Mariana Stoica 1

Colecția „Matematica pentru gimnaziu”

MATEMATICĂ exerciţii şi probleme de algebră pentru orele de opţional

D i v e r s i t a s

Mariana Stoica 2

Copyright © 2012 Editura Diversitas Tel: 0268/422.922 Fax: 0268/422.772 Email: cvio@xnet.ro Editor: Viorel Ciama Corectură: autoarea ISBN 978-973-1951-33-1

Mariana Stoica 3

Mariana STOICA

MATEMATICĂ

exerciţii şi probleme de algebră pentru orele de opţional

D i v e r s i t a s

Mariana Stoica 4

Mariana Stoica 5

Argument

Cartea de faţă se adresează în mod special elevilor de gimnaziu, ea putând fi folosită cu succes ca instrument de lucru în clasă şi în pregătirea individuală a elevilor, iar 30% dintre exerciții sunt compuse de elevii clasei a VII-a A ai Școlii generale nr.14 Brașov, în cadrul orelor de matematică opțional. Totodată, cartea poate fi utilizată la orele de matematică opţional de către profesori şi elevi, dar şi de către cei ce se pregătesc pentru examenul de Evaluare naţională pentru a-şi recapitula şi fixa noţiunile învăţate în anii anteriori.

În elaborarea acestei lucrări s-a avut în vedere programa şcolară pentru clasele V-VIII la disciplina matematică. Acest auxiliar conţine exerciţii şi probleme de dificultate redusă şi medie, iar cele cu un grad sporit de dificultate sunt notate cu *. Acest lucru permite elevilor o mai bună autoevaluare, ei putând astfel aprecia la ce nivel de performanţă se situează.

Exerciţiile propuse sunt însoţite de răspunsuri, iar cele considerate mai dificile de rezolvări complete.

Lucrarea de faţă conţine 3 teste după modelul şi structura celor de la examenul national, pentru fixarea noţiunilor studiate.

În speranţa că această lucrare va fi de un real folos elevilor le urez „Succes!”

Autoarea

Mariana Stoica 6

Mariana Stoica 7

CUPRINS

1. Mulţimea numerelor naturale ..................................................... 9

2. Divizor. Multiplu ....................................................................... 11

3. Criterii de divizibilitate ............................................................. 13

4. Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N ............................. 15

5. Numere prime. Numere compuse ............................................ 16

6. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime………………………………………….………… 17

7. Divizori comuni a două sau mai multe numere naturale, c.m.m.d.c., numere prime între ele, c.m.m.m.c……………….… 18

Test 1 ............................................................................................ 20

Test 2 ............................................................................................ 20

Test 3 ............................................................................................ 21

Indicaţii şi răspunsuri…………………………………………… 22

Bibliografie ………….................................................................. 31

Mariana Stoica 8

Mariana Stoica 9

ALGEBRĂ

Numere naturale

1. Mulţimea numerelor naturale

1. Calculaţi şi completaţi: a = 18 b = 34 c = 30

a) ( ) ....cb·a =− b) ( ) ....cb·a =+ c) ac + bc = …. d) ab – ac = …. e) ....2:c2:b2:a =++ 2. Efectuaţi respectând ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor: a) ( );3·29·4112431 +++ b) ( );11·27300·5182:204 −−+ c) ( );1·285·23·16:446:300 −+−− d) ( )[ ]{ };3·6·214·34:1002·512·10281528 −−+++− e) ( )[ ];40:128012596·2020:1240 −−− f) ( ) ;12·844:3849·1645:18495 −−− 3. Efectuaţi respectând ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor: a) ;5·610:107:14 +− b) ( )[ ] ;73:5·43·8·25:325 −+

c) ;34:42:2 2323 −+

d) ( ) ( )[ ] ;2:2·697·5·2:7·5·2 9102 −

e) ( )[ ]{ };5·126·2148·103·102 −++

f) ( ) ( ) ;14:4·2:4·2·35:5·9 0396202020863

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

4. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) 10·27·15·26·85·38·9 ++=−+ b) ( )[ ] 50·211005·3·25:145·14 =−+ c) ( ) ( )[ ] 2:25·2·6166·324·17:68 3=−−−

Mariana Stoica 10

d) ( ) 31·23·38:1445:175 2 =−+ 5. Să se determine numărul natural x din: a) 186x2 =+ b) 3015x2x3 +=+ c) 200x 4·5·92 = d) ( )[ ] 1018191·2x37·3·2 22 =−+

e) 155555 2x1xx =++ ++ f) 222...222 101x32 −=++++ 6. Să se afle două numere naturale ştiind că suma lor este 241 şi că primul

număr este mai mic cu 15 decât al doilea. 7.* Suma a trei numere este 354. Al doilea număr este 164. Primul număr este

mai mare cu 46 decât al treilea. Să se afle al treilea număr. 8.* Diferenţa a două numere este 1405. Ştiind că primul număr este mai

mare decât 1900 cu 100 să se afle numerele. 9.* a) Determinaţi cel mai mic număr natural nenul care împărţit la 16 dă

restul 7. b) Determinaţi cel mai mare număr natural de trei cifre care împărţit la 16 dă restul 7. c) Determinaţi cel mai mare număr natural de patru cifre care împărţit la 16 dă restul 7.

10. a) Ordonaţi crescător numerele naturale: ;1;5;0;4;6;3;5;2 10002525

b) Ordonaţi descrescător numerele naturale: ;5;10;4;3;15;2;14;120 22330

c) Comparaţi: 510 cu 410; 162 cu 28; 264 cu 348 11.* Suma a două numere este 8045. Împărţind numărul mare la cel mic

obţinem câtul 3 şi restul 829. Calculaţi numerele. 12. Calculaţi: a) ac – bc, ştiind că a –b = 10 şi c = 2. b) c, ştiind că a + b = 8 şi ac + bc = 24. c) a + c, ştiind că b = 15 şi ab + bc = 90. d) 7a + 9b + 2c, ştiind că a + b = 6 şi b + c = 11. e) 8a + 13b + 5c, ştiind că a + b = 19 şi b + c = 25. f) (2a + b)(4a + 13b + 2c), ştiind că a + 6b + c = 8 şi 3a + 7b + c = 18. 13.* Calculaţi sumele: a) 100...321 ++++ ; b) 100...642 ++++ ; c) 99...531 ++++ ;

Mariana Stoica 11

d) 500...15105 ++++ ; e) 300...963 ++++ ; f) 200...102101100 ++++ .

