Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică...

46

Transcript of Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică...

Page 1: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile
Page 2: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Acum

Cunosc.ro Analiză Matematică

1181 De Probleme Rezolvate

Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile rezervate

Page 3: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Funcții, Domeniu și Codomeniu _____________________________________________________________ 5

Limite _________________________________________________________________________________________ 29

Continuitate __________________________________________________________________________________ 49

Derivarea Funcțiilor Compuse _____________________________________________________________ 65

Teorema lui Rolle ____________________________________________________________________________ 86

Teorema lui Lagrange și Semnul Derivatei ________________________________________________ 90

Derivate de Ordin Înalt și Diferențiere Implicită _______________________________________ 107

Maxim și Minim ____________________________________________________________________________ 127

Integrale Nedefinite _______________________________________________________________________ 153

Integrale Definite __________________________________________________________________________ 188

Arii și Lungimi de Arc _____________________________________________________________________ 231

Logaritmi Naturali _________________________________________________________________________ 265

Funcții Exponențiale ______________________________________________________________________ 297

Regula lui L’Hôpital _______________________________________________________________________ 335

Integrarea prin Părți ______________________________________________________________________ 353

Integrale Trigonometrice _________________________________________________________________ 375

Integrarea Funcțiilor Rationale __________________________________________________________ 385

Integrale Improprii ________________________________________________________________________ 413

Șiruri Infinite ______________________________________________________________________________ 438

Serii Infinite ________________________________________________________________________________ 460

Serii de Puteri ______________________________________________________________________________ 515

Page 4: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

În Problemele 1.1 - 1.15, găsiți domeniul și codomeniul. De asemenea, desenați

graficul funcției determinat de formula dată.

ℎ(𝑥) = 4 − 𝑥2

Domeniul este format din toate numerele reale, deoarece 4 − 𝑥2 este

definit pentru toate 𝑥.

Codomeniul constă în toate numerele reale ≤ 4.

Rezolvând ecuația 𝑦 = 4 − 𝑥2 pentru 𝑥, obținem 𝑥 = √4 − 𝑦,

care este definit numai atunci când 𝑦 ≤ 4.

Graficul este o parabolă cu vârful în (0, 4) și axa 𝑦 ca axă de simetrie.

(Fig.1.1)

Page 5: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

𝐺(𝑥) = −2√𝑥

Domeniul este format din toate numerele reale pozitive.

Codomeniul constă din toate numerele reale ≤ 0.

Graficul este jumătatea inferioară a parabolei 4𝑥 = 𝑦2. (Figura 1.2)

𝐻(𝑥) = √4 − 𝑥2

Domeniul este intervalul închis [−2, 2], deoarece √4 − 𝑥2 este definit

dacă și numai dacă 𝑥2 ≤ 4. Graficul este jumătatea superioară a cercului

𝑥2 + 𝑦2 = 4 cu centrul în origine și raza 2. (Figura 1.3)

Codomeniul este intervalul închis [0, 2].

Page 6: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Oferiți o dovadă pentru proprietatea de aditivitate a limitelor:

Dacă 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 și 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐾, atunci 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =

= 𝐿 + 𝐾.

Fie 𝜖 > 0. Atunci 𝜖

2> 0 . De vreme ce 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝐿, există 𝛿1 > 0

astfel încât, dacă |𝑥 − 𝑎| < 𝛿1, atunci |𝑓(𝑥) − 𝐿| <𝜖

2 .

De asemenea, de vreme ce lim 𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐾, există 𝛿2 > 0 astfel încât,

dacă |𝑥 − 𝑎| < 𝛿2, atunci |𝑔(𝑥) − 𝐾| <𝜖

2 .

Fie 𝛿 = minimul (𝛿1, 𝛿2).

Astfel, dacă |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, atunci |𝑥 − 𝑎| < 𝛿1 și |𝑥 − 𝑎| < 𝛿2 și astfel,

|𝑓(𝑥) − 𝐿| <𝜖

2 și |𝑔(𝑥) − 𝐾| <

𝜖

2 .

Astfel, |[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] − (𝐿 + 𝐾)| = |[𝑓(𝑥) − 𝐿] + [𝑔(𝑥) − 𝐾]| ≤

≤ |𝑓(𝑥) − 𝐿| + |𝑔(𝑥) − 𝐾| <𝜖

2 +

𝜖

2 = 𝜖 .

Calculați 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3

1

(𝑥 − 3)2

Pe măsură ce 𝑥 → 3 fie din dreapta sau din stânga, (𝑥 − 3)2 rămâne

pozitiv și tinde spre 0.

Astfel, 1

(𝑥−3)2 devine din ce în ce mai mare fără limită și este pozitiv.

Astfel, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3

1

(𝑥−3)2 = +∞ .

Page 7: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Calculați 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2

3

𝑥 − 2

Pe măsură ce 𝑥 → 2 din dreapta (adică 𝑥 > 2 întotdeauna), 𝑥 − 2

tinde la 0 și este pozitiv.

Astfel, 3

𝑥−2 tinde la +∞. Cu toate acestea, pe măsură ce 𝑥 → 2 din

stânga (adică, cu 𝑥 < 2), 𝑥 − 2 tinde la 0 și este negativ.

Astfel, 3

𝑥−2 tinde la −∞. Astfel, nu poate fi spus nimic despre 𝑙𝑖𝑚

𝑥→2

3

𝑥−2.

Unii preferă să scrie 𝑙𝑖𝑚𝑥→2

3𝑥−2

= ∞ pentru a indica faptul că

modulul |3

𝑥−2| tinde la +∞.

Aflați 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3

𝑥 + 2

𝑥 − 3

Numărătorul tinde la 5. Numitorul tinde la 0, dar este pozitiv pentru

𝑥 > 3 și negativ pentru 𝑥 < 3.

Astfel, fracția tinde la +∞ pe măsură ce 𝑥 → 3 din dreapta și tinde spre

−∞ dacă 𝑥 → 3 din stânga.

Rezultă că nu este nicio limită (nu avem nicio limită obișnuită, nici +∞,

nici −∞).

Cu toate acestea, exact ca în problema anterioată, putem scrie 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

(𝑥+2

𝑥−3) =

= ∞ .

Page 8: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Bărbaţii şi calculatoarele sunt la fel: sunt greu de înţeles, întotdeauna au

memorie insuficientă şi mereu apare ceva mai bun.

Calculați 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

(2𝑥11 − 5𝑥6 + 3𝑥2 + 1).

2𝑥11 − 5𝑥6 + 3𝑥2 + 1 = 𝑥11(2 −5

𝑥5+

3

𝑥9+

1

𝑥11) .

Dar 5

𝑥5 ,

3

𝑥9 , și

1

𝑥11 tind toate la 0 când 𝑥 → +∞.

Astfel, 2 −5

𝑥5 +

3

𝑥9 +

1

𝑥11 tinde la 2.

În același timp 𝑥11 tinde la +∞. Rezultă că limita este + ∞.

