Bazele electrotehnicii Lectii de curs · alternativ şi Teoria cuadripolului. Prezentările sunt...

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

1

PREFAŢĂ

Prezenta lucrare se adresează studenţilor de la Universitatea „Ion Slavici” din Timişoara,

Facultatea de Calculatoare şi îşi propune iniţierea în domeniul electricităţii.

Progresele societăţii moderne unt legate fără îndoială de performanţele tehnologiilor

informatice, de creşterea randamentelor tuturor activităţilor ce concură la asigurarea vieţii pe

Pământ. În acest sens, trebuie remarcat că suportul informaţiei este energia şi în mod deosebit,

energia electrică. Electricitatea stă la baza tuturor aplicaţiilor din viaţa de fiecare zi. Chiar dacă

forma primară de manifestare a energiei se va schimba pe viitor, chiar dacă vor apare surse şi

purtători noi de energie, forma finală, aceea de utilizare va rămâne încă multă vreme energia

electrică. Pe de altă parte, sistemul electroenergetic este cea mai complexă aplicaţie a tehnicilor

informatice după domeniul militar.

În acest sens am considerat că orice inginer, chiar şi specializat în domeniul calculatoarelor

trebuie să cunoască anumite elemente de bază care privesc legile şi aplicaţiile mai importante ce

marchează desfăşurarea fenomenelor electrice şi în mod deosebit cele electromagnetice. Tehnica de

calcul poate perturba calitatea energiei electrice, dar, pe de altă parte, poate fi şi un element

perturbator al energiei electrice. Cunoaşterea acestor aspecte este legată intrinsec de fenomenele

electrice.

Lucrarea cuprinde cinci capitole: Electrostatica, Electrocinetica, Electromagnetism, Curent

alternativ şi Teoria cuadripolului. Prezentările sunt simple, plecând de la experimente fundamentale

şi se completează cu formule matematice care asigură suportul ştiinţific al raţionamentelor.

În încheierea fiecărui capitol sunt formulate un set de întrebări şi se rezolvă câteva aplicaţii

semnificative pentru cele prezentate în cadrul capitolului.

Autorii îşi cer scuze cititorilor pentru unele omisiuni sau prezentări simplificate ale unor

probleme mult mai complexe. Acestea s-au efectuat cu scopul de a asigura fluenţa necesară tratării,

iar pe de altă parte, un nivel mediu al lucrării.

De asemenea autorii mulţumesc cititorilor şi pentru observaţiile şi sugestiile pe care le vor

aduce materialului de faţă în scopul creşterii procesului de pregătire al studenţilor.

Autorii

CUPRINS

CAP 1. ELECTROSTATICA .................................................................................................. 3

1.1. Sarcina electrică .................................................................................................................... 3

1.2. Legea lui Coulomb ................................................................................................................ 3

1.3. Câmpul electrostatic. ............................................................................................................. 4

1.4. Inducţie şi flux electric .......................................................................................................... 6

1.5. Potenţialul electric ................................................................................................................ 7

1.6. Capacitatea electrică ............................................................................................................. 9

1.7. Legarea (conectarea) condensatoarelor ............................................................................... 10

1.8. Polarizarea dielectricilor ..................................................................................................... 11

1.9. Energia câmpului electric dintre armăturile unui condensator ........................................... 12

1.10. Aplicaţii ............................................................................................................................. 13

CAP 2. ELECTROCINETICĂ. CURENTUL CONTINUU. ........................................ 16

2.1. Curentul continuu ................................................................................................................ 16

2.2 Efectele curentului electric................................................................................................... 17

2.3. Legea lui Ohm. Rezistenţa electrică. .................................................................................. 17

2.4. Energia şi puterea electrică. Legea lui Joule-Lenz ............................................................. 18

2.5. Teorema transferului maxim de energie. ............................................................................ 19

2.6. Teoremele lui Kirchhoff ..................................................................................................... 19

2.7. Gruparea rezistoarelor. ........................................................................................................ 21

2.8. Legarea surselor. ................................................................................................................. 22

2.9. Teorema suprapunerii efectelor (superpoziţiei) .................................................................. 23

2.10. Teorema generatorului echivalent de tensiune (Thévenin) ............................................... 24

2.11. Teorema generatorului echivalent de curent (Norton) ...................................................... 25

2.12. Circuite neliniare de curent continuu. ............................................................................... 25

2.13. Aplicaţii ............................................................................................................................. 28

CAP 3. ELECTROMAGNETISM ....................................................................................... 31

3.1. Fenomene magnetice........................................................................................................... 31

3.2. Câmpul magnetic. Forţe în câmpul magnetic. .................................................................... 31

3.2.1. Forţa Lorenz. .................................................................................................................... 32

3.2.2. Forţa Laplace. .................................................................................................................. 32

3.2.3. Forţa Ampère. .................................................................................................................. 33

3.3. Inducţia magnetică, intensitatea câmpului magnetic, flux magnetic. ................................. 34

3.4. Circuite magnetice. ............................................................................................................. 35

3.4.1. Materiale magnetice. ........................................................................................................ 35

3.4.2. Magnetizarea materialelor feromagnetice. ....................................................................... 35

3.4.3. Legea circuitului magnetic. .............................................................................................. 36

3.5. Inducţia electromagnetică. .................................................................................................. 37

3.5.1. Fenomene de inducţie electromagnetică. ......................................................................... 37

3.5.2. Legea inducţiei electromagnetice..................................................................................... 38

3.5. Inductanţa proprie şi inductanţa mutuală. ........................................................................... 39

3.5.4. Tensiune electromotoare de autoinducţie. ....................................................................... 41

3.5.5. Energia câmpului magnetic. ............................................................................................. 41

3.6. Aplicaţii ............................................................................................................................... 42

CAP 4. CURENTUL ALTERNATIV ................................................................................. 44

4.1. Curentul alternativ monofazat. Producerea curentului (tensiunii) alternativ ...................... 44

4.2. Mărimi caracteristice ale curentului (tensiune) alternativ................................................... 45

4.3. Operaţii cu mărimi sinusoidale ........................................................................................... 47

4.4. Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale .............................................................. 48

4.4.1. Reprezentarea geometrică (prin fazori)............................................................................ 48

4.4.2. Reprezentarea analitică (în complex) ............................................................................... 50

4.5 Circuite de curent alternativ în regim permanent................................................................. 51

4.5.1 Circuitul serie R, L ............................................................................................................ 51

4.5.2 Circuitul serie R, C ........................................................................................................... 52

4.5.3. Circuitul serie R, L, C ...................................................................................................... 53

4.6. Puteri în regim sinusoidal ................................................................................................... 54

4.6.1. Puterea instantanee ........................................................................................................... 54

4.6.2. Puterea activă ................................................................................................................... 55

4.6.3. Puterea reactivă ................................................................................................................ 55

4.6.4. Puterea aparentă ............................................................................................................... 55

4.6.5. Puterea complexă ............................................................................................................. 55

4.7. Rezonanţa în circuite de curent alternativ ........................................................................... 56

4.7.1. Rezonanţa serie (rezonanţa de tensiune) .......................................................................... 56

4.7.2. Rezonanţa paralel (rezonanţa de curent) .......................................................................... 57

4.8 Aplicaţii: .............................................................................................................................. 59

CAP 5. CUADRIPOLI ELECTRICI ................................................................................... 61

5.1. Ecuaţiile cuadripolului ........................................................................................................ 61

5.2. Scheme echivalente ............................................................................................................. 61

5.3. Determinarea constantelor cuadripolului din încercări particulare: mers în gol şi

scurtcircuit .................................................................................................................................. 62

5.4. Impedanţa caracteristică şi constanta de propagare a cuadripolului ................................... 62

5.5. Aplicaţii ............................................................................................................................... 63


3

Introducere. Obiectul cursului.

Dezvoltarea societăţii contemporane nu poate fi concepută fără energie în general şi energie

electrică în particular.

Dacă Egiptul antic a fost un dar al Nilului, fără îndoială că societatea modernă este un dar al

electricităţii, cel puţin sub două din aspectele ei esenţiale: energie şi informaţie. Trebuie remarcat şi

cu această ocazie că suportul informaţiei este energia.

Lucrarea de faţă îşi propune să treacă în revistă principalele aspecte pe care le cuprinde

electricitatea, evidenţiind legile principale şi felul în care acestea sunt aplicate în studiul concret al

câmpului electromagnetic şi al circuitelor electrice.

CAP 1. ELECTROSTATICA

1.1. Sarcina electrică

Electrostatica este acea parte din Electrotehnică, care studiază fenomenele produse de sarcinile

electrice aflate în repaus. Aceste sarcini electrice pot fi puse în evidenţă prin electrizarea corpurilor,

stare ce poate fi produsă pe unele corpuri prin frecare, contact sau prin inducţie.

Prin aceste procedee se constată că, corpurile sunt aduse într-o stare astfel încât între ele se

manifestă acţiuni, forţe de respingere sau de atracţie. De aici şi concluzia că există două feluri de

sarcină electrică: negativă şi pozitivă. Corpurile cu sarcină electrică de acelaşi semn se resping iar

cele cu sarcini electrice de semne contrare se atrag.

Prin urmare se poate afirma că sarcina electrică este o mărime scalară ce caracterizează starea

de electrizare a unui corp. Ea poate fi notată cu Q şi calculată cu relaţia Q = I · t, unde I este

curentul printr-un conductor, iar t este timpul în care acest curent parcurge conductorul. Unitatea de

măsură a sarcinii electrice în sistemul internaţional (SI) este coulombul; se notează cu C şi se

defineşte cu relaţia:

sAtIQC1 SISISI

Coulombul – reprezintă sarcina electrică transportată prin secţiunea transversală a unui

conductor, de un curent staţionar cu intensitatea de un amper în timp de o secundă.

Prin numeroase experienţe s-a constatat că cea mai mică sarcină elementară este sarcina

electronului e, iar o sarcină Q a unui corp poate fi exprimată ca multiplu al sarcinii elementare,

adică:

Q = n · e, unde n Є Z

Dacă se consideră un sistem izolat din punct de vedere electric, adică un sistem care nu

schimbă sarcină electrică cu exteriorul, se constată că în cursul interacţiunilor care decurg în sistem

între corpurile ce-l alcătuiesc, sarcina electrică nu-şi schimbă valoarea, adică se conservă, fapt ce

exprimă legea conservării sarcinii electrice.

1.2. Legea lui Coulomb

Interacţiunea dintre corpurile încărcate cu sarcini electrice este guvernată de legea lui Coulomb.

Acesta a stabilit că forţa F de interacţiune dintre două corpuri punctiforme încărcate cu sarcinile q1

şi q2 aflate la distanţa r unul de celălalt este:

- proporţională cu produsul sarcinilor, adică q1 · q2;

- invers proporţională cu pătratul distanţei dintre sarcini, r2;

Se exprimă sub forma:

2

21

r4

qqF

[N] sau

3

21

r4

rqqF

[N] (1.1)


4

Enunţ: Două corpuri punctiforme încărcate cu sarcinile electrice q1 şi q2 se resping sau se

atrag cu o forţă F a cărei mărime este proporţională cu sarcinile q1 şi q2 şi invers proporţională cu

pătratul distanţei r dintre cele două corpuri.

Constanta ε este o mărime caracteristică mediului în care decurge interacţiunea şi se numeşte

constantă dielectrică a mediului.

În SI permitivitatea vidului este practic egală cu aceea a aerului şi are valoarea:

m

F

1094

190

În relaţia ce exprimă pe F , mărimea r este vectorul de poziţie al sarcinii q2 în raport cu q1 (fig.1.1)

Fig. 1.1. Orientarea forţelor

electrostatice.

Cu ajutorul relaţiei (1.1) se poate defini unitatea de măsură a sarcinii electrice. Astfel:

2

9m1

1094

14

C1C1N1

sau

29 1

11

109

1

m

CCN

adică coulombul este sarcina care stabilită pe două corpuri punctiforme situate în vid la o distanţă

de 1m între ele, determină apariţia unei forţe de N9109

1

.

Dacă mediul în care se manifestă forţele de interacţiune între sarcinile electrice nu este vidul,

ci un mediu oarecare (mică, petrol, parafină), lege lui Coulomb rămâne valabilă cu observaţia că

r0 , unde ε0 este permitivitatea dielectrică a mediului respectiv. De regulă εr ≥ 1.

1.3. Câmpul electrostatic.

Un câmp electric produs de un corp cu sarcină electrică aflată în repaus, este constant în timp

şi se numeşte câmp electrostatic.

Dacă se are în vedere legea lui Coulomb, într-un punct la distanţa r de corp, forţa electrostatică

va depinde atât de sarcina generatoare de câmp Q, cât şi de sarcina corpului de probă q, adică:

2r4

qQF

, iar raportul

2r4

Q

q

F

; (1.2)

nu depinde de sarcina corpului de probă, ci numai de sarcina Q şi de poziţia punctului în câmpul

generat de ea.

Prin urmare într-un punct oarecare, câmpul electric poate fi caracterizat printr-o mărime

vectorială E numită intensitatea câmpului electric în punctul respectiv, egală cu raportul dintre forţa


5

F cu care acţionează câmpul asupra unui corp de probă aflat în acel punct şi sarcina electrică q a

corpului de probă, adică:

q

FE (1.3)

Conform acestei relaţii, sensul vectorului E coincide cu sensul forţei cu care câmpul electric

acţionează asupra unui corp de probă cu sarcină pozitivă.

Deci, intensitatea câmpului electric generat de un corp punctiform, cu sarcina Q, la distanţa r

are expresia:

rr4

QE

3

[V/m] , iar mărimea

2r4

QE

(1.4)

scade invers proporţional cu pătratul distanţei r.

Sensul vectorului E depinde de semnul sarcinii Q, de la corp spre exterior, pentru sarcina

pozitivă şi invers, de la exterior spre corp pentru sarcina negativă. Deci, se poate afirma că, câmpul

electric al unei sarcini punctiforme are o simetrie sferică.

Dacă există mai multe corpuri punctiforme încărcate, acestea generează un câmp electric a

cărui intensitate E într-un punct este suma vectorială a intensităţilor 21 E ,E produse separat de

fiecare corp. Această situaţie a fost confirmată experimental şi ea corespunde legii suprapunerii

efectelor sau principiului suprapunerii efectelor.

Fig. 1.2. Orientarea vectorilor

intensitate a câmpului electric generat

de un corp punctiform ce prezintă

sarcini: a) pozitive, b) negative

a) b)

În fig. 1.3 se prezintă aplicarea acestui principiu pentru trei sarcini electrice. Intensitatea

câmpului rezultant este:

321 EEEE

Fig. 1.3. Intensitatea câmpului electric

produs în punctul P de trei corpuri

punctiforme încărcate cu sarcini

electrice.

Linia tangentă la vectorul intensitate a câmpului electric se numeşte linie de câmp electric. În

fig. 1.4. sunt prezentate liniile de câmp electric formate la două corpuri punctiforme încărcate cu

sarcini de acelaşi semn, respectiv de semne contrare.


6

Fig. 1.4. Liniile de câmp electric determinate de două corpuri punctiforme încărcate cu

sarcini: a) de acelaşi semn; b) de semne contrare

Dacă liniile de câmp sunt paralele, atunci câmpul este uniform (fig. 1.5.)

Fig. 1.5. Liniile de câmp electric ale unui

câmp electric uniform

1.4. Inducţie şi flux electric

De multe ori în studiul câmpului electric este mai util a se utiliza nu intensitatea câmpului

electric, ci o altă mărime numită inducţie electrică şi notată cu D, mărime care are expresia

ED . Considerând un corp încărcat cu sarcina Q, inducţia electrică la distanţa r va fi:

2r4

qD

[C/m

2] (1.5)

Prin urmare în cazul unor dielectrici omogeni (dielectrici ce prezintă câmpuri electrice

uniforme), valoarea inducţiei electrice nu depinde de permitivitatea dielectrică a mediului.

O noţiune des întâlnită în electrotehnică este aceea de flux.

De obicei fluxul unui câmp de vectori poate fi definit ca fiind totalitatea liniilor de forţă

(câmp) cuprinse într-un contur închis sau care străbat suprafaţa mărginită de acest contur.