2. Divizor. Multiplu 1. Scrieţi mulţimea divizorilor fiecăruia dintre numere: 10, 14, 21, 36, 42,

51, 53. 2. Scrieţi divizorii numerelor: 7; 16; 24; 38; 61; 72 şi subliniaţi cu o linie

divizorii proprii ai fiecărui număr. 3. Scrieţi divizorii numerelor: 5; 12; 19; 28 şi subliniaţi cu o linie divizorii

improprii ai fiecărui număr. 4. a) Descompuneţi în produs de două numere naturale numerele 16; 26;

35. b) Scrieţi mulţimea divizorilor fiecăruia dintre numerele: 16; 26; 35. c) Determinaţi elementele mulţimilor:

352635162616 DD;DD;DD ∩∩∩ . 5. Scrieţi primii cinci multipli ai numărului 5. 6. Calculaţi: a) M3∩M5; b) M4∩M6; c) M2∩M4∩M8. 7. Scrieţi multiplii lui 11 mai mici decât 98. 8. Scrieţi multiplii lui 12 mai mici decât 20. 9. Scrieţi multiplii lui 101 cuprinşi între 100 şi 500. 10. Câţi divizori are numărul 18? Dar multiplii? 11. Cu ajutorul cifrelor 2, 4, 9 folosite o singură dată formaţi: a) un multiplu al numărului 2. b) un număr divizibil cu 4. c) cel mai mic număr divizibil cu 3. d) cel mai mare număr divizibil cu 3. e) un număr cuprins între 400 şi 500, divizibil cu 2. 12.* Enumeraţi elementele mulţimilor: A = {x | x∈D20 şi xM 2}; B = {y | y∈D16 şi yM 4} şi apoi calculaţi:

.AB;BA;BA;BA −−∪∩ 13.* Fie mulţimea D45 şi { }5x,30x5|NxA M<≤∈= . Calculaţi: a) D45∩A; b) D45∪A; c) D45 \ A; d) A \ D45. 14.* Fie mulţimea A = {x∈N | x∈M7 şi x < 30};

B = {y∈N | y∈M14 şi y < 70}. a) Să se calculeze: A∩B şi B \ A. b) Care dintre mulţimile A∩B şi A \ B are mai multe elemente? c) Câte elemente are mulţimea A∪B?

15.* a) Scrieţi primii cinci multipli ai lui 5.

Mariana Stoica 12

b) Subliniaţi cu o linie toate numerele de la punctul a) divizibile cu 2. c) Fie A = {x∈N | x∈M5; x < 30}; B = {y∈N | y∈M5, y<30 şi yM 2}. Este adevărat că B⊂ A? Dar A⊂ B?

16. Scrieţi toate numerele de forma x5 divizibile cu 2, cu 3 şi apoi cu 5. 17. Scrieţi toate numerele de forma ab multiplii pentru numerele 10; 16;

26. 18. Scrieţi mulţimea divizorilor proprii şi mulţimea divizorilor improprii

pentru numerele: 6; 14; 18; 25; 32; 49; 54. 19.* Câte numere naturale cuprinse între 71 şi 101 sunt:

a) divizibile cu 2 b) divizibile cu 3 c) divizibile cu 5 d) divizibile cu 2 şi 5 e) divizibile cu 6.

20. Determinaţi multipli lui 31 cuprinşi între 300 şi 400. 21. Determinaţi x∈N astfel încât:

a) x – 3 este divizor propriu al lui 8 b) 3x –5 este divizor impropriu al lui 7.

22.* a) Arătaţi că numerele de forma: 3n2nn3n2 3·259·5 ++ − , sunt divizibile cu 7, n∈N.

b) Arătaţi că numerele de forma: n2nnn2n 105·25·2 −+ ++ sunt divizibile cu 7, n∈N.

c) Arătaţi că numerele de forma: 1n1nn2n2nn 5·35·35·3 ++++ −+ sunt divizibile cu 19, oricare ar fi n∈N.

23.* Se ştie că 9n = a. Să se calculeze 32n+1 şi 34n. 24.* Se dau numerele naturale x25 şi 12. Să se găsească numărul x astfel

încât primul număr să fie divizibil cu cel de al doilea. 25.* Să se arate că pentru orice n∈N.

2nn1nnn 3·23·26E ++ ++= se divide prin 13. 26.* Să se arate că pentru orice n∈N.

N = 5 + 52 + 53 + … + 530 este divizibil cu 217.

Mariana Stoica 13

3. Criterii de divizibilitate 1. a) Subliniaţi cu o linie toate numerele divizibile cu 2:

14; 24; 29; 35; 42; 48; 60; 82. b) Subliniaţi cu o linie toate numerele divizibile cu 3:

19; 21; 32; 36; 39; 44; 46; 54. c) Subliniaţi cu o linie toate numerele divizibile cu 5: 19; 20; 25; 34; 38; 40; 60; 65. 2. a) Scrieţi toate numerele naturale divizibile cu 10, cuprinse între 254 şi

315. b) Scrieţi toate numerele naturale divizibile cu 100, cuprinse între 384 şi 812.

3. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) 10 | 140; b) 5 | 1455; c) 10 | 1230; d) 25 | 625; e) 25 | 775; f) 620M 10; g) 1723M 10; h) 125M 10. 4. Determinaţi: a) numerele de forma x3 divizibile cu 3. b) numerele de forma xy1 divizibile cu 9.

c) numerele de forma y6x2 divizibile cu 10. 5. Scrieţi: a) cel mai mic număr de două cifre divizibil cu 5. b) cel mai mare număr de trei cifre divizibil cu 5. c) cel mai mic număr de trei cifre distincte divizibil cu 10. d) cel mai mare număr de trei cifre distincte divizibil cu 10. 6. Fie mulţimile: A = {x∈N | xM 9, x<29}; B = {y | y∈N, yM 3, y<21}.

