caiet de vacanta,

(

Matematica(

DANA IOANA ALEXANDRESCUGABRIELA LAURA FRÎNCURODICA M|R|CINEANU

CLASA A V-A

CORINT�

EDUCAŢ IONAL

ANA ELISABETA NAGHIIOLANDA POPESCU

LILIANA MARIA TODERIUCGABRIEL VRÎNCEANU

Date despre autori:

Dana Ioana Alexandrescu, prof. grad didactic I, Colegiul de Ştiinţe „Grigore Antipa”, Braşov

Gabriela Laura Frîncu, prof. grad didactic I, Colegiul de Ştiinţe „Grigore Antipa”, Braşov

Rodica Mărăcineanu, prof. grad didactic I, Şcoala cu clasele I-VIII nr. 4 „Mihai Eminescu”, Giurgiu

Ana Elisabeta Naghi, prof. grad didactic I, Liceul Teoretic „Ady Endre”, Bucureşti

Iolanda Popescu, prof. grad didactic I, Colegiul Naţional „Spiru Haret”, Bucureşti

Liliana Maria Toderiuc, prof. grad didactic I, Şcoala gimnazială nr. 79, Bucureşti

Gabriel Vrînceanu, prof. grad didactic I, Colegiul Naţional „Iulia Hasdeu”, Bucureşti

Redactare: Alice Raluca Petrescu

Tehnoredactare computerizată: Alice Raluca Petrescu

Design copertă: Andreea Apostol

ISBN 978-606-93655-5-7

Toate drepturile asupra acestei lucrări sunt rezervate Editurii CORINT EDUCAŢIONAL,

imprint al GRUPULUI EDITORIAL CORINT.

Pentru comenzi şi informaţii, adresaţi-vă la:

Editura CORINT EDUCAŢIONAL — Departamentul de VânzăriCalea Plevnei nr. 145, sector 6, Bucureşti, cod poştal 060012

Tel.: 021.319.88.22, 021.319.88.33; 0748.808.083, 0758.225.443

Fax: 021.319.88.66, 021.310.15.30

E-mail: vanzari@edituracorint.ro

www.grupulcorint.ro

Pentru comenzi ferme editura acordă reduceri semnificative.

Format 8/54x84; Coli tipo: 12

Tiparul executat la:

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a RomânieiMatematică. Caiet de vacanţă: clasa a V-a / Dana Ioana Alexandrescu,

Gabriela Laura Frîncu, Rodica Mărăcineanu, Ana Elisabeta Naghi. -

Bucureşti: Corint Educaţional, 2014

ISBN 978-606-93655-5-7

I. Alexandrescu, Dana Ioana

II. Frîncu, Gabriela Laura

III. Mărăcineanu, Rodica

IV. Naghi, Ana Elisabeta

371.671:51:373.3

ISBN: 978-606-93655-5-7

3

CUVÂNT-ÎNAINTE

Vă salutăm, dragi elevi!

Un caiet de vacanţă poate fi un paradox (şi vacanţă, şi teme!), însă acest caiet de vacanţă este unul care vă invită să rămâneţi în contact într-un mod cât mai plăcut şi efi cient cu noţiunile studiate în anul şcolar pe care l-aţi încheiat.

Pentru aceasta, am considerat utilă împărţirea recapitulărilor pe 30 de teme, fi ecare temă fi ind introdusă printr-un sumar de teorie (defi niţii, formule, proprietăţi), urmat de organizarea proble-melor propuse pe 3 categorii, de la simplu la difi cil. Fiecare temă a fost gândită astfel încât să vă ofere cadrul de recapitulare care vi se potriveşte, iar rezolvarea unei teme să poată fi realizatăpe parcursul unei ore, maximum două ore dintr-o zi, prin selectarea acelor cerinţe, conform nive-lului deprinderilor voastre anterior dobândite şi având în vedere parcurgerea integrală a materiei de la clasă.

Problemele propuse sunt prezentate sub diverse forme, pornind de la exerciţii cu răspuns de completare, alegerea unui răspuns corect dintr-o serie de răspunsuri, asocieri, răspuns scurt, toa-te acestea putând fi redactate chiar pe caietul de vacanţă, mergând până la rezolvarea detaliată a acestora.

Organizarea temelor a avut în vedere să prezinte în mod accesibil elementele de matematică, îmbinând rezolvarea de probleme cu jocul, în acest caz privit ca matematică în context aplicativ, interdisciplinar sau apelând la elemente de logică şi perspicacitate. Astfel, fi ecare dintre teme se fi nalizează cu propunerea unor jocuri (puzzle, careuri, curiozităţi etc.).

