a citi acest cuvnt-nainte i spe-r ca la sfritul vacanei, odat cu prima zi de coal, s v simii ncreztori n puterea voastr i s spunei tuturor: caietul de matematic mi-a fost prieten n aceast vacan!

    Succes!

  • 96

    CUPRINS

    Cuvnt-nainte .............................................................................................................................................3Tema 1 Numerele naturale: scrierea, reprezentarea pe ax, aproximarea ................................................4Tema 2 Adunarea i scderea numerelor naturale ....................................................................................7Tema 3 nmulirea numerelor naturale ...................................................................................................10Tema 4 Puteri cu exponent numr natural ..............................................................................................13Tema 5 Compararea puterilor numerelor naturale .................................................................................16Tema 6 mprirea cu rest a numerelor naturale .....................................................................................19Tema 7 Ordinea operaiilor cu numere naturale .....................................................................................22Tema 8 Divizibilitatea numerelor naturale; divizori i multipli .............................................................25Tema 9 Sume de numere naturale ..........................................................................................................28

    Tema 10 Media aritmetic a numerelor naturale ......................................................................................31Tema 11 Ecuaii i inecuaii n mulimea numerelor naturale ..................................................................34Tema 12 Metode de rezolvare a problemelor ...........................................................................................37Tema 13 Mulimi defi niii ......................................................................................................................40Tema 14 Mulimi fi nite i mulimi infi nite ...............................................................................................43Tema 15 Operaii cu mulimi ....................................................................................................................46Tema 16 Fraciile n raport cu numrul 1 .................................................................................................49Tema 17 Fracii i procente ......................................................................................................................52Tema 18 Amplifi carea i simplifi carea fraciilor ......................................................................................55Tema 19 Reprezentarea fraciilor ordinare pe ax ....................................................................................58Tema 20 Fracii zecimale fi nite ................................................................................................................61Tema 21 Fracii zecimale: comparare, ordonare, reprezentare.................................................................64Tema 22 Operaii cu fracii zecimale .......................................................................................................67Tema 23 Fracii zecimale cu exponent numr natural ..............................................................................70Tema 24 mprirea numerelor naturale ...................................................................................................73Tema 25 mprirea fraciilor zecimale fi nite ...........................................................................................76Tema 26 Ordinea operaiilor cu fracii zecimale ......................................................................................79Tema 27 Media aritmetic a fraciilor zecimale .......................................................................................82Tema 28 Ecuaii i inecuaii cu fracii zecimale .......................................................................................85Tema 29 Uniti de msur pentru lungime, arie, volum .........................................................................88Tema 30 Uniti de msur pentru capacitate, mas, timp .......................................................................91Indicaii i rspunsuri ..................................................................................................................................94

  • 4 1. Completai cu cifrele numerelor de mai jos n tabelul de numeraie:a) 4 940 345 234; b) 2 938 300; c) 235 452 101; d) 200 200 020 000.

    Clasa miliardelor Clasa milioanelor Clasa miilor Clasa unitilor12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

    sute zeci uniti sute zeci uniti sute zeci uniti sute zeci unitia)b)c)d)

    2. Completai cu unul dintre semnele < sau >: a) 444 456 565 ___ 444 565 656; b) 5 768 ___ 5 786; c) 124 312 ___ 99 899.

    3. Care este cel mai mic numr natural scris cu 6 cifre, n care cifra zecilor de mii este 8, iar cifra unitilor din clasa unitilor este 7?Dar cel mai mare?__________________________________________________________________________

    TEMA 1Numerele naturale:scrierea, reprezentareape ax, aproximarea

    Numerele naturale se scriu cu ajutorul cifrelor arabe: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.irul numerelor naturale este: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...Tabelul de numeraie este:

    Clasa Clasa miliardelor Clasa milioanelor Clasa miilor Clasa unitilorOrdinul 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1Ordinul n clas sute zeci uniti sute zeci uniti sute zeci uniti sute zeci uniti

    Exemplu 4 6 2 0 3 8 1

    Scriem i citim numrul din tabel: 4 620 381 patru milioane ase sute douzeci de mii trei sute optzeci i unu.

    Aproximarea prin lips pn la zeci (sute, mii etc.) este cel mai mare numr, mai mic sau egal cu numrul respectiv, format numai din zeci (respectiv, sute, mii etc.).