Determinaţi: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A. 7. Scrieţi toate numerele mai mici decât 23 divizibile cu 4. 8. Scrieţi toate numerele naturale de forma x37 divizibile cu 4. 9. Determinaţi toate numerele naturale de forma: a) x42 ; b) x1x ; c) xx4 ; d) x24x divizibile cu 2. 10. Scrieţi toate numerele naturale divizibile cu 2 cuprinse între 201 şi 213. 11.* Scrieţi: a) cel mai mare număr de trei cifre distincte divizibil cu 2. b) cel mai mare număr de trei cifre divizibil cu 2. c) cel mai mic număr natural de trei cifre distincte divizibil cu 3. d) cel mai mare număr natural de trei cifre distincte divizibil cu 3. 12. Scrieţi toate numerele naturale mai mici decât 31 divizibile cu 10.

13. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:

Mariana Stoica 14

a) 10 | 145; b) 3 | 192; c) 66M 2; d) 1230M 10 e) 154M 2; f) 620M 5; g) 10 | 400; h) 550M 5.

14. Scrieţi toate numerele naturale de forma x25 divizibile cu 5. 15. Subliniaţi cu o linie numerele pare şi cu două linii numerele impare:

148; 161; 245; 304; 400; 493. 16. Scrieţi toate numerele naturale divizibile cu 5 cuprinse între 80 şi 106. 17. Scrieţi toate numerele de forma 30x divizibile cu 5. 18. Determinaţi toate numerele naturale de forma x3x1 divizibile cu 5. 19.* Scrieţi toate numerele naturale de forma:

a) x14 ; b) xx5 ; c) xxx divizibile cu 3. 20.* Determinaţi toate numerele naturale de forma x1x23 divizibile cu 3. 21.* Scrieţi toate numerele naturale de forma xy31 divizibile cu 2 şi 9.

22.* Scrieţi toate numerele naturale de forma x73 divizibile cu 2 şi 3. 23.* Scrieţi toate numerele naturale de forma x10 divizibile cu 6. 24.* Câte numere naturale de forma xy4 sunt divizibile cu 6?

25.* Determinaţi numerele de forma x5x2x1 divizibile cu: a) 2 b) 4 c) 5

26. Fie mulţimea M = {2024, 10245, 15075, 19320, 45000, 51400}. Determinaţi:

A = {x | x∈M şi xM 2}; B = {x | x∈M şi xM 3}; C = {x | x∈M şi xM 5}; D = {x | x∈M şi xM 9}; E = {x | x∈M şi xM 10}; F = {x | x∈M şi xM 25}.

27. Cu ajutorul cifrelor 3, 4 şi 5 folosite o singură dată scrieţi: a) cel mai mare număr natural divizibil cu 2; b) cel mai mic număr natural divizibil cu 3; c) cel mai mare număr natural divizibil cu 5.

28.* Să se demonstreze că pentru orice număr natural n∈N*, expresia E = 10n + 17 este divizibilă cu 9.

29.* Să se determine numerele naturale de forma N = abca , în baza 10, divizibile cu 9, ştiind că a = 3c.

30.* Să se determine numerele naturale de forma abb , în baza 10, divizibile cu 12.

Mariana Stoica 15

4. Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N 1. Arătaţi că următoarele propoziţii sunt adevărate:

a) ( )c10b8a2|2 ++ ; b) ( )1169|5 + ; c) ( )100...21|5 +++ ; d) ( )36·11|9 ;

e) ( )1nn 33|3 ++ , n∈N*. 2. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:

a) ( )2x63x9|5 +++ , oricare ar fi x∈N; b) ( )3x52113|9 −++ , oricare ar fi x∈N; c) ( )x6x5x9|10 −+ , oricare ar fi x∈N.

3.* Demonstraţi că: a) 912 – 712 este divizibil cu 10. b) numerele de forma n2nn1n1n 5·35·315 +++ ++ sunt divizibile cu 27. c) 916 – 716 este divizibil cu 10.

4. Arătaţi că: a) dacă ( )y4x|3 + , atunci ( )y16x4|3 + b) dacă ( )y3x2|5 + , atunci ( )y12x8|5 + c) dacă ( )y6x|9 + , atunci ( )y48x8|9 +

5. Determinaţi valorile lui x astfel încât: a) ( )2x|x + b) ( )10x|5 + c) ( ) ( )12x|2x ++ 6.* Să se arate că pentru orice n∈N*, expresia E = 10n + 1988 este divizibilă

cu 18. 7.* Să se arate că diferenţa dintre un număr natural de 3 cifre şi răsturnatul

său este un număr divizibil cu 9 şi cu 11. 8.* Să se arate că numărul ab251abN += este divizibil cu 51. 9.* Să se determine cifra x astfel încât numărul 25x91N = să se dividă cu

1405. 10.* Să se determine cifra x astfel încât numărul 0472x4N = împărţit la

1985 să dea restul 27. 11.* Arătaţi că n21n2n2n21n2 2·92·918 ++ ++ se divide cu 14, oricare ar fi

n∈N. 12.* Fie numărul 30·...·4·3·2·1N = . Arătaţi că N este divizibil cu 107.

Mariana Stoica 16

5. Numere prime. Numere compuse 1. Câte numere prime sunt mai mici decât 20? Dar decât 40? 2. Subliniaţi cu o linie numerele prime:

11; 18; 36; 41; 51; 83; 101; 108; 207. 3. Scrieţi numărul 141 ca produs de numere naturale diferite de 1. 4. Care sunt numerele prime mai mari decât 50 şi mai mici decât 60? 5. Aflaţi valoarea de adevăr a fiecăreia dintre următoarele propoziţii:

a) 1 este număr prim. b) 1 este număr compus. c) orice număr prim este număr natural impar. d) există două numere prime pare. e) există un singur număr prim par.

6. Să se arate , fără a folosi o tabelă de numere prime, care din următoarele numere sunt numere prime: 120, 137, 173, 223, 411.

7.* Suma dintre un număr prim şi un număr impar este 24735. Să se afle numerele.

8. Scrieţi ca sumă de numere prime numerele naturale: 5, 16, 20, 31, 39, 44.

9. Stabiliţi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii: a) 505 este număr prim; b) 69 este număr compus; c) 2 este număr compus; d) 31 este număr prim.

