UNIVERSITATEA "DUNĂREA DE JOS"DIN GALAŢI FACULTATEA DE INGINERIE DIN BRĂILA

ŞEF DE LUCRĂRI ING. LUIZA GRIGORESCU

BAZELE ELECTROTEHNICII

NOTE DE CURS

PENTRU UZ INTERN

GALAŢI 1999

2

Bibliografie

1. Mocanu C. I. - Teoria câmpului electromagnetic, E.D.P., Bucureşti 1983;

2. Mocanu C. I. - Teoria circuitelor electrice, E.D.P., Bucureşti 1979;

3. Bala C. - Maşini electrice, E.D.P., Bucureşti, 1979;

4. Fransua A., Măgureanu R.- Maşini şi acţionări electrice, E.D.P., 1986;

5. Răduleţ R. - Bazele electrotehnicii I, II,E.D.P., 1981;

6. Fireteanu V. - Electrotehnica şi instalaţii electrice în metalurgie- curs IPB 1989;

7. Antoniu I.S.- Bazele electrotehnicii, E.D.P., Bucureşti, 1974.

3

CUPRINS

Capitolul 1. Mărimile electromagnetismului. Starea de electrizare a corpurilor.

Polarizare electrică. Tensiune electrică. Flux electric .......................................5

- Câmpul electric. Mărimi caracteristice..................................................................6

- Tensiunea electrică. Potenţial electri. Flux electric. Condensator electric.

Capacitate electrică................................................................................................ 8

- Câmpul electric imprimat. Tensiunea electromotoare .........................................10

- Starea electrocinetică a corpurilor şi mărimile ie caracteristice ........................ ..12

- Starea de magnetizare a corpurilor. Mărimi de stare ale câmpului magnetic

în corpuri ................................................................................................................13

- Tensiunea magnetică. Flux magnetic. Circuit magnetic. Bobină electrică.

Inductivitate......................................................................................................... ...17

Capitolul 2. Legile electromagnetismului. Consecinţe şi aplicaţii ................... ....19

- Legea fluxului electric..................................................................................... ....19

- Legea conducţiei electrice......................................................................................23

- Legea transformării energiei în conductoareparcurse de curent electric.

( Legea Joule-Lentz)...................................................................................................26

- Legea electrolizei............................................................................................. 29

- Legea fluxului magnetic .................................................................................... 30

- Legea conservării sarcinii electrice.....................................................................31

- Legea inducţiei electromagnetice ...................................................................... 33

- Legea circuitului magnetic .................................................................................35

- Energia câmpului electromagnetic şl forţele specifice câmpului

electromagnetic.......................................................................................................43

- Electrostatica-regimul static al câmpului electric ................................................45

- Câmpul şi potenţialul electric al sarcinilor electrice. Forţe de interacţiune

între sarcini electrice...............................................................................................48

4

Capitolul 3. Regimul de curent continuu în conductoare- regimul staţionar al

câmpului electric. Circuite electrice de curent continuu.Circuite de curent

alternativ.............................................................................................................. 55

- Proprietăţile regimului de curent continuu în conductoare................................... 55

- Regimul staţionar al câmpului magnetic ............................................................. 61

Calculul circuitelor magnetice

- Energia câmpului şi expresiile generale ale forţelor de câmp magnetic

staţionar ......................................................................................................................75

- Câmpul electromagnetic variabil în timp .............................................................76

- Circuite electrice alimentate în curent alternativ monofazat ................................ 83

- Reprezentarea prin mărimi complexe a mărimilor sinusoidale ............................. 87

- Calculul reţelelor de curent alternativ în regim armonic ....................................... 90

- Circuite trifazate de curent alternativ .................................................................94

Bibiografie

5

CAPITOLUL 1 Mărimile electromagnetismului. Starea de electrizare a corpurilor.

Polarizarea electrică. Tensiunea electrică. Flux electric. Noţiunea de fenomen electromagnetic defineşte o clasă de fenomene fizice care

se manifestă în prezenţa unor corpuri aflate în stări speciale cum ar fi starea de electrizare sau de magnetizare denumite stări electromagnetice. Aplicaţiile tehnice ale fenomenelor electrice şi magnetice pot fi explicate luând în discuţie ipoteze simplificatoare în teoria câmpului electromagnetic, ceea ce a permis dezvoltarea unei ramuri aparte a electromagnetismului denumită teoria circuitelor electrice.

Mărimea fizică . O proprietate a stărilor şi fenomenelor fizice susceptibilă la determinări calitative prin comparaţie cu altă mărime de aceeaşi natură se numeşte unitate de măsură. Rezultatul comparaţiei este măsura sau valoarea mărimii relativă la unitatea de măsură aleasă.

Mărimile introduse pe cale experimentală se numesc primitive, iar cele determinate pornind de la mărimile primitive se numesc mărimi derivate. Câmpul electromagnetic în corpuri şi în vid este caracterizat de şase mărimi de stare electrică şi magnetică:

- sarcina electrică - momentul electric - momentul magnetic - intensitatea curentului electric de conducţie - intensitatea câmpului electric în vid - inducţia magnetică în vid.

Starea de electrizare. Mărimile de stare ale câmpului electromagnetic în vid

Starea de electrizare a corpurilor se determină constatând că asupra unui corp

conductor, punctiform, electrizat, aflat în vid într-un domeniu în care se manifestă un câmp electric va fi acţionat de o forţă ce depinde de punctul în care se află corpul şi de starea de încărcare electrică, forţă cunoscută sub numele de forţă electrică. Atunci:

)r(EqFe V

→→→

⋅=

VE→

= vectorul intensitate câmp electric în vid. Această relaţie introduce mărimile primitive, sarcina electrică a corpului q şi

intensitatea câmpului electric în vid VE→

, care este o mărime vectorială ce caracterizează starea locală a câmpului electric, într-un punct localizat prin vectorul de poziţie .

6

Câmpul electric poate fi produs de corpuri încărcate cu sarcină electrică precum şi ca rezultat al variaţiei în timp a unui câmp magnetic. Unitatea de măsură în Sistemul Internaţional este Coulombul, [q]s.i = 1C, reprezintă sarcina care încarcă în mod egal două corpuri conductoare, punctiforme situate în vid la distanţa de un metru şi între care se exercită o forţă electrică Fe = 9 x 109 N. Unitatea de măsură pentru

V intensitatea câmpului electric este [E]S.I = 1-----. m Pentru a caracteriza modul în care sarcina electrică se distribuie pe corpuri se

definesc ca mărimi derivate: - densitatea lineică

l

qlim

0ll

∆

∆=ρ

→∆ (2)

- densitatea de suprafaţă

A

qlim

0AS

∆

∆=ρ

→∆ (3)

- densitatea de volum.

V

qlim

0VV

∆

∆=ρ

→∆ (4)

Δl, ΔA, ΔV reprezintă elementele de volum, arie şi de lungime încărcate cu

sarcina Δq.

fig. 1

Fig.l Ansamblul reprezentării grafice a liniilor de câmp Vectorul intensitate câmp electric este tangent în flecare punct la linia de

câmp, linie ce are caracter continuu.

-q

7

În mod experimental s-a constatat că deplasarea cu viteza v a unei sarcini

punctiforme q în vid, într-un câmp magnetic de inducţie Bv este însoţită de apariţia unei forţe suplimentară celei de natură electrică numită forţă magnetică orientată perpendicular pe planul format de direcţia de mişcare şi o direcţie privilegiată. în fiecare punct al spaţiului valoarea forţei magnetice e dată de relaţia (5) :

)BxV(qmF υ⋅=→→→

(5)

Bv - reprezintă inducţia magnetică în vid şi este orientată după direcţia privilegiată.

Câmpul magnetic poate fi produs de corpuri aflate de în stare de magnetizare

precum şi de conductoare aflate într-o stare electrocinetică sau prin variaţii în timp a câmpului electric. Unitatea de măsură pentru inducţia magnetică în Sistemul Internaţional este Tesla [ B ]S.I = 1T .

Starea de polarizare electrică a corpurilor. Se constată că asupra unui corp

izolant, neutru, aflat în interiorul unui câmp electric se exercită un cuplu de natură electrică, orientat perpendicular pe o direcţie privilegiată şi care este dependent ca mărime de intensitatea câmpului electric şi de unghiul pe care aceasta îl face cu direcţia privilegiată, mărimea acestuia fiind proporţională cu Ev şi sinusul unghiului dintre cele două direcţii. Constanta p din relaţia (6) caracterizează o stare nouă numită stare de polarizare a corpurilor

Ce = p • EV • sinα (6)

Cu ajutorul relaţiei ( 7 ) definim mărimea vectorială notată cu →

p şi numită

moment electric. Vectorul →

p are orientarea direcţiei privilegiate.

8

Tensiunea electrică. Potenţial electric. Flux electric. Condensator electric. Capacitatea electrică Prin deplasarea unui corp încărcat cu sarcina electrică q, deplasarea facându-se

într-un câmp electric de intensitate E, între două puncte A şi B în lungul unei curbe (C), câmpul electric efectuează un lucru mecanic:

Mărimea numeric egală cu raportul dintre lucrul mecanic al forţei electrice F şi

sarcina electrică q se numeşte tensiune electrică între punctele A şi B.

Tensiunea electrică este o mărime scalară, algebrică, ce nu depinde de sensul de parcurgere al curbei C .

Regimul unui sistem fizic în care mărimile ce-1 caracterizează sunt invariabile

în timp se numeşte regim staţionar.

9

Teorema potenţialului electric staţionar Această teoremă afirmă că tensiunea electrică în lungul unei curbe

închise (Γ) este nulă.

,0drEU =×=→

Γ

→

Γ ∫ (11)

Considerând punctele A şi B pe curba F = (C1) ∪ (C2) rezultă:

Deci tensiunea electrică între două puncte în regim staţionar nu depinde de

curba în lungul căreia se calculează ci doar de punctele extreme. În aceste condiţii se defineşte o mărime numită potenţial electric( V ) care

defineşte starea câmpului electric într-un anumit punct M. Definirea se face în raport cu un punct de referinţă M0 prin relaţia:

De obicei se adoptă punctul de referinţă la infinit şi potenţialul acestuia va fi:

Acest potenţial este egal cu lucrul mecanic efectuat pentru a deplasa un corp cu

sarcina q din punctul M la ∞. Relaţia ( 15 ) evidenţiază echivalenţa dintre noţiunea de tensiune electrică şi diferenţa de potenţial în regim staţionar.

Suprafaţa ale cărei puncte au acelaşi potenţial electric se numeşte suprafaţă echipotenţială.

Fluxul electric se defineşte ca o mărime ce caracterizează global câmpul electric în raport cu o suprafaţă şi se calculează ca integrală pe o suprafaţă a inducţiei electrice.

→→

⋅=Ψ ∫Γ

ΓdAD

S

S (16)

Condensatorul electric Un condensator electric este un ansamblu de două corpuri conductoare

10

(armături) separate printr-un izolator (dielectric). Dacă armăturile se încarcă cu sarcini egale dar de semne contrare ( + q, - q ), între cele două armături apare o diferenţă de potenţial, U12, denumită tensiune la bornele condensatorului.

Definim capacitatea condensatorului ca raportul dintre modulul sarcinii electrice şi diferenţa de potenţial al celor două puncte.