    Aproximarea prin adaos pn la zeci (sute, mii etc.) este cel mai mic numr, mai mare sau egal cu numrul respectiv, format numai din zeci (sute, mii etc.).

    Rotunjirea pn la zeci (sute, mii etc.) este aproximarea prin lips sau prin adaos cea mai apropiat de numrul respectiv; n cazul n care sunt la fel de apropiate, se consider aproximarea prin adaos.

    n aceast tem ne vom aminti despre: scrierea i citirea numerelor naturale

    n sistemul de numeratie zecimal ; irul numerelor naturale; reprezentarea numerelor naturale pe ax;

    compararea, aproximarea i ordona-rea numerelor naturale;

    probleme de estimare .

    ,

  • 54. Completai tabelul:

    NumrulAproximarea la nivelul

    zecilorAproximarea la nivelul

    miilorAproximarea la nivelul

    sutelorprin lips prin adaos prin lips prin adaos prin lips prin adaos

    56 834245 026

    45 248 467

    5. Scriei cu ajutorul cifrelor urmtoarele numere:a) dou mii apte; ____________________________________________________________b) un milion patru sute aizeci de mii trei sute opt; __________________________________c) cinci miliarde douzeci i unu de mii trei. _______________________________________

    6. a) Reprezentai pe axa nu-merelor punctele: B(3), C(5), D(7), E(10).

    b) Scrie i coordonatele punctelor M, N, P, Q reprezentate pe ax.

    7. Determinai toate cifrele care, nlocuindu-l pe n, verifi c:a) n37n > 6 375; b) 49n2 < 4 941.________________________________________________________________________________________________________________________________________

    8. Scriei toate numerele de forma abcd, cu cifrele a, b, c i d consecutive i a < b < c < d.__________________________________________________________________________

    9. tergnd o cifr a numrului 349 518 791, care este numrul rmas, tiind c este cel mai mare posibil? Dar dac se tie c numrul rmas este cel mai mic posibil?____________________________________________________________________

    10. De cte ori utilizm cifra 5 pentru a scrie toate numerele de trei cifre? Dar cifra 0?____________________________________________________________________

    11. Se consider numrul 1234567891011121314...201120122013.a) Cte cifre are acest numr?b) Suprimai 100 de cifre astfel nct numrul rmas s fi e cel mai mare posibil.c) Suprimai 100 de cifre astfel nct numrul rmas s fi e cel mai mic posibil.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    O A

    0 1

    u

    uQPNMO

    0

  • _S ne jucm!

    6

    1. Folosind o singur cifr, Andreea a notat prescurtat unele date din calendar sub forma: 1.1.11 pentru 1 ianuarie 2011 sau 22.2.22 pentru 22 februarie 2022.De cte ori, ntr-un secol, data se poate nota n acest mod?

    __________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    2. Completai careul urmtor astfel nct s compunei irul numerelor naturale cu secvene ori-zontale sau verticale (nu i oblice) formate din numere consecutive.

    72 100

    77 84

    1 88 94

    69 65 61 4

    11

    51

    41 8 21 15

    56 30 24

    45 37

  • 71. Calculai:a) 456 + 253 = ______________________; e) 4 980 345 = _____________________; b) 3 678 + 298 = ____________________; f) 476 + 346 + 298 = __________________;c) 706 895 + 4 074 = _________________; g) 3 567 + 234 169 = _________________;d) 5 609 2 346 = ___________________; h) 5 786 1 435 987 = _________________.

    2. Completai rezultatele operaiilor:a) 47 (30 3) = ____________________; e) 463 256 44 = __________________;b) 47 30 + 3 = _____________________; f) 463 (256 + 44) = _________________;c) 258 (120 38) = _________________; g) 578 378 89 = __________________;d) 258 120 + 38 = __________________; h) 578 (378 + 89) = _________________.

