62040941-Geodezie-Elipsoidala

111
NOŢIUNI GENERALE Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pământului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa, precum şi cu reprezentarea grafică a acestora. În acest scop, geodezia determină cu precizie, prin măsurători şi calcule, un schelet de puncte convenabil distanţate pe suprafaţa Pamântului, numite puncte geodezice, care servesc ca sprijin pentru operaţile topografice sau fotogrametrice ulterioare. Cuvântul „geodezie” provine de la cuvintele greceşti „geo” = pământ şi „daien”= împart, ceea ce arată că la origine, geodezia s-a ocupat şi cu rezolvarea unor probleme privind împărţirea suprafeţelor terestre. Geodezia cuprinde mai multe părţi şi anume: - geodezia elipsoidală, care studiază bazele matematice pentru luarea în considerare a suprafeţei elipsoidale a pământului în procese de determinare a punctelor geodezice; - triangulaţii geodezice, se ocupă cu determinarea planimetrică a tuturor punctelor geodezice pe baza măsurătorilor de unghiuri; - trilateraţii geodezice, se ocupă cu determinarea planimetrică a punctelor geodezice pe baza măsurătorilor de distanţe; - poligonametria, se ocupă cu determinarea punctelor geodezice utilizând măsurători de unghiuri şi distanţe; - nivelmentul superior de precizie-studiază metodele de determinare riguroasă a altitudinii unui schelet de puncte, prin nivelment geometric şi de legare pag 1

TAGS:

Transcript of 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Page 1: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

NOŢIUNI GENERALEGeodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei

şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora

Icircn acest scop geodezia determină cu precizie prin măsurători şi calcule un schelet de puncte convenabil distanţate pe suprafaţa Pamacircntului numite puncte geodezice care servesc ca sprijin pentru operaţile topografice sau fotogrametrice ulterioare

Cuvacircntul bdquogeodezierdquo provine de la cuvintele greceşti bdquogeordquo = pămacircnt şi bdquodaienrdquo= icircmpart ceea ce arată că la origine geodezia s-a ocupat şi cu rezolvarea unor probleme privind icircmpărţirea suprafeţelor terestre

Geodezia cuprinde mai multe părţi şi anume- geodezia elipsoidală care studiază bazele matematice pentru luarea icircn considerare a suprafeţei elipsoidale a pămacircntului icircn procese de determinare a punctelor geodezice- triangulaţii geodezice se ocupă cu determinarea planimetrică a tuturor punctelor geodezice pe baza măsurătorilor de unghiuri- trilateraţii geodezice se ocupă cu determinarea planimetrică a punctelor geodezice pe baza măsurătorilor de distanţe- poligonametria se ocupă cu determinarea punctelor geodezice utilizacircnd măsurători de unghiuri şi distanţe- nivelmentul superior de precizie-studiază metodele de determinare riguroasă a altitudinii unui schelet de puncte prin nivelment geometric şi de legare altimetrică a acetora cu punctele geodezice determinate planimetric- geodezia dinamică (gravimetria) se ocupă cu determinarea intensităţii forţei gravitaţionale in diferite puncte ale globului pentru deducerea formei şi dimensiunilor Pămacircmtului precum şi a constituţiei interne a scoarţei terestre- astronomia geodezică are ca scop determinarea directă a coordonatelor geografice ale punctelor geodezice folosind metode şi observaţii astronomice

Geodezia este stracircns legată de o serie de discipline cum ar fi- teoria erorilor şi metoda celor mai mici pătrate utilizată la rezolvarea problemelor de masurători de precizie- cartografia matematică care ajută la reprezentarea icircn plan a reţelei de puncte geodezice

Trebuie accentuată importanţa deosebită pe care o are geodezia pentru topografie şi fotogrammetrie deoarece este de neconceput construcţia riguroasă de planuri şi hărţi topografice pentru suprafeţe mai mari fără a avea un schelet de puncte geodezice precis determinate de care să fie legate toate lucrările topografice şi fotogrammetrice ulterioare

Partea I GEODEZIE ELIPSOIDALĂ

pag 1

11 GENERALITĂŢIGeodezia elipsoidală este acea parte din geodezie care se ocupă cu

studiul suprafeţei elipsoidale de rotaţie de referinţă a suprafeţei fizice a Pămacircntului precum şi cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor suprafeţei matematice curbe a Pămacircntului

Pentru icircndeplinirea obiectivelor sale Geodezia elipsoidală are stracircnse legături cu Astronomia geodezică şi cu Gravimetria geodezică Pe baza prelucrării ştiinţifice a unor rezultate din măsurătorile geodezice combinate cu măsurători astronomo-geodezice şi gravimetrice se poate studia icircn mod riguros şi detaliat forma matematică a suprafeţei curbe a Pămacircntului

Pentru suprafaţa curbă a globului terestru Listing introduce icircn 1873 noţiunea de GEOID

Din punct de vedere practic Geoidul este reprezentat de suprafaţa de echilibru a nivelului mediu al oceanelor şi mărilor prelungită pe sub uscat (continente insule)

Toate măsurătorile geodezice efectuate pe suprafaţa fizică topografică a Pămacircntului (care este considerată ca fiind suprafaţa de contact icircntre uscat şi atmosferă sau icircntre uscat şi apă) trebuia să se reducă la suprafaţa geoidului

Icircn cazul măsurătorilor geodezice curente (trilateraţii triangulaţii poligonometrie) geoidul se poate aproxima cu un elipsoid de rotaţie turtit la poli avacircnd semiaxa mare (ecuatorială) de circa 6380 km De asemenea pentru lucrări geodezice de precizie mai mică suprafaţa geoidului se va putea aproxima şi cu suprafaţa unei sfere de rază medie egală cu 6370 km

Prin intermediul metodelor geodeziei elipsoidale se determină icircn mod precis coordonatele unei reţele de puncte de pe suprafaţa Pămacircntului puncte de bază de ordinul I cu ajutorul cărora se determină ulterior punctele de ordinul II-IV necesare obţinerii reprezentărilor grafice pe suprafeţe foarte mari

12 GEOIDUL ŞI ELIPSOIDUL DE REFERINŢĂDin punct de vedere geometric Geoidul reprezintă o suprafaţă de nivel

care este icircn fiecare punct al său normală la direcţia verticalei locului dată de vectorul forţei de greutate indicată de firul cu plumb

Deoarece direcţiile verticalelor depind de atracţia maselor dispuse neregulat icircn interiorul globului terestru forma suprafeţei geometrice a Geoidului este foarte complicată De aceea ea nu poate fi considerată ca o suprafaţă matematică pe care să se execute diferite calcule pentru rezolvarea problemelor geodezice

pag 2

Fig 11 Suprafeţe de referinţă

1 ndash Suprafaţa topografică2 ndash Suprafaţa Geoidului3 ndash Suprafaţa elipsoidului de referinţă

Din această cauză a trebuit adoptată o altă suprafaţă matematică mai simplă pe care să se rezolve problemele geodezice şi anume suprafaţa elipsoidului de rotaţie cu o turtire mică rezultat prin rotirea unei elipse icircn jurul axe mici

Fig 12 Secţiune prin elipsoidul de referinţă

Pentru verificarea concepţiei privind turtirea elipsoidului la poli au fost efectuate măsurători ale arcului de meridian de 1o la ecuator şi la poli (fig 12) măsurători care au verificat această concepţie Pentru a putea fi folosită icircn pag 3

prelucrarea măsurătorilor geodezice suprafaţa elipsoidului de rotaţie adoptat trebuie să icircndeplinească următoarele condiţii

- să se determine dimensiunile elipsoidului de rotaţie care este cel mai apropiat de Geoid

- să se aşeze corect elipsoidul de rotaţie faţă de Geoid adică să se orienteze corect elipsoidul de rotaţie

Elipsoidul de rotaţie care icircndeplineşte condiţiile arătate a fost denumit elipsoid de referinţă iar toate măsurătorile geodezice se prelucrează şi se reprezintă icircn raport cu acest elipsoid

De-a lungul timpului au fost determinate diferite serii de valori ale dimensiunilor elipsoidului de referinţă date icircn tabelul de mai jos (tabelul 11)

Parametrii geometrici ai unor elipsoizi de rotaţie Tabelul nr 11

DenAnul

Determi-nării

SemiaxaTurtirea

Perioada de

utilizare icircn Romacircnia

Mare (m) Mică (m)

Bessel 1811 6377397115 6356079 12991 1873-1916Clarke 1880 6378243 6356515 12935 1916-1930

Helmert 1906 6378140 6356758 12983 1959-prezent

Hayford 1909 6378388 6356912 1297 1930-1952Krasovski 1940 6378245 6356863 12983 1952-

prezentSGR-1967(sist geod

de referinţă)

1967 6378160 6356774504 12982 -

WGS-72(sist geod mondial)

1972 6378135 6356750520 129826 -

SGR-1980 1980 6378137 6356752298 12983 -WGS-1984 1984 6378137 6356752314 12983 1992-

prezent

Elipsoidul de rotaţie poate fi bine definit prin minim doi parametri caracteristici dintre care unul trebuie să fie liniar

pag 4

Fig 13 Elipsoidul de referinţă

- semiaxa mare - diametrul ecuatorului - axa de rotaţie

- semiaxa mică - raza unui cerc mic - Raza meridianului (raza mică de curbură) - raza primului vertical (raza mare de curbură)

= turtirea

= excentricitatea liniară

- prima excentricitate

- a doua excentricitate

- raza de curbură polară

Diferitele poziţii ale elipsei icircn rotaţie se numesc elipse meridian sau simplu meridiane

Raza de curbură a elipsei meridian icircntr-un punct oarecare A se notează cu M Un plan perpendicular pe elipsa meridian icircntr-un punct A poartă numele de prim vertical (conţine verticala locului) şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă de rază N ndash raza de curbură a primului vertical Cercul mare (ecuatorial) este de rază a şi cercurile mici (paralele) sunt de rază r

pag 5

13 SISTEME DE COORDONATE PENTRU ELIPSOIDUL PĂMAcircNTESC UTILIZAT IcircN GEODEZIE

In Geodezie sunt folosite ca sisteme de referinţă sistemele globale de coordonate şi sisteme locale de coordonate

Din prima categorie fac parte sistemele de coordonate spaţial carteziene (rectangular rectiliniu) şi sisteme de coordonate geografice elipsoidice

131 SISTEME DE COORDONATE RECTANGULARE RECTILINII (OXYZ)Reprezintă un sistem general de coordonate cunoscut din matematică

Originea sistemului se consideră icircn centrul geometric al elipsoidului axa oz fiind dispusă după axa polilor

Fig 14 Sistemul de coordonate

Axa ox este pe direcţia liniei de intersecţie dintre planul ecuatorului şi planul meridianului origine (Greenwich) iar axa oy se află icircn planul ecuatorului şi este perpendiculară pe planul xoz Icircn acest mod poziţia unui punct P0 de pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este determinată prin cele trei coordonate

Dacă originea sistemului se află icircn centrul de masă al Pămacircntului iar este verticala locului coordonatele punctelor vor fi icircn sistem global cartezian ecuatorial denumit GEOCENTRIC (OXYZ) (fig 14)

132 SISTEME DE COORDONATE GEOGRAFICE ELIPSOIDICE (BLH)

pag 6

Este un sistem global de referinţă cu ajutorul căruia poziţia unui punct oarecare P0 este determinată icircn raport cu planul meridianului origine şi

planul ecuatorial (fig 14)B = latitudinea punctului P0 adică unghiul dintre normala P0O la suprafaţa elipsoidului de referinţă şi proiecţia ei icircn planul ecuatorului ia valori de la 0o la 90o şi poate fi nordică şi sudicăL = longitudinea punctului P0 adică unghiul diedru dintre planul meridianului origine Greenwich şi planul meridianului punctului P0 ia valori de la 0o la 180 şi poate fi estică sau vesticăH = icircnălţimea punctului P0 deasupra suprafeţei de referinţă dată de planul ecuatorului

Pentru elipsoidul pămacircntesc sistemul de coordonate geografice elipsoidice BLH prezintă o serie de avantaje foarte importante

- este un sistem unitar de coordonate pentru icircntreg elipsoidul şi permite o serie de simplificări icircn rezolvarea problemelor geodezice

- liniile de coordonate B = const şi L = const pe suprafaţa elipsoidului sunt chiar liniile cele mai simple şi importante adică meridiane şi paralele

- se defineşte cu ajutorul normalelor la suprafaţa elipsoidului de referinţă adoptat ceea ce este important pentru determinarea deviaţiilor verticalelor geoidului faţă de normalele corespunzătoare elipsoidice

Coordonatele geografice elipsoidale (BL) se deosebesc de coordonatele utilizate icircn astronomie deoarece acestea din urmă se referă la suprafaţa geoidului

133 SISTEME DE COORDONATE GEODEZICE POLARE

Fig 15 Sisteme de coordonate geodezice polare

pag 7

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 situat pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă se cunosc valorile unghiului şi a distanţei s şi originea O

- linia geodezică de la punctul P0 la un punct origine O considerat pe meridianul origine (punctul O poate fi chiar pe ecuator)

- unghiul pe care icircl face linia geodezică OP0 cu meridianul origine

134 SISTEMUL COORDONATELOR GEODEZICE RTOGONALE

Fig 16 Sistemul de coordonate geodezice ortogonale

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 aparţinacircnd suprafeţei elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă sunt cunoscute distanţele geodezice u şi v

- distanţa geodezică ce se măsoară pe meridianul arbitrar ales

de la punctul de origine O pacircnă la punctul Punctul de pe meridian este

chiar piciorul perpendicularei duse din P0 pe meridian

- linia geodezică determinată de normala la meridianul ales

Punctul O poate fi situat şi icircn planul ecuatorului

14 PARAMETRII ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂSuprafaţa elipsoidului pămacircntesc poate fi aproximată cu suprafaţa unui

elipsoid de rotaţie rezultat din rotirea unei elipse icircn jurul unei axe miciConsideracircnd această elipsă ca fiind elipsa meridiană terestră se va

reprezenta raportată la un sistem de axe de coordonate carteziene xoz icircn care axa oz coincide cu axa polilor şi axa ox este icircn planul ecuatorial

pag 8

Fig 17 Elipsa meridian

Ecuaţia elipsei meridian icircn sistemul de coordonate carteziene xoz este

(11)

a ndash semiaxa mare ecuatorială a elipsoiduluib ndash semiaxa mică polară a elipsoiduluiElipsoidul de referinţă este caracterizat de cele două excentricităţi

- prima excentricitate (12)

- a doua excentricitate (13)

Introducacircnd excentricitatea elipsei meridian (prima excentricitate) icircn ecuaţia elipsei se va obţine

(14)

(15)

Icircn această formă a ecuaţiei parametrii care o determină sunt a şi e faţă de a şi b icircn prima formă

Analog se poate introduce şi expresia excentricităţii a doua icircn ecuaţia elipsei

Un alt parametru important al elipsoidului de referinţă este turtirea

(16)

Icircntre parametrii de bază ai elipsoidului de referinţă se pot stabili o serie de relaţii de legătură

pag 9

a) Relaţii de legătură icircntre cele două excentricităţi

sau (17)

sau (18)

adică (19)