Spre exemplu, într-o conductă de fluid, de secţiune S, fiecare particulă are o viteză v paralelă

cu axa conductei, deci vectorul viteză formează în acest caz un câmp de viteze. Fluxul vectorului v

care străbate secţiunea S este:

S S

SvdSv)Sdv(

Acest produs nu reprezintă altceva decât debitul de fluid Q (fluxul), adică:

smmSs

mvQ 32

În mod analog, dacă se consideră un câmp electric omogen de inducţie D şi o suprafaţă plană

S oarecare, perpendiculară pe liniile de forţă (fig. 1.6.a) fluxul electric Ψ este definit de relaţia:

SD , iar dacă liniile de câmp fac cu normala N la suprafaţa S un unghi α (fig. 1.6.b), atunci

cosSD


7

Fig. 1.6. Fluxul electric prin

suprafeţe plane: a)

rectangular, b) oblic.

Legat de fluxul electric, se poate menţiona legea fluxului electric.

Printr-o suprafaţă închisă S (de exemplu una sferică) numărul liniilor de forţă care intră este egal

cu numărul celor care ies, adică Ψi = Ψe, prin urmare fluxul de intrare este egal cu fluxul de ieşire.

Legea se poate scrie şi sub altă formă evidenţiind fluxul total, astfel: Ψt = Ψi – Ψe = 0.

Enunţ: Dacă în interiorul unei suprafeţe S situate într-un câmp electric se găsesc sarcini

electrice, atunci fluxul este egal tocmai cu sarcina conţinută în interiorul suprafeţei,

adică: S

q)SdD( .

Pentru validare, se consideră o sarcină punctiformă q în interiorul suprafeţei sferice S, de rază r

(fig. 1.7).

Evident că în orice punct al suprafeţei, inducţia electrică D are expresia: 2r4

qD

şi ea

este constantă iar vectorul inducţie electrică este perpendiculară pe suprafaţa sferei.

Fig. 1.7. Sarcină punctiformă în interiorul

suprafeţei sferice S de rază r.

Deci se poate scrie că:

S

2

2

S

qr4r4

qdSD)SdD( (1.6)

Dacă în interiorul suprafeţei S există mai multe sarcini se poate afirma că Ψ = Σ q.

1.5. Potenţialul electric

Câmpul electric poate fi descris şi cu ajutorul unor mărimi scalare, una dintre acestea fiind

potenţialul electric.

Pentru definirea lui trebuie introdusă noţiunea de lucru mecanic efectuat pentru deplasarea

unui corp de probă încărcat între două puncte ale câmpului electric.

Pentru simplificare vom considera o sarcină punctiformă q prezentă în câmpul electric produs

de o sarcină punctiformă Q.


8

Fig. 1.8. Definirea lucrului mecanic în câmp

electrostatic

Lucrul mecanic efectuat de forţa electrostatică ce acţionează asupra corpului punctiform de

sarcină q (fig. 1.8) este:

N

M

MNmmedieMN )rr(F)OMON(F)rdF(L (1.7)

Întrebarea se pune este cum calculăm, fireşte forţa medie ? Se ştie că:

2

M

Mr4

qQF

iar

2

N

Nr4

qQF

Este firesc ca forţa medie să fie media geometrică a celor două forţe, adică:

NM

NMmedrr4

qQFFF

(1.8)

Ca urmare expresia lucrului mecanic devine:

NM

MN

NM

MNmedr

1

r

1

4

qQrr

rr4

qQrrFL (1.9)

Aceeaşi relaţie (1.9) se poate obţine şi considerând forţa ca o funcţie de distanţa x, adică:

2x4

qQF

iar elementul de linie dr = dx

NM

2 x

1

x

1

4

qQx

xx4

qQx

xdx

x4

qQL

N

M

N

M

sau revenind la relaţia cu r, relaţia (1.9).

Din expresia lucrului mecanic se constată că mărimea acestuia depinde de mărimea sarcinii

care produce câmpul electric Q, de sarcina câmpului de probă q şi de poziţiile finală rN, respectiv

iniţială rM. Tot din expresia lucrului mecanic se constată că mărimea lucrului mecanic nu depinde

de drumul pe care-l parcurge sarcina q între punctele M şi N.

Raportul L/q este o mărime caracteristică pentru fiecare pereche de puncte M, N şi se numeşte

diferenţă de potenţial dintre punctele M, N adică VM - VN sau tensiunea U. Deci, tensiunea electrică

dintre punctele M şi N este egală cu câtul dintre lucrul mecanic efectuat de câmp la deplasarea unui

corp încărcat între cele două puncte şi sarcina electrică a corpului, adică:

q

LVVU NM (1.10)

Dacă se consideră punctul N, ca referinţă, de exemplu un punct foarte îndepărtat de sarcina Q,

unde potenţialul este zero, raportul L/q = VM, va avea pentru punctul M o valoare unică, adică va fi

o mărime caracteristică numită potenţial electric VM.

Prin urmare, potenţialul electric într-un punct este o mărime fizică egală cu raportul dintre

lucrul mecanic efectuat de câmp la deplasarea unui corp punctiform încărcat cu sarcină electrică din

acel punct la infinit şi sarcina electrică, adică:

MMM r4QVsauq/LV (1.11)

În cazul unui câmp electric uniform, deoarece E este constant, şi forţa electrică ce acţionează

asupra corpului de sarcină q pe o distanţă d (de exemplu distanţa dintre armăturile unui

condensator) este constantă: F = q · E. Tensiunea electrică, adică diferenţa de potenţial dintre

armăturile unui condensator are expresia: U = F · d / q = E · d. (1.12)

Unitatea de măsură în SI pentru diferenţa de potenţial se numeşte volt:


9

V1C1

J1

Q

LV

Prin urmare, un volt este diferenţa de potenţial dintre două puncte ale unui câmp electric,

între care se efectuează un lucru mecanic de 1J pentru a deplasa o sarcină electrică de 1C.

Cu ajutorul relaţiei (1.11) se poate defini şi unitatea de măsură pentru intensitatea câmpului

electric, astfel:

d

UE

Observaţie: Intensitatea câmpului electric, reprezintă de fapt derivata (cu semn schimbat) a

potenţialului în punctul considerat.

Un conductor electrizat a cărui sarcină electrică liberă este în repaus se află în echilibru

electrostatic. Acest echilibru este posibil numai dacă sarcina electrică nu se deplasează în interiorul

conductorului. Dacă sarcina nu se deplasează în interiorul conductorului , rezultă că în interiorul

conductorului intensitatea câmpului electrostatic este nulă.

Ce se întâmplă dacă conductorul se electrizează ? Unde se va repartiza sarcina electrică ?

Desigur nu în interiorul conductorului, ci pe suprafaţa acestuia. Această situaţie permite în practică

realizarea unor ecrane electrostatice.

Acestea sunt corpuri metalice goale în interior şi legate la pământ.

1.6. Capacitatea electrică

Capacitatea electrică C a unui conductor izolat şi depărtat de alte corpuri este o mărime fizică

egală cu raportul dintre sarcina Q a conductorului şi potenţialul său V, adică:

C = Q / V [C] = 1 F

şi reprezintă capacitatea unui conductor izolat, care fiind încărcat cu sarcina electrică de 1C are

potenţialul 1V, adică:

F1V1

C1

V

QC

Potenţialul unui conductor încărcat se modifică, dacă în apropierea conductorului se aduc alte

corpuri conductoare, chiar dacă acestea nu au fost încărcate cu sarcini electrice în prealabil.

Un astfel de sistem se numeşte condensator electric şi el este format dintr-un ansamblu de

două conductoare, numite armături şi separate între ele printr-un mediu dielectric.

Sarcinile cu care se încarcă armăturile condensatorului sunt egale şi de semne contrare.

Capacitatea unui condensator se defineşte ca fiind raportul dintre sarcina Q de pe armături şi

diferenţa de potenţial dintre cele două armături, V1 – V2, adică:

C = Q / (V1 – V2) (1.13)

În schemele electrice condensatorul se reprezintă ┤├ sau dacă capacitatea sa este variabilă

prin ┤├ .

În cazul particular al unui condensator plan (fig. 1.9), capacitatea acestuia se calculează cu

relaţia C = ε · S / d.

Des întâlnite în practică sunt şi condensatoarele cilindrice, care principial sunt realizate din

două armături metalice de formă cilindrică coaxiale, având un dielectric între ele.

Capacitatea unui astfel de condensator este dată de relaţia (fig. 1.10)

2

1

r

rln

2C

(1.14)


10

Fig. 1.9. Condensator plan Fig. 1.10. Condensator cilindric

1.7. Legarea (conectarea) condensatoarelor

Pentru obţinerea unor capacităţi diferite de cele ale condensatoarelor disponibile, în practică se

foloseşte de multe ori gruparea condensatoarelor în baterii prin legarea lor în serie, paralel sau mixt.

Legarea în serie se realizează atunci când o anumită armătură a primului condensator este

legată de armătura celui care urmează ş.a.m.d. (fig. 1.11)

Fig. 1.11 Legarea în serie a condensatoarelor

De menţionat că sarcina electrică de pe fiecare armătură a condensatoarelor legate în serie

este aceeaşi, alternând ca valoare pozitivă şi negativă. Diferenţa de potenţial dintre armăturile

fiecărui condensator este dată de relaţiile:

1

BAC

QVV

2

CBC

QVV

3

DCC

QVV

321

DCCBBADAC

Q

C

Q

C

QVVVVVVVV sau

321S C

Q

C

Q

C

Q

C

Q deci

321S C

1

C

1

C

1

C

1 ,

sau generalizat

n

1i iS C

1

C

1 (1.15)

Prin urmare inversa capacităţii mai multor baterii de condensatoare legate în serie este egal

cu suma inverselor capacităţilor componente.

Legarea în paralel a condensatoarelor se efectuează unind într-un punct câte o armătură a

fiecărui condensator şi într-un alt punct celelalte armături (fig. 1.12).

Fig. 1.12. Legarea în paralel a

condensatoarelor

Prin această grupare fiecăruia dintre condensatoare se va aplica aceeaşi tensiune, adică:

1

1BA

C

QVV ,

3

2BA

C

QVV ,

3

3BA

C

QVV sau

BA11 VVCQ ; BA22 VVCQ ; BA33 VVCQ

Sarcina totală este:

Q = Q1 + Q2 + Q3 = C1 · (VA – VB) + C2 · (VA – VB) + C3 · (VA – VB) =


11

= (C1 + C2 + C3) · (VA – VB)

Dar Q = (VA - VB) · Cp. Rezultă Cp = C1 + C2 + C3 sau Cp = Σ Ci (1.16)

Deci, capacitatea unei baterii de condensatoare grupate în paralel este egală cu suma

capacităţilor condensatoarelor componente.

1.8. Polarizarea dielectricilor

Mediile în care nu apare curent electric în prezenţa unui câmp electric extern, dar care se

modifică sub acţiunea câmpurilor electrice se numesc medii dielectrice sau dielectrici. Prezenţa

unui dielectric între armăturile unui condensator face ca intensitatea câmpului electric să scadă. De

exemplu pentru un condensator plan de capacitate C0, având sarcinile Q pe armături, diferenţa de

potenţial U0, suprafaţa comună a armăturilor S, distanţa dintre armături d, iar între armături vid, se

poate scrie relaţia:

dE

Q

U

Q

d

SC

00

00

(1.17)

unde E0 este intensitatea câmpului electric dintre armături, în vid, adică:

SQE 00

Prin introducerea între armături a unui dielectric de grosime d şi permitivitate ε, sarcina Q

rămâne neschimbată, se modifică diferenţa de potenţial U, deci şi capacitatea C. Se poate scrie deci

relaţia:

dE

Q

U

Q

d

SC

(1.18)

de unde fireşte rezultă intensitatea câmpului în dielectric:

S

QE

(1.19)

Avându-se în vedere relaţiile de mai sus, rezultă S

QEE00

Slăbirea câmpului electric de către un dielectric, poate fi explicată prin structura dielectricilor.

Unii dielectrici au molecule nesimetrice din punct de vedere electric, fiecare astfel de moleculă

putând fi considerată ca un dipol. Dipolul este un sistem de două sarcini egale şi de semne contrare.

Axa dipolului este dreapta ce uneşte centrele celor două sarcini. În lipsa unui câmp electric extern,

axele dipolilor sunt orientate dezordonat, în toate direcţiile datorită agitaţiei termice.

Fig. 1.13. Dipol electric

a) b)

Fig. 1.14. Schema polarizării unui dielectric: a) în absenţa

câmpului; b) în prezenţa câmpului.

Dacă dielectricul este introdus într-un câmp electric, axele dipolilor se orientează în lungul

liniilor de câmp (fig. 1.14). Sarcina pozitivă a dipolului este deplasată în sensul câmpului aplicat iar

cea negativă invers. Alinierea axelor nu va fi perfectă, datorită agitaţiei termice, ea poate însă creşte

prin scăderea temperaturii. Datorită alinierii dipolilor în câmp, la cele două capete ale dielectricului

rămân sarcini electrice necompensate, astfel încât un capăt al dielectricului se electrizează pozitiv

iar celălalt negativ. Fenomenul de separaţie al sarcinilor la capetelor dielectricului, atunci când

acesta este introdus într-un câmp electric se numeşte polarizarea dielectricului. Prin polarizare ia


12

naştere un câmp interior propriu dielectricului numit Ep, de polarizaţie, care se opune câmpului

extern, adică EEEE p0 .

Dacă polarizarea dielectricilor devine prea mare, materialele devin conductoare iar în

dielectric apare o deplasare de electroni, adică un curent electric, care încălzeşte (poate arde)

dielectricul. Se face afirmaţia că dielectricul a străpuns. Odată străpuns, dielectricul nu-şi poate

recăpăta proprietăţile izolante.

Fig. 1.15. Situaţia câmpului electric într-un

dielectric situat între armăturile unui

condensator

1.9. Energia câmpului electric dintre armăturile unui condensator

Pentru a încărca un condensator este necesar ca pe armăturile lui să fie aduse sarcini electrice.

Cu această ocazie se efectuează un lucru mecanic de către o sursă de energie exterioară, deoarece

sarcinile electrice existente pe fiecare armătură exercită forţe de respingere asupra sarcinilor de

acelaşi semn care sunt aduse în continuare pe fiecare armătură.

Prin urmare se poate afirma că, condensatorul reprezintă un sistem electric, caracterizat printr-o

energie W, egală cu lucrul mecanic L necesar a fi efectuat pentru încărcarea lui, adică W=L. Pentru

a stabili expresia acestui lucru mecanic este necesar a evalua lucrul mecanic necesar pentru

deplasarea sarcinii electrice Q de pe o armătură pe alta, astfel încât diferenţa de potenţial să crească

de la O la U. Dar, deoarece în cursul încărcării condensatorului tensiunea electrică dintre armături

nu este constantă ci creşte de la O la U, în expresia lucrului mecanic se introduce media aritmetică a

tensiunii dintre armături, adică:

UQ2

1

2

UOQL

, dar Q = C · U de unde 2UC

2

1L , deci 2UC

2

1W .

Dacă armăturile condensatorului se unesc cu un fir conductor, condensatorul se descarcă,

producând o scânteie electrică. Pe durata descărcării energia primită la încărcarea condensatorului

se transformă în alte forme de energie, termică sau a undelor sonore.

În cazul unui condensator plan, tensiunea dintre armături poate fi exprimată în funcţie de

intensitatea E a câmpului uniform, adică U = E · d, iar capacitatea prin formula C = ε · S / d.

Înlocuind U şi C în relaţia de mai sus se obţine energia câmpului electric între armăturile

condensatorului plan, adică:

2222 Ev2

EdS2

1dE

d

S

2

1W

(1.20)

Relaţia 2Ev2

W

deşi demonstrată în cazul condensatorului plan, rămâne valabilă pentru

orice câmp electrostatic.


13

1.10. Aplicaţii

1. Ce este sarcina electrică ?

2. Care este unitatea de măsură a sarcinii electrice în Sistemul Internaţional ?

3. Enunţaţi legea lui Coulomb.

4. Cum definiţi potenţialul electric, într-un punct, dar tensiunea dintre două puncte?

5. Ce este un ecran electrostatic şi la ce deserveşte el?

6. De cine depinde capacitatea unui condensator plan?

7. Prin introducerea unui material dielectric în spaţiul dintre armăturile unui condensator plan

încărcat iniţial, capacitatea creşte sau scade, dar sarcinile de pe armăturile lui?

