APLICAREA METODELOR DE ANALIZA NUMERICA (FEM)

IN STRUCTURI CU POLI “GHEARA” SI MAGNETI PERMANENTI

CU APLICARE LA PROIECTUL DE MODEL EXPERIMENTAL

- 2007 -

CUPRINS

1. Modele matematice specifice circuitelor cu magneţi permanenţi.

1.1 Modelul matematic pentru regimul magnetostatic.

1.2 Modelul matematic pentru regimul magnetic staţionar.1.2.1 Formularea în potenţial magnetic vector A.1.2.2 Formularea în potenţial magnetic scalar redus Φred. 1.2.3 Formularea în dublu potenţial magnetic Φ-Φred: potenţialul total Φ şi potenţialul redus Φred .

1.3 Modelul matematic pentru regimul general magnetic evolutiv (pas cu pas în timp).

1.3.1 Formularea AV, în potenţial magnetic vector A şi potenţial electric scalar V.1.3.2 Formularea TΦ, în potenţial electric vector T şi

potenţial magnetic scalar Φ. 

2. Modelul numeric tridimensional al generatorului eolian cu magneţi permanenţi şi poli în gheară

3. Rezultate obţinute.3.1 Rezultate obţinute prin rezolvarea problemei de câmp

în regim magnetostatic.

3.2 Rezultate obţinute prin rezolvarea problemei de câmp în regim magnetic staţionar.

3.3 Rezultate obţinute prin rezolvarea problemei de câmp

în regim magnetic evolutiv.

4. Bibliografie.

1. Modele matematice specifice circuitelor cu magneţi permanenţi. [1 ], [2], [3]

Cunoaşterea câmpului magnetic în dispozitivele electromagnetice în

general, permite calculul performanţelor globale în orice regim de funcţionare,

permanent sau tranzitoriu. Regimul câmpului electromagnetic specific, depinde

de regimul de funcţionare, de elementele constructive şi de ipotezele făcute. În

acest paragraf se vor trece în revistă modele de câmp, specifice dispozitivelor

electromagnetice cu magneţi permanenţi şi reformulările convenabile ale

problemelor cu ajutorul potenţialelor.

1.1 Modelul matematic pentru regimul magnetostatic.

Considerarea acestui regim permite determinarea distribuţiei câmpului în dispozitivele electromagnetice, pentru o anumită poziţie fixă a părţilor mobile, sursa câmpului fiind reprezentată numai de magneţii permanenţi. Mărimile nu variază în timp şi nu au loc transformări de energie. Ecuaţiile câmpului sunt următoarele:

, (1.1)

,

.

Caracterul irotaţional al vectorului H, specificat de ecuaţia (1.1), permite

exprimarea acestuia prin intermediul unui potenţial scalar Φ, numit potenţial scalar total:

. (1.2)

Înlocuind (1.2) în (1.1) se obţine ecuaţia asociată formulării în potenţial

scalar :

. (1.3)

Această formulare reprezintă cea mai simplă şi eficientă abordare în

potenţiale a problemelor magnetostatice. În subdomeniile corespunzătoare

magneţilor permanenţi, care au caracteristica de demagnetizare liniară, relaţia

(1.1) devine:

, (1.4)

unde Br reprezintă inducţia remanentă a magnetului, iar μ permeabilitatea

magnetică a acestuia. Ecuaţia de câmp, în aceste subdomenii se obţine prin

înlocuirea relaţiei (1.4) în (1.3):

, (1.5)

La suprafaţa de separaţie dintre două regiuni, 1 şi 2 cu permeabilităţi

magnetice μ1 şi μ2 diferite, continuitatea componentei tangenţiale a câmpului

magnetic este verificată prin continuitatea variabilei de stare . Rămâne de impus

continuitatea componentei normale a inducţiei magnetice, care presupune relaţia:

. (1.6)

Variabila de stare fiind o mărime scalară, această formulare este

economică din punct de vedere numeric, necesitând doar o singură necunoscută

locală.

1.2 Modelul matematic pentru regimul magnetic staţionar.

În funcţionare, bobinele dispozitivelor electromagnetice sunt parcurse de curenţi. Pentru un moment de timp precizat, şi o poziţie fixată a armăturilor, regimul câmpului este magnetic staţionar. În acest caz sursa câmpului este reprezentată de valorile instantanee ale curenţilor din înfăşurări şi de magnetizaţia permanentă.

Acest regim este descris de ecuaţiile:

, (1.7)

,

sau .

unde ν reprezintă reluctivitatea magnetică.

1.2.1 Formularea în potenţial magnetic vector A.

Acest potenţial este introdus prin intermediul legii fluxului magnetic (1.7),

care justifică existenţa unei funcţii vectoriale A descrisă de relaţia:

. (1.8)

Vectorul introdus prin relaţia de mai sus se numeşte potenţial magnetic vector.

Relaţia nu asigură şi unicitatea vectorului A, fiind necesară şi cunoaşterea

divergenţei acestuia. Cel mai adesea se considera că

(1.8a)

relaţie care reprezintă condiţia de etalonare Coulomb.

Legea circuitului magnetic şi legea de material din (1.7) şi relaţia de definiţie (1.8) conduc la ecuaţia asociată formulării în potenţial vector A:

. (1.9)

Condiţia de continuitate a componentei tangenţiale a câmpului magnetic la

interfaţa dintre două medii 1 şi 2 cu reluctivităţile magnetice şi diferite, are

forma:

, (1.10)

unde n12 reprezintă normala pe suprafaţa de separaţie dintre mediile 1 şi 2.

