FACULTATEA DE AGRONOMIE COLECTIVUL DE BIOLOGIE

SECIA FRECVEN REDUS

Prof. Univ. Dr. DUMITRU ENE

BIOSTATISTIC

Ediia II revizuit

- BUCURETI -

2010

3 Pagina Prefa...6 CAP. 6 CALCULUL PROBABILITILOR.7 6.1 Evenimente i probabilitile lor.7 6.1.1 Evenimente...7 6.1.2 Probabilitile evenimentelor....8 6.1.3 Probabilitile condiionate ale evenimentelor11 6.2 Variabile aleatoare...14 6.2.1 Densitatea de probabilitate i funcia de repartiie ...14 6.2.2 Indicatori numerici ...19 6.2.3 Funcia caracteristic 22 6.3 Vectori aleatori.24 6.3.1 Densitatea de probabilitate i funcia de repartiie ...24 6.3.2 Indicatori numerici ..27 6.4 Variabile aleatoare clasice discontinue...31 6.4.1 Variabila binomial...31 6.4.2 Variabila hipergeometric.34 6.4.3 Variabila Poisson..35 6.5 Variabile aleatoare clasice continue37 6.5.1 Variabila uniform37 6.5.2 Variabilele exponenial, Weibull, Erlang...37 6.5.3 Variabila normal.39 6.5.4 Variabilele Hi Patrat, Student, Fisher41 A. Variabila Hi Patrat (2).41 B. Variabila Student(t)...42 C. Variabila Fisher (F)42 6.5.5 Vectorul aleator normal..44 6.6 Legi-limit45 6.7 Fiabilitatea echipamentelor..48

CAP.7 CULEGEREA I PRELUCRAREA DATELOR DE SONDAJ.........................................52 7.1 Populaii statistice i sondaje...52 7.2 Indicatori de sondaj de repartiie..55 7.2.1 Cazul sondajului de volum mic (n < 30)55 7.2.2. Cazul sondajului de volum mare (n > 30).59 7.3 Indicatori de sondaj de evoluie67 7.3.1 Cazul msurtorilor simple n timp67 7.3.2 Cazul msurtorilor multiple n timp73 7.3.3 Indici statistici...75 7.4 Estimaii / teste n populaii normale84 7.5 Estimaii / teste parametrice n populaii normale87 7.5.1 Estimaii / teste pentru parametrii , ai unui caracter cantitativ ntr-o populaie normal...87 7.5.2 Estimaii / teste pentru parametrul p al unui caracter calitativ ntr-o populaie normal..91 7.5.3 Estimaii / teste pentru parametrii 2 - 1, 2 / 1 ai unui caracter cantitativ n

4 dou populaii normale.93 7.5.4 Estimaii / teste pentru parametrul p2 p1 al unui caracter calitativ n dou populaii normale..98 7.6 Teste neparametrice n populaii normale100 7.6.1 Testul hi patrat de concordan...100 7.6.2 Testul hi patrat de independen102 7.6.3 Testul normalitii prin asimetrie i boltire105 CAP. 8 TESTE ALE CONTROLULUI CALITII I FIABILITII N AGRICULTUR.107 8.1 Controlul statistic de calitate n cursul procesului de producie107 8.1.1 Cazul unei nsuiri cantitative..109 8.1.2 Cazul unei nsuiri calitative..112 8.2 Controlul statistic de calitate la recepie.114 8.2.1 Controlul unei nsuiri cantitative....117

A. Controlul simplu al unei nsuiri cantitative.117 B. Controlul secvenial al unei nsuiri cantitative...119

8.2.2 Controlul unei nsuiri calitative..121 A. Controlul simplu al unei nsuiri calitative...121

B. Controlul secvenial al unei nsuiri calitative.122 8.2.3 Controlul fiabilitii mainilor agricole..124 A. Controlul simplu al fiabilitii.124 B. Controlul secvenial al fiabilitii125

CAP. 9 ANALIZA VARIANEI I PLANURI EXPERIMENTALE N AGRICULTUR 127 9.1 Analiza varianei monofactorial nebalansat n populaii omogene...127 9.2 Analiza varianei bifactorial complet nebalansat n populaii omogene.127 9.3 Analiza varianei bifactorial ierarhic nebalansat n populaii omogene..135 9.4 Planuri experimentale n populaii neomogene143 9.4.1 Planul blocurilor complete randomizate..148 9.4.2 Planul patratelor latine.152 CAP. 10 CORELAIA I REGRESIA NTRE CARACTER158 10.1 Corelaia i regresia monofactorial liniar..158 10.1.1 Cazul observaiilor perechi (xi, yi).158 10.1.2 Cazul observaiilor multiple (xi, yij).173 10.1.3 Cross-corelaia i autocorelaia seriilor de timp...177 10.2 Corelaii i regresii monofactoriale neliniare...179 10.2.1 Corelaia i regresia monofactorial polinomial..180 10.2.2 Corelaia i regresia monofactorial trigonometric183 10.2.3 Corelaia i regresia monofactorial polinomial-trigonometric..186 10.3 Corelaii i regresii polifactoriale..190 10.3.1 Corelaia i regresia polifactorial liniar pentru cazul a 2+1 caractere..190 10.3.2 Corelaia i regresia polifactorial liniar pentru cazul a m+1 caractere.200 10.3.3 Corelaia i regresia polifactorial polinomial de grad k fr interaciuni pentru cazul a m+1 caractere...212 10.3.4 Corelaia i regresia polifactorial polinomial de grad 3 cu interaciuni pentru cazul a m+1 caractere...214

5CAP.11 SISTEME BIOLOGICE..215 11.1 Definiia,clasificarea i proprietile sistemelor 11.1.1 Definiia sistemelor 11.1.2 Clasificarea sistemelor 11.1.3 Proprietile sistemelor 11.1.4 Sisteme liniare 11.2 Sisteme biologice.. 11.2.1 Sisteme biologice pn la nivel de organism (biosisteme) 11.2.2 Sisteme biologice la nivel de populaii (biocenoze) 11.2.3 Pdurile ca ecosisteme vegetale BIBLIOGRAFIE218 ANEX CU TABELE STATISTICE Tabel 1 Funcia de repartiie N(0;1) : F( u/2 ) 1 /2 Tabel 2 Valorile Student t /2 i t : P( | t | > t /2 ) = P( t > t ) = Tabel 3 Valorile hi patrat 2 : P( 2 > 2 ) = Tabel 4 Valorile Fisher F0.05 : P( F> F0.05 ) = 0.05 Tabel 5 Valorile Fisher F0.01 : P( F> F0.01 ) = 0.01 Tabel 6 Valorile Fisher F0.001 : P( F> F0.001 ) = 0.001 Tabel 7 Amplitudinea studentizat Tukey T0.05 Tabel 8 Amplitudinea studentizat Tukey T0.01 Tabel 9 Valori critice ale asimetriei i boltirii Tabel 10 Valori critice R/2 ale coeficientului de corelaie liniar R Tabel 11 Transformarea Fisher z = 0.5 ln [(1 R)/(1+ R )] Tabel 12 Valori critice pentru fie de control al calitii Tabel 13 Valorile lui - P.log2P pentru calculul entropiei

6

Prefa Aceast lucrare este destinat studenilor de la Facultatea de Agronomie ,Secia Biologie Frecven redus . Capitolele 6-10 sunt consecrate aplicaiilor statisticii n biologie i agricultur , domeniu care are o lung tradiie n tara noastr. Aplicaiile statisticii n agricultur au beneficiat de aportul remarcabil al computerelor pentru partea de calcule prin produse informatice generale sau specializate pe statistic. n acest moment accentul cade pe modelarea statistic cea mai eficient n biologie i agricultur i pe interpretarea corect a rezultatelor n vederea lurii unor decizii corecte i rapide. Biologia ca domeniu de activitate cu risc din partea naturii , se dovedete un domeniu de predilecie al statisticii , ca mod de gndire al viitorului , citndu-l pe statisticianul V.Vod. Capitolul 6 prezint noiunile de teoria probabilitilor strict necesare pentru nelegerea conceptelor statisticii:evenimente,probabiliti,variabile i vectori aleatori,variabile aleatoare clasice , legi-limit i fiabilitatea echipamentelor. Capitolul 7 prezint sondajele n populaii statistice,semnificaia i modul de calcul al indicatorilor de sondaj de repartiie i evoluie. Acest capitol se ncheie cu estimaii i teste parametrice ale mediilor i abaterilor-standard n populaii pentru caractere cantitative(msurabile) respectiv estimaii i teste parametrice ale probabilitilor n populaii pentru caractere calitative( atributive) precum i teste neparametrice n populaii : concordan,independen i normalitate a populaiei. n capitolul 8 se prezint testele controlului calitii i fiabilitii n biologie i agricultur att n cursul procesului de producie(prin fie de control al calitii) ct i la recepie(prin control simplu i secvenial). n capitolul 9 se prezint analiza varianei mono i polifactorial nebalansat complet i ierarhic n populaii omogene inclusiv calculul componentelor de varian n populaie. Pentru populaii neomogene se prezint principalele planuri experimentale folosite n biologie i agricultur:planul blocurilor complete randomizate i planul patratelor i dreptunghiurilor latine. Facem precizarea c n capitolul 9 folosim denumirea de indice de corelaie ,distinct fa de denumirea de raport de corelaie neliniar din capitolul 10 dei Enciclopedia de statistic le identific. n capitolul 10 se prezint corelaia/regresia monofactorial liniar i neliniare (de tip polinomial , trigonometric i mixt). n continuare se prezint corelaia/regresia polifactorial liniar i neliniar polinomial (fr i cu interaciuni) ,ntre m+1 caractere. Pentru corelaia i regresia liniar polifactorial , se prezint calculul aporturilor a m factori la al m+1-lea caracter,stabilit de ENE D. n lucrrile 21 i 27 . n ntreaga lucrare am adoptat un compromis ntre rigoarea tiinific(prin definiii,teoreme i demonstraii) i accesibilitate/utilitate (prin exemple detaliate). Toate exemplele din lucrare conin date convenionale plauzibile din biologie i agricultur. Lucrarea se ncheie cu bibliografie i o anex cu 13 tabele statistice . Pentru problemele tratate n lucrare dispunem de un pachet propriu de programe executabile.Dealtfel n lucrare facem referiri dese la produsul EXCEL pentru optimizri , funcii statistice uzuale i pachetul de statistic DATA ANALYSIS din opiunea TOOLS. Decembrie 2010 Autorul

7

CAPITOLUL 6 CALCULUL PROBABILITILOR

Obiective :nsuirea de ctre studeni a conceptelor de eveniment , probabilitate simpl i condiionat a evenimentelor , variabil aleatoare i indicatori asociai ,

vector aleator i indicatori asociai , variabile aleatoare clasice discontinue i continue precum i a legilor-limit .

Coninut : 6.1 Evenimente i probabilitile lor

6.1.1 Evenimente 6.1.2 Probabilitile evenimentelor 6.1.3 Probabilitile condiionate ale evenimentelor 6.2 Variabile aleatoare

6.2.1 Densitatea de probabilitate i funcia de repartiie 6.2.2 Indicatori numerici 6.2.3 Funcia caracteristic 6.3 Vectori aleatori 6.3.1 Densitatea de probabilitate i funcia de repartiie

6.3.2 Indicatori numerici 6.4 Variabile aleatoare clasice discontinue 6.4.1 Variabila binomial

6.4.2 Variabila hipergeometric 6.4.3 Variabila Poisson

6.5 Variabile aleatoare clasice continue 6.5.1 Variabila uniform 6.5.2 Variabilele exponenial, Weibull, Erlang 6.5.3 Variabila normal 6.5.4 Variabilele Hi Patrat, Student, Fisher

A. Variabila Hi Patrat (2) B. Variabila Student(t) C. Variabila Fisher (F) 6.5.5 Vectorul aleator normal

6.6 Legi-limit 6.7 Fiabilitatea echipamentelor

6.8 Rezumat 6.9 ntrebri 6.10 Bibliografie Cuvinte cheie : eveniment, probabilitate, probabilitate condiionat , variabil aleatoare , funcie de repartiie i densitate de probabilitate,

media i variana unei variabile aleatoare , funcia caracteristic a unei variabile aleatoare , vector aleator , covariana i coeficientul de corelaie liniar pentru un vector aleator , variabila binomial , Poisson , exponenial,normal , hi patrat,Student,Fisher,vectorul aleator normal .

