5.Studiu de Caz
-
Upload
coconicoleta281759 -
Category
Documents
-
view
217 -
download
0
Transcript of 5.Studiu de Caz
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
1/75
CCC A A A PPP III T T T OOO LLL UUU LLL
SSS T T T UUU DDD III UUU DDD EEE CCC A A A ZZZ
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
2/75
Prezentarea cazului
Pentru testarea modelului a fost ales un set de date referitore la un lot
de 669 de firme romneti din industria textil i de confecii pe intervalul1994 1998i apoi un lot de 30 de firme din industria berii pe intervalul1990 2001 (ca firme reprezentative pentru clasa firmelor micii mijlocii) pentru estimarea funciei de producie i compararea evoluiei indicatorilor reali ai acestora cu cei rezultai din modelele Van Hilteni cel propus deautor.
n tabelul de mai jos au fost identificai posibili indicatori din pasivuli activul firmei, extrai din cele dou rapoarte contabile: bilanul contabilicontul de rezultate, considerai ca cei mai importani n analiza activitii
firmei:Nr. Indicator Tip1 Active fixe variabil de stare2 Active circulante variabil de stare3 Datorii variabil de stare4 Numr salariai variabil de comand 5 Cheltuieli cu personalul variabil rezultativ 6 Dobnzi la credite + amortizri variabil rezultativ
7 Cifra de afaceri variabil rezultativ 8 Profit (sau pierdere) net/brut variabil rezultativ 9 Dividende variabil de comand 10 Venit din Export variabil rezultativ 11 Investiii variabil de comand
Pentru estimarea funciei de producie firmele au fost mpr ite dup numrul de salariai n 5 grupe:
1. Firme foarte mici (de familie) cu pn la 5 salariai;
2. Firme mici: ntre 5i 50 salariai;3. Firme medii: ntre 50i 500 salariai.4. Firme mari: ntre 500i 1000 salariai.5. Firme foarte mari cu un numr de salariai de peste 1000.Considernd cei 5 ani sau obinut n total 25 de grupe.De asemenea, pentru actualizare au fost utilizai indicatorii
corespunztori anilor 1994 1998 n ceea ce privete rata de schimbleu/dolar, rata dobnzii, salariu mediu, indicele preurilor de consumiindicele preurilor de producie etc.
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
3/75
Pentru fiecare grup sau identificat prin regresie parametrii i care dau funcia de producie. Deoarece nu exist informaii privind volumul produciei (care oricum nu este omogen) s-a ales un produs de valoaremedie 10.000 lei la nivelul anului 1994 (~6$), pe baza cruia sa calculatvolumul produciei folosind valoarea produciei vndute (cifra de afaceri)iindicele preurilor de consum.
Datelei rezultatele obinute sunt grupate n anexa 1 a lucr rii.Conform acestor ipoteze, n tabelul de mai jos sunt prezentate
perechile (1, 1) corespunztoare cazului n care volumul produciei saestimat pe baza valorii produciei vndutei (2, 2) corespunztoare cazuluin care volumul produciei sa estimat pe baza cifrei de afaceri, obinute pentru toate grupele considerate:
1994 Produc ia vndut Cifra de afaceri
foarte mici 11.1470 182.5185 0.1906 8.7478 199.9250 0.1616mici 6.5716 49.8968 0.3647 -1.1418 280.0854 0.2036medii 7.0166 146.1692 0.4494 6.9347 160.7196 0.4305mari 3.1046 186.8136 0.5005 3.3722 194.2098 0.4871foarte mari 34.7233 78.5871 0.4885 36.3513 83.3285 0.4714
1995 Produc ia vndut Cifra de afaceri
mici -0.5471 53.2440 1.1133 -0.6174 67.8270 0.8253medii 7.0398 151.0849 0.5632 8.5319 158.3095 0.5686mari 14.6315 107.6598 0.5615 15.0275 114.3063 0.5638foarte mari 29.4886 107.8036 0.4828 31.0275 113.0229 0.4646
1996 Produc ia vndut Cifra de afaceri
foarte mici -20.1848 186.5987 0.1450 -19.1219 188.5740 0.1321mici -4.8804 110.5286 0.6546 -7.5612 141.5053 0.5878medii 2.8910 174.3837 0.7054 3.2010 189.4929 0.6592mari 11.8447 136.1638 0.4979 6.7654 161.7724 0.4447foarte mari 17.5995 123.9310 0.5185 20.6776 128.0515 0.4924
1997 Produc ia vndut Cifra de afaceri
foarte mici -102.0285 204.5622 0.5557 -107.1927 218.2998 0.4466mici -9.7440 141.2103 0.8222 -19.4630 190.9577 0.8253medii 17.2408 99.9171 1.1629 6.1027 134.7043 1.0364mari 18.9034 206.3547 0.5255 14.6573 229.5322 0.5138foarte mari 47.5592 138.1695 0.4807 26.9918 174.9858 0.4726
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
4/75
1998 Produc ia vndut Cifra de afaceri
foarte mici 2.1520 137.5232 1.0912 -35.6380 176.2238 0.5497mici 42.6710 91.5659 0.6984 34.5848 146.3395 0.5044medii 8.9852 145.8519 0.8633 10.2924 154.8720 0.8245mari 31.1414 144.9443 0.4892 28.0243 162.4976 0.4777foarte mari 39.6998 148.2446 0.4196 20.3953 186.8999 0.4476
Valoarea produc ieifoarte mici mici medii mari foarte mari Ani
1994 11.1470 182.5185 6.5716 49.8968 7.0166 146.1692 3.1046 186.813634.7233 78.58711995 -0.5471 53.2440 7.0398 151.084914.6315107.659829.4886107.80361996 -20.1848 186.5987 -4.8804110.5286 2.8910 174.383711.8447136.163817.5995123.93101997-102.0285204.5622 -9.7440141.210317.2408 99.9171 18.9034206.354747.5592138.1695
1998 2.1520 137.5232 42.6710 91.5659 8.9852 145.851931.1414144.944339.6998148.2446Cifra de afaceri
foarte mici mici medii mari foarte mari
1994 8.7478 199.9250 -1.1418 280.0854 6.9347 160.7196 3.3722 194.2098 36.3513 83.32851995 -0.6174 67.8270 8.5319 158.3095 15.0275 114.3063 31.0275 113.02291996 -19.12 188.5740 -7.5612 141.5053 3.2010 189.4929 6.7654 161.7724 20.6776 128.05151997 -107.1 218.2998 -19.463 190.9577 6.1027 134.7043 14.6573 229.5322 26.9918 174.98581998 -35.63 176.2238 34.584 146.3395 10.292 154.8720 28.0243 162.4976 20.3953 186.8999
Din tabelele obinute mai sus se observ c setul de date are odispersie foarte mare datorat att unei foarte mari diversiti a tipurilor defirme cti faptului c datele sunt cele raportate de firme, deci susceptibilede mari diferene fa de cele reale.
Totui, este evident o preponderen a importanei capitaluluicirculant fa de cel fix pentru toate categoriile de firmei pentru toi anii,cu att mai mare cu ct dimensiunea firmei este mai mic, cele maiomogene rezultate obinnduse pentru firmele din categoria mediii mari.
De asemenea, exist o mai mare omogenitate n ceea ce privete
exprimarea volumului produciei prin valoarea produciei vndute dect princifra de afaceri. Aceast variant va fi luat n considerare, ea fiind de altfeli corespunztoare ipotezei c firma obine venituri numai din vnzarea produselor propriii ipotezei c reuete s i vnd toat producia.
Este evident c fiecare firm are propria funcie de producie iaceasta va fi cea care va fi luat n considerare la aplicarea modelului, totui, pentru exemplu care va analizat n continuare , vom considera cazul carecorespunde celei mai probabile valori a dubletului (,) din cazul firmelor de valoare medie:
= 7, = 145
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
5/75
Pentru exemplificare va fi aleas o firm de dimensiune medie pentru care exist observaii pe ntregul interval 19941998i sumaabaterilor valorilor calculate fa de cele observate este minim.
A fost aleas firma TRICOMEL SA CIMPENI cu un numr mediude 307 salariai, pentru care exist informaiile:
AN TotalActiveCapital
FixCapital
Circulant ProfitProduc iaVndut
CifraAfaceri
Num rSalaria i
1998 7951 5115 2836 573 5067 5129 3071997 5858 4356 1502 318 4197 4392 3241996 2471 1556 915 57 1522 1559 2561995 1952 1586 362 0 515 538 2201994 1861 1557 304 85 581 629 298
Dac aducem toate informaiile la nivelul anului 1994 obinemtabelul:
AN TotalActiveCapital
FixCapital
Circulant ProfitProduc iaVndut
CifraAfaceri
Num rSalaria i
1998 1068,316 687,264 381,052 76,9897 680,8146 689,1451 3071997 1252,269 931,1854 321,0837 67,9791 897,1959 938,8812 3241996 1345,924 847,5343 498,3894 31,04721 829,0149 849,1683 2561995 1475,864 1199,14 273,7002 0 389,3802 406,77 2201994 1861 1557 304 -85 581 629 298
Parametrii modelului vor fi de asemenea estimai pe bazainformaiilor din anii respectivi. Astfel, valoarea impozitului pe profit va ficalculat pe baza celor aplicate pe anii 19901998:
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998T+I/PIB variabil (vezi anexa 2) 38% 38% 38% 38%
Vom lua ca valoare a lui f o valoarea medie corespunztoare perioadei 1991-1998, adic:
f = 0,3
n ceea ce privete rata de amortizare a capitalului fix vom considerac n industria textil capitalul fix (maini, utilaje, instalaii, cldiri etc) seamortizeaz n medie n 7 ani, deci:
a = 0,15Rata dobnzii pe anii 1990 1998 a fost:
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 19983.8 23.4 43.6 58.9 91.4 48.6 55.8 63.7 51.1
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
6/75
Vom considera ca rata medie pe cei 5 ani pe care avem informaiicontabile despre firme ca fiind media aritmetic a dobnzii pe cei 9 ani dincare am eliminat anii extremi (1990i 1994):
r = 751,163,755,848,658,943,623,4 ++++++
= 49,3% =~ 0,5
Se observ imediat c valoarea dobnzii a avut fluctuaii foarte marichiar i n condiiile eliminrii valorilor extreme, deci ipoteza c am avea orat a dobnzii constant este destul de nerealist n cazul economieiRomniei n primul deceniu de tranziie la economia de pia.