10. Determinaţi numerele prime x şi y ştiind că 3x + 14y = 61. 11. Scrieţi numărul compus 55 ca:

a) sumă de două numere prime; b) sumă de trei numere prime; c) produs de două numere prime.

12. Determinaţi x pentru care numerele x9,x5,x4,x2 să fie numere prime. 13.* Determinaţi x şi y distincte astfel încât:

a) xy să fie prim mai mic decât 35 şi yx compus.

b) xy să fie compus şi yx prim mai mic decât 30.

c) xy să fie prim şi yx prim. 14.* Determinaţi numărul natural a, astfel încât ( )30a·a + să fie număr prim.

15.* Arătaţi că oricare ar fi n∈N, numărul 17·5·2 n21n2 ++ nu este prim.

Mariana Stoica 17

6. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime

1. Să se descompună în factori primi (oral): 10; 16; 18; 22; 28; 36; 40; 50;

100; 700; 1000. 2. Să se descompună în factori primi:

a) 20 b) 580 c) 4500 d) 240 e) 222 f) 150000 g) 1248 h) 17600 i) 3700 j) 5520

3. Descompuneţi în factori primi numerele a şi b şi apoi scrieţi a·b sub formă de putere, unde:

A) a = 16 şi b = 240 B) a = 2160 şi b = 4860 C) a = 1350 şi b = 3240 D) a = 24200 şi b = 14520 4. Scrieţi numărul 1702 ca produs de numere prime. 5. Determinaţi numerele prime x şi y, ştiind că x · y = 1643. 6. Se consideră .11·3·2C;7·3·2B;7·3·2A 33345 === Să se efectueze: a) ( ) B:C·A)c;B:A)b;C·B·A

7. Determinaţi numerele naturale de forma abc , mai mici decât 150, ştiind că produsul dintre cifrele fiecăruia este zero.

8. Să se determine mulţimea divizorilor numărului 2·32. 9. Să se determine mulţimea divizorilor numărului 2·33·5. 10.* Dacă xy este număr prim, calculaţi numărul divizorilor numărului

xyxyxy .

11.* Arătaţi că numărul 2n3n3n22n 4·32·3N ++++ += este divizibil cu 63. 12.* Să se arate că pentru orice n∈N*, += + n21n2n2 11·7·5E

nn1n21n2n2n 121·49·511·7·25 ++ −+ se divide prin 5005. 13.* În numărul natural aabcN = cifrele reprezintă numere consecutive. Să

se afle cifrele numărului N ştiind că suma lor este 11, apoi să se scrie acest număr sub formă zecimală. (concurs matematică, Cluj 1979)

14.* Să se scrie încă două cifre la dreapta numărului 1979, astfel încât numărul obţinut să fie divizibil cu 36.

(Gazeta Matematică nr.6/1979) 15.* Fără a efectua înmulţirea, aflaţi în câte zerouri se termină numărul

9625·2528. 16.* Aflaţi două numere consecutive al căror produs este 2070. 17.* Aflaţi trei numere consecutive al căror produs este 12144. 18.* Calculaţi în câte zerouri se termină fiecare dintre numerele:

a) 25·...·3·2·1 b) 50·...·32·31·30 c) 40·39·...·11·10 d) 7·5·3·2 324

Mariana Stoica 18

19. Să se descompună în factori primi: 3240, 22100, 306000, 285120, 26400, 16800, 29700, 41860, 585900, 1774080.

20. a) Să se stabilească mulţimea divizorilor numărului 7·5·2 23 . b) Să se stabilească mulţimea divizorilor numărului 32 7·5·2 . c) Comparaţi cele două mulţimi. Ce observaţi? (ca număr de elemente).

7. Divizori comuni a două sau mai multe numere naturale, c.m.m.d.c.,

numere prime între ele, c.m.m.m.c. 1. Să se afle c.m.m.d.c. al numerelor: a) 6 şi 14 b) 4 şi 6 c) 5 şi 15 d) 12 şi 20 e) 2, 4 şi 8 f) 3, 6, 9 şi 15 2. Să se afle c.m.m.d.c. al numerelor: a) 3, 15, 45, 60 b) 24, 48, 96, 180 c) 820, 930, 810 d) 4200, 1800 e) 5280, 4368 f) 112, 252, 350 3. Produsul a două numere naturale este 138. Să se afle numerele. Câte

soluţii are problema? 4. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:

a) (225, 125) = 25 b) (144, 156) = 13 c) (1540, 1254) = 22 d) (3501, 3890) = 3

5.* Determinaţi numerele naturale de forma xyy divizibile cu 15. 6. Suma a două numere naturale este 75 şi cel mai mare divizor comun al

lor este 15. Câte soluţii are problema? 7. Produsul a două numere naturale este 3456 şi cel mai mare divizor

comun al lor este 4. Să se afle c.m.m.m.c. 8. Arătaţi că:

a) ( ) 13n2,2n =++ b) ( ) 112n5,7n3 =++ c) ( ) 114n3,9n2 =++ d) ( ) 17n5,11n8 =++

9.* Determinaţi numerele de forma a0ab divizibile cu 6. 10.* Să se afle cel mai mic număr natural care:

împărţit la 5 să dea restul 4 împărţit la 6 să dea restul 5 împărţit la 8 să dea restul 7 împărţit la 9 să dea restul 8.

11. Să se afle c.m.m.d.c. al următoarelor numere: 600; 2400; 32000; 72000. 12. C.m.m.d.c. a două numere este 2. Fiecare dintre ele este mai mare decât

10 şi mai mic decât 20. Să se afle numerele. Câte soluţii are problema? 13. Care sunt numerele naturale de forma xy37 divizibile cu 6?

Mariana Stoica 19

14. Să se afle cel mai mic număr natural care împărţit, pe rând, la 6 şi la 15 să dea acelaşi rest 5 şi câtul diferit de zero.

15.* Împărţind numerele naturale 727, 860 şi 599 la acelaşi număr natural nenul se obţin resturile 12, 15 şi 14. Aflaţi valoarea împărţitorului.

