Capitolul 1BAZELE TEORIEI MODELRII1.1. PRINCIPIILE MODELRIIn natur nu exist fenomene izolate. Totdeauna, simultan fenomenul investigat se desfoar un numr apreciabil de fenomene cu care acesta are relaii i influene reciproce. nvedereacercetrii fenomenului respectiv, primul demerscavetrebuie nfptuit este a delimita aria investigat, de a elimina influenele parazite, nesemnificative pentru scopul propus. Aceasta implic de fapt emiterea unor ipoteze, elaborarea unor scheme sau conceperea modele ale fenomenului n cauz.Paradoxal estefaptul cpentruamodelacorect unfenomenestenecesar cunoaterea ct mai cuprinztoare a sa, ceea ce reduce nevoia de a-l cerceta. Pe de altparte, modelul trebuiesfieadecvat scopului propus: unmodel excesivde complicat - care i propune s aib n vedere toate aspectele posibile ale fenomenului -poate deveni costisitor, greoi sau chiar inoperant, iar un model simplist prea sumar, poate fi incorect, ca urmare a neglijrii unor aspecte importante ale fenomenului.Conceput n sensul cel mai general, modelul poate fifuncional, de calcul sau experimental.Modelul funcionalesteunmodel structural, teoreticsauexperimental, care pune n eviden diversele componente ale fenomenului i ilustreaz calitativ legturile reciproce ale acestora astfel nct s rezulte funciile globale fundamentale ale ansamblului.Modelul de calcul este un model teoretic, care, pornind de la un set coerent de ipoteze, stabilete o schem de calcul, un numr de teoreme irelaiide calculce descriu cantitativ i calitativ fenomenul. Trecerea modelului de calcul pe un calculator numeric sau analogic desigur c poate urmri considerabil eficiena acestuia. Setul de programe care se utilizeaz pe calculator n legtur cu modelul investigat face parte integrant din modelul respectiv .Modelul experimentalesteunobiect fizic, undispozitivsauoinstalaiecare reproduce n anumite condiii fenomenul ce intereseaz.Este evident c toate cele trei tipuri de modele sunt complementare n descrierea unui fenomen, fiecare avnd :avantaje, dezavantaje i limitri. De cele mai multe ori se folosescserii succesivedediversetipuri demodele, pemsurceseculegdate despre fenomenul ce se cerceteazperfecionndu-se i modelele respective. Perfecionarea unui model nu nseamn neaprat complicarea lui, ci poate foarte bine 1s nsemne simplificarea sa, ca urmare a informaiilor obinute din cercetrile anterioare.Utilizarea tehnicii modelrii ca metod de cercetare n investigarea organismului umans-adovedit deosebit defructuoas. Sepoatespunecprogresenotabilen medicin nu s-au obinut dect atunci cnd organismul nu a mai fost privit ca un tot indivizibil, ci o suprapunere de mai multe sisteme, aparate, organe, funcii etc., care sunt binedelimitatefizici funcional, fiindinterconectatecomplex, duplegi bine determinate. n acest mod s-au difereniat aparatul locomotor, sistemul osteo-articular, sistemul muscular, sistemul nervos, aparatul digestiv, aparatul circulator etc. La rndul su, fiecaresistempoatefi privit dinpunct devedereanatomicsaufiziologic, n condiii normalesaupatologice. Defapt, fiecaresistem, aparat sauorganesteun model mai mult sau mai puin complet al realitii. Delimitnd, n cele ce urmeaz, problematica specific sistemului osteo-articular, se fac unele detalieriale teorieimodelriirelative la investigarea acestuisistem din punct de vedere biomecanic.Cercetarea sistemului osteo-articular al organismului uman sub aspect mecanic se poate face cu succes utiliznd metodele inginereti clasice i moderne, de calcul i experimentale. Astfel, sistemul oste-articulare poate fi privit de ctreinginer ca fiind o structur spaial deformabil, avnd o complexitate apreciabil n ceea ce privete geometria, proprietile elastice i sarcinile.nvedereaelaborrii unui model eficient, noriceproblemdebiomecanic, trebuie, ca pe baza analizei datelor cunoscute n legtur cu fenomenul care intereseaz precum i n funcie de scopul urmrit, s se fac o sintez a modelului, care s tin seama de urmtoarele aspecte:a) dacmodelul estestatic, cinematicsaudinamic, adicdacintereseaz solicitrile, eforturile, tensiunile, deformaiile, deplasrilesubdiversesarcini statice sau dinamice, sau legile de micare ale diverselor componente, n diverse situaii, ca - de exemplu - mers, alergare, sritur etc.;b) geometria modeluluipoate fiplan sau spaial. Modelulpoate firealizat la scar n toate detaliile sau poate fi distorsionat, adic unele detalii sau dimensiuni pot fi executate la alt scar dect restul modelului;c) materialul dincareesterealizat modelul poatefi natural, cazncarese utilizeazunpreparat anatomic, poatefi omasplastic, unmaterial metalicsau combinaii ale acestora;d) rezemarea incrcarea modelului trebuie realizate n condiii ct mai apropiate de cele reale, pentru situaia studiat.Dei modelareanbiomecanicasistemului osteo-articularsesupuneacelorai legi i principii generale care se utilizeaz n inginerie, totui trebuie avut n vedere c 2existi uneledeosebiri carelimiteazposibilitileacestei metodedecercetare. Astfel nbiomecanicnumai rareori i numai ntr-omicmsursepot verifica rezultatele obinute prin studiul unui model cu cele obinute pe sistemul original, care esteorganismul uman; pentruaceastaar trebui efectuatedeterminri invivo. O suplinire a acestui inconvenient se poate face prin efectuarea de studii comparative, pe diverse variante de modelare a fenomenului real. Dei fiecare modei este obinut prin simplificarea fenomenuluioriginal, diversele variante sunt comparabile ntre ele (varianteleaufost conceputenacest sens) i sepoatedeterminacarevariant modeleaz mai bine problema investigat.Limitndu-nelaaspectelemecanice ale sistemului osteo-articular uman, ce poate fiprivit ca un sistem mecanic originalsau prototip, alcruimodeleste tot un sistem mecanic, care urmeaz s fie investigat prin calcul sau experimental.Este evidentcmodelultrebuieastfel proiectat iinvestigatnctssepoat determina, n anumite limite de precizie, comportarea sistemului original prin determinrile efectuate pe model. n anumite cazuri nu este necesar ca modelul s fie realizat la scar exact dup prototip i nici s existe asemnare general ntre ele. Legtura dintre comportarea modelului i cea a prototipului nu este neaprat necesar s fie simpl, dar calculele de trecere de la model la prototip i invers, trebuie s fie mai simple dect cele necesare pentru o soluie analitic a problemei.Tipurile de modele utilizate pentru sistemele mecanice pot fi:a) Model mecanicrealizat lascargeometricexact, mai mic, mai maresaude aceeai mrime cu sistemul original.b) Model mecanicrealizat ncondiii specialedemodelare, laoscargeometric exact. Abaterile de la scara exact pot fi eliminate din urmtoarele considerente:- influena micaanumitor particulariti alemodelului asupracomportrii acestuia; - o eroare acceptabili n comportarea estimat a prototipului;- posibilitateaefecturii unor corecii caresinseamadediferenadintre comportarea modelului i cea a prototipului.c)Model constnddintr-unsistemtotal nesimilarcuprototipul, cumarfi unmodel electric. Condiiile de modelare impun ca modelului electric s-i corespund aceleai relaii matematice ca i prototipului mecanic. n acest caz se spune c modelul electric este o analogie a sistemului mecanic original.d) Sistemtipcalculator, careconineelementecepot fi dispuseastfel nct s ndeplineasc operaiile matematice indicate de ecuaiile comportrii prototipului. De exemplu, unanalizor diferenial electronicpoatefi considerat camodel pentruun sistem mecanic original.3e) Diferite combinaii ale tipurilor precedente.Avantajelecelemai importantecarerezultdinutilizarearaionalatehnicii modelrii sunt urmtoarele:a) Modelul poatefi realizat laoscarconvenabil, mai micsaumai maredect prototipul. n biomecanic, adesea modeluleste singura alternativ, cnd nu se pot face determinri in vivo. b) Modelul poate fi proiectat astfel nct determinrile efectuate pe el s fie mai simple dect celeefectuatepeprototip.Determinrilepemodel potfirepetate - de obicei -dup dorin.c) Adeseasepot concepemodelesauformemai simpledect prototipul, deci controlul i variaia diverilor parametri pot fi simplificate, ceea ce deschide perspectiva nelegerii mecanismelor intime ale fenomenului investigat.Dezavantajele i limitrile tehnicii modelrii sunt :a) Uneori este imposibil elaborarea unor modele care s fie similare cu prototipul n toate privinele. n aceste cazuri trebuie s existe certitudinea c elementele sistemului care nu sunt modele corecte nu influeneaz mult rezultatele cercetrii.b)Numai arareori esteposibil s sereproducpeunmodel lascarredustoate detaliilestructuralealeprototipului. Trebuieavut nvederecaaproximrilesnu reduc precizia rezultatelor sub nivelul admis.c) Pe modelele la scar redus se poate ajunge n situaii de a obine greu precizia necesar pentru determinrile experimentale. De exemplu, se poate ivi necesitatea de a msura deformaii sau deplasri foarte mici, pentru care s trebuiasc un instrument de msur foarte sensibil i precis.Teoria modelrii cuprinde - n afara aspectelor calitative prezentate mai sus - i unansambludelegi, teoremei relaii decalcul careexprimcantitativlegturile biunivoce care exist ntre valorile mrimilor determinate pe model i ale celor determinate pe prototip, sau invers.Relaia care exprim legtura dintre ansamblul mrimilor scalare, vectoriale sau tensoriale care descriu comportarea prototipului (notate cupA~) mi a celor corespunztoare care descriu comportarea modelului (notate cu mA~),este, n cazul cel mai general, de forma:{ }mApA K A~ ~~ , (1.1)n care { }AK~ este un operator ale cror componente se numesc factori de scar.4Principalele tipuride corespondente care pot exista ntre mrimile determinate peprototipi celedepemodel sunt - nmodelareaproblemelor demecanica solidelor deformabile urmtoarele :a) Corespondena prin similitudine sau asemnare este definit prin aceea c operatorul { }AK~ din relaia (1.1) are o singur component AK~, constant n timp i spaiu, care este factorul de scar al mrimii A~.b) Corespondena afin const n faptul c se folosesc factori de scar diferii pentru diferitele componente ale unui vector sau tensor. Ea este util n modelarea materialelor ortotrope, a plcilor i nveliurilor etc.c) Corespondena funcional este o generalizare a corespondenei prin similitudine n sensul c factorul de scar AK~este acelai pentru toate componentele unui vector sau tensor dar este variabil n timp i n spaiu.d)Corespondenaoperatorieesteceancareoperatorul{ }AK~devineunoperator integral, diferenial sau integro-diferenial.Se menioneaz faptul c sunt situaii n care pot apare combinaii ale corespondenelordefinitemai sus. Deexemplu, seutilizeazcorespondenaafino-operatorie n modelarea problemelor viscoelasticitii materialelor anizotrope.Avnd n vedere c modelarea pe baza corespondenei prin similitudine este cea mai utilizat, iar pe de alt parte ea este bine studiat n literatura de specialitate, n celeceurmeazseprezintctevanoiuni, legi i relaii decalcul necesaren modelarea corect a problemelor de biomecanic a sistemului osteo-articular.1.2. ELEMENTE DE TEORIA SIMILITUDINIITeoriasimilitudinii. seafllagraniadintrelaturateoreticaunui fenomeni rezultateleexperimentaledeterminatenlegturcuacesta. Eaesteodisciplin tiinific de sintez, reprezentnd prima treapt n procesul de abstractizare a gndirii omeneti, care pstreaz similitudinea fizic dintre prototip i model.Obiectul teoriei similitudinii esteformulareaunor condiii generalenstudiul fenomenelor similare, care s permit utilizarea n practic a unor relaii teoretice sub form mai clar i mai simpl a unor formule adimensionale sau s simplifice studiul experimental al fenomenelor prin reducerea numrului de variabile care trebuie s fie studiate pentru cunoaterea satisfctoare a fenomenului cercetat.Ocomponentimportantateoriei similitudinii esteanalizadimensional, de careaceastaeste intimlegat. O prezentareorict de sumar a teoriei similitudinii impune i o incursiune n problematica analizei dimensionale.5Obiectul analizei dimensionale l constituie studiul relaiilor care descriu fenomenele fizice. Se pornete de la faptul c relaiile raionale sau (empirice trebuie s fie dimensional omogene, adic termenii unei relaii trebuie s aib aceleai uniti de msur i aceleai puteri ale mrimilor fundamentale. Omogenitatea dimensional a relaiilor fizice este necesar deoarece prin ea se asigur invariabilitatea lor fa de schimbarea sistemului de uniti de msur.O mrime fizic poate fi msurat prin comparare cu o alt cantitate cunoscut din aceeai mrime. Aceast cantitate de referin se numete unitate.Mrimile fizice care intervin n problemele mecanice sunt de obicei exprimate n funcie de trei uniti fundamentale, alese arbitrar, care formeaz un sistem de uniti de msur. Dac aceste unitii fundamentale sunt cele pentru mas, lungime i timp, sistemul se numete absolut. Dac se folosesc fora, lungimea i timpul, sistemul se numetegravitaional. Unitilefundamentalepot fi combinatepentruadetermina uniti adecvatepentrutoatecelelaltemrimi mecanice; acestease numescuniti derivate.Mrimileexprimatenuniti derivatesenumescmrimi secundare, iar cele msurate n uniti fundamentale, mrimi primare.O cantitate Qs dintr-o mrime secundar se poate scrie sub forma :]( ) ( ) ( ) [ ] T L F c n b n a n Q3 2 1 s .2 (1.2)ncare:n1, n2, n3estenumrul deuniti coninut ncantitateadata,b, csunt numere care arat c numrulde uniticoninut se schimb odat cu schimbarea valorii unitii i F, L, T unitile fundamentale folosite.Mrimea Qs,definit prin relaia (1.2), se numete dimensional, iar exponenii , , sunt dimensiuni ale unitii derivate [ ] T L F. Dac , ,sunt nuli, mrimea Qs este adimensional i ea nu depinde de sistemul de uniti fundamentale ales.Dac un fenomen este guvernat de o lege n care intervin mrimile secundare x1,x2,..., xn, ca variabile, fiecare avnd dimensiunile 1, 1, 1, 2, 2, 2, n, n,n relative la un sistem de uniti fundamentale (de exemplu, F, L, T), matricea :1111]1

