i NICULAE MANAFI BAZELE MECANICII APLICATE PARTEA V-a DINAMICA SOLIDULUI RIGID CONINUT 16. MOMENTE DE INERIE MECANICE ............................................................... 306 16.1 Generaliti ............................................................................................................ 306 16.2 Variaia momentelor de inerie fa de axe paralele .............................................. 308 16.3 Variaia momentelor de inerie fa de axe concurente ......................................... 309 16.4 Direcii i momente principale de inerie............................................................... 311 16.5 Momente de inerie uzuale .................................................................................... 316 16.5.1 Relaiile generale ............................................................................................. 316 16.5.2 Momentele de inerie la barele omogene ......................................................... 317 16.5.3 Momentele de inerie la plcile omogene ........................................................ 319 16.5.4 Momentele de inerie la volumele omogene .................................................... 328 16.5.5 Metode speciale de calcul ................................................................................ 334 17. DINAMICA SOLIDULUIRIGID ......................................................................... 337 17.1 Calculul parametrilor dinamici .............................................................................. 337 17.1.1 Generaliti ...................................................................................................... 337 17.1.2 Cazul micrii de translaie .............................................................................. 338 17.1.3 Cazul micrii de rotaie n jurul unui punct fix .............................................. 339 17.1.4 Cazul micrii de rotaie n jurul unei axe fixe ................................................ 341 17.1.5 Cazul micrii plan-paralele ............................................................................ 343 17.2 Teoremele generale n dinamica solidului rigid .................................................... 344 17.3 Teoremele generale n micarea relativ a solidului rigid fa de centrul su de mas ................................................................................... 346 17.4 Discuie asupra teoremelor generale ...................................................................... 349 18. DINAMICA MICRILOR PARTICULARE ALE SOLIDULUI RIGID ........ 352 18.1 Micarea de translaie ............................................................................................ 352 18.2 Micarea de rotaie fa de o ax fix .................................................................... 352 18.2.1Sistemul de ecuaii ............................................................................................ 352 18.2.2 Echilibrarea rotorilor ....................................................................................... 355 18.2.3 Pendulul fizic ................................................................................................... 357 18.3 Micarea de rotaie fa de un punct fix................................................................. 360 18.3.1 Sistemul de ecuaii ........................................................................................... 360 18.3.2 Giroscopul ....................................................................................................... 362 18.3.3 Efectul giroscopic ............................................................................................ 368 18.4 Micarea plan-paralel........................................................................................... 369 19. DINAMICA SISTEMELOR DE CORPURI ......................................................... 372 19.1 Generaliti ............................................................................................................ 372 19.2 Metoda impulsului ................................................................................................. 373 19.3 Metoda energiei cinetice ........................................................................................ 377 ii 20. CIOCNIRI I PERCUII ....................................................................................... 381 20.1 Generaliti ............................................................................................................ 381 20.2 Teoremele generale n studiul ciocnirilor .............................................................. 382 20.3 Ciocnirea centrica a dou sfere .............................................................................. 384 20.4 Ciocnirea oblic a dou sfere................................................................................. 387 20.5 Ciocnirea unei sfere cu o suprafa fix ................................................................ 388 20.6 Ciocnirea unei sfere cu un corp rotitor .................................................................. 389 306 PARTEA V-a DINAMICA SOLIDULUI RIGID 16. MOMENTE DE INERIE MECANICE 16.1 Generaliti Pentrucaracterizareadistribuieimaseiunuicorpnraportcuunreper geometric (punct, ax, plan, etc.) se utilizeazo mrime numit moment de inerie mecanic;notaiacurentutilizatpentruacestparametrumasicestesimbolulJ, nsoitdeindicireferitorilareperulgeometricrespectiv.nexprimareacurent atributulmecanicseomite;elestetotuinecesaratuncicndtrebuiefcut deosebirea de momentul de inerie geometric I al seciunii unei bare (important n calculul de rezisten) sau de momentul rezultant iMal forelor de inerie. Momentele de inerie sunt utilizate la calculul parametrilor dinamici ai unui corp (momentul cinetic, energia cinetic) specifici micrii de rotaie a acestuia. Clasificareamomentelordeineriesefacen funciedereperulgeometricnraportcucarese calculeaz.Considernd,deexemplu,unpunctmaterial, momentulsudeinerieseobinenmulindmasa acestuiacuptratuldistaneilareperulrespectiv (fig.16.1). Se deosebesc: momentul de inerie polar (fig.16.1, a): 2Or m J = (16.1) n care r este distana la punctul de reper O; momentul de inerie axial (fig.16.1, b): 2m J o =A(16.2) n careoreprezint lungimea perpendicularei pe axaA ; momentul de inerie planar (fig.16.1, c): 2Ph m J =) ((16.3) ncarehestedistanalaplanul(P),msuratpe perpendiculara cobort pe acesta; momentul de inerie centrifugal (fig.16.1, d): 2 1 P Ph h m J2 1=) , ((16.4) ncare 1h i 2h suntdistaneleladouplane,deregul perpendiculare ntre ele. Momenteledeineriealesoliduluirigidsedeterminnspecialpentru situaiancarereperelegeometricemenionateaparinunuisistemdereferin cartezian. n locul masei punctului material se va considera o mas elementardm din configuraia corpului, prin m nelegndu-se n acest caz masa total a acestuia (fig.16.2).Pentrumasaelementardmsecalculeazunmomentdeinerie elementar dJ astfel c pentru ntregul corp momentul de inerie va fi: }=) (mdJ J (16.5) a) b) c) d) Fig.16.1 (m) r O (m) o A (m) (P) h (m) h1 h2 (P1) (P2) 307 momentuldeineriepolarfadeorigineaOa sistemului de referin se va calcula cu relaia general: } }+ + = =) ( ) () (m2 2 2m2Odm z y x dm r J (16.6) n careOP r =iar x,y,z sunt coordonatele masei elementare. momentele de inerie axiale fa de Ox, Oy i Oz se definesc prin relaiile: } }} }} }+ = =+ = =+ = =) ( ) () ( ) () ( ) () () () (m2 2m2z zm2 2m2y ym2 2m2x xdm y x dm Jdm x z dm Jdm z y dm Jooo(16.7) momentele de inerie planare au n acest caz expresiile: } } }= = =) ( ) ( ) ( m2zOxm2yOzm2xOydm y J dm x J dm z J (16.8) momentele de inerie centrifugale au o notaie simplificat: } } }= = =) ( ) ( ) ( mzxmyzmxydm zx J dm yz J dm xy J (16.9) Sunt evidente egalitile:

xz zx zy yz yx xyJ J J J J J = = = (16.10) Momenteledeineriemecanicesuntmrimiscalarepozitive;facexcepie celecentrifugalecarepotfiinegative.Sepoateobservacuuurincntre momentele de inerie ale unui corp tridimensional exist urmtoarele relaii: ) (z y x OJ J J21J + + = (16.11) zOx yOz xOy OJ J J J + + = (16.12) n cazul unei plci plane, poziionat ntr-un sistem dereferinOxy(fig.16.3),oricemaselementarare coordonata0 z = .Pentrumomenteledeinerierelaiile generalesestabilescnacestcazparticulariznd expresiilestabilitepentrucorpultridimensional,dup cum urmeaz: momentul de inerie polar: } }+ = =) ( ) () (m2 2m2Odm y x dm r J (16.13) momentele de inerie axiale: } } }+ = = =) ( ) ( ) () (m2 2zm2ym2xdm y x J dm x J dm y J (16.14) momentele de inerie planare: } }= = =) ( ) ( m2zOxm2yOz xOydm y J dm x J 0 J (16.15) Fig.16.2 Fig.16.3 O (dm) z x y r(m) P y x z O (dm) x y r x y 308 momentele de inerie centrifugale: }= = =) (mzx yz xy0 J J dm xy J (16.16) i n acest caz se poate pune n eviden o relaie important ntre momentele de inerie ale plcii: y x z OJ J J J + = = (16.17) Sededucecmomentuldeineriepolaraluneiplciesteegalcumomentulde ineriefadeoaxperpendicularpeplacnpunctulrespectiv;totodat, momentuldeineriepolarfadepunctuldeinterseciealunoraxereciproc perpendiculare este egal cu suma momentelor de inerie fa de aceste axe. 16.2 Variaia momentelor de inerie fa de axe paralele Se consider cunoscute momentele de inerie aleunuicorpfadeunsistemdereferinOxyz; sedetermin,nfunciedeacestea,momentelede ineriefadesistemuldereferin 1 1 1z y Cx cu originea n centrul su de mas i ale crui axe sunt paralelecucelealesistemuluidat(fig.16.4).ntre coordonatelemaseielementaredmnceledou sisteme de referin exist relaiile: c z z b y y a x x1 1 1 = = = (16.18) ncarea,b,csuntcoordonatelepunctuluiCn sistemul Oxyz. PentrudeterminareamomentuluideineriepolarfadepunctulCse procedeaz n modul urmtor: } } } } }} } + + + + + == + + = + + =) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) (] ) ( ) ( ) [( ) (m m m m2 2 2m2 2 2m m2 2 2 212121 Cdm z c 2 dm y b 2 dm x a 2 dm c b a dm z y xdm c z b y a x dm z y x J(16.19) Pentru coordonatele centrului de mas C n sistemul Oxyz se cunosc relaiile: } } }= = =) ( ) ( ) ( m m mdm z mc dm y mb dm x ma (16.20) Cu observaia c 2 2 2 2OC c b a = + +im dmm=}) ( relaia (16.19) ia forma: 2O COC m J J = (16.21) n mod asemntor se procedeaz i pentru momentele de inerie axiale: } } } }} } + + + == + = + =) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) (] ) ( ) [( ) (m m m2 2m2 2m2 2m2121 1 xdm z c 2 dm y b 2 dm c b dm z ydm c z b y dm z y J(16.22) Fig.16.4 z O (dm) C y x r (m) 309 Senoteazprin 2 2xc b + = o distanadintreaxele 1Ox iCxi,inndcontde observaiile precedente referitoare la centrul de mas, relaia (16.22) devine: 2x x 1 xm J J o = (16.23) n mod analog, 2z z 1 z2y y 1 ym J J m J J o o = = (16.24) Pentru momentele de inerie centrifugale se calculeaz: ab m J dm x b dm y a dm ab dm xydm b y a x dm y x Jxym m m mm m1 1 1 y 1 x = + == = =} } } }} }) ( ) ( ) ( ) () ( ) () )( ((16.25) Celelalte momente de inerie centrifugale sunt: ca m J J bc m J Jzx 1 x 1 z yz 1 z 1 y = = (16.26) Revenindasupramomentelordeinerieaxiale,sepoate face o generalizare: 21d m J J + =A A(16.27) Aceastexpresie,cunoscutnMecanicsubdenumireade relaialuiSteiner,precizeazcmomentuldeineriemecanic fa de o ax oarecare 1Ase poate calcula nsumnd momentul deineriefadeoaxA ,paralelcu 1A icaretreceprin centrul de mas al corpului, cu produsul dintre masa acestuia i ptratul distanei dintre cele dou axe (fig.16.5). Relaia (16.27) mai pune n eviden i faptul c momentele de inerie fa de axe care trec prin centrul de mas al unui corp au valori minime. 16.3 Variaia momentelor de inerie fa de axe concurente Seconsidercunoscutemomenteledeinerieaxialeicentrifugalealeunui corp fa de axele unui sistem de referin Oxzy (fig.16.6); se cere s se determine momentul de inerie axial fa de o direcieApoziionat n sistemul respectiv prin unghiurile directoare o, |, . Se ataeazdirecieiA un versoru a crui dezvoltarevectorialnfunciedeunghiurile directoare i de versorii axelor de coordonate este: k j i u | o cos cos cos + + = (16.28) ntre cosinusurile directoare exist relaia: 12 2 2= + + | o cos cos cos (16.29) Momentul de inerie axial fa de direciaAeste definit prin relaia general: }=A) (m2dm J o (16.30) Fig.16.5 Fig.16.6 C d (m) z O (dm) o x y o | M P 310 ncareoeste lungimea perpendicularei pedireciaA dus din punctulP(x,y,z) n care se afl masa elementar dm. Din triunghiul dreptunghic OPM se deduce: 2 2 2 2OM OP PM = = o (16.31) Pentru termenii acestei relaii se pot face urmtoarele prelucrri: ) cos cos )(cos ( | | | o2 2 2 2 2 2 2 2z y x r OP + + + + = = (16.32) | o | ocos cos cos) cos cos (cos ) (z y xk j i k z j y i x u r r pr OM+ + == + + + + = = =A(16.33) Se fac nlocuirile n relaia (16.31) i se obine: o | | o | o ocos cos cos cos cos coscos ) ( cos ) ( cos ) (zx 2 yz 2 xy 2x z x y z y2 2 2 2 2 2 2 + + + + + =(16.34) Cu aceast determinare, momentul de inerie fa de direciaAdevine: } } }} } } + + + + + =A) ( ) ( ) () ( ) ( ) (cos cos cos cos cos cos) ( cos ) ( cos ) ( cosm m mm2 2 2m2 2 2m2 2 2dm zx 2 dm yz 2 dm xy 2dm x z dm x z dm z y Jo | | o | o(16.35) Se recunosc n integralele din aceast expresie relaiile de definiie ale momentelor axiale i centrifugale fa de axele sistemului de referin Oxyz. Se obine n final: o | | o | ocos cos cos cos cos coscos cos coszx yz xy2z2y2xJ 2 J 2 J 2J J J J + + =A(16.36) Aceast relaie poate fi pus i sub o form matriceal: ((((

((((

=A|o | ocoscoscos] cos cos cos [z zy zxyz y yxxz xy xJ J JJ J JJ J JJ (16.37) Folosind pentru notarea matricelor i a vectorilor o simbolizare adecvat (n cazul de fa prin caractere ngroate bold), relaia de mai sus se poate scrie: u J ut=AJ (16.38) n care s-au notat: ((((

=z zy zxyz y yxxz xy xJ J JJ J JJ J JJ (16.39) ((((

=|ocoscoscosu (16.40) Matricea J conine toate momentele de inerie axiale i centrifugale; se observ c momenteleaxialesuntdispusepediagonalaprincipaliarcelecentrifugale,luate cusemnschimbat,suntdispusesimetricfadeaceasta;s-aartatmainainte (rel.16.10)cmomentelecentrifugalecuaceiaiindicisuntegalentreele. Matricea J se va numi n continuare matricea de inerie a corpului fa de sistemul dereferinOxyz.Elementelevectoruluicoloanu,corespunztorversoruluiu , suntcosinusuriledirectoarealedirecieiA;tu estetranspusaluiu(sereamintete c prin transpunere liniile unei matrici devin coloane iar coloanele devin linii). 311 16.4 Direcii i momente principale de inerie Relaia (16.36) pune n eviden faptul c momentul de inerie AJfa de odirecie oarecare este o mrime variabil n funcie de cele trei unghiuri directoare o, |, , respectiv n funcie de cosinusurile acestora: ) cos , cos , (cos | oA A = J J (16.41) Pentru aplicaii este deosebit de important determinarea extremelor acestei funcii, respectivavalorilormaximeiminime,precumiadireciilorcorespunztoare acestor extreme. Se va utiliza n acest scop metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se alctuiete o funcie auxiliar de forma: + =AJ (16.42) ncareesteunmultiplicatorLagrange.inndcontderelaia(16.29)dintre cosinusurile directoare, se noteaz: 0 12 2 2= = | o cos cos cos (16.43) Condiiiledeextrempentrufunciaauxiliaruimpuncaderivateleparialen raport cu fiecare din cele trei variabile s fie nule: 000=c c=c c=c c) (cos ) (cos ) (cos | o(16.44) Prima din aceste derivate are expresia: 0 2 J 2 J 2 J 2xz xy x= =c co | oocos cos cos cos) (cos(16.45) n mod analog se fac calculele i pentru celelalte dou derivate. Se obine un sistem de ecuaii liniare omogene avnd ca necunoscute cosinusurile directoare: = + = + = 0 J J J0 J J J0 J J Jz zy zxyz y yxxz xy x | o | o | o cos ) ( cos coscos cos ) ( coscos cos cos ) ((16.46) Acest sistem poate fi pus sub forma matriceal: ((((

=((((

((((

000J J JJ J JJ J Jz zy zxyz y yxxz xy x|ocoscoscos(16.47) Acelai sistem mai poate fi pus i sub forma echivalent: ((((

=((((

((((

|o|ocoscoscoscoscoscosz zy zxyz y yxxz xy xJ J JJ J JJ J J(16.48) care, innd cont de notaiile simbolice din relaiile (16.39) i (16.40), se mai poate scrie concentrat: u u J = (16.49) 312 Cosinusuriledirectoarenupotfisimultantoatenuleastfelnctcondiia (16.47)estendeplinitnumaidacdeterminantulcoeficienilorestenul. Dezvoltndacestdeterminatseobineecuaiacaracteristicdegradul3n parametrul avnd forma general: 0 d c b a2 3= + + + (16.50) Rdcinile acestei ecuaii satisfac fiecare condiia de anulare a valorii determinan-tului. Fiind de natura unor momente de inerie axiale, aceste rdcini se vor nota: 3 3 2 2 1 1J J J = = = (16.51) nlocuind succesiv acestevalorin sistemul (16.46) sau (16.47) se pot calculatrei seturi de cosinusuri directoare, fiecare set corespunznd uneia din direciile cutate. Astfel, pentru 1J = sistemul ia forma: ((((

=((((

((((

000J J J JJ J J JJ J J J1111 z zy zxyz 1 y yxxz xy 1 x|ocoscoscos(16.52) Prinrezolvareaacestuiaseobincosinusuriledirectoarealeuneiadintredireciile cutate,notatnacestcaz 1A .nmodanalog,pentru 2J = i 3J = seobin cosinusurile directoare ale unor direcii 2Ai 3A . Celetreidirecii 1A , 2A i 3A senumescdireciiprincipaledeinerieiar momentele 1J , 2J i 3J senumescmomenteprincipaledeinerie.Valorile maxim i respectiv minim ale funciei AJse gsesc printre aceste valori. Sepoatedemonstracceletreidireciiprincipaledeineriesuntreciproc perpendiculare. Demonstraia se face mai comod apelnd la cunostinele de analiz matriceal. Astfel, fiecreia dintre direcii i se poate ataa cte un versor: k j i uk j i uk j i u3 3 3 32 2 2 21 1 1 1 | o | o | ocos cos coscos cos coscos cos cos+ + =+ + =+ + =(16.53) Conform relaiei (16.40), vectorii coloan corespunztori acestor versori sunt: ((((

=((((

=((((

=333222111|o|o|ocoscoscoscoscoscoscoscoscosu3 u2 u1 (16.54) Lund, de exemplu, versorii 1u i 2u , acetia vor fi perpendiculari dacprodusul lor scalar este nul, respectiv dac: | |0u u2 1 2 1 2 12221 1 1 2 1= + + ==((((