Rata de revenire a acionarilor la o unitate monetar investit va ficea propus de Banca Naional a Romniei, adic un pic mai mic dectrata dobnzii pe piaa financiar . Vom considera n model ca rat derevenire valoarea:
i = 0,48n ceea ce privete cota de rambursare anual a datoriilor
(amortismentul) vom considera c, dat fiind valoarea mare a dobnziiivolatilitatea acesteia, nu sunt practice (att din punctul de vedere al bnciict i al firmei) mprumuturi pe termen foarte lung, termenul mediu derambursare fiind considerat a fi de 5 ani:
b = 0,2
Ponderea maxim a datoriilor fa de valoarea capitalului social va ficonsiderat cea acceptat n general n analizele economice:k = 0,5
Cota maxim a creditelor pentru investiii (n raport cu facilitilesistemului bancar i calculat fa de investiiile n capital fix) va fi nconformitate cu legislaia existent n majoritatea bncilor din Romnia:
= 0,8
Valorile parametrilor , vor fi considerate n 3 ipostaze:a) cele obinute prin analiza prin regresie aplicat ntregului set dedate disponibile:
= 7 = 145
b) cele corespunztoare firmei TRICOMEL rezultai din regresie pentru activitatea pe cei 5 ani:
= 6.04 = 178.0115
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
7/75
c) cele care ar rezulta pentru firma TRICOMEL dac amdescompune activitatea ei pe luni calendaristice:
= 0.0886 = 190.5586
Pentru pre vom considera dou variante:a) n cazul concurenei perfecte vom alege ca pre de vnzare a
bunurilor firmei preul care a fost considerat ca standard n analiza deregresie:
p = 0,01 milioane lei b) Pentru cazul concurenei imperfecte, n care firma poate impune
un pre peste valoarea normal a produsului, vom calcula mai nti valoareamedie a produciei pentru cei cinci ani analizai, vom considera c preul produsului este descresctor n funcie de volumul produciei i c aceast funcie scade asimptotic spre valoarea preului standard cnd valoarea produciei tinde la infinit. Vom propune ca funcie invers a ofertei funcia:
p(Q) = 0,01 + A/Qalfa cu Ai alfa strict pozitivi
Var. f i a b r k p 0C K
0 F K Y0 Imax Dmax T N
I 7 145 0,3 0,48 0,15 0,2 0,5 0,5 0,8 0,01 304 1557 10 1000 100 5 100000II 6 178 0,3 0,48 0,15 0,2 0,5 0,5 0,8 0,01 304 1557 10 1000 100 5 100000III 0,09 191 0,3 0,48 0,15 0,2 0,5 0,5 0,8 0,01 25 1557 10 100 10 50 10000
1. Cazul continuu n condi ii de concuren perfect
1.1 Analiza traiectoriilor de baz
Traiectoria 1 ( F = 0.8 I F , D = 0,Y = 0)Sistemul canonic redus devine:
Varianta I Varianta II Varianta III
)(t K C & =0.094 K F (t ) +
0.315 K C (t ) K F (t ) = 1557 e-0.15t
)(t I F = 0
)(t K C & =0.087 K F (t ) +
0.546 K C (t ) K F (t ) = 1557 e-0.15t
)(t I F = 0
)(t K C & =0.04563 K F (t ) +
0.637 K C (t ) K F (t ) = 1557 e-0.15t
)(t I F = 0
Din a treia ecuaie rezult c firma nu are datorii (Y = 0), nu se fac
investiii ( I F (t ) = 0), nu se fac mprumuturi ( F (t ) = 0), nu se pltesc
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
8/75
dividende (nu se retrag bani din firm) ( D = 0) i are loc o restructurare aactivitii firmei prin scderea puternic a capitalului fix al firmei:
K F (t ) = 1557 e-0.15t 0
n favoarea unei creteri a capitalului circulant:Varianta I Varianta II Varianta III
K C (t ) = 450,358e0.315t ++ 146,358e0.165t .
K C (t ) = 439,459e0.546 t ++ 135,459e0.396t .
K C (t ) = 96,04591e0.637 t ++ 71,04591e0.487t
Traiectoria nu poate fi traiectorie iniial deoareceY 0 0.n figura de mai jos sunt reprezentate evoluiile capitalului fix,
capitalului circulanti pentru cele trei variante (KF mov, KC albastru,KT rou):
Traiectoria 2 ( F = I F , D = Dmax, Y = 0)Sistemul canonic redus devine:Varianta I Varianta II Varianta III
)(t K C & =0.094 K F-
(t )+0.315 K C (t )100 K F (t ) = 1557 e-0.15t
)(t I F = 0
)(t K C & =0.087 K F-
(t )+0.546 K C (t ) 100 K F (t ) = 1557 e-0.15t
)(t I F = 0
)(t K C & =0.04563 K F-
(t )+0.637 K C (t ) 100 K F (t ) = 1557 e-0.15t
)(t I F = 0
Din a treia ecuaie rezult c firma nu are datorii (Y = 0), nu se facinvestiii ( I F (t ) = 0), nu se fac mprumuturi ( F (t ) = 0), nu se pltescdividende (nu se retrag bani din firm) ( D = 0) i are loc o restructurare aactivitii firmei prin scderea puternic a capitalului fix al firmei:
K F (t ) = 1557 e-0.15t 0n favoarea unei creteri a capitalului circulant:
Varianta I Varianta II Varianta III K C (t ) = (450,358 100t )e0.315t + 146,358e0.165t
K C (t ) = (439,459 100t )e0.546 t + 135,459
e0.396t
K C (t ) = (96,04591 10t )e0.637 t + 71,04591
e0.487t
Varianta I
01000200030004000500060007000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t
K C
, K F
, K T
Varianta II
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 1 2 3 4 5
t
K C
, K F
, K T
Varianta III
0
20004000
6000
800010000
12000
0 1 2 3 4 5 6 7
t
K C
, K F
, K T
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
9/75
Traiectoria nu poate fi traiectorie iniial deoareceY 0 0.n figura de mai jos sunt reprezentate evoluiile capitalului fix,
capitalului circulanti pentru cele trei variante:
Traiectoria 3 ( F = I F , D = 0,Y = k ( K F + K C ))
Sistemul canonic redus devine:
Varianta I Varianta II Varianta III
)(t K C & = 0,094 K F (t ) +
+ 0,315 K C (t ) - 0,175 ( K F + K C ) - I F (t )
)(t K F & = I F (t )
0.15 K F (t )
0.5( )(t K F &
+ )(t K C &
) == 0.8 I F (t ) 0.1( K F + K C )
)(t K C & =0,087 K F (t )+0,546 K
C (t ) - 0,175 ( K F + K C ) - I F (t ))(t K F
& = I F (t ) 0.15 K F (t )0.5( )(t K F
& + )(t K C & ) =
= 0.8 I F (t ) 0.1( K F + K C )
)(t K C & =0,04563 K F (t )+0,637
K C (t ) 0,175 ( K F + K C ) I F (t ))(t K F
& = I F (t ) 0.15 K F (t )0.5( )(t K F
& + )(t K C & ) =
0.8 I F (t ) 0.1( K F + K C )
Dup nlocuirea expresiei investiiei I F (t ) obinut din a treia ecuaien primele dou ecuaii se obine un sistem de dou ecuaii cu coeficieniconstani:
Varianta I Varianta II Varianta III
)(t K C & = 0,0525 K C (t )
0,30975 K F (t )
)(t K F &
= 0,2125 K C (t ) 0,29438 K F (t ) K C (0) = 304, K F (0) = 1557
)(t K C & = 0,139125 K C (t )
0,31238 K F (t )
)(t K F &
= 0,356875 K C (t ) 0,29875 K F (t ) K C (0) = 304, K F (0) = 1557
)(t K C & = 0,17325 K C (t )
0,32789 K F (t )
)(t K F &
= 0,41375 K C (t ) 0,32461 K F (t ) K C (0) = 25, K F (0) = 1557
Soluia sistemului n cazul variantei I este: K C (t ) = 2272.2sin(0.18905t )e-0.12094t + 304cos(0.18905t )e-0.12094t K F (t ) = 1086.7sin(0.18905t )e-0.12094t + 1557cos(0.18905t )e-0.12094t
Varianta I
0
500
1000
1500
2000
2500
0 1 2 3 4 5
t
K C
, K F
, K T
Varianta II
0
500
1000
1500
2000
2500
0 1 2 3 4 5
t
K C
, K F
, K T
Varianta III
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
t
K C
, K F
, K T
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
10/75
Dup gsirea evoluiei capitalului fixi a celui circulant putem aflaevoluia datoriei firmei din relaia Y = k ( K F + K C ):
Y (t ) = 1679.45sin(0.18905t )e-0.12094t + 930.5cos(0.18905t )e-0.12094t
a investiiilor n capitalul fix din a treia ecuaie a sistemului canonic redus: I F (t ) = -201.89sin(0.18905t )e-0.12094t - 381.85 cos(0.18905t )e-0.12094t +
+ 75. 57e-0.12094t
i n final evoluia mprumuturilor firmei din relaia F (t ) = 0,8 I F (t ).
Soluia sistemului n cazul variantei II este: K F (t ) = -921.89sin(0.25209t )e-0.079813t + 1557cos(0.25209t )e 0.079813t
K C (t ) = -1665.4sin(0.25209t )e-0.079813t +304cos(0.25209t )e 0.079813t
Dup gsirea evoluiei capitalului fixi a celui circulant putem aflaevoluia datoriei firmei din relaia Y = k ( K F + K C ):
Y (t ) = 1293.64sin(0.25209t )e-0.079813t + 930.5cos(0.25209t )e 0.079813t a investiiilor n capitalul fix din a treia ecuaie a sistemului canonic redus:
I F (t ) = -487.56sin(0.25209t )e-0.079813t 267.85cos(0.25209t )e 0.079813t i n final evoluia mprumuturilor firmei din relaia F (t ) = 0,8 I F (t ).
Varianta II
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t
K C
- K F -
Y -
K T
Varianta II
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t
I F -
F
Varianta I
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t
K C
- K F -
Y -
K T
Varianta I
0 10 20 30 40
t
I F - F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
11/75
Soluia sistemului n cazul variantei III este: K C (t ) = -1857.6sin(0.27147t )e-0.07568t + 25cos(0.27147t )e-0.07568t
K F (t ) = -1389.6sin(0.27147t )e-0.07568t + 1557cos(0.27147t )e-0.07568t
Dup gsirea evoluiei capitalului fixi a celui circulant putem aflaevoluia datoriei firmei din relaia Y = k ( K F + K C ):Y (t ) = 1623.6sin(0.25209t )e-0.079813t + 791cos(0.25209t )e 0.079813t
a investiiilor n capitalul fix din a treia ecuaie a sistemului canonic redus: I F (t ) = -520.72 sin(0.27147t )e-0.07568t 428.03 cos(0.27147t )e-0.07568t
i n final evoluia mprumuturilor firmei din relaia F (t ) = 0,8 I F (t ).
Se observ n toate cazurile c evoluiile sunt oscilantei amortizatespre valoarea de echilibru zero. Evident, firma va evolua pe aceast traiectorie doar pe intervalele de timp unde toate variabilele au valori pozitive.
n acest caz firma face mprumuturi la maxim F = I F , nivelulcapitalului mprumutat este maximY = k ( K F + K C ) i nu pltetedividende.
Traiectoria nu este traiectorie iniial deoareceY 0 k ( 0 F K +0C K ).
Traiectoria 4 ( F = I F , D = D max, Y = k ( K F + K C ))
Sistemul canonic redus devine:Varianta I Varianta II Varianta III
)(t K C &
= 0,094 K F ( t ) ++ 0,315 K C ( t ) - 0,175 ( K F ++ K C ) I F ( t ) 100
)(t K F &
= I F ( t ) 0.15 K F ( t )
0.5( )(t K F &
+ )(t K C &
) =
+ 0.8 I F ( t ) 0.1( K F + K C )
)(t K C &
=0,087 K F ( t ) ++ 0,546 K C ( t ) - 0,175 ( K F ++ K C ) - I F ( t ) 100
)(t K F &
= I F ( t ) 0.15 K F ( t )
0.5( )(t K F &
+ )(t K C &
) =
= 0.8 I F ( t ) 0.1( K F + K C )
)(t K C &
=0,04563 K F ( t ) ++ 0,637 K C ( t ) - 0,175 ( K F ++ K C ) - I F ( t ) 10
)(t K F &
= I F ( t ) 0.15 K F ( t )
0.5( )(t K F &
+ )(t K C &
) =
+ 0.8 I F ( t ) 0.1( K F + K C )
Varianta III
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t
K C
- K F -
Y -
K T
Varianta III
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t
I F -
F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
12/75
Dup nlocuirea expresiei investiiei I F (t ) obinut din a treia ecuaien primele dou ecuaii se obine un sistem de dou ecuaii cu coeficieniconstani:
Varianta I )(t K C & = 0,0725 K C ( t ) 0,061625 K F ( t ) 37,5)(t K F
&= 0.16938 K C ( t ) 0,29438 K F ( t ) 62,5
K C (0) = 304, K F (0) = 1557
Varianta II )(t K C
&= 0,014125 K C ( t ) 0,06425 K F ( t ) 37,5
)(t K F &
= 0,35688 K C ( t ) 0,17375 K F ( t ) 62,5
K C (0) = 304, K F (0) = 1557
Varianta III
)(t K C &
= 0,04825 K C ( t ) 0,079764 K F ( t ) 3,75
)(t K F & = 0, 41375K C ( t ) 0, 19961K F ( t ) 6,25K C (0) = 25, K F (0) = 1557
Soluia sistemului n cazul variantei I este: K C (t ) = -98,528 1030,2sin(0,10368t )e-0,12094t +
+ 402,53cos(0,10368t )e-0,12094t K F (t ) = -492,6 132,58sin(0,10368t )e-0,12094t +
+ 2049,6cos(0,10368t )e-0,12094t
Dup gsirea evoluiei capitalului fixi a celui circulant putem aflaevoluia datoriei firmei din relaia Y = k ( K F + K C ):Y (t ) = -295,564 - 581,39sin(0,10368t )e-0,12094t + 1226,065cos(0,10368t )e-0,12094t
a investiiilor n capitalul fix din a treia ecuaie a sistemului canonic redus: I F (t ) = 73,891 216,36sin(0,10368t )e-0,12094t +
+ 45,82cos(0,10368t )e-0,12094t i n final evoluia mprumuturilor firmei din relaia F (t ) = 0,8 I F (t ).
