Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

76
1 Geometrie diferenţială An.1 Sem.2 MI – Info Autor: Cris_43 – Deva Anul I. MI – Informatica, [email protected] A 1 Cercul cu centrul în origine şi de raza r scris în coordonate polare are ecuaţia a. p r = b. cos , sin ( ) x p t y p t t = = a C 25 Conditia de ...........................ORTOGONALITATE....................... a doua curbe ( ) 1 γ şi ( ) 2 γ pe o suprafata ( ) , r ruv = este: ( ) 0 Edu u F du v dv u Gdv u δ δ δ δ + + + = D 103 Curba (C) de ecuaţie: ( ) 3 2 3 2 2 : 1 , , 5 2 3, C x t y t t z t t t = + = + = + + este: a. situată în planul: 8 10 3 0 x y z + - - = c. situată în planul: 3 2 0 x y z + - = b. tangenta la planul: 3 2 1 0 x y z + + - = d. tăiată de planul: 3 2 0 x y z + - = în două puncte. c D 85 Curba (C) definită prin ecuaţiile parametrice: cos sin x r y r z k θ θ θ = = = este o: a. elipsă în spaţiu. c. elice conică. b. elice circulară. d. altă curbă din spaţiu. b A 41 Curba a carei ecuatie implicita este: ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 : 0 C x y a a + = > se numeste ……………..…ASTROIDA……………..… H 197 Curba a carei ecuatie implicita este: ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 : 0 C x y a a + = > se numeste .....................ASTROIDA..................... A 4 Curba de ecuatie ( ) ( ) : 1 cos C a ρ α = + reprezinta a. un cerc scris în coordonate b. un lantisor c. o cardioida polare şi de raza 2 a c A Curbe Plane B Curbe in spatiu C Suprafete Grila actuala D Prima grila (157 subiecte) E Grila 2007 - Curbe plane - True / False F Grila 2007 - Curbe strimbe - True / False G Grila 2007 - Suprafete - True / False H Grila 2007 - Completion

Transcript of Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

Page 1: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

1

Geometrie diferenţială An.1 Sem.2 MI – Info

Autor: Cris_43 – Deva Anul I. MI – Informatica, [email protected]

A 1

Cercul cu centrul în origine şi de raza r scris în coordonate polare are ecuaţia

a. p r= b. cos , sin ( )x p t y p t t= = ∈� a

C 25

Conditia de ...........................ORTOGONALITATE....................... a doua curbe ( )1γ şi ( )2γ pe o suprafata

( ),r r u v=� �

este:

( ) 0Edu u F du v dv u Gdv uδ δ δ δ+ + + =

D 103

Curba (C) de ecuaţie:

( ) 3 2 3 2 2: 1 , , 5 2 3, C x t y t t z t t t= + = + = + + ∈� este:

a. situată în planul: 8 10 3 0x y z+ − − = c. situată în planul: 3 2 0x y z+ − =

b. tangenta la planul: 3 2 1 0x y z+ + − = d. tăiată de planul: 3 2 0x y z+ − = în două

puncte.

c

D 85

Curba (C) definită prin ecuaţiile parametrice:

cos

sin

x r

y r

z k

θ

θ

θ

=

= =

este o:

a. elipsă în spaţiu. c. elice conică. b. elice circulară. d. altă curbă din spaţiu.

b

A 41

Curba a carei ecuatie implicita este:

( ) ( )2 2 2

3 3 3: 0C x y a a+ = >

se numeste ……………..…ASTROIDA……………..…

H 197

Curba a carei ecuatie implicita este:

( ) ( )2 2 2

3 3 3: 0C x y a a+ = >

se numeste .....................ASTROIDA.....................

A 4

Curba de ecuatie

( ) ( ): 1 cosC aρ α= +

reprezinta

a. un cerc scris în coordonate b. un lantisor c. o cardioida

polare şi de raza 2

a

c

A Curbe Plane B Curbe in spatiu C Suprafete

Grila actuala

D Prima grila (157 subiecte) E Grila 2007 - Curbe plane - True / False F Grila 2007 - Curbe strimbe - True / False G Grila 2007 - Suprafete - True / False H Grila 2007 - Completion

Page 2: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

2

E 3

Curba de ecuatie:

( ) ( ): 1 cosC aρ α= +

este numita (se numeste) si cicloida.

F

E 6

Curba de ecuatie:

( ) ( ): 1 cosC aρ α= +

este numita (se numeste) si cardioida.

T

B 34

Curba de ecuatie:

0

at

z

ρ =

=

reprezinta ......................SPIRALA LUI ARHIMEDE......................

E 2

Curba definita de ecuatiile parametrice:

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t tC

y a t

= −

= −

se numeste cisoida.

F

E 4

Curba definita de ecuatiile parametrice:

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t tC

y a t

= −

= −

se numeste cicloida.

T

B 2

Curba definita parametric de ecuatiile:

( ) [ ]cos

: sin , 0, 2

x at t

C y at t t

z bt

π

=

= ∈ =

reprezintă:

a. o elipsă în spaţiu. c. o elice conica. b. o elice circulara. d. altă curba în spaţiu.

c

B 1

Curba ( )C definita prin ecuatiile parametrice:

cos

sin

x r

y r

z k

θ

θ

θ

=

= =

este o:

a. elipsă în spaţiu. c. elice conica. b. elice circulara. d. altă curba din spaţiu.

b

D 88

Curba definită parametric de ecuaţiile:

( ) [ ]cos

: sin , 0, 2

x at t

C y at t t

z bt

π

=

= ∈ =

reprezintă:

a. o elipsă în spaţiu. c. o elice conică. b. o elice circulară. d. altă curbă în spaţiu.

c

Page 3: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

3

D 136

Curba definită parametric prin ecuaţiile:

( )cos

sin

x r

C y r

z k

θ

θ

θ

=

= =

reprezinta o:

a. spirală logaritmică c. elice circulară b. elice conica d. cerc în spaţiu.

c

D 102

Curba în spaţiu:

( ) 3 3 3: 3 2 4 , 4 3 2 , 2 4 3 , C x t t y t t z t t t= + + = + + = + + ∈�

este situată întrun plan ( )P de ecuaţie:

a. 10 8 27 0x y z+ − − = c. 10 8 27 0x y z− + − =

b. 10 8 27 0x y z+ − + = d. 10 8 27 0x y z− + − =

b

D 135

Curba lui Viviani, definită implicit de ecuaţiile:

( )2 2 2 2

2 2

0

0

x y z rC

x y rx

+ + − =

+ − =

admite reprezentarea parametrică:

a. [ ]

cos

sin cos , 0, 2

sin

x r t

y r t t t

z r t

π

=

= ∈ =

c. [ ]2

sin cos

sin , 0, 2

cos

x r t t

y r t t

z r t

π

=

= ∈ =

b. [ ]

2cos

sin cos , 0, 2

sin

x r t

y r t t t

z r t

π

=

= ∈ =

d. [ ]

2sin

sin cos , 0, 2

sin

x r t

y r t t t

z r t

π

=

= ∈ =

b

H 198 Curba plana a carei .....................CURBURA.....................constanta este un cerc.

A 42 Curba plana a carei ……………..…CURBURA……………..… constanta este un cerc.

H 213

Curba stramba a carei ecuatie implicita este

( )2 2 2 0

:0

x y rC

z

+ − =

=

reprezinta un .....................CERC.....................

H 216

Curba stramba a carei reprezentare parametrica este

( ) ( )cos

: sin

x at t

C y at t t

z bt

= ⋅

= ⋅ ∈ =

ste o elice .....................CONICA.....................

Page 4: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

4

H 224

Curba stramba a carei reprezentare parametrica este

( ) ( )

cos

: sin

x r t

C y r t t

z kt

= ⋅

= ⋅ ∈ =

� (C):

este o elice ……………CIRCULARA……….............

B 18

Curba strimba a carei ecuatie implicita este:

( )2 2 2 0

:0

x y rC

z

+ − =

=

reprezinta un ......................CERC......................

B 16

Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:

( ) ( )cos

: sin ,

x at t

C y at t t

z bt

=

= ∈ =

este o elice ......................CONICA......................

B 17

Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:

( ) ( )cos

: sin ,

x r t

C y r t t

z kt

=

= ∈ =

este o elice ......................CIRCULARA......................

B 33

Curbe de ecuatie implicita

2 2 2 2 0

0

x y z r

z

+ + − =

=

este un ......................CERC......................

A 100 Curbele ( )1C şi ( )2C admit în punctul M un contact de ordinul n, dacă cele două curbe au (n +1) puncte

……………..…CONFUNDATE……………..…

A 98 Curbele plane a căror curbură este constantă sunt ……………..…CERCURI……………..….

A 91 Curbura cercului de raza 1/2 este ……………..…2……………..…

B 32 Curbura unui cerc de raza 1

4 este egala cu ......................4......................

A 48

Daca în punctul M (x,y)∈(C): ( ) ( )1 2, 0, , F x y F C D D= ∈ ⊂ �

( ) 2 2

20,

xy x yF F F′′ ′′ ′′− <

atunci M se numeste ……………..…PUNCT IZOLAT……………..… al curbei.

C 38 Dacă normala în punctul curent al unei suprafeţe păstrează direcţia fixă, suprafaţa este un …....…PLAN………

A 14

Determinati punctele singulare ale curbei

( ) ( )( )2: 2 1 0C y x x− − − =

şi sa se scrie ecuatiile tangentelor corespunzatoare.

a. ( )0, 2 2A y x= ± b. ( ) ( )0, 2 2A y x= ± −

b

Page 5: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

5

A 59

Distanta de la un punct M la punctul T, unde tangenta (MT ) taie axa Ox se numeste

……………..…SEGMENT TANGENTA……………..…

G 8

Ecuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita:

( ) ( ): ,S z f x y=

este:

1

X x Y y Z z

p q

− − −= =

unde x

p z′= si y

q z′=

T

G 9

Ecuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita:

( ) ( ): ,S z f x y=

este:

1

X x Y y Z z

p q

− − −= =

unde x

p z′= si y

q z′= .

F

G 4

Ecuatia planului normal la sfera:

( ) 2 2 3 2:S x y z R+ + =

in punctul ( ) ( )0 0 0, ,M x y z S∈ este

0 0 0 0xx yy zz+ + = .

T

G 6

Ecuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita:

( ) ( ): ,S z f x y=

este:

( ) ( ) ( ) 0p X x q Y y Z z− + − + − =

unde x

p z′= si y

q z′=

F

G 7

Ecuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita:

( ) ( ): ,S z f x y=

este:

( ) ( ) ( ) 0p X x q Y y Z z− + − − − =

unde x

p z′= si y

q z′=

T

G 5

Ecuatia planului tangent la sfera:

( ) 2 2 3 2:S x y z R+ + =

in punctul ( ) ( )0 0 0, ,M x y z S∈ este

20 0 0xx yy zz R+ + = .

F

G 1

Ecuatiile:

[ ) [ ]( )cos sin

sin sin 0, , 0, 2

cos

x R

y R

z R

α β

α β α π β π

β

=

= ∈ ∈ =

constituie o reprezentare parametrica a unei sfere.

T

Page 6: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

6

G 2

Ecuatiile:

[ ) [ ]( )cos sin

sin sin 0, , 0,

cos

x R

y R

z R

α β

α β α π β π

β

=

= ∈ ∈ =

constituie o reprezentare parametrica a unei semi-sfere.

F

A 53

Ecuaţia tangentei la curba

( )cos

:sin

t

t

x e tC

y e t

=

=

în punctul A(1,0).este ……………..…X - y - 1 = 0……………..…

A 52

Ecuaţia:

( ) ( ) 0y xY y F X x F′ ′− + − =

reprezinta ……………..…TANGENTA……………..… la o curba regulata ( ), 0F x y = , dusa printr-un punct

( ),x y al curbei.

F 1

Elementul de arc al curbei circulare:

( ) [ ]( )cos

: sin 0, 2

x a

C y a

z k

θ

θ θ π

θ

= ⋅

= ⋅ ∈ =

este

2 22ds a kπ= +

F

F 2

Elementul de arc al curbei circulare:

( ) [ ]( )cos

: sin 0,2

x a

C y a

z k

θ

θ θ π

θ

= ⋅

= ⋅ ∈ =

este

2 22ds a k dπ θ= +

T

E 10

Elementul de arc al curbei:

( ) ( ): 1 cosC aρ α= +

este:

2 cos2

ds a dα

α=

T

E 9

Elementul de arc al curbei:

( ) ( ): 1 cosC aρ α= +

este:

22 cos2

ds a dα

α= .

F

Page 7: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

7

D 141

Elementul de arc pe curba:

( ) [ ]cos

: sin , 0, 2

x a

C y a t

z k

θ

θ π

θ

=

= ∈ =

este:

a. 2 2ds a k dθ= − c. 2 2ds a k dθ= +

b. 21ds a k dθ= + d. 211ds k d

aθ= +

c

D 139

Elementul de arc pe elicea conică:

( )

cos

sin

x at t

C y at t

z bt

=

= =

este:

a. 2 2 2ds a t b dt= + c. 2 2

ds a b t dt= +

b. 2

22

bds t dt

a= + d. 2 2 2

ds a t b dt= + +

d

E 12

Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie:

( ) :C y chx=

este: ds chx= .

T

E 11

Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie:

( ) :C y chx=

este: ds shx= .

F

D 143

Eliminand parametrul t intre ecuatiile parametrice reprezentand curba:

( ) 2

2

1

2

2

x t

C y t t

z t

= +

= + +

= − +

obtinem ecuatiile implicite ale curbei:

a. ( )( )

21 2 0

3 0

x zC

x y z

+ − − =

− − − = c. ( )

( )2 2 1 0

0

x z yC

x y z

+ − − =

− − =

b. ( )( )

22 1 2 0

3 0

z xC

x y z

+ − − =

− − + = d. ( )

( )2

1 2 0

3 0

x y zC

x y z

+ − − =

− − + =

b

Page 8: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

8

D 84

Eliminând parametrul t între ecuaţiile curbei:

( )

2cos

: sin cos

sin

x r t

C y r t

z r t

=

= =

să se scrie ecuaţiile curbei (C) sub formă implicită.

a.

2 2 2 2

2 2 2

0

0

x y z r

x y z rx

+ − − =

+ + − = c.

2 2

2 2

0

0

x y ry

x y rz

+ − =

+ − =

b.

2 2 2 2

2 2

0

0

x y z r

x y rx

+ + − =

+ − = d.

2 2 2

2 2 2

0

0

x y z rx

x y z rz

+ + − =

+ + − =

b

D 21

Eliminând parametrul ϕ între ecuaţiile parametrice ale curbei:

( )

2

3

2 sin

sin2

cos

x a

Cy a

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

(cisoida lui Diocles)

se obţine ecuaţia curbei sub formă implicită:

a. ( )2 2 22 0y x y ax+ − = c. ( ) ( )2 2 2 2 2 0x x y a x y+ + − =

b. ( )2 2 22 0x x y ay+ + = d. ( )2 2 22 0x x y ay+ − =

b

C 32 Elipsoidul este o suprafata ……………………..…REGULATA…………..

C 21

Fie ( )S datã de ecuaţia explicitã:

( ) ( ) ( ) 2: , , ,S z f x y x y D= ∈ ⊂ �

Coeficientii lui ………....GAUSS...................... se scriu sub forma:

2 21 , , 1E p F pq G q= + = = +

A 19

Fie ( ) ( ): , 0C F x y = o curba plana iar ( )M C∈ a.i prin M trec două ramuri ce admit tangente distincte

în acest punct (vezi figura ).

Atunci:

a. ( ) 2 2

20

xy x yF F F′′ ′′ ′′− > b. ( ) 2 2

20

xy x yF F F′′ ′′ ′′− = c. ( ) 2 2

20

xy x yF F F′′ ′′ ′′− <

a

Page 9: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

9

A 20

Fie ( ) ( ): , 0C F x y = o curba plana iar ( )M C∈ un punct izolat (vezi figura ).

Atunci:

a. ( ) 2 2

20

xy x yF F F′′ ′′ ′′− < b. ( ) 2 2

20

xy x yF F F′′ ′′ ′′− = c. ( ) 2 2

20

xy x yF F F′′ ′′ ′′− >

a

A 82

Fie ( ) ( ): , 0C F x y = o curba plana şi ( ),M x y un punct regulat. Atunci dreapta de ecuatie:

( ) ( ) 0y x

X x F Y y F′ ′− − − =

se numeste ……………..…NORMALA……………..… la curba dusa prin punctul M

C 29

Fie ( ) 3S ⊂ � o suprafata reprezentatã prin ecuatiile ei parametrice Se stie ca unghiul a doua curbe

coordonate este dat de relatia:

cosF

EGα = .

Condtia de ortogonalitate a curbelor este …………..…F = 0…………...