Din expresia se poate determina excentricitatea a doua

funcţie de prima excentricitate

sau (110)

b) icircntre prima excentricitate şi turtirea se poate scrie

sau sau (111)

dar sau

(112)Deoarece este mic ridicat la pătrat va fi şi mai mic adică tinde spre zero

sau (113)

Pentru elipsoidul Krasovski utilizat la noi icircn ţară ca elipsoid de referinţă plecacircnd de la valorile parametrilor trecuţi icircn tabelul nr 1 pot fi determinate valorile aproximative pentru cele două excentricităţi şi pentru raza de curbură

polară

(114)

(115)

(116)Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski care se

icircntrebuinţează icircn calcule de precizie sunt următoarele

pag 10

(117)

15 ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMAcircNTESC

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături icircntre coordonatele unui punct de pe elipsoid icircn unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig 18)

Fig 18 Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice)

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie icircn raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz pe reprezentare identificacircndu-se următoarele elemente

- diametrul cercului ecuatorial- meridianul origine

- normala la elipsoid icircn punctul M0Tp ndash tangenta icircn M0 la paralela punctului M0Tm ndash tangenta icircn M0 la curba meridiană

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 2: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

11 GENERALITĂŢIGeodezia elipsoidală este acea parte din geodezie care se ocupă cu

studiul suprafeţei elipsoidale de rotaţie de referinţă a suprafeţei fizice a Pămacircntului precum şi cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor suprafeţei matematice curbe a Pămacircntului

Pentru icircndeplinirea obiectivelor sale Geodezia elipsoidală are stracircnse legături cu Astronomia geodezică şi cu Gravimetria geodezică Pe baza prelucrării ştiinţifice a unor rezultate din măsurătorile geodezice combinate cu măsurători astronomo-geodezice şi gravimetrice se poate studia icircn mod riguros şi detaliat forma matematică a suprafeţei curbe a Pămacircntului

Pentru suprafaţa curbă a globului terestru Listing introduce icircn 1873 noţiunea de GEOID

Din punct de vedere practic Geoidul este reprezentat de suprafaţa de echilibru a nivelului mediu al oceanelor şi mărilor prelungită pe sub uscat (continente insule)

Toate măsurătorile geodezice efectuate pe suprafaţa fizică topografică a Pămacircntului (care este considerată ca fiind suprafaţa de contact icircntre uscat şi atmosferă sau icircntre uscat şi apă) trebuia să se reducă la suprafaţa geoidului

Icircn cazul măsurătorilor geodezice curente (trilateraţii triangulaţii poligonometrie) geoidul se poate aproxima cu un elipsoid de rotaţie turtit la poli avacircnd semiaxa mare (ecuatorială) de circa 6380 km De asemenea pentru lucrări geodezice de precizie mai mică suprafaţa geoidului se va putea aproxima şi cu suprafaţa unei sfere de rază medie egală cu 6370 km

Prin intermediul metodelor geodeziei elipsoidale se determină icircn mod precis coordonatele unei reţele de puncte de pe suprafaţa Pămacircntului puncte de bază de ordinul I cu ajutorul cărora se determină ulterior punctele de ordinul II-IV necesare obţinerii reprezentărilor grafice pe suprafeţe foarte mari

12 GEOIDUL ŞI ELIPSOIDUL DE REFERINŢĂDin punct de vedere geometric Geoidul reprezintă o suprafaţă de nivel

care este icircn fiecare punct al său normală la direcţia verticalei locului dată de vectorul forţei de greutate indicată de firul cu plumb

Deoarece direcţiile verticalelor depind de atracţia maselor dispuse neregulat icircn interiorul globului terestru forma suprafeţei geometrice a Geoidului este foarte complicată De aceea ea nu poate fi considerată ca o suprafaţă matematică pe care să se execute diferite calcule pentru rezolvarea problemelor geodezice

pag 2

Fig 11 Suprafeţe de referinţă

1 ndash Suprafaţa topografică2 ndash Suprafaţa Geoidului3 ndash Suprafaţa elipsoidului de referinţă

Din această cauză a trebuit adoptată o altă suprafaţă matematică mai simplă pe care să se rezolve problemele geodezice şi anume suprafaţa elipsoidului de rotaţie cu o turtire mică rezultat prin rotirea unei elipse icircn jurul axe mici

Fig 12 Secţiune prin elipsoidul de referinţă

Pentru verificarea concepţiei privind turtirea elipsoidului la poli au fost efectuate măsurători ale arcului de meridian de 1o la ecuator şi la poli (fig 12) măsurători care au verificat această concepţie Pentru a putea fi folosită icircn pag 3

prelucrarea măsurătorilor geodezice suprafaţa elipsoidului de rotaţie adoptat trebuie să icircndeplinească următoarele condiţii

- să se determine dimensiunile elipsoidului de rotaţie care este cel mai apropiat de Geoid

- să se aşeze corect elipsoidul de rotaţie faţă de Geoid adică să se orienteze corect elipsoidul de rotaţie

Elipsoidul de rotaţie care icircndeplineşte condiţiile arătate a fost denumit elipsoid de referinţă iar toate măsurătorile geodezice se prelucrează şi se reprezintă icircn raport cu acest elipsoid

De-a lungul timpului au fost determinate diferite serii de valori ale dimensiunilor elipsoidului de referinţă date icircn tabelul de mai jos (tabelul 11)

Parametrii geometrici ai unor elipsoizi de rotaţie Tabelul nr 11

DenAnul

Determi-nării

SemiaxaTurtirea

Perioada de

utilizare icircn Romacircnia

Mare (m) Mică (m)

Bessel 1811 6377397115 6356079 12991 1873-1916Clarke 1880 6378243 6356515 12935 1916-1930

Helmert 1906 6378140 6356758 12983 1959-prezent

Hayford 1909 6378388 6356912 1297 1930-1952Krasovski 1940 6378245 6356863 12983 1952-

prezentSGR-1967(sist geod

de referinţă)

1967 6378160 6356774504 12982 -

WGS-72(sist geod mondial)

1972 6378135 6356750520 129826 -

SGR-1980 1980 6378137 6356752298 12983 -WGS-1984 1984 6378137 6356752314 12983 1992-

prezent

Elipsoidul de rotaţie poate fi bine definit prin minim doi parametri caracteristici dintre care unul trebuie să fie liniar

pag 4

Fig 13 Elipsoidul de referinţă

- semiaxa mare - diametrul ecuatorului - axa de rotaţie

- semiaxa mică - raza unui cerc mic - Raza meridianului (raza mică de curbură) - raza primului vertical (raza mare de curbură)

= turtirea

= excentricitatea liniară

- prima excentricitate

- a doua excentricitate

- raza de curbură polară

Diferitele poziţii ale elipsei icircn rotaţie se numesc elipse meridian sau simplu meridiane

Raza de curbură a elipsei meridian icircntr-un punct oarecare A se notează cu M Un plan perpendicular pe elipsa meridian icircntr-un punct A poartă numele de prim vertical (conţine verticala locului) şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă de rază N ndash raza de curbură a primului vertical Cercul mare (ecuatorial) este de rază a şi cercurile mici (paralele) sunt de rază r

pag 5

13 SISTEME DE COORDONATE PENTRU ELIPSOIDUL PĂMAcircNTESC UTILIZAT IcircN GEODEZIE

In Geodezie sunt folosite ca sisteme de referinţă sistemele globale de coordonate şi sisteme locale de coordonate

Din prima categorie fac parte sistemele de coordonate spaţial carteziene (rectangular rectiliniu) şi sisteme de coordonate geografice elipsoidice

131 SISTEME DE COORDONATE RECTANGULARE RECTILINII (OXYZ)Reprezintă un sistem general de coordonate cunoscut din matematică

Originea sistemului se consideră icircn centrul geometric al elipsoidului axa oz fiind dispusă după axa polilor

Fig 14 Sistemul de coordonate

Axa ox este pe direcţia liniei de intersecţie dintre planul ecuatorului şi planul meridianului origine (Greenwich) iar axa oy se află icircn planul ecuatorului şi este perpendiculară pe planul xoz Icircn acest mod poziţia unui punct P0 de pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este determinată prin cele trei coordonate

Dacă originea sistemului se află icircn centrul de masă al Pămacircntului iar este verticala locului coordonatele punctelor vor fi icircn sistem global cartezian ecuatorial denumit GEOCENTRIC (OXYZ) (fig 14)

132 SISTEME DE COORDONATE GEOGRAFICE ELIPSOIDICE (BLH)

pag 6

Este un sistem global de referinţă cu ajutorul căruia poziţia unui punct oarecare P0 este determinată icircn raport cu planul meridianului origine şi

planul ecuatorial (fig 14)B = latitudinea punctului P0 adică unghiul dintre normala P0O la suprafaţa elipsoidului de referinţă şi proiecţia ei icircn planul ecuatorului ia valori de la 0o la 90o şi poate fi nordică şi sudicăL = longitudinea punctului P0 adică unghiul diedru dintre planul meridianului origine Greenwich şi planul meridianului punctului P0 ia valori de la 0o la 180 şi poate fi estică sau vesticăH = icircnălţimea punctului P0 deasupra suprafeţei de referinţă dată de planul ecuatorului

Pentru elipsoidul pămacircntesc sistemul de coordonate geografice elipsoidice BLH prezintă o serie de avantaje foarte importante

- este un sistem unitar de coordonate pentru icircntreg elipsoidul şi permite o serie de simplificări icircn rezolvarea problemelor geodezice

- liniile de coordonate B = const şi L = const pe suprafaţa elipsoidului sunt chiar liniile cele mai simple şi importante adică meridiane şi paralele

- se defineşte cu ajutorul normalelor la suprafaţa elipsoidului de referinţă adoptat ceea ce este important pentru determinarea deviaţiilor verticalelor geoidului faţă de normalele corespunzătoare elipsoidice

Coordonatele geografice elipsoidale (BL) se deosebesc de coordonatele utilizate icircn astronomie deoarece acestea din urmă se referă la suprafaţa geoidului

133 SISTEME DE COORDONATE GEODEZICE POLARE

Fig 15 Sisteme de coordonate geodezice polare

pag 7

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 situat pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă se cunosc valorile unghiului şi a distanţei s şi originea O

- linia geodezică de la punctul P0 la un punct origine O considerat pe meridianul origine (punctul O poate fi chiar pe ecuator)

- unghiul pe care icircl face linia geodezică OP0 cu meridianul origine

134 SISTEMUL COORDONATELOR GEODEZICE RTOGONALE

Fig 16 Sistemul de coordonate geodezice ortogonale

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 aparţinacircnd suprafeţei elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă sunt cunoscute distanţele geodezice u şi v

- distanţa geodezică ce se măsoară pe meridianul arbitrar ales

de la punctul de origine O pacircnă la punctul Punctul de pe meridian este

chiar piciorul perpendicularei duse din P0 pe meridian

- linia geodezică determinată de normala la meridianul ales

Punctul O poate fi situat şi icircn planul ecuatorului

14 PARAMETRII ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂSuprafaţa elipsoidului pămacircntesc poate fi aproximată cu suprafaţa unui

elipsoid de rotaţie rezultat din rotirea unei elipse icircn jurul unei axe miciConsideracircnd această elipsă ca fiind elipsa meridiană terestră se va

reprezenta raportată la un sistem de axe de coordonate carteziene xoz icircn care axa oz coincide cu axa polilor şi axa ox este icircn planul ecuatorial

pag 8

Fig 17 Elipsa meridian

Ecuaţia elipsei meridian icircn sistemul de coordonate carteziene xoz este

(11)

a ndash semiaxa mare ecuatorială a elipsoiduluib ndash semiaxa mică polară a elipsoiduluiElipsoidul de referinţă este caracterizat de cele două excentricităţi

- prima excentricitate (12)

- a doua excentricitate (13)

Introducacircnd excentricitatea elipsei meridian (prima excentricitate) icircn ecuaţia elipsei se va obţine

(14)

(15)

Icircn această formă a ecuaţiei parametrii care o determină sunt a şi e faţă de a şi b icircn prima formă

Analog se poate introduce şi expresia excentricităţii a doua icircn ecuaţia elipsei

Un alt parametru important al elipsoidului de referinţă este turtirea

(16)

Icircntre parametrii de bază ai elipsoidului de referinţă se pot stabili o serie de relaţii de legătură

pag 9

a) Relaţii de legătură icircntre cele două excentricităţi

sau (17)

sau (18)

adică (19)

Din expresia se poate determina excentricitatea a doua

funcţie de prima excentricitate

sau (110)

b) icircntre prima excentricitate şi turtirea se poate scrie

sau sau (111)

dar sau

(112)Deoarece este mic ridicat la pătrat va fi şi mai mic adică tinde spre zero

sau (113)

Pentru elipsoidul Krasovski utilizat la noi icircn ţară ca elipsoid de referinţă plecacircnd de la valorile parametrilor trecuţi icircn tabelul nr 1 pot fi determinate valorile aproximative pentru cele două excentricităţi şi pentru raza de curbură

polară

(114)

(115)

(116)Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski care se

icircntrebuinţează icircn calcule de precizie sunt următoarele

pag 10

(117)

15 ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMAcircNTESC

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături icircntre coordonatele unui punct de pe elipsoid icircn unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig 18)

Fig 18 Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice)

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie icircn raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz pe reprezentare identificacircndu-se următoarele elemente

- diametrul cercului ecuatorial- meridianul origine

- normala la elipsoid icircn punctul M0Tp ndash tangenta icircn M0 la paralela punctului M0Tm ndash tangenta icircn M0 la curba meridiană

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 3: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Fig 11 Suprafeţe de referinţă

1 ndash Suprafaţa topografică2 ndash Suprafaţa Geoidului3 ndash Suprafaţa elipsoidului de referinţă

Din această cauză a trebuit adoptată o altă suprafaţă matematică mai simplă pe care să se rezolve problemele geodezice şi anume suprafaţa elipsoidului de rotaţie cu o turtire mică rezultat prin rotirea unei elipse icircn jurul axe mici

Fig 12 Secţiune prin elipsoidul de referinţă

Pentru verificarea concepţiei privind turtirea elipsoidului la poli au fost efectuate măsurători ale arcului de meridian de 1o la ecuator şi la poli (fig 12) măsurători care au verificat această concepţie Pentru a putea fi folosită icircn pag 3

prelucrarea măsurătorilor geodezice suprafaţa elipsoidului de rotaţie adoptat trebuie să icircndeplinească următoarele condiţii

- să se determine dimensiunile elipsoidului de rotaţie care este cel mai apropiat de Geoid

- să se aşeze corect elipsoidul de rotaţie faţă de Geoid adică să se orienteze corect elipsoidul de rotaţie

Elipsoidul de rotaţie care icircndeplineşte condiţiile arătate a fost denumit elipsoid de referinţă iar toate măsurătorile geodezice se prelucrează şi se reprezintă icircn raport cu acest elipsoid

De-a lungul timpului au fost determinate diferite serii de valori ale dimensiunilor elipsoidului de referinţă date icircn tabelul de mai jos (tabelul 11)

Parametrii geometrici ai unor elipsoizi de rotaţie Tabelul nr 11

DenAnul

Determi-nării

SemiaxaTurtirea

Perioada de

utilizare icircn Romacircnia

Mare (m) Mică (m)

Bessel 1811 6377397115 6356079 12991 1873-1916Clarke 1880 6378243 6356515 12935 1916-1930

