An1 Sem1 Algebra Probleme

LORENA TUFAN

ALGEBRĂ CULEGERE DE PROBLEME

Ediţia a II-a

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României TUFAN LORENA

Algebră: culegere de probleme. / Lorena Tufan. - Ed. a 2-a. – Bucureşti, Editura Fundaţiei România de Mâine, 2005

132 p.; 20,5 cm Bibliogr. ISBN 973-725-475-9

512(075.8)(076)

© Editura Fundaţiei România de Mâine, 2006

UNIVERSITATEA SPIRU HARET FACULTATEA DE MATEMATICĂ-INFORMATICĂ

LORENA TUFAN

ALGEBRĂ CULEGERE DE PROBLEME

Ediţia a II-a

EDITURA FUNDAŢIEI „ROMÂNIA DE MÂINE”

Bucureşti, 2006

129

C U P R I N S

Prefaţă .............................................................................................................. 5 INTRODUCERE ....................................................................................... 7 Capitolul I. MONOIZI .................................................................. 9 I.1. Monoizi ................................................................ 9 Exerciţii rezolvate .................................................. 9 Exerciţii propuse spre rezolvare ........................... 11 I. 2. Morfisme de monoizi .......................................... 12 Exerciţii rezolvate ................................................. 12 Exerciţii propuse spre rezolvare ...................... 14 Capitolul II. GRUPURI ...................................................................... 16 II. 1. Grupuri ................................................................. 16 Exerciţii rezolvate ................................................... 16 Exerciţii propuse spre rezolvare ........................... 17 II.2. Morfisme de grupuri ............................................... 18 Exerciţii rezolvate .................................................. 18 Exerciţii propuse spre rezolvare ........................ 21 II.3. Subgrupuri ............................................................ 22 Exerciţii rezolvate ................................................. 23 Exerciţii propuse spre rezolvare .......................... 25 II.4. Grupuri finit generate şi grupuri ciclice ........... 27 Exerciţii rezolvate ................................................. 27 Exerciţii propuse spre rezolvare ......................... 30 II.5. Relaţii de echivalenţă pe o mulţime ................ 31 Exerciţii rezolvate ................................................. 32 Exerciţii propuse spre rezolvare ....................... 36

130

II. 6. Relaţii de echivalenţă pe un grup, grup factor, subgrupuri normale ale unui grup ..........................

37

Exerciţii rezolvate .................................................... 39 Exerciţii propuse spre rezolvare .......................... 45 II.7. Teoreme de izomorfism pentru grupuri ........... 46 Exerciţii rezolvate ................................................... 47 Exerciţii propuse spre rezolvare ......................... 50 II.8. Grupului Sn al permutărilor cu n elemente ....... 50 Exerciţii rezolvate .................................................... 51 Exerciţii propuse spre rezolvare ........................... 54 Capitolul III. INELE ............................................................................. 56 III.1. Inele, subinele, ideale, inele factor .................. 56 Exerciţii rezolvate .................................................. 58 Exerciţii propuse spre rezolvare ....................... 60 III.2. Ideale prime şi ideale maximale ale unui inel 62 Exerciţii rezolvate .................................................. 62 Exerciţii propuse spre rezolvare .......................... 64 III.3. Inele de fracţii. Corpul de fracţii al unui inel

integru ...............................................................................

64 Exerciţii rezolvate ................................................... 67 Exerciţii propuse spre rezolvare .......................... 71 III.4. Algebra polinoamelor într-o nedeterminată .... 71 Teorema de universalitate a inelului de

polinoame într-o nedeterminată ..........................

72 Exerciţii rezolvate ................................................... 73 Exerciţii propuse spre rezolvare .......................... 78 III.5. Inelul polinoamelor într-un număr finit de

nedeterminate. Polinoame simetrice .......................

79 Exerciţii rezolvate ................................................... 82 Exerciţii propuse spre rezolvare ........................ 85 Capitolul IV. SPAŢII VECTORIALE ............................................. 87 Exerciţii rezolvate ................................................... 89 Exerciţii propuse spre rezolvare ........................ 94

131

Capitolul V. DETERMINAŢI, INVERSA UNEI MATRICE, RANGUL UNEI MATRICE, SISTEME DE ECUAŢII LINIARE ......................

97 V.1. Determinanţi ........................................................ 97 V.2. Inversa unei matrice ......................................... 97 V.3. Rangul unei matrice .......................................... 98 V.4. Sisteme de ecuaţii liniare cu coeficienţi

într-un corp comutativ ................................................

98 V.5. Lema substituţiei ................................................. 100 Exerciţii rezolvate ................................................... 100 Exerciţii propuse spre rezolvare ......................... 106 Capitolul V I. PROPRIETĂŢI ARITMETICE ALE INELELOR.

INELE EUCLIDIENE. INELE PRINCIPALE. INELE FACTORIALE. FACTORIALITATEA INELELOR DE POLINOAME ..............................................................

110

VI.1. Proprietăţi aritmetice ale inelelor .................... 110 Exerciţii rezolvate .................................................... 111 Exerciţii propuse spre rezolvare ........................... 116 VI.2. Inele euclidiene, principale şi factoriale .......... 117 Exerciţii rezolvate ............................................... 118 Exerciţii propuse spre rezolvare ........................ 122 VI.3. Criterii de ireductibilitate pentru polinoame ... 123 Exerciţii rezolvate ............................................. 124 Exerciţii propuse spre rezolvare ........................ 126 SUBIECTE DATE LA EXAMENE .............................................. 127

Tehnoredactor: Marcela OLARU

Coperta: Marilena BĂLAN

Bun de tipar: 13.02.2006; Coli tipar: 8,25 Format: 16/61×86

Splaiul Independenţei, Nr. 313, Bucureşti, S. 6, O. P. 83 Tel./Fax.: 316 97 90; www.spiruharet.ro

e-mail: [email protected]

132

http://www.spiruharet.ro/

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

5

PREFAŢĂ

Prezenta lucrare este un manual auxiliar pentru cursul de algebră destinat studenţilor de la facultăţile de Matematică, dar poate fi folosită cu succes şi de profesorii de matematică din licee, de studenţii altor facultăţi, precum şi de elevii din ultimele clase de liceu.

Este structurată în şase capitole cuprinzând exerciţii judicios selecţionate pentru consolidarea cunoştinţelor studenţilor asupra principalelor structuri ale algebrei.

Fiecare capitol debutează cu un paragraf teoretic, urmat de exerciţii rezolvate şi exerciţii propuse.

Urez succes tuturor cititorilor în încercarea lor de a pătrunde tainele algebrei.

Autoarea

7

0. INTRODUCERE

0.1. Definiţie. Fiind dată o mulţime nevidă M, prin operaţie algebrică (internă) sau lege de compunere (internă) pe mulţimea M, înţelegem o funcţie f: M × M → M. Pentru x, y ∈ M, f(x, y) se numeşte, de obicei, compunerea lui x cu y prin operaţia f.

Pentru notarea unei operaţii albegrice definită pe o mulţime M se utilizează de obicei semnul + şi se scrie x + y pentru compunerea lui x cu y, operaţia fiind numită adunare, iar x + y suma elementelor x şi y, sau semnul · şi se scrie x · y pentru compunerea lui x cu y, x, y ∈ M, semn care de obicei se omite şi se scrie în mod curent xy, operaţia fiind numită în acest caz înmulţire.

În continuare vom da câteva proprietăţi ale operaţiilor algebrice cu ajutorul cărora vom defini noţiunile de monoid şi mai târziu de grup şi inel.

0.2. Definiţie. Fie M o mulţime nevidă şi f o operaţie algebrică definită pe M. Se spune că operaţia algebrică este asociativă dacă oricare ar fi elementele x, y, z ∈ M,

f(x, f(y,z)) = f(f (x, y), z) Dacă operaţia se scrie aditiv, relaţia de mai sus devine:

x + (y + z) = (x + y) + z iar dacă operaţia se scrie multiplicativ

x(yz) = (xy)z 0.3. Definiţie. Fie M o mulţime nevidă şi f o operaţie algebrică

definită pe M. Spunem că f are element neutru dacă există un element e ∈ M astfel încât

f(x, e) = f(e, x) = x pentru oricare x ∈ M .

Elementul e se numeşte element neutru pentru operaţia f.

8

0.4. Teoremă. Fie f o operaţie algebrică definită pe mulţimea nevidă M. Dacă e şi e′ sunt elemente neutre pentru f avem e = e′.

0.5. Definiţie. Fie f o operaţie algebrică cu element netru e definită pe mulţimea M şi x ∈ M. Spunem că x′ ∈ M este invers (opus) al lui x dacă există relaţiile:

f(x, x′) = f(x′, x) = e 0.6. Teoremă. Fie M o mulţime nevidă şi f o operaţie algebrică

asociativă şi cu element neutru definită pe M. Dacă x ∈ M are un element invers atunci acesta este unic.

0.7. Definiţie. Fie f o operaţie algebrică definită pe mulţimea nevidă M. Spunem că operaţia algebrică este comutativă dacă oricare ar fi elementele x, y ∈ M, avem

f(x, y) = f(y, x).

9

I. MONOIZI

I.1. Monoizi I.1.1. Definiţie. O mulţime nevidă M împreună cu o operaţie

algebrică f asociativă, definită pe M, se numeşte semigrup sau monoid. Dacă în plus operaţia algebrică are element neutru (respectiv este comutativă) se spune că (M, f) este semigrup cu unitate sau unitar (respectiv semigrup comutativ sau abelian).

Exemple. (N, +), (Z, +), (R, ·) În continuare vom prezenta câteva exerciţii rezolvate ce folosesc

noţiunile şi rezultatele introduse anterior.

Exerciţii rezolvate I. ER1.1. Fie m ∈ R. Se consideră legea de compoziţie „∗” pe R

definită prin x * y = m x + y, pentru oricare x, y ∈ M. a) Determinaţi m astfel încât legea de compoziţie „*” să fie

asociativă. b) Determinaţi m astfel încât legea de compoziţie „*” să aibe

element neutru. c) Determinaţi m astfel încât (R, *) să fie monoid comutativ şi

unitar. Rezolvare. a) Pentru ca legea de compoziţie „*” să fie asociativă

trebuie ca pentru oricare x, y, z ∈ R să avem (x * y) * z = x * (y * z)

Fie x, y, z ∈ R. Avem: (x*y)*z = (mx+y) * z = m(mx+y) +z =m2x+my+z x*(y*z) = x*(my+z) = mx+my+z

Obţinem: m2x+my+z = mx + my +z, oricare x, y, z ∈ R, adică mx(m-1) = 0, oricare x, y, z ∈ R, deci m = 0 sau m = 1.

Aşadar, pentru ca legea de compoziţie „*” să fie asociativă trebuie ca m = 0 sau m = 1.

b) Pentru ca legea de compoziţie „*” să aibe element neutru trebuie să existe e ∈ R astfel încât pentru oricare x ∈ R să avem:

e*x = x*e = x (1) Fie x ∈ R e*x = x implică me+x = x, deci me = 0. Din această

relaţie rezultă că sau m = 0 sau e = 0. Presupunem că m = 0. Pentru această valoare a lui m vom

verifica şi relaţia x*e = x

x*e = x ⇔ mx + e = x ⇔ e = x. =m 0

Am obţinut că e = x pentru orice x ∈ R. Astfel, pentru fiecare x ∈ R există câte un e = x care verifică relaţia (1), ceea ce nu este în concordaţă cu teorema 0.4.

Presupunem acum că e = 0. Pentru acestă valoare a lui e vom verifica şi relaţia x*e = x.

x*e = x ⇔ mx + e = x ⇔ mx = x. =e 0

Am obţinut că mx = x pentru oricare x ∈ R, deci x(m-1) = 0 pentru oricare x ∈ R, deci m = 1.

În concluzie, pentru ca legea „*” să aibe element neutru trebuie ca m = 1, iar elementul neutru este e = 0. Rămâne însă de verificat dacă acest element neutru, e = 0, este unic (vezi teorema 0.4). Pentru aceasta vom presupune prin absurd că mai există un e′ ∈ R, e′≠ e, astfel încât pentru oricare x ∈ R avem x* e′ = e′*x = x (2). Cum relaţia (2) este adevărată pentru orice x ∈ R înseamnă că este adevărată şi pentru x = e (=0).

Aşadar avem:

e* e′ = e ⇔=e 0

m 0 + e′ = e ⇔ e′ = e. Deci presupunerea făcută este falsă. Deci pentru ca legea de compoziţie „*” să aibe element neutru

trebuie ca m = 1, iar elementul neutru este e = 0. c) Pentru ca (R, *) să fie monoid unitar trebuie ca printre altele

legea de compoziţie „*” să fie asociativă şi să aibe element neutru. După cum am văzut la punctul a) legea „*” este asociativă pentru m = 0 sau m = 1, iar de la punctul b) ştim că legea „*” are element neutru pentru m = 1. Aşadar, pentru ca legea „*” să poată fi monoid unitar trebuie ca m = 1. În aceste condiţii mai trebuie verificată pentru

10

monoidul (R, *) doar comutativitatea şi anume: pentru oricare x, y ∈ R trebuie să avem:

x*y = y*x. Fie x, y ∈ R

x*y = mx + y ==m 1

x+y

y*x = my+x ==m 1

y+x =x+y Deci pentru oricare x, y ∈ R avem x*y = y*x. Aşadar legea

* este şi comutativă. Observaţie. În enunţul exerciţiului precedent s-a specificat încă

de la început că „*” este o lege de compoziţie. Dacă acest lucru nu ar fi apărut în enunţul exerciţiului, atunci faptul că „*” este lege de compoziţie trebuie verificat de către rezolvitor, folosind definiţia 0.1.

Exerciţii propuse spre rezolvare

I.E.1.1) Să se arate că următoarele operaţii algebrice definite pe

Z sunt asociative: a bo = a + b - ab a*b = a + b + ab I.E.1.2) Să se determine a, b ∈ R astfel încât legea de compoziţie

„*” pe R definită prin x*y = xy + 2a x + by să determine pe R o structură de monoid comutativ.

I.E.1.3) Fie a, b, c ∈Z, b ≠ 0. Definim pe Z următoarea operaţie: x*y = axy + b(x + y) + c.

Să se arate că: a) (Z,*) este semigrup dacă şi numai dacă b = b2- ac b) (Z,*) este semigrup unitar dacă şi numai dacă b = b2- ac şi b

divide c. I.E.1.4) Pe mulţimea

M = {(a, b) ∈ Z×Z ⎜ (a,b) = 1} se defineşte operaţia:

(a,b) *(c,d) = (ac, bc+ad). Să se arate că (M,*) este semigrup comutativ şi unitar. I.E.1.5) Definim pe mulţimea N×N legea de compoziţie:

(i, j) (k,l) = (i+k, 2kj+l) 11

Să se arate că această lege de compoziţie determină pe mulţimea N×N o structură de semigrup comutativ şi unitar.

I. 2. Morfisme de monoizi I.2.1. Definiţie. Fie (S,*) şi (S′,⊥) două semigrupuri. O funcţie f:

S → S′ se numeşte morfism de semigrupuri (sau omomorfism de semigrupuri) dacă:

f(a*b) = f(a) ⊥f(b) pentru orice două elemente a,b ∈ S.

Exemplu. Pentru oricare semigrup S funcţia identică 1S: S → S, 1S(a) = a, pentru oricare a∈ S, este un morfism de semigrupuri.

Dacă S şi S′ sunt semigrupuri unitare atunci sunt mai des utilizate morfismele de semigrupuri de la S la S′ care duc elementul unitate al lui S în elementul unitate a lui S′, numite morfisme unitare.

I.2.2. Definiţie. Un morfism de semigrupuri f: S → S′ se numeşte izomorfism de semigrupuri dacă există un morfism de semigrupuri f′: S′ → S astfel încât f′of = 1S şi fof ′= 1S′

I. 2.3. Toeremă. Un morfism de semigrupuri f: S → S′ este izomorfism de semigrupuri dacă şi numai dacă f este bijectivă.

Exerciţii rezolvate

I.ER.2.1) Determinaţi toate morfismele de monoizi de la

monoidul (N, +) la monoidul (N, ·). Rezolvare. Din definiţia I.2.1. observăm că trebuie să

determinăm toate funcţiile f: N → N cu proprietatea că pentru oricare x, y ∈ N avem

f(x+y) = f(x)f(y) (1) Astfel, pentru x=0 şi y=0 relaţia (1) devine:

f(0+0) = f(0)f(0) ⇒ f(0) = f2(0)⇒ f(0)(f(0)-1) = 0. Deci f(0) = 0 sau f(0) = 1. Vom cerceta pe rând cele două cazuri: caz 1. Presupunem că f(0) = 0. Fie x∈ N. Evident , x = x+0. Astfel:

12

f(x) = f(x+0) =(1)

f(x)·f(0) = 0 Deci f(x) = 0 pentru oricare x∈ N. Am obţinut în acest caz morfismul f: N → N definit prin f(x)=0

pentru oricare x∈ N. caz 2. Presupunem că f(0) = 1 Pentru x =1 şi y=1 relaţia (1) devine:

f(1+1) = f(1)f(1) ⇒ f(2) = ((f(1))2 Pentru x=2 şi y = 1 relaţia (1) devine:

f(2+1) = f(2)f(1) ⇒ f(3) = f2 (1)f(1) ⇒f(3)= ((f(1))3. Se poate presupune astfel că pentru oricare n∈ N avem f(n)

= ((f(1))n. Această afirmaţie trebuie însă demonstrată prin inducţie. Cum etapa de verificare a fost făcută mai sus pentru n=2 şi n=3, iar pentru n=1 este evidentă, lăsăm ca exerciţiu cititorului etapa de demonstraţie.

Aşadar, în acest caz am obţinut că morfismele de monoizi de la (N,+) la (N, ·) sunt aplicaţiile f: N → N cu proprietatea că pentru oricare x ∈ N, f(x) = (f(1))x. După cum se poate observa f(1) nu se poate determina efectiv. Astfel f(1) poate lua practic orice valoare din N, pentru diferite valori ale lui f(1) obţinându-se diferite morfisme. De exemmplu, pentru f(1) = 3 obţinem morfismul f: N → N, f(x) = 3x, pentru f(1) = 12 obţinem morfismul f: N → N, f(x) = 12x.

Aşadar morfismele de monoizi de la (N,+) la (N, ·) sunt: f: N → N, f(x) = 0 pentru oricare x ∈ N. f: N → N, f(x) = ax pentru a ∈ N şi pentru oricare x ∈ N. I. E.R.2.2) Determinaţi toate morfismele de monoizi de la (N*, ·)

la (N,+). Rezolvare. Din definiţia I.2.1. observăm că trebuie să

determinăm toate funcţiile f: N → N au proprietatea că pentru oricare x, y ∈ N avem

f(xy) = f(x) + f(y) (1) Astfel, pentru x = 1 şi y = 1 relaţia (1) devine:

f(1·1) = f(1) + f(1) ⇒ f(1) = 2f(1) ⇒ f(1) = 0. Pentru x = p şi y = p, p număr prim, relaţia (1) devine:

f(p.p) = f(p) + f(p) ⇒ f(p2) = 2f(p) Pentru x = p şi y = p2, p număr prim, relaţia (1) devine:

13

f(p· p2) = f(p) + f(p2) ⇒ f(p3) = 3f(p) Se poate presupune astfel că pentru oricare p ∈ N, p număr prim

şi pentru oricare α ∈ N* avem f(pα) = αf(p). Această afirmaţie trebuie însă demonstrată prin inducţie. Cum etapa de verificarea a fost făcută mai sus pentru n = 2 şi n = 3, iar pentru n = 1 este evidentă, lăsăm ca exerciţiu cititorului etapa de demonstraţie.

În acest moment se pune întrebarea firească: cum vom proceda pentru elementele din N* care nu sunt prime. Ştim însă că orice număr natural se descompune în mod unic într-un produs de numere prime. Astfel, fie n ∈ N* şi n = p p , p1, ..., pk prime, descompunerea în factori primi a lui n.

pkk

1 21 2α α αK

f(n) = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f p p p f p f p f p f pk k

k k

1 2 1 1 11 2 1α α α α α α αK L L= + + = + + k k

Rezultă: f(n) = α1f(p1) + α2f(p2) + ...+ αkf(pk).

Aşadar, pentru a putea defini f(n) pentru n ∈ N* oarecare, este suficient să determinăm f(p) pentru fiecare număr prim p. Însă f(p) nu se pot determina efectiv. Pentru fiecare număr prim p, f(p) poate lua practic orice valoare din N*. Vom nota f(pi) = ai, pentru pi număr prim, iar morfismele căutate vor fi de forma:

f: N → N, f(n) = ( )f p p pkk

1 21 2α α αK = α1a1 + α2a2 + ...+ αkak.

De exemplu, pentru n = 84 f(84) = f(22⋅3⋅7) = 2a1+ a2+ a4

deoarece f(2) = a1, f(3) = a2, f(5) = a3, f(7) = a4 etc.


I.E.2.1) Arătaţi că funcţia f: N → N, f(x) = 5x pentru oricare x ∈ N, este morfism de monoizi de la (N,+) la (N, ·).

I.E.2.2) Arătaţi că aplicaţia f: Z → C*,

( )f kk

ni

k

n= +cos sin

2 2π π pentru orice k ∈ Z, este morfism

monoizi de la (Z,+) la (C*, ·). I.E.2.3) Determinaţi toate morfismele de monoizi de la (Z*, ·) la

(N,+).

14

15

I.E.2.4) Determinaţi toate morfismele de monoizi de la (N,+) la (N,+).

I.E.2.5) Determinaţi toate morfismele de monoizi de la (Z,+) la (Z,+).

II. GRUPURI

II. 1. Grupuri II.1.1. Definiţie. O mulţime G împreună cu o operaţie algebrică

definită pe G se numeşte grup dacă operaţia algebrică este asociativă, admite element neutru şi orice element din G este inversabil. Dacă operaţia algebrică este în plus şi comutativă atunci spunem că grupul este comutativ sau abelian.

Exemple: (R,+), (C*, ·), (R*, ·).

Exerciţii rezolvate Vom relua exerciţiul I.ER.1.1. însă acum într-un alt context. II.ER.1.1) Fie m∈ R. Se consideră legea de compoziţie „*” pe R

definită prin x*y = mx+y, pentru oricare x, y ∈ R. Determinaţi m astfel încât (R, *) să fie grup abelian.

Rezolvare. Pentru ca (R, *) să fie grup abelian trebuie ca, printre altele, legea de compoziţie „*” să fie asociativă şi să aibă element neutru. După cum am văzut în I.ER.1.1. acestea au loc pentru m = 1, iar elementul neutru este e = 0. Aşadar, pentru m = 1 mai trebuie verificată pentru legea „*” doar comutativitatea şi existenţa elementului simetric. Cum comutativitatea a fost însă prezentată pe larg în I.E.1.1 - c), vom verifica în continuare doar existenţa elementului simetric.

Astfel, conform definiţiei 0.5, trebuie ca pentru oricare x ∈ R să existe ′ ∈x R astfel încât

x* ′x = ′x *x = e (1) Fie x ∈ R. Cum x* ′x = x + ′x , iar din relaţia (1) avem x* ′x = e,

rezultă că x + ′x = e. Dar cum e = 0 obţinem că x + ′x = 0, deci ′x = -x.

Deci, pentru oricare x ∈ R, există ′ ∈x R, ′x = -x, astfel încât x* ′x = e. Evident, ′x *x = e (deoarece legea „*” este comutativă, deci x* ′x = ′x *x).


16

II.E.1.1) Fie M2(R) mulţimea matricilor cu două linii şi două coloane şi elemente din R. Notăm

( )G = U R Ua b

b aa b R∈ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

M2 , ,

Arătaţi că mulţimea G împreună cu operaţia obişnuită de înmulţire a matricilor formează un grup.

II.E.1.2) Fie G = (-1, 1) şi (x, y) → x*y =++

def x y

xy1 .

Arătaţi că (G, *) este un grup abelian. II.E.1.3) Fie mulţimea Z[i] = {a+bi ⎢a, b ∈ Z şi i2 = -1}. Evident

Z[i] este o submulţime a mulţimii numerelor complexe. Mulţimea Z[i] împreună cu operaţia obişnuită de înmulţire a numerelor complexe este un grup abelian? În caz negativ determinaţi elementele sale simetrice.

II.E.1.4) Fie ε∈ C, ε = − +1

2

3

2i şi mulţimea G = {1, ε, ε2},

G ⊆ C. Arătaţi că mulţimea G împreună cu operaţia obişnuită de înmulţire a numerelor complexe formează un grup abelian şi specificaţi simetricul fiecărui element în parte.

II.E.1.5) Fie G1 şi G2 două grupuri. Considerăm mulţimea G = G1 × G2 ={(a,b) ⎜a∈ G1 şi b∈ G2 },

produsul cartezian al mulţimilor G1 şi G2. Introducem pe mulţimea G operaţia algebrică definită astfel

( )( ) ( )a b a b aa bb, , ,′ ′ = ′ ′ pentru oricare a a G, ′ ∈ 1 şi oricare b b . Operaţia este în mod natural dedusă din operaţiile grupurilor G1 şi G2.

G, ′ ∈ 2

Arătaţi că mulţimea G împreună cu această operaţie formează un grup.

II.2. Morfisme de grupuri

17

II.2.1. Definiţie. Fie (G, *) şi ( ′G ,⊥) două grupuri. O funcţie f: G → ′G se numeşte morfism de grupuri de la G la ′G dacă pentru oricare x, y ∈ G are loc relaţia:

f(x*y) = f(x) ⊥ f(y) II.2.2. Definiţie. Fie (G, *) şi ( ′G , ⊥) două grupuri. Un morfism

de grupuri f: G → ′G se numeşte izomorfism de grupuri dacă există morfism de grupuri ′f : ′G → G astfel încât fo ′f = şi G1 ′ ′f of = . G1

II.2.3. Teoremă. Fie (G, *) şi ( ′G , ⊥) două grupuri. . Un morfism de grupuri f: G → ′G este izomorfism de grupuri dacă şi numai dacă f este bijectivă.

II.2.4. Lemă. Fie (G, *) şi ( ′G , ⊥) două grupuri şi f: G → ′G un morfism de grupuri de la G la ′G . Notăm cu e elementul neutru al grupului G şi cu ′e elementul neutru al grupului ′G . Atunci:

1) f(e) = ′e 2) pentru oricare x ∈ G, f(x-1) = (f(x))-1 II.2.5. Observaţie. Fie G şi ′G două grupuri izomorfe (notăm

G ≅ ′G ). Atunci orice proprietate din grupul G se regăseşte în grupul ′ într-o proprietate asemănătoare, şi invers. G


II.ER.2.1) Arătaţi că grupurile (Z, +) şi (Q, +) nu sunt izomorfe. Rezolvare. Ştim că în Z ecuaţia x + x = 1, adică 2x = 1, nu are

soluţii. Dacă ar exista un izomorfism de grupuri f: Z → Q atunci rezultă că ecuaţia y + y = f(1), adică 2y = f(1) are o soluţie b ∈ Q. Rezultă 2b = f(1), deci 2f--1(b) = 1. Aşadar, ecuaţia 2x = 1 ar avea în Z soluţia f--1(b)!

Concluzionăm: grupurile (Z, +) şi (Q, +) nu sunt izomorfe deoarece ecuaţia 2x = 1 are soluţie în Q şi nu are soluţie în Z.

II.ER.2.2) Fie G = (-2, 2) şi legea de compoziţie „*” pe G definită astfel:

x yx y

xy∗ =

++

4

4

( )

a) Arătaţi că (G, *) este un grup.

18

b) Arătaţi că are loc izomorfismul de grupuri ((0; +∞), •) ≅ (G,*). Rezolvare. Punctul a) îl vom lăsa ca exerciţiu cititorului.

Specificăm doar că elementul neutru al acestei legi este e = 0. b) Pentru a demonstra că grupurile (0; +∞), •) şi (G, *) sunt

izomorfe trebuie să determinăm o funcţie f: (0; +∞) → G, adică f: (0; +∞) → (-2, 2), astfel încât f să fie morfism de grupuri şi funcţie bijectivă. Se pune însă întrebarea cum vom determina această funcţie. Vom da funcţiei următoarea formă:

f: (0; +∞) → (-2, 2), f xax b

cx d( ) =

++

unde a, b, c, d sunt constante reale pe care le vom determina. Pentru a determina aceste constante vom pune funcţiei mai sus definite următoarele condiţii:

( )

( )

( )

( )

1

0 2

2

1 0

limx

f

f x

f

= −=

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪ →∞

19

(această condiţie provine din lema II.2.4.) Astfel avem:

f(0) = -2 ⇔ b

d = -2 ⇔ b = -2d

( )

( )

limx

f xa

ca c

fa b

c da b a b

→∞= ⇔ = ⇔ =

= ⇔++

= ⇔ + = ⇔ = −

2 2 2

1 0 0 0

Aşadar, relaţiile (1) devin:

(2) b d

a c

a b

= −== −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2

2

Din relaţiile (2) obţinem: a = 2d, b = -2d, c = d. Cu aceste condiţii funcţia devine:

f: (0; +∞) → (-2, 2), ( )f xdx d

dx d=

−+

2 2 ,

deci f: (0; +∞) → (-2, 2), ( )f xx

x=

−+

2 2

1. Lăsăm cititorului să verifice

că această funcţie este morfism de grupuri şi că este bijectivă. Aşadar, ((0; +∞), •) ≅ (G, *).

