a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ......
Transcript of a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ......
Clasa a X-a Algebra - 1
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Definitia eeccuuaattiiiilloorr BBIINNOOMMEE :
- Forma ecuatiilor binome este :
0 axn
, Ca , 1n .
Rezolvarea eeccuuaattiiiilloorr BBIINNOOMMEE :
- Rezolvarea acestor ecuatii este facuta in manualul de Geometrie ;
- Se procedeaza astfel :
- se scrie numarul a sub forma trigonometrica :
sincos ira
- solutiile ecuatiei binome sunt date de formulele :
2sin
2cos
n
ki
n
krx n
, unde 10 nk .
Clasa a X-a Algebra - 2
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Definitia eeccuuaattiiiilloorr BBIIPPAATTRRAATTEE :
- Ecuatiile in cazul carora printr-o substitutie avantajoasa , intr-o noua necunoscuta , ecuatia se
transforma intr-o ecuatie de gradul al doilea ale carei radacini le determinam prin formulele bine –
cunoscute se numeste ecuatie bipatrata .
Forma generala aa eeccuuaattiiiilloorr BBIIPPAATTRRAATTEE :
- Forma generala a ecuatiilor bipatrate este :
024
cxbxa , unde Ccba ,, si 0a .
Rezolvarea eeccuuaattiiiilloorr BBIIPPAATTRRAATTEE :
- Pt aflarea solutiilor ecuatiei bipatrate se face urmatoarea substitutie avantajoasa :
yx 2
- si obtinem ecuatia de gradul doi : 02
cybya care se numeste rezolvanta
ecuatiei initiale si radacinile ei sunt :
a
acbby
2
42
1
si
a
acbby
2
42
2
- Din egalitatea yx 2
obtinem ecuatiile :
yx 1
2 si yx 2
2
cu radacinile :
a
acbbx
2
42
1
,
a
acbbx
2
42
2
,
a
acbbx
2
42
3
si
a
acbbx
2
42
4
.
- Radacinile ecuatiei date sunt numerele : xxxx , , , 4321 care pot fi cuprinse in formula :
a
acbbx
2
42
numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate .
Clasa a X-a Algebra - 3
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Exercitiul nr. 1 :
Sa se rezolve ecuatiile bipatrate :
a). 091024
xx ; b). 0161724
xx ; c). 022124
xx
d). 01424
xx ; e). 06624
xx ; f). 015624
xx ;
g). 01123224
xx ; h). 014
x .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se rezolve ecuatiile :
a). 0624
xx ; b). 0345324
ixix ; c). 03324
ixix .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se rezolve ecuatiile :
a). 4012
2
2
xx ; b). xxxx
223572 ;
c). xx 24322
; d). 56
2
2
xx .
Exercitiul nr. 4 :
Sa se determine ecuatia de gradul patru , avand radacinile :
a). 3 , 3 , 4 , 4 4321 xxxx ; b). 6
1 ,
6
1 ,
2
1 ,
2
14321 xxxx ;
c). ixixixix 2 , 2 , 3 , 3 4321 ; d). 5 , 5 , 2 , 2 4321 xxxx .
Exercitiul nr. 5 :
Sa se determine natura radacinilor ecuatiilor :
a). 022224 mxmx ; b). 094
24mxx ;
c). 01424
xmx ; d). 01322 2 244 xmxm ;
Clasa a X-a Algebra - 4
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
e). 0253224 mmxx ; f). 3352
222 xmxx .
Exercitiul nr. 6 :
Sa se rezolve ecuatiile :
a). 0161536
xx ; b). 03248
xx ;
c). 06736
xx ; d). 0131228
xx .
Clasa a X-a Algebra - 5
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Definitia eeccuuaattiiiilloorr RReecciipprrooccee :
- O ecuatie de forma :
0...... 01
2
2
1
1
axaxaxaxan
n
n
n , 0a ,
avand proprietatea
aa iin , oricare ar fi 0 nii ,
se numeste ecuatie reciproca de gradul n ( altfel spus , o ecuatie este reciproca daca coeficientii
termenilor egal departati de extremi sunt egali ) .
Forma generala aa eeccuuaattiiiilloorr RReecciipprrooccee ddee ggrraadd IIIIII :
- Daca 3n forma generala a ecuatiilor reciproce de grad III este :
023
axbxbxa , 0a .
Forma generala aa eeccuuaattiiiilloorr RReecciipprrooccee ddee ggrraadd IIVV :
- Daca 4n forma generala a ecuatiilor reciproce de grad IV este :
0234
axbxcxbxa , 0a .
Forma generala aa eeccuuaattiiiilloorr RReecciipprrooccee ddee ggrraadd VV :
- Daca 5n forma generala a ecuatiilor reciproce de grad V este :
02345
axbxcxcxbxa , 0a .
Clasa a X-a Algebra - 6
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Proprietatea 1 :
-- Daca ecuatia reciproca are radacina , atunci ea are si radacina
1 .