8. Prin introducerea unui material dielectric în spaţiul dintre armăturile unui condensator plan

conectat la o sursă, capacitatea condensatorului creşte sau scade, dar sarcinile de pe

armăturile condensatorului?

9. Cum se calculează capacitatea echivalentă a mai multor condensatoare grupate în paralel,

dar în serie?

10. Ce înţelegeţi prin polarizarea unui dielectric?

11. Se consideră două corpuri punctiforme de sarcină Q1 >0, respectiv Q2 >0 situate în vid la

distanţele r1 şi r2 de un punct de referinţă. Se cere să se stabilească punctul în care

intensitatea câmpului rezultant este nulă, respectiv potenţialul câmpului electric în acel

punct. Sarcinile sunt de acelaşi semn.

Rezolvare

21 EEE pentru punctul M (fig. 1.16), unde 2

0

11

x4

QE

iar

2

0

22

xd4

QE

,

deci 2

2

2

1

xd

Q

x

Q

sau xQxdQ 21 de unde d

QQ

Qx

21

1

Fig. 1.16. Sistem electrostatic format din

două sarcini electrice.

Expresia potenţialului în acest punct este:

d4

QQ

dQQ

Qd4

Q

dQQ

Q4

QUUU

0

2

21

21

1

0

2

21

1

0

121

12. Două corpuri punctiforme cu sarcinile Q1 şi Q2 pozitive se găsesc în aer la distanţa d unul

de altul. La ce distanţă de primul corp, pe linia ce uneşte cele două corpuri trebuie să se

afle un al treilea corp cu sarcina q negativă pentru a se afla în echilibru ?


14

Rezolvare

Fig. 1.17. Sistem de trei sarcini

punctiforme

F1 = F2, 2

11

x4

qQF

;

2

22

xd4

qQF

sau

2

2

2

1

xd4

qQ

x4

qQ

va rezulta: 2

2

2

1

xd

Q

x

Q

sau xQxdQ 21 deci d

QQ

Qx

21

1

sau

12 QQ1

dx

13. Un condensator plan conţine între armături două materiale dielectrice (fig. 1.18) cu

permitivităţile dielectrice relative εr1 şi εr2. În ce caz capacitatea condensatorului este mai

mare, în cazul a) sau b) ?

Rezolvare

Fig. 1.18. Dispunerea plăcilor

dielectrice între armăturile

unui condensator plan: a)

transversal; b) longitudinal.

a) b)

În cazul a) avem două conductoare legate în paralel, deci:

2121

21pad2

S

d

2S

d

2SCCCC

În cazul b) avem două condensatoare legate în serie, deci se poate scrie:

d

S2

S

2d

2d

S

2d

S

2d

S

2d

S

2d

S

CC

CCCC

21

21

21

2

2

21

21

21

21

21Sb

1

4

d

S2d2

S

C

C

21

2

21

21

21

21

b

a

evident 21

2

21 4 sau 02

21

Deci Ca > Cb.

14. Între armăturile unui condensator plan este dispusă o foiţă de aluminiu de grosime

neglijabilă (fig. 1.19) . Ce efect are foiţa asupra capacităţii condensatorului, dacă: a) este

izolată electric; b) este legată de placa superioară.


15

Fig. 1.19. Dispunerea unei foiţe metalice între armăturile

unui condensator plan

Rezolvare

a) Nici un efect

b) Micşorând distanţa dintre armături la d/2 se măreşte de 2 ori capacitatea condensatorului

obţinut?


16

CAP 2. ELECTROCINETICĂ. CURENTUL CONTINUU.

2.1. Curentul continuu

Aşa cum s-a prezentat în capitolul precedent „un material dielectric” (izolant) supus unui

câmp electric staţionar (continuu) nu este străbătut de curent electric, datorită faptului că nu dispune

de o deplasare ordonată de electroni liberi. Curentul electric poate circula în mod normal numai prin

conductoare datorită existenţei de electroni liberi în structura acestor materiale. De menţionat că

între armăturile unui condensator există o ordonare a sarcinilor dipolare pe durata încărcării

acestuia, dar acest lucru nu constituie un curent de conducţie, ci unul de deplasare. Ca urmare în

curent continuu condensatorul este un întrerupător.

Dacă se consideră o porţiune de conductor A-B (fig.2.1) între capetele căruia se aplică o

tensiune U=VA-VB, se constată că electronii se vor deplasa de la punctul B cu potenţial scăzut, spre

punctul A cu potenţial mai ridicat sub forma unui curent de electroni I. Acest curent circulă prin

sursă, de la borna + (cu sarcini pozitive) spre borna – (cu sarcini negative).

Această deplasare de sarcini electrice prin conductoare formează curentul electric sau mai

precis curentul electric de conducţie.

Fig. 2.1. Curentul electric printr-un

conductor

Curentul electric este caracterizat prin intensitatea sa I, care reprezintă de fapt raportul dintre

cantitatea de electricitate Q şi timpul t în care aceasta trece prin conductorul considerat, adică:

t

QI , respectiv unitatea de măsură

tQ

I , sau 1A = 1C / 1s (2.1)

De fapt se poate afirma că intensitatea curentului electric este numeric egală cu cantitatea de

electricitate exprimată în coulombi, care trece prin conductor într-o secundă.

Dacă ne referim la o cantitate de electricitate infinit mică dQ, ce străbate conductorul într-un

interval de timp dt, relaţia de mai sus devine:

I = dQ / dt (2.2)

Deoarece numărul de electroni (corespunzător sarcinii Q), care trece prin conductor este

acelaşi în orice secţiune a conductorului, rezultă că, intensitatea curentului electric este aceeaşi în

toate punctele conductorului.

Raportul j dintre intensitatea curentului I (A) şi secţiunea conductorului S (m2) se numeşte

densitate de curent, adică:

2mAS

Ij

De regulă, în practică se foloseşte un submultiplu al acestuia, A/mm2.

Relaţiile dintre cele două unităţi de măsură este:

2

6

232 m

A10

m10

A1

mm

A1

De menţionat că viteza de deplasare a electronilor nu corespunde cu viteza de deplasare a

curentului electric. Dacă prima este de ordinul a 10-5

m/s, viteza curentului corespunde cu viteza

undei electromagnetice, adică 3·108 m/s.

Curentul electric staţionar corespunde deplasării electronilor în metale cu o viteză constantă

independentă de timp.


17

Conductoarele de legătură dintre sursă şi consumatori ghidează câmpul electric şi ele

alcătuiesc împreună cu acestea din urmă aşa numitul circuit electric.

Pentru producerea câmpului electric avem nevoie de surse numite, generatoare de curent continuu.

Acestea pot fi:

- elemente galvanice şi acumulatoare, care transformă energia chimică în energie electrică;

- dinamuri şi alternatoare, care transformă energia mecanică în energie electrică,

- fotoelemente, care transformă energia luminoasă în energie electrică.

2.2 Efectele curentului electric.

Trecerea curentului electric printr-un conductor poate fi pusă în evidenţă prin următoarele efecte:

- efectul termic; conductoarele parcurse de curent electric se încălzesc degajând o anumită

cantitate de căldură în mediul exterior;

- efectul luminos; când densitatea de curent este foarte mare, încălzirea este atât de puternică

încât conductorul ajunge la incandescenţă;

- efectul chimic; dacă curentul electric traversează o soluţie de apă cu acid sulfuric, apa se

descompune în elementele sale componente şi anume: oxigen la borna minus şi hidrogen la

borna plus. De menţionat că în soluţiile chimice, curentul electric se datorează nu numai

deplasării electronilor, ca şi la metale ci şi datorită deplasării ionilor pozitivi. Datorită

acestei diferenţe, metalele se numesc conductoare de speţa întâi iar soluţiile chimice

conductoare de speţa a doua;

- efectul magnetic; dacă se apropie acul magnetic al unei busole de un conductor parcurs de

curentul electric, acesta nu mai arată nordul, ci se deplasează perpendicular pe direcţia

conductorului.

2.3. Legea lui Ohm. Rezistenţa electrică.

Experimental s-a constat că, curentul electric printr-un conductor este direct proporţional cu

tensiunea U aplicată, adică:

I = G · U (2.3)

unde G este un factor de proporţionalitate numit conductanţă electrică.

De regulă se foloseşte o mărime inversă conductanţei numită rezistenţă electrică R, adică:

R

1Gsau

G

1R (2.4)

Relaţia (2.3) se scrie sub forma: I = U / R şi este cunoscută sub denumirea de legea lui Ohm

pentru o porţiune de circuit. Ea poate fi extinsă şi pentru un circuit care conţine un generator de

tensiune electromotoare E, rezistenţă internă r; înseriat cu un receptor de rezistenţă R, adică:

I = E / (R + r) (2.5)

Ea se exprimă astfel: intensitatea curentului electric printr-un circuit este direct

proporţională cu tensiunea electromotoare din circuit şi invers proporţională cu rezistenţa

totală a circuitului.

Legea lui Ohm are şi o formă diferenţială, care poate fi obţinută apelând la cele

prezentate în fig. 2.1. Astfel:

S

lRiar

l

U

d

UE;Sj)dSj(I

S

Înlocuind aceste expresii în relaţia I = U / R se obţine:

jEadică,E

jsauSl

lE

Sl

lESj

(2.6)

În relaţia (2.6) E este intensitatea câmpului electric, dar acest câmp este unul imprimat de

sursa electrică.


18

Revenind la rezistenţa electrică, trebuie menţionat faptul că expresia ei este:

S

lR

unde:

ρ – este rezistivitatea materialului conductor, se măsoară în Ω mm2/m şi se modifică cu

temperatura conform relaţiei:

]1[2

000 , α şi β fiind constante sau coeficienţi de variaţie a

rezistivităţii cu temperatura: α [1/0C]; β [1/

0C

2]

Rezistivităţile unor materiale cunoscute au valorile:

ρAg = 0,0164 Ωmm2/m; ρCu = 0,0176 Ωmm

2/m; ρCr = 1,2 Ωmm

2/m; ρCn = 0,5 Ωmm

2/m

Materialele cu rezistivitate mare: constantan, manganină şi crom sunt folosite pentru

realizarea rezistoarelor şi ele pot fi fixe sau reglabile, ultimele fiind numite obişnuit reostate.

Pot fi realizate în două variante şi anume: cu ploturi sau cu cursor. Reostatele cu ploturi

permit variaţia discontinuă în trepte a rezistenţei, pe când cele cu cursor asigură variaţia continuă a

rezistenţei.

a) b)

Fig.2.2. Rezistoare reglabile (variabile): a) cu ploturi, b) cu cursor.

În categoria rezistoarelor reglabile se încadrează şi potenţiometrele folosite în circuitele

electronice. În ceea ce priveşte simbolurile folosite pentru rezistoare acestea sunt prezentate în

fig.2.3.

Fig. 2.3. Simbolizarea rezistoarelor

2.4. Energia şi puterea electrică. Legea lui Joule-Lenz

În activitatea de toate zilele venim în contact cu efectele curentului electric prin aplicaţiile

multiple ale acestuia. Efectele curentului electric (termic, electrochimic şi magnetic) au la origine

aceeaşi cauză şi anume câmpul electric, care prin intermediul unor ghidaje, ghiduri de câmp,

transmit energia surselor spre consumatori. Ajunsă aici, această energie se transformă în lucru

mecanic (energia mecanică), energie termică sau energie chimică.

Să considerăm conductorul din fig. 2.1. Lucrul mecanic efectuat pentru a deplasa purtătorii de

sarcină între punctele (secţiunile) A şi B este:

L = q · UAB = q · (VA – VB)

iar energia necesară pentru efectuarea lucrului mecanic este preluată de câmpul electric.

Corespunzător acestui lucru mecanic se dezvoltă o energie cinetică de forma:


19

W = U · I · t (2.7)

Energia potenţială a purtătorilor de sarcină se transformă în energie cinetică de vibraţie a

reţelei cristaline a metalului. Aceasta conduce la creşterea energiei interne a reţelei şi deci la

creşterea temperaturii acestuia.

Acest efect termodinamic, ireversibil se numeşte efect Joule sau Joule-Lenz. El se poate

exprima şi sub forma:

tRItR

UW 2

2

. Dar tPdt)t(PW

T

0

unde P = I2 · R este

puterea dezvoltată în circuit. Pentru un circuit întreg P = E · I = I2 · (R + r) (2.8)

Enunţ: energia dezvoltată de un circuit parcurs de curentul I pe durata t este proporţională cu

pătratul intensităţii curentului I2 cu durata t şi rezistenţa circuitului R.

2.5. Teorema transferului maxim de energie.

Pentru circuitul din fig. 2.1, curentul are expresia:

I = E · (R + r).

Puterea transmisă rezistorului R este:

2

2

2

2 ErR

RIRP

Puterea maximă se obţine din condiţia ca: 0R

P2

, care conduce la relaţia R = r,

adică sursa transmite puterea maximă când rezistenţa de sarcină este egală cu rezistenţa interioară a

sursei. În acest caz puterea transmisă are valoarea:

r

EIEP

4

2

1

iar randamentul transferului de putere este:

%502

1

P

P

1

2 .

2.6. Teoremele lui Kirchhoff

Necesitatea realizării unor circuite electrice mai complicate, cu mai multe ramificaţii impune

realizarea unor reţele electrice mai complexe ce prezintă noduri, laturi şi bucle (ochiuri) (fig. 2.4)

Fig. 2.4. Reţea electrică buclată.

Nodul este orice punct al reţelei în care se întâlnesc cel puţin trei ramuri.

Latura – porţiunea cuprinsă între două noduri.


20

Ochiul (bucla) – conturul poligonal închis, alcătuit din succesiunea mai multor laturi, surse sau

consumatori)

Kirchhoff a demonstrat în 1847 două teoreme pentru reţelele (circuitele) electrice şi anume:

Teorema 1

Suma algebrică a intensităţilor curenţilor electrici care se întâlnesc (converg) într-un nod

este egală cu zero.

Pentru a demonstra această afirmaţie se consideră conturul închis din fig. 2.5. Legea

conservării sarcinii ne permite să scriem că:

Q1 = Q2 + Q3 + Q4 şi raportând-o la intervalul t rezultă:

t

Q

t

Q

t

Q

t

Q 4321 sau I1 = I2 + I3 + I4

Fig. 2.5. Nod de reţea electrică. Aplicarea

primei teoreme a lui Kirchhoff.

Adoptând convenţia că, curentul I este pozitiv (adică I > 0) dacă intră în nod şi negativ

(adică I < 0), dacă iasă din nod, se poate scrie.

n

1i

i 0I

De fapt această teoremă nu este altceva decât o altă formă a legii conservării sarcinii

electrice. La aplicarea acestei legi pentru cele n noduri de reţea se obţin n ecuaţii dintre care numai

n-1 sunt independente.

Teorema 2

Pentru o reţea, se alege pentru fiecare ramură câte un sens al curentului electric. Pentru

fiecare buclă (ochi), se adoptă un sens arbitrar de parcurs. Dacă sensul coincide cu sensul

curentului, atunci produsul I·R se ia cu semnul pozitiv, dacă nu se ia cu semnul negativ.

Tensiunea electromotoare este pozitivă, dacă sensul de parcurs pentru ochi (buclă) intră

borna negativă (-) şi iasă din borna pozitivă (+).

Enunţ: De-a lungul unui contur de reţea (ochi), suma algebrică a tensiunilor electromotoare

este egală cu suma algebrică a produselor dintre intensitatea curenţilor şi rezistenţele laturilor,

adică:

m

1j

jj

n

1i

i RIE

Cu ajutorul acestei teoreme se pot obţine ecuaţii numai pentru ochiurile (buclele)

independente. Numărul de bucle independente este dat de relaţia:

b = l – n + 1,

unde:

b este numărul buclelor independente,

n – numărul de noduri,

l – numărul de laturi.

De exemplu, aplicând teoremele lui Kirchhoff se pot rezolva anumite circuite electrice

foarte comod (fig. 2.6).