2112 VV

q

U

qC

−== (17)

Reprezintă raportul dintre modulul sarcinii electrice si diferenţa de potenţial al

celor doua puncte. Unitatea de măsură a capacităţii în Sistemul Internaţional este : [C]SI = 1F (Farad) Câmpul electric imprimat. Tensiunea electromotare. La nivel microscopic structura cristalină ideală a unui conductor metalic constă

dintr-o reţea uniformă în nodurile căreia sunt fixaţi ionii metalului (particule elementare cu sarcină pozitivă) iar electronii de conducţie care au sarcină negativă se

mişcă liberi prin reţea (−

e = -1,6 • 10-19 C). În stare de repaus densităţile de volum ale sarcinii pozitive şi negative sunt

aceleaşi în valori absolute şi corpul este neutru din punct de vedere electric. Dacă conductorul este accelerat se obţine o separare relativă a sarcinilor de semne contrare

şi apare un câmp electric de intensitate →

E . Dacă ne punem problema stabiliri echilibrului unui electron cu sarcina qo în

raport cu reţeaua cristalină, relaţia de echilibru dintre forţe este dată de formula (18):

11

unde: e0 FEq→→

=⋅

F - reprezintă forţa de inerţie ce acţionează asupra electronului.

0q

FE

0

=+

→→

(19)

Raportul 0q

F→

este de natură câmp electric şi se numeşte câmp electric imprimat

de-a lungul unei curbe date (C) între două puncte A şi B.

→→

⋅= ∫ drEiUB

)C(A

)C(eAB (20)

Experimental câmpul electric imprimat se produce prin accelerarea

conductoarelor. Câmpul electric imprimat de contact. Un astfel de câmp apare la contactul

dintre două metale diferite ( Cu, Zn ) care sunt neîncărcate electric şi sunt puse în contact la aceeaşi temperatură. Zincul se încarcă cu sarcină negativă iar Cuprul cu sarcină pozitivă.

Starea de încărcare este rezultatul difuziei parţiale a electronilor din conductorul de Cupru în cel de Zinc. Ansamblul format din cele două metale poartă

12

numele de termocuplu. Un sistem fizic la care asupra particulelor microscopice încărcate cu sarcini

electrice acţionează forţe de natură neelectrică constituie o sursă de tensiune electromotoare.

Prin intermediul lucrului mecanic efectuat de forţele neelectrice asupra particulelor încărcate electric are loc transformarea energiei din energie neelectrică în energie electromagnetică.

Ca exemple de surse de tensiune electromotoare enumerăm: pila electrică Cu - Zn şi acumulatorul cu Plumb.

Starea electrocinetică a corpurilor si mărimile caracteristice ei. Starea electrocinetică este starea electromagnetică creată prin deplasarea

particulelor materiale încărcate cu sarcină electrică. Această stare are ca urmare încălzirea conductoarelor, efect numit efect electrotermic precum şi efect electrochimie, electrodinamic, electromagnetic.

Starea electrocinetică generează câmp magnetic în vecinătatea conductoarelor,ea este caracterizată pentru o anumită polaritate, deci există două sensuri ale curentului electric printr-un conductoare.

Forţa electromagnetică ( forţa Laplace ) Forţa electromagnetică este direct proporţională cu intensitatea curentului

electric şi cu produsul vectorial dintre lungimea conductorului şi inducţia magnetică.

,sinlIBFem

)Bl(IemF

α⋅⋅⋅=

×⋅=→→→

(21) , (22)

Forţa electrodinamică Această forţă se determină experimental şi este dată de relaţia:

13

d2

1lIIF 210ed

π⋅⋅⋅⋅µ= (23)

Forţa electrodinamică apare în prezenţa a doi conductori parcurşi de curenţii Il ,

I2 de acelaşi sens sau de sens contrar şi aflaţi la distanţa d unul faţă de celălalt. În baza relaţiei de definiţie a forţelor electrodinamice se defineşte unitatea de

măsură a intensităţii curentului electric [A] -amperul. Amperul reprezintă intensitatea curentului electric care parcurge două

conductoare filiforme, paralele şi aflate în vid la distanţa de 1m unul faţă de celălalt, sunt acţionate de o forţă electrodinamică ce acţionează pe unitate de lungime de valoare:

N1022

F 70e

−⋅=π⋅

µ=

Caracterizarea locală a stării electrocinetice se face printr-o mărime vectorială

derivată denumită densitate de curent (→

J ): →→

⋅= ∫ dAJI.cond.tsec

Starea de magnetizare a corpurilor. Mărimile de stare ale câmpului magnetic în corpuri

Forţe şi cupluri de forţe de natură magnetică de tipul celor care au fost

evidenţiate cu ajutorul corpurilor încărcate cu sarcina q, care se deplasează cu viteza v se exercită şi asupra corpurilor aflate în repaus fără sarcină electrică. Asupra unui corp de probă aflat într-un câmp magnetic de inducţie (Bv), în vid, apare un cuplu (Cm):

== inducţia magmetică în vid

Se constată experimental că vectorul cuplu magnetic este perpendicular

VB→

14

pe planul determinat de direcţia vectorului inducţiei magnetică (

→

VB ) şi o direcţie

privilegiată pe care acţionează momentul magnetic (→

m ). Acest cuplu se exprimă prin

relaţia (24 ) , fiind proporţional cu inducţia (

→

VB ) si sinusul unghiului a dintre cele doua direcţii:

Cm=mBυsinα (24)

Constanta de proporţionalitate între cuplu şi inducţia magnetică în vid fiind moment magnetic. Cuplul magnetic caracterizează o stare nouă a corpurilor numită stare de magnetizare.

Relaţia (25), introduce mărimea vectorială m, moment magnetic, care are orientarea direcţiei privilegiate:

υ×=→→→

BmCm (25)

Câmpul magnetic neuniform se manifestă asupra unui corp magnetizat sub

forma unei forţe de natură magnetică. Stare de magnetizare locală a unui corp, se

caracterizată prin densitate de volum a momentului magnetic (→

M ).

V

mlimM

0V ∆

∆=

→∆

→

(26)

→

M reprezintă magnetizaţia, →

∆ m este momentul magnetic al volumului elementar ΔV

Magnetizaţia este de două tipuri: temporară şi permanentă. Magnetizaţia temporară reprezintă starea de magnetizare ce apare doar la

introducerea corpului într-un câmp magnetic exterior. Magneţii permanenţi sunt corpuri care în absenţa unui câmp magnetic

exterior prezintă o magnetizare denumită, magnetizare permanentă şi ca urmare a acestei stări corpurile sunt capabile să stabilească un câmp magnetic propriu cu existenţă permanentă în jurul lor.

Corpurile capabile de a avea o stare de magnetizare intensă în jurul lor sunt denumite în tehnică materiale magnetice şi se clasifică în, materiale magnetice moi şi materiale magnetice dure.

Materialele magnetice moi se magnetizează temporar, iar cele dure pot avea o magnetizaţie permanentă considerabilă.

Dacă în vid câmpul magnetic poate fi caracterizat prin inducţia magnetică în

vid VB→

, starea de magnetizare specifică corpurilor se exprimă local prin magnetizaţie

15

→

M face necesară caracterizarea câmpului magnetic în corpuri prin două mărimi.Acestea sunt , intensitatea

Unde:

mχ = susceptivitate magnetică,

l+ mχ = μr (permeabilitate relativă)

şi atunci:

→

B =μ0∙ μr∙

→

H =μ∙→

H (29)

Inducţia mgnetîcă este produsul dintre permeabilitatea magnetică a

corpurilor şi intensitatea câmpului magnetic. Susceptivitatea şi permeabilitatea corpurilor liniare şi anizotrope ce au structuri cristaline sunt mărimi tensoriale.

Dintre materialele magnetice utilizate în tehnică foarte cunoscute sunt materialele feromagnetice (Fe, Co, Ni şi aliajele lor), precum şi materiale ferimagnetice (oxizi de Fe, Mn, Ni, Ba, Sr) care sunt caracterizate de o dependenţă neliniară între magnetizaţia temporară şi intensitatea câmpului magnetic, Mt(H), aşacum se vede în figura 8.

16

Conform figurii de mai sus se constată o magnetizare puternică în câmpuri magnetice de intensitate H > Hs. Hs reprezintă intensitatea câmpului magnetic la saturaţie căruia îi corespunde o magnetizaţie de saturaţie Ms precum şi o inducţie magnetică de saturaţie Bs.

Starea de magnetizare a acestor materiale este caracterizată de curba de magnetizare (fig.9), care reprezintă variaţia inducţiei în funcţie de intensitatea câmpului magnetic, atunci când aceasta variază în sens crescător.

Una dintre mărimile ce caracterizează corpurile magnetice este permeabilitatea

magnetică relativă ce are valori maxime: rmax Curba de evoluţie a inducţiei magnetice în funcţie de intensitatea câmpului

magnetic într-un câmp alternativ este un ciclu de magnetizare , care atunci când intensitatea acestui câmp (H) tinde către 0, devine ciclu de histerezis magnetic.

Se definesc: - inducţia magnetică remanentă (Br) este valoarea inducţiei atunci când

intensitatea câmpului magnetic este zero, după o prealabilă magnetizare la saturaţie. -intensitatea câmpului magnetic coercitiv THc\ este intensitatea câmpului

demagnetizant care asigură anularea inducţiei după ce s-a produs o prealabilă magnetizare de saturaţie.

Curba BH=f(H) din cadranul II (fîg.lO) al ciclului de histerezis, defineşte mărimea (BH)max denumită densitate de volum maximă a energiei magnetice.

Magnetizarea alternativă este insoţită de transformarea energiei electrice în căldură. Materialele magnetice moi au ciclul de histerezis suplu (Hc <800A/m), deci cu pierderi de histerezis reduse, cu valori mari ale lui Bs (la saturaţie) şi ale lui jumax.

17

Tensiunea magnetică. Flux magnetic. Circuit magnetic. Bobina electrică. Inductivitate finductantă).

Tensiunea magnetică este integrala de linie a intensităţii câmpului magnetic între două puncte de-a lungul unei curbe date:

→→

∫= rdHUB

)c(A

m )c(AB

[Um]SI=1H(Henry)

Tensiunea magnetică depinde de curba în lungul căreia se calculează. Fluxul magnetic caracterizează starea câmpului magnetic în raport cu

mulţimea punctelor unei suprafeţe. Se notează cu 0 şi este integrala de suprafaţă a inducţiei magnetice:

AdBS

r⋅=Φ ∫ Γ

→

[Φ]SI=lWb( Weber)

Un ansamblu de corpuri susceptibile ce se află în stare de magnetizare formează un circuit magnetic

În circuitele magnetice câmpul magnetic poate fî produs de corpuri aflate în

stare de magnetizaţie permanentă sau de conductoare aflate în stare electrocinetică care înconjoară corpurile magnetizabile denumite bobine electrice.

Porţiunea de circuit caracterizată de aceeaşi valoare a fluxului magnetic prin orice secţiune se numeşte latură de circuit iar punctul în care converg minim trei laturi se numeşte nod de circuit magnetic.(ex.A,B)

Bobina electrică Bobina este un dispozitiv format prin înfăşurarea unui conductor filiform,

alcătuind un şir de N contururi, denumite spire. Fluxul magnetic ce străbate o spiră a bobinei este un fluxul fascicular care se

18

notează cu Φf; dacă bobina are acelaşi flux fascicular prin toate cele N spire, fluxul total prin bobină este egal cu:

Φ = N∙Φf

Se numeşte inductivitate (inductanţă), raportul dintre fluxul bobinei şi intensitatea curentului ce parcurge spirele bobinei.

Bobina liniară este bobina a cărei inductivitate este o mărime constantă

independentă de valoarea fluxului magnetic

19

CAPITOLUL 2

Legile electromagnetismului. Consecinţe si aplicaţii. Legile câmpului electromagnetic reprezintă relaţii de legătură dintre mărimile

electrice şi cele magnetice obţinute pe cale inductivă sau prin generalizarea datelor obţinute experimental.

Legile de stare sunt relaţii între mărimile câmpului la un moment de timp dat, în timp ce în legile de evoluţie intervin şi derivate ale mărimilor de stare în raport cu timpul.

1. Legea fluxului electric Fluxul electric printr-o suprafaţă închisă Z este egal în fiecare moment cu

sarcina electrică a corpurilor din interiorul suprafeţei.

