Aprilie2019 - profs.info.uaic.roolariu/curent/PS/files/probability7.pdf · Tableofcontents...

48
Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică - Curs 7 Aprilie 2019

Transcript of Aprilie2019 - profs.info.uaic.roolariu/curent/PS/files/probability7.pdf · Tableofcontents...

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică - Curs 7

Aprilie 2019

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Table of contents

StatisticăIntroducereVocabular

Statistică descriptivăVariabileReprezentări graficeMăsuri ale tendinţei centrale

MediaMedianaMòdulCompararea diferitelor măsuriCvartile

Măsuri ale variabilităţiiDomeniulDispersia eşantionului şi deviaţia standard a eşantionuluiMediana, cvartilele şi domeniul intercvartilicValori aberante

Bibliografie

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Istorie

� Rădăcinile cuvântului Statistică sunt latine: Status (latinaveche) care înseamnă stat (politic), Statista (italiană) înseamnăpolitician.

� La mijlocul secolului al XVII-lea într-o Universitate Ger-mană a fost folosit pentru prima oară cuvântul statistik cusensul de ştiinţă politică a statelor: analiza datelor privindstatele.

� În Marea Britanie la sfârşitul secolului XVIII termenul destatistică a fost introdus cu un înţeles similar: ştiinţa statelor(sau aritmetica politică).

� Utilizarea statisticii fără a o numi în mod expres dateazăde la începutul civilizaţiei umane: forme incipiente de re-censământ al populaţiei, sistematizarea datelor geografice şieconomice etc.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Istorie

� Primul studiu statistic este considerat în general a fi cel carea pus bazele demografiei: în 1662 doi englezi au introdusmetode statistice cum ar fi tabelele speranţei de viaţă şiprobabilităţile de supravieţuire la diferite vârste.

� Abia în secolul XIX rezultatele din teoria probabilităţilor auînceput a fi folosite în raţionamentul statistic.

� Bazele matematice ale statisticii s-au consolidat datorită rezul-tatelor profunde obţinute în teoria probabilităţilor din sec-olul anterior.

� Începând cu secolul XX au fost dezvoltate noi metode şiteorii, iar o influenţă asupra statisticii a avut-o şi dezvoltareainformaticii.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Introducere

"Statistics has become the universal language of the sciences."Elementary Statistics, R. Johnson, P. KubyO studiu statistic tipic cuprinde

� unul sau mai multe experimente aleatoare din efectuareacărora rezultă o serie de date.

� o metodă de extragere a informaţiei din date si de inter-pretare a rezultatelor.

Modul în care informaţia este procesată şi interpretată dă naşterela doua ramuri ale statisticii ca ştiinţă:

� Statistica descriptivă - colectează, prezintă şi descrie datele(de multe ori în formă grafică).

� Statistica inferenţială - folosind datele deja colectate ia de-cizii relativ la populaţia în cauză.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Introducere

Definition 1Statistica este ştiinţa colectării, descrierii, interpretăriidatelor şi luării de decizii pe baza acestor date.

Cele două ramuri ale statisticii sunt şi cei doi paşi dintr-un studiustatistic:

� statistica descriptivă are rolul de a

� sintetiza, aduna şi reprezenta datele;� aranja informaţia, pregătind-o pentru luarea deciziilor;

� statistica inferenţială are drept scop� luarea deciziilor pe baza datelor strânse;� estimarea parametrilor (cum sunt media, dispersia etc);� verificarea ipotezelor statistice.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Terminologia statistică

� Statistica îşi are propriul limbaj, dincolo de împărţirea îndescriptivă şi inferenţială.

� Cel mai important concept în statistică este acela de popu-laţie: colecţia completă (exhaustivă) a obiectelor care prez-intă interes pentru cel care face studiul.

� Exemple de populaţii: mulţimea studenţilor din Iaşi, mulţimearomânilor analfabeţi, mulţimea dozelor de cola produse într-o luna într-o fabrică, mulţimea furtunilor tropicale din 2018.

Definition 2O populaţie este o mulţime de obiecte (numite şi indivizi)ale căror proprietăţi vor fi analizate.

� O populaţie poate fi finită (dacă poate fi teoretic listată)sau infinită (populaţia cutremurelor de pământ din zonaVrancea).

