UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA

Cu titlu de manuscris C.Z.U: 004.056.55

ZGUREANU AURELIU

SECURITATEA INFORMAIONALI METODE DE CRIPTAREBAZATE PE MULIMI DE RELAII MULTI-ARE

01.01.09 CIBERNETIC MATEMATIC I CERCETRI OPERAIONALE

Autoreferatul tezei de doctor n tiine fizico-matematice CHIINU, 2011 2Teza a fost elaborat la catedraInformatic i Optimizare Discret a Universitii de Stat din Moldova.

Conductor tiinific: Cataranciuc Sergiu, doctor n tiine fizico-matematice, confereniar universitar, USM Consultant tiinific: Bulat Mihai, doctor n tehnic, confereniar universitar, ATIC Refereni oficiali:Perju Veaceslav, doctor habilitat, confereniar universitar, CNAA Rusu Andrei, doctor, confereniar universitar, Universitatea Ovidius, Constana Componena consiliului tiinific specializat:Soltan Petru, preedinte, doctor habilitat, profesor universitar, academician al A a RMHncu Boris, secretar tiinific, doctor, confereniar universitar, USMCosta Ilie, doctor habilitat, profesor universitar, ASEM Izba Vladimir, doctor, confereniar cercettor, IMI al A a RM Ciobanu Iacob, doctor, confereniar universitar, ATIC Susinerea va avea loc la 18 noiembrie 2011, ora 15.00 n edina Consiliului tiinific specializat DH 30.01.01.09 14, din cadrul Universitii de Stat din Moldova pe adresa:Chiinu, str. A. Mateevici 60, bloc IV, sala 222.

Teza de doctor i autoreferatul pot fi consultate la Biblioteca tiinific a Universitii de Stat din Moldova i la pagina Web a C.N.A.A. (www.cnaa.md).

Autoreferatul a fost expediat la 15 octombrie 2011.

Secretar tiinific al consiliului tiinific specializatHncu Boris, doctor n tiine fizico-matematice, confereniar universitar,USMConductor tiinificCataranciuc Sergiu, doctor n tiine fizico-matematice, confereniar universitar, USM Consultant tiinificBulat Mihai, doctor n tehnic, confereniar universitar, ATIC AutorZgureanu Aureliu Zgureanu Aureliu, 2011 31. REPERE CONCEPTUALE ALE CERCETRIIActualitatea temei. Una dintre trsturile de caracter ale societii moderne o reprezint Informatizarea.Tehnologiiinformaionalesuntpermanentimplementatendiversedomeniiale activitii umane. Prin utilizarea calculatoarelor i a software-ului respectiv sunt dirijate procese complexe din cele mai diversedomenii de activitate. Calculatoarele stau la bazamulimilor de sistemedeprelucrareainformaiei,carenfptuiescpstrarea,prelucrareainformaiei, distribuirea ei ctre utilizator, realiznd astfel tehnologii informaionale moderne. Metodele contemporane de prelucrare, transmitere i stocare a informaiei au contribuit la apariiariscurilorlegatedeposibilitateapierderii,denaturrii,destinuiriidatelor,caresunt adresate sau care aparin utilizatorilor finali. De aceea asigurarea securitii informaiei este una dintre direciile cele mai importante n dezvoltarea tehnologiilor informaionale. Acesteconsiderente,precumifaptulcserviciiledespionajdediferiteniveleidin diferitedomeniiatingperformanenoininterceptareainformaieiimaialesnrestabilirea informaieicriptate,impuncercetareaiinventareadenoisistemedecriptaremaiperformante, maieficiente,maisigure.Aceastareprezintoproblemaactualdeimportanmajorn societatea modern. Astfel, ntr-o societate informatizat, Criptografiei i revine un rol important nasigurareafuncionalitiiacesteia,deoareceoricedomeniudeactivitateestebazatpeun volum tot mai mare de informaie, folosit n diverse procese manageriale. Descrierea situaiei n domeniul Criptografiei. Cercetrile realizate pn n prezent au demonstratctoatesistemelecriptograficeaunbazoteoriematematicbinefundamentat. Criptografiaincepeoriginilencnantichitate,nsabiananii1948-1951aparprimele articole ale lui C. E. Shannon n care sunt concepute bazele tiinifice ale Criptografiei moderne, inclusiv i a sistemelor simetrice de criptare. n anul 1976 W. Diffie i M. E. Hellman au publicat articolul New Directions in Cryptography, n care au inventat criptografia cu chei publice,iar un an mai trziu a fost inventat celebrul algoritm RSA. Acestea sunt cele dou tipuri de sisteme de criptare cu cheie privat i cu cheie public care se folosesc n prezent.Dinmultitudineadesistemedecriptareutilizatepnlamomentuldefauneleau devenitstandardenaionale(DES,AESetc.),iaraltelesuntimplementatepescarlargn diverse soft-uri, durata de via a fiecrui algoritm fiind limitat de descoperirea metodelor de atacasupralor.Pnlamomentulactualsistemenumratefacexcepienacestsens(spre exemplualgoritmulRSA).AstfelCriptografiaestemereuncutareanoilormetoden proiectarea sistemelor de criptare.Scopul i obiectivele lucrrii. Scopultezeiconstn cercetarea relaiilor pe mulimi, a mulimilorderelaiimulti-are,amatricelormultidimensionale(nsensulgeneralizatal matricelordreptunghiulareobinuite),aalgoritmilordegenerareanumerelorprimemari,a proprietilorfunciilorbooleeneiaplicareaacestor proprietincreareaalgoritmilorcare pot sta la baza unor sisteme de criptare fiabile. Aplicarea matricelor multidimensionale reprezint un 4interesdeosebitnunumainplanteoretic,darnspecialaplicativ,maialesdinpunctdevederealeficienei algoritmilor elaborai fa de cei existeni. Printre obiectivele principale ale tezei pot fi menionate:1.elaborarea unui algoritm determinist de generare a numerelor prime; 2.cercetareamatricelormultidimensionaleiutilizareaproprietiloracestoralaelaborarea unor algoritmi noi de criptare;3.studiereaunorproprietispecialealefunciilorbooleene,necesarepentruelaborarea algoritmilor simetrici noi de criptare cu resurse de lucru reduse;4.analiza comparativ a algoritmilor elaborai i a celor existeni; 5.descrierea aspectelor teoretice a algoritmilor propui;6.elaborarea softului i prezentarea unor rezultate evaluative. Metodologiacercetriitiinificesebazeaznceamaimarepartepenoiunilei teoremelefundamentaledinteoriainformaiei,teorianumerelor,teoriamulimilor,matematic discret.Ideileiaspectulteoreticexpusntezsebazeazpemonografiileiarticolelelui ShannonC.E.,RivestR.L.,ShamirA.,AdlemanL.,DiffieW.,HellmanM.,SchneierB., Salomaa A., Bulat M., etc.Noutatea i originalitatea tiinific const n prezentarea unor metode noi de protecie a datelor prin criptare. n tez sunt expuse patru metode noi de criptare. Pentru una dintre aceste metodeesteelaboratunalgoritmdeterministdegenerareanumerelorprimemari,ceeacene permite s o plasm printre metodele de criptare cu o securitate nalt.O particularitate important a metodelor prezentate n tez const n aplicarea matricelor multidimensionale(nsensulgeneralizriidirecteamatricelorbidimensionaleobinuite)la elaborareaatreidintreacetialgoritmi.Oaltparticularitateoconstituieaplicareafunciilor booleeneiafunciilordinlogicaq-valent.Acestefunciisuntdefiniteprinsubmulimide coloan pentru a putea efectua mai simplu unele operaii asupra lor, una dintre operaiile de baz fiind calculul derivatelor pariale ale acestor funcii. Problema tiinific important soluionat. Sunt propuse metode eficiente de criptare ainformaieicaredepescmetodeleactualedupunirdeparametri(timpuldecriptare, volumulmemoriei,securitateaalgoritmuluietc).Estedezvoltatbazateoreticpentruaceste metodecareconstnproprietinoialefunciilorbooleene,funciilorq-valenteimatricelor multidimensionale. Semnificaiateoretic.Laelaborareametodelordecriptare,expusentez,aufost obinuterezultateteoreticenoiceindestudiereateorieirelaiilormulti-are,aproprietilor matricelor multidimensionale,precumi a funciilor booleene. Prezint interes rezultatele ce in de studierea funciilor din logica q-valent. Metodele de criptare obinute asigur un grad nalt de securitate i o fiabilitate major a sistemului de criptare a informaiei. 5Valoareaaplicativalucrrii.Rezultateleteoreticeobinutentezaupermis elaborarea a patru metode noi de criptare a informaiei i a unui algoritm determinist de generare a numerelor prime mari care se aplic n dou dintre aceste metode, dar poate fi aplicat cu succes i n alte scopuri. Rezultatele tiinifice principale naintate spre susinere. 1.Afostelaborat unalgoritmnoudegenerareanumerelorprimemari,careesteunalgoritm deterministiestefolositlagenerareacheilorpentrudoumetodenoidecriptarea informaiei, propuse de autor; 2.Este propus o modificaie a algoritmului de criptare RSA, care lucreaz cu seturi de chei. 3.Suntstudiateproprietilematricelormultidimensionalenscopulutilizriiacestorala realizarea sistemelor de criptare. 4.Afostelaboratunalgoritmcarefolosetedreptcriteriudebazrezolvareaunorecuaii polinomiale cu coeficieni nedeterminai. 5.Suntstudiateproprietilefunciilorbooleeneiq-valentenscopulutilizriiacestorala elaborarea sistemelor de criptare rapide, care necesit resurse reduse. Implementarearezultatelortiinifice.Pentrufiecaremetoddecriptaredescrisn tez,nmediuldecalculMathematicaafostimplementatcteunprogramcarelrealizeaz. Softulelaboratafosttestatcusuccesilucreazeficient.Elpoatefiaplicatdeoriceutilizator care dispune mediul de calcul menionat. Pentru implementarea mai reuit ns, este necesar de a crea softul n limbaje de programare independente (C++, JAVA, Delphi). Aprobarearezultatelortiinifice.Rezultateledebazaletezeiaufostcomunicatei discutate la 11 conferinenaionale i seminare: The XIVth CAIM, Chiinu 2006; International Algebraic Conference dedicated to the 100th anniversary of D. K. Fadeev, St Petersburg, Russia, 2007;ASADEMoldova,2007;ConferinatiinificinternaionalModelarematematic, optimizareitehnologiiinformaionale,ATIC,Chiinu,2008,2010;-08, ,,2008;Conferina InternaionalICT+,Chiinu,2009;ConferinaManagementulntreprinderiinmediul economiccontemporan,ATIC,Chiinu,2009;ISCOPAM-2010,Iai,2010;Tiberiu Popoviciuseminar,Cluj-Napoca,2010;MITRE-2011,InternationalConferencededicatedto the 65th anniversary ofMoldova State University, Chiinu, 2011. Publicaiilatemazilei.Rezultateledebazaletezeiaufostpublicaten13lucrri tiinifice, inclusiv 3 lucrri n reviste tiinifice cu recenzeni i 2 lucrri fr coautori.Volumulistructuratezei.Tezacuprindeintroducerea,treicapitole,concluziicu recomandri, bibliografia din 126 titluri i 2 anexe. Ea este perfectat pe 160 pagini, dintre care 121paginiconstituieparteadebaz,conine62figurii24tabele.Rezultateleobinutesunt publicate n 13 lucrri tiinifice.Cuvinte-cheie:sistemdecriptare,matricemultidimensional,numrprim,funcie boolean, funcie q-valent, derivat parial, mulimi de relaii multi-are. 62. CONINUTUL TEZEI Primulcapitol prezintoanalizsuccintasituaieiexistentendomeniul criptologiei. Suntprezentatedateistoricedelaprimelencercrindomeniulcriptologieipnlamomentul actual, precum i unele perspective de viitor. Sunt descrise noiunile fundamentale ale sistemelor de criptare, care acoper sistemele cu cheie privat, icele cu cheie public. Deasemeneasunt abordate domeniile matematicii care au o implicaie deosebit n criptografie teoria informaiei, teoria complexitii, teoria numerelor. SunttrecutenrevistcercetrilefondatoruluiteorieiinformaieiClaudeElwood Shannoncareapusbazeleteoreticealesistemelorcusecretizare.Shannonademonstrat imposibilitateaspargeriicifruluialeatorVernamiastabilithotareclarepentrumrimeacheii secrete. Totodat aceast lucrare a pus bazele criptosistemelor simetrice. DeasemeneaesteabordatinveniamatematicienilorWhitfieldDiffieiMartinE. Hellman.nanul1976eiaupublicatarticolulNewDirectionsinCryptography,ncareau artatccomunicaiasecretpoatefifcutfrtransmitereacheiisecrete,inventndastfel criptografie cu chei publice. ntezsuntdescrisediversetipuridesistemedecriptareaplicatentrecutiprezent sistemecusubstituiesaucutranspoziie,sistemecublocsaufluxdecaracterecutrecerean revistacelormaifrecventntlnitenpractic.Suntevideniateprileslabeiceleputernice ale acestor sisteme i domeniile de aplicabilitate ale unora dintre ele.Este abordat problema criptrii cuantice, una foarte polemizat n prezent i despre care BruceSchneier,expertndomeniulcriptologiei,ascrisnrevistaWireed:Chiaricifrarea cuantic nu va rezolva toate problemele criptografice. Cheia se transmite cu fotoni, ns n baza procesului de cifrare rmne acelai algoritm matematic.Capitolul este finalizat cu enumerarea avantajelor i dezavantajelor tipurilor sistemelor de criptare, cu justificareanecesitii modernizrii continue a sistemelor de criptare i sunt propuse unele probleme care se vor ncerca arezolva n urmtoarele capitole ale tezei. Aspectul teoretic abordat a servit drept temelie pentru cercetrile i rezultatele din capitolele doi i trei. Capitoluldoiconinebazateoreticaalgoritmilordecriptareelaboraintez.Sunt demonstrate o serie de teoreme referitoare la mulimi de relaii multi-are i la aplicaii ale lor, n special cele referitoare la distribuirea numerelor prime n mulimea numerelor naturale i cele ce sereferlauneleproprietialefunciilorbooleenecarepermitefectuareamaieficienta operaiilor cu aceste funcii. n special au o importan major teoremele 2.62.9, 2.112.13 care permitdeterminareasubmulimilordecoloanalefunciilorbooleenereprezentatenform normal disjunctiv. De asemenea suntimportante teoremele 2.14 i 2.15, cu ajutorul crora se potdeterminasimplusubmulimiledecoloanalederivatelorfunciilorbooleene,precumi 7teorema2.16,caresimplificcalculareacoeficienilorpolinomuluiZhegalkinaluneifuncii booleene. Teoremele 2.17 i 2.18 permit determinarea unor intervale de numere naturale n care numereleprimedeoformspecificauodensitatesporit,ceeacesimplificprocesulde generare a numerelor prime. Relaii pe mulimi. Mulimi de relaii. Fie date dou mulimi finite } ,..., , {2 1 mx x x X =si} ,..., , {2 1 ny y y Y = . Definiia2.1.OrelaiebinardelaXlaY(senoteaz XYR sauY X )senumeteo submulime a produsului cartezian)}. , ( ..., ), , ( ), , {(2 1 1 1 n my x y x y x Y X = Definiia2.2.UnsistemAde p An n n n N = ...3 2 1elemente pi i i ia...3 2 1( ; ,..., 3 , 2 , 1o on i=p ,..., 3 , 2 , 1 = o ) ce aparin mulimiiO, plasate n punctele spaiului p-dimensional i determinate de coordonatele, ..., , ,2 1 pi i ise numete matrice multidimensional peste mulimeaO. Numrul p arat numrul de indici n notarea elementelor matricei i se numete dimensiunea matricei.Prin analogie cu relaia binar definim relaia n-ar ntre n mulimi} ,..., , {11 12 11 1 mx x x X = , } ,..., , {22 22 21 2 mx x x X= ,...,} ,..., , {2 1nnm n n nx x x X= caosubmulimeaprodusuluicarteziannX X X ...2 1. Matricea acestei relaii este n-dimensional i poate fi reprezentat astfel:nX X X 2 1 nj j ja...2 1 = = n nm m j j ja A... ...1 2 1) (nnm m mj j j