16. Calculaţi c.m.m.m.c. al numerelor: a) 12; 18 b) 36; 140 c) 15; 135 d) 24; 48; 72 e) 1890; 2268 f) 112; 280

17. Produsul a două numere este 2625 şi c.m.m.d.c. al lor este 5. Să se afle cel mai mic multiplu comun al lor.

18.* Suma a două numere este 80, produsul lor este 1024, iar c.m.m.d.c. al lor este 16. Să se afle numerele.

19. Se dă: [a, b] = 108 şi (a, b) = 36. Să se afle produsul numerelor. 20. Se dă (a, b) = 12 şi a · b = 8640. Să se afle [a, b].

21.* Să se afle două numere ştiind că raportul lor este 4

15 , iar cel mai mare

divizor comun este 12.

22.* Să se verifice egalitatea: ( )( ) 15·3·2·5·3·2

12000·4500·320042648=

23.* Câte fracţii de forma x2y198

sunt ireductibile, ştiind că numitorul este

divizibil cu 5? 24.* Suma a două numere naturale este 431. Câtul împărţirii celui mai mare

la cel mai mic este 25 şi restul 15.

25.* Să se arate că numărul ( )2dcbaabcd + este multiplu de 121. 26. Să se arate că numerele 1155 şi 988 sunt prime între ele. 27. Să se arate că ( ) .11225,1584 = 28. Să se demonstreze că: ( ) 17n4,5n3 =++ . 29. Să se demonstreze că numerele (2n + 7) şi (3n + 10) sunt prime între

ele. 30. Sunt numerele 210 şi 429 prime între ele?

Mariana Stoica 20

Test 1 1. Enumeraţi elementele mulţimii M = { 20} x,3x|Dx 24 <∈ M 2. Aflaţi numerele a şi b ştiind că (a, b) = 2 şi [a, b] = 210. 3. Demonstraţi că (2n + 1, 3n + 1) = 1. 4. Determinaţi toate numerele de forma 3y6x M mai mici decât 300.

5. Arătaţi că numărul N = 1n1n1nn1n 7·5·21411·7·2 ++++ +− este divizibil cu 13.

6. Să se afle toate numerele de forma yyy1x divizibile cu 36. 7. Efectuaţi:

a) ( )63370 2·2·2:2

b) 3240:18010102:204510109·802·2 23 +++ 8. Care sunt divizorii proprii ai numărului 20? 9. Determinaţi toate numerele de forma y7x2 divizibile cu 15.

Test 2 1. Determinaţi cel mai mic număr natural nenul care împărţit la 7 dă restul

6 şi împărţit la 9 dă restul 8. 2. Care este cel mai mare număr de patru cifre divizibil cu 2? 3. Aflaţi toate numerele naturale de forma 3x1 divizibile cu 3. 4. Care sunt numerele prime mai mari decât 52 şi mai mici decât 65? 5. Să se descompună în factori primi: 360, 142, 5544, 9360. 6. Să se afle c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al numerelor:

a) 80, 180, 810; b) 168, 448, 756; c) 150, 450, 1800.

7.* Arătaţi că produsul a cinci numere consecutive este divizibil cu 120. 8.* Să se găsească toate numerele de trei cifre scrise în baza 10 divizibile cu

7 şi care dau acelaşi rest la împărţirea cu numerele 4, 6, 8 şi 9. 9. Determinaţi valorile lui x din:

a) ( ) ( )[ ] 9923514·2143·568x2135 =+−+++ b) ( ) ( )[ ] ( )[ ] 32369994·363:4865·219x·359 =−++−+−+

Mariana Stoica 21

Test 3 1. Alege un număr natural. Înmulțește-l cu 5. Adaugă 4 și rezultatul

înmulțește-l cu cu 4. Adaugă 9.Înmulțește acest rezultat cu 5 apoi scade 25. Împarte rezultatul cu 100 și scade 1.Compară rezultatul cu cel inițial.

2. Care sunt numerele naturale care împărțite la 17 dau un cât egal cu restul? Care este suma lor?

3. Determină numărul natural n pentru care 1·2·3·…·n+147 este un pătrat perfect.

4. În câte zerouri se termină produsul : 1·2·3·…·99·100? 5. Care este numărul maxim de numere care pot fi alese dintre numerele

de la 1 la 50, astfel încât suma oricăror două numere alese să nu fie divizibila cu 7.

6. Care este ultima cifra a lui 21977 ? Dar a lui 7100? 7. Arată că oricum am pune în 4 cutii 17 bile, dintre care unele albe și

altele roșii, va exista o cutie cu cel puțin trei bile de aceeași culoare. 8. Aflaţi toate numerele naturale de forma ba0 există. 9. Dintr-un grup de 8 elevi (4 fete și 4 băieți) se formează o echipă de 4

elevi din care cel puțin o față.În câte moduri se pot constitui echipe? 10. Determinați numărul diagonalelor unui poligon convex cu n laturi (n ≥4 11. Determinați numărul divizorilor lui 360. 12. Determinati toate numerele de forma a= 2m · 3n, unde m si n sunt

numere naturale care au exact 8 divizori. 13. Să se determine toate numerele scrise în baza 10 care sunt divizibile cu

15 și au 14 divizori. 14. Câte pătrate, de toate dimensiunile, sunt desenate în figura alăturată?

Succes!