A 90

Fie ( )C un arc de curbă plana, iar

0

1lim ,

def

xR s

ε∆ →

=∆

unde ε are semnificatia din figura alaturata

Atunci, s

ε

∆ reprezinta ……………..…ABATEREA UNITARA……………..…

B 39

Fie (C) un arc de curbă regulat din spatiu iar ( ), ,M x y z un punct arbitar pe (C). Numarul

3

r r

r

′ ′′×

�� ���

��

defineste ............................CURBURA......................... curbei

Page 10: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

10

B 40

Fie (C) un arc de curbă regulat din spatiu iar ( ), ,M x y z un punct arbitar pe (C). Numarul

( )

2

r r r

r r

′ ′′ ′′′× ⋅

′ ′′×

�� ��� ���

�� ���

defineste ……………….....TORSIUNEA...................... curbei

D 151

Fie ( ) ( ) ( ) ( ): 2cos 2sin 4C r t i t j t k= + +�� ��

, o curba definita prin ecuatia sa vectorială şi

4oM tπ

=

un punct pe aceasta curbă. Atunci ecuaţiile tangentei si planului normal sunt respectiv:

a. 2 2

42 2

X Y Z π− − −= =

− si 2 2 4 4 0X Y Z π− + − =

b. 2 2

42 2

X Y Z π− − −= =

− si 2 2 4 4 0X Y Z π− + + − =

c. 2 2

1 1 2

X Y Z π− − −= = si 2 2 0X Y Z π+ + − =

d. 3 1 4

42 2

ZX Y

π−

− −= =

− si 2 2 4 2 0X Y Z π− + − =

b

D 73

Fie AB un segment de lungime AB=k (const), care se deplasează sprijinindu-se cu capătul A pe axa OX şi cu capătul B pe axa OY . Să se afle înfăşurătoarea familiei de drepte AB .

a. x

y acha

= c. 2 2 2

3 3 3x y k+ =

b. 3 3 3

2 2 2x y k+ = d.

2

3

cos,

sin

x a tt

y a t

=∈

=�

a

E 1

Fie arcul de curba: ( ) [ ]cos

: 0, 0,sin

xC

y

ρ θρ θ π

ρ θ

=> ∈

=

Atunci elementul de arc pe curba este: 2 2ds ρ ρ′= + .

T

A 51

Fie arcul de curbă regulat, definit parametric de ecuatiile:

( ) ( ), x x t y y t= =

Atunci derivatele de ordinul intai ( ) ( ),t tx t y t calculate intr-un punct arbitrar al curbei reprezinta

……………..…PARAMETRII DIRECTORI……………..… ai tangentei

A 89

Fie conica:

( ) ( ) 2 211 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a y a x a y a≡ + + + + + =

Atunci, un punct ( ) ( ),M x y C∈ este un punct singular doar daca conica este

……………..…DEGENERATA……………..…

Page 11: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

11

D 47 Fie curba ( ) 2 3 , C y x px p= + ∈� şi fie ,0

3

pA

un punct singular al curbei. Atunci:

a. A este punct de întoarcere pentru p < 0 c. A este punct dublu pentru p < 0 b. A este nod pentru p > 0 d. A este punct izolat pentru orice p > 0.

b

D 147

Fie curba ( )C de ecuaţii parametrice:

( )

cos

: sin

x a

C y a

z b

θ

θ

θ

=

= =

Atunci versorii triedrului lui Frenet in punctul A de parametru 0θ = sunt:

a. ( ) ( )2 2 2 2

, , aj bk bj ak

A n A i ba b a b

τ− +

= = =+ +

� �� ���� �

b. ( ) ( )2 2 2 2

, , aj bk bj aj

A i n A ba b a b

τ+ − +

= = =+ +

�� � ���� �

c. ( ) ( )2 2 2 2

, , aj bk bj ak

A n A b ia b a b

τ+ − +

= = = −+ +

� �� �� �� �

d. ( ) ( )2 2 2 2

, , ai bj aj bj

A n A b ia b a b

τ− +

= = = −+ +

� � � �� �� �

c

D 49

Fie curba ( )C definită implicit de ecuaţia: ( ) ( ): , 0C F x y = şi ( )0 0,M x y ∈� un punct singular.

Atunci:

a. M este nod dacă ( )2

0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− < în M

b. M nu un punct izolat dacă ( )2

0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− = în M

c. Prin M trec două ramuri ale curbei ce admit tangente distincte în acest punct

dacă ( ) ( )( )2

0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− = în M

d. Toate variantele de mai sus sunt adevărate

b

D 15

Fie curba ( )C definită în coordonate polare de ecuaţie: ( ) ( ) C ρ ρ θ= – (posibil (C)=ρ= ρ(θ)). Să se

scrie ecuaţiile tangentei (t ) şi normalei (n) la curba ( )C în punctul curent

a. ( ) ( ):tg

t Y y X xtg

ρ θ

ρ ρ θ− = −

′ − c. ( ) ( )

2:

tgt Y y X x

tg

ρ θ

ρ θ

′ ⋅− = −

′ −

( ) ( ):tg

n Y y X xtg

ρ θ ρ

ρ θ

′−− = − ( ) ( ):

2

tgn Y y X x

tg

θ ρ

ρ θ

′−− = −

b. ( ) ( ):tg

t Y y X xtg

ρ θ ρ

ρ ρ θ

′ +− = −

′ − d. ( ) ( ):t Y y tg X xρ θ′− = −

( ) ( ):tg

n Y y X xtg

ρ θ ρ

ρ θ ρ

′−− = −

′ + ( ) ( )

1:n Y y X x

tgρ θ− = −

b

Page 12: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

12

A 29

Fie curba (C) definita implicit de ecuaţia: (C): F(x,y) = 0 şi ( )0 0,M x y ∈� un punct singular.

Atunci:

a. M este nod daca ( )2

0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− < în M

b. M nu un punct izolat daca ( )2

0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− = în M

c. Prin M trec doua ramuri ale curbei ce admit tangente distincte în acest punct

daca ( ) ( )( )2

0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− = în M

d. Toate variantele de mai sus sunt adevarate

b

A 24

Fie curba (C) definita în coordonate polare de ecuatie: (C) ρ = ρ (θ ). Notam V - unghiul dintre tangenta MT şi raza vectoare OM . Atunci:

a. 1

tgVρ

= b. 1

tgVρ

=′

c. tgVρ

ρ=

′ d. tgV

ρ

ρ

′=

c

D 118

Fie curba ( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , C x t a t y t a t z bt= = = , atunci binormala ( )nB într-un punct

( ) ( ), ,x y z C∈ are ecuaţiile:

( )( ) ( )cos ln sin ln

:n

X t a t Y t a t Z btB

A B C

− − −= = , unde:

a. ( ) ( )sin ln cos lnab

A a a t a tt

= +

( ) ( )cos ln sin lnab

B a a t a a tt

= −

( )21a

C at

= +

b. ( ) ( )sin ln cos lnab

A a a t a tt

= −

( ) ( )cos ln sin lnab

B a a t a a tt

= +

( )21a

C at

= +

c. ( ) ( )cos ln sin lnab

A a a t a a tt

= −

( ) ( )cos ln sin lnab

B a t a a tt

= +

( )21ab

C at

= +

d. ( ) ( )sin ln cos lnab

A a t t a tt

= +

( ) ( )cos ln sin lnab

B t a t a tt

= −

( )21ab

C at

= +

b

Page 13: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

13

D 45

Fie curba ( ) : cos , n nC a n nρ θ= ∈� . Notăm

nS - lungimea segmentului subnormală polară şi R -

raza de curbură. Atunci:

a. ( )1n

S n R= + b. 1n

RS

n=

+ c. 2

nS n R= d. n

nS R=

a

F 18

Fie curba ( )C a carei ecuatie vectoriala este ( ) ( ): , C r r t t I= ∈� �

. Notam:

. .. ...

, ,r r r� � �

- derivatele de ordinul intai, doi, respectiv trei ale vectorului ( )r t�

,

1 1,

R T - curbura respectiv torsiunea curbei.

Atunci:

. .. ...

2. ..

, ,1

r r r

Rr r

=

×

� � �

� �

. ..

3.

1r r

Tr

×

=

� �

F

A 38

Fie curba de ecuatie implicita:

( ) ( ): , 0C F x y =

şi ( ) ( ),M a b C∈ un punct care satisface conditiile:

( )

( )

( )

, 0

, 0

, 0

t

x

t

y

F a b

F a b

F a b

=

=

=

Atunci, M se numeste ……………..…PUNCT SINGULAR……………..…al curbei ( )C

H 212

Fie curba de ecuatie implicita:

( ) ( ): , 0C F x y =

si ( ) ( ),M a b C∈ un punct care satisface conditiile:

( )

( )

( )

, 0

, 0

, 0

x

y

F a b

F a b

F a b

=

=

=

Atunci, M se numeste .....................PUNCT SINGULAR..................... al curbei ( )C .

A 13

Fie curba de ecuatie: ( ), 0F x y = şi M un punct pentru care

( ) 2 2

20,

xy x yF F F′′ ′′ ′′− >

Atunci

a. M este un punct izolat c. M este un punct regulat b. prin M trec doua ramuri ce admit tangente distincte în acest punct d. M este un punct de intoarcere

b

A 71

Fie curba de ecuatie: (C) : y2 − (x−2)(x−1)=0

Atunci ( )2,0A este un punctul singular de tip ……………..…NOD……………..…

Page 14: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

14

A 21

Fie curba de ecuatie: (C):x4+2ax

2y−ay

3 =0 Să se stabileasca care dintre afirmatiile de mai jos este adevarata:

a. Originea este singurul punct regulat d. Originea este un punct dublu

b. ( )2,0A este un punct singular al curbei e. Originea este un punct triplu

c. Toate punctele curbei sunt regulate

e

A 35

Fie curba de ecuatii parametrice:

( )( )

( )( )( ): ,

x x tC t

y y tα β

=∈

=

şi ( ) ( ),M X Y C∈ un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:

( ) ( ) 0t tx X x y Y y− + − =

reprezinta ……………..…NORMALA……………..… în punctul curent la curba data

A 36

Fie curba de ecuatii parametrice:

( )( )

( )( )( ): ,

x x tC t

y y tα β

=∈

=

şi ( ) ( ),M X Y C∈ un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:

t t

X x Y y

x y

− −=

reprezinta ……………..…TANGENTA……………..… în punctul curent la curba data.

A 37

Fie curba de ecuatii parametrice:

( )( )

( )( )( ): ,

x x tC t

y y tα β

=∈

=

şi ( ) ( ),M X Y C∈ un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:

t t

X x Y y

x y

− −=

reprezinta ……………..………………..…în punctul curent la curba data.

?

H 202

Fie curba de ecuatii parametrice:

( )( )

( )( )( ) ,

x x tC t

y y tα β

=∈

=

si ( ) ( ),M X Y C∈ un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta:

( ) ( ) 0x X x y Y y′ ′− + − =

este ecuatia .....................NORMALEI..................... in punctul curent la curba data.

Page 15: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

15

H 215

Fie curba de ecuatii parametrice:

( )( )

( )( )( ): ,

x x tC t

y y tα β

=∈

=

si ( ) ( ),M X Y C∈ un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta:

X x Y y

x y

− −=

′ ′

este ecuatia .....................TANGENTEI.....................in punctul curent la curba data.

D 62

Fie curba de ecuaţie:

( ) : , 0x

C y ach aa

= ≠ (lănţişorul)

Notăm: 1

R- curbura curbei şi

nS - segmentul normală corespunzătoare unui punct arbitrar pe curbă.

Atunci:

a. 1

nSR

= b. 1

2 nSR

= c. 1

nS constR

= d. 2

nSR

=

c

D 63

Fie curba de ecuaţie:

( ) : ,kaC aeρ = (spirala logaritmică)

Notăm: 1

R - curbura curbei şi

nS - segmentul normală corespunzător unui punct arbitrar pe curbă.

Atunci:

a. 1

nSR

= b. 1

2 nSR

= c. 1

nS constR

= d. 2

nSR

=

c

D 144

Fie curba de ecuaţii parametrică:

( ) 2

2

1

2

2

x t

C y t t

z t

= +

= + +

= −

atunci ecuaţia planului osculator într-un punct arbitrar situat pe curba ( )C este:

a. ( )2 2 0t x y tz− + − − = c. 3 0x y z− − + =

b. ( )1 2 0tx t y z t+ − − + = d. 2 3 0x y z t− + − =

c

Page 16: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

16

D 148

Fie curba de ecuaţii parametrice:

( ) 2

2

1

1

xt

C yt

z t

=

= =

( )

Atunci:

a. ( )C este o curba plană

b. curbura curbei este

( )

2

3/24 5

1 2 1

3 24 1

t

R t t

+=

+ +

c. torsiunea curbei este

( )

2

24 5

1 4 5

3 24 1

t

T t t

+=

+ +

d. 2Td = constant, unde d este distanta de la originea axelor de coordonate la planul

osculator într-un punct ( ) ( )M t C∈

d

D 146

Fie curba de ecuaţii parametrice:

( )

( )

( )

cos ln

sin ln

x t a t

C y t a t

z bt

=

= =

Atunci binormala in punctul curent are ecuatia:

a. ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2

sin ln cos ln

sin ln cos ln cos ln cos ln 1

X t a t Y t a t Z bt

ab ab aab a t ab a t a a t a t a t

t t t

− − −= =

− − +

b. ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2

cos ln sin ln

1sin ln cos ln cos ln sin ln

X t a t Y t a t Z bt

ab ab t aab a t a t a a t a a tt t

− − −= =

+− +

c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

ln ln

sin ln cos ln cos ln sin ln

X at t Y a t Z bt

ab abt a t abt a t ab abt a t abt a t a t

− − −= =

− − +

d. ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2

sin ln cos ln

sin ln cos ln cos ln sin ln 1

X t a t Y t a t Z bt

ab ab aab a t ab a t ab a t ab a t a

t t t

+ + += =

+ + +

b

D 89

Fie curba de ecuaţii parametrice:

( ) { }2

1 1: , , , \ 1

1 1 1

t tC x y z t

t t t

+= = = ∈ ±

− − +�

şi planul (P) de ecuaţie:

( ) 2: 4 2 3 0P x y z− + + =

atunci:

a. curba înţeapă planul în punctul 1

1, , 32

A

− −

c. curba este conţinută în plan.

b. planul este tangent la curbă în punctul M (1,0, −2) d. tangenta la curbă în punctul curent are direcţia normală a planului.

b

Page 17: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

17

D 111

Fie curba de ecuaţii:

( )2 2

2 2

4 0:

4 0

x zC

x y

+ − =

+ − =

atunci, ecuaţia tangentei ( )t şi ecuaţia planului normal ( )nP în punctul ( )0 3,1,1M sunt respectiv:

a. ( ) ( )3 1 1

: , : 3 3 1 013 3

X Y Zt n X Y Z

− − −= = + − − =

b. ( ) ( )3 1 1

: , : 3 3 1 013 3

X Y Zt n X Y Z

− − −= = + − − =

c. ( ) ( )3 1 1

: , : 3 3 3 01 3 3

X Y Zt n X Y Z

− − −= = + + − =

d. ( ) ( )3 1 1

: , : 3 3 3 01 3 3

X Y Zt n X Y Z

− − −= = − − + =

d

D 14

Fie curba ( )C definită în coordonate polare de ecuaţie: ( ) ( ) C ρ ρ θ= – (posibil (C)=ρ= ρ(θ)). Notăm V

- unghiul dintre tangenta MT şi raza vectoare OM . Atunci

a. 1

tgVρ

= b. 1

tgVρ

=′

c. tgVρ

ρ=

′ d. tgV

ρ

ρ

′=

c

D 132

Fie curba în spaţiu:

( ) ( ) ( )2: 2 ln , 0C r t ti t j t k t= + + >�� ��

Să se calculeze versorul tangentei δ�

, în punctul ( )2,1,0P şi ecuaţia tangentei la curbă în acest punct.

a. 2 2 1

3 3 3i j kδ = + +

�� � � si ( )

2 1:

2 2 1

X Y ZT

− −= =

b. 2 2i j kδ = + +�� � �

si ( )2 1

: 2 2 1

X Y ZT

− −= =

c. 1

2i j kδ = + +

�� � � si ( )

2 1:

2 1 2

X Y ZT

− −= =

d. 2 2 1

3 3 3i j kδ = + −

�� � � si ( )

2 1:

2 2 1

X Y ZT

− −= =

a

A 12

Fie curba plana reprezentata cartezian de ecuaţia

( ) ( ) ( ) 2: , 0, ,C F x y x y D= ∈ ⊂ �

unde ( )1F C D∈ . În acest caz, solutiile sistemului

( )

( )

( )

, 0

, 0

, 0

x

y

F x y

F x y

F x y

=

′ =

′ =

se numesc puncte

a. singulare b. regulate c. izolate

a

Page 18: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

18

A 88

Fie curba plana: (C) : F(x,y) ≡x3+xy2+xy+y3−2x2−2y2=0

Atunci, punctul originea este un ……………..…PUNCT IZOLAT……………..… pentru curba data.

A 86

Fie curba plana: (C) : y2 − (x−2)(x−1)=0

Atunci, punctul ( )2,0A este un ……………..…NOD……………..… pentru curba data.

A 87

Fie curba plana: (C) : y2 − (x−2)(x−1)=0

Atunci, punctul ( )2,0A este un ……………..…NOD……………..… pentru curba data.

D 54

Fie curba plană ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2: , 2 2 0C F x y x xy yx y x y≡ + + + − − =

Să se stabilească punctele singulare ale curbei.

a. O(0,0), punct izolat. c. B(−1,−1) , punct singular de tip nod. b. A(1,1) , punct dublu. d. altă variantă.

d

F 10 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈

� �. Atunci vectorul

r

rτ =

�����

se numeste versorul

binormalei la curba in punctul curent pe curba.

F

F 11 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈

� �. Atunci vectorul

.

.

r

r

τ =

��

� se numeste versorul

tangentei la curba in punctul curent pe curba.