.. .

.. .

2 12 11 1 1,......1 ... 112 12 1nnm m mj j jaaa.. unde,) ,..., , ( dac , 0) ,..., , ( dac , 1.........2 1 2 12 1 2 12 1ee=n nn nnX X X j j jX X X j j jj j jR x x xR x x xa }. ,..., 1 { },..., ,..., 1 {1 1 n nm j m j e eAceasta matrice poate fi scrisa i sub form de matrice bidimensional ((((((

=nnnm m m m mm mm ma a aa a aa a aA... 2 ... 1 1 ... 1... 2 2 ... 21 1 ... 21... 1 2 ... 11 1 ... 112 1 1 122. . . .

. ncazgeneralelementelematriceiApotfideoriginearbitrar.Fie} ,.., {1 me e = O mulimea elementelor acestei matrice.Cuajutorulmatricelormultidimensionale putem reprezentaimulimilederelaii.Fieo familiedemulimi} ,..., {1 nX X X = imulimea} ,..., {1 me e = O cuelementearbitrare.Pe 8aceastfamiliesuntdefinitekrelaii,....1jd j jX X jR R = , , 1 , 2 k j n dj= s s}. ..., , 2 , 1 { ..., , ,2 1n j j jde Elementelematriceloracestor relaiiaparinmulimiiO. NotmcuR, cortegiulcucomponentele jR ,adic). .., , ..., , (1 k jR R R R =,Acestuicortegiuipunemn coresponden o matrice n-dimensional RA . Elementele matricei n-dimensionale care reprezint mulimea de relaii sunt vectorii), ,..., ,..., (1 ik ij i ir r r r =,u i , 1 = , componentele crora sunt elemente ale matricelor relaiilor ntre mulimile familiei X. n acelai timp componentele vectorilor sunt i elemente ale mulimii} ,..., {1 me e = O . Dac notm elementeleacestei mulimin conformitate cusubstituia ||.|

\|1 1 02 1mm

e e e,nrezultatvectorului ir,isepunencorespondenun numr n baza m. Trecndu-l n baza 10 obinemni ia...1==kjj kijm r1,u i , 1 = . Astfel,transformarea RA punencorespondenmulimiiderelaiiR,uncortegiu ) ,..., (... 1 ... 111 nm ma a A =,, adic) (R A, ,u = (1)Reprezentareamulimilorderelaiiprinintermediulmatricelormultidimensionalene permite s abordm problema comprimrii informaiei, dar i s efectum cu eficien operaii cu sisteme de mari dimensiuni. n funcie de elementele matricelor acestor relaii i ale mulimiiO obinemdiferitecortegiiA,.Transformareainversa) (1A R, ,u = nuesteunivoc.Dinaceast cauz cunoscnd cortegiulA, este dificil de aflat cortegiulR,.Existcazuriparticularencareproblemadatserezolviaceastaimplicunele aplicaiipractice.Setiecnoriceirdenumerenaturale,carereprezintoprogresie aritmetic,ncareraiaestereciprocprimcuprimultermen,seconineomulimeinfinitde numere prime. Fie c componentele vectoruluiA, formeaz o partiie din m progresii aritmetice curaiam,cuprimiitermeni0,1,...,m1respectivicuunnumrdetermeniegalcu 1 nm . Notm mulimile partiiei cu 1 1 0,..., , nK K Ki construim o matrice bidimensional: ( )( )( )( ) ( )(((((((

+ + + + + + + +=1 1 2 1 12 2 2 2 21 1 2 1 10 0 2 0 01210nnnnmm m m m m mm m m mm m m mm m m mKKKKA

.. . .

