TEZECUSUBIECTUNIC2007Breviar teoretic,exemple i teste deClasa a VIII-a

Cuprins: ALGEBR1.Numere reale2.Funcii 3.Ecuaii i inecuaii GEOMETRIE4.Relaii ntre puncte, drepte, plane5.Proiecii ortogonale pe un plan6.Calcul de arii i volumeVioPet, octombrie 20061SimboluriMATEMATICESimbolulSemnificaia ExempluMulimea vid Mulimea care nu are nici un elementReuniune { } { } 7 ; 6 ; 5 ; 3 5 ; 4 ; 3 ; 2 Intersecie { } { } 7 ; 6 ; 5 ; 3 5 ; 4 ; 3 ; 2 Diferen { } { } 7 ; 6 ; 5 ; 3 5 ; 4 ; 3 ; 2 Incluziune { } { } 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 4 ; 3 ; 2 Apartenen { } 4 ; 3 ; 2 ; 1 2 ; PABImplicit, echivalent10 2 x 3 7 3 x +Rezult2 x 8 2 x 3 +Sum15 5 4 3 2 1 x51 x + + + + Oricare ar fi aZ,2a este numar parExist nm, m,n 0, ( )baastfel nct 1banm Aproximativ egal 125 : 62 2l divide 3 15 Se divide 189Mai mic sau egal 10 3 x 2 +Mai mare sau egal 10 3 x 2 +Tinde, cu valori n , definit pe+ x;B A : f Infinit 2 x1limx++ Rdcina ptrat 8 64 t [AB] Segmentul ABCongruent, identic MNP ABC Asemenea ABC MNPPerpendicular AB MN Paralel AB MNTriunghi ABC( ) MN ; A dDistana de la un punct la o dreapt( ) [ ] ABC ; P dDistana de la un punct la un planNumar iraional 3,15159Scuze pentru eventualele greeli de dactilografiere.Un material util pentru elevi.VioPet, octombrie 20062GEOMETRIECAPITOLUL 1.RELAIINTREPUNCTE,DREPTEIPLANEPUNCTE,DREPTE,PLANE:CONVENIIDEDESENIDENOTAIE Punctul este figura geometric ce se aseamn cu o urm lsat de un creion; Punctul nu are dimensiune; Punctele se noteaz cu litere mari de tipar: A, B, C, , A1, A2, Dreapta este figura geometric ce se aseaman cu un fir foarte subire perfect ntins; Dreapta are o singur dimensiune - lungimea; Dreptele se noteaz astfel: AB, BC,, d, d1, d2, Planul este figura geometric ce se aseaman cu o pnz foarte subire perfect ntins; Planul are dou dimensiuni lungimea i limea; Planele se noteaz astfel: (ABC) sau , , , DETERMINAREADREPTEI Dou puncte diferite determin o dreapt. Dreapta AB sau d. Ad i Bd. Trei puncte situate pe o dreapt se numesc puncte coliniare: punctele A, B i C sunt puncte coliniare.DETERMINAREA PLANULUITrei puncte necoliniare determina un plan. Dou drepte concurente determin un plan.O dreapt i un punct exterior ei determin un plan. Dou drepte paralele determin un plan.P I R A M I D A descriere i reprezentare Patru puncte necoplanare i oricare 3 dintre ele necoliniare formeaz o piramid triunghiular;Dac avem 4 sau mai multe puncte coplanare i necoliare i un altul necoplanar cu primele atunci acestea determin o piramid cu baza: un patrulater, un pentagon, un hexagon, etc.;Elementele geometrice a unei piramide:a. baza piramidei;b. faa lateral;c. muchia bazei;d. muchia lateral;e. nlimea;f. apotema bazei (dac baza este un poligon VioPet, octombrie 20063regulat);g. apotema piramidei (dac piramida este dreapt).TETRAEDRUL REGULAT Tetraedrul regulat este piramida triunghiular (regulatdreapt) cu toate muchiile congruente. Toate fetele (4 la numr) sunt triunghiuri echilaterale congruente. In funcie de lungimea muchiei = l, vezi pe figur lungimile elementelor geometrice ale tetraedrului regulat; Aria lateral: 43 l3 A 3 A2f l ; Aria total: 3 l43 l4 A 4 A22f t ; Volumul: 122 l3122 l 3336 l43 l3h AV33 2b .PRISMA: descriere i reprezentareP R I S M A P A T R U L A T E R A R E G U L A T AD R E A P T Abazele sunt ptrate i plane paralele;feele laterale sunt dreptunghiuri congruente;feele laterale opuse sunt n plane paralele;feele laterale sunt perpendiculare pe baze; 2 2 2h l 2 d + .P R I S M A T R I U N G H I U L A R A R E G U L A T AD R E A P T Abazele sunt triunghiuri echilaterale i plane paralele;feele laterale sunt