CAPITOLUL 4 . CALCULUL LINIILOR AXIALE. DETERMINAREA

MODURILOR PROPRII DE VIBRAŢIE ALE LINIEI DE ARBORI.

Dimensiunile minime ale diametrelor arborilor, fără luarea în consideraţie a

adaosurilor pentru strunjirea lor ulterioară în perioada de exploatare, se determină cu

formulele date în prezenta diviziune. În acest caz se presupune că tensiunile suplimentare

produse de vibraţiile torsionale nu vor depăşi valorile admise. Pentru calculul de rezistenţă

al arborilor se are în vedere faptul că aceştia sunt realizaţi din OL 37, material ce are

următoarele proprietăţi, conform STAS 500-80:

- rezistenţa la tracţiune: 360 ... 440 MPa;

- limita de curgere: 230 MPa;

- alungirea la rupere: 25%.

- tensiunea admisibilă la solicitarea de tracţiune: 115 MPa;

- tensiunea admisibilă la solicitarea de încovoiere: 132 MPa;

- tensiunea admisibilă la solicitarea de răsucire: 75 MPa;

- tensiunea admisibilă la solicitarea de forfecare: 92 MPa;

- modulul de elasticitate transversal al materialului: 20,2238 MPa;

- coeficientul lui Poisson: 0,3;

- greutatea specifică: 7850 kg/m3;

4.1. Calculul arborelui intermediar

Diametrul arborelui intermediar din nu trebuie să fie mai mic decât cel determinat

cu formula:

[mm] (4.1)

În care :

P = 11767 – puterea de calcul la arborele intermediar [KW]

n = 1,4 – turaţia de calcul a arborelui intermediar [s-1]

A = 1– coeficientul ce ţine seama de orificiul axial din arborele, calculat cu

formula :

(4.2.)

unde :

d0 – diametrul real al orificiului axial din arbore, [mm] ;

56

dr – diametrul real al arborelui cu orificiul axial, [mm] ;

Dacă , se poate admite A = 1.

B – coeficient care ia în considerare materialul arborelui conform formulei :

(4.3.)

În care :

Rm – rezistenţa de rupere a materialului arborelui (N/mm2).

Nu se iau în consideraţie în calcule rezistenţele de rupere de peste 800 N/mm2

pentru arborii intermediari şi de împingere şi de peste 600 N/mm2 pentru arborii port elice.

F – coeficient ce ţine seama de tipul instalaţiei principale de propulsie.

= 95 pentru instalaţiile cu turbine, instalaţii cu motoare diesel şi cuplaje cu

fricţiune, instalaţii electrice de propulsie ;

= 100 pentru toate celelalte tipuri de instalaţii de propulsie cu motoare diesel ;

K– coeficient care ţine seama de tipul constructiv al arborelui intermediar.

= 1 pentru arborii cu flanşe de cuplare dintr-o cuplare cu arborele sau pentru arborii

cu flanşe de cuplare montate fără pană, prin presare.

4.2. Găuri şi decupări în arbori

În cazul existenţei în arborii intermediari a canalelor de pană, orificiilor radiale sau

decupărilor, coeficientul K se adoptă după cum urmează :

K = 1,10 pentru arborii cu flanşe de cuplare montate cu pană. La aceşti arbori, după

o lungime de minimum 0,2 din de la capătul canalului de pană trebuia să fie rotunjite cu o

rază de cel puţin 0,0125 din.

K = 1,10 pentru porţiunea de arbore cu gaură radială sau transversală cu lungimea

egală cu cel puţin 7 diametre ale găurii sau orificiului practicat. Diametrul găurii nu trebuie

să fie mai mare de 0,3 din. Marginile găuri trebuie să fie rotunjite cu o rază de cel puţin

0,35 din diametrul găurii iar suprafaţa acesteia trebuie să fie îngrijit rectificată. După

porţiunea de arbore menţionată, arborele poate fi redus treptat până la diametrul calculat cu

K = 1,0.

K = 1,20 pentru porţiunea de arbore cu decupare longitudinală. Lungimea decupării

nu trebuie să fie mai mare de 1,4 din d in iar lăţimea nu trebuie să fie mai mare de 0,2 din

din, în care din este calcula pentru K = 1,10. Extremităţile decupării trebuie rotunjite cu o

rază egală cu ½ din lăţimea decupării, marginile cu o rază de cel puţin 0,35 din lăţimea

57

decupării, iar suprafaţa acesteia trebuie rectificată îngrijit. După o lungime de minimum

0,2 din din de la capătul decupării arborele poate fi redus la diametrul calculat cu K = 1,10.