Continuitatea componentei normale a inducţiei magnetice este verificată

automat prin continuitatea potenţialului magnetic A. Formularea prin intermediul potenţialului magnetic vector A este generală, în sensul că poate fi utilizată în toate regiunile domeniului de calcul.

Dacă magneţii permanenţi au o caracteristică de demagnetizare liniară,

conform relaţiei (1.4), se poate evidenţia contribuţia acestora la producerea

câmpului magnetic:

, (1.11)

unde Br este inducţia remanentă a magnetului.

Trebuie remarcat că această formulare poate fi utilizată şi în regimul magnetostatic. Însă, în abordarea numerică a problemele tridimensionale, presupune un număr mare de necunoscute, un timp de calcul important şi un necesar important de memorie, fiecare nod al reţelei de discretizare având 3 necunoscute.

1.2.2 Formularea în potenţial magnetic scalar redus Φred [4]

Problema de câmp magnetic staţionar se poate rezolva prin utilizarea

potenţialului magnetic scalar redus. Această formulare se bazează pe descompunerea

câmpului magnetic total în două componente:

, (1.12)

unde H0 este câmpul magnetic creat de regiunile sursă de tip bobine filiforme,

caracterizate de densitatea de curent J. Acest câmp se poate calcula analitic, cu

formula Biot-Savart-Laplace:

, (1.12a)

unde P este un punct al regiunii bobină inductoare, M un punct al spaţiului, r vectorul PM şi V0, volumul bobinei.

A doua componentă a câmpului, Hred, poate fi considerată ca fiind câmpul

magnetic de reacţie al regiunilor conductoare sau magnetice supuse câmpului

magnetic H0.

Ţinând cont de relaţia (1.12), egalitatea (1.7) devine:

. (1.13)

Deoarece componenta H0 a câmpului magnetic verifică relaţia ,

componenta Hred este irotaţională:

. (1.13a)Proprietatea (1.13a) implică faptul că intensitatea câmpului magnetic Hred

derivă dintr-un potenţial scalar red, numit potenţial magnetic scalar redus:

. (1.13b)

Ecuaţia asociată modelului red se obţine din legea fluxului magnetic (1.7), ţinând

cont de ecuaţiile (1.12) şi (1.13b):

. (1.14)

Dacă potenţialul red este continuu, pe suprafeţele unde permeabilitatea

magnetică μ suferă o discontinuitate, continuitatea componentei tangenţiale a intensităţii

câmpului magnetic este implicită. Pentru a asigura continuitatea componentei normale a

inducţiei magnetice trebuie impusă condiţia:

, (1.14a)

unde indicii 1 şi 2 se referă la zonele unde se cunosc potenţialele respective.

În cazul utilizării potenţialului magnetic scalar redus red, inducţia

magnetică B se determină cu ecuaţia:

. (1.15)

Câmpul magnetic în zonele reprezentate de miezurile magnetice este

redus. Dacă determinarea acestuia se face prin intermediul potenţialului

magnetic redus, intensitatea câmpului magnetic se obţine prin însumarea a două

mărimi fizice de module foarte apropiate şi de semne opuse. Astfel pot să apară

erori numerice importante la calculul câmpului magnetic în aceste regiuni.

Pentru a evita erorile se recomandă folosirea potenţialului magnetic scalar total în regiunile de tip miez magnetic. 1.2.3 Formularea în dublu potenţial magnetic Φ-Φred: potenţialul total Φ şi potenţialul redus Φred [5]

Metoda constă în aplicarea combinată a celor două potenţiale prin

împărţirea domeniului de calcul în două regiuni:

O regiune simplu conexă, fără surse de curent, caracterizată de

ecuaţia , unde se va utiliza potenţialul scalar total Φ. În această regiune

permeabilitatea magnetica are valori ridicate.

O a doua regiune în care există surse de curent şi care are domenii

cu permeabilitate magnetică redusă, unde se va utiliza potenţialul scalar redus

Φred. Acest potenţial va respecta ecuaţia (1.14).

La suprafaţa de separaţie dintre cele două regiuni, condiţiile de cuplaj dintre cele

doua potenţiale sunt:

,(1.16

)

,

unde şi reprezintă derivatele după direcţia normală şi respectiv

tangenţială la suprafaţa de separaţie. H0n este componenta normală a câmpului

produs de sursele filiforme, iar H0t componenta tangenţială. În relaţiile (1.16)

indicele 1 se referă la regiunea fără surse de curent, iar indicele 2 la regiunea în

care există surse de curent.

1.3 Modelul matematic pentru regimul general magnetic evolutiv (pas cu pas în timp) [1],[6]

În acest regim se neglijează variaţia în timp a fluxului electric, neglijându-se curentul electric hertzian din legea circuitului magnetic.

Acest regim permite realizarea unui studiu complex al funcţionării dispozitivelor electromagnetice şi în mod deosebit al funcţionării în sarcină a maşinilor electrice cu magneţi permanenţi. Pentru a putea studia regimurile tranzitorii specifice, este necesar să fie luată în considerare şi mişcarea relativă dintre armături. Această abordare permite cuplarea

problemei de câmp cu o problemă de circuit precum şi considerarea

caracteristicilor cuplajelor mecanice.

În regiunea corespunzătoare corpurilor fixe, unde conductoarele sunt considerate

filiforme, ecuaţiile câmpului sunt:

, (1.17)

,

,

,

.

În cazul general, în care în regiunea mobilă există conductoare masive, ecuaţiile

corespunzătoare armăturii aflate în mişcare sunt:

, (1.18)

,

,

,

,

.

Pentru considerarea regimurilor tranzitorii se adaugă ecuaţia de mişcare.