n 2 1n 2 1n 2 1 (1.3)se numete matricea dimensiunilor variabilelor.O ecuaie care descrie un fenomen fizic este dimensional omogen dac forma sa este independent de sistemul de uniti fundamentale ales. O condiie suficient ca o ecuaie s fie dimensional omogen este ca ea s se poat reduce la o ecuaie care conine numai produse adimensionale.6Analiza dimensional studiaz clasa funciilor dimensional omogene. Aplicarea ei la o problem practic se bazeaz pe ipoteza c soluia problemei este exprimabil cu ajutorul unei ecuaii dimensional omogene n raport cu variabilele. Ecuaiile fizicii sunt dimensional omogene, dar nu se poate spune despre o ecuaie necunoscut c este dimensional omogen dac nu se tie sigur c s-au considerat toate variabilele care intervin n expresia analitic a ecuaiei respective.Prima etap n orice problem de analiz dimensional este de a decide care suntvariabilelecareintervin. Dacseintroducvariabilecaredefapt nuintervinn fenomen, ecuaia final i studiul experimental vor fi complicate inutil. Dac se omit variabile care influeneaz fenomenul se ajunge la un impas, la un rezultat eronat sau incomplet. Mrimile care sunt practic constante pot fieseniale deoarece ele se pot combina cu variabile active pentru formarea de produse adimensionale.Pentru a decide care sunt variabilele ce influeneaz un fenomen trebuie cunoscutsuficient debineproblemaabordat. nacest scoptrebuieelaborato teorie - fie i sumar - a fenomenului. Dac pot fi stabilite ecuaiile difereniale care guverneaz fenomenul, ele arat direct care sunt variabilele determinante.Sunt multe domenii n care analiza dimensional nu poate fi aplicat deoarece cunotinele actuale nu permit s se precizeze care sunt variabilele determinante. De exemplu, rezistenalaobosealnus-aputut punenlegturcualteproprieti msurabile ale unui anumit material.Fie un fenomen guvernat de o lege care ntr-un sistem de unitifundamentale de msur se poate exprima analitic sub forma( ) 0 x x x fn 2 1 , , , ,(1.4)n caren 2 1x x x , , , sunt variabilele determinante. Dac funciaf(x)este dimensional omogen, se poate ntotdeauna ca ecuaia (1.4) s se scrie sub forma :( ) 0r n 2 1 , , , ,(1.5)ncareifactori adimensionali independeni, iarrrangul matricei dimensiunilor variabilelor.Factorii i sunt formai din produse de puteri ale variabilelor xi, iar fiecare factor nu cuprinde mai mult de r+1 variabile. Numrul factorilor i nu poate fi mai mic dect n-r.Deoarece variabilelexisunt formate din produse de puteri ale unitilor fundamentale, rezult ci factorii adimensionaliisunt produsedeputeri ale unitilor fundamentale. Aceasta se numete teorema .Legea fundamental a modelriipoate fidedus direct din ecuaia (1.5) idin teorema .7Deoarece factoriii sunt independeni, fiecare din ei va conine o variabil care nu apare n ceilali. Dac variabila cea mai important din problema care se cerceteaz este coninut n factorul 1, ecuaia (1.5) poate fi scris sub forma :( ) , ,3 2 1 .Avnd n vedere c aceasta este o relaie general pentru fenomenul investigat, ea este valabil att pentru prototip ct i pentru model, adic :- pentru prototip :( ) , ,p 3 p 2 p 1 ;- pentru model :( ) , ,m 3 m 2 m 1 .Dac modelul este proiectat i ncercat astfel ca : ; ;p 3 m 3 p 2 m 2 , (1.6)atunci,( ) ( ) , , , ,m 3 m 2 p 3 p 2 ;i rezult :m 1 p 1 . (1.7)Deoareceecuaiile(1.6) determincondiiilepentruproiectareai ncercarea modelului, ele se numesc ecuaii de proiectare, iar produsele adimensionale ise numesc invarianisau criterii de similitudine. Ecuaia (1.7) se numete ecuaie de anticipare i cu ajutorul ei se deduce comportarea prototipului din analiza comportrii modelului.Comportareaunei structuri complexesubceamai generalsolicitareposibil esteprecizatdacnfiecaremoment secunoscpentrufiecarepunct mrimilei direciile tensiunilor principale i aIe deplasriloru. ncrcrile, micrile i regimurile termice acioneaz n fiecare moment asupra structurii se consider cunoscute. Ecuaia (1.4) n acest caz va fi de forma :( ) 0 u c P p a g E t l z y x u fo o , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, (1.8)n careintervin 19mrimi i anume:u -deplasarea, -tensiunea, x, y,z coordonatele curente,l- lungimea,t-timpul,E- modulul deelasticitate, - densitatea materialului, g -acceleraia gravitaional, a - acceleraia micrii, p - fora distribuit pe unitatea de suprafa,P -fora concentrat.c -cldura specific, - coeficientul de dilatare termic liniar, - coeficientul deconductivitate termic,u0-deplasarea iniial impus, o - tensiunea iniial impus, - temperatura.Se consider sistemul absolut de uniti fundamentale L - lungime; M - mas; T -timp, - temperatur; Q - cldur (fr introducerea legilor termodinamicii).8Matricea dimensiunilor este de rangul r = 5 i rezult din tabelul 1.1. Cu mrimile careintervinnecuaia(1.8) sepot formamulimi decte195=14produse dimensionale. De exemplu se poate forma mulimea :PlluPplagcPl aPalPElltalzlylxPlln2o o2 2 3 2 1 2 22 12 1 2 , , , , , , , , , , , , ,/ ///. (1.9)Mulimea produselor adimensionale (1.9) definete invarianii modelrii sau criteriile de similitudine pentru problema considerat.Tabelul 1.1. Matricea dimensiunilor pentru o structur n cazul general de solicitare.ux y z l t Eg a p P c u0 oL 1 -1 1 1 1 1 0 -1 -3 1 1 -1 0 0 -1 1 1 -1 0M 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0T 0 -2 0 0 0 0 1 -2 0 -2 -2 -2 -2 0 0 -1 0 -2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 1Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0Dac factorii de scar ai modelului sunt pentru lungimi, tensiuni, fore concentrate etc., respectiv,, , , , mpPmpmplPPK KllK (1.10)criteriile de similitudine (2.9) devin:, , ,, , ,, , ,/ // /P2l p a g P c2 3l2 1aP3l a P2l E2 1i2 1a t P2lK K K K K K K K K K1 K K K K K K K K KK K K K K K 1 K (1.11)n care K, este scara deformaiilor specifice :n studiulsistemelor elastice intervine icoeficientulde contracie transversal . n cazul cel mai general trebuie ndeplinit condiia :1 K , (1.12)care este o cerin restrictiv foarte sever, ea limitnd foarte mult alegerea materialului modelului.Cuceamai maregrijtrebuieavutnvederei problemavalorilorcelorlalte constante elastice (E i G) pentru prototip i model.Respectarea condiiilor (1.11) i (1.12) duce la realizarea unei similitudini complete (exacte) ntre model i prototip, care de foarte multe ori nu este fructuoas pentru determinri experimentale pe modele deoarece se ajunge la condiia p~m. 9ntr-adevr din condiiile , 1 Kl P2lK K K ip2l EK K K rezult.K=KE,ceea ce duce la , 1 K , deoarece = E.Dup alegerea materialului i a scrii configuraiei geometrice, scara deformaiilor specifice K ,se alege astfel ca deformaiile cese vor msura pe model corespunztoare tensiunii curente n prototip, s se poat msura cu precizie satisfctoare, fr ca modelul s ias din domeniul solicitrilor elastice.Pentruovariaie mcorespunztoarepragului desensibilitateal aparatului utilizat pentru msurarea deformaiilor specifice pe mode! (punte tensometric, extensometru etc.) pentru prototip rezult :m pK .Dac pentru determinarea tensiunilor n prototip se impune o precizie 1/n, rezult succesiv :n1pp sau n1Epp p sau n1K Epp p din care se obine condiia :m ppnEK . (1.13)Dacnprototipp maxtrebuiesrmninferior unei valorip lim, pentruase asigura i n model m max m lim, se obine o condiie suplimentar i anume :Elim KKK .n cazul n care KE 1 similitudinea se numete lrgit i ea este mai mult sau mai puin aproximativ.Avndnvederecoproblemdat, concret, sepoatencadrantr-oclas particular de condiii, criteriile de similitudine devin mai puin restrictive, fiind mai puin numeroase. n cele ce urmeaz se prezint cteva din aceste situaii, din domeniul mecanicii solidului deformabil, fiecreia fiindu-i specific un anumit criteriu de similitudine:a) Criteriul de similitudine Hooke se aplic n cazul problemelor statice. n astfel desituaii structuraesten echilibrutot timpul aplicrii sarcinilor,carecresclent i progresiv, apoi rmnnd constante. n consecin i deformaiile i deplasrile cresc lent i progresiv, acceleraiile fiind nule sau att de mici nct pot fi neglijate. Deci la solicitrile statice intervin numai forele exterioare (forele de contur i forele masice). Aciuneaunei pri astructurii asupraceleilaltei inverssepunenevidenprin intermediul eforturilor (fore i momente interioare). Acestea se determin ntr-o 10seciuneoarecareastructurii curelaiiledinmecanicateoretic. Apoi curelaii din rezistena materialelor i teoria elasticitii se determin tensiunile.Se admite c structura este elastic, adic se poate aplica legea lui Hooke :=E . (1.15)Deoarece alungirea specific este adimensional, rezult :K= KE, (1.16)de unde rezult criteriul de similitudine Hooke :m mmp PpE APE APHk(1.17)n care P este fora axial n seciunea A.Criteriul (1.17) caracterizeaz sistemele elastice solicitate static. Dac numrul Hk are aceeai valoare pentru model i pentru prototip, cele dou sisteme sunt asemenea n ceea ce privete forele exterioare. Relaia dintre scri este :E2l PK K K . (1.18)Semenioneazccriteriul Hookeestesatisfcut automat - independent de natura materialului -dac este realizat similitudinea geometric.b)Criteriulde similitudine Froude se utilizeaz cnd trebuie avut n vedere i influena greutii proprii asupramodelului. Se pornete de la scaraacceleraiei gravitaiei :2tlmpgKKggK (1.19)n care se nlocuiesc expresiile scrilor Kl i Kt, adic :2m2pm pmpt tl lgg//.Rezult criteriul de similitudine Froude :m m2mp p2pl gvl gvFr , (1.20)n care vp = lp/tp i vm = lm/tm.Dac gp = gm, ecuaia (1.19) duce la condiia :2t lK K , (1.21)cunoscutsubnumeledelegeasimilitudinii Froude. Dacsecalculeazraportul dintre valoarea