= = | | o o|o | ocos cos cos cos cos coscoscoscoscos cos cos u2 u1t(16.55) 313 Pentruademonstranulitateaprodusuluiscalarrespectivseparticularizeaz mai nti relaia matriceal (16.49) pentru 1J = i 2J = : u1 u1 J1J = (16.56)u2 u2 J2J = (16.57) Prima relaie se nmulete la stnga cu vectorul tu2iar cea de a doua cu tu1 : u1 u2 u1 J u2t t 1J = (16.58)u2 u1 u2 J u1t t 2J = (16.59) ncontinuareseprocedeazlatranspunerearelaia(16.58).Trebuiefcut precizareacmatriceadeinerieJestesimetricinconsecinJ Jt = .Se reaminteteclatranspunereaunuiprodusdematriciordineaacestorase inverseaz iar transpusa transpusei unei matrici este matricea respectiv. Se obine: u2 u1 u2 J u1t t 1J = (16.60) Comparnd aceast relaie cu (16.59) se constat egalitatea: u2 u1 u2 u1t t 2 1J J = (16.61) sau, trecnd totul n partea stng: 0 J J2 1= u2 u1t) ( (16.62) ncazulgeneral 2 1J J = ,astfelcprodusulscalar0 = u2 u1t,ceeaceerade demonstrat n relaia (16.55). n mod analog se poate demonstra c versorul 3ueste perpendicular pe 1ui 2u . Se confirm astfel c direciile principale de inerie sunt perpendiculare una pe cealalt. Pebazarelaieigenerale(16.38)momenteleprincipaledeineriesepot exprima sub form matriceal dup cum urmeaz: u3 J u3 u2 J u2 u1 J u1t t t= = = A A A3 2 1J J J J J J3 2 1(16.63) S-a demonstrat mai sus c0 = u2 u1t; se deduce c partea stng a relaiei (16.59) estenul.Generalizndaceastobservaiepentrutoateproduselescalaredintre versorii 3 2 1u u u ,se deduc relaiile matriceale: 0 0 00 0 0= = == = =u3 J u1 u2 J u3 u1 J u2u1 J u3 u3 J u2 u2 J u1t t tt t t(16.64) Pornind de la matricea de inerie J, calculat fa de sistemul de referin dat Oxyz, se poate calcula o matrice de inerie *J fa de un sistem de axe alctuit din celetrei direciiprincpaledeinerie 1A , 2A i 3A .nacestscopsealctuieteo matricedetransformareUcarevaconinecosinusuriledirectoarealeacestoraxe fa de cele iniiale: | |((((

= =3 2 13 2 13 2 1 | | |o o ocos cos coscos cos coscos cos cosu3 u2 u1 U (16.65) Relaia matriceal de transformare se poate pune sub forma simblic: U J U Jt*= (16.66) sau, sub forma detaliat: 314 ((((

((((

((((

==((((

=3 2 13 2 13 2 1z zy zxyz y yxxz xy x3 3 32 2 21 1 133 32 3123 22 2113 12 11J J JJ J JJ J JJ J JJ J JJ J J | |o o o | o | o | ocos cos coscos cos coscos cos coscos cos coscos cos coscos cos cos*J(16.67) Elementele matricii de inerie *J se obin aplicnd regulile de nmulire matriceal. Astfel, innd cont de relaiile (16.63) i (16.64) elementele acesteia sunt: 3 332313322 221231211 11J J0 J0 J0 JJ J0 J0 J0 JJ J= == == == == == == == == =u3 J u3u3 J u2u3 J u1u2 J u3u2 J u2u2 J u1u1 J u3u1 J u2u1 J u1ttttttttt(16.68) nfinal,matriceadeinerie *J fadedireciileprincipaledeinerieareoform diagonal, elementele acesteia fiind tocmai momentele principale de inerie: ((((

=321J 0 00 J 00 0 J*J (16.69) Recapitulnd cele demonstrate mai nainte, n cazul raportrii corpului la un sistem de referin Oxzy oarecare, se pot pune n eviden ctevaconcluzii: exist trei direcii principale de inerie, reciproc perpendiculare, concurente n originea O a sistemului de referin; valorile extreme ale momentelor de inerie axiale se afl printre momentele principale de inerie; fa de direciile principale de inerie momentele centrifugale sunt nule. ncazulncaresistemuldereferinareorigineancentruldemasal corpului se mai pot face urmtoarele precizri: innd cont de relaia lui Steiner (16.27) care arat c momentele de inerie axiale au valori minime fa de direcii care trec prin centrul de mas al corpului, se deduce c n acest caz toate momentele de inerie principale au valori minimale; conform celor artate n Static, dac un corp are una sau mai multe axe de simetrie, centrul lui de mas se va afla pe axa sau la intersecia axelor respective; n consecin axele de simetrie se afl printre direciile principale de inerie; fa de axele de simetrie ale corpului momentele centrifugale sunt nule. Oobservaiedeosebitdeimportantpentruaplicaiilepracticerezolvatepe calculatoresteaceeacmomenteleprincipaledeineriesuntvalorilepropriiale matriciideinerie;toatemediiledeprogramarecuspecificmatematicposed programe destinate calculrii acestor valori. 315 Studiuluiprivitorladireciileimomenteleprincipaledeinerieisepoate adugaiointeresantinterpretaregeometric,maipuinutilnsnaplicaiile practice.Astfel, pe o direcie oarecare A (fig.16.7) se marcheaz un punct A astfel nct distana OA s fie corelat, fcnd abstracie de elementele dimensionale, cu valoarea momentului de inerie fa de aceast direcie prin intermediul relaiei: A=J1OA (16.70) Vectorul de poziie al punctului A va fi: k z j y i xkJjJiJu OA OA+ + == + + = =A A A | o cos cos cos (16.71) Rezult pentru punctul A coordonatele: A A A= = =JzJyJx | o cos cos cos(16.72) Din relaia de definiie pentru momentul de inerie AJ , stabilit anterior, respectiv: o | | o | ocos cos cos cos cos coscos cos coszx yz xy2z2y2xJ 2 J 2 J 2J J J J + + =A(16.73) se obine, dup mprirea cu AJ : 1 zx J 2 yz J 2 xy J 2 z J y J x Jzx yz xy2z2y2x= + + (16.74) SededucecloculgeometricalpunctuluiAestereprezentatdesuprafaaunui elipsoid cu centrul n punctul O numit elipsoidul de inerie. nsistemuldereferinformatdedireciile principaledeinerie' x1 A , ' y2 A i' z3 A(fig.16.8), acest elipsoid va avea ecuaia: 1 z J y J x J232221= + + ' ' ' (16.75) deoarece,aacums-aartatmaisus,momentelede ineriecentrifugalesuntnacestcaznule.Direciile principale de inerie sunt axele de simetrie ale acestui elipsoid iar semiaxele acestuia au expresiile: 3 2 1J1cJ1bJ1a = = = (16.76) n acest sistem momentul de inerie fa de direcia A va fi dat de relaia: ' cos ' cos ' cos | o232221J J J J + + =A(16.77) n care o, |, sunt unghiurile directoare ale acesteia fa de 1A ,2Ai 3A . Fig.16.7 Fig.16.8 z O x y o | A(x,y,z) z O x y a b c 316 16.5 Momente de inerie uzuale 16.5.1 Relaiile generale Pentrucorpurileomogeneuzualedincategoriiledemodelebare,plcii volume se determin momentele de inerie polare, axiale i centrifugale n raport cu un sistem de referin Oxyz convenabil ales. Se reamintesc relaiile generale: } }+ + = =) ( ) () (m2 2 2m2Odm z y x dm r J (16.78) } } }+ = + = + =) ( ) ( ) () ( ) ( ) (m2 2zm2 2ym2 2xdm y x J dm x z J dm z y J (16.79) } } }= = =) ( ) ( ) ( mzxmyzmxydm zx J dm yz J dm xy J (16.80) Cu aceste valori se alctuiete matricea de inerie: ((((

=z zy zxyz y yxxz xy xJ J JJ J JJ J JJ (16.81) Folosindrelaiilestabilitepentruvariaiamomentelordeineriefadeaxe paralele, respectiv: mca J J mbc Jyz J mab J Jm J J m J J m J Jzx 1 x 1 z 1 z 1 y xy 1 y 1 x2z z 1 z2y y 1 y2x x 1 x = = = = = = o o o(16.82) se va calcula i matricea de inerie *Jfa de un sistem de referin cu originea n centrul de mas al corpului, ale crui axe sunt paralele cu cele ale sistemului Oxyz: ((((

=1 z 1 y 1 z 1 x 1 z1 z 1 y 1 y 1 x 1 y1 z 1 x 1 y 1 x 1 xJ J JJ J JJ J J*J (16.83) Se vor indica, dup caz, direciile principale de inerie. Momenteledeineriealecorpurilorcompuse,formateprinalipireasau decupareaunorcorpuricuformegeometricesimple,seobinprinnsumareasau, respectiv,scdereamomenteloracestora.Fie,deexemplu,uncorpcompus oarecare format prin alipirea corpurilor (1) i (2) din care se decupeaz corpul (3). Masa corpului compus va fi: 3 2 1m m m m + = (16.84) Pentru momentul de inerie polar fa de un reper O se poate scrie: ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (3O2O1Om2m2m2m m m2OJ J J dm r dm r dm r dm r J3 2 1 3 2 1 + = + = =} } } } +(16.85) La fel se procedeaz i pentru momentele axiale i centrifugale. 317 16.5.2 Momentele de inerie la barele omogene a) Bara rectilinie (fig.16.9) n sistemul Oxyz masa elementar dm are coordonatele0 z y = = .nfunciedemasai lungimea barei: dxlmdx dml= = (16.86) unde l estedensitatealiniaraacesteia.Se observ c0 Jx =i0 J J Jzx yz xy= = = . Celelalte momente de inerie sunt: 2l02m2O z yml31dx xlmdm x J J J = = = = =} }) ((16.87) Matricea de inerie se scrie concentrat: ((((

