1.1 Primele definiiiDefiniia 1 Perechea 1. se numete spaiu vectorial dac:

2.

este corp comutativ;

3.

este grup abelian;

(a)

Exist o aplicaie

astfel nct au loc,

:

(b)

(c)

(d) Observaia 1 Pentru aceste obiecte abstracte se vor folosi urmtoarele denumiri, convenii i/sau notaii:

se numete spaiu vectorial (liniar); elementele mulimii se numesc vectori ; se numete corp de scalari ; elementele mulimii se numesc scalari ; Operaia ,, Operaia ,, '' se numete adunarea scalarilor i va fi notat ,,+''; '' se numete nmulirea scalarilor i va fi notat ,, '';

Operaia ,, '' se numete adunarea vectorilor i va fi notat ,,+''; Operaia ,, '' se numete nmul irea vectorilor cu scalari i va fi notat ,, '' iar pentru fiecare fixat, operaia parial va fi numit omotetie (de parametru ). Distincia ntre diferitele operaii notate la fel se va face din context;

Elementul Elementul

este elementul neutru la adunarea vectorilor i va fi notat n continuare cu 0; este elementul neutru la adunarea scalarilor i va fi notat n continuare cu 0;

Elementul este elementul neutru la nmulirea scalarilor i va fi notat n continuare cu 1; Distincia ntre diferitele elemente notate la fel se va face din context.

S observm c noiunea de spaiu vectorial cuprinde dou mulimi i patru operaii distincte.Definiia 2 Fie 1. spaiu vectorial i ; se numete subspaiu vectorial al lui dac:

2.

Definiia 3 Dac funcie liniar) dac: 1.

i

sunt spaii vectoriale peste acelai corp de scalari, o se numete morfism de spaii vectoriale (aplicaie liniar , operator

2. (

(

este morfism de grupuri);

este omogen).

Se noteaz cu mulimea tuturor morfismelor dintre i . Definiia 4 Spaiile vectoriale ntre care exist un morfism bijectiv (izomorfism ) se numesc izomorfe. Se va nota . orice operator liniar ntre ). Mulimea tuturor funcionalelor liniare pe ) i se numete dualul algebric al lui . i

Definiia 5 Se numete funcional liniar pe (orice element al mulimii se noteaz cu (

Definiia 6 Pentru

,

i

elementul

se

numete combinaie liniar a elementelor xi cu scalarii (scalarii care particip la sum se mai numesc ponderi iar combinaia liniar se mai numete sum ponderat ). Definiia 7 Dac este o mulime oarecare de vectori, mulimea

este mulimea tuturor combinaiilor liniare cu elemente din Observaia 2

. este spaiu vectorial att

se modific la modificarea corpului de scalari:

peste corpul ct i peste corpul combinaii liniare:

, dar aceeai mulime de vectori genereaz alte mulimi de

Definiia 8 Vectorii se numesc liniar dependeni dac cel puin unul dintre ei se poate scrie ca o combinaie liniar a celorlali vectori. Dac nici unul nu poate fi scris ca o combinaie liniar a celorlali vectori, atunci familia de vectori se numete liniar independent .Observaia 3 (Definiii echivalente ale independenei liniare ) Familia dintre afirmaiile: 1. este liniar independent dac i numai dac are loc una

(unic). (relaia

are loc numai pentru scalari nuli);

2.

. (dac mcar un scalar este nenul, atunci combinaia liniar este nenul) Demonstraie: Cele dou afirmaii se obin una din cealalt din relaia logic ; echivalena cu definiia are loc pentru c, dac mcar un vector este combinaie liniar de ceilali vectori,

atunci exist scalarii Definiia 9 Fiind dat mulimea

nu toi nuli, astfel nct , se spune c familia genereaz mulimea

dac . Familia se mai numete sistem de generatori pentru mulimea . Dac mulimea nu este specificat, se subnelege c . Definiia 10 Se numete baz orice familie de vectori care este liniar independent i maximal (n sensul c orice familie liniar independent care o conine este egal cu ea). Dac pentru o baz fixat se ine cont i de ordinea vectorilor n baz, atunci n locul cuvntului baz se va folosi cuvntul reper . Definiia 11 Un spaiu vectorial se va numi de tip finit dac admite o baz finit i se va numi de tip infinit n caz contrar. Definiia 12 Funcia definit prin

1.2 Primele proprietiPropoziia 1 (Reguli de calcul ntr-un spaiu vectorial ) 1. au loc relaiile: ; ,

2. ;

3. ;

4. ; sau .