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Terminologia statistică

� Din cauza dimensiunilor mari ale unei populaţii studiul statis-tic se concentrează asupra unei porţiuni mai mici a popu-laţiei. Acesta este un eşantion care constă din indivizi se-lectaţi din populaţie.

Definition 3Un eşantion este o submulţime a populaţiei. Dintr-un punctde vedere teoretic fiecare individ are aceleaşi şanse de aaparţine eşantionului, şi orice grup particular de indivizi esteales în mod independent pentru a face parte din eşantion.Dacă aceste condiţii sunt îndeplinite atunci avem un eşan-tion aleator simplu.

� Când se alege o populaţie sau un eşantion pentru studiu,interesează o anumită trăsătură a indivizilor.

� Astfel de trăsături (atribute) pot fi: înălţimea, volumul,magnitudinea pe scara Richter, vârsta, presiunea sângelui,culoarea ochilor, suprafaţa etc.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Terminologia statistică

Definition 4O variabilă sau un atribut este o caracteristică a indivizilordin populaţie sau eşantion.

� După ce alegem un eşantion trebuie să măsurăm valorileunuia sau mai multor variabile asociate. Acestea sunt datele,ele pot fi numere reale, întregi, cuvinte, litere etc.

Definition 5Datele sunt valorile variabilei colectate de la fiecare individdin eşantion.

� O populaţie este descrisă numeric de parametri (medie, dis-perse, deviaţie standard); parametrii sunt în centrul unuistudiu statistic.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Terminologia statistică

Definition 6Un parametru este o valoare numerică care priveşte întreagapopulaţie.

� Dacă populaţia este foarte mare (ceea ce se întâmplă adesea)un parametru anume nu poate fi calculat.

� O soluţie este de a calcula parametrul doar pentru un eşan-tion al populaţiei. Aceasta este o statistică.

� Pentru orice parametru şi fiecare eşantion există o statisticăcorespunzătoare.

Definition 7O statistică este un parametru calculat pentru un eşantionîn locul întregii populaţii.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Folosirea terminologiei

� Populaţie: mulţimea studenţilor din primul an din Iaşi.

� Eşantion: studenţii din primul an de la FII.

� Variabilă/atribut: dimensiunea vocabularului lor curent.

� Date: 4200, 3520, 1800, ... - dimensiunile vocabularuluipentru fiecare student din primul an de la FII.

� Parametru: media dimensiunii vocabularului studenţilordin primul an din Iaşi

� Statistică: media dimensiunii vocabularului studenţilor dinprimul an de la FII.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Tipuri de variabile

� Clasificarea variabilelor împarte atributele în cantitative saucalitative. Astfel există

� Variabile care oferă o informaţie calitativă, cum ar fi cu-loarea ochilor studenţilor, genurile literare ale cărţilor dintr-o bibliotecă (ficţiune, ştiinţă, literatură motivaţională etc),tipul de personalitate ale peroanelor dintr-o comunitate (san-guin, coleric, melancolic sau flegmatic), nivelul de satisfacţiea clienţilor unui magazin etc.

� Variabile care dau o informaţie cantitativă; spre exemplu:înălţimea studenţilor, greutatea lor, suma de bani pe careun student o cheltuie pe cărţi într-un an şcolar ş. a.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Tipuri de variabile

Definition 8O variabilă calitativă (sau categorică) este o variabilă caredescrie un individ dintr-o populaţie (conform unor categorii).O variabilă cantitativă este o variabilă care măsoară unindivid dintr-o populaţie.

� Variabilele calitative pot fi nominale sau ordinale.

� Variabilele nominale sunt: culoarea ochilor, tipul de person-alitate, numele membrilor unei comunităţi etc.

� Exampe de variabile ordinale: nivelul de satisfacţie a clienţilor,nivelul de educaţie (liceal, post liceal, universitar, post uni-versitar, doctoral) etc.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Tipuri de variabile

Definition 9O variabilă nominală este o variabilă care numeşte sau de-scrie un individ dintr-o populaţie fără a putea asigna o ordinenaturală acestor valori..O variabilă ordinală este o variabilă ale cărei valori pot fiordonate în mod natural.

� Variabilele cantitative pot fi discrete sau continue. Celedouă tipuri pot fi distinse astfel: unele numără iar celelaltemăsoară.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Tipuri de variabile

� O variabilă discretă de obicei numără: numărul de credite aleunui student, numărul de pagini ale unei cărţi etc; câteodatăo asemenea variabilă sumează puncte/note care nu pot ficontinue.