Pentru orificii şi decupări diferite de cele menţionate mai sus, pentru arborii

intermediari, cât şi pentru arborii de împingere şi port elice, coeficientul K constituie

obiectul unei examinări speciale a registrelor de clasificaţie.

4.3. Calculul arborelui de împingere

Diametrul arborelui de împingere situat în afara motorului principal, trebuie

calculat cu formula 4.1, în care coeficientul K = 1,10.

- pentru lagărele de alunecare pe o lungime egală cu diametrul arborelui de împingere de o

parte şi de alta a gulerului de împingere :

- pentru lagărele de împingere cu rulmenţi în limitele corpului lagărului.

În afara distanţelor menţionate diametrul arborelui poate fi micşorat treptat până la

diametrul arborelui intermediar.

[mm], unde parametrii F, B, A şi n au semnificaţiile

considerate în subcapitolul 4.1.

4.4. Calculul arborelui port - elice

Diametrul arborelui port elice dpe, nu trebuie să fie mai mic decât cel determinat cu

formula 4.1

În care :

F = 100 pentru toate tipurile de instalaţii de propulsie ;

A = 1, ceea ce impune ca raportul dintre diametrul real al orificiului axial şi

diametrul real al arborelui să fie de maxim 0,4 ;

K – pentru marginea prova cuprinsă între marginea prova a lagărului etambou pupa

sau a lagărului din cavalet, până la faţa prova a butucului elicei ori, dacă există, până la

suprafaţa prova a flanşei arborelui pe care se montează elicea, dar în orice caz nu mai mică

de 2,5 dpe :

K = 1,22 dacă elicea este fixată pe arborele portelice fără pană, printr-o metodă

apropiată a registrelor de clasificaţie, sau pe flanşa realizată dintr-o bucată cu arborele ;

K = 1,26 dacă elicea se montează cu ajutorul penelor.

Valorile de mai sus se adoptă când :

58

- arborele port elice este uns cu ulei şi garniturile de etanşare sunt de un tip aprobat de

registrele de clasificaţie, sau când

- arborele este prevăzut cu bucşă de protecţie continuă.

La alte tipuri constructive valoarea lui K face obiectul examinării speciale a

registrelor de clasificaţie.

K = 1,15 pentru porţiunea de arbore situată între marginea prova a lagărului etambou pupa

(sau din cavalet) şi marginea prova a etanşării prova a arborelui. Pentru arborii port elice

cu ungere cu apă fără bucşe de protecţie continuă, coeficientul K se măreşte cu 2%.

Pe porţiunea de arbore situată între marginea prova a etanşării prova a tubului

etambou, spre flanşa de cuplare cu arborele intermediar, diametrul arborelui portelice poate

fi redus până la diametrul real al arborelui intermediar.

Conul arborelui port elice în cazul utilizării penei se va executa cu o conicitate de

cel mult 1:12, iar în cazul presării pe con a elicei fără pană.

Piuliţa elicei trebuie să fie blocată faţă de arbore.

Terminaţia canalului de pană pe conul arborelui port elice la arborii cu un diametru

de 100 mm şi mai mult trebuie să fie în formă de lingură. Marginile superioare ale

canalului pe partea bazei mari a conului trebuie să fie rotunjite lin.

Marginile inferioare ale canalului se vor racorda cu o rază de aproximativ 0,0125

dpe dar nu mai mică de 0,1 mm. Terminaţia canalului de pană se va afla faţă de baza mare a

conului la o distanţă de cel puţin 0,2 din diametrul arborelui port elice.

Arborii port elice trebuie să fie sigur protejaţi împotriva contactului cu apa de mare.

Spaţiul dintre tubul etambou şi butucul elicei trebuie să fie protejat cu o carcasă rezistentă.

Bucşa de protecţie a arborilor port elice trebuie confecţionată din aliaje cu o

rezistenţă mare la coroziune în apă de mare.

Grosimea t, a bucşei de protecţie din bronz a arborelui nu trebuie să fie mai mică

decât cea determinată cu formula :

[mm] (4.4.)