T

H 225

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �

. Atunci vectorul r r

br r

×=

×

� �� ���

� �� �� se numeste

versorul .....................BINORMALEI..................... la curba in punctul curent pe curba.

F 12 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈

� �. Atunci vectorul

r rb

r r

×=

×

� �� ���

� �� ��se numeste

versorul tangentei la curba in punctul curent.

F

F 13 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈

� �. Atunci vectorul

r rb

r r

×=

×

� �� ���

� �� ��se numeste

versorul binormalei la curba in punctul curent.

T

H 214 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈

� �. Atunci vectorul

r

rτ =

�����

se numeste versorul

.....................TANGENTEI..................... la curba in punctul curent.

F 14

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �

. Notam cu τ�

respectiv b�

versul tangentei

respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n b τ= ×�� �

se numeste versorul canonic la curba in punctul curent pe curba.

F

Page 19: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

19

F 15

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �

. Notam cu τ�

respectiv b�

versul tangentei

respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n b τ= ×�� �

se numeste versorul normalei principale la curba in punctul curent pe curba.

T

F 16

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �

. Notam cu τ�

respectiv n�

versorii tangentei

respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci

1d

nds R

τ=

��

T

F 17

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �

. Notam cu τ�

respectiv b�

versorii tangentei

respectiv al binormalei la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci 1d

bds R

τ=

� �

F

H 206

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �

. Notam cu τ�

respectiv b�

versul tangentei

respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n b τ= ×�� �

se numeste versorul

.....................NORMALEI PRINCIPALE..................... la curba in punctul curent pe curba.

H 222

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �

. Notam cu τ�

respectiv n�

versorii tangentei

respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci

1dn

ds R

τ− =

��

.....................0.....................

H 223

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �

. Notam cu b�

respectiv n�

versorii binormalei

respectiv al tangentei la curba in punctul curent si cu T raza de torsiune in punctul curent. Atunci

1dbn

ds T− =

��

.....................0.....................

H 217

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �

. Notam:

{ }, ,n bτ�� �

- versorii triedrului lui Frenet

R , T - razele de curbura respectiv de torsiune corespunzatoare. Atunci:

1 1dnb

ds R Tτ− + =

� �� .....................0.....................

B 23 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈

� �. Atunci vectorul:

r

rτ =

�����

se numeste versorul

..........................DIRECTOR AL TANGENTEI...................... la curba în punctul curent.

B 24 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈

� �. Atunci vectorul:

r rb

r r

×=

×

� �� ���

� �� �� se numeste

versorul ......................DIRECTOR AL BINORMALEI...................... la curba în punctul curent pe curba.

Page 20: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

20

B 27

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈� �

. Notam :

{ }, ,n bτ�� �

- versorii triedrului lui Frenet

R,T - razele de curbura şi respectiv de torsiune corespunzaroare. Atunci:

1 1dnb

ds R Tτ− + =

� ��......................0......................

B 25

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈� �

. Notam cu τ�

respectiv b�

versul tangentei

respectiv al binormalei la curba în punctul curent.Atunci vectorul: n b τ= ×�� �

se numeste versorul

..................DIRECTOR AL NORMALEI PRINCIPALE...................... la curba în punctul curent pe curba.

B 28

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈� �

. Notam cu b�

respectiv n�

versorii binormalei

respectiv ai tangentei la curba în punctul curent şi cu T raza de torsiune în punctul curent. Atunci:

1dbn

ds T− =

��

......................0......................

B 26

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈� �

.Notam cu τ�

respectiv n�

versorii tangentei

respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci:

1dn

ds R

τ− =

��

......................0......................

A 9

Fie curba regulata definita parametric de ecuatiile ( ) ( ), x x t y t t= = ∈� . Atunci dreapta de ecuatie:

X x Y y

y x

− −=

′ ′−

dusa printr-un punct arbitrar ( ),x y al curbei reprezinta

a. tangenta la curba b. normala la curba

b

B 19

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

: ,

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z definita prin:

t t t

X x Y y Z z

x y z

− − −= =

este ecuaţia ......................TANGENTA...................... la curba data.

Page 21: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

21

B 20

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

: ,

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci ecuaţia:

( ) ( ) ( ) 0t t tx X x y Y y z Z z− + − + − =

reprezinta planul ......................NORMAL...................... la curba intr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z .

B 21

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

: ,

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci ecuaţia:

0t t t

tt tt tt

X x Y y Z z

x y z

x y z

− − −

=

reprezinta planul ......................OSCULATOR...................... la curba intr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z .

B 22

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

: ,

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z definita prin ecuatiile:

,X x Y y Z z

A B C

− − −= = unde , ,

t t t t t t

tt tt tt tt tt tt

y z z x x yA B C

y z z x x y= = =

este ......................BI.NORMALA...................... la curba data.

H 220

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z definita prin ecuatia:

X x Y y Z z

A B C

− − −= = , unde , ,

y z z x x yA B C

y z z x x y

′ ′ ′ ′ ′ ′= = =

′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′

este .....................BINORMALA..................... la curba data.

Page 22: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

22

H 227

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci ecuatia:

( ) ( ) ( ) 0x X x y Y y z Z z′ ′ ′− + − + − =

reprezinta planul ........................NORMAL........................ la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .

F 8

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z definita prin:

X x Y y Z z

A B C

− − −= = unde , ,

y z z x x yA B C

y z z x x y

′ ′ ′ ′ ′ ′= = =

′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′

este ecuatia normalei principale la curba data.

T

F 5

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci ecuatia planului normal la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z este:

( ) ( ) ( ) 0x X x y Y y z Z z′ ′ ′− + − + − =

T

F 3

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci ecuatia normalei la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z este:

X x Y y Z z

x y z

− − −= =

′ ′ ′

F

F 4

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci ecuatia tangentei la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z este:

X x Y y Z z

x y z

− − −= =

′ ′ ′.

T

Page 23: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

23

F 9

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z definita prin:

X x Y y Z z

A B C

− − −= = unde , ,

y z z x x yA B C

y z z x x y

′ ′ ′ ′ ′ ′= = =

′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′

este ecuatia binormalei la curba data.

T

H 218

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci ecuatia:

0

X x Y y Z z

x y z

x y z

− − −

′ ′ ′ =

′′ ′′ ′′

reprezinta planul .....................OSCULATOR..................... la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .

F 7

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci ecuatia:

0

X x Y y Z z

x y z

x y z

− − −

′ ′ ′ =

′′ ′′ ′′

reprezinta planul osculator la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .

T

H 226

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z definita prin:

X x Y y Z z

x y z

− − −= =

′ ′ ′

este ecuatia .....................TANGENTEI..................... la curba data.

Page 24: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

24

F 6

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

= ∈

=

Atunci ecuatia:

0

X x Y y Z z

x y z

x y z

− − −

′ ′ ′ =

′′ ′′ ′′

reprezinta planul normal la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .

F

D 44

Fie curba ( ) 2: 1 xC y e= + şi M un punct arbitrar situat pe curbă. Notăm R , raza de curbură, t

S şi n

S

lungimile segmentelor subtangentă, respectiv subnormală corespunzătoare punctului M . Atunci

a. t

n

SR

S= b.

t nR S S= − c. t

n

SR

S

=

d. t n

R S S= +

a

A 62

Fie curba(C) , definita de ecuatiile parametrice

( )cos

:sin

t

t

x e tC

y e t

=

=

şi M (0) punctul fixat pe curba.Atunci segmentul subtangenta este

PN = ……………..…0……………..…

D 83

Fie curba:

( )2 2 2 2

2 2

0:

0

x y z rC

x y rx

+ + − =

+ − =

atunci ecuaţiile parametrice ale curbei date sunt:

a. [ ]

2cos

sin cos , 0, 2

sin

x r t

y r t t

z r t

π

=

= ∈ =

c. [ ]2

sin cos

cos , 0, 2

sin

x r t t

y r t t

z r t

π

=

= ∈ =

b. [ ]

2sin

sin cos , 0, 2

cos

x r t

y r t t

z r t

π

=

= ∈ =

d. alt raspuns

a

D 9

Fie curba:

( )

( )

3

22

43

1

tx t

C

y t

= +

= +

Se ştie că raza de curbură este dată de relaţia 5

44R y= . Dacă n

S este segmentul de normală al curbei,

atunci:

a. n

R S= b. 2n

R S= c. 4n

R S= d. 1

nSR

=

c

Page 25: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

25

D 8

Fie curba:

( )

( )

3

22

43:

1

tx t

C t

y t

= +

= +

Notăm R - raza de curbură în punctul curent pe curbă. Atunci:

a. 2

34R y= b. 3

24R y= c. 5

44R y= d. 4

54R y=

c

D 51

Fie curba:

( ) ( ) ( ) ( )22: , 0, , 0C F x y y x a x b a b≡ − − − = ≠

Să se studieze punctele singulare ale curbei.

a. ( )0,B b , este nod pentru curba ( )C dacă a b< .

b. ( ),0A a , este nod pentru curba ( )C dacă a b> .

c. ( ),0A a , este punct izolat pentru a b> .

d. ( )0,B b , este punct izolat pentru a b< .

b

A 103

Fie curbele

( )( )

( )1 :

x x tC

y y t

=

=; ( ) ( )2 : , 0C F x y = .

Dacă

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1... 0; 0,n nt t t tϕ ϕ ϕ ϕ +′= = = = ≠

atunci cele două curbe au în punctul ( )M t un ......................CONTACT...................... de ordinul n

D 5

Fie curbele ( ) ( )2

1 2: , : 12

x xC y e C y x= = + + . Să se calculeze curburile 1K şi 2K corespunzătoare

lui ( )1C şi respectiv ( )2C în punctul comun A .

a. ( ) 1 2 3

11,0 ,

2A K K= = c. ( ) 1 2

11,0 ,

2 2A K K= =

b. ( ) 1 23 3

1 21,1 , ,

2 3A K K= = d. ( ) 1 2

1 11,0 , ,

3 2 2A K K− = =

c

A 101 Fie curbele plane ( )1C şi ( )2C . Se spune ca cele două curbe au un contact într-un punct M ce aparţine

ambelor curbe dacă cele două curbe date admit în M aceeasi ......................TANGENTA......................

A 102

Fie curbele

( )( )

( )1 :

x x tC

y y t

=

=; ( ) ( )2 : , 0C F x y = .

Dacă cele două curbe au în punctul ( )0 0M t un contact de ordinul n, atunci 0t este rădăcină multiplă de

ordinul ......................n+1......................

Page 26: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

26

D 46

Fie curbura ( ) 2 3: , C y x px p= + ∈� . Să se determine punctele singulare ale curbei

a. ,0 , ,03 3

p pA B

c. 0, , 0,3 3

p pA B

b. ,0 , ,03 3

p pA B

− − −

d. 0, , 0,3 3

p pA B

− − −

b

D 69

Fie ( ) ( ) ( )2 2 2:C x y rα β− + − = ecuaţia cercului osculator la curba de ecuaţie carteziană:

( ) ( ):C y f x= . atunci:

a.

( )

( )

( )

2 2

2 2

2

1

1

1

y yx

y

y yy

y

yr

y

α

β

′ ′+ = + ′′

′ ′+= −

′′

′+= ′′

b.

( )

( )

( )

2 2

2 2

32 2

1

1

1

y yx

y

y yy

y

yr

y

α

β

′ ′+ = − ′′

′ ′+= +

′′

′+=

′′

c.

( )( )

2

2

32 2 2

yx

x y x y

yx

x y x y

x yr

x y x y

α

β

= − ′ ′′ ′′ ′− ′

= +′ ′′ ′′ ′−

′ ′+

=′ ′′ ′′ ′−

d. alta varianta

b

B 35

Fie elicea circulara:

( ) ( ) ( ) ( ): 2cos 2sin 5C r t i t j t k= + +�� ��

Sa se calculeze lungimea arcului �( )AB situat pe curba ( )C unde A şi B corespund bijectiv valorilor

t = 0 şi respectiv t =1.

�ABl = ......................3......................

D 92

Fie elicea circulară:

( ) ( ) ( ) ( ): 2cos 2sin 5C r t i t j t k= + +�� ��

Să se calculeze lungimea arcului �( )AB situat pe curba ( )C unde A şi B corespund bijectiv valorilor

t = 0 şi respectiv t =1.

a. �( )

5AB

l = c. �( )

3AB

l =

b. �( )

4AB

l = d. �( )

2 5AB

l =

c

Page 27: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

27

D 97

Fie elicea circulară:

( ) : cos , sin , C x a t y a t z bt= = =

Să se scrie ecuaţiile tangentei la curba ( )C în punctul curent.

a. ( )cos sin

:sin cos

X a t Y a t Z btt

a t a t b

− − −= = c. ( )

cos sin:

cos sin

X a t Y a t Z btt

a t a t b

− − −= =

b. ( )cos sin

:sin cos 0

X a t Y a t Z btt

a t a t

+ + += = d. ( )

cos sin:

cos sin

X a t Y a t Z btt

a t a t b

+ + += =

a

A 99

Fie familia de curbe (n +1) − parametrice:

( ) ( )1 1... 1 2 1: , ; , ,..., 0

na a nC F x y a a a

+ + =

Curba (γ ) se zice ……………..…OSCULATOARE……………..… la o curbă din familia ( )1 1... na a

C+

într-un

punct M al acestei curbe, dacă cele două curbe au în M un contact de ordinul n.

A 70

Fie o curba data ( )C şi M un punct pe curba a.i. prin acest punct trec în figura alaturata.

Atunci M este punct de ……………..…INTOARCERE……………..…

A 11

Fie o curba definita prin coordonatele sale polare: ( )ρ ρ α= şi un punct regulat M situat pe curba (vezi

figura). Atunci: segmentul tangenta polara este

a. ON ρ ′= b. 2

TNρ ρ

ρ

′+=

′ c. 2 2MN ρ ρ ′= +

c

Page 28: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

28

A 32

Fie o curba definita prin coordonatele sale polare: ( )ρ ρ α= şi un punct regulat M situat pe curba (vezi

figura).

Atunci: segmentul tangentă polară este

a. ON ρ ′= b. 2

TNρ ρ

ρ

′+=

′ c. 2 2MN ρ ρ ′= +

c

A 18

Fie o curba plana ( )C şi ( )M C∈ un punct regulat (vezi fig.)

Atunci:

a. sin cosn i jα α= − +� ��

c. cos sini jτ α α= −� ��

b. sin cosi jτ α α= +� ��

d. sin cosn i jα α= +� ��

a

A 10

Fie o curba regulata de ecuatie: ( ) , y f x x= ∈� şi ( ),M x y un punct pe curba (vezi figura)

Atunci:

a. ;T

yX x

y= −

b. ;y

PN xy

=′

c. N

X yy′=

a

Page 29: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

29

A 31

Fie o curba regulata de ecuatie: ( ) , y f x x= ∈� şi ( ),M x y un punct pe curba (vezi figura)

Atunci:

a. T

yX x

y= −

′ b.

yPN x

y=

′ c.

NX yy′=

a

B 30

Fie o curba strimba pentru care torsiunea sa este

1

0T

= .

Atunci, curba este ......................DREAPTA......................

A 17

Fie o curbă (C) şi un punct M regulat în care am definit tangenta şi normala la această curbă . Dacă notăm cu P proiecţia punctului M pe axa absciselor, atunci se pun în evidenţă următoarele segmente

(vezi figura)

a. MT − segmentul normala, c. PT − segment tangentă,

MN − subnormală, b. MT − subtangentă PT − segmentul tangentă, d. PN − subnormală.

d

H 211

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2

,

: , , ,

,

x x u v

S y y u v u v

z z u v

=

= ∈ ∆ ⊆

=

� . Atunci forma patratica:

2 2 22ds Edu Fdudv Gdv= + + (unde E,F,G este primul grup de coeficienti ai lui Gauss)

se numeste .....................PRIMA FORMA PATRATICA..................... a suprafetei ( )S .

Page 30: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

30

C 16

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2

,

: , ,

,

x x u v

S y y u v u v R

z z u v

=

= ∈ ∆ ⊆

=

şi fie ( )( )

( ):

u u tt I R

v v tγ

=∈ ⊆

=

o curba oarecare pe suprafata ( )S .Atunci

2 22ds Edu Fdudv Gdv= + +

se numeste ........................ELEMENT.................... de arc pe curba ( )γ

C 20

Fie o suprafata ( ) ( ): ,r r u v∑ =� �

2 2 22ds Edu Fdudv Gdu= + +

Relatia (1) exprimã patratul …………………..ELEMENTULUI DE ARC..................... al curbei (γ) pe suprafata

(S) şi se mai numeste prima forma pãtratica fundamentala.

C 30

Fie o suprafata ( )S , iar v�

versorul normalei la suprafata intr-un punct arbitar

cos cos cosv i j kα β γ= + +�� ��

.

Numerele cosα , cos β , cosγ reprezinta .........................COSINUSII DIRECTORI.................. ai normalei

C 14 Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2

,

: , ,

,

x x u v

S y y u v u v R

z z u v

=

= ∈ ∆ ⊆

=

. Atunci ( )( )

( ):

u u tt I R

v v tγ

=∈ ⊆

=

reprezinta o ......................CURBA................... pe suprafata .

H 210

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2

,

: , , ,

,

x x u v

S y y u v u v

z z u v

=

= ∈ ∆ ⊆

=

� . Atunci ( )( )

( ):

u u tt I

v v tγ

=∈ ⊆

=�

reprezinta o .....................CURBA..................... pe suprafata ( )S .