� O variabilă continuă măsoară: volumul, înălţimea, viteza,presiunea etc.

Definition 10O variabilă discretă este o variabilă care are un număr finitsau infinit dar numărabil de valori; o astfel de variabilă poateavea valori corespunzând unor puncte izolate de pe un inter-val real.O variabilă continuă este o variabilă care are un numărinfinit şi nenumărabil de valori; o astfel de variabilă poateavea, de obicei, orice valoare dintr-un interval real, incluzândorice valoare posibilă dintre orice două valori.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Reprezentări grafice

� O primă formă de explorare a datelor este utilizarea reprezen-tărilor grafice care pot revela un comportament sistematic(un şablon) al variabilei.

� Tipul de reprezentare grafică depinde în mod normal de tipulvariabilei.

� Pentru date calitative reprezentările grafice folosite sunt piecharts şi bar graphs.

� Pentru datele cantitative scopul reprezentărilor grafice estede a afla forma distribuţiei variabilei.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Reprezentări grafice - date calitative

� Datele calitative sunt mai întâi transformate în frecvenţe.

� Frecvenţa unei observaţii (o valoare a unei variabile) estenumărul de repetări ale acelei observaţii în eşantion.

� Frecvenţa relativă a unei observaţii este raportul dintrefrecvenţa observaţiei respective şi numărul total de obser-vaţii (dimensiunea eşantionului).

� Distribuţia frecvenţelor unei variabile calitative este familiatuturor perechilor formate din observaţie şi frecvenţa sa core-spunzătoare.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Reprezentări grafice - date cantitative

� Pentru date cantitative putem utiliza frecvenţele şi frecvenţelerelative sau gruparea datelor pentru a regăsi distribuţia frecvenţelor:

- datele sunt grupate în clase (sau bins) care sunt uzual in-tervale cu aceeaşi lungime; clasele nu trebuie sa se acopere.

- o regulă pentru determinarea lungimii claselor: 1+logn= log 2unde n este dimensiunea eşantionului.

- apoi datele sunt sortate pe clase: se determină numărulobservaţiilor din fiecare clasă - acestea sunt frecvenţele.

- suma frecvenţelor este dimensiunea eşantionului (n).

- frecvenţele relative se pot afla împărţind frecvenţele la n .

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Reprezentări grafice - date cantitative

� Cea mai utilizată metodă de reprezentare grafică a datelorcantitative este histogram.

� O altă metodă la îndemână pentru eşantioanele relativ micieste stem-and-leaf.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Reprezentări grafice - histograma

Figure: Histogramă.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Datele

� Când privim reprezentarea grafică a datelor din eşantion neputem pune următoarele întrebări.

� Care sunt valorile centrale/medii?

� Cât de mult sunt împrăştiate aceste date în jurul valorilormedii?

� Care este froma distribuţiei?

� Există valori care nu se potrivesc cu imaginea generală adistribuţiei?

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Tendinţa centrală

� Tendinţa centrală sau centrul distribuţiei este centrul (ab-stract) al datelor. Toate măsurile tendinţei centrale suntlegate într-un fel sau altul de noţiunea de medie.

� Diferite moduri de a defini tendinţa centrală:

� Punctul care ţine distribuţia în echilibru.� Numărul care minimizează suma tuturor deviaţiilor absolute.� Numărul care minimizează suma tuturor deviaţiilor la pătrat.� Cea mai frecventă valoare.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Media (aritmetică)

� Să presupunem că valorile din eşantion sunt x1; x2; : : : ; xn .

Definition 11Media de selecţie sau media eşantionului este mediaaritmetică a tuturor datelor din eşantion:

xn =x1 + x2 + � � �+ xn

n:

� Formula mediei pentru întreaga populaţie este în esenţă iden-tică.

� Media populaţiei se notează cu �.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Media, eşantionul şi populaţia

� În limbajul teoriei probabilităţilor media populaţiei este me-dia unei variabile aleatoare, X , ale cărei valori sunt sunt celeale indivizilor din populaţie; deci E[X ] = �.

� Media de selecţie este o statistică care estimează media pop-ulaţiei.

� Să presupunem căX1;X2; : : : ;Xn sunt variabilele din spatelefiecărui individ al eşantionului, iar xi este doar o valoare avariabilei Xi .