Găsiți 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

(2𝑥3 − 12𝑥2 + 𝑥 − 7)

2𝑥3 − 12𝑥2 + 𝑥 − 7 = 𝑥3(2 −12

𝑥+1

𝑥2−7

𝑥3)

Pe măsură ce 𝑥 → −∞, 12

𝑥,

1

𝑥2 și

7

𝑥3 toate tind spre 0.

Astfel, 2 −12

𝑥+1

𝑥2−7

𝑥3 tinde spre 2.

Dar 𝑥3 tinde la −∞. Rezultă că limita este −∞.

Observați că limita va fi întotdeauna −∞ când 𝑥 → −∞

Iar funcția este un polinom de grad impar cu coeficient principal pozitiv.

Găsiți 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

(3𝑥4 − 𝑥2 + 𝑥 − 7)

Page 9: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Definiți: 𝑓(𝑥) este continuă la 𝑥 = 𝑎.

𝑓(𝑎) este definit, lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) există, și lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

Găsiți punctele de discontinuitate (dacă există) ale funcției 𝑓(𝑥) al cărei

grafic este arătat în Figura 3.2.

𝑥 = 0 este un punct de discontinuitate pentru că lim𝑥→0

𝑓(𝑥) nu există.

𝑥 = 1 este un punct de discontinuitate, pentru că lim𝑥→1

𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(1),

Page 10: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

de vreme ce 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

𝑓(𝑥) = 0 și 𝑓(1) = 2.

Determinați punctele de discontinuitate (dacă există) ale funcției

𝑓(𝑥) astfel încât 𝑓(𝑥) = 𝑥2 dacă 𝑥 ≤ 0 și 𝑓(𝑥) = 𝑥 dacă 𝑥 > 0 .

𝑓(𝑥) este continuă peste tot. În special, 𝑓(𝑥) este continuă la 𝑥 = 0

pentru că 𝑓(0) = (0)2 = 0 și 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑓(𝑥) = 0.

Determinați punctele de discontinuitate (dacă există) ale

funcției 𝑓(𝑥) astfel încât 𝑓(𝑥) = 1 dacă 𝑥 ≥ 0 și 𝑓(𝑥) = −1

dacă 𝑥 < 0. (Vezi Figura 3.4.)

𝑓(𝑥) nu este continuă la 𝑥 = 0 pentru că 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑓(𝑥) nu există.

Page 11: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Dacă 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5 și 𝑔(𝑥) = 𝑥3 găsiți formule pentru

funcțiile compuse 𝑓°𝑔 și 𝑔°𝑓.

(𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥3) = (𝑥3)2 + 2(𝑥3) − 5 = 𝑥6 + 2𝑥3 − 5

(𝑔°𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥2 + 2𝑥 − 5) = (𝑥2 + 2𝑥 − 5)3

Scrieți funcția √3𝑥 − 5 ca fiind compunerea a două funcții

Fie 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 5 și fie 𝑓(𝑥) = √𝑥.

Atunci, (𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(3𝑥 − 5) = √3𝑥 − 5 .

Dacă 𝑓(𝑥) = 2𝑥 ș𝑖 𝑔(𝑥) =1

𝑥−1 , găsiți toate soluțiile ecuației

(𝑓°𝑔)(𝑥) = (𝑔°𝑓)(𝑥).

(𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (1

𝑥−1) =

2

𝑥−1

și

(𝑔°𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(2𝑥) =1

2𝑥 − 1 .

Așadar, trebuie să rezolvăm

2

𝑥 − 1=

1

2𝑥 − 1 4𝑥 − 2 = 𝑥 − 1 3𝑥 = 1 .

Page 12: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Răspuns ∶ 𝑥 =1

3 .

Scrieți regula de derivare pentru funcția compusă 𝑓°𝑔.

(𝑓°𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥) .

Dacă 𝑦 = 𝐹(𝑢) și 𝑢 = 𝐺(𝑥), atunci putem scrie 𝑦 = 𝐹(𝐺(𝑥)).

Scrieți regula de derivare pentru funcția compusă 𝑑𝑦

𝑑𝑥 , unde 𝑦 este o

funcție de 𝑥.

Observație: 𝑑𝑦

𝑑𝑥 se referă la derivata lui 𝑦 în funcție de 𝑥,

unde 𝑦 este o funcție de 𝑥.

De exemplu, dacă 𝑦 = 2𝑥2 + 𝑥 − 1, 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦′ = 4𝑥 + 1 .

Revenind la problema noastră, 𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑢⋅𝑑𝑢

𝑑𝑥 .

Aici, primul 𝑦 se referă la 𝑦 ca funcție de 𝑥 ,

în timp ce al doilea 𝑦 (pe partea dreaptă) se referă la 𝑦 ca funcție a lui

𝑢.

Oră de dictare în clasa a patra. Mircea îi şopteşte colegului:

- Auzi, Alecule, scriem deja de un sfert de oră. Nu crezi că ar fi cazul să mai

punem şi vreo virgulă?

Page 13: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Care este teorema lui Rolle?

Dacă 𝑓 este continuă într-un interval închis [𝑎, 𝑏], și derivabilă pe

intervalul deschis (𝑎, 𝑏), iar dacă 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = 0, atunci există cel

puțin un număr 𝑐 în (𝑎, 𝑏) astfel încât 𝑓′(𝑐) = 0.

În Problemele de la 5.2 la 5.9, verificați dacă ipoteza teoremei lui Rolle se aplică

pentru funcția 𝑓 în intervalul dat, și, dacă se aplică, verificați concluzia teoremei.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 pe intervalul închis [−1 , 3].

𝑓(𝑥) este clar derivabilă peste tot, și 𝑓(−1) = 𝑓(3) = 0.

Astfel, teorema lui Rolle se aplică.

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2.

Pentru 𝑓′(𝑥) = 0, obținem 𝑥 = 1.

Astfel, 𝑓′(1) = 0 și −1 < 1 < 3.

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 pe intervalul [0, 1].

𝑓(𝑥) este derivabilă, cu 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 1.

De asemenea, 𝑓(0) = 𝑓(1) = 0. Așadar, teorema lui Rolle se aplică.

Page 14: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Care este teorema lui Lagrange?

Dacă 𝑓(𝑥) este continuă pe intervalul închis [𝑎, 𝑏] și derivabilă pe

intervalul deschis (𝑎, 𝑏), atunci axistă un număr 𝑐 în (𝑎, 𝑏), astfel

încât 𝑓′(𝑐) = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

.

În Problemele de la 6.11 la 6.16, determinați dacă ipoteza teoremei lui Lagrange

este valabilă pentru funcția 𝑓(𝑥) pe interval dat, și, dacă este valabilă, găsiți valoarea

𝑐 care satisface concluzia teoremei.

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 pe [1, 4]

𝑓′(𝑥) = 2. Rezultă că teorema lui Lagrange se aplică.

Observați că𝑓(4)−𝑓(1)

4−1=

11−5

4−1= 2 .

Astfel putem să alegem pe 𝑐 în orice punct în intervalul (1,4).

Page 15: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 5𝑥 + 1 pe intervalul [2, 5]

𝑓′(𝑥) = 6𝑥 − 5 și teorema lui Lagrange se aplică .

