caiet de aplicatii dimitrie cantemir

UNIVERSITATEA CREŞTINĂ "DIMITRIE CANTEMIR" FACULTATEA DE FINANŢE, BĂNCI ŞI CONTABILITATE

BRAŞOV

CAIET DE APLICAŢII

Disciplina:

MATEMATICĂ APLICATĂ ÎN ECONOMIE

Student:

___________________________________________

Anul I FBC ZI

BRAŞOV 2012

CAIET DE APLICAŢII – MATEMATICĂ APLICATĂ ÎN ECONOMIE

C U P R I N S

1. MODELE LINIARE......................................................................................................................... 1

2. MODELE MATRICEALE............................................................................................................... 5

3. FUNCŢII DE GRADUL 2 ................................................................................................................ 9

4. FUNCŢII EXPONENŢIALE ŞI LOGARITMICE...................................................................... 13

5. APLICAŢII ECONOMICE ALE DERIVATELOR ................................................................... 17

6. APLICAŢII ECONOMICE ALE INTEGRALELOR DEFINITE ............................................ 21

7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE................................................................................... 25

8. APLICAŢII ECONOMICE ALE FUNCŢIILOR DE MAI MULTE VARIABILE................. 29

9. METODE GRAFICE DE PROGRAMARE LINIARĂ .............................................................. 33

10. APLICAȚII DE PROGRAMARE LINIARĂ ............................................................................ 37

GRILA DE EVALUARE

Tema Aplicaţia #1

Aplicaţia #2 Rezolvare în Excel Total

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Total Punctaj/Nota


1

1. MODELE LINIARE

Aplicaţia 1.1: Se consideră următoarele informaţii privind realizarea unui produs: Preţul de vânzare este de 20 unităţi monetare (u.m.) pe bucată; Costul variabil este de 10 u.m. pe bucată; Costurile fixe sunt de 500 u.m. pe perioadă (pe lună).

Să se determine: (a) Funcţia de venit. Ce venit se va obţine după vânzarea a 100 de produse? (b) Funcţia de cost variabil. Care sunt costurile variabile generate de realizarea a 100 de

produse? (c) Funcţia de cost total. Care sunt costurile totale generate de realizarea a 100 de produse

pe lună? (d) Funcţia de profit. Care este profitul obţinut din realizarea şi vânzarea a 100 de

produse? (e) Să se întocmească tabloul de variaţie al funcţiilor determinate anterior pe intervalul

[ ]100 ,0 ; (f) Să se reprezinte, în acelaşi grafic, funcţiile determinate anterior. (g) Să se rezolve aplicaţia în Excel.

Rezolvare:


2


3

Aplicaţia 1.2: Se consideră problema dată în Aplicaţia A1-1.

(a) Să se determine coordonatele punctului de prag de profitabilitate.

(b) Să se reprezinte grafic funcţiile de venit total, cost total şi de profit.

(c) Care este profitul pentru 25 de unităţi vândute?

(d) Dar pentru 75 de unităţi vândute?

(e) Să se rezolve aplicaţia în Excel.

Rezolvare:


4


5

2. MODELE MATRICEALE

Aplicaţia 2.1: (a) Să se rezolve sistemul de ecuaţii liniare de tip 33× :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+−=++

4 22 2 2 322

321

321

321

xxxxxxxxx

,

(b) Să se rezolve sistemul cu ajutorul ecuaţiilor matriceale prin aplicarea funcţiilor

MINVERSE şi MMULT din Excel;

(c) Să se rezolve sistemul de mai sus cu ajutorul funcţiei Solver din Excel .

Rezolvare:


6


7

Aplicaţia 2.2: (a) Un investitor intenţionează să investească în acţiuni suma de 120.000 unităţi monetare (u.m.). În scopul alegerii unui portofoliu diversificat de acţiuni, investitorul îşi planifică achiziţionarea următoarelor tipuri de acţiuni (exprimate în u.m.):

Tipul Cost / Acţiune Câştig / Acţiune A 30 4,60 B 100 11,00 C 50 5,00

Strategia de investiţii aleasă este să aibă totalul investiţiei în tipul A egal cu suma

investiţiei în celelalte două tipuri de acţiuni, iar obiectivul final este un câştig de 13% din investiţia iniţială. Câte acţiuni din fiecare tip trebuie să cumpere investitorul?