Se observ c pentru acest caz aceast traiectorie nu este admisibil deoarece valoarea mprumuturilor nu respect condiia de nenegativitate.
Varianta I
0 10 20 30 40
t
I F -
F
Varianta I
0 10 20 30 40
t
I F -
F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
13/75
Soluia sistemului n cazul variantei II este: K C (t ) = -122,10 + 426,10cos(0,11877t )e-0,079813t
835,56sin(0,11877t )e-0,079813t K F (t ) = -610,5 + 2167,5cos(0,11877t )e-0,079813t
433,99sin(0,11877t )e-0,079813t Dup gsirea evoluiei capitalului fixi a celui circulant putem afla
evoluia datoriei firmei din relaia Y = k ( K F + K C ):Y (t ) = -366,3 + 1296,8cos(0,11877t )e-0,079813t
634,775sin(0,11877t )e-0,079813t a investiiilor n capitalul fix din a treia ecuaie a sistemului canonic redus:
I F (t ) = -91,575 - 287,89sin(0,11877t )e-0,079813t + 100,58cos(0,11877t )e-0,079813t
i n final evoluia mprumuturilor firmei din relaia F (t ) = 0,8 I F (t ).
Soluia sistemului n cazul variantei III este: K C (t ) = -10,697 + 35,697cos(0,13283t )e-0,07568t
933,79sin(0,13283t )e-0,07568t K F (t ) = -53,485 +1610,5cos(0,13283t )e-0,07568t
1391,4sin(0,13283t )e-0,07568t
Dup gsirea evoluiei capitalului fixi a celui circulant putem aflaevoluia datoriei firmei din relaia Y = k ( K F + K C ):Y (t ) = -32,091 + 823,10cos(0,13283t )e-0,07568t
1162,6sin(0,13283t )e-0,07568t a investiiilor n capitalul fix din a treia ecuaie a sistemului canonic redus:
I F (t ) = -8,0228 65,13cos(0,13283t )e-0,07568t 317,33sin(0,13283t )e-0,07568t
i n final evoluia mprumuturilor firmei din relaia F (t ) = 0,8 I F (t ).
Varianta II
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t
K C
- K F -
Y -
K T
Varianta II
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t
I F -
F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
14/75
Se observ n toate cazurile c evoluiile sunt oscilantei amortizatespre valoarea de echilibru zero. Evident, firma va evolua pe aceast traiectorie doar pe intervalele de timp unde toate variabilele au valori pozitive.
n acest caz firma face mprumuturi la maxim F = I F , nivelulcapitalului mprumutat este maximY = k ( K F + K C ) pltete dividende lamaxim.
Traiectoria nu este traiectorie iniial deoareceY 0 k ( 0 F K +0C K ).
Traiectoria 5 ( I F = I max, F = I max, D = 0)Sistemul canonic devine:Varianta I Varianta II Varianta III
)(t K C & = 0.094 K F (t ) +
+ 0.315 K C (t ) 0.35Y 1000)(t K F
& = 1000 0,15 K F (t ))(t Y & = 800 0,2Y (t )
)(t K C & =0.087 K F (t ) +
+ 0.546 K C (t ) 0.35Y 1000)(t K F
& = 1000 0,15 K F (t ))(t Y & = 800 0,2Y (t )
)(t K C & = 0.04563 K F (t ) +
+ 0.637 K C (t ) 0.35Y 1000)(t K F
& = 1000 0,15 K F (t ))(t Y & = 800 0,2Y (t )
Varianta IDin a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 6666,667 5109,667e-0,15t Din a treia ecuaie (liniar n Y (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
Y (t ) = 4000 3990e-0,2t nlocuind evoluiile capitalului fixi a datoriei n prima ecuaie
obinem o ecuaie liniar n capitalul circulant:
)(t K C & = 0.315 K C (t ) + 0.094(6666,667 5109,667e-0,15t )
0.35(4000 3990e-0,2t ) 1000care are soluia:
K C (t ) = 5629,6 + 1032,9e-0.15t 2711,7e-0.2t 3646,9e0.315t
Varianta III
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t
K C
- K F -
Y -
K T
Varianta III
0 10 20 30 40 50 60 70
t
I F -
F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
15/75
Varianta IIDin a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 6666,667 5109,667e-0,15t
Din a treia ecuaie (liniar n Y (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:Y (t ) = 4000 3990e-0,2t
nlocuind evoluiile capitalului fixi a datoriei n prima ecuaieobinem o ecuaie liniar n capitalul circulant:
)(t K C & = 0.546 K C (t ) + 0.087(6666,667 5109,667e-0,15t )
0.35(4000 3990e-0,2t ) 1000care are soluia:
K C (t ) = 3333,3 + 638,71 e-0.15t
-1872e-0.2t
-1796,1e0.546t
Varianta IIIDin a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 6666,667 5109,667e-0,15t Din a treia ecuaie (liniar n Y (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
Y (t ) = 4000 3990e-0,2t nlocuind evoluiile capitalului fixi a datoriei n prima ecuaie
obinem o ecuaie liniar n capitalul circulant:)(t K C
& = 0.637 K C (t ) + 0.04563(6666,667 5109,667e-0,15t ) 0.35(4000 3990e-0,2t ) 1000
care are soluia: K C (t ) = 3290,1 + 296,26e-0.15t 1668,5e-0.2t 1892,9e0.637t Pe aceast traiectorie firma nu pltete dividende (nu retrage bani),
face investiii i mprumuturi la maximi are o evoluie de stabilizare avalorii capitalului fixi a datoriei firmei.
Evoluiile mrimilor de stare sunt redate n figura de mai jos:
VARIANTA I - III
02000400060008000
0 10 20 30
t
K F -
Y
VARIANTA I - III
-1000
-500
0
500
0 0.2 0.4 0.6
t
K C
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
16/75
Traiectoria 6 ( I F = I max, F = I F , D = Dmax)Sistemul canonic devine:
Varianta I Varianta II Varianta III)(t K C & = 0.094 K F (t ) +
+ 0.315 K C (t ) 0.35Y 1100)(t K F
& = 1000 0,15 K F (t ))(t Y & = 800 0,2 Y (t )
)(t K C & = 0.087 K F (t ) ++ 0.546 K C (t ) 0.35Y 1100
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y & = 800 0,2 Y (t )
)(t K C & = 0.04563 K F (t ) ++ 0.637 K C (t ) 0.35Y 1100
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y & = 800 0,2 Y (t )
Varianta IDin a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 6666,667 5109,667e-0,15t Din a treia ecuaie (liniar n Y (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
Y (t ) = 4000 3990e-0,2t nlocuind evoluiile capitalului fixi a datoriei n prima ecuaie
obinem o ecuaie liniar n capitalul circulant:
)(t K C & = 0.315 K C (t ) + 0.094(6666,667 5109,667e-0,15t )
0.35(4000 3990e-0,2t ) 1100care are soluia:
K C (t ) = 5947,1+1032,9e-0.15t 2711,7e-0.2t 3964,4e0.315t Varianta IIDin a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 6666,667 5109,667e-0,15t Din a treia ecuaie (liniar n Y (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
Y (t ) = 4000 3990e-0,2t nlocuind evoluiile capitalului fixi a datoriei n prima ecuaie
obinem o ecuaie liniar n capitalul circulant:
)(t K C & = 0.546 K C (t ) + 0.087(6666,667 5109,667e-0,15t )
0.35(4000 3990e-0,2t ) 1100care are soluia:
K C (t ) = 3516,5 + 638,71e-0.15t 1872e-0.2t 1979,2e0.546t
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
17/75
Varianta III
Din a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate evoluia capitalului fix: K F (t ) = 6666,667 5109,667e-0,15t
Din a treia ecuaie (liniar n Y (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:Y (t ) = 4000 3990e-0,2t
nlocuind evoluiile capitalului fixi a datoriei n prima ecuaieobinem o ecuaie liniar n capitalul circulant:
)(t K C & = 0.637 K C (t ) + 0.04563(6666,667 5109,667e-0,15t )
0.35(4000 3990e-0,2t ) 1100
care are soluia: K C (t ) = 3447,1 + 296,26e-0,15t 1668,5e-0,2t 2049,9e0,637t Pe aceast traiectorie firma nu pltete dividende (nu retrage bani),
face investiii i mprumuturi la maximi are o evoluie de stabilizare avalorii capitalului fixi a datoriei firmei.
Evoluiile mrimilor de stare sunt redate n figura de mai jos:
Traiectoria 7 ( F = I F
= 0, D = 0)Sistemul canonic devine:
Varianta I Varianta II Varianta III)(t K C
& =0.094 K F (t ) ++ 0.315 K C (t ) 0.35Y
)(t K F & = 0,15 K F (t )
)(t Y & = 0,2 Y (t )
)(t K C & = 0.087 K F (t ) +
+ 0.546 K C (t ) 0.35Y )(t K F
& = 0,15 K F (t ))(t Y & = 0,2 Y (t )
)(t K C & =0.04563 K F (t ) +
+ 0.637 K C (t ) 0.35Y )(t K F
& = 0,15 K F (t ))(t Y & = 0,2 Y (t )
VARIANTA I - III
02000400060008000
0 10 20 30
t
K F -
Y
VARIANTA I - III
-1000
-500
0
500
0 0.2 0.4 0.6
t
K C
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
18/75
Pentru toate cele trei variante din ultimele dou ecuaii se obinimediat evoluiile capitalului fixi datoriei firmei:
K F (t ) = 1557e-0,15t
Y (t ) = 10e-0,2t
iar dup nlocuirea acestora n prima ecuaie ecuaia de dinamic acapitalului circulant:
I. )(t K C & = 0,315 K C (t ) + 0,0941557e-0,15t 3,5e-0,2t
II. )(t K C & = 0,546 K C (t ) + 0,0871557e-0,15t 3,5e-0,2t
III. )(t K C & = 0,637 K C (t ) + 0.045631557e-0,15t 3,5e-0,2t
cu soluiile:I. K C (t ) = -314,75e-0,15t + 6,7961e-0,2t + 611,95e0,315t II. K C (t ) = -194,63e-0,15t + 4,6917e-0,2t + 493,93e0,546t III. K C (t ) = -90,274e-0,15t + 4,1816e-0,2t + 111,09e0,637t Pe aceast traiectorie firma nu face investiii, nu face mprumuturi,
nu pltete dividende, are loc o scdere a capitalului fix n paralel cueliminarea rapid a datoriilor n paralel cu o cretere rapid a capitaluluicirculant.
