a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ......

16
Clasa a X-a Algebra - 1 Cap. VI : Ecuatii de grad superior Ecuatii de grad superior Definitia ecuatiilor BINOME : - Forma ecuatiilor binome este : 0 a x n , C a , 1 n . Rezolvarea ecuatiilor BINOME : - Rezolvarea acestor ecuatii este facuta in manualul de Geometrie ; - Se procedeaza astfel : - se scrie numarul a sub forma trigonometrica : sin cos i r a - solutiile ecuatiei binome sunt date de formulele : 2 sin 2 cos n k i n k r x n , unde 1 0 n k .

Transcript of a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ......

Page 1: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 1

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Definitia eeccuuaattiiiilloorr BBIINNOOMMEE :

- Forma ecuatiilor binome este :

0 axn

, Ca , 1n .

Rezolvarea eeccuuaattiiiilloorr BBIINNOOMMEE :

- Rezolvarea acestor ecuatii este facuta in manualul de Geometrie ;

- Se procedeaza astfel :

- se scrie numarul a sub forma trigonometrica :

sincos ira

- solutiile ecuatiei binome sunt date de formulele :

2sin

2cos

n

ki

n

krx n

, unde 10 nk .

Page 2: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 2

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Definitia eeccuuaattiiiilloorr BBIIPPAATTRRAATTEE :

- Ecuatiile in cazul carora printr-o substitutie avantajoasa , intr-o noua necunoscuta , ecuatia se

transforma intr-o ecuatie de gradul al doilea ale carei radacini le determinam prin formulele bine –

cunoscute se numeste ecuatie bipatrata .

Forma generala aa eeccuuaattiiiilloorr BBIIPPAATTRRAATTEE :

- Forma generala a ecuatiilor bipatrate este :

024

cxbxa , unde Ccba ,, si 0a .

Rezolvarea eeccuuaattiiiilloorr BBIIPPAATTRRAATTEE :

- Pt aflarea solutiilor ecuatiei bipatrate se face urmatoarea substitutie avantajoasa :

yx 2

- si obtinem ecuatia de gradul doi : 02

cybya care se numeste rezolvanta

ecuatiei initiale si radacinile ei sunt :

a

acbby

2

42

1

si

a

acbby

2

42

2

- Din egalitatea yx 2

obtinem ecuatiile :

yx 1

2 si yx 2

2

cu radacinile :

a

acbbx

2

42

1

,

a

acbbx

2

42

2

,

a

acbbx

2

42

3

si

a

acbbx

2

42

4

.

- Radacinile ecuatiei date sunt numerele : xxxx , , , 4321 care pot fi cuprinse in formula :

a

acbbx

2

42

numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate .

Page 3: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 3

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Exercitiul nr. 1 :

Sa se rezolve ecuatiile bipatrate :

a). 091024

xx ; b). 0161724

xx ; c). 022124

xx

d). 01424

xx ; e). 06624

xx ; f). 015624

xx ;

g). 01123224

xx ; h). 014

x .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se rezolve ecuatiile :

a). 0624

xx ; b). 0345324

ixix ; c). 03324

ixix .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se rezolve ecuatiile :

a). 4012

2

2

xx ; b). xxxx

223572 ;

c). xx 24322

; d). 56

2

2

xx .

Exercitiul nr. 4 :

Sa se determine ecuatia de gradul patru , avand radacinile :

a). 3 , 3 , 4 , 4 4321 xxxx ; b). 6

1 ,

6

1 ,

2

1 ,

2

14321 xxxx ;

c). ixixixix 2 , 2 , 3 , 3 4321 ; d). 5 , 5 , 2 , 2 4321 xxxx .

Exercitiul nr. 5 :

Sa se determine natura radacinilor ecuatiilor :

a). 022224 mxmx ; b). 094

24mxx ;

c). 01424

xmx ; d). 01322 2 244 xmxm ;

Page 4: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 4

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

e). 0253224 mmxx ; f). 3352

222 xmxx .