6.1 EVENIMENTE I PROBABILITILE LOR 6.1.1 Evenimente

8

Un experiment este aleator dac rezultatele sale nu pot fi prevzute cu exactitate, fiind sub influena ntmplrii. Exemple

1) Apariia unei fee la aruncarea monezii; 2) Apariia unei fee la aruncarea zarului; 3) Apariia unei bile albe la extragerea din urn cu bile albe i negre.

Totalitatea rezultatelor posibile ale unui experiment aleator se numete spaiu de evenimente elementare i se noteaz cu . Mulimea prilor (submulimilor) lui se noteaz cu P(). Exemplu

1) La aruncarea monezii avem = {stem, ban}; 2) La aruncarea zarului avem = {1, 2, 3, 4, 5, 6};

Dac mulimea este finit sau numrabil (ir), orice submulime A se numete eveniment. Dac mulimea este nenumrabil (de exemplu = R), vom numi evenimente numai submulimile A a cror familie formeaz o algebr K P() care se definete prin condiiile:

1) 2) Ai pentru i I A

i IiU

3) A CA CA se numete eveniment contrar cu A i se mai noteaz cu . Exemplu Dac A = apariia unei fee pare la aruncarea zarului atunci CA = apariia unei fee impare la aruncarea zarului. ca eveniment, se numete evenimentul sigur iar C = se numete evenimentul imposibil. Incluziunea A B se numete implicare a evenimentului B de ctre evenimentul A: realizarea lui A determin realizarea lui B. Exemplu Dac A = apariia feei 6 la aruncarea zarului i B = apariia unei fee pare la aruncarea zarului avem A B. Egalitatea A = B se numete echivalen a evenimentelor A i B i are loc dac A B i B A. Evenimentul B este elementar dac A B A = sau A = B. Exemple

1) Apariia unei anumite fee la aruncarea unei monezi sau zar este eveniment elementar;

2) Apariia unei bile albe la extragerea din urn a unei bile este eveniment elementar. Dndu-se dou evenimente A i B, reuniunea lor se noteaz cu A U B i se citete A sau B fiind un eveniment compus care se realizeaz dac se realizeaz mcar unul dintre evenimentele A, B. Dndu-se dou evenimente A i B, intersecia lor se noteaz A I B i se citete A i B fiind un eveniment compus care se realizeaz dac ambele evenimente A, B se realizeaz. Exemplu Fie A evenimentul c becul 1 funcioneaz la un moment dat i B evenimentul c becul 2 funcioneaz n acelai moment. A U B este evenimentul c trece curentul prin circuitul paralel care conine becurile 1 i 2.

9

A I B este evenimentul c trece curentul prin circuitul serie care conine becurile 1 i 2. Evenimentele A, B sunt incompatibile dac nu se realizeaz simultan adic A I B = . n caz contrar A i B se numesc compatibile. Exemple de evenimente incompatibile

1) Apariia de fee diferite la o aruncare cu moneda sau zarul; 2) Apariia de culori diferite la extragerea unei bile din urn.

Exemple de evenimente compatibile 1) Nimerirea unei inte de doi trgtori care ochesc asupra ei; 2) Funcionarea la un moment dat a dou becuri ntr-un circuit electric.

1.1.2 Probabilitile evenimentelor Fie o - algebr de evenimente din P(). O funcie P : R+ se numete probabilitate dac:

1) P() = 1

2) ( )=

IiIi

AiPAiP U pentru orice familie (Ai) i I cu Ai , incompatibile cte dou.

Tripleta {, , P} se numete cmp de probabilitate. Fie p(i) numere negative de sum 1 care se corespund bijectiv cu evenimentele elementare i (i N). Definim P(i) = p(i) i pentru orice eveniment A P() lum ( )

i AP A p(i)

= .

Funcia P astfel definit este probabilitate n sensul definiiei de mai sus.

n particular dac = {1, , m} i ( ) m1ip = pentru orice i {1, , m} vom avea ( ) nr. cazuri favorabile evenimentului AP A nr.cazuri egal posibile=

Aceasta este definiia clasic a probabilitii unui eveniment. Exemple

1) ( ) 50%21stemaP == ;

2) ( ) 1P fa dat la zar 16, 7%6

= = ; 3) Fie urna U cu 7 bile albe i 3 bile negre.

( ) 7P bil extras alb 70%10= = Definiia clasic a probabilitii nu se aplic dac:

1) moneda este deformat; 2) zarul nu are feele egale (este paralelipiped); 3) bilele din urn nu au acelai diametru, cci n aceste cazuri evenimentele

elementare nu sunt egal posibile. Evenimentele A i B se numesc independente dac P(A I B) = P(A) . P(B) i dependente n caz contrar. Exemple de evenimente independente

1) Apariiile unor fee la aruncarea simultan a dou monezi sau zaruri care nu se ciocnesc;

10

2) Apariiile unor fee la dou aruncri succesive a unei monezi sau zar; 3) Apariiile a dou bile la extrageri simultane din dou urne diferite; 4) Apariia a dou bile albe la dou extrageri succesive dintr-o urn cu bila revenit.

Exemple de evenimente dependente Apariia a dou bile albe la dou extrageri succesive din urn cu bila nerevenit.

Teorema 6.1. Avem proprietile:

1) P() = 1 P(A) pentru orice A ; 2) P(A1U U An) = [P(A1) + + (An)] - [P(A1IA2) + + P(An-1 I An)] + +

(-1)nP(A1I IAn) pentru orice evenimente A1, , An 3) 0 < P(A) < 1 pentru orice A ; P() = 0; P() = 1 4) P(A1I IAn) > P(A1) + + (An) n + 1 (Boole)

Demonstraie 1) A I = i A U = deci P(A I ) = P() = 1

deci conform axiomei 2) din definiia probabilitii : P(A) + P() = 1 deci P() = 1 P(A) 2) Vom demonstra egalitatea pentru n = 2 i apoi aplicm inductia dup n.

Evenimentele A1 i 1 I A2 sunt incompatibile i A1 U (1 I A2) = A1 U A2 deci conform axiomei 2) a probabilitii, avem:

P(A1) + P(1IA2) = P(A1U A2) (1) Evenimentele A1IA2 i 1IA2 sunt incompatibile i (A1IA2) U (1IA2) = A2 deci conform axiomei 2) a probabilitilor avem:

P(A1IA2) + P(1IA2) = P(A2) (2) Scznd egalitatea (2) din (1) obinem:

P(A1) - P(A1IA2) = P(A1U A2) P(A2) sau : P(A1U A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1IA2) (3)

Dac A i B sunt incompatibile (AI B = ) din (3) reobinem axioma 2) a probabilitii : P(A1U A2) = P(A1) + P(A2) (4) 3) P(A) > 0 i P() = 1 conform axiomei 1) a probabilitii.

Dac A1 A2 egalitatea (2) devine: P(A1) + P(1 I A2) = P(A2) sau P(A2) P(A1) = P(1 I A2) > 0 deci

A1 A2 implic P(A1) < P(A2) n particular A deci P(A) < P() = 1 De asemenea = deci conform punctului 1) avem P() = 1 P() = 0

4) Vom demonstra inegalitatea pentru n = 2 apoi aplicm inductia dup n. Avem P(A1 I A2) = P(A1) + P(A2) P(A1 U A2) > P(A1) + P(A2) 1 = P(A1) + P(A2) - 2 +1 Dac A1, A2 sunt independente avem conform definiiei egalitatea P(A1IA2) = P(A1) . P(A2). Q.E.D. Exemple

1) Se arunc 2 monezi care nu se ciocnesc. Se cere:

a) Probabilitatea P1 s ias 2 steme; b) Probabilitatea P2 s nu ias nici o stem;

11

c) Probabilitatea P3 s ias cel puin o stem. Soluie Fie evenimentele: A1 = apariia stemei pe prima moned i A2 = apariia stemei pe a doua moned

a)A1 i A2 sunt independente deci P1 = P(A1IA2) = ( ) ( )41

21

21AAP 21 == .

b) P2 = P(1 I 2) = P(1) . P(2) = 41

21

21 = .

c) P3 = 1 P2 = 43 .

2) Se arunc 2 zaruri care nu se ciocnesc. Se cere: a) Probabilitatea P1 s ias o anumit dubl; b) Probabilitatea P2 ca suma punctelor s fie cuprins ntre 2 i 4; c) Probabilitatea P3 ca produsul punctelor s fie cuprins ntre 3 i 5.

Soluie a) Fie A1 evenimentul c iese o fa dat pe primul zar i A2 evenimentul c iese

aceeai fa pe al II-lea zar. Evenimentele A1, A2 sunt independente deci P1 = P(A1IA2) = P(A1) I P(A2) = 36

161

61 = ;

b) Avem 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2 = 2 + 1; 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1 deci conform

definiiei clasice a probabilitii avem P2 = 61

366 = ;

c) Avem 3 = 1 . 3 = 3 . 1; 4 = 1 . 4 = 2 . 2 = 4 . 1; 5 = 1 . 5 = 5 . 1 deci P3 = 367 .

3) Se dau dou urne U1 cu 7 bile albe i 3 bile negre i U2 cu 4 bile albe i 6 bile negre. Se extrage cte o bil din fiecare urn.

Se cere: a) Probabilitatea P1 ca ambele bile s fie albe; b) Probabilitatea P2 ca bilele s fie de aceeai culoare; c) Probabilitatea P3 ca bilele s fie de culori diferite.

Soluie a) Fie evenimentele: A1 = apariia unei bile albe din urna U1 i A2 = apariia unei

bile albe din urna U2. Evenimentele A1 i A2 sunt independente deci: P1 = P(A1IA2) = P(A1) . P(A2) = 28%10

4107 = ;

b) Evenimentele A1IA2 i 1I2 sunt incompatibile deci P2 = P[(A1IA2) U (1I2)] = P(A1IA2) + P(1I2) + P(A1) . P(A2) + + P(1) . P(2) =

46%106

103

104

107 =+

c) P3 = 1 P2 = 54% 4) Dou becuri au probabilitile de nedefectare : P(A1) = 0.8; P(A2) = 0.9 Se cere: a) Probabilitatea P1 ca prin circuitul serie al celor 2 becuri s treac curentul; b) Probabilitatea P2 ca prin circuitul paralel al celor 2 becuri s treac curentul.

12

Soluie Evenimentele A1, A2 sunt compatibile i independente. a) P1 = P(A1IA2) = P(A1) . P(A2) = 0.8 x 0.9 = 72%; b) P2 = P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) P(A1) . P(A2) = 0.8 + 0.9 0.72 = 98% 5) Doi ochitori lovesc o int cu probabilitile P(A1) = 0.7; P(A2) = 0.8

Se cere: a) Probabilitatea P1 a lovirii intei dac trag simultan amndoi asupra ei; b) Probabilitatea P2 a lovirii intei dac primul ochitor execut dou focuri succesive

asupra ei; c) Probabilitatea P3 a lovirii intei dac al II-lea ochitor execut dou focuri succesive

asupra ei. Soluie A1, A2 sunt evenimente compatibile i independente.

a) P1 = P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) P(A1) . P(A2) = 0.7 + 0.8 0.7 . 0.8 = 94%; b) P2 = P(A1UA1) = P(A1) + P(A1) (PA1) . P(A1) = 0.7 + 0.7 0.7 . 0.7 = 91%; c) P3 = P(A2UA2) = P(A2) + P(A2) P(A2) . P(A2) = 0.8 + 0.8 0.8 . 0.8 = 96%. 6) Un soi de gru ndeplinete condiiile de calitate cu probabilitile: P(MMB

standard) = 0.96; P(putere de germinare standard) = 0.97; P(umiditate standard) = 0.92 Se cere probabilitatea ndeplinirii standardelor pentru cele trei condiii. Soluie

Condiiile din enun sunt dependente deci P(A1IA2IA3) > P(A1) + P(A2) + P(A3) 3 + 1 = 0.96 + 0.97 + 0.92 2 = 0.85 = 85%.

1.1.3 Probabilitile condiionate ale evenimentelor

Pentru a descrie influena realizrii unui eveniment A1 asupra realizrii unui eveniment A2 se folosete probabilitatea condiionat.