21

Fig. 2.6. Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff.

b = 3 –2 + 1 = 2, deci avem două bucle independente

I1 + I2 = I3 prin aplicarea primei teoreme

E1 = I1 · R1 + I3 · R3 = I1 · R1 + (I1 + I2) · R3

E2 = I2 · R2 + I3 · R3 = I2 · R2 + (I3 + I2) · R3

sau E1 = I1 · (R1 + R3) + I2 · R3, E2 = I1 · R3 + (R2 + R3) · I2

Rezultă:

1

1I şi

2

2I unde:

323

331

23

131

2

322

31

1RRR

RRR;

ER

ERR;

RRE

RE

Teoremele lui Kirchhoff permit soluţionarea a două probleme importante în circuitele

electrice şi anume: gruparea rezistoarelor şi gruparea surselor.

2.7. Gruparea rezistoarelor.

Se poate efectua în serie sau în paralel.

Problema care se pune este aceea de a găsi un rezistor echivalent din punct de vedere al

rezistenţei electrice cu rezistenţa grupării date.

Acest rezistor montat între aceleaşi două puncte ca şi gruparea înlocuită va determina aceeaşi

cădere de tensiune U.

a) Conexiunea serie a rezistoarelor (fig. 2.7)

Fig. 2.7. Conexiunea serie a rezistoarelor

Conform legii lui Ohm, pentru fiecare rezistor se poate scrie:

U1 = I · R1; U2 = I · R2; U3 = I · R3 şi respectiv U = I·RS sau.

Generalizând această relaţie pentru n rezistoare se obţine relaţia următoare:

n

1i

iS RR

b) Conexiunea paralel (derivaţie) a rezistoarelor (fig. 2.8). Se efectuează conform celor

prezentate în fig. 2.8.

Fig. 2.8. Conexiunea paralel a

rezistoarelor.


22

p3

3

2

2

1

1R

UIiar

R

UI;

R

UI;

R

UI

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff se poate scrie că: I = I1 + I2 + I3 sau

321P R

U

R

U

R

U

R

U sau generalizând

n

1i iP R

1

R

1

Pe baza celor două tipuri de legări: serie, paralel se poate efectua şi legarea mixtă a

rezistoarelor.

Dacă se conectează în paralel rezistoarele R; 2R; 3R se obţine rezistenţa echivalentă Rech de

valoare:

R11

6Radică

R6

11

R6

236

R3

1

R2

1

R

1

R

1ech

ech

Deci, prin legarea în paralel a mai multor rezistoare rezistenţa echivalentă este mai mică decât

cea mai mică dintre rezistoarele care participă la grupare.

2.8. Legarea surselor.

În cazul când se doreşte realizarea unor surse de tensiuni sau puteri mai mari, acestea se leagă

în serie sau în paralel (fig. 2.9).

Fig. 2.9. Legarea surselor: a) în serie, b)

în paralel

a) b)

Corespunzător celor două montaje se pot scrie relaţiile:

Ee = E1 + E2 + ..... + En Ee = E

re = r + r +r + ...... + r re = r / n

rnR

EnI

n

rR

EI

De menţionat că dacă la legarea în serie se pot considera surse de tensiuni diferite, la legarea

în paralel ele trebuie să fie aceeaşi tensiune.

Desigur se poate considera şi un montaj mixt: serie – paralel în cazul general (fig. 2.10).

Astfel cum trebuie dispuse cele N surse identice, astfel încât puterea disipată pe o rezistenţă

exterioară R să fie maximă?

N = m x n


23

Fig. 2.10. Legarea mixtă a

surselor

Pentru curentul I se poate scrie relaţia:

n

rmR

EmI

iar max

2

222

n

rmR

REmRIP

Eliminându-l pe n = N / m şi apoi efectuând derivata lui P în raport cu m rezultă:

0rN

m2mr

N

mR2r

N

mRm2 2

22

2

2

rN

mR;0r

N

m2r

N

mR

2

2

2

2

2

2

de unde Nr

Rm .

Pe de altă parte, numărul de surse legate în serie m şi numărul de surse legate în paralel n, se

poate determina pe baza teoremei transferului maxim de energie:

Nr

Rm n,mN ,

n

rmR

2.9. Teorema suprapunerii efectelor (superpoziţiei)

Curentul electric dintr-o latură a unui circuit în care există mai multe surse, este egal cu suma

algebrică a curenţilor produşi în acea latură de fiecare sursă în parte, dacă ar acţiona singură în

circuit, restul surselor fiind pasivizate (adică înlocuite numai cu rezistenţa lor interioară).

Această teoremă este valabilă numai pentru circuitele liniare.

Fig. 2.11. Reţea electrică. Aplicarea teoremei superpoziţiei.


24

În fig. 2.11. se prezintă aplicarea teoremei suprapunerii efectelor pentru un circuit cu două

surse. Pentru curentul din latura 5, se poate scrie:

I5 =I’5 – I”5

2.10. Teorema generatorului echivalent de tensiune (Thévenin)

Curentul I debitat de o reţea activă şi liniară pe o rezistenţă R, legată la borna AB, este egal cu

tensiunea între punctele AB la mersul în gol (când ramura cu rezistenţa R este întreruptă) raportată

la suma dintre aceea rezistenţă şi rezistenţa interioară a reţelei pasivizate.

Deci dacă se consideră reţeaua din fig. 2.12, pentru calculul curentului ce străbate latura AB se

poate scrie relaţia:

ABo

ABoAB

RR

UI

Fig. 2.12. Determinarea curentului IAB folosind

teorema generatorului echivalent de tensiune

Pentru demonstraţie se consideră circuitul în care s-au introdus pe latura AB două surse

egale cu UABo şi de sensuri contrare, care de altfel, nu modifică funcţionarea circuitului. Circuitul

astfel obţinut poate fi descompus în alte două circuite în care acţionează doar câte o sursă (fig.

2.13). Pentru fiecare din acest circuit se poate aplica teorema a doua a lui Kirchhoff obţinându-se

relaţiile de mai jos.

Fig. 2.13. Aplicarea teoremei generatorului echivalent de tensiune la calculul curentului în

latura AB.

Se adoptă: E’ = E” = UABo

E’ = UAB – I’AB · R E” = -UAB + I”AB · R

UAB = E’ + I’AB · R UAB = I’AB · R – E” sau UAB + E’ = R · I”AB

dar I’AB = 0 UAB = -I”AB · RABo

deci E’ – I”AB · RABo = R · I”AB sau ABo

ABoABAB

RR

UI"I

(2.7)


25

2.11. Teorema generatorului echivalent de curent (Norton)

Această teoremă este una duală celei lui Thévenin şi ea poate fi stabilită formal, dacă se ţine

seama de dualitatea:

IAB → UAB

UABo → IABsc

R → G

Relaţia (2.7) poate fi scrisă sub forma: ABo

ABscAB

GG

IU

şi ea reprezintă teorema lui

Norton care se enunţă astfel: tensiunea la bornele unei laturi AB, a unei reţele active, este gală cu

raportul dintre curentul de scurtcircuit al laturii AB şi suma dintre conductanţa laturii şi conductanţa

reţelei pasivizate, calculată la mersul în gol al reţelei faţă de punctele A şi B. (fig. 2.14)

Fig. 2.14. Aplicarea teoremei generatorului de curent la

calculul tensiunii la bornele laturii AB.

Pentru exemplificare se consideră circuitul din fig. 2.15 şi se cere să se determine curentul

IAB utilizând teorema lui Thévenin şi tensiunea UAB folosind teorema lui Norton.

Fig. 2.15. Circuit electric.

Astfel aplicând teorema lui Thévenin se obţine pentru curentul IAB expresia:

ABo

ABoAB

RR

UI

, unde 2

21

ABo RRR

EU

;

21

21ABo

RR

RRR

deci,

2121

2

21

21

212AB

RRRRRR

RE

RR

RRR

RRREI

Aplicând teorema lui Norton se obţine pentru tensiunea UAB expresia:

GG

IU

AB

ABscAB

, unde

1

ABscR

EI ;

R

1G;

RR

RRG

21

21AB

adică: 2121

2

21

21

1AB

RRRRRR

RRE

R

1

RR

RR

REU

Se constată că legea lui Ohm se verifică imediat UAB = R · IAB.

2.12. Circuite neliniare de curent continuu.

Circuitele neliniare conţin rezistenţele neliniare. Rezistoarele neliniare sunt elemente de circuit

care au rezistenţă electrică dependentă de curentul care trece prin ele sau de tensiunea aplicată la

bornele lor. Caracteristica curent – tensiune I = f (U) a rezistorului neliniar nu este o dreaptă ce

trece prin origine, deci ea este neliniară.


26

Rezistenţele neliniare se simbolizează prin simbolurile din fig. 2.16.

Fig. 2.16. Simbolizarea rezistenţelor neliniare.

Comportarea rezistorului neliniar este cunoscută dacă se cunoaşte caracteristica sa I = f (U)

fie grafic, fie analitic sau tabelar.

Rezistenţele neliniare se caracterizează prin rezistenţa statică RS şi prin rezistenţa dinamică

(sau diferenţială) Rd definite de relaţiile:

dI

dURşi

I

UR dS (2.8)

respectiv mărimile inverse, conductanţă statică GS şi respectiv conductanţă dinamică Gd.

Rezistenţa statică şi rezistenţa dinamică depind de punctul de funcţionare, adică de curentul

prin rezistor sau de tensiunea aplicată rezistorului. În circuitele liniare, rezistenţa statică se confundă

cu rezistenţa dinamică (RS = Rd = R) şi ea este o mărime constantă.

Dacă considerăm caracteristica rezistorului sub forma grafică (fig. 2.17) relaţiile de definiţie

ale celor două rezistenţe devin:

RS = k · tg α şi Rd = k · tg β (2.9)

Fig. 2.17. Definirea rezistenţei statice şi dinamice.

De menţionat că rezistenţa statică a rezistoarelor neliniare este o mărime pozitivă

(nenegativă) pe când rezistenţa dinamică poate fi uneori şi o mărime negativă. În circuitele electrice

care conţin rezistoare cu rezistenţă dinamică negativă se pot produce oscilaţii autoîntreţinute.

Dependent de forma caracteristicii curent – tensiune, rezistoarele neliniare se clasifică în: simetrice

şi nesimetrice. Cele simetrice au caracteristica I = f(U) simetrică faţă de origine, adică rezistenţa lor

depinde de curent în mod identic pentru ambele sensuri ale curentului prin rezistor. Aceste

rezistoare nu au bornele polarizate. Rezistoarele nesimetrice (diode semiconductoare, tuburi

electronice, etc.) au caracteristica I = f(U) nesimetrică, adică rezistenţa lor depinde atât de valoarea

curentului cât şi de sensul curentului prin rezistor; aceste rezistoare au bornele polarizate.

În încheierea acestui paragraf sunt prezentate caracteristicile unor rezistoare neliniare folosite

în tehnică (tabelul 2.1).

Tabel 2.1. Caracteristicile unor rezistoare neliniare

Nr. Crt. Rezistor

Caracteristici Forma caracteristicii

1 Lampă cu

incandescenţă

filament metalic

I = aU – bU3; b>0


27

2 Termistor semiconductor de tip oxid de

fier, nichel, mangan

3 Varistor amestec de cărbune, de siliciu şi

grafit I=aUn (n=3,5÷7)

4 Tub cu neon

tub stabilovolt; Ua – tensiunea de

aprindere; US – tensiunea

stabilizată

5 Arcul electric Caracteristică cu histerezis

6 Diodă

electronică

Caracteristică nesimetrică

I= kU3/2

7 Diodă

semiconductoare

Si, Ge, Se

I=k/2 ·(U+|U|)

8 Diodă Zener Stabilizează tensiunea


28

9 Diodă Tunel Porţiunea A-B; Rd <0

2.13. Aplicaţii

1. Enumeraţi efectele curentului electric.

2. Enumeraţi legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit şi scrieţi corespunzător relaţia

matematică specificând semnificaţia fizică a mărimilor care intervin.

3. Enunţaţi legea lui Ohm pentru un circuit întreg şi scrieţi corespunzător relaţia matematică

specificând semnificaţia fizică a mărimilor ce intervin.

4. De cine depinde rezistenţa electrică a unui conductor ?

5. Care este forma diferenţială a legii lui Ohm. ?

6. Enunţaţi legea lui Joule – Lenz scrieţi expresia ei matematică precizând semnificaţia fizică

a mărimilor care intervin.

7. Enunţaţi teoremele lui Kirchhoff pentru un circuit electric.

8. Prezentaţi legarea în serie şi paralele a rezistoarelor.

9. Cum trebuie legate 40 de acumulatoare de aceeaşi rezistenţă internă 0,5Ω ca să debiteze pe

o rezistenţă de sarcină de 0,05Ω un curent maxim.

Soluţie: Dacă se are în vedere expresia care ne dă numărul de elemente (surse) ce trebuie legate în

serie, se poate scrie:

24405,0

05,0 N

r

Rm , iar în paralele, numărul de ramuri va fi:

n = 40/2 = 20. 10. Pentru a mări domeniul de măsură al unui ampermetru se foloseşte şuntul ampermetric

(fig. 2.18). Să se stabilească expresia rezistenţei şuntului ampermetric RS ştiind că

ampermetru are rezistenţa RA, curentul maxim IA, iar curentul ce urmează să fie măsurat

este I:

Fig. 2.18. Şuntul ampermetric.

Aplicând teoremele lui Kirchhoff pentru nodul reţelei, respectiv pentru bucla formată, se

poate scrie:

I = IA + IS şi IA · RA = IS · RS

Fie n = I / IA rezultă n · IA = IA + IS sau S

AAAA

R

IRIIn

, de unde:

N = 1 + RA / RS sau RS · (n-1) = RA, de unde rezultă 1n

RR A

S

Dacă RA = 150Ω; IA = 10mA şi I = 1A se obţine: 15,151100

150

SR


29

11. Pentru a mări domeniul de măsură a unui voltmetru în serie cu acesta se dispune o

rezistenţă adiţională (fig. 2.19). Să se stabilească expresia rezistenţei adiţionale Ra ştiind că

voltmetrul are rezistenţa RV, tensiunea maximă UV, iar tensiunea ce urmează să fie

măsurată este U.

Fig. 2.19. Rezistenţa adiţională.

Soluţie:

Teorema a doua a lui Kirchhoff ne permite să scriem în buclă formată relaţiile:

U = UV + Ua sau IR · R = I · RV + I · Ra; U = n · UV deci n · UV = UV + Ua

UV · (n-1) = Ua sau I · RV · (n-1) = I · Ra, de unde rezultă: Ra = RV · (n-1)

(2.11)

Dacă RV = 1000Ω; UV = 1V iar U = 10V, se obţine Ra = 103 · (n-1) = 9000Ω.

Se consideră circuitul din fig. 2.20. Să se stabilească intensităţile curenţilor prin laturile circuitului

cunoscând: E1 = 40V; E2 = 20V; R1 = 2Ω; R2 = 2Ω; R3 = 1Ω; R4 = 8Ω; R5 = 4Ω;

R6 = 6Ω.

Soluţie:

În circuit avem: n = 4, l = 6, iar b = l – n + 1 = 6 – 4 + 1 = 3

Cele trei bucle independente (b1, b2, b3) s-au figurat pe figură, iar sensul de parcurs s-a adoptat

conform celor prezentate.

Aplicând teorema I a lui Kirchhoff pentru nodurile A, B, C, D se obţin relaţiile:

I3 = I1 + I2

I3 = I4 + I5 (2.12)

I4 = I1 + I6

I2 = I5 + I6

Cele patru relaţii (2.12) ne permit eliminarea a doi curenţi, de exemplu exprimarea lui I5 şi

I6 în funcţie de I1, I2, I3 şi I4.

Rezultă: I6 = I4 – I1 iar I5 = I2 – I6 = I1 + I2 – I4

A

B

C D

I1

R3 R2

E1 E2

R4 R5

R6

b1 b2

b4

I4 I5

I6

R1

I2

Fig. 220. Circuit electric complex.