Evoluia variabilelor de stare ale firmei sunt redate n figura de mai jos:
Traiectoria 8 ( F = I F = 0, D = Dmax)Sistemul canonic devine:
Varianta I Varianta II Varianta III
)(t K C & = 0.094 K F (t ) +
+ 0.315 K C (t ) 0.35Y 100)(t K F
& = 0,15 K F (t ))(t Y & = 0,2 Y (t )
)(t K C & = 0.087 K F (t ) +
+ 0.546 K C (t ) 0.35Y 100)(t K F
& = 0,15 K F (t ))(t Y & = 0,2 Y (t )
)(t K C & = 0.04563 K F (t ) +
+ 0.637 K C (t ) 0.35Y 100)(t K F
& = 0,15 K F (t ))(t Y & = 0,2 Y (t )
KF
0
500
1000
1500
2000
0 10 20 30
t
K F
Y
02468
1012
0 10 20 30
t
Y
KC
0
5000
10000
15000
0 2 4 6
t
K C
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
19/75
Pentru toate cele trei variante din ultimele dou ecuaii se obinimediat evoluiile capitalului fixi datoriei firmei:
K F (t ) = 1557e-0,15t Y (t ) = 10e-0,2t
iar dup nlocuirea acestora n prima ecuaie ecuaia de dinamic acapitalului circulant:
I. )(t K C & = 0,315 K C (t ) + 0,0941557e-0,15t 3,5e-0,2t 100
II. )(t K C & = 0,546 K C (t ) + 0,0871557e-0,15t 3,5e-0,2t 100
III. )(t K C & = 0,637 K C (t ) + 0.045631557e-0,15t 3,5e-0,2t 100
cu soluiile:
I. K C (t ) = 317,46 314,75e-0,15t + 6,7961e-0,2t + 294,49e0,315t II. K C (t ) = 183. 15 194,63e-0,15t + 4,6917e-0,2t + 310,78e0,546t III. K C (t ) = 15,699 90,274e-0,15t + 4,1816e-0,2t + 95,394e0,637t Pe aceast traiectorie firma nu face investiii, nu face mprumuturi,
nu pltete dividende, are loc o scdere a capitalului fix n paralel cueliminarea rapid a datoriilor n paralel cu o cretere rapid a capitaluluicirculant.
Evoluia variabilelor de stare ale firmei sunt redate n figura de mai jos:
Varianta I Varianta II Varianta III)(t K C
& =0.094 K F (t ) ++ 0.315 K C (t )
)(t K F & = 0,15 K F (t )
Y (t ) = 0
)(t K C & =0.087 K F (t ) +
+ 0.546 K C (t ))(t K F
& = 0,15 K F (t )Y (t ) = 0
)(t K C & =0.04563 K F (t ) +
+ 0.637 K C (t ))(t K F
& = 0,15 K F (t )Y (t ) = 0
Traiectoria 9 ( F = I F = 0, D = 0,Y = 0)Sistemul canonic devine:
n toate cele trei variante rezult imediat evoluia capitalului fix: K F (t ) = 1557e-0,15t
i apoi a capitalului circulant:
Varianta I: )(t K C & = 0.315 K C (t ) + 0.0941557e-0,15t
Varianta II: )(t K C & = 0.546 K C (t ) + 0.0871557e-0,15t
Varianta III: )(t K C &
= 0.637 K C (t ) + 0.045631557e-0,15t
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
20/75
de unde obinem evoluia capitalului circulant:Varianta I: K C (t ) = 314,75e-0,15t + 618,75e0,315t Varianta II: )(t K C
& = 194,63e-0,15t + 498,63e0,546t
Varianta III: )(t K C & = 90,274e-0,15t + 115,27e0,637t Evoluiile capitalului fix, a celui circulanti a celui total sunt
evideniate n figura de mai jos:
Pe aceast traiectorie firma nu are datorii, nu face mprumuturi, nuface investiii, nu pltete dividende, are loc o scdere a capitalului fix,evoluia capitalului circulant depinznd de parametrii sistemului.
Traiectoria 10 ( F = I F = 0, D = Dmax, Y = 0)Sistemul canonic devine:
Varianta I Varianta II Varianta III)(t K C
& = 0.094 K F (t ) ++ 0.315 K C (t ) 100
)(t K F & = 0,15 K F (t )
Y (t ) = 0
)(t K C & = 0.087 K F (t ) +
+ 0.546 K C (t ) 100)(t K F
& = 0,15 K F (t )Y (t ) = 0
)(t K C & = 0.04563 K F (t ) +
+ 0.637 K C (t ) 100)(t K F
& = 0,15 K F (t )Y (t ) = 0
n toate cele trei variante rezult imediat evoluia capitalului fix: K F (t ) = 1557e-0,15t
i apoi a capitalului circulant:
Varianta I: )(t K C & = 0.315 K C (t ) + 0.0941557e-0,15t 100
Varianta II: )(t K C & = 0.546 K C (t ) + 0.0871557e-0,15t 100
Varianta III: )(t K C & = 0.637 K C (t ) + 0.045631557e-0,15t 10
KF
0
500
1000
1500
0 5 10 15 20 25 30
t
K F
KC
0
1000
2000
3000
4000
5000
0
t
K C
KT
0
1000
20003000
4000
50006000
0
t
K T
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
21/75
de unde obinem evoluia capitalului circulant:Varianta I: K C (t ) = -314,75e-0,15t +301,29e0,315t + 317,46 Varianta II: )(t K C
& = -194,63e-0,15t + 315,47e0,546t + 183,15
Varianta III: )(t K C & = -90,274e-0,15t
+ 99,576e0,637t
+ 15,699Evoluiile capitalului fix, a celui circulanti a celui total sunt
evideniate n figura de mai jos:
Traiectoria 11 ( I F = I max , D = 0, F = 0)Sistemul canonic devine:
Varianta I Varianta II Varianta III
)(t K C &
= 0.094 K F (t ) ++ 0.315 K C (t ) 0.35Y 1000
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y & = 0,2 Y (t )
)(t K C &
=0.087 K F (t ) ++ 0.546 K C (t ) 0.35Y 1000
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y & = 0,2 Y (t )
)(t K C &
=0.04563 K F (t ) ++ 0.637 K C (t ) 0.35Y 1000
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y & = 0,2 Y (t )
Din ultima ecuaie obinem, pentru toate trei variantele, evoluiadatoriei firmei:
Y (t ) = 10e-0,2t Din a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate, pentru toate trei
variantele, evoluia capitalului fix: K F (t ) = 6666,667 5109,667e-0,15t
Cele dou soluii gsite se nlocuiesc n prima ecuaie i obinemecuaia de dinamic a capitalului circulant:
Varianta I: )(t K C & = 0.315 K C (t ) + 0.094(6666,667 5109,667e-0,15t )
3,5e-0,2t 1000
KF
0
500
1000
1500
0 5 10 15 20 25 30
t
K F
KC
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0
t
K C
KT
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0
t
K T
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
22/75
Varianta II: )(t K C & = 0.546 K C (t ) + 0.087(6666,667 5109,667e-0,15t )
3,5e-0,2t 1000Varianta III: )(t K C
& = 0.637 K C (t ) + 0.04563(6666,67 - 5109,67e-0,15t )
3,5e-0,2t 1000
din care se obine evoluia capitalului circulant:
Varianta I: )(t K C & = 1185,2 + 1032,9e-0,15t + 6,7961e-0,2t 1920,9e0,315t
Varianta II: )(t K C & = 769,23 + 638,71e-0,15t + 4,6917e-0,2t 1108,6e0,546t
Varianta III: )(t K C & = 1092,3 + 296,26e-0,15t + 4,1816e-0,2t 1367,7e0,637t
Evoluiile indicatorilor de stare ai firmei sunt evideniate n figura demai jos:
Pe aceast traiectorie firma nu pltete dividende (nu retrage bani),face investiii la maxim, nu face mprumuturii are o evoluie de stabilizarea valorii capitalului fixi de scdere a datoriei firmei n paralel cu o scdereaccelerat a capitalului circulant.
Evident, traiectoria este acceptabil doar pe intervalul n care toiindicatorii respect restricia de semn, n cazul de fa doar att timp ct
K C (t ) 0.
KF
01500300045006000
0 10 20 30
t
K F
Y
0
5
10
0 5 10 15 20 25 30
t
Y
KC
-20000-15000-10000
-50000
5000
0 1 2 3 4
t
K C
KT
-15000
-10000
-5000
0
5000
0 1 2 3 4
t
K T
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
23/75
Traiectoria 12 ( I F = I max , D = Dmax, F = 0)Sistemul canonic devine:
Varianta I Varianta II Varianta III)(t K C & =0.094 K F (t ) +
+ 0.315 K C (t ) 0.35Y 1100)(t K F
& = 1000 0,15 K F (t ))(t Y & = 0,2 Y (t )
)(t K C & =0.087 K F (t ) ++ 0.546 K C (t ) 0.35Y 1100
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y & = 0,2 Y (t )
)(t K C & =0.04563 K F (t ) ++ 0.637 K C (t ) 0.35Y 1010
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y & = 0,2 Y (t )
Din ultima ecuaie obinem, pentru toate trei variantele, evoluiadatoriei firmei:
Y (t ) = 10e-0,2t Din a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate, pentru toate trei
variantele, evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 6666,667 5109,667e-0,15t
Cele dou soluii gsite se nlocuiesc n prima ecuaie i obinemecuaia de dinamic a capitalului circulant:
Varianta I: )(t K C & = 0.315 K C (t ) + 0.094(6666,667 5109,667e-0,15t ) 3,5e-0,2t 1100
Varianta II: )(t K C & = 0.546 K C (t ) + 0.087(6666,667 5109,667e-0,15t )
3,5e-0,2t 1100Varianta III: )(t K C
& = 0.637 K C (t ) + 0.04563(6666,67 - 5109,67e-0,15t ) 3,5e-0,2t 1010
din care se obine evoluia capitalului circulant:
Varianta I:K C (t ) = 1502,6 + 1032,9e-0,15t + 6,7961e-0,2t 2238,4e0,315t
Varianta II:K C (t ) = 952,38 + 638,71e-0,15t + 4,6917e-0,2t 1291,8e0,546t
Varianta III:K C (t ) = 1108 + 296,26e-0,15t + 4,1816e-0,2t
1383,4e0,637t
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
24/75
Evoluiile indicatorilor de stare ai firmei sunt evideniate n figura demai jos:
Pe aceast traiectorie firma pltete dividende la maxim, faceinvestiii la maxim, nu face mprumuturii are o evoluie de stabilizare avalorii capitalului fixi de scdere a datoriei firmei n paralel cu o scdere
accelerat a capitalului circulant (mai rapid dect n cazul traiectoriei 11).Evident, traiectoria este acceptabil doar pe intervalul n care toiindicatorii respect restricia de semn, n cazul de fa doar att timp ct
K C (t ) 0.