Exercitiul nr. 6 :

Sa se rezolve ecuatiile :

a). 0161536

xx ; b). 03248

xx ;

c). 06736

xx ; d). 0131228

xx .

Page 5: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 5

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Definitia eeccuuaattiiiilloorr RReecciipprrooccee :

- O ecuatie de forma :

0...... 01

2

2

1

1

axaxaxaxan

n

n

n , 0a ,

avand proprietatea

aa iin , oricare ar fi 0 nii ,

se numeste ecuatie reciproca de gradul n ( altfel spus , o ecuatie este reciproca daca coeficientii

termenilor egal departati de extremi sunt egali ) .

Forma generala aa eeccuuaattiiiilloorr RReecciipprrooccee ddee ggrraadd IIIIII :

- Daca 3n forma generala a ecuatiilor reciproce de grad III este :

023

axbxbxa , 0a .

Forma generala aa eeccuuaattiiiilloorr RReecciipprrooccee ddee ggrraadd IIVV :

- Daca 4n forma generala a ecuatiilor reciproce de grad IV este :

0234

axbxcxbxa , 0a .

Forma generala aa eeccuuaattiiiilloorr RReecciipprrooccee ddee ggrraadd VV :

- Daca 5n forma generala a ecuatiilor reciproce de grad V este :

02345

axbxcxcxbxa , 0a .

Page 6: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 6

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Proprietatea 1 :

-- Daca ecuatia reciproca are radacina , atunci ea are si radacina

1 .

Proprietatea 2 :

-- Orice ecuatie reciproca de grad impar are radacina 1x .

Proprietatea 3 :

-- Orice ecuatie reciproca de grad impar se reduce la rezolvarea ecuatiei 1x si a unei

ecuatii de grad par .

Am vazut ca forma generala a ecuatiei reciproce de gradul III este :

023

axbxbxa , 0a

Rezolvarea eeccuuaattiieeii RReecciipprrooccee ddee ggrraadd IIIIII :

- aceasta ecuatie are radacina 1x conform proprietatii ecuatiilor reciproce de grad impar ;

- atunci putem scrie : 012

axabaxx

- Ecuatia data admite radacinile :

11 x si x2 , x3 date de ecuatia 02

axabax .

Page 7: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 7

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Am vazut ca forma generala a ecuatiei reciproce de gradul IV este :

0234

axbxcxbxa , 0a .

Rezolvarea eeccuuaattiieeii RReecciipprrooccee ddee ggrraadd IIVV :

- aceasta ecuatie are radacina 1x conform proprietatii ecuatiilor reciproce de grad impar

- Cum 0a , ecuatia de mai sus nu admite ca radacina pe 0x .

- In ecuatia de mai sus impartim cu x2 si obtinem ecuatia :

02

2 X

a

X

bcXbXa

unde grupand termenii in mod convenabil avem :

011

2

2

c

XXb

XXa

- Facem substitutia :

x

xy1

si 21 2

2

2 yx

x

- Obtinem ecuatia in y :

022

acybya careia ii aflam radacinile: y1 si y

2 x 4,3,2,1 .

Page 8: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 8

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Exercitiul nr. 1 :

Sa se rezolve ecuatiile reciproce de grad 3 :

a). 053131523

xxx ; b). 0233223

xxx ;

c). 014423

xxx ; d). 0322323

xxx ;

e). 0123

xxx ; f). 0255223

xxx .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se rezolve ecuatiile reciproce :

a). 0277223

xxx ; b). 0211223

xixix .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se rezolve ecuatiile reciproce de gradul 4 :

a). 027972234

xxxx ; b). 0118234

xxxx ;

c). 0454234

xxxx ; d). 0122234

xxxx ;

e). 01262234

xxxx ; f). 01323234

xxxx ;

g). 013163234

xxxx .