� Atunci Xi este o variabilă aleatoare cu aceeaşi distribuţie caa a luiX . Mai mult, variabilele (Xi )16i6n sunt independenteîn ansamblu.

� Aceste observaţii conduc la faptul ca media de selecţie poatefi văzută ca o variabilă aleatoare, iar media aritmetic calcu-lată pentru un eşantion este una dintre posibilele valori aleei (fiecare eşantion dă o altă valoare a mediei de selecţie).

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Media, eşantionul şi populaţia

� Dacă media de selecţie este o variabilă aleatoare, îi putemcalcula media:

E[xn ] = E

�X1 +X2 + � � �+Xn

n

�=

=1nE [X1 +X2 + � � �+Xn ] =

=E[X1] + E[X2] + � � �+m [Xn ]

n= �:

� Media mediei de selecţie este media populaţiei.

� O astfel de statistică se numeşte estimator nedeplasat alparametrului corespunzător.

� Media de selecţie este un estimator nedeplasat pentru mediapopulaţiei.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Media pentru date grupate

� Formula din definiţia anterioară este valabilă pentru datenegrupate. În acest caz toate datele din eşantion contribuedirect la calulul mediei de selecţie.

� Pentru date grupate se foloseşte o formulă cu ponderi:

M =mi � fiX

i

fi

undemi este mijlocul intervalului clasei i , iar fi este numărulde observaţii care aparţin clasei i .

� În această formulă observaţiile nu contribuie direct la cal-culul mediei; cu toate acestea este o formulă preferată încazul datelor grupate pentru eşantioane mari fiind mai uşorde calculat.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Proprietăţi ale mediei

� Ne întoarcem acum la definiţia iniţială (pentru date negru-pate) a mediei de selecţie.

� Variaţii mici în suma de la numărător nu modifică prea multmedia. Spunem ca media este stabilă la variaţii mici aledatelor.

� Valorile aberante sau extreme pot avea o influenţă mareasupra mediei; introducând o valoare foarte mare sau foartemică media se poate schimba foarte mult.

� Media este o funcţie liniară (la fel ca media unei variabilealeatoare).

� Deviaţiile de la medie sunt (xi � xn); suma lor este zero:Xi

(xi � xn) = 0:

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Proprietăţi ale mediei

� (Definiţia variaţională) Se poate arăta că media este numărulM care minimizează suma deviaţiilor la pătrat:X

i

(xi �M )2:

� Există şi alte tipuri de medie în afară de cea artimetică (A):media geometrică (G), media armonică (H).

G = npx1 � x2 � : : : � xn ;H =

n1x1

+1x2

+ � � � 1xn

:

� Să presupunem că o maşină parcurge distanţa dintre douăoraşe de patru ori cu vitezele 80km/h, 90km/h, 60km/h, and120km/h, respectiv. Care a fost viteza sa medie?

� Folosim media aritmetică obţinem 87:5 km/h; dar mediaadecvată aici este cea armonică: 82:3km/h.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Mediana

� Mediana este o statistică ordonată; calculul unei astfel destatistici presupune ordonarea crescătoare a datelor din eşan-tion.

Definition 12Median (Me) este valoarea din mijloc când datele dineşantion sunt sortate.

� Mediana împarte datele din eşantion în două jumătăţi: ojumătate conţine datele mai mari sau egale decât mediana,iar cealaltă jumătate le conţine pe cele mai mici sau egale.

� Valoarea medianei este o observaţie sau media a doua obser-vaţii (pentru eşantioane de dimensiune pară).

� Ca statistică mediana este mult mai puţin influenţată deexistenţa valorilor aberante.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Mòdul

Definition 13Mòdul este observaţia cea mai frecventă din eşantion.

� Pentru date grupate se alege mai întâi clasa cu cea maimare frecvenţă clasa modală. Fie i indexul acestei clase, aimarginea stângă a intervalului corespunzător şi L lungimeacomună a intervalelor.

� Atunci mòdul poate fi calculat folosind formula

mod = ai +L � (fi � fi�1)

(fi � fi�1) + (fi � fi+1):

� Antimòdul este cea mai puţin frecventă observaţie.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Compararea diferitelor măsuri

� Mai stabile la valorile aberante sunt mediana şi mòdul.

� Media incorporează toate valorile şi nu poate fi calculată,în cazul datelor grupate pentru distribuţii deschise (primul,sau ultimul interval deschis).