Mariana Stoica 22

INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI

ALGEBRĂ

Capitolul I Numere naturale

1. Mulţimea numerelor naturale

1. a) 72 b) 1152 c) 1560 d) 72 e) 41 2. a) 603; b) 105; c) 49; d) 1037; e) 2; f) 123; 3. a) 31; b) 1; c) 9; d) 2; e) 148300; f) 360; 4. a) F b) A c) A d) A 5. a) x = 6; b) x = 9 c) x = 4 d) x = 100 6. 113 şi 128 7. 72 8. 2000 şi 595 9. a) 23 b) 999 c) 9991

10. c) ( ) 8242 2216 == ; ( )16464 22 = ; ( )16348 33 = rămâne să comparăm bazele. 24 = 16 şi 33 = 27⇒ 264 < 348

11. 1804, 6241 12. a) 20 b) 3 c) 6 d) 64 e) 277 f) 260 13. a) 5050

b) sunt doar 50 termeni în această sumă:

S = ( ) 255025·1022

50·1002==

+

c) sunt doar termenii impari (50 din 100):

( ) 250025·1002

50·991S ==+

=

d) Sunt 20 termeni până la 100, 20 până la 200,……. e) ( ) 151505050·3100...3213S ==++++= ; f) S = 15150

Mariana Stoica 23

2. Divizor. Multiplu 1. D10 = {1, 2, 5, 10}; D21 = {1, 3, 7, 21}; D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42};

D53 = {1, 53} 2. D16 = {1, 2, 4, 8, 16}; D38 = {1, 2, 19, 38} 3. D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}; D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} 4. a) 16 = 2 · 8 35 = 5 · 7

b) D16 = {1, 2, 4, 8, 16} c) D16 = {1, 2, 4, 8, 16} D35 = {1, 5, 7, 35}; D16∩D35 = {1}

6. M3 = {3, 6, 9, 12, 15,…}; M5 = {5, 10, 15, 20, 25,…} M3∩M5 = {15, 30, 45, 60,…15n}, n∈N. 7. M11 = {11, 22, 33, 44, 55,…}

M11 < 98 sunt 11, 22, 33,…, 88 8. M12 < 20 este 12. 9. 100 < M101 < 500 sunt {101, 202, 303, 404} 10. 18 = 2 · 32⇒ numărul divizorilor este egal cu:

(1 + 1) · (2 + 1) = 2 · 3 = 6; D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, o infinitate 11. a) 942 sau 924

b) 924 c) 492 12. A∩B = {4} A∪B = {2, 4, 8, 10, 16, 20}

A \ B = {2, 10, 20} B \ A = {8, 16} 13. D45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}; A = {5, 10, 15, 20, 25}

a) D45∩A = {5, 15} d) A \ D45 = {10, 20, 25} 14. A = {7, 14, 21, 28} B = {14, 28, 42, 56}

c) A∪B = {7, 14, 21, 28, 42, 56}, 6 elemente 15. a) M5 = {5, 10, 15, 20, 25,…..}

c) A = {5, 10, 15, 20, 25}; B = {10, 20}; B⊂ A da. 16. 2 x5 M dnd x∈{0, 2, 4, 6, 8}

3 x5 M dnd x∈{1, 4, 7} 2 x5 M dnd x∈{0, 5}

17. ∈ab {10, 20, 30, 40,…, 90}; ∈ab {16, 32, 48, 64, 80, 96} 19. a) 15 numere M 2 b) 10 numere d) 3 numere e) 5 numere 21. a) x – 3∈{2, 4} → x – 3 = 2⇒ x = 5 sau → x – 3 = 4⇒ x = 7 b) 3x – 5∈{1, 7} ⇒ 3x – 5 = 1⇒ x = 2 ⇒ 3x – 5 = 7⇒ x = 4 22. a) Se exprimă:

( ) ( ) 3n23n2n2n2nn2n3n23n2 3·33 ;5525 ;39 ;5·55 ===== ++

Mariana Stoica 24

Se dă factor comun: 52n · 32n şi se obţine: ( ) 798·3·5353·5 n2n233n2n2 M=−

b) analog a) c) analog a) 23. 9n = a; 32n = a⇒ 32n+1 = 32n · 3 = a · 3 = 3a 24. 12 x25 M dnd 3 x25 M şi 4 x25 M

3 x25 M dnd x∈{2, 5, 8}⇒ numărul căutat este 252 25. vezi 22a)

3. Criterii de divizibilitate 3. a) A b) A c) F g) A h) F 4. a) ∈3x3 M {30, 33, 36, 39} c) {2160, 2260, 2360, 2460,…, 2960} 5. a) 10 b) 995 c) 110 d) 980 8. 4x37 M dnd x∈{2, 6} 9. a) 2x42 M dnd x∈{0, 2, 4, 6, 8}; d) 2x24x M dnd x∈{2, 4, 6, 8} 11. a) 986 b) 998 c) 102 12. {10, 20, 30} 13. a) F b) A c) F d) A h) A 14. x∈{0,5} 18. 1030, 1535 19. a) 141, 144, 147 c) {111, 222, 333, 444, 555,…, 999} 20. 3x1x23 M dnd (2 + 3 + x + 1 + x) M 3 21. 2xy31 M dnd y∈{0, 2, 4, 6, 8}

9xy31 M dnd (3 + 1 + x + y) M 9 pentru y = 0: (3 + 1 + x + 0) M 9 dnd x = 5 pentru y = 2: (3 + 1 + x + 2) M 9 dnd x = 3 pentru y = 8: (3 + 1 + x + 8) M 9 dnd x = 6 numerele căutate sunt: 3150, 3132, 3114, 3186, 3168

22. 2x73 M dnd x∈{0, 2, 4, 6, 8} 3x73 M dnd (7 + 3 + x) M 3⇒ numerele căutate sunt: 732, 738.

23. 6x10 M dnd 2x10 M şi 3x10 M

şi ⎩⎨⎧

∈∈

}8,5,2{x}8,6,4,2,0{x

. Rezultă că x∈{2, 8}. Numerele căutate sunt: 102,

108. 24. analog 23

Mariana Stoica 25

25. a) 2x5x2x1 M dnd x∈{0, 2, 4, 6, 8} b) 4x5x2x1 M dnd 4x5 M

26. A = {2024, 19320, 45000, 51400} C = {10245, 15075, 19320, 45000, 51400} E = {19320, 45000, 51400}

27. a) 534 b) 345 c) 435 28. E = 10n + 17

4342143421cifre 1nzerouri n

n 017.....10170.....10010+

=+=

Suma cifrelor este 9 9EM⇒ 29. ( ) 9acba9abca MM +++⇒ , dar a = 3c⇒

( ) ( ) 9bc79c3cbc3 MM +⇒+++⇒ dnd c = 1 şi b = 2 sau c = 2 şi b = 4 sau c = 3 şi b = 6 sau c = 4 şi b = 8 sau c = 5 şi b = 1 sau c = 6 şi b = 3……şi a = 3c⇒ numerele căutate sunt: 3213, 6426, 9639