. (2)9n acestcaz matricea ndimensional (1) se reprezint prin matricea bidimensionala (2), n carenumereleprimesuntdistribuitenumaipeuneledintreliniileacesteimatrice.Acestfapt ne permite sconstruim numere prime cu anumite proprieti, care suntutilela elaborarea unor sisteme de criptare a informaiei. Teorema 2.1. Numrul natural N aparine liniei iKdac i numai dac) (modm i N . Teorema 2.2. Daca numrul natural 1Naparine liniei iKiar numrul natural 2Naparine liniei jKatunci 2 1N N +aparimie liniei ) )(mod ( m j iK+, iar 2 1N N liniei .) )(mod ( m j iK Fienumrulmreprezentatnformcanoniccaprodusdefactoriprimi kkp p p m ...2 12 1= .Constantastructural,caredeterminadivizareastructuralaamulimii numerelor naturale n mulimea de numere prime i compuse o putem determina dinTeorema2.3.Dacnumrulnaturalm,reprezentatnformacanoniceste kkp p p m ...2 12 1= , atunci % 100...) 1 )...( 1 )( 1 (2 12 1kkp p pp p p = q . Numereleprimesuntdistribuiteneuniformniruldenumerenaturale.Adeseane ntlnimcuproblemadeterminriiintervalelorcuodensitatemaisporitaanumerelorprime. ModificndvectorulRputemmodificaconinutulliniilorfrsschimbmnumrulde elemente de pe ele. Pentru soluionarea acestei probleme n tez este studiat noiunea de funcie boolean n contextul noiunii de relaii ntre mulimi. Reprezentarea funciilor booleene prin submulimi de coloan Considerm funcia boolean) ,..., ,..., (1 nx x x Ft. Aceast funcie este o relaie n-ar,nXRunde} 1 , 0 { = O = Xi poate fi reprezentat prin tabelul veridicitii. n cazul n care numrul de variabile este mare reprezentarea funciilor booleene cu ajutorul tabelului veridicitii este foarte dificil. n acest caz se propune o alt form de reprezentare a funciei booleene, care simplific operaiilecuacestefuncii.Pemulimea} ,..., {1 nx x X = construimpartiia }}. ,..., { }, ,..., {{ }~,~{1 1 2 1 nx x x x X X+=t tConstruimdoumulimi:} ,.., , {1 21 0=ty y y Y i = Z } ,..., , {1 21 0t nz z z (formatedinstrilebinare,carecorespundvariabilelordin 1~X i 2~X ). Atunci) ,..., (1nx x Fpoate fi considerat o relaie binar YZRntre mulimile Y i Z cu matricea(((((((

=mp mj mip ij ip jmip jYZa a aa a aa a ayyyz z zR

.. 000 0 00 00,1 2 =tm ,1 2 =t np ,j i, ===. 0 ) , ( dac , 0, 1 ) , ( dac , 1j ij iijz y Fz y Fa10 Definiia2.3.Submulimea jzFScamulimiiY }} 1 , 0 { , ) , ( , : { e = e = c ccj i i izFz y F Y y y Sjse numete submulime de coloan a funciei) ,..., (1nx x Fpentru coloanajz .Funcia boolean poate fi reprezentata i cu ajutorul tabelului submulimilor de coloan: 0zjzpz1F01zFS jzFS1 pzFS1 Evident, j jzFzFS Y S1 0\ = .Dinaceastconsideraiesubmulimile jzFS0nusuntindicaten acesttabel.PemulimeaYconstruimpartiiile tt tx x,...,1.Pentrusimplitatensubmulimilede coloaninpartiiiscriemnlocdeelementele iy numaiindiciirespectivii.Notmcu k j imk j i o o o(unde}, ,..., 2 , 1 { ,..., ,..., n k j i e } 1 , 0 { ,..., ek io o cucondiiile) 0 ( 1 =iodac),... (0 1i i im m x e ) un bloc al produsului partiiilor. ,...,k ix xt tAflm toate produsele posibile (de2,3,...,factori)alepartiiilor. ,...,1 tt tx xDinfiecareprodusexcludemblocurilecarese ntlnescnprodusedeunnumrmaimicdepartiii.Blocurilermasempreuncumulimea } 1 2 ,..., 1 , 0 { t alctuiesc mulimea de blocuri B.Definiia 2.4.Blocul k j imk j i o o o se numete bloc maximal al submulimii jzFSc dac:1) jzFk j iSk j imco o o_ ,2), Bd cmd ce

o o k j imd cmk j i d c

o o o o o.d cmd c

o ojzFSc. Pentru argumentul ixintroducem notaia ===. 0 dac ,, 1 dac ,i ii iixxxiooo Din definiia conjunciei variabilelor rezult: kxixk io o. .... == e -= e . : } ,..., { dac , 0, : } ,..., { dac , 1j jj jx k i jx k i joo Notm cu} ,..., {11kM o o =i} ,..., {10mM | | =mulimile de stri binare alevariabilelor funciei) ,..., (1nx x Fpentru care() 1~= o Fi() 0~= | Frespectiv. Definiia2.5.Conjuncia kjik j ix x x Uooo. . . . = ... ... carerespectcondiiilea)c)se numete termen minimal al funciei ) ,..., (1nx x F : a) 1M e -opentru care1 ) ( = o U ,b)pentru 0M e | are loc0 ) ( = | U , 11 c)pentruU~ careseobinedinUprinexcludereauneivariabilearbitrare 0~M e -|pentru care 1 )~(~= | U , Setiecdac k j imk j i o o oesteblocmaximalalsubmulimii jzFScatunci k j ik j ix x x Uo o o . . . . . = ... ... estetermenminimalalfunciei) ,..., (1nx x F ,unde esteun termen minimal al funciei) ,..., (1 nx x f+ t pentru care j fz M=1 iar 0fM conine strile binare tzpentru caretzFk j iSk j im1. o o o. DacbloculmaximalestecompusdintoateelementelemulimiiY,adicareforma 1 2 ,..., 2 , 1 , 0 t(acestblocnuconineindici)atunci = U .Prinurmare,Unudepindede variabilele tx x ,...,1.Daccondiia tzFk j iSk j im1_ o o oestresatisfcutpentru orice tzatunci1 , iar k j ik j ix x x Uo o o. . . . = ... ... ,adic U nu depinde de variabilele nx x ,...,1 + t. Definiia2.6.Disjuncia sU U V v v = ...1 min,undes i Ui, 1 ,= sunttermeniminimaliai funciei ), ,..., (1 nx x F carerespectcondiiile1)3)senumeteformminimalnormal disjunctiv a acestei funcii. 1)pentru1M e o 1 ) (min= o V , 2)pentru 0M e | 0 ) (min= | V , 3)pentruV~ careseobinedin minV prinexcludereaunuitermenminimalarbitrar 1M e -opentru care0 ) (~= o V , Srevenimlaproblemadeterminriicomponentelor jR alecortegiuluiR,avnd componentele luiA,. Reprezentm n baza 2 fiecare component a luiA,.n acest caz obinem elementele ijr ,iar RA reprezintunsistemdekfunciibooleene). ,..., (1 n jx x F Sanalizm funcia) ,..., (1 n jx x Fcare corespunde relaiei .....1jd j jX X jR R =Fie c se cunoate o form minimal sU U V v v = ...1 min a funciei). ,..., (1 n jx x FNotm cu iNmulimea de variabile jxdin careeste compus termenul minimal,iU s i , 1 = . Fie N reuniunea acestor mulimi: sN N N ...1= . Teorema 2.4. Fie relaiei jd j jX X jR R....1=i corespunde funcia booleana) ,..., (1 n jx x Fcu o form minimal sU U V v v = ...1 min, atunciN N N ds j= > ...1. 12 Aceastteorempermitesdeterminmmulimilepecareestedefinitrelaia,dari dimensiunea jd amatriceicarereprezintaceastrelaie.Alegndosuccesiuneaelementelor mulimiiN,aflmelementelematricei.jR naamodputemdeterminacomponenteleluiR, avnd componentele luiA,. Teorema 2.5. Dac pentru cortegiul) .., , ..., , (1 k jR R R R =, sunt satisfcute condiiile: , 2 , = = d n k }, 1 ,..., 2 , 1 , 0 { ...2 1 = O = = = = m X X Xn), , ,..., , (1 1 3 2 2 1X X X X X X X Xn n nR R R R R=, (((((

= = = = = =1 1 01 1 01 1 01101 1 0...1 1 3 2 2 1mmmmmR R R R Rj X X X X X X X Xn n n.. . . .

.