Helmert 1906 6378140 6356758 12983 1959-prezent

Hayford 1909 6378388 6356912 1297 1930-1952Krasovski 1940 6378245 6356863 12983 1952-

prezentSGR-1967(sist geod

de referinţă)

1967 6378160 6356774504 12982 -

WGS-72(sist geod mondial)

1972 6378135 6356750520 129826 -

SGR-1980 1980 6378137 6356752298 12983 -WGS-1984 1984 6378137 6356752314 12983 1992-

prezent

Elipsoidul de rotaţie poate fi bine definit prin minim doi parametri caracteristici dintre care unul trebuie să fie liniar

pag 4

Fig 13 Elipsoidul de referinţă

- semiaxa mare - diametrul ecuatorului - axa de rotaţie

- semiaxa mică - raza unui cerc mic - Raza meridianului (raza mică de curbură) - raza primului vertical (raza mare de curbură)

= turtirea

= excentricitatea liniară

- prima excentricitate

- a doua excentricitate

- raza de curbură polară

Diferitele poziţii ale elipsei icircn rotaţie se numesc elipse meridian sau simplu meridiane

Raza de curbură a elipsei meridian icircntr-un punct oarecare A se notează cu M Un plan perpendicular pe elipsa meridian icircntr-un punct A poartă numele de prim vertical (conţine verticala locului) şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă de rază N ndash raza de curbură a primului vertical Cercul mare (ecuatorial) este de rază a şi cercurile mici (paralele) sunt de rază r

pag 5

13 SISTEME DE COORDONATE PENTRU ELIPSOIDUL PĂMAcircNTESC UTILIZAT IcircN GEODEZIE

In Geodezie sunt folosite ca sisteme de referinţă sistemele globale de coordonate şi sisteme locale de coordonate

Din prima categorie fac parte sistemele de coordonate spaţial carteziene (rectangular rectiliniu) şi sisteme de coordonate geografice elipsoidice

131 SISTEME DE COORDONATE RECTANGULARE RECTILINII (OXYZ)Reprezintă un sistem general de coordonate cunoscut din matematică

Originea sistemului se consideră icircn centrul geometric al elipsoidului axa oz fiind dispusă după axa polilor

Fig 14 Sistemul de coordonate

Axa ox este pe direcţia liniei de intersecţie dintre planul ecuatorului şi planul meridianului origine (Greenwich) iar axa oy se află icircn planul ecuatorului şi este perpendiculară pe planul xoz Icircn acest mod poziţia unui punct P0 de pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este determinată prin cele trei coordonate

Dacă originea sistemului se află icircn centrul de masă al Pămacircntului iar este verticala locului coordonatele punctelor vor fi icircn sistem global cartezian ecuatorial denumit GEOCENTRIC (OXYZ) (fig 14)

132 SISTEME DE COORDONATE GEOGRAFICE ELIPSOIDICE (BLH)

pag 6

Este un sistem global de referinţă cu ajutorul căruia poziţia unui punct oarecare P0 este determinată icircn raport cu planul meridianului origine şi

planul ecuatorial (fig 14)B = latitudinea punctului P0 adică unghiul dintre normala P0O la suprafaţa elipsoidului de referinţă şi proiecţia ei icircn planul ecuatorului ia valori de la 0o la 90o şi poate fi nordică şi sudicăL = longitudinea punctului P0 adică unghiul diedru dintre planul meridianului origine Greenwich şi planul meridianului punctului P0 ia valori de la 0o la 180 şi poate fi estică sau vesticăH = icircnălţimea punctului P0 deasupra suprafeţei de referinţă dată de planul ecuatorului

Pentru elipsoidul pămacircntesc sistemul de coordonate geografice elipsoidice BLH prezintă o serie de avantaje foarte importante

- este un sistem unitar de coordonate pentru icircntreg elipsoidul şi permite o serie de simplificări icircn rezolvarea problemelor geodezice

- liniile de coordonate B = const şi L = const pe suprafaţa elipsoidului sunt chiar liniile cele mai simple şi importante adică meridiane şi paralele

- se defineşte cu ajutorul normalelor la suprafaţa elipsoidului de referinţă adoptat ceea ce este important pentru determinarea deviaţiilor verticalelor geoidului faţă de normalele corespunzătoare elipsoidice

Coordonatele geografice elipsoidale (BL) se deosebesc de coordonatele utilizate icircn astronomie deoarece acestea din urmă se referă la suprafaţa geoidului

133 SISTEME DE COORDONATE GEODEZICE POLARE

Fig 15 Sisteme de coordonate geodezice polare

pag 7

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 situat pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă se cunosc valorile unghiului şi a distanţei s şi originea O

- linia geodezică de la punctul P0 la un punct origine O considerat pe meridianul origine (punctul O poate fi chiar pe ecuator)

- unghiul pe care icircl face linia geodezică OP0 cu meridianul origine

134 SISTEMUL COORDONATELOR GEODEZICE RTOGONALE

Fig 16 Sistemul de coordonate geodezice ortogonale

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 aparţinacircnd suprafeţei elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă sunt cunoscute distanţele geodezice u şi v

- distanţa geodezică ce se măsoară pe meridianul arbitrar ales

de la punctul de origine O pacircnă la punctul Punctul de pe meridian este

chiar piciorul perpendicularei duse din P0 pe meridian

- linia geodezică determinată de normala la meridianul ales

Punctul O poate fi situat şi icircn planul ecuatorului

14 PARAMETRII ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂSuprafaţa elipsoidului pămacircntesc poate fi aproximată cu suprafaţa unui

elipsoid de rotaţie rezultat din rotirea unei elipse icircn jurul unei axe miciConsideracircnd această elipsă ca fiind elipsa meridiană terestră se va

reprezenta raportată la un sistem de axe de coordonate carteziene xoz icircn care axa oz coincide cu axa polilor şi axa ox este icircn planul ecuatorial

pag 8

Fig 17 Elipsa meridian

Ecuaţia elipsei meridian icircn sistemul de coordonate carteziene xoz este

(11)

a ndash semiaxa mare ecuatorială a elipsoiduluib ndash semiaxa mică polară a elipsoiduluiElipsoidul de referinţă este caracterizat de cele două excentricităţi

- prima excentricitate (12)

- a doua excentricitate (13)

Introducacircnd excentricitatea elipsei meridian (prima excentricitate) icircn ecuaţia elipsei se va obţine

(14)

(15)

Icircn această formă a ecuaţiei parametrii care o determină sunt a şi e faţă de a şi b icircn prima formă

Analog se poate introduce şi expresia excentricităţii a doua icircn ecuaţia elipsei

Un alt parametru important al elipsoidului de referinţă este turtirea

(16)

Icircntre parametrii de bază ai elipsoidului de referinţă se pot stabili o serie de relaţii de legătură

pag 9

a) Relaţii de legătură icircntre cele două excentricităţi

sau (17)

sau (18)

adică (19)

Din expresia se poate determina excentricitatea a doua

funcţie de prima excentricitate

sau (110)

b) icircntre prima excentricitate şi turtirea se poate scrie

sau sau (111)

dar sau

(112)Deoarece este mic ridicat la pătrat va fi şi mai mic adică tinde spre zero

sau (113)

Pentru elipsoidul Krasovski utilizat la noi icircn ţară ca elipsoid de referinţă plecacircnd de la valorile parametrilor trecuţi icircn tabelul nr 1 pot fi determinate valorile aproximative pentru cele două excentricităţi şi pentru raza de curbură

polară

(114)

(115)

(116)Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski care se

icircntrebuinţează icircn calcule de precizie sunt următoarele

pag 10

(117)

15 ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMAcircNTESC

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături icircntre coordonatele unui punct de pe elipsoid icircn unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig 18)

Fig 18 Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice)

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie icircn raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz pe reprezentare identificacircndu-se următoarele elemente

- diametrul cercului ecuatorial- meridianul origine

- normala la elipsoid icircn punctul M0Tp ndash tangenta icircn M0 la paralela punctului M0Tm ndash tangenta icircn M0 la curba meridiană

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 4: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

prelucrarea măsurătorilor geodezice suprafaţa elipsoidului de rotaţie adoptat trebuie să icircndeplinească următoarele condiţii

- să se determine dimensiunile elipsoidului de rotaţie care este cel mai apropiat de Geoid

- să se aşeze corect elipsoidul de rotaţie faţă de Geoid adică să se orienteze corect elipsoidul de rotaţie

Elipsoidul de rotaţie care icircndeplineşte condiţiile arătate a fost denumit elipsoid de referinţă iar toate măsurătorile geodezice se prelucrează şi se reprezintă icircn raport cu acest elipsoid

De-a lungul timpului au fost determinate diferite serii de valori ale dimensiunilor elipsoidului de referinţă date icircn tabelul de mai jos (tabelul 11)

Parametrii geometrici ai unor elipsoizi de rotaţie Tabelul nr 11

DenAnul

Determi-nării

SemiaxaTurtirea

Perioada de

utilizare icircn Romacircnia

Mare (m) Mică (m)

Bessel 1811 6377397115 6356079 12991 1873-1916Clarke 1880 6378243 6356515 12935 1916-1930

Helmert 1906 6378140 6356758 12983 1959-prezent

Hayford 1909 6378388 6356912 1297 1930-1952Krasovski 1940 6378245 6356863 12983 1952-

prezentSGR-1967(sist geod

de referinţă)

1967 6378160 6356774504 12982 -

WGS-72(sist geod mondial)

1972 6378135 6356750520 129826 -

SGR-1980 1980 6378137 6356752298 12983 -WGS-1984 1984 6378137 6356752314 12983 1992-

prezent

Elipsoidul de rotaţie poate fi bine definit prin minim doi parametri caracteristici dintre care unul trebuie să fie liniar

pag 4

Fig 13 Elipsoidul de referinţă

- semiaxa mare - diametrul ecuatorului - axa de rotaţie

- semiaxa mică - raza unui cerc mic - Raza meridianului (raza mică de curbură) - raza primului vertical (raza mare de curbură)

= turtirea

= excentricitatea liniară

- prima excentricitate

- a doua excentricitate

- raza de curbură polară

Diferitele poziţii ale elipsei icircn rotaţie se numesc elipse meridian sau simplu meridiane

Raza de curbură a elipsei meridian icircntr-un punct oarecare A se notează cu M Un plan perpendicular pe elipsa meridian icircntr-un punct A poartă numele de prim vertical (conţine verticala locului) şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă de rază N ndash raza de curbură a primului vertical Cercul mare (ecuatorial) este de rază a şi cercurile mici (paralele) sunt de rază r

pag 5

13 SISTEME DE COORDONATE PENTRU ELIPSOIDUL PĂMAcircNTESC UTILIZAT IcircN GEODEZIE

In Geodezie sunt folosite ca sisteme de referinţă sistemele globale de coordonate şi sisteme locale de coordonate

Din prima categorie fac parte sistemele de coordonate spaţial carteziene (rectangular rectiliniu) şi sisteme de coordonate geografice elipsoidice

131 SISTEME DE COORDONATE RECTANGULARE RECTILINII (OXYZ)Reprezintă un sistem general de coordonate cunoscut din matematică

Originea sistemului se consideră icircn centrul geometric al elipsoidului axa oz fiind dispusă după axa polilor

Fig 14 Sistemul de coordonate

Axa ox este pe direcţia liniei de intersecţie dintre planul ecuatorului şi planul meridianului origine (Greenwich) iar axa oy se află icircn planul ecuatorului şi este perpendiculară pe planul xoz Icircn acest mod poziţia unui punct P0 de pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este determinată prin cele trei coordonate

Dacă originea sistemului se află icircn centrul de masă al Pămacircntului iar este verticala locului coordonatele punctelor vor fi icircn sistem global cartezian ecuatorial denumit GEOCENTRIC (OXYZ) (fig 14)

132 SISTEME DE COORDONATE GEOGRAFICE ELIPSOIDICE (BLH)

pag 6

Este un sistem global de referinţă cu ajutorul căruia poziţia unui punct oarecare P0 este determinată icircn raport cu planul meridianului origine şi

planul ecuatorial (fig 14)B = latitudinea punctului P0 adică unghiul dintre normala P0O la suprafaţa elipsoidului de referinţă şi proiecţia ei icircn planul ecuatorului ia valori de la 0o la 90o şi poate fi nordică şi sudicăL = longitudinea punctului P0 adică unghiul diedru dintre planul meridianului origine Greenwich şi planul meridianului punctului P0 ia valori de la 0o la 180 şi poate fi estică sau vesticăH = icircnălţimea punctului P0 deasupra suprafeţei de referinţă dată de planul ecuatorului

Pentru elipsoidul pămacircntesc sistemul de coordonate geografice elipsoidice BLH prezintă o serie de avantaje foarte importante

- este un sistem unitar de coordonate pentru icircntreg elipsoidul şi permite o serie de simplificări icircn rezolvarea problemelor geodezice

- liniile de coordonate B = const şi L = const pe suprafaţa elipsoidului sunt chiar liniile cele mai simple şi importante adică meridiane şi paralele

- se defineşte cu ajutorul normalelor la suprafaţa elipsoidului de referinţă adoptat ceea ce este important pentru determinarea deviaţiilor verticalelor geoidului faţă de normalele corespunzătoare elipsoidice

Coordonatele geografice elipsoidale (BL) se deosebesc de coordonatele utilizate icircn astronomie deoarece acestea din urmă se referă la suprafaţa geoidului

133 SISTEME DE COORDONATE GEODEZICE POLARE

Fig 15 Sisteme de coordonate geodezice polare

pag 7

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 situat pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă se cunosc valorile unghiului şi a distanţei s şi originea O

- linia geodezică de la punctul P0 la un punct origine O considerat pe meridianul origine (punctul O poate fi chiar pe ecuator)

- unghiul pe care icircl face linia geodezică OP0 cu meridianul origine

134 SISTEMUL COORDONATELOR GEODEZICE RTOGONALE

Fig 16 Sistemul de coordonate geodezice ortogonale

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 aparţinacircnd suprafeţei elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă sunt cunoscute distanţele geodezice u şi v

- distanţa geodezică ce se măsoară pe meridianul arbitrar ales

de la punctul de origine O pacircnă la punctul Punctul de pe meridian este

chiar piciorul perpendicularei duse din P0 pe meridian

- linia geodezică determinată de normala la meridianul ales

Punctul O poate fi situat şi icircn planul ecuatorului

14 PARAMETRII ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂSuprafaţa elipsoidului pămacircntesc poate fi aproximată cu suprafaţa unui

elipsoid de rotaţie rezultat din rotirea unei elipse icircn jurul unei axe miciConsideracircnd această elipsă ca fiind elipsa meridiană terestră se va

reprezenta raportată la un sistem de axe de coordonate carteziene xoz icircn care axa oz coincide cu axa polilor şi axa ox este icircn planul ecuatorial

pag 8

Fig 17 Elipsa meridian

Ecuaţia elipsei meridian icircn sistemul de coordonate carteziene xoz este

(11)

a ndash semiaxa mare ecuatorială a elipsoiduluib ndash semiaxa mică polară a elipsoiduluiElipsoidul de referinţă este caracterizat de cele două excentricităţi

- prima excentricitate (12)

- a doua excentricitate (13)

Introducacircnd excentricitatea elipsei meridian (prima excentricitate) icircn ecuaţia elipsei se va obţine

(14)

(15)