5. Demonstraie: Fie 1.

alei arbitrar;

2.

;

;

3. 4.

5. i Propoziia 2 (Proprieti ale operatorilor liniari ) Fie 1. liniar , , i Atunci au loc:

2.

(a)

liniar

; (b)

(c)

subspaiu

,

este subspaiu n

;

subspaiu n . Demonstraie: Fie 1. 2. evident

,

este subspaiu

(a)

Dac

este liniar, atunci:

(b) Fie ; astfel nct

(c) Fie

Definiia 13 1. Subspaiul noteaz ; (al codomeniului) se numete imaginea operatorului i se

2.

Subspaiul noteaz .

(al domeniului) se numete nucleul operatorului i se

Urmtoarele dou propoziii arat c inversarea i compunerea funciilor pstreaz calitatea de morfism de spaii vectoriale. Propoziia 3 Fie dou spaii vectoriale peste acelai corp i este morfism bijectiv

fie morfism bijectiv. Atunci (inversa unui morfism inversabil este morfism). Demonstraie: Se tie c au loc

Fie loc i

pentru

are

deci operatorul invers este aditiv. Fie loc

i are

Propoziia 4 Fie peste acelai corp . Atunci definit prin

morfisme peste spaii vectoriale

compunere) .

este morfism de spa ii vectoriale (calitatea de morfism se pstreaz prin operaia de

Demonstraie: Fie ; are

loc

Omogenitatea analog. Observaia 4 Relaia ,, '' ( Definiia (4 )) este o relaie de echivalen ntre spaii vectoriale peste acelai corp (este reflexiv, simetric i tranzitiv) (aceast relaie este definit pe o mulime de spaii vectoriale i cu ajutorul ei se pot stabili clase de echivalen). Demonstraie: Reflexivitatea rezult din faptul c operatorul identitate i bijectiv, deci atunci Simetria rezult din Propoziia (3), pentru c dac morfism bijectiv . Tranzitivitatea rezult din Propoziia ( atunci exist izomorfismele funcia de bijectivitate, deci Observaia 5 Mulimea admite mpreun cu operaiile obinuite ntre funcii i ) pentru c, dac , morfism bijectiv i iar noua este liniar

pstreaz prin compunere i proprietatea de liniaritate i pe cea

o structur de spaiu vectorial peste corpul vectorial peste corpul ). Demonstraie:

(Deci n particular i dualul algebric ( ) este spaiu

este evident grup (din proprietile adunrii pe

) i are ca element neutru

operatorul identic nul

,

. Celelalte axiome sunt satisfcute evident

Observaia 6 Demonstraie:

este subspaiu liniar.

Fie

i

astfel

nct

;

atunci

iar Observaia 7 Fie

. un subspaiu vectorial al spaiului . Atunci,

(orice subspaiu conine toate combinaiile liniare ale elementelor lui) Demonstraie: Prin inducie dup orice : pentru i pentru orice scalar din axioma 2 a subspaiului vectorial rezult c pentru are loc . S presupunem c

proprietatea are loc pentru arbitrar

i fie n+1 vectori i scalari ale i . Atunci are loc:

Observaia 8 conine familia Demonstraie: ).