Exercitiul nr. 4 :

Sa se rezolve ecuatiile reciproce de gradul 5 :

a). 02081626281202345

xxxxx ; b). 012345

xxxxx ;

c) 05455452345

xxxxx .

Exercitiul nr. 5 :

Sa se rezolve ecuatiile :

a). 0163362345

xxxxx ; b). 06623

xxx ;

c). 0133234

xxxx ; d). 01332345

xxxxx ;

Page 9: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 9

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

e). 0222234

xxxx ; f). 0433423

xxx ;

g). 033332345

xxxxx .

Exercitiul nr. 6 :

Sa se determine parametrul real a astfel incat ecuatiile de mai jos sa aiba toate radacinile

reale :

a). 0133234

xaxxx ; b). 01323234

xaxxx ;

c). 022234

xaxxx ; d). 01323234

xaxxx ;

e). 02332234

xaxxx ; f). 03553234

xaxxx .

Page 10: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 10

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Teorema :

- Fie f un polinom nenul cu coeficienti reali .

- Daca iba , 0b , este o radacina complexa a lui f , atunci :

10 iba este de asemenea o radacina a lui f ;

20 si au acelasi ordin de multiplicitate .

Consecinta :

- Orice polinom cu coeficienti reali are un numar par de radacini complexe (care nu

sunt numere reale) .

Consecinta :

- Orice polinom cu coeficienti reali de grad impar are cel putin o radacina reala .

Page 11: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 11

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Exercitiul nr. 1 :

Sa se afle radacinile polinomului f daca admite radacina indicata :

a). 1023197234

xxxxf ix 21 ;

b). 2234

xxxf 2

311

ix

.

Exercitiul nr. 2 :

Sa se arate ca daca ba , polinomul : 123

bxxaxf nu are radacinile i .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se determine a si b si apoi sa se rezolve ecuatia :

0217234

baxxxax , a , b R

stiind ca i21 este radacina a ecuatiei .

Exercitiul nr. 4 :

Fie ecuatia : 01212234

cbxxaxax , a,b,c R cu a 0 . Sa se arate

ca aceasta ecuatie admite cel mult doua radacini reale .

Exercitiul nr. 5 :

Sa se determine radacinile polinomului : 132323456

xxxxxxf

stiind ca admite radacina i .

Exercitiul nr. 6 :

Sa se rezolve ecuatia : 02453234

xxxx stiind ca admite radacina i1 .

Exercitiul nr. 7 :

Sa se rezolve ecuatia : 05464234

xxxx stiind ca admite radacina i2 .

Page 12: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 12

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Exercitiul nr. 8 :

Fie ecuatia : 0134

xxx cu R si 1 . Sa se arate ca toate radacinile

sunt de modul 1 .

Exercitiul nr. 9 :

Sa se determine m si n si apoi sa se rezolve ecuatia : 02234

nxmxxx .

Stiind ca admite radacina i1 .

Exercitiul nr. 10 :

Stiind ca polinomul 24353234

xxxxf are radacina i1 sa se gaseasca

celelalte radacini si sa se descompuna polinomul f in produs de polinoame de gradul 1 si 2 cu

coeficienti reali .

Exercitiul nr. 11 :

Sa se determine polinoamele cu coeficienti reali de gradul cel mai mic care au ca radacini :

a). radacina dubla 2 si radacina simpla i1 ; b). radacina dubla i si radacina dubla i2 ;

c). radacina tripla i1 si radacinile simple 1 si 1 .

Exercitiul nr. 12 :

Sa se determine Rba , si radacinile lui f stiind ca admite radacina indicata :

a). 7849234

bxxaxxf , ix 231 ; b). 1234

xbxaxxf , ix 1 .

Exercitiul nr. 13 :

Sa se determine parametrul Rm si sa se rezolve ecuatiile stiind ca admit radacina

scrisa in dreptul fiecareia :

a). 1332456

mxxxxx , ix 1 ; b). 0564234

mxxxx , ix 21 .