forei de inerie i a celei de greutate, adic11kFrlgvkg l l v kFF232 2gi ,se poate determinadac pentrufenomenulcercetatforele provenind din greutatea proprie sunt mai mari sau mai mici dect forele de inerie.c) Criteriul de similitudine Cauchyintervine n probleme de solicitri dinamice produse de vibraii. Aceasta are expresia :cvCa ,ncarevestevitezamicrii deoscilaieafiecrui punct al barei, iarcvitezade propagare a sunetului (a undelor longitudinale) n materialul barei.Dup determinarea criteriilor de similitudine, pentru a putea realiza modelul este necesarstabilirearelaiilorde legturdintrescrilemrimilorfizice caredefinesc aceste criterii. Deoarece fiecruicriteriu de similitudine icorespunde o relaie ntre scri, rezult c numrul relaiilor dintre ele este egal cu numrul criteriilor de similitudine, adic cun -r.Sistemul denrrelaii ntre scri,constituie legea modelului. Pentru celenscri avnd numainrrelaii ntre ele, nseamn c totdeaunavorfi nedeterminaterscri,rfiindrangul matricei dimensiunilorcelorn variabile. Scrile rmase nedeterminate se vor alege arbitrar.Dupcumoperaiilededifereniereiintegrarenuinflueneazomogenitatea ecuaiilor, tot astfel prezena n ecuaia unui fenomen fizic a funciilor transcendente nu influeneaz omogenitatea ecuaiei, deoarece funciile transcendente nu reprezint de fapt dect coeficieni adimensionali adic acestea pot fi excluse din scrierea ecuaiei fenomenului fizic.Trebuie avut n vedere c naceste condiii nici unul din criteriile de similitudine nu va conine parametrii care intr n argumentele funciilor transcendente. Din acest motiv este obligatoriu ca s se includ n mulimea criteriilor de similitudine i argumentele funciilor transcendente. Dac argumentele sunt sume algebrice, atunci fiecare din termenii sumelor va fi un criteriu de similitudine.Criteriile de similitudine obinute din argumentele funciilor transcendente nu pot avea dect o singur form de scriere i n consecin nu vor fi incluse n operaii de transformare mpreun cu ceilali factori adimensionali.Dacpentruoanumit problemceurmeazafimodelatsecunoscnumai variabilele care intervin, folosirea principiilor analizei dimensionale dace la necesitatea similitudinii complete. Informaii suplimentarelalegturcuprototipul caretrebuie modelat fac uneori posibil nerespectarea riguroas a condiiilor de similitudine complet. Deexemplu, dacsetiedespreostructurcpentruelementelesale ncovoierea poate fi neglijat, va fi necesar ca ariile seciunilor transversale ale barelor s fie corespunztoare, iar forma, adic momentul de inerie, nu va fi important. Deci 12uneorieste posibilca distorsiunile modeluluide la cerinele scriigeometrice s fie permise.Un model la care una sau mai multe condiii de proiectare nu sunt satisfcute se numete model distorsionat. Datorit distorsiunilor pot apare sau nu erori mici. Distorsiunile pot fi consecina unei imposibiliti de a satisface simultan toate condiiile deproiectarepentruunmode! fizicrealizabil. nacestecazuri seintroducerori n ecuaiile de modelare. Ele trebuie evaluate ou grij i corectate dac este posibil.Teoria modelelor distorsionate arat c la multe cazuricomportarea modelului poate fi diferit de a prototipului. Astfel de diferene pot fi intenionate ise pot face corecii precise n rezultatul final. Pe lng aceste distorsiuni intenionate, pot exista i abateri neprevzute de la similitudinea complet- aa-zisele efecte de scar - care ar putea dace la erori grave la utilizarea modelelor. Cteva din cauzele cele mai frecvente ale acestor erori sunt :a) Mrind foarte mult scara lungimilor, modelul poate deveni structur microscopic; mrind foarte mult scara timpului se poate ajunge la domeniul mecanicii relativiste. n ambele cazuri modelul va fi guvernat de alte legi dect prototipul, care este macroscopic i se afl n domeniul legilor mecanicii clasice.b) Ipotezele valabile pentru prototip pot s nu fie valabile pentru un modelcu dimensiuni mult mrite. De exemplu, pentru prototip se poate neglija efectul tensiunii superficialeaunui fluid, iar pentrumodel nu. Sau, unprototipdinbetonpoatefi considerat ca fiind alctuit dintr-un mediu omogen iizotrop pe ct vreme n cazul modelului, dac dimensiunile acestuia au ordinul de mrime al agregatelor betonului, ipoteza de mediu omogen i izotrop nu mai poate rmne valabil.c) Denaturri alecondiiilor desimilitudinepot proveni i dinvalori preamari pentru scaratemperaturilor sau a acceleraiilor, prin care se potproduce modificri substanialelastructuramaterialului, legilefizicealefenomenului caresestudiaz nemaifiind valabile.d) Condiia(1.12) aegalitii coeficientului decontracietransversalpentru model i prototip nu poate fi ndeplinit totdeauna. Influena sa este neglijabil pentru structuri din bare, este relativ mic pentru plci i poate fi important pentru structuri masive, tridimensionale.e) Proprietilematerialului pot fi influenatededimensiuneaseciunii ide metoda de fabricaie. De asemenea, viteze de ncrcare diferite pot duce la comportarea diferit a modelului fa de prototip.f) Detaliilemici pot fi foartegreumodelateconvenabil. Astfel dedetalii pot influena mai mult un model mic dect un prototip mare.Influenadificultilor detipul celor demai sus este ngenerai redatprin expresia,,efect descar, careesteunefect secundar. Asemeneaefectetrebuie 13tratate drept abateride la similitudinea complet. Ele trebuie cercetate icorectate, dac este posibil, pe baza unei teorii generale a modelelor distorsionate.Scara geometric a modelului trebuie aleas cu mult grij, de ea depinznd, la multe cazuri, succesul unui studiu pe model. Dimensiunile minime ale modelului sunt condiionate de natura materialului modelului, de precizia aparatelor de msurat avute la dispoziie, precumide precizia cerut n determinarea deplasrilor sau a tensiunilor.Scara geometric depinde i de genul de structur care se modeleaz : pentru o plac plan ncrcat n planul ei deformaiile vor fi mai mici dect pentru o structur din bare solicitate la ncovoiere, iar acestea mai mici dect pentru o structur avnd fire elastice.Pentruaputeaexecutamodelededimensiuni muIt mai mici trebuiefolosite materiale cu modul de elasticitate ct mai mic i mai ales s se utilizeze instrumente ct mai precis pentru msurarea deformaiilor i deplasrilor.1.3. MODELE REOLOGICE1.3.1. GeneralitiCuvntul reologie provine de la grecescul reo care nseamn curgere i este utilizat la studiul curgerii i deformrii materialelor. Dac un corp a fost deformat sub aciunea unor fore active, care, mpreun cu forele volumice i reaciunile, constituie forele exterioare iaceste forte nceteaz s maiacioneze, o parte din deformaia corpuluiirevine. Aceastparte adeformaieise numete deformaie elastic, iar proprietateaunui corpdeareveni laformainiial, atunci cndforeleexterioare nceteaz s mai acioneze poart numele de elasticitate.Daccorpul nurevinelaformainiialsespunecareocomportareelasto-plastic. Launcorpelasticsaulauncorpelasto-plastic, subsarcinii exterioare constante n timp, deformaiile se menin constanteCorpurile din natur prezint, n realitate, pe lng proprietile elastice i plastice i proprietatea de vscozitate care se manifest prin aceea ca sub sarcini exterioare constante deformaiile unui corp variaz n timp, fenomen cunoscut i sub denumirea de fluaj. De asemenea, corpurile din natur se manifest i prin faptul c silindu-le s rmn ntr-o stare de deformaie constant, tensiunile interioare corpului variaz n timp, fenomen cunoscut sub denumirea de relaxare.Modelele care reflect caracterul substanei din care sunt alctuite corpurile sunt modele de baz. Exista dou modele de baz, n funcie de care se mparte n dou i teoria general a mecanicii i anume: mecanica mediului continuu i mecanica mediului compus din particule libere (mecanica mediului discret).14In mecanica mediilorcontinue se admitec.structura acestora este continu, adic nu se ia n considerare structura atomic a substanei i nici micarea particulelor care o compun. Acest model a contribuit la elaborarea teoriei matematice a elasticitii pn la perfeciune. Neajunsul acestui model const n aceea c, el nu corespunde structurii reale a substanei din care sunt alctuite corpurile materiale.Modelul structurii atomice a materiei corespunde structurii reale. Se tie c, ntr-un volum oarecare de otel partea principal a acestuia o reprezint spaiul liber i nu-mai o parte infim se umple de reeaua cristalin compus dintr-un mare numr de atomi. Folosirea modelului cu structur atomic ofer posibilitatea de a studia fenomenele microscopice, apoi, mpreun cu proprietile fizice i chimice contribuie la explicarea diferitelor fenomene macroscopice.Ambelemodeleauunul i aceiai scop, deadescriemicareamecanica corpurilor, stareadetensiunei deformareacorpurilor ladiferiteaciuni i sarcini bazndu-se totui pe ipoteze diferite.1.3.2. Modelele proprietilor fizico-mecanice ale corpurilorBernoulli, Euler i Kai au formulat principiile i legile de baz care sunt generale pentru toate mediile indiferent de proprietile fizico-mecanice ale acestora.Principiile sau legile fundamentale dau ecuaii al cror numr este, de regul mai mic dect numrul necunoscutelor. Deobicei acesteecuaii sempart ndougrupe: ecuaii de echilibru sau de micare i ecuaii geometrice ale deplasrilor i deformaiilor. Inplus trebuieintroduseecuaiilefuncionalespecialecaredescriu alctuirea iparticularitile fizice ale striimediuluiconcret. Aceste ecuaiiprezint dependena tensiunilor de deformaii sau de vitezele deformaiilor. Pe baza proprietilor fizico-mecanice s-au creat dou modele de baz: modelul corpului rigid (solidul rigid) i modelul corpului