(este cel mai mic subspaiu liniar care

pentru c orice subspaiu care conine familia conine i toate combinaiile liniare ale acestei familii (Propoziia ( )); incluziunea

invers rezult din Propoziia ( familia

):

este subspaiu vectorial i cum conine

urmeaz c face parte dintre subspaiile care particip la intersecie, aa c are

loc particip la intersecie.

pentru c intersecia este inclus n orice mulime care

2.1 Generaliti Propoziia 5 (Definiii echivalente ale bazei ) Fie B o familie de vectori. Sunt echivalente afirmaiile:

1. 2. 3. 4. B este sistem de generatori i familie liniar independent. Demonstraie: (1) (2); se va demonstra dup schema: (2) (3) (4) (2). B este baz; B este liniar independent i maximal (n sensul c orice familie liniar independent care include B este chiar egal cu B); B este sistem de generatori minimal (n sensul c orice sistem de generatori inclus n B este chiar egal cu B);

(2) (3) Se tie c B este liniar independent i maximal; pentru nceput se va studia calitatea familiei de a fi sistem de generatori. S presupunem prin reducere la absurd c B nu ar fi sistem de generatori; atunci i noua familie este liniar independent (dac nar fi, atunci v0 ar fi combinaie liniar de elementele lui B) i include strict familia B, contradicie cu maximalitatea lui B (ca familie liniar independent). Deci familia B este sistem de generatori. S presupunem prin reducere la absurd c B ca sistem de generatori n-ar fi minimal. Atunci exist B0 inclus strict n B i care este sistem de generatori. Fie ; v1 este combinaie liniar a elementelor din B0 (n care v1nu se afl) deci B nu este familie liniar independent, contradicie. (3) (4) Cum B este sistem de generatori, s presupunem prin reducere la absurd c familia B n-ar fi care s fie combinaie liniar de ceilali vectori i

liniar independent, adic ar exista un vector

atunci noua familie ar fi strict inclus n B i ar pstra proprietatea de sistem de generatori (pentru c fiecare vector poate fi scris ca o combinaie liniar de vectorii din B, iar n combinaiile liniare la care particip i v2 acesta poate fi nlocuit cu o combinaie liniar din combinaii liniare numai cu elementele lui (4) ) contradicie. , obinndu-se

(2) Cum B este liniar independent, dac n-ar fi maximal (ca familie liniar independent) ar exista

o familie liniar independent i care conine B. Atunci nu este combinaie liniar de vectorii din B (pentru c altfel n-ar fi liniar independent) ceea ce este o contradicie cu faptul

c B este sistem de generatori. Teorema 1 (Existena bazei ) Dac familia n care subfamilia nct , este sistem de generatori pentru de tip finit astfel

este liniar independent, atunci exist o baz B a lui

Demonstraie: Fie B un sistem de elemente liniar independente, care include , este inclus n i este maximal cu aceast proprietate. Din alegerea lui B urmeaz c numrul de elemente din B este mai mic sau egal cu n. Fie , cu cu o eventual renumerotare a vectorilor; B este baz a spaiului. Se presupune prin reducere la absurd c B nu ar fi baz; atunci astfel nct ; dar S este sistem de generatori aa c x0 este

combinaie liniar de elemente din S, n elementele , ar urma c i

. Dac toate elementele , aa c printre exist mcar unul care nu este

ar fi

n i care se noteaz y0; atunci este liniar independent i conine strict pe B, ceea ce contrazice construcia (maximalitatea) lui B n . Corolarul 1 Din orice sistem finit de generatori se poate extrage o baz.

Demonstraie:Fie sistem de generatori; exist mcar un vector nenul (dac toi ar fi nuli, n-ar mai fi sistem de generatori), care se noteaz cu v0. Au loc:

i se aplic teorema precedent

baz astfel nct

Corolarul 2 Orice familie liniar independent de vectori poate fi completat pn la o baz. Demonstraie: Familia liniar independent este inclus ntr-un sistem finit de generatori (se adaug noi vectori cu verificarea proprietii de generare i a proprietii de independen liniar; dac procesul nu se oprete dup un numr finit de pai atunci se contrazice faptul c spaiul este de tip finit) i se aplic teorema precedent, deci exist o baz care conine familia liniar independent. Teorema 2 (Teorema schimbului, Steinitz ) Fie fie o familie liniar independent i

un sistem de generatori. Atunci, eventual cu o renumerotare a

vectorilor, este sistem de generatori (orice familie finit liniar independent de r vectori poate nlocui anumii r vectori din orice sistem finit de generatori, cu pstrarea calitii de sistem de generatori). Demonstraie: Inducie dup numrul vectorilor din familia liniar independent, Pentru j=1, astfel nct :

dac toi scalarii familiei

ar fi nuli atunci v1 ar fi nul ceea ce contrazice independena liniar a ; deci mcar un scalar este nenul i printr-o renumeroatare a sistemului de ; se poate scrie u1 ca o combinaie liniar de

generatori, se poate presupune c vectorii :