I3


30

Pentru buclele b1, b2 şi b4 se aplică teorema II a lui Kirchhoff, astfel:

E1 = I1R1 + I4R4 + I3R3 E1 = I1R1 + I1R3 + I2R3 + I4R4

E2 = I2R2 + I5R5 + I3R3 sau E2 = I1R3 + I2R2 + I2R3 + I1R5 + I2R5 – I4R5 (2.13)

0 = I4R4 + I6R6 – I5R5 0 = I4R4 + I4R6 – I1R6 –I1R5 – I2R5 + I4R5

Ordonând ecuaţiile (2.13) după I1, I2, I4 se obţine sistemul:

0RRRIRIRRI

ERIRRRIRRI

ERIRIRRI

654452651

2545322531

14432311

de undeD

DI;

D

DI;

D

DI 4

42

21

1

680

18410

475

813

RRRRRR

RRRRRR

RRRR

D

654565

553253

4331

3400

1840

4720

8140

RRRR0

RRRRE

RRE

D

6545

55322

431

2

A5D

DI 1

1

680

18010

4205

8403

RRR0RR

RERR

RERR

D

65465

5253

4131

2

A1D

DI 2

1

I3 = I1 + I2 = 1 + 5 = 6 A

I4 + I5 = 6 A; I5 = 6 – I4; I5 + I6 = 1A; I6 = 1 – I5 =1 – 6 + I4 = I4 – 5

Înlocuim în ultima ecuaţie:

0 = I4 8 + (I4 – 5) 6 – (6 – I4) 4

0 = 8 I4 + 6 I4 – 30 – 24 + 4 I4 rezultă I4 = 3A

iar I5 = 3A; I6 = – 2A (sens invers celui adoptat).


31

CAP 3. ELECTROMAGNETISM

Electromagnetismul studiază câmpurile magnetice produse de curenţii electrici ce străbat

circuitele electrice.

3.1. Fenomene magnetice

Sunt cunoscute proprietăţile unor bucăţi de metal (numiţi magneţi permanenţi), realizaţi pe

cale naturală sau artificială, de a atrage obiecte de fier sau de a orienta în diverse moduri acul unei

busole. Se poate afirma că aceşti magneţi permanenţi dispun de un câmp magnetic, care acţionează

prin forţe de-a lungul unor linii de forţă (linii de câmp) de la un capăt al său (polul nord – N) şi se

închid la celălalt capăt al său (polul sud – S). Traseul acestor linii de forţă poate fi pus, de exemplu,

în evidenţă prin plimbarea unui ac magnetic – busolă, în jurul magnetului, acesta plasându-se

întotdeauna în lungul liniilor de câmp magnetic, polul nord al acului indicând sensul câmpului.

Fig. 3.1. Liniile de câmp magnetic la un magnet permanent.

Iniţial proprietatea magneţilor a fost pusă pe seama unor sarcini magnetice, făcându-se astfel o

analogie între cauza câmpului magnetic şi cel electric; ulterior însă s-a constatat că nu există aceste

sarcini magnetice. S-a constatat că mai multe conductoare parcurse de curenţi electrici se atrag sau

se resping, în funcţie de sensul curenţilor prin conductoare. Prin urmare câmpul magnetic exercită

forţe asupra circuitelor parcurse de curent. Aceste forţe în câmp magnetic se împart în forţe

electrodinamice (între curenţi), electromagnetice (între curenţi şi corpuri magnetizate),

magnetostatice (între magneţi permanenţi).

3.2. Câmpul magnetic. Forţe în câmpul magnetic.

Câmpul magnetic este aceea formă de existenţă a materiei, care se manifestă prin forţe sau

cupluri de forţe ce acţionează asupra corpurilor magnetizate sau asupra conductoarelor parcurse de

curenţi.

Exploatarea câmpului magnetic se realizează cu un corp de probă.

Cel mai potrivit corp de probă este o mică spiră, foarte subţire parcursă de curent numită buclă

de curent, reprezentată ca în fig. 3.2 a) şi practic ca în fig. 3.2. b).

a) b)

Fig. 3.2. Bucla de curent: a) reprezentare simbolică; b) realizare practică.


32

Dacă bucla de curent se aduce în spaţiul câmpului magnetic, asupra ei se exercită acţiuni

mecanice, concretizate printr-un cuplu de forţe, dat de relaţia: BmC b , , unde

mb – este momentul magnetic al spirei, nSImb ;

B – inductanţa magnetică în vid (sau 0B ); se măsoară în tesla (T); adică:

[B] = [C] / [I] · [S] = 1m · 1N / 1A · 1m2 = 1N / Am = 1T.

Forţele particulare ce acţionează în câmpul magnetic sunt: forţa Lorenz, Laplace, Ampère.

În continuare se vor considera fiecare din aceste forţe.

3.2.1. Forţa Lorenz.

Forţa care se exercită asupra unui corp încărcat cu sarcină electrică se numeşte forţă Lorenz.

Experienţa arată că asupra unui corp încărcat cu sarcina electrică q, care se deplasează cu viteza v

într-un câmp magnetic de inducţie B se exercită forţa B,vqFL . Această forţă este

perpendiculară pe planul determinat de vectorii v şi B (adică atât pe direcţia de deplasare, cât şi pe

direcţia liniilor de câmp). Referitor la relaţia de mai sus, se pot face următoarele observaţii:

- asupra sarcinii în repaus (v = 0) nu acţionează forţa;

- forţa este maximă dacă direcţia de deplasare este perpendiculară pe aceea a liniilor de

câmp magnetic;

- forţa este nulă dacă deplasarea sarcinii se face pe direcţia liniilor de câmp magnetic.

Dacă, alături de câmpul magnetic, în spaţiul considerat există şi câmp electric, asupra sarcinii

în mişcare mai acţionează şi o forţă electrică care are sensul lui E , adică al liniilor de câmp electric

EqFe . Ca urmare forţa rezultantă ce acţionează asupra unei sarcini în mişcare are expresia:

BvEqEqB,vqFFF eL

3.2.2. Forţa Laplace.

Se mai numeşte şi forţa electromagnetică. Forţa Laplace reprezintă forţa care se exercită

asupra unui conductor parcurs de curent electric situat într-un câmp magnetic. Măsurând forţa

elementară LaF ce se exercită asupra unui element de lungime l , parcurs de curentul i şi situat într-

un câmp magnetic de inducţie B , se constată experimental că există relaţia: B,liFLa . Sensul

forţei este dat de produsul vectorial Bxl .

Această forţă este maximă când conductorul este perpendicular pe liniile de câmp, adică l

perpendicular pe B şi este minimă când conductorul este orientat după direcţia liniilor de câmp,

adică l paralel cu B .

Expresia forţei Laplace se poate deduce din expresia forţei Lorenz, astfel:

B,liB,lt

qB,

t

lqB,vqFLa

Forţa Laplace se referă la conductoare filiforme parcurse de curentul i. În cazul

conductoarelor masive se introduce noţiunea de densitatea de volum a forţei, astfel:

lS

B,ljSlim

l

B,l

S

ilim

v

Flimf

0v0v0v

B,jf


33

3.2.3. Forţa Ampère.

Se mai numeşte şi forţa electrodinamică. Este forţa care se manifestă între două conductoare

parcurse de curenţi.

Astfel, dacă se consideră două conductoare paralele, infinit de lungi, filiforme şi parcurse de

curenţii I1 şi I2 se constată că asupra lor se exercită o forţă 12210

A12 uIId2

lFF

. Forţa este de

atracţie dacă curenţii au acelaşi sens şi de respingere, dacă au sensuri contrare (fig. 3.3).

a) b)

Fig. 3.3. Sensul forţei electrodinamice: a) de respingere; b) de atracţie.

Sensul forţelor electrodinamice poate fi explicat dacă se are în vedere forma câmpului

magnetic (fig. 3.4.) Astfel dacă sensul celor doi curenţi este contrar, între conductoare câmpul

magnetic se întăreşte iar în afara conductoarelor slăbeşte. Densitatea sporită a câmpului dintre

conductoare tinde să depărteze conductoarele.

Fig. 3.4. Explicarea sensului forţei Ampère

prin configuraţia câmpului magnetic.

Forţa electrodinamică ne permite definirea unităţii de măsură a curentului, adică amperul.

Astfel, dacă în relaţia:

210

A IId2

lμF

π , considerăm mH104μ 7

0 π , d = 1m, I1 = I2 = 1A, rezultă:

N71021A1A1m2

1m7104F

π

πA

Deci, amperul este curentul care stabilit în două conductoare paralele, infinit lungi, aşezate în

vid la distanţa de 1m determină atracţia sau respingerea lor cu o forţă de 2 · 10-7

N/m lungime.

Sintetizând cele prezentate în legătură cu forţele în câmp magnetic se poate prezenta fig. 3.5.

a) b) c)

Fig. 3.5. Forţe în câmpul magnetic: a) Lorenz; b) Laplace; c) Ampère.


34

3.3. Inducţia magnetică, intensitatea câmpului magnetic, flux magnetic.

Câmpul magnetic aşa cum am menţionat mai sus, se poate caracteriza în fiecare punct al său

printr-o mărime vectorială B numită inducţie magnetică. Această mărime depinde de valoarea

curentului care a produs câmpul magnetic şi de proprietăţile magnetice ale mediului. Pentru un

solenoid care se închide sub forma unui tor (fig. 3.6) şi care este parcurs de curentul I, valoarea

inducţiei magnetice B în interiorul bobinei inelare este:

]T[l

INB 0

(3.1)

unde:

N - este numărul de spire al solenoidului

L – lungimea medie a torului (l = 2πr, r fiind raza medie a torului),

0 – permeabilitatea magnetică a mediului vid, o mărime ce caracterizează comportarea

materialelor (corpurilor) în câmpul magnetic; are valoarea 0 = 4π · 10-7

H/m.

Dacă în interiorul torului se află un alt material, spre exemplu oţel (miez feromagnetic),

valoarea inducţiei se modifică deşi curentul I a rămas acelaşi, adică:

l

NIB

(3.2)

fapt ce dovedeşte că permeabilitatea magnetică este diferită, pentru diferite materiale.

Fig. 3.6. Tor din miez de fier.

Raportul dintre permeabilitatea magnetică a unui mediu material oarecare şi permeabilitatea

magnetică 0 a vidului se numeşte permeabilitate magnetică r, adică r = 0. (3.3)

Intensitatea câmpului magnetic într-un câmp magnetic stabilit într-un mediu omogen se obţine

raportând valoarea inducţiei magnetice la valoarea permeabilităţii magnetice, adică:

H = B / = N I / l[A/m] (3.4)

Trebuie menţionat că, spre deosebire de inducţia magnetică B, intensitatea câmpului

magnetic H nu depinde de natura mediului material ci numai de curentul care determină câmpul

magnetic.

Din relaţia (3.4) se deduce că pentru valorile lui B şi H se poate scrie relaţia:

B = · H (3.5)

Dar trebuie remarcat că numai pentru vid relaţia este valabilă şi vectorial, adică:

HB 0 (3.6)

Fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă S situată perpendicular pe direcţia liniilor de

câmp magnetic de inducţie B (fig. 3.7a) este totalitatea liniilor de câmp ce străbat această suprafaţă

şi se calculează cu relaţia:

= B · S

Dacă liniile câmpului magnetic fac un unghi cu normala N la planul conturului (fig. 3.7b),

valoarea fuxului magnetic este dată de relaţia:

= B · S · cos

În general însă = (B · S) sau SSdB ),( (3.7)


35

a) b)

Fig. 3.7. Fluxul magnetic prin suprafaţa S: a) perpendiculară pe liniile de câmp; b)

înclinată faţă de liniile de câmp.

Dacă în locul spirei se consideră mai multe spire, adică o bobină, fluxul ce străbate bobina va fi:

Ψ = N · = N · B · S (3.8)

unde N este numărul de spire al bobinei.

3.4. Circuite magnetice.

Vorbind de circuite magnetice ne referim la un ansamblu de medii, îndeosebi feromagnetice

care asigură închiderea unui flux magnetic util. Acest flux magnetic prin analogie cu curentul

electric este mărimea care interesează iar în locul materialelor conductoare aici vorbim de materiale

magnetice. Ca urmare în cele ce urmează se vor prezenta elemente legate de materialele magnetice,

magnetizarea materialelor feromagnetice şi legea circuitului magnetic.

3.4.1. Materiale magnetice.

Diferite materiale se comportă în mod diferit în câmpuri magnetice, în sensul că au

permeabilităţi magnetice diferite.

Dacă mediul este format din anumite materiale, de exemplu aer sau unele metale, inducţia

magnetică corespunzătoare vidului creşte cu o cantitate suplimentară B’ faţă de inducţia în vid, deşi

câmpul H a rămas neschimbat, adică:

B1 = B0 + B’ = 0 · H + B’ > B0

sau dacă considerăm:

B1 = 1 · H , 001

1

H

B

H

B (1 > 0 · r)

r se numeşte permeabilitatea magnetică relativă.

Materialele care prezintă permeabilitate magnetică relativă supraunitară se numesc

materiale paramagnetice. Există o altă categorie de materiale, la care inducţia magnetică scade cu o inducţie

suplimentară B” faţă de inducţia în vid, deşi câmpul magnetic H a rămas neschimbat,

B2 = B0 – B” = 0 · H – B” < B0 Permeabilitatea magnetică a acestor materiale se calculează cu relaţia:

002

2

H

B

H

B sau 2 = 0 · 2r şi 2r < 1.

Aceste materiale se numesc diamagnetice.

O categorie aparte o constituie materialele feromagnetice. La aceste materiale

permeabilitatea magnetică relativă nu numai că este supraunitară, dar are şi valori foarte mari, de

exemplu r = 500 ÷ 5000. Din această categorie de materiale fac parte în principal compuşii

fierului: fonta, oţelul şi nichelul, precum şi unele aliaje ale acestora.

3.4.2. Magnetizarea materialelor feromagnetice.

Permeabilitatea magnetică a materialelor feromagnetice nu este constantă ci variază în funcţie

de câmpul magnetic. Considerând torul din fig. 3.6. realizat din material feromagnetic, de exemplu


36

oţel având bobina alimentată cu un curent având succesiv valorile I1, I2, I3 .... (unde I1 < I2 < I3 < ...)

se obţine curba B = f (H) din fig. 3.8, curbă pe care pot fi delimitate trei zone şi anume:

0

Fig. 3.8. Caracteristicile B = (H) şi = f (H) Fig. 3.9. Ciclu de histerezis

- Zona 0 – X este o porţiune liniară cu panta relativ mare (panta curbei reprezintă tocmai

permeabilitatea magnetică ), zona în care inducţia B este proporţională cu câmpul H, deci

este constant şi relativ mare ; este zona în care se spune că miezul magnetic funcţionează

nesaturat;

- Zona X – Y este porţiunea în care fierul începe să se satureze, deci permeabilitatea

magnetică scade; zona se numeşte cotul curbei de magnetizare;

- Zona Y – Z este porţiunea liniară cu panta relativ mică, iar are o valoare aproximativ

constantă care tinde către 0 (r ≈ 1), aceasta este zona saturată a curbei de magnetizare.

Dacă magnetizarea miezului de oţel se face prin variaţia continuă a curentului I de la 0 → Imax

→ 0 → Imax → 0, câmpul magnetic H este în creştere sau în descreştere (fig. 3.9). S-a obţinut în

acest fel o curbă de magnetizare închisă numită ciclu de histerezis (histerezis vine din limba greacă

şi înseamnă rămânere în urmă).

Într-adevăr, din fig. 3.9 se observă de exemplu că în punctul 2 deşi curentul I (câmpul H) a

revenit la zero, totuşi inducţia mai are o valoare pozitivă, B = Br, numită inducţie remanentă, de

asemenea în punctul 5, deşi H = 0, totuşi B = - Br. Similar, în punctul 3 pentru a produce o inducţie

magnetică nulă venind dinspre inducţii remanente pozitive (respectiv negative) este necesar un

câmp – HC (punctul 3), respectiv + HC (punctul 6) numit câmp coercitiv.

În timpul unui ciclu de histerezis materialul absoarbe din câmpul magnetic o cantitate de

energie, care se transformă în căldură şi care constituie pierderile de histerezis. Aceste pierderi

sunt proporţionale cu suprafaţa ciclului de histerezis şi fireşte cu cantitatea de material

feromagnetic. Din acest motiv în industrie pentru un anumit tip de oţel electrotehnic şi frecvenţă

(f = 50Hz de exemplu) se menţionează pierderile specifice în [W/kg] prin fenomenul de histerezis .

Prin realizarea unor tole de oţel electrotehnic, ce prezintă 4 – 5% adaos siliciu se obţine o

curbă de magnetizare cu permeabilitate magnetică mare şi cu un ciclu de histerezis de suprafaţă

relativ redusă, adică cu pierderi mici.

3.4.3. Legea circuitului magnetic.

Este similară cu legea circuitului electric (adică legea lui Ohm).

