ALBERT EINSTEIN s-a născut la Ulm în Germania, la14 martie 1879. A studiat matematică şi fizică la Şcoala Po-litehnică Federală din Ziirich între 1896 şi 1900. în anii1902-1908 a lucrat ca expert la Oficiul Federal de Patentedin Berna si a publicat lucrări ce au atras atenţia lumii şti-inţifice, printre care prima lucrare despre teoria specialăa relativităţii în 1905. în anii 1908-1914 a fost profesor defizică teoretică la universităţile din Berna, Ziirich şi Fra-ga, în 1913 este ales membru al Academiei Prusiene de Şti-inţe si numit director al Institutului de Fizică al Societăţii„împăratul Wilhelm" din Berlin, funcţie pe care o păstrea-ză până în 1933. După publicarea teoriei generale a rela-tivităţii în anii primului război mondial si confirmareauneia dintre predicţiile ei de către expediţia astronomicăa Societăţii Regale de Ştiinţe din Londra (1919), devine celmai cunoscut om de ştiinţă al vremii sale. Odată cu insta-urarea regimului naţional-socialist, Einstein îşi dă demi-sia din Academia Prusacă de Ştiinţe şi părăseşte definitivGermania, stabilindu-se la Princeton, în Statele Unite aleAmericii. în ultima parte a vieţii, Einstein este recunoscutnu numai drept cea mai mare autoritate din fizica teoretică,ci şi ca un mare umanist care încorporează în mod exem-plar prin acţiunea lui socială si culturală, prin luările salede poziţie în problemele vieţii publice spiritul libertăţii, aljustiţiei sociale, respectul pentru demnitatea fiinţei umane.Moare la 18 aprilie 1955, la 76 de ani.Scrierile de interes general ale lui Einstein sunt reunite îndouă volume: Mein Weltbild (1931) si Out ofmy Later Years(1950). în 1917, Einstein publică prima expunere a teorieispeciale si generale a relativităţii „pe înţelesul tuturor".

ALBERT EINSTEIN

TEORIA RELATIVITĂŢIIPE ÎNŢELESUL TUTURORTraducere din germană deILIE PÂRVU

HUMANITASBUCUREŞTI

CopertaIOANA DRAGOMIRESCU MARCAREDescrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a RomânieiEINSTEIN, ALBERTTeoria relativităţii pe înţelesul tuturor / Albert Einstein;trad. I. Pârvu - Ed. a 4-a. - Bucureşti: Humanitas, 2005ISBN 973-50-1068-2I. Pârvu, Ilie (trad.)530.12Allgemeinverstandliche Relativitatstheorie© The Jewish National & University LibraryThe Hebrew University of Jerusalem© HUMANITAS, 2005 pentru prezenta versiune româneascăEDITURA HUMANITASPiaţa Presei Libere l, 013701 Bucureşti, Româniatel. 021/317 18 19, fax 021/31718 24www.humanitas .roComenzi CARTE PRIN POŞTĂ: tel. 021/311 23 30,fax 021/313 50 35, C.P.C.E. — CP 14, Bucureştie-mail: cpp@humanitas.rowww.librariilehumanitas.roISBN 973-50-1068-2

CUVÂNT ÎNAINTEScopul acestei mici cărţi este de a înlesni înţele-gerea cât mai exactă a teoriei relativităţii pentru ceicare se interesează din perspectivă general-stiinţifică,filozofică, de teorie, dar nu stăpânesc aparatul ma-tematic al fizicii teoretice.* Lectura ei presupune oanume maturitate de gândire şi, în ciuda număru-lui mic de pagini, pretinde din partea cititorului mul-tă răbdare si voinţă. Autorul si-a dat toată silinţa săprezinte ideile fundamentale cât mai clar şi simplucu putinţă, în ordinea şi în conexiunea în care auapărut. In interesul clarităţii expunerii m-am vă-zut nevoit să mă repet adesea, fără a mai ţine cont* Fundamentele matematice ale teoriei speciale a relativităţiipot fi găsite în lucrările originale ale lui H.A. Lorentz, A. Einstein,H. Minkowski apărute în editura B.G. Teubner în colecţia demonografii Fortschritte aer Mathematischen Wissenschaften cu ti-tlul Das Relativitatsprinzip, precum şi în cartea detailată a luiM. Laue Das Relativitatsprinzip (editată de Fr. Vieweg & Sohn,Braunschweig). Teoria generală a relativităţii precum şiinstrumentele matematice ajutătoare ale teoriei invarianţilor sunttratate în broşura autorului Die Grundlagen der allgemeinenRelativitatstheorie (Joh. Ambr. Barth, 1916); această broşură pre-supune o cunoaştere aprofundată a teoriei speciale a relativităţii.

de eleganta expunerii, în această privinţă am ţinutseama de sfatul teoreticianului de geniu L. Boltz-mann, care spunea că eleganţa trebuie lăsată în sea-ma croitorilor şi a cizmarilor. Nu cred că am ascunscititorilor dificultăţile ce ţin de natura internă a pro-blemei. Dimpotrivă, în mod intenţionat am vitre-git bazele fizice empirice ale teoriei, pentru cacititorul neiniţiat în fizică să nu fie împiedicat săvadă pădurea din cauza copacilor. Fie ca aceastămică lucrare să aducă cât mai multor oameni câ-teva ore plăcute de lectură stimulatoare!Decembrie, 1916Albert EinsteinCompletare la ediţia a treiaîn acest an (1918) a apărut la editura Springerun excelent manual detailat asupra teoriei gene-rale a relativităţii pe care H. Weyl 1-a editat subtitlul Raum, Zeit, Materie; îl recomandăm cu căl-dură matematicienilor şi fizicienilor.

Partea întâi

DESPRE TEORIA SPECIALĂA RELATIVITĂŢII

§1. Conţinutul fizical propoziţiilor geometriceNu încape nici o îndoială, iubite cititor, că, în tine-reţe, ai cunoscut falnicul edificiu al geometriei eu-clidiene, iar amintirea acestei măreţe construcţii, peale cărei trepte înalte ai fost purtat în nenumărateore de studiu de profesori conştiincioşi, îţi inspi-ră mai mult respect decât plăcere; cu siguranţă căaceastă experienţă din trecut te face să priveşti cudispreţ pe oricine ar îndrăzni să declare ca nea-devărată chiar şi cea mai neînsemnată propoziţiea acestei ştiinţe. Dar acest sentiment de mândrăcertitudine te va părăsi de îndată ce vei fi între-bat: „Ce înţelegi prin afirmaţia că aceste propo-ziţii sunt adevărate?" Iată o întrebare la care vrem.să ne oprim puţin.Geometria porneşte de la anumite noţiuni fun-damentale, cum sunt punctul, dreapta, planul, pecare suntem capabili să le corelăm cu reprezentăriclare, si de la anumite propoziţii simple (axiome),pe care suntem înclinaţi să le acceptăm ca „adevă-rate" pe baza acestor reprezentări. Toate celelalte

propoziţii vor fi întemeiate, adică demonstrate pebaza unei metode logice, a cărei justificare suntemdeterminaţi s-o recunoaştem, pornind de la aces-te axiome. O propoziţie este corectă, respectiv„adevărată", dacă poate fi dedusă din axiomeîn maniera recunoscută. Problema „adevărului"unor propoziţii geometrice individuale conduceastfel înapoi la problema „adevărului" axiomelor.Se ştie însă de multă vreme că această ultimă pro-blemă nu este doar nerezolvabilă prin metodelegeometriei; ea este, în general, fără sens. Nu ne pu-tem întreba dacă este adevărat că prin două punc-te poate trece numai o singură dreaptă. Putem doarspune că geometria euclidiană se ocupă cu figuripe care ea le numeşte „drepte" şi cărora le atribu-ie proprietatea de a fi determinate în întregimeprin două puncte ce le aparţin. Conceptul de „ade-văr" nu se potriveşte enunţurilor geometriei pure,deoarece prin cuvântul „adevărat" desemnăm înultimă instanţă corespondenţa cu obiectele reale.Geometria însă nu se ocupă cu relaţia dintre con-ceptele ei şi obiectele experienţei, ci doar cu co-relaţiile logice reciproce ale acestor concepte.Este uşor însă de explicat de ce ne simţim totuşiobligaţi să spunem că propoziţiile geometriei sunt„adevărate". Conceptelor geometrice le corespundmai mult sau mai puţin exact obiecte din natură,aceasta din urmă reprezentând singura cauză agenerării lor. In încercarea de a conferi edificiu-lui ei o cât mai mare coeziune logică, geometriase îndepărtează de această origine. Obişnuinţa, de10

exemplu, de a defini o dreaptă prin două punctemarcate pe un singur corp practic rigid este pro-fund înrădăcinată în felul nostru de a gândi. La fel,suntem obişnuiţi să considerăm că trei puncte seaflă pe o linie dreaptă dacă putem face să treacă orază vizuală prin aceste trei puncte alegând în modconvenabil punctul de vizare.Dacă, urmând modul nostru obişnuit de a gân-di, adăugăm propoziţiilor geometriei euclidieneo singură propoziţie care afirmă că la două punc-te ale unui corp practic rigid corespunde întotdea-una aceeaşi distanţă (măsurată în linie dreaptă),indiferent de modificările aduse poziţiei corpu-lui, atunci propoziţiile geometriei euclidiene devinpropoziţii ce se raportează la diverse poziţii rela-tive pe care le pot ocupa corpurile practic rigide.*Geometria astfel completată poate fi consideratăo ramură a fizicii. Acum avem îndreptăţirea să neîntrebăm asupra „adevărului" propoziţiilor geo-metrice astfel interpretabile, deoarece ne putemîntreba dacă ele corespund acelor lucruri reale pecare le-am pus în corespondenţă cu conceptele geo-metrice. Ceva mai puţin precis am putea spune căprin „adevărul" unei propoziţii geometrice înţe-legem faptul că ea conduce la o construcţie posi-bilă cu rigla şi compasul.* Prin aceasta i se pune în corespondenţă liniei drepte unobiect natural. Trei puncte ale unui corp rigid A, B, C se aflăpe o linie dreaptă atunci când, date fiind punctele A si C,punctul B este astfel ales, încât suma distanţelor AB şi BC săfie cea mai mică cu putinţă. Această indicaţie incompletă poatefi aici considerată ca suficientă.11

Convingerea asupra „adevărului" propoziţiilorgeometrice în acest sens se întemeiază în mod na-tural exclusiv pe o experienţă relativ imperfectă.Vom presupune pentru început adevărul propo-ziţiilor geometriei pentru ca apoi, în ultima paf-te a consideraţiilor noastre (privind teoria generalăa relativităţii), să vedem că aceste adevăruri nusunt absolute si să le precizăm limitele.§2. Sistemul de coordonatePe baza interpretării fizice a distantei pe caream indicat-o, suntem în măsură să stabilim prinmăsurători distanţa dintre două puncte ale unuicorp rigid. Pentru aceasta avem nevoie de o linie(un etalon de măsură S) determinată o dată pen-tru totdeauna, care va fi folosită ca unitate de mă-sură. Dacă se dau două puncte A şi B ale unui corprigid, atunci linia dreaptă care le uneşte se poateconstrui după legile geometriei; apoi, pe aceastălinie de legătură putem suprapune linia S porninddin A de atâtea ori până când se ajunge în B. Nu-mărul repetărilor acestei suprapuneri va reprezen-ta măsura dreptei AB. Pe acest principiu se bazeazăorice măsurare a lungimii.*Orice descriere spaţială a poziţiei unui fenomensau obiect se bazează pe faptul că se indică un* Aceasta presupune că măsurarea dă un număr întreg. Deaceastă dificultate ne eliberăm prin utilizarea unor etaloanefracţionare a căror introducere nu pretinde o metodă principialnoua.12

punct al unui corp rigid (sistem de referinţă) cucare acel fenomen coincide. Acest lucru este va-labil nu doar pentru descrierea ştiinţifică, ci şipentru viaţa cotidiană. Astfel, dacă vom analizaurmătoarea indicaţie privind locul „la Berlin, înpiaţa Potsdam", vom obţine următoarea semni-ficaţie: corpul rigid este solul la care se referă indi-caţia privind locul; pe el e marcat un punct purtândun nume, „Piaţa Potsdam din Berlin", cu carecoincide spaţial fenomenul.*Acest mod elementar de a indica un loc nu poa-te servi decât pentru punctele de pe suprafaţa cor-purilor rigide, fiind legat de existenţa unor puncteale acestei suprafeţe ce pot fi distinse reciproc. Săvedem cum se eliberează spiritul uman de aces-te două limitări, fără ca esenţa indicării locului săse modifice. De exemplu, să presupunem că dea-supra Pieţei Potsdam pluteşte un nor; locul acestu-ia poate fi stabilit, în raport cu suprafaţa Pământului,ridicând în piaţă o prăjină care să ajungă până lanor. Lungimea prăjinii, măsurată cu etalonul, îm-preună cu indicarea locului piciorului acestei pră-jini va reprezenta o indicaţie completă a poziţiei.Vedem din acest exemplu cum a fost perfecţiona-tă noţiunea de poziţie:* O cercetare mai adâncă a ceea ce înţelegem noi aici princoincidenţă spaţială nu e necesară, deoarece această noţiuneeste suficient de clară, încât, în cazuri reale particulare, nuar putea să apară diferenţe de opinie dacă această coincidenţăare loc sau nu.13

a) se prelungeşte corpul rigid, la care se rapor-tează indicaţia de poziţie a obiectului, în aşa fel în-cât obiectul ce urmează a fi localizat îl întâlneşteîntr-un punct determinat;b) se foloseşte, pentru stabilirea locului, numă-rul în locul numelor punctelor de reper (aici, lun-gimea prăjinii măsurate cu etalonul);c) se vorbeşte de înălţimea norului chiar şiatunci când nu există o prăjină care să-1 poată atin-ge. In cazul nostru, se va evalua lungimea acesteiprăjini care ar trebui confecţionată pentru a atingenorul, prin observaţii optice asupra norului dindiferite poziţii de pe sol, ţinând seama de proprie-tăţile propagării luminii.Din această examinare rezultă că, în descriereapoziţiei locului, ar fi avantajos dacă am reuşi ca,prin folosirea numerelor indici, să devenim inde-pendenţi de existenţa punctelor de reper dotatecu nume pe un corp rigid, ce serveşte ca sistemde referinţă. Acest obiectiv îl realizează fizica înmăsurarea prin folosirea sistemului de coordona-te cartezian.Acesta constă din trei planuri rigide perpendi-culare două câte două şi legate de un corp rigid.Locul unui eveniment oarecare în raport cu siste-mul de coordonate va fi (în mod esenţial) descrisprin indicarea lungimii a trei perpendiculare saucoordonate (x, y, z) (vezi fig. 2, p. 36) care pot fi duseîn acest punct pe cele trei planuri considerate. Lun-gimile acestor trei perpendiculare pot fi determi-nate prin manevrarea liniei etalon rigide conformlegilor si metodelor geometriei euclidiene.14

în aplicaţii, nu se realizează în general cele treiplanuri rigide ce constituie sistemul de coordona-te; coordonatele nu se măsoară nici ele cu ajuto-rul etalonului rigid, ci se determină indirect. Sensulfizic al indicaţiei de poziţie nu va trebui întotdea-una căutat în direcţia explicaţiilor de mai sus, dacăvrem ca rezultatele fizicii şi astronomiei să nu de-vină obscure.*Din cele de mai sus rezultă deci următoarele:orice descriere spaţială a fenomenelor se foloseştede un corp rigid la care se vor raporta spaţial fe-nomenele; această raportare presupune valabili-tatea legilor geometriei euclidiene pentru „liniiledrepte", „linia dreaptă" fiind reprezentată fizic prindouă puncte marcate pe un corp rigid.§3. Spaţiul şi timpul în mecanica clasicăDacă formulăm obiectivul mecanicii — fără ex-plicaţii preliminare si consideraţii complicate —astfel: „mecanica trebuie să descrie schimbările depoziţie ale corpurilor în spaţiu în funcţie de timp",atunci vom comite o serie de păcate de moarte îm-potriva spiritului sfânt al clarităţii; aceste păcatevor fi imediat scoase la iveală.Este neclar ce trebuie să se înţeleagă aici prin„loc" şi „spaţiu". Să luăm un exemplu. De la fereas-tra unui vagon de tren în mişcare uniformă las să* O perfecţionare şi o transformare a acestei concepţii vafi necesară doar pentru teoria generală a relativităţii, care vafi tratată în a doua parte a lucrării.15

cadă o piatră pe terasament fără a-i da un impuls.Făcând abstracţie de rezistenta aerului, voi vedeapiatra căzând în linie dreaptă. Un pieton care, depe o potecă laterală, vede fapta mea urâtă, obser-vă că piatra cade pe pământ descriind o parabo-lă. Ne întrebăm: „locurile" pe care piatra le străbatese află „în realitate" pe o dreaptă sau pe o para-bolă? Ce înseamnă aici mişcarea „în spaţiu"? Dupăremarcile din §2, răspunsul va fi de la sine înţe-les. Mai întâi să lăsăm cu totul la o parte expre-sia vagă „spaţiu", prin care, să recunoaştem sincer,nu putem să gândim nimic precis; o vom înlocuiprin „mişcare în raport cu un corp de referinţăpractic rigid". Locurile în raport cu un corp de re-ferinţă (vagonul sau solul) au fost deja definiteamănunţit în paragrafele anterioare. Dacă pentru„corp de referinţă" vom introduce conceptul utilpentru descrierea matematică „sistem de coordo-nate", vom putea spune: piatra descrie în raportcu sistemul de referinţă legat de vagon o dreap-tă, iar în raport cu cel legat de sol o parabolă. Dinacest exemplu se vede clar că nu putem vorbi detraiectorie* în sine, ci numai de traiectoria relati-vă la un sistem de referinţă.O descriere completă a mişcării nu este datăpână nu se indică modul în care corpul îşi modi-fică locul în funcţie de timp. Cu alte cuvinte, pen-tru fiecare punct al traiectoriei trebuie să se indicemomentul temporal în care corpul se află acolo.* Se numeşte astfel curba de-a lungul căreia se desfăşoarămişcarea corpului considerat.16