Icircn această formă a ecuaţiei parametrii care o determină sunt a şi e faţă de a şi b icircn prima formă

Analog se poate introduce şi expresia excentricităţii a doua icircn ecuaţia elipsei

Un alt parametru important al elipsoidului de referinţă este turtirea

(16)

Icircntre parametrii de bază ai elipsoidului de referinţă se pot stabili o serie de relaţii de legătură

pag 9

a) Relaţii de legătură icircntre cele două excentricităţi

sau (17)

sau (18)

adică (19)

Din expresia se poate determina excentricitatea a doua

funcţie de prima excentricitate

sau (110)

b) icircntre prima excentricitate şi turtirea se poate scrie

sau sau (111)

dar sau

(112)Deoarece este mic ridicat la pătrat va fi şi mai mic adică tinde spre zero

sau (113)

Pentru elipsoidul Krasovski utilizat la noi icircn ţară ca elipsoid de referinţă plecacircnd de la valorile parametrilor trecuţi icircn tabelul nr 1 pot fi determinate valorile aproximative pentru cele două excentricităţi şi pentru raza de curbură

polară

(114)

(115)

(116)Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski care se

icircntrebuinţează icircn calcule de precizie sunt următoarele

pag 10

(117)

15 ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMAcircNTESC

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături icircntre coordonatele unui punct de pe elipsoid icircn unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig 18)

Fig 18 Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice)

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie icircn raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz pe reprezentare identificacircndu-se următoarele elemente

- diametrul cercului ecuatorial- meridianul origine

- normala la elipsoid icircn punctul M0Tp ndash tangenta icircn M0 la paralela punctului M0Tm ndash tangenta icircn M0 la curba meridiană

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 5: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Fig 13 Elipsoidul de referinţă

- semiaxa mare - diametrul ecuatorului - axa de rotaţie

- semiaxa mică - raza unui cerc mic - Raza meridianului (raza mică de curbură) - raza primului vertical (raza mare de curbură)

= turtirea

= excentricitatea liniară

- prima excentricitate

- a doua excentricitate

- raza de curbură polară

Diferitele poziţii ale elipsei icircn rotaţie se numesc elipse meridian sau simplu meridiane

Raza de curbură a elipsei meridian icircntr-un punct oarecare A se notează cu M Un plan perpendicular pe elipsa meridian icircntr-un punct A poartă numele de prim vertical (conţine verticala locului) şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă de rază N ndash raza de curbură a primului vertical Cercul mare (ecuatorial) este de rază a şi cercurile mici (paralele) sunt de rază r

pag 5

13 SISTEME DE COORDONATE PENTRU ELIPSOIDUL PĂMAcircNTESC UTILIZAT IcircN GEODEZIE

In Geodezie sunt folosite ca sisteme de referinţă sistemele globale de coordonate şi sisteme locale de coordonate

Din prima categorie fac parte sistemele de coordonate spaţial carteziene (rectangular rectiliniu) şi sisteme de coordonate geografice elipsoidice

131 SISTEME DE COORDONATE RECTANGULARE RECTILINII (OXYZ)Reprezintă un sistem general de coordonate cunoscut din matematică

Originea sistemului se consideră icircn centrul geometric al elipsoidului axa oz fiind dispusă după axa polilor

Fig 14 Sistemul de coordonate

Axa ox este pe direcţia liniei de intersecţie dintre planul ecuatorului şi planul meridianului origine (Greenwich) iar axa oy se află icircn planul ecuatorului şi este perpendiculară pe planul xoz Icircn acest mod poziţia unui punct P0 de pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este determinată prin cele trei coordonate

Dacă originea sistemului se află icircn centrul de masă al Pămacircntului iar este verticala locului coordonatele punctelor vor fi icircn sistem global cartezian ecuatorial denumit GEOCENTRIC (OXYZ) (fig 14)

132 SISTEME DE COORDONATE GEOGRAFICE ELIPSOIDICE (BLH)

pag 6

Este un sistem global de referinţă cu ajutorul căruia poziţia unui punct oarecare P0 este determinată icircn raport cu planul meridianului origine şi

planul ecuatorial (fig 14)B = latitudinea punctului P0 adică unghiul dintre normala P0O la suprafaţa elipsoidului de referinţă şi proiecţia ei icircn planul ecuatorului ia valori de la 0o la 90o şi poate fi nordică şi sudicăL = longitudinea punctului P0 adică unghiul diedru dintre planul meridianului origine Greenwich şi planul meridianului punctului P0 ia valori de la 0o la 180 şi poate fi estică sau vesticăH = icircnălţimea punctului P0 deasupra suprafeţei de referinţă dată de planul ecuatorului

Pentru elipsoidul pămacircntesc sistemul de coordonate geografice elipsoidice BLH prezintă o serie de avantaje foarte importante

- este un sistem unitar de coordonate pentru icircntreg elipsoidul şi permite o serie de simplificări icircn rezolvarea problemelor geodezice

- liniile de coordonate B = const şi L = const pe suprafaţa elipsoidului sunt chiar liniile cele mai simple şi importante adică meridiane şi paralele

- se defineşte cu ajutorul normalelor la suprafaţa elipsoidului de referinţă adoptat ceea ce este important pentru determinarea deviaţiilor verticalelor geoidului faţă de normalele corespunzătoare elipsoidice

Coordonatele geografice elipsoidale (BL) se deosebesc de coordonatele utilizate icircn astronomie deoarece acestea din urmă se referă la suprafaţa geoidului

133 SISTEME DE COORDONATE GEODEZICE POLARE

Fig 15 Sisteme de coordonate geodezice polare

pag 7

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 situat pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă se cunosc valorile unghiului şi a distanţei s şi originea O

- linia geodezică de la punctul P0 la un punct origine O considerat pe meridianul origine (punctul O poate fi chiar pe ecuator)

- unghiul pe care icircl face linia geodezică OP0 cu meridianul origine

134 SISTEMUL COORDONATELOR GEODEZICE RTOGONALE

Fig 16 Sistemul de coordonate geodezice ortogonale

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 aparţinacircnd suprafeţei elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă sunt cunoscute distanţele geodezice u şi v

- distanţa geodezică ce se măsoară pe meridianul arbitrar ales

de la punctul de origine O pacircnă la punctul Punctul de pe meridian este

chiar piciorul perpendicularei duse din P0 pe meridian

- linia geodezică determinată de normala la meridianul ales

Punctul O poate fi situat şi icircn planul ecuatorului

14 PARAMETRII ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂSuprafaţa elipsoidului pămacircntesc poate fi aproximată cu suprafaţa unui

elipsoid de rotaţie rezultat din rotirea unei elipse icircn jurul unei axe miciConsideracircnd această elipsă ca fiind elipsa meridiană terestră se va

reprezenta raportată la un sistem de axe de coordonate carteziene xoz icircn care axa oz coincide cu axa polilor şi axa ox este icircn planul ecuatorial

pag 8

Fig 17 Elipsa meridian

Ecuaţia elipsei meridian icircn sistemul de coordonate carteziene xoz este

(11)

a ndash semiaxa mare ecuatorială a elipsoiduluib ndash semiaxa mică polară a elipsoiduluiElipsoidul de referinţă este caracterizat de cele două excentricităţi

- prima excentricitate (12)

- a doua excentricitate (13)

Introducacircnd excentricitatea elipsei meridian (prima excentricitate) icircn ecuaţia elipsei se va obţine

(14)

(15)

Icircn această formă a ecuaţiei parametrii care o determină sunt a şi e faţă de a şi b icircn prima formă

Analog se poate introduce şi expresia excentricităţii a doua icircn ecuaţia elipsei

Un alt parametru important al elipsoidului de referinţă este turtirea

(16)

Icircntre parametrii de bază ai elipsoidului de referinţă se pot stabili o serie de relaţii de legătură

pag 9

a) Relaţii de legătură icircntre cele două excentricităţi

sau (17)

sau (18)

adică (19)

Din expresia se poate determina excentricitatea a doua

funcţie de prima excentricitate

sau (110)

b) icircntre prima excentricitate şi turtirea se poate scrie

sau sau (111)

dar sau

(112)Deoarece este mic ridicat la pătrat va fi şi mai mic adică tinde spre zero

sau (113)

Pentru elipsoidul Krasovski utilizat la noi icircn ţară ca elipsoid de referinţă plecacircnd de la valorile parametrilor trecuţi icircn tabelul nr 1 pot fi determinate valorile aproximative pentru cele două excentricităţi şi pentru raza de curbură

polară

(114)

(115)

(116)Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski care se

icircntrebuinţează icircn calcule de precizie sunt următoarele

pag 10

(117)

15 ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMAcircNTESC

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături icircntre coordonatele unui punct de pe elipsoid icircn unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig 18)

Fig 18 Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice)

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie icircn raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz pe reprezentare identificacircndu-se următoarele elemente

- diametrul cercului ecuatorial- meridianul origine

- normala la elipsoid icircn punctul M0Tp ndash tangenta icircn M0 la paralela punctului M0Tm ndash tangenta icircn M0 la curba meridiană

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 6: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

13 SISTEME DE COORDONATE PENTRU ELIPSOIDUL PĂMAcircNTESC UTILIZAT IcircN GEODEZIE

In Geodezie sunt folosite ca sisteme de referinţă sistemele globale de coordonate şi sisteme locale de coordonate

Din prima categorie fac parte sistemele de coordonate spaţial carteziene (rectangular rectiliniu) şi sisteme de coordonate geografice elipsoidice

131 SISTEME DE COORDONATE RECTANGULARE RECTILINII (OXYZ)Reprezintă un sistem general de coordonate cunoscut din matematică

Originea sistemului se consideră icircn centrul geometric al elipsoidului axa oz fiind dispusă după axa polilor

Fig 14 Sistemul de coordonate

Axa ox este pe direcţia liniei de intersecţie dintre planul ecuatorului şi planul meridianului origine (Greenwich) iar axa oy se află icircn planul ecuatorului şi este perpendiculară pe planul xoz Icircn acest mod poziţia unui punct P0 de pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este determinată prin cele trei coordonate

Dacă originea sistemului se află icircn centrul de masă al Pămacircntului iar este verticala locului coordonatele punctelor vor fi icircn sistem global cartezian ecuatorial denumit GEOCENTRIC (OXYZ) (fig 14)

132 SISTEME DE COORDONATE GEOGRAFICE ELIPSOIDICE (BLH)

pag 6

Este un sistem global de referinţă cu ajutorul căruia poziţia unui punct oarecare P0 este determinată icircn raport cu planul meridianului origine şi

planul ecuatorial (fig 14)B = latitudinea punctului P0 adică unghiul dintre normala P0O la suprafaţa elipsoidului de referinţă şi proiecţia ei icircn planul ecuatorului ia valori de la 0o la 90o şi poate fi nordică şi sudicăL = longitudinea punctului P0 adică unghiul diedru dintre planul meridianului origine Greenwich şi planul meridianului punctului P0 ia valori de la 0o la 180 şi poate fi estică sau vesticăH = icircnălţimea punctului P0 deasupra suprafeţei de referinţă dată de planul ecuatorului

Pentru elipsoidul pămacircntesc sistemul de coordonate geografice elipsoidice BLH prezintă o serie de avantaje foarte importante

- este un sistem unitar de coordonate pentru icircntreg elipsoidul şi permite o serie de simplificări icircn rezolvarea problemelor geodezice

- liniile de coordonate B = const şi L = const pe suprafaţa elipsoidului sunt chiar liniile cele mai simple şi importante adică meridiane şi paralele

- se defineşte cu ajutorul normalelor la suprafaţa elipsoidului de referinţă adoptat ceea ce este important pentru determinarea deviaţiilor verticalelor geoidului faţă de normalele corespunzătoare elipsoidice

Coordonatele geografice elipsoidale (BL) se deosebesc de coordonatele utilizate icircn astronomie deoarece acestea din urmă se referă la suprafaţa geoidului

133 SISTEME DE COORDONATE GEODEZICE POLARE

Fig 15 Sisteme de coordonate geodezice polare

pag 7

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 situat pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă se cunosc valorile unghiului şi a distanţei s şi originea O

- linia geodezică de la punctul P0 la un punct origine O considerat pe meridianul origine (punctul O poate fi chiar pe ecuator)

- unghiul pe care icircl face linia geodezică OP0 cu meridianul origine

134 SISTEMUL COORDONATELOR GEODEZICE RTOGONALE

Fig 16 Sistemul de coordonate geodezice ortogonale

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 aparţinacircnd suprafeţei elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă sunt cunoscute distanţele geodezice u şi v

- distanţa geodezică ce se măsoară pe meridianul arbitrar ales

de la punctul de origine O pacircnă la punctul Punctul de pe meridian este

chiar piciorul perpendicularei duse din P0 pe meridian

- linia geodezică determinată de normala la meridianul ales

Punctul O poate fi situat şi icircn planul ecuatorului

14 PARAMETRII ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂSuprafaţa elipsoidului pămacircntesc poate fi aproximată cu suprafaţa unui

elipsoid de rotaţie rezultat din rotirea unei elipse icircn jurul unei axe miciConsideracircnd această elipsă ca fiind elipsa meridiană terestră se va

reprezenta raportată la un sistem de axe de coordonate carteziene xoz icircn care axa oz coincide cu axa polilor şi axa ox este icircn planul ecuatorial

pag 8

Fig 17 Elipsa meridian

Ecuaţia elipsei meridian icircn sistemul de coordonate carteziene xoz este

(11)

a ndash semiaxa mare ecuatorială a elipsoiduluib ndash semiaxa mică polară a elipsoiduluiElipsoidul de referinţă este caracterizat de cele două excentricităţi

- prima excentricitate (12)

- a doua excentricitate (13)

Introducacircnd excentricitatea elipsei meridian (prima excentricitate) icircn ecuaţia elipsei se va obţine

(14)

(15)

Icircn această formă a ecuaţiei parametrii care o determină sunt a şi e faţă de a şi b icircn prima formă

Analog se poate introduce şi expresia excentricităţii a doua icircn ecuaţia elipsei

Un alt parametru important al elipsoidului de referinţă este turtirea

(16)

Icircntre parametrii de bază ai elipsoidului de referinţă se pot stabili o serie de relaţii de legătură

pag 9

a) Relaţii de legătură icircntre cele două excentricităţi

sau (17)

sau (18)

adică (19)

Din expresia se poate determina excentricitatea a doua

funcţie de prima excentricitate

sau (110)

b) icircntre prima excentricitate şi turtirea se poate scrie

sau sau (111)

dar sau

(112)Deoarece este mic ridicat la pătrat va fi şi mai mic adică tinde spre zero

sau (113)

Pentru elipsoidul Krasovski utilizat la noi icircn ţară ca elipsoid de referinţă plecacircnd de la valorile parametrilor trecuţi icircn tabelul nr 1 pot fi determinate valorile aproximative pentru cele două excentricităţi şi pentru raza de curbură

polară

(114)

(115)

(116)Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski care se

icircntrebuinţează icircn calcule de precizie sunt următoarele

pag 10

(117)

15 ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMAcircNTESC

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături icircntre coordonatele unui punct de pe elipsoid icircn unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig 18)

Fig 18 Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice)

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie icircn raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz pe reprezentare identificacircndu-se următoarele elemente