II.ER.2.3) Fie m, n ∈ N*\{1}, m şi n prime între ele. Considerăm grupurile (Zmn, +), (Zm, +) şi (Zn, +). Pentru un element oarecare a ∈ Z notăm clasa elementului a din Zmn, $a a clasa elementului a din Zm şi a clasa elementului a din Zn.

Considerăm e as menea şi mulţimead e

( ){ }nmnm Zb şi Zab,aZZ ∈∈=×

împreună cu operaţia algebrică definită pe Z Zm n× :

( ) ( ) ( )bb,aab,ab,a ′+′+=′′+ Z Zm n împreună cu această operaţie algebrică formează un

grup (vezi II.E.1.5). ×

Arătaţi că grupul (Zmn, +), este izomorf cu grupul Z Zm n× împreună cu operaţia algebrică introdusă anterior.

Rezolvare. Pentru a arăta că cele două grupuri sunt izomorfe trebuie să găsimm o funcţie f: Zmn→ care să fie morfism de grupuri şi să fie bijectivă.

Z Zm × n

Definim f: Zmn→ Z Zm n× , f( ) = ($a a ,a ), pentru oricare ∈ Zmn. Lăsăm cititorului să verifice că f este un morfism de grupuri. Ne vom rezuma la a demonstra doar bijectivitatea funcţiei f.

$a

Demonstrăm mai întâi că f este injectivă, adică arătăm că pentru oricare , ∈ Zmn pentru care f( ) = f( ) să rezulte = . Fie , ∈ Zmn astfel încât f( ) = f( ).

$a $b $a $b $a $b $a$b $a $b

f( ) = f( ) ⇒ ($a $b a ,a ) = ( )b b,( )( )⇒

==

⎧⎨⎩

⇒−−

⎧⎨⎩

a b

a b

m a b

n a b

Cum (m,n) = 1 obţinem că mn│ (a - b), deci = . $a $b

20

Demonstrăm acum că f este surjectivă, adică arătăm că pentru oricare ( )x y, ∈ ×Z Zm n , există ∈ Zmn astfel încât f( ) = $a $a ( )x y, .

Fie ( )x y, ∈ ×Z Zm n . Căutăm ∈ Zmn astfel încât f( ) = $a $a ( )x y, . Cum (m, n) = 1 rezultă că există α, β ∈ Z astfel încât αm + βn = 1. Luăm a = αmy + βnx. Verificăm dacă f( ) = $a ( )x y, .

f( ) = $a (x y, )⇔ (a ,a ) = ( )x y, ⇔ a x

a y

==

⎧⎨⎩

⇔

( )( )

( )( )⇔

−−

⎧⎨⎩

+ −

+ −

⎧⎨⎪

⎩⎪

= +

⇔m a x

n a y

m my nx x

n my nx y

a mx nyα β α βα β

⇔

⇔ ( )[ ]

( )[ ]( )[ ]( )[ ]

m my x n

n nx y m

m my x m

n xy y x

m nα β

β α

α α

β β

α β+ −

+ −

+ −

+ −

⎧⎨⎪

⎩⎪

+ =

⇔1

1

1

ceea ce este adevărat . Deci f( ) = $a ( )x y, .

Exerciţii propuse spre rezolvare II.2.1) Fie M2(R) mulţimea matricilor cu două linii şi două

coloane şi elemente din R. Notăm

( )G U M R Ua b

b aa b R= ∈ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2 , ,

Ştiind că mulţimea G împreună cu operaţia obişnuită de înmulţire a matricilor formează un grup, arătaţi că acest grup este izomorf cu grupul (C*,•).

II.E.2.2) Fie G = (-1, 1) şi (x, y) → x yx y

xy

def

∗++= 1

. Ştiind că

(G, *) este grup, arătaţi că (R+∗ ,•) ≅ (G, *).

II.E.2.3) Fie G = (0, 1) şi (x, y) → x yxy

xy x y

def

∗− − −= 2 1

.

a) Arătaţi că (G, *) este grup

21

b) Arătaţi că (G, *) este izomorf cu (R+∗ ,•)

II.E.2.4) (Z, +) este izomorf cu (C*, •)? II.E.2.5) (R+

∗ ,•) este izomorf cu (C*, •)? II.E.2.6) (S3, °) (grupul permutărilor de ordin 3) este izomorf cu

(Z6, +)? II.E.2.7) Fie G un grup. Numim automorfism al grupului G un

izomorfism de grupuri f: G → G. a) Determinaţi toate automorfismele grupului (Z, +). b) Determinaţi toate automorfismele grupului (Q, +). II.E.2.8) Arătaţi că există izomorfismele de grupuri: Z6 ≅ Z3 × Z2; Z12 ≅ Z4 × Z3; Z15 ≅ Z5 × Z3.

II.3. Subgrupuri II.3.1. Definiţie. Fie G un grup. O submulţime M ≠ φ , M ⊆ G se

numeşte subgrup al lui G dacă operaţia algebrică a lui G induce pe M o operaţie algebrică împreună cu care M formează un grup.

II.3.2. Observaţie. Fie G un grup. O submulţime M ≠ φ , M ⊆G este subgrup al lui G dacă pentru orice x, y∈ M rezultă că x y-1 ∈ M.

II.3.3. Observaţie. Fie G şi ′G două grupuri. Subgrupurile grupului G × ′G sunt H × ′H , unde H este subgrup a lui G, iar ′H este subgrup al lui ′G . Subgrupurile normale ale grupului G × ′G sunt H × ′H , unde H este subgrup normal al lui G, iar ′H este subgrup normal

al lui ′G .

Exerciţii rezolvate II. ER.3.1) Determinaţi toate subgrupurile grupului (Z, +). Rezolvare. Fie un element oarecare a∈Z. Notăm

aZ={am ⎜ m∈Z } Cu alte cuvinte, aZ este mulţimea tuturor multiplilor întregi ai

lui a. Rezolvarea acestui exerciţiu se realizează în două etape. În

prima etapă vom arăta că pentru orice a∈Z, aZ este subgrup al lui Z, 22

iar în cea de a doua etapă vom demonstra că pentru orice subgrup M al grupului (Z,+) există un element a∈Z astfel încât M = aZ (cu alte cuvinte, vom arăta că toate subgrupurile lui (Z, +) sunt de forma aZ cu a∈Z).

Etapa I. Arătăm că pentru orice a∈Z, aZ este subgrup al grupului (Z, +).

Fie a∈Z aZ={am ⎜ m∈Z }. Pentru a demonstra că aZ este subgrup al grupului (Z, +) trebuie, conform II.3.2., să arătăm că oricare x, y ∈aZ , x-y∈aZ.

Fie x, y ∈aZ rezultă că există m1, m2 ∈Z astfel încât x = a m1 şi y = a m2. Obţinem

x-y = a m1 - a m2 = a(m1 - m2) iar m1 - m2∈Z, deoarece m1∈Z şi m2∈Z.

Deci, oricare x, y ∈aZ , x-y∈aZ. Aşadar, pentru oricare a ∈Z , aZ este subgrup al grupului (Z, +). Etapa II. Arătăm că pentru orice alt subgrup M al grupului

(Z, +) există un element a ∈Z astfel încât M = aZ. Fie M un subgrup al grupului (Z, +). Fie a cel mai mic element

pozitiv al mulţimii M. Arătăm că aZ⊆M. Fie y ∈aZ . Rezultă că există m ∈Z astfel

încât y = am, deci 4434421 Kori m de

aaay +++= . Evident y ∈M, deoarece a∈M,

iar M este subgrup al grupului (Z, +), deci suma a două elemente din M este tot în M, opusul a două elemente din M este tot în M. Ïn concluzie, aZ ⊆M(1).

Arătăm că M ⊆ aZ. Fie y∈M. Aplicăm teorema împărţirii cu rest a numerelor întregi pentru deîmpărţitul y şi împărţitorul a şi obţinem:

y = aq + r, cu q, r ∈ Z, 0 ≤ r < a. Rezultă r = y - aq. Cum a ∈ M şi M este un subgrup al lui (Z, +)

rezultă că şi -a, respectiv -aq ∈ M (deoarece q ∈ Z). Pe de altă parte y ∈ M, deci y - aq ∈ M (deoarece M este un subgrup al grupului (Z, +)). Astfel, r ∈ M. Dacă r ≠ 0, atunci afirmaţiile „r ∈ M” şi „0 < r < a” sunt în contradicţie, deoarece a a fost ales ca fiind cel mai mic element pozitiv din mulţimea M. Astfel, singura posibilitate

23

rămasă este r = 0. Aşadar, y = aq cu q ∈ Z, deci y ∈ aZ. În concluzie M ⊆ aZ. (2)

Din (1) şi (2) obţinem aZ = M, c.c.t.d. II.ER.3.2) Fie G un grup şi H1 şi H2 două subgrupuri ale sale.

Arătaţi că H1 ∩ H2 este subgrup al grupului G. Rezolvare. Pentru a arăta că H1 ∩ H2 este subgrup al grupului G,

conform II.3.2. trebuie să demonstrăm că pentru orice x, y ∈ H1 ∩ H2, obţinem xy-1 ∈ H1 ∩ H2.

Fie x, y ∈ H1 ∩ H2. Rezultă x ∈ H1 şi y ∈ H1 şi cum H1 este subgrup al grupului G, xy-1 ∈ H1, respectiv x ∈ H2 şi y ∈ H2 şi cum H2

este subgrup al grupului G, xy-1 ∈ H2. Astfel xy-1 ∈ H1 ∩ H2 c.c.t.d. II. ER.3.3) Arătaţi că reuniunea a două subgrupuri nu este

neapărat un subgrup. Rezolvare. Am văzut la exerciţiul II.ER.3.1 că subgrupurile

grupului (Z, +) sunt de forma aZ cu a ∈ Z, unde aZ = {am | m ∈ Z}

Fie 6Z şi 10Z două subgrupuri ale grupului (Z, +). 6Z ∪ 10Z= {x | x∈ Z , x = 6α sau x = 10β, α,β ∈ Z}

Fie x = 6 şi y = 10. x - y = 6 - 10 = - 4, -4 ∉6Z ∪ 10Z. Deci 6Z ∪ 10Z nu este subgrup al grupului (Z, +).

II.ER.3.4) Fie G şi ′G două grupuri şi f: G → ′G un morfism de grupuri de la G la ′G . Notăm cu ′e elementul neutru al grupului ′G .

Definim: ( ){ }

( ){ }Kerf x G f x e

f f x x G

= ∈ = ′

= ∈Im

a) Arătaţi că Kerf este subgrup al grupului G b) Arătaţi că Imf este subgrup al grupului ′G Rezolvare: a) Pentru a arăta că Kerf este subgrup la grupului G,

trebuie conform observaţiei II.3.2, să demonstrăm că pentru oricare x, y ∈ Kerf, xy-1 ∈ Kerf.

Fie x, y ∈ Kerf. Rezultă f(x) = şi f(y) = ′e ′e . Se observă că xy-1 ∈ Kerf dacă f(xy-1) = ′e . Aşadar, trebuie să demonstrăm că f(xy-1) = . ′e

f(xy-1) = f(x)f(y-1) = f(x)(f(y))-1 = ′e ( ′e )-1 = ′e

24

Deci xy-1 ∈ Kerf. b) Pentru a demonstra că Imf este subgrup la grupului ′G trebuie

să arătăm că pentru oricare u, v ∈ Imf, obţinem uv-1 ∈ Imf. Fie u, v ∈ Imf. Din modul în care a fost definit Imf rezultă că

există x ∈ G şi y ∈ G astfel încât f(x )= u şi f(y) = v. uv-1= f(x)(f(y))-1 = f(x)f(y-1) = f(xy-1)

Aşadar uv-1= f(xy-1), deci uv-1∈ Imf.

Exerciţii propuse spre rezolvare II.E3.1) Fie f: R → R o funcţie reală cu proprietatea că există cel

puţin un număr T ∈ R* astfel încât f(x + T) = f(x), pentru oricare x ∈ R (*)

Arătaţi că H, mulţimea numerelor reale T cu proprietatea (*), este un subgrup al grupului (R, +).

II.E.3.2) Fie M2(Z) mulţimea matricilor cu două linii şi două coloane şi elemente din Z. Notăm

( )H A M Z Aa

ba b Z= ∈ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2

0

0, , .

Arătaţi că H este un subgrup al grupului (M2(Z), +). II.E.3.3) Fie 3Z şi 4Z două subgrupuri ale grupului (Z, +).

Determinaţi mulţimile3Z∪4Z şi 3Z∩4Z şi verificaţi dacă acestea sunt subgrupuri ale grupului (Z, +).

II.E.3.4) Fie n ∈ N* şi mulţimea { }.1zCzU nn =∈= Arătaţi

că Un este un subgrup al grupului multiplicativ al elementelor nenule din C.

Indicaţie: { }U z C zk

ni

k

nk nn = ∈ = + ∈

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

cos sin , , , , .2 2

0 1π π

K

II.E.3.5) Fie mulţimea { }U z C zn = ∈ = 1 . a) Arătaţi că U este un subgrup al grupului multiplicativ al

elementelor nenule din C.

25

b) Fie grupurile (R, +) şi (Z, +) şi aplicaţia f: R → C*, f(x) = cos 2πx + isin 2πx.

b1) Arătaţi că f este un morfism de grupuri de la grupul (R, +) la grupul (C*, •).

b2) Determinaţi Kerf şi Imf. II.E.3.6) Fie grupurile (C*, •) şi (R, +) şi aplicaţia f: C* → R+

∗ , f(z) = ⎪z⎪

a) Arătaţi că f este un morfism de grupuri de la grupul (C*, •) la grupul (R, +).

b) Determinaţi Kerf şi Imf. II.E.3.7) Fie grupurile (C*, •) şi (U, •), unde

{ }U z C z= ∈ = 1 , şi aplicaţia f: C* → U, ( )f zz

z=

a) Arătaţi că f este un morfism de grupuri de la grupul (C*, •) la grupul (U, •).

b) Determinaţi Kerf şi Imf. II.E.3.8) Fie G şi ′G două grupuri şi f: G → ′G , un morfism de

grupuri de la grupul G la grupul ′G . Notăm cu e elementul neutru al grupului G.

a) Arătaţi că f este injectivă dacă şi numai dacă Kerf = {e}. b) Arătaţi că f este surjectivă dacă şi numai dacă Imf = ′G .

II.4. Grupuri finit generate şi grupuri ciclice II4.1. Observăm că fiind dată o submulţime E a lui G există un

cel mai mic subgrup care conţine această mulţime şi care se numeşte subgrupul generat de E. Acest subgrup se obţine intersectând toate subgrupurile lui G care conţin E. Astfel de subgrupuri există pentru că, în particular, G ⊇ E.

II4.2. Propoziţie. Fie G un grup şi E o submulţime a lui G. Atunci subgrupul ′G al lui G generat de E este format din toate produsele finite de elemente din E şi din inversele acestora.

Observaţie. Dacă legea de compoziţie a lui G este notată aditiv, atunci subgrupul ′G a lui G generat de E este format din toate sumele finite de elemente din E şi din inversele acestora.

II.4.3. Definiţie. Un grup G se numeşte de tip finit (sau finit generat) dacă există o mulţime finită de elemente din G care

26

generează pe G. Un grup generat de un singur element se numeşte grup ciclic (sau monogen).

II.4.4. Definiţie. 1) Fie G un grup. Se numeşte ordinul grupului G cardinalul mulţimii G.

2) Fie G un grup, a ∈ G şi e elementul neutru al grupului G. Se numeşte ordinul lui a cel mai mic număr natural nenul n cu proprietatea că an = e

II.4.5. Observaţie. Fie (G, •) un grup de ordin n generat de un element a ∈ G şi e elementul neutru al acestui grup. Atunci

{ }G e a a a an n= −, , , , , , .2 1K K 2) Fie (G, •) un grup de ordin infinit (adică cu un număr infinit

de elemente) generat de un element a ∈ G şi e elementul neutru al acestui grup. Atunci

{ }G e a a an= , , , , .2 K K

Exerciţii rezolvate II.ER.4.1) Arătaţi că grupul (Z, +) este ciclic. Rezolvare. (Z, +) este un grup ciclic generat de 1 sau -1,

deoarece orice element din Z se scrie ca sumă finită de 1 sau -1. De exemplu 2 ∈ Z, 2 = 1 + 1 (sau 2 = - [(-1) + (-1)]. În general, pentru un a ∈ Z oarecare, a = + + +1 1 1L1 24 34

de a-ori

(sau a = − − − −1 1 1L1 24 34de a-ori

). Deci conform

II.4.2 rezultă că (Z, +) este grup ciclic generat de 1, ceea ce se scrie Z = <1>, sau de -1, ceea ce se scrie Z = <-1>.

II.ER.4.2) Fie grupul (Z, +). Considerăm grupul ( ){ }Z Z a b a b Z× = ∈, ,

împreună cu operaţia algebrică definită astfel: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), pentru oricare a, b, c, d ∈ Z. Arătaţi că grupul Z × Z împreună cu această operaţie algebrică

nu este ciclic, dar este finit generat. Rezolvare. Presupunem prin absurd că grupul Z × Z împreună cu

operaţia algebrică definită mai sus este ciclic. Fie (a, b) ∈ Z × Z

27

generatorul acestui grup. Astfel, pentru orice element (x, y) ∈ Z × Z există m ∈ Z astfel încât (x, y) = m(a, b)

(adică (x, y) = ( ) ( )a b a b, ,+ +K1 244 344de m-ori

)

Elementul (1, 0) ∈ Z × Z şi cum (a, b) este generator al grupului Z × Z, rezultă că există m ∈ Z astfel încât (1, 0) = m(a, b). Obţinem (1, 0) = (ma, mb), deci 1 = ma şi 0 = mb. Din prima relaţie, 1 = ma, cum m, a ∈ Z obţinem (m = 1 şi a = 1) sau (m = -1, a = -1). Vom studia numai cazul (m = 1 şi a = 1), celălalt caz (m = -1, a = -1) îl propunem ca exerciţiu cititorului.

Aşadar, fie m = 1 şi a = 1. Cum 0 = mb obţinem că b = 0. Deci (a, b) = (1, 0). Dar şi (0, 1) ∈ Z × Z, deci şi pentru (0, 1) există n ∈ Z astfel încât (0, 1) = n(a, b), adică (0, 1) = n(1,0). Obţinem (0, 1) = (n, 0), deci 0 = n şi 1 = 0, ceea ce este o contradicţie.

În concluzie, presupunerea de la care am plecat este falsă, deci Z × Z nu este grup ciclic.

În continuare vom arăta că Z × Z, împreună cu legea de compoziţie considerată este grup finit generat. Observăm că oricare (a, b) ∈ Z × Z,

(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) Deci pentru oricare (a, b) ∈ Z × Z, există a ∈ Z şi b ∈ Z astfel

încât (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), aşadar orice element din mulţimea Z × Z se scrie ca sumă de (1, 0) şi (0, 1). Astfel mulţimea {(1, 0), (0, 1)} este un sistem de generatori al grupului Z × Z.

În concluzie, grupul Z × Z este finit generat. II.ER.4.3) Arătaţi că grupul (Q, +) nu este finit generat. Rezolvare. Presupunem prin absurd că grupul (Q, +) este finit

generat. Fie a

b

a

b

a

bQn

n

1

1

2

2

, , ,L ∈ un sistem finit de generatori al

grupului (Q, +). Astfel, pentru oricare a

bQ∈ există C1, C2, ..., Cn ∈ Z

astfel încât a

bC

a

bC

a

bC

a

bnn

n

= + + +11

12

2

2

L (1)

28

Fie p un număr cu proprietatea că p b1, p b2, ..., p bn.

Considerăm 1

p∈ Q. Din relaţia (1) obţinem că există C1, C2, ..., Cn ∈Z

astfel încât 1

11

12

2

2pC

a

bC

a

bC

a

bnn

n

= + + +L

Aducând această relaţie la acelaşi numitor obţinem: 1

1 2p

c

b b bn

=K

cu c∈ Z.

Astfel b1b2 ... bn =pc şi deci p⎜ b1b2 ... bn . Dar cum p este număr prim rezultă că p trebuie să dividă cel puţin un bi, ceea ce contrazice alegerea lui p (p a fost ales astfel încât p b1, p b2, ..., p bn).

Remarcă. Cititorul se întreabă probabil dacă există un număr prim p cu proprietatea că p b1, p b2, ..., p bn, mai exact dacă există un număr prim care să nu dividă un număr finit de numere întregi. Răspunsul nostru este că există un astfel de număr prim, deoarece mulţimea numerelor prime este infinită, fapt ce va fi demonstrat într-un exerciţiu din cadrul ultimului capitol al acestei lucrări.

II.ER.4.4) Arătaţi că grupurile (Q, +) şi (Z, +) nu sunt izomorfe. Rezolvare. Justificarea afirmaţiei exrciţiului este simplă: (Z, +)

este grup ciclic, deci finit generat, în timp ce (Q, +) nu este finit generat (vezi II.ER.4.3). Această demonstraţie a exerciţiului se bazează pe observaţia II.2.5., şi reprezintă un alt argument decât cel utilizat la exerciţiul II.ER.2.1), dar la fel de solid ca şi acesta.


II.E.4.1) Fie n ∈ N*\{1} şi mulţimea Un = {z ∈ C⎪zn = 1}.

Arătaţi că Un împreună cu operaţia de înmulţire a numerelor complexe formează un grup ciclic.

II.E.4.2) Grupul Z × Z împreună cu legea de compoziţie definită la exerciţiul II.ER.4.2. este izomorf cu grupul (Un, •) de la exerciţiul II.E.4.1.?

II.E.4.3) Care din următoarele grupuri sunt ciclice?

29

Z × Z20, Z4 × Z, Q × Z, Q II.E.4.4) Fie (S6, °) grupul permutărilor de ordin 6 împreună cu

operaţia algebrică de compunere a permutărilor:

a) Arătaţi că (S6, °) este grup necomutativ.

b) Fie σ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3

2 1 3 şi δ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3

3 1 2 două permutări din S6.

Arătaţi că grupul (S6, °) este generat de σ şi δ. Alte variante de enunţ ale punctului b) al acestui exerciţiu: 1) Arătaţi că grupul (S6, °) este finit generat. 2) Daţi exemplu de un grup care să nu fie ciclic, dar să aibe

exact doi generatori.

II.5. Relaţii de echivalenţă pe o mulţime II.5.1. Definiţie. Un triplet de forma (M, R, N) unde M şi N sunt

mulţimi, iar R este o submulţime a mulţimii M × N se numeşte corespondenţă între mulţimea M şi mulţimea N.

Exemplu. Fie M, N două mulţimi şi f: M → N o funcţie. Definim

F = {(x, f(x))⎢x ∈ M} Tripletul (M, F, N) este o corespondenţă între mulţimea M şi

mulţimea N. Vom considera în continuare corespondenţe de tipul (M, ρ, M)

unde M este o mulţime nevidă, iar ρ o submulţime nevidă a produsului M × M care se numeşte relaţia binară pe mulţimmea M. Dacă x, y ∈ M şi (x, y) ∈ ρ vom spune că x şi y sunt în relaţie ρ şi vom scrie xρy.

Exemplu. Fie P mulţimea punctelor din plan şi relaţia binară pe P, ρ = {(P, Q)⎢P, Q ∈ P, P = Q sau PQ ⎢⎢OX}

y y

30

Q P Q

31

0 x 0 x

P

P şi Q nu sunt în relaţia ρ P şi Q sunt în relaţia ρ II.5.2. Definiţie. Fie M o mulţime şi ρ o relaţie binară pe

mulţimea M. Spunem că relaţia binară ρ este: - reflexivă: dacă pentru oricare x ∈ M avem xρx - simetrică: dacă pentru oricare x, y ∈ M avem „xρy ⇒ yρx” - tranzitivă: dacă pentru oricare x, y, z ∈ M avem: „xρy şi yρz ⇒ xρz” O relaţie binară care este reflexivă, simetrică şi tranzitivă se

numeşte relaţie de echivalenţă. II.5.3. Definiţie. Fie M o mulţime, ρ o relaţie de echivalenţă pe

mulţimea M şi x ∈ M. Se numeşte clasa de echivalenţă a elementului x,

{ }$x y M x y= ∈ ρ Se numeşte mulţimea factor a mulţimii M prin relaţia de

echivalenţă ρ, { }M x x/ $ρ = ∈M .

II.5.4. Definiţie. Fie M, N două mulţimi şi f: M → N o funcţie. Funcţia f se numeşte bine definită dacă pentru oricare x, y ∈ M, f(x) = f(y).

Observaţie. Atragem atenţia cititorului să nu confunde definiţia funcţiei bine definite cu definiţia funcţiei injective.


II.ER.5.1. Considerăm mulţimea R şi relaţia binară pe R,

ρ = {(x, y)⎢x, y ∈ R, x = y sau x + y = 3}. a) Arătaţi că ρ este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea R

b) Determinaţi clasele de echivalenţă şi mulţimea factor a lui R prin relaţia ρ.

c) Fie funcţia f: R/ρ → R, f x x xx

x( $)

, $ $

, $ $= −

−≠

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

1 1

30

2 0

f este bine definită? Rezolvare. a) Pentru a arăta că ρ este o relaţie de echivalenţă,

conform II.5.2. trebuie să demonstrăm că ρ este reflexivă, simetrică şi tranzitivă.

Verificăm reflexivitatea relaţiei ρ. Fie x ∈ R. xρx ⇔ (x, x) ∈ ρ ⇔ (x = x sau x + x = 3)

Fiind adevărată una din cele două afirmaţii, adică x = x, rezultă xρx.

Verificăm simetria relaţiei ρ. Fie x, y ∈ R astfel încât xρy. yρx ⇔ (y, x) ∈ ρ ⇔ (y = x sau y + x = 3) ⇔ (x = y sau x + y = 3) ⇔ ⇔ xρy

Cum xρy este adevărată rezultă că şi yρx este adevărată. Verificăm tranzistivitatea relaţiei ρ. Fie x, y, z ∈ R astfel încât

xρy şi yρz. xρy ⇔ (x, y) ∈ ρ ⇔ (x = y sau x + y = 3) yρz ⇔ (y, z) ∈ ρ ⇔ (y = z sau y + z = 3) Din cele două relaţii obţinem că: (x = z sau x + z = 3), adică xρz. Deci relaţia ρ este relaţie de echivalenţă. b) Fie x ∈ R. Calculăm clasa de echivalenţă a lui x. $x = {y ∈ R⎢ xρy} ⇒ $x = {y ∈ R⎢ x = y sau x + y = 3} ⇒ ⇒ $x = {y ∈ R⎢ y = x sau y = 3 - x} ⇒ $x = {x, 3 - x}. Deci, pentru oricare x ∈ R avem

$x = {x, 3 - x}. (De exemplu, = {5, -2}) $5Calculăm mulţimea factor a mulţimii R prin relaţia de

echivalenţă ρ: R/ρ = { $x ⎜ x ∈ R} ⇒ R/ρ = {{x, 3 - x}⎜ x ∈ R}

Observăm cu această ocazie că clasele de echivalenţă sunt mulţimi, iar mulţimea factor este mulţime de mulţimi.

32

c) Fie $x , ∈ R/ρ astfel încât $y $x = . Conform II.5.4. trebuie să verificăm dacă f(

$y$x ) = f( ). Cum $y $x = , avem două cazuri: $y

$x = = şi $y $0 $x = ≠ . $y $0

Cercetăm primul caz şi anume $x = = . Obţinem f($y $0 $x ) = 2 şi f( ) = 2, deci f($y $x ) = f( ). $y

Cercetăm al doilea caz şi anume $x = ≠ . Cum $y $0 $x = rezultă {x, 3 - x} = {y, 3 - x}, deci sau x = y, sau 3 - x = 3 - y ceea ce implică tot x = y, sau x = 3 - y, sau 3 - x = y ceea ce implică tot x = 3 - y. Aşadar, se disting clar două cazuri:

$y

caz I: x = y, caz în care în mod evident f(x) = f(y); caz II: x = 3 - y, caz în care:

( ) ( )f xx x y y y y

f yx y

= −− −

−− −

= −−

== −

=1 1

3

1

3

1

3 3

1 1

3

3

Deci f(x) = f(y). În concluzie, f este bine definită. II.ER.5.2. Considerăm n ∈ N, mulţimea Z şi relaţia binară pe Z,

ρ ={(a, b)⎜a, b ∈ Z şi a ≡ b(mod n)}. (a ≡ b(mod n), citim a congruent cu b modulo n, şi înseamnă că n divide (b - a)).

a) Arătaţi că ρ este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea Z. b) Aflaţi clasele de echivalenţă şi mulţimea factor a lui Z prin

relaţia ρ. Rezolvare. Punctul a) îl lăsăm ca exerciţiu cititorului. b) Vom analiza separat cazurile n = 0, n = 1, n = 3. Pentru n = 0 relaţia ρ devine: ρ ={(a, b)⎜a, b ∈ Z şi a ≡ b(mod 0)}.