, atunciaplicndtransformarea(1)seobinematricea(2),ncareliniilereprezintprogresii aritmetice cu raia m iar primii termeni sunt elementele dinO, scrise n ordine cresctoare. Teorema 2.6. Dac( )k i nF F F x x x x F v v v v =+... ... ,..., , ,...,1 1 1 t t, atunci} 1 2 ,..., 0 { ,11 1 e ==t nkizFzFj S Sjij Teorema 2.7. Dac k i nF F F x x x x F . . . . =+... ... ) ,..., , ,..., (1 1 1 t t, atunci } 1 2 ,..., 0 { ,11 1 e ==t nkizFzFj S Sjij Teorema 2.8. Dac k i nF F F x x x x F =+... ... ) ,..., , ,..., (1 1 1 t t, atunci =jzFS11 =AikjizFS1, } 1 2 ,..., 0 { e t nj , undeA este diferena simetric a submulimilor de coloan. Teorema 2.9. Fie 2 1 1 1) ,..., , ,..., ( F F x x x x Fn =+ t t, atunci j j jzFzFzFS S S12011 = . Definiia 2.7. Doua stri binare jzi kzcare difer numai prin valoarea variabilei ixse numesc stri binare vecine dup variabila ix . Teorema2.10.Dacstrilebinare jz i kz ( } 1 2 ,..., 1 , 0 { , enk j )verificcondiia ((

((

+=impar este2dac , 2par este2dac , 2i ni ni ni njjjjk , atunci ele sunt vecine dup variabila}. ..., , , {2 1 n ix x x x eConsecin. Valoarea lui ix din starea binarajzpoate fi determinata din relaia13 ((

((

=impar este2jdac , 1par este2dac , 0i ni nijx .(3)Determinarea submulimilor de coloan ale funciilor booleene reprezentate n form algebric Fie funcia boolean) ,..., (1 nx x Feste reprezentat n form normal disjunctivk i nU U U x x F v v v v = ... ... ) ,..., (1 1, unde qjqjsisij j i i ix x x x Uoo o o. . . . . = ... ...1111, ,0 dac ,1 dac ,===a aa aaxxxaooo} ,..., , ,..., {1 1 q sj j i i a e , 1~,...,1X x xsi ie , 2~,...,1X x xqj je . Considermfiecareconjuncie iU caofunciebooleanacuunsingurtermenminimal iU .n acestcaz,conformTeoremei2.6,obinem jzFS1= .11kizujiS=nbazaacesteirelaiiputemconstrui tabelulsubmulimilordecoloanalefuncieibooleenereprezentatenformnormal disjunctiv.Cunoscndsubmulimiledecoloanalefiecreiconjunciiputemafla jzFS1, } 1 2 ,..., 0 { e t nj . Sunt posibile trei cazuri elucidate n urmtoarele trei teoreme: Teorema 2.11. Fie qjqjj j ix x Uoo. . = ...11,2~,...,1X x xqj je . Atunci

= e - C= e =. : } ,..., 1 { dac ,, : } ,..., 1 { dac }, 1 2 ,..., 0 {1a aa a jij jj j zUx q ax q aSoot Valorile lui ajx din starea binara jzpot fi determinate din relaia (3). Teorema 2.12. Fie sisii i ix x Uo o. . = ...11, 1~,...,1X x xsi ie . Atuncisi i zui im Ss jio o

111 = ,} 1 2 ,..., 1 , 0 { e t nj . Teorema2.13.Fie qjqjcicij j i i ix x x x Uoo o o. . . . . = ... ...1111,unde} ,..., { ,...,11tx x x xci ie , } ,..., { ,...,11n j jx x x xq+et.Atunci = e = e - C=. : } ,..., 1 { dac ,, : } ,..., 1 { dac ,111a aca ajij jci ij jzUx q ai imx q aSoo oo

Teoremele2.6,2.7,2.8,2.9,2.11,2.12,2.13permitdeterminareasubmulimilorde coloan ale funciei booleene reprezentat n form normal disjunctiv.Nuoricefunciebooleanpoateficusuccesutilizatnsoluionareaproblemelor criptografice.Funciilerespectivetrebuiessatisfacunorcondiii.Pentruexaminareaacestor condiii vom examina o operaie cu aceste funcii, i anume operaia de derivare lor. 14 Submulimi de coloan ale derivatelor funciilor booleene. Polinomul Zhegalkin. Seria Taylor. Definiia2.8.Derivataparialafunciei) ,..., , , ,..., (1 1 1 n i i ix x x x x F+ dupvariabila ix se numete expresia ( ) ( )n i i n i iix x x x F x x x x FxF,..., , 0 , ,..., ,..., , 1 , ,...,1 1 1 1 1 1 + + =cc.Pentruasimplificaprocesuldificildecalculalderivatelorparialenconformitatecu definiia dat vom utiliza reprezentarea funciei booleene cu ajutorul submulimilor de coloan.Teorema 2.14. Fie 2~,..,.1X x xsi ie ,} 1 2 ,..., 1 , 0 { et nj . Atuncik js i i isjFjFjFzx x xFS S S S12111 12 1......A A A =||.|

\|c c cc, unde: (4) 1)A este diferena simetric a submulimilor de coloan,2) sk 2 = ,} 1 2 ,..., 2 , 1 , 0 { ,...,1 et nkj j ,} ,..., {1 kj j j e , 3) pentru oricek a zaj, 1 , =exist s stri binare vecine dup variabilele si ix x ,...,1. Formula (4) permite s calculm derivata de ordinul s fr a calcula derivatele de ordin inferior.Teorema 2.15. Fie 1~X xi ei} ,..., , {2 1 1 kzFjS o o o = . Atunci} , { } , { } , {2 2 1 1 1 k kzxFjiS | o | o | o A A A =||.|

\|cc , unde k| | | ,..., ,2 1 sunt vecine respectiv cu ko o o ,..., ,2 1 dup variabila ix . Consecin. Daca} 1 2 ,..., 2 , 1 , 0 {1 =t jzFSsau1 =jzFS , atunci} ,..., 1 { ,1t e C =||.|

\|cci SjizxF. n bazaacestorteoremesuntelaborate programedecalculalederivatelorpentrufuncii reprezentate prin submulimi de coloan sau n forma analitic (forma normala disjunctiva). Unroldecisivnelaborareasistemelordecriptareirevineproceduriidegenerarea cheilordecriptare-decriptareainformaiei.Lagenerareaacestorcheiputemaplicacoeficienii polinomului Zhegalkin al unei funcii booleene) ,..., , (2 1 nx x x F , luate n mod arbitrar. Fie = ... ... ) ,..., , (2 1 2 , 1 2 2 1 1 0 2 1x x C x C x C x C C x x x Fn n n

n n n n n nx x x x C x x x C x x C ... ...3 2 1 ,..., 3 , 2 , 1 3 2 1 3 , 2 , 1 1 , 1 ,(5) polinomul Zhegalkin pentru funcia) ,..., , (2 1 nx x x F . Se tie ckki i iki i ix x xFCc c c c=...) 0 (2 12 1,..., ,,} ,..., 1 { ,...,1n i ik e . (6)15 Aceti coeficieni pot fi calculai cu ajutorul derivatelor pariale ale funciei date. Fie funcia este definit prin submulimi de coloan. n baza derivatelor pariale construim tabelul submulimilor de colan ale derivatelor pariale ale funciei booleene F. Teorema 2.16. n polinomul Zhegalkin pentru funcia booleana) ,..., , ,... (1 1 nx x x x F+ t t coeficienii satisfac condiia ) 0 ,..., 0 (0F C = ,} ,..., 1 { ,..., ,0 dac , 10 dac , 01......,..., ,012 1012 12 1n i iSSCk zx x xFzx x xFi i iki i ikk i i ikke ee=||.|

\|c c cc||.|

\|c c cc. Polinomul(5)cucoeficieniidin(6)senumeteseriaTaylornvecintateapunctului00...0 pentrufuncia) ,..., , ,... (1 1 nx x x x F+ t t.nvecintateaunuipunctarbitrar} 1 , 0 { , ...2 1e =i n o o o o oseria are forma ) ( ... ) (...) (... ) () () ( ) ,..., (1 111 111 n nnnnx xx xxxFF x x F o ooooo . . .c cc .cc =. Pentruconstruireapolinomului(5)cucoeficienii(6)estesuficientscalculmnumai derivatele pariale din coloana 0z . Aceste derivate le putem calcula, aplicnd Teoremele 2.14 i 2.15, numai n baza submulimilor de coloan din linia 1F . Aceste derivate pariale se aplic i la construirea seriei Taylor (5)n vecintatea punctelor) , (0z yi,} 1 2 ,..., 2 , 1 { eti . Reprezentarea funciilor q-valente prin submulimi de coloan S analizm funcia) ,..., (1 nx x Fcare are ncalitate de caracteristicfaptul c att variabilele ei ctinsifunciadatadmitvaloridinmulimea} 1 ,..., 1 , 0 { = O q .Oastfeldefunciese numetefuncie dinlogicaq-valent.EapoatefidefinitacaoaplicaieO nX X X ...2 1 pentru nX X X = = = ...2 1= } 1 ,..., , 1 , 0 { q .Funciapoatefiprivitaicaorelaien-ara nXR n matriceacreiaelementelesuntdinmulimea. O Caipentrufunciilebooleeneobinuite construimmulimile} ,.., , {11 0=tqy y y Y i} ,..., , {11 0=t nqz z z Z cuajutorulcroradefinim submulimea de coloan:} ) , ( , : { cc= e =j i i iZFz y F Y y y Sj, } 1 ,..., 1 , 0 { e q c . Funciadatlafeloputemreprezentacuajutorultabeluluisubmulimilordecoloana. MenionmcY SqZFj==10 ccpentruoricej.Multedintreteoremeledemaisus,valabilepentru funciile booleene, pot fi generalizate i pentru funcii q-valente.Generarea numerelor prime. TrebuiedemenionatccondiiiledinTeorema2.5suntdoarsuficiente.Amputea modifica unele dintre aceste condiii pentru a transforma matricea (2). Fien k > . Consideram un vector)) ( ),..., ( , ,..., , (1 1 , 3 , 2 2 , 1*c ns R s R R R R R =, unde j iX X j iR R j i, ,, = i((((

