60 Ex Alg Si Geo Cl Viii Int

142
LIVIU ŢORNGHIBEL IDA VLAD ALGEBRĂ ŞI GEOMETRIE CLASA A V I I I - A „Încrederea în Şcoală este şi va rămâne speranţa noastră” ROVIMED PUBLISHERS

description

60

Transcript of 60 Ex Alg Si Geo Cl Viii Int

  • LIVIU ORNGHIBEL IDA VLAD

    ALGEBR I GEOMETRIE CLASA A V I I I - A

    ncrederea n coal este i va rmne sperana noastr

    ROVIMED PUBLISHERS

  • Referent tiinific : Academician, Profesor Universitar Doctor Docent, Radu Miron Tehnoredactare : Ida Vlad i Mioara ornghibel Corectura : Ida Vlad i Liviu ornghibel Coperta : Alexandru ornghibel

    Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei ORNGHIBEL, LIVIU Algebr i geometrie clasa a VIII-a : culegere de probleme i exerciii. / Liviu ornghibel, Ida Vlad - Bacu : Rovimed Publishers, 2011 ISBN 978-606-583-229-9 I.Vlad, Ida 598.21.589 Copyright by ornghibel Liviu & Vlad Ida

    Editura Rovimed Publishers Bacau, Romania www.rovimed.com e-mail:[email protected]

  • 3

    coala te nva cum s nvei, de ce s nvei, pentru ce s nvei. Mai departe tu alegi. Nu obligm pe nimeni s fie detept. Este o alegere personal, dar n care te simi bine. Matematica nu am inventat-o noi; toate problemele trebuiesc prelucrate,

    ntoarse pe fa i pe dos, pentru a fi nelese. A nva este o munc, n care beneficiul vine mai trziu. Aa cum vrei s fii frumos, trebuie s fii i nvat, iar frumuseea interioar este mai valoroas. Ai ctigat continu, ai pierdut ... continu s lupi mai departe. Niciodat s nu te dai btut n lupta cu tine nsui. Viaa este o lupt continu, o confruntare permanent cu tine i cu ali indivizi care concureaz pentru supremaie sau supravieuire. Totul depinde de tine, de preteniile tale la ce nivel doreti s te ridici. Sfatul nostru este NU TE LSA, NVA i iar NVA. A nva nu se termin odat cu coala, nvei toat viaa, uneori nici nu-i dai seama. Stai foarte atent cnd auzi pe cineva povestind lucruri

    nemaintlnite i care te surprind. Te-ai ntrebat oare de unde le tie? i spunem noi, din cri. Informaia de orice fel este foarte preioas. Un om bine informat deosebete binele de ru. Autorii

  • 5

    ALGEBR

    1. NUMERE REALE

    1. Se dau numerele: 3;21;0;3,2;20;6;

    528

    a). Scriei numerele negative; b).Scriei numerele care au modulul mai mare ca 5; c). Scriei cel mai mare i cel mai mic numr i facei suma. 2. Artai c numrul

    77721473763 n este un numr ntreg.

    3. Calculai suma i produsul numerelor: 31 i 13 . 4. Media aritmetic a trei numere este 9. S se afle unul dintre aceste numere tiind c media aritmetic a celorlalte dou este 7,5. 5. Determinai Zx pentru care Z

    x 4

    5 .

    6. Aflai 4430 48max si i 6293 32min si . 7. Artai c

    21

    1284

    853

    532

    321 .

    8. Artai c Rbaab

    ba ,;2 i bcacabcba 222 .

    9. Determinai mulimile: 23/ xZxA ; 42/ xZxB . 10. S se determine Zx astfel nct:

    Zx

    25 ; Z

    x 3

    7 ; Zxx

    23 ; Z

    xx

    34 .

    11. Determinai Zx astfel nct Zx

    x

    453 .

    12. S se determine Zyx , astfel nct: a) 532 yxxy ; b) 923 yxxy ; c) 032 yxxy .

  • 6

    13. Rzolvai n mulimea numerelor ntregi ecuaiile: a) 1572 x ; b) 2763 x ; c) 14321423 xxx ; d) 48623524 xxx e) 732 x ; f) 843 x . 14. Calculai:

    978675 171513 a ; 126115103 181614 b ; 1112110 kkc , Nk ; 21 19115 ppd , Np .

    15. Calculai: a) 300...321 ; b) 150...15105 ; c) 400...642 ; d) 125...876 . 16. Calculai: a) 2009256570422124 12:22:5333:33 ; b) 02008244453652148 200913:3:7222:22 . 17. Aflai numrul x astfel nct: a) 351333 21 xxx ; b) 775555 21 xxx .

    18. Simplificai: 1812 ,

    2814 ,

    9177 ,

    11985 ,

    29291212 ,

    262626151515 ,

    nnn

    nnn

    5754523272

    12

    23

    , nnnnnn

    727673343

    12

    23

    .

    19. Calculai: a) 3,0:

    51:1,0

    176

    3275,0

    ;

    b) 001,0:275,061:

    24053

    21

    .

  • 7

    20. Determinai Nn astfel nct:

    a) 52

    55113 n

    ;

    b) 57

    41

    31 n ;

    c) n230

    16115

    1174

    743

    422

    211 .

    21. Efectuai: a)

    4126,0

    4115,061,1 ;

    b)

    612

    812

    833

    653308,2 .

    22. Determinai x i y dac: a)

    52

    yx i 812 yx ;

    b) 75,0yx i 523 yx .

    23. Aflai media aritmetic a numerelor: a) 1]3,05,0[ a i 6,0:

    388,0 b ;

    b) )4(19,0:]5,136256,2[ a i 3,061,030 b .

    24. Calculai: a) 17193182523 ; b) 1921420734 . 25. Fie mulimile:

    ZxZxA 12

    25/ i

    ZxZxB 12

    15/ .

    Calculai BA , BA , BA , AB .

  • 8

    26. Fie mulimile: 1112/ xNxA i 712/ xNxB . Calculai BA , BA , BA , AB . 27. Artai c 1122 535353 nnnnnna se divide cu 19, iar nnnnnnb 624332 312132 se divide cu 17. 28. Determinai Nn astfel nct:

    1513

    101

    52 n ;

    23

    1812

    98 n .

    29. Determinai Nx astfel nct: 4105103

    ...1199775

    xxxx

    . 30. S se determine Nn astfel nct:

    216231231...262262262231 500115105 n 31. S se arate c urmtoarea ecuaie are numai 4 soluii ntregi

    1122424 22 xyyyyxx . 32. Efectuai: a) 125,0:22000

    25

    2050010:005,0 23 ;

    b) 2:5,322

    423008,0:25 1

    . 33. Determinai mulimile:

    ZxxZxA

    21/ i

    ZxxZxB

    21/ ..

    34. S se determine Nn cu 50,29n pentru care 13 n se divide cu 3.

  • 9

    35. Artai c : N 206206 . 36. Fie numerele 2330 a , 632 b i 22102 c . S se calculeze ptratele lor, apoi s se ordoneze fr a folosi extragerea rdcinii ptrate. 37. S se calculeze media aritmetic i media geometric a numerelor 271x i 271y . 38. S se afle valorile lui x i y din urmtoarea proporie

    1336

    6811131059

    yxyx

    yxyx tiind c 6 yx .

    39. Determinai numerele naturale a i b astfel nct 329611 ba .

    40. Artai c: 12224224

    224224 .

    41. Artai c nn 3 se divide cu 6, oricare ar fi Nn , iar 1079 2020 . 42. Dac a i b au aceeai paritate artai c 2402222 bababa .

    43. Artai c : 222 i 2222 . 44. Dac 4a , 2 cb , 141411664 969696128 d calculai acab ,

    22

    22 ad , adacaba 2 , 22

    22 cbcb . 45. Fie bababae 23 i bababaf 23 Stabilii n ce situaie fe . 46. S se arate c dac zyx i 1,2,, zyx atunci

    112224422 2222 yyzzyyxyyx

  • 10

    47. S se stabileasc valorile de adevr a propoziiilor: p1: Za avem Na 11 22 p2: Za astfel nct 012 a p3: Za rezult Zaa 2

    232 .

    48. Determinai Nn astfel nct Znn

    52

    25.

    49. Dac x este numr natural par, artai c xx 43 i xx 43 se divid cu 8.

    50. Determinai Zx astfel nct Zx

    xx

    4942 .

    51. Fie 675 23 xxxxE . Calculai 02 EE . 52. Determinai valoarea de adevr a propoziiei

    Q

    810

    427:

    253

    2320

    352

    .

    53. Fie mulimile : ZyyxxyZxA ,32/ i 712/ xZxB . Stabilii valoarea de adevr a propoziiei BA . 54. Artai c: a) 2

    1130

    1025

    920

    815 ;

    b) 50107106...

    109

    98

    87 ;

    c) 100420092008...

    32

    21

    aa

    aa

    aa , 1a .

    55. Dac 6 cba artai c 15975 cba .

  • 11

    56. Dac 1 zyx artai c: 10765 zxzyyx . 57. Artai c: 203624146 . 58. Dac 4 dcba ,artaic: 2027272727 dcba . 59. Dac 253 cba , artai c: 94153923 cba .

    60. Artai c: 5,12592008

    29208

    1128 .

    61. Artai c: 3745715 .

    62. Dac 32

    yx calculai

    yxyx

    2532

    .

    63. Artai c numerele 122 619 i 122 517 nu sunt prime. 64. Determinai x, y, z astfel nct: 0732542444 222 yxzyxxyzyx . 65. Determinai numerele ntregi x pentru care 26112 x .

    66. Dac ,0,, cba demonstrai c 9111

    cba

    cba .

    67. Artai c : Nnnn

    54764571449 , Nn .

    68. S se arate c 737437367 3333 i 53473375 20072007 . 69. S se determine Nn astfel nct 53473375 nn . 70. S se determine Nn astfel nct 37516927 nn .

  • 12

    71. S se arate c 372516927 1222 kkk . 72. S se efectueze: a) [-2,7) (3,9], (-5,3) [0,5), (-4,5] [-5,3), [-1,4] (2,5). b) [-4,6] (4,8], (-2,5) (1,6), (-1,7] [5,9), (-3,3] [0,4), (-2,4) N, [-3,5] N*, (-4,3) Z, [-2,3) Z*. 73. Se dau intervalele: a) A=[-5,4) i B=(-1,5], b) A=(-3,5] i B=[1,6) calculai: AB, AB, A-B i B-A. 74. Se dau mulimile:A={xR/ 2x-53} i B={xR/ 5

  • 13

    2. CALCUL CU NUMERE REPREZENTATE PRIN LITERE 1. S se determine a i b astfel nct: a) 6722 2 xxbaxx ; b) 241010362 232 xxxxxbax ; c) 12533 2 xxbaxx . 2. Determinai a, b i c astfel nct: a) 527401213 232 xxxcbxaxx ; b) 72354213 234523 xxxxxcbxaxxx c) 16168444 23422 xxxxcbxaxxx . 3. Efectuai: a) 852375988734 xxxxxx ; b) 43123 222 xxxxxxx ; c) 273662248312 xxxxxx ; d) 42535332 2 xxxxx ; e) 23233434 2 xxxxx ; f)

    ;20103

    13423232123

    22

    xxxxxxxxxx

    g) 232 22 xxxx . 4. Descompunei n factori: a) 3a+3b+3c; b) aaa 23 ; c) 223223 bababa ; d) 235 1064 aaa ; e) x(a-1)+y(a-1)-z(1-a); f) b(b+1) 2 -b 2 (b+1); 5. Descompunei n factori: a) a 2 -1; a 2 -4; a 2 -25; a 2 -9b 2 ; a 4 -a 2 ; a 5 -9a 3 b) (a+3) 2 -4; (2a+1) 2 -a 2 ; (3a-2b) 2 -9b 2 ; a 2 -8a+16; c) b 2 +10b+25; 4a 2 +12ab+9b 2 ; 25a 2 -40ab+16b 2 . 6. Descompunei n factori: a) a 2 +ab+ac+bc; ab-2b+3a-6; b) ab-5b-4a+20; a 4 -3a 3 +a 2 -3a. c) baaba 332 ;

  • 14

    d) 222 111 aayax ; e) 111 yyzyx ; j) babaa 222 ; f) f) 3223 33 zxzzxx ; k) 933 23 xxx ; g) g) 22 329 yxx ; l) 22 324 yxy ; h) h) 914 2 x ; m) 22 96 baa ; i) i) 22 44 abb ; n) 44 yx ; 7. Descompunei n factori: a) 66 yx ; d) 4416 yx ; g) 1582 xx ; b) 1892 xx ; e) 1272 xx ; h) 1682 xx ; c) 43 24 xx ; f) 92 24 xx ; i) 10155 2 xx . 8. Descompunei n factori: a) 9124 34 xxx ; g) 122 23 xxx ; b) 43 23 xx ; h) 12872 234 xxxx ; c)

    523

    5282 xx ; i)

    2087

    201072 xx ;

    d) 67 234 xxxx ; j) 12872 234 xxxx ; e) 4535 234 xxxx ; k) 246116 234 xxxx ; f) 366025 24 xxx . 9. S se descompun n produs de doi factori: a) 2021919

    24 xxx ; b) 1222

    24 xxx ; c) 13313 24 xxx ; d) 12212 24 xxx ; e) 12

    24 nxnnxx ; f) 11 24 nnxxnx . 10. tiind c 31

    xx s se determine valoarea urmtoarelor expresii:

    22 1

    xx ; 33 1xx ; 5

    5 1x

    x .