(2.1.1)

Fie

oarecare;

, astfel nct

dar din (1.1) urmeaz:

deci v este combinaie liniar de

, adic

este un sistem de : dac r-1=n, atunci ar urma o este liniar independent;

generatori. S presupunem afirmaia adevrat pentru contradicie cu faptul c mai exist un vector, vr astfel nct deci r-10; atunci i (deci are sens expresia care va fi folosit mai jos). Din proprietatea de deci exist dou cazuri:

multiplicitate rezult pentru a=b=0 c sau .

Pentru ,

, din monotonie

,

. Mai mult,

, este identic egal cu 1, adic are loc pentru fiecare

i . Cum i pentru fiecare

deci

n acest caz funcia relaia

,

pentru a=0 rezult valoare

deci funcia , contradicie cu ipoteza. Deci se consider funcia ; din multiplicitatea lui . definit rezult c are loc

este constant de

Pentru prin

este aditiv (este soluie a ecuaiei lui Cauchy). Cum un punct, urmeaz c i continu pe deci rezult continuitatea pe este continu mcar ntr-un punct. Deci astfel nct

este continu mcar ntreste soluie i a funciei

a ecuaiei lui Cauchy, adic , adic a funciei

. Din continuitatea pe .

Deci pentru pentru a=0, . . Funcia ,

Din este cresctoare deci , , contradic ie cu netrivialitatea funciei

, iar dac

; deci

este subaditiv deci pentru a=b=1 are loc . Deci .

Observaia 22 (Ecuaia lui Cauchy )

S studiem funciile care satisfac ecuaia lui Cauchy:

Pentru x=y=0, are loc: Pentru x=y=1, are loc are loc

deci ; n general, pentru orice (prin inducie); se noteaz ,

i cu acelai raionament ca la pasul anterior urmeaz c pentru orice , deci relaia are loc pentru orice n numr ntreg. Are loc, pentru orice numr n natural strict pozitiv, relaia

, are loc

deci pentru m un alt numr natural are

loc pentru numere raionale negative, aa c relaia raional.

; raionamentul se extinde i are loc pentru orice numr

Dac o soluie a ecuaiei Cauchy este continu ntr-un punct, atunci este continu n orice punct. Fie c loc cu , are loc i fie ; atunci are

pentru c irul

tinde la x0.

Exist soluii ale ecuaiei Cauchy care nu sunt continue n nici-un punct (i care sunt numite funcii Hamel ).

Observaia 23 Din ipoteza i din demonstraia teoremei de mai sus rezult c i cum adic pentru pentru a=1 asemenea din concluzie cu are loc adic pentru pentru ; are loc i (de , pentru b=1

pentru ). Deci teorema de mai sus poate fi privit ca o teorem de structur pentru un tip special de valoare de pia rezultat dintr-o negociere (funcionale subliniare i subomogene). Caracterul special al funcionalei subliniare i subomogene este dat de forma ei: discount-ul procentual oferit pentru o cantitate mai mare dintr-un bun fa de bunul iniial nu depinde de bunul iniial, ci numai de modificarea de cantitate.

4.2 Aplicaii n Analiza matematicDefiniia 33 (Definiia cu deschii a unei topologii ) Fie o mulime oarecare numete topologie pe 1. o familie cu proprietile: . Se

2.

3.

Observaia 24

Mulimile familiei Perechea

se numesc mulimi deschise . se numete spa iu topologic .

Spaiile topologice vor fi studiate pe larg n cadrul cursului de Analiz matematic. Aici vor fi prezentate numai unele aspecte legate de caracterul algebric al structurilor topologice. Definiia 34 Pentru , o mulime V se nume te vecintate a lui x (n raport cu topologia definit pe ) dac exist un deschis care conine x i este inclus n V:

Se noteaz cu Propoziia 18 Familia 1.

familia tuturor vecintilor lui x . are proprietile:

2.