=1 0 00 1 00 0 0ml312J (16.88) n sistemul 1 1 1z y Cx ,0 J1 x =i0 J J J1 x 1 z 1 z 1 y 1 y 1 x= = = . Celelalte momente sunt: 222 2O C 1 z 1 yml1212lm ml31OC m J J J J = |.|

\| = = = = (16.89) Fa de acest sistem matricea de inerie are forma concentrat: ((((

=1 0 00 1 00 0 0ml1212 *J (16.90) Axele acestui sistem sunt direcii principale de inerie. b) Bara n form de arc de cerc (fig.16.10) BaraseaeazplanulOxy,cuaxade simetriesuprapusaxeiOx.Masaelementardm se calculeaz cu relaia: uouo d2md RR 2mds dml= = = (16.91) ncaredsestelungimeaarculuielementariaro estesemiunghiullacentrualbarei.Cuobservaia c. const R r = =momentul de inerie polar este: 2m2m2z OmR dm R dm r J J = = = =} }) ( ) ((16.92) Seobservcacestanudepindedeunghiulla centru, relaia fiind valabil pentru orice unghi. Fig.16.9 Fig.16.10 O x dx y z x (m,l) C (dm) x y O R o o d C xC (dm) (m,l) 318 Coordonatelemaseielementaresuntu cos R x = ,u sin R y = i0 z = .Fa de axa Ox momentul de inerie este: |.|

\| = == = = =} } }oou uou uououoooo4221mR 241212mRd2mRd2mR dm y J2222m2m2xsinsinsin ) sin () ( ) ((16.93) in care unghiul o se introduce n radiani. n mod asemntor se determin: |.|

\|+ = = =} }oouou4221mR d2mR dm x J2m2m2ysin) cos () ( ) ((16.94) Se verific cu uurin relaia y x OJ J J + =demonstrat anterior. Deoarece0 z =i Ox este ax de simetriese deduce c toate momentele de inerie centrifugale sunt nule. Matricea de inerie fa de sistemul Oxyz are forma: 1 0 00 4 2 2 1 00 0 4 2 2 1mR2o oo o/ sin // sin /+= J (16.95) Fa de sistemul de referin paralel 1 1 1z y Cxse utilizeaz pentru momentele de inerie axiale relaiile: 2C z C 1 z2C y 1 y x 1 xmx J J J mx J J J J = = = = (16.96) n careo o sin R OC xC= = . Momenteledeineriecentrifugalesuntdeasemeneanule.Axeleacestui sistemsuntdireciiprincipaledeinerieiarmomenteleaxialedemaisussunt momente principale de inerie. Problema 16.1 S se determine matricea de inerie pentru o bar curb avnd masamirazaRiformanvarianteledinfig.16.11;sseindicedireciile principale de inerie i s se calculeze matricea de inerie fa de aceste direcii. Rezolvare:S-aartatmainaintecmomentuldeineriepolarfadecentrul geometric O nu depinde de unghiul la centru al arcului; n consecin: 2z OmR J J = (16.97) c) a)b) Fig.16.11 x y R y R OC y R O C x 319 La cercul complet (fig.16.11, a)t o =i rezult din relaia (16.95): ((((

=1 0 00 2 1 00 0 2 1mR2//J (16.98) Este evident c axele Ox, Oy, Oz sunt direcii principale de inerie. Pentru semicerc (fig.16.11, b) 2 t o =i rezult c matricea de inerie fa deOxyzesteidenticcu(16.98);introducndn(16.96)distanat R 2 xC =rezult matricea fa de 1 1 1z y Cx : ((((

=22 24 1 0 00 4 2 1 00 0 2 1mRtt //*J (16.99) Axele acestui sistem sunt direciile principale de inerie. La sfertul de cerc (fig.16.11, c), reamintind c y x OJ J J + = , se obine: 2mRJ21J J2O y x= = = (16.100) Momentul de inerie centrifugal xyJse determin distinct observnd c densitatea liniar este n acest cazt / m 2l = : tututu utt 22022 202mxymR21 mR 2dm 2R dm xy J = = = =} }sin cos sin/) ((16.101) Matricea de inerie fa de Oxyz are forma: ((((

=1 0 00 2 1 10 1 2 1mR2//ttJ (16.102) Bisectoareaarculuiesteaxdesimetrie,peeaaflndu-seicentruldemasal barei;nconsecinaxelesistemului 1 1 1z y Cx suntdireciileprincipaledeinerie. Momentele principale de inerie se determin cu relaiile (16.95) i (16.96) n care se introduce4 t o =it / 2 R 2 xC = . Se obine matricea de inerie: ((((

+=22 28 1 0 00 8 1 2 1 00 0 1 2 1mRtt tt//*J (16.103) 16.5.3 Momentele de inerie la plcile omogene a) Placa dreptunghiular (fig.16.12) Secunoatemasamilaturileaibaleplcii;notndprin A densitatea superficial, se exprim masa elementar prin relaia: 320 dy dxabmdA dmA= = (16.104) Cuobservaiacmasaelementarare coordonata0 z = ,momentuldeineriefade Ox se calculeaz n modul urmtor: 3mbdy y dxabmdy dx yabmdm y J2 b02a0m2m2x= == = =} }}} }) ( ) ((16.105) n mod analog se determin: 3maJ2y = (16.106) ) (2 2y x O zb a3mJ J J J + = + = = (16.107) Momentul centrifugal xyJse calculeaz n modul urmtor: 4mabdy y dx xabmdy dx xyabmdm xy Jb0a0 m mxy= = =}=} } }}) ( ) ((16.108) Se observ c0 J Jzx yz= = . Matricea de inerie n sistemul Oxyz este: ((((

+=3 b a m 0 00 3 ma 4 mab0 4 mab 3 mb2 222) (J (16.109) Pentrusistemuldereferin 1 1 1z y Cx seutilizeazrelaiiledevariaiea momentelorfadedireciiparalelencare2 bx = o i2 ay = o suntdistanele ntre axe. Pentru direcia 1Cxse calculeaz: 12mb2bm3mbm J J2222x x 1 x= |.|

\| = = o (16.110) n mod analog se fac calculele i pentru celelalte axe. Momentul centrifugal este: 02a2bm4mabm J Jy x xy 1 y 1 x= = = o o (16.111) Acest rezultat confirm faptul c fa de axele de simetrie momentele centrifugale sunt nule. Matricea de inerie fa de 1 1 1z y Cxeste: ((((

+=12 b a m 0 00 12 ma 00 0 12 mb2 222) (*J (16.112) Fig.16.12 x y b O y x C a dx dy (dm) 321 b) Placa triunghiular (fig.16.13) Laoplacavndformaunuitriunghi dreptunghic se cunosc masam i lungimile b i halecatetelor;masaelementarsepoate exprima prin relaia: dy dxbhm 2dA dmA= = (16.113) Limitele de variaie ale coordonatelor x i y sunt legate prin ecuaia dreptei AB care poate fi pus sub forma: b yhbx + = * (16.114) n care s-a notat* xabscisa punctului A* de pe AB pentru evitarea confuziei cu coordonatax a masei elementare dm.Momentul de inerie axial fa de Ox se va determina n modul urmtor: ( )6mh3hb4hhbbhm 2dy b yhbybhm 2dy x ybhm 2dy dx ybhm 2dy dx ybhm 2dm y J2 3 4h02h02h0x02m2m2x=||.|

\|+ = |.|

\|+ == = = = =}} } } }} }**) ( ) ((16.115) n mod analog se determin: 6mbJ2y = (16.116)) (2 2y x O zb h6mJ J J J + = + = = (16.117) Momentul centrifugal xyJse calculeaz n mod asemntor: ( )12mbh2hb3hhb 24hhbbhmdy b yhbybhmdy2xybhm 2dy dx x ybhm 2dy dx xybhm 2dm xy J223 2 422h02h02h0x0m mxy=||.|

\|+ =|.|

\|+ == = = =}=}} } } }}*) ( *) ( ) ( (16.118) Deoarece0 z = , celelalte momente de inerie centrifugale sunt nule.Matricea de inerie n sistemul Oxyz va fi: ((((

+=2 222b h 0 00 b 2 bh0 2 bh h6mJ (16.119) nsistemul 1 1 1z y Cx (fig.16.14)momenteledeineriesecalculeazcu relaiile de variaie a momentelor fa de direcii paralele n care: 3 b x 3 h yC y C x= = = = o o (16.120) Fig.16.13 x y h O y x b dx dy (dm) A B A* 322 nacestsistemmomenteleaxialesevorcalculanmodul urmtor: 18mh3hm6mhm J J2222x x 1 x= |.|

\| = = o (16.121) 18mbJ21 y = (16.122) ) (2 21 zb h18mJ + = (16.123) Momentul de inerie centrifugal se calculeaz cu relaia: 36mbh3h3bm12mbhm J Jy x xy 1 y 1 x = = = o o(16.124)Celelalte momente centrifugale sunt nule. Matricea de inerie are forma: ((((