Dar a ≡ b(mod 0) ⇔ 0⎜(a - b) ⇔ a - b = 0 ⇔ a = b.

Deci: ρ ={(a, b)⎜a, b ∈ Z, a = b}. Fie a ∈ Z. Calculăm clasa de echivalenţă a lui a. $a = {b ∈ Z⎜bρa} ⇒ = {b ∈ Z⎜(a, b) ∈ ρ} ⇒ = {b ∈ Z ⎜a=

=b }⇒ a = {a}. $a a

ˆCalculăm mulţimea factor a lui Z prin relaţia ρ:

33

Z/ρ = { ⎜ a ∈ Z} ⇒ Z/ρ = {{a}⎜ a ∈ Z} ⇒ Z/ρ = Z $aPentru n = 1 relaţia ρ devine: ρ ={(a, b)⎜a, b ∈ Z, a ≡ b(mod 1)}

Dar, a ≡ b(mod 1) ⇔ 1⎜(a - b), ceea ce este adevărat întotdeauna.

Deci: ρ ={(a, b)⎜a, b ∈ Z}. Fie a ∈ Z. Calculăm clasa de echivalenţă a lui a. $a = {b ∈ Z⎜bρa} ⇒ = {b ∈ Z⎜(a, b) ∈ ρ} ⇒ = {b ∈ Z⎜ a,

b ∈ Z)}⇒ = Z. $a $a

$aCalculăm mulţimea factor a lui Z prin relaţia ρ: Z/ρ = { ⎜ a ∈ Z} ⇒ Z/ρ = {Z⎜ a ∈ Z} ⇒ Z/ρ = Z. $aPentru n = 3 relaţia ρ devine: ρ ={(a, b)⎜a, b ∈ Z, a ≡ b(mod 3)}

Dar, a ≡ b(mod 3) ⇔ 3⎜(a - b) ⇔ a - b = 3k, k ∈ Z ⇔ a - b este

multiplu de 3. Deci,

ρ ={(a, b)⎜a, b ∈ Z, a - b = 3k, k ∈ Z}. Calculăm clasele de echivalenţă.

pentru 0 ∈ Z avem: $0 = {b ∈ Z⎜0ρb} ⇒ = {b ∈ Z⎜(0, b) ∈ ρ} ⇒ $0$0 = {b ∈ Z⎜0 - b = 3k, k ∈ Z} ⇒ = {b ∈ Z⎜b este multiplu al

lui 3} ⇒ = {b ∈ Z⎜restul împărţirii lui b la 3 este zero}.

$0$0

pentru 1 ∈ Z avem: $1 = {b ∈ Z⎜1ρb} ⇒ = {b ∈ Z⎜(1, b) ∈ ρ} ⇒ $1⇒ = {b ∈ Z⎜1 - b = 3k, k ∈ Z} ⇒ = {b ∈ Z⎜b = -3k + 1,

k ∈ Z } ⇒ = {b ∈ Z⎜restul împărţirii lui b la 3 este 1}.

$1 $1$1

pentru 2 ∈ Z avem: $2 = {b ∈ Z⎜2ρb} ⇒ = {b ∈ Z⎜(2, b) ∈ ρ} ⇒ $2⇒ = {b ∈ Z⎜2 - b = 3k, k ∈ Z} ⇒ = {b ∈ Z⎜b = -3k + 2,

k ∈ Z } ⇒ = {b ∈ Z⎜restul împărţirii lui b la 3 este 2}.

$2 $2$2

34

Restul împărţirii unui număr întreg la 3 nu poate fi decât 0, 1 sau 2. Astfel se observă că oricare element din Z aparţine sau mulţimii , sau mulţimii sau mulţimii . Deci, pentru cazul n = 3, , şi sunt toate clasele de echivalenţă ale lui Z. Aşadar, mulţimea factor a lui Z prin relaţia ρ este:

$0$1 $2 $0 $1 $2

Z/ρ = { , , } $0 $1 $2şi se notează cu Z3.

Lăsăm ca exerciţiu cititorului să calculeze clasele de echivalenţă şi mulţimea factor pentru un n oarecare, n ∈ N* \ {1}. În acel caz mulţimea factor se va nota cu Zn.

35

Exerciţii propuse spre rezolvare II.E.5.1) Studiaţi reflexivitatea, simetria şi tranzitivitatea

următoarelor relaţii binare: a) pe mulţimea D a tuturor dreptelor din plan, relaţia:

ρ = {(d1, d2)⎜d1, d2 ∈ D, d1⏐⏐d2} b) pe mulţimea R, relaţia:

ρ = {(x, y)⎜x, y ∈ R, x = y, x > 0} c) pe mulţimea D a tuturor dreptelor din plan, relaţia: ρ = {(x, y)⎜ d1, d2 ∈ D, d1⊥d2} II.E.5.2) Fie P \ {0} mulţimea punctelor din plan mai puţin

originea axelor de coordonate. Considerăm relaţia binară pe P \ {0}, ρ = {(P, Q)⎜ P, Q ∈ P \ {0} şi P, 0, Q coliniare}.

a) Arătaţi că ρ este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea P \ {0}. b) Determinaţi clasele de echivalenţă şi mulţimea factor a lui

P \ {0} prin relaţia ρ. c) Fie aplicaţia f: (P \ {0})/ρ → P, f( $P ) = M, unde M este

mijlocul segmentului 0P. f este bine definită? II.E.5.3) Considerăm mulţimea C* a numerelor complexe nenule

şi relaţia binară pe C*, ρ = {(z1, z2)⎜ z1, z2 ∈ C şi arg(z1) =arg(z2)}.

(Precizare: se ştie că orice număr complex se scrie sub formă trigonometrică z = ⏐z⏐(cos θ + isin θ). Prin arg(z) înţelegem θ.)

a) Arătaţi că ρ este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea C*. b) Determminaţi clasele de echivalenţă şi mulţimea factor a lui

C* prin relaţia ρ, precum şi cardinalul acestei mulţimi.

c) Fie aplicaţia f: C*/ρ → C, ( )f zz

z$ = . f este bine definită?

II.E.5.4) Considerăm mulţimea C* a numerelor complexe nenule şi relaţia binară pe C*,

ρ = {(z1, z2)⎜ z1, z2 ∈ C şi ⏐z1⏐=⏐z2⏐}. a) Arătaţi că ρ este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea C*. b) Determminaţi clasele de echivalenţă şi mulţimea factor a lui

C* prin relaţia ρ, precum şi cardinalul acestei mulţimi.

36

c) Fie aplicaţia f: C*/ρ → C, ( )f z z$ z= şi g: C*/ρ → C,

( )f zz

z$ = . Sunt aceste aplicaţii bine definită?

II. 6. Relaţii de echivalenţă pe un grup, grup factor,

subgrupuri normale ale unui grup II.6A) Relaţii de echivalenţă pe un grup, grup factor Fie G un grup şi H un subgrup al său. Definim pe G următoarele

două relaţii binare: ρs = {(x, y)⎜x, y ∈ G şi x-1y ∈ H} ρd = {(x, y)⎜x, y ∈ G şi xy-1 ∈ H}

Aceste două relaţii binare sunt relaţii de echivalenţă. (Propunem cititorului să verifice acest fapt). Mulţimea claselor de echivalenţă relativ la relaţia binară ρs sunt în bijecţie cu mulţimea claselor de echivalenţă relativ la relaţia binară ρd.

Cardinalul mulţimii claselor de echivalenţă (relativ la relaţia binară ρs sau relativ la relaţia binară ρd) în raport cu subgrupul H se numeşte indicele subgrupului H în G şi se notează [G:H]. Dacă mulţimea claselor de echivalenţă (la stânga sau la dreapta) în raport cu subgrupul H este finită, indicele subgrupului H în G este un număr natural. În caz contrar acest indice se notează cu ∞.

II.6.A.1) Teorema lui Lagrange. Dacă G este un grup cu un număr finit de elemente şi H este un subgrup al său, atunci:

⏐G⏐=⏐H⏐[G:H]. Observaţie. Teorema rămâne valabilă şi pentru grupuri cu un

număr infinit de elemente.

II.6.A.1) Definiţie. Dacă p: G → ′G este un morfism surjectiv de grupuri se spune că cuplul ( ′G ,p) este grup factor sau grup cât al grupului G. Se mai spune că ′G este grup factor al lui G, iar p este surjecţia canonică sau morfismul canonic.

37

II.6.A.3) Proprietatea de universalitate a grupului factor. Fie ( ′G , p) un grup factor al grupului G şi f: G → Q un morfism de grupuri.

i) Există un morfism de grupuri u: ′G → Q astfel încât u o p = f, adică astfel încât diagrama:

p G G´

38

f u

Q

să fie comutativă, dacă şi numai dacă Kerf ⊇ Kerp. Dacă u există, atunci el este unic.

ii) Dacă există u cu proprietatea din i), atunci u este surjectiv dacă şi numai dacă f este surjectiv.

iii) Dacă există u cu proprietatea din i), atunci u este injectiv dacă şi numai dacă Kerp = Kerf.

II.6.B1. Subgrupuri normale ale unui grup II.6.B1) Definiţie. Fie G un grup şi H un subgrup al său.

Spunem că H este un subgrup normal al lui G dacă pentru oricare x ∈ G şi pentru oricare h ∈ H, xhx-1 ∈ H şi notăm H Δ G.

II.6.B.2) Observaţie. Fie G un grup şi H un subgrup al său. Atunci H este subgrup normal al lui G dacă şi numai dacă [G:H] = 2.

II.6.B.3) Teoremă. Fie G un grup şi H un subgrup normal al său. Atunci există un grup factor (N, p) al lui G astfel încât Kerf = H.

II.6.B.4) Observaţii importante. Fie (G, •) un grup şi H un subgrup normal al său. Definim pe G relaţia binară:

ρ = {(x, y)⎜x, y ∈ G şi xy-1 ∈ H} Cum ρ este o relaţie de echivalenţă pe G, putem construi

mulţimea factor a lui G prin relaţia ρ notată în acest caz G/H: G/H = { $x ⎜x ∈ G}

Definim pe G/H următoarea lege de compoziţie notată „•”

( $x , ) → $y $x • $ydef

= yx

(G/H, •) este un grup care se numeşte grup factor al lui G relativ la subgrupul H.

Atenţie! Este esenţial ca subgrupul H al lui G să fie subgrup normal al lui G. Altfel (G/H, •) nu mai este neapărat un grup.

Proprietăţi ale elementelor grupului (G/H, •) Notăm cu e elementul neutru al grupului G. i) Pentru oricare h ∈ H avem = . $h $eii) Pentru oricare x ∈ G, x = yh cu h ∈ H şi y ∈ G\H avem

$x = . $yiii) Pentru oricare x, y ∈ G, avem $x = dacă şi numai dacă

există h ∈ H astfel încât xy-1 = h. $y

iv) Există un morfism surjectiv de grupuri p: G → G/H, p(x) = $x pentru oricare x ∈ G, şi care are în plus proprietatea Kerp = H (rezultă din II.6.B.3.).


II.ER.6.1) Arătaţi că orice subgrup al unui grup comutativ este

normal. Rezolvare. Fie G un grup comutativ şi H un subgrup al său.

Trebuie să demonstrăm că H este un subgrup normal al lui G, adică trebuie să arătăm că pentru oricare x ∈ G şi pentru oricare h ∈ H, xhx-1 ∈ H.

Fie x ∈ G şi h ∈ H.

( )xhx xx h xx h eh hcomut

G asoc− − −= ==1 1 1

.

.

=

Deci xhx-1 = h şi cum h ∈ H rezultă xhx-1 ∈ H. II.ER.6.2) Fie G un grup. Pentru oricare x ∈ G definim aplicaţia

fx: G → G, fx(g) = xgx-1 pentru oricare g ∈ G. a) Arătaţi că pentru oricare x ∈ G, fx este un automorfism de

grupuri. b) Fie H un subgrup al lui G. Arătaţi că H este subgrup normal al

lui G dacă şi numai dacă fx(H) ⊂ H pentru oricare x ∈ G.

39

40

Rezolvare. a) Fie x ∈ G. Pentru a arăta că fx este un automorfism de grupuri, trebuie să demonstrăm că fx este un morfism bijectiv de grupuri.

Arătăm că fx este un morfism de grupuri. Fie g1,g2 ∈ G. fx (g1g2) = x g1g2x-1 = x g1e g2x-1 = x g1(x-1x) g2x-1 = = (x g1x-1)(x g2x-1) = fx (g1) fx (g2) Deci pentru oricare g1,g2 ∈ G am obţinut că

fx (g1g2) = fx (g1) fx (g2). Aşadar fx este un morfism de grupuri. Arătăm că fx este injectivă. Fie g1,g2 ∈ G astfel încât

fx (g1) = fx (g2). Obţinem x g1x-1= x g2x-1, de unde rezultă că g1 = g2. Deci pentru oricare g1,g2 ∈ G cu proprietatea că fx (g1) = fx (g2) rezultă g1 = g2. Aşadar fx este injectivă.

Arătăm că fx este surjectivă. Fie y ∈ G. Arătăm că există g∈ G astfel încât fx (g) = y.

fx (g)=y ⇔ x g x-1= y⇔ g= x-1yx. Deci pentru oricare y∈ G, există g∈ G, g= x-1yx, astfel încât

fx (g)=y. Aşadar fx este surjectivă. b) Avem

fx (H)={ fx (h) ⎢ h∈ H} ={ x hx-1 ⎢ h∈ H}. Presupunem că H este un subgrup normal al lui G şi arătăm că

fx (H)⊆ H, pentru oricare x∈ G. Ştim că fx (H) ={ x hx-1 ⎢ h∈ H}. Cum H este un subgrup normal al lui G rezultă că pentru orice x∈ G şi pentru oricare h∈ H, x hx-1∈ H. Aşadar fx(H)⊆ H, pentru oricare x∈ G.

Presupunem că fx(H) ⊆ H pentru oricare x∈ G şi arătăm că H este un subgrup normal al lui G. Pentru aceasta trebuie să verificăm dacă pentru oricare x∈ G şi pentru oricare h∈ H, x hx-1∈ H. Fie x∈ G şi h∈ H, x hx-1= fx (h) şi cum fx(H) ⊆ H şi evident fx (h) ∈ fx (H), rezultă că x hx-1∈ H.

Observaţie. Automorfismele fx: G → G, fx (g) = x gx-1se numesc automorfisme interioare ale grupului G.

II.ER.6.3) Fie (S3, 0) grupul permutărilor de ordin trei împreună cu operaţia algebrică de compunere a permutărilor de ordin trei.

a) Determinaţi toate subgrupurile lui (S3, o) şi specificaţi care din acestea sunt normale.

b) Determinaţi toate grupurile factor ale grupului (S3, o). Rezolvare.

S3=

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1 3

1 2 3

3 1 2

1 2 3

3 2 1

1 2 3

1 3 2

1 2 3

2 3 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

, , , , ,

Notăm e = 1 2 3

1 2 3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ (elementul neutru al grupului (S3, o),

σ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3

2 1 3 şi τ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3

3 1 2. Observăm că σ 2 = e, τ 3 = e,

στ 2 = τ σ , στ = τ 2σ , τ 21 2 3

2 3 1=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟, στ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3

3 2 1 şi

στ 21 2 3

1 3 2=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.

Astfel S3 = {e, σ , τ , τ 2, στ , στ 2}

Fie H subgrup al lui S3. Conform teoremei lui Lagrange H S3 şi cum ⏐S3⏐= 3! = 6 obţinem ⏐H⏐⏐6. Astfel, ⏐H⏐∈ {1, 2, 3, 6}. Vom cerceta pe rând cele patru cazuri.

caz 1: ⏐H⏐= 1 Cum e ∈ H şi ⏐H⏐= 1 rezultă că H = {e}. Acest subgrup este

subgrup normal al lui G (Se verifică imediat cu definiţia II.6.B.1.). caz 2: ⏐H⏐= 6 H este un subgrup al lui S3, deci în particular este inclus în S3 şi

cum ⏐H⏐= ⏐S3⏐= 6 obţinem că H = S3. Acest subgrup este subgrup normal al lui G (Se verifică imediat cu definiţia II.6.B.1.).

Obsrvaţie. Cele două subgrupuri ale lui S3 obţinute, {e} şi S3, se numesc subgrupuri triviale ale lui S3 şi sunt subgrupuri normale.

caz 3: ⏐H⏐= 2

41

Cum ⏐H⏐= 2 rezultă că H = {e, a}, unde e este elementul neutru al grupului G şi a ∈ S3, a ≠ e.

Pentru a = σ obţinem H = {e, σ}. Pentru a = τ obţinem H = {e, τ }. Dar cum H este subgrup al lui

S3, deci verifică „partea stabilă”, rezultă că şi τ 2∈ H, astfel H = {e, τ , τ 2}, ceea ce nu convine deoarece ⏐H⏐= 2.

Pentru a = τ 2 obţinem H = {e, τ 2}. Dar cum H este subgrup al lui S3, deci verifică „partea stabilă”, rezultă că şi (τ 2)2 = τ 4 = τ 3τ =τ trebuie să aparţină lui H. Astfel H = {e, τ , τ 2}, ceea ce nu convine deoarece ⏐H⏐= 2.

Pentru a = στ obţinem H = {e, στ }. Pentru a = στ 2 obţinem H = {e, στ 2}. Am obţinut astfel următoarele subgrupuri ale lui S3.

{e, σ},{e, στ },{e, στ 2}. Aceste subgrupuri nu sunt subgrupuri normale ale lui S3. De

exemplu, pentru subgrupul {e, σ} dacă luăm permutarea

3S123321∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛,

1 2 3

3 2 1

1 2 3

3 2 1

1

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

−

S

şi

{ }1 2 3

3 2 1

1 2 3

3 2 1

1 2 3

1 3 2

1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∉

−

σ σe, .

Deci acest subgrup, {e, σ}, nu este subgrup normal al lui S3. Lăsăm cititorului să justifice că subgrupurile {e, στ } şi {e, στ 2} ale lui S3 nu sunt subgrupuri normale.

caz 4: ⏐H⏐= 3 Cum ⏐H⏐= 3 rezultă că H = {e, a, a2}, unde a∈ S3, a ≠ e, a2 ≠ a,

a2 ≠ e. (Observăm că nu putem avea, de exemplu, H = {e, a, b}, cu a ≠ e, b ≠ e, a ≠ b deoarece cum H este subgrup, din „partea stabilă” rezultă că şi ab ∈ H şi a2∈ H şi b2∈ H, dar ⏐H⏐= 3). Astfel obţinem H = {e, τ , τ 2}. Acest subgrup este subgrup normal al lui S3, deoarece, din teorema lui Lagrange obţinem:

[ ]S HS

H3

3 6

32: = = =

42

iar din II.6.B.2. rezultă că H este subgrup normal al lui S3. Aşadar, subgrupurile lui S3 sunt: {e}, {e, σ}, {e, στ },

{e, στ 2}, {e, τ , τ 2}, S3 din care {e},{e, τ , τ 2} şi S3 sunt subgrupuri normale.

c) Determinăm subgrupurile factor ale lui S3. Pentru aceasta vom folosi II.6.B.4. Avem:

S3/{e} = { } 322 Sˆˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ,ˆ,e ≅τστσσττ

S3/ S3= { }$e

S3/{e, τ , τ 2} = { } { }στστσσττ ˆ,eˆˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ,ˆ,e.4.B.6.II

22 = II.ER.6.4) Determinaţi toate grupurile factor ale grupului (Z, +). Rezolvare. După cum am văzut la exerciţiul II.ER.3.1.

subgrupurile grupului (Z, +) sunt de forma aZ = {am⏐m ∈ Z} cu a ∈ Z, iar conform II.ER.6.1) toate aceste subgrupuri ale grupului (Z, +) sunt normale.

Fie aZ = {am⏐m ∈ Z} un subgrup al grupului (Z, +). Grupul factor al grupului (Z, +) relativ la subgrupul aZ este:

{ } { }Z aZ x x Z x y Z x y aZ/ $ , $= ∈ = ∈ − + ∈ unde Fie x ∈ Z. Aplicăm teorema împărţirii cu rest pentru

deîmpărţitul x şi împărţitorul a şi obţinem că există q, r ∈ Z astfel încât x = aq + r, unde 0 ≤ r < a. Fie y ∈ Z. Aplicăm teorema împărţirii cu rest pentru deîmpărţitul y şi împărţitorul a şi obţinem că există ′, ′q r ∈ Z astfel încât y = a ′q + ′r , unde 0 ≤ ′r < a. Astfel,

- x + y = - aq - r + a ′q + ′r = a( ′q - q) + ′r - r. Deci, pentru ca - x + y să aparţină mulţimii aZ, adică să fie multiplu al lui a, trebuie ca ′r - r să fie multiplu al lui a. Dar 0 ≤ r < a şi 0 ≤ ′r < a, deci │ ′r - r│< a. Astfel, trebuie ca ′r - r = 0, deci r = ′r . Aşadar,

$x = {y ∈ Z⏐x şi y au acelaşi rest la împărţirea cu a} Dar cum la împărţirea cu a nu se pot obţine decât a resturi şi anume 0, 1, 2, ..., a - 1, rezultă că există a clase de echivalenţă şi anume . Aşadar

1a,,2,1,0 −K

Z/ aZ = { }1a,,2,1,0 −K = Za.

43

Deci Z/aZ = Za pentru oricare a ∈ Z şi acestea sunt toate grupurile factor ale grupului (Z, +).

II. ER.6.5). Determinaţi toate grupurile cu patru elemente. Rezolvare. Fie G un grup cu ⏐G⏐= 4 şi e elementul neutru al

grupului G. Fie x ∈ G, x ≠ e. Notăm cu H subgrupul lui G generat de x, H = < x >. H fiind subgrup al lui G, din teorema lui Lagrange obţinem că ⏐H⏐⎮⏐G⏐, astfel ⏐H⏐⎮4. Rezultă ⏐H⏐∈ {1, 2, 4}. Dar ⏐H⏐≠ 1, deoarece x ∈ H, x ≠ e şi e ∈ H, deci ⏐H⏐≥ 2. Rămân astfel de cercetat două cazuri: ⏐H⏐= 2 şi ⏐H⏐= 4.

caz 1: ⏐H⏐= 4. Cum H = < x > şi ⏐H⏐= 4, din II.4.5. rezultă că

H = {e, x, x2, x3}. Dar H este subgrup al grupului G, deci în particular este inclus în G, şi ⏐H⏐=⏐G⏐, deci H = G. Aşadar,

G = {e, x, x2, x3}. Construim funcţia f: G → Z4, f(e) = , f(x) = , f(x2) = ,

f(x3) = . Se observă că f este un izomorfism de grupuri de la grupul (G, •) la grupul (Z4, +).

$0 $1 $2$3

Deci, în acest caz G ≅ Z4. caz 1I: ⏐H⏐= 2. Cum H = < x > şi ⏐H⏐= 2, din II.4.5. rezultă că H = {e, x}. Dar

⏐G⏐= 4, deci trebuie să mai existe un element y ∈ G, y ≠ e şi y ≠ x. Cum x ∈ G, y ∈ G, iar (G, •) este grup, deci este verificată „partea stabilă” rezultă că şi xy ∈ G. Aşadar

G = {e, x, y, xy}. Astfel rezultă că xy = yx (altfel yx ∈ G, căci yx ≠ x şi yx ≠ y, iar

în acest caz cardinalul lui G ar fi mai mare decât 4). Construim funcţia f: G → Z2 × Z2,f(e) = ( , ), f(x) = ( , ),

f(y) = ( , ) şi f(xy) = ( , ). Se observă că f este un izomorfism de grupuri de la grupul (G, •) la grupul (Z2 × Z2, +).

$0 $0 $0 $1$1 $0 $1 $1

Deci, în acest caz G ≅ Z2 × Z2. Concluzionăm: orice grup de ordin 4 (adică cu 4 elemente) sau

este izomorf cu Z4 şi în acest caz este ciclic, sau este izomorf cu Z2 × Z2.

44

Exerciţii propuse spre rezolvare II.E.6.1) Determinaţi toate subgrupurile grupului permutărilor cu

patru elemente, ( )S 4 ,o şi specificaţi care dintre acestea sunt normale. Calculaţi grupurile sale factor.

II.E.6.2) Fie mulţimea H = {1, -1, i, -i, j,-j, k, -k} cu proprietăţile i2 = j2 = k2 = - 1, ij = - ji = k, jk = - kj = i, ki = - ik = j.

a) Arătaţi că (H, •) este un grup necomutativ. Acest grup se numeşte grupul cuaternionilor.

b) Determinaţi toate subgrupurile lui H şi demonstraţi că toate sunt subgrupuri normale.

(Indicaţie: se vor utiliza: II.6.A.1., II. 6. B.1., II.B.2.). c) Determinaţi grupurile factor ale grupului (H, ·). II.E.6.3) Fie grupul (Q, +). a) Arătaţi că grupul (Z, +) este un subgrup normal al grupului

(Q, +). b) Calculaţi grupul factor Q/Z. II.E.6.4) Determinaţi toate grupurile de ordin şase (adică cu şase

elemente). Arătaţi că orice grup de ordin şase este sau izomorf cu grupul (Z6, +) în caz că este comutativ, sau este izomorf cu grupul

în caz că este necomutativ. (S3 ,o)II.E.6.5). Fie G şi ′G două grupuri şi f: G → ′G un morfism de

grupuri de la G la ′G . Arătaţi că Kerf este subgrup normal al grupului G, iar dacă f este surjectivă , Imf este subgrup normal al grupului ′G .

II.E.6.6.). Determinaţi toate subgrupurile şi subgrupurile normale ale următoarelor grupuri:

Z × S3, Z × H, S3 × H unde (Z, +) este grupul numerelor întregi cu adunarea, ( )S3 ,o este grupul permutărilor de ordin trei cu compunerea, iar (H, •) este grupul cuaternionilor definit la II.E.6.2.

45

II.7. Teoreme de izomorfism pentru grupuri II.7.1. Teoremă. Fie f: G → ′G un morfism de grupuri. Atunci

există un izmorfism (numit canonic) θ: G/Kerf → Imf. θ este unicul morfism de grupuri care face comutativă diagrama f

G G′

46

θ G/Kerf Imf

în care morfismele verticale sunt morfismele canonice.

II.7.2. Teoremă. Fie G un grup şi A, B două subgrupuri ale grupului G astfel încât A să fie subgrup normal al grupului (A, B) generat în G de A şi B. Atunci A ∩ B este subgrup normal al grupului B şi există un izommorfism numit canonic

( )w B A B A B A: / , /∩ ⎯ →⎯≈ . w este unicul morfism de grupuri care face comutativă diagrama:

i

B (A,B)

p

w B/A∩B (A,B)/A

unde i este injecţia canonică, iar morfismele verticale sunt surjecţii canonice.

II.7.3. Teoremă. Fie G un grup şi H ⊆ N două subgrupuri normale ale lui G. Atunci există un izomorfism canonic

N/GH/NH/G:v → .

v este unicul morfism de grupuri care face comutativă diagrama

G G/H

47

G/N v H/NH/G

unde celelalte morfisme sunt morfismele canonice.


II.ER.7.1) Considerăm mulţimea U = {z⏐z ∈ C şi ⏐z⏐ = 1} ⊆ C*

a) Arătaţi că mulţimea U împreună cu operaţia de înmulţire a numerelor complexe este un grup.

b) Fie grupurile (Z, +) şi (R, +). Arătaţi că R/Z ≅ U Rezolvare. Lăsăm ca exerciţiu cititorului punctul a). b) Pentru a demonstra că R/Z ≅ U vom aplica teorema II.7.1.

pentru grupurile (R, +) şi (U, •). Astfel, va trebui să găsim un morfism de grupuri f: R → U cu proprietăţile Kerf = Z şi Imf = U. Aplicând apoi teorema II.7.1. pentru acest morfism va rezulta că există un izomorfism θ: R/Kerf → Imf, adică θ: R/Z → U, deci R/Z ≅ U.

Definim funcţia f: R → U, f(x) = cos 2πx + isin 2πx. Lăsăm cititorului să verifice că această aplicaţie este un morfism de grupuri.