În cazul rotorului unei maşini electrice rotative aceasta este:

, (1.18a)

unde Ω este viteza unghiulară a rotorului, Jr momentul de inerţie al rotorului, Mem

cuplul electromagnetic ce acţionează asupra rotorului, Ms cuplul de sarcină iar F

este coeficientul de frecări vâscoase. Pentru acest caz viteza v se calculează cu expresia:

, (1.18b)

unde r şi θ sunt coordonatele polare ale unui punct în raport cu axa de rotaţie.

La aceste ecuaţii se adaugă ecuaţiile de circuit ale bobinelor şi în funcţie

de abordarea 2D sau 3D a problemei şi cele ale circuitelor corespunzătoare

conductoarelor masive.

Rezolvarea numerică a acestei probleme se face prin discretizarea în timp a mişcării, acest regim al câmpului numindu-se şi pas cu pas în timp. În cazul cel mai general al metodei variaţia în timp a mărimilor de stare X

se aproximează prin diferenţe finite. Dacă se presupune cunoscută soluţia la

momentul de timp tk, atunci se determină soluţia la pasul tk+1, prin intermediul

metodei explicite (1.19a), sau a celei implicite (1.19b):.

(1.19a)

(1.19b)

Metoda explicită poate devenii instabilă dacă pasul de timp nu este suficient de

mic şi trebuie respectată o relaţie între fineţea discretizării spaţiale şi cea

temporale.

Uzual se foloseşte o combinaţie liniară a celor două metode într-un

algoritm de tip Crank-Nicolson, care presupune divizarea în timp în intervale de

mărime δt = tk+1-tk şi aproximarea conform relaţiilor (1.19c) a comportării

mărimilor de stare şi a derivatelor în fiecare interval (tk, tk+1).

. (1.19c)

Ţinând cont de comutativitatea operaţiilor de derivare în timp şi spaţiu se

pleacă de la t0, cunoscând condiţiile iniţiale şi se generează un algoritm pe baza

căruia se determină mărimile de la intervalele de timp următoare.

Problema se va reduce la o succesiune de probleme de tip magnetic

cvasi-staţionar, caracteristice fiecărui interval (tk, tk+1) al discretizării în timp

adoptate. Există mai multe procedee de abordare al acestor probleme.

În continuare se prezintă reformulările în potenţiale ale ecuaţiilor câmpului

în regiunile în care există conductoare masive în care apar curenţi turbionari

induşi.

1.3.1 Formularea AV, în potenţial magnetic vector A şi potenţial electric scalar V [4]

Dacă exprimăm vectorul inducţie magnetică B în funcţie de potenţialul

magnetic vector A (1.8), atunci legea inducţiei electromagnetice – vezi (1.17),

pentru mediul conductor masiv are expresia:

, (1.20)

respectiv

, (1.20a)

unde V se numeşte potenţial electric scalar.

Densitatea de curent în regiunile de tip conductor masiv se scrie sub forma:

. (1.21)

Înlocuind ecuaţiile (1.8) şi (1.21) în legea circuitului magnetic - (1.18) se obţine

ecuaţia specifică formulării AV în regiuni de tip conductor masiv:

, (1.22)

unde reprezintă reluctivitatea magnetică: = 1/µ.

În funcţie de potenţialele A şi V, legea conservării sarcinii – vezi (1.18) se

scrie:

. (1.23)

Se demonstrează că la suprafaţa de trecere dintre două regiuni cu

proprietăţi fizice diferite, condiţiile de continuitate ale componentei tangenţiale a

câmpului electric, , şi a componentei normale a inducţiei magnetice, , sunt asigurate implicit prin continuitatea potenţialelor A şi V. Dacă (A1 , V1) şi

(A2 , V2) sunt valorile potenţialelor de o parte şi de alta a suprafeţei de trecere dintre

mediul 1 si 2, se obţine:

, (1.24a)

deoarece A1 şi A2 respectiv V1 şi V2 sunt egale la interfaţă.

Conservarea componentei tangenţiale a câmpului magnetic şi a

componentei normale a densităţii de curent conduce la condiţiile:

, (1.24b)

care sunt asigurate doar sub formă integrală.

Sistemul de ecuaţii (1.22) şi (1.23) împreună cu condiţiile la limită de tip

inducţie normală nulă şi câmp tangenţial nul , nu definesc o

soluţie unică (A, V), deoarece doar rotorul lui A şi gradientul V au fost fixate.

Potenţialul electric scalar devine unic prin fixarea valorii sale într-un

punct al domeniului de calcul. Pentru a asigura însă unicitatea potenţialului

vector A, trebuie impusă divergenţa sa în tot domeniul de calcul. De regulă

aceasta se face prin condiţia de etalonare Coulomb (1.8a):

În locul condiţiei de etalonare Coulomb se poate folosi etalonarea Lorentz:

, (1.25)

utilizată în medii omogene electric sau în regim armonic.

Trebuie reţinut că această formulare grupează două potenţiale

necunoscute, unul de tip scalar (1 necunoscută pe nod), iar celălalt de tip vector

(3 necunoscute pe nod), deci în total 4 necunoscute în fiecare nod al reţelei de

discretizare, în cazul problemelor tridimensionale. Formulare este deosebit de avantajoasă în problemele 2-D în care condiţia Coulomb este satisfăcută implicit, vectorul A având doar o singură componentă, după axa z.

În locul acestor potenţiale se poate utiliza potenţialul vector modificat:

(1.26)

care este echivalentă cu impunerea condiţiei V = 0 în tot domeniul conductor.