Am considerat util ca modul de prezentare să fi e atractiv şi, întrucât culorile fac parte din viaţa de zi cu zi, am încercat să punem un pic de culoare în paginile propuse vouă spre lectură. Cu muzi-ca a fost mai greu, dar puteţi asculta muzica preferată în timpul orelor în care rezolvaţi problemele.

Era nevoie de încă o carte care să vă spună cum să învăţaţi matematica? Din experienţă, spu-nem da. Dar principalul scop al acestei cărţi nu este acela de a vă învăţa matematica, ci acela de a vă împiedica să o uitaţi, ba mai mult, să descoperiţi că lucruri care păreau neclare în momentul predării lor la clasă, după un timp, în corelaţie cu altele noi afl ate, apar ca fi ind simple şi atractive.

Pentru a fi efi cient caietul propus de noi, ar trebui ca de fi ecare dată când îl deschideţi iniţiativa să vă aparţină, să faceţi acest lucru cu drag, fără a vă simţi obligaţi sau constrânşi.

Autorii vă mulţumesc anticipat pentru faptul că aţi început prin a citi acest cuvânt-înainte şi spe-ră ca la sfârşitul vacanţei, odată cu prima zi de şcoală, să vă simţiţi încrezători în puterea voastră şi să spuneţi tuturor: caietul de matematică mi-a fost prieten în această vacanţă!

Succes!

96

CUPRINS

Cuvânt-înainte .............................................................................................................................................3Tema 1 – Numerele naturale: scrierea, reprezentarea pe axă, aproximarea ................................................4Tema 2 – Adunarea și scăderea numerelor naturale ....................................................................................7Tema 3 – Înmulțirea numerelor naturale ...................................................................................................10Tema 4 – Puteri cu exponent număr natural ..............................................................................................13Tema 5 – Compararea puterilor numerelor naturale .................................................................................16Tema 6 – Împărţirea cu rest a numerelor naturale .....................................................................................19Tema 7 – Ordinea operaţiilor cu numere naturale .....................................................................................22Tema 8 – Divizibilitatea numerelor naturale; divizori şi multipli .............................................................25Tema 9 – Sume de numere naturale ..........................................................................................................28

Tema 10 – Media aritmetică a numerelor naturale ......................................................................................31Tema 11 – Ecuaţii şi inecuaţii în mulţimea numerelor naturale ..................................................................34Tema 12 – Metode de rezolvare a problemelor ...........................................................................................37Tema 13 – Mulţimi – defi niţii ......................................................................................................................40Tema 14 – Mulţimi fi nite şi mulţimi infi nite ...............................................................................................43Tema 15 – Operaţii cu mulţimi ....................................................................................................................46Tema 16 – Fracţiile în raport cu numărul 1 .................................................................................................49Tema 17 – Fracţii şi procente ......................................................................................................................52Tema 18 – Amplifi carea şi simplifi carea fracţiilor ......................................................................................55Tema 19 – Reprezentarea fracţiilor ordinare pe axă ....................................................................................58Tema 20 – Fracţii zecimale fi nite ................................................................................................................61Tema 21 – Fracţii zecimale: comparare, ordonare, reprezentare.................................................................64Tema 22 – Operaţii cu fracţii zecimale .......................................................................................................67Tema 23 – Fracţii zecimale cu exponent număr natural ..............................................................................70Tema 24 – Împărţirea numerelor naturale ...................................................................................................73Tema 25 – Împărţirea fracţiilor zecimale fi nite ...........................................................................................76Tema 26 – Ordinea operaţiilor cu fracţii zecimale ......................................................................................79Tema 27 – Media aritmetică a fracţiilor zecimale .......................................................................................82Tema 28 – Ecuaţii şi inecuaţii cu fracţii zecimale .......................................................................................85Tema 29 – Unităţi de măsură pentru lungime, arie, volum .........................................................................88Tema 30 – Unităţi de măsură pentru capacitate, masă, timp .......................................................................91Indicaţii şi răspunsuri ..................................................................................................................................94

4

1. Completaţi cu cifrele numerelor de mai jos în tabelul de numeraţie:a) 4 940 345 234; b) 2 938 300; c) 235 452 101; d) 200 200 020 000.