Aceste indicaţii trebuie completate cu o asemeneadefiniţie a timpului, încât aceste valori de timp săpoată fi considerate, datorită acestei definiţii, camărimi principial observabile (rezultate ale mă-surătorilor). Ne putem conforma acestei-exigenţepentru exemplul nostru, în cadrul mecanicii clasi-ce, în felul următor. Ne imaginăm două ceasorni-ce absolut identice; pe unul dintre ele îl va observaomul de la fereastra trenului, iar pe altul omul depe drumul lateral. Fiecare dintre cei doi, atuncicând ceasornicul său indică o anumită oră, va de-termina poziţia pietrei în raport cu sistemul său dereferinţă. Vom renunţa aici la luarea în considera-re a inexactităţii care apare datorită caracterului fi-nit al vitezei de propagare a luminii. Despre aceastaşi despre a doua dificultate — care va trebui bi-ruită aici — vom vorbi mai detaliat mai târziu.§4. Sistemul de coordonate galileanPrincipiul mecanicii galileo-newtoniene, cunos-cut sub denumirea de legea inerţiei, spune: un corpsuficient de îndepărtat de alte corpuri îşi menţi-ne starea de repaus sau de mişcare uniform-recti-linie. Această propoziţie nu spune ceva doar despremişcarea corpurilor, ci si despre sistemele de co-ordonate a căror utilizare este admisă în descrie-rea mecanică. Corpurile care se supun, desigur,cu un grad înalt de aproximare, legii inerţiei suntstelele fixe observabile. Dar, în raport cu un sis-tem de coordonate legat rigid de Pământ, o stea17

fixă descrie în cursul unei zile (astronomice) un cercde rază extrem de mare, în contradicţie cu princi-piul inerţiei. Pentru a putea menţine acest princi-piu va trebui să raportăm mişcarea numai la sistemede coordonate faţă de care stelele fixe nu se mişcăîn cerc. Sistemul de coordonate, a cărui stare demişcare este de aşa natură încât în raport cu el estevalabilă legea inerţiei, îl vom numi „sistem de co-ordonate galilean". Numai pentru un sistem decoordonate galilean sunt valabile legile mecani-cii galileo-newtoniene.§5. Principiul relativităţii (în sens restrâns)Revenim, pentru o intuire mai bună a lucrurilor,la exemplul cu vagonul de tren care se mişcă cuo viteză uniformă. Mişcarea sa o vom numi trans-laţie uniformă („uniformă" deoarece viteza şi direc-ţia sa sunt constante; „translaţie" deoarece vagonulîşi modifică locul în raport cu terasamentul căiiferate, fără a face vreo mişcare de rotaţie). Să pre-supunem că un corb zboară în linie dreaptă si înmod uniform în raport cu un observator situat pesol. Din punctul de vedere al unui observator dintrenul aflat în mişcare, zborul lui va reprezentao mişcare cu o altă viteză şi altă direcţie: dar estetot o mişcare rectilinie şi uniformă. Exprimat înmod abstract: dacă o masă m se mişcă uniform şirectiliniu în raport cu un sistem de coordonate K,atunci ea se va mişca rectiliniu şi uniform şi în ra-port cu al doilea sistem de coordonate K', atunci18

când acesta din urmă are o mişcare de translaţieuniformă faţă de K. De aici decurge, având în ve-dere cele spuse şi în paragrafele anterioare, că:Dacă K este un sistem de coordonate galilean,atunci oricare alt sistem de coordonate K' va fi unulgalilean dacă el se află fată de K într-o stare de miş-care de translaţie uniformă, în raport cu K' legilemecanicii galileo-newtoniene sunt la fel de vala-bile ca şi în raport cu K.Vom face un pas mai departe în generalizare:dacă K' reprezintă un sistem de coordonate în miş-care uniformă şi fără rotaţii în raport cu K, atuncifenomenele naturale se vor petrece în raport cu K'după aceleaşi legi generale ca şi în raport cu K.Acest enunţ îl vom numi „Principiul relativităţii"(în sens restrâns).Atâta vreme cât domina convingerea că oricefenomen al naturii poate fi reprezentat cu ajuto-rul mecanicii clasice, nu se putea pune la îndoia-lă validitatea acestui principiu al relativităţii. Cunoile dezvoltări ale electrodinamicii şi opticii a de-venit din ce în ce mai evident că mecanica clasicănu este suficientă ca bază a tuturor descrierilor fi-zice ale fenomenelor naturale. Atunci s-a pus subsemnul întrebării validitatea principiului relativi-tăţii, nefiind exclusă posibilitatea ca răspunsul săfie unul negativ.Oricum, există două fapte generale care pledea-ză din capul locului în favoarea validităţii princi-piului relativităţii. Dacă mecanica clasică nu oferăo bază suficientă pentru explicarea teoretică a19

tuturor fenomenelor fizice, trebuie totuşi să-i recu-noaştem un conţinut de adevăr foarte important,deoarece ea descrie cu o precizie uimitoare miş-cările reale ale corpurilor cereşti. De aceea, si îndomeniul mecanicii principiul relativităţii trebuiesă fie valabil cu o mare exactitate. Faptul ca un prin-cipiu cu un grad atât de înalt de generalitate, careeste valid cu o asemenea exactitate într-un dome-niu de fenomene, să fi eşuat în alt domeniu de fe-nomene este a priori puţin probabil.Al doilea argument, asupra căruia vom revenimai târziu, este următorul. Dacă principiul relati-vităţii (în sens restrâns) n-ar fi valid, atunci siste-mele de coordonate galileene K, K', K" etc., care semişcă unul faţă de altul uniform, n-ar mai fi echi-valente pentru descrierea fenomenelor naturale.Ar trebui atunci să admitem că legile naturii seprezintă sub o formă deosebit de simplă şi natu-rală dacă vom alege ca sistem de referinţă unuldintre toate acestea (K0) aflat într-o stare determi-nată de mişcare. Pe acesta îl vom considera, pe bunădreptate (din cauza avantajelor sale pentru descrie-rea fenomenelor naturale) ca „absolut imobil", ce-lelalte sisteme galileene K fiind însă „în mişcare".Dacă, de exemplu, terasamentul căii ferate ar re-prezenta sistemul K0, atunci vagonul nostru detren ar fi un sistem K în raport cu care ar trebuisă fie valabile legi mai puţin simple decât cele de-finite în raport cu K0. Această simplitate redusă artrebui pusă pe seama faptului că vagonul K se aflăîn mişcare în raport cu K0 (în mod „real"), în aceste20

legi generale ale naturii formulate în raport cu K,mărimea şi direcţia vitezei de mişcare a vagonuluitrebuie să joace un rol. Ne vom aştepta, de exem-plu, ca înălţimea tonului unui tub de orgă să fie di-ferită după cum axa acestui tub va fi paralelă sauperpendiculară pe direcţia de mişcare a trenului. DarPământul, aflat în mişcare în raport cu Soarele, estecomparabil cu un vagon care se deplasează cu o vi-teză de 30 km/s. Ar trebui deci să ne aşteptăm, dacăadmitem nevaliditatea principiului relativităţii, cadirecţia din fiecare moment a mişcării Pământu-lui să intervină în legile naturii, cu alte cuvinte casistemele fizice să depindă în comportamentul lorde orientarea spaţială în raport cu Pământul. Dar,dat fiind că direcţia vitezei mişcării de rotaţie aPământului se schimbă constant în cursul anului,acesta nu poate fi considerat imobil în raport cusistemul ipotetic K0 nici un moment pe parcursulunui an întreg. Dar, cu toate strădaniile, nu s-a pu-tut observa niciodată o asemenea anizotropiefizică a spaţiului, adică o neechivalenţă fizică adiferitelor direcţii. Acesta este un argument foar-te puternic în favoarea principiului relativităţii.§6. Teorema compunerii vitezelorîn mecanica clasicăSă presupunem iarăşi că acelaşi tren se depla-sează cu viteza constantă v. într-un vagon, un omse deplasează în sensul lungimii vagonului si anu-me în aceeaşi direcţie a mişcării trenului, cu viteza21

w. Cât de repede, adică cu ce viteză W înainteazăomul în raport cu terasamentul? Singurul răspunsposibil pare a decurge din observaţia următoare:Dacă omul ar rămâne imobil timp de o secun-dă, în acest timp el s-ar deplasa în raport cu tera-samentul cu o lungime v egală cu viteza trenului.Dar, în realitate, din cauza mişcării lui proprii, elparcurge în plus în această secundă în raport cu va-gonul si, ca urmare, si în raport cu terasamentul,o lungime w egală cu viteza deplasării sale. In to-tal, el parcurge deci în această secundă, în raportcu terasamentul, o lungime W = v + w.Vom vedea mai târziu că acest raţionament, careîn mecanica clasică se numeşte „teorema de com-punere a vitezelor", nu este riguros şi, ca urmare,această lege nu este verificată în realitate. Pentrumoment vom accepta însă corectitudinea ei.§7. Incompatibilitatea aparentăa legii propagării luminiicu principiul relativităţiiNu există o lege a fizicii mai simplă decât aceeadupă care se propagă lumina în spaţiul vid. Oriceelev ştie, sau cred că ştie, că această propagare seproduce rectiliniu şi cu o viteză c = 300 000 km/s.In orice caz, noi ştim în mod cert că această vite-ză este aceeaşi pentru toate culorile. Dacă n-ar fiastfel, atunci minimul strălucirii unei stele fixe înmomentul eclipsării sale de către unul din sateli-ţii ei nu s-ar mai observa simultan pentru toate cu-22'

lorile. Printr-un raţionament asemănător privindobservarea stelelor duble, astronomul olandez DeSitter a putut să arate şi că viteza de propagare aluminii-nu poate să depindă de viteza de depla-sare a sursei luminoase. Pare astfel improbabil caaceastă viteză de propagare să depindă de direc-ţia ei „în spaţiu".Pe scurt, să admitem că elevul nostru a avut bunetemeiuri să creadă în legea simplă a vitezei constan-te c a luminii (în vid). Cine şi-ar fi închipuit că aceas-tă lege simplă a creat marilor fizicieni cele mai maridificultăţi posibile? Aceste dificultăţi se exprimăastfel:Trebuie, bineînţeles, să studiem propagarea lu-minii, ca orice altă mişcare, în raport cu un sistemrigid de referinţă (sistem de coordonate). Să ale-gem în această calitate din nou terasamentul nos-tru, pe care-1 considerăm plasat într-un vid perfect.O rază de lumină trimisă de-a lungul căii ferate seva propaga în raport cu terasamentul cu vitezac. Să ne imaginăm că acelaşi tren se mişcă cu vi-teza v în acelaşi sens cu cel al propagării luminii,dar, evident, mult mai încet. Care este viteza depropagare a razei luminoase în raport cu vago-nul trenului? Raţionamentul din paragraful pre-cedent se aplică şi aici în mod evident; căci omulcare se deplasează în vagon poate juca rolul ra-zei de lumină; va fi deci suficient să considerăm,în locul vitezei w a deplasării omului în raport cuterasamentul, viteza de propagare a luminii faţăde acesta; w este astfel viteza căutată a luminii faţăde vagon, pentru care e valabilă relaţia:23

W-C-V.Viteza propagării razei de lumină în raport cuvagonul se dovedeşte astfel a fi mai mică decât c.Acest rezultat se află însă în contradicţie cuprincipiul relativităţii formulat în §5. Legea pro-pagării luminii în vid trebuie, după principiul re-lativităţii, ca orice altă lege generală a naturii, săfie valabilă pentru vagonul de tren luat drept sis-tem de referinţă la fel ca si pentru terasamentulcăii ferate, considerat ca sistem de referinţă. Acestlucru se dovedeşte însă, potrivit consideraţiilor demai sus, imposibil. Dacă orice rază de lumină se pro-pagă în raport cu solul cu viteza c, atunci tocmai dinaceastă cauză pare că viteza de propagare a lu-minii în raport cu vagonul va trebui să fie diferi-tă — fapt ce contrazice principiul relativităţii.Se pare deci că nu putem scăpa din dilema urmă-toare: fie renunţăm la principiul relativităţii, fie re-nunţăm la legea simplă de propagare a luminii învid. Cu siguranţă, cititorul care a urmărit cu aten-ţie cele spuse mai sus se va aştepta să fie păstratprincipiul relativităţii, care se impune spirituluiprin naturaleţe şi simplitate, şi ca legea propagăriiluminii în vid să fie înlocuită printr-una mai com-plicată, compatibilă cu principiul relativităţii. Dez-voltarea fizicii teoretice a arătat însă că acest drumnu poate fi urmat. Cercetările teoretice de o impor-tanţă fundamentală ale lui H.A. Lorentz asupra pro-ceselor electrodinamice si optice ce se produc încorpurile aflate în mişcare au arătat că experien-ţele din acest domeniu conduc în mod obligato-24

riu la o teorie a fenomenelor electromagnetice careare drept consecinţă inevitabilă legea constanţeivitezei luminii în vid. De aceea, teoreticienii mar-canţi au fost înclinaţi mai degrabă să respingă prin-cipiul relativităţii, deşi nu s-a găsit niciodată unfapt experimental care să fi contrazis acest prin-cipiu.Aici a intervenit teoria relativităţii. Printr-o ana-liză a conceptelor de timp si spaţiu s-a dovedit că,în realitate, nu există vreo incompatibilitate între prin-cipiul relativităţii şi legea de propagare a luminii, că seajunge la o teorie logic ireproşabilă mai curând prinmenţinerea simultană a acestor două legi. Aceas-tă teorie pe care o numim, spre a o deosebi de ex-tinderea ei despre care vom vorbi mai târziu, „teoriaspecială a relativităţii'Va fi expusă în continuare înideile ei fundamentale.§8. Noţiunea de timp în fizicăSă presupunem că un fulger a căzut asupra li-niei ferate în două locuri A si B aflate la o mare dis-tanţă unul de altul; dacă vom adăuga la aceastafaptul că cele două fulgere s-au produs simultansi ne vom întreba, stimate cititor, dacă acest enunţare vreun sens, desigur îmi vei răspunde afirma-tiv. Dacă voi insista să-mi explici mai exact sensulacestui enunţ, vei observa, după o oarecare reflec-ţie, că răspunsul la această întrebare nu este atâtde simplu cum pare la prima vedere.25

După un timp s-ar putea să-ţi vină în minte urmă-torul răspuns: „Semnificaţia enunţului este în sineclară şi nu necesită o explicaţie suplimentară; mi-artrebui totuşi un moment de reflecţie dacă aş aveasarcina de a constata experimental dacă, în cazuriconcrete, cele două evenimente sunt simultanesau nu." Cu acest răspuns nu pot fi de acord dinurmătoarele motive. Să admitem că un meteoro-log ar fi descoperit prin raţionamente subtile căîn locurile A şi B fulgerele cad întotdeauna simul-tan; se impune totuşi să verificăm dacă acest re-zultat teoretic este conform sau nu cu realitatea.Această condiţie este aceeaşi pentru toate enun-ţurile fizice în care conceptul de „simultaneitate"joacă vreun rol. Conceptul există pentru fiziciannumai atunci când există posibilitatea de a deter-mina în cazurile concrete dacă el corespunde saunu. Este aşadar nevoie de o asemenea definiţie asimultaneităţii care să ne ofere metoda de a de-cide experimental în cazurile de mai sus dacă celedouă fulgere au fost simultane sau nu. Atâta vre-me cât o asemenea condiţie nu este îndeplinită, cafizician (lucrul e valabil si pentru un nefizician!) măînşel atunci când cred că voi putea da vreun senssimultaneităţii, (înainte de a citi mai departe, dra-gă cititorule, trebuie să fii convins de asta.)îmi vei propune, după un timp de gândire, ur-mătoarea modalitate de a constata simultaneitateaa două evenimente: linia ce uneşte cele două lo-curi A şi B va fi măsurată de-a lungul căii ferate şiva fi instalat la mijloc (M) un observator dotat cu26

un aparat (de exemplu, cu o oglindă înclinată la90°) care să-i permită să observe simultan cele douăpuncte A şi B. Dacă observatorul percepe cele douăfulgere în acelaşi timp, ele vor fi simultane.Sunt foarte mulţumit de acest procedeu si totuşinu consider problema pe deplin lămurită, deoare-ce mă văd silit să aduc următoarea obiecţie: „De-finiţia ta ar fi necondiţionat corectă dacă aş şti dejacă lumina, care-i mijloceşte observatorului în M per-ceperea fulgerului, se propagă cu aceeaşi viteză pedistanţa A —»M ca si pe distanţa B —> M. O verifi-care a acestei afirmaţii presupune însă că noi dis-punem deja de un mijloc de a măsura timpul. Separe deci că ne mişcăm într-un cerc vicios."După ce vei mai reflecta, îmi vei arunca, pe bunădreptate, o privire dispreţuitoare şi vei declara:„Consider că definiţia mea este totuşi corectă, deoa-rece în realitate ea nu presupune nimic despre lu-mină. O singură condiţie trebuie pusă definiţieisimultaneităţii, şi anume să furnizeze, în fiecare cazreal, un procedeu empiric pentru a decide dacănoţiunea definită corespunde sau nu. Este indis-cutabil că definiţia mea face acest lucru. Faptul călumina are nevoie de acelaşi timp pentru a par-curge drumul A —> M şi drumul B —> M nu repre-zintă în realitate o presupoziţie sau o ipoteză asupranaturii fizice a luminii, ci o convenţie, pe care suntliber s-o adopt pentru a ajunge la o definiţie a si-multaneităţii."Este clar că această definiţie poate fi folosită pen-tru a da sens exact enunţului simultaneităţii nu doar27

pentru două evenimente, ci pentru un număr oa-recare de evenimente, indiferent de locul pe ca-re-1 ocupă ele în raport cu sistemul de referinţă(aici terasamentul căii ferate).* Prin aceasta ajun-gem şi la o definiţie a „timpului" în fizică. Să neimaginăm trei ceasornice identice în punctele A,B si C ale drumului (sistemul de coordonate), re-glate astfel încât poziţiile corespunzătoare ale lim-bilor lor să fie identice (în sensul de mai sus).Atunci prin „timpul" unui fenomen se va înţele-ge indicaţia de timp (poziţia limbii acelui ceasor-nic care se află în imediata apropiere în spaţiu) afenomenului, în felul acesta, oricărui eveniment ise va pune în corespondenţă o valoare tempora-lă, care poate fi în principiu observată.Această convenţie conţine încă o ipoteză fizi-că, de a cărei valabilitate nu ne putem îndoi atâ-ta vreme cât nu există temeiuri contrare obţinuteempiric. Se admite că toate aceste ceasornice merg„la fel de repede", atunci când sunt identic con-struite, într-o formulare exactă: dacă două ceasor-nice imobile plasate în două puncte diferite alesistemului de referinţă sunt reglate astfel încât ace-le lor să marcheze simultan (în sensul anterior)aceeaşi oră, atunci trecerea lor prin toate poziţiile* Vom admite în plus că, dacă trei fenomene A, B, C sepetrec în locuri diferite, dacă A este simultan cu B şi B este simul-tan cu C (simultan în sensul definiţiei de mai sus), criteriulsimultaneităţii e valabil şi pentru perechea de fenomene AC.Această supoziţie este o ipoteză fizică asupra legii de propa-gare a luminii; ea trebuie satisfăcută necondiţionat dacă vremsă poată fi păstrată legea constantei vitezei luminii în vid.28

corespunzătoare va fi constant simultană (în sen-sul definiţiei de mai sus).§9. Relativitatea simultaneităţiiPână acum am raportat consideraţiile noastrela un sistem de referinţă determinat, pe care 1-amdesemnat prin „terasamentul căii ferate". Să pre-supunem acum că un tren extrem de lung se de-plasează pe linia ferată cu viteza constantă v îndirecţia indicată în fig. 1. Oamenii care vor călătoriîn acest tren vor folosi trenul în mod avantajos casistem de referinţă rigid (sistem de coordonate);ei vor raporta orice eveniment la tren. Orice eve-niment ce se produce într-un punct al liniei fera-te se va produce de asemenea şi într-un punctdeterminat al trenului. Chiar si definiţia simulta-neităţii poate fi dată în raport cu trenul exact lafel ca şi în raport cu terasamentul. Se pune însăîn mod natural următoarea întrebare:Două evenimente (de exemplu, cele două fulge-re A şi B), care sunt simultane în raport cu terasamen-tul, sunt simultane şi în raport cu trenul? Vom arătade îndată că răspunsul la aceasta trebuie să fie ne-gativ.... Tren

0 M' v / —T ......

1

A 1

M E Terasament

Fio- 1*. *-Q • •*• 29

Atunci când spunem că fulgerele A şi B suntsimultane în raport cu terasamentul, aceasta vreasă însemne: razele de lumină ce pornesc din A şiB se vor întâlni în punctul median M al segmen-tului AB. Evenimentelor A si B le vor corespundeînsă locurile A si B în tren. Fie M' punctul medianal lungimii AB a trenului aflat în mişcare. Acestpunct M' coincide în momentul fulgerului (con-siderat din punctul de vedere al terasamentului)cu punctul M, dar se mişcă spre dreapta (în fig.1) cu viteza v a trenului. Dacă un observator aflatîn tren în punctul M' nu ar poseda această vite-ză, el ar rămâne mereu în M, şi atunci razele delumină ce pleacă de la fulgerele din A şi B 1-ar atin-ge în mod simultan, adică s-ar intersecta exact înfaţa lui. în realitate însă (din punctul de vedere alterasamentului), el se deplasează în întâmpinarearazei ce porneşte din B în timp ce se îndepărteazăde raza ce porneşte din A. Aşadar, observatorul vavedea mai devreme raza ce porneşte din B decâtcea care porneşte din A. Observatorii care vor fo-losi trenul drept sistem de referinţă vor trebui ast-fel să ajungă la concluzia că fulgerul B s-a produsmai devreme decât fulgerul A. Ajungem astfel larezultatul foarte important:Evenimentele care sunt simultane în raport cuterasamentul nu sunt simultane în raport cu tre-nul şi invers (relativitatea simultaneităţii). Oricesistem de referinţă (sistem de coordonate) are pro-priul său timp; o indicare a timpului nu are sensdecât atunci când se face în raport cu un corp (sis-tem) de referinţă determinat.30