deformabil.Proprietilecorpurilor deformabilerealesunt foartevariate, caurmareeste necesar idealizarea i simplificarea acestora obinndu-se astfel modelele care descriu proprietile determinante de baz, care vor fi prezentate n continuare.1.3.2.1. Mediul continuu elastic (Solidul lui Hooke)Proprietile mecanice ale corpurilor liniar-elastice solide se caracterizeaz printr-o dependen direct proporional ntre tensiuni i deformaii (fig. 1.1,a). Aceast dependen se exprim prin legea lui Hooke:E (1.22)unde: este efortul pe unitatea de suprafa din seciunea unui corp, care se numete tensiune; E este o constant numit modul de elasticitate (sau modulul lui Young); 15este lungirea specific. (sau alungire, sau deformaie specific), reprezentnd raportul dintre lungire i lungimea iniial.Legea (1.22) descrie proprietatea corpurilor elastice de a reveni la forma iniial dup nlturarea forei care produce deformaia.Modelul mediului continuuelasticesteilustrat cuajutorul unui arcelastic(fig. 1.1,b).Dac proprietile elastice ale materialului sunt aceleai n toate direciile, materialul se numete izotrop, iar dac ele sunt diferite atunci materialul se numete anizotrop. Materialele biologice, de obicei, sunt anizotrope.Fig. 1.1 Fig. 1.21.3.2.2. Lichidul vscos (Lichidul lui Newton)Lichidul vscossecaracterizeazprintr-oproporionalitatedirectntretensiunei viteza deformaiei (fig.1.2, a) care se exprim prin legea: (1.23)unde: este o constant de proporionalitate, iar dtd este derivata lui n raport cu timpul care reprezint viteza deformaiei specifice, sau pe scurt, viteza deformaiei. Prinurmare(1.23)aratacatensiuneanudepindededeformaia nsi, ci de viteza ei.Modelul lichidului newtonianestereprezentat prinpistonul cuorificii, saumai simplu printr-un piston care se mic ntr-un cilindru (fig. 1.2, b). La micarea pistonului, lichidul curge prin orificii i creeaz o rezisten care crete proporional cu viteza micrii.Observaie.Pentrusimplificare,prin simbolulsenoteazatt tensiuneanormal, care reprezint un efect de traciune sau de compresiune ca n legea (1.22), precum i tensiunea tangenial care reprezint un efect de tiere, forfecare sau alunecare, ca n legea (1.23).161.3.2.3. Mediul continuu plastic (Solidul lui Saint Venant)Launasemeneacorpdeformaiilenuaulocdect dactensiunileatingun anumit prag. Pn la atingerea unei anumite tensiuni corpul nu se deformeaz, deci se comporta ca un corp rigid, dup aceea deformarea corpului are loc sub tensiune constant.Datorit acestei proprieti modelul se mai numete i corpul plastico-rigid. Un astfel demodel estenotatsimbolicca nfig1.3,simboliznd frecareauscatntre dou corpuri. ntr-adevr se tie c, n cazul frecrii uscate, un corp nu se poate pune n micare fa de alt corp, dect atunci cnd fora F atinge un anumit prag F0.1.3.3. Modele reologice complexe ale mediilor continuePe lng modelele reologice elementare, prezentate mai nainte, au fost elaboratemodelereologicecomplexealemediilorcontinue, modelecareoglindesc mai bine proprietile corpurilor reale.1.3.3.1. Corpul lui KelvinLa acest model arcul i pistonul sunt legate n paralel (fig. 1.4) i vscozitatea opune rezistenta la stabilirea echilibrului elastic.Dependenta dintre deformaie are forma: + + EB e . (1.24) Fig. 1.3 Fig. 1.4 Fig. 1.51.3.3.2. Corpul lui MaxwellAcesta arc ca model reologic un corp elastic (Hooke) legat n serie cu un lichid vscos (Newton), ca n fig. 1.5. Funcionarea elementelor separate depinde de viteza deaplicareasarcinii. Astfel, deexemplu, lancrcareafoarterapidamodelului, acioneaz numai arcul (corpul elastic), iar pistonul (lichidul vscos) nu se mic.n schimb, la ncrcarea lent acioneaz numai pistonul i arcul nu se deformeaz.Dependena dintre tensiune i deformaie (viteza deformaiei) are forma:17. 21E1+ (1.25)1.3.3.3. Corpul lui PrandtlFolosit n teoria plasticitii, are ca modelfizic un corp elastic (Hooke) legat n serie cu un corp plastic (de Saint Venant), dup cum se observ n fig. 1.6. Un asemenea model se comporta clastic att timp ct nu este atins o anumit limit de curgere a materialului, iar din momentul n care este atins aceast limit, corpul se comport perfect plastic, deformndu-se fr ca tensiunile s mai creasc. Dup ce forele exterioare nceteaz s maiacioneze, corpulare o comportare de revenire elastic, rmnnd cu o deformaie permanenta.1.3.3.4. Corpul lui BinghamAre ca modelreologic un corp plastic (de Saint \/enant) n paralelcu un lichid vscos (Newton), ambele fiind apoi n serie cu un corp elastic (Hooke), dup cum se arat n fig. 1.7.1.3.3.5. Corpul lui ZenerAcesta are ca model un corp Kelvin n serie cu un corp Hooke, ca in fig. 1.8. Dependena dintre tensiune i deformaie este de forma o 1 o 1q q p p + + (1.26)unde: p1, po, qi, qo sunt constante.Fig. 1.6Fig. 1.71.3.3.6 Corpul lui BurgersAcesta are ca model reologic un corp Maxwell n serie cu un corp Kelvin, dup cum se arat n fig. 1.9. ntruct fiecare din aceste modele const din dou elemente, modelul Burgers are patru parametri.Dependena dintre tensiuni i deformaii este 1 2 o 1 2q q p p p + + +,(1.27)18unde: p2 i q2 sunt i ele mrimi constante.Acest model reflect elasticitatea momentan temporizat la ncrcarea i descrcarea corpului. Modelul descrie fenomenele de relaxare i fluaj. Fig. 1.8Fig. 1.9 Fig.1.10 Fig. 1.111.3.3.7. Modelele lui BrankovModelul lui Brankov cucinci parametri (fig. 1.10) lacaredependenantre tensiuni i deformaii are forma: o 1 2 o 1 2q q q p p p + + + + , (1.28)i modelul lui Brankov cu ase parametri (flg. 3.11) la care dependena ntre tensiuni i deformaii este de forma: 1 2 3 o 1 2 3q q q p p p p + + + + +, (1.29)Observaie. Combinnd modele reologice de ace1ai felseput obine modele reologice generalizate cum ar fi: modelulluiMaxwellgeneralizat, modelulluiKelvin generalizat, modelele Zener generalizate.1.3.3.8. Modelul termodinamic al corpului biologic deformabilSpredeosebiredenaturanoastrcreiai estecaracteristicechilibrul static, organismului viu i este specific echilibrul homeostatic. Orice celul se caracterizeaz prinfluxuride intrarei ieire iprintr-un numroarecare derelaiimetabolice.De aceea la modelarea termodinamic a sistemelor biologice trebuie ca acestea s fie analizate ca sisteme deschise polivalente.nultimii ani, ntermodinamicauaprut teorii noi careexplici mai exact fenomenele biologice observate. Astfel, procesele din esuturile biologice sunt descrise de termodinamica amestecurilor care reacioneaz chimic i la termodinamica mediilor cu parametri interni.191.3.4. Semnificaia ecuaiilor constitutive1.3.4.1 Introduceren lumea biologic, atomii i moleculele sunt organizate n celule, esuturi, organe i organisme individuale. Pe noi ne intereseaz micarea materiei nuntrul i n jurulorganismelor. La nivelatomic i molecular, micarea materiei trebuies fie analizat cu ajutorul fizicii cuantice, relativiste i statistice. La nivel celular, al esutului, organelor i organismelor legile lui Newton sunt suficiente. Cel mai mic volum pe care lconsiderm, n acest caz, conine un numr foarte mare de atomiimolecule. n acest tip de materiale, este convenabil s considerm materia ca un mediu continuu. nmatematic, mulimeanumerelorrealeestecontinu. ntreoricaredounumere reale se afl un al treilea. Definiia clasic a mediului continuu este un izomorfism al mulimii numerelor reale n mulimea constituit prin spaiul 3D euclidian: ntre oricare dou particule materiale exist o a treia particul. Fizica actual nu concepe distribuia spaial a particulelor elementare, atomi i molecule ntr-un organism viu ca un izomorfism al mulimii numerelor reale. De aici, un mediu materialcontinuu bazat pe definiia clasic nu este compatibilcu conceptele fizicii particulelor. Estenecesar smodificmecuaiaclasicamediului continuu nainte ca ea s poat fi aplicat n biologie.Modificarea este bazat pe faptulc observaiile asupra organismelor viipot fi fcute la diferite niveluri de dimensiuni: de exemplu, cu ochiul liber, sau prin intermediul unui microscopoptic, saucuunmicroscopelectronic. Fiecaredintre aceste instrumente definete o limit a mrimii sub care nici o alt informaie nu poate fi obinut, imagineaunei entiti biologicediferindfoartemult nfunciedenivelul scrii observaiei. Aceasta sugereaz faptul c putem defini un continuu al lumii real cu o frontier specific la cea mai mic scar. Astfel, putemdefini densitateavolumicdemasntr-unpunctPdinspaiul tridimensional ca fiind limita raportului M/V cnd V tinde ctre la o limit finit, cea maimic, care nu este zero.Meste masa particulei coninut nvolumulVcare nconjoar punctulP. Dac V nu poat s tind la zero, valoarea limit a raportului M/Vpoate fi egal cu (P) o valoare tolerat ale crei valori sunt specificate i admise.nsubparagraful urmtor, vomdefini conceptul detensiunecafiindforace acioneaz pe unitatea de arie a unei suprafee ce separ dou mulimi de particule. Tensiunea se definete la limita raportului T/S, unde T este fora datorat mulimii de particule situate pe partea pozitiv a suprafeei de arie Scare acioneaz asupra particulelor de pe partea negativ a ei. Trecnd la limit, vom lsa S s fie mic, dar ovomlimitasfiefinitcuovaloarecenupoatesscadsuboanumittalie. Valoarea limit a raportului T/S va avea o eroare limit prescris i acceptat.20Dac un sistem material accept definirea unei densiti volumice materiale i a unui vector tensiunedefinitecamai sus, atunci putemspunecesteunmediu material continuu. Astfel, definiia mediului continuu material este bazat pe o limit a scrii dimensionale i pe erori limit cu valori acceptate.Cumvaloarea limit a scrii dimensionale face parte din definiia mediului continuu, la schimbarea ei vom obine un