Egalând 6𝑐 − 5 =𝑓(5)−𝑓(2)5−2

=51−33

= 16 ,

găsim 𝑐 =216=72

, care se află între 2 și 5 .

𝑓(𝑥) = 𝑥3

4 pe intervalul [0,16]

𝑓(𝑥) este continuă pentru 𝑥 0 și derivabilă pentru 𝑥 > 0.

Astfel, teorema lui Lagrange se aplică. 𝑓′(𝑥) =3

4 √𝑥4 .

Egalând, 3

4√𝑐4 =

𝑓(16) − 𝑓(0)

16 − 0=8 − 0

16=1

2

găsim că 𝑐 =8116

, care se află între 0 și 16.

𝑓(𝑥) =𝑥+3𝑥−4

pe intervalul [1, 3]

Deoarece 1

𝑥−4 este derivabilă și nenulă pe [1, 3],

𝑓(𝑥) este derivabilă pe [1, 3].

𝑓′(𝑥) =(𝑥 − 4) − (𝑥 + 3)

(𝑥 − 4)2= −

7

(𝑥 − 4)2 .

Egalând −7

(𝑐 − 4)2=𝑓(3) − 𝑓(1)

3 − 1=−6 +

4

3

2= −

14

6= −

7

3

obținem (𝑐 − 4)2 = 3,

și rezultă că 𝑐 − 4 = ±√3, 𝑐 = 4 ± √3.

Page 16: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Găsiți derivata de gradul doi 𝑦″ a funcției 𝑦 = √𝑥2 + 1 prin calcul direct.

𝑦 = (𝑥2 + 1)1

2. Conform regulii de derivare a funcțiilor compuse,

𝑦′ =1

2(𝑥2 + 1)−

1

2 ⋅ (𝑥2 + 1)′ =1

2√𝑥2 + 1⋅ (2𝑥) =

𝑥

√𝑥2 + 1 .

De unde rezultă că

𝑦″ =√𝑥2 + 1(𝑥)′ − 𝑥(√𝑥2 + 1)

𝑥2 + 1=√𝑥2 + 1 − 𝑥 ⋅

𝑥

√𝑥2+1

𝑥2 + 1=

=(𝑥2 + 1) − 𝑥2

(𝑥2 + 1)3

2

=1

(𝑥2 + 1)3

2

.

Folosiți diferențierea implicită pentru a rezolva Problema 7.1

𝑦2 = 𝑥2 + 1. Derivăm în ambele părți în funcție de 𝑥.

Conform regulii de derivare a funcțiilor compuse, (𝑦2)′ = 2𝑦 ⋅ 𝑦′.

Astfel, 2𝑦𝑦′ = 2𝑥 de unde rezultă că 𝑦𝑦′ = 𝑥.

Derivăm în funcție de 𝑥 în ambele părți, folosind regula produsului în

stânga:

𝑦 ⋅ 𝑦″ + 𝑦′ ⋅ 𝑦′ = 1. Așadar, 𝑦𝑦″ = 1 − (𝑦′)2. Dar, deoarece 𝑦𝑦′ = 𝑥,

Rezultă că 𝑦′ =𝑥

𝑦. Așadar, 𝑦𝑦″ = 1 −

𝑥2

𝑦2=𝑦2−𝑥2

𝑦2=1

𝑦2=

1

𝑥2+1 .

Page 17: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Rezultă că 𝑦″ =1

𝑦(𝑥2+1)= 1

(𝑥2+1)32

.

Găsiți toate derivatele 𝑦(𝑛) ale funcției 𝑦 = 𝜋𝑥3 − 7𝑥 .

𝑦′ = 3𝜋𝑥2 − 7, 𝑦″ = 6𝜋𝑥, 𝑦‴ = 6𝜋,

rezultă că 𝑦(𝑛) = 0, atunci când 𝑛 ≥ 4.

Găsiți toate derivatele 𝑦(𝑛) ale funcției 𝑦 = √𝑥 + 5.

𝑦 = (𝑥 + 5)1

2 𝑦′ =1

2(𝑥 + 5)−

1

2 𝑦″ = −1

4(𝑥 + 5)−

3

2

𝑦‴ =3

8(𝑥 + 5)−

5

2 𝑦(4) = −15

16(𝑥 + 5)−

7

2.

Este de ajuns pentru a găsi tiparul general:

𝑦(𝑛) = (−1)𝑛+11 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ (2𝑛 − 3)

2𝑛(𝑥 + 5)−

2𝑛−1

2 .

Găsiți toate derivatele 𝑦(𝑛) ale funcției 𝑦 = 1

3+𝑥 .

𝑦 = (3 + 𝑥)−1

𝑦′ = −(3 + 𝑥)−2 = −1

(3 + 𝑥)2

𝑦″ = 2(3 + 𝑥)−3 =2

(3 + 𝑥)3

𝑦‴ = −6(3 + 𝑥)−4 = −6

(3 + 𝑥)4

Page 18: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Cum putem folosi derivatele de ordinul 2 pentru a afla punctele de

extrem relativ?

Dacă 𝑓′(𝑐) = 0 și 𝑓″(𝑐) < 0, atunci 𝑓(𝑥) are un maxim relativ la

𝑐. Fezi Fig. 8.1(a).

Dacă 𝑓′(𝑐) = 0 și 𝑓″(𝑐) = 0, atunci 𝑓(𝑥) are un minim relativ

la 𝑐. Vezi Fig. 8.1(b).

Dacă 𝑓′(𝑐) = 0 și 𝑓″(𝑐) = 0, nu putem trage nicio concluzie.

Page 19: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Cum putem folosi derivatele de ordinul 1 pentru a afla punctele de

extrem relativ?

Presupunem că 𝑓′(𝑐) = 0.

Dacă 𝑓′ este negativ la stânga lui 𝑐 și pozitiv la dreapta lui 𝑐 – cazul

{−, +} – atunci 𝑓 are un minim relativ în punctul 𝑐. (vezi Fig. 8.2 –

a .).

Dacă 𝑓′ este pozitiv la stânga lui 𝑐 și negativ la dreapta lui 𝑐, cazul

{+, −}, atunci 𝑓 are un maxim relativ la 𝑐. (vezi Fig. 8.2- b).

Dacă 𝑓′ are același semn la stânga și la dreapta lui 𝑐, {+, +} sau {−,−},

atunci 𝑓 are un punct de inflexiune la 𝑐. (vezi Fig. 8.2 - c .)

Page 20: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Calculați ∫ (𝑔(𝑥))𝑟𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥.

Conform regulii de derivare a funcțiilor compuse, avem:

((𝑔(𝑥))𝑟+1)′= (𝑟 + 1)(𝑔(𝑥))

𝑟⋅ 𝑔′(𝑥).

Astfel, ∫ (𝑔(𝑥))𝑟𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 =

1

𝑟 + 1(𝑔(𝑥))

𝑟+1+ 𝐶 ,

unde 𝐶 este o constantă arbitrară.