Grosimea bucşei de protecţie între lagărele de sprijin poate fi micşorată până la 0,75

t.

Se recomandă folosirea unor bucşe de protecţie continue pe toată lungimea

arborelui. Bucşele de protecţie care sunt executate din părţi componente trebuie să fie

îmbinate prin sudură sau alt procedeu aprobat de registre de clasificaţie. Îmbinările sudate

cap la cap se recomandă să fie situate în afara porţiunii de lucru a bucşelor.

59

În cazul unor bucşe de protecţie discontinue partea arborelui dintre bucşele de

protecţie trebuie să fie protejată contra acţiunii corozive a apei de mare printr-un procedeu

aprobat de registre de clasificaţie.

[mm], unde parametrii F, B, A şi n au

semnificaţiile considerate în subcapitolul 4.1.

[mm]

4.5 Stabilirea dimensiunilor arborilor

Întrucât linia de arbori are o lungime de 14m, alegem ca arborele intermediar si cel

de împingere să aibă o lungime de 8 m împreună iar arborele port elice să aibă o lungime

de 6m.

Ca diametru alegem ca arborele intermediar şi cel de împingere să aibă diametrul

de 540mm iar arborele port elice să aibă diametrul egal cu 620mm.

În continuare voi face o scurtă prezentare a metodelor de idealizare structurală, mai

exact a metodei elementului finit

4.6 Noţiuni de idealizare structurală

Etapele analizei prin metoda elementului finit.

Metoda elementului finit este o metodă matriceală de analiză a structurilor medii

continue.

Pentru orice problemă structurală sunt posibile două metode în formulare matriceală

complementară:

- metoda deplasărilor (sau metoda rigidităţii), în care necunoscutele principale

nodale sunt deplasările

- metoda eforturilor (sau metoda flexibilităţii), în care necunoscutele principale

nodale sunt forţele.

Metoda care s-a impus este cea a deplasărilor, pe care o voi dezvolta în cele ce

urmează.

Orice analiză a unei structuri prin FEM trebuie să conţină următoarele etape:

60

a) Discretizarea structurii continue în elemente finite. Această etapă prezintă

de fapt preprocesarea structurii reale şi obţinerea modelului cu elemente finite

echivalente.

b) Formularea proprietăţilor pentru fiecare element finit. În această etapă sunt

determinate proprietăţile geometrice şi cele de material plecând de la structura

reală. Se calculează matricele de rigiditate ale elementelor finite (legea

elementului finit).

c) Asamblarea elementelor în vederea obţinerii modelului cu elemente finite

global echivalent structurii reale (legea structurii globale).

d) Aplicarea pe modelul cu elemente finite echivalente a încărcărilor externe

reduse la noduri, constând în forţe şi momente.

e) Precizarea condiţiilor de margine. Această etapă presupune impunerea unor

deplasări într-o serie de noduri ale modelului cu elemente finite.

Corespunzător gradelor de libertate blocate, deplasările sunt nule.

f) Rezolvarea sistemului de ecuaţii algebric liniar rezultat pe baza ecuaţiilor

de echilibru structural pe modelul cu elemente finite echivalent şi

determinarea deplasărilor nodale.

g) Calculul câmpului deformaţiilor specifice şi a câmpului de tensiuni pe

elemente folosind valorile deplasărilor nodale ale modelului cu elemente

finite.

Idealizarea structurală

Scopul modelării cu elemente finite este obţinerea unui model matematic cu elemente

discrete, echivalent cu structura reală continuă, necesar pentru a obţine un sistem cu un

număr finit de grade de libertate pentru care se pot definii operaţii ale algebrei matriceale.

Structurile care conţin elemente cu conexiuni discrete, cum ar fi elementele grinzilor

cu zabrele, nu prezintă nici o dificultate în obţinerea modelului FEM. Pentru structurile

continue, fără o discretizare structurală evidentă nu se poate obţine un model FEM care

respectă ideal structura reală, fiind necesar să considerăm distribuţii aproximative pentru

câmpul de deplasări şi tensiuni pe elemente.

In cele ce urmează voi prezenta metodele generale pentru deducerea matricelor de

rigiditate.

61

Metode generale pentru deducerea matricelor de rigiditate.