C 15

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2

,

: , ,

,

x x u v

S y y u v u v R

z z u v

=

= ∈ ∆ ⊆

=

. Atunci forma patratica:

2 2 22ds Edu Fdudv Gdv= + + (unde E,F,G este primul grup de coeficienti ai lui Gauss)

se numeste .......................PRIMA FORMA PATRATICA FUNDAMENTALA.................... a suprafetei ( )S

Page 31: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

31

C 19

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2

,

: , ,

,

x x u v

S y y u v u v R

z z u v

=

= ∈ ∆ ⊆

=

. Atunci forma patratica:

2 22Ldu Mdudv Ndvϕ = + +

se numeste .......................A DOUA FORMA PATRATICA………….... a suprafetei ( )S (unde L,M,N este cel

de-al doilea grup de coeficienti ai lui Gauss)

C 27

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2

,

: , ,

,

x x u v

S y y u v u v R

z z u v

=

= ∈ ∆ ⊆

=

. Atunci forma patratica:

2 22Ldu Mdudv Ndvϕ = + +

se numeste a doua forma fundamentala a suprafetei ( )S , iar L,M,N este cel de-al doilea grup de coeficienti

ai lui ………….….…GAUSS………..…..…..

H 208

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2

,

: , , ,

,

x x u v

S y y u v u v

z z u v

=

= ∈ ∆ ⊆

=

� . Atunci forma patratica:

2 22Ldu Mdudv Ndvϕ = + +

(unde L,M,N este cel de-al doilea grup de coeficienti ai lui Gauss)

se numeste .....................A DOUA FORMA PATRATICA..................... a suprafetei ( )S .

C 28

Fie ( ) 3S ⊂ � o suprafata reprezentata de ecuatiile parametrice, iar ( ) ( ), u v

γ γ curbele de coordonate

duse prin punct ( )M S∈ şi fie ( )γ o curba oarecare trasata pe aceasta suprafata

( )( )

( ):

u u t

v v tγ

=

=

prin acelasi punct P. Relatia:

2

1cos

dr dv

R dsα

⋅= −

� �

exprima ……………......CURBURA...................curbei ( )γ .

C 26

Fie ( ) 3S ⊂ � o suprafatã reprezentatã prin ecuatiile ei parametrice

Atunci relatia

cosF

EGα =

exprima unghiul a doua curbe ........................COORDONATE.......................... pe suprafata ( )S .

Page 32: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

32

H 207

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2

,

: , , ,

,

x x u v

S y y u v u v

z z u v

=

= ∈ ∆ ⊆

=

� si fie ( )( )

( ):

u u tt I

v v tγ

=∈ ⊆

=� o curba

oarecare pe suprafata ( )S . Atunci

2 22ds Edu Fdudv Gdv= + +

se numeste .....................ELEMENT..................... de arc pe curba ( )γ .

A 73

Fie parabola de ecuatie carteziana (C) : y2=2px, p>0.

Atunci axa Oy taie segmentul ……………..…TANGENTA……………..… în doua parti egale.

A 104

Fie parabola de ecuaţie carteziană

( ) 2: 2 , 0C y px p= > .

Atunci axa Oy taie segmentul ......................TANGENTA...................... în doua parti egale.

G 3 Fie suprafata ( ) ( ): ,S r r u v=

� � cu ( ) 2,u v ∈ ∆ ⊆ � si ( ) ( )0 0,M u v S∈ . Atunci prin M trec o

infinitate de familii de curbe coordonate ( ) ( ) u v

siγ γ . T

H 221

Fie suprafata ( ) ( ): ,S z f x y= cu ( ) 2,x y ∈ ∆ ⊆ � si un punct ordinar ( ) ( ),M x y S∈ .

Atunci vectorul ( )cos ,cos ,cosv α β γ=�

definit prin relatiile:

2 2 2 2 2 2

1cos , cos cos , cos cos

1 1 1

p q

p q p q p qα β α γ α

−= = = = =

± + + ± + + ± + +

este versorul .....................NORMAL..................... la suprafata.

C 12

Fie suprafata ( ) ( ): ,S z f x y= cu ( ) 2,x y R∈ ∆ ⊆ şi punct ordinar ( ) ( ),M x y S∈ .

Atunci vectorul ( )cos , cos , cosv α β γ=�

definit prin relatiile:

2 2 2 2 2 2

1cos , cos , cos cos

1 1 1

p q

p q p q p qα β γ α

−= = = =

± + + ± + + ± + +

este versorul ..................... NORMALEI..................... la suprafata.

C 18 Fie suprafata ( ) ( ) 2: ,S r r u v R= ∈ ∆ ⊆

� � şi fie ( )

( )

( )( ): 1, 2

i

i

i

u u tt I i

v v tγ

=∈ =

=

doua curbe pe suprafata pentru care 0dr rδ⋅ =� �

. Atunci cele doua curbe se numesc ............... ..............................

?

H 205

Fie suprafata ( ) ( ) 2: ,S r r u v= ∈ ∆ ⊆� �

� . Atunci expresia

2d EG F dudvσ = −

ne da .....................ELEMENT DE ARIE..................... al suprafetei ( )S

H 200 Fie suprafata ( ) ( ) 2: ,S r r u v= ∈ ∆ ⊆

� �� . Atunci versorul

r rv

r r

×=

×

� �� ���� �� ��

este versorul ..........

.....................NORMALEI..................... la suprafata.

Page 33: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

33

C 17

Fie suprafata ( ) ( ) 2: ,S r r u v R= ∈ ∆ ⊆� �

.Atunci expresia:

2d EG F dudvσ = −

ne da .........................ELEMENTUL DE ARIE........................... al suprafetei ( )S .

C 8

Fie suprafata :

( ) 2 2 2 2: , , x u v y u v z uv∑ = + = − =

Elementul de arc pe curba

( )2 : 1vγ =

situata suprafata (Σ) este

a. 22 8 1 ;ds u du= + b. 2

2 8 1 ds u du= −

a

C 5

Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:

( ) ( ) 2

cos

: sin ,

x u v

y u v u v

z u v

=

∑ = ∈ = +

Atunci ecuatiile normalei în punctul ( )0 1,M u v π= = sunt, respectiv

a. 1 1

1 1 1

x y z π+ − −= = b.

1 1

1 1 1

x y z π+ − += =

a

C 6

Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:

( ) ( ) 2

cos

: sin ,

x u v

y u v u v

z u v

=

∑ = ∈ = +

Atunci ecuatiile planului tangent ( )0 1,M u v π= = sunt, respectiv

a. x y z π− − = b. x y z π+ + =

b

C 9

Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:

( ) ( ) 2

cos

: sin ,

x u v

y u v u v

z u v

=

∑ = ∈ = +

Atunci ecuatiile planului tangent şi a normalei în punctul ( )0 1,M u v π= = sunt, respectiv

a. x y z π+ + = si 1 1

1 1 1

x y z π+ − −= =

b. 0x y z π+ + − = si 1 1

1 1 1

x y z π+ − −= =

a

Page 34: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

34

C 4

Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:

( ) ( ) 2

cos

: sin ,

x u v

y u v u v

z u v

=

∑ = ∈ = +

Atunci ecuatiile planului tangent ( )0 1,M u v π= = sunt, respectiv

a. 0x y z+ + = c. x y z π+ + =

b. 0x y z− − = d. x y z π− − =

c

C 13

Fie suprafata regulata

( ) ( ) 2: ,S r r u v R= ∈ ∆ ⊆� �

.

Atunci

r r

vr r

×=

×

� �� ���� �� ��

versorul ......................NORMALEI...................... la suprafata în punctul curent pe suprafata

C 7

Fie suprafata:

( ) : cos , sin , S x u v y u v z av= = =

Sã se afle elementul de arie pe suprafatã.

a. 2 2 d u a du dvσ = + b. ( )2 2 2 2 2ds du u a dv= + +

a

C 39

Fie suprafata:

( ) 2 2 3 3: 2 ; ; x u v y u v z u v∑ = − = + = −

şi punctul M (3,5,7) . Atunci ecuaţia planului tangent la suprafata în punctul M este ….…3X+Y-2Z=0…...…

?

D 157

Fie suprafaţa definită parametric de ecuaţiile:

( ) ( ) 2

cos

: sin ,

x u v

y u v u v

z u v

=

∑ = ∈ = +

Atunci ecuaţiile planului tangent şi a normalei în punctul ( )0 1, M u v π= = sunt, respectiv

a. 0x y z+ + = si 1 1

1 1 1

x y z π+ − += =

b. 0x y z π+ + − = si 1 1

1 1 1

x y z π+ − −= =

c. x y z π+ + = si 1 1

1 1 1

x y z π+ − −= =

d. 0x y z π+ + + = si 1 1

1 1 1

x y z π+ − −= =

d

C 35

Fie suprafaţa

( ) 2 2 2: 2 4 2 4 6 8 0S x xy y xz z x y z+ + + + + + − + =

Să se afle ecuaţia planului tangent în punctul M (0,0,2). …………….5x+2y–z+2=0…………….

Page 35: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

35

C 36

Fie suprafaţa

( ) 2: 5 4 3S z x y= + −

Să se determine ecuaţia planului tangent în punctul M (1,0, 2). …………….10x+4y–z–8=0…………….

D 20

Fie un cerc de rază a . Fie A un punct pe cerc şi O punctul diametrar opus lui A. O secantă oarecare dusă prin O taie cercul în punctul C şi tangenta în A la cerc în punctul B. Să se afle locul geometric al punctului P astfel încât BP = OC .

a.

3

3

cos

sin

x t

y a t

=

= (astroida) (posibil y=2asin

3t) c. ka

aeρ = (spirala logaritmica)

b.

2

3

2 sin

sin2

cos

x a

y a

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

(cisoida lui Diocles) d. ( )

( )

sin

1 cos

x a t t

y a t

= −

= − (cicloida)

a

B 6

Fie ( ) ( ), ,M x y z C∈ un punct regulat. Planul normal, ( )nP la curba ( )C în punctul M este

a. ( ) ( ) ( ) ( ): 0n

P X x x Y y y Z z z′ ′ ′− + − + − =

b. ( ) ( ) ( ) ( ): 0nP X x x Y y y Z z z′ ′ ′+ + + + + =

a

D 149

Fie:

( )2

2

ln , 0

x t

C y t t

z t

=

= >

=

ecuatia unei elice cilindrice. Atunci:

a. T R= b. T

constR

= c. 4T R= d. 1R

T= −

d

D 121

Fiind dată o curbă în spaţiu:

( ) ( ) ( ) ( ): , , C x x s y y s z z x= = = unde s I∈ ⊂ � , s parametru natural pe curbă şi notând:

1

R- curbura curbei,

1

T - torsiunea curbei, atunci care dintre următoarele egalităţi este falsă:

a. 1d

nds R

δ=

��

c. 1db

nds T

= −

��

b. 1 1dn

bds R T

δ= +

� �� d.

1 1dnb

ds R Tδ= − +

� ��

d

A 92

Inversul raportului

( )3

2 2

x y x y

x y

′ ′′ ′′ ′−

′ ′+

se numeste ……………..…RAZA DE CURBURA……………..… a unei curbe regulate (C) din plan.

Page 36: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

36

E 7

Lungimea unui arc de curba AB definit prin ecuatiile sale parametrice:

( )( )

( )( )( ): ,

x x tC t

y y tα β

=∈

=

se calculeaza cu formula:

1ABl y dt

β

α

′= +∫

F

E 8

Lungimea unui arc de curba AB definit prin ecuatiile sale parametrice:

( )( )

( )( )( ): ,

x x tC t

y y tα β

=∈

=

se calculeaza cu formula:

2 2ABl x y dt

β

α

′ ′= +∫

T

D 129

Normala principală la curba ( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , , C x t a t y t a t z bt t= = = ∈�

în punctul curent este:

a. paralelă cu planul xOz . c. paralelă cu planul xOy .

b. perpendiculară pe planul xOy . d. face cu planul xOz un unghi de măsură 6

π

a

A 39

Numarul real pozitiv:

( )32 2

t tt tt t

t t

x y x y

x y

+

reprezinta ……………..…CURBURA……………..… curbei intr-un punct arbitrar al curbei definita parametric de ecuatiile:

( )( )

( )( ):

x x tC t I

y y t

=∈

=

H 201

Numarul real pozitiv:

( )32 2

x y x y

x y

′ ′′ ′′ ′−

′ ′+

reprezinta .....................CURBURA..................... curbei intr-un punct arbitrar al curbei definita parametric de ecuatiile:

( )( )

( )( )

x x tC t I

y y t

=∈

=

A 60 Numim segment normala în punctul M al curbei (C) distanta de la punctul M la punctul N, unde

normala (MN) taie axa ……………..…Ox……………..…

H 199

O curba pentru care raportul dintre razele de curbura si de torsiune este constant reprezinta o:

.....................SFERA.....................

Page 37: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

37

B 31

O curba plana pentru care torsiunea sa

1

T= ......................0......................

este o dreapta.

B 29 O curbă pentru care raportul dintre razele de curbură şi de torsiune este constant reprezintă o:

......................SFERA..................... ELICE………......... ? ?

D 127

O curbă pentru care raportul dintre razele de curbură şi de torsiune este constant este o:

a. elice. c. cerc. b. elipsă. d. dreaptă.

a

H 219

O suprafata definita prin ecuatia implicita:

( ) ( ): , , 0S F x y z = cu ( )1F C D∈

pentru care

( )2 2 2 0 , ,x y z

F F F x y z D+ + = ∀ ∈

se numeste .....................REGULATA.....................

C 11

O suprafata definita prin ecuaţia implicita:

( ) ( ): , , 0S F x y z = cu ( )1F C D∈

pentru care

( )2 2 2 0 , ,x y zF F F x y z D′ ′ ′+ + = ∀ ∈

se numeste …………..…REGULATA…………….…

C 33

Originea este un .....................PUNCT DE SUPRAFATA..................... pentru conul de rotaţie

2 2 2x y z+ =

D 130

Parametrii directori ai normalei la planul osculator ( )oP în punctul ( )1A t = la curba

( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , C x t a t y t a t z bt= = = sunt:

a. ( )2 2 2, , 1A ab B a b C a b= = − = +

b. ( )2 2 2, , 1A ab B ab C a a= − = = +

c. ( )2 2 2, , 1A ab B ab C a b= − = − = +

d. ( )2 2 2, , 1A a b B a b C a a= − = − = +

c

C 22

Pentru o suprafata ( )S datã de ecuatiile parametrice

( ),r r u v=� �

notam ds elementul de arc. Completati semnul corespunzator pentru a obtine o egalitate.

2 2...... ...... 2ds Edu Fdudv Gdv= ++ ......................+ ......................

+

Page 38: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

38

C 23

Pentru o suprafata ( )S datã de ecuatiile parametrice

( ),r r u v=� �

Atunci relatia

2d EG F dudvσ = −

exprima ......................ELEMENTUL DE ARIE.......................al suprafetei.

A 3

Pentru un arc de curbă definit prin ecuatiile sale polare: ( ) , ρ ρ θ θ= ∈� , elementul de arc este

a. 2 2' ''ds dρ ρ θ= + b. 2 2'ds dρ ρ θ= +

b

B 7

Planele normale la curba:

( ) 2: sin , sin cos , cosC x t y t t z t= = =

trec prin

a. originea sistemului de

coordonate b. punctul , ,

2 2 2A

π π π −

c. ( )1, 1, 1A

a

B 38

Planul de ecuatie:

0

X x Y y Z z

x y z

x y z

− − −

′ ′ ′ =

′′ ′′ ′′

se numeste ......................PLAN OSCULATOR...................... la o curba (C) din spatiu dus prin punctul regulat

( ), ,M x y z situat pe curba data.

D 145

Planul normal la curba de ecuaţii parametrice:

( ) 2

2

1

2

2

x t

C y t t

z t

= +

= + +

= −

dus prin punctul M de parametru arbitrar t si situat pe curba ( )C este:

a. ( ) ( )( ) ( )2 1 2 0X x t Y y t Z z− + + − − − = c. ( )2 1 0X Y Z t+ − + + =

b. ( ) ( ) ( )2 2 0X x t Y y Z z− − − − + − = d. 2 1 0X tY Z t− + − − =

a

B 11

Planul normal la curba

2

2

x z

z x

=

=

dus prin punctul M(1,1,1) este

a. 2X+Y+4Z−5=0 b. X+Y−Z−1=0

a

Page 39: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

39

D 110

Planul normal la curba: ( ) ( ): cos ,sin sin ,cos sinC r a t t tα α=�

, în punctul curent, trece printr-o

dreaptă fină de ecuaţie:

a. 0

sin cos 0

x

y zα α

=

+ = c.

0

sin cos 0

y

x zα α

=

− =

b. sin sin cos cos 0

cos cos sin sin 0

x t y t z t

x t y t z t

α

α

− − =

− + = d.