    3. Completai tabelul alturat:

    Numerele care se adun se numesc termenii adunrii, iar rezultatul adunrii se numete sum.Numrul din care se scade se numete desczut, cel care se scade se numete scztor, iar rezultatul

    scderii se numete diferen.Proprietile adunrii i scderii numerelor naturale:

    1. Suma a dou numere naturale este tot un numr natural.2. Diferena a dou numere naturale este numr natural dac desczutul este mai mare sau egal cu

    scztorul.3. Dac a + b = c, atunci a = c b i b = c a.4. Comutativitatea adunrii: a + b = b + a pentru orice numere naturale a i b.5. Asociativitatea adunrii: (a + b) + c = a + (b + c) pentru orice numere naturale a, b i c.6. Elementul neutru al adunrii: a + 0 = 0 + a = a pentru orice numr natural a; 0 este element neutru.7. Adunnd sau scznd acelai numr natural n ambii membri ai unei egaliti, egalitatea se

    pstreaz: Dac a = b, atunci a + c = b + c i a c = b c n cazul n care c T a.8. Adunnd sau scznd acelai numr natural n ambii membri ai unei inegaliti, inegalitatea se

    pstreaz: Dac a < b, atunci a + c < b + c i a c < b c n cazul n care c T a.9. Se pot aduna i scdea dou egaliti: Din a = b i c = d, rezult a + c = b + d i a c = b d, dac

    c T a.10. Se pot aduna doar dou inegaliti de acelai sens: Dac a < b i c < d, rezult a + c < b + d.11. Avem a (b c) = a b + c, dac b T a i c T b.12. Avem a (b + c) = a b c, dac b + c T a.

    n aceast tem ne vom aminti despre: propriettile adunrii numerelor

    naturale; propriettile scderii numerelor

    naturale .

    ,

    ,

    a 522 90

    b 345 100

    a + b 258 5 000

    a + 478 880 500 500

    b 68 70

    TEMA 2Adunarea i scderea numerelor naturale

  • 84. Folosind proprietile adunrii i scderii, calculai sumele:a) S1 = 14 + 58 + 42 + 86;b) S2 = 338 + 413 + 44 + 287 + 862 + 56; c) S3 = (74 + 37) + 159 + 63 + (841 + 26);d) S4 = 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2 013 2 4 6 8 ... 2 012;e) S5 = 1 000 + 999 998 997 + 996 + 995 994 993 + ... + 4 + 3 2 1.__________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    5. a) Scriei numrul 7 ca sum de dou numere naturale. Cte soluii are problema?b) Scriei numrul 7 ca sum de opt numere naturale.__________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    6. Kilometrajul de la bordul unei maini arat 23 935 km. Peste ci kilometri bordul mainii va arta, pentru prima dat, un numr egal cu rsturnatul su?__________________________________________________________________________

    7. Diferena a dou numere este 443. Dac unul dintre numere este 2 013, afl ai ct este al doilea.__________________________________________________________________________

    8. Ana, Cristiana i Daria au suma vrstelor egal cu 29. Care va fi suma vrstelor lor peste 4 ani?__________________________________________________________________________

    9. Calculai suma: S = 9 + 99 + 999 + ... + ._____________________________________________________________________

    10. Pe o tabl sunt scrise numerele de la 1 la 10. Nou elevi particip la urmtorul joc: primul elev terge dou numere i pune n locul lor suma acestora mrit cu 1, al doilea elev terge dou numere i pune n locul lor suma acestora mrit cu 2, al treilea elev terge dou numere i pune n locul lor suma acestora mrit cu 3 i aa mai departe pn la ultimul elev. Ce numr rmne pe tabl la terminarea jocului? (Fiecare elev joac o singur dat).__________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    99...92 013 ori

  • _S ne jucm!

    9

    1. Determinai regula de scriere a termenilor urmtorului ir: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...Scriind mai muli termeni, vei afl a anul n care Mihai Viteazul a ncheiat pacea cu turcii.Care este acesta?__________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________

    2. nlocuii literele cu cifre astfel nct s reconstituii adunrile:___________________________________________________________

    ___________________________________________________________

    ___________________________________________________

    ___________________________________________________________

    ___________________________________________________________

    ___________________________________________________________

    ___________________________________________________________

    ___________________________________________________

    ___________________________________________________________

    ___________________________________________________________

    ___________________________________________________________

    ___________________________________________________________

    ___________________________________________________________

    ___________________________________________________

    SOARE + OARE ARE RE E90630

    MARE + ARE RE E9016

    APA + PA A592

    3. Plasai restul numerelor de la 1 la 9 n cerculeele libere pen-tru a obine pe orizontal i pe vertical suma indicat n ptratele de pe margine. Putei folosi fi ecare numr doar o singur dat.

    AP

    E

    Verifi care:MAR

    1

    4 7

    12

    14

    19

    19 13 13

    Verifi care:SOA

    Verifi care:ER

  • 10

    nmulirea este o adunare repetat. Numerele care se nmulesc se numesc factori, iar rezultatul nmulirii se numete produs.

