Algebra Si Geometrie Pag 16

CAMELIA FRIGIOIU

ALGEBRĂ ŞI GEOMETRIE

pentru inginerie economica

Galati

2006

ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE

3

ALGEBRĂ LINIARĂ

CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE

§1. Spaţii vectoriale

Spaţiul vectorial este una din cele mai importante structuri matematice, care

serveşte disciplinelor tehnice si economice.

Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ şi 1K elementul său unitate. Un triplet format

din:

-o mulţime nevidă V

-o lege de compoziţie internă, definită pe V, notată aditiv

+ : VVV →×

( ) vuvu +→, , ∀ u,v∈V

-o lege de compoziţie externă

VVK : →×⋅

(α,u)→ α⋅ u, ∀ α,v∈V

se numeşte spaţiu vectorial (liniar) peste K (sau K-spaţiu vectorial), dacă verifică

următoarele axiome:

(V1) (V,+) este grup abelian (elementul neutru al acestui grup va fi notat θ )

(V2) ( ) K V,vu, ∈α∀∈∀⋅α+⋅α=+⋅α vuvu

(V3) ( ) K, V,u ∈βα∀∈∀⋅β+⋅α=⋅β+α uuu

(V4) ( ) ( ) uu ⋅αβ=⋅β⋅α ∀ u∈V , K∈βα∀ ,

(V5) uuK =⋅1 Vu∈∀

Dacă K=R (respectiv K=C) vom spune că V este un spaţiu vectorial real (respectiv

complex).

Elementele unui K-spaţiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpului K se

numesc scalari.

CAMELIA FRIGIOIU

4

Propoziţia 1.1. Fie V un K-spaţiu vectorial. Atunci sunt adevărate următoarele

afirmaţii:

VuK , v-uu)-( 2)Vvu,K v-uv)-u( )1

∈∀∈βα∀⋅β⋅α=⋅βα∈∀∈α∀⋅α⋅α=⋅α

3) K ∈α∀θ=θ⋅α

4) Vu 0 ∈∀θ=⋅ uk

5) Vu )( ∈∀−=⋅− uuK1

6) dacă θ=⋅α u , atunci K0=α sau θ=u .

Exemple.

1. Spaţiul aritmetic nK cu n dimensiuni

Fie K un corp comutativ oarecare şi n∈N un număr natural nenul.

Vom considera produsul cartezian

=nK 44 344 21orin

KKK−

××× ....

unde elementele lui Kn sunt de forma )...,()( 21 ni xxxx = şi se numesc n-uple ordonate.

Produsul cartezian nK poate fi dotat cu o structură de spaţiu vectorial peste corpul

K, dacă se definesc pe nK :

-o lege de compoziţie aditivă, internă, prin:

)()()(x )(),( i iiin

ii yxyKyx +=+∈∀

-o lege de compoziţie externă peste K prin:

)()(x ,)( i ii xKKx α=⋅α∈α∀∈∀ .

Se verifică uşor că aceste legi de compoziţie determină pe nK o structură de spaţiu

vectorial peste K. K-spaţiul vectorial ),,( ⋅+nK se numeşte spaţiul aritmetic (standard) cu n

dimensiuni.

2. Mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane, cu elemente reale , formează un

spaţiu liniar real, notat mxnM (R). Operaţiile acestui spaţiu liniar sunt: adunarea matricelor

şi înmulţirea dintre un număr real şi o matrice.

3. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi, împreună cu adunarea

polinoamelor şi înmulţirea unui număr real cu un polinom formează un spaţiu vectorial

real,notat C [ ]X .


5

4. Mulţimea polinoamelor de grad cel mult n, cu coeficienţi reali constituie un spaţiu

vectorial real notat P [ ]Xn , cu legile de compoziţie din exemplul 3.

Definiţia 1.2. Fie Vvvv n ∈..., 21 , n vectori din K-spaţiul vectorial V şi ...., 21 Kn ∈ααα

Vectorul nnvvvv α++α+α= ...2211 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α= ∑

=

n

jjjvvsau

1 se numeşte combinaţia liniară a

vectorilor nvv ,...,1 .

§ 2. Subspaţii vectoriale (liniare)

Fie K-spaţiul vectorial V.

Definiţia 2.1. O submulţime nevidă VW ⊆ se numeşte subspaţiu vectorial

(liniar) a lui V dacă:

1) Wvu, ∈∀ Wvu ∈+

2) WuK ∈∀∈α∀ , Wuα ∈⋅

Definiţia 2.2. O submulţime nevidă W⊆V se numeşte subspaţiu vectorial (liniar) al

lui V dacă:

Wvu, ∈∀ , ∀α, β∈K, Wvβuα ∈⋅+⋅ .

Observaţii 1) Cele două definiţii de mai sus sunt echivalente şi deci în aplicaţii poate fi verificată

oricare dintre ele.

2) Deoarece adunarea vectorilor şi înmulţirea cu scalari, pe W sunt restricţii ale

operaţiilor din V, atunci W împreună cu aceste legi de compoziţie verifică toate axiomele

spaţiului vectorial.

Se poate da o definiţie echivalentă cu cele de mai sus:

Definiţia 2.3. W⊆V este subspaţiu vectorial a lui V dacă şi numai dacă W este

spaţiu vectorial peste K în raport cu operaţiile din V.

CAMELIA FRIGIOIU

6

Exemple.

1. În orice spaţiu vectorial V/K mulţimile { }θ şi V sunt subspaţii vectoriale ale lui V şi

se numesc subspaţii improprii; oricare alt subspaţiu al lui V se numeşte propriu.

2. În Kn/K, mulţimea W={x=(0,x2,x3,…,xn), xj∈K, j=2,…,n} este subspaţiu vectorial al

lui Kn.

3. În spaţiul liniar M 2x2 (R) /R al matricelor pătratice de ordinul 2, mulţimea S a

matricelor nesingulare de ordinul 2 (al cărui determinant este diferit de 0) nu este

subspaţiu liniar, deoarece suma a două matrice nesingulare nu este mereu o matrice

nesingulară, de exemplu:

A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1321

S∈ şi SB ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4012

, SBA ∉⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

3333

.

Teorema 2.1. Dacă S este o submulţime nevidă a spaţiului liniar V/K, atunci

mulţimea tuturor combinaţiilor liniare finite formate cu vectori din S este un subspaţiu liniar

al lui V numit acoperirea liniară a lui S în V sau înfăşurătoarea liniară a lui S sau

subspaţiul liniar generat de S şi se notează L(S) sau <S>.

Observaţii.

1) )(SLS ⊂ , pentru că: oricare ar fi vectorul vj∈S, pj ,1= , se poate scrie ca o

combinaţie liniară vj=1⋅vj )(SL∈ . Se poate demonstra că L(S) este cel mai mic subspaţiu

vectorial care îl conţine pe S.

2) Diferite mulţimi de vectori din V pot genera acelaşi spaţiu (subspaţiu) liniar.

De exemplu, mulţimile ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

!,...,

!1,1

ntt n

, {1,(1-t),...,(1-t)n} şi {1,t,t2...,tn} generează

spaţiul vectorial al polinoamelor de grad mai mic sau egal cu n.

Teorema 2.2. Dacă 1W şi 2W sunt două subspaţii vectoriale ale K-spaţiului

vectorial V , atunci:

1) mulţimea 1W + 2W ={v= 1v + 2v ⎜ 11 Wv ∈ şi 22 Wv ∈ }, numită suma dintre 1W şi 2W ,

este un subspaţiu vectorial al lui V.

2) intersecţia 21 WW ∩ este un subspaţiu vectorial al lui V.

Observaţie.

Reuniunea a două subspaţii vectoriale 21 , WW (cu W1⊄W2 şi W2⊄W1) nu este

întotdeauna subspaţiu vectorial .


7

§3. Independenţa liniară şi dependenţa liniară a vectorilor

Fie V/K spaţiu vectorial.

Definiţia 3.1. O mulţime S de vectori din V se numeşte sistem de vectori.

Definiţia3.2. Sistemul de vectori S= Vvvv n ⊂},...,,{ 21 se numeşte liniar

independent sau liber (vectorii nvvv ,...,, 21 sunt liniar independenţi) dacă orice combinaţie

liniară nulă a vectorilor lui S se obţine numai cu toţi scalarii nuli.

Adică: nvvv inn ,1i ,02211 =∀=α⇒θ=α++α+α K .

Definiţia 3.3. Sistemul de vectori VS ⊂ se numeşte liniar dependent sau legat

(vectorii nvv ,...,1 sunt liniar dependenţi) dacă nu este liber, adică există n scalari n1,i , =α i

nu toţi nuli, astfel încât combinaţia liniară a vectorilor lui S cu aceşti scalari să fie nulă.

Teorema 3.1. Sistemul de vectori },...,,{ 21 nvvvS = este liniar dependent dacă şi

numai dacă unul din vectori este o combinaţie liniară a celorlalţi vectori din S.

A stabili natura unui sistem de vectori înseamnă a studia dacă vectorii sunt liniar

dependenţi sau independenţi.

Exemplu.

Să se stabilească natura sistemului de vectori S din 4R , unde

(0,1,1,0). v;(-1,2,1,1) v(1,1,0,1); v},,,{ 321321 ==== vvvS

Fie 321 ,, ααα scalari din R astfel încât combinaţia lor liniară cu vectorii lui S să fie

nulă )0,0,0,0()0,1,1,0()1,1,2,1()1,0,1,1( 321

332211

=α+−α+αθ=α+α+α vvv

Obţinem sistemul de ecuaţii liniar omogen:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=α+α=α+α

=α+α+α=α−α

00

020

21

32

321

21

.

Matricea sistemului liniar omogen este

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

011110121011

A .

Rangul lui A este 3. Singura soluţie a sistemului de ecuaţii este cea nulă. Atunci, S este

liniar independent.

CAMELIA FRIGIOIU

8

Observaţii. 1) Matricea A a sistemului de ecuaţii liniar omogen, obţinut mai sus, are pe coloane

coordonatele vectorilor lui S şi rangul ei arată numărul de vectori din S liniar independenţi;

2) Dacă }{θ=S este liniar dependent;

3) Dacă θ≠= v},{vS este liniar independent, pentru că: din θ=⋅α v rezulta 0=α ;

4) În orice spaţiu vectorial V/K orice subsistem de vectori SS ⊂' al unui sistem S liniar

independent este, de asemenea, liniar independent;

5) Dacă S conţine vectorul nul, sistemul de vectori S este liniar dependent;

6) Orice suprasistem S’, SS ⊃' ,al unui sistem de vectori liniar dependent S este liniar

dependent.

§ 4. Bază şi dimensiune

Definiţia 4.1. Un sistem de vectori S din spaţiul vectorial V/K se numeşte sistem de generatori pentru V, dacă orice vector din V se poate scrie ca o combinaţie liniară cu

vectorii lui S.

Vectorii lui S se numesc generatori pentru V.

Observaţii. 1) V=L(S);

2) Orice spaţiu vectorial V/K admite cel puţin un sistem de generatori.

Definiţia 4.2. Spaţiul vectorial V/K se numeşte finit generat, dacă există S sistem

de generatori finit pentru V.

Definiţia 4.3. Două sisteme de vectori care generează acelaşi spaţiu se numesc

echivalente.

Fie S un sistem de generatori pentru V/K. Următoarele transformări duc la obţinerea

tot a unui sistem de generatori pentru V/K:

-schimbarea ordinei vectorilor lui S;

-înmulţirea unui vector din S cu un scalar nenul;

-înlocuirea unui vector din S cu o combinaţie liniară a acelui vector cu alţi vectori din S.

Teorema 4.1. Fie V/K spaţiu vectorial şi },...,,{ 21 nvvvS = sistem de generatori, liniar

independent pentru V. Atunci orice sistem de n+1 vectori din V este liniar dependent.


9

Definiţia 4.4. Un sistem de vectori B al spaţiului vectorial V/K care are proprietăţile:

-B este sistem de generatori pentru V (<B>=V)

-B este sistem liniar independent

se numeşte bază pentru spaţiul V/K.

Se poate demonstra că orice spaţiu vectorial diferit de }{θ admite cel puţin o bază.

Definiţia 4.5. Spaţiul vectorial V se numeşte finit dimensional dacă are o bază

finită sau }{θ=V . În caz contrar se numeşte infinit dimensional.

Teorema 4.2. Fie V/K un spaţiu vectorial finit dimensional. Oricare două baze ale lui

V au acelaşi număr finit de elemente.

Consecinţă. Toate bazele unui spaţiu vectorial, finit dimensional au acelaşi număr

de vectori.

Definiţia 4.6. Numărul notat

⎩⎨⎧

θ==

}{ Vdacă 0,vectori n din formată bază o are V dacă n,

V dim K

se numeşte dimensiunea lui V.

Un spaţiu vectorial cu dimensiunea n se numeşte n-dimensional şi se notează cu nV .

Exemple

1) În spaţiul vectorial nK , vectorii e1=(1,0,0,...,0), e2=(0,1,0,...,0),… en=(0,0,...,0,1)

determină o bază },...,,{ 21 neeeB = ( numită baza canonică).

Arătăm că B este liniar independent: combinaţia liniară nulă cu scalarii

α1,α2,…αn, θ=α++α+α nneee ...2211 este echivalentă cu )0,...,0,0(),...,,( 21 =ααα n adică

0...21 =α==α=α n

Pe de altă parte nn2211n21 ex...exex)x,...,x,(x x, +++==∈∀ nKx .Deci V=<B>. Dimensiunea lui nK este n.

2) Spaţiul vectorial Mmxn(K) are dimensiunea mn, o bază a sa este mulţimea

{ }njmiEB ij ≤≤≤≤= 1,1 , Eij este matricea care are elementul 1 la intersecţia liniei i cu

coloana j, celelalte elemente fiind nule .

3) În spaţiul vectorial C [ ]X al polinoamelor cu coeficienţi complecşi şi nedeterminata

X, polinoamele ,...,...,,,1 2 nXXX formează o bază a lui C [ ]X şi deci [ ] ∞=XC dim .

3) Spaţiul vectorial Pn[X] al tuturor polinoamelor de grad n≤ are dimensiunea n+1 şi o

bază a acestuia este { }nXXXB ,...,,,1 2= .

CAMELIA FRIGIOIU

10

Teorema 4.3. Sistemul de vectori { }nvvvB ..., 21= este bază pentru V dacă şi numai

dacă orice vector din V se scrie ca o combinaţie liniară cu vectorii lui B.

Demonstraţia este imediată folosind teorema 5.1.

Definiţia 4.7. Scalarii n21 ..., ααα cu ajutorul cărora se scrie un vector Vv∈ ca o

combinaţie liniară de vectorii bazei B se numesc coordonatele vectorului v în raport cu

baza B .

Teorema 4.4. Coordonatele unui vector într-o bază sunt unice.

Definiţia 4.8. Fie Vn/K şi B={u1,u2,…un} o bază a lui Vn . Bijecţia nn KVf →: , prin

care fiecărui vector v∈V i se asociază n-uplul format cu coordonatele lui v în baza B,

definită prin f(v)=(α1,α2…αn), unde v=∑=

αn

iiiu

1, se numeşte sistem de coordonate pe Vn.

Uneori vom prefera identificarea ),...,( 1 nBv αα= .

Teorema 4.5. Fie V/K spaţiu vectorial, finit dimensional cu dim KV=n. Atunci au

loc următorele afirmaţii:

i) orice sistem de vectori liniar independent are cel mult n vectori

ii) orice sistem de vectori liniar independent format din n vectori este bază pentru V

iii) orice sistem de generatori al lui V are cel puţin n vectori.

iv) orice sistem de generatori format din n vectori este bază pentru V.

Observaţie. Dimensiunea spaţiului V/K este numărul maxim de vectori liniar independenţi şi

numărul minim de generatori ai lui V.

Lema 4.1. (substituţiei)

Fie V un K-spaţiu vectorial de dimensiune n, { }niii uuuuuuB ,,,,..,, 1121 +−= bază

pentru V, v∈V un vector care în baza B, are coordonatele ),...,( 1 nBv αα= şi sistemul de

vectori B*={ }nii uuvuuu ,...,,,,...,, 1121 +− . Atunci:

1) B* este sistem liniar independent de vectori din V dacă şi numai dacă 0≠iα ;

2) Dacă 0≠iα , B* este o bază a lui V şi coordonatele **2

*1 ,...,. nλλλ ale unui vector

x∈V în baza B* se exprimă în funcţie de coordonatele sale nλλλ ,.... 21 în baza B prin:

i

ii α

λ=λ* ;

i

ijjj α

λα−λ=λ* pentru i≠j.


11

Această lemă se aplică in diverse probleme numerice ale algebrei liniare.

De exemplu, pentru aflarea coordonatelor unor vectori v,x,z,… în baza B*, când se

cunosc coordonatele acestora în baza B. Se folosesc pentru aceasta tabele ale căror linii

sunt afectate vectorilor bazei B, respectiv B* şi în coloanele cărora sunt inserate

coordonatele vectorilor v,x,z,… în baza B, respectiv B*.

… V … x … … V … x …

u1 … 1α … 1λ … u1 … 0 … ii αλαλ /)( 11 − …

… … … …. … … …. … … … ….. …

ui … [ ]iα … iλ … v … 1 … ii αλ / …

… … …. … … … … … … … ……….. …

uj … jα … jλ … uj … 0 … iijj αλα−λ /)( …

.. … … …. … … … …. … …. ……….. …

un … nα … nλ … un … 0 … iinn αλα−λ /)( …

Tabelul B Tabelul B*

Dacă 0≠iα , atunci vectorul iu al bazei B se poate înlocui cu vectorul v, obţinându-

se baza B*. iα se va numi pivot şi tabelul B* se obţine din tabelul B în următorul mod:

1) se împarte cu pivotul, fiecare element de pe linia acestuia;

2) pivotul se va înlocui cu 1 şi toate celelalte elemente de pe coloana lui cu 0;

3) toate elementele jλ , care nu se află pe linia şi coloana pivotului, se vor înlocui cu

elementele calculate prin "regula dreptunghiului", adică prin:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

jj

ii

iiijj λα

λαα

αλαλ det1/)( .

Exemplu. În spaţiul vectorial R3, considerăm vectorii )3,2,1(1 =u , )0,1,1(2 −=u ,

)2,1,0(3 =u , care formează o bază şi vectorul )1,1,2( −=x .Vom determina coordonatele

vectorului x în baza formată din aceşti vectori, plecând de la baza canonică a lui R3 şi

inlocuind pe rând vectorii acesteia cu vectorii u1, u2,u3.

1u 2u 3u x 1u 2u 3u x

1e [ ]1 1 0 2 1u 1 1 0 2

2e 2 -1 1 1 2e 0 [ ]3− 1 -3

3e 3 0 2 -1 3e 0 -3 2 -7

CAMELIA FRIGIOIU

12

1u 2u 3u x 1u 2u 3u x

1u 1 0 1/3 1 1f 1 0 0 7/3

2u 0 1 31− 1 2f 0 1 0 -1/3

3e 0 0 [1] -4 3f 0 0 1 - 4

Deci, am aflat coordonatele vectorului x în baza { }321 ,, uuu , adică

x=37

321 431 uuu −− .

§ 5. Matrice.Sisteme de ecuatii

Fie K corp comutativ. Am notat )(KM mxn mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane

şi coeficienţi în K

)()(,1,1 KMaA mxnnjmiji ∈=

== .

)(KM mxn împreună cu adunarea matricelor şi înmulţirea unei matrice cu un scalar are o

structură de spaţiu vectorial peste corpul K.

Fie matricea (K)M)(aA mxnn1,jm1,iij ∈=

==

. Notăm ),...,( 112111 naaau = ;

),...,( 222212 naaau = ;… ; ),...,( 21 mnmmm aaau = . miRu ni ,1 =∈ se numesc vectorii linie ai

matricei A.

Considerăm vectorii vi=(a1i,a2i,...,ami) n1,i , =∀∈ mR , care se numesc vectorii coloană ai

matricei A.

Definiţia 5.1.Se numeşte rangul matricei A, numărul vectorilor coloană liniar

independenţi ai matricei A.

Teorema 5.1. (rangului unei matrice)

Rangul unei matrice A este egal cu numărul maxim de vectori coloană liniar

independenţi.

Observaţia 5.1.

1. Pentru o matrice )(KMA nn×∈ cu coeficienţii într-un corp comutativ K, lema

substituţiei dă o metoda eficientă pentru calculul inversei acesteia. În primul tablou

coloanele reprezintă coordonatele vectorilor coloană ai matricei A în baza canonică a lui


13

nK , urmate de coloane formate tocmai din vectorii bazei canonice. Dacă det A ≠0, atunci

vectorii coloană ai matricei A sunt liniar independenţi peste K, ei pot fi introduşi prin

aplicarea succesiv a lemei substituţiei, în locul vectorilor din baza canonică neee ,...,, 21 .

Se obţine astfel:

v1 v2 .. vn e1 e2 . en v1 v2 .. vn e1 e2 . en

e1 A11 a12 .. A1n 1 0 . 0 v1 1 0 . 0 b11 b12 .. b1n

e2 A21 a22 .. A2n 0 1 . 0 ⇒ v2 0 1 . 0 b21 b22 .. b2n

. …. …. . …. . .. . . . . . . . … … .. ….

en an1 an2 .. ann 0 0 . 1 vn 0 0 . 1 bn1 bn2 .. bnn

Matricea B ( )njiijb

,1, == )(KM nn×∈ este inversa matricei A, deoarece din ultimul

tablou se observa că: nnjjjj vbvbvbe +++= ...2211 , nj ,1=∀ , ceea ce este echivalent cu

egalitatea I=AB.

2. Pentru o matrice ( )KMA mxn∈ , cu m şi n numere mari, o metodă rapidă de calcul

a rangului matricei este dată de lema substituţiei. Considerăm vectorii coloană ai matricei

A, vectori din mK şi baza canonică a acestui spaţiu vectorial. Rangul matricei A coincide

cu numărul r al vectorilor coloană ai matricei A, care prin aplicarea lemei substituţiei pot fi

introduşi în locul unor vectori din baza canonică a lui mK .

Sisteme de ecuaţii liniare.

Fie K corp comutativ, R sau C, aij∈K şi fie sistemul liniar de ecuaţii cu m ecuaţii şi n

necunoscute

..

......

2211

222221

11212111

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

(1)

Notăm ( ) ,1,m1,i njijaA

=== matricea sistemului şi n

n

R

x

xx

X ∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=M

2

1

şi n

n

R

b

bb

b ∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=M

2

1

.

Atunci sistemul (1) se mai poate scrie:

,1i 1

i∑=

==n

jjij mbxa (2)

CAMELIA FRIGIOIU

14

sau AX=b (3)

sau dacă notăm n1,j 2

1

=∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= m

mj

j

j

j R

a

a

a

vM

, atunci 1∑=

=n

jjj bxv . (4)

Definiţia 5.2. Sistemul liniar de ecuaţii (1) se numeşte compatibil dacă există n

n Kx ∈ααα= ),...,,( 21 care verifică identic acest sistem.

Teorema 5.2. (Kronecker-Kapelli)

Sistemul de ecuaţii (1) este compatibil dacă şi numai dacă )()( ArAr = , unde A este

matricea extinsă a sistemului.

Dacă θ=b , sistemul AX=0 sau 1∑=

θ=n

jjj xv se numeşte sistem liniar omogen.

Teoremă 5.3. Mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniar omogen cu n

necunoscute formează un subspaţiu vectorial al lui Kn.

Prezentăm acum, metoda eliminării parţiale a lui Gauss pentru rezolvarea unui

sistem liniar de n ecuaţii cu n necunoscute.

Fie sistemul de ecuaţii:

............................................

......

2211

2222221

11212111

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

, cu det(A)≠0.

Dacă n este un număr natural mare, numărul de operaţii efectuate in metoda lui

Gauss pentru rezolvarea sistemului este mult mai mic decât cel din metoda lui Cramer.

Vom considera matricea extinsă a sistemului A =(A ⎢b).

1.Presupunem ca a11≠0. In acest caz, a11 este declarat pivot. Se lasă linia pivotului

neschimbată şi se aduna prima linie inmulţită cu – ai1/a11 la fiecare liniei i, ni ,2= ; se

obţine o nouă matrice )1(

A .

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnnnn

n

n

n

b

bbb

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A..

..............

...

...

...][

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

→

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnnnn

n

n

n

b

bbb

aaa

aaaaaaaaaa

'..''

'...''0...........'...''0'...']'[0

...

3

2

1

32

33332

22322

1131211

= A (1).


15

Se observă că aceasta revine la a inlocui cu 0 elementele de sub pivot din coloana

acestuia şi a transforma celelalte elemente aflate sub linia pivotului, folosind regula

dreptunghiului . Dacă a11=0, printr-o permutare adecvată de linii se aduce mai intâi pe

pozitia (1,1) un element nenul din prima coloană, in cazul in care există. Altfel se trece la

pasul următor.

2. Daca a’22≠0, atunci a’22 este declarat pivot şi se adună linia a doua inmulţită cu

-ai2/a’22 la fiecare linie i a matricei A(1), 3≤ i ≤ n, obţinindu-se )2(

A

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnnn

n

n

n

b

bbb

aaa

aaaaaaaaaa

A

'..''

'...''0...........'...''0'...']'[0

...

3

2

1

32

33332

22322

1131211

)1(→

)2(

,,

,,3

2

1

,,,,3

,,3

,,33

22322

1131211

..

'

...00...........

...00'...''0

...

A

b

bbb

aa

aaaaaaaaa

nnnn

n

n

n

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

.

Daca a’22=0, printr-o permutare adecvată de linii in matricea A (1) se aduce mai intâi

in pozitia (2,2) un element nenul de sub a’22 , din coloana acestuia, in cazul in care există.

Altfel, se trece la pasul urmator, s.a.m.d.

Dupa n-1 paşi, matricea A se transformă intr-o matrice *A

A *=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

β

βββ

α

ααααααααα

nnn

n

n

n

....000

............00..0..

3

2

1

333

22322

1131211

.

Această matrice corespunde unui sistem de ecuaţii triunghiular, echivalent cu cel iniţial:

..........................................

......

22222

11212111

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

β=α

β=α++αβ=α++α+α

nnnn

nn

nn

x

xxxxx

.

Trecerea la acest sistem are ca efect eliminarea variabilelor kx , 1≤ k≤n, din

ecuaţiile k+1, k+2,…n. Vom rezolva acest sistem obţinând:

nn

nnx

αβ

= ; 11

111

−−

−−−

−=

nn

nnnnn

xx

ααβ

; ….. , 11

121211

...α

ααβ nn xxx −−−= .

CAMELIA FRIGIOIU

16

Metoda eliminării totale Gauss-Jordan

Efectuăm in matricea extinsă a sistemului, A , transformări elementare, astfel incât

să se obţină forma diagonală a matricei A, adică matricea *A , de forma:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnn

A

γ

γγγ

α

αα

α

....000

..........0..000..000..00

* 3

2

1

33

22

11

şi deci sistemul iniţial este echivalent cu sistemul de ecuaţii:

........................................

2222

1111

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ=α

γ=αγ=α

nnnnx

xx

in care s-a realizat o eliminare totală a variabilelor. Se obţine soluţia kk

kkx

αγ

= , nk ≤≤1 .

§ 6. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

Fie B={e1,e2,..,en} şi B’={e1’,e2’,...,en’} două baze distincte în spaţiul vectorial Vn.

Fiecare vector din baza B’ se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor bazei B cu

scalarii Ksij ∈ .,1, nji =

n1,j '1

== ∑=

n

iiijj ese (1)

Notăm cu ( ) n1,ji, =

= ijsS matricea pătratică ale cărei coloane sunt coordonatele

vectorilor bazei B’ în raport cu baza B, adică matricea de trecere de la baza B la baza B’.

Fie ix şi 'ix , ni ,1= coordonatele aceluiaşi vector v în raport cu baza B respectiv B’.

Prin urmare, ∑=

=n

iiiexv

1 respectiv ∑

=

=n

jjjexv

1

, ' . (2)

Prelucrăm ultima relaţie

∑ ∑ ∑ ∑∑= = = ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

n

1j

n

1j

n

1ii

n

1jjij

n

1iiijjjj ex'sesx'ex'v ' . (3)


17

Folosim unicitatea coordonatelor unui vector într-o bază se obţine:

∑=

=n

jjiji xsx

1' , ni ,1= . (4)

Aceste relaţii caracterizează transformarea coordonatelor vectorului v la

schimbarea bazei spaţiului vectorial Vn .

X şi X’ sunt matricele coloană

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

X.2

1

şi

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

'

'2

'1

.'

nx

xx

X ,care conţin coordonatele lui v în

bazele B şi B’, (4) se scrie 'SXX = .

Observaţie. Matricea de trecere de la baza B la baza B’ este nesingulară, pentru că coloanele

ei sunt formate cu coordonatele vectorilor din B’ în baza B şi aceşti vectori sunt liniar

independenţi, deci rangul ei este n.

§ 7. Aplicaţii liniare(operatori liniari)

Fie K – spaţiile vectoriale V şi W .

Definiţia 7.1. Funcţia f : V→ W cu proprietăţile:

f(u+v) =f(u) + f(v) ∀ u,v ∈ V

f(αu) = α f(u) ∀α∈ K, ∀ u ∈V

se numeşte aplicaţie liniară de la V la W(operator liniar)

Definiţia 7.2. Funcţia f : V → W cu proprietatea

f(αu+ βv) = α f(u) + βf(v) ∀α,β∈ K şi ∀ u,v ∈ V

se numeşte aplicaţie liniară de la V la W(operator liniar).

Cele două definiţii sunt echivalente.În aplicaţii poate fi verificată oricare dintre ele.

Exemple.

1) V/K spaţiu vectorial, IV: V →V , IV(u) =u ∀ u ∈V este aplicaţia liniară identică.

2) V/K , dim V =n , B={e1,e2,….en} bază a lui V, f :V→Kn f(v)=(α1,α2,….,αn), unde

i

n

iiev ∑

=

α=1

, este aplicaţie liniară şi se numeşte sistem de coordonate.

CAMELIA FRIGIOIU

18

Teorema 7.1. Fie K-spaţiile vectoriale V şi W şi f : V → W o aplicaţie liniară.

Atunci f are următoarele proprietăţi :

1) f(u-v) = f(u) - f(v) ∀u,v ∈V

2) f(θV) = θW

3) )f(uαuαf ii

n

iii

n

1i∑∑==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1 ∀u1,u2,…un∈V ,∀α1,α2,….αn∈K.

Aplicaţiile liniare se mai numesc şi morfisme de spaţii vectoriale sau homomorfisme .

Definiţia 7.3. O aplicaţie liniară f:V →V se numeşte endomorfism al lui V sau

transformare liniară.

Propoziţia 7.1. Compusa a două aplicaţii liniare este o aplicaţie liniară.

Definiţia 7.4. Fie f : V→ W aplicaţie liniară. Se numeşte nucleul lui f şi se notează

Ker f, mulţimea tuturor vectorilor din V care au ca imagine prin funcţia f vectorul nul θW

Ker f ={ u∈ V|f(u)= θW}.

Definiţia 7.5. Fie f : V→ W aplicaţie liniară. Se numeşte imaginea lui f şi se notează

Im f, mulţimea tuturor imaginilor vectorilor din V prin funcţia f

Im f ={f(u)⏐u∈V}.

Teorema 7.2. O aplicaţie liniară f :V→W este injectivă dacă şi numai dacă nucleul

ei Ker f = {θV}.

Teorema 7.3. Fie f: V→W aplicaţie liniară şi L⊆V subspaţiu vectorial al lui V. Atunci

f(L)={w∈W/ w=f(u), u∈V} este subspaţiu vectorial al lui W .

Observaţie. Im f= f(V) este un subspaţiu vectorial al lui W .

Teorema 7.4. Nucleul unei aplicaţii liniare este un subspaţiu vectorial al lui V.

Teorema 7.5. Fie f : V→W aplicaţie liniară şi S={u1,u2, ..,un} un sistem de vectori

din V. Atunci au loc următoarele afirmaţii :

1) Dacă S este liniar dependent,atunci f(S)={f(u1),f(u2), ..,f(un)} este liniar dependent .

2) Dacă S este sistem de generatori, atunci f(S) este sistem de generatori pentru Imf .

3) Dacă S este liniar independent şi f este injectivă, atunci f(S)={ f(u1),f(u2), ..,f(un)}

este liniar independent .

Consecinţă. Dacă f : V→ W aplicaţie liniară injectivă şi B este o bază pentru V, atunci f(B) este bază pentru Im f şi dimK( Im f) = n .

Teorema 7.6. Fie f: Vn→Wm aplicaţie liniară, unde V şi W sunt spaţii finit dimensionale peste acelaşi corp K . Atunci:

dimK Ker f + dimK Im f = dimKV = n .


19

Definiţia 7.5. Spaţiile vectoriale V,W se numesc izomorfe dacă există un

izomorfism f : V→W şi notăm V ∼W .

Teorema 7.7. (Teorema fundamentală de izomorfism) Două spaţii vectoriale, finit dimensionale, definite peste acelaşi corp sunt izomorfe

dacă şi numai dacă au aceeaşi dimensiune .

§ 8. Matricea asociată unui operator liniar

definit pe spaţii vectoriale finit dimensionale

Fie f:Vn→Wm operator liniar şi fie B={u1,u1,…un} bază pentru Vn şi B1={v1,v2,….vm}

bază pentru Wm. Vectorii f(u1),f(u2),…f(un) ∈Im f ⊆Wm şi deci ei se pot exprima in baza B1

astfel

( ) jji

m

1ji vauf ∑

=

= ∀i=1,n . (1)

Scalarii aij sunt coordonatele vectorilor f(u1),f(u2),…f(un) în baza B1 şi formează o

matrice A=(aij) cu m linii şi n coloane .

Definiţia 8.1. Matricea A se numeşte matricea ataşată operatorului liniar f în bazele

B şi B1.