  • 15

    11. Simplificai fraciile: a)

    151525

    2

    2

    n

    nn

    ; b)4747

    472

    2

    nn

    n

    ; c) 16282

    1622

    2

    nn

    n

    ;

    d) nnnn

    22

    44

    3535

    ; e)

    3323233

    2

    2

    nn

    nn

    ; f)142528262

    2

    2

    nn

    nn

    ;

    g)30711715787

    2

    2

    nn

    nn

    ; h)3022

    202922

    2

    nn

    nn

    ; i)1833315323

    2

    2

    nn

    nn

    ;

    j)1656512545

    2

    2

    nn

    nn

    ; k) 1572715787

    2

    2

    nn

    nn

    ; l) 123836353

    2

    2

    nn

    nn

    ;

    m)9797797977

    23

    23

    nnn

    nnn

    ; n) 2552525525

    23

    23

    nnn

    nnn

    ;

    o) 12343331234333

    23

    23

    nnn

    nnn

    .

    12. Simplificai fraciile: a) 235

    44

    39

    yxxyx

    ; b) 32

    44

    2277

    yyxyx

    ; c) 22

    22

    996

    yxyxyx

    ;

    d) 6544

    2

    2

    xxxx ; e)

    35642

    23

    2

    xxx

    xx ; f) 2352

    2

    2

    xxxx ;

    g) 22

    522454325

    xxxxx ; h) 28502 14251014 2

    2

    xxxxxx ;

    i) 2222

    3232

    babxbaxabaxbax

    .

    13. Determinai numerele reale a i b astfel nct fracia

    1523930

    23

    23

    xxxbxaxx se simplific prin 1582 xx .

  • 16

    14. Fie 50252

    10723

    23

    xxxxxxxF . Simplificai i apoi determinai

    mulimea NxFZxA / .

    15. S se simplifice fracia 1

    1222

    23

    aaaa .

    16. Simplificai fracia yzxzxyx

    yxyx22

    442

    22

    .

    17. S se simplifice fracia 222 55

    xaaxa

    , pentru aRx i apoi aflai

    valoarea fraciei pentru 51a i

    61x .

    18. S se simplifice fracia 16

    8464

    234

    xxxxx , 2Rx .

    19. Simplificai fraciile:

    a) 241214 2

    xxyx ; b) 12 22

    23

    xyxyx

    yxyxx ;

    c)axaxaxax

    236236

    ; d)

    xxxxx

    441268

    2

    23

    ;

    e) 232 222

    xaaxxaax

    .

    20. Se d fracia 732128

    axaxxF .

    a)S se determine a tiind c pentru 1x fracia nu este definit; b)nlocuind n expresia lui xF pe a cu valoarea gsit, s se detrmine x pentru care 0xF .

  • 17

    21. S se arate c fracia 281426133

    2

    nnnnn nu se simplific prin12, Nn .

    22. Fie expresia 3232323 22 xxxxxE . a) S se aduc expresia la forma cea mai simpl; b) S se calculeze valoarea numeric a expresiei pentru 1x . 23. Aducei urmtoarele expresii la forma cea mai simpl:

    a) 14420

    127

    123

    2 x

    xxx ;

    b)

    a

    aaa

    aa 2

    29

    2323

    2323

    ;

    c) 11:

    11

    12

    112 2

    2

    2

    aa

    aa

    aa

    aa

    ;

    d)

    22

    2:4ba

    abab

    bba

    abba

    aba ;

    e)

    4

    4165

    3122

    2

    2 xxx

    xxxx

    ;

    f) 41

    443:

    223

    18

    221

    22

    xx

    xxx

    x ;

    g) 3632436231

    44:

    222

    222

    48

    2

    23

    22

    xxxx

    xxx

    xx

    x

    24. S se aduc la forma cea mai simpl expresiile:

    a)

    12

    11:

    121

    122

    11

    222 xxxxxxx;

    b)

    23232

    3262

    xx

    xxx ;

  • 18

    c) 234

    2129

    269

    xx

    xx

    ;

    d) 1122

    11:

    12

    11

    1 2

    xx

    xx

    xx

    xxx ;

    e)

    1

    21

    11

    :11

    42x

    xxx

    xx

    xx ;

    f)

    14

    4:2

    24

    62

    12

    2

    2 xx

    xxx;

    g)

    9611:

    929

    34

    35

    22 xxxxx;

    25. Aflai forma cea mai simpl a expresiilor:

    a)

    x

    xxx

    xxxx

    xxx

    x21

    2663

    222

    2

    2

    232

    ;

    b) 3212:

    92

    3312

    2

    2

    2

    2

    xxxx

    xx

    xx

    xx

    ;

    c) 15112

    5:

    51

    53

    2:3

    49

    8

    2

    22

    2

    3

    xx

    x

    xx

    xx

    xx

    x

    ;

    d) 342

    68816

    3311221

    11

    23

    2

    2

    232

    xxxxx

    xxxx

    xx

    xx

    e) 121

    11

    11

    1:

    1 22

    2

    xx

    xxx

    xx

    x

    ;

    f) x

    xxx

    xxxx

    22102:

    21

    22

    4

    2

    2

    .

  • 19

    26. Stabilii dac forma simpl a expresiei

    xxxxx

    xx

    xxxx

    xxxx

    xx

    :11:1

    211

    :12

    11223

    2

    2

    23

    2

    4

    este 12 x

    x .

    27. Se consider expresia: 4442232,, 222 xyzxyzyxzyxE . a) S se scrie expresia dat ca o sum de ptrate perfecte. b) S se determine x, y, z tiind c 0,, zyxE . c) S se afle valoarea numeric a raportului

    zyyx

    52 .

    28. Fie 11 3233 xaxaaxaxE . Demonstrai c exist o singur valoare a lui a pentru care 01 E . 29. Fie expresia 122 222342 axaxbabxxaxE . S se determine

    Zba , astfel nct 01 E . 30. Fie expresia mnnxmxxxE 223 . Determinai Znm , astfel nct 01 E . 31. Fie expresia 47323 xbaxbaxxE . S se determine

    Rba , tiind c 02 E i 44 E . 32. Fie expresia 222262 234 xbaxxbaxxE . a) Determinai Rba , astfel nct 11 E i 62 E . b) S se arate c 0aE , Ra . 33. Fie 123456 xaxxaxxxxE . a) Determinai a tiind c 11 E . b) Pentru 1a artai c 0xE , Rx .

  • 20

    34. Fie expresia 644242,, 222 yyzxzyxzyxE . a) Artai c 0,, zyxE , Rzyx ,, . b) Rezolvai ecuaia 1,, zyxE . 35. Fie expresia: 1133431 2322 xbxxxxaxxxE .

    a) S se determine a i b astfel nct 02 E i 121 E . b) Pentru 1a i 3b s se descompun xE . c) S se arate c 0222 2 xxxE , Rx . 36. Fie expresia: 16191184 322 nxxxxmxxxE . a) tiind c 01 E i 02 E s se afle m i n. b) Pentru 10m i 50n descompunei expresia. c) S se arate c 0102 2 xxxE , Rx . 37. Fie expresia:

    x

    xx

    xxx

    xxE 11

    11

    11

    142

    14 2

    2

    .

    a) Pentru ce valori ale lui x are sens expresia? b) S se aduc expresia la forma cea mai simpl. c) Pentru ce valoare a lui x espresia are valoarea 2?

    38. Fie expresia 1

    11

    11

    12 xxxxE .

    a) Pentru ce valori ale lui x are sens expresia? b) S se aduc expresia la forma cea mai simpl.

    c) S se calculeze.

    21E

    39. Fie expresia:

    632:

    411

    31:

    311 2

    2

    2

    xxxx

    xxxxE .

  • 21

    a) S se aduc expresia la forma cea mai simpl. b) Determinai valoarile lui x pentru care xE are sens. c) Determinai mulimea ZxEZxA / . 40. Fie expresia:

    48:

    24224 2

    32

    xx

    xxxxE

    a) S se aduc expresia la forma cea mai simpl. b) Ce valoare are expresia dac 5x ? 41. Fie expresia:

    x

    xxx

    xxxx

    xxx

    xxE21

    2663

    222

    2

    2

    232

    a) S se aduc expresia la forma cea mai simpl. b) S se determine Zx astfel nct N

    xxxE

    32

    122 .

    c) S se rezolve inecuaia 21 xE

    .

    42. Se d expresia :

    xxx

    xxxx

    xxxE

    22

    421

    4288

    2

    2

    23

    2

    .

    a) S se aduc espresia la forma cea mai simpl. b) S se calculeze valorile lui x pentru care 1

    21 x .

    c) S se calculeze valorile lui Zx pentru care ZxE . d) S se rezolve ecuaia 1

    15 xExx

    .

    43. Se d expresia x

    xx

    xxx

    xxE62

    62:32

    349

    2732

    22

    2

    .

    a) S se aduc espresia la forma cea mai simpl. b) S se calculeze valorile lui x pentru care 1

    131 x .

    c) S se calculeze valorile lui Zx pentru care Zx

    131 .

    d) S se rezolve ecuaia 2125

    xx

    xE.

  • 22

    44. Se consider expresia 414

    21

    2

    2

    x

    xxxFxxxE , unde

    4436113

    2

    2

    xxxxxF .

    a) S se simplifice xF i s se aduc xE la forma cea mai simpl. b) S se determine numerele mai mici ca 5 pentru care 1xE . c) S se detrmine numerele naturale pentru care xE este numr natural. 45. S se arate c urmtoarea expresie este pozitiv pentru orice x,y R ; 1245, 22 xyxyxyxE 46.Calculai valoarea expresiei 652 xxxE pentru 65353 x . 47.tiind c E(1)=22, determinai m din expresia 52325 22 mxmxxxE . 48. Aflai a i b astfel nct E(x)= x 2 +ax+b tiind c: E(-2)=0 i E(-3)=4. 49. tiind c P(-1)=P(-2)=0, unde 2435 234 nxxmxxxP , s se arate c P(a) se divide cu 24, Ra . 50. Se d expresia: 2322532152113 222 xxxxxxxxxE

    h) S se aduc expresia la forma cea mai simpl; i) S se descompun n factori ireductibili. 51. Fie expresia 22 12 xxxxE , unde x

  • 23

    3. FUNCII 1. Fie RRf : care are, pe rnd, formulele din table. Completai tabelul:

    Formula funciei Valori pentru argument (x) 1

    0 5

    2 a m

    f(x) = 2x 3 f(x) = 3x +5 f(x) = 2 x + 1 f(x) = 5x 2 f(x) = x 1 f(x) = 1 2x f(x) = 6 x + 1

    2. Fie RRf : care are, pe rnd, formulele din table. Completai tabelul:

    Formula funciei

    Dac atunci a =.

    f(x) = ax + 5 f(2) = 7 a = .

    f(3) = 1 a = .

    f( 1) = 8 a =

    f(6) = 41 a =.

    f(x) = ax 9 f(2) = 5 a = .

    f(3) = 6 a = .

    f( 1) = 6 a = .

    f(6) = 9 a = .

    f(x) = ax + 3 f(1) = 5 a = .

    f(2) = 11 a = .

    f(2) = 7 a = .

    f(4) = 13 a = .

    f(x) = ax 2 f(1) = 1 a = .

    f(5) = 8 a = .

    f(3) = 12 a = .

    f(4) = 10 a = .

  • 24

    3. Fie RRf : care are, pe rnd, formulele din table. Completai tabelul: Formula funciei

    Dac atunci b =.

    F(x) = 2x + b f(1) = 5 b = .

    f(3) = 11 b = .

    f( 6) = 4 b = .

    f(5) = 14 b = .

    F(x) = 3x + b f(0) = 5 b = .

    f(5) = 10 b = .

    f( 1) = 6 b = .

    f(2) = 9 b = .

    F(x) = x + b f(3) = 6 b = .

    f(4) = 2 b = .

    f(3) = 2 b = .

    f(2) = 6 b = .

    F(x) = 4x + b f(2) = 10 b = .

    f(3) = 7 b = .

    f(5) = 17 b = .

    f(1) = 8 b = .

    4. Fie RRf : care are, pe rnd, formulele din table. Completai tabelul:

    Formula funciei Dac punctul M aparine graficului funciei, atunci y =.

    F(x) = 2x + 4 M(2; y) y = .

    M(3; y) y = .

    M( 1; y) y = .

    M(6; y) y = .

    f(x) = 2x + 3 M(3; y) y = .

    M(2; y) y = .

    M( 1; y) y = .

    M(0; y) y = .

    F(x) = x + 5 M(2; y) y = .

    M( 3; y) y = .

    M( 6; y) y = .

    M(- 5; y) y = .

    F(x) = x 2 M(2; y) y = .

    M(2; y) y = .

    M(5; y) y = .

    M( 3; y) y = .

    5. Fie RRf : care are, pe rnd, formulele din table. Completai tabelul:

    Formula funciei Dac punctul M aparine graficului funciei, atunci x =.

    f(x) = 2x 4 M(x; 6) x = .

    M(x; 8) x = .

    M(x; 4) x = .

    M(x; 6) x = .

    f(x) = 2x + 3 M(x; 6) x = .

    M(x; 9) x = .

    M(x; 12)x = .

    M(x; 9) x = .

  • 25

    f(x) = x + 5 M(x; 6) x = .

    M(x; 1) x = .

    M(x; 3) x = .

    M(x; 8) x = .

    f(x) = x 2 M(x; 6) x = .

    M(x; 6) x = .

    M(x; 16) x = .

    M(x; 4) x = .