+=2 222b h 0 00 b 2 bh0 2 bh h18m*J (16.125) Se observ c n acest caz numai axa 1Czeste direcie principal de inerie. Problema 16.2: S se calculeze matricea de inerie a unei plci triunghiulare de o form oarecare, avnd masa m i dimensiunile din fig.16.15. S se considere i cazul particular al triunghiului echilateral. Rezolvare:Triunghiuloarecarepoateficonsideratcafiindformatprinalipireaa doutriunghiuridreptunghice(1)i(2).Dacmestemasatotalaplcii,masele celor dou componente vor fi proporionale cu ariile acestora. Din ecuaiile: = = == +abahbhAAmmm m m212121212 1(16.126) se deduc masele : mb aam mb abm2 1+=+= (16.127) Momenteledeineriealeplciiseobinprin nsumarea momentelor celor dou plci: 6mh6h m6h mJ J J2 2221 2x1x x= + = + =) ( ) ((16.128) ) () ( ) ( 2 23 3 2221 2y1y yb ab a6mb ab a6m6a m6b mJ J J + =++= + = + = (16.129) ) (2 2 2y x O zb ab a h6mJ J J J + + = + = (16.130) Fig.16.14 Fig.16.15 21 ObAB H x y C a h x y y1 x1 O C 323 Pentru triunghiul (1) momentul de inerie centrifugal se va calcula cu relaia (16.118) n care se nlocuiete m prin 1m . La triunghiul (2), n sistemul de referin considerat, variabila x* corespunztoare laturii AH este dat de relaia: a yhax = * (16.131) astfel c momentul centrifugal se va calcula cu relaia, provenit din (16.118): 12ah mdy dx x yahm 2dy dx xyahm 2J2h00x2A2 2xy =||.|

\|= =} } }}* ) () ((16.132) ) () ( ) (a b12mh12ah m12bh mJ J J2 1 2xy1xy xy = = + = (16.133) Celelalte momente de inerie centrifugale sunt nule. Matricea de inerie este: ((((

+ ++ =) () ( / ) (/ ) (2 2 22 22b ab a h 0 00 b ab a 2 a b h0 2 a b h h6mJ (16.134) Pentru sistemul dereferinparalel 1 1 1z y Cx calculelese fac introducnd n relaiile generale distanele3 h yC x/ = = oi3 a b xC y/ ) ( = = o : ((((

+ + ++ + =2 2 22 22b ab a h 0 00 b ab a 2 a b h0 2 a b h h18m/ ) (/ ) (*J (16.135) Numai 1Czeste direcie principal de inerie. ncazulparticularalunuitriunghi echilateral de masa m i latura a, n matricea de ineriedinrelaia(16.134)senlocuiesc lungimile h, b i a cu corespondentele specifice indicate n fig.16.16. Matricea de inerie fa de sistemul Oxzy va fi: ((((

=4 0 00 1 00 0 324ma2J (16.136) n sistemul 1 1 1z y Cxse introduc distanele6 3 a yC x/ = = oi0y = o . Se obine: ((((

=2 0 00 1 00 0 124ma2*J (16.137) Axele 1Cyi 1Cz , fiind axe de simetrie, sunt i direcii principale de inerie. tiindcceletreidireciileprincipaledeineriesuntreciprocperpendiculare, rezult c i axa 1Cxaparine acestora. Fig.16.16 O x C a 324 c) Sectorul circular (fig.16.17) Ariasectoruluicircular,dispuscuaxade simetriesuprapusaxeiOx,secalculeaznmodul urmtor: o o uuoo22 R0A AR 22Rd dr rdr d r dA A= = == = =} }}} }) ( ) ((16.138) nconsecin,masaelementarsevaexprimaprin relaia: dr d rRmdAAmdA dm2A = = = uo (16.139) MomentuldeineriepolarfadepunctulOse calculeaz dup cum urmeaz: 2mRd dr rRmdr d rRmr dm r J J2 R032A22m2z O= = = = } } }} }oo uouo) ( ) ((16.140) Coordonatele masei elementare suntu cos r x =iu sin r y = ; n consecin: |.|

\| = == = = =}} } } }oou uou uou uooooo42212mR241214RRmd dr rRmd dr r rRmdm y J2 42A2R03222m2xsinsinsin ) sin () ( ) ((16.141) n mod analog se determin: |.|

\|+ =oo42212mRJ2ysin(16.142) Oxesteaxdesimetrieinconsecin0 Jxy = ;deoarece0 z = ,0 J Jzx yz= = . Matricea de inerie fa de sistemul Oxyz are componena: 1 0 00 4 2 2 1 00 0 4 2 2 12mR2o oo o/ sin // sin /+= J (16.143) Fadesistemuldereferinparalel 1 1 1z y Cx momenteledeineriese calculeaz cu relaiile: 2C z C 1 z2C y 1 y x 1 xmx J J J mx J J J J = = = = (16.144) n care o o sin R32OC xC= = . Momentele de inerie centrifugale sunt toate nule iar axele acestui sistem sunt direcii principale de inerie. Se poate observa c momentul de inerie z OJ J dat de relaia (16.140) nu depinde de unghiul la centru al sectorului circular. Fig.16.17 x y O R o o d C xC (dm) dr r 325 Problema 16.3: S se determinematricea de inerie pentru plcile plane din fig.16.18lacaresecunoscmasamirazaR.Sseindicedireciileprincipalede inerie i momentele de inerie fa de acestea. La discul complet (fig.16.18, a) matricea de inerie are componena: 1 0 00 2 1 00 0 2 12mR2//= J (16.145) Este evident c axele sistemului Oxyz sunt direcii principale de inerie. Aceeaicomponenoareimatriceadeineriepentruunsemidisc (fig.16.19,b).Fadesistemuldereferin 1 1 1z y Cx matriceadeineriese calculeaz cu relaiile (16.144) n care se introducet 3 R 4 xC/ = : 2229 32 1 0 00 9 32 2 1 00 0 2 12mRtt// // =*J (16.146) Axele acestui sistem sunt direcii principale de inerie pentru semidisc. Pentru sfertul de disc (fig.16.18, c) momentele axiale au expresiile: 4mRJ21J J2mRJ J2O y x2O z= = = = (16.147) Momentuldeineriecentrifugal xyJ sedeterminobservndcnacestcaz densitatea superficial este 2AR m 4 t / = . Efectund calculele se obine: tutu u ututu utt2mR214RRm 4d dr rRm 4dr rdRm 4r dm xy J22024220R032A22mxy= == == = =} }}} }sin cos sincos sin/) ( ) ((16.148) Matricea de inerie are forma: 1 0 00 2 1 10 1 2 12mR2/ // /tt= J (16.149) a)b)c)d) Fig.16.18 x y R y R OC y R O C x x y R r 326 Bisectoareasfertuluidediscesteaxdesimetrie,peeaaflndu-seicentrulde masal barei; n consecinaxelesistemului 1 1 1z y Cx sunt direciileprincipalede inerie.Momenteleprincipaledeineriesedetermincurelaiile(16.141)i (16.142) n care se introduce4 t o = . Se obine matricea de inerie: ((((

+=2228 2 0 00 8 1 1 00 0 1 12mRtt tt*J (16.150) Discul inelar (fig.16.18, d) este format prin decuparea cercului de razr din cercul de raz R; matricea de inerie are forma: 1 0 00 2 1 00 0 2 12r R m2 2//) ( = J (16.151) Axele sistemului Oxyz sunt i direcii principale de inerie. d) Elipsa Calcululseefectueazntr-oprim etappentruoplacavndformaunuisfert de elips de mas m (fig.16.19). Dinecuaiaanaliticauneielipse avnd semiaxele a i b se expliciteaz relaia dintrecoordonatelepunctuluiA*aflatpe conturul exterior al plcii: 2 2y bbax = * (16.152) Ariasfertuluideelipseste4 ab A / t = , astfel c masa elementar dm va fi: dy dxabm 4dAAmdA dmAt = = = (16.153) Momentul de inerie al plcii fa de axa Ox se calculeaz n modul urmtor: ( )4mbbyb y b y8by b4ybm 4dy y b ybaabm 4dy x yabm 4dy dx yabm 4dy dx yabm 4dm y J2b02 2 223 2 22b02 2 2b02b0x02m2m2x= |.|

\|+ + == == = = = =}} } } }} }arcsin ) (**) ( ) (ttt t t(16.154) n mod analog se calculeaz: 4maJ2y = (16.155)) (2 2y x O zb a4mJ J J J + = + = (16.156) Fig.16.19 x y b O y x a dx dy (dm) A B A* 327 Pentru momentul de inerie centrifugal xyJse procedeaz n modul urmtor: ( )t t tt t2mabdy y b ybaabm 2dy2xyabm 4dy dx x yabm 4dy dx xyabm 4dm xy Jb02 222b02b0x0A mxy= = == = = =} }} } }} }) (*) (*) ( ) ((16.157) Celelalte momente de inerie centrifugale sunt nule) ( 0 z = . n sistemul de referin Oxyz matricea de inerie are configuraia: 2 222b a 0 00 a ab 20 ab 2 b4m+= tt//J (16.158) SepoateobservacpentruR b a = = seobinvaloriledin(16.149)calculate pentru sfertul de disc. Pentru jumtatea deelips(fig.16.20,a), avndmasami aria2 ab A / t = , calculul se face n acelai mod, limitele integralelor fiind) , ( b 0 pentru variabila y i *) *, ( x x pentru x. Pentru elipsa ntreag (fig.16.20, b) de mas m i arieab At = , limitelesunt(-b,b)pentruyi*) *, ( x x pentrux.nambelecazuri,datorit simetriei, momentele centrifugale sunt nule. Matricea de inerie va fi: 2 222b a 0 00 a 00 0 b4m+= J (16.159) Laacelairezultatsepoateajungeconsiderndsemielipsaielipsacompletca figuri compuse din 2 i respectiv 4 sferturi de elips.i n acest caz, pentruR b a = =se obin rezultatele calculate la semidisc i la discul complet, prezentate n relaia (16.145).LasemielipsaxaOyestedirecieprincipaldeinerie.Laelipsacomplet toate cele trei axe Ox, Oy i Oz, sunt direcii principale de inerie; momentele de inerie axiale calculate fa de aceste direcii sunt i momente principale de inerie deoarece punctul O este i centrul de mas al elipsei. a)b) Fig.16.20 y x O a b y x O a b 328 16.5.4 Momentele de inerie la volumele omogene a) Paralelipipedul (fig.16.21) Se cunoate masa m a paralelipipe-dului i lungimilea, b i c ale muchiilor acestuia.Masaelementardmestedat de relaia: dV dmV = (16.160) n care densitatea volumic va fi:

abcmVmV= = (16.161) Volumul elementar este: dz dy dx dV = (16.162) Momentul de inerie polar fa de O este: ( )3 2 1V2 2 2m2OI I Iabcmdz dy dx z y xabcmdm r J + + = + + = =}}} }) ( ) () ( (16.163) Cle trei integrale din partea dreapt se calculeaz n modul urmtor: bc a31dz dy dx x dz dy dx x I3c0b0a02V21= = =} } } }}}) ((16.164) c ab31dz dy y dx dz dy dx y I3c0b02a0 V22= = =} } } }}}) ((16.165) 3c02b0a0 V23abc31dz z dy dx dz dy dx z I = = =} } } }}}) ((16.166) Rezult momentul de inerie polar: ) (2 2 2Oc b a m31J + + = (16.167) Se calculeaz n continuare momentele de inerie axiale: ( ) ) ( ) ( ) () ( ) (2 23 2V2 2m2 2xc b31I Iabcmdz dy dx z yabcmdm z y J + = + = + = + =}}} }(16.168) ) (2 2ya c31J + = (16.169)) (2 2zb a31J + = (16.170) Se verific relaia dintre momentele de inerie axiale ale unui corp tridimensional: ) (z y x OJ J J21J + + = (16.171) Momentele de inerie centrifugale se calculeaz n modul urmtor: mab41dz dy y dx xabcmdz dy dx xyabcmdm xy Jc0b0a0 V mxy= = = =} } } }}} }) ( ) ((16.172) Fig.16.21 a x b c r z y O y z x (dm) 329 mbc41Jyz = (16.173)mca41Jzx = (16.174) Matricea de inerie a corpului n sistemul de referin Oxzy are componena: 3 b a m 4 mbc 4 mac4 mbc 3 a c m 4 mab4 mac 4 mab 3 c b m2 22 22 2/ ) ( / // / ) ( // / / ) (+ + += J (16.175) Lacalcululmomentelordeineriefadeunsistemdereferin 1 1 1z y Cx ,paralel cuacestaiavndorigineancentruldemasalcorpului,seaplicrelaiilede variaie dup cum urmeaz: ) ( ) ( ) (2 2 2 2 2 2 2x x 1 xc b m121c b m41c b31m J J + = + + = = o (16.176) n mod analog: ) (2 21 ya c m121J + = (16.177)) (2 21 zb a m121J + = (16.178) Axelemenionatesuntiaxedesimetrieastfelcmomentelecentrifugalesunt nule. n final, matricea de inerie corespunztoare este: 2 22 22 2b a 0 00 a c 00 0 c b12m+++=*J (16.179) Axele de simetrie sunt i direcii principale de inerie. b) Cilindrul (fig.16.22) UncilindrudemasmarerazaRi nlimea h. Volumul su este: h R V2t = (16.180) Densitatea volumic este: h RmVm2Vt = = (16.181) Dreptmaselementarsealegeoporiunedin cilindru de grosime dx: dxhmdx Rh RmdV dm22V= = = tt (16.182) Fa de axa Ox aceast mas elementar are momentul de inerie: dm R21dJ2x = (16.183) analog celei stabilite n relaia (16.140) la discul plan. Pentru ntregul cilindru: } }= = =2m2x xmR21dm R21dJ J) ((16.184) Fig.16.22 x h R z y O x (dm) dx 330 2h02m2z ymh31dx xhmdm x J J = = = =} }) ((16.185) Ox este ax de simetrie iar centrul masei elementare are coordonatele0 z y = = . n consecin toate momentele centrifugale sunt nule. Matricea de inerie va fi: 3 mh 0 00 3 mh 00 0 2 mR222///= J (16.186) Mutndsistemuldereferinncentruldemasalcorpului,ladistana2 h/ ,se obin urmtoarele momente de inerie: 2x 1 xmR21J J = = (16.187) 2221 z 1 ymh1212hm mh31J J = |.|

\| = = (16.188) Matricea de inerie are n acest sistem componena: 12 mh 0 00 12 mh 00 0 2 mRJ222///*= (16.189) Axele acestui sistem sunt direcii principale de inerie. c) Conul circular drept (fig.16.23) Volumul conului este dat de relaia: h R31V2t = (16.190) VolumulelementardVesteasimilatunuimic cilindrudenlimedx,acrui razrestedat de relaia: xhRr = (16.191) Masa elementar va fi determinat de expresia: dx xhm 3dx rh Rm 3dx rh Rm 3dV dm232222V= = = = tt (16.192) Acestei mase elementare i corespunde un moment de inerie elementar de forma: dx xhmR23dm r21dJ4522x = = (16.193) Rezult momentul de inerie axial fa de axa Ox: } }= = = =2552 h0452x xmR1035hhmR23dx xhmR23dJ J (16.194) Fig.16.23 x h R z y O x (dm) dx r C 331 Centrulmaseielementarearecoordonatele0 z y = = astfelccelelaltemomente axiale se vor calcula cu relaia: 253h043m2z ymh535hhm 3dx xhm 3dm x J J = = = = =} }) ((16.195) Din acelai motiv, toate momentele centrifugale sunt nule. Matricea de inerie fa de sistemul de referin considerat va avea componena: 5 mh 3 0 00 5 mh 3 00 0 10 mR 3222///= J (16.196) Pentru sistemul de referin 1 1 1z y Cx , paralel cu sistemul dat, se cunoate distana 4 h 3 xC z y/ = = =o o , astfel c: 2221 z 1 y x 1 xmh8034h 3m mh53J J J J = |.|

\| = = = (16.197) Momentele centrifugale sunt nule. Rezult matricea de inerie: 80 mh 3 0 00 80 mh 3 00 0 10 mR 3222///=*J (16.198) Axele acestui sistem sunt direcii principale de inerie. d) Sfera Coordonatelecartezienealemaseielemen-taredm(fig.16.24)potfiexprimatenfunciede coordonatele sferice u, , rprin relaiile: ===u u sinsin coscos cosr zr yr x(16.199) Volumul elementar al acesteia este: dr d r d r dV = u cos (16.200) Cunoscnd c volumul total al sferei (fig.16.25) se calculeaz cu relaia: 32022R02VR34d d dr r dV V t u t tt= = =} } } }// ) (cos(16.201) rezult densitatea volumic: 3VR 4m 3Vmt = = (16.202) Fig.16.24 Fig.16.25 r dr y x z O (dm) R y x z O 332 Pentru masa elementar se obine relaia: u t d d dr rR 4m 3dV dm22Vcos = = (16.203) Momentul de inerie polar se calculeaz n modul urmtor: 2532022R043V43m2OmR532 25RR 4m 3d d dr rR 4m 3d d dr rR 4m 3dm r J= = == = =} } }}}} }ttu tu tt tt//) ( ) (coscos(16.204) Plecnddelarelaiadelegturntremomenteledeineriealecorpurilor tridimensionale, respectiv: ) (z y x OJ J J21J + + = (16.205) se deduc momentele axiale, egale ntre ele din motive de simetrie: 2O z y xmR52J32J J J = = = = (16.206) Momentelecentrifugalefadeaxeledesimetriesuntnule,astfelc matricea de inerie va avea forma: 1 0 00 1 00 0 1mR522= J(16.207) Axele sistemului Oxyz sunt direcii principale de inerie. Pentrufigurilegeometriceprovenitedinsfer, momenteledeineriesecalculeaznmodasemntor, modificnd volumul V i limitele integralelor. La semisfera din fig.16.26 volumul este: 3R32V t = (16.208) Masa elementar va avea n acest caz forma: u td d dr rR 2m 3dm22cos = (16.209) Momentul de inerie polar se va calcula n modul urmtor: 2522020R042V42m2OmR532 15RR 2m 3d d dr rR 2m 3d d dr rR 2m 3dm r J= = == = =} } }}}} }ttu tu tt t /) ( ) (coscos(16.210) Momentul axial fa de Oz se calculeaz distinct plecnd de la relaia: }+ =) () (m2 2zdm y x J (16.211) Utiliznd relaiile (16.199) se obine n continuare: Fig.16.26 R y x z O C 333 25320203R0432 2 2 2V2 2 23zmR522325RR 2m 3d d dr rR 2m 3d d dr r r rR 2m 3J= = == + =} } }}}}ttu tu u u tt t /) (coscos ) sin cos cos cos ((16.212) Pe baza relaiei (16.205) se poate deduce: 2z O y xmR52J J 221J J = = = ) ( (16.213) Momentul de inerie centrifugal xyJse calculeaz n modul urmtor: 0 0325RR 2m 3d d dr rR 2m 3d d dr r r rR 2m 3dm xy J5320203R0432V3mxy= = == = =} } }}}} }tu u u tu u u tt tcos sin coscos ) sin cos ( ) cos cos (/) ( ) ((16.214) Deoarece Oz este ax de simetrie,0 J Jyz xz= = . Matricea de inerie pentru semisfer are aceeai form ca i cea pentru sfera complet, respectiv (16.207), diferena fcnd-o masa corpului. MutndsistemuldereferincuorigineadinOncentruldemasC,cu precizarea c8 R 3 zC y x/ = = =o o , modificrile care apar sunt: 222 2x x 1 y 1 xmR32083R83m mR52m J J J = |.|