Considerăm în figura 13 o suprafaţă de discontinuitate Sd a inducţiei electrice care separă două domenii izotope notate cu 1 şi 2, suprafaţă caracterizată printr-o distribuţie superficială a sarcinii electrice. Aplicând legea fluxului electric pe o suprafaţă închisă de dimensiuni reduse, în jurul unui punct, caracterizat de densitatea superficială a sarcinii electrice ρs rezultă:

D1N ∙ A – D2n ∙ A = ρS ∙ A

20

Se obţine în felul acesta forma locală a legii fluxului electric pe suprafeţe de discontinuitate care exprimă faptul că saltul Dln-D2n al componentelor normale ale inducţiei electrice pe suprafeţe de discontinuitate este egal cu densitatea superficială a sarcinii electrice.

Dln-D2n= ρS

Aplicaţii a) Câmpul electric al unui corp sferic încărcat cu sarcina electrică q (fig.14). Din motive de simetrie, pe orice suprafaţă concentrică cu sfera câmpului

electric este concentrat şi orientat normal având aceeaşi mărime în orice punct al suprafeţei.

Aplicând relaţia (34) care exprimă legea fluxului electric, obţinem:

Se constată că intensitatea câmpului are valoare maximala suprafaţa sferei şi

tinde la zero când r→∞.

21

b) Determinarea câmpului electric al unei plăci plane încărcată cu densitatea superficială de sarcină ρS fig-15) :

Dacă sarcina electrică are densitatea superficială ρS şi câmpul electric este

orientat perpendicular pe planul plăcii, considerăm o suprafaţă prismatică dreaptă ale cărei baze de arie A, sunt paralele cu placa şi situate de o parte şi de cealaltă a plăcii. Atunci, legea fluxului electric se particularizează sub forma:

∫ ⋅ρ=⋅⋅ε= AAE2AdD A

rr (38)

ε

ρ=

2E S

(39)

c) Capacitatea condensatorului plan

22

Un astfel de condensator ideal are armăturile plane de arie S şi aflate la distanţă Dacă ε este permitivitatea substanţei ce formează dielectricul situat între

armături, considerând câmpul electric uniform şi o suprafaţă Σ ce îmbracă armatura superioară, legea fluxului electric devine:

D ∙ S = E ∙ ε = q ε · E ∙ S = q (40)

qSd

U

d

UE =⋅⋅ε⇒=

Capacitatea unui condensator este raportul dintre sarcina şi tensiunea electrică

şi atunci funcţie de dimensiunile condensatorului plan putem determina capacitatea astfel:

d

S

U

qC

⋅Σ== (41)

d) Câmpul electric (E

r) rezultant dintre armăturile unui condensator ce are doi

dielectrici diferiţi, având permitivităţile electrice s\ şi 82 şi fiind alimentat la tensiunea U.

Câmpul electric între armături e uniform, liniile fiind perpendiculare pe armăturile condensatorului. Notând cu E1 şi E2, intensităţile câmpului electric îu cele două straturi,

Calculăm tensiunea electrică,dintre armături cu relaţia:

U= 2211

2

1

dEdErdE +=∫rr

(42)

şi considerând sarcina electrică pe suprafaţa de separaţie dintre cele două

dielectrice ca având valoarea ρs=0, scriem legea fluxului electric:

23

ε1 E1 = ε2 E2 (43)

Din relaţiile (42) şi (43) rezultă un sistem de ecuaţii din care determinăm

intensităţile câmpurilor Ei şi E2 ,din straturile de dielectric: (44) (44)

(45)

2. Legea conductiei electrice Prin conducţie electrică se înţelege la nivel microscopic deplasarea purtătorilor

de sarcină electrică. La nivel macroscopic aceasta corespunde cu starea electrocinetică. Legea afirmă că în oricare punct al unui conductor aflat în stare electrocinetică, suma dintre intensitatea câmpului electric şi intensitatea câmpului electric imprimat este dependentă de densitatea curentului electric:

Er

+Er

= ρ ∙ Jr

,

Unde Jr

este densitatea de curent. Constantele de proporţionalitate fiind:

ρ - rezistivitatea electrică; σ - conductivitatea electrică.

σ=ρ

1

Jr

= σ(Er

+Er

i) (46)

24

Forma integrală a actualei legi pentru cazul în care un conductor este parcurs de un curent de intensitate I în regim staţionar, se obţine integrând forma locală:

Dacă suprafeţele Si şi S2 sunt normale liniilor densităţii de curent, integralele

din stânga semnului de egal reprezintă tensiunea electrică U12 şi respectiv tensiunea electromotoare Ue12, nu depind de poziţiile punctelor pe suprafeţele respective.

Cu ajutorul legii conducţiei se poxecalcula şi rezistenţa oferită de conductor între punctele 1 şi 2:

s

lR12 ⋅ρ= (48)

Întorcându-ne la relaţia 47, rezultă relaţia 49:

U + Ue=R · I (49) Suma dintre tensiunea electrică şi tensiunea electromotoare este egală cu

produsul dintre rezistenţă şi intensitatea curentului electric. Relaţia (49) reprezintă legea lui Ohm pentru o porţiune de conductor.

În relaţia (49), tensiunea electromotoare şi produsul RI sunt mărimi algebrice, putând avea valori pozitive sau negative.

În practica circuitelor se obişnuieşte operarea cu valori pozitive ale tensiunii electromotoare şi intensitatea curentului electric în raport cu sensurile alese.

Astfel, dacă pentru figura 18 sensul curentului electric este de la 2 la 1, relaţia (49) devine:

25

U + Ue= - R · I (50) Dacă câmpul electric imprimat are sensul în figura 18 de la 2 la 1, atunci relaţia

(49) devine:

U-Ue=R-I (51) Rezistivitatea este o mărime care este dependentă de temperatură:

ρθ = ρρ0 [1+αρ (θ – θ0)] (52) -αp este coeficientul de temperatură al rezistivităţii şi al rezistenţei. Un ansamblu de conductoare alcătuite din rezistoare şi surse de tensiune

electromotoare susceptibile de a se afla într-o stare electrocinetică poartă numele de circuit electric. Latura de circuit reprezintă porţiunea pentru care intensitatea curentului electric este constantă.

Nodul de circuit este punctul în care converg minimum trei laturi. Prin tensiunea la borne sau între borne a unui circuit electric aflat în regim

staţionar se înţelege integrala de linie din intensitatea câmpului electric, pe o curbă între borne ce nu trece prin conductoare.

Între mărimiileI, R, Ue şi Ub există următoarele relaţii:

Ub + Ue = R ∙ I

Ub + Ue = - R ∙ I Ub - Ue = R ∙ I

În aplicaţiile practice foarte utilizate sunt rezistoarele reciproce (bilaterale).

Din categoria rezistoarelor neliniare fac parte termistorul şi varistorul, care se construiesc din carbură de siliciu prin sinterizare.

Teorema a doua a lui Kirchhoff pentru circuite electrice Se consideră conturul închis Γ al unui circuit electric cu n laturi ce conţine

surse de tensiune electromotoare UeK cu k = (1,......n) şi prin care se stabilesc curenţii I1 ...........In.

26

Aplicând legea lui Ohm pentru fiecare latură a conturului obţinem:

⋅−=−

⋅−=−

⋅=+

⋅−=−

⋅=+

nnenn

kkekK

333

222e2

111e1

IRUU

IRUU

IR0U

IRUU

IRUU

(53)

Considerând ecuaţiile (53) şi ştiind că suma tensiunilor în lungul unei curbe închise este nulă obţinem:

∫Γ

==++++ 0rdEUn..............U..............UU K21

rr (54)

Kk

n

1kek

n

1k

IR)(U)( ∑∑==

±=± (54)

Teorema se enunţă astfel: suma algebrică a tensiunilor electromotoare pe orice

contur închis al unui circuit electric este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune RKIK rezistoarele din acest contur.

3. Legea transformării energiei în conductoare parcuse de curent

electric (Legea Joule - Lentz . legea efectului electrotermic) La trecerea curentului electric printr-un conductor se produce transformarea

energiei electromagnetice în energie interioară şi reciproc dacă conductorul este la stareelectrocinetică. Forma locală a acestei legi afirmă că : în orice punct al unui conductor aflat în stare electrocinetică densitatea de volum a puterii instantanee-definită ca energia transformată în unitatea de timp- este egală cu produsul scalar dintre intensitatea câmpului electric şi densitatea de curent:

p = JE

rr⋅

În cazul conductoarelor liniare ştim că:

2JpJE ⋅ρ=⇒⋅ρ=rr

(56)

Ţinând seama de legea conducţiei electrice conform căreia:

JEE i

rrr⋅ρ=+

JEJJ)EJ(pEJE i

2ii ⋅+⋅ρ=+⋅ρ=⇒−⋅ρ=

rrrrrr (58)

27

Produsul dintre rezistivitate şi pătratul densităţii de curent reprezintă energia

electrică din unitatea de volum care se transformă ireversibil în căldură în unitatea de timp.

pJ = ρ · J2 (59)

pg = JErr

⋅ (60) pg reprezintă densitatea de volum a puterii - - generate de sursă, când pg > 0 - absorbită de sursă când pg < 0 Regula lui Lentz afirmă că, totdeauna, curentul indus într-un contur are un

astfel de sens încât prin câmpul magnetic pe care îl creează se opune variaţiei fluxului magnetic în acest contur.

Într-un contur închis Γ tensiunea electromotoare indusă în contur este egală cu viteza de variaţie cu semn schimbat a fluxului magnetic, prin orice suprafaţă care se sprijină pe curba Γ.

dt

dU

Se

Γ

Γ

ϕ−= (61)

Aplicaţiile acestei legi sunt multiple. a) - Legătura dintre tensiunea la borne şi fluxul magnetic produs de bobina

ideală (fără rezistenţă) şi inductivitatea acesteia atunci când curentul şi tensiunea sunt variabile în timp.

Conform legii inducţiei electromagnetice, fluxul magnetic variabil în timp

28

determină în bobină o tensiune electromotoare:

dt

due

Φ−=

Teorema a doua a lui Kirchhoff aplicată în figura 20 exprimă legătura dintre u şi ue

u = -ue

Ştiind că inductanţa bobinei este egală cu raportul dintre flux şi intensitatea curentului electric:

)t(iL)t(

I

)t(L

⋅=Φ

Φ=

(63) , (64)

tensiunea la bornele bobinei poate fi exprimată astfel:

dt

)t(diL)t(u

dt

)t(d)t(u

=

Φ=

(65), (66)

Ca urmare a faptului că tensiunea electromotoare este rezultatul variaţiei în timp a intensităţii curentului, respectiv a fluxului propriu ce străbate bobina, ea poartă numele şi de tensiune electromotoare autoindusă.

b) Dependenţa dintre curenţii şi tensiunile din transformator. Transformatorul monofazat este reprezentat de două bobine amplasate pe

acelaşi miez magnetic cu scopul închiderii liniilor de câmp magnetic.

29

În figura 21(c) s-a reprezentat bobina primară ca un circuit receptor iar secundara ca un circuit generator.

Dacă fluxul în miezul magnetic are sensul din figura 21 (a), tensiunile electromotoare induse prin bobina primară şi secundară sunt date de relaţiile:

Dacă raportăm cele două căderi de tensiune obţinem

kT este raportul de transformare al transformatorului.

4. Legea electrolizei Experimental, s-a constatat că starea electrocinetică a soluţiilor sau a topiturilor

unor săruri, denumite conductoare de speţa a doua sau electroliţi este însoţită de transport de substanţă.

Purtătorii elementari de sarcină ionii pozitivi şi negativi rezultă prin disociere electrolitică a substanţelor solide în solvenţi sau prin topire. Intr-un câmp electric dintre doi electrozi cufundaţi în electrolit are loc deplasarea ionilor şi neutralizarea lor electrică la electrozi, cu depunere de substanţă sau degajare sub formă gazoasă.