înainte de teoria relativităţii, fizica a admis în-totdeauna în mod tacit faptul că semnificaţia in-dicării timpului este absolută, adică independentăde starea de mişcare a sistemului de referinţă. Amvăzut însă deja mai sus că această presupunere nueste compatibilă cu definiţia precedentă a simul-taneităţii; dacă respingem această ipoteză, atunciconflictul dintre legea propagării luminii în vid şiprincipiul relativităţii (despre care am vorbit în§7) va dispărea.La acest conflict conduceau tocmai considera-ţiile din §6 care nu mai pot fi menţinute în pre-zent. Deduceam acolo faptul că un om dintr-unvagon care într-o secundă parcurge faţă de acestao lungime w parcurge aceeaşi lungime şi în raportcu terasamentul într-o secundă, întrucât însă, con-form consideraţiilor de mai sus, timpul necesardesfăşurării unui proces în raport cu vagonul nutrebuie identificat cu durata aceluiaşi proces ra-portat la terasament drept sistem de referinţă, nuse mai poate afirma că omul parcurge prin mer-sul său relativ la vagon lungimea w într-un timpcare, măsurat în raport cu terasamentul, este egalcu o secundă.Raţionamentul din §6 se bazează de altfel si peo altă presupunere, care, în lumina unei conside-raţii mai atente, ne apare ca arbitrară, chiar dacă eaa fost admisă întotdeauna (tacit) înainte de formu-larea teoriei relativităţii.31

§10. Despre relativitateaconceptului de distantă spaţială'Să considerăm două locuri determinate ale tre-nului ce se deplasează cu viteza v (de exemplu,mijlocul vagoanelor cu numerele l şi 100) şi să neîntrebăm care e distanta dintre ele. Ştim dinaintecă pentru măsurare se utilizează lungimea unuicorp de referinţă în raport cu care se va măsura lun-gimea. Cel mai simplu va fi să folosim trenul în-suşi drept corp de referinţă (sistem de coordonate).Un observator din tren măsoară distanţa aşezândcap la cap de-a lungul podelei vagoanelor în liniedreaptă un etalon de un număr de ori până cândva ajunge de la un punct marcat la altul; numă-rul rezultat va fi distanţa căutată.Altfel se petrec lucrurile dacă dorim să măsu-răm distanţa în raport cu calea ferată. Metoda pecare o vom folosi este următoarea. Notăm cu A şiB' cele două puncte ale trenului a căror distanţă re-ciprocă vrem s-o măsurăm; ele se mişcă cu vitezav de-a lungul terasamentului căii ferate. Ne între-băm mai întâi asupra punctelor A şi B de pe caleaferată cu care vor coincide punctele A' şi B' într-unmoment determinat f, considerat în raport cu ca-lea ferată. Aceste puncte A şi B ale căii ferate vorfi determinate cu ajutorul definiţiei timpului dateîn §8. După aceea se va măsura distanţa AB aşezânddin nou etalonul de lungime de un număr de oricap la cap de-a lungul căii ferate.Nu este stabilit a priori că această ultimă mă-surare va trebui să furnizeze acelaşi rezultat ca pri-32

mă. Măsurată în raport cu calea ferată, lungimeatrenului poate diferi de cea măsurată în raport cutrenul. Această situaţie generează o a doua obiec-ţie care poate fi adusă împotriva raţionamenteloraparent ireproşabile din §6. în realitate, dacă obser-vatorul din tren parcurge într-un interval de timp— măsurat în raport cu trenul — distanţa w, aceastădistanţă nu este necesar să fie egală cu w -.— atuncicând e măsurată în raport cu calea ferată.§11. Transformarea LorentzRaţionamentele din ultimele trei paragrafe nearată că incompatibilitatea aparentă a legii pro-pagării luminii cu principiul relativităţii din §7derivă dintr-o interpretare care împrumută dinmecanica clasică două ipoteze prin nimic justifi-cate; aceste ipoteze sună astfel:1. Intervalul de timp dintre două evenimenteeste independent de starea de mişcare a corpului(sistemului) de referinţă;2. Distanţa spaţială dintre două puncte ale unuicorp rigid este independentă de starea de mişca-re a corpului (sistemului) de referinţă.Dacă vom părăsi aceste două ipoteze, va dispă-rea şi dilema din §7, deoarece teorema compune-rii vitezelor derivată în §6 îşi va pierde valabilitatea.Va apărea posibilitatea ca legea propagării lumi-nii în vid să devină compatibilă cu principiul re-lativităţii. Vom reveni asupra problemei: cum vortrebui modificate consideraţiile din §6 pentru a33

înlătura contradicţia aparentă dintre aceste douărezultate fundamentale ale experienţei? Aceastăîntrebare conduce la una mai generală, în consi-deraţiile din §6 apăreau poziţii şi timpuri în ra-port cu trenul şi în raport cu terasamentul. Cumse pot găsi poziţia şi timpul unui eveniment în ra-port cu trenul atunci când se cunosc poziţia si tim-pul evenimentului în raport cu calea ferată? Existăoare un asemenea răspuns la această întrebare,astfel încât legea de propagare a luminii în vid sănu fie în contradicţie cu principiul relativităţii? Inalţi termeni: s-ar putea imagina o relaţie între po-ziţia si timpul unui eveniment în raport cu douăsisteme de referinţă astfel încât orice rază de lumi-nă să posede aceeaşi viteză de propagare c în ra-port cu calea ferată şi în raport cu trenul? La aceastăîntrebare se poate răspunde cu toată certitudineaafirmativ; se poate găsi o lege de transformare, ab-solut precisă, care să permită evaluarea dimensi-unilor spaţio-temporale ale unui eveniment atuncicând se trece de la un sistem de referinţă la altul,înainte de a ne referi la asta, vom face urmă-toarele consideraţii intermediare. Până acum amconsiderat numai evenimente care se produc de-alungul căii ferate, căreia i se atribuie, din punct devedere matematic, proprietăţile unei linii drepte.Ne putem însă imagina un sistem de referinţă cacel prezentat în §2, prelungit lateral si în înălţimeîn aşa fel încât ar permite localizarea în raport cuel a unui fenomen ce se petrece, în mod analog, neputem imagina că trenul ce se deplasează cu o vi-34

teză v este întins în tot spaţiul, astfel încât oricefenomen, oricât de îndepărtat, să poată fi locali-zat şi în raport cu acest al doilea sistem. Am pu-tea, fără a comite o eroare principială, să nu ţinemseama de faptul că aceste două sisteme, datorităimpenetrabilităţii corpurilor solide, vor trebui săse distrugă mereu. In fiecare din aceste sisteme săne imaginăm trei planuri rectangulare desemna-te prin expresia planuri de coordonate („sisteme decoordonate"). Căii ferate îi va corespunde atuncisistemul de coordonate K, iar trenului sistemul K'.Un fenomen oarecare va fi determinat spaţial înraport cu K prin trei perpendiculare x, y, z cobo-râte pe planurile de coordonate, iar temporal prin-tr-o valoare a timpului t. Acelaşi eveniment va fideterminat spaţial si temporal în raport cu K' res-pectiv prin valorile x', y', z', t', care, fireşte, nu vorcorespunde cu x, y, z, t. Am expus deja mai susîn detaliu modul în care trebuie considerate aces-te mărimi ca rezultate ale unor măsurări fizice.într-o formulare exactă, problema noastră sunăîn felul următor. Cât de mari sunt valorile x', y',z', t' ale unui eveniment în raport cu K' atunci cândsunt date valorile x, y, z, t ale aceluiaşi evenimentîn raport cu K? Relaţiile trebuie astfel alese încâtlegea de propagare a luminii în vid pentru aceeaşirază de lumină (oricare ar fi aceasta), în raport cuK şi K', să fie verificată. Soluţia acestei problemeeste dată de ecuaţiile următoare, cu orientarea spa-ţială relativă a sistemelor de coordonate indicatăde fig. 2.35

K

zv

X

x di')J (zzf)l v11x

Fig.2x-vtt' =v2-Acest sistem de ecuaţii este desemnat prin ex-presia „transformare Lorentz".Dacă în locul legii propagării luminii vom luaca bază presupunerea tacită a vechii mecanici asu-pra caracterului absolut al intervalelor temporalesi spaţiale, atunci în locul acestor ecuaţii de trans-formare vom obine ecuaiile:x' -x

y' =36vt

pe care le numim „transformare Galilei". Trans-formarea Galilei se obţine din transformarea Lo-rentz dacă vom înlocui în ultima egalitate vitezac a luminii cu o viteză de valoare infinită.Din exemplul următor se vede uşor cum, da-torită transformării Lorentz, legea de propagarea luminii în vid este respectată atât pentru siste-mul de referinţă K, cât şi pentru sistemul de refe-rinţă K'. Să presupunem că s-a trimis un semnalluminos de-a lungul axei pozitive x şi că el se pro-pagă după ecuaţiadeci cu viteza c. Conform ecuaţiilor transformă-rii Lorentz, această relaţie simplă între x şi t deter-mină o relaţie între x' si t'. Dacă vom introducevaloarea ct a lui j în prima şi a patra ecuaţie a trans-formării Lorentz, se va obţinev'_

A, —

(c-v) tt' =de unde se deduce imediat prin împărţirex' = ct'.Această ecuaţie defineşte propagarea luminii înraport cu sistemul K'. Rezultă deci că viteza de pro-pagare a luminii în raport cu sistemul de referinţă37

K' este de asemenea egală cu c. Analog se întâm-plă cu razele de lumină ce se propagă în oricarealtă direcţie. Aceasta nu este de mirare, întrucâtecuaţiile transformării Lorentz au fost derivate înconformitate cu acest punct de vedere.§12. Comportamentul riglelor şiceasornicelor în mişcareSă aşezăm o riglă de l m pe axa x' a sistemu-lui K' în aşa fel încât una din extremităţile ei săcoincidă cu punctul x' = O, cealaltă aflându-se înpunctul x' = l. Care este lungimea acestui metruîn raport cu sistemul Kl Pentru a afla acest lucrune va fi suficient să determinăm poziţia celor douăextremităţi într-un moment determinat t în raportcu sistemul K. Prima egalitate din transformareaLorentz ne dă pentru t = O următoarele valori pen-tru cele două puncte:x (începutul metrului) = O •x (sfârşitul metrului) = l •de unde rezultă că distanţa dintre puncte este ega-lă cu38

Dar, în raport cu K, rigla de l m se mişcă cu vi-teza v. De aici rezultă că lungimea riglei rigide,aflată în mişcare cu viteza v în sensul lungimii ei,va avea dimensiunea -\/l- -^f- • Rigla rigidă afla-tă în mişcare este astfel mai scurtă decât aceeaşiriglă aflată în stare de repaus, si anume cu atâtmai scurtă cu cât ea se mişcă mai repede.Pentru viteza v = c, -\l l- -~Ţ - O/ iar pentru vite-ze şi mai mari rădăcina va deveni imaginară. Deaici vom deduce că în teoria relativităţii viteza cjoacă rolul unei viteze-limită ce nu poate fi atinsăsau depăşită de nici un corp real.Acest rol al vitezei c ca viteză-limită decurge dejadin înseşi ecuaţiile transformării Lorentz. Acesteaar deveni un nonsens dacă v ar fi ales mai maredecât c.Dacă am fi considerat, invers, o riglă de l m peaxa j şi imobilă în raport cu K, am fi găsit că lun-gimea sa în raport cu K' are valoareaaceasta coincide cu sensul principiului relativită-ţii pe care 1-am aşezat la baza acestor consideraţii.Este a priori evident că, din ecuaţiile transformă-rii, putem afla ceva despre comportamentul fizical etaloanelor de măsură si al ceasornicelor. Deoa-rece mărimile x, y, z, t nu sunt altceva decât rezul-tatele măsurării obţinute cu etaloane si ceasornice.Dacă am fi utilizat transformarea Galilei, n-am fiobţinut o scurtare a riglei ca urmare a mişcării.39

Să considerăm acum un ceasornic cu secundarcare se află în x' = O imobil în raport cu K'. Celedouă timpuri t' = O si t' = l reprezintă două bă-tăi succesive ale acestui orologiu. Prima şi cea de-apatra egalitate a transformării Lorentz ne vor dapentru aceste două bătăij.__lDin punctul de vedere al lui K, ceasornicul se miş-că cu viteza v; în raport cu acest sistem de referin-ţă, între cele două bătăi nu se scurge l secundă, ci. secunde, cu alte cuvinte un interval mai

-v/l- vLV c2

mare de timp. Ceasornicul merge, ca urmare a miş-cării lui, mai încet decât în starea de repaus. Şi aicic joacă rolul unei viteze-limită inaccesibile.§13. Teorema de compunere a vitezelor.Experienţa lui Fizeauîntrucât în practică nu putem deplasa etaloa-ne de lungime şi ceasornice decât cu viteze miciîn raport cu viteza c a luminii, rezultatele paragra-felor anterioare nu pot fi comparate direct cu re-alitatea. Dar cum, pe de altă parte, acestea pot să-ipară cititorului absolut ciudate, vom deduce dinteorie o altă consecinţă care poate fi derivată uşor40

pornind de la cele spuse până acum şi care va ficonfirmată strălucit prin experiment.în §6 am derivat teorema de compunere a vi-tezelor orientate în aceeaşi direcţie în conformi-tate cu ipotezele mecanicii clasice. Aceasta poatefi obţinută uşor şi din transformarea Galilei (§11).în locul călătorului din vagon, vom introduce unpunct care se mişcă în raport cu sistemul de co-ordonate K' după ecuaţiax' = wf.Din prima si din a patra ecuaţie a transformăriiGalilei putem exprima pe x' si t' prin x si t obţi-nândx = (v + w)t.Această ecuaţie nu exprimă decât legea de miş-care a punctului în raport cu sistemul K (a omu-lui faţă de terasamentul căii ferate); vom desemnaviteza acestui punct prin W, obţinând, ca în §6(A)= v + w.Putem să facem un raţionament analog bazân-du-ne pe teoria relativităţii. E suficient să înlocuimîn ecuaţiaxf = wfx' şi f prin x si t folosind prima şi a patra ecua-ţie a transformării Lorentz. Se va obţine atunci înlocul ecuaţiei (A) ecuaţia:41

(B)v + wcare corespunde teoremei de compunere a vite-zelor orientate în aceeaşi direcţie, conform teorieirelativităţii. Problema este acum care dintre aces-te două teoreme e confirmată de experienţă. Aiciputem învăţa ceva dintr-un experiment extrem deimportant pe care genialul fizician Fizeau 1-a fă-cut cu peste o jumătate de secol în urmă şi carede atunci a fost repetat de unii dintre cei mai bunifizicieni experimentatori, astfel încât rezultatulsău este indubitabil. Experimentul se referă la ur-mătoarea problemă: într-un fluid imobil luminase propagă cu o viteză determinată w. Cât de re-pede se propagă ea, în direcţia săgeţii, într-o con-ductă R, dacă prin aceasta trece fluidul respectivcu viteza v?RvFig.3Va trebui să presupunem, în sensul principiu-lui relativităţii, că lumina se propagă întotdeau-na cu aceeaşi viteză w în raport cu fluidul, indiferentdacă fluidul se află în mişcare sau nu în raport cualte corpuri. Cunoscând deci viteza luminii în ra-42

port cu fluidul şi viteza acestuia în raport cu con-ducta, vom căuta să determinăm viteza luminiiîn raport cu conducta.Este clar că aici problema cu care avem de-a faceeste cea din §6. Conducta joacă rolul terasamen-tului, respectiv al sistemului de coordonate K, flui-dul jucând rolul vagonului, adică al sistemului decoordonate K', iar lumina pe acela al călătoruluicare se deplasează în vagon, altfel spus, al punc-tului în mişcare la care ne-am referit în acest pa-ragraf. Dacă vom desemna prin W viteza luminiiîn raport cu conducta, atunci aceasta ar fi dată fiede ecuaţia (A), fie de ecuaţia (B), după cum reali-tăţii îi corespunde fie transformarea Galilei, fietransformarea Lorentz.Experienţa51' decide în favoarea ecuaţiei (B), de-rivată din teoria relativităţii, si anume într-o ma-nieră foarte exactă. Influenţa vitezei curentului vasupra propagării luminii este reprezentată cu oaproximaţie superioară lui 1%, prin formula (B),după cele mai recente experienţe extrem de va-loroase ale lui Zeeman.i \ c

* Fizeau a găsit W = w + v\l-----, unde n=— reprezintăV n2 jindicele de refracţie al fluidului. Pe de altă parte, cum—2 este mic în raport cu l, vom putea înlocui (B) prinW = (w + v)(l-—l sau din nou, cu aceeaşi aproximaţie, prinw + v\ l----r- , ceea ce concordă cu rezultatul lui Fizeau.V tir)43

Este necesar însă să relevăm faptul că, mult îna-inte de apariţia teoriei relativităţii, H.A. Lorentza explicat teoretic acest fenomen pe o cale purelectrodinamica, folosind anumite ipoteze asuprastructurii electromagnetice a materiei. Dar aceas-ta nu diminuează cu nimic forţa demonstrativăa experimentului, ca experimentum cruciş, în favoa-rea teoriei relativităţii. Deoarece electrodinamicaMaxwell-Lorentz, pe care se întemeia explicaţiateoretică originară, nu se află în contradicţie cuteoria relativităţii. Ultima, dimpotrivă, a rezultatdin electrodinamica, reprezentând un rezumatsurprinzător de simplu şi o generalizare a unoripoteze mai înainte reciproc independente pe carese întemeia electrodinamica.§14. Valoarea euristică a teoriei relativităţiiCalea raţionamentelor expuse până acum poa-te fi rezumată astfel. Experienţa a condus la con-vingerea că, pe de o parte, principiul relativităţii (însens restrâns) e valid si, pe de altă parte, viteza depropagare a luminii în vid este egală cu o constan-tă c. Prin unificarea acestor două postulate s-aajuns la legea de transformare pentru coordona-te rectangulare x, y, z şi timpul t ale evenimente-lor ce compun procesele naturale şi s-a obţinut nutransformarea Galilei, ci (contrar mecanicii clasi-ce) transformarea Lorentz.In această succesiune de idei, legea propagăriiluminii a jucat un rol important, recunoaşterea ei44

fiind justificată de ceea ce cunoaştem realmente.Putem însă, după ce ne aflăm în posesia transfor-mării Lorentz, s-o unificăm cu principiul relati-vităţii şi să rezumăm astfel teoria relativităţii prinenunţul:Orice lege generală a naturii trebuie să fie deaşa natură încât ea să se transforme într-o lege deexact aceeaşi formă, atunci când în locul variabi-lelor spaţio-temporale x, y, z, t, ale sistemului decoordonate originar K sunt introduse noi varia-bile spaţio-temporale x', y', z', i' ale unui sistemde coordonate K', relaţia matematică între cele douămulţimi de variabile fiind dată de transformareaLorentz. Pe scurt: legile generale ale naturii suntcovariante în raport cu transformarea Lorentz.Aceasta este o condiţie matematică precisă pecare teoria relativităţii o impune unei legi a na-turii; ea devine astfel un preţios mijloc euristic carene ajută în descoperirea legilor generale ale natu-rii. Dacă s-ar găsi o lege generală care n-ar înde-plini această condiţie, atunci cel puţin una dintrepresupunerile de bază ale teoriei ar fi contrazisă.Să examinăm acum la ce rezultate s-a ajuns pânăîn prezent.§15. Rezultatele generale ale teorieiDin consideraţiile prezentate până acum rezultăclar că teoria relativităţii (speciale) a apărut din elec-trodinamică şi optică, în aceste domenii ea nu a mo-dificat cu mult enunţurile teoriei, dar a simplificat45