=i ii iis ss ss R

) ( .16 Teorema2.17.Fie) (R A,u = i( )* *R A,u = iar nj ja...1, *...1 nj ja douelementearbitrareale matricelor respective. Atunci s m a acj j j jn n+ =...*...1 1, unde cc cs m s m s s + + + = ...2211. Consecina 1. Coloanele i liniile matricei *Asunt progresii aritmetice cu raiile respectiv egale cu cmi.1 + cmConsecina2.Dac iK s e dinmatriceaAncondiiileTeoremei2.5,atuncitoateelementele *...1 nj jadin matricea *Aaparin liniei iKa matricei (n+c)-dimensionale n aceleai i n care n este substitut prin n +c.Din aceast consecin rezult c dac s aparine unei linii care nu conine numere prime atuncimatricea *A esteformatnumaidinnumerecompuse.Matricea *A poatesconin numere prime numain cazul n care iK s ei (i,m)=1. Constatm deasemenea c dac iK s eatunci icj jK s m ane + ) (...1pentru oricec.Prinurmare, pentru obinerea intervalelor denumere cu anumite proprieti de la linia iKputem admite pentru c valori arbitrare.Teorema 2.18.Fie ), ,..., , (1 , 3 , 2 2 , 1 nR R R R =,), ..., , , ), ( ),..., ( (1 , 3 , 2 2 , 1 1*n cR R R s R s R R =,) (R A,u =i ). (* *R A,u =Atunci nj j j Jm s a an n + =...*...1 1, unde. ...2211 cc cs m s m s s + + + =

Consecina 1. Coloanele i liniile matricei *Asunt progresii aritmetice cu raiile 1 i m respectiv.Consecina 2. Dac i j jK ane...1 atunci i j jK ane*...1.Dup cum s-a menionat mai sus, dac (r,m)=1 atunci linia Kr conine un numr infinit de numere prime de forma N=bm+r, b=0, 1, 2,..., mn1. Elementele liniei Kr formeaz o progresie aritmetic cu primul termen egal cu r i cu raia m. Linia K1 conine un numr infinit de numere prime pentru oricevaloare a luim. Structura matriceiesteinvariantfa devalorileluim i n. Pe linia K1 putem obine numere prime orict de mari. Pentru r =1 obinem N1=bm . (7) Conform criteriului lui Lucas-Lehmer numrul N este prim dac: ) (mod 1 :1N a aN - i), (mod 1 :1N a ccN= (8) unde c este divizor prim al luiN1. Din (7) si (8) rezult cN1 trebuie s fie factorizat. Avnd m i b, obinem N1: ssp p p m = ...2 12 1, =kkq q q b| | |...2 12 1N1=s ks kp p p q q q | | | ... ...2 1 2 12 1 2 1.n mediul de calcul Mathematica au fost elaborat programe, care avnd valorile date ale lui iip (i=1, , s) determin pentru care valori ale lui jjq|( j=1, , k) numrul N este prim.17 Generatorul poate construi i o mulime *Nde numere prime cu numrul dat de cifre zecimale. Celmaimarenumrprimconstruitcuacestgeneratorconine32589cifrezecimale.Matricele multidimensionale pot fi aplicate de asemenea i la factorizarea numerelor de forma1 ia .Capitolul trei nsumeaz rezultatele teoretice noi obinute pentru elaborarea algoritmilor decriptareexpuintez.Astfel,suntprezentaidoialgoritmidecriptarecarefuncioneazn baza numerelor prime mari (Cripto 1 i Cripto 2), precum i doi algoritmi (Cripto 3 i Cripto 4) carefuncioneaznbazafunciilorbooleenebivalenteiq-valenterespectiv,ncombinarecu aplicarea matricelor multidimensionale. Sunt prezentate date statistice comparative referitoare la timpul de lucru al algoritmilor n funcie de mrimea mesajului pentru criptare. Sistem de criptare cu set de chei bazat pe numere prime. Numerele prime se afl la baza unor sisteme de criptare, n particular a sistemului RSA. Acestsistemreprezintunalgoritmcriptograficcucheipublice,primulalgoritmutilizatatt pentrucriptare,ctipentrusemnturaelectronic.Rezistenasacriptograficsebazeazpe dificultateaproblemeifactorizriinumerelorntregimari.Acestalgoritmfuncioneaznbaza unei perechi de chei legate matematic ntre ele: o cheie public, cunoscut de toat lumea, i una secret (cheia privat), cunoscut numai de ctre deintorul acesteia. + Pentru generarea cheii se folosesc dou numere prime mari p si q care se determin prin intermediulunortesteprobabilisticedeprimalitate.nbazageneratoruluidenumereprime descrisnCapitolul2amperfecionatsistemulRSAnscopulspoririirezisteneisale criptograficeiastopriidescreteriivitezeidefuncionareaacestuialgoritmprinnlocuirea uneisinguriperechidecheicuuncortegiudelungimenecesarrdeperechidechei.Fiecare simbolalmesajului(pnlasimbolulcearenumruldeordiner)estecifratcucheiediferit, apoi se revine la nceputul cortegiului de chei i se reia criptarea n continuare repetnd procesul.Astfel, este realizat un algoritm de criptare, numit Cripto1 ce conine: generatorul de chei, care construiete trei cortegii de numere ) ,..., , (2 1 re e e e = ,) ,..., , (2 1 rd d d d = ,) ,..., , (2 1 rn n n n = , unde i i iq p n = , i iq p = , i care verific condiia ,... 2 , 1 ,) 1 )( 1 ( 1, 1 = += = keq p kd r iii ii

Perechile de numere prime ipi iqse construiesc la fel ca la algoritmul RSA;codificatorul,careavndcortegiuldenumere) ,..., , (2 1 tm m m m = ,cereprezint codificarea numeric a mesajului ntr-un sistem oarecare de codificare a caracterelor (de exemplu ASCII), construiete, cu ajutorul cheilor publice) , (i ie nun alt cortegiu de numere ) ,..., , (2 1 tc c c c = , unde) (modiei in m ci= ,. , 1 t i =decodificatorul, care avnd cortegiilec,d in, construiete cortegiul 18 ) ,..., , (2 1 tm m m m = , ) (modidi in c mi= . Lund n consideraie principiul de funcionare al algoritmuluiCripto 1, timpul de lucru alsu este acelai ca i alalgoritmuluiRSA. Avantajul algoritmului Cripto 1 fa de algoritmul RSA const n urmtoarele: avndcheideaceeailungimecalaalgoritmulRSArezistenaestesporitiar timpul de lucru este acelai; avnd chei de lungime mai mic dect la RSA dar n cantitate mai mare se mrete viteza de lucru al algoritmului, rezistena fiind nu mai mic ca la RSA. Metodele de spargere pentru Cripto 1 sunt aceleai ca i pentru RSA. La momentul actualse cunoate o singur metod de spargere factorizarea cheii publice n care avnd o mrime decelpuin2048debiiesteconsideratsigur.Cutoateacesteapentrusiguranadocumentelor secrete cheia public n RSA trebuie s aib o mrime de 4096 de bii i deja timpul de criptare i maialesceldedecriptarecreteconsiderabil.nacestcontextalgoritmuldecriptareCripto1 poatefiosoluiepentruevitareacreteriiineluctabileatimpuluideexecuieaRSAodatcu mrirea lungimii cheii.Sistem simetric de criptare bazat pe dezvoltarea polinomial a numerelor n paragraful dat este elaborat un sistem de criptare Cripto 2 care la fel ca Cripto 1 are la baz numerele prime mari, dar i matricele multidimensionale i dezvoltarea polinomial a numerelor. SexaminmuncazparticularalrelaiilorpemulimianalizatenCapitolul2.Fieo familiedemulimi} ..., , , {2 1 nX X X X = unde} ..., , , {2 1ii i i ix x x X= ,n i , 1 = iomulime } ,..., {1 re e = Ocu elemente arbitrare (n cazul nostru numere ntregi). Pe aceast familie sunt definite k relaiijd j jX X jR R....1= , , 1 , 2 ( k j n dj= s s }), ..., , 2 , 1 { ,..., ,2 1n j j jjd ecasubmulimialeproduselorcarteziene jdj j jX X X ...2 1.Matriceleacestorrelaiisunt matrice jd - dimensionale cu elemente din mulimeaO. Notm cuRcortegiul cu componentele jR ,adic). ,..., ..., , (1 k jR R R R = Acestuicortegiuipunemncorespondenomatrice n-dimensional) (R ARu = ,elementelecreiasuntnotatecu ns s sa... ...1 t.Construimprodusul cartezian} ,..., { ... } ,..., { ...1 1 11 2 11 nn n nx x x x X X X = ,care,evidentconine nu = ...1 elemente.Cuacesteelementecompunemo matricebidimensionalcuuliniiincoloanecare corespunde familiei de mulimi X . Compunem o alt matrice bidimensional|| ||ijr cu u linii i k 19 coloanecare corespunde relaiilor dinR , unde dj js s ijr r...1= cu elementele dj js s ..., ,1 selectate n linia i pe locurile dj j ..., ,1. Aceste locuri indic mulimile dj jX X ..., ,1 pe care este definit jR .Pentru simplitate substituim elementele ttsx cu indicele respectiv tsaa cum e artat n Figura 1.=RAui..1