Electroliza este reacţia de oxido-reducere ce are loc într-o soluţie disociată sub acţiunea câmpului electric, însoţită de deplasarea ionilor şi neutralizarea lor la contactul cu electrozii.

Legea electrolizei arată că: masa de substanţă depusă sau care se degajă la fiecare electrod este direct proporţională cu sarcina electrică ce trece prin electrolit.

30

k=coefîcientul de proporţionalitate.

n

A

F

1K ⋅=

F= numărul lui Faraday = 96500 C/echiv. gram A= masa atomică a elementului neutralizat la electrod n= valenţa k= echivalent electrochimie Sarcina electrica se calculează cu relaţia: Depunerea de substanţă la electrozi precum şi reacţiile chimice secundare pot

duce la formarea unei tensiuni electromotoare de tipul tensiunilor electromotoare imprimata de contact între substanţa depusă şi electrolit sau electrod.

Această tensiune se opune trecerii curentului electric şi din această cauză se mai numeşte şi tensiune contraelectromotoare (de polarizare) notată cu Uep.

Schema electrica echivalenta a electrolizorului are structura din fig.22.

Fig.22 Schema echivalenta a electrolizorului

Principalele aplicaţii tehnice ale electrolizei ale electrolizei sunt obţinerea metalelor prin electroliza minereurilor- electrometalurgia, obţinerea metalelor cu puritate ridicata prin rafinare electrolitica sau acoperiri metalice pe cale galvanică.

5. Legea fluxului magnetic Forma integrală a legii afirmă că fluxul magnetic prin orice suprafaţă închisă Σ

este nul în orice moment.

∫ ==Φ ΣΣ 0AdBrr

(70)

Dacă aplicăm legea fluxului magnetic pe o suprafaţă în jurul unui punct situat

pe o suprafaţă de discontinuitate a inducţiei B, suprafaţă ce separă două medii, obţinem forma locală a legii fluxului magnetic pe suprafaţă de discontinuitate care afirmăm că: totdeauna componentele normale ale inducţiei magnetice pe o astfel de suprafaţă sunt egale.

31

Aplicaţii ale legii circuitului magnetic a) Consideram circuitul magnetic din fig .24 cu trei laturi AB, ACB, ADB,

iarAşi B sunt noduri ale circuitului, parcurse de fluxurile Φ1,Φ2,Φ3. Considerăm o suprafaţă închisă E în jurul nodului A. Astfel, legea fluxului magnetic conduce la relaţia:

Generalizând formula (71), rezultă legea întâi a lui Kirchhoff pentru circuite

magnetice, care se enunţă astfel: suma algebrica a fluxurilor magnetice într-un nod al unui circuit magnetic este nulă.

32

∑=

=Φ±n

1kK 0 (72)

b) Intensitatea câmpului magnetic în circuitele magnetice cu magneţi permanenţi Circuitul din figura 25 este specific aparatelor de măsurare magnetoelectrice

şi este alcătuit dintr-un magnet permanent 1 miezurile magneţilor 2, 3, 5, care asigură închiderea câmpului magnetic prin întrefierurile 4.

2 = magnet permanent 1,3,5 = substanţă feromagnetică 4 = magnet Miezurile magneţilor se construiesc din materiale magnetice moi care au

permeabilitate magnetică foarte mare. S, şi S2 sunt suprafeţe de discontinuitate între două medii care au proprietăţi magnetice diferite şi ca urmare, valorile inducţiilor magnetice normale prin cele două suprafeţe sunt egale.

n2ln BBrr

= (73)

Exprimăm inducţia în funcţie de intensitatea câmpului magnetic şi

permeabilitate, determinăm valoarea lui H,.

21

212211 HHHH ⋅

µ

µ=⇒µ=µ (74)

Observăm că atunci când miezurile magnetice sunt de mare permeabilitate

33

μ1>> μ2 , putem aproxima că intensitatea câmpului magnetic în acestea este nulă, H1 ≈0.

5. Legea conservării sarcinii electrice În legile de evoluţie ale câmpului electromagnetice cum este legea conservării

sarcinii electrice intervin în afara derivatelor în raport cu coordonatele spaţiale şi derivate în raport cu timpul. Din acest motiv, ecuaţiile ce exprimă formele locale a acestei legi pentru mediile imobile diferă faţă de ecuaţia pentru corpurile aflate în mişcare la care apare viteza acestora în raport cu sistemul de referinţă.

Fie două corpuri conductoare care iniţial au fost încărcate cu sarcini qlo,q2o aflate la potenţiale diferite, legându-se între ele printr-un conductor prin care se stabileşte un curent electric măsurat cu ajutorul unui galvanometru.

Corpul încărcat cu sarcina iniţială q]0 este legat la un electrometru, aparat cu care se măsoară valoarea sarcinii electrice.

Din momentul închiderii contactului k, intensitatea curentului electric se

modifică dependent de evoluţia în timp a sarcinii electrice . Dacă considerăm o suprafaţă închisă Z în jurul corpului q1? intensitatea

curentului care iese din această suprafaţă este egală în orice moment cu viteza de scădere cu semn schimbat a sarcinii electrice a tuturor corpurilor închise în suprafaţa respectivă.

34

dt

dqi Σ

Σ −=

Legea conservării sarcinii electrice arată că dacă suprafaţa nu este intersectată de nici un conductor, domeniul VΣ se numeşte izolat galvanic faţă de exterior, într-un astfel de domeniu suma sarcinilor electrice ale corpurilor se menţine constantă qΣ = const., chiar dacă are loc schimb de sarcină între corpuri.

Consecinţele legii conservării sarcinii electrice

1. Sarcina electrică în interiorul corpurilor conductoare liniare este nulă (ρυ=0) 2. Teorema I a lui Kirchoff pentru circuitele electrice, afirmă că suma algebrică

a intensităţii curentului electric într-un nod al unei reţele electrice este nulă. Un circuit poate fî constituit dintr-o reţea de conductoare şi surse în care mai

multe laturi converg către un punct numit nod de reţea ca în figura 28.

3. Legătura dintre intensitatea şi tensiunea la borne a unui condensator în regim

variabil în timp se determină cu relaţia:

35

dt

duCi ⋅= (76)

unde C este capacitatea condensatorului.

Legea inducţiei electromagnetice Câmpul electromagnetic poate fi determinat atât de corpuri încărcate cu sarcini

electrice, de corpuri polarizate permanent, de sursele de tensiune electromotoare, dar şi de câmpuri magnetice variabile în timp.

Prin inducţia electromagnetică se înţelege fenomenul de producere a unui câmp electric, respectiv a unui curent electric în conductoare, denumit câmp electric indus, prin variaţia în timp a unui câmp magnetic. Fenomenul este specific transformatoarelor electrice, maşinilor electrice, echipamentelor de încălzire electrică prin inducţie.

Într-un câmp magnetic variabil în timp, tensiunea electromotoare indusă este integrala pe o curbă închisă a câmpului electric şi este nenulă.

0rdE ≠⋅∫ Γ

rr

Legea inducţiei electromagnetice stabileşte legătura dintre tensiune şi fluxul magnetic variabil în timp.

36

Fie dispozitivul din figura 30.a, format dintr-o spiră fixă (f) care conţine un

galvanometru şi un magnet permanent (2) ce generează un câmp magnetic de inducţie B . La deplasarea magnetului înspre şi dinspre spiră, aparatul indică un curent al cărui sens este dependent de sensul de deplasare al magnetului.

Se constată că intensitatea curentului depinde şi de viteza de deplasare a magnetului. Ca urmare, a deplasării magnetului, variază fluxul realizat de el prin spiră şi putem privi apariţia curentului electric urmare a acestei variaţii. Magnetul este inductorul, iar spira este indusul.

În figura 30.b s-a reprezentat indusul plasat între câmpul magnetic inductor uniform şi este construit dintr-o bară metalică în formă de U (1), fixă, pe care poate aluneca paralel cu ea însăşi o bară notată cu (2). Variaţia fluxului magnetic prin conturul închis Γ constituit din barele 1 şi 2, este rezultatul deplasării barei (2), suprafaţa delimitată de curba Γ fiind variabilă.

Fig.30.Dispozitiv pentru punerea în evidenţă a legii inducţiei electrice Se constată în acest experiment că intensitatea curentului indus este

proporţională cu viteza V de deplasare a barei 2 . Având în vedere că forţa electromagnetică care echilibrează forţa de antrenare a barei are orientarea spre

stânga (fig.30.b) rezultă conform relaţiei (Fr

em = I( lr

x Br

) că sensul curentului indus este asociat după regula burghiului stâng cu sensul câmpului magnetic

inductor. Variaţia fluxului magnetic prin conturul r constituit din barele 1 şi 2 este rezultatul deplasării barei 2 şi duce la apariţia a două forţe:

• una de natură mecanică: Fr

m

• una de natură electromagnetică: Fr

em = I( lr

x Br

) (78) Aceste două forţe vor facilita apariţia curentului electric de intensitate

determinabilă cu legea burghiului, sensul curentului electric indus fiind acelaşi cu sensul câmpului magnetic inductor.

Putem spune că fenomenul de inducţie electromagnetică este un fenomen de

37

reacţie şi că puterea transformată în lungul unui conductor delimitat de două suprafeţe este produsul dintre tensiune şi intensitate.

P = U ·I = (R ∙ I -Ue) ∙I P = R ∙I2 - Ue · I =PJ - Pg

PG este puterea debitată sau absorbită dacă conductorul este de tip sursă. Pj este puterea electrică transformată în căldură pe rezistorul R. Producerea unei tensiuni electromotoare cu variaţie sinusoidală în timp

Sistem trifazat simetric de tensiuni electromotoare. Cadrul dreptunghiular de arie A din figura 31 având axa perpendiculară pe

liniile unui câmp magnetic uniform de inducţie B se roteşte cu viteza unghiulară a. Fluxul magnetic prin cele N spire ale cadrului la momentul în care vectorul inducţie formează unghiul a cu normala îi pe suprafaţa cadrului, are expresia:

Cum α = ω·-t atunci fluxul magnetic variabil în timp induce în cadru o

tensiune electromotoare şi ea variabilă în timp şi egală cu:

38

Valoarea acestei tensiuni este evidenţiată cu ajutorul voltmetrului cuplat la

inelele fixate de braţele cadrului. în sens tehnic, o astfel de configuraţie ca cea din figura 31 reprezintă un generator de curent alternativ monofazat.

Un ansamblu de trei cadre dreptunghiulare având planele decalate spaţial cu un

unghi egal cu 3

2π, plasate într-un câmp magnetic uniform, permite obţinerea unui

generator trifazat de curent alternativ. Tensiunile electromotoare induse în cele trei cadre atunci când dispozitivul este rotit cu viteza „v” au următoarele valori:

Principiul încălzirii electrice prin inducţie În orice dispozitiv de încălzire prin inducţie, inductorul este o bobină

alimentată de la o sursă de curent alternativ, iar indusul este corpul conductor ce urmează a fi încălzit.

39

Tensiunea electromotoare indusă de câmpul magnetic inductor variabilă în timp, determină apariţia în corpul conductor a unor curenţi induşi prin al căror efect electrotermic are loc încălzirea indusului, respectiv transformarea energiei electrice a inductorului în energie termică înmagazinată în indus.

8. Legea circuitului magnetic

Câmpul magnetic în regim staţionar şi în medii imobile este stabilit de magneţi Dermanenţi şi de bobine sau conductoare parcurse de curent electric. Câmpul nagnetic variabil în timp poate fi produs atât de variaţia în timp curentului electric ;ât şi de variaţia în timp a unui flux electric. Legea circuitului magnetic stabileşte [egătura dintre intensitatea curentului electric şi fluxul electric variabil în timp şi de ;âmpul magnetic pe care îl determină aceste mărimi.