Pentru a determina matricea de rigiditate a elementelor finite, în prezent, sunt folosite

3 metode:

1. Metoda directă - în această metodă sunt folosite pentru

consideraţiile directe de ordin fizic pentru determinarea matricei de

rigiditate a sistemului.

2. Metodele variaţionale – aceste metode sunt aplicabile la problemele

care admit definirea unei funcţionale cu expresie integrală, cum ar fi de

exemplu expresia energiei potenţiale totale. În această metodă, analiza cu

elemente finite este interpretată ca o procedură aproximativă de rezolvare

a problemelor variaţionale. Aceste metode sunt cele mai folosite.

3. Metodele reziduurilor ponderate – În această metodă elementele

matricei de rigiditate sunt obţinute direct din ecuaţiile diferenţiale ale

problemei.

Metoda directă

Pentru a exemplificate metoda directă, întrucât aceasta se poate aplica doar la tipuri

simple de elemente, voi folosi elementul de bară cu solicitare axială cu două noduri (legea

campului de deplasări este o lege liniară).

În metoda elementului finit, necunoscutele principale sunt deplasările nodale (în

formularea metodei deformaţiilor) şi în ipotezele analizei liniare, legătura dintre forţe şi

deformaţii se găseşte folosind un operator liniar denumit „matrice de rigiditate”. Legea

elementului finit are forma matriceală:

(3.102)

În care: este vectorul forţelor nodale pe element

este vectorul deplaărilor nodale pe element (gradele de libertate nodale)

este matricea de rigiditate a elementului finit

Considerăm elementul de bară cu solicitate axială cu o orientare spaţială oarecare, cu

lungimea l şi aria secţiunii transversale A. Am notat cu x,y,z, sistemul de coordonate

propriu elementului, având axa „x” orientată după nodurile şi respectiv cu

sistemul global cartezian de coordonate.

62

Pentru elementul de bară elastic cu solicitare axială, relaţia forţă – deplasare este

liniară. Între forţe şi deplasări nodale obţinem relaţiile:

- dacă , , pe baza ecuaţiilor de echilibru static avem:

(4.6.a)

- dacă , pe baza ecuaţiilor de echilibru static avem:

(4.6.b)

- dacă şi sunt simultan diferite de zero, atunci forţele nodale au expresiile:

(4.6.c)

Scrisă sub formă matricealp, relaţia (3.103.c) are forma:

(4.7)

În care ;

Iar este matricea de rigiditate a elementului bară cu solicitare

axială în sistemul local de coordonate al elementului finit.

Pentru a cupla mai multe bare elemente de grindă cu zăbrele, trebuie definite relaţii

de transformare într-un sistem global de coordonate pentru deplasările şi forţele nodale

exprimate în sistemul local de coordonate al elementului finit, astfel încât pentru întreaga

structură să se poată impune condiţiile de echilibru în noduri

Am notat cu vectorul deplasărilor nodale în coordonate locale şi respectiv notăm

cu vectorul deplasărilor nodale în coordonate globale ale sistemului structural. Între

vectorii , există următoarea relaţie de transformare cu fundament pur geometric:

; şi (4.8)

unde matricea transformării de coordonate conţine coşinuşii directori ai vectorului în

sistemul de coordonate , respectiv pentru elementul de bară cu două grade de libertate

avem:

(4.9)

Lucrul mecanic virtual este o mărime scalară şi independentă de sistemul de

coordonate, de unde rezultă:

63

(4.10)

unde este matricea de rigiditate în sistemul global de coordonate.

Prin calcul direct obţinem:

(4.11)

Observaţie: Pe baza teoremei de reciprocitate a lucrului mecanic, Maxwell – Betii se

paote dermonstra pentru orice element finit că matricea de rigiditate în sistemul local

de cooronate este simetrică, respectivă matricea , prin transformarea cuadratică (4.11),

este tot simetrică.

După ce s-a determinat pentru fiecare element de bară, din cadrul structurii grinzii cu

zăbrele, matricea de rigiditate în sistemul global de axe, se procedează la cuplarea

elementelor în nodurile structurii. Această asamblare de elemente se realizează prin

impunerea condiţiilor de echilibru static în noduri . Se obţine un sistem algebric

liniar de ecuaţii , unde n reprezintă numărul total al gradelor de libertate pe noduri a

structurii, de forma:

(4.12)

unde reprezintă matricea de rigiditate globală.; sunt vectorii nodali ai

deplasărilor şi forţelor pe structura globală.