1.3.2 Formularea TΦ, în potenţial electric vector T şi potenţial magnetic scalar Φ [4]

Divergenţa nulă a densităţii de curent impusă de legea conservării sarcinii

electrice – vezi (1.18) permite definirea unui potenţial electric vector T:

. (1.27a)

Legea circuitului magnetic– vezi (1.18), împreună cu relaţia (1.27a)

implică existenţa unui potenţial scalar magnetic , astfel încât :

(1.27b)

Înlocuind relaţiile (1.27a), (1.27b) în legea inducţiei electromagnetice– vezi

egalitîţile (1.18), se ajunge la următoare ecuaţie specifică formulării T în regiuni

de tip conductor masiv:

. (1.28)

Pentru a determina potenţialele T şi , este nevoie de o a doua ecuaţie

care se obţine din legea fluxului magnetic – vezi (1.18):

. (1.29)

Unicitatea soluţiei presupune adăugarea condiţiilor la limită şi asigurarea

condiţiilor de trecere pe suprafeţele de separare a mediilor cu proprietăţi fizice

diferite. Dacă potenţialele T şi sunt continue, continuitatea componentei

normale a densităţii de curent şi a componentei tangenţiale a câmpului magnetic

vor fi implicite. Trebuiesc impuse de asemenea condiţiile de continuitate a

componentelor tangenţiale ale câmpului electric, , şi a componentelor

normale ale inducţiei magnetice, , exprimate în funcţie de T şi prin relaţiile:

, (1.30a)

unde indicii 1 şi 2 se referă la domeniile delimitate de suprafaţa de separaţie.

Condiţia conservării componentei normale a densităţii de curent , pe suprafaţa conductorului, este asigurată prin relaţia:

. (1.30b)

Analog formulării AV, pentru a asigura unicitatea perechii de potenţiale

(T, ) trebuie fixată divergenţa potenţialului T. Condiţia de etalonare Coulomb,

, este introdusă în mod similar formulării AV.

Unicitatea soluţiei sistemului de ecuaţii (1.28) şi (1.29) este asigurată prin

impunerea condiţiilor la limită tip inducţie normală nulă şi câmp tangenţial

nul .

2. Modelul numeric tridimensional al generatorului eolian cu magneţi permanenţi şi poli în gheară

Soluţia constructivă cu poli în gheară a rotorului permite realizarea unor

generatoare cu număr mare de perechi de poli, care pot furniza tensiune

electrica la frecvenţa de 50 Hz la turaţii reduse. Construcţia complexă a rotorului,

fig. 2.1, existenţa unor câmpuri magnetice atât radiale cât şi axiale, face ca

studiul maşinii să fie realizat fie prin echivalarea circuitului magnetic [7], fie prin

modelarea numerică tridimensională a câmpului din maşină [8], [9]. Studiul

prezentat este realizat prin calculul numeric al câmpului din maşină cu ajutorul

pachetului de programe FLUX3D.

Regimul câmpului magnetic specific maşinii sincrone, pentru o poziţie dată a

rotorului, la un anumit moment de timp, este regimul magnetostatic şi regimul

magnetic staţionar – vezi capitolele 1.1 şi 1.2

Pentru regimul staţionar reformularea convenabilă a problemei se poate face

cu ajutorul potenţialului magnetic vector A, sau cu ajutorul potenţialelor scalare Φ sau Φ red. În cazul problemelor tridimensionale este preferabil să se lucreze cu o

variabila de stare scalară, formularea fiind economică din punct de vedere

numeric, necesitând doar o singură necunoscută locală.

Fig. 2.1. Inductorul generatorului sincron – 2 module cu magneţi permanenţi

Fig. 2.2. Alegerea domeniului de calcul

Alegerea domeniul de calcul şi a sistemului de coordonate se face

considerând simetriile constructive, fig. 2.2. Acesta corespunde unei perechi de

poli fiind delimitat de axele de simetrie a doi poli de aceeaşi polaritate şi de

planul transversal de simetrie în lungul maşinii. Sunt evidenţiate diversele

subdomenii caracterizate de proprietăţi magnetice diferite: miezul magnetic

rotoric (piese polare sub formă de gheare), axul maşinii realizat din material

amagnetic, magneţii permanenţi, bobina de excitaţie, miezul magnetic statoric

prevăzut cu crestături în care se află plasată înfăşurarea indusă, întrefierul şi

regiunea de aer din exteriorul maşinii.

Deoarece în domeniul de calcul există zone cu permeabilitate magnetică

ridicată (miezurile feromagnetice), fără surse de curent şi zone cu permeabilitate

redusă în care se află bobine filiforme, rezolvarea problemei de câmp s-a făcut

utilizând formulare în dublu potenţial magnetic Φ - Φ red: potenţialul total Φ şi

potenţialul redus Φred [10].

În subdomeniile feromagnetice şi în regiunile magneţilor permanenţi s-a utilizat

potenţialul total Φ - vezi capitolul1.2.2.

Pentru fiecare regiune feromagnetică, din curba de magnetizare – vezi

figura 2.3.a, se obţine curba dependenţei permeabilităţii magnetice μ, de

intensitatea H a câmpului magnetic.

Magneţii permanenţi utilizaţi sunt de tipul NdFeB, iar caracteristica de

demagnetizare a acestora este considerată afină – vezi figura 2.2.b, ecuaţia

acesteia fiind:

, (2.1)

unde Br reprezintă inducţia remanentă a magnetului, iar permeabilitatea

incrementală a acestuia.

În regiunile cu permeabilitate scăzută se va utiliza formularea în potenţial

scalar redus Φ red – vezi capitolul 1.2.2.