Traiectoria 13 ( I F = I max, D = 0, F = 0,Y = 0)
Sistemul canonic devine:
Varianta I Varianta II Varianta III)(t K C
& = 0.094 K F (t ) ++ 0.315 K C (t ) 1000
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
Y (t ) = 0
)(t K C & = 0.087 K F (t ) +
+ 0.546 K C (t ) 1000)(t K F
& = 1000 0,15 K F (t )Y (t ) = 0
)(t K C & = 0.04563 K F (t ) +
+ 0.637 K C (t ) 1000)(t K F
& = 1000 0,15 K F (t )Y (t ) = 0
Din a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate evoluia capitalului fix: K F (t ) = 6666,667 5109,667e-0,15t
KF
01500300045006000
0 10 20 30
t
K F
Y
0
5
10
0 5 10 15 20 25 30
t
Y
KC
-20000-15000-10000
-50000
5000
0 1 2 3 4
t
K C
KT
-15000
-10000
-5000
0
5000
0 1 2 3 4
t
K T
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
25/75
Cele dou soluii gsite se nlocuiesc n prima ecuaie i obinemecuaia de dinamic a capitalului circulant:
Varianta I: )(t K C & = 0.315 K C (t ) + 0.094(6666,667 5109,667e-0,15t ) 1000
Varianta II: )(t K C & = 0.315 K C (t ) + 0.094(6666,667 5109,667e-0,15t
) 1000Varianta III: )(t K C
& = 0.315 K C (t ) + 0.094(6666,667 5109,667e-0,15t ) 1000
din care se scoate evoluia capitalului circulant:Varianta I: K C (t ) = 1185,2 + 1032,9e-0,15t 1914,1e0,315t Varianta II: K C (t ) = 769,23 + 638,71e-0,15t 1103,9e0,546t Varianta III: K C (t ) = 1092,3 + 296,26e-0,15t 1363,6e0,637t Evoluia indicatorilor firmei este reprezentat n figura de mai jos:
Pe aceast traiectorie firma nu pltete dividende (nu retrage bani),face investiii la maxim, nu are datorii, nu face mprumuturii are o evoluiede stabilizare a valorii capitalului fix n paralel cu o descretere rapid avolumului capitalului circulant. Cai n cazul traiectoriilor precedentesituaia este acceptabil doar att timp ct K C (t ) r mne pozitiv.
Traiectoria nu este traiectorie iniial deoareceY 0 0.
Traiectoria 14 ( I F = I max, D = Dmax, F = 0,Y = 0)
Sistemul canonic devine:Varianta I Varianta II Varianta III
)(t K C & =0.094 K F (t ) +
+ 0.315 K C (t ) 1100)(t K F
& = 1000 0,15 K F (t )Y (t ) = 0
)(t K C & =0.087 K F (t ) +
+ 0.546 K C (t ) 1100)(t K F
& = 1000 0,15 K F (t )Y (t ) = 0
)(t K C & =0.04563 K F (t ) +
+ 0.637 K C (t ) 1010)(t K F
& = 1000 0,15 K F (t )Y (t ) = 0
Din a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 6666,667 5109,667e-0,15t
KF
1500
2500
3500
4500
5500
6500
0 5 10 15 20 25 30
t
K F
KC
-18000
-16000
-14000
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
0
t
K C
KT
-30000
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
0
t
K T
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
26/75
Cele dou soluii gsite se nlocuiesc n prima ecuaie i obinemecuaia de dinamic a capitalului circulant:
Varianta I: )(t K C & = 0.315 K C (t ) + 0.094(6666,667 5109,667e-0,15t ) 1100
Varianta II: )(t K C & = 0.315 K C (t ) + 0.094(6666,667 5109,667e-0,15t
) 1100Varianta III: )(t K C
& = 0.315 K C (t ) + 0.094(6666,667 5109,667e-0,15t ) 1010
din care se scoate evoluia capitalului circulant:Varianta I: K C (t ) = 1502,6 + 1032,9e-0,15t 2231,6e0,315t Varianta II: K C (t ) = 952,38 + 638. 71e-0,15t 1287,1e0,546t Varianta III: K C (t ) = 1108 + 296. 26e-0,15t 1379,3e0,637t Evoluia indicatorilor firmei este reprezentat n figura de mai jos:
Pe aceast traiectorie firma nu pltete dividende (nu retrage bani),face investiii la maxim, nu are datorii, nu face mprumuturii are o evoluiede stabilizare a valorii capitalului fix n paralel cu o descretere rapid avolumului capitalului circulant (mai rapid dect n cazul traiectoriei 13). Cai n cazul traiectoriilor precedente situaia este acceptabil doar att timpct K C (t ) r mne pozitiv.
Traiectoria nu este traiectorie iniial deoareceY 0 0.
1.2 Traiectoria final Aa cum s-a vzut n capitolul 4, pentru cazul concurenei perfecte
modelul d ca soluie optim n cazul firmei TRICOMEL SA CIMPENItraiectoria 7, pe care nu se fac investiii, nu se fac mprumuturii nu se pltesc dividende, caz n care firma ajunge la sfr itul perioadei cu o valoareactualizat a capitalului propriu de:
X (5) = 5 )48,01( )5( )5(
++ F C K K = 779,52 milioane lei
KF
1500
2500
3500
4500
5500
6500
0 10 20 30
t
K F
KC
-18000
-16000
-14000
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
0
t
K C
KT
-30000
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
0
t
K T
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
27/75
i o valoare a datoriei:Y (5) = 3,68 milioane lei
Evoluiile indicatorilor firmei pe aceast traiectorie sunt reprezentaten figura de mai jos:
Totui, aceast soluie nu este acceptabil deoarece nu pare plauzibilca firma s nu plteasc dividende timp de 5 ani. Aceast situaie arat c este absolut necesar ca n modele dinamice s se fixeze un prag minim strict pozitiv al valorii dividendelor pltite i/sau o perioad maxim pe care seaccept ca valoarea dividendelor s fie minim.
Aa cum se va vedea la cazul discret, faptul c firma trebuie totui s pl
teasc
dividende face ca valoarea real
ob
inut
s
fie mult sub ceaoptim conform modelului simplificat de mai sus, n acest caz undeva n jurul valorii de 350 milioane lei.
2. Cazul continuu n condi ii de concuren imperfect
Pentru cazul concurenei imperfecte, n care firma poate impune un pre peste valoarea normal a produsului, vom considera c preul produsului este descresctor n funcie de volumul produciei i c aceast
funcie scade asimptotic spre valoarea preului standard cnd valoarea produciei tinde la infinit. Vom propune ca funcie invers a ofertei o funciede tipul:
p(Q) = 0,01 + 22
Q
b
Aceast expresie arat c firma care deine monopolul reuete s obin un pre mai mare dect preul normal pe pia, diferen dintre preulde monopoli cel normal fiind totui cu att mai mic cu ct volumul
produciei este mai mare.
K F = r o s u , K C = g a l b e n , X = a l b a s t r u , K =
v e r d e
-400
600
1600
2600
3600
4600
5600
0 1 2 3 4 5
t
Y
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5
t
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
28/75
Parametrii bi vor fi calculai astfel nct produsul p(Q)Q s aproximeze ct mai bine valoarea produciei vndute pentru firmaconsiderat pe perioada analizat.
n urma aplicrii regresiei dup coeficienii b i s-a obinuturmtoarea expresie a funciei de producie:
p(Q) = 0,01 + 554,28100542,1
Q
Pe baza acestei funcii am f cut n tabelul de mai jos o comparaientre valoarea produciei vndute reale, cea care corespunde variantei de pia perfect i cea care corespunde unei piee pe care firma deinemonopolul:
AN CapitalFix
(mil. lei)
CapitalCirculant(mil. lei)
VolumProduc ie
(buc)
Pre conc. perf.(mil. lei)
Pre monopol(mil. lei)
PV real
(mil. lei)
PV conc. perf (mil. lei)
PV monopol(mil. lei)
1994 1557 304 59087 0,01 0,010069 581 590,87 594,92531995 1199.14 273.7002 52589.76 0,01 0,010092 389.3802 525,8976 530,75761996 847.5343 498.3894 91754.31 0,01 0,010022 829.0149 917,5431 919,58951997 931.1854 321.0837 60267.54 0,01 0,010065 897.1959 602,6754 606,60791998 687.264 381.052 70270.1 0,01 0,010044 680.8146 702,701 705,7987
Parametrii modelului vor fi aceeai cu cei de la cazul concurenei perfecte, dar, din cauza volumului foarte mare de calcule necesare pentruacest caz, va fi analizat doar varianta funciei de producie careaproximeaz cel mai binevalorile produc iei observate pentru aceast firm pe perioada analizat.
Parametrii f i a b r k p 0C K
0 F K Y0 Imax Dmax T N
Valori 3 179 0,3 0,48 0,15 0,2 0,5 0,5 0,8 0,01 304 1557 10 1000 100 5 100000
Rezolvarea modelului
Pentru cazul1(t ) = 1, Q se scoate din relaiile:
p(Q) = C Q1 +
)1(1
f f i
+
, p(Q0) = p0 = 0,01 + 554,2
0
8100542,1Q
iar pentru cazul1(t ) = 2(t ) 1 Q se scoate din relaiile:
p(Q) = C Q1 +
1a , p(Q0) = p0 = 0,01 + 554,2
0
8100542,1Q
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
29/75
n cazul analizat avemQ0 = Q1994 = 59087 p0 = 0,010069i situaiadin cele dou cazuri de mai sus se reduce la rezolvarea unei ecuaiidifereniale:
- Cazul1(t ) = 1: p(Q) = C Q1 + )1( 1 f
f i+ ,
p(59087) = 0,010069
- Cazul1(t ) = 2(t ) 1: p(Q) = C Q1 +
1a , p(59087) = 0,010069
i apoi la rezolvarea ecuaiei algebrice nQ:
- Cazul1(t ) = 1:C Q
1 +)1(
1
f
f i
+
= 0,01 + 554,28100542,1
Q
- Cazul1(t ) = 2(t ) 1: C Q1 +
1a = 0,01 + 554,2
8100542,1Q
n cazul1(t ) = 1 se obineC = 38,50119 iar n cazul1(t ) = 2(t ) 1se obine C = 309,58365.
Ecuaia algebric din care se afl Q va fi:
Cazul1(t ) = 1: 38,50119Q1 + 0,009417 = 0,01 +
554,2
8100542,1 Q Q = 16762
Cazul1(t ) =2(t ) 1: 309,58365 Q1 + 0,00483 = 0,01+
554,2
8100542,1 Q
Q = 3786,1
Fcnd o sintez a rezultatelor obinute obinem:
1(t ) = 1: Q = 16762, p( Q ) = 0,011714, p( Q ) Q = 196,35, 3 K F + 179 K C == 16762
1(t ) = 2(t ) 1: Q = 3786,1, p( Q ) = 0,086599, p( Q ) Q = 327,87, 3 K F ++ 179 K C = 3786,1
De asemenea, vom avea n toate cazurile:
U ( K F (t ), K C (t )) = 0,553 K C (t ) + 0,171 K F (t ) + 554,18
))(179)(3(1073794,0
t K t K C F +
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
30/75
2.1 Analiza traiectoriilor de baz
Deoarecea b r mn de analizat doar traiectoriile:
Traiectoria 3 (3 K F
+ 179 K C
= 16762, F = 0,8 I F
, Y = 0)
Sistemul canonic redus devine:
)(t K C & = 0,7[196,35 0,15 K F (t ) + 179
3 K F 17916762] + 0,15 K F (t ) )(t D
)(t K F & = 0,15 K F (t )
0 = )(t F = )(t I F
Din a doua ecuaie rezult evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 1557e-0,15t
de unde rezult imediat evoluia capitalului circulant:
K C (t ) = 93,64 5,095e-0,15t
i evoluia dividendelor pltite din prima ecuaie:
)(t D = 84,41723e-0,15t + 71,895
Evoluia indicatorilor firmei este redat n figura de mai jos:
Pe aceast traiectorie firma pltete dividende, dar din ce n ce mai puine, are o evoluie cresctoare asimptotic spre 93,64 a capitaluluicirculant i descresctoare asimptotic spre 0 a capitalului fix, nu facemprumuturi, nu are datoriii nu face investiii, pstrnd veniturile, preulde vnzarei producia la un nivel constant.
Evident traiectoria este admisibil att timp ct verific i condiiileimpuse asupra variabilelor.