mediu continuu diferit. De exemplu, sngele integral poate fi considerat ca un mediu continuu la scara inimii i a marilor vase de snge dar trebuie privit ca un fluid cu dou faze, cu plasm i particule constitutive la nivelul vaselor capilare. La o scal mai mic, putem considera membrana celulei roii ca un mediu continuu, iar coninutul ei un alt continuu material. Odat ce un mediu material continuu este identificat n acest mod, putem face pentruel ocopieclasicncontinuudupcumurmeaz. Pentrucopiaclasic, rapoartele M/V i T/S sunt n acord cu sistemul real cnd V, S sunt limitate la talii definite pentru acest sistem, dar valorile limit ale rapoartelor M/V i T/S se presupunecexistatunci cndV0, S0. copiaclasicesteizomorfcu mulimeanumerelor reale. Vomputeaanalizatensiunile, deplasrile, micareai proprietile mecanice ale copieiclasice. Valorile limit tolerate pot fifolosite pentru evaluarea erorilor soluiilor. Tratndsistemecuunnumr maredeatomi i moleculecuinstrumentele adecvate mediuluicontinuu, analiza este mult simplificat. Uneori, anumite priale mediului continuu pot fi considerate ca solide rigide sau ca sisteme de solide rigide. Dacsituaiaseprezintastfel, analizaestencmai simpl. Practic, ecuaiilecu derivate pariale de micare i continuitate pot fi aproximate prin elemente finite pentru a efectua calcule mia simple. Dar marele avantaj al abordrii continue este posibilitatea de a exprima proprietile mecanice ale sistemului prin ecuaii constitutive. 1.3.4.2 TensiuniDac dorims determinmtensiunile ntr-un tendon, putems testmun eantion mic sau un eantion mare. Un eantion va suporta o form mai mare dect uneantionmic. Evident, taliaspecimenului estefacultativ, obligatorieestedoar intensitateaforei nraport cutaliaacestuia. Astfel, suntemcondui laideeac tensiunea (fora pe unitatea de suprafa transversal)este legat de rezistena unui material.SconsidermoseciunetransversalprintendondearieAi foraFce acioneaz asupra lui. Raportul AF (1.29)21este tensiunea n tendon.Mai general, conceptul detensiuneexpriminteraciuneamaterialului dintr-o parte a corpuluiasupra alteipri. Fie un materialcontinuu,Bocupnd un spaiu V (fig. 1.12) din care separm un element de suprafa S. Dintr-un punct al su ridicm normala la elementul de suprafa S. n aceast situaie putem s distingem ntre celedoufeealuiS,nfunciededireciai sensul lui: semispaiul ncare vectorul normal iese va fi considerat pozitiv i cellalt negativ.x2x1x3 S F, SBFig. 1.12 Principiul definirii tensiunii.S considermmaterialul care se gsete n zona pozitiv. Aceast parte exercit o forFasupra celeilalte,situate n zona negativa normalei.Fora F depindedepoziiai mrimeazonei pecareseexerciti deorientareanormalei aferente. IntroducemipotezacStindelazero, raportulF/Stindelaolimit definit, dF/dS, imomentulforeiacionnd pe elementulde suprafa Sn orice punct al su devine zero la limit. Vectorul limit poate fi scris de forma:dS d F/ T(1.30)unde plasat deasupra lui T indic direcia normalei la suprafaa S. Vectorul limit T estenumittraciunesaubi reprezintforapeunitateadearieacionndpe suprafa. Notarea general a componentelor tensiunii este urmtoarea: fie un cub din corpul considerat anterior n figura 1.13 (care nlocuiete suprafaa S din figura 1.12), care are 6 fee. Plasm totul ntr-un sistem de coordonate x1, x2, x3i notm cu S1 suprafaa normal la x1.x3x2x11 12 13 11 22 23 21 32 33 3Fig. 1.13 Notarea componentelor tensiunilor.22FietensiuneaT ceacioneazasuprasuprafeeiS1.Descompunemvectorul tensiune n trei componente dup direciile axelor de coordonate i le notm 11, 12, 13; acesta vor aciona pe volumulelementar. n mod analog vom considera suprafeele S2,S3, perpendicularepedireciileaxelorx2,i respectivx3i vectorii tensiune descompui n componentele lor de-a lungul axelor sistemului de coordonate considerat. Putem s scriem toate aceste componente ntr-o matrice:Componentele tensiunilor1 2 3Suprafaa normal la x1111213Suprafaa normal la x2212223Suprafaa normal la x3313233Componentele 11, 22, 33 se numesc tensiuni normale iar celelalte ase, se numesc tensiuni tangeniale.n continuare vom reaminti cteva formule legate de tensiuni. Ele vor fi date n notaii indiciale n care orice i ia valorile 1, 2, 3 ca de exemplu xi poate lua valorile x1,x2, x3 corespunztoare lui i=1, 2, 3 sau ij va putea reprezenta pe 11, 12, 13, 21, 22, 23,31, 32 sau 33, dup cum i=1, 2, 3 i j=1, 2, 3.Cunoscnd componentele unui tensorijn raport cu un sistemde axe carteziene,putemsscriem vectorul tensiuneceacioneazpe orice suprafacu versorul normal de componente 1, 2, 3. acest vector tensiune este notat cu T, cu componentele 3 2 1T T T , , date de formula Cauchy:i 3 3 i 2 2 i 1 1 iT + + . (1.31)ncontinuare, pentruuncorpnechilibru, componenteletensiunii trebuies satisfac ecuaiile difereniale:0, Xxxx0, Xxxx0, Xxxx333323213123232221211313212111 +++ +++ +++(1.32)unde:X1, X2, X3 sunt componentele rezultanteiforelor exterioare acionnd asupra corpului ce revin unitii de volum.n al treilea rnd, tensorul tensiunilor este ntotdeauna simetric:13 31 32 23 21 12 , ,. (1.33)23n fine s transformm un sistem cartezian x1, x2, x3 ntr-un alt sistem cartezian prin transformarea:( ) 3 2 1 k x x x x3 3 k 2 2 k 1 1 k i ki k, , x + + , (1.34)unde ki este cosinusul director al axeikx fa de axa xi. Componentele tensiunii se transform n concordan cu legea de transformare a tensorilor:mi kj ji km . (1.35)n aceste formule este folosit convenia de sumare a indecilor: orice repetare a unui indexntr-untermennsemnsumdupacest index. Deexemplu, ecuaia (1.35) se poate scrie, in extenso ca:, 33 3 m 3 k 32 2 m 3 k 31 1 m 3 k 23 3 m 2 k22 2 m 2 k 21 1 m 2 k 13 3 m 1 k 12 2 m 1 k 11 1 m 1 k km + + + ++ + + + + pentru orice combinaie k = 1, 2, 3, i m = 1, 2, 3.1.3.4.3 DeplasriDeformaia unui corp corespunztoare unei tensiuni este descris de deplasare. S lum exemplul unui elastic de lungime iniial Lo. Dac este ntins pn la lungimea L aa cum se vede n figura 3, a, este normal s se descrie modificarea prin rapoarte scalare ca:L/Lo, (L-Lo)/Lo, (L-Lo)/L,fr dimensiuni. Folosirea rapoartelor adimensionale elimin lungimea absolut din evaluare. RaportulL/Loeste numit raport de ntindere i este notat prin simbolul . Rapoartele:LL LLL Leooo , , (1.36)sunt msuri ale deplasrilor. Oricare dintre ele poate fi folosit, dar numeric ele sunt diferite. Dac, de exemplu, L=2, Lo=1, avem: =1, =. De asemenea, vom introduce msurile:,22o2L 2L LeE2o2o2L 2L L . (1.37)24Fig. 1.14 Forme de deformare.Dac L=2, Lo=1, avem: =3/8, E=3/2. dar dac L=1,01, Lo=1,00, atunci: e=0,01,E=0,01, =0,01 i=0,01.Rezult c pentru elongaiile infinitezimale toate msurile pentru deplasri sunt egale, chiar dac pentru deplasri finite ele sunt diferite.Pentru a ilustra forfecarea, s considerm un ax de forma unui cilindru circular (fig. 3, c). Cnd axul este torsionat, elementele sale sunt distorsionate n felul prezentatn figura 3, d.n acest caz,unghiulpoateficonsiderat ca o msur a deplasrii. Este mult maifrecvent s se ia tgsau tgca msur a tensiuniide forfecare.Selecia uneimsuriadecvate pentru deplasare depinde, n general, de relaia tensiune deformaie (adic de ecuaia constitutiv a materialului).Deformaiacelor mai multecorpuri n naturestemai complicatdect n exemplele prezentate pn aici, ceea ce implic folosirea uneimetode generale de tratare a problemei. FieuncorpceocupunspaiuS. nraport cuunreper cartezian, fiecare particulacorpului estereprezentatprintr-unset decoordonate. Deexemplu, o particul P localizat iniial ntr-o poziie descris de coordonatele (a1, a2, a3) va ocupa dup deformaia corpului poziia Q de coordonate (x1, x2, x3). Atunci, vectorulPQ sau ueste numitvector deplasareal particulei (figura 4). Componentele vectorului deplasare sunt, evident:3 3 3 2 2 2 1 1 1a x u a x u a x u , ,. (1.38)Dacdeplasareaestecunoscutpentrufiecareparticulacorpului, sepoate reconstrui corpul deformat. Astfel o deformaie poate fi caracterizat printr-un cmp de deplasri. Fie variabilele (a1, a2, a3) ce identific o particul n configuraia iniial a corpului ifie (x1, x2, x3) coordonatele aceleiai particule cnd corpuleste deformat. Deformaia corpului este cunoscut dac x1, x2, x3 sunt funcii cunoscute de a1, a2, a3: 25( ) ( ) 3 2 1 i a a a x x3 2 1 i i, , , , (1.39)pentru fiecare punct al corpului. Se presupune c ecuaiile (1.39) sunt funcii biunivoce continui.Micarea unui corp nu produce tensiuni. Astfel, deplasarea nsi nu este direct legatdetensiuni. Pentrualegadeformaiiledetensiuni, trebuiesconsiderm alungirea i torsiunea corpului. Pentru aceasta este suficient s cunoatem modificarea distanei dintre dou puncte ale unei perechi arbitrare de puncte.a , x1 1a , x2 2a , x3 3P Q P Q Q( a , a , a )1 2 3( x , x , x )1 2 3Fig. 1.15 Deformarea unui corp.Considerm o linie de lungime infinitezimal ce leag punctulP (a1, a2, a3) de punctul vecin P(a1+da1, a2+da2, a3+da3). Ptratul lungimiidso a luiPP este dat , n configuraia iniial, este dat de teorema lui Pitagora, pentru c spaiul este presupus euclidian:2322212oda da da ds + + . (1.40)Cnd PiPsunt deplasate prin deformare n poziiile Q(x1, x2, x3) i respectiv,Q(x1+dx1, x2+dx2, x3+dx3), ptratul distanei ds dintre noul element QQ este:2322212dx dx dx ds + + . (1.41)Din ecuaia (1.39) putem extrage:jjii jjiidxxada daaxdx ,. (1.42)Dac introducem coeficientul Kronecker, ij , care are valoarea 1 dac i=j i zero dac ij, putem s scriem:m lmjliij j i ij2odx dxxdaxada da ds (1.43)m lmjliij j i ij2da daxdxxxdx dx ds (1.44)26Diferena ntre ptratele distanelor poate fiscris, dup diferite schimbride notaii ale indicilor, i ca:j i ijj i2o2da daadxaxds ds