Calculați ∫ 𝑥𝑟 𝑑𝑥 pentru 𝑟 ≠ −1.

∫ 𝑥𝑟 𝑑𝑥 =1

𝑟 + 1𝑥𝑟+1 + 𝐶 , deoarece (𝑥𝑟+1)′ = (𝑟 + 1)𝑥𝑟 .

Calculați ∫ (2𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 + 1) 𝑑𝑥.

∫ (2𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 2(𝑥4

4) − 5(

𝑥3

3) + 3(

𝑥2

2) + 𝑥 + 𝐶 =

=1

2𝑥4 −

5

3𝑥3 +

3

2𝑥2 + 𝑥 + 𝐶 .

Page 21: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Calculați ∫ (5 −1

√𝑥) 𝑑𝑥.

∫ (5 −1

√𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (5 − 𝑥

−1

2 )𝑑𝑥 = 5𝑥 − 2𝑥1

2 + 𝐶 = 5𝑥 − 2√𝑥 + 𝐶 .

Calculați ∫ 2√𝑥4

𝑑𝑥.

∫ 2√𝑥4

𝑑𝑥 = 2∫ 𝑥1

4 𝑑𝑥 = 2 ⋅4

5𝑥5

4 + 𝐶 =8

5(√𝑥4)5+ 𝐶 .

Calculați ∫ 5√𝑥23

𝑑𝑥.

∫ 5√𝑥23

𝑑𝑥 = 5∫ 𝑥2

3 𝑑𝑥 = 5 ⋅3

5⋅ 𝑥

5

3 + 𝐶 = 3𝑥5

3 + 𝐶 .

Calculați ∫3

𝑥4𝑑𝑥

∫3

𝑥4𝑑𝑥 = 3∫ 𝑥−4 𝑑𝑥 = 3(

1

−3)𝑥−3 + 𝐶 = −𝑥−3 + 𝐶 = −

1

𝑥3+ 𝐶.

Calculați ∫ (𝑥2 − 1)√𝑥 𝑑𝑥.

Page 22: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Calculați ∫ 4 𝑑𝑥5

2 cu ajutorul definiției directe (Riemann) a integralei .

Fie 2 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 5

orice șir în intervalul [2, 5], și fie 𝛥𝑖𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 .

Atunci, o sumă aproximativă pentru ∫ 4 𝑑𝑥5

2 este :

∑𝑓(𝑥𝑖∗)𝛥𝑖𝑥

𝑛

𝑖=1

=∑4𝛥𝑥

𝑛

𝑖=1

= 4∑𝛥𝑖𝑥

𝑛

𝑖=1

=

= 4[(𝑥1 − 𝑥0) + (𝑥2 − 𝑥1) +⋅⋅⋅ +(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1)] =

= 4(𝑥𝑛 − 𝑥0) = 4(5 − 2) = 4 ⋅ 3 = 12.

Astfel, integrala, care poate fi aproximată oricât de exact cu ajutorul unei

sume, trebuie să fie egală cu 12.

Calculați ∫ 5 𝑥2 𝑑𝑥1

0 cu ajutorul definiției directe a integralei.

Împărțim intervalul [0,1] în n subintervale egale, fiecare având

lungimea 𝛥𝑖𝑥 = 1

𝑛. În al 𝑖-lea subinterval, alegem ca 𝑥𝑖

∗ să fie egal

cu punctul de la sfârșit din dreapta 𝑖

𝑛 .

Atunci suma aproximativă este :

∑𝑓(𝑥𝑖∗)𝛥𝑖𝑥

𝑛

𝑖=1

=∑5(𝑖

𝑛)2 1

𝑛

𝑛

𝑖=1

=5

𝑛3∑𝑖2𝑛

𝑖=1

=5

𝑛3𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6=

=5

6(𝑛 + 1

𝑛) (2𝑛 + 1

𝑛) =

5

6(1 +

1

𝑛) (2 +

1

𝑛) .

Page 23: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Pe măsură ce facem subdiviziunea mai fină prin a-l face pe 𝑛 să tindă

la +∞, suma aproximativă tinde la 5

6 ∙ 1 ∙ 2 =

5

3

Demonstrați formula: ∑𝑖2𝑛

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

care a fost folosită în soluția Problemei 10.2.

Aplicăm inducția matematică la 𝑛. Pentru 𝑛 = 1, suma constă într-

un singur termen, (1)2 = 1. Partea dreaptă este 1 2 3

6= 1.

Acum, să presupunem că formula este valabilă pentru un întreg pozitiv

dat 𝑛.

Trebuie să o demonstrăm pentru 𝑛 + 1.

Adăugând (𝑛 + 1)2 la ambele părți ale formulei

∑𝑖2𝑛

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6 ,

obținem:∑ 𝑖2𝑛+1

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6+ (𝑛 + 1)2 =

= (𝑛 + 1) [𝑛(2𝑛 + 1)

6+ (𝑛 + 1)] =

= (𝑛 + 1) [𝑛(2𝑛 + 1) + 6(𝑛 + 1)

6] = (𝑛 + 1) (

2𝑛2 + 𝑛 + 6𝑛 + 6

6) =

= (𝑛 + 1)(2𝑛2 + 7𝑛 + 6

6) = (𝑛 + 1) [

(𝑛 + 2)(2𝑛 + 3)

6] =

=(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(2𝑛 + 3)

6 ,

care este situația formulei pentru 𝑛 + 1.

Page 24: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Schițați și găsiți aria din regiunea de la stânga parabolei 𝑥 = 2𝑦2, la

dreapta axei 𝑦, între 𝑦 = 1 și 𝑦 = 3.

Vezi Fig. 11.1. Baza regiunii este axa 𝑦.

Aria este dată de integrala ∫ 2𝑦2 𝑑𝑦3

1

=2

3𝑦3 |1

3 =2

3(27 − 1) =

52

3 .

Schițați și găsiți aria regiunii de deasupra dreptei 𝑦 = 3𝑥 − 2, din

primul cadran și de dedesubtul dreptei 𝑦 = 4.

Page 25: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Vezi Fig. 11.2. Regiunea are o bază pe axa 𝑦. Trebuie să scoatem

pe 𝑥 din ecuația 𝑦 = 3𝑥 − 2.

Astfel, avem: 𝑥 =1

3(𝑦 + 2) .

Rezultă că aria este:

∫1

3(𝑦 + 2)𝑑𝑦

4

0

=1

3(1

2𝑦2 + 2𝑦) |

4

0 =

1

3(8 + 8) =

16

3 .

Schițați și găsiți aria regiunii dintre curba 𝑦 = 𝑥3 și dreptele 𝑦 = −𝑥

și 𝑦 = 1.

Vezi Fig. 11.3. Limita de jos a regiunii este 𝑦 = −𝑥 iar limita de sus

este 𝑦 = 𝑥3. Astfel, aria este dată de integrala:

∫ [𝑦1

3 − (−𝑦)] 𝑑𝑦1

0

= (3

4𝑦4

3 +1

2𝑦2) |

1

0=3

4+1

2=5

4 .