Forma sa integrală afirmă că tensiunea magnetică în lungul unei curbe închise F este egală cu suma dintre solenaţia corespunzătoare oricărei suprafeţe delimitate de :urba F şi viteza de variaţie în timp a fluxului magnetic prin suprafaţa respectivă.

40

Bobina cilindrică ideală din figura 34 având lungime 1 mult mai mare decât orice altă dimensiune transversală se caracterizează printr-o structură uniformă a câmpului magnetic interior, materializându-se printr-o intensitate H a câmpului magnetic diferită de zero şi un câmp nul în exterior.

Considerăm un contur închis F şi scriem legea circuitului magnetic:

l

ININlH

⋅⇒⋅=⋅

Fluxul magnetic prin spiră este numit flux fascicular Φf Fluxul total prin cele Nspire:

Φ = N∙ Φf

Φf este un flux fascicular şi atunci fluxul total:

Din relaţia (88) definim inductanţa bobinei b) Câmpul magnetic al unui conductor cilindric circular parcurs de curent electric

Curentul electric ce parcurge conductorul este un curent continuu şi este

repartizat uniform pe secţiune. Dacă I este intensitatea curentului prin conductorul cilindric având raza a, putem calcula densitatea de curent din conductor:

41

2a

I

A

IJ

⋅π==

Din motive de simetrie, liniile câmpului magnetic sunt cercuri concentrice şi au

centrul situat pe axa conductorului, vând planele perpendiculare pe această axă. Aplicând legea circuitului magnetic pentru două linii de câmp, ce reprezintă

două contururi Γi Γe ce au razele r4 şi re, obţinem:

Variaţia radială a câmpului magnetic din figura 35b evidenţiază maximul intensităţii câmpului la suprafaţa conductorului, şi anularea în centrul conductorului şi la distanţă foarte mare de conductor.

c) Raportul intensităţilor curenţilor din înfăşurarea primară şi secundară a unui transformator electric.

Aplicând legea circuitului magnetic printr-un contur V, închis, ce reprezintă

de fapt o linie de câmp magnetic cu lungimea lFe în miezul magnetic, linie ce parcurge şi înfăşurarea principală şi secundară, obţinem:

Când miezul magnetului se execută din material feromagnetic cu

permeabilitate magnetică foarte mare (μFe → ∞):

42

kT = raportul de transformare al transformatorului Deci raportul curenţilor din primar şi secundar este egal cu inversul raportului

de transformare al transformatorului. d) Inducţia magnetică în întrefierul unui electromagnet

Miezul magnetului 1 asigură închiderea fluxului magnetic produs de bobina 2 cu N spire prin întrefierul 3 al electromagnetului. Linia de câmp reprezintă curba F, iar lFe este lungimea liniei de câmp prin miez.

Legea circuitului magnetic prin conturul F determină relaţia:

Pentru suprafaţa S dacă aplicăm legea fluxului magnetic determinăm că

inducţiile magnetice prin întrefier şi miez sunt egale:

Dacă în formula 14 exprimăm pe intensitatea câmpului magnetic H în funcţie

deinducţia magnetică B, rezultă:

43

Energia câmpului electromagnetic şi forţele specifice câmpului

electromagnetic Energia internă a unui sistem fizic situat într-un domeniu închis într-o

suprafaţă S se exprimă funcţie de parametrii de stare de natură electromagnetică şi anume inducţia electrică şi magnetică, intensitatea câmpului electric şi magnetic.

Scăderea energiei electromagnetice a unui sistem fizic în volumul delimitat de I este datorată într-un interval de timp elementar următoarelor acţiuni şi efecte:

1 .lucrul mecanic efectuat de forţele şi cuplurile de natură electromagnetică.

2.transformarea ireversibilă a energiei electromagnetice în căldură prin efect

electrotermic.

3. Transformarea ireversibilă a energiei electromagnetice în căldură prin efecte

de histerezis electric şi magnetic.

4.Radiaţia electromagnetică prin suprafaţa I a domeniului.

Atunci bilanţul energetic ne conduce la relaţia:

44

Dacă toate corpurile cuprinse în interiorul acestui volum sunt imobile şi nu au pierderi sub formă de histerezis, atunci energia electromagnetică în interiorul volumului este:

reprezentând suma energiilor câmpului electric şi magnetic având densităţile

de volum ωe, ωm.

Aplicaţii 1 .Calculul energiei câmpului electric al unui condensator şi al unui

ansamblu de corpuri încărcate cu sarcini electrice. Dacă considerăm un condensator plan, ideal, cu dielectric omogen, câmpul

electromagnetic uniform ce apare în volumul dielectricului poate fi exprimat funcţie de densitatea e volum a energiei electrice

unde se cunosc: Ştiind capacitatea condensatorului, obţinem energia câmpului electric:

2.Calculul energiei câmpului magnetic al unei bobine ideale caracterizată de

densitatea de volum a energiei magnetice wm în volumul bobinei, notat cu Vb,în afara bobineidensitatea fiin zero.

45

Dacă în locul condensatorului considerăm un ansamblu de ftn" corpuri

conductoare încărcate cu sarcini electrice şi dacă:

Pentru cazul în care dorim generalizarea expresiei lui wm, considerăm câmpul magnetic al unui ansamblu de bobine parcurse de curenţii Ilv..,In şi având fluxurile

Electrostatica-regimul static al câmpului electric. Aplicaţiile în tehnică Particularităţile regimului electrostatic al câmpului electromagnetic. Regimul static al câmpului electric este stabilit de corpurile imobile cu

sarcinile invariabile în timp şi care nu se află în stare electrocinetică.

Prin particularizarea legilor câmpului electromagnetic în concordanţă cu această definiţie rezultă următoarele proprietăţi ale câmpului electrostatic: 1.Câmpul electrostatic este nul în conductoarele omogene

46

Specific conductoarelor omogene este faptul intensitatea câmpului electric

imprimat E( = 0 .Dacă aceste conductoare sunt în regim electrostatic (J=0):

Câmpul electric este de asemenea zero în interiorul oricărei cavităţi aflată în

conductor dacă corpurile din cavitate nu sunt încărcate cu sarcină electrică. Astfel de cavităţi spunem că sunt ecranate din punct de vedere electric de conductoarele care le înconjoară, faţă de orice câmp electric din exteriorul conductorului.

2.Suprafeţele conductoarelor sunt echipotenţiale şi liniile câmpului electric

sunt perpendiculare pe suprafaţa conductoarelor. Dacă considerăm între două puncte Ml şi M2 de pe suprafaţa unui conductor

omogen o curbă (C) ce parcurge interiorul conductorului, atunci putem scrie că toate punctele situate pe această curbă câmpul electric este nul.

Atunci între potenţialele punctelor există relaţia:

Relaţia de mai sus arată că punctele conductorului au acelaşi potenţial. Dacă

pe aceeaşi suprafaţă a conductorului se consideră două puncte foarte apropiate caracterizate de vectorii de poziţie r, r + dr , atunci putem afirma că potenţialele celor două puncte sunt egale sau altfel spus:

Câmpul este aşadar perpendicular pe suprafaţa conductorului în regim

electrostatic. 3.Sarcina electrică se dispune numai pe suprafaţa conductoarelor. în conductoarele omogene E = 0 => D = 0; atunci conform legii fluxului

electric densitatea de volum a sarcinii este nulă şi în consecinţă sarcina care

47

eventual încarcă conductoarele se distribuie numai pe suprafaţa acestora.

Se numesc suprafeţe corespondente în câmpul electric static suprafeţele Si şi

S2 din figura 38 delimitat de două corpuri conductoare între care se stabileşte un tub de linii de câmp de natură electrică. Dacă qx şi q2 sunt sarcini electrice stocate pe cele două suprafeţe, atunci, conform legii fluxului electric:

q1 + q2 =0 ⇒ q1 = - q2 unde sarcinile sunt egale şi de semne contrare. Densitatea sarcinii electrice şi intensitatea câmpului electric au valori mai mari

în punctele de pe suprafaţa conductorului caracterizat de rază de curbură mică. Deoarece integrala intensităţii câmpului electric în lungimea oricărei linii de câmp în configuraţia din figura 39 are aceeaşi valoare:

21 VVrdE −=∫rr

Intensitatea câmpului electric descreşte pe măsură ce lungimea liniei de câmp

creşte. Intensitatea este maximă în vârful conductorului, acolo unde raza de curbură este minimă. în zonele în care intensitatea câmpului depăşeşte rigiditatea dielectrică a materialului izolant, acest lucru fiind posibil în vârful ascuţit unde are loc străpungerea izolantului. De aceea, conductoarele instalaţiilor care lucrează la tensiuni înalte au muchiile rotunjite. în tehnica tensiunilor înalte, faptul că intensitatea câmpului electric are valori maxime în vârfurile ascuţite ale conductorului este cunoscută sub numele de efect de vârf sau de muchie.

48

Câmpul st. potenţialul electric al sarcinilor electrice Forte de interacţiune între sarcini electrice

Câmpul produs de o sarcină punctuală este radial, având o simetrie sferică.

R = raza vectoare între sarcină şi M; Dacă

considerăm un ansamblu de corpuri:

q1 ...............qn,, cu n1 R..,.........Rrr

, cu razele vectoare între sarcină şi punct,

câmpul rezultant se calculează astfel:

49

Câmpul electric al unui corp de volum V^, caracterizat de densitatea de volum

a sarcinii electrice py se determină ca integrala pe volumul Vş a câmpului produs de volumul elementar dV:

Pentru cazul în care sarcinile sunt distribuite lineic sau superficial, în relaţia de calcul a intensităţii câmpului electric se înlocuieşte densitatea de volum a sarcinii electrice cu densitatea lineică sau superficială a sarcinii electrice şi se efectuează integrala de suprafaţă sau curbilinie.

Forţa ce se manifestă între cele două corpuri încărcate cu sarcină electrică este dată de relaţiile de mai jos:

Conform legii acţiunilor reciproce ,asupra sarcinii q1 se exercită o forţă egală şi

50

de orientare contrară F21 = -Fn. Relaţia ce exprimă valoarea forţei lui Coulomb arată acţiunea reciprocă, care

este de respingere, dacă q1 • q2 > 0 şi de atracţie, dacă q1 • q2 < 0 • In cazul în care un ansamblu de corpuri încărcate cu sarcinile q1,......qn

interacţionează cu un corp încărcat cu sarcină q aflat la distanţele R1,........Rn -nfaţă de ele, rezultă forţa lui Coulomb:

Condensatoare. Reţele de condensatoare. Mărimi caracteristice ale condensatoarelor. 1 .Capacitatea specifică este raportul dintre capacitate şi volumul

dielectricului şi este cu atât mai mare cu cât grosimea dielectricului este mai mică. Limita grosimii este determinată de valoarea intensităţii E a câmpului

electric. 2.Tensiunea nominală 3.Regimul de lucru în curent continuu sau curent alternativ 4.Frecvenţa maximă de lucru 5.Rezistenţa de pierdere

6.Factorul de disipaţie (kd =fRC2

1

π)

După natura dielectricului, condensatoarele se împart în condensatoare:cu aer,

cu uleiuri electroizolante, cu hârtie, ceramice, electrolitice, e7c.

Reţele de condensatoare O reţea de condensatoare este un ansamblu de condensatoare surse de tensiune

electromotoare, eventual şi rezistoare.