KF-KT
0
500
1000
1500
0 10 20 30
t
K F - K
T
KC
88
90
92
94
0 10 20 30
t
K C
D
7090
110130150
0 10 20 30
t
D
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
31/75
Traiectoria 4 ( F = 0,8 I F , D = 0,Y = 0)Sistemul canonic redus devine:
)(t K C &
= 0,553 K C (t ) + 0,171 K F (t ) + 554,18
))(179)(3(1073794,0
t K t K C F +
)(t K F
& = a K F (t )Y (t ) = )(t I F = )(t F = 0
Din a treia ecuaie rezult c firma nu are datorii (Y = 0), nu se facinvestiii ( I F (t ) = 0), nu se pltesc dividende (nu se retrag bani din firm)( D = 0) i are loc o restructurare a activitii firmei prin scderea puternic acapitalului fix al firmei:
K F (t ) = 1557e-0,15t
0Evoluia capitalului circulant rezult din prima ecuaie dup
nlocuirea n aceasta a lui K F (t ):
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0
8
))(1794671(1073794,0
t K e C t +
+ 266,247e-0,15t ,
K C (0) = 304Deoarece ecuaia de mai sus nu are o soluie elementar au fost doar
o serie de valori ale acesteiai mai jos a fost reprezentat grafic mulimeavalorilor acesteia:
Din acest grafic rezult c are loc o cretere accelerat a capitaluluicirculant pentru a suplini capitalul fix uzat care nu este nlocuit prininvestiii. Efectul este o schimbare a structurii produciei firmei n paralel cuo descretere iniial a capitalului total al firmei pe o perioad scurt de timpurmat de o cretere ulterioar accelerat a acestuia.
Traiectoria poate fi traiectorie iniial doar dac Y 0
= 0.
KF
0
500
1000
1500
0 10 20 30t
K F
KC
0
5001000150020002500300035004000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
32/75
Traiectoria 5 ( F = 0,8 I F , D = 100,Y = 0)Sistemul canonic redus devine:
)(t K C &
= 0,553 K C (t ) + 0,171 K F (t ) + 554,18
))( 179 )( 3(
1073794,0
t K t K C F +
100)(t K F
& = a K F (t )Y (t ) = )(t I F = )(t F = 0
Din a treia ecuaie rezult c firma nu are datorii (Y = 0), nu se facinvestiii ( I F (t ) = 0), se pltesc dividende la maximi are loc o restructurarea activitii firmei prin scderea puternic a capitalului fix al firmei:
K F (t ) = 1557e-0,15t 0Evoluia capitalului circulant rezult din prima ecuaie dup
nlocuirea n aceasta a lui K F (t ):
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0
8
))(1794671(1073794,0
t K e C t +
+ 266,247e-0,15t
100, K C (0) = 304Deoarece ecuaia de mai sus nu are o soluie elementar au fost doar
o serie de valori ale acesteiai mai jos a fost reprezentat grafic mulimeavalorilor acesteia:
Din acest grafic rezult c are loc o cretere accelerat a capitaluluicirculant (dar mai lent dect n cazul traiectoriei precedente, deoarece se pltesc i dividende) pentru a suplini capitalul fix uzat care nu este nlocuit prin investiii. Efectul este o schimbare a structurii produciei firmei n paralel cu o descretere iniial a capitalului total al firmei pe o perioad scurt de timp urmat de o cretere ulterioar accelerat a acestuia.
Traiectoria poate fi traiectorie iniial doar dac Y 0
= 0.
KF
0
500
1000
1500
0 10 20 30t
K F
KC
0500
10001500200025003000
0 1 2 3
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
33/75
Traiectoria 6 (3 K F + 179 K C = 16762, F = 0,8 I F , Y = 0,5( K F + K C ))Sistemul canonic redus devine:
0,01676 )(t K F & = (1 0,3)[196,35 0,15 K F (t ) + 0,01676 K F (t )
93,64246 0,25( K F (t ) + K C (t ))] + 0,15 K F (t ) )(t D )(t I F )(t K F
& = )(t I F 0,15 K F (t )0,49162 )(t K F
& = 0,8 )(t I F 0,098324 K F (t ) 9,364246
Din ultimele dou ecuaii se elimin termenul )(t I F i obinem oecuaie liniar cu coeficieni constani n K F (t ):
)(t K F & = 0,0703 K F (t ) + 30,366
din care se obine imediat evoluia capitalului fix: K F (t ) = 431,95 + 1125,1e-0,0703t
Evoluia capitalului circulant rezult din relaia K C (t ) = 93,64246 0,01676 K F (t ):
K C (t ) = 86,403 18,85668e-0,0703t evoluia investiiilor din a doua ecuaie a sistemului canonic redus:
)(t I F = 64,7925 + 89,67047e-0,0703t
evoluia datoriei din relaia Y (t ) = 0,5( K F (t ) + K C (t )):Y (t ) = 259,1765 + 553,12166e-0,0703t
evoluia mprumuturilor din relaia F = 0,8 I F : F (t ) = 51,834 + 71,736376e-0,0703t
i n final evoluia dividendelor din prima ecuaie a sistemului canonic redus:)(t D = 59,10360575 220,7595028e-0,0703t
Evoluia indicatorilor firmei este evideniat n figura de mai jos:
Y-KF-KT
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 10 20 30 40 50t
Y - K
F - K
KC
6567
697173
7577
798183
858789
0 10 20 30 40 50t
K C
D-F-IF
-280
-230
-180
-130
-80
-30
20
70
120
0 10 20 30
t
D - F - I
F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
34/75
Traiectoria nu este traiectorie iniial deoarece K C (0) = 86,403 0C K = 304.Pe aceast traiectorie are loc o scdere a volumului capitalului fix, a
datoriilor i a capitalului total compensat n parte de o cretere a capitalului
circulant. Are loc o descretere a investiiilor n capital fix i amprumuturilor firmei n paralel cu o cretere a dividendelor distribuite,tendina fiind de stabilizare a tuturor indicatorilor spre valoarea de echilibru.
Obs . n cazul nostru traiectoria nu este admisibil deoarece D(t ) < 0oricare ar fit , dar analiza r mne valabil i traiectoria posibil pentru altevalori ale parametrilor modelului.
Traiectoria 7 ( F = I F , D = 0,Y = k ( K F + K C ))Sistemul canonic redus devine:
)(t K C & = 0,378 K C (t ) 0,004 K F (t ) + 554,1
8
))(179)(3(1073794,0
t K t K C F + )(t I F
)(t K F & = )(t I F 0,15 K F (t )
0,5( )(t K F & + )(t K C
& ) = 0,8 )(t I F 0,1( K F (t ) + K C (t ))
n acest caz sistemul s-a redus la trei ecuaii cu trei necunoscute{ K F (t ), K C (t ), I F (t )} din care doar K F (t ) i K C (t ) apar derivate n ecuaii.
nlocuind derivatele capitalului fixi capitalului circulant din primele dou ecuaii n a treia ecuaie obinem:
0,023 K F (t ) + 0,289 K C (t ) + 0,5 554,18
))(179)(3(1073794,0
t K t K C F + = 0,8 )(t I F
din care vom afla valoarea investiiei f cute de firm I F (t ) n funcie devalorile capitalului fixi circulant:
I F (t ) = 0,02875 K F (t ) + 0,36125 K C (t ) + 554,18
))(179)(3(
10461213,0
t K t K C F +
Dup nlocuirea expresiei investiiei I F (t ) obinut mai sus n primeledou ecuaii se obine un sistem de dou ecuaii n K F (t ) i K C (t ):
)(t K C & = 0,01675 K C (t ) 0,03275 K F (t ) + 554,1
8
))(179)(3(10276727,0
t K t K C F +
)(t K F & = 0,36125 K C (t ) 0,12125 K F (t ) + 554,1
8
))(179)(3(10461213,0
t K t K C F +
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
35/75
i condiiile iniiale K C (0) = 304, K F (0) = 1557 din care vom scoate
evoluiile capitalului fix K F (t ) i a celui circulant K C (t ), apoi valoareainvestiiei I F (t ) i a mprumutului F (t ).
Deoarece sistemul de ecuaii nu are soluii elementare au fostcalculate doar valorile capitalului fixi circulant pe intervalul analizat, nfigura de mai jos fiind reprezentate grafic aceste valori:
Evoluia capitalului va depinde evident de forma funciei pre p( K F (t ), K C (t )) i valoarea firmei va fi dat doar de valoarea final actualizat a capitalului total.
n acest caz firma face mprumuturi la maxim F = I F , nivelulcapitalului mprumutat este maximY = k ( K F + K C ) i nu pltete dividende.
Traiectoria nu este traiectorie iniial deoareceY 0 k ( 0 F K +0C K ).
Traiectoria 8 ( F = I F , D = Dmax, Y = k ( K F + K C ))
Sistemul canonic redus devine:)(t K C
& = 0,378 K C (t ) 0,004 K F (t ) + 554,18
))(179)(3(1073794,0
t K t K C F + )(t I F 100
)(t K F & = )(t I F 0,15 K F (t )
0,5( )(t K F & + )(t K C
& ) = 0,8 )(t I F 0,1( K F (t ) + K C (t ))
n acest caz sistemul s-a redus la trei ecuaii cu trei necunoscute{ K F (t ), K C (t ), I F (t )} din care doar K F (t ) i K C (t ) apar derivate n ecuaii.
KC
050
100150200250300350
0 10 20 30 40 50
Y-KF-KT
0200400600800
1000120014001600
0 10 20 30 40 50t
Y - K
F - K
F-IF
0
50
100
150
200
0 10 20 30 40 50
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
36/75
nlocuind derivatele capitalului fixi capitalului circulant din primele dou ecuaii n a treia ecuaie obinem:
0,023 K F (t ) + 0,289 K C (t ) + 0,5 554,18
))(179)(3(
1073794,0
t K t K C F +
50 = 0,8 )(t I F
din care vom afla valoarea investiiei f cute de firm I F (t ) n funcie devalorile capitalului fixi circulant:
I F (t ) = 0,02875 K F (t ) + 0,36125 K C (t ) + 554,18
))(179)(3(10461213,0
t K t K C F + 62,5
Dup nlocuirea expresiei investiiei I F (t ) obinut mai sus n primeledou ecuaii se obine un sistem de dou ecuaii n K F (t ) i K C (t ):
)(t K C & = 0,01675 K C (t ) 0,03275 K F (t ) + 554,1
8
))(179)(3(
10276727,0
t K t K C F +
+ 62,5
)(t K F & = 0,36125 K C (t ) 0,12125 K F (t ) + 554,1
8
))(179)(3(10461213,0
t K t K C F + 62,5
i condiiile iniiale K C (0) = 304, K F (0) = 1557 din care vom scoate
evoluiile capitalului fix K F (t ) i a celui circulant K C (t ), apoi valoareainvestiiei I F (t ) i a mprumutului F (t ).
Deoarece sistemul de ecuaii nu are soluii elementare au fostcalculate doar valorile capitalului fixi circulant pe intervalul analizat, n
figura de mai jos fiind reprezentate grafic aceste valori:
Evoluia capitalului va depinde evident de forma funciei pre p( K F (t ), K C (t )) i valoarea firmei va fi dat doar de valoarea final actualizat
a capitalului total.
KC
0200400600800
10001200
0 10 20 30 40 50
Y-KF-KT
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 10 20 30 40 50t
Y - K
F - K
F-IF
0
100
200
300
400
500
0 10 20 30 40 50
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
37/75
n acest caz firma face mprumuturi la maxim F = I F , nivelulcapitalului mprumutat este maximY = k ( K F + K C ) i pltete dividende lamaxim, condiii n care obine o cretere iniial a capitalului fixi circulant pe seama unei creteri a investiiilor i mprumuturilor urmat de o scdere aacestora spre o valoare de echilibru.