Clasa miliardelor Clasa milioanelor Clasa miilor Clasa unităţilor12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

sute zeci unităţi sute zeci unităţi sute zeci unităţi sute zeci unităţia)b)c)d)

2. Completați cu unul dintre semnele < sau >: a) 444 456 565 ___ 444 565 656; b) 5 768 ___ 5 786; c) 124 312 ___ 99 899.

3. Care este cel mai mic număr natural scris cu 6 cifre, în care cifra zecilor de mii este 8, iar cifra unităţilor din clasa unităților este 7?Dar cel mai mare?__________________________________________________________________________

TEMA 1Numerele naturale:scrierea, reprezentareape axă, aproximarea

Numerele naturale se scriu cu ajutorul cifrelor arabe: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Șirul numerelor naturale este: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...Tabelul de numerație este:

Clasa Clasa miliardelor Clasa milioanelor Clasa miilor Clasa unităţilorOrdinul 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1Ordinul în clasă sute zeci unităţi sute zeci unităţi sute zeci unităţi sute zeci unităţi

Exemplu 4 6 2 0 3 8 1

Scriem și citim numărul din tabel: 4 620 381 ↔ patru milioane șase sute douăzeci de mii trei sute optzeci și unu.

Aproximarea prin lipsă până la zeci (sute, mii etc.) este cel mai mare număr, mai mic sau egal cu numărul respectiv, format numai din zeci (respectiv, sute, mii etc.).

Aproximarea prin adaos până la zeci (sute, mii etc.) este cel mai mic număr, mai mare sau egal cu numărul respectiv, format numai din zeci (sute, mii etc.).

Rotunjirea până la zeci (sute, mii etc.) este aproximarea prin lipsă sau prin adaos cea mai apropiată de numărul respectiv; în cazul în care sunt la fel de apropiate, se consideră aproximarea prin adaos.

În această temă ne vom aminti despre: scrierea şi citirea numerelor naturale

în sistemul de numeratie zecimal ; şirul numerelor naturale; reprezentarea numerelor naturale pe axă;

compararea, aproximarea şi ordona-rea numerelor naturale;

probleme de estimare .

,

5

4. Completați tabelul:

NumărulAproximarea la nivelul

zecilorAproximarea la nivelul

miilorAproximarea la nivelul

sutelorprin lipsă prin adaos prin lipsă prin adaos prin lipsă prin adaos

56 834245 026

45 248 467

5. Scrieți cu ajutorul cifrelor următoarele numere:a) două mii șapte; ____________________________________________________________b) un milion patru sute șaizeci de mii trei sute opt; __________________________________c) cinci miliarde douăzeci și unu de mii trei. _______________________________________

6. a) Reprezentați pe axa nu-merelor punctele: B(3), C(5), D(7), E(10).

b) Scrie ți coordonatele punctelor M, N, P, Q reprezentate pe axă.

7. Determinați toate cifrele care, înlocuindu-l pe n, verifi că:a) n37n > 6 375; b) 49n2 < 4 941.________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Scrieți toate numerele de forma abcd, cu cifrele a, b, c și d consecutive și a < b < c < d.__________________________________________________________________________

9. Ștergând o cifră a numărului 349 518 791, care este numărul rămas, știind că este cel mai mare posibil? Dar dacă se știe că numărul rămas este cel mai mic posibil?____________________________________________________________________

10. De câte ori utilizăm cifra 5 pentru a scrie toate numerele de trei cifre? Dar cifra 0?____________________________________________________________________

11. Se consideră numărul 1234567891011121314...201120122013.a) Câte cifre are acest număr?b) Suprimaţi 100 de cifre astfel încât numărul rămas să fi e cel mai mare posibil.c) Suprimaţi 100 de cifre astfel încât numărul rămas să fi e cel mai mic posibil.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

O A

0 1

u

uQPNMO

0

_

Să ne jucăm!

6

1. Folosind o singură cifră, Andreea a notat prescurtat unele date din calendar sub forma: 1.1.11 pentru 1 ianuarie 2011 sau 22.2.22 pentru 22 februarie 2022.De câte ori, într-un secol, data se poate nota în acest mod?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

2. Completați careul următor astfel încât să compuneți șirul numerelor naturale cu secvențe ori-zontale sau verticale (nu și oblice) formate din numere consecutive.

72 100

77 84

1 88 94

69 65 61 4

11

51

41 8 21 15

56 30 24

45 37

7

1. Calculați:a) 456 + 253 = ______________________; e) 4 980 – 345 = _____________________; b) 3 678 + 298 = ____________________; f) 476 + 346 + 298 = __________________;c) 706 895 + 4 074 = _________________; g) 3 567 + 234 – 169 = _________________;d) 5 609 – 2 346 = ___________________; h) 5 786 – 1 435 – 987 = _________________.