� Mediana şi mòdul nu sunt funcţii liniare.

� Mòdul este calculat mai ales pentru date grupate.

� Pentru distribuţii asimetrice mòdul oferă cea mai reală imag-ine asupra tendinţei centrale.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Compararea diferitelor măsuri

� Dacă eşantionul conţine date foarte mari sau foarte mici me-diana este măsura preferată mediei - stabilitatea o face maireprezentativă.

� Pentru distribuţii simetrice cele trei măsuri sunt aproapeegale.

� Forma distribuţiei poate fi legată de relaţia dintre medie şimediană; forma poate fi

� asimetrică spre stânga dacă xn < Me ;

� simetrică dacă xn = Me ;

� asimetrică spre dreapta dacă xn > Me ;

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Cvartile

� Relativ la măsurile tendinţei centrale există măsuri de poz-iţie care sunt statistici ordonate ca şi mediana.

Definition 14Cvartilele sunt valori care împart domeniul (ordonat al)observaţiilor în patru segmente egale.

� Prima cvartilă, Q1, este o valoare astfel în cât 25% dintreobservaţii sunt cel mult egale cu Q1 şi cel mult 75% suntmai mari sau egale.

� A treia cvartilă, Q3, este o valoare astfel în cât 75% dintreobservaţii sunt cel mult egale cu Q3 şi cel mult 25% suntmai mari sau egale.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Cvartile

� A doua cvartilă, Q2, este o valoare astfel în cât 50% dintreobservaţii sunt cel mult egale cu Q2 şi cel mult 50% sunt maimari sau egale. Din acest motiv a doua cvartilă este egalăcu mediana: Me = Q2.

� Cvartilele au proprietăţi similare cu cele ale medianei. Ceamai importantă fiind aceea că sunt stabile în prezenţa valo-rilor aberante.

� Statistici ordonate similare sunt: decilele, percentilele etc.Toate aceste statistici împart datele ordonate în subeşan-tioane egale.

� De exemplu există nouă decile care împart datele sortate înzece părţi egale, fiecare parte reprezentând 10% din eşantion.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Măsuri ale variabilităţii

� După determinarea "centrului" datelor studiul statistic con-tinuă cu analiza împrăştierii sau a variabilităţii datelor

� Valorile din eşantion pot să difere mult între ele şi faţă devaloarea "centrală".

� Măsura în care valoare "centrală"/medie este reprezentativăpentru întreg eşantionul depinde de variabilitatea (sau dis-persia) datelor.

� Eşantionul are variabilitate mare dacă există valori foartemari sau foarte mici faţă de valoarea medie.

� Deoarece avem două metode mai importante de a măsuratendinţa centrală (media şi mediana) vom avea două metodede a măsura împrăştierea.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Domeniul

Definition 15Domeniul este diferenţa dintre cea mai mică şi cea maimare valoare din eşantion.

range = max �min :

� Deoarece definiţia aceasta se bazează doar pe valorile ex-treme, dacă minimul sau maximul este foarte mare respectivfoarte mic, domeniul nu este reprezentativ pentru variabili-tatea datelor.

� Se observă că valorile aberante au o influenţă directă asupradomeniului.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Dispersia eşantionului

Începem cu măsurile variabilităţii legate de medie.

� Deviaţiile faţă de medie sunt (xi � xn).

� O deviaţie (xi�xn) este pozitivă (negativă) când xi este maimare (mai mică) decât media de selecţie.

� Pentru a descrie o valoare medie a deviaţiilor s-ar putea uti-liza media aritmetică a acestor deviaţii. Dar pentru căsumaacestor deviaţii este zero, o astfel de medie este nulă.

� Putem îndepărta acest efect ridicând la pătrat deviaţiile şiutilizând o medie pătratică în locul uneia aritmetice.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Dispersia eşantionului

Definition 16Dispersia eşantionului, s2, n fiind dimensiunea eşan-tionului, este:

s2 =

nXi=1

(xi � xn)2

n � 1;

� Dispersia eşantionului este nenegativă şi este zero dacăşi nu-mai dacă valorile sunt toate identice.

� Dispersia eşantionului este statistica asociată dispersiei pop-ulaţiei, notată cu �2.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Dispersia eşantionului

� Morivul pentru care se utilizează (n � 1) ca numitor îndefiniţia dispersiei eşantionului este acela că astfel se obţineun estimator nedeplasat.