Pentru a se putea rezolva problema de câmp, la ecuaţiile exprimate cu

ajutorul potenţialelor scalare mai trebuie adăugate condiţiile la limită. Pe baza

repetării fenomenelor electromagnetice după o pereche de poli, pe frontierele

corespunzătoare axelor de simetrie ale polilor se pune o condiţie de periodicitate.

Aceasta se poate impune dacă discretizarea celor două suprafeţe este identică şi

constă în asigurarea egalităţii potenţialelor punctelor corespondente – vezi

figura 2.4.

Unui punct P1, de pe frontiera S1, îi corespunde un punct P2, de pe

frontiera S2, dacă în sistemul de coordonate cilindric este îndeplinită condiţia:

Fig. 2.3. Proprietăţile de material.a. Curba de magnetizare a miezului magnetic.b. Curba de demagnetizare a magneţilor din NdFeB.

0 2000 4000 6000 8000 1000

B [T]2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0H[A/m]

, (2.2)

iar condiţia de periodicitate va fi:

. (2.3)

În structurile electromagnetice cu câmp repetitiv, în special în cazul

maşinilor electrice, se poate utiliza şi o condiţie de antiperiodicitate între axele a

doi poli magnetici consecutivi. Cele două câmpuri sunt egale, însă au orientare

opusă. Această abordare a problemei, avantajoasă prin reducerea domeniului de

calcul, nu poate fi aplicată în acest caz datorită prezenţei câmpului axial prin

arborele maşinii. Condiţiile de periodicitate şi antiperiodicitate se referă la toate

componentele vectorilor de câmp. În coordonate cilindrice, după axele r şi z,

domeniul de calcul este infinit din punct de vedere fizic.

Pe frontiera domeniului de calcul definită de planul de simetrie tranversal

câmpul magnetic are numai componetă tangenţială. Matematic această condiţie

se exprimă prin relaţia (2.4):

. (2.4)

Considerarea infinitului se face printr-o transformare de coordonate care

realizează o imagine finită a semispaţiul infinit. Astfel zona de aer exterioară

maşinii este alcătuită dintr-o zonă în care problema de câmp este tratată în

manieră clasică, ca şi în regiunile corespunzătoare maşinii şi două domenii finite,

exterioare, imagini ale semispaţiilor infinite Dz+, şi Dr+ - vezi figura 3. În aceste

regiuni ecuaţiile câmpului sunt scrise în coordonate locale asigurându-se relaţiile

de continuitate pe frontiera cu domeniul real şi condiţii de câmp nul pe exterior.

Construcţia specifică a rotorului determină apariţia unui câmp magnetic

axial important în jugul statoric, a cărui mărime este influenţată de anizotropia

miezului magnetic. Miezul magnetic statoric este realizat din tole laminate, iar

considerarea interstiţiilor dintre tole în modelarul numeric se poate face plecând

de la factorul de împachetare a miezului magnetic statoric, kFe=0,95, prin

divizarea regiunii corespunzătoare statorului mai multe regiuni de fier izotrope,

separate de zone de aer a căror lungime totală reprezintă 5% din lungimea

miezului. Lungimea axiala a acestor interstiţii si numărul lor este corelat cu

fineţea reţelei de discretizare [1].

Domeniul de calcul al rotorului este mai complex, datorită prezenţei

pieselor polare cu gheare. Algoritmul de discretizare a fost asistat în scopul

Fig. 2.4. Domeniul de calcul şi condiţiile pe frontieră

zrΦzrΦ ,,,, redsau

zrΦzp

rΦ

zrΦzp

rΦ

,,,,

,,,,

redred2

2

0redΦ 0redΦ

Domeniuimagine Dz-

S1

S2

P2

DomeniuImagine Dr+

0,,sau0,, red

zzrΦ

zzrΦ

P1

obţinerii unei reţele regulate şi cât mai dese pe suprafeţele dinspre întrefier –

vezi figura 2.5.

Pentru a se putea obţine în întrefier elemente finite de calitate, prin

asistarea discretizării muchilor şi a feţelor s-a urmărit obţinerea unor reţele

uniforme cu acelaşi număr de elemente pe suprafaţa interioară a statorului şi pe

cea exterioară a rotorului. În subdomeniul rotorului nu se poate face o

discretizare volumică regulată datorită complexităţii geometriei.

Dacă se doreşte considerarea miscării rotorului, intr-o serie de probleme

de regim magnetostatic sau magnetic staţionar (problemă de regim multistatic)

prin utilizarea tehnicii suprafeţei alunecatoare, trebuie ca formulările din regiunile

adiacente acestei suprafeţe să fie identice [10]. Astfel s-a impus introducerea la

nivelul intrefielui a unei suprafeţe intermediare prin care zona de aer s-a divizat

intr-o regiune asociată zonei de aer a statorului, fig. 2.6 si una asociată

rotorului, fig. 2.8.

Fig.2.5. Discretizarea regiunilor miezului statoric a miezului rotoric şi a regiunilor magneţilor permanenţi

bFig. 2.6. Regiunile cu aer ale statorului Fig. 2.7. Regiunile de aer exterioare

În partea superioară a miezului rotoric s-a considerat o zonă de aer

suplimentară, asociată rotorului, fig. 2.8, pentru a se permite cuplajul cu zona de

aer din exteriorul generatorului, fig.2.7.

Pentru că axul maşinii este realizat din material amagnetic şi regiunea

acestuia va avea aceleasi proprietăţi magnetice ca şi aerul, fig. 2.8.

