C04-Rezolvarea sistemelor de ecuatii_2.pdf

Cursul 4Cursul 4Rezolvarea sistemelor de

ecuaţii

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor ţalgebrice

Rezolvarea sistemelor triunghiulare gEliminarea GaussEliminarea Gauss cu pivotare parţială Eliminarea Gauss cu pivotare parţială Eliminarea Gauss cu pivotare totala Factorizarea LU Factorizarea LU Factorizarea Cholesky Metoda Gauss Jordan Metoda Gauss-Jordan

Factorizarea LU

Factorizarea LUl l l lMatricea U se calculeaza in cursul procesului

de eliminare gaussiana fara pivotare Matricea L esteMatricea L este

( )n-11-1 -1 -1 -1 T

n-1 n-2 2 1 1 2 n-1 n p p1

L=T T T T T T T T I + T eminus= sdot sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdotsump=1

21

1t 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

31 32t t 1L= 1

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥n1 n2 nn-1t t t 1⎢ ⎥⎣ ⎦

Daca se considera elementele diagonale ale matricei U Daca se considera elementele diagonale ale matricei U unitare (Uii=1) se obtine factorizarea Crout daca Lii=1se obtine factorizarea Doolitle

Factorizarea CroutSe dezvolta relatia

min(ij)sumij im mj

m=1A = L Usdotsum

Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima coloana din L si prima linie din U

l 1 di L (i 1 j 1)

i1 i1 11 i1 i1

coloana 1 din L (i=1n j=1)A =L U de unde L =A i=1nbull

sdot

linia 1 din U (i=1 j=2n)A

bull

1j1j 11 1j 1j

11

AA =L U U = j=2n

Lsdot rArr

Factorizarea CroutF l i d i d i l i D Folosind inductia procesul se continua Dupa ce s-au

calculat primele p-1 coloane din L si primele p-1 linii din U

coloana p din L (i=pn j=p)bullp-1 p-1

ip im mp ip pp ip ip im mpm=1 m=1

A = L U L U L =A L U i=pnsdot + sdot rArr minus sdotsum summ=1 m=1

linia p din U (i=p j=p+1n)bullp-1

pj pm mjp-1m=1

j j j j

A L UA = L U L U U =

minus sdotsdot + sdot rArr

sumsumpj pm mj pp pj pj

ppm=1A = L U L U U =

Lsdot + sdot rArrsum

Factorizarea Cholesky

Factorizarea CholeskyDacă o matrice pătrată A este simetrica si pozitiv definita ei i se poate aplica o factorizare speciala mai eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare Cholesky Simetria inseamna satisfacerea egalității A=AT sau aij = jaji pentru toti indicii ij=1n O matrice A se numește pozitiv definita daca inegalitateaxTAxgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar x Axgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar anularea produsului matriceal are loc numai atunci cand x este identic cu vectorul nul P i t t d fi i ii iti t i i A j l Proprietatea definirii pozitive a matricei A joaca un rol esential in stabilitatea numerica a calculelor efectuate in cursul factorizarii Cholesky

Factorizarea CholeskyDaca cele doua proprietăți sunt satisfacute factorizarea

Cholesky descompune matricea A icircntr-un produs de doua matrice triunghiulare de tipul L U cu proprietateadoua matrice triunghiulare de tipul LmiddotU cu proprietatearemarcabilă L=UT

A L LTA=LmiddotLT

Pentru acest tip de factorizare se pot scrie (n2+n)2 ecuații independente care conțin tot atacirctea necunoscutep ț(elementele nenule din matricea L)

In consecință factorizarea Cholesky a unei matrice esteunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunor necunoscute

Factorizarea CholeskyPentru stabilirea relatiilor generale de calcul dupa care se

desfasoara factorizarea Cholesky expresia A=LmiddotLT se expliciteaza in functie de elementele matricelor A si Lexpliciteaza in functie de elementele matricelor A si L

In ipoteza determinarii prealabile a elementelor de peprimele j-1 coloane ale matricei L relația anterioară se explicitează pentru a evidenția elementul diagonal p p ț g

Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține

Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal

d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L

Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece

pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la

d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky

Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)


Inversarea matricelor triunghiulare

Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n

sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane

bse obtine

[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1

n n

i i

x x x e e ex e i nsdot = =

Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate

Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)

Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe

care o aduce la forma diagonala

1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B

li

pjj

normalizareA

A = p=1n j=p2n

bull

pjpp

A p 1n j p2nA

reducerebull

ij ij ip pj

reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull

minus sdot

Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul

2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3

1 2 3

2 8 4 12 10 6 1

x x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪

1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩

Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului

⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima

coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua

0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie

1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua

coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie

1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia

0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie

⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia

11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8

Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare

In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii

Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii

1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪

1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33

x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4

1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x

⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩


avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct

[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =

se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus

Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat

~ ~

~ A x bb b bδsdot =

= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ

δ δ δ δ δ δminus minus

sdot + = +

= rArr = rArr le A x b x A b x A b

b A x b A x

δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot

= sdot rArr le sdot

1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot

( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b

Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei

care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi


O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor

( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot

1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle

( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le

Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie


A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează

termenul A xδ δsdotte e u

se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma

( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot

Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative

2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le

( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1

2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot

Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici

K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma

considerată


Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a

icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi

11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A

1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser

minus

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor ţalgebrice

Rezolvarea sistemelor triunghiulare gEliminarea GaussEliminarea Gauss cu pivotare parţială Eliminarea Gauss cu pivotare parţială Eliminarea Gauss cu pivotare totala Factorizarea LU Factorizarea LU Factorizarea Cholesky Metoda Gauss Jordan Metoda Gauss-Jordan