Raportul ( )

( )121

APAAP I se numete probabilitatea lui A2 condiionat de A1 i se noteaz

PA1(A2) sau P(A2/A1). Observm c dac A1 i A2 sunt independente, avem :

P(A1IA2) = P(A1) . P(A2) deci P(A2) = P(A2). De asemenea dac A1 implic pe A2 (A1 A2) atunci A1 I A2 = A1 deci P(A1 I A2) = PA1) aa c PA1(A2) = 1. Relaia de definiie P(A1 I A2) = P(A1) . PA1(A2) se extinde prin inductie dup n:

P(A1 I I An) = P(A1) . PA1(A2) . . . PA1I I An-1(An) (5)

Teorema 6.2 Dac = A1 U An cu A1, , An i Ai sunt incompatibile cte dou, pentru orice B avem :

1) (Formula probabilitii totale): P(B) = P(A1) . PA1(B) + + P(An) . PAn(B) (6) 2) (Formula Bayes):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )BPAP...BPAPBPAP

APAnnA11

AjB

jj ++

= (7)

13

pentru orice j = 1, , n Demonstraie

1) Din relaia = A1U UAn rezult B = (A1I B) U U(AnI B) A1, , An fiind incompatibile cte dou i A1I B, , AnI B vor fi incompatibile cte dou. Din axioma 2) a probabilitii rezult:

P(B) = P(A1I B) + + P(AnI B) Dar P(AjI B) = P(Aj) . PAj(B) ; (j = 1, , n) deci rezult relaia (6) din enunt:

P(B) = P(A1) . PA1(B) + + P(An) . PAn(B) 2)Avem:

( ) ( )(B)P)P(A...(B)PAP

(B)PP(Aj)P(B)

BAjPAjPAnnA11

AjB )( == ++

I ; (j = 1, , n) adic relaia (7) din enun. Q . E . D.

Exemple 1) La o tombol sunt 50 bilete din care 5 sunt ctigtoare. O persoan cumpr 3

bilete. Care este probabilitatea ca nici unul s nu fie ctigtor? Soluie Fie evenimentele Ai = biletul la extragerea Nr.i a ieit nectigtor (i = 1,2,3). Relaia (5) se scrie:

P(A1IA2IA3) = P(A1) . PA1(A2) . PA1I A2(A3) = 45 44 43

72.7%50 49 48

= 2) O urn conine 12 bile albe i 8 bile negre.

Se extrag succesiv din urn 3 bile cu bila nerevenit. Care este probabilitatea ca bilele extrase s fie n ordine: alb, neagr, alb? Soluie Fie evenimentul A1 = prima bil extras este neagr; A2 = a doua bil extras este neagr; A3 = a treia bil extras este alb. Relaia (5) se scrie:

P(A1IA2IA3) = P(A1) . PA1(A2) . PA1I A2(A3) = 12 8 11

15.4%20 19 18

=

3) Se dau urnele U1 cu 12 bile albe i 8 bile negre, U2 cu 10 bile albe i 10 bile negre i U3 cu 6 bile albe i 14 bile negre.

a) Se extrage o bil dintr-o urn. Care este probabilitatea ca ea s fie alb? b) Se extrage o bil dintr-o urn i se constat c este alb. Din ce urn provine bila

extras? Soluie Fie evenimentele Ai = bila extras provine din urna Ui (i = 1,2,3) i B = bila extras este alb.

a) Relaia (6) se poate scrie: P(B) = P(A1) . PA1(B) + P(A2) . PA2(B) + P(A3) . PA3(B) =

= 1 12 1 10 1 6 12 10 6 28

46.7%3 20 3 20 3 20 60 60 60 60

+ + = + + = = b) Relaia (7) se scrie pentru j = 1:

14

1 A1B 1

P(A ) P (B) 12 28 12P (A ) : 42.8%

P(B) 60 60 28

= = ==

Analog PB(A2) = 10

35.728

= % ; PB(A3) = 6 21.5%28

= Deci este mai probabil c bila alb extras s provin din urna U1.

4) Se dau urnele U1 cu 12 bile albe i 8 bile negre i U2 cu 6 bile albe i 14 bile negre. Din U1 n U2 se transfer o bil apoi se extrage o bil din U2.

a) Care este probabilitatea ca bila extras din U2 s fie alb? b) tiind c bila extras din U2 a fost alb, ce culoare avea bila transferat?

Soluie Fie evenimentele A1 = bila transferat din U1 n U2 a fost alb, A2 = bila transferat din U1 n U2 a fost neagr; B = bila extras din U2 este alb.

a) Relaia (6) pentru n = 3 se scrie: P(B) = P(A1) . PA1(B) + P(A2) . PA2(B) =

= 12 7 8 6 84 48 132

31.4%20 21 20 21 420 420 420

+ = + = = b) Relaia (7) pentru j = 1 se scrie:

PB(A1) = 1 A1P(A ) P (B) 84 132 84

: 63.6%P(B) 420 420 132

= = =

Analog PB(A2) = 48

36.4%132

= deci este mai probabil c bila transferat din U1 n U2 a fost alb.

5) Trei boli la bovine au probabilitile P(A1) = 0.45; P(A2) = 0.36; P(A3) = 0.19 Aceste boli modific un parametru sanguin cu probabilitile PA1(B)=0.23; PA2(B)=0.41; PA3(B)=0.75

a) Care este probabilitatea ca o vac bolnav de una din cele trei boli s aib parametrul sanguin modificat?

b) La o vac se constat c parametrul sanguin este modificat de una din cele trei boli. Care din boli a provocat modificarea?

Soluie Fie evenimentele Ai = vaca s-a mbolnvit de boala cu nr. i (i = 1,2,3); B = vaca are parametrul sanguin modificat.

a) Conform relaiei (6) pentru n = 3 avem: P(B) = P(A1) . PA1(B) + P(A2) . PB(A2) + P(A3) . PA3(B) = 0.45 . 0.23 + 0.36 . 0.41 +

0.19 . 0.75 = 0.1035 + 0.1476 +0.1425 = 39.36% b) Relaia (7) pentru j = 1 devine:

1 A1B 1

P(A ) P (B) 0.1035P (A ) 26.3%

P(B) 0.3936

= = =

Analog PB(A2) = 0.1476

37.5%0.3936

= ; PB(A3) = 0.1425 36.2%0.3936

= deci este mai probabil c boala nr. 2 a modificat parametrul sanguin.

6.2 Variabile aleatoare

15

6.2.1 Densitatea de probabilitate i funcia de repartiie

Fie spaiul evenimentelor elementare asociat unui eveniment aleator i P() o - algebr de evenimente incluse n . Fie mulimea numerelor reale R i - algebra mulimilor boreliene B P(R) adic cea mai mic - algebr de submulimi ale lui R care conine toate intervalele din R.

Fie cmpul de probabilitate (, , P).O variabil aleatoare este o funcie X: R astfel c { / X() B} pentru orice mulime borelian B P(R).Dac mulimea valorilor variabilei aleatoare X este numrabil (ir finit sau infinit): x1, x2, , xn, atunci {X = xi} sunt evenimente i cunoaterea lui P(X = xi) = f(xi) (i =1,2,3,) permite calculul lui P(X B) = f(xi) unde nsumarea se face dup valorile lui i pentru care xi B. Funcia xi f(xi) (i N) se numete densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X. Avem:

ii N

)1 P( ) f(x

= = Dac mulimea valorilor variabilei aleatoare X este nenumrabil, densitatea de

probabilitate este o funcie real f(x) > 0 astfel c P(a < X < b) = = baf(x)dx

n particular +== f(x)dx)XP(1 n acest caz =

Bf(x)dxB)P(X

Observm c orice constant a R este formal o variabil aleatoare X cu valoarea a i P(X = a) = 1. O variabil aleatoare cu mulimea valorilor numrabil se numete discontinu iar o variabil aleatoare cu mulimea valorilor nenumrabil se numete continu. Exemple de variabile aleatoare discontinue

1) Cu codificarea 1 = stema, 0 = banul, variabila aleatoare X: este asociat aruncrii unei monezi;

2) La aruncarea unui zar avem variabila aleatoare X: 3) Se d o urn U cu 4 bile albe i 6 bile negre. Se extrag n = 2 bile succesiv cu bila

revenit. Pot apare x = 0,1,2 bile albe deci avem variabila

aleatoare X: Variabilele de la punctele 1) i 2) se numesc uniforme deoarece toate valorile au aceeai probabilitate (densitatea de probabilitate este funcie constant) iar variabila de la punctul 3) nu este uniform.

4) Fie funcia =

restin 0[2;4] xmx,f(x)

0 1

1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

0 1 2 9/25 12/25 4/25

16

f(x) este densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue dac + =1f(x) i 0y)f(x, deci + =- 1mxdx sau =

4

21mxdx adic

2 24 2m. 1

2 = deci

61m = . Este vizibil c f(x) > 0.

Funcia real F(x) = P(X < x) se numete funcia de repartiie a variabilei aleatoare X.

Teorema 6.1 Avem proprietile:

1) F(x) ia valori n [0,1]; limx

F(x) = 0; 1F(x)lim =x 2) F(x) este o funcie continu la stnga:

limxx 0

F(x) = F(x0)

3) F(x) este funcie cresctoare: x1 < x1 F(x1) < F(x2) 4) P(a < X < b) = F(b) F(a)

P(X < b) = F(b) P(a < X) = 1 F(a)

Demonstraie 1) Evident 0 < F(x) < 1 conform definiiei lui F i punctului 3) din teorema 1.1.

Fie irul descresctor Xn cu limita - i evenimentele : A0 = X < x1, Bn = < X < Xn-1 (n > 2).

Avem Bi I Bj = pentru i j i A0 = U2n

nB

deci

=2n

n0 )P(B)P(A sau F(x1) = [F(x1) F(x2)] + [F(x2) F(x3)] + + +[F(x2)

F(x3)] + + [F(xn) F(xn+1)] + adic F(x1) = F(x1) - )F(xnnxlim

aa c

0)F(xnnxlim = .

Relaia 1)F(xnnxlim = se demonstreaz n mod analog.

2) Fie irul cresctor Xn cu limita x0. Fie evenimentele A = X < x0; A0 = X < x1; An = xn < X < xn+1 (nN). Avem AiIAj = pentru i j i A = A0 U A1 U A2 U An U deci

P(A) = P(A0) + P(A1) + + P(An) + adic F(x0) = F(x1) + [F(x2) F(x1)] + + [F(xn) F(xn-1)] + adic F(x0) = )F(xn

xnxlim

0deci F este continu la stnga n x0.

3) Fie evenimentele A = X < x1; B = X < x2. Cum x1 < x2 rezult A B deci P(A) < P(B) aa c F(x1) < F(x2) deci F este cresctoare.

4) Fie evenimentele A = X < a;B = X < b;C = a < X < b. Avem A I C = i A U C = B deci P(B) = P(A) + P(C) sau F(b) = F(a) + P(a < X < b). Punnd n aceast relaie a = x0, b = x0 + X avem P(x0 < X < x0 + X) =

17

= F(x0 + x) F(x0). Cum F(x) este continu la stnga, pentru X 0 egalitatea precedent devine: P(X = x0) =0. n particular P(X = b) = 0 i cum evenimentele a < X < b i X = b sunt compatibile, putem scrie P(a < X < b) = P(a < X < b) + P(X = b) = = F(b) F(a) + 0 = F(b) F(a) n fine P(X < b) = F(b) - limx

F(x) = F(b) 0 = F(b)

i P(a < X) = 1 P(X < a) = 1 F(a) Q.E.D.

Dac X este variabil aleatoare discontinu cu repartiia

n1

n1

,.......pp,........xx

, ea are funcia de

repartiie :

0 ,x < x1 P1 ,x1 < x < x2

F(x) = .. P1 + + pn-1, xn-1 < x < xn

1 , xn < x

Dac X este variabil aleatoare continu cu densitatea de probabilitate f(x), X are funcia de

repartiie

=xf(t)dtF(x) .