dreptunghiuri congruente;feele laterale sunt perpendiculare pe baze. P R I S M A H E X A G O N A L A R E G U L A T A D R E A P T AABCDEFF `A `B `C `D `E `lhbazele sunt hexagoane regulate i plane paralele;feele laterale sunt dreptunghiuri congruente;feele laterale opuse fa de centrul lor; sunt n plane paralele;feele laterale sunt perpendiculare pe baze.PARALELIPIPEDULDREPTUNGHIC VioPet, octombrie 20064Explicaii:bazele sunt dreptunghiuri i plane paralele;feele laterale opuse sunt dreptunghiuri congruente;feele laterale opuse sunt n plane paralele;feele laterale sunt perpendiculare pe baze; 2 2 2 2c b a d + + ;( ) ( ) bc ac ab 2 c b a c b a2 2 2 2+ + + + + + + ; ( )t2 2A d c b a + + + , unde At = aria total.CUBULExplicatii:toate cele 6 fee sunt ptrate;bazele sunt ptrate i plane paralele;feele laterale opuse sunt ptrate congruente;feele laterale opuse sunt n plane paralele;feele laterale sunt perpendiculare pe baze; ; 3 l d l 3 l l l d2 2 2 2 2 + + ;2t2ll 6 A ; l 4 A ;A`C`B = triunghi echilateral.POZIIILE RELATIVE A DOU DREPTE N SPAIU;RELAIA DE PARALELISM N SPAIUExplicaii:a. drepte identice;b. drepte concurente,{ } O d d2 1 ;c. drepte paralele, 2 1d d i coplanare;d. drepte oarecare, 2 1d di necoplanare;e. e)dac a bib c, atunci ia c.e)UNGHIURILECULATURILERESPECTIVPARALELEExplicaii:Cazul Iunghiurile sunt congruente;Cazul II unghiurile sunt suplementare.UNGHIULADOUDREPTENSPAIUVioPet, octombrie 20065Explicaii:Dac avem dreptele a i b (necoplanare) i este necesar s gsim unghiul dintre ele, procedm astfel: cautm o dreapt paralel cu una dintre ele i care are un punct comun cu cealalt (de exemplu, b c); Unghiul pe care l formeaz dreapta c cu dreapta a este i unghiul dintre dreptele a i b (unghiul de msur ).DREPTE PERPENDICULAREExplicaii:Dou drepte (i necoplanare) sunt perpendiculare dac unghiul dintre ele este de 900.Fie dreptele aibnecoplanare; a c; c b; a b.POZITIILERELATIVEAUNEIDREPTEFADEUNPLANa.b.c.Explicatii:a. dreapta inclus n plan, d;b. dreapt concurent cu un plan, { }; A d c. dreapt paralel cu un plan, d , dac d a i a.DREAPTAPERPENDICULARPEUNPLANExplicaii:Dac dreptele a i b ib d i a d atunci i . d Teorem: O dreapt perpendicular pe un plan este perpendicular pe orice dreapt inclus n planul dat.DISTANADELAUNPUNCTLAUN PLANExplicatii:distana de la un punct la un plan este drumul cel mai scurt de la acel punct la planul dat;distana de la un punct la un plan este lungimea segmentului de dreapt perpendicular pe planul dat;PQ = distana de la punctul P la planul dac PQ . Pentru asta este necesar: ' b , b PQa , a PQVioPet, octombrie 20066NLIMEAPIRAMIDEIExplicatii:inaltimea unei piramide este distanta de la varful acesteia la baza piramidei;inaltimea unei piramide este perpendiculara dusa din varful piramidei la planul bazei;in cazul unei piramide regulate drepte, piciorul inaltimii este centrul cercului circumscris bazei.POZITIILERELATIVEADOUPLANEa)b)c)Explicaii:a. plane identice (suprapuse);b. plane paralele (a1 b1; a2 b2);c. plane concurente (d ). PLANE PARALELE;DISTANADINTREDOUPLANEPARALELEExplicaii: Dac: ' atuncin b , m an , m , b , a; AB este distana dintre cele dou plane paralele dac : ' B , ABA , AB; Dac' B , ABA , ABatunci cele dou plane sunt paralele.NLIMEAPRISMEIExplicaii: nlimea unei prisme este distana dintre bazele acesteia. Cnd prism este dreapt, nlimea este egal cu muchia lateral. O prism dreapt n care bazele sunt poligoane regulate se numete prism regulat.SECIUNIPARALELECUBAZANCORPURILEGEOMETRICE STUDIATEVioPet, octombrie 20067Explicaii: Prin secionarea unei prisme cu un plan paralel cu baza rezult o figur geometric congruent cu cea a bazei. De exemplu, la o prisma patrulater regulat dreapt rezult ptratul MNPR congruent cu ptratul ABCD. Prin secionarea unei piramide cu un plan paralel cu baza rezult o figur geometric asemenea cu cea a bazei. De exemplu, la o piramid patrulater regulat dreapt rezult ptratul A`B`C`D` asemenea cu ptratul ABCD. Mai mult dect att, rezult: VE` VEOE` E ` OVC` VCAB` B ` AVO` VO .LUCRARE DE VERIFICARECLASA a VIII-aRELATII INTRE PUNCTE, DREPTE, PLANEToate subiectele sunt obligatorii.Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.Se acorda 10 puncte din oficiu.SUBIECTUL I (50 puncte) Pe lucrare se trec numai rezultatele.4p 1. a) Dac o prism are 12 vrfuri, atunci numrul feelor este egal cu .4p b)Dac o piramid are 6 vrfuri, atunci numrul fetelor este egal cu ..4p c) Numrul muchiilor unei prisme patrulatere este egal cu .6p 2. a) Numrul maxim de drepte ce trec prin 4 puncte oarecare este egal cu 4p b)Cinci puncte necoliniare i necoplanare determin un mumr de plane egal cu 4p c) Dou drepte perpendiculare pe un plan sunt .. 4p 3. a) Dou plane perpendiculare pe o dreapt sunt .4p b) Faele laterale ale unei piramide sunt..4p c) Feele laterale ale unei prisme sunt ..4p 4. a) Dou drepte paralele determin un 4p b)Trei puncte necoliniare determin un .4p c)Numrul de muchii ntr-o prism n care baza este un poligon cu 7 laturi, este egal cu .. SUBIECTUL II (40 puncte) Pe lucrare scriei rezolvrile complete.1. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 20cm i BC = 15 cm. Pe planul dreptunghiului se ridic o perpendicular MA astfel nct MA =3 20 cm.5p a) Aflai lungimea MB;5p b) Aflati lungimea MC.2. Pe planul ptratului ABCD se ridic de aceeai parte perpendicularele AM, BN, CP, DR astfel nct AM = 6cm, CP = 16cm, DR = 18cm.5p a) Aflai lungimea lui BN astfel nct punctele M, N, P, R s fie coplanare.VioPet, octombrie 200685p b)Dac MD = 2 10cm, aflai latura patratului ABCD.3. Fie VABC o piramid triunghiular regulat dreapt unde AB = 12cm i nlimea VO = 12 cm.5p a) Aflai lungimea muchiei laterale a piramidei5p b) Aflai apotema piramidei10p c) La ce distan de vrful piramidei se duce un plan paralel cu baza astfel nct ariile laterale ale corpurilor formate s fie egale.CAPITOLUL2.PROIECIIORTOGONALEPEUNPLANPROIECIIDEPUNCTE,DESEGMENTEDEDREAPTIDE DREPTE PEUNPLANExplicaii: Proiecia unui punct peunplan este unpunct. Dac AA`, A` este proiecia lui A pe planul . Proieciaunui segment dedreaptpeunplanesteun segment de dreapt. Dac AA` , BB` , A`B` este proiecia lui AB pe planul . Proieciaunei dreptepeunplanesteodreapt. Dac AA`, BB`, A`B` este proiecia lui AB pe planul . UNGHIUL DINTRE O DREAPT I UN PLAN; LUNGIMEA PROIECIEI UNUISEGMENTExemplu / aplicaie:Dreapta AB nu este paralel cu planul . BC . Unghiul dintre dreapta AB i planul dat este unghiul BAC de masur .Dac BC = 6cm i AC = 8cm, atunci:.4386ACBCtg TEOREMA CELORTREIPERPENDICULARE ABb Bbb MBb ABa ; CALCULULDISTANEIDELAUNPUNCTLAODREAPTExemplu / aplica ie : Fie ABCA`B`C` o prism triunghiular regulat dreapt cu muchia bazei de 6cm i nalimea de 8cm. Sa se afle distana de la punctual A` la dreapta BC.Rezolvare: AD BC; AA` (ABC) A`D BC.VioPet, octombrie 20069. cm 91 D ` A 91 64 27 ` AA AD D ` A. 3 323 623 lAD2 2 2 + + CALCULULDISTANEIDELAUNPUNCTLAUNPLANExemplu / aplicatie:Fie VABC o piramid triunghiular regulat dreapt cu AB = 12cm i nlimea VO = 6 2 cm. Se cere s se afle distana de la punctul O la planul (VBC).Rezolvare: [ ] `. VA OP unde OP `) VA ; O ( d ) VBC ( ; O dBC ` VA ; BC ` OA ); ABC ( VO . 