2. Completaţi rezultatele operaţiilor:a) 47 – (30 – 3) = ____________________; e) 463 – 256 – 44 = __________________;b) 47 – 30 + 3 = _____________________; f) 463 – (256 + 44) = _________________;c) 258 – (120 – 38) = _________________; g) 578 – 378 – 89 = __________________;d) 258 – 120 + 38 = __________________; h) 578 – (378 + 89) = _________________.

3. Completați tabelul alăturat:

Numerele care se adună se numesc termenii adunării, iar rezultatul adunării se numește sumă.Numărul din care se scade se numește descăzut, cel care se scade se numește scăzător, iar rezultatul

scăderii se numește diferență.Proprietăţile adunării și scăderii numerelor naturale:

1. Suma a două numere naturale este tot un număr natural.2. Diferența a două numere naturale este număr natural dacă descăzutul este mai mare sau egal cu

scăzătorul.3. Dacă a + b = c, atunci a = c – b și b = c – a.4. Comutativitatea adunării: a + b = b + a pentru orice numere naturale a şi b.5. Asociativitatea adunării: (a + b) + c = a + (b + c) pentru orice numere naturale a, b şi c.6. Elementul neutru al adunării: a + 0 = 0 + a = a pentru orice număr natural a; 0 este element neutru.7. Adunând sau scăzând același număr natural în ambii membri ai unei egalități, egalitatea se

păstrează: Dacă a = b, atunci a + c = b + c și a – c = b – c în cazul în care c T a.8. Adunând sau scăzând același număr natural în ambii membri ai unei inegalități, inegalitatea se

păstrează: Dacă a < b, atunci a + c < b + c și a – c < b – c în cazul în care c T a.9. Se pot aduna şi scădea două egalități: Din a = b și c = d, rezultă a + c = b + d și a – c = b – d, dacă

c T a.10. Se pot aduna doar două inegalități de același sens: Dacă a < b şi c < d, rezultă a + c < b + d.11. Avem a – (b – c) = a – b + c, dacă b T a şi c T b.12. Avem a – (b + c) = a – b – c, dacă b + c T a.

În această temă ne vom aminti despre: proprietătile adunării numerelor

naturale; proprietătile scăderii numerelor

naturale .

,

,

a 522 90

b 345 100

a + b 258 5 000

a + 478 880 500 500

b – 68 70

TEMA 2Adunarea și scăderea numerelor naturale

8

4. Folosind proprietăţile adunării şi scăderii, calculați sumele:a) S1 = 14 + 58 + 42 + 86;b) S2 = 338 + 413 + 44 + 287 + 862 + 56; c) S3 = (74 + 37) + 159 + 63 + (841 + 26);d) S4 = 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2 013 – 2 – 4 – 6 – 8 – ... – 2 012;e) S5 = 1 000 + 999 – 998 – 997 + 996 + 995 – 994 – 993 + ... + 4 + 3 – 2 – 1.__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

5. a) Scrieți numărul 7 ca sumă de două numere naturale. Câte soluții are problema?b) Scrieți numărul 7 ca sumă de opt numere naturale.__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

6. Kilometrajul de la bordul unei mașini arată 23 935 km. Peste câți kilometri bordul mașinii va arăta, pentru prima dată, un număr egal cu răsturnatul său?__________________________________________________________________________

7. Diferența a două numere este 443. Dacă unul dintre numere este 2 013, afl aţi cât este al doilea.__________________________________________________________________________

8. Ana, Cristiana şi Daria au suma vârstelor egală cu 29. Care va fi suma vârstelor lor peste 4 ani?__________________________________________________________________________

9. Calculați suma: S = 9 + 99 + 999 + ... + ._____________________________________________________________________

10. Pe o tablă sunt scrise numerele de la 1 la 10. Nouă elevi participă la următorul joc: primul elev șterge două numere și pune în locul lor suma acestora mărită cu 1, al doilea elev șterge două numere și pune în locul lor suma acestora mărită cu 2, al treilea elev șterge două numere și pune în locul lor suma acestora mărită cu 3 și așa mai departe până la ultimul elev. Ce număr rămâne pe tablă la terminarea jocului? (Fiecare elev joacă o singură dată).__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

99...92 013 ori

_

Să ne jucăm!

9

1. Determinați regula de scriere a termenilor următorului șir: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...Scriind mai mulți termeni, veți afl a anul în care Mihai Viteazul a încheiat pacea cu turcii.Care este acesta?__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2. Înlocuiți literele cu cifre astfel încât să reconstituiți adunările:

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________

SOARE + OARE ARE RE E90630

MARE + ARE RE E9016

APA + PA A592

3. Plasaţi restul numerelor de la 1 la 9 în cerculețele libere pen-tru a obține pe orizontală și pe verticală suma indicată în pătratele de pe margine. Puteți folosi fi ecare număr doar o singură dată.