Reciproc, avem F(x) = f(x). Pe graficul lui f(x), F(x) este aria de sub grafic aflat n stnga ordonatei lui x:

Exemple 1) Pentru variabila aleatoare discontinu X cu repartiia : X: ave avem densitatea de probabilitate: 0.11 , x = 1 0.42 , x = 2 f(x) = 0.30 , x = 4 0.07 , x = 6

f(x)

F(x)

x0x

1 2 4 6 10 0.11 0.42 0.30 0.07 0.10

18

0.10 , x = 10 0 , x < 1 0 n rest 0.11 , 1 < x < 2 0.53 , 2 < x < 4 i funcia de repartiie: F(x) = 0.83 , 4 < x < 6 0.90 , 6 < x < 10 1 , 10 < x

Avem P(1.5 < X < 7.4) = F(7.4) F(1.5) = 0.90 0.11 = 69% P(X < 5.8) = F(5.8) = 83%; F(3.4 < X) = 1 F(3.4) = 1 0.53 = 47%

2) Pentru variabila aleatoare continu X cu densitatea de probabilitate :

[ ]x , x 2; 4f(x) 60 n rest

= avem funcia de repartiie

=

xf(t)dtF(x)

Pentru x < 2 avem x

F(x) 0dt 0

= = Pentru 2 < x < 4 avem

x x2

2

t t 1F(x) dt dt (x 4)6 6 12

= = = iar pentru x > 4 avem

x 4

2

t tdt dt 16 6

= = P(2.3 < X < 3.6) = F(3.6) F(2.3) = 2 2

1 [(3.6 4) (2.3 4)] 63.9%12

= ; P(X < 3) = F(3) = 2

1 (3 4) 42.7%12

= P(2.5 < X) = 1 F(2.5) = 1 - 2

1 (2.5 4) 81.2%12

= Dou variabilele aleatoare X1, X2 se numesc independente dac P(X1 B1 i X2 B2) = P(X1 B1) . P(X2 B2) n particular dac X1, X2 sunt variabile aleatoare discontinue, X1, X2 sunt independente dac pentru orice x1, x2 R evenimentele X1 = x1 i X2 = x2 sunt independente adic P(X1 = x1 i X2 = x2) = P(X1 = x1) . P(X2 = x2) Exemple

1) Aruncarea a dou monezi sau zaruri care nu se ciocnesc, dau natere la variabile aleatoare independente;

2) Extragerea a cte unei bile albe din dou urne dau natere la variabile aleatoare independente.

ntre variabilele aleatoare independente se fac operaiile aritmetice obinuite. Fie de exemplu variabilele aleatoare discontinue independente X i Y cu repartiiile

m1

m1

p ______,p x______,x

:X ;

n1

n1

q ______,qy ______,y

:Y

19

deci rij = P(X = xi i Y = yj) = P(P(X = xi) . P(Y = yj) = pi . qj

==

n .... 1, jm .... 1,i

Dac a R, avem variabila aleatoare constant

1a

:a

Vom avea variabilele aleatoare cu repartiiile

i

i

pax

X ;

i

i

pax

:aX ;

p/ax

:aX i

(a 0)

i

aia

px:X respectiv

ji

ji

qp

yx:YX ;

i j

i j

x yX Y :

p .q

; i j

i j

x /yX :p .qY

(yj 0)

Dac X este variabil aleatoare continu cu densitatea de probabilitate f(x), atunci se arat c variabila aleatoare Y = (X) unde este o funcie bijectiv i derivabil, va avea densitatea de probabilitate:

g(y) = f[-1(y)] . 1[ (y) ]' Exemplu Se d variabila aleatoare X cu densitatea de probabilitate :

f(x) =

Se cere densitatea de probabilitate a variabilelor Y = 2X + 3;Y = e4X;Y = ln(X + 1) Soluie

a) 1 -1 'y 3 1Y 2X 3 (y) ; [ (y)]2 2

= + = = aa c

g(y) = y -3 , x [3; 7]

8 0 , n rest

b) 4X 1 -1 'lny 1Y e (y) ; [ (y)]4 4y

= = = aa c :

g(y) = 8lny , y [1; e ]

32y 0 , n rest

c) 1 y -1 ' yY ln(X 1) (y) e 1; [ (y)] e = + = = deci

x , x [0, 2]20 , n rest

20

g(y) =

2y ye - e , y [0; ln3]2

0 , n rest

6.2.2 Indicatori numerici

n afar de funcia de repartiie F(x), variabila aleatoare X are i urmtorii indicatori numerici:

1) Media M(X) =

xf(x)dx

Dac X este discontinu cu repartiia X : ; (i N)ii

xp

avem M(X) = i i

i Npx

2) Mediana Me(X) este definit de relaia: 1F(Me)2

= 3) Modul Mo(x) este punct de maxim pentru f(x)

4) Variana V(X) = M[(X M(X))2] = 2[x M(X)] f(x)dx

Dac X este discontinu cu repartiia X : ; (i N)ii

xp

avem V(X) = 2i ii N

[x - M(X)] p

Observm c eroarea ptratic total : SPA(x) =

Ni

2i pi)x(x este minim pentru x = M(X) i are valoarea minim V(X).

5) Abaterea standard (X) = V(X)

6) Coeficientul de variaie c(X) = (%) 100M(X)(X)

Exemple 1) Pentru variabila aleatoare discontinu X cu repartiia :

1 2 4 6 10:

0.11 0.42 0.30 0.07 0.10X avem

M(X) = 1 x 0.11 + 2 x 0.42 + 4 x 0.30 + 6 x 0.07 + 10 x 0.10 = 3.57 ; Me(X) = 4; Mo(X) = 2

21

V(X) = (1 3.57)2 x 0.11 + (2 3.57)2 x 0.42 + (4 3.57)2 x 0.30 + + (6 3.57)2 x 0.07 + (10 3.57)2 x 0.10 = 6.3651

(X) = 6.3651 2.52= c(X) =

2.52 70.6%3.57

= 2) Pentru variabila aleatoare continu X cu densitatea de probabilitate :

f(x) = x , x [2; 4]6 0 , n rest

avem :

M(X) = 4 4 3

2 4 3 32

2 2

x 1 x 1xf(x)dx x dx x dx (4 2 ) 3.116 6 18 18

= = = = =

F(x) = 12

4x2 pentru x [2; 4] deci

2x 4 1 Me(X) 10 3.16; Mo(X) 412 2

= = = = cci f(x) este cresctoare . V(X)=

4 42 2 3 2 2

2 2

x 1[x M(X)] f(x)dx (x 3.11) dx (x 6.22x 3.11 x)6 6

= = + =

4 3 22 41 x x x6.22 11 0.6543; (X) 0.6543 0.81

26 4 3 2 = + = = =

c(X) = 0.81 26%3.11

= Proprietile mediei M(X) n raport cu operaiile cu variabile aleatoare, sunt date de:

Teorema 6.2 Avem proprietile:

1) M(a) = a 2) M(X + a) = M(X) + a 3) M(aX) = aM(X) 4) M(X + Y) = M(X) + M(Y) 5) Dac X, Y sunt independente, avem :

M(X . Y) = M(X) . M(Y) Demonstraie Relaiile rezult prin calcul direct pentru variabile discontinue :

1 m 1 n1 m 1 n

x ... x y ... yX : ; Y :

p ... p q ... q

i se generalizeaz pentru variabile continue

folosind liniaritatea integralelor Q.E.D.

22

Proprietile variantei V(X) n raport cu operaiile cu variabile aleatoare sunt date de:

Teorema 6.3 Avem proprietile:

1) V(a) = 0 2) V(X + a) = V(X) 3) V(aX) = a2V(X) 4) V(X) = M(X2) M2(X) 5) X, Y = independente V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Demonstraie Relaiile rezult prin calcul direct (folosind i teorema 6.2) pentru variabile discontinue :

1 m 1 n

1 m 1 n

x ... x y ... yX : ;Y :

p ... p q ... q

i se generalizeaz pentru variabile continue folosind

liniaritatea integralelor Q.E.D. Fie X o variabil aleatoare cu media M(X) i variana V(X) si fie > 0. Dac cunoatem funcia de repartiie F(x) avem P(M(X) < X < M(X) + ) = ( ) [ ] [ ]M(x)FM(x)FM(x)XP += (X), dat de:

Teorema 6.4

( ) 2V(X)1M(X)XP deci : ( ) ( )n i i

i 1 i IP X M(X) 1 P x M(X) = 1 p

= < = >

Avem [ ] [ ]n 2 2 2i i i i ii 1 i I i I

V(X) x M(X) p x M(X) p p=

= aa c: ( )

23

Conform inegalitii Cebev cu = 3 (X) avem:

( ) 2V(X) 6.3651P X 3.57 3 1 1 29.3% 9 < = = . 2) Pentru variabila aleatoare continu X cu densitatea de probabilitate

[ ]X ,X 2; 4f(X) 6 0 , n rest

= i cu M(X) = 3.11;V(X) = 0.6543; (X) = 0.81

Se cere o margine inferioar pentru ( )13,11XP (X) avem:

( ) 2V(X) 0.6543P X 3.11 1 1 1 34.6% 1 < = = 6.2.3 Funcia caracteristic

Un instrument puternic n studiul variabilelor aleatoare ofer funcia caracteristic. Fie X o variabil aleatoare cu densitatea de probabilitate f(X) i fie variabila aleatoare complex:

itXe cos tX sin tXi= + Funcia complex de variabil real : (t) = M(eitX) = M(cos tX + isin tX) se numete funcie caracteristic a variabilei aleatoare X. Dac X este variabil aleatoare discontinu avem :

Dac X este variabil aleatoare continu avem :

itx(t) e f(x)dx

= .

n ambele cazuri (t) este funcie continu.

Teorema 6.5 Avem proprietile:

1) (0) = 1; (t)(-t) 1;(t) = 2) Dac X are funcia caracteristic (t) atunci aX are funcia caracteristic (at). 3) Dac X, Y sunt independente i au funciile caracteristice 1(t), 2(t) atunci

variabila aleatoare X + Y are funcia caracteristic 1(t) . 2(t). 4) Momentele de ordin k ale lui X sunt date de relaiile:

(k)k

k

(0)M(X ) ; (k N)i

= Demonstraie

1) (0) = M(e0) = M(1) = 1

( ) jitx jj N

t e p

=

24

itxitx(t) e f(x)dx e f(x)dx cos tx i sin tx f(x)dx f(x)dx 1+ + + +

= = + =

(t)sin tX) i- tXM(cos)M(et)( itX === 2) Variabila aleatoare aX are funcia caracteristic :

== (at)f(x)dxe)M(e i(at)xX t a i

3) X + Y are funcia caracteristic: it(X Y) i t X itY it X i t Y(t) M(e ) M(e .e ) M(e ).M(e ) += = = cci X, Y sunt

independente deci (t) = 1(t) . 2(t) 4) Derivm funcia caracteristic de k ori:

(k) k i t x k k i t x(t) (ix) e f(x)dx i x e f(x)dx

= = deci

(k) k k k k(0) i x f(x)dx i M(X )

= = Q.E.D.

Inversarea transformatei Fourier permite exprimarea n mod unic a densitii de probabilitate f(x) a variabilei aleatoare X cu ajutorul funciei caracteristice (t):

= (t)dte

21f(x) t xi

Teorema 6.5 transfer proprietile lui (t) la f(x):

1) f(x) > 0; +

=1f(x)dx

2) Dac variabila aleatoare X are densitatea de probabilitate f(x), variabila aX are densitatea a.f(x).