Proprietatea 2 :
-- Orice ecuatie reciproca de grad impar are radacina 1x .
Proprietatea 3 :
-- Orice ecuatie reciproca de grad impar se reduce la rezolvarea ecuatiei 1x si a unei
ecuatii de grad par .
Am vazut ca forma generala a ecuatiei reciproce de gradul III este :
023
axbxbxa , 0a
Rezolvarea eeccuuaattiieeii RReecciipprrooccee ddee ggrraadd IIIIII :
- aceasta ecuatie are radacina 1x conform proprietatii ecuatiilor reciproce de grad impar ;
- atunci putem scrie : 012
axabaxx
- Ecuatia data admite radacinile :
11 x si x2 , x3 date de ecuatia 02
axabax .
Clasa a X-a Algebra - 7
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Am vazut ca forma generala a ecuatiei reciproce de gradul IV este :
0234
axbxcxbxa , 0a .
Rezolvarea eeccuuaattiieeii RReecciipprrooccee ddee ggrraadd IIVV :
- aceasta ecuatie are radacina 1x conform proprietatii ecuatiilor reciproce de grad impar
- Cum 0a , ecuatia de mai sus nu admite ca radacina pe 0x .
- In ecuatia de mai sus impartim cu x2 si obtinem ecuatia :
02
2 X
a
X
bcXbXa
unde grupand termenii in mod convenabil avem :
011
2
2
c
XXb
XXa
- Facem substitutia :
x
xy1
si 21 2
2
2 yx
x
- Obtinem ecuatia in y :
022
acybya careia ii aflam radacinile: y1 si y
2 x 4,3,2,1 .
Clasa a X-a Algebra - 8
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Exercitiul nr. 1 :
Sa se rezolve ecuatiile reciproce de grad 3 :
a). 053131523
xxx ; b). 0233223
xxx ;
c). 014423
xxx ; d). 0322323
xxx ;
e). 0123
xxx ; f). 0255223
xxx .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se rezolve ecuatiile reciproce :
a). 0277223
xxx ; b). 0211223
xixix .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se rezolve ecuatiile reciproce de gradul 4 :
a). 027972234
xxxx ; b). 0118234
xxxx ;
c). 0454234
xxxx ; d). 0122234
xxxx ;
e). 01262234
xxxx ; f). 01323234
xxxx ;
g). 013163234
xxxx .
Exercitiul nr. 4 :
Sa se rezolve ecuatiile reciproce de gradul 5 :
a). 02081626281202345
xxxxx ; b). 012345
xxxxx ;
c) 05455452345
xxxxx .
Exercitiul nr. 5 :
Sa se rezolve ecuatiile :
a). 0163362345
xxxxx ; b). 06623
xxx ;
c). 0133234
xxxx ; d). 01332345
xxxxx ;
Clasa a X-a Algebra - 9
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
e). 0222234
xxxx ; f). 0433423
xxx ;
g). 033332345
xxxxx .
Exercitiul nr. 6 :
Sa se determine parametrul real a astfel incat ecuatiile de mai jos sa aiba toate radacinile
reale :
a). 0133234
xaxxx ; b). 01323234
xaxxx ;
c). 022234
xaxxx ; d). 01323234
xaxxx ;
e). 02332234
xaxxx ; f). 03553234
xaxxx .
Clasa a X-a Algebra - 10
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Teorema :
- Fie f un polinom nenul cu coeficienti reali .
- Daca iba , 0b , este o radacina complexa a lui f , atunci :
10 iba este de asemenea o radacina a lui f ;
20 si au acelasi ordin de multiplicitate .
Consecinta :
- Orice polinom cu coeficienti reali are un numar par de radacini complexe (care nu
sunt numere reale) .
Consecinta :
- Orice polinom cu coeficienti reali de grad impar are cel putin o radacina reala .
Clasa a X-a Algebra - 11
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Exercitiul nr. 1 :
Sa se afle radacinile polinomului f daca admite radacina indicata :
a). 1023197234
xxxxf ix 21 ;
b). 2234
xxxf 2
311
ix
.
Exercitiul nr. 2 :
Sa se arate ca daca ba , polinomul : 123
bxxaxf nu are radacinile i .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se determine a si b si apoi sa se rezolve ecuatia :
0217234
baxxxax , a , b R
stiind ca i21 este radacina a ecuatiei .
Exercitiul nr. 4 :
Fie ecuatia : 01212234
cbxxaxax , a,b,c R cu a 0 . Sa se arate
ca aceasta ecuatie admite cel mult doua radacini reale .
Exercitiul nr. 5 :
Sa se determine radacinile polinomului : 132323456
xxxxxxf
stiind ca admite radacina i .
Exercitiul nr. 6 :
Sa se rezolve ecuatia : 02453234
xxxx stiind ca admite radacina i1 .
Exercitiul nr. 7 :
Sa se rezolve ecuatia : 05464234
xxxx stiind ca admite radacina i2 .