După impunerea condiţiilor de margine, se rezolvă sistemul algebric liniar (4.12), se

obţine vectorul deplasărilor nodale pe structură şi din acesta vectorii deplasărilor nodale pe

elementele finite.

(4.13)

64

3.2.1.1 Metode variaţionale

Anterior, am obţinut matricea de rigiditate a elementului finit pornind de la

modelul fizic, acestă metodă, aşa cum am mai amintit, este aplicabilă numai pentru

probleme structurale simple.

În cazul discretizării structurilor continue, cum ar fi planşeele navelor, obţinerea

matricei de rigiditate a elementului finit nu mai este posibilă prin metoda directă, apelându-

se la metode variaţionale, unde câmpul de deformaţii şi tensiuni vor fi aproximate.

Cele mai folosite metode variaţionale pentru deducerea matricei de rigiditate a unui

element finit sunt:

a) Metoda Rayleigh – Ritz

b) Principiul lucrului mecanic virtual

c) Principiul energiei potenţiale totale minime

d) Teorema lui Castigliano

Metoda Rayleigh – Ritz

Metoda Rayleigh – Ritz are o formă clasică şi o formă cu elemente finite.

În fomra clasică, un câmp de aproximare se defineşte pentru un întreg domeniu

structural de analiză.

În forma cu elemente finite, câmpul de aproximare este definit pe fiecare element

finit. Elementele finite au drept grade de libertate valorile nodale ale câmpului structural,

precum şi derivatele până la un anumit ordin.

Prin grade de libertate, înţelegem acele variabile independente folosite la definirea

configuraţiei sistemului structural, satisfăcând condiţiile de compatibilitate şi de margine.

Pentru a se putea analiza o structură continuă prin această metodă, este necesar a se

defini o funcţională. O funcţională este o expresie integrală, care în mod implicit conţine

ecuaţiile diferenţiale ce descriu problema analizată. În cazul analizei structurale cea mai

folosită funcţională este expresia energiei potenţiale totale.

Exprimarea unei probleme de analiză prin ecuaţii diferenţiale reprezintă problema

tare (strong form) de formulare a problemei. O expresie integrală, care în mod implicit

conţine ecuaţii diferenţiale, reprezintă forma slabă (weak form) de formulare a problemei.

În formularea tare se pun condiţii care trebuie satisfăcute în orice punct al structurii, în

65

timp ce formularea slabă impune condiţii care trebuie să fie satisfăcute numai în sensul

medierii câmpului analizat.

În formularea unei probleme de analiză structurală, pe lângă ecuaţiile diferenţiale ce

descriu problema, forma tare include şi condiţii de margine. Condiţiile de margine sunt de

două tipuri: esenţiale (sau principale) şi neesenţiale (sau naturale).

În metoda elementului finit, condiţiile de margine esenţiale sunt valorile impuse pe

gradele de libertate din nodurile structurii, iar condiţiile de margine neesenţiale constau în

impunerea de valori pentru derivatele mărimilor câmpului, ce sunt utilizate tot ca grade de

libertate în nodurile structurii.

Funcţia de aproximare a câmpului analizat trebuie să reprezinte o configuraţie

admisibilă. Prin configuraţie admisibilă se înţelege orice configuraţie care satisface relaţiile

de compatibilitate internă şi condiţiile de margine esenţiale.

Forma clasică a metodei Rayleigh – Ritz

O structură compusă din elemente discrete, cum sunt de exemplu structurile de b are

şi grinzi, pot fi caracterizate printr-unnumăr finit de grade de libertate, aceste grade de

libertate reprezentând deplasările în noduri.

O structură elastică continuă are un număr infinit de grade de libertate, acestea

reprezentând deplasările în orice punct al structurii. Comportarea unui mediu continuu este

descrisă pe baza ecuaţiilor diferenţiale. În afară de cazurile simple, există şanse foarte mici

de a găsi un câmp de tensiuni sau deplasări care să fie soluţie a ecuaţiilor diferenţiale şi să

satisfacă condiţiile de margine. Necesitatea de a rezolva ecuaţiile diferenţiale poate fi

evitată prin aplicarea metodei Rayleigh – Ritz pentru funcţionale de tipul energie potenţiale

şi care permit o formulare integrală a problemei analizate. Se obţine o problemă

echivalentă care are un număr finit de grade de libertate şi formularea matematică este dată

de ecuaţii algebrice. Soluţia obţinută prin metoda Rayleigh – Ritz este foarte rar exactă, dar

devine mai precisă odată cu creşterea numărului de grade de libertate utilizate în

formularea problemei.