    6. Fie RRf : care are, pe rnd, formulele din table. Completai tabelul:

    Dac M este intersecia graficelor celor dou funcii, gsii coordonatele acestuia f(x) = 2x 4 g(x) = x + 6

    M(;)

    f(x) = 3x 4 g(x) = x + 6

    M(;)

    f(x) = 2x + 3 g(x) = 5 x

    M(;)

    f(x) = 5x 4 g(x) = x + 12

    M(;)

    f(x) = x + 5 g(x) = 3 x

    M(;)

    f(x) = x 4 g(x) = x + 6

    M(;)

    f(x) = x 2 g(x) = x + 5

    M(;)

    f(x) = 2x 24 g(x) = x + 6

    M(;)

    7. S se reprezinte graficul funciilor: a) Rf 5,4,3,2,1: , 3 xxf b) Rf 0,1,2,3: , 4 xxf ; c) Rf 4,3,2,1: , 2 xxf ; d) Rf 7,5: , 1 xxf ; e) Rf 7,3: , 1 xxf ; f) Rf 3,3: , xxf

    31 ;

    g) Rf 2,2: , xxf 2 ; h) Rf 4,2: , xxf i) Rf ,1: ,

    212 xxf ;

    j) RRf : , 2xf ; k) RRf : , 23 xxf ; l) RRf : ,

    31 xxf ;

  • 26

    3,1133,2,3

    2,52

    ,3,733,2,2

    2;4,20,12

    0,3

    xxx

    xxxf

    xxx

    xxxf

    xxxx

    xf

    m) RRf : , 121 xxf ;

    n) RRf : , 21

    31 xxf ;

    o) RRf : , 23 xxf ; p) RRf : , 1 xxf ; r) RRf : , 2 xxf ; s) RRf : , 212 xxf ; t) RRf : , 21 xxf ; u) RRf : , 21 xxxf ; v) RRf : , xxxf 21 . 8. S se reprezinte grafic funcia f(x)=x, 4,2x .Aflai coordonatele punctelor de pe grafic care au abscisa egal cu ordonata. 9. Reprezentai graficul pentru fiecare din funciile de mai jos: :: RRf

    10. Reprezentai ntr-un sistem de axe xOy funciile RRf : date de formula: a) 12 xxf ; b) 13 xxf ; c) 1253 xxxf ; d) 322 xxxf ; e) 13 xxxf ; f) xxxxf 442 ; g) 3144 2 xxxxf ;

    :: RRf

    :: R:[-4,) f

  • 27

    h) 12962 xxxxf ; i) 2442 xxxxf ; j) 31682 xxxxf ; k) 13144 2 xxxxf ; l) 134129 2 xxxxf . 11. n planul raportat la un sistem de axe ortogonale xOy s se reprezinte graficul funciei RRf : , 5,0

    31 xxf .

    12. Fie Rf 5,7: , 5122 2 xxxxf . Reprezentai graficul funciei. 13. Fie funcia RRf : , 67 xxf . a) Aflai numrul real x pentru care funcia are valoarea 8 . b) Aflai ordonata punctului yA ,3 tiind c aparine reprezentrii graficului funciei. 14. S se reprezinte gaficul funciei RRf : dat de

    ,1;731,1;3

    1,;2

    xxx

    xxxf , apoi rezolvai ecuaia 12 xxf .

    15. S se reprezinte gaficul funciei RRf : dat de

    ,3;123,2;3

    2,;3

    xxx

    xxxf , apoi rezolvai ecuaia 13 xxf .

    16. Fie funcia RRf : dat de

    ,3;733,2;2

    2,;2

    xxx

    xxxf .

    a) Calculai 3f ,

    23f , 5f .

    b) Reprezentai graficul funciei.

  • 28

    17. Fie funcia RRg : dat de

    ,1;121,1;2

    1,;3

    xxx

    xxxg .

    a) Calculai

    21g ,

    23g ,

    25g .

    b) Reprezentai graficul funciei.

    18. Fie funcia Rf 8,7,65,4: dat de:

    8,7,6;75,2;4

    2,1;]1,4[;4

    xxxxx

    xx

    xf .

    a) S se reprezinte graficul funciei; b) Calculai

    21f ,

    337f ,

    1

    32f ;

    c) Rezolvai ecuaia 1xf .

    19. Fie funcia Rg 5,4,32,5: dat de:

    5,4,3;22,1;

    ]1,3(;13,5;2

    xxxxx

    xx

    xg

    a) S se reprezinte graficul funciei; b) Calculai

    51g ,

    2g ,

    1

    92g ;

    c) Rezolvai ecuaia 2xg . 20. S se determine funcia liniar a crei reprezentare grafic trece prin punctele: a) 4,2A i 8,2B ; b) 7,2A i 1,2 B ; c) 2,1A i 0,1B ;

  • 29

    d) 3,2A i

    1,32B ;

    e)

    21,3A i 2,3B ;

    21. Determinai funcia liniar a crei reprezentare a graficului trece prin punctele

    8,

    25A , 3,3 B i determinai interseciile cu axele sistemului

    ortogonal.

    22. Reprezentai graficul funciei RRf : , dat de: .

    23. Reprezentai graficul funciei RRf : ,

    2;1221;31;12

    xxx

    xxxf .

    24. Reprezentai graficul funciei Rf ,0: , dat de:

    3;53,1;2

    1,0;2

    xxx

    xxxf .

    25. S se determine aria figurii geometrice determinate de reprezentarea graficului funciei f i axa xx, unde f este dat de formula

    ,5;183

    5,2;22;82

    xxxxxx

    xf .

    26. Reprezentai graficul funciei RRf : ,

    1;

    21

    1;1

    xbax

    xaxxf

    tiind

    c el conine punctele 3,aM i 5,0 N . 27. Fie RRf : ,

    1;11;31

    xxxxa

    xf , Ra . a) Pentru ce valori ale lui a reprezentarea graficului funciei conine punctul 1,2A ? b) Pentru 2a s se reprezinte graficul funciei f.

    3;23;32

    xxx

    xf

  • 30

    28. Fie RRf : ,

    2;1

    2;2xx

    xmxxf

    a) S se determine Rm astfel nct reprezentarea graficului funciei s conin punctul 3,1A . b) S se reprezinte graficul funciei RRg : , dat de 3 xxfxg .

    29. S se reprezinte graficul funciei RRf : ,

    1;212;

    2;3

    xxxmxmx

    xf

    tiind c fGA 3,3 . Determinai punctele ce aparin reprezentrii graficului funciei f care au coordonatele egale.

    30. S se reprezinte graficul funciei RRf : ,

    1;21,2;

    2;42

    xmxxm

    xxxf ,

    Rm tiind c fGA 5,3 . Determinai punctele ce aparin reprezentrii graficului funciei f care au coordonatele egale.

    31. Fie funcia NNf : ,

    imparnrx

    parnrxxxf

    .;1.;32

    .

    a) Reprezentai graficul funciei f dac 5x . b)Calculai sumele 100...3211 ffffs i 101100...32102 ffffffs . 32. S se determine funcia liniar care verific relaia 92221 xxfxf . 33. S se determine funcia liniar care verific relaia xxfxf 623 .

  • 31

    34. S se determine funcia liniar care verific relaiile

    14455

    3212ff

    fxfxf.

    35. Se dau funciile liniare RRgf :, astfel nct 321 xxgxf i 93212 xxgxf .

    a) S se afle f i g. b) S se reprezinte graficele celor dou funcii n acelai sistem de axe. c) S se afle aria triunghiului determinat de cele dou reprezentri grafice i axa absciselor. 36. S se determine funcia liniar RRf : , nmxxf , Rnm , a crei reprezentare grafic intersecteaz axele de coordonate n punctele 2,0A i 0,2B . 37. S se reprezinte graficul funciei RRf : , 2 xxf i apoi s se afle valorile reale ale lui a pentru care 5af . 38. Fie funcia RRf : , 1 xxf i 21 xx numere reale. S se arate c: a) 21 xfxf ; b)

    222121 xxfxfxf .

    39. Se d funcia RRf : definit prin 2 axxf , 0Qa . Artai c: a) Qff 23 23 ; b) 0222 af ; c) Exist QRb astfel nct Qbf . 40. Fie funcia RRf : , baxxf , 0a . tiind c

    0,3AOxG f i 4,0BOyG f stabilii dac punctele 8,9 C , 3,8 D , 5,1E , 8,3F aparin reprezentrii graficului funciei.

  • 32

    41. Fie funcia RRf : dat de

    1,2

    1,12xax

    xxxf .

    a) Determinai Ra tiind c punctul 4,2A aparine reprezentrii graficului funciei f. b) Pentru 1a reprezentai graficul funciei f. c) Determinai mulimea 4/ xfRxA .

    42. Fie funcia RRf : dat de

    0,20,2

    xabxxbax

    xf .

    a) Determinai Rba , tiind c punctele 3,1 A i 1,1B aparin reprezentrii graficului funciei f. b) Reprezentai graficul funciei f. 43. Fie funcia RRf : dat de mmxxf 2 , ,3m . a) S se determine m astfel nct fGmA 3, . b) Pentru 1m reprezentai graficul funciei f. 44. S se reprezinte graficul funciei Rf 3,3: dat de

    3,1,1,1,11

    1,3,

    xbxxxx

    xaxxf tiind c punctele 0,1A i 2,2B aparin

    reprezentrii graficului funciei f.

    45. Fie funcia RRf : dat de

    1,

    21

    1,3

    xax

    xaxxf . Determinai Ra

    astfel nct fGaA 3, . 46. S se reprezinte graficul funciei Rf 1,2: dat de 12 xxxf .

    47. S se reprezinte graficul funciei RRf : dat de 2,12max xxxf .

  • 33

    48. Fie funcia RRf : dat de:

    1,133

    1,32232

    xnxnxmxm

    xf ,

    Rm . a) Aflai xf tiind c punctele 4,1A i 1,6B aparin reprezentrii graficului funciei f. b) S se determine punctele ce aparin reprezentrii graficului funciei f avnd abscisa egal cu ordonata sa.

    49. Fie funcia RRf : dat de

    mxxmxx

    xf,2

    ,12, Rm .

    a) S se reprezinte graficul funciei f pentru 2m . b) S se determine valorile lui m pentru care funcia ndeplinete condiia: 2121321 22 mfmmfmfmf . 50. Fie funciile Rf 8,0: i Rg 8,0: date de

    8,6,383

    6,2,32

    2,0,3

    xx

    x

    xx

    xf i xfxg . Aflai aria poligonului

    format de reprezentrile graficelor celor dou funcii. 51. Se consider punctele 6,2A , 3,1B , 7,3C i funcia RRg : , 2 xxg .

    a) S se determine funcia liniar f a crei reprezentare grafic conine punctele A i B i s se arate c punctele A, B, C sunt colineare. b) S se determine msura unghiului format de reprezentrile graficelor celor dou funcii. c) S se determine mulimea numerelor ntregi pentru care 0xg

    xf .

    52. Fie funcia RRf : dat de

    2,220,0

    0,

    xxx

    xxxf .

    a) S se reprezinte graficul funciei f. b) Calculai

    25:121412 fffff .

  • 34

    53. S se reprezinte ntr-un sistem de axe ortogonale xOy mulimea punctelor yxM , pentru care: a) 12 2 xy ; b) 02

    22

    yxyxxyyx

    ;

    c) 022

    yxyxyx

    ;

    d) 01222 xyyx . 54. Determinai funciile RRf : , baxbaxf 2222 , ZZba , tiind c reprezentrile graficelor se intersecteaz n punctul 6,1A .

    55. Fie funcia RRf : care verific relaia 1831 fxxf , Rx . a) Determinai funcia f. b) Determinai coordonatele punctului P de pe reprezentarea graficului funciei f pentru care aria 4PABA , unde 2,1 A i 2,1 B . 56. Fie funcia RRf : astfel nct 86122 xxfxf . Reprezentai graficul funciei f apoi aflai punctele de interseciei ale reprezentrii cu axele de coordonate. 57. S se determine funcia liniar pentru fiecare din urmtoarele situaii: a) 92221 xxfxf ; b) 422 xxfxf . 58. Determinai funcia liniar astfel nct reprezentarea graficului s conin punctele

    8,

    25A i 3,3 B . Determinai apoi:

    a) Coordonatele punctelor de intersecie a reprezentrii graficului funciei cu axele de coordonate. b) Punctele de pe reprezentarea graficului funciei cu coordonatele egale. c) Punctele de pe reprezentarea graficului funciei cu ordonata egal cu opusul abscisei. d) Rezolvai ecuaiile 3xf ; xxf 2 i 13 xxf .

  • 35

    59. S se determine funcia liniar RRf : care verific relaia: f(x) +f(x-1) = -2x+3, oricare ar fi x R. Ce poziie au graficele funciilor liniare f i g, unde RRg : , g(x)= -x+2009.

    60. Determinai funcia liniar RRf : dat de: 15232 xxfxf

    61. Fie funciile RRgf :, , 523 xxf , axxg 5 , cu aN. a) Calculai f(4); b) Determinai f(x) i apoi aflai punctele de intersecie a graficului cu axele de coordonate;

    c) Determinai numerele prime a i b astfel nct punctul 2,2 bbA s aparin graficului funciei g. 4. ECUAII DE GRADUL NTI 1. Rezolvai n Z ecuaiile: a) 2x 3 = 7; b) 3x + 5 = 4 ; c) 2 x + 1 = 5; d) 5x 2 = 8; e) x 1 = 7 ; f) 1 2x = 13; g) 6 x + 1 = 23; h) 11 x ; i) 52 x . 2. Rezolvai n Q ecuaiile: a) 3 x 4 = 7; b) 3 3 x = 5 x ; c) 2x + 1 = x 8 ; d)3x 2 = x 7 ; e) 4x + 3 = 5 ; f) 2x + 3 = 5 ; g) 2 x + 3 = 6; h) 21 x ; i) 323 x . 3. Rezolvai n R ecuaiile: a) 3x +2 = 5; b) 2x +3 = 3x +2; c) 4x 2 = 1; d)3x 5 = 4x + 2; e) 3 (2x +3) = 4; f) 112 x ; g) 2

    312 x .