AP

E

Verifi care:MAR

1

4 7

12

14

19

19 13 13

Verifi care:

SOA

Verifi care:E

R

10

Înmulțirea este o adunare repetată. Numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul înmulțirii se numește produs.

Proprietățile înmulțirii numerelor naturale:1. Comutativitatea: a · b = b · a, pentru orice numere naturale a și b.2. Asociativitatea: a · (b · c) = (a · b) · c, pentru orice numere naturale a, b şi c.3. Elementul neutru: a · 1 = 1 · a = a, pentru orice număr natural a (numărul 1 este element neutru).4. Distributivitatea înmulțirii față de adunare și de scădere:

a · (b + c) = a · b + a · c și a · (b – c) = a · b – a · c, pentru orice numere naturale a, b şi c.Observație: Scrierea distributivității sub forma a · b + a · c = a · (b + c) sau a · b – a · c = a · (b – c)

poartă numele de scoaterea factorului comun.5. Dacă a = b, atunci a · c = b · c, pentru orice numere naturale a, b şi c.6. Dacă a < b, atunci a · c < b · c, pentru orice numere naturale a, b şi c, cu c ≠ 0.7. Din a = b și c = d, atunci a · c = b · d, pentru orice numere naturale a, b, c şi d.8. Dacă a < b și c < d, atunci a · c < b · d, pentru orice numere naturale a, b, c şi d.9. Produsul oricărui număr cu 0 este egal cu 0: a · 0 = 0 · a = 0 (se spune că 0 este element absorbant).

10. Un număr par este de forma 2k şi un număr impar este de forma 2k + 1, cu k număr natural oarecare.11. Produsul primelor n numere naturale nenule se notează cu n! și se citește „n factorial”. Prin

convenție, 0! = 1.

În această temă ne vom aminti despre: proprietătile înmultirii numerelor

naturale ., ,

1. Calculați:a) 6 · 13 = ____________; d) 72 · 31 = ____________; g) 345 · 450 = ____________;b) 23 · 4 = ____________; e) 101 · 14 = ____________; h) 6 89 · 490 = ____________;c) 18 · 10 = ____________; f) 97 · 48 = ____________; i) 40 056 009 · 20 013 = ______.

2. Calculați, utilizând proprietățile de asociativitate și comutativitate ale înmulţirii: a) 298 · 5 · 10 · 2 = ____; b) 25 · 80 · 57 · 4 · 5 = ____; c) 2 987 · 3 428 · 16 · 0 = ____.

3. Calculați mai simplu, folosind factorul comun: a) 16 · 8 + 16 · 2 = __________________________________; b) 29 · 54 + 29 · 46 = ___________________________________; c) 14 · 16 – 14 · 6 = _____________________________________; d) 83 · 273 – 273 · 63 = _______________________________________________________; e) 12 · 19 + 3 · 4 = ___________________________________________________________.

4. Calculați folosind regula exemplifi cată mai jos, apoi completaţi rezultatul.Exemple: 27 · 11 = 27 · (10 + 1) = 27 · 10 + 27 = 270 + 27 = 297;

48 · 19 = 48 · (20 – 1) = 48 · 20 – 48 = 960 – 48 = 912.a) 36 · 11 = ______; c) 25 · 41 = ______; e) 130 · 29 = ______;b) 47 · 21 = ______; d) 125 · 19 = ______; f) 88 · 101 = ______.

TEMA 3Înmultirea numerelor naturale

,

11

5. Într-un blister de medicamente sunt 6 folii de tablete. Fiecare folie conține 15 tablete. Blisterele sunt ambalate în cutii conținând câte 20 de blistere. Determinați câte tablete se afl ă în 15 cutii.__________________________________________________________________________

6. Circuitul de Formula 1 din Catalunia de la Montmelo are lungimea de 4 655 m și trebuie par-curs de 66 de ori. Câți metri parcurge un pilot care termină cursa?_________________________________________________________________________

7. Daria și bunica ei plantează fl ori. Daria plantează 3 rânduri de fl ori, iar pe fi ecare rând pune câte 15 fl ori. Bunica plantează 15 rânduri de fl ori, iar pe fi ecare rând pune câte 3 fl ori.a) Câte fl ori a plantat Daria? Câte fl ori a plantat bunica?b) Ce proprietate a înmulțirii reiese din cele două rezultate?__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