Considerând torul din fig. 3.6., fluxul magnetic ce străbate secţiunea acestuia poate fi scris ca

fiind:

mm R

NI

R

(3.9)

unde:


37

Rm este reluctanţa circuitului magnetic, se calculează cu relaţia: ]Wb/A[S

lR m

NI = - tensiune magnetică. Dacă la circuitele electrice )ldE(U , aici

NI)ldH( ; sau se mai numeşte şi solenaţie.

Dacă torul prezintă un întrefier (fig. 3.10) acesta are o reluctanţă magnetică S

R0

int

iar

legea circuitului magnetic se poate scrie sub forma:

SS)l(

NI

0 (3.10)

Fig. 3.10. Circuit magnetic

alcătuit dintr-un tor cu

întrefier.

De obicei dimensiunea unui întrefier este foarte mică. În întrefier se obţin acţiunile pondero-

motoare: forţe şi cupluri. Prezenţa întrefierului măreşte foarte mult reluctanţa magnetică, deoarece

<< , pe când este comparabil cu l.

Ca urmare, fluxul şi inducţia B scade, evitându-se saturarea miezului.

3.5. Inducţia electromagnetică.

Este un fenomen fizic deosebit de important, care stă la baza multor aplicaţii tehnice.

3.5.1. Fenomene de inducţie electromagnetică.

Se consideră o bobină B (fig. 3.11) având legate la bornele ei un ampermetru A şi un magnet

permanent plasat coaxial cu bobina.

Ampermetrul se introduce brusc în interiorul bobinei, ceea ce are ca efect devierea într-un

anumit sens (de exemplu +) a acului ampermetrului. La extragerea bruscă a magnetului din

interiorul bobinei ampermetrul deviază din nou, însă de această dată în sens contrar, după care

magnetul revenind la poziţia iniţială, acul ampermetrului revine din nou pe zero.

În locul câmpului magnetic produs de magnetul permanent se poate folosi pentru realizarea

aceleaşi experienţe o bobină parcursă de curent, adică un electromagnet.


38

Fig. 3.11. Fenomenul de inducţie electromagnetică evidenţiat într-o bobină.

Această experienţă ne permite să tragem următoarea concluzie: într-o bobină ia naştere o

tensiune electromotoare, atunci când fluxul magnetic prin spirele sale variază. Acest fenomen

poartă numele de inducţie electromagnetică. Tensiunea electromagnetică care ia naştere prin acest

fenomen se numeşte tensiune electromotoare de inducţie iar curentul corespunzător curent de

inducţie. Aceeaşi experienţă ne permite să constatăm că tensiunea electromotoare de inducţie are un

anumit sens atunci când fluxul magnetic creşte (la introducerea magnetului).

Reluând experienţa, dar deplasând magnetul cu viteze din ce în ce mai mari, se constată că

deviaţiile ampermetrului, deci şi tensiunile electromotoare induse, cresc proporţional cu viteza de

variaţie a fluxului. La aceeaşi viteză de deplasare a magnetului, tensiunile electromotoare induse

cresc proporţional cu numărul de spire al bobine folosite.

3.5.2. Legea inducţiei electromagnetice.

Pe baza experienţei descrise mai sus, s-a stabilit că tensiunea electromotoare indusă într-o

bobină cu N spire are expresia:

t

Ndt

dN

dt

dN

dt

dE

(3.11)

unde d () reprezintă variaţia fluxului magnetic în intervalul de timp dt (t), adică tensiunea

indusă depinde de viteza de variaţie a fluxului şi de numărul de spire.

Semnul minus din faţa expresiei tensiunii ne indică faptul că sensul tensiunii induse este

contrar celui de variaţie a fluxului (fig. 3.12).

Fig. 3.12. Stabilirea sensului tensiunii induse.


39

Regula lui Lenz: tensiunea are un astfel de sens, încât curentul ce se stabileşte determină un

flux care se opune variaţiei fluxului inductor.

O formă particulară de manifestare a fenomenului de inducţie electromagnetică are loc la

deplasarea cu viteza v a unui conductor de lungime l perpendicular pe liniile de câmp de inducţie B

(fig. 3.13.)

te

iar tvlBXlBSB

Deci

vlBt

tvlBe

sau lvBe sau e = - B · l · v · sin , unde v,B

Fig. 3.13. Aplicarea legii inducţiei electromagnetice

3.5. Inductanţa proprie şi inductanţa mutuală.

Dacă se consideră o spiră parcursă de curentul I, ea dă naştere unui câmp de inducţie B şi a

unui flux total N · , care ne permite definirea unei mărimi specifice spirei şi anume inductanţă

(inductivitate):

II

L

(3.12)

Dacă se consideră o bobină cu N spire inducţia proprie se defineşte ca fiind:

I

NL

(3.13)

Pentru o bobină cu N spire se poate scrie că inductanţa este:

Hl

SNL

2 (3.14)

Relaţia (3.14) poate fi dedusă având în vedere că / Rm de unde l

SIN

Sl

IN

iar Hl

NS

Il

SINL

22

Se constată că inductanţa este dependentă de permeabilitatea magnetică . Ea este constantă

dacă şi este constantă, este variabilă dacă şi este variabil. Deci şi aici la inductivitate se poate

defini o inductanţă statică:


40

M

M

ILst

(3.15)

şi una dinamică

MdI

dL

din

(3.16)

De menţionat că unitatea de măsură a inductanţei este henry-ul, (H) care are dimensiunea

·S, deci 1 H = 1 · S.

Referitor la inductanţa mutuală se consideră două bobine B1 şi B2 cuplate inductiv (fig.

3.14), adică cu circuit magnetic comun, având un număr de spire N1 respectiv N2 şi parcurse de

curenţii I1 şi respectiv I2.

Fig. 3.14. Definirea inductanţelor mutuale.

Fluxul produs de bobina B1 are două componente, , este fluxul de

dispersie, ce se închide prin aer, este fluxul mutual ce se închide prin bobina B2.

În mod similar pentru bobina B2 se poate scrie , este fluxul de

dispersie al celei de-a doua bobine, este fluxul mutual ce se închide prin bobina B1.

Se definesc inductanţele mutuale:

1

122

1

1212

I

N

IL

2

211

2

2121

I

N

IL

2

21

1

122112

IIMLL

sau

2

21

1

122

IIM

Spre deosebire de inductivitatea proprie care este întotdeauna pozitivă, inductivitatea

mutuală poate fi pozitivă, negativă şi zero. Aceasta deoarece fluxul unei bobine prin cealaltă bobină

poate avea acelaşi sens sau poate avea sens contrar faţă de fluxul propriu.

În mod obişnuit, nu se figurează explicit structura circuitului magnetic al bobinei cuplate

magnetic, ci se adoptă următoarea convenţie: orice indicare a valorii algebrice a unei inductivităţi

mutuale L12 este însoţită de însemnarea cu un asterix a uneia dintre bornele fiecărei bobine. Atunci

când sensurile curenţilor prin cele două bobine cuplate magnetic sunt orientate în acelaşi mod faţă


41

de bornele marcate (polarizate) cu asterix, inductivitatea mutuală corespunzătoare are valoarea

pozitivă, adică M > 0.

Dacă sensurile curenţilor nu sunt orientate în acelaşi mod faţă de bornele polarizate,

inductivitatea mutuală corespunzătoare acestor sensuri are valoarea negativă, adică M < 0.

Fig. 3.15. Stabilirea semnului inductivităţilor mutuale.

3.5.4. Tensiune electromotoare de autoinducţie.

Dacă un circuit electric cuprinde o bobină de inductanţă L parcursă de un curent variabil I,

fluxul total al bobinei este şi el variabil şi are expresia:

= N = L I (3.17)

Această tensiune electromotoare produsă de variaţia curentului propriu se numeşte tensiune

electromotoare de autoinducţie.

Conform legii lui Lenz această tensiune este de sens contrar tensiunii aplicate bobinei

respective, e = - L di / dt.

3.5.5. Energia câmpului magnetic.

Se consideră o bobină de rezistenţă R şi inductanţă L este alimentată de la o sursă de tensine

electromotoare E. Se poate scrie:

IRdt

dILE sau

dt

dILIRE (3.18)

Înmulţind relaţia (3.18) cu Idt şi integrând în intervalul 0 – t0, se obţine:

000 t

0

t

0

2

t

0

dtILdtIRdtIE (3.19)

Termenul 0

t

0

tiEdtiE0

este tocmai energia luată de la sursă în intervalul de timp t0.

Termenul 0t

0

2 dtIR este energia consumată pe rezistenţa R prin efectul Joule, iar:

222

2

0

2

0

20

0

LILIId

LdtIL

IIt

(3.20)

adică tocmai energia în câmp magnetic.


42

3.6. Aplicaţii

1. Cum se manifestă câmpul magnetic în natură ?

2. Liniile de câmp magnetic sunt asemănătoare cu cele de câmp electric sau nu ?

3. De cine este produs câmpul magnetic ?

4. Între cine se manifestă forţa Lorenz şi cum îi găsim sensul ei ?

5. Între cine se manifestă forţa electrodinamică ? Cum se justifică sensul ei, de atracţie sau

respingere ?

6. Ce este inducţia magnetică şi din ce punct de vedere caracterizează ea câmpul magnetic?

7. Ce este intensitatea câmpului magnetic, care este legătura dintre inducţie şi intensitatea

câmpului magnetic ?

8. De câte feluri pot fi materialele sub aspectul comportării în câmp magnetic. Prin ce se

caracterizează materialele feromagnetice.

9. Ce este curba de magnetizare a unui material feromagnetice; delimitaţi zonele curbei de

magnetizare ?

10. Ce este ciclul de histerezis, indicaţi care este semnificaţia suprafeţei ciclului de histerezis?

11. Scrieţi expresia legii circuitului magnetic, indicând semnificaţia mărimilor care intervin ?

12. Enunţaţi legea inducţiei electromagnetice; scrieţi expresia matematică a acestei legi

indicând semnificaţia fizică a mărimilor care intervin.

13. Definiţi inductanţa unei bobine.

14. Ce este permeabilitatea magnetică a unui material, dar permeabilitatea magnetică relativă.

15. Cum se explică fenomenul de autoinducţie la o bobină ?

16. Se consideră un tor de secţiune circulară, din material feromagnetic având permeabilitatea

=1000· şi un întrefier de grosime . Torul este bobinat, bobina are secţiunea de 2 cm2.

Se cere să se calculeze mărimea întrefierului astfel încât inducţia în miez să fie 0,05T ?

Soluţie

Pentru circuitul magnetic din fig. 3.16. se poate scrie: 21 mm RR

NI

unde

84,311105,12

104102510

10528,6

10210

2 4

743

2

4

0

3

11

r

S

lRm Wb/Asp

89

47

0

2 1018,310

1025104SRm Wb/Asp

Deci:

84 1018,384,311105,12

2000005,0 , de unde rezultă = 1,27 · 10

-3 m = 1,27 mm.

Fig. 3.16. Tor magnetic.


43

17. Un disc conductor de rază r se roteşte cu viteza într-un câmp magnetic uniform de

inducţie B constantă în timp, astfel încât axul discului este paralel cu liniile de câmp. Să se

calculeze tensiunea dintre două perii, una plasată pe axul discului, iar cealaltă la periferia

lui.

Soluţie:

dt

due

Br

d 2

2

12 dt,

Rezultă 22

22

Br

dt

dtB

rue

Pentru = 314 rad/s; r = 0,20cm şi B = 0,6 T


44

CAP 4. CURENTUL ALTERNATIV

4.1. Curentul alternativ monofazat. Producerea curentului (tensiunii) alternativ

Principial, curentul alternativ se produce pe baza fenomenului de inducţie electromagnetică.

Într-o spiră ce se roteşte şi taie liniile câmpului magnetic produs de doi poli magnetici, N şi S (fig.

4.1) ia naştere o tensiune electromotoare de inducţie.

Perpendiculară pe axa polilor (N-S) se consideră axa OO’ numită axa neutră. Unghiul pe

care-l formează spira cu axa neutră este t .

Pentru a calcula tensiunea indusă se poate pleca de la relaţia:

dt

lsindtBv2

dt

)lb(Bd2

dt

BdS2

dt

deue

(4.1)

2dS este variaţia secţiunii spirei traversată de liniile de câmp magnetic. Ca urmare, tensiune

electromotoare indusă în spiră are valoarea:

N

S

O O’

b

b v

v ω

φ

axa neutră

B

O O’

S

P1 P2

N

w

V

Fig.4.1. Principiul

producerii tensiunii

alternative

Fig.4.2. Determinarea

vitezei de tăiere a liniilor

câmpului magnetic


45

tsinetsinBlv2sinBlv2e max (4.2)

Tensiunea este culeasă cu ajutorul celor două perii P1 şi P2 şi indicată de voltmetrul V (fig.

4.1).

De menţionat, că în relaţiile de mai sus este viteza unghiulară a spirei (sau bobinei), iar v

este viteza liniară a spirei (bobinei).

În acest fel sistemul prezentat mai sus este de fapt un generator de curent alternativ

monofazat.

Fenomenul prezentat este reversibil, adică, aplicând o tensiune alternativă între periile P1 şi

P2 spira (bobina) descrie o mişcare de rotaţie, deci este capabilă să producă un lucru mecanic.

Partea formată din polii magnetici N şi S constituie statorul (care stă) sau inductorul (care

induce câmpul), iar spira (sau bobina)constituie rotorul (care se roteşte) sau indusul (în care se

induce tensiunea) maşinii respective.

4.2. Mărimi caracteristice ale curentului (tensiune) alternativ

În fig. 4.3 se prezintă variaţia tensiunii şi a curentului alternativ.

Dacă pentru tensiunea indusă se poate scrie relaţia tsinee max , pentru curentul

corespunzător va rezulta )tsin(Ii max , unde este defazajul (întârzierea) curentului faţă de

tensiune.

Mărimile caracteristice ale tensiunii sau curentului alternativ (sinusoidal) sunt:

a) perioada care se notează cu T şi reprezintă intervalul de timp (exprimat în secunde), în

care spira efectuează o rotaţie completă, adică timpul după care tensiunea alternativă capătă aceeaşi

valoare şi acelaşi sens de creştere.

b) frecvenţa. Mărimea T

1f se numeşte frecvenţă şi reprezintă numărul de perioade

cuprinse într-o secundă. Frecvenţa curentului alternativ industrial în toate ţările din Europa este de

50 Hz. În SUA şi parţial în Japonia frecvenţa este de 60 Hz.

c) valoarea efectivă (eficace) are în vedere înlocuirea mărimii (tensiune sau curent) de

variaţie reală cu una fictivă, dar constantă, care în decurs de o perioadă dezvoltă aceeaşi căldură pe

un rezistor de rezistenţă R, adică:

T

ωt 0

e,i

e

i

φ

Fig.4.3. Diagrama tensiunii şi a curentului alternativ sinusoidal.


46

2

max

T

0

2 ITRdt)t2sin(IR (4.3)

Sau

2

max

T

0

2 ITRdt2

)t(2cos1IR

(4.4)

Adică

TIdt2

I 2

T

0

max2

sau 2

II

max2

2 (4.5)

deci 2

II max , adică valoarea efectivă este aceea maximă împărţită la 2 .

d) valoarea maximă sau de vârf a mărimii sinusoidale. Este max(e) sau max (i) şi fireşte

este valoarea maximă pe care o poate atinge în variaţia sa mărimea sinusoidală considerată, adică

emax sau imax.

e) valoarea medie a unei mărimi sinusoidale pe un interval t de timp se calculează cu

integrala:

dtit

1I

tt

t

)t(med

0

0

(4.6)

Pentru o perioadă T, Imed=0; de aceea pentru mărimile sinusoidale intervalul luat în

considerare este 2

T, adică:

0

2

T

)tcos(IT

2dt)tsin(I

T

2dt)t(i

T

2I max

2

T

0

max

2

T

0

med

(4.7)

Dacă pentru simplificare se consideră o , se obţine:

maxmaxmed

I22

2

I2I

f) factorul de formă se defineşte ca fiind raportul dintre valoarea efectivă şi valoarea medie,

adică:

11,122I2

2

I

I

Ik

max

max

med

f

(4.8)

De remarcat că în electrotehnică se operează cu valorile efective ale mărimilor sinusoidale,

adică de exemplu, expresia curentului se scrie sub forma:

)tsin(2Ii

unde este faza iniţială, adică faza curentului pentru t=0.