  • 36

    4. Completai cu DA sau NU n tabelul urmtor:

    Sunt ecuaiile de mai jos echivalente? DA/NU

    Sunt ecuaiile de mai jos echivalente? DA/NU

    x + 3 = 7 2x + 7 = 15 3x = 15 5x + 2 = 27 x 3 = 2 2x = 10 3x = 27 2 2 x = 20 2x +1 = 5 6x + 1 = 13 6x = x + 35 2 + x = 9 1 x = 4 x + 5 = 2 2x + 3 = 7 2x 2 = 6 3x 1 = 8 2 + x = 4 4x = x 12 x + 3 = 2x 1

    5. S se rezolve ecuaiile: a) 875 x ; b) 2163 x ; c) 19395 xx ; d) 133157 xx ; e) 532324 xx ; f) 3435462 xxx ; g)

    213

    13

    x;

    h) 28

    531

    42

    61 xxx ; i) 103

    325 xx ;

    j)

    21

    21

    212 xx ; k)

    x15

    152 ;

    l) 325532 x ; m) 5,321

    53 x ;

    n) 210

    212

    73 xx ;

    o) 2

    655

    132

    72 xxxx ; 6. S se rezolve ecuaiile: a) 3

    4947x

    4846

    4745 xx .

    b) 4822

    723

    624

    525 xxxx ;

  • 37

    c) 033,10

    3,02,10

    2,01,10

    1,0 xxx ;

    d) 99,2

    9,0...3,2

    3,02,2

    2,01,2

    1,0 xxxx ;

    e) 3,04

    2,13

    1,12

    1 xxx ;

    f) 08,09

    8,1...4

    3,13

    2,12

    1,1 xxxx ;

    g) 0532010

    532009

    522008

    5 xxx ;

    h) 781010

    7121009

    7101008

    781007

    76 xxxx ; 7. Rezolvai ecuaiile: a. xxxx 34223 2 ; b. xxxx 85332 2 ; c. 145

    2652535

    2

    2

    2

    2

    xxxx

    xx ;

    d. 6

    413

    52 2

    xxx

    xxx ;

    e. 04

    42

    123

    2

    xx

    xxx .

    8. S se determine x,y,z astfel nct: a) 01648243 222 yzyxyzyx ; b) 0134622 222 zxxyzyx . 9. Rezolvai ecuaiile analiznd toate cazurile posibile: a) 864 22 mmmx , Rm ; b) 349 22 mmmx , Rm ; c) 15

    135 2

    xx

    mmxx , Rm ; d) xmxm 21 , Rm .

  • 38

    10. S se rezolve n ZZ ecuaiile: a) 0523 yxxy ; b) 123 yxxy ; c) 1154 yxxy ; d) yxxy 1232 ; e) 032 yxyx ; f) 42 yxyx . 11. S se determine Rx astfel nct a) Nxxxx

    x 22 21212 .

    b) 111 xx ; 5. ECUAII DE GRADUL AL DOILEA 1. Copiai n caiete enunurile urmtoare i marcai cu un X pe A dac propoziia este adevrat sau pe F dac propoziia este fals.

    2. Completai tabelul:

    Ecuaia a b c x1 x2 x2+3x-10=0 2-x + x2=0 x2-4x+4=0 9x2-7x=0

    A F Mulimea soluiilor ecuaiei 02 bxax este mulimea vid.

    A F Ecuaia 052 x are dou soluii reale. A F Formula de rezolvare a ecuaiei 02 cbxax cnd

    0 este a

    bx22,1

    unde acb 42 A F Ecuaia 032 2 x nu are soluii n mulimea numerelor

    reale.

  • 39

    3. S se rezolve ecuaiile: a. 03 xx ; 04 xx ; 0632 xx ; 052 xx ; 0123 2 xx; 042 xx ; 073 xx . b. 012 x ; 092 x ; 082 2 x ; 0483 2 x ; 01255 2 x ;

    072 x ; 0252 x . c. 0442 xx ; 0962 xx ; 0232 xx ; 0652 xx ;

    01272 xx ; 0342 xx ; 0452 xx ; 0862 xx ; 0562 xx ; 01072 xx ; 0672 xx .

    d. 0322 xx ; 022 xx ; 062 xx ; 0822 xx ; 01032 xx ; 0122 xx ; 01522 xx .

    e. 01832 xx ; 01032 xx ; 01452 xx ; 02422 xx ; 0239 2 xx ; 0156 2 xx ; 061110 2 xx .

    f. 0652 xx ; 0862 xx ; 01072 xx ; 01272 xx ; 01582 xx ; 01892 xx ; 024102 xx ; 040132 xx ;

    048142 xx ; 06113 2 xx ; 0252 2 xx ; 0156 2 xx ; 0344 2 xx .

    g. 4)3)(1( 22 xx ; 4,12

    121

    xx

    x ; 8252 xx ; 7)3)(12( xx ; 22 )3()13( xx ; 0273 2 xx ;

    0161

    32 2 xx ; 0105102 xx ; xxx 6)3(2 ;

    xxx 18)75)(75( . 4. Rezolvai ecuaiile: a) 0342 xx ; b) 0452 xx ; c) 0156 2 xx ; d) 1216 xx ; e) 2543 22 xx ; f) 169125 22 xx ; g) 10086 22 xx ; h) 0

    20035

    200320082 xx ;

    i) 09

    109

    192 xx ;

    j) 07

    207

    232 xx .

  • 40

    5. Determinai valorile lui x pentru care ecuaiile au sens, rezolvai i apoi verificai rezultatele pentru urmtoarele ecuaii: a.

    16

    2 xxx ;

    b. 224

    12

    xxxx ;

    c. 12

    3113

    xxx ;

    d. 3

    13

    135 2 x

    xxx ;

    e. 21

    41

    612

    2

    xxxx ;

    f. 23821

    11

    23

    2

    2

    xx

    xxx

    x ;

    g. 22 213

    22

    2212

    xxx

    xx

    xxx

    xx

    ;

    h. 043

    42

    2 2

    xx

    xx ;

    i. 1

    411

    11

    2

    aa

    aaa , a

    6. S se rezolve ecuaia 15 1271612 7291,03 xxxx . 7. S se determine parametrul real m tiind c ecuaia 052 2 mxx admite soluia 51 x . 8. Fie ecuaia 03262 mxx . Rezolvai ecuaia pentru 5m . 9. Se d ecuaia 0433 2 xmx . tiind c admite soluia

    32

    1 x s se determine parametrul real m apoi s se afle 2x . 10. Dac 043/ 2 xxZxA i 512/ xZxB calculai

    BA .

  • 41

    11. S se afle Ra astfel nct ecuaiile de mai jos s aib rdcini (soluii) reale i distincte. a. 0ax1a2x1a 2 ; b. 0ax1a2x2a 2 ; c. 0ax3a2ax 2 ; d. 0a4x5a22ax 2 . 12. S se afle Ra astfel nct ecuaiile de mai jos s aib rdcini (soluii) reale i egale. a. 05ax1a2x3a 2 ; b. 0ax5a22x1a2 2 ; c. 01ax2a2ax2a 22 . 13. Se d ecuaia: 01ax2a2ax1a 22 . S se afle a, astfel nct ecuaia s aib o singur soluie.

    14. Se d ecuaia 03a5a16x1a8x 22 . S se afle a, astfel nct: a) Ecuaia s nu aib soluii; b) Ecuaia s aib o singur soluie; c) Ecuaia s aib dou soluii. 15. Rezolvai ecuaiile: 045 2 xx ; 023 2 xx , xZ; 084 2 xx , xQ\Z; 052 xx ; 813 2 xx ; 4322 xxx ;

    0644 2 x ; 02433 2 x ; 052 2 x ; 025 2 x ; 0162 2 x , xQ; 092 x , xR\Q; xxx 351 2 ; 1133 xx ;

    0342 xx ; 0752 2 xx ; 0232 xx ; 0743 2 xx , xQ\Z; 022 xx ; 0123 2 xx ; 01682 xx ; 0962 xx 16. Calculai aria i perimetrul unui triunghi dreptunghic care are ipotenuza

    102 cm, tiind c una din catete este cu 4 cm mai mic dect cealalt. 17. Gsii valoarea parametrului real m pentru care ecuaia

    125 2 mxx are soluii reale.

  • 42

    18. Scriei o ecuaie de gradul al doilea care s aib soluiile 11 i 11 . 19. Aflai un numr real care s fie cu 4,8 mai mare dect inversul su. 20. Demonstrai c pentru orice valoare a parametrului real a, ecuaia cu necunoscuta y: ayay 43 22 are soluii reale. Care sunt acestea ? 21. Se d ecuaia .01122 mxmmx Rezolvai ecuaia n cazurile:

    3;2;1;3;2 mmmmm ; 0m . 22. Calculai diagonala unui dreptunghi, tiind c perimetrul su este 16 m, iar aria 15 m2. 23. Stabilii n dou moduri dac exist dou numere naturale consecutive al cror produs s fie 304. 24. Un poligon convex are 275 diagonale. Cte laturi are poligonul? 25. Aflai dou numere reale care au media geometric 40 i media armonic 32. 26. Fie 2;1;1;2 A i funcia Af : R definit prin mf este suma soluiilor ecuaiei 0mx1m2x2m 2 . Calculai: 2f1f1f2f .

    27. Rezolvai ecuaia 022252 22 xxxx . 28. Artai c dac 0 cba atunci ecuaia 02 cbxax , a R* are soluiile 1 i

    ac .

    29. Artai c dac ecuaia 02 cbxax are soluiile i 1

    1;0 atunci ca .

    6. SISTEME DE ECUAII 1. S se rezolve sistemele:

    a)

    13

    832yx

    yx ; b)

    1423

    446yxyx

    ; c)

    5242

    yxyx

    ;

    d)

    26271753

    yxyx

    ; e)

    721543

    yxyx

    ; f)

    143268

    yxyx

  • 43

    g)

    9321235

    yxyx

    ; h)

    112794

    yxyx

    ; i)

    215354

    yxyx

    2. S se rezolve sistemele:

    a)

    52423

    yxyx

    ; b)

    2

    134yx

    yx; c)

    123163

    yxyx

    ;

    d)

    353

    yxyx

    ; e)

    122

    yxyx

    ; f)

    124yx

    yx;

    g)

    535847

    yxyx

    ; h)

    22123510

    yxyx

    ; i)

    532346532

    yxyyx

    3. S se rezolve sistemele:

    a)

    3235

    84253yxyx

    yx; b)

    63244323542127

    yxyxyx

    c)

    34235

    13523234yx

    yx; d)

    6232

    123574xyx

    xyx

    e)

    533283322

    yxyxyxyx

    ; f)

    1112

    237312

    22

    xxyx

    xyx

    g)

    22 31222

    15233924

    yxyxyx

    yyxh)

    15144

    511

    352

    43

    22

    1

    yx

    yxx

  • 44

    4. S se rezolve sistemele:

    a)

    791

    32

    931

    21

    yx

    yx; b)

    525

    772yx

    yx

    ; c)

    1634

    28

    235yx

    yx

    ;

    d)

    112

    232

    22 yxyxyx

    yx;

    e)

    1433

    22

    132

    15

    243

    432

    232

    xxxy

    xyxx

    5. Rezolvai sistemele de ecuaii:

    a)

    245

    134

    yx

    yx; b)

    11253

    8115

    yx

    yx; c)

    3

    23

    14

    12

    21

    3

    yx

    yx

    d)

    14

    25

    12

    62

    51

    2

    yx

    yx; e)

    61

    522

    15

    109

    523

    14

    yxyx

    yxyx\

    6. Rezolvai sistemele de ecuaii:

    a)

    16.8511

    yxyx ; b)

    1212711

    xyyx ; c)

    14

    152

    yxyx ;

  • 45

    d)

    4

    322

    7329

    132

    4732

    3

    yxyx

    yxyx; e)

    4132

    43

    xyyx

    xyyx

    ;

    f)

    65

    224

    34

    242

    yxyyx

    yxyyx

    ; g)

    301815

    yzxzxy

    ;

    h)

    xzzzyyyxx

    311035331103533110353

    ; i)2 x + y = 5

    x - y = 1

    ;

    j)

    0101

    2

    2

    byxbayxa

    .