(b) Să se rezolve aplicaţia în Excel. Rezolvare:


8


9

3. FUNCŢII DE GRADUL 2

Aplicaţia 3.1: (a) Să se determine punctele de prag de profitabilitate pentru funcţiile:

( ) 000153510 2 ., ++= xxxC ,

( ) xxxV 38590 2 +−= , ;

(b) Să se determine funcţia de profit ( ) ( ) ( )xCxVxP −= (c) Să se determine punctul de profit maxim al funcţiei de profit; (d) Care este cantitatea care va maximiza profitul? (e) Care este preţul care va maximiza profitul? (f) Să se reprezinte în acelaşi sistem de axe de coordonate funcţiile ( )xC , ( )xV , ( )xP . (g) Să se rezolve aplicaţia în Excel.

Rezolvare:


10


11

Aplicaţia 3.2: Funcţiile de ofertă (O) şi cerere (C) pentru un anumit produs sunt date de expresiile:

( ) 062 : =+− qpO şi ( ) ( ) ( ) 369610 : =+⋅+ qqpC .

(a) Să se determine cantitatea şi preţul de echilibru de piaţă; (b) Să se reprezinte grafic funcţiile de cerere şi de ofertă. (c) Să se rezolve aplicaţia în Excel.

Rezolvare:


12


13

4. FUNCŢII EXPONENŢIALE ŞI LOGARITMICE

Aplicaţia 4.1: Pentru un anumit produs, funcţia de cerere are expresia ( ) ( )10ln150 :+

=q

pC ,

iar funcţia de ofertă este ( ) ( )10ln150 : +⋅= qpO . (a) Să se determine preţul de cerere şi de ofertă pentru q = 40; (b) Să se reprezinte grafic, funcţiile de cerere, ofertă şi punctul de echilibru de piaţă. (c) Să se rezolve aplicaţia în Excel.

Rezolvare:


14


15

Aplicaţia 4.2: O agenţie de publicitate a stabilit că atunci când promovează un nou produs într-un oraş de 350.000 locuitori, numărul x de locuitori care iau cunoştinţă despre produsul respectiv după t zile de la iniţierea campaniei publicitare este:

( )tex 07701000350 ,. −−= . (a) Câţi locuitori (cu rotunjire la 1000) sunt informaţi după prima săptămână? (b) După câte zile (cel mai apropiat întreg) se atinge cifra de 300.000 locuitori care iau cunoştinţă de noul produs? (c) Să se reprezinte grafic în Excel curba care reprezintă numărul de locuitori care fac obiectul campaniei publicitare.

Rezolvare:


16


17

5. APLICAŢII ECONOMICE ALE DERIVATELOR

Aplicaţia 5.1: Pentru un anumit produs, funcţia de venit are expresia: )01,01(25)( xexxV −⋅= ,

unde )(xV este venitul exprimat în u.m., realizat prin vânzarea a x bucăţi. (a) Să se determine expresia venitului marginal )(xVM ; (b) Să se determine expresia venitul marginal atunci când sunt vândute 75 de bucăţi; (c) Care este semnificaţia rezultatului de la punctul (b). (d) Să se reprezinte grafic în Excel funcţia de venit )(xV şi funcţia de venit marginal

)(xVM . Rezolvare:


18


19

Aplicaţia 5.2: (a) Dacă funcţia de cerere a unui anumit produs este dată de 230.75 2 +−= qp , iar funcţia de ofertă 3030 2 += qp , să se determine taxa pe unitate t care

va maximiza venitul din taxe T; (b) Să se determine venitul din taxe T;

(c) Să se reprezinte grafic funcţia de cerere şi funcţia de ofertă; (d) Să se rezolve aplicația în Excel.

Rezolvare:


20


21

6. APLICAŢII ECONOMICE ALE INTEGRALELOR DEFINITE

Aplicaţia 6.1: (a) Funcţia de cerere pentru un anumit produs este 642 +−= xp , iar funcţia de ofertă este 44 += xp . Să se determine punctul de echilibru şi surplusul consumatorului în acest punct.

(b) Să se reprezinte grafic funcţia de cerere funcţia de ofertă şi surplusul consumatorului;

(c) Să se rezolve aplicaţia în Excel. Rezolvare:


22


23

Aplicaţia 6.2: (a) Funcţia de cerere pentru un anumit produs este 1442 2 +−= xp , iar

funcţia de ofertă este 48332 ++= xxp . Să se determine surplusul producătorului în punctul

de echilibru.

(b) Să se reprezinte grafic funcţia de cerere funcţia de ofertă şi surplusul producătorului;

(c) Să se rezolve aplicaţia în Excel. Rezolvare:


24


25

7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE

Aplicaţia 7.1: Se consideră o funcţie de utilitate de forma: 22254501000),( yxxyyxyxU −−++= ,

unde x reprezintă volumul săptămânal de muncă, exprimat în ore, iar y reprezintă venitul

săptămânal, exprimat în u.m.