Fig. 2.8. Regiunile cu aer ale rotorului şi regiunea axului

Sursele câmpului sunt reprezentate de curenţii din bobine şi de

magnetizaţia remanentă a magneţilor permanenţi. Bobinele statorului sunt

poziţionate în zone cu permeabilitate redusă. În aceste regiuni se utilizează

formularea în potenţial magnetic scalar redus Φ red. Alegerea surselor de tip

curenţi de conducţie în raport cu domeniul de calcul considerat trebuie să

asigure condiţia de periodicitate a câmpului magnetic pe frontierele S1 şi S2

precum şi condiţia de câmp tangenţial in planul de simetrie transversal.

În acest sens sunt luate în considerare şi celelalte bobine statorice ale

polilor ce nu aparţin domeniului de calcul – vezi figura 2.9.

Fig. 2.9. Sursele câmpului statoric

Plan de simetrie transversal

Domeniuimagine Dz+

Domeniuimagine Dr+

Stator

Bobine faza A

S1

S2

Formularea problemei în regiunea magneţilor permanenţi se poate face

atât în potenţial magnetic scalar total cât şi în potenţial redus. Deoarece magneţii

sunt înconjuraţi în mare parte de piese feromagnetice, cu permeabilitate ridicată

s-a ales formularea în potenţial total, identică cu cea din domeniile vecine, pentru

a se evita condiţiile de trecere suplimentare.

În urma discretizării s-a obţinut un număr de 152 085 de noduri şi de

512 937 elemente de ordinul I.

Timpul de rezolvare al unei probleme neliniare a fost de 12 minute pe un calculator cu procesor INTEL CORE 2 DUO 2 GHz cu 2 Gb de RAM.

3. Rezultate obţinute.

Pentru modelul experimental considerat s-a rezolvat problema de câmp

electromagnetic folosind programul profesional FLUX3D. S-au rezolvat probleme

de câmp în regim magnetostatic, în regim magnetic staţionar şi în regim

magnetic evolutiv.

S-a realizat structura unui modul, considerându-se geometria complectă –

vezi figura 3.1 şi geometria unei perechi de poli magnetici – vezi figura 3.2.

În realizarea reţelei de discretizare s-a urmărit obţinerea unei reţele de

discretizare cât mai fină în zona de întrefier, polilor gheară, magnet, şi dinţii

statorici.

Fig. 3.1 Reţeaua de discretizare pentru un modul,cu considerarea geometriei complecte.

Fig. 3.2 Reţeaua de discretizare pentru un modul, cu considerarea geometriei unei singure perechi de poli magnetici

3.1 Rezultate obţinute prin rezolvarea problemei de câmp în regim magnetostatic.

Rezulte obţinute din program sunt hărţile inducţiei din maşina, traseul

liniilor de câmp şi analiza formei câmpului magnetic din întrefier în ipoteza

absenţei reacţiei indusului.

În figura 3.3 este prezentată harta inducţiei magnetice pentru stator, în

figura 3.4 este prezentată harta inducţiei magnetice şi traseul liniilor de cîmp

pentru rotor, iar în figura 3.5 este prezentată harta inducţiei magnetice pentru

ansamblul modulului.

Fig. 3.3 Harta inducţiei magnetice pentru ansamblul stator.

Fig. 3.4 Harta inducţiei magnetice şi sensul liniilor de câmppentru un modul al ansamblului rotor.

Fig. 3.5 Harta inducţiei magnetice pentru întregul modul.

Similar, în figurile 3.6 şi 3.7 se prezintă hărţile inducţiei magnetice şi sensul

liniilor de câmp pentru geometria corespunzătoare pentru doi poli magnetici.

Fig. 3.6 Harta inducţiei magnetice pentru doi poli magnetici.

Fig. 3.7 Harta inducţiei magnetice şi sensul liniilor de câmp pentru doi poli magnetici.

Din hărţile prezentate mai sus se observă ca valorile inducţiei magnetice

sunt mai mari la baza polilor gheară unde apare si o saturare a oţelului şi mai

mici spre vârful ghearei.

Pentru determinarea valorilor inducţiei în întrefierul maşini s-a considerat

o suprafaţă circulară la jumătatea întrefierului. În forma inducţiei reprezentată în

figura 3.8 se observă influenţa crestăturilor.

În figura 3.9 este prezentată analiza armonică a inducţiei magnetice din

întrefier determinată numai de sistemul magneţilor permanenţi. Se remarcă

mărimea importantă a armonicilor de ordin 3,5,7,9, 13 şi 17.

(a)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Numarul de puncte in intrefier

B[T

]

(b)

Fig. 3.8 Forma inducţiei magnetice din întrefier.a) forma inducţiei pe cele trei axe;b) forma inducţiei compuse.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 3.9. Armonicile spaţiale ale inducţiei magnetice din întrefier.

Prin aceeaşi metodă s-a determinat şi inducţia obţinută în zona centrală a

dinţilor statorici – vezi figura 3.10.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Numarul de puncte pe lungimea cercului

B[T

]

Fig. 3.10. Forma inducţiei compuse în dinţi statorici.

Concluzii interesante privind construcţia adoptată se pot obţine şi din

analiza curbei de variaţie a inducţiei magnetice pe o pereche de poli – vezi figura

3.11, respectiv pe lungimea unei gheare – vezi figura 3.12.

22 34 46 58 70 82 94 106-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Numarul de puncte in intrefier

B[T

]

Fig. 3.11 Forma inducţiei magnetice pe o pereche de poli.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.5

1

1.5

B[T

]

Fig. 3.12 Forma inducţiei magnetice pe lungimea unui pol gheară.