    Proprietile nmulirii numerelor naturale:1. Comutativitatea: a b = b a, pentru orice numere naturale a i b.2. Asociativitatea: a (b c) = (a b) c, pentru orice numere naturale a, b i c.3. Elementul neutru: a 1 = 1 a = a, pentru orice numr natural a (numrul 1 este element neutru).4. Distributivitatea nmulirii fa de adunare i de scdere:

    a (b + c) = a b + a c i a (b c) = a b a c, pentru orice numere naturale a, b i c.Observaie: Scrierea distributivitii sub forma a b + a c = a (b + c) sau a b a c = a (b c)

    poart numele de scoaterea factorului comun.5. Dac a = b, atunci a c = b c, pentru orice numere naturale a, b i c.6. Dac a < b, atunci a c < b c, pentru orice numere naturale a, b i c, cu c 0.7. Din a = b i c = d, atunci a c = b d, pentru orice numere naturale a, b, c i d.8. Dac a < b i c < d, atunci a c < b d, pentru orice numere naturale a, b, c i d.9. Produsul oricrui numr cu 0 este egal cu 0: a 0 = 0 a = 0 (se spune c 0 este element absorbant).

    10. Un numr par este de forma 2k i un numr impar este de forma 2k + 1, cu k numr natural oarecare.11. Produsul primelor n numere naturale nenule se noteaz cu n! i se citete n factorial. Prin

    convenie, 0! = 1.

    n aceast tem ne vom aminti despre: propriettile nmultirii numerelor

    naturale ., ,

    1. Calculai:a) 6 13 = ____________; d) 72 31 = ____________; g) 345 450 = ____________;b) 23 4 = ____________; e) 101 14 = ____________; h) 6 89 490 = ____________;c) 18 10 = ____________; f) 97 48 = ____________; i) 40 056 009 20 013 = ______.

    2. Calculai, utiliznd proprietile de asociativitate i comutativitate ale nmulirii: a) 298 5 10 2 = ____; b) 25 80 57 4 5 = ____; c) 2 987 3 428 16 0 = ____.

    3. Calculai mai simplu, folosind factorul comun: a) 16 8 + 16 2 = __________________________________; b) 29 54 + 29 46 = ___________________________________; c) 14 16 14 6 = _____________________________________; d) 83 273 273 63 = _______________________________________________________; e) 12 19 + 3 4 = ___________________________________________________________.

    4. Calculai folosind regula exemplifi cat mai jos, apoi completai rezultatul.Exemple: 27 11 = 27 (10 + 1) = 27 10 + 27 = 270 + 27 = 297;

    48 19 = 48 (20 1) = 48 20 48 = 960 48 = 912.a) 36 11 = ______; c) 25 41 = ______; e) 130 29 = ______;b) 47 21 = ______; d) 125 19 = ______; f) 88 101 = ______.

    TEMA 3nmultirea numerelor naturale

    ,

  • 11

    5. ntr-un blister de medicamente sunt 6 folii de tablete. Fiecare folie conine 15 tablete. Blisterele sunt ambalate n cutii coninnd cte 20 de blistere. Determinai cte tablete se afl n 15 cutii.__________________________________________________________________________

    6. Circuitul de Formula 1 din Catalunia de la Montmelo are lungimea de 4 655 m i trebuie par-curs de 66 de ori. Ci metri parcurge un pilot care termin cursa?_________________________________________________________________________

    7. Daria i bunica ei planteaz fl ori. Daria planteaz 3 rnduri de fl ori, iar pe fi ecare rnd pune cte 15 fl ori. Bunica planteaz 15 rnduri de fl ori, iar pe fi ecare rnd pune cte 3 fl ori.a) Cte fl ori a plantat Daria? Cte fl ori a plantat bunica?b) Ce proprietate a nmulirii reiese din cele dou rezultate?__________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    8. a) Scriei numrul 15 ca un produs de dou numere naturale distincte. Scrierea este unic?b) Scriei numrul 15 ca un produs de trei numere naturale distincte.c) Scriei numrul 15 ca un produs de 2013 numere naturale. Ce proprietate a nmulirii ai

    aplicat la aceast cerin?__________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    9. a) Determinai ultima cifr a produsului: 2 012 2 013 2 014.b) Determinai ultima cifr a produsului: 2 012 2 013 ... 2 019.c) n cte zerouri se termin produsul primelor 50 de numere naturale?__________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

    10. Dac a = 23 i b + c = 9, calculai: a) ab + ac = ______; c) ab + ac 48 = ______; e) 23b + ac = ______;b) 5a + 3b + 3c = ______; d) 9b + 9c 3a = ______; f) 9a 23b 23c = ______.