Arătăm că Kerf = Z. Avem: Kerf = {x ∈ R⏐f(x) = 1} = {x ∈ R ⏐cos 2πx + isin 2πx = 1} = = {x ∈ R ⏐cos 2πx = 1 şi sin 2πx = 1} = {x ∈ R⏐ x ∈ Z} = Z Deci Kerf = Z. Arătăm că Imf = U. Pentru aceasta este suficient să demonstrăm

că funcţia f este surjectivă, adică este suficient să demonstrăm că

pentru oricare z ∈ U există x ∈ R astfel încât f(x) = z. Fie z ∈ U, rezultă ⏐z⏐ = 1, deci z se scrie sub formă trigonometrică astfel: z = cos α + isin α. Avem:

f(x) = z ⇔ cos 2πx + isin 2πx = cos α + isin α ⇔

⇔ ⎩⎨⎧

==

απαπ

sinx2sincosx2cos

Luăm x =απ2

, adică xz

=arg

2π. Deci pentru oricare z ∈ U,

există x ∈ R, xz

=arg

2π, astfel încât f(x) = z. Aşadar f este surjectivă,

deci Imf = U. II.ER.7.2. Considerăm grupurile (U, •) de la exerciţiul precedent,

(C, •) şi (R ,•). Arătaţi că C*/R+∗

+∗ ≅ U.

Rezolvare. Pentru a demonstra că C*/R+∗ ≅ U vom aplica

teorema II.7.1. pentru grupurile (C, •) şi (U, •). Astfel, va trebui să găsim un morfism de grupuri f: C* → U cu proprietăţile Kerf = R+

∗ şi Imf = U. Aplicând apoi teorema II.7.1. pentru acest morfism va rezulta că există un izomorfism. D: C*/Kerf→ Imf, adică θ: C*/R+

∗ → U, deci C*/R ≅ U. +

∗

Definim funcţia f: C* → U, f(x) = z

z . Lăsăm cititorului să

verifice că f este morfism de grupuri, Kerf = R+∗ şi că f este

surjectivă, deci Imf = U. II.ER.7.3. Determinaţi subgrupurile grupului (Zn, +) pentru

n ∈ N, n ≥ 3, şi grupurile sale factor. Rezolvare. După cum am văzut la II.ER.6.4. Zn = Z/nZ, deci

orice subgrup al lui Zn este de forma H/nZ unde H este un subgrup al lui Z cu proprietatea că nZ ⊆ H. Aşadar, H este de forma dZ cu d⏐n (altfel nZ nu este inclusă în dZ). Deci orice subgrup al lui Zn este de forma dZ/nZ cu d⏐n.

48

În continuare vom determina grupurile factor ale grupului Zn. Acestea vor fi de forma Zn/H′, unde H′ este un subgrup al lui Zn.

Aşadar, grupurile factor ale lui Zn vor fi de forma Z

dZ nZn

/ cu d⏐n.

Z

dZ nZ

Z nZ

dZ nZ

Z

dZZdn

II

/

/

/.

. . .

= =≅7 3

Deci grupurile factor ale lui Zn sunt Zd cu d⏐n. Aplicaţie. Determinaţi toate subgrupurile grupului (Z6, +) şi

grupurile sale factor. Rezolvare. PAS 1: Aflăm toţi divizorii pozitivi ai lui 6.

+6D ={1, 2, 3, 6}

PAS 2: Pentru n = 1 obţinem următorul subgrup al lui Z6: Z/6Z = { }$,$,$,$,$ ,$0 1 2 3 4 5

Grupul factor asociat este Z6/ Z6 = { }0 . Pentru n = 2 obţinem următorul subgrup al lui Z6:

2Z/6Z = { }$,$,$0 2 4

Grupul factor asociat este Z

Z ZZ6

22 6/≅

Pentru n = 3 obţinem următorul subgrup al lui Z6: 3Z/6Z = { }$,$0 3


Z ZZ6

33 6/≅ .

Pentru n = 6 obţinem următorul subgrup Z6: 6Z/6Z = { }$,0


Z ZZ6

66 6/≅ .

49

Exerciţii propuse spre rezolvre II.E.7.1). Fie grupurile multiplicative G = C*, D = R+

∗ , U = {z ∈ C⏐⏐z⏐= 1}, U = {x ∈ C⏐xn = 1}, (n ≥ 2, fixat), precum şi grupurile aditive R şi Z.

Să se arate că au loc izomorfismele de grupuri: R/Z ≅ U, G/D ≅ U, G/U ≅ D, U/Un ≅ U, G/ Un ≅ G.

II.E.7.2). Determinaţi toate subgrupurile următoarelor grupuri precum şi grupurile lor factor:

Z12, Z72, Z15, Z360. II.E.7.3). Fie G un grup. Notăm Aut(G) = {f: G → G⏐f automorfism al lui G} şi Int(G) = {fx: G → G⏐x ∈ G şi fx(g) = xgx-1, pentru oricare

x ∈ R}. a) Arătaţi că Aut(G) împreună cu operaţia de compunere a

funcţiilor este un grup. b) Arătaţi că Int(G) împreună cu operaţia de compunere a

funcţiilor este un subgrup al grupului (Aut(G), °). c) Definim Z(G) = {a ∈ G⏐ax = xa, ∀x ∈ G}. z(G) se numeşte

centrul grupului G. Arătaţi că are loc izomorfismul G/z(G) ≅ Int(G). d) Demonstraţi că dacă G este un grup ciclic de ordin impar,

atunci nu există nici un grup ′G cu proprietatea că Aut ( ′G ) ≅ G.

II.8. Grupului Sn al permutărilor cu n elemente Considerăm că sunt cunoscute încă din liceu definiţia unei

permutări cu n elemente, n ∈ N*, compunerea a două permutări cu acelaşi număr de elemente, precum şi faptul că mulţimea permutărilor cu n elemente împreună cu operaţia de compunere a acestora este un grup.

II.8.1. Definiţie. Fie (Sn, ) grupul permutărilor de grad n, n ∈ N*. Se numeşte transpoziţie o permutare σ ∈ Sn cu proprietatea că există i, j ∈ {1, 2, ..., n} astfel încât σ(i) = j, σ(j) = i, σ(k) = k pentru oricare k ∈ {1, 2, ..., n}\{i, j}. Astfel,

o

50

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=n1nij321n1nji321

KKK

KKKσ

σ se mai notează şi (i, j). II.8.2. Propoziţie. Orice permutare din Sn este un produs de

transpoziţii: în număr par, dacă permutarea este pară şi în număr impar, dacă permutarea este impară.

II.8.3. Definiţie. Fie (Sn, ) grupul permutărilor de grad n. Definim funcţia:

o

ε: Sn→ {-1, 1}, ( ) ( ) ( )∏≤<≤ −

−=

nji1 ijij σσσε

ε(σ) se numeşte signatura permutării σ. Observaţie. ε este un morfism de grupuri de la grupul (Sn, o) la

grupul ({-1, 1}, •). II.8.4. Definiţie. Definim mulţimea

M = {(i, j)⏐1 ≤ i < j ≤ n}. Dacă σ ∈ Sn este o permutare de grad n, o pereche ordonată

(i, j) ∈ M se numeşte inversiune a permutării σ dacă σ(j) < σ(i). Vom nota cu m(σ) numărul tuturor inversiunilor permutării σ.

Observaţie. Fie σ ∈ Sn o permutare de grad n. Atunci ε(σ) = (- 1)m(σ).

II.8.4. Definiţie. O permutare σ ∈ Sn se numeşte pară ε(σ) = 1 şi impară dacă ε(σ) = -1.


II.ER.8.1) Fie permutarea σ ∈ S5, .4521354321⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=σ

Să se scrie σ ca produs de transpoziţii. Rezolvare. Din II.8.2. rezultă că σ poate fi scrisă ca un produs de

transpoziţii. Constatăm că σ(1) = 3 ≠ 1. De aceea vom înmulţi permutarea σ

cu transpoziţia (1, 3)

51

( )σ 1 31 2 3 4 5

3 1 2 5 4

1 2 3 4 5

3 2 1 4 5

1 2 3 4 5

2 1 3 5 4, =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Am obţinut astfel σ(1, 3) = ′σ , unde ′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟σ

1 2 3 4 5

2 1 3 5 4.

Deoarece ′σ ≠ e, permutarea identică, acelaşi raţionament pe care l-am aplicat pentru permutarea σ îl vom aplica acum pentru permutarea ′σ . Avem ′σ (1) = 2 ≠ 1, deci vom înmulţi permutarea ′σ cu transpoziţia (1, 2).

( )′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟σ 1 2

1 2 3 4 5

2 1 3 5 4

1 2 3 4 5

2 1 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 5 4,

Am obţinut astfel ′σ (1, 2) = ′′σ , unde ′′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟σ

1 2 3 4 5

1 2 3 5 4.

Deoarece ′′σ ≠ e, acelaşi raţionament pe care l-am aplicat pentru permutarea ′σ îl vom aplica acum pentru permutarea ′′σ . Avem ′′σ (1) = 1, ′′σ (2) = 2, ′′σ (3) = 3, ′′σ (4) = 5 ≠ 4. Aşadar, vom înmulţi

permutarea ′′σ cu transpoziţia (4, 5).

( )′′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟σ 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 5 4

1 2 3 4 5

1 2 3 5 4

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5, .

Am obţinut ′′σ (4, 5) = e Deci:

σ (1, 3) = ′σ (1) ′σ (1, 2) = ′′σ (2) ′′σ (4, 5) = e (3)

Înmulţim relaţia (3) cu (4, 5)-1. Obţinem ′′σ = (4, 5)-1. Dar (4, 5)-1 = (4, 5), deci ′′σ = (4, 5). Astfel, relaţia (2) devine ′σ (1, 2) = (4, 5). Înmulţim această relaţie la dreapta cu (1, 2)-1 şi

obţinem ′σ = (4, 5)(1, 2)-1. Dar (1, 2)-1 = (1, 2), deci ′σ = (4, 5)(1, 2). Astfel, relaţia (1) devine: σ(1, 3) = (4, 5)(1, 2). Înmulţim această relaţie la dreapta cu (1, 3)-1 şi obţinem σ = (4, 5)(1, 2)(1, 3)-1. Dar (1, 3)-1 = (1, 3), deci σ = (4, 5)(1, 2)(1, 3).

Deci σ se scrie ca un produs de transpoziţii

52

σ = (4, 5)(1, 2)(1, 3). II.ER.8.2) Să se rezolve în S3 ecuaţia τx = xτ, unde

τ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3

2 3 1.

Rezolvare. Fie x= ( ) ( ) ( )1 2 3

1 2 3x x x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟. Trebuie să rezolvăm

ecuaţia

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).x

132321

3x2x1x321

3x2x1x321

132321

x

τ

τ

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

Avem (xτ)(1) = x(2). Dacă x(2) = 1 atunci (xτ)(1) = 1 şi (τx)(2) = 2; dar

(xτ)(2) = (τx)(2), deci (xτ)(2) = 2. Dar (xτ)(2) = x(3), deci x(3) = 2. Obţinem astfel că (τx)(3) = 3. Dar (τx)(3) = (xτ)(3), deci (xτ)(3) = 2. Dar (xτ)(3) = x(1). Deci x(1) = 2. Am obţinut astfel că x(1) = 2 şi x(3) = 2, ceea ce este o contradicţie.

Dacă x(2) = 2 atunci (xτ)(2) = 2 şi (τx)(2) = 3; dar (xτ)(2) = (τx)(2), deci (xτ)(2) = 3. Dar (xτ)(2) = x(3), deci x(3) = 3. Obţinem astfel că (τx)(3) = 1. Dar (τx)(3) = (xτ)(3), deci (xτ)(3) = 1. Dar (xτ)(3) = x(1). Deci x(1) = 1. Aşadar x(1) = 1, x(2) = 2, x(3) = 3. Deci:

x =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3

1 2 3.

Dacă x(2) = 3, atunci (xτ)(2) = 3 şi (τx)(2) = 1; dar (xτ)(2) = =(τx)(2), deci (xτ)(2) = 1. Dar (xτ)(2) = x(3). Deci x(3) = 1. Obţinem astfel că (τx)(3) = 1. Dar (τx)(3) = (xτ)(3), deci (xτ)(3) = 1. Dar (xτ)(3) = x(1). Deci x(1) = 1. Am obţinut astfel că x(3) = 1 şi x(1) = 1, ceea ce este o contradicţie.

53

Aşadar, singura soluţie a ecuaţiei este σ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3

1 2 3, adică

permutarea identică. II.ER.8.3) Determinaţi numărul de inversiuni ale permutării

σ ∈ S2n,

σ =+ +

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3 4 1 2 2

1 3 5 7 2 1 2 4 2

K K K

K K K

n n n

n n

n

Rezolvare:

m(σ) = 1 + 2 + 3 + ... +(2n - n) = 1 + 2 + 3 + ... + n = ( )n n +1

2.


II.E.8.1). Fie permutările σ ∈ S6 şi τ ∈ S7,

σ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3 4 5 6

6 2 1 3 4 5 şi τ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3 4 5 6 7

7 3 4 5 1 2 6

Să se scrie σ şi τ ca un produs de transpoziţii. II.E.8.2). Să se rezolve ecuaţia în Sp: τx = xτ, unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4521354321

τ

II.E.8.3). Determinaţi numărul de inversiuni ale permutării σ ∈ S2n,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++=

1n2531n28642n23n2n1nn4321

KK

KKσ

II.E.8.4). Determinaţi signatura permutării σ ∈ S6,

σ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3 4 5 6

6 3 1 2 5 4 şi specificaţi paritatea ei.

II.E.8.5). Fie (Sn, o) grupul permutărilor de grad n. Notăm cu An mulţimea tuturor permutărilor pare de grad n,

54

( ){ }A Sn n= ∈ =σ ε σ 1 a) Arătaţi că (An, o) este un subgrup al grupului (Sn, o). (An, o)

se numeşte grupul altern de grad n. b) Arătaţi că (An, o) este un subgrup normal al grupului (Sn, o).

c) Demonstraţi că S n4 = ! şi An

n =!

2.

55

56

III. INELE

III.1. Inele, subinele, ideale, inele factor

III.1.1. Definiţie. Se numeşte inel o mulţime nevidă A împreună

cu două operaţii algebrice, din care una se notează de obicei aditiv, iar cealaltă multiplicativ, cu următoarele proprietăţi:

1) (A, +) este grup abelian 2) (A, •) este semigrup 3) operaţia de înmulţire este distributivă faţă de operaţia de

adunare, adică a(b +c) = ab + ac şi (b +c)a = ba + ca pentru orice a, b, c ∈ A.

Inelul A se numeşte comutativ dacă operaţia de înmulţire este comutativă. Inelul A se numeşte unitar dacă operaţia de înmulţire are element neutru.

III.1.2. Definiţie. Un element a ∈ A, A inel, se numeşte divizor al lui zero la stânga (la dreapta) dacă există b ≠ 0, b ∈ A, astfel încât ba = 0 (respectiv ab = 0). Un inel nenul A comutativ, cu element unitate şi care nu are divizori ai lui zero se numeşte inel integru sau domeniu de integritate.

III.1.3. Definiţie. Elementele inversabile pentru operaţia de înmulţire din inelul (unitar) A se numesc elemente inversabile ale inelului A.

III.1.4. Definiţie. Fiind date două inele A şi B, o funcţie f: A → B se numeşte morfism de inele dacă satisface următoarele două proprietăţi:

1) f(a + b) = f(a) + f(b), pentru oricare a, b ∈ A 2) f(ab) = f(a)f(b), pentru oricare a, b ∈ A III.1.5. Definiţie. Fie A şi B două inele şi f: A → B un morfism

de inele. Se numeşte nucleul lui f submulţimea lui A, Kerf = {x∈ A⏐f(x) = 0}

Se numeşte imaginea lui f submulţimea lui B, Imf = f(A) = {f(x)⏐ x∈ A }

III.1.6. Definiţie. O submulţime nevidă A′ a inelului A se numeşte subinel al inelului A dacă:

1) oricare ar fi a, b ∈ ′A , rezultă a - b ∈A′ 2) oricare ar fi a, b ∈ ′A , rezultă ab ∈A′ . III.1.7. Definiţie. Fie A un inel. O submulţime I a lui A se

numeşte ideal stâng (respectiv drept) al lui A dacă: 1) oricare a, b ∈ I, rezultă a - b ∈ I 2) oricare a ∈ I şi x ∈ A rezultă xa ∈ I (respectiv ax ∈ I). Un ideal I al inelului A se numeşte ideal bilateral dacă este ideal

la stânga şi la dreapta al inelului A. Observaţie. Dacă A este inel comutativ atunci toate idealele

inelului A sunt bilaterale. III.1.8. Propoziţie. Fie A şi B două inele şi f: A → B un

morfism de inele. Kerf este un ideal bilateral al inelului A, iar Imf este un ideal al inelului B.

III.1.9. Observaţie. Orice ideal al inelului A este un subinel al inelului A.

III.1.10. Definiţie. Fie A un inel unitar şi M o submulime a lui A. Prin ideal stâng (drept, bilateral) generat de mulţimmea M se înţelege intersecţia tuturor idealelor stângi (drepte, bilaterale) care conţin mulţimea M. Mulţimea vidă generează idealul (0). Un ideal stâng (drept, bilateral) al inelului A se numeşte de tip finit sau finit generat dacă există o mulţime finită de elemente din I care generează pe I. În cazul în care există un singur element care generează pe I se spune că I este ideal stâng (drept, bilateral) principal.

Observaţie. Fie A un inel şi x ∈ A. Idealul principal stâng generat de elementul x ∈ A este Ax = {ax⏐ a ∈ A }, idealul drept generat de acelaşi element este xA = {xa⏐ a ∈ A }, iar idealul bilateral generat de x este AxA = {axb⏐ a,b ∈ A }.

III.1.11. Definiţie. Fie A un inel. Se numeşte inel factor al lui A un inel ′A împreună cu un morfism surjectiv de inele p: A → ′A . Morfismul p se numeşte morfismul canonic sau surjecţia canonică.

57

III.1.12. Teoremă. Fie A un inel şi I un ideal bilateral al lui A. Atunci există un inel ′A şi un morfism surjectiv de inele f: A → ′A astfel încât Kerf = I.

III.1.13. Observaţie. Fie A un inel şi I un ideal bilateral al său. Deoarece (A, +) este grup şi I este un subgrup al său putem construi grupul factor A/I şi f: A → A/I morfismul canonic de grupuri care ştim că are proprietatea Kerf = I (vezi II.6.B.3). Mai mult, A/I este chiar inel numit inel factor.

ATENŢIE! Inelul factor al unui inel A nu poate fi construit decât dacă I este ideal bilateral al inelului A.

III.1.14. Teoremă. Dacă f: A → B este un morfism de inele, atunci există un izomorfism canonic

.fImKerfA: ⎯→⎯≈θ III.1.15. Teoremă. Fie A un inel şi I ⊆ J două ideale bilaterale

ale sale. Atunci există un izomorfism canonic de inele.

ψ:/

//

A I

J IA J≈⎯ →⎯ .


III.ER.1.1). Determinaţi toate subinelele inelului (Z, +, •). Rezolvare. Fie M un subinel al inelului (Z, +, •). Din III.1.6.

rezultă că M trebuie să fie subgrup al grupului (Z, +). Cum din II.ER.3.1. ştim că toate subgupurile lui (Z, +) sunt de forma aZ, rezultă că există a ∈ Z astfel încât M = aZ. Mai trebuie demonstrat pentru M = aZ, a ∈ Z, doar afirmaţia 2) a definiţiei III.1.6., adică trebuie arătat că pentru oricare x, y ∈ M rezultă că xy ∈ M.

Aşadar, fie x, y ∈ M. Cum M = aZ, iar aZ = {am⏐m ∈ Z}, rezultă că există m1, m2 ∈ Z astfel încât x = am1şi y = am2.

xy = (am1)(am2) = a(m1am2), iar m1am2 ∈ Z. Deci xy ∈ aZ, adică xy ∈ M.

În concluzie, orice subinel al inelului (Z, +, •) este de forma aZ cu a ∈ Z.

III.ER.1.2). Fie n ∈ N*\{1}. Determinaţi toate idealele inelului (Zn +, •).

58

Rezolvare. Deoarece (Zn, +, •) este un inel comutativ, este suficient să determinăm, de exemplu, toate idealele la stânga ale acestui inel. Acestea vor fi şi ideale la dreapta şi deci bilaterale.

Fie I un ideal al inelului (Zn, +, •). Din III.1.6. rezultă că M trebuie să fie subgrup al grupului (Zn, +). Cum din II.ER.7.3. ştim că toate subgrupurile grupului (Zn, +) sunt de forma dZ/nZ cu d⏐n, rezultă că există un divizor al lui n astfel încât I = dZ/nZ. Mai trebuie să demonstrăm doar afirmaţia 2) a definiţiei III.1.7., adică trebuie să arătăm că pentru oricare ∈ I şi pentru oricare $a $x ∈ Zn rezultă $x $a∈ I.

Aşadar, fie ∈dZ/nZ şi $a $x ∈ Zn. Cum dZ/nZ = { ⏐ ∈ Zn } rezultă că există

$m $d $m$α ∈ Zn astfel încât = $a $α $d .

== dˆxax α dx∧α , cu $x α ∈ Zn

Deci $x $a∈ dZ/nZ, adică $x $a∈ I. În concluzie, orice ideal al inelului (Zn, +, •) este de forma dZ/nZ

unde d este un divizor al lui n. III.ER.1.3). Arătaţi că există inele care au subinele ce nu sunt şi

ideale ale inelului respectiv. (Cu alte cuvinte, rezolvând acest exerciţiu vom arăta că

reciproca afirmaţiei III.1.9. nu este adevărată). Rezolvare. Fie inelul (Q, +, ·) · (Z, +, ·) este un subinel al acestui

inel (lăsă cititorul să verifice acest lucru). Vom arăta că (Z, +, ·) nu este un ideal al inelului (Q, +, ·).

Presupunem prin absurd că (Z, +, ·) este un ideal al inelului (Q, +, ·). Cum (Q, +, ·) este un inel comutativ, putem considera, de exemplu, că (Z, +, ·) este un ideal stâng al lui (Q, +, ·). Din III.1.7. - afirmaţia 2) rezultă că pentru oricare a∈Z şi pentru oricare x∈Q,

xa∈Z. Luăm, de exemplu, a = 3 şi x =1

4. Ar trebui ca ax∈Z. Dar

ax Z= ∉3

4. Deci afirmaţia presupusă prin absurd este falsă, aşadar

(Z, +, ·) nu este un ideal al inelului (Q, +, ·). În concluzie, (Z, +, ·) este un subinel al inelului (Q, +, ·), dar nu

este şi ideal al său.

59

60


III.E.1.1) Fie n∈N*\{1}. Determinaţi toate subinelele inelului

(Zn, +, ·). Indicaţie: Urmăriţi raţionamentul exerciţiului III.ER.1.1. III.E.1.2) Determinaţi toate idealele inelului (Z, +, ·). Indicaţie: Urmăriţi raţionamentul exerciţiului III.ER.1.2. III.E.1.3) Determinaţi toate subinelele şi idealele următoarelor

inele: (Z6, +, ·), (Z12, +, ·), (Z72, +, ·).

III.E.1.4) Arătaţi că intersecţia oricăror două ideale ale unui inel este tot un ideal.

III.E.1.5) Fie A şi B două inele şi A×B produsul lor cartezian. Definim pe A×B următoarelor operaţii algebrice:

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) (a, b) (c, d) = (ac, bd)

pentru oricare a, c ∈ A şi b, d ∈ B. a) Arătaţi că mulţimea A×B împreună cu operaţiile algebrice

definite mai sus este un inel. b) Definim:

i1: A → A×B, i1(a) = (a, 0) i2: B → A×B, i2(a) = (0, a) p1: A×B → A, p1(a, b) = a p2: A×B → B, p2(a, b) = b.

Arătaţi că i1, i2 sunt morfisme injective de inele, iar p1, p2 sunt morfisme surjective de inele. Sunt unitare aceste morfisme?

III.E.1.6) Fie Z[i] = {a+bi ⎢a, b∈Z şi i2 =-1}. Arătaţi ca mulţimea Z[i] împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire a numerelor complexe este un inel comutativ şi unitar. Aflaţi divizorii lui zero şi elementele inversabile ale acestui inel.

III.E.1.7) Fie inelul (Z, +, ·) şi p, q ∈ Z. Notăm cu d cel mai mare divizor comun al elementelor p şi q şi cu m cel mai mic multiplu comun al elementelor p şi q.

Arătaţi că: a) pZ+qZ = dZ şi b) pZ ∩ qZ = mZ.

Indicaţie: pZ+qZ = {a+b ⎢a ∈pZ şi b ∈qZ }. Se va folosi faptul că există d1, d2∈Z astfel încât pd1+ qd2 = d, precum şi proprietăţile celui mai mare divizor comun şi celui mai mic multiplu comun a două elemente.

III. E.1.8) Fie M2(R) mulţimea matricilor cu două linii şi două coloane şi elemente din R.

a) Arătaţi că M2(R) împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire ale matricilor cu două linii şi două coloane, este un inel necomutativ. Aflaţi divizorii lui zero şi elementele inversabile ale acestui inel.

b) Arătaţi că mulţimea:

Ja

ba b R=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

0

0,

este ideal la stânga al inelului (M2(R), +, ·), dar nu este ideal la dreapta al aceluiaşi inel.

c) Arătaţi că mulţimea:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Rb,a

ba00

I

este ideal la dreapta al inelului (M2(R), +, ·), dar nu este ideal la stânga al aceluiaşi inel.

III.E.1.9) Descrieţi idealele bilaterale ale lui M2(Z12), inelele sale factor şi daţi exemple de ideale la stânga care nu sunt ideale la dreapta.

III.E.1.10) Fie n∈N*\{1} şi inelul (Zn, +, ·). Fie ∈Zn. $aa) Arătaţi că este element inversabil al inelului (Zn, +, ·) dacă

şi numai dacă a şi n sunt prime între ele. $a

b) Arătaţi că (Zn, +, ·) este inel integru dacă şi numai dacă n este număr prim.

III.2. Ideale prime şi ideale maximale ale unui inel În acest paragraf vom presupune că toate inelele sunt comutative

şi unitare.

61

II.2.1. Definiţie. Fie A un inel comutativ şi unitar. Un ideal P al lui A se numeşte ideal prim dacă oricare a, b ∈ A astfel încât ab∈P, rezultă că a∈ P sau b∈ P.

III.2.2. Definiţie. Fie A un inel comutativ şi unitar. Un ideal M al lui A se numeşte ideal maximal dacă M≠A şi oricare ar fi idealul I al lui A cu M⊆I⊆A, rezultă I= A sau I= M.


III.ER.2.1) Fie A un inel comutativ şi unitar şi I un ideal al său.

Arătaţi că I este ideal prim al lui A dacă şi numai dacă inelul factor A/I este integru.

Rezolvare. Presupunem că I este ideal prim al inelului A şi arătăm că A/I este inel integru. Pentru aceasta va trebui să demonstrăm că pentru oricare )a ,

)b∈A/I cu proprietatea că )

) )ab = 0 , rezultă )

)a = 0

sau ) )b . = 0

Fie )a ,)b∈A/I astfel încât )

) )ab = 0 . Rezultă că ab∈I, dar cum I

este ideal prim al lui A obţinem că sau a∈I, deci ))

a = 0, sau b∈I, deci ) )b = 0 .

Presupunem acum că A/I este inel integru şi arătăm că I este ideal prim al inelului A. Pentru aceasta va trebui să demonstrăm că pentru oricare a, b∈A cu proprietatea ab∈I, rezultă a∈I sau b∈I.

Fie a, b∈A astfel încât ab∈I. Rezultă că 0ab)

= în inelul A/I, deci )

) )ab = 0 în inelul A/I, dar cum A/I este inel integru obţinem că sau

) )a = 0, deci a∈I, sau

) )b = 0 , deci b∈I.

III.ER.2.2) Fie n∈N*\{1}. Aflaţi care din idealele inelului (Zn, +, ·) sunt prime.

Rezolvare. După cum am văzut în III.ER.1.2., idealele inelului (Zn, +, ·) sunt de forma dZ/nZ, unde d este un divizor al lui n. Din exerciţiul anterior, III.ER.2.1), rezultă că dZ/nZ este un ideal prim al

inelului (Zn, +, ·) dacă şi numai dacă inelul factor Z

dZ nZn

/ este inel

integru. Aplicăm III.1.15. şi obţinem:

62

Z

dZ nZ

Z nZ

dZ nZZ dZ Zdn

/

/

// .= ≅ =

Aşadar, dZ/nZ, unde d este un divizor al lui n, este ideal prim al inelului (Zn, +, ·) dacă şi numai dacă (Zd, +, ·) este inel integru. Dar din III.E.1.10. ştiim că (Zd, +, ·) este inel integru dacă şi numai dacă d este prim.

În concluzie, idealele prime ale inelului (Zn, +, ·) sunt de forma pZ/nZ unde p este divizor prim al lui n.