în mod semnificativ construcţia teoretică, adicăderivarea legilor şi — ceea ce este incomparabilmai important — a diminuat considerabil numă-rul de ipoteze reciproc independente pe care sebazează teoria. Ea a conferit teoriei Maxwell-Lo-rentz un asemenea grad de evidenţă încât aceas-ta era aplicată cu precădere de către fizicieni chiarşi atunci când experimentul nu pleda prea con-vingător în favoarea sa.Mecanica clasică a avut nevoie mai întâi de omodificare pentru a fi în acord cu exigenţele te-oriei relativităţii. Această modificare se referă înesenţă doar la legile mişcărilor cu viteze mari, lacare vitezele v ale materiei nu sunt prea mici încomparaţie cu viteza luminii. Experienţa semna-lează asemenea viteze mari doar la electroni şiioni; la alte mişcări, abaterile de la legile mecani-cii clasice sunt atât de mici încât practic sunt ne-observabile. La mişcarea aştrilor ne vom referidoar în cadrul teoriei generale a relativităţii.Conform teoriei relativităţii, energia cinetică aunui punct material de masă m nu va mai fi datăprin expresia cunoscutăm-ci prin expresiat =mc2-46

Această expresie devine infinită atunci când vi-teza v se apropie de viteza c a luminii. De aceeatrebuie ca viteza să rămână întotdeauna inferioa-ră lui c, oricât de mari ar fi energiile pe care le-ampune în joc pentru accelerarea corpurilor. Dacăvom dezvolta în serie expresia energiei cinetice,atunci vom obţine

2 v2 3 v*mc +m— +—m-^-+ •••2 8 c2

v2

Atunci când —- este mic în raport cu l, al trei-lea termen al expresiei e întotdeauna mic în ra-port cu al doilea, singurul considerat în mecani-ca clasică. Primul termen, mc2, nu conţine vitezaşi de el nu se ţine seama atunci când e vorba dea determina modul în care energia unui punct ma-terial depinde de viteză. La importanţa lui prin-cipială ne vom referi mai târziu.Rezultatul cel mai important de natură genera-lă la care a condus teoria specială a relativităţii sereferă la conceptul de masă. Fizica prerelativistăcunoaşte două legi de conservare cu o semnifica-ţie fundamentală, şi anume, principiul conservă-rii energiei si principiul conservării masei; acestedouă principii fundamentale apar ca fiind com-plet independente unul de altul. Teoria relativită-ţii le unifică într-un singur principiu. Vom expunedoar pe scurt cum se ajunge la acest rezultat şicum trebuie el înţeles.47

Principiul relativităţii cere ca principiul conser-vării energiei să nu fie valabil doar în raport cuun sistem de coordonate K, ci şi în raport cu oricealt sistem de coordonate K', care se află în raportcu K într-o translaţie uniformă (pe scurt, în raportcu orice sistem de coordonate galilean). Trecereade la un asemenea sistem la altul va fi descrisă, înopoziţie cu mecanica clasică, de transformarea Lo-rentz.Din aceste premise şi din ecuaţiile fundamen-tale ale electrodinamicii lui Maxwell se poate de-duce prin consideraţii relativ simple următoareaconcluzie: un corp mobil cu o viteză v, care pri-meşte energie £0 sub formă de radiaţie*, fără a-şimodifica astfel viteza, suferă o creştere a energieiegală cuEn

Asadar, dacă vom lua în consideraţie expresiamenţionată mai sus a energiei cinetice, energiacăutată a corpului va fi dată de formulam + -* E0 reprezintă energia primită, considerată în raport cuun sistem de coordonate care se mişcă odată cu corpul.48

Corpul are deci aceeaşi energie ca un corp mo-£

bil cu viteza v şi cu masa m + —. Putem astfel spu-c2

ne: dacă un corp primeşte o energie E0, masa sa£

inerţială va creşte cu —; masa inerţială a unui corpc2

nu mai este constantă, ci ea variază proporţionalcu modificarea energiei. Masa inerţială a unui sis-tem de corpuri poate fi deci considerată direct camăsură pentru energia sa. Principiul conservăriimasei unui sistem se suprapune cu principiul con-servării energiei, fiind valabil numai în măsuraîn care sistemul nu primeşte sau nu cedează ener-gie. Dacă vom scrie expresia energiei sub formamc 2 + En

atunci putem observa că expresia mc2, pe care amremarcat-o deja anterior, nu este altceva decâtenergia pe care o posedă corpul* înainte de a fiprimit energia E0.Compararea directă a acestui principiu cu expe-rienţa este imposibilă pentru moment, deoarece va-riaţiile de energie E0 pe care le putem imprima* Considerat în raport cu un sistem de coordonate carese mişcă odată cu el.49

unui sistem nu sunt suficient de mari pentru a pu-tea modifica masa inerţială într-o măsură obser-vabilă.£

Cantitatea — este prea mică în raport cu masam pe care o avea corpul înainte de a fi suferit omodificare de energie. Pe aceasta se bazează fap-tul că se poate formula cu succes principiul conser-vării masei cu validitate independentă.încă o ultimă observaţie de natură principială.Succesul interpretării Faraday-Maxwell a acţiuniielectromagnetice la distanţă prin procese interme-diare cu viteză de propagare finită a determinatconvingerea că nu există acţiuni la distanţă nemij-locite, instantanee, de tipul legii gravitaţiei a luiNewton. Teoria relativităţii a înlocuit acţiunea in-stantanee la distanţă, adică acţiunea la distanţă cuo viteză de propagare infinită, printr-o acţiune ladistanţă cu viteza luminii. Acest fapt se corelea-ză cu rolul principial pe care viteza c îl are în aceas-tă teorie, în cea de-a doua parte se va arăta cumtrebuie modificat acest rezultat în teoria genera-lă a relativităţii.§16. Teoria specială a relativităţii si experienţaLa întrebarea în ce măsură teoria specială a re-lativităţii este întemeiată pe experienţă, nu estesimplu de răspuns dintr-un motiv care a fost amin-tit deja în legătură cu experienţa fundamentală alui Fizeau. Teoria specială a relativităţii s-a crista-50

lizat pornind de la teoria Maxwell-Lorentz a feno-menelor electromagnetice. Astfel, toate experien-ţele care susţin acea teorie electromagneticăsusţin si teoria relativităţii. Semnalez aici ca de-osebit de important faptul că teoria relativităţii ex-plică într-un mod extrem de simplu, înconcordanţă cu experienţa, influenţele pe caremişcarea relativă a Pământului în raport cu ste-lele fixe le exercită asupra luminii care ne vine dela acestea. Acestea sunt deplasarea anuală a po-ziţiei aparente a stelelor fixe ca urmare a mişcăriiPământului în jurul Soarelui (aberaţia) şi influen-ţa componentei radiale a mişcării relative a stele-lor fixe în raport cu Pământul asupra culoriiluminii care ajunge până la noi; ultima influenţăse exprimă într-o uşoară deplasare a liniilor spec-trului determinat de lumina care vine de la aces-te stele fixe, în raport cu spectrul dat de o sursăde lumină terestră (efectul Doppler). Argumen-tele experimentale în favoarea teoriei Max-well-Lorentz, care reprezintă în acelaşi timp şiargumente pentru teoria relativităţii, sunt prea nu-meroase pentru a fi expuse aici. Ele restrâng real-mente posibilităţile teoretice, astfel încât nici o altăteorie decât teoria Maxwell-Lorentz n-ar putea re-zista probei experienţei.Există însă două clase de fapte experimentaledescoperite până în prezent pe care teoria Max-well-Lorentz nu le poate explica decât recurgândla o ipoteză auxiliară care pare, în sine, stranie —dacă nu se recurge la teoria relativităţii.51

Este cunoscut faptul că razele catodice şi aşa-nu-mitele raze p emise de substanţele radioactive suntcompuse din corpusculi electrici negativi (elec-troni) cu o inerţie foarte mică si cu viteză foartemare. Se poate determina foarte exact legea demişcare a acestor corpusculi, studiind deviereaacestor raze sub influenţa câmpurilor electrice simagnetice.In studiul teoretic al electronilor s-a întâmpinato dificultate legată de faptul că electrodinamicanu poate, singură, să dea seama de natura lor. în-trucât masele electrice de acelaşi semn se resping,masele negative ce constituie electronii ar trebuisă se separe sub influenţa interacţiunii lor recipro-ce, dacă între ele n-ar acţiona alte forţe a căror na-tură ne este până în prezent neclară.* Dacă se vaadmite că distanţele relative ale maselor electri-ce ce constituie un electron rămân invariabile înciuda mişcării acestuia (legătura rigidă în sensulmecanicii clasice), atunci se ajunge la o lege demişcare a electronului care nu corespunde expe-rienţei. Ghidat de consideraţii pur formale, H.A.Lorentz a introdus primul ipoteza după care cor-purile electronilor în mişcare suferă o contradicţiepe direcţia de mişcare proporţională cu -u l - -£-." c2

Această ipoteză, care nu se poate justifica prin ni-mic în electrodinamica, oferă acea lege de mişca-* Teoria generală a relativităţii sugerează că masele elec-trice care alcătuiesc un electron sunt menţinute împreunăprin forţele gravitaţionale.52

re pe care experienţa a verificat-o în anii din urmăcu o precizie foarte mare.Teoria relativităţii oferă aceeaşi lege de mişca-re fără a avea nevoie de vreo ipoteză specială asu-pra structurii şi a comportamentului electronului.Lucrurile se petrec analog cu cele analizate în §13în legătură cu experimentul lui Fizeau, al cărui re-zultat a fost facilitat de teoria relativităţii fără săfie nevoie de vreo ipoteză asupra naturii fizice afluidului.A doua clasă de fapte la care vom face aluzie aicise referă la întrebarea dacă, prin experienţe făcu-te pe Pământ, poate fi observată mişcarea acestu-ia în spaţiul cosmic, încă în §5 s-a făcut menţiuneacă toate tentativele de acest fel s-au soldat cu re-zultate negative, înainte de formularea teoriei re-lativităţii, ştiinţa întâmpina dificultăţi în explicareaacestor rezultate. Lucrurile se prezentau astfel:Prejudecăţile tradiţionale asupra spaţiului sitimpului nu îngăduiau nici o îndoială asupra va-lidităţii transformării Galilei pentru trecerea de laun sistem de referinţă la altul. Dacă admitem căecuaţiile Maxwell-Lorentz sunt valabile pentru unsistem de referinţă K, atunci vom găsi că ele nupot fi valabile pentru un alt sistem de referinţă K',aflat în raport cu primul în mişcare uniformă, pre-supunând că între coordonatele lui K şi K' suntvalabile relaţiile din transformarea Galilei. De aiciar rezulta că dintre toate sistemele de coordonategalileene se distinge unul, K, aflat într-o stare demişcare determinată. Aceasta se interpretează fi-53

zic considerând pe IC în repaus în raport cu un ipo-tetic eter luminos. Dimpotrivă, toate sistemele decoordonate K' ce se mişcă în raport cu K s-ar aflaîn mişcare în raport cu eterul. Acestei mişcări a luiK' în raport cu eterul („vântul eteric" în raport cuK') i se atribuiau legi complicate care trebuiau săfie valabile în raport cu K'. Şi în raport cu Pămân-tul trebuia admis un asemenea vânt eteric, iar fizi-cienii au încercat multă vreme să-1 pună în evidentă.Pentru aceasta, Michelson a găsit o cale care pă-rea infailibilă. Să ne imaginăm două oglinzi dispu-se pe un corp solid cu feţele reflectante orientateuna spre alta. O rază de lumină are nevoie de uninterval de timp T bine determinat pentru a par-curge înainte şi înapoi drumul ce separă cele douăoglinzi, în cazul în care sistemul este imobil în ra-port cu eterul luminos. Pentru aceasta se găseşteînsă prin calcul un interval de timp T' puţin dife-rit atunci când corpul si oglinzile se află în miş-care în raport cu eterul. Mai mult, calculul aratăcă acest interval de timp T diferă în cazul în carecorpul se deplasează perpendicular pe planuloglinzilor faţă de cazul în care se deplasează para-lel cu acesta, cu o viteză v în raport cu eterul. Ori-cât de neînsemnată ar fi diferenţa astfel calculatădintre cele două intervale de timp, Michelson şiMorley au realizat un experiment de interferenţăcare ar fi scos clar în evidenţă această diferenţă.Dar, spre marea consternare a fizicienilor, experi-mentul a condus la un rezultat negativ. Lorentz siFitzgerald au scos teoria din această dificultate ad-54

miţând că mişcarea corpurilor în raport cu eterulproduce o contracţie a acestora pe direcţia mişcă-rii, contracţie care ar reprezenta cauza pentru dis-pariţia acestei diferenţe de timp. O comparaţie cucele expuse în §12 ne arată că această soluţie a fostcorectă si din punctul de vedere al teoriei relati-vităţii. Dar teoria relativităţii dă o altă reprezen-tare a lucrurilor, mult mai satisfăcătoare. După ea,nu există nici un sistem de referinţă preferenţial,care să ofere ocazia introducerii ideii de eter; prinurmare, nu se admite nici vântul eteric şi nici unexperiment care 1-ar putea pune în evidenţă. Con-tracţia corpurilor în mişcare decurge aici, fără vreoipoteză specială, din cele două principii fundamen-tale ale teoriei; şi, fără îndoială, nu mişcarea în sine(care pentru noi n-are nici un sens) este cea caredetermină această contracţie, ci mişcarea în raportcu sistemul de referinţă dinainte ales. De aceea, an-samblul celor două oglinzi din experienţa lui Mi-chelson şi Morley nu este scurtat pentru un sistemde referinţă solidar cu Pământul, ci pentru un sis-tem de referinţă imobil în raport cu Soarele.§17. Spaţiul cvadridimensionalal lui MinkowskiOri de câte ori aud de „cvadridimensional" ma-tematicienii sunt scuturaţi de un frison mistic, sta-re care seamănă mult cu cea provocată de o fantomăîn teatru. Şi totuşi, nici un enunţ nu este mai banal55

decât cel care afirmă că lumea noastră obişnuită esteun continuu spaţio-temporal cvadridimensional.Spaţiul este un continuu tridimensional. Aceas-ta înseamnă că este posibil să se descrie poziţiaunui punct (imobil) prin trei numere (coordona-te)/ x, y, z şi că pentru fiecare punct există punc-te oricât de „învecinate" a căror poziţie poate fideterminată prin valori ale coordonatelor (coor-donate) xlf y}, z1 oricât de apropiate de coordo-natele x, y, z ale primului punct considerat. Dincauza ultimei proprietăţi vorbim de „continuu",iar din cauza numărului trei al coordonatelor vor-bim de „tridimensional".Analog, lumea fenomenelor fizice, denumită pescurt de Minkowski „lumea" (universul), este înmod natural cvadridimensională în sens spa-ţio-temporal. Deoarece ea este compusă dintr-unanumit număr de evenimente izolate, fiecare din-tre ele fiind determinat prin patru numere şi anu-me trei coordonate de poziţie x, y, z şi o coordonatăde timp, valoarea timpului t. „Lumea" în acest senseste de asemenea un continuu, căci pentru oriceeveniment există oricâte evenimente „vecine" (rea-le sau imaginare), ale căror coordonate xv ylr zv ^se deosebesc oricât de puţin de cele ale aceluieveniment. Faptul că noi nu suntem obişnuiţi săconcepem lumea în acest sens ca un continuu cva-dridimensional se bazează pe împrejurarea că înfizica prerelativistă timpul juca un rol diferit, inde-pendent de cel al coordonatelor spaţiale. De aceeane-am obişnuit să tratăm timpul drept un continuu56

independent. De fapt, în fizica clasică, timpul esteo mărime absolută, adică independentă de situa-ţia şi de starea de mişcare a sistemului de referinţă.Aceasta se exprimă prin ultima ecuaţie a transfor-mării Galilei (i' = i).Prin teoria relativităţii se oferă modul de trata-re cvadridimensională a lumii, deoarece conformacestei teorii timpului i se răpeşte independenţa,aşa cum ne arată a patra ecuaţie a transformăriiLorentz:/ vl 7T A,

i.'- C

Conform acestei ecuaţii, diferenţa temporală Ai'a două evenimente în raport cu K' în general nuse anulează dacă diferenţa temporală Ai a acelo-raşi se anulează în raport cu K. Distanţa pur spa-ţială a două evenimente în raport cu K are dreptconsecinţă o distanţă temporală a acestora în ra-port cu K'. Dar nu în aceasta constă importantadescoperire a lui Minkowski pentru dezvoltareaformală a teoriei relativităţii. Ea constă mai degra-bă în ideea după care conţinutul cvadridimensio-nal spaţio-temporal al teoriei relativităţii manifestăîn trăsăturile lui formale fundamentale o adâncăînrudire cu conţinutul tridimensional al geometrieieuclidiene. Pentru a evidenţia această înrudire, tre-buie să se introducă în locul coordonatei obişnui-te t a timpului mărimea proporţională cu ea si57

imaginară -J^îct • Atunci însă legile naturii caresatisfac exigenţele teoriei speciale a relativităţii iauforme matematice în care coordonatele tempora-le joacă exact acelaşi rol cu cel al celor trei coordo-nate spaţiale. Aceste patru coordonate corespundformal înru totul celor trei coordonate spaţiale alegeometriei euclidiene. Prin această idee pur forma-lă, aşa cum trebuie să-i apară şi nematematicianu-lui, teoria câştigă extraordinar de mult în claritate.Aceste indicaţii sumare nu-i oferă cititorului de-cât o idee vagă asupra conceptului important al luiMinkowski, fără de care teoria generală a relativi-tăţii — care, în liniile ei principale, va fi expusă încontinuare — ar fi rămas poate pentru totdeaunaîn stare incipientă. Totuşi, deoarece înţelegereaideilor fundamentale ale teoriei speciale a relati-vităţii şi ale teoriei generale a relativităţii nu recla-mă în mod necesar aprofundarea acestui subiect,greu accesibil pentru un cititor nefamiliarizat cumatematica, îl vom părăsi, urmând a reveni asu-pra lui de-abia în ultimele expuneri ale acestei cărţi.