� Media dispersiei eşantionului (văzută ca o variabilă aleatoare)este

E[s2] = E

266664

nXi=1

(Xi � xn)2

n � 1

377775 = E

266666664

nXi=1

0@nXi �

nXj=1

Xj

1A

2

n(n � 1)

377777775=

=

nXi=1

E

264n2X 2

i � 2nXi

0@ nXj=1

Xj

1A+

0@ nXj=1

Xj

1A

2375

n2(n � 1)=

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Dispersia eşantionului

=

nXi=1

E

hn2X 2

i

i� 2n

nXi=1

E

24 nXj=1

XiXj

35+ nE

24 nXj=1

X 2j + 2

Xi<j

XiXj

35

n2(n � 1)

=

n2nXi=1

E

hX 2i

i� 2n

nXi=1

E

hX 2i

i� 2n

nXi=1

nXj 6=i

E [XiXj ]

n2(n � 1)+

+

nnX

j=1

E

hX 2j

i+ 2n

Xi<j

E [XiXj ]

n2(n � 1)=

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Dispersia eşantionului

=

n(n � 1)nXi=1

E

hX 2i

i� 2n

Xi<j

E [XiXj ]

n2(n � 1)=

=

n2(n � 1)nXi=1

E

hX 2i

i� 2n

Xi<j

E [Xi ]E [Xj ]

n2(n � 1)=

=

nXi=1

E[X 2i ]� E [Xi ]

2

n= �2:

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Deviaţia standard a eşantionului

� O formulă mai simplă (exerciţiu) pentru dispersia eşantionu-lui este

s2 =

nnXi=1

xi � nXi=1

xi

!2

n(n � 1):

Definition 17Deviaţia standard a eşantionului, s, este rădăcina pă-trată a dispersiei eşantionului.

� Deviaţia standard a eşantionului este un estimator deplasatal deviaţiei standard a populaţiei, �.

� Se poate arăta că media deviaţiei standard a eşantionuluieste mai mică decât cea a populaţiei, E[s ] < �.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Sumarul celor cinci numere

Continuăm cu măsuri ale împrăştierii legate de mediană. Maiîntâi sumarul celor cinci numere.

Definition 18Sumarul celor cinci numere este compus din1. min, cea mai mică valoare din eşantion;

2. Q1, prima cvartilă;

3. Me, mediana;

4. Q3, a treia cvartilă;

5. max, cea mai mare valoare din eşantion.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Domeniul intercvartilic

� Ometodă grafică de a reprezenta sumarul celor cinci numere:box-and-whiskers.

Definition 19Cvartila medie este valoarea de mijloc dintre prima şicea de-a treia cvartilă:

midq =Q1 +Q3

2:

Domeniu intercvartilic este diferenţa dintre prima şi ceade-a treia cvartilă:

IQR = Q3 �Q1:

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Valori aberante

� Valorile aberante sunt acele valori din eşantion care pot ficonsiderate prea mici sau prea mari faţă de "tabloul" generalal eşantionului.

� Evident, valorile aberante sunt legate de variabilitatea datelor.În mod obin, uit aceste valori vin din erori de măsură, dar potavea şi cauze naturale.

� Câteodată aceste valori aberante (dacă sunt datorate mă-surilor) pot fi eliminate din eşantion înainte de orice altăanaliză statistică.

� Vom avea două reguli de determinare a valorilor aberante,deoarece şi variabilitatea datelor se măsoară în două feluri.

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Valori aberante

� Prima regulă este legată de medie. Pot fi considerate valoriaberante acele valori ale eşantionului care nu aparţin inter-valului (xn � 2s ; xn + 2s).

� A doua regulă se numeşte regula 1:5 � IQR şi spune că ovaloare este aberantă dacă nu aparţine intervalului (Q1 �1:5 � IQR;Q3 + 1:5 � IQR).

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Sfârşit

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Bibliography

Freedman, D., R. Pisani, R. Purves, Statistics, W. W. Nor-ton & Company, 4th edition, 2007.

Johnson, R., P. Kuby, Elementary Statistics, Brooks/Cole,Cengage Learning, 11th edition, 2012.

Shao, J., Mathematical Statistics, Springer Verlag, 1998.

Spiegel, M. R., L. J. Stephens, Theory and Problems ofStatistics, Schaum’s Outline Series, McGraw Hill, 3rd edi-tion, 1999.