    7. Fie 322324 xbxxaxxE . S se determine numerele ntregi a i b astfel nct 01 E . 8. Rezolvai n RR ecuaiile: 0853445 2 yxyx 012322 2 yxyx

    04962 yxxx

  • 46

    7. INECUAII DE GRADUL I CU O NECUNOSCUT 1. S se rezolve inecuaiile:

    a)

    0123062

    0302

    xx

    xx

    b)

    142483221741735

    xx

    xx

    c)

    xxxx

    xxxx

    53651229127827337

    d)

    11453423

    32121

    592732325325653

    222

    222

    xxx

    xxx

    xxxxx

    132122 22 xxx 2. Rezolvai sistemele de inecuaii:

    a)

    153712

    xx

    ; b)

    12641395

    xxxx

    ;

    c)

    83234932763147253

    xxxx

    ;

    d)

    745365213542

    xxxxx

    e)

    81107323332 2

    xxxxx

    f) 23

    26

    2 xxx

    g) 2

    23

    426

    1 xxx

    3. Rezolvai inecuaiile: a) 0412 2 xxx ; b) 0241 2 xx ; c) 02147 2 xxx ;

  • 47

    d) 0572 xxx ; e) 01242 xx ; f) 0252 xxx ; g) 0417 xxx ; h) 088 xxx ; i) 05,725 xx ; j) 0

    413 x ;

    k) 32

    1352 xxx . 4. Rezolvai n R inecuaiile: a) 3

    21

    xx ; b) 0

    2319

    x

    x ; c) 085

    xx ; d) 0

    1362

    xx ;

    e) 096

    xx ; f) 0

    415,15

    xx ; g) 0

    8,54,1

    xx ; h) 0

    11

    xx ;

    i) 08

    5 x ; j) 1353

    xx ; k) 2

    274

    x

    x ; l) 113

    2

    xx ;

    m) 01112

    xx

    xx ; n) 24

    73

    xx ; o)

    23

    5124

    xx ;

    p) 04

    3312

    2

    xxxxx .

    5. Determinai mulimea

    231

    312/ xxxZxA .

    6. Fie mulimile: 0134/ xxRxA i 0812/ xRxB . S se calculeze BA ; BA ; BA ; AB . 7. Dac 712/ xRxA i 1;1923/ xxRxB aflai A, B, BA , BA ; NA ; ZB . 8. Artai c: 012 xx ; x 2 -4x+5>0; x 2 -6x+10>0.

  • 48

    9. Determinai x asfel nct: a) 0

    11211

    24

    2

    xxxxxx ; b) 0136422 yxyx .

    10. Dac x, y, z, a, b, c verific simultan relaiile ayx 2 , bzy 2 ,

    cxz 2 artai c 222222 zyxcba . 11. tiind c x+y+z=3, artai c 21131211 zyx 12.tiind c 9x+8y+7z=8, artai c: 10573819 zyx . 13. Dac a+b+c+d= 2, artai c:

    1965656565 dcba 14. Determinai numerele reale x,y,z astfel nct

    82610136294 222 zzyyxx 15. Aflai numerele reale a,b,c tiind c:

    6451217852 222 ccbbaa 16. Determinai numerele reale x, y, z astfel nct :

    058282624222 zyxzyx 17. Fie numerele x i y reale diferite de zero astfel nct

    050282622 yxyx . Aflai numerele x i y i calculai yxxy

    xyyx

    267.

    18. tiind c x 2 +y 2 +4 3 x-10 2 y+62=0, calculai 22

    22

    4610

    xyyxyx

    19. tiind c 029864222 cbacba , calculai 22 bacba

    .

  • 49

    20. Artai c :

    032220681242010

    0444255015642

    22

    22

    22

    222

    baabbabaabba

    baabbacbacba

    21.Fie mulimile 43/ xRxA i 10,7B . Calculai BA , BA , BA , AB . 22.Se dau mulimile: 532/ xRxA i

    11427

    28/xxx

    xRxB .

    Calculai BA , BA , ZAB .

    23. Ordonai cresctor numerele: 1, x, x2, x3, x1 , 2

    1x

    , 31x

    .

    24. S se arate c: 11,21272 2222

    baabbaE

    25. Dac a,bZ, astfel nct 35212,324,ba , atunci a+b este: 1). 2; 2). 8; 3). 7; 4) alt rspuns.

  • 50

    x

    20cm

    5cm

    15cm

    8. PROBLEME CARE SE REZOLVA CU AJUTORUL ECUAIILOR 1. S se afle numrul ntreg, tiind c nmulindu-l cu 3

    5 obinem acelai

    rezultat ca atunci cnd l mrim cu 20. 2. Suma a cinci numere consecutive este 175. Aflai numerele. 3. Peste 20 de ani vrsta unei persoane va fi de dou ori mai mare dect vrsta pe care a avut-o acum 5 ani. Ce vrst are aceea persoan? 4. O scndur lung de 150 cm se taie n dou, astfel nct una dintre bucile este cu 78 cm mai lung, dect cealalt. Ce lungime are fiecare bucat? 5. Calculai aria unui dreptunghi, care are perimetrul de 40 cm i lungimea unei laturi este triplul altei laturi.

    6. ntr-o clas sunt 29 elevi. Numrul fetelor este cu 7 mai mare dect numrul bieilor. Ci biei i cte fete sunt n clas? 7. Un gospodar glume are iepuri i porumbei. Fiind ntrebat ci iepuri i ci porumbei are, aceste a rspuns: n total 15 capete i 34 picioare. Ci iepuri i ci porumbei are gospodarul? 8. Fie desenul alturat. Afl x astfel nct ariile celor dou dreptunghiuri haurate s fie egale.

    9. Aria unui trapez este de 88 cm2. Lungimea bazei mari este de 15 cm, iar nlimea trapezului este de 8 cm. Afl lungimea bazei mici. 10. Dac suma a trei numere naturale consecutive se mparte la 16 se obine ctul 9 i restul 6. Care sunt numerele? 11. Suma a 3 numere naturale consecutive este 33. Aflai primul numr.

  • 51

    12. Suma a 9 numere naturale consecutive este 90. Aflai produsul primelor dou numere. 13. S se afle suma a 12 numere naturale consecutive tiind c produsul primelor dou numere este 132. 14. S se afle suma a 6 numere naturale consecutive tiind c produsul dintre cel mai mic i cel mai mare dintre numere este 50. 15. S se afle n dac suma numerelor naturale, consecutive, de la n la ptratul lui n (inclusiv) este 130. 16. S se afle media aritmetic a trei numere naturale consecutive dac suma ptratelor lor este 3677. 17. S se afle suma a cinci numere naturale consecutive dac suma ptratelor lor este 1811. 18. Doi copii au mpreun 350 lei. Dac primul ar primi de la cellalt 35 lei, atunci ei ar avea sume egale. Ci lei are primul?

    19. Doi copii au mpreun 400 lei. Dac primul i-ar da celuilalt 80 lei, atunci el ar avea o sum de patru ori mai mic dect cel de-al doilea. Ci lei are primul?

    20. Doi copii au mpreun 450 lei. Dup ce primul cheltuiete 10% din banii lui, ei au mpreun 432 lei. Ci lei avea primul? 21. Doi copii au mpreun 250 lei. Dup ce primul cheltuiete 10% din banii lui iar al doilea cheltuiete 40% din banii lui, ei au sume egale. Ci lei avea primul?

    22. Doi copii au mpreun 350 lei. Dup ce primul cheltuiete 10% din banii lui iar al doilea primete nc 20% din banii lui, ei au mpreun 378 lei. Ci lei avea primul?

  • 52

    23. Doi copii au mpreun 450 lei. Dup ce primul primete nc 10% din banii lui iar al doilea primete nc 20% din banii lui, ei au mpreun 522 lei. Ci lei avea primul? 24. Doi copii au mpreun 200 lei. Dup ce primul cheltuiete 10% din banii lui iar al doilea cheltuiete 20% din banii lui, ei au mpreun 168 lei. Ci lei avea primul? 25. Doi copii au mpreun 350 lei. Dup ce primul d celuilalt 10% din banii lui i cel de-al doilea ii d primului 25% din banii pe care i are n acel moment, primul constat c are cu 14 lei mai mult dect al doilea. Ci lei avea primul?

    26. Doi copii au mpreun 300 lei. Dup ce al doilea d primului 20% din banii pe care i are, primul constat c are cu 12 lei mai mult dect al doilea. Ci lei avea primul? 27. n dou librrii erau 1500 cri. Din prima librrie s-a vndut 10% din cri iar n a doua s-a adus 10% din numrul crilor existente. n total, n cele doua librrii sunt 1530 cri. Cte cri sunt acum n prima librrie? 28. n dou librrii erau 2500 cri. Din prima librrie s-a vndut 10% din cantitatea de cri ramnnd, n cele dou librrii 2400 cri. Cte cri sunt acum n prima librrie? 29. ntr-o bibliotec sunt cu 700 mai puine cri dect n alta. Biblioteca mai 'bogat' doneaz primei biblioteci 10% din fondul su de carte. Astfel n prima bibliotec sunt doar cu 280 cri mai puine dect n cealalt. Cte cri sunt acum n prima bibliotec? 30. ntr-o ferm sunt gini i iepuri: 159 capete i 452 picioare. Ci iepuri sunt n ferm? 31. Suma de 105 lei s-a pltit cu 14 bancnote de 10 lei i 5 lei. Cte bancnote de 5 lei s-au dat?

  • 53

    32. Cu 732 lei s-au cumprat 46 caiete de 8 lei/bucat lei i 22 lei/bucat. Cte caiete de 22 lei/bucat s-au cumprat? 33. Cantitatea de 2940 kg s-a livrat n 41 saci de cte 80 kg i 60 kg. Ci saci de 80 kg s-au livrat? 34. n dou cutii sunt bile. n a doua cutie sunt cu 50 bile mai multe ca n prima cutie. Dac n prima cutie se pun 10 bile iar din a doua lum 1/2 din numrul bilelor, atunci n prima cutie sunt cu 60 bile mai multe dect n a doua cutie. Cte bile erau la nceput n prima cutie?

    35. n dou cutii sunt bile. n a doua cutie sunt cu 45 bile mai multe ca n prima cutie. Dac din prima cutie se iau 45 bile iar dina doua lum 1/2 din numrul bilelor, atunci n cele dou cutii avem acelai numr de bile. Cte bile erau la nceput n prima cutie?

    36. n dou cutii sunt bile. n a doua cutie sunt cu 25 bile mai multe ca n prima cutie. Dac n prima cutie se adaug 1/5 din numrul de bile existente iar din a doua se ia 10% din numrul bilelor, n cele dou cutii avem acelai numr de bile. Cte bile erau la nceput n prima cutie? 37. Dou robinete pot umple mpreun un bazin n 40 ore. tiind c dup ce ambele robinete curg 30 ore, al doilea robinet se nchide iar primul

    robinet umple restul bazinului n 18 ore, aflai n cte ore umple bazinul al doilea robinet, curgnd singur?

    38. Dou robinete pot umple mpreun un bazin n 24 ore. tiind c dup ce ambele robinete curg 20 ore, al doilea robinet se nchide iar primul

    robinet umple restul bazinului n 7 ore, aflai n cte ore umple bazinul primul robinet, curgnd singur?

    39. Doi muncitori pot termina mpreun o lucrare n 24 ore. tiind lucrarea poate fi terminat i dac primul ar lucra 27 ore i al doilea doilea

  • 54

    ar lucra 20 ore, aflai n cte ore poate termina lucrarea primul muncitor, lucrnd singur.

    40. Doi muncitori pot termina mpreun o lucrare n 84 ore. tiind lucrarea poate fi terminat i dac primul ar lucra 108 ore i al doilea ar lucra 56 ore, aflai n cte ore poate termina lucrarea al doilea muncitor, lucrnd singur.

    41. Doi muncitori pot termina o lucrare, lucrnd mpreun, n 112 ore. tiind c dup ce lucreaz mpreun 72 ore, al doilea muncitor pleac iar primul termin restul lucrrii n 75 ore, aflai n cte ore ar termina al doilea muncitor ntreaga lucrare, lucrnd singur?

    42. Un motociclist parcurge o distan de 240km cu o vitez mai mic cu 20km/h dect i-a propus iniial i ajunge la destinaie cu o or mai trziu. Care a fost viteza motociclistului? (ec de gradul II)

    43. Perimetrul unui dreptunghi este 84m. lungimea este cu 18m mai mare dect limea. S se afle dimensiunile dreptunghiului. 44. O main consum 8 l benzin la suta de kilometri, iar alta consum 12 l la suta de kilometri. ntr-o zi ambele maini au parcurs 2400 km i au consumat 208 l benzin. Ci kilometri a strbtut fiecare main? 45. ntr-o curte sunt gini i iepuri care mpreun au 37 capete i 118 picioare. Cte gini i ci iepuri sunt n curte? 46. ntr-un dreptunghi, o latur este de 5 ori mai mare dect cealalt, iar aria dreptunghiului este 80cm2. S se afle perimetrul dreptunghiului.

  • 55

    GEOMETRIE

    I. PUNCTE, DREPTE, PLANE 1. Poziii relative ale dreptelor i planelor n spaiu 1) Dndu-se patru puncte necoplanare A, B, C, D, cte drepte se pot duce, dac le unim dou cte dou? 2) Se dau 5 puncte: A, B, C, D, E ntr-un plan i n afara lui un punct M. Care este cel mai mare numr de plane determinate de trei dintre ele? Dar cel mai mic numr de plane? 3) Dac ntr-un plan avem 5 puncte: A,B,C,D,E i n afara lui un punct M, care este cel mai mare numr de drepte care s treac prin cel puin dou dintre ele? Dar cel mai mic? 4) Fie patru puncte necoplanare: A,B,C,D i E,F,G,H mijloacele segmentelor AB, BD, CD, respectiv AC. Artai c punctele: E,F,G,H sunt coplanare. 5) Dou paralelograme ABCD i EFBC au latura BC comun i sunt situate n plane diferite. Demonstrai c AD || EF. 6) Fie patru puncte necoplanare A, B, C, D i un plan ce taie cele patru segmente AB, BC, CD, i DA, respectiv n punctele E, F, G, H. S se arate c planele ECD, FAD, GAB i HBC au un punct comun. 7) Fie punctele A, B, C, D necoplanare i E, F, G, H, K, L mijloacele segmentelor AB, BC, CD, DA, AC, respectiv BD. S se arate c: a) EFGH, EKGL, HKFL sunt paralelograme. b) Dreptele EG, FH i KL sunt concurente. 8) Fie trei plane paralele echidistante , i i punctele A, B n planul i C, D n planul . Dreptele AC, BC, BD, AD taie planul n punctele E, F, G, H. Artai c EFGH este paralelogram. n ce situaii devine romb, dreptunghi, ptrat. 9) Trei plane paralele , , sunt tiate de o secant n punctele A, B i C. tiind c distana dintre i este de 10 cm, distana dintre i este de 6 cm, iar AC este de 24 cm. Calculai lungimea segmentelor AB i BC.