Page 26: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Care este definiția logaritmului natural ln 𝑥 ? Arătați că (ln 𝑥) ′ = 1

𝑥 .

ln x = ∫1

t dt

𝑥

1

pentru 𝑥 > 0. Astfel, (ln 𝑥)′ = (∫1

tdt

𝑥

1

)

=1

𝑥 .

Arătați că ∫1

𝑥dx = ln|𝑥| + C pentru 𝑥 ≠ 0.

Cazul 1: 𝑥 > 0. Atunci , (ln|𝑥| + C)′ = (ln 𝑥)′ = 1

𝑥 .

Cazul 2: 𝑥 < 0. Atunci ,

(ln|𝑥| + C)′ = [ln(−𝑥)]′ = 1

−𝑥⋅ (−𝑥)′ = −

1

𝑥⋅ (−1) =

1

𝑥 .

În Problemele 12.3 – 12.9, găsiți derivata funcției date:

ln(4𝑥 − 1).

Folosind regula de derivare a funcțiilor compuse, obținem:

[ln(4𝑥 − 1)]′ =1

4𝑥 − 1⋅ (4𝑥 − 1)′ =

4

4𝑥 − 1 .

Page 27: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

(ln 𝑥)3.

Folosind regula de derivare a funcțiilor compuse,

[(ln 𝑥)3]′ = 3(ln𝑥)2 ⋅ (ln 𝑥)′ = 3(ln 𝑥)2 ⋅1

𝑥=3

𝑥(ln 𝑥)2.

√ln 𝑥

Folosind regula de derivare a funcțiilor compuse,

(√ln𝑥)′= [(ln 𝑥)

1

2]′

=1

2(ln 𝑥)

−1

2 ⋅ (ln 𝑥)′ =1

2(ln 𝑥)

−1

2 ⋅1

𝑥=

1

2𝑥√ln 𝑥 .

ln(ln 𝑥)

Folosind regula de derivare a funcțiilor compuse,

[ln(ln 𝑥)]′ =1

ln 𝑥⋅ (ln 𝑥)′ =

1

ln 𝑥⋅1

𝑥=

1

𝑥 ln 𝑥 .

𝑥2 ln x

Folosind regula de derivare pentru produs,

(𝑥2 ln 𝑥)′ = 𝑥2 ⋅ (ln 𝑥)′ + ln 𝑥 ⋅ (𝑥2)′ = 𝑥2 ⋅1

𝑥+ ln 𝑥 ⋅ (2𝑥) =

= 𝑥 + 2𝑥 ln 𝑥 = 𝑥(1 + 2 ln 𝑥).

Page 28: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Calculați ⅇ−ln 𝑥

ⅇ− ln𝑥 = ⅇln (

1

𝑥)=1

𝑥

Calculați ln ⅇ−𝑥.

ln ⅇ−𝑥 = −𝑥 deoarece ln ⅇ𝑢 = 𝑢.

Calculați (ⅇ2)𝑙𝑛 𝑥

(ⅇ2)𝑙𝑛 𝑥 = (ⅇ𝑙𝑛 𝑥)2 = 𝑥2.

Aici, am folosit regulile (ⅇ𝑢)𝑣 = ⅇ𝑢𝑣 și ⅇ𝑙𝑛 𝑢 = 𝑢.

Calculați (3ⅇ)𝑙𝑛 𝑥.

(3ⅇ)𝑙𝑛 𝑥 = (ⅇ𝑙𝑛 3𝑒)𝑙𝑛 𝑥 = (ⅇ𝑙𝑛 3+1)𝑙𝑛 𝑥 = (ⅇ𝑙𝑛 𝑥)𝑙𝑛 3+1 = 𝑥𝑙𝑛 3+1

Page 29: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Calculați ⅇ1−𝑙𝑛 𝑥 .

ⅇ1−𝑙𝑛 𝑥 = ⅇ1ⅇ−𝑙𝑛 𝑥 =ⅇ

ⅇ𝑙𝑛 𝑥=ⅇ

𝑥

Calculați ln (𝑒𝑥

𝑥).

ln (𝑒𝑥

𝑥) = ln ⅇ𝑥 − ln 𝑥 = 𝑥 − ln 𝑥.

Am folosit identitățile ln (𝑢

𝜈) = ln 𝑢 − ln 𝑣 și ln ⅇ𝑢 = 𝑢.

În Problemele 13.7 – 13.15, găsiți derivata funcției date.

ⅇ−𝑥

(ⅇ−𝑥)′ = ⅇ−𝑥 ⋅ (−𝑥)′ = ⅇ−𝑥 ⋅ (−1) = −ⅇ−𝑥.

Aici am folosit faptul că (ⅇ𝑢)′ = ⅇ𝑢.

ⅇ1

𝑥

(ⅇ1

𝑥)′

= ⅇ1

𝑥 ⋅ (1

𝑥)′= ⅇ

1

𝑥 ⋅ (−1

𝑥2) =

𝑒1𝑥

𝑥2

Page 30: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Care este regula lui L’Hôpital?

În primul rând să analizăm situația „zero supra zero”.

În anumite condiții simple, dacă 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏

𝑔(𝑥) = 0 și

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)= 𝐿,

atunci 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝐿.

Aici, 𝑥 → 𝑏 poate fi înlocuit de 𝑥 → 𝑏+, 𝑥 → 𝑏−, 𝑥 → +∞ sau

𝑥 → −∞.

Condițiile sunt ca 𝑓 și 𝑔 să fie derivabile pe un interval deschis în

jurul lui 𝑏 și că 𝑔′ nu este zero în acel interval, exceptând probabl în

𝑏.

În situația limitelor ce tind către o valoare finită 𝑏 în mod crescător sau

descrescător, 𝑏 poate fi finalul intervalului.

În cazul în care 𝑥 → ±∞, condițiile impuse lui 𝑓 sau 𝑔 sunt valabile

pentru 𝑥 suficient de mare sau suficient de mic.

Al doilea caz este cazul „infinit supra infinit”.

Dacă 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏

𝑔(𝑥) = ±∞ și 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)= 𝐿, atunci 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑏

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

= 𝐿.

Aici, din nou, 𝑥 → 𝑏 poate fi înlocuit cu 𝑥 → 𝑏+, 𝑥 → 𝑏−, 𝑥 → +∞

sau 𝑥 → −∞.

Condițiile pentru 𝑓 și 𝑔 sunt la fel precum în primul caz.

În Problemele 14.2 – 14.49, găsiți limita dată:

Page 31: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

sin 𝑥

𝑥 .

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

sin 𝑥

𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

(sin 𝑥)′

𝑥′= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

cos 𝑥

1=1

1= 1

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

1 − cos 𝑥

𝑥

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

1 − cos 𝑥

𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

sin 𝑥

1=0

1= 0 .

Maria îl strigă pe Ion:

- Ioane, hai în casă, că plouă!

- Lasă, stau afară, că plouă şi aici!

𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

5𝑥3 − 4𝑥 + 3

2𝑥2 − 1 .

𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

5𝑥3 − 4𝑥 + 3

2𝑥2 − 1= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞

15𝑥2 − 4

4𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞

30𝑥

4= +∞ .