,_

(1.45)sau,j ij iij2o2dx dxxdaxads ds

,_

. (1.46)Se definesc tensorii de tensiune:

,_

ijj iijadxaxE , (1.47)

,_

j iij ijxdaxa21e , (1.48)astfel nctj i ij2o2da da E 2 ds ds , (1.49)j i ij2o2dx dx e 2 ds ds . (1.50)Tensorul tensiunilor Eija fost introdus de Green i St.-Venant i se numete tensorul detensiuni alui Green. Tensorul tensiuniloreijafost introdusdeCauchypentru tensiuniinfinitezimale ide AlmansiiHamelpentru tensiunifinite ieste cunoscut subnumeledetensorul detensiuni alui Almansi. Prinanalogiecuterminologian hidrodinamic, Eij este interpretat ca Lagrangian i eij ca Eulerian.Eij i eij astfel definii sunt tensori. Ei sunt simetrici, adic:Eij=Eji, eij=eji(1.51)O consecin imediat a ecuaiilor (1.49) i(1.50) este c0 ds ds2o2 implic Eij=eij=0i invers. Dar o deformaie n care lungimea fiecrei linii elementare rmne neschimbat este micarea unuisolid rigid. Deci, condiia necesar isuficient ca deformaia unuicorp s fie o micare a unui solid rigid este ca toate componentele tensorului Eij sau eij s fie nul pentru tot corpul.Dac componentele deplasriiuiau asemenea valorinct primele lor derivate sunt att demici nct ptratelei produselederivatelor parialealeluiuipot fi considerate neglijabile n comparaie cu termenii de primul ordin, atuncieij se reduce la tensorul infinitezimal de tensiuni:

,_

+jiijijxuxu21. (1.52)27ntr-o notaie netrunchiat, scriind u, r, wpentru u1, u2, u3ix, y, zpentru x1, x2, x3,avem:. ywzv21 ,zw, xwzu21 ,yv, xvyu21 ,xuzy yz zzzx xz yyyx xy xx

,_

+

,_

+

,_

+(1.53)Fig. 1.16 Gradieni de deformare i interpretarea componentelor infinitezimale de tensiune.n cazul deplasrilor infinitezimale, distincia ntre tensorii de tensiuni Lagrangian i Eulerian dispare, atta timp ct ea este imaterial pentru calculul derivatelor deplasrilor n poziia unui aceluiai punct nainte i dup deformaie.281.3.4.4 Gradientul deplasrilorPentru lichide n micare, trebuie s considerm cmpul de viteze i gradientul deplasrilor. Dacraportmpoziiafiecrei particuledefluidlaobazdereferinOxyz, atunci cmpul fluxului estedescrisprinvectorul vitezacmpuluiv(x, y, z),care definete viteza n fiecare punct (x, y, z). n termeni ai componentelor, viteza cmpului este exprimat prin funciile:( ) ( ) ( ) z y x w z y x v z y x u , , , , , , , ,, (1.54)sau, dac se folosete notaia indicial, prin ( )3 2 i ix x x v , ,.Pentru un flux continuu, vomconsidera funciile continue i difereniabile ( )3 2 i ix x x v , ,. Pentru studiul relaiilor vitezei n punctele vecine, fie dou particule P i P plasate instantaneu relativ n poziiile xi i xi+dxi,. Diferena ntre vitezele celor dou puncte este:jjiidxxvdv, (1.55)unde derivatele pariale vi /xj sunt evaluate la particula P. Acum:

,_

,_

+jiijijjixvxv21xvxv21jxiv. (1.56)Dac definim un tensor al gradientului de tensiune Vij i un tensor rotaional ij ca:

,_

+ijjiijxvxv21V, (1.57)