Matricea A are numărul de linii egal cu dimensiunea lui W şi numărul de coloane

egal cu dimensiunea lui V. Matricea A este transpusa coordonatelor imaginilor vectorilor

din baza B exprimaţi în baza B1.

Reciproc, fiind dată o matrice, se poate determina o aplicaţie liniară astfel încât A să

fie matricea asociată lui f. Fiind dată A se construieşte sistemul, de mai sus, (1) şi se

demonstrează că f este liniară.

Fie u∈Vn. Atunci

jiji

n

1i

m

1jjji

m

1ji

n

1iii

n

1ii

n

1ii vxavax)f(uxuxff(u) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑∑∑∑∑

======

(2)

Dar, f(u)∈W şi atunci f(u)=∑=

m

jjjvy

1 (3)

Din (2) şi (3), folosind unicitatea coordonatelor unui vector

într-o bază rezultă: iij

n

ij xay ∑

=

=1

∀ j= m,1 .

CAMELIA FRIGIOIU

20

Notăm

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

X.2

1

şi

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

my

yy

Y.2

1

şi se obţine Y=AX (4)

unde Y este format cu coordonatele lui f(u) în baza B1 şi X conţine coordonatele lui u în

baza B.

Notăm cu L(Vn,Wm) ={ f : Vn→Wm⎢f aplicaţie liniară}.

Dacă f este endomorfism pe un spaţiu finit dimensional, atunci folosim o singură

bază şi matricea endomorfismului este pătratică .

Ne propunem să determinăm legătura dintre matricele unui endomorfism în două

baze diferite ale spaţiului Vn .

Fie Vn şi bazele sale B={u1,u1,…un} şi B1={v1,v2,….vn} legate prin

iik

n

1ik usv ∑

=

= ∀k= n,1 .

Teorema 8.1. Dacă endomorfismul f : Vn→Vn are matricea A în baza B şi matricea

A’ în baza B’, atunci A’ =S-1A S .

§ 9. Vectori proprii, subspaţii proprii.Diagonalizarea unei matrice

Fie V/K spaţiu vectorial şi f :V→V un endomorfism al lui V.

Definiţia 9.1. Un vector u∈V, u≠θ, se numeşte vector propriu al endomorfismului f,

dacă există λ∈K astfel încât f(u)=λu. Scalarul λ se numeşte valoarea proprie a lui f

corespunzătoare vectorului propriu u.

Mulţimea tuturor valorilor proprii ale endomorfismului f se numeşte spectrul lui f.

Definiţia 9.2.Un subspaţiu vectorial S al lui V/K se numeşte invariant faţă de

endomorfismul f:V→V, dacă f(S)⊆S.

Teorema 9.1 a) Unui vector propriu al endomorfismului f îi corespunde o singură

valoare proprie.

b) Vectorii proprii corespunzători valorilor proprii distincte sunt liniar

independenţi.

c) Mulţimea S(λ)={u ⎜u∈V şi f(u)=λu }∪{θ } este subspaţiu vectorial al lui V

invariant faţă de f şi se numeşte subspaţiul propriu al endomorfismului f, corespunzător

valorii proprii λ .


21

Determinarea valorilor şi vectorilor proprii

Fie V/K spaţiu vectorial, finit dimensional cu dimKV=n şi B={u1,u2,...un} o

bază în V. Considerăm o transformare liniară f:V→V. Atunci ∃ A ∈ Mn(K) astfel încât

Y=AX. (9.1)

(9.1) este ecuaţia matriceală a lui f in baza B; vectorul X conţine coordonatele unui vector

u∈V şi Y coordonatele lui f(u) în baza B.

Dacă u este vector propriu, atunci:

f(u)=λu ⇒ AX=λX. (9.2)

Se obţine

(A-λIn)X=O (9.3)

un sistem liniar omogen de ecuaţii, cu parametrul λ∈K.

Un vector propriu corespunzător valorii proprii λ reprezintă o soluţie nebanală a

sistemului liniar omogen, (9.3). Deci, pentru a exista vectorii proprii, trebuie ca sistemul

(9.3) să admită soluţii nenule, ceea ce este echivalent cu:

det (A - λIn) = 0. (9.4)

Ecuaţia (9.4) se numeşte ecuaţia caracteristică a endomorfismului f.

Soluţiile ecuaţiei caracteristice λ1, λ2, ...., λn ∈ K sunt valorile proprii ale endomorfismului f.

Definiţia 9.3. Polinomul Pn(λ)=det(A-λIn) se numeşte polinomul caracteristic

asociat endomorfismului f, în baza B (A fiind matricea lui f in baza B).

Propoziţia 9.1. Polinomul caracteristic este invariant la schimbarea de bază a

spaţiului V.

Observaţia 9.1. S(λ) coincide cu mulţimea soluţiilor sistemului de ecuaţii, liniar

omogen (9.3).

Propoziţia 9.2. Dimensiunea lui S(λ) este mai mică sau egală decât ordinul de

multiplicitate al lui λ .

Observaţia 9.2. Dacă toate valorile proprii sunt rădăcini simple ale ecuaţiei

caracteristice, (9.4), atunci subspaţiile proprii asociate acestora au dimesiunea egală cu 1

şi V = S(λ1) ⊕ S(λ2) ⊕ .......⊕ S(λn).

CAMELIA FRIGIOIU

22

Diagonalizarea unui endomorfism

Definiţia 9.4. Un endomorfism f:Vn→Vn se numeşte diagonalizabil, dacă există o

bază B a lui V, astfel încât matricea asociată lui f în această bază să fie o matrice

diagonală.

Propoziţia 9.3. Endomorfismul f:Vn→Vn este diagonalizabil dacă şi numai dacă

există o bază a lui Vn formată din vectori proprii ai endomorfismului.

Observaţia 9.3. Forma diagonală canonică a unei matrice (endomorfism) se obţine

într-o bază formată din vectori proprii şi pe diagonala ei principală sunt valorile proprii,

corespunzătoare vectorilor proprii din bază.

Se poate demonstra că un endomorfism f:Vn→Vn este diagonalizabil dacă şi numai

dacă valorile proprii λi ∈ K şi dimKS (λi)=ordinul de multiplicitate al lui λi.

Observaţia 9.4.

1.Dacă rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt λ1,λ2,....λp∈K (1+2+..+p=n) şi f:Vn→Vn

este diagonalizabil atunci:

Vn=S(λ1) ⊕ S(λ2) ⊕...⊕ S(λp)

V este sumă directă de subspaţii proprii.

2.Baza B a lui V în care se obţine forma diagonală a matricei A este reuniunea

bazelor subspaţiilor proprii asociate.

§10. Probleme

1) Notăm cu V = (0,∞), mulţimea numerelor reale strict pozitive şi definim pe V

operaţiile: “⊕” şi “∗” date prin: x ⊕ y = xy şi α ∗ x = xα, ∀x,y ∈ V şi α ∈ R. Este (V, ⊕, ∗)

spaţiu vectorial real?

2) În R fixăm un număr xo şi definim operaţiile “⊕” şi “∗” prin:

x ⊕ y = x + y – xo, α ∗ x = αx + (1-α)xo ∀ x,y ∈ R, ∀α ∈ R.

Este (R, ⊕, ∗) spaţiu vectorial real ? Dar dacă xo = 0 ?

3) Se consideră M2x1(R), mulţimea matricelor reale cu două linii şi o coloană.

Definim “⊕” şi “∗” astfel:

A1⊕ A2 = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

31

32

31

313

231

y(y

xx

)

)(, α ∗ A1 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αα

1

1

yx

, ∀α∈ R, ∀A1= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

1

yx

, A2= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

2

yx

∈ M2x1(R).

Este (M2x1(R), ⊕, ∗) spaţiu vectorial peste R ?


23

4) În spaţiul vectorial real P 2}fgrR[X],f{f[X]2 ≤∈= se consideră mulţimile

S1={p1,p2}, S2={q1,q2} unde 21 xxp += , 2

2 1 xxp +−−= , 21 9xx5q +−−= , 2

2 7xx4q +−−=

Să se arate ca S1 si S2 generează acelaşi subspaţiu.

5) În spaţiul vectorial 3R se consideră mulţimea de vectori

S={u1, u2, u3} ;u1=(1,-1,0), u2=(2,1,-1), u3=(0,3,-1).

a)să se determine o bază a subspaţiului L(S).

b)să se verifice dacă vectorul x=(2,-1,3) aparţine subspaţiului L(S).

6) Fie ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== Rzuyx

zuyx

AAL ,,,,0

0. Să se arate ca L este subspaţiu vectorial al

lui M2x3(R) şi să se determine o bază a sa.

7) Fie Pn = {f | f: R → R, f polinomială, grad f ≤ n} şi SPn = {h | h: R → R, h

polinomială, grad h = n}.

Care dintre cele două mulţimi are structură de spaţiu vectorial real, faţă de

operaţiile:”⊕” şi “ ∗” date prin (f⊕g)(x) = f(x) + g(x); (λ ∗ f)(x) = λ f(x),λ∈R?

8) În spaţiul Pn(R) al funcţiilor polinomiale reale de grad cel mult n; Pn(R) = {f|

f: R →R, f polinomială, grad f ≤ n}, se consideră submulţimile:

Q = {f| f(0) = a; a fixat în R}

U = {f| 3f(0) –2f(1)= 0}

W = {f| f(1) + f(2)+ …+ f(k)= 0, k fixat}

Care dintre aceste submulţimi sunt subspaţii în Pn(R)? În cazurile afirmative să se afle

dimensiunea acelor subspaţii.

9) În spaţiul vectorial M3x2(R) se consideră submulţimea

S= {A | A = |⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0zy00x

x,y,z ∈R }.

Să se verifice că S este subspaţiu şi să afle dim RS.

10) În R3, fie mulţimea vectorilor:

S = {v | v= (α - 2β, 2α +β, -3α +β); α,β ∈ R}. Să se verifice că S este subspaţiu şi să

se afle dimR S.

11) În R3 se consideră submulţimile:

A = { v = (x1, x2, x3)| x1 – 3x2 +4x3 = 0}

CAMELIA FRIGIOIU

24

C = { v = (x1, x2, x3) | x 25xx 23

22

21 =++ }

D = { v = (x1, x2, x3) | x1 = x2 = x3 }

Care dintre acestea sunt subspaţii ?

12) Fie f o funcţie polinomială de grad strict egal cu “n”. Să se verifice dacă

sistemul S = {f,f’,f’’, …,fn} este liniar independent. f’, f’’….. reprezintă derivatele funcţiei f.

13) Fie Co(R) spaţiul vectorial al funcţiilor reale continue şi submulţimile:

A = {eax, x eax, x2 eax, …..….,xk eax}

B = {1, cos 2x, cos 3x, .…, cos k x}

Care dintre acestea sunt liniar independente?

14) În spaţiul funcţiilor polinomiale reale de grad cel mult 3, să se scrie formulele de

schimbare a coordonatelor când se trece de la baza canonică B = {1, x, x2, x3} la baza B1

= {1, x -1, (x -1)2, (x -1)3} ; şi de la baza canonică la baza B2 = {5, x+1, x2-1, x3+ x}.

15) În R3 se consideră bazele B1= {v1, v2, v3} şi B2 = {u1, u2, u3} date ambele, în

baza canonică prin v1=(1,-1,2);v2=(-1,3,-2);v3 = (0,1,-1);u1 = (2,0,-1); u2= (1,3,2); u3= (-

1,4,0).Să se afle formulele de schimbare ale coordonatelor când se trece de la B1 la B2.

16) În M2x2(R) se consideră sistemul de vectori:

S = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1100

E,1100

E,0011

E,0011

E 4321 .

Să se verifice că S este o bază şi să se exprime în baza S matricea A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛tzyx

.

17) În R4 să se treacă de la baza canonică la baza B = {e1, e2, e3, e4}, unde:

e1 = (1,0,-1,0); e2 = (0,1,1,0); e3 = (1,-1,0,1); e4 = (0,0,1,-1).

18)Se dă funcţia T:R3→R2 prin

T(x)= (x1-x2+2x3,x2+x3) ∀ x=( x1,x2,x3) ∈R3

a)Să se arate că T este aplicaţie liniară

b)Să se determine nucleul şi imaginea lui T .

19)Se dă funcţia f: R3→R3 prin

f(x)=( x2, -x1+2x2,4x3) ,∀ x=( x1,x2,x3) ∈R3.

Să se arate că f este transformare liniară şi să se determine matricea asociată în baza

canonică a lui R3.

20)Să se arate că funcţiile de mai jos sunt aplicaţii liniare :

a) f: R3→R3 prin f(x)=( x2,x3,x1) ,∀ x=( x1,x2,x3) ∈R3


25

b) f: R2→R3 prin f(x)=( x1-x2,2x2,2x1+x2) ,∀ x=( x1,x2) ∈R2.

21)Fie spaţiul vectorial P2[X]={p ⎜p∈R[X], gr p≤2}.

Definim funcţia D: P2[X]→P2[X] prin D(p)=p’ – derivata polinomului .

a) Să se arate că D este aplicaţie liniară

b) Să se determine matricea lui D în baza canonică B={1,X,X2} şi

apoi in baza B’={-1,1-X,(1+X)2}

22) Să se determine nucleul şi imaginea următoarelor aplicaţii liniare şi câte o bază

pentru acestea :

f: R3→R3 prin f(x)=( 0,x1,x1+x2) ,∀ x=( x1,x2,x3) ∈R3

f: R2→R5 prin f(x)=(x1-x2,x1, x2 ,3x1,x1+x2) ,∀ x=( x1,x2) ∈R2

şi să se determine şi matricele lor în bazele canonice ale spaţiilor considerate.

23)Se consideră R3 şi R2 cu bazele canonice şi f: R3→R2 un operator liniar , cu

proprietăţile :

f(e1)=(2,-3) ; f(e2)=(1,2) ; f(e3)=(1,-1) , unde e1=(1,2,-1), e2=(0,3,-2) e3=(3,-1,2). Să se

afle matricea lui f în bazele canonice şi imaginea lui v=(5,-1,4) prin f.

24) Se consideră aplicaţiile f: R3 → R3 date prin:

a) f(u) = a, a un vector fixat în R3, u ∈ R3 arbitrar;

b) f(u) = λu, λ ∈ R;

c) f(u) =(x1,x2, x 23 ),unde u = (x1, x2, x3) ∈ R3;

d) f(u) = (x1 +α, x3, x2), α ∈ R, fixat. Care dintre acestea sunt aplicaţii liniare?

25) Se consideră T : R3 → R3 dată prin :

T(u) = (x1 +x2 +x3, x1 +x2 +x3, x1 +x2 +x3); ∀u = (x1,x2,x3) ∈ R3. Să se verifice că T

este liniară şi să se afle câte o bază în Ker T şi ImT.

26)O transformare liniară T : R3 → R3 are matricea ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

110101011

A într-o bază

B={u1,u2,u3}. Să se determine matricea ataşată lui T în baza B’={v1,v2,v3} unde v1=u1+2u2+u3, v2=2u1+u2+3u3, v3=u1+u2+u3.

27)Să se determine pentru endomorfismele T1: R2 → R2 T1 (x) = (x1 + 2x2, 2x1 +x2) ∀ x = (x1, x2) ∈ R2 T2: R3 → R3 T2 (x) = (x1 - 2x3, 2x1 + 2x2 – 2x3, 0) ∀ x = (x1, x2, x3) ∈ R3

T3 : R3 → R3 T3 (x) = (-x1, - 2x1+x2, 2x1 + x3) ∀ x = (x1, x2, x3) ∈ R3 a) nucleul si imaginea b)matricea în bază canonică; c)valorile proprii si vectorii proprii corespunzatori

CAMELIA FRIGIOIU

26

Programare liniară

Capitolul II

§.1.Programare liniară

Programarea liniară este un capitol important al cercetărilor operaţionale, cu o largă

aplicare în practica de zi cu zi, dar mai ales în economie.Vom ilustra câteva direcţii de

aplicare ale programării liniare in activitatea productivă.

a)Problema utilizării optime a unor resurse Se urmăreşte producerea reperelor R1,R2,…Rn în fabricarea cărora se utilizează materiile

prime (resursele) E1,E2,….Em (resursele mai pot fi: disponibil de forţă de muncă, disponibil

de capital, energie). Resursele sunt disponibile în cantităţi limitate; asfel din resursa Ej

dispunem de o cantitate maximă bj, cunoscută în prealabil. Se mai cunosc:

- consumurile tehnologice: ∀ i = n,1 şi ∀ j= m,1 se cunoaşte cantitatea aij ≥ 0,

reprezentând cantitatea din resursa Ej ce se consumă pentru a fabrica o unitate din

produsul Ri;

- beneficiile unitare: ∀ i = n,1 se cunoaste valoarea ci (reală) reprezentând suma

obţinută prin vânzarea unei unităţi de produs Ri;

- costurile unitare de achiziţie pentru materiile prime: ∀ j= m,1 se cunoaşte

valoarea αj , reprezentând suma necesară cumpărării unei unităţi din materia prima Ej;

- capital total disponibil: se cunoaşte mărimea S, reprezentând suma totală

disponibilă pentru achiziţionarea de resurse in vederea realizării producţiei.

Vom nota cu xi (i= n,1 ) cantitatea de produs ce va fi fabricată. Cunoaşterea mărimilor xi,

i= n,1 reprezintă scopul final într-o problemă de planificarea producţiei.

În aceste condiţii:

-încasările totale rezultate din vânzarea produselor sunt date de expresia

f(x1,x2,…xn) =∑=

n

iii xc

1


27

-din resursa Ej s-a consumat în total cantitatea ∑=

n

iiij xa

1, mj ,1=∀ ;

-costul total al materiei prime Ej consumate este ∑α iijj xa ∀ j = m,1 ;

-cheltuielile totale pentru achiziţionarea tuturor materiilor prime necesare realizării

producţiei vor fi ∑∑= =

αm

j

n

ijiij xa

1 1.

Se pot prezenta două modele diferite, care au ca scop determinarea mărimilor

x1,x2,…xn.

1)Dacă unitatea are materiile prime E1,E2,….Em în cantităţile b1,b2,…bm cunoscute,

se pune problema utilizării acestora într-un mod care să conducă la încasări totale cât mai

mari.În acest caz modelul matematic poate fi scris:

maxim f(x1,x2,…xn) = ∑=

n

iii xc

1;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥

=≤∑=

nix

mjbxa

i

n

ijiij

,10

,11

2)Dacă unitatea productivă dispune de un capital S, cu care doreşte să

achiziţioneze materii prime pentru fabricarea produselor R1,R2,…Rn asfel încât încasările

totale să fie cât mai mari şi să se recupereze capitalul investit.

Modelul matematic va fi :

maxim f(x1,x2,…xn) = ∑=

n

iii xc

1;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥≥

≤α

∑

∑∑

=

= =

nixSxc

Sxa

i

n

iii

n

ijiij

m

j

,10;1

1 1

Aceste modele pot fi completate cu numeroase detalii reprezentând condiţii

suplimentare de care trebuie să se ţină seama.

b)Problema aprovizionării (cu o singură marfă ) Se ia în considerare un sistem de depozite D1,D2,…Dn: în depozitul Di se află

cantitatea ai de marfă (i= n,1 ). Se ştie că această marfa este destinată unor consumatori

C1,C2,…Cm.Beneficiarul Cj are nevoie de cantitatea bj de marfă (j= m,1 ). Notăm cu cij

(0 ∞≤≤ ijc ) costul transportului unei unitaţi de marfă de la depozitul Di la consumatorul Cj.

Acest model are scopul de a determina cantitaţile xij ( mjni ,1,,1 == ) de marfă ce vor fi

scoase din depozitul Di şi trimise beneficiarului Cj, astfel încât costul transportului întregii

CAMELIA FRIGIOIU

28

cantităţi de produse să fie cât mai mic.Cazul ‘’cij=∞’’ arată că transportul de la Di la Cj

este imposibil. Vom prezenta modele care vor conţine ca restricţii condiţiile ca totalul mărfii

extrase dintr-un depozit să nu depaşească marfa existentă în acel depozit, iar cantitatea

totală de marfă primită de un beneficiar să nu fie sub necesarul acelui beneficiar.

Costul total de transport are forma: ∑∑= =

n

i

m

jijij xc

1 1.

Modelele sunt: minim ∑∑= =

n

i

m

jijij xc

1 1 ;

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==∀≥

=∀=

=∀=

∑

∑

=

=

mjnix

mjbx

niax

ij

n

ijij

m

jiij

,1,,10

,1

,1

1

1

pentru problema echilibrată, în care ∑ ∑= =

=n

i

m

jji ba

1 1

şi pentru problema neechilibrată

minim ∑∑= =

n

i

m

jijij xc

1 1;

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==∀≥

=∀≥

=∀≤

∑

∑

=

=

mjnix

mjbx

niax

ij

n

ijij

m

jiij

,1,,10

,1

,1

1

1

c)Problema de nutriţie

Se ştie din cercetările nutriţioniştilor că un sistem de alimentaţie, într-un anumit

interval de timp trebuie să conţină anumite substanţe active, care se găsesc în diverse

tipuri de alimente. Notăm cu Si substanţele active necesare i= m,1 , cu Aj alimentele care

trebuie procurate j= n,1 şi care conţin aij cantitate din substanţa Si pe unitatea de aliment

Aj. Notăm cu xj cantitatea din alimentul Aj, cu cj costul unitar al alimentului Aj şi cu bi

necesarul din substanţa Si. Se pune problema: care sunt cantităţile de alimente xj, care pot

fi procurate mai ieftin, fără abatere de la alimentaţia ştiinţifică.

Modelul matematic este:

minim f(x1,x2,…xn) = ∑=

n

iii xc

1;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥

=≥∑=

nix

mibxa

i

n

jijij

,10

,11 .


29

Un model asemănător, cu acesta prezentat mai sus, este problema amestecurilor

de benzine, impunând drept condiţie alegerea celor mai economicoase amestecuri cu

condiţia obţinerii unui produs final cu anumite caracteristici tehnice (putere calorică,

temperatură de aprindere, grad de rafinare) care să fie inferioare sau superioare unor

anumite mărimi prestabilite.

Se poate rezolva şi problema alcătuirii celui mai ieftin amestec din diferite

sortimente de cărbune pentru încălzirea cazanelor cu aburi, cu anumite caracteristici

tehnice.

Exemplele de mai sus ne arată că o problema de programare liniară este o

problemă de optimizare cu restricţii.

La o problema de programare liniară (model de programare liniară) întâlnim:

-o funcţie obiectiv (funcţie scop) care este o funcţională liniară cu variabilele x1,x2,…xn

f(x1,x2,..xn)=c1x1+c2x2+…..+cnxn

-un sistem de restricţii format din ecuaţii şi inecuaţii liniare

-condiţii asupra variabilelor ( de obicei, condiţii de nenegativitate x1 0≥ ,x2 0≥ ,…xn 0≥ )

-un criteriu de optim, care poate fi ‘’minim’’ sau ‘’maxim’’.

Vom folosi matricele

C=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nc

c

.

.1

, b =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nb

b

.

.1

, A =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mnm

n

aa

aa

..........

..

1

111

, X =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nx

x

.

.1

. (1)

Definiţia1.1. Se numeşte o restricţie concordantă , o restricţie care:

- în problemele de maxim are semnul “≤ ”

- în problemele de minim are semnul “≥ ” .

În celelalte cazuri restricţiile se numesc neconcordante.

Din modelele prezentate mai sus s-au dedus două forme particulare ale problemei de

programare liniară, numite forme canonice.

Acestea sunt:

[max] f =TCX; ⎩⎨⎧

≥≤0XbAX

(2)

şi [min] f =TCX ; ⎩⎨⎧

≥≥0XbAX

. (3)

CAMELIA FRIGIOIU

30

Convenim să înţelegem prin condiţia ‘’X 0≥ ” , condiţiile care arată că toate componentele

vectorului X sunt nenegative.

Observaţie. În formele canonice (2) sau (3) ale problemei de programare liniară,

restricţiile sunt concordante.

Definiţia 1.2.Se numeşte forma standard a problemei de programare liniară, forma

[min] f =TCX ( sau [max] f = TCX ); ⎩⎨⎧

≥=0XbAX

. (4)

Evident că sistemul de restrictii AX=b poate fi incompatibil, compatibil unic

determinat sau compatibil nedeterminat. Se inţelege că numai ultimul caz este cu adevărat

interesant, pentru că numai atunci se pune efectiv problema de a alege din mai multe

soluţii pe cea bună.

Pentru a aduce o problema de programare liniară la forma standard, singura forma

pe care ştim să o rezolvăm, vom adăuga sau scădea noi variabile pozitive problemei,

numite variabile de compensare sau variabile de ecart.

Observaţii. 1) Se poate trece de la o problemă de maxim la una de minim folosind relaţia:

max f = - min (-f ) si invers.

2) Dacă problema de programare liniară nu are forma canonica, deci nu conţine

restricţii de acelaşi tip, atunci se adaugă sau se scad varibilele de compensare, după cum

cere restricţia respectivă.

Exemplu. Să se aducă la forma standard problema de programare liniară

următoare

[max] f = 16x1+20 x2 –2x3+3x4 ; ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥≥+−≤−++

4,1,010022002

421

4321

jxxxxxxxx

j

Se adaugă o variabilă de compensare la prima restricţie şi se scade o variabilă din a doua

restricţie. Forma standard este

[max] f = 16x1+20 x2 –2x3+3x4; ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥=−+−=+−++

6,1,010022002

6421

54321

jxxxxx

xxxxx

j

.

Se poate demonstra că orice problemă de programare liniară se poate aduce la

forma standard şi că aceasta are aceleaşi soluţii ca şi problema iniţială.


31

Soluţiile unei probleme de programare liniară

Fie problema de programare liniară

(P.L) [min] f =TCX ; ⎩⎨⎧

≥=0XbAX

.

Definiţia 1.3. Un vector X0 ∈Rn care verifică sistemul de restricţii AX=b, cât şi

condiţiile de nenegativitate X≥0 ale unei (P.L) se numeşte soluţie posibilă a problemei

(admisibilă sau realizabilă sau “program”).

Definitia 1.4. O soluţie posibilă X0 pentru care numărul de componente nenule,

r≤m , iar vectorii matricei A care corespund componentelor nenule sunt liniar independenţi,

se numeşte soluţie de bază ; dacă r< m, soluţia de bază se numeşte degenerată.

Definiţie 1.5. Un vector X0∈Rn, soluţie posibilă pentru (P.L) se numeşte soluţie

optimă (“program optim’’) a problemei (P.L) dacă optimizează funcţia f, adică dacă pentru

orice soluţie posibilă X are loc relaţia TC X0≤ TCX.

S-au obtinut diverşi algoritmi de rezolvare a unei probleme de acest tip.Toţi aceşti

algoritmi au o caracteristică comună: metoda iterativă - se porneşte de la o soluţie posibilă

iniţială care se modifică treptat, până când funcţia de eficienţă devine optimă sau se

dovedeşte că optimul nu există. Esenţa fiecărei metode este găsirea soluţiei iniţiale şi

îmbunatăţirea ei cu un algoritm de calcul. Noi vom prezenta algoritmul lui Dantzig numit

algoritmul simplex.

§.2.Mulţimi convexe în Rn

Definiţia 2.1. Fie x(1) , x(2) ,…...,x(k) ∈ Rn, unde nin

iii Rxxxx ∈= ),......,,( )()(2

)(1

)( , ki ,1=

şi scalarii λ1 ,λ2,..λk ∈R, λj ∈[0,1] şi 11

=λ∑=

k

jj . Vectorul x= )(

1

ik

ii x∑

=

λ se numeşte combinaţia

liniară convexă a vectorilor daţi.

Definiţia 2.2. O mulţime C ⊂ Rn se numeşte convexă dacă pentru orice x(1), x(2)∈C,

cu x(1) ≠ x(2), combinaţia lor convexă x = λx(1)+(1-λ)x(2)∈C, cu λ∈[0,1].

Geometric această definiţie se exprimă astfel: Mulţimea C ⊂ Rn este convexă dacă orice

punct de pe segmentul de dreaptă ce uneşte două puncte distincte oarecare ale lui C, se

află, de asemenea în C.

CAMELIA FRIGIOIU

32

Observaţie. Orice punct interior al unei mulţimi convexe poate fi scris ca o

combinaţie liniară convexă de puncte distincte ale mulţimii. Excepţie de la aceasta, fac

anumite puncte pe care le vom numi vârfuri ale mulţimii convexe.

Definiţia 2.3. Se numeşte punct de extrem sau vârf al mulţimii convexe C, un punct

x∈C, care nu se poate scrie ca o combinaţie liniară convexă de puncte distincte din C.

§.3.Forma matriceală şi vectorială a unei

probleme de programare liniară Fie problema de programare liniară, în forma standad, scrisă matriceal

[max] f = TCX ; ⎩⎨⎧

≥=0XbAX

,

unde A njmiija ,1,,1)( === şi bT=(b1,b2,…bm).

Dacă a1,a2,….,an ∈Rm sunt vectorii coloană ai matricei A, atunci sistemul de

restricţii din forma standard, care de fapt este un sistem de ecuaţii liniare, se mai poate

scrie baxn

jjj =∑

=1.

Teorema 3.1. Mulţimea S a tuturor soluţiilor realizabile ale sistemului AX=b, X ≥ O

este convexă în Rn.

În cele ce urmează, vom presupune că S este o mulţime mărginită.Dacă vor apărea

cazurile S=Φ sau S nemărginită, metoda simplex pe care o prezentăm este în măsură să o

detecteze.

Teorema 3.2. O condiţie necesară şi suficientă ca X∈S, cu X≥0 să fie punct de

extrem pentru S este ca X să fie o soluţie realizabilă de bază, care satisface sistemul

AX=b, X ≥0.

Observaţii. 1)Orice punct de extrem al lui S corespunde unei soluţii de bază a problemei de

programare liniară şi invers, orice soluţie de bază corespunde unui punct de extrem.

2)Un punct de extrem degenerat poate avea mai mult de o soluţie de bază

corespunzătoare, în timp ce un punct nedegenerat de extrem va corespunde numai unei

singure soluţii de bază.

Teorema 3.3. Soluţia optimă a unei probleme de programare liniară, dacă este

finită,se află într-un punct de extrem al spaţiului soluţiilor S. Dacă soluţia optimă se află în


33

mai multe puncte de extrem atunci valoarea funcţiei de eficienţă va fi aceeaşi pentru toate

combinaţiile convexe ale acestor puncte.

Această teoremă arată că soluţia optimă a unei probleme de programare liniară poate fi

obţinută numai pornind de la soluţiile realizabile de bază.

§.4.Metoda simplex Metoda simplex, pentru prima dată publicată de americanul G. B. Dantzig în 1947,

presupune analizarea anumitor soluţii realizabile de bază şi trecerea de la o soluţie la alta,

mai bună, prin schimbarea câte unui vector din bază. Mai exact,se porneşte de la o soluţie

realizabilă de bază (care se deduce cât mai simplu posibil), se testează optimalitatea

acestei solutii, folosind un test de optimalitate.Dacă soluţia este optimă, metoda ia sfârşit,

dacă nu, se trece la o altă soluţie de bază corespunzătoare unei baze care diferă de

precedenta numai printr-un singur vector. Alegerea lui se face prin criteriul de intrare în

bază. Vectorul pe care acesta îl înlocuieşte se alege conform criteriului de ieşire din bază.

Criteriul de ieşire din bază se deduce din condiţia de admisibilitate a noii soluţii;

criteriul de intrare în bază se obţine din condiţia ca noua soluţie să îmbunătăţească

valoarea funcţiei de eficienţă.

Condiţie pentru alegerea vectorului ar care iese din bază

Condiţia de admisibilitate Fie a1,a2,…,am,..,an vectorii coloană ai matricei A şi (XB, 0) o soluţie admisibilă de

bază a problemei, unde prin XB am notat primele m componente nenule ale soluţiei X,

baza corespunzătoare ei fiind B={a1,a2,…,am}. Această soluţie se numeşte soluţie curentă,

iar B baza curentă.

Sistemul de restricţii al problemei de programare liniară se scrie:

∑=

m

jjj ax

1=B XB=b (1)

sau XB=B-1b. (2)

Vom genera o nouă soluţie realizabilă de bază pornind de la cea curentă.

Fie aj un vector, ales din ceilalţi n-m vectori ai matricei A, care nu sunt în baza

curentă şi xj variabila corespunzătoare lui.

CAMELIA FRIGIOIU

34

Vectorii a1,a2,…,am sunt liniar independenţi şi atunci putem exprima vectorul aj în

baza B, astfel: există scalarii jm

jj ααα ,......,, 21 astfel încât aj=∑=

αm

kk

jk a

1. (3)

Notăm Tjm

jjj ),...,,( 21 ααα=α şi atunci relaţia (3) se mai poate scrie

Bαj = aj sau αj =B-1aj . (4)

Fie θ > 0, oarecare.Înmulţim relaţia (4) cu θ şi se obţine folosind (1)

B ( XB - θ αj ) + θ aj = b. (5)

Aceasta arată faptul că noul vector X’ cu m+1 componente nenule

X’ = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θθα− j

BX = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θθα−− jbB 1

(6)

este o soluţie a noului sistem de restricţii cu o nouă variabilă xj=θ > 0.

Deci X’ este o soluţie nebazică, deoarece are m+1 variabile nenule.

Pentru a obţine o nouă soluţie admisibilă de bază, scalarul θ trebuie ales astfel

încât una din vechile variabile de bază să fie zero, adică să devină variabilă nebazică. Pe

de altă parte toate elementele lui X’ trebuie să fie nenegative. Aceasta înseamnă:

xk -θ mkjk ,1,0 =≥α (7)

xj = θ > 0.

Deoarece xk ≥ 0, expresia xk jkθα− poate deveni negativă numai dacă j

kα > 0.