51

Considerăm în nodul A legate patru condensatoare, în jurul lui închizându-se

suprafaţa E, ce trece prin dielectricele condensatoarelor. Cum curentul prin această suprafaţă închisă este nul, legea conservării sarcinii electrice conduce la afirmaţia că suma algebrică a sarcinilor electrice de pe armăturile condensatoarelor conectate la nod este nulă sau egală cu sarcina rezultantă iniţială, după cum în momentul cuplării lor în nod condensatoarele erau descărcate sau încărcate cu o sarcină electrică. Aplicând legea conservării sarcinii electrice, ajungem la prima teoremă a lui Kirchhoff pentru condensatoare:

iΣ = 0

Dacă în figura 44 considerăm condensatoarele unu şi trei ca fiind încărcate

iniţial sarcinile qio şi q30 şi scriem prima teoremă a lui Kirchhoff pentru reţele de condensatoare, referitor la nodul A avem:

52

Considerăm în figura 45 un ochi de circuit în care, parcurgând conturul închis

F şi aplicăm legea inducţiei electromagnetice, ţinând cont în regim electrostatic de legea conducţiei electrice, scriem următoarele relaţii:

Materializăm legea pentru conturul din figura 45:

Relaţia (39) arată că suma algebrică a tensiunilor electromotoare produse de

sursele din laturile circuitului este egală cu suma algebrică a tensiunilor de la bornele condensatoarelor de pe laturile ochiului de circuit.

53

Energia câmpului si expresiile generale ale forţelor în câmp

electromagnetic Prin energie a câmpului electrostatic se înţelege energia corespunzătoare stării

de electrizare a corpurilor. Această energie este egală cu lucrul mecanic efectuat pentru a aduce în starea

finală de electrizare toate corpurile sistemului considerat, pornind dintr-o stare iniţială în care toate sarcinile electrice sunt nule şi ca urmare şi câmpul electric este nul.

Energia câmpului produs de un ansamblu de n conductoare încărcate cu sarcini qi,q2,... ,qn şi aflate la potenţiale Vi,... ,Vn este egală cu:

Dacă luăm în considerare densitatea de volum locală a energiei:

Energia câmpului electrostatic din volumul Fz se exprimă prin integrala

54

Forţa care se exercită asupra unui corp ce ocupă domeniul D, în câmp electrostatic s-ar putea calcula cu formula lui Coulomb divizând toate domeniile încărcate cu sarcini electrice în zone elementare şi efectuînd integrale ale forţei elementare pe aceste domenii :

55

CAPITOLUL 3

Regimul de curent continuu în conductoare-regimul staţionar al câmpului electric .Circuite electrice de curent continuu. Circuite de curent alternativ.

1 .Proprietăţile regimului de curent continuu în conductoare . Regimul staţionar al câmpului electric denumit regim de curent continuu în

conductoare este un caz particular al câmpului electromagnetic aflat în conductoare străbătute de curent electric ale cărui mărimi nu variază în timp.

Proprietăţile caracteristice ale regimului de curent continuu în conductoare sunt:

a) Curentul electric continuu care străbate orice suprafaţă închisă este nul.

Curentul electric ce străbate orice suprafaţă închisă este nul. Sl5S2 sunt suprafeţe transversale. S1, este suprafaţă laterală.

56

21 II =⇒

b) Rezistenţa electrică între suprafeţele S1 şi S2 ale unui conductor liniar şi izotop în curent continuu se calculează:

c) Teorema bilanţului puterilor într-un circuit electric izolat de exterior.

În figura 4, care formează între două noduri A şi B, trei laturi BCA şi

ADB,AB, parcurse de curenţii I1, I2, I3 şi caracterizat de câmpurile imprimate 1iEr

,

2iEr

, 3iEr

Atunci:

57

Unde Γ1 şi Γ2 reprezintă contururile închise BCAB şi ADBA, iar din teorema întâi a lui Kirchoff am dedus I3=I1-I2. înlocuind conform legii conducţiei electrice, expresiile intensităţii câmpului electric, se obţine:

Ramurilor le corespund rezistenţele următoare: R, → BCA R2 →ADB R3 → AB Relaţia (6) poate fi scrisă sub forma:

Partea dreaptă a relaţiei (7) care exprimă teorema bilanţului puterilor: puterea debitată de sursele unui circuit electric de curent continuu, izolat de exterior este egală cu puterea dezvoltată prin efect Joule - Lenz în circuit.

Circuite electrice în curent continuu Un circuit bipolar , cu două borne de acces din exterior poate fi generator

sau receptor:

Rezolvarea circuitelor se face prin teoremele I şi II a lui Kirchoff. Pentru figura 6 avem următoarele relaţii:

58

Metoda rezistentelor echivalente . Divizor de tensiune. Divizor de curent.

Legarea serie a rezistoarelor La legarea în serie a rezistoarelor calculul rezistenţei echivalente se realizează

ştiind ca rezistoarele sunt parcurse de acelaşi curent dar au la borne tensiuni diferite (Fig. 7).

Relaţia de calcul pentru cazul a „n"rezitoare este dată mai jos:

Legarea în paralel a rezistoarelor În cazul legării în paralel a rezistoarelor, acestea vor fi parcurse de curenţi

diferiţi, dar au la borne aceeaşi cădere de tensiune. Calculul rezistenţei echivalente se face utilizând schema din figura 9.

59

Pentru un grup de)(n rezistoare relaţia de calcul a rezistenţei echivalente este:

Divizorul de tensiune Cu ajutorul divizomlui de tensiune putem obţine cu ajutorul a două rezistoare

un eşantion din tensiunea aflată la bornele lor, a cărei valoare estedependentă de valorile rezistoarelor înseriate.

60

Divizorul de curent Divizorul de curent se obţine prin legarea în paralel a două sau mai multe

rezistoare.

Trecerea de la conexiunea triunghi la conexiunea stea a consumatoarelor Resistenţele din schema echivalentă se calculează cu relaţiile (11)

61

Regimul staţionar al câmpului magnetic

Câmpul magnetic al conductoarelor parcurse de curent continuusi al magneţilor permanenţi

Calculul circuitelor magnetice Bobine cuplate magnetic Forte de interacţiune în câmp magnetic

În anumite cazuri particulare calculul câmpului magnetic al conductoarelor

parcurse de curent se poate face cu ajutorul teoremei lui Ampere, şi anume forma particulară a teoremei, care se adresează circuitului magnetic în regim staţionar.

a) Această lege exprimă legătura dintre tensiunea magnetică pe o curbă închisă

Fşi solenaţia 6$r Prm orice suprafaţă care se sprijină pe curba/", vectorul intensităţii câmpului magnetic H fiind orientat după sensul curenţilor care-1

determină după regula burghiului drept. Câmpul magnetic al unui conductor rectiliniu infinit lung.

Liniile câmpului magnetic sunt cercurile concentrice cu centrul pe conductor, aşezate în plane perpendiculare pe conductorul parcurs de curentul I.

62

Dacă considerăm una din aceste linii ca fiind curba Γ, atunci teorema lui

Ampere se scrie:

b) Câmpul magnetic al unei bobine toroidale Bobina toroidală are forma circulară în secţiune şi un număr N de spire

aşezate pe miez. Liniile câmpului magnetic străbat interiorul bobine, având şi ele o formă circulară, pe un cerc de rază r = a.

Aplicăm teorema lui Ampere:

n= numărul de spire pe unitatea de lungime. c) Câmpul magnetic al unei bare dreptunghiulare parcursă de curentul I.

63

Astfel de bare masive, parcurse de curenţi având intensităţi de 60KA şi 160KA

alimentează cuvele de electroliză a aluminei. Un fir elementar de dimensiuni dx şi dy

în punctul A(x,y) parcurs de curentul elementar dydxLl4

IdI ⋅⋅= , în punctul de

calcul M(a,b) câmpul elementar de modul:

Cele două componente după direcţiile Ox şi Oy, ale câmpului elementar ay

expresiile:

64

Inducţia câmpului magnetic creat de curentul I. care străbate un conductor

fîliform, care formează conturul Γ, de formă oarecare, într-un punct M(r), se determină cu integrala:

formula lui Biot-Savart-Laplace

65

Câmpul magnetic al circuitelor magnetice cu magneţi permanenţi Circuitul magnetic din figura 16 este format din piesele polare notate cu 1,

realizate din materiale magnetice care au permeabilitate magnetică ridicată şi asigură închiderea circuitului magnetic produs de magnet prin întrefierul 3.

Legea circuitului magnetic scrisă pentru figura 16 se scrie astfel:

66

Hm, Hfe , Hδ sunt intensităţile câmpului magnetic prin magnet, în piesele polare şi în întrefier.

Considerând o secţiune transversală în raport cu liniile câmpului magnetic real atât prin magnet cât şi prin piesele polare având ariile Am, Afe, Aδ şi aplicând legea fluxului magnetic, avem:

Calculul circuitelor magnetice Circuitul magnetic este un ansamblu de corpuri din materiale magnetice moi ,

având permeabilitatea magnetică ridicată denumite uzual magneţi permanenţi şi din zone nemagnetice , denumite întrefieruri .

67

Sursa câmpului magnetic denumită şi excitaţia circiutelor magnetice, poate fi constituită din magneţi permanenţi magnetizaţi în prealabil, sau de bobine electrice, parcurse de curent electric, plasate în jurul anumitor porţiuni ale circuitului magnetic.

Zonele de circuit magnetice aflat în preajma unui întrefier se numesc poli magnetici.

Discuţiile care urmează se referă la circuitele magnetice excitate de bobine electrice. O latură de circuit este liniară dacă permeabilitatea magnetică în orice punct este o mărime constantă.

Reluctanţa magnetică (Rm) Reluctanţa magnetică caracterizează comportamentul unui circuit magnetic

în câmp magnetic fiind echivalenta rezistenţei electrice în circuitele electrice.

68

Calculul circuitului magnetic se face cu ajutorul primei teoreme a lui Kirchoff aplicată nodurilor şi ochiurilor de circuit magnetic.

Teorema întâi a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice se enunţă astfel: Suma algebrică a fluxurilor magnetice într-un nod de circuit magnetic este

egală cu zero. Teorema a II-a a lui Kirchoff pentru circuite magnetice: Suma algebrică a tensiunilor magnetice de-a lungul laturilor unui ochi de

circuit magnetic este egală cu suma algebrică solenaţiilor bobinelor care înconjoară laturile circuitului magnetic.

69

70

Calculul circuitelor magnetice neliniare Circuitele magnetice reale sunt neliniare şi necesită cunoaşterea curbei B(H),

sau a curbei permeabilităţii M(H) pentru fiecare din materialele magnetice ce formează laturile de circuit. Determinarea solenaţiei presupune următoarele etape: • se determină inducţia magnetică Bk în toate porţiunile magnetice de

secţiune constantă ale circuitului magnetic. • Din curba de magnetizare se determină intensitatea câmpului magnetic

HK corespunzător lui BK. • Se determină intensitatea câmpului magnetic în întrefîeruri, ca raport

dintre inducţia magnetică în aceste zone şi permeabilitatea magnetului μ0 • Se determină solenaţia bobinei de excitaţie, prin aplicarea teoremei lui

Ampere în lungul unui circuit magnetic care străbate bobina. Bobine cuplate Două bobine sunt cuplate magnetic dacă câmpul magnetic creat de una dintre

ele se închide parţial sau total prin a doua. Astfel de bobine apar în multe echipamente electrice:maşini electrice rotative,

transformatoare,aparate de măsură, traductoare, etc. Câmpul magnetic creat de bobina L1 , din figura 20.a parcursă de curent I1 se

închide şi prin bobina L2 , în spirele bobinei proprii apare fluxul fascicular Φf1 din care numai o parte Φfu21 denumit flux fascicular util în bobina 2 creat de bobina L1

71

şi se închide prin L2. Cu Φfu21 se notează fluxul fascicular de dispersie al bobinei 1 faţă de bobina 2, astfel putem scrie:

Φf1 = Φfu21 + Φfd21

Prin bobina 2 trecerea unui curent I2 şi determină apariţia unui câmp magnetic

care se materializează prin cele trei fluxuri. Cu ajutorul acestor fluxuri putem defini inductivităţile: Inductivitatea proprie a bobinei 1 prin relaţia : Inductivitatea mutuală a bobinei 2 faţă de bobina 1: Inductivitatea de dispersie(de scăpări) a bobinei 1 faţă de bobina 2 :

72

Referitor la cea de-a doua bobină se definesc : Inductivitate proprie:

Inductivitate mutuală:

Inductivitate de dispersie (de scăpări) a bobinei 2 faţă de bobina 1:

L12 şi L21 sunt egale în modul şi se notează de obicei cu M12 (inductivitate mutuală).