III.ER.2.3) Fie p∈N un număr prim şi inelul (Z , +, ·). Aflaţi

toate idealele maximale ale acestui inel. pk

Rezolvare. După cum am văzut în III.ER.1.2., idealele inelului (Z , +, ·) sunt de forma dZ/pkZ, unde d este un divizor al lui pk. Cum

p este număr prim rezultă că d=pi, unde i∈{1, 2, ..., k}. Deci idealele inelului (Z , +, ·) sunt piZ/pkZ, i∈{1, 2, ..., k}.

pk

pk

pentru i=1: Z/pkZ =Z , pk

pentru i=2: pZ/pkZ ={ }) ) )px x Z

pk∈ ,

pentru i=3: p2Z/pkZ ={ }) ) )p x x Z

pk2 ∈ ,

............................................................. pentru i=k: pkZ/pkZ ={ })0 .

Deci: pkZ/ pkZ ⊆ pk-1Z/pkZ ⊆ .... ⊆ p2Z/pkZ ⊆ pZ/pkZ ⊆ Z/pkZ =Z .

pk

În concluzie, din definiţia idealului maximal rezultă că acest inel nu are decât un singur ideal maximal, iar acesta este pZ/pkZ.

Pentru a înţelege mai bine raţionamentul exerciţiului anterior vom face o aplicaţie.

Aplicaţie. Aflaţi toate idealele maximale ale inelului (Z27, +, ·). Rezolvare. După cum am văzut în III.ER.1.2. idealele inelului

(Z27, +, ·) sunt de forma dZ/27Z, unde d este un divizor al lui 27. Aşadar, idealele acestui inel sunt: Z/27Z, 3Z/27Z, 9Z/27Z şi 27Z/27Z.

Z/27Z =Z27

63

3Z/27Z = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∧∧∧∧∧

24 ,21 ,18 ,15 ,12 ,9 ,6 ,3 ,0)))

9Z/27Z =) )0 9 18, ,

∧⎧⎨⎩⎫⎬⎭

27Z/27Z = { })0 Deci: 27Z/27Z ⊆ 9Z/27Z ⊆ 3Z/27Z ⊆ Z/27 Z = Z27. În concluzie, acest inel nu are decât un singur ideal maximal; iar

acesta este 3Z/ 27 Z.

Exerciţii propuse spre rezolvare III.E.2.1) Fie A un inel. Demonstraţi că (0) este ideal prim al

inelului A dacă şi numai dacă A este inel integru. III.E.2.2) Fie inelul (Z, +, ·). Demonstraţi că pZ este ideal prim

al inelului Z dacă şi numai dacă p este număr prim. III.E.2.3) Determinaţi toate idealele prime ale următoarelor

inele: Z54, Z72, Z360.

III.E.2.4) Determinaţi toate idealele prime şi maximale ale următoarelor inele:

Z32, Z625, Z343.

III.3. Inele de fracţii. Corpul de fracţii al unui inel integru

În acest paragraf vom presupune că toate inelele sunt comutative

şi unitare. III.3.1. Definiţie. Fie A un inel comutativ şi unitar şi S o

submulţime a lui A. S se numeşte sistem multiplicativ (închis) al inelului A dacă are următoarele proprietăţi:

1) 1∈ S. 2) oricare s, t∈S, st∈S

64

unde prin 1 înţelegem elementul unitate al lui A faţă de operaţia de înmulţire.

Exemple de sisteme multiplicative

1) S ={1} 2) S ={1, a, a2, ..., an, ...}, a∈A, a≠0, unde prin 0 înţelegem

elementul unitate al inelului A faţă de operaţia de adunare. III.3.2. Fie A un inel comutativ şi unitar şi S un sistem

multiplicativ al lui A. Pe mulţimea A×S introducem relaţia: (a, s) ~ (b, t) ⇔ există f∈S astfel încât f(ta-sb)=0 care este o

relaţie de echivalenţă pe A×S. Notăm cu S-1A mulţimea factor A×S/~

şi cu a

s clasa de echivalenţă a lui (a,s). Elemtele mulţimii S-1A se

numeşte fracţii cu numitorii în S (ale lui A). Pe S-1A introducem două legi de compoziţie, adunarea şi

înmulţirea fracţiilor, anume:

sttbta

tb

sa +

=+

stab

tb

sa

=⋅ .

Cu operaţiile definite mai sus, S-1A este un inel comutativ şi

unitar: 10

este elementul zero al lui S-1A, ( )

sa−

este opusa fracţiei

11 ,

sa

este elementul unitate al lui S-1A.

Observaţie. Fie a

s şi

b

t două fracţii cu numitorii în s din inelul

S-1A. a

s

b

t= dacă şi numai dacă există f∈S astfel încât f(ta-sb) = 0.

65

Observaţie. Elementele inversabile din inelul S-1A sunt fracţiile

de forma s

ts t S, , ∈ , iar inversa unei astfel de fracţii este fracţia

s

t.

Observaţie. Dacă sistemul multiplicativ S al lui A nu conţine divizori ai lui zero, atunci S-1A este corp.

III.3.3. Definiţie. Fie A şi B două inele. Spunem că B este A -algebră de morfism structural g dacă există un morfism de inele g: A → B cu proprietatea că pentru oricare a ∈ A şi b ∈ B avem g(a)b = bg(a).

Definim fS: A → S-1A, ( )f aa

S =1⋅ fS este un morfism de inele,

aşadar S-1A este o A - algebră de morfism structural fS.

III.3.4. Teorema de universalitate a inelelor de fracţii Fie A un inel comutativ şi unitar şi S un sistem multiplicativ al

lui A. Oricare ar fi A - algebra B de morfism structural f: A → B astfel încât f(s) este inversabil în B pentru orice s ∈ S, există un unic morfism de inele unitare α: S-1A → B care face comutativă diagrama:

fS A S-1A

66

f α

B adică .ffS =oα


67

}= $ $ $III. ER.3.1). Fie inelul (Z6, +, •) şi S o submulţime a lui Z6,

. Arătaţi că S este un sistem multiplicativ al lui Z6 şi că S-1Z6 este izomorf cu Z3.

{S 1, 2, 4

Rezolvare. Faptul că S este sistem multiplicativ al lui Z6 se verifică imediat folosind definiţia III.3.1.

În continuare vom arăta că S-1Z6 este izomorf cu Z3. Pentru aceasta trebuie să vedem mai întâi cum arată mulţimea S-1Z6.

S Za

sa Z s S− = ∈ ∈

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

16 6

$ si

Aşadar,

.45,

25,

15,

44,

24,

14,

43,

23,

13,

42,

22,

12,

41,

21,

11,

40,

20,

10

ZS 61

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

=−

Folosind prima observaţie din III.3.2. obţinem: $

$

$

$0

2

0

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $1 1 0 2 0 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$0

4

0

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $1 1 0 4 0 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$3

2

0

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $2 1 3 2 0 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$3

4

0

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $2 1 3 4 0 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$3

1

0

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $2 1 3 1 0 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$2

2

1

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $1 1 2 2 1 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$4

4

1

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $1 1 4 4 1 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$5

2

1

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $2 1 5 2 1 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$4

1

1

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $2 1 4 1 1 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$1

4

1

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $2 1 1 4 1 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$2

4

2

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $1 1 2 4 2 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$1

2

2

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $2 1 1 2 2 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$5

1

2

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $2 1 5 1 2 0⋅ − ⋅ =

$

$

$

$5

4

2

1= (deoarece ( ) )$ $ $ $ $ $2 1 5 4 2 0⋅ − ⋅ =

Aşadar,

S Z− =⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

16

0

1

1

1

2

1

$

$ ,$

$ ,$

$

Definim f: S-1Z6 → Z3 astfel: f$

$ ,0

10

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = f

$

$ ,1

11

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ = f

$

$2

12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = .

Evident f este un morfism bijectiv de inele, deci este un izomorfism. III. ER.3.2). Fie A un inel comutativ şi unitar, S un sistemm

multiplicativ închis al lui A care nu conţine divizori ai lui zero şi S′ = {x ∈ A⏐există s ∈ S şi x′ ∈ A astfel încât s = x x′}. Arătaţi că S′

este un sistem multiplicativ al lui A şi că S-1A şi S′-1A sunt inele izomorfe.

Rezolvare. Faptul că S′ este un sistem multiplicativ se verifică imediat folosind definiţia III.3.1.

Arătăm că S-1A şi S′-1A sunt inele izomorfe. Să observăm mai întâi că S ⊆ S′ (deoarece pentru orice s ∈ S există s ∈ S şi x′ = 1∈ A

68

astfel încât s = s·1). Cum S-1A = a

sa A si s S∈ ∈

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

şi

S′ -1A = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ′∈∈ Ss si Aa

sa

şi cum S ⊆ S′ rezultă că S-1A ⊆ S′-1A.

Considerăm morfismul de inele fS: A → S-1A, ( )f aa

S =1

şi

: A → S′ -1A, Sf ′ ( )1aafS =′ . Cum pentru oricare s ∈ S, ( )

1ssfS =′ este

inversabil în S′ -1A (inversul său este 1

s ∈ S′ -1A şi care există deoarece

s ∈ S şi S ⊆ S′, deci s ∈ S′) rezultă că putem aplica teorema de universalitate a inelelor fracţii (III.3.4.) pentru inelul comutativ şi unitar A, inelul de fracţii S-1A şi A - algebra S′-1A de morfism structural . Aşadar, există şi este unic un morfism de inele unitare α: S-1A → S′ -1A care face comutativă următoarea diagramă:

Sf ′

fs

A S-1A

α Sf ′

69

S′ -1A

adică α o fS = (1) Sf ′

Vom arăta că α este aplicaţie bijectivă. Arătăm că α este injectivă. Pentru aceasta este suficient să

demonstrăm că Kerα = 0

1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

, unde Kerα = a

sS A

a

s∈

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−1 0

1α .

Fie a

s ∈ Kerα. Rezultă α

a

s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

0

1 . Dar

a

s

a

s= ⋅

1

1 , iar

a

1 = fS (a),

aşadar a

s = fS (a)

1

s .

( ) ( )( )( )

( )

sa

s1

1a

s1af

s1af

s1af

sa

S

1

SS

=⋅=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′= ααααα

Deci αa

s

a

s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = şi cum α

a

s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

0

1, rezultă că

a

s=

0

1.

Din observaţia a, III.3.2., obţinem că există f ∈ S astfel încât f(1·a - s·0), adică f·a = 0. Dar f ∈ S, iar S nu conţine divizori ai lui zero, aşadar a = 0.

Deci Kerα = 0

1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

, adică α este injectivă.

Arătăm că α este surjectivă. Pentru aceasta vom verifica că

pentru oricare a

s′∈ S′-1A, există

sb ∈ S-1A astfel încât α

b

s

a

s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

′. Fie

a

s′∈ S′ -1A, deci ′s ∈ S′ şi cum S′ = {x ∈ A⏐există s ∈ S şi ′x ∈ A

astfel încât s = s′ s″}, rezultă că există s ∈ S şi ′′s ∈ A astfel încât s = . Aşadar ′s ′′s

a

s

as

s s

as

s

as

s′=

′′′ ′′

=′′=

′′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α

(deoarece as

s′′

∈ S-1A, iar S-1A ⊆ S′ -1A).

70

Deci, pentru oricare a

s′∈ S′ -1A, există

as

s′′

∈ S-1A astfel încât

αas

s

a

s′′⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ =

′, adică α este surjectivă.


III.E.3.1) Fie A un inel comutativ şi unitar, P un ideal prim al lui

A şi S = A\P o submulţime a lui A. Arătaţi că S este un sistem multiplicativ (închis) al inelului A.

III.E.3.2) Fie inelul (Z8, +, •) şi S = { }$,$,$1 2 5 o submulţime a lui Z8. Arătaţi că S este un sistem multiplicativ închis al inelului (Z8, +, •) şi calculaţi S-1 Z8.

III3.3) Fie inelul (Z24, +, •) şi S = { o submulţime a lui Z24. Arătaţi că S este un sistem multiplicativ al sistemului (Z24, +, •), iar inelul S-1 Z24 este izomorf cu inelul (Z3, +, •).

}$,$,$1 6 62

III.E.3.4). Fie A un inel comutativ şi unitar şi I un ideal al său. Arătaţi că S-1I este ideal al inelului S-1A. Dacă J este un alt ideal al inelului A, demonstraţi următoarele afirmaţii:

a) I ⊆ J ⇒ S-1I ⊆ S-1J b) S-1(I + J) = S-1I + S-1J c) S-1(I ∩ J) = S-1I ∩ S-1J III.4. Algebra polinoamelor într-o nedeterminată

III.4.1. Definiţie. Fie A un inel comutativ şi unitar. Notăm

[ ]

{ }A X

f f a X a X a X a a a a A n Nnn

nn

n

=

= = + + + + ∈ ∈−−

11

1 0 0 1L K, , , , si

(A[X] este mulţimea tuturor polinoamelor în nedeteminata X cu

coeficienţi în inelul commutativ şi unitar A).

71

A[X] împreună cu operaţiile obişnuite de adunare şi înmulţire a polinoamelor formează un inel numit inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienţi în inelul A.

III.4.2. Definiţie. Fie f ∈ A[X]. Notăm (f) = {fg⏐g ∈ A[X]} (f) este un ideal al inelului A[X] (lăsăm cititorului să verifice

acest lucru) şi se numeşte idealul lui A[X] generat de polinomul f. III.4.3. Definim aplicaţia f:A → A[X], f(a) = a pentru oricare

a∈A.f este un morfism unitar de inele (lăsăm cititorul să verifice acest lucru).

Teorema de universalitate a inelului de polinoame într-o

nedeterminată Fie A un inel comutativ şi unitar, A[X] inelul polinoamelor de o

nederminată cu coeficienţi în A şi ψ: A → B o A-algebră, iar x ∈ B. Atunci există un unic morfism de inele U: A[X] → B astfel încât U(X) = x şi diagrama

f

A A[X]

72

K

ψ U

B să fie comutativă, adică U o f = ψ.

III. 4.4. Teorema împărţirii cu rest. Fie A un inel comutativ, f, g ∈ A[X], f(X) = amXm + am-1Xm-1 + ... + a0 şi g(X) = bnXn + +bn-1Xn-1 + ... + b0, bn ≠ 0. Notăm K = max{m - n + 1, 0}. Atunci există q, r ∈ A[X] astfel încât b f = gq + r, iar gradul lui r este strict mai mic decât gradul lui g.

n

Exerciţii rezolvate III.ER.4.1. Fie inelul (Z[i], +, •), unde Z[i] = {a + bi⏐a,b ∈ Z şi

i2 = -1} a) Arătaţi că există un izomorfism de inele

Z[i] ≅ Z[X] / (X2 + 1). b) Arătaţi că (X2 + 1) este un ideal prim al inelului Z[X]. Rezolvare. a) Vom aplica teorema de universalitate a inelelor de

polinoame pentru inelul (Z, +, •), Z[X] inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienţii în Z, Z - algebra Z[i] de morfism structural ψ: Z → Z[i], ψ(a) = a pentru oricare a ∈ Z şi i ∈ Z[i]. Astfel obţinem că există un unic morfism de inele u: Z[X] → Z[i], astfel încât u(X) = i şi diagrama

f

Z Z[X]

ψ u Z[i]

să fie comutativă, adică u o f = ψ. În continuare vom aplica teorema fundamentală de izomorfism

pentru inele (III.1.14.) relativ la morfismul u: Z[X] → Z[i]. Astfel obţinem că există un izomorfism de inele w: Z[X] / Ker u → Im u astfel încât următoarea diagramă să fie comutativă:

u

Z[X] Z[i]

73

w

Z[X]/Ker u Im u

Pentru a demonstra că Z[X] / (X2 + 1) ≅ Z[i] este suficient să arătăm că Keru = (x2 + 1) şi Imu = Z[i].

74

Arătăm că Keru = (X2 + 1). Pentru aceasta vom aplica metoda dublei incluziuni.

Arătăm mai întâi că Keru ⊆ (X2 + 1), adică trebuie să demonstrăm că oricare f(X) ∈ Keru, f(X) ∈(X2 + 1). Fie f(X) ∈ Keru. Rezultă u(f(X)) = 0 (1). Aplicăm apoi teorema împărţirii cu rest pentru deîmpărţitul f(X) şi împărţitorul X2 + 1 şi obţinem că există q(X), r(X) ∈ Z[X] astfel încât f(X) = (X2 + 1)q(X) + r(X), 0 ≤ grad r(X) < 2 (2) u(f(X)) = u((X2 + 1)q(X) + r(X)) = u(X2 + 1)u(q(X)) + u(r(X)) = = ([u(X)]2+ 1) u(q(X)) + u(r(X)) = (i2 + 1)u(q(X)) + u(r(X)) = =u(r(X)).

Deci u(f(X)) = u(r(X)). Dar cum din relaţia (1) avem u(f(X)) = 0 rezultă că u(r(X)) = 0 (3). Din relaţia (2) avem 0 ≤ grad f(X) < 2, aşadar, gradul lui r(X) poate fi cel mult 1, deci r(X) este de forma r(X) = aX + b, cu a, b ∈ Z.

u(r(X)) = u(aX + b) = u(aX) + u(b)= au(X) + b= ai + b Aşadar, u(r(X)) = ai + b şi cum din relaţia (3) avem u(r(X)) = 0

obţinem că ai + b = 0, deci a = b = 0 şi cum r(X) = aX + b, r(X) = 0. Deci, din relaţia (2) obţinem că f(X) = (X2 + 1)q(X), aşadar f(X) ∈ (X2 + 1).

Arătăm acum că (X2 + 1) ⊆ Keru, adică trebuie să demonstrăm că oricare f ∈ (X2 + 1), f ∈ Keru. Fie f ∈ (X2 + 1).

Cum (X2 + 1) = {g(X2 + 1)⏐g ∈ Z[X]}, rezultă că există g ∈ Z[X] astfel încât f = (X2 + 1)g. Aplicăm morfismul u acestei relaţii şi obţinem:

u(f) = u((X2 + 1)g) = ((u(X))2 + 1)u(g) = (i2 + 1)u(g) = 0 Aşadar, u(f) = 0, deci f ∈ Keru. Arătăm în continuare că Imu = Z[i], ceea ce este echivalent cu a

demonstra că u este aplicaţie surjectivă. Deci va trebui să arătăm că pentru oricare a + bi ∈ Z[i], există f∈ Z[X] astfel încât u(f) = a + bi. Fie a + bi ∈ Z[i]. Luăm f = a + bX.

u(f) = u(a + bX) = u(a) + u(bX) = a + bu(X) = a + bi Aşadar, pentru oricare a + bi ∈ Z[i], există f ∈ Z[X],

f(X) = a + bX, astfel încât u(f) = a + bi. Deci f este surjectivă. În concluzie: Z[X] / (X2 + 1) ≅ Z[i].

b) Arătăm că (X2 + 1) este ideal prim al inelului Z[X]. Presupunem prin absurd că (X2 + 1) nu este un ideal prim al

inelului Z[X], deci există f1, f2 ∈ Z[X] astfel încât f1f2 ∈ (X2 + 1), dar f1 ∉ (X2 + 1) şi f2 ∉ (X2 + 1). Deoarece f1 şi f2 ∉ (X2 + 1), la împărţirea acestor polinoame cu X2 + 1 restul nu este nul (altfel X2 + 1 ar divide polinoamele f1 şi f2, deci f1 şi f2 ar aparţine idealului (X2 + 1) al inelului Z[X]. Aşadar, din teorema împărţirii cu rest aplicată pentru deîmpărţitele f1 şi f2 şi împărţitorul X2 + 1 rezultă că există q1, r1 ∈ Z[X] şi q2, r2 ∈ Z[X] astfel încât:

f1(X) = (X2 + 1) q1(X) + r1(X), 0 < grad r1 < 2 f2(X) = (X2 + 1) q2(X) + r2(X), 0 < grad r2 < 2 Deci grad r1 = grad r2 = 1, astfel r1 = a1X + b1, a1b1 ∈ Z şi r2 =

=a2X + b2, a2b2 ∈ Z. Dar f1f2 ∈ (X2 + 1), deci (X2 + 1)2q1(X) q2(X) + +(X2 + 1) q1(X) r2(X) + (X2 + 1) q2(X) r1(X) + r1(X) r2(X) ∈(X2 + 1), aşadar (X2 + 1) divide r1(X) r2(X). Dar cum r1(X) r2(X) = a1a2X2 + +(a1b2 + a2b1)X + b1b2 rezultă că X2 + 1 = a1a2X2 + (a1b2 + a2b1)X + +b1b2. Deci:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==+

=

1bb0baba

1aa

21

1221

21

cu a1, a2, b1, b2 ∈ Z.

Astfel avem ((a1 = 1 şi a2 = 1) sau (a1 = -1 şi a2 = -1)) şi ((b1 = 1 şi b2 = 1) sau (b1 = -1 şi b2 = -1)). Se observă că nici una din cele patru variante posibile nu verifică ecuaţia a doua a sistemului, deci sistemul nu are soluţie. Aşadar, presupunerea de la care am plecat este falsă, deci (X2 + 1) este ideal prim al inelului Z[X].

III.ER.4.2). Fie A un inel comutativ şi unitar, f un element al inelului A care nu este divizor al lui zero şi S o mulţime a lui A, S = {1, f, f2, ...fn, ...}

a) Arătaţi că S este un sistem multiplicativ al inelului A b) Arătaţi că există un izomorfism de inele

A[X] / (Xf - 1) ≅ S-1A. Rezolvare. Punctul a) îl propunem cititorului ca exerciţiu. b) Vom aplica teorema de universalitate a inelului de polinoame

pentru inelul (A, +, •), A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminată cu

75

coeficienţi în A, A - algebra S-1A de morfism structural Ψ:A→ S-1A,

Ψ(a) = a

1 pentru oricare a ∈ Z şi

1

f ∈ S-1A Astfel obţinem că există un

unic morfism de inele u: A[X] → S-1A, astfel încât U(X) = 1

f şi diagrama:

f A A[X]

Ψ U

76

S-1A să fie comutativă, adică U o f = Ψ.

În continuare vom aplica teorema fundamentală de izomorfism pentru inelele (III.1.14.) relativ la morfismul u: A[X] → S-1A. Astfel obţinem că există un izomorfism de inele w: A[X]/KerU → ImU astfel încât următoarea diagramă să fie comutativă:

U

A[X] S-1A w

A[X]/KerU ImU Pentru a demonstra că A[X]/(Xf - 1) ≅ S-1A este suficient să

arătăm că Ker U = (Xf - 1) şi ImU = S-1A. Arătăm că KerU = (Xf - 1). Pentru aceasta vom aplica metoda

dublei incluziuni. Arătăm mai întâi că KerU ⊆ (Xf - 1), adică trebuie să

demonstrăm că oricare g(X) ∈ KerU, g(X) ∈ (Xf - 1). Fie g(X) ∈ KerU. Rezultă U(g(X)) = 0 (1). Aplicăm apoi teorema împărţirii cu rest pentru deîmpărţitul f(X) şi împărţitorul Xf - 1 şi obţinem că există q(X), r(X) ∈ A[X] astfel încât

g(X) = (Xf - 1)q(X) + r(X), 0 ≤ grad r(X) < 1 (2)

Obţinem grad r(X) = 0 (3) şi U(g(X)) = U((Xf - 1)q(X) + r(X)) = U(Xf - 1)U(q(X)) + U(r(X)) =

=(U(X)f - 1)U(q(X)) + U(r(X)) = (1

ff - 1) U(q(X)) + U(r(X)) = U(r(X)).

Deci U(g(X))=U(r(X)). Dar cum din relaţia (1) avem U(g(X)) = =0, rezultă că U(r(X)) = 0. (4) Din relaţia (3) avem grad r(X) = 0, deci r(X) = a, a ∈ A, aşadar din (4) obţinem a = 0, iar din (2):

g(X) = (Xf - 1)q(X) adică g(X) ∈ (Xf - 1).

Arătăm acum că (Xf - 1) ⊆ KerU, adică trebuie să demonstrăm că oricare g ∈ (Xf - 1), g ∈ KerU. Fie g ∈ (Xf - 1).

Cum (Xf - 1) = {h(Xf - 1)⏐h ∈ A[X]} rezultă că există h ∈ A[X] astfel încât g = (Xf - 1)h. Aplicăm morfismul U acestei relaţii şi obţinem că:

U(g) = U((Xf - 1)h) = U(Xf -1)u(h) = (U(X)f - 1)u(h) =

=(1

f·f - 1)U(h) = 0.

Aşadar, U(g) = 0, deci g ∈ KerU. Arătăm în continuare că ImU = S-1A, ceea ce este echivalent cu a

demonstra că U este aplicaţie surjectivă.

Cum S-1A = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈∈ Nn,Aafa

n , va trebui să arătăm că pentru

oricare nfa

∈ S-1A există g ∈ A[X] astfel încât U(g) = nfa

. Fie a

f n

∈ S-1A. Luăm g = axn.

U(g) = U(axn) = a(U(x))n = af

a

fn n⋅ =1

Aşadar, pentru oricare a

f n ∈ S-1A, există g ∈ A[X], g = axn

astfel încât U(g) = nfa

. Deci g este surjectivă.

III.ER.4.3) Fie A un inel. Un element e∈ A se numeşte idempotent dacă e2=e.

Să se determine un element idempotent din inelul

77

Z8[X]/(X2 + X + ). $2Rrezolvare. Elementele idempotente ale inelului Z8[X]/(X2+X+

+ ) sunt elementele de forma X + cu , ∈ Z8 şi având proprietatea că restul împărţirii lui ( X + )2 la X2 + X + este

X + . Restul acestei împărţiri este (2 + 2)X + 2 + 2 . Aşadar, trebuie ca (2 + 2)X + 2 + 2 = X + , deci

$2 $a $b a $b$a $b $2

$a b $a $b $a $b $a$a $b $a $b $a $a $b

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

ba2b

aaba22

2

Rezolvând acest sistem vom determina toate elementele idempotente ale inelului Z8[X]/(X2 + X + 1 ). O soluţie a acestui sistem este, de exemplu, = şi = . Aşadar este element idempotent al inelului Z8[X]/(X2 + X + ).

ˆ$a $0 $b 1 $1

$2

Exerciţii propuse spre rezolvare III.E.4.1). Arătaţi că au loc următoarele izomorfisme de inele: a) [ ] [ ] ( ) [ ] { }Zb,a3bia3iZ unde ,3xxZ3iZ 2 ∈+=+≅

b) [ ] [ ] ( ) [ ] { }Zb,a5ba5Z unde ,5xxZ5Z 2 ∈+=−≅

c) [ ] ( ) C1xxR 2 ≅+ d) [ ] ( ) [ ] [ ] { }Zb,abaZ unde ,Z1xxxZ 2 ∈+=≅++ εεε

iar ε este rădăcina polinomului X2 + X + 1. III.E.4.2). Determinaţi toate elementele idempotente ale

următoarelor inele: a) Z8[X]/(X2 - 3X +3) b) Z8[X]/(X2 + 5X -10). III.E.4.3). Fie inelul (Z[i 2 ], +, •),

78

unde Z[i 2 ] = {a + b i 2⏐a, b ∈ Z} şi S = { (i 2 )n⏐n ∈ N} o submulţime a lui Z[i 2 ]

a) Arătaţi că S este un sistem multiplicativ al inelului (Z[i 2 ], +, •).

b) Arătaţi că are loc izomorfismul de inele: S-1 Z[i 2 ] ≅ Z[i 2 ][X] / (i 2X - 1)

III.E.4.4). Fie A un inel comutativ şi unitar. Arătaţi că un element din A este inversabil în A[X] dacă şi numai dacă este inversabil în A.

III.E.4.5). Fie A un inel comutativ şi unitar. Arătaţi că dacă A este inel integru atunci A[X] este inel integru.

III.5. Inelul polinoamelor într-un număr finit de nedeterminate. Polinoame simetrice

III.5.1. Definiţie. Fie A un inel comutativ şi unitar şi n ∈ N,

n ≥ 2. Notăm [ ]A X X X

f a X X X a A i i i

n

i i ii i

ni

i i i

K K K

i i i nn

n

n

N

n

1 2

1 20

1 21 2

1 2

1 2

1 2

1 2

, , ,

, , , ,, , ,

, , ,

K

K KKK

K

K

=

= = ∈ ∀ ∈⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

∑ N

(de exemplu, un element al mulţimii Z[X1, X2, X3, X4] este f = 2X X3 - 3X1X3 + X1X2X3X4 - 5X ). 2

243

A[X1, X2, ..., Xn] împreună cu operaţiile obişnuite de adunare şi înmulţire a polinoamelor formează un inel numit inelul polinoamelor în n nedeterminate cu coeficienţi în inelul comutativ şi unitar A.

III.5.2. Definim aplicaţia f: A →[X1, X2, ..., Xn], f(a) = a pentru oricare a ∈ A. f este un morfism de inele (lăsăm cititorul să verifice acest lucru).