Deci, când stabilim condiţia de admisibilitate a soluţiei X' vom lua în considerare

numai jkα > 0. În acest caz, vechea variabilă bazică care trebuie făcută 0, trebuie aleasă

astfel încât ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⟩αα

=θ 0 ,min jkj

k

kk

x= j

r

rxα

, jrα > 0, (8)

unde k=r reprezintă indicele variabilei bazice care atinge minimul rapoartelor pozitive de

mai sus. Astfel în noua soluţie, X’, variabila xr devine 0.

Într-adevăr: xr - θ jrα = xr - j

rjr

rxα⋅

α= 0, (9)

şi xr devine nebazică. Deci, vectorul aj este vectorul care intră în bază, iar ar este vectorul

care iese din bază.

Dacă acelaşi minimum dat de valoarea (8) apare pentru mai mult de o variabilă xr,

noua soluţie de bază va fi degenerată, deoarece cel puţin o variabilă bazică va fi 0 în noua

soluţie X’.


35

O altă situaţie critică este atunci când toţi jkα ≤ 0, ceea ce înseamnă că noile

variabile xk -θ jkα >0 pentru ∀ θ ≥0; deci nici o variabilă nu poate fi înlăturată din soluţie.

Acesta înseamnă că noua soluţie va fi întotdeauna nebazică şi că variabilele sale pot

creşte oricât de mult. În acest caz soluţia se numeşte nemărginită.

Condiţie pentru alegerea vectorului aj care intră în bază, condiţia de optimalitate

Să considerăm o problemă de programare liniară şi fie B o bază curentă, TBC =(c1,c2,…cm) vectorul coeficienţilor funcţiei obiectiv, corespunzător bazei curente

XB = B-1 b.

Definim fj = jTBC α , unde αj este dat de (4) sau jα =B-1aj .

Teorema 4.1. Fiind dată soluţia realizabilă de bază XB =B-1 b , vectorul aj este un

vector care poate intra în bază dacă cj -fj>0 (pentru problemele de maxim) sau fj – cj > 0

(pentru problemele de minim).

Dacă cj -fj ≤ 0 (sau fj – cj ≤0) pentru toţi vectorii nebazici aj atunci soluţia curentă este

optimă.

Observaţii.1.Noua valoare a funcţiei de eficienţă f0’ se poate îmbunătăţi numai

dacă θ >0. Dacă θ=0, f0’= f0 rămâne aceeaşi. Acesta este cazul soluţiei degenerate care se

tratează separat.

2. Dacă cj -fj < 0 (în problema de maxim) şi valoarea rezultată xj este nemărginită,

adică θ ar putea lua orice valoare nenegativă, atunci valoarea lui f0’ va fi nemărginită şi în

consecinţă problema nu are soluţie finită.

3.Dacă cj -fj = 0 pentru o variabilă nebazică xj, este posibil să introducem aj pentru a

obţine o nouă soluţie de bază, care va conduce la aceeaşi valoare pentru funcţia de

eficienţă.

4.Deoarece, prin definiţie, fj =CBTαj =CB

TB-1aj, atunci pentru toate variabilele

problemei fj = CBTB-1A.

Rezultă,că de îndată ce a fost determinată inversa matricei B, din iteraţia curentă va

fi posibil să calculăm toate elementele din tabelul curent, utilizând informatiile originale ale

problemei.

CAMELIA FRIGIOIU

36

Determinarea unei soluţii iniţiale de bază Dacă problema de programare liniară are forma canonică:

max f=c1x1+c2x2+…+cnxn

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥≤+++

≤+++≤+++

0.....,0,0...

.................................................

21

2211

22222121

11212111

n

mnmnmm

nn

nn

xxxbxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

şi presupunem că în plus toţi termenii liberi sunt pozitivi, adică b1 ≥ 0,...,bm ≥ 0.

Adăugăm variabilele de compensare: xn+1,xn+2,…xn+m ≥0 şi se obţine forma

standard:

max f=c1x1+c2x2+…+cnxn;

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥=++++

=++++=++++

+

+

+

+

0.....,0,0...

.................................................

21

2211

222222121

111212111

mn

mmnnmnmm

nnn

nnn

xxxbxxaxaxa

bxxaxaxabxxaxaxa

Rangul matricei sistemului de ecuaţii de mai sus este m, deoarece matricea

sistemului conţine exact m vectori unitari, pe care îi vom nota: an+1,an+2,…,an+m.

O soluţie de bază trebuie să aibă maxim m componente nenule. Drept soluţie

iniţială vom lua o soluţie foarte uşor de determinat şi anume: x1=x2=….=xn=0, xn+1=b1,

xn+2=b2,…, xn+m=bm.

Cum toate componentele termenului liber sunt pozitive, rezultă că soluţia sistemului

de restricţii al problemei de programare liniară :XT=(0,0,…,0,b1,b2,…bm)∈Rn+m serveşte

drept soluţie iniţială de bază.

Observaţie. Se ştie că problema de programare liniară se poate aduce mereu la

forma standard, totuşi condiţia suplimentară b1 ≥ 0 ,...,bm≥0 face ca întotdeauna soluţia

iniţială să poată fi dedusă ca mai sus.

Metoda simplex are în vedere testarea optimalităţii soluţiei de bază (iniţiale)

curente; în caz că soluţia este optimă, algoritmul se opreşte; dacă nu este optimă, soluţia

se modifică prin modificarea unui vector din baza curentă, aplicând criteriul de intrare în

bază;acest nou vector care se alege prin criteriul de intrare în bază, înlocuieşte un vector

din vechea bază, care se alege prin criteriul de ieşire din bază.


37

Noua soluţie se calculează utilizând metoda Gauss-Jordan. Această soluţie se

testează, la rândul ei, cu criteriul de optimalitate, etc. Algoritmul ia sfârşit după un număr

finit de paşi.

Organizarea calculelor - tabelul simplex

Presupunem că baza curentă B este formată din primii m vectori ai matricei

sistemului de restricţii din forma standard, a1,a2,…,am, deci primele m componente ale

soluţiei x1,x2,…,xm sunt diferite de 0.

Vom nota CB subvectorul lui C format cu componentele lui C corespunzătoare bazei

B. Se observă că vectorii bazei se exprimă în felul următor în baza B:

a1=1⋅a1+0⋅a2+…+0⋅am;a2=0⋅a1+1⋅a2+…+0⋅am;….,am =0⋅a1+0⋅a2+…+1⋅am.

De asemenea, aşa cum am văzut mai sus, toţi vectorii ja care nu aparţin bazei se

pot exprima prin:

mjm

jjj aaaa α++α+α= ......2211 , ∀ j= nmm ++ ,1 .

Tabelul simplex pentru baza curentă este următorul:

c1 c2…cr…cm…cj… cm+n θ

CB B xB a1 a2…ar…am…aj… am+n

c1 a1 x1 1 0…..0….0….α1j… α1

m+n

c2 a2 x2 0 1…..0….0….α2j… α2

m+n

. . . ………………………………

cr ar xr 0 0…..1…0…..αrj…. αr

m+n

. . . ……………………………..

cm am xm 0 0…..0…1…..αmj…. αm

m+n

ck –fk f0 0…0….0….0…cj-fj… cm+n-fm+n

Reguli practice pentru aplicarea algoritmului simplex

1.Criteriul de optimalitate. Dacă toate diferenţele Δk=ck-fk (pentru problema de

maxim) sau Δk= fk - ck (pentru problema de minim) corespunzătoare vectorilor care nu sunt

în baza curentă B sunt negative sau egale cu 0, soluţia XB este optimă şi algoritmul se

opreşte.

CAMELIA FRIGIOIU

38

2.Criteriul de intrare in bază. Dacă cel puţin una dintre diferenţele

corespunzătoare vectorilor care nu se află în baza curentă, este pozitivă, Δk=ck -fk >0

(pentru problema de maxim) sau Δk =fk-ck>0 (pentru problema de minim), atunci soluţia XB

nu este optimă.

Se alege max { Δ k | Δ k >0} = Δj . Vectorul aj intră în bază.

3.Criteriul de ieşire din bază. Se aplică după aplicarea criteriului de intrare în

bază.Se adaugă o nouă coloană în partea dreaptă a tabelului, coloana θ, în care se scriu

rapoartele jk

kxα

, pentru care jkα > 0. Nu se scriu cele cu j

kα ≤ 0.Se alege raportul minim:

min ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⟩αα

0, jkj

k

kx= r

k

rxα

. Vectorul ar iese din bază.

4.Stabilirea pivotului, dacă soluţia curentă nu este optimă.

La intersecţia liniei vectorului ar , care iese din bază, cu coloana vectorului aj, care

intră în bază, se află pivotul jrα > 0 , cu care se lucrează în metoda lui Gauss-Jordan

pentru obţinerea noului tabel simplex. Adică elementele noului tabel simplex se vor calcula

astfel:

-linia pivotului se împarte la pivot;

-coloana pivotului are elementele egale cu 0, cu excepţia elementului de pe locul

pivotului, care este 1;

-celelalte elemente se calculează după regula dreptunghiului.

Se obţine astfel o nouă soluţie. Noua bază B1, va conţine în locul lui ar vectorul aj, iar aj va

deveni vector unitar.

Exemplu.Să se rezolve problema de programare liniară, utilizând algoritmul

simplex:

max f = 5x1 + 4x2 + 3x3

x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 10

2x1 + x2 ≤ 8

2x2 - x3 ≤ 8 x1, x2 ,x3 ≥ 0.


39

Soluţie. Se aduce problema la forma standard, adăugându-se variabilele de

compensare x4 , x5, x6 ≥ 0.Funcţia de eficienţă rămâne neschimbată, dar inegalităţile se

vor transforma în egalităţi:

max f = 5x1 + 4x2 + 3x3+0x4+0x5+0x6

x1 + 2x2 + 2x3 + x4 =10

2x1 + x2 +x5 = 8

2x2 - x3 +x6 = 8 xj ≥ 0 , j= 6,1 .

Baza iniţială este baza unitară, reprezentată de matricea unitate de ordinul trei,

formată cu vectorii coloană a4,a5,a6 ai matricei A a sistemului de restricţii.

Soluţia iniţială de bază se obtine astfel:

x1=x2=x3=0, x4=10, x5=8, x6=8.

Construim tabelul simplex iniţial cu soluţia iniţială de bază, matricea sistemului de

restricţii, baza initiala:

5 4 3 0 0 0

CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 θ

0 a4 10 1 2 2 1 0 0

0 a5 8 2 1 0 0 1 0

0 a6 8 0 2 -1 0 0 1

Δj=cj-fj 0 5 4 3 0 0 0

Ultima linie a diferenţelor se calculează conform definiţiei :

f1 = CBT B-1 a1= CB

T a1 =(0, 0, 0) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

021

=0 ; c1-f1= 5 – 0 =5

f2 = CBT B-1 a2= CB

T a2 =(0, 0, 0) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

212

=0; c2 – f2 = 4 - 0=4

f3= CBT a3 =(0, 0, 0)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−102

=0; c3 – f3 = 3 - 0=3;f4=0; c4-f4=0; f5=0, c5-f5 =0 ; f6=0, c6-f6=0.

Criteriul de optimalitate se aplică după calcularea diferenţelor Δj. Soluţia nu este

optimă, deoarece nu toate diferenţele sunt negative sau egale cu 0. Vom schimba baza

curentă, prin introducerea unui nou vector în bază. Criteriul de ieşire din bază indică

CAMELIA FRIGIOIU

40

alegerea max { 5,4,3 } = 5 =c1 – f1, deci vectorul a1 intră în bază, j=1. Vom stabili vectorul

care iese din bază şi pentru aceasta adăugăm coloana θ. Acum tabelul va arăta astfel:

5 4 3 0 0 0 CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 θ 0 a4 10 1 2 2 1 0 0 10/1 0 a5 8 (2) 1 0 0 1 0 8/2 0 a6 8 0 2 -1 0 0 1 - cj-fj 0 5* 4 3 0 0 0

Criteriul de ieşire din bază indică ieşirea vectorului, care realizează min {10,4} = 4= 51

5

α

x ,

deci iese din bază a5. Pivotul iteraţiei este egal cu 2. Noua bază va fi formată din vectorii

a4, a1, a6.

Calculul elementelor noului tabel se va efectua cu metoda Gauss - Jordan. Tabloul

simplex va fi :

5 4 3 0 0 0

CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 θ

0 a4 6 0 3/2 (2) 1 -1/2 0 3

5 a1 4 1 1/2 0 0 1/2 0 -

0 a6 8 0 2 -1 0 0 1 -

cj-fj 20 0 3/2 3* 0 -5/2 0

Soluţia dată de acest tabel este XT=(4,0,0,6,0,8), iar valoarea funcţiei este de 20.

Aplicăm iar criteriile de optimalitate pentru a studia această soluţie . Linia diferenţelor arată

că soluţia nu este optimă va intra în bază a3; coloana lui θ arată că iese din bază vectorul

a4. Pivotul este egal cu 2. Noua bază va fi formată din vectorii a3 , a1, a6.

Iteraţia corespunzătoare este dată de tabelul de mai jos:

5 4 3 0 0 0 CB B XB a1 A2 A3 a4 a5 a6 θ 3 a3 3 0 3/4 1 1/2 -1/4 0 5 a1 4 1 ½ 0 0 1/2 0 0 a6 11 0 11/4 0 1/2 -1/4 1 cj-fj 29 0 -3/4 0 -3/2 -7/4 0

Soluţia corespunzătoare este XT = (4,0,3,0,0,11), iar valoarea functiei de eficienţă

este 29.Testul de optimalitate indică faptul că această soluţie este optimă.


41

Determinarea unei soluţii iniţiale de bază, când problema are forma canonică: min f=c1x1+c2x2+…+cnxn

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥≥+++

≥+++≥+++

0.....,0,0...

.................................................

21

2211

22222121

11212111

n

mnmnmm

nn

nn

xxxbxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

Presupunem că termenii liberi sunt pozitivi: b1 ≥ 0 ,b2 ≥ 0,…, bm ≥ 0.

Introducem variabilele de compensare, cu coeficientul ‘’-1‘’ în fiecare restricţie si se obţine

forma standard a problemei de programare liniara:

min f=c1x1+c2x2+…+cnxn

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=≥=++++

=−+++=−+++

+

+

+

mnjxbxxaxaxa

bxxaxaxabxxaxaxa

j

mmnnmnmm

nnn

nnn

,1,0...

.................................................

2211

222222121

111212111

Dacă procedăm ca mai înainte, vom lua drept soluţie iniţială de bază, soluţia:

x1=x2=….=xn=0, xn+1= -b1,xn+2= - b2,…,xn+m= - bm,

însă acesta nu este şi realizabilă, pentru că ea nu satisface condiţiile algoritmului simplex.

Pentru a obţine o soluţie admisibilă de bază, vom introduce în fiecare egalitate o nouă

variabilă nenegativă, cu coeficientul +1, care să înlesnească alegerea soluţiei iniţiale.

Aceste m variabile pe care le introducem se numesc variabile artificiale, iar metoda de

lucru pe care o expunem se numeşte metoda variabilelor artificiale sau metoda penalizării .

Astfel, după adăugarea variabilelor artificiale sistemul de restricţii devine :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=≥=+++++

=+−+++=+−+++

++

+++

+++

mnjxbxxxaxaxa

bxxxaxaxabxxxaxaxa

j

mmnmnnmnmm

mnnnn

mnnnn

2,1,0...

.................................................

22211

2222222121

1111212111

.

Evident, aceste variabile artificiale vor disparea din soluţia optimă sau vor fi 0 la

sfârşitul rezolvării, altfel restricţiile iniţiale ale problemei vor fi modificate. Totuşi, soluţia

iniţială de bază pentru problema cu restricţiile de mai sus poate fi acum una convenabilă

şi anume: x1=x2=….=xn=…=xn+m=0, xn+m+1=b1,xn+m+2=b2,…xn+2m=bm.

CAMELIA FRIGIOIU

42

Iniţial, variabilele artificiale sunt în bază. Le putem elimina treptat din bază dacă le asociem

un coeficient foarte mare în funcţia de eficienţă, practic ∞.

Acest coeficient foarte mare se numeşte coeficient de penalizare, se notează cu M

pentru toate variabilele artificiale şi se consideră practic infinit. În concluzie, funcţia de

eficienţă se modifică şi ea devenind:

min w= c1x1+c2x2+…+cnxn+Mxn+m+1+Mxn+m+2+…Mxn+2m.

Dacă totuşi, la sfârşitul rezolvării problemei de programare liniară prin metoda

variabilelor artificiale, una din variabilele artificiale (sau mai multe) are vectorul său în baza

‘’ optimă’’ şi ea este nenulă, rezultă că problema dată initial nu admite soluţie.

Exemplu. Să se rezolve problema de programare liniară, utilizând algoritmul simplex:

min f = 4x1 + 3x2 + 5x3

2x1 + x2 -5x3 ≥300

x1 + x2 + x3 ≥ 75

x1, x2 ,x3 ≥ 0.

Soluţie. Aducem problema la forma standard

min f = 4x1 + 3x2 + 5x3

2x1 + x2 -5x3 – x4 =300

x1 + x2 + x3 - x5 = 75

xj ≥ 0 5,1=j .

Vom adăuga variabilele artificiale x6, x7, introducându-le în restricţii cu coeficientul 1

şi în funcţia de eficienţă cu coeficientul de penalizare M:

min w = 4x1 + 3x2 + 5x3+Mx6+Mx7

2x1 + x2 - 5x3 – x4+ x6 =300

x1 + x2 + x3 - x5 + x7= 75

xI ≥ 0, l=1,7.

Soluţia iniţială de bază este x1=x2=x3=x4=x5=0, x6=300, x7=75.

Calculele aferente algoritmului simplex sunt redate în tabelul următor. Pentru

calculul liniei diferenţelor şi stabilirea criteriilor de optimalitate şi de intrare în bază se

foloseşte Δj = fj – cj . Pentru criteriul de intrare în bază se folosesc coeficienţii lui M din

diferenţele Δj. La prima iteraţie a1 intră în bază, deoarece se compară coeficientul 3 al lui

M din diferenţa Δ1=3M – 4 cu coeficientul 2 al lui M din diferenţa Δ2 = 2M-3 şi se alege

coeficientul cel mai mare, deci intră în bază a1.


43

4 3 5 0 0 M M

CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 θ

M a6 300 2 1 - 5 -1 0 1 0 150

M a7 75 (1) 1 1 0 - 1 0 1 75

fj-cj 3M-4* 2M-3 -4M-5 - M - M 0 0

M a6 150 0 -1 -7 -1 (2) 1 - 75

4 a1 75 1 1 1 0 -1 0 - -

fj-cj 0 -M+1 -7M-1 -M 2M-4* 0 -

0 a5 75 0 -1/2 -7/2 - 1/2 1 - -

4 a1 150 1 ½ - 5/2 - 1/2 0 - -

fj-cj 600 0 -1 - 15 -2 0 - -

Dacă o variabilă artificială iese din bază, ea nu va mai intra niciodată în bază, fapt

care justifică eliminarea din calcul a coloanelor a7 şi a8 din tabelul de mai sus.

Soluţia optimă a problemei este:

x1=150, x2=x3=x4=0, x5=75, min f =600.

Soluţie optimă multiplă.Calcul soluţiei optime generale

Dacă o problemă de programare liniară are mai multe soluţii optime de bază, atunci

orice combinaţie liniară convexă a acestor soluţii este de asemenea o soluţie optimă. Din

cele expuse a rezultat, de asemenea, când o soluţie este multiplă: dacă în iteraţia optimă

cj - fj=0 (sau fj - cj=0) pentru un vector aj care nu aparţine bazei, atunci este posibil să

introducem în bază vectorul aj pentru a determina altă soluţie optimă care să conducă la

aceeaşi valoare pentru funcţia de eficienţă.

Exemplu. Se face un amestec de uleiuri minerale U1,U2,U3,U4, în vederea unui

produs finit cu anumite calităţi şi în cantitate de cel puţin 800 l.Amestecul trebuie să

conţină substanţele S1 şi S2 în cantitate de cel puţin 18000 g respectiv 21000 g.Conţinutul

de substanţe S1 şi S2 ale fiecărui tip de ulei şi costurile unitare sunt date mai jos:

Uleiuri Substanţe

Conţinut U1

în grame/ l U2

U3

U4

Necesar (g)

S1 20 10 30 20 18000 S2 10 20 10 30 21000 Cost unitar Mii u.m./t

5

4

4,5

3

Cum trebuie făcut amestecul cu cost total minim?

CAMELIA FRIGIOIU

44

Soluţie.Fie x1,x2,x3,x4 cantităţile din uleiurile U1,U2,U3,U4 care trebuie puse în

amestec. Funcţia de eficienţă este o funcţie cost, costul total al amestecului.Ea trebuie

minimizată: min f = 5 x1+4x2+4,5 x3+3x4 (mii u.m.)

Restricţia referitoare la cantitate este:

x1+x2+x3+x4 ≥ 800.

Celelalte două restricţii se referă la substanţele S1 şi S2 necesare amestecului:

20 x1+10x2+30x3+20x4 ≥ 18000

10 x1+20x2+10x3+30x4 ≥ 21000.

Condiţiile de nenegativitate asupra variabilelor sunt: x1 ,x2 , x3 , x4 ≥ 0.

Deci, modelul matematic al problemei de amestec este :

min f = 5x1+4x2+4,5 x3+3x4

x1+x2+x3+x4 ≥ 800; 20 x1+10x2+30x3+20x4 ≥ 18000;10 x1+20x2+10x3+30x4 ≥ 21000

x1 ,x2 , x3 , x4 ≥ 0.

Împărţim cu 10 restricţiile doi şi trei:

min f =5 x1+4x2+4,5 x3+3x4

x1+x2+ x3+ x4 ≥ 800

2 x1+x2+3x3+2x4 ≥ 1800

x1+ 2x2+ x3+3x4 ≥ 2100; x1 ,x2 , x3 , x4 ≥ 0

Se aduce problema la forma standard şi se obţine:

min f =5 x1+4x2+4,5 x3+3x4

x1+x2+x3+x4 –x5 = 800

2 x1+x2+3x3+2x4 – x6 = 1800

x1+2x2+x3+3x4 – x7 = 2100

xj ≥ 0, 7,1=j

Pentru a reduce calculele, vom scădea din ecuaţia cu termenul liber cel mai mare, pe rând

fiecare dintre ecuaţiile sistemului de restricţii. Sistemul de restricţii devine:

x2 +2x4 +x5 –x7 = 1300

- x1+x2 - 2x3+x4 + x6 – x7 = 300

x1+2x2+x3+3x4 – x7 = 2100

xj ≥ 0, j=1,..,7

Matricea ataşată acestui ultim sistem este :


45

A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

100312111012111012010

Ea coţine doi vectori unitari a5 şi a6, deci nu este nevoie pentru determinarea

soluţiei iniţială de bază decât de o singură variabilă artificială, care va fi notată x8 şi va fi

adăugată la ultima restricţie.

Problema de programare liniară devine :

min f =5 x1+4x2+4,5 x3+3x4+Mx8

x2 +2x4 +x5 –x7 = 1300

- x1+x2 - 2x3+x4 + x6 – x7 = 300

x1+2x2+x3+3x4 – x7 +x8= 2100; xj ≥ 0, j=1,..,8.

Tabelul simplex este dat mai jos:

5 4 4,5 3 0 0 0 M

CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 A6 a7 a8 θ

0 a5 1300 0 1 0 2 1 0 -1 0 650

0 a6 300 -1 1 -2 (1) 0 1 -1 0 300

M a8 2100 1 2 1 3 0 0 -1 1 700

fj-cj M-5 2M-4 M-4,5 3M-3* 0 0 -M 0

0 a5 700 2 -1 4 0 1 -2 1 0 700/4

3 a4 300 -1 1 -2 1 0 1 -1 0 -

M a8 1200 4 -1 (7) 0 0 -3 2 1 7

1200

fj-cj 4M-8 -M-1 7M-0,5* 0 0 -3M+3 2M-3 0

0 a5 100/7 -2/7 -3/7 0 0 1 -2/7 -1/7 -

3 a4 4500/7 1/7 5/7 0 1 0 1/7 -3/7 -

4,5 a3 1200/7 4/7 -1/7 1 0 0 -3/7 2/7 --

fj-cj 2700 -2 -2,5 0 0 0 -1,5 0*

Soluţia optimă este XoT=( 0,0,

71200 ,

74500 ,

7100 , 0 ,0 ), iar valoarea minimă a

funcţiei de eficienţă este f min = 2700.

Pe linia diferenţelor f7- c7 = 0, fără ca vectorul a7 să fie în bază.

CAMELIA FRIGIOIU

46

Pentru a determina o altă soluţie optimă vom introduce în bază vectorul a7 şi vom

construi un nou tabel simplex

5 4 4,5 3 0 0 0

CB B XB a1 a2 a3 A4 a5 a6 a7 θ

0 a5 100 0 -1/2 1/2 0 1 -1/2 0

3 a4 900 1 1/2 3/2 1 0 -1/2 0

0 a7 600 2 -1/2 7/2 0 0 -3/2 1

fj -cj 2700 -2 -2,5 0 0 0 -1,5 0

Soluţia optimă obţinută este X1T=( 0 , 0 , 0, 900, 100, 0 , 600) .

Se poate construi o combinaţie liniară convexă a celor două soluţii optime care reprezintă

soluţia optimă generală:

X(λ) = λX0+(1-λ)X1, λ∈[0,1]

Pentru orice λ∈[0,1], f(X(λ))=4,5⋅ λ7

1200 +3⋅(900 - λ7

1800 ) = 2700, adică valoarea funcţiei

de eficienţă rămâne minimă.

Rezolvarea unei probleme de programare liniară care nu este la nici una din formele canonice

Se aduce problema la forma standard, cu toţi termenii liberi ai sistemului de restricţii

pozitivi. Matricea sistemului adus la forma standard va arăta care sunt vectorii coloană

unitari existenţi şi care ar mai trebui adăugaţi pentru a obţine o bază unitară. In funcţie de

acest fapt se adaugă variabile artificiale la restricţiile potrivite şi se modifică şi funcţia de

eficienţă astfel :

-dacă problema este de minim, atunci se adaugă la funcţia de eficienţă iniţială,

variabilele artificiale cu coeficienţii de penalizare M (M pozitiv, foarte mare);

-dacă problema este de maxim, atunci se adaugă la funcţia de eficienţă iniţială,

variabilele artificiale cu coeficienţii de penalizare -M (negativ, practic -∞)

Spunem că problema se rezolvă prin metoda penalizării. Vom construi tabelul simplex, cu baza iniţială formată din vectori unitari, care pot fi:

- vectori corespunzători variabilelor problemei sau

- vectori corespunzători variabilelor de compensare sau

- vectori corespunzători variabilelor artificiale.


47

Exemplu de problemă care nu admite soluţie Să se rezolve problema de programare liniară, utilizând algoritmul simplex:

max f = 2x1 + x2 + 2x3

5x1 + x2 + x3 ≤ 20

-x1 + x2 + x3 = 30

x1, x2 ,x3 ≥ 0.

Soluţie. Aducem problema la forma standard adăugând variabila de compensare x4

la restricţia întâi şi variabila artificială x5 la restricţia a doua .

max w = 2x1 + x2 + 2x3 - Mx5

5x1 + x2 + x3+ x4 =20

-x1 + x2 + x3 +x5 =30

xj ≥ 0 5,1=j .

2 1 2 0 -M

CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 θ

0 a4 20 5 1 (1) 1 0 20*

-M a5 30 -1 1 1 0 1 -

cj-fj 2-M 1+M 2+M* 0 0

2 a3 20 5 1 1 1 0

-M a5 10 -6 0 0 -1 1

cj-fj -8-6M -1 0 -2-M 0

Ultima iteraţie a tabelului de mai sus indică optimalitatea soluţiei datorită faptului că

toate diferenţele sunt Δj = c j- fj sunt negative sau 0.

Totuşi variabila artificială x5 , a rămas în bază cu valoarea 10, x5≠0; deci problema

nu admite soluţie.

Exemplu de problemă care admite optim ∞

Să se rezolve problema de programare liniară, utilizând algoritmul simplex:

max f = 6x1 + 10x2

x1 - x2 ≤ 1

-2x1 + x2 ≤ 2; x1, x2 ≥ 0.

CAMELIA FRIGIOIU

48

Aducem problema la forma standard: max f = 6x1 + 10x2

x1 - x2 +x3 = 1

-2x1 + x2 +x 4= 2

x1, x2 , x3 , x4 ≥ 0.

Tabelul simplex corespunzător este :

6 10 0 0

CB B XB a1 a2 a3 a4 θ

0 a3 1 1 -1 1 0 -

0 a4 2 -2 (1) 0 1 2

cj-fj 6 10* 0 0

0 a3 3 -1 0 1 1

10 a2 2 -2 1 0 1

cj-fj 20 26 0 0 -10

Calculele nu mai pot continua, deoarece aplicarea criteriului de intrare în bază

indică intrarea vectorului a1, iar toate componentele vectorului care intră în bază sunt

negative, adică funcţia f poate fi făcută oricât de mare. Criteriu de optim infinit. Dacă toate componentele vectorului care intră în bază

( la o anumită iteraţie a simplexului) sunt negative sau nule, problema admite optim infinit.

În cazul nostru putem scrie max f = ∞.

Dualitatea în programare liniară Fiecărei probleme de programare liniară i se poate ataşa, într-un anumit mod o altă

problemă de programare liniară, care se numeşte problema duală, iar problema iniţială se

numeşte problema primală.Duala se construieşte cu datele primalei. Adesea, ne vom referi

la cuplul de probleme primală-duală. Dualitatea care se referă la problemele de

prorgamare liniară sub forma canonică se numeşte dualitate simetrică, iar dacă

problemele nu sunt la una dintre formele canonice, se numeşte dualitate nesimetrică.

Regulile de construire a dualei sunt aceleaşi în ambele tipuri de dualitate.


49

Dualitatea simetrică Fie problema de programare liniară , care are forma canonică:

max f = CT X

A X ≤ b (P)

X ≥ 0

în care (x1,x2,…,xn)T sunt variabilele, C∈Rn, A∈Mm×n(R), b∈Rm. Problema are m restricţii.

Fie vectorul Y= (y1,y2,…,ym)T cu m componente.Vom face să corespundă fiecărei restricţii

a problemei (P) una din componentele lui Y. Astfel, restricţiei 1 îi va corespundă y1,…, în

general restricţiei I îi va corespunde variabila yI . Aceste variabile se numesc variabilele

dualei sau variabile duale.

Definiţia 4.1. Se numeşte duala problemei (P), problema de programare liniară:

min g = YT b YT A ≥ CT (D) Y ≥ 0. Definiţia 4.2. Fie problema de programare liniară min f = CT X A X ≥ b (P1) X ≥ 0 în care X, C ∈ Rn, A ∈Mm×n(R), b∈Rm. Duala problemei (P1) este problema : max g = YT b YT A ≤ CT (D1) Y ≥ 0. unde Y∈ Rm este vectorul variabilelor duale.

Se observă că duala lui (D) este chiar (P) şi duala lui (D1) este (P1).

Dualitatea nesimetrică Definiţia problemei duale în cazul când primala nu este la nici una din formele

canonice se va face cu ajutorul tabelului de mai jos ;

Primala (P) Duala (D)

min (max)

x1,x2,…,xn, n variabile

m restricţii

A matricea sistemului de restricţii

C∈Rn coeficienţii funcţiei de

Eficienţă

B∈Rm vectorul termenilor liberi

max (min)

n restricţii

y1,y2,…,ym - m variabile

AT matricea sistemului de restricţii

b∈Rm coeficienţii funcţiei de

eficienţă

C∈Rn vectorul termenilor liberi

CAMELIA FRIGIOIU

50

Restricţia i concordantă

Restricţia i neconcordantă

Restricţia i egalitate

≥ 0

xj ≤ 0

xj oarecare

yi ≥ 0

yi ≤ 0

yi oarecare

restricţia j concordantă

restricţia j neconcordantă

restricţia j egalitate

Regulile de construire a dualei pentru cazul dualităţii nesimetrice sunt aceleaşi cu

cele pentru dualitatea simetrică, cu excepţia cazurilor când restricţiile nu sunt concordante

şi variabilele nu sunt pozitive.

Exemplu. Duala problemei : min f = 3x1 + 2x2 – x3 +16 x4

x1 - x2 +2 x3 +3x4 ≥ 2

x2 - 2x3 + x4 ≤ 10

3x1 + x2 +2 x3 ≥ 15

x1, x2 ≥ 0 , x3≤ 0, x4 oarecare

este problema cu 4 restricţii şi 3 variabile:

max g = 2y1 + 10y2 +15 y3

y1 + 3y3 ≤ 3

-y1 + y2 + y3 ≤ 2

2y1 - 2y2 +2 y3 ≥ -1

3y1 + y2 = 16

y1, y3 ≥ 0 , y2≤ 0.

§.5. Probleme

1.Un întreprinzător dispune de mijloacele tehnice necesare pentru a fabrica 4 tipuri

de produse,care folosesc două tipuri de materii prime A şi B. Consumurile specifice şi

cheltuielile pe unitatea de produs, sunt în tabelulul de mai jos:

Produse

Materii prime

P1 P2 P3 P4

Disponibil

A 3 2 4 2 300

B 0 1 2 3 80


51

Cheltuieli unitare 5 4 2 4

Dacă îşi propune să producă în total cel puţin 100 unităţi,iar din produsul P3 nu mai

puţin de 20 unităţi, cum trebuie organizată producţia, asfel încât cheltuielile totale să fie

minime?

2.O întreprindere fabrică trei tipuri de produse folosind gaz metan şi

apă.Consumurile specifice, disponibilul de apă şi gaz, precum şi beneficiile nete unitare

sunt date în tabelul de mai jos:

Produse Consumuri specifice

Resurse P1 P2 P3 Disponibil

Apă 2 3 2 40.000 t

Gaz metan 10 50 30 500.000 mc

Beneficiu unitar 10 15 25

a) Cum se organizează producţia, dacă se urmăreşte maximizarea

beneficiului total?

b) Dacă îşi propune acelaşi scop, cu aceleaşi resurse, dar trebuie să

producă cel puţin 3000 unităţi din P1,cum trebuie organizată producţia?