0

cos sin 0

x

y zα α

=

− =

d

B 12

Planul osculator la curba

2

2

x z

z x

=

=

dus prin punctul M(1,1,1) este

a. 2X−Z−1=0 b. 2X+Y−3Z−1=0

b

B 8

Planul Xsin 2t + Ycos2t − Zsint = 0 reprezinta pentru curba

( ) 2: sin , sin cos , cosC x t y t t z t= = =

a. planul normal b. planul osculator c. planul binormal

a

A 49 Prin definitie, diferentiala functiei: ( ) ( ), s s t t= ∈� se numeste ……………..…ELEMENT……………..…

al unui arc de curbă ( )AB C∈�

D 137

Proiectia curbei:

( )2 2 2 2

2 2

0

0

x y z rC

x y rx

+ + − =

+ − =

pe planul xOy este:

a. o curba plană; c. un punct ( ),0,0M r ;

b. segmentul AB cu ( ),0,0A r şi ( )0, ,0B r− ; d. cercul 2 2 2x y r+ = .

b

A 61 Proiectia ortogonala ale segmentelor tangenta pe axa Ox se numeste

……………..…SUBTANGENTA…………………

D 138

Proiecţia curbei:

( )

cos

sin

x r

C y r

z k

θ

θ

θ

=

= =

pe planul xOy este:

a. ( )2 2 2 0

0

x y rC

z

+ − =

= c. cercul: ( )

2 2 2 0

0

x y rC

z

+ − =

=

b. un segment de dreaptă; d. alta variantă.

c

Page 40: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

40

A 72

Punctul ( ) ( ),M x y C∈ de ecuatie

( ), 0F x y =

se numeste ……………..…NOD……………..… al curbei daca:

( ) 2 2

20

xy x yF F F′′ ′′ ′′− >

A 93

Raportul

( )3

2 2

x y x y

x y

′ ′′ ′′ ′−

′ ′+

se numeste ……………..…CURBURA……………..… unei curbe regulate (C) din plan.

A 44

Raportul dintre segmentul tangenta MT şi segmentul normala MN, corespunzator unui punctul fixat

( )0M al curbei

( )cos

:sin

t

t

x e tC

y e t

=

=

are valoarea ……………..…0……………..…

D 140

Reprezentarea elicei conice:

( )cos

sin

x at t

C y at t

z bt

=

= =

sub forma unei ecuaţii implicită este:

a. ( )

2 2 2

2 2 20

x y z

a b bC

yz barctg

x

+ − =

=

c. ( )2 2 2 2 2 0x y a z b

z by

+ − =

=

b. ( )

2 22

2 21

x yz

a bC

xz arctg

y

+ − =

=

d. ( )

2 2 2

2 2 21

x y z

b a aC

xz barctg

y

+ − =

=

a

D 125

Să se afle curbura curbei:

( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , C x t a t y t a t z bt= = =

în punctul curent pe curbă.

a. ( )

2

2 2

1 1

1

a a

R a b t

+=

+ + c.

2

1

1

t

R ab a a=

+ +

b. 2

2

1 1

1

b a a

R a

+ +=

+ d.

2

2

1 1

1

a at

R b a a

+=

+ +

a

Page 41: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

41

D 38

Să se afle curbura K şi raza de curbură R în punctul M (1, −1) la curba:

( ) ( )3 3 2 2 0, ,C x y xy x y− + = ∈� (C) x3−y3+2xy=0 ,

a. 2

4 2, 8

K R= = c. 2

, 4 28

K R= =

b. 2

4 2, 8

K R= − = d. 2

4 2, 8

K R= = −

a

D 77

Să se afle desfăşurata elipsei:

( )cos

: , sin

x x tC t

y b t

=∈

=�

a.

3

3

cos

sin

x a t

y b t

=

= c.

( )

( )

sin

1 cos

x a t t

y b t

= −

= −

b.

23

3

cos

sin

cx t

a

cy t

b

=

= −

d. 2 2

2 21

x y

a b+ =

b

D 78

Să se afle desfăşurata parabolei:

( ) 2: 2C y px=

a. ( )32 4

27y x p= − c. ( )

32 8

27y x p= +

b. ( )32 8

27y x p= − d. ( )

32 80

27y x p+ − =

b

D 90

Să se afle elementul de arc al elicei circulare:

( ) [ ]cos

: sin , 0, 2

x a t

C y a t t

z kt

π

=

= ∈ =

a. 2 2ds a k dt= − c.

2 2

dtds

a k=

+

b. 1

ds dtk

= d. 2 2ds a k dt= +

d

B 3

Să se afle elementul de arc al elicei circulare:

( ) [ ]cos

: sin , 0, 2

x a t

C y a t t

z kt

π

=

= ∈ =

a. 2 2ds a k dt= − c. 2 2

dtds

a k=

+

b. 1

ds dtk

= d. 2 2ds a k dt= +

d

Page 42: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

42

D 74

Să se afle înfăşurătoarea cercurilor de rază r dată, care au centrele pe cercul x2+y2=R2.

a. 3 3 3

2 2 2x y k+ = c. x

y acha

=

b. ( )

( )

sin

1 cos

x a t t

y a t

= −

= − d. alta varianta

d

D 72

Să se afle înfăşurătoarea familiei de curbe:

( ) ( ) ( ) ( )3 2

: ; ; 0C F x y a x a y a≡ − − − =

a. ( ) : 0D y x− = c. ( ) : 0D y x+ =

b. ( )4

:27

D y x− = − d. ( )4

:27

D y x+ =

b

D 75

Să se afle înfăşurătoarea familiei de drepte 2

py mx

m= + în care m este parametrul variabil.

a. 2

2

xy

p= c. 2 2y px=

b. 2 2x py= d. 2 2 2x y p+ =

c

D 71

Să se afle înfăşurătoarea familiei de parabole:

( ) ( )2

2: 12

xC y x

cα α= − +

a. ( ) 21:

2 2

Cy x

Cγ = + c. ( ) 21

:2 2

Cy x

Cγ = −

b. ( )2

2

1:

2 2

xy

C Cγ = + d. ( )

2

2:

2 2

Cx xy

Cγ = +

a

B 37

Să se afle lungimea arcului AM al elicei circulare

[ ]

1cos

21

sin 0, 22

1;

2

x

y

z

θ

θ θ π

θ

=

= ∈

=

ds= ......................1......................

D 91

Să se afle lungimea arcului de curbă:

�( )cos

: sin , 0,2

x a t

AB y a t k

z kt

π=

= ∈ =

a. �( )

2 2

2ABl a k

π= + c.

�( )2 22

ABl a kπ= +

b. �( )

2 2

ABl a kπ= + d. alt raspuns

a

Page 43: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

43

A 6

Să se afle lungimea arcului

( ) [ ]: ; 0,2

x x

a aa

C y e e x b−

= + ∈

a. b

asha

b. x

asha

a

A 5

Să se afle lungimea unei bucle a cicloidei

( )( )

( )[ ]

sin: , 0, 2

1 cos

x a t tC t

y a tπ

= −∈

= −

a. 2 sin2

tds a dt= , b. sin

2

tds a dt=

a

A 78

Să se afle lungimea unei bucle a cicloidei

( )( )

( )[ ]

sin: , 0, 2

1 cos

x a t tC t

y a tπ

= −∈

= −

�AB

l = ……………..…8a……………..…

D 31

Să se afle lungimile segmentelor de tangentă MT , subtangentă PT , de normală MN şi subnormală PN

în punctul 1,12

la cicloida ( ) [ )sin

0, 21 cos

x t tC t

y tπ

= −∈

= −

a.

2

2

1

1

MT

PT

MN

PN

= =

= =

b.

1

21

1

21

MT

PT

MN

PN

=

=

=

=

c.

1

21

21

1

MT

PT

MN

PN

=

= =

=

d.

2

1

2

1

MT

PT

MN

PN

=

=

= =

d

D 32

Să se afle lungimile segmentelor de tangentă MT , subtangentă PT , normală MN , subnormală PN în punctul M (1,1) la folium-ul lui Descartes: (C) x

3+y

3−2xy=0 – ( posibil sa nu apara la examen)

a. 2, 1, 2, 1MT PT MN PN= = = =

b. 1 1

, 1, , 12 2

MT PT MN PN= = = =

c. 1, 2, 1, 2MT PT MN PN= = = =

d. 1 1

1, , 1, 2 2

MT PT MN PN= = = =

a

Page 44: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

44

D 96

Să se afle poziţia planului ( )P de ecuaţie:

( ) : 7 4 6 22 0P x y z+ + + =

faţă de curba:

( )1 1 1 1

: , 7 , 32 3

C x t y t z tt t t

= + = − − = +

a. Curba este inclusă în plan. b. Curba înţeapă planul în punct de parametru t = −1. c. Curba este tangentă la plan. d. Planul taie curba în două puncte.

c

B 4

Să se afle punctele de interesectie dintre curba

( ) 2 2 2: 2 3, 2 3 1, 3 2, C x t t y t t z t t t= + + = + + = + + ∈� şi planul ( )P de ecuaţie:

( ) : 6 0P x y z+ + − =

a. A(2,0,4), B(3,1,2) c. B(3,1, 2), C(−1,0, 2) b. A(2,0,4) d. C(−1,0, 2)

a

D 94

Să se afle punctele de intersecţie dintre curba

( ) 2 2 2: 2 3, 2 3 1, 3 2, C x t t y t t z t t t= + + = + + = + + ∈� şi planul ( )P de ecuaţie:

( ) : 6 0P x y z+ + − =

a. A(2,0, 4), B(3,1, 2) c. B(3,1, 2), C(−1,0, 2) b. A(2,0, 4) d. C(−1,0, 2)

a

A 15

Să se afle punctele singulare ale curbei (C):x3+y

3−3axy=0 , x > 0 şi sa se scrie ecuatiile tangentelor corespunzatoare

a. ( ) ( )0, ,A a y x a= ± −

b. Originea este singurul punct singular. Ecuatiile tangentelor este y x= ±

c. Originea este singurul punct singular. Ecuatiile celor doua tangente sunt 0, 0y x= =

c

D 50

Să se afle punctele singulare ale curbei:

( ) ( ) 3 3: , 3 0, 0C F x y x y axy a≡ + − = >

a. ( )0,0O , este punct singular de tip nod. c. ( )1, 3A a− , punct dublu.

b. ( )1, 3A a , punct dublu. d. altă variantă.

a

D 124

Să se afle raportul dintre curbura şi torsiunea curbei:

( ) : cos , sin , , C x a t y a t z bt t= = = ∈�

a. 2T

abR

= b. T b

R a= c.

T a

R b= d.

1

2

T

R ab=

c

Page 45: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

45

D 37

Să se afle raportul dintre raza de curbură R şi lungimea segmentului normală MN corepunzătore curbei

( )( )

( )[ )

sin 0,2

1 cos

x a t tC t

y a tπ

= −∈

= −

a. 1R

MN= b. 2

R

MN= c. 2

R

MN= d.

1

2

R

MN=

b

D 36

Să se afle raza de curbură a cicloidei: ( )( )

( )[ )

sin 0,2

1 cos

x a t tC t

y a tπ

= −∈

= −

a. 4 sin2

tR a= c. 4 cos

2

tR a=

b. 4 sin2

tR a= d. 4 cos

2

tR a=

a

D 35

Să se afle raza de curbură a lănţişorului: , x

y ach xa

= ∈�

a. R a chx= c. 2 sR a h x=

b. sR a hx= d. 2 R a ch x=

d

D 153

Să se afle raza de curbură în punctul curent situat pe curba:

( )sin

: 1 cos

4sin2

x t t

C y t

tz

= −

= − =

( )

a. 1

1 sin cos2 2

Rt t

=

+

c. 2

4

1 sin2

Rt

=

+

b. 2

1

1 4sinR

t=

+ d.

2

2

1 sin2

Rt

=

+

d

A 67

Să se afle segmentul de tangenta intr-un punct arbitrar M al curbei

( )th

: 1

ch

x t t

Cy

t

= −

=

|MT| = ……………..…1……………..…

Page 46: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

46

D 18

Să se afle segmentul de tangentă MT într-un punct oarecare al curbei ( ) 1

x t tht

Cy

cht

= −

=

a. 1

2MT = b. 1MT = c. 1MT = − d.

1

2MT = −

b

A 26

Să se afle subtangenta PT şi subnormala PN intr-un punct arbitrar M situat pe parabola (C) y2

= 2px.

a. PT = −2x, PN = p c. PT = p, PN = −2x b. PT =2y, PN = p d. PT = p, PN =2y

a

D 17

Să se afle subtangenta PT şi subnormala PN într-un punct arbitrar M situat pe parabola

( ) 2 2C y px=

a. 2 , PT x PN p= − = c. , 2PT p PN x= = −

b. 2 , PT y PN p= = d. , 2PT p PN y= =

a

Page 47: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

47

D 19

Să se afle tangenta polară MT , normala polară MN , subtangenta (polară) PT şi subnormala polară PN

într-un punct oarecare al spiralei logaritmice: ( ) , 0kaC ae kρ = >

a. 2 21 11 , 1 , , MT k MN k k PT PN k

k kρ ρ ρ ρ= + = + = =

b. 2 21 1, , 1 , 1MT k MN PT k PN k k

k kρ ρ ρ ρ= = = + = +

c. 2 21 , 1 , , MT k MN k PT PN kk k

ρ ρρ ρ= + = + = =

d. 2 2, 1 , 1 , MT k MN k PT k PNk k

ρ ρρ ρ= = + = + =

a

D 126

Să se afle torsiunea curbei:

( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , C x t a t y t a t z bt= = =

în punctul curent pe curbă.

a. 2 2

1

1

abt

T a b=

+ + c.

2

1

1

abt

T a=

+

b. 2 2

1

1

bt

T a b=

+ + d.

2 21 1 a bt

T ab

+ +=

a

B 15

Să se afle versorii tangentei la curba (C) : x = acosθ, y = asinθ, z = bθ

în punctul ( )0M θ =

a. ( )2 2

aj bkM

a bτ

+=

+

���

b. ( )2 2

sin cosa i a j bkM

a b

θ θτ

− + +=

+

�� ��

b

Page 48: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

48

D 119

Să se afle versorii triedrului lui Frenet într-un punct M oarecare al curbei:

( ) : cos , sin , C x a y a z bθ θ θ= = = (elicea circulară)

a.

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

sin cos

sin cos

cos sin

a a bM i j k

a b a b a b

b b ab M i j k

a b a b a b

n M i j

θ θδ

θ θ

θ θ

= + −

+ + +

= + ++ + +

= +

�� � �

� �� �

� ��

b.

( )

( )

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

sin cos

sin cos

cos sin

a aM i j bk

a b a b

b b akb M i j

a b a b a b

n M i j

θ θδ

θ θ

θ θ

−= + +

+ +

= − ++ + +

= − +

�� � �

�� � �

� ��

c.

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

sin cos

sin cos

cos sin

b b aM i j k

a b a b a b

a a ab M i j k

a b a b a b

n M i j

θ θδ

θ θ

θ θ

= + +

+ + + −

= − −+ + +

= +

�� � �

� �� �

� ��

d.

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

cos sin

sin cos

sin cos

b b aM i j k

a b a b a b

a a bb M i j k

a b a b a b

n M i j

θ θδ

θ θ

θ θ

= − + −

+ + +

= + ++ + +

= −

�� � �

� �� �

� ��

b

A 97

Să se calculeze curbura curbei corespunzatoare arcului de cicloida:

( )( )

( )

1sin

4:1

1 cos4

x t t

C

y t

= −

= −

în punctul t π= . ……………..…1……………..…

D 122

Să se calculeze curbura elicei circulare:

( ) : cos , sin , , C x a t y a t z bt t= = = ∈�

în punctul curent pe curbă.

a. 2

2 2

1 a

R a b=

+ c.

2 2

1 a

R a b=

+

b. 2

2 2

1 b

R a b=

+ d.

2 2

1 b

R a b=

+

c

Page 49: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

49

D 61

Să se calculeze curbura într-un punct oarecare al curbei:

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t tC

y a t

= −

= −

a. 1 1

2 sin2tR

a

= c. 1 1

4 sin2tR

a

=

b. 1

2

tach

R= d.

1 1

4 cos2tR

a

=

c

D 41

Să se calculeze curbura şi raza de curbură a cardioidei: ( ) ( )2 1 cosaρ θ θ= − în punctul 2

θ

=

a. 3 2 4 2

, 8 3

K R aa

= = c. 24

, 42

aK R

a= =

b. 4 2 3 2

, 3 8

K a Ra

= = d. 3

, 3

aK R

a= =

b

D 76

Să se calculeze ecuaţia desfăşuratei curbei plane dată de ecuaţiile sale parametrice:

( )( )

( ):

x x tC

y y t

=

=

a. ( )

22

2

1

:1

yX x y

y

yY y

y

γ

′ +′= − ′′

′+ = +

′′

c. ( )

2

2

1

:1

yX x

y

yY y

y

γ

′ += − ′′

′+ = +

′′

b. ( )

2

2

1

:1

yX x y

y

yY y

y

γ

′ +′= − ′′

′+ = −

′′

d. ( )

2

2

1

:1

yX x

y

yY y

y

γ

′ += + ′′

′+ = −

′′

b

D 11

Să se calculeze elementul de arc pe curba definită în coordonate polare: ( ) sin , m

C mm

θρ

= ∈

a.

1

sinm

ds dm

θθ

=

c.

1

sinm

ds m dm

θθ

=

b.

1

sin

1

m

nds d

m

θ

θ

+ =

+ d.

1

sinm

ds m dm

θθ

+

=

a

Page 50: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

50

D 12

Să se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) ( ) 1 cosC aρ α= + (cardioidă)

a. 2 sin2

ds a dα

α= c. 2

cos2

ads dα

α=

b. 2 cos2

ds a dα

α= d. 2

sin2

ads dα

α=

b

D 13

Să se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) 2

x xe e

C y chx−+

= = (lănţişor)

a. ds shx dx= c. ds chx= (posibil ds = chx dx)

b. ds thx ds= d. 2 ds sh x dx=

c

D 93

Să se calculeze elementul de arc pe curba:

( )

2sin

: sin cos

cos

x a t

C y a t t

z a t

=

= =

a. cosds a t dt= c. sinds a t dt=

b. 21 cosds a tdt= + d. 21 sinds a tdt= +

a

B 36

Să se calculeze elementul de arc pe elicea circulara definită prin

( ) ( )1 1 1

: cos ; sin ; ; 02 2 2

C x t t y t t z t t= = = >

ds= ......................(1+(t)^2/2)^1/2 dt......................