3) Dac variabilele aleatoare independente X, Y au densitile de probabilitate f1(x), f2(x), atunci variabila aleatoare X+Y are ca densitate de probabilitate produsul de convoluie

al lui f1(x), f2(x): f(x) f(s)g(x )ds f(x )g(s)dss s+ +

= =

4) Momentele de ordin k ale variabilei aleatoare X sunt date de relaia:

( )k kM X x f(x)dx+

= Exemple

1) Fie variabila aleatoare discontinu X cu repartiia 1 2 4

X :0.1 0.6 0.3

S se afle funcia caracteristic (t) Soluie

it 2it 4it(t) e 0.1 e 0.2 e 0.3 = + + 2) Fie variabila aleatoare continu X cu densitatea de probabilitate

25

[ ]x , x 2; 4f(x) 60 n rest

= Se cere funcia caracteristic (t)

Soluie

+

=

+===

4

2

4

2

4

2

t xi t xi dxsin tx x idx t x cosx 61xdxe

61f(x)dxe(t)

( ) ( )[ ]2it4it2 e2it1e4it16t1 = 6.3 Vectori aleatori 6.3.1 Densitatea de probabilitate i funcia de repartiie

Fie spaiul euclidian Rn i - algebra mulimilor boreliene B P(Rn) adic cea mai mic - algebr de submulimi ale lui Rn care conine toate intervalele din Rn. Fie cmpul de probabilitate (, K, P). Un vector aleator n dimensional este o funcie X = (X1, , Xn): Rn astfel c { } KBX(( pentru orice mulime borelian B P(Rn). Componentele X1, , Xn sunt variabile aleatoare numite variabile marginale pentru X. Pentru simplificarea expunerii, vom prezenta cazu n = 2 adic vectorii aleatori bidimensionali Z = (X, Y). Dac mulimea valorilor vectorului aleator Z = (X, Y) este numrabil (ir finit sau infinit) vectorul aleator se numete discontinuu. De exemplu dac variabila aleatoare X ia valorile x1, .., xm iar variabila aleatoare Y ia valorile y1, , yn, cunoaterea lui rij = P(X = xi i Y = yj) adic a densitii de probabilitate a

lui Z = (X, Y) cu = =

= m1i

n

1jrij1 permite cunoaterea repartiiei vectorului aleator discontinuu

Z = (X, Y) Repartiia vectorului aleator discontinuu Z = (X, Y) se d prin tabelul:

Y

X y1 yn Suma linie

x1 . . . . xm

r11 .. r1n rm1 ...rmn

q1 . . . . qn

Suma coloan p1 pn 1

26

Variabila marginal X are repartiia

m1

m1

p ___ p x___ x

:X media: =

= m1i

iipxM(X) i variana:

=

= m1i

2i

2i M(X)pxV(X)

Variabila marginal Y are repartiia

n1

n1

q ___ qY ___ y

:Y media: =

= n1j

jjqyM(Y) i variana:

=

= n1j

2j

2j M(Y)qyV(Y)

Exemplu La tragerea la int, orice lovitur este caracterizat de perechea (X, Y) unde X este abaterea n direcie fa de centrul O al intei i Y este abaterea n nlime fa de centrul O al intei iar rij = P(X = xi i Y = yj); i, j N este probabilitatea ca o lovitur s aib abaterea n direcie xi i n nlime yj. Dac mulimea valorilor vectorului aleator Z = (X, Y) este nenumrabil atunci vectorul aleator se numete continuu i densitatea sa de probabilitate este o funcie real f(x, y) > 0

astfel c P(a < X < b i c < Y < d) = b

a

d

cy)dxdyf(x, .

n particular +

+

==

-y)dxdyf(x,R)Y si RP(X1

Exemplu

Fie funcia

[ ][ ]

=restin 0 1;3y

2;4 xy,mxy)f(x,

2

i f(x,y) este densitatea de probabilitate al

vectorului aleator continuu Z = (X, Y) dac +

+

=1y)f(x, i f(x,y) > 0 deci

+

+

=1ydxdymx2 sau =

4

2

3

1

2 1ydydxxm deci

143

56m = aa c 224

3m = . Vizibil f(x,y) > 0.

Funcia de repartiie a vectorului aleator Z = (X, Y) este F(x, y) = P(X < x i Y < y). Ca i n cazul variabilei aleatoare (teorema 2.1.) se demonstreaz:

Teorema 6.6 Avem proprietile:

1) F(x, y) ia valori n [0; 1];

27

1y)F(x,y)F(x,y)F(x, limlim lim),(y)(x,yx

===+

2) F este continu la stnga n raport cu fiecare variabil: y),F(xy)F(x, 0

xxlim

0

=

; )yF(x,y)F(x, 0yy

lim0

=

3) F este cresctoare n raport cu fiecare variabil: x1 < x2 F(x1, y) < F(x2, y) y1 < y2 F(x, y1) < F(x, y2) 4) P[a < X < b i c < Y < d] = [F(b,d) F(a,d)] - [F(b,c) F(a,c)] P(X < b i Y < d) = F(b,d) P(a < X i c < Y) = 1 F(a,c)

Variabilele aleatoare X, Y care compun vectorul aleator Z = (X, Y) , au funciile de repartiie:

y)F(x,(x)F limy

1 = i y)F(x,(y)F lim

x2

= Cunoscnd densitatea de probabilitate f(x,y) a vectorului aleator X = (X,Y), funcia sa de repartiie este dat de relaia:

yx

F(x, y) f(s, t)ds dt

= Reciproc ,dac F(x,y) este derivabil de dou ori n raport cu x, y avem densitatea de probabilitate f(x,y) = Fxy(x,y). Variabilele X, Y vor avea densitile de probabilitate:

+

== (x)F'y)dyf(x,(x)f 11

+

== (y)F'y)dxf(x,(y)f 22

Exemplu Pentru vectorul aleator Z = (X, Y) cu densitatea de probabilitate

[ ][ ]

=restin 0 1,3y

2,4 x;y x2243

y)f(x,

2

avem funcia de repartiie

3 2

2 23 3( , ) ( , ) d t d t14 224 3 2

y y yx x x x ys tF x y f s t ds s tds s ds tdt

= = = =

adic: 3 3 2 2

0 , x 2 sau y 11F(x, y) (x 2 )(y 1 ) n rest

448 1 , x y si y 3

< >

Pe graficul suprafeei z = f(x, y), densitatea de probabilitate f(x, y) este cota punctului de abscis x i ordonat y iar funcia de repartiie F(x, y) este volumul de sub suprafaa

28

z = f(x, y) aflat n semispaiul Z > 0 i n stnga planelor X = x i Y = y.

Teorema 6.7 Variabilele aleatoare X, Y din componena vectorului aleator Z = (X, Y) sunt independente dac i numai dac F(x, y) = F1(x) . F2(y) sau dac i numai dac f(x, y) = f1(x) . f2(y) Demonstraie X, Y sunt independente dac i numai dac evenimentele X < x i Y < y sunt independente dac i numai dac P(X < x i Y < y) = P(X < x) . P(Y < y) dac i numai dac F(x, y) = F1(x) . F2(y) de unde prin derivare parial n raport cu x, y obinem Fxy(x, y) = F1(x) . F2(y) adic f(x, y) = f1(x) . f2(y). Q.E.D.

6.3.2 Indicatori numerici

n afar de funcia de repartiie F(x, y), vectorul aleator Z = (X, Y) are i urmtorii indicatori numerici:

1) Vectorul medie M(Z) = (M(X), M(Y)) unde

+

+

== (y)dy yfM(Y) (x)dx;xfM(X) 21

Dac X, Y sunt discontinue, de exemplu dac

m1

m1

p ___ p x___ x

:X i

n1

n1

q ___ qy ___ y

:Y avem: =

= m1i

iipxM(X) ; =

= n1j

jjqyM(Y)

2) Matricea de covarian : Y)C(Y, X)C(Y,Y)C(X, X)C(X,

C(Z) = Aici C(X, Y) este covariana variabilelor aleatoare X, Y dat de relaia de definiie: C(X, Y) = M[(X M(X) . (Y M(Y)]. Dac X, Y sunt discontinue, avem:

= =

= m1i

n

1jijji rM(Y))(yM(X))(xY)C(X,

unde rij = P(X = xi i Y = yj) Dac X, Y sunt continue avem:

C(X, Y) (x M(X) (y M(Y)) (x, y)dx dyf+ +

=

Este vizibil c C(X,Y) = C(Y,X) De asemenea avem:

=

+

=== m

1i1i

2i (x)dxfM(X))(xpM(X))(xV(X)X)C(X, respectiv:

=

+

=== n

1j2j

2j (y)dyfM(Y))(yqM(Y))(yV(Y)Y)C(Y,

Observm c eroarea ptratic total :

29

m n2 2

i i j ji 1 j 1

SPA(x, y) (x x ) p (y y ) q= =

= + este minim pentru x = M(X), y = M(Y), valoarea minimului fiind urma V(X) + V(Y) a matricii de covarian C(Z).

2) Funcia de regresie Y = g(X) n cazul vectorului aleator discontinuu Z = (X,Y) definim mediile condiionate:

=

=== n1j

ijjiXic ry(Y)xM)(xM se definete prin relaiile: g(xi) = MX=xi (Y)

n cazul vectorului aleator continuu Z = (X,Y) definim mediile condiionate:

Mc(xi) = MX=Xi(Y) = +

y)dyyf(x, iar funcia de regresie va fi:

g(x) = Mc(x) 4) Coeficientul de corelaie liniar al variabilelor aleatoare X,Y este definit de

relaia:

(Y)(X)Y)C(X,

V(Y)V(X)Y)C(X,Y)(X, ==

Proprietile covarianei C(X,Y) n raport cu operaiile cu variabile aleatoare, sunt date de:

Teorema 6.8 Avem proprietile:

1) C(a,b) = 0 2) C(X + a, Y + b) = C(X,Y) 3) C(aX, bX) = abC(X,Y)

4) C(X,Y) = M(X . Y) M(X) . M(Y) = [ ]V(Y)V(X)Y)V(X21 +

5) Dac X,Y sunt variabile aleatoare independente atunci C(X,Y) = 0 adic X,Y sunt necorelate liniar.

Dac X,Y sunt variabile aleatoare normale este adevrat i reciproca. Demonstraie Relaiile 1) 4) rezult prin calcul direct, folosind teoremele 6.2 i 6.3 i definiia lui C(X,Y).Dac X = Y, din teorema 6.8 reobinem teorema 6.3. S demonstrm punctul 5) din enun. Dac X,Y = variabile aleatoare independente, conform teoremelor 6.2 i 6.3 avem M(X . Y) = M(X) . M(Y) respectiv V(X + Y) = V(X) + V(Y) deci conform punctului 4) din enun, avem C(X.Y) = 0 adic X, Y nu sunt corelate liniar. Reciproca pentru X, Y = variabile aleatoare normale va fi demonstrat n teorema 6.10. Dac X, Y nu sunt variabile aleatoare normale, reciproca afirmaiei de la punctul 5) din enun, nu este adevrat: exist variabile necorelate liniar care sunt dependente. Exemplu Pentru vectorul aleator discontinuu Z = (X, Y) cu repartiia

Y X

1 3 Suma p

1 2

0.4 0 0.1 0.5

0.4 0.6

Suma q 0.5 0.5 1

30

avem C(X, Y) = 0 dei: 0.1 = P(X = 2, Y = 1) P(X = 2) . P(Y = 1) = 0.6 . 0.5 = 0.3.Q.E.D. Proprietile coeficientului de corelaie liniar (X,Y) n raport cu operaiile cu variabile aleatoare sunt date de:

Teorema 6.9 Avem proprietile:

1) (a, b) = 0 2) (X + a, Y + b) = (X,Y) 3) (aX, bY) = (X, Y) 4) 1;Y)(X, 1;Y)(X, = dac i numai dac X,Y sunt dependente funcional

liniar: Y = aX + b 5) Dac X, Y sunt variabile aleatoare independente atunci (X, Y) = 0 adic X, Y

sunt necorelate liniar. 6) Dac X, Y sunt variabile aleatoare normale, este adevrat i reciproca.

Demonstraie Relaiile 1) 3) rezult prin calcul direct, folosind teoremele 6.3, 6.8 i definiia lui (X, Y)

= V(Y)V(X)Y)C(X,

. Din relaiile 2) 3) rezult:

=(Y)

M(Y)-Y ,(X)

M(X)XCY)(X,

Relaia 5) din enun rezult din relaia 5) a teoremei 2.8 i din definiia lui (X, Y). S demonstrm punctul 4) din enun. Avem V[ (Y) . X - (X) . Y] > 0, relaie n care folosim teoremele 2.2, 2.3, 2.8 i obinem: 2(X) . 2(Y) - (X) . (Y) . C(X,Y) > 0 sau

1(X)(Y)

Y)C(X, n mod analog relaia V[ (Y) . X + (X) . Y] > 0 conduce la relaia (X, Y) > - 1 deci

1Y)(X, Dac 1Y)(X, = s artm c Y = aX + b. Fie funcia E(a, b) = M[(Y aX b)2] Folosind teoremele 2.2, 2.3, 2.8, avem:

E(a, b) = V(Y) + a2V(X) 2a (X, Y) . (X) (Y) + [M(Y) aM(X) - b]2 Pentru a minimiza funcia E(a, b), anulm derivatele sale pariale n raport cu a, b:

[ ]

[ ]

===

baM(X)M(Y)2E'0baM(X)M(Y)2M(X)(X)(Y)Y),2X2aV(x)E'

ba

cu soluia:

(X)(Y)Y)(X,a = ; aM(X)M(Y)b =

Valoarea minimului este V(Y)Y)](X,[1E 2min = .