6 36 12 24 ` OA VO ` VA ; 3 263 1263 l` OA2 2 + + . cm 2 262 1263 2 6 2` VA` OA VOOP CALCULUL DISTANEIDINTREDOUPLANEPARALELEExplicaii: Lumnplanulmai multepunctei coborm perpendiculare din aceste puncte pe planul . Se obin mai multe segmente paralele. Planele fiind paralele,segmentele sunt congruente. Lungimea fiecrui segment reprezint distana dintre planele paralele.UNGHIDIEDRUUNGHIULPLANCORESPUNZTORDIEDRULUIExplicaii:diedrului al plan unghiul} P { b aa ; bm UNGHIULDINTREDOUPLANEExemplu / aplicaie:Fie VABCD o piramid patrulater regulat dreapt cu AB = 18cm i nlimea VO = 12 cm. Se cere s se afle sinusul unghiului dintre planele (ABC) i (VBC).Rezolvare:). VBC ( i ) ABC ( planele re int d unghiul este; BC VP ; BC OP ); ABC ( VO ; 92182ABOP . 15 225 144 81 VO OP VP2 2 + + VioPet, octombrie 200610.541512VPVOsin3 ( PLANE PERPENDICULAREExplicaii:Dac: ' bbaSau: Dou plane sunt perpendiculare dac msura unghiului plan al diedrului celor dou plane este de 900.LUCRARE DE VERIFICARECLASA a VIII-aPROIECII ORTOGONALEToate subiectele sunt obligatorii.Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.Se acorda 10 puncte din oficiu.(90 puncte) Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.10p1.ABCD este un dreptunghi cu AB = 4cm i BC =3 4 cm. Dac MA este perpendiculara pe planul (ABC) i MA = 4cm, se cere:a) Aflai msura unghiului dintre dreapta MB i planul (ABC);20p b)Aflai tangenta unghiului dintre dreapta MC i planul (ABC).10p2. Pe planul triunghiului echilateral ABC cu AB = 12cm se ridicp perpendiculara AM = 12 cm.a) Aflai distana de la punctul M la dreapta BC 20p b)Aflai distana de la punctul M la dreapta CE unde E(AB) i AE = 8 cm.10p3. Fie VABC o piramida triunghiulara regulata dreapta unde AB = 12cm si inaltimea VO = 12 cm.a) Aflai tangenta unghiului dintre planele (VBC) i (ABC)20pb) Aflai sinusul unghiului dintre planele (VAB) si (VBC).VioPet, octombrie 200611CAPITOLUL:3.CALCULDEARII I VOLUMEPRISMA TRIUNGHIULAR REGULAT(descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic) baza este un triunghi echilateral l = latura bazei h = nlimea prismeiFormule: h A VA 2 A Ah l 3 h P A43 lAbb l tb l2b + PRISMA PATRULATER REGULAT(descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic) baza este un patrat; l = latura bazei; h = inaltimea prismei; d = diagonala prismeiFormule: 2 2 2bb l tb l2bl 2 h dh A VA 2 A Ah l 4 h P Al A+ + VioPet, octombrie 200612PRISMA HEXAGONAL REGULAT (descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)ABCDEFF `A `B `C `D `E `lhDescriere i desfurata corpului (la o scar mai mic) baza este un hexagon regulat; l = latura bazei; h = nlimea prismeiAB CDEFAB`C` D` E` F`A`A`Baza superioaraBaza inferioaraFormule: h A VA 2 A Ah l 6 h P A23 l 3Abb l tb l2b + PARALELIPIPEDULDREPTUNGHIC(descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)baza este un dreptunghi;a,b,c = dimensiunile paralelipipedului ;d = diagonala paralelipipeduluiABC DAB` C` D` A`CDC`D`A`Baza superioaraBaza inferioaraFormule: ( )( )2 2 2 2tb lbc b a dabc Vac bc ab 2 Abc ac 2 h P Aab A+ + + + + VioPet, octombrie 200613CUBUL(descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)toate feele (6) sunt ptrate;l = muchia cubului;d = diagonala cubului;are 12 muchii.ABC D A A` B` C` D` A`DCD` C`Formule: 3 l dl Vl 6 Al 4 Al A32t2l2bVioPet, octombrie 200614PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE:Se consider paralelipipedul dreptunghic ABCDABCD avand AB = 4cm, BC = 3 cm, AA = 5cm. Aflati:a. diagonala corpului;b. aria sectiunii diagonale;c. aria totala si volumul corpului;d. masura unghiului format de diagonala BD cu planul (ABC);e. tangenta unghiului format de diagonala BD cu planul (ADD).Se consider prisma triunghiular dreapt ABCABC cu bazele triunghiuri dreptunghice n A i respectiv n A i catetele de dimensiuni 6cm i 8cm. tiind c nlimea prismei are dimensiunea 12cm, aflati:a. aria total a prismei;b. volumul prismei;c. tangenta unghiului format de planele (ABC) i (ABC).LUCRARE DE VERIFICARECLASA a VIII-a PRISMESUBIECTUL I (50 puncte) Pe lucrare se trec numai rezultatele.4p 1. a) Aria total a unui cub cu latura de 6cm este egal cu .cm2. 