- diametrul cercului ecuatorial- meridianul origine

- normala la elipsoid icircn punctul M0Tp ndash tangenta icircn M0 la paralela punctului M0Tm ndash tangenta icircn M0 la curba meridiană

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 7: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Este un sistem global de referinţă cu ajutorul căruia poziţia unui punct oarecare P0 este determinată icircn raport cu planul meridianului origine şi

planul ecuatorial (fig 14)B = latitudinea punctului P0 adică unghiul dintre normala P0O la suprafaţa elipsoidului de referinţă şi proiecţia ei icircn planul ecuatorului ia valori de la 0o la 90o şi poate fi nordică şi sudicăL = longitudinea punctului P0 adică unghiul diedru dintre planul meridianului origine Greenwich şi planul meridianului punctului P0 ia valori de la 0o la 180 şi poate fi estică sau vesticăH = icircnălţimea punctului P0 deasupra suprafeţei de referinţă dată de planul ecuatorului

Pentru elipsoidul pămacircntesc sistemul de coordonate geografice elipsoidice BLH prezintă o serie de avantaje foarte importante

- este un sistem unitar de coordonate pentru icircntreg elipsoidul şi permite o serie de simplificări icircn rezolvarea problemelor geodezice

- liniile de coordonate B = const şi L = const pe suprafaţa elipsoidului sunt chiar liniile cele mai simple şi importante adică meridiane şi paralele

- se defineşte cu ajutorul normalelor la suprafaţa elipsoidului de referinţă adoptat ceea ce este important pentru determinarea deviaţiilor verticalelor geoidului faţă de normalele corespunzătoare elipsoidice

Coordonatele geografice elipsoidale (BL) se deosebesc de coordonatele utilizate icircn astronomie deoarece acestea din urmă se referă la suprafaţa geoidului

133 SISTEME DE COORDONATE GEODEZICE POLARE

Fig 15 Sisteme de coordonate geodezice polare

pag 7

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 situat pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă se cunosc valorile unghiului şi a distanţei s şi originea O

- linia geodezică de la punctul P0 la un punct origine O considerat pe meridianul origine (punctul O poate fi chiar pe ecuator)

- unghiul pe care icircl face linia geodezică OP0 cu meridianul origine

134 SISTEMUL COORDONATELOR GEODEZICE RTOGONALE

Fig 16 Sistemul de coordonate geodezice ortogonale

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 aparţinacircnd suprafeţei elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă sunt cunoscute distanţele geodezice u şi v

- distanţa geodezică ce se măsoară pe meridianul arbitrar ales

de la punctul de origine O pacircnă la punctul Punctul de pe meridian este

chiar piciorul perpendicularei duse din P0 pe meridian

- linia geodezică determinată de normala la meridianul ales

Punctul O poate fi situat şi icircn planul ecuatorului

14 PARAMETRII ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂSuprafaţa elipsoidului pămacircntesc poate fi aproximată cu suprafaţa unui

elipsoid de rotaţie rezultat din rotirea unei elipse icircn jurul unei axe miciConsideracircnd această elipsă ca fiind elipsa meridiană terestră se va

reprezenta raportată la un sistem de axe de coordonate carteziene xoz icircn care axa oz coincide cu axa polilor şi axa ox este icircn planul ecuatorial

pag 8

Fig 17 Elipsa meridian

Ecuaţia elipsei meridian icircn sistemul de coordonate carteziene xoz este

(11)

a ndash semiaxa mare ecuatorială a elipsoiduluib ndash semiaxa mică polară a elipsoiduluiElipsoidul de referinţă este caracterizat de cele două excentricităţi

- prima excentricitate (12)

- a doua excentricitate (13)

Introducacircnd excentricitatea elipsei meridian (prima excentricitate) icircn ecuaţia elipsei se va obţine

(14)

(15)

Icircn această formă a ecuaţiei parametrii care o determină sunt a şi e faţă de a şi b icircn prima formă

Analog se poate introduce şi expresia excentricităţii a doua icircn ecuaţia elipsei

Un alt parametru important al elipsoidului de referinţă este turtirea

(16)

Icircntre parametrii de bază ai elipsoidului de referinţă se pot stabili o serie de relaţii de legătură

pag 9

a) Relaţii de legătură icircntre cele două excentricităţi

sau (17)

sau (18)

adică (19)

Din expresia se poate determina excentricitatea a doua

funcţie de prima excentricitate

sau (110)

b) icircntre prima excentricitate şi turtirea se poate scrie

sau sau (111)

dar sau

(112)Deoarece este mic ridicat la pătrat va fi şi mai mic adică tinde spre zero

sau (113)

Pentru elipsoidul Krasovski utilizat la noi icircn ţară ca elipsoid de referinţă plecacircnd de la valorile parametrilor trecuţi icircn tabelul nr 1 pot fi determinate valorile aproximative pentru cele două excentricităţi şi pentru raza de curbură

polară

(114)

(115)

(116)Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski care se

icircntrebuinţează icircn calcule de precizie sunt următoarele

pag 10

(117)

15 ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMAcircNTESC

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături icircntre coordonatele unui punct de pe elipsoid icircn unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig 18)

Fig 18 Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice)

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie icircn raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz pe reprezentare identificacircndu-se următoarele elemente

- diametrul cercului ecuatorial- meridianul origine

- normala la elipsoid icircn punctul M0Tp ndash tangenta icircn M0 la paralela punctului M0Tm ndash tangenta icircn M0 la curba meridiană

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 8: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 situat pe suprafaţa elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă se cunosc valorile unghiului şi a distanţei s şi originea O

- linia geodezică de la punctul P0 la un punct origine O considerat pe meridianul origine (punctul O poate fi chiar pe ecuator)

- unghiul pe care icircl face linia geodezică OP0 cu meridianul origine

134 SISTEMUL COORDONATELOR GEODEZICE RTOGONALE

Fig 16 Sistemul de coordonate geodezice ortogonale

Este un sistem de coordonate local icircn care poziţia unui punct oarecare P0 aparţinacircnd suprafeţei elipsoidului de referinţă este bine determinată dacă sunt cunoscute distanţele geodezice u şi v

- distanţa geodezică ce se măsoară pe meridianul arbitrar ales

de la punctul de origine O pacircnă la punctul Punctul de pe meridian este

chiar piciorul perpendicularei duse din P0 pe meridian

- linia geodezică determinată de normala la meridianul ales

Punctul O poate fi situat şi icircn planul ecuatorului

14 PARAMETRII ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂSuprafaţa elipsoidului pămacircntesc poate fi aproximată cu suprafaţa unui

elipsoid de rotaţie rezultat din rotirea unei elipse icircn jurul unei axe miciConsideracircnd această elipsă ca fiind elipsa meridiană terestră se va

reprezenta raportată la un sistem de axe de coordonate carteziene xoz icircn care axa oz coincide cu axa polilor şi axa ox este icircn planul ecuatorial

pag 8

Fig 17 Elipsa meridian

Ecuaţia elipsei meridian icircn sistemul de coordonate carteziene xoz este

(11)

a ndash semiaxa mare ecuatorială a elipsoiduluib ndash semiaxa mică polară a elipsoiduluiElipsoidul de referinţă este caracterizat de cele două excentricităţi

- prima excentricitate (12)

- a doua excentricitate (13)

Introducacircnd excentricitatea elipsei meridian (prima excentricitate) icircn ecuaţia elipsei se va obţine

(14)

(15)

Icircn această formă a ecuaţiei parametrii care o determină sunt a şi e faţă de a şi b icircn prima formă

Analog se poate introduce şi expresia excentricităţii a doua icircn ecuaţia elipsei

Un alt parametru important al elipsoidului de referinţă este turtirea

(16)

Icircntre parametrii de bază ai elipsoidului de referinţă se pot stabili o serie de relaţii de legătură

pag 9

a) Relaţii de legătură icircntre cele două excentricităţi

sau (17)

sau (18)

adică (19)

Din expresia se poate determina excentricitatea a doua

funcţie de prima excentricitate

sau (110)

b) icircntre prima excentricitate şi turtirea se poate scrie

sau sau (111)

dar sau

(112)Deoarece este mic ridicat la pătrat va fi şi mai mic adică tinde spre zero

sau (113)

Pentru elipsoidul Krasovski utilizat la noi icircn ţară ca elipsoid de referinţă plecacircnd de la valorile parametrilor trecuţi icircn tabelul nr 1 pot fi determinate valorile aproximative pentru cele două excentricităţi şi pentru raza de curbură

polară

(114)

(115)

(116)Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski care se

icircntrebuinţează icircn calcule de precizie sunt următoarele

pag 10

(117)

15 ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMAcircNTESC

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături icircntre coordonatele unui punct de pe elipsoid icircn unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig 18)

Fig 18 Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice)

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie icircn raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz pe reprezentare identificacircndu-se următoarele elemente

- diametrul cercului ecuatorial- meridianul origine

- normala la elipsoid icircn punctul M0Tp ndash tangenta icircn M0 la paralela punctului M0Tm ndash tangenta icircn M0 la curba meridiană

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 9: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Fig 17 Elipsa meridian

Ecuaţia elipsei meridian icircn sistemul de coordonate carteziene xoz este

(11)

a ndash semiaxa mare ecuatorială a elipsoiduluib ndash semiaxa mică polară a elipsoiduluiElipsoidul de referinţă este caracterizat de cele două excentricităţi

- prima excentricitate (12)

- a doua excentricitate (13)

Introducacircnd excentricitatea elipsei meridian (prima excentricitate) icircn ecuaţia elipsei se va obţine

(14)

(15)

Icircn această formă a ecuaţiei parametrii care o determină sunt a şi e faţă de a şi b icircn prima formă

Analog se poate introduce şi expresia excentricităţii a doua icircn ecuaţia elipsei

Un alt parametru important al elipsoidului de referinţă este turtirea

(16)

Icircntre parametrii de bază ai elipsoidului de referinţă se pot stabili o serie de relaţii de legătură

pag 9

a) Relaţii de legătură icircntre cele două excentricităţi

sau (17)

sau (18)

adică (19)

Din expresia se poate determina excentricitatea a doua

funcţie de prima excentricitate

sau (110)

b) icircntre prima excentricitate şi turtirea se poate scrie

sau sau (111)

dar sau

(112)Deoarece este mic ridicat la pătrat va fi şi mai mic adică tinde spre zero

sau (113)

Pentru elipsoidul Krasovski utilizat la noi icircn ţară ca elipsoid de referinţă plecacircnd de la valorile parametrilor trecuţi icircn tabelul nr 1 pot fi determinate valorile aproximative pentru cele două excentricităţi şi pentru raza de curbură

polară

(114)

(115)

(116)Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski care se

icircntrebuinţează icircn calcule de precizie sunt următoarele

pag 10

(117)

15 ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMAcircNTESC

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături icircntre coordonatele unui punct de pe elipsoid icircn unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig 18)

Fig 18 Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice)

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie icircn raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz pe reprezentare identificacircndu-se următoarele elemente

- diametrul cercului ecuatorial- meridianul origine

- normala la elipsoid icircn punctul M0Tp ndash tangenta icircn M0 la paralela punctului M0Tm ndash tangenta icircn M0 la curba meridiană

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 10: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

a) Relaţii de legătură icircntre cele două excentricităţi

sau (17)

sau (18)

adică (19)

Din expresia se poate determina excentricitatea a doua

funcţie de prima excentricitate

sau (110)

b) icircntre prima excentricitate şi turtirea se poate scrie

sau sau (111)

dar sau

(112)Deoarece este mic ridicat la pătrat va fi şi mai mic adică tinde spre zero

sau (113)

Pentru elipsoidul Krasovski utilizat la noi icircn ţară ca elipsoid de referinţă plecacircnd de la valorile parametrilor trecuţi icircn tabelul nr 1 pot fi determinate valorile aproximative pentru cele două excentricităţi şi pentru raza de curbură

polară

(114)

(115)

(116)Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski care se

icircntrebuinţează icircn calcule de precizie sunt următoarele

pag 10

(117)

15 ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMAcircNTESC

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături icircntre coordonatele unui punct de pe elipsoid icircn unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig 18)

Fig 18 Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice)

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie icircn raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz pe reprezentare identificacircndu-se următoarele elemente

- diametrul cercului ecuatorial- meridianul origine

- normala la elipsoid icircn punctul M0Tp ndash tangenta icircn M0 la paralela punctului M0Tm ndash tangenta icircn M0 la curba meridiană

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 11: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(117)

15 ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMAcircNTESC

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături icircntre coordonatele unui punct de pe elipsoid icircn unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig 18)

Fig 18 Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice)

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie icircn raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz pe reprezentare identificacircndu-se următoarele elemente

- diametrul cercului ecuatorial- meridianul origine

- normala la elipsoid icircn punctul M0Tp ndash tangenta icircn M0 la paralela punctului M0Tm ndash tangenta icircn M0 la curba meridiană

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 12: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură icircn punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0 Raza acestei curbe se notează cu M

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba normală la curba meridianului punctului M0 cu centrul de curbură icircn punctul O1 raza acestei curbe este N Poziţia punctului M0 poate fi definită atacirct prin coordonate rectangulare rectilinii

cacirct şi prin coordonate geografice elipsoidale Pentru uşurinţă se vor utiliza şi

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pămacircntesc icircn funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma

(118)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z care verifică ecuaţia

(119)

Consideracircnd pe elipsa meridiană un alt punct situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig 19)

Fig 19 Schemă grafică ndash determinarea ecuaţiilor parametrice

Acestui punct icirci corespunde faţă de punctul M0 creşterile icircn coordonate dr şi dz Creşterea coordonatei r a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii odată cu deplasarea din M0 icircn distanţa O2M0 se micşorează

pag 12

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 13: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Icircn triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar deoarece este foarte mic şi icircn consecinţă se poate scrie

(120)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane icircn raport cu r şi z rezultă

ds (121)

Icircmpărţind relaţia cu ds şi ţinacircnd seama de expresiile pentru şi se va obţine

(122)

(123)

dar şi atunci relaţia devine

(124)

(125)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma

dar (126)

(127)

Icircnlocuind expresia determinată pentru y se obţine

(128)

sau (129)

(130)

(131)

Icircnlocuind expresia icircn relaţia lui z se obţine

(132)

notacircnd se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0

pag 13

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 14: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(133)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie icircn sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile

şi (134)Icircnlocuind icircn aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului

(135)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că (136)

(137)

S-a notat (138)

Dar deci sau

(139)

Scriind sau - raza de curbură polară

(140)Icircnlocuind icircn ecuaţiile parametrice se obţine

(141)

16 RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL161RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE

Se consideră elipsa meridiană avacircnd raza de curbură notată cu M icircntr-un punct al său de latitudine (fig 110)

pag 14

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 15: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Fig 110 Determinarea razei M

Prin definiţie dacă se noteaza pe figura prin ds un element infinitezimal de arc al elipsei atunci se poate scrie

(142)

unghiul icircn fnfinitezimal dintre tangenta icircn B şi tangenta icircn infinit apropiată corespunzătoare latitudinii

Unghiul celor două tangente icircn punctele şi este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare ceea ce icircnseamnă că

(143)

Dar (144)Relaţia se poate scrie şi sub forma

(145)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinacircnd cont de expresiile determinate pentru x şi y icircn ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

şi (146)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor

(147)