31

Dac 1Y)(X, = avem Emin = 0 adic: M(Y aX b) = 0 deci Y = aX + b Reciproc, dac Y = aX + b s artm c 1Y)(X, = Avem

1a1

V(X)aV(X)

aV(X)b)V(aXV(X)

b)aXC(X,b)aX(X,Y)(X,2

==

=++=+=

deoarece C(X,aX + b) = M[X(aX + b)] M(X) . M(aX + b) = = aM(X2) aM2(X) = aV(X) Dac a > 0 avem (X, aX + b) = 1 iar dac a < 0 avem (X, aX + b) = -1 a se numete coeficientul de regresie liniar iar b se numete termenul liber al regresiei. Exemplu Fie vectorul aleator discontinuu Z = (X, Y) cu repartiia:

Y X

1 2 0 Suma p

1 2

0.5 0.1 0 0 0 0.4

0.6 0.4

Suma q 0.5 0.1 0.4 1

S se calculeze M(Z), C(Z), Y = g(X), (X, Y) i coeficienii regresiei liniare a, b. Soluie

Variabila 1 2

X :0.6 0.4

Variabila 1 2 3

Y :0.5 0.1 0.4

Vectorul medie este M(Z) =( 1.4; 1.9) Avem covariana C(X, Y) =( 1 1.4) . (1 1.9) . 0,5 + (1 1.4) . (2 1.9) . 0.1 + (2 1.4) . (2 1.9) . 0.4 = 0.44 Matricea de covarian va fi:

0.24 0.44C(Z)

0.44 0.89 =

Avem mediile condiionate: MX=1(Y) = 1 . 0.5 + 2 . 0.1 + 3 . 0 = 0.7 MX=2(Y) = 1 . 0 + 2 . 0 + 3 . 0.4 = 1.2

deci funcia de regresie Y = g(X) are forma tabelar: Avem coeficientul de corelaie liniar :

C(X, Y) 0.44(X, Y) 0.96

V(X) V(Y) 0.24 0.89= = =

Coeficientul de regresie este:

(Y) 0.89a (X, Y) 0.96 1.85(X) 0.24

= = = Termenul liber al regresiei este: b = M(Y) aM(X) = 1.9 1.85 . 0.24 = 1.46

are media M(X) = 1.4 i variana V(X) = 0.2

are media M(Y) = 1.9 i variana V(Y) = 0.89

x g(x) 1 2

0.7 1.2

32

6.4 Variabile aleatoare discontinue 6.4.1 Variabila binomial Variabila aleatoare binominal este variabil aleatoare cu un numr finit de valori avnd ca model schema bilei revenite. Aceast schem este un caz particular al unei scheme mai generale, numit schema lui Poisson care const n urmtoarele: Se dau n urne: U1 cu a1 bile albe i b1bile negre, Un cu an bile albe i bn bile negre. Se extrag n bile, cte una din fiecare urn (extrageri independente). Probabilitatea de a extrage o bil alb din urna Uj este : pj =(aj / (aj +bj ) iar probabilitatea de a extrage o bil neagr din urna Uj este qj = 1- pj (1j n). Teorema 6.10 Probabilitatea ca din n bile s obinem k bile albe (k=0,1,.,n) i restul negre, este coeficientul lui tk n produsul (p1t+q1).(pnt +qn) este :

1 1,... ....

k k nn k i i i iP p p q q+=

Demonstraie Fie Aj evenimentul extrageii unei bile albe din urna Uj i j evenimentul extragerii unei bile negre din urna Uj (1jn). Obinerea a k bile albe i n-k bile negre cnd se extrage cte o bil din fiecare din cele n urne, const n realizarea unui eveniment de forma: An,k = Ai1..Aik A ik+1.. A in unde i1,.., in este o permutare a indicilor 1,n. Cum evenimentele Aj, A j sunt independente cte dou, avem: P(An,k)=pi1.pikqik+1.qin Evenimentele An,k fiind incompatibile cte dou, probabilitatea Pn,k a obinerii a k bile albe i n-k bile negre n schema Poisson, va fi: Pn,k = pi1.pikqik+1..qin pentru toate permutrile i1,..in ale indicilor 1,.,n adic chiar coeficientul lui tk n produsul (p1t+q1).(pnt+qn) Q.E.D. Schema lui Poisson se aplic cnd se urmrete ca n experimente independente s apar de k ori un eveniment A, dac se cunosc probabilitile diferite de realizare a sa n cele n experimente. Schema bilei revenite se obine ca un caz particular din schema lui Poisson cnd urnele U1,,Un au un coninut identic n bile albe i negre: a1=..=an= a i b1=.bn=b n acest caz , extragerea simultan a cte unei bile din cele n urne identice U cu a bile albe i b bile negre este echivalent cu extragerea succesiv a n bile dintr-o singur urn U cu a bile albe i b bile negre, punnd bila napoi n urn dup fiecare extragere, pentru ca urna U s fie identic la fiecare din cele n extrageri succesive. Avem p1=..=pn=p i q1=.qn=q=1- p, deci Pn,k este coeficientul lui tk n produsul (pt+q)(pt+q)=(pt+q)n adic:

Pn,k = Cnkpkqn-k ; (k=0,1,,n)

33

Schema bilei revenite se aplic cnd se urmrete ca n n repetri independente ale unui experiment, s apar de k ori un eveniment A, dac se cunoate probabilitatea sa de realizare n acel experiment. Aruncrile repetate de monezi i zaruri se supun schemei bilei revenite, dnd natere la evenimente independente. Formula combinrilor este:

( 1)...( 1) !( )1.2... !( )!

+= = = =k n n kn k n

n n n k nC Ck k n k

Funcii EXCEL pentru aranjamente,permutri i combinri : a) Aranjamente de n obiecte luate cte k :

Ank=n(n-1)(n-k+1)= n! / (n-k)! Funcia EXCEL : = PERMUT(n,k)

b) Permutri de k obiecte: Pk = 1.2.k = k! Funcia EXCEL : = FACT(k)

c) Combinri de n obiecte luate cte k : Cnk = ( nk ) = Ank / Pk = n!/ k!(n-k)! Funcia EXCEL : = COMBIN(n,k)

Dac n i k au valori mari, factorialele se calculeaz aproximativ cu formula Stirling:

! 2 .( ) nnn ne

n concluzie variabila binomial B(n,p) are densitatea de probabilitate: f(k)= Cnkpkqn-k ; (k=0,1,,n) (1) Calculul lui f(k) se face mai comod prin formulele recurente: f(0) = qn (k=0)

n)1,2,...,(k .1).1()( =+=

qp

kknkfkf

Funcia de repartiie binomial este :

Funcie EXCEL : = BINOMDIST(k,n,p,L) Pentru L = FALSE avem densitatea de repartiie binomial f(k) iar pentru L = TRUE avem funcia de repartiie binomial F(k) .

Funcia caracteristic este nqitpet )()( += Din teorema 6.5 rezult

(0)( )

'= =M X np

i

i

2 2 22( )

"(0)= = +M X n p npqi

aa c V(X) = M(X2)-M2(X) =npq.

Modul Mo(X) satisface relaia np-qMo(X) np+q. Teorema 6.11 Dac X,Y sunt variabile binomiale independente de tip B(n1,p) i respectiv B(n2,p), atunci X + Y este variabil binomial de tip B(n1+n2,p).

0( )

== k h h n hn

hF k C p q

34

Demonstraie Conform teoremei 6.5 , X+Y are funcia caracteristic (peit+q)n1.(peit+q)n2 = =(peit +q)n1+n2 deci X+Y este variabil binomial B(n1+n2,p) Q.E.D. Valorile f(k) din formula (1) se obin prin calcul direct pentru n

35

Avem 2,4,20141,

206 ===== knpqp deci conform formulei (1) avem:

%5.2610

7.3.2.13.4)

2014()

206()2( 4

22222

4 === Cf Funcii EXCEL : = BINOMDIST(2,4,0.3,FALSE) = 26.5%

= BINOMDIST(2,4,0.3,TRUE) =91.6% 6.4.2 Variabila hipergeometric

Variabila aleatoare hipergeometric este variabila aleatoare cu un numr finit de valori avnd ca model schema bilei nerevenite. Fie o urn U cu a bile albe i b bile negre din care se extrag succesiv n bile fr revenirea n urn a bilei dup fiecare extragere (extrageri dependente). Cele n bile pot fi extrase i simultan. Schema bilei nerevenite se aplic la controlul calitii produselor, deoarece cu convenia bil alb=obiect bun i bil neagr=rebut, rebuturile nu se mai ntorc n urn dup extragere.

Teorema 6.12 Probabilitatea ca din n bile extrase s apar k bile albe (k=0,1,,n) n cadrul schemei bilei nerevenite este:

,.k n ka b

n k na b

C CPC

+=

Demonstraie: Din a bile albe se pot forma Cak grupe distincte de cte k bile albe n fiecare grup iar din b bile negre se pot forma Cbn-k grupe distincte cu n-k bile negre n fiecare grup. Extragerea culorilor alb i neagr fiind independente, numrul cazurilor favorabile n schema bilei nerevenite este Cka.Cbn-k. Din a+b bile se pot forma Ca+bn grupe distincte cu n bile n fiecare grup, deci numrul cazurilor egal posibile n schema bilei nerevenite este Ca+bn.

Conform definiiei clasice a probabilitii avem: ,.

Q.E.D.

+=

k n ka b

n k na b

C CP

C

n concluzie, densitatea de probabilitate a variabilei hipergeometrice H(a,b,n) este:

nba

knb

ka

CCCkf

+

= .)(

Un calcul comod pentru f(k) se face cu formulele de recuren: ( 1)....( 1)(0) ; (k 0)

( )( 1)....( 1)

( 1)( 1)( ) ( 1). ; (k 1,2,......n)( ).

+

+= = =+ + + +

+ += = +

na

na b

C a a a nfa b a b a b nC

a k n kf k f kb n k k

Funcia de repartiie hipergeometric este :

36

Funcie EXCEL : = HYPGEOMDIST(k,n,a,a+b)

Avem M(X)=np; V(X)=npq )1

11( +ba

n

Dac a+b, variabilele binomial i hipergeometric au aproximativ aceeai repartiie. Dac urna U are a1 bile de culoarea 1,, am bile de culoarea m, extragem succesiv cu bila nerevenit n bile (extragerile pot fi i simultane). Dorim s apar k1 bile de culoarea 1,, km bile de culoarea m, deci avem variabila hipergeometric cu m stri cu densitatea de probabilitate:

1

1

1 1

1....

1 1

...( ,...., )

( ,...., 0,1,...., ; .... )

m

m

m m

kka a

m na b a b

m m

C Cf k k

C

k k n k k n+ + + +

== + + =

Exemplu ntr-un incubator sunt 1000 ou din care 5 % neeclozionate. Se extrag simultan n=100 ou. Care este probabilitatea ca s gsim k=90 ou eclozionate ? Soluie Avem schema bilei revenite cu a=950 ou eclozionate i b=50 ou neeclozionate.

Avem P100,90= 1001000

1050

90950.C

CC

Funcie EXCEL : = HYPGEOMDIST (90,100,950,1000) =1.4% M(X)=np=100x0.95= 95 ou eclozionate.

V(X)=npq( 1(1 ) 100 0.95 0.051

= + n

a b.

(1 100 1 ) 4.3 ( ) 4.3 2.11000 1

= = = deci x ou eclozionate. 6.4.3 Variabila Poisson

Variabila aleatoare Poisson este variabil cu un ir infinit de valori cu densitatea de probabilitate:

( ) ; ( 0,1,2,...)!

= =k

f x e kk

Notaie: PO()

f(k) se calculeaz recurent astfel: f(0)=e ; (k=0) f(k)

kkf ).1( = ; (k=1,2,3,)

Funcia de repartiie Poisson este :

0

.( )

= += h n hk a bn

h a b

C CF k

C

0( )

!

== hk

hF k e

h

37

Funcie EXCEL : = POISSON(k,,L) Pentru L = FALSE avem densitatea de repartiie Poisson f(k) iar pentru L=TRUE avem funcia de repartiie F(k) . Funcia caracteristic este ( 1)( ) = itet e de unde conform teoremei 2.5. rezult:

"2 2

2

2 2

'(0) (0)( ) ; M(X ) i

deci V(X) M(X )-M (X)

= = = = += =

M Xi

Teorema 6.13 Dac X,Y sunt variabile Poisson de tip PO (1 ) respectiv PO(2) atunci X+Y este variabil Poisson de tip PO (1+2). Demonstraie Conform teoremei 6.5 , X+Y are funcia caracteristic

1 2 1 2( 1) ( 1) ( )( 1)1 2( ) ( ) ( ) .

