3. METODA DEPLASRILOR3.1 INTRODUCERE

Este o metod general de rezolvare a structurilor static nedeterminate avnd drept necunoscute deplasrile distincte ale nodurilor (rotiri i translri), care se determin exprimnd condiiile de echilibru static pe diecia acestora.

OBSERVAIE: n cadrul acestei metode, prin nod se nelege orice capt de bar sau intersecii de bare. Astfel, se disting noduri interioare (nodurile obinuite) i noduri exterioare (reazeme i capete libere). n ceea ce privete nodurile interioare, se disting trei tipuri de noduri:- noduri integral rigide

Fig. 3.1

- noduri parial rigide

Fig. 3.2

- noduri articulate

Fig. 3.3

n cadrul acestei metode, toate nodurile se numeroteaz de la 1 la n, ncepnd cu cele intergal rigide, parial rigide, articulate i terminnd cu nodurile de contur (reazeme, extremiti libere). Pentru o interpretare corect a deplasrilor distincte ale nodurilor (rotiri i translri) se face ipoteza neglijrii defomatelor axiale ale barelor produse de forele axiale i de momentele ncovoietoare. Dup modul n care o structur static nedeterminat trece n poziie deformat sub aciunea ncrcrilor, se disting dou tipuri de structuri:

Fig. 3.4

2A. Structuri cu noduri fixe la care trecerea n poziie deformat sub aciunea aciunilor se realizeaz doar prin rotirea nodurilor (fig. 3.4). n cazul unei astfel de structuri, dac se introduc articulaii n toate nodurile rigide, parial rigide i rezemrile ncastrate, rezult o structur static determinat (fig. 3.5).

Fig. 3.5

Necunoscute vor fi doar rotirile nodurilor rigide interioare, al cror numr se noteaz n general prin N (N = 2, pentru cadrul din (fig. 3.4).

B. Structuri cu noduri translabile la care trecerea n poziia deformat sub aciunea ncrcrilor exterioare se realizeaz att prin rotirea nodurilor, ct i prin translareaacestora. n cazul unor astfel de structuri, dac se introduc articulaii n toate nodurile rigide i rezemrile ncastrate, rezult sistemul cinematic al crui numr de deplasri cinematice este egal cu numrul translaiilor distincte ale nodurilor.

Numrul translrilor distincte ale nodurilor poart denumirea de grade de libertate elastic i se noteaz prin m.

Fig. 3.6

Numrul de deplasri cinematice ale unui mecanism sau sistem cinematic este (fig. 3.7): 1143653 crnm s (3.1)

Fig. 3.7

3Pentru structura din fig. 3.1a: 114365 snmSistemul din fig. 3.7 are o singur deplasare cinematic.Numrul de translri distincte ale nodurilor 1 snm . n cazul acestor tipuri de structuri,

numrul total de necunoscute va fi egal cu numrul rotirilor nodurilor rigide (N) i plane numrul gradelor de libertate (m). Numrul total de necunoscute se noteaz cu Z i poart denumirea de nedeterminare cinematic elastic. Relaia de calcul este: mNZ , cu precizarea c n cazul structuriilor cu noduri fixe (tipul A) m = 0.

3.2 SISTEMUL DE BAZ (SB) n metoda deplasrilor SB se obine blocnd nodurile rigide i parial rigide la rotire i

introducnd penduli (reazeme simple) pe direcia translrilor distincte ale nodurilor. Blocarea nodurilor rigide i parial rigide la rotire se realizeaz cu ajutorul unui aa numit blocaj de nod, care se reprezint sub forma unui ptrat ce mbrac capetele legate rigid n nodul respectiv (fig. 3.8):

Fig. 3.8

Blocajul de nod este astfel conceput nct s mpiedice rotirea capetelor barelor, permind translarea acestora (ncastrare glisant).

Fig. 3.9

n general, numrul total de legturi ce se introduc pentru a realiza SB este egal cu numrul nodurilor rigide sau parial rigide N plus numrul translaiilor distincte ale nodurilor(gradele de libertate m), deci este egal cu Z. Un astfel de SB cu noduri blocate la rotire i translaii mpiedicate pe direcia gradelor de libertate poart denumirea de sistem de baz geometric determinat (fig. 3.11).

Pentru structura din fig. 3.13: mNZ

84

544;

63

233

52

322;

71

41

31

1

4N

Pentru determinarea numrului gradelor de libertate la deplasare se introduc articulaii n toate nodurile rigide i parial rigide i reazeme ncastrate (fig. 3.10):

4Fig. 3.10

44391853 clrnm sStructura are patru grade de libertate elastic i patru translri distincte de noduri:

844 mNZ .

Fig. 3.11

Sistemul de baz (fig. 3.11), geometric determinat se obine blocnd cele N=4 noduri rigide i parial rigide i introducnd un numr de m=4 penduli pe direcia celor 4 grade de libertate elastic (4 translri distincte ale nodurilor). Blocarea celor 4 noduri rigide i parial rigide se face cu ajutorul blocajelor de nod care se comport ca nite ncastrri glisante(mpiedic rotirea, permind translarea). Relaia (3.1) furnizeaz doar o informaie cantitativ, precizeaz doar numrul gradelor de libertate elastic (numr de translri), fr a preciza direcia translrii lor, deci pentru a introduce cei patru penduli astfel nct toate nodurile (toate capetele de bar) s fie fixate trebuie analizate efectiv posibilitile de translare ale capetelor de bar.