8. a) Scrieți numărul 15 ca un produs de două numere naturale distincte. Scrierea este unică?b) Scrieți numărul 15 ca un produs de trei numere naturale distincte.c) Scrieți numărul 15 ca un produs de 2013 numere naturale. Ce proprietate a înmulțirii ați

aplicat la această cerință?__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

9. a) Determinați ultima cifră a produsului: 2 012 · 2 013 · 2 014.b) Determinați ultima cifră a produsului: 2 012 · 2 013 ·... · 2 019.c) În câte zerouri se termină produsul primelor 50 de numere naturale?__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

10. Dacă a = 23 și b + c = 9, calculați: a) ab + ac = ______; c) ab + ac – 48 = ______; e) 23b + ac = ______;b) 5a + 3b + 3c = ______; d) 9b + 9c – 3a = ______; f) 9a – 23b – 23c = ______.

11. Efectuaţi calculele. Ce observaţi? 6 · 7 = __________________ 66 · 67 = _________________________ 666 · 667 = ________________________________ 6 666 · 6 667 = _______________________________________

_

Să ne jucăm!

12

2 1 5 0 2 3 1 1 4

2 4 8 5 9 12 6 15

0 0 03 7 8

0 1 16 4 6

2 4 51 9 6

3 7 8

1

2

7

4 8 0 0 6

11 12 13 14 241 11 111 1 111 193 92 91 90 0212 2 112 21 112 211 112 ?

,

,

1. Piramida înmultiriiÎn fi ecare casetă scriem produsul celor două numere situate în casetele afl ate sub aceasta.Afl ați numărul situat în vârful piramidelor.a) b)

2. Obiectivul 720Cu ce bile putem obține produsul 720?Găsiți mai multe soluții.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Înmultirea musulmanăÎn Evul Mediu, matematicienii arabi foloseau la înmulțire schemade calcul expusă alături.Exemplu: 378 · 127 = 48 006.Studiați această metodă și utilizați-o pentru a calcula: a) 472 · 43; b) 7 203 · 241.Indicație: În careu se completează cu produsele ci-

frelor care alcătuiesc cei doi factori astfel încât cele două cifre să fi e despărțite de diagonala căsuței. La sfârșit se adună de la dreapta spre stânga cifrele înscrise pe intervalele oblice.

4. Determinați numărul care lipsește din careulde alături:

13

TEMA 4Puteri cu exponent număr natural

Puterea a n-a a numărului natural a este produsul a n factori egali cu numărul a.Scriem: an = , pentru a și n numere naturale, n ≠ 0 și n ≠ 1.

În notația an, a se numește bază și n se numește exponent.a0 = 1 pentru a ≠ 0 (00 nu are sens); a1 = a pentru orice număr natural a.Reguli de calcul: Fie a, m și n numere naturale. Atunci au loc următoarele relații:1. am · an = am + n şi am : an = am – n, dacă m U n, a ≠ 0;2. (am)n = am · n, pentru orice numere naturale a, m și n;3. (a · b)n = an · bn, pentru orice numere naturale a, b și n;4. (a : b)n = an : bn, pentru orice numere naturale a, b și n, cu b ≠ 0.Pătrat perfect este un număr natural n care poate fi scris ca puterea a doua a unui număr natural:n = k2, k gq.Cub perfect este un număr natural n care poate fi scris ca puterea a treia a unui număr natural:n = k3, k gq.

În această temă ne vom aminti despre: puterea cu exponent natural a

unui număr natural ; pătrate perfecte; cuburi perfecte .

1. Completați tabelul:

2. Scrieți ca putere a aceleiași baze (cât mai simplă):a) 5 · 5 · 5 · 5 = ______; f) 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = ______; k) 31 · 32 · 33 · ... · 32 013 = ______;b) 6 · 6 · 6 = ______; g) 94 · 93 · 92 · 9 = ______; l) 252 · 1253 · 54 · 625 = ______;c) 53 · 57 = ______; h) 27 · 3 · 9 · 81 · 30 = ______; m) 210 : 512 + 20 = ______;d) 2 · 4 · 8 · 16 = ______; i) (53)4 = ______; n) = ______.e) 712 · 73 = ______; j) (35)2 · 34 = ______;

3. Afl ați numărul natural x astfel încât:a) 37 : 3x = 33 ± x = ____________; e) 510 · 512 · 5x = 529 ± x = ____________;b) (37)x = 321 ± x = ____________; f) 4x + 7 = 810 ± x = ____________;c) x · 1121 = 1121 ± x = ____________; g) x2 – 23 = 1 ± x = ____________;d) 1738 : 17x = 175 ± x = ____________; h) 2x + 5 = 21 ± x = ____________.