(a) Să se determine utilităţile marginale ),( yxUM x şi ),( yxUM y pentru 140=x şi

500=y ;

(b) Să se determine modificarea totală a utilităţii xyUΔ atunci când volumul săptămânal

de muncă creşte cu 1 oră, iar venitul săptămânal creşte cu 15 u.m.

(c) Să se rezolve aplicația în Excel.

Rezolvare:


26


27

Aplicaţia 7.2: Profitul din vânzarea a două produse P1 şi P2 este dat de funcţia: 22 25,001,064100),( yxyxyxP −−+= ,

unde x este numărul de produse P1, iar y numărul de produse P2.

(a) Să se determine numărul de produse P1 şi respective de P2 care maximizează

profitul;

(b) Să se rezolve aplicația în Excel.

Rezolvare:


28


29

8. APLICAŢII ECONOMICE ALE FUNCŢIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

Aplicaţia 8.1: (a) Să se determine minimul funcţiei de două variabile: 224),( yxyxfz +== ,

cu condiţiile (restricţiile):

0,0 ,010),( ≥≥=−+= yxyxyxg .

(b) Să se rezolve aplicația în Excel. Rezolvare:


30


31

Aplicaţia 8.2: (a) Se consideră funcţia de utilitate pentru produsele X şi Y dată de relaţia: 32),( yxyxU = ,

unde x şi y sunt cantităţile din produsele X şi Y. Dacă preţul pentru produsul X este 101 =p u.m. şi preţul pentru produsul Y este

152 =p u.m., iar bugetul disponibil este 250=B u.m., să se determine cantităţile x şi y care maximizează utilitatea U.

(b) Să se rezolve aplicația în Excel. Rezolvare:


32


33

9. METODE GRAFICE DE PROGRAMARE LINIARĂ

Aplicaţia 9.1: (a) O firmă de mobilier produce un anumit tip de birou și un tip de scaun. Pentru producerea biroului sunt necesare 4 ore de manoperă de prelucrare și 2 ore de manoperă de montaj. Fiecare scaun necesită 3 ore de manoperă de prelucrare și 2 ore de manoperă de montaj. Disponibilul săptămânal de manoperă este de 240 de prelucrare și 100 ore de montaj. Prin vânzarea unui birou firma obține un profit de 70 u.m., iar prin vînzarea unui scaun, un profit de 50 u.m. Se cere maximizarea profitului săptămânal, respectiv a cantităților de birouri și de scaune ce trebuie realizate și vândute săptămânal pentru a obține un profit maxim.

Să se rezolve prin metoda grafică aplicația de programare liniară de maximizare. (b) Să se rezolve prin metoda grafică aplicația în Excel. Rezolvare:


34


35

Aplicaţia 9.2: (a) O firmă petrolieră deține 2 rafinării R1 și R2 cu procese de producție zilnice. Rafinăria R1 produce zilnic 400 de tone de ulei de calitatea A, 300 de tone de ulei de calitatea B și 200 de tone de ulei de calitatea C. Costurile de producție zilnice ale rafinăriei R1 sunt de 20.000 u.m. Rafinăria R2 produce zilnic 300 de tone de ulei de calitatea A, 400 de tone de ulei de calitatea B și 500 de tone de ulei de calitatea C. Costurile de producție zilnice ale rafinăriei R2 sunt de 25.000 u.m. Firma are comenzi care totalizează 25.000 de tone de ulei de calitatea A, 27.000 de tone de ulei de calitatea B și 30.000 de tone de ulei de calitatea C. Câte zile trebuie să producă fiecare rafinărie, astfel încât costurile de producție să foe minime, iar necesarul comandat să fie realizat?

Să se rezolve prin metoda grafică aplicația de programare liniară de minimiare. (b) Să se rezolve prin metoda grafică aplicația în Excel. Rezolvare:


36


37

10. APLICAȚII DE PROGRAMARE LINIARĂ

Aplicaţia 10.1: (a) Să se aplice algoritmul simplex pentru rezolvarea problemei de maximizare din Aplicația 9.1;

(b) Să se rezolve problema de maximizare din Aplicația 9.1 aplicând funcția Solver din Excel. Rezolvare:


38


39

Aplicaţia 10.2: (a) Să se aplice algoritmul simplex pentru rezolvarea problemei de minimizare din Aplicația 9.2;

(b) Să se rezolve problema de minimizare din Aplicația 9.2 aplicând funcția Solver din Excel. Rezolvare:


40

caiet de aplicatii dimitrie cantemir

Documents

Transcript of caiet de aplicatii dimitrie cantemir