Traiectoria nu este traiectorie iniial deoareceY 0 k ( 0 F K +0C K ).
Traiectoria 9 (3 K F + 179 K C = 16762, I F = 1000, F = 800)Sistemul canonic devine:
0,01676 )(t K F & = 0,056732 K F (t ) 0,35Y (t ) )(t D 928,104722
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y &
= 800 0,2Y (t )Din a doua ecuaie (liniar n K F (t )) se scoate evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 6666,7 5109,7e-0.15t Din a treia ecuaie (liniar n Y (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
Y (t ) = 4000 3990e-0.2t Evoluia capitalului circulant se obine din relaia 3 K F + 179 K C = 16762:
K C (t ) = 18,0914 + 85,638572e-0.15t i nlocuind evoluiile capitalului fixi a datoriei n prima ecuaie obinemevoluia dividendelor:
)(t D = 1949,889498 277,0377146e-0.15t + 1396,5e-0.2t Evoluiile indicatorilor firmei sunt reprezentate n figura de mai jos:
Pe aceast traiectorie firma face investiii i mprumuturi la maxim,are loc o cretere a capitalului fixi a datoriei n paralel cu o scdere acapitalului circulanti a valorii dividendelor.
Y-KF-KT
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 10 20 30 40 50t
Y - K
F - K
KC
-20
0
20
40
60
0 10 20 30 40 50
t
K C
D
-2000
-1500
-1000
0 10 20 30
t
D - F - I
F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
38/75
Obs . n cazul de fa traiectoria nu este admisibil deoarece funciadividend are numai valori negative, dar este posibil pentru alte valori ale parametrilor modelului.
Traiectoria 10 ( I F = 1000, F = 800, D = 0)Sistemul canonic devine:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171 K F (t ) + 554,1
8
))( 179 )( 3( 1073794,0
t K t K C F + 0,35Y (t ) 1000
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y & = 800 0,2Y (t )Din a doua ecuaie (liniar n K F (t )) se scoate evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 6666,7 5109,7e-0.15t Din a treia ecuaie (liniar n Y (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
Y (t ) = 4000 3990e-0.2t nlocuind evoluiile capitalului fixi a datoriei n prima ecuaie
obinem o ecuaie n capitalul circulant:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0
8
)]( 179 )7,51097,6666( 3[
1073794,0
t K e C t
+
873,7587e-0.15t + 1396,5e-0.2t 1259,9943 Deoarece ecuaia de mai sus nu are soluie elementar vom
reprezenta doar valorile acesteia pe intervalul analizat, evoluia indicatorilor firmei fiind dat n figura de mai jos:
KC
-55
-5
45
95
145
195
245
295
0 1 2 3
t
K C
Y-KF
0
2000
4000
6000
0 10 20 30 40 50t
Y - K
F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
39/75
Pe aceast traiectorie firma nu pltete dividende (nu retrage bani),face investiii i mprumuturi la maximi are o evoluie de stabilizare avalorii capitalului fixi a datoriei firmei pe fondul unei scderi rapide avolumului capitalului circulant.
Traiectoria 11 ( I F = 1000, F = 800, D = 100)Sistemul canonic devine:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171 K F (t ) + 554,1
8
))( 179 )( 3( 1073794,0
t K t K C F + 0,35Y (t ) 1100
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y & = 800 0,2Y (t )
Din a doua ecuaie (liniar n K F (t )) se scoate evoluia capitalului fix: K F (t ) = 6666,7 5109,7e-0.15t
Din a treia ecuaie (liniar n Y (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:Y (t ) = 4000 3990e-0.2t
nlocuind evoluiile capitalului fixi a datoriei n prima ecuaieobinem o ecuaie n capitalul circulant:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0
8
)]( 179 )7,51097,6666( 3[
1073794,0
t K e C t
+
873,7587e-0.15t + 1396,5e-0.2t 1359,9943 Deoarece ecuaia de mai sus nu are soluie elementar vom
reprezenta doar valorile acesteia pe intervalul analizat, evoluia indicatorilor firmei fiind dat n figura de mai jos:
KC
-55
-5
45
95
145
195
245
295
0 1 2 3
t
K C
Y-KF
0
2000
4000
6000
0 10 20 30 40 50t
Y - K
F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
40/75
Pe aceast traiectorie firma pltete dividende la maxim, faceinvestiii i mprumuturi la maximi are o evoluie de stabilizare a valoriicapitalului fixi a datoriei firmei pe fondul unei scderi rapide (i mairapid dect n cazul traiectoriei anterioare) a volumului capitaluluicirculant.
Traiectoria 18 (3 K F + 179 K C = 3786,1, D = 0, I F oarecare, F = 0,1(t ) = 2(t ) 1)
Sistemul canonic redus devine:
0,01676 )(t K F & = 214,7047517 + 0,056732 K F (t ) 0,35Y (t ) )(t I F
)(t K F & = )(t I F 0,15 K F (t )
)(t Y & = -0,2Y (t )
Din ultima ecuaie se obine evoluia mprumuturilor f cute de firm:
Y (t ) = 10e-0,2t care se nlocuiete n prima ecuaie. De asemenea, din a doua ecuaie sescoate )(t I F n funcie de K F (t ) i se introduce n prima ecuaie, rezultnd oecuaie liniar cu coeficientul termenului de gradul unu constant n K F (t ):
)(t K F & = 218,36 0,0577 K F (t ) 3,5597e-0,2t
care are soluia:
K F (t ) = 3784,5 + 25,015e-0.2t 2252,5e 0.0577t
Din relaia 3 K F (t ) + 179 K C (t ) = 3786,1 se afl imediat evoluiacapitalului circulant:
K C (t ) = 42,276 0,41925 e-0.2t + 37,751e 0.0577t
i din a doua ecuaie de dinamic evoluia investiiilor firmei:)(t I F = 567,68 1,2508e
-0.2t 207,91 e 0.0577t
Pe aceast traiectorie firma nu pltete dividende i nu facemprumuturi, firma ndreptndu-se spre o valoare de echilibru pe fondul pstr rii unui volum constant al produciei.
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
41/75
Evoluiile indicatorilor firmei sunt reprezentate n figura de mai jos(KF rou, KC verde, IF albastru, Y violet):
Se observ c valoarea capitalului este negativ pe tot intervalulanalizat, deci soluia nu este aplicabil n situaia concret existent.
Traiectoria 19 (3 K F + 179 K C = 3786,1, D = 100, I F oarecare, F = 0,
1(t ) = 2(t ) 1)
Sistemul canonic redus devine:
0,01676 )(t K F & = 114,7047517 + 0,056732 K F (t ) 0,35Y (t ) )(t I F
)(t K F & = )(t I F 0,15 K F (t )
)(t Y & = 0,2Y (t )
Din ultima ecuaie se obine evoluia mprumuturilor f cute de firm:
Y (t ) = 10e-0,2t
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
42/75
care se nlocuiete n prima ecuaie. De asemenea, din a doua ecuaie sescoate )(t I F n funcie de K F (t ) i se introduce n prima ecuaie, rezultnd oecuaie liniar cu coeficientul termenului de gradul unu constant n K F (t ):
)(t K F & = 116,6599728 0,094857817 K F (t ) 3,5596599e-0,2t
care are soluia:
K F (t ) = 1229,8 + 33,856e-0.2t + 293,3e 0.094858t
Din relaia 3 K F (t ) + 179 K C (t ) = 3786,1 se afl imediat evoluiacapitalului circulant:
K C (t ) = 0,540222895 0,56741901e-0.2t 4,915642594e 0.094858t
i din a doua ecuaie de dinamic evoluia investiiilor firmei:
)(t I F = 184,47 1,6928e-0.2t + 16,1731486e 0.094858t
Evoluiile indicatorilor firmei sunt reprezentate n figura de mai jos:
Pe aceast traiectorie firma nu face mprumuturi noi, pltetedividende maximei i pltete datoriile pe fondul unei scderi a volumuluiinvestiiilor n active fixei a capitalului fix spre o valoare de echilibru n paralel cu creterea capitalului circulant spre valoarea de echilibru.
KC
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0 10 20 30 40 50
t
K C
KF
120012501300135014001450150015501600
0 10 20 30 40 50t
K F
Y
0
24
6
8
10
0 10 20 30 40 50t
Y
IF
182184186188190192194196198200
0 10 20 30 40 50t
I F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
43/75
Traiectoria 20 ( K F + K C = Q , D = 0, I F oarecare, F = 0, Y = 0,1(t ) = 2(t ) 1)
Sistemul canonic redus devine:
0,01676 )(t K F & = 214,7047517 + 0,056732 K F (t ) )(t I F )(t K F
& = )(t I F 0,15 K F (t )Y (t ) = 0
Din a doua ecuaie se scoate )(t I F n funcie de K F (t ) i se introducen prima ecuaie, rezultnd o ecuaie liniar cu coeficieni constani:
)(t K F & = 218,3645414 0,094857817 K F (t )
care are soluia: K F (t ) = 2302 745,02e 0,094858t
Din relaia 3 K F (t ) + 179 K C (t ) = 3786,1 K C (t ) = 21,1514 0,01676 K F (t ) se afl imediat evoluia capitalului circulant:
K C (t ) = 17,43012 + 12,4865352e 0,094858t i din a doua ecuaie de dinamic evoluia investiiilor firmei:
)(t I F
= 345,3 674,3488928e 0,094858t )
Evoluiile indicatorilor firmei sunt reprezentate n figura de mai jos:
Pe aceast traiectorie firma nu face mprumuturi noi, nu are datorii,nu pltete dividendei menine producia, preul produselor i vnzrile laun nivel constant.
Obs . Pentru cazul nostru traiectoria nu este admisibil deoarecevalorile funciei corespunztoare capitalului circulant are numai valorinegative pe perioada analizat.
KC
-20-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
00 10 20 30 40 50
t
K C
KF
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
0 10 20 30 40 50t
K F
IF
-350
-250
-150
-50
50
150
250
350
0 10 20 30 40 50
t
I F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
44/75
Traiectoria 21 ( K F + K C = Q , D = Dmax, I F oarecare, F = 0,Y = 0,1(t ) = 2(t ) 1)
Sistemul canonic redus devine:
0,01676 )(t K F & = 114,7047517 + 0,056732 K F (t ) )(t I F )(t K F
& = )(t I F - 0,15 K F (t )Y (t ) = 0
Din a doua ecuaie se scoate )(t I F n funcie de K F (t ) i se introducen prima ecuaie, rezultnd o ecuaie liniar cu coeficieni constani:
)(t K F & = 118,3645414 0,094857817 K F (t )
care are soluia: K F (t ) = 1247,8 + 309,19e 0,094858t
Din relaia 3 K F (t ) + 179 K C (t ) = 3786,1 K C (t ) = 21,1514 0,01676 K F (t ) se afl imediat evoluia capitalului circulant:
K C (t ) = 0,238272 5,1820244e 0,094858t i din a doua ecuaie de dinamic evoluia investiiilor firmei:
)(t I F
= 187,17 + 279,860855e 0,094858t )
Evoluiile indicatorilor firmei sunt reprezentate n figura de mai jos:
Pe aceast traiectorie firma nu face mprumuturi noi, nu are datoriii pltete dividende maxime, meninnd producia, preul produselor ivnzrile la un nivel constant, pe fondul unei creteri a capitalului circulanti a unei descreteri a capitalului fixi a investiiilor n capitalul fix sprevaloarea de echilibru.
Obs. Traiectoria este admisibil doar pe intervalele pe care capitalulcirculant ia valori pozitive.