,_

jiijijxvxv21, (1.58)atunci ecuaia (1.33) devine:j ij j ij idx dx V dv . (1.59)este evident c Vij este simetric i c ij este antisimetric, adic: Vij= Vji, ij= ji.(1.60)1.3.4.5 Ecuaii constitutive (de stare)Proprietile materialelor sunt specificate prin ecuaiile constitutive. Exist o mare varietate de materiale. Astfel, nu suntem surprini c exist un numr imens de ecuaii constitutive ce descriu aproape o infinitate de varieti de materiale. Ceea ce ar trebui s ne surprind, totui, este faptul c trei relaii tensiune deplasri simple, idealizate i anume, fluidul nevscos, fluidul Newtonian vscos i solidul elastic Hookian dau o 29bun reprezentare a proprietilor mecanice ale multor materiale din jurulnostru. n interiorul anumitor limite ale gradienilor de tensiune i deplasare, aerul, apa i multe materiale structurale inginereti pot fi descrise prin aceste ecuaii idele. Multe materiale biologice nu pot, totui, fi descrise att de simplu.O ecuaie constitutiv descrie o proprietate fizic a unuimaterial. Prin urmare, aceasta trebuie s fie independent de orice set de coordonate de referin fa de care componentele diferitelor mrimi fizice sunt descrise. Deci, o ecuaie constitutiv trebuie s fie o ecuaie tensorial: fiecare termen din ecuaie trebuie s fie un tensor de acelai rang.1.3.4.6 Fluidul nevscosFluidul nevscos este acela pentru care tensorul tensiunilor este de forma:ij ijp , (1.61)unde: ij este coeficientul Kronecker care are valoarea 1 dac i=j i zero dac ij iar p este un scalar numit presiune. Presiunea p ntr-un gaz ideal este legat de densitatea i de temperatura T prin ecuaia de stare:RTp, (1.62)unde R este constanta gazelor. Pentru un gaz real sau un fluid, este adesea posibil s se obin ecuaia de stare:( ) 0 T p f , , . (1.63)n cazul unui fluid incompresibil exist o anomalie care se exprim prin:. const (1.64)Astfel, presiunea p rmne ca un parametru arbitrar pentru un fluid incompresibil.1.3.4.7 Fluidul Newtonian vscosUn fluid Newtonian vscos este un fluid pentru care tensiunea de forfecare este liniar proporional cu gradientul tensiunii. Pentru el, relaia tensiune deformaie este descris de relaia:+ ij ijp Dijkl Vkl(1.65)unde: ij este tensorul de tensiune, Vij este tensorul gradientului de tensiune, Dijkl este un tensor al coeficienilor de vscozitate a fluiduluiippresiunea static. Termenul -pijreprezint starea de tensiune posibil ntr-un fluid n repaus (cndVkl=0). Presiunea static peste presupus ca dependent de densitatea i de temperatura fluidului conformecuaiei de stare. Pentru un fluid Newtonian, presupunemc elementeletensoruluiDijklpot depindedetemperaturdar nudetensiunesaude 30gradientul de deformaie. Tensorul Dijkl de rang 4 are 34=81 elemente. Nu toate aceste constantesunt independente. Unstudiual numrului teoreticposibil deelemente independente poate fi efectuat prin analiza simetriei proprietilor tensorilor ij, Vij i a simetrie care poate s existe n componena atomic a fluidului.Dac tensorul are aceeai gam de componente cnd sistemul de referin este rotit sau privit n oglind, se zice c este un tensor izotropic. Se poate arta c, n spaiul euclidian tridimensional, exist doi tensori izotropici de rang 4 i anume, ijkl i ikjl+ iljk.Dac tensorulDijkl este izotropic, atunci el poate fi exprimat n termeni a dou constante i ,Dijkl = ijkl + ( ikjl+ iljk) . (1.66)Substituind ecuaia (1.66) n ecuaia (1.65) obinem ecuaia izotropic constitutiv:ij ij kk ij ijV 2 V p + + . (1.67)Unmaterial acrui ecuaieconstitutivesteizotropsezicematerial anizotropic. Pentru un fluid Newtonian izotropic, o contracia a ecuaiei (1.67) va da:( )kk kkV 2 3 p 3 + + . (1.68)Dacsepresupunectensiuneanormalprincipal1/3kkesteindependentde gradientul de dilatare Vkk, atunci trebuie s fixm:0 2 3 + . (1.69)i ecuaia constitutiv devine:ij kk ij ij ijV 3 2 V 2 p + /(1.70)Aceast formulare o datorm lui George G. Stokes, iar fluidul care satisface ecuaia (1.70) este numit fluid Stokes, pentru care o constant de material , coeficientul de viscozitate, este suficient pentru a-i descrie proprietile.Dac fluidul este incompresibil, atunci Vkk=0 i ecuaia lui constitutiv este:ij ij ijV 2 p + . (1.71)Dac =0 obinem ecuaia constitutiv a unui fluid nevscos:ij ijp . (1.72)Conceptul Newtoniandeviscozitatepoatefi explicat ncazul simplual unui flux transversal avndungradient constant devitez, canfigura6: Newtonapropus relaia:dydu ,(1.73)31pentru tensiunea , unde este coeficientul de viscozitate1. Fig.1.17 Conceptul Newtonian de viscozitate.1.3.4.8 Solidul elastic (Hooke)Unsolidelastic(Hooke) esteunsolidcaresatisfacelegealui Hooke, care stabilete c tensorul tensiunilor este liniar proporional cu tensorul deplasrilor, adic:kl ijkl ije C . (1.74)unde:ijeste tensorul tensiunilor,ekleste tensorul deplasrilor iCijkleste un tensor de constante elastice sau de module de elasticitate care este independent de tensiuni i de deplasri.Dac materialuleste izotropic, atuncinumrulde constante elastice se reduce substanial, adic atunci cnd ecuaia constitutiv este anizotopic i media constantelor elasticeCijklrmneneschimbatfaderotaianplani inafara planului a coordonatelor. Materialele izotropice au dou constante elastice independente pentru care legea lui Hooke este ij ij ije 2 e + . (1.75)Constantele ise numesc constante Lam. n literatura de specialitate, a doua constantLameste esteadeseanotatcuGi identificatcumodului de elasticitate la forfecare (torsiune).Scriindecuaia(1.75) dezvoltat ndomeniul scalar i cux, y, zcoordonate carteziene, vom gsi legea lui Hooke pentru un solid elastic anizotropic:( )( )( ). , ,,,,zx zx yz yz xy xyzz zz yy xx zzyy zz yy xx yyxx zz yy xx xxe G 2 e G 2 e G 2e G 2 e e ee G 2 e e ee G 2 e e e + + + + + + + + + (1.76)Aceste ecuaii pot fi rezolvate n eij. Dar, de obicei, forma invers este scris ca:ij kk ij ijE E1e +, (1.77)sau,1 n sistemul cgs, n care unitatea de for este dyna, unitatea pentru poise n onoarea lui Poiseuille. n SI, unitatea lui este Ns/m2. 1poise (P)=0,1 Ns/m2.32( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ].,,,,,zx zx zx yy xx zz zzyz yz yz xx zz yy yyxy xy xy zz yy xx xxG 21E1eE1eG 21E1eE1eG 21E1eE1e + + + + + + (1.78)Constantele E, i G sunt legate de constantele Lam i G (sau ). E este numit modulul lui Young, se numete coeficient Poisson i G este modulul de elasticitate de torsiune sau de forfecare. Ei pot fi scrii dup cum urmeaz:( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ). ,, , + +++ ++ +1 G 22 1 1GG 2 3 GE 1G 2EK 3G 21 2E22 1G2 1 1EE G 3G 2 E G2 1G 2(1.79)Fig. 1.18 Tensiuni ntr-un bloc de form paralelipipedic.Dac aplicmecuaia (1.77) la un bloc simplu, ca n figura 1.18, acesta va fi comprimat n direcia axei z i se va scurta cu deplasarea:zz zzE1e . (1.80)n acelaitimp, prile laterale ale paralelipipeduluise vor deforma. Pentru un material cucomportareliniar, tensiuneandirecielateralesteproporionalcu tensiunea zz i are sens opus ei: o compresiune produce o umflare lateral. De aici putem s scriem:zz xxEe ,zz yyEe . (1.81)Acest caz este valabil doar n situaia cndzznu tinde la zero. Dac paralelipipedul estesupus, nacelai timp, i laxx,yyi dacmaterialul este izotropic i linear, atunci influena lui xx asupra lui exx, eyy trebuie s fie aceeai ca i influena lui zz aspre lor. De aici avem:33yy xx zz zzE E E1e , (1.82)careeste una din ecuaiile(1.78). alteecuaiidin sistemulmenionat anterior potfi scrisenacelai fel. Pentruforfecare, tensiuneaiji deplasareaeijsunt direct proporionale.1.3.4.9 Efectul temperaturiin seciunile anterioare, ecuaiile constitutive au fost discutate pentru o temperatur dat. Vscozitatea unui fluid variaz totui cu temperatura ca i modulul de elasticitate a unuisolid. Cu alte cuvinte Dijkldin ecuaia (1.65) iCijkldin ecuaia (1.74) sunt funcii detemperaturi sunt coeficieni determinai ncondiiileunui experiment izotermal(cu temperatura pstrat uniform iconstant). Dac cmpul de temperaturi este variabil, legea lui Hooke trebuie s fie modificat n forma Duhamel Neumann. FieconstanteleelasticeCijkldemsurat laotemperatur constant iuniformTo. Atunci,dac temperaturaseschimb lavaloareaT,vom pune:( )o ij kl ijkl ijT T e C , (1.83)n care ijeste un tensor simetric msurat pentru tensiuni zero. Pentru un material izotrop, tensorul de ordinul doi ij trebuie s fie, de asemenea, izotrop. Rezult c ij trebuie s fie de forma ij , de unde:( )ij o ij ij kk ijT T e G 2 e + . (1.84)Aici, i G sunt coeficieni Lam msurai la temperatur constant. Invers, se poate scrie:( )ij o ij kk ij ijT TE E1e + +. (1.85)Constanta este coeficientul de dilatare liniar.1.3.4.10 Materiale cu comportare mecanic complexFluidele nevscoase, fluidele Newtoniene i solidele elastice (Hooke) sunt nite abstracii. Nici un material real cunoscut nu se comport exact ca unul dintre acestea, chiar dac, n limite precizate ale temperaturii, tensiunii i deplasrii, unele materiale urmeaz aceste legi cu precizie. Acestea sunt cele mai simple legi pe care le putem indica pentru a descrie legtura ntre tensiuni i deplasri sau gradientul de deplasare. Ele nu se prevd a fi exhaustive. Aproape toate materialele au o comportare mai complex ca legile simple descrise anterior. Printre fluide, sngele este un lichid ne Newtonian. Culorile pentru vopsirea pereilor i cele mai multe soluii coloidale sunt ne Newtoniene. Pentru solide, cele mai multe materiale structurale sunt, din fericire elastice (Hooke) n plaja practic 34de tensiuni i deplasri, dar dincolo de aceste limite, legea lui Hooke nu mai poate fi aplicat. De exemplu, virtual, fiecare materialsolid cunoscut poate firupt (fracturat) ntr-un mod sau altul, sub aciunea unei tensiuni suficient de mari sau a unei deplasri suficient demari; dar rupereansemnneurmarealegii lui Hooke. Puineesuturi biologice satisfac legea lui Hooke. 1.3.4.11 VscoelasticitateCnd un corp este brusc solicitat iapoincrcarea este meninut constant, tensiunea indus n corp scade n timp. Acest fenomen este numit relaxarea tensiunii sau, pescurt, relaxare. Dacdincontr, dupstabilizareancrcrii laovaloare constant,corpul continusse deformeze, fenomenul senumetecurgere.Dac corpuleste supus la o ncrcare ciclic, relaia tensiune deplasare n procesulde ncrcare este de obicei oarecum diferit de aceeai relaie n procesul de descrcare i fenomenul se numete histerezis.Trsturile histerezisului, ale relaxrii i curgerii se regsesc n comportamentul multor materiale. Global, ele formeaz un fenomen ce se numete vscoelasticitate. Pentru analizarea comportriimaterialelor corpurilor vscoelastice sunt folosite diferitemodele. nfigura1.19sunt prezentatemodelelemecanicealecomportrii materialelor i anumemodelul Maxwell, modelul Voight i modelul Kelvin, fiecare dintreelefiindcompusedincombinaii dearcuri liniarecuconstantaelastic i amortizoare cu coeficientul de amortizare . (a) (b) (c)Fig. 1.19 Modelele mecanice ale materialului vscoelastic: modelul Maxwell (a), modelul Voight (b), modelul Kelvin (solidul linear standard).Unarcliniar sepresupunecproduceinstantaneuodeformareproporionalcu ncrcarea. Unamortizor produceovitezproporionalcuncrcareanfiecare 35moment. Astfel, dac F este fora care acioneaz pe arc i u este alungirea lui, atunci F= u.DacforaFacioneazasupraamortizorului, eavaproduceovitezde deformareu i u F . Absorbitorul de ocuri de pe trenul de aterizare a unui avion este un exemplu de amortizor. Acum, n modelul Maxwell, prezentat n figura 1.19,a, aceeai foreste transmisprintr-un arclaunamortizor.Aceast for produceo deplasareF/ narci oacceleraieF/ namortizor. Acceleraiandeformarea arcului este / Fdac notm difereniala n raport cu timpul a forei printr-un punct. Acceleraiatotal este suma celor dou: F Fu + (modelul Maxwell) (1.86)Mai mult, dacforaesteaplicatbrusclamomentult=0,arcul vafi brusc deformatcu valoareau(0)=F(0)/,dar deformareainiialaamortizorului vafi zero pentru c nu a avut timp s reacioneze. Astfel condiiile iniiale pentru ecuaia (1) vor fi: ( )( )0 F0 u . (1.87)Pentrumodelul Voight, arcul i amortizorul vor aveaaceleai deformri capentru modelul Maxwell. Dac deformarea este u, acceleraia esteu i cele dou elemente elastice vor produce mpreun fora:u u F + .Modelul Voight (1.88)Dac fora este aplicat brusc, condiiile iniiale potrivite vor fi:( ) 0 0 u . (1.89)Pentrumodelul Kelvin(saumodelul linear standard), vomseparadeplasareaun dou pri: u1 pentru amortizor i1u pentru arc, astfel nct fora total F este suma forelor Fo din arc i F1 din elementul Maxwell. Astfel,( ) ( )( ) ( ) .1 1 1 1 1 o o1 o 1 1u u F d u, F c, F F F b , u u u a + + (1.90)De aici, putem verifica prin substituire c:( )1 1 1 o 1 1 ou u u u F + + .Rezult c:( ) ( )1 1 1 o111 1 1 o11u u u u F F + + + +,nlocuind ultimul termen cu 1 1u i folosind ecuaia de mai sus, obinem:36u 1 u F F1o1 o11