Pentru o structură elastică se urmăreşte determinarea câmpulşui global de deplasări şi

tensiuni produse de încărcările exterioare.

Deplasarea într-un punct de pe structură are componentele . Considerăm

fiecare componentă a deplasării descompusă într-o serie de funcţii sub forma:

66

; ;

(4.14)

unde poartă denumirea de coordonate generalizate şi funcţiile

trebuie să fie admisibile, adică să satisfacă condiţiile de compatibilitate şi condiţiile de

margine esenţiale. Nu se solicită ca funcţiile să satisfacă în mod obligatoriu

condiţiile de margine neesenţiale (care ar conduce însă la o aproximare mai bună a

câmpului deplasărilor pentru un număr dat de grade de libertate). În mod uzual

sunt polinoame, dar nu în mod necesar. Este nevoie de o estimare a

numărului de termeni necesar pentru fiecare serie pentru a atinge gradul de precizie

necesar. Deci seriile (3.111) sunt trunchiate, având l, m-l, n-m termeni, pentru un total de

termeni n. Gradele de libertate ale problemei sunt cele n coordonate generalizate ,

acestea fiind necunoscutele analizei.

Din relaţia (3.68) energia potenţială totală are expresia:

(4.15)

unde energia internă de deformaţia şi lucrul mecanic al forţelor exterioare sunt date de

relaţiile:

(4.16)

Din relaţiile Cauchy şi Hooke pentru cazul cu distribuţie de temperatură constantă şi

fără deformaţii iniţiale avem:

şi (4.17)

Matriceal, relaţia (4.17) poate fi scrisă sub forma matriceal:

(4.18)

unde este vectorul coordonatelor generalizate.

Din (3.114) obţinem:

(4.19)

(4.20)

Din relaţiile (3.112) – (3.114) funcţionala energiei potenţială totală are expresia:

67

(4.21)

Conform principiului energiei potenţiale minime, obţinem din (4.21) un sistem

algebric liniar cu n ecuaţii şi necunoscute:

(4.22)

; ;

Din rezolvarea sistemului algebric liniar (3.118) se determină coordonatele

generalizate şi respectiv câmpul deplasărilor pe structură este complet definit (4.22).

rezultă de asemenea din relaţia (3.118) valorile câmpului de deformaţii specifice şi de

tensiuni în orice punct al structurii.

Observaţie: Din relaţiile (3.111) – (3.118) rezultă că metoda Raylegh – Ritz are două

etape principale: întâi se stabileşte o familie de funcţii test admisibile şi apoi în a doua

etapă pe baza unui criteriu, cum ar fi minimul (valoarea staţionară) se determină

parametrii funcţiei test.

Ecuaţia (3.111) creează o problemă echivalentă, deoarece numărul infinit de grade de

libertate ale structurii reale sunt înlocuite printr-un număr finit de grade de libertate în

modelul matematic. O soluţie obţinută prin această metodă este de obicei aproximativă,

deoarece funcţiile în general nu pot prezenta exact deplasările pe sistemul real. În

procesul de căutare a soluţiei se selectează coordonatele generalizate astfel încât

combinarea funcţiilor să conducă la cea mai bună aproximare a câmpului de

deplasări. Pentru problema structurală cu funcţionala energia potenţială totală, cea mai

bună aproximare înseamnă cea care tinde să satisfacă ecuaţiile diferenţiale de echilibru şi

condiţiile de margine din ce în ce mai bine pe măsură ce sunt adăugaţi noi termeni

în seriile (4.22)

3.2.1.2 Forma cu elemente finite a metodei Razleigh – Ritz

68

Metoda elementului finit poate fi definită ca o metodă Raylegh – Ritz la care funcţia

de aproximare a câmpului de deplasări este determinată mai întâi pe un element al

structurii divizate, pentru gradele de libertate3 ale elementului, apoi prin asamblarea

elementelor obţinându-se aproximarea câmpului deplasărilor pe structura globală.