Teorema de universalitate a inelului de polinoame în n

nedeterminate

79

Fie A un inel comutativ şi unitar, A[X1, X2, ..., Xn] inelul polinoamelor în n nedeterminate cu coeficienţi în inelul A şi B o A - algebră de morfism structural Ψ: A → B. Dacă x1, x2, ..., xn este un sistem de elemente din B, atunci există un unic morfism de inele u: A[X1, X2, ..., Xn] → B astfel încât u(Xi) = xi pentru oricare i∈{1, 2, ..., n}şi diagrama

f

A A[X1, X2, ..., Xn]

80

nKnK

ψ u

B

să fie comutativă, adică uof = Ψ.

III.5.3. Definiţie. 1) Fie monomul X X Xj j

njn

1 21 2K ∈ A[X1, X2, ..., Xn].

Atunci gradul acestui monom este j1 + j2 + ... + jn. 2) Fie polinomul f ∈ A[X1, X2, ..., Xn]. Atunci gradul acestui

polinom este maximul gradelor tuturor monoamelor care îl formează pe f.

Exemplu. Fie f ∈ Z[X1, X2, X3], f = 5X1X - 6X X2 X3 + X1 - 2 22

12

grad (5X1X ) = 1 + 2 = 3; 22

grad (6 X2 X3) = 2 + 1 + 1 = 4; grad (X1) = 1; grad (- 2) = 0 21X

grad (f) = max {3, 4, 1, 0} = 4. III.5.4. Definiţie. Fie A un inel comutativ şi unitar şi aX X X X Xi i

ni j

njn

1 2 21 2 2K , bX1

j1 ∈ A[X1, X2, ..., Xn]. Spunem că dacă (există

r ∈ N, 1 ≤ r ≤ n astfel încât ik = jk pentru oricare k ∈ {1, 2, ..., r-1}şi ir = jr) sau (ik = jk pentru oricare k ∈ {1, 2, ..., n})

aX X X X Xi ini j

njn

1 2 21 2 2K ≤ bX1

j1

Exemplu. În inelul Z[X1, X2, X3, X4], 2 X2X3X < X X2X X4 şi - 3X1X X3 > 2X1X .

X 12

42

12

32

22 2

3

III.5.5. Definiţie. Se numeşte termen principal al polinomului f ∈ A[X1, X2, ..., Xn] cel mai mare monom dintre cele care îl formează pe f, în ordinea introdusă anterior.

III.5.6. Definiţie. Fie un

polinom în n nedeterminate cu coeficienţi în inelul comutativ şi unitar A. Pentru orice permutare σ∈ Sn definim

∑=

=n21

n21

n21

n21

k,,k,k

0i,,i,i

in

i2

i1iii XXXaf

K

KK K

81

X( ) ( ) ( ) ( )σ σ σ σf a X Xi i ii i

n

i

i i i

k k k

n

n

n

n

==

∑1 2

1 2

1 2

1 2

1 20

KK

K

K, , ,

, , ,

.

Exemplu Fie inelul Z[X1, X2, X3] şi f ∈ Z[X1, X2, X3],

f X X X X X= +12

23

1 2 3. Fie σ ∈ S3, σ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2 3

3 1 2, deci σ(1) = 3,

σ(2) = 1, σ(3) = 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 213

31

23321

32

21 XXXXXXXXXXf +=+= σσσσσσ .

III.5.7. Definiţie. Un polinom f ∈ A[X1, X2, ..., Xn] se numeşte polinom simetric dacă pentru orice permutare σ ∈ Sn, σ(f) = f.

Următoarele polinoame simetrice din A[X1, X2, ..., Xn] sunt numite polinoame simetrice fundamentale:

s1 = X1 + X2 + ...+ Xn = X ii

n

=∑

1

s2 = X1X2 + X1X3 + ...+ Xn-1Xn = X Xi ji j n1≤ < ≤∑

s3 = X1X2X3 + X1X2X4 + ...+ Xn-2Xn-1Xn = X X Xi j ki j k n1≤ < < ≤∑

..................................................................................... sn-1 = X1X2 ... Xn-1 + X1X2 ... + Xn-2Xn + ... + X2X3 ... Xn =

= ∑≤<<<≤ niii1

iiin21

n21XXX

K

K

sn = X1X2 ... Xn.

III. 5.8. Teoremă. Fie f un polinom simetric din A[X1, X2, ..., Xn]. Atunci există un polinom g∈ A[X1, X2, ..., Xn] astfel ca

f = g(s1, s2, ..., sn) unde si, 1 ≤ i ≤ n, sunt polinoame simetrice fundamentale.

(Cu alte cuvinte, orice polinom simetric se scrie ca un polinom de polinoame simetrice fundamentale).


III.ER.5.1) Fie A un inel comutativ şi unitar, a1, a2, ..., an ∈A şi

A[x1, x2, ..., xn] inelul polinoamelor în n nederminate cu coeficienţi în inelul A.

a) Arătaţi că

82

=( )x a x a x an n

not

1 1 2 2− − −, ,...,

[ ] ( ) { }{ }= ∈ − ∀ ∈=

not

n i ii

n

f f A x x x x a f i n1 21

1, ,..., , , ,...,U

este un ideal al inelului A[x1, x2, ..., xn]. b) Arătaţi că are loc izomorfismul de inele:

A[x1, x2, ..., xn]/(x1-a1, ... , xn-an)≅A. Rezolvare. Punctul a) îl propunem ca exerciţiu cititorului. b) Vom aplica teorema de universalitate a inelului de polinoame

în n nedeterminate (III.5.2.) pentru inelul A, A[x1, x2, ..., xn] inelul polinoamelor în n nedeterminate cu coeficienţi în A, A-algebra A de morfism structural i:A→A, i(a) = a pentru oricare a∈A şi a1, a2, ..., an ∈A. Astfel obţinem că există un unic morfism de inele u: A[x1, x2, ..., xn] →A astfel încât u(xi) = ai pentru oricare i∈{1, 2, ..., n} şi diagrama:

f A A[x1, x2, ..., xn] i u A

să fie comutativă, adică uo f =i.

În continuare vom aplica teorema fundamentală de izomorfism pentru inele (III.1.14.) relativ la morfismul u: A[x1, x2, ..., xn] →A.

Astfel obţinem că există un izomorfism de inele w:A[x1, x2, ...,xn] / Ker u→Im u astfel încât următoarea diagramă să fie comutativă:

u A[x1, x2, ..., xn] A

83

A[x1, x2, ..., xn] / Ker u Im u Pentru a demonstra că A[x1, x2, ..., xn]/(x1-a1, ... , xn-an)≅A este

suficient să arătăm că Ker u =(x1-a1, ... , xn-an) şi Im u = A. Arătăm că Ker u = (x1-a1, ... , xn-an). Pentru aceasta vom aplica

metoda dublei incluziuni. Arătăm mai întâi că Ker u ⊆ (x1-a1, ... , xn-an), adică trebuie să

demonstrăm că oricare f∈Ker u, f∈(x1-a1, ... , xn-an). Fie f∈Ker u. Rezultă u(f)=0 (1). Aplicăm apoi teorema împărţirii cu rest pentru deîmpărţitul f şi împărţitorul xi-ai, pentru un i oarecare, i∈{1, 2, ..., n} şi obţinem că există q, r∈ A[x1, x2, ..., xn] astfel încât

f = (xi-ai)q+r, 0 ≤ grad r < 1 (2) Obţinem grad r = 0 (3) şi u(f) = u((xi-ai) q+r) = u((xi-ai) u(q)+u(r) = = (u(xi)-u(ai)) u(q)+u(r) = (ai-ai) u(q)+u(r) = u(r). Deci u(f) = u(r). Dar cum din relaţia (1) aven u(f) = 0, rezultă că

u(r) = 0 (4). Din relaţia (3) avem grad r = 0, deci r = a, a ∈A, aşadar din (4) obţinem a = 0, iar din (2) f = (xi-ai) q. Deci f∈(x1-a1, ... , xn-an).

Arătăm acum că (x1-a1, ... , xn-an) ⊆ Ker u, adică trebuie să demonstrăm că oricare f∈(x1-a1, ... , xn-an), f∈ Ker u. Fie f∈(x1-a1, ... , xn-an). Cum

( )x a x a x an n1 1 2 2− − −, ,..., =

= [ ] ( ) { }{ }f f A x x x x a f i nn i ii

n

∈ − ∀ ∈=

1 21

1, ,..., , , ,...,U

rezultă că există i∈{1, 2, ..., n} astfel încât (xi-ai)⎢f, deci există g∈ A[x1, x2, ..., xn] astfel încât f=(xi-ai)g. Aplicăm morfismul u acestei relaţii şi obţinem:

u(f) = u((xi-ai)g) = u(xi-ai))u(g) = (u(xi)-aiu(g)= (ai-ai)u(g) = 0. Aşadar u(g) = 0, deci g∈Ker u. Arătăm în continuare că Im u =A, ceea ce este echivalent cu a

demonstra că u este aplicaţie surjectivă, adică va trebui să demonstrăm că pentru oricare a∈ A există f∈ A[x1, x2, ..., xn] astfel încât u(f)= a. Fie a∈ A. Luăm f = a, u(f) =u(a) = u(i(a)) = (uo i)(a) = =f(a) = a. Deci u(f) = a. Aşadar, pentru oricare a∈ A, există f∈ A[x1, x2, ..., xn], f = a, astfel încât u(f) =a.

III.ER.5.2) Fie polinomul simetric f∈ Z[x1, x2, x3], ( )f x x x x x x x x x x x x x x x1 2 3 1

32 1

33 1 2

323

3 1 33

2 33, , = + + + + + .

Să se scrie f ca polinom de polinoame simetrice fundamentale. Rezolvare. PAS 1. Se scriu polinoamele simetrice fundamentale. Inelul Z[x1, x2, x3] este inel de polinoame în trei nederminate,

aşadar în acest inel există trei polinoame simetrice fundamentale şi anume:

s1 = x1 + x2 + x3 s2 = x1x2 + x2x3 + x1x3 s3 = x1x2x3 PAS 2. Se determină termenul principal al acestui polinom. Se

observă că termenul principal al acestui polinom este x x , altfel scris .

13

2

x x x13

2 30

PAS3. Asociem termenului principal x x tripletul (3, 2, 0). Pornind de la acest triplet vom construi triplete de forma (a, b, c) cu a, b, c∈ N, a ≥ b ≥ c ≥ 0 şi a+b+c = gradul termenului principal. Obţinem astfel tripletele: (3, 1, 0), (2, 2, 0) şi (2, 1, 1). Pornind de la acestea vom construi alte triplete şi anume:

x13

2 30

(3, 1, 0) → (3-1, 1-0, 0) = (2, 1, 0) (2, 2, 0) → (2-2, 2-0, 0) = (0, 2, 0) (2, 1, 1) → (2-1, 1-1, 1) = (1, 0, 1)

84

Tripletul (2, 1, 0) corespunde polinomului s s , tripletul (0, 2, 0) corespunde polinomului s s , iar tripletul (1, 0, 1) corespunde polinomului s s .

s12

2 30

s10

22

30

s11

20

31

Aşadar, polinomul f se poate scrie sub forma: f as s s bs s s cs s s= + +1

22 3

010

22

30

11

20

31

adică f as s bs cs s= + +12

2 22

11

31, unde a, b, c sunt coeficienţi reali ce vor

trebui determinaţi. PAS 4. Determinarea coeficienţilor a, b, c. Determinarea acestor coeficienţi se va face dând diferite valori

particulare necunoscutelor x1, x2, x3 astfel încât să obţinem suficiente relaţii între a, b şi c pentru ca acestea să poată fi determinate.

De exemplu: pentru x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1 obţinem s1 = 2, s2 = 1, s3 = 0, deci f(x1, x2, x3) = 4a+b, iar pe de altă parte f(x1, x2, x3) = 2. Aşadar 4a+b = 2. Pentru x1 = 1, x2 = 0, x3 = -1 obţinem s1 = 0, s2 = -1, s3 = 0, deci f(x1, x2, x3) = b, iar pe de altă parte f(x1, x2, x3) = -2. Aşadar b = -2. Pentru x1 = 1, x2 = -1, x3 = 1 obţinem s1 = 1, s2 = -1, s3 =-1, deci f(x1, x2, x3) = -a+b-c, iar pe de altă parte f(x1, x2, x3) = -2. Aşadar -a+b-c = -2. Am obţinut sistemul:

4 2

2

2

a b

b

a b c

+ == −

− + − = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Obţinem: a=1, b=-2, c=-2. Deci . 31

222

21 sss2ssf −−=


III.E5.1) Fie inelul (Z, +, ·), -2, 3, 5 ∈Z şi Z [x1, x2, x3] inelul

polinoamelor în trei nederminate cu coeficienţi în inelul Z. a) Arătaţi că (x1+2, x2-3, x3-5) este un ideal al inelului

Z[x1, x2, x3]. b) Arătaţi că are loc izomorfismul de inele:

Z[x1, x2, x3]/ (x1+2, x2-3, x3-5)≅Z Indicaţie. Vezi III.ER.5.1.

85

III.E.5.2) Să se scrie următoarele polinoame simetrice ca polinom de polinoame simetrice fundamentale.

a) f∈Z[x1, x2, x3],

( ) ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x1 2 3 1 2

2

1 3

2

2 3

2, , = − − −

b) f∈Q[x1, x2, x3, x4], f x xi ji ji j

==

≠

∑ 3

1

4

,

.

III.E.5.3) Fie un polinom din Z [x1, x2, ... , xn]. ∑≠=

=n

ji1j,i

j3i xxf

Să se arate că f este un polinom simetric şi să se scrie f ca polinom de polinoame simetrice fundamentale.

86

87

IV. SPAŢII VECTORIALE IV.1. Definiţie. Fie K un corp comutativ. Se numeşte spaţiu

vectorial peste K (sau K-spaţiu vectorial) o mulţime nevidă V înzestrată cu o lege de compoziţie internă notată „+” relativ la care V este grup abelian şi o lege de compoziţie externă notată „·” :K×V→V, (a, x) → a·x = ax, cu proprietăţile:

1) a(x+y) = ax+ay, ∀ a∈ K; ∀ x, y∈ V 2) (a+b)x = ax+bx, ∀ a, b∈ K; ∀ x ∈ V 3) a(bx) = (ab)x, ∀ a,b ∈ K; ∀ x ∈ V 4) 1· x = x, ∀ x ∈ V. Exemplu V = Kn = {x=(x1, x2, ..., xn) ⎢xi∈K, 1≤ i ≤ n} are o

structură de K-spaţiu vectorial, cu legile de compoziţie: x+y = (x1+y1, ..., xn+yn)

şi ax = (ax1, ..., axn), ∀ x, y∈Kn, ∀ a∈K. Pentru K=R se obţine R - spaţiul vectorial Rn, iar dacă K = C se

obţine C - spaţiul vectorial Cn. IV.2. Definiţie. Fie V un K - spaţiu vectorial. O submulţime

nevidă S ⊆ V, S = {v1, v2, ..., vk} se numeşte sistem de generatori pentru V dacă pentru orice x ∈ V există λ1, λ2, ..., λk ∈ K astfel încât x = λ1v1+ λ2v2+ ...+ λkvk (mai spunem că x este o combinaţie liniară de v1, v2, ..., vk cu scalari în K).

IV.3. Definiţie. Fie V un K - spaţiu vectorial. O submulţime nevidă L ⊆ V, L = {v1, v2, ..., vk} se numeşte sistem liniar independent pentru V dacă din orice relaţie de forma λ1v1+ λ2v2+ ...+ λkvk = 0 cu λi ∈ K, rezultă λi = 0, pentru i = 1, 2, ...,k.

O submulţime nevidă L ⊆ V, L = {v1, v2, ..., vk} care nu este sistem liniar independent se numeşte sistem liniar dependent.

88

IV.4. Definiţie. O submulţime nevidă B ⊂ V, B = {v1, v2, ..., vk} se numeşte bază a lui V dacă este în acelaşi timp şi sistem de generatori şi sistem liniar independent.

Exemplu. Fie în K - spaţiul vectorial Kn vectorii e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, 0, ..., 1) şi B = {e1, e2, ..., en} (n ≥ 1). Rezultă imediat din definiţii că B este o bază în Kn. Această bază se numeşte baza canonică.

IV.5. Teoremă. Fie V ≠ {0} un K - spaţiu vectorial ce admite sistem de generatori. Din orice sistem de generatori al lui V se poate extrage o bază.

IV.6. Teoremă. Fie V ≠ {0} un K - spaţiu vectorial şi S un sistem de generatori al lui V. Orice submulţime L ⊂ S care este sistem liniar independent de vectori poate fi completată cu elemente din S până la o bază a lui V.

IV.7. Teoremă. Fie V ≠ {0} un K - spaţiu vectorial ce admite sistem de generatori. Orice sistem liniar independent de vectori din V poate fi completat până la o bază a lui V.

IV.8. Teoremă. Fie V ≠ {0} un K - spaţiu vectorial ce admite sistem de generatori. Toate bazele lui V au acelaşi număr de elemente.

IV.9. Definiţie. Fie V ≠ {0} un K - spaţiu vectorial ce admite un sistem de generatori. Numărul de elemente dintr-o bază a lui V se numeşte dimensiunea lui V şi se notează dimKV.

IV.10. Definiţie. (subspaţiu vectorial). Fie V un K - spaţiu vectorial şi W ⊂ V o submulţime nevidă. Spunem că W este un un spaţiu vectorial peste K dacă:

1) pentru oricare x, y ∈ W, x - y ∈ W 2) pentru oricare x ∈ W şi pentru oricare a ∈ k, ax ∈ W IV.11. Definiţie. (Aplicaţii liniare) Fie V şi W două spaţii

vectoriale peste corpul comutativ K. Se numeşte aplicaţie liniară de la V la W orice funcţie f: V → W cu proprietatea:

f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) pentru oricare x, y ∈ V şi oricare α, β ∈ K.

IV.12. Definiţie. Fie V şi W două K - spaţii vectoriale şi f: V → W o aplicaţie liniară.

1) se numeşte nucleul lui f submulţimea lui V Kerf = {x ∈ V⏐f(x) = 0}

2) se numeşte imaginea lui f submulţimea lui W Imf = f(V) = {f(x)⏐x ∈ V}

IV.13. Propoziţie. Fie V şi W două K - spaţii vectoriale şi f: V → W o aplicaţie liniară. Atunci Kerf este subspaţiu vectorial al lui V, iar Imf este subspaţiu vectorial al lui W.

IV.14. Teorema dimensiunii. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste corpul K ce admit fiecare câte o bază şi f: V → W o aplicaţie liniară. Atunci Kerf şi Imf admit fiecare câte o bază şi

dimKKerf + dimKImf = dimKV.

Exerciţii rezolvate IV.ER.1). Fie V = R3[X] mulţimea polinoamelor de grad mai

mic sau egal cu trei, cu coeficienţi reali. a) Arătaţi că V este un R - spaţiu vectorial b) Arătaţi că {X, X + 2, X3 + 3} este un sistem liniar

independent al lui V. Rezolvare. Punctul a) îl lăsăm spre rezolvare cititorului. b) Conform IV.3. trebuie să arătăm că are loc relaţia

„aX + b(X + 2) + c(X3 + 3) = 0, cu a, b, c ∈ R, rezultă a = b = c = 0”. Fie relaţia aX + b(X + 2) + c(X3 + 3) = 0 cu a, b, c ∈ R.

Obţinem cX3 + (a + b)X + 2b + 3c = 0, deci c

a b

b c

=+ =+ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0

0

2 3 0

.

Rezolvând acest sistem obţinem că a = b = c = 0. IV.ER.2). Fie a = (1, 1, 0), b = (2, 0, 1) şi c = (3, 1, 15) în R3. a) Arătaţi că {a, b, c} formează o bază a lui R3 ca R - spaţiu

vectorial. b) Arătaţi că d = {3, k, 2} aparţine spaţiului generat de a şi b. Rezolvare. a) Pentru ca mulţimea {a, b, c} să fie bază a

R - spaţiului vectorial R3 este suficient ca determinantul matricii care are pe coloane vectori a, b, şi c să fie nenul. În cazul nostru matricea ce trebuie considerată este

89

A = 1 2 3

1 0 1

0 1 15

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

iar det A ≠ 0. Deci {a, b, c} este bază a R - spaţiului vectorial R3. b) A arăta că d aparţine spaţiului generat de a şi b înseamnă a

găsi α, β ∈ R astfel încât d = αa + βb, adică {3, k, 2} = α(1, 1, 0) + β(2, 0, 1).

Deci: α βαβ

+ ===

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 3

2

k

Obţinem α = - 1 şi β = 2. IV.ER.3). Fie a = (2, 1) şi b = (4, 2) doi vectori din R3. {a, b}

este sistem liniar independent? Rezolvare. Pentru ca {a, b} să fie sistem liniar independent

trebuie ca determinantul matricii care are pe coloane vectorii a şi b să fie nenul. ïn cazul nostru matricea ce trebuie considerată este

A = 2 4

1 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟,

iar det A = 0. Aşadar{a, b} nu este sistem liniar independent. IV.ER.4). Fie submulţimea W ⊆ R3,

W ={(x1, x2, x3) ∈ R3⏐3x1+ 2x2+ x3= 0} a) Arătaţi că W este un subspaţiu vectorial al lui R3. b) Determinaţi o bază pentru W şi specificaţi dimensiunea lui W. Rezolvare. Punctul a) îl lăsăm spre rezolvare cititorului

(se aplică direct definiţia IV.10.). b) W ={(x1, x2, x3) ∈ R3⏐3x1+ 2x2+ x3= 0} PAS 1: Se rezolvă sistemul format dintr-o ecuaţie şi trei

necunoscute, 3x1+ 2x2+ x3= 0. Obţinem x3= - 3x1- 2x2. Aşadar, W ={(x1, x2, x3) ∈ R3⏐ x3= - 3x1- 2x2},

deci

90W ={(x1, x2, - 3x1- 2x2)⏐x1,x2 ∈ R},

PAS 2: Se determină o bază pentru W dând valori lui x1 şi x2 după cum urmează:

x1 = 1, x2 = 0; obţinem v1 = (1, 0, - 3) x1 = 0, x2 = 1; obţinem v2 = (0, 1, - 2) Aşadar B = {v1, v2} este o bază a lui W, deci dimRW = 2. IV.ER.5). Fie V = R4, v1 = (1, 0, 1, 2) şi v2 = (2, 1, 3, -1) vectori

din V. Completaţi sistemul de vectori {v1, v2} până la o bază în R4. Rezolvare. PAS 1. Verificăm dacă {v1, v2} este un sistem liniar

independent. Pentru aceasta trebuie ca matricea care are pe coloane vectorii v1 şi v2 să aibe rangul maxim. ïn cazul nostru matricea este:

A =

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 2

0 1

1 3

2 1

iar această matrice are rangul doi, deci rangul maxim. PAS 2: Deoarece dimRR4 = 4 trebuie să găsim doi vectori

v3, v4 ∈R4 astfel încât{v1, v2, v3, v4} să fie bază a lui R4, adică determinantul matricii care are pe coloane vectorii v1, v2, v3 şi v4 să fie nenul. Luăm, de exemplu, v3 = (0, 0, 2, 1) şi v4 = (0, 0, - 1, 1).

IV.ER.6). Fie vectorii v1 = (2, -3, 1), v2 = (1, -1, 0), v3 = (3, 0, 1) şi v4 = (- 7, 3, 0) din R - spaţiul vectorial R3. Extrageţi din sistemul {v1, v2, v3, v4} o bază pentru R3.

Rezolvare. Construim matricea care are pe coloane vectorii v1, v2, v3, v4 şi alegem un minor de ordin trei al acesteia (deoarece dimRR3 = 3) care să fie nenul. Vectorii ale căror coloane alcătuiesc acest minor vor forma o bază pentru R3.

Astfel obţinem matricea

A =−

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1 3 7

3 1 0 3

1 0 1 0

91

cu 1 3 7

1 0 3

0 1 0

0

−− ≠ . Deci {v2,v3, v4} este bază pentru R - spaţiul

vectorial R3. IV.ER.7). Fie f: R4 → R2,

f(x1, x2, x3, x4) = (2x1 - x2 - x3, x1 + 3x2 + x4) a) Arătaţi că f este o aplicaţie liniară de R - spaţii vectoriale. b) Determinaţi matricea lui f în baza canonică. c) Determinaţi o bază pentru Kerf. d) Determinaţi o bază pentru Imf. Rezolvare. Punctul a) îl lăsăm spre rezolvare cititorului

(se foloseşte direct definiţia IV.11.) b) Baza canonică a R - spaţiului R4 este {e1, e2, e3, e4} unde

e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1). Obţinem f(e1) = (2, 1), f(e2) = (- 1, 3), f(e3) = (- 1, 0) şi f(e4) = (0, 1). Matricea lui f în baza canonică este matricea care are pe coloane vectorii f(e1), f(e2), f(e3), f(e4). Aşadar, obţinem

M =− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 1 1 0

1 3 0 1

c) PAS 1. Determinăm Kerf

( ) ( ) ( ){ }Ker f x x x x R f x x x x = ∈ =1 2 3 44

1 2 3 4 0 0, , , , , , , =

( ){= ∈− − =+ + =

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

x x x x Rx x x

x x x1 2 3 44 1 2 3

1 2 4

2 0

3 0, , ,

Rezolvând sistemul 2 0

3 01 2 3

1 2 4

x x x

x x x

− − =+ + =

⎧⎨⎩

obţinem că

xx x

xx x

13 4

233

7

2

7= 4−

=− −

, , iar x3 şi x4 sunt necunoscute

secundare. Aşadar,

92

Ker fx x x x

x x x x R =− − −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ∈

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

3

7

2

73 4 3 4

3 4 3 4, , , ,

PAS 2: Determinăm o bază pentru Kerf. Pentru a determina o bază pentru Kerf dăm vălori lui x3 şi x4

după cum urmează:

x3 = 1, x4 = 0; obţinem v1 = 3

7

1

710, , ,−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x3 = 0, x4 = 1; obţinem v2 = − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

7

2

70 1, , ,

Aşadar B ={v1, v2} este o bază pentru Kerf, deci dimRKerf = 2. d) Pentru a determina o bază pentru Imf trebuie să observăm mai

întâi că {f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)} este un sistem de generatori pentru Imf. Deci va trebui ca din acest sistem de generatori să extragem o bază pentru Imf. Cum din teorema dimensiunii avem că dimRKerf + dimRImf = dimRR4, deci dimRImf = 2, va trebui ca din sistemul {f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)} să extragem doi vectori care vor forma o bază pentru Imf. Pentru aceasta vom construi matricea care are pe coloane vectorii f(e1), f(e2), f(e3), f(e4) şi vom alege un minor de ordin doi al acesteia (deoarece dimRImf = 2) care să fie nenul. Din punctul a) al problemei avem

M =− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 1 1 0

1 3 0 1

cu 2 1

1 30

−≠ . Deci {f(e1), f(e2)} este bază pentru Imf.

Exerciţii propuse spre rezolvare IV.E.1). Fie V un R - spaţiu vectorial şi x, y, z ∈ V a) Arătaţi că dacă x, y, z sunt liniar independenţi, atunci x,

x + 2y, x + 3y + 4z sunt liniar independenţi.

93

b) Dacă a, b, c ∈ R astfel încât a2 + b2 + c2 ≠ 0 atunci ax - by, cy - az, bz - cx sunt liniar independenţi.

IV.E.2). Fie V = R2 un R - spaţiu vectorial şi fie m ∈ R fixat. Arătaţi că W = {(a, ma)⏐a ∈ R} este un subspaţiu vectorial al lui V.

IV.E.3). Fie W = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R 4⏐ x1 + 2x2 + 2x3 + 5x4 = 0} a) Arătaţi că W este un subspaţiu vectorial al R - spaţiului

vectorial R4. b) Determinaţi o bază pentru W (Alt enunţ: Aflaţi dimensiunea

subspaţiului W). IV.E.4). Fie V = R4[X] mulţimea polinoamelor de grad mai mic

sau egal cu patru cu coeficienţi reali. a) Arătaţi că V este un R - spaţiu vectorial b) {X, X + 2, X2 + 5, X3 + 4} este un sistem liniar independent? IV.E.5). Fie a = (1, 1, 0, 2), b = (1, -2, 0, 1), c = (3, 1, 2, 1) şi

d = (-1, 1, 1, 1) vectori ai R - spaţiului vectorial R4. a) Arătaţi că sistemul {a, b, c, d} este o bază a lui R4. b) Arătaţi că e = (-8, 1, -6, 0) aparţine spaţiului vectorial generat

de sistemul {a, b, c}. IV.E.6) Fie a = (α, 2, 1), b = (0, β, - 1), c = (α, 1, 3) vectori ai

R - spaţiului vectorial R3. a) Determinaţi α, β ∈ R astfel încât sistemul {a, b, c} să fie

sistem liniar independent al lui R 3. a) Pentru α şi β găsiţi la punctul a) verificaţi dacă sistemul

{a, b, c} este sistem de generatori al R - spaţiului vectorial R3.