\| = = = o (16.215) 22y x xy 1 y 1 xmR649R83m 0 m J J = |.|

\| = = o o (16.216) e) Elipsoidul (fig.16.27) Deducerearelaiilorspecificeunuielipsoidde masmisemiaxea,bicestenacestcaz laborioas.Ocalemaisimplestessededubleze relaiilesimilarestabilitencazulsferei,respectiv (16.201) (16.207). Se obin urmtoarele relaii: abc34V t = (16.217) ) (2 2 2Oc b a m51J + + = (16.218) ) ( ) ( ) (2 2z2 2y2 2xb a5mJ a c5mJ c b5mJ + = + = + = (16.219) 2 22 22 2b a 0 00 a c 00 0 c b5m+++= J(16.220) Fig.16.27 b y x z a O c 334 16.5.5 Metode speciale de calcul ncap.4.7dinparteaIStatica,afostexpusmetodaelementuluifinit pentrudeterminareapoziieicentruluidemasncazulcorpurilorlacare integraleledinrelaiiledecalculnuausoluiianalitice(integraleleeliptice). Metodaesteutilizabilipentrucorpuriledeformneregulat,respectivacele corpuri care nu pot fi descompuse n figuri geometrice simple. Procedeul de calcul prezentatncapitolulmenionatmaisuspoatefiextinsipentrucalculul momentelor de inerie mecanice. Se reamintete principiul metodei. Corpul se divizeaz nn segmente foarte mici-elementefinite,avndngeneralaceeaiform,iseconsidercafiind compusdinacesteelemente;momentuldeineriealcorpuluivafisuma momentelordeineriealeelementelorfinitefadereperulgeometricconsiderat. Cuctacesteelementevorfimaimici,numrullorvafimaimare,crescnd preciziadeterminrii.nacestecondiii,relaiapentrucalcululmomentuluide inerie polar, de exemplu, va lua urmtoarea form: On1 i2in1 i2in1 i2i Om2Oj m rnmr m m r J dm r J = = A = A = = }= = =) ((16.221) n care prin: ==n1 i2i Orn1j (16.222) s-a notat un moment de inerie unitar, corespunztor unei mase a corpului egal cu unitatea ( kg 1 m= ). n mod analog se poate proceda i pentru celelalte momente de inerieaxialeicentrifugale;seobservcacestemomentedeinerieunitare depindnumaidenumrulelementelorfiniteidepoziiaacestoransistemulde referin considerat. Momentele de inerie unitare se pot determina prin explorarea domeniului ocupat de corpul analizat, de regul utiliznd un program de calculator adecvat;prinnmulireaulterioarcumasamsedeterminvalorileefectiveale momentelor de inerie respective. Se exemplific n continuareacest procedeu decalcul,extinsipentrudeterminareadireciilor imomentelorprincipaledeinerie,pentrucazul uneiplciplanedeformneregulat(fig.16.28). Succesiunea operaiunilor este urmtoarea: seconsiderunsistemdereferinOxyn planulplciiisecalculeazcoordonatele C Cy x ,ale centrului de mas al acesteia; se calculeaz momentele de inerie xJ , yJi xyJdefinite de relaiile generale: } } }= = =) ( ) ( ) ( mxym2ym2xdm xy J dm x J dm y J (16.223) Fig.16.28 O C x y 335 secalculeazaceleaimomentefadeaxeleOx Cx1|| iOy Cy1|| folosind relaiile de variaie: 2C x 1 xmy J J =2C y 1 yx m J J =C C xy 1 y 1 xy x m J J = (16.224) secalculeaz 1 y 1 x C 3J J J J + = ;acestaesteunuldintremomenteleprinci-pale de inerie, directia 3Aeste perpendicular pe planul plcii n C; se consider o dreapt A trecnd prin C care face unghiul ocu 1Cx ; pentru valori ale unghiului on intervalul) , (t 0 , se calculeaz AJcu relaia: o o o o sin cos sin cos1 y 1 x21 y21 xJ 2 J J J + =A(16.225) provenit din particularizarea relaiei generale (16.36); se reine valoarea min A= J J1; este un alt moment de inerie principal; direcia 1Aface cu 1Cxunghiul 1opentru care s-a obinut minimul respectiv; se calculeaz) (2 2J J oA= , n care21 2/ t o o + = ; direcia 2Aface acest unghi cu axa 1Cx ; verificarea calculelor se poate face cu ajutorul relaiei matriceale (((

((((

(((

=(((

1 0 000J 0 00 J J0 J J1 0 000J 0 00 J 00 0 J2 12 1C1 y 1 y 1 x1 y 1 x 1 x2 21 1321o oo oo oo osin sincos cossin cossin cos(16.226) provenit din relaiile generale (16.67) i (16.69). Larealizareaunuiprogramdecalculator pe baza elementelor de mai sus, se consider c placaestereprezentatprintr-ofigurlascar peecranulmonitorului(inndseamaide rezoluia acestuia. Se fac urmtoareleprecizri:sistemuldereferinsealegesuprapus marginilorecranului;ngeneralsistemulde coordonate al ecranului are direciile indicate n fig.16.29; culoarea de fond a ecranului trebuie s fie diferitdeculorilecucaresereprezintfigura plan; figuraseexploreazntrenitelimitede ncadrare, comparnd culoarea pixelilor acesteia cu cea a fondului;attpoziiacentruluidemasctimomenteledeineriesecalculeaz considernd pixelii componeni ai figurii drept elemente finite identice, de arieA Ai masm A ; prin explorarea figurii se determin numrul total n de pixeli ai acesteia; i iy x ,sunt coordonatele curente ale unui pixel; coordonatele centrului de mas (n pixeli) se calculeaz n modul indicat n cap.4.7, utiliznd relaiile: Fig.16.29 x y 336 = == =n1 ii Cn1 ii Cyn1y xn1x (16.227) momentele de inerie unitare fa de marginile ecranului se calculeaz cu relaiile analoge expresiei (16.222): = = == = =n1 ii i xyn1 i2i yn1 i2i xy xn1j xn1j yn1j (16.228) dupdeterminareadireciilorprincipaledeinerieconformcelorartatemai nainte, se marchez pe figur poziia centrului de mas i se traseaz dreptele 1Ai 2A cuoculoaredistinct; seafieazvalorilemomentelordeinerieprincipale ) , , (3 2 1J J J obinute prin nmulirea momentelor unitare cu masa plcii. SeprezintncontinuareosecvenadeprogramTurbo-Pascalcareinclude att determinarea poziieicentrului de masct i amomentelor de inerieunitare principale. . . fond:=getbkcolor; n:=0; sx:=0; sy:=0; sxx:=0; syy:=0; sxy:=0; for y:=ymin to ymax do for x:=xmin to xmax do begin culoare:=getpixel(x,y); if culoare fond then begin n:=n+1; sx:=sx+x; sy:=sy+y; sxx:=sxx+x*x; syy:=syy+y*y; sxy:=sxy+x*y; end;{if} end;{for x} end;{for y} xc:=sx div n; yc:=sy div n; jx:=sxx div n-yc^2; jy:=syy div n-xc^2; jxy:=sxy div n-xc*yc; j3:=jx+jy; setcolor(red); circle (xc,yc,2); j1:=jx; alfa1:=0; ar1:=0; for alfa:=1 to 180 do begin ar:=pi*alfa/180; cs:=cos(ar); sn:=sin(ar); jd:=jx*cs^2+jy*sn^2-2*jxy*cs*sn; if j1> = = (18.85) Prin construcie axele de rotaie sunt concurente ntr-unpunctfixcarecoincidecucentrulde mas al discului, disc aflat n micare de rotaie proprie fa de axaOz. Singurafor exterioar este greutatea proprie a discului; este evident c 0 G MO= ) ( , astfel c: 0 M M Mz y x= = = (18.86) Ecuaiile generale (18.78) iau n acest caz forma: = += += +0 J J J0 J J J0 J J Jx x z 33 x z y3 z y x) () () (e e ee e ee e e(18.87) Din ultima ecuaie, innd cont c0 J3 = , rezult0z z= =e c i, n consecin: 0 zconst e e = = . (18.88) Sededucecdacseimpunedisculuioviteziniial 0e ,nabsenaoricrei rezistene, rotaia acestuia continu la infinit. Introducnd notaia: 03JJ Jp e= (18.89) celelalte dou ecuaii pot fi prelucrate n modul urmtor: 0 pp0 p0 p0 px2xx yy xx yy x= + == += = +e ee ee ee ee e (18.90) S-a obinut o ecuaie diferenial de ordinul II, omogen i cu coeficieni constani, care se integreaz n modul artat n cap.14.2; soluia acesteia este de forma: Fig.18.12 O z u 363 pt C pt C2 1 xsin cos + = e (18.91) ncare 1C i 2C suntconstantedeintegraredependentedecondiiileiniiale. Pentru yesoluia se obine din prima ecuaie: pt C pt C pt p C pt p Cp1p12 1 2 1 x ycos sin ) cos sin ( = + = = e e (18.92) Amndousoluiilereprezintnitevariaiiarmonicedepulsaiepalevitezelor unghiulare fa de axele Cx i Cy aflate n planul discului i mobile odat cu acesta. Proprietilegiroscopuluipotfipusenevidenstudiindnacestcontext variaiile unghiurilor lui Euler , u, . n fig.18.12 s-a reprezentat numai unghiul u fcut de axa de rotaie a giroscopului cu direcia fix 1Cz . Constantele de integrare 1Ci 2Cdin relaiile de mai sus se pun sub forma: 0 0 1 2 0 0 1 1C C u e u e cos sin sin sin = = (18.93) n care 1e ,0u ,0sunt nite constante a cror semnificaie va fi pus n eviden n continuare. Cu aceste nlocuiri relaiile (18.91) i (18.92) devin: ) sin( sin ) sin cos cos (sin sin pt pt pt0 0 1 0 0 0 1 x = + = u e u e e (18.94) ) cos( sin ) cos cos sin (sin sin pt pt pt0 0 1 0 0 0 1 y = = u e u e e (18.95) Sistemul de ecuaii (18.79) ia forma: = + = = +00 0 10 0 1ptpte u u e u u u e u u cos) cos( sin sin cos sin) sin( sin cos sin sin(18.96) Se constat cu uurin c acest sistem de ecuaii difereniale are soluiile: = === =+ =0p ptt1001 0ue u u e (18.97) Fcnd nlocuirile n primele dou ecuaii se obine cte o identitate. Constantele 0 ,0 ,0usunt valorile iniiale ale unghiurilor lui Euler. Din ultima ecuaie (18.96) se obine: 001 0 0 1ppuee e u ecoscos+= = (18.98) Seobservc 1e ipsuntpulsaiilemicriloroscilatoriialegiroscopului corespunztoareunghiurilordepoziieirespectiv.inndcontiderelaia (18.89), perioadele acestor oscilaii vor fi: 0 3J JJ 2p2Tet t) ( = = (18.99) 0 3011JJ 2 2Te u tet cos= = (18.100) Relaia. const0 = =u u punenevidenstabilitateaaxeiderotaiea giroscopului; aeznd axa de rotaie sub un unghi iniialfa de o direcie fix din spaiu, ea va rmne n aceast poziie oricare ar fi perturbaiile suportului exterior. 364 Deoarecevitezaunghiular 0e imomentuldeinerie 3J algiroscopuluisunt mari, timpul de revenire n poziia iniial (ilustrat prin valoarea mic a perioadelor T i 1T ) este foarte scurt, deplasarea axei de rotaie fiind anihilat aproape simultan cu micarea perturbatoare. Pe aceast proprietate deosebit de important se bazeaz construciaaparatelordecontrolireglarepoziionalprecumideorientare terestr utilizate n navigaie. b) Giroscopul necentrat (fig.18.13) AxaderotaieOzesteiaxdesimetrie, astfel c: 0 J J J Jyz xz 3 z= = = (18.101) Spredeosebiredegiroscopulcentrat,axeleOxi Oynusuntdireciiprincipaledeinerie;pentru momenteledeinerieaxialeicentrifugalefade acestea se pornete de la cele calculate n raport cu axele Cx i Cy aflate n planul discului i paralele cu Ox i Oy. Notndh OC =se utilizeaz relaiile de variaie ale momentelor fa de axe paralele: 2xy2y xmh J mh J J J = + = = (18.102) Momentul de inerie principal J este calculat, ca i lagiroscopulcentrat,fadeoaxoarecaredin planuldiscului;rmnevalabilobservaiac J J3 >> . ForelecareacioneazasupragiroscopuluisuntgreutateaproprieG i reaciuneaR dinarticulaiasferic.Aacums-aartatncap.18.3.1,reaciunea poateficalculatutilizndrelaiileprovenitedinaplicareateoremeiimpulsului, dup determinarea parametrilor pozitionali i cinematici, respectiv a unghiurilor lui Euler u , , iaderivateloracestoranraportcutimpul.Sereamintetec legturantreacetiparametriivitezaunghiulare agiroscopuluilanivelde proiecii este dat de relaiile: + = =+ = u e u u e u u e cossin cos sincos sin sinzyx(18.103) nceleceurmeaz,pentrusistematizareacalculelor,sevorutilizapect posibil formele matriceale ale relaiilor vectoriale; n acest context, sistemul de mai sus poate fi pus sub forma: ((((