3.

4.

Propoziia 19 (Definiia cu vecinti a unei topologii ) Fie X o mulime oarecare; dac pentru fiecare 1. s-a dat cte o familie de submul imi ale lui notat cu proprietile:

2.

3.

4. , atunci exist o singur topologie pe pentru care din . Aceast topologie este definit prin s reprezinte vecintile punctelor

Pe spaii finit-dimensionale, topologia ,,bun'' este unic si este de natur algebric. Aceast structur poate fi introdus definind vecintile elementelor spa iului, restul urmnd definiiile obinuite. Fie , fie funcionalele liniare i . Se noteaz

Dac formeaz baz n formeaz un sistem fundamental de vecinti . Propoziia 20 Fie aplicaia baz n , definit prin

atunci familia de vecinti descris mai sus

. Atunci

are proprietile: 1. i ;

2.

3. ;

;

4.

. 0x15fi ; ; fie , atunci 0x15fi

End Proof ] Se nume te vecintate a lui fundamental. Se numete mulime deschis n

orice mulime V care conine o vecintate orice mul ime care este vecintate pentru fiecare

punct al su. Familia tuturor mulimilor deschise este topologie pe

4.3 Funcionale biliniare i ptraticeDefiniia 35 Fie i dou spaii vectoriale peste acelai corp de scalari. Se liniar n fiecare variabil.

numete funcional biliniar orice funcie Dac n plus relaia este simetric . Observaia 25 Fie i are loc

, atunci se spune c funcionala biliniar

baze fixate n spaiile

, k=1,2 i

o

func ional biliniar. Atunci vectorii x i y se reprezint unic n bazele alese prin

,

i din liniaritatea n fiecare variabil rezult

:

, unde A este matricea de mai sus. Observaia 26 Scrierile succesive de mai sus ale unei funcionale biliniare conduc pe de-o parte la posibile interpretri economice i pe de alt parte la precizri privind obiectele abstracte definite. Astfel, dac se consider operatorul liniar prin definit prin definit i funcionala liniar ( F1 fiind o baz a lui ( aleas corespunz tor), funcionala )

biliniar poate fi privit ca o compunere: . O funcional biliniar poate fi privit n multe moduri i poate s nsemne lucruri diferite. Aceste posibilit i pot fi manevrate din interpretrile spaiilor vectoriale pe care este definit funcionala biliniar: i pot fi spaii diferite, pot fi spaii egale cu baze diferite sau pot fi spaii egale cu aceeai baz. Mai mult, bazele pot fi construite n cel puin dou feluri: expresie valoric i expresie cantitativ. Definiia 36 Fie k=1,2 i baze fixate ale spaiilor o funcional biliniar. Matricea ,

se numete matrice asociat funcionalei biliniare (caracterizeaz n mod unic funcionala biliniar i este dependent de cele dou baze). Observaia 27 Schimbarea bazelor n cele dou spaii atrage schimbarea reprezentrii vectorilor x i y i deci i a matricii asociate funcionalei biliniare. Modul n care are loc aceast schimbare este urmtorul: fie Bk vechea baz i B1k noua baz, cu k=1,2 iar matricile de trecere (coloanele sunt reprezentrile vectorilor noii baze n vechea baz). Legtura dintre coordonatele n vechea baz i coordonatele n noua baz ale unui vector fixat x ntr-unul dintre cele dou spaii este i rezult

. n

relaia este interesant de 1 iB2 dar membrul drept nu depinde (adic remarcat c membrul stng depinde de vechile baze B indiferent de unde s-ar porni, se ajunge n acela i loc). Definiia 37 Pentru o funcional biliniar simetric, se nume te nucleu mulimea