Pentru a caracteriza cuplajul magnetic dintre bobine se foloseşte noţiunea de coeficient de cuplaj k, definit ca raportul dintre inductivitatea mutuală şi media geometrică a inductivităţii lor.

este o mărime pozitivă şi subunitară, dar ca valoare, foarte apropiată de 1. Dacă k = 1, spunem că bobinele sunt cuplate magnetic perfect. Dacă k = 0,spunem că bobinele sunt cuplate magnetic.

73

Fluxul magnetic total prin bobine cuplate magnetic Sensul fluxului magnetic printr-o bobină este asociat cu sensul curentului

care-1 produce după regula burghiului drept. În cazul a două bobine care sunt cuplate magnetic, ambele parcurse de curent

electric, fluxul total printr-o bobină este suma dintre fluxul produs de propriul curent şi partea de flux creat de curentul ce străbate a doua bobină ce trece prin prima bobină. Acest al doilea termen poate fi luat pozitiv sau negativ, în funcţie de sensul curentului în raport cu borna de început a bobinei marcată cu asterix.

Pentru exprimarea corectă a fluxului se practică indexarea uneia dintre cele

două borne ale bobinelor cuplate magnetic care se numeşte bornă polarizată, şi atunci când intensităţile curentului au acelaşi sens faţă de bornele polarizate, fluxul Mlk,Ik se consideră în expresia fluxului total cu semnul (+), semnul pentru bornele polarizate fiind asterixul ( * ).

Ne propunem să scriem fluxurile magnetice prin cele trei bobine cuplate magnetic din fig.22.

74

Conectarea în serie a bobinelor cuplate magnetic este ilustrată în figura 23, rezultatele calculelor fiind date în formulele (37) şi (38).

75

Energia câmpului si expresiile generale ale forţelor de câmp magnetic staţionar

Sesizînd efectele prezenţei unui câmp magnetic constant pe cale experimentală

constatăm că : - asupra unei sarcini electrice ce se deplasează cu viteza V în câmp

magnetic staţionar de inducţie B , se exercită forţa Lorentz

- asupra unei porţiuni elementare a unui conductor filiform , de lungime

d,, aflată în câmpul de inducţie B, parcursă de curentul I, se exercită forţa electromagnetică (Laplace):

unde di are orientarea curentului electric. Acţiunile pseudomotoare asupra conductoarelor parcurse de curent electric,

aflate în câmp magnetic , pun în evidenţă existenţa unei energii a acestui câmp. în cazul în care sursa câmpului o reprezintă „n" bobine electrice liniare, parcurse de curentul I,k=l,2,.. .,n, energia câmpului are expresia :

Bobinele liniare sunt bobinele fără miez magnetic , sau cele care au miezuri magnetice liniare. Bobinele liniare sunt bobinele fără miez magnetic , sau cele care au

miezuri magnetice liniare. În general pentru bobinele caracterizate de cuplaje magnetice, fluxul are

expresia :

unde Φkj este fluxul produs de bobina K, atunci energia :

76

Pentru două bobine cuplate magnetic , energia are expresia:

Densitatea energiei magnetice:

Câmpul electromagnetic variabil în timp Regimurile în care mărimile câmpului electromagnetic variază în timp pot fi: -

regimuri tranzitorii, definite ca regimuri în care se face trecerea de la o stare staţionară la o altă stare staţionară;

- regimuri variabile cvasistaţionare de tip magnetic; - regimurile nestaţionare. Regimurile tranzitorii în circuitele electrice liniare Dependenţele în regim variabil în timp între tensiunea la borne pentru

elementele ideale de circuit şi curentul absorbit de acestea sunt exprimate prin relaţiile (1):

77

Puterea instantanee absorbită prin borne are expresiile:

Wm ,We sunt energiile câmpului magnetic din bobină şi ale câmpului

electric din condensator. Se determină mărimile în regim tranzitoriu al unui circuit electric , atunci când se cunosc L,R,C şi Ue din condiţiile iniţiale ale problemei.

Teoremele lui Kirchhoff aplicate pe circuitul din figura 2, conduc la ecuaţiile (3):

78

Pentru rezolvarea sistemului trebuie să cunoaştem următoarele condiţii iniţiale:

Aplicaţii: 1) Conectarea unei bobine reale la un generator ideal de tensiune continuă

Ne punem problema să determinăm curentul prin bobină în regim tranzitoriu la momentul t=0, atunci când închidem comutatorul k.

79

Ecuaţia este satifa.cută de curentul i(t):

se poate scrie sub forma: R

L=τ - constanta de timp a

bobinei.

A - constanta de integrare şi se determină cu ajutorul condiţiilor iniţiale şi atunci:

Se observă că atunci când t → ∞ intensitatea curentului tinde către valoarea de

regim permanent, R

UI e

p =

Dacă reprezentăm grafic variabila în timp a acestui curent, obţinem:

Din relaţia de calcul a curentului permanent Ip constatăm că valoarea acestuia este limitată de rezistenţa electrică a bobinei.

Derivata în origine a funcţiei ne dă valoarea tangentei lui α0 origine.

80

De unde rezultă că intersecţia tangentei în origine cu dreapta orizontală care

reprezintă curentul permanent are loc în punctul de abscisă .R

Ltg/It 0p τ==α=

Conform relaţiei (6), constanta de timp a bobinei r poate fi definită ca intervalul de timp după care intensitatea curentului ajunge la valoarea 1-e -1 = 0,632 din valoarea sa finală.

Deşi teoretic regimul tranzitoriu durează un interval de timp nelimitat, practic după un timp cuprins între (4-÷ 5) τ., curentul din circuit are valoarea i(t) = (0,9817 ÷0,9932) IP, şi putem considera că regimul tranzitoriu este încheiat după acest interval de timp de (4-÷ 5) τ.

2.Încărcarea şi descărcarea unui condensator Încărcarea unui condensator la o sursă de tensiune constantă este o operaţie

ce corespunde poziţiei (a) a comutatorului k, fig.5. Variaţia tensiunii la bornele condensator ului când k estre trecut din (a) în (b) este determinată scriind legea lui Ohm pentru ochiurile de circuit iniţial formate din generator, rezistor, condensatorloarea

81

Intensitatea curentului de încărcare are expresia

Cele două funcţii (9) şi (10) sunt reprezentate în figura 6.

Analizând formele de undă din figura 6, constatăm că tensiunea la bornele

82

condensatorului creşte exponenţial până la valoarea maximă egală cu tensiunea electromotoare a sursei de alimentare.

Curentul de încărcare are o valoare maximă în momentul iniţial Imax =R

Ue ,

după care descreşte exponenţial către zero. Se observă, prin urmare că rezistorul are rolul de a limita valoarea de vârf a

curentului absorbit în momentul iniţial. Constanta de timp poate fi definită ca intervalul de timp în care tensiunea la

bornele condensatorului creşte la 0,632 din valoarea sa finală sau în care curentul prin condensator scade la 0,368 din valoarea sa iniţială.

Când comutatorul K este trecut în poziţia b se produce descărcarea tot prin regim tranzitoriu a condensatorului. De data aceasta, ochiul de circuit este format numai din ramura cu R, C şi K pe poziţia b.

În această situaţie:

cu condiţia iniţială μC(0) = Ue, are soluţia : μC = Ue ∙e-t/δ

Tensiunea la bornele condensatorului scade exponenţial până la zero (fîg.6)

viteza de descărcare fiind dependentă de constanta de timp a circuitului de descărcare.

Măsurarea capacităţii necunoscute a condensatorului Cx este o aplicaţie a acestui regim tranzitoriu, în codiţiile cunoaşterii rezistenţei de descărcare.

Se cronometrează timpul în care tensiunea la bornele condensatorului ce fusese încărcat în prealabil până la vloarea Ue ,scade la valoarea ~T = 0,368 Ue

Acest timp reprezintă constanta de timp r de descărcare a condensatorului, iar capacitatea necunoscută

83

Circuite electrice liniare alimentate în curent alternativ monfazat Un circuit electric liniar în curent alternativ este construit dintr-un ansamblu de

rezistoare liniare, de bobine liniare (eventual cuplate magnetic), de condensatoare liniare, surse de energie electrică a căror tensiune electromotoare variază alternativ în timp.

Mărimile ce variază periodic alternativ si sinusoidal în timp Se numeşte valoare instantanee şi se notează cu u(t) funcţia care caracterizează

variaţia în timp a mărimii. Mărimea este periodică dacă valorile ei se repetă după intervale de timp egale

numite perioadă (T). Atunci: u(t) = u(t + nT), n = l,2, .....................

- Frecvenţa semnalelor liniare: f =T

1; ω = 2 · π ∙ f

- Valoarea maximă sau de vârf, se notează cu literă mare: Um = max{u(t)}

- Valoarea medie pe o perioadă se defineşte: dt)t(uT

1)t(u~

T

0∫=

84

Se numeşte mărime alternativă o mărime periodică a cărei valoare medie pe o

perioadă este nulă. Mărimea periodică alternativă a cărei variaţie în timp este descrisă de o funcţie, sinus sau cosinus, se numeşte mărime sinusoidală sau armonică. Valoarea instantanee este dată de expresia:

u(t) = Um-sin (ωt + φ) (13)

φ= faza iniţială a tensiunii

Valoarea efectivă a unei tensiuni sinusoidale este :

2

UU m=

Defazajul între două mărimi caracterizate de faze iniţiale diferite:

85

Elemente ideale de circuit parcurse de curent alternativ Puteri în regim sinusoidal

Dacă un rezistor este parcurs de un curent alternativ:

titensiunea la borne are expresia :

Între valorile efective ale curentului şi tensiunii există o relaţie de dependenţă

identică cu cea din curentul continuu, defazajul din valoarea curentului şi tensiunii fiind Δφ = 0, (R · I = 0)

86

Pentru bobină:

XL = ω ∙ L (reactanţa inductivă a bobinei) Valoarea efectivă a tensiunilor are expresia: U=XL ∙I - denumită legea lui Ohm

pentru bobina ideală în curent alternativ. Defazajul între curent şi tensiune este

2

π−=ϕ∆ . Curentul este defazat în faţa tensiunii cu

2

π.

Tensiunea la bornele unui condensator care are capacitatea C este:

U=XC · I - Valoarea efectivă a tensiunilor denumită legea lui Ohm pentru

condensatorul ideal în curent alternativ. Defazajul între curent şi tensiune este , adică curentul prin condensator este defazat înaintea tensiunilor

la borne cu .

2

π

Dacă considerăm un circuit electric alimentat prin două

87

borne cu tensiunea u = U · tcos2 ω şi care absoarbe puterea instantanee absorbită va fi :

Valoarea medie a acestei puteri pe o perioadă e dată de:

denumită putere activă absorbită de circuit, iar cosφ poartă numele de factor de putere.

Observăm că atât puterea activă cât şi cea aparentă au valori pozitive, în timp ce semnul puterii reactive depinde de defazajul circuitului. Circuitul absoarbe putere reactivă dacă φ >0, şi comportamentul circuitului este pur inductiv dacă φ≤0, circuitul debitează putere reactivă, comportamentul său fiind capacitiv.

Reprezentarea prin mărimi complexe a mărimilor sinusoidale Aplicaţii la circuitul RLC serie si paralel. Puterea complexă

Dacă se consideră un circuit RLC serie care este alimentat de la o tensiune

alternativă u = U • 2 • cosωt, legea a doua a lui Kirchoff pentru ochiul de reţea astfel format ne permite să scriem următoarea legătură dintre tensiuni:

88

a cărei soluţie analitică este în general dificil de determinat. Metoda reprezentării prin mărimi complexe ce se prezintă în continuare simplifică rezolvarea acestei probleme şi, în general soluţionarea tuturor circuitelor ce funcţionează în curent alternativ.