||||||.|

\|nnns s sX X X ttt

1111 1 1

||||||.|

\|uk uj uik ij ik jk jr r rr r rr r rR R R

111 1 111 ||||||.|

\|uicccc..1 Fig. 1. Reprezentarea simplificat a matricei n-dimensionale ce corespunde cortegiuluiRLiniile matricei din partea stngn Figura 1 reprezintindicii elementelor matricei RA . Liniile matricei din partea dreapt formeaz elementele matricei RA :). ,..., ,..., (1 ... ...1ik ij i s s sr r r an=t(9)Cortegiului (9) i asociem un numr icn baza y care verific condiia, maxhy e > r h , 1 = : ikj kijki ir y r y r c + + + + = ... ...11==kjj kijy r1 ,u i , 1 = .(10) Astfel obinem cortegiul ) ,..., ,..., (1 u ic c c c = .(11) Aadar, prin transformarea) (R ARu = , cortegiulc(10), (11) este pusncoresponden cortegiuluiR .Transformareainvers) (1c R,u = ncazgeneralestemultmaicomplicati acest fapt l putem folosi la elaborarea sistemelor de criptare a informaiei.Fiectrebuiescifrmcoordonatelecortegiului) ,..., , (2 1 tm m m m=,,carereprezint codificarea numeric a textului clar n unul din sistemele de codificare (fie ASCII). Considerm coordonateleacestuicortegiucaelementealemulimii. O naacazacestecoordonatesunt elementealematricelor.jR Daccoordonatelevectoruluinuserepetconformuneilegi determinate atunci toate matricele jRA trebuie s fie de ordinuln.Fieb a t = . Atunci matricea RA poateaveaformadinFigura2,unde (a n2log = ,b k = iarcoordonatelecortegiuluic se calculeaz dup formula. , 1 , max , , 1 ,1) 1 (t h y a i y m ch ij bibjj b i i= > = ==+ eScris n form desfurat aceast formul are forma: 20 + + + =+ + + =+ + + =+ + + =+ + ++++ ,............22 ) 1 (11 ) 1 (323 2 213 1 2 3222 212 1 221 211 1 1abba b aba b a abbbbbbbbbbbb bm y m y m cm y m y m cm y m y m cm y m y m c

(12) unde ay y y ,..., ,21sunt chei private. n particular, se poate lucra i cu o singur cheie privat y. 1R...jR... bR ai..1