+ = = =it it ite e et t t e e e deci X+Y este variabil Poisson de tip PO(1+2) Q.E.D.

Teorema 6.14 Variabila Poisson se obine din variabila binomial dac n,p0 i np = . Demonstraie Avem :

k

n 1/

( ) 1 1 (1 )(1 )....(1 ). care tinde catre ! k!(1 )

1 1deoarece (1- )...(1 ) 1, (1 ) 1 i (1-p) [(1 ) ] .n

= =

k nk k n kn k

k p np

np k pC p q ek n n p

k p p en

Rezult c modelul aproximativ al variabilei Poisson este schema bilei revenite aplicat unei urne foarte bogate iar cu foarte puine bile albe i din care se extrag succesiv cu bila revenit un numr de n foarte mare de bile. Din acest motiv variabila Poisson se mai numete variabila evenimentelor rare. Repartiia Poisson se gsete des n agricultur: numrul gemenilor, numrul animalelor cu tare genetice i numrul celulelor iradiate cu particule , sunt evenimente rare. Exemplu Numrul mediu de miei la 100 oi este de 120 miei, Care este probabilitatea ca o oaie s fete 2 miei ? Soluie

Avem =1.2 i k=2 deci 2

1.21.2(2) 21.72!

= =f e %. Funcii EXCEL : = POISSON(2,1.2,FALSE)=21.7%

= POISSON(2,1.2,TRUE) = 87.9% 6.5 Variabile aleatoare clasice continue

6.5.1 Variabila uniform

Variabila aleatoare uniform are densitatea de probabilitate : f(x) =1, x [0;1] f(x) =0, n rest

38

Funcia caracteristic este it

etit 1)( = i conform teoremei 6.5. avem:

M(X)=21)0(' =

i

;''

2 2 22

(0) 1 1( ) deci V(X) M(X )-M (X)3 12

= = = =M Xi

Valorile x [0,1] ale lui se numesc numere aleatoare i se tabeleaz sau se genereaz cu calculatorul (funcia RND). Cu ajutorul variabilei uniforme , se pot simula valorile oricrei variabile aleatoare prin metoda Monte Carlo . Simularea altor variabile aleatoare clasice se face cu ajutorul variabilei uniforme astfel: Alegem n mod aleator (la ntmplare) m valori ale variabilei uniforme i[0,1] i lum x = xi dac F(xi) = i (i = 1, , m) unde F(x) este funcia de repartiie a variabilei aleatoare X. Dac X este variabil aleatoare discontinu cu un numr finit de valori, cu repartiia:

n1

n1

p ___ p x___ x

:X din relaia F(xi) = i (i = 1, , m) rezult c vom lua:

xi = x1 dac 0 < i < p1 xi = x2 dac p1 < i < p1 + p2 . xi = xk dac p1 + + pk-1 < i < p1 + + pk . xi = xn dac p1 + + pn-1 < i < 1 Dac X este variabil aleatoare discontinu cu un ir infinit de valori, din condiia 0 <

pi < 1 i =

=1i

i 1p rezult c numai pentru un numr finit de valori xi avem pi > cu 0 < < 1

deci vom lua n calcul numai aceste valori. Dac X este variabil aleatoare continu, din relaia F(xi) = i (i = 1, , m) rezult xi

ca funcie de i. 6.5.2 Variabilele exponenial, Weibull, Erlang

Variabila exponenial E() are densitatea de probabilitate: f(x) = e - x ; (x0) Funcia de repartiie este F(x) = 1-e - x Funcie EXCEL : = EXPONDIST(x,,L) Pentru L=FALSE avem densitatea de probabilitate exponenial f(x) iar pentru L=TRUE avem funcia de repartiie F(x) .

Funcia caracteristic este (t)= 1)1( it

, deci conform teoremei 2.5. avem

1)0(')( ==

iXM i M(X2)=

''2 2

2 2 2

(0) 2 1 deci V(X) M(X )-M (X)= = =i

Variabila exponenial i gsete aplicaii n fiabilitatea mainilor agricole (Seciunea 6.7 de mai jos). Variabila exponenial admite urmtoarele generalizri: A.Dac X este variabil exponenial E() atunci Y=X este variabil Weibull cu densitatea de probabilitate :

1( ) ,( 0)xf x x e x =

39

este funcia de repartiie .

Funcie EXCEL : = WEIBULL(x,, 1/(1/ ), L) Pentru L=FALSE avem densitatea de probabilitate WEIBULL f(x) iar pentru L=TRUE avem funcia de repartiie WEIBULL F(x) . Avem:

Avem funcia Gama :

cu proprietile : 1) (1)=1; (1/2)= ; 2) (n+1) = n!; 3) (x+1) = x (x)

B.Dac X1,.Xn sunt variabile aleatoare exponeniale, independente cte dou i toate de parametru , atunci X=X1++Xn este variabil Erlang cu densitatea de probabilitate :

Funcia de repartiie este =

= 10

.

!)(.1)(

n

j

jx

jxexF

Funcia caracteristic este:

'(0)( ) (1 ) deci conform teoremei 6.5 avem M(X)i

nit nt = = =

M(X2)='' 2

2 2

(0) += n ni

deci V(X)=M(X

2) M2(X)= 2n

Variabila exponenial i generalizrile ei Weibull i Erlang, sunt cazuri particulare ale variabilei Gama generalizate .

6.5.3 Variabila normal

Variabila normal are densitatea de probabilitate:

2

2( )

21( ) ,2

x

f x e x R

=

care are graficul :

( ) 1 xF x e=

21/ 1/

1( ) 1 2 1( ) ; ( ) ( ) ( ( ))

+ + + = = M X V X

1

0

( )

= x tx t e dt

1( ) ; ( 0)( 1)!

= n

n xf x x e xn

40

Funcia caracteristic este

2 2

2( )ti t

t e = deci conform teoremei 6.5. avem:

''2 2 2 2 2 2

2

'(0) (0)( ) ; ( ) V(X) ( ) ( )= = = = + = =M X M X deci M X M Xi i

Variabila normal X are notaia X=N(, ). Din graficul densitii de probabilitate f(x) a variabilei normale se confirm cele 2 legi ale erorilor accidentale, gsite de Gauss:

1) Legea simetriei: Numrul valorilor care se abat sub media este egal cu numrul valorilor care se abat peste media ;

2) Legea concentrrii: Abaterile mici de la media sunt numeroase iar abaterile mari de la media sunt rare.

Dac pe verticala lui lsm s cad boabe de cereale, boabe de nisip sau pietricele , acestea se ciocnesc i se rostogolesc formnd o grmad care are n seciune vertical profilul de curb normal de mai sus. Teorema 6.15 Dac X1, X2 sunt variabile aleatoare normale de tip N(1,1) i respectiv N(2,2), independente ntre ele, atunci variabila aleatoare a1X1+a2X2 este o variabil aleatoare normal de tip N(a11+a2 2 ; (a1212+a2222)1/2). Demonstraie Variabila aleatoare a1X1+a2X2 are conform teoremei 6.5. funcia caracteristic:

1(a1t1)2(a2t2)=2 2 21 1

1 1 2a tia t

e

.

2 2 22 2

2 2 2a tia t

e

=e

2 2 2 2 21 1 2 2

1 1 2 2( a )( )

2a ti a a t ++

deci a1X1+a2X2 este variabil aleatoare normal de tip N(a11+a22; 2 2 2 21 1 2 2 )+a a Q.E.D.

Pentru =0, =1 obinem variabila aleatoare normal redus U=N(0,1) cu densitatea de probabilitate f(u)=

2 / 212

ue i cu graficul:

41

Legtura ntre variabila normal X=N(, ) i variabila normal redus U=N(0,1) este dat de relaia

= xU respectiv X = +U. Funcia de repartiie a variabilei normale reduse U=N(0,1) este

2

21( )2

tuF u e dt

=

Valorile lui F(u) pentru u 0 se gsesc n tabela 1 din Anex iar pentru u

42

Dac X este variabil N(,) avem: ( ) ( ) ( ) = b aP a X b F F

Demonstraie

Relaia rezult din teorema 6.3 punctul 4 cu substituia .= XU

n particular pentru a = -, b= + i innd cont c )(1)(

FF = relaia din

enun capt forma:

( ) 2 ( ) 1P X F < = Q.E.D. Exemplu Greutatea la livrare a porcilor Landrace de 8 luni este variabila normal N(100 kg; 5 kg). Se cere probabilitatea ca greutatea porcilor de 8 luni s fie cuprins ntre 98 kg i 106 kg ? Soluie

P(98X106)=106 100 98 100( ) ( ) (1.2) ( 0.4) (1.2) 1 (0.4)

5 50.8849 0.6554 1 54%.

= = + == + =F F F F F F

Funcii EXCEL : = NORMDIST(1.2) =0.8849 i = NORMDIST(-0.4)==0.3446 6.5.4 Variabilele Hi Patrat, Student, Fisher

A. Variabila Hi Patrat (2)

Dac X1,.,Xn sunt variabile aleatoare N(0,1) independente cte dou, atunci variabila X definit de relaia: 221

2 .... nXXX ++= se numete variabil hi ptrat (X2) cu n grade de libertate. Ea are densitatea de probabilitate:

12 2

2

1( ) . . ;( 0)2 . ( )

2

n x

nf x x e xn =

Funcia caracteristic este (t)=(1-2it) 2n

deci conform teoremei 2.5. avem

M(X)= 2 22'(0) "(0); ( ) 2= = = +n M X n ni i

aa c : V(X)=M(X2)-M2(X)=2n

Teorema 6.17 Dac X1, X2 sunt variabile hi patrat cu n1 grade de libertate respectiv n2 grade de libertate, atunci X1+X2 este variabil hi patrat cu n1+n2 grade de libertate. Demonstraie Conform teoremei 6.5. variabila aleatoare X1+X2 are funcia caracteristic

1 2 1 2

2 2 2( ) (1 2 ) .(1 2 ) (1 2 )+ = =

n n n n

t it it it deci este variabil hi patrat cu n1+n2 grade de libertate. Q.E.D.

43

Variabila hi ptrat cu n grade de libertate este un caz particular al variabilei Gama generalizate . Dac X este variabil hi ptrat cu n grade de libertate (n30) atunci variabila

22 2 1 X n U unde U = N (0,1) de unde rezult c variabila 2

)12( 2+= nUX este aproximativ variabil hi ptrat cu n grade de libertate pentru n30. Valorile lui 2 date de relaia P( 2 2 ) > = se obin din tabela 3 din Anex. Funcia EXCEL : = CHIINV(P,GL) d valoarea 2 pentru care

P( 2 2 ) > = B. Variabila Student (t)

Dac X1 este variabil N (0,1) i X2 este variabil hi ptrat cu n grade de libertate, X1 , X2

fiind independente ntre ele, atunci

nXXY

2

1= se numete variabil Student (t) cu n grade

de libertate. Ea are densitatea de probabilitate :

122

1( )2( ) (1 )( )2

++

= +

nn

xf xn nn

Avem M(X) = 0; V(X) =2n

n

Valorile lui t/2 i t date de relaiile P(t>t/2) = P(t>t)=, se obin din tabela 2 din Anex Pentru n 30 variabila Student este bine aproximat de variabila normal N(0,1).

Funcia EXCEL : = TINV(P,GL) d valorile t/2 pentru care P(t>t/2)= C. Variabila Fisher (F)

Dac X1, X2 sunt variabile hi ptrat cu n1 respectiv n2 grade de libertate, independente ntre

ele, atunci Y=2

2

1

1 :nX

nX

se numete variabil Fisher (F) cu (n1,n2) grade de libertate.

Evident Y1

este tot variabil Fisher cu (n2,n1) grade de libertate.