  • 56

    10) Laturile unui patrulater strmb ABCD sunt tiate de planul n punctele M, N, P, Q (M AB, NBC, PCD, QDA). Artai c:

    MBAM .

    NCBN .

    PDCP .

    QADQ =1.

    11) Se dau patru puncte necoplanare A, B, C, D i se duc bisectoarele AE i AF unghiurilor DAB, respectiv DAC (EBD, FCD). Dac ABAC, artai c EF||(ABC). 12) Se dau punctele necoplanare A,B,C,D i punctele G1 ,G 2 ,G 3 centrele de greutate ale triunghiurilor ABD, BCD, respectiv ACD. Demonstrai c planele (G1 G 2 G 3 ) i (ABC) sunt paralele. 13) Fie punctele A,B,C,D necoplanare i BB bisectoarea unghiului ABC, BB bisectoarea unghiului ABD. tiind c AE BB i AF BB, demonstrai c EF este paralel cu planul DBC. 14) Fie punctele A,B,C,D necoplanare, iar P,Q,M mijloacele segmentelor AB, AD, respectiv DC. Ducem AA bisectoarea BAC i BN AA(NAC, BNAA={F}), AE DN. Dac EF||PQ artai c: a) AB=AD; b) punctele B,Q,E,M sunt coplanare. 15) Fie A,B,C,D patru puncte necoplanare. Printr-un punct M de pe segmentul AB, se duce un plan paralel cu AC i BD, care intersecteaz BC n N , CD n P i AD n Q; a) artai c patrulaterul MNPQ este paralelogram. b) n cazul n care AM=a, AB=8cm, AC=15cm i BD=9cm, s se calculeze n funcie de a, perimetrul paralelogramului MNPQ. c) determinai aria maxim a lui MNPQ. 16) Fie ABCD un ptrat i M un punct exterior planului (ABC) astfel nct MAMCAB. Aflai msura unghiului BMD. 17) Fie A, B, C, D puncte necoplanare astfel nct ACDC, iar M i N centrele de greutate ale triunghiurilor BCD i respective ABC. Dac CP i CQ sunt bisectoarele unghiurilor BCD, respectiv BCA, s se arate c punctele M,N,P,Q sunt coplanare.

  • 57

    18) Se dau punctele necoplanare A,B,C,D i fie M mijlocul lui AC, N mijlocul lui BM, P mijlocul lui CN i Q mijlocul lui BP. S se demonstreze c: a) punctele A,N,Q,D sunt coplanare. b) MP||(AND). 19) Se consider ptratul ABCD de latur AB=16cm i M un punct ce nu aparine planului (ABC) astfel nct MA=8 6 cm, MB=MD=16cm i fie E mijlocul lui BC. Stabilii natura triunghiului MEC i calculai aria lui. 20) Fie punctele necoplanare A,B,C,D astfel nct AB=AC=25cm, BD=DC=10 5 cm, AD=5 5 cm, BC= 40 cm. Calculai aria triunghiului ADE, unde E este mijlocul lui BC. 21) n paralelipipedul ABCDMNPQ stabilii poziiile dreptelor: AN i BM, AP i MC, BC i MQ, AQ i BP, MN i BC, AN i BP. Dac E i F sunt respectiv mijloacele laturilor MQ i PQ, artai c dreptele AE, CF i DQ sunt concurente. 22) Fie triunghiul echilateral ABC de latur 10 3 cm i D un punct n afara planului (ABC) astfel nct DADBDC=15cm i O mijlocul laturii BC. Se cere: aria triunghiului AOD i distana de la D la AO. 23) n tetraedrul ABCD se dau punctele E i F mijloacele muchiilor BC, respectiv BD. Artai c EF || (ACD). 24) n tetraedrul ABCD, fie M i N centrele de greutate ale triunghiurilor ABC i BCD. Artai c MN este paralel cu planele ABD i ACD. 25) Triunghiul dreptunghic ABC ( A =90 0 ) are cateta AB inclus n planul . Pe latura AC=15cm se ia un punct E astfel nct

    EACE =

    41 , iar pe latura

    BC se ia punctul F astfel nct BF=20cm. tiind c AB=20cm, stabilii poziia dreptei EF fa de planul . 26) n paralelipipedul dreptunghic ABCDABCD avem AA= =AB=2 3cm, iar BC=2cm. Aflai: -unghiul format de dreptele AD i BC; - unghiul format de CC i AB; - unghiul format de BD i CD.

  • 58

    27) n cubul ABCDABCD stabilii poziia muchiei AD fa de planul BCDA i a dreptei BA fa de planul CDDC. 28) Fie ABCD un tetraedru i punctele M, N, P ce aparin dreptelor AD, BD, respective CD astfel nct:

    MAMD =

    43 ,

    BDNB =

    74 ,

    DCPD =

    73 . Determinai poziia

    planului (MNP) fa de (ABC). 29) Fie prisma triunghiular regulat dreapt ABCABC. Determinai unghiul format de dreptele: AB i CC; AB i AC; BC i AC; BC i AB. 30) Fie ABCABC o prism triunghiular regulat dreapt cu latura bazei de 6 cm i muchia lateral de 6 2 cm. Aflai: a) unghiul dintre AC i BC; b) cosinusul unghiului format de BC i AA. 2. PERPENDICULARITATE N SPAIU 1) Pe planul triunghiului ABC cu AB=4cm se duc perpendicularele AABB=3cm. Dac ACBC=5cm, artai c triunghiul ABC este echilateral. 2) Pe planul triunghiului ABC se ridic perpendiculara AA astfel nct AA=AB=BC=8cm. Dac AC=8 2 cm, artai c triunghiul ABC este echilateral. 3) Fie ABCD un ptrat de latur 6cm. Pe planul ptratului se ridic perpendicularele AA, BB, CC, DD de lungimi 3cm, 6cm, 4cm, respectiv 9cm. S se afle distanele AB, BC, CD, AD, AC, BD. 4) Pe planul dreptunghiului ABCD se construiesc perpendicularele AA=17cm, BB=12cm, DD=21cm. Dac AB=13cm, iar AD=5cm, aflai laturile dreptunghiului ABCD. 5) Pe planul dreptunghiului ABCD se construiesc perpendicularele AA=9cm, CC=7cm, DD=15cm. tiind c AD=10cm i CD=17cm, aflai aria dreptunghiului ABCD.

  • 59

    6) Fie dreptunghiul ABCD de laturi AB=16cm i BC=12cm. Pe planul dreptunghiului se ridic perpendicularele AA=14cm, BB=2cm i CC=11cm. Aflai lungimile segmentelor AB i BC. 7) Pe planul triunghiului isoscel ABC cu AB=AC=15cm i BC=18cm se ridic perpendiculara AM=16cm. Dac E este mijlocul laturii BC, calculai lungimile segmentelor MB i ME. 8) Pe planul triunghiului dreptunghic ABC, cu ( A )=90 0 , AB= 6cm i AC=6 3 cm se ridic perpendiculara AD=12 2 cm. S se afle distanele DB, DC i DO (O este mijlocul ipotenuzei BC). 9) Pe planul triunghiului echilateral ABC de latur 12cm se ridic perpendiculara MB=4cm. Aflai distana de la M la centrul de greutate al triunghiului. 10) n triunghiul ABC avem AB=10cm, AC=17cm, BC=21cm. Dac ADBC, (DBC), MD (ABC), MD=6cm, aflai lungimile segmentelor MB i MA. 11) Pe planul triunghiului isoscel ABC, cu laturile AB=AC = 40cm, BC=48cm, se consider un punct M n afara planului astfel nct distana de la M la vrfurile triunghiului s fie de 25 2 cm. S se afle distana de la M la planul (ABC). 12) Pe planul dreptunghiului ABCD de laturi 9cm i 12cm se ridic de aceeai parte perpendicularele AM=25cm i CN=5cm. S se afle distana de la punctul de intersecie al diagonalelor dreptunghiului la dreapta MN. 13) Pe planul ptratului ABCD de centru O i latur 8cm se ridic de aceeai parte perpendicularele AE i CF astfel nct AE=8cm. S se afle CF astfel nct unghiul EOF s fie drept. 14) Piramida triunghiular regulat VABC are muchia lateral 6 13 cm i latura bazei 18 3 cm. S se calculeze nlimea piramidei. 15) Piramida patrulater regulat VABCD are muchia lateral 6 3 i latura bazei 12cm. Calculai nlimea piramidei.

  • 60

    16) Pe planul dreptunghiului ABCD se duc perpendicularele AM i CN. DacAB=4cm, BC=3cm, DM=5cm i CN=8cm, calculai distana dintre M i N. 17) Se d ptratul ABCD de latur 10cm. De aceeai parte pe planul ptratului se ridic perpendicularele BB, CC, DD astfel nct BB= 5cm, CC=10cm i DD= 5cm. S se demonstreze c punctele ABCD sunt coplanare. Dac BCBC={M} i CDCD={N}, s se calculeze aria triunghiului MNC. 18) Fie cubul ABCDABCD. Indicai o dreapt perpendicular pe muchia BC. Indicai o dreapt perpendicular pe dreapta BD. 19) Un cub ABCDABCD are muchia de 10cm. Aflai distana de la un vrf al cubului la o diagonal a sa. Dac AM BD, aflai valoarea raportului

    'BDBM .

    20) Pe planul ptratului ABCD de latur a, se ridic perpendiculara AM. Calculai lungimea lui AM tiind c triunghiul MBD este echilateral. 21) Fie triunghiul ABC echilateral n care AB= 4 3 cm, M mijlocul lui [AC], BN i MP perpendiculare pe (ABC), BN= 4cm, MP=12cm, PN(ABC)={Q}. S se calculeze lungimea segmentului PQ. 22) Pe planul dreptunghiului ABCD, cu AB>AD se ridic perpendiculara DM, astfel nct DM=12cm. Fie N i P mijloacele segmentelor MB, respective MC. a) S se arate c triunghiul NBC este isoscel. b) S se arate c AM || (BDP), iar (ANC) (ABC). c) Dac AD= 3cm i DC= 4cm, calculai lungimea MB. 23) Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare. Dac AB CD i AC BD, artai c AD BC. 24) Pe planul trapezului dreptunghic ABCD se ridic perpendicularele CE i DF. tiind c AB||CD, AD AB, ADDCDF=a, ABCE=2a. a) Artai c BC || (AEF); b) Artai c BC AE; c) Aflai msura unghiului format de dreptele AF i BC.

  • 61

    25) Se d triunghiul dreptunghic ABC ale crui catete sunt: AB=2 2 , AC=

    3 i se ridic perpendicularele pe A, B, C. a) Dac AA=9cm, BB=5cm, CC=3cm, artai c triunghiul ABC este dreptunghic; b) Dac AA=4cm, BB=2cm, iar CC=1cm, artai c triunghiul ABC este echilateral. 26) Fie M un punct situat la distana MA=4cm de un plan i la distana MB=12cm de un plan , paralel cu . Dac BD este un segment de dreapt de lungime 9cm situat n planul , iar MD intersecteaz planul n E, aflai perimetrul triunghiului MAE. 3. TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULARE 1) n vrful A al triunghiului dreptunghic ABC (A=90 0 ) se ridic perpendiculara AA=5cm. tiind c AB=15cm, AC=20cm, s se determine distana de la punctul A la BC. 2) Pe cercul (C) de centru O i raz r se iau dou puncte A i B astfel nct arcul AB are msura de 90 0 . n O se ridic perpendiculara pe planul cercului pe care se ia OC= r. S se determine distana de la C la coarda AB. 3) n vrful A al triunghiului dreptunghic ABC ( A =90 0 ) se ridic perpendiculara pe planul triunghiului pe care se ia AD=a. tiind c AB=a, AC=a 2 , s se determine distana de la D la latura BC. 4) n punctul A al dreptunghiului ABCD se ridic perpendiculara AM=12cm. tiind c laturile AB= 5cm i AD= 9cm, aflai distanele de la punctul M la laturile BC i CD. 5) Fie dreptunghiul ABCD de laturi AB= 30cm i AD= 40cm. n vrful A se ridic perpendiculara AM=10cm. Aflai distanele de la M la laturile BC, CD precum i distana la dreapta BD. 6) n punctul D, piciorul nlimii din A a triunghiului echilateral ABC de latur a, se ridic perpendiculara pe planul triunghiului pe care se ia un

  • 62

    punct M astfel nct DM=a. S se calculeze distanele de la M la vrfurile i laturile triunghiului ABC. 7) n vrful A al dreptunghiului ABCD se ridic perpendiculara pe planul dreptunghiului pe care se ia un punct M. Se cunosc distanele MD=12cm, MC=13cm, MB=4 3 cm. S se determine laturile dreptunghiului i distana de la M la planul dreptunghiului. 8) Pe planul triunghiului isoscel ABC, ABAC=15cm i BC=18 cm se ridic perpendiculara AM egal cu 12 3 cm. S se afle distana de la punctul M la latura BC. 9) Pe planul triunghiului dreptunghic ABC, m( A )=90 0 , se ridic perpendiculara AM= 3cm. tiind c AB= 6cm i AC= 6 3 cm, s se afle distana de la M la dreapta BC. 10) Fie triunghiul echilateral ABC de latur 12 3 cm. n punctul A se ridic perpendiculara SA pe planul triunghiului astfel nct SA=9cm. Aflai aria triunghiului SBC. 11) Fie triunghiul dreptunghic isoscel cu ABAC= 6 cm. Dac SA (ABC) i SA= 4 2 cm. Aflai aria triunghiului SBC. 12) n triunghiul echilateral ABC de latur 8 3 cm se duce perpendiculara SO pe planul triunghiului, O este centrul cercului circumscris triunghiului. tiind c SO= 3 cm, aflai lungimea SA i aria triunghiului SBC. 13) Pe planul triunghiului isoscel ABC, ABAC= 26cm i BC= 48cm se ridic perpendiculara AM=10 3 cm. S se afle distana de la M la BC. 14) Pe planul trapezului isoscel ABCD, cu AB>CD, AD=CD=BC=10 cm i unghiurile ascuite egale cu 60 0 , se ridic perpendiculara AM=10cm. S se afle distanele de la M la dreptele BC, BD i CD. 15) Pe planul dreptunghiului ABCD, n punctul O, intersectia diagonalelor, se ridic perpendiculara OM=8 cm. DacAB=30 cm, BC=12cm, s se afle distanele de la M la laturile AB i BC.