Icircnlocuind icircn relaţia razei mici de curbură se va obţine

pag 15

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 16: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

dar (148)

şi deoarece şi (149)

(150)

162 RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICALConsideracircnd pe suprafaţa elipsoidului normala BD icircntr-un punct B de

latitudine prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului icircn punctul B Aceste planuri se numesc planuri normale Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană atunci cacircnd planul normal conţine şi axa polilor (fig 111)

Fig 111 Determinarea razei de curbură a prismului vertical

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW)

Raza de curbură a primului vertical icircn punctul B de latitudine se notează cu Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea

Pentru determinarea razei de curbură a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier care se enunţă astfel bdquoDacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 17: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane ndash respectiv normală şi icircnclinată ndash ambele secţiuni avacircnd icircn punctul dat o aceeaşi tangentă atunci raza de curbură a secţiunii icircnclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale icircnmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni

(151)

Aşadar dar (152)

Icircnlocuind se obţine

(153)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD pacircnă la axa polilor care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N

163 EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare de orientare geografică Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig 112a)

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0 la distanţa de acest punct (fig 112b)

a)

pag 17

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 18: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

b)

Fig 112 Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare

Fig 113 Elipsa de secţiune

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig 113) ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m respectiv n Ţinacircnd cont de elementele geometrice din figură icircn triunghiul se poate scrie

dar (155)

sau (156)

Icircn mod similar consideracircnd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine

pag 18

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 19: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

şi adică (157)

(158)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe atunci coordonatele punctului M0 trebuie să verifice ecuaţia elipsei

(159)

dar şi (160)

icircnlocuind (161)

(162)

(163)

(164)

(165)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică este icircn

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică

164 EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn corespunzătoare rayei mici (m) respectiv razei mari (n) de curbură

pag 19

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 20: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Fig 114 Determinarea razei medii de curbură

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1 care face cu direcţia Pm unghiul sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul şamd (fig 114) Se poate afirma că Raza medie de curbură icircntr-un punct este dată de suma tuturor razelor icircmpărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora

(166)

dacă infinAşadar Raza medie de curbură icircntr-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct

pentru infin (167)

Presupunacircnd că icircntre două curbe vecine există un unghi elementar se poate scrie

iar dacă vom considera (168)

Icircn condiţiile icircn care numărul direcţiilor infin şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală)

(169)

Ţinacircnd cont de simetria ce există fată de direcţiile principale se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse icircntre 0 şi 90o

(170)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma

(171)

Se notează

pentru infin şi (172)

Rezultă

pag 20

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 21: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

sau (173)

(174)

ţinacircnd cont că şi se va obţine

(175)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului icircn care se determină

165 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIANSe consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă două

puncte A şi B avacircnd latitudinile şi cu distanţa ds icircntre ele (fig 115)

Fig 115 Calculul lungimii arcului de meridian

Se poate scrie

dar şi (176)

(177)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor icircn serie conform relaţiei

pag 21

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 22: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(178)Dezvoltacircnd icircn serie după formula binomului se obţine

(179)Se icircnlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi neglijacircndu-

se ceilalţi termeni prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple

(180)

(181)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele obţinem

(182)

Se notează

B = (183)

C =

Relaţia devine

(184)

Introducacircnd relaţia icircn expresia lungimii arcului de meridian se obţine

(185)

Integrarea termen cu termen se face ţinacircnd seama de relaţiile cunoscute

şi (186)

Integracircnd icircn limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule se obţine

pag 22

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 23: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(187)Formula obţinută exprimă forma generală dar icircn practică sunt icircntacirclnite şi unele cazuri particulare ca de exemplu atunci cacircnd unul din puncte este situat pe ecuator

A- este situat pe ecuatorŢinacircnd cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian

(188)

166 CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALELDeoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc cunoscacircnd unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine a extremitaţilor ce delimitează arcul Se ştie că raza paralelului variază icircn funcţie de latitudine şi este dată de relaţia

(189)

Dar lungimea arcului de paralel dl este(190)

pag 23

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 24: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Fig 116 Calculul lungimii arcului de paralel

Trecacircnd la integrală pentru limitele corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel se obţine

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina icircn funcţie de raza mare de curbură latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin icircn calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger

17 CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE171 ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE

Considerăm un punct S1 pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds avacircnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare

Fig 117 Calculul elementului liniar al unei curbe

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice

(192)Icircn cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma(193)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 25: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei icircn funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx dy şi dz obţinacircnd

(194)

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele se va obţine(195)

S-a făcut notaţiile

(196)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S iar E G şi F sunt coeficienţii eiDacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (197)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (198)

Icircn cazul particular cacircnd suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru meridianul cu M raza de curbură rezultă pentru elementul de arc corespunzător

(199)Analog pentru un cerc paralel de rază r rezultă

(1100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem (1101)

Comparacircnd expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E F şi G

şi (1102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie atunci cacircnd sistemul de

coordonate este ortogonal este satisfăcută relaţia F=0 (1103)

172 UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATEpag 25

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 26: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Fig 118 Calculul unghiului dintre liniile de coordonate

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat caracterizat prin

- modul notat a caracterizat prin direcţie şi sens punct de aplicaţieProiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi

(1104)

- cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonateDeci un vectur poate fi scris fie icircn funcţie de proiecţiile pe axe

fie icircn funcţie de cosinuşii directori Cosinuşii directori ai tangentei la o curbă oarecareS1 S2 sunt

(1105)

ds = elementul de arcŢinacircnd cont de expresiile lui dx dy şi dz se poate scrie

(1106)Pentru cazurile particulare şi se scrie

(1107)

pag 26

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 27: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(1108)

Notacircnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi se poate scrie

(1109)Icircnlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine

(1110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale adică să se intersecteze sub unghi drept este dată de F=0 adică sau

(1111)

173 CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE

Fig 119 Calculul elementului de arie

Pentru domenii mici cacircnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig 119) se determină icircn mod asemănător cu cel din plan utilizacircnd o relaţie de forma

(1112)După cum s-a arătat anterior există

(1113)

pag 27

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 28: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Icircnlocuind icircn expresia lui ds se obţine

(1114)

Icircn cazul unui sistem ortogonal de coordonate este icircndeplinită condiţia F=0 adică iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru şi

(1115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss elementul de arie devine

(1116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia

(1117)

Aria unui element de diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid

174 AZIMUTUL UNEI CURBEAzimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig 117)

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate icircn care se consideră o curbă oarecare şi un =constant

(1118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare respectiv ai tangentei la curba 1=ct

(1119)

Icircnlocuind icircn relaţia cosA şi ţinacircnd cont de expresiile coeficienţilor E F şi G se va obţine

(1120)

Ştiind că se poate deduce

pag 28

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 29: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(1121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma

şi (1122)

Atunci cacircnd se consideră un domeniu infinit mic lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile

şi rezultă că

şi (1123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată

(1124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut

Icircntr-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M sunt constante deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură

181 SECŢIUNI NORMALE DIRECTĂ ŞI INVERSĂSe consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B pe

două meridiane diferite şi avacircnd latitudinile şi cu lt Ducacircnd normalele la suprafaţa elipsoidului icircn cele două puncte A şi B acestea icircntacirclnesc axa polilor icircn punctele O1 şi O2 deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig (120)

pag 29

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 30: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Fig 120 Secţiuni normale pe elipsoid

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B determină un plan normal icircn punctul A Intersecţia acestui plan normal icircn A cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B Considerănd icircn mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid icircn punctul B şi punctul A acest plan este normal la elipsoid icircn punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA care nu se confundă cu curba AaB Dacă lt atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB cacircnd privim din A către B

Secţiunea normală BbA pe elipsoid poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB pentru un observator aflat icircn A

Icircn concluzie putem spune că icircntre două puncte A şi B pe elipsoidul de rotaţie trec două secţiuni normale

- secţiunea AaB care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B

- Secţiunea BbA care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din ACele două secţiuni normale directă şi inversă icircntre două puncte pe

elipsoid formează grupul celor două secţiuni normale reciproceDacă icircn punctul A este pus icircn staţie un teodolit axa lui principală

(VV) coincide cu normala AO1 Vizacircnd către punctul B planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB

Atunci cacircnd observaţia cu teodolitul se face icircn punctul B icircn mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA

182 SECŢIUNI NORMALE DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC

Consideracircnd că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul icircn triunghiul elipsoidic care se formează (fig 121) Marcacircnd icircn fiecare punct A B C prin săgeţi secţiunile normale directe obţinem că unghiurile orizontale măsurate icircn vacircrfurile triunghiului sunt BaAaC AbBbC şi AcCcB definite de secţiunile normale directe Se observă icircn figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce unghiurile orizontale măsurate icircn cele trei puncte A B C de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice pe

pag 30

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 31: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

considerentul că icircntre două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit

Fig 121 Triunghi geodezic pe elipsoid

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I) secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin icircn sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii care se vor determina ulterior

19 LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU191 DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE

Consideracircnd două puncte A şi B pe o suprafaţă generală S prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică de lungime minimă

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă adică normala principală la linia geodezică icircntr-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă

Consideracircnd icircn punctul P al liniei geodezice planul osculator al curbei determinat de tangenta la curbă şi normala principală acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică icircn orice punct al curbei Icircnseamnă că linia geodezică icircntre două puncte pe o suprafaţă se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S icircntre cele două puncte astfel icircncacirct icircn fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele icircndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice

pag 31

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 32: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Atunci cacircnd suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari iar dacă pe anumite porţiuni suprafaţa de referinţă se consideră plană linia geodezică este chiar linia dreaptă

Poziţia liniei geodezice icircn raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă

Fig 122 Linia geodezică

Icircn cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie ele intervin numai icircn procesul de calcul

Icircn triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I cu lungimea laturilor de pacircnă la 60 km liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce atacirct ca lungime cacirct şi azimutal Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia icircn considerare pe cacircnd diferenţa de azimut chiar dacă este mică trebuie luată icircn considerare printr-o corecţie corespunzătoare

A fost stabilit că linia geodezică icircmparte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce icircntr-un raport de 1 şi 2 fiind mai apropiată de secţiunea normală directă Asta icircnseamnă că dacă icircn punctul A unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig 122) atunci unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi Icircn cazul icircn care observaţiile se fac din punctul B către A

raţionamentul este similar

110 REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 33: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare icircn rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră dar calculele se execută icircn raport cu suprafaţa de referinţă care este suprafaţa elipsoidului

De aceea icircnainte de a fi utilizate icircn calcule marimile măsurate trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă

Se vor trata icircn continuare doar observaţiile unghiulare asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii

- corecţia de reducere la linia geodezică- corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat- corecţia datorată abaterii de la verticala locului

1101 CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂSe aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului la linia geodezică Consideracircnd linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig 123) aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB ce are azimutul Am obţinut din măsurători Azimutul liniei geodezice fiind Ac se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1 numită corecţie de reducere la linia geodezică

(1126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă

(1127)

icircn care

Fig 123 Condiţia de reducere la linia geodezică

e2= excentricitatea icircntacircias= distanţa icircntre punctele A şi B icircn kilometri

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 34: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Rm= raza medie pentru latitudinea medie Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată icircn considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I cacircnd lungimile laturilor sunt icircntre km

1102 CORECŢIA DATORATĂ IcircNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZATDeoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au icircnălţimi

diferite liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero) punctul B către care se face observaţia va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o icircnălţime H faţă de punctul A (fig 124) Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct icircn B1

Fig 114 Corecţia datorată icircnălţimii punctului vizat

Măsuracircnd azimutul direcţiei AB se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2 cu meridianul punctului A

Deci avacircnd măsurat unghiul Am trebuie determinat Ac prin aplicarea unei corecţii C2 numită corecţie datorată icircnălţimii punctului vizat

(1128)

(1129)

icircn careH=icircnălţimea punctului vizatM2=raza mică de curbură icircn punctul B de latitudine

Corecţia datorată icircnălţimi punctului vizat se ia icircn considerare numai dacă

pag 34

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 35: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

1103 CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂSe datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori icircn calcule

111 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI1111 GENERALITĂŢI

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

Pentru reţelele geodezice de ordinul I lungimea laturilor triunghiurilor variază icircntre limitele km şi rareori pacircnă la 60 km

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice

Această rezolvare constă icircn calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie plecacircnd de la o bază (latură) cunoscută şi avacircnd determinate toate unghiurile icircn vacircrfurile triunghiului

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici

Se vor utiliza icircn acest scop metode speciale adecvate şi anume- metoda Soldner (metoda aditamentelor)- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor icircn serie)Icircnainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici trebuie determinat excesul sferic1112 EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig 125 Determinarea excesului sferic

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 36: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC pe sfera medie Gauss se icircnţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului

(1130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig 125) adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km cu unghiurile neafectate de erori Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice şi ţinacircnd cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat

(1131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC

(1132)Suprafeţele fusurilor sferice şi se obţin cu ajutorul

relaţiilor icircn care intră mărimea unghiurilor A B C

(1133)

Egalacircnd cele două expresii rezultă

(1134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia

icircn care (1135)

Icircn cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici excesele sferice sunt icircn general de ordinul zecilor de secunde pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică icircn raport cu R2 (raza medie Gauss) Consideracircnd un triunghi sferic aproximativ echilateral de latură l=60 km se poate determina excesul sferic

(1136)

Icircn cele mai multe situaţii icircntacirclnite icircn practica geodezică suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate icircnlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan

Notacircnd cu elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic

pag 36

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 37: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(1137)

Termenul se poate nota cu f care este dependent numai de latitudine

şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat(1138)

1113 METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR)Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss icircn care sunt

cunoscute valorile unghiurilor ABC şi lungimea liniei geodezice a (latura a) Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig 126)

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă icircn icircnlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic dar icircn care se modifică lungimile laturilor

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru a obţine valoarea ei icircn triunghiul plan după care se rezolvă triunghiul plan calculacircnd şi valorile celorlalte două laturi

Fig 126 Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice

Pe sfera medie icircn triunghiul sferic ABC se poate scrie teorema sinusurilor sub forma

(1139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă

pag 37

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 38: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(1140)

(1141)

Dezvoltacircnd icircn serie şi se obţine

(1142)

Aplicacircnd teorema sinusurilor şi icircn triunghiul plan obţinem

sau (1143)

Comparacircnd cele două relaţii este evident că vom avea egalităţile

(1144)

sau icircn general

(1145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor) constau icircn efectuarea icircn ordine a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neacircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celorlalte unghiuri

(1146)

(1147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă- calculul aditamentului liniar Aa al laturii a şi apoi a valorii laturii icircn

triunghiul plan

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 39: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor icircn triunghiul elipsoidic mic

1114 METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII IcircN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu cacircte o treime din valoarea excesului sferic

Fig 127 Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig 127) cu unghiurile A B C şi laturile a b c opuse unghiurilor şi exprimate icircn valori unghiulare cele mai importante formule care pot fi scrise icircn triunghi cu aceste elemente sunt

- formula sinusurilor

(1148)

- formula cosinusurilor pentru laturi

(1149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri

(1150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 40: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre se scrie teorema cosinusului icircn triunghiul sferic considerat ţinacircnd cont de notaţiile din figură