n gn gn gs s sx x x

1111 1 1 ||||||.|

\|+ + + + ab j b a b aib j b i b ib jb jm m mm m mm m mR R R

) 1 ( 1 ) 1 () 1 ( 1 ) 1 (11 aicccc..1 Fig. 2. O form de reprezentare a matricei RASanalizmegalitiledin (12).Spreexemplu, primaegalitatepoate ficonsideratcao ecuaie liniar n raport cu necunoscutele bm m ,...,1, cu coeficienii nedeterminai 12111,..., , y y yb b itermenullibernecunoscut 1c mb .Soluiilennumerentregialeacesteiecuaii,pentru 1ycunoscut i care satisfac condiiilor (12), se afl uor prin reprezentarea numrului 1cin baza 1y . ns ncazul n care 1yeste necunoscut soluionarea este foarte dificil.Pe de alta parte, aceast egalitate poate fi considerat ca o ecuaie algebric de gradul b1 n raport cu necunoscuta 1yi cu coeficieni nedeterminai, pentru care 1yeste soluie. Aceasta nseamnca 1y poateficutatprintredivizoriitermenuluiliber bm c 1,undeO ebm .Dnd valorilui bm ifactorizndtermenulliberputemncercasaflmcheia 1y .Pentrucaaceast ncercare s aib mai puini sori de izbnd este necesar ca 1ys fie un numr mare prim.nbazacelorexpuseafostelaboratunsistemdecriptare,numitCripto2,careeste alctuit din: generatoruldechei,careconstruietenumerele primemari ay y ,...,1(cheileprivate)n funciedecerineleconcrete(securitatea,vitezadeprelucrareainformaiei,volumulde informaie, modul de funcionare a sistemului etc.); codificatorul,careconstruietecortegiulc nbazacoordonatelorcortegiuluim,a parametrilor a, b, t i cheilor private ay y ,...,1; 21 decodificatorul, care construiete cortegiulm n baz cortegiilor) ,..., ,..., (1 u ic c c c =i ) ,..., (1 ay y y = , decodific cortegiulmi imprim textul decodificat, restabilind-ul dup codurile ASCII obinute nm. Productivitatea sistemului Cripto 2 este mult mai mare dect la RSA, dar mai mic dect la AES. Aceasta se explic prin principiile de funcionare diferite ale acestor algoritmi, dar i prin lungimidiferiteacheilor.AlgoritmulCripto2pecareafostefectuattestareaareacheide lungime 192 bii, deci mrimea total a cheii este de 192a bii. ns numrul de chei poate varia (de la 1 la a) iar viteza se modific nesemnificativ (la fel ca la Cripto 1 n raport cu RSA).UnlucruimportantesteccheilensistemulCripto 2seschimbdelamesajlamesaj, elefiind criptate prinintermediul algoritmului Cripto 1 (sau altui algoritm sigur) apoialipitela cortegiulci transmise spre adresant. La decriptare cheia criptat se selecteaz din cortegiulc , se decripteaz i apoi se purcede la decriptarea criptogramei. Pentru spargerea acestui sistem estenecesar de rezolvatsistemul (12) n care cunoatem doar termenii din partea stng a fiecrei ecuaiicu coeficieninedeterminai. Termenul liber al ecuaiei polinomiale i din (12) nu este cunoscut, el fiind egal cu ci mib, unde mib este codul unui caracter din ASCII.Sistem de criptare bazat pe funcii booleeneSconsideramuncazparticularpentrufamiliademulimi} ..., , , {2 1 nX X X X = , studiat de asemenea n capitolul 2, i anume cazul n care}. 1 , 0 { ...2 1= O = = = =nX X XNotmrelaiiledefinitepeacestemulimicu jd j jX X jM M....1= ,unde, , 1 , 2 ( k j n dj= s s}), ..., , 2 , 1 { ,..., ,2 1n j j jjd e obinnd astfel cortegiul). .., , ..., , (1 k jM M M M =Acestui cortegiu ipunemncorespondenomatricen-dimensional), (M AM,u = cu u i , 0 = ,k j , 1 = .n aceast matrice nX X jM M....t= , iar} 1 , 0 {...e =nm mij o ot. Prin urmare, matricea dat reprezint un sistem de k funcii booleene de variabilele nx x ,...,1. Punem n coresponden acestei matrice un cortegiu de numere u t m m m mt is = ), ,..., ,..., (0,. , 0 , 21t i m mkjj kij i= == (13) (t n2log = , (. max log2 im k = (14) Prin analogie construim o alt matrice DAcreia i punem n coresponden un cortegiu de numeredu t d d d dt is = ), ,..., ,..., (0,. , 0 , 21t i d dkjj kij i= ==(15) Cuacestedoumatriceputemefectuaoperaiilogicecumarfi,D MA A. ,D MA AvD MA Aetc., obinnd n rezultat alte matrice de aceleai dimensiuni. S analizm, de exemplu, 22 operaia(sumadupmodulul2).Fiec C D MA A A = .nacestcaz ij ij ijd m c = .innd cont de proprietile operaii de adunare dup modulul 2, obinem: . ) ( ) (M D D M D D MA A A A A A A = = AadarC D MA A A = ,.M D CA A A = (16) Din (16) rezult c matricea DApoate servi n calitate de cheie privat pentru criptarea i decriptareacortegiuluimcarereprezintcodulASCII(sauoricarealtcod)altextuluiclarM prin intermediul cortegiuluic(textul cifrat): u t c c c ct is = ), ..., ,..., (0,, , 0 , 21t i c ckjj kij i= ==ij ij ijd m c = (17)Cheiaprivatoputemalegefolosindreprezentareafunciilorbooleeneprinsubmulimi decoloan.Fiecrelaiilor k jD D D ,..., ,...,1alematricei DA lecorespundrespectivfunciile booleene k jF F F ,..., ,...,1reprezentate prin submulimide coloan.Vom considera numaifuncii jFpentru care se ndeplinesc condiiilek j S S S SjzFzFzFsj j j, 1 , ...11101= = = = = . Pentru toate valorile lui j vom obine un cortegiu) ,..., ,..., (1 k jS S S S =care poate juca rolul de cheie privat.Fiecnindiceleiallui id ,valorileprimelort variabileformeazstareabinarqy =to o ...1.Atunci,conformdefiniieisubmulimiidecoloanvalorilelui ijd seobindin relaia ee=j qj qijS yS yddac , 0dac , 1(18) Aadar, cortegiulSdetermina univoc matricea DA . Submulimile jSse aleg cu condiia Y Skjj ==1 (19) Aceastcondiieasigurschimbareacomponentelorcortegiuluim prinintermediulcortegiului d . Relaia (18) asigur un calcul rapid al valorii funciei pe starea binara ni o o ot... ...1= . Deoarece t2 = Y , pentru o singur funcie putem construi t22 submulimi de coloan, iar pentrukfunciiavem t22 =kcheidiferite.Prinurmaresecuritateasistemului,careesten funcie i de cantitatea de chei private, poate fi aleas prin parametrulti submulimile jS . n baza celor expuse a fost elaborat sistemul de criptare Cripto 3 format din: generatorul de chei, care genereaz cortegiul). ,..., ,..., (1 k jS S S S =Componentele jSale cortegiuluiS sunt alese n mod aleator casubmulimi ale mulimiiYi cu respectarea condiiei (19). Utiliznd (18) i (15) construim cortegiul); ,..., (0 td d d =23 codificatorul,careconstruietecortegiul) ,..., (0 tc c c = (nbazacortegiilorm idutiliznd (17), codific cortegiul) ,..., ,..., (1 k jS S S S =prin intermediul sistemului Cripto 2 sau cu oricare alt sistem sigur i, prin concatenarea lui cu cortegiul c , construiete cortegiulg ; decodificatorul,care decodificcortegiul) ,..., ,..., (1 k jS S S S = selectatdincortegiulg , construietecortegiul) ,..., (0 td d d = utilizndformulele(15)i(18),construietecortegiul ) ,..., ,..., (0 t im m m m =n baza cortegiilor) ,..., (0 tc c c =i) ,..., (0 td d d =utiliznd formula (16) i imprim textul decodificat, restabilind-ul dup codurile ASCII obinute nm. Sistemuldatestefoarterapid,decriptareaseefectueazcuoexactitatede100%i datorit faptului c cheile se schimb de la un mesaj la altul, dar i n timpul criptrii mesajului, algoritmul dat este unul foarte sigur.CriptareaidecriptareaseefectueazmairapidnsistemulCripto3dectnAES, indiferentdelungimeacheii.nacelaitimpcriptareanCripto3idecriptareadureazlafel. Pentru cheile de mrime 186 i 743 de bii ale algoritmuluiCripto 3 timpul de lucru practic nu difer. Odat cu creterea lui crete i mrimea cheii i pentru valori ale lui >4 mrimea cheii creteexponenialceimplicocretereatimpuluidelucrulacriptareidecriptare.Aceast diferensedatoreazfaptuluicodatcucretereacheiisevacheltuimaimulttimppentru criptarea i decriptarea acestei chei, pecnd timpul de criptare i decriptare a mesajuluinu este afectat de mrimeacheii. De aceeaaplicndpentru criptarea i decriptarea cheilor un algoritm de criptare mai econom se va reduce i timpul total de lucru al algoritmului Cripto 3. Pentru algoritmul Cripto 3 la moment nu sunt cunoscute metode eficiente de spargere, iar faptulccheiaesteschimbatdelaunmesajlaaltul complic i maimult eventualeleatacuri. Maimultdectatt,existposibilitateademodificacheiaipeparcursulcriptriiaceluiai mesaj.Funciilebooleenesuntuncazparticularalfunciilordinlogicaq-valenti,nacest context,estenaturalsfienaintatproblemaanalizeifunciilorq-valentenperspectiva elaborrii sistemelor de criptare bazate pe aceste funcii.Sistem de criptare bazat pe funcii de logica q-valent AlgoritmulCripto3poatefigeneralizatipentrucazulcndfunciilebooleenese nlocuiesc cu cele din logica q-valent. Fie funciile k jF F F ,..., ,...,1 dinlogica q-valent. n aa caz att variabilele nx x ,...,1 ct i funciile jF admitvaloridinmulimea}. 1 ,..., 1 , 0 { = O q DacO eijm iO eijd ,atunci matricele MA i DA vorreprezintsistemedefunciiq-valente.Formulelor(13),(14)i(15)le corespund respectiv formulele, (20), (21) i (22): u t m m m mt is = ), ,..., ,..., (0,, unde. , 0 ,1t i q m mkjj kij i= == (20) 24 n =log q t, k =log q max mi (21) u t d d d dt is = ), ,..., ,..., (0,. , 0 ,1t i q d dkjj kij i= ==(22) Compunem o matrice nou) (modq A A AD M C+ = , unde( ) q d m cij ij ijmod + = . Aa cum pentru q matrice DAare loc relaia0 ) (mod ... = + + + q A A Aori q deD D D (matricea nula), atunci egalitilor (16) i (17) le corespund respectiv egalitile (23) i (24): C D MA q A A = + ) (mod , M D CA q A q A = + ) (mod ) 1 ( ( 23) u t c c c ct is = ), ..., ,..., (0,t i q c ckjj kij i, 0 ,1= == i) (modq d m cij ij ij+ =( 24) Din(24)rezultcdacpentrucriptareacortegiuluimaplicmmatricea DA atunci pentru decriptarea acestui vector aplicmmatricea. ) 1 (DA q Din (22) rezult c componentele hdale cortegiuluidaparin mulimii} 1 ,..., 1 { kq(0 nu se include n aceast mulime deoarece starea 0....0 nu schimb componentele cortegiuluim). Pentrucompunereaacestuicortegiulumultimelet variabiledinmulimea} ,..., ,..., {1 n nx x xt , alegem ntr-un mod aleator tqnumere din mulimea} 1 ,..., 1 { kqi cu aceste numere construim cortegiul, 1 ), ,..., ,..., (10t q d d d dqhs =ttcarereprezintcheiaprivat.Componentele hd se potrepetadeunnumrarbitrardeori.Prinurmare,numruldecheiprivatediferiteeste . ) 1 (tq kq =Utiliznd (24) construim cortegiulc . Din(23) rezult . , 0 , ) )(mod ) 1 ( (1t i q q d q c mkjj kij ij i= + == Pentrucazulexaminatdeasemeneaafostelaboratunsistemdecriptarecuviteza variabilnfunciedevalorileluiqsit .Deexemplu,pentru4 , 3 , 2000000 = = = t q t durata criptrii i decriptrii a unui mesaj de 2000000 este mai sczut fa aceeai parametri n Cripto 3. n caz general pentru determinarea valorilor optimale pentru parametriiq ,tit dar i pentru iinterdependenadintreacetiparametriitimpuldelucrualalgoritmuluiestenecesaro investigare mai profund. Pentrucazulncare2 > q cheiaprivatpoatefireprezentatiprinsubmulimide coloan. n acest caz n cortegiul) ,..., ,..., (1 k jS S S S =fiecare component jSreprezint mulimi deforma}} { },..., { }, {{1 2 1 qj j jS S S ,undepentruorice } 1 ,..., 1 { e q ccjS esteosubmulimea mulimii}, 1 ,..., 1 , 0 { tq iarpentruorice} 1 ,..., 1 { , e q s k arelocC = sjkjS S .nsaodatcu creterealuiqapariuneledificultinreprezentareaitransmitereacheiiprivate.Aicilafel sunt necesare investigaii adiionale.25 3. CONCLUZII I RECOMANDRITezaestededicatanalizeiielaborriimetodelordecriptareainformaiei.Aufostcercetate i argumentate teoretic patru metode noi de criptare. Algoritmii elaborai au fost testai pentrumesajedelungimevariat,nmediuldacalculMathematicafiindelaborateprograme pentru fiecare algoritm. De asemenea pentru o serie de teoreme au fost elaborate programe care pot fi folosite i n alte