Se citeşte Este o putere a numărului

Este produsul numerelor

Este numărul natural

63 6 la a 3-a 6 6 · 6 · 6 21654

100 0004 la a 4-a

3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 31

a · a ... · an factori

}

7 · 7 · ... · 72 013 factori

}

14

4. Stabiliţi dacă numerele de mai jos sunt pătrate perfecte: a) 2 308; b) 3376; c) 8179; d) 1 + 3 + 5 + ... + 19; e) 1 + 2 + 3 + ... + 50.__________________________________________________________________________

5. Calculaţi cubul numerelor naturale mai mici decât 10.__________________________________________________________________________

6. Stabiliţi dacă următoarele propoziţii sunt adevărate sau false, apoi completaţi în casetă cu A pentru cele adevărate şi cu F pentru cele false.a) 20 + 30 este număr par.b) 169 este un pătrat perfect.c) Cel mai mic pătrat perfect de două cifre este 25.d) Există un număr natural, pătrat perfect, cu ultima cifră egală cu 3.

7. Determinaţi cifra x știind că numărul 28x este pătrat perfect.

__________________________________________________________________________

8. Cu câte zerouri se termină numărul a = 210 · 156 · 64 · 253? Precizați care este ultima cifră nenulă.

__________________________________________________________________________

9. La ce putere trebuie ridicat numărul 99 pentru a obține 2712?

____________________________________________________________________

10. a) Demonstrați că numărul N = 2 013 + 2 · (1 + 2 + 3 + ... + 2 012) este pătrat perfect.b) Demonstrați că numărul N = 1 · 2 · 3 · ... · 2 013 + 7 nu este pătrat perfect.__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

11. Scrieţi numărul 2 013 ca o sumă de puteri distincte ale lui 2.

_____________________________________________________________________

12. Scrieți numărul 72 013 ca o sumă de 7 numere consecutive.

____________________________________________________________________

13. Scrieţi numărul 160 ca sumă de trei cuburi perfecte.

__________________________________________________________________________

_

Să ne jucăm!

15

1. a) Scrieți numărul 1 ca o putere în care să folosiți toate cele zece cifre, o singură dată.b) Scrieți numărul 1 ca o putere în care să folosiți toate cele nouă cifre nenule, o singură dată.__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

2. Scrieți numărul un milion utilizând semne matematice și cât mai puține cifre, de fi ecare dată identice.Exemplu: = 1003 = 1 000 000.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

3. Fiecare căsuță albă trebuie completată cu o cifră, iar pe fi ecare linie și coloană sunt numere naturale, conform defi niţiilor:Orizontal : Vert ical :a → pătrat impar d → jumătate din cubul lui fb → cub micșorat cu 88 e → pătratul lui fc → pătrat mărit cu 1 f → Găsește-mă!

4. Observând relaţia dintre numerele de pe aceeaşi linie, afl ați valoarea numărului x._________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

d e fabc

5 2 1

9 3 0

18 4 2

28 x 3

Știati că ......un om care a trăit un miliard de secunde, a împlinit deja 30 de ani? Oricine știe că un miliard în-

seamnă 1 000 000 000, adică 109 sau o mie de milioane. Dacă un casier ar achita suma de 1 miliard de lei plătind câte 1 leu pe secundă, timp de 8 ore pe zi și lucrând câte 300 de zile pe an, ar avea nevoie, pentru a efectua această plată, de peste 115 ani!

...cel mai mare număr scris cu de trei ori cifra 9 nu este 999, ci este 999, adică 9387420489? Dacă am scrie

numărul dezvoltat, ar avea o lungime de 1 600 km, iar citirea sa ar dura o săptămână întreagă, fără în-trerupere, zi și noapte!

,

444 – 444

4 – 4 : 4

16

TEMA 5Compararea puterilor numerelor naturale

Compararea puterilor cu aceeași bază:Dintre două puteri care au aceeași bază este mai mare puterea care are exponentul mai mare.Pentru orice a, m, n gq, a U 2, dacă m > n, atunci: am > an. Exemplu: 24 > 22.Compararea puterilor cu același exponent:Dintre două puteri care au același exponent nenul este mai mare puterea care are baza mai mare.Pentru orice a, b, n gq, a, b U 2, n U 1, dacă a > b, atunci: an > bn. Exemplu: 53 > 43.Compararea puterilor cu baze diferite și exponenți diferiți:Pentru a compara două puteri cu baze diferite și exponenți diferiți procedăm într-unul dintre modurile

următoare:► Decidem că este mai mică puterea care are atât baza, cât și exponentul mai mici decât ale celeilalte

puteri.► Calculăm cele două puteri.► Aducem cele două puteri la aceeași bază.► Aducem cele două puteri la același exponent.► Comparăm cu alte puteri până putem decide care este mai mare, aplicând proprietățile inegalităților.Exemplu: Comparăm 355 şi 536. Avem: 355 = 3 · 354 = 3 · (33)18 = 3 · 2718 şi 536 = (52)18 = 2518,

deci 355 > 536.