30. 12abbM dnd ( ) 3bba3abb MM ++⇔ şi }8,4,0{b4bb4abb ∈⇒⇔ MM pentru b = 0: ( ) 9a,6a,3a300a ===⇒++ M

numerele căutate: 300, 600, 900 pentru b = 4: ( ) 7a,4a,1a344a ===⇒++ M numerele căutate: 144, 444, 744 pentru b = 8: ( ) 8a,5a,2a388a ===⇒++ M numerele căutate: 288, 588, 888

4. Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N

1. a) 2 | 2(a + 4b + 5c) deoarece 2 | 2

b) 5 | (69 + 11) deoarece 5 | 80 c) 3 | 3n(1 + 3), deoarece 3 | 3n

2. a) 5 | (15x + 5), adică 5 | 5(3x + 1) deoarece 5 | 5

3. a)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

.................7299

819

99

3

2

1

u (912) = u (94)3 = 13 = 1

şi ultima cifră a numărului 712 este x∈{1, 3, 7, 9},

Mariana Stoica 26

deoarece u (74) = 1 11)7(u 312 ==→ , rezultă că diferenţa 1212 79 − are ultima cifră 0. b) se dă factor comun 3n · 5n c) analog a)

4. a) dacă 3 | (x + 4y) rezultă că 3 | 4(x + 4y) adică 3 | (4x + 16y) c) dacă 9 | (x + 6y) atunci 9 | 9 (x + 6y), adică 9 | (9x + 54y)

atunci

)y48x8(|9)y6xy54x9(|9

__________)y6x(|9

)y54x9(|9

+−−+

⎩⎨⎧

++

5. a) x | (x + 2) dnd x | x şi x | 2; prima condiţie este satisfăcută. x | 2 dnd x∈{1, 2}; c) x∈{0, 3}

6. 4342143421cifren cifre n

n 1988.....10019880....1000198810E =+=+=

EM 18 deoarece este M cu 2 şi cu 9. 7. ( )ca99c99a99a10·b100·cc10·b100·acbaabc −=−=−−−++=− 8. ( ) 511ab25151ab102ab·251100·abN M+=+=++= 9. x = 3; 10. x = 7; 11. se dă factor comun 22n · 92n 12. N = 1 · 2……·30 are 7 zerouri.

5. Numere prime. Numere compuse 4. 53, 59 5. a) F b) F c) F d) F e) A 6. Ex. 137 nu se divide cu 2, cu 3, cu 5. Împărţim 137 la 7 şi obţinem 19

rest 4. Împărţim 137 la 11 şi obţinem 12 rest 5. Observăm că: câtul este mai mare decât împărţitorul (12 > 11), continuăm împărţirea. Împărţim 137 la 13 şi obţinem 10 rest 7. Ne oprim deoarece 10 < 13. Concluzie: 137 nu se divide la nici un număr prim ≤ 13. Presupunem că 137 s-ar divide cu un număr natural > 13, atunci el s-ar divide şi cu câtul împărţirii lui 137 la 13, care este < 13.

7. 24733 şi 2 8. 5 = 2 + 3 31 = 3 + 5 + 23 9. a) F b) A c) F d) A 10. (11, 2) 11. a) 55 = 53 + 2

Mariana Stoica 27

12. { }29,23x2 ∈ ; { }47,43,41x4 ∈ 13. a) 23, 29 b) 32 c) 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97. 14. a = 1 15. numărul va arăta 321

cifre2n 01...0014 ; suma cifrelor este 6.

6. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime

3. a = 5·3·2 34 ; b = 28652 5·3·2b·a5·3·2 =→ ; 4. 1702 = 2 · 851; 31,53; 6. a) 11·7·3·2 2811 ; 7. 101, 103, 107, 109; 8. D2·3

2 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}; 10. 32 divizori 11. Se dă factor comun 3n+2 · 22n+3 şi se obţine 632·3·9·8·7 n2n M 12. Se dă factor comun 52n · 72n · 112n şi se obţine un numărM 5005. 10. b = a + 1, c = b + 1 = a + 2

2a112a1aa211cbaa =⇒=++++⇒=+++ numărul căutat: 2234 iar sub formă zecimală:

410·310·210·2N 23 +++= 11. 36xy1979 M dnd este divizibil cu 4 şi cu 9⇔ 4xyM şi

9xy1979 M dnd ( ) ( ) 9yx89yx9791 MM ++⇒+++++ . Se găsesc 197964 şi 197928.

12. Se descompun numerele şi se obţin 3 zerouri. 13. 45,46 14. Se descompune numărul, se obţin 22, 23, 24. 15. a) 6 zerouri d) 3 zerouri 20. a) 24 elemente; b) 24 elemente c) mulţimi egale ca număr de elemente (cardinale egale)

7. Divizori comuni a două sau mai multe numere naturale, c.m.m.d.c., numere prime între ele, c.m.m.m.c.

1. a) 6 = 2 · 3; 14 = 2 · 7⇒ [6, 14] = 2

d) [12, 20] = 4 e) [2, 4, 8] = 2 i) [2, 3, 6, 15] = 1 2. a) [3, 15, 45, 60] = 3 f) [112, 252, 350] = 14 3. 4 soluţii 5. 15xyy M dnd 3xyy M şi cu 5 Numerele căutate sunt: 300, 600, 900, 255, 555, 855. 6. 2 soluţii: 15 şi 60; 30 şi 45; 7. 864

Mariana Stoica 28

8. a) fie d | n + 2 şi d | 2n + 3

⎩⎨⎧

++

3n2|d2n|d ( ) 1d1|d,3n24n2|d

3n2|d4n2|d

=→−−+⇒⎭⎬⎫

++

⇒

d) fie ⎩⎨⎧

++

7n5|d11n8|d

⇒

1d1|d55n4056n40|d

56n40|d55n40|d

=→−−+

⎩⎨⎧

++

9. 2ab0a dnd 6a0ab MM şi cu 3; numerele căutate sunt: 2502; 2802; 4104; 4704; 6006; 6306; 6906; 8208; 8508

10. 360 – 1 = 359 12. (a, b) = 2; 10 < a, b < 20; 3 soluţii: (12, 14); (14, 16); (14, 18) 13. 3720, 3750, 3780, 3702, 3732, 3762, 3792, 3714, 3774, 3726, 3756, 3786, 3708, 3738, 3768, 3798 14. D = I · C + R; 35 15. D = I · C + R 71512727nc12c·n727 11 =−=⇒+= 845nc15c·n860 22 =⇒+= 585nc14c·n599 33 =⇒+= Împărţitorul este 65, adică (715, 845, 585) 17. [a, b] = 2625: 5 = 525; 18. 16,64; 16. (a, b) · [a, b] = a · b 21. 180, 48 22. Se descompune numărătorul în factori primi

23. Doar una este reductibilă: 20

1980 , restul sunt ireductibile.