    11. Efectuai calculele. Ce observai? 6 7 = __________________ 66 67 = _________________________ 666 667 = ________________________________ 6 666 6 667 = _______________________________________

  • _S ne jucm!

    12

    2 1 5 0 2 3 1 1 4

    2 4 8 5 912 6 15

    0 0 03 7 8

    0 1 16 4 6

    2 4 51 9 6

    3 7 8

    1

    2

    7

    4 8 0 0 6

    11 12 13 14 241 11 111 1 111 193 92 91 90 0212 2 112 21 112 211 112 ?

    ,

    ,

    1. Piramida nmultiriin fi ecare caset scriem produsul celor dou numere situate n casetele afl ate sub aceasta.Afl ai numrul situat n vrful piramidelor.a) b)

    2. Obiectivul 720Cu ce bile putem obine produsul 720?Gsii mai multe soluii.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    3. nmultirea musulmann Evul Mediu, matematicienii arabi foloseau la nmulire schemade calcul expus alturi.Exemplu: 378 127 = 48 006.Studiai aceast metod i utilizai-o pentru a calcula: a) 472 43; b) 7 203 241.Indicaie: n careu se completeaz cu produsele ci-

    frelor care alctuiesc cei doi factori astfel nct cele dou cifre s fi e desprite de diagonala csuei. La sfrit se adun de la dreapta spre stnga cifrele nscrise pe intervalele oblice.

    4. Determinai numrul care lipsete din careulde alturi:

  • 13

    TEMA 4Puteri cu exponent numr natural

    Puterea a n-a a numrului natural a este produsul a n factori egali cu numrul a.Scriem: an = , pentru a i n numere naturale, n 0 i n 1.

    n notaia an, a se numete baz i n se numete exponent.a0 = 1 pentru a 0 (00 nu are sens); a1 = a pentru orice numr natural a.Reguli de calcul: Fie a, m i n numere naturale. Atunci au loc urmtoarele relaii:1. am an = am + n i am : an = am n, dac m U n, a 0;2. (am)n = am n, pentru orice numere naturale a, m i n;3. (a b)n = an bn, pentru orice numere naturale a, b i n;4. (a : b)n = an : bn, pentru orice numere naturale a, b i n, cu b 0.Ptrat perfect este un numr natural n care poate fi scris ca puterea a doua a unui numr natural:n = k2, k gq.Cub perfect este un numr natural n care poate fi scris ca puterea a treia a unui numr natural:n = k3, k gq.

    n aceast tem ne vom aminti despre: puterea cu exponent natural a

    unui numr natural ; ptrate perfecte; cuburi perfecte .

    1. Completai tabelul:

    2. Scriei ca putere a aceleiai baze (ct mai simpl):a) 5 5 5 5 = ______; f) 0 0 0 0 0 0 = ______; k) 31 32 33 ... 32 013 = ______;b) 6 6 6 = ______; g) 94 93 92 9 = ______; l) 252 1253 54 625 = ______;c) 53 57 = ______; h) 27 3 9 81 30 = ______; m) 210 : 512 + 20 = ______;d) 2 4 8 16 = ______; i) (53)4 = ______; n) = ______.e) 712 73 = ______; j) (35)2 34 = ______;

    3. Afl ai numrul natural x astfel nct:a) 37 : 3x = 33 x = ____________; e) 510 512 5x = 529 x = ____________;b) (37)x = 321 x = ____________; f) 4x + 7 = 810 x = ____________;c) x 1121 = 1121 x = ____________; g) x2 23 = 1 x = ____________;d) 1738 : 17x = 175 x = ____________; h) 2x + 5 = 21 x = ____________.