Aici am aplicat regula lui L’Hôpital de două ori la rând.

În următoarele probleme, folosirea succesivă a regulei L’Hôpital va fi

făcută fără menționarea explicită.

Page 32: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

În Problemele 15.1 – 15.23, găsiți integrala indicată.

∫ 𝑥2ⅇ−𝑥 𝑑𝑥

Folosim integrarea prin părți: ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢.

În acest caz, fie 𝑢 = 𝑥2 și 𝑑𝜈 = ⅇ−𝑥 𝑑𝑥.

Rezultă că 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥, iar 𝑣 = −ⅇ−𝑥.

Astfel, ∫ 𝑥2ⅇ−𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2ⅇ−𝑥 + 2∫ 𝑥ⅇ−𝑥 𝑑𝑥.

Pentru a calcula ultima integrală, folosim încă o integrare prin părți:

𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑣 = ⅇ−𝑥 𝑑𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, 𝜈 = −ⅇ−𝑥.

Atunci, ∫ 𝑥ⅇ−𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥ⅇ−𝑥 + ∫ ⅇ−𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥ⅇ−𝑥 − ⅇ−𝑥 =

= −ⅇ−𝑥(𝑥 + 1).

Astfel, ∫ 𝑥2ⅇ−𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2ⅇ−𝑥 + 2[−ⅇ−𝑥(𝑥 + 1)] + 𝐶 =

= −ⅇ−𝑥(𝑥2 + 2𝑥 + 2) + 𝐶.

∫ ⅇ𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

Fie 𝑢 = sin 𝑥, 𝑑𝜈 = ⅇ𝑥 𝑑𝑥, rezultă că 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥, iar 𝑣 = ⅇ𝑥.

Atunci ∫ ⅇ𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = ⅇ𝑥 sin 𝑥 − ∫ ⅇ𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 (1)

Folosim integrare prin părți din nou pentru ultima integrală:

fie 𝑢 = cos 𝑥 și 𝑑𝑣 = ⅇ𝑥 𝑑𝑥, de unde 𝑑𝑢 = − sin 𝑥 𝑑𝑥, iar 𝑣 =

= ⅇ𝑥.

Rezultă că ∫ ⅇ𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ⅇ𝑥 cos 𝑥 + ∫ ⅇ𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥.

Page 33: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Înlocuind în (1), ∫ ⅇ𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = ⅇ𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 −(ⅇ𝑥 cos 𝑥 + ∫ ⅇ𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥) =

= ⅇ𝑥 sin 𝑥 − ⅇ𝑥 cos 𝑥 − ∫ ⅇ𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥.

Astfel, 2∫ ⅇ𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = ⅇ𝑥(sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶,

Rezultă că: ∫ ⅇ𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 =1

2ⅇ𝑥(sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶1.

Elev picat la Bac:

’’După ce că ne-au dat subiecte grele, au fost și foarte multe. Aproape

câte unul în fiecare propoziție!"

∫ 𝑥3ⅇ𝑥 𝑑𝑥

Fie 𝑢 = 𝑥3, iar 𝑑𝜈 = ⅇ𝑥 𝑑𝑥.

Rezultă că 𝑑𝑢 = 3𝑥2 și 𝑣 = ⅇ𝑥.

Atunci ∫ 𝑥3ⅇ𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3ⅇ𝑥 − 3∫ 𝑥2ⅇ𝑥 𝑑𝑥.

Dar în Problema 15.1, cu 𝑥 înlocuit de −𝑥,

∫ 𝑥2ⅇ𝑥 𝑑𝑥 = ⅇ𝑥(𝑥2 − 2𝑥 + 2) + 𝐶.

Astfel, ∫ 𝑥3ⅇ𝑥 𝑑𝑥 = ⅇ𝑥(𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 6) + 𝐶.

∫ sin−1 𝑥 𝑑𝑥

Fie 𝑢 = sin−1 𝑥, iar 𝑑𝜈 = 𝑑𝑥.

Rezultă că 𝑑𝑢 = 1

√1+𝑥2 𝑑𝑥 și 𝑣 = 𝑥. Rezultă că,

∫ sin−1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin−1 𝑥 − ∫𝑥

√1 − 𝑥2𝑑𝑥 =

Page 34: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Calculați ∫ cos2 𝑎𝑥 𝑑𝑥.

∫ cos2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = ∫1 + cos 2𝑎𝑥

2𝑑𝑥 =

1

2(𝑥 +

1

2𝑎sin 2𝑎𝑥) + 𝐶 =

=1

2(𝑥 +

1

𝑎sin 𝑎𝑥 cos 𝑎𝑥) + 𝐶 .

Calculați ∫ sin2 𝑎𝑥 𝑑𝑥.

Folosind problema anterioară, ∫ sin2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (1 − cos2 𝑎𝑥) 𝑑𝑥 =

= 𝑥 −1

2(𝑥 +

1

𝑎sin 𝑎𝑥 cos 𝑎𝑥) + 𝐶 =

1

2(𝑥 −

1

𝑎sin 𝑎𝑥 cos 𝑎𝑥) + 𝐶 .

În problemele 16.3 – 16.10 calculați integrala indicată.

∫ sin 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥

Fie 𝑢 = cos 𝑥, și 𝑑𝑢 = − sin 𝑥 𝑑𝑥.

Atunci , ∫ sin 𝑥 cos2 𝑑𝑥 = −∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = −1

3𝑢3 + 𝐶 = −

1

3cos3 𝑥 + 𝐶 .

Page 35: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

∫ sin4 𝑥 cos5 𝑥 𝑑𝑥

Deoarece puterea lui cos 𝑥 este impară,

fie 𝑢 = sin 𝑥 și 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥. Atunci ,

∫ sin4 𝑥 cos5 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin4 𝑥(1 − sin2 𝑥)2 cos 𝑥 𝑑𝑥 =

∫ 𝑢4(1 − 𝑢2)2 𝑑𝑢 =

= ∫ 𝑢4(1 − 2𝑢2 + 𝑢4) 𝑑𝑢 = ∫ (𝑢4 − 2𝑢6 + 𝑢8) 𝑑𝑢 =

=1

5𝑢5 −

2

7𝑢7 +

1

9𝑢9 + 𝐶 = 𝑢5 (

1

5−2

7𝑢2 +

1

9𝑢4) + 𝐶 =

= sin5 𝑥 (1

5−2

7sin2 𝑥 +

1

9sin4 𝑥) + 𝐶 .

∫ cos6 𝑥 𝑑𝑥

∫ cos6 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (cos2 𝑥)3 𝑑𝑥 = ∫ (1 + cos 2𝑥

2)3

𝑑𝑥 =

= 1

8∫ (1 + 3 cos2𝑥 + 3 cos3 2𝑥) 𝑑𝑥 =

= 1

8[𝑥 +

3

2sin 2𝑥 + 3∫

1 + cos 4𝑥

2𝑑𝑥 + ∫ (1 − sin2 2𝑥) cos 2𝑥 𝑑𝑥] .