  • 63

    16) Fie triunghiul dreptunghic ABC, cu AB=6cm, BC=10cm. n punctul O, mijlocul laturii BC, se ridic perpemdiculara MO=5cm. Calculai lungimea segmentului MA i distanele de la punctul M la laturile AB i AC. 17) Se d rombul ABCD cu A =120 0 i BC=12cm. n punctul A se ridic perpendiculara AM=6 2 cm. Aflai lungimea segmentului MC i distanele de la M la laturile rombului. Dac N este mijlocul lui MC, artai c NBND. 18) n triunghiul isoscel ABC, avem ABAC=3 10 cm, BC=6cm. n punctul G, centrul de greutate al triunghiului, se ridic perpendiculara MG=3cm. Aflai distanele de la punctul M la vrfurile i laturile triunghiului. 19) Fie ABCD un dreptunghi. n vrful A se ridic perpendiculara AM astfel nct MB=20cm, MC=5 17 cm, MD=13cm. a) S se arate c: MBC i MDC sunt dreptunghice. b) Aflai distanele de la A la MB i de la M la ABD. 20) n vrful A al triunghiului ABC, ( A =90 0 ) se ridic perpendiculara pe planul triunghiului pe care se ia un punct M astfel nct AM=2 3 cm. tiind c proieciile catetelor triunghiului ABC pe ipotenuz sunt direct proporionale cu numerele 2 i 4,5, iar ipotenuza este de 13cm, s se afle distana de la M la BC. 21) Pe planul triunghiului dreptunghic ABC cu catetele AB=30cm i AC= 40cm, se ridic perpendiculara AM=32cm. Aflai distana de la punctual M la ipotenuza BC. 22) n dreptunghiul ABCD, MA (ABC), N mijlocul lui (BC), MA=4 3cm, AB=2 3 cm, MD= 8cm. S se determine distana de la M la DN. 23) Fie ABCD un trapez dreptunghic cu AD||BC, A = B =90 0 , AD=a, BC=2a i AB=2a. Pe perpendiculara n O, mijlocul segmentului AB, pe planul trapezului se ia un segment OM= a. S se calculeze distanele de la M la laturile trapezului.

  • 64

    24) n punctul D al paralelogramului ABCD de laturi AB=2a, AD=a i A=60 0 se ridic perpendiculara DM=a i punctul P mijlocul segmentului MB. a) S se arate c triunghiurile APC i BPD sunt isoscele. b) S se calculeze distanele de la punctul M la laturile AB i BC. 25) n vrful A al paralelogramului ABCD, cu A =120 0 , se ridic perpendiculara pe plan, AM=12cm. tiind c laturile AB=24 3 cm i BC=16 3 cm, s se afle distanele de la M la laturile i vrfurile paralelogramului. 26) Se consider trapezul ABCD (AB||CD) n care AB=AD=5cm, BC=6cm, CD=10cm i MB (ABC). a) S se demonstreze c MC BD. b) S se calculeze distanele de la M la dreptele CD i AD tiind c MB=2cm. 27) n triunghiul ABC, m ( A )=90 0 , AB=6cm, m( B )=60 0 , MA (ABC), MA=3 2 cm. Aflai distanele de la M la BC i de la M la centrul cercului circumscris triunghiului. 28) Pe planul triunghiului echilateral ABC de latur 12cm se ridic perpendicularele AM i BN. tiind c BN=12cm, s se gseasc AM astfel nct:

    a) triunghiul MNC s fie dreptunghic ( ^N =90 0 ) b) triunghiul MNC s fie isoscel (MN=MC). 29) Pe planul rombului ABCD, AB=8 3 , m (BAD)=60 0 , se duce perpendiculara MA=12cm. Se cere s se afle: a) distana de la M la punctul G centrul de greutate al triunghiul DBC; b) tangenta unghiului format de dreptele MB i CD; c) artai c MB BG. 30) Fie dreptele OA, OB, OC perpendiculare dou cte dou ntr-un punct O astfel nct OA=10cm, OB=30cm, OC=40cm. Artai c S 2ABC =S 2OAB +S 2OBC +S 2OAC .

  • 65

    31) n vrful A al triunghiului dreptunghic ABC, m( A )=90 0 , se ridic perpendiculara pe planul triunghiului, pe care se ia AM=10cm. tiind c AB=30cm i AC=40cm, calculai: a) aria triunghiului MBC; b) distana de la punctual A la planul (MBC). 32) Fie triunghiul dreptunghic ABC, m( B )=90 0 , AB=6cm, m(BAC)=600 .Dintr-un punct M ce nu aparine planului triunghiului se duce perpendiculara MO, OAC pe planul triunghiului astfel nct MAMC=12cm. Se cere: a) distana de la punctul M la planul (ABC). b) s se arate c MB=AC. 33) Pe planul triunghiului echilateral ABC,cu AB=3a, n punctul M(AB) astfel nct BM=a, se ridic perpendiculara MN. DeterminaiMN astfel nct raportul ariilor triunghiurilor NAC i NBC este 2 . 34) Fie A,B,C,D puncte necoplanare i AA (BCD); A (BCD), DD(ABC), D(ABC). Demonstrai c AA i DD sunt concurente dac i numai dac AD BC 35) Pe planul rombului ABCD cu latura egal cu diagonala BD=12cm se ridic perpendiculara AP egala cu 6cm. S se afle distanele de la punctul P la dreptele BC, BD i CD. 36) Pe planul ptratului de latur 16cm se ridic perpendiculara AM egal cu 12cm. S se afle distanele de la punctul M la laturile i diagonala BD ale ptratului. 37) Pe planul triunghiului echilateral ABC,de latur a se ridic n A i B perpendicularele AM i BN astfel nct AM=2.BN.Se cere s se afle: a) Ce fel de triunghi este MNC? b) Ce lungime trebuie s aib BN astfel nct triunghiul MCN s fie dreptunghic? 38) Pe planul dreptunghiului ABCD se ridic perpendiculara MA=12cm astfel nct unghiul diedru format de planele (MBC) i (ABC) s aib msura de 30 0 , iar unghiul diedru format de planele (MDC) i (ADC) s aib msura de 60 0 . S se afle: a) lungimile laturilor AB i BC.

  • 66

    b) distana de la punctual M la diagonala BD, precum i distana de la punctul A la planul (MBD). c) tangenta unghiului format de planele (MBD) i (ABC). 39) Fie cubul ABCDABCD cu AA=8cm, M (AB), N(BC) astfel nct AMBN=2cm. tiind c DMAN={0}, demonstrai c DM AN i calculai distana de la A la DM. 40) Fie ABCDABCD un paralelipiped dreptunghic cu AB=10cm, AD=30cm, AA=40cm. Se cere distana de la A la BC. 41) Dreptunghiul ABCD are AB=BC. 2 cm. Pe planul dreptunghiului se ridic perpendiculara AP egal cu 12 cm, iar unghiul BPC s aib msura de 30 0 . S se afle:a) Distana de la punctul P la dreptele BC i CD, b) Distana de la punctual P la diagonala BD, precum i distana de la A la planul (PBD). c) Msura unghiului diedru format de planele (PDC) i (ABC). 42) Pe planul triunghiului dreptunghic isoscel ABC (ABAC=10 cm) ducem perpendiculara AA=10cm. Din A ducem un segment AD=10 2cm perpendicular pe AA. Dac BD este perpendicular pe AB i dac D este de aceeai parte a planului AAB ca i C, atunci triunghiul DBC este echilateral. 43) Pe planul ptratului ABCD se ridic perpendiculara DM. Dac DEMC i DF MA, artai c: a) EF||(ABC) ; b) dreptele AE, CF i MO sunt concurente, unde {O}=ACBD. 44) n triunghiul ABC, AB=a 7 , AC=3a, BC=4a, iar AD este mediana din A (DBC). n D se ridic DE (ABC) i se ia DE=2a 3 . Se cere: a) distana de la E la ortocentrul triunghiului ABC. b) distana de la D la planul (EAB). c) msura unghiului format de EA cu planul (ABC).

  • 67

    4. PLANE PERPENDICULARE 1) n dreptunghiul ABCD cu laturile AB=31cm, BC=12cm se iau punctele M pe AB i N pe CD astfel nct MN || BC i AM=15cm. Se ndoaie dreptunghiul dup MN pn cnd planele AMD i BMC devin perpendiculare. S se afle lungimea segmentului AC dup ndoire. 2) Dreptunghiul ABCD cu laturile AB=16cm, BC=3cm, se ndoaie dup dreapta MN (unde MAB, NCD) astfel nct AM=3.MB i MN||BC, pn cnd planele AMN i BMN devin perpendiculare. Aflai lungimea segmentului AC dup ndoire. 3) Dreptunghiul ABCD se ndoaie de-a lungul diagonalei BD, pn cnd planele ABD i BCD devin perpendiculare. DacAB=20cm, BC=15cm, s se afle lungimea segmentului AC dup ndoire. 4) Fie dou plane perpendiculare i . Dac punctele M i N sunt situate la distana de 20cm, respectiv 12cm fa de dreapta de intersecie a celor dou plane, iar distana AB dintre picioarele perpendicularelor duse din M i N pe dreapta de intersecie este de 9cm: a) aflai distana MN. b) dac P este mijlocul lui MN: 1) artai c triunghiul PAB este isoscel 2) aflai distanele de la P la planele i . 5) Fie OA, OB, OC trei segmente perpendiculare dou cte dou. Demonstrai c perpendiculara din O pe planul ABC cade n ortocentrul triunghiului ABC. 6) Romburile ABCD i BCEF sunt n plane diferite avnd msura unghiului diedru de 45 0 . DacAB=BF=a i m(ABC)= m(FBC)= 45 0 , s se afle distana de la punctul F la planul (ABC). 7) Fie piramida patrulater regulat SABCD, cu AB=SB=8cm, M mijlocul lui [BS], iar O este centrul bazei ABCD. a) Stabilii dac (MAC) (SBD). b) Calculai cos(MC i SD). 8) Dreptunghiul ABCD i ptratul BCEF sunt situate n plane diferite, astfel nct punctul A se proiecteaz pe planul (BCE) n F. Dac BC=8cm, DC=10cm, O este centrul ptratului BCEF i M un punct oarecare pe EF;

  • 68

    determinai distana de la M la planul (ABC) i distanele de la O la AD, DC i la planul (ABC). 9) Dreptunghiurile ABCD i CDMN cu AB= 6 3 cm, BC= 6cm i NC= 6

    2 cm, sunt situate n plane perpendiculare. Se cere s se calculeze: a) distanele de la N la latura AB i la diagonala BD. b) distana de la punctul C la planul (ABNM). c) o funcie trigonometric a unghiului plan corespunztor diedrului format de (NBD)i (ABC). 10) Triunghiul dreptunghic ABC i triunghiul isoscel DBC sunt situate n plane perpendiculare. tiind c m( A )=90 0 , AB=8 2 cm, AC=8cm, m(BDC)=120 0 , aflai: a) distanele de la punctul D la laturile AB i AC. b) tangenta unghiului plan corespunztor diedrului format de planele (DAB) i (ABC). c) stabilii natura triunghiurilor DAB i DAC. 11) Fie triunghiurile ABC i BCD situate n plane perpendiculare astfel nct BCD=90 0 , AB= 6 cm, AC=2 3 cm, DC= 2 cm. S se calculeze: a) msura unghiului format de planele (ABD) i (ABC); b) distana de la B la planul (ADC); c) distana de la B la dreapta AD. 5) PROIECII PE UN PLAN 1) Fie un punct M(ABC) astfel nct [MA]=[MB]=[MC]. Aflai proiecia punctului M pe planul (ABC). 2) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC i MO (ABC). Artai c MAMBMC. 3) n piramida patrulater regulat artai c unghiurile fcute de muchiile laterale cu planul bazei sunt congruente. 4) Un segment AB=20cm face cu planul un unghi de: a)60 0 ,b)30 0 , c) 45 0 . Aflai mrimea proieciei segmentului AB pe planul .