Clasa a X-a Algebra - 12
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Exercitiul nr. 8 :
Fie ecuatia : 0134
xxx cu R si 1 . Sa se arate ca toate radacinile
sunt de modul 1 .
Exercitiul nr. 9 :
Sa se determine m si n si apoi sa se rezolve ecuatia : 02234
nxmxxx .
Stiind ca admite radacina i1 .
Exercitiul nr. 10 :
Stiind ca polinomul 24353234
xxxxf are radacina i1 sa se gaseasca
celelalte radacini si sa se descompuna polinomul f in produs de polinoame de gradul 1 si 2 cu
coeficienti reali .
Exercitiul nr. 11 :
Sa se determine polinoamele cu coeficienti reali de gradul cel mai mic care au ca radacini :
a). radacina dubla 2 si radacina simpla i1 ; b). radacina dubla i si radacina dubla i2 ;
c). radacina tripla i1 si radacinile simple 1 si 1 .
Exercitiul nr. 12 :
Sa se determine Rba , si radacinile lui f stiind ca admite radacina indicata :
a). 7849234
bxxaxxf , ix 231 ; b). 1234
xbxaxxf , ix 1 .
Exercitiul nr. 13 :
Sa se determine parametrul Rm si sa se rezolve ecuatiile stiind ca admit radacina
scrisa in dreptul fiecareia :
a). 1332456
mxxxxx , ix 1 ; b). 0564234
mxxxx , ix 21 .
Exercitiul nr. 14 :
Sa se determine m si n si apoi sa se rezolve ecuatia :
02234
nxmxxx stiind ca admite radacina i1 .
Clasa a X-a Algebra - 13
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Teorema :
- Fie f un polinom nenul cu coeficienti rationali si ba ( cu Qba , , 0b si
Q b ) o radacina a lui f .
- Atunci :
10 ba este de asemenea o radacina a lui f ;
20 ba si ba au acelasi ordin de multiplicitate .
Exercitiul nr. 1 :
Sa se rezolve ecuatia : 0162522345
xxxx stiind ca admite radacina : 21 .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se rezolve ecuatia : 0222234
xxxx stiind ca admite radacina 31 .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se determine radacinile polinomului : 5080911932345
xxxxxf stiind ca
din radacinile lui este i3 iar alta este 21 .
Exercitiul nr. 4 :
Sa se determine radacinile polinomului 65234 xxxf stiind ca admite radacina 33 .
Exercitiul nr. 5 :
Sa se determine radacinile polinomului 26532345
xxxxxf stiind ca admite
radacina 2 .
Clasa a X-a Algebra - 14
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Exercitiul nr. 6 :
Sa se afle radacinile polinomului f Q [X] stiind ca una dintre ele este cea indicata :
a). 121644234
xxxxf , 311 x ; b). 18632234
xxxxf , 711 x
Exercitiul nr. 7 :
Sa se afle Qba , si radacinile polinomului XQf stiind ca una dintre ele este cea indicata :
a). baxxxxf 252234
, 2241 x ;
b). bxaxxxf 3410234
531 x .
Exercitiul nr. 8 :
Sa se determine Qcba ,, si radacinile polinomului cbxaxxxf 234
2 XQ
stiind ca restul impartirii lui f la 1x este egal cu 4 si ca polinomul f admite radacina
211 x .
Exercitiul nr. 9 :
Sa se determine parametrii Qnm , si sa se rezolve ecuatia 0126234
nxmxxx
stiind ca admite radacina 22 .
Clasa a X-a Algebra - 15
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Teorema :
- Fie XaXaan
nf .....10 un polinom de gradul n ( n 1 ) cu coeficienti intregi .
- Daca q
p ( p , q numere prime intre ele ) este o radacina rationala a lui f atunci :
10 p divide termenul liber a0 ;
20 q divide coeficientul termenului de grad maxim an .
Consecinta :
- Fie XaXaan
nf .....10 un polinom de gradul n ( n 1 ) cu coeficienti intregi .
- Daca p este o radacina intreaga a lui atunci p este un divizor al termenului liber a0 .
Exercitiul nr. 1 :
Sa se afle radacinile rationale ale urmatoarelor polinoame :
a). 1433
xx ; b). 36612234
xxxx ;
c). 313221872345
xxxxx ; d). 812141362345
xxxxx ;
e). 723650582345
xxxxx ; f). 36108107436234
xxxx .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se determine radacinile rationale ale polinoamelor :
a). 157424
xxx ;
b). 91224234
xxxx .
Clasa a X-a Algebra - 16
Cap. VI : Ecuatii de grad superior
Ecuatii de grad superior
Exercitiul nr. 3 :
Sa se rezolve ecuatiile :
a) 06310523
xxx ; b). 0202813223
xxx ;
c). 0311131110234
xxxx ; d). 023739234
xxxx ;
e). 0915167234
xxxx ; f). 012456234
xxxx ;
g). 03242234
xxxx ; h). 029799234
xxxx ;
i). 03372234
xxxx ; j). 016869234
xxxx ;
k). 05481482710234
xxxx .