Acum, ∫1 + cos 4𝑥

2𝑑𝑥 =

1

2(𝑥 +

1

4sin 4𝑥) =

=1

2(𝑥 +

1

2sin 2𝑥 cos 2𝑥) .

De asemenea, în ∫ (1 − sin2 𝑥) cos 2𝑥 𝑑𝑥, fie 𝑢 = sin 2𝑥 și 𝑑𝑢 =

= 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥.

Așadar, obținem:

1

2∫ (1 − 𝑢2) 𝑑𝑢 =

1

2(𝑢 −

1

3𝑢3) =

1

6𝑢(3 − 2𝑢3) =

Page 36: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

În Problemele 17.1 – 17.21, calculează integrala indicată:

∫𝑑𝑥

𝑥2 − 9

1

𝑥2 − 9 =

1

(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) =

𝐴

𝑥 − 3 +

𝐵

𝑥 + 3

Reducem numitorii prin a înmulți ambele părți cu (𝑥 − 3)(𝑥 + 3).

Rezultă că: 1 = 𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 − 3).

Fie 𝑥 = 3. Atunci 1 = 6𝐴 și 𝐴 =1

6.

Fie 𝑥 = −3. Rezultă că 1 = −6𝐵, 𝐵 = −1

6 .

Astfel, 1

𝑥2 − 9 =

1

6(1

𝑥 − 3) −

1

6(1

𝑥 + 3) .

Rezultă că:∫𝑑𝑥

𝑥2 − 9 =

1

6ln|𝑥 − 3| −

1

6ln|𝑥 + 3| + 𝐶 =

=1

6ln |(𝑥 − 3)

(𝑥 + 3)| + 𝐶.

∫𝑥 𝑑𝑥

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

Despărțim fracția într-o sumă de fracții mai simple:

𝑥

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) =

𝐴

𝑥 + 2+

𝐵

𝑥 + 3 .

Page 37: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Atunci 𝑥 = 𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 + 2).

Fie 𝑥 = −3. Atunci −3 = −B și 𝐵 = 3.

Fie 𝑥 = −2. Rezultă că −2 = 𝐴.

Astfel, 𝑥

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)= −

2

𝑥 + 2+

3

𝑥 + 3 .

Rezultă că: ∫𝑥 𝑑𝑥

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)= −2 ln|𝑥 + 2| + 3 ln|𝑥 + 3| + 𝐶 =

= ln |(𝑥 + 3)3

(𝑥 + 2)2| + 𝐶.

∫𝑥4 − 4𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 4𝑑𝑥.

Deoarece gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului,

dăm factor comun la numărător pe 𝑥2 − 4, apoi simplificăm:

(𝑥2 − 4)𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 4= (𝑥2 − 4)𝑥2

𝑥2 − 4+

𝑥 + 1

𝑥2 − 4= 𝑥2 +

𝑥 + 1

𝑥2 − 4 .

Astfel,

∫𝑥4 − 4𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 4𝑑𝑥 =

1

3𝑥3 +∫

𝑥 + 1

𝑥2 − 4𝑑𝑥.

Dar 𝑥 + 1

𝑥2 − 4=

𝑥 + 1

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)=

𝐴

𝑥 + 2+

𝐵

𝑥 − 2 .

Atunci, 𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 + 2).

Fie 𝑥 = 2. Atunci 3 = 4𝐵, rezultă că 𝐵 =3

4 .

Fie 𝑥 = −2. Atunci, −1 = −4𝐴, de unde 𝐴 =1

4 .

Astfel,

𝑥 + 1

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)=1

4 ⋅

1

𝑥 + 2+3

4⋅

1

𝑥 − 2 .

Iar, ∫𝑥 + 1

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)𝑑𝑥 =

1

4ln|𝑥 + 2| +

3

4ln|𝑥 − 2| + 𝐶 =

Page 38: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Aflați dacă aria din primul cadran de sub curba 𝑦 = 1

𝑥 , (unde 𝑥 ≥ 1)

este finită.

Aceasta este echivalent cu a determina dacă integrala improprie

∫1

𝑥𝑑𝑥

1

este convergentă.

∫1

𝑥𝑑𝑥

1

= 𝑙𝑖𝑚𝑣→+∞

∫1

𝑥𝑑𝑥

𝑣

1

= 𝑙𝑖𝑚𝑣→+∞

ln 𝑣|1𝑣 = 𝑙𝑖𝑚

𝑣→+∞ln 𝑣 = +∞ .

Astfel, integrala diverge și aria este infinită.

Aflați dacă ∫1

𝑥2𝑑𝑥

1

converge.

∫1

𝑥2𝑑𝑥

1

= 𝑙𝑖𝑚𝑣→+∞

∫1

𝑥2𝑑𝑥

𝑣

1

= 𝑙𝑖𝑚𝑣→+∞

−1

𝑥|1

𝑣

= 𝑙𝑖𝑚𝑣→+∞

(−1

𝑣+ 1) = 1 .

Astfel, integrala converge.

Pentru ce valorii ale lui 𝑝 este integrala ∫ (1

𝑥)𝑝𝑑𝑥

1

convergentă?

Conform Problemei 18.1, știm că integrala este divergentă atunci

când 𝑝 = 1.

Page 39: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

∫1

𝑥𝑝𝑑𝑥

1

= 𝑙𝑖𝑚𝑣→+∞

∫1

𝑥𝑝𝑑𝑥

𝑣

1

= 𝑙𝑖𝑚𝑣→+∞

(−1

𝑝 − 1⋅1

𝑥𝑝−1)|1

𝑣

=

= 𝑙𝑖𝑚𝑣→+∞

[−1

𝑝 − 1(1

𝜈𝑝−1− 1)]

Ultima limită este 1

𝑝−1 dacă 𝑝 > 1 și +∞ dacă 𝑝 < 1.

Astfel, integrala converge dacă și numai dacă 𝑝 > 1.

Pentru 𝑝 > 1, este ∫𝑙𝑛 𝑥

𝑥𝑝

1

𝑑𝑥 convergentă?

Prima dată calculăm ∫𝑙𝑛 𝑥

𝑥𝑝𝑑𝑥 folosind integrarea prin părți.

Fie 𝑢 = ln 𝑥 și 𝑑𝑣 =1𝑥𝑝𝑑𝑥. Rezultă că 𝑑𝑢 =

1𝑥𝑑𝑥 și 𝜈 =

11−𝑝

∙1

𝑥𝑝−1 .

Astfel,

∫ln𝑥

𝑥𝑝𝑑𝑥 =

1

1 − 𝑝⋅ln 𝑥

𝑥𝑝−1−∫

1

1 − 𝑝⋅1

𝑥𝑝𝑑𝑥 =

=1

1 − 𝑝⋅ln 𝑥

𝑥𝑝−1−

1

(1 − 𝑝)2⋅1

𝑥𝑝−1 .