    Se citete Este o putere a numruluiEste produsul

    numerelorEste numrul

    natural63 6 la a 3-a 6 6 6 6 21654

    100 0004 la a 4-a

    3 3 3 3 3 31

    a a ... an factori

    }

    7 7 ... 72 013 factori

    }

  • 14

    4. Stabilii dac numerele de mai jos sunt ptrate perfecte: a) 2 308; b) 3376; c) 8179; d) 1 + 3 + 5 + ... + 19; e) 1 + 2 + 3 + ... + 50.__________________________________________________________________________

    5. Calculai cubul numerelor naturale mai mici dect 10.__________________________________________________________________________

    6. Stabilii dac urmtoarele propoziii sunt adevrate sau false, apoi completai n caset cu A pentru cele adevrate i cu F pentru cele false.a) 20 + 30 este numr par.b) 169 este un ptrat perfect.c) Cel mai mic ptrat perfect de dou cifre este 25.d) Exist un numr natural, ptrat perfect, cu ultima cifr egal cu 3.

    7. Determinai cifra x tiind c numrul 28x este ptrat perfect.

    __________________________________________________________________________

    8. Cu cte zerouri se termin numrul a = 210 156 64 253? Precizai care este ultima cifr nenul.

    __________________________________________________________________________

    9. La ce putere trebuie ridicat numrul 99 pentru a obine 2712?

    ____________________________________________________________________

    10. a) Demonstrai c numrul N = 2 013 + 2 (1 + 2 + 3 + ... + 2 012) este ptrat perfect.b) Demonstrai c numrul N = 1 2 3 ... 2 013 + 7 nu este ptrat perfect.__________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    11. Scriei numrul 2 013 ca o sum de puteri distincte ale lui 2.

    _____________________________________________________________________

    12. Scriei numrul 72 013 ca o sum de 7 numere consecutive.

    ____________________________________________________________________

    13. Scriei numrul 160 ca sum de trei cuburi perfecte.

    __________________________________________________________________________

  • _S ne jucm!

    15

    1. a) Scriei numrul 1 ca o putere n care s folosii toate cele zece cifre, o singur dat.b) Scriei numrul 1 ca o putere n care s folosii toate cele nou cifre nenule, o singur dat.__________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    2. Scriei numrul un milion utiliznd semne matematice i ct mai puine cifre, de fi ecare dat identice.Exemplu: = 1003 = 1 000 000.

    __________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    3. Fiecare csu alb trebuie completat cu o cifr, iar pe fi ecare linie i coloan sunt numere naturale, conform defi niiilor:Orizontal : Vert ical :a ptrat impar d jumtate din cubul lui fb cub micorat cu 88 e ptratul lui fc ptrat mrit cu 1 f Gsete-m!

    4. Observnd relaia dintre numerele de pe aceeai linie, afl ai valoarea numrului x._________________________________________________________

    _________________________________________________________

    _________________________________________________________

    d e fa

    b

    c

    5 2 1

    9 3 0

    18 4 2

    28 x 3

    tiati c ......un om care a trit un miliard de secunde, a mplinit deja 30 de ani? Oricine tie c un miliard n-

    seamn 1 000 000 000, adic 109 sau o mie de milioane. Dac un casier ar achita suma de 1 miliard de lei pltind cte 1 leu pe secund, timp de 8 ore pe zi i lucrnd cte 300 de zile pe an, ar avea nevoie, pentru a efectua aceast plat, de peste 115 ani!

    ...cel mai mare numr scris cu de trei ori cifra 9 nu este 999, ci este 999, adic 9387420489? Dac am scrie

    numrul dezvoltat, ar avea o lungime de 1 600 km, iar citirea sa ar dura o sptmn ntreag, fr n-trerupere, zi i noapte!

    ,

    444 444

    4 4 : 4

  • 16

    TEMA 5Compararea puterilor numerelor naturale

    Compararea puterilor cu aceeai baz:Dintre dou puteri care au aceeai baz este mai mare puterea care are exponentul mai mare.Pentru orice a, m, n gq, a U 2, dac m > n, atunci: am > an. Exemplu: 24 > 22.Compararea puterilor cu acelai exponent:Dintre dou puteri care au acelai exponent nenul este mai mare puterea care are baza mai mare.Pentru orice a, b, n gq, a, b U 2, n U 1, dac a > b, atunci: an > bn. Exemplu: 53 > 43.Compararea puterilor cu baze diferite i exponeni diferii:Pentru a compara dou puteri cu baze diferite i exponeni diferii procedm ntr-unul dintre modurile

    urmtoare: Decidem c este mai mic puterea care are att baza, ct i exponentul mai mici dect ale celeilalte

    puteri. Calculm cele dou puteri. Aducem cele dou puteri la aceeai baz. Aducem cele dou puteri la acelai exponent. Comparm cu alte puteri pn putem decide care este mai mare, aplicnd proprietile inegalitilor.Exemplu: Comparm 355 i 536. Avem: 355 = 3 354 = 3 (33)18 = 3 2718 i 536 = (52)18 = 2518,

    deci 355 > 536.

    n aceast tem ne vom aminti despre: compararea puterilor numerelor

    naturale; reguli de comparare a puterilor numerelor naturale .