Funcţionarea pentru un element finit va fi energia totală pe un element.

Mai departe se va proceda precum în subcapitolul anterior

3.2.2 Deducerea matricei de rigiditate a unui element finit folosind principiul

lucrului mecanic virtual.

Considerăm un element finit izoparametric la care funcţiile de interpolare pentru

geometrie şi câmpul deplasărilor au acelaşi ordin, respectiv numărul parametrilor ai

funcţiei câmpului deplasărilor este egal cu numărul gradelor de libertate nodale ale

elementului . Câmpul deplasărilor se descrie folosind o lege polinomială cu

coeficienţii :

(4.23)

Unde:

este vectorul deplasărilor

este vectorul coeficienţilor funcţiilor de

interpolare

Matricea funcţiilor de interpolare pe element este:

Pe baza relaţiei (3.119), introducând coordonatele nodurilor, se stabileşte legătura

între vectorul deplasărilor nodale (gradele de libertate ale elementului):

Şi vectorul parametrilor funcţiilor de interpolare :

(4.24)

69

Pe baza relaţiei lui Cauchy obţinem legătura dintre vectorul deformaţiilor specifice

totale şi vectorul coordonatelor nodale:

(4.25)

Câmpul tensiunilor pe baza legii lui Hooke generalizate) se determină cu relaţiile:

(4.26)

Variaţia energiei interne de deformaţie, considerând şi deformaţiile iniţiale plus

cele termice din relaţia (3.47) devine:

(4.27)

Şi pe baza relaţiei (3.122) obţinem:

(4.28)

Şi pe baza relaţiei (4.28) obţinem:

(4.29)

Lucrul mecanic virtual al forţelor concentrate, de volum, de suprafaţă şi forţele

nodale cuplate cu celelelate elemente ale structurii, din relaţiile anterioare are expresia:

(4.30)

Unde:

este vectorul forţelor de volum exterioare

este vectorul forţelor de suprafaţă exterioare

este vectorul echivalent al forţelor concentrate exterioare în câmpul elementului şi

reduse la noduri

este vectorul forţelor nodale interne de legătură cu elemente vecine;

Din relaţiile (3.120) obţinem:

(4.31)

70

Aplicând principiul lucrului mecanic virtual obţinem legea elementului finit, având

ca necunoscute deplasările nodale :

4.32)

De unde, prin identificare obţinem:

Matricea de rigiditate a elementului finit:

(4.33)

Unde este nucleul matricei de rigiditate;

Vectorul încărcărilor exterioare pe element reduse la noduri:

(4.34)

Unde este matricea termică.

Astfel, legea elementului finit este:

(4.35)

Deducerea matricei de rigiditate a unui elelent finit folosind principiul

energiei potenţiale totale minime

Energia potenţială totală are expresia:

(4.36)

Unde am considerat că pe element nu acţionează forţe exterioare directe, elementul fiind

încărcat doar prin forţele interne nodale de legătură cu elementele vecine şi generate

ca urmare a încărcării structurii globale.

Considerăm cazul fără solicitări termice sau deformaţii iniţiale, astfel încât energia

internă de deformaţie este dată de expresia ;

71

(4.37)

Voi lua în considerare cazul general al unui element supraparametric, respectiv

numărul parametrilor este mai mare decât n umărul deplasărilor nodale generalizate

.

Consider câmpul deplasărilor descris printr-o lege polinomială:

(4.38)

Unde matricea nu mai este cuadratică şi nici inversabilă în mod direct.

Se vor folosi în continuare următoarele notaţii:

(4.39)

Unde are acelaşi număr de termeni ca şi vectorul deplasărilor nodale şi matricea

este cuadratică şi inversabilă.

Folosind relaţiile anterioare si relatiile lui Cauchy obţinem:

(4.40)

Astfel, energia potenţială devine:

(4.41.a)

Şi poate fi adusă la forma matriceală echivalentă:

(4.41.b)

Din condiţia de minim pentru funcţia potenţială de unde:

şi (4.42)

Şi aplicând metoda condensării statice eliminăm parametrii supranumerici:

(4.43)

Unde matricea de rigiditate a elementului finit este:

(4.44)

72

Observaţie: Dacă numărul parametrilor este egal cu numărul gradelor nodale de

libertate , atunci , , şi rezultatul corespunde pentru cel cu

elemente finite izoparametrice.