4p b) Diagonala unui cub cu latura de3 6 cm este egala cu . cm.4p c) Volumul unui cub cu latura de 4cm este egal cu . cm3.4p 2. a) Aria lateral a unei prisme triunghiulare regulate drepte cu latura bazei de 3cm i nlimea de 4cm este egal cu . cm2.4p b)Aria lateral a unei prisme patrulatere regulate drepte cu latura bazei de 4cm i nlimea de 5cm este egal cu . cm2.4p c) Aria lateral a unei prisme hexagonale regulate drepte cu latura bazei de 6cm i nlimea de 6cm este egal cu . cm2.4p 3. a) Volumul unei prisme triunghiulare regulate drepte cu latura bazei de 2cm i nlimea de 4cm este egal cu . cm3.4p b) Volumul unei prisme patrulatere regulate drepte cu latura bazei de 2cm i nlimea de 4cm este egal cu .cm3.4p c) Volumul unei prisme hexagonale regulate drepte cu latura bazei de 2cm i nlimea de 4cm este egal cu . cm3.6p 4. a) Aria total unui paralelipided dreptunghic cu laturile de 2, 3 si 4cm este egal cu . cm2. 4p b)Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu latuirile de 3, 4 si 12cm este egal cu . cm.4p c) Volumul unui paralelipiped dreptunghic cu laturile de 2, 3 si 4cm este egal cu . cm3. SUBIECTUL II (40 puncte) Pe lucrare scriei rezolvrile complete.1. Dac un cub ABCDA`B`C`D` are ari total de 216cm2, aflai:5p a) Aria lateral i volumul cubului;5p b) Raportul n care proiecia punctului A pe diagonala BD` o mparte pe aceasta.5p2.a)O prism patrulater regulat dreapt ABCDA`B`C`D` are diagonala BD` de 6cm, ea fcnd cu planul (ABD) un unghi de 450. Aflai:Lungimile muchiilor prismei;5p b) Aria total i volumul prismei;5p c) Distana de la punctul D` la dreapta AC.3. Se consider paralelipipedul dreptunghic ABCDA`B`C`D` avnd AB = 8cm, BC = 6cm, AA` = 10cm. Aflai:5p a) Aria seciunii diagonale;5p b) Msura unghiului format de diagonala BD` cu planul (ADC);5p c) Tangenta unghiului format de diagonala BD` cu planul (ADD`).VioPet, octombrie 200615PIRAMIDATRIUNGHIULARREGULAT(descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)22p2l2 2 2l2b2 2p2la mh AO m; a h a

,_

+ + + Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic) baza este un triunghi echilateral; l = latura bazei; h = inaltimea piramidei; ab = apotema bazei; ap = apotema piramidei; ml = muchia lateral; feele sunt triunghiuri isosceleFormule: 3h AVA A A2a PA43 lAbb l tp bl2b+ PIRAMIDA PATRULATER REGULAT(descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)22p2l2 2 2l2b2 2p2la mh AO m; a h a

,_

+ + + Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic) baza este un ptrat; l = latura bazei; h = nlimea piramidei; ab = apotema bazei; ap = apotema piramidei; ml = muchia lateral; feele sunt triunghiuri isosceleFormule: 3h AVA A A2a PAl Abb l tp bl2b+ VioPet, octombrie 200616PIRAMIDAHEXAGONALREGULAT(descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)22p2l2 2 2l2b2 2p2la mh AO m; a h a

,_

+ + + Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic) baza este un hexagon regulat; l = latura bazei; h = nlimea piramidei; ab = apotema bazei; ap = apotema piramidei; ml = muchia lateral; feele sunt triunghiuri isosceleFormule: 3h AVA A A;2a PA;23 l 3Abb l tp bl2b+ TRUNCHIDEPIRAMIDTRIUNGHIULARREGULAT(descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)Descriere i desfurata corpului(la o scar mai mic) bazele sunt triunghiuri echilaterale; L = latura bazei mari; l = latura bazei mici; h = nlimea piramidei; aB = apotema bazei mari ab = apotema bazei mici; atr = apotema trunchiului; ml = muchia lateral; feele sunt trapeze isosceleFormule: VioPet, octombrie 20061722tr2l2 2 2l2b B2 2tr2l La m; h ) ' O ' A AO ( m; ) a a ( h a