În cazul generatoarelor care au inductorul obţinut prin alăturarea a mai

multor module cu magneţi permanenţi şi poli în gheară, prin reprezentare hărţii

de inducţie se pune în evidenţă existenţa unei componente axiale a câmpului

magnetic din miezul statoric care se închide transversal prin tolele, fig.3.13.

Aceste componente duc la o variaţie a inducţiei magnetice în lungul unui pol

inductor, fig. 3.14, fenomen pus în evidenţă si de variaţia spaţială a componentei

normale a inducţiei magnetice la nivelul intrefierului, fig. 3.15.

Fig. 3.13. Harta inducţiei în jumătatea superioară a miezul statoric

al generatorului cu 8 module

Fig. 3.14.a Harta inducţiei în jumătatea superioară a miezului rotorical generatorului cu 8 module

Fig. 3.14.b Harta inducţiei în jumătatea superioară a miezului rotorical generatorului cu 8 module

Fig. 3.16 Diagrama fazorială a maşinii sincrone cu poli aparenţi

E 0

E r

I

U b

R I

Iq

Id

jX qIq

jX dId

e

a

r

Fig. 3.15. Componenta normală a inducţiei câmpului inductor la nivelul întrefierului

3.2. Rezultate obţinute prin rezolvarea problemei de câmp în regim magnetic staţionar.

Pentru studiul funcţionării în

sarcină se admite o variaţie sinusoidală

a curenţilor din indusul maşinii. În

rezolvarea numerică a problemei de

câmp, componenta câmpului magnetic

furnizat de aceştia este determinată cu

ajutorul relaţiei Biot-Savart-Laplace.

Din diagrama de fazori a

generatorului sincron cu poli aparenţi, în

cazul funcţionării în sarcină, fig. 3.16,

rezultă că un punct de funcţionare este

unic determinat în situaţia cunoaşterii

curentului, a vectorului I, a tensiunii E0 indusă de câmpul inductor şi a

defazajului, dintre vectorii I şi E0. În fluxul total al bobinei r, care induce

tensiunea electromotoare Er, la funcţionarea în sarcină este inclus şi fluxul de

dispersie. Cu Xd şi Xq s-au notat reactanţele sincrone longitudinală şi, respectiv,

transversală.

Valorile curenţilor din indus calculate cu relaţiile (3.1), sunt impuse de

momentul de timp ales, t, de pulsaţia şi de defazajul determinat de poziţia

relativă dintre câmpurile produse de cele două armături:

. (3.1)

Pentru rezolvarea problemei de câmp în regim magnetostatic s-a

considerat un curent de fază maxim de 10 A care parcurge înfăşurarea trifazată

din stator. Pentru aceasta s-a realizat în geometria corespunzătoare unui singure

perechi de polii o înfăşurare trifazată unde s-au respectat condiţiile de simetrie şi

periodicitate precum şi caracteristicile înfăşurările stabilite în proiectare (pas 1-4,

numarul de conductoare/ bobina=8, secţiune=0,9 mm, etc) – vezi figura 3.13.

Fig. 3.17. Geometria pentru o pereche de polii rotorici şi înfăşurare trifazată pe stator.

Rezultatele studiului s-au concretizat în obţinerea unei hărţi a inducţiei

magnetice pentru o pereche de poli – vezi figura 3.14, precum şi a curbei de

variaţie spaţială a inducţiei magnetice din întrefier – vezi figura 3.15.

Fig. 3.18. Harta inducţiei magnetice şi liniile de câmp pentru o pereche de polii,

pentru un curent de fază prin indus de 10 A.

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Numarul de puncte in intrefier

B[T

]

Fig 3.19 Forma inducţiei pentru o pereche de poli magnetici,

pentru un curent de fază prin indus de 10 A.

Fig. 3.20. Componenta normală a inducţiei câmpului rezultantnivelul întrefierului la funcţionarea în sarcină RL

În fig. 3.20 este prezentată distribuţia spaţială a inducţiei magnetice la

nivelul intrefierului la funcţionarea în sarcină RL, pentru un defazaj spaţial de 60

de grade intre axele câmpurilor magnetice ale celor două armături.

Pe aceleaşi grafice fig. 3.21 sunt ilustrate variaţia spaţială a componentei

normale a câmpului inductor şi a câmpului rezultant la funcţionarea în sarcină din

dreptul zonelor de contact dintre modulele rotorului.

a. b.

c. d.

e.

Fig. 3.21 Variaţia Inducţiei în întrefier în

gol şi în sarcină RL in diferite zone ale

intrefierului

3.3. Rezultate obţinute prin rezolvarea problemei de câmp în regim magnetic evolutiv

Pentru determinarea tensiunii electromotoare trebuie considerată

deplasarea unei armaturi în raport cu cealaltă. Acest lucru se poate face intr-o

problemă de regim tranzitoriu sau printr-o serie de probleme de regim

magnetostatic sau magnetic staţionar. Pentru fiecare poziţie a rotorului de

determină fluxurile bobinelor, iar apoi pe baza schemei înfăşurării se calculează

fluxurile fiecărei faze. Prin derivarea fluxurilor se determină tensiunile induse.

Fig. 3.22. Suprafaţa utilizate pentru determinarea fluxului unei bobine

Calculul fluxului fascicular al unei bobine se face prin considerarea unei

suprafeţe mărginite cu contur închise, definită de axele de simetrie ale laturilor

bobinei, fig.3.22. Suprafeţele Sk sunt divizată într-o reţea uniformă de mSk

elemente curbe rectangulare. Astfel integralele se vor calcula ca sume ale

produselor dintre componenta normală pe suprafaţa Sk a inducţiei magnetice, ,

calculate în centrul geometric al elementului de suprafaţă rectangular, m, şi aria

a acestuia:

. (3.2)

Dacă rotorul se mişcă cu viteza constantă tensiunea electromotoare

indusă în înfăşurarea unei faze a statorului este dată de:

, (3.3)

unde reprezintă fluxul total al fazei respective, iar p numărul de perechi de

poli.