Deci, o mărime sinusoidală este complet determinată dacă i se cunosc valoarea efectivă I,

pulsaţia şi faza iniţială .

Diferenţa dintre fazele iniţiale ale două mărimi sinusoidale se numeşte defazaj (fig. 4.3).

acest defazaj poate fi pozitiv sau negativ (fig. 4.4). Dacă 021 , i1 este defazat înaintea lui i2

(fig. 4.4 a); dacă 021 , i1 este defazat în urma lui i2 (fig. 4.4b).


47

Pot să apară următoarele cazuri particulare:

– dacă 021 mărimile sunt în fază

– dacă 221

mărimile sunt în cuadratură

– dacă 21 mărimile sunt în opoziţie de fază.

4.3. Operaţii cu mărimi sinusoidale

Circuitele liniare de curent alternativ sunt descrise de ecuaţii integro- diferenţiale liniare, în

care asupra mărimilor sinusoidale se efectuează operaţiile de adunare, înmulţire cu un scalar,

derivare sau integrare. Prin aceste operaţii se obţin mărimi sinusoidale ca aceeaşi frecvenţă, astfel:

a) adunarea a două mărimi sinusoidale, de exemplu curenţi )sin(2 11 ti şi

)tsin(2i 22 , conduce la o mărime sinusoidală de aceeaşi frecvenţă, de forma

i=I )sin(2 t , unde:

)cos(II2III 2121

2

2

2

1 (4.9)

2211

2211

cosIcosI

sinIsinItana

(4.10)

b) amplificarea unei mărimi sinusoidale cu un scalar λ, conduce tot la o mărime sinusoidală

de aceeaşi frecvenţă şi aceeaşi fază iniţială, dar cu valoarea efectivă amplificată de λ ori, adică:

)tsin(2Ii 111 (4.11)

Deci I=λI1.

c) derivarea unei mărimi sinusoidale în raport cu timpul conduce la o mărime sinusoidală de

aceeaşi frecvenţă, dar defazată înainte cu 2

şi având valoarea efectivă de ori mai mare, adică:

dt

di1 = 1I 2 cos( t + 1 )= 1I 2 sin( t + 1 +2

) (4.12)

d) integrarea în timp a unei mărimi sinusoidale, conduce la o mărime sinusoidală de aceeaşi

frecvenţă, dar defazată în urmă cu 2

şi având valoarea efectivă de mai mică, adică:

t

0

1i dt=-

2I1 cos( 1 t )= )2

tsin(2I

11

(4.13)

a) b)

Fig.4.4. Variaţia unor curenţi sinusoidali cu faze iniţiale φ1 ≠ φ2:

a) φ1 > φ2; b)φ1 < φ2;

0

i

φ2

i1 i2

φ1

ωt ωt

0

i

φ1

i1

i2

φ2


48

4.4. Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale

În soluţionarea circuitelor (reţelelor) de curent alternativ folosirea scrierii tensiunilor şi

curenţilor în valori momentane, complică foarte mult scrierea relaţiilor şi îngreunează calculele. Din

acest motiv de cele mai multe ori se apelează la o scriere simbolică. În cazul circuitelor de curent

alternativ care funcţionează în regim permanent sinusoidal se utilizează două tipuri de reprezentări

simbolice:

- una geometrică (fazorială)

- una analitică (în complex)

De remarcat că ambele reprezentări sunt în plan.

4.4.1. Reprezentarea geometrică (prin fazori)

Dacă se consideră o mărime sinusoidală de forma:

)tsin(2Ii (4.14)

se poate costata că acesteia i se poate ataşa în planul x0y0 (fig. 4.5) un vector OA al cărui modul

este I 2 şi care formează cu axa Ox0 unghiul t , iar cu axa ox unghiul . Acest vector se va

numi în continuare fazor şi se bucură de proprietatea că proiecţia lui pe axa Ox0 este egală în orice

moment cu valoarea instantanee (momentană) a curentului dată de relaţia (4.14).

Fig.4.5. Reprezentarea curentului sinusoidal printr-un fazor.

Corespondenta biunivoca dintre mărimea sinusoidala şi acest fazor poate fi scrisă astfel:

tAOX

2IOAOA)tsin(2I

0

(4.15)

Simplificat relaţia (4.15) se poate scrie sub forma:

t/2IOA

De menţionat că fazorul OA se roteşte în sens trigonometric cu viteza unghiulară ω la fel ca

şi axa origine de fază, dar între fazorul OA şi axa Ox se păstrează unghiul φ constant.

Această reprezentare geometrică prin fazori este foarte sugestivă şi intuitivă. Ea pune în

evidenţă amplitudinea mărimii sinusoidale (egală cu modulul fazorului) precum şi faza sa (egal cu

argumentul fazorului reprezentativ).

Corespondenţa operaţiunilor în reprezentarea fazorială corespunde celor prezentate în figura

4.6. Astfel adunarea (fig.4.6a), conduce la un fazor de modul )cos(II2III 2121

2

2

2

1 ,

amplitudine 2I2 şi faza φ, dată de relaţia (4.10). Deci:

t

2I

t

2I

t

2IOAOAii

2

2

1

12121 (4.16.a)

A

x0

x

0

i

φ+ωt

ωt φ

I 2

y0


49

Înmulţirea cu un scalar λ, (fig.4.6b) conduce la obţinerea unui fazor cu aceeaşi fază, dar cu

amplitudinea λ•I1, adică:

1

111

t

2IOA

1t

2IOAi

, unde I=λI1; (4.16.b)

Derivarea unui fazor cu timpul, conduce la înmulţirea modulului lui prin şi rotirea sa în

sens direct trigonometric cu 2

(fig. 4.6c), adică:

2t

2I

2t

2I

dt

di

11

1

(4.16.c)

Integrarea unui fazor cu timpul, corespunde cu împărţirea modulului fazorului cu şi

rotirea sa în sens trigonometric cu 2

(fig. 4.6d), adică:

2t

2I

2t

2I

idt

11

1

(4.16.d)

a)

b)

A1

0

A2

x0

i

φ1+ωt

y0

φ2+ωt

φ+ωt

A

i2

i1

A

x0 0

i φ1+ωt I 2

y0

A1 i2


50

c)

d)

Fig.4.6. Operaţii cu mărimi fazoriale: a) adunarea a doi fazori; b) înmulţirea cu un

scalar; c) derivarea în raport cu timpul; d) integrarea în raport cu timpul.

Observaţie: în reprezentarea fazorială prezentată, toţii fazorii sunt rotitori cu aceeaşi viteză

unghiulară faţă de sistemul x0Oy0. Dacă se alege axa originii de fază Ox, care se roteşte şi ea cu

aceeaşi viteză unghiulară , faţă de această axă toţi fazorii sunt ficşi, dar îşi păstrează fazele

iniţiale. Deci, în sistemul de coordonate XOY care se roteşte în sens trigonometric cu viteza

unghiulară toţi fazorii sunt ficşi. În plus, deoarece toate mărimile fazoriale conţin pe 2 se

poate renunţa la el, operându-se cu valori efective. Reprezentarea este una fazorială simplificată.

4.4.2. Reprezentarea analitică (în complex)

În alegerea numerelor complexe este cunoscut faptul că fiecărui număr complex îi

corespunde biunivoc în planul complex un punct (afixul numărului) şi deci, un vector de poziţie.

Rezultă că dacă identificăm planul reprezentării geometrice (fazoriale) cu planul complex, stabilim

o corespondenţă biunivocă între funcţiile sinusoidale şi numerele complexe. În reprezentarea în

complex mărimea sinusoidală (valoarea momentană) se obţine ca fiind partea imaginară a

numărului complex.

De fapt, mărimii sinusoidale de forma )tsin(2Ii în planul complex îi ataşăm

numărul complex i numit valoarea instantanee complexă având forma: )t(jexp2Ii .

A1

x0 0

i1

φ1+ωt I1 2

y0

A

ωI1 2 dt

di1

2

y0

A1

x0 0

i1

φ1+ωt

I 2

A1

2

dti1

21I

A


51

Acest număr complex este reprezentat în planul complex printr-un vector de poziţie de

modul 2I şi argument t (fig. 4.7).

Există prin urmare corespondenţa: )t(jexp2I)tsin(2I .

Numărul complex se bucură de proprietatea că proiecţia sa pe axa imaginară este tocmai

mărimea sinusoidală, adică:

)t(jexp2IIi m (4.17)

Corespondenţa operaţiilor în reprezentarea în complex rezultă astfel:

- adunarea 2121 iiii

- amplificarea 11 ii

- derivarea mărimii sinusoidale corespunde cu înmulţirea imaginii complexe cu j ,

adică: ijdt

di

- integrarea mărimii sinusoidale corespunde cu împărţirea imaginii complexe cu j ,

adică: ij

1idt

4.5 Circuite de curent alternativ în regim permanent

În cele ce urmează se vor considera câteva circuite simple, liniare, cărora li se va aplica o

tensiune alternativă sinusoidală de forma: tUu sin2 şi se va stabili forma curentului printr-o

metodă directă, avându-se în vedere ecuaţia circuitului, ecuaţie rezultată din aplicarea teoremei a

doua a lui Kirchhoff şi faptul că, curentul prin circuit are aceeaşi formă ca şi tensiunea aplicată.

4.5.1 Circuitul serie R, L

Se consideră circuitul serie R şi L din fig. 4.8a, cu “u” notându-se tensiunea aplicată

circuitului, iar cu uR şi uL tensiunile aplicate rezistorului, respectiv bobinei.

Fig.4.7. Reprezentarea în complex a curentului sinusoidal i.

i

i

1 0

φ+ωt

j


52

a) b)

Fig.4.8. Circuit serie R,L: a) schema echivalentă; b) variaţia tensiunii aplicate şi a

curentului în circuit

Ecuaţia circuitului este:

u=uR+uL sau u=R·i+Ldt

di (4.18)

Dar tsin2Uu , iar curentul are forma )tsin(2Ii , astfel că relaţia (4.18)

devine:

)tcos(2LI)tsin(2RItsi2U

Ea este valabilă pentru orice valoare a lui t , inclusiv pentru cele particulare. Astfel pentru

t rezultă LIsinU , iar pentru

2

t , obţinem RIU cos . Ridicând cele două

relaţii la pătrat şi adunându-le, rezultă:

)RL(IU 22222 , adică 222 LR

UI

(4.19)

Cantitatea de la numitor se numeşte impedanţa circuitului serie R, L şi se notează cu litera Z.

Împărţind cele două relaţii rezultate prin identificare se obţine:

R

Ltan

sau

R

Ltana (4.20)

Deci, curentul variază în urma tensiunii cu unghiul (fig. 4.8b).

4.5.2 Circuitul serie R, C

Se consideră circuitul serie R, C din fig. 4.9a, cu “u” notându-se tensiunea aplicată

circuitului, cu uR şi uC tensiunile aplicate rezistorului, respectiv condensatorului.

a) b)

Fig.4.9. Circuit serie R,C: a) schema echivalentă; b) variaţia tensiunii aplicate şi a

curentului în circuit.

0

u,i

i

u

φ

ωt

R L

uR uL u

i

0

C R

uR uC u

i

u, i

i

u

φ

ωt


53


CR uuu sau idtC

1Riu (4.21)

Dar tsin2Uu , iar )tsin(2Ii , astfel ecuaţia (4.21) devine:

)tcos(2IC

1)tsin(2RItsin2U

Pentru t , IC

1sinU

, iar pentru

2t

, RIcosU , astfel că:

)C

1R(IU

22

222

, iar

CR

1tan

, adică

22

2

C

1R

UI

, iar )CR

1tan(a

(4.22)

Din relaţiile deduse din identificare rezultă că sin <0 şi cos >0, deci )0,2

(

. Prin

urmare, prin circuit variază înaintea tensiunii aplicate cu unghiul (fig. 4.9b).

4.5.3. Circuitul serie R, L, C

Se consideră circuitul serie R, L, C din fig. 4.10a, cu “u” notându-se tensiunea aplicată

circuitului, cu uR, uL şi uC tensiunile aplicate rezistorului, bobinei şi condensatorului.

a)

b)

Fig .4.10. Circuit R, L, C: a) schema echivalentă; b) variaţia tensiunii.


CLR uuuu

sau dtiC

1

dt

diLiRu (4.23)

Dacă avem în vedere expresia tensiunii aplicate şi forma curentului, ecuaţia (4.23) devine:

)tcos(2IC

1)tcos(2IL)tsin(2RItsin2U

Considerând două situaţii particulare, rezultă:

R L

UR UL U UC

C

i

u

ω

t

u, i

0 φ


54

I)C

1L(sinU

şi IRcosU , de unde

22 )C

1L(R

UI

iar R

C

1L

tan

(4.24)

Deoarece sin0 sau sin0, iar cos0, rezultă (2

,2

) iar variaţia lui se produce ca

în fig. 4.10b.

Expresia de la numitor a lui I se numeşte impedanţa circuitului serie R,L,C şi se notează cu

Z, având expresia:

22 )C

1L(RZ

(4.25)

4.6. Puteri în regim sinusoidal

În circuitele monofazate, liniare, de curent alternativ sinusoidal se pot defini: puterea

instantanee, puterea activă, reactivă şi aparentă.

4.6.1. Puterea instantanee

Puterea instantanee la bornele unui circuit este dată de relaţia:

iup (4.26)

sau dacă se au în vedere expresiile lui u şi i rezultă:

)tsin(2Itsin2Up (4.27)

Efectuând calculele se obţine (fig.4.11)

)t2cos(UIcosUIp (4.28)

Fig.4.11. Variaţia puterii instantanee

Se constată că puterea instantanee este o mărime periodică, având o componentă alternativă

de frecvenţă dublă şi amplitudine UI.

ωt 0

P

p

U·I

U·I P=U·I·cos

φ


55

4.6.2. Puterea activă

De obicei, în procesele periodice interesează energia consumată în circuit în intervalul unei

perioade întregi,

2T şi corespunzător cu acesta interesează valoarea medie a puterii pentru o

perioadă.

Deci, puterea medie absorbită într-o perioadă, numită puterea activă este:

T

0

pdtT

1P (4.29)

sau înlocuind puterea instantanee cu expresia (4.28) se obţine:

cosUIP (4.30)

Unitatea de măsură a puterii active în sistemul internaţional este watt-ul: W.

Corespunzător puterii active în curentul alternativ se defineşte rezistenţa circuitului R ca

fiind:

cosI

U

I

PR

2 şi conductanţa cos

U

I

U

PG

2

4.6.3. Puterea reactivă

Puterea reactivă se defineşte prin analogie cu puterea activă prin relaţia:

sinUIQ (4.31)

şi prezenţa ei este cauzată de existenţa unui defazaj între curba tensiunii şi a curentului.

Unitatea de măsură a puterii reactive este volt-amper-reactiv: Var.

Pentru un circuit de curent alternativ, pe baza puterii reactive se poate defini reactanţa

circuitului X, ca fiind:

sinI

U

I

QX

2 şi susceptanţa sin

U

I

U

QB

2

4.6.4. Puterea aparentă

Puterea aparentă se defineşte ca fiind produsul valorilor efective ale tensiunii şi curentului,

adică: 22 QPUIS (4.32)

Pe baza puterii aparente se poate defini impedanţa unui circuit, astfel:

2I

S

I

UZ şi respectiv inversul ei, admitanţa

Z

1

U

SY

2

De asemenea pe baza puterii aparente se poate defini şi factorul de putere:

cosUI

cosUI

S

Pk p (4.33)

4.6.5. Puterea complexă

Puterea instantanee nu este o mărime sinusoidală de aceeaşi frecvenţă ca şi tensiunea şi

curentul, ca urmare ei nu i se poate ataşa un simbol complex din care să poată fi deduse cele trei

puteri: aparentă, activă şi reactivă. În schimb, dacă se apelează la scrierea complexă a puterii

aparente sub forma:

sinjUIcosUI)jexp(UIIUS

rezultă: jQPS (4.34)

Puterea complexă prezintă următoarele proprietăţi:


56

- modulul este egal cu puterea aparentă;

- argumentul este egal cu defazajul circuitului (dintre tensiune şi curent);

- partea reală este egală cu puterea activă;

- partea imaginară este egală cu puterea reactivă.