(1151)

(1152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare icircn serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos

(1153)

(1154)

Dezvoltacircnd icircn serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijacircnd termenii de gradul 5 şi mai mari vom obţine

(1155)Prin efectuarea calculelor icircn condiţiile propuse rezultă

(1156)

Dezvoltacircnd icircn serie şi numitorul relaţia devine

(1157)

Dar putem scrie că

(1158)

Introducacircnd relaţia icircn cosA şi efectuacircnd calculele se va obţine

(1159)

Dacă se au icircn vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare relaţia devine

(1160)

Aplicacircnd teorema cosinusului icircn triunghiul plan corespondent rezultă

(1161)

pag 40

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 41: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(1162)

Ţinacircnd cont de expresiile lui şi relaţia lui se modifică după cum urmează

(1163)

(1164)

Consideracircnd prin dezvoltări icircn serie rezultă

(1165)sau

(1166)

(1167)

Icircn mod analog se obţine

(1168)

(1169)

Adunacircnd cele trei relaţii şi ţinacircnd cont că

(1170)

Icircn acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit icircn mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor icircn serie constau icircn efectuarea succesivă a următoarelor calcule

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic calculacircnd nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan

- compensarea unghiurilor icircn triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neicircnchiderii şi repartizarea ei icircn mod egal celor trei unghiuri

- calculul unghiurilor icircn triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic

- calculul celorlalte laturi icircn triunghiul plan care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic

112 PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE

pag 41

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 42: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Icircn reţelele geodezice de ordin I cu lungimea laturilor cuprinsă icircntre km pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Pentru a determina aceste coordonate icircn raport cu situaţia specifică se pun două probleme fundamentale şi anume

- problema geodezică directă apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct precum şi valoarea azimutului invers

- problema geodezică inversă apare atunci cacircnd se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers)Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică icircn acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor problema geodezică directă se icircntacirclneşte icircn literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate

La reţelele geodezice de ordinul I este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă pacircnă la următoarele valori

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de

- pentru azimute (miime de secundă)- pentru distanţe Deoarece distanţele icircn reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km) la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode icircn care se acceptă unele aproximaţii cum ar fi dezvoltările icircn serie icircnlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie

1121 PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂSe consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie Se cunosc

coordonatele şi ale punctului S1 lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig 128)

pag 42

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 43: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

a)

b)Fig 128 Metoda transportului de coordonate

11211 METODA DEVOLTĂRILOR IcircN SERIELa această problemă diferenţele de latitudine longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2 depind de lungimea liniei geodezice se acceptă următoarele dezvoltări icircn serie Mac Laurin

(1171)

(1172)

(1173)

Termenii pacircnă la S3 inclusiv din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre de aceea metoda se mai numeşte M Legendre

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 44: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig 128b) icircn care

(1174)

(1175)

(1176)

(1177)

Plecacircnd de la relaţia lui Clairaut(1178)

(1179)

Dacă se notează se poate scrie

(1180)

Icircn continuare se vor determina derivatele de ordinul II derivacircnd icircn raport cu S expresiile de mai sus se va obţine

(1181)Dacă se notează prin derivarea funcţiei V şi prin icircnlocuirea lui

se va obţine

(1182)

Cu notaţiile şi icircn limitele aproximaţiilor făcute se obţin expresiile restracircnse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers

icircn care

(1186)

pag 44

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 45: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(1187)

(1188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi icircn considerare la dezvoltarea icircn serie cu cacirct intră mai mulţi termeni icircn calcul cu atacirct precizia este mai bună

11212 METODA IcircNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic icircn care sunt cunoscute

coordonatele punctului lungimea şi azimutul A1

Fig 129 Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC icircn care

(1189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului adică

Icircn triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma

pag 45

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 46: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

dar

(1190)

Introducacircnd egalităţile icircn relaţii se obţin

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii constituit rezultă necunoscutele şi celelalte elemente fiind cunoscute

Prin icircmpărţirea relaţiilor (1191) cu (1193) şi (1192) cu (1194) se obţine

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 47: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor icircn serie diferenţa constă icircn valorile parametrilor a = b (semiaxe egale) şi (raza medie)

1122 PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂMetoda icircnlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera GaussSe consideră cunoscute două puncte S1 şi S2 de coordonate

Rezolvarea problemei geodezice inverse constă icircn determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2 ale liniei geodezice

Fig 130 Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi

pag 47

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 48: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(1199)

Icircn triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate

sau

Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1201) şi (1202) la (1203) se va obţine

(1205)

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2Icircmpărţind egalităţile (1200) la (1202) şi (1201) la (1203) se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S

(1206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S icircn unităţi de arc

113 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 49: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I formată din punctele ABCDE icircn care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB

Fig 131 Reţea geodezică

Elemente măsurate- unghiurile - latura AB prima laturăCoordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomicePentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor BCDE se

parcurg următoarele etapea) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodeziceb) calculul suprafeţei triunghiurilor sfericec) calculul excesului sfericd) compensarea unghiurilor icircn reţeae) calculul laturilor definitivef) calculul coordonatelor

a) Calculul provizoriu al coordonatelorConstă icircn a determina coordonate provizorii de tip xy similar ca la

topografie folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului Icircn acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea icircn punctul A şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte

pag 49

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 50: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

(1207)

Distanţa sAC se determină utilizacircnd Teorema sinusurilor

şi (1208)

Icircn mod similar se vor determina şi elementele care intră icircn calcul pentru celelalte puncteb) Calculul suprafeţei triunghiurilor sfericeValoarea suprafeţei triunghiului sferic intră icircn relaţia de calcul a excesului sfericSuprafaţa se calculează icircn funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic

(1209)

c) Calculul excesului sfericSe determină icircn secunde icircmpărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii

(1210)

d) Compensarea unghiurilor icircn reţeaTrebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori

(1211)

dacă (1212)

(1213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor icircn egalităţi intracircnd de această dată

valorile compensate ale unghiurilor

pag 50

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 51: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

sBC şi sAC (1214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus se vor calcula coordonatele geografice din aproape icircn aproape aplicacircnd Problema geodezică directă iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

In triangulatia de ordin superior figurile geometrice ale triangulatiei

geodezice in cadrul carora s-au facut determinari de unghiuri si distante pe

suprafata fizica a Pamantului sunt transpuse si prelucrate pe elipsoidul de

referinta In scop didactic vom alege triunghiurile elipsoidice Acestea au lungimile

laturilor mici de pana la 60 km astfel incat in cadrul unora dintre rezolvari

suprafata elipsoidului poate sa fie aproximata cu cea a sferei de raza medie

situatie in care tratam problemele pentru triunghiuri sferice determinarea

formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din masuratori se va face aplicand

formulele de trigonometrie sferica

1 Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic ε

Suma unghiurilor intr-un triunghi elipsoidic mic asimilat unui triunghi

sferic chiar si atunci cand o presupunem neafectata de erori este mai mare decat

200G Diferenta pana la 200G se numeste exces sferic notat cu ε

Intre unghiurile masurate si reduse la suprafata elipsoidului de

referinta si unghiurile compensate exista relatiile cunoscute

si dupa cum stim suma acestor corectii este egala si cu semn contrar cu

neanchiderea

pag 51

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 52: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

si in consecinta se poate observa ca suma unghiurilor necompensate dintr-un

triunghi si deci

In cazul in care am lucra pe triunghiuri izolate s-ar putea considera corectiile ca fiind egale intre ele si compensa in urmatorul mod

In cazul compensarii in retelele de triangulatie prin metoda celor mai mici

patrate nu se adopta insa o astfel de rezolvare In ambele situatii pentru a putea

intra in compensare trebuie sa determinam o formula de calcul pentru excesul

sferic notat cu ε

Consideram figura de mai jos in cadrul careia reprezentam pe suprafata

sferei medii triunghiul ABC ale carui unghiuri au valorilesbquo sbquo si a carui suprafata

o notam cu F

pag 52

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 53: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

fig 1a

pag 53

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 54: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

fig 1b

Conform desenului putem exprima in functie de suprafata F a triunghiului

sferic ABC suprafetele fusurilor ce il contin si pe care le vom nota ( )

( )=F+BCA

=F+ACB

=F + ABC = F + ABC

Insumand aceste egalitati obtinem

2(F + R2) (1)

unde BCA ACB si F + ABC formeaza suprafata ariei semisferei care este egala cu

2 R2

Dar suprafata acestor fuse se mai poate exprima si astfel

pag 54

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 55: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

=

=

=

Insumand aceste egalitati obtinem

+ + =

(2)

Egaland relatiile (1) si (2) obtinem

=2(F + R2)

deoarece

Pentru domeniul geodezic se poate aproxima suprafata triunghiului sferic F

calculabila cu una dintre relatiile

F = F = F = cu suprafata unui

triunghi plan notat cu F calculabila cu una dintre relatiile de mai jos in cadrul

carora cu sbquo sbquo am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzator

F =

Excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici de ordinul secundelor

centezimale si se calculeaza cu formula

pag 55

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 56: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Expresia se numeste factorul excesului sferic si este constanta

pentru latitudinea data a triunghiului sferic calculabila in functie de aceasta si

grupata in tabelele elipsoidului astfel incat excesul sferic

In cazul in care laturile triunghiului depasesc 60 km (distante geodezice

medii) excesul sferic se calculeaza cu formula

unde cu m2 am notat

iar cu F = aria triunghiului plan

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

In anul 1787 Legendre a imaginat urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura de exemplu a (ce se mai numeste si baza geodezica) si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri difera ca marime de cele

pag 56

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 57: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

anterioare dar ale carui laturi sunt valoric egale cu primele Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema cosinusului in cadrul figurii nr 42a obtinem

fig nr 2 a fig nr 2 b

de unde extragem In continuare se dezvolta in serie functiile

trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

Se calculeaza numaratorul si numitorul

expresiei

se inlocuiesc in formula lui cos A se efectueaza calculele si rezulta

pag 57

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 58: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

In cadrul acestei formule se inlocuiesc expresiile unghiurilor

obtinandu-se

Lucrand in triunghiul plan figura nr 42b aplicand teorema Pitagora generalizata

Comparand cele doua relatii rezulta

Consideram aceasta expresie ca fiind de forma A = A + (A - A) unde diferenta din paranteza este cantitativ foarte mica suportand o dezvoltare in serie

Diferenta (A - A)rad este o cantitate mica ce se transforma in secunde sexagesimale (in geodezia elipsoidala se lucreaza in grade sexagesimale deoarece coordonatele initiale se determina din cele astronomo ndash geodezice)

pag 58

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 59: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Procedandu-se in mod similar pentru celelalte doua unghiuri se obtine

Relatiile enunta teorema lui Legendre care spune ca bdquounghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decat cele ale triunghiului sferic corespunzator cu o treime din valoarea excesului sfericrdquo

2 Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema aditamentelor

Pentru distante geodezice mici sub 60 km problema se rezolva prin

inlocuirea suprafetei elipsoidului cu suprafata sferei de raza medie Gauss

obtinandu-se triunghiuri sferice in cadrul carora se vor aplica formule de

triangulatie sferica

fig nr a fig nr b In anul 1810 Soldner a imaginat

urmatoarea situatie avem un triunghi sferic ABC cu suprafata F careia ii cunoastem unghiurile din varfuri (sbquo si ) si o latura a si de asemenea ne propunem sa-i calculam lungimile laturilor b si c Adoptam un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafata F ale carui unghiuri din varfuri sunt valoric egale cu primele dar ale carui laturi (a b c) difera ca marime de cele anterioare Prin rezolvarea celor doua triunghiuri vom determina expresia diferentei dintre unghiurile celor doua triunghiuri

Aplicand teorema sinusului in cadrul figurii nr 4a obtinem

Se dezvolta in serie functiile trigonometrice pana la ordinul IV inclusiv

pag 59

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 60: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

si se inlocuiesc in formula tinand apoi seama de

expresiile

Se aplica si triunghiul plan teorema sinusurilor

Egaland cele doua rezultate se obtine

si in

consecinta Daca notam cu s latura unui triunghi sferic si cu

s latura unui triunghi plan constatam marimea As cu care difera valoric acestea si o denumim aditament liniar

Trigonometria Sferică este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (icircn special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor Acestea sunt de mare importanță icircn calculele din astronomieși suprafața Pămacircntului precum și icircn navigația orbitală și spațială

Istoric

Vezi și Istoria trigonometriei

pag 60

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 61: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii

greci precum Menelaus din Alexandria care a scris o carte despre triunghiurile

sferice numită Sphaerica dezvoltacircnd teorema lui Menelaus [1] ES Kennedy a

precizat că icircn pricipiu icircn antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile

sferice prin folosirea tabelelorcorzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus dar icircn

practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă [2]

Un progres mai icircnsemnat s-a produs icircn lumea Islamică Icircn scopul respectării zilelor

sfinte din calendarul Islamic icircn care cronometrările erau determinate de fazele Lunii

astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul icircn care se

află Luna și stelele dar metoda era dificilă și greoaie Aceasta implica asamblarea a

două triunghiuri dreptunghice care se intersectau iar prin aplicarea teoremei lui

Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase dar cu condiția ca

celelalte cinci laturi să fie cunoscute De exemplu pentru a afla timpul icircn funcție de

icircnălțimea Soarelui se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus

Deci pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o

metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice[3]

La icircnceputul secolului al 9-lea Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pionier icircn

trigonometria sferică scriind un tratat pe această temă [4]

Icircn secolul al 10-lea Abū al-Wafā al-Būzjānī a stabilit formula de adunarea a

unghiurilor adică sin(a + b) precum și formula sinusului pentru trigonometrie

sferică [5]

Icircn care a b și c sunt unghiurile de la centrul sferei care subicircntind cele trei laturi

ale triunghiului iar α β and γ sunt unghiurile dintre laturi unghiul α fiind opusul

laturii subicircntinse de unghiul a β fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul b

iar γ fiind opusul laturii subicircntinse de unghiul c

Al-Jayyani (989-1079) un matematician arab din Peninsula Iberică a scris ceea

ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat Cartea arcelor

necunoscute ale unei sfere[6]circa 1060 icircn care trigonometria sferică a fost

publicată icircntr-o formă modernă Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale

triunghiurilor dreptunghice teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin

intermediul triunghiului polar Mai tacircrziu acest tratat a avut o puternică influiență

asupra matematicii europene iar definiția raportului ca număr și metoda sa de

rezolvare a triunghiurilor sferice avacircnd toate laturile necunoscute probabil că l-au

influențat și pe Regiomontanus[7]

pag 61

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 62: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Icircn secolul al 13-lea matematicianul iranian Nasīr al-Dīn al-Tūsī a fost primul care

a tratat trigonometria ca o disciplină matematică independentă de astronomie iar

mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică aducacircnd-o la forma ei actuală[8] El a

arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice icircn

trigonometria sferică De asemenea icircn capitolul On the Sector Figure a enunțat

teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice descoperind și teorema

tangentei pentru triunghiurile sferice[9]