3.În cadrul unei unităţi agricole de producţie pentru a se experimenta 4 culturi s-a

pus la dispoziţia unui grup de cercetători un lot având suprafaţa maximă de 6 ha.

Necesarul de forţă de muncă şi bani pentru realizarea unui hectar din fiecare cultură şi

venitul net sunt date în tabelul de mai jos:

Culturile

Unitatea A B C D Disponibil

Forţă de muncă Om/zi 1 2 3 5 15

Bani investiţi Mii u.m./ha 4 7 5 2 20

Venitul net Mii u.m./ha 2 6 3 4 -

Să se întocmească planul de cultivare astfel încât venitul net total să fie maxim.

4.O întreprindere fabrică trei tipuri de produse P1,P2,P3 , utilizând 4 locuri de muncă

L1,L2,L3,L4 .Necesarul de timp exprimat în ore pentru fabricarea fiecărui produs,

capacităţile de producţie ale celor trei locuri de muncă precum şi preţurile de desfacere ale

produselor sunt trecute în tabelulul de mai jos:

CAMELIA FRIGIOIU

52

Produsele

Locul de muncă

P1 P2 P3 Capacităţile de

Producţie

L1 3 2 1 15

L2 1 0 0 10

L3 0 1 0 5

L4 0 0 1 5

Preţul unitar de desfacere 1 2 3

Să se determine structura optimă a producţiei, ştiind că L1 foloseşte toată

capacitatea de producţie.

5.Din două alimente A1 şi A2 se obţin trei ‘’ principii nutritive’’ N1,N2,N3. Costul unei

unităţi de aliment, cantitatea de principiu nutritiv conţinută într-o unitate de produs şi

necesarul de unităţi din fiecare principiu nutritiv sunt date în tabelul de mai jos:

A1 A2 Necesar

N1 0,3 0,1 0,3

N2 0,4 0,3 0,6

N3 0,1 0,2 0,2

Cost unitar 2 1

Să se determine cantităţile x1,x2 din cele două produse astfel încât preţul dietei să

fie minim.

6.Să se rezolve problemele:

a) min f = 3x1 - 2x2 + x3 b) max f = 3x1 + 2x2 – x3 +16 x4

3x1 + x2 - 2 x3 = 2 3x1+2x2+5x3+4x4≤ 8

4x1 +3x2 +2 x3= 1 x1+x2+2x3+x4 ≤ 4

x1, x2 , x3 ≥ 0 x1, x2 , x3 ,x4 ≥ 0 .

7. O maşină produce trei produse P1,P2,P3.Produsul P1 aduce întreprinderii un venit

de 3 u.m. pe unitatea de produs, P2 de 12 u.m. iar P3 de 4 u.m. Randamentul maşinii este

de 75, 25 şi respectiv 50 bucăţi/oră pentru P1,P2,P3. Vânzările sunt limitate pentru P1 la

1500, pentru P2 la 500 şi pentru P3 la 1000 bucăţi.Ştiind că maşina lucreză săptămânal 45

ore, să se determine repartiţia producţiei, astfel încât beneficiul să fie maxim.


53

8.Să se rezolve următoarele probleme de programare liniară:

a) min f = 4x1 + 8x2 +3x3 b) max f = 10 x1 +15 x2

2x1 + x2 +3x3 ≥ 4 2x1 +4x2 ≤ 40

5x1 + 2x2 +7x3 ≥ 8 6x1 +2x2 ≤ 60

x1, x2,x3 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0

c) max f = 4x1 + x2 +6 x3 d) min f = x1 +3x2 –4x3 - 2x4 -9x5

2x1 +3x2 +x3 ≥ 7 x1 + x3 – x4 – x5 = 3

3x1 + x2 +x3 ≤ 11 x1 +x2 –2x3 - 3x5 = -1

x1, x2, x3 ≥ 0 x1, x2, x3 ,x4, x5 ≥ 0

e) min f = 9x1 + 3x2 +2 x3 f) max f = x1 + 2x2 +3x3 - x4

4x1 + x2 +5 x3 = 7 x1 +2x2 +3x3 =15

3x1 + x2 +4 x3 ≥ 5 2 x1+ x2 + 5x3 =20

x1, x2 , x3 ≥ 0 x1 +2x2 + x3 +x4 =10

g) max f = x1 + 3x2 +6x3 x1, x2 ,x3,x4 ≥ 0.

5x1 +2x2 +3x3 =11

3x1 + x2 +2x3 ≤ 8

x1, x2 , x3 ≥ 0

h) min f = 6x1 + x2

x1 +2 x2 ≥ 3

3x1 + x2 ≥ 4

x1, x2 ≥ 0


54

GEOMETRIE ANALITICĂ

CAPITOLUL 1

VECTORI LIBERI

§ 1. Vectori liberi

Fie E3 spaţiul punctual tridimensional al geometriei elementare şi AB un

segment orientat (fig.1).

Figura 1

Punctul A se numeşte originea, iar punctul B se numeşte extremitatea segmentului

orientat AB . Dreapta determinată de punctele A şi B se numeşte dreapta suport a lui

AB . Această dreaptă este unic determinată dacă A≡/ B. În cazul, în care A ≡ B se obţine

segmentul orientat nul şi dreapta lui suport este nedeterminată.

Două segmente orientate se numesc coliniare (respectiv paralele) dacă

dreptele lor suport coincid (respectiv sunt paralele).

Definiţia 1.1. Două segmente orientate nenule au aceeaşi direcţie dacă dreptele

lor suport sunt paralele sau coincid.

Direcţia unui segment orientat nul este nedeterminată.

Pe o dreaptă se pot stabili două şi numai două sensuri de parcurs (ordini ale

punctelor dreptei) pe care le notăm prin săgeţi (fig.2).

Figura 2

O dreaptă împreună cu un sens de parcurs fixat se numeşte dreaptă orientată.

Un segment orientat nenul, AB , determină unic dreapta AB şi un sens de

parcurs pe această dreaptă – sensul de la A către B.


55

Definiţia 1.2. Două segmente orientate, nenule, coliniare au acelaşi sens dacă

sensurile determinate pe dreapta suport comună coincid. Două segmente orientate

nenule, paralele au acelaşi sens dacă extremităţile lor se află în acelaşi semiplan

determinat de dreapta care uneşte originile segmentelor (fig. 3), în planul dreptelor

suport paralele.

Figura 3

Admitem că sensul unui segment orientat nul este nedeterminat.

Lungimea (norma sau modulul) unui segment orientat AB se defineşte ca fiind

lungimea segmentului neorientat [AB], adică distanţa dintre punctele A şi B şi se

notează AB .

Un segment orientat are lungime zero dacă şi numai dacă el este segmentul nul.

Două segmente neorientate care au aceeaşi lungime se numesc congruente.

Definiţia 1.3. Două segmente orientate ale caror segmente neorientate

corespunzătoare sunt congruente se numesc segmente orientate cu aceeaşi lungime.

Definiţia 1.4. Două segmente orientate, nenule se numesc echipolente dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime.

Dacă AB este echipolent cu CD , atunci vom nota AB ~ CD .

Teorema 1.1. Relaţia de echipolenţă pentru segmente orientate nenule este o relaţie de echivalenţă. Definiţia 1.5. Clasele de echivalenţă ale segmentelor orientate, relativ la relaţia de echipolenţă se numesc vectori liberi. Direcţia, sensul şi lungimea care sunt comune segmentelor orientate ce definesc un vector liber se numesc direcţia, sensul şi lungimea vectorului liber. Vectorii liberi vor fi notaţi cu litere mici şi bară deasupra a , b , c ,… şi vor fi reprezentaţi în desen printr-unul din segmentele orientate care definesc clasa de echivalenţă, numită vector liber. Vectorii liberi se mai pot nota şi prin AB , CD ,… Fiecare segment orientat din clasa numită vector liber este un reprezentant al clasei şi notăm AB ∈ AB . Pentru lungimea (norma) unui vector liber a folosim notaţia ||a ||.


56

Un vector liber de lungime unu se numeşte versor.

Vectorul liber care are lungimea zero se numeşte vector nul, se notează cu θ .

Reprezentanţii vectorului nul sunt segmentele orientate AA cu A ∈ E3.

Vectorii liberi care au aceeaşi direcţie se numesc coliniari. Doi vectori coliniari

care au aceiaşi lungime, dar au sensuri opuse se numesc vectori opuşi. Dacă unul

dintre ei este notat cu a , atunci opusul său este notat (-a ) (fig. 4).

Figura 4

Doi vectori liberi a şi b sunt egali şi se notează a =b , dacă au un reprezentant comun,

adică au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime.

Notăm cu E 3 mulţimea tuturor vectorilor liberi din spaţiul E3.

§ 2. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi E 3

Adunarea vectorilor liberi

Se poate defini pe mulţimea vectorilor liberi E 3 adunarea vectorilor liberi prin regula triunghiului (sau regula paralelogramului). Astfel E 3 va avea împreună cu aceasta o structură de grup aditiv comutativ. Definiţia 2.1. Fie a şi b doi vectori liberi. Fie OA un reprezentant al vectorului a şi AB un reprezentant al vectorului b . Vectorul liber c reprezentat de segmentul orientat OB se numeşte suma vectorilor a şi b şi se notează c = a + b unde OB = OA + AB (fig.5).

Adunarea vectorilor liberi:

+: E 3 x E 3 → E 3 (a , b ) → a + b

este o lege de compoziţie internă, bine definită deoarece vectorul liber c = a + b nu

depinde de alegerea punctului O.

Regula din definiţia 2.1. se numeşte regula triunghiului.


57

Figura 5 Figura 6

Teorema 2.1. Adunarea vectorilor liberi are următoarele proprietăţi:

1) asociativitatea: ∀ a , b , c ∈ E 3, a + (b + c ) = (a + b ) + c ;

2) θ este element neutru: ∀ a ∈ E 3, a + θ = θ + a = a ;

3) opusul lui a este simetricul lui a : ∀ a∈ E 3, a + (-a ) = (-a ) + a = θ ;

4) comutativitatea : ∀ a , b ∈ E 3, a + b = b + a .

De aici, se obţine o nouă regulă pentru determinarea sumei a doi vectori necoliniari,

numită regula paralelogramului. Folosind această regulă, suma a doi vectori a şi b

are ca reprezentant segmentul orientat, care este diagonala paralelogramului construit

cu reprezentanţii celor 2 vectori ca laturi, având originea comună. Aceasta înseamnă că

vectorul sumă este un vector care are direcţia diagonalei, originea reprezentantului

sumei este comună cu cea a reprezentanţilor celor 2 vectori, modulul este egal cu

lungimea diagonalei (fig.6).

Asociativitatea adunării vectorilor liberi permite generalizarea regulei triunghiului

la regula poligonului pentru n ≥ 3 vectori.

Definiţia 2.2. Suma vectorilor 1a , 2a ,... na este vectorul liber al cărui reprezentant

închide poligonul, ale cărei laturi sunt reprezentanţi ai vectorilor termeni, astfel încât

Figura 7


58

extremitatea reprezentantului lui 1a este origine pentru reprezentantul lui 2a , iar

originea lui 3a este extremitatea lui 2a , ş.a.m.d.

Teorema 2.1. arată că (E 3,+) are o structură de grup abelian (comutativ).

Fiind daţi doi vectori a şi b suma dintre vectorul a şi opusul vectorului b se

numeşte vectorul diferenţă al vectorilor a şi b şi se notează c = a - b .

Deci c =a + (- b ).

Figura 8

Dacă OA este reprezentant al lui a şi AC este reprezentantul lui (-b ), atunci

segmentul OC(conform regulei triunghiului) va fi reprezentant al diferenţei c =a -b

(fig.8).

Înmulţirea unui vector cu un scalar

Fie R câmpul numerelor reale şi E 3 grupul aditiv al vectorilor liberi. Definim o lege de compoziţie externă, definită pe R xE 3 cu valori în E 3 numită înmulţirea unui vector liber cu un scalar astfel: pentru orice α∈R şi a∈E 3 vectorul αa este coliniar cu a , adică: 1) dacă a ≠ θ şi α ≠ 0 atunci α·a are aceeaşi direcţie cu a , acelaşi sens pentru α > 0

şi sens contrar dacă α < 0 şi lungimea egală cu |α| ||a ||; 2) Dacă α=0 sau a = θ atunci α·a = θ .

Teorema 2.2. Înmulţirea vectorilor cu scalari are următoarele proprietăţi: 1) ∀ α,β ∈ R , ∀ a ,b ∈ E 3, α·(a + b ) = α· a + α·b (distributivitatea faţă de adunarea vectorilor) 2) ∀α,β∈R, ∀a ∈ E 3, (α+β)·a = α· a + β· a (distributivitatea faţă de adunarea scalarilor)

3) ∀ α,β ∈ R, ∀a ∈ E 3, α· (β· a ) = (αβ)·a

4) ∀ a ∈ E 3, 1·a = a .

Teoremele 2.1 şi 2.2 arată că E 3 împreună cu adunarea vectorilor şi înmulţirea

unui vector cu un scalar este un spaţiu vectorial real.


59

§ 3. Vector de poziţie Alegem în E3 un punct O, numit origine. Oricărui alt punct M din E3 îi corespunde un vector şi numai unul r ∈ E 3 al cărui reprezentant este OM. Reciproc, oricărui vector r îi corespunde un punct şi numai unul M, astfel încât OM să îl reprezinte pe r . Mulţimile E3 şi E 3 sunt în corespondenţă biunivocă, bijecţia fiind unic determinată prin fixarea originii O. Vectorul liber r = OM se numeşte vectorul de poziţie al punctului M faţă de originea O. Cunoscând vectorii de poziţie ai punctelor M1(r 1) şi M2(r 2), obţinem

21MM = OM2 - OM1 = r 2 - r 1 (fig.9).

Figura 9

Între vectorii determinaţi de trei puncte oarecare din spaţiu M1, M2, M3 (fig. 10) avem relaţia evidentă 21MM + 32MM + 13MM = θ . Această relaţie se numeşte relaţia lui Chasles. Vectorul de poziţie al mijlocului M al segmentului 21MM este dat de formula (fig.11):

r = 2

r r 21 +

Într-adevăr OM =OM1 + MM1 = OM1 + 21

2MM1 = r 1 + 2

r - r 12 = 2

r r 21 + .

Figura 10 Figura 11

Aplicaţie. Vectorul de poziţie al centrului de greutate al unui triunghi.

Fie triunghiul M1M2M3 (fig. 12) unde cu M’1, M’2, M’3 am notat mijloacele laturilor

M2M3, M3M1 şi respectiv M1M2. Ştim că dacă M2 şi M3 au vectorii de poziţie r 2 şi r 3 faţă


60

de un pol oarecare (care nu este indicat în figură), atunci M’1 faţă de acest pol va avea

vectorul de poziţie 2

r r 32 + .

Fie G centrul de greutate al triunghiului. El se află pe M1M’1 astfel încât GM1 = 2GM’1 .

Atunci r G - r 1 = 2(2

r r 32 + - r G)

3r G = r 2 + r 3 + r 1 ⇒ r G = 3

r r r 132 ++ .

Deci, centrul de greutate al triunghiului, punctul G are vectorul de poziţie

r G = 3

r r r 321 ++

unde r i (i = 1, 2, 3) sunt vectorii de poziţie ai vârfurilor (fig.12).

Figura 12

§ 4. Coliniaritate şi coplanaritate

Fie E 3 spaţiul vectorial real al vectorilor liberi. Oricărui vector a de lungime ||a ||

> 0, i se asociază un vector a 0 = ||a||

1 a , numit versorul lui a .

Versorul lui a are aceeaşi direcţie şi sens cu a dar are lungimea egală cu 1. Putem scrie a = || a ||a 0.

Teorema 4.1. Fie a , b∈E 3. Dacă a şi b sunt coliniari şi a ≠ θ , atunci există un număr real t unic astfel încât b = ta . Propoziţia 4.1. Mulţimea V1={b ∈ E 3| ∃t∈R b =ta ; a ≠ θ } a tuturor vectorilor

coliniari cu un vector nenul a , este un subspaţiu vectorial unidimensional al lui E 3.

Intr-adevăr V1 este subspaţiul generat de vectorul nenul a şi are dimensiunea 1.


61

Observaţia 4.1. Coliniaritatea a doi vectori liberi este echivalentă cu dependenţa

liniară a acestora. De aceea oricare doi vectori liberi, nenuli, necoliniari sunt liniari

independenţi.

Definiţia 4.1. Fie a , b , c trei vectori nenuli, distincţi din E 3. Ei se numesc

coplanari, dacă segmentele orientate care îi reprezintă sunt paralele cu un plan dat.

Teorema 4.2. Vectorii nenuli a , b , c sunt coplanari dacă şi numai dacă ei sunt

liniar dependenţi.

Consecinţă. Mulţimea V2={c ∈E 3 |∃ r,s ∈ R, c =ra +sb , a θ≠ , θ≠b necoliniari}

a tuturor vectorilor coplanari cu doi vectori necoliniari a şi b este un subspaţiu vectorial

al lui E 3 bidimensional.

Într-adevăr a ,b fiind necoliniari formează o mulţime de vectori liniar

independenţi care generează pe V2.

Observaţia 4.2. Liniar dependenţa a trei vectori liberi, nenuli, fiind echivalentă cu

coplanaritatea acestora, rezultă că orice trei vectori liberi, nenuli, necoplanari sunt liniar

independenţi.

Teorema 4.3. Spaţiul vectorial E 3 are dimensiunea 3.

Demonstraţie. În E 3 există trei vectori liniar independenţi şi anume oricare trei

vectori necoplanari a , b , c . Arătăm că aceştia generează pe E 3. Fie d un al patrulea

vector şi OA , OB ,OC,OD reprezentanţii vectorilor a , b , c , d (fig. 13).

Se observă că OD = OD 1 + OD 2 + OD 3 = rOA + sOB + tOC şi deci

d = ra + sb + t c . g


62

Dacă {a , b , c } este o bază fixată în E 3 şi r, s, t sunt coordonatele lui d în raport

cu această bază, atunci vom notad = (r,s,t). În acest context pentru vectorii d i = (ri,si,ti)

i = 1,2,3, avem:

1) d 1= d 2 ⇔ r1 = r2, s1= s2, t1= t2;

2) d 1 + d 2 = (r1 + r2, s1 + s2, t1 + t2);

3) kd 1 = (kr1,ks1,kt1), k∈R;

4) d 1 este coliniar cu d 2 dacă şi numai dacă coordonatele lor sunt proporţionale;

5) vectorii d 1, d 2, d 3 sunt coplanari dacă şi numai dacă coordonatele unuia dintre ei

sunt combinaţii liniare ale coordonatelor celorlalţi doi:

r3 =αr1+βr2, s3 = αs1+βs2; t3 =αt1+βt2, R∈βα, .

§ 5. Proiecţie ortogonală

Fie dreapta Δ şi un punct M, exterior dreptei Δ (fig. 14). Dacă prin punctul M

construim planul PM perpendicular pe Δ, acest plan va întâlni dreapta Δ în punctul M’.

Punctul M’ se numeşte proiecţia ortogonală a punctului M pe dreapta Δ. Planul PM se

numeşte planul proiectant.

Figura 14

Fie a un vector liber, nenul şi un reprezentant al său AB , iar Δ1 este o dreaptă.

Prin A şi B construim planele proiectante pe dreapta Δ1, notate cu PA şi PB (fig.15).

Notăm cu {A’} = Δ1 ∩ PA, {B’} = Δ1 ∩ PB.

Teorema 5.1. Vectorul liber B'A' nu depinde de segmentul orientat AB care

este reprezentantul vectorului a .


63

Definiţia 5.1. Vectorul liber B'A' se numeşte proiecţia ortogonală a vectorului

a pe dreapta Δ1 şi se notează π1Δ(a ).

Figura 15

Teorema 5.2. Dacă Δ1 şi Δ2 sunt drepte paralele, a un vector liber, atunci

1Δ

π (a ) = 2Δπ (a ).

Notăm cu u un vector liber nenul şi u 0 versorul său, adică u = ||u ||u 0,

||u 0|| = 1. Pentru orice a , vectorul uπ (a ) numit proiecţia vectorului a pe vectorul u

este coliniar cu u 0 şi există un număr real apru astfel încât (fig. 16):

uπ (a ) = ( apru )u 0.

Figura 16

Definiţia 5.2. Numărul real apru definit prin relaţia precedentă se numeşte

mărimea algebrică a proiecţiei ortogonale uπ (a ).

Definiţia 5.3. Fie a , b ∈E 3 \{θ } şi OA , OB segmente orientate care sunt

reprezentanţii lui a respectiv b . Unghiul ϕ ∈ [0,π] determinat de OA şi OB se numeşte

unghiul dintre vectorii a şi b . Definiţia nu depinde de punctul O.

Dacă cel puţin unul din vectorii liberi este θ , unghiul dintre a şi b este nedeterminat.

Vectorii a şi b se numesc ortogonali dacă unghiul dintre ei este 2π .


64

Prin convenţie, θ este ortogonal pe orice vector.

Putem exprima numărul apru în funcţie de || a || şi unghiul ϕ dintre a şi u (fig.17).

apru

= ||a ||cosϕ

Figura 17

Observaţia 5.1. Proiecţia unui vector nenul a pe un alt vector u are următoarele proprietăţi

uπ (a + b ) = uπ (a ) + uπ (b ), ∀u ,a , b∈E 3;

uπ (λa ) = λ uπ (a ), ∀ λ ∈ R, ∀ a ∈ E 3.

§ 6. Produs scalar

Proiecţia unui vector pe o dreaptă se întâlneşte foarte des în descrierea din

punct de vedere cantitativ a unor fenomene fizice. De exemplu, lucrul mecanic al unei

forţe F , al cărui punct de aplicaţie a făcut o deplasare, dată de vectorul AB , este egal

cu produsul dintre lungimea deplasării (modulul vectorului AB ) şi proiecţia ortogonală

a forţei F pe dreapta definită de vectorul AB .

L = || AB || ||F ||cosϕ = || AB || ABpr (F ).

S-a definit o operaţie cu vectori care să pună în evidenţă proiecţia unui vector

pe alt vector. Această operaţie este produsul scalar a doi vectori.

Fie E 3 spaţiul vectorilor liberi şi a , b ∈ E 3. Pentru a ≠ θ şi b ≠θ , notăm cu

ϕ ∈ [0,π] unghiul dintre a şi b .

Definiţia 6.1. Funcţia <,>: E 3 x E 3 → R definită prin

||a || ||b ||cos ϕ pentru a ≠ θ şi b ≠θ

0 pentru a = θ sau/şi b =θ

se numeşte produs scalar al vectorilor liberi. Produsul scalar a doi vectori se poate nota

a ·b sau (a , b ).

Teorema 6.1. Produsul scalar al vectorilor liberi are următoarele proprietăţi: 1) a ·b = b ·a , ∀ a , b ∈ E 3 (este comutativ); 2) a · (b + c ) = a ·b + a · c , ∀a , b ,c ∈ E 3 (distributiv faţă de adunarea vectorială);

<a , b > =


65

3) (αa ) · b = α( a ·b ), ∀ α ∈ R, ∀a , b ∈ E 3 (omogen); 4) a ·a ≥ 0, ∀a∈ E 3 şi a · a = 0 ⇔a = θ ; 5) a ·b = ||a || )b(pra = ||b || )a(prb , ∀a , b ∈ E 3 ;

6) produsul scalar a doi vectori nenuli a şi b este egal cu zero, dacă şi numai dacă cei doi vectori sunt perpendiculari.

Observaţia 6.1. Teorema 6.1 arată că E 3 împreună cu produsul scalar definit

mai sus este un spaţiu vectorial euclidian.

O bază în E 3 formată din versori ortogonali (perpendiculari) se numeşte bază

ortonormată şi se notează cu { i , j ,k }.

Coordonatele unui vector liber în raport cu baza ortonormată { i , j ,k } se numesc

coordonate euclidiene.

Pentru baza ortonormată { i , j ,k } obţinem tabela operaţiei de produs scalar

· i j k

i 1 0 0

j 0 1 0

k 0 0 1

Fie a , b ∈ E 3. În baza ortonormată { i , j ,k }, aceşti vectori se vor scrie a = a1 i + a2 j + a3k şi b = b1 i + b2 j + b3k , ai , bj ∈R, i,j=1,2,3.

Produsul scalar al acestor doi vectori este: a ·b = (a1 i + a2 j + a3k ) · (b1 i + b2 j + b3k ) = a1b1 i 2 + a1b2 i · j + a1b3 i ·k +

+ a2b1 j · i + a2b2 j 2 + a2b3 j ·k + a3b1k · i + a3b2k · j + a3b3k 2.

Folosind tabela produsului scalar de mai sus, vom obţine regula de calcul a

produsului scalar a 2 vectori exprimaţi in baza ortonormată { i , j ,k }:

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3.

În particular, se obţine a · i = a1; a · j = a2; a ·k = a3 şi astfel coordonatele

euclidiene ale unui vector a sunt de fapt mărimile algebrice ale proiecţiile ortogonale

ale lui a pe vectorii bazei ortonormate { i , j ,k }.

Dacă se cunosc coordonatele euclidiene ale unui vector a , atunci norma sa este

a = ||a || = a a ⋅ = 23

22

21 a a a ++ .


66

De asemenea, unghiul a doi vectori nenuli a şi b este dat de

cosϕ = 23

22

21

23

22

21

332211

b b b a a aba ba ba

||b|| ||a||b a

++++

++=

⋅ , ϕ ∈ [0,π].

§ 7. Produs vectorial

Fie E 3 spaţiul vectorilor liberi şi a , b ∈ E 3. Pentru a ≠ θ şi b ≠ θ notăm cu ϕ ∈ [0,π] unghiul dintre a şi b . Definiţia 7.1. Vectorul

||a || ||b ||sinϕe pentru a , b necoliniari a x b =

θ pentru a , b coliniari unde e este un versor perpendicular pe a şi b şi cu sensul ales astfel încât un observator situat pe sensul lui a x b să vadă vectorul a rotindu-se în sens direct, pentru a se suprapune peste b , cu un unghi mai mic de 180°, pe drumul cel mai scurt, se numeşte produsul vectorial dintre a şi b (fig. 19).

Figura 19 Teorema 7.1. Produsul vectorial a doi vectori are proprietăţile: 1) a x b = - b x a , ∀a , b ∈ E 3 (anticomutativitate), 2) α(a x b ) = (αa ) x b = a x (αb ), ∀α ∈ R ∀a ,b∈E 3, 3) a x (b + c ) = a x b + a x c , ∀a , b ,c ∈ E 3; 4) a x θ = θ ; a x a = θ , ∀a∈ E 3; 5) ||a x b ||2 = ||a ||2 ||b ||2 – (a · b )2 (identitatea Lagrange); 6) produsul vectorial a doi vectori nenuli este nul dacă şi numai dacă vectorii sunt coliniari (sau paraleli); 7) norma produsului vectorial a 2 vectori necoliniari ||a xb || reprezintă aria paralelogramului construit pe reprezentanţii OA şi OB ai acestor vectori (fig. 19).

Produsul vectorial este o aplicaţie biliniară definită pe E 3 x E 3 cu valori în E 3.


67

În raport cu baza ortonormată { i , j ,k }, vectorii a şi b admit descompunerea

a =a1 i +a2 j +a3k , b =b1 i +b2 j +b3k . Folosind definiţia produsului vectorial şi proprietăţile

lui, obţinem tabelul

x i j k i θ k - j j -k θ i k j - i θ

care conduce la regula de calcul a produsului vectorial

a x b = (a2b3 – a3b2) i + (a3b1 – a1b3) j + (a1b2 – a2b1)k

sau formal

i j k a x b = a1 a2 a3

b1 b2 b3

§ 8. Produs mixt

Definiţia 8.1. Fiind daţi vectorii liberi a , b , c , numărul a ·(b x c ) se numeşte

produsul mixt al acestor vectori.

Dacă a , b , c sunt necoplanari, atunci modulul produsului mixt reprezintă

volumul paralelipipedului ce se poate construi pe reprezentanţii cu origine comună ai

celor trei vectori (fig. 20).

Figura 20

Într-adevăr V=Sh unde S este aria paralelogramului construit pe vectorii b şi c ,

iar h este înălţimea paralelipipedului relativă la această bază. Ştim că S = ||b x c ||, iar

h = apr cxb = || a ||cosϕ, ϕ este unghiul dintre vectorii a şi b x c .


68

Atunci a ·(b x c ) = a ·d = ||a || || d ||cosϕ = aprd ||b x c || = ± V.

Produsul mixt a trei vectori a ·(b x c ) se mai notează (a , b , c ).

Teorema 8.1. Produsul mixt a trei vectori are următoarele proprietăţi: 1) a ·(b x c ) = b ·( c x a ) = c ·(a x b ), ∀a , b , c ∈ E 3; 2) a ·(b x c ) = - a ·(c x b ), ∀a , b , c ∈ E 3; 3) αa ·(b x c ) = a ·(αb x c ) = a ·(b x αc ), ∀α ∈ R, ∀a , b , c ∈ E 3; 4) (a 1 +a 2) · (b x c ) = a 1· (b x c ) + a 2 · (b x c ), ∀ 1a , 2a , b , c ∈E 3;

5) (a x b )·(c x d ) = dbcbdaca⋅⋅⋅⋅ (identitatea Lagrange)

6) a ·(b x c ) = 0 dacă şi numai dacă are loc una din afirmaţiile: i) cel puţin unul dintre vectorii a , b , c este nul ii) doi dintre vectori sunt coliniari iii) vectorii a , b , c sunt coplanari.

Dacă vectorii sunt a =a1 i +a2 j +a3k , b =b1 i +b2 j +b3k , c =c1 i +c2 j +c3k , atunci în

coordonate, produsul mixt se scrie

a1 a2 a3

(a , b , c ) = b1 b2 b3

c1 c2 c3

Proprietăţile produsului mixt se pot demonstra şi cu ajutorul proprietăţilor determinanţilor. Definiţia 8.2. Baza vectorială {a , b , c } se numeşte orientată pozitiv (negativ)

dacă produsul mixt (a , b , c ) este pozitiv (negativ).

Baza ortonormată { i , j ,k } este orientată pozitiv.

Pe lângă produsul mixt a trei vectori vom considera şi alte produse multiple de vectori.

1. Dublul produs vectorial a trei vectori

d = (a x b ) x c , care are ca regula de calcul

(a x b ) x c = (a ·c )b - (b ·c )a . 2) Produsul vectorial a patru vectori adică produsul vectorial a două produse vectoriale (a x b ) x (c x d ). Notăm c x d = e .

(a x b ) x ( c x d ) = (a x b ) x e = (a · e )b - (b · e )a = = [a · ( c x d )]b - [b x ( c x d )]a = (a ,c ,d )b - (b ,c , d )a . Deci (a x b ) x ( c x d ) = (a ,c ,d )b - (b ,c ,d )a este o formulă de calcul a produsului vectorial a patru vectori.


69

CAPITOLUL 2

PLANUL ŞI DREAPTA

§ 1. Repere şi sisteme de coordonate

1. Reper cartezian

Este cunoscut faptul că spaţiile E3 şi E 3 sunt în corespondenţă biunivocă, bijecţia

fiind unic determinată prin fixarea originii; spaţiile E 3 şi R3 sunt izomorfe, izomorfismul

fiind unic determinat prin fixarea bazelor în cele două spaţii.

În ipoteza că am fixat un punct origine în E3 şi o bază ortonormată { i , j ,k } în E 3,

fiecărui punct M din E3 îi corespunde în mod unic un vector r =OM, numit vector de

poziţie al punctului M; acestuia îi corespunde în mod unic tripletul ordonat de numere

reale (x,y,z)∈R3.

Vom nota OM = x i + y j + zk .

Definiţia 1.1. Ansamblul format din punctul fixat O şi baza ortonormată { i , j ,k } a

lui E 3 se numeşte reper cartezian în E 3 şi se noteaza R={O;i , j ,k }. Punctul O se

numeşte originea reperului, iar { i , j ,k } se numeşte baza reperului.

Definiţia 1.2. Coordonatele (x,y,z) ale vectorului de poziţie r =OM se numesc

coordonate carteziene ale punctului M faţă de reperul ortonormat {O, i , j ,k }.

x = r · i = rpr i se numeşte abscisa punctului M;

y = r · j = rpr j se numeşte ordonata punctului M;

z = r ·k = rprk se numeşte cota punctului M. (fig.1)


70

M

M2

O

M’ M1

Figura 1.

Notăm M(x,y,z).

Definiţia 1.3. Bijecţia dintre E3 şi R3, prin care fiecărui punct din spaţiu M∈E3 i se

asociază coordonatele sale carteziene se numeşte sistem de coordonate cartezian.

Observaţia 1.1. Folosind cele două bijecţii precizate mai sus, putem identifica E3

cu E 3 şi cu R3.

Versorilor i , j ,k le ataşăm axele de coordonate Ox, Oy, Oz care au acelaşi sens

pozitiv cu sensul acestor versori. Coordonatele carteziene ale punctului M reprezintă

mărimile algebrice ale proiecţiilor ortogonale ale vectorului OM pe cele trei axe de

coordonate (fig.1). Cele trei axe determină trei plane xOy, yOz, zOx numite plane de coordonate.

Reperul cartezian se mai poate nota Oxyz.

2. Coordonate polare în plan În plan considerăm reperul cartezian xOy. Orice punct M din plan este bine

determinat de coordonatele sale carteziene (x,y). Poziţia unui punct M din plan, M≡/ O,

mai poate fi caracterizată şi prin coordonatele polare (ρ,θ).