,_

+ + + . (1.91)Aceast ecuaie poate fi scris sub forma:( ) u u E F FR + + ,Modelul Maxwell (1.92)unde:o R1oo111E 1

,_

+ , ,. (1.93)Pentru o for aplicat brusc F(0) i o deplasare u(0), condiia iniial este:( ) ( ) 0 u E 0 Fo R . (1.94)senumetetimpderelaxarepentruconstantadedeplasare, ntimpcese numete timp de relaxare pentru constanta de tensiune.Dacrezolvmecuaiile(1.86), (1.88) i (1.92) pentruu(t)cndF(t)estefuncie cuant unitate 1(t), rezultatele sunt numite funcii de curgere care reprezint elongaia produsprinaplicareabruscaunei funcii constantecuamplitudineaegalcu unitatea. Ele sunt:( ) ( ) t1 1t c 1

,_

+ ,modelul Maxwell (1.95)( )( )( ) ( ) t e 11t ct1/ ,modelul Voight (1.96)( ) ( ) t e 1 1E1t ct tR1/11]1

,_

,solidul linear standard (1.97)unde funcia cuant unitate 1(t) este definit ca (fig. 1.20):( )'., /,10 t 10 t 2 10 t 1tcndcndcnd(1.98)- + 8881T i m p , tT i m p , t00C u n l i m e a t i n z n d c t r e ,d a r a r i a d e s u b c u r b e g a l c u 1Fig. 1.20 Funcia unitate 1(t) (a); funcie impuls unitate (t). Vrful central are o nlime ce tinde la infinit dar aria cuprins sub curb rmne egal cu unitatea (b).37Un corp care satisface relaia ncrcare deformaie pentru modelul Maxwell se numete corpul (solidul) Maxwell. Dac amortizorul se manifest ca un piston ce se deplaseaz ntr-un fluid vscos, modelele de mai sus se numesc modele ale vscoelasticitii.Schimbnd rolurile ntreFiu,vomobinefuncia de relaxareca unrspuns F(t)=k(t) corespunztor unei elongaii u(t)=1(t). Funcia de relaxare k(t) este fora care trebuie aplicat pentru a se produce o elongaie care se modific la momentul t=0 de la zero la unitate i apoi rmne egal cu unitatea. Ea este:( )( )( ) t e t kt1/ , modelul Maxwell (1.99)( ) ( ) ( ) t t t k 1 + , modelul Voight (1.100)( ) ( ) t e 1 1 E t kt tR1/11]1

,_

. solidul linear standard (1.101)Aici s-afolosit simbolul(t)pentruindicareafunciei impuls(treapt) unitatesau funcia Dirac delta, care se definete ca o funcie cu o singularitate la origine:( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) , 0 0 f dt t t f, 0 t 0 t 0 t> > < -i pentru; , (1.102)unde: f(t) este o funcie arbitrar, continu n t=0. Funciile c(t) i k(t9 sunt ilustrate n figurile 1.21 i respectiv 1.22, la care se pot aduga comentariile de mai jos.Pentrumodelul Maxwell, aplicareabruscaunei sarcini producedeformarea imediataarcului urmatimediat decurgereaamortizorului. Pedealtparte, o deformaie brusc produce o reacie imediat a arcului care este urmat de o relaxare a tensiunii dup o lege exponenial. Factorul /, avnd dimensiunea de timp, poate fi numit timp de relaxare: el caracterizeaz gradientul de scdere a forei.ForForForDeformaieDeformaieDeformaieT i m p T i m p T i m p( a ) ( b ) ( c ) Fig. 1.21 Funcii de curgere: modelul Maxwell (a); modelul Voight (b); solidul linear standard (c). O faz negativ este suprapus la momentul descrcrii.38ForForForDeformaieDeformaieDeformaieT i m p T i m p T i m p( a ) ( b ) ( c ) t ot oFig. 1.22 Funcii de relaxare: modelul Maxwell (a); modelul Voight (b); solidul linear standard (c).Pentrumodelul Voight, aplicareabruscaunei forenuproduceodeformare imediat pentru c amortizorul, plasat n paralel cu arcul, nu se va deplasa instantaneu. nschimb, aacumsevedenecuaia(1.95) i nfigura1.21, o deformaie se va dezvolta treptat pe msur ce arcul preia o sarcin din ce n ce mai mare. Deplasarea amortizorului se va relaxa exponenial. Aici, raportul / este tot un timp de relaxare: el caracterizeaz gradientul de relaxare a amortizorului.Pentru solidul linear standard, este aplicabil o interpretare similar. Constanta este timpul de relaxare a sarcinii n condiiile unei deformaii constante [ecuaia (1.99)], n timp ce este timpul de relaxare al deformaiei n condiiile unei ncrcri constante [ecuaia (1.97)]. Cum pentru t, amortizorul este complet relaxat, i relaia ncrcare deformare devine cea a arcului, cum este artat prin constanta ER n (1.97) i (1.99). n consecin, ER este numit modulul elastic relaxat.Maxwella introdus un modelreprezentat prin ecuaia (1.88) n ideea c toate fluidele sunt elastice la o anume extensie. Lord Kelvin a artat c modelele Maxwell i Voight nusunt nacordcugradientul depierdereaenergiei ndiferitemateriale supuse la ncrcareciclic. Modelul lui Kelvin este, n mod obinuit, numitmodelul standard liniar pentru c el este reprezentat prin cea mai general relaie care include ncrcarea, deformaia i primele lor derivate (numite n mod curent liniare).Alte modele mai generale pot fi construite prin adugarea altor elemente modelului Kelvin. Aceasta este echivalent cu a aduga ali termeni exponeniali funciilor de curgere sau de relaxare.Cea mai general formulare, ce ia n seam ipoteza de liniaritate ntre cauze i efecte, sedatoreazlui Boltzmann(1844-1906). ntr-uncazunidimensional, putem consideraobarsimplsupusunei foreF(t)i alungireaei,u(t). Aceastaeste produs de ncrcarea care a evoluat de-a lungul ntregului interval de timp t. Dac funciaF(t)este continu i difereniabil, atunci ntr-un interval de timpd,la momentul, gradientul ncrcrii este (dF/d)d. Acest gradient continu s acioneze asuprabarei i contribuiecuunelementdu(t)laalungirealamomentult, cuo 39constantproporionalc,cedepindedeintervalul detimpt-. Deaici, putems scriem:( ) ( )( ) dddFt c t du . (1.103)Sconsidermorigineadetimpla nceputul micrii i al ncrcrii. Apoi, sumndpe tot parcursul evoluiei,ceeaceestepermisprinipoteza lui Boltzmann, vom obine:( ) ( )( ) t0dddFt c t u . (1.104)O tratare similar, n cazul schimbrii rolurilor ntre F i u, ne va da:( ) ( )( ) t0dddut k t F . (1.105)Aceste legi sunt liniare, pentru c dac dublmncrcarea vomdubla i alungireai invers. Funciilec(t-)ik(t-)sunt funciiledecurgerei respectivde relaxare.Modelele lui Maxwell, Voight i Kelvin sunt exemple particulare ale formulrii lui Botzmann: mai general, putem s scriem funcia de relaxare n forma:( )N0 ntnne t k, (1.106)care este generalizarea ecuaiei (1.101). Dac reprezentm amplitudinea n asociat cufiecarefrecvencaracteristicnvomobineoseriedelinii ceseamnunui spectruoptic. Deaici,n(n)poartdenumireadespectrual funciei derelaxare. Exemplul prezentat n figura 1.23 este un spectru discret. Generalizarea la un spectru continuu poate fi adesea necesar. n cazul unui esut viu, ca de exemplu mezenterul, rezultatele experimentale obinute asupra relaxrii, curgeriiihisterezisuluinu pot fi puse n acord dect cu o reprezentare continu a cestui spectru. F r e c v e n 1234a1a2 a3a4AmplitudineFig. 1.23 Spectrul discret al unei funcii de relaxare.Dac F iu sunt considerai a fi, respectiv, tensorii de tensiune i de deplasri, atunci ecuaiile (1.104) i (1.105) pot fi considerate ca ecuaii constitutive a solidului vscoelastic dac ciksunt tensori ce definesc curgerea i relaxarea caracteristice materialului.Vatrebuis fimateni la derivatele nraportcutimpul Fi udac 40deformaia este mare,pentruc derivatelecu timpulale componentelor tensiuniii deformaieipentru orice particul material pot depinde nu numaide ct de repede estetensionat materialul, dar i dect derepedeseroteteel. Expresiapentru gradientul de tensiune (adic gradientul de modificare a tensorului de tensiuni) pentru deformaii finite va avea o form complex. De aici, vom considera, pentru moment, deformaiile ca fiind mici, du deplasri, tensiuni i acceleraii infinitezimale. Cu aceast restricie, vom putea da o formulare mai explicit. S notm tensoriide tensiuniideplasri, respectiv, cu ijicu eij(care sunt funcii de poziie x, adic de (x1, x2, x3) i de timpul t). Atunci, un material se zice liniar vscoelastic dac ij(x, t) este legat de eij(x, t) prin convoluia integral:( ) ( ) ( ) tklijkl ijd tet G t x, x, x, , (1.107)sau, invers,( ) ( ) ( ) tklijkl ijd t t J t e x, x, x, . (1.108)Gijkl este numit funcia tensorial de relaxare. De notat c limita inferioar de integrare considerat este -, ceea ce nseamn c integrarea se face nainte de nceperea micrii. Dacmicareadebuteazlamomentult=0iij=eij=0pentrut