D 33

Să se calculeze lungimea subtangentei PT la curba exponenţială: ( ) , bxC y ae x= ∈� ,a b constante

nenule

a. PT b= c. 2PT b=

b. 1

PTb

= d. 2PT b=

b

A 96

Să se calculeze raza de curbura a cicloidei:

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t tC

y a t

= −

= −

în punctul t π= . ……………..…4a……………..…

Page 51: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

51

D 10

Să se calculeze raza de curbură a curbei ( )C dată prin coordonatele sale polare:

( ) sin , m

C mn

θρ

= ∈

a. 11 m

mm

Rn

ρ −+

= c. 11 m

mm

Rm

ρ+

+=

b 1

1

m

mm

Rm

ρ +=+

d. 1

1

m

mm

Rm

ρ−

=+

a

D 4

Să se calculeze segmentul de tangentă MT , segmentul de normală MN , subtangenta PT şi

subnormala PN pentru curba (C) 3 2 2 3 0x xy x y− + + − = în punctul M în care curba (C) taie axa Oy .

S-au notat T - punctul de intersecţie al curbei ( )b cu axa Ox , N - punctul de intersecţie al curbei (C)

cu axa Ox , P - proiecţia punctului M pe axa Ox .

a. 15 2 3

, 15 2, , 217 7

MT MN PT PN= = = =

b. 15 2 3

15 2, , 21,7 7

MT MN PT PN= = = =

c. 3 15 2

21, , , 15 27 7

MT MN PT PN= = = =

d. 3 15 2

, 21, 15 2,7 7

MT MN PT PN= = = =

a

A 110

Să se calculeze subnormala PN pentru curba

( ) 3 2: 2 3 0C x xy x y− + + − =

în punctulM în care curba ( )C taie axa Oy (vezi figura)

PN= ......................21......................

D 42

Să se calculeze subtangenta PT şi subnormala PN la cicloida:

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t tC

y a t

= −

= −

în punctul M arbitrar situat pe curbă:

a. 2 sin , sin2 2

t tPT a tg PN a t= = c. 22 sin , 2 sin

2 2 2

t t tPT a tg PN a= =

b. 22 sin , sin2 2

t tPT a tg PN a t= = d. 22 sin , 2

2

tPT a t tg PN atgt= ⋅ =

b

Page 52: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

52

D 131

Să se calculeze torsiunea curbei:

( ) 2

1 1: , ,

1 1 1

t tC x y z

t t t

+= = =

− − +(C): 2

a.

52 2

2 4

1 1

1

t

T t t

+=

+ + c.

10

T=

b.

72 4

2 4

1 1

1

t

T t t

+=

+ + d.

32 2

2 4

1 1

1

t

T t t

+=

+ +

d

D 123

Să se calculeze torsiunea elicei circulare:

( ) : cos , sin , , C x a t y a t z bt t= = = ∈�

a. 2

2 2

1 a

T a b=

+ c.

2 2

1 a

T a b=

+

b. 2

2 2

1 b

T a b=

+ d.

2 2

1 b

T a b=

+

d

A 25

Să se calculeze unghiul V dintre tangenta MT şi raza vectoare OM , unde M este un punct oarecare al curbei (C) ρ =ae

kα (spirala logaritmica).

a. tgV k= b. 2

1tgV

k= c.

1tgV

k= d. tgV k=

c

A 54

Să se calculeze unghiul V dintre tangenta MT şi raza vectoare OM unde M punctul corespunzator

parametrului 090α = este situat pe cardioida definita prin

( ) ( ): 1 cosC a aρ = + . ……………..…-ctg pi/4 (sau) –1……………..… –1

D 16

Să se calculeze unghiul V dintre tangenta MT şi raza vectoare OM , unde M este un punct oarecare

al curbei ( ) kaC aeρ = (spirala logaritmică)

a. tgV k= b. 2

1tgV

k= c.

1tgV

k= d. tgV k=

c

D 120

Să se calculeze versorii , ,b nδ�� �

a-i triedrului Frenet corespunzători curbei:

( ) : cos , sin , C x a y a z bθ θ θ= = = (elicea circulară)

în punctul ( )0A θ = .

a. ( ) ( ) ( )2 2 2 2

, , aj bk bj ak

A b A n A ia b a b

δ+ − −

= = =+ +

� �� ��� ��

b. ( ) ( ) ( )2 2 2 2

, , bj bk aj ak

A b A n A ia b a b

δ+ −

= = = −+ +

� �� ��� ��

c. ( ) ( ) ( )2 2 2 2

, , aj bk bj ak

A b A n A ia b a b

δ− − +

= = =+ +

� �� ��� ��

d. ( ) ( ) ( )2 2 2 2

, , aj bk bj ak

A b A n A ia b a b

δ+ − +

= = = −+ +

� �� ��� ��

d

A 65 Să se detemine subnormala intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana (C) : y2=2px, p>0

PT = ……………..…p……………..…

Page 53: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

53

A 107

Să se detemine subnormala într-un punct arbitrar la parabola de ecuaţie carteziană

( ) 2: 2 , 0C y px p= >

PT = ......................p......................

A 64 Să se detemine subtangenta intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana (C) : y2=2px, p>0

PT=……………..…–2x……………..…

A 108

Să se detemine subtangenta intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana

( ) 2: 2 , 0C y px p= >

PT=......................–2x......................

D 68

Să se determine cercul osculator într-un punct M al curbei plane ( )C dată pe ecuaţiile sale

parametrice.

( )( )

( ):

x x tC

y y t

=

=

a. Ecuaţia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2

x y rα β− + − = , cu

( )

( )

( )( )

2 2

2 2

32 2 2

y x yx

x y x y

x x yy

x y y x

x yr

x y x y

α

β

′ ′ ′+ = − ′ ′′ ′′ ′−

′ ′ ′+= +

′ ′′ ′ ′′−

′ ′+=

′ ′′ ′′ ′−

b. Ecuaţia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2x y rα β− + − = , cu

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

y x yx

x y x y

x x yy

x y y x

x yr

x y x y

α

β

′ ′ ′+ = +

′ ′′ ′′ ′−

′ ′ ′+= −

′ ′′ ′ ′′− ′ ′+

=′ ′′ ′′ ′−

c. Ecuaţia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2

x y rα β− + − = , cu

( )

( )

( )( )

2

12 2 2

2

12 2 2

12 2 2

yx

x y

xy

x y

x yr

x y x y

α

β

= − ′ ′+ ′

= − ′ ′+

′ ′+=

′ ′′ ′′ ′−

d. altă variantă.

a

Page 54: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

54

D 100

Să se determine cosinuşii directori ai tangentei ( )t la curba ( )C de ecuaţie:

( ) : cos , sin , ,C x a t y a t z bt t= = = ∈�

a. 2 2 2 2 2 2

cos sincos , cos , cos

b a t a t

a b a b a bα β γ= = = −

+ + +

b. 2 2 2 2 2 2

cos sincos , cos , cos

a t a t b

a b a b a bα β γ

−= = = −

+ + +

c. 2 2 2 2 2 2

sin coscos , cos , cos

a t b a t

a b a b a bα β γ

−= = = −

+ + +

d. 2 2 2 2 2 2

sin coscos , cos , cos

a t a t b

a b a b a bα β γ= − = = −

+ + +

d

D 109

Să se determine curba descrisă de intersecţiile tangentelor la curba:

( ) ( )2 3: , , , C x t y t z t t= = = ∈�

cu planul xOy .

a. 23

40

y x

z

=

=

b. 23

0

y x

z

=

= c.

2

2

3

20

ty

ty

z

=

=

=

d.

2

32

30

ty

ty

z

=

=

=

b

D 64

Să se determine curbele plane ale căror curbură este constantă.

a. elipsele sunt singurele curbe plane având curbura constantă. b. cercurile sunt singurele curbe plane având curbura constantă. c. astroida este singura curbă plană având curbura constantă. d. altă variantă.

b

D 65

Să se determine curbele plane ale căror ecuaţie intrinsecă este:

2 2

1,

aa const

R a b= =

+

a. ( )

( )

sin

1 cos

x a t t

y a t

= −

= − c.

xy ach

a=

b. 2 2 2

3 3 3x y a+ = d. cos

sin

x a t

y a t

=

=

c

A 94

Să se determine curbura curbei:

( ) 2:1

2

x t

C ty t

=

= + −

în punctul 1t =

1

...R

= ……………..…1……………..…

Page 55: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

55

D 6

Să se determine ecuaţia cercului osculator la elipsă în punctul de intersecţie cu semiaxa pozitivă a absciselor.

a.

22 2 42

2

a b bx y

a a

−+ − =

c.

22 2 42

2

a b bx y

a a

++ + =

b. 2 2

2 21

x y

a b+ = d.

2 2 42

2

a b bx y

a a

−− + =

d

D 116

Să se determine ecuaţia planului osculator în punctul ( )0,0,0O la elicea conică:

( ) : cos , sin , C x t t y t t z at= = − =

a. ( )0 : 0P aX Z− = c. ( )0 : 0P X Z− =

b. ( )0 : 0P X aZ− = d. ( )0

1: 0P X Z

a+ =

a

D 117

Să se determine ecuaţiile normalei principale ( )pN la curba:

( ) : cos , sin , C x a t y a t z bt= = = (elicea circulară)

în punctul ( )M C∈ corespunzător valorii 2

=

a. ( ) 2

2:

0 0p

X X a Z bN

ab a

π+ −= =

+ c. ( ) 2 2

2: p

Z bX Y a

Na b a b

π−

−= =

+

b. ( ) 2

2:

0 0p

X Y a Z bN

ab a

π− −= =

+ d. alta varianta

d

A 77 Să se determine elementul de arc al cercului 2 2 4x y+ = ,

ds=… ……………..…2ds……………..…

D 59

Să se determine evolventa cercului de ecuaţie:

( ) [ ]cos

: , 0, 2sin

x a tt

y a tγ π

=∈

=

a. ( )( )

( )

cos sin:

sin cos

x a t t tC

y a t t t

= −

= + c. ( )

( )

( )

sin cos:

sin cos

x a t tC

y a t t t

= +

= +

b. ( )( )

( )

cos sin:

sin cos

x a t t tC

y a t t t

= +

= − d. ( )

( )

( )

cos sin:

cos sin

x a t tC

y a t t t

= −

= −

c

Page 56: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

56

D 60

Să se determine evolvenţa lanţişorului de ecuaţie:

( ) : 0x

y ach aa

γ = ≠

a. ( )

( )

sin,

1 cos

x r t tt

y r t

= −∈

= −� c.

( )

( )

cos sin,

sin cos

x a t t tt

y a t t t

= +∈

= −�

b. cos

, sin

x a tt

y a t

=∈

=� d. ,

tx t ath

a

tay

tch

a

= −

=

d

A 76

Să se determine lungimea arcului de cardioida

( ) ( ): 1 cosC aρ α= +

cuprins intre punctele ( )0A şi ( )B π

...AB

l =� ……………..…4a……………..…

A 74

Să se determine lungimea arcului de cicloida

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t tC

y a t

= −

= −

cuprins intre punctele ( )0A şi ( )B π

...AB

l =� ……………..…4a……………..…

D 142

Să se determine lungimea arcului de curba �AB pentru

( )

cos

: sin

x a

C y a

z k

θ

θ

θ

=

= =

unde punctele A si B corespund valorilor 0θ = , respectiv θ π= .

a. �

2 22AB

l a kπ= + c. �

2AB

l akπ=

b. �

2 2

ABl a kπ= + d.

� 2 2

2AB

la k

π=

+

b

A 75

Să se determine lungimea lantisorului

( ) :2

x x

a aa

C y e e

= +

cuprins intre punctele ( )0A şi ( )B a

...AB

l =� ……………..…ash1……………..….

Page 57: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

57

D 95

Să se determine parametrul λ astfel încât curba:

( ) ( )1 1 1

: , , 3 , 02 3

C x t y t z t tt t t

λ= + = + = + ≠

să fie tangentă la planul:

( ) ( ): 2 3 2 2 0P x y zλ λ− − + − =

a. 2

7λ = − b.

7

2λ = − c.

71,

∈ −

d. 1λ =

b

D 107

Să se determine punctele de pe curba: ( ) ( )2: ln , 2 , , 0C x t y t z t t= = = > în care planele normale

sunt paralele cu dreapta: ( ) : 4 0, D x y y z+ = = .

a. ( )1,0, 2M b. ( )1,0, 2M − c. ( )0, 2,1M d. ( )2,0,1M

c

A 30

Să se determine punctele singulare ale conicei data pe ecuaţia generala:

( ) ( ) 211 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a a x a y a= + + + + + =

a. Doar conicele nedegenerate au puncte singulare. b. Doar conicele degenerate admit puncte similare.

c. Daca ( )0 0,A x y este un punct dublu al conicei date, exista o singura dreapta

tangenta ce trece prin acest punct. d. alta varianta.

b

D 56

Să se determine punctele singulare ale conicei dată pe ecuaţia generală:

( ) ( ) 211 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a a x a y a= + + + + + =

a. Doar conicele nedegenerate au puncte singulare. b. Doar conicele degenerate admit puncte similare.

c. Dacă ( )0 0,A x y este un punct dublu al conicei date, există o singură dreaptă tangentă

ce trece prin acest punct. d. altă variantă.

d

D 55

Să se determine punctele singulare ale curbei ( ) ( )22: 1C y x x= − şi să se scrie ecuaţiile tangentelor în

aceste puncte.

a. ( )2, 2A şi ( )2, 2B − , puncte izolate. În aceste puncte curba nu admite tangentă.

b. M (1,0), punct dublu, dreptele tangente corespunzătoare: 1; 1y x y x= − = − .

c. O(0,0), punct dublu, tangentele corespunzătoare sunt dreptele de ecuaţie: ; y x y x= = − .

d. altă variantă.

b

D 48

Să se determine punctele singulare ale curbei ( ) ( )22: 1C y x x= − şi să se scrie ecuaţiile tangentelor în

aceste puncte.

a. ( ) ( ) ( )1 20,1 , : 1 , : 1M t y x t y x= − = +

b. ( ) ( ) ( )1 21,0 , : 1 , : 1M t y x t y x− = − + = − −

c. ( ) ( ) ( )1 20,1 , : 1, : 1M t y x t y x= + = − +

d. ( ) ( ) ( )1 21,0 , : 1, : 1M t y x t y x= − = −

d

Page 58: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

58

A 95

Să se determine raza de curbura pentru curba:

( ) 2:1

2

x t

C ty t

=

= + −

în punctul 1t = .

R=……………..…1……………..…

D 53

Să se discute natura punctelor multiple ale curbei:

2 3 , y x px p= + ∈� (parametru)

a. daca 0,p ≥ ,03

pA

si ,03

pB

, sunt puncte duble.

b. daca 0,p < ,03

pA −

si ,03

pB

− −

, sunt puncte izolate.

c. daca 0,p > ,03

pA

si ,03

pB

, sunt puncte izolate.

d. daca 0p ≤ , ,03

pA

si ,03

pB

, sunt puncte duble.

b

D 86

Să se elimine parametrul t între ecuaţiile curbei:

( ) [ ]cos

: sin , 0, 2

x r t

C y r t t

z kt

π

=

= ∈ =

şi să se obţină ecuaţiile implicite ale curbei.

a. ( )

2 2 2 2 0:

0

x y z r

zy xtg

k

γ

+ + − =

− =

c. ( )

2 2 2 0:

0

x y z rz

yy arctg

kx

γ

+ + − =

− =

b. ( )

2 2 2 0:

0

x y z rx

zy tg

k

γ

+ + − =

− =

d. alt raspuns

d

A 28

Să se gaseasca curbura K şi raza de curbura R în punctul 4

la curbura:

(C) ρ (θ)=5sin 2θ, θ∈[0,2π )

a. 1

22

K R= = b. 1

2 2

K R= = c. 2K R= = d. 1K R= =

d

Page 59: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

59

D 152

Să se gasească vectorii de poziţie de pe curba:

( ) ( )21: 2 1C r i tj t k

t= + + −

�� �� în care tangenta la curbă este perpendiculară pe dreapta:

( )3 2 0

8 0

x yd

x z

+ − =

− + + =

a. există doi vectori de poziţie 1r i j k= − +�� ��

si 2 2r i j k= + +�� ��

b. există un singur vector de pozitie r i j k= − −�� ��

c. există trei vectori de pozitie 1 2 3, 2 , 2r k r i j r i k= = − = −�� � �� � �

d. există un singur vector de pozitie r i j k= + +�� ��

d

D 40

Să se găsească curbura K şi raza de curbură R în punctul 4

la curbura:

( ) ( ) [ ) 5sin 2 , 0, 2C ρ θ θ θ π= ∈

a. 1

22

K R= = b. 1

2 2

K R= = c. 2K R= = d. 1K R= =

d

D 39

Să se găsească expresiile curburii K şi razei de curbură R în coordonate polare:

( ) ( )cos

: sin

xC

y

ρ θρ ρ θ

ρ θ

==

=

a.