La curent de sarcină constant valoarea tensiunii electromotoare ek, la

momentul de timp tk = k /  când rotorul se află în poziţia k, se calculează

cu diferenţe finite centrate:

, (3.4)

unde 2 reprezintă deplasarea unghiulară relativă a rotorului între poziţiile k-1

şi k+1.

Calculele s-au realizat considerând o deplasarea unghiulară a rotorului

cu pasul  = 0.5 grd.

a. Funcţionarea în golPrin rezolvarea unui şir de probleme pentru diferite poziţii ale rotorului în

intervalul corespunzător unei perechi de poli, fig. 3.23, s-a determinat variaţia

fluxului in funcţie de poziţia rotorului. În fig. 3.24. este ilustrată evoluţia fluxului

unei faze pentru o turaţie constantă de 500 rot/min în absenţa curenţilor din

indus.

a. poziţia iniţială b. poziţia finală

Fig.3.23. Deplasarea rotorului în intervalul unui unei perechi de poli

a. Variaţia în timp b. Analiza armonică

Fig.3.24 Fluxul de fază la funcţionarea în gol

a. Variaţia în timp

b. Analiza armonică

Fig.3.25 Tensiunea de fază la funcţionarea în gol

Curba tensiunii induse la funcţionarea în gol, Fig. 3.25, s-a obţinut prin

derivare numerică a fluxului cu ajutorul relaţiei (3.4). Ponderea armonicii 5 este

importantă (20%) deoarece înfăşurarea este realizată cu o crestătură pe pol şi

fază, q=1 şi pentru că în modelul numeric nu s-a ţinut cont de înclinarea

crestăturilor indusului.

Prin prelucrarea soluţiei problemei de câmp pentru fiecare poziţie

succesiva a rotorului s-a determinat cuplul de prindere magnetică (cogging

torque), specific maşinilor cu magneţi permanenţi fig.3.26. Cuplul s-a calculat cu

metoda lucrului mecanic virtual.

Fig. 3.26 Cuplul de prindere magnetică

b. Funcţionarea în sarcinăAnaliza funcţionării în sarcină s-a făcut considerând un curent sinusoidal

în indus, de amplitudine Imax= A, care produce un câmp de reacţie

demagnetizant defazat spaţial cu 60 de grade faţă de câmpul inductor.

Variaţia in timp şi analiza armonică a fluxului rezultant pentru o turaţie de

500/rot/mi sunt prezentate în fig. 3.27.

a. Variaţia în timp b. Analiza armonică

Fig.3.27 Fluxul de fază la funcţionarea în sarcină RL

a.

Variaţia în timp

b.

Analiza armonică

Fig.3.28 Tensiunea de fază la funcţionarea în gol

În curba tensiunii induse de câmpul rezultant la funcţionare în sarcină se

observă efectul demagnetizant al sarcini, fig.3.28. Faţă de gol se observă o

creştere a armonici de ordin 3 şi de ordin 7.

Fig. 3.29 Cuplul rezistent

Oscilaţiile semnificative care apar în curba cuplului rezistent, Fig.3.29,

sunt date de armonicile de dantură. Acestea se pot diminua dacă în modelul

numeric se consideră înclinarea crestăturilor

4. Bibliografie.

[1] Melcescu L., Contribuţii la studiul câmpului magnetic în maşinile sincrone cu magneţi permanenţi, teză de doctorat, Univ. POLITEHNICA Bucureşti, 2006;

[2] Florin Jurca, Claudia Martis, , Biro Karoly, Oprea Claudiu, - Claw-Poles Machines in the Power Systems based on Renewable Resources.- International PCIM Europe 2006, Nurnberg, Germania, pe CD, mai 2006

[3] Florin Jurca, Claudia Martis, Cosmina Nicula, Biro Karoly-Magnetic field analysis in a claw-pole synchronous generator for wind conversion syste, MICROCAD-2007, în curs de publicare

[4].Silvester P. P. – Finite elements for electrical engineers, Cambridge University Press, 1990

[5] CEDRAT Recherche: Modélisation des phénomènes électromagnétiques par la méthode des éléments finis, -1995 ;

[6] E, Spooner., A, Williamson –Modular, permanent-magnet wind-turbine generators-Industry Aplication Conference, 1996, Confernce Record of the 1996 IEEE, Pages; 497-502.vol1.

[7] Ostovic V., Miller J. M., Garg V. K., Schiltz R. D., Swales S. H., A Magnetic Equivalent Circuit Based Performance Computation of a Lundell Alternator , IEEE Trans. Ind. Applicat., Vol. 35, N0. 4, 1999, pag. 825-829;

[8] Demerdash N. A., Wang R., R. Secunde, Three Dimensional Magnetic Field in Extra High Apeed Modified Lundell Alternators Computed by a Combined Vector-Scalar Magnetic Potential Finite Element Method, IEEE Trans. Energy Conversion, Vol. 7, N0. 4, 1999, pag. 353-362;

[9] Wang R., Demerdash N. A., Computation of Load Performance and Other Parameters of Extra High Apeed Modified Lundell Alternators from 3D-FE Magnetic Field Solution, IEEE Trans. Energy Conversion, Vol. 7, N0. 4, 1999, pag. 342-352;

[10] CEDRAT Flux 3D User’s GUIDE