OBSERVAIE: Pentru anumite tipuri de structuri particulare, relaia (3.1) furnizeaz rezolvri eronate; este recomandabil ca, odat cu determinarea lui m, s se analizeze structura respectiv.Exemple:a)

Fig. 3.12 Fig. 3.1303345 nm

5Conform relaiei, structura este cu un nod fix.n realitate structura are un singur grad de libertate la deplasare (SB din fig. 3.13).

b)

Fig. 3.14 Fig. 3.1504366 snm

n realitate structura are dou grade de libertate la deplasare (SB din fig. 3.15).

3.3 MOMENTE DE CAPT DE BARElementele constitutive ale SB din fig. 3.11 sunt fie bare dublu ncastrate (barele 3-2, 3-6).

Barele dublu articulate nu se iau n considerare, nu se pot deforma i nici nu se pot deplasa. Sub aciunea ncrcrilor (fore, rotiri de capete rigide ale barelor sau deplasri relative transversale ntre capetele de bar) n capetele rigide ale acestor bare iau natere momente ce poart denumirea de momente de capt de bar de ncastrare perfect. Ele se pot figura avnd concavitatea ctre bar momente spre bar sau avnd concavitatea ctre nod momente spre nod. Se noteaz cu M nsoit de doi indici M ij, n care primul indice i precizeaz captul de bar n care se produce acel moment; al doilea indice j precizeaz captul opus de bar.

3.4 CONVENIA DE SEMNEMomentele spre nod sau spre bar care rotesc n sens orar, se consider +, iar cele care

rotesc n sens antiorar -.

3.5 MOMENTE DE NCASTRARE PERFECT3.5.1 Aciunea forelorSunt momentele de capt de bar ce iau natere datorit prezenei pe bar a forelor

exterioare. Se noteaz prin M ij i sunt precalculate n funcie de tipul barei (dublu ncastrat sau ncastrat-articulat) i de ncrcrile exterioare (dac nu se dispun de tabele, momentele de ncastrare perfect se determin rezolvnd grinda dublu n castrat sau ncastrat-articulat, prin metoda forelor) (fig. 3.16).

3.6 CARACTERISTICI DE RIGIDITATEElementele constitutive ale SB pot fi ncrcate cu rotiri ale capetelor rigide i cu deplasri

transversale ntre capetele de bar. Dac aceste rotiri ale capetelor rigide sau deplasri relative ntre capetele de bar sunt egale cu 1, momentele din capetele de bar ce iau natere poart denumirea de caracteristici de rigiditate.

6Fig. 3.16

3.7 RIGIDITATEA ABSOLUTA LA ROTIRE. FACTORI DE TRANSMITERERigiditatea kij - reprezint momentul ce ia natere n captul i al barei ij, atunci cnd captul i

sufer o rotire egal cu 1 (fig. 3.17).A. Grinda dublu ncastrat

Fig. 3.17

Rigiditatea kij se determin rezolvnd grinda dublu ncastrat prin metoda forelor la o cedare de reazem i .

7Fig. 3.18

Se scrie sistemul:

02222121

1212111

c

ic

XX

XX

Fig. 3.19

Fig. 3.20

Se determin coeficienii principali i laterali i termenii liberi la cedri de rezeme:

EIEIdx

EI

MM

EIEIdx

EIMM

EIEIdx

EIMM

61

3

11

2

11

31

32

1211

31

32

1211

0

212112

0

2222

0

1111

0

0

2

1

2

1

ced

KKc

ced

KKc

R

R

deci:

8

iji

iiji

EIMX

EIMX

XEI

XEI

XEI

XEI

2

4

033

63

2

1

21

21

Pentru EI

kiji4

1 (3.2)

Factorul de transmitere se noteaz prin ij i reprezint moementul ce ia natere n captul j al barei ij cnd n captul i exist un moment egal cu 1 i satisface relaia:

ijjiji MM

502

142.

EIEIij

iij

i

(3.3)

B. Grinda ncastrat articulat

Fig. 3.21

Rigiditatea kij se obine rezolvnd grinda ncastrat articulat prin metoda forelor la o cedare de reazeme i .

Fig. 3.22

icX 1111

Fig. 3.23

9iiji

ced

KKc

EIMXX

EI

R

EIEIdx

EI

MM

3

3

1

0

31

3

21

2

11

11

11

0

1111

Pentru EI

kij3

11 (3.4) (rigiditatea absolut la rotirea barei ncastrat articulat). Deoarece momentul din captul j este nul, rezult c n cazul barei ncastrat articulate, factorul de transmitere 0ij (3.5).

3.8 RIGIDITATEA ABSOLUT LA DEPLASARESe noteaz cu ijk i reprezint momentul ce ia natere n captul i al barei ij cnd ntre

capetele barei se produce o deplasare relativ transversal egal cu 1.

A. Bara dublu ncastrat

Fig. 3.24

Rigiditatea ijk se obine rezolvnd grinda dublu ncastrat la o cedare de reazem ij .

Fig. 3.25

0

0

2222121

1212111

c

c

XX

XX

10

Fig. 3.26

Fig. 3.27

ijij

ced

KKc

ijij

ced

KKc

e

e

R

R