Definiţia 1.4. Ansamblu format dintr-un punct fix O numit pol şi o axă Ox numită

axa polară (fig. 2) se numeşte reper polar în plan.

Coordonata notată cu ρ este distanţa de la pol la punctul considerat M;

coordonata notată cu θ, este mărimea unghiului pe care-l face direcţia pozitivă a axei

polare cu semidreapta OM.

Între coordonatele polare (ρ,θ) şi coordonatele carteziene (x,y) ale punctului M

există relaţiile: x = ρcosθ , y = ρsinθ, (ρ,θ)∈(0,∞) x [0,2π).


71

Figura 2

ρ=d(O,M) se numeşte rază polară; ρ > 0; iar θ = măs(Ox,OM), care se numeşte unghi

polar. Funcţia care asociază fiecărui punct din plan, diferit de origine, perechea (ρ,θ)

este o bijecţie între punctele planului, cu excepţia originii şi (0,∞) x [0,2π).

3. Coordonate cilindrice (semipolare)

Fie R= {O; i , j ,k } reper cartezian în E3. Orice punct M∈E3 este unic determinat

de coordonatele sale carteziene (x,y,z).

Notăm *3E = E3 \ axa Oz.

Poziţia unui punct M∈ *3E poate fi caracterizată prin tripletul ordonat (ρ,θ,z) unde

ρ este distanţa de la origine la proiecţia M’ a punctului M în planul xOy, θ este măsura

unghiul dintre semidreptele Ox şi OM (fig. 3).

Definiţia 1.5. Numerele ρ,θ,z asociate în mod unic punctului M se numesc

coordonate cilindrice ale punctului M.

Între coordonatele cilindrice şi coordonatele carteziene ale unui punct M∈E3 există relaţiile

x = ρcosθ y = ρsinθ

z = z, unde 0 ≤ ρ < ∞; 0≤ θ < 2π, z ∈ R.

4. Coordonate sferice

Uneori poziţia unui punct M∈ *3E este caracterizată cu ajutorul unui alt triplet

ordonat de numere (r,θ,ϕ), unde r reprezintă distanţa d(O,M), θ este masura unghiului

dintre semidreptele Ox şi OM’, iar ϕ este masura unghiului dintre semidreptele Oz şi

OM (fig. 4).


72

Definiţia 1.6. Numerele (r,ϕ,θ) se numesc coordonatele sferice ale lui M sau

coordonatele polare în spaţiu.

Între coordonatele sferice şi cele carteziene ale punctului M există relaţiile

x = rsinϕcosθ

y = rsinϕsinθ

z = rcosϕ, unde r ∈ (0,∞); θ ∈ [0, π); ϕ ∈ [0,2π).

Figura 4

ϕ se numeşte azimut, θ -distanţă zenitală şi r -distanţă polară.

§ 3. Planul Un plan în spaţiu este determinat de diverse condiţii geometrice cum ar fi: trei

puncte necoliniare, două drepte concurente, două drepte paralele, o dreaptă şi un punct

exterior dreptei, un punct şi un vector normal pe plan.

Vom stabili ecuaţia planului sub formă vectorială sau carteziană, impunând

anumite condiţii geometrice care determină planul. Vom observa ca indiferent de

condiţiile geometrice care determină un plan, ecuaţia carteziană a acestuia este mereu

o ecuaţie liniară in x, y si z.

1) Ecuaţia planului care trece printr-un punct dat şi este perpendicular pe un vector nenul.

Fie reperul cartezian R{O; i , j ,k }, M0(r 0) un punct dat şi N(A,B,C)≠θ un

vector dat. Există un singur plan care trece prin M0 şi care este perpendicular pe

vectorul N. (fig. 8)


73

Z

N

M0 Figura 8

M

O y

P

Un punct M∈P dacă şi numai dacă MM0 ⊥ N. De aceea, putem spune ca planul P este

mulţimea tuturor punctelor din spaţiu cu proprietatea că MM0 ⊥ N, adică:

P = {M ∈ E3 | MM0 ·N = 0}

Dacă r = x i + y j + zk este vectorul de poziţie al unui punct oarecare, M, din

planul P, atunci MM0 = r - r 0 şi obţinem ecuaţia vectorială generală a planului

P: ( r - 0r ) N⋅ = 0. (3.1)

Notăm 0r ·N = α şi obţinem o ecuaţie echivalentă cu (3.1)

P: ⋅r N = α. (3.2)

Vectorul nenul N se numeşte vectorul normal al planului, punctul M care poate

genera planul se numeşte punct curent.

Dacă M0(x0,y0,z0), M(x,y,z) şi N(A,B,C), atunci:

MM0 = (x - x0) i + (y - y0) j + (z - z0)k ;

condiţia de ortogonalitate a vectorilor MM0 şi N scrisă în coordonate este

P: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (3.3)

Ecuaţia (3.3) se numeşte ecuaţia carteziană a planului ce trece prin M0 şi este

perpendicular pe vectorul N. Dacă prelucrăm membrul stâng al ecuaţiei (3.3) şi notăm

cu D = Ax0 – By0 – Cz0, obţinem

P: Ax + By + Cz + D = 0. (3.4)

Ecuaţia (3.4) se numeşte ecuaţia carteziană generală a unui plan.


74

Plane particulare. 1) Planul xOy are ecuaţia z=0 şi vectorul lui normal este

k (0,0,1), ecuaţia planului yOz este x=0 şi are vectorul normal i (1,0,0). Ecuaţia planului

xOz este y = 0, vector normal pe acest plan fiind j (0,1,0).

2) Ecuaţiile planelor care trec prin axele de coordonate Ox, Oy, Oz sunt respectiv

By + Cz = 0; Ax + Cz = 0 şi Ax + By = 0.

3) Ecuaţia unui planul oarecare care trece prin origine este Ax + By + Cz = 0.

2) Ecuaţia planului ce trece printr-un punct M0 dat şi este paralel cu doi

vectori a , b necoliniari.

Fie a (a1,a2,a3) şi b (b1,b2,b3) doi vectori necoliniari (a xb ≠ θ ) şi un punct

cunoscut M0( r 0). Cele trei elemente M0,a ,b determină un plan unic P (fig 9).

a

b

M1 M

P M0 M2

Figura 9

Ecuaţia vectorială a planului determinat de punctul M0( 0r ) şi vectorii necoliniari

a , b este

( r - r 0)·(a x b ) = 0. (3.5)

Ecuaţia (3.5) scrisă în coordonate carteziene, pentru a , b şi M0(x0,y0,z0) daţi este:

P: 0

321

321

000

=−−−

bbbaaa

zzyyxx (3.6)

P: r = r 0 + sa + tb , s,t ∈ R. (3.7)

este ecuaţia vectorială parametrică a planului P.

Ecuaţia (3.7) scrisă în coordonate carteziene este echivalentă cu x = x0 + sa1 + tb1 y = y0 + sa2 + tb2, s,t ∈ R z = z0 + sa3 + tb3


75

care se numesc ecuaţiile parametrice ale planului P; s,t∈R se numesc parametrii ai

planului.

3) Ecuaţia planului determinat de două puncte şi un vector necoliniar cu vectorul determinat de cele două puncte.

Fie M1(r 1= x1 i + y1 j + z1k ), M2(r 2=x2 i + y2 j + z2k ) două puncte cunoscute şi

a (a1,a2,a3) un vector necoliniar cu vectorul determinat de cele două puncte. Cele trei

elemente M1, M2, a determină un plan unic, notat cu P.

Ecuaţia vectorială a planului P este

P: ( r - r 1, r 2 - r 1, a ) = 0 (3.9)

care, scrisă în coordonate carteziene, este echivalentă cu:

P: 0

321

121212

111

=−−−−−−

aaazzyyxxzzyyxx

(3.10)

4) Ecuaţia planului determinat de trei puncte necoliniare. Pentru a stabili ecuaţia planului determinat de trei puncte necoliniare Mi(xi,yi, zi),

(i = 1,2,3), putem proceda astfel:

a) Fie M, un punct care poate genera planul P, al cărui vector de poziţie este

OM=r = x i + y j + zk . Obţinem ecuaţia vectorială a planului P impunând condiţia de

coplanaritate a vectorilor MM1 , MM1 2, MM1 3 (fig. 12), adică

MM1 · ( MM1 2 x MM1 3) = 0.

Dacă Mi( r i), r i = xi i + yi j + zik (i =1,3 ) relaţia de mai sus este echivalentă cu

ecuaţia vectorială

P: ( r - r 1) · [( r 2 - r 1) x ( r 3 - r 1)] = 0 (3.11)

(3.11) este ecuaţia vectorială a planului determinat de punctele date Mi, (i = 3,1 )

puncte necoliniare.

Ecuaţia (3.11) scrisă în coordonate este

P: 0

131313

121212

111

=−−−−−−−−−

zzyyxxzzyyxxzzyyxx

(3.12)

Am obţinut ecuaţia carteziană a planului determinat de trei puncte necoliniare.

b) sau folosind ecuaţia generală a unui plan


76

Ax + By + Cz + D = 0

şi ecuaţiile obţinute prin înlocuirea coordonatelor punctelor M1, M2, M3 în această

ecuaţie: Axi + Byi + Czi + D = 0, i = 1,2,3

(folosim faptul că un punct aparţine unui plan dacă şi numai dacă coordonatele

punctului verifică ecuaţia planului).

Figura 11 Figura 12

Se obţine un sistem liniar omogen cu necunoscutele A,B,C,D, cu soluţii nebanale

(A,B,C nu se pot anula simultan). Condiţia care asigură acest fapt este ca determinantul

matricei acestui sistem să fie zero, adică:

0

1111

333

222

111 =

zyxzyxzyxzyx

(3.13)

şi dezvoltând acest determinant se obţine ecuaţia carteziană a planului P.

Ca un caz particular putem găsi ecuaţia planului prin tăieturi (fig. 11).

Determinarea ecuaţiei unui plan atunci când cunoaştem punctele de intersecţie

cu axele de coordonate ale acestuia, se poate obţine înlocuind coordonatele acestor

puncte A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) în ecuaţia (3.13); se obţine:

P:cz

by

ax

++ = 1. (3.14)

Observaţia 3.1. 1) Toate ecuaţiile carteziene pentru un plan sunt echivalente cu

ecuaţia generală a planului

Ax + By + Cz + D = 0.


77

2) Coeficienţii lui x,y,z din ecuaţia carteziană a unui plan reprezintă coordonatele

vectorului normal N.

3) Ecuaţia carteziană (3.13) a planului determinat de punctele Mi, i =1,2,3 ne

ajută să stabilim condiţia de coplanaritate a 4 puncte în spaţiu.

Orice plan împarte spaţiul în două regiuni (semispaţii). Două puncte sunt în

acelaşi semispaţiu dacă segmentul care uneşte punctele nu intersectează planul şi sunt

în semispaţii opuse dacă îl intersectează.

Fie un plan P dat prin ecuaţia carteziană

P: Ax + By + Cz + D = 0.

Notăm cu: f(x,y,z)=Ax+By+Cz+D.

În punctele M(x,y,z) ale planului P, f(x,y,z)=0; iar în cele două semispaţii

determinate de el şi notate cu I şi II, au loc relaţiile:

I = {M(x,y,z) | f(x,y,z) ≤ 0}

II = {M(x,y,z) | f(x,y,z) ≥ 0}

I ∩ II = P şi I ∪ II = E3.

§ 4. Dreapta în spaţiu

Vom stabili ecuaţia dreptei sub formă vectorială şi carteziană, impunând

condiţiile geometrice care o determină.

1) Ecuaţia dreptei determinată de un punct şi un vector nenul.

Fie punctul dat M0(x0,y0,z0), al cărui vector de poziţie este r 0 = x0 i + y0 j + z0k şi

a (ℓ,m,n) un vector nenul, din E 3. Există o singură dreaptă d care trece prin M0 şi are

direcţia lui a (fig. 13).

Un punct M(x,y,z) aparţine dreptei d determinată de M0 şi a dacă şi numai dacă

vectorii MM0 şi a sunt coliniari, adică:

( r - r 0) x a = θ . (4.1)


78

Figura 13

Ecuaţia (4.1) se numeşte ecuaţia vectorială a dreptei definită de un punct şi un

vector nenul.

Vectorul a (ℓ,m,n) ≠ θ care dă direcţia dreptei d se numeşte vector director, iar

coordonatele sale ℓ,m,n se numesc parametrii directori ai dreptei.

Făcând notaţia r 0 x a = b obţinem o altă formă a ecuaţiei (4.1)

d: r x a = b . (4.2)

Coliniaritatea vectorilor r - r 0 şi a se poate pune în evidenţă prin relaţia

r - r 0 = ta , t ∈ R. (4.3)

(4.3) se numeşte ecuaţia vectorială parametrică a dreptei d.

Scriind ecuaţia (4.3) în coordonate carteziene, se obţin alte 3 ecuaţii:

x = x0 + ℓ t

y = y0 + mt, t ∈ R (4.4)

z = z0 + nt

numite ecuaţiile carteziene parametrice ale dreptei d.

Eliminând parametrul t din ecuaţiile (4.4), se obţin:

d:nz - z

m y-y x-x 000 ==

l (4.5)

ecuaţiile canonice ale dreptei d.

Observaţia 4.2. Se face convenţia: dacă în ecuaţiile canonice ale unei drepte un

numitor este zero, atunci numărătorul corespunzător se consideră tot zero.

2) Ecuaţia dreptei determinată de două puncte.


79

Două puncte distincte M1(r 1=x1 i +y1 j +z1k ) şi M2(r 2 =x2 i + y2 j +z2k ) determină o

singură dreaptă d. Vom considera dreapta ca fiind determinată de punctul M1 şi de

vectorul director a , reprezentat de MM1 2 (figura 14).

Figura 14 Figura 15

Atunci a = MM1 2 = r 2 - r 1 şi obţinem astfel ecuaţiile vectoriale ale dreptei

d: ( r - r 1) x ( r 2 - r 1) = θ (4.6)

sau d: r = r 1 + t( r 2 – r 1), t ∈ R (4.7)

care se pot scrie în coordonate carteziene, sub forma:

x = x1 + t(x2 – x1)

y = y1 + t(y2 – y1), t ∈ R (4.8)

z = z1 + t(z2 – z1)

sau ecuaţiile carteziene canonice

d:12

1

12

1

12

1

z - zz - z

y- y y-y

x- x x-x

== . (4.9)

3) Ecuaţiile dreptei determinată de intersecţia a două plane.

Fie planele P1 şi P2 care nu sunt paralele sau confundate. Intersecţia P1∩P2

este o dreaptă (fig. 15), pe care o notăm cu D.

Dacă planele P1 şi P2 sunt reprezentate prin:

P1: r ·N1 = α1, P2: r ·N2 = α2

unde N1 = (A1,B1,C1) şi N2 = (A2,B2,C2), dreapta D va avea ecuaţiile vectoriale:

⎩⎨⎧

=⋅=⋅

22

11

r r :

αα

NND .


80

Vectorul director a , al acestei drepte este perpendicular atât pe N1 cât şi pe N2

(deoarece d ⊂ P1 şi d ⊂ P2) şi deci a ⎢⎢N1 x N2.

Dacă planele sunt date prin ecuaţiile lor carteziene

P1: A1x + B1y + C1z + D1= 0 şi P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0

ecuaţiile carteziene ale dreptei D sunt

A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A1 B1 C1 D: cu rang = 2

A2x + B2y + C2z + D2 = 0 A2 B2 C2

Condiţia ca planele P1 şi P2 să se întâlnească este:

N 1 x N2 ≠ θ ⇔ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

222

111

CBACBA

rang = 2.

Sistemul de ecuaţii liniare prin care este reprezentată D este simplu

nedeterminat (rangul matricii este 2 şi numărul de necunoscute 3); sistemul admite o

infinitate de soluţii care sunt tocmai coordonatele punctelor care alcătuiesc dreapta D.

Parametrii directori ℓ, m, n (coordonatele vectorului director) ai dreptei D sunt

22

11

22

11

22

11

BABA

n , ACAC

m , CBCB

===l .

Pentru a afla coordonatele unui punct aflat pe dreapta D, reprezentată ca

intersecţia a 2 plane, se rezolvă sistemul de ecuaţii liniare format cu ecuaţiile carteziene

ale celor 2 plane care determină dreapta; una dintre coordonatele carteziene x, y, z va

fi secundară şi ea poate avea o valoare oarecare particulară; apoi se determină

celelalte coordonate ale punctului căutat.

§ 5. Probleme asupra dreptei şi planului in spaţiu

1) Distanţa de la un punct la un plan.

Fie planul P:r ·N = α şi un punct M1(r 1)∉P. Notăm cu M0 proiecţia ortogonală a

punctului M1 pe planul P (fig. 13). Vectorul de poziţie al punctului M1 este r 1 = x1 i + y1 j +

+ z1k şi cel al punctului M0 este r 0 = x0 i + y0 j + z0k .

Vom determina distanţa de la punctul M1 la planul P, care este egală cu

lungimea || MM0 1|| şi se notează d(M1,P).


81

Folosind produsul scalar al vectorilor MM0 1 şi N obţinem

MM0 1 · N = || MM0 1|| · ||N||cos ϕ unde ϕ ∈ {0;π}.

Figura 16

Aşadar MM0 1 · N = ±|| MM0 1||⋅||N ||.

Atunci d(M1,P) =||N||

|N MM| 10 ⋅ =

||N|||N )r - r(| 01 ⋅ .

Deoarece M0 ∈ P, atunci r 0 · N = α şi rezultă că:

d(M1,P) = ||N||

| - N r| 1 α⋅ .

Dacă planul P: Ax + By + Cz + D=0 şi M1(x1,y1,z1) obţinem formula:

d(M1,P) = 222111

CBA

|D Cz By Ax|

++

+++ .

2) Distanţa de la un punct la o dreaptă.

Fie dreapta D: r x a = b (b⊥a ) şi fie A(r 1) un punct exterior dreptei. Notăm cu

A’ proiecţia ortogonală a punctului A pe dreapta D (figura 17).

Lungimea || 'AA || este distanţa de la punctul A la dreapta D şi se notează d(A,D).

Dreapta D conţine punctul M0(r 0) şi dacă folosim formula care dă aria

paralelogramului construit pe reprezentanţii vectorilor a şi AM0 obţinem:

|| AM0 x a || = ||a || · d(A,D).


82

Figura 17

Rezultă : d(A,D) = ||a||

|| a x M|| 0 A .

Dar AM0 = r 1 - r 0 şi M0 ∈ D ( r 0 x a = b ) şi astfel obţinem:

d(A,D) = ||a||

||a x )r - r(|| 01 = ||a||

||b - a x r|| 1 .

3) Unghiul dintre două plane Definiţia 5.1. Se numeşte unghiul dintre două plane P1 şi P2, unghiul ascuţit

dintre vectorii normali ai celor două plane N1 şi N2.

Dacă P1: r ·N1 = α1 şi P2: r ·N2 = α2

),( 21

∧

PP = ),( 21

∧

NN = ϕ , ϕ ∈ [0,2π ).

cosϕ = ||N|| ||N||

N N21

21 ⋅ .

Dacă N1(A1,B1,C1) şi N2(A2,B2,C2) atunci

cosϕ = 22

22

22

21

21

21

212121

C B A C B A

CC BB AA

++⋅++

++

În particular, planele P1 şi P2 sunt perpendiculare ⇔ N1·N2 = 0.

4) Unghiul dintre două drepte

Fie d1 şi d2 două drepte care au vectorii directori a 1 şi a 2.

Definiţia 5.2. Unghiul ascuţit dintre vectorii directori ai celor două drepte se

numeşte unghiul dintre dreptele d1 şi d2; ∧

),( 21 dd = ),( 21

∧

aa = ϕ, ϕ ∈ [0,2π ),

cos ϕ = ||a|| ||a ||

a a21

21 ⋅ .


83

Observaţia 5.1.1) Dacă d1 ⊥ d2 , atunci a 1 ·a 2 = 0

2) Dacă d1 || d2, atunci a 1 x a 2 = θ .

5) Unghiul dintre o dreaptă şi un plan

Fie dreapta d al cărui vector director este a şi planul P cu vectorul normal N.

Presupunem că dreapta d intersectează planul P.

Definiţia 5.3. Unghiul dintre o dreaptă şi un plan estre unghiul ascuţit dintre

dreapta d şi proiecţia ei pe planul P, dreapta d’, (fig. 18).

Întrucât vectorul director al dreptei d’ este mai greu de găsit, vom calcula

cosinusul unghiului complementar sinϕ = cos||a|| ||N||

a N - 2 ⋅

⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕπ

Figura 18

Dacă N(A,B,C) şi a (ℓ,m,n) atunci

sin ϕ = 222222 n m C B A

Cn Bm A

++⋅++

++

l

l .

Observaţia 5.2. 1) Dacă o dreaptă d este paralelă cu planul P atunci

N·a = 0.

2)Dreapta d este perpendiculară pe plan dacă şi numai dacă Nxa =θ sau

(A,B,C) = t(ℓ,m,n), t ∈ R \ {0}.

6) Fascicule de plane

Fie dreapta d:⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅

=⋅

22

11

N

N r

α

α

r, (N1 x N2 ≠ θ ).


84

Definiţia 5.4. Mulţimea tuturor planelor din spaţiu, care conţin o dreaptă dată d

se numeşte fascicul de plane de axa d. Dreapta d se numeşte axa fasciculului, iar

planele P1 şi P2, care determină dreapta d, se numesc planele de bază ale fasciculului.

Notăm cu P1( r ) = r ·N1 - α1; P2( r ) = r ·N2 - α2.

Ecuaţia fasciculului de plane de axă d este:

Pλ: P1( r ) + λP2(r ) = 0 , λ ∈ R.

Proprietăţi ale fasciculului de plane de axă d:

a) Dreapta d aparţine tuturor planelor din fasciculul determinat de ea, Pλ;

b) P1, P2 aparţin fasciculului Pλ;

c) Pentru orice punct din spaţiu, care nu aparţine dreptei d, există un singur plan al

fasciculului Pλ care trece prin acel punct.

Dacă d:⎩⎨⎧

=+++=+++

0 D zC y B xA0 D zC y B x A

2222

1111 , ecuaţia fasciculului de plane de axă d va fi

Pλ: (A1 + λA2)x + (B1 + λB2)y + (C1 + λC2)z + D1 + λD2 = 0.

Definiţia 5.5. O familie de plane paralele se numeşte fascicul de plane paralele.

Fie planul P: r ·N - α = 0. Notăm cu P(r )=r ·N - α şi ecuaţia fascicului de plane

paralele cu planul P este:

Pλ: P1(r ) + λ = 0 , λ ∈ R

sau în coordonate carteziene, dacă P: Ax + By + Cz + D = 0 ecuaţia fascicului este:

Pλ: Ax + By + Cz + λ = 0, λ ∈ R.

Aplicaţie. Fie dreapta d: ⎩⎨⎧

=+=++

0 3 - 2z y -x 0 2 - z y x

şi punctul A(1,2,3). Să se determine

planul P care trece prin dreapta d şi conţine punctul A.

Rezolvare. Modul 1. Se poate rezolva această problemă, cu ajutorul fasciculului

de plane cu axă d:

Pλ: (1 + λ)x + (1 - λ)y + (1 + 2λ)z – 2 - 3λ = 0.

Planul căutat aparţine acestui fascicul şi conţine punctul A. Deci, inpunem

condiţia A∈Pλ şi vom obţine o ecuaţie pentru λ:


85

1 + λ + 2(1 - λ) + 3(1 + 2λ) – 2 - 3λ = 0 ⇒ λ = -2.

Pentru λ = -2, din fasciculul Pλ aflăm ecuaţia planului căutat

P: -x + 3y – 3z + 4 = 0.

Modul 2. Determinăm vectorul director a al dreptei d, a ⎢⎢N1×N2, unde N1(1,1,1) şi

N2(1,-1,2). a ⎢⎢ N1 x N2 = 211111kji

− = 3 i - j - 2k .Căutăm un punct M0 e dreapta d.

Se obţine M0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0 ,

21 - ,

25

∈d. Planul P este planul determinat de două puncte şi un

vector: P: (r - r 0, r A - r 0, a ) = 0.

7) Poziţia relativă a două plane în spaţiu.

Fie două plane în spaţiu P1: r ·N1 = α1 şi P2: r ·N2 = α2.

Poziţiile relative ale celor două plane pot fi:

a) confundate P1 ≡ P2 dacă şi numai dacă N1 = λN2, α1 = λα2, λ ∈ R*;

b) paralele P1 || P2 dacă şi numai dacă N1 = λN2, α1 ≠ λα2, λ ∈ R*;

c) secante (se intersectează după o dreaptă) ⇔ N1 ≠ λN2, adică N1 x N2 ≠ θ .


P1: A1x + B1y + C1z + D1=0 şi P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 obţinem:

a) P1≡P2 ⇔ rang ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2222

1111

DCBADCBA

=1 ⇔ 2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

=== ;

b)P1||P2 ⇔rang ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2222

1111

DCBADCBA

= 2; rang ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

222

111

CBACBA

=1 ⇔ 2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

≠== ;

c) P1 ∩ P2 = d ⇔ rang ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

222

111

CBACBA

= 2.

8) Distanţa dintre două plane paralele.

Fie două plane paralele P1 || P2, P1: r ·N=α1 şi P2: r ·N = α2. Fie M1(r 1)∈P1 şi

notăm cu M2(r 2)∈P2 proiecţia ortogonală a lui M1 pe planul P2.

Distanţa dintre planele paralele P1 şi P2 este lungimea || MM1 2|| şi se notează

d(P1,P2) (fig. 20).


86

d(P1,P2) = d(M1,P2) = ||N||

| - N r| 21 α⋅ .

Dar M1∈P1, atunci r 1·N = α1 şi d(P1,P2) = ||N||

| - | 21 αα .

Figura 20


P1: Ax + By + Cz + D1 = 0 şi P2: Ax + By + Cz + D2 = 0

atunci d(P1,P2) = 222

21

C B A

|D - D|

++.

9) Poziţia relativă a unei drepte faţă de un plan.

i) Fie dreapta d:⎩⎨⎧

=+++=+++

0 D zC y B xA0 D zC y B x A

2222

1111

şi planul P:A3x + B3y + C3z + D3=0.

Se formează sistemul liniar cu ecuaţiile dreptei d şi planului P şi avem una dintre

următoarele situaţii:

1) Dacă sistemul este compatibil determinat, adică are soluţia unică (x0,y0,z0) atunci

dreapta şi planul au un singur punct comun M0(x0,y0,z0),notăm d∩P = {M0}.

2) Dacă sistemul este compatibil simplu nedeterminat soluţiile lui sunt tocmai

coordonatele punctelor dreptei, adică d ⊂ P.

3) Dacă sistemul este incompatibil, dreapta d este paralelă cu planul P, d || P.

ii) Dreapta d şi planul P sunt date prin ecuaţiile lor vectoriale:

d: r x a = b şi P: r ·N = α.

1) d ∩ P = {M0} dacă şi numai dacă a ·N≠ 0, iar vectorul de poziţie al lui M0 este

r 0 = a N

a b x N⋅α+ ;


87

2) d ⊂ P dacă şi numai dacă ⎪⎩

⎪⎨⎧

θ=⋅α+

=⋅

a b x N

0 N a;

3) d || P dacă şi numai dacă ⎪⎩

⎪⎨⎧

θ≠⋅α+

=⋅

a b x N

0 N a.

11) Poziţia relativă a 2 drepte în spaţiu.

Fie dreaptele d1: r x a 1 = b 1 şi d2: r x a 2 = b 2.

În spaţiu aceste drepte pot avea următoarele poziţii relative:

1) d1 coincide cu d2 (d1 ≡ d2) dacă şi numai dacă a 1 = λa 2 şi b 1 = λb2, λ ∈ R \ {0};

2) d1 paralelă cu d2 (d1 || d2) dacă şi numai dacă a 1 = λa 2 şi b 1 ≠ λb2, λ ∈ R \ {0};

3) d1 şi d2 concurente (d1∩d2={M0}) dacă şi numai dacă a1 ≠λa 2 şi a 2 ·b 1 + a 1·b 2=0;

4) d1 şi d2 sunt drepte oarecare ⇔a 1 ≠ λa 2, λ ∈ R \ {0} şi a 1 ·b 2 + a 2 ·b 1 ≠ 0.

Într-adevăr, in cazul in care d1 şi d2 sunt concurente, a 1 şi a 2 nu sunt coliniari şi

vom considera M1(r 1)∈d1 şi M2(r 2)∈d2 diferite de punctul M0 (fig. 21). Ştim că două

drepte concurente determină un plan şi deci din condiţia ca cele două drepte să se

intersecteze rezultă că vectorii MM1 2, a 1, a 2 sunt coplanari, adică:

( r 2 - r 1, a 1, a 2) = 0.

Condiţia de coplanaritate se mai poate scrie

a 1 ·b 2 + a 2 ·b 1 = 0.

Figura 21

Vectorul de poziţie al punctului de intersecţie M0(r 0) al dreptelor concurente d1 şi

d2. este r 0 = 21

12

b ab x b

⋅.


88

12) Perpendiculara comună a două drepte oarecare din spaţiu.

Fie D1: r x a 1 = b 1 ( 1b ⊥ 1a ) şi D2: r x a 2 = b 2 ( 2b ⊥ 2a ) două drepte oarecare

din spaţiu.

Definiţia 5.6. Se numeşte perpendiculara comună a dreptelor oarecare D1 şi D2

o dreaptă δ care este perpendiculară pe D1 şi pe D2 şi care intersectează ambele

drepte.

Pentru că δ ⊥ D1 şi δ ⊥ D2, vectorul director al lui δ este paralel cu a 1xa 2 (fig. 22)

Vom scrie perpendiculara comuna a celor doua drepte ca intersecţia a două plane:

planul P1 determinat de dreapta D1 şi a 1xa 2 şi planul P2 determinat de dreapta D2 şi

a 1xa 2. Presupunând că dreptele D1 şi D2 trec respectiv prin punctele M1(r 1) şi

respectiv M2( r 2), ecuaţiile perpendicularei comune sunt δ: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=×−

=

0)aa,a,rr(

0 )a x a,a,r-r(

2122

2111 .

13) Distanţa dintre două drepte.

Fie două drepte D1 şi D2 descrise respectiv de punctele M1 şi M2 .

Definiţia 5.7. Numărul inf d(M1,M2) se numeşte distanţa dintre dreptele D1 şi D2

şi se notează d(D1,D2).

d(D1,D2) se află astfel:

1)dacă dreptele sunt concurente d(D1,D2) = 0;

2)dacă dreptele D1 || D2 şi D1: r x a = b 1; D2: r x a = b 2 şi M1( r 1) ∈ D1.

d(D1,D2) = d(M1,D2) = ||a||

||b - a x r|| 21 = ||a||

||b - b|| 21 ,

deci distanţa dintre D1 || D2 este d(D1,D2) = ||a||

||b - b|| 21 .


89

Figura 22

3) dacă D1 şi D2 sunt oarecare

d(D1,D2) = || AB ||

unde A, B sunt punctele de intersectie ale dreptelor cu perpendiculara lor comună δ

(fig. 22). Această distanţă se mai poate calcula astfel: prin dreapta D1 construim un plan

P paralel cu dreapta D2. Atunci distanţa d(D1,D2)=d(M2,P), unde M2 este un punct

cunoscut al dreptei D2. Această distanţă este lungimea înălţimii paralelipipedului

construit pe vectorii MM1 2, a 1,a 2. Din semnificaţia produsului mixt rezultă

d(D1,D2) = ||a x a||

|)a xa( MM|

21

2121 ⋅.


90

CAPITOLUL 4

CUADRICE §1. Sfera

Ecuaţia sferei

Fie 3E spaţiul punctual euclidian real tridimensional raportat la un reper cartezian

{0; i , j ,k } şi punctele Mi ( r i), (i = 2,1 ), unde kzjyixr iiii ++= .

Distanţa dintre două puncte din spaţiu este:

( ) ( ) ( ) ( )2122

122

12122121 zzyyxxrrMMM,Md −+−+−=−== (1.1)

Definiţia 1.1. Fie ( )0rC , kzjyixr 0000 ++= , un punct fixat şi R un număr real,

strict pozitiv, fixat. Sfera S cu centrul C şi rază R este mulţimea punctelor M(x,y,z) din

E3 cu proprietatea:

( ) RM,Cd = ⇔ Rrr =− 0 ⇔ 220 )( Rrr =− . (1.2)

S: 220 )( Rrr =− este forma vectorială a ecuaţiei sferei.

Ea se poate scrie în coordonate carteziene:

S: ( ) ( ) ( ) 220

20

20 Rzzyyxx =−+−+− (1.3)

şi obţinem ecuaţia carteziană implicită a sferei S cu centrul C(x0,y0,z0) şi raza R.

Dezvoltăm pătratele in (1.3) şi obţinem:

S: 0Rzyxz2zy2yx2xzyx 220

20

20000

222 =−+++−−−++ . (1.4)

Notând dRzy xc,2z b,2y a,2x 220

20

20000 =−++=−=−=− , se obţine:

S: 0dczbyaxzyx 222 =++++++ . (1.5)

Ecuaţia (1.5) se numeşte ecuaţia carteziană generală a sferei.

Observaţia 1.1.

1) În ecuaţia carteziană generală a unei sfere, coeficienţii lui x,y,z reprezintă dublul cu

semn schimbat al coordonatei respective a centrului sferei, iar termenul liber este

egal cu diferenţa dintre pătratul distanţei centrului la origine şi pătratul razei.

2) Din ecuaţia generală a sferei se pot citi coordonatele centrului sferei şi raza ei astfel:

2cz ;

2b y;

2ax 0o0

−=

−=

−= şi d.

4cbaR

2222 −

++=


91

3) Sfera este o suprafaţă algebrică de ordinul (gradul) al doilea.