Partea a doua

DESPRE TEORIA GENERALĂA RELATIVITĂŢII

§18. Principiul specialsi cel general al relativităţiiTeza fundamentală în jurul căreia se centreazătoate consideraţiile de până acum a fost principiulspecial al relativităţii, adică principiul relativităţiifizice a tuturor mişcărilor uniforme. Să-i analizămîncă o dată exact conţinutul!Dintotdeauna a părut evident că nici o mişcarenu ar putea fi considerată, conform cu însuşi con-ceptul său, decât ca o mişcare relativă. Să conside-răm astfel din nou exemplul, utilizat de mai multeori, cu calea ferată şi vagonul. Am putea descrieaceastă mişcare la fel de bine în următoarele douăforme:a) Vagonul se mişcă în raport cu calea ferată.b) Calea ferată se mişcă în raport cu vagonul.în cazul a) pentru acest enunţ serveşte ca sis-tem de referinţă calea ferată, iar în cazul b), va-gonul. Pentru simpla determinare, adică descrierea mişcării, este indiferent, în principiu, la care din-tre aceste sisteme de referinţă se raportează miş-carea. Aceasta este, după cum am spus, o evidenţă61

care nu trebuie confundată cu un enunţ mai cu-prinzător, pe care noi 1-am numit „principiul re-lativităţii" şi pe care 1-am pus la baza cercetărilornoastre.Principiul folosit de noi nu afirmă numai faptulcă putem să alegem ca sistem de referinţă pentrudescrierea mişcării oricărui fenomen la fel de bineatât vagonul, cât şi calea ferată (căci şi acest fapt eevident). Principiul nostru afirmă, în plus: dacăse formulează legile generale ale naturii, aşa cumrezultă ele din experienţă:a) fie că se alege calea ferată ca sistem de refe-rinţă,b) fie că se alege vagonul ca sistem de referinţă,aceste legi sunt perfect identice în ambele cazuri(de exemplu, legile mecanicii sau legea vitezei pro-pagării luminii în vid). Ne putem exprima şi înfelul următor: pentru descrierea fizică a procese-lor naturale nu poate fi distins nici unul dintre sis-temele de referinţă K si K'. Acest ultim enunţ nueste necesarmente a priori adevărat, aşa cum este pri-mul; el nu este conţinut în noţiunile de „mişcare"şi „sistem de referinţă" si nu e derivabil imediat dinele, ci asupra validităţii lui va decide numai ex-perienţa.Până în prezent noi n-am afirmat echivalenţatuturor sistemelor de referinţă K în raport cu for-mularea legilor naturii. Mai degrabă am folosit oaltă cale. Noi am plecat în primul rând de la ipo-teza că există un sistem de referinţă K cu o ase-menea stare de mişcare încât faţă de el e valabil62

principiul lui Galilei: un punct material izolat, în-depărtat de toate celelalte corpuri, se mişcă uniformşi rectiliniu. In raport cu K (sistem de referinţă ga-lilean) legile naturii trebuie să fie cât mai simplecu putinţă, în afara lui K însă, celelalte sisteme dereferinţă K' vor trebui privilegiate în acest sens şi,pentru formularea legilor naturii, considerate echi-valente cu K acelea care descriu în raport cu X omişcare rectilinie şi uniformă, lipsită de rotaţie;toate aceste sisteme de referinţă vor fi consideratesisteme de referinţă galileene. Numai pentru aces-te sisteme de referinţă a fost admisă validitateaprincipiului relativităţii, nu si pentru altele careefectuează altfel de mişcări. In acest sens vorbimde principiul special al relativităţii, respectiv de te-oria specială a relativităţii.în opoziţie cu acestea, prin „principiul generalal relativităţii" vom înţelege afirmaţia: toate siste-mele de referinţă K, K' etc. sunt echivalente pentrudescrierea naturii (formularea legilor generale alenaturii), oricare ar fi starea lor de mişcare. Vom ob-serva de îndată că această formulare va fi înlocui-tă printr-una mai abstractă din motive ce vor apăreadoar mai târziu.După ce s-a confirmat introducerea principiu-lui special al relativităţii, oricărui spirit avid degeneralizare trebuie să-i apară atrăgătoare ideeade a îndrăzni să facă pasul spre principiul gene-ral al relativităţii. Dar o apreciere simplă, foarteîntemeiată în aparenţă, face ca, pentru moment,o asemenea tentativă să pară fără şanse. Cititorul63

să se imagineze în vagonul, atât de des invocat, carese mişcă uniform. Atâta vreme cât vagonul se miş-că uniform, călătorii nu vor percepe nimic cu pri-vire la mişcarea vagonului. Călătorii şi-ar puteachiar închipui că vagonul este imobil şi că în miş-care se află terasamentul. Potrivit principiului spe-cial al relativităţii, această interpretare este de altfelabsolut justificată si din punctul de vedere al fi-zicii.Să presupunem că, în urma unei frânări bruşte,mişcarea vagonului nu mai este uniformă; călăto-rul va simţi că e împins violent înainte. Mişcareaaccelerată a vagonului se manifestă prin compor-tamentul mecanic al corpurilor în raport cu el;comportamentul mecanic nu este acelaşi ca în ca-zul examinat anterior, şi pare de aceea exclus caaceleaşi legi mecanice să fie valabile în raport cuvagoanele în mişcare neuniformă ca şi în raportcu vagoanele în repaus sau în mişcare uniformă,în orice caz, este clar că principiul fundamental allui Galilei nu mai este valabil pentru vagoaneleîn mişcare neuniformă. Suntem de aceea obligaţisă-i acordăm mişcării neuniforme, în ciuda prin-cipiului general al relativităţii, un gen de realita-te fizică absolută. Vom vedea însă mai târziu căaceastă concluzie nu e corectă.§19. Câmpul gravitaţionalLa întrebarea „De ce o piatră pe care o ridicămşi apoi o lăsăm liberă cade la pământ?" se răspun-64

de de obicei: „Deoarece ea este atrasă de pământ."Fizica modernă formulează răspunsul oarecumdiferit, din următorul motiv. Studierea exactă a fe-nomenelor electromagnetice a condus la conclu-zia că nu există o acţiune nemijlocită la distantă.De exemplu, atunci când un magnet atrage o bu-cată de fier, nu trebuie să ne declarăm mulţumiţicu ideea că magnetul acţionează direct asupra fie-rului prin spaţiul vid care le separă, ci trebuie săne imaginăm mai degrabă, după Faraday, că mag-netul creează permanent în spaţiul care-1 încon-joară ceva fizic real numit „câmp magnetic". Larândul său, acest câmp magnetic acţionează asu-pra bucăţii de fier în aşa fel încât aceasta tinde săse deplaseze spre magnet. Nu vom discuta aici jus-tificarea acestei noţiuni intermediare arbitrare.Vom observa doar că, datorită ei, fenomenele elec-tromagnetice, în special propagarea undelor elec-tromagnetice, pot fi reprezentate teoretic mult maisatisfăcător decât fără ea. în mod analog se con-cep şi efectele gravitaţiei.Pământul acţionează indirect asupra pietrei. Elgenerează în vecinătatea sa un câmp gravitaţional.Acesta acţionează asupra pietrei şi provoacă miş-carea ei de cădere. Forţa acestei acţiuni asupra unuicorp descreşte conform experienţei pe măsură cene îndepărtăm de Pământ, după o lege perfect de-terminată. Potrivit modului nostru de a concepe lu-crurile, aceasta vrea să spună: legea care guverneazăproprietăţile spaţiale ale câmpului gravitaţionaltrebuie să fie una precis determinată pentru a65

reprezenta corect scăderea acţiunii gravitaţiei cudistanţa dintre corpurile care interacţionează. Nereprezentăm oarecum corpurile (de exemplu, Pă-mântul) generând direct câmpul în vecinătatea lorimediată; la o distanţă mai mare, intensitatea şidirecţia câmpului vor fi determinate de legea careguvernează proprietăţile spaţiale ale câmpului gra-vitaţional.Spre deosebire de câmpurile electrice si magne-tice, câmpul gravitaţional prezintă o proprietateabsolut remarcabilă, care va fi de o importanţă fun-damentală pentru cele ce urmează. Corpurile carese mişcă exclusiv sub acţiunea câmpului gravi-taţional suferă o acceleraţie ce nu depinde nici desubstanţa, nici de starea lor fizică. O bucată deplumb si una de lemn, în vid, de exemplu, vor că-dea la fel de repede în câmpul gravitaţional dacăle vom lăsa să cadă fără, respectiv cu aceeaşi vi-teză iniţială. Am putea formula şi altfel aceastălege extrem de precisă, pe baza următoarelor con-siderente.După legea de mişcare a lui Newton,(Forţa) = (Masa inerţială) x (Acceleraţia),unde „masa inerţială" este o constantă caracteris-tică a corpurilor accelerate. Dacă se consideră gra-vitaţia ca forţă de acceleraţie, atunci vom avea, pede altă parte,(Forţa) = (Masa grea) x (Intensitatea câmpului gravitaţional),66

unde „masa gravitaţională" este, de asemenea, oconstanta caracteristică pentru corpuri. Din celedouă relaţii decurge:(Masa grea) / imensitatea(Acceleraţia) = -------------------x l ...(Masa inerţială) \«>mPulul gravitaţionalExperienţa demonstrează că, pentru un câmpgravitaţional dat, acceleraţia este mereu aceeaşi,fiind independentă de natura şi de starea corpu-rilor; de aici rezultă că raportul dintre masa greaşi masa inerţială este mereu acelaşi pentru toatecorpurile. Am putea deci, alegând convenabil uni-tăţile, să facem acest raport egal cu 1. Atunci e va-labilă propoziţia: masa grea şi masa inerţială aleunui corp sunt identice.Mecanica de până acum a înregistrat această pro-poziţie importantă, dar n-a interpretat-o. O inter-pretare satisfăcătoare poate apărea doar dacă seadmite că aceeaşi calitate a corpului se manifes-tă, după caz, ca „inerţie" sau ca „greutate". Vomexpune în capitolul următor în ce măsură acest lu-cru se petrece realmente si cum se corelează aceas-tă problemă cu postulatul general al relativităţii.§20. Identitatea maselor grea si inerţialăca argument pentru postulatul generalal relativităţiiSă ne imaginăm o mare porţiune a spaţiului cos-mic vid, atât de îndepărtată de aştri şi de orice masă67

importantă, încât ne încadrăm cu mare precizieîn cazul prevăzut pentru legea fundamentală a luiGalilei. Atunci, pentru această porţiune a lumiidevine posibil să alegem un sistem de referinţăgalilean în raport cu care punctele imobile rămânimobile, iar punctele în mişcare conservă constanto mişcare rectilinie si uniformă. Să ne imaginămca sistem de referinţă o imensă cutie de forma uneicamere; să presupunem că în interiorul ei se aflăun observator care dispune de aparate de măsură.Pentru el, fireşte, nu există greutate. El va trebui săse fixeze pe podea cu sfori pentru ca nu cumva, lacea mai mică ciocnire cu planşeul, să se înalte lentspre plafonul camerei.Să presupunem că în mijlocul capacului cutieise găseşte, în afară, un cârlig fixat prin corzi si căcineva trage de el cu o forţă constantă. Cutia şiobservatorul încep să zboare în mişcare uniformaccelerată în „sus". Viteza lor va creşte fantastic întimp, dacă vom considera acest ansamblu în raportcu un alt corp de referinţă de care nu se trage cuajutorul unei corzi.Cum judecă omul din cutie acest proces? Ac-celeraţia cutiei va fi transmisă acesteia sub formacontrapresiunii prin intermediul planşeului. El vatrebui deci să preia această presiune prin picioa-rele sale, dacă nu va dori să se întindă pe jos câteste de lung. El stă deci în cutia sa exact la fel cumstă omul în camera unei case. Dacă va lăsa să-icadă un corp pe care mai înainte îl ţinuse în mână,atunci acceleraţia cutiei nu se va transmite aces-

tui corp, iar corpul se va apropia de planseul cu-tiei cu o mişcare relativă accelerată. Observatorulse va convinge apoi că acceleraţia corpurilor în ra-port cu planseul este întotdeauna aceeaşi, oricare ar ficorpul cu care el face experienţa.Bazându-se pe cunoştinţele sale asupra câmpu-lui gravitaţional despre care am vorbit în capito-lul precedent, observatorul va ajunge la concluziacă se află, împreună cu cutia, într-un câmp gravi-taţional constant în timp. O clipă va fi mirat de fap-tul că această cutie nu cade în câmpul gravitaţional.După aceea va descoperi cârligul în mijlocul pla-fonului şi coarda întinsă fixată de el şi va conchi-de: cutia e suspendată astfel încât rămâne imobilăîn câmpul gravitaţional.Avem dreptul să zâmbim şi să spunem că aceas-tă concluzie a observatorului e falsă? Cred că nu,dacă vrem să rămânem consecvenţi cu noi înşine;mai mult, va trebui să admitem că modul lui dea concepe lucrurile nu se opune nici raţiunii şi nicilegilor mecanice cunoscute. Putem considera cutiaimobilă, chiar dacă ea se află în mişcare acceleratăîn raport cu „spaţiul galilean" analizat anterior.Avem astfel un bun temei să extindem principiulrelativităţii la sistemele de referinţă aflate în miş-care accelerată unele în raport cu altele, obţinândastfel un argument serios pentru un postulat alrelativităţii generalizate.Trebuie remarcat că posibilitatea acestui modde a concepe lucrurile se bazează pe proprieta-tea fundamentală a câmpului gravitaţional de a69

transmite tuturor corpurilor aceeaşi acceleraţiesau, în mod echivalent, pe legea identităţii din-tre masa inerţială şi masa grea. Dacă această legea naturii n-ar exista, observatorul din cutia în miş-care accelerată n-ar interpreta comportamentul cor-purilor din preajma sa prin ipoteza unui câmpgravitaţional, iar experienţa nu i-ar permite să con-sidere sistemul său de referinţă ca fiind „imobil".Să presupunem că observatorul din cutie fixea-ză pe partea inferioară a plafonului cutiei o coar-dă, suspendând un corp la extremitatea ei liberă.Coarda va rămâne întinsă si atârnând „vertical"sub influenţa acestui corp. Să cercetăm cauza ten-siunii corzii. Observatorul din cutia sa va spune:„Corpul suspendat este supus în câmpul gravita-ţional unei forţe dirijate în jos care este echilibratăde tensiunea corzii. Masa grea a corpului suspendateste aceea care determină mărimea tensiunii corzii."Pe de altă parte, un observator care pluteşte liberîn spaţiu va judeca lucrurile astfel: „Coarda esteantrenată în mişcarea accelerată a cutiei şi o trans-mite corpului fixat de ea. Tensiunea corzii este atâtde mare, încât ea poate să producă acceleraţia cor-pului. Masa inerţială a corpului este aceea care de-termină tensiunea corzii." Vom vedea din acestexemplu că, generalizând principiul relativităţii,am pus în evidenţă necesitatea identităţii dintremasa inerţială şi masa grea. Astfel am ajuns la ointerpretare fizică a acestei propoziţii.Din consideraţiile asupra cutiei în mişcare ac-celerată se poate observa că teoria generală a re-70

lativitătii trebuie să ofere rezultate importante cuprivire la legile gravitaţiei. De fapt, dezvoltareaconsecventă a ideii relativităţii generale a condusla legile care guvernează câmpul gravitaţional.Trebuie totuşi să avertizez cititorul asupra uneineînţelegeri ce ar putea rezulta din cele spuse maisus. Pentru omul din cutie există un câmp gravi-taţional, în ciuda faptului că pentru primul sistemde coordonate ales nu a existat unul. S-ar puteadeduce uşor că existenţa unui câmp gravitaţionaleste întotdeauna doar aparentă. S-ar putea crede că,oricare ar fi câmpul gravitaţional considerat, ar pu-tea fi ales întotdeauna un alt sistem de referinţă,astfel încât în raport cu el să nu existe nici un câmpgravitaţional. Acesta nu este însă cazul pentru toa-te câmpurile gravitaţionale, ci numai pentru une-le de o structură cu totul specială. E imposibil, deexemplu, să alegem un sistem de referinţă astfelîncât, privind lucrurile în raport cu el, câmpul gra-vitaţional al Pământului să dispară.Observăm acum de ce argumentul expus lasfârşitul §18 împotriva principiului general al re-lativităţii nu este demonstrativ. Este adevărat căobservatorul din vagon se va simţi împins înain-te în timpul unei frânări bruşte, sesizând astfelviteza neuniformă (accelerată) a vagonului. Darnimeni nu-1 obligă să atribuie acest impuls uneiacceleraţii „reale" a vagonului. El ar putea să in-terpreteze fenomenul şi astfel: „Sistemul meu dereferinţă (vagonul) rămâne permanent imobil. Darîn raport cu el acţionează (în timpul frânării) un71

câmp gravitaţional orientat înainte şi variabil întimp. Sub influenta acestuia terasamentul se miş-că odată cu Pământul, astfel încât viteza iniţialăa acestuia, orientată înapoi, descreşte constant.Aşadar, câmpului gravitaţional i se datorează im-pulsul primit de observator."§21. în ce măsură fundamentele mecaniciiclasice si ale teoriei speciale a relativităţiisunt nesatisfăcătoare?După cum am amintit de mai multe ori, meca-nica clasică porneşte de la principiul: punctele ma-teriale aflate suficient de departe unele de altele semişcă rectiliniu şi uniform sau îşi conservă stareade repaus. Am subliniat în repetate rânduri căaceastă lege fundamentală nu poate fi valabilă de-cât pentru sisteme de referinţă K aflate într-o anu-mită stare de mişcare specială, deplasându-se unelefaţă de altele într-o mişcare uniformă de transla-ţie. Acest principiu nu este valabil în raport cu altesisteme de referinţă K'. Atât în mecanica clasică,cât şi în teoria specială a relativităţii, se distinge înmod corespunzător între sisteme de referinţă K,în raport cu care legile naturii sunt valabile şi sis-teme de referinţă K', în raport cu care legile na-turii nu sunt valabile.Dar nici un spirit logic nu se poate declara mulţu-mit de această stare de lucruri. El îşi pune întreba-rea: „Cum e posibil ca anumite sisteme de referinţă(respectiv starea lor de mişcare) să se distingă dealte sisteme de referinţă (sau de starea lor de mis-'

care)? Care este temeiul acestei distincţii?" Mă voiservi de o comparaţie pentru a arăta mai clar cevreau să spun cu această întrebare.Considerăm un aragaz pe care se află două vaseatât de asemănătoare încât pot fi confundate. Am-bele sunt pe jumătate umplute cu apă. Remarcămfaptul că dintr-unul din aceste vase se ridică me-reu aburi, nu însă şi din celălalt. Ne vom mira, chiardacă nu am fi văzut niciodată până atunci un ara-gaz şi un vas pentru fiert apă. Mirarea noastră vadispărea atunci când sub primul vas vom obser-va licărind ceva albăstriii, iar sub al doilea nu (chiardacă până atunci n-am văzut o flacără de aragaz).Vom putea spune doar că acest ceva albăstrui re-prezintă cauza degajării vaporilor sau, în oricecaz, ar putea fi cauza lor. Dacă nu am fi observatacest ceva albăstrui sub nici unul dintre vase sidacă totuşi am fi observat că unul dintre ele de-gajă continuu vapori, nu însă şi celălalt, am fi ră-mas miraţi şi nemulţumiţi până când am fi sesizato situaţie pe care s-o facem răspunzătoare de com-portamentul diferit al celor două vase.In mod analog, în mecanica clasică (respectiv,în teoria specială a relativităţii) noi căutăm în za-dar ceva real prin. care să întemeiem comporta-mentul diferit al corpurilor în raport cu sistemelede referinţă K şi K'.* Newton cunoştea deja această* Această obiecţie este în mod special importantă dacăstarea de mişcare a sistemului de referinţă este de aşa naturăîncât pentru menţinerea ei nu este necesară nici o influenţăexterioară, de exemplu în cazul în care sistemul de referinţăse roteşte uniform.73

obiecţie şi a încercat fără succes s-o combată. E.Mach este acela care a recunoscut-o cel mai clar şia cerut din această cauză ca mecanica clasică să fieîntemeiată pe alte baze. Această obiecţie nu poa-te fi depăşită decât printr-o fizică în conformita-te cu principiul general al relativităţii. Deoareceecuaţiile acestei teorii sunt valabile pentru oricesistem de referinţă, indiferent de starea de mişca-re în care s-ar afla.§22. Unele consecinţe ale principiului generalal relativităţiiConsideraţiile din §20 arată că principiul gene-ral al relativităţii ne pune în situaţia de a derivape o cale pur teoretică proprietăţile câmpului gra-vitaţional. Să presupunem că se cunoaşte desfă-şurarea spaţio-temporală a unui proces naturaloarecare, aşa cum se petrece el în domeniul gali-lean în raport cu un sistem de referinţă galileanK. Atunci am putea afla prin operaţii pur teore-tice, adică prin simplu calcul, cum se comportăacest fenomen natural cunoscut în raport cu unsistem de referinţă K' în mişcare accelerată faţă deK. întrucât însă în raport cu acest nou sistem dereferinţă K' există un câmp gravitaţional, se poa-te deduce raţional modul în care acest câmp gra-vitaţional influenţează fenomenul studiat. Astfelnoi aflăm, de exemplu, că un corp în mişcare rec-tilinie uniformă în raport cu K (corespunzător prin-cipiului lui Galilei) are o mişcare accelerată şi în74

general curbilinie, în raport cu sistemul de referin-ţă accelerat K' (cutie). Această acceleraţie, respec-tiv curbură, corespunde influenţei asupra corpuluiîn mişcare a câmpului gravitaţional care se mani-festă în raport cu K'. Faptul că acest câmp gravita-ţional influenţează îh acest mod mişcarea corpurilore cunoscut, prin urmare observaţia de faţă nu ne-aadus nimic nou în principiu.Vom obţine însă un rezultat nou de o importan-ţă fundamentală dacă vom aplica această obser-vaţie la o rază de lumină. Ea se propagă, în raportcu un sistem de referinţă galilean K, în linie dreap-tă cu viteza c. Dar, în raport cu o cutie aflată în miş-care accelerată (sistemul de referinţă K'), traiectoriaacestei raze de lumină, după cum se poate demon-stra uşor, nu mai este o linie dreaptă. De aici trebuiesă conchidem că, în general, în câmpurile gravitaţiona-le, razele de lumină nu se propagă în linie dreaptă. Acestrezultat este foarte important din două motive.In primul rând, el se poate confrunta direct curealitatea. Dacă un raţionament ne arată că aceas-tă curbură a razelor de lumină, calculată după te-oria generală a relativităţii, nu este decât foartemică pentru câmpurile gravitaţionale de care dis-punem în experienţa noastră, ea trebuie să atingă1,7 secunde de arc pentru razele de lumină carese propagă în apropierea Soarelui. De aici trebuiesă rezulte că stelele fixe, vizate din apropierea Soa-relui, observaţie posibilă în timpul eclipselor to-tale, ne vor apărea îndepărtate de Soare în raportcu poziţia pe care ele o ocupă pe cer atunci când75