În această temă ne vom aminti despre: compararea puterilor numerelor

naturale; reguli de comparare a puterilor numerelor naturale .

1. Completați cu unul dintre semnele <, > sau =: a) 738 ______ 741; d) 110 ______ 06; g) 36 ______ 47; j) 1327 1527;b) 3114 ______ 2314; e) 06 ______ 07; h) 2 0130 ______ 12 013; k) 513 ______ 153;c) 30 ______ 31; f) 43 ______ 34; i) 1000 ______ 1001; l) 1020 ______ 1020.

2. Scrieți numerele a și b cu aceeași bază sau cu același exponent și comparați, completând cu unul dintre semnele <, > sau =, ca în exemplu.Exemplu: a = 543 şi b = 2522 ± a = 543 şi b = (52)22 = 544 ± a < b. a) a = 342 şi b = 263 ± a = ______ şi b = ______ ± a ______ b;b) a = 449 şi b = 298 ± a = ______ şi b = ______ ± a ______ b;c) a = 27120 şi b = 9180 ± a = ______ şi b = ______ ± a ______ b;d) a = 239 şi b = 419 ± a = ______ şi b = ______ ± a ______ b;e) a = 433 şi b = 344 ± a = ______ şi b = ______ ± a ______ b;f) a = 1142 şi b = 563 ± a = ______ şi b = ______ ± a ______ b;g) a = 451 şi b = 834 ± a = ______ şi b = ______ ± a ______ b.

3. Comparați numerele:a) 111 ______ 011; d) 1258 ______ 9120 ; g) 733 ______ 344;b) 2 ______ (23)4; e) 36150 ______ 21699; h) 3100 ______ 2160;c) 516 ______ 324; f) 539 ______ 1126; i) 4150 ______ 2120.

34

17

4. Ordonați crescător numerele:a) 946, 2730, 8124 __________________________________________;b) 3500, 15200, 7300 __________________________________________;c) 98, 275, 314, 813 __________________________________________;d) 333, 333, 333, 333 __________________________________________.

5. Comparați numerele a şi b, unde: a) a = (3 + 7)2 și b = 32 + 72 __________________________________________;b) a = (2 + 3)3 și b = 23 + 33 __________________________________________;c) a = (3 + 4)4 și b = 34 + 44 __________________________________________;d) a = (5 – 2)3 și b = 53 – 23 __________________________________________ .

6. Comparați numerele :a) 23k și 32k, pentru k gq* __________________________________________;b) 33k și 25k, pentru k gq* __________________________________________;c) 33k și 52k, pentru k gq* __________________________________________;d) 35k și 28k, pentru k gq* __________________________________________;e) 112k și 53k, pentru k gq* __________________________________________;f) 103k și 210k, pentru k gq* __________________________________________.

7. Comparați numerele: a) a = 3377 și b = 5251 _______________________________________;b) a = 3301 și b = 2502 _______________________________________.

8. Fie a = 1011 și b = 267.a) Demonstrați că a > 911 și b < 277.b) Comparați 911 și 277.c) Deduceți că b < a.__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

9. Fie a = 6363 și b = 12954. Comparați numerele a și b.

___________________________________________________________________

10. Demonstrați că 109 < 230 < 1010 și deduceți câte cifre are numărul 230, scris ca număr natural.

__________________________________________________________________________

11. Comparați numerele a = 3674 și b = 21 013 – 22 012 – 21 011.

__________________________________________________________________________

_

Să ne jucăm!

18

Iepuraşul și ... drumul spre morcovAjutați-l pe iepuraș să găsească drumul cel mai scurt spre morcovul său. El poate țopăi începând de la primul rând, coborând spre un număr mai mic sau urcând spre un număr mai mare (alte mișcări sunt interzise). Ajungând la ulti-mul rând pe cel mai scurt drum, veți descoperi literele cu care puteți completa propoziția: Iepurașul _____________________ a învățat bine puterile.

130 34 73 44

112 26

35 62

53 36

11 43 28

15 72 152 133

27 54 142

62

27

34 122

AB C

ID L G

EH J

XK N M

AO D

ST R Y

XV U