Densitatea de probabilitate este:

F(X) = (1 1 1 2

1 211 12 2 2

1 22 2

n + n( )

2( ) . .(1 )( ) ( )

2 2

+ +

n n n nn nx xn nn n

; (x0)

44

Avem M(X) =2

2 2 1 22

2 1 2 2

2n (n n -2); V(X)

2 ( 2) ( 4)+=

nn n n n

Variabilele normal redus, hi ptrat, Student sunt cazuri particulare ale variabilei Fisher X cu (n1,n2) grade de libertate astfel: - Variabila U este == 21 ;1 nncuX - Variabila hi ptrat este X cu == 21 ;nnn - Variabila Student este X1/2 cu n1=1;n2=n.

Valorile critice F1 date de relaia P(F>F)= pentru =5%, 1 %; 0.1 % se obin din tabelele 4-6 din Anex . Funcia EXCEL : = FINV(P,GL1,GL2) d valorile F pentru care P(F>F)= . Valorile critice din tabelele 1-6 ale Anexei , sunt legate prin relaiile:

2/2 ;1, , ; , ; .n nU F n F = = ;

/2; ;1,n nt F = Pe grafic aceste valori au forma:

6.5.5 Vectorul aleator normal Vectorul aleator normal Z = (X,Y) are densitatea de probabilitate:

2 21 2 1 2

2 2 21 21 2

1 ( ) ( ) [ 2 . ]2(1 )

21 2

1( , ) 2 1

+ = x y x y

f x y e

45

Funcia caracteristic este: 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 21( ) ( 2 )2

1 2( , )i t t t t t t

t t e + + +=

Aici X = 1 1 2 2( , ), ( , ) i (X,Y)= =N Y N Avem vectorul medie M(Z) = ( 1 2; ) i matricea de covarian C(Z) =

21 1 2

22 1 2

Graficul lui z= f(x,y) este o suprafa n spaiu n form de clopot cu deschiderea n jos, cu

vrful clopotului n punctul: 1 2 21 2

1( ; ; )2 1

M Dac 1 2 1 20 i 1= = = = obinem vectorul aleator normal redus W = (U,V) cu densitatea de probabilitate:

2 22

1 [ 2 . . ]2(1 )

2

1( , )2 1

u v u vf u v e

+ =

Avem M(W) = ( 0; 0); C(W) = 1

1

Dac Z = (X, Y) cu 1 1 2 2( , ), Y N( , ) iar W (U,V) cu U V N (0,1) = = = = =X N avem relaiile de legtur:

1 21 2

Y-; V

= =XU Am vzut n teorema 6.8 punctul 5) c n general variabilele necorelate liniar pot fi dependente. Teorema 6.18 Dac variabilele aleatoare normale X, Y sunt necorelate liniar, ele sunt independente. Demonstraie Dac variabilele normale sunt necorelate liniar avem 0= deci:

2 21 2

1 2

2 21 2

1 2

1 [( ) ( ) ]2

1 2 1 1 ( ) ( )

221 2

1 1 2

1( , )2

1 1. ( ) ( )2 2

+

= =

= =

x y

x y

f x y e

e e f x f y

deci conform teoremei 6.7. rezult c X, Y sunt variabile aleatoare independente. Q.E.D. 6.6 Legi limit Teorema 6.19 (Legea numerelor mari a lui Cebev)

46

Fie X1,, Xn variabilele aleatoare independente cte dou, cu abaterile standard

mrginite de T. Dac X = 1.....+ + nX Xn

atunci pentru orice 0> avem: lim P(X-M(X)

47

P(f-p

48

Cu alte cuvinte, dac valorile a n variabile aleatoare independente , vor fi mici n raport cu suma lor, atunci aceast sum are o repartiie normal cnd n. Dac n teorema 6.21 lum variabilele aleatoare independente X1=.=Xn =( qp

01 ) deci

X = X1+.+Xn este variabil binomial, condiia din enunul teoremei 6.21 este ndeplinit deoarece M(Xi) = pq aa c M (Xi-M(Xi)3) sunt finite i egale ntre ele deci:

33 3

13 3 3 3

[ ( ( ) )] ( ) ( )0

( ) ( )=

= = n i i

i iiM X M X nM X p M X p

X npq n p q pentru n deci rezult: Teorema 6.22 (Moivre-Laplace) Dac X este o variabil binomial cu media M(X) = np i variana V(X) = =npq cu q=1-p, atunci funcia de repartiie a variabilei aleatoare normate

( )( )

=X M X X npX npq tinde ctre funcia de repartiie F a variabilei normale reduse N(0,1)

cnd n . Cu alte cuvinte, probabilitatea ca un eveniment A s se realizeze n n experiene independente de un numr de ori cuprins ntre a i b este aproximativ egal cu:

)()(npq

npaFnpq

npbF cnd n 30 Valorile lui F(u) pentru u 0 sunt date de tabela 1 din Anex iar pentru u

49

Proprieti : a) R(t) ia valori ntre 0 i 1; R(0) = 1; ( ) 0lim

tR t

= ;

b) R(t) este continu la stnga: 0

0( ) ( )limt t

R t R t

= ; c) R(t) este funcie descresctoare: t1 < t2 R(t1) > R(t2);

P(a < T < b) = R(a) R(b);P(T< b) = =1 R(b) ; P(a < T) = R(a). 2) Probabilitatea de defectare a echipamentului n intervalul de timp [ 0 , t] este F(t) = P( T < t ) 3) Viteza de defectare a echipamentului la momentul t este f(t) = F(t) = - R(t) . Avem :

de unde P(t T < t + t) = f(t).t deci probabilitatea de defectare a echipamentului n intervalul de timp [ t , t +t ] este egal cu densitatea de repartiie f(t) nmulit cu lungimea t a acestui intreval de timp . 4) Rata defectrii (t) este viteza de defectare a echipamentului la momentul de timp t , dac echipamentul a funcionat fr defeciuni n intervalul de timp [0 , t] . Avem : (t) = f(t) / [ 1 F(t)] = - R(t) / R(t) n adevr , fie A evenimentul c echipamentul a funcionat fr defeciuni n intervalul de timp [ 0 , t] i B evenimentul c echipamentul se va defecta n intervalul de timp [t , t +t ] . Probabilitatea lui B , condiinat de A este :

Avem P( B A) = (t).t deci probabilitatea ca echipamentul s se defecteze n intervalul de timp [t , t +t ] , dac a funcionat fr defeciuni n intervalul de timp [ 0 , t] , este egal cu rata defectrii nmulit cu lungimea t a intervalului de timp [t , t +t ] . Din relaia (t) = - R(t) / R(t) rezult :

Graficul ratei defectrii are forma:

t 0 t 0

F(t t) F(t) P(t T t t) f(t)= lim limt t

+ < + =

t 0 t 0

P(A B) P(t T< t+ t) F(t+ t)-F(t) P( B A) = = = de unde :P(A) P(T>t) 1-F(t)

1 F(t+ t)-F(t) 1 f (t) R (t) (t) = lim P( B A)= lim t t 1 F(t) 1 F(t) R(t)

= =

t

0

- (s)ds

R(t) = e

(t) I II III 0 tr tu t

50

Avem trei perioade n evoluia funcionrii unui echipament n timp: I) Perioada de rodaj [0; tr] n care apar un numr mare de defecte de fabricaie; II) Perioada de via util [tr; tu] n care rata defectrii este sczut i constant; III) Perioada de uzur fizic [tu; +] n care rata defectrii crete din nou datorit uzurii fizice.

5) Rata de defectare cumulat este funcia :

Cum (s) = - R(s) / R(s) rezult : (t) = - ln R(t) Rata de defectare cumulat medie este (t) / t = - [ln R(t)] / t . 6) Durabilitatea echipamentului este timpul mediu de funcionare fr defeciuni al echipamentului :

7) Mentenana echipamentului . Dac echipamentul se defecteaz la un moment de timp t d , el trebuie reparat .Defeciunea poate fi subiectiv(cauzat de exploaterea necorepunztoare sau nerealizarea reviziilor obligatorii) sau obiectiv (cauzat de uzura fizic). Fie Tm variabila aleatoare pozitiv a timpului de restabilire a funcionalitii echipamentului , numit i timp de mentenan(restabilire) . Fie Fm(t) funcia de repartiie a variabilei Tm deci Fm(t) = P(Tm < t) este probabilitatea de restabilire a echipamentului ntr-un timp inferior lui t . fm(t) = Fm (t) este densitatea de repartiie a variabilei Tm iar media variabilei Tm este timpul mediu de restabilire a echipamentului :

Mentenana poate fi preventiv(revizie periodic) sau corectiv(reparaie efectiv). 8) Disponibilitatea echipamentului este capacitatea sa de a-i ndeplini rolul pe o perioad de timp , prin controlul fiabilitii i mentenanei .Pentru evaluarea cantitativ a disponibilitii avem parametrul D= M(T) / [M(T)+M(tm)] adic proporia de timp ct echipamentul este activ. Fiabilitatea i mentenana sunt invers proporionale : cu ct fiabilitatea echipamentului este mai mare cu att mentenana sa este mai mic. n studiul disponibilitii intervin aspecte tehnice i economice. Din punct de vedere economic,uzura fizic implic cheltuieli de mentenan cresctoare deci echipamentul trebuie casat cnd aceste cheltuieli cumulate depesc costul de achiziie al unui echipament nou. Uzura moral scurteaz perioada de mentenan sub aspectul calitate / pre . Echipamentele pot fi cu funcionare intermitent sau continu. De exemplu computerul este cu funcionare intermitent iar frigiderul este cu funcionare continu (tot timpul ct conine alimente perisabile).

t

0

(t)= (s)ds

0

M(t) = t f(t)dt

m m0

M(T ) t f (t)dt

=

51

Studiile de fiabilitate i mentenan privesc o mulime de echipamente similare care funcioneaz n condiii identice. Concluziile asupra grupului de echipamente permit efectuarea de corecii asupra echipamentelor individuale. Studiul fiabilitii i mentenanei echipamentelor se aplic i la starea de sntate a fiinelor vii . Exemplu Pentru intervalul de timp [ 0 , t ] se urmresc N echipamente identice din care se defecteaz Nr(t) i sunt bune Nb(t) . Avem R(t) = Nb(t) / N ; F(t) = Nr(t) / N ; f(t) = Nr(t) / N ; (t) = - Nb(t) / Nb(t)

Exemple 1) T = variabil exponenial deci F(t) = te1 aa c te)t(R = ; (t) = ; M(T) = 1 Acest caz se ntlnete n perioada II) de via util cnd (t) = constant. Dac probabilitatea funcionrii fr defeciuni a unui element constructiv ntr-un interval de timp de lungime t, nu depinde de funcionarea anterioar a elementului ci numai de lungimea t a intervalului de timp, atunci T este variabil exponenial.

2) T = variabil Weibull deci te1)t(F = aa c:

te)t(R = ; 1t)t( = ; 1

( )1

M T

+ =

n cazul 0 < < 1, (t) descrete (cazul elementelor cu defecte de fabricaie multe da care se uzeaz lent); n cazul = 1 avem (t) = = constant adic cazul 1) al fiabilitii exponeniale de mai sus; n cazul > 1, (t) crete (cazul elementelor cu defecte de fabricaie puine dar care se uzeaz rapid).

3) T = variabil normal deci ( )2

221( )2

st

F t e

= cu valori n tabele , dup

transformarea TU = .

Rezult R(t) = 1 F(t); )t(F1

)t(f)t( = ; M(T) =

Aici

2

2( )

21( )2

t

f t e

= este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare normale N(;). Dac dou elemente constructive independente ntre ele, au fiabilitile R1(t), R2(t) atunci legndu-le n serie avem un element compus cu fiabilitatea R(t) = R1(t) . R2(t) iar legndu-le n paralel, avem un element compus cu fiabilitatea R(t) = R1(t) + R2(t) R1(t) . R2(t). Exemplu Dou elemente constructive independente ale unui tractor au fiabilitile exponeniale R1(t) e - 0.5t; R2(t) = e - 1.5t. S se calculeze fiabilitatea elementului compus din cele 2 elemente precedente n montaj serie i paralel.

52

Soluie

Pentru montajul serie avem Rs(t) = e-0,5t . e-1,5t = e-2t deci s(t) = 2; 1( ) 0.52s

M T = = .

Pentru montajul paralel avem Rp(t) = e-0,5t + e-1,5t e-2t deci ' ( )

( )( )

pp

p

R tt

R t = i

Mp(T) = 0

( )pR t dt .

6.8 Rezumat n acest capitol se prezint definiia unui eveniment , clasificarea evenimentelor i exemple, definiia axiomatic i clasic a probabilitii , definiia probabilitii condiionate , formule