Exercitiul nr. 14 :

Sa se determine m si n si apoi sa se rezolve ecuatia :

02234

nxmxxx stiind ca admite radacina i1 .

Page 13: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 13

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Teorema :

- Fie f un polinom nenul cu coeficienti rationali si ba ( cu Qba , , 0b si

Q b ) o radacina a lui f .

- Atunci :

10 ba este de asemenea o radacina a lui f ;

20 ba si ba au acelasi ordin de multiplicitate .

Exercitiul nr. 1 :

Sa se rezolve ecuatia : 0162522345

xxxx stiind ca admite radacina : 21 .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se rezolve ecuatia : 0222234

xxxx stiind ca admite radacina 31 .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se determine radacinile polinomului : 5080911932345

xxxxxf stiind ca

din radacinile lui este i3 iar alta este 21 .

Exercitiul nr. 4 :

Sa se determine radacinile polinomului 65234 xxxf stiind ca admite radacina 33 .

Exercitiul nr. 5 :

Sa se determine radacinile polinomului 26532345

xxxxxf stiind ca admite

radacina 2 .

Page 14: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 14

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Exercitiul nr. 6 :

Sa se afle radacinile polinomului f Q [X] stiind ca una dintre ele este cea indicata :

a). 121644234

xxxxf , 311 x ; b). 18632234

xxxxf , 711 x

Exercitiul nr. 7 :

Sa se afle Qba , si radacinile polinomului XQf stiind ca una dintre ele este cea indicata :

a). baxxxxf 252234

, 2241 x ;

b). bxaxxxf 3410234

531 x .

Exercitiul nr. 8 :

Sa se determine Qcba ,, si radacinile polinomului cbxaxxxf 234

2 XQ

stiind ca restul impartirii lui f la 1x este egal cu 4 si ca polinomul f admite radacina

211 x .

Exercitiul nr. 9 :

Sa se determine parametrii Qnm , si sa se rezolve ecuatia 0126234

nxmxxx

stiind ca admite radacina 22 .

Page 15: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 15

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Teorema :

- Fie XaXaan

nf .....10 un polinom de gradul n ( n 1 ) cu coeficienti intregi .

- Daca q

p ( p , q numere prime intre ele ) este o radacina rationala a lui f atunci :

10 p divide termenul liber a0 ;

20 q divide coeficientul termenului de grad maxim an .

Consecinta :

- Fie XaXaan

nf .....10 un polinom de gradul n ( n 1 ) cu coeficienti intregi .

- Daca p este o radacina intreaga a lui atunci p este un divizor al termenului liber a0 .

Exercitiul nr. 1 :

Sa se afle radacinile rationale ale urmatoarelor polinoame :

a). 1433

xx ; b). 36612234

xxxx ;

c). 313221872345

xxxxx ; d). 812141362345

xxxxx ;

e). 723650582345

xxxxx ; f). 36108107436234

xxxx .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se determine radacinile rationale ale polinoamelor :

a). 157424

xxx ;

b). 91224234

xxxx .

Page 16: a iiRezolvarea or Beeccuattiillor BIINNOOMMEE : u · PDF fileVI : Ecuatii de grad superior ... 2 r 2 4 r numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate. Clasa a X-a Algebra - 3 Cap.

Clasa a X-a Algebra - 16

Cap. VI : Ecuatii de grad superior

Ecuatii de grad superior

Exercitiul nr. 3 :

Sa se rezolve ecuatiile :

a) 06310523

xxx ; b). 0202813223

xxx ;

c). 0311131110234

xxxx ; d). 023739234

xxxx ;

e). 0915167234

xxxx ; f). 012456234

xxxx ;

g). 03242234

xxxx ; h). 029799234

xxxx ;

i). 03372234

xxxx ; j). 016869234

xxxx ;

k). 05481482710234

xxxx .