    1. Completai cu unul dintre semnele sau =: a) 738 ______ 741; d) 110 ______ 06; g) 36 ______ 47; j) 1327 1527;b) 3114 ______ 2314; e) 06 ______ 07; h) 2 0130 ______ 12 013; k) 513 ______ 153;c) 30 ______ 31; f) 43 ______ 34; i) 1000 ______ 1001; l) 1020 ______ 1020.

    2. Scriei numerele a i b cu aceeai baz sau cu acelai exponent i comparai, completnd cu unul dintre semnele sau =, ca n exemplu.Exemplu: a = 543 i b = 2522 a = 543 i b = (52)22 = 544 a < b. a) a = 342 i b = 263 a = ______ i b = ______ a ______ b;b) a = 449 i b = 298 a = ______ i b = ______ a ______ b;c) a = 27120 i b = 9180 a = ______ i b = ______ a ______ b;d) a = 239 i b = 419 a = ______ i b = ______ a ______ b;e) a = 433 i b = 344 a = ______ i b = ______ a ______ b;f) a = 1142 i b = 563 a = ______ i b = ______ a ______ b;g) a = 451 i b = 834 a = ______ i b = ______ a ______ b.

    3. Comparai numerele:a) 111 ______ 011; d) 1258 ______ 9120 ; g) 733 ______ 344;b) 2 ______ (23)4; e) 36150 ______ 21699; h) 3100 ______ 2160;c) 516 ______ 324; f) 539 ______ 1126; i) 4150 ______ 2120.

    34

  • 17

    4. Ordonai cresctor numerele:a) 946, 2730, 8124 __________________________________________;b) 3500, 15200, 7300 __________________________________________;c) 98, 275, 314, 813 __________________________________________;d) 333, 333, 333, 333 __________________________________________.

    5. Comparai numerele a i b, unde: a) a = (3 + 7)2 i b = 32 + 72 __________________________________________;b) a = (2 + 3)3 i b = 23 + 33 __________________________________________;c) a = (3 + 4)4 i b = 34 + 44 __________________________________________;d) a = (5 2)3 i b = 53 23 __________________________________________ .

    6. Comparai numerele :a) 23k i 32k, pentru k gq* __________________________________________;b) 33k i 25k, pentru k gq* __________________________________________;c) 33k i 52k, pentru k gq* __________________________________________;d) 35k i 28k, pentru k gq* __________________________________________;e) 112k i 53k, pentru k gq* __________________________________________;f) 103k i 210k, pentru k gq* __________________________________________.

    7. Comparai numerele: a) a = 3377 i b = 5251 _______________________________________;b) a = 3301 i b = 2502 _______________________________________.

    8. Fie a = 1011 i b = 267.a) Demonstrai c a > 911 i b < 277.b) Comparai 911 i 277.c) Deducei c b < a.__________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________________

    __________________________________________________________________

    9. Fie a = 6363 i b = 12954. Comparai numerele a i b.

    ___________________________________________________________________

    10. Demonstrai c 109 < 230 < 1010 i deducei cte cifre are numrul 230, scris ca numr natural.

    __________________________________________________________________________

    11. Comparai numerele a = 3674 i b = 21 013 22 012 21 011.

    __________________________________________________________________________

  • _S ne jucm!

    18

    Iepuraul i ... drumul spre morcovAjutai-l pe iepura s gseasc drumul cel mai scurt spre morcovul su. El poate opi ncepnd de la primul rnd, cobornd spre un numr mai mic sau urcnd spre un numr mai mare (alte micri sunt interzise). Ajungnd la ulti-mul rnd pe cel mai scurt drum, vei descoperi literele cu care putei completa propoziia: Iepuraul _____________________ a nvat bine puterile.

    130 34 73 44

    112 26

    35 62

    53 36

    11 43 28

    15 72 152 133

    27 54 142

    62

    27

    34 122

    AB C

    ID L G

    EH J

    XK N M

    AO D

    ST R Y

    XV U