Funcionala biliniar simetric se numete nedegenerat dac . Observaia 28 O funcional biliniar simetric este nedegenerat dac i numai dac matricea ataat pentru o alegere de baze este inversabil. Funcionala fiind simetric, matricea ei pentru o alegere a bazelor este ptratic, deci ,, '' Dac matricea A n-ar fi inversabil, atunci coloanele matricii A ar fi liniar dependente, adic sistemul de ecua ii xTA=0 ar avea cel puin o soluie nenul, contradic ie cu ,, `` Fie ; TA=0 i A inversabil, urmeaz c sistemul este de tip Cramer i admite cum x numai soluia banal. Definiia 38 Se numete funcional ptratic pe spa iul vectorial ie astfel nct pentru care exist o funcional biliniar simetric , . Dac este dat funcionala ptratic , atunci o func

funcionala biliniar se numete funcionala biliniar simetric polar . Observaia 29 Din punct de vedere al interpretrii economice, pentru a avea sens noiunea de funcional ptratic trebuie s aib sens termenul unei uniti de msur adecvate pentru coeficientul . Acest lucru poate fi obinut prin stabilirea . Din multitudinea de variante se va

alege n continuare una singur : spaiile i sunt aceleai i reprezint bunuri msurate cu aceeai unitate de msur pe fiecare coordonat (de exemplu unitate monetar) (exprimare valoric), iar baza este aleas aceeai n ambele spaii. Observaia 30 Forma matricial gsit pentru funcionale biliniare se particularizeaz i pentru

funcionale ptratice: . Una dintre problemele centrale ale studierii funcionalelor reale p tratice este transformarea ei printr-o schimbare de baz ntr-o sum de ptrate cu coeficieni pozitivi,negativi sau nuli. O asemenea transformare se va numi aducere la forma canonic . Teorema 12 (Metoda Gauss de aducere la forma canonic ) Fie

, Atunci exist o baz a lui Exist dou cazuri: 1.

o funcional ptratic , unde n care matricea funcionalei este diagonal.

.

2.

astfel nct

aii=0. Cazul 2. se reduce la 1.: dac t aii=0, se consider astfel nc

(dac nu exist, nseamn c funcionala este identic nul) i se face transformarea:

care este o schimbare de baz

n care element nenul pe locul ai0i0:

i care provoac apariia unui

deci prin aceast transformare cazul 2. este redus la cazul 1. (exist i alte posibiliti de reducere a cazului 2. la cazul 1.) Cazul 1.: fie i0 astfel nct . Atunci

. Fie

transformarea:

. Determinantul matricii este nenul aa c transformarea este o schimbare de baz; exprimarea funcionalei ptratice n aceast baz

este

, adic matricea ataat funcionalei liniare are

elementele liniei i coloanei i0 nule ( n afara locului , ocupat de ai0i0). Mai mult, spaiul se descompune n sum (direct) dintre dou subspaii, primul corespunztor coordonatei i0 (spa iu 1dimensional) i al doilea format din celelalte coordonate,

iar

este o nou funcional liniar

creia i se

poate aplica acela i procedeu; din cauz c , procedeul se oprete ntr-un numr finit de pai, adic dup un numr finit de repetri ale procedeului se va obine o sum de ptrate perfecte ale coordonatelor (transformate) cu coeficien i scalari reali (de semn oarecare), adic exact forma canonic a funcionalei liniare. Teorema 13 (Metoda Jacobi de aducere la forma canonic ) Dac

cu aij=aji i pentru fiecare forma

minorii matricii

de

sunt nenuli, atunci exist o baz n care funcionala are forma

unde Observaia 31 Baza se construiete astfel:

iar yk sunt coordonatele vectorului x n noua baz.

iar coeficienii

se determin din condi iile

care determin coeficienii

n mod unic din condiiile din enun (pentru fiecare k se ob ine cte un

sistem Cramer cu determinantul matricii sistemului ). Teorema 14 (Teorema de inerie Sylvester ) Numrul de coeficieni strict pozitivi, strict negativi i nuli din forma canonic a funcionalei ptratice este constant.