Soarele se află într-un alt punct al cerului. Verifi-carea acestei consecinţe este o sarcină de cea maimare importanţă, a cărei rezolvare viitoare o spe-răm din partea astronomilor.*în al doilea rând, această consecinţă ne arată că,în conformitate cu teoria generală a relativităţii, le-gea adesea enunţată a constanţei vitezei luminii învid, ce constituie una dintre cele două ipoteze fun-damentale ale teoriei speciale a relativităţii, nu poa-te pretinde o valabilitate nelimitată. O curbură arazelor de lumină se poate produce numai dacă vi-teza de propagare a luminii diferă de la un loc laaltul. Am putea considera că această consecinţărăstoarnă teoria specială a relativităţii si, impli-cit, teoria relativităţii în genere, în realitate, lucru-rile nu stau astfel. Putem conchide doar că teoriaspecială a relativităţii nu poate pretinde un do-meniu de valabilitate nelimitat; rezultatele ei nusunt valabile decât atunci când se pot neglija in-fluenţele câmpurilor gravitaţionale asupra feno-menelor (de exemplu, asupra luminii).Deoarece adversarii teoriei relativităţii au afirmatadesea că teoria specială a relativităţii a fost răstur-nată de teoria generală a relativităţii, as dori să lă-muresc, printr-o comparaţie, cum stau în realitatelucrurile, înainte de apariţia electrodinamicii, le-gile electrostaticii erau considerate ca legile elec-* Existenţa devierii luminii prezisă de teorie a fost con-statată fotografic cu ocazia eclipsei de soare din 30 mai 1919de către două expediţii organizate de Royal Society sub con-ducerea astronomilor Eddington şi Crommelin.76

tricităţii pur si simplu. Astăzi noi ştim că electro-statica nu se poate aplica în mod corect câmpu-rilor electrice decât în cazul (care nu este niciodatărealizat în mod absolut) când masele electrice suntriguros imobile unele în raport cu altele şi în raportcu sistemul de coordonate. Ecuaţiile de câmp alelui Maxwell în domeniul electrodinamicii au răs-turnat oare electrostatica? Deloc. Electrostatica esteconsiderată drept un caz limită al electrodinami-cii; legile acesteia din urmă duc în mod direcţiacele ale electrostaticii în cazul în care câmpurilesunt constante în raport cu timpul. Este cel maifrumos tip de teorie fizică ce deschide calea uneiteorii mai generale, în cadrul căreia ea se menţi-ne ca un caz limită.Am văzut, în exemplul în care se analiza pro-blema propagării luminii, că principiul general alrelativităţii ne dă posibilitatea să derivăm pe o caleteoretică influenţa câmpului gravitaţional asupradesfăşurării fenomenelor, atunci când se cunoscdeja legile lor în cazul când nu există câmp gra-vitaţional. Problema cea mai interesantă pe careo rezolvă principiul relativităţii se referă însă lagăsirea legilor de care ascultă însuşi câmpul gra-vitaţional. Situaţia este următoarea.Cunoaştem domenii spatio-temporale care, prinalegerea corespunzătoare a sistemului de referin-ţă, se comportă (aproximativ) „galilean", adică do-menii în care câmpurile gravitaţionale lipsesc. Dacăraportăm un asemenea domeniu la un sistem dereferinţă oarecare K' aflat în mişcare, atunci în77

raport cu K' există un câmp gravitaţional varia-bil în timp si spaţiu.* Caracteristicile acestuia de-pind în mod natural de felul în care noi alegemmişcarea lui K'. Conform teoriei generale a rela-tivităţii, legea generală a câmpului gravitaţionaltrebuie să fie satisfăcută de toate câmpurile gravi-taţionale astfel obţinute. Chiar dacă nu putem pro-duce pe această cale toate câmpurile gravitaţionale,sperăm totuşi să putem deduce din aceste câmpurigravitaţionale de un tip special legea generală a gra-vitaţiei. Această speranţă a fost desăvârşit împli-nită. Dar, de la conceperea clară a acestui obiectivpână la realizarea lui efectivă, a trebuit să fie sur-montată încă o dificultate serioasă, pe care n-o potascunde cititorului, deoarece ea este adânc înrădă-cinată în natura acestei situaţii. Mai întâi să apro-fundam însă proprietăţile continuului spaţiu-timp.§23. Comportamentul ceasornicelor şietaloanelor de lungime într-unsistem de referinţă în mişcare de rotaţiePână acum, în mod intenţionat n-am vorbit de-spre interpretarea fizică a indicaţiilor de timp sispaţiu în cazul teoriei generale a relativităţii. M-amfăcut prin aceasta vinovat de o anumită incorec-titudine care nu este nici scuzabilă, nici lipsită deimportanţă, după cum ştim din teoria specială arelativităţii. Este timpul să umplem acest gol; vom* Aceasta rezultă dintr-o generalizare a raţionamentuluifăcut în §20.78

observa însă de la început că înţelegerea acesteiprobleme necesită din partea cititorului multă răb-dare şi putere de abstracţie.Să considerăm din nou cazuri cu torul specialela care am apelat de atâtea ori. Fie un domeniu spa-ţio-temporal în care nu există câmp gravitaţionalîn raport cu un sistem de referinţă K aflat într-o sta-re de mişcare convenabil aleasă; în raport cu acestdomeniu, K este atunci un sistem de referinţă ga-lilean şi rezultatele teoriei speciale a relativităţiisunt valabile în raport cu K. Să ne imaginăm ace-laşi domeniu în raport cu un al doilea sistem dereferinţă K', care se roteşte uniform faţă de K. Pen-tru fixarea ideilor, să ne imaginăm că K' este repre-zentat de un disc plat care se roteşte uniform înjurul centrului în planul său. Un observator situatexcentric pe acest disc K' este supus unei forţe ceacţionează pe direcţia radială spre exterior, forţăatribuită efectului inerţiei (forţă centrifugă) de că-tre un observator imobil în raport cu primul sis-tem. Observatorul aşezat pe disc ar putea consideradiscul său un sistem de referinţă „imobil" avânddrept justificare principiul general al relativităţii.El va concepe forţa ce acţionează asupra sa şi, îngeneral, asupra tuturor corpurilor imobile în raportcu discul ca datorată unui câmp gravitaţional. Fărăîndoială, distribuţia în spaţiu a acestui câmp gra-vitaţional este una care ar fi imposibilă din punc-tul de vedere al teoriei newtoniene a gravitaţiei.** Câmpul se anulează în centrul discului şi creşte propor-ţional cu distanţa pornind din acest punct spre exterior.79

întrucât însă observatorul crede în teoria genera-lă a relativităţii, acest fapt nu-1 deranjează; el spe-ră, pe bună dreptate, că s-ar putea formula o legegenerală a gravitaţiei care să explice corect nu nu-mai mişcarea aştrilor, ci si câmpul de forţe pe ca-re-1 percepe el pe disc.Acest observator face experienţe pe discul săucu ceasornice şi etaloane de lungime, cu intenţiade a ajunge pe baza observaţiilor la definiţii exac-te pentru indicaţiile de timp şi spaţiu în raport cudiscul K'. Ce-i vor arăta aceste experienţe?Să presupunem două ceasornice identice fixatede observator, unul în centrul discului si altul laperiferia acestuia, astfel încât ambele să rămânăimobile în raport cu discul. Ne întrebăm dacă aces-te două ceasornice merg la fel de repede din punc-tul de vedere al sistemului de referinţă galileanK care nu se află în mişcare de rotaţie. Din aceas-tă perspectivă considerând lucrurile, ceasorniculdin centrul discului n-are nici o viteză, în timp cecel de la periferie, ca urmare a rotaţiei în raportcu K, se află în mişcare. După un rezultat din §12,ceasornicul al doilea merge, în raport cu K, mai în-cet decât cel din centrul discului. Acelaşi lucru tre-buie să-1 constate evident şi observatorul de pe disc,pe care-1 presupunem situat în centrul discului lân-gă ceasul de acolo. Astfel, un ceasornic merge mairepede sau mai încet pe discul nostru sau în gene-ral într-un câmp gravitaţional, în funcţie de loculîn care este plasat (în repaus) ceasornicul. De aceeanu este posibil ca timpul să fie definit raţional cu80

ajutorul ceasornicelor imobile în raport cu un sis-tem de referinţă. O dificultate asemănătoare apa-re şi atunci când se încearcă să se aplice aici vecheanoastră definiţie a simultaneităţii, problemă asu-pra căreia nu voi insista.Dar şi definiţia coordonatelor spaţiale ridică laînceput dificultăţi în aparenţă insurmontabile. Dacăobservatorul aflat în mişcare odată cu discul vapune rigla sa gradată (o riglă foarte mică în raportcu raza discului) tangent la periferia discului, lun-gimea sa în raport cu un sistem de referinţă gali-lean va fi inferioară lui l, deoarece, conform §12,corpurile în mişcare suferă o contracţie în sensulmişcării. Dacă, dimpotrivă, el va aşeza aceeaşi ri-glă pe direcţia razei discului, atunci aceasta, ra-portată la K, nu va suferi nici o scurtare. Dacăobservatorul va măsura cu rigla sa mai întâi cir-cumferinţa discului si apoi diametrul lui si dacăva împărţi cele două rezultate ale măsurătorii unulla altul, atunci el nu va găsi ca rezultat cunoscu-tul număr u = 3,14..., ci un număr mai mare*, întimp ce pentru un disc imobil în raport cu K se vaobţine, natural, prin aceeaşi operaţie, exact numă-rul TC. S-a demonstrat astfel că teoremele geometrieieuclidiene nu sunt valabile riguros pentru discuriaflate în rotaţie şi, implicit, în general într-un câmp* în tot acest raţionament trebuie să folosim sistemul Kgalilean (nu cel în rotaţie) drept sistem de coordonate, deoarecenumai în raport cu K trebuie să admitem ca valabile rezul-tatele teoriei speciale a relativităţii (în raport cu K' domneşteun câmp gravitaţional).81

gravitaţional, cel puţin în cazul în care îi atribuimriglei lungimea l fără a ţine seama nici de pozi-ţia si nici de orientarea sa. Noţiunea de linie dreap-tă îşi pierde astfel semnificaţia. Nu vom putea decidefini exact coordonatele x, y, z în raport cu dis-cul după metoda folosită în teoria specială a re-lativităţii. Totuşi, atâta vreme cât nu s-a definit ceînţelegem prin coordonatele spaţiale şi momente-le temporale ale evenimentelor, nici legile naturiiîn care apar aceste indicaţii de coordonate n-au osemnificaţie exactă.Toate raţionamentele expuse până acum privindteoria generală a relativităţii par a fi puse astfel subsemnul întrebării. De fapt, este suficient să folosimun expedient subtil pentru a putea aplica corectpostulatul relativităţii generale. Pentru aceasta ci-titorul va fi pregătit prin consideraţiile ce vor urma.§24. Continuul euclidian si neeuclidianSă considerăm suprafaţa unei mese de marmu-ră. Din oricare punct al mesei eu pot ajunge la ori-care alt punct al acesteia deplasându-mă de un marenumăr de ori spre un punct întotdeauna „vecin"sau, în alţi termeni, mergând din punct în punct,fără „salturi". Ce se înţelege prin „vecin" si prin„salturi" va fi, desigur, înţeles de cititor cu suficien-tă precizie (cu condiţia ca el să nu fie prea exigent).Vom exprima aceasta spunând că suprafaţa esteun continuu.82

Să ne imaginăm apoi că, pentru „acoperirea"mesei, dispunem de un mare număr de bastona-şe de aceeaşi lungime. Prin aceasta trebuie să în-ţelegem că putem face să coincidă extremităţileacestor bastonaşe două câte două. Să plasăm decipatru asemenea bastonaşe pe suprafaţa mesei, ast-fel încât extremităţile lor să formeze un patrula-ter cu diagonalele de aceeaşi lungime (un pătrat);ne vom servi de un bastonaş de probă pentru aobţine egalitatea diagonalelor. Să alăturăm aces-tui pătrat alte pătrate egale, care să aibă în comuncu el un bastonas, acestora din urmă să le alăturămalte asemenea pătrate ş.a.m.d. In cele din urmă, în-treaga masă va fi acoperită cu pătrate, astfel încâtfiecare latură a unui pătrat să fie comună pentrudouă pătrate, iar fiecare colţ al unui pătrat să fiecomun pentru patru pătrate.Este o adevărată minune că putem face aceas-tă operaţie fără a întâmpina cele mai mari dificul-tăţi. E suficient să ne gândim doar la următoarele.Dacă într-un colţ comun construim trei pătrate, amşi trasat două laturi ale celui de-al patrulea pătrat.Modul în care vor fi construite celelalte două laturiale lui este astfel complet determinat, aşa încât eunu mai pot modifica acest patrulater pentru a-i facediagonalele egale. Dacă ele sunt de la sine egale,înseamnă că masa si bastonaşele posedă o proprie-tate specială de care nu pot decât să mă minunez.Dacă construcţia reuşeşte, vom vedea şi alte mi-nuni de acest gen.83

Dacă într-adevăr totul decurge normal, voi spu-ne că punctele mesei formează un continuu eu-clidian în raport cu bastonaşele utilizate. Dacă voialege un colţ al pătratului drept „origine", voi pu-tea determina celelalte colturi ale pătratului în ra-port cu acest punct cu ajutorul a două numere. Nue nevoie decât să precizez câte bastonaşe trebuiesă aşez la „dreapta" şi câte în „sus" plecând de lapunctul de origine pentru a ajunge la vârful avutîn vedere. Aceste două numere reprezintă „coor-donatele carteziene" ale acestui punct în raport cu„sistemul de coordonate cartezian" definit de aces-te bastonaşe.S-ar putea ca, în unele cazuri, această experien-ţă să nu reuşească, după cum putem vedea din ur-mătoarea modificare a experimentului ideal. Săpresupunem că, sub influenţa creşterii temperatu-rii, bastonaşele se „dilată" şi că masa va fi încălzi-tă în centrul ei, nu si la periferie, astfel încât în oriceloc al mesei extremităţile a două dintre bastona-şele noastre se păstrează cap la cap. Construcţianoastră de pătrate va trebui astfel să fie necesar-mente deranjată, deoarece bastonaşele din centrulmesei se vor dilata, în timp ce cele de la margineîşi vor menţine lungimea.Suprafaţa mesei nu mai constituie un continuueuclidian în raport cu bastonaşele noastre (defi-nite ca unităţi de măsură), iar noi nu mai suntemîn situaţia de a defini imediat cu ajutorul lor co-ordonatele carteziene, deoarece construcţia pre-cedentă nu mai poate fi realizată. Dar, întrucât84

există alte obiecte care nu sunt influenţate în ace-laşi mod ca bastonaşele (sau nu sunt deloc influ-enţate) de temperatura mesei, am putea reţine, înmod natural, concepţia după care suprafaţa me-sei constituie un „continuu euclidian"; acesta seobţine în mod satisfăcător cu ajutorul unor con-venţii mai subtile asupra măsurătorilor, adică acomparării lungimilor.Dar dacă, sub influenţa temperaturii, bastona-şele de orice fel, adică din orice material, se vorcomporta la fel pe suprafaţa mesei supuse unortemperaturi variabile şi dacă, pentru a constata ac-ţiunea temperaturii, nu vom avea alt mijloc de-cât comportamentul geometric al bastonaşelor înexperienţe analoge cu cea descrisă mai sus, am pu-tea atribui distanţa l depărtării dintre două punctede pe masă atunci când ele coincid cu extremităţi-le unuia dintre bastonaşele noastre; cum am pu-tea defini altfel nearbitrar o distanţă? Dar atuncitrebuie să abandonăm metoda coordonatelorcarteziene şi s-o înlocuim cu alta care nu mai pre-supune validitatea geometriei euclidiene pentrucorpurile rigide.* Cititorul observă că situaţia* Problema noastră s-a pus matematicienilor în formaurmătoare. Fiind dată o suprafaţă, de exemplu un elipsoid,în spaţiul euclidian tridimensional, există pe această suprafaţăo geometrie cu două dimensiuni la fel ca în plan. Gauss si-apus problema de a căuta principiile acestei geometrii cudouă dimensiuni fără a se folosi de ideea că respectiva supra-faţă aparţine unui continuu euclidian cu trei dimensiuni. Dacăpe această suprafaţă se imaginează construcţii cu ajutorul85

expusă aici seamănă foarte mult cu cea pe care aadus-o cu sine postulatul general al relativităţii.§25. Coordonate gaussieneIată cum a tratat Gauss această problemă dinpunct de vedere analitic-geometric. Să ne imaginămpe suprafaţa mesei un sistem de curbe oarecare(vezi fig. 4), pe care le vom desemna prin u şi le vomcaracteriza pe fiecare printr-un număr, în desensunt reprezentate curbele u = \, u = 2 şi u = 3. în-tre curbele u = l şi u - 2 trebuie să ne imaginămun număr infinit de curbe corespunzând tuturornumerelor reale cuprinse între l şi 2. Avem astfelun sistem de curbe u infinit apropiate pe toată su-prafaţa mesei. Nici o curbă u nu trebuie să inter-secteze o altă asemenea curbă; prin orice punct depe suprafaţă trece una si numai una dintre aces-te curbe. Astfel, fiecărui punct de pe suprafaţa ta-blei îi corespunde o valoare bine determinată alui u. Să ne imaginăm de asemenea un sistem debastonaşelor rigide (analoge cu cele realizate pe suprafaţamesei), ele vor satisface alte legi decât cele ale geometriei eucli-diene a planului. Această suprafaţă nu constituie un contin-uu euclidian în raport cu bastonaşele si pe ea nu se pot definicoordonatele carteziene. Gauss a arătat după ce principii putemtrata relaţiile geometrice pe această suprafaţă, deschizând ast-fel calea geometriei lui Riemann a continuurilor neeuclidienepluridimensionale. De aceea matematicienii au rezolvat dejade multă vreme problemele formale la care conduce postu-latul general al relativităţii.86

curbe v, ce satisfac aceleaşi condiţii, cărora le co-respund numere în acelaşi mod, si care ar puteafi oricum formate. Fiecărui punct al suprafeţei me-sei îi va corespunde atunci o valoare a lui u si unaa lui v, numere pe care le vom numi coordonate (co-ordonate gaussiene). De exemplu, punctul P repre-zentat în figură are drept coordonate gaussieneu = 3, v = 1. Două puncte vecine P şi P' de pe su-prafaţă corespund coordonatelorsiP: u; vP': u + du; v + dv,unde du şi dv reprezintă numere foarte mici. Fie dsnumărul foarte mic reprezentând distanţa măsura-tă cu o riglă gradată dintre P si P'. După Gauss,ds2 = gndu2 + 2gl2dudv87

unde gn, gu, g22 reprezintă mărimi ce depind în-tr-o modalitate precisă de u şi v. Mărimile gn, g12,822 determină comportamentul bastonaşelor în ra-port cu curbele u si v şi ca urmare în raport cu su-prafaţa mesei, în cazul în care punctele suprafeţeiconsiderate constituie un continuu euclidian în ra-port cu bastonaşele de măsură, dar numai în acestcaz, e posibil să alegem curbele u şi v şi să le atri-buim numere astfel încât să avem, simplu,ds2 = du2 + dv2.In acest caz curbele u si v sunt linii drepte în sen-sul geometriei euclidiene, linii ortogonale. Atuncicoordonatele gaussiene sunt, simplu, coordona-te carteziene. Coordonatele gaussiene, după cumse observă, nu sunt decât două numere atribuite fie-cărui punct de pe suprafaţă în aşa fel încât la douăpuncte vecine în spaţiu corespund valori foartepuţin diferite ale coordonatelor.Aceste consideraţii se aplică mai întâi unui con-tinuu bidimensional. Dar metoda gaussiană sepoate aplica şi unui continuu cu trei, patru sau maimulte dimensiuni. Să considerăm, de exemplu, uncontinuu cvadridimensional; vom pune în cores-pondenţă fiecărui punct al continuului în mod ar-bitrar patru numere xlf x2, x3, J4, care vor fi numite„coordonate". Punctelor vecine le vor corespundevalori ale coordonatelor vecine. Dacă am definit fi-zic distanţa a două puncte vecine P şi P' şi dacăştim cum s-o măsurăm, vom avea formula