IV.E.7). Fie ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

=++=+−

∈=0x2xx0xxx2

Rx,x,x,xW321

43144321

a) Arătaţi că W este un subspaţiu vectorial al R - spaţiului vectorial R4.

b) Determinaţi o bază pentru W.

IV.E.8) Fie ( )W x x x Rx x

x x= ∈

− =− =

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1 2 33 2 3

1 2

0

0, ,

a) Arătaţi că W este un subspaţiu vectorial al R - spaţiului vectorial R3.

b) Determinaţi o bază pentru W. 94

IV.E.9). Fie n ≥ 3, n ∈ N şi

( )W x x x Rx x x

x xnn n= ∈

+ + + =+ =

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1 2

1 3

1 2

0

0, , ,K

L.

a) Arătaţi că W este un subspaţiu vectorial al R - spaţiului vectorial Rn.

b) Determinaţi dimensiunea subspaţiului W. IV.E.10). Fie S ⊆ R 5 mulţimea soluţiilor sistemului

x x x

x x x x

x x

x x x

1 2 5

1 3 4 5

1 5

1 3 4

0

0

2 0

3 0

+ + =− + + =− =− + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

a) Arătaţi că S este un subspaţiu vectorial al R - spaţiului vectorial R5.

b) Determinaţi o bază pentru S. IV.E.11) Fie V = R4 şi vectorii v1 = (4, -5, - 8, 15) şi

v2 = (2, 5, - 12, 7) din V. Completaţi sistemul de vectori {v1, v2} până la o bază în R4.

IV.E.12). Fie V = R3 şi vectorii v1 = (4, -5, 8) şi v2 = (12, - 15, 24) din R3. Completaţi sistemul de vectori {v1, v2} până la o bază în R3.

IV.E.13). Fie V = R4 şi vectorii v1 = (1, 4, 5, 3), v2 = (2, - 1, 1, α) şi v3 = (- 1, 3, α - 1, 4) din R3, α ∈ R. Să se determine α astfel încât sistemul {v1, v2, v3} să se poată completa până la o bază şi să se determine acea bază.

IV.E.14). Fie V = R3, v1 = (β, 1, 1), v2 = (1, α, 2α) cu α, β ∈ R, doi vectori din R3. Să se determine α, β astfel încât sistemul {v1, v2} să se poată completa până la o bază în R3 şi să se determine acea bază.

IV.E.15). ). Fie V = R4, v1 = (4, - 5, - 8, 15), v2 = (2, 5, - 12, 7), v3 = (- 1, - 1, 10, 5), v4 = (1, 3, - 7, 4) şi v5 = (- 2, 2, - 1, 1) vectori din R4. Extrageţi din sistemul {v1, v2, v3, v4, v5} o bază pentru R4.

IV.E.16) Fie V = R3, v1 = (α, α, α), v2 = (- β, 1 - 2β, - β), v3 = (2, 3, β + 3) şi v4 = (1, 1, 2β - 1) cu α, β ∈ R, vectori din R3. Să

95

96

se determine α, β astfel încât din sistemul {v1, v2, v3, v4} să se poată extrage o bază pentru R3 şi specificaţi care este acea bază.

IV.E.17). ). Fie V = R4 şi v1 = (α, 1, α, 1), v2 = (1, α, α, 1), v3 = (1, 2, - 1, 0), v4 = (3, - 4, 7, 10) şi v5 = (1, 5, - 4, 3) cu α ∈ R, vectori din R4. Să se determine α astfel încât din sistemul {v1, v2, v3, v4, v5} să se poată extrage o bază pentru R3 şi să se specifice care este acea bază.

IV.E.18). Fie f: Q3 → Q4,

f(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 - x3, x1 + x3, 2x1 + 2x2)

a) Arătaţi că f este o aplicaţie liniară de R - spaţii vectoriale. b) Determinaţi matricea lui f în baza canonică. c) Determinaţi o bază pentru Kerf. d) Determinaţi o bază pentru Imf.

97

V. DETERMINAŢI, INVERSA UNEI MATRICE,

RANGUL UNEI MATRICE, SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

V.1. Determinanţi Presupunem că sunt cunoscute de către cititor noţiunile de

matrice şi determinant al unei matrice. În continuare vom enunţa câteva proprietăţi ale acestora.

V.1.1. Proprietăţi. Determinantul de ordin n peste un inel comutativ R are proprietăţile:

a) Determinantul unei matrice depinde R - liniar de coloanele acesteia.

b) O matrice cu două coloane egale are determinantul zero. c) Dacă permutăm două coloane determinantul matricei îşi

schimbă senul. d) Dacă la o coloană a matricei se adună o altă coloană înmulţită

cu un element a ∈ R, determinantul matricei nu se schimbă. e) Dacă toate elementele unei coloane sunt egale cu zero atunci

determinantul matricei este zero. V.1.1. Proprietate. Oricare ar fi A, B ∈Mn (R), R inel

comutativ, avem det (AB) = det Adet B

V.2. Inversa unei matrice

Fie R un inel unitar cu 1 ≠ 0. Notăm cu UR mulţimea elementelor u ∈ R inversabile în raport cu înmulţirea lui R, numite unităţi ale lui R. Evident UR formează un grup multiplicativ, numit grupul unităţilor inelului R. Grupul unităţilor inelului Mn(R) se notează GLn(R) şi se numeşte grupul general liniar de grad n al inelului R. În particular, GL1(R) = UR.

V.2.1. Teoremă. Fie R un inel comutativ şi unitar şi A ∈ Mn(R). Atunci A ∈ GLn(R) dacă şi numai dacă det A ∈ UR.

Corolar. Fie K un corp comutativ şi A ∈ Mn(K). Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) A ∈ GLn(K) b) det A ≠ 0 c) coloanele matricii A sunt liniar independente peste corpul K d) liniile matricii A sunt liniar independente peste corpul K.

V.3. Rangul unei matrice Fie K un corp comutativ şi A o matrice de tip m × n cu

coeficienţi din K. V.3.1. Definiţie. Fie A ∈ Mm × n(K). Spunem că matricea A are

rangul r şi scriem rang(A) = r, dacă A are minor diferit de zero de ordin r şi toţi minorii lui A de ordin mai mare ca r sunt egali cu zero.

V.3.2. Teoremă (Kromecker). Pentru orice matrice A = (aij) ∈ Mm × n(K) avem: rang A = rang ( )A

nA2

A1 C,,C,C K = rang

( )Am

A2

A1 l,,l,l K , unde prin Ci

A înţelegem coloana i a matricii A, prin înţelegem linia i a matricii A, iar rang l i

A ( )An

A2

A1 C,,C,C K este

dimensiunea peste corpul K a subspaţiului lui Kn generat de sistemul { }A

mA2

A1 C,,C,C K şi rang ( )l l lA A

nA

1 2, , ,K este dimensiunea peste corpul K a subspaţiului lui Kn generat de sistemul { }A

mA2

A1 l,,l,l K .

Corolar. Rangul unei matrice A ∈ Mm × n(K) este egal cu r dacă matricea admite un minor diferit de zero de ordin r şi toţi minorii de ordin r + 1 care bordează pe acesta sunt egali cu zero.

V.3.3. Propoziţie. Rangul produsului a două matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecărei matrice.

V.4. Sisteme de ecuaţii liniare cu coeficienţi

într-un corp comutativ Fie K un corp comutativ. Prin sistem de ecuaţii liniare cu

coeficienţi în K în necunoscutele x1, x2, ..., xn se înţelege un ansamblu (S) de egalităţi:

98

99

m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

m m mn n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

+ + + =+ + + =

+ + + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

L

L

LLLLLLLLLLLL

L

V.4.1. Definiţie. Un sistem de ecuaţii liniare care are cel puţin o soluţie se numeşte compatibil. Un sistem compatibil se numeşte determinat dacă are o singură soluţie şi se numeşte nedeterminat dacă are mai mult decât o soluţie.

V.4.2. Definiţie. 1) Se numeşte matrice a sistemului (S) matricea

A

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

11 12 1

21 22 2

1 2

L

L

L L L L

L

2) Se numeşte matrice extinsă a sistemului S matricea

A

a a a b

a a a b

a a a b

n

n

m m mn m

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

11 21 1 1

21 22 2 2

1 2

L

L

L L L L L

L

V.4.3. Teoremă (Regula lui Cramer). Dacă det A ≠ 0 atunci

sistemul (S) are soluţie unică. V.4.4. Teoremă (Kronecker - Capelli). Sistemul (S) de ecuaţii

liniare este compatibil dacă şi numai dacă rang A = n. Corolar. Un sistem compatibil (S) admite soluţie unică dacă şi

numai dacă rang A = n. V.4.5. Teoremă (Rouché). Un sistem de ecuaţii este compatibil

dacă şi numai dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli.

V.5. Lema substituţiei Fie V un K - spaţiu vectorial de dimensiune n,

B = {e1, e2, ..., en} o bază a lui V, v ∈ V, v = α1e1 + α2e2 + ...+ αnen şi B* = {e1, ..., ei-1, v, ei+1,..., en}. Atunci: 1) B* este un sistem liniar independent al lui V dacă şi numai

dacă αi ≠ 0. 2) Când αi ≠ 0, B* este bază a lui V şi coordonatele

λ λ λ1 2∗ ∗ ∗, , ,K n în baza B* ale unui vector x ∈ V se exprimă în funcţie

de coordonatele sale λ1, λ2, ..., λn din baza B prin formulele: λ λ αi i i , ∗ = / ( )λ λ α λ αj j i i i pentru j ≠ i. ∗ = − /


În acest capitol vom aplica lema substituţiei într-o serie de

probleme numerice ale algebrei. Calculul ce se efectuează constă în a găsi coordonatele din baza B* ale vectorilor v, x, y, ... când se cunosc coordonatele acestora în baza B. În acest scop se folosesc tabele ale căror linii sunt afectate vectorilor din baza B, respectiv B* şi în coloanele cărora sunt înserate coordonatele vectorilor v, x, y, ... în baza B, respectiv B*.

... v ... x ... ... v ... x ...

e1 ... α1 ... λ1 ... e1 ... 0 ... λ1-(α1λi) αi ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ei ... αi ... λi ... v ... 1 ... λi/αi ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ej ... αj ... λj ... ej ... 0 ... λj-(αjλi) αi ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... en ... αn ... λn ... en ... 0 ... λn-(αnλi) αi ...

Tabelul B Tabelul B* Dacă αi ≠ 0 atunci vectorul ei al bazei B se poate înlocui cu

vectorul v, obţinându-se baza B*. În acest caz αi din tabelul B este declarat pivot şi se face menţiunea aceasta prin încadrarea într-un pătrat. Acum tabelul B* se obţine din tabelul B după cum urmează:

1) se împart la pivot toate elementele din linia acestuia

100

2) pivotul se înlocuieşte cu 1 şi celelalte elemente din coloana acestuia se înlocuiesc cu zero.

3) toate elementele λj din din afara liniei şi coloanei pivotului se înlocuiesc cu

( )λ α λ αα

α λα λj j j i

i

i i

j j

− =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1det

operaţie cunoscută sub numele de „regula dreptunghiului” . V.ER.1). În spaţiul vectorilor coloană 3-dimensionali R3 = M (R) se dau vectorii: 3 1×

f f f x1 2 3

1

4

2

1

3

1

1

2

1

1

2

2

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

, , , ,

Folosind lema substituţiei arătaţi că {f1, f2, f3} formează o bază a lui R3 şi găsiţi coordonatele lui x în această nouă bază.

Rezolvare. Fie B = {e1, e2, e3} baza canonică a lui R3. În coloanele primului tabel de mai jos se inserează coordonatele vectorilor f1, f2, f3 şi x în baza canonică. Se face calculul:

f1 f2 f3 x f1 f2 f3 x

e1 1 1 1 1 f1 1 1 1 1 e2 4 2 3 -2 → e2 0 -1 -2 -6 → e3 2 1 1 -2 e3 0 -1 -1 -4 f1 f2 f3 x f1 f2 f3 x

f1 1 0 -1 -5 f1 1 0 0 -3 f2 0 1 2 6 → f2 0 1 0 2 e3 0 1 1 2 f3 0 0 1 2

Cum {e1, e2, e3} este bază a lui R3, din lema substituţiei rezultă

succesiv că {f1, e2, e3}, {f1, f2, e3}, {f1, f2, f3} sunt baze ale lui R3. Conform ultimului tabel, x = (- 3)f1 + 2f2 + 2f3. V.ER.2) Să se afle inversa matricii A ∈ M3(Z5),

101

A =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

) ) )

) ) )

) ) )

2 4 2

1 1 1

3 2 1

Rezolvare. Folosind lema substituţiei avem:

CA1 CA

2 CA3 C I

1 C I2 C I

3

e1 )2

)4

)2 )

1 )0

)0

e2 )1

)1

)1 )

0 )1

)0

e3 )3

)2

)1 )

0 )0

)1 →

CA

1 CA2 CA

3 C I1 C I

2 C I3

CA1

)1

)2

)1

)3

)0

)0

e2 )0

)4

)0 )

2 )1

)0 →

e3 )0

)1

)3 )

1 )0

)1

CA

1 CA2 CA

3 C I1 C I

2 C I3

CA1

)1

)0

)1 )

2 )2

)0

CA2

)0

)1

)0

)3

)4

)0 →

e3 )0

)0

)3

)3

)1

)1

CA

1 CA2 CA

3 C I1 C I

2 C I3

CA1

)1

)0

)0 )

1 )0

)3

CA2

)0

)1

)0

)3

)4

)0

CA3

)0

)0

)1 )

1 )2

)2

Matricea A-1 se găseşte în compartimentul al doilea al ultimului tabel. Aşadar,

102

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−

221043301

A 1

V.ER.3). Să se afle rangul matricii A ∈ ( )M R3 4× ,

A =−− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 1 3

1 2 1 1

2 4 0 4

Rezolvare: Folosind lema substituţiei avem:

CA1 CA

2 CA3 C A

4 CA1 CA

2 CA3 C A

4

e1 1 -2 1 3 CA1 1 -2 1 3

e2 1 -2 -1 1 → e2 0 0 -2 -2 → e3 2 -4 0 4 e3 0 0 -2 -2 CA

1 CA2 CA

3 C A4

CA1 1 -2 0 2

CA2 0 0 1 1

e3 0 0 0 0 Din ultimul tabel rezultă că C CA

1 3, A sunt liniar independente

(căci fac parte din baza ( )C C eA A1 3 3, , ) iar C A

2 şi CA4 sunt combinaţii

liniare de C A1 şi C

A3 şi anume:

C A2 = (-2) C A

1 + 0·C A3 , C A

4 =2C A1 + 1·C A

3 . Rezultă că rang (A) = 2. V.ER.4) Să se calculeze rangul matricei A ∈ ( )M R3 3× ,

A = −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 2 3

1 1 0

1 2 α

unde α ∈ R este un parametru.

103


C A1 C A

2 C A3 C A

1 C A2 C A

3

e1 2 2 3 e1 0 4 3 e2 1 -1 0 → C A

1 1 -1 0 → e3 -1 2 α e3 0 1 α C A

1 C A2 C A

3

C A2 0 1 3/4

C A1 1 0 3/4

e3 0 0 (4α-3)/4 (Tabel 3)

Se observă că dacă 4 3

40

α −≠ , adică α ≠

3

4, atunci

4 3

4

α −

poate fi ales pivot, deci e3 poate fi înlocuită cu C A3 şi se obţine

următorul tabel: C A

1 C A2 C A

3 C A

2 0 1 0

C A1 1 0 0

C A3 0 0 1

Aşadar, pentru α ≠3

4, { }C C CA A A

2 1 3, , este sistem liniar

independent peste R, deci rang A = 3.

Dacă 4 3

40

α −= , adică α =

3

4, atunci tabelul 3 devine:

C A

1 C A2 C A

3 C A

2 0 1 3/4

C A1 1 0 1

e3 0 0 0

104

Coloanele C A

2 şi C A1 sunt liniar independente (căci fac parte din

baza { , iar }C C eA A2 1 3, , C A

3 este combinaţie liniară de coloanele C A2 şi

C A1 astfel: C A

3 = 3

4C A

2 + C A1

3

2

2

. Rezultă că rang A = 2.

V. ER.5). Să se rezolve sistemul de ecuaţii liniare: x x x x x

x x x x x

x x x x x

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 3 3

2 2

3 2 5 4

+ + + + =− − − − − = −+ + + + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪


C A

1

C A

2

C A

3

C A

4

C A

5

b C A

1

C A

2

C A

3

C A

4

C A

5

b

e1 1 2 1 3 3 3 C A1

1 2 1 3 3 3

e2 -1 -1 -1 -2 -2 -2 → e2 0 1 0 1 1 1 →

e3 1 3 2 5 4 2 e3 0 1 1 2 1 -1

C A

1

C A

2

C A

3

C A

4

C A

5

b C A

1

C A

2

C A

3

C A

4

C A

5

b

105

C A1

1 0 1 1 1 1 C A

1

1 0 0 0 1 3

A2C

0 1 0 1 1 1 → C A

2

0 1 0 1 1 1

e3 0 0 1 1 0 -2 C A3

0 0 1 1 0 -2

Din ultimul tabel rezultă că B = (C A

1 , C A2 , C A

3 ) este o bază a matricei A, b = 3C A

1 + C A2 - 2C A

3 , C A4 = C A

2 + C A3 , C A

5 = C A1 + C A

2 .

Construim x(0) = (3, 1, - 2, 0, 0)T pornind de la vectorul b din ultimul tabel. Construim de asemenea matricea

C =

−− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

0 1

1 1

1 0

1 0

0 1

pornind de la coloanele C A4 şi C A

5 din ultimul tabel. Luăm x(1) = (0, - 1, - 1, 1, 0)T şi x(2) = (- 1, - 1, 0, 0, 1)T. Soluţia generală a sistemului este

x(0) + λ1x(1) + λ2x(2) = (3- λ2, 1 - λ1 - λ2, - 2 - λ1, λ1, λ2), λ1, λ2 ∈ R. Deci soluţia sistemului este: (Sistem compatibil dublu

nedeterminat) x

x

x

x

x

1 2

2 1

3 1

4 1

5 2

3

1

2

= −= − −= − −=

=

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

λλ λλ

λλ

cu λ1, λ2 ∈ R.


V.E.1). În spaţiul vectorilor coloană 4-dimensionali,

R4 = . Se dau vectorii: ( )M R4 1×

f f f f1 2 3 4

1

3

2

6

2

1

0

5

1

4

1

4

4

5

1

4

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

−⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

, , , , x =

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1

0

3

2

.

Folosind lema substituţiei arătaţi că {f1, f2, f3, f4} formează o bază a lui R4 şi găsiţi coordonatele lui x în această nouă bază.

106

V.E.2). În spaţiul vectorilor 3-dimensionali, R3 = ( )M R3 1× . Se dau vectorii:

f f f1 2 3

1

1

2

2

3

1

0

3

= −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

, , , x C=−

α

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

∈α

α0

1

, .

Folosind lema substituţiei discutaţi în funcţie de α dacă sistemul

{f1, f2, f3} formează o bază a lui R3 şi în caz afirmativ găsiţi coordonatele lui x în această bază.

V.E.3) Aflaţi inversele următoarelor matrice:

a) A =

− −

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

2 5 0 1

1 0 3 7

3 1 0 5

2 6 4 1

b) B =− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 5 3

2

3 4 5

α 1 , α ∈ C parametru. (Discuţie după α)

V.E.3). Calculaţi rangul următoarelor matrice:

a) A =

−− −− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

2 1 1 3 4

2 1 2 1 2

2 3 1 2 2

0 2 2 3 6

b) B =−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 2

4 1 2 5

2 10 12 1

αα

2

, α ∈ R parametru.

(Discuţie după α).

107

c) C =−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

2 1 1 3

3 2 1 4

3 5 3

7 5 3 1

α, α ∈ R parametru.

(Discuţie după α). V.E.4). Rezolvaţi sistemele de ecuaţii liniare:

a)

x y z t

x y z t

x y z t

− + + =− + − = −− + + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 1

1

2 5 6

b)

+ t = 1

x - 7y + 3z = -3

4 2 3

3

3 3

x y z t

x y z

x y

+ − − = −+ − = −

− +

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

4

c) , α, β ∈ R parametru. (Discuţie după α şi β)

x y

x y

x y

x y

− = −+ =− =+ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3 2

2 3

3

2

αβ

d) x y z

x y z

x y z

+ + =+ + = −+ − =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

α

β

2 1

2 2 1 , α, β ∈ R parametru. (Discuţie după α

şi β)

e) x y z t

x y z t

x y z t

+ + − =+ − + =− + + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 5

2 2 1

2 3 2 3

f) α

αα

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1

1

1

, α ∈ R

parametru. (Discuţie după α).

108

g)

( )

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

− + − =− + − =+ + + =

+ − + + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2 0

2 3 3 0

0

2 1 2α α 0

, α ∈ R parametru. (Discuţie

după α).

109

110

VI. PROPRIETĂŢI ARITMETICE ALE INELELOR. INELE EUCLIDIENE. INELE PRINCIPALE.

INELE FACTORIALE. FACTORIALITATEA INELELOR DE POLINOAME

În acest capitol vom utiliza numai inele comutative, unitare, nenule şi integre.

VI.1. Proprietăţi aritmetice ale inelelor

VI.1.1. Definiţie. Fie A un inel comutativ, unitar, integru şi

nenul şi a, b ∈ A. Se spune că a este asociat cu b dacă a⏐b şi b⏐a şi se scrie a ~ b.

VI.1.2. Propoziţie. Fie A un inel. Două elemente a, b ∈ A sunt asociate dacă şi numai dacă a = bu, unde u este un element inversabil al inelului A.

VI.1.3. Definiţie. 1) Fie A un inel şi a ∈ A un element nenul şi neinversabil. Spunem că a este ireductibil dacă orice divizor al lui a este sau asociat cu a, sau inversabil.

2) Fie A un inel şi p ∈ A un element nenul şi neinversabil. Spunem că p este prim dacă din faptul că p⏐ab cu a, b ∈ A rezultă sau p⏐a sau p⏐b.

VI.1.4. Propoziţie. Fie A un inel. Orice element prim din inelul A este ireductibil.

VI.1.5. Propoziţie. Fie A un inel în care oricare două elemente au un cel mai mare divizor comun. Orice element ireductibil din inelul A este prim.

VI. 1.6. Exemplu. Fie inelul (Z, +, •). elemente prime şi ireductibile: 2, 3, 5, 7,... elemente asociate: 3 şi -3.


VI.ER.1.1). În inelul (Z, +, •) există o infinitate de numere

prime. Rezolvare. Presupunem prin absurd că în inelul (Z, +, •) există

un număr finit de numere prime. Fie acestea p1, p2, ..., pn. Considerăm elementul 1ppp n21 +K ∈ Z. Evident pi ≠ 1ppp n21 +K , pentru oricare i ∈ {1, 2, ..., n} şi cum p1, p2, ..., pn sunt toate numerele prime din inelul (Z, +, •), rezultă că 1ppp n21 +K nu este număr prim. Aşadar există i ∈ {1, 2, ..., n} astfel încât pi⏐( 1ppp n21 +K ) şi cum pi⏐p1p2 ... pi ... pn, rezultă că pi⏐1, deci pi = 1 ceea ce nu se poate deoarece pi este un număr prim. Aşadar, presupunerea făcută prin absurd este falsă, deci în inelul (Z, +, •) există o infinitate de numere prime.

VI.ER.1.2). Fie K un corp şi K[X] inelul polinoamelor într-o nedeterminată cu coeficienţi în corpul K. Arătaţi că orice polinom de gradul 1 din inelul K[X] este ireductibil.

Rezolvare. Fie f un polinom de gradul 1 din inelul K[X]. Presupunem prin absurd că f nu este ireductibil, rezultă că există g, h ∈ K[X] astfel încât f = gh. Cum K este corp rezultă că grad (f) =grad (g) + grad (h) şi cum grad f = 1, rezultă că grad (g) + +grad (h) =1, aşadar grad (g) = 0 şi grad (h) = 1 (sau invers). Cum grad (g) = 0 rezultă că g = a, a ∈ K, dar K este corp, deci a este inversabil în K, respectiv g este inversabil în K[X].

Deci f = gh, unde g este inversabil în K[X], iar grad (h) = 1. Rezultă din definiţia VI.1.3. - 1) că f este ireductibil.

VI.ER.1.3). Fie Q[X, Y] inelul polinoamelor în două nedeterminate cu coeficienţi în inelul Q. Arătaţi că X2 + Y2 este ireductibil în Q[X, Y].

Rezolvare. Presupunem prin absurd că X2 + Y2 nu este ireductibil în inelul Q[X, Y], rezultă că există a0, a1, a2, b0, b1, b2 ∈ Q astfel încât

X2 + Y2 =( a0 + a1X + a2Y) ( b0 + b1X + b2Y)

Obţinem

111

X2 + Y2 = a0b0 + (a1b0 + a0b1)X + (a2b0 + a0b2)Y + (a2b1 + +a1b2)XY + a1b1 X2 + a2b2 Y2

Deci: a b

a b a b

a b a b

a b a b

a b

a b

0 0

1 0 0 1

2 0 0 2

2 1 1 2

1 1

2 2

1

0

0

0

1

1

=+ =

+ =+ ==

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

Avem relaţia a2b1 + a1b2 = 0. Înmulţim această relaţie cu a1a2 şi obţinem ( ) ( )a a b a a b2

21 1 1

22 2 0+ = , dar cum a1b1 = a2b2 = 1 avem că

, deci a1 = 0 şi a2 = 0. Dar a1b1 = 1, deci a1 ≠ 0 şi a2b2 = 1, deci a2 ≠ 0. Aşadar am obţinut o contradicţie, deci presupunerea de la care am plecat este falsă. Prin urmare, X2 + Y2 nu este ireductibil în inelul Q[X, Y].

a a22

12 0+ =

VI.ER.1.4). Studiaţi divizibilitatea inelului (Z[i], +, •) numit inelul întregilor lui Gauss.

Reamintim că Z[i] = {a + bi⏐a, b ∈ Z şi i2 = - 1} Rezolvare. Pentru a studia divizibilitatea în Z[i] considerăm

funcţia N: Z[i] → N definită prin N(a + bi) = (a + bi)(a - bi) = a2 + b2. (N este numită funcţia normă, iar N(α) este norma numărului complex α).

1) Dacă α,β ∈ Z[i] atunci N(αβ) = N(α)N(β). Justificare. Fie α = a + bi, β = c + di. Atunci N(αβ) = N(ac - bd +i(bc + ad)) = (ab - cd)2 + (bc + ad)2, iar

N(α)N(β) = (a2 + b2)(c2 + d2) şi se verifică imediat egalitatea cerută. 2) Dacă α,β ∈ Z[i] astfel încât α⏐β atunci N(α)⏐N(β). Justificare. Fie α,β ∈ Z[i] astfel încât α⏐β. Rezultă β = α ′α .

Aplicăm N acestei relaţii şi obţinem N(β) = N(α ′α ), deci N(β) = N(α)N( ′α ), aşadar N(α)⏐N(β).

3) Fie α ∈ Z[i]. α este inversabil în inelul Z[i] dacă şi numai dacă N(α) = 1.

112

Justificare. Presupunem că α este inversabil în inelul Z[i] şi demonstrăm că N(α) = 1. Cum α ∈ Z[i] este inversabil rezultă că există β ∈ Z[i] astfel încât αβ = 1. Aplicăm N acestei relaţii şi obţinem N(αβ) = N(1), deci N(α)N(β) = 1, dar cum N(α), N(β) ∈ N rezultă N(α) = 1.

Presupunem că N(α) = 1 şi demonstrăm că α este inversabil în inelul Z[i]. Fie α = a + bi cu a, b ∈ Z. Cum N(α) = 1, iar N(α) = (a + bi)( a - bi), obţinem că (a + bi)( a - bi) = 1, aşadar αα = 1., deci α este inversabil în Z[i] şi inversul său este α .

4) Fie α,β ∈ Z[i] astfel încât α⏐β şi N(α) = N(β). Atunci α este asociat în divizibilitate cu β.

Justificare. Cum α⏐β rezultă că există γ ∈ Z[i] astfel încât β = αγ. Aplicăm N acestei relaţii şi obţinem N(β) = N(α)N(γ) dar cum N(α) = N(β) rezultă N(γ) = 1, deci γ este inversabil în Z[i]. Aşadar β = αγ cu γ inversabil, iar din VI.1.2. obţinem că α este asociat în divizibilitate cu β.

5) Fie α ∈ Z[i] astfel încât N(α) este prim în N. Atunci α este un element ireductibil al inelului Z[i].