( )

2 2

3\22 2

2K

ρ ρρ ρ

ρ ρ

′ ′+ −=

′+ c.

( )

2 2

3\22 2K

ρ ρ ρρ

ρ ρ

′ ′′+ −=

′+

( )

3\22 2

2 22R

ρ ρ

ρ ρρ ρ

′+=

′ ′+ −

( )3\22 2

2 2R

ρ ρ

ρ ρ ρρ

′+=

′ ′′+ −

b.

( )

2 2

3\22 2

2K

ρ ρρ ρ

ρ ρ

′ ′− +=

′+ d.

( )

2 2

3\22 2

2K

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

′ ′ ′′ ′′− −=

′+

( )

3\22 2

2 22R

ρ ρ

ρ ρρ ρ

′+=

′ ′− −

( )3\22 2

2 22R

ρ ρ

ρ ρρ ρ

′+=

′ ′′ ′′− −

c

D 34

Să se găsească familia de curbe care au subtangenta constantă şi egală cu 1

b

a. 2 , , .bxy ae a b const= c. , , bx

y ae a b const=

b. , , bxy ate a b const

−= d. ( )1 , , xy a be a b const= +

c

Page 60: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

60

D 30

Să se găsească lungimile segmentelor de tangentă MT , de normală MN , subtangentă PT şi subnormală PN într-un punct M situat pe curba:

( ) , , ,12 2 4

C y tgx x Mπ π π

= ∈ −

a. 5 1

, 5, , 22 2

MT MN PT PN= = = =

b. 5 1

5, , , 22 2

MT MN PT PN= = = =

c. 1 5

2, , 5, 2 2

MT MN PT PN= = = =

d. 5 1

5, 2, , 2 2

MT MN PT PN= = = =

a

D 101

Să se găsească o reprezentare raţională a curbei definită implicit de ecuaţiile:

2 2 2 2 0

0

x y z

x y z

+ + − =

+ + =

a. ( ) 2

2 2 2

22 1 1, , ,

1 1 1

t tt tx y z t

t t t t t t

++ −= = − = − ∈

+ + + + + +�

b. ( ) 2

2 2 2

22 1 1, , ,

1 1 1

t tt tx y z t

t t t t t t

++ += − = = ∈

+ + + + + +�

c. ( )2

2 2 2

21 2 1, , ,

1 1 1

t tt tx y z t

t t t t t t

+− += = = − ∈

+ + + + + +�

d. ( ) 2

2 2 2

2 2 1 1, , ,

1 1 1

t t t tx y z t

t t t t t t

+ + −= = − = ∈

+ + + + + +�

c

D 104

Să se găsească parametrul real λ astfel încât curba:

( ) 3 2 3 2 3: , , 1 3 2 , C x t t y t t z t t t t tλ λ= + = + = + + + ∈�

să fie plană şi să se scrie ecuaţia planului care o conţine:

a. λ =1 şi 3 2 1 0x y z− + − = c. λ=1 şi 3 2 1 0x y z+ − − =

b. λ = −1 şi 3 2 1 0x y z+ + − = d. λ = −1 şi 3 2 1 0x y z− + − =

c

D 23

Să se găsească punctele de intersecţie ale curbei ( )C definită parametric de ecuaţile:

( )3

2

3

3

x t tC t

y t

= −∈

= −�

şi dreapta :

( ) 2 6 0d x y+ + =

a. ( ) ( ) ( )0,3 , 18,6 , 2, 2A B C− − − c. ( ) ( ) ( )0, 3 , 18,6 , 2, 2A B C− − − −

b. ( ) ( ) ( )0, 3 , 18, 6 , 2, 2A B C− − d. ( ) ( ) ( )0,3 , 18, 6 , 2, 2A B C− −

a

Page 61: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

61

D 52

Să se găsească punctele singulare ale curbei:

( ) 4 2 3: 2 0C x ax y ay+ − =

a. curba nu are puncte singulare. c. ( )0,0O , este punct triplu.

b. ( )0,0O , este punct dublu. d. curba are două puncte singulare.

b

D 114

Să se parametreze ecuaţia implicită a curbei ( )( )

22 1 2 0

: 3 0

z xC

x y z

+ − − =

− − + =

a. ( ) 2 2: 1, 2, 2C x t y t t z t= − = + − = −

b. ( ) 2 2: 1, 2, 2C x t y t t z t= + = + + = −

c. ( )2 21

: , 1, 12 4 4

t t tC x y t z

−= = + + = −

d. ( )2 21

: , 1, 12 4 4

t t tC x y t z

+= = − + = +

b

A 23

Să se precizeze concavitatea arcului de elipsă:

� [ ]cos

: , 0,sin

x a tAB t

y a tπ

=∈

=

a. concav b. convex

a

A 22

Să se precizeze concavitatea spiralei lui Arhimede : (C): ρ =aα

a. concava inspre pol b. convexa inspre poli

a

D 57

Să se precizeze concavitatea şi convexitatea arcului de elipsă:

�( ) [ ]cos

0,sin

x a tAB t

y b tπ

=∈

=

a. arcul �( )AB este concav pe 0,2

π

şi convex pe ,2

ππ

b. arcul �( )AB este concav pe [ ]0,π

c. arcul �( )AB este convex pe 0,2

π

şi concav pe ,2

ππ

d. altă variantă.

d

B 13

Să se precizeze planele (A), (B), (C) din figura alaturata.

a. (A) - planul rectificator b. (A) - planul tangent c. (A) - planul normal (B) - planul osculator (B) - planul osculator (B) - planul osculator (C) - planul normal (C) - planul binormal (C) - planul rectificator

a

Page 62: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

62

C 10

Să se scrie a doua forma fundamentala pentru suprafata definita parametric de ecuatiile:

( ) ( ) 2

cos

: sin ,

x u v

y u v u v

z u v

=

∑ = ∈ = +

a. ( ) ( )1/2 1/22 2 2 2 22 1 2 1 2n d r u dudv u u dv

− −

⋅ = − + + +� �

b. ( ) ( )1/22 2 2 2 22 1 2 1 2n d r u dudv v u dv

⋅ = − + − +� �

a

D 156

Să se scrie a doua formă fundamentală pentru suprafaţa definită parametric de ecuaţiile:

( ) ( ) 2

cos

: sin ,

x u v

y u v u v

z u v

=

∑ = ∈ = +

a. ( )1

2 2 22 1 2n d r u dudv−

⋅ = − +� �

b. ( ) ( )1

2 2 2 2 222 1 2 1 2n d r u dudv v u dv−

⋅ = − + − +� �

c. ( ) ( )1 1

2 2 2 2 22 22 1 2 1 2n d r u dudv u u dv−

⋅ = − + − +� �

d. ( ) ( )1 1

2 2 2 2 22 22 1 2 1 2n d r u dudv u u dv− −

⋅ = − + + +� �

d ?

A 56 Să se scrie ecuatiile normalei la curba (C) : x3+3x

2y−y2+9=0

în punctul A(0,3). ……………..…x = 0……………..…

A 57 Să se scrie ecuatiile tangentei la curba (C) : x3+3x

2y−y2+9=0

în punctul A(0,3). ……………..…y - 3 = 0……………..…

A 50 Să se scrie ecuatiile tangentei la curba (C) : x3+3x

2y−y

2+9=0 ……………..…Y – 3 = 0……………..… în punctul A(0,3).

B 14

Să se scrie ecuatiile tangentei şi a planului normal la curba:

( ) : cos , sin , , t t tC x e t y e t z e t= = = ∈�

în punctul ( )0 1,0,1M

a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1

: , :1 1 1 0 1 1 01 1 1 n

X Y Zt P X Y Z

− − −= = − + − + − =

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1

: , : 1 1 1 0 0 1 01 1 0 n

X Y Zt P X Y Z

− − −= = − − + − + − =

a

Page 63: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

63

D 134

Să se scrie ecuaţia binormalei la curba:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2: 2 ln , 0C r t t i t j t k t= + + >�� ��

în punctul ( )2,1,0P .

a. 2 1

2 0 1

X Y Z− −= =

− c.

2 1

2 1 2

X Y Z− −= =

− −

b. 2 1

2 1 2

X Y Z− −= = d.

2 1

2 1 0

X Y Z− −= =

c

D 70

Să se scrie ecuaţia cercului osculator la curba de ecuaţie carteziană: x

y acha

= (lănţişorul)

a. ( ) ( )2 2 2

x a y rβ− + − = cu

2

2

x xx ash ch

a a

xy ach

a

xr ach

a

α

β

= +

= +

=

b. ( ) ( )2 2 2x a y rβ− + − = cu

2

2

xx ash

a

xy ach

a

xr ach

a

α

β

= −

= +

=

c. ( ) ( )2 2 2x a y rβ− + − = cu

2

2

xx ash

a

xy ach

a

xr ach

a

α

β

= +

= −

=

d. ( ) ( )2 2 2

x a y rβ− + − = cu

2 2

xx ash

a

xy ach

a

xr a ch

a

α

β

= −

= +

=

b

Page 64: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

64

D 25

Să se scrie ecuaţia explicită a curbei ( )C definită parametric de (prin) ecuaţiile:

( )

24 13 4 \ ,

4 3 3 2

2 1

tx

tC t

ty

t

+= +

∈ − − + =

+

a. 7 5 3

, \5 3 5

xy x

x

− = ∈

− � c.

5 7 3, \

5 3 5

xy x

x

− = ∈

− �

b. 7 5 3

, \5 3 5

xy x

x

+ = ∈

− � d.

5 7 3, \

5 3 5

xy x

x

+ = ∈

− �

a

A 55

Să se scrie ecuaţia normalei la curba

( )cos

:sin

t

t

x e tC

y e t

=

=

în punctul A(1,0). ……………..…x + y – 1 = 0……………..…

A 81

Să se scrie ecuaţia normalei la curba

( )cos

:sin

t

t

x e tC

y e t

=

=

în punctul A(1,0). ……………..…X + Y – 1 = 0……………..…

D 98

Să se scrie ecuaţia planului normal la elicea circulară:

( ) : cos , sin , C x a t y a t z bt= = =

în punctul curent pe curbă.

a. ( ) ( ) ( )sin cos cos sin 0a t X a t a t Y b t b Z bt− + − + − =

b. ( ) ( ) ( )sin cos cos sin 0a t X a t a t Y b t b Z bt− − + − + − =

c. sin cos 0a tX a tY bZ+ + =

d. cos sin 0a tX a tY bZ− − =

b

D 115

Să se scrie ecuaţia planului osculator ( )oP la curba de ecuaţie:

( ) : cos , sin , C x a t y a t z bt= = = (elicea circulară)

în punctul curent.

a. ( ) : sin cos 0oP b tX b tY aZ abt+ + − =

b. ( ) : sin cos 0oP b tX b tY aZ abt− + + + =

c. ( ) : sin cos 0o

P b tX b tY aZ abt+ − − =

d. ( ) : sin cos 0oP b tX b tY aZ abt− + − =

d

D 133

Să se scrie ecuaţia planului osculator în punctul ( )2,1,0P la curba:

( ) ( ) ( ) ( )2: 2 ln , 0C r t t i t j t k t= + + >�� ��

a. 2X−2Y−Z−3=0 c. 2X+Y+2Z−3=0 b. 2X−Y−2Z−3=0 d. 2X−Y−2Y−3=0

a

Page 65: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

65

D 113

Să se scrie ecuaţia planului osculator la curba ( ) 2 2: 1, 2, 2C x t y t t z t= + = + + = − în planul curent

( ), ,M x y z .

a. ( ) : 3 0o

P x y z− − − = c. ( ) : 3 0o

P x y z− − + =

b. ( ) : 3 0o

P x y z+ − − = d. ( ) : 3 0o

P x y z+ + + =

c

D 150

Să se scrie ecuaţia planului rectificat in punctul 2

1,1,3

M

situat pe curba.

( ) 2

3

:

2

3

x t

C y t

z t

=

= =

a. 4 3 3 0X Y Z+ − − = c. ( ) ( )2

4 1 2 1 3 03

X Y Z

− + − − − =

b. ( ) ( )2

3 1 1 3 03

X Y Z

− + − − − =

d. 2 2 3 0X Y Z− + − =

d

C 34

Să se scrie ecuaţia planului tangent în punctul curent situat pe suprafaţa sferei de rază R.

( ) ( ) 2 2 2: , , 1 0S F x y z x y z≡ + + − =

…………….Xx+Yy+Zz=1…………….

B 10

Să se scrie ecuaţia tangentei în punctul curent la curba definită implicit de sistemul

2 2

2 2

2 0

1 0

x y

x z

− =

+ − =

a. 4 4 0

X x Y y Z z

yz z

− − −= =

− − b.

4 4 0

X x Y y Z z

yz pz

− − −= =

− −

a

A 80

Să se scrie ecuaţia tangentei la curba

( )cos

:sin

t

t

x e tC

y e t

=

=

în punctul A(1,0). ……………..…X – y – 1 = 0……………..…

D 43

Să se scrie ecuaţia tangentei la curba politropă: 0, 1m nx y m n= + =

a. ( )m

Y y X xn

− = − − c. ( )my

Y y X xnx

− = − −

b. ( )my

Y y X xnx

− = − d. ( )my

Y y X xnx

− = −

c

B 5

Să se scrie ecuaţia tangentei la curba

2 3/21 2 2

2 3r t i t j tk= + +

�� �� în punctul t = 2 .

a.

82 23

2 2 1

yx z

−− −

= = b. 2 3 2

2 2 1

x y z− − −= =

a

Page 66: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

66

B 9

Să se scrie ecuaţia tangentei la curba

2 3/21 2 2

2 3r t i t j tk= + +

�� ��

în punctul 0t = .

a.

82 23

2 2 1

yx z

−− −

= = b. 0 0 1

X Y Z= =

b

D 29

Să se scrie ecuaţia tangentei şi normalei în punctul M (2, −1) la curba: (C) : x3+3x2y−y2−2x+9=0

a. ( ) : 7 13 0t x y− − − = c. ( ) : 7 13 0t x y+ − =

( ) : 7 9 0n x y− + = ( ) : 7 9 0n x y− − =

b. ( ) : 7 13 0t x y+ + = d. ( ) : 7 9 0t x y− − =

( ) : 7 9 0n x y− + = ( ) : 7 13 0n x y+ − =

d

A 27

Să se scrie ecuaţia tangentei şi normalei în punctulM (2, −1) la curba:

(C) : x3+3x2y−y

2−2x+9=0

a. ( ) : 7 13 0t x y− − − = c. ( ) : 7 13 0t x y+ − =

( ) : 7 9 0n x y− + = ( ) : 7 9 0n x y− − =

b. ( ) : 7 13 0t x y+ + = d. ( ) : 7 9 0t x y− − =

( ) : 7 9 0n x y− + = ( ) : 7 13 0n x y+ − =

d

D 24

Să se scrie ecuaţiie tangentelor duse prin originea O(0,0) la curba :

( )

24 13 4 \ ,

4 3 3 2

2 1

tx

tC t

ty

t

+= +

∈ − − + =

+

a. ( ) ( )1 2

1: , :t y x t y

x= = c. ( ) ( )1 2

9: , :

4t y x t y x= − =

b. ( ) ( )1 2

4: , :

9t y x t y x= = d. ( ) ( )1 2

49: , :

9t y x t y x= =

d

A 83 Să se scrie ecuaţiile normalei la curba (C) : x3+3x

2y−y

2+9=0 în punctul A(0,3). ……………..…X = 0……………..…

Page 67: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

67

D 87

Să se scrie ecuaţiile parametrice ale curbei definită implicit prin:

( )

2 2 2

2 20

:

x y z

a bC

yz barctg

x

+− =

=

a. [ ]sin

cos , 0, 2

x at t

y at t t

z bt

π

=

= ∈ =

c. [ ]cos

sin , 0, 2

x at t

y at t t

z bt

π

=

= ∈ =

b. [ ]2

sin cos

cos , 0, 2

x at t

y at t t

z bt

π

=

= ∈ =

d. alt raspuns

c

D 7

Să se scrie ecuaţiile parametrice ale curbei: ( ) 3 3: 3 0C x y axy+ − =

a. ( )3

2

3

3

1

3

1

atx

tC t

aty

t

= +

∈ = +

� c. ( )2

2

2

3

1

3

1

atx

tC t

aty

t

= +

∈ = +

b. ( )

2

3

3

3

13

1

atx

tC t

aty

t

= + ∈

= +

� d. ( )

2

3

2

4

3

1

3

1

atx

tC t

aty

t

= +

∈ = +

a

D 82

Să se scrie ecuaţiile parametrice ale elocventei curbei plane de ecuaţii parametrice:

2

x t shtcht

y cht

= −

=

a. ( )( )

( )

1:

1

x t k sht

y cht k thtγ

= + −

= + − c. ( )

( )

( )

1

: 1

x t k cht

ky sht

cht

γ

= + − −

= +

b. ( )( )1

: 1

x t k tht

ky sht

sht

γ

= − − −

= −

d. ( )( )1

: 1

x t k tht

ky cht

cht

γ

= + − −

= +

a

Page 68: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

68

D 80

Să se scrie ecuaţiile parametrice ale evolventei curbei de ecuaţie:

( )( )

( ):

x x tC

y y t

=

=

a. ( )( )

( )

sin cos:

cos sin

x a t k at tk const

y a t k at tγ

= − −=

= + −

b. ( )( )

( )

cos sin:

sin cos

X a t k at tk const

Y a t k at tγ

= − −=

= + −

c. ( )( )

( )

sin cos:

cos sin

X a t k at tk const

Y a t k at tγ

= + −=

= − −

d. ( )( )

( )

cos sin:

sin cos

X a t k at tk const

Y a t k at tγ

= + −=

= − −

c

D 79

Să se scrie ecuaţiile parametrice ale evolventei curbei plane de ecuaţie:

( )( )

( ):

x x sC

y y s

=

=

unde s este arcul pe curbă.

a. ( )( )

( ):

x x x k sk const

y y y k sγ

′= + −=

′= + − c. ( )

( )

( ):

x x x k sk const

y y y k sγ

′= − −=

′= + −

b. ( )( )

( ):

x x x k sk const

y y y k sγ

′= − −=

′= − − d. ( )

( )

( ):

x x x k sk const

y y y k sγ

′= + −=

′= − −

c

D 22

Să se scrie ecuaţiile parametrice ale strofoidei: x(x2+ y2)+a(x2−y2)=0

a. 2

2

2

1

1

atx

tt

aty

t

= +

∈ = +

� c.