,_

+ + + ( )( ). A A A A3hV; A A A A;2a P PA;43 lA ;43 LAb B b Bb B l ttr b Bl2b2B + + + + + TRUNCHIDEPIRAMIDPATRULATERREGULAT(descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)22tr2l2 2 2l2b B2 2tr2l La m; h ) ' O ' A AO ( m; ) a a ( h a

,_

+ + + Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic) bazele sunt ptrate;L = latura bazei mari;l = latura bazei mici;h = nlimea piramidei;aB = apotema bazei mariab = apotema bazei mici;atr = apotema trunchiului;ml = muchia lateral;feele sunt trapeze isoscele.Formule: +( )( )b B b Bb B l ttr b Bl2b2BA A A A3hV; A A A A;2a P PA; l A ; L A + + + + + TRUNCHI DE PIRAMID HEXAGONAL REGULAT(descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)VioPet, octombrie 20061822tr2l2 2 2l2b B2 2tr2l La m; h ) ' O ' A AO ( m; ) a a ( h a

,_

+ + + Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic) bazele sunt hexagoane regulate; L = latura bazei mari; l = latura bazei mici; h = nlimea piramidei; aB = apotema bazei mari ab = apotema bazei mici; atr = apotema trunchiului; ml = muchia lateral; feele sunt trapeze isosceleBaza micaBaza mareFata lateralaMuchie lateralaFormule: ( )( )b B b Bb B l ttr b Bl2b2BA A A A3hV; A A A A;2a P PA;23 l 3A;23 L 3A + + + + +SECIUNIPARALELE CU BAZA NTR- O PIRAMID REGULAT(oricare din cele 3 studiate)Dac se duce unplanparalel cubaza, forma seciunii este un ptrat (sau dup caz un triunghi sau un hexagon) de centrul O`. Se formeazopiramidmai mici respectivun trunchi de piramid.Piramida mai mic este asemenea cu piramida dat.hp = nlimea piramidei mici;H = nlimea piramidei mare, H = hp + htr;htr = nlimea trunchiului de piramid;ap = apotema piramidei mici;a = apotema piramidei mari; a = ap + atr.atr = apotema trunchiului de piramid;ab = apotema bazei mici;aB = apotema bazei mari;mlp = muchia lateral a piramidei mici;mltr = muchia lateral a trunchiului de piramid;m = muchia lateral a piramidei mari;m = mlp + mltr. R = raza cercului circumscris bazei mari;r = raza cercului circumscris bazei mici;i = raportul de asemnare.iRrmmaaHhAB` B ` Alp p p 3 2iV` Vsi iA` A VioPet, octombrie 200619PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE:1. Intr-o piramid patrulater regulat, orice fa lateral face cu planul bazei un unghi de 600 i se proiecteaz pe acesta ntr-un triunghi cu aria egal cu 36cm2. Aflai:a) dimensiunea laturii bazei;b) lungimea nlimii piramidei;c) aria lateral a piramidei date;d) la ce distan de vrful piramidei se poate realiza o seciune paralel cu baza piramidei astfel ncat ariile laterale ale corpurilor formate s fie egale.2. O piramid triunghiular regulat se secioneaza cu un plan paralel cu baza la distana de 10cm de vrf. tiind c aria bazei piramidei este de 64cm2 precum i c nlimea piramidei este 24cm, determinai:a) aria seciunii realizate n piramida;b) aria lateral a piramidei mici formate prin secionare;c) ce procent din volumul piramidei iniiale reprezint volumul piramidei mici formate prin secionare.LUCRARE DE VERIFICARECLASA a VIII-aPIRAMIDA I TRUNCHIUL DE PIRAMIDToate subiectele sunt obligatorii.Timpul efectiv de lucru este de 120 minute.Se acord 10 puncte din oficiu.SUBIECTUL I (50 puncte) Pe lucrare se trec numai rezultatele.5p 1. a) Aria lateral a unei piramide triunghiulare regulate drepte cu latura bazei de 5cm i apotema piramidei de 10cm este egal cu ..cm2.5p b)Volumul unei piramide hexagonale regulate drepte cu latura bazei de 2cm i nlimea de 6cm este egal cu .cm3.5p c) Aria total a unei piramide patrulatere regulate drepte cu latura bazei de 5cm i apotema piramidei de 6cm este egal cu ..cm2.5p 2. a) Aria total a unui tetraedru regulat cu muchia de 5cmeste egal cu .. cm2.5p b)Apotema unei piramide patrulatere regulate drepte cu muchia bazei de 6cm i nalimea de 4cm este egal cu ..cm.5p c)Muchia lateral a unei piramide triunghiulare rgulate drepte cu muchia bazei de3 6 cm i nlimea de 8cm este egal cu .. cm.5p 3. a) Inlimea unei piramide cu aria bazei de 90cm2 i volumul de 90cm3 este egal cu cm.5p b) Apotema unei piramide regulate drepte cu muchia bazei de 6cm i muchia lateral de 5cm este egal cu cm.5p c) Aria lateral a unei piramide patrulatere regulate drepte cu toate muchiile egale cu 6cm este egal VioPet, octombrie 200620cu .cm2.5p d) Aria seciunii axiale diagonale a unei piramide patrulatere regulate drepte cu muchia bazei de 4cm i nlimea de 2 4cm este egal cu ..cm2. SUBIECTUL II (40 puncte) Pe lucrare scriei rezolvrile complete.1.Intr-o piramid hexagonal regulat dreapt se cunosc muchia bazei de 6cm i nlimea de6 3cm. Aflai:5p a) Aria lateral a piramidei;5pb) Distana de la centrul bazei la o fa lateral.5p2. O piramida triunghiular regulat dreapt VABC are nlimea de 12cm, iar o fa lateral face cu planul bazei un unghi de 600. Aflai: a) Volumul piramidei;5pb)Cosinusul unghiului format de o muchie lateral cu planul bazei;5p c) La ce distan de vrful piramidei se duce un plan paralel cu baza astfel nct aria lateral a piramidei mici s fie jumtate din aria lateral a piramidei mari.3. Fie ABCDA`B`C`D` un trunchi de piramid patrulater regulat n care ACC`A este un trapez ortodiagonal cu baza mic de 2 6 i baza mare de 2 12cm. Aflai:5pa)Volumul trunchiului de piramid;5pb)Aria total a trunchiului de piramid;5pc)Volumul piramidei din care provine trunchiul de piramid.CILINDRUL CIRCULAR DREPT(descriere, desfurare, seciuni paralele cu baza, seciuni axiale, aria lateral, aria total, volum)Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)R = raza bazei (a cilindrului);G = generatoarea cilindrului;h = nlimea cilindrului;h = G.Formule: h R VA 2 A A ; G R 2 A ; R A2B l t l2B + Dac se duce un plan paralel cu baza, forma seciunii este un cerc de raza R. Seciunea axial a cilindrului este dreptunghiul ABB`A`.CONUL CIRCULAR DREPT(descriere, desfurare, seciuni paralele cu baza, seciuni axiale, aria lateral, aria total, volum)VioPet, octombrie 2006212 2 2h R G + Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic) R = raza bazei (a conului); G = generatoarea conului;h = inaltimea conului;Formule:3h RVA A AG R AR A2B l tl2B + Dac se duce un plan paralel cu baza, forma seciunii este un cerc de centrul O`. Se formeaz un con mai mic i respectiv un trunchi de con.Conul mai mic este asemenea cu conul dat.hc = nlimea conului mic;H = nlimea conului mare, H = hc + htr;htr = nlimea trunchiului de con;Gc = generatoarea conului mic;G = generatoarea conului mare,G = Gc + Gtr;Gtr = generatoarea trunchiului de con;R = raza conului mare;r = raza conului mic;i = raportul de asemnare.iRrGGHhc c 3 2iV` Vsi iA` A Unde: A = aria (lateral sau total) a conului mare; A` = aria (lateral sau total) a conului mic; V = volumul conului mare; V` = volumul conului mic. Triunghiul VAB = seciunea axial a conului; Trapezul ABB`A` = seciunea axial a trunchiului de con.