O ecuaţie de gradul al II-lea în x,y,z reprezintă o sferă numai dacă cooeficienţii lui 222 z,y,x sunt egali şi coeficienţii lui xy, xz şi yz sunt egali cu zero.

Ecuaţia sferei cu centrul în origine şi raza R este 2222 Rzyx =++ .

Ecuaţia sferei cu centrul în origine şi raza R, în coordonate sferice, este: Rρ = .

Punând în formulele de trecere de la coordonate sferice la cele carteziene

Rρ = , obţinem ecuaţiile parametrice ale sferei cu centrul în O şi raza R

Figura 1 Figura 2

S:[ ] [ ]⎪

⎩

⎪⎨

⎧

∈∈⋅=⋅⋅=⋅⋅=

parametrii-vu, ,πo,v ,o,2πu v cosRzv sinu sinRyv sinu cosRx

. (1.6)

Dacă sfera S are centrul în C ( )000 ,, zyx , atunci ecuaţiile ei parametrice sunt:

cosvRzzv sinu sinRyyv sinu cosRxx

0

0

0

⋅+=

⋅⋅+=

⋅⋅+=

.

Parametrii u şi v de pe sferă se numesc longitudine, respectiv colatitudine.

Vectorial obţinem ecuaţia vectorial parametrică a sferei S cu centrul ( )0rC şi rază R:

S: ( )kvRrr ⋅+⋅⋅+⋅⋅+= cosjv sinu siniv sinu cos0 . (1.7)


92

Ecuaţia sferei prin 4 puncte

Fie ( ) 4 ,1i , , , =iiii zyxM puncte necoplanare din spaţiu. Deoarece ecuaţia sferei

are 4 necunoscute a, b, c, d sau Rzyx , , , 000 trebuie impuse 4 condiţii pentru a

determina în mod unic o sferă.

Aceste 4 condiţii sunt ca punctele date ( )iiii zyxM , , să aparţină sferei şi luând în

mod arbitrar un punct ( )zyxM , , de pe sferă obţinem un sistem de 5 ecuaţii cu 4

necunoscute a, b, c,d:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++++++

=++++++

=++++++

=++++++

=++++++

0dczbyaxzyx

0dczbyaxzyx

0dczbyaxzyx

0dczbyaxzyx

0dczbyaxzyx

222444

24

24

24

33323

23

23

22222

22

22

11121

21

21

Deoarece 4 ,1 , =iMi sunt necoplanare 0

1 z y 1 z y 1 z y 1 z y

444

333

222

111

≠⇒

xxxx

Pentru ca sistemul să aibă soluţii trebuie ca determinantul caracteristic 0=Δc .

0

1 z y xx

1 z y xx

1 z y xx

1 z y xx

1 zy x

44424

24

24

33323

23

23

22222

22

22

11121

21

21

222

=

++

++

++

++

++

=Δ

zy

zy

zy

zy

zyx

c

Dezvoltând acest determinant obţinem ecuaţia sferei care trece prin punctele 4 ,1 ,iM .

O sferă din spaţiu este o mulţime mărginită şi închisă, deci compactă.

Sfera are proprietatea că separă spaţiul în două submulţimi disjuncte: interiorul lui S

notat int(S) şi exteriorul lui S notat ext(S). Acestea pot fi descrise cu ajutorul funcţiei:

f:R3→R ( ) ( ) ( ) ( ) 22

0

2

0

2

0zy,x,f Rzzyyxx −−+−+−=

unde (x0,z0,y0) este un punct fixat, centrul sferei şi R>0

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }.0zy,x,fzy,x,Sext

0zy,x,fzy,x,Sint>=

<=


93

Definiţia 1.2. Locul geometric al tuturor tangentelor într-un punct M1 al unei sfere

S, se numeşte plan tangent la sfera S în punctul M1.

Ecuaţia planului tangent în punctul ( ) Sz,y,xM 1111 ∈ se obţine prin dedublarea

ecuaţiei sferei. Dacă sfera este:

( ) ( ) ( ) 220

20

20 Rzzyyxx:S =−+−+− ,

obţinem planul tangent la sferă în punctul M1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2010010010 Rzzzzyyyyxxxx:TP =−⋅−+−⋅−+−⋅− ,

care se mai poate scrie:

( ) ( ) ( ) 0dzzcyybxxazzyyxx:TP 111111 =+−⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅+⋅

Planul tangent la sferă într-un punct al ei este un plan care trece prin acel punct

şi este perpendicular pe dreapta determinată de acel punct şi de centrul sferei.

§ 2. Poziţia unui plan faţă de o sferă

Fie planul P: α=⋅Nr şi sfera cu centru )( 0rC şi rază R>0, S: 220 )( Rrr =− .

Planul P faţa de sfera S poate avea una dintre următoarele poziţii:

1) planul P este exterior sferei S dacă şi numai dacă d(C,P)>R;

2) planul P este tangent sferei S dacă şi numai dacă d(C,P)=R;

3) planul P este secant la sfera S dacă şi numai dacă d(C,P)<R. În acest caz

intersecţia dintre plan şi sferă va fi un cerc C: ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅

=−

αNr

Rrr 22

0 .

Figura 3

d

P

C


94

Centrul acestui cerc, punctul I, se află la intersecţia planului P cu dreapta

perpendiculară pe plan, care trece prin centrul sferei:

d: ( ) θ=×− Nrr 0 .

Rezolvăm sistemul ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅

=×−

α

θ

Nr

Nrr 0 şi obţinem vectorul de poziţie al punctului I,

( )

20

IN

NNrNr α+××= .

Raza cercului se obţine din triunghiul dreptunghic ΔCIM, ( )CIdRr ,22 −= .

§ 3. Poziţia unei drepte faţă de o sferă

Fie dreapta ∈+= t,atrr:D 1 R parametru, a este vectorul director al dreptei,

( )1rM este un punct de pe această dreaptă şi sfera cu centrul în ( )0rC şi rază R>0

S: 220 )( Rrr =− . (3.1)

Poziţia dreptei D faţă de sfera S depinde de distanţa de la centrul sferei la

dreapta D şi putem avea următoarele poziţii relative:

I) dacă d(C,D)>R ⇒ dreapta D este exterioară sferei

II) dacă d(C,D)=R ⇒ dreapta D este tangentă sferei

III) dacă d(C,D)<R ⇒ dreapta D este secantă sferei (taie sfera în două puncte

distincte).

Putem obţine aceste trei situaţii studiind sistemul de ecuaţii format din ecuaţiile

sferei şi dreptei. Rezolvând acest sistem vom determina punctele de intersecţie ale

dreptei cu sfera: ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

+=22

0

1

Rrr

atrr, t∈R (3.2)

Folosind metoda substituţiei se obţine : ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+

+=22

01

1

Rratr

atrr (3.3)

Prelucrăm cea de-a doua ecuaţie din sistemul (3.3) şi obţinem:

( ) ( ) 22201

201 Ratatrr2rr =+⋅−⋅+− (3.4)

sau ( ) ( ) 0Rrrt arr2t a 220101

22=−−+⋅−+ (3.5)


95

Aceasta este o ecuaţie de gradul al II-lea în t, al cărui discriminant Δ este:

( ) ( ) 22201

2201 aRrrarrΔ ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−−⋅−= (3.6)

Pot apare următoarele situaţii:

i)dacă Δ< 0, t∈Φ, =∩Sd Φ, dreapta este exterioară sferei;

ii)dacă Δ= 0, sistemul are o singură soluţie reală

Δ=0 ⇒ t=t’ ⇒d∩S={M’}, dreapta este tangentă sferei S in punctul ( )r'M' , arr' 1 t+=

iii)dacă Δ>0 ⇒ t’≠t’’ sunt soluţii reale ale ecuaţiei (3.4) şi atunci { }M",M'Sd =∩ , unde

( )r'M' , ( )r"M" şi a''rr"

a'rr'

1

1

t

t

+=

+= .

Definiţia 3.1. Numărul real notat ( ) ( ) 22011S RrrMρ −−= se numeşte puterea

punctului ( )11 rM faţă de sfera S: ( ) 220 Rrr =− .

Observaţia 3.1. 1) Puterea unui punct faţă de o sferă se calculează înlocuind

coordonatele punctului, în primul membru al ecuaţiei sferei, după ce în prealabil toţi

termenii din ecuaţia sferei au fost trecuţi în primul membru.

2) Folosind definiţia int(S) şi ext(S) se poate spune că dacă ρS(M1)=0 atunci

punctul 1M se află pe sferă, dacă ρS(M1)>0, atunci punctul ∈1M ext(S) şi pentru

ρS(M1)<0 punctul M1∈int(S).

Definiţia 3.2. Mulţimea tuturor sferelor din spaţiu care trec prin cercul de

intersecţie a două sfere date se numeşte fascicul de sfere.

Considerăm sferele secante S 1 : ( ) 0Rrr 21

21 =−− şi S2: 0)r( 2

22

2 =−− Rr ;

notăm ( ) ( ) 21

211 RrrrS −−= şi ( ) ( ) 2

2

2

2 2 RrrrS −−= .

Ecuaţia fasciculului de sfere determinat de S 1 şi S 2 va fi

S λ : ( ) ( ) 0rλSrS 21 =+ , R∈λ .

Dacă cercul de intersecţie al celor două sfere este dat ca intersecţia uneia dintre sfere

şi planul lor radical, notând ( )rP membrul stâng al planului radical obţinem

Sλ : ( ) ( ) 0rλPrS1 =+ .


96

Proprietăţi:

1) Toate sferele din fascicul au centrele pe aceeaşi dreaptă (dreapta centrelor

sferelor date).

2) Printr-un punct oarecare din spaţiu trece o singură sferă din fascicul; excepţie fac

punctele de pe curba de intersecţie, prin care trece o infinitate de sfere.

3) Într-un fascicul de sfere sunt două sfere tangente la un plan dat.

4) Într-un fascicul de sfere există două sfere care au raza egală cu o valoare fixată

R.

§ 4. Elipsoidul, hiperboloidul, paraboloidul

Definiţia 4.1. Suprafaţa reprezentată analitic prin ecuaţia redusă

1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=++ a,b,c>0 (4.1)

se numeşte elipsoid.

Notăm ( )2

2

2

2

2

2

cz

by

axzy,x,f ++= -1.

Pentru a ne da seama de forma suprafeţei şi de poziţia ei faţă de axele de

coordonate vom observa că:

a) planele de coordonate xOy, yOz,xOz sunt plane de simetrie ale suprafeţei pentru

ca ( ) ( )z,y,xfz,y,xf =− ; ( ) ( )zyxfzyxf ,,,, =− şi ( ) ( )zyxfzyxf ,,,, =− şi se vor numi

plane principale ale elipsoidului;

b) originea este centrul de simetrie al suprafeţei deoarece: ( ) ( )zyxfzyxf ,,,, =−−− ;

acest punct se va numi centrul elipsoidului; c) axele de coordonate Ox, Oy, Oz sunt axele de simetrie ale suprafeţei, le vom

numi axele elipsoidului; d) numerele a,b,c>0 se numesc semiaxele elipsoidului; ele reprezintă abscisa,

coordonata, respectiv cota punctelor de intersecţie ale semiaxelor pozitive Ox,

Oy, Oz cu suprafaţa: ( ) ( ) b,00,B,a,0,0A şi C(0,0,c). Aceste puncte precum şi

punctele de intersecţie cu semiaxele negative ( ) ( ) ( )c0,0,C' ,b,00,B',a,0,0A' −−− se

numesc vârfurile elipsoidului.


97

Pentru a studia suprafaţa vom aplica metoda secţiunilor. Intersecţia dintre planele de

coordonate şi elipsoid sunt următoarele elipse:

(E 1 ): ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−+

0z

01by

ax

2

2

2

2

; (E 2 ): ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−+

0x

01cz

by

2

2

2

2

; (E 3 ): ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−+

0y

01cz

ax

2

2

2

2

.

Aceste trei elipse se numesc elipsele principale ale elipsoidului. Ele se

găsesc în plane perpendiculare două câte două şi luate câte două au o semiaxă

comună (fig. 5).

Figura 5

Dacă b=a elipsoidul se numeşte de rotaţie (în jurul axei Oz).

În cazul elipsoidului de rotaţie (în jurul axei Oz) elipsele (E2) şi (E3) sunt identice (dar

situate în plane diferite), iar (E 1 ) este un cerc.

În studiul Pământului, acesta este privit ca un elipsoid de rotaţie în jurul axei

polilor, care în acest caz se numeşte geoid.

Dacă a = b = c ecuaţia (4.1) reprezintă o sferă. Reprezentarea parametrică a elipsoidului este:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=⋅⋅=⋅⋅=

cosvczsinvsinubysinvcosuax

, unde [ ] [ ]π∈π∈ ,0v ,2,0u u,v sunt parametrii.

Definiţia 4.2. Suprafaţa reprezentată prin ecuaţia redusă

01cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=−−+ , a,b,c>0 (4.2)

se numeşte hiperboloid cu o pânză.


98

Din ecuaţia (4.2) deducem ca şi în cazul elipsoidului, că hiperboloidul cu o pânză are

trei plane de simetrie (plane principale), trei axe de simetrie, un centru de simetrie. Spre

deosebire de elipsoid, mulţimea de definiţie a funcţiei implicite din (4.2) este

( ] [ ) ( ] [ )∞∪−∞−∈∞∪−∞−∈ ,; ;,, bbyaax , iar mulţimea valorilor funcţiei ( )∞∞−∈ ;z . Deci,

hiperboloidul cu o pânză este o suprafaţă nemărginită.

Figura 6

Aplicând metoda secţiunilor obţinem următoarele informaţii despre această

suprafaţă.

Intersecţia cu planul xOy este elipsa (E c )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−+

0z

01by

ax

2

2

2

2

, numită elipsă-colier.

Intersecţiile cu planele yOz şi xOz sunt hiperbolele:

(H 1 ): ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−−

0x

01cz

by

2

2

2

2

şi (H 2 ): ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−−

0y

01cz

ax

2

2

2

2

, care se numesc hiperbole principale.

Hiperbolele (H 1 ) şi (H 2 ) sunt situate în plane perpendiculare, ambele cu axa Oz ca axă

netransversă.

Intersecţia cu planele paralele cu xOy, P:z = k (const.), sunt elipsele

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

kzckb

y

cka

x 0111 2

22

2

2

22

2


99

ale căror semiaxe cresc împreună cu z.

Folosind aceste informaţii putem să ne dăm seama de forma suprafaţei (fig. 6).

Observăm, de asemenea, că semiaxele a,b ale elipsei – colier sunt respectiv

egale cu semiaxele transverse ale hiperbolelor (H1 ) şi (H 2 ).

Dacă b=a hiperboloidul se numeşte de rotaţie (în jurul axei Oz). Intersecţia lui cu

planele P:z = const. sunt cercurile ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=+

const.zcz1ayx 2

2222

,

iar elipsa–colier devine cerc–colier. Hiperbolele (H 1 ) şi (H 2 ) sunt identice, dar situate în

plane diferite.

Dacă a=b=c, obţinem hiperboloidul cu o pânză de rotaţie echilateral (pentru că

hiperbolele devin echilaterale).

Reprezentarea parametrică a hiperboloidului cu o pânză este

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=⋅⋅=⋅⋅=

v shczv chsinubyv chcosuax

, u∈[0,2π), v∈R, parametrii.

Observaţia 4.1. Suprafaţa hiperboloidului cu o pânză poate avea ca axă

netransversă axa Oz ca în (4.2), dar şi axa Ox sau axa Oy, dacă în ecuaţie termenul

liber este –1, iar termenul 2

2

ax sau 2

2

by apare cu semnul minus, adică:

01cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=−++− , sau 01cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=−+− .

Definiţia 4.3. Suprafaţa reprezentată analitic prin ecuaţia redusă:

012

2

2

2

2

2

=+−+cz

by

ax , a,b,c>0 (4.3)

se numeşte hiperboloid cu două pânze.

Pentru această suprafaţă, planele şi axele de coordonate sunt plane, respectiv

axe de simetrie, iar originea este centru de simetrie.


100

Intersectând suprafaţa cu planele paralele cu xoy, P: k(const)z = , |k|>c obţinem

elipsele: 01

1ckb

y

1cka

x

kz

:(E)

2

22

2

2

22

2

=−

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

=

.

Pentru ck < aceste elipse sunt imaginare .

Pentru ck = , se obţin punctele ),0,0( cC , ),0,0(1 cC − şi pentru ck > sunt elipse reale, ale căror semiaxe cresc odată cu valoarea absolută a lui z. Intersecţia suprafeţei (4.3) cu planul yOz:x=0 este hiperbola

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+−

0

01: 2

2

2

2

1

xcz

by

H

care are axă transversă, axa oz.

Intersecţia cu planul y=0 este hiperbola

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+−

0

01: 2

2

2

2

2

ycz

ax

H care are axă transversă tot axa oz,

fiind însă situată într-un plan perpendicular pe planul lui ( )1H . Aceste informaţii ne

permit să ne dăm seama despre forma suprafeţei (fig.7).

Figura 7


101

Dacă a=b, hiperboloidul cu două pânze (4.3) se numeşte de rotaţie în jurul axei 0z. Elipsele (E) devin atunci cercuri, iar hiperbolele ( )1H şi ( )2H sunt identice, dar situate în plane perpendiculare.

Observaţia 4.3. Dacă o hiperbolă se roteşte în jurul axei sale netransverse, se obţine un hiperboloid cu o pânză de rotaţie, iar dacă se roteşte în jurul axei sale trasverse se obţine un hiperboloid cu două pănze de rotaţie .

Asimptotele hiperbolei, prin rotire, vor da naştere la conul asimptotic (care în

acest caz va fi circular) şi din figură se observă că acest con este exterior

hiperboloidului cu două pânze şi interior celui cu o pânză.

Reprezentarea parametrică a suprafeţei (4.3) este ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=⋅⋅=⋅⋅=

v chczv shu sinbyv shu cosax

, u∈[0,2π), v∈R.

Dacă a=b=c suprafaţa se numeşte hiperboloid cu două pânze de rotaţie echilater. Observaţia 4.4. Ecuaţiile reduse:

12

2

2

2

2

2

−=+ax

cz

by ; 12

2

2

2

2

2

−=+by

cz

ax , a,b,c>0

definesc tot câte un hiperboloid cu două pânze cu axa transversala Ox şi respectiv Oy. Definiţia 4.4. Suprafaţa de ecuaţie redusă

zpby

ax

⋅⋅=+ 22

2

2

2

, a,b>0, p∈R* (4.4)

se numeşte paraboloid eliptic.

Ecuaţia (4.4) dă pe z ca funcţie explicită de x şi y şi mulţimea de definiţie a

acestei funcţii este (x,y)∈R2, iar valorile funcţiei sunt [ ] ( ],0- sau ,0 ∞∞ după cum p>0 sau

p<0. Deci, suprafaţa se află deasupra planului (x0y) dacă p>0 şi sub acesta dacă p<0.

Paraboloidul eliptic (4.4) are două plane de simetrie (plane principale): x0z şi y0z

şi o singură axă de simetrie 0z. Centru de simetrie nu are, dar funcţia z pentru x=y=0

admite un maxim sau minim (după cum p<0 sau p>0) z=0.

Punctul O(0,0,0) se numeşte vârful paraboloidului eliptic. Este punctul în care

axele intersectează suprafaţa.

Considerăm cazul p>0.

Planele z=k, k>0, taie suprafaţa după elipsele ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

kzkpb

ykap

xE

122: 2

2

2

2


102

Dacă p>0, numai planele P:z=k>0 întâlnesc suprafaţa, iar dacă p<0 numai

planele z=k<0. Intersecţia cu planul x0y este O(0,0,0), vârful paraboloidului.

Intersecţia cu planele yOz:x=0, respectiv xOz:y=0 sunt parabolele

( )⎩⎨⎧

==0

2:22

1 xzpbyP , respectiv ( )

⎩⎨⎧

==02:

22

2 yzpaxP , cu axa comună 0z.

Figura 9

Dacă a=b paraboloidul se numeşte de rotaţie (în jurul axei 0z). Elipsele (E) sunt

cercuri, iar parabolele (P1) şi (P2) sunt identice.

Dacă o parabolă se roteşte în jurul axei sale (de exemplu Ox), se obţine un

paraboloid de rotaţie (fig 10) de ecuaţie 222 zypx += .

Figura 10


103

Reprezentarea parametrică a suprafeţei (4.4) este:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

puz

vbuyvaux

2

sincos

2, u∈[0,∞); v∈[0,2π).

Suprafaţa paraboloidului eliptic poate avea ca axă de simetrie Ox sau Oy.

Suprafaţa va avea altă poziţie faţă de axele de coordonate şi ecuaţia ei se va scrie:

2

2

2

22

bz

ayxp += sau 2

2

2

22

bz

axyp += .

Definiţia 4.5. Suprafaţa de ecuaţie redusă

zpby

ax 22

2

2

2=− , a,b>0, p∈R* (4.5)

se numeşte paraboloid hiperbolic.

Mulţimea de definiţie a funcţiei z=z(x,y) este tot planul, iar valorile funcţiei

reprezintă toată axa reală. Suprafaţa are două plane de simetrie şi o axă de simetrie.

Intersectând suprafaţa cu planele kz = , obţinem hiperbolele

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=−

kzkpb

ykpa

xH

122:

22

cu axa transversală Ox pentru 0>⋅kp şi Oy in cazul 0<⋅kp .

Intersecţia cu planul yOz:x=0 este parabola ⎩⎨⎧

=−=

02 22

xzbpy .

Intersecţia cu planul xOz: y=0 este parabola ⎩⎨⎧

==02 22

yzapx .

Acestea ne ajută la reprezentarea suprafeţei ca în fig. 11.


104

Reprezentarea parametrică a suprafeţei reprezentată analitic prin ecuaţia

redusă (4.5) este:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

==

puz

vchubyvchuax

2

2

, Rv ),,0[ ∈∞∈u parametrii.

Figura 11

Paraboloidul hiperbolic, in funcţie de simetriile pe care le admite poate avea ecuaţia

redusă de tipul:

2

2

2

2

by

axzp2 −= sau 2

2

2

2

bz

ayxp2 −= sau 2

2

2

2

bx

azyp2 −= , a,b>0.

Definiţia 4.6. Elipsoidul, hiperboloizii şi paraboloizii se numesc cuadrice nedegenerate. Cuadricele sunt suprafeţe reprezentate prin ecuaţii de gradul al-II-lea. Într-un sistem

cartezian, având o poziţie particulară în raport cu ele, ecuaţiile lor sunt cele reduse

prezentate mai sus. Dacă schimbăm sistemul cartezian, gradul ecuaţiilor nu se

schimbă. Alte cuadrice reprezentate prin ecuaţiile lor reduse sunt:


105

-cilindru eliptic, care are ecuaţia redusă de forma:

012

2

2

2=−+

by

ax (fig.12) sau 012

2

2

2=−+

cz

by sau 012

2

2

2=−+

cz

ax , a,b,c>0;

- cilindru parabolic, cu ecuaţia redusă de forma:

012

2

2

2=−−

by

ax (fig.13) sau 012

2

2

2=−−

cz

by sau 012

2

2

2=−−

cz

ax ,e.t.c., a,b,c>0;

- cilindru parabolic, dat prin ecuaţia redusă:

pxy 22 = (fig.14) sau pyz 22 = , e.t.c., p∈R;

- pereche de plane concurente, reprezentate, de exemplu prin: 02

2

2

2=−

by

ax

- dreapta Oz: 02

2

2

2=+

by

ax

- pereche de plane paralele, de exemplu: 022 =− ax

- pereche de plane confundate, de exemplu: 02 =x

- punctul O, reprezentat prin ecuaţia: 02

2

2

2

2

2=++

cz

by

ax

- multimea vidă, reprezentată prin: 012

2

2

2

2

2=+++

cz

by

ax sau 012

2

2

2=++

by

ax sau x2+a2=0


106

Probleme Vectori liberi

1)Să se determine α şi β astfel încât vectorii a = 2 i + (α+β) j + (2α - β)k şi

b = i + 2 j + 3k să fie coliniari.

2) Se dau punctele A(1,1,2), B(15,-6,4), C(3,3,-5), D(-1,8,4). Să se arate că

triunghiul ABC este dreptunghic iar triunghiul ACD este isoscel. Se cer: perimetrul

triunghiului BCD şi m (∧

CBD ).

3) Se dau vectorii a = 2 i + 3 j - k , b = 3 i - j + 3k . Să se afle produsul vectorial

a x b , norma ||a x b || şi ∧

b,a .

4) Să se determine vectorul v ştiind că este perpendicular pe vectorii a =3 i +2 j -

4k , b = 3 i + j , are norma egală cu 26 şi face unghi obtuz cu j .

5) Să se afle înălţimea paralelipipedului construit pe reprezentanţii vectorilor

a = i + 2 j - k , b = 2 i + 3 j + k , c = i - 2k , în acelaşi punct al spaţiului luând ca bază

paralelogramul determinat de vectorii b şi c .

6)Să se determine vectorul a care face unghiuri egale cu i şi j , are norma egală

cu 4 şi face cu k un unghi egal cu π/3.

7)Ce unghi formează între ei versorii p , q dacă vectorii a = 2p + q şi b = -4p

+5 q sunt perpendiculari?

8) Să se determine λ astfel încât vectorii a = 2 j + k , b = - i + 2 j , c = i + λ j +

2k să fie coplanari.

9) Se dau punctele A(1,2,-1); B(3,3,1); C(7,4,-4). Se cere: produsul scalar al

vectorilor AB şi AC şi norma vectorilor AB şi AC .

10) Să se determine λ astfel încât vectorii a = i + 2(λ+1) j - λk şi b = (2-λ) i + j +

3k să fie perpendiculari.

11) Să se calculeze unghiul dintre diagonalele paralelogramului construit pe

reprezentanţii vectorilor a = i + 2 j - k , b = -3 i + j + k .


107

12) Se dau vectorii a = i - 2 j , b = 3 i - j + λk . Să se determine λ

astfel încât unghiul dintre cei doi vectori să fie 4π .

13) Să se determine un vector de normă 26, coplanar cu i şi j , care să fie

perpendicular pe vectorul a = 5 i + 12 j + 5k .

14) Să se afle aria paralelogramului construit pe reprezentanţii vectorilor a = p

+2 q şi b = 2p +q , unde p şi q sunt versori care fac între ei un unghi egal cu 6π .

15) Fie vectorii a = i - 2 j - k , b = -2 i + j + k , c = 3 i - j - 4k . Să se determine

un vector v care să fie perpendicular pe a şi b şi c · v = -8.

16) Să se determine v ştiind că este perpendicular pe vectorii a = 3 i - 2 j + 2k ,

b = 18 i + 5 j - 22k , are norma egală cu 7 şi face unghi ascuţit cu axa Oz.

17) Fie A(1,-1,3), B(5,3,5), C(5,0,2). Să se calculeze aria triunghiului ABC şi

lungimea înălţimii din vârful C.

18) Să se determine λ astfel încât vectorii a = 2 i + j - 3k , b = - i + 2 j + 2k şi

c = i - j + λk să fie coplanari.

19) Să se arate că punctele A(5,-1,-1), B(4,2,2), C(5,3,1), D(8,0,-5) se află în

acelaşi plan.

Dreapta si planul 1) Să se scrie ecuaţia unui plan care trece prin punctul M0(1,2,-1) şi care este

paralel cu planul P1: x –3 y + 5z + 4 = 0.

2) Să se scrie ecuaţia planului P care trece prin punctul M1(r 1 = i + j - 2k ) şi

este perpendicular pe planele P1: r · (2 i - 3 j + k ) – 5 = 0 şi P2: r · ( i - j + 2k ) - 3 = 0.

3)Să se scrie ecuaţia planelor care sunt paralele cu planul P1: 9x+6y+2z-36=0 şi

la distanţă de două unităţi de el.

4) Să se scrie ecuaţiile dreptei d care trece prin punctul M0(2,1,-3) şi este

perpendiculară pe planul π: 3x – 4y + 2z – 3 = 0.

5) Să se scrie ecuaţia vectorială a planului determinat de punctul

M1(r 1 = 2 i - j - 3k ) şi de dreapta d: ( r - 3 j + 4k ) x ( i + 2 j + 5k ) = θ .


108

6) Să se determine poziţia dreptelor faţă de planele indicate:

a) d: 1-1-z

13-y

21-x

== , P: 3x – 4y + 2z + 11 = 0

b) d: ⎩⎨⎧

==+

0 1 - y -2x 0 1 z -2y -2x

, P: 8x – 7y – 3z + 14 = 0.

7) Să se determine poziţiile relative ale dreptelor

a) d1: r x (3 i + 2 j - k ) = - i + 4 j + 5k ; d2: r x (6 i + 4 j - 2k ) = -2 i + 8 j + 10k

b) d1: r x ( i + 2 j - 3k ) = i + 4 j + 3k ; d2: r x (2 i + 4 j - 6k ) = 2 i + 5 j + 4k

8) Să se determine distanţa dintre dreptele:

d1: r x (9 i - 6 j + 4k ) = 2 i + j - 3k ; d2: r x (9 i - 6 j + 4k ) = -2 i + j + 6k

şi ecuaţia planului determinat de ele.

9) Se consideră punctele A(1,3,0), B(3,-2,1), C(α,1,-3), D(7,-2,3). Să se

determine α astfel încât punctele să fie coplanare; pentru α găsit să se scrie ecuaţia

carteziană a planului determinat de ele.

10) Să se scrie ecuaţia planului care trece prin M0(-1,3,3) şi conţine dreapta d

d: ⎩⎨⎧

==++

0 3 - z - y -2x 0 1 - 3z 2y x

.

11) Să se calculeze unghiul dintre dreptele d1: 1z

42 y

1-1 -x

=+

= şi

d2: 1z

4y

1-x

== şi să se scrie ecuaţia planului determinat de aceste drepte.

12) Fie dreptele d1 şi d2 două drepte paralele cu vectorii a (1,0,1) şib (-1,1,2). Să

se scrie ecuaţiile parametrice ale unei drepte perpendiculară simultan pe d1 şi d2 şi care

trece prin punctul M0(2,3,0).

13) Să se scrie ecuaţiile perpendicularei comune dreptelor

d1: 1z

42 y

1-1 -x

=+

= şi d2: 2

1 - z 1y

3x

==

şi să se calculeze distanţa dintre ele.

14) Fie dreptele d1: 1z

31 y

21 -x

=+

= şi d2: 1 z 2y

22 -x

α+

== .

a) să se determine α astfel încât dreptele d1 şi d2 să fie concurente;

b) să se scrie ecuaţia planului P determinat de aceste drepte;

c) să se calculeze d(M0,P) unde M0(5,-4,1).


109

15) Să se studieze poziţia dreptelor faţă de planele respective şi dacă este cazul

să se determine coordonatele punctului de intersecţie

a) d: ⎩⎨⎧

=++=++

0 3 2z y - x 0 3 - z y 2x

, P: 3x – y + z = 0

b)d: r x ( i + 2 j - k ) = -12 i + 7 j + 2k , P: r · (7 i - 5 j - 3k ) = -11.

16) Să se scrie ecuaţiile perpendicularei comune a dreptelor

d1: ⎩⎨⎧

=−=++0 5 - z - y 0 2 z 2y - x

x2 , d2:

⎩⎨⎧

=++=++

0 13 2z - y 3x 0 30 5z -2y 5x

.

17)Să se scrie ecuaţia planului determinat de punctele M1(3,1,0),M2(0,7,2) şi

M3(4,1,5).

18)Să se calculeze coordonatele punctului simetric al originii faţă de planul

P: 3x-y+2z+14=0.

19)Să se scrie ecuaţiile perpendicularei coborâte din punctul M1(1,3,2) pe

dreapta

d:2

113

2 +=

−=

− zyx .

20)Se consideră punctele A(1,3,0),B(3,-2,1),C(∝,1,-3),D(7,-2,3).Să se determine

∝ astfel încât punctele să fie coplanare; pentru ∝ astfel determinat , să se scrie ecuaţia

planului determinat de ele.

21)Se dau punctele A(3,-1,3),B(5,1,-1),C(0,4,-3).Se cer:

a) Ecuaţiile carteziene, parametrice şi ecuaţia vectorială ale dreptelor AB, respectiv

AC;

b) Măsura unghiului dintre aceste drepte;

c) Ecuaţia carteziană şi ecuaţia vectorială a planului care conţine punctul C şi este

perpendicular pe dreapta AB.

22)Să se scrie ecuaţia ecuaţia planului care trece prin punctul M0(2,-1,1) şi este

perpendicular pe dreapta definită de planele P1:x+2y+2z+2=0,P2:x+y+z+1=0.

23)Se dau dreapta d:1

12

11

2 +=

−=

+ zyx şi planul P: 2x-y+2z+3=0. Se cer :

a) Măsura unghiului dintre dreaptă şi plan;

b) Ecuaţia planului P1 perpendicular pe drepta d şi care conţine punctul de

intersecţie dintre plan ţi dreaptă;

c) Punctele dreptei d care se află la distanţa de două unitaţi faţă de planul P.


110

24)Să se determine punctele de pe dreapta d:2

11

21

1 +=

+=

− zyx aflate la

distanţă de două unităţi faţă de planul P:2x-2y+z=1.

25).Să se afle punctul de pe dreapta d:1

211

1+

=−−

=zyx care se află la distanţa

egală cu 5 faţă de punctul A(0,2,-1).Să se calculeze distanţa de la A la dreapta dată.

26)Să se scrie ecuaţia planului care trece prin dreapta d:⎩⎨⎧

−=+=

11

zyzx

şi care este:

a) perpendicular pe planul P1; 0)2( =−+⋅ kjir

b) face un unghi de 60° cu planul P2: 0)22( =+−⋅ kjir

c) face un unghi de 30° cu dreapta d:⎩⎨⎧

=−=2

13y

zx.