24. 415, 16 25. ( ) ( ) 121d91c10b10a9111d1001c110b110a1001 222 M+++=+++ 26. (1155; 988) = 1

28. fie 7n4|d5n3|d

++

⇒

1d1|d)20n1221n12(|d

21n12|d20n12|d

=⇒−−+

⎩⎨⎧

++

30. nu

Mariana Stoica 29

Test 1 1. M = {3, 6, 12}; 2. 14, 30;

3. fie 1d1|d)2n63n6(|d2n6|d3n6|d

1n3|d1n2|d

=⇒⇒−−+⇒⎭⎬⎫

++

⇒⎭⎬⎫

++

4. 162, 165, 168, 261, 264, 267; 5. N = 1378·7·2 nn M ; 21888, 51444, 81000; 7. a) 8; b) 177851; 8. {2, 4, 5, 10}; 9. 2175, 2370, 2475, 2670, 2775, 2970

Test 2 1. 62; 2. 9998; 3. 123, 153, 183; 4. 53, 59, 61; 6. a) (80, 180, 810) = 10, [80, 180, 810] = 6480 b) (168, 448, 756) = 28, [168, 448, 756] = 12096 c) (150, 450, 1800) = 150, [150, 450, 1800] = 1800 7. Trebuie arătat că ( )( )( )( ) 1204a3a2a1a·a M++++ , adică este divizibil cu 3, 5 şi 8. Notăm cu N = ( )( )( )( )4a3a2a1a·a ++++ ; N este divizibil cu 3 deoarece dintre trei numere naturale consecutive cel puţin unul este divizibil cu 3. N este divizibil cu 5 deoarece dintre cinci numere naturale consecutive cel puţin unul este multiplu a lui 5 şi N este divizibil cu 8 deoarece N este divizibil cu 2, şi dintre patru numere naturale consecutive cel puţin unul este divizibil cu 4. Sau a poate fi de forma

a = 2k ( )( )( )( ) =++++=⇒ 4k23k22k21k2k2N

= ( )( )( )( )2k3k21k1k2k23 ++++ este divizibil cu 8.

8. lk72p7Nl k, l,72k N729] 8, 6, [4,

7p forma desunt (N) cautate numerele+=⇒

⎭⎬⎫

∈+=⇒=

7

lk2k107

lk2k707

lk72p ++=

++=

+=⇒ ( ) 7lk2 M+⇒

dacă 721 si 21710k si 3k1l ⇒==⇒= ; dacă 938 si 43413k si 6k2l ⇒==⇒= ; dacă 651 si 1479k si 2k3l ⇒==⇒= . l ≤ 3 deoarece prin împărţirea la 4, 6, 8 şi 9 obţinem acelaşi rest şi cel mai mic împărţitor este 4. 9. a) 248 b) 20

Mariana Stoica 30

Test 3 1. Obținem numărul inițial.

2. Numerele au forma n=18·c, c<17. Numerele sunt : 0,18,36,…,18·15,18·16.

3. n=4.

6. 21=2; U(7100)=U(74)=1.

7. Oricum am pune 17 bile în 4 cutii, cel puțin o cutie conține cel puțin 5 bine

(cf. Principiului lui Dirichlet). Iar din cele 5 bile de două culori, cf. aceluiași

principiu, cel puțin trei sunt de aceeași culoare.

9. 8+7+1=16

10. Din fiecare vârf pleacă n-3 diagonale pentru că un vârf și cu două vârfuri

adiacente nu determină diagonale. Fiind n vârfuri avem n(n-3) segmente. Dar

fiecare diagonală a fost numărată de două ori, deci numărul diagonalelor este

n(n-3)/2. Altfel, dacă avem n puncte distincte (oricare trei necoliniare), ele

determină n(n-1)/2 drepte. Pentru a afla numărul diagonalelor trebuie să

scădem numărul laturilor și obținem:

n(n-1)/2 – n = n(n-3)/2.

11. 360= 23 · 32 · 5. Rezultă (3+1)(2+1)(1+1)=24 divizori.

12. ( m+ 1 )( n+ 1)=8 ; rezultă numerele 37 ,54, 24, 27.

13. 15|A=> A= 3x · 5y ·pk1· pk2 …..; x,y ≠0. τ(A)=(x+1)(y+1)(k1 + 1)

(k2 +1)... . Cum x+1 ≠ 1 si y +1 ≠ 1 => x+1=2 si y+1 =7 sau x+1=7 si y+1=2.

Deci x=1 si y=6 sau x=6 si y=1. Numerele care satisfac condiția problemei sunt

A= 3 · 56 sau A=36·5.

14. 1+4+9+16+25 =55.

Mariana Stoica 31

BIBLIOGRAFIE 1. T. Udrea, D. Niţescu, Manual de matematică pentru clasa a VI a, Ed.

Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 2002 2. I. Cuculescu, C. Ottescu, L. Gaiu, Manual de geometrie pentru clasa a

VI a, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,1989 3. A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele V-VIII, Ed.

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982 4. D. Brânzei, D. Zaharia, M. Zaharia, Culegere pentru clasa a VI a, Ed.

Paralela 45, 2004 5. Gr. Gheba, Exerciţii şi probleme pentru clasele V-IX, Ed. Icar,

Bucureşti, 1991 6. I. Petrică, Probleme de matematică pentru gimnaziu, Ed. Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1985 7. E. Dăncila, I. Dăncila, Matematica pentru învingători, Erc Press,

Bucureşti, 2008.

Mariana Stoica 32