((((

=((((

uu u ueee1 000zyxcossin sin sincos sin sin(18.104) Proieciile pe axe ale vitezei unghiulare au n acest studiu un rol intermediar. Fig.18.13 z u Cx y x N O y 365 Pentru stabilirea ecuaiilor difereniale ale micrii giroscopului necentrat se pornete de la relaia general a teoremei momentului cinetic, respectiv: OOMdtK d= (18.105) inndcontdevalorilemomentelordeinerie,momentulcineticse calculeaz n modul urmtor: ((((

((((

=((((

zyxzy yxxy xzyxJ 0 00 J J0 J JKKKeee(18.106) k J j J J i J J Kz z y y x yx y xy x x Oe e e e e + + + = ) ( ) ( (18.107) Pentru derivata absolut a momentului cinetic se utilizeaz relaia general: OO OKtKdtK d +cc= e (18.108) Proieciile pe axe ale derivatei localet KO c cse obin pe baza relaiei (18.106): ((((

((((

zyxzy yxxy xJ 0 00 J J0 J Jeee(18.109) Proieciile pe axe ale produsului vectorial: z y xz y x OK K Kk j iK e e e e = (18.110) se pot calcula introducnd forma matriceal asociat vitezei unghiulare: ((((

((((

zyxx yx zy zKKK000e ee ee e(18.111) Momentul greutiiGfa de punctul O este dat de produsul vectorial: G OC MO = (18.112) Seobservcvectorulacestuimomentesteperpendicularpeplanulformatde axele 1Oz iOz,avndnconsecindirecialinieinodurilorON(fig.18.13). Modulul acestui moment este: u u sin sin Gh OC G MO= = (18.113) Proieciile acestui moment pe axele sistemului Oxyz, dispuse matriceal, sunt: ((((

=((((

0GhGhMMMzyx u usin sincos sin(18.114) Se fac n continuare nlocuirile n relaia (18.105): 366 ((((

=((((

((((

+((((

((((

0MMKKK000J 0 00 J J0 J Jyxzyxx yx zy zzyxzy yxxy xe ee ee eeee (18.115) Din aceast ecuaie matriceal se poate explicita vectorul care conine derivatele n raportcutimpulaleproieciilorvitezeiunghiulare,prinnmulirealastngaa ntregii ecuaii cu inversa matricii de inerie. ||||.|

\|((((

((((

((((

((((

=((((

zyxx yx zy zyx1zy yxxy xzyxKKK0000MMJ 0 00 J J0 J Je ee ee eeee(18.116) Sistemuldeecuaiidiferenialeseobinederivndnraportcutimpul ecuaiile (18.103): = + = += + + +zyxe u u u e u u u u u u e u u u u u u sin coscos sin sin sin cos cos cos sinsin cos cos sin sin cos sin sin(18.117) Prin prelucrarea acestuia se pot explicita derivatele de ordinul II ale unghiurilor lui Euler: + = = + =u u e u e e u e e uu u e eu sin cos ) cos sin (sin sin cos) cos cos sin (sinz y xy xy x1(18.118) Integrareaacestuisistemdeecuaiidiferenialepentrudeterminarealegiide micare a giroscopului se poate face numai pe cale numeric. Relaiile de mai sus sunt necesare n algoritmul care conine funciile derivatelor. Problema18.2ncondiiileanalizei teoreticedemaisus,ssealctuiascunprogram MATLABpentrustudiulunuigiroscopnecentrat suspendat (fig.18.14). Date: m, R, h, 0 0 0 0 0 0 u u , , , , ,Cerute:) ( ), ( ), ( t t t u Rezolvare: Momentele de inerie sunt: 2 2y x xy2z222x y xmh OC m J J2mRJmh4mROC m J J J= + ==+ = + = =' '' (18.119) Fig.18.14 R C O x y z h (m) x y 367 nfig.18.15suntreprezentateunghiurile luiEulerntr-opoziieoarecare.Fade expunereaprecedentmodificareaapare la momentul greutii n raport cu O: ((((

=((((

0mghmghMMMzyx u usin sincos sin(18.120) Pentrualctuireaprogramuluise definete un vector coloan al necunoscu-telor: ] ; ; ; ; ; [ u u = z (18.121) cu valorile iniiale: ] ; ; ; ; ; [0 0 0 0 0 0 u u = z0 (18.122) Seformeazdeasemeneavectorul coloan al derivatelor: ] ; ; ; ; ; [ u u = dery (18.123) Programul MATLAB va avea urmtoarea configuraie: program.m % GIROSCOPUL NECENTRAT SUSPENDAT clear; close all; % DATE GENERALE global J JinvMgh m=0.6;R=0.15; h=0.5; g=9.81; Mgh=m*g*h; % MATRICEA DE INERTIE Jx=m*R^2/4+m*h^2; Jy=Jx; Jz=m*R^2/2; Jxy=m*h^2; Jyx=Jxy; Jxz=0; Jzx=0; Jyz=0; Jzy=0; J=[Jx -Jxy -Jxz; -Jyx Jy -Jyz; -Jzx -Jzy Jz]; Jinv=inv(J); tmin=0; tmax=2; interval=[tmin, tmax]; % POZITIA INITIALA psi0=0; teta0=pi/4; fi0=0; psip0=1.8; tetap0=0.3; fip0=15; z0=[psi0; teta0; fi0; psip0; tetap0; fip0]; % INTEGRAREA NUMERICA [t,z]=ode45('giroscop',interval,z0); psi=z(:,1); teta=z(:,2); fi=z(:,3); % EXTRAGEREA SI VIZUALIZAREA % REZULTATELOR psip=z(:,4); tetap=z(:,5); fip=z(:,6); r=h*sin(teta); polar(psi+pi/2,r); giroscop.m function dery=giroscop(t,z) global JJinvMgh psi=z(1);teta=z(2);fi=z(3); psip=z(4);tetap=z(5);fip=z(6); steta=sin(teta); cteta=cos(teta); sfi=sin(fi); cfi=cos(fi); rot=[steta*sfi, cfi, 0; steta*cfi, -sfi, 0; cfi, 0, 1]; eulerp=[psip; tetap; fip]; om=rot*eulerp; KO=J*om; omx=om(1); omy=om(2); omz=om(3); omas=[0 -omz omy; omz 0 -omx; -omy omx 0]; MO=[-Mgh*steta*cfi; Mgh*steta*sfi; 0]; omp=Jinv*(MO-omas*KO); omxp=omp(1); omyp=omp(2); omzp=omp(3); if steta