27) Se dau dreptele : d1:13

112 zyx

=+

=−− , d2:

13

38

71 −

=−−

=+ zyx

Să se calculeze mărimea unghiului celor două drepte şi să se stabilească poziţia

relativă a dreptelor. Să se scrie ecuaţiile perpendicularei comune celor două drepte.

28)Fie dreapta d:3

12

11

2 −=

+=

− zyx şi punctul A(-1,-1,2). Să se calculeze

coordonatele simetricului lui A faţă de dreapta d.

29)Fie planul P:3x+y-z-9=0 şi punctul M0(4,7,-1). Se cer:

a) distanţa de la M0 la planul P;

b) coordonatele simetricului punctului M0 faţă de planul P.

30)Fie planele P1: x-3y+z-1=0, P2 : x+2y-2=0.Să se scrie ecuaţia carteziană a

simetricului planului P1 faţă de P2.

Sfera 1)Să se scrie ecuaţia sferei tangentă la planul P: 2x+6y-3z+1=0 in punctul

A(1,0,1) şi tangentă planului P1: 2x+6y-3z+99=0.

Solutie .

P II P1 , centrul sferei se află pe dreapta d⊥P in punctul A , d: x=2λ+1, y=6λ , z=-3λ+1

d∩P1={B} B(-3,-12,7) d(A,C)=d(C,B)⇒C(-1,-6,4) d(A,C)=7=R

S: ( 494)(z6)(y1)x 222 =−++++


111

2)Fie sfera S: 0.44y2xzyx 222 =−+−++ Să se determine ecuaţiile sferelor

tangente la sfera dată având centru in C1(3,2,-4).

3) Să se scrie ecuaţiile planelor care trec prin axa Oy si sunt tangente la sfera

S: 014z2y2xzyx 222 =+++−++

4)Să se scrie ecuaţia sferei care este tangentă la planul P: 2x-2y+3=0 în punctul

A(1,1,3) şi are centrul in planul P1: x-2y –2z –1=0.

5)Să se scrie ecuaţiile sferelor tangente la planul P: 3x-2y+6z-1=0 în punctul

A(1,1,0) şi de rază 7.

6)Să se determine centrul I şi raza r a cercului de intersectie al sferelor

S1: x2+y2+z2-6x+4y-2z-86=0, S2: x2+y2+z2-8x+6y-z+95=0

7) Să se scrie ecuaţia sferei cu centrul în punctul C(1,2,-1) şi tangentă planului

P:2x-2y+z-6=0

8)Fie planul P:x+2y+2z-21=0 şi sfera S: x2+y2+z2-4x-4y-6z+8=0

Să se determine poziţia planului faţă de sferă şi ecuaţiile planelor tangente la sferă

paralele cu P.

9)Să se scrie ecuaţia sferei cu centrul în punctul C(2,-2,1) şi care trece prin

originea axelor de coordonate.

10)Să se scrie ecuaţia sferei cu centrul în punctul C(4,5,-2), ştiind că sfera

S:x2+y2+z2-4x-12y+36=0 este tangentă interior sferei căutată.

11)Să se scrie ecuaţia sferei cu centrul în punctul C(2,-1,1) tangentă exterior

sferei S:x2+y2+z2+2x+6y-2z+2=0.

12)Fie sfera S:x2+y2+z2-4x=0 şi planul P: x-2y+2z=8=0.Să se studieze poziţia lui

P faţă de S şi dacă este cazul să se afle raza şi centrul cercului de intersecţie.

13)Să se scrie ecuaţia sferei tangentă la planul P1:6x-3y-2z-35=0 în punctul A(5,-

1,-1) şi este tangentă şi la planul P2: 6x-3y-2z+63=0.

14)Să se scrie ecuaţia sferei care trece prin punctul A( ) , are centrul pe

dreapta d: 1

211

1+

=−−

=zyx şi are raza 3 .

15)Fie A(1,-2,3) şi planul P: x-2y+2z-6=0 . Să se calculeze distanţa de la A la P

şi să se scrie ecuaţia sferei cu raza minimă care trece prin A şi este tangentă planului P.

16) Să se determine raza şi coordonatele centrului cercului de intersecţie al

sferelor S1:x2+y2+z2-4x+2y-2z-12=0; S2:( x-3)2+y2+z2=0.


112

17)Să se scrie ecuaţia sferei care:

a) are centrul în C(2,0,3) şi este tangentă planului P: 3x+ 2 y+4z-45=0;

b) trece prin punctele A(-1,0,0),B(0,2,1),C(0,-1,-1),D(3,1,-1).

c) are centrul în C(1,-2,1) şi este tangentă interior sferei S1:x2+y2+z2-x-3y+3z-2=0.

18)Să se scrie ecuaţiile planelor tangente la sfera S:x2+y2+z2-2x+2y-2z-22=0 în

punctele de intersecţie cu dreapta d:12

43

31

−+

=−−

=− zyx .

19)Fie sfera S:x2+y2+z2+2x-6y+4z-15=0 şi dreapta d: ⎩⎨⎧

=−−=−+−

020308118

zyxzyx

Să

se scrie ecuaţiile planelor tangente la sfera S care trec prin dreapta d.

20)Să se scrie ecuaţia sferei tangentă dreptei d:2

721

31 −

=−−

=− zyx în punctul

M1(-2,3,5) şi planului P: 6x- 3y-2z+35=0

21Să se scrie ecuaţia sferei S concentrică cu sfera S1: x2+y2+z2+6x-4y+2z+5=0

şi tangentă planului P:2x+3y-6z+9=0.

22)Să se scrie ecuaţiile planelor tangente la sfera S: x2+y2+z2-2x+4y-6z-22=0

care trec prin dreapta d:0

319

12 −

=−−

=− zyx .


113

ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

CAPITOLUL 1 CURBE ÎN SPAŢIU ŞI CURBE PLANE

§ 1. Reprezentări analitice ale curbelor

Presupunem fixat un reper cartezian R {0, }k,j,i în E3.

Definiţia 1.1. Un drum parametrizat, de clasă Ck, k∈N*, este un triplet

Γ}(t),rr{I,d ==

unde I⊆R este un interval (sau o reuniune finită de intervale), nEI:r → , (n=2,3), o

funcţie vectorială de clasă Ck, (I)rI}t(t)),rM(,EM|{MΓ n =∈∈= .

Pentru a marca faptul că r este o funcţie vectorială vom scrie )(trr = .

{I, (t)rr = } se numeşte partea analitică (sau parametrizarea) drumului d, iar

(I)rΓ = se numeşte partea geometrică.

Observaţia 1.1. Există drumuri cu aceeaşi parte geometrică şi cu părţi analitice

diferite.

De exemplu : cosr],{[0,d1 =π= t i +sin t j , ])}([0,r π

şi d2={[-1,1], 1,1])}([q,jx1ixq 2 −−+=

au aceeaşi parte geometrică - semicercul superior cu centrul în origine şi rază 1.

Definiţia 1.2. Un drum de clasă Ck, k∈N*, d={I, (I)}r(t),rr = se numeşte simplu

dacă r este o funcţie injectivă.

Definiţia 1.3. Un drum de clasă Ck, k∈N*, d={I, (I)}r(t),rr = se numeşte

nesingular (regulat,neted), dacă r este o funcţie regulată, adică θ(t)r' ≠ , ∀ t∈I.


114

Definiţia 1.4. Două drumuri simple, de clasă Ck, k∈N*, (I)}r(t),rr{I,d == şi

222 (Iq(u),qq,{Id == )}, cu aceeaşi parte geometrică )(Iq)(Ir 21 = , se numesc

echivalente dacă există un difeomorfism f:I1→ I2 astfel încât r = fq o .

Definiţia 1.4. caracterizează o relaţie de echivalenţă în mulţimea drumurilor de

aceeaşi clasă şi cu aceeaşi parte geometrică.

Definiţia 1.5. O clasă de echivalenţă de drumuri simple şi netede, de clasă Ck,

k∈N*, se numeşte arc simplu nesingular de clasă Ck, sau pe scurt curbă simplă

netedă de clasă Ck. O curbă, în general, va fi reuniunea unor arce simple şi nesingulare.

Observaţia 1.2. O curbă este perfect determinată dacă se cunoaşte un

reprezentant al său, C:{I, (I)}r(t),rr = .

Pentru a scurta scrierea, când nu este pericol de confuzie, se poate identifica

curba prin C: (t)rr = , renunţându-se la a-l explicita pe I.

Domeniul maxim de definiţie al unei curbe se numeşte domeniul natural şi dacă

nu se specifică I, se consideră funcţia r definită pe domeniul natural.

Considerăm C={I, }Γ,kz(t)jy(t)ix(t)(t)r ++= o curbă simplă, nesingulară de

clasă Ck, k∈N*. Aceasta înseamnă că r este o funcţie de clasă Ck, injectivă şi θ)(r' ≠t

∀t∈I. Alegem t∈I astfel încât x’(t)≠ 0. Conform teoremei de inversiune locală (din

analiza matematică), există o vecinătate I1⊂ I a punctului t astfel încât restricţia funcţiei

x la I1, adică 1I

x =ϕ este difeomorfism între I1 şi J⊂R.

Funcţia 1−ϕ :J→I1 este un difeomorfism care compus cu r conduce la

.,k(x))z(j(x))y(i(x))x((x))(r)(x)r((x)q 11111 Jx ∈∀ϕ+ϕ+ϕ=ϕ=ϕ= −−−−−o

Notăm f(x)(x))y( 1 =−ϕ şi g(x)(x))z( 1 =−ϕ şi se obţine:

Jx,kg(x)jf(x)ix(x)q ∈∀++= .

Evident ϕoqr = şi am obţinut astfel pentru un arc din curba C, să-l numim C1,

cu reprezentarea analitică {J, }q .

Deci, arcul C1 se poate reprezenta analitic astfel:


115

(J)}q,kg(x)jf(x)ix(x)q{J,C

)}(Ir,kz(t)jj(t)ix(t)(t)r,{IC'1

111

++==

++== şi

funcţia vectorială 3EJ:q → este perfect determinată de funcţiile

y(x)=f(x), z(x)=g(x), Jx ∈∀ .

Pentru a scurta limbajul şi scrierea se spune: curba C1 este reprezentată

analitic prin ecuaţiile ⎩⎨⎧

==

g(x)zf(x)y

, ∀x∈J, unde f şi g sunt funcţii de clasă Ck, k∈N*.

Această reprezentare a curbei C1 se numeşte reprezentare analitică explicită

şi în această reprezentare curba C1 este intersecţia a două suprafeţe reprezentate prin

ecuaţiile lor explicite.

Când curba este plană, reprezentarea analitică explicită este

C:y = f(x), ∀x∈J,

iar partea sa geometrică coincide cu graficul funcţiei derivabile f:J→R.

Considerăm mulţimea de puncte:

R}V:GF,EV,0z)y,G(x,0z)y,F(x,

Ez)y,{M(x,Γ 33 →⊆==

∈=

Dacă F şi G sunt de clasă Ck pe mulţimea V deschisă şi conexă şi în punctul

M0 Γ∈ , rang ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

zyx

zyx

G'G'G''FF'F'

=2

atunci există o vecinătate U ⊆ V a punctului M0 astfel încât submulţimea de puncte Γ1 ⊆

Γ corespunzătoare lui V este partea geometrică a unui arc de curbă simplu, nesingular

de clasă Ck. Presupunem că determinantul funcţional

)(z)D(y,G)D(F,

0M =)()()()(

z)D(y,G)D(F,

0'

0'

0'

0'

M0MGMGMFMF

zy

zy=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠ 0 şi atunci conform teoremei

funcţiilor implicite rezultă că există I0 vecinătate a lui x0 şi funcţiile unice f, g:I0 →R de

clasă Ck astfel încât : f(x0)=y0, g(x0)=z0,

F(x,f(x),g(x))=0, G(x,f(x),g(x))=0, ∀ x∈I0.

Funcţiile f şi g sunt difeomorfisme între I0 şi f(I0), respectiv g(I0).


116

Mulţimea punctelor })),(),(,({ 31 IxxgxfxMEM ∈∈=Γ este partea geometrică a

arcului simplu nesingular C1, reprezentat prin { }11 Γ,kg(x)jf(x)ix(x)qI, C ++== .

Pe de altă parte :

Γ1={M(x,y,z) ⎢F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0, ∀(x,y,z)∈I×f(I)×g(I)=U}.

Funcţiile f şi g sunt unic determinate de ecuaţiile:⎩⎨⎧

==

0),,(0),,(

zyxGzyxF

, (x,y,z)∈U.

Această reprezentare analitică se numeşte reprezentarea implicită a curbei C1.

O curbă plană este reprezentată analitic implicit prin C : F(x,y)=0.

Exemplu. Curba ⎩⎨⎧

=+=++

222

2222:

zyxazyxC , z≥0, reprezintă un semicerc.

O reprezentare parametrică C:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

2az

sint2

ay

cost2

ax

a>0,t∈[0,π].

O reprezentare analitică explicită ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−−=22

222:

yxzyxazC ,

2

2,

2),( ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−∈

aayx .

§ 2.Tangenta şi planul normal

Fie curba C, de clasa Ck, k∈N*, reprezentată analitic prin ecuaţia vectorial

parametrică )(trr = , t∈I⊆R şi M0 un punct al curbei corespunzător valorii t0∈I. Vom

nota M0(t0), înţelegând prin aceasta )( 00 trOM = . .

Fie punctul M’(t’ = t0+Δt), un punct vecin cu M0.

Definiţia 2.1. Poziţia limită a dreptei M0M’ atunci când M’→M0 (Δt→0),

dacă există, se numeşte tangenta curbei C în punctul M0.


117

Teorema 2.1. Fie o curba netedă în spaţiu C, reprezentată parametric prin

)(trr = , t∈I⊆R. În orice punct nesingular al său M0(t0) ( θ≠)(' 0tr ), există şi este unică

tangenta la curbă şi direcţia ei este dată de vectorul )(' 0tr , (fig.1).

Figura 1

Ecuaţia vectorială a tangentei la curba C, în M(t0), este

)(')(: 00 trtrrt λ+=Δ , λ∈R, (2.1)

care în coordonate carteziene se scrie:

)('

)()('

)()('

)(:0

0

0

0

0

0

tztzz

tytyy

txtxx

t−

=−

=−

Δ . (2.2)

Când curba C este reprezentată analitic explicit, prin:

⎩⎨⎧

==

)()(

:xgzxfy

C , f, g:J →R (2.3)

şi M0(x0,y0,z0)∈C, cu y0=f(x0), z0=g(x0), x0∈J, este un punct nesingular al curbei, atunci

o reprezentare parametrică a curbei, într-o vecinătate a punctului M0, este:

kxgjxfixrC )()(: ++= , x∈J.

Ecuaţiile tangentei la curba C, in M0, sunt:

)(')('1

:0

0

0

00

xgzz

xfyyxx

t−

=−

=−

Δ (2.4)

Când curba C este reprezentată analitic implicit, prin:

⎩⎨⎧

==

0),,(0),,(

:zyxGzyxF

C , F,G:Δ⊆R3→R (2.5)


118

şi M0(x0, y0, z0)∈C este un punct regulat al curbei, (adică

0),(),(

0

≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

MzyDGFD ), atunci există o vecinătate V a lui M0 în care avem reprezentarea

analitică :

kxgjxfixrC )()(: ++= , x∈V.

Există deci în vecinătatea lui M0 functiile f,g, definite implicit de sistemul de ecuaţii (2.5),

care verifică : F(x,f(x),g(x)) = 0

G(x,f(x),g(x)) = 0 ∀ x∈V.

Derivăm aceste relaţii in raport cu x şi se obţine:

0M

0

z)D(y,G)D(F,

x)D(z,G)D(F,

)(xf'

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= 0M ;

0M

0

z)D(y,G)D(F,

y)D(x,G)D(F,

)(xg'

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= 0M .

Ecuaţiile tangentei la curba C in punctul M0 sunt :

000

000:

MMM

tzzyyxx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ

y)D(x,G)D(F,

x)D(z,G)D(F,

z)D(y,G)D(F,

. (2.6)

În cazul unei curbe plane C: jtyitxtr )()()( += , reprezentată parametric, ecuaţia

tangentei într-un punct nesingular M0(t0)∈C al curbei este:

)('

)()(')(:

0

0

0

0

tytyy

txtxx

t−

=−

Δ . (2.7)

Pentru o curbă plană reprezentată analitic explicit prin C:y=f(x), ecuaţia tangentei

într-un punct regulat M0(x0, y0) al curbei este:

)('1

:0

00

xfyyxx

t−

=−

Δ (2.8)

Când curba plană este reprezentată analitic implicit prin C:F(x,y)=0, atunci

tangenta în punctul regulat M0(x0, y0), (F’x(M0)≠0, F’y(M0)≠0 simultan) al curbei este:

),(),(

:00

'0

00'

0

yxFyy

yxFxx

xyt

−=

−−

Δ . (2.9)

Definiţia 2.2. Planul perpendicular în punctul M0(t0)∈C,al unei curbe din spaţiu,

pe tangenta la curbă în M0(t0) se numeşte planul normal la curbă în acel punct.


119

Din ecuaţiile (2.1) , (2.4) şi (2.6) rezultă ecuaţiile planului normal în punctul M0 la

curba C, pentru cele trei tipuri de reprezentări analitice ale curbei:

0)('))((: 00 =⋅− trtrrPn (2.10)

pentru reprezentarea parametrică a curbei C: (t)rr = ;

:nP x-x0+f ’(x0)(y-f(x0))+g’(x0)(z-g(x0))= 0 (2.11)

pentru reprezentarea explicită ⎩⎨⎧

==

)()(

:xgzxfy

C , f, g:J →R ;

0)()()(: 000 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛zzyyxxPn

000 MMM y)D(x,G)D(F,

x)D(z,G)D(F,

z)D(y,G)D(F, (2.12)

pentru reprezentarea implicită unde am notat cu )()()()(

0'

0'

0'

0'

MGMGMFMF

zy

zy=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0Mz)D(y,G)D(F, şi

analog ceilalţi determinanţi funcţionali.

Observaţia 2.2. În planul normal la curba C, în punctul M0, sunt conţinute toate

perpendicularele pe tangenta în M0 la curba C; oricare dintre aceste drepte se numeşte

normala la curba C in punctul M0.

§ 3. Planul osculator şi binormala

Considerăm curba în spaţiu reprezentată analitic prin C : ( )trr = , t∈I, de clasă

Ck, k≥ 2 şi M0(t0) un punct nesingular,( θ≠)(' 0tr ), pe curbă.

Definiţia 3.1. Se numeşte plan osculator, în punctul M0 al curbei C, poziţia

limită a unui plan ce trece prin tangenta la curbă în M0 şi printr-un punct M’ de pe curbă,

atunci când MM' → 0.

Ecuaţia planului osculator la curba C în punctul ( )00 tM este:

( ) ( ) ( )( ) 0tr",tr',trr:P 0000 =− (3.3)

Când curba C este reprezentată analitic, prin ecuaţiile ei parametrice, ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

z(t)zy(t)yx(t)x

:C , t∈I


120

atunci planul osculator in punctul ( )00 tM al curbei, are ecuaţia :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0t'z't'y't'x'tz'ty'tx'

tzztyytxx:P

000

000

000

0 =−−−

. (3.4)

Definiţia 3.2. Un punct nesingular al unui arc de curbă regulat, de clasă cel

puţin 2, în care planul osculator al curbei este nedeterminat se numeşte punct de inflexiune al curbei.

Când curba este reprezentată analitic, parametric prin C : ( )trr = , t∈I, un punct

de inflexiune al ei, M0(t0), poate fi caracterizat prin:

θ=× )('')(' 00 trtr .

Observaţia 3.1. Punctele unei drepte sunt toate puncte inflexionare.

Teorema 3.1. În cazul unei curbe plană, planul curbei care conţine toate

punctele acesteia este planul osculator al curbei, pentru orice punct regulat al curbei.

Definiţia 3.3. Perpendiculara în punctul )( 00 tM al curbei C, pe planul osculator

se numeşte binormala curbei în punctul considerat M0.

Evident, binormala este perpendiculară pe tangenta în 0M , adică este o normală

a curbei in punctul 0M .

Ecuaţia binormalei la curba { ( ) }trrIC == , în punctul ( )00 tM este:

[ ] θ=××−Δ )(r")(r'))(rr(: 000 tttbn . (3.5)

§ 4. Normala principală şi planul rectificator

Considerăm o curbă în spaţiu reprezentată analitic prin C : ( )trr = , t∈I, de clasă

Ck, k≥2 şi M0(t = t0) un punct nesingular, pe curbă.

Definiţia 4.1. Se numeşte normală principală în punctul )( 00 tM , punct

nesingular de ordin cel puţin doi ( θ≠)(' 0tr , θ≠)('' 0tr ), normala la curbă în 0M ,

conţinută în planul osculator în 0M .


121

Direcţia normalei principale este perpendiculară pe 'r (direcţia tangentei) şi

r"r'× (direcţia normalei planului osculator) , prin urmare este paralelă cu vectorul:

( ) ( )( ) ( )tr'tr"tr' ×× . (4.1)

Ecuaţia normalei principale la curba C, în punctul M0 este :

( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] θ=×××−Δ 0000 tr'tr"tr'trr:np . (4.2)

Definiţia 4.2. Planul perpendicular pe normala principală într-un punct nesingular

de ordin cel puţin doi M0(to), al curbei C:{ }Γ,,rI se numeşte planul rectificator la curbă

în punctul considerat.

Ecuaţia planului rectificator în 0M (t0) este :

( )( ) ( ) ( )( )[ ] 0)('tr"tr'trr: 0000 =××⋅− trPr . (4.3)

Normala principală se află la intersecţia planului osculator şi planului normal al

curbei în punctul M0(to), considerat.

§ 5. Lungimea unui arc de curbă. Parametrizare naturală. Element de arc

Fie ( ) },,{ Γ== trrIC o curbă în spaţiu şi n21i a....aa ;n1,iI,a <<<=∈ .

Linia poligonală formată cu punctele curbei ( ) ( ) ( )nn aAaAaA ,......, 2211 se numeşte

linie poligonală înscrisă în arcul A1An. Alegând alte numere între a1 şi an se va obţine o

altă linie poligonală.

Definiţia 5.1. Arcul de curbă A1An se numeşte rectificabil dacă mulţimea

lungimilor liniilor poligonale înscrise este mărginită superior, iar marginea sa

superioară se numeşte lungimea arcului.

Se poate demonstra următoarea teoremă:

Teorema 5.1. Arcul de curbă }),(],,{[ Γ== trrbaC simplu, de clasă 1, ≥kC k ,

este rectificabil şi lungimea sa este dată prin:

ba;dt(t)rl(c) ba

' <∫= . (5.1)


122

Fie Γ∈)( 00 tM şi o orientare stabilită pe curbă. Poziţia unui punct M(t) pe curbă

este perfect determinată de lungimea arcului 0M M însoţită de semnul plus sau minus

după cum M este în sensul pozitiv sau negativ faţă de 0M (fig.2). Se obţine astfel un alt

parametru pe curbă, s(t), care se numeşte abscisa curbilinie cu originea in M0(t0);

punctul M(t) se va nota M(s(t)).

M0M

'M

Figura 2

De exemplu, dacă pe C orientarea este indusă de ordinea în [a,b], atunci această

funcţie este:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<−

=

0

0

0

ttl(t)tt0

ttl(t))(ts , unde l(t) = )l(M0M .

Lungimea oricărui arc de curbă este un număr pozitiv, abscisa s(t) fiind un număr

real oarecare. Deci , dacă t < t0 atunci:

l(t) = )( 0MMl = duurt

t∫0

)(' .

Obţinem:

=)(ts duurt

t∫0

)(' , pentru orice ∈t I.

Notăm cu J = [s(a), s(b)]; s-a obţinut funcţia s:I→J definită ca mai sus.

Derivând această funcţie se obţine: )()( ' trtdtds

= , ∀ t∈[a, b].

Se observă că s este o funcţie crescătoare pe [a, b], pentru că 0)(' ≥tr şi prin

urmare ea este bijectivă. Funcţia inversă IJs →− :1 o vom nota t=t(s), s∈J şi are

derivata:

0))((

1)( >=st

dtdss

dsdt


123

adică este un difeomorfism de la J la I.

Difeomorfismul IJs →− :1 compus cu funcţia vectorială, r , care defineşte curba

ne conduce la funcţia

Γ→Jq : , ))(()(1 strsqsrq =⇔= −o , ∀s∈J.

Astfel se obţine reprezentarea analitică },,{ 1 Γ= −srqJ o a curbei C, echivalentă

cu aceea dată iniţial.

Definiţia 5.2. Abscisa curbilinie, s, se numeşte parametru natural pe curbă, iar

parametrizarea corespunzătoare se numeşte parametrizare naturală.

Propozitia 5.1. Orice curbă regulată, C, poate fi parametrizată natural.

Definiţia 5.3. Diferenţiala funcţiei s, notată ds, se numeşte elementul de arc pe

curba considerată.

Obţinem elementul de arc ds= dttr )(' , care în coordonate carteziene este:

dt(t)z'(t)y'(t)x'ds 222 ++= .

Când curba este reprezentată analitic explicit elementul de arc se calculeaza

dx(x)g'(x)f'1ds 22 ++=

§ 6. Reperul (triedrul) Frenet

Considerăm arcul de curbă ( ) },,{ Γ== trrIC , simplu, nesingular de clasă kC ,

k≥2, şi Γ∈)( 00 tM un punct neinflexionar ( θ≠× )('')(' trtr ) al curbei.

Definiţia 6.1.Triedrul format din planele:osculator, normal şi rectificator construite

în punctul 0M al curbei C se numeşte reperul (triedrul) lui Frenet în punctul 0M .

Planele fiind două câte două ortogonale, triedrul lui Frenet este triortogonal.

Aceste plane se numesc feţele triedrului Frenet în punctul considerat 0M .

Definiţia 6.2. Tangenta, normala principală şi binormala construite în punctul M0

la curba C, se numesc feţele triedrului Frenet. Ecuaţiile feţelor şi muchiilor triedrului Frenet într-un punct regulat al unei curbe C,

s-au scris în paragrafele precedente.


124

Definiţia 6.3. Versorii tangentei, normalei principale şi binormalei, orientaţi astfel

încât să formeze un triedru drept se numesc versorii triedrului lui Frenet în punctul

M0(t0)∈C.

)( 0tτ este versorul tangentei ;

)( 0tν este versorul normalei principale ;

)( 0tβ este versorul binormalei în punctul M0(t0)∈C.

Aceşti versori fiind ortogonali doi câte doi formează o bază {τ , ν , β } orientată

pozitiv.

Definiţia 6.4. Reperul format dintr-un punct nesingular de ordinul al doilea

( θ≠)(' 0tr , θ≠)('' 0tr ) 0M (t0)∈C şi baza { )( 0tτ , )( 0tν , )( 0tβ } se numeşte reperul Frenet în

punctul 0M (fig. 3).

Reperul (triedrul) Frenet este un reper local pe curba considerată. Proprietăţile

curbei pot fi mult mai bine studiate folosind acest reper local.

Când curba C este reprezentată parametric prin ( )trrC =: , versorii triedrului

Frenet, în punctul regulat M0(t0)∈C, se calculează astfel :


125

)(t'r)(t'r)(

0

00 =tτ ; ( )

( ) )(r')(r")(r')(r')(r")(r')(

000

0000

tttttt

t××

××=ν ; ( )

)(r")(r')(r")(r')(β

00

000

tttt

t×

×= ;

unde prin ‘ şi “ am notat derivatele în raport cu t .

Pentru alte tipuri de reprezentări analitice ale curbei C, nu dăm formule de calcul.

Versorii se vor determina din definiţia lor.

Observaţia 6.1.

1) τβν ×= ;

2) Versorul tangentei la curbă, în punctul nesingular M(t)∈C, este: dsrd

=τ , unde

s este parametrul natural pe curba C .

3) Când curba ( )srrC =: este parametrizată natural vectorul director al normalei

principale la curbă este 2

2

dsrd .

§ 7. Formulele lui Frenet. Curbura şi torsiunea

Fie curba C de clasă 2k,Ck ≥ , C: (s)rr = reprezentată parametric natural.

Formulele lui Frenet dau reprezentarea derivatelor versorilor triedrului Frenet în

raport cu s, funcţie de aceşti versori, adică exprimă dsdτ ,

dsdυ ,

dsβd funcţie de τ , β ,υ .

Fie M(s)∈C un punct nesingular, pe curbă şi reperul Frenet corespunzător lui M,

{M;τ , υ ,β } Exprimăm dsdτ ,

dsdυ şi

dsβd în baza reperului, B ={τ , υ ,β }, adică:

dsdτ = a11τ + a12 υ + a13 β (7.1)

dsdυ = a21τ + a22 υ + a23 β (7.2)

dsβd = a31τ + a32 υ + a33 β (7.3)


126

Ştim că τ este versor, adică τ 2 =1. Derivăm această relaţie în raport cu s şi obţinem

2τ .

dsdτ = 0. Înmulţim scalar relaţia (7.1) cu τ

τ .

dsdτ = a11τ 2 + a12υ .τ + a13 τ . β = a11

Am folosit ortogonalitatea lui τ , β ,υ şi am obţinut că a11 = 0.

Analog procedând pentru υ şi β se obţine a22 = a33 = 0.

Pentru a determina ceilalţi coeficienţi procedăm astfel: relaţia (7.1) înmulţită

scalar cu υ şi relaţia (7.2) cu τ , apoi adunate şi se obţine:

dsdτ . υ +

dsdυ . τ = a12

2υ +a21τ 2 = a12 + a21

Dar τ ⋅υ = 0. Derivăm în raport cu s şi se obţine dsdτ . υ + τ .

dsdυ = 0

Din aceste două relaţii rezultă a12 = - a21.

În mod asemănător folosind τ . β = 0 rezultă a13=-a31 şi tot aşa din

ortogonalitatea versorilor β şi υ se obţine a23 = - a32.

Relaţiile Frenet devin:

dsdτ = a12 υ + a13 β (7.1’)

dsdυ = - a12 τ + a23 β (7.2’)

dsβd = - a13τ - a23 υ (7.3’)

Dar dsdτ =

dsd υ2

2

2

2

dsrd

dsrd

dsrd

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ . (7.4)

Folosind unicitatea coordonatelor unui vector într-o bază din (7.1’) şi (7.4) rezultă

că a13 = 0.

Notăm a12 = R1

dsrd2

2

= ; a23 = T1 .

Definiţia 7.1. Numărul pozitiv R1 se numeşte curbura curbei C, în punctul M; iar

R se numeşte raza de curbura.


127

Definiţia 7.2. Numărul real T1 se numeşte torsiunea curbei C în punctul M; iar

⏐T⏐ se numeşte raza de torsiune.

Formulele lui Frenet sunt:

dsdτ =

R1 υ ;

dsβd = -

T1 υ ;

dsdυ = -

R1 τ +

T1 β .

Curbură. Interpretare geometrică.

Fie curba de clasa 2k,Ck ≥ , C: (s)rr = reprezentată prin ecuaţia ei naturală şi

M(s) un punct nesingular pe această curbă.

Curbura în M, este notată 2

2

dsrd

R1= şi dacă kz(s)jy(s)ix(s)(s)r ++= , curbura se

calculează : 2

2

22

2

22

2

2

dszd

dsyd

dsxd

R1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= .

Pentru o reprezentare parametrică a curbei C: )(trr = şi pentru punctul M(t)∈C,

calculăm derivatele lui r în raport cu t , punând în evidenţă parametrul natural s, pentru

că ))(()( tsrtr = .

Notăm derivatele în raport cu t cu ’ , ‘’ , ‘’’, şi se obţine :

'' sr τ= ; ( ) '''1'' 2 ssR

r τν += .

Calculăm 3)(s'R1''r'r =× , de unde rezultă 3

'r

''r'r

R1 ×= formula de calcul a

curburii în punctul M(t) pentru această reprezentare analitică parametrică a curbei.

Interpretarea geometrică

Fie curba C: )(srr = şi punctele vecine M(s)∈C, M’(s+Δs)∈C, notăm )(sτ şi

)( ss Δ+τ versorii tangentelor în aceste puncte la curba C.

Translatăm vectorul tangent )( ss Δ+τ , astfel încat originea sa să fie punctul M.

Se obţine un triunghi isoscel cu două laturi de lungime egală cu unitatea, iar a treia este

reprezentată de vectorul )( ss Δ+τ - )(sτ .


128

Definiţia 7.3. Unghiul dintre tangentele la curba C în punctele M şi M’ se

numeşte unghiul de cotingenţă al tangentelor în punctele M şi M’; măsura lui va fi

notată cu θ .

Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul isoscel de mai sus şi se va obţine:

⎢⎢ )( ss Δ+τ - )(sτ ⎢⎢2=|| )( ss Δ+τ ||2+|| )(sτ ||2- 2|| )( ss Δ+τ || || )(sτ || cos θ=2(1-cos θ)=42

sin2 θ

Folosind definiţia derivatei a doua şi faptul că )()( sds

rds =τ obţinem următoarea

expresie pentru curbura în punctul M

2

2

dsrd

R1= =

s

ssss Δ

−Δ+

→Δ

)()(lim

0

ττ=

ss Δ→Δ

2sin2

lim0

θ

=ss Δ→Δ

θ0

lim .

Definiţia 7.4. Raportul sΔθ dintre unghiul tangentelor în punctele M şi M’ ale

curbei C şi arcul corespunzător se numeşte curbura medie a curbei pe porţiunea de

arc dintre M şi M’.

Limita curburii medii când M’→M, adică Δs→0, este curbura în punctul M,

notată )(1 MR

.

Curbura curbei măsoara “încovoierea” curbei, adică abaterea curbei faţă de

tangentă, în punctul M, considerat.


129

Propoziţia 7.1. Curbura unei curbe regulate C este zero în toate punctele sale

dacă şi numai dacă C este o dreaptă.