unde mărimile gn etc. au valori ce variază dupălocul din continuu. Numai în cazul în care con-tinuul este euclidian e posibil să punem în cores-pondenţă punctelor continuului coordonatele xv

x2, x3, x ţ, astfel încât vom avea simplu:ds2 =2 + dxţ + dx2 +Atunci în continuul cvadridimensional sunt va-labile relaţii analoge cu cele pe care le satisfac mă-surările în continuul nostru tridimensional.Reprezentarea gaussiană pentru ds2 nu este to-tuşi posibilă decât dacă putem considera drept con-tinuuri euclidiene domenii suficient de mici alecontinuului studiat. Aceasta se întâmplă evident încazul mesei şi al temperaturii variabile în funcţiede loc. Deoarece pentru o parte mică a mesei tem-peratura este practic constantă, iar bastonasele secomportă geometric aproape conform regulilor geo-metriei euclidiene. Dificultatea construirii pătrate-lor din paragraful precedent nu va mai apărea decâtatunci când această construcţie se va extinde asu-pra unei părţi considerabile a mesei.în rezumat, putem spune: Gauss a descoperit ometodă pentru studiul matematic al continuuriloroarecare, în care se definesc relaţiile metrice („dis-tanţa" punctelor vecine). Fiecărui punct al continu-ului îi vor corespunde atâtea numere (coordonategaussiene) câte dimensiuni are continuul. Această89

corespondentă trebuie să fie univocă şi de o aseme-nea natură încât punctelor vecine să le corespundănumere infinit de puţin diferite (coordonate gaus-siene). Sistemul de coordonate gaussian este o gene-ralizare logică a sistemului de coordonate cartezian.El este aplicabil si continuurilor neeuclidiene, darnumai atunci când mici părţi ale continuului stu-diat în raport cu măsura definită („distanţa") potfi considerate ca euclidiene cu o aproximaţie cuatât mai mare, cu cât partea considerată a conti-nuului este mai mică.§26. Continuul spaţio-temporalal teoriei speciale a relativităţii —continuu euclidian.Acum suntem în măsură să expunem cu maimultă precizie ideile lui Minkowski indicate doarsumar în §17. Conform teoriei speciale a relativi-tăţii anumite sisteme de coordonate, pe care le-amnumit „sisteme de coordonate galileene", joacă unrol special în descrierea continuului cvadridimen-sional spaţio-temporal. Pentru ele, cele patru co-ordonate x, y, z, t, care determină un eveniment sau,altfel spus, un punct al continuului cvadridimen-sional, sunt definite fizic într-un mod simplu, aşacum s-a arătat pe larg în prima parte a acestei lucrări.Pentru trecerea de la un sistem galilean la altul aflatîn mişcare uniformă în raport cu el sunt valabileecuaţiile transformării Lorentz care formează bazapentru derivarea consecinţelor teoriei speciale a90

relativităţii şi nu reprezintă, la rândul lor, decâtexpresia valabilităţii universale a legii propagă-rii luminii pentru toate sistemele de referinţă ga-lileene.Minkowski a descoperit că transformarea Lo-rentz satisface următoarele condiţii simple. Să con-siderăm două evenimente vecine, a căror poziţierelativă e dată în continuul cvadridimensional prindiferenţele de coordonate spaţiale dx, dy, dz si prindiferenţa de timp dt în raport cu un sistem de re-ferinţă galilean K. In raport cu un al doilea sistemgalilean, diferenţele analoge pentru aceste douăevenimente vor fi dx', dy', dz', dt'. Atunci acestemărimi vor satisface mereu condiţiadx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 = dx'2 + dy'2 + dz'2 - c2dt'2.Aceste condiţii au drept consecinţă validitateatransformării Lorentz. Putem spune şi astfel: mă-rimeads2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2

relativă la două puncte vecine ale continuului cva-dridimensional spatiu-timp îşi conservă aceeaşi va-loare pentru toate sistemele de referinţă preferenţiale(galileene). Dacă se înlocuiesc x, y, z, J^\ct prinJ1, x2, x3, J4 se observă că măsurads2 = dx2 + dx2, + dx2, + dx\este independentă de alegerea sistemului de refe-rinţă. Vom numi mărimea ds „distanţa" celor douăevenimente sau puncte cvadridimensionale.91

Dacă în locul variabilei reale t se alege ca va-riabilă temporală variabila imaginară <J~^îct sepoate, conform teoriei speciale a relativităţii, con-sidera continuul spaţio-temporal ca un continuu„euclidian" cvadridimensional, aşa cum a rezul-tat din raţionamentele din paragraful anterior.§27. Continuul spaţio-temporalal teoriei generale a relativităţiinu este un continuu euclidianIn prima parte a acestei lucrări am putut utili-za coordonate spaţiale şi temporale susceptibilede o interpretare fizică simplă şi directă şi care,după §26, pot fi interpretate drept coordonate car-teziene cu patru dimensiuni. Acest lucru era po-sibil pe baza legii constanţei vitezei luminii în vid,pe care însă, conform §21, teoria generală a rela-tivităţii nu o mai acceptă; am ajuns, dimpotrivă,la rezultatul după care, conform teoriei generalea relativităţii, viteza luminii trebuie să depindămereu de coordonate, atunci când e prezent uncâmp gravitaţional. Am găsit apoi, în §23 pe uncaz particular, că prezenţa unui câmp gravitaţio-nal face imposibilă acea definire a coordonatelorşi a timpului care ne-a condus la realizarea obiec-tivului în teoria specială a relativităţii.Date fiind aceste rezultate, ajungem la convin-gerea că, după teoria generală a relativităţii, con-tinuul spaţio-temporal nu mai poate fi înţeles caun continuu euclidian, ci că aici ne aflăm în ca-92

zul general pe care 1-am întâlnit deja pentru conti-nuul bidimensional al suprafeţei mesei si al tem-peraturii variabile. Aşa cum acolo nu era posibil săse construiască din bastonaşe egale un sistem decoordonate cartezian, la fel si aici e imposibil să con-struim din corpuri rigide şi ceasornice un sistem(sistem de referinţă) în aşa fel încât etaloanele delungime şi ceasornicele rigid legate între ele să in-dice în mod direct poziţia şi timpul. Aceasta estedificultatea pe care am întâlnit-o în §23.Explicaţiile din §25 si §26 ne indică însă calea deurmat pentru depăşirea acestei dificultăţi. Rapor-tăm într-un mod arbitrar continuul spaţio-tempo-ral cvadridimensional la coordonatele gaussiene.Vom face să corespundă fiecărui punct al continu-ului patru numere xlf x2, x3, x4 (coordonate) carenu posedă o semnificaţie fizică nemijlocită, ci ser-vesc numai la numerotarea punctelor continuuluiîntr-o anume modalitate arbitrară. Această cores-pondentă nu trebuie să fie în mod necesar de aşanatură încât xlf x2, x3 să reprezinte „coordonatespaţiale", iar x4 „coordonata temporală".Cititorul ar putea crede că o asemenea descrie-re a lumii este cu totul insuficientă. De ce să se atri-buie unui eveniment coordonatele determinate xv

x2, x3, Xţ, dacă aceste coordonate n-au nici o sem-nificaţie? La o examinare mai atentă se observăînsă că această întrebare nu este întemeiată. Să con-siderăm, de exemplu, un punct material oareca-re în mişcare. Dacă acesta ar avea doar o existenţămomentană, lipsită de durată, atunci el ar putea93

fi descris spaţio-temporal printr-un singur sistemde valori xv x2, x3, x4. Existenţa sa durabilă poa-te fi caracterizată printr-un număr infinit de marede sisteme de valori (ale căror coordonate diferăinfinit de puţin unele de altele), punctele fiindfoarte apropiate între ele; punctului material îi vacorespunde deci o linie (unidimensională) într-uncontinuu cvadridimensional. Mai multor puncteîn mişcare le vor corespunde de asemenea astfelde linii în continuul nostru. Numai propoziţiilereferitoare la aceste puncte, care pot pretinde re-alitatea fizică, sunt realmente propoziţii asupracoincidenţei acestor puncte. O asemenea coinci-denţă se manifestă în reprezentarea noastră ma-tematică prin faptul că cele două linii reprezentândmişcările respective ale acestor două puncte au co-mun un anumit sistem de valori de coordonate xlr

x2, x3, x4. Cititorul va admite desigur după o anu-mită reflecţie că asemenea coincidente sunt, de fapt,singurele constatări reale cu caracter spatio-tem-poral pe care le întâlnim în enunţurile fizice.Când am descris mai înainte mişcarea unuipunct material fată de un sistem de referinţă nu amindicat altceva decât coincidenţele acestui punctcu puncte determinate ale sistemului de referin-ţă. Indicaţiile de timp rezultă si ele din constata-rea coincidenţei corpurilor cu ceasornice, legată deconstatarea coincidentei indicatoarelor ceasorni-celor cu puncte determinate de pe cadran. La felse petrec lucrurile cu măsurările lungimilor cu eta-loane, cum poate rezulta după o mică reflecţie.94

In general, orice descriere fizică se descompu-ne într-un număr de propoziţii, fiecare dintre eleraportându-se la coincidenţa spaţio-temporală adouă evenimente A şi B. Orice asemenea propozi-ţie se exprimă în coordonate gaussiene prin concor-danta celor patru coordonate x,, x2, x3, x4. Descriereacontinuului spaţio-temporal prin coordonate ga-ussiene înlocuieşte de fapt în mod complet de-scrierea cu ajutorul unui sistem de referinţă, fărăa mai prezenta neajunsurile acestei ultime meto-de; ea nu mai este legată de caracterul euclidianal continuului pe care-1 reprezintă.§28. Formularea exactă a principiului generalal relativităţiiAcum suntem în situaţia de a înlocui formula-rea provizorie din §18 a principiului general al re-lativităţii printr-una exactă. Forma adoptată atunci:„Toate sistemele de referinţă K, K' etc. sunt echi-valente pentru descrierea naturii (formularea le-gilor generale ale naturii), oricare ar fi starea lorde mişcare" nu mai poate fi păstrată, deoarece numai este posibilă folosirea corpurilor de referin-ţă rigide pentru descrierea spaţio-temporală, însensul metodei urmate în teoria specială a relati-vităţii. Se înlocuieşte sistemul de referinţă prin sis-temul de coordonate gaussiene. Ideea principalăa principiului general al relativităţii este exprima-tă de următoarea propoziţie: Toate sistemele de co-95

ordonate gaussiene sunt principial echivalente pentruformularea legilor generale ale naturii.Putem enunţa acest principiu general al relati-vităţii si într-o altă formă, care indică şi mai clarfaptul că această propoziţie este o generalizare na-turală a principiului special al relativităţii. După te-oria specială a relativităţii, ecuaţiile care exprimălegile generale ale naturii se transformă în ecuaţiide aceeaşi formă atunci când, prin utilizarea trans-formării Lorentz, în locul variabilelor x, y, z, t depoziţie şi timp ale unui sistem de referinţă (gali-lean) K, se introduc variabilele x', y' , z' , t' ale unuinou sistem de referinţă K' . După teoria generalăa relativităţii, dimpotrivă, aceste ecuaţii trebuie săse transforme în ecuaţii de aceeaşi formă printr-osubstituţie oarecare a variabilelor gaussiene zv x2

X3, x 4, deoarece orice transformare (nu doar trans-formarea Lorentz) corespunde unei schimbări decoordonate gaussiene.Dacă nu vrem să renunţăm la intuiţia obişnuitătridimensională, vom putea caracteriza dezvolta-rea ideilor fundamentale ale teoriei generale a re-lativităţii după cum urmează. Teoria specială arelativităţii se referă la domenii galileene, adică ladomenii în care nu există nici un câmp gravitaţio-nal. Ca sistem de referinţă serveşte aici un sistemde referinţă galilean, adică un corp rigid într-o sta-re de mişcare astfel aleasă încât în raport cu ea evalabil principiul galilean al mişcării uniforme-rec-tilinii a punctelor materiale „izolate".Anumite consideraţii conduc la raportarea aces-tor domenii galileene la sisteme de referinţă care96

nu sunt galileene. Există atunci, în raport cu aces-tea, un câmp gravitaţional de un tip particular (§20si 23).Dar, în câmpuri gravitaţionale nu există corpuririgide cu proprietăţi euclidiene. Ficţiunea corpu-rilor de referinţă rigide eşuează în teoria generalăa relativităţii. Mersul ceasornicelor este si el influ-enţat de câmpurile gravitaţionale, astfel încât o de-finiţie fizică a timpului cu ajutorul direct al acestorceasornice nu are deloc acelaşi grad de evidenţăca în teoria specială a relativităţii.De aceea se utilizează corpuri de referinţă ne-rigide, care nu numai că se află într-o mişcare oa-recare, ca orice corp, dar care în timpul mişcăriilor suferă schimbări de formă arbitrare. Pentru adefini timpul se utilizează ceasornice care funcţio-nează după orice lege de mişcare, oricât de nere-gulată, pe care ni le imaginăm fixate fiecare într-unpunct al sistemului de referinţă nerigid şi care nusatisfac decât condiţia ca indicatoarele simultanobservabile ale ceasornicelor situate în vecinătatesă difere infinitezimal. Aceste corpuri de referin-ţă nerigide, pe care le-am putea numi pe drept cu-vânt „moluşte de referinţă", sunt esentialmenteechivalente cu un sistem oarecare de coordonategaussiene cu patru dimensiuni. Ceea ce-i conferă„moluştei" în raport cu sistemul de coordonate ga-ussian un anume caracter intuitiv este conservareadin punct de vedere formal (conservare, de fapt,nejustificată) a existentei proprii a coordonatelor„spaţiale" în raport cu coordonata „temporală".97

Fiecare punct al moluştei este considerat un punctîn spaţiu, fiecare punct material imobil în raportcu el va fi considerat pur şi simplu ca imobil, atâ-ta vreme cât moluscă va fi luată ca sistem de refe-rinţă. Principiul general al relativităţii cere ca toateaceste moluşte să poată fi întrebuinţate cu egalăîndreptăţire şi cu succes egal ca sisteme de referin-ţă în formularea legilor generale ale naturii; legi-le trebuie să fie complet independente de alegereamoluştelor.Tocmai în această limitare drastică impusă legi-lor naturii constă intuiţia esenţială imanentă prin-cipiului general al relativităţii.§29. Soluţia problemei gravitaţiei pe bazaprincipiului general al relativităţiiCititorul care a urmărit toate consideraţiile ex-puse până acum nu va avea nici o dificultate săînţeleagă metoda care va oferi soluţia problemeigravitaţiei.Vom începe prin a considera un domeniu ga-lilean, adică un domeniu în care nu există câmpgravitaţional în raport cu sistemul de referinţă ga-lilean K. Ştim din teoria specială a relativităţii cumse comportă riglele şi ceasornicele în raport cu Ksi de asemenea cum se comportă punctele mate-riale „izolate"; acestea se mişcă rectiliniu şi uni-form.Să raportăm acum acest domeniu la un sistemde coordonate gaussian oarecare sau mai degra-98

bă la o „moluscă" luată ca sistem de referinţă K'.In raport cu K' există un câmp gravitaţional (de ungen particular). Un calcul simplu ne permite să de-terminăm comportamentul riglelor şi al ceasorni-celor precum şi al punctelor materiale în mişcareliberă în raport cu K'. Acest comportament îl vominterpreta ca fiind un comportament al riglelor,ceasornicelor si punctelor materiale, sub influen-ţa câmpului gravitaţional G. Se va introduce apoiipoteza după care influenţa unui câmp gravita-ţional asupra riglelor, ceasornicelor şi punctelormateriale în mişcare liberă se produce după ace-leaşi legi chiar şi atunci când câmpul gravitaţio-nal nu poate fi derivat prin simple transformăride coordonate din cazul particular galilean.După aceea se cercetează comportamentul spa-ţio-temporal al unui câmp gravitaţional G derivatdin cazul galilean special prin simple transformăride coordonate şi se exprimă acest comportamentprintr-o lege care este mereu valabilă, indiferentde alegerea şi sistemul de referinţă (moluscă) uti-lizat pentru descrierea fizică.Această lege nu este încă legea generală a câm-pului gravitaţional, întrucât câmpul gravitaţionalstudiat, G, este de un tip particular. Pentru a des-coperi legea generală a câmpului gravitaţional estenecesară încă o generalizare a legii astfel obţinu-tă; această generalizare este complet determinatădacă se iau în consideraţie următoarele condiţii:a. Generalizarea căutată trebuie să satisfacă de ase-menea principiul general al relativităţii.99

b. Dacă în domeniul considerat există materie,câmpul pe care ea îl produce nu depinde decâtde masa sa inerţială şi, ca urmare, conform §15,doar de energia sa.c. Ansamblul format din câmpul gravitaţional şimasă trebuie să satisfacă legea conservării ener-giei (sau impulsului).Finalmente, principiul general al relativităţii nepermite să aflăm influenţa câmpului gravitaţionalasupra desfăşurării tuturor acelor procese care încazul absenţei unui câmp gravitaţional se supunlegilor cunoscute, adică a celor deja introduse încadrul teoriei speciale a relativităţii. Vom urma aici,în principiu, metoda care a fost analizată mai îna-inte pentru rigle, ceasornice şi puncte materiale înmişcare liberă.Teoria gravitaţiei dedusă astfel din principiul ge-neral al relativităţii nu se distinge doar prin frumu-seţea sa; ea nu corijează doar defectul, indicat în §21,pe care-1 prezintă mecanica clasică; ea nu explicădoar legea experimentală a egalităţii dintre masainerţială şi masa grea; în plus, ea a explicat dejadouă rezultate de observaţie ale astronomiei esen-ţial diferite în faţa cărora mecanica clasică eşua.Al doilea dintre aceste rezultate, şi anume curba-rea razelor de lumină de către câmpul gravitaţio-nal al Soarelui, a fost deja amintit. Primul se referăla orbita planetei Mercur.Dacă se consideră ecuaţiile teoriei generale a re-lativităţii în cazul special când câmpurile gravi-taţionale sunt slabe si toate masele se deplasează100

în raport cu un sistem de coordonate cu viteze micifaţă de viteza luminii, se va obţine imediat teorialui Newton ca primă aproximaţie; această teoriese obţine fără a introduce ipoteze speciale, în timpce Newton a fost obligat să introducă ipoteza uneiforţe de atracţie invers proporţională cu pătratuldistanţei dintre punctele materiale aflate în inter-acţiune. Dacă se măreşte gradul de precizie a cal-culelor, vor apărea unele abateri de la teoria luiNewton, care scapă însă aproape în întregime ob-servaţiilor noastre din cauza micimii lor.Una dintre aceste abateri va trebui consideratăaici în mod special. După teoria lui Newton, o pla-netă se mişcă în jurul Soarelui pe o elipsă care-şiva păstra permanent poziţia în raport cu stelelefixe, dacă se vor putea neglija acţiunea altor pla-nete asupra planetei considerate şi mişcarea pro-prie a stelelor fixe. Dacă vom face abstracţie deaceste două influenţe, atunci orbita planetelor vatrebui să fie invariabilă în raport cu stelele fixe, încazul în care teoria lui Newton este exactă. Aceas-tă consecinţă testabilă cu o precizie foarte mares-a confirmat la toate planetele până la planeta ceamai apropiată de Soare, Mercur, cu precizia ob-servaţiilor pe care o putem atinge astăzi. Despreplaneta Mercur însă noi ştim deja de la Leverriercă elipsa care reprezintă traiectoria sa, corijată însensul de mai sus, nu este imobilă în raport cu ste-lele fixe, ci se află într-o mişcare de rotaţie extra-ordinar de lentă în planul traiectoriei şi în sensulmişcării de revoluţie. Pentru această mişcare de101

rotaţie a elipsei traiectoriei s-a determinat o valoa-re de 43 secunde de arc pe secol, cu o eroare maimică de câteva secunde de arc. Explicaţia acestuifenomen prin mecanica clasică nu poate fi datădecât introducând ipoteze puţin plauzibile şi con-cepute special în acest scop.Din teoria generală a relativităţii rezultă că ori-ce elipsă a planetelor va trebui cu necesitate să serotească în modul indicat mai sus în jurul Soare-lui; la toate celelalte planete cu excepţia lui Mercur,această rotaţie este însă prea mică pentru a pu-tea fi constatată cu precizia măsurătorilor noastreactualmente realizabile; pentru Mercur, ea atingeînsă 43 de secunde de arc pe secol, exact aşa cuma fost stabilit pe baza observaţiei.In plus, din această teorie s-a putut deduce pânăacum o consecinţă susceptibilă a fi verificată prinobservaţii, si anume deplasarea spectrului lumi-nii pe care o primim de la stelele uriaşe în raportcu cea produsă pe Pământ în mod analog (adicăprodusă de acelaşi tip de molecule). Nu mă în-doiesc de faptul că şi această consecinţă a teorieiva fi curând confirmată.