( )2 2tr2trr R h G + TRUNCHIULDECONCIRCULARDREPT(descriere, desfurare, aria lateral, aria total, volum)2 2 2) r R ( h G + Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic) R = raza bazei mari;r = raza bazei mici;G = generatoarea tr. de con; h = inaltimea tr. de con; Formule: ( )( ) r R r R3hVA A A Ar R G Ar A ; R A2 2b B l tl2b2B + + + + + SFERA: descriere, aria, volumulVioPet, octombrie 200622Descriere Sfera este locul geometric al tuturorpunctelor din spatiu egal departate fata de un punct fix, O,numit centrulsferei.R = raza sfereiFormule: 3R 4VR 4 A32 PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE:1. Intr-un cilindru circular drept se duce un plan paralel cu axa, ce taie din cercul bazei un arc de 1200. Lungimea axei este 20cm, iar distantele de la axa la planul secant sunt 4cm. Determinati aria seciunii.2. S se calculeze unghiul desfurrii suprafeei laterale a unui con dac:a) unghiul cel mare dintre generatoare este drept;b) generatoarea formeaz cu planul bazei un unghi de 600.3. Suprafata seciunii axiale a unui trunchi de con este egal cu diferena ariilor bazelor, iar razele celor dou baze sunt R = 16cm i r = 10cm. Aflai aria total i volumul trunchiului de con.4. Dou sfere sunt tangente n punctul P. O dreapt dus prin P taie cele dou sfere n A i B. Artai c planele tangente n A i B la cele dou sfere sunt paralele.LUCRARE DE VERIFICARECLASA a VIII-aCORPURI ROTUNDEToate subiectele sunt obligatorii.Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.Se acord 10 puncte din oficiu.SUBIECTUL I (50 puncte) Pe lucrare se trec numai rezultatele.4p 1. a) Aria lateral a unui cilindru circular drept cu raza de 4cm i generatoarea de 5cm este egal cu. cm2.4p b)Aria lateral a unui con circular drept cu raza de 6 cm i generatoarea de 10cm este egal cu. cm2.4p c) Aria lateral a unui trunchi de concircular drept cu raza mare de 5cm, raza mic de 2 cm i generatoarea de 5cm este egal cu .cm2.4p 2. a) Aria total a unui cilindru circular drept cu raza de 5cm i generatoarea de 2cm este egal cu cm2.4p b)Aria total a unui con circular drept cu raza de 10cm i generatoarea de 18cm,este egal cu . VioPet, octombrie 200623cm2.4pc)Aria total a unui trunchi de con circular drept cu raza mare de 8cm, raza mic de 2cm i generatoarea de 10cm,este egal cu . cm2.4p3. a)Intr-un con circular drept cu raza de 5cm i nlimea de 12cm, generatoarea este egal cu cm.6pb)ntr-un trunchi de con circular drept cu raza mare de 6cm, raza mic de 3cm, nlimea de 4cm, generatoarea este egal cu .cm.4pc)Aria unei sfere cu raza de 2cm este egal cu .cm2. 4p4. a)Volumul unui cilindru circular drept cu raza de 3cm i nlimea de 5cm este egal cu cm3.4pb) Volumul unui con circular drept cu raza de 3cm i nlimea de 6cm este egal cu cm3.4pc)Volumul unei sfere cu raza de 9cm este egal cu .cm3. SUBIECTUL II (40 puncte) Pe lucrare scriei rezolvrile complete.1. Seciunea axial a unui cilindru circular drept este un ptrat de latur 8cm.5p a) Desenai cilindrul i calculai aria total a acestuia.5p b) Artai ca n cilindru nu ncap 0,4 litri de ap.5p2.a)Seciunea axial a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu latura de 6cm.S se afle volumul conului.5p b)S se afle msura unghiului sectorului de cerc rezultat din desfurarea suprafeei laterale a conului.5p c)S se afla drumul cel mai scurt de pe suprafaa conuluide la A la B.3. Un con circular drept cu raza bazei de 9cm i nlimea de 18cm se taie cu un plan paralel cu baza, determinndu-se un trunchi de con cu nlimea de 12cm. Se cere:5p a) Volumul trunchiului de con format.5p b) Distana de la centrul bazei mici al trunchiului de con la generatoarea acestuia.5pc) La ce distan de vrful conului ar fi trebuit s se duc un plan paralel cu baza astfel nct ariile laterale ale celor dou corpuri formate s fie egale? VioPet, octombrie 200624