  • 69

    5) n cubul ABCDABCD, fie M mijlocul muchei AA. Calculai cosinusul unghiului format de MD cu planul ABCD. 6) Triunghiul echilateral ABC de latur a, se proiecteaz pe planul dup triunghiul dreptunghic ABC. S se afle unghiul format de AB cu planul . 7) Dou oblice care pleac din acelai punct exterior unui plan, au lungimile proieciilor lor de 9cm i 16cm. Prima oblic are lungimea de 15cm. Aflai lungimea celei de-a doua oblice.

    8) Un segment AB se proiecteaz pe planul dup AB. Dac AB=135

    .AB, calculai tangenta unghiului format de AB cu planul . 9) Triunghiul isoscel ABC (AB=AC) are punctul B n planul , iar A i C de aceeai parte a planului . Fie A i C proieciile punctelor A i C pe . tiind c AA ABBC= 5cm, ABC=90 0 , s se calculeze lungimea segmentului CC. 10) Triunghiul isoscel ABC se proiecteaz pe planul , ce conine pe BC, dup triunghiul dreptunghic ABC. tiind c AB=20cm, AC=15cm, s se calculeze: a) cosinusul unghiului ABC. b) lungimea laturii necongruiente cu celelalte ale triunghiului ABC. 11) Trapezul dreptunghic ABCD (AB||CD, A =90 0 ) are baza mare AB coninut n planul . tiind c proiecia lui este ABCD i c AB=10cm, CD= 6cm, BC= 8cm i c planul trapezului face cu planul un unghi egal cu unghiul su ascuit: a) artai c ABCD este trapez dreptunghic. b) aflai dimensiunile trapezului ABCD. 12) Un triunghi echilateral de latur 18cm se proiecteaz pe un plan dup ABC. tiind c aria triunghiului ABC este de 121,5cm 2 s se afle unghiul plan al diedrului format de cu planul triunghiului. 13) Un trapez dreptunghic cu bazele de 14cm i 8cm are latura oblic de 12cm se proiecteaz pe un plan. Acest plan face cu planul trapezului un unghi ct unghiul ascuit al trapezului. S se afle aria proieciei trapezului.

  • 70

    14) Un trapez isoscel are baza mic i laturile neparalele egale fiecare cu 12cm, iar unghiurile ascuite de 60 0 . S se calculeze aria proieciei acestui trapez pe un plan care face cu planul trapezului un unghi congruent cu unghiul ascuit al diagonalelor. 15) Un trapez ABCD, cu baza mare AB coninut n planul , are raportul bazelor

    ABCD =

    53 . tiind c distana de la punctul C la planul este de 32cm,

    s se afle distana de la punctul O, de intersecie a diagonalelor trapezului la planul . 16) n triunghiul echilateral ABC, cu latura de 12cm, se construiete linia mijlocie EF, care se prelungete cu un segment FO=EF. n punctul O se ridic perpendiculara MO pe planul triunghiului. tiind c MO=3 3 cm, s se afle distanele de la punctul M la laturile triunghiului. 17) Fie rombul ABCD cu msura unui unghi de 60 0 , MA (ABC), MAAB=a. a) Aflai msurile unghiurilor dintre MB, MC, MD cu planul (ABC). b) Aflai tangenta unghiului dintre planele (MBD) i (ABC). c) Artai c planele MBC i MCD fac cu ABC unghiuri congruente. 18) Fie ptratul ABCD i DE (ABCD) astfel nct msura unghiului diedru format de planele (ABE) i (ABC) este de 60 0 .Dac O este mijlocul segmentul [BE], iar M un punct pe latura AD, s se demonstreze c lungimea segmentului [OM] este mai mare sau egal cu latura ptratului. 19) Trapezul dreptunghic ABCD, cu AB||CD, AB=10cm, CD=8cm, AD=3 cm i m(A)=90 0 , se proiecteaz pe planul , astfel nct AB|| , dup ABCDde arie 18 cm 2 .a) S se arate c ABCD este trapez dreptunghic; b) S se afle tangenta unghiului plan corespunztor diedrului format de planul trapezului i planul . 20) Fie punctele A, B, C, D necoplanare astfel nct AB=AC= =AD=6cm, m(BAC)=60 0 , m(ABD)=30 0 , m(ACD)= =45 0 i fie M astfel nct MAMBMCMD. a) Artai c triunghiul BCD este dreptunghic. b) Calculai lungimea segmentului AM.

  • 71

    21) Triunghiul dreptunghic ABC , ( A =90 0 ), se proiecteaz pe un plan dup triunghiul ABC. Unghiurile dintre AB respectiv AC, cu planul au msurile de 30 0 i 45 0 . Dac AA= a, s se calculeze msura unghiului dintre planul ABC cu planul . 22) Triunghiul AEF, ( A =90 0 , AE=AF), se proiecteaz pe un plan ce conine nlimea luiAD, dup triunghiul echilateral ABC. S se gseasc cosinusul unghiului pe care l fac dreptele AE i AF cu planul triunghiului ABC. 23) Un triunghi dreptunghic ABC, ( A =90 0 ), se proiecteaz pe un plan care conine vrful B, dup triunghiul ABC (A i C sunt de aceeai parte a planului). tiind c AA=CC, AC=12cm, iar unghiurile formate de dreptele BC i AB cu planul sunt de 30 0 i 45 0 , s se determine lungimea segmentelor AB i BC. 24) Triunghiul dreptunghic ABC, ( A =90 0 ), se proiecteaz pe un plan dup triunghiul echilateral ABC. tiind c AB face cu planul un unghi de 30 0 , s se afle cosinusul unghiului dintre planele ABC i .

  • 72

    II. C O R P U R I G E O M E T R I C E . P O L I E D R E.

    1. P R I S M A 1) Fie prisma patrulater regulat ABCDABCD. Diagonala BDformeaz cu planul ABBA un unghi de 30 0 . tiind c latura bazei este a s se afle: a) d (B,AD), b) d (D,AC). 2) Fie o prism patrulater regulat ABCDABCD n care AB= 4cm i BB= 8cm. Calculai distana de la punctual D la AC. 3) O prism patrulater regulat are diagonala egal cu 8 2 cm, iar nalimea de 8cm. Aflai aria lateral i volumul prismei. 4) Fie ABCDABCD un paralelipiped dreptunghic i M mijlocul lui AB, N mijlocul lui BC, P mijlocul lui DC i Q mijlocul lui AD. Artai c MNPQ este paralelogram. 5) Un paralelipiped dreptunghic ABCDABCD are dimensiunile AB=9cm, BC=12cm, AA=20cm. Calculai: a) lungimea diagonalei; b) distana de la D la BD. 6) O prism dreapt ABCDABCD are baza ABCD un romb cu latura de 6cm i unghiul A =60 0 . tiind c muchia lateral a prismei este de 8cm, s se calculeze: a) aria lateral i aria total a prismei; b) lungimea segmentelor AC i BD. 7) O prism patrulater dreapt are baza un paralelogram cu laturile de 8cm i 12cm i unghiul dintre ele de 60 0 . tiind c nlimea prismei este de 10cm, s se afle: a) aria lateral i aria total; b) volumul prismei. 8) Prisma patrulater regulat ABCDABCD are AB=18 2 cm i AA=24. Fie AC (BDC)={M} i CN (BDC), N(BDC). Aflai lungimile segmentelor CM i MN, apoi calculai distana dintre dreptele BD i AC. 9) O prism triunghiular regulat dreapt are latura bazei 8cm i nlimea 10cm. Aflai aria lateral, aria total i volumul prismei.

  • 73

    10) O prism triunghiular regulat dreapt are aria lateral egal cu 162cm 2 i nlimea de 9cm. S se afle: latura bazei i volumul prismei. 11) Volumul unei prisme triunghiulare regulate este de 24 3 cm 3 , iar latura bazei este 4cm. Aflai nlimea i aria lateral a prismei. 12) Prisma triunghiular regulat dreapt ABCABC are latura bazei AB=6cm i aria lateral de 144cm 2 . S se afle: a) nlimea prismei; b) volumul prismei; c) diagonala unei fee laterale. 13) O prism triunghiular regulat dreapt are latura bazei 12cm i volumul 216 3 cm 3 . S se calculeze: a) nlimea prismei; b) aria total a prismei; c)msura unghiului format de planul (BAC) cu planul (ABC). 14) Aflai aria total i volumul unui cub cu diagonala de lungime 2 3 cm. 15) Un cub are volumul de 64cm 3 . Aflai: muchia, diagonala i aria total a cubului. 16) Fie cubul ABCDEFGH cu AB=a. a) S se arate c HB (AFC), b) S se calculeze d(H,AFC). 17) Aria lateral a unui cub este de 100cm 2 . Calculai diagonala cubului, aria total i volumul. 18) Un paralelipiped dreptunghic ABCDABCD are AB=4cm, BC=8cm i AA=12cm, aflai: a) tangenta unghiului dintre BD i planul (DCCD); b) aria i volumul paralelipipedului. 19) n cubul ABCDABCD se consider punctele M i N mijloacele laturilor AD, respective DC. Se cere: a) s se arate c dreptele AM, CN i DD sunt concurente;

    c) s se afle tangenta unghiului format de DD cu planul (ACNM).

  • 74

    20) Un cub vopsit n galben a fost tiat n 216 cubulee identice. a) Cte dintre cubuleele mici nu au nici o fa vopsit ? b) Cte au o singur fa vopsit? c) Cte au trei fee vopsite? d) Cte cubulee au dou fee vopsite? 21) Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile proporionale cu numerele: 3, 4, 5. tiind c diagonala paralelipipedului este 15 2 cm, s se afle dimensiunile paralelipipedului. 22) Suma tuturor muchiilor unui paralelipiped dreptunghic este de 72cm, iar diagonala de 8 3 cm. S se afle aria total a paralelipipedului. 23) n cubul ABCDABCD, fie M mijlocul muchiei AA, iar N mijlocul muchei AD. tiind c MN = 4 2 cm, s se afle volumul i aria total a cubului. 24) n cubul ABCDABCD, M este mijlocul muchiei AD. Dac BM=6cm, s se afle aria total i volumul cubului. 25) ntr-un paralelipiped dreptunghic muchiile bazei sunt AB=8cm, BC=6cm, iar diagonala paralelipipedului face cu planul bazei un unghi de 45 0 . a) S se calculeze nlimea i diagonala paralelipipedului. b) S se calculeze aria total i volumul paralelipipedului. 26) Fiind dat cubul ABCDABCD de latur a, cu M mijlocul lui AB i E centrul ptratului BCCB, demonstrai c DE (MCE). 27) Fie ABCDABCD un paralelipiped dreptunghic, cu AB=12cm, BC=16cm i S l =840cm 2 . Dac DE DA i DF DB se cer: a) diagonala paralelipipedului; b) volumul paralelipipedului; c) artai c BD (DEF). 28) n paralelipipedul ABCDABCD se d baza ABCD un ptrat, DD=a i unghiul (DD, DAC)=30 0 . S se calculeze: a) aria lateral i volumul paralelipipedului; b) distana dintre planele DAC i ACB.

  • 75

    29) Fie cubul ABCDABCD de muchie a i punctele M, NBD astfel nct BMMNND. Demonstrai c: a) (AMC) BD; b) (AMC) || (NAC). 30) Fie ABCDABCD o prism patrulater regulat dreapt, unde AA=3

    2 cm, AB=3cm. Se cere s se afle: a) aria total, volumul i diagonala BD; b) s se demonstreze c BD BD. 31) Fie ABCDABCD un paralelipiped dreptunghic cu baza paralelogramul ABCD, iar AB=12cm, AD=6cm, BD=6 3 cm i AA=6cm. Se cer: a) aria lateral i volumul prismei; b) aria DAB; c) artai c (ABD) (DAB). 32) O prism patrulater regulat are baza ptratul ABCD de latur a, iar M este intersecia diagonalelor BC cu BC. a) Determinai nlimea prismei astfel nct triunghiul ABM s fie isoscel. b) Aflai distana de la D la AM. c) Aflai unghiul dintre planele (ABD) i (ABC). 33) Fie ABCDABCD o prism patrulater regulat, iar M i N mijloacele muchiilor BC i CD. Dac AA=a, determinai muchia bazei tiind c (AMN) (CMN). 34) Prisma dreapt ABCDABCD are ca baz ptratul ABCD de latur


Studiu Geo

Studiu Geo

Tema Geo Continentelor 1

Tema Geo Continentelor 1

RN - Arh&alg

RN - Arh&alg

Informationsmaterialien zu den Themen Arbeitslosengeld II (ALG II ...

Informationsmaterialien zu den Themen Arbeitslosengeld II (ALG II ...

geo dumitrescu - poezia

geo dumitrescu - poezia

Superlative Geo Graf Ice

Superlative Geo Graf Ice

3_Comportamentul Consumatorului - Geo&CFDP

3_Comportamentul Consumatorului - Geo&CFDP

Geo Botanica

Geo Botanica

NP 120 2013 GEO

NP 120 2013 GEO

Geo Fennel - Catalog

Geo Fennel - Catalog

Geo Dumitrescu - Pop, Jocul

Geo Dumitrescu - Pop, Jocul

Peisaje Geo Graf Ice

Peisaje Geo Graf Ice

Resursele Hidrosferei - Geo.

Resursele Hidrosferei - Geo.

Geo Mediului

Geo Mediului

studiu geo exemplu

studiu geo exemplu

[1] limb-alg

[1] limb-alg

Culegere Alg 8(CD)

Culegere Alg 8(CD)

Nicole Forrester - Honors Alg. 1/Alg. 1

Nicole Forrester - Honors Alg. 1/Alg. 1

Procesadores Geo

Procesadores Geo

Geo Referentiere

Geo Referentiere