CONSIDERAŢIIASUPRA UNIVERSULUICA ÎNTREG§30. Dificultăţile cosmologiceale teoriei newtonieneîn afara dificultăţii expuse în §21, mecanica ce-rească clasică întâmpină de asemenea încă o a douadificultate principială care, după ştiinţa mea, a fostdiscutată pentru prima dată în mod detaliat de as-tronomul Seeliger. Dacă se studiază cum poate ficonsiderat universul ca întreg, atunci răspunsulcel mai natural pare a fi următorul: universul esteinfinit în spaţiu (şi în timp). Peste tot există stele,astfel încât densitatea materiei, deşi este local foar-te diferită, global rămâne aceeaşi, în alţi termeni:oricât de departe am călători în spaţiu, se vor găsipeste tot răspândite o mulţime de stele fixe, de ace-laşi tip şi aceeaşi densitate.Această concepţie este incompatibilă cu teorialui Newton. Teoria sa pretinde mai degrabă că uni-versul are un gen de centru, în care densitatea ste-lelor este maximă, iar această densitate a stelelorscade pornind din acest centru în afară, pentru afi înlocuită, la o distanţă suficient de mare, de un103

spaţiu vid infinit. Lumea stelelor ar constitui o in-sulă finită în oceanul infinit al spaţiului.*Această reprezentare este, în sine, puţin satisfă-cătoare. Ea este si mai puţin satisfăcătoare dacă ţi-nem seama de faptul că se ajunge la următoareaconsecinţă: lumina emisă de stele şi stelele izolatede sistemul stelar se vor deplasa constant spre in-finit fără a mai reveni vreodată şi fără a mai intravreodată în interacţiune cu alte obiecte naturale.Universul materiei aglomerate într-o regiune fi-nită sărăceşte astfel sistematic puţin câte puţin.Pentru a scăpa de aceste consecinţe, Seeliger amodificat legea lui Newton, admiţând că atrac-ţia a două mase descreşte la distanţe mari mairepede decât arată legea inversului pătratelor dis-tanţelor. Se obţine astfel faptul că densitatea me-die a materiei este constantă peste tot la infinit,fără ca prin aceasta să rezulte câmpuri gravitaţio-nale infinite. Ne eliberăm astfel de reprezentareaincomodă a unui univers material ce ar poseda ne-cesarmente un gen de centru. Fără îndoială, aceas-* Justificarea acestei teze: După teoria lui Newton, într-omasă m ajunge un anumit număr de „linii de forţă" venindde la infinit, număr proporţional cu masa m. Dacă densitateap

0 a maselor din univers este constantă în centru, o sferă de

volum V va închide în medie masa p0V. Numărul liniilor

de forţă ce pătrund prin unitatea de suprafaţă în aceastăsferă este proporţional cu p

0 ^ sau p

0R. Intensitatea câmpu-

lui la suprafaţa sferei va creşte deci la infinit odată cu razaacesteia, ceea ce este imposibil.104

ta eliberare de dificultăţile principiale schiţate aicise plăteşte printr-o modificare şi o complicare alegii lui Newton, care nu pot fi întemeiate nici peexperienţă si nici teoretic. S-ar putea imagina unnumăr de legi care ar oferi acelaşi rezultat fără aputea avea un temei pentru a prefera una dintreele; deoarece toate aceste legi sunt la fel de puţinîntemeiate, ca si legea lui Newton, pe principii ge-nerale teoretice.§31. Posibilitatea unui univers finitsi totuşi nelimitatSpeculaţiile cu privire la structura universuluis-au orientat si într-o altă direcţie, complet diferi-tă. Dezvoltarea geometriei neeuclidiene a condusla ideea că ne-am putea îndoi de infinitatea spaţiu-lui nostru, fără ca prin aceasta să intrăm în contra-dicţie cu legile gândirii sau cu experienţa (Riemann,Helmholtz). Acest lucru a fost expus deja de Helm-holtz si Poincare în detaliu si cu o limpezime cen-ar putea fi depăşită; de aceea aici nu voi încer-ca decât să schiţez sumar problema.Să ne imaginăm un mediu cu două dimensiunişi fiinţe plate cu instrumente plate, în particular curigle plate si rigide, în mişcare liberă într-un plan.Să presupunem că pentru ele nu există nimic în afa-ra acestui plan şi că mediul plan pe care ele îl ob-servă direct şi prin obiectele lor plate în planul loreste unul cauzal închis. In particular, construcţiilegeometriei euclidiene a planului sunt realizabile105

cu bastonaşe, de exemplu construcţia reţelei pe su-prafaţa mesei, despre care am discutat în §24. Uni-versul acestor fiinţe este, spre deosebire de universulnostru, bidimensional, dar, ca şi universul nostru,el este infinit în întindere. Pe el au loc un număr in-finit de pătrate egale din bastonaşe, cu alte cuvin-te, volumul lui (suprafaţa) este infinit. Are sens caaceste fiinţe să spună că universul lor este „plan",si anume în sensul că sunt posibile construcţiilegeometriei plane euclidiene cu ajutorul bastona-selor, fiecare bastonas reprezentând întotdeaunaaceeaşi lungime independent de poziţia sa.Să ne imaginăm apoi un mediu cu două dimen-siuni nu pe un plan, ci pe suprafaţa unei sfere. Fi-inţele plate se află pe acest plan cu rigle şi toatecelelalte obiecte ale lor, si nu-1 pot părăsi; întreagalume a experienţei lor se limitează aproape exclu-siv la suprafaţa sferei. Ar putea aceste fiinţe să con-sidere geometria lumii lor ca o geometrie euclidianăbidimensională, iar bastonasele ca expresii ale „dis-tanţei în linie dreaptă"? Nu. Deoarece încercând sătraseze o linie dreaptă ei vor obţine o curbă, pe careo vom desemna în geometria noastră „tridimensio-nală" printr-un cerc mare, adică o curbă închisă deo lungime determinată şi finită pe care o putem mă-sura cu ajutorul unei rigle. De asemenea, acest uni-vers are o suprafaţă limitată, care se poate comparacu cea a unui pătrat format din bastonaşe. Acestraţionament este extrem de seducător, întrucât elconduce la următoarea idee: Universul acestor fi-inţe este finit si totuşi nu are limite.106

Dar fiinţele de pe sferă n-au nevoie să călătoreas-că mult pentru a-şi da seama că ele nu locuiesc în-tr-un univers euclidian. Ele se pot convinge deaceasta pe orice porţiune din lumea lor care nu estefoarte mică. Ele vor trasa pornind dintr-un punctîn toate direcţiile linii „drepte" (arcuri de cerc în geo-metria tridimensională) de aceeaşi lungime. Vomdesemna prin „cerc" linia care uneşte extremităţi-le acestor lungimi. Raportul dintre circumferinţaunui cerc măsurată cu un bastonas si diametrullui, măsurat cu acelaşi bastonas, este, conformgeometriei plane euclidiene, egal cu o constantăTI, care este independentă de diametrul cercului.Pentru acest raport teoria noastră va găsi pe su-prafaţa sferei valoareanadică o valoare inferioară lui TI şi care se îndepăr-tează cu atât mai mult de TC cu cât raza r a cercu-lui în raport cu raza R a „universului sferic"considerat va fi mai mare. Din această relaţie fi-inţele de pe sferă pot să deducă raza R a univer-sului lor, chiar dacă ele nu au la dispoziţie pentrumăsurători decât o parte relativ mică din sfera lor.Dar dacă această parte este prea mică, ele nu maipot să constate că se află într-un univers sferic sinu într-un plan euclidian; o parte mică a suprafe-107

tei unei sfere se distinge puţin de partea echiva-lentă a unui plan.Astfel, dacă fiinţele universului sferic ar locui peo planetă al cărei sistem solar n-ar cuprinde decâto porţiune infinit mică a universului sferic, ele n-aravea posibilitatea să decidă dacă locuiesc într-olume finită sau infinită, întrucât porţiunea de uni-vers accesibilă experimentelor lor este, în ambelecazuri, practic un plan, respectiv unul euclidian.Intuiţia ne arată imediat că pentru aceste fiinţe cir-cumferinţa cercului creste odată cu raza până la„limita universului", pentru ca apoi, odată cucreşterea în continuare a razei, aceasta să descreas-că treptat până la zero. Suprafaţa cercului va creş-te atunci mereu, până când ea va deveni egală cusuprafaţa totală a întregului univers sferic.Cititorul s-ar putea mira de faptul că am plasatfiinţele noastre pe o sferă şi nu pe o altă suprafa-ţă închisă. Acest fapt îşi are justificarea în aceea căsfera se distinge în raport cu toate celelalte supra-feţe închise prin proprietatea de a avea toate punc-tele echivalente. Raportul dintre circumferinţa ua unui cerc şi raza sa va depinde de raza sa r; dar,pentru o valoare dată a lui r, el este acelaşi pen-tru toate punctele suprafeţei sferei; universul sfe-ric constituie o „suprafaţă de curbură constantă".Există un analog tridimensional pentru acest uni-vers sferic bidimensional, spaţiul sferic tridimen-sional pe care 1-a descoperit Riemann. Punctele luisunt de asemenea toate echivalente. El posedă unvolum finit, depinzând de „raza" sa R (2n2R3). Ne108

putem oare reprezenta un spaţiu sferic? A ne re-prezenta un spaţiu înseamnă a ne reprezenta unansamblu de experienţe „în spaţiu", adică de ex-perienţe pe care le-am putea realiza prin mişcareacorpurilor „rigide". In acest sens, poate fi reprezen-tat spaţiul sferic.Dintr-un punct vom trasa linii drepte în toate di-recţiile (utilizând sfori) şi vom pune pe fiecare din-tre ele aceeaşi lungime r cu rigla de măsură. Toateextremităţile acestor lungimi se vor afla pe supra-faţa unei sfere. Putem să măsurăm suprafaţa aces-tei sfere (F) cu pătrate ale căror laturi sunt egalecu rigla. Dacă universul este euclidian, atunciF = nr2. Dacă universul este sferic, atunci F va fimereu mai mic decât nr2. F creşte odată cu creş-terea lui r de la zero până la un maximum deter-minat de „raza universului", iar pentru creştereaulterioară a razei sferei r va descreşte din noupână la zero. Liniile drepte radiale ce pornesc din-tr-un punct de origine se vor îndepărta din ce înce mai mult unele de altele, după aceea se vorapropia din nou, pentru ca în final să conveargăla „polul" punctului de origine; ele au măsurat,în toată întinderea sa, spaţiul sferic. Ne putemconvinge uşor că spaţiul sferic tridimensional estecomplet analog celui bidimensional (suprafaţaunei sfere). El este finit (adică de volum finit), fărăa avea limite.Să observăm că există şi un tip degenerat de spa-ţiu sferic, „spaţiul eliptic". El poate fi conceput caun spaţiu sferic în care punctele polare sunt iden-109

tice (nu pot fi distinse). Un univers eliptic ar puteafi atunci considerat, într-un anumit sens, un uni-vers sferic simetric centrat.Din cele spuse până acum rezultă că ne putemimagina spaţii închise care nu au limite. Printreacestea, spaţiul sferic (sau eliptic) se distinge prinsimplitatea sa, întrucât toate punctele sale suntechivalente. Pentru fizicieni şi astronomi se puneastfel întrebarea extrem de interesantă de a afladacă universul în care ne aflăm noi este infinit saufinit în genul universului sferic. Experienţa nu estesuficientă pentru a răspunde la această întrebare;dar teoria generală a relativităţii permite să răspun-dem cu o certitudine relativă; ea oferă de aseme-nea şi soluţia la dificultatea enunţată în §30.§32. Structura spaţiului conformteoriei generale a relativităţiiConform teoriei generale a relativităţii, proprie-tăţile geometrice ale spaţiului nu sunt independen-te, ci depind de materie. De aceea nu putem spunenimic despre structura geometrică a universuluidacă nu se presupune cunoscută starea materiei.Experienţa ne-a învăţat că, prin alegerea convena-bilă a sistemului de coordonate, vitezele stelelorsunt mici în raport cu viteza de propagare a lu-minii. De aceea, într-o primă aproximaţie, putemcunoaşte în mare constituţia universului conside-rând materia imobilă.110

Ştim deja din explicaţiile anterioare că rigleleşi ceasornicele sunt influenţate în comportamen-tul lor de câmpurile gravitaţionale, cu alte cuvin-te de distribuţia materiei. Din aceasta decurge că,în universul nostru, nu se poate pune problema va-lidităţii exacte a geometriei euclidiene. Dar ne pu-tem imagina că universul nostru diferă puţin deun univers euclidian; această idee se justifică prinaceea că, prin calcul, se poate arăta influenţa ex-trem de redusă a maselor asupra metricii spaţiu-lui înconjurător, chiar dacă masele ar avea mărimeaSoarelui. Ne-am putea imagina că, din punct devedere geometric, se comportă ca o suprafaţă decurbură neregulată în detaliu, dar care nu diferănicăieri prea mult de un plan, de exemplu ca su-prafaţa unei mări ondulate de mici valuri. Amputea numi pe bună dreptate acest univers un „uni-vers cvasi-euclidian". El ar fi spaţial infinit. Calcu-lul ne arată însă că într-un univers cvasi-euclidiandensitatea medie a materiei trebuie să fie nulă. Unasemenea univers n-ar putea fi populat peste totcu materie; el ne-ar oferi imaginea nesatisfăcătoa-re pe care am schiţat-o în §30.Dar universul nu este cvasi-euclidian dacă den-sitatea medie a materiei diferă oricât de puţin dezero. Calculul ne arată, dimpotrivă, că el va fi ne-cesarmente sferic (sau eliptic), dacă materia ar pre-zenta o densitate uniformă, întrucât în realitatemateria nu este repartizată uniform, universul realnu prezintă în mod riguros proprietăţile unui uni-111

vers sferic; el trebuie să fie cvasisferic. Dar el vatrebui în mod necesar să fie finit. Teoria oferă chiaro corelaţie simplă între întinderea universului înspaţiu si densitatea medie a materiei.** Pentru raza R a universului se obţine ecuaţia jR2 = —.rt rCr

Luând sistemul C.G.S., - = 1,08 • IO27; p este densitatea mediea materiei.112

CUPRINS

Cuvânt înainte .............................. 5Partea întâiDESPRE TEORIA SPECIALĂ A RELATIVITĂŢII1. Conţinutul fizic al propoziţiilor geometrice .. 92. Sistemul de coordonate .................. 123. Spaţiul şi timpul în mecanica clasică ....... 154. Sistemul de coordonate galilean .......... 175. Principiul relativităţii (în sens restrâns) .... 186. Teorema compunerii vitezelorîn mecanica clasică ...................... 217. Incompatibilitatea aparentă a legii propagăriiluminii cu principiul relativităţii .......... 228. Noţiunea de timp în fizică ................ 259. Relativitatea simultaneităţii .............. 2910. Despre relativitatea conceptuluide distanţă spaţială ...................... 3211. Transformarea Lorentz ................... 3312. Comportamentul riglelor siceasornicelor în mişcare .................. 3813. Teorema de compunere a vitezelor.Experienţa lui Fizeau.................... 40113

14. Valoarea euristică a teoriei relativităţii ..... 4415. Rezultatele generale ale teoriei ............ 4516. Teoria specială a relativităţii şi experienţa . . 5017. Spaţiul cvadridimensional al lui Minkowski .. 55Partea a douaDESPRE TEORIA GENERALĂ A RELATIVITĂŢII18. Principiul special si cel general al relativităţii... 6119. Câmpul gravitaţional .................... 6420. Identitatea maselor grea si inerţialăca argument pentru postulatul generalal relativităţii ........................... 6721. în ce măsură fundamentele mecanicii clasiceşi ale teoriei speciale a relativităţiisunt nesatisfăcătoare?.................... 7222. Unele consecinţe ale principiului generalal relativităţii ........................... 7423. Comportamentul ceasornicelor şi etaloanelorde lungime într-un sistem de referinţăîn mişcare de rotaţie ..................... 7824. Continuul euclidian şi neeuclidian ........ 8225. Coordonate gaussiene ................... 8626. Continuul spaţio-temporal al teoriei specialea relativităţii — continuu euclidian ........ 9027. Continuul spaţio-temporal al teoriei generalea relativităţii nu este un continuu euclidian . . 9228. Formularea exactă a principiului generalal relativităţii............................ 9529. Soluţia problemei gravitaţieipe baza principiului general al relativităţii .. 98114

Consideraţii asupra universului ca întreg.....10330. Dificultăţile cosmologiceale teoriei newtoniene ...................10331. Posibilitatea unui univers finitşi totuşi nelimitat ........................10532. Structura spaţiului conform teoriei generalea relativităţii . ............110

RedactorVLAD ZOGRAF1TehnoredactorLUMINIŢA SIMIONESCUCorectorMĂRIA NICOLAUApărut 2005BUCUREŞTI - ROMÂNIATiparul executat la „UNIVERSUL" S.A.

1905 a fost un an miraculos pentru ştiinţă. Albert Einsteinpublică trei lucrări: una ţinând încă de domeniul fizicii clasice(în care dă o descriere a mişcării browniene), o alta despre efectulfotoelectric (şi care avea să stea la baza dezvoltării ulterioare amecanicii cuantice) şi, în fine, articolul apărut în Zeitscbrift ftirPhysik, „Asupra electrodinamicii corpurilor în mişcare", actul denaştere al teoriei relativităţii. Unsprezece ani mai târziu, Einsteinlărgeşte cadrul iniţial al teoriei (relativitatea restrânsă) într-odescriere care include şi câmpul gravitaţional (relativitatea gene-rală) şi care modifică încă mai violent percepţia comună asuprarealităţii.In 1917, Einstein publică singura sa lucrare în care prezintă publi-cului larg ideile ce stau la baza recentelor sale rezultate: Teoriarelativităţii pe înţelesul tuturor. Cartea, remarcabilă prin simplitateşi claritate, e mărturia capacităţii lui Einstein de a privi lumeafără idei ştiinţifice preconcepute şi de a ajunge până la esenţaultimă a lucrurilor, în punctul în care intuiţia încearcă să surprindăprincipiile fizicii, iar imaginaţia construieşte experimente mintalesugestive. Teoria relativităţii pe înţelesul tuturor e o mărturieexcepţională pentru fizicieni şi, în acelaşi timp, laboratorul gândi-rii lui Einstein în care pot pătrunde şi cei neiniţiaţi.Alte apariţii la Humanitas:ALBERT EINSTEINCum văd eu lumeaCuvinte memorabileSTEPHEN HAWKINGVisul lui Einstein şi alte eseuriScurtă istorie a timpuluiUniversul într-o coajă de nucă

I 04164

Î3QOO[))13.00ISBN 973-50-1068-25"948353"006650"