( )

( )

2

2

2

2

1

1 1

1

at tx

tt

a ty

t

− = +

∈−

=+

b.

( )

( )

2

2

2

2

1

1 1

1

a tx

tt

at ty

t

− = +

∈−

=+

� d. ( )

( )

2

22

22

1

1

atx

tt

aty

t

=

+∈

= +

b

C 37

Să se scrie ecuaţiile planului tangent în punctul M (1, 3, 4) la suprafaţa

( ) 2

3

: 2

3

x u

S y u v

z u uv

=

= −

= −

…………….–2x+2y–z+12=0 3Y-2Z-1=0……….….

Page 69: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

69

D 2

Să se scrie ecuaţiile tangentei ( )t şi normalei ( )n la curba: cos

sin

t

t

x e t

y e t

=

= în punctul ( )1,0A

a. ( )

( )

: 1 0

: 1 0

t x y

n x y

+ − =

− − = c.

( )

( )

: 0

: 1

t x y

n x y

− =

+ =

b. ( )

( )

: 1 0

: 1 0

t x y

n x y

− − =

+ − = d.

( )

( )

: 1 0

: 1 0

t x y

n x y

+ + =

− + =

b

D 3

Să se scrie ecuaţiile tangentei ( )t şi normalei ( )n la curba: 3 2 23 9 0x x y y+ − + = în punctul ( )0,3A

a. ( )

( )

: 3 0

: 0

t y

n x

+ =

= c.

( )

( )

: 3 0

: 0

t y

n x

− =

=

b. ( )

( )

: 0

: 0

t x y

n x y

− =

+ = d.

( )

( )

: 0

: 0

t x

n y

=

=

c

D 28

Să se scrie ecuaţiile tangentei (t ) şi normalei (n) în punctul 1

,32

M

la curba:

( )

24 13 4: \ ,

4 3 3 2

2 1

tx

tC t

ty

t

−= −

∈ − =

a. ( ) :16 5 0t x y+ − = c. ( ) :16 5 0t x y− − =

( ) : 2 32 97 0n x y− − = ( ) : 2 32 97 0n x y+ − =

b. ( ) :16 5 0t x y− + = d. ( ) : 16 5 0t x y− − − =

( ) : 2 32 97 0n x y+ − = ( ) : 2 32 97 0n x y− + =

c

D 27

Să se scrie ecuaţiile tangentei (t ) şi normalei (n) în punctul M (1,1)la curba:

( )

4

2 1 1

2

xx

xC

x

= −

a. ( ) : 2 1t y x− = c. ( ) : 2 3 0t x y+ − =

( ) : 2 3n y x+ = − ( ) : 2 1 0n x y− − =

b. ( ) : 2 1 0t x y− − = d. ( ) : 2 1 0t y x+ − =

( ) : 2 3 0n x y+ − = ( ) : 2 3 0n x y− − =

c

Page 70: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

70

D 99

Să se scrie ecuaţiile tangentei la curba:

( )2

2

2 0:

2 0

x azC

y bz

− =

− =

a. ( ) :2

X x Y y Z zt

b a z

− − −= = c. ( ) :

2

X x Y y Z zt

a b z

− − −= =

b. ( ) :X x Y y Z z

ta b ab

− − −= = d. ( ) :

2

X x Y y Z zt

a b ab

− − −= =

c

D 106

Să se scrie ecuaţiile tangentei şi a planului normal în punctul ( )0 1,1, 1M − la curba:

( )2 2 22 3 6

:2 3 0

x y zC

x y z

+ + =

+ + =

a. ( ) ( )1 1 1

: , : 2 1 02 1 0

X Y Zt n X y

− − += = − + =

− −

b. ( ) ( )1 1 1

: , : 2 1 02 1 0

X Y Zt n X y

− − += = − − =

c. ( ) ( )1 1 1

: , : 2 2 1 02 1 1

X Y Zt n X y

− − += = − + =

− −

d. ( ) ( )1 1 1

: , : 2 1 02 1 0

X Y Zt n X y

− − += = + + =

− −

b

D 105

Să se scrie ecuaţiile tangentei şi a planului normal la curba:

( ) : cos , sin , , t t tC x e t y e t z e t= = = ∈�

în punctul ( )0 1,0,1M

a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1

: , :1 1 1 0 1 1 01 1 1 n

X Y Zt P X Y Z

− − −= = − + − + − =

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1

: , : 1 1 1 0 0 1 01 1 0 n

X Y Zt P X Y Z

− − −= = − − + − + − =

c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 0 1 1: , : 1 0 2 1 0

2 n

X Y Zt P e X Y e Z

e e e e−

− − −= = − + − + − =

d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1

: , : 0 1 0 1 1 1 00 0 1 n

X Y Zt P X Y Z

− − −= = − + − − − =

a

D 1

Să se scrie ecuaţiile tangentei ( )t şi normalei ( )n la curba 1y x= + în punctul de abscisă e (posibil x = e)

a. ( )

( ) 2

: 0

: 2 0

t x ey e

n ex y e

− + =

+ − + = c.

( )

( ) 2

: 0

: 2 0

t x ey e

n ex y e

+ − =

− − − =

b. ( )

( ) 2

: 0

: 2 0

t ex y e

n x ey e

− − =

+ − + = d.

( )

( )

2: 2 0

: 0

t ex y e

n x ey e

+ − + =

− + =

d

Page 71: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

71

D 108

Să se scrie ecuaţiile tangentei şi planului normal la curba:

( ) ( )2: ln , 2 , , 0C x t y t z t t= = = >

în punctul ( )0, 2,1M .

a. ( ) ( )2 1

: si : 2 6 01 2 1

X Y Zt n X Y Z

− −= = + + − =

b. ( ) ( )2 1

: si : 2 1 00 2 1

X Y Zt n Y Z

− −= = + − =

c. ( ) ( )2 1

: si : 2 2 2 01 2 1

X Y Zt n X Y Z

− −= = + + − =

d. ( ) ( )2 1

: si : 2 2 6 01 2 2

X Y Zt n X Y Z

− −= = + + − =

d

D 26

Să se scrie ecuaţiile tangentelor la curba

( ) 3 3 2 3 0C x y x− − = (x2-y

2-3x

2=0) – alta varianta

paralele cu prima bisectoare a axelor de coordonate:

a. ( ) ( )1 2: , : 4t y x t y x= − = − c. ( ) ( )1 2: , : 4t y x t y x= = −

b. ( ) ( )1 2: , : 4t y x t y x= = − d. ( ) ( )1 2: , : 4t y x t y x= − = +

a

C 2

Să se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita de ecuatiile:

( ) ( ) 2: ,

x u

y v u v

z uv

=

∑ = ∈ =

a. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds v du uvdudv u dv= + + + +

b. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds u du uvdudv v dv= + + + +

a

C 40

Să se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita de ecuatiile:

( ) ( ) 2: ,

x u

y v u v

z uv

=

∑ = ∈ =

( ) ( )2 2 2 2 21 ... 1ds v du u dv= + + + + …………….2uvdudv…………….

C 1

Să se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita implicit de ecuaţia:

( ) 3: x y z∑ + =

a. 2 2 24 2 2 4

1 2 11 1

9 9 9ds dx dxdy dy

z x y z

= + − + +

b. 2 2 24 4 4

1 2 11 1

9 9 9ds dx dxdy dy

z z z

= + + + +

b

Page 72: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

72

D 154

Să se scrie prima formă fundamentală pentru suprafaţa definită de ecuaţiile:

( ) ( ) 2: , ,

x u

y v u v

z uv

=

∑ = ∈ =

a. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds u du uvdudv v dv= + + + +

b. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds v du uvdudv u dv= + + + +

c. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds v du uvdudv u dv= − + + −

d. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds u du uvdudv v dv= − + + −

b

D 155

Să se scrie prima formă fundamentală pentru suprafaţa definită implicit de ecuaţia:

( ) 3: x y z∑ + =

a. 2 2 24 4 4

1 2 11 1

9 9 9ds dx dxdy dy

x z y

= + + + +

b. 2 2 24 4 4

1 2 11 1

9 9 9ds dx dxdy dy

x z y

= − + + −

c. 2 2 24 4 4

1 2 11 1

9 9 9ds dx dxdy dy

z z z

= + + + +

d. 2 2 24 2 2 4

1 2 11 1

9 9 9ds dx dxdy dy

z x y z

= + − + +

c

D 67

Să se stabilească ordinl de contact r în punctul ( )2,0A între elipsa:

( )1

cos:

sin

x a tC

y b t

=

=

şi cercul:

2 4

2 2 2 22

0, c b

x y c a ba a

− + − = = −

a. r = 3 b. r = 2 c. r =1 d. r = 4

c

D 66

Să se stabilească ordinl de contact r în vârful ( )0,1V între parabola:

( )2

1 :2

xC y a

a= +

şi lănţişorul

( )2 :x

C y acha

=

a. r =1 b. r = 2 c. r = 3 d. r = 4

c

Page 73: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

73

D 58

Să se studieze convexitatea şi concavitatea curbei ( ) :C aρ α= (spirala lui Arhimede).

a. curba ( )C este convexă spre pol.

b. curba ( )C este concavă spre pol.

c. curba ( )C nu admite concavitate sau convexitate.

d. altă variantă.

b

C 24

Se considera punctul M de intersectie al celor doua curbe. Relatia

cosdr r

dr r

δα

δ

⋅=

� �

� �

exprima ......................UNGHIUL DINTRE TANGENTELE........................... a doua curbe pe o suprafata data

prin ecuatiile sale vectoriale.

D 81

Se consideră curba plană:

( ) :2

x t shtchtC

y cht

= −

=

Să se scrie ecuaţiile parametrice ale ecuaţiei.

a. ( ) 2

3 2:

2 4

x cht shtcht

y cht ch tγ

= −

= − c. ( ) 2

3:

4 2

x t chtsht

y cht ch tγ

= −

= −

b. ( ) 2

2:

4 2

x t shtcht

y cht ch tγ

= −

= + d. ( )

24 2:

x sht sh t

y t shtchtγ

= −

= +

b

H 209

Se numeste cerc .....................OSCULATOR..................... intr-un punct M al unei curbe plane (C) cercul (γ) care

are cu (C) un contact de ordinul doi.

A 40 Se numeste cerc ……………..…OSCULATOR……………..… intr-un punct M al unei curbei plane ( )C

cercul ( )γ care are cu ( )C un contact de ordinul doi.

E 13 Se numeste desfasurata sau evoluta unei curbe plane (C) o curba (γ) care este desfasuratoarea curbei (C). F

E 15 Se numeste desfasurata sau evoluta unei curbe plane (C) o curba (γ) care este infasuratoarea familiei de normale duse la curba (C). T

E 14 Se numeste desfasuratoare sau evolventa (a) unei curbe plane (C) o curba (γ) care este infasuratoarea curbei (a carei desfasurata este curba data) (C). T

E 16 Se numeste desfasuratoare sau evolventa (a) unei curbe plane (C) o curba (γ) a carei desfasurata este curba data (care este infasuratoarea curbei) (C). F

A 45

Segmentele tagngenta MT şi normala MN corespunzatoare curbei (C) : x3−xy

2+2x+y−3=0 în punctele în care tangenta şi normala în M (1, 1) intersecteaza axa Ox , se gasesc în relatia

MN

MT= ……………..…–4……………..…

Page 74: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

74

A 47

Segmentul de tangenta intr-un punct arbitrar M al curbei

( ) ( )th

: 1

ch

x t t

C tractriceay

t

= −

=

este

MT = ……………..…1……………..…

A 43

Segmentul subnormala corespunzatoare curbei (C):x3−xy

2+2x+y−3=0 în punctele în care tangenta şi normala în M (1, 1) intersecteaza axa Ox este

PN = ……………..…–4……………..…

A 63

Segmentul subnormala, corespunzatoare curbei (C) : x3−xy

2+2x+y−3=0 în punctele în care tangenta şi normala în M (1, 1) intersecteaza axa Ox, este

PN =……………..…–4……………..…

A 109

Segmentul subnormala, corespunzătoare curbei

( ) 3 2: 2 3 0C x xy x y− + + − =

în punctele în care tangenta şi normala în ( )1,1M intersectează axa Ox este PN =......................– 4......................

-4

A 68

Segmentul subtangenta polara OT corespunzator spiralei logaritmice

( ) : , 0kxC ae kρ = > .

este proportional cu distanta polara a punctului considerat, factorul de proprtionalitate fiind egal cu

……………..… k (sau) 1 / k……………..…

A 105

Segmentul subtangenta polara OT corespunzator spiralei logaritmice

( ) : , 0kxC ae kρ = >

este proportional cu distanta polara a punctului considerat, factorul de proprtionalitate fiind egal cu

...................... k (sau) 1 / k......................

A 84

Sensul pozitiv al ……………..…NORMALEI……………..… la o curba plana este dat de versorul:

d

nd

τ

α=

��

A 8

Spirala logaritmica

2ae

αρ =

isi taie razele vectoare sub un unghi constant de masura:

a. 1

tgVα

= b. 1

2tgV = c.

1tgV

k=

b

A 106 Subnormala parabolei 2 2y px= este constantă şi este egală cu ......................p......................

A 66 Subnormala parabolei y2 = 2px este constanta şi este egala cu ……………..…p……………..…

A 46

Subnormala PN intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana: (C) : y2=2px, p>0 este

PN = ……………..…p……………..…

Page 75: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

75

C 3

Suprafaţa

( ) : cos , sin , S x u v y u v z av= = =

este

a. regulată b. singulara

a

D 112

Tangentele la curba ( ) ( ) ( ): sin cos , sin cos , tC x a t t y a t t z be−= + = + = intersectează planul

xOy după:

a. o elipsă de ecuaţie:

2 2

2 21

0

x y

a b

z

+ =

=

c. o elipsă de ecuaţie:

2 2

2 21

4 40

x y

a b

z

+ =

=

b. o hiperbolă de ecuaţie:

2 2

2 21

0

x y

a b

z

− =

=

d. un cerc de ecuaţie: 2 2 24

0

x y a

z

+ =

=

a

C 31 Toate punctele unei sfere sunt …………………..……OMBILICALE……………..….

H 203

Un arc de curba definit de ecuatia vectoriala

( ) ( ) ( ): , ,C r r t t α β= ∈� �

se numeste .....................REGULAT..................... daca ( ) ( )0, ,r t t α β≠ ∀ ∈�

A 2

Un arc de curbă definit de ecuaţia în coordonate polare:

( ) ( ), Iρ ρ α α= ∈ ⊆ �

se numeste regulat daca:

a. 2 2' 0ρ ρ+ ≠ b. ' 0ρ ρ+ ≠

a

A 34

Un arc de curbă definit de ecuaţia vectoriala

( ) ( ) ( ): , ,C r r t t α β= ∈� �

se numeste ……………..…REGULAT ……………..…daca ( ) ( )0, t ,r t α β≠ ∀ ∈�

A 79 Un punct ( ),M x y situat pe o curba ( )C se numeste punct ……………..…SINGULAR……………..… daca

2 2 0t tx y+ =

H 204

Un punct ( )M C∈ in care sunt satisfacute conditiile de regularitate se numeste punct

.....................REGULAT.....................

A 33 Un punct ( )M C∈ în care sunt satisfacute conditiile de regularitate se numeste punct

…………..… REGULAT ……………..…

A 69 Un punct dublu este pentru o curba un punct ……………..…SINGULAR……………..…

A 7

Unghiul V dintre tangenta şi raza vectoare corespunzator unui punct pe o curba definita de ecuatiile sale

polare: ( )ρ ρ α= este

a. tgVρ

ρ

′= b. tgV

ρ

ρ=

b

Page 76: Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

76

D 128

Unghiul V pe care îl face binormala la curba:

( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , C x t a t y t a t z bt= = =

cu axa Oz între punctul curent este:

a. 2

= c. 2 2

cos1

aV

a b=

+ +

b. 0V = d. 2

2 2

1cos

1

aV

a b

+=

+ +

c

A 58 Vectorul normalei la o curba plana este orientat spre ……………..…CONCAVITATEA……………..…curbei

A 16 Vectorul normalei la o curba plana regulata este orientat spre

a. concavitatea curbei b. convexiitatea curbei a

A 85

Versorul

, 1dr

dsτ τ= =

�� �

ne dă sensul pozitiv al ……………..…TANGENTEI……………..… la o curba plana