scopuri dect cele din prezenta lucrare. nmetodeleelaborateputemmenionaurmtoareleparticularitincomparaiecualte metode cunoscute: 1.pentrualgoritmiicefuncioneaznbazanumerelorprimeesteelaboratunalgoritm determinist de generare a astfel de numere; 2.ntreidintreacetialgoritmisuntimplementatematricelemultidimensionalensensul generalizriidirecteamatricelordreptunghiulareobinuite,ceeacepermitesconsiderm codurilecaracterelortextuluiclarncalitatedeelementealeacestormatriceisefectum unele operaii cu ele; 3.laelaborareasistemelorseaplicreprezentareafunciilorbooleeneprinsubmulimide coloan, ce simplific esenial unele calcule i micoreaz timpul de lucru al algoritmilor; 4.algoritmiielaboraisuntsimplideimplementat,lucreazrapidipotfiutilizaindiverse domenii; 5.metodele de criptare elaborate pot sta la baza unor sisteme mai sofisticate de criptare, ceea ce necesit investigaii ulterioare. Toatecercetrileirezultatelerealizatentezsebazeaz,nceamaimareparte,pe noiunileiteoremelefundamentaledincriptologie,teorianumerelor,teoriainformaiei,logica matematic,algebr i au cascop de a propuneinstrumentenoi, simple nrealizare i eficiente pentru criptarea informaiei cel mai sigur mod de protecie a ei. Printre direcii decercetare ulterioar, care s foloseasc metodele elaborate iideileconceptualeutilizatencadrullor,potservi:extindereaspectruluideproblemecarepotfi soluionatecuajutorulmetodelorelaborate,cumarfiproblemeleintegritiidatelor, autentificriiinon-repudierii.Sepropunedeinvestigatmaiamnunitfunciiledinlogicaq-valent i de stabilit condiiile de avantaj la utilizarea acestor funcii n sistemele de criptare. n urma cercetrilor efectuate n tez au aprut premisele utilizrii derivatelor pariale ale funciilor booleenelaelaborarea unuisistemdecriptarecuutilizareacheilormultiple,dariaplicriilor pentru autentificarea entitii sau sursei informaiei. Teza prevede iaspectele practice: a fost creat un pachet deprograme simple i uor de folosit n mediulde calculMathematica. Se propune de elaborat acesteprograme nlimbaje de programaremoderne,cumarfiC++,JAVA,Basic.Acestlucruestesimpluderealizatpentru sistemele bazate pe funcii booleene. 26 4. LISTA LUCRRILOR PUBLICATE LA TEMA TEZEI 1.Bulat M., Leon D., Bivol L., Ciobanu Ia., Zgureanu A., Generadores de numeros primos y factorizadores de numeros compuestos Revista de Matematica: Teoria y Aplicaciones, 13(1) CIMPA-UCR-CCSS, 2006,pp. 1-15. 2.Bulat M., Zgureanu A., Ciobanu, Ia., Bivol L., A method for obtaining arbitrary form prime numbers,SatelliteConferenceoftheICM2006.TheXIVthConferenceonAppliedand Industrial Mathematics, Chisinau, pp. 70-73. 3.BulatM.,ZgureanuA.,CiobanuI.,BivolL.,Generatingofprimenumbersbasedonthe multidimensionalmatrices,InternationalAlgebraicConferencededicatedtothe100th anniversary of D. K. Fadeev. St Petersburg, Russia, 2007, pp. 98-99. 4.BulatM.,ZgureanuA.,CiobanuI.,BivolL.,Theinversetransformationsof multidimensional matrices. ASADE Moldova, Chisinau, 2007, pp. 34-34. 5.BulatM.,ZgureanuA.,CiobanuI.,BivolL.,Sistemedecriptarecucheivectoriale, ConferinatiinificinternaionalModelarematematic,optimizareitehnologii informaionale, ATIC, Chiinau, 2008, pp. 281-285. 6...,..,..,..,-n-,-08, , 2008, pp. 66-67. 7.ZgureanuA.,BulatM.,Sistemedecriptarebazatepefunciibooleene.Conferina Internaional ICT+, Chiinu, 2009. 8.ZgureanuA.,Sistemedecriptarecucheivariabile.AnaleleATIC-2007-2008,vol.I(XII), Chiinu, 2009 pp. 92-98. 9.ZgureanuA.,BulatM.,Proteciainformaieiimanagementulntreprinderii.Materialele conferinei Managementul ntreprinderii n mediul economic contemporan, Chiinu, 2009, pp. 312-314. 10. BulatM.,ZgureanuA.,CiobanuIa.,IzbaV.,Sistemdecriptarebazatpederivarea funciilor booleene. Conferina tiinific internaional Modelare matematic, optimizare i tehnologii informaionale, Chiinau, 2010, pp. 132-141. 11. ZgureanuA.,CataranciucS.,Encryptionsystemsbasedonmultidimensionalmatrixes, Tiberiu Popoviciu seminar, Cluj-Napoca, 2010, pp. 99-110. 12. ZgureanuA.,InformationencryptionsystemsbasedonBooleanfunctions.TheComputer Science Journal of Moldova, vol.18, no.3(54), 2010, pp. 319-335. 13.Bulat M., Cataranciuc S., Zgureanu A., A method for calculating the Zhegalkin polynomial coefficients.MITRE-2011,InternationalConferencededicatedtothe65thanniversaryofMoldova State University, Chiinu, 2011, pp. 19-20. 27 ADNOTARE ZgureanuAureliu,Securitateainformaionalimetodedecriptarebazatepe mulimiderelaiimulti-are,tezdedoctorntiinefizico-matematicelaspecialitatea01.01.09 Cibernetic Matematic i Cercetri Operaionale, Chiinu, 2011. Teza cuprindeintroducerea, trei capitole, concluziicu recomandri, bibliografia din 130 titlurii2anexe.Eaesteperfectatpe164pagini,dintrecare125paginiconstituieparteade baz, conine 62 figuri i 24 tabele. Rezultateleobinute sunt publicate n 13 lucrri tiinifice.Cuvinte-cheie:sistemdecriptare,matricemultidimensional,numrprim,funcie boolean, funcie q-valent, derivat parial, mulimi de relaii multi-are. Domeniuldestudiualtezeiconstncercetareaielaborareaunornoialgoritmide criptare a informaiei. Baza teoretic a acestor algoritmi include numerele prime mari, matricele multidimensionale,ecuaiilepolinomialecucoeficieninedeterminai,funciilebooleeneicele din logica q-valent.Caobiectiveprincipalealetezeipotfimenionate:elaborareaunuialgoritmdeterminist degenerareanumerelorprimemari,cercetarearelaiilormulti-arereprezentatecuajutorul matricelormultidimensionaleiaplicareaacestoralaelaborareaalgoritmilordecriptare, studiereafunciilorbooleeneiimplementarealornelaborareaalgoritmilordecriptarecu resurse de lucru reduse, descrierea aspectelor teoretice a algoritmilor propui, elaborarea softului i prezentarea unor rezultate evaluative icomparative. Noutatea i originalitatea tiinific const n: prezentarea unor metode noi de protecie a datelor princriptare.ntezsuntexpusepatrumetodenoidecriptare.Pentruunadintreaceste metodeesteelaboratunalgoritmdeterministdegenerareanumerelorprimemari,ceeacene permitesoplasmprintremetodeledecriptarecuosecuritatenalt.Oparticularitate importantametodelorprezentatentezconstnaplicareamatricelormultidimensionale(n sensulgeneralizriidirecteamatricelorbidimensionaleobinuite)laelaborareaatreidintre aceti algoritmi. O alt particularitate o constituie aplicarea funciilor booleene i a funciilor din logica q-valent. Aceste funciisunt definite prinsubmulimi de coloan pentru a putea efectua maisimpluuneleoperaiiasupralor,unadintreoperaiiledebazfiindcalcululderivatelor pariale ale acestor funcii. Problema tiinific important soluionat. Sunt propuse metode eficiente de criptare a informaiei care depesc metodele actuale dup un ir de parametri (timpul de criptare, volumul memoriei, securitatea algoritmului etc). Este dezvoltat baza teoretic pentru aceste metode care const n proprieti noi ale funciilor booleene, funciilor q-valente i matricelor multidimensionale. Semnificaiateoretic:laelaborareametodelordecriptare,expusentez,aufost obinuterezultateteoreticenoiceindestudiereateorieirelaiilormulti-are,aproprietilor matricelor multidimensionale,precumi a funciilor booleene. Prezint interes rezultatele ce in deimplementareafunciilor dinlogicaq-valent.Metodele decriptare obinuteasigur ungrad nalt de securitate i o fiabilitate major a sistemului de criptare a informaiei. Valoarea aplicativ a lucrrii: pentru fiecare metod de criptare a fost implementat cte o aplicaie care o realizeaz. Softul elaborat este simplu, eficient inu necesit resurse de calcul mari. 28 ABSTRACT ofthe thesisInformationsecurityandencryptionmethodsbased onsetsofmulti-aryrelations submitted by Aureliu Zgureanu, to the Moldova State University in partial fulfillmentoftherequirementsforthedegreeofDoctorinPhysicsandMathematics, speciality 01.01.09 Mathematical Cybernetics and Operational Research, Chisinau, 2011. Thethesiscontainstheintroduction,threechapters,conclusionsandrecommendations, the bibliography (130 titles) and 2 annexes. It consists of 164 pages, from which 125 pages of the main part, including 62 figures and 24 tables. Obtained results are published in 13 scientific papers. Keywords:encryptionsystem,multidimensionalmatrix,primenumber,Boolean function, q-valent function, partial derivative, sets of multi-ary relations. Theareaofstudyreferstotheresearchandelaborationofnewinformationencryption algorithms. Theoretical basis of these algorithms include large prime numbers, multidimensional matrixes, polynomial equations with undetermined coefficients, Boolean and q-valent functions.Theaimofthisworkconsistsinfollowing:elaborationofadeterministicalgorithmfor generatingoflargeprimenumbers,researchingofmultidimensionalmatricesforusetheirin cryptography, study of Boolean functions and their implementation in elaboration of encryption algorithmswithreducedresources,descriptionofthetheoreticalaspectsoftheproposed algorithms, software development and presentation of evaluative and comparative results. Thescientificnoveltyandoriginalityofobtainedresultsconsistinpresentationofnew methodsofdataprotectionusingencryption.Inthisthesisarepresentedfournewmethodsof encryption.For oneofthesemethodsisdevelopedadeterministicalgorithmforgeneratelarge prime numbers, which allows us to place it among methods of encryption with high security. An importantfeatureofthepresentedmethodsinthethesisistoapplymultidimensionalmatrices (meaningdirectgeneralizationoftheusualtwo-dimensionalmatrices)inthedevelopmentof three of these algorithms. Another feature is the application of Boolean functions and functions of q-valent logic. These functions are defined by subsets of the column to perform some simple operationsonthem,oneofthebasicoperationsiscalculationofpartialderivativesofthese functions. Important scientific problem solved. In this thesis are proposed new effective methods of encryption, that exceed current methods by a number of parameters (time of encryption, volume memory,securityalgorithmetc).Isdevelopedthetheoreticalbasisforthesemethodsbased on newpropertiesoftheBooleanfunctions,functionsofq-valentlogicandofmultidimensional matrices. The theoretical signification consists in: in the development of the methods of encryption, exposedinthethesiswereobtainednewtheoreticalresultsrelatedtothestudyofmulti-ary relationstheory,propertiesofmultidimensionalmatricesandBooleanfunctions.Theresults relatedtotheimplementationofthefunctionsofq-valuedlogicrepresentsinterest.Obtained encryption methods ensure a high degree of security and reliability of the system of information encryption. Thepracticalvalueofthework:foreveryproposedmethodhasbeendevelopeda program.Elaboratedsoftwareissimple,efficientanddoesnotrequireconsiderablecomputing resources. 29 ,, -, - 01.01.09 , , 2011. ,,c, 130 2- . 164 , 125 , 62 24 . 13 .:,, , , q- , , - . . ,, , q- . : ,- , , , . : . . , . ( ). q-. , , . ., (, ,.). ,q-, . : , -, . q-. . :. . 30 ZGUREANU AURELIU SECURITATEA INFORMAIONALI METODE DE CRIPTARE BAZATE PE MULIMI DE RELAII MULTI-ARE 01.01.09 CIBERNETIC MATEMATIC I CERCETRI OPERAIONALE

Autoreferatul tezei de doctor n tiine fizico-matematice

Aprobat spre tipar: 11.10.2011 Hrtie ofset. Tipar ofsetColi de tipar: 1,7 Formatul hrtiei 60x84 1/16Tirajul 70 ex.Comanda Nr. 334