[modificare]Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari

adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei De exemplu

consideracircnd Pămacircntul o sferă (icircn realitare este un

geoid) meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui icircn timp ce

liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici Ca și segmentul de dreaptă

din plan un arc al unui cerc mare (subicircntinde un unghi mai mic de 180deg) pe sferă

este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă Cercurile mari sunt

cazuri speciale ale conceptului unei geodezice

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește

un poligon sferic De notat că spre deosebire de cazul poligonului

plan diunghiul sferic format din două laturi este posibil (precum o felie tăiată

dintr-o portocală) Un astfel de poligon se numește lunulă Laturile unor astfel de

poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor ci prin unghiul de la centrul sferei

care subicircntinde latura dintre cele două puncte extreme De notat că unghiul

arcului măsurat icircn radiani multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea

arcului

Prin urmare un triunghi sferic este definit icircn mod normal prin unghiurile și

laturile sale dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor ci prin unghiurile

sale de la centrul sferei

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este icircntotdeauna mai mare decacirct suma

unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180deg Mărimea E prin care suma

unghiurilor depășește 180deg se numește exces sferic

icircn care α β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic Teorema lui Girard

numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai

devreme de matematicianul englez Thomas Harriot dar nepublicată)

demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi

sferic

pag 62

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 63: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

icircn care R este raza sferei Din acestă formulă și din formula ariei unei

sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este

Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic icircn

care excesul sferic este icircnlocuit cu defectul hiperbolic amacircndouă

fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet

Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri

cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită)

pe o sferă Icircn cazul special icircn care sfera are raza 1 aria este egală

cu excesul sferic A = E Se poate folosi chiar formula lui Girard

pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă

Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă icircmpărțim figura

icircn triunghiuri sferice drepte adică unul din unghiurile triunghiului are

90deg deoarece putem folosi pentagonul lui Napier

Cercul lui Napier arată relaţiile dintre părţile unui triunghi sferic dreptunghic

Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier)

este un mnemonic care ajută la găsirea tuturor relațiilor dintre

unghiurile unui triunghi sferic dreptunghic

Se scriu cele șase unghiuri ale triunghiului sferic (trei unghiuri și trei

arce) sub forma unui cerc icircn ordinea apariției lor icircn triunghi (unghi

latura unghi și tot așa pacircnă se icircnchide cercul) Apoi icircncrucișăm

unghiul de 90deg și icircnlocuim arcul neadiacent cu complementul său

adică icircnlocuim să spunem pe B prin 90deg minus B Cele cinci numere pe

care le avem acum formează pentagonul lui Napier Pentru orice

alegere a trei unghiuri unul fiind unghiul din mijloc ceilalte două

pag 63

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 64: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

unghiuri vor fi adiacente sau opuse altor două unghiuri Atunci

Regula lui Napier arată că sinusul unghiului din mijloc este egal cu

produsul tangentelor unghiurilor adiacente

produsul cosinușilor unghiurilor opuse

De exemplu icircncepacircnd cu unghiul putem obține formula

Folosind identitățile pentru unghiurile complementare avem

Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și

unghiurile unui triunghi sferic icircntr-o formă numeric stabilă

pentru navigație

Icircn matematică excesul sferic reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic şi 180deg sexagesimale

pag 64

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 65: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Trigonometrie sferică

pag 65

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 66: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele

picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc)

acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care

le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează

corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare

determinarea timpului etc) este necesară

cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la

acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a

aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie

omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei

Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic

Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem

interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu

direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest

caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn

mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele

acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc

efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la

geometria tridimensională carteziană la o geometrie

bidimensională sferică

Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile

mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este

pag 66

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 67: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru

aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale

trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund

icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină

triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema

cosinusului

1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui GaussUn cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei Observaţie Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei

Definiţie Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente Evident trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri Observaţie Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice Astfel icircn figură atacirct ABC cacirct şi ABC dar şi ABC sau ABC sunt triunghiuri sferice

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc pag 67

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 68: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

mare AB Evident aceasta este egală cu unghiul la centru AOB Icircn mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel AB=c AC=b BC=c

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC)Observaţie Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza icircn punctul de contact avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC icircn punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC Deci unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi icircntre tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat Conform definiţiei triunghiul sferic este o figură convexă Aceasta icircnseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru)

Spre deosebire de cazul plan pentru un triunghi sferic suma unghiurilor este icircntotdeauna mai mare decacirct 180 Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin) un unghi drept el se va numirectilater dacă are o latură cu măsura de 90 Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator meriadianele 0 si 90

Proprietăţi Pentru orice triunghi sferic ABC avem 0lt a+b+clt 360 alt b+c a-blt c 180 lt A+B+Clt 540 A+Blt 180+C A-Bgt 180-C Aria triunghiului sferic este dată de

unde R este raza sferei iar E se numeşte exces sferic şi

pag 68

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 69: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor triunghiului şi 180 exprimată icircn radiani

Demonstraţie Icircn ceea ce priveşte primele două proprietăţi avacircnd icircn vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra icircn secţiunea următoare folosind formalismul triunghiurilor polare Expresia ariei triunghiului sferic face icircn icircntregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii

Formulele lui Gauss

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Oxyz astfel

O este centrul sferei Oz trece prin B planul Oyz este planul (OAB) Oz trece prin A planul Oyz este planul (OAB)

Impunacircnd condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept axele Ox şi Ox vor fi determinate Mai mult cum planele Oyz şi Oyz coincid rezultă că Ox=Ox

Se observă faptul că sistemul Oxyz se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie icircn jurul axei Ox

pag 69

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 70: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC vom adopta următoarea strategie

Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem coordonatele punctului C icircn sistemul Oxyz Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz icircn

Oxyz

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 70

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 71: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Raportacircndu-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii)

şi deci obţinem

Coordonatele punctului C icircn Oxyz

pag 71

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 72: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Icircn acest caz avem

Astfel obţinem

Rotaţia icircn jurul axei Ox

Expresia rotaţiei icircn planul (Oyz)=(Oyz) este

pag 72

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 73: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Din nou ne raportăm la elementele triunghiului ABC Avem

de unde rezultă imediat

Formulele lui Gauss Din (1) (2) şi (3) obţinem

Simplificacircnd cu R şi sciind icircn ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică Ultima relaţie este teorema sinusurilor iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuriDefiniţie Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului icircn centrul sferei

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli icircn sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru pag 73

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 74: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Definiţie Se numeşte triunghi polar (ABC) al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vacircrfurile triunghiului ABC

Astfel A este pol pentru cercul OBC B este pol pentru cercul OAC iar C este pol pentru cercul OAB

Proprietate

Dacă ABC este triunghiul polar al triunghiului ABC avem triunghiul ABC este triunghi polar pentru triunghiul ABC

(triunghiul polar al triunghiului polar al unui triunghi dat este triunghiul dat) şi icircn plus

a=180-A b=180-B c=180-C A=180-a B=180-b C=180-c

adică laturile triunghiului polar sunt suplementele unghiurilor triunghiului dat iar unghiurile triunghiului polar sunt suplementele laturilor triunghiului dat

Demonstraţie

Vom schiţa doar demonstraţia afirmaţiei de mai sus şi a primei relaţii celelalte cinci rezultacircnd icircn mod analog

pag 74

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 75: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Icircn primul racircnd avem evident faptul căun punct P este pol pentru un cerc C dacă şi numai dacă distanţa de la P la două puncte distincte ale cercului C este de 90

Astfel BC=90 (B pol pentru AC) şi AC=90 (A pol pentru BC) de aici rezultă conform proprietăţii de mai sus că C este pol pentru AB Analog se arată că B este pol pentru AC şi că A este pol pentru BC Deci ABC este triunghi polar al triunghiului ABC

Pentru demonstrarea relaţiei a=180-A prelungim latura AC care intersectează BC icircn E iar prelungirea arcului AB intersectează BC icircn D Avem

C este pol pentru cercul ABD deci CD=90 B este pol pentru cercul ACE deci BE=90 DE=A fiind egal cu unghiul ODE diedru pentru planele ABD

şi ACE a=BC=BD+DE+EC=BE+DC-DE=90+90-A=180-A

pag 75

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 76: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea

bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor

prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale

triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care

ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină

mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate

verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo

180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi

sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele

unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului

iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru

triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită

relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile

triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile

triunghiului ABC

Astfel dacă scriem prima dintre inegalităţile ce caracterizează orice triunghi sferic ABC 0lt a+b+clt 360 pentru triunghiul polar ABC al acestuia avem 0lt a+b+clt 360 adică 0lt 180-A+180-B+180-Clt 360 deci 540gt A+B+Cgt 180 cea de a treia dintre inegalităţile din primul paragraf Icircn mod analog se obţin inegalităţile A-Bgt 180-C şi A+Blt 180+C din a-blt c şi a+bgt c

Icircn continuare vom aplica acelaşi raţionament şi icircn cazul formulelor lui Gauss Formulele lui Gauss pentru unghiuri

Să considerăm un triunghi ABC şi triunghiul său polar ABC Să scriem acum formulele lui Gauss pentru ABC

pag 76

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 77: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Dar conform proprietăţilor triunghiului polar avem

Adică

Din nou aplicacircnd dualitatea unghiuri-laturi introdusă de existenţa triunghiului polar am obţinut un nou set de ecuaţii care determină triunghiul ABC Acestea se numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Icircn contrast cu aceasta formulele lui Gauss icircn forma originală se mai numesc formulele lui Gauss pentru unghiuri Se observă că ultima relaţie se putea deduce imediat din teorema sinusurilor pentru laturi Icircn schimb demonstrarea geometrică a primelor două relaţii ar fi fost extrem de laborioasă se observă icircncă o dată eleganţa prin care formalismul triunghiului polar ne aduce informaţii noi despre un triunghi sferic

3 Aria triunghiului sfericDemonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic Acesta se defineşte ca fiind zona determinată pe suprafaţa unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D Aria fusului sferic de unghi diedru D este

(pentru a reţine această formulă să observăm că icircntreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360) Să considerăm triunghiul ABC ca icircn figură Se observă pentru icircnceput că

pag 77

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 78: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale datorită simetriei Acum să considerăm următoarele fusuri sferice

pag 78

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 79: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Icircnsumacircnd aceste suprafeţe se observă că obţinem o semisferă plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparţine fusului B cacirct şi fusului C deci a fost considerat de două ori)

pag 79

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 80: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Adunacircnd deci aceste relaţii obţinem

pag 80

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri
Page 81: 62040941-Geodezie-Elipsoidala

Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie

(orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper -

observatorul O transformare de coordonate de la unul din

aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii

icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am

arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se

reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel

determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn

diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor

triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss

pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

pag 81

  • Noţiuni generale
    • Geodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor Pămacircntului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa precum şi cu reprezentarea grafică a acestora
      • Den
        • Fig 17 Elipsa meridian
        • Istoric
        • [modificare]Linii și unghiuri pe o sferă
          • Trigonometrie sferică
            • Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele picircnă la obiectele cereşti (Soarele Luna planetele stelele etc) acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti Pentru scopuri practice imediate (orientare determinarea timpului etc) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru distanţa picircnă la acesta fiind irelevantă Icircn plus cea mai evidentă mişcare a aştrilor mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pămacircntului) susţinacircnd aparenţa cerului sferic Din punct de vedere matematic icircn măsura icircn care nu suntem interesaţi de distanţele reale pacircnă la aştri vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator Icircn acest caz putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala icircn mod trivial direcţiile din spaţiul tridimensional cu punctele acestei sfere Astfel formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică Icircn cadrul acestei geometrii dreptele sunt icircnlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice Pentru aceasta vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice formulele lui Gauss acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii Aceste formule corespund icircntr-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului
            • 1 Triunghiul sferic Proprietăţi Formulele lui Gauss
              • Formulele lui Gauss
                • 2 Triunghiul polar Formulele lui Gauss pentru unghiuri
                  • Observaţie Aceasta nu este o demonstraţie riguroasă ea bazacircndu-se pe doar pe o poziţionare particulară a polilor prezentată icircn figură Mai mult fiecare dintre cele trei vacircrfuri ale triunghiului ABC determină doar trei cercuri mari pentru care ele sunt poli Cum am precizt mai sus cele tri cercuri determină mai multe triunghiuri pe suprafaţa sferei Evident nu toate verifică formulele de mai sus (decacirct icircntr-o aritmetică modulo 180) Important este faptul că icircntotdeauna pentru orice triunghi sferic există un alt triunghi sferic care are ca laturi suplementele unghiurilor si ca unghiuri suplementele laturilor triunghiului iniţial Aceasta induce o dualitate unghiuri-laturi pentru triunghiul sferic considerat Astfel dacă scriem o anumită relaţie icircntre laturile triunghiului oarecare ABC pentru laturile triunghiul polar ABC vom obţine o relaţie icircntre unghiurile triunghiului ABC
                    • 3 Aria triunghiului sferic
                      • Principalele sistemele de coordonate folosite icircn astronomie (orizontale ecuatoriale ecliptice galactice) au acelaşi reper - observatorul O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii icircn jurul axelor de coordonate carteziene Dar după cum am arătat formulele care determină rotaţia icircn sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss icircn trigonometria sferică Astfel determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti icircn diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi fie formulele lui Gauss pentru unghiuri

Geodezie-fizica - Ghitau

Geodezie-fizica - Ghitau

Notiuni de geodezie

Notiuni de geodezie

Proiect Geodezie Matematica

Proiect Geodezie Matematica

Lucrari Practice Geodezie

Lucrari Practice Geodezie

cursuri geodezie fizica

cursuri geodezie fizica

Proiect Final Geodezie

Proiect Final Geodezie

5. Sectiunea Geodezie Inginereasca

5. Sectiunea Geodezie Inginereasca

proiect geodezie

proiect geodezie

Geodezie Cu Sateliti

Geodezie Cu Sateliti

Geodezie Si Gravimetrie Geodezica

Geodezie Si Gravimetrie Geodezica

 · Geodezie. Notiuni de geodezie fizicä si elipsoidalä, pozitionare - Constantin Moldoveanu, Notiuni de geodezie fizicä si elipsoidalä, pozitionare - Constantin Moldoveanu, Editura

 · Geodezie. Notiuni de geodezie fizicä si elipsoidalä, pozitionare - Constantin Moldoveanu, Notiuni de geodezie fizicä si elipsoidalä, pozitionare - Constantin Moldoveanu, Editura

Proiect Geodezie III

Proiect Geodezie III

Notiuni Geodezie

Notiuni Geodezie

Geodezie Matematica I-Pps

Geodezie Matematica I-Pps

Licenta Geodezie

Licenta Geodezie

GEODEZIE SATELITARA1.

GEODEZIE SATELITARA1.

. oFicnn. I M () B I l I ,A R P U ILICJ ·r .~T E DE ... concurs 02.06.2016.pdf · Geodezie, notiuni de geodezie fizica si elipsoidala, ... -Cap.3. Notiuni de geodezie e/ipsoidala;

. oFicnn. I M () B I l I ,A R P U ILICJ ·r .~T E DE ... concurs 02.06.2016.pdf · Geodezie, notiuni de geodezie fizica si elipsoidala, ... -Cap.3. Notiuni de geodezie e/ipsoidala;

Proiect Geodezie Spatiala

Proiect Geodezie Spatiala

GEODEZIE SI SIG_2012.pdf

GEODEZIE SI SIG_2012.pdf

curs geodezie

curs geodezie