Factorizarea LU



( )n-11-1 -1 -1 -1 T

n-1 n-2 2 1 1 2 n-1 n p p1


21

1t 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

31 32t t 1L= 1

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥n1 n2 nn-1t t t 1⎢ ⎥⎣ ⎦



min(ij)sumij im mj

m=1A = L Usdotsum


l 1 di L (i 1 j 1)

i1 i1 11 i1 i1


sdot


bull

1j1j 11 1j 1j

11

AA =L U U = j=2n

Lsdot rArr







pj pm mjp-1m=1

j j j j










A L LTA=LmiddotLT

















bse obtine


n n

i i








li

pjj

normalizareA

A = p=1n j=p2n

bull

pjpp

A p 1n j p2nA

reducerebull

ij ij ip pj


minus sdot


2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3

1 2 3

2 8 4 12 10 6 1

x x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪

1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩


⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus

Factorizarea LU



( )n-11-1 -1 -1 -1 T

n-1 n-2 2 1 1 2 n-1 n p p1


21

1t 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

31 32t t 1L= 1

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥n1 n2 nn-1t t t 1⎢ ⎥⎣ ⎦



min(ij)sumij im mj

m=1A = L Usdotsum


l 1 di L (i 1 j 1)

i1 i1 11 i1 i1


sdot


bull

1j1j 11 1j 1j

11

AA =L U U = j=2n

Lsdot rArr







pj pm mjp-1m=1

j j j j










A L LTA=LmiddotLT

















bse obtine


n n

i i








li

pjj

normalizareA

A = p=1n j=p2n

bull

pjpp

A p 1n j p2nA

reducerebull

ij ij ip pj


minus sdot


2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3

1 2 3

2 8 4 12 10 6 1

x x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪

1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩


⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus



( )n-11-1 -1 -1 -1 T

n-1 n-2 2 1 1 2 n-1 n p p1


21

1t 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

31 32t t 1L= 1

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥n1 n2 nn-1t t t 1⎢ ⎥⎣ ⎦



min(ij)sumij im mj

m=1A = L Usdotsum


l 1 di L (i 1 j 1)

i1 i1 11 i1 i1


sdot


bull

1j1j 11 1j 1j

11

AA =L U U = j=2n

Lsdot rArr







pj pm mjp-1m=1

j j j j










A L LTA=LmiddotLT

















bse obtine


n n

i i








li

pjj

normalizareA

A = p=1n j=p2n

bull

pjpp

A p 1n j p2nA

reducerebull

ij ij ip pj


minus sdot


2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3

1 2 3

2 8 4 12 10 6 1

x x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪

1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩


⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus


min(ij)sumij im mj

m=1A = L Usdotsum


l 1 di L (i 1 j 1)

i1 i1 11 i1 i1


sdot


bull

1j1j 11 1j 1j

11

AA =L U U = j=2n

Lsdot rArr







pj pm mjp-1m=1

j j j j










A L LTA=LmiddotLT

















bse obtine


n n

i i








li

pjj

normalizareA

A = p=1n j=p2n

bull

pjpp

A p 1n j p2nA

reducerebull

ij ij ip pj


minus sdot


2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3

1 2 3

2 8 4 12 10 6 1

x x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪

1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩


⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus







pj pm mjp-1m=1

j j j j










A L LTA=LmiddotLT

















bse obtine


n n

i i








li

pjj

normalizareA

A = p=1n j=p2n

bull

pjpp

A p 1n j p2nA

reducerebull

ij ij ip pj


minus sdot


2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3

1 2 3

2 8 4 12 10 6 1

x x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪

1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩


⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus





A L LTA=LmiddotLT

















bse obtine


n n

i i








li

pjj

normalizareA

A = p=1n j=p2n

bull

pjpp

A p 1n j p2nA

reducerebull

ij ij ip pj


minus sdot


2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3

1 2 3

2 8 4 12 10 6 1

x x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪

1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩


⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus















bse obtine


n n

i i








li

pjj

normalizareA

A = p=1n j=p2n

bull

pjpp

A p 1n j p2nA

reducerebull

ij ij ip pj


minus sdot


2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3

1 2 3

2 8 4 12 10 6 1

x x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪

1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩


⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus





li

pjj

normalizareA

A = p=1n j=p2n

bull

pjpp

A p 1n j p2nA

reducerebull

ij ij ip pj


minus sdot


2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3

1 2 3

2 8 4 12 10 6 1

x x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪

1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩


⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus


2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3

1 2 3

2 8 4 12 10 6 1

x x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪

1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩


⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus


⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus



⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus



1 0 2 1 20 1 1 0A b

minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥


0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18

A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus


11

14

x =

218

x =

31x = minus3 8





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus





1 2 3 4

1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33


1 2 3 4

8 6 10 9 337 5 9 10 31

x x x xx x x x




[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus



[ ]1 1 1 1Tx =p ţ

devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =



~ ~


= +~

b b bx x x

δ

δ

+

= +


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus


( )1 1

A x x b b

A x b x A b x A b

δ δ


sdot + = +


b A x b A x


= sdot rArr le sdot


( )x b

K Aδ δ

le sdot( )x b







( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus





( )x A

K Aδ δ

le sdot( )K Ax A

le






( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus





( ) AK A

δ( )K Ax A

Aδ

δ

sdotle

( )1Ax K A

Aδ

minus sdot




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus




2 21 21 2

t

tt

A Ax K Ax K AA Aδ

minusminus minus

sdotle =

minusminus sdot



considerată




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus




11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus

A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9

= = =A A A


minus

C04-Rezolvarea sistemelor de ecuatii_2.pdf

Documents

Transcript of C04-Rezolvarea sistemelor de ecuatii_2.pdf