Justificare. Presupunem prin absurd că α nu este element ireductibil al inelului Z[i]. Din VI.1.3. rezultă că există β,γ ∈ Z[i] astfel încât α = βγ şi β şi γ nu sunt nici inversabile nici asociate cu α. Aplicăm N relaţiei α = βγ şi obţinem N(α) = N(β)N(γ), dar cum N(α) este prim în N obţinem că sau N(β) = 1, deci β este inversabil în Z[i] ceea ce este o contradicţie, sau N(γ) = 1, deci γ este inversabil în Z[i] ceea ce iarăşi este o contradicţie.

Aşadar α este un element ireductibil al inelului Z[i]. Observaţie. Din proprietăţile anterioare obţinem că elementele

inversabile ale inelului Z[i] sunt 1, - 1, i, - i, iar dacă p este prim în N sau p = 4k + 3, atunci p este ireductibil în Z[i].

VI.ER.1.5). Să se arate că în inelul (Z[i 5 ], +, •) elementele 2(1 + i 5 ) şi 6 nu au un cel mai mare divizor comun.

Reamintim că Z[i 5 ] = {a + bi 5⏐a,b ∈ Z şi i2 = - 1}

113

Rezolvare. Definim funcţia normă N: Z[i 5 ] → N, N(a + bi 5 ) = (a + bi 5 ) (a - bi 5 ) = a2 + 5b2. Lăsăm cititorului să verifice că această funcţie are următoarele proprietăţi:

1) Dacă α, β ∈ Z[i 5 ] atunci N(αβ) = N(α)N(β). 2) Dacă α, β ∈ Z[i 5 ] astfel încât α⏐β atunci N(α)⏐N(β). 3) α ∈ Z[i 5 ] este inversabil în inelul Z[i 5 ] dacă şi numai

dacă N(α) = 1. 4) Dacă α, β ∈ Z[i 5 ] astfel încât α⏐β şi N(α)=N(β) atunci α

este asociat cu β. Presupunem prin absurd că 2(1 + i 5 ) şi 6 au un cel mai mare

divizor comun. Fie acesta d. Deci d = (2(1 + i 5 ), 6). Obţinem că:

( ) ( )( )

( ) ( )dN d N

NN d N d6

6

6 3636 36⇒

=

⎫⎬⎭⇒ ⇒ = α α, N∈ (1)

( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) (2) N ,dN24dN245i12N

5i12NdN5i12d ∈=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=+

+⇒+ ββ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) N ,4dNdN4dN2Nd25i122

62∈=⇒⇒⇒⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

+γγ

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (4) N ,6dNdN6dN5i1N

d5i15i125i1

65i15i15i16

∈=⇒⇒+⇒

⇒+⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

++

+⇒−+=

δδ

114

Din relaţiile (1), (2), (3) şi (4) obţinem că α = 3, β = 2, γ = 3, şi δ = 2, deci N(d) = 12. Dar cum d ∈ Z[i 5 ], deci d = m + i 5n cu m, n ∈ Z, rezultă că N(m + i 5n) = 12, aşadar m2 + 5n2 = 12, m, n ∈ Z. Această ecuaţie însă nu are soluţii în mulţimea numerelor întregi, cu alte cuvinte nu există m, n ∈ Z astfel încât m2 + 5n2 = 12, deci nu există d.

Aşadar, în inelul (Z[i 5 ], +, •) elementele 2(1 + i 5 ) şi 6 nu au un cel mai mare divizor comun.

VI.ER.1.6). Fie n ≥ 3, n un număr întreg impar, n = 4K + 1 cu proprietatea că n ∉ Z. Arătaţi că în inelul (Z[i n ], +, •) elementul 2 este ireductibil şi nu este prim.

Rezolvare. Definim funcţia normă N: Z[i n ] → N, N(a + bi n ) = (a + bi n )(a - bi n ) = a2 + nb2. Lăsăm cititorului să verifice că această funcţie are următoarele proprietăţi:

1) Dacă α, β ∈ Z[i n ] atunci N(αβ) = N(α)N(β). 2) Dacă α, β ∈ Z[i n ] astfel încât α⏐β atunci N(α)⏐N(β). 3) α ∈ Z[i n ] este inversabil în inelul Z[i n ] dacă şi numai

dacă N(α) =1. 4) Dacă α, β ∈ Z[i n ] astfel încât α⏐β şi N(α) = N(β) atunci α

este asociat cu β. Arătăm că 2 nu e prim în inelul Z[i n ]. Presupunem prin

absurd că 2 este prim în Z[i n ]. Avem relaţia (1 + i n )(1 - i n ) = 1 + n şi cum n = 4K + 1,

rezultă că 1 + n este par,deci 2⏐(1 + n), aşadar 2⏐(1 + i n )(1 - i n ). Dar 2 este prim, deci 2⏐(1 + i n ) sau 2⏐(1 - i n ). Aplicăm N şi obţinem că N(2)⏐N(1 + i n ) sau N(2)⏐N(1 - i n ), deci 4⏐(1 + n2) sau 4⏐(1 + n2). Dar n = 4K + 1, deci n2 = 4K(K + 1) + 1, n2 +1 = 4K(K + 1) + 2, aşadar 4 nu devine n2 +1.

Deci 2 nu este prim în inelul Z[i n ].

115

Arătăm că 2 este ireductibil în inelul Z[i n ]. Presupunem prin absurd că 2 nu este ireductibil în inelul Z[i n ], rezultă că există a + bi n şi c + di n ∈ Z[i n ] astfel încât 2 = (a + bi n )

(c + di n ) şi a + bi n şi c + di n nu sunt nici inversabile în Z[i n ], nici asociate cu 2. Aplicăm N relaţii de mai sus şi obţinem că

N(2) = N(a + bi n )N(c + di n ), deci 4 = (a2 + nb2)( c2 + nd2). Obţinem mai multe cazuri:

caz 1: a2 + nb2 = 1 şi c2 + nd2 = 4. În acest caz a2 + nb2 = 1, deci N(a2 + nb2) = 1 şi deci a + bi n

este inversabil în Z[i n ], ceea ce este o contradicţie.

caz 2: a2 + nb2 = 4 şi c2 + nd2 = 1. Se rezolvă analog cazului 1.

caz 3: a2 + nb2 = 2 şi c2 + nd2 = 2. Avem a2 + nb2 = 2, dar cum n ≥ 3 rezultă că b2 = 0, deci b = 0, şi

a2 = 2 ceea ce nu se poate deoarece a ∈ Z. Aşadar presupunerea făcută prin absurd este falsă, deci 2 este

ireductibil în inelul Z[i n ].


VI.E.1.1). Fie K un corp şi K[X] inelul polinoamelor într-o nedeterminată cu coeficienţii în corpul K. Arătaţi că în K[X] există o infinitate de polinoame prime.

VI.E.1.2). Fie Q[X, Y, Z] inelul polinoamelor în trei nedeterminate cu coeficienţi în inelul Q. Polinomul X2 + Y2 + Z2 este ireductibil în Q[X, Y, Z]?

VI.E.1.3). Studiaţi divizibilitatea în inelele: (Z[i 7] , +, •), (Z [ ]i 3 , +, •), (Z [ 3] , +, •)

VI.E.1.4). Să se arate că inelul (Z [i 5] , +, •) elementele 3 şi

1 + i 5 au un cel mai mare divizor comun, iar elementele 21 şi 7(4 - i 5 ) nu au un cel mai mare divizor comun.

VI.E.1.5). Să se arate că inelele (Z [ ]i 13 , +, •) şi

(Z [i 17] , +, •) 2 este ireductibil şi nu e prim.

116

VI.E.1.6). Arătaţi că în inelul (Z [i 5] , +, •) elementele 3, 7,

4 + i 5 , 4 - i 5 sunt ireductibile şi nu sunt prime.

VI.2. Inele euclidiene, principale şi factoriale

VI.2.1. Definiţie. Un inel integru A împreună cu o funcţie f: A \{0} → N se numeşte inel euclidian dacă f are următoarele proprietăţi:

1) Oricare ar fi elementele nenule a, b ∈ A astfel încât a să dividă pe b, rezultă f(a) ≤ f(b).

2) Pentru oricare a, b ∈ A, b ≠ 0, există q, r ∈ A astfel încât a = bq + r unde r = 0 sau f(r) < f(b).

Exemple. 1) Inelul (Z, +, •) este inel euclidian. Justificare. Considerăm funcţia f: Z \{0} → N, f(n) = ⏐n⏐

pentru oricare n ∈ Z. 2) Fie k un corp. Atunci k este un inel euclidian. Justificare. Considerăm funcţia f: k \{0} → N, f(a) = 1 pentru

oricare a ∈ k. 3) Fie k un corp şi k[X] inelul polinoamelor într-o nedeterminată

cu coeficienţi în corpul k. Atunci k[X] este un inel euclidian. Justificare. Considerăm funcţia f: k[X] \{0} → N, f(g) =grad (g)

pentru oricare g ∈ k[X]. VI.2.2. Definiţie. Un inel integru A se numeşte principal dacă

orice ideal al său este principal. VI.2.3. Propoziţie. Orice inel euclidian este principal. Observaţie. Reciproca afirmaţiei proproziţiei nu este întotdeauna

adevărată. De exemplu Z1 19

2

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

i este un inel principal, dar nu este

inel euclidian. VI.2.4. Propoziţie. (Algoritmul lui Euclid). Într-un inel

euclidian orice două elemente au un cel mai mare divizor comun. VI.2.5. Corolar. Într-un inel euclidian orice element ireductibil

este prim.

117

VI.2.6. Propoziţie. Într-un inel principal oricare două elemente au un cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun.

VI.2.7. Corolar. Într-un inel principal orice element ireductibil este prim.

VI.2.8. Definiţie. Un inel integru A se numeşte inel factorial dacă orice element neinversabil şi nenul din A se descompune într-un produs finit de elemente prime.

VI.2.9. Propoziţie. Orice inel principal este factorial. VI.2.10. Propoziţie. Într-un inel factorial, oricare două elemente

au un cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun. VI.2.11. Corolar. Într-un inel factorial orice element ireductibil

este prim. VI.2.12. Observaţie. Fie A un inel. A euclidian ⇒ A principal ⇒ A factorial. VI.2.12. Teorema lui Gauss (Factorialitatea inelelor de

polinoame). Dacă A este inel factorial atunci A[X] este inel factorial.

Exerciţii rezolvate VI.ER.2.1). Arătaţi că inelul (M2(R), +, •) nu este inel euclidian. Rezolvare. Acest inel nu este euclidian deoarece nu este inel

comutativ. VI.ER.2.2). Arătaţi că inelul Z[x]/(x2) nu este inel euclidian. Rezolvare. [ ] { }Z x x ax b a b Z4

24= + ∈) ) ) )

, . Inelul Z[x]/(x2) nu este inel euclidian deoarece nu este integru.

Polinoamele ( )f x x= +) )2 2 şi ( )g x =

)2 aparţin lui Z[x]/(x2), dar

f(x)g(x) =)0 .

VI.ER.2.3). Arătaţi că inelul (Z[i], +, •) este inel euclidian. Reamintim că Z[i] = {a + bi⏐a, b ∈ Z}. Rezolvare. Definim N: Z[i]\{0} → N, N(a + bi)( a - bi) = a2 + b2.

Arătăm că N are proprietăţile 1) şi 2) din definiţia inelului euclidian. Verificăm proprietatea 1), adică verificăm că pentru oricare

α, β ∈ Z[i] cu proprietatea că α divide pe β rezultă că N(α) ≤ N(β). Fie α, β ∈ Z[i] astfel încât α⏐β. Din VI.ER.1.4) rezultă că N(α)⏐N(β), deci N(α) ≤ N(β).

118

Verificăm proprietatea 2), adică verificăm că pentru orice α, β ∈ Z[i], β ≠ 0, există q, r ∈ Z[i] astfel încât α = βq + r, unde r = 0 sau N(r) < N(β).

Fie α, β ∈ Z[i], β ≠ 0, α = a + ′a i, β = b + ′b i cu a, ′a , b, ∈ Z. ′b

Presupunem αβ-1 = r + is unde r, s ∈ Q. Notăm γ = c + i ′c , unde c şi ′ sunt cele mai apropiate numere întregi de r, respectiv s. Deci c

c r− ≤1

2 şi ′ − ≤c s

1

2 .

Notăm δ = αβ-1 - γ, deci δ = r - c + i(s - ′c ). Avem δ = αβ-1 - γ, rezultă α β-1 = δ + γ şi înmulţind această relaţie cu β obţinem că α = βγ + βδ. Notăm βδ = δ1 şi obţinem α = βγ + δ1, cu γ ∈ Z[i] şi δ1∈ Z[i] (deoarece δ1 = βδ şi βδ ∈ Z[i]). Arătăm că N(δ1) < N(β).

N(δ1) = N(βδ) = N(β)N(δ) = N(β)((r - c)2 + (s - ′c )2) ≤

≤ N(β)1

4

1

4+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ < N(β)

Deci N(δ1) < N(β). Aşadar, pentru oricare α, β ∈ Z[i], β ≠ 0, există q, r ∈ Z[i],

q = γ şi r = δ1, astfel încât α = βq + r, unde r = 0 sau N(r) < N(β). În concluzie (Z[i], +, ·) este inel euclidian. VI.ER.2.4) Fie A un inel integru care nu este corp. Atunci A[x] nu

este principal. În particular A[x] nu este nici euclidian (vezi VI. 2. 13.) Rezolvare. Cum A nu e corp rezultă că există a un element nenul

şi neinversabil al inelului A. Vom demonstra că idealul lui A[x] generat de a şi x nu este ideal principal, deci A[x] nu e principal.

Notăm cu (a, x) idealul lui A[x] generat de a şi x. Presupunem prin absurd că (a, x) este ideal principal al inelului A[x], deci există f∈ A[x] astfel încât (a, x) = (f), adică

a A[x] +x A[x] = f A[x] (1)

a∈ a A[x] +x A[x] ( )rel 1

⇒ a∈f A[x] ⇒∃ g ∈ A[x] a. î. a = fg. Cum a = fg rezultă că grad (a) = grad (f) + grad (g), deci

grad (f) + grad (g) = 0, deci grad (f) = 0. Aşadar f ∈ A.

119

x∈ a A[x] +x A[x] ( )rel 1

⇒ x∈f A[x] ⇒∃ h ∈ A[x] a. î. x = fh. Fie h = a0 + a1x + ... + anxn. Cum x = fh şi f ∈ A rezultă că

f a0= 1 (am egalat coeficientul lui x din primul termen cu coeficientul lui x din cel de-al doilea termen), deci f este un element inversabil al inelului A[x], aşadar f A[x] = A[x]. Relaţia (1) devine:

aA[x] + xA[x] = A[x] (2)

Din relaţia (2) rezultă că există α, β ∈ A[x] astfel încât aα + xβ = 1 şi egalând coeficienţii termenilor de grad zero din această relaţie obţinem că aα = 1, deci a este element inversabil al inelului A, ceea ce contrazice alegerea lui a (am ales a un element neinversabil şi nenul al lui A).

În concluzie A[x] nu este principal. VI.ER.2.5). Arătaţi că inelul (Z[i 5 ], +, •) nu este inel factorial.

În particular nu este nici euclidian nici principal (vezi VI.2.13). Rezolvare. După cum am arătat la VI.ER.1.5) elementele

2(1 + i 5 ) şi 6 ale inelului Z[i 5 ] nu au un cel mai mare divizor comun, deci Z[i 5 ], nu este inel factorial.

VI.ER.2.6). Fie A un inel euclidian şi S un sistem multiplicativ al lui A. Atunci S-1A este euclidian.

Rezolvare. Cum A este inel euclidian rezultă că există o funcţie f: A \ {0} → N care are următoarele proprietăţi:

1) Oricare ar fi elementele nenule a, b ∈ A astfel ca a să dividă pe b, rezultă f(a) ≤ f(b).

2) Pentru orice a, b ∈ A, b ≠ 0, există q, r ∈ A astfel încât a = bq + r, unde r = 0 sau f(r) < f(b).

Definim funcţia Ψ: \ ,

120

S A N− ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭→1 0

1 ( )Ψ

a

sf a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = . Verificăm

dacă Ψ are proprietăţile 1) şi 2) din definiţia inelului euclidian (VI.2.1.).

Verificăm proprietatea 1), adică verificăm că pentru oricare a

s,b

t

∈ S-1A cu proprietatea că a

s divide

b

t rezultă că Ψ Ψ

a

s

b

t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Fie a

s,b

t ∈ S-1A astfel încât

a

s

b

t . Rezultă că există

c

u ∈ S-1A

astfel încât b

t =

a

s·c

u . Aplicând Ψ acestei relaţii obţinem că

Ψ Ψb

t

a

a

c

u

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, deci Ψ Ψ Ψ

b

t

a

a

c

u

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, adică f(b) = f(a) f(c),

relaţie ce are loc în inelul A. Dar cum A este inel euclidian şi

f: A \ {0} → N, rezultă că f(a) ≤ f(b), deci Ψ Ψa

s

b

t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Verificăm proprietatea 2), adică verificăm că pentru oricare a

s

b

tS A

b

t, ,∈ −1 0

1≠ rezultă q, r ∈S-1A astfel încât

a

sqb

tr= + cu

r =0

1 sau ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ψ<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ψ

tb

sa

.

Fie a

s

b

tS A

b

t, ,∈ −1 0

1≠ . Obţinem că a, b∈ A, b≠0. Cum A este

inel euclidian rezultă că există q′, r′∈A astfel încât a = bq′+r′ cu r′=0 sau ϕ(r′) <ϕ(b).

Aşadar a

s

b

t

q t

s

r

s= ⋅

′+

′ cu

′=

r

s

0

1 sau ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ψ<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

Ψtb

sr

.

Deci pentru oricare a

s

b

tS A

b

t, ,∈ −1 0

1≠ , există q, r ∈ S-1A,

qq t

s=

′ şi r

r

s=

′, astfel încât

a

sqb

tr= + cu r =

0

1 sau

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ψ<Ψ

tbr .

121

Deci S-1A este inel euclidian.

Exerciţii propuse spre rezolvare VI.E.2.1) Arătaţi că inelele:

[ ]Z i Zi

21 3

2,

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

sunt euclidiene.

Indicaţie. Pentru Zi1 3

2

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ definim

{ } N:Zi

N1 3

20

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ →\ ,

N a + b1 3

2 2

3

2 2

3

2

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ia

bbi

ab

bi

.

VI.E.2.2) Fie n≥3 un număr întreg impar, n=4k+1, cu proprietatea că n Z∉ . Arătaţi că inelul [ ]( )Z i n , ,+ ⋅ nu este inel factorial. În particular nu este nici principal nici euclidian.

VI.E.2.3) Arătaţi că inelele: [ ] ( ) [ ] ( )Z x x Z x x6

28

3, şi [ ] ( )Z x x124

nu sunt euclidiene. VI.E.2.4) Arătaţi că inelele:

[ ] [ ] [ ]Z i Z i Z6 3 26, , , nu sunt factoriale. În particular nu sunt nici principale nici euclidiene.

VI.E.2.5) Arătaţi că inelele: [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )⋅+⋅+⋅+ ,,y,xZ ,,,xZ ,,,xZ 34

nu sunt principale. În particular nu sunt nici euclidiene. VI.E.2.6) Arătaţi că inelul [ ]( )Q x , ,+ ⋅ este euclidian.

122

VI.E.2.7) Fie inelul [ ]( )Z i 2 , ,+ ⋅ şi S o submulţime a lui

[ ]Z i 2 , ( ) ( ){ }S i i in

= 1 2 2 22

, , , , , K K .

a) Arătaţi că S este un sistem multiplicativ al inelului [ ]Z i 2 .

b) Arătaţi că S-1 [ ]Z i 2 este inel euclidian. VI.3. Criterii de ireductibilitate pentru polinoame

VI.3.1. Definiţie. Fie A un inel integru şi f ∈ A[X]. Spunem că f

este un polinom primitiv dacă coeficienţii lui f nu se divid cu acelaşi element prim din A.

VI.3.2. Criteriul lui Einstein. Fie A inel factorial, K corpul său

de fracţii, f = un polinom de grad n > 1 din A[X] şi p un

element prim în A cu proprietăţile:

a Xii

i

n

=∑

0

an ≠ 0 (mod p), ai ≡ 0 (mod p) pentru i < n şi ai ≠ 0 (mod p2). Atunci f este polinom ireductibil în K[X] şi deci şi în A[X] dacă f este primitiv.

VI.3.3. Consecinţă. Fie A un inel factorial, K corpul său de

fracţii şi f un polinom de grad n > 1 din A[X]. Dacă g(X) = f(X + 1) este ireductibil în K[X] atunci şi f(X) este ireductibil în K[X].

VI.3.4. Criteriul reducerii. Fie u: A → B un morfism de inele integre cu A inel factorial, K corpul de fracţii al lui A şi L corpul de fracţii al lui B. Notăm cu ′u morfismul A[X] → B[X] cu proprietatea că ′u (X) = X şi care extinde pe u. Atunci dacă f ∈ A[X] este astfel încât ′u (f), este ireductibil în L[X] iar grad f = grad ′u (f), rezultă că f este ireductibil în K[X].

Dacă f este primitiv, atunci este ireductibil în A[X]. Observaţie. Acest criteriu se aplică în special pentru A = Z şi

B = Zp cu p număr prim.


123

VI.ER.3.1). Fie polinomul

f = X5 + 15X4 + 20X3 - 40X + 35 Arătaţi că f este ireductibil în Q[X]. Rezolvare. Acest polinom este ireductibil în Q[X] deoarece

pentru p = 5 sunt îndeplinite condiţiile din Criteriul lui Einstein (VI.3.2).

VI.ER.3.2). Fie p un număr prim. Arătaţi că polinomul f = Xp-1 + Xp-2 + ... + X + 1

este ireductibil în Q[X]. Rezolvare. Pentru a demonstra că f este ireductibil în Q[X] vom

aplica VI.3.3., deci vom demonstra că g(X) = f(X + 1) este ireductibil

în Q[X]. Cum ( )f XX

X

p

=−−

1

1 , obţinem că

( ) ( )

pXCXCXCX

CXCXCX11X

11XXg

2pp

3p2pp

2p1p

1p

1pp

3p2p

2p1p

1pp

+++++=

=++++=−+−+

=

−−−−−

−−−−

L

L

Deoarece p este prim, avem că pC p

K , oricare ar fi 1 ≤ K ≤ p - 1 şi deci, conform criteriului lui Einstein, g(X) este un polinom ireductibil.

VI.ER.3.3). Fie polinomul f ∈ Z[X], f(X) = X3 - X + 1.

Arătaţi că f este ireductibil în Z[X]. Rezolvare. Vom aplica Criteriul reducerii (VI.3.4.). Considerăm morfismul u: Z → Z3. Construim morfismul ′u :

Z[X] → Z3[X] cu propietatea că ′u (X) = X şi care extinde pe u. Avem ( )′ = − +u f X X3 1$ .

Evident grad ′u (f) = grad f, iar ′u (f) este ireductibil în Z3[X] (deoarece nu are nici o rădăcină în Z3). Deci, conform criteriului reducerii f este ireductibil în Z[X].

VI.ER.3.4). Fie p un număr prim şi a ∈ Z astfel încât (a,p) =1. Arătaţi că polinomul Xp-X+a este ireductibil în Z[X].

124

Rezolvare. Vom aplica Criteriul reducerii (VI.3.4.). Condiderăm inelul Zp =Z/pZ care este corp finit şi morfismul u:

Z[X] → Zp, ( )u x x= ) . Conform VI.3.4., pentru arăta că polinomul f= Xp-X+a este ireductibil este suficient să dovedim că polinomul g=Xp-X + )a∈ Zp[X] este ireductibil în Zp[X].

Cum Zp este corp, există o extindere K a lui Zp astfel încât g are toate cele p rădăcini în K. Fie α∈K o rădăcină a lui g. Vom dovedi că

1p , ,2 ,1 , −+++ αααα K))

sunt toate rădăcinile lui g. Într-adevăr, fie p=α+

)k , 0 ≤ k ≤ p-1, una dintre rădăcini.

( ) ( ) ( )( ) kka

akkakkagpp

pppp

)))

)))))))

−++−=

=+−−+=++−+=+−=

αα

ααααβββ

Cumα αp a− + =) 0 şi ţinând cont de teorema lui Fermat

(cls.XI) avem ) )k kp − = 0 . Deci g(β) = 0.

Presupunem că g nu este ireductibil în Zp[X]. Atunci există g1,g2 ∈ Zp[X] astfel încât g = g1g2 şi grad g1 ≥1 şi grad g2 ≥1.

Cum ( )( )( ) ( )( )g x x x x p= − − − − − − − −α α α α

) )K

) )1 2 1

rezultă că g1 este de forma ( )( ) ( )g x x k x k s1 11= − − − − − −α α α

) )K

),

unde )K

)k k Zs1, ∈ p , iar 1≤ s < p. Cum g1∈ Zp[X], atunci coeficientul

termenului de gradul s-1 al lui g1 este( ) ( )α α+ + + +)

K)

k s1 k şi aparţine lui Zp. Deci sα∈ Zp de unde rezultă că α∈ Zp. Cum g(α) = 0, atunci

şi cum αp-α=0, din teorema lui Fermat obţinem că 0ap =+−αα)a = 0 , adică p⎜a, contradicţie cu (a, p) =1. Deci polinomul g este ireductibil şi conform VI.3.4. rezultă că f este ireductibil în Z[X].


VI.E.3.1). Fie polinomul

f= X4+9X3+12X+6

125

Arătaţi că f este ireductibil în Q[X]. VI.E.3.2). Fie n ∈ N* \ {1} şi polinomul

f = Xn + 2 Arătaţi că f este ireductibil în Q[X]. VI.E.3.3). Fie n ∈ N* \ {1} şi polinomul

f = + 1 n2X

Arătaţi că f este ireductibil în Q[X]. VI.E.3.4). Fie n ∈ N* \ {1} şi polinomul

f X ppn

= + −1 unde p este un număr prim. Arătaţi că f este ireductibil în Q[X].

VI.E.3.5). Arătaţi că următoarele polinoame a) f = X5 - X + 3 b) g = X4 - X + 7 c) h = X9 - X + 2 d) i = X10 - X + 3 e) j = X6 - X + 5

sunt reductibile în Z[X].

SUBIECTE DATE LA EXAMENE

126

I. EXAMEN DE LICENŢĂ, iunie 1996 1. Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice (existenţă şi

unicitate). 2. Rangul unei matrice. Teorema lui Kronecker. 3. a) Să se arate că orice element prim nenul din inelul Z[i] este

asociat în divizibilitate cu unul din numerele: α) 1 + i β) p ∈ Z număr prim de forma 4k + 3 γ) a + bi cu

a, b ∈ Z şi a2 + b2 = p număr prim de forma 4k + 1. b) Să se descompună în factori primi în Z[i] numărul 25 + 35i. 4. a) Descrieţi idealele bilaterale ale lui M2(Z12), inelele sale

factor (până la un izomorfism) şi daţi exemple de ideale la stânga care nu sunt ideale la dreapta.

b) Arătaţi că { }S = ⊆$,$,$1 2 4 6Z este sistem multiplicativ închis şi S Z Z− ≅1

6 3 . II. EXAMEN DE LICENŢĂ, februarie 1999 1. Subgrupuri normale. Definiţie, exemple, caracterizări

echivalente. Orice subgrup de indice 2 este normal. Determinaţi subgrupurile normale ale lui S3 × Z4.

2. Inele euclidiene. Definiţie şi proprietăţi. Care dintre următoarele inele sunt euclidiene: Z[X], Q[X], Z[I], Z[X]/(X2), Z3[X, Y]? Justificaţi răspunsurile.

3. Teorema lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare.

Să se discute şi să se rezolve sistemul:

127

ax y z a

x by z b

x y cz c

+ + =+ + =+ + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪ unde a, b, c ∈ Q

III. EXAMEN DE LICENŢĂ, februarie 2000 I. a) Morfisme şi izomorfisme de grupuri. Definiţii, proprietăţi. b) Teorema fundamentală de izomorfism pentru grupuri. c) Fie n ∈ N* şi f: Z → C* dată prin

( )f kk

ni

k

n= +cos sin

2 2π π , k ∈ Z.

Arătaţi că f este un izomorfism de la grupul (Z, +) la grupul (C*,•). Calculaţi Kerf şi Imf şi aplicaţi teorema fundamentală de izomorfism.

II. a) Inele euclidiene, principale, factoriale. Definiţii. b) Demonstraţi că orice inel euclidian este factorial. c) Fie inelele Z, Z[i], Z[X], C[X], C[X, Y], Z4, Z4[X], Z5[X],

[Z i 5] , R[X]/(X2 + 1). Spuneţi despre fiecare dintre inelele de mai sus dacă este euclidian sau factorial.

III. a) Rangul unei matrice. Teorema lui Kronecker. b) Arătaţi că în M4,5(R) există o infinitate de matrice de rang 3.

128

An1 Sem1 Algebra Probleme

Documents

Transcript of An1 Sem1 Algebra Probleme