Determinarea matricei de rigiditate a elementului finit folosind prima

teoremă a lui Castigliano.

Considerăm deformaţiile iniţiale şi termice

De asemenea considerăm încărcările directe exterioare pe elementul finit nule ,

,

Expresia energiei interne de deformaţie este dată de expresia:

, (4.45)

Considerând un element izoparametric şi folosind relaţia lui Cauchy, obţinem pentru

câmpul de deplasări şi deformaţii:

(4.46)

Rezultă că energia internă de deformaţie are expresia:

(4.47)

Din relaţia (4.47) şi prima teoremă a lui Castigliano obţinem legea elementului finit

şi matricea de rigiditate a elementului finit:

(4.48)

Metodele reziduurilor ponderate.

Ecuaţiile diferenţiale ce guvernează o problemă şi condiţiile de margine neesenţiale

pot fi puse sub o formă restrânsă:

în domeniul V (4.49)

condiţia de margine pe S sau V (4.50)

Unde D,B sunt operatori de diferenţiere; f,g funcţii de variabilă x; u variabila câmpului.

73

În general, soluţia exactă a ecuaţiei (4.49) este necunoscută, şi de cele mai

multe ori dificil de determinat. În consecinţă vom căuta o soluţie aproximativă pentru

(4.50). În general, este un polinom care satisface condiţiile de margine esenţiale şi

conţine parametrii , de unde şi este funcţia de interpolare

„admisibilă” a câmpului deplasărilor. Pentru a obţine soluţia aproximativă, trebuie

determinate valorile „ai”, astfel încât să aproximeze cât mai bine funcţia exactă u.

Introducând funcţia aproximativă în ecuaţiile (4.49) şi (4.50), se obţin valorile rest

RD, RB (reziduuri) ce sunt funcţii de x şi de ai:

(reziduu intern) (4.51)

(reziduu al condiţiei de margine) (4.52)

Reziduurile s-ar putea anula pentru anumite valori x, dar nu devin nule pentru orice

x, decât dacă este soluţia exactă . Se consideră că este o aproximaţie bună

pentru u, dacă reziduurile sunt mici.

Minimizarea reziduurilor se poate obţine prin diverse proceduri, care toate conduc la

obţinerea de ecuaţii algebrice ce pot fi rezolvate pentru obţinerea coeficienţilor funcţiei de

aproximare ai, .

Aceste metode nu au fost detaliate, datorată limitării numărului de pagini pentru

redactarea lucrării, ci au fost doar amintite.

4.7 Analiza liniei de arbori prin metoda elementului finit

În prima etapă a acestei analize efectuăm modelarea cu ajutorul softului specializat,

Ansys a liniei de arbori.

În urma modelării, acesta arată astfel:

74

Următoare etapă este cea a meshării. Mesharea reprezintă discretizarea corpului

într-o serie de corpuri regulate, de mici dimensiuni.

În urma operaţiei de meshare, corpul a fost discretizat astfel:

75

În următoarea etapă am stabilit ca suport capătul dinspre motor al liniei de arbori:

Iar apoi am efectuat analiza modală. Analiza modală constă în stabilirea

frecvenţelor de rezonanţă ale corpului.

În urma calculelor am determinat următoarele frecvenţe de rezonanţă ale liniei de

arbori precum şi modurile proprii de rezonanţă:

Pentru frecvenţa de 1,7242Hz:

76

Petru frecvenţa de 1,7244Hz:

Pentru frecvenţa de 12,244Hz:

77

Pentru frecvenţa de 12,246Hz

Pentru frecvenţa de 36,036Hz:

78

Pentru frecvenţa de 36,039Hz

Pentru frecvenţa de 46,339Hz

79

În urma acestei analize, se poate concluziona că linia de arbori nu prezintă riscuri

de vibraţii în regim de rezonanţă deoarece primul mod propriu este 103,45 rotaţii pe minut,

în condiţiile în care arborele se roteşte cu maxim 84 rotaţii pe minut.

Însă, datorita vibraţiilor induse de motor şi a pulsaţiilor induse de elice, trebuie

urmărit cu atenţie ca în exploatare să nu se atingă frecvenţele specifice modurilor proprii

ale arborilor.

80