În planul complex puterea complexă se poate reprezenta printr-un vector a cărui parte reală

este puterea activă, iar partea imaginară puterea reactivă.

4.7. Rezonanţa în circuite de curent alternativ

În circuitele electrice care conţin bobine şi condensatoare, deoarece reactanţa acestora are

semne diferite, există situaţii (anumite frecvenţe) pentru care reactanţa echivalentă este nulă, deci şi

puterea reactivă absorbită este nulă. Corespunzător, unghiul de defazaj dintre tensiunea aplicată

la borne şi curentul ce se stabileşte în circuit este 0. Aceste circuite se numesc rezonanţe. Rezonanţa

poate fi serie sau paralel.

4.7.1. Rezonanţa serie (rezonanţa de tensiune)

Dacă se consideră circuitul serie R, L, C din fig. 4.12 alimentat cu o tensiune sinusoidală,

legea lui Ohm în complex se poate scrie sub forma:

ICj

1ILjIRU

(4.35)

sau

)

C

1L(jRIU (4.36)

la rezonanţă 0C

1L

, adică 1LC2 (4.37)

Relaţia (4.37) ne arată că în circuit se poate realiza rezonanţa prin variaţia pulsaţiei ,

inductanţei L sau capacităţii C. Spre exemplu, valoarea pulsaţiei pentru care se produce rezonanţa

se notează cu 0 şi are expresia:

LC

1o (4.38)

a)

b)

Fig.4.12. Circuit serie R, L, C: a) schema echivalentă; b) diagrama fazorială la rezonanţă.

R L

uR uL U uC

C

IRU R

ILjU L 0 ICj

U C 0

1

I

U


57

La rezonanţă impedanţa circuitului are valoarea minimă şi este egală tocmai cu rezistenţa

circuitului R. Corespunzător curentului în circuit va avea valoarea maximă, la fel şi tensiunile la

bornele bobinei şi condensatorului UL=UC>U. Se spune că în acest caz în circuit apar supratensiuni

(rezonanţa de tensiune). De fapt pot apare supratensiuni numai dacă:

RC

1L

0

0

(4.39)

sau ţinând cont de relaţia (4.38), dacă RC

L (4.40)

Termenul C

L are dimensiunea unei impedanţe şi se numeşte impedanţă caracteristică.

Raportul ρ/R=q se numeşte factor de calitate şi el reprezintă de fapt raportul dintre tensiunea

de la bornele bobinei sau condensatorului şi tensiunea aplicată circuitului.

În încheierea paragrafului în figura 4.13 se reprezintă variaţia curentului I, a tensiunilor UL

şi UC în funcţie de pulsaţia ω.

Fig.4.13. Variaţia curentului I şi a tensiunilor UL şi UC cu pulsaţia ω, pentru un circuit serie

R, L, C.

4.7.2. Rezonanţa paralel (rezonanţa de curent)

Se consideră circuitul paralel (fig. 4.14) R, L, C alimentat cu o tensiune sinusoidală. Prima

teoremă a lui Kirchhoff ne permite să scriem relaţia:

CLR IIII sau

Cj

Lj

1

R

1UI

Sau sub altă formă:

C

L

1j

R

1UI (4.41)

La rezonanţă 0CL

1

, de unde rezultă

LC

10 , adică aceeaşi condiţie ca şi la

rezonanţă serie.

ω

I

UC

UL

ω0

I0

0

I, UL, UC


58

a)

b)

Fig.4.14. Circuit paralel R, L, C: a) schema echivalentă; b) diagrama fazorială la rezonanţă.

În aceste condiţii curentul prin circuit are valoarea I0=U/R. Diagrama fazorială a circuitului

rezonant se prezintă în (fig. 4.14 b). Când laturile verticale ale dreptunghiului (fig. 4.14 b) sunt mai

mari decât laturile orizontale: III LC ,

Adică în elementele reactive ale circuitului apar supracurenţi, din acest motiv rezonanţa

paralel se numeşte rezonanţa curenţilor.

Supracurenţii apar în circuitele în care există inegalitatea:

R

1

L

1C

0

0

(4.42)

Ca şi la rezonanţa serie, se pot induce şi aici noţiunea de admitanţă caracteristică:

L

1C

L

C

0

0

(4.43)

şi factor de calitate: q=γ·R (4.44)

Admitanţa caracteristică este egală cu raportul dintre curentul din ramura inductivă sau

capacitivă şi tensiunea aplicată la borne, iar factorul de calitate reprezintă raportul dintre curentul

din ramura inductivă sau capacitivă şi curentul absorbit de la reţea la rezonanţă.

În închiderea paragrafului în figura 4.15 se reprezintă variaţia curenţilor I, IL şi IC cu pulsaţia ω.

Fig.4.15. Variaţia curenţilor IL, IC şi I pentru circuitul paralel R, L, C.

IL

I=f(ω)

IC

0

I

ω ω0

I0

RUI R /

UCjI C 0

Lj

UI L

0

U

I

R L

IR IL

U

IC

C

I


59

4.8 Aplicaţii:

1. Enumeraţi mărimile caracteristice ale tensiunii (şi curentului) alternativ sinusoidal.

2. Cum se defineşte perioada unui curent sinusoidal?

3. Cum se defineşte valoarea efectivă a unui curent sinusoidal?

4. Cum se defineşte valoarea medie a unui curent sinusoidal pe perioada t?

5. Cum se reprezintă geometric un curent sinusoidal de forma: )tsin(2Ii ?

6. Cum se reprezintă în complex un curent sinusoidal de forma: )tsin(2Ii ?

7. Care este expresia impedanţei unui circuit serie R, L alimentat cu o tensiune sinusoidală

de pulsaţie ?

8. Care este expresia impedanţei unui circuit serie R, C alimentat cu o tensiune sinusoidală

de pulsaţie ?

9. Care este expresia impedanţei unui circuit serie R, L, alimentat cu o tensiune

sinusoidală de pulsaţie ?

10. În circuitul serie R, L curentul este defazat înaintea sau în urma tensiunii sinusoidale de

alimentare?

11. În circuitul serie R, C curentul este defazat înaintea sau în urma tensiunii sinusoidale de

alimentare?

12. Care este puterea instantanee într-un circuit monofazat de curent alternativ?

13. Cum se defineşte puterea activă într-un circuit monofazat de curent alternativ?

14. Cum se defineşte puterea reactivă într-un circuit monofazat de curent alternativ?

15. Cum se defineşte puterea aparentă într-un circuit monofazat de curent alternativ?

16. Cum se defineşte puterea complexă într-un circuit monofazat de curent alternativ şi care

sunt componentele sale?

17. Care este condiţia de rezonanţă într-un circuit serie R, L, C, de curent alternativ?

18. Când afirmăm despre un circuit R, L, C, de curent alternativ că este rezonant?

19. La rezonanţa unui circuit serie R, L, C, impedanţa este minimă sau maximă?

20. La rezonanţa unui circuit paralel R, L, C, impedanţa este minimă sau maximă?

21. Un circuit de curent alternativ monofazat este alimentat la tensiunea de 220V şi

frecvenţa de f=50Hz fiind alcătuit dintr-un bec cu rezistenţa R=600Ω, o bobină cu inductanţa L=3H

şi un condensator cu capacitatea C=4μF. Se cere să se calculeze:

a) impedanţa Z a circuitului;

b) tensiunea la bornele becului UR;

c) tensiunea la bornele bobinei UI;

d) tensiunea la bornele condensatorului UC;

e) diagrama fazorială a tensiunilor;

f) defazajul curentului prin circuit faţă de tensiunea de alimentare;

g) puterea activă absorbită de circuit;

h) puterea reactivă absorbită de circuit;

i) puterea aparentă consumată de circuit;

j) frecvenţa tensiunii de alimentare pentru care produce rezonanţa.

Soluţie:

a) impedanţa circuitului este: 2

CL

2 )XX(RZ unde IX L sau

XL= 9423314 , XC=1/Cω, adică

79610314

1X

6C


60

Din Z= 618)796942(600 22

b) RIUR unde AZ

UI 356.0

618

220 , deci VUR 214600356.0

c) VXIU LL 335942356.0

d) VXIU CC 284796356.0

e) Diagrama fazorială a tensiunilor se prezintă ca în fig. 4.16.

Fig.4.16. Diagrama fazorială a circuitului serie din problema 21.

f) tanφ= 243,0600

796942

R

XX CL

unde φ=13

o40

’

g) P=I2R=0,356

2*600=76,04W

h) Q=I2X=0,356

2*(942-796)=18,503Var

i) S=U*I=220*0,356=78,32VA

j) s/rad68,28812

10

10*4,3

1

LC

1 3

60

Sau 00 2 f , de unde Hz4628,6

68,288

2f 0

0

0

UR

U

UC

UL

I φ


61

CAP 5. CUADRIPOLI ELECTRICI

Un cuadripol este o reţea electrică cu patru borne de acces cu exteriorul, iar laturile interioare

nu prezintă cuplaje magnetice cu exteriorul. Cuadripolii pot fi pasivi sau activi după cum nu dispun

sau dispun de surse de tensiune electromotoare. În cele ce urmează se vor prezenta numai

cuadripolii pasivi.

5.1. Ecuaţiile cuadripolului

Se consideră cuadripolul din fig. 5.1., având bornele de intrare 1-1’ şi bornele de ieşire 2-2’.

Se poate demonstra că între mărimile de intrare (U1, I1) şi mărimile de ieşire (U2, I2) există relaţiile:

221

221

IDUCI

IBUAU

(5.1)

Fig. 5.1. Cuadripol pasiv

Coeficienţii A, B, C, D sunt mărimi complexe şi se numesc parametrii fundamentali ai

cuadripolului. Semnificaţia lor fizică este diferită, A şi D sunt mărimi adimensionale, B are

dimensiunea unei impedanţe, iar C are dimensiunea unei admitanţe. Între parametrii (constantele)

cuadripolului pasiv există relaţia:

1CBDA (5.2)

numită condiţie de reciprocitate.

Dacă se alimentează cuadripolul pe la bornele de ieşire(fig. 5.2), curenţii I1 şi I2 îşi schimbă

sensul, ca urmare ecuaţiile (5.1) devin:

112

112

IDUCI

IBUAU

(5.3)

Rezolvate în raport cu U1 şi I1 şi ţinând cont de condiţia de reciprocitate, relaţiile (5.3)

devin:

221

221

IAUCI

IBUDU

(5.4)

Comparând relaţiile (5.1) cu (5.4) rezultă că inversarea bornelor de intrare cu cele de ieşire

corespunde cu inversarea constantelor A şi D în ecuaţiile cuadripolului. Această observaţie permite

să afirmăm că se obţine un cuadripol simetric dacă

A=D (5.5)

Fig. 5.2. Cuadripol pasiv alimentat pe la

bornele 2-2’.

5.2. Scheme echivalente

Cuadripolul poate fi înlocuit cu o schemă echivalentă care poate fi în T, Π sau Γ(fig.5.3)


62

a) b) c)

Fig. 5.3. Scheme echivalente ale cuadripolului: a) T; b) Π; c) Γ.

Desigur, pentru aceste scheme echivalente interesează relaţia dintre constantele

cuadripolului şi parametrii schemelor echivalente. Astfel pentru schema echivalentă în T se pot

scrie relaţiile:

2212121

222221222111

22222221

I)YZZZZ(U)YZ1(

UIZI)YZ1(UYZUIZIZU

şi

I)YZ1(UYY)IZU(II

(5.6)

Din identificarea relaţiilor (5.6) cu (5.1) se pot scrie relaţiile:

;ZY1A 2 ;ZB ;ZYYYYC 2121 ZY1D 1 (5.7)

sau invers,

;BZ ;B

1DY1

B

1AY 2

(5.8)

5.3. Determinarea constantelor cuadripolului din încercări particulare: mers în

gol şi scurtcircuit

Regimurile limită de funcţionare ale cuadripolului permit determinarea constantelor

cuadripolului şi ele corespund valorilor limită ale impedanţei de sarcină ZS. Astfel, regimul de mers

în gol corespunde lui ZS= iar regimul de scurtcircuit lui ZS=0.

De menţionat că aceste regimuri particulare se realizează astfel încât la mersul în gol,

tensiunea secundară să fie tocmai U2, iar la mersul în scurtcircuit, curentul secundar să fie tocmai I2.

La mersul în gol, U1=U10, I=I10 iar I2=0. Astfel din ecuaţiile (5.1) rezultă:

210 UAU şi 210 UCI , de unde 2

10

U

UA şi

2

10

U

IC .

La regimul de scurtcircuit SC11 UU , SC11 II iar U2=0. Ca urmare 2SC1 IBU şi

2SC1 IDI , de unde 2

SC1

I

UB şi

2

SC1

I

ID .

5.4. Impedanţa caracteristică şi constanta de propagare a cuadripolului

În primul paragraf al acestui capitol s-a arătat că cuadripolul este caracterizat de patru

constante, trei finite independente. Dacă în plus cuadripolul este şi simetric, două constante sunt

suficiente. Cele două constante pot fi alese arbitrar, spre exemplu impedanţa caracteristică şi

constanta de propagare.

Astfel, impedanţa caracteristică este impedanţa care corectată la bornele de ieşire ale

cuadripolului se regăseşte şi la cele de intrare, adică:


63

1

1

2

2C

I

U

I

UZ (5.9)

Dacă cuadripolul este simetric, adică dacă DA se poate scrie:

22

22

1

1

IAUC

IBUA

I

U

sau C

C

1

1 ZAZC

BZA

I

U

(5.10)

de unde

C

BZC .

Constanta de propagare a cuadripolului simetric se defineşte ca fiind logaritmul natural al

expresiei:

)CBAln(I

Iln

U

Uln

2

1

2

1 (5.11)

Numărul complex se poate scrie şi sub forma:

=+j,

unde este constanta de atenuare iar constanta de fază(rotire).

Din condiţiile CBA)exp( şi CBA12

rezultă CBA)exp( , de unde

se deduc relaţiile:

)sinh(2

)exp()exp(CB

)cosh(2

)exp()exp(A

sau ţinând cont şi de expresia lui C

BZC , se deduce:

)sinh(ZB C şi CZ

)sinh(C

(5.12)

Cu acestea, ecuaţiile cuadripolului devin:

)cosh(I)sinh(Z

UI

)sinh(ZI)sin(UU

2

C

21

C221

(5.13)

5.5. Aplicaţii

1) Ce este un cuadripol electric?

2) Scrieţi ecuaţiile unui cuadripol pasiv, specificând semnificaţia fizică a constantelor A, B,

C, D.

3) Prezentaţi schema echivalentă în T a unui cuadripol.

4) Prezentaţi schema echivalentă în П a unui cuadripol.

5) Scrieţi expresiile constantelor A, B, C, D ai unui cuadripol în funcţie de mărimile

caracteristice regimurilor de mers în gol şi scurtcircuit al acestuia.

6) Cum se defineşte impedanţa caracteristică a unui cuadripol simetric?

7) Cum se defineşte constanta de propagare a unui cuadripol simetric?

8) Să se determine constantele fundamentale ale cuadripolului din fig.5.4, precum şi

impedanţa caracteristică şi constanta de propagare.


64

Fig. 5.4. Cuadripol pasiv cu schemă

echivalentă în T

Soluţie:

Constantele fundamentale ale cuadripolului se determină cu relaţiile:

S 125.0j8

jYC

5.4j128

1j)16j6()16j6(2YZZ2B

75.0j18

1j)16j6(1YZ1DA

22

11

1

Impedanţa caracteristică se calculează cu relaţia:

8.5j3.8)8j()5.4j12(C

BZC

iar constanta de propagare este:

27.2j95.0)3.0j25.0ln(])5.4j12(125.0j75.0j1ln[)CBAln(

65

BIBLIOGRAFIE

1. Şora, Constantin, Bazele electrotehnicii, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1982

2. Răduleţ, Remus, Bazele electrotehnicii. Probleme, vol.1, 2, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982

3. Simion, Emil, Electrotehnică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1978

4. Buta, Adrian, Pană, Adrian, Milea, Liviu, Calitatea energiei electrice,

Editura AGIR, Bucureşti, 2001

Bazele electrotehnicii Lectii de curs · alternativ şi Teoria cuadripolului. Prezentările sunt...

Documents

Transcript of Bazele electrotehnicii Lectii de curs · alternativ şi Teoria cuadripolului. Prezentările sunt...