Rezultă că,

∫ln𝑥

𝑥𝑝𝑑𝑥

1

= 𝑙𝑖𝑚𝑣→+∞

∫ln𝑥

𝑥𝑝𝑑𝑥

𝑣

1

=

= 𝑙𝑖𝑚𝑣→+∞

(1

1 − 𝑝⋅ln 𝑥

𝑥𝑝−1−

1

(1 − 𝑝)2⋅1

𝑥𝑝−1)|1

𝑣

=

= 𝑙𝑖𝑚𝑣→+∞

[1

1 − 𝑝⋅ln 𝜈

𝑣𝑝−1−

1

(1 − 𝑝)2⋅1

𝑣𝑝−1] − (−

1

(1 − 𝑝)2) =

1

(1 − 𝑝)2 .

În ultimul pas, am folosit regula lui L’Hôpital pentru a calcula

Page 40: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

În Problemele de la 19.1 la 19.18, scrieți o formulă pentru al 𝑛-lea termen 𝑎𝑛

al șirului și aflați-i limita (dacă există). Se înțelege faptul că 𝑛 = 1,2,3, …

1, 1

2, 1

4, 1

8,

1

16, …

𝑎𝑛 =1

2𝑛−1 .

În mod clar, 𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

1

2𝑛−1= 0 .

1, − 1, 1, − 1, …

𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1.

Nu există nicio limită.

1, 1

2, 1

3, 1

4, …

𝑎𝑛 = 1

𝑛 .

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

1

𝑛 = 0 .

Page 41: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

1, 0, 1 , 0, 1, 0, …

𝑎𝑛 =1

2[1 + (−1)𝑛+1] .

În mod evident nu există o limită.

1

2, 1

4, 1

6, 1

8, …

𝑎𝑛 =1

2𝑛 .

𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

1

2𝑛 = 0 .

Se duce unul să cumpere ţigări. Ia pachetul şi citeşte: "tutunul cauzează

impotenţă". Speriat, îi zice vînzătoarei:

- Nu vă supăraţi, din alea cu cancer nu mai aveţi?

1, 1

3, 1

5, 1

7, …

𝑎𝑛 =1

2𝑛 − 1 .

𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

1

2𝑛 − 1= 0 .

Page 42: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Arătați că dacă ∑𝑎𝑛 converge, atunci 𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

𝑎𝑛 = 0.

Fie 𝑆 = ∑𝑎𝑛

𝑛=0

.

Atunci , 𝑎𝑛 =∑𝑎𝑘

𝑛

𝑘=1

−∑𝑎𝑘

𝑛−1

𝑘=1

→ 𝑆 − 𝑆 = 0 .

Arătați că seria armonică ∑1

𝑛= 1 +

1

2+1

3+⋯ diverge.

1 >1

2

1

2≥1

2

1

3+1

4>2

4=1

2

1

5+1

6+1

7+1

8>4

8=1

2

…………………..

1

9+1

10+⋯+

1

16>8

16=1

2

Etc.

De aceea,

Page 43: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

1 +1

2+1

3+1

4+⋯ >

1

2+1

2+1

2+1

2+⋯ → +∞ .

În mod alternativ, prin testul integralei, obținem:

∫1

𝑥𝑑𝑥

1

= 𝑙𝑖𝑚𝑢→+∞

∫1

𝑥𝑑𝑥

𝑢

1

= 𝑙𝑖𝑚𝑢→+∞

(ln 𝑥 |1𝑢) = 𝑙𝑖𝑚

𝑢→+∞ln 𝑢 = +∞ .

Implică 𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

𝑎𝑛 = 0 faptul că ∑𝑎𝑛 converge?

Nu. Seria armonică ∑1

𝑛 (Problema 20.2) este un contraexemplu.

Fie 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1, cu 𝑟 ≠ 1. Arătați că

𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛 − 1)

𝑟 − 1 .

𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 + 𝑎𝑟𝑛.

Rezultă că 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1.

Astfel, (𝑟 − 1)𝑆𝑛 = 𝑎𝑟𝑛 − 𝑎 = 𝑎(𝑟𝑛 − 1).

Rezultă că: 𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛 − 1)

𝑟 − 1 .

Fie 𝑎 ≠ 0. Arătați că șirul geometric infinit

∑𝑎𝑟𝑛∞

𝑛=0

= 𝑎

1 − 𝑟 dacă |𝑟| < 1 și diverge dacă |𝑟| ≥ 1 .

Page 44: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

În Problemele 21.1 - 21.24, găsește intervalul de convergență a seriei de puteri

date. Folosește criteriul raportului dacă nu se menționează altceva.

∑𝑥𝑛

𝑛 .

𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

|𝑥|𝑛+1

𝑛+1|𝑥|𝑛

𝑛

= 𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

|𝑥|𝑛

𝑛 + 1= 𝑙𝑖𝑚

𝑛→+∞|𝑥|

1

1 +1

𝑛

= |𝑥|.

Astfel, seria converge absolut pentru |𝑥| < 1 și diverge pentru |𝑥| >

> 1. Atunci când 𝑥 = 1, avem seria armonică divergentă ∑1

𝑛. Atunci

când 𝑥 = −1, seria este ∑(−1)𝑛

𝑛, care converge conform criteriului

seriilor alternante. Astfel, seria converge pentru −1 ≤ 𝑥 < 1.

∑𝑥𝑛

𝑛2 .

𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

|𝑥|𝑛+1

(𝑛+1)2

|𝑥|𝑛

𝑛2

= 𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

|𝑥| (𝑛

𝑛 + 1)2

= 𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

|𝑥| (1

1 +1

𝑛

)

2

= |𝑥| .

Astfel, seria este absolut convergentă pentru |𝑥| < 1 și diverge pentru

|𝑥| > 1. Când 𝑥 = 1, avem seria 𝑝 convergentă ∑1

𝑛2.

Page 45: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile

Atunci când 𝑥 = −1, seria converge conform criteriului seriilor

alternante.

Astfel, seria putere converge pentru −1 ≤ 𝑥 ≤ 1.

∑𝑥𝑛

𝑛! .

𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

|𝑥|𝑛+1

(𝑛+1)!

|𝑥|𝑛

𝑛!

= 𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

|𝑥|

𝑛 + 1= 0 .

Astfel, seria converge oricare ar fi 𝑥.

∑𝑛! 𝑥𝑛.

𝑙𝑖𝑚𝑛→+∞

(𝑛 + 1)! |𝑥|𝑛+1

𝑛! |𝑥|𝑛= 𝑙𝑖𝑚

𝑛→+∞|𝑥|(𝑛 + 1) = +∞

cu excepția situației în care 𝑥 = 0. Astfel, seria converge doar când

𝑥 = 0.

∑ 𝑥𝑛

2𝑛 .

Aceasta este o serie geometrică având rația 𝑥

2 . Astfel, avem

convergență pentru |𝑥

2| < 1 , adică |𝑥| < 2

și divergență pentru |𝑥| > 2.

Atunci când 𝑥 = 2, avem ∑ 1, care diverge.

Page 46: Acum Analiză Matematică - cunosc.rocunosc.ro/mostra.pdf · Acum Cunosc.ro Analiză Matematică 1181 De Probleme Rezolvate. Culegere realizată de echipa Cunosc.ro Toate drepturile