Fie

dou scrieri ale funcionalei

ptratice n form canonic n bazele i , unde pentru scrierea j, pj coeficieni sunt strict pozitivi, qj coeficieni sunt negativi i coeficieni sunt nuli. Fie ;

atunci

iar

, deci are loc:

, deci v=0, adic . analog urmeaz c , ceea ce nseamn c p1=p2. Se demonstreaz la fel c q1=q2. ;

5.1 GeneralitiDefiniia 39 Se numete produs scalar (real, euclidian) pe orice funcional biliniar simetric a c rei funcional ptratic ataat este pozitiv definit. Observaia 32 O funcional biliniar simetric a crei func ional ptratic ataat este pozitiv definit se poate alege n mai multe moduri ntr-un spaiu vectorial real fixat. Msurrile geometrice rezultate vor fi dependente de aceast alegere, aa c lungimea unui vector, unghiul dintre doi vectori, distana dintre doi vectori nu vor fi definite univoc. Definiia 40 Se numete spaiu vectorial euclidian real orice spa iu vectorial real pe care s-a fixat un produs scalar real.

Observaia 33 Pentru orice produs scalar real Schwarz :

are loc inegalitatea Cauchy-Buniakowski-

Evident c dac este pozitiv definit, atunci exist o schimbare de baz n care aceast

funcional este biliniar cu

i se poate considera polara ataat. Pentru simplitate notm func ionala i o considerm de forma:

Notm funcionala ptratic ataat cu

,

Funcionala loc relaia:

este pozitiv definit i din inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz urmeaz c are

Observaia 34 Radicalul funcionalei ptratice ataate are propiet ile: 1. 2. 3. (inegalitatea triunghiului ). Radicalul funcionalei ptratice ataate se va nota cu , se va numi norm euclidian i va fi considerat de forma:

Definiia 41 Pentru orice doi vectori se numete cosinusul unghiului dintre vectori

Observaia 35 Din inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz urmeaz c Definiia 42 Pentru orice doi vectori se numete distana dintre vectori lungimea diferen ei:

Observaia 36 Distana dintre doi vectori are proprietile:

Evident. Definiia 43 Pentru un vector x i o mulime

, se numete distana de la x la

Observaia 37 Are loc regula paralelogramului

Definiia 44 Doi vectori . Dou submulimi

se numesc ortogonali i se noteaz ale lui se numesc ortogonale dac

dac

Observaia 38 Dac Evident. Observaia 39 Dac vectorii generalizat :

, atunci

,

sunt ortogonali doi cte doi, atunci are loc Teorema lui Pitagora

Demonstraie

Definiia 45 Dac al lui .

, mulimea

se nume te complementul ortogonal

Observaia 40 este subspaiu vectorial; i . Evident. Observaia 41 1. Dou subspaii vectoriale sunt ortogonale dac i numai dac fiecare vector al unei baze din primul subspaiu este ortogonal pe fiecare vector al unei baze din cel de-al doilea subspaiu. 2. Suma a dou subspaii vectoriale ortogonale este direct . 3. Suma unei familii oarecare de subspaii vectoriale ortogonale dou cte dou este direct. Definiia 46 O baz se numete ortonormal dac vectorii ei sunt de norm unitar i ortogonali doi cte doi.

5.2 ProieciiDefiniia 47 Fie ; pentru fiecare i n direcia . astfel

nct x=x1+x2. x1 se va numi proiecia lui x pe Definiia 48 Un operator liniar (proiector) dac Teorema 15 Pentru un operator Fie care este proiec ie are loc: , cu deci aadar c . Suma este direct pentru i deci Definiia 49 O proiecie se numete ortogonal dac n plus are loc , i se numete proiecie

.

;

.

Fie

un subspaiu vectorial,

o baz notat B0 n . Exist o proiecie astfel nct

i v un vector oarecare, n i n care este chiar notat i un

general care nu aparine lui plus ,,piciorul perpendicularei din v pe

. Vectorul v se descompune ntr-un vector din '' , adic proiecia ortogonal a lui v pe

vector notat u, ortogonal cu , care este ,, perpendiculara din v pe efectiv aceast descompunere. Are loc

''. Se cere s se g seasc

deci

Se afl coeficienii fiecare dintre fi.