Se asociază mărimii sinusoidale reale: i = I· 2 cos(ω·t), denumită şi mărime originală, o mărime complexă ce se notează I.

denumită imagine în complex sau fazorul mărimii sinusoidale, (j = 1− ) având modulul egal cu valoarea efectivă a intensităţii I şi argumentul egal cu

faza iniţială φ. Trecerea de la mărimea imagine la mărimea original se face cu relaţia:

Se verifică uşor că mărimii sinusoidale: i(t)=i1(t)+i2(t) îi corespunde fazorul complex I = I1 + I2

iar mărimii: i1(t)=λ∙ i2(y), λ = real îi corespunde fazorul

Imaginea în complex a derivatei unei mărimi sinusoidale este j ∙ ω · I, iar a

integralei ω⋅j

I

Într-adevăr ,conform relaţiei (26) se obţine:

89

Imaginile în complex ale ecuaţiilor de legătură între tensiunile la borne şi

intensitatea curentului absorbit de elementele pasive ideale de circuit sunt:

90

Se observă că puterea activă absorbită, este partea reală a puterii complexe, iar

puterea reactivă este puterea imaginară.

Calculul reţelelor de curent alternativ în regim armonic. Teoremele lui Kirchhoff în curent alternativ.

Bilanţul puterilor în reţelele de curent alternativ. Legarea în serie a impedanţelor. Considerăm un lanţ serie de n impedanfe- Impedanţa echivalentă se calculează

întocmai ca şi în cazul legării în serie a impedanţelor.

Legarea în paralel. Impedanţa echivalentă pentru cazul legării în paralel a „n” impedanţe este dată de relaţia:

De asemenea teorema întâi <3 lui Kirci hoff pentru nodul de circuit şi teorema

a doua a lui Kirchhoff au forme asemănătoare cu cele din curent continuu:

91

φ este unghiul de defazaj dintre cure tul absorbit şi tensiunea la bornele circuitului, astfel definim puterile din circuit Puterea aparentă(S) absorbită de un circuit alimentat prin două borne este pr definiţie produsul dintre tensiunea complexă U şi curentul conjugat I*.

Tensiunea complexă la bornele bobinei Lk parcursă de curentul Ik este calculată

luând în consideraţie cuplajele magnetice ale acesteia.

unde Lk este inductivitatea proprie, iar Mkm este inductivitatea mutuală între bobina k şi bobina m.

Forma în complex a relaţiei (43) după înlocuirea lui (44) este:

92

Cu acestea, teorema a doua a lui Kirchhoff devine:

Teorema bilanţului puterilor în curent alternativ Într-o reţea completă de curent alternativ, puterea aparentă complexă

caracterizată de tensiuni electromotoare Uek are ca parte reală puterile active consumate pe rezistoarele reţelei şi parte imaginară diferenţa dintre suma puterilor reactive absorbite de bobinele reţelei şi suma puterilor reactive debitate de condensatoarele reţelei.

În partea stângă a relaţiei se consideră semnul (+) atunci când Ue şi I au acelaşi sens, respectiv semnul (-) atunci cândUe şi_I au sensuri contrare.

Compensarea puterii reactive absorbită de un consumator RX

93

Factorul de putere al unui astfel de consumator este S

P

UI

Pcos ==ϕ valori

subunitare. - Puterea activă absorbită este: P = U·I·cosφ = R∙I2 (48) - Puterea reactivă este : Q = U ∙I ∙ sin φ = XL · I2 (49) La o putere activă dată, necesară consumatorului alimentat cu o tensiune la

borne dată, curentul absorbit din reţeaua de alimentare este ϕ⋅

=cosU

PI şi are valori

cu atât mai mari cu cât factorul de putere are valori mai mici. Cum pierderile în reţeaua de alimentare sunt proporţionale cu pătratul curentului absorbit de consumator, rezultă necesitatea creşterii factorului de putere al acestuia, astfel ca puterea activă necesară să fie asigurată la o valoare cât mai mică a curentului absorbit din reţea.

Este evident că valoarea minimă a curentului presupune factor de putere unitar (cos φ = 1), caz în care puterea reactivă absorbită de consumator din reţea este nulă.

Soluţia în vederea creşterii factorului de putere constă în montarea în paralel cu consumatorul a unei baterii de condensatoare, care este o sursă locală de putere reactivă.

94

Astfel, puterea reactivă consumată de bobina consumatorului este oferită, parţial sau total, de bateria de condensatoare.

Operaţia este cunoscută sub numele de compensare a factorului de putere, iar condensatorul paralel cu L, R reprezintă bateria de compensare.La compensarea totală a puterii reactive a consumatorului, puterea reactivă absorbită din reţeaua de alimentare este nulă, prin urmare curentul I este în fază cu U(U a cărui fază este nulă).

Rezolvând sistemul:

care caracterizează circuitul şi punând condiţiile de fază nulă a curentului I, echivalentă cu condiţia ca partea sa imaginară să fie nulă, rezultă o relaţie din care se determină reactanţa bateriei de compensare:

O soluţie mai simplă rezultă utilizând diagrama fazorială a consumatorului compensat, în care I2 este perpendiculară pe U şi I = I1 + I2 este în fază cu tensiunea.

Egalitatea I2=I1 ∙ sinφ, care rezultă din diagramă, conduce la înlocuirile:

Circuite trifazate de curent alternativ Caracterizarea generatoarelor si a consumatorilor trifazaţi

Producerea, transportul şi distribuţia energiei electrice este mai avantajoasă

utilizând generatoare, reţele de transport şi transformatoare trifazate decât cu echipament monofazat, echipamentele trifazate nu prezintă complicaţii tehnice suplimentare în raport cu cele monofazate.

Un generator trifazat de energie electrică, denumit în limbaj de specialitate generator sincron, are în construcţia clasică un rotor, pe al cărui miez magnetic 1 se află înfăşurarea de excitaţie 2, alimentată de al o sursă de curent continuu.

Rotorul creează în întrefierul 3 un câmp magnetic denumit inductor, având o succesiune de poli nord şi sud în lungul periferiei. în crestături ale statorului 4 şi ale

miezului se află trei înfăşurări identice, având axele decalate cu 3

2πradiani; acestea

reprezintă cele trei faze a ceea ce se numeşte înfăşurarea trifazată a indusului maşinii.

95

Antrenarea rotorului cu ajutorul unei turbine cu abur (în cazul turbogeneratorului), determină inducerea în cele trei faze a unor tensiuni electromotoare respectiv apariţia la bornele celor trei faze a unor tensiuni având valorile instantanee de forma:

Sistemul trifazat simetric de tensiuni din figura 2 are imagine în complex:

96

Transmiterea energiei de la generatorul trifazat la un consumator de asemenea trifazat cu impedanţele Z1? Z2 şi Z3 se poate realiza prin trei circuite distincte. Dacă Zj = Z2 = Z3 = Z • Qy(p se spune că consumatorul este echilibrat.

In aceste condiţii, valorile instantanee ale curenţilor prin cele trei circuite vor

Aceşti curenţi formează de asemenea un sistem trifazat simetric, ce are proprietatea că i1 + i2 + i3 = 0 în orice moment de timp, sau în complex: I1+I2+I3=0 . În aceste condiţii, fără a afecta cu nimic transmiterea energiei, pot fî conectate împreună bornele 1, 2, 3 ale celor trei faze la generator şi la consumator şi excluse legăturile corespunzătoare între generator şi consumator. Aceasta este conectarea în

97

stea (Y) a celor trei fazele generatorului şi consumatorului. Întrucât nu totdeauna consumatorul este echilibrat se menţine un singur

conductor, denumit conductor de nul, între punctul comun de conectare al fazelor generatorului, denumit nulul generatorului şi punctul corespunzător al consumatorului - nulul sarcinii, aşa că, în general, reţeaua de alimentare are patru conductoare, trei de fază şi unul de nul.

În general, accesul la o sursă trifazată de energie electrică se face la trei borne de fază (fig.5a), notate cu R,S,T şi la borna de nul, notată uzual cu N. O astfel de sursă trifazată oferă două sisteme trifazate de tensiuni -tensiuni de fază U1,U2, U3 (fig.5.b) între cele trei borne de fază şi borna de nul şi de modul Uf şi de tensiunea de linie URS,UST,UTR, de modul Ul.

Curenţii injectaţi prin cele trei borne R,S,T ale sursei spre consumator se

numesc curenţi de linie şi ei sunt în conexiunea stea ,curenţii ce străbat cele trei faze ale generatorului, adică: ll=If.

Un consumator trifazat conectat în stea are în general patru borne prin care se alimentează, trei borne de fază A,B,C şi o bornă de nul (O.) Curenţii absorbiţi prin cele trei borne de fază se numesc curenţi de linie şi sunt egali în această conexiune cu curenţii ce străbat cele trei faze ale consumatorului.Dacă consumatorul este echilibrat, curentul absorbit prin borna de nul este nul. Un consumator trifazat conectat în stea care nu are conexiune de nul scrisă la placa de borne de alimentare, denumit consumator în stea cu nul neaccesibil, se alimentează doar prin cele trei borne de fază .

Dacă cele trei faze se conectează în triunghi figura 6, consumatorul are doar

98

trei borne de acces A,B,C. Tensiunile pe cele trei faze ale consumatorului sunt cele trei tensiuni de linie ale reţelei de alimentare, Uf= Ul.

Curenţii de linie absorbiţi din reţea sunt diferiţi de curenţii prin cele trei faze ale consumatorului. în cazul unui consumator echilibrat, cei trei curenţi de linie au

acelaşi modul Ib cei trei curenţi de fază au acelaşi modul If şi lx = 3 · If.

Curenţii, tensiunile şi puterile absorbite de consumatorii trifazaţi, alimentaţi cu un sistem simetric de tensiuni

Problemele legate de alimentarea consumatorilor trifazaţi depind de

conexiunea celor trei faze ale acestora şi de numărul de borne prin care se alimentează. în ipoteza alimentării de al o reţea caracterizată de un sistem simetric de tensiuni, situaţie care este practic cea mai frecventă, se prezintă în cele ce urmează expresiile curenţilor şi puterilor absorbite şi ale tensiunilor la borne, pe grupe de consumatori, conectaţi în stea, respectiv în triunghi.

Consumatori conectaţi în stea Fie circuitul din figura 7 constituit din impedanţele Zl5 Z2, Z3 şi Zn, având patru

borne de acces, A, B, C, O căruia i se aplică tensiunile:

99

Se determină expresia potenţialului lui în funcţie de potenţialele bornelor:

Puterea aparentă complexă absorbită de un consumator având n borne de acces, caracterizată de potenţialele VK prin care se absorb curenţii IK are expresia:

Un consumator conectat în stea , alimentat prin patru conductoare se caracterizează prin ZN=0.Atunci V N=V0, ceea ce înseamnă că oricare ar fi

natura sarcinii (echilibrată sau dezechilibrată), tensiunile pe cele trei faze UAN,=UAO= U1; UBN,=UAO=U2, ; UCN,= UCO

= U3; egale în modul. Curenţii absorbiţi prin cele patru borne au expresiile :

Puterea aparentă complexă absorbită are expresia :

100

φ1, φ2, φ3 - sunt defazajele între tensiunile de fază şi curenţii absorbiţi pe cele trei faze.

În cazul particular al consumatorului echilibrat cu

se obţin relaţiile

Cei trei curenţi formează un sistem simetric, iar conductorul de nul poate lipsi

(I0=0). Puterea aparentă complexă are expresia :

De aici rezultă că în acest caz puterile activă şi reactivă absorbite pe cele trei

faze sunt egale.