În cazul unei curbe plană, regulată, reprezentată parametric prin:

C:⎩⎨⎧

==

)()(tyytxx

, t∈I⊆R,

curbura într-un punct regulat al curbei se calculează cu următoarea formula:

2

322 ))(')('(

)(')('')('')('1

tytx

tytxtytxR +

−= ,

şi în cazul curbelor plane reprezentate explicit prin C: y=f(x), care se poate parametriza

prin C: jtyittr )()( += , curbura într-un punct regulat al curbei M(t) este

( ) 2

32 )('1

)(''1

ty

tyR += .

Torsiunea. Interpretarea geometrică.

Fie curba C: (s)rr = şi M(s), M(s+Δs)∈C două puncte ale curbei. Din formula a

treia a lui Frenet, putem obţine interpretarea geometrică a torsiunii:

νβTds

d 1= ⇒

ss

dsd

T s ΔΔ

==→Δ

)(lim10

ββ

Construim în M şi M’ versorii binormalelor pe care-i notăm )(sβ şi respectiv )( ss Δ+β .


130

Translatăm )( ss Δ+β cu originea în punctul M(s), se obţine un triunghi isoscel cu două

laturi de lungime 1 şi a treia reprezentată de vectorul )()( sss ββ −Δ+ . Aplicarea

teoremei cosinusului în acest triunghi ne furnizează expresia:

2

sin2)()( ϕββ =−Δ+ sss ,

unde ϕ este unghiul dintre )( ss Δ+β şi )(sβ .

Definitia 7.5. Unghiul dintre binormalele în M şi M’ la curbă se numeşte unghiul

de contingenţă al binormalelor la curbă în M şi M’ şi-l vom nota cu ϕ.

Folosind ultima formulă a lui Frenet obţinem:

sssss

T ss Δ=

Δ−Δ+

=→Δ→Δ

ϕββ00

lim)()(lim1 .

Definitia 7.6. Raportul sΔϕ se numeşte torsiunea medie a arcului MM’.

Când M’→M , Δs→0 şi torsiunea medie tinde către torsiunea curbei în punctul M.

Torsiunea reprezintă gradul de abatere al curbei de la planul osculator în M.

Propoziţia 7.2. O curbă C este plană dacă şi numai dacă 01≡

T.

Torsiunea este nulă T1 =0 în orice punct al unei curbei plane.

În cazul, curbelor plane, formulele lui Frenet devin :

τ−=ν

ν=τ

Rdsdşi

Rdsd 11


131

Vom deduce o formulă de calcul pentru torsiune, în cazul curbelor din spaţiu

reprezentate parametric prin: C: )(trr = . Folosim derivatele lui r în raport cu t calculate

mai sus, în cazul curburii, şi calculăm

βντ 3332 )'(11'''1'''2)'(1''')'(1''' s

TRss

Rss

Rs

Rdsdss

Rr ⋅+⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−= .

Calculăm produsul mixt

( )

.)'''(

)''','','(1

'1

'''

')''','','(

)'()''','','(1'''''')''','','(

2

26

rrrrr

T

rrr

rrrr

sRrrr

Trrrrrr

×=

⇒⋅×

⋅==⇒⋅×=

Aceasta este formula de calcul a torsiunii pentru o parametrizare arbitrară a

curbei, C: )(trr = .

Observaţia 7.1. 1.Curbura şi torsiunea sunt independente de reperul din spaţiu considerat şi de

parametrizarea curbei; din acest motiv spunem că funcţiile curbură şi torsiune sunt

invarianţi ai curbei. In punctele inflexionare ale curbei vom defini curbura ca fiind nulă.

2. Reperul lui Frenet este bine determinat numai pentru punctele neinflexionare

ale curbei.


132

CAPITOLUL 2

SUPRAFEŢE ÎN E3

§ 1. Definiţie şi reprezentare analitică

Presupunem că spaţiul E3 este raportat la reperul cartezian R{ }kji ,,;0 .

Definiţia 1.1. O pânză de suprafaţă de clasă Ck, (k∈N*), în E3, este un triplet

{ }∑ = Sv),(u,rrD,: ,

unde D ⊆ R2 este o mulţime deschisă şi conexă, r : D→R3 este o funcţie vectorială de

clasă Ck, formată din funcţiile reale de două variabile reale, notate cu x,y,z:D→R; iar

S=r (D)= { }Dv)(u,IEv))(u,rM( 3 ∈∈ .

{ }rD, este partea analitică, iar S este partea geometrică a pânzei de suprafaţă.

Vectorul r (u,v) este vectorul de poziţie faţă de reperul R, presupus fixat, al

punctului M(u,v) de pe pânza de suprafaţă. Pentru a marca faptul că r este un vector

funcţie de parametrii u,v, folosim notaţia:

r = r (u,v), care este echivalentă cu ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

v)z(u,zv)y(u,yv)x(u,x

, u,v ∈D⊆R2.

Definiţia 1.2. O pânză de suprafaţă se numeşte nesingulară (netedă sau

regulată) dacă aplicaţia r : D→R3, r = r (u,v) are proprietatea că:

pentru orice (u,v)∈D, rang

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

vz

uz

vy

uy

vx

ux

=2.


133

Definiţia 1.3. Un punct M al unei pânze de suprafaţă, se numeşte nesingular

(sau regulat) dacă θ≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

×∂∂ )(M

vr

ur .

Definiţia 1.4. O pânză de suprafaţă, { }∑ = Sv),(u,rrD,: , se numeşte simplă

(fără puncte multiple) dacă 3: RD →r este funcţie vectorială injectivă.

Observaţia 1.1. Este posibil să existe pânze de suprafaţă, în sensul definiţiei de

mai sus, cu aceeaşi parte geometrică şi cu părţile analitice diferite, aşa cum arată

exemplul următor:

Exemplu . Pânzele de suprafaţă:

∑⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ϕ+ϕ+ϕ==∈ϕθ=

1)(Dr;kcosajsinθsinaiθcossinar,D)

2π)x(0,

2π(0,),( 11 şi

{ }{ }∑ −−++=>><+=∈=2 2

2222222 )(Dq;kyxajyixq;0y0,x,ayxDy)(x,

au aceeaşi parte geometrică r (D1) = q (D2), şi anume octantul din sfera x2 +y2+z2 =a2,

x>0, y>0, z>0 (fig.1).

Figura 1

Definiţia 1.5. Două pânze de suprafaţă de clasă Ck, k∈N*,

{ }∑ ==1 11 )(r v),(u,rr,D D şi { }∑ ==2 2''

2 )(Dq),v,(uqq,D se numesc echivalente, dacă

există un difeomorfism de clasă Ck, f: D1 → D2 astfel încât qr = o f .

Evident, o condiţie necesară de echivalenţă este ca cele două pânze să aibă

aceeaşi parte geometrică. Se obţin astfel clase de echivalenţă pe mulţime pânzelor de

suprafaţă, cu aceeaşi parte geometrică.


134

Definiţia 1.6. O porţiune simplă de suprafaţă de clasă Ck, k∈N*, nesingulară

este o clasă de echivalenţă de pânze de suprafaţă, simple, nesingulare, de clasă Ck.

O clasă de echivalenţă este unic determinată de un reprezentant al său. De

aceea, în mod curent se va spune, porţiunea de suprafaţă reprezentată de ∑ , sau

dacă nu este pericol de confuzie, suprafaţa ∑: v)(u,rr = .

Definiţia 1.7. O suprafaţă de clasă Ck, k∈N*, este o reuniune finită de porţiuni

de suprafaţă simple, nesingulare de clasă Ck. În unele puncte, de pe frontierele comune

acestor porţiuni, suprafaţa poate să nu fie simplă, sau să nu fie regulată; se poate ca

partea analitică să fie de tipul {D, v)(u,rr = }, unde r poate fi în unele puncte

neinjectivă sau nesingulară.

O suprafaţă ∑ = {D, v)(u,rr = , r (D)} este unic individualizată de un reprezentant

al clasei respective şi funcţia v)(u,rr = poate fi considerată ca fiind definită pe domeniul

natural. De aceea, în practică se renunţă a mai scrie pe D şi r (D) şi se spune suprafaţa

∑ reprezentată analitic de ecuaţia v)(u,rr = , de clasă Ck.

Alte părţi analitice din aceeaşi clasă se numesc reprezentări analitice ale

suprafeţei ∑ . Trecerea printr-un difeomorfism de la o reprezentare la alta se numeşte

schimbare de parametri pe suprafaţă.

Reprezentarea analitică explicită a unei suprafeţe

Fie suprafaţa ∑ = {D, v)(u,rr = , r (D) } simplă şi nesingulară. Alegem (u0, v0)

∈D astfel încât ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛v)D(u,y)D(x, (u0, v0) ≠ 0. Fie aplicaţia h: D→Δ⊂ R2 dată prin h(u,v) = (x(u,v),

y(u,v)) . Există o vecinătate D1 ⊆ D a punctului (u0, v0) astfel încât 1Dh=ϕ este

difeomorfism între D1 şi Δ1 ⊂ Δ.

Funcţia ϕ-1: Δ1→ D1 dată prin ϕ-1(x,y) = (u (x,y), v (x,y)) este difeomorfism şi compunând

funcţia z = z (u,v) cu ϕ-1, se obţine z = z(u(x,y), v (x,y)) = f (x,y).

Prin urmare funcţia vectorială

q = 1r −ϕo , q (x,y)= ky)f(x,jyix ++

este o nouă reprezentare parametrică a unei porţiuni din ∑.


135

Vectorul q este perfect determinat de funcţia z=f(x,y), (x,y)∈D1 şi atunci

porţiunea de suprafaţă se poate scrie:

{ }{ }∑ =→==1 11 y)f(x,y),M(x,SR,Δ:fy),f(x,z,Δ

sau pe scurt 1Σ spunem că are parte analitică {Δ1, z=f(x,y)} şi partea geometrică

mulţimea punctelor de tipul M (x,y ,f (x,y)).

În practică se spune: suprafaţa Σ reprezentată analitic prin z = f(x,y).

Reprezentarea analitică prin ecuaţia z=f(x,y) se numeşte reprezentarea explicită a suprafeţei.

Dată fiind reprezentarea explicită a unei suprafeţe, o reprezentare parametrică

este de forma:

Σ: r = ky)f(x,jyix ++ , (x,y)∈Δ1.

Reprezentarea analitică implicită a unei suprafeţe

Fie o suprafaţă simplă, de clasa Ck, k∈N*, reprezentată analitic explicit,

Σ = {Δ, z = f (x,y), S},

unde Δ⊆R2, f: Δ→R, S = {M∈E3⏐M(x,y,f (x,y))}.

Putem scrie Σ = {ΔxS, F: ΔxS→R , S}, unde S= {M I F (x,y,z) = 0} şi funcţia

F(x,y,z) =z – f(x,y) păstrează clasa lui f.

Deci o suprafaţă simplă de clasă Ck, 1Σ :{D, z= f(x,y), S}, S = {M (x,y, f(x,y))}

poate fi caracterizată şi prin ecuaţia F(x,y,z)=0, unde F:Δ⊆R3→R este o funcţie reală,

diferenţiabilă, verificând condiţia dF(x,y,z)≠0, ∀(x,y,z)∈Δ.

Aceasta se numeşte reprezentarea implicită a unei porţiuni de suprafaţă.

Dată fiind o reprezentare parametrică a suprafeţei ∑: x = x(u,v), y = y(u,v) şi

z=z(u,v), prin eliminarea parametrilor u şi v între cele trei ecuaţii se obţine

reprezentarea implicită a acesteia.

Considerăm o suprafaţă, de clasa Ck, netedă pe Δ⊆R3, reprezentată implicit prin Σ:F(x,y,z)=0; F:Δ⊆R3→R este o funcţie reală, diferenţiabilă, verificând condiţia dF(x,y,z)≠0, ∀(x,y,z)∈Δ. Folosim teorema funcţiilor implicite şi exprimăm una dintre

funcţiile x, y sau z in funcţie de celelalte. De exemplu, în cazul în care 0),,( ≠∂∂ zyx

zF

din ecuaţia F(x,y,z)=0 se obţine local, coordonata z ca funcţie de celelalte, adică: z=f(x,y) reprezentarea explicită a suprafeţei.


136

§ 2. Curbe pe o suprafaţă. Reţeaua curbelor coordonate

Considerăm suprafaţa ∑: {D, v)(u,rr = , S} simplă şi nesingulară de clasă Ck

(k∈N*). Fie f: I ⊂ R→R2 injectivă şi regulată

t → f(t) = (u(t), v(t))

Dacă mulţimea D = Imf, atunci se pot compune aceste funcţii, obţinându-se

q= fr o , t → q (t)=r (u(t), v(t)),

astfel incât {D, q } este partea analitică a unei curbe C= {I, q = q (t), Γ}. Se spune despre

curba C că este situată pe ∑ , sau că este conţinută în ∑ şi pentru scurtarea scrierii

se notează Γ⊂ S.

Evident perechea de funcţii ⎩⎨⎧

==

v(t)vu(t)u

este echivalentă cu

⎩⎨⎧

==

v(t)vtu

⇔ v = v(u) ⇔ ϕ (u,v)= 0.

Prin urmare o curbă situată pe o suprafaţă este caracterizată analitic prin ecuaţia

suprafeţei însoţită de una din reprezentările:

⎩⎨⎧

==

v(t)vu(t)u

sau v= v(u) sau ϕ (u,v)= 0.

Dacă suprafaţa ∑ este reprezentată analitic prin F(x,y,z) =0, curba C dată

analitic prin r = r (t), ∀ t∈I, este situată pe ∑ numai dacă F(x(t), y(t), z(t))= 0 ∀t∈I.


137

Orice curbă de pe suprafaţa ∑ = 0),,(: zyxF mai poate fi caracterizată analitic prin

Σ:⎩⎨⎧

==

0z)y,(x, G0z)y,F(x,

, unde G(x,y,z)=0 este reprezentarea implicită a unei alte suprafeţe.

Dacă suprafaţa ∑ este reprezentată analitic explicit, prin Σ: z = f(x,y), atunci ea

se poate parametriza şi reprezenta prin Σ: ky)f(x,jyixr ++= şi deci rezultă că orice

legătură între x şi y împreună cu ecuaţia dată caracterizează o curbă pe suprafaţă.

O legătură între x şi y de tipul ϕ (x,y)=0 este un cilindru, deci curba apare ca

intersecţia unui cilindru cu generatoarele paralele cu axa Oz şi suprafaţa ∑ .

Definiţia 2.1. Tangenta într-un punct al unei curbe de pe o suprafaţă se numeşte

tangentă la suprafaţă în acel punct.

Deoarece printr-un punct al suprafeţei trec mai multe curbe situate pe suprafaţă,

rezultă că tangenta construită într-un punct al suprafeţei nu este unică.

Când suprafaţa este reprezentată analitic parametric Σ : r =r (u,v), (u,v)∈D⊆R2 şi

Γ⊂ Σ este dată prin Γ:⎩⎨⎧

==

v(t)vu(t)u

, t∈I, atunci tangenta în M(t) ∈Γ⊂ Σ la curbă şi respectiv

la suprafaţă are direcţia (obţinută prin aplicarea formulei de derivare a funcţiilor

compuse):

( )(t)dvrdur(t)rd vu +=

unde vu rşir sunt derivatele parţiale ale funcţiei r în raport cu u şi v (fig.3).

Definiţia 2.2. Două familii de curbe situate pe suprafaţa Σ , de clasă Ck, (k∈N*),

spunem că formează o reţea de curbe pe aceasta suprafaţă, dacă:

a)prin orice punct al suprafeţei trece câte o singură curbă din fiecare familie;

b)tangentele construite la curbele din cele două familii, în punctul lor de intersecţie,

sunt distincte (fig.3).

Dintre toate curbele situate pe o suprafaţă ∑: r = r (u,v), remarcăm acele curbe

cu ecuaţiile Γu :v=v0, v0=const, respectiv şi Γv:u=u0, u0=const .


138

Aceste curbe se mai pot scrie Γu: r = r (u,vo) şi Γv: r = r (uo,v).

Teorema 2.1. Pe suprafaţa simplă şi regulată, ∑ : r =r (u,v), familiile de curbe Γu

şi Γv formează o reţea de curbe, numită reţeaua curbelor coordonate (linii de

coordonate).

Exemplu. Pe suprafaţa

Σ: r = a sin ϕ cos θ i +a sin ϕ sin θ j + a cos ϕ k , ϕ∈ [ )0,2πθ,2π0, ∈⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ ,

care este o emisferă cu centrul în origine, de rază a şi aflată în semispaţiul z > 0,

curbele coordonate sunt: θ=θ0, ( θ0 =const.) arce de cerc ale sferei şi ϕ =ϕ0 (ϕ0=const.)

cercuri ale sferei (fig 4).

§ 3. Planul tangent şi normala la suprafaţă

Fie suprafaţa ∑ şi curba Γ ⊂ Σ, M∈Γ un punct ordinar al suprafeţei. Tangenta în

M la suprafaţă, corespunzatoare curbei Γ are direcţia dată de vectorul rd .

Când suprafaţa este reprezentată analitic parametric prin Σ: r =r (u,v), direcţia

tangentei la Γ în punctul M este vrr,

urrcunotat am unde,dvrdurrd vuvu

∂∂

=∂∂

=+= .

În punctul dat ur şi vr au valori fixe independente de curba C. Dacă se consideră

o altă curbă prin M, se modifică valorile diferenţialelor du şi dv pentru că funcţiile u(t),

v(t), care definesc acea curbă, sunt altele. Deducem, astfel că dacă M este punct


139

nesingular, tangenta oricărei curbe în M de pe suprafaţă este situată în planul

determinat de vectorii ur şi vr .

Definiţia 3.1. Planul care conţine toate tangentele în punctul M∈Σ, la suprafaţa Σ

se numeşte plan tangent la suprafaţă în punctul M.

Când M(u,v)∈Σ este un punct nesingular, planul tangent la suprafaţă în acest

punct, este unic determinat de vectorii ),( vuru şi ),( vurv şi are ecuaţia:

PT: (r - r (u,v)) ⋅ ( ur x vr ) = 0 (3.1)

Ecuaţia (3.1) în coordonate carteziene se scrie:

PT:

vvv

uuu

zyxzyx

v)z(u,zv)y(u,yv)x(u,x −−−= 0 (3.2)

Când suprafaţa este reprezentată analitic explicit prin Σ:z = f(x,y), atunci o putem

reprezenta parametric sub forma:

Σ: ky)f(x,jyixr ++= .

Folosind notaţiile lui Monge

p = xz

∂∂ , q =

yz

∂∂ , r = 2

2

xz

∂∂ , s =

yxz2

∂∂∂ , t = 2

2

yz

∂∂ , vectorii xr şi yr au coordonatele:

xr = (1, 0, p) şi yr = (0,1,q). (3.3)

Planul tangent în M0 (x0, y0,z0)∈Σ, unde z0 = f(x0, y0), se obţine din (3.2), folosind (3.3)

PT:(x-x0) p0 + (y-y0)q0 – (z-z0) = 0 (3.4)

unde p0, q0 sunt valori ale lui p,q calculate în M0.

Când suprafaţa este reprezentată analitic implicit prin Σ:F(x,y,z)=0, într-o

vecinătate a unui punct ordinar M0(x0,y0,z0)∈Σ, se aplica teorema funcţiilor implicite şi se

explicitează prin z = z(x,y). Se obţine:

z

x

F'F'p −= , q = -

z

y

F'F'

(3.5)

Folosind (3.4), ecuaţia planului tangent în M0 (x0, y0, z0)∈Σ, este:

PT: (x-x0)0'xF +(y-y0)

o'yF + (z-z0)

o'zF = 0, (3.6)

unde o'xF ,

o'yF ,

o'zF sunt derivatele parţiale ale funcţiei F in punctul M0.


140

Definiţia 3.2. Fie M un punct al unei suprafeţe netede Σ. Perpendiculara

construită în punctul M pe planul tangent la suprafaţă se numeşte normala la suprafaţă

în M.

Când suprafaţa este de clasă de clasă Ck, (k∈N*), în toate punctele ordinare,

normala este unic determinată.

Având în vedere ecuaţiile (3.1), (3.4) şi (3.6), obţinem ecuaţiile normalei pentru

cele trei tipuri de reprezentări ale suprafeţei:

nΔ : (r - r (u,v)) x ( ur x vr ) = θ (3.7)

pentru o suprafaţă reprezentată parametric Σ: ),( vurr = , (u,v)∈D, în punctul M(u,v);

nΔ :0

0

pxx − =

0

0

qyy − =

1-zz 0− (3.8)

pentru o suprafaţă reprezentată analitic explicit prin Σ: z=f(x,y), în punctul M(x0,y0,z0);

nΔ : o'x

0

F

xx − = o'y

0

F

yy − = o'z

0

F

zz − (3.9)

pentru o suprafaţă reprezentată analitic implicit Σ: F(x,y,z)=0, in punctul M(x0,y0,z0).

Versorul director al normalei la suprafaţă se va nota cu ± N. Alegerea sensului

pe normală este astfel încât triedul ( ur , vr , ± N) să fie un triedru drept.

Versorul pozitiv al normalei la suprafaţă este N = vu

vu

rxrrxr .

§ 4. Prima formă pătratică fundamentală. Lungimi, unghiuri, element de arie, arii pe o suprafaţă

Fie Γ o curbă trasată pe suprafaţa netedă, Σ, de clasa Ck, (k≥1).

Elementul de arc al curbei Γ : r = r (t), t∈ I ⊆ R este dat de:

ds = rddt(t)'r = .

Teorema 4.1. Elementul de arc ds al unei curbe Γ trasată pe o suprafaţă ∑

reprezentată parametric prin Σ: r = r (u,v) , (u,v) ∈ D ⊆R2, este dat de:

ds2 = Edu2 +2Fdudv + Gdv2 ,


141

unde E = 2ur , F = ur ⋅ vr , G =

2vr .

Observaţia 4.1. Pentru curbele parametrice Γu şi Γv elementul de arc devine

ds = E du , respectiv ds = G dv.

În cazul unei curbe trasată pe o suprafaţă, u şi v nu sunt variabile independente,

există o legătură v=ϕ(u) şi deci du şi dv nu sunt independenţi, deoarece dv = ϕ’(u)du.

Definiţia 4.1. Ø1(M) = Edu2 +2Fdudv+Gdv2, ∀M∈Γ⊂Σ

se numeşte prima formă pătratică fundamentală a suprafeţei reprezentată parametric

Σ: r = r (u,v), (u,v)∈D ⊆R2, în punctul M(u,v).

Aceasta este o formă pătratică pozitiv definită şi reprezintă restricţia produsului

scalar al vectorilor liberi la planul tangent construit într-un punct nesingular al suprafeţei.

E,F,G se numesc coeficienţii primei forme pătratice fundamentale a suprafeţei; ei

nu depind decât de suprafaţă.

Calculăm EG – F2 = 2ur ⋅

2vr - (r u⋅ r v)2=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅−⋅ 2

u2u

2vu2

v2u

rr

)rr(1rr = 2ur ⋅

2vr [1-cos2 θ]

= 2ur ⋅

2vr sin2 θ =

2vu rxr ≥ 0,

unde θ este unghiul dintre r u şi r v.

Definiţia 4.2. Δ = EG – F2 se numeşte discriminantul primei forme pătratice

fundamentale a suprafeţei.

Dacă suprafaţa este reprezentată analitic explicit prin Σ:z =z(x,y), (x,z)∈D⊆R2

atunci putem considera parametrii pe suprafaţă ca fiind u=x, v=y, iar z=z(u,v) şi

coeficienţii primei forme pătratice fundamentale a suprafeţei vor fi:

E = 1+p2, F= pq, G= 1+q2.

Prima formă pătratică fundamentală pentru suprafaţa reprezentată explicit este

Ø1(M)= (1+p2) dx2+2pqdxdy+(1+q2)dy2, ∀M∈Σ.

Aplicaţie. Prima formă pătratică fundamentală a sferei S: x2 +y2 +z2 = a2.

Parametric această sferă se scrie S: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤=≤≤=

=

2π0acosθzπθ0asinθsiny

θcos asinx

ϕϕϕ

, parametrii u şi v

sunt aici θ şi ϕ.


142

r (θ,ϕ)= a sin θ cos ϕ i + a sinθ sin ϕ j +a cos θk ;

r θ= a cos θ cos ϕ i + a cos θ sin ϕ j - a sin θk

r ϕ = -a sin θ cos ϕ i + a sin θ cos ϕ j

E = 2θr = a2

F = 0=⋅ ϕθ rr

G = 2rϕ = a2 sin 2θ

ds2 = a2 (dθ2 + sin2θdϕ2) = ∅1(M)

Pe curbele coordonate ale acestei sfere: elementul de arc al curbelor meridiane

ϕ=const este ds=adθ şi elementul de arc al curbelor paralele θ =const este ds =asinθdϕ.

Definiţia 4.3. Lungimea unui arc 21MM∩

de pe curba Γ, reprezentată analitic

parametric prin Γ:u=u(t),v=v(t), situată pe suprafaţa Σ: r =r (u,v), cu M1(t1)∈Γ şi M2(t2)∈Γ,

este :

∫= 2t

1t2M1M dsl = ∫ ++2t

1t2'''2' dt)G(vv2Fu)E(u .

Unghiul a două curbe trasate pe suprafaţă

Fie Γ şi Γ ' două curbe trasate pe suprafaţa Σ reprezentată prin Σ: r = r (u,v),

(u,v) ∈D ⊆R2.

Pe curbele Γ şi Γ ' diferenţiala funcţiei r este notată cu dr = r udu +r vdv şi

respectiv δr = r uδu +r vδv.

Se ştie că unghiul dintre două curbe este unghiul dintre vectorii tangenţi la cele

două curbe în punctul de intersecţie, adică dr şi δr (diferenţiala pe curba Γ ' am notat-o

cu δr ). Atunci

cos (Γ , Γ ') = cos (dr ,δr ) = rrd

rrdδ

δ⋅

Folosind expresiile de mai sus ale acestor vectori, se obţine:


143

Teorema 4.2. Unghiul θ dintre două curbe Γ1 şi Γ2 trasate pe suprafaţa

reprezentată parametric Σ: r = r (u,v), (u,v) ∈D ⊆R2, este dat de:

cosθ = 2222 vGv u2FuEGdv2FdudvEdu

v Gdvu)dvvF(duu Edu

δδδδ

δδδδ

++++

+++ ,

unde am notat cu d diferenţiala calculată pe C1 şi cu δ diferenţiala pe curba C2.

Observaţia 4.2.1) Unghiul curbelor coordonate Γu şi Γv este dat de

cos θ = EGF ;

2) Curbele coordonate Γu şi Γv sunt ortogonale, dacă şi numai dacă

F= 0.

Elementul de arie al unei suprafeţe

Fie o suprafaţă regulată reprezentată parametric prin:

Σ: ⊆=

∈==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

v)z(u,zDv)(u,v)y(u,y

v)x(u,xR2

M∈Σ un punct regulat şi cu plan tangent unic determinat.

Fie u1 < u2<…< un, v1 < v2 <…<vm o diviziune a domeniului D. Fiecărui punct de

coordonate (ui, vj) îi corespunde perechea formată din cele două curbe coordonate

trasate pe suprafaţa u = ui şi v = vj, care trec prin acel punct, astfel încât suprafaţa Σ

este împărţită în părţile de suprafaţă S1, …Sp. Aria suprafeţei Σ va fi suma ariilor acestor

suprafeţe.

Presupunem că aria Sk este definită de punctele (ui, vj), (ui+1, vj), (ui, vj+1) şi

(ui+1, vj+1). Aria lui Sk o vom aproxima cu aria paralelogramului din planul tangent cu

laturile ur (ui+1-ui) şi vr (vj+1-vj).

Deoarece || ur || = E şi || vr || = G

|| ur x vr || = || ur || || vr || sin θ şi sin θ =EG

FEG 2− ,

aria paralelogramului va fi

σk* = )v)(vu(uFEG j1ji1i)v,(u

2ji

−−− ++ .


144

Aria suprafeţei va fi aproximată cu

S* = )v)(vu(uFEG j1ji1i

n

1i)v,(u

m

1j

2ji

−−∑ ∑ − ++= =

.

Definiţia 4.4. Se numeşte elementul de arie al suprafeţei Σ, forma diferenţială

dσ = 2F- EG du dv.

Aria suprafeţei Σ este dată de integrala dublă As = ∫∫ −D

2FEG du dv.

Dacă suprafaţa Σ este reprezentată analitic explicit prin Σ:z = f(x,y), (x,y)∈D⊆R2,

atunci E = 1+p2 , G = 1+q2, F= pq ⇒ EG-F2 = 1+p2+ q2 .

Elementul de arie va fi:

dσ = 22 qp1 ++ dx dy .

Dacă suprafaţa este reprezentată implicit prin Σ :F(x,y,z) =0, unde F:Δ⊆R3→ R

deoarece

p = z

'

'

FF x− şi q =

z'y

'

FF

−

obţinem elementul de suprafaţă

dσ = 2

z'y

'2

z'x

'

FF

FF1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ dx dy.

Aplicaţie. Să se scrie elementul de arie al paraboloidului

2zh = x2+y2, z ≥0, h > 0.

Se obţine p=hx , q =

hy şi Δ = EG –F2 = 1+p2 +q2 = 1+ 2

22

hyx +

dσ = h1 2x++ 22 yh dx dy.


145

Probleme

1.Fie curba C: 25,10 2222 =+=+ zyyx . Să se scrie ecuaţiile tangentei şi

planului normal în punctul M0(1,3,4)∈C.

2.Fie curba C: ktjtit

r )12(1 2 −++= . Să se afle punctele curbei C în care

binormalele sunt perpendiculare pe dreapta d:x+y=0 , 4x-z=0.

3.Fie curba C: x=cos t , y=sin t , z=2

2t , t∈R.

Luând ca origine a arcelor punctul M0(1,0,0), să se determine abscisa curbilinie pe C. În

M0 să se determine versorii triedrului Frenet , curbura si torsiunea.

4.Se dă curba C: )1,,12()( 23 ttttr −−=

a)Să se afle în M0(-1,0,1) curbura si torsiunea şi să se scrie în acest punct

ecuaţiile muchiilor şi feţelor reperului lui Frenet.

b)Să se determine punctele curbei în care planul osculator este

perpendicular pe planul 7x-12y+5z=0.

5.Fie curba C: x=a 2sin t , y=asin 2t, z=a 2cos t, a>0 fixat.

Să se verifice că este plană şi să se scrie ecuaţia planului curbei.

6.Se dă curba plană C: x= 3tt2 + , y= 2t +2t.

Să se afle punctele singulare ale lui C şi ecuaţia implicită a curbei C.

7.Se dă curba C: x=cos t +tsin t, y=sin t –tcos t.

a) lungimea arcului pentru t∈[0,π]

b) raza de curbură într-un punct arbitrar.

8. Să se determine o parametrizare pentru curba C:⎩⎨⎧

==

2

2

xzyx

şi să se scrie ecuaţia

planului osculator şi a normalei la curbă în punctul M0(1,1,1).

9. Să se arate că tangentele la curba C:⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=+=

−tbezttayttax)cos(sin)cos(sin intersectează planul

xOy după cercul 222 4ayx =+ .

10. Fie curba C: ktjtitr )cos6(sin −++= . Să se arate că normala principală

într-un punct oarecare al curbei este paralelă cu planul yOz.


146

11. Să se arate că în orice punct al curbelor

C1:⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

2

ln2

tztytx

, t >0 ; C2:⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

t

t

t

ezteytex

sincos

, t∈R,

raportul dintre curbură şi torsiune este constant. 12. Să se scrie ecuaţiile muchiilor şi feţelor reperului lui Frenet ataşat curbelor de

mai jos, în punctele indicate:

a)C1:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

2

322

4

3

2

tz

ty

tx

în punctul M0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21,

32,

21

;

b)C2:⎩⎨⎧

=−=++3

922

222

yxzyx

în punctul M0(2,1,2)

13.Să se scrie elementul de arie al sferei x =Rsinθcosϕ, y=Rsinθsinϕ, z=Rcosθ.

14.Fie suprafaţa kuvjv)(uiv)(ur:Σ +−++=

a) să se afle coordonatele carteziene ale punctelor A(u =1,v =2), B(u =2,v =1);

b) să se determine ecuaţia implicită a suprafeţei.

15.Se dă suprafaţa kv)sin(ujviur:Σ +++=

a) să se determine planul tangent şi normala în A(u = 0, v = 0)

b) să se afle lungimea arcului de pe curba C: v =-u cuprins între punctele M1(u =1) şi

M2(u =4)

16.Fie suprafaţa ∑: kavjusinvi ucosvr ++=

Să se determine a astfel încât unghiul curbelor C1 = u+v = 0 şi C2: u-v = 0 să fie:

1) 900 , 2) 300 şi 3) 600 .

17.Fie suprafaţa x = u cosv, y = u sinv, z =v. Se consideră triunghiul format de

curbele C1: u =0, C2: v =0, C3: u+v =1. Să se afle perimetrul, unghiurile şi aria

triunghiului.

18.Fie suprafaţa ∑: x = u + sinv, y = u - sinv, z = v. Curbele coordonate sunt

ortogonale?


147

19.Să se determine punctele de pe suprafaţa S: x=uv, y= u2, z = 2u+v, ale căror

plane tangente trec prin dreapta d:2x-5y=0, 7y-z+1 =0.

20.Fie punctul P0(0,0,1) al suprafeţei S:x=u+v2, y= u2+3v, z= uv+u+v+1. Să se

afle ecuaţia planului tangent în P0 la S.

21.Fiind dat paraboloidul eliptic S: x2+y2=2z, să se scrie prima formă

fundamentală .

22. Să se scrie ecuaţia planului tangent şi ecuaţiile normalei la suprafaţa

S:5x2-y2-3z2=1

în punctul M0(1,1,1).

Algebra Si Geometrie Pag 16

Documents

Transcript of Algebra Si Geometrie Pag 16