din condiia ca vectorul

s fie ortogonal pe

, adic pe

Ultima relaie este un sistem liniar neomogen n necunoscutele

i care are matricea

Aceast matrice este nesingular pentru c reprezint matricea n baza ionalei pozitiv definite care determin produsul scalar la subspa iul

a restriciei func Deci sistemul este compatibil

determinat i admite o unic soluie subspaiului vectorial

, care este chiar reprezentarea n baza

(a :

, de dimensiune k) a proiec iei ortogonale a vectorului v pe subspaiul

Vectorul u fiind

se va reprezenta n baza canonic astfel:

Observaia 42 Are loc Teorema lui Pitagora:

pentru c vectorii i u sunt perpendiculari. Observaia 43 Lungimea perpendicularei este mai mic sau egal dect lungimea oricrei oblice .

Orice oblic este de forma v0-v, cu ortogonal pe fiecare vector din

. Din faptul c u este ortogonal pe , deci pe v0. Atunci au loc rela iile:

urmeaz c este

adic lungimea oricrei oblice este mai mare dect lungimea perpendicularei. Teorema 16 Pentru fiecare funcia i pentru fiecare subspaiu al lui , .

, definit prin

are un unic minim pe

Definiia 50 Se numete distana de la un subspaiu

la un vector v i se

noteaz Teorema 17 (Teorema de ortogonalizare Gram-Schmidt ) Fie fie 1. . Exist o baz o baz i cu propietile:

2.

Fie u1=v1; u2 este un vector din

care este ortogonal pe u1:

u3 este un vector din V3 ortogonal cu u1 i

cu u2: inducie se afl la fel toi vectorii ui,

Prin Mai mult, pentru c pentru fiecare i, ui i vi sunt n poziia urmeaz c are

de perpendicular, respectiv oblic fa de subspaiul generat de loc

5.3 VolumeFiind dai vectorii liniar independeni Fie determinantul (numit determinant Gram ) se pune problema msurrii volumului k-dimensional.

Pentru calcularea acestui determinant se aplic procedeul de ortogonalizare: fie v1=u1, Se nlocuie te peste tot v1 cu u1, apoi se adaug la coloana a doua

coloana nti nmulit cu (care este atribuit locului doi din produsul scalar). Prin aceast operaie n coloana doi ocupantul locului din dreapta al produsului scalar v2 este nlocuit cu u2. Apoi se adaug la linia doi prima linie nmulit cu acelai scalar, atribuit de aceast dat locului din stnga al produsului scalar. Astfel se nlocuiete peste tot n determinantul Gram v2 cu u2. Se procedeaz la fel pn cnd se nlocuiesc toi vectorii vi cu vectorii ui care sunt ortogonali doi cte doi, aa c determinantul va avea elemente nenule numai pe diagonala principal:

Pentru k=1, volumul 1-dimensional al lui v1 este chiar lungimea lui Deci Pentru k=2, volumul 2-dimensional al

paralelogramului format de v1 i v2 este aria acestui paralelogram i este

n general, volumul kdimensional al paralelipipedului format de va fi S considerm

vectorii reprezentai ntr-o baz ortonormal, cu coordonatele determinantul Gram va fi atunci

;

unde este matricea care are drept coloane coordonatele T este transpusa sa. Din proprietile minorilor i ale produsului fiecrui vector ( are n linii i k coloane) iar A matricial se tie c

(unde este minorul obinut din liniile innd seama de faptul c pentru matricea transpus are loc

i din coloanele

) i

urmeaz c

adic determinantul Gram este egal cu suma ptratelor tuturor minorilor de ordin k din matricea coordonatelor ntr-o baz ortonormal. Urmeaz c volumul paralelipipedului k -dimensional este radicalul

acestei sume de ptrate. n particular, c nd numrul vectorilor este acelai cu dimensiunea spaiului i sunt liniar independeni, va fi un singur minor de ordin n i atunci volumul paralelipipedului n-dimensional este chiar modulul determinantului format de coordonatele vectorilor n orice baz ortonormal. De aici rezult interpretarea modulului determinantului ca volum. Din inegalitatea anterioar urmeaz c

adic volumul paralelipipedului este cel mult egal cu produsul lungimilor laturilor , iar egalitatea are loc dac i numai dac laturile sunt ortogonale dou cte dou.