KC
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0 10 20 30 40 50
t
K C
KF
1200
1250
1300
1350
1400
1450
1500
1550
1600
0 10 20 30 40 50t
K F
IF
180
280
380
0 10 20 30 40 50t
I F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
45/75
Traiectoria 24 ( K F + K C = Q , F = I F = 0, D oarecare,1(t ) = 1)Sistemul canonic redus devine:
0,01676 )(t K F & = 71,89527933 + 0,056732 K F (t ) 0,35Y (t ) )(t D
)(t K F & = 0,15 K F (t ))(t Y & = 0,2Y (t )
Din ultimele dou ecuaii se obine evoluia capitalului fix: K F (t ) = 1557e-0,15t
i datoriei firmei:Y (t ) = 10e-0,2t
apoi evoluia capitalului circulant: K C (t ) = 93,6424581 26,09497279e-0,15t
care se nlocuiesc n prima ecuaie din care se afl evoluia dividendelor pltite:
)(t D = 71,89527933 + 84,417426e-0,15t 3,5e-0,2t
Evoluiile indicatorilor firmei sunt redate n figura de mai jos:
Pe aceast traiectorie firma nu face nici mprumuturi nici investiii, pltete ratele la credite, pltete dividende dar cu o evoluie descresctoarea acestora spre valoarea de echilibru, are o evoluie descresctoare acapitalului fixi a capitalului totali cresctoare a celui circulant pe fondulmen
inerii unui nivel constant al produc
iei, pre
ului
i vnz
rilor.
KC
65
75
85
95
0 10 20 30 40 50t
K C
KF-KT
0
300
600
900
12001500
0 10 20 30 40 50t
K F - K
T
Y
0
5
10
0 10 20 30 40 50t
Y
D
70
90
110
130
150
0 10 20 30 40 50t
D
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
46/75
Traiectoria 25 ( F = I F = D = 0)
Sistemul canonic devine:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171 K F (t ) + 554,18
))(179)(3( 1073794,0 t K t K C F + 0,35Y (t )
)(t K F & = 0,15 K F (t )
)(t Y & = 0,2Y (t )
Din ultimele dou ecuaii se obine evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 1557e-0,15t
i datoriei firmei:Y (t ) = 10e-0,2t
iar dup nlocuirea acestora n prima ecuaie ecuaia de dinamic acapitalului circulant:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0
8
))( 1794671( 1073794,0
t K e C t +
+ 266,247e-0,15t 3,5e-0,2t
Ecuaia nu are soluie elementar astfel c au fost calculate doar oserie de valori ale acesteia care, mpreun cu valorile corespunztoarecelorlali indicatori sunt reprezentate n figura de mai jos:
Pe aceast traiectorie firma nu face investiii, nu face mprumuturi,nu pltete dividende, are loc o scdere a capitalului fix n paralel cueliminarea rapid a datoriilor i o evoluie accelerat cresctoare a capitaluluicirculant.
KC
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 1 2 3t
K C
KF
0
300
600
900
1200
1500
-10 10 30 50t
K F
Y
0
5
10
-10 10 30 50t
Y
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
47/75
Traiectoria 26 ( F = I F = 0, D = Dmax)Sistemul canonic devine:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171 K F (t ) + 554,1
8
))(179)(3(
1073794,0
t K t K C F +
- 0,35Y (t ) 100
)(t K F & = - 0,15 K F (t )
)(t Y & = - 0,2Y (t )
Din ultimele dou ecuaii se obine evoluia capitalului fix: K F (t ) = 1557e-0,15t
i datoriei firmei:Y (t ) = 10e-0,2t
iar dup nlocuirea acestora n prima ecuaie ecuaia de dinamic acapitalului circulant:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0
8
))(1794671(1073794,0
t K e C t +
+ 266,247e-0,15t
3,5e-0,2t 100Ecuaia nu are soluie elementar astfel c au fost calculate doar o
serie de valori ale acesteia care, mpreun cu valorile corespunztoarecelorlali indicatori sunt reprezentate n figura de mai jos:
Traiectoria 27 (3 K F + 179 K C = 16762, F = I F = 0, D oarecare,Y = 0,1(t ) = 1)
Sistemul canonic redus devine:
0,01676 )(t K F & = 71,89527933 + 0,056732 K F (t ) )(t D
)(t K F & = a K F (t )
Y (t ) = F (t ) = I F (t ) = 0
KC
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 1 2 3t
K C
KF
0
300
600
900
1200
1500
-10 10 30 50t
K F
Y
0
5
10
-10 10 30 50t
Y
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
48/75
Din a doua ecuaie aflm evoluia capitalului fix: K F (t ) = 1557e-0,15t
i din relaia 3 K F + 179 K C = 16762 pe cea a capitalului circulant: K C (t ) = 93,6424581 26,09532e-0,15t
care se nlocuiesc n prima ecuaie din care se scoate evoluia dividendelor:
)(t D = 71,89527933 + 84,417426e-0,15t Evoluia indicatorilor firmei este redat n figura de mai jos:
Pe aceast traiectoria firma nu are datorii, nu face investiii, pltetedividende, are loc o uzur a capitalului fix suplinit de o cretere acapitalului circulant utilizat, pe fondul unei menineri constante a produciei, preului de vnzarei a volumului vnzrilor i o scdere a volumuluidividendelor pltite.
Traiectoria 28 ( F = I F = 0, D = 0,Y = 0)Sistemul canonic redus devine:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171 K F (t ) + 554,1
8
))( 179 )( 3( 1073794,0
t K t K C F +
)(t K F &
= - 0,15 K F (t )0 = 0Din acesta rezult imediat evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 1557e-0,15t i apoi, dup nlocuirea acestei soluii n prima ecuaie, o ecuaie n K C (t ):
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,1
8
))( 179 )( 4671( 1073794,0
t K t K C F + + 264,69e-0,15t
KC
65
75
85
95
-10 10 30 50t
K C
KF-KT
0
300
600
900
1200
1500
0 10 20 30 40 50t
K F - K
T
D
70
90
110
130
150
0 10 20 30 40 50t
D
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
49/75
Deoarece ecuaia nu are soluii elementare au fost calculate doar valorile funciei pe intervalul analizat, acestea fiind reprezentate grafic nfigura de mai jos:
Pe aceast traiectorie firma nu are datorii, nu face mprumuturi, nu
face investiii, nu pltete dividendei are loc o scdere a capitalului fixcompensat. de o evoluie rapid cresctoare a capitalului circulant.Traiectoria 29 ( F = I F = 0, D = Dmax, Y = 0)Sistemul canonic redus devine:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171 K F (t ) + 554,1
8
))( 179 )( 3( 1073794,0
t K t K C F + 100
)(t K F & = 0,15 K F (t )
0 = 0Din acesta rezult imediat evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 1557e-0,15t i apoi, dup nlocuirea acestei soluii n prima ecuaie, o ecuaie n K C (t ):
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,1
8
))( 179 )( 4671( 1073794,0
t K t K C F + + 264,69e-0,15t 100
Deoarece ecuaia nu are soluii elementare au fost calculate doar valorile funciei pe intervalul analizat, acestea fiind reprezentate grafic n
figura de mai jos:
KC
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 1 2 3t
K
KF
0
300
600
900
1200
1500
-10 10 30 50t
K
KC
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 1 2 3t
K C
KF
0
300
600
900
1200
1500
-10 10 30 50t
K F
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
50/75
Pe aceast traiectorie firma nu are datorii, nu face mprumuturi, nuface investiii, pltete dividende la maximi are loc o scdere a capitaluluifix compensat de o evoluie rapid cresctoare (dar mai lent dect ntraiectoria anterioar ) a capitalului circulant.
Traiectoria 33 (3 K F + 179 K C = 16762, I F = 1000, F = 0,1(t ) = 1)Sistemul canonic redus devine: 0,01676 )(t K F
& = -928,1047207 + 0,056732 K F (t ) 0,35Y (t ) )(t D )(t K F
& = 1000 0,15 K F (t ))(t Y & = 0,2Y (t )
Din ultima ecuaie se afl evoluia datoriei firmei:Y (t ) = 10 e-0,2t
Din a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate evoluia capitalului fix: K F (t ) = 6666,7 5109,7e-0,15t Prin nlocuirea acestora n prima ecuaie se obine evoluia dividendelor:
)(t D = 549,8894963 277,0377146e-0,15t 3,5e-0,2t iar din relaia K F + K C se obine evoluia capitalului circulant:
K C (t ) = 18,0914339 + 85,638572e-0,15t Evoluia indicatorilor este redat n figura de mai jos:
KC
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 20 40
t
K C
KF-KT
1500
2500
3500
4500
5500
6500
0 10 20 30 40 50t
K F
- K T
Y
0
5
10
0 10 20 30 40 50t
D
-850
-750
-650
-5500 10 20 30 40 50
t
D
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
51/75
Pe aceast traiectorie firma face investiii la maxim, nu mai facemprumuturi, pltete dividende i rate la credite meninnd un nivelconstant al produciei i preului de vnzare pe fondul unui raport invers alevoluiei capital circulant capital fix.
Obs . n cazul nostru traiectoria nu este admisibil deoarece valoareafunciei dividend este negativ pentru oricet 0.
Traiectoria 34 ( I F = I max , D = 0, F = 0)Sistemul canonic devine:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171 K F (t ) + 554,1
8
))(179)(3(1073794,0
t K t K C F + 0,35Y (t ) 1000
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y & = 0,2Y (t )Din ultima ecuaie se afl evoluia datoriei firmei:
Y (t ) = 10 e-0,2t Din a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate evoluia capitalului fix:
K F (t ) = 6666,7 5109,7e-0,15t Cele dou soluii gsite se nlocuiesc n prima ecuaie i obinem
ecuaia de dinamic a capitalului circulant:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,08
))( 1791,1532920000( 1073794,0 t K e C t + +
+ 140,0057 873,7587e-0,15t 3,5e-0,2t din care se afl evoluia capitalului circulant. Deoarece ecuaia nu are osoluie elementar am calculat doar o serie de valori ale funciei pentru perioada analizat care a fost reprezentat n figura de mai jos:
KC
-65
435
935
0 5 10 15t
K
Y
0
5
10
-10 10 30 50t
KF
1500
2500
3500
4500
5500
6500
-10 10 30 50t
K
KT
1800
2800
3800
4800
5800
6800
0 5 10 15t
K
-
7/28/2019 5.Studiu de Caz
52/75
Pe aceast traiectorie firma nu pltete dividende (nu retrage bani),face investiii la maxim, nu face mprumuturii are o evoluie de stabilizarea valorii capitalului fixi de scdere a datoriei firmei.
Traiectoria 35 ( I F = I max , D = Dmax, F = 0)Sistemul canonic devine:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171 K F (t ) + 554,1
8
))(179)(3(1073794,0
t K t K C F + 0,35Y (t ) 1100
)(t K F & = 1000 0,15 K F (t )
)(t Y & = - 0,2Y (t )
Din ultima ecuaie se afl evoluia datoriei firmei:Y (t ) = 10 e-0,2t
Din a doua ecuaie (liniar n K F (t )) vom scoate evoluia capitalului fix: K F (t ) = 6666,7 5109,7e-0,15t
Cele dou soluii gsite se nlocuiesc n prima ecuaie i obinemecuaia de dinamic a capitalului circulant:
)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0
8
))( 1791,1532920000(
1073794,0
t K e C t
+
+
+ 40,0057 873,7587e-0,15t 3,5e-0,2t din care se afl evoluia capitalului circulant. Deoarece ecuaia nu are osoluie elementar am calculat doar o serie de valori ale funciei pentru perioada analizat care a fost reprezentat n figura de mai jos:
KC
-75
425
0 5 10 15 20 25t
K C
Y
0
5
10
0 10 20 30 40 50t
Y
KF
1500
25003500
4500
5500
6500
0 10 20 30 40 50t
K F
KT
1800
2800
3800
4800
5800
6800
0 5 10 15 20 25t
K T
-
7/28/2019 5.S